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Modifications to horn antennas which reduce beamwidth and back radiation Jazi, Ahmad Safaai 1974

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M O D I F I C A T I O N S T O H O R N A N T E N N A S W H I C H R E D U C E B E A M W I D T H A N D B A C K R A D I A T I O N b y A H M A D S & F A A I - J & Z I B . A . S c , A r y a - M e h r U n i v e r s i t y o f T e c h n o l o g y , 1 9 A T H E S I S S U B M I T T E D I N P A R T I A L F U L F I L M E N T O F T H E R E Q U I R E M E N T S F O R T H E D E G R E E O F M A S T E R O F A P P L I E D S C I E N C E i n t h e D e p a r t m e n t o f E l e c t r i c a l E n g i n e e r i n g W e a c c e p t t h i s t h e s i s a s c o n f o r m i n g t o t h e r e q u i r e d s t a n d a r d THE U N I V E R S I T Y O F B R I T I S H C O L U M B I A June 197U In presenting this thesis in partial fulfilment of the requirements for an advanced degree at the University of British Columbia, I agree that the Library shall make it freely available for reference and study. I further agree that permission for extensive copying of this thesis for scholarly purposes may be granted by the Head of my Department or by his representatives. It is understood that copying or publication of this thesis for financial gain shall not be allowed without my written permission. Department of The University of British Columbia Vancouver 8, Canada ABSTRACT M o d i f i c a t i o n s t o h o r n a n t e n n a s t h r o u g h c h o k e f l a n g e s and p a r a b o l i c c y l i n d e r r e f l e c t o r s a r e i n v e s t i g a t e d . The l a t t e r a r e i n t r o d u c e d t o n a r r o w t h e b e a m w i d t h , i n c r e a s e t h e g a i n and r e d u c e t h e b a c k r a d i a t i o n w i t h o u t i n c r e a s i n g t h e h o r n l e n g t h . The g e o m e t r i c a l d i f f r a c t i o n t h e o r y c o n c e p t s and t h e K i r c h h o f f method a r e e m p l o y e d i n t h e c a l c u l a t i o n o f E - p l a n e p a t t e r n s o f m o d i f i e d h o r n s . The K i r c h h o f f method i s a p p l i e d t o d e t e r m i n e t h e f i e l d s r e f l e c t e d f r o m t h e c h o k e s and p a r a b o l i c r e f l e c t o r s i n the f o r w a r d r e g i o n w here t h e g e o m e t r i c a l d i f f r a c t i o n t h e o r y f a i l s . V e r y c l o s e a g r e e m e n t i s o b t a i n e d b e t w e e n t h e c o m p u t e d and m e a s u r e d p a t t e r n s i n t h e f r o n t r e g i o n . I n t h e r e a r d i r e c t i o n s t h e g e n e r a l l e v e l o f b a c k r a d i a t i o n f o r c h o k e d h o r n s and t h e a p p r o x i m a t e l o b e s t r u c t u r e f o r h o r n s w i t h r e f l e c t o r s a r e p r e d i c t e d . M o d i f i c a t i o n o f h o r n s by c h o k e s r e s u l t s i n a c o n s i d e r a b l e r e d u c t i o n i n t h e b a c k r a d i a t i o n , b u t o n l y a s l i g h t i m p r o v e m e n t i n t h e b e a m w i d t h and t h e g a i n . M o d i f i c a t i o n by p a r a b o l i c r e f l e c t o r s , on t h e o t h e r h a n d , w i l l r e s u l t i n a s i g n i f i c a n t r e d u c t i o n i n t h e b e a m w i d t h and s u b s t a n t i a l i n c r e a s e i n t h e on-a x i s g a i n i f t h e f o c a l l e n g t h o f t h e r e f l e c t o r s i s o p t i m a l . C o n s i d e r a b l y l o w e r b a c k r a d i a t i o n i s a l s o a c h i e v e d . i i T A B L E O F C O N T E N T S A B S T R A C T i i T A B L E O F C O N T E N T S i i i L I S T O F T A B L E S i v L I S T O F I L L U S T R A T I O N S V A C K N O W L E D G M E N T v i i 1 . I N T R O D U C T I O N 1 2 . R A D I A T I O N M E C H A N I S M S A N D E - P L A N E P A T T E R N S O F H O R N A N T E N N A S . 6 2 . 1 D i f f r a c t i o n b y a W e d g e 6 2 . 2 R a d i a t i o n M e c h a n i s m s 7 2 . 3 F o r m u l a t i o n o f R a d i a t i o n P a t t e r n 9 3 . A N A N A L Y S I S F O R E - P L A N E P A T T E R N S O F C H O K E D H O R N A N T E N N A S 1 6 3 . 1 I n t r o d u c t i o n 1 6 3 . 2 A N o n i s o t r o p i c L i n e S o u r c e i n a P a r a l l e l - p l a t e K a v s g u i d s .......................................... 1o 3 . 3 R e f l e c t i o n f r o m C h c k e I n t e r i o r 1 8 3 . 1 * D i f f r a c t e d F i e l d s 2 2 4 . A N E W M O D I F I C A T I O N T O H O R N A N T E N N A S T H R O U G H P A R A B O L I C C Y L I N D E R F L A N G E S 2 6 4 . 1 I n t r o d u c t i o n 2 6 4 . 2 R e f l e c t i o n f r o m P a r a b o l i c F l a n g e s 2 7 4 . 3 D i f f r a c t e d F i e l d s a n d R a d i a t i o n P a t t e r n 3 2 4 . 4 O p t i m i z a t i o n o f F o c a l L e n g t h 3 3 5 . N U M E R I C A L A N D E X P E R I M E N T A L R E S U L T S 3 6 5 . 1 C o m p a r i s o n o f M e a s u r e d a n d C o m p u t e d P a t t e r n s . . . . . . . . 3 9 5 . 2 C o m p a r i s o n o f P a t t e r n s B e f o r e a n d A f t e r M o d i f i c a t i o n 4 5 5 . 3 E r r o r s 5 3 6 . C O N C L U S I O N S . . . 5 1 R E F E R E N C E S 5 5 A P P E N D I X 5 7 i i i L I S T O F T A B L E S T a b l e p a g e I D i m e n s i o n s o f T e s t A n t e n n a s 3 6 I I O p t i m a l F o c a l L e n g t h s f o e T e s t H o r n s 3 7 I I I D i m e n s i o n s o f C h o k e s i n t h e E - p l a n e 3 9 I V M e a s u r e d a n d C o m p u t e d V a l u e s o f B e a m w i d t h s , I n c r e a s e s i n t h e O n - a x i s G a i n a n d B a c k - t o - F r o n t R a t i o s . . . . 4 5 i v L I S T O F I L L U S T R A T I O N S F i g u r e P a g e 2 . 1 C o o r d i n a t e s f o r a L i n e S o u r c e N e a r a H e d g e • 7 2 . 2 C o o r d i n a t e s f o r a H o r n i n t h e E - P l a n e . . . . . . . . . . . . . 8 2 . 3 R a d i a t i o n M e c h a n i s m s 9 2 . 4 G e o m e t r y o f I m a g e s i n t h e L o w e r K a i l 1 2 3 . 1 A L i n e S o u r c e i n a P a r a l l e l - P l a t e W a v e g u i d e . . . . . . . 1 8 3 . 2 G e o m e t r y o f a C h o k e d H o r n A n t e n n a i n t h e F - P l a n e . . 1 9 4 . 1 G e o m e t r y o f a H o r n M o d i f i e d b y P a r a b o l i c F l a n g e s i n t h e E - P l a n e 2 7 5 . 1 D i a g r a m o f a P y r a m i d a l H o r n A l o n e a n d w i t h C h o k e a n d P a r a b o l i c F l a n g e s 3 7 5 . 2 A n t e n n a R a n g e a n d T e s t H o r n s 3 8 5 . 3 E - P l a n e P a t t e r n s o f H o r n A w i t h C h o k e s 4 0 5 . 4 E - P l a n e P a t t e r n s o f H o r n B w i t h C h o k e s 4 1 5 . 5 E - P l a n e P a t t e r n s o f H o r n A w i t h P a r a b o l i c R e f l e c t o r s 4 3 5 . 6 E - P l a n e P a t t e r n s o f H o r n B w i t h P a r a b o l i c R e f l e c t o r s 4 4 5 . 7 A C o m p a r i s o n o f M e a s u r e d E - P l a n e P a t t e r n s o f H e r n A B e f o r e a n d A f t e r M o d i f i c a t i o n s 4 6 5 . 8 A C o m p a r i s o n o f C o m p u t e d E - P l a n e P a t t e r n s o f H e r n A B e f o r e a n d A f t e r M o d i f i c a t i o n s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 7 5 . 9 P a t t e r n s o f H o r n A w i t h P a r a b o l i c R e f l e c t o r s a t S e v e r a l W a v e l e n g t h s 4 9 5 . 1 0 B e a m w i d t h s o f H o r n A w i t h P a r a b o l i c R e f l e c t o r s . . . . 4 9 5 . 1 1 A C o m p a r i s o n o f H - P l a n e P a t t e r n s o f H o r n A w i t h p a r a b o l i c R e f l e c t o r s 5 0 A . 1 C o o r d i n a t e s f o r a L i n e S o u r c e F e a r a H a l f P l a n e . . . 5 7 v A . 2 E r r o r i n I ( Y ) f o r r < r 6 0 A . 3 E r r o r i n I ( y ) f o r r < r 6 1 v i A H K N O W L f - D f i M f t N T I am t h a n k f u l t o D r . R. V . J u l l , my s u p e r v i s o r , f o r h i s I n t e r e s t , a d v i c e a n d g u i d a n c e d u r i n g t h e r e s e a r c h w o r k a n d w r i t i n g t h i s t h e s i s . The f i n a n c i a l s u p p o r t f r o m t h e U t n v e r s l t y o f B r i t i s h C o l u m b i a In t h e f o r m o f UBC g r a d u a t e f e l l o w s h i p a n d f r o m t h e N a t i o n a l R e s e a r c h C o u n c i l o f C a n a d a d u r i n g t h e m o n t h s o f May a n d J u n e I s a c k n o w l e d g e d . v i i 1 1. I N T E O D U C T I O H R e c t a n g u l a r h o r n a n t e n n a s a r e w i d e l y u s e d i n m i c r o w a v e c o m m u n i c a t i o n s a n d r a d i o a s t r o n o m y a n d a s p r i m a r y f e e d s . C o n s i d e r a b l e a t t e n t i o n h a s b e e n p a i d t o i m p r o v e t h e r a d i a t i o n p a t t e r n s o f h o r n s f o r l o w e r s i d e a n d b a c k l o b e s , n a r r o w e r b e a m w i d t h a n d h i g h e r g a i n . I n a p y r a m i d a l h o r n a n t e n n a f e d b y a w a v e g u i d e s u p p o r t i n g t h e d o m i n a n t TE1q m o d e t h e e l e c t r i c f i e l d d i s t r i b u t i o n i s u n i f o r m i n t h e p r i n c i p a l E - p l a n e , w h e r e a s i t i s s i n u s o i d a l l y t a p e r e d i n t h e H - p l a n e . T h i s , i n o t h e r w o r d s , i m p l i e s t h a t t h e a p e r t u r e e d g e s p a r a l l e l t o t h e i n c i d e n t m a g n e t i c f i e l d , d e s i g n a t e d a s E - p l a n e e d g e s , a r e i l l u m i n a t e d m u c h s t r o n g e r t h a n t h e e d g e s p a r a l l e l t o t h e i n c i d e n t e l e c t r i c f i e l d , c a l l e d H - p l a n e e d g e s . I n d e e d , t h e i l l u m i n a t i o n o f t h e H - p l a n e e d g e s i s u s u a l l y b y r a y s f i r s t d i f f r a c t e d a t h o r n - w a v e g u i d e j u n c t i o n , w h i l e t h e E - p l a n e e d g e s a r e e x c i t e d b y t h e g e o m e t r i c a l o p t i c s w a v e s . H e n c e , t h e d i f f r a c t e d f i e l d s b y t h e E - p l a n e e d g e s a r e s t r o n g e r t h a n t h o s e o f t h e H - p l a n e e d g e s , a r e t h e a c t u a l s o u r c e o f b a c k l o b e s o f t h e E - p l a n e p a t t e r n , a n d c o n t r i b u t e s i g n i f i c a n t l y t o t h e H - p l a n e p a t t e r n . T h e l a s t a r i s e s f r o m r a y s o b l i q u e l y i n c i d e n t u p o n t h e E - p l a n e e d g e s p r o d u c i n g d i f f r a c t e d f i e l d s w h i c h c a n c o n t r i b u t e t o t h e H - p l a n e p a t t e r n . C o n s e q u e n t l y a n y m o d i f i c a t i o n t o p y r a m i d a l h o r n a n t e n n a s w h i c h r e s u l t s i n a n i m p r o v e d r a d i a t i o n p a t t e r n a n d h i g h e r g a i n d e a l s p r i m a r i l y w i t h t h e E - p l a n e p a t t e r n . I n s h o r t h o r n a n t e n n a s a s i g n i f i c a n t a m o u n t o f e n e r g y i s d i f f r a c t e d b y h o r n e d g e s i n t o t h e l a t e r a l a n d r e a r d i r e c t i o n s 2 w h i c h r e s u l t s i n s u b s t a n t i a l b a c k r a d i a t i o n . T h e s u p p r e s s i o n o f b a c k l o b e s h a v e l o n g r e c e i v e d c o n s i d e r a b l e a t t e n t i o n . L a G r o n e a n d R o b e r t s [ 1 ] i n a n e x p e r i m e n t a l i