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On the dynamics of spacecraft with a slewing appendage Mah, Harry Wayne 1986

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831-UBC_1986_A7 M29_7.pdf [ 4.67MB ]
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ON T H E D Y N A M I C S O F S P A C E C R A F T W I T H A S L E W I N G A P P E N D A G E b y H A R R Y W A Y N E MAH B . E N G . , T E C H N I C A L U N I V E R S I T Y O F N . S . , 1 9 8 3 A T H E S I S S U B M I T T E D I N P A R T I A L F U L F I L M E N T O F T H E R E Q U I R E M E N T S F O R T H E D E G R E E O F M A S T E R O F A P P L I E D S C I E N C E i n F A C U L T Y O F A P P L I E D S C I E N C E D E P A R T M E N T O F M E C H A N I C A L E N G I N E E R I N G We a c c e p t t h i s t h e s i s a s c o n f o r m i n g t o t h e r e q u i r e d s t a n d a r d T H E U N I V E R S I T Y O F B R I T I S H C O L U M B I A J u l y , 1 9 8 6 © H A R R Y W A Y N E M A H , 1 9 8 6 I n p r e s e n t i n g t h i s t h e s i s i n p a r t i a l f u l f i l m e n t o f t h e r e q u i r e m e n t s f o r a n a d v a n c e d d e g r e e a t t h e T H E U N I V E R S I T Y O F B R I T I S H C O L U M B I A , I a g r e e t h a t t h e L i b r a r y s h a l l m a k e i t f r e e l y a v a i l a b l e f o r r e f e r e n c e a n d s t u d y . I f u r t h e r a g r e e t h a t p e r m i s s i o n f o r e x t e n s i v e c o p y i n g o f t h i s t h e s i s f o r s c h o l a r l y p u r p o s e s m a y b e g r a n t e d b y t h e H e a d o f my D e p a r t m e n t o r b y h i s o r h e r r e p r e s e n t a t i v e s . I t i s u n d e r s t o o d t h a t c o p y i n g o r p u b l i c a t i o n o f t h i s t h e s i s f o r f i n a n c i a l g a i n s h a l l n o t b e a l l o w e d w i t h o u t my w r i t t e n p e r m i s s i o n . D E P A R T M E N T O F M E C H A N I C A L E N G I N E E R I N G T H E U N I V E R S I T Y O F B R I T I S H C O L U M B I A 2 0 7 5 W e s b r o o k P l a c e V a n c o u v e r , C a n a d a V 6 T 1W5 D a t e : J u l y , 1 9 8 6 A B S T R A C T A r e l a t i v e l y g e n e r a l f o r m u l a t i o n f o r s t u d y i n g l i b r a t i o n a l d y n a m i c s o f a r i g i d s a t e l l i t e w i t h a r i g i d a p p e n d a g e f r e e t o u n d e r g o a n y a r b i t r a r y s l e w i n g m o t i o n i s d e v e l o p e d . T h e g o v e r n i n g n o n l i n e a r , n o n a u t o n o m o u s a n d c o u p l e d e q u a t i o n s a r e s o l v e d n u m e r i c a l l y . A p a r a m e t r i c s t u d y s u g g e s t s t h a t t h e s y s t e m c a n b e c o m e u n s t a b l e u n d e r c r i t i c a l c o m b i n a t i o n s o f i n e r t i a , g e o m e t r i c , o r b i t a l a n d s l e w i n g t i m e h i s t o r y p a r a m e t e r s . T h e f u n d a m e n t a l i n f o r m a t i o n i s r e l e v a n t t o t h e d e s i g n o f s a t e l l i t e s a n d t h e O r b i t e r b a s e d e x p e r i m e n t s , a n d c o n s t r u c t i o n o f t h e p r o p o s e d s p a c e s t a t i o n , w h i c h w o u l d i n v o l v e c o m p l e x s l e w i n g m o t i o n o f s t r u c t u r a l c o m p o n e n t s . i i T A B L E O F C O N T E N T S 1 . I N T R O D U C T I O N 1 1.1 P r e l i m i n a r y R e m a r k s 1 1 . 2 A B r i e f R e v i e w o f t h e L i t e r a t u r e 2 1 . 3 P u r p o s e a n d S c o p e o f t h e I n v e s t i g a t i o n 5 2 . F O R M U L A T I O N O F T H E P R O B L E M 7 2 . 1 S p a c e c r a f t M o d e l 7 2 . 2 D e v e l o p m e n t o f t h e G e n e r a l E q u a t i o n s o f M o t i o n . . 1 1 2 . 2 . 1 K i n e t i c e n e r g y 11 2 . 2 . 2 P o t e n t i a l e n e r g y 16 2 . 3 G o v e r n i n g E q u a t i o n s o f M o t i o n 18 2 . 4 L i b r a t i o n a l T e r m s f o r t h e E q u a t i o n s o f M o t i o n . . . 1 9 2 . 5 S p e c i f i c S a t e l l i t e C o n f i g u r a t i o n S e l e c t e d f o r S t u d y 19 2 . 5 . 1 C y l i n d r i c a l c e n t r a l b o d y w i t h a c y l i n d r i c a l a p p e n d a g e 19 2 . 5 . 2 G o v e r n i n g p a r a m e t e r s f o r t h e t w o c y l i n d e r c o n f i g u r a t i o n 21 2 . 5 . 3 A p p e n d a g e r o t a t i o n s 24 2 . 5 . 4 A p p e n d a g e t i m e h i s t o r y p a r a m e t e r s 26 2 . 6 S y s t e m P a r a m e t e r s 2 6 2 . 6 . 1 I n s t a n t a n e o u s c e n t e r o f m a s s 27 2 . 6 . 2 E v a l u a t i o n o f s y s t e m p a r a m e t e r s 27 3 . R E S U L T S A N D D I S C U S S I O N 2 9 3 . 1 C o m p u t a t i o n a l C o n s i d e r a t i o n s 2 9 3 . 2 E f f e c t o f A p p e n d a g e T i m e H i s t o r y 2 9 3 . 3 E f f e c t o f S a t e l l i t e I n e r t i a a n d G e o m e t r y 48 3 . 4 E f f e c t o f I m p u l s i v e D i s t u r b a n c e 54 3 . 5 E f f e c t o f O r b i t E c c e n t r i c i t y 5 9 i i i 4 . C O N C L U D I N G R E M A R K S 61 4 . 1 S u m m a r y o f C o n c l u s i o n s 61 4 . 2 R e c o m m e n d a t i o n s f o r F u t u r e W o r k 62 B I B L I O G R A P H Y 65 A P P E N D I X A - A N G U L A R MOMENTUM V E C T O R {H} 74 A P P E N D I X B - S A T E L L I T E I N E R T I A M A T R I X [ I ] . . . 7 8 A P P E N D I X C - E Q U A T I O N S O F M O T I O N 7 9 A P P E N D I X D - L I B R A T I O N A L T E R M S 88 A P P E N D I X E - T R A N S F O R M A T I O N T E R M S F O R S L E W M A N E U V E R S 96 A P P E N D I X F - C E N T E R O F M A S S T E R M S . . . . 99 A P P E N D I X G - N O N D I M E N S I O N A L S A T E L L I T E I N E R T I A M A T R I X 109 A P P E N D I X H - N O N D I M E N S I O N A L A N G U L A R MOMENTUM V E C T O R 111 A P P E N D I X I - N O N D I M E N S I O N A L D E R I V A T I V E O F S A T E L L I T E I N E R T I A M A T R I X 112 A P P E N D I X J - N O N D I M E N S I O N A L D E R I V A T I V E O F A N G U L A R M O M E N T U M V E C T O R 113 A P P E N D I X K - E Q U A T I O N S F O R A P P E N D A G E T I M E H I S T O R I E S 114 i v L I S T O F F I G U R E S F i g u r e P a g e 2 . 1 G e o m e t r y o f o r b i t i n g s p a c e c r a f t w i t h a s l e w i n g a p p e n d a g e 8 2 . 2 D o m a i n s a s s o c i a t e d w i t h c e n t r a l a n d a p p e n d a g e c o m p o n e n t s o f s p a c e c r a f t a n d c o r r e s p o n d i n g r e f e r e n c e c o o r d i n a t e s y s t e m s 10 2 . 3 S c h e m a t i c d i a g r a m s h o w i n g p o s i t i o n v e c t o r s t o m a s s e l e m e n t s i n d i f f e r e n t d o m a i n s 12 2 . 4 E u l e r i a n r o t a t i o n s s h o w i n g p i t c h (\//), r o l l ( 0 ) , a n d y a w ( X ) l i b r a t i o n s 20 2 . 5 S p e c i f i c s a t e l l i t e c o n f i g u r a t i o n -c y l i n d r i c a l c e n t r a l b o d y w i t h a c y l i n d r i c a l a p p e n d a g e 22 2 . 6 V a r i a t i o n o f t h e i n e r t i a r a t i o $ w i t h s a t e l l i t e g e o m e t r y 23 2 . 7 A p p e n d a g e s l e w m o t i o n r e l a t i v e t o c e n t r a l b o d y 2 5 3 . 1 A p p e n d a g e t i m e h i s t o r i e s w i t h f i n i t e i n i t i a l v e l o c i t y : ( a ) e x p o n e n t i a l d i s p l a c e m e n t ; ( b ) v e l o c i t y ; ( c ) a c c e l e r a t i o n ; ( d ) s i n u s o i d a l o r r a m p d i s p l a c e m e n t ; ( e ) v e l o c i t y ; ( f ) a c c e l e r a t i o n 30 3 . 2 A p p e n d a g e t i m e h i s t o r i e s w i t h z e r o i n i t i a l v e l o c i t y : ( a ) e x p o n e n t i a l d i s p l a c e m e n t ; ( b ) v e l o c i t y ; ( c ) a c c e l e r a t i o n ; ( d ) s i n u s o i d a l , r a m p o r c u b i c d i s p l a c e m e n t ; ( e ) v e l o c i t y ; ( f ) a c c e l e r a t i o n 32 3 . 3 S y s t e m r e s p o n s e s h o w i n g e f f e c t o f a p p e n d a g e t i m e h i s t o r i e s w i t h f i n i t e i n i t i a l v e l o c i t y : ( a ) e x p o n e n t i a l ; ( b ) s i n u s o i d a l ; ( c ) r a m p 3 5 v 3 . 4 S y s t e m r e s p o n s e s h o w i n g e f f e c t o f a p p e n d a g e t i m e h i s t o r i e s w i t h z e r o i n i t i a l v e l o c i t y : ( a ) s i n u s o i d a l ; ( b ) r a m p ; ( c ) c u b i c 36 3 . 5 S y s t e m r e s p o n s e s h o w i n g t h e e f f e c t o f d u r a t i o n o f s l e w i n g m a n e u v e r w i t h z e r o i n i t i a l v e l o c i t y : ( a ) 0 . 0 0 1 o r b i t ; ( b ) 0 . 1 0 0 o r b i t ; ( c ) 0 . 3 0 0 o r b i t 37 3 . 6 S y s t e m r e s p o n s e d u r i n g s l e w m o t i o n f o r v a r i o u s t i m e h i s t o r i e s : ( a ) p i t c h r e s p o n s e ; ( b ) p i t c h r a t e r e s p o n s e . ." 3 9 3 . 7 S y s t e m r e s p o n s e s h o w i n g e f f e c t o f a p p e n d a g e p i t c h : ( a ) d u r a t i o n ; ( b ) i n i t i a l p o s i t i o n ; ( c ) f i n a l p o s i t i o n 40 3 . 8 S y s t e m r e s p o n s e s h o w i n g e f f e c t o f a p p e n d a g e p i t c h : ( a ) i n i t i a l p o s i t i o n ; ( b ) f i n a l p o s i t i o n 42 3 . 9 S y s t e m r e s p o n s e d u e t o a p p e n d a g e s l e w m o t i o n i n r o l l : ( a ) p i t c h r e s p o n s e ; ( b ) r o l l r e s p o n s e ; ( c ) y a w r e s p o n s e 43 3 . 1 0 S y s t e m r e s p o n s e d u e t o a p p e n d a g e p i t c h a n d r o l l s l e w m o t i o n s : ( a ) p i t c h r e s p o n s e ; ( b ) r o l l r e s p o n s e ; ( c ) y a w r e s p o n s e 4 5 3 . 1 1 S y s t e m r e s p o n s e d u e t o a p p e n d a g e p i t c h a n d r o l l s l e w m o t i o n s : ( a ) p i t c h r e s p o n s e ; ( b ) r o l l r e s p o n s e ; ( c ) y a w r e s p o n s e 4 6 v i 3 . 1 2 S y s t e m r e s p o n s e s h o w i n g e f f e c t o f p a t h o f a p p e n d a g e d u r i n g s l e w m o t i o n : ( a ) p i t c h r e s p o n s e ; ( b ) r o l l r e s p o n s e ; ( c ) y a w r e s p o n s e 47 3 . 1 3 S y s t e m r e s p o n s e s h o w i n g e f f e c t o f : ( a ) c e n t r a l b o d y i n e r t i a r a t i o ; ( b ) a p p e n d a g e i n e r t i a r a t i o ; ( c ) a p p e n d a g e / c e n t r a l b o d y m a s s r a t i o . . . . 4 9 3 . 1 4 S y s t e m r e s p o n s e d u e t o a p p e n d a g e p i t c h s l e w m o t i o n a s a f f e c t e d b y h i n g e l o c a t i o n : ( a ) i n t h e o r b i t a l p l a n e ; ( b ) , ( c ) a c r o s s t h e o r b i t a l p l a n e 51 3 . 1 5 S y s t e m r e s p o n s e d u e t o a p p e n d a g e r o l l s l e w m o t i o n a s a f f e c t e d b y h i n g e l o c a t i o n i n t h e o r b i t a l p l a n e : ( a ) p i t c h r e s p o n s e ; ( b ) r o l l r e s p o n s e 52 3 . 1 6 S y s t e m r e s p o n s e d u e t o a p p e n d a g e r o l l s l e w m o t i o n a s a f f e c t e d b y h i n g e l o c a t i o n a c r o s s t h e o r b i t a l p l a n e : ( a ) p i t c h r e s p o n s e ; ( b ) r o l l r e s p o n s e 5 3 3 . 1 7 S y s t e m r e s p o n s e f o r a n a d v e r s e c o m b i n a t i o n o f s a t e l l i t e i n e r t i a a n d g e o m e t r y : ( a ) p i t c h r e s p o n s e ; ( b ) r o l l r e s p o n s e ; ( c ) y a w r e s p o n s e 5 5 3 . 1 8 S y s t e m r e s p o n s e d u e t o a p p e n d a g e p i t c h s l e w m o t i o n a s a f f e c t e d b y a n i m p u l s i v e d i s t u r b a n c e : ( a ) i n t h e o r b i t a l p l a n e ; ( b ) , ( c ) a c r o s s t h e o r b i t a l p l a n e 56 v i i 3 . 1 9 S y s t e m r e s p o n s e d u e t o a p p e n d a g e r o l l s l e w m o t i o n a s a f f e c t e d b y a n i m p u l s i v e d i s t u r b a n c e i n t h e o r b i t a l p l a n e : ( a ) p i t c h r e s p o n s e ; ( b ) r o l l r e s p o n s e 57 3 . 2 0 S y s t e m r e s p o n s e d u e t o a p p e n d a g e r o l l s l e w m o t i o n a s a f f e c t e d b y a n i m p u l s i v e d i s t u r b a n c e a c r o s s t h e o r b i t a l p l a n e : ( a ) p i t c h r e s p o n s e ; ( b ) r o l l r e s p o n s e 58 3 . 2 1 S y s t e m r e s p o n s e d u e t o a p p e n d a g e r o l l s l e w m o t i o n a s a f f e c t e d b y o r b i t e c c e n t r i c i t y : ( a ) p i t c h r e s p o n s e ; ( b ) r o l l r e s p o n s e 6 0 v i i i A C K N O W L E D G E M E N T T h e a u t h o r w i s h e s t o e x p r e s s h i s s i n c e r e t h a n k s a n d a p p r e c i a t i o n t o D r . V . J . M o d i f o r g u i d a n c e g i v e n t h r o u g h o u t t h e p r e p a r a t i o n o f t h e t h e s i s . H i s h e l p a n d e n c o u r a g e m e n t h a v e b e e n i n v a l u a b l e . T h e i n v e s t i g a t i o n r e p o r t e d i n t h i s t h e s i s w a s s u p p o r t e d b y t h e N a t u r a l S c i e n c e a n d E n g i n e e r i n g R e s e a r c h C o u n c i l o f C a n a d a , G r a n t N o . A - 2 1 8 1 . L I S T O F S Y M B O L S a p o s i t i o n v e c t o r f o r m a s s e l e m e n t o f a p p e n d a g e , F i g u r e 2 . 3 c , c Q p o s i t i o n v e c t o r s , F i g u r e 2 . 3 c e n o n d i m e n s i o n a l g r a v i t a t i o n a l c o n s t a n t , 3 / ( 1 + e c o s 0 ) c M g r a v i t a t i o n a l c o n s t a n t , 3n/Rc3 d a p o s i t i o n v e c t o r , - c - c 0 + h + 1$, A p p e n d i x B d s p o s i t i o n v e c t o r , - c - c 0 , A p p e n d i x B d m a , d m s d i f f e r e n t i a l e l e m e n t s f o r a p p e n d a g e a n d c e n t r a l b o d y , r e s p e c t i v e l y , F i g u r e 2 . 3 f p o s i t i o n v e c t o r , F i g u r e * 2 . 3 f 3 p r o j e c t i o n o f f o n t o b o d y a x e s x , y , z ; [ M a ] f f e n o n d i m e n s i o n a l e c c e n t r i c i t y f u n c t i o n , - 2 e s i n 0 / ( 1 + e c o s 0 ) g p o s i t i o n v e c t o r , - c - c 0 +h + f , F i g u r e 2 . 3 h p o s i t i o n v e c t o r , F i g u r e 2 . 3 i , j , k u n i t v e c t o r s a l o n g x , y , z a x e s , r e s p e c t i v e l y ^ a ' ^ a ' ^ a u n i t v e c t o r s a l o n g x a , y a , z a a x e s , r e s p e c t i v e l y ^ S ' D s ' ^ s u n i t v e c t o r s a l o n g x s , y s , z s a x e s , r e s p e c t i v e l y {/} d i r e c t i o n c o s i n e s f o r u n i t v e c t o r a l o n g R c w i t h r e s p e c t t o b o d y a x e s x , y , z m , m a , m s s a t e l l i t e , a p p e n d a g e a n d c e n t r a l b o d y m a s s e s , r e s p e c t i v e l y {q} g e n e r a l i z e d c o o r d i n a t e v e c t o r f o r l i b r a t i o n a l d e g r e e s o f f r e e d o m q i g e n e r a l i z e d c o o r d i n a t e f o r i f c ^ l i b r a t i o n a l d e g r e e o f f r e e d o m r p o s i t i o n v e c t o r f o r a m a s s e l e m e n t dm r a p o s i t i o n _ v e c t o r f o r m a s s e l e m e n t d m a , - c - c Q +h +f + a , F i g u r e 2 . 3 x r s p o s i t i o n v e c t o r f o r m a s s e l e m e n t d m s , - c - c 0 + s , F i g u r e 2 . 3 s p o s i t i o n v e c t o r f o r m a s s e l e m e n t o f c e n t r a l b o d y , F i g u r e 2 . 3 t t i m e x , y , z s a t e l l i t e b o d y c o o r d i n a t e s w i t h o r i g i n a t C , F i g u r e 2 . 2 x a ' Y a ' z a a p p e n d a g e b o d y c o o r d i n a t e s w i t h o r i g i n a t 0 a , F i g u r e 2 . 2 x s r Y s > z s c e n t r a l b o d y c o o r d i n a t e s w i t h o r i g i n a t 0 S , F i g u r e 2 . 2 C i n s t a n t a n e o u s c e n t e r o f m a s s o f s a t e l l i t e C G c e n t e r o f m a s s o f s a t e l l i t e b e f o r e a p p e n d a g e s l e w m o t i o n D a , D s d o m a i n s a s s o c i a t e d w i t h a p p e n d a g e a n d c e n t r a l b o d y o f s a t e l l i t e , F i g u r e 2 . 2 E c e n t e r o f f o r c e [ E ] u n i t m a t r i x {H} a n g u l a r m o m e n t u m w i t h r e s p e c t t o b o d y a x e s x , y , z d u e t o s l e w i n g a p p e n d a g e [ I ] s a t e l l i t e i n e r t i a d i a d i c [ l a ] a p p e n d a g e i n e r t i a d i a d i c I a r D a r b i t r a r y i n e r t i a u s e d t o n o n d i m e n s i o n a l i z e t h e e q u a t i o n s o f m o t i o n [ l s ] c e n t r a l b o d y i n e r t i a d i a d i c [ M a ] t r a n s f o r m a t i o n m a t r i x d e f i n i n g r o t a t i o n b e t w e e n x a ' Y a ' z a a n d X ' Y > Z a x e s O a , O s c e n t e r s o f m a s s f o r a p p e n d a g e a n d c e n t r a l b o d y , r e s p e c t i v e l y , F i g u r e 2 . 3 P h i n g e l o c a t i o n o n c e n t r a l b o d y , F i g u r e 2 . 