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The cost minimization of machining operations using geometric programming Freedman, Paul 1983

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THE COST M I N I M I Z A T I O N OF MACHINING OPERATIONS USING GEOMETRIC PROGRAMMING b y PAUL FREEDMAN B . A . S c . ( E n g i n e e r i n g S c i e n c e ) , U n i v e r s i t y o f T o r o n t o , 1 9 7 8 . A T H E S I S SUBMITTED I N P A R T I A L FULFILMENT OF THE REQUIREMENTS FOR THE DEGPEE OF MASTER OF A P P L I E D SCIENCE i n THE FACULTY OF GRADUATE STUDIES ( D e p a r t m e n t o f E l e c t r i c a l E n g i n e e r i n g ) We a c c e p t t h i s t h e s i s a s c o n f o r m i n g t o t h e r e q u i r e d s t a n d a r d THE U N I V E R S I T Y OF B R I T I S H COLUMBIA M a y , 1 9 8 3 . © P a u l F r e e d m a n , 1983 In p r e s e n t i n g t h i s t h e s i s i n p a r t i a l f u l f i l m e n t of the requirements f o r an advanced degree a t the U n i v e r s i t y o f B r i t i s h Columbia, I agree t h a t the L i b r a r y s h a l l make i t f r e e l y a v a i l a b l e f o r r e f e r e n c e and study. I f u r t h e r agree t h a t p e r m i s s i o n f o r e x t e n s i v e copying o f t h i s t h e s i s f o r s c h o l a r l y purposes may be granted by the head of my department or by h i s or her r e p r e s e n t a t i v e s . I t i s understood t h a t copying o r p u b l i c a t i o n o f t h i s t h e s i s f o r f i n a n c i a l g a i n s h a l l not be allowed without my w r i t t e n p e r m i s s i o n . Department Of ELECTRICAL ENGINEERING The U n i v e r s i t y o f B r i t i s h Columbia 1956 Main Mall Vancouver, Canada V6T 1Y3 Date J U N E 6 1983 DE-6 (3/81) i i ABSTRACT The c o s t m i n i m i z a t i o n of a machining o p e r a t i o n can be d e s c r i b e d as a n o n - l i n e a r c o n s t r a i n e d o p t i m i z a t i o n problem. Geometric Programming (GP) i s a r e l a t i v e l y new technique w e l l - s u i t e d to t h i s c l a s s of problems. In t h i s t h e s i s , t h r e e GP methods are d e s c r i b e d that are p r a c t i c a l f o r r e a l - t i m e m i c r o p r o c e s s o r c o n t r o l l e r s ; numerical examples are pres e n t e d based on three machining o p e r a t i o n s . For h i g h volume p r o d u c t i o n , s e v e r a l machines can be s e r i a l l y l i n k e d with b u f f e r s i n between t o form an Automatic T r a n s f e r L i n e (ATL). The m i n i m i z a t i o n of the combined c o s t s i s accomplished i n a new way by mo d e l l i n g the c o s t of each machine as a pol y n o m i a l f u n c t i o n of c y c l e time, the machining time per workpiece. A new c o n t r o l s t r a t e g y i s d e s c r i b e d t h a t d y n a m i c a l l y r e - a s s i g n s the c y c l e times of working machines when o t h e r s i n the ATL f a i l . To implement t h i s s t r a t e g y , a two l e v e l h i e r a r c h y i s proposed wi t h a l o c a l c o n t r o l l e r a s s o c i a t e d w i t h each machine, and a s i n g l e s u p e r v i s o r y c o n t r o l l e r . S i m u l a t i o n of some t y p i c a l ATL c o n f i g u r a t i o n s i s used t o compare the performance of t h i s s t r a t e g y with the s t r a t e g y of no change i n c y c l e time. For the cases s t u d i e d , modest s a v i n g s i n c o s t and s u b s t a n t i a l savings i n mean i n - p r o c e s s b u f f e r l e v e l are obt a i n e d when the machines are arranged i n the a p p r o p r i a t e o r d e r . i i i TABLE OF CONTENTS page Ab s t r a c t i i Table of Contents i i i Symbols i v A b b r e v i a t i o n s v L i s t of Tables and Figures v i Acknowledgements v i i Chapter 1: I n t r o d u c t i o n .1 Chapter 2 Part I : The Machining Economics Problem and Geometric Programming 6 Part I I : Methods of S o l u t i o n 15 Chapter 3: Mo d e l l i n g Cost as a Function of Cycle Time 27 Chapter 4: The Dynamic Cycle Time Strategy 41 Chapter 5: Conclusions and Suggestions f o r Future Work 60 Appendix A: C o n t r o l D e t a i l s f o r the Machining Operations ...6 4 Appendix B: Notes on the Computer Program 6 8 Appendix C: S t a t i s t i c a l Accuracy i n Simulation 7 4 Appendix D: The Dual Function f o r C o n s t r a i n t s g>=1 7 5 References 7 6 i v LIST OF SYMBOLS Chapter x 6 g n(x,x) 9 o 'o u 2 » • • * ( « ) V(6 ) S a v f T p r i m a l vector dual vector o b j e c t i v e f u n c t i o n condensed o b j e c t i v e f u n c t i o n a monomial c o n s t r a i n t s Lagrange m u l t i p l i e r f o r i t h c o n s t r a i n t weight of the i t h monomial i n the posynomial c o n s t r a i n t dual f u n c t i o n n a t u r a l l ogarithm of the dual f u n c t i o n optimal search d i r e c t i o n optimal step s i z e c u t t i n g speed vector feedrate vector Taylor Tool L i f e Machine plus operator Overhead Chapter 3 c N t c o s t Number of machines i n the ATL c y c l e time Chapter 4 X v D M T D e f i n i n g parameter f o r the F a i l u r e d i s t r i b u t i o n D e f i n i n g parameter f o r the Repair d i s t r i b u t i o n D r i l l i n g operation M i l l i n g operation Turning operation Throughout t h i s t h e s i s , the s u p e r s c r i p t ' A ' denotes a t r i a l v a l u e , and the s u p e r s c r i p t '*' denotes the optimal value. V L I S T O F A B B R E V I A T I O N S C h a p t e r 1 A C A d a p t i v e C o n t r o l A T L A u t o m a t i c T r a n s f e r L i n e D C T D y n a m i c C y c l e T i m e ( s t r a t e g y ) F C T F i x e d C y c l e T i m e ( s t r a t e g y ) G P G e o m e t r i c P r o g r a m m i n g M E P M a c h i n i n g E c o n o m i c s P r o b l e m N C N u m e r i c a l C o n t r o l ( m a c h i n e ) C h a p t e r 2 C m M a c h i n i n g C o s t C r T o o l C h a n g e C o s t C t T o o l C o s t d o d d e g r e e o f d i f f i c u l t y Tm M a c h i n i n g T i m e T r T o o l C h a n g e T i m e C h a p t e r 3 t m i n l o w e r b o u n d o n c y c l e t i m e f o r c u r v e - f i t t i n g t m a x u p p e r b o u n d o n c y c l e t i m e f o r c u r v e - f i t t i n g C h a p t e r 4 M i i t h m a c h i n e i n t h e A T L M T T F M e a n T i m e t o F a i l M T T R M e a n T i m e t o R e p a i r T T F T i m e t o F a i l T T R T i m e t o R e p a i r v i L I S T O F T A B L E S A N D F I G U R E S T a b l e s : 4 - 1 O p t i m a l C o s t a n d C y c l e T i m e D a t a f o r t h e T h r e e S t a t i o n A T L 4 - 2 S i m u l a t i o n R e s u l t s f o r t h e T u r n i n g - > D r i l l i n g A T L 4 - 3 S i m u l a t i o n R e s u l t s f o r t h e D r i l l i n g - > T u r n i n g A T L F i g u r e s : 1 - 1 A T w o S t a t i o n A T L 1 - 2 E l e m e n t s o f A d a p t i v e C o n t r o l 2 - 1 G e n e r a l M e t h o d s f o r C o n s t r a i n e d N o n - L i n e a r O p t i m i z a t i o n 2 - 2 D r i l l i n g E x a m p l e o f a M E P 2 - 3 P r i m a l S p a c e f o r t h e C o u n t e r - E x a m p l e 2 - 4 G r a d i e n t i n t h e R e d u c e d S p a c e f o r t h e C o u n t e r - E x a m p l e 3 - 1 A T h r e e S t a t i o n A T L 3 - 2 C o s t v e r s u s C y c l e T i m e 3 - 3 T u r n i n g M E P 3 - 4 D r i l l i n g M E P 3 - 5 M i l l i n g M E P 3 - 6 D e f i n i n g t h e C y c l e T i m e I n t e r v a l 3 - 7 T u r n i n g : D a t a p l u s f i t t e d c u r v e s 3 - 8 D r i l l i n g : D a t a p l u s f i t t e d c u r v e s 3 - 9 M i l l i n g : D a t a p l u s f i t t e d c u r v e s 4 - 1 A T w o S t a t i o n A T L 4 - 2 C o m b i n i n g C o s t s o f T w o W o r k S t a t i o n s 4 - 3 P r o p o s e d C o n t r o l A r c h i t e c t u r e 4 - 4 A T h r e e S t a t i o n A T L 4 - 5 C o s t C u r v e s f o r s o m e S u b - s e t s o f t h e A T L 4 - 6 % C o s t S a v i n g s f o r T u r n i n g - > D r i l l i n g A T L 4 - 7 % B u f f e r L e v e l S a v i n g s f o r T u r n i n g - > D r i l l i n g A T L 4 - 8 % C h a n g e i n M 2 U t i l i z a t i o n f o r T u r n i n g - > D r i l l i n g A T L 4 - 9 % C o s t S a v i n g s f o r D r i l l i n g - > T u r n i n g A T L 4 - 1 0 % B u f f e r L e v e l S a v i n g s f o r D r i l l i n g - > T u r n i n g A T L 4 - 1 1 % C h a n g e i n M 2 U t i l i z a t i o n f o r D r i l l i n g - > T u r n i n g A T L A - 1 C o n t r o l D e t a i l s f o r T u r n i n g A - 2 C o n t r o l D e t a i l s f o r D r i l l i n g A - 3 C o n t r o l D e t a i l s f o r M i l l i n g B - 1 P r o g r a m C l a s s H i e r a r c h y B - 2 A n a l y s i s F l o w C h a r t f o r C l a s s : L o c a l C o n t r o l l e r B - 3 A n a l y s i s F l o w C h a r t f o r C l a s s : S u p e r v i s o r y C o n t r o l l e r B - 4 P r o p o s e d C o n t r o l A r c h i t e c t u r e B - 5 S i m u l a t i o n F l o w C h a r t f o r C l a s s : M a c h i n e B - 6 S i m u l a t i o n F l o w C h a r t f