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Perceptivist mathematics education Copeland, Brian Dwight 1989

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P E R C E P T I V I S T MATHEMATICS EDUCATION BY BRIAN DWIGHT COPELAND B.Ed, M.A., The U n i v e r s i t y o f B r i t i s h C o l u m b i a , 1982, 1 9 8 5 . THESIS SUBMITTED I N P A R T I A L FULFILLMENT OF THE REQUIREMENTS FOR THE DEGREE OF MASTER OF ARTS. I N THE FACULTY OF GRADUATE STUDIES (DEPARTMENT OF EDUCATION) We a c c e p t t h i s t h e s i s a s c o n f o r m i n g t o t h e r e q u i r e d s t a n d a r d s THE UNIVERSITY OF B R I T I S H COLUMBIA A u g u s t 198 9 © B r i a n D w i g h t C o p e l a n d , 1989 In presenting this thesis in partial fulfilment of the requirements for an advanced degree at the University of British Columbia, I agree that the Library shall make it freely available for reference and study. I further agree that permission for extensive copying of this thesis for scholarly purposes may be granted by the head of my department or by his or her representatives. It is understood that copying or publication of this thesis for financial gain shall not be allowed without my written permission. Department of M a t h e m a t i c s E d u c a t i o n The University of British Columbia Vancouver, Canada Date O c t o b e r 2 , 1 9 8 9  DE-6 (2/88) i i ABSTRACT The a i m o f t h i s p a p e r i s t o o u t l i n e a n d a p p l y a p e r c e p t i v i s t p h i l o s o p h y o f e d u c a t i o n a n d a c o n s t r u c t i v i t i s t t h e o r y o f k n o w l e d g e a c q u i s i t i o n t o a p r o b l e m i n s e c o n d a r y m a t h e m a t i c s e d u c a t i o n . A w o r k i n g summary o f p e r c e p t i v i s m a n d c o n s t r u c t i v i s m i s p r o v i d e d a n d a p r o g r a m a n d l e s s o n m a t e r i a l s a r e d i s c u s s e d w i t h i n t h e c o n t e x t o f p e r c e p t i v i s t - c o n s t r u c t i v i s t i d e a s . The m a i n t h e s i s o f t h i s p a p e r i s t h a t t h e way t o t r a n s l a t e p e r c e p t i v i s t - c o n s t r u c t i v i s t i d e a s i n t o p r a c t i c e i n m a t h e m a t i c s i s t o e m p h a s i z e a c t i v i t i e s t h a t l e a d t o a c t u a l p e r c e p t i o n s . The t r a d i t i o n a l p r o b l e m w i t h t h i s i s t h a t o f t e n t h e c o m p u t a t i o n a l a b i l i t i e s n e e d e d t o d e a l w i t h r e a l i t y a r e t o o much f o r most s t u d e n t s t o d e a l w i t h . The i n f o r m a t i o n age i n n o v a t i o n t h a t makes a u t i l i t a r i a n m a t h e m a t i c s e d u c a t i o n more p o s s i b l e now, where i t was n o t p o s s i b l e p r e v i o u s l y , i s t h e d e v e l o p m e n t o f t h e p e r s o n a l c o m p u t e r . The c o m p u t e r c a n a c t as an i n f o r m a t i o n p r o c e s s i n g " s t e p up t r a n s f o r m e r " t o b o o s t s t u d e n t s p a s t c o m p u t a t i o n t o r e a l , p e r c e p t u a l m a t h e m a t i c s . The p r a c t i c a l p a r t o f t h e p a p e r c o n s i s t s o f l e s s o n s a i m e d a t a p a r t i a l r e a l i z a t i o n o f p e r c e p t i v i s m -c o n s t r u c t i v i s m i n t h e c l a s s r o o m . The l e s s o n s c o n c e r n c o n c e p t s a n d s k i l l s f r o m t h e t r a d i t i o n a l s e c o n d a r y m a t h e m a t i c s c u r r i c u l u m a r e a s ; a r i t h m e t i c , a l g e b r a , e l e m e n t a r y f u n c t i o n t h e o r y a n d c a l c u l u s . The p a p e r c o n c l u d e s w i t h a r e p o r t on f i e l d t e s t s o f t h e m a t e r i a l s i n t h e s e c o n d a r y c l a s s r o o m s o f t h e a u t h o r . i v TABLE OF CONTENTS P a g e ABSTRACT i i L I S T OF TABLES v i L I S T OF FIGURES v i i CHAPTER I : A PROBLEM I N MATHEMATICS EDUCATION . . . 1 The n e e d f o r an e m p h a s i s on a p p l i c a t i o n s . . . 6 M a t h e m a t i c s must become more m e a n i n g f u l . . . 8 The c o m p u t e r - a r e s o u r c e t o be u t i l i z e d . . . 10 P h i l o s o p h y c a n h e l p show t h e way 13 CHAPTER I I : A B R I E F DESCRIPTION OF A PART OF P E R C E P T I V I S M 15 O r i e n t a t i o n t o t h e w o r l d 15 O r i e n t a t i o n t o b e i n g e d u c a t e d 20 E d u c a t i o n r o o t e d i n p e r c e p t i o n 2 6 Ways o f s e e i n g 29 P e r c e p t i v i s m a n d m a t h e m a t i c s e d u c a t i o n . . . . 34 CHAPTER I I I : A B R I E F DESCRIPTION . OF CONSTRUCTIVISM 37 K n o w l e d g e i s a c t i v e l y c o n s t r u c t e d 37 A l l e x p e r i e n c e i s t h e o r y l a d e n 4 0 The r o l e o f a l t e r n a t e c o n c e p t i o n s 42 CHAPTER I V : AN INTERPRETATION OF P E R C E P T I V I S M . . . 46 The s u b s t a n t i v e r o l e o f t h e c o m p u t e r 47 T r a j e c t o r i e s - u s i n g t h e c o m p u t e r t o do m a t h e m a t i c s 50 E x t e n s i o n o f t h e c o n c e p t - t h e t r a j e c t o r y e n v e l o p e 53 P e r c e p t i v i s t - c o n s t r u c t i v i s t m o d e l l i n g . . . . 60 C o m p u t e r a s s i s t e d e x p l o r a t i o n o f t h e e x p o n e n t i a l f u n c t i o n 6 6 F u n c t i o n s as m o d e l s o f r e a l i t y 72 CHAPTER V: AN INTERPRETATION OF CONSTRUCTIVISM . . 93 The a c t i v e c o n s t r u c t i o n o f m e a n i n g 93 A p p e a l i n g t o e x i s t i n g k n o w l e d g e 100 A l t e r n a t e c o n c e p t i o n s a n d c o n c e p t u a l c o n f l i c t 103 Summary 105 V CHAPTER V I : PERCEPTIVIST-CONSTRUCTIVIST CALCULUS ON THE COMPUTER 108 R a t i o n a l e 108 N u m e r i c a l d i f f e r e n t i a t i o n 112 N u m e r i c a l i n t e g r a t i o n 119 CHAPTER V I I : REPORT ON A F I E L D TEST OF THE CALCULUS UNIT 132 P u r p o s e o f t h e f i e l d t e s t 132 I n s t r u c t i o n a l s e q u e n c e 134 F i e l d n o t e s 136 Q u e s t i o n n a i r e r e s u l t s 140 CHAPTER V I I I : CONCLUSION AND RECOMMENDATIONS . . . 148. C o n c l u s i o n s 149 S u g g e s t i o n s f o r f u r t h e r r e s e a r c h 153 R e c o m m e n d a t i o n s 156 BIBLIOGRAPHY . . . 161 APPENDIX 171 v i LIST OF TABLES P a g e T a b l e 1. B r a u n e r ' s o u t l i n e o f t h e ( n i n e ) modes o f p e r c e p t i o n . ( B r a u n e r , 1986, p.13) . . . 25 T a b l e 2. D e c a y o f c a r b o n - 1 4 86 T a b l e 3. W o r l d p o p u l a t i o n f i g u r e s f o r t h e i n h i b i t e d g r o w t h m o d e l 88 T a b l e 4. D i s e a s e s p r e a d i n a c i t y u s i n g t h e i n h i b i t e d g r o w t h m o d e l 90 T a b l e 5. S t u d e n t Q u e s t i o n n a i r e - C o m p u t e r C a l c u l u s U n i t 143 T a b l e 6. A n a l y s i s o f mean r e s p o n s e t o e a c h q u e s t i o n 144 T a b l e 7. A n a l y s i s o f r e s p o n s e s b y i n d i v i d u a l s t u d e n t s . 1 4 7 T a b l e 8. C o m p u t e r M a t h : P o s s i b l e p r o g r a m o f a c t i v i t i e s 160 v i i LIST OF FIGURES Page F i g u r e 1. O r i e n t a t i o n t o t h e w o r l d 19 F i g u r e 2. H o f s t a d t e r ' s d e p i c t i o n o f Complemen-t a r i t y : s e e i n g i n d i f f e r e n t ways . . . 32 F i g u r e 3. C o m p u t e r u s e d t o a m p l i f y p o w e r o f c o n c e p t s 4 9 F i g u r e 4. T r a j e c t o r i e s . 51 F i g u r e 5. L o b v s . C l o t h e s l i n e T r a j e c t o r y . . . . 53 F i g u r e 6. The e n v e l o p e o f t r a j e c t o r i e s . . . . . 54 F i g u r e 7. H i t s I n s i d e t h e E n v e l o p e 55 F i g u r e 8. H i t t i n g S p e c i f i c L o c a t i o n s I n s i d e t h e E n v e l o p e ; 57 K i g u r e 9. P e r c e p t i v i s t - C o n s t r u c t i v i s t m o d e l l i n g ; d i s t a n c e f a l l e n a s a f u n c t i o n o f t i m e e l a p s e d s i n c e d r o p p e d 61 F i g u r e 10. " P e r i o d i c " V a r i a t i o n o f C h e m i c a l P r o p e r t i e s 63 F i g u r e 1 1. " P e r i o d i c " V a r i a t i o n o f C u l t u r a l D e v e l o p m e n t 64 F i g u r e 12. " P e r i o d i c " V a r i a t i o n i n H e a r t b e a t . . . 65 F i g u r e 13. " P e r i o d i c " V a r i a t i o n i n S u n s p o t A c t i v i t y 65 F i g u r e 14. E x p o n e n t i a l F u n c t i o n a n d P o p u l a t i o n G r o w t h ( S m a l l e r g r o w t h r a t e c o r r e s p o n d s t o l o w e r c u r v e ) 68 F i g u r e 15. E x p o n e n t i a l F u n c t i o n a n d I n f l a t i o n ( s m a l l e r i n f l a t i o n r a t e c o r r e s p o n d s t o l o w e r c u r v e ) 70 F i g u r e 16. E x p o n e n t i a l F u n c t i o n a n d Compound I n t e r e s t " 71 v i i i F i g u r e 17. B o u n c i n g b a l l , r a p i d d e c a y 75 F i g u r e 18. B o u n c i n g b a l l , s l o w d e c a y 75 F i g u r e 19. W a t e r d e p t h v a r i a t i o n i n t i d a l c y c l e s . 77 F i g u r e 20. A v e r a g e v a l u e o f a f u n c t i o n on t h e c o m p u t e r • 77 F i g u r e 2 1 . A v e r a g e t i d a l d e p t h 78 F i g u r e 22. T e r m i n a l V e l o c i t y i n M o t i o n w i t h R e s i s t a n c e . . . 80 F i g u r e 2 3 . P o s i t i o n a s F u n c t i o n o f Time w i t h T e r m i n a l V e l o c i t y 81 F i g u r e 24. Damped O s c i l l a t o r y M o t i o n 83 F i g u r e 25. W o r l d p o p u l a t i o n p r o j e c t i o n s 84 F i g u r e 26. 0 1 4 d e c a y . 87 F i g u r e 27. W o r l d p o p u l a t i o n , i n h i b i t e d g r o w t h m o d e l 88 F i g u r e 28. I n h i b i t e d g r o w t h m o d e l o f d i s e a s e s p r e a d 90 F i g u r e 29. P e r c e n t a g e b u y i n g a p r o d u c t , i n h i b i t e d g r o w t h 90 F i g u r e 30. C o m p u t e r s o l u t i o n o f d e g r e e one e q u a t i o n s • 97 F i g u r e 3 1. C o m p u t e r s o l u t i o n o f d e g r e e two e q u a t i o n s 97 F i g u r e 32. C o m p u t e r s o l u t i o n o f d e g r e e t h r e e e q u a t i o n s 98 F i g u r e 33. C o m p u t e r s o l u t i o n o f d e g r e e f o u r e q u a t i o n s 98 F i g u r e 34. C o m p u t e r s o l u t i o n o f d e g r e e f i v e e q u a t i o n s 99 i x F i g u r e 35. C o m p u t e r s o l u t i o n o f d e g r e e s i x e q u a t i o n s . . . . 99 F i g u r e 36. G r a p h i n g a f a c e 103 F i g u r e 37. S l o p e b y s e c a n t a p p r o x i m a t i o n 113 F i g u r e 38. Time v s . p a t i e n t t e m p e r a t u r e . . . . . . 115 F i g u r e 39. Time v s . c i t y ' s p o p u l a t i o n 115 F i g u r e 40. D o l l a r s s p e n t on a d v e r t i s i n g v s . T.V. s e t s s o l d 116 F i g u r e 4 1 . Time v s . f r a c t i o n o f d o c t o r s a c c e p t i n g a m e d i c i n e 117 F i g u r e 42. W i d t h o f r e c t a n g l e v s . a r e a o f r e c t a n g l e f o r m e d 118 F i g u r e 43. Time o f y e a r v s . s a l e s 119 F i g u r e 44. y = x 2 120 F i g u r e 45. M o n t h v s . s a l e s i n t h a t m onth 122 F i g u r e 46. Time v s . v e l o c i t y 123 F i g u r e 47. Time v s . R a t e o f E n e r g y Use (4 H r s ) . . 124 F i g u r e 48. Time v s . R a t e o f E n e r g y Use (24 h r s ) . . 124 F i g u r e 49. A r e a b e t w e e n two c u r v e s 12 6 F i g u r e 50. A v e r a g e v a l u e o f a f u n c t i o n 127 F i g u r e 5 1 . V o l u m e o f r e v o l u t i o n 128 1 CHAPTER I A PROBLEM IN MATHEMATICS EDUCATION M a t h e m a t i c s e d u c a t i o n i n N o r t h A m e r i c a i s i n t r o u b l e . C ompared t o o t h e r l e a d i n g i n d u s t r i a l s o c i e t i e s m a t h e m a t i c s a c h i e v e m e n t i n N o r t h A m e r i c a i s • l a g g i n g b e h i n d ( M c K n i g h t , 1 9 8 7 ) . S i n c e Dewey t h e r e h a s b e e n no g u i d i n g t h e o r y i n e d u c a t i o n as a w h o l e o r m a t h e m a t i c s e d u c a t i o n i n p a r t i c u l a r . W i t h o u t a g u i d i n g t h e o r y we a r e n o t l i k e l y t o do b e t t e r . One o f t h e m a i n p u r p o s e s o f t h i s t h e s i s i s t o p r o v i d e a r g u m e n t s t o e s t a b l i s h t h a t a g u i d i n g p h i l o s o p h y o f e d u c a t i o n i s now a v a i l a b l e — P e r c e p t i v i s m - c o n s t r u c t i v i s m . A s e c o n d m a j o r p u r p o s e i s t o e s t a b l i s h b y way o f a r g u m e n t a n d d e m o n s t r a t i o n t h a t t h e p h i l o s o p h y p r o v i d e s s u g g e s t i o n s a b o u t ways i n w h i c h m a t h e m a t i c s e d u c a t i o n m i g h t be i m p r o v e d . I n p a r t i c u l a r i t c a n be u s e d t o g e n e r a t e s u g g e s t i o n s a n d p r o v i d e a r a t i o n a l e f o r ways i n w h i c h t h e c o m p u t e r c a n be u s e d t o i m p r o v e m a t h e m a t i c s e d u c a t i o n . T h i s t h e s i s p r e s e n t s v a r i o u s c o m p u t e r i n t e g r a t e d m a t h e m a t i c s l e s s o n s a n d a c o m p u t e r i n t e g r a t e d c a l c u l u s u n i t . A f i e l d t e s t o f t h e c a l c u l u s u n i t i s r e p o r t e d a n d d i s c u s s e d . T h i s c h a p t e r i s c o n c e r n e d w i t h a g r o u p o f p r o b l e m s c e n t e r e d a r o u n d d e c l i n i n g a c h i e v e m e n t i n m a t h e m a t i c s a n d l a c k o f e f f o r t i n u s i n g t h e c o m p u t e r as a r e s o u r c e 2 t o remedy t h e p r o b l e m . The p r o b l e m i s t w o f o l d . F i r s t , m a t h e m a t i c s p e r f o r m a n c e k i n d e r g a r t e n t o g r a d e 12, b e y o n d mere c o m p u t a t i o n , i s e s p e c i a l l y p o o r . S e c o n d , w i t h o u t a g u i d i n g p h i l o s o p h y i t i s u n l i k e l y t h a t t h e c o m p u t e r c a n be e x p l o i t e d t o i m p r o v e a c h i e v e m e n t a n d i n c r e a s e m e a n i n g f u l m a t h e m a t i c s . The a r g u m e n t i n t h i s c h a p t e r i s d e v e l o p e d i n f i v e s t a g e s . (a) The d e t a i l s o f p o o r p e r f o r m a n c e i n m a t h e m a t i c s by s e c o n d a r y s t u d e n t s i s d i s c u s s e d . (b) A s t r e s s on a p p l i c a t i o n s i s one s u g g e s t i o n i n t h e l i t e r a t u r e t o i m p r o v e p e r f o r m a n c e . (c) A s e c o n d s u g g e s t i o n i n t h e l i t e r a t u r e i s t o e m p h a s i z e t h e m e a n i n g f u l n e s s o f t h e t e c h n i c a l d e t a i l s . (d) The c o m p u t e r i s a b l e t o a s s i s t t h e d e v e l o p m e n t o f a p p l i c a t i o n s a n d m e a n i n g f u l n e s s by r e l i e v i n g t h e s t u d e n t o f t h e b u r d e n o f c o m p u t a t i o n , (e) I t i s t h e n a r g u e d t h a t p h i l o s o p h y c a n s u g g e s t ways i n w h i c h t h e f r e e d o m t h e c o m p u t e r g i v e s f r o m t h e b u r d e n o f c o m p u t a t i o n c a n be e x p l o i t e d t o h e l p i m p r o v e m a t h e m a t i c s p e r f o r m a n c e . Second rate s k i l l l e v e l s H i g h s c h o o l g r a d u a t e s a r e n o t e q u i p p e d t o d e a l w i t h t h e m a t h e m a t i c a l c o m p l e x i t i e s o f modern t e c h n o l o g i c a l s o c i e t y . H e n r y P o l l a k ( 1 9 8 7 ) , a n o t e d 3 i n d u s t r i a l m a t h e m a t i c i a n , s u m m a r i z e d what s k i l l s i n d u s t r y e x p e c t s e n t r y l e v e l e m p l o y e e s t o h a v e . T h e s e i n c l u d e t h e a b i l i t y t o s e t up p r o b l e m m a t h e m a t i c a l l y , t h e a b i l i t y t o a p p l y a f l u i d r e p e r t o i r e o f m a t h e m a t i c a l t e c h n i q u e s t o s o l v e p r o b l e m s , t h e a b i l i t y t o a b s t r a c t m a t h e m a t i c a l f o r m u l a t i o n s f r o m r e a l w o r l d s i t u a t i o n s , t h e a b i l i t y t o work c o o p e r a t i v e l y on p r o b l e m s o l v i n g , t h e a b i l i t y t o s e e m a t h e m a t i c a l c o n c e p t s a n d p r i n c i p l e s i n common a n d c o m p l e x s i t u a t i o n s . S t u d e n t s a l s o n e e d e d an a t t i t u d e d i s p o s e d t o t o l e r a t i o n o f o pen e n d e d , n o t w e l l f o r m u l a t e d p r o b l e m s a n d a b e l i e f i n t h e u t i l i t y o f m a t h e m a t i c a l t e c h n i q u e s t o r e n d e r p r o b l e m s i n t o a w e l l f o r m u l a t e d f o r m . The p r e s e n t r e g i m e n o f l o w l e v e l c a l c u l a t i o n d o e s n o t p r o v i d e s u c h s k i l l s a n d a b i l i t i e s o r i n any way a d e q u a t e l y p r e p a r e s t u d e n t s f o r t h e work p l a c e o r f o r f u r t h e r e d u c a t i o n . C o m menting on t h i s p r o b l e m , U s i s k i n (1985) r e m a r k s : The b i g g e s t p r o b l e m i n s e c o n d a r y s c h o o l m a t h e m a t i c s t o d a y i s r e c o g n i z e d b y a l l , r e g a r d l e s s o f f e e l i n g s t o w a r d new m ath o r b a c k t o b a s i c s . I t i s t h a t a l a r g e number -p e r h a p s a m a j o r i t y - o f h i g h s c h o o l g r a d u a t e s l a c k t h e m a t h e m a t i c a l know-how t o c o p e e f f e c t i v e l y i n s o c i e t y , q u a l i f y f o r t h e j o b s t h e y w o u l d l i k e , o r q u a l i f y f o r t h e t r a i n i n g p r o g r a m s ( i n c l u d i n g t h o s e i n c o l l e g e ) l e a d i n g t o t h e j o b s t h e y w o u l d l i k e . ( U s i s k i n , 1985, p.8) 4 C o l l e g e a n d u n i v e r s i t y o f f i c i a l s n o t e t h e p o o r l e v e l o f c o l l e g e e n t e r i n g m a t h e m a t i c a l c o m p e t e n c e . L e i t z e l a n d O s b o r n e s u m m a r i z e i n t h e s e t e r m s . A b o u t 4 5 % o f t h e g r a d u a t i n g s e n i o r s i n t h e U n i t e d S t a t e s e n t e r some f o r m o f p o s t -• s e c o n d a r y e d u c a t i o n , a n d a b o u t 45% o f t h i s g r o u p l a c k t h e m a t h e m a t i c a l s k i l l s a n d u n d e r s t a n d i n g s n e e d e d f o r s u c c e s s i n p o s t -s e c o n d a r y s c h o o l m a t h e m a t i c s . ( L e i t z e l a n d O s b o r n e , 1985, p.150) A s u r v e y o f u n d e r g r a d u a t e p r o g r a m s i n m a t h e m a t i c s a n d c o m p u t e r s c i e n c e d o c u m e n t e d t h a t 15% o f c u r r e n t e n r o l m e n t i n m a t h e m a t i c s c o u r s e s a t p u b l i c two y e a r c o l l e g e s i s f o r r e m e d i a l m a t h e m a t i c s . A n o t h e r 37% o f t h e e n r o l l m e n t i s f o r p r e c a l c u l u s c o u r s e s t h a t s h o u l d p r e s u m a b l y h a v e b e e n c o m p l e t e d i n h i g h s c h o o l ( A l b e r s , A n d e r s o n a n d L o f t s g a a r d e n , 1 9 8 7 ) . On a n a t i o n a l l e v e l ( U . S . A . ) , t h e N a t i o n a l A s s e s s m e n t o f E d u c a t i o n a l P r o g r e s s i n m a t h e m a t i c s c l e a r l y showed t h a t l o w l e v e l c o m p u t a t i o n a l s k i l l s w ere a t h i s t o r i c a l l y r e a s o n a b l e l e v e l s b u t t h a t a m a j o r i t y o f s t u d e n t s do n o t u n d e r s t a n d b a s i c c o n c e p t s n o r c o u l d t h e y a p p l y s k i l l s i n p r o b l e m - s o l v i n g s i t u a t i o n s ( C a r p e n t e r , Brown, K o u b a , L i n q u i s t , S i l v e r a n d S w a f f o r d , 1987) . I n t e r n a t i o n a l l y / c o m p a r e d w i t h o t h e r i n d u s t r i a l n a t i o n s , p a r t i c u l a r l y t h o s e i n t h e O r i e n t , 5 average North American students are not competitive (McKnight, Crosswhite, Dossey, Ki f e r , Swafford, Travers and Cooney, 1987). McKnight notes how our "underachieving curriculum" expects less of our students, has them spend less time studying mathematics and has fewer students enrolled i n advanced mathematics than students i n other countries. The International Assessment of Mathematics and Science found a sim i l a r lack of mathematical a b i l i t y compared to leading j u r i s d i c t i o n s . Forty percent of Korea's 13-year-old students understand measurement and geometry concepts and are. successful at solving even more complex problems. Less than 10 percent of those from Ontario (French) and the United States have the same l e v e l s k i l l s (Lapointe, Mead and P h i l l i p s , 1989, p.10). There i s reason to believe that of a l l the students we "pass" i n school, many do not get a good mathematics education. The New Jersey College Basic S k i l l s Placement Test i s given to v i r t u a l l y a l l students entering New Jersey public colleges and some private i n s t i t u t i o n s . After analyzing the 1984 res u l t s the Council reported: Of those students who completed a t r a d i t i o n a l college preparatory program i n mathematics (Algebra 1, Geometry and Algebra 2) , less 6 t h a n 4 p e r c e n t w e re p r o f i c i e n t i n e l e m e n t a r y a l g e b r a . E v e n more s t a r t l i n g o n l y 36% o f t h e s e s t u d e n t s w e re p r o f i c i e n t i n c o m p u t a t i o n . Among s t u d e n t s who c o m p l e t e d o n l y one y e a r o f a l g e b r a (N=2,030), o n l y one s t u d e n t was p r o f i c i e n t . ( M o r a n t e , F a s k o w a n d M e n d i t t o 1984, p. 30) V o e l k e r ( 1 9 8 2 ) , i n a s i m i l a r s t u d y o f s e c o n d a r y s c h o o l s c i e n c e , s t a t e d t h a t "90 p e r c e n t o f a l l h i g h s c h o o l g r a d u a t e s f a i l " t o meet c r i t e r i a f o r s c i e n t i f i c l i t e r a c y . P a s s i n g c o u r s e s d o e s n o t seem t o e q u a t e t o u n d e r s t a n d i n g what went on. N o r t h A m e r i c a n h i g h s c h o o l s e n i o r s h a v e t h i s y e a r (1989) f a l l e n t o 1 2 t h a n d l a s t p l a c e i n m a t h e m a t i c a l a c h i e v e m e n t among i n d u s t r i a l i z e d n a t i o n s a c c o r d i n g t o t h e U.S. D e p a r t m e n t o f E d u c a t i o n ( 1 9 8 9 ) . O t h e r s t u d i e s i n d i c a t e s i m i l a r d e f i c i e n c i e s among b i o l o g y a n d c h e m i s t r y s t u d e n t s . N o r t h A m e r i c a n i n d u s t r i a l p e r f o r m a n c e h a s a l r e a d y f a l l e n b e h i n d J a p a n ' s , a f a c t t h a t may n o t be e n t i r e l y c o i n c i d e n t a l w i t h o u r p r o b l e m s i n e d u c a t i o n . The need fo r an emphasis on applications The n e e d t o move m a t h e m a t i c s e d u c a t i o n t o w a r d a more r e l e v a n t , a p p l i e d f o r m a t h a s b e e n r e c o g n i z e d f o r a l o n g t i m e . C a r s o n , i n 1913, w r o t e : Among t h e many c h a n g e s i n m a t h e m a t i c a l e d u c a t i o n d u r i n g t h e l a s t t w e n t y y e a r s 7 one e l e m e n t a t l e a s t a p p e a r s t h r o u g h o u t ; a d e s i r e t o r e l a t e t h e s u b j e c t t o r e a l i t y , t o e x h i b i t i t a s a l i v i n g b o d y o f t h o u g h t w h i c h c a n a n d d o e s i n f l u e n c e human l i f e a t a m u l t i t u d e o f p o i n t s . ( C a r s o n , 1913, p.35) The 198 9 N a t i o n a l C o u n c i l o f T e a c h e r s o f M a t h e m a t i c s (NCTM) S t a n d a r d s Document e m p h a s i z e d t h a t m a t h e m a t i c s e d u c a t i o n n e e d n o t g e t b o g g e d down i n an e n d l e s s a t t e m p t t o r e f i n e c o m p u t a t i o n . I t i s a common a s s u m p t i o n t h a t m a t h e m a t i c s c o m p u t a t i o n s a r e n e c e s s a r y b e f o r e one c a n s t u d y a l g e b r a o r g e o m e t r y o r i n v e s t i g a t e a p p l i e d p r o b l e m s . T h i s a s s u m p t i o n i s n o t w a r r a n t e d . Too many s t u d e n t s a r e r e f u s e d an o p p o r t u n i t y t o l e a r n t h e m a t h e m a t i c s t h a t w o u l d make i t p o s s i b l e f o r t h e m t o b e p r o d u c t i v e members o f s o c i e t y b e c a u s e t h e y a r e n o t p r o f i c i e n t a t s k i l l s w h i c h a r e now done b e s t on a c a l c u l a t o r o r c o m p u t e r . (NCTM, 1989, p.30) S i m i l a r l y , R a l s t o n a r g u e s t h a t t h e r e i s no r e a s o n t o s p e n d t i m e r e f i n i n g c o m p u t a t i o n a l s k i l l s i f t h e s k i l l s a r e n o t r e q u i r e d . R a t h e r , t i m e a n d e f f o r t s h o u l d be s h i f t e d t o m a k i n g m a t h e m a t i c s an i n t e l l e c t u a l l y i n t e g r a t i n g a n d e x p a n d i n g a c t i v i t y . The f o c u s o f a l l m a t h e m a t i c s t e a c h i n g must s o o n become t e a c h i n g s t u d e n t s t o u n d e r s t a n d m a t h e m a t i c s r a t h e r t h a n t e a c h i n g t h e m t o m a n i p u l a t e s y m b o l s ; t h a t ' s what t h e c o m p u t e r s a r e f o r . ( R a l s t o n , 1985, p.39) F e y a n d Good comment i n a s i m i l a r v e i n t h a t we must a i m h i g h e r up on t h e c o g n i t i v e s c a l e . R a t h e r t h a n f o c u s s i n g p r e d o m i n a n t l y on l o w l e v e l c o m p u t a t i o n a l s k i l l s , l e a v i n g t h e i n t e l l e c t u a l m e a n i n g f u l n e s s o f t h e t e c h n i c a l i t i e s t o c h a n c e , m a t h e m a t i c s e d u c a t i o n must e v o l v e t o w a r d b e c o m i n g a means o f u n d e r s t a n d i n g a n d c o m m u n i c a t i n g a b o u t t h e r e a l w o r l d . I t s h o u l d b e p o s s i b l e f o r e v e r y t e a c h e r t o p l a c e g r e a t e r s t r e s s on s i t u a t i o n s i n w h i c h m a t h e m a t i c s i s u s e d t o m o d e l t h e s t r u c t u r e o f r e a l - l i f e s i t u a t i o n s . T h e r e i s a g r o w i n g s u p p l y o f r e s o u r c e m a t e r i a l f o r t h i s p u r p o s e a n d i t s u s e w i l l f o r c e a t t e n t i o n t o i m p o r t a n t t h e m e s i n t h e c u r r i c u l u m o f t h e f u t u r e . ( F e y a n d Good, 1985, p.52) Mathematics must become more meaningful P r e o c c u p a t i o n w i t h c a l c u l a t i o n , a t t h e e x p e n s e o f t h e b r o a d e r i n t e l l e c t u a l c o n t e x t o f m a t h e m a t i c s , f o r c e s s t u d e n t s t o c o v e r t h e m a t e r i a l w h e t h e r t h e y u n d e r s t a n d i t o r n o t . I t d o e s n o t seem u n r e a s o n a b l e t o t h i n k t h a t s t u d e n t s w o u l d q u i c k l y p i c k up on how t o p l a y t h e game. A c y n i c a l , m e c h a n i c a l a p p r o a c h t o l e a r n i n g w o u l d seem n a t u r a l . N i g e l F o r d c l a i m s : T h e r e i s i n c r e a s i n g s u p p o r t f o r t h e i d e a t h a t t h e way s t u d e n t s t h i n k , b e l i e v e a n d v a l u e i s by no means synonymous w i t h e x p o s u r e t o , a n d p e r f o r m a n c e o f , e x e r c i s e s i n t h e c o m p r e h e n s i o n , r e c a l l a n d m a n i p u l a t i o n o f 9 i n f o r m a t i o n a n d i d e a s . M o s t c o u r s e - b a s e d a c t i v i t i e s c e r t a i n l y do n o t p r e c l u d e t h e p o s s i b i l i t y t h a t i n t e r m s o f a s t u d e n t ' s p e r s o n a l a c c e p t a n c e a n d v a l u i n g o f , a n d commitment t o i n f o r m a t i o n a n d i d e a s , he i s d o i n g no more t h a n " g o i n g t h r o u g h t h e m o t i o n s " w i t h s h a l l o w a n d s h o r t - t e r m , i f any, e f f e c t s . ( F o r d , 1979, p.215) Roy F o r b e s n o t e s t h a t t h e N a t i o n a l A s s e s s m e n t o f E d u c a t i o n a l P r o g r e s s (NAEP) 1979 r e s u l t s i n d i c a t e t h a t " b a c k t o b a s i c s " m a t h e m a t i c s e m p h a s i s i n t h e y e a r s p r e c e e d i n g 1979 m a i n t a i n e d l o w l e v e l s k i l l s a t t h e e x p e n s e o f u n d e r s t a n d i n g . D u r i n g a p e r i o d when t h e p u b l i c h a s p l a c e d g r e a t e m p h a s i s on t h e " b a s i c s , " a s s e s s m e n t d a t a show t h a t m a t h e m a t i c s a c h i e v e m e n t h a s d e c l i n e d , e s p e c i a l l y i n p r o b l e m - s o l v i n g a n d u n d e r s t a n d i n g o f c o n c e p t s . (NAEP, 1979, p.7) P r e s e n t e m p h a s i s on r e f o r m i n c l u d e s b r i n g i n g m a t h e m a t i c s e d u c a t i o n b a c k f r o m a c u r r i c u l u m d r i v e n b y e m p h a s i s on e x t e n s i v e c o m p u t a t i o n t o w a r d more m e a n i n g f u l m a t h e m a t i c s f o r s t u d e n t s . The NCTM S t a n d a r d s Document l i s t s a t l e a s t f o u r i m p o r t a n t g o a l s r e l a t i n g t o b r i n g i n g m a t h e m a t i c s b a c k t o t h e s t u d e n t . • M a t h e m a t i c s s h o u l d b e s t u d i e d a s an i n t e g r a t e d w h o l e so t h a t s t u d e n t s u n d e r s t a n d i t as a d y n a m i c d i s c i p l i n e a n d an i n t e g r a l p a r t o f o u r c u l t u r e . • M a t h e m a t i c s s h o u l d h e l p b u i l d s t u d e n t s ' a b i l i t i e s t o r e a s o n l o g i c a l l y . • M a t h e m a t i c s s h o u l d be t a u g h t i n a n a t u r a l c o n t e x t . • S t u d e n t s s h o u l d be e n c o u r a g e d t o c r e a t e , i n v e n t , a n d p a r t i c i p a t e . (NCTM, 1989, p.35) O n l y b y m e a n i n g f u l l y i n v o l v i n g t h e s t u d e n t , i s t h e r e a p o s s i b i l i t y o f d i s c o u r a g i n g j u s t " g o i n g t h r o u g h t h e m o t i o n s " a n d o f e n c o u r a g i n g a c t u a l l e a r n i n g . O n l y i n t h i s way c a n a " n a t i o n a t r i s k " r e v i t a l i z e i t s " u n d e r a c h i e v i n g c u r r i c u l u m " , e s p e c i a l l y i n m a t h e m a t i c s . The computer - a resource to be u t i l i z e d The c o m p u t e r seems t o h a v e an enormous p o t e n t i a l i n m a t h e m a t i c s e d u c a t i o n . W a l k e r (1984) makes t h e c l a i m t h a t " t h e p o t e n t i a l o f c o m p u t e r s f o r i m p r o v i n g e d u c a t i o n i s g r e a t e r t h a n t h a t o f any p r i o r i n v e n t i o n , i n c l u d i n g b o o k s a n d w r i t i n g . " B u t t h e c o m p u t e r i s j u s t a p i e c e o f t e c h n o l o g y a n d i t s p o t e n t i a l may n o t be r e a l i z e d . E d u c a t i o n a l t e l e v i s i o n h e l d t r e m e n d o u s p o t e n t i a l b u t h a s h a d l i t t l e e f f e c t . The t e c h n o l o g y w i l l n o t d e v e l o p i t s own u s e a s de C e c c o r e m a r k s : A l l t h e s e f a c i l i t i e s a n d e q u i p m e n t [ c o m p u t e r , C . A . I . ] , I must r e m i n d y o u , a r e much more s o p h i s t i c a t e d t h a n any t h e o r y o f t e a c h i n g we p r e s e n t l y h a v e . The t e m p t a t i o n i n a t e c h n o l o g i c a l s o c i e t y i s t o a l l o w o u r f a n t a s t i c m a c h i n e s t o d e t e r m i n e o u r r e s e a r c h p r o b l e m s a n d o u r e d u c a t i o n a l p r a c t i c e . I t i s f a r more i m p o r t a n t t h a t we s u b o r d i n a t e t h e s e 11 m a c h i n e s t o t h e t h e o r e t i c a l a n d p r a c t i c a l i n s t r u c t i o n a l p r o b l e m s w h i c h , u n d o u b t e d l y , t h e m a c h i n e s c a n h e l p us s o l v e . (de C e c c o , 1968, p.418) By r e l i e v i n g t h e l e a r n e r o f a c o n s i d e r a b l e amount o f c o m p u t a t i o n a l b u r d e n t h e c o m p u t e r e x p a n d s t h e p o t e n t i a l f o r u n d e r s t a n d i n g . The r e s t o f s o c i e t y seems t o h a v e d i s c o v e r e d t h i s f a c t , w i t h t h e a p p a r e n t e x c e p t i o n o f t h e e d u c a t i o n c o m m u n i t y . The NCTM S t a n d a r d s Document s a y s : M o s t c u r r e n t m a t h e m a t i c s p r o g r a m s f a i l t o r e f l e c t t h e i m p a c t o f t h e t e c h n o l o g i c a l r e v o l u t i o n a f f e c t i n g o u r s o c i e t y . The a v a i l a b i l i t y o f l o w - c o s t c a l c u l a t o r s , c o m p u t e r s a n d r e l a t e d new t e c h n o l o g y h a v e a l r e a d y d r a m a t i c a l l y c h a n g e d t h e n a t u r e o f b u s i n e s s , i n d u s t r y , g o v e r n m e n t , s c i e n c e s a n d s o c i a l s c i e n c e s . U n f o r t u n a t e l y , most s t u d e n t s a r e n o t e d u c a t e d t o p a r t i c i p a t e i n t h i s new s o c i e t y . (NCTM, 1989, p.25) R e l e a s e d f r o m t h e b u r d e n o f c o m p u t a t i o n , t h e s t u d e n t w o u l d be a b l e t o p u r s u e t h e m e a n i n g o f m a t h e m a t i c s , i t s p e r s o n a l r e l e v a n c e , a p p l i c a b i l i t y a n d g e n e r a l i n t e l l e c t u a l u s e f u l n e s s , as t h e medium o f q u a n t i t a t i v e l i t e r a c y . U s i s k i n c l a i m s t h a t h i s t o r y p r o v i d e s many e x a m p l e s o f how t e c h n o l o g y a n d t e c h n i q u e s l i b e r a t e . The h i s t o r y o f m a t h e m a t i c s i s f i l l e d w i t h t h e d e v e l o p m e n t o f t e c h n i q u e s t h a t t a k e d i f f i c u l t p r o b l e m s and. make them a u t o m a t i c . U s u a l l y t h e s e a u t o m a t i c p r o c e d u r e s p r o v i d e a b e n e f i t ; w i t h t e d i o u s c a l c u l a t i o n s o u t o f t h e way, u n d e r s t a n d i n g t h e i d e a s a n d p u r p o s e s o f t h e m a t h e m a t i c s i t s e l f becomes e a s i e r . ( U s i s k i n , 1985, p.16) The f r e e d o m f r o m c a l c u l a t i o n g i v e n b y t h e c o m p u t e r c o u l d be u s e d . t o e x p l o r e a p p l i c a t i o n s o f m a t h e m a t i c s . C o m p u t a t i o n a l s k i l l s a r e n o t n e e d e d t o t h e d e g r e e t h e y w e r e i n t h e p r e - i n f o r m a t i o n age c u l t u r e , b e f o r e c o m p u t e r s . T e c h n o l o g y w i l l f o r c e a r e w o r k i n g o f t h e c u r r i c u l u m i n w h i c h t h e i m p o r t a n c e o f l o w l e v e l s k i l l s w i l l h a v e t o be r e a s s e s s e d . Use o f c o m p u t e r s may t u r n t h e c u r r i c u l u m on i t s h e a d . F o r n e a r l y e v e r y f u n c t i o n o f i n t e r e s t , t h e c o m p u t e r u t i l i t i e s make a l l . . . q u e s t i o n s a c c e s s i b l e i n some i n t e l l e c t u a l l y h o n e s t a n d m a t h e m a t i c a l l y p o w e r f u l f o r m t o s t u d e n t s who h a v e n o t f o l l o w e d t h e c o n v e n t i o n a l r e g i m e n o f s k i l l d e v e l o p m e n t . They o p e n a f a s t t r a c k t o t h e p o l y n o m i a l , t r i g o n o m e t r i c , e x p o n e n t i a l a n d a l g e b r a i c f u n c t i o n s t h a t m o d e l i n t e r e s t i n g phenomena i n t h e p h y s i c a l , b i o l o g i c a l , e c o n o m i c a n d s o c i a l w o r l d s . C o m p u t i n g o f f e r s an o p p o r t u n i