3 {Q} g e n e r a l i z e d f o r c e v e c t o r f o r l i b r a t i o n a l d e g r e e s o f f r e e d o m Q i g e n e r a l i z e d f o r c e f o r i f c ^ l i b r a t i o n a l d e g r e e o f f r e e d o m x i R p o s i t i o n v e c t o r f r o m t h e c e n t e r o f f o r c e t o a m a s s e l e m e n t dm R C , R C s c a l a r d i s t a n c e a n d p o s i t i o n v e c t o r , r e s p e c t i v e l y , f r o m t h e c e n t e r o f f o r c e t o t h e s a t e l l i t e ' s i n s t a n t a n e o u s c e n t e r o f m a s s T k i n e t i c e n e r g y T e e f f e c t i v e k i n e t i c e n e r g y c o n t r i b u t i n g t o t h e l i b r a t i o n a l e q u a t i o n s o f m o t i o n U p o t e n t i a l e n e r g y U e e f f e c t i v e p o t e n t i a l e n e r g y c o n t r i b u t i n g t o t h e l i b r a t i o n a l e q u a t i o n s o f m o t i o n X , Y , Z i n e r t i a l c o o r d i n a t e s y s t e m w i t h o r i g i n a t E X 0 , Y 0 , Z 0 o r b i t a l c o o r d i n a t e s y s t e m w i t h o r i g i n a t C 0 a,B a p p e n d a g e s l e w m o t i o n c o o r d i n a t e s , p i t c h a n d r o l l , r e s p e c t i v e l y a j,/3i i n i t i a l a p p e n d a g e p o s i t i o n c o o r d i n a t e s , p i t c h a n d r o l l , r e s p e c t i v e l y af,Bf f i n a l a p p e n d a g e p o s i t i o n c o o r d i n a t e s , p i t c h a n d r o l l , r e s p e c t i v e l y e o r b i t e c c e n t r i c i t y £ a i n e r t i a r a t i o f o r a p p e n d a g e , I a , z / I a , x $ s i n e r t i a r a t i o f o r c e n t r a l b o d y , I S ( Z / I S ( X 17 m a s s r a t i o o f a p p e n d a g e t o c e n t r a l b o d y , m a / m s 6 t r u e a n o m a l y n u n i v e r s a l g r a v i t a t i o n a l c o n s t a n t £ v e c t o r o f n o r m a l i z e d c o o r d i n a t e s s p e c i f y i n g h i n g e l o c a t i o n o n c e n t r a l b o d y p m a s s d e n s i t y r a t i o o f a p p e n d a g e t o c e n t r a l b o d y Ta,rp s l e w m o t i o n d u r a t i o n s f o r a p p e n d a g e p i t c h a n d r o l l , r e s p e c t i v e l y X l i b r a t i o n a l c o o r d i n a t e s d e f i n i n g p i t c h , r o l l a n d y a w , r e s p e c t i v e l y x i i co, {co} s a t e l l i t e a n g u l a r v e l o c i t y v e c t o r ^ a ' f ^ a ^ a p p e n d a g e a n g u l a r v e l o c i t y v e c t o r r e l a t i v e t o c e n t r a l b o d y Aa,A/3 s p e c i f i e d c h a n g e s i n c o o r d i n a t e s d u e t o a p p e n d a g e s l e w m o t i o n , p i t c h a n d r o l l , r e s p e c t i v e l y D o t s a n d p r i m e s r e p r e s e n t d i f f e r e n t i a t i o n w i t h r e s p e c t t o t a n d 6, r e s p e c t i v e l y , u n l e s s o t h e r w i s e d e f i n e d ; s u p e r s c r i p t * i m p l i e s n o n d i m e n s i o n a l p a r a m e t e r u n l e s s o t h e r w i s e i n d i c a t e d . x i i i 1 . I N T R O D U C T I O N 1.1 P r e l i m i n a r y R e m a r k s T h e S p a c e S h u t t l e i s o p e r a t i o n a l a n d h a s p r o v e d i t s v e r s a t i l i t y i n u n d e r t a k i n g d i v e r s e m i s s i o n s . T h e n e x t l o g i c a l s t e p w o u l d b e t o u s e i t i n t h e c o n s t r u c t i o n o f o p e r a t i o n a l b a s e s f o r s c i e n t i f i c e x p l o r a t i o n , s a t e l l i t e l a u n c h a n d m a i n t e n a n c e , m a n u f a c t u r e o f p r o d u c t s i n t h e f a v o u r a b l e m i c r o g r a v i t y e n v i r o n m e n t , a n d t h e e a r t h o r i e n t e d a p p l i e d t e c h n o l o g y p r o g r a m s . T o t h i s e n d , t h e U . S . h a s c o m m i t t e d i t s e l f t o t h e c o n s t r u c t i o n o f a s p a c e s t a t i o n b y t h e e a r l y n i n e t i e s u s i n g t h e S h u t t l e b a s e d S p a c e T r a n s p o r t a t i o n S y s t e m f o r f e r r y i n g m a t e r i a l a n d c o n s t r u c t i o n c r e w . T h e p r o g r a m p r e s e n t s a h o s t o f p o s s i b i l i t i e s i n v o l v i n g r e l a t i v e s l e w i n g m o t i o n o f s t r u c t u r a l m e m b e r s , s u b a s s e m b l i e s a n d p l a t f o r m s . E v e n t h e s t e a d y s t a t e o p e r a t i o n a l p h a s e c a n i n v o l v e s l e w i n g m o t i o n o f a n t e n n a s , s c i e n t i f i c i n s t r u m e n t s , t e l e s c o p e s a n d o t h e r s y s t e m s a s i n t h e c a s e o f t h e p r o p o s e d G a l i l e o s p a c e c r a f t . T r a n s f e r o f l o a d o v e r t h e s p a c e s t a t i o n u s i n g a M o b i l e R e m o t e M a n i p u l a t o r S y s t e m (MRMS) m a y r e q u i r e c o m p l e x s l e w i n g t i m e h i s t o r i e s a n d c a n c r e a t e c h a l l e n g i n g t r a n s i e n t d y n a m i c s , s t a b i l i t y a n d c o n t r o l p r o b l e m s . I n i t s u t m o s t g e n e r a l i t y t h e p r o b l e m c a n b e q u i t e c o m p l e x : s l e w i n g m o t i o n o f o n e o r m o r e t r a n s l a t i n g , f l e x i b l e s y s t e m s s u p p o r t e d b y a f l e x i b l e p l a t f o r m . T o g e t s o m e a p p r e c i a t i o n a s t o t h e f u n d a m e n t a l d y n a m i c s a s a f f e c t e d b y t h e s y s t e m i n e r t i a d i s t r i b u t i o n , f l e x i b i l i t y , o r b i t a l 1 2 p a r a m e t e r s , s l e w i n g t i m e h i s t o r i e s a n d g e n e r a l i z e d f o r c e s , i t i s p l a n n e d t o a p p r o a c h t h e p r o b l e m i n a n i n c r e a s i n g o r d e r o f c o m p l e x i t y . A s a f i r s t s t e p , t h i s t h e s i s c o n s i d e r s t h e s l e w i n g d y n a m i c s o f a r i g i d a p p e n d a g e , o f a r b i t r a r y i n e r t i a , w i t h r e f e r e n c e t o a r i g i d p l a t f o r m i n a g e n e r a l o r b i t . 1 . 2 A B r i e f R e v i e w o f t h e L i t e r a t u r e L i t e r a t u r e p e r t a i n i n g t o l i b r a t i o n a l d y n a m i c s o f r i g i d a n d f l e x i b l e s p a c e c r a f t i s i n d e e d e n o r m o u s a n d a n y a t t e m p t a t a c o m p r e h e n s i v e r e v i e w o f t h i s v a s t b o d y o f l i t e r a t u r e i s c o n s i d e r e d u n w a r r a n t e d a n d b e y o n d t h e s c o p e o f t h e p r e s e n t t h e s i s . F o r t u n a t e l y , t h e r e a r e s e v e r a l p a p e r s t h a t c o v e r s p e c i f i c a s p e c t s o f s a t e l l i t e d y n a m i c s q u i t e t h o r o u g h l y 1 " 7 . O f c o n s i d e r a b l e i n t e r e s t i s t h e r e l a t i v e m o t i o n o f a p p e n d a g e s i n v o l v i n g d e p l o y m e n t d y n a m i c s w h e r e a s p a c e c r a f t e x t e n d s f l e x i b l e a p p e n d a g e s o u t w a r d l y f r o m i t s c e n t r a l b o d y . T h e c o m p l e x i t y o f t h e p r o b l e m h a s o f t e n l e d t o a n a l y s e s i n v o l v i n g s i m p l i f y i n g a s s u m p t i o n s . L a n g a n d H o n e y c u t t 8 a s w e l l a s C l o u t i e r 9 r e p r e s e n t e d a n a p p e n d a g e b y p o i n t m a s s e s , w h i l e s e v e r a l o t h e r a u t h o r s h a d t r e a t e d t h e f l e x i b l e m e m b e r s a s r i g i d b o d i e s 1 0 " 1 2 . C h e r c h a s a n d h i s a s s o c i a t e s 1 3 " 1 " a s w e l l a s Dow e t a l . 1 5 c o n s i d e r e d u n i f o r m f l e x i b l e a p p e n d a g e s w i t h s p e c i f i c c o n f i g u r a t i o n s a n d f i x e d d e p l o y m e n t v e l o c i t i e s . J a n k o v i c 1 6 i n v e s t i g a t e d d y n a m i c s o f t h e C T S s o l a r p a n e l s d u r i n g d e p l o y m e n t a n d c o r r e l a t e d m e a s u r e d t i p a c c e l e r a t i o n w i t h t h e a n a l y t i c a l p r e d i c t i o n . I b r a h i m a n d M i s r a 1 7 s t u d i e d t h e l i b r a t i o n a l d y n a m i c s o f a b o d y d e p l o y i n g 3 t w o p l a t e t y p e f l e x i b l e m e m b e r s n o r m a l t o t h e o r b i t i n g p l a n e . T h e e f f e c t o f d e p l o y m e n t v e l o c i t i e s a n d p l a t e p r o p e r t i e s o n t h e l i b r a t i o n a l r e s p o n s e w a s i n v e s t i g a t e d . A g e n e r a l f o r m u l a t i o n f o r s a t e l l i t e s w i t h f l e x i b l e d e p l o y i n g b e a m t y p e a p p e n d a g e s h a s b e e n p r e s e n t e d b y L i p s a n d M o d i 1 8 . I n t e r a c t i o n b e t w e e n t h e l i b r a t i o n d y n a m i c s , f l e x i b i l i t y , a n d d e p l o y m e n t w a s s t u d i e d a n d i t w a s n o t e d t h a t c e r t a i n c o m b i n a t i o n s o f s y s t e m p a r a m e t e r s g a v e r i s e t o i n s t a b i l i t y . M o r e r e c e n t l y , a r a t h e r g e n e r a l f o r m u l a t i o n r e p r e s e n t i n g t h e c l a s s o f s p a c e c r a f t w i t h d e p l o y i n g f l e x i b l e , e x t e n s i b l e b e a m / p l a t e t y p e a p p e n d a g e s h a s b e e n p r e s e n t e d b y I b r a h i m a n d M o d i 1 9 . T h i s i s o f p a r t i c u l a r i n t e r e s t a s t h e f o r m u l a t i o n t a k e s i n t o a c c o u n t t h e s h i f t i n g c e n t e r o f m a s s a n d t h e c h a n g i n g c e n t r a l r i g i d b o d y i n e r t i a , w h i c h a r e f a c t o r s t h a t a l s o o c c u r i n t h e c l a s s o f s p a c e c r a f t w i t h a s l e w i n g a p p e n d a g e . T h e c o n t r o l o f a s a t e l l i t e w i t h d e p l o y i n g a p p e n d a g e s i n d e e d r e p r e s e n t s a n i n t r i g u i n g p r o b l e m . T h e c h a l l e n g e h a s b e e n w e l l m e t w i t h a n a n a l y s i s p r o f f e r e d b y S e l l a p p a n a n d B a i n u m 2 0 o n t h e s t o i c h a s t i c o p t i m a l c o n t r o l o f a s p i n n i n g s p a c e c r a f t w i t h m o v a b l e t e l e s c o p i n g a p p e n d a g e s . A l s o o f r e l e v a n t i n t e r e s t i s t h e d y n a m i c s o f s l e w i n g s p a c e c r a f t . S e v e r a l p r o p o s e d m i s s i o n s r e q u i r e r a p i d l a r g e a n g l e m a n e u v e r s a n d a h i g h d e g r e e o f p o i n t i n g a c c u r a c y . T h i s d i c t a t e s a n e e d f o r c o n t r o l l e d s a t e l l i t e s l e w i n g m a n e u v e r s . B a r b a a n d A u b r u n 2 1 p r e s e n t e d a m a t h e m a t i c a l d e s c r i p t i o n o f t h e p r o b l e m o f c o n t r o l l i n g s l e w i n g m o t i o n s o f s p a c e c r a f t b y m e a n s o f g y r o s c o p i c d e v i c e s a n d g a v e g e o m e t r i c a l 4 i n t e r p r e t a t i o n s o f t h e e n e r g y a n d m o m e n t u m t r a n s f e r t h r o u g h t h e " m o m e n t u m s p h e r e " a n d t h e " e n e r g y e l l i p s o i d " . A n u m b e r o f i n v e s t i g a t o r s 2 2 " 2 5 , a m o n g t h e m K r a n t o n 2 6 , a n d S k a a r a n d K r a i g e 2 7 , h a v e a d d r e s s e d t h e p r o b l e m o f c o n t r o l v i a g y r o s c o p i c m e a n s , a t t e m p t i n g t o f i n d c o n t r o l l a w s t h a t m i n i m i z e e i t h e r m a n e u v e r t i m e o r e n e r g y c o n s u m p t i o n . C h e n a n d K a n e 2 8 a p p r o a c h e d t h e s l e w i n g p r o b l e m f r o m a d i f f e r e n t a n g l e , f o c u s i n g a t t e n t i o n n o t o n c o n t r o l t o r q u e s , b u t o n t h e i n t e r n a l a n g u l a r m o m e n t u m o f a g y r o s t a t . E x p l o i t i n g t h e u s e o f a c t i v e c o n t r o l , D w y e r a n d B a t t e n 2 9 o p t e d f o r t h r u s t e r s a s w e l l a s r e a c t i o n w h e e l s . On t h e o t h e r h a n d , J u n k i n s e t a l . 3 0 h a v e r e l i e d o n t h e i n t e r a c t i o n b e t w e e n e l e c t r o m a g n e t s a n d t h e E a r t h ' s m a g n e t i c f i e l d w h i l e L u n s c h e r a n d M o d i 3 1 u t i l i z e d s o l a r p r e s s u r e t o e x e c u t e s l e w i n g m a n e u v e r s . J u n k i n s a n d T u r n e r 3 2 , a n d V a d a l i a n d J u n k i n s 3 3 i n t r o d u c e d o p t i m a l l a r g e a n g l e m a n e u v e r s o f r i g i d s p a c e c r a f t , w h i l e J u a n g e t a l . 3 f l o b t a i n e d a c l o s e d f o r m s o l u t i o n f o r f e e d b a c k c o n t r o l . F r a u e n h o l z 3 5 u s e d a m a n e u v e r r e c o n s t r u c t i o n p r o c e s s t o i m p r o v e s l e w p e r f o r m a n c e , a n d D w y e r a n d F a d a l i 3 6 d e v e l o p e d s i n g l e s t e p o p t i m i z a t i o n s t r a t e g i e s s u i t a b l e f o r s i m u l t a n e o u s s l e w t r a j e c t o r y p l a n n i n g a n d t r a c k i n g . C o n t r o l l a w s i n v o l v i n g n o n l i n e a r f e e d b a c k w e r e p r e s e n t e d b y C a r r i n g t o n a n d J u n k i n s 3 7 " 3 9 , a n d D w y e r * 0 . T h e s l e w i n g d y n a m i c s o f f l e x i b l e s p a c e c r a f t h a v e b e e n a n a l y z e d b y s e v e r a l i n v e s t i g a t o r s ' 1 " 5 5 , w i t h c o n t r i b u t i o n s b y B r e a k w e l l 5 " a n d M e i r o v i t c h 5 5 o f c o n s i d e r a b l e s i g n i f i c a n c e . 5 T h e a r e a o f i n s t r u m e n t o r a p p e n d a g e p o i n t i n g s y s t e m s i s q u i t e r e l e v a n t t o t h i s i n v e s t i g a t i o n . O f p a r t i c u l a r i n t e r e s t i s t h e s t u d y d o n e b y C h r e t i e n e t a l . 5 6 i n w h i c h t h e a t t i t u d e c o n t r o l o f a s a t e l l i t e w i t h a r o t a t i n g s o l a r a r r a y w a s c o n s i d e r e d . O t h e r p o i n t i n g s y s t e m s a n a l y z e d w e r e : a n a u x i l i a r y i n s t r u m e n t s t a t i o n , b y J o s h i 5 7 ; t h e V o y a g e u r h i g h g a i n a n t e n n a , b y J a h a n s h a h i 5 8 ; a n d t h e S p a c e T e l e s c o p e p o i n t i n g c o n t r o l u n i t , b y D o u g h e r t y e t a l . 5 9 A l s o , B r o q u e t e t a l . 6 0 s t u d i e d a n t e n n a p o i n t i n g s y s t e m s f o r l a r g e c o m m u n i c a t i o n s s a t e l l i t e s , a n d Y u a n a n d S t i e b e r 6 1 e x a m i n e d t h e r o b u s t b e a m - p o i n t i n g a n d a t t i t u d e c o n t r o l o f a f l e x i b l e s p a c e c r a f t . T h e p o i n t i n g p e r f o r m a n c e o f a d u a l - s p i n s p a c e c r a f t w a s e v a l u a t e d b y H a y a t i a n d J a h a n s h a h i 6 2 w h i l e B e l l a n d L i n 6 3 p r e s e n t e d a s t u d y o f p o i n t i n g r e q u i r e m e n t s a n d c o n t r o l a p p r o a c h e s f o r a n E a r t h O b s e r v a t i o n S y s t e m . A l b e r t s e t a l . 6 " h a v e d e v e l o p e d a s c h e m e f o r c o n t r o l l i n g t h e m o t i o n o f a l i g h t w e i g h t f l e x i b l e a r m . L a u r e n s o n 6 5 p r e s e n t e d a m o d a l a n a l y s i s o f r o t a t i n g f l e x i b l e s t r u c t u r e s w h i l e S w i g e r t 6 6 i n v e s t i g a t e d t h e e f f e c t o f t o r q u e s h a p e s o n t h e r e s p o n s e o f a f l e x i b l e s t r u c t u r e . 1•3 P u r p o s e a n d S c o p e o f t h e I n v e s t i g a t i o n F r o m t h e r e v i e w o f t h e r e l e v a n t l i t e r a t u r e , i t i s a p p a r e n t t h a t t h e d y n a m i c s o f s a t e l l i t e s w i t h s l e w i n g a p p e n d a g e s h a s c o n s i d e r a b l e g r o u n d t o c o v e r . T h e p u r p o s e o f t h i s i n v e s t i g a t i o n i s t o a t t e m p t a p r e l i m i n a r y a n a l y s i s o f t h e p r o b l e m i n t h e h o p e t h a t i t w i l l 6 p r o v i d e i n s i g h t i n t o t h e d y n a m i c a l b e h a v i o u r o f s a t e l l i t e s w i t h s l e w i n g a p p e n d a g e s . T o g a i n b e t t e r a p p r e c i a t i o n o f t h e s y s t e m b e h a v i o u r , t h e m o d e l i s p u r p o s e l y k e p t s i m p l e : s p a c e c r a f t w i t h a r i g i d c e n t r a l b o d y a n d r i g i d a p p e n d a g e o p e r a t i n g i n a b s e n c e o f a n y e n v i r o n m e n t a l f o r c e s . T h e s t u d y i s i n i t i a t e d w i t h t h e f o r m u l a t i o n o f t h e e q u a t i o n s o f m o t i o n f o r a g e n e r a l s p a c e c r a f t m o d e l c o n s i s t i n g o f t w o c o n n e c t e d , r i g i d b o d i e s o f a r b i t r a r y g e o m e t r y a n d i n e r t i a d i s t r i b u t i o n , w h e r e o n e b o d y e x h i b i t s s p e c i f i e d r e l a t i v e r o t a t i o n a b o u t t h e o t h e r . T h i s i s f o l l o w e d b y t h e r e s p o n s e a n a l y s i s o f a s p e c i f i c c o n f i g u r a t i o n , a c y l i n d r i c a l c e n t r a l b o d y w i t h a c y l i n d r i c a l a p p e n d a g e , a s a f f e c t e d b y t h e a p p e n d a g e s l e w m o t i o n , s a t e l l i t e i n e r t i a a n d g e o m e t r y , i n i t i a l c o n d i t i o n s a n d o r b i t e c c e n t r i c i t y . E v e n f o r t h i s r e l a t i v e l y s i m p l e s i t u a t i o n , n u m e r i c a l i n t e g r a t i o n o f t h e h i g h l y n o n l i n e a r , n o n a u t o n o m o u s a n d c o u p l e d s y s t e m o f e q u a t i o n s p r e s e n t s a c h a l l e n g i n g t a s k . E m p h a s i s t h r o u g h o u t i s o n m e t h o d o l o g y a n d p h y s i c a l a p p r e c i a t i o n o f s y s t e m b e h a v i o u r w h i c h m a y h e l p i n v e s t i g a t i o n o f m o r e s o p h i s t i c a t e d m o d e l s . T h e t h e s i s e n d s w i t h s o m e u s e f u l c o n c l u d i n g r e m a r k s a n d t h o u g h t s o n p o s s i b l e d i r e c t i o n s f o r f u t u r e s t u d i e s . 2 . F O R M U L A T I O N O F T H E P R O B L E M T h e s t u d y i s i n i t i a t e d w i t h t h e c o n s i d e r a t i o n o f a g e n e r a l s p a c e c r a f t m o d e l c o n s i s t i n g o f t w o c o n n e c t e d , r i g i d b o d i e s o f a r b i t r a r y g e o m e t r y a n d i n e r t i a d i s t r i b u t i o n , w h e r e o n e b o d y e x e c u t e s s p e c i f i e d r e l a t i v e r o t a t i o n a b o u t t h e o t h e r . T h e e q u a t i o n s o f m o t i o n a r e d e v e l o p e d f o r t h e g e n e r a l m o d e l . N e x t , a p a r t i c u l a r c a s e o f c y l i n d r i c a l g e o m e t r y f o r t h e c e n t r a l b o d y a n d t h e a p p e n d a g e i s c o n s i d e r e d . A s e t o f s a t e l l i t e p a r a m e t e r s s p e c i f y p o s s i b l e v a r i a t i o n s o f t h i s c o n f i g u r a t i o n . V a r i a t i o n s i n t h e a p p e n d a g e s l e w i n g m o t i o n a r e e x p r e s s e d i n t e r m s o f t i m e h i s t o r y p a r a m e t e r s . 2 . 1 S p a c e c r a f t M o d e l C o n s i d e r a s a t e l l i t e c o m p r i s e d o f t w o r i g i d b o d i e s o f a r b i t r a r y g e o m e t r y a n d i n e r t i a d i s t r i b u t i o n , c o n n e c t e d t h r o u g h a n i d e a l ( f r i c t i o n l e s s ) j o i n t ( F i g u r e 2 . 1 . ) . T h e a p p e n d a g e i s c a p a b l e o f e x e c u t i n g r e l a t i v e r o t a t i o n a b o u t t h e c e n t r a l b o d y c a u s i n g a s h i f t i n t h e s a t e l l i t e c e n t e r o f m a s s . T h e s a t e l l i t e i s f r e e t o n e g o t i a t e a n a r b i t r a r y , s p e c i f i e d t r a j e c t o r y . T h e p o s i t i o n v e c t o r R c a n d t r u e a n o m a l y 6 d e f i n e t h e l o c a t i o n o f t h e i n s t a n t a n e o u s c e n t e r o f m a s s C o f t h e s p a c e c r a f t w i t h r e s p e c t t o t h e i n e r t i a l c o o r d i n a t e s y s t e m X , Y , Z h a v i n g i t s o r i g i n a t E , t h e c e n t e r o f f o r c e . C 0 r e p r e s e n t s l o c a t i o n o f C i n a b s e n c e o f a n y a p p e n d a g e s l e w m o t i o n . A n o r t h o g o n a l , o r b i t i n g r e f e r e n c e f r a m e X . Y . Z , , w i t h i t s o r i g i n a t C ^ i s s o o r i e n t e d t h a t Z ^ o o o 3 o o 7 Figure 2.1 Geometry of o r b i t i n g spacecraft with a slewing appendage. 9 a n d X Q a r e a l o n g t h e l o c a l v e r t i c a l a n d h o r i z o n t a l , r e s p e c t i v e l y , w h i l e Y 0 i s a l i g n e d w i t h t h e o r b i t n o r m a l . T h e s a t e l l i t e b o d y c o o r d i n a t e s y s t e m x , y , z w i t h u n i t v e c t o r s k h a s i t s o r i g i n a t C a n d c o i n c i d e s w i t h t h e o r b i t a l f r a m e X 0 ' Y 0 ' Z 0 ^ n t h e a b s e n c e o f a n y l i b r a t i o n s a n d r e l a t i v e a p p e n d a g e r o t a t i o n . O r i e n t a t i o n o f t h e s a t e l l i t e a x e s x , y , z a t a n y i n s t a n t t r e l a t i v e t o o r b i t a l f r a m e X . Y , . Z i s J o o o d e s c r i b e d b y a s e t o f m o d i f i e d E u l e r i a n r o t a t i o n s q 1 , q 2 , q 3 . T h e s p a c e c r a f t i s s c h e m a t i c a l l y i l l u s t r a t e d i n F i g u r e 2 . 