o r C l a s s : S u p e r v i s o r y C o n t r o l l e r v i i A C K N O W L E D G E M E N T S I w a s f o r t u n a t e t o r e c e i v e a d v i c e a n d e n c o u r a g e m e n t f r o m m a n y p e o p l e a s t h i s w o r k p r o g r e s s e d : M r . W i l l e m V a e s s e n o f t h e C o m p u t i n g C e n t r e , f o r m a n y r a m b l i n g d i s c u s s i o n s a b o u t S I M U L A , n o n - l i n e a r p r o g r a m m i n g c o d e s , a n d s i m u l a t i o n m e t h o d o l o g y . D r . F . S a s s a n i o f t h e D e p a r t m e n t o f M e c h a n i c a l E n g i n e e r i n g , f o r t e c h n i c a l h e l p w i t h N C m a c h i n e s a n d m o d e r n m a n u f a c t u r i n g s y s t e m s . D r . E . B o h n , my t h e s i s s u p e r v i s o r , f o r s u g g e s t i n g t h i s t o p i c a n d h e l p i n g t o d i r e c t m y e f f o r t s . F i n a l l y , my o f f i c e p a l s R i c h a r d J a n k o w s k i a n d B r i a n M a r a n d a , f o r t h e i r p a t i e n c e a n d h u m o u r w h e n e v e r y t h i n g l o o k e d b l e a k . I a m a l s o g r a t e f u l f o r t h e f i n a n c i a l s u p p o r t o f t h i s U n i v e r s i t y i n t h e f o r m o f a R e s e a r c h A s s i s t a n t s h i p a n d s e v e r a l T u t o r i a l A s s i s t a n t s h i p s . " I n t h i s w o r k , w h e n i t s h a l l b e f o u n d t h a t m u c h i s o m i t t e d , l e t i t n o t b e f o r g o t t e n t h a t m u c h l i k e w i s e i s p e r f o r m e d . " — S . J o h n s o n , P r e f a c e t o t h e D i c t i o n a r y (1755) " T h e f i r s t i n d u s t r i a l r e v o l u t i o n , t h e r e v o l u t i o n o f t h e ' d a r k S a t a n i c m i l l s ' , w a s t h e d e v a l u a t i o n o f t h e h u m a n a r m b y t h e c o m p e t i t i o n o f m a c h i n e r y . . . T h e m o d e r n i n d u s t r i a l r e v o l u t i o n i s s i m i l a r l y b o u n d t o d e v a l u e t h e h u m a n b r a i n . " -- N. W i e n e r , C y b e r n e t i c s (1947) " I t m u s t b e . r e a l i z e d t h a t . . . t h e e l i m i n a t i o n o f ' h u m a n l y u n n e c e s s a r y ' w o r k i s e s s e n t i a l l y t h e p r e - r e q u i s i t e f o r e v e r y k i n d o f c u l t u r a l d e v e l o p m e n t p r o c e s s . " — G. A r n d t , A S u r v e y o f F M S L a y o u t s (1982) 1 C H A P T E R J_: I n t r o d u c t i o n F r o m h u m b l e b e g i n n i n g s i n t h e 1 9 4 0 ' s f p r o g r a m m a b l e a u t o m a t i o n h a s c o m e t o d o m i n a t e m o d e r n m a n u f a c t u r i n g i n d u s t r i e s [ 1 ] . T h e e a r l y N u m e r i c a l C o n t r o l ( N C ) m a c h i n e s u s e d p a p e r t a p e p r o g r a m s a n d s i m p l e d i g i t a l c o m p u t e r s f o r p r e c i s e a u t o m a t i c p o s i t i o n i n g a n d c u t t i n g o f m e t a l w o r k p i e c e s . M o d e r n N C s y s t e m s h a v e d e d i c a t e d o r s h a r e d c o n t r o l l e r s t h a t t r a n s f o r m s i m p l e o p e r a t o r s t a t e m e n t s i n a c o m m a n d l a n g u a g e i n t o ' o p t i m a l ' t r a j e c t o r i e s f o r t h e c u t t i n g t o o l a n d w o r k p i e c e . F o r h i g h v o l u m e p r o d u c t i o n o f r e l a t i v e l y s i m p l e i t e m s , s e v e r a l N C w o r k s t a t i o n s ( N C m a c h i n e + c o n t r o l l e r ) c a n b e s e q u e n t i a l l y l i n k e d w i t h a w o r k p i e c e h a n d l i n g s y s t e m t o f o r m a n A u t o m a t i c T r a n s f e r L i n e ( A T L ) . E a c h w o r k s t a t i o n t y p i c a l l y p e r f o r m s a d i f f e r e n t m a c h i n i n g o p e r a t i o n . I n m o s t c a s e s , ' i n - p r o c e s s ' b u f f e r s a r e a d d e d b e t w e e n s t a t i o n s f o r t e m p o r a r y s t o r a g e o f p a r t l y f i n i s h e d w o r k p i e c e s . A t y p i c a l t h r e e s t a g e A T L i s s k e t c h e d i n F i g u r e 1 . 1 . O n e i m p o r t a n t d e v e l o p m e n t i n N C m a c h i n e t o o l s y s t e m s i s A d a p t i v e C o n t r o l ( A C ) [ 2 t o 1 1 ] . A s s h o w n i n F i g u r e 1 . 2 , A C a l l o w s t h e c o n t r o l a c t i o n t o o p t i m i z e s o m e p e r f o r m a n c e m e t r i c i n a c c o r d a n c e w i t h t h e m o n i t o r i n g o f s e c o n d a r y v a r i a b l e s s u c h a s t o o l t e m p e r a t u r e . N o t e t h a t t h e r e r e m a i n s s e p a r a t e c l o s e d l o o p c o n t r o l a c t i o n b a s e d o n p r i m a r y v a r i a b l e s s u c h a s c u t t i n g s p e e d . T h e r e a r e t h r e e c o m m o n f o r m s o f o p t i m i z a t i o n : m i n i m i z i n g c o s t p e r w o r k p i e c e , m a x i m i z i n g t h e r a t e o f c u t t i n g ( m e t a l r e m o v a l ) , o r m a x i m i z i n g p r o d u c t i v i t y , u s u a l l y d e f i n e d 2 F i g u r e 1-1 A Two S t a t i o n ATL I n - p r o c e s s B u f f e r OUT > W o r k S t a t i o n F i g u r e 1-2 E l e m e n t s of A d a p t i v e C o n t r o l I N P U T * P r i m a r y V a r i a b l e s C o m p u t e r i z e d C o n t r o l l e r NC M a c h i n e M e t a l - c u t t i n g P r o c e s s A d a p t i v e C o n t r o l A l g o r i t h m OUTPUT S e c o n d a r y V a r i a b l e s 3 a s t h e a v e r a g e n u m b e r o f w o r k p i e c e s p r o d u c e d p e r u n i t t i m e . F o r e x a m p l e , a c c o r d i n g t o a r e c e n t s u r v e y [ 1 2 ] o f N C s y s t e m s , " P r o d u c t i v i t y g a i n s a c h i e v e d b y t h e u s e o f a d a p t i v e c o n t r o l v a r y f r o m 2 0 % t o a s h i g h a s 1 0 0 % f o r a d d i t i o n a l s y s t e m c o s t s o f 5 % t o 2 0 % . T h i s h a s c o m e a b o u t f r o m t h e a d -v a n c e s i n s e n s o r r e l i a b i l i t y , t h e d e v e l o p -m e n t s i n c o n t r o l s t r a t e g i e s , i m p r o v e d r e l i a b i l i t y o f h a r d w a r e a n d s o f t w a r e s y s t e m s , a n d t h e d r a m a t i c i m p r o v e m e n t s i n m i c r o -e l e c t r o n i c s a n d c o m p u t e r t e c h n o l o g y . " [ p . 1 9 4 ] I t i s w e l l k n o w n t h a t t h e p r o d u c t i o n c o s t p e r w o r k p i e c e w i l l c h a n g e o v e r t i m e a s t h e c u t t i n g t o o l b e c o m e s d u l l , a n d a s t h e w o r k p i e c e c h a r a c t e r i s t i c s v a r y . T h i s h a s e n c o u r a g e d t h e i n t r o d u c t i o n o f A C a n d t h e m o d e l l i n g o f t h e m a c h i n i n g p r o c e s s i n a m a t h e m a t i c a l f o r m . I n t h i s t h e s i s , w e w i l l c o n c e n t r a t e o n c o s t m i n i m i z a t i o n . F o r a s i n g l e w o r k s t a t i o n , t h i s i s c a l l e d t h e M a c h i n i n g E c o n o m i c s P r o b l e m ( M E P ) , a n d b e l o n g s t o t h e c l a s s o f c o n s t r a i n e d n o n - l i n e a r o p t i m i z a t i o n p r o b l e m s . I n C h a p t e r 2 , a r e l a t i v e l y n e w o p t i m i z a t i o n t e c h n i q u e c a l l e d G e o m e t r i c P r o g r a m m i n g ( G P ) i s d e s c r i b e d t o s o l v e t h e g e n e r a l M E P . T h r e e G P m e t h o d s a r e d i s c u s s e d , a n d a n u m e r i c a l e x a m p l e i s p r e s e n t e d f o r e a c h o n e , b a s e d o n M E P f o r m u l a t i o n s f o r t u r n i n g , d r i l l i n g , a n d m i l l i n g o p e r a t i o n s . I n C h a p t e r 3 , t h e M E P i s e x a m i n e d i n a n e w w a y b y m o d e l l i n g c o s t a s a f u n c t i o n o f c y c l e t i m e , t h e m a c h i n i n g t i m e p e r w o r k p i e c e . T h i s i s a n i n d i r e c t r e l a t i o n s h i p , s i n c e b o t h c o s t a n d c y c l e t i m e a r e n o n - l i n e a r f u n c t i o n s o f t h e c o n t r o l v a r i a b l e s . P a i r s o f ( c y c l e t i m e , c o s t ) ' p o i n t s ' a r e g e n e r a t e d f r o m t h e M E P u s i n g G P a n d t h e n a p o l y n o m i a l c u r v e i s f i t t e d t o 4 t h e d a t a . C o s t i s t h e n e a s i l y m i n i m i z e d b y l o c a t i n g t h e m i n i m u m o f t h e c u r v e . I t i s s h o w n t h a t t h e c o n s t r a i n t s i n t h e MEP s e t a l o w e r l i m i t o n c y c l e t i m e . A s b e f o r e , s o m e n u m e r i c a l e x a m p l e s a r e p r e s e n t e d . I n C h a p t e r 4 , w e p r o c e e d f r o m o p t i m i z i n g i s o l a t e d w o r k s t a t i o n s t o o p t i m i z i n g a s e t o f s t a t i o n s a r r a n g e d a s a n A T L . B e c a u s e t h e s t a t i o n s a r e s e r i a l l y l i n k e d w i t h b u f f e r s o f f i n i t e s i z e , w e m u s t e n s u r e t h a t t h e i r c y c l e t i m e s a r e e q u a l . I f t h i s i s n o t t h e c a s e , a f a s t e r m a c h i n e w o u l d e v e n t u a l l y e m p t y i t s u p s t r e a m b u f f e r o r o v e r f