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A feedlot replacement model Freding, William Karl 1972

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831-UBC_1973_A6_7 F74.pdf [ 2.25MB ]
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A FEEDLOT REPLACEMENT MODEL by WILLIAM KARL FREDING B.Sc.A., U n i v e r s i t y o f B r i t i s h C o l u m b i a , 196 A THESIS SUBMITTED I N PARTIAL FULFILMENT OF THE REQUIREMENTS FOR THE DEGREE OF MASTER OF SCIENCE i n t h e D e p a r t m e n t o f A g r i c u l t u r a l E c o n o m i c s We a c c e p t t h i s t h e s i s a s c o n f o r m i n g t o t h e r e q u i r e d s t a n d a r d THE UNIVERSITY OF B R I T I S H COLUMBIA S e p t e m b e r , 1972 In presenting t h i s t h e s i s in p a r t i a l f u l f i l m e n t o f the requirements f o r an advanced degree at the U n i v e r s i t y of B r i t i s h Columbia, 1 agree that the L i b r a r y s h a l l make i t f r e e l y a v a i l a b l e f o r reference and study. I f u r t h e r agree that permission f o r e x t e n s i v e copying of t h i s t h e s i s f o r s c h o l a r l y purposes may be granted by the Head of my Department or by h i s r e p r e s e n t a t i v e s . It i s understood that copying or p u b l i c a t i o n of t h i s t h e s i s f o r f i n a n c i a l gain s h a l l not be allowed without my w r i t t e n permission. Department of A g r i c u l t u r a l Economics The U n i v e r s i t y of B r i t i s h Columbia Vancouver 8, Canada Date September 1972 ABSTRACT The p u r p o s e o f t h e s t u d y was t o d e v e l o p a r e a l i s t i c m e thod o f d e t e r m i n i n g t h e o p t i m u m r e p l a c e m e n t t i m e o f s t e e r s i n a f e e d l o t i n w h i c h t h e r e a r e s e q u e n t i a l f e e d i n g c y c l e s . T h e r e a r e two m o d e l s f o r s t e e r s d e v e l o p e d a n d d i s -c u s s e d i n t h i s p a p e r . The f i r s t m o d e l o p t i m i z e s t h e l e n g t h o f s t a y i n t h e f e e d l o t a s s u m i n g t h a t f e e d l o t c a p a c i t y i s t h e l i m i t i n g c o n s t r a i n t . The s e c o n d m o d e l o p t i m i z e s t h e l e n g t h o f s t a y i n t h e f e e d l o t when w o r k i n g c a p i t a l i s t h e l i m i t i n g c o n s t r a i n t . A t h i r d m o d e l i s d e v e l o p e d t o d e t e r m i n e t h e o p t i m u m l e n g t h o f f e e d i n g t i m e f o r m a r k e t h o g s i n a f e e d i n g b a r n . An e v a l u a t i o n o f e a c h m o d e l i s made. I t i s c o n c l u d e d t h a t t h e c a t t l e m o d e l s h a v e a l i m i t e d u s e b e c a u s e o f t h e h i g h v a r i a b i l i t y i n p e r f o r m a n c e . The h o g r e p l a c e m e n t m o d e l i s q u i t e v a l i d a n d c a n be u s e d i n a modern h o g f e e d i n g e n t e r -p r i s e . i i i TABLE OF CONTENTS Page ABSTRACT i i L I S T OF TABLES i v L I S T OF FIGURES v ACKNOWLEDGEMENT v i C h a p t e r I . INTRODUCTION 1 I I . THEORY 3 I I I . FEEDLOT APPLICATIONS 9 I V . METHODOLOGY 11 C o l l e c t i o n a n d T r e a t m e n t o f D a t a 11 D e f i n i t i o n o f Terms 13 The R e p l a c e m e n t M o d e l s 14 C a t t l e F e e d l o t R e p l a c e m e n t M o d e l I . . . . 14 C a t t l e F e e d l o t R e p l a c e m e n t M o d e l I I . . . . 16 Hog R e p l a c e m e n t M o d e l I I I 17 V. RESULTS AND DISCUSSION 19 V I . CONCLUSIONS 33 BIBLIOGRAPHY 35 APPENDIX 38 i v L I S T OF TABLES T a b l e Page 1. W e i g h t s a n d F e e d I n t a k e o f S t e e r s 39 2. W e i g h t s a n d F e e d I n t a k e s o f Hogs 40 V L I S T OF FIGURES F i g u r e Page 1. P r o f i t M a x i m i z a t i o n o v e r Time 6 2. A v e r a g e N e t Revenue and M a r g i n a l N e t Revenue P e r A n i m a l P e r Week - M o d e l I 20 3. A v e r a g e N e t Revenue a nd M a r g i n a l N e t Revenue P e r D o l l a r P e r Week - M o d e l I I 21 4. E f f e c t o f I n c r e m e n t a l C o s t s on Optimum R e p l a c e m e n t Time - M o d e l s I a n d I I 22 5. E f f e c t o f P r i c e o f F i n i s h e d S t e e r s o n Optimum R e p l a c e m e n t Time - M o d e l I 23 6. E f f e c t o f P r i c e o f F e e d on Optimum R e p l a c e -ment Time - M o d e l I 24 7. E f f e c t o f P r i c e o f F e e d on Optimum R e p l a c e -ment Time - M o d e l I I 25 8. A v e r a g e N e t Revenue a nd M a r g i n a l N e t Revenue p e r U n i t o f F l o o r S p a c e P e r Week - M o d e l I I I -Hogs 26 9. E f f e c t o f P r i c e o f Hogs on Optimum R e p l a c e m e n t Time - M o d e l I I I - Hogs 27 10. E f f e c t o f P r i c e o f F e e d on Optimum R e p l a c e m e n t Time - M o d e l I I I - Hogs 28 11 . G r o w t h C u r v e f o r S t e e r s - M o d e l s I a n d I I . . . 41 12. F e e d I n t a k e f o r S t e e r s - M o d e l s I and I I . . . 42 13. G r o w t h C u r v e f o r Hogs 43 14. E s t i m a t e d F e e d I n t a k e o f Hogs 44 v i ACKNOWLEDGEMENT I w i s h t o e x t e n d my w a r m e s t t h a n k s t o D r . G.R. W i n t e r a n d D r . P.L. A r c u s who s p e n t many h o u r s r e a d i n g and a d v i s i n g me on t h i s t h e s i s . T h e i r a d v i c e a n d e n c o u r -agement was v e r y much a p p r e c i a t e d . I a l s o t h a n k D r . R.G. P e t e r s o n a n d D r . J.D. B o y d , who g l a d l y s e r v e d a s members o f t h e c o m m i t t e e a n d made many i n v a l u a b l e s u g g e s t i o n s on t h e w r i t i n g o f t h e t h e s i s . C h a p t e r I INTRODUCTION T o d a y ' s f e e d l o t s a r e p a r t o f one o f t h e m o s t r a p i d l y c h a n g i n g i n d u s t r i e s i n N o r t h A m e r i c a . I n a few s h o r t y e a r s t h e l i v e s t o c k f e e d i n g i n d u s t r y h a s e v o l v e d f r o m t h e o n c e f a m i l i a r 100 h e a d f a r m f e e d l o t t o h i g h l y i n t e n s i f i e d f e e d i n g e n t e r p r i s e s w i t h c a p a c i t i e s r a n g i n g u p w a r d s t o 100,000 h e a d . T h e s e c h a n g e s h a v e b e e n t h e r e s u l t o f t h e d e v e l o p -ment o f h i g h c o n c e n t r a t e f e e d i n g p r o g r a m s w h i c h h a v e p e r m i t t e d a l m o s t t o t a l m e c h a n i z a t i o n o f t h e f e e d i n g o p e r a t i o n . The i n c r e a s e d m e c h a n i z a t i o n h a s g r e a t l y i n c r e a s e d t h e o v e r h e a d and c a p i t a l c o s t s . I n o r d e r t o make more e f f i -c i e n t u s e o f t h e f i x e d c o s t s , f e e d l o t o p e r a t o r s a r e f i n d i n g i t n e c e s s a r y t o o p e r a t e on a c o n t i n u o u s b a s i s t h r o u g h o u t t h e y e a r . I n t h i s s i t u a t i o n t h e f e e d l o t o p e r a t o r i s f a c e d w i t h t h e p r o b l e m o f when t o s e l l e a c h g r o u p o f c a t t l e a nd r e p l a c e t hem w i t h a n o t h e r g r o u p . I n a c o n t i n u o u s o p e r a t i o n , w h e r e e a c h g r o u p o f c a t t l e i s r e p l a c e d i m m e d i a t e l y by a new g r o u p , t h e o p