n v e s t i g a t i o n s h o w e d t h a t q u a r t e r w a v e l e n g t h c h o k e f l a n g e s o n t h e a p e r t u r e e d g e s c a n s u b s t a n t i a l l y r e d u c e b a c k r a d i a t i o n . I n f a c t , c h o k e s a r e u t i l i z e d t o s u p p r e s s c u r r e n t d i s t r i b u t i o n o n t h e e x t e r i o r s u r f a c e s o f t h e h o r n a n t e n n a . C o n s e q u e n t l y r a d i a t i o n i n t h e r e a r d i r e c t i o n s , w h i c h i s c a u s e d b y t h e s e c u r r e n t d i s t r i b u t i o n s , i s r e d u c e d . L a w r i e a n d P e t e r s [ 2 ] u s e d p y r a m i d a l h o r n a n t e n n a s i n w h i c h t h e c o n d u c t i n g E - p l a n e w a l l s a r e c o r r u g a t e d s u r f a c e s . T h e E - p l a n e a n d H - p l a n e p a t t e r n s o f a c o r r u g a t e d h o r n a r e n e a r l y i d e n t i c a l o v e r t h e m a i n b e a m i f t h e h o r n h a s a s q u a r e a p e r t u r e . T h e r a d i a t i o n p a t t e r n m a y a l s o b e w i t h s i g n i f i c a n t l y r e d u c e d s i d e a n d b a c k l o b e s , b u t t h e c h i e f a d v a n t a g e o t t h i s m o d i f i c a t i o n i s t h e r e s u l t i n g i d e n t i c a l E a n d H - p l a n e r a d i a t i o n b e a m s . F u r t h e r m o r e , c o r r u g a t e d h o r n s d o n o t f a l l i n t o t h e c a t e g o r y o f f l a n g e d h o r n s . K o s h y e t a l [ 3 ] s t u d i e d t h e e f f e c t o f f l a n g e s o n t h e r a d i a t i o n p a t t e r n s o f a p e r t u r e a n t e n n a s . T h e i r i n v e s t i g a t i o n a c c o u n t s f o r f o c u s i n g , b r o a d e n i n g , a n d t i l t i n g t h e r a d i a t i o n b e a m . I n t h i s t h e s i s a n e w m o d i f i c a t i o n t o h o r n a n t e n n a s t h r o u g h p a r a b o l i c c y l i n d e r r e f l e c t o r s i s i n t r o d u c e d . T h i s m o d i f i c a t i o n a c c o u n t s f o r n a r r o w i n g t h e b e a m w i d t h , i m p r o v i n g t h e g a i n a n d r e d u c i n g t h e b a c k r a d i a t i o n . I n d e e d , t h e f i e l d s d i f f r a c t e d b y t h e E - p l a n e e d g e s a r e c y l i n d r i c a l w a v e s w i t h r a y s e m a n a t i n g f r o m t h e e d g e s ; t h e r e f o r e , p a r a b o l i c r e f l e c t o r s w i t h f o c i a t t h e s e e d g e s c a n b e u t i l i z e d t o r e f l e c t a l l r a y s i n t h e r e a r d i r e c t i o n s i n t o t h e f o r w a r d d i r e c t i o n . C o n s e q u e n t l y r a d i a t e d p o w e r i n t h e 3 forward direction increases, resulting in narrower beamwidth and higher gain. Furthermore, back radiation depends entirely on the fields diffracted by the reflector edges, these f i e l d s are at least doubly diffracted and weak. Hence, substantially lower back radiation i s also anticipated. The analysis of E-plane patterns of flanged horns can be based upon the Kirchhoff method in only t h e forward region. In the lateral and rear directions, however, this method f a i l s entirely to predict t h e radiation pattern, because the aperture fi e l d distribution i s assumed to be that of the incident f i e l d s and zero outside the aperture, and this i s not a valid assumption in these regions. The geometrical diffraction theory concepts, on the other hand, have recently been used to successfully compute t h e uadiation patterns of aperture antennas in a l l regions. It has also been used i n other antenna and waveguide problems. I n i t i a l l y , Keller [4] introduced his 'geometrical theory of diffraction* and later used i t to study the diffraction by an aperture [5]. This theory , sometimes abbreviated as GTD, i s s t r i c t l y valid for the diffraction of incident waves of very short wavelengths. In 1963, Ohba [6] employed 'the geometrical method for diffraction* to compute the gain and the radiation pattern of a corner reflector antenna. In 1965, Russo et al [7] used the asymptotic solution for line source diffraction to analyse the E-plane patterns of horns. They refer to this diffraction of line source as 'edge diffraction theory*. Using •edge diffraction theory*, in 1966, Yu et a l [8] presented a c o m p r e h e n s i v e a n a l y s i s f o r E - p l a n e p a t t e r n s o f h o r n s , t a k i n g i n t o a c c o u n t m u l t i p l e d i f f r a c t i o n a n d r e f l e c t i o n f r o m h o r n i n t e r i o r . Y e e e t a l [ 9 ] c a l c u l a t e d t h e r e f l e c t i o n c o e f f i c i e n t o f a p a r a l l e l - p l a t e w a v e g u i d e u s i n g t h e g e o m e t r i c a l d i f f r a c t i o n t h e o r y . T h e g a i n o f p y r a m i d a l h o r n s a n d t h e r e f l e c t i o n c o e f f i c i e n t o f a l o n g E - p l a n e s e c t o r a l h o r n h a v e b e e n r e c e n t l y d e r i v e d b y J u l l [ 1 0 ] , [ 1 1 ] w h o m a d e u s e o f • t h e c o n c e p t s o f t h e g e o m e t r i c a l t h e o r y o f d i f f r a c t i o n 1 . T h e K e l l e r ' s g e o m e t r i c a l t h e o r y o f d i f f r a c t i o n h a s s i n g u l a r i t i e s o n t h e s h a d o w b o u n d a r i e s a n d f u r t h e r e n c o u n t e r s t h e d i f f i c u l t y o f t h e c a l c u l a t i o n o f t h e f i e l d s a t c a u s t i c s . T h e e d g e d i f f r a c t i o n t h e o r y w h i c h r e s t s o n t h e s o l u t i o n t o t h e f a r f i e l d o f a l i n e s o u r c e n e a r a c o n d u c t i n g h a l f p l a n e ( w e d g e ) , o n t h e o t h e r h a n d , i s f r e e o f s i n g u l a r i t i e s , b u t t h e d i f f i c u l t y o f t h e e v a l u a t i o n o f t h e f i e l d s a t c a u s t i c s s t i l l r e m a i n s a c h a l l e n g i n g p r o b l e m . I n a n a l y z i n g t h e r a d i a t i o n p a t t e r n s o f p a r a b o l i c f l a n g e d h o r n s w e e n c o u n t e r a s i m i l a r p r o b l e m . F o r t u n a t e l y t h e K i r c h h o f f m e t h o d i s r e l i a b l e f o r o n - a x i s c a l c u l a t i o n s . C o n s e q u e n t l y e d g e d i f f r a c t i o n t h e o r y a n d t h e K i r c h h o f f m e t h o d a s a n a l t e r n a t i v e f o r t h e c a l c u l a t i o n o f o n - a x i s f i e l d s o f c h o k e s a n d p a r a b o l i c r e f l e c t o r s v i l l b e u s e d i n o u r a n a l y s i s . H o s t o f t h e e x i s t i n g m o d i f i c a t i o n s t o h o r n a n t e n n a s h a v e b e e n s t u d i e d e x p e r i m e n t a l l y . I n t h i s t h e s i s a t t e m p t s a r e m a d e t o a n a l y z e t h e E - p l a n e p a t t e r n s o f f l a n g e d h o r n s . T h e p r o b l e m o f p r i n c i p a l p l a n e r a d i a t i o n p a t t e r n s c a n b e r e d u c e d t o a t w o - d i m e n s i o n a l o n e i f t h e a n t e n n a h a s s e p a r a b l e a p e r t u r e f i e l d 5 d i s t r i b u t i o n s . R h o d e s [ 1 2 ] h a s e x p e r i m e n t a l l y d e m o n s t r a t e d t h a t t h e E - p l a n e p a t t e r n s f o r a h o r n w i t h f i x e d f l a r e a n g l e i n t h a t p l a n e a n d f e d b y a w a v e g u i d e s u p p o r t i n g t h e TE10 m o d e , a r e e s s e n t i a l l y i n d e p e n d e n t o f t h e f l a r e a n g l e i n t h e H - p l a n e , a s s u m i n g t h a t t h e s l a n t l e n g t h o f t h e h o r n i s c o n s t a n t . F u r t h e r m o r e , t h e a p p r o x i m a t e a p e r t u r e f i e l d d i s t r i b u t i o n s f o r a h o r n a r e k n o w n t o b e s e p a r a b l e ; t h e r e f o r e , t h e p r o b l e m o f t h e E - p l a n e p a t t e r n c a n b e r e g a r d e d a s t w o - d i m e n s i o n a l . I n c h a p t e r 2 o f t h i s t h e s i s d i f f r a c t i o n b y a p e r f e c t l y c o n d u c t i n g w e d g e i s r e v i e w e d a n d r a d i a t i o n m e c h a n i s m s f o r a h o r n a r e d i s c u s s e d . T h e n t h e E - p l a n e f a r f i e l d r a d i a t i o n p a t t e r n i s f o r m u l a t e d . I n c h a p t e r 3 t h e r a d i a t i o n p a t t e r n o f a h o r n m o d i f i e d b y c h o k e f l a n g e s i s s t u d i e d . T h e e f f e c t o f p a r a b o l i c c y l i n d e r r e f l e c t o r s o n t h e r a d i a t i o n p a t t e r n o f a h o r n i s i n v e s t i g a t e d i n c h a p t e r 4 . T h e o p t i m i z a t i o n o f f o c a l l e n g t h i s a l s o v e r i f i e d . T h e m e a s u r e d a n d c o m p u t e d r a d i a t i o n p a t t e r n s o f m o d i f i e d h o r n s a r e p r e s e n t e d i n c h a p t e r 5 . 6 2 . R A D I A T I O N M E C H A N I S M S A N D E - P L A N E P A T T E R N S O F H O R N A N T E N N A S . I n t h i s c h a p t e r t h e d i f f r a c t i o n o f a n i s o t r o p i c l i n e s o u r c e b y a p e r f e c t l y c o n d u c t i n g w e d g e a n d t h e f o r m u l a t i o n o f t h e E - p l a n e f a r f i e l d r a d i a t i o n p a t t e r n o f a h o r n a r e r e v i e w e d . T h i s r e v i e w f o r m s t h e b a s i s f o r t h e l a t e r c h a p t e r s . 2 a J S ^ f £E§£ l i i9 n . . . . . u f tK . §...flg32ga. A s i s w e l l k n o w n , S o m m e r f e l d [ 1 3 ] w a s t h e f i r s t t o e s t a b l i s h a n e x a c t s o l u t i o n f o r t h e d i f f r a c t i o n o f a p l a n e e l e c t r o m a g n e t i c w a v e n o r m a l l y i n c i d e n t u p o n t h e e d g e o f a p e r f e c t l y c o n d u c t i n g h a l f p l a n e . L a t e r , P a u l i [ 1 1 ] d e r i v e d a n a s y m p t o t i c f o r m u l a f o r t h e d i f f r a c t i o n o f a p l a n e w a v e b y a H e d g e . I n 1 9 6 5 , R u s s o e t a l [ 7 ] u s e d P a u l i ' s f o r m u l a t i o n i n c o n j u n c t i o n w i t h t h e p r i n c i p a l o f r e c i p r o c i t y t o o b t a i n t h e f a r z o n e d i f f r a c t i o n o f a n i s o t r o p i c l i n e s o u r c e b y a w e d g e . T h e d i f f r a c t i o n b y a h a l f p l a n e i s c o n t a i n e d t h e r e i n a s a p a r t i c u l a r c a s e , w h e n t h e w e d g e a n g l e t e n d s t o z e r o . T h e r e i s , h o w e v e r , a n e x a c t s o l u t i o n f o r t h e d i f f r a c t i o n o f a l i n e s o u r c e b y a h a l f p l a n e [ 1 5 ] , w h i c h r e d u c e s t o a s i m p l e c l o s e d f o r m f o r f a r f i e l d s [ 1 1 ] . I n F i g . 2 . 1 . t h e d i f f r a c t e d f a r f i e l d a t r , 9 d u e t o a l i n e s o u r c e a t r Q # 9 0 c a n b e w r i t t e n a s * d ( r , 6 ) - e x p ( " j i y k 2 r ) [ v ( r 0 , 6 + 0 o , n ) + v ( r o , 0 - 0 o , n ) J , ( 2 - 1 ) ( k r ) . H - f o r E p o l a r i z a t i o n , w h e r e 7 v ( r Q , a , n ) -exp [ . i (kr 0 cosa + 4)] (f) _a IT 21 cos 21 s i n n nfcos cos —) n n 1/2, * F t ( k r _ ( l + cosa)) ] + RQ} (2-2) w i t h F (T ) = / ™ e x p ( - j y 2 ) d y t h e c o m p l e x F r e s n e l i n t e g r a l . T h e f a r f i e l d o f t h e l i n e s o u r c e i n i s o l a t i o n i s ^ 1 = e x p ( - j k r ) / ( k r ) 1 / 2 k r » i . m ( 2 - 1 ) a n d ( 2 - 2 ) , r , 6 a r e p o l a r c o o r d i n a t e s w i t h r e s p e c t t o t h e d i f f r a c t i n g e d g e , k= ^ — i s t h e f r e e - s p a c e p r o p a g a t i o n c o n s t a n t a n d x i s t h e w a v e l e n g t h , n i s o b t a i n e d b y p u t t i n g t h e w e d g e a n g l e e q u a l t o (2 -n)Tr a n d R Q r e p r e s e n t s h i g h e r o r d e r t e r m s n e g l i g i b l e f o r k r Q l a r g e a n d n c l o s e t o 2 . ^ F i g . 