t y t o t u r n t h e s e c o n d a r y s c h o o l m a t h e m a t i c s c u r r i c u l u m on i t s h e a d . I n s t e a d o f m e e t i n g a p p l i c a t i o n s as a r e w a r d f o r y e a r s o f p r e p a r a t i o n , s t u d e n t s c a n now b e g i n w i t h t h e most n a t u r a l a n d m o t i v a t i n g a s p e c t o f m a t h e m a t i c s — i t s a p p l i c a t i o n s . (Fey a n d Good, 1985, p.48) What i s n e e d e d , t o i n d i c a t e what t o do w i t h t h e f r e e d o m g i v e n by t h e c o m p u t e r , i s a p h i l o s o p h y o f e d u c a t i o n t h a t shows w h e r e t o l o o k f o r t h e m e a n i n g o f 13 m a t h e m a t i c s . I n e d u c a t i o n , t h i s i s a t h a n d i n t h e f o r m o f P e r c e p t i v i s m - C o n s t r u c t i v i s m . Philosophy can help show the way B e c a u s e e d u c a t i o n h a s b e e n w i t h o u t a p h i l o s o p h y f o r s o l o n g we h a v e b e e n b u f f e t e d f r o m one f a d t o t h e n e x t w i t h o u t any r u d d e r t o s t e a d y t h e c o u r s e . B r a u n e r d e s c r i b e s t h e s i t u a t i o n i n t h e s e t e r m s : E v e r s i n c e t h e p u b l i c s c h o o l s t o p p e d t r y i n g t o i m p l e m e n t t h e p r o g r a m d e r i v e d f r o m t h e P r a g m a t i s m o f J o h n Dewey . . . t h e y h a v e b e e n w i t h o u t a w o r k i n g p h i l o s o p h y o f e d u c a t i o n . T h a t t h i r t y - y e a r i n t e l l e c t u a l d r o u g h t h a s l e d t o s u c h a s h o r t a g e o f w o r k i n g t h e o r i e s i n t h e a r e a o f t e a c h i n g p r a c t i s e s t h a t p o l i c y c o n s i d e r a t i o n s p r o v i d e what l i t t l e b a s i s t h e r e i s f o r j u s t i f y i n g t h e c u r r e n t c u r r i c u l u m a n d i t s m e t h o d s . I n d e e d , t h e g r o u n d s f o r p u b l i c s c h o o l p r a c t i s e h a v e b e e n so p a r c h e d f o r s o l o n g t h a t a w h o l e g e n e r a t i o n o f t e a c h e r s h a s grown t o r e t i r e m e n t age w i t h o u t e v e r k n o w i n g j u s t how i t i s t h a t a w o r k i n g p h i l o s o p h y o f e d u c a t i o n c a n i n f o r m c l a s s r o o m p r a c t i s e s . . . ( B r a u n e r , 1986, p . l ) T h i s n o t t o s a y t h a t a p h i l o s o p h y o f e d u c a t i o n i s a b l u e p r i n t . I t i s n o t as i f t h e r e i s some f o r m a l way t o l o g i c a l l y d e d u c e s p e c i f i c e d u c a t i o n a l p r a c t i s e s f r o m m e t a p h y s i c a l , e p i s t e m o l o g i c a l o r a x i o l o g i c a l p r e m i s e s . What i s b e i n g c o n s i d e r e d h e r e i s a l o o s e r n o t i o n , t h a t o f c o n d i t i o n s f o r r a t i o n a l a c t i o n . A r e f l e c t i v e p r a c t i t i o n e r n e e d s g o o d r e a s o n s f o r what he d o e s . T h i s 14 l o o s e r n o t i o n means t h a t o t h e r t h e o r e t i c a l v i e w s may a l s o be c o n s i s t e n t w i t h c e r t a i n p r a c t i s e s a n d t h a t many e x i s t i n g p r a c t i s e s may be s o u n d . B u t what i s n e e d e d i s a c o n s i s t e n t p h i l o s o p h y t o p r o v i d e a s y s t e m a t i c t h e o r e t i c a l f o u n d a t i o n on w h i c h t o b u i l d i n n o v a t i o n i n p r a c t i s e . M e a n i n g f u l , a p p l i e d m a t h e m a t i c s , f a c i l i t a t e d b y t h e c o m p u t e r , f o r e x a m p l e , w o u l d be a p a r t o f most new p r o g r a m s . B u t t h e g r o u n d s f o r a n d s t r u c t u r e o f t h e p r o g r a m m i g h t be v e r y d i f f e r e n t d e p e n d i n g on t h e r e a s o n s b e h i n d t h e p r o g r a m . I n c h a p t e r I I , t h e w r i t e r w i l l d e s c r i b e two p a r t s o f P e r c e p t i v i s m t h a t b e a r on t h e p r o b l e m o f how t o u s e t h e c o m p u t e r t o i m p r o v e t h e m e a n i n g f u l n e s s a n d a p p l i c a b i l i t y o f s e c o n d a r y m a t h e m a t i c s . The two p a r t s o f t h e t h e o r y c o n c e r n an o r i e n t a t i o n t o t h e w o r l d a n d an o r i e n t a t i o n t o what i t means t o be e d u c a t e d . T h i s t h e o r e t i c a l f o u n d a t i o n w i l l t h e n be u s e d t o g e n e r a t e s u g g e s t i o n s as t o what t o do w i t h t h e f r e e d o m f r o m c a l c u l a t i o n t h a t t h e m a t h e m a t i c a l u s e o f t h e c o m p u t e r g i v e s . CHAPTER II A BRIEF DESCRIPTION OF A PART OF PERCEPTIVISM As a t h e o r y o f e d u c a t i o n , P e r c e p t i v i s m h a s t h r e e m a j o r p a r t s ; an o r i e n t a t i o n t o t h e w o r l d , an o r i e n t a t i o n t o b e i n g e d u c a t e d . a n d a m o r a l a n d s o c i a l t h e o r y . C h a p t e r I I d e s c r i b e s t h e f i r s t t wo p a r t s i n s o f a r a s t h e y m i g h t b e a r on t h e m a t h e m a t i c a l u s e s o f t h e c o m p u t e r . Orientation to the world P e r c e p t i v i s m i s b e i n g d e v e l o p e d a t t h e U n i v e r s i t y o f B r i t i s h C o l u m b i a b y D r . C . J . B r a u n e r . B r a u n e r ' s p h i l o s o p h y r e s t s on a c e r t a i n o r i e n t a t i o n t o t h e w o r l d . A c c o r d i n g t o B r a u n e r (1985) a n y t h i n g t h a t e x i s t s g i v e s o f f i m p u l s e s . T h e s e i m p u l s e s c o n t a i n i n f o r m a t i o n o r d a t a . C o n s t e l l a t i o n s o r p a c k a g e s o f t h e s e i m p u l s e s , t h a t i m p i n g e on an o r g a n i s m , c a n be r e c e i v e d as s i g n a l s . Any a n d a l l s i g n a l s r e c e i v e d g e n e r a t e i m p r e s s i o n s . Some i m p r e s s i o n s a r e l e f t u n n o t i c e d , o t h e r s a r e a t t e n d e d t o . P r i v a t e s u b j e c t i v e p a c k a g i n g o f i m p r e s s i o n s c a n g i v e r i s e t o n o t i o n s , i n d i v i d u a l i s t i c ways o f " s e e i n g t h i n g s " . S u c h f o r m u l a e f o r p a c k a g i n g i m p r e s s i o n s , i f t h e y e v e r a c h i e v e w i d e s p r e a d p u b l i c u s a g e c a n become c o n c e p t s . A c o n c e p t f o r B r a u n e r , 16 i s a p u b l i c f o r m u l a f o r f o c u s i n g a t t e n t i o n on a l i m i t e d number o f c h a r a c t e r i s t i c s o f t h e e n t i t y u n d e r c o n s i d e r a t i o n . ( B r a u n e r , 1986, p.17) By u s i n g p u b l i c l y a v a i l a b l e p a c k a g i n g f o r m u l a e l a n g u a g e u s e r s c a n c o m m u n i c a t e a n d " s e e t h i n g s " i n s i m i l a r ways. I n f a c t t h e c o n c e p t s s h a p e t h e p e r c e p t i o n . The c o n c e p t s o f o r d i n a r y l a n g u a g e a r e t h e i n s t r u m e n t s b y w h i c h a s p e c t s o f e x p e r i e n c e b o t h r e a l a n d i m a g i n e d a r e s i n g l e d o u t a n d i m b u e d w i t h s i g n i f i c a n c e . I n a m a t u r e l a n g u a g e s e t t i n g c o n c e p t s g e n e r a t e p e r c e p t i o n . ( B r a u n e r , 1986, p. 16) I n B r a u n e r ' s v i e w , human p e r c e p t i o n i s a p r o c e s s o f a p e r s o n s e l e c t i v e l y a t t e n d i n g t o t h e i m p u l s e s r e c e i v e d . C o n c e p t s , b e i n g p u b l i c l y a v a i l a b l e a n d u s u a l l y w i d e l y t e s t e d , a r e u s u a l l y b e n e f i c i a l ways o f p a c k a g i n g i m p r e s s i o n s . W i t h o u t t h e s t a b i l i t y o f c o n c e p t s t h e w o r l d w o u l d be c h a o t i c . T h i s a u t h o r h a s o b t a i n e d B r a u n e r ' s a g r e e m e n t t h a t t h e l a t t e r ' s v i e w s i n t h i s r e g a r d a r e s i m i l a r t o C a s s i r e r ' s . The c o n s t r u c t i o n o f o u r p e r c e p t i v e w o r l d b e g i n s w i t h s u c h a c t s o f d i v i d i n g up t h e e v e r - f l o w i n g s e r i e s o f s e n s u o u s phenomena. I n t h e m i d s t o f t h i s s t e a d y f l u x o f phenomena t h e r e a r e r e t a i n e d c e r t a i n d e t e r m i n a t e ( p e r c e p t i v e ) u n i t s w h i c h , f r o m now on, s e r v e as f i x e d c e n t e r s o f o r i e n t a t i o n . The p a r t i c u l a r phenomenon c o u l d n o t h a v e any 17 c h a r a c t e r i s t i c m e a n i n g e x c e p t i f t h u s r e f e r r e d t o t h o s e c e n t e r s . A l l f u r t h e r p r o g r e s s o f o b j e c t i v e k n o w l e d g e , a l l c l a r i f i c a t i o n a n d d e t e r m i n a t i o n o f o u r p e r c e p t i v e w o r l d d e p e n d s upon t h i s e v e r p r o g r e s s i n g d e v e l o p m e n t . ( C a s s i r e r , 1923, p.165) The f i x e d c e n t e r s o f o r i e n t a t i o n a r e c o n c e p t s a n d c o n c e p t u a l s y s t e m s . T h e s e f i x e d c e n t e r s make p e r c e p t i o n p o s s i b l e . B r a u n e r c l a i m s t h a t C o n c e p t s , n o t i o n s a n d d i s p o s i t i o n s a r e t h e p r i m e i n s t r u m e n t s f o r s e n s i t i z i n g p e o p l e t o p a r t i c u l a r c o n s t e l l a t i o n s o f i m p r e s s i o n s i n t h e i r p h y s i c a l , s o c i a l , m e n t a l o r m o r a l s u r r o u n d i n g s . ( B r a u n e r , 1986, p.11) I t i s o n l y t h r o u g h t h e d e v e l o p m e n t a n d u s e o f t h e b e s t c o n c e p t u a l r e p e r t o i r e a v a i l a b l e t h a t an i n d i v i d u a l c a n be m e a n i n g f u l l y c a l l e d e d u c a t e d (as o p p o s e d t o s c h o o l e d ) . The t h e o r e t i c a l s t r u c t u r e s u s e d b y t h e i n d i v i d u a l d e t e r m i n e what he s e e s a n d how he u n d e r s t a n d s . B r a u n e r i s i n a g r e e m e n t w i t h C a s s i r e r . T h e r e i s no f a c t u a l i t y ... as an a b s o l u t e ... i m m u t a b l e datum; b u t what we c a l l a f a c t i s a l w a y s t h e o r e t i c a l l y o r i e n t e d i n some way, s e e n i n r e g a r d t o some ... c o n t e x t a n d i m p l i c i t l y d e t e r m i n e d t h e r e b y . T h e o r e t i c a l e l e m e n t s do n o t somehow become a d d e d t o a " m e r e l y f a c t u a l , " b u t t h e y e n t e r i n t o t h e d e f i n i t i o n o f t h e f a c t u a l i t s e l f . ( C a s s i r e r , 1923, p.475) 18 The w o r l d becomes " k n o w a b l e " o n l y t h r o u g h t h e m e d i a t i o n o f s e n s o r y a n d c o n c e p t u a l e q u i p m e n t . The u n e d u c a t e d a r e l i t e r a l l y b l i n d t o c e r t a i n f e a t u r e s o f t h e w o r l d b e c a u s e t h e y l a c k c e r t a i n b a s i c modes o f p e r c e p t i o n . B r a u n e r seems t o be i n s u b s t a n t i a l a g r e e m e n t w i t h J.M. J a u c h . When we t r y t o u n d e r s t a n d n a t u r e , we s h o u l d l o o k a t t h e phenomena as i f t h e y w e re m e s s a g e s t o be u n d e r s t o o d . E x c e p t t h a t e a c h m e s s a g e a p p e a r s t o be random u n t i l we e s t a b l i s h a c o d e t o r e a d i t . T h i s c o d e t a k e s t h e f o r m o f an a b s t r a c t i o n , t h a t i s , we c h o o s e t o i g n o r e c e r t a i n t h i n g s as i r r e l e v a n t a n d we t h u s p a r t i a l l y s e l e c t t h e c o n t e n t o f t h e m essage by a f r e e c h o i c e . T h e s e i r r e l e v a n t s i g n a l s f o r m t h e " b a c k g r o u n d n o i s e " w h i c h w i l l l i m i t t h e a c c u r a c y o f o u r m e s s a g e . B u t s i n c e t h e c o d e i s n o t a b s o l u t e t h e r e may be s e v e r a l m e s s a g e s i n t h e same raw m a t e r i a l o f t h e d a t a , s o c h a n g i n g t h e c o d e w i l l r e s u l t i n a m essage o f e q u a l l y d e e p s i g n i f i c a n c e i n s o m e t h i n g t h a t was m e r e l y n o i s e b e f o r e a n d c o n v e r s e l y : i n a new c o d e a f o r m e r m essage may be d e v o i d o f m e a n i n g . Thus a c o d e p r e s u p p o s e s a f r e e c h o i c e among d i f f e r e n t , c o m p l e m e n t a r y a s p e c t s , e a c h o f w h i c h h a s e q u a l c l a i m t o r e a l i t y , i f I may u s e t h i s d u b i o u s w o r d . Some o f t h e s e a s p e c t s may be c o m p l e t e l y unknown t o us now b u t t h e y may r e v e a l t h e m s e l v e s t o a n o b s e r v e r w i t h a d i f f e r e n t s y s t e m o f a b s t r a c t i o n s . ( J a u c h , 1973, p.237) I n F i g u r e 1, t h e w r i t e r o f f e r s a v i s u a l summary o f P e r c e p t i v i s m ' s o r i e n t a t i o n t o t h e w o r l d . The w r i t e r ' s v i e w o f m a t h e m a t i c s , a v e r s i o n o f m a t h e m a t i c a l r e a l i s m , X energy I input SENSOR(S) rt O rt O n I—' a g sensing and relayin1 process • i I photons, chemicals pressures, heat, sound etc. interface with organism l-There is a tendency to perceive (a) What has been perceived in the past (b) What fits into a subject-field pattern j (c)What is in agreement with others , (d)What is important to the subject '-Errors seem to be unavoidable in the process .-Only parts of reality are relayed by "g" HETR PROCESSOR (wisdom). PROCESSOR (knowing) ft perception of reality depends on the interaction subject, object r energy **J gi selected physical and logical elements of the input are coded and relayed on. hi p«rttf*'»« 1: understanding takes place, input compared to stored patterns and models-response signal possible jt analysis, evaluation, speculation, synthesis-reflection on accumulated thought and experience 20 i m p l i c i t i n t h e f i g u r e i s e l a b o r a t e d i n t h e A p p e n d i x . I n F i g u r e 1, s u b s t a n c e Y g i v e s o f f i m p u l s e s w h i c h a r e r e c e i v e d a s s i g n a l s . S i g n a l s c a n b e p a c k a g e d a s i m p r e s s i o n s . The c e n t r a l o c t a g o n c o n s i s t s o f p r i v a t e d i s p o s i t i o n s ( i m p r e s s i o n s , n o t i o n s ) a n d o f p u b l i c f o r m u l a e ( c o n c e p t s , t h e o r i e s ) . C o n c e p t s c a n b u i l d t o g e t h e r t o f o r m a c o n c e p t u a l s y s t e m . Orientation to being educated A c o n c e p t u a l s y s t e m g e n e r a t e s a mode o f p e r c e p t i o n b y s e t t i n g o u t c o n d i t i o n s o f c h o i c e a n d g r o u p i n g a n d s o we p a r t i a l l y s e l e c t t h e c o n t e n t o f t h e m e s s a g e . I r r e l e v a n t s i g n a l s f o r m j u s t " b a c k g r o u n d n o i s e " . I m p r e s s i o n s o f e v e n t s a r e f o r m e d a n d p e r c e p t i o n s g e n e r a t e d i n t h e i n t e r a c t i o n o f t h e s y s t e m o f i n t e r p r e t a t i o n a n d t h e s i g n a l s . I n d i v i d u a l s d e v e l o p d i s p o s i t i o n s t o p e r c e i v e i n d i f f e r e n t ways a n d s o come t o h a v e p r i v a t e n o t i o n s o f t h e way t h e w o r l d i s . I f t h e s e n o t i o n s a r e r e c o g n i z a b l e a s p a r t o f t h e p u b l i c l y v e r i f i a b l e c o n c e p t u a l r e p e r t o i r e t h e i n d i v i d u a l h a s c e r t a i n c o n c e p t s . P e r c e p t i o n p r e s u p p o s e s a r e l a t i v e l y f r e e , b u t c u l t u r a l l y d e l i m i t e d , c h o i c e among d i f f e r e n t c o m p l e m e n t a r y modes o f p e r c e p t i o n . P e r c e i v e r s h a v e t h e 21 c a p a c i t y t o s e e t h i n g s i n a number o f f u n d a m e n t a l l y d i f f e r e n t w ays. I n o r d e r t o be c o n s i d e r e d e d u c a t e d , a p e r s o n must be e q u i p p e d w i t h t h e c o n c e p t u a l w o r l d - b u i l d e r s o f t h e c u l t u r e . B r a u n e r c l a i m s : P e r c e p t i v i s m i s b u i l t a r o u n d t h e i d e a t h a t t h e e d u c a t e d p e r s o n h a s a g r e a t e r command o f more w o r t h w h i l e ways o f p e r c e i v i n g t h i n g s t h a n someone who h a s n o t h a d t h e o p p o r t u n i t y t o g e t an e d u c a t i o n . Hence t h e p u r p o s e o f e d u c a t i o n i s t o e q u i p t h e l e a r n e r w i t h t h e c a p a c i t y t o p e r c e i v e t h i n g s i n t h e d i f f e r e n t ways t h a t t h e most w o r t h w h i l e a p p r o a c h e s t o u n d e r s t a n d i n g p r o v i d e . ( B r a u n e r , 1988, p.2) B r a u n e r h a s i d e n t i f i e d n i n e b a s i c modes o f p e r c e p t i o n . (a) The f i r s t b a s i c mode o f p e r c e p t i o n i s s t a n d a r d p e r c e p t i o n . By u s i n g t h e most w i d e l y a c c e p t e d a n d j u s t i f i e d c o n c e p t s , p r i n c i p l e s a n d t h e o r i e s o f o r d i n a r y l a n g u a g e s t a n d a r d p e r c e p t i o n i s g e n e r a t e d , f o r e x a m p l e , r e c o g n i z i n g a t a b l e , s e e i n g p o l i t e n e s s i n o t h e r s . (b) The s e c o n d mode i s m y t h i c p e r c e p t i o n . By d r a w i n g on r e l i g i o n , f o l k l o r e a n d m y t h o l o g y , t h e i m a g e s a n d e l e m e n t s d e p i c t e d g e n e r a t e m y t h i c p e r c e p t i o n , f o r e x a m p l e , Wayne G r e t z k y a s h e r o , M i c k J a g g e r as a d o l e s c e n t s e x s y m b o l , Rambo as l a w a n d o r d e r man. (c) The t h i r d mode i s t h e o r e t i c p e r c e p t i o n . The a r e a s o f t h e p h y s i c a l s c i e n c e s s u c h as p h y s i c s , c h e m i s t r y a n d b i o l o g y g e n e r a t e t h e o r i e s o f s u c h power t h a t t h o s e who u n d e r s t a n d t h e m a c h i e v e t h e o r e t i c p e r c e p t i o n . F o r e x a m p l e , w a t e r b o i l i n g i s t h e e s c a p e o f h i g h k i n e t i c e n e r g y p a r t i c l e s , s u n s e t i s t h e E a r t h r o t a t i n g a r o u n d t o o b s c u r e y o u r v i e w o f t h e Sun. (d) The f o u r t h mode i s t h e m a t i c p e r c e p t i o n . F i e l d s s u c h as p h i l o s o p h y , h i s t o r y a n d c l a s s i c a l s t u d i e s , o f t e n g r o u p e d a s t h e h u m a n i t i e s , d e v e l o p t h e i r a c c o u n t s t h r o u g h m a j o r t h e m e s . The themes a r e u n v e r i f i a b l e , u n f a l s i f i a b l e b u t y e t n o t t o t a l l y a r b i t r a r y p o i n t s o f v i e w t h a t t h e n s e r v e a s a b a s i s f o r t h e m a t i c p e r c e p t i o n , f o r e x a m p l e , t h e M a r x i s t t h e o r y o f s u r p l u s v a l u e w h i c h makes i t p o s s i b l e t o s e e b u s i n e s s a s e x p l o i t a t i o n o f t h e w o r k e r , V e b l e n ' s theme o f c o n s p i c u o u s c o n s u m p t i o n w h i c h shows up H a w a i i a n s u n t a n s i n B.C.'s w i n t e r a s o s t e n t a t i o n , (e) The f i f t h mode i s t h e s i s t i c p e r c e p t i o n . D i s c i p l i n e s s u c h as p s y c h o l o g y , s o c i o l o g y , g e o g r a p h y , l a w , p o l i t i c a l s c i e n c e , e c o n o m i c s , e d u c a t i o n , s o m e t i m e s r e f e r r e d t o c o l l e c t i v e l y as t h e s o c i a l s c i e n c e s , s h a p e p e r c e p t i o n t h r o u g h t h e u s e o f q u a s i - q u a n t i t a t i v e , p a r t i a l l y v e r i f i a b l e t h e s e s . F o r e x a m p l e , F r e u d ' s t h e o r y o f t h e u n c o n s c i o u s makes dreams v i e w a b l e a s t h e e x p r e s s i o n o f r e p r e s s e d t h o u g h t s . K e y n e s t h e o r y o f e c o n o m i c e q u i l i b r i u m u s e s t h e a n a l o g y o f an e n g i n e t o be t u n e d , s o m e t i m e s g i v i n g more f u e l t o i n c r e a s e t h e R.P.M. a n d s o m e t i m e s l e s s t o d e c r e a s e t h e R.P.M., i n o r d e r t o e x p l a i n t h e b u s i n e s s c y c l e . ( f ) The s i x t h mode i s r e l a t i o n a l p e r c e p t i o n . D i s c i p l i n e s s u c h a s l o g i c a n d m a t h e m a t i c s p r o v i d e t h e c o n c e p t u a l m a c h i n e r y n e e d e d t o a l l o w f o r m a l u n d e r s t a n d i n g a n d t h e p e r c e p t i o n o f a b s t r a c t f o r m , f o r e x a m p l e , s e e i n g c h a n g e as f u n c t i o n a l v a r i a t i o n , r e c o g n i z i n g a r e d u c t i o a d a b s u r d u m i n c o n v e r s a t i o n . (g) The s e v e n t h mode i s p r i m a r y p e r c e p t i o n . The d i s c u r s i v e a r t s s u c h as l i t e r a t u r e , p o e t r y a n d t h e a t r e , u s e w o r d s t o c r e a t e t h e most f a r r e a c h i n g p o r t r a i t s o f human e x p e r i e n c e , f o r e x a m p l e , P a u l S c o t t ' s c o n c e p t i o n o f i m p e r i a l i s m i n r e t r e a t i n The R a j Q u a r t e t , M e l v i l l e ' s d e p i c t i o n o f New E n g l a n d P u r i t a n i s m i n i t s r e l a t i o n t o l i f e i n Moby D i c k . (h) The e i g h t h mode i s p r i m a l p e r c e p t i o n . The n o n d i s c u r s i v e a r t s s u c h as d a n c e , m u s i c , p a i n t i n g a n d s c u l p t u r e p r o v i d e t h e f o r m s w h i c h a l l o w t h e r e n e w e d , p r i m a l p e r c e p t i o n o f a p p e a r a n c e , f o r e x a m p l e , a Van Gogh s t a r r y s k y , a P i c a s s o f a c e . ( i ) The n i n t h mode i s o p e r a t i o n a l p e r c e p t i o n . T h r o u g h t h e u s e o f t e c h n i c a l c o n c e p t s i t becomes p o s s i b l e t o s e e how m e c h a n i s m s work, how t o make new o n e s , how t o f i x o l d o n e s , f o r 24 e x a m p l e , how t o f i x a c a r b u r e t o r a n d how t o r e p a i r a f l a t t i r e . T a b l e 1 i s B r a u n e r ' s summary o f t h e n i n e modes o f p e r c e p t i o n . F o r e a c h mode o f p e r c e p t i o n t h e s o u r c e s and t y p e s o f c o n c e p t s u s e d a r e g i v e n . T h e s e c o n c e p t s g e n e r a t e a c e r t a i n t y p e o f p e r c e p t i o n . B r a u n e r i n c l u d e s an e x a m p l e o f e a c h t y p e o f p e r c e p t i o n . M a t h e m a t i c s i s p a r t o f r e l a t i o n a l p e r c e p t i o n . The r e l a t i o n a l p r o p o s i t i o n s t o w h i c h B r a u n e r r e f e r s a r e t h e a x i o m s , t h e o r e m s a n d p r o o f s o f t h e v a r i o u s b r a n c h e s o f m a t h e m a t i c s ( a r i t h m e t i c , a l g e b r a , g e o m e t r y , a n a l y s i s , p r o b a b i l i t y a n d s t a t i s t i c s ) . An e x a m p l e o f r e l a t i o n a l p e r c e p t i o n m i g h t be t o s e e a m a t h e m a t i c a l f u n c t i o n i n a s e t o f c o l l e c t e d , raw d a t a o r t o s e e a n a l g e b r a i c e q u a t i o n i n a p r o b l e m e x p r e s s e d i n o r d i n a r y l a n g u a g e . A c q u i r i n g t h e m a t h e m a t i c a l mode o f p e r c e p t i o n o p e n s up f o r t h e l e a r n e r a new way o f s e e i n g t h e w o r l d a n d p r o m o t e s a g e n u i n e u n d e r s t a n d i n g o f a t r a d i t i o n a l l y o b s c u r e d i s c i p l i n e . M o r r i s K l i n e ' s r e m a r k s h e r e a r e most r e l e v a n t . The m e a n i n g a n d p u r p o s e o f a l m o s t a l l o f m a t h e m a t i c s do n o t l i e i n t h e s e r i e s o f l o g i c a l l y r e l a t e d c o l l e c t i o n s o f s y m b o l s b u t i n what t h e s e c o l l e c t i o n s h a v e t o t e l l u s a b o u t o u r w o r l d . ( K l i n e , 1953, p.15) 2 5 Table 1 B r a u n e r ' s o u t l i n e o f t h e ( n i n e ) modes o f p e r c e p t i o n . ( B r a u n e r , 1986, p.13) f'1 til : s a _ i i i i B1 I I ;|J_ t i l i i i l l i l l si IJtlJl i 3 -I «B C ^ i i l si fUli 11 s a 1 1 1 III . S i i-a.f ii UJ 3c i l l S 5 u . i l l l l l n .1 S i i i : 8-2._ J i l l ! _ _ Z O C O LU X <3 Q. - J U l CO 2 6 Education rooted i n perception The central idea of concepts generating perception creates an image of the learner not as a blank sheet to be trained i n stimulus response patterns but as a r a t i o n a l , emerging perceiver, a c t i v e l y engaged i n managing various conceptual systems. The higher l e v e l cognitive tasks undertaken i n education take place i n a conceptual ecosystem with various possible perceptions competing for acceptance. A conceptual s u r v i v a l of the f i t t e s t determines which perceptions survive and bear f r u i t and which wither on the vine. Learning i s not just a matter of making the correct response but of balancing and s e l e c t i n g from possible conceptual al t e r n a t i v e s . Perceptivism aims at developing r a t i o n a l i t y , a preparedness to respond to novelty with open, but not empty, minds. The world i s always novel. The student must be prepared to use e x i s t i n g knowledge to respond i n informed ways to new problems of l i f e . The goal of education then i s not simple mastery of facts or concepts but f a c i l i t y i n applying knowledge to understand the world. Brauner states: Instead of teaching i t [curriculum] for concept mastery alone and thereby l i m i t i n g i t to the top twenty percent i n academic a b i l i t y , an important change has been 27 i n t r o d u c e d . P e r c e p t i v i s m i n i t i a t e s t h e s e a r c h f o r c o n t e n t on t h e b a s i s o f t h e p e r c e p t i o n t h a t i s d e s i r e d a n d t h e n i n s i s t s t h a t t h e c o n c e p t s n e e d e d t o p r o d u c e i t a r e t a u g h t i n s u c h a way t h a t t h e l e a r n e r a c t u a l l y a c h i e v e s t h e s o u g h t f o r p e r c e p t i o n . ( B r a u n e r , 1987, p.27) B r a u n e r c l a i m s t h a t t h e m a j o r i t y o f s e c o n d a r y s c h o o l s t u d e n t s f i n d c o n c e p t m a s t e r y t o o a b s t r a c t . I n m a t h e m a t i c s e s p e c i a l l y t h e n , t h e m e a n i n g f u l n e s s a n d a p p l i c a b i l i t y o f t h e l e a r n i n g w i l l be m i n i m a l b e c a u s e t h e b e s t t h e s t u d e n t s c a n do i s t o p e r f o r m t h e r i t u a l s b y r o t e , w i t h o u t r e a l l y u n d e r s t a n d i n g . By b a s i n g c u r r i c u l u m a n d i n s t r u c t i o n on p e r c e p t i o n t h e p r o b l e m c a n be a t t e n u a t e d . -- — The way t o make t e a c h i n g l e s s a b s t r a c t , w h i l e p r e s e r v i n g t h e i n t e g r i t y o f t h e c o n c e p t s i n v o l v e d , i s t o make s u r e t h a t t h e s t u d e n t h a s t h e a c t u a l p e r c e p t i o n t h a t t h e c o n c e p t s f o s t e r s . I n d e e d h a v i n g t h e r e l e v a n t p e r c e p t i o n i s s o i m p o r t a n t i f t h e r a n g e a n d e f f e c t i v e n e s s o f a c a d e m i c t e a c h i n g a r e t o be e x t e n d e d t o t h e e n t i r e s t u d e n t b o d y , P e r c e p t i v i s m w o u l d r e c o n s t r u c t t h e e n t i r e c u r r i c u l u m a r o u n d p r e f e r r e d p e r c e p t i o n s . ( B r a u n e r , 1987, pp.12-13) P e r c e p t i v i s m t r i e s t o b a l a n c e t h e n e e d t o r e s p e c t t h e i n d i v i d u a l i n t e r e s t s a n d u n d e r s t a n d i n g s o f t h e s t u d e n t w i t h t h e n e e d t o e x p a n d u n d e r s t a n d i n g b y d e v e l o p i n g t h e p u b l i c l y a v a i l a b l e modes o f p e r c e p t i o n . R e l y i n g on t h e s p o n t a n e o u s i n t e r e s t s a n d a b i l i t i e s o f t h e s t u d e n t i s 28 b l i n d , i t l e a v e s t h e s t u d e n t u n e d u c a t e d , unempowered. F o c u s i n g on c o n c e p t m a s t e r y w i t h o u t r e s p e c t i n g t h e i n t e r e s t s a n d a b i l i t i e s o f t h e l e a r n e r i s empty b e c a u s e t h e c o n c e p t s w i t h e r on t h e v i n e , when u n u s e d , a n d u n r e l a t e d t o t h e e x p e r i e n c e o f t h e l e a r n e r . What h a s p r e v i o u s l y made t h e b a l a n c e s o d i f f i c u l t t o a c h i e v e i n m a t h e m a t i c s e d u c a t i o n was t h e a s s u m e d l e n g t h y i n v o l v e m e n t i n t e c h n i c a l c a l c u l a t i o n , w i t h many s t u d e n t s n e v e r e m e r g i n g f r o m t h e c o m p u t a t i o n a l j u n g l e . The c o m p u t e r makes t h e b a l a n c e a d v o c a t e d by P e r c e p t i v i s m more a t t a i n a b l e . One o f t h e m o t i v a t i o n s f o r w r i t i n g t h i s t h e s i s i s t o p r o v i d e an a n t i d o t e t o t h e c u r r e n t e d u c a t i o n a l t r e n d t o w a r d n a r r o w , p e d a n t i c , a c a d e m i c s p e c i a l i z a t i o n . I n e d u c a t i o n t h i s r e s u l t s i n a f r a g m e n t e d a p p r o a c h t o k n o w l e d g e . P e r c e p t i v i s m i s h e l p f u l i n a d d r e s s i n g t h e f o l l o w i n g i s s u e s : ( i ) i n f o r m a t i o n o r g a n i z a t i o n , b y d i s c u s s i n g modes o f p e r c e p t i o n t h a t i n t e r a c t t o i n t e r p r e t e x p e r i e n c e , a n d s o t o s h a p e a c t i o n ( T a b l e 1 ) . ( i i ) k n o w l e d g e s y n t h e s i s , by d i s c u s s i n g r e l a t i o n s h i p s o f b o d i e s o f k n o w l e d g e , t h a t k n o w l e d g e be n o t j u s t a g r a b b a g o f i s o l a t e d f a c t s b u t a r e l e v a n t s y s t e m o f i n f o r m a t i o n t h a t i n f o r m s l i f e . 29 ( i i i ) a p p l i c a t i o n o f k n o w l e d g e , b y s t r e s s i n g t h e o r g a n i z a t i o n o f k n o w l e d g e f o r u s e i . e . f o r p e r c e p t i o n . T h i s b r i n g s k n o w l e d g e o u t o f p a s s i v e r e t e n t i o n a n d i n t o u s e ( F i g u r e 1 ) . ( i v ) u s i n g k n o w l e d g e t o b r i n g a b o u t an i n f o r m e d , r a t i o n a l v i e w o f s e l f a n d w o r l d . T h i s r a t i o n a l i t y i s b a s e d n o t on i n t e n s i v e , e x c l u s i v e a b s o r p t i o n w i t h one a s p e c t o f human k n o w l e d g e b u t an e x t e n s i v e , i n c l u s i v e r e p e r t o i r e o f p e r c e p t u a l p o s s i b i l i t i e s a n d t h e i r i n t e r a c t i o n . Ways of seeing A c c o r d i n g t o P e r c e p t i v i s m , p e r c e p t i o n i s m e d i a t e d by ( n i n e ) b a s i c c o n c e p t u a l s c h e m e s . The schemes make p o s s i b l e d i f f e r e n t ways o f s e e i n g t h e w o r l d . The schemes f o r m a c o n c e p t u a l e c o s y s t e m w i t h a l l t h e a n a l o g o u s i n t e r a c t i o n s o f a b i o l o g i c a l e c o s y s t e m . H i g h e r l e a r n i n g a n d t h e c o n s t r u c t i o n o f m e a n i n g t a k e p l a c e i n a d y n a m i c p e r c e p t u a l e n v i r o n m e n t , c h a r a c t e r i z e d b y c o n c e p t u a l c o n f l i c t , c o m p e t i t i o n a n d c o m p l e t i o n . What d o e s i t mean t o p e r c e i v e t h e w o r l d i n d i f f e r e n t ways? I s t h i s p o s s i b l e ? P e r c e p t i v i s m c l a i m s i t i s . The f o l l o w i n g e x a m p l e s a r e o f f e r e d t o r e n d e r t h e s u g g e s t i o n - p l a u s i b l e . What i s a s u n s e t ? Common s e n s e h a s i t t h a t t h e Sun d r o p s i n t h e s k y a n d d i s a p p e a r s b e l o w t h e h o r i z o n . B u t s c i e n c e t e l l s u s t h a t a s u n s e t i s t h e E a r t h , w i t h t h e o b s e r v e r a t t a c h e d , r o t a t i n g a r o u n d t o . o b s c u r e t h e o b s e r v e r ' s v i e w o f t h e Sun. T h i s i s t h e same e v e n t p e r c e i v e d i n d i f f e r e n t ways, t h e l a t t e r b e i n g a n o n s t a n d a r d p e r c e p t i o n . The moon, i s i t a p e r f e c t s p h e r i c a l s m o o t h h e a v e n l y g l o b e o r a p l a n e t a r y r o c k - l i k e b o d y ? The u s e o f t h e t e l e s c o p e shows t h e moon t o be m o u n t a i n o u s a n d c r a t e r e d a n d n o t a p e r f e c t h e a v e n l y g l o b e a s i t m i g h t be more r o m a n t i c a l l y p e r c e i v e d u s i n g t h e n a k e d e y e . The c o n t r o v e r s y s u r r o u n d i n g G a l i l e o ' s i n i t i a l o b s e r v a t i o n s u s i n g t h e t e l e s c o p e a t t e s t t o t h e s o c i a l t u r m o i l new p e r c e p t i o n s c a n i n i t i a t e . M e d i e v a l a r t d e p i c t e d man w i t h o u t p h y s i o l o g i c a l d e t a i l . Da V i n c i a n d M i c h e l a n g e l o p a i n t e d w i t h a t t e n t i o n t o s u c h d e t a i l . W h e t h e r t h e human b o d y i s l o o k e d a t o n l y on t h e s u r f a c e o r a l s o a t t h e l e v e l o f " t h e b o n e b e n e a t h t h e s k i n " g e n e r a t e s t h e d i f f e r e n c e s i n t h e human b o d y as p e r c e i v e d i n G i o t t o ' s L a m e n t a t i o n o v e r C h r i s t a s o p p o s e d t o M i c h e l a n g e l o ' s C r e a t i o n o f Man. 31 4. What i s a t a b l e ? I t a p p e a r s i n i t i a l l y t o be a s t a b l e , i m p e n e t r a b l e o b j e c t . B u t zoom i n on t h e s u r f a c e o f t h e t a b l e w i t h an e l e c t r o n m i c r o s c o p e a n d i t i s m o s t l y empty s p a c e w i t h some atoms s p r e a d o u t - a t r e g u l a r i n t e r v a l s . The e l e c t r o n m i c r o s c o p e makes p o s s i b l e t h e a c h i e v e m e n t o f a n o n s t a n d a r d p e r c e p t i o n o f t h e t a b l e . 