e r a t o r i s c o n c e r n e d w i t h m a x i m i z i n g a v e r a g e p r o f i t p e r u n i t o f t i m e a s o p p o s e d t o m a x i m i z i n g p r o f i t o p e r a n i m a l , w h i c h i s t h e c r i t e r i o n a p p l i e d w h e r e a s i n g l e g r o u p o f c a t t l e i s f e d u n t i l m a r k e t e d a n d t h e n n o t r e p l a c e d i m m e d i a t e l y . The c o n t i n u o u s o p e r a t i o n h a s an o p p o r t u n i t y c o s t o f t i m e w h e r e a s i n t h e s i n g l e l o t , t i m e h a s no o p p o r t u n i t y c o s t 1 2 b e c a u s e t h e f e e d l o t w i l l be s i t t i n g i d l e t h e r e m a i n d e r o f t h e y e a r . To d a t e t h e r e h a v e b e e n two a p p r o a c h e s t o t h e r e -p l a c e m e n t p r o b l e m i n t h e f e e d l o t . The m o s t commonly u s e d a p p r o a c h i s one i n w h i c h t h e s t e e r i s f e d u n t i l t h e t i m e when maximum p r i c e p e r p o u n d o r maximum g r a d e i s o b t a i n e d . R a n t a (13) d e m o n s t r a t e d t h a t t h i s was f a l s e economy a n d t h a t t h e s t e e r i n f a c t s h o u l d be s h i p p e d a t a l i g h t e r w e i g h t when t h e m a r g i n a l c o s t p e r p o und o f g a i n e q u a l l e d t h e s e l l i n g p r i c e . F a r i s (7) s u g g e s t e d t h a t t h e m a r g i n a l c o s t o f g a i n i n t h e s t e e r s h o u l d i n c l u d e an o p p o r t u n i t y c o s t f o r t i m e a s i s d e m o n s t r a t e d by T r a n t and W i n d e r (14) f o r b r o i l e r p r o -d u c t i o n . T h i s p a p e r w i l l e x p a n d on t h e t h e o r y p r o p o s e d by F a r i s (7) t o i n c l u d e c h a n g e s i n a n i m a l q u a l i t y and y i e l d w i t h t h e l e n g t h o f t h e f e e d i n g p e r i o d . Two m o d e l s a r e p r o p o s e d . The f i r s t m o d e l assumes t h a t f e e d l o t c a p a c i t y i s f i x e d a n d i s t h e l i m i t i n g c o n s t r a i n t . The s e c o n d m o d e l i l l u s t r a t e s t h e d i f f e r e n c e i n r e p l a c e m e n t p a t t e r n when w o r k i n g c a p i t a l r a t h e r t h a n f e e d l o t c a p a c i t y i s a s sumed t o be t h e l i m i t i n g c o n s t r a i n t . C h a p t e r I I THEORY The p u r p o s e o f a r e p l a c e m e n t m o d e l i s t o m a x i m i z e n e t r e v e n u e o r p r o f i t . P r o f i t c a n be m a x i m i z e d a c c o r d i n g t o two c r i t e r i a . F i r s t l y i t c a n be m a x i m i z e d p e r p r o d u c t i o n p e r i o d . T h i s i s i l l u s t r a t e d b y D i l l o n (5) i n h i s t i m e l e s s a n a l y s i s o f u n c o n s t r a i n e d p r o f i t m a x i m i z a t i o n . He showed t h a t u n c o n s t r a i n e d p r o f i t m a x i m i z a t i o n i n a p e r f e c t l y com-p e t i t i v e m a r k e t o c c u r r e d when e a c h v a r i a b l e i n p u t was u s e d a t t h e l e v e l s u c h t h a t P *MP. = P . , i = l , 2, . . . n , y 1 l ' ' ' ' w h e r e P^ = p r i c e o f o u t p u t o r p r o d u c t MP ^  = m a r g i n a l p r o d u c t o f i n p u t P^ = p r i c e o f i n p u t n = number o f i n p u t s . The m o s t g e n e r a l s t a t e m e n t o f t h i s t i m e l e s s p r o f i t m a x i m i z i n g c o n d i t i o n i s t h a t f o r b e s t o p e r a t i n g c o n d i t i o n s t h e M a r g i n a l Revenue o r M a r g i n a l V a l u e P r o d u c t o f X^, g i v e n b y d ( P ^ Y ) / d X ^ , mus t e q u a l t h e m a r g i n a l c o s t o f X^, g i v e n by d ( P ^ X ^ ) / d X ^ . Thus d ( P Y ) / d X . = d ( P . X . ) d X . where Y = amount o f o u t p u t y l i l l ^ a n d X^= amount o f i n p u t . I n o t h e r w o r d s , t h i s l a s t i n c r e m e n t o f X^ must pay f o r i t s e l f . I n e x t r a p o l a t i n g t h i s t o t h e f e e d l o t , p r o f i t m a x i m i z a t i o n w i l l o c c u r when t h e c o s t o f an e x t r a p o u n d o f g a i n e q u a l s t h e s e l l i n g p r i c e p e r p o u n d . 3 4 The s e c o n d c r i t e r i a f o r p r o f i t m a x i m i z a t i o n i s t o m a x i m i z e p r o f i t p e r u n i t o f t i m e . A g a i n D i l l o n (5) demon-s t r a t e s t h a t t h e same g e n e r a l p r i n c i p l e o f e q u a t i n g m a r g i n a l r e v e n u e a n d m a r g i n a l c o s t must p r e v a i l f o r p r o f i t m a x i m i -z a t i o n o v e r t i m e . The o n l y d i f f e r e n c e i s t h a t m a r g i n a l c o s t o v e r t i m e must a l l o w f o r t i m e o p p o r t u n i t y c o s t a n d t i m e p r e f e r e n c e e f f e c t s a s w e l l a s t h e d i r e c t m a r g i n a l c o s t s o f i n p u t s . P r o f i t m a x i m i z a t i o n o v e r t i m e i n v o l v e s more c o m p l e x a n a l y s i s t h a n i n t h e t i m e l e s s c a s e . To m a i n t a i n a s much s i m p l i c i t y as p o s s i b l e w h i l e o u t l i n i n g t h e r e l e v a n t p r i n c i p l e s , D i l l o n (5) f i r s t c o n s i d e r s a s i m p l e r e s p o n s e p r o c e s s o p e r a t i n g o v e r t i m e b u t i n t h e a b s e n c e o f t i m e p r e f e r e n c e , i . e . , a z e r o i n t e r e s t r a t e i s assumed. He t h e n a d d s t h e t i m e d i m e n -s i o n s . T h i s a n a l y s i s s p o t l i g h t s t h e e f f e c t o f t h e t i m e o p p o r t u n i t y c o s t s o f i n p u t s . The t i m e d e p e n d e n t a n a l y s i s i s a s f o l l o w s . C o n s i d e r a t i m e d e p e n d e n t r e s p o n s e p r o c e s s y = F ( X l f X 2 , ...X n) (1) X i = F i ( t ) ' 1 = 1 ' 2 ' •'- n ( 2 ) where y = amount o f o u t p u t X^ = amount o f i n p u t t = t i m e o r l e n g t h o f r e s p o n s e p e r i o d w i t h t h e o u t p u t b e i n g h a r v e s t e d a t t h e e n d o f t h e v a r i a b l e r e s p o n s e p e r i o d t . The p r o c e s s i s t o be r e p e a t e d s e q u e n t i a l l y o v e r t i m e . A s s u m i n g no i n p u t o r o u t p u t p r i c e c h a n g e s o v e r t i m e , no i n p u t c o n s t r a i n t s , a f i x e d c a p a c i t y o r s c a l e o f e n t e r p r i s e i n t h e s h o r t r u n , and no t i m e p r e f e r e n c e , b e s t o p e r a t i n g c o n d i t i o n s f o r e a c h r u n o f t h e r e s p o n s e p e r i o d must be i d e n t c a l ; a n d m a x i m i z a t i o n o f t o t a l p r o f i t o v e r a number o f r u n s m ust be e q u i v a l e n t t o m a x i m i z i n g p r o f i t p e r u n i t o f t i m e . D e n o t i n g p r o f i t p e r u n i t o f t i m e b y If and t h e c o s t o f t h e f i x e d i n p u t s o r t h e f i x e d s e t - u p c o s t p e r r e s p o n s e p e r i o d ( i . l e . 