2 . 1 . C o o r d i n a t e s f o r a l i n e s o u r c e n e a r a c o n d u c t i n g w e d g e , g & 2 R a d i a t i o n M e c h a n i s m s & m a g n e t i c l i n e s o u r c e a t t h e a p e x o f a c o r n e r r e f l e c t o r i s a n a p p r o p r i a t e m o d e l f o r a t w o - d i m e n s i o n a l E - p l a n e h o r n a n t e n n a f e d b y a p a r a l l e l - p l a t e w a v e g u i d e s u p p o r t i n g t h e T E M m o d e . T h e r e f l e c t o r i s f o r m e d b y t w o c o n d u c t i n g h a l f p l a n e s i n t e r s e c t i n g 8 a t a n a n g l e 2 9 a s s h o w n i n F i g . 2 . 2 . F r o m t h e p r i m a r y s o u r c e a t E S , a u n i f o r m c y l i n d r i c a l w a v e i s r a d i a t e d i n t h e r e g i o n ~ e E < 8 < e E . T h i s w a v e i s c a l l e d t h e g e o m e t r i c a l o p t i c s w a v e . I t e x c i t e s e d g e s A a n d B , g i v i n g r i s e t o t h e f i r s t o r d e r d i f f r a c t i o n . T h e r e s u l t i n g d i f f r a c t e d f i e l d s , d e s i g n a t e d a s s i n g l y d i f f r a c t e d f i e l d s , a r e c y l i n d r i c a l w a v e s e m a n a t i n g f r o m t h e h o r n e d g e s . T h e g e o m e t r i c a l o p t i c s a n d s i n g l y d i f f r a c t e d r a y s a r e i l l u s t r a t e d i n F i g . 2 . 3 ( a ) . E a c h e d g e m a y n o w b e c o n s i d e r e d a s a n i n d u c e d l i n e s o u r c e i l l u m i n a t i n g t h e o t h e r o n e . F i g . 2 . 2 . C o o r d i n a t e s f o r a h o r n a n t e n n a i n t h e E - p l a n e T h e i l l u m i n a t i o n o f e d g e A b y a s i n g l y d i f f r a c t e d f i e l d f r o m e d g e B r e s u l t s i n s e c o n d o r d e r d i f f r a c t i o n . L i k e w i s e , t h e s i n g l y d i f f r a c t e d r a y s f r o m e d g e A h i t e d g e B p r o d u c i n g a n o t h e r d o u b l y d i f f r a c t e d f i e l d . T h e s i n g l y d i f f r a c t e d r a y s f r o m b o t h e d g e s A a n d B f u r t h e r s t r i k e w e d g e s S a n d W t o g i v e f o u r m o r e d o u b l y d i f f r a c t e d f i e l d s . F i g . 2 . 3 ( b ) s h o w s o n l y t h o s e o f t h e l o w e r w e d g e s . T h e s e c o n d o r d e r d i f f r a c t e d w a v e s c o n t i n u e t o e s t a b l i s h t h i r d a n d h i g h e r o r d e r d i f f r a c t i o n s . I t m a y b e s e e n f r o m ( 2 - 1 ) a n d ( 2 - 2 ) t h a t t h e h i g h e r t h e o r d e r o f d i f f r a c t i o n , t h e w e a k e r t h e i n t e n s i t y o f t h e d i f f r a c t e d f i e l d . P a r t o f t h e d i f f r a c t e d r a y s f r o m e d g e s A a n d B e n t e r t h e 9 h o r n a n d a r e r e f l e c t e d b y i t s w a l l s . F i g . 2 . 3 ( c ) . T h e r e f l e c t e d F i g . 2 . 3 . R a d i a t i o n m e c h a n i s m s , ( a ) G e o m e t r i c a l o p t i c s w a v e f o r m S a n d s i n g l y d i f f r a c t e d w a v e s f r o m A a n d B . ( b ) D o u b l y d i f f r a c t e d w a v e s f r o m A , S a n d H d u e t o t h e i n c i d e n t s i n g l y d i f f r a c t e d w a v e f r o m B . ( c ) R e f l e c t e d w a v e f r o m h o r n i n t e r i o r f o r t h e f i r s t i m a g e i n t h e l o w e r w a l l . r a y s m a y b e t r e a t e d b y t h e m e t h o d o f i m a g e s [ 8 ] . T h e n u m b e r o f i m a g e s i s d e t e r m i n e d b y t h e f l a r e a n g l e o f t h e h o r n . F u r t h e r d i f f r a c t i o n s t a k e p l a c e w h e n s o m e o f t h e r e f l e c t e d r a y s s t r i k e b a c k t h e h o r n e d g e s . W h e n t h e p r o c e s s o f d i f f r a c t i o n a n d r e f l e c t i o n i s c o m p l e t e d , t h e f a r f i e l d r a d i a t i o n p a t t e r n o f t h e h o r n c a n b e o b t a i n e d b y s u p e r i m p o s i n g t h e g e o m e t r i c a l o p t i c s a n d v a r i o u s d i f f r a c t e d a n d r e f l e c t e d f i e l d s a s d e s c r i b e d i n t h e f o l l o w i n g s e c t i o n . 2 . 3 _ F o r m u l a t i o n o _ f _ R a d i a t i p n P a t t e r n I n t h i s f o r m u l a t i o n ( 2 - 2 ) i s e m p l o y e d t o d e t e r m i n e t h e f a r d i f f r a c t e d f i e l d s . T h e c y l i n d r i c a l w a v e p r o p a g a t i o n f a c t o r 1 / 2 e x p ( - j k r ) / ( k r ) t o t n e ^ a r f i e l d i s o m i t t e d , b e c a u s e o n l y t h e a n g u l a r d e p e n d e n c e i s o f i n t e r e s t . T h e s y m m e t r y p r o p e r t y a b o u t t h e Z a x i s , F i g . 2 . 2 . , i s f u r t h e r u s e d t o s i m p l i f y t h e p r o b l e m 10 b y c o n s i d e r i n g o n l y t h e u p p e r h a l f r e g i o n 0 < 8 < n . A l l t h e f i r s t s u b s c r i p t s r e f e r t o t h e p o i n t s a t w h i c h d i f f r a c t i o n o c c u r s , w h i l e t h e s e c o n d s u b s c r i p t s r e f e r t o t h e p o i n t s o f o r i g i n o f i n c i d e n t r a y s . T h e s u p e r s c r i p t s i n d i c a t e t h e o r d e r o f d i f f r a c t i o n . T h i s p r o b l e m w a s o r i g i n a l l y f o r m u l a t e d b y Y u e t a l [ 8 ] , w h i c h i s m o d i f i e d h e r e b y o m i t t i n g s o m e u n r e a l i s t i c t e r m s . R e f e r r i n g t o F i g . 2 . 2 . t h e g e o m e t r i c a l o p t i c s w a v e f r o m t h e p r i m a r y s o u r c e a t S i s a u n i f o r m c y l i n d r i c a l w a v e , n o r m a l i z e d t o u n i t y H s ( 6 ) - 1 ( 0 < 8 < 6 E • ( 2 - 3 ) C d g c s A a n d D a r a i l l u m i n a t e d b y t h e c y l i n d r i c a l w a v e f r o m C w i t h z e r o i n c i d e n t a n g l e . E x c l u d i n g t h e w a v e s d i f f r a c t e d i n t o t h e h o r n , t h e s i n g l y d i f f r a c t e d f i e l d s f r o m t h e s e e d g e s i n t h e f a r z o n e c a n b e w r i t t e n a s H A S 1 ) ( 9 ) = ^ E ' ^ E * 6 ' 1 1 ) » 0 < 8 < ir , ( 2 - 4 ) w h e r e n = 2 . B y s y m m e t r y , " A S H . y ' ( - e ) — A C N "' » 0 < 8 < ~ H B S ( 1 , < « • < „ H A S ( 2 i r - 6 ) > 1 r - 6 E < 9 * * » ( 2 - 5 ) T h e d i f f r a c t e d w a v e s r e f l e c t e d b y t h e h o r n w a l l s m a y b e 1 1 v i e w e d a s c y l i n d r i c a l w a v e s e m a n a t i n g f r o m t h e e d g e i m a g e s . F i g . 2 . 4 . s h o w s t h e g e o m e t r y o f t h e i m a g e s i n t h e l o w e r w a l l . I n s o f a r a s t h e r a d i a t i o n p a t t e r n i n t h e u p p e r h a l f r e g i o n i s c o n c e r n e d , t h e i m a g e w a v e s f r o m t h e l o w e r w a l l s h o u l d b e t a k e n i n t o a c c o u n t . T h e l a s t i m a g e i n t h e u p p e r w a l l m a y a l s o c o n t r i b u t e t o t h e r a d i a t i o n p a t t e r n . T h e i m a g e w a v e s f r o m t h e l o w e r w a l l a r e o b t a i n e d b y s u b s t i t u t i n g 9 i n ( 2 - 4 ) b y - 2 i 6 E - 6 , g i v i n g HJ^CB) = H J^ < - 2 i e E - e ) , f - ( i + i ) e E < e < f - i e E ; i = 1 , 2 h , ( 2 - 6 ) h b e i n g t h e l a r g e s t i n t e g e r - YQ~ • S i m i l a r l y , t h e i m a g e w a v e f r o m t h e u p p e r w a l l c o r r e s p o n d i n g t o t h e l a s t i m a g e i s H^1} ( 9 ) - HJ 1 } ( - 2 h 9 E + 9 ) , 0 < 9 < ( h + l ) 9 E - f • ( 2 - 7 ) T h e s u b s c r i p t s L a n d U i n d i c a t e t h a t t h e i m a g e w a v e s a r e f r o m t h e l o w e r a n d t h e u p p e r w a l l s r e s p e c t i v e l y . W h e n t h e r a t i o T T / 2 9 e i s n o t a n i n t e g e r t h e v a l i d r e g i o n f o r t h e l a s t i m a g e i n t h e l o w e r w a l l s h o u l d b e m o d i f i e d t o (2-8) 0 < 6 < IT - ( 2 h + l ) 9 E • We n o w e x a m i n e t h e s e c o n d o r d e r d i f f r a c t i o n s . E d g e A i s i l l u m i n a t e d b y t h e s i n g l y d i f f r a c t e d f i e l d o f a n i n t e n s i t y o f 1 2 F i g . 2 . 4 . G e o m e t r y o f i m a g e s i n t h e l o w e r w a l l . H^g^(~) f r o m e d g e B . S i n c e t h e d i f f r a c t e d w a v e s a r e s l o w l y v a r y i n g f u n c t i o n s i n t h e n e i g h b o u r h o o d o f a n y p a r t i c u l a r a n g l e , i t i s a r e a s o n a b l e a s s u m p t i o n t h a t t h e i l l u m i n a t i o n o f e d g e A i s b y a u n i f o r m c y l i n d r i c a l w a v e f r o m B . D n d e r t h i s a s s u m p t i o n , t h e s e c o n d o r d e r d i f f r a c t e d f i e l d f r o m e d g e A i s U ™ W = H B f } ( f ) [ v ( b , f + 8, n ) + v ( b , f - 2 8 E + 8, n ) ] , o < 8 < IT • ( 2 - 9 ) E d g e A i s f u r t h e r i l l u m i n a t e d b y t h e r a y s f r o m t h e i m a g e s i n t h e l o w e r w a l l , g i v i n g r i s e t o a s e t o f s e c o n d o r d e r d i f f r a c t e d f i e l d s g i v e n b y H ( 2 ) ( 6 ) - H . ^ ( f " i 6 E ) [ v U l . f - « E + 8> n ) + V ( U ' 2 - (i+2) 8 E + 8, n ) ] , 0 < 6 < ir (2-10) w h e r e 11 = l±-l c o s 8 E + lQ cos i 8 E , i = l , 2 , . . . . h - l . S u m m i n g t h e s e c o n d o r d e r d i f f r a c t e d f i e l d s f r o m e d g e A g i v e s 13 H A ( 2 ) ( 9 ) = H ^ 2 ) (6) + | ^ H ^ 2 ) ( 9 ) , 0 < 9 < ir ( 2 - 1 1 ) T h e s e c o n d o r d e r d i f f r a c t e d f i e l d s f r o m B a n d t h e s e c o n d o r d e r i m a g e w a v e s c a n b e o b t a i n e d f r o m ( 2 - 1 1 ) b y s u b s t i t u t i n g e b y a p p r o p r i a t e a r g u m e n t s l i k e t h o s e i n ( 2 - 5 ) , ( 2 - 6 ) a n d ( 2 - 7 ) . T h e w a v e g u i d e - h o r n j u n c t i o n f o r m s t w o p a i r s o f w e d g e s o f a n g l e s o f u - e E o n t h e h o r n e x t e r i o r a n d i n t e r i o r r e s p e c t i v e l y . T h e d o u b l y d i f f r a c t e d f i e l d s d u e t o t h e s e w e d g e s d o n o t c o n t r i b u t e s i g n i f i c a n t l y t o t h e f a r f i e l d r a d i a t i o n p a t t e r n . M o r e o v e r , e v a l u a t i o n o f t h e s e f i e l d s b y ( 2 - 2 ) i s n o t v a l i d b e c a u s e t h e a r g u m e n t s n = i + ^ E . t o b e u s e d i n ( 2 - 2 ) a r e n o t c l o s e Tf e n o u g h t c 2 t h e r e f o r e t h e r e m a i n d e r s E*s a r e u n l i k e l y t c b e n e g l i g i b l e . Y u e t a l [ 8 ] , h o w e v e r , t r e a t e d t h e s e w e d g e s a s i f t h e y w e r e o f a n g l e s o f 29^, a n d 2 ( i r - 9 1 ? ) . H e b e l i e v e t h i s i s n o t a v a l i d a s s u m p t i o n . I t i s p r e f e r a b l e t o o m i t t h e s e f i e l d s i n t h e c a l c u l a t i o n o f r a d i a t i o n p a t t e r n . I t s h o u l d b e e v i d e n t n o w h o w t h e h i g h e r o r d e r d i f f r a c t e d f i e l d s c a n b e d e t e r m i n e d . A t e a c h s t a g e t h e i n t e n s i t y o f t h e i l l u m i n a t i n