l o w i t s d o w n s t r e a m b u f f e r a n d b e f o r c e d t o s h u t d o w n a n d w a i t . T o o b t a i n a s i n g l e c y c l e t i m e t h a t m i n i m i z e s t h e t o t a l A T L c o s t , t h e c o s t v e r s u s c y c l e t i m e c u r v e s o f t h e c o m p o n e n t s t a t i o n s a r e s u m m e d , a n d t h e m i n i m u m o f t h i s n e w c u r v e i s t h e n f o u n d . A t t h i s p o i n t , w e b e g i n t o d i s c u s s m a c h i n e f a i l u r e . A n e w o p t i m i z a t i o n i d e a f o r a n A T L i s d e s c r i b e d b a s e d o n t h e c o s t m o d e l l i n g o f C h a p t e r 3. I n t h e D y n a m i c C y c l e T i m e ( D C T ) s t r a t e g y , t h e c y c l e t i m e s o f w o r k i n g s t a t i o n s a r e d y n a m i c a l l y c h a n g e d w h e n o t h e r s t a t i o n s f a i l , s o t h a t c o n t i g u o u s s u b - s e t s o f t h e A T L a l w a y s o p e r a t e t o m i n i m i z e c o s t . A t w o l e v e l c o n t r o l h i e r a r c h y i s p r o p o s e d t o a c c o m o d a t e t h i s s o p h i s t i c a t e d o n - l i n e o p t i m i z a t i o n . I n t h e F i x e d C y c l e T i m e ( F C T ) s t r a t e g y , t h e c y c l e t i m e s a r e n o t c h a n g e d w h e n s t a t i o n s f a i l . C o m p u t e r s i m u l a t i o n s o f s o m e t y p i c a l t w o s t a t i o n A T L ' s b a s e d o n t u r n i n g a n d d r i l l i n g o p e r a t i o n s a r e u s e d t o c o m p a r e t h e s e t w o s t r a t e g i e s . P e r f o r m a n c e i s m e a s u r e d i n t e r m s o f m e a n c o s t / w o r k p i e c e , m e a n i n - p r o c e s s b u f f e r l e v e l , a n d % m a c h i n e 5 u t i l i z a t i o n . I n t h e f i r s t s i m u l a t i o n , t h e s t a t i o n s a r e a r r a n g e d T u r n i n g - > D r i l l i n g , a n d i n t h e s e c o n d s i m u l a t i o n , t h e o r d e r i s r e v e r s e d . T h e r e s u l t s i n d i c a t e t h a t w h e n t h e o p e r a t i o n s a r e p r o p e r l y o r d e r e d , t h e D C T s t r a t e g y l e a d s t o m o d e s t c o s t s a v i n g s a n d a s u b s t a n t i a l r e d u c t i o n i n m e a n b u f f e r l e v e l w h e n c o m p a r e d t o t h e F C T s t r a t e g y , f o r a s l i g h t l y l o w e r m a c h i n e u t i l i z a t i o n . I n C h a p t e r 5, s o m e c o n c l u s i o n s a r e p r e s e n t e d a l o n g w i t h s u g g e s t i o n s f o r f u t u r e w o r k . T h e r e a r e f o u r a p p e n d i c e s . I n A p p e n d i x A , c o n t r o l d e t a i l s a r e p r e s e n t e d f o r t u r n i n g , d r i l l i n g , a n d m i l l i n g o p e r a t i o n s . A p p e n d i x B i s a b r i e f d e s c r i p t i o n o f t h e c o m p u t e r p r o g r a m u s e d f o r t h e G P a n a l y s i s a n d A T L s i m u l a t i o n . A p p e n d i x C i s a s h o r t n o t e o n u s i n g s i m u l a t i o n t o m o d e l s t o c h a s t i c p r o c e s s e s . I n A p p e n d i x D , a n e x p r e s s i o n f o r t h e G P d u a l f u n c t i o n i s d e v e l o p e d f o r p r i m a l c o n s t r a i n t s o f t h e f o r m g > = 1 . 6 C H A P T E R 2 P A R T I : T H E M A C H I N I N G E C O N O M I C S P R O B L E M A N D G E O M E T R I C P R O G R A M M I N G T h e M a c h i n i n g E c o n o m i c s P r o b l e m [ 1 3 ] c a n b e d e s c r i b e d a s t h e m i n i m i z a t i o n o f a c o s t o b j e c t i v e f u n c t i o n s u b j e c t t o a s e t o f m e t a l - c u t t i n g c o n s t r a i n t s . T h e c o s t f u n c t i o n h a s t w o p a r t s : o n e i s a s s o c i a t e d w i t h t h e a c t u a l m a c h i n i n g p e r f o r m e d , a n d t h e o t h e r w i t h t h e w e a r a n d s u b s e q u e n t r e p l a c e m e n t o f t h e c u t t i n g t o o l . T y p i c a l c o n s t r a i n t s r e l a t e t o m a c h i n i n g p o w e r , f i n a l s u r f a c e f i n i s h o f t h e w o r k p i e c e , a n d a b s o l u t e l i m i t s o n t h e c o n t r o l v a r i a b l e s . T h e p r o b l e m t h e n i s t o f i n d o p t i m a l v a l u e s f o r t h e c o n t r o l v a r i a b l e s ( t y p i c a l l y c u t t i n g s p e e d , v , a n d f e e d r a t e , f ) t h a t m i n i m i z e c o s t a n d s a t i s f y t h e c o n s t r a i n t s . M a t h e m a t i c a l l y , t h e M E P c a n b e d e s c r i b e d a s f o l l o w s : m i n ( t o t a l ) C o s t = M a c h i n i n g c o s t ( v , f ) ( 2 . 1 ) v , f + T o o l c h a n g e c o s t ( v , f ) s u b j e c t t o C u t t i n g p o w e r ( v , f ) <= K p S u r f a c e f i n i s h ( v , f ) <= K f v <= v m a x f <= f m a x I n g e n e r a l , t h e M a c h i n i n g c o s t , T o o l c h a n g e c o s t . C u t t i n g p o w e r , a n d S u r f a c e f i n i s h t e r m s a r e a l l n o n - l i n e a r f u n c t i o n s o f v a n d f . T h u s , t h e M E P r e p r e s e n t s a n o n - l i n e a r o p t i m i z a t i o n p r o b l e m w i t h n o n - l i n e a r c o n s t r a i n t s . G e o m e t r i c P r o g r a m m i n g ( G P ) i s a r e l a t i v e l y n e w m a t h e m a t i c a l t e c h n i q u e w e l l s u i t e d t o t h i s k i n d o f p r o b l e m . T h e f i r s t c o m p r e h e n s i v e t e x t [ 1 4 ] a p p e a r e d i n 1 9 6 7 a n d s i n c e t h e n , t h e o r i g i n a l t h e o r y h a s b e e n g r e a t l y e x t e n d e d f o r m a n y a p p l i c a t i o n s [ 1 5 , 1 6 , 1 7 ] , 7 B e f o r e r e v i e w i n g t h e r e l e v a n t t h e o r y , i t i s w o r t h w h i l e p l a c i n g GP i n c o n t e x t . T h e r e a r e m a n y d i f f e r e n t t e c h n i q u e s a v a i l a b l e f o r n o n - l i n e a r o p t i m i z a t i o n p r o b l e m s , a s s h o w n i n F i g u r e 2.1 [18]. W i t h m o s t ' i n d i r e c t ' m e t h o d s , t h e L a g r a n g i a n L ( x , M i s f o r m e d t o c r e a t e a n u n c o n s t r a i n e d p r o b l e m . T h e n o p t i m a l i t y ( K u h n - T u c k e r ) c o n d i t i o n s a r e u s e d t o o b t a i n a s e t o f s i m u l t a n e o u s e q u a t i o n s i n x a n d x . A t t h i s p o i n t , ' p r i m a l ' m e t h o d s f o c u s o n x , w h i l e ' d u a l ' m e t h o d s k e y o n X . ' D i r e c t ' m e t h o d s s e a r c h f o r t h e s o l u t i o n i n x s p a c e b o u n d e d b y t h e c o n s t r a i n t s . C o n v e r g e n c e b e h a v i o r d e p e n d s u p o n t h e s t a r t i n g p o s i t i o n a n d t h e t e c h n i q u e s u s e d t o d e t e r m i n e s t e p s i z e a n d s e a r c h d i r e c t i o n a t e a c h i t e r a t i o n . ' F i r s t o r d e r ' m e t h o d s w o r k w i t h a T a y l o r e x p a n s i o n o f t h e o b j e c t i v e f u n c t i o n t o f i r s t o r d e r ( g r a d i e n t ) w h i l e ' s e c o n d o r d e r ' m e t h o d s u s e a q u a d r a t i c e x p a n s i o n . I n g e n e r a l , t h e s e c o n d o r d e r m e t h o d s w i l l h a v e f a s t e r c o n v e r g e n c e s i n c e t h e y a r e b e t t e r a t s e l e c t i n g t h e b e s t s e a r c h d i r e c t i o n , b u t t h e y a l s o r e q u i r e m o r e c o m p u t a t i o n . A s a r u l e , t h e s e d i r e c t a n d i n d i r e c t m e t h o d s a r e n o t s u i t a b l e f o r r e a l - t i m e m i c r o p r o c e s s o r a p p l i c a t i o n s . E x c e p t f o r v e r y s i m p l e p r o b l e m s o f l o w o r d e r , t h e r e i s m u c h c o m p u t a t i o n r e q u i r e d . I n a d d i t i o n , t h e s e m e t h o d s u s e c o m p l e x a l g o r i t h m s a n d o f t e n n e e d h e u r i s t i c i n f o r m a t i o n t o i m p r o v e p e r f o r m a n c e . N o n e t h e l e s s , s o m e r e s e a r c h e r s h a v e t r i e d s t a n d a r d n o n - l i n e a r p r o g r a m m i n g t e c h n i q u e s t o s o l v e t h e M E P . F o r e x a m p l e , a c o n j u g a t e g r a d i e n t m e t h o d w a s d e s c r i b e d i n [4] t h a t r e q u i r e d a l o g a r i t h m i c t r a n s f o r m a t i o n t o l i n e a r i z e t h e c o n s t r a i n t s . CONSTRAINED NON-LINEAR QPTIMIZATION I n d i r e c t M e t h o d s L ( x , X ) t K u h n T u c k e r c o n d i t i o n s r p r i m a l x d u a l G e o m e t r i c P r o g r a m m i n g p r i m a l g Q ( x ) d u a l V ( X ) D i r e c t M e t h o d s S e a r c h M e t h o d s F i b o n a c c i a n d G o l d e n S e c t i o n 1 s t O r d e r ( g r a d i e n t ) M e t h o d s B o u n d a r y f o l l o w i n g M e t h o d s I g r a d i e n t p r o j e c t i o n P e n a l t y f u n c t i o n + B a r r i e r M e t h o d s P ( x , y ) + K u h n T u c k e r c o n d i t i o n s 2nd O r d e r ( q u a d r a t i c ) M e t h o d s c o n j u g a t e g r a d i e n t F i g u r e 2 - 1 . G e n e r a l M e t h o d s f o r C o n s t r a i n e d N o n - L i n e a r O p t i m i z a t i o n co 9 O t h e r a u t h o r s u s e d t h e c l a s s i c a l g r a d i e n t a p p r o a c h [9], t h e G o l d e n S e c t i o n s e a r c h [2], v a r i a b l e t r a n s f o r m a t i o n p l u s d i r e c t s e a r c h , a n d t h e p e n a l t y f u n c t i o n m e t h o d [ 5 ] , T h e i n t e n t w a s o f f - l i n e o p t i m i z a t i o n , u s i n g m i n i o r m a i n f r a m e c o m p u t e r s y s t e m s . We w i l l n o w p r o c e e d w i t h a d i f f e r e n t a p p r o a c h t h a t i s m u c h m o r e p r o m i s i n g . G e o m e t r i c P r o g r a m m i n g i s a s p e c i a l k i n d o f i n d i r e c t o p t i m i z a t i o n p r o c e d u r e w i t h b o t h p r i m a l a n d d u a l f o r m u l a t i o n s . T h e f o l l o w i n g r e v i e w i s m a i n l y d r a w n f r o m [ 1 4 ] a n d [ 1 8 ] . T o i n t r o d u c e s o m e G P t e r m i n o l o g y , c o n s i d e r t h e f o l l o w i n g u n c o n s t r a i n e d o p t i m i z a t i o n p r o b l e m : m i n g „ ( x ) = u , ( x ) + u „ ( x ) + . . . + u ( x ) ( 2 . 