1 , i n c r e m e n t a l c o s t s ) by F, we h a v e t h e u n c o n s t r a i n e d o b j e c t i v e f u n c t i o n T*= ( P y Y - i | 1 P i X i - F ) / t , (3) w h e r e Y = amount o f o u t p u t = amount o f i n p u t Py = p r i c e o f o u t p u t P^ = p r i c e o f i n p u t X^ t = l e n g t h o f r e s p o n s e p e r i o d . W h i l e t h e f i x e d i n p u t c o s t F i s f i x e d f o r e a c h r u n o f t h e r e s p o n s e p r o c e s s , t h e r a t i o F / t i s n o t c o n s t a n t t f o r t v a r i a b l e . H e n c e , u n l i k e t h e t i m e l e s s a n a l y s i s , f i x e d i n p u t c o s t s must be i n c l u d e d i n t h e t i m e d e p e n d e n t o b j e c t i v e f u n c t i o n . Maximum p r o f i t p e r u n i t o f t i m e i m p l i e s d t*/at o f e q u a t i o n (3) e q u a l t o z e r o . Thus s e t t i n g d IT/dt e q u a l t o z e r o , a n d r e a r r a n g i n g t h e r e s u l t i n g e q u a t i o n , we must h a v e P M Y / d t ) - £ p . f ( d x , / d t ) = (P Y - £p.X. - F ) / t (4) y x x y x x f o r maximum IT . More s i m p l y i f we d e n o t e b y : R: o u t p u t g a i n o r r e v e n u e p e r r e s p o n s e p e r i o d P Y; n C: i n p u t l o s s o r c o s t p e r r e s p o n s e p e r i o d ^-P^X^+F; t h e n e q u a t i o n (4) c a n be w r i t t e n a s d R / d t - d C / d t = IfT (5) ' „ 6 I n w o r d s , e q u a t i o n s (4) and (5) i m p l y t h a t i n t h e a b s e n c e o f t i m e p r e f e r e n c e t h e m a r g i n a l p r o f i t p e r u n i t o f t i m e (LHS) mu s t e q u a l t h e a v e r a g e p r o f i t p e r u n i t o f t i m e (RHS) i f maximum p r o f i t p e r u n i t o f t i m e i s t o be a c h i e v e d a s s u m i n g If c o n v e x . S e c o n d o r d e r c o n d i t i o n s , i . e . , i f d 1 l / / d t i s n e g a -t i v e , w i l l p r o v e t h a t T * i s c o n v e x a n d t h u s we h a v e a maximum. N e t P r o f i t P e r L o t 0 /<p G H Time F i g u r e 1. P r o f i t M a x i m i z a t i o n o v e r Time The p r o f i t m a x i m i z i n g c r i t e r i o n o f e q u a t i o n s (4) o r (5) i s i l l u s t r a t e d i n F i g u r e 1. P r o f i t s o r n e t r e v e n u e n (PyY - ~ F) as a f u n c t i o n o f l e n g t h o f t h e r e s p o n s e p e r i o d i s shown b y t h e c u r v e ^AB. Maximum p r o f i t f r o m a s i n g l e r e s p o n s e p e r i o d o c c u r s a t B w i t h a r e s p o n s e p e r i o d o f l e n g t h OH. I n c o n t r a s t , maximum p r o f i t p e r u n i t o f t i m e o c c u r s a t A w h e r e t h e s l o p e o f t h e p r o f i t c u r v e e q u a l s m a x i -mum a v e r a g e p r o f i t a n d t h e r e s p o n s e p e r i o d i s o n l y o f l e n g t h OG. Thus e q u a t i o n (5) i s s a t i s f i e d a t A. As F i g u r e 1 i n d i c a t e s , b e s t o p e r a t i n g c o n d i t i o n s f o r a s e q u e n c e o f r e s p o n s e p r o c e s s e s i m p l i e s e a c h r e s p o n s e p e r i o d s h o u l d be s h o r t e r 7 t h a n i f t h e r e s p o n s e p r o c e s s w e r e o n l y c a r r i e d t h r o u g h o n c e . The l o g i c o f t h i s i s t h a t a s i n p u t s a r e u s e d b e y o n d A, m a r g i n a l p r o f i t p e r u n i t o f t i m e i s l e s s t h a n t h e maximum a v e r a g e p r o f i t p e r u n i t o f t i m e t h a t c o u l d be o b t a i n e d b y u s i n g t h e s e i n p u t s i n t h e n e x t r e s p o n s e p e r i o d . O n l y i f h a r v e s t i n g o f o u t p u t o c c u r s a t A o f F i g u r e 1 w i l l t h e m a r g i n a l v a l u e p r o d u c t be e q u a l t o m a r g i n a l c o s t o v e r t i m e . I n t e r m s o f v a r i a b l e i n p u t s , t h e c o n d i t i o n s f o r maximum p r o f i t p e r u n i t o f t i m e i s t h a t d II /dX^ be z e r o . Thus d i f f e r e n t i a t i n g e q u a t i o n (3) we must h a v e P y ( d Y / d X i ) - P i + ( d t / d X i ) ( P y Y - & i x i - F ) / t (6) o r ; a k i n t o e q u a t i o n (5) d R / d X ± = d C / d X ± + (dt/dx±) (7) The LHS o f e q u a t i o n s (6) and (7) i s t h e m a r g i n a l v a l u e p r o d u c t o f x^. The RHS, t h e m a r g i n a l c o s t i s t h e sum o f two p a r t s . The f i r s t o f t h e s e i s t h e c o s t o f a u n i t o f x. I i w i t h o u t r e g a r d t o t i m e . We w i l l c a l l t h i s t h e d i r e c t m a r g i n a l c o s t o f x^. The s e c o n d p a r t i s t h e t i m e o p p o r t u n i t y c o s t o f a u n i t o f x^. I t c o n s i s t s o f t h e maximum a v e r a g e p r o f i t p e r u n i t o f t i m e p o s s i b l e i n t h e n e x t r e s p o n s e p e r i o d , ( P y Y - £ P i X i - F ) / t , m u l t i p l i e d by t h e t i m e , d t / d x ^ r e q u i r e d t o u t i l i z e a u n i t o f x^. Compared t o t h e t i m e l e s s a n a l y s i s , t h e e f f e c t o f i n t r o d u c i n g t i m e i s t o i n c r e a s e t h e m a r g i n a l c o s t x ^ by t h e amount ( d t / d x ^ ) T . i n t u r n , t h i s i m p l i e s t h a t t h e b e s t o p e r a t i n g c o n d i t i o n s o v e r t i m e i n v o l v e l o w e r l e v e l s o f t h e v a r i a b l e i n p u t s t h a n a r e i m p l i e d by t h e t i m e l e s s a n a l y s i s . 8 W h i l e t h e a b o v e a n a l y s i s h a s b e e n c o u c h e d i n t e r m s o f t h e f a i r l y s i m p l e c a s e o f a s e q u e n c e o f r e s p o n s e p e r i o d s b a s e d o n e q u a t i o n s (1) and ( 2 ) , t h e same g e n e r a l p r i n c i p l e a p p l i e s i n more c o m p l i c a t e d c a s e s w i t h o u t t i m e p r e f e r e n c e . Thus s h o u l d p h y s i c a l r e l a t i o n s o r p r i c e s be d i f f e r e n t i n t h e n e x t r e s p o n s e p e r i o d , t h e r o l e s t i l l r e m a i n s t h a t r e s p o n s e i n t h e p r e s e n t p e r i o d s h o u l d be h a r v e s t e d when, p e r u n i t o f t i m e , i t s m a r g i n a l n e t r e v e n u e i s e q u a l t o t h e maximum a v e r a g e n e t r e v e n u e e x p e c t e d f r o m t h e n e x t r e s p o n s e p e r i o d . C o n c o m i t a n t l y , v a r i a b l e i n p u t s s h o u l d be u s e d t o t h e p o i n t w h e r e t h e i r m a r g i n a l r e v e n u e i s e q u a l t o t h e i r o v e r a l l m a r g i n a l c o s t i n c l u s i v e o f t i m e o p p o r t u n i t y c o s t b a s e d on f u t u r e r e v e n u e p o s s i b i l i t i e s . The d i f f i c u l t y , o f c o u r s e , l i e s i n m a k i n g a g o o d e s t i m a t e o f r e v e n u e p o s s i b i l i t i e s f r o m t h e n e x t r u n o f t h e r e s p o n s e p r o c e s s . C h a p t e r I I I FEEDLOT APPLICATIONS I n a p p l y i n g t h i s t h e o r y t o t h e f e e d l o t i t i s assumed t h a t t h e f e e d l o t i s o p e r a t i n g on a c o n t i n u o u s b a s i s t h r o u g h -o u t t h e y e a r . T h a t i s , w h e n e v e r a n y a n i m a l s a r e s o l d , t h e y a r e r e p l a c e d i m m e d i a t e l y b y a n o t h e r g r o u p o f f e e d e r s , T h i s t h e o r y c a n be a p p l i e d t o a f e e d l o t t h a t o n l y f e e d s a s i n g l e l o t o f c a t t l e i n a y e a r , h o w e v e r i t must be k e p t i n m i n d t h a t t h e t i m e o p p o r t u n i t y c o s t o r t h e a v e r a g e p r o f i t o f t h e n e x t i m m e d i a t e r e s p o n s e r u n i s z