5. R a t h e r t h a n l o o k i n g a t t h e o b j e c t s i n t h e s k y a t n i g h t , l o o k a t t h e l i g h t i n t h e s k y . See i t r e f l e c t i n g , b l u r r i n g , d i f f u s i n g . See t h e d a r k n e s s n e x t t o t h e l i g h t . The v a n Gogh " s t a r r y s k y " i s p e r c e i v a b l e . T h i s i s a d i f f e r e n t p e r c e p t i o n o f a commonly o b s e r v e d phenomena. E a c h o f t h e e x a m p l e s one t o f i v e show how t o p a y a t t e n t i o n t o a n d p a c k a g e s i g n a l s a n d i m p r e s s i o n s i n d i f f e r e n t ways u s i n g c o n c e p t s . T h i s t h e o r e t i c a l p r i n c i p l e i s a c o r n e r s t o n e o f P e r c e p t i v i s m ' s v i e w o f b e i n g e d u c a t e d . L e t t h e w r i t e r s u m m a r i z e w i t h an a n a l o g y . T h i s a n a l o g y i s w i t h r e f e r e n c e t o t h e H o f s t a d t e r (1979) d i a g r a m ( F i g u r e 2) . We c a n n o t p e r c e i v e r e a l i t y d i r e c t l y , u n m e d i a t e d b y s e l e c t i o n a n d p r o c e s s i n g . We c a n o n l y p e r c e i v e p r o j e c t i o n s o f r e a l i t y , e a c h o f w h i c h c o n t a i n o n l y p a r t i a l i n f o r m a t i o n . I t i s as i f we c a n 32 F i g u r e 2. H o f s t a d t e r ' s d e p i c t i o n o f C o m p l e m e n t a r i t y : s e e i n g i n d i f f e r e n t ways ( H o f s t a d t e r , 1979, p . l ) 33 o n l y s e e t h e w a l l s on H o f s t a d t e r ' s p h o t o g r a p h , w h i l e r e a l i t y r e m a i n s t h e d i r e c t l y u n p e r c e i v a b l e g e n e r a t o r o f t h e p r o j e c t i o n s . O n l y b y p a y i n g a t t e n t i o n t o a l l t h e i n f o r m a t i o n c o n t a i n e d i n t h e v a r i o u s p r o j e c t i o n s , i s i t p o s s i b l e t o g e t an a d e q u a t e c o n c e p t i o n o f r e a l i t y . H e r b e r t F e i g l ' s comment s h o u l d be t a k e n s e r i o u s l y . T h e r e a r e n o t two d i f f e r e n t s o r t s o f r e a l i t y , b u t t h e r e a r e two ways o f p r o v i d i n g a c o n c e p t u a l f r a m e w o r k f o r i t s d e s c r i p t i o n . I n f a c t , a t l e a s t s o i t seems t o me, t h e r e a r e a g r e a t many " p e r s p e c t i v e s " o r f r a m e s - t h e e x t r e m e s b e i n g t h e p u r e l y e g o c e n t r i c as t h e " l o w e r l i m i t " a n d t h e c o m p l e t e l y p h y s i c a l a c c o u n t as t h e " u p p e r l i m i t " . I n b e t w e e n a r e t h e many h a l f w a y ( o r p a r t way) h o u s e s o f t h e p o s s i b l e m a n i f e s t i m a g e s . ( F e i g l , 1967, p. 145) T h e r e i s n o t h i n g m a g i c a l a b o u t s e v e n , e i g h t o r n i n e modes o f p e r c e p t i o n . P r o g r e s s d e p e n d s , i n p a r t , on t h e d e v e l o p m e n t o f more c o n c e p t u a l s c h e m e s . I n d e e d when t h e w r i t e r b e g a n w o r k i n g w i t h B r a u n e r i n S e p t e m b e r 1987, t h e l a t t e r w r o t e a b o u t s e v e n modes o f p e r c e p t i o n . He h a s a d d e d e x p l i c i t m e n t i o n o f two a d d i t i o n a l modes, t h e p r i m a l a n d t h e o p e r a t i o n a l . The p r i m a l c o n c e r n s n o n d i s c u r s i v e a r t s u c h as p a i n t i n g , s c u l p t u r e a n d m u s i c . The o p e r a t i o n a l was f i r s t b r o u g h t up i n d i s c u s s i o n i n J a n u a r y 1988. I t r e f l e c t s a mode o f p e r c e p t i o n , i m p o r t a n t a l w a y s , b u t e s p e c i a l l y s i n c e t h e 34 I n d u s t r i a l R e v o l u t i o n , r e f l e c t i n g a k n o w l e d g e o f t h e m e c h a n i s m s b y w h i c h t e c h n o l o g y w o r k s . I t d e p e n d s on an o p e r a t i o n a l a b s t r a c t i o n , f r o m e x p e r i e n c e , o f t h e w o r k i n g p r i n c i p l e s o f a p i e c e o f t e c h n o l o g y , s o c i a l o r p h y s i c a l ( e . g . how a c l o c k w o r k s , how t o f i x a b i c y c l e , what t o l o o k f o r when y o u r c a r d o e s n ' t work) . B u t t h e i m p o r t a n t m essage i n a l l o f t h i s i s n o t t h e number o f modes b u t t h e p r i n c i p l e o f t h e p l a s t i c i t y o f human u n d e r s t a n d i n g b e h i n d t h e s p e c i f i c s . Perceptivism and mathematics education I n a c o m p a c t f o r m , C h a p t e r I I was w r i t t e n t o s u m m a r i z e P e r c e p t i v i s m i n a s an a p p l i c a b l e f o r m as p o s s i b l e . S t u d e n t s c a n be e q u i p p e d w i t h t h e modes o f p e r c e p t i o n w h i c h w i l l a l l o w t h e m t o s e e t h e w o r l d t h e way an e d u c a t e d p e r s o n d o e s . The t r o u b l e , t r a d i t i o n a l l y , w i t h t h e r e a l i z a t i o n o f t h i s p r o g r a m i n m a t h e m a t i c s h a s b e e n c o m p u t a t i o n a l c o m p l e x i t y . The p e r s o n a l c o m p u t e r now l e s s e n s t h i s p r o b l e m a n d s o o p e n s up t h e p o s s i b i l i t y o f more r e l e v a n t , m e a n i n g f u l m a t h e m a t i c s f o r more s t u d e n t s . I t i s o n l y t h r o u g h t h e d e v e l o p m e n t a n d u s e o f t h e b e s t c o n c e p t u a l r e p e r t o i r e p o s s i b l e t h a t an i n d i v i d u a l c a n be m e a n i n g f u l l y c a l l e d e d u c a t e d (as o p p o s e d t o s c h o o l e d ) . The t h e o r e t i c a l s t r u c t u r e s u s e d b y t h e 35 i n d i v i d u a l d e t e r m i n e what i s s e e n a n d how i t i s s e e n . A m a t h e m a t i c s e d u c a t i o n t h a t s t o p s a t mere f a c t o r c o n c e p t m a s t e r y a n d d o e s n o t r e a c h t h e l e v e l o f p e r c e p t i o n i s j u s t s c h o o l i n g . A m a t h e m a t i c s e d u c a t i o n p r e o c c u p i e d w i t h i t s own l i t u r g y t h a t f a i l s t o l o c a t e i t s e l f w i t h i n t h e c o n c e p t u a l e c o l o g y o f i t s t i m e i s doomed t o i s o l a t i o n a n d i r r e l e v a n c e . A m a t h e m a t i c s e d u c a t i o n t h a t w a n t s t o s t r i v e t o w a r d s t h e g o a l s o f a p e r c e p t i v i s t e d u c a t i o n n e e d s t h e c o m p u t e r t o o v e r c o m e t h e c o m p u t a t i o n a l d i f f i c u l t i e s i n h e r e n t i n t h e r e q u i r e d a p p l i e d , c o n c e p t u a l , i n t e r d i s c i p l i n a r y a p p r o a c h t o m a t h e m a t i c s P e r c e p t i v i s m i m p l i e s . I t i s o n l y w i t h i n t h i s t y p e o f i n f o r m a t i o n age f r a m e w o r k t h a t we c a n r e s p o n d t o S t e e n ' s c h a l l e n g e . The p a r a d o x o f o u r t i m e s i s t h a t as m a t h e m a t i c s becomes i n c r e a s i n g l y p o w e r f u l , o n l y t h e p o w e r f u l seem t o b e n e f i t f r o m i t . The a b i l i t y t o t h i n k m a t h e m a t i c a l l y — b r o a d l y i n t e r p r e t e d — i s a b s o l u t e l y c r u c i a l t o a d v a n c e m e n t i n v i r t u a l l y e v e r y c a r e e r .... C o n f i d e n c e i n d e a l i n g w i t h d a t a , s k e p t i c i s m i n a n a l y z i n g a r g u m e n t s , p e r s i s t e n c e i n p e n e t r a t i n g c o m p l e x p r o b l e m s , a n d l i t e r a c y , i n c o m m u n i c a t i n g a b o u t t e c h n i c a l m a t t e r s — t h e s e a r e t h e e n a b l i n g a r t s o f f e r e d by t h e new m a t h e m a t i c a l s c i e n c e s . W h a t e v e r e l s e t h e MAA* may do i n t h e r e m a i n i n g y e a r s o f t h i s c e n t u r y , i t must work t o e n s u r e t h a t t h e s e "The M a t h e m a t i c a l A s s o c i a t i o n o f A m e r i c a 36 new l i b e r a t i n g , m a t h e m a t i c a l a r t s a r e made a v a i l a b l e t o a l l s t u d e n t s . ( S t e e n , 1987, p. 6) M a t h e m a t i c s must do b e t t e r b e c a u s e a m a t h e m a t i c a l e d u c a t i o n i s no l o n g e r a l u x u r y . I n an i n c r e a s i n g l y t e c h n o l o g i c a l , c o m p e t i t i v e w o r l d , q u a n t i t a t i v e , m a t h e m a t i c a l l i t e r a c y i s f a s t b e c o m i n g e s s e n t i a l . A n d t h e l u x u r y o f c a t e r i n g t o t h e a b i l i t i e s o f t e n t o t w e n t y p e r c e n t o f t h e p o p u l a t i o n i s g o n e . M o d e r n s o c i a l c o n d i t i o n s demand t h e r e t e n t i o n o f most o f t h e p o p u l a t i o n i n s c h o o l m a t h e m a t i c s f o r t w e l v e y e a r s . The t e c h n o l o g i c a l p r o g r e s s i n s o c i e t y a t l a r g e , i n t h e f o r m e s p e c i a l l y o f c a l c u l a t o r s a n d c o m p u t e r s i s p r o v i d i n g b o t h p r o b l e m s a n d h i n t s o f s o l u t i o n s . B u t w i t h o u t an o v e r a l l w o r k i n g p h i l o s o p h y we w i l l j u s t d r i f t l i k e a s h i p w i t h o u t a r u d d e r somehow t h i n k i n g t h e c o m p u t e r w i l l , o f i t s e l f , s o l v e o u r p r o b l e m s i n m a t h e m a t i c s e d u c a t i o n . \ 37 CHAPTER III A BRIEF DESCRIPTION. OF CONSTRUCTIVISM C o n s t r u c t i v i s m i s a t h e o r y o f k n o w l e d g e a c q u i s i t i o n . I t w o u l d a p p e a r t o be c o m p a t i b l e w i t h t h e p h i l o s o p h y o f e d u c a t i o n d e v e l o p e d b y B r a u n e r (1988) c a l l e d P e r c e p t i v i s m . B o t h o f t h e s e p e r s p e c t i v e s p r o v i d e a c o h e r e n t f r a m e w o r k f o r t h i s t h e s i s . T h i s c h a p t e r i s c o n c e r n e d w i t h t h r e e c e n t r a l c l a i m s o f most v e r s i o n s o f C o n s t r u c t i v i s m . The f i r s t c l a i m i s t h a t a l l k n o w l e d g e i s a c t i v e l y c o n s t r u c t e d r a t h e r t h a n p a s s i v e l y r e c e i v e d . The s e c o n d c l a i m i s t h a t a l l e x p e r i e n c e i s t h e o r y l a d e n s o t h a t p a s t e x p e r i e n c e a n d n o t i o n s , i n B r a u n e r ' s (1988) s e n s e , a r e i m p o r t a n t t o m e a n i n g f u l l e a r n i n g . The t h i r d c l a i m i s t h a t a l t e r n a t e c o n c e p t i o n s o f t h i n g s a r e e n d e m i c i n t h e c o n s t r u c t i o n o f m e a n i n g . An i n t e g r a l p a r t o f h i g h e r l e a r n i n g t h e n i s s o r t i n g o u t t h e t a n g l e o f c o n c e p t i o n s t h a t c o mpete f o r a t t e n t i o n . Knowledge i s a c t i v e l y constructed I t may be t e m p t i n g t o t h i n k o f t h e l e a r n e r as s o m e t h i n g o f a b l a n k s h e e t r e a d y t o be w r i t t e n o n . I f . a c l e a r p r e s e n t a t i o n o f new i d e a s i s g i v e n , w i t h p r a c t i s e a n d r e w a r d t o f o l l o w , l e a r n i n g seems p r o b a b l e . Somehow t h e r a t i o n a l a c t i v i t y o f t h e l e a r n e r i s l e f t 38 o u t . S i m p l i f i e d b e h a v i o r i s m seems t o i m p l y t h a t a s t i m u l u s - r e s p o n s e m o d e l w o r k s a n d t h a t g i v e n t h e r i g h t e m p i r i c a l c o n d i t i o n s l e a r n i n g i s i n e v i t a b l e . K e n n e t h S t r i k e a r g u e s : B e h a v i o u r i s t s h a v e i n t e r p r e t e d t r a d i t i o n a l e m p i r i c i s m i n s u c h a way t h a t e p i s t e m o l o g y i s s e e n a s u n r e l a t e d t o l e a r n i n g . L e a r n i n g i n t u r n i s n o t s e e n a s a r a t i o n a l a c t i v i t y . I t i s s o m e t h i n g t h a t h a p p e n s t o p e o p l e u n d e r p r o p e r e m p i r i c a l c o n d i t i o n s . ( S t r i k e , 1982, p.51) B u t t h e w o r k i n g o u t o f u n d e r s t a n d i n g b y t h e l e a r n e r i s c r i t i c a l i n C o n s t r u c t i v i s m . The c o n s t r u c t i v i s t p r i n c i p l e i s i m p l i c i t i n Dewey f o r e x a m p l e . No t h o u g h t , no i d e a , c a n p o s s i b l y be c o n v e y e d as an i d e a f r o m one p e r s o n t o a n o t h e r . When i t i s t o l d , i t i s t o b e one t o whom i t i s t o l d , a n o t h e r f a c t , n o t an i d e a . ... O n l y b y w r e s t l i n g w i t h t h e c o n d i t i o n s o f t h e p r o b l e m a t f i r s t h a n d , s e e k i n g a n d f i n d i n g h i s own way o u t , d o e s he t h i n k . (Dewey, 1974, p.98) P i a g e t was a l s o a c o n s t r u c t i v i s t . He t h o u g h t t h a t most c o n t e m p o r a r y t e a c h i n g o f m a t h e m a t i c s a n d s c i e n c e was i n a p p r o p r i a t e i n s o f a r as i t r e s t e d on t h e s i m p l e t r a n s m i s s i o n o f k n o w l e d g e r a t h e r t h a n t h e d e v e l o p m e n t o f i n t e l l e c t u a l i n d e p e n d e n c e . To u n d e r s t a n d i s t o d i s c o v e r ... t h e g o a l o f i n t e l l e c t u a l e d u c a t i o n i s n o t t o know how t o 39 r e p e a t o r r e t a i n r e a d y - m a d e t r u t h s . I t i s i n l e a r n i n g t o m a s t e r t h e t r u t h b y o n e s e l f a t t h e r i s k o f l o s i n g a l o t o f t i m e a n d o f g o i n g t h r o u g h a l l t h e r o u n d a b o u t ways t h a t a r e i n h e r e n t i n r e a l a c t i v i t y . ( P i a g e t , 1973, p.218) T h i s t y p e o f a s i m p l i f i e d t r a n s m i s s i o n a c c o u n t o f l e a r n i n g seems t o be i m p l i c i t i n much o f what g o e s on i n m a t h e m a t i c s c l a s s r o o m s . The NCTM S t a n d a r d s Document f o r e x a m p l e , c l a i m s t h a t I n most c l a s s r o o m s , t h e c o n c e p t i o n o f l e a r n i n g i s t h a t s t u d e n t s a r e p a s s i v e a b s o r b e r s o f i n f o r m a t i o n , s t o r i n g i t i n e a s i l y r e t r i e v a b l e f r a g m e n t s as a r e s u l t o f r e p e a t e d p r a c t i s e a n d r e i n f o r c e m e n t . R e s e a r c h f i n d i n g s f r o m p s y c h o l o g y i n d i c a t e t h a t l e a r n i n g d o e s n o t o c c u r b y p a s s i v e a b s o r p t i o n ( R e s n i c k , 1986) . I n s t e a d , i n d i v i d u a l s a p p r o a c h e a c h new t a s k w i t h p r i o r k n o w l e d g e , a s s i m i l a t e new i n f o r m a t i o n a n d c o n s t r u c t t h e i r own new m e a n i n g s . (NCTM, 1989, p.28) S i m i l a r l y , Howson a r g u e s t h a t many s e c o n d a r y c l a s s r o o m s o p e r a t e on t h e b a s i s o f s i m p l e t r a n s m i s s i o n . One i s l i k e l y t o f i n d a s t e r e o t y p e d f o r m o f t e a c h i n g i n t h e b u l k o f s e c o n d a r y s c h o o l s c l a s s r o o m s , a f o r m w h i c h r e l i e s h e a v i l y on t h e t e x t b o o k a n d t h e t r a d i t i o n a l p a t t e r n o f e x p o s i t i o n - e x a m p l e s - e x e r c i s e s . A p p a r a t u s i s r a r e l y u s e d , a n d c l a s s t e a c h i n g i s s t i l l t h e norm. (Howson, 1985, p.75) 40 As a r e s u l t much o f what i s l e a r n e d i s s i m p l y f o r g o t t e n b e c a u s e i t i s n o t b e l i e v e d , b u t s i m p l y m e m o r i z e d a n d r e g u r g i t a t e d . T h i s c a n n o t be r e g a r d e d as a f a u l t o f t h e s t u d e n t s - we must a c c e p t t h i s as a b a s i c f l a w i n c o u r s e d e s i g n a n d d e l i v e r y . What c o n s t r u c t i v i s t s a d v o c a t e i s a c e n t r a l c o n c e r n w i t h t h e l e a r n e r as c o n s t r u c t o r o f m e a n i n g . B a s i c a b i l i t i e s t o h a n d l e , p r o c e s s a n d a p p l y i n f o r m a t i o n t o c o n s t r u c t m e a n i n g a r e more i m p o r t a n t t h a n i s o l a t e d s p e c i f i c p e r f o r m a n c e s . L o c h h e a d w r i t e s : What I s e e a s c r i t i c a l t o t h e new c o g n i t i v e s c i e n c e i s t h e r e c o g n i t i o n t h a t k n o w l e d g e i s n o t an e n t i t y w h i c h c a n - b e s i m p l y t r a n s f e r r e d f r o m t h o s e who h a v e t o t h o s e who d o n ' t ... K n o w l e d g e i s s o m e t h i n g w h i c h e a c h i n d i v i d u a l l e a r n e r must c o n s t r u c t f o r a n d by h i m s e l f . T h i s v i e w o f k n o w l e d g e a s an i n d i v i d u a l c o n s t r u c t i o n ... i s u s u a l l y r e f e r r e d t o a s c o n s t r u c t i v i s m . ( L o c h h e a d , 1985, p.14) A l l experience i s theory laden A l l e x p e r i e n c e i s t h e o r y l a d e n so t h a t s e c o n d a r y s t u d e n t s come t o c l a s s w i t h a r e p e r t o i r e o f e x p e r i e n c e s a n d c o n c e p t s . Many o f t h e s e may be p r i v a t e , s u b j e c t i v e , u n d e v e l o p e d n o t i o n s i n B r a u n e r ' s (1988) s e n s e . F o r them t h e i r s u b j e c t i v e c o n s t r u c t i o n s o f r e a l i t y f u n c t i o n as v i a b l e m o d e l s . The l e a r n e r c a n d e s c r i b e , u n d e r s t a n d a n d a d a p t t o t h e w o r l d o n l y t h r o u g h t h e s e e x i s t i n g c o n c e p t i o n s . B e c a u s e t h e y a r e c a p a b l e o f p r o d u c i n g c o n c e p t s , r e l a t i o n s a n d r o u t i n e s , l e a r n e r s c a n a c t i v e l y s e a r c h f o r new r e g u l a r i t i e s a n d m e a n i n g s w i t h w h i c h t o m o d e l r e a l i t y . B u t t h e d e s c r i p t i v e means a n d m o d e l s u s e d i n t h e s e s u b j e c t i v e c o n s t r u c t i o n s a r e n o t t o t a l l y a r b i t r a r y o r u n l i m i t e d b e c a u s e o f t h e u n i f y i n g b o n d s o f c u l t u r e a n d l a n g u a g e t h e l e a r n e r s h a r e s w i t h o t h e r s . New k n o w l e d g e i s c o n s t i t u t e d a n d a r i s e s w i t h i n a f r a m e w o r k i n w h i c h t h e r e a r e t h r e e s y s t e m s o f c o n s t r a i n t s . F i r s t , t h e r e a r e t h e s u b j e c t i v e s t r u c t u r e s o f p e r s o n a l , i n t u i t i v e k n o w l e d g e . S e c o n d , t h e r e i s t h e common web o f p u b l i c c u l t u r e a n d l a n g u a g e . T h i r d , t h e r e a r e t h e c o n s t r a i n i n g l i m i t s o f o b j e c t i v e r e a l i t y . L e a r n i n g t h e n becomes a r e n e g o t i a t i o n o f t h e t e r m s o f r e f e r e n c e f o r c o n s t r u c t i n g m e a n i n g , w i t h i n t h e l i m i t s o f t h e s e c o n s t r a i n t s . The p a r a l l e l s w i t h B r a u n e r ' s P e r c e p t i v i s m a r e o b v i o u s . E d u c a t i o n becomes a p r o c e s s o f c r e a t i n g i n t h e y o u n g an a p p r e c i a t i o n o f t h e f a c t t h a t many w o r l d s a r e p o s s i b l e , t h a t m e a n i n g a n d r e a l i t y a r e c r e a t e d a n d n o t d i s c o v e r e d , t h a t n e g o t i a t i o n i s t h e a r t o f c o n s t r u c t i n g new m e a n i n g s b y w h i c h i n d i v i d u a l s c a n r e g u l a t e t h e i r r e l a t i o n s w i t h e a c h o t h e r . I t w i l l n o t , I t h i n k , be an image o f human d e v e l o p m e n t t h a t l o c a t e s a l l o f t h e s o u r c e s o f c h a n g e i n s i d e t h e i n d i v i d u a l , t h e s o l e c h i l d . F o r i f we h a v e 42 l e a r n e d a n y t h i n g f r o m t h e d a r k p a s s a g e i n h i s t o r y t h r o u g h w h i c h we a r e now m o v i n g i t i s t h a t man, s u r e l y , i s n o t x i n i s l a n d , e n t i r e o f i t s e l f b u t a p a r t o f t h e c u l t u r e t h a t he i n h e r i t s a n d t h e n r e c r e a t e s . The p o w e r t o r e c r e a t e r e a l i t y , t o r e i n v e n t c u l t u r e , we w i l l come t o r e c o g n i z e , i s w here a t h e o r y o f d e v e l o p m e n t must b e g i n t h i s d i s c u s s i o n o f m i n d . ( B r u n e r , 1986, p.149) The r o l e of alternate conceptions W i t h i n t h e c o n s t r u c t i v i s t p a r a d i g m e d u c a t i o n c a n be v i e w e d as a p r o c e s s d e s i g n e d t o t r a n s f o r m a n o v i c e t o become more o f an e x p e r t i n a p a r t i c u l a r k n o w l e d g e d o m a i n . R e f e r r i n g b a c k t o B r a u n e r ' s o r i e n t a t i o n t o t h e w o r l d t h e l e a r n e r must be a b l e t o s o r t o u t t h e n o i s e f r o m t h e m e s s a g e . W h i c h s i g n a l s a r e t o be a t t e n d e d t o , how a r e t h e s i g n a l s a n d i m p r e s s i o n s t o be p a c k a g e d t o c o n s t r u c t m e a n i n g ? A v a i l a b l e a r e a c o m p e t i n g swarm o f n o t i o n s a n d c o n c e p t s . B e c a u s e t h e e x p e r t i s i n p o s s e s s i o n o f r e l i a b l e t h e o r i e s he c a n o f t e n s e l e c t a n d u s e t h e most e f f e c t i v e c o n c e p t u a l scheme i n t h e s i t u a t i o n a n d c a n o f t e n u n d e r s t a n d a p r o b l e m a t i c s i t u a t i o n q u i c k l y . The n o v i c e may f u m b l e a n d f a i l , n o t k n o w i n g what t o p a y a t t e n t i o n t o . S i m p l e , i n f o r m a l u n d e r s t a n d i n g s t h a t r e s u l t f r o m p e r c e p t i o n s g e n e r a t e d by r e l e v a n t c o n c e p t s a r e a t t h e c o r e o f an e x p e r t ' s e x p e r i e n c e o f m a t h e m a t i c s a n d s c i e n c e . I n c o n t r a s t , 43 n o v i c e s a r e l i k e l y t o u s e r o t e a l g o r i t h m s w i t h o u t t h e g u i d a n c e o f t h e p e r c e p t i o n s g e n e r a t e d b y more p o w e r f u l c o n c e p t s a n d t h e o r i e s . When i n f o r m a t i o n c a n be managed w i t h s i m p l e , i n f o r m a l , i n t u i t i v e u n d e r s t a n d i n g s t h i s c o u l d be c a l l e d e x p e r t p r o c e s s i n g b e c a u s e t h e r e i s l i k e l y t o be q u i c k , i n t u i t i v e a c c e s s t o r e l e v a n t f o r m a l p r o c e d u r e s . When random r o t e p r o c e d u r e s a r e a l l t h a t ' s a v a i l a b l e , w i t h no way t o s o r t o u t t h e r e l e v a n t f r o m i r r e l e v a n t c o n c e p t i o n s , t h i s c o u l d be c a l l e d r e m e d i a l p r o c e s s i n g b e c a u s e a c c e s s t o p o w e r f u l , f o r m a l p r o c e d u r e s i s c h a o t i c . E d u c a t i o n ' s e f f o r t s must f o c u s on e x p e r t p r o c e s s i n g . C o n s t r u c t i v i s m f o c u s s e s a t t e n t i o n on t h e r o l e o f e d u c a t i o n i n c r e a t i n g e x p e r t p r o c e s s i n g , as o u t l i n e d i n t h e p r e v i o u s p a r a g r a p h . L e a r n e r s must h a v e a s e n s e t h a t r e l i a b l e k n o w l e d g e o f s i g n i f i c a n t w o r t h h a s b e e n p a s s e d on t o them. They must h a v e a s e n s e o f o w n e r s h i p o f v a r i o u s ways o f l o o k i n g a t t h e w o r l d . They must h a v e a s e n s e t h a t an e d u c a t e d r e s p o n s e t o l i f e m a t t e r s . They c a n do t h i s o n l y i f t h e y a r e w i l l i n g a n d a b l e t o t h i n k a n d a c t i n d e p e n d e n t l y , c h o o s i n g f r o m a r e p e r t o i r e o f modes o f p e r c e p t i o n s , a c c o r d i n g t o what i s s e n s i b l e a n d r e a s o n a b l e b a s e d on t h e c o n c e p t s a n d n o t i o n s t h e y c u r r e n t l y h o l d . T h i s w o u l d r e p r e s e n t a r a t i o n a l 44 r e s p o n s e w i t h an o p e n b u t n o t empty m i n d . A c h i l d a c c u s t o m e d t o r o t e a c c e p t a n c e o f r u l e s a n d p r o c e d u r e s o f f a i t h w i l l h a v e a l l o w e d memory,to t a k e p r i o r i t y o v e r r e a s o n i n g p o w e r a n d s o w o u l d a t b e s t be c a p a b l e o f o n l y an u n e d u c a t e d r e s p o n s e b a s e d on some p r i v a t e n o t i o n s . C o n s t r u c t i v i s m h o l d s t h a t i n q u i r y a n d l e a r n i n g o c c u r a g a i n s t a b a c k g r o u n d o f t h e l e a r n e r ' s c u r r e n t c o n c e p t s . C u r r e n t i d e a s w i l l be i n t e r a c t i n g w i t h new, o f t e n i n c o m p a t i b l e , i d e a s . L e a r n i n g i n v o l v e s j u g g l i n g v a r i o u s p l a u s i b l e a l t e r n a t e ways o f l o o k i n g a t t h i n g s . B e c o m i n g e d u c a t e d i n v o l v e s an o n g o i n g r a t i o n a l r e o r g a n i z a t i o n a n d e x p a n s i o n o f t h e l e a r n e r ' s a c t i v e c o n c e p t u a l r e p e r t o i r e . T h i s i s a p r o c e s s o f a c c o m m o d a t i o n t h a t r e q u i r e s t h e a c t i v e p a r t i c i p a t i o n o f t h e l e a r n e r , t h a t n e e d s t o t a k e a c c o u n t o f p a s t e x p e r i e n c e a n d t h a t n e e d s t o f o r c e a l t e r n a t e c o n c e p t i o n s t o c o m p e t e f o r s u r v i v a l . P o s n e r , S t r i k e , Hewson & G e r t z o g (1982) w r i t e a b o u t t h e p r o c e s s e s o f a c c o m m o d a t i n g a n d a s s i m i l a t i n g r i v a l v i e w s o f t h i n g s a n d t h e s t r u g g l e t o c o n s t r u c t m e a n i n g f u l , a p p l i c a b l e u n d e r s t a n d i n g t h a t t h i s i n v o l v e s . A c c o m m o d a t i o n may ... h a v e t o w a i t u n t i l some u n f r u i t f u l a t t e m p t s a t a s s i m i l a t i o n a r e w o r k e d t h r o u g h . I t r a r e l y seems c h a r a c t e r i z e d by e i t h e r a f l a s h o f i n s i g h t , i n w h i c h o l d i d e a s f a l l away t o be r e p l a c e d 45 by new v i s i o n s , o r as a s t e a d y l o g i c a l p r o g r e s s i o n f r o m one commitment t o a n o t h e r . R a t h e r , i t i n v o l v e s much f u m b l i n g a b o u t , many f a l s e s t a r t s a n d m i s t a k e s , a n d f r e q u e n t r e v e r s a l s o f d i r e c t i o n . ( P o s n e r , S t r i k e , Hewson & G e r t z o g , 1982, p.223) I n c h a p t e r s I I a n d I I I t h e w r i t e r h a s a t t e m p t e d t o g i v e a b r i e f d e s c r i p t i o n o f P e r c e p t i v i s m a n d C o n s t r u c t i o n as t h e o r i e s . T h e s e t h e o r i e s w i l l be u s e d l a t e r t o s h e d l i g h t on t h e c e n t r a l p r o b l e m o f t h i s p a p e r — c a n t h e c o m p u t e r be u s e d t o i m p r o v e t h e s e c o n d a r y s c h o o l m a t h e m a t i c s c u r r i c u l u m a n d i n s t r u c t i o n ? C h a p t e r s I V a n d V t o f o l l o w w i l l a t t e m p t t o i n t e r p r e t P e r c e p t i v i s m a n d C o n s t r u c t i v i s m , on t h e b a s i s o f t h e d e s c r i p t i o n s g i v e n , i n s u c h a way as t o make them r e l e v a n t t o t h e t h e s i s p r o b l e m , t h e e d u c a t i o n a l r o l e o f t h e c o m p u t e r i n i m p r o v i n g m a t h e m a t i c s e d u c a t i o n . 46 CHAPTER IV AN INTERPRETATION OP PERCEPTIVISM The s p e c i f i c p u r p o s e o f t h i s c h a p t e r i s t o r e l a t e a c e r t a i n t h e o r e t i c a l p e r s p e c t i v e i n e d u c a t i o n t o a p a r t i c u l a r p r o b l e m i n \ m a t h e m a t i c s e d u c a t i o n . The t h e o r e t i c a l p e r s p e c t i v e i s c a l l e d P e r c e p t i v i s m -C o n s t r u c t i v i s m . I t h a s b e e n d e s c r i b e d i n C h a p t e r s I I a n d I I I . The p r o b l e m i n m a t h e m a t i c s e d u c a t i o n i s t h a t a l a r g e p e r c e n t a g e o f t h e s t u d e n t p o p u l a t i o n i s g e t t i n g an i n a d e q u a t e m a t h e m a t i c s e d u c a t i o n . I n p a r t i c u l a r , m e a n i n g f u l m a t h e m a t i c s i s l a c k i n g . Too many s t u d e n t s seem t o be j u s t " g o i n g t h r o u g h t h e m o t i o n s " g e t t i n g s c h o o l e d b u t n o t e d u c a t e d . R e a l i s t i c a p p l i c a t i o n s a r e more i m p o r t a n t t h a n e v e r i n an a d v a n c e d t e c h n o l o g i c a l s o c i e t y y e t a r e p o o r l y u n d e r s t o o d b y s t u d e n t s ( I A E P , 1988, p p . 10-35.). A g a i n s t t h i s b a c k g r o u n d t h e enormous p o t e n t i a l o f t h e c o m p u t e r seems t o be w a s t e d b e c a u s e t h e c o m p u t e r i s n o t b e i n g e f f e c t i v e l y u t i l i z e d . T h e s e p r o b l e m s h a v e b e e n d e t a i l e d i n C h a p t e r I . C h a p t e r I V a n d V w i l l i n t e r p r e t P e r c e p t i v i s m a n d C o n s t r u c t i v i s m as t h e y may b e a r on p r a c t i s e . C h a p t e r V I w i l l d e t a i l a c a l c u l u s u n i t d e s i g n e d b y t h e a u t h o r , u s i n g p e r c e p t i v i s t - c o n s t r u c t i v i s t p r i n c i p l e s , a n d d e l i v e r e d a t T e m p l e t o n S e c o n d a r y i n V a n c o u v e r . C h a p t e r V I I w i l l 47 r e p o r t on f i e l d t e s t s , o f t h e c a l c u l u s u n i t a n d i n t e r p r e t t h e r e s u l t s . C h a p t e r V I I I w i l l r e p o r t c o n c l u s i o n s a n d make r e c o m m e n d a t i o n s . The substantive role of the computer The c o m p u t e r h a s so f a r b e e n t r e a t e d as an a n o m a l y i n m a t h e m a t i c s e d u c a t i o n b e c a u s e t h e r e h a s b e e n no g u i d i n g p h i l o s o p h y o r t h e o r y o f k n o w l e d g e a c q u i s i t i o n t o i n f o r m i t s e f f e c t i v e u s e . T h e r e i s t h e t e m p t a t i o n t o t h i n k t h e t e c h n o l o g y w i l l s o l v e p r o b l e m s i n e d u c a t i o n b y i t s e l f . P e r c e p t i v i s m - C o n s t r u c t i v i s m i s t h e i n f o r m a t i o n age p h i l o s o p h y o f m a t h e m a t i c s e d u c a t i o n n e e d e d t o a d v a n c e m a t h e m a t i c s e d u c a t i o n i n t h e c o m p u t e r age. I t p r o v i d e s t h e o p p o r t u n i t y , t o u s e an i n d u s t r i a l a n a l o g y , t o f r e e s t u d e n t s f r o m d i g g i n g d i t c h e s b y h a n d so t h e y may be f r e e d t o c o n s t r u c t s k y s c r a p e r s . By t a k i n g o v e r t h e m a n i p u l a t i v e t a s k s , t h e c o m p u t e r f r e e s s t u d e n t s t o become a c t i v e l y e n g a g e d i n t h e u n d e r s t a n d i n g , a p p l i c a t i o n a n d i n t e r p r e t a t i o n o f t h e m a j o r m a t h e m a t i c a l c o n c e p t s t h a t s h a p e q u a n t i t a t i v e human p e r c e p t i o n i n t h e i n f o r m a t i o n a g e . F e y a n d Good a r g u e : C o m p u t i n g o f f e r s an o p p o r t u n i t y t o t u r n t h e s e c o n d a r y s c h o o l c u r r i c u l u m on i t s h e a d . I n s t e a d o f m e e t i n g a p p l i c a t i o n s as a r e w a r d f o r y e a r s o f p r e p a r a t i o n , s t u d e n t s c a n b e g i n 48 w i t h t h e most n a t u r a l a n d m o t i v a t i n g a s p e c t o f m a t h e m a t i c s — i t s a p p l i c a t i o n s . (Fey & Good, 1985, p.49) Y e a r s o f p r e o c c u p a t i o n w i t h l o w l e v e l c a l c u l a t i o n may n o t be n e e d e d . The c o m p u t e r c a n t a k e c a r e o f much o f t h i s . R a l s t o n c l a i m s : No s o u n d a r g u m e n t c a n be a d d u c e d t o s u p p o r t a t h e s i s t h a t c l a i m s t h a t h i g h s c h o o l s t u d e n t s must be v e r y s k i l l f u l a t p o l y n o m i a l a l g e b r a , t r i g o n o m e t r i c i d e n t i t i e s , t h e s o l u t i o n o f l i n e a r o r q u a d r a t i c s y s t e m s o f e q u a t i o n s o r any o f t h e m y r i a d m a n i p u l a t i v e t a s k s t h a t a r e p a r t o f t h e c u r r e n t h i g h s c h o o l m a t h e m a t i c s c u r r i c u l u m . ( R a l s t o n , 1985, p.37) What I am s u g g e s t i n g i s t h a t we " p l u g t h e c o m p u t e r " i n t o t h e c o n c e p t u a l p r o c e s s i n g u n i t i n B r a u n e r ' s m o d e l ( s e e F i g u r e s 1 a n d 3 ) . S c i e n c e h a s b e e n a b l e , as shown i n F i g u r e 3, t o c h a n g e t h e way we se e t h e w o r l d b e c a u s e , i n p a r t , i t h a s e x t e n d e d t h e r a n g e o f i m p u l s e s we c a n d e t e c t ( e . g . v i a t e l e s c o p e s , r a d a r , e l e c t r o n m i c r o s c o p e s ) . I n an a n a l o g o u s manner t h e c o m p u t e r c a n e x t e n d t h e p o s s i b i l i t i e s f o r i n f o r m a t i o n p r o c e s s i n g t h r o u g h c o n c e p t u t i l i z a t i o n . The r a n g e o f u s e f u l m a t h e m a t i c a l p r o c e d u r e s made a v a i l a b l e t o a l l t h r o u g h t h e c o m p u t e r c a n c h a n g e t h e way we s e e t h e w o r l d . Q u a n t i t a t i v e , m a t h e m a t i c a l l i t e r a c y c a n become an a c t i v e mode o f p e r c e p t i o n as F i g u r e 3. C o m p u t e r u s e d t o a m p l i f y , p o w e r o f c o n c e p t s . 50 p r e v i o u s l y l a b o r i o u s , ' unmanageable c a l c u l a t i o n i s automated. Wi t h t h e computer, two p r i n c i p l e s o f P e r c e p t i v i s m seem more r e a l i z a b l e . F i r s t , i t s h o u l d be p o s s i b l e f o r i n s t r u c t i o n t o be aimed a t a c t u a l p e r c e p t i o n and use. Mathematics s h o u l d n ot s t a r t and end w i t h i t s e l f b ut must c o n t r i b u t e i m m e d i a t e l y t o our u n d e r s t a n d i n g o f t h e w o r l d and how we p e r c e i v e i t . W i t h t h e computer, a p p l i c a t i o n need not be d e l a y e d . Second, mathematics can now be s t r u c t u r e d t o i n v o l v e t h e s y n t h e s i s o f s t u d e n t knowledge r a t h e r t h a n i t s s p e c i a l i z a t i o n , f r a g m e n t a t i o n and i s o l a t i o n . S t u d e n t s can u n d e r s t a n d t h e w o r l d u s i n g t h e dynamic i n t e r a c t i o n s o f c o n c e p t u a l systems managed i n p a r t by computers. S t u d e n t s can l e a r n about t h e a p p l i c a b i l i t y , l i m i t s and i n t e r c o n n e c t i o n s o f v a r i o u s ways o f p e r c e i v i n g t h e w o r l d ( r e f e r t o F i g u r e 3 ) . T r a j e c t o r i e s - using the computer to do mathematics C o n s i d e r t h e f o l l o w i n g i l l u s t r a t i o n o f t h e s e two p r i n c i p l e s i n a c t i o n i n a computer l e a r n i n g a c t i v i t y f o r s t u d e n t s ( r e f e r t o F i g u r e 4 ) . T r a j e c t o r i e s p r o v i d e an o p p o r t u n i t y t o d i s p l a y t h e use o f q u a d r a t i c and t r i g o n o m e t r i c f u n c t i o n s i n m o d e l l i n g r e a l w o r l d phenomena. A c t u a l c a s e s c o u l d be dem o n s t r a t e d o r 51 F i g u r e 4. T r a j e c t o r i e s a p p e a l e d t o ; c a n n o n b a l l s , f o o t b a l l s , r o c k s , a r r o w s , s h o t p u t s , s t r e a m s o f w a t e r . I n t h e t w o d i m e n s i o n a l c a s e t h e f u n c t i o n w h i c h m o d e l s t h e t r a j e c t o r y i s g i v e n b e l o w , w h e r e g i s t h e g r a v i t a t i o n a l c o n s t a n t , V t h e v e l o c i t y o f t h e p r o j e c t i l e a n d 9 t h e p r o j e c t i o n a n g l e ( K r a u s h a a r , 1 9 8 2 , p p . 1 1 7 - 1 2 0 ) . y = x t a n (6) - g x 2 (1 + t a n 2 (0) ) 2V 2 G e t t h e s t u d e n t s t o p l o t some t r a j e c t o r i e s , a s b e l o w . The f u n c t i o n s l i s t e d b e l o w y i e l d t h e t r a j e c t o r i e s i n F i g u r e 4. 52 F u n c t i o n s : y = x * . 2 7 - ( (9.8x 2 ) /2000) (1+.073) y = x * . 5 8 - ( ( 9 . 8 x 2 ) / 2 0 0 0 ) (1 + .340) y = x * l . 0- ( (9. 8x 2) /2000) (1 + 1 . 00) y = x * 1 . 7 - ( (9.8x 2 ) /2000) (1+3.00) y = x * l l - ( ( 9. 8 x 2 ) / 2 0 0 0 ) (1+130.) y'= ( 1 0 0 0 0 - x 2 ) / 2 0 0 The f o l l o w i n g q u e s t i o n s i l l u s t r a t e how s t u d e n t s c a n be e n c o u r a g e d t o r e f l e c t on t h e i r c o m p u t e r a c t i v i t y . i ) W h i c h a n g l e c a u s e s t h e p r o j e c t i l e t o go f u r t h e s t ? ... s h o r t e s t d i s t a n c e ? ... Why? i i ) W h i c h a n g l e c a u s e s t h e p r o j e c t i l e t o go h a l f t h e maximum d i s t a n c e ? i i i ) What h a p p e n s t o t h e p r o j e c t i l e i f 0 = 90? ... 