2 ) x 0 1 2 m w h e r e x i s a c o n t r o l v e c t o r o f d i m e n s i o n n . T h e s i n g l e t e r m s { u 1 } i n t h e o b j e c t i v e f u n c t i o n a r e n o n - l i n e a r f u n c t i o n s o f x c a l l e d ' m o n o m i a l s ' , w i t h t h e g e n e r a l f o r m 1 2 n a i a l a i u ± = C j X j T C g . . . x n ( 2 . 3 ) ( N o t e t h a t t h e ' k ' i n a±represents a s u p e r s c r i p t . ) A s u m o f m o n o m i a l s i s c a l l e d a ' p o s y n o m i a l ' . W h e n t h e m o n o m i a l s a r e n o t s t r i c t l y a d d i t i v e , t h e n a m e ' s i g n o m i a l ' i s u s e d . P r i m a l m e t h o d s u s e a p r o c e d u r e c a l l e d ' c o n d e n s a t i o n ' t o a p p r o x i m a t e t h e p o s y n o m i a l g 0 ( x ) b y a s i n g l e m o n o m i a l g Q ( x , x ) . T h i s a l l o w s u s t o l i n e a r i z e ( 2 . 2 ) b y t a k i n g l o g a r i t h m s o f a l l t e r m s a n d m a k i n g t h e v a r i a b l e s u b s t i t u t i o n z = l n ( x ) . A t t h i s p o i n t , t h e n e w p r o b l e m c a n b e t a c k l e d b y v a r i o u s l i n e a r p r o g r a m m i n g m e t h o d s t o s o l v e f o r z . F i n a l l y , w e u s e x = e x p ( z ) t o o b t a i n t h e d e s i r e d a n s w e r . T h e c o n d e n s e d m o n o m i a l i s d e f i n e d b y t h e o r i g i n a l 10 p o s y n o m i a l a n d a t r i a l s o l u t i o n x . I t w i l l b e s h o w n t h a t c o n d e n s a t i o n i s i n f a c t a l i n e a r a p p r o x i m a t i o n t r a n s f o r m a t i o n i n z s p a c e . g Q ( x , x ) = g Q ( x ) u , ( x ) «1 f -uJ x> U j ( x ) u m ( x ) s > l 2 n a c a C a c = c c x i x 2 • • • X n m ( 2 . 4 ) ( 2 . 5 ) ( w h e r e s u b s c r i p t c d e n o t e s c o n d e n s e d . ) I t c a n b e s h o w n t h a t t h e c o n d e n s e d m o n o m i a l s e r v e s a s a l o w e r b o u n d o n g Q . W h e n x «= x , w e h a v e e q u a l i t y . i . e . 9 0 ( x ) >= 9 0 ( x , x ) N o w l e t g ' 0 = l n g Q ( x , x ) = l n c c + a j l n x1 + s o t h a t , 1 m i n g 0 < = > m i n g Q = a c * , + • , + a ^ l n x n ( 2 . 6 ) + a " z (+ I n c . ) ( 2 . 7 ) n c T h u s , ( 2 . 2 ) b e c o m e s t h e f o l l o w i n g l i n e a r i z e d p r o b l e m : m i n g Q z ( 2 . 8 ) N o t e t h a t t h e s o l u t i o n o f ( 2 . 2 ) u s i n g c o n d e n s a t i o n i s i t e r a t i v e . A t r i a l s o l u t i o n x d e f i n e s g ^ ( x , x ) w h i c h a l l o w s ( 2 . 8 ) t o b e s o l v e d f o r z a n d h e n c e x . T h i s x t h e n s e r v e s a s t h e x f o r t h e n e x t i t e r a t i o n . I n m a n y c a s e s , x c o n v e r g e s r a p i d l y t o x * . D u a l m e t h o d s u s e s p e c i a l o p t i m a l i t y c o n d i t i o n s t h a t r e l a t e t h e e x p o n e n t s o f t h e m o n o m i a l s i n ( 2 . 2 ) t h r o u g h a d u a l v e c t o r 6 1 6 2 ( w h e r e T d e n o t e s t r a n s p o s e ) . P r a c t i c a l l y , S± r e p r e s e n t s t h e r e l a t i v e w e i g h t o f U i i n t h e o b j e c t i v e f u n c t i o n g 0 . We r e q u i r e t h a t 6 > = 0. T h e n e w o p t i m a l i t y c o n d i t i o n s a r e a s f o l l o w s : 11 N o r m a l i t y c o n d i t i o n : 6 + 6 + . . . + 6 = 1 ( 2 . 9 ) 1 2 m O r t h o g o n a l i t y c o n d i t i o n s l 1 "" " m"m aJo\+ ... + a_ 6 _ = 0 ( 2 . 1 0 ) a 5 + . . . + a « = 0 1 1 m m o r m o r e s i m p l y , A 6 = 0 , w h e r e A i s t h e n x m m a t r i x o f m o n o m i a l e x p o n e n t s . T h e r e a r e n o r t h o g o n a l i t y c o n d i t i o n s p l u s 1 n o r m a l i t y c o n d i t i o n t o y i e l d ( n + 1 ) e q u a t i o n s i n m u n k n o w n s . We d e f i n e t h e ' d e g r e e o f d i f f i c u l t y ' d o d - m - ( n + 1 ) ( 2 . 1 1 ) I t s h o u l d b e c l e a r t h a t w h e n d o d = 0 , &* c a n b e d i r e c t l y o b t a i n e d f r o m ( 2 . 9 ) a n d ( 2 . 1 0 ) . C l e a r l y , w e m u s t s t i l l s o l v e f o r x * o n c e 6 i s k n o w n . D u a l m e t h o d s a l s o u s e t h e d u a l f u n c t i o n V (6 ) » ( C j / f i j ) 6 1 . . ( c m / 6 m ) « m ( 2 . 1 2 ) I t c a n b e s h o w n t h a t * ( $ ) s e r v e s a s a l o w e r b o u n d o n g Q a n d i n m o s t c a s e s , m i n g ( x ) <=> m a x ¥ ( 6 ) o x 6 H o w e v e r , w e w i l l s e e l a t e r i n t h i s c h a p t e r t h a t t h i s r e l a t i o n s h i p d o e s n o t a l w a y s h o l d . A t o p t i m a l i t y , w e m u s t h a v e g 0 (x*) - * ( « } * ic a n d t h i s i m p o r t a n t f a c t c a n b e u s e d t o o b t a i n x f r o m 6 u s i n g u (it) = 6 * . * ( 6) i = 1 f . . . , m ( 2 . 1 3 ) C o n d e n s a t i o n c a n a l s o b e u s e d t o s o l v e t h e d u a l p r o b l e m a n d e s t a b l i s h t h e m a p p i n g b e t w e e n x a n d 5 i . e . b e t w e e n t h e p r i m a l 12 a n d d u a l s p a c e s . F o r p r o b l e m s w i t h d o d = 0 , ( 2 . 9 ) p l u s ( 2 . 1 0 ) i m m e d i a t e l y y i e l d t h e s o l u t i o n 5 a n d w e h a v e g 0 ( x 5 = ¥ ( 6 * ) F o r p r o b l e m s w i t h d o d + 0 , w e c a n u s e ( 2 . 4 ) t o r e p l a c e g Q b y a c o n d e n s e d o b j e c t i v e f u n c t i o n a n d o b t a i n a n e w ' c o n d e n s e d ' p r o b l e m w i t h d o d = 0 . T h e n w e h a v e t h e i m p o r t a n t r e l a t i o n g ( x ) >= g ( x , x ) = ¥ ) ( 2 . 1 4 ) o o T h e i d e a i s t o u s e t r i a l s o l u t i o n s { x } t o o b t a i n d u a l v e c t o r s { 6 } a n d i t e r a t e t o f i n d x t h a t m i n i m i z e s g . M o r e w i l l b e o s a i d o f t h i s i n P a r t I I o f t h i s C h a p t e r . N o w l e t us l o o k a t c o n s t r a i n t s i n G e o m e t r i c P r o g r a m m i n g . A l l t h e o r i g i n a l G P d e v e l o p m e n t s d e a l t w i t h i n e q u a l i t y c o n s t r a i n t s o f t h e f o r m g1 = U j + . . . + u <= 1 ( 2 . 1 5 ) w h e r e e a c h t e r m u ± i s a m o n o m i a l i n x . F o r t h e d u a l p r o b l e m , w e a s s o c i a t e o^>=0 w i t h t o o b t a i n a n e w n o r m a l i t y c o n d i t i o n : o , + . . . +a = 1 ( 2 . 1 6 ) 1 k T h u s , a . p l a y s t h e s a m e r o l e i n g a s 5 i n g „ . We c a n a l s o i > i i 0 a s s o c i a t e a L a g r a n g e m u l t i p l i e r * i w i t h g x s u c h t h a t - 0 - > c o n s t r a i n t i s s l a c k X j > 0 - > c o n s t r a i n t i s t i g h t N o w c o n s i d e r t h e f o l l o w i n g c o n s t r a i n e d p r o b l e m m i n g 0 ( x ) = u l +...+ u m ( 2 . 1 7 ) x s u b j e c t t o g = u + . . . + u <= 1 3 1 m+1 P ( N o t e t h a t t h e m o n o m i a l s a r e n u m b e r e d s e q u e n t i a l l y f o r l a t e r n o t a t i o n a l c o n v e n i e n c e . ) D e f i n e a n e x t e n d e d d u a l v e c t o r 13 w h e r e fi± = ° ± * t f o r i = m + 1 , . . . , p ( 2 . 1 8 ) P P N o t e t h a t z - V E o - X ( 2 . 1 9 ) We a l s o h a v e t h a t 6 ± >=0 f o r i = m + 1 , . . . , p ( s i n c e a± , X L > = 0 ) . We c a n n o w r e - w r i t e t h e d u a l f u n c t i o n a s f o l l o w s : * ( « ) - n ( c ^ ) 6 ! - ! ? ( C J / S J ) ^ - M X l 1=1 j=m+l = S ( C / « ) 6 i - 8 ( c . X i / fi,)6j i j 3 3 ( 2 . 2 0 ) T h e p r e s e n c e o f t h e c o n s t r a i n t i n ( 2 . 1 7 ) a l s o m e a n s t h a t t h e r e a r e a d d i t i o n a l e l e m e n t s i n t h e e x p o n e n t m a t r i x : A = A ( g n ) A(g,) 1 1 a , • • a 1 m * n n a, • • a 1 m 1 f a m + l * a P • n n a m + l a P ( 2 . 2 1 ) A s b e f o r e , w e h a v e A 6 = 0. ' ( 2 . 2 2 ) T h e p r o b l e m d e g r e e o f d i f f i c u l t y i s n o w d o d = p - ( n + 1 ) I f dod=0, w e c a n s o l v e ( 2 . 1 7 ) d i r e c t l y u s i n g t h e o r t h o g o n a l i t y c o n d i t i o n s ( 2 . 2 2 ) a n d t h e n o r m a l i t y c o n d i t i o n ( 2 . 