e r o . Thus t h e y a r e f e d u n t i l t h e M a r g i n a l Revenue P r o d u c t e q u a l s t h e M a r g i n a l C o s t i r -r e s p e c t i v e o f t h e t i m e o p p o r t u n i t y c o s t . T h i s t i m e w i l l be d i f f e r e n t f r o m t h e t i m e f o r t h e c o n t i n u o u s o p e r a t i o n . The f i r s t m o d e l ( M o d e l I ) f o r c a t t l e assumes t h a t t h e p r o d u c t i o n f r o m a f e e d l o t i s l i m i t e d b y an o p t i m u m o r f i x e d c a p a c i t y o f t h e l o t r a t h e r t h a n b e i n g l i m i t e d b y c a p i t a l o r f e e d s u p p l i e s . The s e c o n d m o d e l ( M o d e l I I ) assumes t h a t w o r k i n g c a p i t a l i s t h e l i m i t i n g f a c t o r a n d m a x i m i z e s p r o f i t p e r d o l l a r i n v e s t e d r a t h e r t h a n p e r a n i m a l u n i t o f f e e d l o t c a p a c i t y . By t a k i n g i n t o c o n s i d e r a t i o n t h e s e a s s u m p t i o n s i t i s p o s s i b l e t o c o n c e p t u a l i z e t h e s i m i l a r i t y b e t w e e n t h e c a t t l e i n a f e e d l o t a n d t h e m a c h i n e s i n a f a c t o r y o r o t h e r p r o d u c t i v e p r o c e s s . The c a t t l e c a n be v i s u a l i z e d a s r e l a -9 10 t i v e l y l o n g - l i v e d m a c h i n e s w i t h a s p e c i f i c f u n c t i o n a s t i m e p r o g r e s s e s . H owever, u n l i k e m a c h i n e s , f e e d l o t c a t t l e h a v e an a p p r e c i a t i n g v a l u e w i t h t i m e a s c o m p a r e d t o t h e d e p r e c i -a t i n g v a l u e o f m a c h i n e s w i t h t i m e . The c a t t l e a p p r e c i a t e i n v a l u e w i t h t i m e b e c a u s e t h e y a r e c o n s t a n t l y g a i n i n g w e i g h t a s w e l l a s i n c r e a s i n g i n v a l u e p e r p o u n d a s a r e s u l t o f an i n c r e a s i n g y i e l d a n d g r a d e w i t h t i m e on f e e d . The i n -c r e a s i n g v a l u e p e r p o u n d w i l l r e a c h a maximum b e y o n d w h i c h t h e p r i c e i s r e d u c e d b e c a u s e e i t h e r t h e c a r c a s s i s t o o h e a v y o r t o o f a t o r b o t h . T h i s d i s s i m i l a r i t y d o e s n o t a f f e c t t h e o p e r a t i o n o f a b a s i c r e p l a c e m e n t m o d e l . The b a s i c d i f f e r e n c e w i l l be t h a t t h e f e e d l o t m o d e l w i l l a t t e m p t t o m a x i m i z e a v e r a g e n e t r e v e n u e p e r u n i t o f t i m e w h i l e t h e e q u i p m e n t m o d e l a t t e m p t s t o m i n i m i z e a v e r a g e c o s t p e r u n i t o f t i m e . The t h e o r y a p p l i e s e q u a l l y w e l l t o t h e h o g f e e d e r b a r n a s i t d o e s t o t h e c a t t l e f e e d l o t e x c e p t t h a t t h e h o g s w i l l r e q u i r e i n c r e a s i n g f l o o r s p a c e a s t i m e p r o g r e s s e s . B e e f c a t t l e a l s o h a v e an i n c r e a s i n g s p a c e r e q u i r e m e n t b u t i t h a s n o t b e e n c o n s i d e r e d f o r t h e b e e f m o d e l . I n c r e a s i n g s p a c e r e q u i r e m e n t s a r e c o n s i d e r e d i n t h e h o g r e p l a c e m e n t m o d e l ( M o d e l I I I ) . C h a p t e r I V METHODOLOGY C o l l e c t i o n a n d T r e a t m e n t o f D a t a The d a t a u s e d f o r t h e f e e d i n t a k e c u r v e s a n d g r o w t h c u r v e s o f m o d e l s I and I I was c o l l e c t e d f r o m some b e e f c a t t l e n u t r i t i o n e x p e r i m e n t s b y F r e d i n g ( 1 0 ) . I n t h e F r e d i n g e x p e r i m e n t s , t h i r t y H e r e f o r d s t e e r c a l v e s w e r e d i v i d e d i n t o s i x g r o u p s . T hey h a d an a v e r a g e s t a r t i n g w e i g h t o f 535 l b s . a n d r e m a i n e d on f e e d u n t i l t h e y r e a c h e d 1000 l b s . a t w h i c h p o i n t t h e y w e r e s l a u g h t e r e d . W e e k l y a n i m a l w e i g h t s a n d f e e d i n t a k e s w e r e r e c o r d e d . The a n i m a l w e i g h t s a n d f e e d i n t a k e s w e r e f i t t e d t o s e v e r a l p o l y n o m i a l r e g r e s s i o n c u r v e s u s i n g t i m e a s t h e 2 2 i n d e p e n d e n t v a r i a b l e , ( W = f ( t , t ...) F = g ( t , t ... e t c . ) . The h i g h e s t d e g r e e p o l y n o m i a l t o h a v e a s i g n i f i c a n t (P ^  .05) i n c r e a s e i n f i t was c h o s e n . I t s h o u l d be n o t e d a t t h i s p o i n t t h a t t h e c u r v e s a r e n o t meant t o r e p r e s e n t a g e n e r a l p o p u l a t i o n b u t o n l y t h e i n d i v i d u a l a n i m a l s t h a t w e r e t e s t e d . L i k e w i s e t h e r e p l a c e -ment m o d e l r e s u l t s do n o t r e p r e s e n t t h e o p t i m u m r e p l a c e m e n t p a t t e r n f o r a g e n e r a l t y p e , o n l y t h e g r o u p t e s t e d . The p r i c e f u n c t i o n ( P y ( t ) = f ( t ) ) ( t h i s i s n o t p r i c e s p e c u l a t i o n ) i s an assumed c u r v e b a s e d on an e x p e r i m e n t by Z i n n e t . a l . (17) w h i c h r e l a t e d t h e g r a d e a n d y i e l d o f b e e f 11 12 c a r c a s s e s t o t i m e o n f e e d f o r a g r o u p o f c a t t l e s i m i l a r t o t h e o n e s u s e d i n m o d e l s I a n d I I . W e i g h t s w e r e a s s i g n e d t o p r i c e s i n r e l a t i o n t o t h e g r a d e a n d y i e l d a t s p e c i f i c i n t e r v a l s t o d e t e r m i n e a v e r a g e p r i c e a t t h o s e t i m e i n t e r v a l s . The a v e r a g e p r i c e s w e r e t h e n f i t t e d t o a t h i r d d e g r e e p o l y n o m i a l i n o r d e r t o d e t e r m i n e t h e p r i c e f u n c t i o n P ( t ) . I n d e t e r m i n i n g t h e e f f e c t o f a c h a n g e i n p r i c e on t h e o p t i m u m r e p l a c e m e n t t i m e , t h e p r i c e f u n c t i o n s w e r e assumed t o b e p a r a l l e l f o r v a r y i n g p r i c e s o f c h o i c e s t e e r s , i . e . , t h e p r i c e o f g ood s t e e r s was i n c o n s t a n t p r o p o r t i o n t o t h e p r i c e o f c h o i c e s t e e r s . M o d e l I I I f o r h o g s u s e s d a t a f r o m P u r d u e by F o s t e r ( 9 ) . T h e r e w e r e e i g h t h o g s p e r g r o u p and f o u r g r o u p s w i t h an a v -e r a g e s t a r t i n g w e i g h t o f 105 l b s . G r o w t h and f e e d i n t a k e on t i m e c u r v e s w e re f i t t e d b y u s i n g p o l y n o m i a l r e g r e s s i o n . The d a t a c o n t a i n e d o n l y f i v e o b s e r v a t i o n s . C o n s e q u e n t l y t h e c u r v e s may n o t a c c u r a t e l y p r e d i c t t h e a c t u a l r e s p o n s e o f t h e s e h o g s . The g r a d e i n d e x i n t h e F o s t e r d a t a , b a s e d on b a c k f a t t h i c k n e s s i n r e l a t i o n t o b o d y w e i g h t , d i d n o t a p p e a r t o c h a n g e s i g n i f i c a n t l y t h r o u g h o u t t h e f e e d i n g p e r i o d . Thus i t was assumed f o r t h i s g r o u p o f h o g s t h a t t h e g r a d e i n d e x and p r i c e f u n c t