g r a y i s c a l c u l a t e d . T h e n t h e s o l u t i o n t o t h e d i f f r a c t i o n o f a l i n e s o u r c e b y a w e d g e ( o r h a l f p l a n e ) i s e m p l o y e d . I n d o i n g s o , t h e t o t a l f a r d i f f r a c t e d f i e l d f r o m e d g e A i s d e r i v e d a s 14 V 6 ) = H A S 1 ) ( 8 ) + ^ ( 6 ) + U ^ ( 9 ) 1 * ( 2 " 1 2 ) w h e r e H i n d i c a t e s t h e o r d e r o f t h e d i f f r a c t e d f i e l d s t o b e t a k e n i n t o a c c o u n t , a n d H A B m ) ( 6 ) = [ v ( b » 1  + *> n ) + V ( b * I F " 2 9 E + 0 , n ) ] ' ( 2 " 1 3 a ) H ^ m ) ( 6 ) = c j 1 " " ^ [ v ( £ l f | + i 6 E + e , n ) + v ( £ ± , ^ - ( i + 2 ) 6 E + 6 , n ) ] , ( 2 - 1 3 b ) w i t h ^ = ^ ( " f " i 9 E ) ' ( 2 _ 1 A b ) I t s h o u l d b e n o t i c e d t h a t f o r m=1 , H'(e) « ( e ) . B y s y m m e t r y , t h e t o t a l d i f f r a c t e d f i e l d f r o m e d g e B i s d e r i v e d a s H B ( 6 ) = i H A ( - 8 ) , 0 < 9 < | , H A ( 2 T f - 6 ) , i r - 8 E < 9 <i ir . ( 2 - 1 5 ) S i m i l a r l y , t h e t o t a l d i f f r a c t e d f i e l d s r e f l e c t e d b y t h e l o w e r 15 w a l l d u e t o t h e i t h i m a g e i s H L i (9) - H A ( - 2 i 9 E -9) , \ - ( i + l ) 8 E < 0 < •£ - i 0 E , (2-16) a n d t h a t o f t h e l a s t i m a g e i n t h e u p p e r w a l l i s (2-17) T h e b o u n d a r i e s o f t h e l a s t i m a g e i n t h e l o w e r w a l l s h o u l d f o l l o w ( 2 - 8 ) . A l l t h e f i e l d s d e s c r i b e d a b o v e a r e z e r o o u t s i d e t h e d e f i n e d r e g i o n s . T h e f a r z o n e r a d i a t i o n p a t t e r n i s n o w o b t a i n e d b y s u p e r i m p o s i n g a l l t h e r e l e v a n t t e r m s a n d c o n s i d e r i n g a c o m m o n p h a s e r e f e r e n c e , s a y e d g e A . h (9) = H s(9) + H A(9) + H B(9) + Y ^ + HBh(e) ^  Y B h ( 2 - 1 8 ) W h e r e t h e l o c a l p h a s e f a c t o r s r e f e r r e d t o e d g e A a r e YAS = e x P l ~ J k ^ E c° s( 0- eE>3 » Y . _ - exp[-jkb s i n 6] » Y - e x p [ - j k U s i n ( 1 0 E + 6)] » a n d Y B h " e x P M k * h s i n ( h 9 E - 6 ) ] . ( 2 - 1 9 ) 16 3 . A N A N A L Y S I S F O R E - P L A N E P A T T E R N S O F C H O K E D H O R N A N T E N N A S 3 ^ J _ I n t r o d u c t i o n T h e p r o b l e m t o b e s t u d i e d i n t h i s c h a p t e r i s t h e E - p l a n e f a r - f i e l d r a d i a t i o n p a t t e r n o f a p y r a m i d a l h o r n a n t e n n a m o d i f i e d b y c h o k e f l a n g e s . L a G r o n e a n d R o b e r t s [ 1 ] e x p e r i m e n t a l l y s t u d i e d t h i s p r o b l e m , b u t n o a t t e m p t w a s m a d e t o t h e o r e t i c a l l y i n v e s t i g a t e t h e e f f e c t o f c h o k e s o n t h e r a d i a t i o n p a t t e r n . T h e g e o m e t r i c a l m e t h o d o f d i f f r a c t i o n i s a p r o m i s i n g m e t h o d f o r t h e t r e a t m e n t o f a c h o k e d h o r n . D i f f i c u l t y , h o w e v e r , a r i s e s w h e n t h e o n - a x i s f i e l d s r e f l e c t e d f r o m t h e c h o k e s a r e t o b e d e t e r m i n e d . T h e K i r c h h o f f t h e o r y r e s u l t s , o n t h e o t h e r h a n d , a r e k n o w n t o b e s a t i s f a c t o r y o r . t h e b e a r s a i s . C o n s e q u e n t l y b o t h m e t h o d s a r c u s e d a l t e r n a t e l y i n a n o v e r a l l a n a l y s i s o f t h e c h o k e s . I n w h a t f o l l o w s w e f i r s t r e v i e w t h e f i e l d p r o d u c e d b y a l i n e s o u r c e i n a p a r a l l e l - p l a t e w a v e g u i d e . T h e n t h e f i e l d r e f l e c t e d f r o m t h e c h o k e i n t e r i o r i s d e t e r m i n e d . A t t h e e n d t h e f i e l d s d i f f r a c t e d a t t h e a n t e n n a e d g e s a n d t h e t o t a l f i e l d a r e c a l c u l a t e d . 3 . 2 _ A _ N o n i s o t r o B i c _ L i n e „ S o u r c e i n a P a r a l l e l - P l a t e ffayeguide Y e e e t a l [ 9 ] h a v e s t u d i e d t h e b e h a v i o u r o f a l i n e s o u r c e i n a p a r a l l e l - p l a t e w a v e g u i d e . T h e y c o n v e r t e d t h e s u m o f t h e f i e l d s o n t h e m u l t i p l y r e f l e c t e d r a y s i n t o m o d a l f o r m . H e r e w e c o n t e n t o u r s e l v e s w i t h t h e i r r e s u l t s f o r a p a r t i c u l a r c a s e ; w h e n t h e l i n e s o u r c e p r o d u c e s a t r a n s v e r s e m a g n e t i c f i e l d . T h e 1 7 f a r f i e l d a t r , 6 t h a t t h e s o u r c e w o u l d p r o d u c e i n f r e e s p a c e c a n b e e x p r e s s e d a s ' H ( r , 6 ) - u ( 9 ) . ( 3 - 1 ) ° ( k r ) w h e r e r $ e a r e p o l a r c o o r d i n a t e s f r o m t h e s o u r c e a n d k i s t h e f r e e - s p a c e p r o p a g a t i o n c o n s t a n t . L e t t h e s o u r c e b e a t y=y Q, z=o a s s h o w n i n F i g . 3 . 1 . T h e n , a c c o r d i n g t o Y e e e t a l , t h e f i e l d a t y» z i n t h e g u i d e i s 1 /o w H x (y,z) = ( j ) e x p ( - j |) Z e m O^ d ) " 1 [u(em) exp(jnnry 0/d) m=o + u ( - 6 m ) exp(-jmTry 0/d)] e x p ( - ; j K j z|) c o s ^ Y / d ) ( 3 - 2 ) w h e r e e , K a n d e a r e c o n s t a n t s g i v e n b y e 0 ' - 1 , e m - 2 ; m =f 0 , K M = [ k 2 - ( - f L ) 2 ] 1 / 2 , s i n 9 m = — , c o s 9 m = ( s g n z ) ( ^ ) . ( 3 - 3 ) W h e n t h e l i n e s o u r c e i s p u t o n e i t h e r c o n d u c t i n g w a l l , H ( y , z ) i s o b t a i n e d b y s e t t i n g u(_em)=0 , i n ( 3 - 2 ) , [9]. 18 F i g . 3 . 1 . C o o r d i n a t e s f o r a m a g n e t i c l i n e s o u r c e i n a p a r a l l e l - p l a t e w a v e g u i d e . 3 ^ 3 _ R e f l g c t i p n ^ f £ g j n _ C h o k e _ I n t e r i o r A t w o - d i m e n s i o n a l c h o k e m a y b e v i e w e d a s a n o p e n - e n d e d p a r a l l e l - p l a t e w a v e g u i d e s h o r t c i r c u i t e d a t o n e e n d . T h e g e o m e t r y o f a c h o k e d h o r n a n t e n n a i s i l l u s t r a t e d i n F i g . 3 . 2 . C o n s i d e r i n g t h e u p p e r c h o k e , e d g e s A a n d A * m a y b e r e g a r d e d a s n o n i s o t r o p i c l i n e s o u r c e s w h i c h e x c i t e TM m o d e s i n t h e c h o k e . om T h e e x c i t e d m o d e s a r e r e f l e c t e d b a c k a f t e r t r a v e l l i n g t h e c h o k e d e p t h . n o t i c i n g t h a t b o t h l i n e s o u r c e s A a n d A * a r e o n t h e c o n d u c t i n g w a l l s a n d u s i n g ( 3 - 2 ) , t h e r e f l e c t e d T M w a v e s c a n b e w r i t t e n a s H x r ( y , z ) « ( f ) 1 / 2 e x p ( - j j ) Z CjnO^d)-1 [a^^-6m) m=o + HA?(-ir + 6 m ) e x p ( - j m T f ) ] • e x P I - j K m ( z + 2 d 1 ) ] • c o s [ 2 J ( y - | ) ] , z < o . ( 3 - 4 ) w h e r e y , z d e n o t e r e c t a n g u l a r c o o r d i n a t e s f r o m t h e c e n t r e o f t h e a p e r t u r e , H c a n d H 9 # t o b e d e t e r m i n e d i n t h e n e x t s t e p , A A r e p r e s e n t t h e d i f f r a c t e d f i e l d s f r o m e d g e s A a n d A * i n w h i c h t h e c y l i n d r i c a l w a v e p r o p a g a t i o n f a c t o r , i , e , e x p ( - j k r ) / ( k r ) 1 / r 2 i s o m i t t e d . T h e s u p e r s c r i p t c i n d i c a t e s t h a t t h e s e f i e l d s b e l o n g t o 1 9 a c h o k e d h o r n . F r o m ( 3 - 3 ) 8 m i s o b t a i n e d a s ( 3 - 5 ) T h e m o d e s f o r w h i c h k< d o r e q u i v a l e n t l y K m i s y z F i g . 3 . 2 . G e o m e t r y o f a c h o k e d h o r n a n t e n n a i n t h e E - p l a n e . i m a g i n a r y , a r e n o n p r o p a g a t i n g m o d e s v a n i s h i n g r a p i d l y i f t h e f r e q u e n c y i s n o t n e a r l y e q u a l t o t h e c u t - o f f f r e q u e n c y f o r t h e f i r s t e v a n e s c e n t m o d e . I n a d d i t i o n , t h e i d e a o f u s i n g a c h o k e a s a h i g h i m p e d a n c e e l e m e n t i s u s u a l l y a p p l i c a b l e t o o n l y s i n g l e m o d e o p e r a t i o n . T h u s , w e c o n s i d e r o n l y t h e f i r s t t e r m o f t h e s e r i e s i n ( 3 - 4 ) w h i c h c o r r e s p o n d s t o a T E M w a v e . T h e r e f l e c t e d T E M w a v e h a s a s h a d o w b o u n d a r y i n t h e f o r w a r d d i r e c t i o n ; t h e r e f o r e , w e e m p l o y t h e K i r c h h o f f m e t h o d f o r t h e c a l c u l a t i o n o f f a r f i e l d i n t h e f o r w a r d r e g i o n . C o n s i d e r i n g b o t h c h o k e s , t h e a p e r t u r e f i e l d d i s t r i b u t i o n i s s y m m e t r i c a l a b o u t t h e Z a x i s . U s i n g t h e K i r c h h o f f s o l u t i o n i n a t w o - d i m e n s i o n a l p r o b l e m £ 1 6 ] , t h e f a r f i e l d o f t h e c h o k e s i n i s o l a t i o n i s 2 0 H 1 C ( 6 ) \r- e x p ( - j j ) g(sin6) , ( 3 - 6 ) (2TT) ' w h e r e g(si : i 8 ) = 2 / 1 • H r ( y , o ) ' c c s ( k i y ) d y , k x = k sir . 9 . ( 3 - 7 ) b x 2 F r o m ( 3 - 4 ) a n d ( 3 - 5 ) f o r m = 0 r H x r ( y , o ) = ( £ ) 1 / 2 ( k d ) " 1 [H a C(T T) + H A ? ( - * ) ] e x p [ - j ( | + 2kd')] ( 3 - 8 ) U p o n u s i n g ( 3 - 7 ) a n d ( 3 - 8 ) i n ( 3 - 6 ) w e o b t a i n H 1 C ( 6 ) = (kd s i n e ) - 1 [H a C(T T) + H A ? ( - i t ) ) • { s i n [ k ( | + d ) s i n 0 ] - s i n ( ^ - s i n e ) }exp (-j2kd'). ( 3 - 9 ) A t 0 - 0 , H ^ C ( 0 ) = [ H ^ C U ) + H a 9 U ) ] e ^ ^ j a ^ . ) ( 3 _ 1 0 ) F o r l a r g e a n g l e s 0 , t h e f a r f i e l d o f t h e c h o k e s c a n b e w e l l a p p r o x i m a t e d b y t h e s i n g l y d i f f r a c t e d f i e l d s d u e t o t h e r e f l e c t e d T E H w a v e . I n v o k i n g t h e d i f f r a c t i o n o f a p l a n e w a v e b y a p e r f e c t l y c o n d u c t i n g w e d g e [ 1 4 ] a n d u s i n g ( 3 - 8 ) , t h e s e s i n g l y d i f f r a c t e d f i e l d s a r e d e r i v e d a s 2 1 H 1 A < 9> H x r ( y > o ) e x p ( - j f ) s i n ^ ( 2 i t ) 1 / 2 n(cos — - cos ( 3 - l l a ) H x r ( y , o ) e x p ( - j f ) ( 8 T T ) 1 / 2 s i n | ( 3 - l l b ) w h e r e n = 2 - - ^ a n d e * - s t n e a n g l e o f w e d g e A . B y s y m m e t r y , t h e IT E c o r r e s p o n d i n g f i e l d s f o r t h e l o w e r c h o k e a r e H > > " H 1 A <- 9 > o < e < ( 3 - 1 2 a ) H 1B« < 6 ) = R 1 A ' <"*> 0 < 0 < 2 ( 2 ~ 1 2 b ) T a k i n g e d g e A a s a c o m m o n p h a s e r e f e r e n c e , t h e t o t a l f a r f i e l d s c a t t e r e d b y t h e c h o k e s i s ' H 1 C < 9 > * Y A 0 , o < e < en , H C ( 6 ) - 1 (6) + H ^ t ( e ) Y A A , + ( 6 ) Y A B + 1 ^ , ( 6 ) T^, , 9 , < 9 < f H 1A« ( 6 ) ' Y A A ' * 2 * 6 s * (3-13) w h e r e 2 2 Y A 0 = e x p I - ; i k I S i n 6 ] * Y A A ' - e x p [ - j k d s i n 8 ] , Y i 8 3 e x p t - j k ( b + d ) s i n e ] . ( 3 - 1 4 ) a r e t h e p h a s e f a c t o r s r e f e r r e d t o A a n d y i s g i v e n b y ( 2 - 1 9 ) . AB T w o p a t t e r n s a r e g e n e r a t e d , o n e i n t h e r e g i o n 0 < 6 < Q^, 6-± b e i n g a s m a l l a n g l e , f r o m t h e K i r c h h o f f r e s u l t . A s e c o n d p a t t e r n i s g e n e r a t e d i n t h e r e g i o n e 2 < 6 <TT , 8 2 < 8 i , f r o m t