2 . T h e d o m a i n , m a s s , a n d c e n t e r o f m a s s f o r t h e c e n t r a l b o d y a r e r e f e r r e d t o , r e s p e c t i v e l y , a s D g , m g , 0 g . C o r r e s p o n d i n g p a r a m e t e r s f o r t h e a p p e n d a g e a r e s p e c i f i e d a s , D , m , O . r e s p e c t i v e l y . T h e t o t a l m a s s m o f t h e s a t e l l i t e i s t h u s g i v e n b y m = m „ + nt . s a L o c a t e d a t O g i s a c e n t r a l b o d y c o o r d i n a t e f r a m e x , y , z w i t h u n i t v e c t o r s i , ] , k . S i m i l a r l y l o c a t e d a t 0 S S S S S S 3 i s a n a p p e n d a g e b o d y c o o r d i n a t e s y s t e m x , y _ , z = w i t h u n i t a a. OL v e c t o r s i a # 5 a » ^ a -T h e s a t e l l i t e b o d y f r a m e x , y , z f o r t h e e n t i r e s y s t e m ( c e n t r a l b o d y a n d a p p e n d a g e ) i s t a k e n t o b e p a r a l l e l t o t h e c e n t r a l b o d y f r a m e x , y , z . 5 5 o T h e o r i e n t a t i o n o f t h e a x e s x . y , z „ r e l a t i v e t o t h e a J a a f r a m e x , y , z i s s p e c i f i e d b y a t r a n s f o r m a t i o n m a t r i x [ M l , w h i c h i s d e t e r m i n e d b y t h e o r d e r a n d n u m b e r o f r o t a t i o n s F i g u r e 2 . 2 D o m a i n s a s s o c i a t e d w i t h c e n t r a l a n d a p p e n d a g e c o m p o n e n t s o f s p a c e c r a f t a n d c o r r e s p o n d i n g r e f e r e n c e c o o r d i n a t e s y s t e m s . 11 u s e d t o a r r i v e a t f r a m e x , y , z f r o m s a t e l l i t e b o d y a x e s a a a x , y , z . L e t s a n d a d e f i n e t h e p o s i t i o n s o f t h e d i f f e r e n t i a l m a s s e l e m e n t s dm a n d dm i n d o m a i n s D_ a n d D , r e s p e c t i v e l y s a s a ( F i g u r e 2 . 3 ) . s = x s i + y s 5 + z s k a = x i + y i + z k a a Ja J a a a T h e v e c t o r c d e t e r m i n e s t h e p o s i t i o n o f t h e i n s t a n t a n e o u s c e n t e r o f m a s s C r e l a t i v e t o p o i n t C Q . T h e v e c t o r h l o c a t e s h i n g e p o i n t P w i t h r e s p e c t t o O , a n d f p o s i t i o n s 0 Q w i t h r e s p e c t t o P . D u e t o r o t a t i o n o f t h e a p p e n d a g e r e l a t i v e t o t h e c e n t r a l b o d y , c a n d t h e s a t e l l i t e i n e r t i a d i a d i c w i l l b e f u n c t i o n s o f t i m e . 2 . 2 D e v e l o p m e n t o f t h e G e n e r a l E q u a t i o n s o f M o t i o n 2 . 2 . 1 K i n e t i c e n e r g y T h e k i n e t i c e n e r g y o f t h e s y s t e m c a n b e w r i t t e n a s T = U P ' P dm , ( 2 . 1 ) m w h e r e m i s t h e t o t a l m a s s o f t h e s p a c e c r a f t a n d R d e f i n e s t h e p o s i t i o n o f a d i f f e r e n t i a l e l e m e n t o f m a s s dm w i t h r e s p e c t t o E . I f r i s t h e p o s i t i o n v e c t o r o f t h e e l e m e n t 1 2 F i g u r e 2 . 3 S c h e m a t i c d i a g r a m s h o w i n g p o s i t i o n v e c t o r s t o m a s s e l e m e n t s i n d i f f e r e n t d o m a i n s . 13 m a s s w i t h r e s p e c t t o t h e b o d y c o o r d i n a t e s y s t e m x , y , z , t h e n R = R + r , c ' w h e r e r f o r d i f f e r e n t d o m a i n s i s d e f i n e d a s r = r g = - c - c Q + s , D g d o m a i n ? = r = - c - c + h + f + a , D d o m a i n , a o a D i f f e r e n t i a t i n g R w i t h r e s p e c t t o t i m e R = R + | f + ( w x r ) ( 2 . 2 ) C ot w h e r e CJ i s t h e l i b r a t i o n a l a n g u l a r v e l o c i t y o f t h e s a t e l l i t e ; R c i s t h e o r b i t a l ( t a n g e n t i a l a n d r a d i a l ) v e l o c i t y o f t h e s a t e l l i t e ; a n d - | f r e p r e s e n t s t h e t i m e r a t e o f c h a n g e o f r i n t h e r e f e r e n c e c o o r d i n a t e s y s t e m x , y , z . S u b s t i t u t i n g e q u a t i o n ( 2 . 2 ) i n t o e q u a t i o n ( 2 . 1 ) T = 1/ R . R , + | f - | f + ( w x r ) - ( w x r ) 2**in c c d t o t + 2R ~ + 2R • ( w x r ) + 2 | f » ( w x r ) dm c o t c d t I t m a y b e n o t e d t h a t 14 "g+r = -gr; = - c i n t h e D g d o m a i n a n d = - ^ r a = - c + w x ( f + a ) i n t h e D d o m a i n , o t a a w h e r e u>a r e p r e s e n t s t h e r e l a t i v e a n g u l a r v e l o c i t y o f t h e a p p e n d a g e w i t h r e s p e c t t o t h e c e n t r a l b o d y a n d c i s t h e v e l o c i t y o f t h e i n s t a n t a n e o u s c e n t e r o f m a s s C i n t h e r e f e r e n c e c o o r d i n a t e s y s t e m x , y , z . N o t e , t h e k i n e t i c e n e r g y t e r m s w i t h o u t g e n e r a l i z e d c o o r d i n a t e s o r v e l o c i t i e s d o n o t c o n t r i b u t e t o L a g r a n g e ' s e q u a t i o n s o f m o t i o n f o r t h e l i b r a t i d n a l d e g r e e s o f f r e e d o m d u e t o d i f f e r e n t i a t i o n w i t h q a n d q i n v o l v e d . H e n c e , t h e e f f e c t i v e c o m p o n e n t o f t h e k i n e t i c e n e r g y c o n t r i b u t i n g i n f o r m u l a t i o n o f t h e e q u a t i o n s o f m o t i o n , T , c a n b e w r i t t e n a s , T = j J ( w x r ) . ( w x r ) + 2R . (5xr) + 2 - | | - (5xr) dm . S i n c e R C i s a c o n s t a n t o v e r t h e s p a c e c r a f t , f R ^ • (c3xr) dm = R • Z J X / r dm . m c c m B u t / r dm = 0 , s o t h e k i n e t i c e n e r g y e x p r e s s i o n t a k e s t h e m f o r m , T = ( w x r ) . ( w x r ) dm + J - ^ . ( w x r ) dm . e m m o t 1 5 C l e a r l y , t h e f i r s t p a r t o f t h e k i n e t i c e n e r g y , IS ( w x r ) • (c3xr ) dm , m c a n b e w r i t t e n a s i{co} Ttl]{o,} ; a n d t h e s e c o n d t e r m o f t h e k i n e t i c e n e r g y , ' m If*("xF> d m ' c a n b e e x p r e s s e d a s ( A p p e n d i x A ) {o>}T{H} . S o t h e k i n e t i c e n e r g y o f t h e s y s t e m c a n b e e x p r e s s e d i n a c o m p a c t f o r m a s T e = i { " } T [ l H w } + {a>}T{H} , (2.3) w h e r e : {to} a n g u l a r v e l o c i t y v e c t o r ; [ I ] t i m e d e p e n d e n t s a t e l l i t e i n e r t i a m a t r i x ; 16 {H} t i m e d e p e n d e n t a n g u l a r m o m e n t u m v e c t o r w i t h r e s p e c t t o s a t e l l i t e b o d y f r a m e d u e t o r o t a t i o n o f t h e a p p e n d a g e r e l a t i v e t o t h e c e n t r a l b o d y ; k i n e t i c e n e r g y d u e t o p u r e l i b r a t i o n a l r o t a t i o n o f t h e s a t e l l i t e ; { u } T { H } k i n e t i c e n e r g y d u e t o c o u p l i n g b e t w e e n l i b r a t i o n a l r o t a t i o n o f t h e s a t e l l i t e a n d r o t a t i o n o f t h e a p p e n d a g e r e l a t i v e t o t h e c e n t r a l b o d y . A s t h e a p p e n d a g e u n d e r g o e s r e l a t i v e r o t a t i o n a b o u t t h e c e n t r a l b o d y , t h e s a t e l l i t e ' s m o m e n t s a n d p r o d u c t s o f i n e r t i a c h a n g e . T h i s c h a n g e i s p r i m a r i l y d u e t o r e o r i e n t a t i o n o f t h e a p p e n d a g e w i t h r e s p e c t t o t h e c e n t r a l b o d y a n d t o a l e s s e r d e g r e e t h e r e l o c a t i o n o r s h i f t i n g o f t h e s a t e l l i t e ' s i n s t a n t a n e o u s c e n t e r o f m a s s . C o m p u t a t i o n o f t h e t i m e d e p e n d e n t s a t e l l i t e i n e r t i a m a t r i x [ I ] i s a c h i e v e d t h r o u g h u s e o f t h e p a r a l l e l - a x i s t h e o r e m s f o r m o m e n t s a n d p r o d u c t s o f i n e r t i a ( A p p e n d i x B ) . 2 . 2 . 2 P o t e n t i a l e n e r g y T h e g r a v i t a t i o n a l p o t e n t i a l e n e r g y o f t h e s y s t e m c a n b e w r i t t e n a s TT f dm = T i l ( 2 . 4 ) 17 A f t e r b i n o m i a l e x p a n s i o n a n d t r u n c a t i o n o f t h e s e r i e s , t h e p o t e n t i a l e n e r g y c a n b e w r i t t e n a s U = -u (m +m )/R -u/(2R3)* 5 a C C [ I ( 1 - 3 / 2 ) + I ( 1 - 3 / 2 ) + I ( 1 - 3 / 2 ) x x x y y y z z z + 6 ( 1 / / + 1 / / + 1 / / ) ] x y x y y z y z z x z x ' J - M ( m s + m A ) / R C - M / ( 2 R C 3 ) t r [ I ] + 3 M / ( 2 R c 3 ) { / } T [ I ] { / } , w h e r e : u u n i v e r s a l g r a v i t a t i o n a l c o n s t a n t ; R„ d i s t a n c e f r o m t h e c e n t e r o f f o r c e t o t h e c s a t e l l i t e c e n t e r o f m a s s ; {/ } v e c t o r o f d i r e c t i o n c o s i n e s f o r u n i t v e c t o r a l o n g R C w i t h r e s p e c t t o b o d y a x e s x , y , z , r e s p e c t i v e l y , { / x , / , / z } T ; ^ x x ' ^ v v ' ^ z z ^ 1 1 )> c o m p o n e n t s o f s a t e l l i t e i n e r t i a m a t r i x [ I ] . I x y ' T y z ' * z x H e r e t h e f i r s t t e r m r e p r e s e n t s p o t e n t i a l e n e r g y d u e t o t h e s a t e l l i t e t r e a t e d a s a p o i n t m a s s a n d t h e r e s t o f t h e e x p r e s s i o n i s t h e c o n t r i b u t i o n d u e t o i t s f i n i t e s i z e a n d r o t a t i o n . T h e f i r s t t w o t e r m s w i l l d i s a p p e a r u p o n d i f f e r e n t i a t i o n o f t h e p o t e n t i a l e n e r g y f o r t h e l i b r a t i o n a l d e g r e e s o f f r e e d o m i n L a g r a n g e ' s e q u a t i o n s o f m o t i o n . H e n c e , t h e e f f e c t i v e p o t e n t i a l e n e r g y s o f a r a s t h e d e r i v a t i o n o f 18 t h e e q u a t i o n s o f m o t i o n a r e c o n c e r n e d , c a n b e f i n a l l y w r i t t e n a s U e = c M / 2 { / } [ I ] { / } ( 2 . 5 ) w h e r e c = 3 n / R , 3 . u c 2 . 3 G o v e r n i n g E q u a t i o n s o f M o t i o n T h e g o v e r n i n g e q u a t i o n s o f m o t i o n c a n now b e o b t a i n e d u s i n g t h e L a g r a n g e p r i n c i p l e , ( 2 . 6 ) w h e r e q ^ a n d , r e s p e c t i v e l y , r e p r e s e n t t h e g e n e r a l i z e d c o o r d i n a t e a n d f o r c e f o r t h e i*"* 1 l i b r a t i o n a l d e g r e e o f f r e e d o m . T h e d e v e l o p m e n t o f t h e e q u a t i o n s o f m o t i o n i s g i v e n i n d e t a i l i n A p p e n d i x C . T h e n o n d i m e n s i o n a l e q u a t i o n s o f m o t i o n , i n v e c t o r - m a t r i x f o r m , a p p e a r a s f o l l o w s [ M ] T [ I * ] [ M ] {q} + [ q ] ( [ M v t ] - [ M g ] ) [ I * ] [M] {q} + [ M ] T [ I * ] [ q ] [ M v ] {q} + [ q ] ( [ M v t ] - [ M ] ) ( [ I * ] {N} + { H * } ) + [ ( [ M ] T [ I * ] - [ N g ] [ I * ] ) [M ] + [ M ] T [ I * ] ( [ N y ] + [ M ] f e ) ] {q} - [ N ] ( [ I * ] {N} + { H * } ) + [ M ] T ( [ I * ] {N} +{H*} + [ I * ] {N} f ) + ce [L ] [ I * ] {/} = {Q*} . e c q I t s h o u l d b e e m p h a s i z e d t h a t t h e n o n d i m e n s i o n a l s y s t e m p a r a m e t e r s ( m a t r i c e s [ I * ] , [ i * ] , a n d v e c t o r s { H * } , { H * } ) a r e 19 f u n c t i o n s o f t h e s a t e l l i t e c o n f i g u r a t i o n a n d t h e a p p e n d a g e s l e w m o t i o n . H e n c e , t h e e q u a t i o n s o f m o t i o n c a n b e e a s i l y o b t a i n e d f o r a n y s a t e l l i t e c o n f i g u r a t i o n t h a t c a n b e d e s c r i b e d b y t h e g e n e r a l s p a c e c r a f t m o d e l o f s e c t i o n 2 . 1 . F u r t h e r m o r e , i t s h o u l d b e n o t e d t h a t t h e e q u a t i o n s o f m o t i o n a r e v a l i d f o r a n y s e q u e n c e o f m o d i f i e d E u l e r i a n r o t a t i o n s c h o s e n t o d e s c r i b e l i b r a t i o n a l m o t i o n f o r t h e s a t e l l i t e . 2 . 4 L i b r a t i o n a l T e r m s f o r t h e E q u a t i o n s o f M o t i o n T h e o r i e n t a t i o n o f b o d y a x e s x , y , z r e l a t i v e t o t h e o r b i t a l c o o r d i n a t e f r a m e X ^ , Y . Z ^ a t a n y i n s t a n t t c a n b e o o o J d e s c r i b e d b y a s e t o f m o d i f i e d E u l e r i a n r o t a t i o n s a s f o l l o w s ( F i g u r e 2 . 4 ) : \p ( p i t c h ) a b o u t Y Q g i v i n g x ' , y ' , z ' ; <t> ( r o l l ) a b o u t x ' g i v i n g x " , y " , z " ; X ( y a w ) a b o u t z " g i v i n g x , y , z . T h e l i b r a t i o n a l t e r m s f o r t h i s p a r t i c u l a r s e q u e n c e o f m o d i f i e d E u l e r i a n r o t a t i o n s a r e l i s t e d i n A p p e n d i x D . 2 . 5 S p e c i f i c S a t e l l i t e C o n f i g u r a t i o n S e l e c t e d f o r S t u d y 2 . 5 . 1 C y l i n d r i c a l c e n t r a l b o d y w i t h a c y l i n d r i c a l a p p e n d a g e C o n s i d e r t h e c e n t r a l b o d y a s a c y l i n d e r w i t h a x i s z a l i g n e d w i t h i t s a x i s o f s y m m e t r y . S i m i l a r l y , l e t t h e a p p e n d a g e b e a c y l i n d e r w i t h a x i s z a a l i g n e d w i t h i t s a x i s 20 F i g u r e 2 . 4 E u l e r i a n r o t a t i o n s s h o w i n g p i t c h , r o l l (tf>), a n d y a w ( X ) l i b r a t i o n s . 21 o f s y m m e t r y ( F i g u r e 2 . 5 ) . A s a r e s u l t o f t h i s c o n f i g u r a t i o n , t h e t r a n s v e r s e m o m e n t s o f i n e r t i a f o r e a c h b o d y a r e e q u a l d u e t o t h e a x i s y m m e t r i c c h a r a c t e r o f a c y l i n d e r , a n d t h e p r o d u c t s o f i n e r t i a v a n i s h . L e t t h e h i n g e l o c a t i o n o n t h e a p p e n d a g e b e r e s t r i c t e d t o t h e c e n t e r o f t h e a x i a l e n d o f t h e a p p e n d a g e c y l i n d e r a n d l e t t h e p l a c e m e n t o f t h e h i n g e o n t h e c e n t r a l c y l i n d e r b e a r b i t r a r y . L e t t h e d e n s i t y r a t i o b e k n o w n . 2 . 5 . ' 2 G o v e r n i n g p a r a m e t e r s f o r t h e t w o c y l i n d e r  c o n f i g u r a t i o n T h e i n e r t i a p r o p e r t i e s o f a c y l i n d e r c a n b e r e p r e s e n t e d b y t h e r a t i o o f i t s a x i a l t o t r a n s v e r s e m o m e n t o f i n e r t i a . A r a t i o c l o s e t o z e r o r e p r e s e n t s a s l e n d e r r o d , w h i l e t h a t a p p r o a c h i n g t w o d e s c r i b e s a s q u a t , f l a t d i s h ( F i g u r e 2 . 6 ) . T h e i n e r t i a p a r a m e t e r s a r e s e l e c t e d a s f o l l o w s : $ i n e r t i a r a t i o o f c e n t r a l c y l i n d e r , I „ ; 5 5 f Z 5 f X < i n e r t i a r a t i o o f a p p e n d a g e c y l i n d e r , I „ o a f z a f x T? m a s s r a t i o o f a p p e n d a g e t o c e n t r a l b o d y , m _ / m _ o 5 T h e p a r a m e t e r s TJ s u f f i c e t o d e s c r i b e a l l p o s s i b l e i n e r t i a l c o m b i n a t i o n s f o r a t w o c y l i n d e r s a t e l l i t e . T o s p e c i f y t h e l o c a t i o n o f t h e h i n g e o n t h e c e n t r a l c y l i n d e r , c o n s i d e r a n o r m a l i z e d c o o r d i n a t e s y s t e m x y z 22 F i g u r e 2 . 5 S p e c i f i c s a t e l l i t e c o n f i g u r a t i o n - c y l i n d r i c a l c e n t r a l b o d y w i t h a c y l i n d r i c a l a p p e n d a g e . F i g u r e 2 . 6 V a r i a t i o n o f t h e i n e r t i a r a t i o $ w i t h s a t e l l i t e g e o m e t r y . ro 0 0 24 l o c a t e d a t 0 w i t h £ , £ , n o r m a l i z e d u s i n g t h e c e n t r a l s x y c y l i n d e r r a d i u s a n d 1- w i t h r e f e r e n c e t o h a l f t h e l e n g t h o f t h e c e n t r a l c y l i n d e r . T h e g e o m e t r i c p a r a m e t e r 1 = <«x,«y,*z>T s p e c i f i e s t h e h i n g e p o s i t i o n P w i t h r e s p e c t t o 0 g , t h e c e n t e r o f m a s s f o r t h e c e n t r a l c y l i n d e r . T h u s , s a t e l l i t e p a r a m e t e r s $ . 17, £ s p e c i f y a n y s a p o s s i b l e o r i e n t a t i o n o f a c y l i n d r i c a l s a t e l l i t e w i t h a c y l i n d r i c a l a p p e n d a g e . 2 . 5 . 3 A p p e n d a g e r o t a t i o n s T h e o r i e n t a t i o n o f a l i n e i n s p a c e c a n b e d e t e r m i n e d b y s p e c i f y i n g t w o a n g l e s . T h e l i n e o f d i r e c t i o n f o r t h e a p p e n d a g e r e l a t i v e t o t h e c e n t r a l b o d y c a n t h e r e f o r e b e s p e c i f i e d b y t w o a n g l e s r e l a t i v e t o t h e c e n t r a l b o d y . C o n s i d e r t h e n , l o c a t e d a t t h e a p p e n d a g e c e n t e r o f m a s s , t h e a p p e n d a g e c o o r d i n a t e s y s t e m x ' , y ' , z ' p a r a l l e l t o t h e a a a s p a c e c r a f t b o d y a x e s x , y , z ( F i g u r e 2 . 7 ) . T h e o r i e n t a t i o n o f t h e a p p e n d a g e c o o r d i n a t e a x e s x _ , y _ , z = r e l a t i v e t o t h e b o d y a x e s x , y , z i s s p e c i f i e d b y t h e f o l l o w i n g s e t o f r o t a t i o n s : a ( a p p e n d a g e p i t c h ) a b o u t y ' g i v i n g x " , y " , z " ; a a a a B ( a p p e n d a g e r o l l ) a b o u t x " g i v i n g x , y , z . F i g u r e 2 . 7 A p p e n d a g e s l e w m o t i o n r e l a t i v e t o c e n t r a l b o d y . 26 T h e r e s u l t i n g t r a n s f o r m a t i o n m a t r i x [M ] a n d a p p e n d a g e 3 r e l a t i v e a n g u l a r v e l o c i t y v e c t o r c3 a a n d t h e i r r e s p e c t i v e d e r i v a t i v e s a r e l i s t e d i n A p p e n d i x E . 2 . 5 . 4 A p p e n d a g e t i m e h i s t o r y p a r a m e t e r s T h e p a t h t r a v e r s e d b y t h e a p p e n d a g e a s i t m o v e s f r o m o n e p o s i t i o n t o a n o t h e r c a n b e s p e c i f i e d b y a t i m e h i s t o r y c u r v e . T w o t i m e h i s t o r y f u n c t i o n s a r e r e q u i r e d t o c o m p l e t e l y s p e c i f y t h e a p p e n d a g e ' s s l e w m o t i o n c o m p o s e d o f p i t c h a a n d r o l l B. I f t h e s h a p e o f t h e f u n c t i o n i s k n o w n ( i . e . , e x p o n e n t i a l , r a m p , s i n u s o i d a l , c u b i c , e t c . ) t h e n t h e t i m e h i s t o r y i s c o m p l e t e l y s p e c i f i e d o n c e t h e i n i t i a l p o s i t i o n , t h e f i n a l p o s i t i o n , a n d t h e d u r a t i o n o f t h e s l e w m a n e u v e r a r e g i v e n . T h e p a r a m e t e r s f o r t h e t i m e h i s t o r y c u r v e s a r e d e f i n e d a s f o l l o w s : i n i t i a l p o s i t i o n i n p i t c h a n d r o l l , r e s p e c t i v e l y ; f i n a l p o s i t i o n i n p i t c h a n d r o l l , r e s p e c t i v e l y ; d u r a t i o n o f s l e w m o t i o n i n p i t c h a n d r o l l , r e s p e c t i v e l y . 