9 ) . O t h e r p r o b l e m s o c c u r w i t h c o n s t r a i n t s o f t h e f o r m . . + u „ >= 1 P 91 " um + l ' We n o w e x p e c t X i <=0 s o t h a t 6 = a± X j <=0 f o r i = m + 1 , . . . , p T o e n s u r e p o s i t i v i t y o f t h e d u a l v e c t o r , l e t v j = - X j a n d a. v x ( 2 . 2 3 ) ( 2 . 2 4 ) ( 2 . 2 5 ) I t i s s h o w n i n A p p e n d i x D t h a t t h e d u a l f u n c t i o n b e c o m e s 14 ( C l / 6 ) 6 i . S ( c , v x / 6 )~6j ( 2 . 2 6 ) T h e d u a l f o r m u l a t i o n f o r p r i m a l p r o b l e m s w i t h s e v e r a l c o n s t r a i n t s c a n b e e a s i l y o b t a i n e d b y g e n e r a l i z i n g t h i s r e v i e w . M o s t r e s e a r c h h a s f o c u s e d o n p r i m a l m e t h o d s . A t t e m p t s t o d e v e l o p g e n e r a l i z e d p r o c e d u r e s f o r t h e d u a l p r o b l e m h a v e n o t m e t w i t h m u c h s u c c e s s . T h i s i s u n f o r t u n a t e s i n c e t h e d u a l v e c t o r o f f e r s s p e c i a l i n s i g h t i n t o t h e u n d e r l y i n g s t r u c t u r e o f t h e p r o b l e m . I n t h e n e x t p a r t o f t h i s c h a p t e r , t h r e e d u a l m e t h o d s w i l l b e p r e -s e n t e d u s i n g n u m e r i c a l e x a m p l e s o f t h e M a c h i n i n g E c o n o m i c s P r o b l e m ( M E P ) . T h e e x a m p l e s a r e a d a p t e d f r o m A p p e n d i x A , w i t h t h e f o l l o w i n g c h a n g e s i n n o t a t i o n : x^ +• V X £ «• f gQ «- C o s t o b j e c t i v e f u n c t i o n g^ «- C u t t i n g p o w e r c o n s t r a i n t g2 *• S u r f a c e f i n i s h c o n s t r a i n t g ^ *• vmax c o n s t r a i n t g , 4- f m a x c o n s t r a i n t 1 5 P A R T I I : M E T H O D S O F S O L U T I O N L e t u s e x a m i n e t h e o b j e c t i v e f u n c t i o n o f ( 2 . 1 ) m o r e c l o s e l y , u s i n g n o t a t i o n f r o m [ 1 3 ] . C . , = Cm + C r t o t a l w h e r e Cm = X T m C r = ( T m / T ) ( X T r + C t ) a n d Cm = M a c h i n i n g ( c u t t i n g ) c o s t ( $ ) C r = T o o l c h a n g e c o s t ( $ ) X = M a c h i n e p l u s O p e r a t o r o v e r h e a d ( $ / m i n ) Tm = M a c h i n i n g t i m e ( m i n ) T = T a y l o r t o o l l i f e ( m i n ) T r = T o o l c h a n g e t i m e ( m i n ) C t = T o o l c o s t ( $ ) T h e r a t i o T m / T r e p r e s e n t s t h e p r o p o r t i o n o f T o o l c h a n g e c o s t a s s i g n e d t o e a c h w o r k p i e c e . T h e e x p r e s s i o n s f o r T a n d Tm a r e t h e m s e l v e s f u n c t i o n s o f v a r i o u s c u t t i n g p a r a m e t e r s . T h e e x p r e s s i o n f o r C t m i g h t b e t h e c o s t o f a n e w t o o l i f t h e t o o l i s a t h r o w - a w a y t y p e , o r i n c l u d e t h e c o s t o f r e - s h a r p e n i n g f o r a r e - u s a b l e t o o l . I n m o s t c o n s t r a i n e d o p t i m i z a t i o n p r o b l e m s , t h e s o l u t i o n l i e s o n a b o u n d a r y i n x s p a c e . W h e n t h e r e a r e m a n y c o n s t r a i n t s , w e e x p e c t o n e t o b e t i g h t a n d t h e r e s t t o s l a c k a t t h e o p t i m u m . T h e ' d e c o m p o s i t i o n ' m e t h o d t o b e p r e s e n t e d h e r e i s d e s i g n e d t o e x p l o i t t h i s . T h e o r i g i n a l p r o b l e m P° i s s p l i t i n t o a s e t o f s u b - p r o b l e m s e a c h d e f i n e d b y t h e o b j e c t i v e f u n c t i o n p l u s o n e 16 c o n s t r a i n t . I f a s o l u t i o n x i t o s u b - p r o b l e m p i e x i s t s a n d i f i t d o e s n o t v i o l a t e t h e o t h e r c o n s t r a i n t s , w e a d d i t t o t h e s e t o f f e a s i b l e s o l u t i o n s { x 1 } . O n c e a l l s u b - p r o b l e m s h a v e b e e n a n a l y z e d , w e o b t a i n g 0 a n d x u s i n g g Q ( x * ) = m i n { g Q ( x i ) } ( 2 . 2 7 ) T o i l l u s t r a t e t h i s m e t h o d , c o n s i d e r t h e f o l l o w i n g M E P e x a m p l e f o r a d r i l l i n g o p e r a t i o n : 0 - 1 - 1 8.8 3.9 , P : m i n g 0 = 0 . 1 1 1 x x x 2 + 2 . 5 3 E - 9 x x „ ( 2 . 2 8 ) X j , x 2 s u b j e c t t o 0.8 g . = 1 . 2 5 E - 5 X ! X 2 < = 1 g 2 = 1 3 . 3 x 2 < = 1 g * = X j / 8 8 < = 1 g 4 » x 2 / 0 . 3 0 <=1 I n F i g u r e 2 - 2 , t h e p r o b l e m i n x s p a c e i s s k e t c h e d . 2 L e t u s e x a m i n e s u b - p r o b l e m P m o r e c l o s e l y : 2 P : m i n g 0 = 0 . 1 1 1 x j ^ x " 1 + 2 . 5 3 E - 9 x ® ' 8 x * ' 9 s u b j e c t t o g 2 = 1 3 . 3 x 2 < = 1 T h e d u a l p r o b l e m h a s d e g r e e o f d i f f i c u l t y z e r o ( t h r e e e q u a t i o n s i n t h r e e u n k n o w n s ) . S i n c e g h a s j u s t 1 t e r m , w e h a v e 2 o = 1 a n d 6 3 = A 2 6 1 + 6 2 = 1 ( 2 . 3 0 ) - 6 j + 8 . 8 62= 0 - 6 j + 3 . 9 62+ 63 = 0 w i t h t h e f o l l o w i n g s o l u t i o n , c o r r e s p o n d i n g t o p o i n t B : «! = 0 . 8 9 8 6 2 = 0 . 1 0 2 63 - 0.500 ( 2 . 3 1 ) g 0 = 0 . 0 9 3 5 Xj = 17.6 0 . 0 7 5 I n t h i s e x a m p l e , s u b - p r o b l e m s P 1 a n d P 3 h a v e n o s o l u t i o n s ; 18 i n e a c h c a s e , a t l e a s t o n e d u a l v a r i a b l e i s n e g a t i v e . T h e s o l u t i o n t o k P c o r r e s p o n d s t o p o i n t A . S i n c e t h e r e i s o n l y a f e a s i b l e o p o i n t , t h e s o l u t i o n t o P i s j u s t B . T h e d e c o m p o s i t i o n m e t h o d c a n b e c o m e v e r y i n v o l v e d w h e n t h e r e a r e m a n y c o n s t r a i n t s , w h e n x i s o f l a r g e d i m e n s i o n , a n d e s p e c i a l l y w h e n t h e s u b - p r o b l e m s { P * } c a n n o t b e e a s i l y s o l v e d . H o w e v e r , i t i s s i m p l e a n d f a s t f o r p r o b l e m s o f l o w o r d e r . A s e c o n d G P m e t h o d u s e s c o n d e n s a t i o n t o a p p r o x i m a t e t h e p o s y n o m i a l o b j e c t i v e f u n c t i o n b y a m o n o m i a l t o r e d u c e t h e p r o b l e m d e g r e e o f d i f f i c u l t y t o z e r o . T h e m e t h o d o f s o l u t i o n i s i t e r a t i v e , a n d e a c h s o l u t i o n i s u s e d t o r e - c a l c u l a t e t h e c o n d e n s e d m o n o m i a l t o s t a r t t h e n e x t i t e r a t i o n . T h e f o l l o w i n g M E P e x a m p l e f o r a t u r n i n g o p e r a t i o n w i l l b e u s e d t o i l l u s t r a t e t h i s d u a l m e t h o d . P ° : m i n g Q = 2 . 7 6 x i ^ x ^ 1 * 8 . 7 8 E - 5 x * x ^ " 1 5 x s u b j e c t t o g i = 0 . 4 6 X 1 X 2 <=1 ( 2 . 3 2 ) g 2 - 7 1 . 4 X 2 <=1 A s s t a t e d , P 0 h a s d o d = 1 a n d t h e d u a l p r o b l e m c a n n o t b e s o l v e d d i r e c t l y . T o o b t a i n a t r i a l s o l u t i o n , w e c a n a s s u m e t h a t t h e c o n s t r a i n t s a r e t i g h t : x i = 5 5 . 7 X 2 = 0 . 0 1 4 ( 2 . 3 3 ) N o w c o n d e n s e t h e o b j e c t i v e f u n c t i o n , u s i n g ( 2 . 4 ) : u i ( x ) « 3 . 5 4 U 2 ( x ) • 6 . 2 4 $1 - u i / g o • 0 . 3 6 A 6 ; g o ( x ) = 9 . 7 8 u 2 / g o = 0 . 6 4 g 0 ( x , x ) = g 0 ( x ) - i l l ( x ) u1 ( x ) ^ A «1 _ u 2 ( x ) u 2 ( x ) A « 2 1 9 2 . 1 9 0 . 3 7 4 = 7 . 0 9 E - 3 x i x 2 ( 2 . 3 4 ) S o t h e c o n d e n s e d p r i m a l p r o b l e m ( w i t h d o d = 0 ) b e c o m e s : P 1 : m i n g 0 s u b j e c t t o g - ^ , g 2 <=1 x T h e d u a l p r o b l e m f o l l o w s d i r e c t l y : « i = 1 ( 2 . 3 5 ) 2 . 1 9 «i+62= 0 0 . 3 7 4 6i+ 0 . 7 6 62 + 63 = 0 S i n c e w e r e q u i r e t h a t 6> = 0 , ( 2 . 3 5 ) r e p r e s e n t s a n i n c o n s i s t e n t s e t o f e q u a t i o n s . O n e w a y o u t i s t o l e t 5 2 = 0 , i m p l y i n g t h a t g 1 i s s l a c k . W i t h t h i s a s s u m p t i o n , w e c a n m o d i f y P ° b y d e l e t i n g 2 g } t o f o r m a ' r e d u c e d ' p r o b l e m P w i t h d o d = 0 t h a t c a n b e i m m e d i a t e l y s o l v e d : 2 . , P : m m g 0 s u b j e c t t o g 2 <=1 ( 2 . 3 6 ) x T h e d u a l f o r m u l a t i o n i s 6-J+ 6, = 1 ( 2 . 3 7 ) -6!+ 46, «= 0 -6!+ 1 . 1 5 62+63 = 0 w h i c h y i e l d s « l = 0 . 8 0 62 = 0 . 2 0 63= 0 . 5 7 ( 2 . 3 8 ) x j = 3 7 . 7 x 2 = 0 . 0 1 4 g 0 = 6 . 5 3 I n f a c t , ( 2 . 3 8 ) i s t h e s o l u t i o n t o ( 2 . 3 2 ) , p r o v i n g t h a t g i i s s l a c k a n d g 2 t i g h t a s a s s u m e d . H o w e v e r , w e m i g h t h a v e t r i e d 1 s e t t i n g 63=0 ( g 2 s l a c k ) i n P , b u t t h e r e d u c e d p r o b l e m w i t h g 2 d e l e t e d h a s n o s o l u t i o n . T h e t h i r d G P m e t h o d [ 1 9 ] i s a h y b r i d o f p r i m a l a n d d u a l f o r m u l a t i o n s . I t e r a t i o n i n x s p a c e i s b a s e d o n i t e r a t i o n i n a ' r e d u c e d ' d u a l s p a c e o f d i m e n s i o n e q u a l t o t h e p r o b l e m d o d . E a c h i t e r a t i o n i n v o l v e s t h e d e t e r m i n a t i o n o f a t r i a l d u a l v e c t o r , a t r i a l p r i m a l v e c t o r , a n d t h e n a n e w d u a l v e c t o r , i l l u s t r a t e t h i s m e t h o d , a M E P e x a m p l e f o r m i l l i n g w i l b e u s e d . -1 1.82 0.212 m i n g o = 9 6 x 2 + 2 4 x i x s u b j e c t t o n n « -> -0.556 0.751 gl = 6 . 