0 = 0? ... e x p l a i n i v ) E x p l a i n what h a p p e n s i f g c h a n g e s , f o r e x a m p l e , f r o m 9.8 m/sec 2 on E a r t h t o 1.6 m/sec 2 on t h e Moon t o 0 m/sec 2 i n o u t e r s p a c e . v) E x p l a i n a n d document what h a p p e n s as v i n c r e a s e s , 9 a n d g c o n s t a n t . G i v e e x a m p l e s f r o m e v e r y d a y e x p e r i e n c e , f o r e x a m p l e , p l a y i n g f o o t b a l l , s q u i r t i n g f r i e n d s w i t h a h o s e . N o t i c e i n F i g u r e 5 how p o i n t s on t h e x - a x i s c a n be h i t w i t h two t r a j e c t o r i e s . G e t s t u d e n t s t o e x p l o r e how t h e a n g l e s f o r t h e two t r a j e c t o r i e s a r e r e l a t e d . Have them d e v e l o p a t h e o r y o f t h e " l o b " . A s k them t o a p p l y 53 F i g u r e 5. Lob v s . C l o t h e s l i n e T r a j e c t o r y the t h e o r y t o o r d i n a r y e x p e r i e n c e , f o r example, throwing passes i n f o o t b a l l a g a i n s t man-to-man as opposed t o zone defense, s q u i r t i n g a f r i e n d w i t h water w h i l e he's s t a n d i n g b e h i n d a w a l l . F i g u r e 5 uses these f u n c t i o n s : y = x*4.70-( (9.8x 2)/2000) (1+22.11) y = x*0.21-( (9.8x 2)/2000) (1+00.05) y = x*1.96- ( (9.8x 2) /2000) (1+03.85) y = x*0.51- ( (9.8x 2) /2000) (1+00.26) Extension of the concept - the t r a j e c t o r y envelope By a p p e a l i n g t o the i d e a o f t a r g e t s w i t h i n range and t a r g e t s out of range f o r a c e r t a i n v, s t u d e n t s can develop and e x p l o r e the i d e a of a t r a j e c t o r y envelope. F o r g i v e n v 0 and g t h e e q u a t i o n o f t h e e n v e l o p e I s ; V 2 2 2 y = ( - ^ r ) - x z 2 ( ^ A F u n c t i o n : y = (10000-x 2) /200 F i g u r e 6. The e n v e l o p e o f t r a j e c t o r i e s F i g u r e 6 shows t h e e n v e l o p e f o r a t r a j e c t o r y w i t h V o 2=1000 a n d g=10. The e n v e l o p e c u r v e d i v i d e s t h e t a r g e t s p a c e i n t o t h r e e r e g i o n s ; i ) p o i n t s o u t s i d e t h e c u r v e w h i c h c a n n o t be h i t w i t h t h e g i v e n v, 55 i i ) p o i n t s on t h e c u r v e w h i c h c a n b e h i t a t o n l y one a n g l e , i i i ) p o i n t s i n s i d e t h e c u r v e w h i c h c a n be h i t w i t h t w o a n g l e s . L e t s t u d e n t s , e x p l o r e , d o c u m e n t a n d d i s c u s s t h e p o s s i b i l i t i e s . The c o m p u t e r t a k e s c a r e o f t h e c o m p u t a t i o n a l c h o r e s l e a v i n g t h e t a s k s o f i n t e r p r e t a t i o n , a n a l y s i s a n d s y n t h e s i s up t o t h e s t u d e n t . C o m p u t e r managed c a l c u l a t i o n f a c i l i t a t e s c o n c e p t d e v e l o p m e n t ( r e f e r t o F i g u r e 3). The b u s i n e s s o f h i t t i n g a t a r g e t i n t h e t a r g e t s p a c e , w i t h a g i v e n V, i n v o l v e s f i n d i n g t h e a n g l e 0. T h i s c a n be d o n e u s i n g t h e f o r m u l a , F i g u r e 7 . H i t s I n s i d e t h e E n v e l o p e where l m = (Vo 2) / g , t h e r a n g e f a c t o r f o r t h e p r o j e c t i l e . F i g u r e 7 show a p o i n t b e i n g h i t w i t h two d i f f e r e n t t r a j e c t o r i e s ( s e e K r a u s h a a r , 1982, p p . 1 1 7 - 1 2 0 ) . Have s t u d e n t s h i t some p o i n t s w i t h t e a c h e r c h o s e n c o o r d i n a t e s . They w i l l f i n d , g r a d u a l l y o f c o u r s e , t h a t f o r some ( x , y ) t h e d i s c r i m i n a n t w i l l be n e g a t i v e so t h e r e w i l l be no a n g l e ( i . e . no s o l u t i o n ) , f o r some (x,y) t h e d i s c r i m i n a n t w i l l be z e r o s o t h e r e i s j u s t one s o l u t i o n ( i . e . one a n g l e ) a n d f o r some ( x , y ) t h e d i s c r i m i n a n t w i l l be p o s i t i v e so t h e r e w i l l be two s o l u t i o n s ( i . e . two a n g l e s ) . F o r e x a m p l e , F i g u r e 8 shows two p o i n t s i n s i d e t h e t r a j e c t o r y e n v e l o p e e a c h o f w h i c h c a n be h i t w i t h two d i f f e r e n t t r a j e c t o r i e s . F u n c t i o n s : y = x * l . 00- ( (9. 8 x 2 ) / 2 0 0 0 ) (1 + 0 1 . 00) y = x * l . 4 3 - ( (9. 8x 2) /2000) (1+02.04) y = x * 3 . 2 7 - ( ( 9 . 8 x 2 ) / 2 0 0 0 ) (1 + 10.69) y = (10000 - x 2) /200 F o r a n o t h e r e x a m p l e , assume t h a t t h e p o i n t (55,30) i s t o be h i t . S i n c e i t i s i n s i d e t h e e n v e l o p e , e x p e c t two a n g l e s . S u b s t i t u t i n g them, 57 X - A X I S : 9 . . . ± 1 8 S T E P 5 Y - A X I S : 8...68 S T E P 5 F i g u r e 8. H i t t i n g S p e c i f i c L o c a t i o n s E n v e l o o e I n s i d e t h e 9 = t a n - 1 100 1 0 0 2 (55) 2 - 2 (100) (30) 55 e e 68°13' 50°24' I f a p o i n t on t h e x - a x i s i s c h o s e n t w o a n g l e s a r e o b t a i n e d . C o n s i d e r ( 5 0 , 0 ) , 6 = t a n ' 1 T 100 00) 2 - 5 0 2 - 2 (100) (0) 55 ] 9 = 75°20' 9 = 14°40' I f (47,40) on t h e e n v e l o p e i s c h o s e n , t h e d i s c r i m i n a n t b e c o mes z e r o s o o n l y one a n g l e i s o b t a i n e d 58 e = t a n " 1 T 100 ± ( 1 0 0 ) 2 - ( 4 7 ) 2 - 2 ( 1 0 0 ) 4 0 47 9 = 65°4' I f (60,60) o u t s i d e t h e e n v e l o p e i s c h o s e n , no a n g l e i s o b t a i n e d b e c a u s e t h e d i s c r i m i n a n t i s l e s s t h a n z e r o . The t r a j e c t o r y e x e r c i s e i l l u s t r a t e s t h r e e i m p o r t a n t p o i n t s a b o u t t h e p e r c e p t i v i s t u s e o f t h e c o m p u t e r i n m a t h e m a t i c s e d u c a t i o n . F i r s t , b y t a k i n g c a r e o f e l a b o r a t e a n d e x t e n s i v e c a l c u l a t i o n t h e c o m p u t e r a l l o w s p e r c e p t i o n o f t r a j e c t o r i e s . S e c o n d , a c t u a l v i e w s o f o b j e c t s m o v i n g , s t o p m o t i o n p h o t o g r a p h s a n d c o m p u t e r s i m u l a t i o n s c a n be c o m p a r e d s o t h e s t u d e n t c a n a c t u a l l y b e l i e v e what i s h a p p e n i n g . T h i r d , i n t e r a c t i o n o f c o n c e p t u a l s y s t e m s i s e n c o u r a g e d . O r d i n a r y l a n g u a g e d e s c r i p t i o n s o f f o o t b a l l p a s s e s , s q u i r t i n g w i t h w a t e r a n d c a n n o n s h o t s c a n be c o m p a r e d w i t h c o n c e p t s f r o m p h y s i c s s u c h a s v e l o c i t i e s , a c c e l e r a t i o n due t o g r a v i t y , a n g l e o f l a u n c h , r a n g e , h e i g h t a n d t h e s e i n t u r n c a n be r e l a t e d t o q u a d r a t i c f u n c t i o n s , t r i g o n o m e t r i c f u n c t i o n s , c o o r d i n a t e s , c u r v e s 59 f r o m m a t h e m a t i c s . T h i s w o u l d p r o m o t e c o n c e p t u a l d i s c r i m i n a t i o n a n d h e l p a s s i m i l a t i o n a n d a c c o m m o d a t i o n r a t h e r t h a n l e a v i n g i d e a s i n i s o l a t i o n ( t o w i t h e r a n d d i e f r o m l a c k o f u s e ) . B r a u n e r a r g u e s : W h e t h e r i t i s i n t h e s c i e n c e s , t h e h u m a n i t i e s , t h e s o c i a l s c i e n c e s o r t h e l o g i c a l s c i e n c e s , s e c o n d a r y a b s t r a c t i o n s a i m t o g e n e r a t e an uncommon mode o f p e r c e p t i o n t h a t i s s o m e t i m e s a t odds w i t h o r d i n a r y p e r c e p t i o n . As a r e s u l t . . . e d u c a t i o n h a s a s t r o n g r e s p o n s i b i l i t y t o p r o v i d e t h e k i n d o f h e l p t h a t makes t h e u n i q u e mode o f p e r c e p t i o n a i m e d a t a g e n u i n e a n d l i k e l y o u t c o m e . ( B r a u n e r , 1988, p.24) The t r a j e c t o r y p r o j e c t o f f e r s s u c h an o p p o r t u n i t y t o l e a r n new i d e a s i n t h e c o n t e x t o f a ".genuine a n d l i k e l y o u t c o m e . " The a u t h o r w i s h e s t o p r o v i d e t h e r e a d e r w i t h more e x a m p l e s o f a m a t h e m a t i c s e d u c a t i o n r o o t e d i n p e r c e p t i o n . What t h e r e a d e r s h o u l d s e e o p e r a t i n g t h r o u g h o u t i s t h e l e a r n i n g r e s u l t i n g i n a c t u a l p e r c e p t i o n , t h e c o m p u t e r p l u g g e d i n t o t h e c o n c e p t u a l s y s t e m t o f a c i l i t a t e i n f o r m a t i o n p r o c e s s i n g ( F i g u r e 3) a n d t h e m a t h e m a t i c s o p e r a t i n g a c r o s s some o f t h e n i n e modes o f p e r c e p t i o n ( T a b l e 1) i n an i n t e g r a t i n g f a s h i o n . 60 P e r c e p t i v i s t - c o n s t r u c t i v i s t modelling The a c q u i s i t i o n o f t h e c o n c e p t o f a f u n c t i o n , a n d t h e a b i l i t y t o u s e i t , i s one o f t h e c e n t r a l t a s k s i n s e c o n d a r y m a t h e m a t i c s . I t i s t h e b a s i s o f r e a l w o r l d m o d e l l i n g b e c a u s e i t b r i d g e s t h e gap b e t w e e n r e a l i t y a n d e x p e r i e n c e . I t d o e s t h i s b e c a u s e t h e c o n c e p t e x i s t s a t f i v e l e v e l s ; a s a s e t o f o r d e r e d p a i r s , as a t a b l e o f v a l u e s ( d a t a ) , a s a g r a p h , as a r u l e ( e q u a t i o n ) a n d a s a s e n t e n c e i n E n g l i s h . The m a i n g o a l o f p r e s e n t g r a d e e l e v e n a n d t w e l v e s e c o n d a r y m a t h e m a t i c s i s t o b u i l d a w o r k i n g k n o w l e d g e o f l i n e a r , q u a d r a t i c p o l y n o m i a l , e x p o n e n t i a l a n d l o g a r i t h m i c a n d t r i g o n o m e t r i c f u n c t i o n s . P e r c e p t i o n i s t - c o n s t r u c t i v i s t m o d e l l i n g i n v o l v e s f o u r m a i n c o m p o n e n t s ; a r e a l w o r l d p r o b l e m , d a t a , ' a m a t h e m a t i c a l m o d e l a n d p r e d i c t i o n s (See F i g u r e 9 ) . R e a l i t y g i v e s o f f i m p u l s e s t h a t may be s e l e c t i v e l y a t t e n d e d t o w i t h t h e u s e o f c o n c e p t s . I n t h e c a s e o f m a t h e m a t i c s t h e s e c o n c e p t s w o u l d be t h o s e s u c h as number, o p e r a t i o n , v a r i a b l e , e q u a t i o n , c u r v e , f u n c t i o n , s l o p e , i n t e g r a l . T h e s e c o n c e p t s s h a p e o u r p e r c e p t i o n o f t h e w o r l d . D a t a c a n be c o l l e c t e d f r o m e x p e r i e n c e s a n d o r g a n i z e d i n t a b l e s a n d g r a p h s . A m o d e l c a n t h e n be c o n s t r u c t e d a n d o f t e n a r u l e d e v i s e d . The (model) 61 T i f u n c t i o n : o r d e r e d p a i r s t a b l e o f v a l u e s g r a p h r u l e E n g l i s h s e n t e n c e , l e a d i n g t o p e r c e p t i o n . F i g u r e 9 . P e r c e p t i v i s t - c o n s t r u c t i v i s t m o d e l l i n g ; d i s t a n c e f a l l e n a s a f u n c t i o n o f t i m e e l a p s e d s i n c e d r o p p e d 62 r u l e w i l l i n t u r n i n f l u e n c e t h e way we s e e t h e w o r l d . P r e d i c t i o n s c a n be made w i t h t h e m o d e l a n d t e s t e d a g a i n s t r e a l d a t a . The i n t e r a c t i o n b e t w e e n r e a l i t y a n d m o d e l i s c o n s i s t e n t l y t h e r e . R e a l i t y , t h r o u g h d a t a , p u t s c o n s t r a i n t s i n o u r m o d e l . Our m o d e l s a n d c o n c e p t s s h a p e t h e way we p e r c e i v e t h e w o r l d : F o r e x a m p l e , t h e p e r i o d i c v a r i a t i o n o f (a) p r o p e r t i e s o f c h e m i c a l e l e m e n t s ( F i g u r e 1 0 ) , Ob) r i s e a n d f a l l o f c i v i l i z a t i o n s ( F i g u r e 11) (c) i m p u l s e s f r o m h e a r t b e a t ( F i g u r e 12) a n d (d) o c c u r r e n c e o f s u n s p o t s ( F i g u r e 1 3 ) . The c o n c e p t o f p e r i o d i c i t y i s c r i t i c a l t o s e e i n g w h a t ' s o c c u r r i n g i n t h e s e v a r i o u s d i v e r s e phenomena. T r a d i t i o n a l m a t h e m a t i c s e d u c a t i o n o f t e n g e t s t r a p p e d i n t h e r e a l m o f t h e m o d e l , f o r g e t t i n g t h e o t h e r t h r e e r e a l m s a n d . t h e i r i n t e r a c t i o n . What r e s u l t s i s an i n t e l l e c t u a l l y s t e r i l e m a t h e m a t i c s . The P e r c e p t i v i s t -c o n s t r u c t i v i s t a l t e r n a t i v e i s t o p r o c e e d q u i c k l y t o a p p l i c a t i o n s s o t h a t t h e f u l l , a c c u r a t e p i c t u r e c a n b e g i n t o t a k e s h a p e i n t h e s t u d e n t . What makes t h i s p o s s i b l e now, w h e r e a s i t was j u s t a p i p e d r e a m i n t h e p a s t , i s t h e c o m p u t i n g p o w e r o f o u r i n f o r m a t i o n age p e r s o n a l c o m p u t e r s , as F e y a n d Good a r g u e . 63 Kins AjfHiq.iv i F i g u r e 10. " P e r i o d i c " V a r i a t i o n o f C h e m i c a l P r o p e r t i e s ( C o n s i d i n e , 1976, p.1731) g u r e 11. " P e r i o d i c " V a r i a t i o n D e v e l o p m e n t o f C u l t u r a l 65 F i g u r e 12. " P e r i o d i c " V a r i a t i o n i n H e a r t b e a t ( C o n s i d i n e , 1976, p.1242) F i g u r e 13. " P e r i o d i c " V a r i a t i o n i n S u n s p o t A c t i v i t y ( C o n s i d i n e , 1976, p.2123) 66 F o r a g i v e n f u n c t i o n f ( x ) , f i n d — 1. f ( x ) f o r x = a; 2. x so t h a t f ( x ) = a; 3. x s o t h a t maximum o r minimum v a l u e s o f f ( x ) o c c u r ; 4. t h e r a t e o f c h a n g e i n f n e a r x = a; 5. t h e a v e r a g e v a l u e o f f o v e r t h e i n t e r v a l ( a , b) F o r n e a r l y e v e r y f u n c t i o n o f i n t e r e s t , c o m p u t e r u t i l i t i e s make a l l f i v e q u e s t i o n s a c c e s s i b l e i n some i n t e l l e c t u a l l y h o n e s t a n d m a t h e m a t i c a l l y p o w e r f u l f o r m t o s t u d e n t s who h a v e n o t f o l l o w e d t h e c o n v e n t i o n a l r e g i m e n o f s k i l l d e v e l o p m e n t . (Fey & Good, 1985, p. 48) Computer as s i s t e d exploration of the exponential  function The e x p o n e n t i a l f u n c t i o n , a n d i t s i n v e r s e t h e l o g a r i t h m i c f u n c t i o n , c a n be d i s c u s s e d w i t h r e g a r d t o v a r i o u s a p p l i c a t i o n s i n b u s i n e s s , e c o l o g y , m e d i c i n e a n d s c i e n c e . The f u n c t i o n s m o d e l s u c h phenomena as compound i n t e r e s t , f o r g e t t i n g , r a d i o a c t i v e d e c a y , d r u g a b s o r p t i o n , p r o b a b i l i t y , p o p u l a t i o n g r o w t h a n d i n f l a t i o n . G r a p h s , t a b l e s o f v a l u e s a n d s o l u t i o n s t o e q u a t i o n s a r e a v a i l a b l e a t t h e p u s h o f a b u t t o n . The s t u d e n t ' s t a s k s h i f t s t o t h e m a s t e r y a n d a p p l i c a t i o n o f t h e c o n c e p t s t h a t w e l d t o g e t h e r t h e e x p e r i e n c e a n d t h e m o d e l . The p e r c e p t i v i s t n o t i o n o f t h e e d u c a t e d p e r s o n becomes a p p r o a c h a b l e as m a t h e m a t i c s s h i f t s f r o m number c r u n c h i n g t o t h e i n f o r m e d a p p l i c a t i o n o f q u a n t i t a t i v e r e a s o n i n g t o r e a l w o r l d p r o b l e m s . 67 F o l l o w i n g a r e t h r e e e x a m p l e s o f t h e u s e o f t h e e x p o n e n t i a l f u n c t i o n i n s i t u a t i o n s s t u d e n t s a r e l i k e l y t o be a b l e t o p e r c e i v e a s r e l e v a n t t o t h e i r l i v e s : (a) p o p u l a t i o n g r o w t h , (b) i n f l a t i o n , a n d (c) t h e c o m p o u n d i n g g r o w t h o f l o n g t e r m i n v e s t m e n t s . The f i r s t s e t o f g r a p h s ( F i g u r e 1 4 ) , shows t h e e f f e c t o f 100 y e a r s o f p o p u l a t i o n g r o w t h s t a r t i n g a t o u r p r e s e n t E a r t h p o p u l a t i o n o f 5 b i l l i o n a n d p r o j e c t i n g 1, 2, 3 an d 4 p e r c e n t a n n u a l p o p u l a t i o n g r o w t h r a t e s . C a r r y i n g c a p a c i t y i s a r b i t r a r i l y i n t r o d u c e d as 30 b i l l i o n . U s e f u l d i s c u s s i o n s a n d e x e r c i s e s c o u l d be d e v e l o p e d a r o u n d i s s u e s s u c h a s : 1. What d o e s t h e g r o w t h r a t e f i g u r e mean? How m i g h t i t be d e t e r m i n e d ? How i s C a n a d a d o i n g i n t h i s r e g a r d ? 2. What h a p p e n s i f we e x c e e d t h e c a r r y i n g c a p a c i t y o f t h e E a r t h ? What w o u l d t h e g r a p h l o o k l i k e ? What w o u l d t h i s mean i n human t e r m s ? 3. What w o u l d a s u c c e s s f u l s o l u t i o n t o t h e " p o p u l a t i o n p r o b l e m " l o o k l i k e g r a p h i c a l l y ? G r a p h i c a l l y s p e a k i n g what i s t h e " p o p u l a t i o n p r o b l e m " ? Do y o u t h i n k t h e r e i s a p r o b l e m o r i s i t a l l j u s t so much w o r r y i n g a b o u t n o t h i n g ? 68 F u n c t i o n s : y « 5 * ( l + . 0 2 > T x y = 5 * ( l + . 0 3 > t x y = 5 * d + . 0 i : ) t x y = 3 0 / X - A X I S : O . . . i O O S T E P 5 Y - A X I S : 8 , . . 1 0 0 S T E P 5 F i g u r e 14. E x p o n e n t i a l F u n c t i o n a n d P o p u l a t i o n G r o w t h ( S m a l l e r g r o w t h r a t e c o r r e s p o n d s t o l o w e r c u r v e ) P e r c e p t i v i s m , b y way o f i t s o r i e n t a t i o n t o t h e w o r l d a n d t o b e i n g e d u c a t e d , i s s u g g e s t i n g what t o do. Get b e y o n d mere f a c t o r c o n c e p t m a s t e r y t o a c t u a l p e r c e p t i o n o f t h e w o r l d . C o n s t r u c t i v i s m i s s h o w i n g how t o do i t . E x p l o i t t h e c o m p u t e r t o a l l o w a c t i v e c o n s t r u c t i o n b y t h e l e a r n e r . The c o m p u t e r i s m a k i n g t h e i n f o r m a t i o n p r o c e s s i n g - p r a c t i c a b l e . The s t u d e n t 69 u s e s t h e c a l c u l a t i n g p o w e r o f t h e c o m p u t e r t o g e t b e y o n d t h e t e c h n i c a l d e t a i l s i n o r d e r t o a t t a i n c o n c e p t m a s t e r y , u n d e r s t a n d i n g t h r o u g h u s e a n d a c t u a l p e r c e p t i o n . The s e c o n d g r o u p o f g r a p h s , ( F i g u r e 1 5 ) , shows t h e e f f e c t o f i n f l a t i o n on a $2.50 h a m b u r g e r o v e r t h e n e x t 100 y e a r s a t 3, 5, 10 a n d 15 p e r c e n t a n n u a l i n f l a t i o n . A f u t u r e r e f e r e n c e p o i n t o f $50 f o r t h e b u r g e r i s i n c l u d e d . D i s c u s s i o n s a n d q u e s t i o n s c o u l d f o c u s on t h e e f f e c t s o f i n f l a t i o n on s t u d e n t ' s s t a n d a r d o f l i v i n g o v e r t h e n e x t 50 y e a r s o f t h e i r l i v e s ( t h e i r i n c o m e p r o d u c i n g y e a r s ) . F i n a n c i a l p l a n n i n g s t r a t e g i e s c o u l d be d i s c u s s e d a n d e v e n a t t e m p t e d by s t u d e n t s . A l o t o f t h e a l g e b r a a n d c o n t r i v e d w o r d p r o b l e m s i n s e n i o r m a t h e m a t i c s c l a s s e s a r e u s e f u l f o r f u t u r e s c i e n t i s t s a n d m a t h e m a t i c i a n s a n d t o a c t as a f i l t e r d e v i c e s f o r h i g h e r e d u c a t i o n i n s t i t u t i o n s b u t s e r v e s i m p l y t o m y s t i f y a n d a l i e n a t e t h e v a s t m a j o r i t y o f s t u d e n t s . C o m p u t e r a s s i s t e d m a t h e m a t i c s o f f e r s an o p p o r t u n i t y t o make a u s e f u l a n d r e l e v a n t m a t h e m a t i c s e d u c a t i o n a v a i l a b l e t o c o n s i d e r a b l y more s t u d e n t s t h a n a t p r e s e n t . The t h i r d s e t o f g r a p h s , ( F i g u r e 1 6 ) , i l l u s t r a t e s compound amount o f an i n v e s t m e n t . E m e r g e n c y , s h o r t 70 T u n c t i o n s : y = 2 . 5 0 * < 1 + . 0 5 :> f x y = 2 . 5 0 * C l + .03:>Tx y = 2 . 5 0 * ( 1 + . 10.) t x y = 2 . 5 0 * < l + . 15:>tx y = 5 0 X - A X I S : 0 . . . ± 0 0 S T E P 5 Y - A X I S : O...1O0 S T E P 5 E x p o n e n t i a l F u n c t i o n ( s m a l l e r i n f l a t i o n l o w e r c u r v e ) a n d I n f l a t i o n r a t e c o r r e s p o n d s t e r m a n d l o n g t e r m s a v i n g s c o u l d be d i s c u s s e d . F u n c t i o n s : y=5*C1+.05)tx y=5*(i+. io> tx y=5*(l+. i5>tx y=50 / f 4-5 5 F i g u r e 16. E x p o n e n t i a l F u n c t i o n a n d Compound I n t e r e s t I n t e r p o l a t i o n c o u l d be u s e d t o f i n d t h e v a l u e o f t h e i n v e s t m e n t a t v a r i o u s t i m e s . The w r i t e r ' s e x p e r i e n c e i n t h e c l a s s r o o m i n d i c a t e s t h a t e v e n s t u d e n t s o f l i m i t e d a b i l i t y c a n make p r o g r e s s w i t h t h e i d e a s h e r e i f t h e c o m p u t e r r e l i e v e s t h e m o f t h e b u r d e n o f t h e a c t u a l c o m p u t a t i o n s . C o n c e p t u a l d e v e l o p m e n t i n m a t h e m a t i c s c a n t h e n o c c u r a n d so i t becomes p o s s i b l e f o r t h e s t u d e n t t o d e v e l o p an i n f o r m e d , e d u c a t e d , q u a n t i t a t i v e u n d e r s t a n d i n g o f t h e i r e x p e r i e n c e s o f t h e w o r l d . By p e r m i t t i n g m a t h e m a t i c s t o f u n c t i o n s i m p l y as a f i l t e r m e c h a n i s m we f a i l t o e d u c a t e b y s i m p l e 72 d e f a u l t . I n f a i l i n g t o e x p l o i t t h e e d u c a t i o n a l p o t e n t i a l o f t h e c o m p u t e r i n m a t h e m a t i c s e d u c a t i o n we a r e l e a v i n g u n e d u c a t e d t h e 70% f i l t e r e d o u t . Functions as models of r e a l i t y I f m a t h e m a t i c s e d u c a t i o n i s t o a c h i e v e a m e a s u r e o f i n t e l l e c t u a l r e s p e c t a b i l i t y w i t h i n a p e r c e p t i v i s t p h i l o s o p h y o f e d u c a t i o n i t must show i t i s more t h a n some e s o t e r i c t a u t o l o g y . I t c a n do t h i s b y s h o w i n g t h e s t u d e n t now t h a t i t c a n h e l p us t o s e e t h e w o r l d i n new a n d u s e f u l ways. The c o m p u t e r seems t o be an i n d i s p e n s a b l e t o o l n e e d e d t o o v e r c o m e t h e c o m p u t a t i o n a l d i f f i c u l t i e s e n c o u n t e r e d i n a p p l y i n g m a t h e m a t i c a l f u n c t i o n s t o m o d e l r e a l w o r l d phenomena ( s e e F i g u r e 3 ) . T h i s i s n o t t o s a y t h e r e i s no p l a c e f o r t h e t r a n s m i s s i o n o f i n f o r m a t i o n . B u t s t u d e n t s must q u i c k l y be g i v e n t h e r e s p o n s i b i l i t y o f c o n s t r u c t i n g m e a n i n g f r o m t h e i n f o r m a t i o n , e x p l a i n i n g by r e l a t i n g i t t o p r e v i o u s k n o w l e d g e , o r i e n t i n g new k n o w l e d g e w i t h r e s p e c t t o o l d a n d i n t e g r a t i n g c o m p e t i n g ways o f l o o k i n g a t t h i n g s so t h a t t h e y c a n a c h i e v e t h e d e s i r e d p e r c e p t i o n s . The e s s e n t i a l f a c i l i t a t o r i n t h i s p r o c e s s i s t h e c o m p u t e r . The NCTM s t a n d a r d s d o c u m e n t s a r g u e s : 73 C o m p u t e r t e c h n o l o g y p r o v i d e s t o o l s , e s p e c i a l l y s p r e a d s h e e t s a n d g r a p h i n g u t i l i t i e s , t h a t make t h e s t u d y o f f u n c t i o n c o n c e p t s a n d t h e i r a p p l i c a t i o n s a c c e s s i b l e t o • a l l s t u d e n t s i n g r a d e s 9-12. T h i s t e c h n o l o g y makes i t p o s s i b l e f o r s t u d e n t s t o o b s e r v e t h e b e h a v i o u r o f many t y p e s o f f u n c t i o n s , i n c l u d i n g d i r e c t a n d i n v e r s e v a r i a t i o n , g e n e r a l p o l y n o m i a l , r a d i c a l , s t e p , e x p o n e n t i a l , l o g a r i t h m i c , a n d s i n u s o i d a l . A l l s t u d e n t s s h o u l d u s e a g r a p h i n g u t i l i t y t o i n v e s t i g a t e how t h e g r a p h o f y = a f (bx + c) + d i s r e l a t e d t o t h e g r a p h o f y = f ( x ) f o r v a r i o u s c h a n g e s o f t h e p a r a m e t e r s a, b, c, an d d. (NCTM, 1989, p. 155) The Bouncing B a l l " B o u n c i n g b a l l " d e t a i l s t h e d e v e l o p m e n t o f a m o d e l o f b o u n c i n g b a l l r e l e a s e d f r o m a b o v e t h e g r o u n d a n d a l l o w e d t o b o u n c e . A c o m b i n a t i o n o f e x p o n e n t i a l , a b s o l u t e v a l u e a n d c o s i n e f u n c t i o n s i s f o u n d t o m o d e l t h e damped m o t i o n s o f t h e b o u n c i n g b a l l r e a s o n a b l y w e l l . O p p o r t u n i t i e s t o a l l o w f o r d i f f e r e n t e l a s t i c i t y f o r t h e b a l l , d i f f e r e n t g r a v i t y a n d v a r i a b l e d a m p i n g e f f e c t c a n be e x p l o r e d b y s t u d e n t s . The p e r f o r m a n c e o f an a c t u a l b a l l ( e . g . l a c r o s s e ) c o u l d t h e n be m o d e l l e d a n d c o m p a r e d w i t h t h e p e r f o r m a n c e o f a d i f f e r e n t b a l l ( e . g . t e n n i s ) . The b o u n c i n g b a l l n e e d s t h r e e f u n c t i o n s t o m o d e l i t : 1. t h e s i n e o r c o s i n e t o g e t up a n d down, 74 2. a b s o l u t e v a l u e t o do away w i t h n e g a t i v e v a l u e s , 3. e x p o n e n t i a l t o g e t t h e d a m p i n g e f f e c t . A f t e r p l a y i n g w i t h e x p l o r a t o r y e x e r c i s e s s u c h as t h o s e f o l l o w i n g ( F i g u r e s 17 a n d 1 8 ) , s t u d e n t s w o u l d be i n a p o s i t i o n t o m o d e l t h e b e h a v i o r o f s p e c i f i c b o u n c i n g b a l l s , w i t h d i f f e r e n t f r e q u e n c i e s , a m p l i t u d e s a n d d e c a y r a t e s . Q u e s t i o n s a b o u t c o m p a r i s o n s w i t h what w o u l d h a p p e n on t h e moon a n d t h e p o s s i b i l i t y o f a b a l l b o u n c e t h a t d i d n ' t d e c a y b u t b o u n c e d h i g h e r a n d h i g h e r e a c h b o u n c e , c o u l d be s e t . P r e f o r m a l e x p e r i m e n t a t i o n h o p e f u l l y w i l l e n c o u r a g e s t u d e n t i n d e p e n d e n c e a n d c o n f i d e n c e . Tide Equation " T i d e e q u a t i o n " e x p l o r e s t h e a b i l i t y t o m o d e l t i d e s . The s i n e f u n c t i o n seems a d e q u a t e . I t i s u s e f u l t o n o t e , i n t h i s c a s e , how a g r a p h i n g p r o g r a m c a n h e l p p r o v i d e f i v e o f t h e b a s i c f e a t u r e s o f a f u n c t i o n : v a l u e f o r a g i v e n v a l u e o f x, v a l u e o f x t o p r o d u c e a g i v e n y, s l o p e a t a p o i n t , minimum o r maximum v a l u e s on an i n t e r v a l a n d a v e r a g e v a l u e on an i n t e r v a l . W a t e r d e p t h i n a t i d a l r e g i o n c a n be m o d e l l e d w i t h t h e s i n e f u n c t i o n . A m p l i t u d e a n d f r e q u e n c y c a n be m o d e l l e d a n d d i s c u s s e d i n a way t h a t c o n n e c t s w i t h e x i s t i n g k n o w l e d g e . The a v e r a g e v a l u e o f a c o n t i n u o u s 75 Funct i on: y«70*<2.71tc-.05*x)J+abs<cosC.25*x)) i i i i i ', i i i i i. I A II \ I/ <. A u i. / \ II' i. ! '{ r V V ^ N - - - -X - f l X I S : O...29Q S T E P ± 0 Y - A X I S : 9 . . . S 3 S T E P 5 F i g u r e 17. B o u n c i n g b a l l , r a p i d d e c a y F u n c t i o n : y=70*C2. 71T c-. 02*x)) #abs <: s i n <. SO*x)) il II H . I I I l) i! 11 i ts 11 )\ i i U II II M l || "Ml II If I IP* i I ! I I It I J'i . ' 11, ."i ,i I .'I ii AA A A *.. r t 1 ! ! f '/ '/ '1 ii ii i if i.« i n i ' it) n A * , ! ! ! M i f f [ H H H V V V V \ A A A A A . - . V I 2 V T I : 2 • • • 2QO S T E P i.6 Y - r t X I S : 8 . . . 5 8 S T E P 5 F i g u r e 18. B o u n c i n g b a l l , s l o w d e c a y f u n c t i o n c a n be m e a n i n g f u l l y i n v e s t i g a t e d h e r e , t h a t J A f ( X ) dx (-b-a) t h e d e f i n i t e i n t e g r a l b e i n g done on t h e m a c h i n e . V a r i a t i o n s on t h e b a s i c e x e r c i s e m i g h t i n c l u d e c h a n g i n g t h e m o d e l t o r e f l e c t d e e p e r w a t e r a n d s e a s o n a l c h a n g e s i n t i d a l d e p t h . A d i s c u s s i o n o f a c t u a l t i d e s w i l l u n p a c k much o f t h e i n f o r m a t i o n so c o m p a c t l y s t o r e d i n t h e m a t h e m a t i c a l m o d e l . Motion w i t h R e s i s t a n c e " M o t i o n w i t h R e s i s t a n c e " g i v e s a f u l l f o r m a l a c c o u n t o f how f a l l i n g o b j e c t s b e h a v e w h i l e a c c e l e r a t i n g t o w a r d s e a r t h w h i l e e x p e r i e n c i n g a i r r e s i s t a n c e . What i s o f v a l u e h e r e i s t h e e x p l o r a t i o n p o s s i b l e on t h e c o m p u t e r g i v e n t h e e x p r e s s i o n s f o r v e l o c i t y a n d d i s t a n c e . The c o n c e p t s o f t e r m i n a l v e l o c i t y , a v e r a g e d r a g c o e f f i c i e n t a n d a c c e l e r a t i o n due t o g r a v i t y c a n be i n v e s t i g a t e d n u m e r i c a l l y . The d a t a c a n be u s e d t o e x p l a i n t h e d i f f e r e n c e i n b e h a v i o r b e t w e e n a l e a d b a l l a n d a f e a t h e r f a l l i n g t o E a r t h . T h i s r e p r e s e n t s t h e k i n d o f i n f o r m e d , q u a n t i t a t i v e i s , a v e r a g e w a t e r d e p t h o v e r a t i d a l c y c l e . T h i s a v e r a g e v a l u e c a n be c a l c u l a t e d as f o l l o w s ; F u . i c t i on: y » 3 * s i n <0.5*x)+20 77 X r f t X I S : 9 Y - A X I S : 0 J -«•;£« . . J.QO S T E P 5 ..38 S T E P 1 F i g u r e 19. W a t e r d e p t h v a r i a t i o n i n t i d a l c y c l e s Funct i ons: y = 3 * s i n ( 0 . 5 * x >+20 y= » 3*sin <0. 5*r.) +20 y » 3 * s i n(0 .5*x)+20 fi&saik. • mm ft • / •xisgjinw-' sssniiii suramin bh&siiiiii -Kami «in KBSIIIIII nuu. t S~%Slfiz g - . . ± e o S T E P 5 Y - A X I S : fl.»,38 S T E P i F i g u r e 2 0 . A v e r a g e v a l u e o f a f u n c t i o n on t h e c o m p u t e r 78 discussion of aspects of the world that mathematical competency should enable. Funct i o n : v=3*si n (. 0. 5*x > +20 ii\V\'t. FI 1111 >. Ii, •i I I Pi .<ll CIIMI llrwll II I m i n i m i iiin i MINI Mill Mil! I mill mil inn i I I l m Mill film 1 !! Ill lllll Mill III ..tin um mil viim um mil min inn m i n i m i inn m Ml ni l i m IK IIN A u ,k ill 111 IK-iltl III lllll III I l l l l \ II I II I I I 11 ll l l l I I 4 . I I t I 1 11 r\ I jjjV.vi m m i II m in .•-rr.. 1 11 IS. II lllf. I IIIIK lill III II! "Ill II II III i l l .il IIV. / m i ;i nit v.-i'i inn um ii i m II i i JJIl Mil I III.. Illlllll HIM" t lllll lllll i mi i um i t mil i I fr 1 ' 1 .•I'ITN 11 f'. .fx II III ... II. u m n m mil in iniiif'. i II fv^lll mil J l U U I I U i l t Li JI I I I J I L I U I U n III il i mn . um i mi n mil K I \ ,1 I iV-i i mn III n u 01JJJL jji II JJJU.LJ J U U i I UJJ I LUll U.UilU J X - A X I S : O . . . 1 6 6 S T E P 5 - . . Y - A X I S : 9 . . . 3 8 S T E P 1 Figure 21. Average t i d a l depth If an object i s dropped from a height h above the Earth, a i r resistance ignored, the v e l o c i t y (v) and distance (d) are given by v = at = 32t d - .5at 2 = 16t 2, where a i s acceleration due to gravity Vel o c i t y increases i n d e f i n i t e l y with respect to time and supposedly a l l objects f a l l at the same rate since there i s no mention of mass. With a i r resistance the si t u a t i o n i s d i f f e r e n t (see equations 16 and 17 below). Some devices even depend on the eff e c t s of a i r The c o m p u t e r f a c i l i t a t e s t h e i n v e s t i g a t i o n o f t h i s t y p e o f m o t i o n u n d e r t h e c o n s t r a i n t o f r e s i s t a n c e , i n w h i c h v = ( v 0 + v t) * e x p ( - p t ) - v t , w h e r e v x i s t e r m i n a l v e l o c i t y , p i s d r a g c o e f f i c i e n t , v 0 i s o r i g i n a l v e l o c i t y , t i s t i m e , a n d e x p (x) i s e* F o r s i m p l i c i t y assume v 0 = 0 a n d u s e v t = g/p t o g e t g i s a c c e l e r a t i o n due t o g r a v i t y , v = g/p * e x p ( - p t ) - g/p (16) A l s o t h e h e i g h t o f t h e o b j e c t a b o v e g r o u n d i s g i v e n b y ; y = y Q - y t + I / P * ( v G + v T) * a - e x p ( - p t ) ) w h e r e y i s h e i g h t a b o v e g r o u n d . F o r s i m p l i c i t y u s e v t = g/p a n d assume v 0 = 0. y = y» - g/p * t + i / p * (g/p * ( l - e x p ( - p t ) ) (17) N o t i c e b e l o w t h a t t h e v e l o c i t y d o e s n o t i n c r e a s e i n d e f i n i t e l y b u t r a t h e r a t e r m i n a l v e l o c i t y i s a t t a i n e d . E x p e r i m e n t a t i o n s h o u l d t h e n p r o c e e d t o d e t e r m i n e what p h y s i c a l a n d c o r r e s p o n d i n g m a t h e m a t i c a l f a c t o r s w i l l i n f l u e n c e t e r m i n a l v e l o c i t y ( F i g u r e 22) . The h e i g h t o f o b j e c t s i n f r e e f a l l c a n be s t u d i e d u s i n g e q u a t i o n 17. O b v i o u s l y f e a t h e r s b e h a v e d i f f e r e n t l y f r o m c a n n o n b a l l s . B e l o w , d i f f e r e n t f r e e f a l l s a r e p l o t t e d a n d t h e s t u d e n t c a n e x p l o r e t h e F u n c t i o n s : ° u i) ya(32/0.5)*<:2.71t<-0.S*x5)-32/0.5 Wi y«<32/1.5)*(2.71t(-1.5*x) )-32/1.5 ml y=<32/.20)*C2.71tO.20*x> )-32/.20 W1y»C32/. 19>*<2.71*<-. 19*x) )-32/. 19 v) y=C32/. 1S)*<2.71T<-. 16*x) )-32/. IS X - A X I S : Q . . . 5 6 S T E P 5 Y - A X I S : - 2 0 8 . . . 2 8 0 S T E P 5 0 F i g u r e 22. T e r m i n a l V e l o c i t y i n M o t i o n w i t h R e s i s t a n c e f a l l s a r e p l o t t e d a n d t h e s t u d e n t c a n e x p l o r e t h e d i f f e r e n t p o s s i b i l i t i e s . 1. P e r s o n w i t h p a r a c h u t e p = 1.5 (U) on) v T = 21 f t / s e c . 2 . P e r s o n w i t h no p a r a c h u t e p = .15 v T = 213 f t / s e c . 3. P e r s o n u n b u t t o n e d o v e r c o a t p=.5 v x = 64 f t / s e c . ( F i g u r e 23) 81 F u n c t i ons: )) y « 5 0 0 0 - 2 1 . 3 * x + l / 1 . 5 * C 2 1 . 3 > * < l - 2 . 7 1 T O l . S * x > ) in"y=5000-213.*x + l / . 15*C212. ) *< 1-2. 7IT C-. I5*x> >' iSiy=5000-64. 0*x+1 / 0 . 5* C S4. 0) * < 1 - 2 . 71T (-. 50*x) ) "v. ( i n ; X - A X I S : y - f » x i s : F i g u r e 23 O . . . -40 S T E P ! Q . , . 