i o n w o u l d r e m a i n c o n s t a n t t h r o u g h o u t t h e f e e d i n g p e r i o d . D e f i n i t i o n o f Terms i n M o d e l s I and I I M o d e l s I a n d I I u s e c e r t a i n t e r m s , w h i c h , f o r c o n -v e n i e n c e , a r e s u m m a r i z e d b e l o w . It = N e t R e v e n u e . N e t r e v e n u e r e f e r s t o t h e g r o s s v a l u e r e c e i v e d f o r t h e s a l e o f t h e p r o d u c t l e s s t h e v a l u e o f t h e v a r i a b l e c o s t s o f p r o d u c t i o n and t h e i n c r e -m e n t a l c o s t s o r f i x e d i n p u t c o s t s p e r p r o d u c t i o n r u n . O v e r h e a d c o s t s s u c h a s c a p i t a l e x p e n s e s o n f e e d l o t f a c i l i t i e s a r e n o t i n c l u d e d a s i t i s t h e s e f a c i l i t i e s f o r w h i c h we a r e t r y i n g t o f i n d an o p -p o r t u n i t y c o s t . = A v e r a g e N e t Revenue P e r U n i t o f T i m e . T h i s i s e q u i v a -l e n t t o t h e N e t Revenue (IT) d i v i d e d b y t h e l e n g t h o f t i m e i n t h e p r o d u c t i o n p e r i o d ( t + t ) . T E = E x p e c t e d N e t Revenue o f S u b s e q u e n t P r o d u c t i o n P e r i o d . T h i s i s c a l c u l a t e d u s i n g e x p e c t e d r e s p o n s e c u r v e s a n d s e l l i n g p r i c e s o f t h e n e x t g r o u p o f a n i m a l s . A m e t h o d o f i n c o r p o r a t i n g p r i c e f o r e c a s t s c o u l d be d e v e l o p e d b u t h a s n o t r e c e i v e d c o n s i d e r a t i o n h e r e . The s u b s c r i p t E d e n o t e s e x p e c t e d f u n c t i o n s . R = V a l u e o f t h e f i n i s h e d a n i m a l = . 9 6 * P ( t ) * W ( t ) w h e r e P ( t ) - p r i c e o f s l a u g h t e r c a t t l e a s a f u n c t i o n o f t i m e i n t h e f e e d l o t W(t) - w e i g h t o f t h e a n i m a l as a f u n c t i o n o f t i m e i n t h e f e e d l o t .96 a l l o w s f o r a 4% s h r i n k . P Y = y ^ P i X i = V a r i a b l e c o s t s = PF * F ( t ) + i K ( t ) . w h e r e , PF = p r i c e o f f e e d F ( t ) = F e e d i n t a k e a s a f u n c t i o n o f t i m e i = c u r r e n t i n t e r e s t r a t e o n w o r k i n g c a p i t a l K ( t ) = w o r k i n g c a p i t a l r e q u i r e d = JjL 0 ( P F - F ( t ) + F ) d t . C. = F = I n c r e m e n t a l c o s t s : I n c r e m e n t a l c o s t s i n t h i s m o d e l a r e d e f i n e d a s t h o s e c o s t s i n c u r r e d w h i l e m a r k e t i n g t h e p r e s e n t l o t o f c a t t l e a n d s u b s e q u e n t l y r e p l a c -i n g t h e m w i t h a n o t h e r l o t o f c a t t l e . T h i s i n c l u d e s : c o s t o f t h e r e p l a c e m e n t a n i m a l ; a v e r a g e v e t e r i n a r y c o s t s ; s e l l i n g c o s t s ( c o m m i s s i o n , t r u c k i n g ) ; a n d a v e r a g e d e a t h l o s s , t = l e n g t h o f t i m e o n f u l l f e e d e x p r e s s e d i n w e e k s , t = s t a r t i n g t i m e . T h i s i s t h e t i m e f r o m w h i c h t h e a n i m a l a r r i v e s i n t h e f e e d l o t u n t i l i t i s on f u l l f e e d . The R e p l a c e m e n t M o d e l s T h r e e r e p l a c e m e n t m o d e l s h a v e b e e n c o n s i d e r e d . I . C a t t l e F e e d l o t R e p l a c e m e n t M o d e l I . T h i s m o d e l w i l l m a x i m i z e t h e a v e r a g e n e t r e v e n u e o r p r o f i t p e r u n i t o f t i m e . I n a n e x a m p l e , i f a f e e d l o t h a s a 1000 h e a d c a p a c i t y , i t s maximum t h r o u g h p u t p e r y e a r i s 1000 h e a d t i m e s 52 weeks i n a y e a r o r 52,000 a n i m a l - w e e k s p e r y e a r . T h i s m o d e l w i l l t h e n m a x i m i z e t h e d o l l a r r e t u r n p e r a n i m a l - w e e k . A s s u m p t i o n s : 1. F e e d l o t c a p a c i t y i s f i x e d a n d i s t h e l i m i t i n g c o n s t r a i n t 15 i n f l u e n c i n g t h e number o f c a t t l e f e d i n t h e f e e d l o t a t any g i v e n t i m e . 2. S u f f i c i e n t w o r k i n g c a p i t a l i s a v a i l a b l e a t a g i v e n p r i c e . I n t h i s m o d e l t h e p r i c e i s assumed t o be 8% p e r annum. 3. S u f f i c i e n t f e e d s u p p l i e s a r e a v a i l a b l e a t a g i v e n p r i c e . 4. S p a c e r e q u i r e m e n t s do n o t c h a n g e as t h e a n i m a l g r o w s l a r g e r . 5. T h i s f e e d l o t i s an i n s i g n i f i c a n t p a r t o f t h e i n d u s t r y a n d t h u s d o e s n o t i n f l u e n c e t h e p r i c e o f i n p u t s o r ' > o u t p u t s . 6. The g r o w t h c u r v e o f a g i v e n g r o u p o f c a t t l e c a n be i d e n t i f i e d . I n t h i s m o d e l t h e g r o w t h c u r v e was t a k e n t o b e : W(t) = 536.35 + 2 3 . 4 9 t w here w ( t ) = b o d y w e i g h t i n p o u n d s a n d t = l e n g t h o f t i m e on f e e d i n w e e k s . (From F r e d i n g ( 1 0 ) , s e e T a b l e I , page 3 9 ) . 7. The f e e d i n t a k e c u r v e o f t h e g r o u p o f c a t t l e c a n be i d e n t i f i e d . F o r t h i s m o d e l t h e f e e d i n t a k e was t a k e n t o b e : F ( t ) = 5.91 + 9 0 . 3 3 t + 1 . 9 2 t 2 w h e r e F ( t ) e q u a l s t o t a l f e e d i n t a k e i n p o u n ds and t = l e n g t h o f t i m e o n f e e d i n w e e k s . (From F r e d i n g ( 1 0 ) , s e e T a b l e I , p age 3 9 ) . 8. The r e l a t i o n s h i p o f g r a d e a n d y i e l d t o t i m e on f e e d c a n be i d e n t i f i e d . F o r t h i s m o d e l t h e p r i c e f u n c t i o n was t a k e n t o b e : P ( t ) = 26. 02 - . 0 4 6 t + . O l t 2 w h e r e P ( t ) = p r i c e p e r p o u n d l i v e w e i g h t and t = l e n g t h o f t i m e o n f e e d . (See r e f . p . 1 1 ) . 9. The e x p e c t e d r e s p o n s e ( g r o w t h , f e e d i n t a k e and g r a d e ) c a n b e ^ e s t i m a t e d f o r t h e s u b s e q u e n t g r o u p o f c a t t l e . F o r t h i s t r i a l t h e y w e re assumed t o be i d e n t i c a l t o t h e p r e v i o u s g r o u p ( 6 - 8 a b o v e ) . 10. The e x p e c t e d c o s t o f f e e d e r s , p r i c e o f f e e d arid p r i c e o f s l a u g h t e r c a t t l e c a n be' p r e d i c t e d f o r t h e s u b s e q u e n t l o t . A s shown i n C h a p t e r I I p r o f i t m a x i m i z a t i o n w i l l o c c u r when t h e l e n g t h o f f e e d i n g p e r i o d ( t ) i s s u c h t h a t t h e m a r g i -n a l n e t r e v e n u e o f t h e p r e s e n t g r o u p o f c a t t l e p e r u n i t o f t i m e i s e q u a l t o t h e e x p e c t e d a v e r a g e n e t r e v e n u e p e r u n i t o f t i m e f o r s u b s e q u e n t g r o u p . Thus f o r M o d e l I t h e o p t i m u m t i m e i n t h e f e e d l o t i s when d TT/dt = ^ * w h e r e TT = . 