2 . 6 S y s t e m P a r a m e t e r s I n s e c t i o n 2 . 3 , t h e n o n d i m e n s i o n a l e q u a t i o n s o f m o t i o n w e r e f o r m u l a t e d b a s e d o n t h e g e n e r a l s p a c e c r a f t m o d e l d e s c r i b e d i n s e c t i o n 2 . 1 . T h e s y s t e m p a r a m e t e r s [ I * ] , 27 [ I ] , {H }, {H ] o f t h e e q u a t i o n s o f m o t i o n a r e r e p r e s e n t a t i v e o f t h e g e n e r a l m o d e l . T h e e q u a t i o n s o f m o t i o n f o r a n y s a t e l l i t e c o n f i g u r a t i o n a r e e a s i l y o b t a i n e d b y e v a l u a t i n g t h e s y s t e m p a r a m e t e r s f o r t h a t p a r t i c u l a r s a t e l l i t e . I n t h i s s e c t i o n , t h e s y s t e m p a r a m e t e r s a r e e v a l u a t e d f o r t h e t w o c y l i n d r i c a l e l e m e n t s a t e l l i t e , c o n f i g u r a t i o n w i t h t h e p i t c h a n d r o l l a p p e n d a g e s l e w s e q u e n c e . 2 . 6 . 1 I n s t a n t a n e o u s c e n t e r o f m a s s T h e r o t a t i o n o f t h e a p p e n d a g e r e l a t i v e t o t h e c e n t r a l b o d y c a u s e s a s h i f t i n g o f t h e s a t e l l i t e ' s c e n t e r o f m a s s . D e t e r m i n a t i o n o f t h e p o s i t i o n , v e l o c i t y , a n d a c c e l e r a t i o n o f t h e s a t e l l i t e ' s c e n t e r o f m a s s i s n e c e s s a r y f o r c a l c u l a t i o n o f i t s i n e r t i a m a t r i x [ I ] , a n g u l a r m o m e n t u m v e c t o r {H }, a n d t h e i r r e s p e c t i v e d e r i v a t i v e s [ I ] a n d {H }. T h e p o s i t i o n , v e l o c i t y , a n d a c c e l e r a t i o n o f t h e s h i f t i n g c e n t e r o f m a s s f o r t h e t w o c y l i n d e r s a t e l l i t e w i t h t h e p i t c h , r o l l a p p e n d a g e r o t a t i o n s e q u e n c e a r e p r e s e n t e d i n A p p e n d i x F . 2 . 6 . 2 E v a l u a t i o n o f s y s t e m p a r a m e t e r s T h e s y s t e m p a r a m e t e r s [ I * ] , { H * } , [ i * ] , {H*} a r e f u n c t i o n s o f t h e s a t e l l i t e c o n f i g u r a t i o n a n d t h e a p p e n d a g e t i m e h i s t o r y . T h e d e s i r e d i n e r t i a l p a r a m e t e r s $ = a r e o b t a i n e d s a b y s e t t i n g I a r D = I s x * T h e n f r o m s e c t i o n 2 . 3 ( A p p e n d i x C ) : 28 [ I * ] " " [ I ] / I s , x * {H*} = -- { H } / ( I J) ; S , X [ i * ] • {H*} = T h e e l e m e n t s o f [ I * ] , { H * } , [i*], {H*} f o r t h e s p e c i f i c s a t e l l i t e c o n f i g u r a t i o n u n d e r c o n s i d e r a t i o n w i t h t h e a p p e n d a g e p i t c h , r o l l s l e w s e q u e n c e a r e r e s p e c t i v e l y l i s t e d i n A p p e n d i c e s G , H , I, J . 3 . R E S U L T S A N D D I S C U S S I O N 3 . 1 C o m p u t a t i o n a l C o n s i d e r a t i o n s T h e g o v e r n i n g n o n l i n e a r , n o n a u t o n o m o u s a n d c o u p l e d e q u a t i o n s o f m o t i o n a r e p r o g r a m m e d f o r n u m e r i c a l i n t e g r a t i o n u s i n g a n A M D A H L 4 7 0 - V 8 d i g i t a l c o m p u t e r . T h e i n t e g r a t i o n r o u t i n e ( D G E A R - I . M . S . L . ) i s b a s e d o n t h e i m p l i c i t A d a m s ' m e t h o d w i t h b u i l t - i n e r r o r c o n t r o l 6 7 " 6 8 . T h e d y n a m i c s o f t h e s y s t e m i s r e p r e s e n t e d b y t h r e e s e c o n d - o r d e r d i f f e r e n t i a l e q u a t i o n s c o r r e s p o n d i n g t o t h r e e l i b r a t i o n a l d e g r e e s o f f r e e d o m . U s i n g t h e c o n v e n t i o n a l p r o c e d u r e , t h e e q u a t i o n s a r e t r a n s f e r r e d i n t o s i x f i r s t - o r d e r e q u a t i o n s w h e r e a l l d e g r e e s o f f r e e d o m a r e s o l v e d f o r s i m u l t a n e o u s l y a s a n i n i t i a l v a l u e p r o b l e m . F o r t h e p r o c e d u r e t o s u c c e e d , i t i s n e c e s s a r y t o u s e t h e l a t e s t a v a i l a b l e d a t a w h i l e u p d a t i n g d e r i v a t i v e s . T h e p r o g r a m i s c o d e d i n F O R T R A N u s i n g d o u b l e - p r e c i s i o n v a r i a b l e s t h r o u g h o u t . 3 . 2 E f f e c t o f A p p e n d a g e T i m e H i s t o r y S e v e r a l a p p e n d a g e t i m e h i s t o r y f u n c t i o n s w e r e c o n s i d e r e d t o e v a l u a t e t h e i r e f f e c t o n s y s t e m r e s p o n s e . T h e a n g u l a r d i s p l a c e m e n t , v e l o c i t y a n d a c c e l e r a t i o n f o r t h e s e l e c t e d a p p e n d a g e t i m e h i s t o r i e s a r e s h o w n i n F i g u r e s 3 . 1 a n d 3 . 2 . T h e e q u a t i o n s f o r t h e v a r i o u s t i m e h i s t o r i e s a r e l i s t e d i n A p p e n d i x K . 2 9 F i g u r e 3.1 A p p e n d a g e t i m e h i s t o r y w i t h f i n i t e i n i t i a l v e l o c i t y : ( a ) e x p o n e n t i a l d i s p l a c e m e n t ; ( b ) v e l o c i t y ; ( c ) a c c e l e r a t i o n . Appendage Time History Parameters CC; = - 9 0 ° a f = 0 ° T a = .001 o r b i t 0. = fff = T p = 0 ( d ) / / s i n u s o i d a l / / r a m p / T ( e ) T _ ( f ) 0 .0 1.0 2 .0 orbits *10"3 3 . 1 ( c o n t . ) A p p e n d a g e t i m e h i s t o r i e s w i t h f i n i t e i n i t i a l v e l o c i t y : ( d ) s i n u s o i d a l o r r a m p d i s p l a c e m e n t ; ( e ) v e l o c i t y ; ( f ) a c c e l e r a t i o n . orbit normal F i g u r e 3 . 2 A p p e n d a g e t i m e h i s t o r y w i t h z e r o i n i t i a l v e l o c i t y : ( a ) e x p o n e n t i a l d i s p l a c e m e n t ; ( b ) v e l o c i t y ; ( c ) a c c e l e r a t i o n . Appendage Time History Parameters = -90" = 0° = .001 orbit Pi = rp = 0 33 orbit normal orbit v e r t i c a l (d) sinusoidal y/ ramp /'S cubic 1 0.0 F i g u r e 3 . 2 ( c o n t . ) ( f ) 1.0 orbits 2.0 10 -3 A p p e n d a g e t i m e h i s t o r i e s w i t h z e r o i n i t i a l v e l o c i t y : ( d ) s i n u s o i d a l , r a m p , o r c u b i c d i s p l a c e m e n t ; ( e ) v e l o c i t y ; ( f ) a c c e l e r a t i o n . 34 F i g u r e 3 . 3 s h o w s t h e s y s t e m r e s p o n s e t o t h e t i m e h i s t o r i e s o f F i g u r e 3 . 1 w i t h v a r i o u s d u r a t i o n s o f s l e w m o t i o n s . I t c a n b e s e e n t h a t s l e w m o t i o n s w i t h a f i n i t e i n i t i a l v e l o c i t y c a n r e a d i l y c a u s e a s a t e l l i t e t o b e c o m e u n s t a b l e . C l e a r l y , t h e u s e f u l n e s s o f s u c h s l e w m o t i o n s i s l i m i t e d a s r e s t r i c t i o n s m u s t b e i m p o s e d o n t h e d u r a t i o n o f t h e s l e w i n g m a n e u v e r s t o e n s u r e a c c e p t a b l e r e s p o n s e . F i g u r e 3 . 4 s h o w s t h e s y s t e m r e s p o n s e t o t h e t i m e h i s t o r i e s o f F i g u r e 3 . 2 a n d i l l u s t r a t e s t h e l i m i t i n g e f f e c t a s m o o t h s t a r t i n g s l e w m o t i o n h a s o n t h e a m p l i t u d e o f l i b r a t i o n . N o t e , e v e n c h a n g i n g t h e s l e w p e r i o d b y t w o o r d e r s o f m a g n i t u d e s e e m s t o h a v e v i r t u a l l y n o e f f e c t o n t h e r e s p o n s e . T h u s i t c a n b e c o n c l u d e d t h a t t i m e h i s t o r i e s w i t h z e r o i n i t i a l v e l o c i t y a r e p r e f e r a b l e t o s l e w m o t i o n s t h a t " j u m p s t a r t " . F i g u r e 3 . 5 ( a ) s h o w s t h e s y s t e m r e s p o n s e t o t h e s m o o t h t i m e h i s t o r i e s o f F i g u r e 3 . 2 f o r a p p e n d a g e s l e w m o t i o n d u r a t i o n o f 0 . 0 0 1 o r b i t w h i l e F i g u r e s 3 . 5 ( b ) , ( c ) p r e s e n t t h e r e s p o n s e s t o t h e s a m e t i m e h i s t o r i e s b u t w i t h e x t e n d e d s l e w m o t i o n d u r a t i o n s o f 0 . 1 a n d 0 . 3 o r b i t s , r e s p e c t i v e l y . I t i s o f i n t e r e s t t o n o t e t h a t t h e s m o o t h t i m e h i s t o r i e s d o n o t a f f e c t t h e s a t e l l i t e r e s p o n s e s u b s t a n t i a l l y . N o t e , t h e s y s t e m r e s p o n s e t o t h e s m o o t h t i m e h i s t o r i e s r e m a i n t h e s a m e f o r s l e w m o t i o n s o f s h o r t d u r a t i o n ( a p p r o x i m a t e l y 0 . 1 o r b i t ) a n d b e g i n t o d e v i a t e a s T f l b e c o m e s r e l a t i v e l y l a r g e . T h u s f o r s m o o t h s l e w m o t i o n s o f s h o r t d u r a t i o n , t i m e h i s t o r y v a r i a t i o n s h a v e n e g l i g i b l e e f f e c t o n s y s t e m r e s p o n s e . T h e Satellite Parameters V r = 0.06 = 0.06 = 0.06 = ( 0 0 1) Appendage Time History Parameters = -90« = 0' Tp = 0 Initial Conditions V(0) = V'(0) = 0 0(0) = crV(O) = 0 A(0) = A'(0) = 0 a Eccentricity e = 0 a 35 orbit normal orbit vert ical exponential T „ = .072 orbil T „ = .073 orbit ( b ) sinusoidal T „ = .005 orbif T „ = .006 orbit ( c ) ramp T „ = .003 orbit T _ = .004 orbil orbits F i g u r e 3 . 3 S y s t e m r e s p o n s e s h o w i n g e f f e c t o f a p p e n d a g e t i m e h i s t o r i e s w i t h f i n i t e i n i t i a l v e l o c i t y : ( a ) e x p o n e n t i a l ; ( b ) s i n u s o i d a l ; ( c ) r a m p . 36 Satellite Parameters V r = 0.06 = 0.06 = 0.06 = ( 0 0 1) Appendage Time History Parameters = -90' = 0' Pi = Pi = fB = 0 Initial Conditions f(0) = V'(0) = 0 0(0) = 0'(O) = 0 A(0) = A'(0) = 0 a Eccentricity e = 0 orbit normal orbit vert ical sinusoidal T„ = 1Q-3orbit T„ = KT5orbit ramp T„ = 1Q-3orbit T„ = 10_5orbit cubic T„ = 1Q-3orbit T„ = 10_5orbit orbits F i g u r e 3.4 S y s t e m r e s p o n s e s h o w i n g e f f e c t o f a p p e n d a g e t i m e h i s t o r i e s w i t h z e r o i n i t i a l v e l o c i t y : ( a ) s i n u s o i d a l ; ( b ) r a m p ; ( c ) c u b i c . 37 Satellite Parameters <rs = 0 . 0 6 Co = 0-06 7] = 0.06 F = ( 0 0 1) Appendage Time History Parameters a, = -90' = 0' 0. = /Sf = T - = 0 Initial Conditions V<0) = f (0) = 0 0(0) = 0'(O) = 0 X(0) = X'(0) = 0 orb i t n o r m a l a Eccentricity £ = 0 o rb i t a ry r vert ical exponential sinusoidal romp  cubic orbits F i g u r e 3 . 5 S y s t e m r e s p o n s e s h o w i n g t h e e f f e c t o f d u r a t i o n o f s l e w i n g m a n e u v e r w i t h z e r o i n i t i a l v e l o c i t y : ( a ) 0 . 0 0 1 o r b i t ; ( b ) 0 . 1 o r b i t ; ( c ) 0 . 3 o r b i t . 38 s y s t e m r e s p o n s e i s m a i n l y g o v e r n e d b y a d i s t u r b a n c e t o r q u e d u r i n g s l e w m o t i o n . F o r s l e w m o t i o n s o f l o n g e r d u r a t i o n , t h e g r a v i t a t i o n a l f i e l d h a s m o r e " t i m e " t o e x e r c i s e i t s i n f l u e n c e , h e n c e t h e i n c r e a s e d d e v i a t i o n i n s y s t e m r e s p o n s e s t o v a r i o u s t i m e h i s t o r i e s w i t h l e n g t h y d u r a t i o n s . A c l o s e u p v i e w o f t h e s y s t e m r e s p o n s e d u r i n g s l e w m o t i o n i l l u s t r a t e d i n F i g u r e 3 . 5 ( a ) i s g i v e n i n F i g u r e 3 . 6 . I t c a n b e s e e n t h a t a l l s m o o t h s l e w m o t i o n s o f s h o r t d u r a t i o n , r e g a r d l e s s o f t h e t i m e h i s t o r y c h o s e n , r e s u l t i n t h e s a m e c o n d i t i o n s o f l i b r a t i o n a t t h e e n d o f t h e s l e w m o t i o n . T h u s d e s p i t e t h e v a r i a t i o n i n l i b r a t i o n s d u r i n g s l e w i n g m a n e u v e r s , t h e s y s t e m r e s p o n s e a f t e r t h e s l e w m o t i o n i s i d e n t i c a l . A s t h e s m o o t h t i m e h i s t o r i e s d o n o t a f f e c t t h e s t e a d y s t a t e r e s p o n s e e x c e p t f o r a l o n g s l o w p e r i o d , f r o m now o n t h e a t t e n t i o n i s f o c u s e d o n t h e c u b i c f u n c t i o n . F i g u r e 3 . 7 s h o w s t h e e f f e c t o f a p p e n d a g e s l e w m o t i o n i n p i t c h , w i t h a s p e c i f i c c u b i c t i m e h i s t o r y , o n s y s t e m r e s p o n s e . E f f e c t o f s l e w d u r a t i o n ( T ) a s w e l l a s i n i t i a l a n d f i n a l a p p e n d a g e o r i e n t a t i o n s a r e c o n s i d e r e d . A s c a n b e e x p e c t e d , e f f e c t o f t h e g r a v i t a t i o n a l m o m e n t d u r i n g s l e w m o t i o n i s m o r e p r o n o u n c e d f o r l o n g e r r a ( F i g u r e 3 . 7 a ) . F u r t h e r m o r e , i t c a n b e c o n c l u d e d t h a t l o n g e r t h e d u r a t i o n t o t r a v e r s e a s p e c i f i c p a t h , s m a l l e r t h e r e s u l t i n g a m p l i t u d e o f l i b r a t i o n . F i g u r e 3 . 7 ( b ) i l l u s t r a t e s t h e e f f e c t o f t h e m a g n i t u d e o f t h e s l e w m o t i o n o n s y s t e m r e s p o n s e . I t s h o w s t h a t t h e Satellite Parameters r -3600 = 0.06 = 0.06 = 0.06 = ( 0 0 1) Appendage Time History Parameters a . = -90" a f = 0° r a = .001 orbit 0i = = r p = 0 Initial Conditions V(0) = V'(0) = 0 0(0) = 0'(O) = 0 A(0) = A'(0) = 0 3 9 orb i t n o r m a l Eccentricity e = 0 - u ^ ~ ~ \ o rb i t Q ^ / v e r t i c a l exponential sinusoidal ramp cubic F i g u r e 3 . 6 S y s t e m r e s p o n s e d u r i n g s l e w m o t i o n f o r v a r i o u s t i m e h i s t o r i e s : ( a ) p i t c h r e s p o n s e ; ( b ) p i t c h r a t e r e s p o n s e . Satellite Parameters Cs = 0-06 Ca = 0.06 77 =0.06 T = ( 0 0 1) Appendage Cubic Time History Parameters IS, = fi, = T , = 0 40 Initial Conditions V(0) = V'(0) = 0 0(0) = 0'(O) = 0 A(0) = A'(0) = 0 Eccentricity € = 0 orbits F i g u r e 3 . 7 S y s t e m r e s p o n s e s h o w i n g e f f e c t o f a p p e n d a g e p i t c h : ( a ) d u r a t i o n ; ( b ) i n i t i a l p o s i t i o n ; ( c ) f i n a l p o s i t i o n . 41 l o n g e r t h e p a t h t h a t m u s t b e t r a v e r s e d w i t h i n a s p e c i f i c d u r a t i o n o f t i m e , t h e g r e a t e r t h e r e s u l t i n g a m p l i t u d e o f l i b r a t i o n . I n f l u e n c e o f t h e a p p e n d a g e ' s r e l a t i v e o r i e n t a t i o n o n s y s t e m r e s p o n s e i s v i v i d l y i l l u s t r a t e d i n F i g u r e 3 . 7 ( c ) . T h e o r i e n t a t i o n o f t h e a p p e n d a g e r e l a t i v e t o t h e c e n t r a l b o d y d e t e r m i n e s t h e s a t e l l i t e i n e r t i a d i a d i c , a n d h e n c e t h e o r i e n t a t i o n o f t h e a x i s o f m i n i m u m m o m e n t o f i n e r t i a w i t h r e s p e c t t o t h e s a t e l l i t e b o d y a x e s . T h e e q u i l i b r i u m s t a t e f o r t h e s a t e l l i t e i s d e t e r m i n e d b y t h e o r i e n t a t i o n o f t h e a x i s o f m i n i m u m m o m e n t o f i n e r t i a - t h e g r a v i t a t i o n a l m o m e n t t e n d s t o a l i g n t h e m i n i m u m m o m e n t o f i n e r t i a a x i s t o w a r d s t h e c e n t e r o f f o r c e . T h e r e f o r e , a p o s i t i o n o f t h e a p p e n d a g e r e l a t i v e t o t h e c e n t r a l b o d y d e t e r m i n e s t h e e q u i l i b r i u m s t a t e o f t h e s a t e l l i t e . I n f l u e n c e o f t h e s a t e l l i t e ' s o r b i t a l v e l o c i t y o n t h e r e s p o n s e d u r i n g t h e s y m m e t r i c p i t c h s l e w m o t i o n i s s h o w n i n F i g u r e 3 . 8 . I t i s i n t e r e s t i n g t o n o t e t h a t t h e s y m m e t r i c p i t c h s l e w m o t i o n s o f t h e a p p e n d a g e d o n o t r e s u l t i n s y m m e t r i c r e s p o n s e - t h e r e i s a p h a s e s h i f t . N o t e a l s o a c h a n g e i n t h e s a t e l l i t e ' s e q u i l i b r i u m s t a t e a s a f f e c t e d b y t h e a p p e n d a g e ' s r e l a t i v e o r i e n t a t i o n . F i g u r e 3 . 9 s h o w s t h e r e s p o n s e d u e t o a p p e n d a g e r o l l s l e w m o t i o n . Now a l l t h e l i b r a t i o n a l d e g r e e s o f f r e e d o m a r e e x c i t e d . S t r o n g c o u p l i n g e x i s t s b e t w e e n r o l l a n d y a w , a n d t h e s a t e l l i t e y a w i s a p p a r e n t l y u n l i m i t e d . A l t h o u g h l i b r a t i o n i n y a w g i v e s n o i n d i c a t i o n a s t o t h e s t a b i l i t y o f 42 Satellite Parameters Cs = 0.06 Ca = 0- 0 6 77 = 0.06 r = ( 0 0 1) Appendage Cubic Time History Parameters T Q = .001 orbi t 0. = fii = T = 0 Initial Conditions V(0) = f'(0) = 0 0(0) = 0'(O) = 0 X(0) = X'(0) = 0 Eccentricity er = 0 orb i t n o r m a l o rb i t o rb i t n o r m a l orbits F i g u r e 3 . 8 S y s t e m r e s p o n s e s h o w i n g e f f e c t o f a p p e n d a g e p i t c h : ( a ) i n i t i a l p o s i t i o n ; ( b ) f i n a l p o s i t i o n . 43 Satellite Parameters <rs = cos Co = 0.06 7] - 0.06 (T =(0 0 1) Appendage Cubic Time History Parameters = .001 orbit a i = « f = T a = 0 Initial Conditions f(0) = ^'(0) = 0 0(0) = 0'(O) = 0 X(0) = X'(0) = 0 orbit normal '"^ orbit Eccentricity € = 0 v e r t i c a l /3i=0,/3,=90 j3i=-90,/g,=0 <3,=90,^,=0 orbits F i g u r e 3 . 9 S y s t e m r e s p o n s e d u e t o a p p e n d a g e s l e w m o t i o n i n r o l l : ( a ) p i t c h r e s p o n s e ; ( b ) r o l l r e s p o n s e ; ( c ) y a w r e s p o n s e . 44 a s a t e l l i t e , i t d o e s a f f e c t i t s p o i n t i n g a c c u r a c y ( e x c e p t w h e n a n i n s t r u m e n t i s a l i g n e d w i t h t h e s p i n a x i s ) . O f c o u r s e , i n g e n e r a l , t h e a p p e n d a g e i s f r e e t o u n d e r g o b o t h r o l l a n d p i t c h m o t i o n s i m u l t a n e o u s l y t o a t t a i n a n a r b i t r a r y o r i e n t a t i o n . R e s p o n s e f o r s u c h g e n e r a l s l e w m o t i o n i s p r e s e n t e d i n F i g u r e s 3 . 1 0 a n d 3 . 1 1 . A s c a n b e e x p e c t e d , now a l l t h e l i b r a t i o n a l d e g r e e s o f f r e e d o m a r e e x c i t e d , w i t h y a w p a r t i c u l a r l y s e n s i t i v e t o t h e a p p e n d a g e r o l l . F i g u r e 3 . 1 2 s h o w s t h e e f f e c t o f d i f f e r e n t s l e w t r a j e c t o r i e s l e a d i n g t o t h e s a m e a p p e n d a g e o r i e n t a t i o n . T h r e e c a s e s a r e c o n s i d e r e d . S o l i d l i n e s r e p r e s e n t t h e r e s p o n s e o f a s a t e l l i t e w i t h t h e a p p e n d a g e e x e c u t i n g p i t c h a n d r o l l s l e w m o t i o n s i m u l t a n e o u s l y f r o m 0=0 t o 5 = 0 . 