h e g e o m e t r i c a l d i f f r a c t i o n t h e o r y r e s u l t . T h e t w o p a t t e r n s t h e n o v e r l a p i n t h e r e g i o n e 2 < 9 < 8^ g i v i n g a c o m p l e t e p a t t e r n i n t h e r e g i o n 0 < 6 < TT. 3 ^ 4 J ) i f f r a c t e d _ F i e l d s I n c h a p t e r 2 w e c a l c u l a t e d H ( 8 ) a s b e i n g t h e t o t a l f i e l d d i f f r a c t e d b y t h e u p p e r e d g e o f a n u n m o d i f i e d h o r n . H i s A i m p l i c i t l y a f u n c t i o n o f n t h r o u g h v ( r 0 » a » n ) • T h i s c a n b e s e e n f r o m ( 2 - 4 ) , ( 2 - 1 2 ) a n d ( 2 - 1 3 ) . B e f o r e m o d i f i c a t i o n h = 2 , w h i l e a f t e r m o d i f i c a t i o n n=2 - ^ , w h e r e e„ i s o n e h a l f o f t h e f l a r e a n g l e . F o r c o n v e n i e n c e w e d e f i n e ® A ( 8 ) t o D e o b t a i n e d f r o m H A ( 8 ) b y u s i n g n = 2 - - § J i n i t . C o n s i d e r i n g t h e u p p e r c h o k e , a r a y f r o m e d g e k i n t h e d i r e c t i o n - f h i t s e d g e A » . T h e f i e l d i n t e n s i t y o n t h i s r a y i s H A O f ) . B y u s i n g ( 2 - 1 ) a n d ( 2 - 2 ) t h e f i e l d d i f f r a c t e d a t A» 2 3 c a n b e w r i t t e n a s H A ? (6) = H A ( f ) [ v ( d , \ + 6, 2 ) + v ( d , ^ | + 0 , 2 ) ] • , 0 < 8 < * . ( 3 - 1 5 ) T h e d i f f r a c t e d r a y s f r o m e d g e A * h i t b a c k e d g e A f u r n i s h i n g a s e c o n d o r d e r i n t e r a c t i o n . T o c a l c u l a t e t h e r e s u l t i n g i n t e r a c t i o n f i e l d we s h o u l d n o t i c e t h a t e d g e A 1 i s o n t h e s h a d o w b o u n d a r y o f t h e r a y s f r o m A . I t h a s b e e n s h o w n t h a t [ 9 ] t h e d i f f r a c t e d f i e l d o n a s h a d o w b o u n d a r y i s t h e a s y m p t o t i c a p p r o x i m a t i o n o f o n e - h a l f t h e g e o m e t r i c a l o p t i c s f i e l d . F u r t h e r m o r e , t h i s f i e l d a p p e a r s t o e m a n a t e f r o m t h e s o u r c e o r i t s i m a g e a n d n o t f r o m t h e d i f f r a c t i n g e d g e . T h e s e c o n d o r d e r i n t e r a c t i o n f i e l d i s n o w a c c o r d i n g l y o b t a i n e d . H A A ' ( 6 ) = C l I v ( d ' f " 9 ' n ) + v ( d ' " 9 ' n ) ] + ° 2 I v ( 2 d ' j - 9 , n ) + v ( 2 d , 2 | _ 0 > n ) ] , 0 < 6 < | , ( 3 - 1 6 ) w i t h C l = v < d ' ° ' 2 > T h e t r i p l y a n d h i g h e r o r d e r i n t e r a c t i o n f i e l d s a r e n e g l e c t e d . I n c l u s i o n o f t h e s e f i e l d s d o e s n o t g e n e r a l l y y i e l d a b e t t e r a p p r o x i m a t i o n . B o w m a n [ 1 7 ] , w h o c o m p a r e d t h e e x a c t s o l u t i o n f o r s c a t t e r i n g b y a n o p e n - e n d e d p a r a l l e l - p l a t e 24 w a v e g u i d e w i t h t h e c o r r e s p o n d i n g r e s u l t d e r i v e d b y m e a n s o f t h e g e o m e t r i c a l d i f f r a c t i o n t h e o r y m e t h o d , f o u n d d i s c r e p a n c i e s i n t h e c o n t r i b u t i o n s f r o m t h e t r i p l y a n d h i g h e r o r d e r i n t e r a c t i o n s . T h e t o t a l d i f f r a c t e d f i e l d f r o m e d g e A i s n o w o b t a i n e d . H A C ( 6 ) - H A ( 0 ) + H ^ , ( 6 ) , 0 < 9 < f . . ( 3 - 1 8 ) B y s y m m e t r y , t h e f i e l d s d i f f r a c t e d b y w e d g e B a n d e d g e B ' a r e H B ° ( 6 ) = H A C ( ' 9 ) * 0 < 8 < f , ( 3 - 1 9 ) ( 8 ) - H A ? ( - 6 ) , 0 < 8 < \ . ( 3 _ 2 0 ) I t s h o u l d b e n o t i c e d t h a t t h e b o u n d a r i e s i n ( 3 - 1 5 ) t o ( 3 - 2 0 ) e x c l u d e t h e f i e l d s d i f f r a c t e d i n t o t h e h o r n a n d t h e c h o k e s . T h e g e o m e t r i c a l o p t i c s f i e l d i s e q u a l t o t h a t f o r t h e h o r n w i t h o u t c h o k e s ; i . e , H S C ( 8 ) - 1 . , 0 < 8 < 8 E . ( 3 - 2 1 ) T h e d i f f r a c t e d f i e l d s r e f l e c t e d f r o m h o r n i n t e r i o r a r e o b t a i n e d f r o m ( 2 - 1 6 ) a n d ( 2 - 1 7 ) i n w h i c h H A ( 8 ) i s s u b s t i t u t e d b y H A ( 6 ) ; i . e , . \ i ( 8 ) = H A ( - 2 i 6 E - 8 ) , ( 3 - 2 2 a ) ( 8 ) = H A ( - 2 h 8 E + 0 ) . ( 3 - 2 2 b ) T h e b o u n d a r i e s i n (3-22) a r e t h e s a m e a s t h o s e i n (2-16) a n d (2-17) . C o n s i d e r i n g t h e u p p e r h a l f r e g i o n 0 < 6 t h e t o t a l f a r f i e l d i s o b t a i n e d b y s u p e r i m p o s i n g a l l t h e r e l e v a n t t e r m s d e s c r i b e d a b o v e w i t h t h e l o c a l p h a s e f a c t o r s r e f e r r e d t o A . . " t o t < 9> = H S < 6> * Y A S + H A C ( 6 ) + H B C ( e ) Y A B + H A ' ( 6 ) ' Y A A ' + H B ' < 6 ) Y A B « + \mfll ( 6 ) Y A i + H u S ( 9 ) Y A B ' Y B h , + H ° C 0 ) • (3-23) W h e r e Y A S , Y ^ , Y M a n d Y B h a r e g i v e n b y (2-19) a n d T M , a n d Y . R | b y (3-1H). 26 4. A NEW M O D I F I C A T I O N T O H O R N A N T E N N A S T H R O U G H P A R A B O L I C C Y L I N D E R F L A N G E S 4,. 1 , I n t r o d u c t i o n S t u d i e s o f h o r n a n t e n n a s h a v e r e v e a l e d t h a t t h e p r i n c i p a l s o u r c e o f b a c k r a d i a t i o n i s t h e f i e l d s c a u s e d b y e d g e d i f f r a c t i o n i n t h e E - p l a n e . M o r e o v e r , i n t h e E - p l a n e t h e s e f i e l d s h a v e c y l i n d r i c a l w a v e s t r u c t u r e w i t h r a y s o r i g i n a t i n g f r o m t h e e d g e s . T h e r e f o r e c y l i n d r i c a l p a r a b o l i c f l a n g e s m a y b e u s e d t o r e f l e c t a l l d i f f r a c t e d r a y s i n t h e r e a r d i r e c t i o n s i n t o t h e f o r w a r d d i r e c t i o n . I n f a c t , a c y l i n d r i c a l p a r a b o l i c r e f l e c t o r h a s t h e p r o p e r t y o f c o n v e r t i n g a c y l i n d r i c a l w a v e r a d i a t e d b y a l i n e s o u r c e a t t h e f o c u s i n t o a p l a n e w a v e a t t h e a p e r t u r e . C o n s e q u e n t l y r a d i a t e d p o w e r i n t h e f o r w a r d r e g i o n i n c r e a s e s r e s u l t i n g i n a n a r r o w e r b e a m w i d t h . I n a d d i t i o n , t h e i l l u m i n a t i o n o f a f l a n g e e d g e i s b y r a y s f i r s t d i f f r a c t e d a t t h e h o r n e d g e ; t h e r e f o r e , l o w e r b a c k r a d i a t i o n i s a l s o e x p e c t e d . I n t h e a n a l y s i s o f t h e E - p l a n e f a r f i e l d r a d i a t i o n p a t t e r n o f a h o r n m o d i f i e d b y p a r a b o l i c c y l i n d e r f l a n g e s w e e m p l o y t h e K i r c h h o f f m e t h o d f o r t h e c a l c u l a t i o n o f f a r r e f l e c t e d f i e l d s f r o m t h e f l a n g e s , a n d t h e g e o m e t r i c a l m e t h o d o f d i f f r a c t i o n f o r t h e c a l c u l a t i o n o f t h e f i e l d s d i f f r a c t e d a t t h e a n t e n n a e d g e s . I n t h e f o l l o w i n g s t e p s , r e f l e c t i o n f r o m p a r a b o l i c f l a n g e s i s f i r s t s t u d i e d . T h e n b y u s i n g s o m e o f t h e e q u a t i o n s d e r i v e d i n t h e p r e v i o u s c h a p t e r s t h e t o t a l f a r f i e l d i s d e t e r m i n e d . O p t i m i z a t i o n o f t h e f o c a l l e n g t h i s v e r i f i e d a t t h e e n d . 2 7 4 . 2 - R e f l e c t i o n f r o m _ P a r a b o l i c . F l a n g e s T h e g e o m e t r y o f a h o r n a n t e n n a m o d i f i e d b y p a r a b o l i c c y l i n d e r f l a n g e s i s s h o w n i n F i g . 4 . 1 . C o n s i d e r i n g t h e u p p e r f l a n g e , e d g e A m a y b e r e g a r d e d a s a p r i m a r y f e e d a t t h e f o c u s p r o d u c i n g a n o n i s o t r o p i c c y l i n d r i c a l w a v e t o i l l u m i n a t e t h e a p e r t u r e . F o r s m a l l a n g l e s 6 , t h e f a r r e f l e c t e d f i e l d i s y A' ^ — - 1 % A 0 " z B 2f F i g . 4 . 1 . G e o m e t r y o f a h o r n m o d i f i e d b y p a r a b o l i c c y l i n d e r f l a n g e s o b t a i n e d b y e m p l o y i n g t h e K i r c h h o f f m e t h o d ; i . e . d e t e r m i n i n g t h e F o u r i e r t r a n s f o r m o f t h e a p e r t u r e f i e l d d i s t r i b u t i o n . B e f o r e r e f l e c t i o n t h e f i e l d o n a r a y m a y b e w r i t t e n a s (kp) p w h e r e H (<(>) , t o b e d e t e r m i n e d i n S e c . 4 . 3 , r e p r e s e n t s t h e r a d i a t i o n p a t t e r n o f l i n e s o u r c e A . T h e s u p e r s c r i p t p i n ( 4 - 1 ) a n d e l s e w h e r e m e a n s t h a t t h e f i e l d i s f o r a h o r n m o d i f i e d b y p a r a b o l i c f l a n g e s . A f t e r r e f l e c t i o n t h e r a y s a r e c o l l i m a t e d a n d n o m o r e s p r e a d i n g t a k e s p l a c e o u t t o t h e a p e r t u r e p l a n e . T h e 2 8 r e f l e c t i o n c o e f f i c i e n t i s + 1 , f o r t h e l i n e s o u r c e A p r o d u c e s a t r a n s v e r s e m a g n e t i c f i e l d a n d t h e r e f l e c t o r i s a s s u m e d t o b e p e r f e c t l y c o n d u c t i n g . T h e d i s t a n c e f r o m t h e f o c u s t o a p o i n t a t t h e a p e r t u r e p l a n e a c c o u n t s f o r t h e t o t a l p h a s e c h a n g e a l o n g t h e r a y p a t h A R Y i n F i g . 4 . 1 . W h e n t h e f o c u s i s i n t h e a p e r t u r e p l a n e t h i s d i s t a n c e i s e g u a l t o 2 f , w i t h f t h e f o c a l l e n g t h o f t h e r e f l e c t o r . T h e f i e l d o n t h e r e f l e c t e d r a y a t t h e a p e r t u r e p l a n e c a n n o w b e w r i t t e n . V - H A P <•> ( 4 - 2 ) ( k p ) ' C o n s i d e r i n g b o t h f l a n g e s , t h e a p e r t u r e f i e l d d i s t r i b u t i o n i s s y m m e t r i c a l a b o u t t h e z a x i s i n F i g . 4 . 1 . U s i n g t h e K i r c h h o f f s o l u t i o n i n a t w o - d i m e n s i o n a l p r o b l e m w i t h e l e c t r i c f i e l d h a v i n g t a n g e n t i a l c o m p o n e n t s [ 1 6 ] , t h e f a r r e f l e c t e d f i e l d f r o m t h e f l a n g e s i s d e t e r m i n e d a s V ( 6 ) = k  exff^ * M ) 1 ( s i n e ) ( 4 - 3 ) (2ir) w h e r e | + 2 f . q ( s i n e ) - 2 J H x r (p,<|>) c o s ( k ^ y ) d y , k x = k s i n e ( 4 - 4 ) b 2 1 / 2 T h e c y l i n d r i c a l w a v e p r o p a g a t i o n f a c t o r e x p ( - j k r ) / ( k r ) h a s b e e n o m i t t e d i n ( 4 - 3 ) . A l s o , p,<ji a r e p o l a r c o o r d i n a t e s w h i c h a r e u s e d i n t h e c a l c u l a t i o n o f t h e a p e r t u r e f i e l d d i s t r i b u t i o n , w h e r e a s r , e d e n o t e p o l a r c o o r d i n a t e s a t t h e f a r f i e l d . I n F i g . 4 . 1 . T h e e q u a t i o n o f t h e u p p e r p a r a b o l a m a y b e 29 d e s c r i b e d a s P - 2 f l-cos<}> ( 4 - 5 ) H e f u r t h e r h a v e y - psin<j> + j ' ( 4 - 6 ) F r o m ( 4 - 5 ) a n d ( 4 - 6 ) w e o b t a i n P = y =. 2f c o t i . . b . 