96-P ( t ) *W(t) - P F - F ( t ) - i - K ( t ) - F a n d ir*= TY/(t + t ) w h e r e t i s t h e s t a r t i n g t i m e . s s HT i s e x p r e s s e d i n c e n t s p e r u n i t o f f e e d l o t c a p a c i t y p e r week. I I . C a t t l e F e e d l o t R e p l a c e m e n t M o d e l I I . T h i s m o d e l w i l l m a x i m i z e t h e p r o f i t p e r d o l l a r o f w o r k i n g c a p i t a l i n -v e s t e d , p e r u n i t o f t i m e . I t i s g i v e n t h a t t h e w o r k i n g c a p i t a l i s t h e l i m i t i n g c o n s t r a i n t i n t h i s m o d e l r a t h e r t h a n f e e d l o t c a p a c i t y a s i n t h e p r e v i o u s m o d e l . A l l o t h e r a s s u m p t i o n s a r e t h e same as f o r M o d e l I . I n t h i s m o d e l I I , p r o f i t w i l l be m a x i m i z e d a t l e n g t h o f f e e d i n g t i m e ( t ) s u c h t h a t ; d TT/dt = TT*, w h e r e IT = ( . 9 6 * P ( t ) - W ( t ) - P F ' F ( t ) - F ) / K ( t ) 17 and TT = 1 T / ( t + t ) where t i s s t a r t i n g t ime. TT i s e x p r e s s e d i n c e n t s p e r c e n t o f w o r k i n g c a p i t a l p e r week. I I I . Hog R e p l a c e m e n t M o d e l I I I . T h i s m o d e l m a x i m i z e s p r o f i t p e r u n i t o f t i m e . S i n c e t h e f l o o r s p a c e r e q u i r e m e n t s v a r y w i t h t h e s i z e o f t h e h o g , we a r e m a x i m i z i n g p r o f i t s p e r u n i t o f f l o o r s p a c e p e r week i n s t e a d o f p e r a n i m a l p e r week a s i n M o d e l I . A s s u m p t i o n s : 1. F l o o r s p a c e o f t h e f e e d i n g b a r n i s f i x e d a n d i s t h e l i m i t i n g c o n s t r a i n t . 2. F l o o r s p a c e r e q u i r e m e n t s w e re a s s u m e d ^ t o d o u b l e f r o m t h e s t a r t o f t h e f e e d i n g p e r i o d u n t i l t h e maximum w e i g h t was o b t a i n e d , t h u s s ( t ) = 1 + t / 1 4 w h e r e s ( t ) = s p a c e r e q u i r e m e n t s a n d t = l e n g t h o f f e e d i n g p e r i o d i n w e e k s , max./4 w e e k s . 3. Maximum w e i g h t o f h o g i s t a k e n t o be 240 l b s . l i v e o r 180 l b s . d r e s s e d . 4. S u f f i c i e n t w o r k i n g c a p i t a l i s a v a i l a b l e a t a g i v e n p r i c e . F o r t h i s m o d e l t h e p r i c e o f c a p i t a l i s t a k e n a t 8% p e r annum. 5. S u f f i c i e n t f e e d s u p p l i e s a r e a v a i l a b l e a t a g i v e n p r i c e . 6. The g r o w t h c u r v e f o r a g i v e n g r o u p o f h o g s c a n be i d e n t i -f i e d . F o r t h i s m o d e l t h e g r o w t h c u r v e was t a k e n t o be W(t) = 105.65 + 1 2 . 3 1 t - . 1 5 t 2 , (From F o s t e r (9) s e e T a b l e 2, page 40.) w h e r e W(t ) = w e i g h t o f t h e hog i n l b s . , a n d t = l e n g t h o f f e e d i n g p e r i o d i n w e e k s . 18 7. The r e l a t i o n s h i p o f g r a d e and y i e l d t o t i m e o n f e e d c a n be i d e n t i f i e d . F o r t h i s t r i a l t h e h o g g r a d e i n d e x was t a k e n a s a c o n s t a n t 103 t h r o u g h o u t t h e f e e d i n g p e r i o d . 8. The f e e d i n t a k e c u r v e was t a k e n t o b e : F ( t ) = 3.3 + 3 2 . 5 t + . 6 0 t 2 ( f r o m F o s t e r ( 9 ) , s e e T a b l e 2 page 40) w h e r e F ( t ) = t o t a l f e e d i n t a k e i n l b s . and t = l e n g t h o f f e e d i n g p e r i o d i n w e e k s . 9. The e x p e c t e d r e s p o n s e c u r v e s o f s u b s e q u e n t g r o u p s o f h o g s do n o t c h a n g e . 10. The i n c r e m e n t a l c o s t s a r e a f i x e d p r i c e p r o p o r t i o n a l t o t h e c u r r e n t d r e s s e d w e i g h t s l a u g h t e r p r i c e . F o r t h i s m o d e l i n c r e m e n t a l c o s t s w e r e t a k e n t o b e ; F = .70PH + $15.00. T h e r e a r e s e v e r a l t y p e s o f c o n t r a c t s f o r t h e p u r c h a s e o f f e e d e r h o g s . T h i s one i s b a s e d on 70% o f t h e d r e s s e d w e i g h t p r i c e . The $15.00 a l l o w s f o r t h e h e a v y w e i g h t o f t h e s e h o g s a t t h e s t a r t o f t h e f e e d i n g p e r i o d . I n M o d e l I I I , p r o f i t s w i l l be m a x i m i z e d a t a l e n g t h o f f e e d i n g t i m e ( t ) s u c h t h a t dTT/dt = T * w h e r e IT = 103:PH-W(t) - P F - F ( t ) - F - i - K ( t ) and PH = p r i c e o f h o g s i n c e n t s p e r l b . PF = p r i c e o f f e e d i n c e n t s p e r l b . n K ( t ) = w o r k i n g c a p i t a l r e q u i r e d = J" ( P F * F ( t ) + F ) d t t=0 Y*= ir/t i r * w i l l be e x p r e s s e d i n c e n t s p e r unit o f f l o o r s p a c e p e r week. C h a p t e r V RESULTS AND DISCUSSION The r e s u l t s shown i n t h e f o l l o w i n g f i g u r e s w e r e o b t a i n e d by s u b s t i t u t i n g v a r i o u s assumed c o s t s a n d p r i c e s f o r t h e i n d e p e n d e n t v a r i a b l e s i n t h e e q u a t i o n s o f C h a p t e r I V a n d s o l v i n g t h e e q u a t i o n s f o r t h e d e p e n d e n t v a r i a b l e s . ANR ( A v e r a g e N e t Revenue) i s t h e T T* r e f e r r e d t o i n t h e p r e c e d i n g p a g e s . MNR ( M a r g i n a l N e t Revenue) i s d i r / d t . P r i c e and c o s t a s s u m p t i o n s w e r e as f o l l o w s : P ( t ) , p r i c e o f c h o i c e f i n i s h e d s t e e r s , $ 2 8 / c w t . , ( F i g u r e s 2, 3, 6 and 7 ) ; P F , p r i c e o f f e e d , 2.5<=/lb., ( F i g u r e s 2 - 6 ) ; P F , p r i c e o f f e e d , 3 . 0 ^ / l b . , ( F i g u r e s 8 - 9 ) ; I C = F, i n c r e m e n t a l c o s t s $ 1 5 0 / h e a d , ( F i g u r e s 5 - 7 ) ; PH, p r i c e o f h o g s $ 2 4 / c w t . , ( F i g u r e s 9 and 1 0 ) . 19 20 21 22 23 5 10 15 20 25 , 30 35 Time Wks:. I •-&»,... r- i|' y'wrijH'----, F i g u r e - 5.- E f f e c t o f P r i c e p£ F i n i s h e d ^ S t e ^ ' s , " ; ; jon-Opti-mum—Replacement^T^-me——Mo<3el—I- ir^--,^^t- .r' T ' T 24 10. 1.5—L2.0. .; 25 . 3.0.-1-35. . ^ T i n u B : ^ ^ ^ ^ j__: Wks.. - | fq||>j j F i g u r e 6. E f f e c t of P r i c e o f Feed on "Replacement^ Time_i^"M6"d"errT"_ lmum :;. T ; 25 26 27 h-1-*rfr:« h-rfV ' -- ] F i g u r e 9. E f f e c t o f P r i c e " of; Hog's on^Optlm'uM^" •t- - L - 4 - f - t-- - --r - - f — — r - 1 - - f — ' — f — 1 — — - U -28 D i s c u s s i o n The r e s u l t s o f t h e s t e e r m o d e l s ( F i g u r e s 2-7) i n d i c a t e t h a t i n c r e m e n t a l c o s t i s t h e l a r g e s t s i n g l e f a c t o r i n i n f l u e n c i n g t h e o p t i m u m t i m e i n t h e f e e d l o t . I n c r e m e n t a l c o s t , a s e a r l i e r d e s c r i b e d , i s i n f l u e n c e d g r e a t l y b y t h e p r i c e o f t h e f e e d e r s t e e r w h i c h f l u c t u a t e s c o n s i d e r a b l y . I n M o d e l I ( F i g u r e 4 ) , a f l u c t u a t i o n i n i n c r e m e n t a l c o s t o f $10.00 w i l l v a r y t h e o p t i m u m r e p l a c e m e n t t i m e b y a b o u t two w e e k s . T h i s r e p r e s e n t s l e s s t h a n a $2.00 p e r c w t . c h a n g e i n t h e p r i c e o f a f e e d e r s t e e r , w h i c h i s n o t an u n -u s u a l v a r i a t i o n . A two week v a r i a t i o n i n f e e d i n g t i m e c a n v a r y t h e a v e r a g e n e t r e v e n u e f r o m $.05 t o $.10 p e r week o r $2.60 t o $5.20 p e r a n i m a l u n i t p e r