0 0 1 o r b i t . T h i s i s c o n t r a s t e d a g a i n s t t h e l i b r a t i o n a l r e s p o n s e w i t h t h e a p p e n d a g e f i r s t s l e w i n g i n p i t c h o v e r 0 . 0 0 0 5 o r b i t , a n d t h e n e x e c u t i n g r o l l s l e w m o t i o n t o g i v e t o t a l r = 0 . 0 0 l o r b i t . F i n a l l y , i n t h e t h i r d c a s e t h e s e q u e n c e o f s l e w m o t i o n i s r e v e r s e d , i . e . , t h e r o l l f o l l o w e d b y t h e p i t c h o v e r t h e s a m e d u r a t i o n . I t i s s i g n i f i c a n t t h a t d i f f e r e n t s l e w t r a j e c t o r i e s l e a d i n g t o t h e s a m e o r i e n t a t i o n o f t h e a p p e n d a g e h a v e l i t t l e e f f e c t o n t h e s a t e l l i t e r e s p o n s e . T h e l i b r a t i o n a l d y n a m i c s i s m a i n l y g o v e r n e d b y t h e f i n a l s a t e l l i t e i n e r t i a d i a d i c a n d t h e d i s t u r b a n c e t o r q u e f r o m t h e a p p e n d a g e s l e w m o t i o n . T h e d e v i a t i o n i n s a t e l l i t e r e s p o n s e i s , o f c o u r s e , a t t r i b u t e d t o t h e v a r i a t i o n i n t h e s l e w t i m e h i s t o r i e s o f t h e a p p e n d a g e . F o r s l e w m o t i o n s o f l o n g e r d u r a t i o n , t h e e f f e c t o f t h e s p e c i f i e d a p p e n d a g e p a t h o n t h e 45 Satellite Parameters Cs = 0.05 Ca = 0.06 7] = 0.06 r = (oo 1) Appendage Cubic Time History Parameters T 0 = /?, = 0° = .001 orbit = .001 orbit orbit normal Initial Conditions f ( 0 ) = V'(0) = 0 0(0) = 0'(O) = 0 A(0) = X'(0) = 0 vertical /v-Eccentricity A N. € = 0 I a f » Pf orbit a, = -30 a, = 30 ( a ) ( b ) g,=30,/?,=30 o,=30,ft,=-30 g,=-30,/3i=30 g,=-30,/S,=-30 orbits F i g u r e 3 . 1 0 S y s t e m r e s p o n s e d u e t o a p p e n d a g e p i t c h a n d r o l l s l e w m o t i o n s : ( a ) p i t c h r e s p o n s e ; ( b ) r o l l r e s p o n s e ; ( c ) y a w r e s p o n s e . 46 Satellite Parameters Co r = 0.06 = 0.06 = 0.06 = ( 0 0 1) Appendage Cubic Time History Parameters «i = /S, = 0« = .001 orbit = .001 orbit Initial Conditions f(0) = f '(0) = 0 0(0) = 0'(O) = 0 ^ | - N o r b ; A ( 0 ) = A ' ( 0 ) = 0 A^U vertical/v-V^ Eccentricity * v>^ E = 0 , °f » Pi orbit normal t 10 ( a ) g,=30,/g,=50  q (=30,/3,=60 Q,=60,/5,=3O orbits F i g u r e 3 . 1 1 S y s t e m r e s p o n s e d u e t o a p p e n d a g e p i t c h a n d r o l l s l e w m o t i o n s : ( a ) p i t c h r e s p o n s e ; ( b ) r o l l r e s p o n s e ; ( c ) y a w r e s p o n s e . 47 Satel l i te P a r a m e t e r s •n V = 0.06 = 0.06 = 0.06 = ( 0 0 1) A p p e n d a g e Cub ic T ime His tory P a r a m e t e r s a s = /Sj = 0° a f = /S f = 30° T ( t o t a l ) = .001 o r b i t Initial Cond i t i ons TKO) = V ' ( 0 ) = 0 0(0) = 0'(O) = 0 A ( 0 ) = V ( 0 ) = 0 o rb i t n o r m a l E c c e n t r i c i t y € = 0 vertical y v -• ' "^ o r b i l 10 - 1 0 10 ( a ) ( b ) a and ft  a,then ft ft.then a F i g u r e 3 . 1 2 orbits S y s t e m r e s p o n s e s h o w i n g e f f e c t o f p a t h _ o f a p p e n d a g e d u r i n g s l e w m o t i o n : ( a ) p i t c h r e s p o n s e ; ( b ) r o l l r e s p o n s e ; ( c ) y a w r e s p o n s e 48 s a t e l l i t e r e s p o n s e w i l l b e c o m e m o r e p r o n o u n c e d b e c a u s e o f t h e g r a v i t a t i o n a l m o m e n t , a s m e n t i o n e d b e f o r e . 3 . 3 E f f e c t o f S a t e l l i t e I n e r t i a a n d G e o m e t r y O f c r i t i c a l i m p o r t a n c e i n d e s i g n w o u l d b e t h e i n f l u e n c e o f i n e r t i a p a r a m e t e r s a s s o c i a t e d w i t h t h e c e n t r a l b o d y a n d t h e a p p e n d a g e . T h e s e a r e < , t ( r a t i o o f a x i a l t o t r a n s v e r s e i n e r t i a o f t h e a p p e n d a g e a n d t h e c e n t r a l b o d y , r e s p e c t i v e l y ) a n d T J , t h e i r m a s s r a t i o . F i g u r e 3 . 1 3 i n d i c a t e s i n f l u e n c e o f t h e s e p a r a m e t e r s o n t h e l i b r a t i o n a l d y n a m i c s . T h e t r e n d s a r e c o n s i s t e n t w i t h w h a t o n e w o u l d e x p e c t b a s e d o n p h y s i c a l c o n s i d e r a t i o n s . A s t h e c e n t r a l b o d y b e c o m e s m o r e s l e n d e r ( d u m b b e l l s a t e l l i t e ) t h e l i b r a t i o n a l a m p l i t u d e d i m i n i s h e s m a r k e d l y ( F i g u r e 3 . 1 3 a ) . O n t h e o t h e r h a n d , s l e w i n g m o t i o n o f a s l e n d e r a p p e n d a g e l e a d s t o a l a r g e r a m p l i t u d e l i b r a t i o n ( F i g u r e 3 . 1 3 b ) . O f c o u r s e , a s t h e r e l a t i v e m a s s o f t h e a p p e n d a g e i n c r e a s e s , t h e p i t c h l i b r a t i o n s g r o w . C l e a r l y , t h e i n e r t i a r a t i o o f t h e c e n t r a l b o d y i s t h e m o s t c r i t i c a l p a r a m e t e r i n a s s e s s i n g t h e s a t e l l i t e s t a b i l i t y , b e c a u s e t h e g r a v i t y g r a d i e n t s t a b i l i z i n g m o m e n t i s g o v e r n e d b y t h e s l e n d e r n e s s o f t h e s a t e l l i t e b o d y . T h e i n e r t i a r a t i o o f t h e a p p e n d a g e ( $ a ) a n d a p p e n d a g e / c e n t r a l b o d y m a s s r a t i o (T J ) p l a y l e s s e r r o l e s a s t h e i r d e s t a b i l i z i n g e f f e c t o n s a t e l l i t e r e s p o n s e c a n b e c o m p e n s a t e d t h r o u g h c a r e f u l s e l e c t i o n o f t h e a p p e n d a g e t i m e h i s t o r i e s . Satellite Parameters r = (oo 1) App. Cubic Time History Parameters a, = -90° a f = 0° r a = .001 orbit /?. = fi, = T = 0 Initial Conditions V(0) = ^'(0) = 0 0(0) = 0'(O) = 0 X(0) = X'(0) = 0 a Eccentricity € — 0 !A vertical 49 orbit normal orbit <0 = 0.06 rj - 0.06 77 = 0.06 77 = 0.09 77=0.12 orbits F i g u r e 3 . 1 3 S y s t e m r e s p o n s e s h o w i n g e f f e c t o f : ( a ) c e n t r a l b o d y i n e r t i a r a t i o ; ( b ) a p p e n d a g e i n e r t i a r a t i o ; ( c ) a p p e n d a g e / c e n t r a l b o d y m a s s r a t i o . 50 F i g u r e 3 . 1 4 e x h i b i t s t h e e f f e c t o f h i n g e l o c a t i o n , i . e . , t h e a p p e n d a g e p l a c e m e n t o n t h e c e n t r a l b o d y , o n t h e r e s p o n s e w i t h a p p e n d a g e p i t c h s l e w m o t i o n . F i g u r e 3 . 1 4 ( a ) i l l u s t r a t e s i n f l u e n c e o f t h e h i n g e l o c a t i o n i n t h e o r b i t a l p l a n e o n t h e s a t e l l i t e ' s e q u i l i b r i u m s t a t e - a c o n s e q u e n c e o f t h e s a t e l l i t e i n e r t i a d i a d i c w h i c h , i n t u r n , d e t e r m i n e s t h e o r i e n t a t i o n o f t h e a x i s o f m i n i m u m m o m e n t o f i n e r t i a . I t s u g g e s t s t h a t l o c a t i o n o f t h e h i n g e m u s t b e g i v e n c a r e f u l c o n s i d e r a t i o n i n o r d e r t o o b t a i n a d e s i r e d o r i e n t a t i o n f o r t h e a x i s o f m i n i m u m m o m e n t o f i n e r t i a , a n d t h u s a c h i e v e a d e s i r a b l e e q u i l i b r i u m s t a t e f o r t h e s a t e l l i t e . F i g u r e s 3 . 1 4 ( b ) , ( c ) s h o w t h e p i t c h a n d r o l l r e s p o n s e s o f t h e s a t e l l i t e d u e t o v a r i a t i o n o f h i n g e l o c a t i o n a c r o s s t h e o r b i t a l p l a n e . N o t e t h a t t h e o u t o f p l a n e h i n g e l o c a t i o n i n d u c e s t h e o u t o f p l a n e m o t i o n ( F i g u r e 3 . 1 4 c ) a s w e l l a s t h e p l a n a r m o t i o n ( F i g u r e 3 . 1 4 b ) d u e t o c o u p l i n g . F i g u r e s 3 . 1 5 , 3 . 1 6 s h o w , r e s p e c t i v e l y , r e s p o n s e o f a s a t e l l i t e w i t h p r e s c r i b e d a p p e n d a g e r o l l s l e w m o t i o n a s a f f e c t e d b y h i n g e l o c a t i o n w i t h i n t h e o r b i t a l p l a n e ( F i g u r e 3 . 1 5 ) a n d a c r o s s t h e o r b i t a l p l a n e ( F i g u r e 3 . 1 6 ) . C l e a r l y , a p p e n d a g e p l a c e m e n t o n t h e c e n t r a l b o d y i n f l u e n c e s t h e s y s t e m r e s p o n s e , w h i c h i s p a r t i c u l a r l y s i g n i f i c a n t i n t h e <j> d e g r e e o f f r e e d o m f o r t h e o u t o f p l a n e h i n g e l o c a t i o n . N e x t , t h e a t t e n t i o n w a s d i r e c t e d a t d e t e r m i n a t i o n o f a c o m b i n a t i o n o f s y s t e m p a r a m e t e r s w h i c h m a y l e a d t o u n s t a b l e l i b r a t i o n a l r e s p o n s e . H o w e v e r , t h e s y s t e m p r o v e d t o b e r a t h e r s t a b l e . T h e r e l u c t a n c e o f a s a t e l l i t e t o t u m b l e w h e n 51 Satellite Porameters <ts = 0.05 < 0 = 0.06 77 = 0.05 Appendage Cubic Time History Porameters a, = -90° a, 0 = T a = .001 o rb i t = pf = T - 0 Initial Conditions f(0) = f ' (0) = 0 0(0) = 0'(O) = 0 A(0) = A'(0) = 0 Eccentricity 1=0 orbit normal orbit vert ical r = ( - 1 0 1 ) L_=iz-L°l) 11=1,501 r = (101) r = (o - 1 1 ) r = (0 0 1 ) r = (0 -s 1) r = (0 11) orbi is F i g u r e 3.14 S y s t e m r e s p o n s e d u e t o a p p e n d a g e p i t c h s l e w m o t i o n a s a f f e c t e d b y h i n g e l o c a t i o n : ( a ) i n t h e o r b i t a l p l a n e ; ( b ) , ( c ) a c r o s s t h e o r b i t a l p l a n e . 52 Satellite Parameters <rs = 0.06 <tQ = 0.06 77 = 0.06 r = ( - i o p lLz±-A.°J> r...=.(..i.p..D.. orbits App. Cubic Time History Parameters P\ Pi TP a-. = -90° = 0° = .001 orbit a f = T a = 0 Initial Conditions r (o) = 0 0'(O) = 0 A'(0) = 0 orbit normal ver i i c a l Eccentricity € = 0 orbit F i g u r e 3 . 1 5 S y s t e m r e s p o n s e d u e t o a p p e n d a g e r o l l s l e w m o t i o n a s a f f e c t e d b y h i n g e l o c a t i o n i n t h e o r b i t a l p l a n e : ( a ) p i t c h r e s p o n s e ; ( b ) r o l l r e s p o n s e . Satellite Parameters C s Co v - 0.06 = 0.06 = 0.06 53 App. Cubic Time History Parameters P\ Pi T P = -90° = 0° = .001 orbit a f = T a = 0 Initio! Conditions f(0) = f'(0) = 0 0(0) = 0'(O) = 0 X(0) = A ' ( 0 ) = 0 orbit normal vert ical Eccentricity £ = 0 orbit r =(Q-I-I) ______*_ r = (o -s D orbits F i g u r e 3 . 1 6 S y s t e m r e s p o n s e d u e t o a p p e n d a g e r o l l s l e w m o t i o n a s a f f e c t e d b y h i n g e l o c a t i o n a c r o s s t h e o r b i t a l p l a n e : ( a ) p i t c h r e s p o n s e ; ( b ) r o l l r e s p o n s e . 54 s u b j e c t e d t o a s m o o t h s l e w d i s t u r b a n c e i s e v i d e n t i n F i g u r e 3 . 1 7 . E v e n w h e n f a c e d w i t h a n a d v e r s e c o m b i n a t i o n o f i n e r t i a a n d g e o m e t r y , t h e s a t e l l i t e r e s p o n s e c o n t i n u e s t o b e s t a b l e . T h i s s u g g e s t s t h a t a c o n v e n t i o n a l s a t e l l i t e w o u l d i n d e e d b e u n l i k e l y t o t u m b l e f r o m t h e a c t i o n o f a s m o o t h s l e w i n g m a n e u v e r . 3 . 4 E f f e c t o f I m p u l s i v e D i s t u r b a n c e F i g u r e 3 . 1 8 s h o w s t h e r e s p o n s e o f a s a t e l l i t e w i t h p r e s c r i b e d a p p e n d a g e p i t c h s l e w m o t i o n a s a f f e c t e d b y i m p u l s i v e d i s t u r b a n c e i n t h e o r b i t a l p l a n e ( F i g u r e 3 . 1 8 a ) a n d a c r o s s t h e o r b i t a l p l a n e ( F i g u r e s 3 . l 8 b , c ) . F i g u r e 3 . 1 8 ( a ) i l l u s t r a t e s t h e s e n s i t i v i t y o f p i t c h r e s p o n s e t o i n p l a n e i m p u l s i v e d i s t u r b a n c e s . T h i s s u g g e s t s t h a t a r e d u c t i o n i n p i t c h a m p l i t u d e c a n b e o b t a i n e d b y j u d i c i o u s l y s l e w i n g t h e a p p e n d a g e a t a n a p p r o p r i a t e p o s i t i v e o r n e g a t i v e i n i t i a l v e l o c i t y . F i g u r e 3 . 1 8 ( b ) r e f l e c t s t h e i n s e n s i t i v i t y o f p i t c h r e s p o n s e t o o u t o f p l a n e i m p u l s i v e d i s t u r b a n c e s . T h i s i s s o m e w h a t s u p r i s i n g a s t h e r e d o e s n o t s e e m t o b e a n y i n f l u e n c e f r o m t h e o u t o f p l a n e r e s p o n s e , s u g g e s t i n g l o w e r o r d e r o f m a g n i t u d e o f t h e c o u p l i n g t e r m s . F i g u r e s 3 . 1 9 a n d 3 . 2 0 s h o w , r e s p e c t i v e l y , r e s p o n s e o f a s a t e l l i t e t o a p p e n d a g e r o l l s l e w m o t i o n w i t h a n i m p u l s i v e d i s t u r b a n c e i n t h e o r b i t a l p l a n e a n d a c r o s s t h e o r b i t a l p l a n e . A s b e f o r e , F i g u r e 3 . 1 9 s u g g e s t s t h a t a r e d u c t i o n i n p i t c h a m p l i t u d e c a n b e o b t a i n e d b y j u d i c i o u s l y s l e w i n g t h e a p p e n d a g e w i t h a d e s i r a b l e i m p u l s e . I t a l s o s h o w s t h a t 55 Satel l i te P a r a m e t e r s = 1.90 <c = 0.001 V = 0 . 2 5 V = (0 1 9 0 r 0 . A p p e n d a g e Cub ic T ime History P a r a m e t e r s = 0, = 0« = /S f = 60 = T a = = .001 o r b i t Initial C o n d i t i o n s iKo) = r(o) = 0 4 0 (0) = 0 ' ( O ) = 0 J - N orbi t A ( 0 ) = A ' < 0 ) = 0 (Ty— v e r t i c a l / v - V ^ orb i t n o r m a l E c c e n t r i c i t y e = 0 « f » Pi A A A " ' I ij ii ii ii ii orbits F i g u r e 3 . 1 7 S y s t e m r e s p o n s e f o r a n a d v e r s e c o m b i n a t i o n o f s a t e l l i t e i n e r t i a a n d g e o m e t r y : ( a ) p i t c h r e s p o n s e ; ( b ) r o l l r e s p o n s e ; ( c ) y a w r e s p o n s e . 56 S a t e l l i t e P a r a m e t e r s <rs = 0.06 Ca = 0 . 0 6 77 = 0 . 0 6 T = ( 0 0 1) A p p e n d a g e C u b i c T i m e H i s t o r y P a r a m e t e r s = - 9 0 ° = 0° = .001 o r b i t p \ = rp = 0 01 In it ial C o n d i t i o n s f ( 0 ) = 0 0 ( 0 ) = 0 A ( 0 ) = A ' ( 0 ) = 0 a: E c c e n t r i c i t y c = 0 o rb i t n o r m a l o rb i t ( b ) ( c ) '^(0) = 0 0'(O) = - 6 0'(O) = - 3 0'(O) = 0_ 0'(O) = 3_ 0'(O) = 6 0 2 orbits F i g u r e 3 . 1 8 S y s t e m r e s p o n s e d u e t o a p p e n d a g e p i t c h s l e w m o t i o n a s a f f e c t e d b y a n i m p u l s i v e d i s t u r b a n c e : ( a ) i n t h e o r b i t a l p l a n e ; ( b ) , ( c ) a c r o s s t h e o r b i t a l p l a n e . S a t e l l i t e P a r a m e t e r s V r = 0 . 0 6 = 0 . 0 6 = 0 . 0 6 = ( 0 0 1) A p p e n d a g e C u b i c T i m e H i s t o r y P a r a m e t e r s = - 9 0 ° = 0 ° = .001 o r b i t a f = T d = 0 Init ial C o n d i t i o n s f(0) = 0 0(0) = 0 ' ( O ) = 0 A ( 0 ) = A ' ( 0 ) = 0 v e r t i c a l E c c e n t r i c i t y P f \ 1/3-€ = 0 •^ '(0) = -6 deg/rod  V-'(0) = -3 deg/rod  '^(0) = 0 deg/rod '^(0) = 3 deg/rod f{0)>_= 6 deg/rod orbits F i g u r e 3 . 1 9 S y s t e m r e s p o n s e d u e t o a p p e n d a g e r o l l s l e w m o t i o n a s a f f e c t e d ' b y a n i m p u l s i v e d i s t u r b a n c e i n t h e o r b i t a l p l a n e : ( a ) p i t c h r e s p o n s e ; ( b ) r o l l r e s p o n s e . Satellite Parameters < s = 0 . 0 6 <o = 0.06 77 = 0.06 F = ( 0 0 1) Appendage Cubic Time History Parameters Pi Pi a: = = -90° = 0° = .001 orbit O f = T a = 0 Initial Conditions i>(o) = V ' ( 0 ) = 0 0(0) = 0 A ( 0 ) = A ' ( 0 ) = 0 orbit normal 58 Eccentricity € = 0 vertical orbit PK\P\ 0'(O) = - 6 deg/rod  ^'(0) = - 3 deg/rod  ^'(0) = 0 deg/rod <f,'(0) = 3 deg/rod #'(0) = 6 deg/rod orbi is F i g u r e 3 . 2 0 S y s t e m r e s p o n s e d u e t o a p p e n d a g e r o l l s l e w m o t i o n a s a f f e c t e d b y a n i m p u l s i v e d i s t u r b a n c e a c r o s s t h e o r b i t a l p l a n e : ( a ) p i t c h r e s p o n s e ; ( b ) r o l l r e s p o n s e . 5 9 i n p l a n e i n i t i a l d i s t u r b a n c e s h a v e n e g l i b l e e f f e c t o n t h e r o l l r e s p o n s e . O n t h e o t h e r h a n d , t h e t r a n s v e r s e i m p u l s i v e d i s t u r b a n c e s d o a f f e c t , s l i g h t l y , t h e r o l l r e s p o n s e ( F i g u r e 3 . 2 0 ) . T h u s , r e l a t i v e l y , o n l y a s m a l l r e d u c t i o n i n r o l l a m p l i t u d e c a n b e a c h i e v e d w i t h a n i n p l a n e o r o u t o f p l a n e i m p u l s i v e d i s t u r b a n c e . I n f a c t , t h e p r e s e n c e o f i n i t i a l l i b r a t i o n a l v e l o c i t i e s d u r i n g a p p e n d a g e r o l l s l e w m o t i o n s c a n i n c r e a s e t h e r o l l a m p l i t u d e . 3 . 5 E f f e c t o f O r b i t E c c e n t r i c i t y E c c e n t r i c i t y o f t h e o r b i t i n t r o d u c e s a f o r c i n g f u n c t i o n o n t h e s y s t e m , g e n e r a l l y l e a d i n g t o a w o r s e n i n g o f t h e l i b r a t i o n a l r e s p o n s e . T h e e f f e c t o f o r b i t e c c e n t r i c i t y o n t h e r e s p o n s e o f a s a t e l l i t e p e r f o r m i n g a p p e n d a g e r o l l s l e w m o t i o n a t t h e p e r i g e e o f o r b i t i s s h o w n i n F i g u r e 3 . 2 1 . I t c a n b e s e e n t h a t t h e l i b r a t i o n a l r e s p o n s e o f t h e s a t e l l i t e d u r i n g s l e w m o t i o n i s a d v e r s e l y a f f e c t e d b y o r b i t e c c e n t r i c i t y . T h i s i s s i g n i f i c a n t a s i t s h o w s t h a t t h e p r e s e n c e o f e c c e n t r i c i t y m a y i n d u c e o u t r i g h t t u m b l i n g o f a s a t e l l i t e p e r f o r m i n g s l e w m o t i o n a t t h e p e r i g e e o f t h e o r b i t . Sate l l i t e P a r a m e t e r s C s = 0 . 0 6 <Ta = 0 . 0 6 77 = 0 . 0 6 ( T = ( 0 0 1) A p p e n d a g e C u b i c T i m e H i s t o r y P a r a m e t e r s Pi T = - 9 0 ° = 0 ° = .001 o r b i t a f = T d = 0 Initial C o n d i t i o n s V(o) = f(0) = 0 0(0) = 0 ' (O) = 0 A ( 0 ) = X ' ( 0 ) = 0 60 orb i t n o r m a l 0.0 £ - 0.1 E = 0.2 8 ~ 0.3 orbits F i g u r e 3 . 2 1 S y s t e m r e s p o n s e d u e t o a p p e n d a g e r o l l s l e w m o t i o n a s a f f e c t e d b y o r b i t e c c e n t r i c i t y : ( a ) p i t c h r e s p o n s e ; ( b ) r o l l r e s p o n s e . 4. C O N C L U D I N G R E M A R K S 4 . 