5Q6Qi S T E P P o s i t i o n a s F u n c t i o n o f Time w i t h T e r m i n a l V e l o c i t y Damped O s c i l l a t o r y M otion "Damped O s c i l l a t o r y M o t i o n " a t t e m p t s t o m o d e l t h e g r a d u a l l y r e d u c i n g b a c k a n d f o r t h m o t i o n o f a p e n d u l u m o r v i b r a t i n g s p r i n g . A s i n e f u n c t i o n w i l l c a p t u r e t h e p e r i o d i c b e h a v i o r a n d a d j u s t m e n t s c a n b e made f o r a m p l i t u d e a n d p e r i o d . M u l t i p l y i n g b y a n a p p r o p r i a t e e x p o n e n t i a l f u n c t i o n w i l l t h e n c a u s e t h e a m p l i t u d e t o g r a d u a l l y d e c r e a s e o v e r t i m e , d u p l i c a t i n g t h e b e h a v i o r o f t h e p h y s i c a l s y s t e m . A c t u a l p e n d u l u m o r s p r i n g 8 2 s y s t e m s c a n be s t u d i e d a n d m o d e l l e d u s i n g a p p r o p r i a t e c o n s t a n t s . Once a g a i n , i n f o r m e d , q u a n t i t a t i v e d i s c u s s i o n o f a r e a l w o r l d s i t u a t i o n i s t h e v e h i c l e f o r c o n s t r u c t i n g m e a n i n g f u l u n d e r s t a n d i n g . V i b r a t i n g s p r i n g s a n d p e n d u l u m s g r a d u a l l y f a d i n g o u t a r e b o t h e x a m p l e s o f d e c a y i n g p e r i o d i c b e h a v i o r . M o d e l l i n g p e r i o d i c phenomena w i t h d e c r e a s i n g a m p l i t u d e s c a n be a c c o m p l i s h e d u s i n g a t r i g o n o m e t r i c f u n c t i o n t an d an e x p o n e n t i a l f u n c t i o n e x p ( - b x ) . The e q u a t i o n i s o f t h e f o r m A* t ( X ) * e x p ( - b x ) . S t u d e n t s c a n s t u d y t h e e x a m p l e s p r o v i d e d a n d a t t e m p t t o m o d e l an a c t u a l s p r i n g o r p e n d u l u m i n o s c i l l a t i o n , b y a d j u s t i n g p a r a m e t e r s i n t h e g e n e r a l f u n c t i o n . See F i g u r e 24. A t t h i s p o i n t i n t h e i r d e v e l o p m e n t s t u d e n t s s h o u l d a l s o be a b l e t o r e s e a r c h a p p l i c a t i o n s o f t h i s t y p e o f f u n c t i o n a l v a r i a t i o n . They s h o u l d a l s o be a b l e t o g e n e r a t e r e v e r s e d a m p i n g a n d s u g g e s t a p p l i c a t i o n s , , f o r e x a m p l e d e s t r u c t i v e v i b r a t i o n , a m p l i f i c a t i o n a n d s o u n d t h e o r y . Uninhibited Growth Model " G r o w t h M o d e l s " p r o v i d e s o u t l i n e s f o r t h r e e d i f f e r e n t m o d e l s o f g r o w t h : (a) u n i n h i b i t e d e x p o n e n t i a l g r o w t h ( a n d d e c a y ) , (b) i n h i b i t e d e x p o n e n t i a l g r o w t h t o a l i m i t , (c) i n h i b i t e d e x p o n e n t i a l g r o w t h t o l i m i t w here t h e r a t e i s p r o p o r t i o n a l o n l y t o t h e r e m a i n i n g 83 Functi ons: i) y=2*sinC2*x-3.1 ",h y=4*sin<2*x-3. 1 iii) y=S*sinC4*x-3. 1 ',*) y='5>*sin < l*x-3. i 4 5 *<2.71t(-x/5 : i ) 4) *<2.71T<-x/3> ) 4) *<2.7l1kOx/3> ) 4) *<2. 71TC-X/3) ) ( i l l ) I P . X - A X I S : 9-. . . ± 5 S T E P ± " - A X I S : . . 1 0 S T E P i F i g u r e 24. Damped O s c i l l a t o r y M o t i o n room f o r g r o w t h ( u n l i k e t h e p r e v i o u s c a s e w here t h e r a t e a l s o d e p e n d s on t h e p o p u l a t i o n s i z e r e m a i n i n g ) . A p p l i c a t i o n e x e r c i s e s i n b u s i n e s s , e c o l o g y , m e d i c i n e , p o p u l a t i o n t h e o r y , e c o n o m i c s , p h y s i c s , s o c i o l o g y a n d p s y c h o l o g y g i v e t h e s t u d e n t a c h a n c e t o s e e a n d e x p l o r e t h e d i v e r s e a p p l i c a t i o n s o f t h e t h r e e m o d e l s . 84 I f a p o p u l a t i o n reproduces i t s e l f at a r a t e p r o p o r t i o n a l t o i t s s i z e , a normal s o r t of s i t u a t i o n , then the p o p u l a t i o n P i s giv e n by P ( t ) = P 0 exp(kt) where k i s the percent of growth per year as a decimal f r a c t i o n . F i g u r e 25 below i s an i n v e s t i g a t i o n of f u t u r e world p o p u l a t i o n under the dual assumptions of u n i n h i b i t e d growth and percentage i n c r e a s e s r a n g i n g from .5% - 3%. F u n c t i o n s : '") y=5*2.71t(.010*x:> ii) y=5*2.71T<;.015*x:> iii*) y=5*2. 71T <.. 020*x) w> y=5*2.71TC.030*x) vi) y=5*2. 71T (.'. 005*x') v.-) y=5*2.7i-r<:. ooo*.-<:> "(vi) X - A X I S : - 1 0 O . . . 1 0 0 S T E P ± 6 V - A X I S : Q . . . S O S T E P S F i g u r e 25. World p o p u l a t i o n p r o j e c t i o n s 85 Exponential Decay I f a p o p u l a t i o n d e c l i n e s a t a r a t e p r o p o r t i o n a l t o t h e p r e s e n t p o p u l a t i o n t h e n , P ( t ) = P 0 e x p ( - k t ) w h ere k i s t h e p e r c e n t o f y e a r l y d e c l i n e as a d e c i m a l . The c o n s t a n t k f o r c a r b o n - 1 4 i s .00012. The t a b l e o f v a l u e s i n T a b l e 2 a n d g r a p h i n F i g u r e 2 6 c a n be u s e d t o show, f o r e x a m p l e , t h a t t h e h a l f l i f e o f t h e i s o t o p e i s s o m e t h i n g l i k e 5750 y e a r s a n d t h a t i f o n l y 7 0 % o f an o b j e c t ' s C-14 r e m a i n s t h e o b j e c t i s a b o u t 3000 y e a r s o l d . Inhibited Growth Model I f a p o p u l a t i o n i s c o n s t r a i n e d b y c e r t a i n l i m i t s t o g r o w t h s u c h dP = k P ( L - P ) where L i s t h e l i m i t a n d k d t t h e g r o w t h r a t e t h e n t h e p o p u l a t i o n i s g i v e n b y P ( t ) = P„*L  P D + e x p ( - L K t ) * ( L - P J The i n f l e c t i o n p o i n t o f t h e c u r v e w here t h e r a t e o f c h a n g e r e a c h e s a maximum a n d t h e n d e c l i n e s i s P = .5L. The g r a p h i n F i g u r e 27 a n d t a b l e o f v a l u e s i n T a b l e 3 d e p i c t w o r l d p o p u l a t i o n u n d e r t h e c o n s t r a i n t o f L = 30 b i l l i o n . 86 Table 2 D e c a y o f c a r b o n - 1 4 Age o f o b j e c t P e r c e n t C-14 r e m a i n i n g x 1 0 0 * ( 2 . 7 ? ( - . 0 0 0 1 2 * x ) ) 0. 100.00 1000. 88.72 200 0 . 78.72 3000. " 69.84 4000. 69. 84 5000. 54.98 6000. 48 . 78 7000. 43.28 8000. 38.40 9000. 34.07 10000. 30.23 11000. 26. 82 12000. 23. 80 13000. 21.11 14000. 18.73 15000. 16. 62 16000. 14.75 17000. 13.08 18000. 11. 61 19000. 10.30 2 0 0 0 0 . 9.14 I f t h e i s s u e c o u l d be c a r r i e d on u s i n g t h e m o d e l as a q u a n t i t a t i v e b a s i s . T a b l e 4 a n d F i g u r e 2 8 d e p i c t an a n a l o g o u s g r o w t h s i t u a t i o n i n w h i c h d i s e a s e g r a d u a l l y s p r e a d s t o i n f e c t t h e e n t i r e p o p u l a t i o n o f a t o w n o f 2,000 p e o p l e . The p h y s i c a l b a s i s f o r t h e m a t h e m a t i c a l s i m i l a r i t y c o u l d be d i s c u s s e d w i t h s t u d e n t s . 87 F u n c t i o n s : y = 1 0 0 * C 2 . 7 1 T < - . 0 0 0 1 2 * x !>) y = 7 0 y = 5 0 • ***. X V - A X I S : - A X I S : 9 . . 8 . , . 2 9 9 0 8 S T E P 1 Q 9 0 . ± 0 9 S T E P 5 F i g u r e 26. C-14 d e c a y Inhibited Growth (L-P) A t h i r d m o d e l o f g r o w t h assumes dP = k ( L - P ) where d t L-P i s t h e a v a i l a b l e room f o r g r o w t h a n d P=0 when t = 0 . The p o p u l a t i o n a t any t i m e i s g i v e n b y P ( t ) = L ( 1 - e x p ( - k t ) ) 88 F u n c t i o n s : »*» y= < 5 * 3 0 ) / ( 5 + 2 . 711 < - 3 0 * . 0 1 *x5 * C 3 0 - 5 5 :> if) y=cs * 3 0 ) / <s+2.7i-r c - 3 0 * . ooi*x 5*00-55:» JM) y = C 5 * 3 0 5 / ( 5 + 2 . 7IT ( - 3 0 * . 0 0 5 * x ) * < 3 0 - 5 5 5 i») y= ( 5 * 3 0 5 / C5+2. 71TC - 3 0 * . 0 2 0 * x 5 * ( 3 0 - 5 5 5 X - A X I S : 8 ... 59 STEP 5 V - A X I S : 9, , , -40 STEP 5 F i g u r e 2 7. W o r l d p o p u l a t i o n , i n h i b i t e d g r o w t h m o d e l T a b l e 3 W o r l d p o p u l a t i o n f i g u r e s f o r t h e i n h i b i t e d g r o w t h m o d e l ( 2 % a n n u a l g r o w t h r a t e ) Y e a r s f r o m p r e s e n t W o r l d p o p u l a t i o n i n b i l l i o n s ( 5 * 3 0 ) / ( 5 + 2 . 7 t ( - 3 0 * . 0 2 0 * x ) * ( 3 0 - 5 ) 0.0 2.5 5.0 7.5 10.0 12.5 15.0 17.5 5.00 14.15 23. 98 28.40 29. 63 29. 93 29. 98 30.00 89 Table 4 D i s e a s e s p r e a d i n a c i t y u s i n g t h e i n h i b i t e d g r o w t h m o d e l Time i n weeks Number o f p e o p l e i n f e c t e d (10*2000) / (10+2 . 7T ( -2000* .003*x)* (2000-10) 0. 00 10. 00 0.10 18.11 0.20 32.70 0.30 58. 69 0.40 104.25 0.50 181.25 0. 60 307.81 0.70 497.19 0. 80 751.35 0. 90 1045.08 1.00 1331.22 1.10 1567.13 1.20 1736.31 1.30 1845.87 1.40 1912.21 1.50 1950.76 1. 60 1972.62 1.70 1984.85 1. 80 1991.64 1. 90 1995.40 2 . 00 1997.47 Assume t h e l i m i t L, p e r c e n t a g e o f t h e p o p u l a t i o n t h a t w i l l b u y a p r o d u c t i s 1 0 0% i . e . L = l . S u p p o s e i t h a s b e e n d e t e r m i n e d t h a t t h e p e r c e n t a c c e p t a n c e i n c r e a s e r a t e k = .07 s o t h a t t h e p o p u l a t i o n b u y i n g t h e p r o d u c t i s g i v e n by P ( t ) = 1 ( l - e x p ( - . 0 7 t ) ) The g r a p h i n F i g u r e 2 9 shows t h e number o f t i m e s t o a d v e r t i s e t o g e t any g i v e n d e g r e e o f a c c e p t a n c e . 90 F u n c t i on: y«<10*2000 / (. 10+2. 71 T< -2000*. 003*x *<2000-10) X - A X I S : 0 . . . 2 S T E P .1 V - A X I S : O . . . 2 0 0 9 S T E P 1 9 0 F i g u r e 28. I n h i b i t e d g r o w t h m o d e l o f d i s e a s e s p r e a d Funct i ons: y» 1 * (. 1 -2. 71 f (. -. 07*x ) .) I / : / V. .. . . X - A X I S : 8 . . . 6 0 S T E P 5 V - A X I S : 0 . . . 1 S T E P . ± F i g u r e 2 9 . P e r c e n t a g e b u y i n g a p r o d u c t , i n h i b i t e d g r o w t h A s t h e e x a m p l e s a b o v e i l l u s t r a t e , t h e c o m p u t e r c a n make t h e m e a n i n g f u l a p p l i c a t i o n o f m a t h e m a t i c s a r e a l i t y f o r more s t u d e n t s t h a n e v e r b e f o r e . The e v i d e n c e s u g g e s t s t h a t m a t h e m a t i c s e d u c a t o r s h a v e no p r o g r a m i n p l a c e t o t a k e a d v a n t a g e o f t h e p o w e r s o f t h e c o m p u t e r t o h e l p e n a b l e s t u d e n t s t o m a s t e r t h e f u n d a m e n t a l s o f q u a n t i t a t i v e l i t e r a c y . T h i s f a i l u r e r e m a i n s a c h r o n i c p r o b l e m i n m a t h e m a t i c s e d u c a t i o n . C o m p u t e r i n t e g r a t e d m a t h e m a t i c s p r o g r a m s must be made a v a i l a b l e t h a t l e a r n e r s c a n e x p l o r e d o m a i n s o f l e a r n i n g b e f o r e d e s c r i b i n g them. L e a r n e r s n e e d t o s t u d y c o n c r e t e p r o p e r t i e s a n d r e l a t i o n s b e f o r e f o r m u l a t i n g a b s t r a c t r e l a t i o n s . C o m p u t e r a i d e d p e r c e p t i o n f o r many may be c r i t i c a l t o a t t a i n i n g b a s i c l i t e r a c y . The c o m p u t e r f a c i l i t a t e s t h e r e a l i z a t i o n o f P e r c e p t i v i s t - C o n s t r u c t i v i s t m a t h e m a t i c s e d u c a t i o n . The c o m p u t e r , b e c a u s e o f i t s i n f o r m a t i o n p r o c e s s i n g p o w e r , makes P e r c e p t i v i s t - C o n s t r u c t i v i s t m a t h e m a t i c s a r e a l i s t i c p o s s i b i l i t y r a t h e r t h a n j u s t an a c a d e m i c f a n t a s y . P e r c e p t i v i s t - C o n s t r u c t i v i s t t h e o r y i n t u r n makes t h e c o m p u t e r t h e t e c h n o l o g i c a l b a s i s f o r c o n c e p t d e v e l o p m e n t , c o n c e p t a p p l i c a t i o n a n d t h u s m e a n i n g f u l l e a r n i n g o f m a t h e m a t i c s . The i n f o r m e d u s e o f t h e c o m p u t e r c a n h e l p g e t u s b e y o n d c o m p u t a t i o n f o r t h e few 92 a n d m o v i n g t o w a r d m e a n i n g f u l m a t h e m a t i c s f o r a l l . The e x a m p l e s p r o v i d e d a c r o s s B r a u n e r ' s modes o f p e r c e p t i o n h a v e i n c l u d e d e x a m p l e s f r o m p h y s i c s , b u s i n e s s , p o p u l a t i o n e c o l o g y , m e t e o r o l o g y , e c o n o m i c s a n d m e d i c i n e . A l l t h e e x a m p l e s c a n be d i s c u s s e d i n o r d i n a r y l a n g u a g e as w e l l a s t e c h n i c a l l a n g u a g e . I f we a r e g u i d e d b y an i n f o r m a t i o n age p h i l o s o p h y s u c h as P e r c e p t i v i s m , t h e r a n g e o f e x a m p l e s c a n be e x p a n d e d t o b u i l d a c u r r i c u l u m r o o t e d i n p e r c e p t i o n . I n t h i s way m a t h e m a t i c s e d u c a t i o n c a n move t o w a r d m a t h e m a t i c s f o r a l l b e c a u s e i t i s m a t h e m a t i c s a b o u t s o m e t h i n g t o w h i c h we c a n a l l r e l a t e — t h e w o r l d we s h a r e . I t i s m a t h e m a t i c s u s i n g s o m e t h i n g t o w h i c h we a l l h a v e a c c e s s , o u r o r d i n a r y l a n g u a g e . 93 CHAPTER V AN INTERPRETATION OF CONSTRUCTIVISM The p r e s e n t c h a p t e r i s an a t t e m p t t o i n t e r p r e t t h r e e b a s i c p r i n c i p l e s o f C o n s t r u c t i v i s m as o u t l i n e d i n C h a p t e r I I I . The f i r s t p r i n c i p l e i n d i c a t e d t h a t i n s t r u c t i o n s h o u l d a c t i v e l y i n v o l v e t h e l e a r n e r i n t h e c o n s t r u c t i o n o f m e a n i n g . By r e l i e v i n g t h e b u r d e n o f c o m p u t a t i o n t h e c o m p u t e r i s a b l e t o e n c o u r a g e t h i s . The s e c o n d p r i n c i p l e i n d i c a t e d i n s t r u c t i o n s h o u l d draw on a n d r e l a t e t o e x i s t i n g e x p e r i e n c e i n a way t h a t r e l a t e s t o e x i s t i n g k n o w l e d g e . The t h i r d p r i n c i p l e i n d i c a t e d t h a t i n s t r u c t i o n s h o u l d a l l o w f o r t h e a c c o m m o d a t i o n a n d a s s i m i l a t i o n o f p r o v i s i o n a l o r a l t e r n a t e c o n c e p t i o n s . W i t h t h e c o m p u t e r t a k i n g c a r e o f t h e t e d i o u s , t h e s t u d e n t c a n e x p l o r e many c o n c e p t i o n s o f t h i n g s t h a t m i g h t be c o m p e t i n g f o r h i s b e l i e f , r a t h e r t h a n s i m p l y r e l y i n g on t h e a u t h o r i t y o f t h e t e a c h e r . U n d e r s t a n d i n g f o r u s e means more t h a n j u s t r e c a l l i n g a n d r e p e a t i n g , i t i n v o l v e s a c t u a l l y b e l i e v i n g . The active construction of meaning C o n s t r u c t i v i s t s make a d i s t i n c t i o n b e t w e e n i n f o r m a t i o n a n d k n o w l e d g e . When t h e p u r p o s e o f i n s t r u c t i o n i s t o t r a n s m i t i n f o r m a t i o n , e x p l a n a t i o n s a r e a l l t h a t i s r e q u i r e d . K n o w l e d g e , t h e g a i n i n g o f 94 e x p e r t i s e i n i n f o r m a t i o n p r o c e s s i n g a n d a p p l i c a t i o n , c a n n o t be s i m p l y t r a n s m i t t e d . I t must be c o n s t r u c t e d w i t h t h e a c t i v e p a r t i c i p a t i o n o f t h e l e a r n e r . K n o w l e d g e i s s o m e t h i n g t h e l e a r n e r c a n a n d must c o n s t r u c t b y h i m s e l f . D i s c o v e r y , r e - i n v e n t i o n , o r a c t i v e r e c o n s t r u c t i o n i s n e c e s s a r y . D i s c o v e r y , r e - i n v e n t i o n o r a c t i v e r e c o n s t r u c t i o n i n m a t h e m a t i c s i s u s u a l l y d i f f i c u l t , a t l e a s t i n p a r t , b e c a u s e o f t e c h n i c a l , ' c o m p u t a t i o n a l d i f f i c u l t i e s . The c o m p u t e r c a n h e l p w i t h t h i s ; w i t n e s s t h e t r a j e c t o r y e x a m p l e . T h e r e i s a l s o t h e p r o b l e m o f an a b s t r a c t , f o r m a l a p p r o a c h t o m a t h e m a t i c s . R a t h e r t h a n s t a r t i n g w i t h i n t u i t i v e i d e a s a n d b a s i c f a m i l i a r i t y , p r o c e e d i n g t o e x p l o r a t i o n a n d d i s c o v e r y a n d f i n a l l y d e v e l o p i n g a p o l i s h e d , r e f i n e d , a x i o m a t i z e d t h e o r y ; m a t h e m a t i c s t e a c h i n g o f t e n dumps t h e f i n i s h e d p r o d u c t on t h e s t u d e n t . The e x t r e m e a b s t r a c t i o n a n d c o m p a c t n e s s o f t h e t h e o r y make i t i n c o m p r e h e n s i b l e . The f i n i s h e d p r o d u c t i s t h e g o a l b u t p r e m a t u r e f o r m a l i s m i s n o t t h e means. E r i c M c P h e r s o n n o t e s w i t h r e g a r d t o g e o m e t r y t h a t i t i s a c u r r i c u l u m s t r a n d l o n g d o m i n a t e d b y t h e " p o i n t l e s s n e s s o f p r e m a t u r e a n d m i s d i r e c t e d f o r m a l i s m " a n d t h a t t h e t r a d i t i o n a l c u r r i c u l u m was o f t e n " t o o much o f a p r e p a r a t i o n f o r a r e m o t e f u t u r e t h a t f o r many s t u d e n t s n e v e r came" ( M c P h e r s o n , 1985, p. 6 7 ) . 95 Howson e c h o s a s i m i l a r c o n c e r n w i t h an e l i t i s t , a b s t r a c t c u r r i c u l a w h i c h seem t o e l i m i n a t e t h e p o s s i b i l i t y o f m e a n i n g f u l m a t h e m a t i c s f o r s o many. E a c h s t a g e i s s e e n as a p r e p a r a t i o n f o r t h e n e x t : p r i m a r y p r e p a r e s f o r l o w e r s e c o n d a r y , l o w e r s e c o n d a r y f o r u p p e r s e c o n d a r y , w h i c h i n i t s t u r n p r e p a r e s f o r t e r t i a r y e d u c a t i o n . Y e t b y t h i s s t a g e o n l y a m i n u t e p r o p o r t i o n o f t h e age c o h o r t may r e m a i n w i t h i n t h e f o r m a l e d u c a t i o n s y s t e m ; h a s a l l t h i s " p r e p a r a t i o n " b e e n j u s t a w a s t e o f t i m e a n d e f f o r t f o r t h e g r e a t mass o f t h e s t u d e n t s who a r e no l o n g e r t h e r e ? (Howson, 1986, p. 29) The c o m p u t e r c a n make r e c o n s t r u c t i o n a r e a l a l t e r n a t i v e t o d u m p i n g t h e f i n i s h e d p r o d u c t on s t u d e n t s . C o n s i d e r t h i s e x e r c i s e , g i v e n b y t h e a u t h o r t o g r a d e t w e l v e s t u d e n t s a t T e m p l e t o n S e c o n d a r y i n V a n c o u v e r . The e x e r c i s e i s t o r e c o n s t r u c t t h e f u n d a m e n t a l t h e o r e m o f a l g e b r a f r o m a g r a p h i n g p e r s p e c t i v e . The c o n c e p t o f a d e g r e e n p o l y n o m i a l e q u a t i o n h a v i n g s o l u t i o n s w h e r e t h e g r a p h o f i t s a s s o c i a t e d f u n c t i o n c r o s s e s t h e x a x i s c a n be e a s i l y i n v e s t i g a t e d u s i n g g r a p h i n g s o f t w a r e a n d s u i t a b l y s e l e c t e d e q u a t i o n s w i t h r e a l v a r i a b l e s . F o r d e g r e e one a s t r a i g h t l i n e c a n o n l y c r o s s t h e x a x i s o n c e . D i f f e r e n t p o s s i b i l i t i e s e x i s t h o w e v e r a n d s t u d e n t s s h o u l d be a s k e d t o d i s c o v e r t h e s e ( F i g u r e 3 0 ) . S e c o n d 96 d e g r e e e q u a t i o n s a r e r e p r e s e n t e d b y p a r a b o l a s ( F i g u r e 31) . One p o s s i b i l i t y i s t h a t i t c r o s s e s t w i c e . What a r e t h e o t h e r , p o s s i b i l i t i e s ? S t u d e n t s c a n work b a c k w a r d s m a k i n g up e q u a t i o n s u s i n g t h e f a c t o r t h e o r e m ( e . g . 0 - (x-3) (x+5) => x 2 + 2x - 15 = 0) . What s o l u t i o n p o s s i b i l i t i e s a r e t h e r e f o r d e g r e e two e q u a t i o n s , i n c l u d i n g t h e p o s s i b i l i t y o f m u l t i p l e a n d c o m p l e x r o o t s ? P o s s i b i l i t i e s f o r d e g r e e t h r e e ( F i g u r e 32) , d e g r e e f o u r ( F i g u r e 3 3 ) , d e g r e e f i v e ( F i g u r e 34) a n d d e g r e e s i x ( F i g u r e 35) a r e s u g g e s t e d a n d t h e s t u d e n t must d i s c o v e r t h e o t h e r s o l u t i o n p o s s i b i l i t i e s . D i s c o v e r y , r e - i n v e n t i o n o r r e c o n s t r u c t i o n i s t h e s t u d e n t ' s j o b . What makes t h i s p o s s i b l e now, w h e r e i t was i m p r a c t i c a l i n t h e p a s t , i s t h e c o m p u t a t i o n a l p o w e r o f t h e c o m p u t e r . I t i s e a s y f o r s t u d e n t s t o e x p l o r e a w i d e r a n g e o f p o s s i b i l i t i e s a n d s a t i s f y t h e m s e l v e s as t o t h e i r c o n c l u s i o n s . The NCTM S t a n d a r d s document c l a i m s : C a l c u l a t o r s a n d c o m p u t e r s w i t h a p p r o p r i a t e s o f t w a r e t r a n s f o r m t h e m a t h e m a t i c s c l a s s r o o m i n t o a l a b o r a t o r y much l i k e t h e e n v i r o n m e n t i n many s c i e n c e c l a s s e s , w here s t u d e n t s u s e t e c h n o l o g y t o i n v e s t i g a t e , c o n j e c t u r e , a n d v e r i f y t h e i r f i n d i n g s . I n t h i s s e t t i n g , t h e t e a c h e r e n c o u r a g e s e x p e r i m e n t a t i o n a n d p r o v i d e s . o p p o r t u n i t i e s f o r s t u d e n t s t o s u m m a r i z e i d e a s a n d e s t a b l i s h c o n n e c t i o n s w i t h p r e v i o u s l y s t u d i e d t o p i c s . (NCTM, 1988, p. 128) F u n c t i o n : y = 3 * < x-15+5*< x +4 ."> 97 V = 3 * * < X - ± > + 5 * * < X + -*> X - A X I S : - 2 8 . . . 2 0 S T E P 5 Y - A X I S : - 5 0 0 . . . 5 8 0 S T E P 5 8 F i g u r e 30. C o m p u t e r s o l u t i o n o f d e g r e e one e q u a t i o n s F u n c t i o n : y = x T 2 - x - 1 2 Y - A X I S ' - - 5 8 8 . . . 5 8 8 S T L f ^ -F i g u r e 3 1 . C o m p u t e r s o l u t i o n o f d e g r e e two e q u a t i o n s 98 Function: y=xT3-3*xf2-10*x+24 •SP i V=xt3-3*xt2 - i e*X+24 X-AXIS: -20...20 STEP 5 V-AXIS: -50O...500 STEP 58 F i g u r e 32. Computer s o l u t i o n o f degree t h r e e e q u a t i o n s Funct i on: y=xt4-4*xT3-7*x-t'2+34*x-24 V = Xt-4-4^Xt3-?*Xt2 + 34"*X-24 X-AXIS: -20...20 STEP 5 Y-AXIS: -569,..599 STEP 50 F i g u r e 33. Computer s o l u t i o n of degree f o u r e q u a t i o n s 99 F u n c t i o n : y = xT5 - 3 *XT4 - 1 1 * x T 3 + 2 7 * x t 2 + 1 0 * x - 2 4 V = X t 5 - 3 * X t 4 - i i * X t 3 + 2 7 * X t 2 + i O * X - 2 4 X - A X I S : - 2 8 . . . 2 0 S T E P 5 Y - A X I S : - 5 8 0 . . . 5 0 6 S T E P 5 6 F i g u r e 34. C o m p u t e r s o l u t i o n o f d e g r e e f i v e e q u a t i o n s F u n c t i o n : y=x1k6-xT5-l7*x-r4+5*xT3+S4*x-r2-4*x-48 X - A X I S : - 2 0 . . . 2 0 S T E P 5 Y - A X I S " - - S O © . . . 5 0 O S T E P 5 8 F i g u r e 35. C o m p u t e r s o l u t i o n o f d e g r e e s i x e q u a t i o n s 100 Appealing to e x i s t i n g knowledge K i l p a t r i c k (1987) a r g u e s t h a t t h e c o n s t r u c t i v i s t m ust t a k e a c c o u n t o f e x i s t i n g e x p e r i e n c e a n d k n o w l e d g e . T e a c h i n g , u s i n g p r o c e d u r e s t h a t a i m a t g e n e r a t i n g u n d e r s t a n d i n g , becomes s h a r p l y d i s t i n g u i s h e d f r o m t h e t r a n s m i s s i o n o f i n f o r m a t i o n , u s i n g p r o c e d u r e s t h a t a i m a t r e p e t i t i v e b e h a v i o u r , i n t h a t a s s i m i l a t i o n a n d a c c o m m o d a t i o n o f c o m p e t i n g c o n c e p t i o n s must be f a c i l i t a t e d . P r o c e s s e s i n f e r r e d as i n s i d e t h e s t u d e n t ' s h e a d become more i n t e r e s t i n g t h a n o v e r t b e h a v i o u r . L i n g u i s t i c c o m m u n i c a t i o n becomes a p r o c e s s f o r g u i d i n g s t u d e n t l e a r n i n g r a t h e r t h a n s i m p l y t r a n s f e r r i n g k n o w l e d g e . T a k i n g i n t o a c c o u n t what s t u d e n t s t h i n k now a n d how t h e y m i g h t be e n c o u r a g e d t o c h a n g e i s c r i t i c a l . S t u d e n t d e v i a t i o n s f r o m t h e t e a c h e r ' s e x p e c t a t i o n s become means f o r u n d e r s t a n d i n g t h e i r e f f o r t s t o u n d e r s t a n d . L e s s e m p h a s i s i s p u t on t e a c h e r p r e s e n t a t i o n s o f i n f o r m a t i o n more e m p h a s i s on t e a c h i n g i n t e r v i e w s a s a t t e m p t s t o i n f e r c o g n i t i v e s t r u c t u r e s a n d m o d i f y them. The c o m p u t e r c a n f a c i l i t a t e t h i s t y p e o f p r o c e s s by s h i f t i n g t h e f o c u s o f c l a s s r o o m a c t i v i t y f r o m i n f o r m a t i o n t r a n s m i s s i o n t o k n o w l e d g e c o n s t r u c t i o n . The b u r d e n o f c o n s t r u c t i o n i s p l a c e d w i t h t h e s t u d e n t , w i t h t h e h e l p o f t h e c o m p u t e r , so t h a t t h e t e a c h e r t h e n 101 becomes a c o n s t r u c t i o n c o n s u l t a n t . Much o f c l a s s t i m e f o r t h e t e a c h e r c a n be s p e n t w a t c h i n g , d i a g n o s i n g a n d s u g g e s t i n g l e a r n i n g s t r a t e g i e s . The p u b l i c n a t u r e o f c o m p u t e r m o n i t o r e n c o u r a g e s s u c h c o n s u l t a t i o n b o t h b e t w e e n s t u d e n t s a n d t e a c h e r a n d b e t w e e n s t u d e n t s t h e m s e l v e s . The c o m p u t e r c a n r e l a t e new i d e a s t o e x i s t i n g k n o w l e d g e b y f a c i l i t a t i n g t h e s t u d y o f p r a c t i c a l e x a m p l e s t o w h i c h t h e s t u d e n t c a n a l r e a d y r e l a t e . The t r a j e c t o r y s i m u l a t i o n , m o t i o n w i t h r e s i s t a n c e , a n d damped o s c i l l a t o r y m o t i o n a r e a l l e x a m p l e s o f p r o b l e m s w h i c h c a n be . d i s c u s s e d a n d a r e p r o b a b l y f a m i l i a r t o t h e s t u d e n t w i t h i n t h e c o n t e x t o f o r d i n a r y l a n g u a g e , i n B r a u n e r ' s s e n s e . T h i s i s l i k e l y t o " p r o v i d e a h a n d l e " a n d t o h e l p r e l a t e t h e new m a t h e m a t i c a l u n d e r s t a n d i n g t o e x i s t i n g k n o w l e d g e . T h i s seems t o d e l i v e r on B r a u n e r ' s c l a i m t h a t o r d i n a r y l a n g u a g e , a n d t h e s t a n d a r d p e r c e p t i o n i t g e n e r a t e s , i s p i v o t a l i n a s s u r i n g k n o w l e d g e a t t h e l e v e l o f p e r c e p t i o n , a n d n o t j u s t k n o w l e d g e t h a t c o n s i s t s o f f a c t u a l r e c a l l o r c o n c e p t m a s t e r y . B r a u n e r a r g u e s : The k e y t o t h e c o n v e r s i o n o f i m a g e r y b a c k i n t o l i n g u i s t i c f o r m f o r u s e i n t h i n k i n g a n d c o m m u n i c a t i o n i s o r d i n a r y l a n g u a g e .... To l e a r n e f f e c t i v e l y t h e y [ s t u d e n t s ] n e e d two t h i n g s t h a t a r e o f t e n n o t p r o v i d e d : 102 1. To be shown w h e r e new c o n c e p t s s t a n d i n r e l a t i o n t o f a m i l i a r c o n c e p t s , a n d c a t e g o r i e s o f e x p e r i e n c e . 2. To be e n c o u r a g e d t o f o r m t r u s t w o r t h y o r d i n a r y l a n g u a g e a c c o u n t s o f t h e k e y c o n c e p t s a n d t h e c a t e g o r i e s o f e x p e r i e n c e t o w h i c h t h e y b e l o n g . ( B r a u n e r , 1986, p. 19) The c o m p u t a t i o n a l power o f t h e c o m p u t e r c a n a l s o h e l p t o make t h e u n f a m i l i a r a n d i m p o s i n g r e l a t e t o e x i s t i n g e x p e r i e n c e a n d s o make i t l e s s e s o t e r i c . A s i m p l e e x a m p l e i s t h e u s e o f q u a d r a t i c f u n c t i o n s a n d r e l a t i o n s t o make a f a c e . V a r i o u s p r o p e r t i e s o f t h e a l g e b r a i c r e p r e s e n t a t i o n o f t h e f u n c t i o n o r r e l a t i o n c a n be m i r r o r e d i n n o s e s , e y e s , e a r s e t c . M a t h e m a t i c a l v a r i a t i o n s c a n be e x a m i n e d i n a more f a m i l i a r c o n t e x t , t h a t o f m o v i n g , s t r e t c h i n g a n d e x p a n d i n g ( f i g . 36) . P r o b l e m s c o u l d be s e t s u c h as m a k i n g a c i r c u l a r f a c e , a p a r a b o l i c f a c e o r an e l l i p i c a l f a c e . The n e t w o r k i n g o f i d e a s a n d e x p e r i e n c e s , f a c i l i t a t e d b y c o m p u t e r a s s i s t e d a p p l i c a t i o n s , i s l i k e l y t o i n c r e a s e t h e m e a n i n g f u l n e s s o f m a t h e m a t i c s . The NCTM c l a i m s : I n s t r u c t i o n t h a t f o c u s e s on n e t w o r k s o f m a t h e m a t i c a l i d e a s r a t h e r t h a n s o l e l y on t h e n o d e s o f t h e n e t w o r k s i n i s o l a t i o n w i l l s e r v e t o i n s t i l l i n s t u d e n t s an u n d e r s t a n d i n g o f , a n d a p p r e c i a t i o n f o r , b o t h t h e p o w e r a n d b e a u t y o f m a t h e m a t i c s . D e v e l o p i n g m a t h e m a t i c s as an i n t e g r a t e d w h o l e a l s o s e r v e s t o i n c r e a s e t h e p o t e n t i a l f o r r e t e n t i o n a n d t r a n s f e r o f m a t h e m a t i c a l i d e a s . 103 C o n n e c t i n g m a t h e m a t i c s w i t h o t h e r d i s c i p l i n e s a n d w i t h d a i l y a f f a i r s u n d e r s c o r e s t h e u t i l i t y o f t h e s u b j e c t . (NCTM, 1989, p. 149) F u n c t i o n s : y=.25*xT2-7 y=sqr ( 1G-XT2:> y=-sqr Cl£-xt2:> y = - s q r < 4 - < x - l ) t 2 ) + 7 y=-sqr(2-<x-4)T2)+8 y=sqr(2-C x-4 > T2)+8 y=sq r (2- < x +4.'» T 2) +8 y=-sqr C2-Cx+4>T2)+8 \ i . . . » . . . > . . . » . . . > . \ . . . . . . . . . . . . . , / ^ - A X I S : -i.O . . . ± Q S T E P 1 V - A X I S : - 1 0 . . . ± 8 S T E P 1 F i g u r e 36. G r a p h i n g a f a c e Alternate conceptions and conceptual c o n f l i c t P o s n e r , S t r i k e , Hewson a n d G e r t z o g (1982) h a v e e x p l a i n e d how f o r t h e c o n s t r u c t i v i s t , l e a r n i n g i s c o n c e p t u a l c h a n g e . T h r o u g h a c t i v e c o n s t r u c t i o n a n d a c c o m m o d a t i o n w i t h p r e - e x i s t i n g k n o w l e d g e , t h e l e a r n e r 104 c h a n g e s t h e way he o r s h e c o n c e p t u a l i z e s a n d so t h e way he o r s h e p e r c e i v e s t h e w o r l d . R a t h e r t h a n k e e p i n g s t i m u l i s e p a r a t e a n d s i m p l e , c o g n i t i v e c o n f l i c t s h o u l d be c r e a t e d . A l l o w i n g a c t i v i t i e s t o d e v e l o p e v e n i f " e r r o r s " o c c u r a l l o w s s t u d e n t ' s c o n c e p t i o n s t o c o m p e t e f o r b e l i e f . The s t u d e n t w i l l o n l y l e a r n i f he b e l i e v e s t h e new c o n c e p t i o n s b e c a u s e t h e y work b e t t e r . I t i s i m p o r t a n t f o r t e a c h e r s t o r e a c t c o n s t r u c t i v e l y t o " e r r o r s " a n d t h a t t h e y r e w a r d c o n c e p t u a l c h a n g e a n d n o t j u s t r o t e l e a r n i n g . The c o n s t r u c t i v i s t s o c i a l c o n t r a c t i n t h e c l a s s r o o m i s n o t one t h a t d w e l l s on s t u d e n t s d o i n g what t h e t e a c h e r s a y s b u t r a t h e r one t h a t d w e l l s on t h e s t u d e n t ' s o b l i g a t i o n t o c o n s t r u c t m e a n i n g a n d t h e t e a c h e r ' s o b l i g a t i o n t o be a h e l p f u l c o n s u l t a n t on t h e p r o j e c t . C o n s t r u c t i v i s t t e a c h i n g t h e n d e p e n d s on a t r u s t i n g r e l a t i o n s h i p . A t e a c h e r must t r u s t s t u d e n t s t o s o l v e p r o b l e m s a n d c o n s t r u c t m e a n i n g . S t u d e n t s must t r u s t t e a c h e r s t o r e s p e c t t h e i r h o n e s t e f f o r t s . G i v e n t h e o f t e n o p p o s i n g t e n d e n c i e s o f s p o n t a n e o u s s t u d e n t i n t e r e s t a n d t h e demands o f t h e a c a d e m i c d i s c i p l i n e s t h i s t r u s t i n g r e l a t i o n s h i p w i l l o f t e n be a d i f f i c u l t s i t u a t i o n t o c r e a t e a n d s o p o s e a c o n s t a n t c h a l l e n g e t o c o n s t r u c t i v i s t t e a c h e r s . B e c a u s e t h e c o m p u t e r c a n make c a l c u l a t i o n s s o r a p i d l y s t u d e n t s c a n be e n c o u r a g e d t o i n v e s t i g a t e 105 w h a t e v e r p o s s i b i l i t i e s t h e y f i n d p l a u s i b l e . T h i s makes t h e p r o g r a m o f c o n c e p t u a l c h a n g e much more p o s s i b l e . S t u d e n t s d o n ' t n e e d t o r e l y on t e a c h e r a u t h o r i t y . The e x a m p l e o f t h e f u n d a m e n t a l t h e o r e m o f a l g e b r a p r o b l e m i s a c a s e i n p o i n t . S t u d e n t s c a n i n v e s t i g a t e f o r t h e m s e l v e s a n d d e c i d e what t o b e l i e v e a n d why t o b e l i e v e i t . T h e r e i s no r e a s o n f o r t h e t e a c h e r t o t r y t o s i m p l y t r a n s m i t i n f o r m a t i o n . T h e r e i s e v e r y r e a s o n t o a i m a t t h e c o n s t r u c t i o n o f u n d e r s t a n d i n g t h r o u g h c o n c e p t u a l c h a n g e . T h i s i s p r e c i s e l y t h e b e n e f i t o f " p l u g g i n g t h e c o m p u t e r " i n t o t h e i n f o r m a t i o n p r o c e s s i n g s y s t e m ( F i g u r e 3) . The b o o s t i n p r o c e s s i n g a b i l i t y empowers t h e s t u d e n t t o assume r e s p o n s i b i l i t y f o r t h e m e a n i n g f u l c o n s t r u c t i o n o f u n d e r s t a n d i n g . Summary The i n t e g r a t e d u s e o f t h e c o m p u t e r i n m a t h e m a t i c s e d u c a t i o n c a n h e l p g i v e more s t u d e n t s more q u a n t i t a t i v e l i t e r a c y t h a n i s p r e s e n t l y t h e c a s e . The i n f o r m a t i o n age u n d e r s t a n d i n g we n e e d t o move b e y o n d c o m p u t a t i o n a n d c o n c e p t m a s t e r y t o a c t u a l p e r c e p t i o n i s t h e c o m b i n e d P e r c e p t i v i s t - C o n s t r u c t i v i s t t h e o r y . The p a r t s o f t h e t h e o r y w h i c h a r e r e l e v a n t t o t h e p r o b l e m a d d r e s s e d i n t h i s t h e s i s c e n t e r on f i v e b a s i c p r i n c i p l e s . F i r s t , i n s t r u c t i o n s h o u l d be a i m e d a t a c t u a l p e r c e p t i o n a n d u s e . M a t h e m a t i c s s h o u l d n o t 106 s t a r t a n d e n d w i t h i t s e l f b u t must c o n t r i b u t e i m m e d i a t e l y t o o u r u n d e r s t a n d i n g o f t h e w o r l d a n d how we p e r c e i v e i t . W i t h t h e c o m p u t e r t h i s a p p l i c a t i o n a n d u s e n e e d n o t be d e l a y e d . S e c o n d , i n s t r u c t i o n s h o u l d i n v o l v e t h e s y n t h e s i s o f a n d i n t e r a c t i o n o f a l l t h e s t u d e n t ' s k n o w l e d g e on an o n g o i n g b a s i s , r a t h e r t h a n i t s s p e c i a l i z a t i o n , f r a g m e n t a t i o n a n d i s o l a t i o n . O n l y i n t h i s way c a n i d e a s be f o r c e d t o c o m p e t e f o r b e l i e f . K n o w l e d g e a n d u n d e r s t a n d i n g t h a t i s n o t b e l i e v e d i s q u i c k l y f o r g o t t e n . T h i r d , i n s t r u c t i o n s h o u l d a c t i v e l y i n v o l v e t h e l e a r n e r i n t h e c o n s t r u c t i o n o f m e a n i n g . K n o w l e d g e i s s o m e t h i n g t h a t l e a r n e r s must c o n s t r u c t f o r a n d by t h e m s e l v e s . T h e r e i s no a l t e r n a t i v e . D i s c o v e r y , r e - i n v e n t i o n o r a c t i v e r e c o n s t r u c t i o n i s n e c e s s a r y . The c o m p u t a t i o n a l p o w e r o f t h e c o m p u t e r makes t h i s a c t i v e i n v o l v e m e n t , i n an a b s t r a c t f i e l d s u c h as m a t h e m a t i c s , l e s s o f a s c h o l a r l y dream a n d more o f a r e a l i s t i c g o a l . F o u r t h , i n s t r u c t i o n s h o u l d draw on a n d r e l a t e t o e x i s t i n g e x p e r i e n c e i n a way t h a t t a p s e x i s t i n g k n o w l e d g e a n d u n d e r s t a n d i n g . M e a n i n g f u l , a p p l i e d p r o b l e m s w h i c h r e l a t e t o t h e e x p e r i e n c e o f t h e s t u d e n t c a n be s t u d i e d i m m e d i a t e l y w i t h t h e c o m p u t e r b e c a u s e i t c a n " c r u n c h t h e n u m b e r s " . F i f t h , i n s t r u c t i o n s h o u l d a l l o w f o r t h e e v o l u t i o n a n d d e v e l o p m e n t o f a l t e r n a t e a n d p r o v i s i o n a l c o n c e p t i o n s . 