2 ^ 2 U s i n g (4-7) i n (4-2) y i e l d s S J ( P . « - - S E E t J ^ L s i n i H P ( 4 - 7 ) ( 4 - C ) ( 4 - 9 ) (kp) F r o m ( 4 - 2 ) , ( 4 - 3 ) , ( 4 - 8 ) a n d ( 4 - 9 ) w e o b t a i n H/O) = 2(f) 1 / 2 exp[-j(2kf - J)] / » H / (*) cos[k(2f 2 * c o t | + | ) s i n e ] d< f r / s i n | . ( 4 _ 1 0 ) T h e i n t e g r a l i n ( 4 - 1 0 ) i s n u m e r i c a l l y e v a l u a t e d . F o r l a r g e a n g l e s 0 , t h e f a r f i e l d r a d i a t e d f r o m t h e f l a n g e s i s a p p r o x i m a t e d b y t h e i n t e r a c t i o n f i e l d s b e t w e e n t h e h o r n e d g e s a n d t h e r e f l e c t o r e d g e s . I n o r d e r t o c a l c u l a t e t h e s e 3 0 f i e l d s w e f u r t h e r a p p r o x i m a t e e a c h r e f l e c t o r b y a h a l f - p l a n e t a n g e n t t o i t a t t h e e d g e . C o n s i d e r i n g t h e u p p e r r e f l e c t o r , a r a y f r o m e d g e & i n t h e d i r e c t i o n L h i t s e d g e A * . T h e i n t e n s i t y o f i l l u m i n a t i o n i s H P(—) • U s i n g (2-1) a n d ( 2 - 2 ) a n d n o t i c i n g A. 2 t h a t t h e a n g l e o f i n c i d e n c e i s 2 . , t h e f i e l d d i f f r a c t e d a t A ' 4 i s d e t e r m i n e d a s H A ? 0 ) = H / ( i ) [ v ( 2 f , f + 9 . 2 ) + v ( 2 f , * + 6 , 2 ) ] . ( 4 _ u ) T h e d i f f r a c t e d r a y s f r o m A» s u b s e q u e n t l y h i t e d g e A p r o d u c i n g a s e c o n d o r d e r i n t e r a c t i o n f i e l d g i v e n b y HA£' < 6> - H A ? C - f > W ( 2 f , f - 6 , n ) + V ( 2 f . ^ - 9 , n ) ] , ( 4 - 1 2 ) n - 2 - • T h e t r i p l y a n d h i g h e r o r d e r i n t e r a c t i o n f i e l d s a r e n e g l e c t e d . B y s y m m e t r y , t h e c o r r e s p o n d i n g f i e l d s d i f f r a c t e d b y t h e l o w e r e d g e s a r e (e) ={ HA ? ( - 6 ) , 0 < 8 < \ H A ? ( 2 T T - 8 ) , < e < u ' . ( 4 _ 1 3 ) 31 V ( 6 > = H A A ' ( " 9 > (4-14) T h e t o t a l f i e l d c o n t r i b u t e d b y t h e p a r a b o l i c r e f l e c t o r s t o t h e r a d i a t i o n p a t t e r n c a n n o w b e o b t a i n e d b y c o n s i d e r i n g a c o m m o n p h a s e r e f e r e n c e , s a y e d g e ft . H p ( 6 ) V ( e ) Y A 0 0 Z 0 5. e i > H A ? ( 6 ) Y A A ' + H B ? ( 9 > * Y A B ' + H A A ' C 9 ) + H ™ ' < 6 > ^ A A A ' ' e 2 < e < i , B B A B H A « ( 0 ) Y A A « + H B ? < 9 > Y A B " " T * 9 * * (4-15) Y A 0 ' Y A A ' A N D Y A B ' a r e o b t a i n e d f ^ o m ( 3 - 1 4 ) i n w h i c h d i s r e p l a c e d b y 2 f . T h e f a r f i e l d r a d i a t i o n p a t t e r n i s o b t a i n e d b y f i r s t i n c l u d i n g t h e K i r c h h o f f r e s u l t i n t h e r e g i o n 0 £ 9 < 61 a n d t h e n t h e g e o m e t r i c a l d i f f r a c t i o n t h e o r y r e s u l t i n t h e r e g i o n 9 2 < 9 <ir# 6 2 < 0 i . T h e t w o c o r r e s p o n d i n g p a t t e r n s o v e r l a p i n t h e r e g i o n e 2 < 9 K ^ r e s u l t i n g i n a c o m p l e t e p a t t e r n . 3 2 U i 3 _ D i f f r a c t e d _ F i e l d s _ a n d _ R a E x c l u d i n g t h e f i e l d s d i f f r a c t e d i n t o t h e h o r n a n d i n t o t h e r e f l e c t o r s , t h e d i f f r a c t e d f i e l d s f r o m e d g e s A a n d B a r e w r i t t e n a s H A P ( 6 ) = H A(6) , 0 < 9 < f , ( 4 _ 1 6 ) H b p(6) = HA(-G) , o < e < f- ( 4 - 1 7 ) w h e r e 5 . w a s d e t e r m i n e d i n S e c . 3 . 4 . T h e g e o m e t r i c a l o p t i c s A f i e l d H P a n d t h e d i f f r a c t e d f i e l d s r e f l e c t e d f r o m h o r n i n t e r i o r a n d a r e e q u a l t o t h o s e f o r a c h o k e d h o r n g i v e n b y ( 3 - 2 1 ) a n d ( 3 - 2 2 ) . T h e t o t a l f a r f i e l d i n t h e u p p e r h a l f r e g i o n o < 6 < ir c a n n o w b e o b t a i n e d . H t o P c < 9 > • " a ' w i t f + HAP<9> + h ' W * + U W h e r e Y ^ , , Y ^ a n d Y a r e t h e l o c a l p h a s e f a c t o r s g i v e n b y ( 2 - 1 9 ) . 3 3 P a r a b o l i c r e f l e c t o r s w i t h d i f f e r e n t f o c a l l e n g t h s m a y b e u t i l i z e d f o r m o d i f i c a t i o n o f a g i v e n h o r n a n t e n n a . A l l r e f l e c t o r s a r e c o n f o c a l , b u t o n l y s o m e o f t h e m a p p e a r t o s i g n i f i c a n t l y i n c r e a s e t h e o n - a x i s p o w e r . T h e s e h a v e f o c a l l e n g t h s s u c h t h a t m a x i m u m o n - a x i s p o w e r i s a c h i e v e d . A c c o r d i n g l y t h e o n - a x i s f a r f i e l d o f a h o r n i n i s o l a t i o n a n d t h a t o f i t s p a r a b o l i c f l a n g e s s h o u l d b e i n p h a s e . T h e o n - a x i s f a r f i e l d o f t h e h o r n i s w e l l a p p r o x i m a t e d b y t h e s u m o f t h e g e o m e t r i c a l o p t i c s f i e l d a n d t h e s i n g l y d i f f r a c t e d f i e l d s . T h e o n - a x i s g e o m e t r i c a l o p t i c s f i e l d r e f e r r e d t o e d g e A i s H 8 = e x p ( - j k £ E c o s 9 E ) . F r o m (2-4) a n d (2-5) t h e t o t a l o n - a x i s s i n g l y d i f f r a c t e d f i e l d i s H s l n S = 2va E, w - e E , n ) , n - 2 - . ' ( 4 „ 2 0 ) T h e o n - a x i s f i e l d r e f l e c t e d f r o m t h e f l a n g e s i s o b t a i n e d b y s e t t i n g 9 = 0 i n (4-10) , y i e l d i n g H P = 2 ( f ) 1 / 2 e x P H ( 2 k f - £ ) ] / J H P ( * ) d+ 2 4 A s i n J (4_2i) R e m u s t h a v e 3 4 | H g + H 8 i n 8 = |HP + 2Nir , N • 0 , ! 1, . . . . (4-22) I n o r d e r t o e v a l u a t e |Hf w e m a y a p p r o x i m a t e H p b y t h e s i n g l y d i f f r a c t e d f i e l d f r o m e d g e & a s f o l l o w s : HAP(<J.) - v ( % , Tr - e E + n ) . ( 4 - 2 3 ) U s i n g t h e a s y m p t o t i c f o r m o f F r e s n e l i n t e g r a l , i . e . , /" exp(-ju 2)dy = exp(-JT2)/(2JT) , T » 1 , T a n d a p p l y i n g ( 2 - 2 ) , H p r e d u c e s t o HA P(<i») = e x P [ - j ( k £ E Q U ) ( 4 _ 2 4 ) w h e r e ( 2 i r k A E ) n ( c o s — - c o s £ — 2 1 ) U s i n g ( 4 - 2 4 ) i n ( 4 - 2 1 ) , w e o b t a i n HP = 2 ( f ) 1 / 2 e x P [ - j ( 2 k f + WE)] /* . X § s i n | ( 4 - 2 5 ) I n J £ • < Q(<J>)/sin i s a l w a y s p o s i t i v e , t h e r e f o r e t h e i n t e g r a l i n ( 4 - 2 5 ) i s p o s i t i v e . H e n c e , f r o m ( 4 - 2 2 ) t h e o p t i m a l f o c a l l e n g t h i s 3 5 N 2 1 2 ir 4 ' ( 4 - 2 6 ) w h e r e 3 = 1 H s + H s i n e i s n u m e r i c a l l y e v a l u a t e d , a n d N i s c h o s e n f o r c o n v e n i e n c e , w i t h t h e l i m i t a t i o n t h a t s m a l l r e f l e c t o r s w i l l a c t l e s s e f f e c t i v e l y . T h e a s y m p t o t i c f o r m o f F r e s n e l i n t e g r a l i s n o t r e c o m m e n d e d i n t h e c a l c u l a t i o n o f 3 , b e c a u s e s h a d o w b o u n d a r i e s l i e t o o c l o s e t o t h e o n - a x i s d i r e c t i o n . 3 6 5 . N U M E R I C A L A N D E X P E R I M E N T A L R E S U L T S M o d i f i c a t i o n s t o h o r n a n t e n n a s t h r o u g h c h o k e f l a n g e s a n d p a r a b o l i c c y l i n d e r r e f l e c t o r s w e r e t h e o r e t i c a l l y s t u d i e d i n c h a p t e r s 3 a n d 4 . I n t h i s c h a p t e r n u m e r i c a l a n d e x p e r i m e n t a l r e s u l t s a r e c o m p a r e d a n d t h e e f f e c t s o f t h e s e m o d i f i c a t i o n s o n t h e b e a r a w i d t h , g a i n a n d b a c k r a d i a t i o n o f a h o r n a r e v e r i f i e d . T o c o m p u t e t h e r a d i a t i o n p a t t e r n s g i v e n b y ( 2 - 1 8 ) , ( 3 - 2 3 ) a n d ( 4 - 1 8 ) , t h e s e e g u a t i o n s w e r e p r o g r a m m e d . C o m p u t e d p a t t e r n s i n c l u d e d i f f r a c t e d f i e l d s o f o r d e r s a s h i g h a s t h r e e . T h e K i r c h h o f f m e t h o d i n t h e | e [ < 2 5 ° r e g i o n a n d t h e g e o m e t r i c a l m e t h o d o f d i f f r a c t i o n i n t h e | e | > i 5 <> r e g i o n w e r e u s e d i n t h e c o m p u t a t i o n o f m o d i f i e d p a t t e r n s . T w o r e c t a n g u l a r p y r a m i d a l h o r n a n t e n n a s , h o r n A a n d h o r n B , w e r e c o n s t r u c t e d f o r t h e e x p e r i m e n t a l s t u d i e s . T h e d i m e n s i o n s o f t h e s e h o r n s a r e g i v e n i n T a b l e I . T h e h o r n s w e r e f e d b y a w a v e g u i d e w i t h i n t e r i o r d i m e n s i o n s 1 . 0 1 6 a n d 2 . 2 8 6 C m . T n e d i a g r a m o f t h e a n t e n n a s a r e s h o w n i n F i g . 5 . 1 . T h e o p e r a t i n g Table I Horn lE(cm) lH{cm) a(cm) b(cm) A 9.6 11.1 9.0 7.8 B 6.9 10-5 7.6 6.0 f r e q u e n c y w a s 9 . 0 G H Z f o r h o r n A a n d 8 . 5 G H Z f o r h o r n B . TO 3 7 F i g , 5 . 1 . ( a ) P y r a m i d a l h o r n d i m e n s i o n s ( b ) C h o k e d h o r n d i m e n s i o n s i n t h e E - p l a n e ( c ) P a r a b o l i c f l a n g e d h o r n d i m e n s i o n s i n t h e E - p l a n e d e s i g n t h e p a r a b o l i c r e f l e c t o r s , w e f i r s t c a l c u l a t e d a s e r i e s o f o p t i m a l f o c a l l e n g t h s a t t h e o p e r a t i n g f r e g u e n c i e s u s i n g ( 4 - 2 6 ) . T h e s e a r e g i v e n i n T a b l e I I . T h e r e f l e c t o r s t h e n w e r e Table H Horn f(cm) A 2.84 4.51 6.18 7.84 9.51 B 1.36 3.13 4.90 6*65 8.42 C o n s t r u c t e d w i t h a f o c a l l e n g t h o f 6 . 1 0 c m f o r h o r n A a n d 4 . 9 0 c m f o r h o r n B . T h e c h o k e s w e r e d e s i g n e d t o h a v e w i d t h s l e s s t h a n 1 / 2 w a v e l e n g t h a n d d e p t h s e q u a l t o ( | + ; H b e i n g a n i n t e g e r . T h e d i m e n s i o n s o f t h e c h o k e s i n t h e E - p l a n e a r e g i v e n i n T a b l e I I I . T h e c h o k e d e p t h s c o r r e s p o n d t o H = 1 , * A = 3 . 3 3 c m a n d *B = 3 . 5 3 c m . T h e p a r a b o l i c r e f l e c t o r s a n d t h e c h o k e s h a v e t h e s a m e w i d t h s a s t h e h o r n s i n t h e H - p l a n e . T h e f a r f i e l d r a d i a t i o n p a t t e r n s w e r e m e a s u r e d u s i n g t h e h o r n s a s r e c e i v i n g a n t e n n a s . T h e a n t e n n a r a n g e a n d t h e t e s t h o r n s a r e s h o w n i n F i g . 5 . 2 . 3 8 F i g . 5 . 2 . (a) antenna range (b),horn with chokes 5 (c)horn with parabolic c y l i n d r e flanges. 3 9 Table II Horn d(cm) d(cm) A 1-1 2.5 B 1.5 2.6 I n w h a t f o l l o w s f i r s t c o m p u t e d a n d m e a s u r e d p a t t e r n s a r e c o m p a r e d . T h e n a c o m p a r i s o n o f p a t t e r n s w i t h a n d w i t h o u t t h e m o d i f i c a t i o n s i s p r e s e n t e d . A n e r r o r i n v e s t i g a t i o n f o r t h e c o m p u t e d p a t t e r n s i s g i v e n a t t h e e n d . 5 ^ 1 _ C o m p a r i s o n o f _ M e a s u r e d r . & . g ^ _ C o m 2 u t g d _ P a t t e r n g a . H o r n w i t h c h o k e s A c o m p a r i s o n o f c o m p u t e d a n d m e a s u r e d p a t t e r n s o f h o r n A w i t h c h o k e s i s s h o s n i n F i g . 5 . 