1 S u m m a r y o f C o n c l u s i o n s A r e l a t i v e l y g e n e r a l f o r m u l a t i o n p r e s e n t e d h e r e f o r s t u d y i n g l i b r a t i o n a l d y n a m i c s o f a r i g i d s a t e l l i t e w i t h a r i g i d s l e w i n g a p p e n d a g e r e p r e s e n t s a f i r s t s t e p t o w a r d s a n a n a l y s i s o f m o r e c o m p l e x s y s t e m s . T h e a n a l y s i s p r o v i d e s a u s e f u l i n s i g h t i n t o i n t e r a c t i o n s b e t w e e n t h e i n e r t i a p a r a m e t e r s , o r b i t g e o m e t r y , s l e w t i m e h i s t o r i e s a n d i n i t i a l c o n d i t i o n s . T h e s a l i e n t f e a t u r e s o f t h e a n a l y s i s a n d t h e c o n c l u s i o n s b a s e d o n t h e m m a y b e s u m m a r i z e d a s f o l l o w s : ( i ) A p p e n d a g e t i m e h i s t o r i e s o f l o n g d u r a t i o n w i t h s m o o t h s t a r t i n g a n d s t o p p i n g m o t i o n s l e a d t o a s u b s t a n t i a l l y l o w l i b r a t i o n a l r e s p o n s e . ( i i ) T h e a p p e n d a g e s h o u l d b e a s l i g h t a n d a s f l a t a s p o s s i b l e t o m i n i m i z e d i s t u r b a n c e t o r q u e d u r i n g a p p e n d a g e s l e w m o t i o n s . ( i i i ) T h e h i n g e l o c a t i o n a n d o r i e n t a t i o n o f t h e a p p e n d a g e i n f l u e n c e s t h e s a t e l l i t e i n e r t i a d i a d i c a n d h e n c e d e f i n e s t h e e q u i l i b r i u m s t a t e f o r t h e s a t e l l i t e a b o u t w h i c h l i b r a t i o n a l r e s p o n s e o c c u r s . ( i v ) P i t c h s l e w m o t i o n d o e s n o t e x c i t e o u t o f p l a n e m o t i o n f o r a n y a r b i t r a r y h i n g e l o c a t i o n i n t h e o r b i t a l p l a n e . H o w e v e r , d u r i n g o u t o f p l a n e l o c a t i o n o f t h e h i n g e , t h e s a m e s l e w m o t i o n e x c i t e s a l l t h e l i b r a t i o n a l d e g r e e s o f f r e e d o m . F o r a r o l l s l e w 61 62 m o t i o n , i r r e s p e c t i v e o f t h e h i n g e l o c a t i o n , p i t c h , r o l l a n d y a w a r e a l w a y s e x c i t e d . T h i s i s c o n s i s t e n t w i t h t h e e a r l i e r s t u d i e s w i t h r e f e r e n c e t o l i b r a t i o n a l d y n a m i c s o f r i g i d s a t e l l i t e s . ( v ) S t a b i l i t y ( n o t u m b l i n g ) i n p i t c h a n d r o l l c a n b e m a i n t a i n e d w i t h g r a v i t y g r a d i e n t s t a b i l i z a t i o n p r o v i d e d a s u i t a b l e c o m b i n a t i o n o f s a t e l l i t e a n d a p p e n d a g e t i m e h i s t o r y p a r a m e t e r s a r e c h o s e n . ( v i ) G r a v i t y g r a d i e n t s t a b i l i z e d s a t e l l i t e s w i t h s l e w i n g a p p e n d a g e s h a v e p o o r p o i n t i n g a c c u r a c y . O u t o f p l a n e s a t e l l i t e m o t i o n r e s u l t s i n l i b r a t i o n i n y a w w h i c h c a u s e s t h e a p p e n d a g e t o r e v o l v e a b o u t t h e s a t e l l i t e s p i n a x i s . G r a v i t y g r a d i e n t s t a b i l i z a t i o n d o e s l i t t l e t o r e d u c e y a w l i b r a t i o n o f c y l i n d r i c a l s a t e l l i t e s . A s w e l l , g r a v i t y g r a d i e n t s t a b i l i z a t i o n i s u n a b l e t o c o n t r o l l a r g e l i b r a t i o n c a u s e d b y f a s t a p p e n d a g e s l e w m o t i o n s , n o r d o e s i t e l i m i n a t e t h e t h e o f f s e t e r r o r c a u s e d b y a n o n z e r o e q u i l i b r i u m s t a t e . ( v i i ) I t a p p e a r s t h a t , i n g e n e r a l , t h e e c c e n t r i c i t y a f f e c t s t h e l i b r a t i o n a l r e s p o n s e a d v e r s e l y d u r i n g s l e w i n g m a n e u v e r s . 4 . 2 R e c o m m e n d a t i o n s f o r F u t u r e W o r k T h i s p r e l i m i n a r y i n v e s t i g a t i o n h a s p r o v i d e d s o m e i n s i g h t i n t o t h e d y n a m i c a l b e h a v i o u r o f s p a c e c r a f t w i t h a s l e w i n g a p p e n d a g e . H o w e v e r , i t i s o n l y a f i r s t s t e p t o w a r d s 63 a n a l y s i s o f m o r e r e a l i s t i c a n d h e n c e c o m p l e x m o d e l s . A f e w s u g g e s t i o n s c o n c e r n i n g d i r e c t i o n f o r f u t u r e i n v e s t i g a t i o n a r e r e c o r d e d b e l o w : ( i ) M o s t s a t e l l i t e s a r e p r o v i d e d w i t h s o m e f o r m o f d a m p i n g m e c h a n i s m , i n a d d i t i o n t o t h e i n t e r n a l d a m p i n g , t o m i n i m i z e l i b r a t i o n a l r e s p o n s e . I t w o u l d b e o f c o n s i d e r a b l e i n t e r e s t t o e v a l u a t e t h e p e r f o r m a n c e o f t h e s a t e l l i t e d u e t o t h e p r e s e n c e o f d a m p i n g . ( i i ) A h i g h d e g r e e o f p o i n t i n g a c c u r a c y i s r e q u i r e d f o r m a n y s a t e l l i t e m i s s i o n s . A n a c t i v e c o n t r o l s h o u l d b e d e v e l o p e d t o m e e t a l l p o i n t i n g a c c u r a c y c r i t e r i a , i n t h e p r e s e n c e o f s l e w i n g m a n e u v e r s . ( i i i ) A s t a b i l i t y s t u d y i s i m p o r t a n t a n d s h o u l d b e u n d e r t a k e n . T o t h i s e n d , t h e c o n c e p t i n t e g r a l m a n i f o l d i n t h e p h a s e s p a c e m a y p r o v e u s e f u l . ( i v ) M a n y s a t e l l i t e m i s s i o n s r e q u i r e n e a r e a r t h o r b i t s , w h e r e f r e e m o l e c u l a r r e a c t i o n f o r c e s ( a e r o d y n a m i c d r a g ) m a y h a v e s i g n i f i c a n t e f f e c t o n t h e s a t e l l i t e p e r f o r m a n c e . ( v ) T h e U . S . h a s c o m m i t t e d i t s e l f t o a s p a c e s t a t i o n b y e a r l y 1 9 9 0 ' s . T h e p r o p o s e d b a s e l i n e c o n f i g u r a t i o n o f t h e s p a c e s t a t i o n i n v o l v e s a v a s t a r r a y o f h i g h l y f l e x i b l e b e a m s ( k e e l ) , p o w e r b o o m s , s o l a r p a n e l s , a n t e n n a s , e t c . , e x t e n d i n g t o t e n s o f m e t e r s . MRMS t o b e u s e d f o r c o n s t r u c t i o n o f t h e s p a c e s t a t i o n w i l l 64 b e , a s t h e name s u g g e s t s , a m o b i l e u n i t w i t h i t s own f l e x i b l e a p p e n d a g e s . T h u s , a n a n a l y s i s o f a s y s t e m w i t h s l e w i n g f l e x i b l e a p p e n d a g e s t r a v e r s i n g a f l e x i b l e , o r b i t i n g s t r u c t u r e w i l l b e n e e d e d i n t h e d y n a m i c a l a n a l y s i s a n d c o n t r o l o f t h e p r o p o s e d s p a c e s t a t i o n . B I B L I O G R A P H Y L i k i n s , P . W . , " D y n a m i c s a n d C o n t r o l o f F l e x i b l e S p a c e V e h i c l e s , " N A S A T R - 3 2 - 1 3 2 9 , J a n u a r y 1 9 7 0 . L i k i n s , P . W . , a n d B o u v i e r , H . K . , " A t t i t u d e C o n t r o l o f N o n r i g i d S p a c e c r a f t , " A s t r o n a u t i c s & A e r o n a u t i c s , V o l . 9 , M a y 1 9 7 1 , p p . 6 4 - 7 1 . M o d i , V . J . , " A t t i t u d e D y n a m i c s o f S a t e l l i t e s w i t h F l e x i b l e A p p e n d a g e s - A B r i e f R e v i e w , " J o u r n a l o f  S p a c e c r a f t a n d R o c k e t s , V o l . 1 1 , N o v e m b e r 1 9 7 4 , p p . 7 4 3 - 7 5 1 . W i l l i a m s , C . J . H . , " D y n a m i c s M o d e l l i n g a n d F o r m u l a t i o n T e c h n i q u e s f o r N o n - R i g i d S p a c e c r a f t , " P r o c e e d i n g s o f t h e E S A s y m p o ' s i u m o n D y n a m i c s a n d  C o n t r o l o f N o n - R i g i d S p a c e c r a f t , F r a s c a t i , I t a l y , M a y 1 9 7 6 , E S A S P 1 1 7 , p p . 5 3 - 7 0 . R o b e r s o n , R . E . , " T w o D e c a d e s o f S p a c e c r a f t A t t i t u d e C o n t r o l , " J o u r n a l o f G u i d a n c e a n d C o n t r o l , V o l . 2 , J a n u a r y - F e b r u a r y 1 9 7 9 , p p . 3 - 8 . L i p s , K . W . , " D y n a m i c s o f a L a r g e C l a s s o f S a t e l l i t e s w i t h D e p l o y i n g F l e x i b l e A p p e n d a g e s , " P h . D . D i s s e r t a t i o n , U n i v e r s i t y o f B r i t i s h C o l u m b i a , V a n c o u v e r , B . C . , C a n a d a , S e p t e m b e r 1 9 8 0 . M a r k l a n d , C . A . , " A R e v i e w o f t h e A t t i t u d e C o n t r o l o f C o m m u n i c a t i o n s S a t e l l i t e s , " 3 2 n d C o n g r e s s o f t h e I n t e r n a t i o n a l A s t r o n a u t i c a l F e d e r a t i o n , R o m e , I t a l y , 1 9 8 1 , P a p e r N o . I A F - 8 1 - 3 4 4 . L a n g , W . , a n d H o n e y c u t t , G . H . , " S i m u l a t i o n o f D e p l o y m e n t D y n a m i c s o f S p i n n i n g S p a c e c r a f t , " N A S A T N - D - 4 0 7 4 , 1 9 6 7 . C l o u t i e r , G . J . , " D y n a m i c s o f D e p l o y m e n t o f E x t e n d i b l e B o o m s f r o m S p i n n i n g S p a c e V e h i c l e s , " J o u r n a l o f S p a c e c r a f t a n d R o c k e t s , V o l . 5 , M a y 1 9 6 8 , p p . 5 4 7 - 5 5 2 . 6 5 66 B o w e r s , J r . , E . J . , a n d W i l l i a m s , C . E . , " O p t i m i z a t i o n o f R A E S a t e l l i t e B o o m D e p l o y m e n t T i m i n g , " J o u r n a l o f  S p a c e c r a f t a n d R o c k e t s , V o l . 7 , S e p t e m b e r 1 9 7 0 , p p . 1 0 5 7 - 1 0 6 2 . H u g h e s , P . C . , " D y n a m i c s o f a S p i n - S t a b i l i z e d S a t e l l i t e D u r i n g E x t e n s i o n o f R i g i d B o o m s , " C A S I  T r a n s a c t i o n s , V o l . 5 , 1 9 7 2 , p p . 1 1 - 1 9 . S e l l a p a n , R . , a n d B a i n u m , P . M . , " D y n a m i c s o f S p i n - S t a b i l i z e d S p a c e c r a f t D u r i n g D e p l o y m e n t o f T e l e s c o p i n g A p p e n d a g e s , " J o u r n a l o f S p a c e c r a f t a n d  R o c k e t s , V o l . 1 3 , O c t o b e r 1 9 7 6 , p p . 6 0 5 - 6 1 0 . C h e r c h a s , D . B . , " D y n a m i c s o f S p i n - S t a b i l i z e d S a t e l l i t e s D u r i n g E x t e n s i o n o f L o n g F l e x i b l e B o o m s , " J o u r n a l o f S p a c e c r a f t a n d R o c k e t s , V o l . 8 , J u l y 1 9 7 1 , p p . 8 0 2 - 8 0 4 . C h e r c h a s , D . B . , a n d G o s s a i n , D . M . , " D y n a m i c s o f a F l e x i b l e S o l a r A r r a y D u r i n g D e p l o y m e n t f r o m a S p i n n i n g S p a c e c r a f t , " C A S I T r a n s a c t i o n s , V o l . 7 , 1 9 7 4 , p p . 1 0 - 1 8 . D o w , P . C . , S c a m m e l l , F . H . , M u r r a y F . T . , C a r l s o n , N . A . , a n d B u c k , I . H . , " D y n a m i c S t a b i l i t y o f a G r a v i t y G r a d i e n t S t a b i l i z e d S a t e l l i t e H a v i n g L o n g F l e x i b l e A t t e n n a s , " P r o c e e d i n g s o f t h e A I A A / J A C C  G u i d a n c e a n d C o n t r o l C o n f e r e n c e , New Y o r k , 1 9 6 6 , p p . 2 8 5 - 3 0 3 . J a n k o v i c , M . S . , " D e p l o y m e n t D y n a m i c s o f F l e x i b l e S p a c e c r a f t , " P h . D . d i s s e r t a t i o n , I n s t i t u t e o f A e r o s p a c e S t u d i e s , U n i v e r s i t y o f T o r o n t o , T o r o n t o , C a n a d a , 1 9 8 0 . I b r a h i m , A . E . , a n d M i s r a , A . K . , " A t t i t u d e D y n a m i c s o f a S a t e l l i t e D u r i n g D e p l o y m e n t o f L a r g e P l a t e - T y p e S t r u c t u r e s , " J o u r n a l o f G u i d a n c e , C o n t r o l , a n d  D y n a m i c s , V o l . 5 , N o . 5 , S e p t e m b e r - O c t o b e r 1 9 8 2 , p p . 4 4 2 - 4 4 7 . L i p s , K . W . , a n d M o d i , V . J . , " G e n e r a l D y n a m i c s o f a L a r g e C l a s s o f F l e x i b l e S a t e l l i t e S y s t e m s , " A c t a  A s t r o n a u t i c a , V o l . 7 , 1 9 8 0 , p p . 1 3 4 9 - 1 3 6 0 . M o d i , V . J . , a n d I b r a h i m , A . E . , " A G e n e r a l F o r m u l a t i o n f o r L i b r a t i o n a l D y n a m i c s o f S p a c e c r a f t w i t h D e p l o y i n g A p p e n d a g e s , " J o u r n a l o f G u i d a n c e ,  C o n t r o l , a n d D y n a m i c s , V o l . 7 , N o . 5 , S e p t e m b e r - O c t o b e r 1 9 8 4 , p p . 5 6 3 - 5 6 9 . S e l l a p p a n , R . , a n d B a i n u m , P . M . , " S t o c h a s t i c O p t i m a l A t t i t u d e C o n t r o l o f S p a c e c r a f t w i t h M o v a b l e A p p e n d a g e s , " J o u r n a l o f t h e A s t r o n a u t i c a l S c i e n c e s , V o l . 2 5 , N o . 4 , O c t o b e r - D e c e m b e r 1 9 7 7 , p p . 3 2 3 - 3 4 7 . B a r b a , P . M . , a n d A u b r u n , J . N . , " S a t e l l i t e A t t i t u d e A c q u i s i t i o n b y M o m e n t u m T r a n s f e r , " A I A A J o u r n a l , V o l . 1 4 , N o . 1 0 , O c t o b e r 1 9 7 6 , p p . 1 3 8 2 - 1 3 8 6 . S c o t t , E . D . , a n d R u b b o , J . E . , " D o u b l e G i m b a l l e d R e a c t i o n W h e e l M a n e u v e r i n g a*nd A t t i t u d e C o n t r o l S y s t e m , " J o u r n a l o f S p a c e c r a f t a n d R o c k e t s , V o l . 1 2 , N o . 8 , A u g u s t 1 9 7 5 , p p . 4 7 7 - 4 8 4 . H u b e r t , C , " S p a c e c r a f t A t t i t u d e A c q u i s i t i o n f r o m a n A r b i t r a r y S p i n n i n g o r T u m b l i n g S t a t e , " J o u r n a l o f  G u i d a n c e a n d C o n t r o l , V o l . 4 , N o . 2 , M a r c h - A p r i l 1 9 8 1 , p p . 1 6 4 - 1 7 0 . S k a a r , S . B . , a n d K r a i g e , L . G . , " S i n g l e - A x i s S p a c e c r a f t A t t i t u d e M a n e u v e r s U s i n g a n O p t i m a l R e a c t i o n W h e e l P o w e r C r i t e r i o n , " J o u r n a l o f G u i d a n c e  a n d C o n t r o l , V o l . 5 , N o . 5 , S e p t e m b e r - O c t o b e r 1 9 8 2 , p p . 5 4 3 - 5 4 4 . V a d a l i , S . R . , a n d J u n k i n s , J . L . , " S p a c e c r a f t L a r g e A n g l e R o t a t i o n a l M a n e u v e r s w i t h O p t i m a l M o m e n t u m T r a n s f e r , " J o u r n a l o f t h e A s t r o n a u t i c a l S c i e n c e s , V o l . 3 1 , N o . 2 , A p r i l - J u n e 1 9 8 3 , p p . 2 1 7 - 2 3 5 . K r a n t o n , J . , " M i n i m u m - T i m e A t t i t u d e M a n e u v e r s w i t h C o n t r o l M o m e n t G y r o s c o p e s , " A I A A J o u r n a l , V o l . 8 , N o . 8 , A u g u s t 1 9 7 0 , p p . 1 5 2 3 - 1 5 2 5 . S k a a r , S . B . , a n d K r a i g e L . G . , " L a r g e - A n g l e S p a c e c r a f t A t t i t u d e M a n e u v e r s U s i n g a n O p t i m a l R e a c t i o n W h e e l P o w e r C r i t e r i o n , " J o u r n a l o f t h e  A s t r o n a u t i c a l S c i e n c e s , V o l . 3 2 , N o . 1 , J a n u a r y - M a r c h 1 9 8 4 , p p . 4 7 - 6 1 . 68 C h e n , J . , a n d K a n e , T . R . , " S l e w i n g M a n e u v e r s o f G y r o s t a t S p a c e c r a f t , " J o u r n a l o f t h e A s t r o n a u t i c a l  S c i e n c e s , V o l . 2 8 , N o . 3 , J u l y - S e p t e m b e r 1 9 8 0 , p p . 2 6 7 - 2 8 1 . D w y e r , T . A . W . I l l a n d B a t t e n , A . L . , " E x a c t S p a c e c r a f t D e t u m b l i n g a n d R e o r i e n t a t i o n M a n e u v e r s w i t h G i m b a l l e d T h r u s t e r s a n d R e a c t i o n W h e e l s , " J o u r n a l o f t h e A s t r o n a u t i c a l S c i e n c e s , V o l . 3 3 , N o . 2 , A p r i l - J u n e 1 9 8 5 , p p . 2 1 7 - 2 3 2 . J u n k i n s , J . L . , C a r r i n g t o n , C . K . , a n d W i l l i a m s , C . E . , " T i m e - O p t i m a l M a g n e t i c A t t i t u d e M a n e u v e r s , " J o u r n a l  o f G u i d a n c e a n d C o n t r o l , V o l . 4 , N o . 4 , J u l y - A u g u s t 1 9 8 1 , p p . 3 6 3 - 3 6 8 . L u n s c h e r , W . H . H . J . , a n d M o d i ' , V . J . , " A S t r a t e g y f o r T h r e e - A x i s L i b r a t i o n a l C o n t r o l o f S p a c e c r a f t U s i n g S o l a r P r e s s u r e , " A I A A / A A S A s t r o d y n a m i c s C o n f e r e n c e , S a n D i e g o , C a l i f o r n i a , A u g u s t 1 9 8 2 , P a p e r 8 2 - 1 4 1 7 . J u n k i n s , J . L . , a n d T u r n e r , J . D . , " O p t i m a l C o n t i n u o u s T o r q u e A t t i t u d e M a n e u v e r s , " A I A A / A A S A s t r o d y n a m i c s C o n f e r e n c e , P a l o A l t o , C a l i f o r n i a , A u g u s t 1 9 7 8 , P a p e r 7 8 - 1 4 0 0 . V a d a l i , S . R . , a n d J u n k i n s J . L . , " O p t i m a l O p e n L o o p a n d S t a b l e F e e d b a c k C o n t r o l o f R i g i d S p a c e c r a f t A t t i t u d e M a n e u v e r s , " A A S / A I A A A s t r o d y n a m i c s S p e c i a l i s t C o n f e r e n c e , L a k e P l a c i d , New Y o r k , A u g u s t 1 9 8 3 , P a p e r 8 3 - 3 7 3 . J u a n g , J . - N . , T u r n e r , J . D . , a n d C h u n , H . M . , " C l o s e d - F o r m S o l u t i o n s f o r F e e d b a c k C o n t r o l w i t h T e r m i n a l C o n s t r a i n t s , " J o u r n a l o f G u i d a n c e , C o n t r o l ,  a n d D y n a m i c s , V o l . 8 , N o . 1 , J a n u a r y - F e b r u a r y 1 9 8 5 , p p . 3 9 - 4 3 . F r a u e n h o l z , R . B . , " M a n e u v e r R e c o n s t r u c t i o n T e c h n i q u e s f o r O p e n - L o o p S p i n - S t a b i l i z e d S p a c e c r a f t , " J o u r n a l o f G u i d a n c e a n d C o n t r o l , V o l . 5 , N o . 3 , M a y - J u n e 1 9 8 2 , p p . 2 7 0 - 2 7 7 . D w y e r , T . A . W . I l l a n d F a d a l i , M . S . , " S i n g l e S t e p O p t i m i z a t i o n S t r a t e g i e s f o r C o n s t r a i n e d R e t a r g e t i n g M a n e u v e r s , " P r o c e e d i n g s o f t h e F i f t h V P I & S U / A I A A  S y m p o s i u m o n D y n a m i c s a n d C o n t r o l o f L a r g e  S t r u c t u r e s , B l a c k s b u r g , V i r g i n i a , J u n e 1 2 - 1 4 , 1 9 8 5 , p p . 5 7 1 - 5 8 3 . C a r r i n g t o n , C . K . , a n d J u n k i n s , J . L . , " N o n l i n e a r F e e d b a c k C o n t r o l o f S p a c e c r a f t S l e w M a n e u v e r s , " J o u r n a l o f t h e A s t r o n a u t i c a l S c i e n c e s , V o l . 3 2 , N o . 1, J a n u a r y - M a r c h 1 9 8 4 , p p . 2 9 - 4 5 . C a r r i n g t o n , C . K . , a n d J u n k i n s , J . L . , " S p a c e c r a f t A t t i t u d e C o n t r o l U s i n g G e n e r a l i z e d A n g u l a r M o m e n t a , " A A S / A I A A A s t r o d y n a m i c s S p e c i a l i s t C o n f e r e n c e , V a i l , C o l o r a d o , A u g u s t 1 9 8 5 , P a p e r 8 5 - 3 6 1 . C a r r i n g t o n , C . K . , a n d J u n k i n s , J . L . , " O p t i m a l N o n l i n e a r F e e d b a c k C o n t r o l f o r S p a c e c r a f t A t t i t u d e M a n e u v e r s , " J o u r n a l o f G u i d a n c e , C o n t r o l , a n d  D y n a m i c s , V o l . 