0 2 E - 3 x 1 x2 4 1 ( 2 . 3 9 ) q2 = 1 . 2 1 x - l < = 1 T h e d u a l p r o b l e m i s t h e n <51+62= 1 A 6 = 0 ( 2 . 4 0 ) w h e r e A = 0 - 1 1 . 8 2 - 0 . 5 5 6 - 1 0 . 2 1 2 0 . 7 5 1 0 a n d N o t e t h a t d o d = 1 ( 3 e q u a t i o n s i n 4 u n k n o w n s ) . I n r o w e c h e l o n f o r m , w e h a v e A = | 1 0 - 0 . 8 1 6 - 0 . 1 1 6 0 1 - 0 . 3 0 5 - 0 . 5 4 9 ( 2 . 4 1 ) f r o m w h i c h w e c a n e s t a b l i s h a b a s i s f o r t h e k e r n e l o f A : •i- ( o . 8 1 6 0 . 3 0 5 1 0J T k 2 = ^ 0 . 1 1 6 0 . 5 4 9 0 1 ( 2 . 4 2 ) L e t 6 = c k i + r k 2 r e p r e s e n t a g e n e r a l v e c t o r i n t h e k e r ( A ) : i . e . 6 - | 0 . 8 1 6 c + 0 . 1 1 6 r 0 . 3 0 5 c + 0 . 5 4 9 r c r U s i n g t h e n o r m a l i t y c o n d i t i o n , 6j+ « 2 = 1 - > 1 . 2 1 c + 0 . 6 6 5 r = 1 - > c = 0 . 8 9 2 - 0 . 5 9 3 r W i t h t h i s e x p r e s s i o n f o r c , ( 2 . 4 3 ) b e c o m e s 6 = I 0 . 7 2 8 - 0 . 3 6 8 r 0 . 2 7 2 + 0 . 3 6 8 r 0 . 8 9 2 - 0 . 5 9 3 r r N o w w e c a n u s e t h e p o s i t i v i t y c o n d i t i o n 6 >=0 t o e s t a b l i s h b o u n d s o n r : 0 . 7 2 8 - 0 . 3 6 8 r >=0 - > r <= 1 . 9 7 8 ( 2 . 4 3 ) ( 2 . 4 4 ) ( 2 . 4 5 ) (2.46) 21 0 . 2 7 2 + 0 . 3 6 8 r >=0 - > r >= - 0 . 7 3 9 W i t h o u t a d d i t i o n a l i n f o r m a t i o n , w e a r e f r e e t o c h o o s e t h e m i d - p o i n t , r = 0 . 6 1 9 . U s i n g ( 2 . 4 5 ) a n d ( 2 . 1 2 ) , 6 = [ 0 . 5 0 0 0 . 5 0 0 0 . 5 2 5 0 . 6 1 9 ] T a n d * ( « ) « ( 9 6 / 0 . 5 ) 0 , 5 ( 2 4 / 0 . 5 ) 0 , 5 ( 6 . 0 2 E - 3 ) ° ' 5 2 ^ 1 . 2 1 ) ° ' 6 1 9 ( 2 . 4 7 ) = 7 . 3 7 6 S i n c e 6 > 0 , t h e c o n s t r a i n t s a r e t i g h t s o t h a t x i = 1 . 2 1 0 a n d x 2 = 1 0 4 2 . 0 4 3 ( 2 . 4 8 ) a n d f r o m ( 2 . 3 9 ) , u i = 0 . 0 9 2 u 2 = 1 4 8 . 1 4 0 a n d g 0 = 1 4 8 . 2 3 2 ( 2 . 4 9 ) U s i n g ( 2 . 1 3 ) a n d ( 2 . 4 5 ) , w e c a n s o l v e f o r n e w &lt 6 2 a n d n e w r : « ! «= 0 . 0 0 1 6 2 = 0 . 9 9 9 - > r = 1 . 9 7 6 ( 2 . 5 0 ) A t t h i s p o i n t , w e h a v e b o u n d e d g o b y ( 2 . 4 7 ) a n d ( 2 . 4 9 ) : 7 . 3 7 6 <= g o <= 1 4 8 . 2 3 2 W i t h t h e n e w r f r o m ( 2 . 5 0 ) i n ( 2 . 4 5 ) , 6 = [ o . O O l 0 . 9 9 9 - 0 . 2 8 0 1 . 9 7 6 ^ T ( 2 . 5 1 ) S i n c e w e r e q u i r e t h a t 6 > = 0 , w e m u s t s e t 6 3 = 0 ; t h i s m e a n s t h a t t h e c o n s t r a i n t g i i s s l a c k a t o p t i m a l i t y . We c a n n o w r e t u r n t o o t h e o r i g i n a l d u a l p r o b l e m P m i n u s g j ( w i t h d o d = 0 ) a n d d i r e c t l y s o l v e f o r 6 : 6* = [ 0 . 1 7 5 0 . 8 2 5 1.502J 1 ( 2 . 5 2 ) a n d u s i n g ( 2 . 1 2 ) , * ( « * ) « 6 4 . 7 6 ( 2 . 5 3 ) S i n c e 63>0, w e m u s t h a v e g 2 ( x ) = 1 - > x * = 8 . 4 7 ( 2 . 5 4 ) a n d u s i n g ( 2 . 5 3 ) a n d ( 2 . 1 3 ) , u 2 - * ( ^ - > x * - 1 . 2 1 ( 2 . 5 5 ) 2 2 W i t h p r o b l e m s o f h i g h e r d o d , t h e s c a l a r r b e c o m e s a v e c t o r a n d a s t e p s i z e m u s t b e d e t e r m i n e d a l o n g w i t h a s e a r c h d i r e c t i o n a t e a c h i t e r a t i o n . I n t h e n e x t s e c t i o n , w e w i l l d e r i v e a n e x p r e s s i o n f o r t h e o p t i m u m s t e p s i z e « * . C o n s i d e r t h e g e n e r a l p r o b l e m o f ( 2 . 1 7 ) o n c e m o r e : + u p < - 1 m i n g o ( x ) = u j + . . . + u m x s u b j e c t t o ( x ) = u m + 1 + . U s i n g ( 2 . 2 0 ) , w e o b t a i n t h e d u a l f u n c t i o n » <6> = (c , / . , ) 1 ; . . ( c ^ X i VW4"*- ( C P x>'»/p ( 2- 5 6 ) L e t V ( fi) « l n * ( « ) ( 2 . 5 7 ) = [ 6 1 l n ( c 1 / 6 1 ) + . . . + 6 m l n ( c m / 6 m ) ] + C W n ( C m + l X l > + ^pl n<V l ) ] N o w w e a p p r o x i m a t e ( 2 . 5 7 ) u s i n g a T a y l o r e x p a n s i o n t o s e c o n d o r d e r : V ( « ) = V + V f i T A 6 + 1 / 2 A 6 T V 6 6 A « w h e r e V 6 " 3 V / 9 6 ! 3 V / 3 5 a n d 66 ( 2 . 5 8 ) 2 2 2 3 V / 3 6 j • • • 3 V / 3 6 ! 6 2 2 2 3 V / 3 6 6 i • • • 3 V / 3 6 P P ( T h e b a r s u p e r s c r i p t d e n o t e s e x p a n s i o n a t a t r i a l s o l u t i o n . ) L e t s r e p r e s e n t t h e n e w s e a r c h d i r e c t i o n i n r s p a c e , a n d a t h e s t e p s i z e . A f t e r e a c h i t e r a t i o n , w e u s e t h e ' o l d ' r t o o b t a i n a t r i a l d u a l v e c t o r 6 a n d t h e n a t r i a l s o l u t i o n g o f r o m w h i c h a ' n e w ' r i s c a l c u l a t e d . L e t s = n e w r - o l d r ( 2 . 5 9 ) N o w o n c e w e d e t e r m i n e a , w e c a n e s t a b l i s h a ' n e w e s t ' r v a l u e t o b e g i n t h e n e x t i t e r a t i o n . i . e . n e w e s t r = o l d r + A r w h e r e A r • a s ( 2 . 6 0 ) 23 N o w r e c a l l f r o m ( 2 . 4 5 ) t h a t * c a n b e s e p a r a t e d i n t o a c o n s t a n t p a r t a n d v a r i a b l e p a r t . i . e . 6 = A + B r - > A6 = B A r ( 2 . 6 1 ) = B a • s T o s i m p l i f y n o t a t i o n , l e t h = B s . U s i n g ( 2 . 6 1 ) i n ( 2 . 5 8 ) , w e o b t a i n V = V" + vj"( h a ) + 1/2 ( h T a ) v T J h a ) ( 2 . 6 2 ) = V" + avfi + 1/2 a 2 h T V ~ ^ h T o m i n i m i z e V w i t h r e s p e c t t o a , w e s e t t h e f i r s t p a r t i a l d e r i v a t i v e t o z e r o a n d s i m p l i f y , y i e l d i n g : a = [ V * h ] / [ h T ( - V f i 6 ) h ] ( 2 . 6 3 ) E a r l i e r i n t h i s c h a p t e r , w e r e m a r k e d o n t h e r e l a t i o n s h i p b e t w e e n t h e p r i m a l a n d d u a l p r o b l e m s . I n m o s t p o s y n o m i a l c a s e s , w e h a v e m i n g 0 ( x ) <=> m a x ¥ (6 ) ( 2 . 6 4 ) x 6 H o w e v e r , t h i s i s n o t a l w a y s t r u e a n d h a s b e e n t h e s o u r c e o f m u c h c o n f u s i o n a m o n g G P r e s e a r c h e r s . I n f a c t , a l l w e c a n s a y i n g e n e r a l i s t h a t m i n g 0 ( x ) <=> d g 0 / d x = 0 <=> d y / d 6 =0 ( 2 . 6 5 ) a n d y< 5) m a y b e a m i n i m u m , m a x i m u m , o r a s a d d l e p o i n t . I n t h i s n e x t s e c t i o n , w e w i l l p r e s e n t a c o u n t e r - e x a m p l e f o r w h i c h m i n g 0 ( x ) < « = > m i n Y ( 6 ) x 6 C o n s i d e r t h e f o l l o w i n g p r i m a l p r o b l e m ( s e e F i g u r e 2 - 3 ) : 2 2 m i n go = x i + x 2 s u b j e c t t o g i = x i + X 2 >= 1 ( 2 . 6 6 ) x ( B y i n s p e c t i o n , w e c a n s e e t h a t t h e s o l u t i o n i s j u s t x i = *2 = 0 . 5 a n d g 0 = 0 . 5 . ) L e t vj= - Xj >=0, a n d t h e n d e f i n e 6 3 = vj a 3 a n d &h = v1 ak ( 2 . 6 7 ) N o t e t h a t V ! = 63+6^ . T h e d u a l p r o b l e m i s s i m p l y A 6 = 0 w h e r e A = 2 0 - 1 0 0 2 0 - 1 ( 2 . 6 8 ) F r o m r o w e c h e l o n f o r m , w e o b t a i n t h e f o l l o w i n g b a s i s f o r t h e k e r ( A ) : k x = (1 0 2 0] T k 2 = (0 1 0 2 ] T ( 2 . 6 9 ) L e t 6= c k , + r k z = [ c r 2 c 2 r ] T ( 2 . 7 0 ) N o w u s e t h e n o r m a l i t y c o n d i t i o n t o o b t a i n c i n t e r m s o f r : 6j +6 2 • c + r = 1 - > c = 1 - r ( 2 . 7 1 ) a n d w i t h t h i s v a l u e i n ( 2 . 7 0 ) , w e h a v e 6 = ( l - r r 2 ( l - r ) 2 r ] T ( 2 . 7 2 ) F r o m t h e p o s i t i v i t y c o n d i t i o n 6 > = 0 , w e o b t a i n b o u n d s o n r : >=0 - > 1 - r >= 0 - > r <= 1 ( 2 . 7 3 ) 6 2 >=0 - > r >= 0 U s i n g ( 2 . 2 6 ) , t h e d u a l f u n c t i o n h a s t h e f o r m Y < 6 ) = 0 / « i ) 6 l ( 1 / 6 2 ) 6 2 ( v i / 6 3 ) " 6 3 ( v i / S i , ) " ^ ( 2 . 7 4 ) L e t V = l n * = « i l n d / 6 i ) + « 2 l n ( l / « 2 ) ( 2 . 7 5 ) - 63 l n ( v j / 6 3 ) - 6^  l n ( vj/o^ ) U s i n g ( 2 . 7 2 ) a n d s i m p l i f y i n g , w e o b t a i n V = l n d - r ) - r l n ( 1 - r ) + r l n ( r ) ( 2 . 7 6 ) F i n a l l y , V = d V / d r = l n r - l n ( 1 - r ) ( 2 . 