3 . T h e r e i s c l o s e a g r e e m e n t o v e r m o s t o f t h e a n g u l a r r a n g e i n t h e f r o n t r e g i o n , b u t d i s c o n t i n u i t i e s a t t h e t r a n s i t i o n b o u n d a r i e s e = + g 0 o M o r e o v e r , t h e f i n e s t r u c t u r e o f t h e p a t t e r n i n t h e r e a r d i r e c t i o n s i s n o t r e p r e s e n t e d , b u t t h e g e n e r a l l e v e l o f b a c k r a d i a t i o n i s p r e d i c t e d . T h e b a c k - t o - f r o n t r a t i o a s a n i n d e x o f t h e b a c k r a d i a t i o n i s o b t a i n e d w i t h s u f f i c i e n t a c c u r a c y . D i s c o n t i n u i t i e s i n t h e c o m p u t e d p a t t e r n m a y b e e l i m i n a t e d b y i n c l u d i n g t r i p l y a n d h i g h e r o r d e r i n t e r a c t i o n f i e l d s b e t w e e n t h e c h o k e e d g e s . I n c l u s i o n o f t h e s e f i e l d s , a s d i s c u s s e d i n s e c . 3 . 4 , d o e s n o t g e n e r a l l y i m p r o v e t h e r a d i a t i o n p a t t e r n . A b e t t e r a p p r o x i m a t i o n m i g h t b e o b t a i n e d b y i n c l u d i n g t h e f i e l d s d i f f r a c t e d a t t h e e x t e r i o r c o r n e r s o f t h e c h o k e s . T o a f i r s t a p p r o x i m a t i o n t h e s e f i e l d s a r e o f s m a l l i n t e n s i t y a n d n e g l e c t e d . A s i m i l a r c o m p a r i s o n o f c o m p u t e d a n d m e a s u r e d p a t t e r n s f o r h o r n B w i t h Uj -50 180 -150 -J20 -90 -60 -30 0 30 6 (DEGREES) 60 90 120 F i g . 5 . 3 , E - p l a n e p a t t e r n s o f h o r n A w i t h c h o k e s a t * = 3 . 3 3 c m m e a s u r e d , c o m p u t e d -I 1*7 c h o k e s i s s h o w n i n F i g . 5 . 4 . T h e s a m e c o n c l u s i o n s d r a w n f o r h o r n A r e m a i n t r u e , b u t t h e r e i s g e n e r a l l y m o r e e r r o r i n t h e p r e d i c t e d p a t t e r n o f t h i s h o r n c o m p a r e d w i t h t h a t f o r h o r n A , b e c a u s e i t h a s s m a l l e r d i m e n s i o n s . b . H o r n w i t h p a r a b o l i c r e f l e c t o r s A c o m p a r i s o n o f c o m p u t e d a n d m e a s u r e d p a t t e r n s o f h o r n A w i t h p a r a b o l i c r e f l e c t o r s . F i g . 5 . 5 , s h o w s a g o o d a g r e e m e n t o v e r m o s t o f t h e r a n g e . T h e c o m p u t e d p a t t e r n , h o w e v e r , d e v i a t e s f r o m t h e m e a s u r e d o n e i n t h e r e g i o n | e | > 120 ° , l a r g e l y b e c a u s e t h e p a r a b o l i c r e f l e c t o r s w e r e a p p r o x i m a t e d b y h a l f p l a n e s i n t h e c a l c u l a t i o n o f b a c k r a d i a t i o n . A l s o , u n d e s i r e d r e f l e c t i o n s p r o d u c e d b y t h e m o u n t s y s t e m p a r t l y a c c o u n t f o r t h i s d e v i a t i o n . N e v e r t h e l e s s , t h e a p p r o x i m a t e l o b e s t r u c t u r e i n t h e r e a r d i r e c t i o n s a n d p a r t i c u l a r l y t h e b a c k - t o - f r o n t r a t i o c a n b e p r e d i c t e d w i t h r e a s o n a b l e a c c u r a c y . T h e r e a r e a l s o s m a l l d i s c o n t i n u i t i e s a t 6 = + QQ 0 b e c a u s e t r i p l y a n d h i g h e r o r d e r i n t e r a c t i o n f i e l d s b e t w e e n t h e r e f l e c t o r e d g e s w e r e n e g l e c t e d . A s i m i l a r c o m p a r i s o n o f c o m p u t e d a n d m e a s u r e d p a t t e r n s o f h o r n B w i t h r e f l e c t o r s i s s h o w n i n F i g . 5 . 6 . T h e a s y m m e t r y i n t h e m e a s u r e d p a t t e r n o f t h i s h o r n i s m a i n l y d u e t o t h e a s y m m e t r y i n t h e c o n s t r u c t i o n o f t h e h o r n . d (DEGREES) F i g . 5.5. E - p l a n e p a t t e r n s o f h o r n A w i t h •at A =3.33 c m . m e a s u r e d . p a r a b o l i c r e f l e c t o r s c o m p u t e d «t5 5 ^ 2 _ C o m £ a r i s o n o f _ P a t t e r n s _ B e f o r e a n d A f t e r M o d i f i c a t i o n s . T h e m e a s u r e d p a t t e r n s o f h o r n A a l o n e , w i t h c h o k e s a n d w i t h p a r a b o l i c r e f l e c t o r s a r e c o m p a r e d i n F i g . 5 . 7 . F i g . 5 . 8 . c o m p a r e s t h e c o r r e s p o n d i n g c o m p u t e d p a t t e r n s . M e a s u r e d a n d c o m p u t e d v a l u e s o f b e a m w i d t h s , i n c r e a s e s i n t h e o n - a x i s g a i n a n d b a c k - t o - f r o n t r a t i o s a r e g i v e n i n T a b l e I V . I t i s e v i d e n t t h a t m o d i f i c a t i o n b y c h o k e s r e s u l t s i n a s u b s t a n t i a l r e d u c t i o n i n t h e b a c k r a d i a t i o n , b u t i m p r o v e m e n t i n t h e b e a m w i d t h a n d t h e o n - a x i s g a i n i s i n s i g n i f i c a n t . L a G r o n e a n d R o b e r t s [1] r e a c h e d t h e s a m e c o n c l u s i o n s i n t h e i r e x p e r i m e n t a l i n v e s t i g a t i o n o f c h o k e d h o r n s , b u t t h e y a c h i e v e d a g r e a t e r r e d u c t i o n i n t h e b a c k r a d i a t i o n . T h e a m o u n t o f t h i s r e d u c t i o n d e p e n d s m a i n l y o n t h e c h o k e w i d t h . T h i s d i m e n s i o n w a s n o t g i v e n * . T h e r e f o r e , n o e x p l a n a t i o n c a n b e g i v e n 4 f o r t h i s d i f f e r e n c e . Tabte IV ^\Measured Computed Beamwidth (Degrees) Back-to-front ratio WB) On-axis gain increase (dB) Horn A 23.0 2 3 . 0 ^ \ ^ ^ \ - 2 3 . 2 -19.5 — Horn A with chokes ^ > « s . Z0.5 21.0 ^ ^ V . -29.4 -29.2 0.6 0.4 Horn A with reflectors 11.0 9.5 ^ \ - 3 4 . 5 -35.6 1.9 2.4 Horn B ^ ^ 3 0 - 0 29»0 ^ \ - 2 4 . 7 -20.1 -HornB with chokes N . 27.0 27.8 ^ ^ - 3 0 . 0 -29.6 ^ • ^ ^ 0.5 oo Horn B with reflectors ^ v . ^ ^ 15.0 12.1 ^ \ - 3 9 . 0 -34.9 1.8 2 , 1 > v 1 I n r e p l y t o a l e t t e r r e q u e s t i n g t h e s i z e o f t h e c h o k e , t h e y w r o t e : " T h i s d i m e n s i o n i s n o t c r i t i c a l . I t d e p e n d s e n t i r e l y o n t h e a m o u n t o f p o w e r b e i n g r a d i a t e d . T h i s p o w e r u s u a l l y . i s m u c h t o o s m a l l t o c a u s e a v o l t a g e a r c o v e r " . I Li i i i I i i i i i -780 -150 -120 -90 -60 -30 0 30 60 90 120 150 180 Q(DEGREES) F i g . 5.7. A c o m p a r i s o n o f m e a s u r e d E - p l a n e p a t t e r n s o f h o r n A b e f o r e a n d a f t e r m o d i f i c a t i o n s a t A = 3 . 3 3 c m . • • h o r n a l o n e , h o r n w i t h c h o k e s , h o r n w i t h p a r a b o l i c r e f l e c t o r s ON Q(DEGREES) F i g . 5 . 8 . A c o m p a r i s o n o f c o m p u t e d E - p l a n e p a t t e r n s o f h o r n A b e f o r e a n d a f t e r n o d i f i c a t i o n s a t A = 3 . 3 3 c m . h o r n a l o n e , h o r n w i t h c h o k e s , h o r n w i t h p a r a b o l i c r e f l e c t o r s . A c o m p a r i s o n o f t h e p a t t e r n o f t h e h o r n w i t h a n d w i t h o u t p a r a b o l i c r e f l e c t o r s s h o w s a s i g n i f i c a n t r e d u c t i o n i n t h e b e a m w i d t h a n d b a c k r a d i a t i o n , A c o n s i d e r a b l e i n c r e a s e i n t h e o n - a x i s g a i n w a s a l s o a c h i e v e d . I m p r o v e m e n t i n t h e b e a m w i d t h , h o w e v e r , d e p e n d s o n t h e s i z e o f t h e r e f l e c t o r s a n d t h e f r e q u e n c y o f o p e r a t i o n . I t i s e v i d e n t f r o m ( 4 - 1 0 ) t h a t t h e l a r g e r t h e f o c a l l e n g t h , t h e g r e a t e r t h e i n t e n s i t y o f t h e r e f l e c t e d f i e l d s , b u t m a x i m u m i n c r e a s e i n t h e o n - a x i s g a i n i s a c h i e v e d o n l y a t f r e q u e n c i e s f o r w h i c h t h e f o c a l l e n g t h i s o p t i m a l . F i g . 5 . 9 . C o m p a r e s t h e r a d i a t i o n b e a m s a t s e v e r a l f r e q u e n c i e s f o r h o r n A w i t h r e f l e c t o r s . T h e n a r r o w e s t b e a m i s o b t a i n e d a t 9 . 0 G H Z . A t 1 0 . 0 G H Z t h e m a i n b e a m i s s p l i t i n t o t w o l o b e s . T h i s s p l i t t i n g i s b e c a u s e t h e o n - a x i s f i e l d f r o m t h e r e f l e c t o r s i s n e a r l y 180 ° o u t o f p h a s e w i t h t h e o n - a x i s f i e l d o f t h e h o r n a l o n e . T h e v a r i a t i o n o f b e a m w i d t h w i t h f r e q u e n c y i s i l l u s t r a t e d i n F i g . 5 . 1 0 . T h e r e d u c t i o n o f b e a m w i d t h m a y b e v i e w e d a s a s h o r t e n i n g e f f e c t o f t h e h o r n l e n g t h . I n o t h e r w o r d s , t h e l e n g t h o f a h o r n m o d i f i e d b y p a r a b o l i c a p p e n d a g e s i s c o m p a r a b l e w i t h t h a t o f a l o n g e r u n m o d i f i e d h o r n o f e q u a l b e a m w i d t h . F o r i n s t a n c e , t h e s t a n d a r d g a i n h o r n w i t h a s l a n t l e n g t h o f 3 2 . o c m a n d a f l a r e a n g l e o f i 3 . 0 2 ° h a s a b e a m w i d t h o f 1 2 . 5 0 a t 9 . G H Z , w h i l e t h e b e a m w i d t h o f h o r n A w i t h r e f l e c t o r s i s 1 1 ° . N e x t we e x a m i n e t h e e f f e c t o f p a r a b o l i c a p p e n d a g e s o n t h e H - p l a n e p a t t e r n . A c o m p a r i s o n o f m e a s u r e d H - p l a n e p a t t e r n s o f h o r n A b e f o r e a n d a f t e r m o d i f i c a t i o n i s s h o w n i n F i g . 5 . 1 1 . T h e r e i s a s l i g h t r e d u c t i o n o f b e a m w i d t h a n d s i d e l o b e l e v e l s , b u t 9 (DECREES) F i g . 5 . 9 . P a t t e r n s o f h o r n A w i t h p a r a b o l i c r e f l e c t o r s FREQUENCY (GHZ) F i g . 5.10. B e a m w i d t h o f h o r n A w i t h p a r a b o l i c r e f l e c t o r s . 10 05 c o n s i d e r a b l e r e d u c t i o n i n t h e b a c k - t o - f r o n t r a t i o . T h i s s h o w s t h a t t h e E - p l a n e f i e l d s o f a h o r n a f f e c t t h e H - p l a n e p a t t e r n e s p e c i a l l y i n t h e r e a r d i r e c t i o n s . 5 . 3 _ E r r o r s T h e s o l u t i o n f o r t h e f a r z o n e d i f f r a c t i o n o f a m a g n e t i c l i n e s o u r c e b y a p e r f e c t l y c o n d u c t i n g h a l f p l a n e ( w e d g e ) d e s c r i b e d i n s e c . 2.1 h a s b e e n w i d e l y u s e d a s a c a n o n i c a l s o l u t i o n i n t h e a n a l y s i s o f E - p l a n e p a t t e r n s o f h o r n a n t e n n a s . T h i s s o l u t i o n g i v e n b y ( 2 - 2 ) w a s u s e d i n t h e c a l c u l a t i o n o f r a d i a t i o n p a t t e r n s o f h o r n s m o d i f i e d b y c h o k e s o r p a r a b o l i c c y l i n d e r r e f l e c t o r s . ( 2 - 2 ) i s e x a c t w h e n t h e d i f f r a c t i n g o b j e c t i s a h a l f p l a n e . T h e r e f o r e , s i n g l y d i f f r a c t e d f i e l d s i n a c o r n e r r e r l e c t o r a s a m o d e l f o r p y r a m i d a l h o r n s c a n b e c a l c u l a t e d e x a c t l y . I n m o d i f i e d h o r n s , h o w e v e r , t h e a p p r o x i m a t e s o l u t i o n f o r d i f f r a c t i o n b y a w e d g e i s r e q u i r e d a n d t h e r e i s s o m e e r r o r i n t h e s i n g l y d i f f r a c t e d f i e l d s . T h e a m o u n t o f t h e e r r o r d e p e n d s o n t h e w e d g e a n g l e , t h e d i s t a n c e b e t w e e n t h e s o u r c e a n d t h e d i f f r a c t i n g e d g e a n d t h e a n g l e o f o b s e r v a t i o n . U s i n g ( 2 - 2 ) i n t h e c a l c u l a t i o n o f i n t e r a c t i o n f i e l d s r e s u l t s i n f u r t h e r e r r o r s d u e t o : 1. D i f f r a c t e d f i e l d s i n a t w o - d i m e n s i o n a l p r o b l e m a r e n o n i s o t r o p i c c y l i n d r i c a l w a v e s , ' w h e r e a s t h e y a r e a s s u m e d i s o t r o p i c i n t h e c a l c u l a t i o n o f t h e i n t e r a c t i o n f i e l d s . ' T h i s a s s u m p t i o n t h e n r e s u l t s i n e r r o r s i n t h e s e f i e l d s . I t i s e v i d e n t t h a t t h e h i g h e r t h e o r d e r o f d i f f r a c t i o n t h e m o r e n o n u n i f o r m i t y i n t h e d i f f r a c t e d f i e l d s a n d c o n s e q u e n t l y t h e g r e a t e r t h e r e s u l t i n g e r r o r . H o w e v e r , t h i s e r r o r i s n o t v e r y l a r g e i n a n g u l a r r e g i o n s n o t c l o s e t o t h e s h a d o w b o u n d a r i e s . 