9 , N o . 1 , J a n u a r y - F e b r u a r y 1 9 8 6 , p p . 9 9 - 1 0 7 . D w y e r , T . A . W . I l l , " E x a c t N o n l i n e a r C o n t r o l o f S p a c e c r a f t S l e w i n g M a n e u v e r s w i t h I n t e r n a l M o m e n t u m T r a n s f e r , " J o u r n a l o f G u i d a n c e , C o n t r o l , a n d  D y n a m i c s , V o l . 9 , N o . 2 , M a r c h - A p r i l 1 9 8 6 , p p . 2 4 0 - 2 4 7 . S o g a , H . , H i r a k o , K . , O h k a m i , Y . , K i d a , T . , a n d Y a m a g u c h i , I . , " L a r g e - A n g l e S l e w i n g o f F l e x i b l e S p a c e c r a f t , " J o i n t A A S / J a p a n e s e R o c k e t S o c i e t y ( J R S ) S y m p o s i u m , H o n o l u l u , H a w a i i , D e c e m b e r 1 9 8 5 , P a p e r 8 5 - 6 7 1 . T u r n e r , J . D . , C h u n , H . M . , a n d J u a n g , J . - N . , " O p t i m a l S l e w i n g M a n e u v e r s f o r F l e x i b l e S p a c e c r a f t U s i n g a C l o s e d F o r m S o l u t i o n f o r t h e L i n e a r T r a c k i n g P r o b l e m , " A A S / A I A A A s t r o d y n a m i c s S p e c i a l i s t C o n f e r e n c e , L a k e P l a c i d , New Y o r k , A u g u s t 1 9 8 3 , P a p e r 8 3 - 3 7 4 . T u r n e r , J . D . , a n d J u n k i n s , J . L . , " O p t i m a l L a r g e - A n g l e S i n g l e - A x i s R o t a t i o n a l M a n e u v e r s o f F l e x i b l e S p a c e c r a f t , " J o u r n a l o f G u i d a n c e a n d  C o n t r o l , V o l . 3 , N o . 6 , N o v e m b e r - D e c e m b e r 1 9 8 0 , p p . 5 7 8 - 5 8 5 . 70 F a r r e n k o p f , R . L . , " O p t i m a l O p e n - L o o p M a n e u v e r P r o f i l e s f o r F l e x i b l e S p a c e c r a f t , " J o u r n a l o f  G u i d a n c e a n d C o n t r o l , V o l . 2 , N o . 6 , N o v e m b e r - D e c e m b e r 1 9 7 9 , p p . 4 9 1 - 4 9 8 . C h u n , H . M . , T u r n e r , J . D . , a n d J u a n g , J . - N . , " D i s t u r b a n c e - A c c o m m o d a t i n g T r a c k i n g M a n e u v e r s o f F l e x i b l e S p a c e c r a f t , " J o u r n a l o f t h e A s t r o n a u t i c a l  S c i e n c e s , V o l . 3 3 , N o . 2 , A p r i l - J u n e 1 9 8 5 , p p . 1 9 7 - 2 1 6 . L i s o w s k i , R . J . , a n d H a l e , A . L . , " O p t i m a l D e s i g n f o r S i n g l e A x i s R o t a t i o n a l M a n e u v e r s o f a F l e x i b l e S t r u c t u r e , " J o u r n a l o f t h e A s t r o n a u t i c a l S c i e n c e s , V o l . 3 3 , N o . 2 , A p r i l - J u n e 1 9 8 5 , p p . 1 7 9 - 1 9 6 . J u a n g , J . - N . , H o r t a , L . G . , a n d R o b e r t s h a w , H . H . , " A S l e w i n g C o n t r o l E x p e r i m e n t f o r F l e x i b l e S t r u c t u r e s , " P r o c e e d i n g s o f t h e F i f t h V P I & S U / A I A A S y m p o s i u m o n  D y n a m i c s a n d C o n t r o l o f L a r g e S t r u c t u r e s , B . l a c k s b u r g , V i r g i n i a , J u n e 1 2 - 1 4 , 1 9 8 5 , p p . 5 4 7 - 5 6 1 . B a r u h , H . , a n d S i l v e r b u r g , L . M . , " I m p l e m e n t a t i o n P r o b l e m s A s s o c i a t e d w i t h S i m u l t a n e o u s M a n e u v e r a n d V i b r a t i o n S u p p r e s s i o n o f F l e x i b l e S p a c e c r a f t , " P r o c e e d i n g s o f t h e F i f t h V P I & S U / A I A A S y m p o s i u m o n  D y n a m i c s a n d C o n t r o l o f L a r g e S t r u c t u r e s , B l a c k s b u r g , V i r g i n i a , J u n e 1 2 - 1 4 , 1 9 8 5 , p p . 5 8 5 - 5 9 9 . H a l e , A . L . , a n d L i s o w s k i , R . J . , " O p t i m a l S i m u l t a n e o u s S t r u c t u r a l a n d C o n t r o l D e s i g n o f M a n e u v e r i n g F l e x i b l e S p a c e c r a f t , " P r o c e e d i n g s o f t h e  F o u r t h V P I & S U / A I A A S y m p o s i u m o n D y n a m i c s a n d C o n t r o l  o f L a r g e S t r u c t u r e s , B l a c k s b u r g , V i r g i n i a , J u n e 6 - 8 , 1 9 8 3 . T u r n e r , J . D . , a n d C h u n , H . M . , " O p t i m a l D i s t r i b u t e d C o n t r o l o f a F l e x i b l e S p a c e c r a f t D u r i n g a L a r g e - A n g l e R o t a t i o n a l M a n e u v e r , " P r o c e e d i n g s o f t h e  T h i r d V P I & S U / A I A A S y m p o s i u m o n D y n a m i c s a n d C o n t r o l  o f L a r g e F l e x i b l e S p a c e c r a f t , B l a c k s b u r g , V i r g i n i a , J u n e 1 5 - 1 7 , 1 9 8 1 , p p . 4 7 1 - 4 8 5 . A l f r i e n d , K . T . , L o n g m a n , R . W . , a n d B e r c a w , W . S . , " O n F r e q u e n c y R e s p o n s e I n t e r p r e t a t i o n s o f O p t i m a l S l e w i n g M a n e u v e r s , " P r o c e e d i n g s o f t h e S e c o n d  V P I & S U / A I A A S y m p o s i u m o n D y n a m i c s a n d C o n t r o l o f  L a r g e F l e x i b l e S p a c e c r a f t , B l a c k s b u r g , V i r g i n i a , J u n e 2 1 - 2 3 , 1 9 7 9 , p p . 6 5 - 7 6 . L o n g m a n , R . W . , a n d A l f r i e n d , K . T . , " O p t i m a l C o n t r o l o f L a r g e A n g l e A t t i t u d e M a n e u v e r s f o r F l e x i b l e S p a c e c r a f t , " P r o c e e d i n g s o f t h e E i g h t h I F A C  S y m p o s i u m o n A u t o m a t i c C o n t r o l i n S p a c e , O x f o r d , E n g l a n d , J u l y 1 9 7 9 , p p . 5 7 - 6 2 . H a l e , A . L . , a n d L i s o w s k i , R . J . , " C h a r a c t e r i s t i c E l a s t i c S y s t e m s o f T i m e - L i m i t e d O p t i m a l M a n e u v e r s , " J o u r n a l o f G u i d a n c e , C o n t r o l , a n d D y n a m i c s , V o l . 8 , N o . 5 , S e p t e m b e r - O c t o b e r 1 9 8 5 , p p . 6 2 8 - 6 3 6 . B r e a k w e l l , J . A . , " O p t i m a l F e e d b a c k S l e w i n g o f F l e x i b l e S p a c e c r a f t , " J o u r n a l o f G u i d a n c e a n d  C o n t r o l , V o l . 4 , N o . 5 , S e p t e m b e r - O c t o b e r 1 9 8 1 , p p . 4 7 2 - 4 7 9 . M e i r o v i t c h , L . , Q u i n n , R . D . , a n d N o r r i s , M . A . , " M a n e u v e r i n g o f F l e x i b l e S p a c e c r a f t w i t h A p p l i c a t i o n t o S C O L E , " P r o c e e d i n g s o f t h e F i f t h V P I & S U / A I A A  S y m p o s i u m o n D y n a m i c s a n d C o n t r o l o f L a r g e  S t r u c t u r e s , B l a c k s b u r g , V i r g i n i a , J u n e 1 2 - 1 4 , 1 9 8 5 , p p . 5 2 5 - 5 4 5 . C h r e t i e n , J . P . , R e b o u l e t , C , R o d r i g o , P . , a n d M a u r e t t e , M . , " A t t i t u d e C o n t r o l o f a S a t e l l i t e w i t h a R o t a t i n g S o l a r A r r a y , " J o u r n a l o f G u i d a n c e a n d  C o n t r o l , V o l . 5 , N o . 6 , N o v e m b e r - D e c e m b e r 1 9 8 2 , p p . 5 8 9 - 5 9 6 . J o s h i , S . M . , " A n a l y s i s o f a M a g n e t i c a l l y S u s p e n d e d , H i g h - P e r f o r m a n c e I n s t r u m e n t P o i n t i n g S y s t e m , " J o u r n a l o f G u i d a n c e a n d C o n t r o l , V o l . 1 , N o . 2 , M a r c h - A p r i l 1 9 7 8 , p p . 1 5 0 - 1 5 8 . J a h a n s h a h i , M . H . , " V o y a g e u r H i g h G a i n A n t e n n a P o i n t i n g C a l i b r a t i o n , " J o u r n a l o f t h e A s t r o n a u t i c a l  S c i e n c e s , V o l . 2 8 , N o . 2 , A p r i l - J u n e 1 9 8 0 , p p . 1 6 7 - 1 9 3 . D o u g h e r t y , H . , T o m p e t r i n i , K . , L e v i n t h a l , J . , a n d N u r r e , G . , " S p a c e T e l e s c o p e P o i n t i n g C o n t r o l S y s t e m , " J o u r n a l o f G u i d a n c e a n d C o n t r o l , V o l . 5 , N o . 4 , J u l y - A u g u s t 1 9 8 2 , p p . 4 0 3 - 4 0 9 . B r o q u e t , J . , C l a u d i n o n , B . , a n d B o u s q u e t , A . , " A n t e n n a P o i n t i n g S y s t e m s f o r L a r g e C o m m u n i c a t i o n s S a t e l l i t e s , " J o u r n a l o f G u i d a n c e , C o n t r o l , a n d  D y n a m i c s , V o l . 8 , N o . 1 , J a n u a r y - F e b r u a r y 1 9 8 5 , p p . 7 1 - 7 7 . Y u a n , J . S . - C , a n d S t i e b e r , M . E . , " R o b u s t B e a m - P o i n t i n g a n d A t t i t u d e C o n t r o l o f a F l e x i b l e S p a c e c r a f t , " J o u r n a l o f G u i d a n c e , C o n t r o l , a n d  D y n a m i c s , V o l . 9 , N o . 2 , M a r c h - A p r i l 1 9 8 6 , p p . 2 2 8 - 2 3 4 . H a y a t i , S . A . , a n d J a h a n s h a h i , M . H . , " P o i n t i n g P e r f o r m a n c e o f a D u a l - S p i n S p a c e c r a f t , " J o u r n a l o f  t h e A s t r o n a u t i c a l S c i e n c e s , V o l . 3 1 , N o . 4 , O c t o b e r - D e c e m b e r 1 9 8 3 , p p . 5 4 5 - 5 5 9 . B e l l , C . E . , a n d L i n , H . - S . , " A t t i t u d e a n d A r t i c u l a t i o n C o n t r o l C o n c e p t s f o r t h e E a r t h O b s e r v i n g S y s t e m , " A A S / A I A A A s t r o d y n a m i c s S p e c i a l i s t C o n f e r e n c e , V a i l , C o l o r a d o , A u g u s t 1 9 8 5 , P a p e r 8 5 - 4 3 6 . A l b e r t s , T . E . , H a s t i n g s , G . G . , B o o k , W . J . , a n d D i c k e r s o n , S . L . , " E x p e r i m e n t s i n O p t i m a l C o n t r o l o f a F l e x i b l e A r m w i t h P a s s i v e D a m p i n g , " P r o c e e d i n g s o f  t h e F i f t h V P I & S U / A I A A S y m p o s i u m o n D y n a m i c s a n d  C o n t r o l o f L a r g e S t r u c t u r e s , B l a c k s b u r g , V i r g i n i a , J u n e 1 2 - 1 4 , 1 9 8 5 , p p . 4 2 3 - 4 3 5 . L a u r e n s o n , R . M . , " M o d a l A n a l y s i s o f R o t a t i n g F l e x i b l e S t r u c t u r e s , " A I A A J o u r n a l , V o l . 1 4 , N o . 1 0 , O c t o b e r 1 9 7 6 , p p . 1 4 4 4 - 1 4 5 0 . S w i g e r t , C . J . , " S h a p e d T o r q u e T e c h n i q u e s , " J o u r n a l  o f G u i d a n c e a n d C o n t r o l , V o l . 3 , N o . 5 , S e p t e m b e r - O c t o b e r 1 9 8 0 , p p . 4 6 0 - 4 6 7 . G e a r , C . W . , N u m e r i c a l I n i t i a l V a l u e P r o b l e m s i n  O r d i n a r y D i f f e r e n t i a l E q u a t i o n s , P r e n t i c e - H a l l , E n g l e w o o d C l i f f s , New J e r s e y , 1 9 7 1 . 73 6 8 . H i n d m a r s h , A . C . , " G e a r : O r d i n a r y D i f f e r e n t i a l E q u a t i o n S y s t e m S o l v e r , " L a w r e n c e L i v e r m o r e  L a b o r a t o r y , R e p o r t U C I D - 3 0 0 0 1 , R e v i s i o n 3 , D e c e m b e r 1 9 7 4 . A P P E N D I X A ~ A N G U L A R MOMENTUM V E C T O R {H} s + ' m ( ^ F a ) - H a d m a a ( A . 1 ) R e c a l l i n g f r o m s e c t i o n 2.2.1 t h a t : r = - c - c +s ; s o r = - c - c +h +f +a ; a o l i s . - 5 . 9t | l a = -c+c3 x ( f + a ) ; t h e i n t e g r a l i n d o m a i n D g b e c o m e s 7\ r* J ( c o x ? ) - - r— 5 drn = J u x ( - c - c + s ) « - c dnt m „ s 9t s Jnri o s s s = ni CJX(C+C )-c ...Ah.2) s o s i n c e f s d m „ = 0 . J m s s E v a l u a t i o n o f t h e i n t e g r a l i n t h e d o m a i n D a i s a s f o l l o w s : J ( w x r ) ~ a dni = J « x ( - c - c + h + f + a ) • ( -c+3 Y ( f + a ) ) dni tn a o t a m o a a a a W i t h q = - c - c +h + f , o / ( £ x r „ ) * TT / d m , = J c 3 x ( g + a ) • ( - c + w x ( f + a ) ) dni m a o L a m a a a a _ = J" c 3 x ( g + a ) « - c + [ c o x ( g + a ) • w x ( f + a ) ] dm m_ a a a 74 7 5 = J - c « ( _ x g + - x a ) + ( _ « _ a ) ( ( g + a ) ' ( f + a ) ) 3 - ( _ • ( f + a ) ) ( ( g + a ) • _ ) dni a a = ; - c « _ x g - c « _ x a m a , _ , ^ + ( _ « _ a ) ( g • f + a • f + a • g + a « a ) - ( _ • f + _ « a ) (_ • q+co -a) dm a a a = / - c » _ x g - C ' _xa+(c3«_ a) ( g - f + a • f + a « g ™ a _ _ _ _ _ _ _ _ + a « a ) - ( _ * f ) ( - * g ) -(_>•_) (Z3_ • g ) a a - ( _ • £ ) ( _ • a ) - ( _ • a ) ( _ • a ) dm a a a H o w e v e r , s i n c e f a din = 0 , t h e i n t e g r a l b e c o m e s : ni a a = in ( - c « _ x g ) -0 +rn (_-c3) ( g - f ) +0 +0 + a a a f (_•_ ) ( a « a ) dm - m ( _ • £ ) ( _ - g ) -0 -0 ' m a a a a a — — — _ - f ( _ ' a ) (_ • a ) dm J m a a = m [ - c « _ x g + ( _ • _ ) ( g • f ) - ( £ • f ) ( _ « g ) ] a a a + f (_•_ ) ( a * a ) - ( _ • _ ) ( _ • _ ) din m a a a a . _^  _ = m a [ - c « _ x g + ( _ x g ) • ( " a x f ) ] + / ( _ x a ) • ( _ = x a ) dni m a a a _ . _ = m ( _ x g ) « ( - , x f _ c ) + / ( _ x a ) • (_ x a ) dm . a a m a a a T h e i n t e g r a l o n t h e r i g h t h a n d s i d e i n t h e a b o v e e x p r e s s i o n c a n b e e v a l u a t e d a s f o l l o w s : J" ( _ x a ) • (_ v a ) dm_ = J _ • ( a x ( w v a ) ) dm m a a m a a a a = a x x a ) dm a = _ . [ I a ] ^ a w h e r e [ I ] = a p p e n d a g e b o d y i n e r t i a d i a d i c w i t h r e s p e c t t o f r a m e x a , y a , z a . 76 T h e i n t e g r a l i n d o m a i n D t h u s b e c o m e s : S ( w x r ) • | f a dm = m (c3xg) • (c3 x f - c ) +c3- [ I ]e3 ( A . 3) m a o t a a a a a a S u b s t i t u t i n g f r o m e q u a t i o n s ( A . 2 ) a n d ( A . 3 ) i n t o ( A . l ) : S ( t j x r ) • ~^rr dm = ni « x ( - c - c ) « - c + iri ( u x g ) • (c3 x f - c ) [ I _ ]Z3_ m o t s o a a a a = m c 3 « ( - c - c ) x ~ c +m u - g x (i3 x f - c ) 1 u> = £ j ' ( m _ ( - c - c _ ) x ~ c +m g x ( « v f - c ) + [ I ]<3 ) S O a a. 3 3 w h e r e H r e p r e s e n t s t h e a n g u l a r m o m e n t u m v e c t o r . L e t {H} = p r o j e c t i o n o f H o n t o b o d y a x e s x , y , z . T h e a n g u l a r m o m e n t u m v e c t o r w i t h r e s p e c t t o f r a m e x , y , z now a p p e a r s a s : {H} = m s ( - c - c 0 ) x - c + m a ( - c - c 0 + h + [ M a ] f ) x ( [ M a ] ( « a x f ) ~ c ) + [ M a ] [ I a ] u a w h e r e f , u> a n d [ I ] a r e w i t h r e s p e c t t o t h e a p p e n d a g e b o d y 3 a a x e s x a , y a , z a . F r o m F i g u r e 2 . 3 , i t i s a p p a r e n t t h a t v e c t o r ( - c - c ) l o c a t e s t h e c e n t e r o f c e n t r a l b o d y m a s s O g w i t h r e s p e c t t o t h e i n s t a n t a n e o u s c e n t e r o f m a s s C , a n d t h a t v e c t o r ( - c - c + h + [ M _ ] f ) l o c a t e s t h e c e n t e r o f a p p e n d a g e m a s s 0_ w i t h o a a r e s p e c t t o t h e i n s t a n t a n e o u s c e n t e r o f m a s s C . N o t e t h a t d = - c . s T h e a n g u l a r m o m e n t u m v e c t o r w i t h r e s p e c t t o b o d y a x e s x , y , z c a n now b e w r i t t e n a s {H} = m s d s x d s + m a d a x ( [ M j ( _ a x f ) + d g ) + [ M a ] [ I a ] _ a . A P P E N D I X B - S A T E L L I T E I N E R T I A M A T R I X [ I ] T h e s a t e l l i t e i n e r t i a m a t r i x [ I ] i s c o m p u t e d u s i n g t h e p a r a l l e l - a x i s t h e o r e m s f o r m o m e n t s a n d p r o d u c t s o f i n e r t i a , [ I ] = [ I s ] + m s [ d s . d s [ E ] - d s d s T ] + f M a ] [ l a H M a ] T + m a [ V 5 a [ E ] ^ a V 1 ' w h e r e : [ I ] s a t e l l i t e i n e r t i a d i a d i c w i t h r e s p e c t t o s a t e l l i t e b o d y a x e s x , y , z ; [ l g ] c e n t r a l b o d y i n e r t i a d i a d i c w i t h r e s p e c t t o c o o r d i n a t e a x e s x „ , y „ , z : s s s [ I _ ] a p p e n d a g e i n e r t i a d i a d i c w i t h r e s p e c t t o c o o r d i n a t e a x e s x a , y a , z a ; [ M l t r a n s f o r m a t i o n m a t r i x r e l a t i n g b o d y a x e s x , y , z t o a c o o r d i n a t e a x e s x a ' y a ' z a ? [ E ] u n i t m a t r i x ; d s p o s i t i o n v e c t o r f r o m C t o 0 g , - c - c Q , F i g u r e 2 . 3 ; d ^ p o s i t i o n v e c t o r f r o m C t o 0 . - c - c + h + [ M = ] f , F i g u r e 2 . 3 ; m g m a s s o f c e n t r a l b o d y ; m m a s s o f a p p e n d a g e . 78 A P P E N D I X C ~ E Q U A T I O N S O F M O T I O N F r o m s e c t i o n s 2.2.1 a n d 2.2.2, t h e k i n e t i c a n d p o t e n t i a l e n e r g i e s f o r t h e s y s t e m a r e g i v e n b y T ^ = I {O>} T[IHO>} + { u } T { H } ; U e = c^/2 { / } T [ I ] { / } ; w h e r e c ^ = 3 M / R C 3 . T h e s a t e l l i t e a n g u l a r v e l o c i t y v e c t o r c a n b e w r i t t e n a s {"} = [M] {q} + {N} 6 a n d c l e a r l y , {a>}7 = { q } T [ M ] T +6 { N } T w h e r e [M ] a n d {N} r e p r e s e n t r e s p e c t i v e p r o j e c t i o n s o f {q} a n d 6 o n t h e s a t e l l i t e b o d y a x e s x , y , z . 79 80 T h e g o v e r n i n g e q u a t i o n s o f m o t i o n c a n now b e o b t a i n e d u s i n g t h e L a g r a n g e e q u a t i o n _ d d t / 8 T \ _ 9 T 9 U _ f M w h e r e {q} a n d {Q} r e p r e s e n t t h e v e c t o r s o f g e n e r a l i z e d c o o r d i n a t e s a n d f o r c e s , r e s p e c t i v e l y . S u b s t i t u t i n g f o r t h e k i n e t i c a n d p o t e n t i a l e n e r g i e s : d f { h j h i o ) T { i n o } + ^ w } T [ I ] a T q T { w } + a l f l { c j } T { H } ] -( i_-| T {_} T [ i ] { w } + i{u}J[i]-£j{u} + - - i - ^ ^ H } ) + c / 2 9 l q T { / } T [ I ] { / } + c / 2 { / } T [ I ] a l f l { / } = { Q } ' i . e . , df< ^ T { W } T [ I H U ] + y r f j ^ ^ H } ) - ( ^ - i - f c o } 7 ! ! ] ! . } + _ _ | T { W } T { H } ) + c o r M 9lqT IT{/}T[I]{/} = {Q} , d t { 9 T q T { a , } T + (H} } ) - y r l j C " } 1 { [ I ] { w } +{H}} + % 3 T q T { / } T [ l ] { / } " {Q) ' B u t T = [ M ^ T a n d a { q ) i ^ } 1 c a n b e w r i t t e n a s 81 w h e r e : [q] = {0} T {0} T' {0} T { q } T { O f {0} T {0} T {q}T_ [ M q ] - 3 T q 7 C M ] T ; [ N q ] - 8 l q 7 { N } T ' S i m i l a r l y , l e t S u b s t i t u t i n g f o r j r | y { u } T , t h e e q u a t i o n s o f m o t i o n b e c o m e : gf( [M] T{[l]{w} + {H}} ) - - I | T { W } T { [ I ] { U } + {H}} + % H q T { / } T t l H / } - { Q ] [M] T {[l]{u} + {H}} + [M] T {[i]{u>] + [I]{w} + {H}} - - ^ { w } ^ [!]{„} + {H}} + c^ 9 T|jU} T[l]{/} = {Q} ( [ M ] T - ^ ^ { c o } 1 ) {[l]{co} + {H}} + [M] T + {H}} + [M] T[I]{^} + - T | T { / } T [ i ] { / } . = {Q} . A t t h i s p o i n t , {d>} m u s t b e e v a l u a t e d : {co} = [M] {q} + {X}6 ; 82 {to} = [ M ] { q } + [ M ] { q } + {N}0 + {N}0 I f [M ] i s w r i t t e n i n t h e f o r m [M] = ° x a x m y ° y a y m o _ a „ z z z . t h e n [M] = m o a X X X m y ° y m z ° z N o t e t h a t m c a n b e w r i t t e n a s A m = { q } T m , x ^ x v ' w h e r e m x v r e p r e s e n t s v e c t o r o f c o e f f i c i e n t s f o r {q} w i t h i n m x < A p p l y i n g s i m i l a r p r o c e d u r e t o t h e r e m a i n i n g e l e m e n t s o f [ M ] , [ M ] = [ q ] [ M y ] , w h e r e [M ] = v m o a x v x v x v m o a y v y v d y v m o a z v z v z v C l e a r l y , [M] c a n b e w r i t t e n a s [ M ] T = [ q ] [ M v t ] , w h e r e m m m x v y v z v ° x v ° y v ° z v a x v a y v a z v S i m i l a r l y , i f {N} i s w r i t t e n i n t h e f o r m {N} -f n . 