107 W i t h t h e c o m p u t e r t a k i n g c a r e o f t h e t e d i o u s , t h e s t u d e n t c a n e x p l o r e many c o n c e p t i o n s o f t h i n g s t h a t m i g h t be c o m p e t i n g f o r h i s b e l i e f , r a t h e r t h a n s i m p l y r e l y i n g on t h e a u t h o r i t y o f t h e t e a c h e r . U n d e r s t a n d i n g f o r u s e means more t h a n j u s t r e c a l l i n g a n d r e p e a t i n g . I t i n v o l v e s a c t u a l l y b e l i e v i n g , on a n o n - i n f e r e n t i a l , p e r c e p t u a l b a s i s . T h e s e f i v e p r i n c i p l e s w i l l be o p e r a t i o n a l i z e d i n C h a p t e r V I , a P e r c e p t i v i s t - C o n s t r u c t i v i s t c a l c u l u s u n i t . C h a p t e r V I I w i l l r e p o r t on f i e l d t e s t s o f t h e u n i t . C h a p t e r V I I I d r a w s c o n c l u s i o n s a n d makes r e c o m m e n d a t i o n s . 108 CHAPTER VI PERCEPTIVIST-CONSTRUCTIVIST CALCULUS ON THE COMPUTER The c o m p u t e r makes t h e e x p l o r a t i o n a n d u s e o f a n u m e r i c a l a p p r o a c h t o c a l c u l u s p o s s i b l e . "What y o u c a n do w i t h i t " becomes a n s w e r a b l e r i g h t away. The t h e o r e t i c a l d e r i v a t i o n o f a l g o r i t h m s , a n d a s s o c i a t e d m a n i p u l a t i v e t e c h n i q u e s , c a n be l e f t f o r c o l l e g e ( i . e . l a t e r ) . The c e n t r a l i d e a s o f c a l c u l u s — l i m i t , a r e a u n d e r a c u r v e , r a t e o f c h a n g e , a n d s l o p e o f a t a n g e n t l i n e , c a n be t i e d t o an e x i s t i n g n o t i o n o f f u n c t i o n . The e m p h a s i s o f t h e p r o g r a m i s p r o v i d i n g s t u d e n t s w i t h a f i r m c o n c e p t u a l g r a s p o f t h e u s e s o f c a l c u l u s r a t h e r t h a n w i t h t h e a s s o c i a t e d m a n i p u l a t i v e t e c h n i q u e s . Rationale M a t h g r a p h e r , w r i t t e n b y S t e v e n L o s s e a n d p u b l i s h e d by Human R e l a t i o n s M e d i a , a n d o t h e r c o m p u t e r g r a p h i n g p a c k a g e s , h a v e d e r i v a t i v e , s l o p e a t a p o i n t , a n d a r e a u n d e r a c u r v e ( d e f i n i t e i n t e g r a l ) o p t i o n s . The s l o p e i s c a l c u l a t e d u s i n g a s e c a n t a p p r o x i m a t i o n . The a r e a u n d e r a c u r v e i s c a l c u l a t e d f r o m t r a p e z o i d a l a p p r o x i m a t i o n . P r o b l e m s f r o m b u s i n e s s , p h y s i c s , p s y c h o l o g y , s o c i o l o g y , e c o n o m i c s , m e d i c i n e a n d e c o l o g y c a n be shown t o h a v e s o l u t i o n s t h a t i n v o l v e d e f i n i t e i n t e g r a l o r d e r i v a t i v e s a t a p o i n t . I n t h i s way we c a n 109 a t t e m p t t o b u i l d u n d e r s t a n d i n g r a t h e r j u s t r o t e r e c a l l a n d s o a p p r o a c h t h e NCTM s t a n d a r d a d d r e s s e d t o c a l c u l u s . T h i s s t a n d a r d d o e s n o t a d v o c a t e t h e f o r m a l s t u d y o f c a l c u l u s i n h i g h s c h o o l f o r a l l s t u d e n t s o r e v e n f o r a l l c o l l e g e - i n t e n d i n g s t u d e n t s . R a t h e r , i t c a l l s f o r o p p o r t u n i t i e s f o r s t u d e n t s t o s y s t e m a t i c a l l y , b u t i n f o r m a l l y , i n v e s t i g a t e t h e c e n t r a l i d e a s o f c a l c u l u s — l i m i t , a r e a u n d e r a c u r v e , r a t e o f c h a n g e , a n d s l o p e o f a t a n g e n t l i n e — t h a t c o n t r i b u t e t o d e e p e n i n g o f t h e i r u n d e r -s t a n d i n g o f f u n c t i o n a n d i t s u t i l i t y i n r e p r e s e n t i n g a n d a n s w e r i n g q u e s t i o n s a b o u t r e a l - w o r l d phenomena. The i n s t r u c t i o n a l a p p r o a c h t o t h e s e c o n c e p t s f o r a l l s t u d e n t s , i n c l u d i n g c o l l e g e -i n t e n d i n g s t u d e n t s , s h o u l d be h i g h l y e x p l o r a t o r y a n d b a s e d on g e o m e t r i c a n d n u m e r i c a l e x p e r i e n c e s t h a t c a p i t a l i z e on c o m p u t e r a n d c a l c u l a t o r - b a s e d g r a p h i n g u t i l i t i e s . The i n s t r u c t i o n a l a c t i v i t i e s s h o u l d be a i m e d a t p r o v i d i n g s t u d e n t s w i t h f i r m c o n c e p t u a l u n d e r p i n n i n g s o f c a l c u l u s ,  r a t h e r t h a n w i t h t h e a s s o c i a t e d m a n i p u l a t i v e  t e c h n i q u e s . [ e m p h a s i s added] (NCTM, 1989, p.180) M. K. H e i d r e m a r k s i n a s i m i l a r v e i n how s y m b o l i c m a n i p u l a t i o n p r o g r a m s a t t h e c o l l e g e l e v e l o f f e r t h e hope o f c a l c u l u s b e y o n d mere c o m p u t a t i o n . I f s t u d e n t s w e re a l l o w e d f r e e u s e o f s y m b o l i c . m a n i p u l a t i o n p r o g r a m s s u c h a s muMath, c a l c u l u s t e a c h e r s c o u l d c o n c e n t r a t e on d e v e l o p m e n t o f c o n c e p t s a n d as a r e s u l t c o n s t r u c t exams w h i c h t e s t more t h a n t e c h n i q u e . The e n t i r e c a l c u l u s c u r r i c u l u m w o u l d n e e d t o be r e t h o u g h t . ( H e i d , 1983, p.218) 110 N u m e r i c a l i n t e g r a t i o n p r o c e e d s on M a t h g r a p h e r b y t r a p e z o i d a l a p p r o x i m a t i o n . I n f i n i t e p r o c e s s e s c a n be i n t r o d u c e d b y g r a d u a l l y i n c r e a s i n g t h e number o f t r a p e z o i d s a n d s e e i n g i f t h e a r e a a p p r o a c h e s a l i m i t ( i . e . g e t s c l o s e r a n d c l o s e r t o some s p e c i f i c v a l u e ) . E x e r c i s e s f o l l o w t h a t p o i n t o u t t h e g e o m e t r i c m e a n i n g o f d e f i n i t e i n t e g r a l a s a r e a u n d e r a c u r v e . I f t h e d e r i v a t i v e o f some f u n c t i o n ( F ( x ) ) i s d e n o t e d F ' ( x ) t h e n t h e a r e a u n d e r t h e c u r v e f r o m a t o b i s t h e t o t a l amount o f F f r o m a t o b. F o r e x a m p l e , i f t h e v e l o c i t y o f an o b j e c t , w h i c h i s t h e d e r i v a t i v e o f d i s t a n c e , i s g i v e n a s v ( t ) = 5 t 2 t h e n t o t a l d i s t a n c e t r a v e l l e d b y t h e o b j e c t , f r o m t i m e a t o b w i t h t h e o f c a l c u l u s i s n o t e v e n m e n t i o n e d . R a t h e r p r o b l e m s f r o m b u s i n e s s , p h y s i c s , p s y c h o l o g y , s o c i o l o g y , e c o l o g y a n d m e d i c i n e show how c o m p u t e r g r a p h s a n d d e f i n i t e i n t e g r a l g i v e v a l u e s o f q u a n t i t i e s on i n t e r v a l s , as t h e f u n c t i o n s a r e c h a n g i n g v a l u e . What comes f i r s t i s t h e a c t u a l p e r c e p t i o n s a n d a p p l i c a t i o n s , w i t h e n o u g h f a m i l i a r i t y w i t h s y m b o l i s m t o make t h e work o f t h e c o m p u t e r m e a n i n g f u l . What w i l l come l a t e r , when n e e d e d , i s t h e j u s t i f i c a t i o n , v e r i f i c a t i o n a n d f o r m a l i z a t i o n . • c h a n g i n g v e l o c i t y , The f u n d a m e n t a l t h e o r e m 111 N o t i c e how t h e a b o v e a p p r o a c h r e c a p i t u l a t e s t h e d e v e l o p m e n t o f t h e o r y i n m a t h e m a t i c s a n d s c i e n c e . I n i t i a l i n s i g h t s , h u n c h e s a n d i d e a s a r e e x p l o r e d , r e f i n e d , some a b a n d o n e d , some g e n e r a l i z e d t o g r a d u a l l y g i v e s h a p e t o a f i n i s h e d p r o d u c t . The P e r c e p t i v i s t -c o n s t r u c t i v i s t - a p p r o a c h t o m a t h e m a t i c s g i v e s t h e s t u d e n t t h e o p p o r t u n i t y , l i k e w i s e , t o w o r k g r a d u a l l y t o w a r d a f i n i s h e d p r o d u c t . The P e r c e p t i v i s t -c o n s t r u c t i o n i s t c l a i m w o u l d be t h a t s u c h a p r o c e s s o f " r e i n v e n t i n g " t h e k n o w l e d g e w o u l d be more l i k e l y t o p r o d u c e m e a n i n g f u l l e a r n i n g t h a n g i v i n g t h e s t u d e n t t h e p o l i s h e d , r e f i n e d , f i n i s h e d p r o d u c t o u t r i g h t a n d a s k i n g t hem t o make s e n s e o f i t . N u m e r i c a l d i f f e r e n t i a t i o n p r o c e e d s on M a t h g r a p h e r by s e c a n t a p p r o x i m a t i o n . I n f i n i t e p r o c e s s e s , as w i t h n u m e r i c a l i n t e g r a t i o n , c a n be i n t r o d u c e d b y g r a d u a l l y d e c r e a s i n g t h e s i z e o f t h e i n t e r v a l on w h i c h t h e s e c a n t i s f o r m e d a n d s e e i n g i f t h e s l o p e o f t h e segment s o f a r a p p r o a c h e s a l i m i t ( i . e . g e t s c l o s e r a n d c l o s e r t o some s p e c i f i c v a l u e ) . M a t h g r a p h e r d o e s n o t h a v e a v i s u a l p r o c e s s t o d e p i c t n u m e r i c a l d i f f e r e n t i a t i o n . O t h e r p a c k a g e s c o u l d be u s e d , o r some c o u l d be done b y h a n d , t o d i s p l a y t h e g e o m e t r i c m e a n i n g o f s l o p e a t a p o i n t ( " d e f i n i t e d e r i v a t i v e " ) as t a n g e n t . 112 The m e a n i n g o f t h e m a t h e m a t i c s i s o n c e a g a i n d e v e l o p e d by u s i n g i t . P r o b l e m s f r o m a w i d e r a n g e o f d i s c i p l i n e s show how r a t e o f c h a n g e i s a u s e f u l c o n c e p t . Minimum-maximum t h e o r y c a n be i n v e s t i g a t e d s i m p l y by g r a p h i n g , g e n e r a t i n g a t a b l e o f v a l u e s on an i n t e r v a l a n d l o o k i n g f o r c r i t i c a l p o i n t s . F i n d i n g t h e s l o p e l e a d s t o t h e i d e a o f s l o p e 0 a t c r i t i c a l p o i n t s . By r o o t i n g t h e i n i t i a l c a l c u l u s e x p e r i e n c e i n i n t u i t i v e l y p l a u s i b l e a c t i v i t i e s , e a s i l y c o n n e c t e d t o p r e v i o u s k n o w l e d g e a n d e x p e r i e n c e , t h e s t u d e n t c a n a c h i e v e a m e a n i n g f u l i n t e g r a t i o n a n d o r g a n i z a t i o n o f p i v o t a l i d e a s . They a r e t h e n more l i k e l y t o u n d e r s t a n d , r e t a i n a n d a p p l y t h e i d e a s r a t h e r t h a n j u s t m e m o r i z e a n d t h e n f o r g e t t h e m. Numerical d i f f e r e n t i a t i o n C a l c u l u s i s c o n c e r n e d w i t h f i n d i n g a r e a s u n d e r c u r v e s a n d s l o p e s o f c u r v e s . The f o r m e r i s c a l l e d i n t e g r a l c a l c u l u s , t h e l a t t e r d i f f e r e n t i a l c a l c u l u s . M a t h g r a p h e r f i n d s s l o p e a t a p o i n t by s e c a n t a p p r o x i m a t i o n . C h o o s e a p o i n t x a n d c r e a t e a gap on e a c h s i d e , x + Ax a n d x - Ax. The c o m p u t e r e s t i m a t e s t h e s l o p e t o b e ; f (x + Ax) - f (x - Ax) 2 Ax N a r r o w t h e gap t o g e t a b e t t e r a p p r o x i m a t i o n . F o r t h e c u r v e y = x 2 f i n d t h e s l o p e a t d i f f e r e n t p o i n t s ( s e e F i g u r e 37). i* une 11 o n : tv V = X + 2 X - A X I S : V — ft X "I S : - 2 < Q . . . - 2 0 S T E P 5 -T> f - » s - ! i . . . p f m S T F P F i g u r e 37. S l o p e by s e c a n t a p p r o x i m a t i o n I s a s t e a d y a n s w e r a p p r o a c h e d as t h e s e c a n t x s p r e a d g e t s s m a l l e r a n d s m a l l e r ? N u m e r i c a l d i f f e r e n t i a t i o n i s b a s e d on 3 i d e a s 1. The s l o p e o f t h e t a n g e n t a t P a n d t h e s l o p e o f t h e s e c a n t TAB a r e a p p r o x i m a t e l y e q u a l . 2. The s m a l l e r t h e v a l u e c h o s e n f o r Ax, t h e s e c a n t x s p r e a d , t h e c l o s e r t h e s l o p e o f t h e s e c a n t AB w i l l be t o t h e s l o p e o f t h e t a n g e n t a t P. 3. I f t h e Ax i s s m a l l e n o u g h , t h e s l o p e o f AB w i l l be c l o s e e n o u g h t o t h e s l o p e a t P. The c o n v e n t i o n a l n o t a t i o n f o r t h e p r o b l e m a b o v e i s d ( x 2 ) = s l o p e (some number a t x = 5) . dx T h i s i s c a l l e d t h e s l o p e a t x = 5 ( i n a way t h e " d e f i n i t e d e r i v a t i v e " ) a n d i s a number. I f a g e n e r a l e x p r e s s i o n f o r t h e s l o p e o f t h e c u r v e a t any p o i n t x i s d e s i r e d , t h e n d (x 2) , i s c a l l e d t h e d e r i v a t i v e a n d dx i s a f u n c t i o n t h a t g i v e s t h e s l o p e a t any p o i n t x (as a m a t t e r o f f a c t t h e d e r i v a t i v e i s 2 x ) . D o i n g d i f f e r e n t i a l c a l c u l u s i n v o l v e s f i n d i n g r a t e s o f c h a n g e . C o n s i d e r an e x a m p l e f r o m m e d i c i n e . A p a t i e n t ' s t e m p e r a t u r e as a f u n c t i o n o f t i m e i s g i v e n by y = - . l x 2 + 1.2x + 98.6. Then a t t = 3 i s .6°/day, a t 7 d a y s , -.2°/day, a t 10 d a y s -.8°/day, as i l l u s t r a t e d i n F i g u r e 38. C a l c u l u s c a n be u s e d i n g e o g r a p h y . A c i t y ' s p o p u l a t i o n s t a r t s f r o m 100,000 a n d g r o w s t o an amount P = 100,000 + 2 0 0 0 * t 2 . A t t i m e t = 5 y e a r s d P / d t i s 115 20,000 p e o p l e / y e a r a n d a t 10 y e a r s i t i s 40,000 p e o p l e / y e a r . T h i s i s i l l u s t r a t e d i n F i g u r e 39. X - S X I S : Q . . . . 1 2 S T E P .1 V - X I S : 3 & . . . i i O S T E P I F i g u r e 38. Time v s . p a t i e n t t e m p e r a t u r e v = j.« w y t« ts + ii «%j f *: X - r t X I S : 9 . . . ± 5 S T E P ± V — A X I S : - - - S « m ifil iFS ;g S T E P 5! ifli 1H1 ft F i g u r e 39. Time v s . c i t y ' s p o p u l a t i o n H e r e i s an e x a m p l e f r o m b u s i n e s s . A f i r m e s t i m a t e s i t w i l l s e l l n T.V. s e t s a f t e r s p e n d i n g x on 116 a d v e r t i s i n g x i n t h o u s a n d s o f d o l l a r s . A t x = 100 dn/dx i s 100 T.V.'s/lOOO a d v e r t , a t x = 200 dN/dx i s - 100 T.V.'s/lOOO, a t x = 300 dN/dx i s -300 T.V.'s / 1000. A t some p o i n t a d v e r t i s i n g i s a w a s t e o f money ( s e e F i g u r e 4 0 ) . i- u n c t l o n : V=- vf 2 + 3 O O -*• v. + £ v — x -t i: + oiaa*x -*• w X - A X I S : '8 . . . O S T E P i> 3 V — A V T c; : „qi :,2 f5 Ft A «i R T £ P ± « 8 *3 F i g u r e 40. D o l l a r s s p e n t on a d v e r t i s i n g v s . T.V. s e t s s o l d C o n s i d e r a n o t h e r e x a m p l e f r o m m e d i c i n e . The p e r c e n t a g e ( e x p r e s s e d as a d e c i m a l f r a c t i o n ) o f d o c t o r s who a c c e p t a new m e d i c i n e i s g i v e n i n F i g u r e 41. A t 6 months dP/dx i s 6% p e r month, a t 12 months i t i s 1.8% 117 p e r month a n d a t 18 months i t .55% p e r month. The r a t e o f c h a n g e s l o w s as t h e l i m i t i n g v a l u e i s a p p r o a c h e d . F u n c t i o n : y= i -s*<p <•'. -0. 2*'<) v'asi.'-fc.XV' <. — it . > X - A X I S : O . . . 2 - 4 S T E P 1 V - A X I S : 8 .' . . ± S T E P , ± F i g u r e 4 1 . Time v s . f r a c t i o n o f d o c t o r s a c c e p t i n g a m e d i c i n e G e o m e t r y p r o v i d e s t h i s e x a m p l e . C o n s i d e r a 4 0 cm. l o n g p i e c e o f s t r i n g b e i n g u s e d t o f o r m a r e c t a n g l e o f w i d t h x a n d l e n g t h 20 - x so t h a t a r e a 20x - x 2. N o t i c e t h e maximum a r e a i s a t t a i n e d a t x = 10. The s l o p e t h e r e i s 0. O p t i m i z a t i o n t h e o r y c o u l d be i n t r o d u c e d a n d e x p l o r e d ( s e e F i g u r e 4 2 ) . A n o t h e r e x a m p l e , f r o m b u s i n e s s i s t h e f o l l o w i n g . An up a n d down company f i n d s t h a t i t s s a l e s d u r i n g t h e X t h m o n t h o f t h e y e a r i s g i v e n by t h e f u n c t i o n y = 40,000 ( s i n ( x ) + c o s ( x ) ) . U s i n g t h e g r a p h i t c a n be f o u n d t h a t 118 X - r i X I S : B * . . . 2 9 S T E P ± Y - f i X I S : 8 < . . ± 2 0 S T E P 5 F i g u r e 42. W i d t h o f r e c t a n g l e v s f o r m e d a r e a o f r e c t a n g l e S' a t x = 2 mo i s -$52930/mo a t x = 7 mo i s $3870/mo a t x = 8 mo i s -$45318/mo a t x = 12 mo i s $55125 /mo The s i g n i f i c a n c e o f p o s i t i v e , n e g a t i v e a n d z e r o s l o p e c a n be d i s c u s s e d w i t h r e f e r e n c e t o t h e c a l c u l u s ( s e e F i g u r e 4 3 ) . The c o m p u t e r c r e a t e s t h e p o s s i b i l i t y o f h a v i n g c a l c u l u s come a l i v e i m m e d i a t e l y w i t h m e a n i n g f u l a p p l i c a t i o n s t o w h i c h t h e s t u d e n t c a n r e l a t e . C a l c u l u s i s t h e n l e s s a m y s t e r y a n d more a u s e f u l way o f s e e i n g t h e w o r l d . 119 i' Y = . 4 © y Q < S I H < X ) + C C S < X > > X - A X I S : 8 . . . 2 - 4 S T E P ± y - f l x i s : - s e a e o , . . s e e e e S T E J F i g u r e 43. Time o f y e a r v e r s u s s a l e s Numerical integration C o n s i d e r t h e c u r v e y = x 2 on t h e i n t e r v a l 0<x<10. Use t h e i n t e g r a l o p t i o n on t h e M a t h g r a p h e r p r o g r a m t o f i n d t r a p e z o i d a l a p p r o x i m a t i o n s t o t h e a r e a . F i l l i n t h e c h a r t b e l o w a n d compare i t w i t h v e r s i o n s o f F i g u r e 44 g e n e r a t e d b y t h e c o m p u t e r . No. Trapezoids Area 2 5 10 15 20 25 30 100 120 I I i"-K. I I I ! X i i r i i rw ? • i i i ! i i i r > ^ _ _ j _ _ _ _ , - T - - r i i 1 • . . . . . . . . •— i - • • • • • * • « • * • X - A X I S - - 2 P . . . 2 0 S T E P 5 v — A X I S : - i Q . . . 5 8 6 S T E P 5 8 F i g u r e 44 . y = x 2 I s a s t e a d y a n s w e r a p p r o a c h e d as t h e number o f t r a p e z o i d s i n c r e a s e s ? N u m e r i c a l i n t e g r a t i o n i s b a s e d on 3 i d e a s ; 1. The sum o f t h e a r e a s o f a p p r o x i m a t i n g t r a p e z o i d s i s a p p r o x i m a t e l y e q u a l t o t h e a r e a u n d e r t h e c u r v e . 2. The f i n e r we make t h e d i v i s i o n s t h e c l o s e r we g e t t o t h e a c t u a l a r e a . 3. I f we u s e a s u f f i c i e n t l y f i n e d i v i s i o n we w i l l g e t as c l o s e t o t h e a c t u a l a r e a as n e e d e d t o t h e f o r t h e a p p l i c a t i o n a t h a n d . 121 The c o n v e n t i o n a l n o t a t i o n f o r t h e p r o b l e m a b o v e i s ,0 x 2 dx. T h i s i s c a l l e d t h e d e f i n i t e i n t e g r a l f r o m 0 t o 10. I t i s a number, t h e a r e a u n d e r t h e c u r v e . I f a g e n e r a l e x p r e s s i o n f o r an i n t e g r a l i s d e s i r e d , ( i . e . x 2 dx) t h i s i s c a l l e d t h e i n d e f i n i t e i n t e g r a l a n d i s a f u n c t i o n t h a t i s a g e n e r a l e x p r e s s i o n f o r t h e a r e a (as a m a t t e r o f f a c t i t i s Y = x 3 + C) 3 The a r e a u n d e r t h e g r a p h y = x 2 i s f o u n d b e l o w w i t h t r a p e z o i d a l a p p r o x i m a t i o n . More t r a p e z o i d s c a n be u s e d t o i m p r o v e t h e a p p r o x i m a t i o n by f o r c i n g i t t o a l i m i t - C'dx = 693.2.. -12 B u s i n e s s c a n u s e i d e a s f r o m i n t e g r a l c a l c u l u s . A n o r t h e r n c l i m a t e s k i company d e t e r m i n e s i t s s a l e s (S) o f s k i s i n x t h month i s g i v e n by t h e f u n c t i o n b e l o w , w here S i s i n t h o u s a n d s o f d o l l a r s f o r t h a t month. The t o t a l s a l e s f o r t h e y e a r i s g i v e n b y , J o 7* ( 1 - c o s (;c/6*x) ) = $84, 000. See F i g u r e 45. C o n s i d e r an e x a m p l e o f t h e a p p l i c a t i o n o f c a l c u l u s i n p h y s i c s . A p a r t i c l e moves i n s u c h a way t h a t i t k e e p s g o i n g f a s t e r a n d f a s t e r a c c o r d i n g t o t h e e q u a t i o n v ( x ) = 3 x 2 + 2x. The d i s t a n c e t h e p a r t i c l e g o e s 122 v=" T* ( 1 - c e s ( 3 . 1 4 * x / 6 ) ) '/I I I ! I I ! X - A X I S : Q. Y - A X I S : - 2 I v I % i Pi. ; i i i r S T E P i 1 5 S T E P I V.. F i g u r e 45. M o n t h v s . s a l e s i n t h a t month b e t w e e n t i m e 1 a n d t i m e 2 i s t h e d e f i n i t e i n t e g r a l . F o r e x a m p l e f r o m t i m e ! = 1 t o t i m e 2 = 5 t h e p a r t i c l e g o e s , 3*x 2 + 2*x dx = 148. See F i g u r e 46 T h i s p r o c e d u r e g e n e r a l i z e d a l l o w s f o r t h e c o m p u t a t i o n o f q u a n t i t i e s d e t e r m i n e d by v a r i a b l e s t h a t a r e u n d e r g o i n g c h a n g e t h r o u g h t h e c o u r s e o f t h e c a l c u l a t i o n — f o r e x a m p l e , d i s t a n c e as v e l o c i t y c h a n g e s , work a s f o r c e c h a n g e s , power as c u r r e n t c h a n g e s . Fun<:t i e n s : y=2*vcT2+2*v; 123 ' l l l l l X - A X I S : O . . . ? S T E P . 5 V — A X I S : ft, , . 2 0 9 S T E P i 0 F i g u r e 46. Time v e r s u s v e l o c i t y A n o t h e r e x a m p l e o f c a l c u l a t i o n o f q u a n t i t i e s i n f l u x c o n c e r n s t h e r a t e o f u s e o f e l e c t r i c i t y . A f a m i l y u s e s e l e c t r i c a l e n e r g y a c c o r d i n g t o t h e e q u a t i o n b e l o w , where k i s i n k i l o w a t t - h o u r s , a n d x i s t i m e . D u r i n g t h e f i r s t f o u r h o u r s t h e f a m i l y u s e s ; 1 0 * x * e x p ( - x ) dx = 9.1 kwh. See F i g u r e 47. F o r a w h o l e day t h e f a m i l y u s e s ; 1 0 * x * e x p ( - x ) dx = 9.98 kwh. See F i g u r e 48. 124 ( — -.n in n II ir. in i ni..... r J l l l l l l i . . J! 11 f i: 11 n. •-All IIIIII ! l \ iJUMI I Jll III I illllll I l l l l l l l l liltHII alil ini (111 I il 11 UJtlJLiJ il r>. I ill*. . IIIIIK IIIIHIY IIIIIII IK-IIII illIIIV.. I l i l l i l l l l l ' !!(l!!lilfl iJUJi.lJl.lJ. X - A X I S V — A X I S 8 . . . 2 -4 S T E P ± 8 . . . 5 S T E P . 5 F i g u r e 47. Time v e r s u s R a t e o f E n e r g y U se: 4 h o u r s F u n c t i o n s : y=10*x*e.,-;p ( — x !> ' mm rsiprgista • • • • .«..-! t«381STv . . . . ;jEll!!.?l^ !il.-iS?!i!Si . ^i!I^ PI£3pi!>f|L ^fejiKiii^ldaL saiiiii^S'iteMtiiav- • • 3B8 r;*ca! aa sat saa FW*. a* 113 i H £fil IRS -"3 r.i I It ITr*u_ X - A X I S : 8 . . . 2 -4 S T E P ± V - A X I S : 8 , . . 5 S T E P . 5 F i g u r e 48. Time v e r s u s R a t e o f E n e r g y U s e : 24 h o u r s 125 A w h o l e web o f q u e s t i o n s c a n be a d d r e s s e d t o c o n n e c t t h e c a l c u l a t i o n t o r e a l i t y . 1. why t h e u s e d i s t r i b u t i o n as i t i s ? 2. what i m p l i c a t i o n s a r e t h e r e f o r t h e p o w e r company? 3. i s t h e m o d e l r e a l i s t i c ? C o n s i d e r an a p p l i c a t i o n o f t h e i n t e g r a l f r o m g e o m e t r y , t h e a r e a b e t w e e n t h e c u r v e s . W i t h r e g a r d t o t h e g e o m e t r i c i d e a o f a r e a b e t w e e n two c u r v e s , c o n s i d e r t h e a r e a b e t w e e n t h e two c u r v e s b e l o w . The a r e a f r o m x = -2 t o x = 3 i s g i v e n b y ; ( x 2 + 3 ) - x 2 = 15 The p r o c e d u r e i s g e n e r a l a n d t h e c o m p u t e r t a k e s c a r e o f t h e c o m p u t a t i o n ( s e e f i g u r e 4 9 ) . The a v e r a g e v a l u e A o f a c o n t i n u o u s f u n c t i o n f i s 0 g i v e n by \ , f (x) dx . T h i s c o r r e s p o n d s t o some ( b ^ a j v a l u e o f t h e f u n c t i o n s u c h t h a t t h e r e c t a n g u l a r a r e a A* (b-a) i s t h e a r e a u n d e r t h e c u r v e f r o m a t o b. F o r e x a m p l e , t h e f o l l o w i n g s i t u a t i o n c o u l d o c c u r i n t h e f i e l d o f m e d i c i n e . The amount A o f d r u g i n a p a t i e n t ' s b l o o d s t r e a m a t t i m e x a f t e r a d o s a g e i s a d m i n i s t e r e d i s g i v e n by t h e f u n c t i o n A = 3e" - 8 6 x, where A i s i n m i l l i g r a m s p e r m i l l i l i t r e . The amount o f d r u g i n t h e 126 Functi ons: y=x1*2+3 v= (x t2+3) - (. x T2 .'> X - f t X I S : - 5 . . . 5 S T E P i V - A X I S : Q . . , - 4 Q S T E P 5 F i g u r e 49. A r e a b e t w e e n two c u r v e s b o d y i s g o i n g down a s t h e b o d y m e t a b o l i z e s t h e d r u g . The a v e r a g e amount o f t h e d r u g i n t h e b o d y o v e r t h e i n t e r v a l [ a ,b] i s g i v e n b y C o n s i d e r a n o t h e r e x a m p l e f o r g e o m e t r y . I f a p l a n e f i g u r e i s r o t a t e d a b o u t t h e x a x i s i n s p a c e , a s o l i d i s f o r m e d . The v o l u m e o f t h e s o l i d o f r e v o l u t i o n i s g i v e n by O v e r t h e f i r s t two h o u r s t h e a v e r a g e i s 3*exp (-.86*x) dx = 2.87/2 = 1.435 ml ( F i g u r e 50) 2 127 X - f l X I S : Q...2 S T E P . _L V - A X J S : D : = : 3 S T E P = ± F i g u r e 50. A v e r a g e v a l u e o f a f u n c t i o n 7C* [ f (x) ] 2 dx, where a, b a r e t h e b o u n d s o f t h e p l a n e r e g i o n r o t a t e d . F o r e x a m p l e i f t h e c u r v e y = e x p ( x ) b e t w e e n x = 1 a n d x = 2 i s r o t a t e d a b o u t t h e x a x i s t h e s h a p e g e n e r a t e d h a s v o l u m e , g i v e n b y 7 t * [ e x p ( x ) ] 2 dx = 8 6 . 1 . See F i g u r e 5 1 . 128 VT * [ e x p ( x ) l A 2 dx = 86.1 F u n c t i ons: y=exp \. %.') y=3. 14 * C exp <: x ) ) 12 i j n A I .1 I ! /! I I • A\ I I i I M M sj^-L 11 J . I . t . - : X - A X I S : V — A X I = - 5 . . . 5 S T E P J. O , . . 5 Q Q S T E P 5 0 F i g u r e 5 1 . V o l u m e o f r e v o l u t i o n Summary The e x a m p l e s i n t h i s c h a p t e r h a v e shown t h a t t h e u s e o f t h e c o m p u t e r r e p r e s e n t s t h e p o s s i b i l i t y o f 1. t u r n i n g t h e m a t h e m a t i c s c u r r i c u l u m on i t s h e a d . 2. p r o v i d i n g p o w e r f u l t e c h n i q u e s f o r t h e u s e o f a l l s t u d e n t s ( n o t j u s t t h e 10% who m e a n i n g f u l l y c o m p l e t e A l g e b r a 12 now). 3. i n t r o d u c i n g m e a n i n g f u l a p p l i c a t i o n s o f m a t h e m a t i c s i m m e d i a t e l y . The c o m p u t e r a i d e d , n u m e r i c a l a p p r o a c h t o c a l c u l u s d e s c r i b e d i n t h i s c h a p t e r i s a i m e d a t t h e f o l l o w i n g : E n a b l i n g s t u d e n t s t o s e e t h e w o r l d t h r o u g h m a t h e m a t i c a l e y e s a n d t o p e r c e i v e m a t h e m a t i c s as u s e f u l i n t e l l e c t u a l t r a i n i n g . E n g a g i n g m a t h e m a t i c a l i d e a s w i t h i d e a s f r o m o t h e r d i s c i p l i n e s a n d w i t h i d e a s i n t h e s t u d e n t ' s a c t i v e c o g n i t i v e r e p e r t o i r e t o combat t h e t e n d e n c i e s o f f r a g m e n t a t i o n , i s o l a t i o n a n d a l i e n a t i o n o f k n o w l e d g e f r o m t h e w o r k i n g b e l i e f s o f t h e l e a r n e r i n d a i l y l i f e . A c t i v e l y i n v o l v i n g t h e l e a r n e r i n t h e c o n s t r u c t i o n o f k n o w l e d g e b y o f f e r i n g m e a n i n g f u l e x a m p l e s , r e d u c i n g t h e e m p h a s i s on b r u t e c a l c u l a t i o n a n d i n c r e a s i n g s t u d e n t i n d e p e n d e n c e a n d e x p e r i m e n t a t i o n . N e t w o r k i n g new k n o w l e d g e t o p a s t e x p e r i e n c e t h r o u g h a p p l i c a t i o n s w i t h a v i e w t o i n t e g r a t i n g , r a t h e r t h a n f u r t h e r f r a g m e n t i n g k n o w l e d g e . A l l o w i n g t h e c o n s t r u c t i o n a n d a c c e p t a n c e o f new k n o w l e d g e t o t a k e p l a c e t h r o u g h n u m e r i c a l , c o n c r e t e e x p e r i e n c e a n d e x p e r i m e n t a t i o n . New k n o w l e d g e g r a d u a l l y becomes b e l i e v a b l e , r a t h e r t h a n j u s t m e m o r i z a b l e , as i t i s u s e d , t e s t e d a n d e l a b o r a t e d u p o n b y t h e l e a r n e r . F i n a l l y , r a t h e r t h a n i n i t i a l l y , t h e k n o w l e d g e c a n be f o r m a l i z e d . 130 The p e r c e p t i v i s t - c o n s t r u c t i v i s t t h e o r y o f c o m p u t e r i n t e g r a t e d m a t h e m a t i c s p r o v i d e s t h e i n s i g h t n e e d e d t o s t a r t w o r k i n g s y s t e m a t i c a l l y t o w a r d t h e r e a l i z a t i o n o f t h e k i n d o f c a l c u l u s p r o g r a m s u g g e s t e d b y t h e NCTM s t a n d a r d s d ocument, w h i c h i n p a r t s u g g e s t s : C o m p u t i n g t e c h n o l o g y makes t h e f u n d a m e n t a l c o n c e p t s a n d a p p l i c a t i o n s o f c a l c u l u s a c c e s s i b l e t o a l l s t u d e n t s . The a r e a u n d e r a f i n i t e p o r t i o n o f a c u r v e , f o r e x a m p l e , c a n b e a p p r o x i m a t e d g e o m e t r i c a l l y b y p a r t i t i o n i n g ... A l l s t u d e n t s c o u l d u s e a g r a p h i n g u t i l i t y t o i n v e s t i g a t e a n d s o l v e o p t i m i z a t i o n p r o b l e m s , i n c l u d i n g t h e maximum-minimum p r o b l e m s t r a d i t i o n a l l y a s s o c i a t e d w i t h t h e f i r s t c o l l e g e - l e v e l c o u r s e i n c a l c u l u s , w i t h o u t c o m p u t i n g a d e r i v a t i v e . ... U s i n g i n t e r a c t i v e g r a p h i n g u t i l i t i e s , c o l l e g e - i n t e n d i n g s t u d e n t s c o u l d e x a m i n e o t h e r c h a r a c t e r i s t i c s o f t h e g r a p h s o f f u n c t i o n s , i n c l u d i n g c o n t i n u i t y , a s y m p t o t e s , e n d b e h a v i o r ( i . e . b e h a v i o r as x -> <») a n d c o n c a v i t y ... C o m p u t i n g t e c h n o l o g y a l s o p e r m i t s t h e f o r e s h a d o w i n g o f a n a l y t i c i d e a s f o r c o l l e g e i n t e n d i n g s t u d e n t s . F rom a c o m p u t e r - g r a p h i c s p e r s p e c t i v e , f o r e x a m p l e , a d i f f e r e n t i a b l e f u n c t i o n c a n be v i e w e d as a f u n c t i o n h a v i n g t h e p r o p e r t y t h a t a s m a l l p o r t i o n o f i t s g r a p h , when h i g h l y m a g n i f i e d , a p p r o x i m a t e s a l i n e s e g m e n t . . . . I n s t e a d o f d e v o t i n g l a r g e b l o c k s o f t i m e t o d e v e l o p i n g a m a s t e r y o f p a p e r - a n d - p e n c i l m a n i p u l a t i v e s k i l l s , more t i m e a n d e f f o r t s h o u l d be s p e n t on d e v e l o p i n g a c o n c e p t u a l u n d e r s t a n d i n g o f k e y i d e a s a n d t h e i r a p p l i c a t i o n s . A l l s t u d e n t s s h o u l d h a v e t h e b e n e f i t o f a c o m p u t e r e n h a n c e d 131 i n t r o d u c t i o n t o some o f t h e t y p e s o f p r o b l e m s f o r w h i c h t h e c a l c u l u s was d e v e l o p e d . (NCTM, 1989, pp.182-183) The r e a l i z a t i o n o f t h i s p r o g r a m i s f a c i l i t a t e d t o t h e e x t e n t t h a t p e r c e p t i v i s m c a n show what t o do, c o n s t r u c t i v i s m c a n show how t o do i t a n d t h e c o m p u t e r c a n show how t o make t h e c o m p u t a t i o n a l c o m p l e x i t i e s m a n a g e a b l e . The s t u d e n t becomes a c t i v e l y i n v o l v e d , t h r o u g h r e a l l i f e a p p l i c a t i o n s , i n t h e p r o c e s s o f s e e i n g t h e w o r l d i n t e r m s o f t h e c a l c u l u s . T h i s r e p r e s e n t s more t h a n s c h o o l i n g — i t r e p r e s e n t s e d u c a t i o n . 