y e a r ( F i g u r e 3 ) . Optimum r e p l a c e m e n t t i m e i s i n v e r s e l y p r o p o r t i o n a l t o t h e p r i c e o f f e e d . ( F i g u r e 6 ) . Thus when t h e p r i c e o f f e e d r i s e s t h e o p t i m u m t i m e i n t h e f e e d l o t d e c r e a s e s . However t h e i n f l u e n c e o f t h e p r i c e o f f e e d i s r e l a t i v e l y s m a l l . I t w o u l d r e q u i r e a $10.00 p e r t o n f l u c t u a t i o n i n p r i c e o f f e e d t o v a r y t h e o p t i m u m r e p l a c e m e n t t i m e b y one week. Optimum t i m e i n t h e f e e d l o t v a r i e s i n v e r s e l y w i t h t h e p r i c e o f s l a u g h t e r s t e e r s ( F i g u r e 5 ) . A $2.00 p e r h u n d r e d w e i g h t o r a 6% r i s e i n t h e p r i c e o f s l a u g h t e r s t e e r s w i t h o u t an a c c o m p a n y i n g i n c r e a s e i n t h e p r i c e o f f e e d e r s t e e r s w i l l r e s u l t i n a l e s s e n i n g o f o p t i m u m t i m e i n t h e f e e d l o t o f 3 weeks o r 12%. T h i s i s t h e o p p o s i t e o f w h a t one w o u l d e x p e c t w h e r e a s i n g l e l o t o f c a t t l e i s i n v o l v e d , w h e r e as t h e p r i c e o f s l a u g h t e r s t e e r s r i s e s one e x p e c t s t h e f e e d i n g t i m e t o 30 i n c r e a s e s i n c e m a r g i n a l c o s t w o u l d be l e s s t h a n t h e new p r i c e a n d t h u s w o u l d h a v e t o c o n t i n u e t o r i s e f o r an a d d i t i o n a l p e r i o d o f t i m e . M o d e l I I w h i c h m a x i m i z e s t h e p r o f i t p e r d o l l a r - d a y o f w o r k i n g c a p i t a l m a x i m i z e s p r o f i t a t a s l i g h t l y r e d u c e d t i m e i n t h e f e e d l o t . I t c a n be n o t e d f r o m F i g u r e 4 t h a t a t l o w i n c r e m e n t a l c o s t s t h e o p t i m u m t i m e on f e e d i s a s much as 5 w eeks l e s s f o r M o d e l I I t h a n f o r M o d e l I . T h i s c a n r e s u l t i n an i n c r e a s e d p r o f i t o f $.0005 p e r d o l l a r i n v e s t e d i n w o r k i n g c a p i t a l p e r week w h i c h i s a p p r o x i m a t e l y $6.50 p e r a n i m a l u n i t p e r y e a r . As i n c r e m e n t a l c o s t s i n c r e a s e a n d p r o f i t s d e c r e a s e t h e o p t i m u m f e e d i n g t i m e o f M o d e l I I a p p r o a c h e s t h a t o f M o d e l I . T h i s i s b e c a u s e a s p r o f i t s d e -c r e a s e t h e o p p o r t u n i t y c o s t s o f t h e c a p i t a l w i l l d e c r e a s e u n t i l i t r e a c h e s 8% p e r annum and t h e n t h e two f e e d i n g t i m e s w i l l be e q u a l . The same h o l d s t r u e f o r t h e p r i c e o f f e e d . An i n c r e a s e i n p r i c e o f f e e d w i l l d e c r e a s e p r o f i t s t h u s d e l a y i n g t h e o p t i m u m f e e d i n g t i m e f r o m w h a t we w o u l d e x p e c t f r o m M o d e l I . T h i s r e s u l t s i n t h e more m o d i f i e d e f f e c t o f t h e p r i c e o f f e e d on o p t i m u m t i m e i n t h e f e e d l o t t h a n i n M o d e l I a s c a n be s e e n i n F i g u r e s 6 a n d 7. I n t h e h o g m o d e l , t h e a v e r a g e w e e k l y p r o f i t d o e s n o t d e c r e a s e a s f a s t a f t e r o p t i m u m r e p l a c e m e n t t i m e a s w i t h b e e f f o r t h e p a r t i c u l a r g r o u p o f h o g s t e s t e d . By k e e p i n g t h e h o g s ( F i g u r e 8) an e x t r a t h r e e weeks b e y o n d t h e o p t i m u m t i m e t h e a v e r a g e n e t r e v e n u e d e c r e a s e s a p p r o x i m a t e l y 1.8 c e n t s p e r week p e r h o g w h i c h amounts t o $.90 p e r h o g - s p a c e p e r y e a r . 31 The p r i c e o f f e e d h a s a s m a l l e f f e c t on t h e o p t i m u m r e p l a c e m e n t t i m e ( F i g u r e 1 0 ) . A c h a n g e o f $20.00 p e r t o n (33%) w i l l o n l y a l t e r t h e o p t i m u m r e p l a c e m e n t t i m e by a p p r o x i -m a t e l y one week. A r i s e i n t h e p r i c e o f f e e d means a l o n g e r f e e d i n g t i m e . The p r i c e o f h o g s h a s much g r e a t e r e f f e c t o n t h e o p t i -mum r e p l a c e m e n t t i m e . ( F i g u r e 9 ) . S i n c e t h e p r i c e o f h o g s i s much more v a r i a b l e t h a n t h e p r i c e o f f e e d i t c a n be c o n c l u d e d t h a t t h i s i s t h e m o s t i m p o r t a n t v a r i a b l e . A $6.00 p e r c w t . c h a n g e i n p r i c e (28%) w i l l a l t e r t h e o p t i m u m r e -p l a c e m e n t t i m e by a p p r o x i m a t e l y 3 w e e k s . An i n c r e a s e i n t h e p r i c e o f h o g s r e s u l t s i n a d e c r e a s e i n t i m e on f e e d . T h i s , a g a i n , i s c o n t r a r y t o t h e m a r g i n a l c o s t t h e o r y by w h i c h one w o u l d e x p e c t t h e o p t i m u m l e n g t h o f f e e d i n g p e r i o d t o v a r y d i r e c t l y w i t h t h e p r i c e o f h o g s . T h e r e i s o n l y one v a l u e i n t h e E x p e c t e d N e t Revenue F u n c t i o n t h a t d i f f e r s f r o m t h e N e t Revenue F u n c t i o n ; t h a t i s t h e s e l l i n g p r i c e o f t h e h o g s f o r w h i c h i t i s r e a s o n a b l e t o e x p e c t a c h a n g e w i t h i n t h e p r o d u c t i o n p e r i o d . W i t h more a c c u r a t e m a r k e t o u t l o o k i n f o r m a t i o n i t w o u l d be q u i t e p o s s i b l e t o i n c l u d e a p r o b a b i l i s t i c e x p e c t e d p r i c e f u n c t i o n w i t h i n t h e m o d e l . S i n c e t h e r e p l a c e m e n t h o g s a r e q u i t e o f t e n o f s i m i l a r b r e e d i n g t o t h e s a m p l e g r o u p o f h o g s i t c a n be assumed t h a t t h e y w i l l h a v e s i m i l a r r e s p o n s e c u r v e s . A l s o t h e i n c r e m e n t a l c o s t s , b e i n g a f i x e d p r o p o r t i o n o f t h e s e l l i n g p r i c e , e l i m i n -a t e s t h e o t h e r d i f f e r e n c e s b e t w e e n t h e N e t R evenue F u n c t i o n a n d t h e E x p e c t e d N e t Revenue F u n c t i o n . E n v i r o n m e n t a l i n -f l u e n c e s on t h e p e r f o r m a n c e o f t h e h o g s a r e m i n i m i z e d by t h e c o n t r o l l e d e n v i r o n m e n t h o u s i n g i n w h i c h t h e h o g s a r e now b e i n g r a i s e d . C h a p t e r V I CONCLUSIONS Two c a t t l e f e e d l o t r e p l a c e m e n t m o d e l s h a v e b e e n p r e s e n t e d . T h e s e w i l l d e t e r m i n e t h e o p t i m u m t i m e a t w h i c h a g r o u p o f s t e e r s u n d e r a g i v e n s e t o f c i r c u m s t a n c e s s h o u l d be s o l d f r o m a f e e d l o t . T h e s e m o d e l s d e p e n d on b e i n g a b l e t o p r e d i c t t h e p e r f o r m a n c e o f b o t h t h e p r e s e n t a n d s u b s e -q u e n t l o t s o f c a t t l e w h i c h i s o f t e n a d i f f i c u l t t a s k . F a c t o r s s u c h a s : v a r y i n g e n v i r o n m e n t a l b a c k g r o u n d s p r i o r t o e n t e r i n g t h e f e e d l o t ; s e a s o n a l a v