84 N o t i n g t h a t ri c a n b e w r i t t e n a s ri = n T {q} , x x v M J ' w h e r e ri*xv r e p r e s e n t s v e c t o r o f c o e f f i c i e n t s f o r {q} w i t h i n ri , {N} c a n b e w r i t t e n a s {N} = [ N v ] { q } , w h e r e [ N ] = v - T n X V " z v T Now {_} c a n b e w r i t t e n a s {"} = [ q ] [ M y ] {q} + [ M ] {q} + [ N y ] { q } 0 + {N}0 . S u b s t i t u t i n g f o r [ M j T , -J-jico}1, {_}, a n d -rr^ril }' , t h e 3TqT e q u a t i o ' n s o f m o t i o n b e c o m e : 3 t.tf 8 5 ( [ q ] [ M „ t ] - [ q ] [ M g ] - 0 [ N Q ] ) { [ l ] { _ } + {H}} + [ M ] T { [ i ] { _ } + {H}} + [ M ] T [ I ] { [ q ] [ M v ] { q } + [ M ] { q } + [ N v H q } 0 + {N}0 } + C M [ L g ] [ l ] { / } = {Q} . O n s u b s t i t u t i n g f o r {_}, t h e e q u a t i o n t a k e s t h e f o r m ( [ q ] ( [ M v t ] - [ M g ] ) - 0 [ N Q ] ) { [ I ] { [ M ] {q} +{N}0} +{H}} + [ M ] T { [ I ] { [M] {q} + {N}<?} +{H}} + [ M ] T [ I ] { [ q ] [ M y ] {q} + [M] {q} +[N Y] {q} 6 +{N} 0} + c y [L ] [I] {/} = {Q} , [ q ] ( [ M v t ] ~ [ M ]) [ I ] [M] {q} + [ q ] ( [ M v f c ] " [ M ] ) ( [ I ] {N} 6 + {H}) -6 [N ] [I] [M] {q} -8 [ N ] ( [ i ] {N} 6 + {H}) + [ M ] T [ I ] [M] {q} + [ M ] T ( [ I ] {N} 6 +{H}) + [ M ] T [ I ] [ q ] [ M y ] {q} + [ M ] T [ I ] [M] {q} + [ M ] T [ I ] [ N y ] {q} 6 + [ M ] T [ I ] {N} 6 +Cm [ L g ] [ I ] {/} = {Q} . R e a r r a n g i n g t h e t e r m s g i v e s [ M ] T [ I ] [M] {q} + [ q ] ( [ M „ t ] " [ M g ] ) [ I ] [M] {q} + [ M ] T [ I ] [ q ] [ M y ] {q} + [ q ] ( [ M v t ] - [ M ] ) ( [ l ] {N} 6 +{H}) + ( [ M ] T [ I ] [M] -6 [ N g ] [ I ] [ M ] +[M] T [I] [N„] 6) {q} -e [N ] ( [ i ] {N} e +{H}) + [ M ] T ( [ i ] {N} e + [ i ] {N} e +{H}) + c y [ L g ] [ I ] {/} = {Q} . T h e e q u a t i o n s o f m o t i o n c a n b e n o n d i m e n s i o n a l i z e d t h r o u g h m u l t i p l i c a t i o n b y 86 w h e r e I a r j 3 i s a n a r b i t r a r y i n e r t i a c h o s e n t o n o n d i m e n s i o n a l i z e t h e e q u a t i o n s o f m o t i o n . N o t i n g t h a t {q} = {q} 0 , {q} = {q} 62 +{q} 0 , t h e n o n d i m e n s i o n a l i z a t i o n o f {q} a n d {q} r e s u l t s i n {q}/6 = {q} , ( q } / 0 2 = {q} + {q} f £ , w h e r e : f e = 0 / 0 2 = - 2 e s i n 0 ; 1 + C C O S 0 e = o r b i t e c c e n t r i c i t y . T h e e q u a t i o n s o f m o t i o n a r e n o n d i m e n s i o n a l i z e d b y m u l t i p l i c a t i o n w i t h ^/^-^vh^2^ r g i v i n g [ M ] T [ I * ] [M ] ( { q } + { q } f c ) + [ q ] ( [ M y t ] > [M ] ) [ I * ] [M ] {q} + [ M ] T [ I * ] [ q ] [ M y ] {q} + [ q ] ( [ M v t ] - [ M q ] ) ( [ l * ] {N} + { H * } ) + ( [ M ] T [1*] [M ] - [N ] [ I * ] [M ] + [ M ] T [ I * ] [N ] ) {q} - [ N ] ( [ I * ] {N} + { H * } ) + [ M ] T ( [ I * ] {N} + [ I * ] {N} f e + { H * } ) + c e [ L ] [ I * ] {/} = {Q*} , w h e r e : [ I * ] = [ l ] / l a r K ; 87 {H*} = ! 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A P P E N D I X D - L I B R A T I O N A L T E R M S T h e l i b r a t i o n a l t e r m s a r e e v a l u a t e d f o r t h e r o t a t i o n s e q u e n c e o f \p ( p i t c h ) , <j> ( r o l l ) , X ( y a w ) . {_} = [M] {q} + {N} 6 w h e r e : {q} = ( ^ 4> X ) T ; [ M ] m x ° x a x m y ° y a y m z ° z a z -c # s X c X c 0c X - s X -s<t> {N} = n . c0sX c ^ c X -s<p [ M ] T "c0sX c0cX ~s<p' c X - s X 88 [ M g ] = 4 [ M ) T " - s 0 s X - s # c X -c<j> c ^ c X - c # s X 0 - s X - c X 90 { N } T = ( c0sX c<t>c\ -s<f> ) ; n~~ _ _ { N } T " 4 f N ) T -s0sX - s^cX -c <f> c0cX -c^sX 0 -si//cX + c<//s0sX sy>sX + ci//s0cX C\JJC<I> -~{/} T" -c^cX -si//s0sX ct//c0sX s^sX +c^s0cX ci//sX -si/>s0cX c^c0cX s\//cX -c\//s0sX -Sl/>C0 -C^S0 [M] = g2[M] = [ q ] [M y] ; [ M v ] m o a x v x v x v m o a y v y v y v U _ m 2 V o a z v z v T h e e l e m e n t s o f [ M v ] a r e o b t a i n e d a s f o l l o w s : m x = d f ( m x ) = i// (0) + ^ (-s0sX) + X (c^cX) , t h e r e f o r e m. x v • s # s X c^cX S i m i l a r l y , f o r t h e r e m a i n i n g e l e m e n t s o f [ M y ] : y v z v s0cX -c<t> -c0sX 92 0 0 0 -stfsX 0 0 c0cX -sX 0 0 0 0 -s<t>c\ 0 0 -C0SX -cX 0 0 0 0 - c 0 0 0 0 0 0 -s<t>s\ - s # c X -c<$> c ^ c X - c 0 s X 0 0 0 0 0 0 0 - s X - c X 0 0 0 0 A P P E N D I X E ~ T R A N S F O R M A T I O N T E R M S F O R S L E W M A N E U V E R S T r a n s f o r m a t i o n m a t r i x [M ] a n d i t s d e r i v a t i v e s [M ] , [M ] a a a [ M J = x a m z a x a y a z a x a y a z a c o s a s i n a s i n / 3 s i n a c o s / 3 cos/3 - s i n/3 - s i n a c o s a s i n / 3 cosacosj3 t M a ] = [Ma]/6 = m x a ° x a a x a m o a y a y a y a z a z a z a w h e r e : m x a a m : z a ' ffiya - 0 * m = - a m ; z a x a ' o = a o + B a : x a z a H x a ' 96 97 [ M l = [ M j / < ? 2 = a a 5 y a 0 a y a ' o z a = - a o x a + i a z a ' a x a = * a z a " * ° x a ' = o • t a z a — - a a x a ~ P ° z a ' o 0 0 m x a o y a o m U_ z a x a o O. y a o O z a x a y a o a z a w h e r e : o m: o m T O m ; o O. o O o O. o a o a . o a x a y a z a x a y a z a x a y a tl 0 ( a + a 0 ; a f e ) m 2 a + a m. z a F x a ' - U + a £ e ) m x a " a m x a ; ( a + 'a te) ° z a + « 5 z a + ( ^ + * f e ) a x a + + i f e ) a y a + J a y a ; - ( a + a f e ) o x a - a o x a + ( i + i f e ) a z a + fi ; ( a + a f ) a = -{0 " e ' v x a " w x a l " " e ' • 'a f e > a z a + 'a a z a + * f e ) + J f ) o - J o ^ e y a K y a ' - 0 0 x a K x a ' z a - ( a + a f ) e' ' x a " * a x a " < i + i f e > 0 i - / J o ; z a K z a ' a n d f a p p e a r s a s a c o n s e q u e n c e o f n o n d i m e n s i o n a l i z a t i o n a s f = 6/d2 = - 2 e s i n f l , w h e r e e = o r b i t e c c e n t r i c i t y . e 1 + e c o s 0 T h e a p p e n d a g e r e l a t i v e a n g u l a r v e l o c i t y v e c t o r _ * 3 a n d i t s d e r i v a t i v e _ * c a n b e w r i t t e n a s : A P P E N D I X F - C E N T E R O F M A S S T E R M S  D e t e r m i n a t i o n o f p o s i t i o n , v e l o c i t y a n d a c c e l e r a t i o n o f t h e c e n t e r o f m a s s F i r s t , t h e d i m e n s i o n s o f t h e t w o c y l i n d e r b o d y s a t e l l i t e c o n f i g u r a t i o n a r e e s t a b l i s h e d . 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D i m e n s i o n s o f t h e c e n t r a l a n d a p p e n d a g e c y l i n d e r s w s = r a d i u s o f c e n t r a l c y l i n d e r ; 's = l e n g t h o f c e n t r a l c y l i n d e r ; V s = v o l u m e o f c e n t r a l c y l i n d e r ; w a = r a d i u s o f a p p e n d a g e c y l i n d e r ; ' a = l e n g t h o f a p p e n d a g e c y l i n d e r ; V a = v o l u m e o f a p p e n d a g e c y l i n d e r ; P = d e n s i t y r a t i o o f a p p e n d a g e t o c e n t r a l b o d y F r o m s e c t i o n 2 . 5 . 1 t h e c e n t r a l b o d y a n d t h e a p p e n d a g e a r e t a k e n t o b e s y m m e t r i c a b o u t t h e i r r e s p e c t i v e a x i s z a n d z . 99 100 T h e m o m e n t s o f i n e r t i a a r e : = 2 m w 2 a x i a l m o m e n t o f i n e r t i a f o r s , z * s s c e n t r a l c y l i n d e r ; I = v = T T m c ( 3 w 2 + / 2 ) t r a n s v e r s e m o m e n t o f i n e r t i a f o r c e n t r a l c y l i n d e r ; I_ _ = 4 m w 2 a x i a l m o m e n t o f i n e r t i a f o r a p p e n d a g e c y l i n d e r ; ^-» v = T T ni (3w 2 + / ' 2 ) t r a n s v e r s e m o m e n t o f i n e r t i a f o r O f A • * a a a a p p e n d a g e c y l i n d e r . T h e v o l u m e s o f t h e c y l i n d e r s a r e g i v e n b y : vs " * w s 2 l s i . . . . ( F . 1 ) V a = it w 2 / . ( F . 2 ) a a a F r o m s e c t i o n 2 . 5 . 2 , t h e i n e r t i a p a r a m e t e r s a r e g i v e n a s : K = I / I * s s , z ' s , x ' ( F . 3 ) t = T / T s a A a , z 7 1 a , x ' ( F . 4 ) r? = ma / ms . ( F . 5 ) E q u a t i o n s ( F . 3 ) , ( F . 4 ) a n d ( F . 5 ) a f t e r a p p r o p r i a t e s u b s t i t u t i o n s c a n b e r e w r i t t e n a s : 101 6 w 2 S s = 5 ; (F . 6 ) 3 w 2 + / 2 S 5 6 w 2 t = = ; ( F . 7 ) a 3 w 2 + / 2 a a P V a / V s . (F . 8 ) E q u a t i o n ( F . 1 ) c a n b e r e a r r a n g e d a s / s = V s / ( TT w s 2 ) , (F .9 ) a n d w i t h s u b s t i t u t i o n f r o m ( F . 8 ) , ( F . 2 ) c a n b e r e w r i t t e n /_ = V V c / ( p it w 2 ) . ( F . 10) S u b s t i t u t i o n o f ( F . 9 ) i n t o ( F . 6 ) a n d (F.10) i n t o ( F . 7 ) g i v e s : i ( V s 2 * s \ ? w „ = ( 2 2 ) . (F.11) s 3 T T 2 ( 2 - 5 s ) 2 „2 t N 6 ( V * a \ w_ = ( ^ —*• ) (F.12) V 3 ff2 p 2 ( 2 - 5 ) ' • a T h e e f f e c t o f V g i s t o i m p o s e a c o n s t r a i n t o n t h e s i z e o f t h e s a t e l l i t e - c o n f i g u r a t i o n . T h e n u m e r i c a l v a l u e o f V g w o u l d 102 p l a y a s i g n i f i c a n t r o l e i n a n a e r o d y n a m i c s t u d y w h e r e t h e s u r f a c e a r e a o f a s a t e l l i t e a f f e c t s i t s r e s p o n s e d u e t o d r a g . A s t h i s s t u d y d o e s n o t c o n s i d e r a e r o d y n a m i c e f f e c t , t h e n u m e r i c a l v a l u e o f V g b e c o m e s a r b i t r a r y a n d i s t h e r e f o r e c o n v e n i e n t l y s e t e q u a l t o u n i t y . F u r t h e r m o r e , s i n c e t h i s s t u d y c o n s i d e r s b o d i e s o f k n o w n d e n s i t y ( s e c t i o n 2 . 5 . 1 ) , t h e d e n s i t y r a t i o p c a n a l s o b e s e t e q u a l t o u n i t y . F o r V = °1 a n d p = 1 , a n d w i t h s u b s t i t u t i o n s o f e q u a t i o n s ( F . 1 1 ) a n d ( F . 1 2 ) i n t o ( F . 9 ) a n d ( F . 1 0 ) , r e s p e c t i v e l y , e q u a t i o n s ( F . 9 ) t o ( F . 1 2 ) c a n b e r e w r i t t e n a s : w P = ( — ) ; ( F . 1 3 ) V 3 TT 2 ( 2 - K ) J s /„ = { — ) ; (F .14) s 7 , 3 r s a \ 6 w^ = ( ) ; ( F . 1 5 ) 3 7 T 2 ( 2 — t ) C l a i j - , 3 ( 2 - $ ) v / = ( — J • ( F . 1 6 ) 103 D e t e r m i n a t i o n o f p o s i t i o n v e c t o r ( h + f . , ) h l o c a t e s t h e h i n g e p o s i t i o n P w i t h r e s p e c t t o c o o r d i n a t e s y s t e m x , y _ , z ( F i g u r e 2 . 5 ) , w h e r e : f l o c a t e s 0 w i t h r e s p e c t t o P a l o n g t h e a p p e n d a g e c o o r d i n a t e a x e s x . y _ , z ( F i g u r e 2 . 5 ) . S i n c e t h e h i n g e a a a l o c a t i o n o n t h e a p p e n d a g e c y l i n d e r i s c o n f i n e d t o t h e c e n t e r o f t h e a x i a l e n d , 1 04 w h e r e : f R e c a l l i n g t h a t x , y _ , z i s p a r a l l e l t o x , y , z a t a n y — t o o i n s t a n t , a p r o j e c t i o n o f f o n t h e b o d y a x e s x , y , z i s t h e s a m e a s a p r o j e c t i o n o n t h e a x e s x , y , z , w h e r e : f 3 x " </ a/2> a x a f 3 y -( / a / 2 ) a y a f 3 z ' ( l a / 2 ) a z a N o t e t h a t ( h + f - ) l o c a t e s 0 w i t h r e s p e c t t o 0 , «3 3 5 ( h + f 3 ) < * x w s + ( V 2 ) a x a > 1 < « y w s + ( V 2 > a y a > 5 < * z ' s / 2 + ( / a / 2 ) a z a > & 105 P o s i t i o n , v e l o c i t y a n d a c c e l e r a t i o n o f i n s t a n t a n e o u s c e n t e r o f m a s s L e t t h e p o s i t i o n v e c t o r l o c a t i n g 0 w i t h r e s p e c t t o C a l o n g t h e b o d y a x e s x , y , z b e d e n o t e d b y d . S i m i l a r l y , l e t t h e p o s i t i o n v e c t o r l o c a t i n g 0_ w i t h r e s p e c t t o C a l o n g t h e b o d y a x e s x , y , z , b e d e n o t e d b y d . T h e s e a r e t h e s a m e p o s i t i o n a v e c t o r s a s m e n t i o n e d e a r l i e r i n A p p e n d i x B . F r o m F i g u r e 2 . 3 : d p = - c - c _ ; s o d = - c - c +h + f , . a o 3 T h e p o s i t i o n o f C , m e a s u r e d f r o m 0 , i s g i v e n b y ( c + c ) ( m + m ) = 0 * m + ( h + f , ) m , o s a s 3 a + E = ( m a ' < "s + "a " < h + £ 3 » • T h e r e f o r e : 3 a " i l T ( E + h » • S o d g a n d d g a p p e a r a s : w h e r e : sx sy sz = ( * x w s + ( V 2 > a x a > < + ( IJ2 ) a „ _ ) TJ+1 = ( K lJ2 + ( / „ / 2 ) za d i a x a a z * a x ay az F T { *x w s + ( la/2 ) > 1 x a F T ( * y w s + < ' a / 2 ) a _ ) y a = F T ( * z V 2 + < ) z a 107 L e t t h e v e l o c i t y o f 0 a n d 0 w i t h r e s p e c t t o C b e d e n o t e d b y v _ a n d v" , r e s p e c t i v e l y . T h e v e l o c i t y v e c t o r s a r e t i m e 5 a d e r i v a t i v e s o f t h e p o s i t i o n v e c t o r s , d i v i d e d b y t h e t r u e a n o m a l y r a t e 9. H e n c e , w h e r e : s x s y s z 77+1 a ' x a x 1 ( / /2 ) a 77+1 a y a = Z Z L ( / / 2 ) a 77+1 a z a d a / 6 = v 1 a x a y J v k a z 1 V a x 77+1 TT 1 V a y 77+1 TT 1 V a z 77+I ( V 2 » Sxa < ' a / 2 > J y a < ' a ^ 2 » S z a 108 L e t t h e a c c e l e r a t i o n o f O g w i t h r e s p e c t t o C b e d e n o t e d b y a g . I t i s a s e c o n d t i m e d e r i v a t i v e o f t h e p o s i t i o n v e c t o r d g , d i v i d e d b y 62, d s / 6* a s x 1 a s y 3 a k s z w h e r e : = I J L . ( / / 2 ) a ; s x T?+1 a x a L = Z 2 L ( / / 2 ) a s y n+1 a y a ' , = I J - ( / / 2 ) a s z TJ+1 a z a A P P E N D I X G ~ N O N D I M E N S I O N A L S A T E L L I T E I N E R T I A M A T R I X [ I ] w a s g i v e n i n A p p e n d i x B . [ I * ] s , x ' + ( m s / J s , x > [ h ' S s [ E ] - 5 s V ] + ( m a / X s , x } [ 5 a * a a [ E ] " 5 a V ] ' ' t l s * ] + k s [ d s • d s [ E ] - d s d s T •] + [ M J [ I / ] [ M a ] T + k a [ d a • d a [ E ] - d a d a T ] , w h e r e : [ I ] = t l ] / I a a s , x Tjk. r j k , 0 S a7?k 2 109 m s / T s , x = 1 2 / k l 3 w * + / 2 ; s s ' ( 3 w a 2 + / a 2 ) / k A P P E N D I X H - N O N D I M E N S I O N A L A N G U L A R MOMENTUM V E C T O R {H} w a s g i v e n i n A p p e n d i x A . {H*} = {H} / ( i s > x 0 ) , ' ( m s / I s , x ) d s X ( d s / 0 ) + ( m a / 5 a * ( [ M l ( 5 a / 0 ) X [ M a ] f + ( tc / 0 ) ) d a d S + [ M a ] ( - V / I s , x ) < S a / » > » = k s 5 s x * s + k a d a x ( [ M a ] £ a * x [ M a ] . f + v s ) + [M ] [ I * ] 5 * , a a a ' w h e r e : [ l _ * ] = / I- v ( A p p e n d i x G ) cl d a r A = w / 0 ( A p p e n d i x E ) a a v g = d s / 0 ( A p p e n d i x F ) k s = m s / I s f X ( A p p e n d i x G ) k a = m a ^ I s , x ( A p p e n d i x G ) 1 1 1 A P P E N D I X I ~ N O N D I M E N S I O N A L D E R I V A T I V E O F S A T E L L I T E I N E R T I A M A T R I X R e c a l l i n g f r o m s e c t i o n 2 . 6 . 2 , [ i * ] = [ i ] / d S r X * > ; = k s [ 2 d s • v s [ E ] - v s - d s v s T ] + [ M a ] i i * ] [ M ] T + [ M l [ I * ] [ f i ] T + k [ 2 d - v [ E ] - v d T - d v T ] . a a a a a a a 1 12 A P P E N D I X J ~ N O N D I M E N S I O N A L D E R I V A T I V E O F A N G U L A R MOMENTUM V E C T O R R e c a l l i n g f r o m s e c t i o n 2 . 6 . 2 , {H*} = * H } / ( I S f X e ' ) ; = k s ( v s x v s + d s x a s ) + k a v a X ( [ M a ] X [ M a ] f f v s ) + k a ^ a x { ( [ f i a 3 " a * + t M a ] " a * > x [ M a 3 1 + [ M a ] w a * x ( [ M f l ] f + [ M a ] 1/6 ) + a s } + [M ] [ I * ] S * + [ M l [ I * ] 5 * . a a a a a a N o t i n g t h a t f = v g x v g = 0 , {H } r e d u c e s t o {H*} = k s ( d s x a s ) + k a v a X ( [ M a ] 5 / x [ M a ] £ + v s ) + k a \ x { { [ f f a ] " a * + [ M a ] . V ] x [ M a ] 1 + [ M a ] Za* x [ M a ] £ + a s } + [ M l [ I * ] 5 * + [ M l [ I * ] 5 * . 113 A P P E N D I X K - E Q U A T I O N S F O R A P P E N D A G E T I M E H I S T O R I E S T h e a p p e n d a g e p i t c h d u r i n g a s l e w i n g m a n e u v e r i s g i v e n b y a = a - + A a , w h e r e A a r e p r e s e n t s t h e c h a n g e i n a p p e n d a g e p i t c h . A a i s g e n e r a t e d t h r o u g h s p e c i f i c a t i o n o f t h e a p p e n d a g e p i t c h p a r a m e t e r s , , ra . E q u a t i o n s o f t i m e h i s t o r i e s w i t h f i n i t e i n i t i a l v e l o c i t e s E x p o n e n t i a l t i m e h i s t o r y : Ao - ( o f - o j ) ( 1 - e x p ( - 2 0 9 / T F L ) ) . S i n u s o i d a l t i m e h i s t o r y : A a = ( a ^ - a ^ ) s i n ( it 6 / 2 T F L ) . R a m p t i m e h i s t o r y i s c o m p o s e d o f a l i n e a r f u n c t i o n ( d u r i n g f i r s t 95% o f t ) , f o l l o w e d b y a q u a d r a t i c f u n c t i o n ( d u r i n g l a s t 5% o f T ) : a A a • ( a f - a ^ ( 2 ( 0 . 9 5 ) r a A + B ) 6 , f o r 6 < 0 . 9 5 T Aa * ( a £ - a . ) ( A d2 + B 6 + C ) , f o r 6 > 0 . 9 5 r 114 1 1 5 w h e r e A = 1 / ( T 2 ( 0 . 9 5 2 - 1 ) ) a B = - 2 / ( r a ( 0 . 9 5 2 - D ) C = 0 . 9 5 2 / ( 0 . 9 5 2 - 1 ) E q u a t i o n s o f t i m e h i s t o r i e s w i t h z e r o i n i t i a l v e l o c i t e s C u b i c t i m e h i s t o r y : A a = ( a f - a i ) (( 3 62 / r a 2 ) - ( 2 63 / r f l 3 ) ) E x p o n e n t i a l t i m e h i s t o r y : A a = ( a f - a . ) ( 1 - e x p ( - 2 0 92 / T 2 )) i i a S i n u s o i d a l t i m e h i s t o r y : A a = ( a f - a i ) ( 1 + s i n ( • n & / T a - i r / 2 ) ) / 2 . R a m p t i m e h i s t o r y i s c o m p o s e d o f a q u a d r a t i c f u n c t i o n ( d u r i n g f i r s t 5% o f ra), a l i n e a r f u n c t i o n ( d u r i n g n e x t 90% o f , f o l l o w e d b y a q u a d r a t i c f u n c t i o n ( d u r i n g l a s t 5% o f a A a = A a = A a = - a . ) D 62, f o r B < 0 . 0 5 r a ; - a . ) ( E 0 + F ) , f o r 0 . 0 5 r a < 6 <• 0 . 9 5 T a ; - a - ) ( A 62, + B 6 + C ) , f o r 0 ^ 0 . 9 5 T . l a 1 16 1 / ( r 2 ( 0 . 9 5 - 1 ) ( 1 - 0 . 0 5 + 0 . 9 5 ) ) a H e r e : A B C = 1 + 1 / ( ( 0 . 9 5 - 1 ) ( 1 - 0 . 0 5 + 0 . 9 5 ) ) D E - 2 / ( T ( 0 . 9 5 - 1 ) ( 1 - 0 . 0 5 + 0 . 9 5 ) ) 1 / ( ra2 0 . 0 5 ( 1 - 0 . 0 5 + 0 . 9 5 ) ) ; F = ( A 0 . 9 5 2 T 2 + B 0 . 9 5 r + C - D 0 . 0 5 2 r 2 a a a / ( 0 . 9 5 r a - 0 . 0 5 r a ) ; ( D T 3 ( 0 . 9 5 ) 0 . 0 5 2 - 0 . 0 5 T (A 0 . 9 5 2 T 2 a a a + B 0 . 9 5 r + O ) / ( 0 . 9 5 T - 0 . 0 5 r ) . a a a T h e a p p e n d a g e r o l l d u r i n g a s l e w i n g m a n e u v e r i s g i v e n b y B = B{ + A/3 , w h e r e A/3 r e p r e s e n t s t h e c h a n g e i n a p p e n d a g e r o l l . A/3 i s g e n e r a t e d t h r o u g h u s e o f t h e s a m e e q u a t i o n s t h a t g a v e A a b u t w i t h a p p e n d a g e r o l l p a r a m e t e r s , /3 £ , a p p r o p r i a t e l y r e p l a c i n g a i » a f » T a • 

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