132 CHAPTER VII REPORT ON A FIELD TEST OF THE CALCULUS UNIT The a i m o f t h i s c h a p t e r i s t o r e p o r t on f i e l d t e s t s o f t h e P e r c e p t i v i s t - c o n s t r u c t i v i s t c a l c u l u s u n i t o u t l i n e d i n C h a p t e r V I . The u n i t was g i v e n t o 41 g r a d e t w e l v e s t u d e n t s a t T e m p l e t o n S e c o n d a r y S c h o o l i n V a n c o u v e r , B.C., f r o m S e p t e m b e r 1988 t o A p r i l 1 989. T h i s c h a p t e r w i l l f i r s t d i s c u s s t h e p u r p o s e o f t h e f i e l d t e s t s . The i n s t r u c t i o n a l s e q u e n c e g i v e n t o t h e s t u d e n t s w i l l t h e n be o u t l i n e d . F o l l o w i n g t h i s , t e a c h e r n o t e s a n d s t u d e n t q u e s t i o n n a i r e r e s u l t s w i l l be s u m m a r i z e d a n d d i s c u s s e d i n t e r m s o f t h e e x t e n t t o w h i c h t h e y s u g g e s t P e r c e p t i v i s t - c o n s t r u c t i v i s t p r i n c i p l e s were r e a l i z e d i n t h e c l a s s r o o m . Purpose of the f i e l d t e s t The m a j o r g o a l o f t h i s p a p e r h a s b e e n t o show how P e r c e p t i v i s t - c o n s t r u c t i v i s t p r i n c i p l e s c a n i n f o r m t h e e f f e c t i v e u t i l i z a t i o n o f t h e c o m p u t e r t o i m p r o v e t h e m e a n i n g f u l n e s s o f m a t h e m a t i c s e d u c a t i o n i n s e c o n d a r y s c h o o l s . P e r c e p t i v i s m s u g g e s t s t h a t c u r r i c u l u m a n d i n s t r u c t i o n must a i m b e y o n d mere f a c t u a l r e c a l l a n d c o n c e p t m a s t e r y t o a c t u a l p e r c e p t i o n a n d u s e . The p h i l o s o p h y a l s o s u g g e s t s t h a t s t u d e n t s must become p r o f i c i e n t i n t h e d i s c r i m i n a t e s e l e c t i o n a n d s k i l l e d 133 u s e o f t h e d i f f e r e n t modes o f p e r c e p t i o n . C o n s t r u c t i v i s m s u g g e s t s t h a t s t u d e n t s must become a c t i v e l y i n v o l v e d i n t h e c o n s t r u c t i o n o f m e a n i n g , t h a t t h e y must i n t e g r a t e p a s t a n d p r e s e n t e x p e r i e n c e i n an o n g o i n g , m e a n i n g f u l way and t h a t s t u d e n t s must c h a l l e n g e new c o n c e p t s t o s u r v i v e c o m p e t i t i o n f o r b e l i e f a n d u s e w i t h o l d e r , e s t a b l i s h e d c o n c e p t s . The p u r p o s e o f t h e f i e l d t e s t was t o d e t e r m i n e t h e e x t e n t t o w h i c h t h e t e a c h e r a n d s t u d e n t s c o u l d s e e t h e t h e o r e t i c a l p r i n c i p l e s b e i n g r e a l i z e d i n t h e c o m p u t e r m a t h e m a t i c s c l a s s r o o m . The a u t h o r d e s i g n e d an i n s t r u c t i o n a l u n i t i n c a l c u l u s , b a s e d i n p a r t on a p p l i e d c a l c u l u s e x e r c i s e s a d a p t e d f r o m B i t t i n g e r a n d M o r e l ( 1 9 8 2 ) . N o t e s were k e p t by t h e a u t h o r a n d a- s t u d e n t q u e s t i o n n a i r e was g i v e n t o d e t e r m i n e i f t h e t e a c h e r a n d s t u d e n t s c o u l d s e e a v a l i d e x p e r i m e n t a l P e r c e p t i v i s t - c o n s t r u c t i v i s t t r e a t m e n t t a k i n g s h a p e i n t h e c l a s s r o o m . T h i s , i n t u r n , c o u l d s e t t h e s t a g e f o r l a t e r e x p e r i m e n t a l work i n w h i c h t h e p e r f o r m a n c e o f a c o m p u t e r a s s i s t e d e x p e r i m e n t a l g r o u p c o u l d be c o m p a r e d w i t h t h a t o f a n o n c o m p u t e r c o n t r o l g r o u p . T h i s s t u d y s t o p s s h o r t o f t h i s c o m p a r i s o n . M. K a t h l e e n H e i d (1988) h a s i n f a c t made a c o m p a r i s o n t y p e s t u d y o f p e r f o r m a n c e u s i n g t h e c o m p u t e r as a t o o l t o t e a c h a p p l i e d c a l c u l u s . A l t h o u g h no m e n t i o n o f P e r c e p t i v i s t - c o n s t r u c t i v i s t p r i n c i p l e s i s made, h e r p r o g r a m m e e t s most o f t h e c r i t e r i a s e t o u t i n t h e f i v e p r i n c i p l e s . H e i d s u m m a r i z e s h e r s t u d y o f t h e e f f e c t o f c o m p u t e r m o t i v a t e d r e s e q u e n c i n g o f s k i l l a n d c o n c e p t d e v e l o p m e n t on s t u d e n t p e r f o r m a n c e i n t h e f o l l o w i n g manner: D u r i n g t h e f i r s t 12 weeks o f an a p p l i e d c a l c u l u s c o u r s e , two c l a s s e s o f c o l l e g e s t u d e n t s (n=39) s t u d i e d c a l c u l u s c o n c e p t s u s i n g g r a p h i c a l a n d s y m b o l - m a n i p u l a t i o n c o m p u t e r p r o g r a m s t o p e r f o r m r o u t i n e m a n i p u l a t i o n s . O n l y t h e l a s t 3 weeks were s p e n t on s k i l l d e v e l o p m e n t . C l a s s t r a n s c r i p t s , s t u d e n t i n t e r v i e w s , f i e l d n o t e s , -and t e s t r e s u l t s w e r e a n a l y z e d f o r p a t t e r n s o f u n d e r s t a n d i n g . S t u d e n t s showed b e t t e r u n d e r s t a n d i n g o f c o u r s e c o n c e p t s a n d p e r f o r m e d a l m o s t a s w e l l on a f i n a l exam o f r o u t i n e s k i l l s a s a c l a s s o f 100 s t u d e n t s who h a d p r a c t i c e d t h e s k i l l s f o r t h e e n t i r e 15 w e e ks. ( H e i d , 1988, p.3) I n s t r u c t i o n a l sequence The u s u a l t o p i c s i n a p p l i e d d i f f e r e n t i a l a nd i n t e g r a l c a l c u l u s w e r e p r e s e n t e d t o t h e s t u d e n t s . They w o r k e d on s l o p e s , r a t e s o f c h a n g e , minimum-maximum, a r e a u n d e r a c u r v e , a r e a b e t w e e n two c u r v e s , a v e r a g e v a l u e o f a f u n c t i o n , v o l u m e o f r e v o l u t i o n a n d a n t i d e r i v a t i v e a p p l i c a t i o n s . A m a j o r d i f f e r e n c e f r o m t r a d i t i o n a l , n o n c o m p u t e r c o u r s e s was t h e " c o n c e p t s 135 f i r s t " a p p r o a c h t o c u r r i c u l u m a n d i n s t r u c t i o n . The t e a c h i n g o f c o n c e p t s , a n d t h e p e r c e p t u a l p o s s i b i l i t i e s t h e y o pen up, p r e c e d e d t h e t e a c h i n g o f r o u t i n e c a l c u l a t i o n s k i l l s i n s e q u e n c e as w e l l a s p r i o r i t y . P r o b l e m s f r o m a w i d e r a n g e o f d i s c i p l i n e s w e r e u s e d t o d e v e l o p s t u d e n t u n d e r s t a n d i n g o f t h e i m p o r t a n t c o n c e p t s . G r a p h i n g a n d c a l c u l a t i o n s w e r e done by t h e c o m p u t e r . S e t up, r e p o r t i n g a n d a n a l y s i s were done by t h e s t u d e n t . S t u d e n t s w e re l a t e r shown how t o h a n d l e o n l y p o l y n o m i a l f u n c t i o n s by h a n d . H a n d - i n a s s i g n m e n t s a n d exams were u s e d f o r e v a l u a t i o n . I n s t r u c t i o n c o u l d more i m m e d i a t e l y i n v o l v e t h e s t u d e n t i n p r o b l e m s o l v i n g a n d s e e i n g t h e i d e a s o f c a l c u l u s i n a c t i o n . T h i s was b e c a u s e : 1. C o m p u t e r s f a c i l i t a t e d c o m p u t a t i o n , e s p e c i a l l y g r a p h i n g , d i f f e r e n t i a t i o n a n d i n t e g r a t i o n . 2. C o m p u t e r s e a s i l y p r o v i d e d d a t a f o r d i s c u s s i o n so t h a t t h e d e v e l o p m e n t o f i d e a s d i d n ' t n e e d t o t a k e p l a c e i n t h e a b s t r a c t . 3. C o m p u t e r s made r e a l i s t i c p r o b l e m s m a n a g e a b l e t h r o u g h i n f o r m a t i o n p r o c e s s i n g s u c h a s p a r a m e t e r c h a n g i n g , g e n e r a t i n g t a b l e s o f v a l u e s , e q u a t i o n s o l v i n g a n d c u r v e f i t t i n g . 136 F o r m a l , a b s t r a c t i d e a s l i k e l i m i t s were d e l a y e d u n t i l some i n t u i t i v e u n d e r s t a n d i n g i s p r e s e n t . S t u d e n t s w e re a c t i v e l y i n v o l v e d i n e x p l o r a t i o n f r o m t h e s t a r t b e c a u s e t h e y d i d n o t n e e d t o s i m p l y r e l y on t h e t e a c h e r t o t r a n s m i t k n o w l e d g e . New c o n c e p t s were d e v e l o p e d , m e r g e d a n d a s s i m i l a t e d w i t h o l d as t h e c o m p u t e r manages t h e t e c h n i c a l c a l c u l a t i o n s . I t m i g h t be a r g u e d t h a t g i v i n g s t u d e n t s f u n c t i o n s on w h i c h t o o p e r a t e a n d t h e n h a v i n g t h e c o m p u t e r do t h e c a l c u l a t i o n s i s l i k e l y t o l e a v e t h e s t u d e n t s w i t h a s e n s e o f m a g i c a n d m y s t e r y as b a d as t h a t g e n e r a t e d by t h e b l i n d m a n i p u l a t i o n o f f o r m u l a e . I n d e e d i t m i g h t be p r e f e r a b l e , i n t h e b e s t o f a l l p o s s i b l e w o r l d s , t o d e r i v e a l l f u n c t i o n s f r o m f i r s t p r i n c i p l e s , o r a t l e a s t u s i n g r e g r e s s i o n . B u t t h i s a p p r o a c h i s c o u n t e r p r o d u c t i v e w i t h b e g i n n e r s due t o i t s c o m p l e x i t y . The g o a l h e r e was t o p r o c e e d as d i r e c t l y a s p o s s i b l e , p a s t f a c t u a l r e c a l l a n d c o n c e p t m a s t e r y , t o a c t u a l p e r c e p t i o n . The t e m p t a t i o n t o p r o c e e d u s i n g a p r e m a t u r e f o r m a l i s m a n d i n s i n c e r e p r o m i s e o r r e l e v a n c e l a t e r h a s d e m o n s t r a t e d i t s s h o r t c o m i n g s . The b a l a n c e must be s h i f t e d b a c k t o w a r d r e l e v a n c e , m e a n i n g a n d p e r c e p t i o n f i r s t w i t h f o r m a l i s m , f o r t h o s e who n e e d i t , t o be d e l i v e r e d l a t e r . F i e l d notes 137 The a u t h o r r e g u l a r l y c o l l e c t e d f i e l d n o t e s w h i l e w a l k i n g a r o u n d t h e c l a s s r o o m o b s e r v i n g a n d h e l p i n g s t u d e n t s . The r e s u l t s o f t h e s e n o t e s a r e s u m m a r i z e d h e r e . The r e s u l t s s h o u l d be i n t e r p r e t e d as t h e s u b s t a n c e o f an h y p o t h e s i s g e n e r a t i n g s t u d y . What i s o f f e r e d i s a p r e l i m i n a r y s e t o f o b s e r v a t i o n s , w h i c h may be c o n f i r m e d o r n o t by f u t u r e , n e u t r a l o b s e r v e r s . B e c a u s e t h e c o m p u t e r d i d t h e c a l c u l a t i o n s , s t u d e n t s g o t r i g h t t o s o l v i n g p r o b l e m s . The t e a c h e r s p e n t l i t t l e t i m e i n s t r u c t i n g f o r m a l l y . M o s t o f t h e t e a c h e r ' s t i m e was s p e n t o b s e r v i n g a n d h e l p i n g i n d i v i d u a l s t u d e n t s w i t h p r o b l e m s . F o r m a l l e s s o n s w e re u s u a l l y l e s s t h a n t e n m i n u t e s i n l e n g t h . F r e e d f r o m t h e d u t y o f l e s s o n p r e s e n t a t i o n t h e t e a c h e r c a n become more i n v o l v e d i n t h e l e a r n i n g p r o c e s s w i t h t h e i n d i v i d u a l , o f f e r i n g s p e c i f i c h e l p a t r e q u i r e d t i m e s . O b s e r v a t i o n s u g g e s t s t h a t t h e t e a c h e r w i l l s p e n d t h e m a j o r i t y o f c l a s s t i m e e n g a g e d i n t h i s a c t i v i t y . R a t h e r t h a n " s o m e t h i n g - f o r - e v e r y b o d y " l e s s o n s , t e a c h i n g was d i r e c t e d t o t h e o v e r c o m i n g o f p a r t i c u l a r o b s t a c l e s t o l e a r n i n g . B e c a u s e t h e t e a c h e r was a c t i v e l y i n v o l v e d i n t h e a c t u a l l e a r n i n g p r o c e s s as i t o c c u r r e d , f o r m a t i v e e v a l u a t i o n was an o n g o i n g p r o c e s s . P e r c e p t i v i s t p r i n c i p l e s were o b s e r v a b l e a s t r a n s l a t i n g i n t o p r a c t i s e i n t h e c l a s s r o o m . S t u d e n t s w e r e o b s e r v e d d i s c u s s i n g t e m p e r a t u r e s , p o p u l a t i o n s , 138 p r o f i t s , e t c . , as t h e s e i d e a s r e l a t e d t o t h e r e l e v a n t m a t h e m a t i c s . One s t u d e n t d e s c r i b e d t h e c o u r s e a s " e a s y t o r e l a t e t o b e c a u s e o f t h e u s e o f a c t u a l t h i n g s , f o r e x a m p l e , d i v o r c e s , m e m o r i z a t i o n , d o s a g e o f m e d i c i n e . " A n o t h e r s t u d e n t e x p l a i n e d , " I t was much e a s i e r t o c a t c h o n t o t h e c o n c e p t i n i t i a l l y when we c o u l d v i s u a l i z e t h e p r o b l e m . The a p p l i c a t i o n s t o o t h e r a r e a s l i k e e c o n o m i c s , b u s i n e s s , p o p u l a t i o n , e s p e c i a l l y h e l p e d i n t h e u n d e r s t a n d i n g p r o c e s s . " On one o c c a s i o n , two s t u d e n t s w e re o b s e r v e d t a l k i n g a b o u t t h e d i f f e r e n c e b e t w e e n t h e p o p u l a t i o n o f a c i t y a n d i t s r a t e o f c h a n g e . The n a t u r e o f t h e p r o b l e m s t h a t c o u l d be s e t demanded a p e r c e p t i o n o f what was g o i n g on b e f o r e t h e r e l e v a n t m a t h e m a t i c s was b r o u g h t t o b e a r . The p r o b l e m s a l s o demanded s t u d e n t s e n g a g e d i f f e r e n t i d e a s t o s o l v e a p r o b l e m , i d e a s f r o m o r d i n a r y l a n g u a g e , s c i e n c e , m a t h e m a t i c s , e c o n o m i c s , e t c . The t r a j e c t o r y , f o r e x a m p l e , s p a r k e d numerous d i s c u s s i o n s a b o u t f o o t b a l l s , s t r e a m s o f w a t e r , e t c . a n d t h e i d e a s n e e d e d t o e x p l a i n t h e i r b e h a v i o r s u c h a s v e l o c i t y , p a t h , d i s t a n c e , a r c , e t c . The l e a r n i n g s i t u a t i o n t h e n became c o o p e r a t i v e l y e x p e r i m e n t a l as s t u d e n t s t r i e d o u t t h e i r i d e a s t o s e e i f t h e c o m p u t e r w o u l d v e r i f y t h e i r h u n c h e s . Some s t u d e n t s f e l t g u i l t y . One a s t u d e n t r e m a r k e d , " I f o u n d i t t o o e a s y t o r e l y on t h e c o m p u t e r s f o r many q u e s t i o n s 139 when I c o u l d e a s i l y h a v e done t h e c a l c u l a t i o n s i n my h e a d . " C o n s t r u c t i v i s t p r i n c i p l e s c o u l d a l s o be o b s e r v e d e m e r g i n g i n p r a c t i s e . I n d e p e n d e n t l e a r n i n g t h r o u g h a c t i v e c o n s t r u c t i o n was p r o m o t e d i n t h a t l i t t l e t i m e was s p e n t g i v i n g i n f o r m a t i o n . B e c a u s e p r o b l e m s o l v i n g was s t u d e n t d i r e c t e d , p r e m a t u r e f o r m a l i s m was n o t a c o n c e r n . A s t u d e n t r e m a r k e d , " I t was b e n e f i c i a l b e c a u s e i t e n c o u r a g e d s t u d e n t s t o t h i n k f o r t h e m s e l v e s . " F o r e x a m p l e , w i t h t h e e x e r c i s e c o n c e r n i n g t h e f u n d a m e n t a l t h e o r e m o f a l g e b r a , t h e p r o b l e m was s i m p l y s e t w i t h t h e o n l y h i n t b e i n g — u s e t h e r a t i o n a l r o o t s t h e o r e m t o work b a c k w a r d f r o m t h e r o o t s t o t h e e q u a t i o n . The c a l c u l a t i n g p o w e r o f t h e c o m p u t e r t h e n empowered s t u d e n t i n i t i a t e d i n v e s t i g a t i o n . One s t u d e n t e x p l a i n e d , "The c o m p u t e r was a g r e a t t e a c h e r a i d . By p l a y i n g w i t h t h e c o m p u t e r , I d i d n o t know t h a t I was a c t u a l l y l e a r n i n g c a l c u l u s . " (The c o m p u t e r made l e a r n i n g o f c a l c u l u s e a s i e r . ) The same s i t u a t i o n a p p l i e d w i t h g r a p h i n g c u r v e s t o make (s e e F i g u r e 36) f a c e s . I d e a s c a n be t r i e d o u t ; t h e c o m p u t e r shows w h e t h e r t h e y work. P a s t e x p e r i e n c e s were d r a w n upon an d c o n c e p t a s s i m i l a t i o n was p r o m o t e d t h r o u g h d i a l o g u e . A c o o p e r a t i v e c o n s t r u c t i o n o f m e a n i n g was o b s e r v a b l e as s t u d e n t s r e f l e c t e d on c o m p u t e r c a l c u l a t i o n s . One s t u d e n t commented, "The s t u d e n t s c a n draw t h e g r a p h s on 140 t h e s c r e e n e a s i l y . Then we c a n s p e n d more t i m e t o t h i n k a b o u t what t h e i n f o r m a t i o n t h a t t h e g r a p h s i s ( s i c ) , i n s t e a d o f w a s t e t i m e t o draw t h e g r a p h . " I n f u n c t i o n m o d e l l i n g e x e r c i s e s , f o r e x a m p l e , p a s t e x p e r i e n c e c o u l d be d r a w n on a n d c o n f l i c t i n g v i e w s s i m u l a t e d on 'the c o m p u t e r . S t u d e n t s were f r e q u e n t l y o b s e r v e d d i s c u s s i n g d e t a i l s o f p r o b l e m s i t u a t i o n s . Questionnaire r e s u l t s The q u e s t i o n n a i r e ( T a b l e 5) was g i v e n t o t h e s t u d e n t s a t t h e e n d o f t h e u n i t . The q u e s t i o n s a i m a t d e t e r m i n i n g t h e d e g r e e t o w h i c h s t u d e n t s a r e a w a r e o f t h e f i v e b a s i c p r i n c i p l e s o f t h e P e r c e p t i v i s t -C o n s t r u c t i v i s t p r o g r a m b e i n g r e a l i z e d i n p r a c t i s e , ( s e e p p . 105-107) The s t u d e n t s h a d no e x p l i c i t k n o w l e d g e o f t h e p r i n c i p l e s t h e m s e l v e s , h o w e v e r . Q u e s t i o n 1, 2, 3 a n d 17 c o n c e r n e d a c t u a l p e r c e p t i o n , p r i n c i p l e 1. Q u e s t i o n s 4, 5, a n d 18 c o n c e r n e d s y n t h e s i s o f k n o w l e d g e , p r i n c i p l e 2. Q u e s t i o n 6, 8, 9 a n d 7 c o n c e r n e d a c t i v e c o n s t r u c t i o n o f k n o w l e d g e , p r i n c i p l e 3. Q u e s t i o n s 11, 12, 10 a n d 19 c o n c e r n e d r e l a t i o n t o p a s t e x p e r i e n c e s , p r i n c i p l e 4, a n d q u e s t i o n s 13, 14, 15, 16 a n d 20 c o n c e p t a s s i m i l a t i o n a n d a c c o m m o d a t i o n , p r i n c i p l e 5. T h i r t y s t u d e n t r e p l i e s w e r e r e c e i v e d . A) Analysis of mean response to each question The mean r e s p o n s e t o e a c h q u e s t i o n was c a l c u l a t e d t o g e t h e r w i t h t h e s t a n d a r d d e v i a t i o n a n d t - s c o r e 141 ( c r i t i c a l v a l u e 2 . 1 6 ) . The q u e s t i o n s a r e g i v e n i n T a b l e 5. R e s u l t s a r e s u m m a r i z e d i n T a b l e 6. H 0 was t h a t s t u d e n t r e s p o n s e was a n e u t r a l 3. T h e r e seems t o be some e v i d e n c e t o s u g g e s t t h a t s t u d e n t s s e e p r i n c i p l e s one, two a n d f i v e as b e i n g p a r t i a l l y r e a l i z e d i n p r a c t i s e . The n u l l h y p o t h e s i s seems a c c e p t a b l e h o w e v e r w i t h r e g a r d t o p r i n c i p l e s 2 a n d 3. C o n s i d e r t h e i t e m s f o r p r i n c i p l e one, a c t u a l p e r c e p t i o n ( s e e T a b l e 6 ) . H 0 was r e j e c t e d f o r e a c h o f i t e m s 1, 2, 3 a n d 17. The a l t e r n a t i v e i s a c c e p t e d f o r e a c h i t e m a n d c o n s e q u e n t l y f o r t h e group.. Thus i t i s a c c e p t e d t h a t t h e s t u d e n t s r e a l i z e d t h e p r i n c i p l e o f a c t u a l p e r c e p t i o n . F o r p r i n c i p l e t w o , s y n t h e s i s o f k n o w l e d g e , H 0 was r e j e c t e d f o r e a c h o f t h e i t e m s 4, 5 and 18. Thu s , i t w o u l d a p p e a r t h a t t h i s p r i n c i p l e was r e a l i z e d b y t h e s t u d e n t s . T h i s p r o v i d e s e v i d e n c e , t o g e t h e r w i t h t h e r e s u l t s c o n c e r n i n g p r i n c i p l e one t h a t p e r c e p t i v i s t p r i n c i p l e s w e r e r e a l i z e d i n t h e c l a s s r o o m . I n p a r t i c u l a r , i t p r o v i d e s some e v i d e n c e t h a t t h e c o m p u t e r f a c i l i t a t e d t h e s e t t i n g a n d s o l v i n g o f m e a n i n g f u l c a l c u l u s p r o b l e m s w h i c h p r o m o t e d a c t u a l p e r c e p t i o n a n d e n c o u r a g e d i n t e r d i s c i p l i n a r y t h i n k i n g . F o r p r i n c i p l e t h r e e , a c t i v e c o n s t r u c t i o n o f k n o w l e d g e , H Q was a c c e p t e d f o r i t e m s 6, 8 a n d 9 w h i l e t h e n u l l h y p o t h e s i s was r e j e c t e d f o r i t e m 7. S t u d e n t s 142 d i d n o t r e a l i z e t h i s p r i n c i p l e . T h i s was d i s a p p o i n t i n g i n t h e f a c e o f t h e g o a l o f t h i s u n i t . A p p a r e n t l y , t h e " b l a c k b o x " a s p e c t o f t h e c o m p u t e r was b o t h e r s o m e t o some s t u d e n t s who f e l t g u i l t y o r s h o r t c h a n g e d b y n o t a c t u a l l y d o i n g t h e c a l c u l a t i o n f o r t h e m s e l v e s ( s e e f i e l d n o t e p . 1 3 8 , f o r e x a m p l e ) . T h i s s u g g e s t s f u r t h e r w ork m i g h t n e e d t o be done i n r e a c h i n g a c o m p r o m i s e b e t w e e n c o m p u t e r c a l c u l a t i o n a n d m a n u a l c a l c u l a t i o n . F o r p r i n c i p l e f o u r , r e l a t i o n t o p a s t e x p e r i e n c e , H D was r e j e c t e d f o r i t e m s 10 a n d 19 b u t a c c e p t e d f o r i t e m s 11 a n d 12. The e v i d e n c e h e r e i s m i x e d . The p o s i t i v e r e s u l t s on i t e m s 10 a n d 19 do s u g g e s t s t u d e n t s were a b l e t o r e l a t e t o t h e work t h e n e g a t i v e r e s u l t s on i t e m s 11 a n d 12 may s u g g e s t t h e y d o n ' t r e a l i z e why. F o r p r i n c i p l e f i v e , c o n c e p t a s s i m i l a t i o n a n d a c c o m m o d a t i o n , H 0 was a c c e p t e d f o r i t e m 13 b u t r e j e c t e d f o r i t e m s 14, 15, 16 a n d 20. The p r e p o n d e r a n c e o f e v i d e n c e i n d i c a t e s t h e p r i n c i p l e s w e r e r e a l i z e d . Of s p e c i a l i m p o r t a n c e i s t h e e v i d e n c e t h a t s t u d e n t s seemed t o f e e l t h a t t h e c o m p u t e r a l l o w e d t h e m t o become i n v o l v e d w i t h i d e a s w i t h o u t r e l y i n g so much on t h e a u t h o r i t y o f t h e t e a c h e r . E v i d e n c e f o r p r i n c i p l e f i v e , t o g e t h e r w i t h e v i d e n c e f o r p r i n c i p l e s t h r e e a n d f o u r t o a l e s s e r e x t e n t . , s u g g e s t c o n s t r u c t i v i s t p r i n c i p l e s w e r e p a r t i a l l y r e a l i z e d i n t h e c o m p u t e r c l a s s r o o m . 143 Table 5 S t u d e n t Q u e s t i o n n a i r e - C o m p u t e r C a l c u l u s U n i t Directions 1) Please c i r c l e the number of the response which most closely matches your agreement or disagreement with the statements as you understand them. 2) There i s d e f i n i t e l y no right or wrong, favourable or unfavourable response - just your honest opinion counts. 3) Please think about and review to yourself what happened in the computer classroom. Base your responses on what you r e c a l l actually happened in the computer classroom. Questions 1) There were many real world examples used to show the uses of calculus. 2) The questions used made me think about how situations would actually look i f I were to experience them myself. 3) The computer took care of most of the calculations for me. 4) The computer questions made me use knowledge from different sources e.g. physics, business, common sense. 5) When I could get problems that required knowledge from different sources i t helped me understand the mathematics. 6) It was easier for me to get involved in learning calculus with the help of the computer. 7) I found the calculus unit boring. I couldn't relate to i t . 8) When the computer did the calculations I could concentrate on what the results meant. 9) Not knowing the details of how the computer made i t s calculations l e f t me with an incomplete understanding. 10) I didn't enjoy the calculus unit because i t was too abstract and incomprehensible. 11) I had to draw on knowledge I already had to answer many of the calculus problems. 12) Mathematics i s no more nor less comprehensible with the computer than without i t . 13) The teacher spent a l o t less time, compared to a regular classroom, making class presentations, lectures etc. 14) I worked more on my own or in student groups in the computer classroom instead of relying on the teacher for instruction. 15) The computer encouraged me to discuss things more with other students to try to figure out what was going on. 16) The use of the computer in solving different problems helped me understand and believe in calculus rather than accept i t on the teacher's authority. 17) Calculus does not have any uses. 18) Calculus i s not related to any subject areas outside of mathematics. 19) Calculus i s not useful i n relating things in my l i f e past, present or future. 20) By introducing different subject areas into calculus problems I got confused. It didn't help me understand. Responses Strong Agree Agree Neutral Disagree Strong Disagree 1) 5 4 3 - 2 1 20) 5 4 3 2 1 144 Table 6 A n a l y s i s o f mean r e s p o n s e t o e a c h q u e s t i o n ( c r i t i c a l t =2.16) o CM n - cn m -<M CO „ CM ° . cn e\i CM _ in co in ^ CM CO CD* «? co £ ^ CO CO ~~ N CO CO CO i - *~. CO CO CO m •>a-cn " * evi ^ cvj CM — CM oo m n-to « «9 ^ CO T- CM CO CD in co 3 co . CD CO 1^ CO CM CO o> CO o CO " i s i i 145 B) Analysis of responses by i n d i v i d u a l students P o s i t i v e r e s p o n s e s (4-5) on q u e s t i o n s 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 11, 12, 13, 14, 15, 16 ( g r o u p 1 ) , p o s i t i v e l y s t a t e d q u e s t i o n s , i n d i c a t e t h e r e a l i z a t i o n o f p r i n c i p l e s i n p r a c t i s e . N e g a t i v e r e s p o n s e s t o 17, 18, 7, 10, 19, 20 ( g r o u p 2 ) , n e g a t i v e l y s t a t e d q u e s t i o n s , a l s o o f f e r e v i d e n c e f o r t h e r e a l i z a t i o n o f p r i n c i p l e s . S t u d e n t s s c o r e s w e re a n a l y z e d on t h i s b a s i s , t h e r e s u l t s a r e s u m m a r i z e d i n T a b l e 7. H 0, t h e n u l l h y p o t h e s i s , i s t h a t a s t u d e n t ' s r e s p o n s e i s a n e u t r a l 3. H x i s t h a t s t u d e n t r e s p o n s e i s n o t n e u t r a l . Ten s t u d e n t ' s s c o r e s w e re H x on b o t h p o s i t i v e a n d n e g a t i v e q u e s t i o n s . S i x s t u d e n t s h a d H x on p o s i t i v e b u t H 0 on n e g a t i v e . E i g h t s t u d e n t s h a d H Q on p o s i t i v e a n d H x on n e g a t i v e . T h i s l a t t e r g r o u p o f f o u r t e e n s t u d e n t s g a v e some i n d i c a t i o n of s e e i n g P e r c e p t i v i s t -C o n s t r u c t i v i s t p r i n c i p l e s b e i n g r e a l i z e d i n p r a c t i s e . S i x s t u d e n t s s c o r e d H 0 on b o t h g r o u p of q u e s t i o n s . As t e n u o u s as t h e r e s u l t s a r e , t h e r e i s some e v i d e n c e t o s u g g e s t t h a t some s t u d e n t s s e e P e r c e p t i v i s t -c o n s t r u c t i v i s t t h e o r e t i c a l p r i n c i p l e s b e i n g r e a l i z e d i n t h e c o m p u t e r c l a s s r o o m . T h e r e i s , i n summary, t e n t a t i v e e v i d e n c e f o r t h e r e a l i z a t i o n o f some p e r c e p t i v i s t - c o n s t r u c t i v i s t g o a l s i n t h e c o m p u t e r - m a t h e m a t i c s c l a s s r o o m . F i e l d n o t e s s u g g e s t t h a t a t e a c h e r s h o u l d be a b l e t o o b s e r v e t h e 146 r e a l i z a t i o n o f some o f t h e f i v e p r i n c i p l e s i n t h e c l a s s r o o m . The q u e s t i o n n a i r e r e s u l t s i n d i c a t e t h a t s t u d e n t s i n t o t a l s e e some p r i n c i p l e s r e a l i z e d a n d t h a t a m a j o r i t y o f i n d i v i d u a l s t u d e n t s s e e p e r c e p t i v i s t -c o n s t r u c t i v i s t p r i n c i p l e s p a r t i a l l y r e a l i z e d i n t h e c o m p u t e r - m a t h e m a t i c s c l a s s r o o m . 147 Table 7 A n a l y s i s o f r e s p o n s e s b y i n d i v i d u a l s t u d e n t s ( c r i t i c a l t=2.57) Score i Mean S.D. Student 1 3 . 8 . 7 2 4 . 0 . 8 3 4 . 0 1 4 3 . 2 1 . 2 5 3 . 3 . 9 6 4 . 0 . 9 7 4 . 0 . 9 8 4 . 0 1 9 3 . 3 . 9 1 0 3 . 7 . 8 1 1 3 . 2 1 . 1 1 2 3 . 4 . 7 (contradict) 1 3 3 . 5 . 8 1 4 3 . 5 . 8 1 5 4 . 2 . 6 1 6 4 . 2 . 6 1 7 3 . 2 1 . 1 1 8 3 . 5 . 7 1 9 3 . 3 . 7 2 0 3 . 6 . 6 2 1 3 . 5 . 7 2 2 3 . 5 . 5 2 3 2 . 7 1 . 1 2 4 3 . 2 1 2 5 3 . 9 1 . 1 2 6 3 . 7 1 . 3 2 7 3 . 4 . 9 2 8 3 . 2 1 (contradict) 2 9 3 . 1 . 6 (contradict) 3 0 3 . 4 . 9 i 1 t H0/H, Mean 4 . 2 8 H t 2 4 . 7 6 Hj 3 3 . 7 H, 1 . 6 . 6 3 H„ 2 . 6 1 . 2 5 H 0 1 . 5 4 . 1 6 1 . 5 4 . 1 6 H t 1 . 5 3 . 7 H , 1 . 1 1 . 2 5 H„ 1 . 8 3 . 3 3 H , 3 . 0 . 6 9 H . 1 . 6 2 . 1 H . 3 . 8 2 . 3 8 H , 2 . 1 2 . 4 H , 3 . 0 7 . 5 H , 2 . 1 7 . 5 H , 2 . 5 . 6 9 H„ 1 . 5 2 . 6 3 H , 2 . 1 1 . 5 7 H„ 2 . 0 3 . 7 5 H , 2 . 6 2 . 6 3 H t 2 . 5 3 . 8 4 H , 2 . 1 - 1 . 0 3 H . 1 . 6 (Contradict) . 7 4 H„ 2 . 3 3 . 1 0 H , 1 2 . 0 0 H„ 1 . 5 1 . 6 7 H . 2 . 5 . 7 4 H„ 3 . 6 . 6 2 • H . 3 . 5 1 . 6 6 H„ 2 . 3 . D . Group 2 t H o / H ; . 6 - 4 . 0 H> . 8 0 H„ . 7 - 4 . 8 3 H , . 5 - 2 H . . 8 - 1 . 5 2 Ho . 5 - 7 . 5 H> . 5 - 7 . 5 H , . 4 - 1 1 . 8 8 H» . 7 - 4 . 1 3 H i . 6 0 H . . 7 - 4 . 8 H , . 4 5 . 0 H , . 7 - 3 . 1 H , . 6 0 H . . 9 - 2 . 4 3 H i . 1 " - 1 . 1 H . . 5 - 2 . 5 H i . 4 - 5 . 6 2 H i 0 - 2 . 5 0 H i . 7 - 1 . 3 7 H . . 8 - 1 . 5 2 H . , 4 - 5 . 62 H , . 7 - 4 . 8 2 H , . 7 - 2 . 4 1 H . 0 - 5 . 0 H i . 8 - 1 . 5 H . . 8 - 1 . 5 Ho . 5 + 3 . 0 0 Ho . 4 3 . 1 2 Ho . 9 - 1 . 8 9 Ho 148 CHAPTER VIII CONCLUSION AND RECOMMENDATIONS The m a i n t h e s i s o f t h i s p a p e r h a s b e e n t h a t a m a j o r way t o i m p r o v e s e c o n d a r y m a t h e m a t i c s e d u c a t i o n i s t o t r a n s l a t e P e r c e p t i v i s t - C o n s t r u c t i v i s t p r i n c i p l e s i n t o p r a c t i s e b y e m p h a s i z i n g c u r r i c u l u m t h a t a c t i v e l y i n v o l v e s t h e l e a r n e r as c o n s t r u c t o r o f k n o w l e d g e a n d t h a t l e a d s t h e l e a r n e r t o a c t u a l p e r c e p t i o n . The t r a d i t i o n a l p r o b l e m s w i t h t h i s t y p e o f p r a g m a t i c , u t i l i t a r i a n a g e n d a h a v e b e e n t h a t a l a r g e amount o f i n f o r m a t i o n t r a n s m i s s i o n , f r o m t e a c h e r t o s t u d e n t , was assumed n e c e s s a r y a n d t h a t t h e c o m p u t a t i o n a l d i f f i c u l t i e s i n h e r e n t i n p e r c e p t i o n s o f r e a l i t y were o v e r w h e l m i n g . The i n f o r m a t i o n age t e c h n o l o g i c a l i n n o v a t i o n t h a t m i t i g a t e s t h e e f f e c t s o f b o t h o f t h e s e p r o b l e m s i s t h e p e r s o n a l c o m p u t e r w i t h a p p r o p r i a t e s o f t w a r e . T h e o r e t i c a l a r g u m e n t s , p r a c t i c a l e x a m p l e s a n d a r e p o r t on a f i e l d t e s t h a v e b e e n p r o v i d e d i n s u p p o r t o f t h e s e c l a i m s . I n t h i s f i n a l c h a p t e r c o n c l u s i o n s w i l l be s t a t e d a n d d i s c u s s e d . . The c o n c l u s i o n s f o c u s on a) t h e f i v e b a s i c p r i n c i p l e s o f a P e r c e p t i v i s t - C o n s t r u c t i v i s t c o m p u t e r i n t e g r a t e d m a t h e m a t i c s p r o g r a m a n d b) t h e e x t e n t t o w h i c h t h e p r i n c i p l e s were o b s e r v e d as t r a n s l a t i n g i n t o p r a c t i s e b y a t e a c h e r a n d s t u d e n t s i n 149 a g r a d e 12, c o m p u t e r c a l c u l u s f i e l d t e s t . S u g g e s t i o n s f o r f u r t h e r r e s e a r c h w i l l f o l l o w . Once o r g a n i z e d , i n f o r m e d c o m p u t e r u s a g e i s p r a c t i c a l i n s e c o n d a r y m a t h e m a t i c s , many q u e s t i o n s s u g g e s t t h e m s e l v e s . A s e l e c t i o n o f t e n s u c h q u e s t i o n s , w i l l be d i s c u s s e d . F i n a l l y , some r e c o m m e n d a t i o n s w i l l be o f f e r e d . T h e s e r e c o m m e n d a t i o n s a r e i n t h r e e a r e a s o f c o n c e r n . (a) P r o f e s s i o n a l d e v e l o p m e n t must e q u i p t e a c h e r s t o d e a l w i t h new c l a s s r o o m c o m p l e x i t i e s . The c o m p e t e n t p r o f e s s i o n a l must be a b l e t o d e a l w i t h p h i l o s o p h y , l e a r n i n g t h e o r y , m a t h e m a t i c s a n d c o m p u t e r t e c h n o l o g y , (b) O r g a n i z e d p r o g r a m s s h o u l d be d e v e l o p e d ..to s y s t e m a t i c a l l y e x p l o i t t h e c o m p u t e r i n s e c o n d a r y m a t h e m a t i c s . Random o r " f r i d a y f u n " u s a g e w a s t e s a v a l u a b l e r e s o u r c e a n d i s u n l i k e l y t o do much g o o d . (c) F i n a l l y , b o a r d s a n d m i n i s t r i e s o f e d u c a t i o n n e e d t o r e t h i n k c u r r i c u l a i n t e r m s o f a c t i v e c o n s t r u c t i o n , c o n s t r u c t i v i s m , a n d a c t u a l p e r c e p t i o n , p e r c e p t i v i s m . I n t h e l o n g t e r m , t h e e n t i r e c u r r i c u l u m n e e d s t o be r e d o n e a l o n g P e r c e p t i v i s t - C o n s t r u c t i v i s t l i n e s . C o n c l u s i o n s The w r i t e r o f t h i s p a p e r h a s shown how a p h i l o s o p h y o f e d u c a t i o n , p e r c e p t i v i s m , a t h e o r y o f k n o w l e d g e a c q u i s i t i o n , c o n s t r u c t i v i s m a n d t h e i r j o i n t a p p l i c a t i o n t o t h e p r o b l e m o f c o m p u t e r u s a g e i n 150 s e c o n d a r y m a t h e m a t i c s , c a n s u g g e s t ways t o i m p r o v e s e c o n d a r y m a t h e m a t i c s e d u c a t i o n . D e t a i l e d e x a m p l e s o f how t h e t h e o r y m i g h t a c t u a l l y t r a n s l a t e i n t o p r a c t i c e h a v e b e e n g i v e n . F i v e b a s i c p r i n c i p l e s a r e d e v e l o p e d i n t h e p a p e r . 1. A i m a t a c t u a l p e r c e p t i o n o f r e a l w o r l d s i t u a t i o n s . I n so d o i n g t h e l e a r n e r i s e n c o u r a g e d t o g e t b e y o n d f a c t u a l r e c a l l a n d c o n c e p t m a s t e r y t o p e r c e p t i o n w i t h , a n d u s e o f , c o n c e p t s . T h i s p r o c e s s g o e s b e y o n d mere a c a d e m i c s c h o o l i n g t o u t i l i t a r i a n e d u c a t i o n i n t h a t k n o w l e d g e becomes a p p l i e d . The c o m p u t e r f a c i l i t a t e s t h i s c o m p l e t i o n o f t h e e d u c a t i o n a l p r o c e s s i n m a t h e m a t i c s b y m a n a g i n g t h e c o m p u t a t i o n a l c o m p l e x i t i e s . R e f e r t o F i g u r e 1 i n C h a p t e r I , f o r e x a m p l e . 2. P r o m o t e s y n t h e s i s a n d i n t e r a c t i o n o f k n o w l e d g e d o m a i n s . By f o r c i n g d i f f e r e n t modes o f p e r c e p t i o n , a n d t h e l a n g u a g e s t h a t s y m b o l i z e t h e m t o i n t e r a c t , a f l u i d d y n a m i c c o n c e p t u a l r e p e r t o i r e i s e n c o u r a g e d . R a t h e r t h a n h a v i n g a s p e c i a l i z e d , f r a g m e n t e d a c a d e m i c a p p r o a c h t o k n o w l e d g e t h e l e a r n e r w o r k s t o w a r d an e c l e c t i c , i n t e g r a t e d , u t i l i t a r i a n one. The l e a r n e r manages i n f o r m a t i o n by c h o o s i n g f r o m a n d a p p l y i n g t h e b e s t o f a c o l l e c t i o n o f w e l l t e s t e d c o n c e p t u a l s y s t e m s , as t h e s i t u a t i o n d i c t a t e s . The c o m p u t e r f a c i l i t a t e s t h i s p r o c e s s b y b o o s t i n g i n f o r m a t i o n p r o c e s s i n g c a p a b i l i t y . R e f e r t o T a b l e 1 a n d F i g u r e 3 i n C h a p t e r I I f o r an e x a m p l e . E n c o u r a g e ' t h e a c t i v e c o n s t r u c t i o n o f k n o w l e d g e b y t h e s t u d e n t r a t h e r t h a n i t s p a s s i v e r e c e p t i o n . A c t i v e r e c o n s t r u c t i o n , r e - i n v e n t i o n o r r e d i s c o v e r y i s n o t o p t i o n a l f o r u n d e r s t a n d i n g , i t i s n e c e s s a r y . W i t h t h e c o m p u t e r , r e l e v a n t p r a c t i c a l a p p l i c a t i o n s o f m a t h e m a t i c s a r e m a n a g e a b l e a t o n c e so t h a t t h e s t u d e n t c a n r e l a t e t o t h e c o n c e p t s more i m m e d i a t e l y a n d b e g i n r e c o n s t r u c t i o n , r e -i n v e n t i o n a n d / o r r e d i s c o v e r y . C o m p u t e r h a n d l i n g o f a l g o r i t h m s c a n make s t u d e n t s l e s s d e p e n d e n t on t h e t e a c h e r a n d more d e p e n d e n t on t h e i r own r e s o u r c e s . R e f e r , f o r e x a m p l e , t o F i g u r e 36 g r a p h i n g a f a c e i n C h a p t e r V, F a c i l i t a t e t h e i n c o r p o r a t i o n o f p a s t k n o w l e d g e a n d e x p e r i e n c e i n t o t h e l e a r n i n g s i t u a t i o n . By so d o i n g t h e t e a c h e r e n c o u r a g e s t h e s t u d e n t t o draw on k n o w l e d g e f r o m o r d i n a r y l a n g u a g e o r o t h e r d o m a i n s . T h i s p r o c e s s e x p l o i t s e x i s t i n g c o m p e t e n c e , p r o m o t e s t h e i n t e g r a t i o n o f e x p e r i e n c e a n d s o empowers s t u d e n t s t o u s e a l l t h e i r 152 a b i l i t i e s . R e f e r , f o r e x a m p l e , t o t h e t r a j e c t o r y p r o j e c t i n C h a p t e r I V . 