2 . D i f f r a c t i o n c o e f f i c i e n t s u s e d i n t h e c a l c u l a t i o n o f i n t e r a c t i o n f i e l d s a r e s t r i c t l y v a l i d f o r t h e f a r f i e l d , w h i l e t h e r a y p a t h b e t w e e n t h e t w o i n t e r a c t i n g e d g e s i s u s u a l l y o n l y a f e w w a v e l e n g t h s . A n e r r o r i n v e s t i g a t i o n i n A p p e n d i x r e v e a l s t h a t i f t h e a p e r t u r e w i d t h t o s l a n t l e n g t h r a t i o i n a h o r n i s o n l y s l i g h t l y l e s s t h a n u n i t y , t h e i n t e r a c t i o n f i e l d s c a n b e c a l c u l a t e d b y ( 2 - 2 ) w i t h s u f f i c i e n t a c c u r a c y . I n g e n e r a l , t h e l a r g e r t h e e l e c t r i c a l d i m e n s i o n s o f a h o r n , t h e m o r e a c c u r a t e t h e p r e d i c t e d p a t t e r n . I n a d d i t i o n t o t h e s e e r r o r s , t h e w a v e g u i d e f e e d a n d t h e m o u n t s y s t e m m a y h a v e a n o t i c e a b l e e f f e c t o n t h e r a d i a t i o n p a t t e r n e s p e c i a l l y i n t h e r e a r d i r e c t i o n s . T h e d i f f e r e n c e b e t w e e n t h e p r e d i c t e d a n d m e a s u r e d b a c k - t o - I t o u t r a t i o s o f h o r n A , T a b l e I V , i s l a r g e l y d u e t o t h e m o u n t s y s t e m a n d t h e w a v e g u i d e f e e d . 5 3 6 . C O N C L U S I O N S T h e g e o m e t r i c a l m e t h o d o f d i f f r a c t i o n a l o n g w i t h t h e K i r c h h o f f m e t h o d w a s e m p l o y e d i n a n a l y z i n g t h e E - p l a n e f a r f i e l d r a d i a t i o n p a t t e r n s o f p y r a m i d a l h o r n s m o d i f i e d b y c h o k e f l a n g e s a n d b y p a r a b o l i c c y l i n d e r r e f l e c t o r s . C o m p a r i s o n o f c o m p u t e d a n d m e a s u r e d p a t t e r n s o f t h e c h o k e d h o r n s s h o w e d g o o d a g r e e m e n t i n t h e o v e r a l l l o b e s t r u c t u r e i n t h e f r o n t r e g i o n . I n t h e r e a r d i r e c t i o n s t h e g e n e r a l l o b e l e v e l w a s p r e d i c t e d . I t w a s o b s e r v e d t h a t m o d i f i c a t i o n b y c h o k e s r e s u l t e d i n a s u b s t a n t i a l r e d u c t i o n i n t h e b a c k r a d i a t i o n , b u t o n l y a s l i g h t i m p r o v e m e n t i n t h e b e a m w i d t h a n d t h e g a i n . T h e m o d i f i c a t i o n o f h o r n s t h r o u g h p a r a b o l i c c y l i n d e r r e f l e c t o r s w a s i n t r o d u c e d i n o r d e r t o n a r r o w t h e b e a m w i d t h , i m p r o v e t h e g a i n a n d r e d u c e t h e b a c k r a d i a t i o n . C o m p u t e d a n d m e a s u r e d p a t t e r n s o f t h e h o r n s m o d i f i e d b y p a r a b o l i c r e f l e c t o r s w e r e i n a v e r y c l o s e a g r e e m e n t o v e r m o s t o f t h e a n g u l a r r a n g e . A s w a s o b s e r v e d t h i s m o d i f i c a t i o n c a n r e s u l t i n a s i g n i f i c a n t r e d u c t i o n i n t h e b e a m w i d t h a n d a c o n s i d e r a b l e i n c r e a s e i n t h e o n - a x i s g a i n . S u b s t a n t i a l l y l o w e r b a c k r a d i a t i o n w a s a l s o a c h i e v e d . T h e c h i e f a d v a n t a g e o f t h i s m o d i f i c a t i o n i n c o m p a r i s o n w i t h t h e m o d i f i c a t i o n b y c h o k e s i s t h e r e s u l t i n g n a r r o w e r b e a m w i d t h . C o n s e q u e n t l y a s h o r t h o r n w i t h s u b s t a n t i a l d i r e c t i v i t y h a s b e e n a c h i e v e d . T h e a n t e n n a i s l i g h t a n d s i m p l e t o c o n s t r u c t . I t h a s a n a r r o w e r b e a m w i d t h t h a n o r d i n a r y h o r n s . T h i s c o m p a c t h o r n m a y f i n d u s e f u l a p p l i c a t i o n i n m a n y s i t u a t i o n s w h e r e 5 4 c o n v e n t i o n a l r e f l e c t o r s c a n n o t b e e a s i l y u s e d a n d w h e r e c o n v e n t i o n a l h o r n s a r e i n c o n v e n i e n t l y l o n g . 55 R E F E R E N C E S I. , A. H . L a G r o n e a n d G . F . R o b e r t s , " M i n o r l o b e s u p p r e s s i o n i n a r e c t a n g u l a r h o r n a n t e n n a t h r o u g h t h e u t i l i z a t i o n o f a h i g h i m p e d a n c e c h o k e f l a n g e , " I E E E T r a n s . A n t e n n a s P r o p a g a t . , v o l . A P - 1 4 , p p . 1 0 2 - 1 0 4 , J a n . 1 9 6 6 . 2. R . E . L a w r i e a n d L . P e t e r s , J r , " M o d i f i c a t i o n s o f h o r n a n t e n n a s f o r l o w s i d e l o b e l e v e l s , " I E E E T r a n s . A n t e n n a s P r o p a g a t . , v o l . A P - 1 4 , p p . 6 0 5 - 6 1 0 , S e p t . 1 9 6 6 . 3 . V. K . K o s h y , K . G . N a i r , a n d G . P . S r i v a s t a v a , " A n a l y s i s o f r a d i a t i o n f r o m a f l a n g e d a p e r t u r e a n t e n n a , " I E E E T r a n s . A n t e n n a s P r o p a g a t . , v o l . A P - 1 8 , p p . 4 0 7 - 4 1 1 , M a y 1 9 7 0 . 4. J . B . K e l l e r , " T h e g e o m e t r i c a l t h e o r y o f d i f f r a c t i o n , " J . O p t . S o c . A m e r . , v o l . 5 2 , p p . 1 1 6 - 1 3 0 , 1 9 6 2 . 5. J . B . K e l l e r , " D i f f r a c t i o n b y a n a p e r t u r e , " J . A p p l . P h y s . v o l . 2 8 , p p . 4 2 6 - 4 4 4 , A p r . 1 9 5 7 . 6. Y . O h b a , " O n t h e r a d i a t i o n p a t t e r n o f a c o r n e r r e f l e c t o r f i n i t e i n w i d t h , " I E E E T r a n s . A n t e n n a s P r o p a g a t . , v o l . A P - 1 1 , p p . 1 2 7 - 1 3 2 , M a r c h 1 9 6 3 . 7. P . M . R u s s o , R . c . R u d d u c k , a n d L . P e t e r s , J r . , " A m e t h o d f o r c o m p u t i n g E - p l a n e p a t t e r n o f h o r n a n t e n n a s , " I E E E T r a n s . A n t e n n a s P r o p a g a t . , v o l . A P - 1 3 , p p . 2 1 9 - 2 2 4 , M a r c h 1 9 6 5 . 8 . J . S . Y u , R . C . R u d d u c k , a n d 1 . P e t e r s , J r . , " C o m p r e h e n s i v e a n a l y s i s f o r E - p l a n e o f h o r n a n t e n n a s b y e d g e d i f f r a c t i o n t h e o r y , " I E E E T r a n s . A n t e n n a s P r o p a g a t . , v o l . A P - 1 4 , p p . 1 3 8 - 1 4 9 , M a r c h 1 9 6 6 . 9. H . Y . Y e e , L . B . F e l s e n , a n d J . B . K e l l e r , " R a y t h e o r y o f r e f l e c t i o n a t t h e o p e n e n d o f a w a v e g u i d e , " S I A M J . A p p l . H a t h . , v o l . 1 6 , p p . 2 6 8 - 3 0 0 , 1 9 6 8 . 10. E. V. J u l l , " R e f l e c t i o n f r o m t h e a p e r t u r e o f a l o n g E - p l a n e s e c t o r a l h o r n , " I E E E T r a n s . 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A . 1 . , i s g i v e n i n [ 1 6 , c h . 1 1 ] a s o u t l i n e d b e l o w V x d - 1 ( 6 + 0 O ) + 1 ( 6 - e o ) , - f o r " p o l a r i z a t i o n , w i t h K v ) - ± 4>1/2 « P U ( J - « > ] r -exp(-,1 u 2) d y 4 [k(R!-R)] ( u 2 + 2kR) ' + f o r c o s > 0 , ( A - l ) a n d R i " r + r Q . ¥ x d d e n o t e s t h e d i f f r a c t e d f i e l d a t p o i n t P a n d k i s t h e f r e e - s p a c e p r o p a g a t i o n c o n s t a n t . I n t h e s u b s e q u e n t a n a l y s i s w e F i g . A . 1 C o o r d i n a t e s f o r l i n e s o u r c e T n e a r a h a l f - p l a n e 5 8 c o n s i d e r o n l y f o r o < Y < ^ A l t h o u g h ( A - 1 ) i s e x a c t i t c a n n o t b e c o n v e n i e n t l y u s e d i n t h e a n a l y s i s o f E - p l a n e p a t t e r n s o f h o r n a n t e n n a s . T h e r e a r e , h o w e v e r , u s e f u l a p p r o x i m a t i o n s a s d e s c r i b e d b e l o w . I f kR 1>>i , u c a n b e r e p l a c e d b y i t s l o w e r l i m i t i n t h e n o n e x p o n e n t i a l t e r m o f t h e i n t e g r a n d o f ( A - 1 ) t o y i e l d C ^ e x p t K f - k R ) ] , / 1 [ k C R l + R ) ] 1 / 2 exp ( - j y 2 ) d u . [ k ( R l + R ) ] l / 2 I f f u r t h e r r » r Q , R 1 a n d R i n ( A - 2 ) m a y b e r e p l a c e d b y i n t h e n o n e x p o n e n t i a l t e r m s a n d b y R-^  = r + r Q , R = r - r Q c o s y i n t h e e x p o n e n t i a l t e r e s , y i e l d i n g 1 (Y) - - exp(-1 k r ) « P [ J . ( f + k r o c o s Y ) 3 1/2 * " ^~T/2 ~ / exp(-jy^)dy ( k r ) (|) [ k r 0 ( l + c o s Y ) ) 1 > r 2 ( A - 3 ) ( A - 3 ) i s i d e n t i c a l w i t h ( 2 - 2 ) i f n = 2 i s u s e d i n i t . A l t h o u g h ( A - 3 ) i s s u b j e c t t o t h e c o n s t r a i n t r » r Q , i n s o m e s i t u a t i o n s i t i s u s e d w i t h o u t h a v i n g s a t i s f i e d t h i s c o n s t r a i n t . F o r i n s t a n c e , d o u b l y d i f f r a c t e d f i e l d s i n a h o r n a r e c a l c u l a t e d b y e m p l o y i n g ( A - 3 ) , w h i l e t h e a p e r t u r e w i d t h i s u s u a l l y s m a l l e r t h a n t h e s l a n t l e n g t h . T o i n v e s t i g a t e t h e e r r o r s i n i ( y ) t w o c a s e s a r e c o n s i d e r e d a s f o l l o w s : 59 a» r > r Q t w h i c h f a v o u r s t h e c o n s t r a i n t r » r Q . T h e p h a s e a n d t h e a m p l i t u d e e r r o r s d e f i n e d a s l l _ - [ l _ a n d - 2 0 1 o g 1 0 l ' | " l r e s p e c t i v e l y a r e p l o t t e d v e r s u s f o r s e v e r a l v a l u e s o f r a n d r o , F i g . A . 2 . I t i s o b s e r v e d t h a t f o r rQ>o.5\ a n d Y < 120° t h e e r r o r s a r e w e l l b e l o w 6 . 5 ° a n d 1 . 5 d B . T h e m a x i m u m e r r o r s a r e l e s s t h a n 7 a n d 3 . d B . b . r < r Q , t h e c o r r e s p o n d i n g p h a s e a n d a m p l i t u d e e r r o r c h a r a c t e r i s t i c s a r e s h o w n i n F i g . A . 3 . A s i s e x p e c t e d l a r g e r e r r o r s r e s u l t . I t i s s e e n t h a t f o r r > 0 # 5 \ a n d y K g 0 o t h e s e e r r o r s a r e l e s s t h a n 6t a n d 1. d B . C o n s e q u e n t l y i f r >0.5X j _ s n o t « r o o a n d i s n o t c l o s e t o 180 ; i . e , t h e r e g i o n o f c o n c e r n i s n o t c l o s e t o s h a d o w b o u n d a r i e s , t h e r e s u l t i n g e r r o r s a r e n e g l i g i b l e . 60 45 90 V (degrees) WO (5 90 135 Y (degrees) WO 45 90 Y (degrees) J35 WO 45 90 135 WO Y(degrees) F i g . A . 2 E r r o r i n I ( y ) f o r r < r F i g . A . 3 . E r r o r i n f o r r < r o 

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