a i l a b i l i t y o f f e e d e r s ; m o n g r e l i z a t i o n o f t h e cow h e r d s t h r o u g h t h e i n f l u x o f e x o t i c b r e e d s r e s u l t i n g i n an u n p r e d i c t a b l e g e n e t i c p e r -f o r m a n c e o f t h e f e e d e r s ; a n d e x p o s u r e t o v a r y i n g w e a t h e r c o n d i t i o n s i n t h e f e e d l o t ; make t h e f e e d l o t p e r f o r m a n c e o f any g r o u p o f a n i m a l s h i g h l y u n p r e d i c t a b l e t h u s m a k i n g t h e m o d e l s o f l i m i t e d v a l u e . The u s e o f t h e s e m o d e l s m i g h t be more r e a s o n a b l e i n t h e s o u t h e r n U n i t e d S t a t e s , w h e r e b a c k g r o u n d i n g o f c a t t l e i s b e c o m i n g more common. W i t h b a c k g r o u n d i n g , w h i c h i s s i m p l y t h e p r e p a r a t i o n o f t h e a n i m a l s f o r an i n t e n s i v e f e e d i n g s i t u a -t i o n , i t may be p o s s i b l e t o o b t a i n a s t a n d a r d t y p e f r o m a known p r e v i o u s e n v i r o n m e n t a n d t h u s t h e r e s p o n s e c u r v e s c a n be more e a s i l y p r e d i c t a b l e . S e a s o n a l v a r i a t i o n i n s u p p l y o f f e e d e r s i s a l s o r e d u c e d . 33 34 M o d e l I I i s p e r h a p s , a more r e a l i s t i c m o d e l , y e t i t i s o f l i m i t e d v a l u e , f o r many o f t h e P r a i r i e f e e d -l o t s s i n c e t h e l o t s a r e e a s i l y e x p a n d a b l e a t a l o w c o s t a n d a r e o f t e n n o t s t o c k e d t o c a p a c i t y . I n t h e F r a s e r V a l l e y o f B r i t i s h C o l u m b i a o r o t h e r a r e a s w i t h c o n f i n e d h o u s i n g t h e c o s t o f e x p a n s i o n i s much g r e a t e r a n d t h u s f e e d l o t c a p a c i t y i s more o f t e n t h e l i m i t i n g c o n s t r a i n t m a k i n g M o d e l I more a p p l i c a b l e . The h og r e p l a c e m e n t m o d e l a p p e a r s t o h a v e a d e f i n i t e v a l u e i n t h e d e c i s i o n m a k i n g p r o c e s s o f t o m o r r o w ' s h o g p r o -d u c e r . The p r e s e n t m e t h o d o f s h i p p i n g t h e h o g when i t n e a r s t h e maximum w e i g h t f o r C a n a d i a n G r a d i n g S t a n d a r d s i s n o t a p r o f i t m a x i m i z i n g p r o c e d u r e . T t h a s b e e n shown h e r e t h a t p r o f i t c a n be i n c r e a s e d by s h i p p i n g e a r l i e r f o r t h i s t r i a l g r o u p o f h o g s . The o p t i m u m s h i p p i n g t i m e w i l l v a r y f o r e a c h t y p e o f h o g a n d o t h e r v a r y i n g c i r c u m s t a n c e s . The u n p r e d i c t -a b l e v a r i a b l e s o f t h e c a t t l e m o d e l s h a v e b e e n m i n i m i z e d o r e x c l u d e d i n t h e h o g m o d e l l e a v i n g a p r a c t i c a l w o r k a b l e r e -p l a c e m e n t m o d e l . BIBLIOGRAPHY 35 36 BIBLIOGRAPHY B a r n a r d , C.S. " E c o n o m i c A n a l y s i s a n d L i v e s t o c k F e e d i n g , " J o u r n a l o f A g r i c u l t u r a l E c o n o m i c s , X X ( 1 9 6 9 ) , 323-30. B o u l d i n g , K.E. E c o n o m i c A n a l y s i s . New Y o r k : H a r p e r , 1958. Pp. 8 1 8 - 2 8 . B u r t , O.R. " E c o n o m i c R e p l a c e m e n t , " S i a m Rev., V ( 1 9 6 3 ) , 2 0 3 - 8 . B u l l o c k , J . B a r d L o g a n S.H. "An A p p l i c a t i o n o f S t a t i s t i c a l D e c i s i o n T h e o r y t o C a t t l e F e e d l o t M a r k e t i n g , " A m e r i c a n  J o u r n a l o f A g r i c u l t u r a l E c o n o m i c s , 5 2 ( 1 9 7 0 ) , 2 3 4 - 4 1 . D i l l o n , J . L . The A n a l y s i s o f R e s p o n s e i n C r o p a n d L i v e - s t o c k P r o d u c t i o n . New Y o r k : P e r g a m o n , 1968. D u l o y , J.H. and B a t t e s e , G.E. "Time a n d R e c u r s i v e n e s s i n L i v e s t o c k F e e d i n g T r i a l s , " A u s t . J o u r . A g r i c . E c o n . f I I ( 1 9 6 7 ) , 1 8 4 - 9 1 . F a r i s , J . E . " A n a l y t i c a l T e c h n i q u e s U s e d i n D e t e r m i n i n g t h e Optimum R e p l a c e m e n t P a t t e r n , " J o u r . F a r m E c o n . , 42 (1960) 7 55-66. . "On D e t e r m i n i n g t h e Optimum R e p l a c e m e n t P a t t e r n : A R e p l y , " J o u r . F a r m E c o n . , 42 ( 1 9 6 0 ) , 9 5 2 - 5 . F o s t e r , J.R., B r a m b l e t t , V.C. a n d H a r r i n g t o n , R.B. " E f f e c t o f V a r y i n g M a r k e t W e i g h t s o f S w i n e , " J o u r n a l  o f A n i m a l S c i e n c e , 33 ( 1 9 7 0 ) , 208. F r e d i n g , W.K. "The E f f e c t s o f V a r y i n g L e v e l s o f D i -e t h y l s t i l b e s t r o l on S t e e r s F e d H i g h E n e r g y a n d H i g h F i b e r R a t i o n . " B a c h e l o r ' s T h e s i s , U n i v e r s i t y o f B r i t i s h C o l u m b i a , 1966. H e a d y , E.O. e t a l . " E x p e r i m e n t a l P r o d u c t i o n and P r o f i t F u n c t i o n s f o r B e e f S t e e r s , " C a n a d i a n J o u r . A g r i c . E c o n . , 11 ( 1 9 6 3 ) , 2 9 - 4 0 . an d D i l l o n , J . L . A g r i c u l t u r a l P r o d u c t i o n F u n c t i o n s . Ames: Iowa S t a t e U n i v . P r e s s , 1 9 6 1 . R a n t a , J . L . " D e r i v a t i o n o f E c o n o m i c S h i p p i n g W e i g h t f o r B e e f C a t t l e . " M a s t e r ' s T h e s i s , U n i v e r s i t y o f B r i t i s h C o l u m b i a , 1969. 37 14. Trant, G.I. and Winder, J.W.L. "Time Opportunity Costs i n B r o i l e r Production," Canadian Jour. Agric. Econ., 9 (1961), 123-9. 15. Ward, L.E. and F a r i s , J.E. A Stochiastic Approach to Replacement P o l i c i e s for Plum Trees. Monograph No. 22. Berkley: Giannini Foundation, C a l i f . Agric. Expt. Sta. 1968. 16. Winder, J.W.L. and Trant, G.I. "Comments on Determining the Optimum Replacement Pattern," Journal of Farm  Economics, 43 (1961), 939-51. 17. Zinn, D.W., Durham, R.M. and Hedrick, H.B. "Feedlot and Carcass Grade Characteristics of Steers and Heifers as Influenced by Days on Feed," Jour. An. S c i . , 29 (1970) , 302-06. APPENDIX 38 39 T a b l e 1. W e i g h t s and F e e d I n t a k e o f S t e e r s Time W e i g h t T o t a l F e e d I n t a k e / S t e e r t W(t) F ( t ) 0 wks 545 l b s 0 l b s 1 560 92 2 584 190 3 605 294 4 630 407 5 652 517 6 679 627 7 699 743 8 721 848 9 744 968 10 771 1091 11 792 1243 12 807 1361 13 838 1491 14 872 1639 15 893 1786 16 921 1943 17 940 2104 18 955 2262 F e e d I n t a k e : F ( t ) * 5.91 + 9 0 . 3 3 t + 1 . 9 2 t r = .999 (1.41) (0*76*.. W e i g h t : W ( t ) = 536.35 + 2 3 . 4 9 t r 2 = .999 (0.21) S o u r c e : F r e d i n g (10) T a b l e 2. W e i g h t s a n d F e e d I n t a k e s o f Hogs Time W e i g h t F e e d I n t a k e t W(t) F ( t ) 0 wks 106 l b s 0 9.0 201 362 11.0 225 437 13.7 247 530 17.9 275 778 F e e d I n t a k e F ( t ) = 3.1 + 33.At + . 5 2 t (5.6) (.31) W e i g h t : W ( t ) = 105.61 + 12.4!4t + . I 6 t (0.73) (.04; S o u r c e : F o s t e r e t . a l (9) r = .996 r 2 = .998 41 42 43 44 

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