7 7 ) A t t h e e n d p o i n t s o f r ' s p a c e ' , w e h a v e l i m V = - » a n d l i m V = + 0 0 r - > 0 r - > 1 T h i s s i t u a t i o n i s s k e t c h e d i n F i g u r e 2 - 4 , a n d w e c a n s e e t h a t i n t h i s e x a m p l e , m i n g . ( x ) <=> m i n * ( 6) x 6 O f t h e t h r e e d u a l m e t h o d s p r e s e n t e d , d e c o m p o s i t i o n 2 5 F i g u r e 2 - 4 G r a d i e n t i n t h e R e d u c e d 2 6 i s t h e m o s t s u i t a b l e f o r s o l v i n g l o w o r d e r o p t i m i z a t i o n p r o b l e m s u s i n g s m a l l c o m p u t e r s . B e c a u s e t h e M E P ' s o f t h i s t h e s i s f a l l i n t o t h a t c a t e g o r y , t h i s w a s t h e m e t h o d f i n a l l y c h o s e n f o r t h e c o m p u t e r p r o g r a m m i n g a n a l y s i s . N o t e t h a t t h e d e c o m p o s i t i o n m e t h o d a l s o g u a r a n t e e s t h a t t h e t r u e c o s t m i n i m u m w i l l b e f o u n d s i n c e i t i s a l g o r i t h m i c i n s t e a d o f i t e r a t i v e . O f a l l t h e b a s i c m e t a l - w o r k i n g o p e r a t i o n s , t u r n i n g i s t h e o n l y o n e t o a t t r a c t t h e a t t e n t i o n o f e a r l y G P r e s e a r c h e r s [ 2 0 t o 2 5 ] , I n t h e s e p a p e r s , t h e n u m b e r o f c o n s t r a i n t s i n t h e M E P w a s l i m i t e d t o o n e o r t w o a n d t h e d e g r e e o f d i f f i c u l t y w a s z e r o , o n e , o r t w o . A l l o f t h e a u t h o r s d e s c r i b e d t h e d u a l f o r m u l a t i o n ; e x a m p l e s w i t h d o d 4 0 w e r e s o l v e d b y m a x i m i z i n g t h e d u a l f u n c t i o n o v e r o n e o r t w o s e l e c t e d d u a l v a r i a b l e s . T h i s r e q u i r e d d i f f e r e n t i a l c a l c u l u s o r d i r e c t s e a r c h . N o n e d i s c u s s e d c o n d e n s a t i o n . 2 7 C H A P T E R 3 : M O D E L L I N G C O S T A S A F U N C T I O N O F C Y C L E T I M E A t y p i c a l A u t o m a t i c T r a n s f e r L i n e ( A T L ) i s s h o w n i n F i g u r e 3 - 1 . T h e r e a r e t h r e e w o r k s t a t i o n s , t w o i n - p r o c e s s b u f f e r s , p l u s i n p u t a n d o u t p u t b u f f e r s f o r u n w o r k e d a n d f i n i s h e d i t e m s . D e f i n e t h e ' c y c l e t i m e ' o f a w o r k s t a t i o n t o b e t h e m a c h i n i n g t i m e p e r w o r k p i e c e . W i t h i n - p r o c e s s b u f f e r s o f f i n i t e s i z e , w e r e q u i r e t h a t t h e c y c l e t i m e s o f a l l t h e w o r k s t a t i o n s b e n e a r l y e q u a l . T o s e e w h y , c o n s i d e r F i g u r e 3 - 1 o n c e m o r e . I f M1 c y c l e d m o r e q u i c k l y t h a n M 2 , b u f f e r B 2 w o u l d e v e n t u a l l y o v e r f l o w , f o r c i n g M1 t o s t o p a n d w a i t f o r M 2 t o c a t c h u p ; i n t h i s s i t u a t i o n , M1 i s s a i d t o b e ' b l o c k e d ' . I f M 2 c y c l e d m o r e q u i c k l y t h a n M 1 , b u f f e r B 2 w o u l d e v e n t u a l l y b e e m p t i e d , f o r c i n g M 2 t o s t o p a n d w a i t ; i n t h i s s i t u a t i o n , M 2 i s s a i d t o b e ' s t a r v e d ' . T h e ' s t a r v e d ' a n d ' b l o c k e d ' m a c h i n e s t a t e s a r e s o m e t i m e s t o g e t h e r c a l l e d ' f o r c e d d o w n ' s t a t e s . W h e n a m a c h i n e f a i l s ( a n d i s u n d e r g o i n g r e p a i r ) , i t i s s a i d t o b e ' d o w n ' . A n A T L i s ' b a l a n c e d ' i f a l l i t s w o r k s t a t i o n s h a v e e q u a l c y c l e t i m e s ; o t h e r w i s e i t i s ' u n b a l a n c e d ' . I n C h a p t e r 2 , s e v e r a l G P m e t h o d s w e r e p r e s e n t e d t o s o l v e t h e M E P a s s o c i a t e d w i t h a s i n g l e w o r k s t a t i o n . N o w w h e n l o o k i n g a t a t r a n s f e r l i n e , w e r e a l l y w a n t t o m i n i m i z e t h e c o m b i n e d c o s t o f a l l t h e w o r k s t a t i o n s . C o n s i d e r t h e A T L o p t i m i z a t i o n p r o b l e m t o b e d e f i n e d a s f o l l o w s : C o s t i + C o s t 2 + . . . + C o s t N ( 3 . 1 ) ( C m i + C r i ) + . . . + ( C m N + C r ^ ) m i n ( t o t a l ) C o s t = v l r . . . , v N r i , . . . , r ^ -28 s u b j e c t t o C u t t i n g p o w e r ( v j , f j) <= K p j j = 1 , . . . , N S u r f a c e f i n i s h ( v j , f j ) <= K S j V J <= v m a x j f j <= f m a x j C y c l e t i m e j = C y c l e t i m e 2 = • • • = C y c l e t i m e N w h e r e N = N u m b e r o f m a c h i n e s i n t h e A T L V j , f j = c o n t r o l v a r i a b l e s f o r m a c h i n e j C m j = C u t t i n g c o s t f o r m a c h i n e j C r j = T o o l c h a n g e c o s t f o r m a c h i n e j I n t u i t i v e l y , o n e m i g h t e x p e c t t h a t t h e b e h a v i o r o f some m a c h i n e s w i l l c h a n g e when we o p e r a t e t o m i n i m i z e t o t a l c o s t i n s t e a d o f i n d i v i d u a l c o s t s . M o r e w i l l b e s a i d a b o u t t h i s l a t e r i n t h e c h a p t e r . T o d a t e , t h e l i t e r a t u r e a b o u t A T L o p t i m i z a t i o n h a s f o c u s e d o n p r o d u c t i o n e f f i c i e n c y [ e g . 2 6 t o 3 3 ] . G i v e n s o m e p r o b a b i l i s t i c m o d e l s f o r m a c h i n e f a i l u r e a n d r e p a i r , t h e t r a n s f e r l i n e e f f i c i e n c y c a n b e m a x i m i z e d b y j u d i c i o u s s i z i n g o f t h e i n - p r o c e s s b u f f e r s . B e c a u s e t h e a n a l y s i s i s s o c o m p l e x , m o s t a u t h o r s r e l y o n s i m u l a t i o n o r a p p r o x i m a t i o n t e c h n i q u e s . P r o b l e m s l i k e ( 3 . 1 ) h a v e n o t b e e n d i s c u s s e d . T r a d i t i o n a l l y , t r a n s f e r l i n e s w e r e d e s i g n e d t o o p e r a t e w i t h o n e f i x e d c y c l e t i m e b a s e d o n e x p e c t e d p r o d u c t d e m a n d . S l o w e r o p e r a t i o n s w o u l d r e q u i r e t w o i d e n t i c a l s t a t i o n s i n p a r a l l e l t o k e e p u p . O n c e t h e l i n e i s o p e r a t i o n a l , t h e c y c l e t i m e w o u l d o n l y b e v a r i e d t o r e s p o n d t o c h a n g e s i n m a r k e t d e m a n d s ( a n d s o m e t i m e s n o t e v e n t h e n . S o m e s h o p s u s e a s m a l l e r b a t c h p r o d u c t i o n l i n e t o c o r r e c t f o r m a r k e t v a r i a t i o n s s o t h a t t h e h i g h v o l u m e A T L c a n r u n u n c h a n g e d ) . T h e i d e a t h a t t h e c y c l e t i m e o f t h e t r a n s f e r l i n e i t s e l f c a n b e o p t i m i z e d t o m i n i m i z e p r o d u c t i o n c o s t s e e m s t o b e n e w . I n t h e r e m a i n d e r o f t h e c h a p t e r , w e w i l l s h o w h o w ( 3 . 1 ) m a y 2 9 b e s o l v e d u s i n g G P . F i r s t w e n e e d a n a l t e r n a t i v e f o r m a t f o r t h e c y c l e t i m e e q u a l i t y . L e t u s i n t r o d u c e a c o n s t a n t T ( a s y e t u n k n o w n ) s o t h a t C y c l e t i m e ( V j , f j ) = T j = 1 , . . . , N ( 3 . 2 ) a n d t h e n ' h i d e ' t h e c o n s t r a i n t b y e x p r e s s i n g f j i n t e r m s o f v ^ . N o w w e c a n r e - p h r a s e ( 3 . 1 ) a s f o l l o w s : m i n C o s t = ( C m x + Cr^ + . . . + ( C m N + C r N ) ( 3 . 3 ) v r . . . , v N s u b j e c t t o C u t t i n g p o w e r ( v ^ ) <= K p . j = 1 , . . . , N S u r f a c e f i n i s h ( v ^ ) <= K s . V j <= v m a x j S i n c e w e a s s o c i a t e o n e d u a l v a r i a b l e w i t h e a c h m o n o m i a l t e r m , t h i s r e p r e s e n t s a G P p r o b l e m w i t h 5 N d u a l v a r i a b l e s i n ( 1 + N ) e q u a t i o n s w i t h d o d = ( l + 4 N ) . N o t e t h a t t h e p r o b l e m b e c o m e s i m p o s s i b l y d i f f i c u l t f o r N l a r g e ; e v e n f o r N = 3 , d o d = 1 3 . M o r e i m p o r t a n t l y , t h e s o l u t i o n o f ( 3 . 3 ) d o e s n o t i n d i c a t e h o w t h e m i n i m i z a t i o n ' t r a d e s - o f f a n i n c r e a s e d c o s t a t o n e s t a t i o n f o r a d e c r e a s e d c o s t a t a n o t h e r . I n d e e d , j u s t o n e c o n t r o l v e c t o r v i s o b t a i n e d f o r e a c h c y c l e t i m e T c h o s e n . I t a p p e a r s t h a t s o m e i t e r a t i v e m e t h o d w o u l d b e r e q u i r e d t o s o l v e ( 3 . 3 ) b y s e l e c t i n g v a r i o u s v a l u e s f o r T . I n t h i s t h e s i s , a n e n t i r e l y d i f f e r e n t a p p r o a c h i s d e v e l o p e d t h a t d o e s p r o v i d e r e a l i n s i g h t i n t o t h e c o s t m i n i m i z a t i o n p r o b l e m . T h e k e y t o t h i s a p p r o a c h i s t h e m o d e l l i n g o f c o s t v e r s u s c y c l e t i m e a t e a c h s t a t i o n . T h e r e l a t i o n s h i p b e t w e e n c o s t a n d c y c l e t i m e i s a n i n d i r e c t o n e , s i n c e b o t h a r e n o n - l i n e a r f u n c t i o n s o f t h e c o n t r o l p a i r ( v , f ) . T o s e e t h i s m o r e c l e a r l y , c o n s i d e r F i g u r e 3 - 2 . Figure 3-1 A Three Station ATL w o r k s t a t i o n Figure 3-2 Cost vs. Cycle Time A Cost t * Cycle Time 31 A t y p i c a l c o s t v e r s u s c y c l e t i m e r e l a t i o n s h i p i s s h o w n . T h e s u b - c o s t C m i n c r e a s e s w i t h t i m e ( l o n g e r c u t t i n g ) w h i l e s u b - c o s t C r d e c r e a s e s w i t h t i m e ( s l o w e r t o o l w e a r ) . F o r t < t , t h e i n c r e a s e i n C r i s g r e a t e r t h a n t h e d e c r e a s e i n Cm s o c o s t r i s e s . S i m i l a r l y , f o r t > t * , t h e i n c r e a s e i n Cm i s g r e a t e r t h a n t h e d e c r e a s e i n C r s o c o s t r i s e s . M o r e o v e r , F i g u r e 3 - 2 a l s o ft i n d i c a t e s h o w q