5. A l l o w f o r c o n c e p t u a l c o n f l i c t a n d a c c o m m o d a t i o n t o h e l p c l a r i f y i d e a s . By p l u n g i n g i n t o a p p l i c a t i o n s r i g h t away, t h e c o m p u t e r e n a b l e s s t u d e n t s t o e x p l o r e d i f f e r e n t i d e a s as t h e i r u n d e r s t a n d i n g i s t a k i n g s h a p e . C o m p e t i n g i d e a s c a n v i e f o r b e l i e f . The c o m p u t e r i s e x p l o i t e d h e r e t o c a r r y o u t t h i s d o i n g - i s - b e l i e v i n g e x e r c i s e . The c o m p u t e r empowers s t u d e n t s t o do t h i n g s w i t h c o n c e p t s a n d so t o b e l i e v e i n , r e t a i n a n d r e u s e them. As an e x a m p l e , s e e t h e f u n d a m e n t a l t h e o r e m o f a l g e b r a e x e r c i s e i n C h a p t e r V. E v i d e n c e h a s b e e n s u p p l i e d t o i n d i c a t e t h a t t h e t h e o r y c a n a c t u a l l y be t r a n s l a t e d i n t o p r a c t i s e . D e t a i l s o f a c o m p u t e r c a l c u l u s f i e l d t e s t h a s b e e n g i v e n a n d d i s c u s s e d . The e v i d e n c e h e r e i s t e n t a t i v e a n d w i t h l i m i t a t i o n s b u t d o e s g i v e some p r e l i m i n a r y s u p p o r t t o t h e h y p o t h e s i s t h a t t h e t h e o r y c a n a c t u a l l y be t r a n s l a t e d i n t o p r a c t i s e . The p r o g r a m ' s l e s s o n s a n d i n s t r u c t i o n a l t e c h n i q u e s n e e d t o be d e v e l o p e d f u r t h e r . What t h e w r i t e r h a s p r o m o t e d i s t h e i d e a t h a t t h e o r y c a n h e l p p r a c t i s e a n d t h a t t h e r e i s r e a s o n t o b e l i e v e t h a t t h e o r e t i c a l l y m o t i v a t e d s u g g e s t i o n s work i n t h e c l a s s r o o m . 153 Suggestions for further research Many q u e s t i o n s s u g g e s t t h e m s e l v e s as t h e p o s s i b i l i t y o f e x t e n s i v e c o m p u t e r u s a g e i n t h e m a t h e m a t i c s c l a s s r o o m becomes a r e a l p o s s i b i l i t y . C e r t a i n t h e o r e t i c a l l y m o t i v a t e d c l a i m s h a v e b e e n made t h a t w o u l d n e e d e m p i r i c a l v e r i f i c a t i o n . F o r e x a m p l e , more f i e l d w o r k i s n e e d e d t o p r o v i d e e v i d e n c e r e l e v a n t t o a n s w e r i n g t h e f o l l o w i n g q u e s t i o n s . 1. Can t h e c o m p u t e r s h i f t m a t h e m a t i c s away f r o m c o m p u t a t i o n t o w a r d a p p l i c a t i o n ? Can t h i s be done w i t h o u t l o w e r i n g p e r f o r m a n c e l e v e l s ? H e i d (1988) , f o r e x a m p l e , h a s shown how f i r s t y e a r c o m p u t e r c a l c u l u s s t u d e n t s do a l m o s t as w e l l as t r a d i t i o n a l l y i n s t r u c t e d s t u d e n t s on b a s i c s k i l l s a n d b e t t e r on c o n c e p t u a l u n d e r s t a n d i n g . F u r t h e r r e s e a r c h n e e d s t o be done t o d e t e r m i n e t h e b e n e f i t s o f c o m p u t e r u s e a n d t h e t r a d e - o f f s c o m p u t e r u s a g e may n e c e s s i t a t e . 2. By i n t r o d u c i n g i n t e r f e r i n g , c o m p e t i n g i d e a s , d o e s u s e o f a p p l i c a t i o n s c l a r i f y o r c o n f u s e ? Do s t u d e n t s b e n e f i t f r o m c o n c e p t u a l c o n f l i c t a n d c o m p e t i t i o n i n v o l v e d i n a p p l i e d c o m p u t e r m a t h e m a t i c s o r do t h e y s i m p l y s u f f e r i n f o r m a t i o n o v e r l o a d ? I t may w e l l be n e c e s s a r y t o d i f f e r e n t i a t e c u r r i c u l u m a n d i n s t r u c t i o n . D i f f e r e n t a b i l i t y l e v e l s may t o l e r a t e d i f f e r e n t l e v e l s o f c o n c e p t u a l c o n f l i c t . Can t e a c h e r s d e v e l o p a n d t e a c h an a p p l i e d m a t h e m a t i c s c u r r i c u l u m ? U n d e r what c o n d i t i o n s c a n t e a c h e r s be p r e p a r e d t o h a n d l e t h e p h i l o s o p h y , i n s t r u c t i o n a l t h e o r y , c o m p u t e r p r o f i c i e n c y a n d u n d e r s t a n d i n g o f a p p l i c a t i o n s n e e d e d t o t e a c h P e r c e p t i v i s t - c o n s t r u c t i v i s t m a t h e m a t i c s ? The a d e q u a c y o f p r e s e n t t e a c h e r , p r e s e n t t e a c h e r t r a i n i n g a n d i n - s e r v i c e p r o g r a m s n e e d s t o be a n a l y z e d . Whenever r e s u l t s f a v o u r a b l e t o P e r c e p t i v i s t -c o n s t r u c t i v i s t c o m p u t e r m a t h e m a t i c s a r e o b t a i n e d , do t h e y r e p r e s e n t g e n u i n e s u b s t a n t i v e i m p r o v e m e n t o r j u s t H a w t h o r n e e f f e c t ? E v i d e n c e i s r e q u i r e d o v e r t h e l o n g t e r m as t o w h e t h e r o r n o t t h e c o m p u t e r i s j u s t a t e c h n o l o g i c a l f a d t h a t p r o d u c e s r e s u l t s b e c a u s e o f i t s n o v e l t y . I s t h e r e more s t u d e n t t i m e - o n - t a s k w i t h t h e c o m p u t e r e x p l o r a t i o n a p p r o a c h t h a n w i t h t h e t r a d i t i o n a l t e a c h e r l e c t u r e a p p r o a c h ? The e x p e c t a t i o n m i g h t be t h a t t h e c o m p u t e r c a n h e l p t o e n g a g e t h e s t u d e n t as an a c t i v e c o n s t r u c t o r o f k n o w l e d g e and, a s a r e s u l t , y i e l d more t i m e - o n -t a s k . B u t p e r h a p s s i m p l e t r a n s m i s s i o n i s s u p e r i o r b e c a u s e o f d i r e c t t e a c h e r c o n t r o l o f t h e l e a r n i n g e n v i r o n m e n t . S t u d e n t i n v e s t i g a t i o n may be c h a o t i c a n d o f f t a s k . Do s t u d e n t s draw on a n d i n t e g r a t e p a s t e x p e r i e n c e w h i l e u s i n g P e r c e p t i v i s t - C o n s t r u c t i v i s t b a s e d c o m p u t e r m a t h e m a t i c s a c t i v i t i e s more t h a n w i t h t r a d i t i o n a l l e c t u r e p r e s e n t a t i o n s ? A r e a l t e r n a t e c o n c e p t i o n s more e a s i l y r e s o l v e d w i t h c o m p u t e r h e l p t h a n w i t h l e c t u r e p r e s e n t a t i o n s ? I s t h e f r e e d o m f r o m t h e b u r d e n o f c o m p u t a t i o n e x p l o i t e d b y t h e s t u d e n t t o i n v e s t i g a t e d i f f e r e n t a p p r o a c h e s ? I s t h e r e more c o o p e r a t i v e l e a r n i n g w i t h c o m p u t e r m a t h e m a t i c s t h a n w i t h t r a d i t i o n a l m e t h o d s ? Does t h e p u b l i c n a t u r e o f t h e c o m p u t e r e n c o u r a g e s t u d e n t c o o p e r a t i o n ? I s i n t e r d i s c i p l i n a r y c o m p u t e r l e a r n i n g r e t a i n e d l o n g e r t h a n l e a r n i n g w i t h t r a d i t i o n a l m e t h o d s ? Does i n t e r d i s c i p l i n a r y c o m p u t e r l e a r n i n g , b y i n c r e a s i n g r e a l i s m a n d r e l e v a n c e , h e l p t h e s t u d e n t t o r e l a t e t o t h e m a t h e m a t i c s , i n c o r p o r a t e i t i n t o h i s a c t i v e c o g n i t i v e r e p e r t o i r e a n d s o r e t a i n i t l o n g e r . Or i s t h e " r e a l i s m a n d r e l e v a n c e " p e r c e i v e d as i n t r o d u c i n g more c o m p l e x i t i e s , m a k i n g an a l r e a d y d i f f i c u l t s u b j e c t i m p o s s i b l e ? 156 10. I s i n t e r d i s c i p l i n a r y c o m p u t e r l e a r n i n g a c c e p t e d a n d u s e d more t h a n l e a r n i n g f r o m t r a d i t i o n a l t e a c h i n g ? F o r d (1979) w r o t e a b o u t t h e p r e v a l e n c e o f s t u d e n t s " g o i n g t h r o u g h t h e m o t i o n s " b u t b e l i e v i n g l i t t l e . The way t h e c o m p u t e r empowers t h e s t u d e n t t o s e e t h e w o r l d i n a new way w o u l d h o p e f u l l y m o t i v a t e t h e s t u d e n t t o f e e l a s e n s e o f o w n e r s h i p . W h e t h e r t h i s i s s o n e e d s e m p i r i c a l i n v e s t i g a t i o n . Recommendations On t h e t h e o r e t i c a l l e v e l , m a t h e m a t i c s t e a c h e r s who w i s h t o u s e t h e c o m p u t e r n e e d a b a c k g r o u n d i n P e r c e p t i v i s m a n d C o n s t r u c t i v i s m , o r some o t h e r e d u c a t i o n a l t h e o r i e s , t o p r o v i d e a b a s i s f o r u n d e r s t a n d i n g what t h e y w i l l be t r y i n g t o do w i t h t h e c o m p u t e r . P r o f e s s i o n a l i n - s e r v i c e a nd t e a c h e r t r a i n i n g must p r o v i d e o p p o r t u n i t i e s i n t h i s a r e a . A c t i o n p l a n s n e e d t o be d e v e l o p e d t o m o b i l i z e m a t h e m a t i c s t e a c h e r s i n t o u s i n g t h e c o m p u t e r . H a r d w a r e , s o f t w a r e , p r o g r a m s o f c o m p u t e r i n t e g r a t i o n a n d s e q u e n c e s o f l e s s o n s s h o u l d be d e v e l o p e d a n d made a v a i l a b l e . P i l o t p r o g r a m s n e e d t o be d e v e l o p e d s o t h a t c o m p a r i s o n s b e t w e e n t r a d i t i o n a l a n d c o m p u t e r i n t e g r a t e d , P e r c e p t i v i s t - c o n s t r u c t i v i s t m a t h e m a t i c s c l a s s e s c a n be made. 157 O n l y when t h e c o m p u t e r i s s y s t e m a t i c a l l y a n d k n o w i n g l y e x p l o i t e d , u s i n g s o u n d t h e o r e t i c a l p r i n c i p l e s , c a n c o m p u t e r m a t h e m a t i c s l e g i t i m a t e l y be e m p i r i c a l l y c o m p a r e d t o t r a d i t i o n a l . P r o g r a m s s u c h as o u t l i n e d i n T a b l e 8 a r e n e e d e d as a r e c l a s s r o o m t e s t e d c o m p u t e r l e s s o n p a c k a g e s . The p r o g r a m s a r e n e e d e d t o s y s t e m a t i c a l l y e x p l o i t t h e v a r i o u s c o m p u t e r c a p a b i l i t i e s i n an a t t e m p t t o a c h i e v e P e r c e p t i v i s t -C o n s t r u c t i v i s t g o a l s . T a b l e 8 s u g g e s t s one c o n f i g u r a t i o n o f l e s s o n s e q u e n c e s t h a t m i g h t be o f f e r e d i n g r a d e s 8-12. T h i s w o u l d c o n s t i t u t e , i n o u t l i n e f o r m , an i n i t i a l a t t e m p t t o , as B r a u n e r (1987) s u g g e s t e d , r e s t r u c t u r e t h e c u r r i c u l u m i n t e r m s o f t h e p e r c e p t i o n s s t u d e n t s a r e r e q u i r e d t o a t t a i n . The c o m p u t e r w o u l d be n o t j u s t an add-on t o s u c h a c u r r i c u l u m b u t an i n t e g r a l p a r t o f i t . R e f e r t o F i g u r e 3. T a b l e 8 w o u l d h o p e f u l l y be u s e f u l i n t h e d e v e l o p m e n t o f a c o o r d i n a t e d p l a n f o r t h e i m p r o v e m e n t o f m a t h e m a t i c s e d u c a t i o n i n v o l v i n g p h i l o s o p h y , m a t h e m a t i c s a n d t h e c o m p u t e r . The b a s i c c o m p u t e r c a p a b i l i t i e s , l i s t e d h o r i z o n t a l l y , a c r o s s t h e t a b l e , w o u l d be s y s t e m a t i c a l l y e x p l o i t e d , t h r o u g h o u t g r a d e s 8-12, t o d e l i v e r c u r r i c u l u m . The c u r r i c u l u m w o u l d a i m a t a c h i e v i n g a c t u a l p e r c e p t i o n . C u r r i c u l u m t o p i c s , a n d 158 t h e a c t u a l p e r c e p t i o n s t h e y a i m t o p r o d u c e , w o u l d g r a d u a l l y f i l l t h e t a b l e as e d u c a t i o n a l c o n s e n s u s i s r e a c h e d c o n c e r n i n g t h e p r a c t i c a l i m p l i c a t i o n s o f t h e P e r c e p t i v i s t - c o n s t r u c t i v i s t p r i n c i p l e s . The c o m p l e t e d t a b l e w o u l d be a d e s i g n s p e c i f i c a t i o n on a P e r c e p t i v i s t - c o n s t r u c t i v i s t , c o m p u t e r i n t e g r a t e d m a t h e m a t i c s p r o g r a m . I n g r a d e 8, number m i g h t be a c e n t r a l c o n c e p t a n d v a r i o u s c o m p u t e r c a p a b i l i t i e s c o u l d be e x p l o i t e d t o e n a b l e a c t u a l p e r c e p t i o n s i n v o l v i n g number ( e . g . mean, d e c i m a l r e p e a t e r , b a r g r a p h ) . I n g r a d e 12, f u n c t i o n m i g h t be a c e n t r a l c o n c e p t a n d v a r i o u s c o m p u t e r c a p a b i l i t i e s s u c h as g r a p h i n g a n d s y m b o l i c m a n i p u l a t i o n as o u t l i n e d i n C h a p t e r I V , c o u l d be u s e d t o b o o s t s t u d e n t i n f o r m a t i o n p r o c e s s i n g q u i c k l y t o t h e l e v e l a t w h i c h p e r c e p t i o n i s p o s s i b l e . The i m p o r t a n c e o f t h e r e c o m m e n d a t i o n h e r e l i e s n o t i n t h e s p e c i f i c d e t a i l s i n t h e t a b l e b u t i n t h e c a l l f o r c o n s e n s u s a n d c o o p e r a t i o n t o r e c o n c i l e t h e demands o f p h i l o s o p h y , m a t h e m a t i c s a n d t h e c o m p u t e r t o p r o d u c e a c o n t e m p o r a r y , i n f o r m a t i o n age m a t h e m a t i c s p r o g r a m . B o a r d s a n d m i n i s t r i e s o f e d u c a t i o n n e e d t o r e a l i z e t h a t t h e p o t e n t i a l o f t h e c o m p u t e r i s n o t c o n f i n e d t o m a t h e m a t i c s . The i n s i g h t s p r o v i d e d by P e r c e p t i v i s m -c o n s t r u c t i v i s m i n d i c a t e t h a t t h e i n f o r m a t i o n age p r o m i s e o f t h e c o m p u t e r i n v o l v e s t h e g r o w i n g i n t e r d e p e n d e n c e o f d i f f e r e n t k n o w l e d g e d o m a i n s a n d t h e i n f o r m a t i o n management f u n c t i o n o f t e c h n o l o g y i n t h i s i n t e r d e p e n d e n c e . M e a n i n g f u l m a t h e m a t i c s r e q u i r e s m e a n i n g f u l e d u c a t i o n as a w h o l e . A c u r r i c u l u m b a s e d on t h e modes o f p e r c e p t i o n a n d a i m e d a t s t u d e n t s a c h i e v i n g a c t u a l p e r c e p t i o n s s h o u l d be t h e l o n g t e r m g o a l o f c o m p u t e r a s s i s t e d , i n f o r m a t i o n age, e d u c a t i o n a l r e f o r m . 160 Table 8 C o m p u t e r M a t h : P o s s i b l e p r o g r a m o f A c t i v i t i e s . PROGRAM ASPECT Enrichmeni Houghton Mifflin (Games) Software (Math) Graph lo solve any equation Interest Spreadsheet Linear regression Problem-solving booklet PROGRAM ASPECT Simulation & problem solving Single machines Herediiy Dog Ohm's Law World population PROGRAM ASPECT Prob. and statistics P& S package PROGRAM ASPECT Symbolic manipulation PROGRAM ASPECT Graphing Bar graph Saga Saga linear functions Saga as equation solver Mathgrapher Mathgrapher PROGRAM ASPECT Applications sofitvare Trajectory angle Decimal repealer Math 8 disk Dynalist j 3 ^ • < £ 1 » S 3 2 tn i> ca < < Measurement program Proofchecker Logo Brochmann Logo 10B disk Alg. practice Class spreadsheet Equation booklet J 1 -c ~ £i > a o 2^ n. PROGRAM ASPECT Programming Logo Angles Lines Triangles Angles, lines, triangles Polygons Circles Co-ord. geo Functions booklet PROGRAM ASPECT Programming Basic Evaluate expressions Mean Fraction—decimal Table values Geometry quiz Square root Pythagoras Equation solving Operations on integers Formula evaluation Quad, equation Herons Sim. equation solver Quad, equation Triangles Grade o < CO o 1—• rsl 161 BIBLIOGRAPHY A l b e r s , D. J . , A n d e r s o n , R. D. & L o f t s g a a r d e n P. (1987) . U n d e r g r a d u a t e p r o g r a m s i n t h e m a t h e m a t i c a l  a n d c o m p u t e r s c i e n c e s t h e 1985-1986 s u r v e y . W a s h i n g t o n , D . C : M a t h e m a t i c a l A s s o c i a t i o n o f A m e r i c a . A y e r s , T., D a v i s , G., D u b i n s k y , E., & L e w i n , P. ( 1 9 8 8 ) . C o m p u t e r e x p e r i e n c e s i n l e a r n i n g c o m p o s i t i o n o f f u n c t i o n s . J o u r n a l f o r R e s e a r c h i n M a t h e m a t i c s  E d u c a t i o n , 1 9 ( 3 ) , 2 4 6 - 2 5 9 . B i t t i n g e r , W. a n d M o r e l , A. ( 1 9 8 2 ) . A p p l i e d C a l c u l u s . New Y o r k : A d d i s o n W e s l e y Co. B l a i s , D. M. ( 1 9 8 8 ) . C o n s t r u c t i v i s m — a t h e o r e t i c a l r e v o l u t i o n f o r a l g e b r a . M a t h e m a t i c s T e a c h e r , 8 1 ( 8 ) , 6 4 2 - 6 3 1 . B r a u n e r , C. J . ( 1 9 8 8 ) . P e r c e p t i v i s m : A new p h i l o s o p h y o f e d u c a t i o n . A b r i e f t o t h e r o y a l c o m m i s s i o n on e d u c a t i o n . M a n u s c r i p t . U n i v e r s i t y o f B r i t i s h C o l u m b i a , F a c u l t y o f E d u c a t i o n , V a n c o u v e r . B r a u n e r , C. J . ( 1 9 8 7 ) . P e r c e p t i v i s m : S e v e n modes o f p e r c e p t i o n . M a n u s c r i p t . 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( 1 9 8 5 ) . New h o r i z o n s i n e d u c a t i o n a l d e v e l o p m e n t . I n R e v i e w o f R e s e a r c h i n E d u c a t i o n . W a s h i n g t o n , D.C.: A m e r i c a n E d u c a t i o n a l R e s e a r c h A s s o c i a t i o n . M a c P h e r s o n , E. (1985) . The themes o f g e o m e t r y : D e s i g n o f t h e n o n f o r m a l g e o m e t r y c u r r i c u l u m . I n C. H i r s c h & M. Zweng ( E d s . ) , The s e c o n d a r y s c h o o l m a t h e m a t i c s c u r r i c u l u m , p p . 6 5 - 8 0 . R e s t o n , V i r g i n i a : NCTM. M a t h e m a t i c a l A s s o c i a t i o n o f A m e r i c a a n d t h e N a t i o n a l C o u n c i l o f T e a c h e r s o f M a t h e m a t i c s (1980) . A S o u r c e b o o k o f A p p l i c a t i o n o f S c h o o l M a t h e m a t i c s . R e s t o n , V a . : NCTM M c D o n a l d , J . L. ( 1 9 8 8 ) . I n t e g r a t i n g s p r e a d s h e e t s i n t o t h e m a t h e m a t i c s c l a s s r o o m . M a t h e m a t i c s T e a c h e r , 8 1 ( 8 ) , 615-622. M c K n i g h t , C., C r o s s w h i t e , F., D o s s e y , J . , K i f e r , E., S w a f f o r d , J . , T r a v e r s , K. & Cooney, T. ( 1 9 8 7 ) . The  U n d e r a c h i e v i n g C u r r i c u l u m . C h a m p a i g n : S t i p e s P u b l i s h i n g Co. M i n s t r e l l , J . (1982) . E x p l a i n i n g t h e " a t r e s t " c o n d i t i o n o f an o b j e c t . P h y s i c s T e a c h e r , 20 10-14. M o r a n t e , E. P h i l l i p s , T. a n d L o r e n z , J . (1984) . The New J e r s e y b a s i c s k i l l s a s s e s s m e n t p r o g r a m . J o u r n a l o f D e v e l o p m e n t a n d R e m e d i a l E d u c a t i o n 1_, 2-32. N a t i o n a l C o m m i s s i o n on E x c e l l e n c e i n E d u c a t i o n ( 1 9 8 3 ) . A n a t i o n a t r i s k . W a s h i n g t o n , D . C : Go v e r n m e n t P r i n t i n g O f f i c e . 167 N a t i o n a l A s s e s s m e n t o f E d u c a t i o n a l P r o g r e s s ( 1 9 7 9 ) . The  s e c o n d n a t i o n a l m a t h e m a t i c s a s s e s s m e n t . D e n v e r : E d u c a t i o n c o m m i s s i o n o f t h e s t a t e s . N a t i o n a l C o u n c i l o f T e a c h e r s o f M a t h e m a t i c s ( 1 9 8 9 ) . C u r r i c u l u m a n d e v a l u a t i o n s t a n d a r d s f o r s c h o o l  m a t h e m a t i c s . R e s t o n , V i r g i n i a : The C o u n c i l . P i a g e t , J . (1973) . To U n d e r s t a n d i s t o i n v e n t . New Y o r k : G r o s s m a n P u b l i s h e r s . P o l l a k , • H. ( 1 9 8 7 ) . N o t e s f r o m a t a l k a t t h e M a t h e m a t i c a l S c i e n c e s E d u c a t i o n B o a r d . F r a m e w o r k s C o n f e r e n c e , May 1987, a t M i n n e a p o l i s . P o s n e r , G. J . , S t r i k e , K., Hewson, P., G e r t z o g , W. ( 1 9 8 2 ) . A c c o m m o d a t i o n o f a s c i e n t i f i c c o n c e p t i o n : t o w a r d s a t h e o r y o f c o n c e p t u a l c h a n g e . S c i e n t i f i c  E d u c a t i o n , 6 6 ( 2 ) , 2 1 1 - 2 2 7 . P r o j e c t t o I n c r e a s e M a s t e r y o f M a t h e m a t i c s a n d S c i e n c e ( 1 9 8 8 ) . A R e v i e w o f S e l e c t e d M i c r o c o m p u t e r  S o f t w a r e P a c k a g e s w i t h • L e s s o n s f o r T e a c h i n g  M a t h e m a t i c s G r a d e s 8-12. C o n n e c t i c u t : C o n n e c t i c u t D e p t . o f E d u c a t i o n . R a l s t o n , A. The r e a l l y new c o l l e g e m a t h e m a t i c s a n d i t s i m p a c t on t h e h i g h s c h o o l . I n C. H i r s c h & M. Zweng (Eds.) The S e c o n d a r y S c h o o l M a t h e m a t i c s  C u r r i c u l u m , p p . 2 9 - 4 2 . R e s t o n , V i r i g i n i a : NCTM. S a n t o s , M. ( 1 9 8 8 ) . R e f l e c t i o n s on m a t h e m a t i c s l e a r n i n g . " V e c t o r 29 ( 3 ) , 40-44. S c h o f i e l d , J.W. & V e r b a n , D. ( 1 9 8 8 ) . C o m p u t e r u s a g e i n t h e t e a c h i n g o f m a t h e m a t i c s : I s s u e s t h a t n e e d a n s w e r s . I n D. A. Grouws & T. J . Coonney ( E d s . ) , E f f e c t i v e m a t h e m a t i c s t e a c h i n g ( p p . 1 6 9 - 1 9 3 ) . R e s t o n , VA: The N a t i o n a l C o u n c i l o f T e a c h e r s o f M a t h e m a t i c s . S e c o n d I n t e r n a t i o n a l M a t h e m a t i c s S t u d y (SIMS) ( 1 9 8 6 ) . D e t a i l e d r e p o r t o f t h e U n i t e d S t a t e s . C h a m p a i g n : S t i p e s P u b l i s h i n g Co. S t e e n , L. ( 1 9 8 7 ) . Power t o t h e P e o p l e . F o c u s :  N e w s l e t t e r o f t h e M a t h e m a t i c a l A s s o c i a t i o n o f  A m e r i c a , 1(1), 5-6. 168 S t e f f e , L e s l i e ( 1 9 8 8 ) . M a t h e m a t i c s c u r r i c u l u m d e s i g n -a c o n s t r u c t i v i s t p e r s p e c t i v e . P a p e r d e l i v e r e d a t ICME, B u d a p e s t H u n g a r y . S t r i k e , K.A. (1982) . E d u c a t i o n a l P o l i c y a n d t h e J u s t  S o c i e t y . U r b a n a : U n i v e r s i t y o f I l l i n o i s P r e s s . S w e t z , F r a n k . ( 1 9 8 7 ) . M a t h e m a t i c a l M o d e l l i n g i n t h e  S c h o o l C u r r i c u l u m . H a r r i s b u r g : P e n n s y l v a n i a S t a t e U n i v e r s i t y . N a t i o n a l S c i e n c e F o u n d a t i o n G r a n t No. TE I - 8550425. U.S. D e p t . o f E d u c a t i o n , O f f i c e o f T e c h n o l o g y A s s e s s m e n t (1989) . T e c h n o l o g y a n d t h e A m e r i c a n  T r a n s a c t i o n . W a s h i n g t o n : U.S. G o v e r n m e n t P r i n t i n g O f f i c e . U s i s k i n , Z. ( 1 9 8 5 ) . We n e e d a n o t h e r r e v o l u t i o n i n s e c o n d a r y s c h o o l m a t h e m a t i c s . I n C. H i r s c h & M. Zweng ( E d s . ) , The s e c o n d a r y s c h o o l m a t h e m a t i c s  c u r r i c u l u m , p p . 1 - 2 1 . R e s t o n , V i r g i n i a : NCTM. V o e l k e r , A. ( 1 9 8 2 ) . The d e v e l o p m e n t o f an a t t e n t i v e p u b l i c f o r s c i e n c e : " i m p l i c a t i o n s f o r s c i e n c e t e a c h i n g . " What r e s e a r c h s a y s t o t h e s c i e n c e  t e a c h e r . V o l . 4 . W a s h i n g t o n , D.C.: N a t i o n a l S c i e n c e T e a c h e r s A s s o c i a t i o n . v o n G l a s e r s f e l d , E. ( 1 9 8 6 ) . S t e p s i n t h e c o n s t r u c t i o n o f " o t h e r s " a n d " r e a l i t y " : a s t u d y i n s e l f r e g u l a t i o n . I n R. T r a p p , Power, automony, U t o p i a , p p . 1 0 7 - 1 1 6 . New Y o r k : P l e n u m P u b l i s h i n g Co. v o n F o e r s t e r , H. ( 1 9 8 4 ) . On c o n s t r u c t i n g a r e a l i t y . I n • W a t z l a w i c k , P. ( E d . ) , The i n v e n t e d r e a l i t y : How do  we b e l i e v e we know? L o n d o n : W.W. N o r t o n a n d Co. W a i t s , B. a n d Demand F. (198 9) . C o m p u t e r s a n d t h e r a t i o n a l - r o o t t h e o r e m — a n o t h e r v i e w . M a t h e m a t i c s  T e a c h e r , 8 2 ( 5 ) , 1 2 4 -12. W a i t s , B. a n d Demand F. (198 9 ) . U s i n g C o m p u t e r G r a p h i n g  t o E n h a n c e t h e T e a c h i n g a n d L e a r n i n g o f C a l c u l u s  a n d P r e c a l c u l u s M a t h e m a t i c s . D e p t . o f M a t h e m a t i c s : The O h i o S t a t e U n i v e r s i t y . 169 W a l k e r , D. ( 1 9 8 4 ) . P r o m i s e , p o t e n t i a l a n d p r a g m a t i s m : C o m p u t e r s i n h i g h s c h o o l . I n s t i t u t e f o r R e s e a r c h  i n E d u c a t i o n a l F i n a n c e a n d G o v e r n a n c e P o l i c y  N o t e s , 5 ( 3 ) , 3-4. 170 A P P E N D I X The r o l e of mathematical realism i n perceptivism 171 I n o r d e r t o f a c i l i t a t e e x p l a n a t i o n , F i g u r e 1 on p a g e 19 s i m p l i f i e s a t h e o r e t i c a l p o i n t o f c o n s i d e r a b l e i m p o r t a n c e . A v e r s i o n o f m a t h e m a t i c a l r e a l i s m i s i m p l i c i t i n t h e d i a g r a m t o t h e e x t e n t t h a t i t a p p e a r s t o be p o s s i b l e t o p e r c e i v e m a t h e m a t i c a l a s p e c t s o f r e a l i t y . The c o m p u t e r i z e d m a t h e m a t i c a l a p p l i c a t i o n s s u p p l i e d by t h e w r i t e r a r e meant t o d e m o n s t r a t e t h a t t h e m e a n i n g o f m a t h e m a t i c s i s r e v e a l e d t o t h e s t u d e n t t h r o u g h i t s u s e i n t h e p e r c e p t i o n a n d d e s c r i p t i o n o f a s p e c t s o f r e a l i t y . I n d i s c u s s i o n s w i t h t h e w r i t e r , B r a u n e r ( p e r s o n a l c o m m u n i c a t i o n , S e p t e m b e r 15, 1989) h a s p o i n t e d .out t h a t P e r c e p t i v i s m i s n o t t h e h a n d m a i d e n o f m a t h e m a t i c a l r e a l i s m a s t h e w r i t e r m i g h t h a v e i m p l i e d . B r a u n e r i n s i s t s t h a t P e r c e p t i v i s m s a y s n o t h i n g a b o u t r e a l i t y . T h i s w r i t e r f i n d s B r a u n e r ' s P e r c e p t i v i s m c o m p a t i b l e w i t h m a t h e m a t i c a l r e a l i s m w h e r e a s B r a u n e r h i m s e l f d o e s n o t . B r a u n e r seems t o be c o n t e n t w i t h a c o n v e n t i o n a l i s t p o s i t i o n t h a t s e e s m a t h e m a t i c s as a s e l f c o n s i s t e n t l o g i c a l s y s t e m . W h e t h e r t h a t s y s t e m a c c o u n t s f o r t h i n g s i n t h e w o r l d o f e x p e r i e n c e i s v i e w e d as h a v i n g n o t h i n g t o do w i t h m a t h e m a t i c s as s u c h . I n T a b l e 1 on p age 25, a l o n g s i d e t h e h e a d i n g " e x a m p l e s " , B r a u n e r p r o v i d e s e x a m p l e s o f p e r c e p t i o n s i n 172 t h e d i f f e r e n t modes. He i s c a r e f u l t o d i s t i n g u i s h b e t w e e n s e e i n g i n m y t h i c , t h e s i s t i c , t h e o r e t i c , s t a n d a r d , p r i m a l , p r i m a r y a n d o p e r a t i o n a l p e r c e p t i o n a n d i d e n t i f y i n g o r r e c o g n i z i n g w i t h r e g a r d t o t h e m a t i c a n d r e l a t i o n a l p e r c e p t i o n r e s p e c t i v e l y . I n t h e l a t t e r two c a s e s B r a u n e r w a n t s t o h o l d t h a t " a c t u a l p e r c e p t i o n " i s n o t p o s s i b l e b u t a t b e s t o n l y t h e i d e n t i f i c a t i o n o r r e c o g n i t i o n o f some c o n v e n t i o n a l p a t t e r n i n p r e - e x i s t i n g p e r c e p t i o n s i s p o s s i b l e . What t h i s w r i t e r f i n d s o b j e c t i o n a b l e i n B r a u n e r ' s c h a r a c t e r i z a t i o n o f t h e two " e x c e p t i o n a l c a s e s " i s t h e i m p l i c i t v i e w t h a t " d i r e c t , u n i n f e r r e d " p e r c e p t i o n i s p o s s i b l e i n t h e o t h e r c a s e s , b u t n o t i n r e l a t i o n a l o r t h e m a t i c p e r c e p t i o n . B u t p e r c e p t i o n , s e e i n g , i s n e v e r d i r e c t . ' A t b e s t o n l y an i n f e r r e d r e a l i t y i s o b s e r v a b l e . To t h e e x t e n t t h a t m a t h e m a t i c a l c o n c e p t s a n d t h e o r i e s a r e u s e d a n d c o n f i r m e d i n t h e p u b l i c c o g n i t i v e f o r u m , m a t h e m a t i c a l r e a l i s m w o u l d h o l d t h a t t h e y g i v e a t l e a s t p r o b a b l e k n o w l e d g e a b o u t a s p e c t s o f r e a l i t y , j u s t as c o n c e p t s a n d t h e o r i e s f r o m o t h e r d o m a i n s o f k n o w l e d g e . A f r e e c h o i c e i s a v a i l a b l e , f r o m among t h e v a r i o u s a c c e p t e d c o n c e p t u a l a n d t h e o r e t i c a l , p e r c e p t i o n - e n a b l i n g , w o r l d b u i l d e r s b u t t h e y a r e a l l on a p a r w i t h r e s p e c t t o e p i s t e m o l o g i c a l i m m e d i a c y e x c e p t on some d u b i o u s o r a r b i t r a r y g r o u n d s . None c a n be 173 a s s u m e d t o g i v e a more " d i r e c t " p e r c e p t i o n o f r e a l i t y t h a n any o t h e r . F o r t h i s r e a s o n t h e w r i t e r h o l d s t h a t i t i s r e a s o n a b l e t o c l a i m t h a t m a t h e m a t i c s c a n g i v e a t l e a s t p r o b a b l e k n o w l e d g e o f a s p e c t s o f r e a l i t y . A more d e t a i l e d d i s c u s s i o n o f t h i s i s s u e o f r e a l i s m i s a v a i l a b l e i n C o p e l a n d ( 1 9 8 5 ) . The e x t e n s i o n t h e w r i t e r g i v e s t o b a s i c P e r c e p t i v i s m , i n t h e d i r e c t i o n o f m a t h e m a t i c a l r e a l i s m , i s b a s e d on ' b o t h p h i l o s o p h i c a l a n d p e d a g o g i c c o n s i d e r a t i o n s . The p e d a g o g i c c o n s i d e r a t i o n s c e n t e r on t h e s i m p l i c i t y a n d d i r e c t n e s s o f r e a l i s m a s a way t o m o t i v a t e a n d e x p l a i n t h e u s e s o f m a t h e m a t i c s t o s t u d e n t s . P h i l o s o p h i c a l l y , t h e v i e w s t a n d s up n i c e l y t o t h e c o m p e t i t i o n . E v e n i n s t a n d a r d p e r c e p t i o n c o n c e p t s o f o r d i n a r y l a n g u a g e s u c h a s " t a b l e " o r " h o r s e " m e d i a t e p e r c e p t i o n . I n m a t h e m a t i c s t h e same t h i n g h a p p e n s . What m a t h e m a t i c a l r e a l i s m i n t e r p r e t s i s t h e v i e w t h a t t h e r e l a t i o n s p e r c e i v e d a r e a c t u a l r e l a t i o n s h i p s i n t h e w o r l d . Q u i n e , as f o r e x a m p l e , a r g u e s t h a t F r o m among t h e v a r i o u s c o n c e p t u a l schemes b e s t s u i t e d t o t h e s e v a r i o u s p u r s u i t s , o n e — t h e p h e n o m e n a l i s t i c — c l a i m s e p i s t e m o l o g i c a l p r i o r i t y . V i e w e d f r o m w i t h i n t h e p h e n o m e n a l i s t i c c o n c e p t u a l scheme, t h e o n t o l o g i e s o f p h y s i c a l o b j e c t s a n d m a t h e m a t i c a l o b j e c t s a r e m y t h s . The q u a l i t y o f m y th, h o w e v e r , i s r e l a t i v e ; r e l a t i v e , i n 174 t h i s c a s e , t o t h e e p i s t e m o l o g i c a l p o i n t o f v i e w . T h i s p o i n t o f v i e w i s one among v a r i o u s , c o r r e s p o n d i n g t o one among o u r v a r i o u s i n t e r e s t s a n d p u r p o s e s . ( Q u i n e , 1953, p.19) T h e r e i s no f a c t , B r a u n e r a g r e e s , a p a r t f r o m some t h e o r e t i c a l p o i n t o f v i e w . M a t h e m a t i c a l k n o w l e d g e c a n h a v e as much o r as l i t t l e i m m e d i a c y t o r e a l i t y as any o t h e r f o r m o f k n o w l e d g e . B e t h , i n a r g u i n g f o r a new v e r s i o n o f m a t h e m a t i c a l r e a l i s m , c o m p a r e s m a t h e m a t i c a l p e r c e p t i o n , w h i c h B r a u n e r d o e s n o t a c c e p t , w i t h s c i e n t i f i c p e r c e p t i o n i n p h y s i c s , w h i c h he d o e s . D e d u c t i v e t h e o r i e s c a n n o t , i n g e n e r a l , p r o v i d e an a d e q u a t e d e s c r i p t i o n of" m a t h e m a t i c a l s t r u c t u r e s ; t h e r e f o r e , i t seems l i k e l y t h a t o u r k n o w l e d g e o f s u c h s t r u c t u r e s h a s , a t l e a s t p a r t l y , an i n t u i t i v e , an i m m e d i a t e c h a r a c t e r ... I t d o e s n o t f o l l o w o f c o u r s e t h a t a l l m a t h e m a t i c s c o n s i s t s o f s u c h k n o w l e d g e , o r t h a t t h e d e d u c t i v e t h e o r i e s o f modern m a t h e m a t i c s s h o u l d be j u d g e d e x c l u s i v e l y b y t h e i r c o n f o r m i t y t o o u r m a t h e m a t i c a l i n t u i t i o n . I t seems w i s e r t o s u p p o s e , w i t h B e r n a y s , t h a t m a t h e m a t i c s r e s u l t s f r o m o u r r a t i o n a l l y r e m o d e l l i n g t h o s e f u n d a m e n t a l i n s i g h t s w h i c h o r i g i n a t e f r o m o u r m a t h e m a t i c a l i n t u i t i o n . I n t h e r e s p e c t m a t h e m a t i c s m i g h t be r e a s o n a b l y c o m p a r e d t o p h y s i c s . ( B e t h , 1959, p.643) What t h i s w r i t e r i s c l a i m i n g i s t h a t a r e a l i s t i c i n t e r p r e t a t i o n o f P e r c e p t i v i s m i s a p h i l o s o p h i c a l a n d p e d a g o g i c p o s s i b i l i t y t h a t p r o v i d e s a u s e f u l way o f t h i n k i n g a b o u t m a t h e m a t i c s , m a t h e m a t i c s e d u c a t i o n a n d 175 t h e m a t h e m a t i c a l u s e s o f t h e c o m p u t e r . O t h e r f o r m s o f P e r c e p t i v i s m may a l s o be d e f e n s i b l e a n d u s e f u l . T h i s w o u l d be n e i t h e r s u r p r i s i n g n o r u p s e t t i n g s i n c e t h e d e b a t e b e t w e e n r e a l i s m , i d e a l i s m , i n t u i t i o n i s m a n d f o r m a l i s m i s s t i l l an o pen q u e s t i o n . 176 Appendix References B e t h , E. W. ( 1 9 5 9 ) . The f o u n d a t i o n s o f m a t h e m a t i c s . New Y o r k : H a r p e r a n d Row. B r a u n e r , C. T. 1989. P e r s o n a l c o m m u n i c a t i o n , S e p t e m b e r 15, 1989. (M.A. T h e s i s d e f e n s e ) . C o p e l a n d , B. ( 1 9 8 5 ) . A p r o p o s a l c o n c e r n i n g t h e  a p p l i c a t i o n o f t h e p r i n c i p l e o f c o m p l e m e n t a r i t y i n  p h i l o s o p h y . M.A. t h e s i s , U n i v e r s i t y o f B r i t i s h C o l u m b i a . U n p u b l i s h e d . Q u i n e , W. V. (1953) . From a l o g i c a l p o i n t o f v i e w . C a m b r i d g e : H a r v a r d U n i v e r s i t y P r e s s . 

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