u i c k l y c o s t c h a n g e s a s t m o v e s a w a y f r o m t , s o * t h a t t h e r e l a t i v e ' p e n a l t y ' p a i d b y t 4 t c a n b e e a s i l y s e e n . I f t h e c u r v e i s f a i r l y f l a t i n t h e n e i g h b o u r h o o d o f t * , m o s t a n y c y c l e t i m e c o u l d b e s e l e c t e d w i t h o u t s e r i o u s l y c h a n g i n g c o s t . I f t h e c u r v e r i s e s s t e e p l y f r o m t h e m i n i m u m , t h e n t h e s e l e c t i o n o f a t * t c o u l d r e p r e s e n t a s u b s t a n t i a l p e n a l t y . A n o t h e r i m p o r t a n t a s p e c t o f m o d e l l i n g c o s t a s a f u n c t i o n o f c y c l e t i m e t i s t h e e m e r g e n c e o f a l o w e r b o u n d o n t i m p o s e d b y t h e c o n s t r a i n t s a s s o c i a t e d w i t h t h e M E P . T h i s i s n o t a p p a r e n t f r o m t h e s k e t c h i n F i g u r e 3 - 2 w h i c h s u g g e s t s t h a t c o s t m i g h t c o n t i n u e t o i n c r e a s e a s t i s d e c r e a s e d . R e c a l l t h a t t h e M E P a s s o c i a t e d w i t h e a c h w o r k s t a t i o n h a s f o u r c o n s t r a i n t s , e a c h o f w h i c h i s a n o n - l i n e a r f u n c t i o n o f t h e t w o c o n t r o l v a r i a b l e s . T h u s w e c a n o b t a i n v a l u e s f o r v , f , a n d c y c l e t i m e t b y a s s u m i n g t h a t a n y t w o c o n s t r a i n t s a r e t i g h t . U s i n g t h i s p r o c e d u r e , w e c a n d e t e r m i n e a s e t o f v a l u e s f o r t ; t h e l o w e r b o u n d w o u l d t h e n b e t h e s m a l l e s t o n e . F o r a M E P w i t h n c o n s t r a i n t s i n t h e v a r i a b l e s v a n d f , t h e n u m b e r o f p o s s i b l e d i s t i n c t p a i r i n g s i s n ! / [ 2 ( n - 2 ) ! ] . T o i l l u s t r a t e t h e s e i d e a s , w e w i l l l o o k a g a i n a t t h e M E P e x a m p l e s f r o m C h a p t e r 2 . T h e t u r n i n g o p e r a t i o n e x a m p l e i s s k e t c h e d i n F i g u r e 3 - 3 3 2 ( n o t t o s c a l e ) . T h e i n t e r s e c t i o n s o f p a i r s o f c o n s t r a i n t s a r e l a b e l l e d p 1 t o p 5 . I s o t i m e c u r v e s ( c u r v e s o f e q u a l c y c l e t i m e ) a r e o n l y s h o w n f o r t h e t w o f e a s i b l e p o i n t s p 2 a n d p 5 . T h e t r u e m i n i m u m c y c l e t i m e c o r r e s p o n d s t o p 2 , t h e i n t e r s e c t i o n o f C u t t i n g p o w e r a n d S u r f a c e f i n i s h c o n s t r a i n t s . c y c l e t i m e = 7 . 8 6 v - 1 f - 1 @ P 2 = 1 0 . 1 m i n u t e s @ p 5 = 2 1 . 3 m i n u t e s T h e d r i l l i n g o p e r a t i o n e x a m p l e i s s k e t c h e d i n F i g u r e 3 - 4 ( n o t t o s c a l e ) . H e r e t h e r e i s o n l y o n e f e a s i b l e p o i n t p 1 f r o m t h e i n t e r s e c t i o n o f S u r f a c e f i n i s h a n d v m a x c o n s t r a i n t s . c y c l e t i m e = 1 . 9 6 v 1 f 1 @p1 = 0 . 3 0 m i n u t e s T h e m i l l i n g o p e r a t i o n e x a m p l e i s s k e t c h e d i n F i g u r e 3 - 5 ( n o t t o s c a l e ) . N o t e t h a t c y c l e t i m e i s a f u n c t i o n o f f o n l y s o t h a t j u s t o n e i s o t i m e c u r v e p a s s e s t h r o u g h b o t h f e a s i b l e p o i n t s p i a n d p 2 . c y c l e t i m e = 2 0 0 f - 1 @ p 1 , p 2 = 1 . 1 6 m i n u t e s T h u s f a r , n o m e n t i o n h a s b e e n m a d e o f a n u p p e r b o u n d o n c y c l e t i m e . I n f a c t , t h e r e i s n o n e a r i s i n g f r o m t h e M E P f o r m u l a t i o n o f C h a p t e r 2 . T h i s i s b e c a u s e t h e c o n s t r a i n t s i m p o s e n o l o w e r l i m i t s o n v a n d f . ( S t r i c t l y s p e a k i n g , t h e r e a r e a l w a y s l o w e r b o u n d s f o r a n y N C m a c h i n e , b u t m o s t a u t h o r s i g n o r e t h e m t o s i m p l i f y t h e M E P f o r m u l a t i o n . ) T h e n e e d f o r a u s e f u l u p p e r b o u n d t o d e f i n e t h e c y c l e t i m e i n t e r v a l f o r o u r c o s t m o d e l l i n g w i l l b e d i s c u s s e d l a t e r i n t h i s c h a p t e r . 33 F i g u r e 3-3 F i g u r e 3-4 D r i l l i n g MEP 0 l vmax f m a x P i S u r f a c e f i n i s h 0.297 m i n C u t t i n g p o w e r \ v 0 88 f e a s i b l e r e g i o n 34 We can now descr i b e a new approach t o s o l v i n g (3.3). I f the cost of each work s t a t i o n can be modelled as a f u n c t i o n of c y c l e time, then the t o t a l ATL cost can be minimized by summing the i n d i v i d u a l cost f u n c t i o n s and l o c a t i n g the minimum using simple d i f f e r e n t i a l c a l c u l u s . R e c a l l that cost c and c y c l e time t vary i n d i r e c t l y ; we need to s t a r t with a c o n t r o l p a i r ( v , f ) to obt a i n a 'data' p a i r ( t , c ) . To obtain c as a continuous f u n c t i o n of t , we can f i t a curve t o a set of ( t , c ) p o i n t s . There are two fundamental aspects of any curve f i t t i n g : the kind of curve used, and the number of data p o i n t s needed t o obta i n a reasonable f i t . A f t e r some c o n s i d e r a t i o n , polynomial curve f i t t i n g was s e l e c t e d . The c h i e f a t t r a c t i o n was s i m p l i c i t y . The polynomial degree can be e a s i l y changed t o obta i n the d e s i r e d goodness of f i t . In a d d i t i o n , the d e r i v a t i v e s of a polynomial are easy to compute, cost c = c n + c , t 1 + c . t 2 + . . . + c t p (3.4) 0 1 I p where p i s the degree of the polynomial. Of course, the sum of functions of the form ( 3 . 4 ) i s i t s e l f a polynomial of degree p, so that the ATL cost i s e a s i l y minimized as f o l l o w s : ATL Cost • ? ? t J (3.5) i=l j=0 J - z ( I c„ ) t* • j i J P N Now dCost/dt = Z j (Z ) r = 0 (3.6) j = l 1=1 *d Thus, the cost minimum of (3.5) corresponds to one of the zeros of (3.6), which i s a polynomial of degree (p-1). More d e t a i l s 3 5 a b o u t t h e c u r v e f i t t i n g p r o c e d u r e c a n b e f o u n d i n A p p e n d i x B . B e f o r e d a t a p o i n t s c a n b e g e n e r a t e d f o r e a c h w o r k s t a t i o n , a n a p p r o p r i a t e c y c l e t i m e i n t e r v a l m u s t b e d e f i n e d . T o k e e p t h i n g s s i m p l e , i t w a s d e c i d e d t h a t j u s t o n e t i m e i n t e r v a l w o u l d b e u s e d f o r t h e c u r v e - f i t t i n g a t a l l w o r k s t a t i o n s . I n g e n e r a l , f o r a f i x e d n u m b e r o f d a t a p o i n t s , t h e c u r v e f i t t i n g w i l l b e ' b e s t ' i f t h e t i m e i n t e r v a l i s a s s m a l l a s p o s s i b l e . R e c a l l t h a t t h e M E P s o l u t i o n y i e l d s t w o p i e c e s o f i n f o r m a t i o n : t h e c o s t * * m i n i m u m c ( a n d t h e c o r r e s p o n d i n g t ) , p l u s t h e m i n i m u m c y c l e t i m e t ( i m p o s e d b y t h e p r o b l e m c o n s t r a i n t s ) . C l e a r l y , t h e l o w e r b o u n d f o r a l l c u r v e f i t t i n g m u s t t h e n b e , . m i n _ . . . t m m = m a x { t J i = 1 , . . . , N ( 3 . 7 ) i I f t m i n w e r e s m a l l e r , t h e n a t l e a s t o n e m a c h i n e i n t h e A T L c o u l d n o t o p e r a t e . A n u p p e r ' b o u n d ' o n c y c l e t i m e c a n b e o b t a i n e d a s f o l l o w s : t m a x = m a x { t } i = 1 , . . . , N ( 3 . 8 ) i I n f a c t , t m a x i s n o t a t r u e l i m i t i n t h e w a y t h a t t m i n i s , b u t i t i s a u s e f u l u p p e r b o u n d . T o s e e t h i s , c o n s i d e r t h e c o s t c u r v e s o f t w o s t a t i o n s s k e t c h e d i n F i g u r e 3 - 6 . T h e m i n i m u m o f * * * t h e c o m b i n e d c o s t m u s t o c c u r a t s o m e t j < t < t£ . I n t h i s w a y , t h e t m a x v a l u e o f ( 3 . 8 ) w i l l a l w a y s b o u n d t . O n c e t m i n a n d t m a x a r e d e f i n e d , t h e d a t a p o i n t s f o r e a c h w o r k s t a t i o n c a n b e g e n e r a t e d b y s o l v i n g a m o d i f i e d M E P : m i n C o s t = C r ( v ) s u b j e c t t o ( 3 . 9 ) v C u t t i n g p o w e r ( v ) , S u r f a c e f i n i s h ( v ) a n d v m a x c o n s t r a i n t s . F i g u r e 3 - 5 M i l l i n g MEP 173 S u r f a c e f i n i s h p l C u t t i n g p o w e r vmax f m a x * / 0 / " i \ 1 . 1 6 m i n f e a s i b l e ^ r e g i o n v * 1 . 2 1 145 F i g u r e 3 - 6 D e f i n i n g t h e C y c l e T i m e I n t e r v a l C o s t 'min 'max 3 7 N o t e t h a t t h e t e r m Cm h a s d i s a p p e a r e d f r o m t h e o b j e c t i v e f u n c t i o n . T h i s i s b e c a u s e Cm = O v e r h e a d x c y c l e t i m e . O n c e a c y c l e t i m e i s s p e c i f i e d , C m i s j u s t a c o n s t a n t a n d h a s n o e f f e c t o n t h e c o s t m i n i m i z a t i o n . N o t e t o o t h a t f h a s b e e n d r o p p e d f r o m ( 3 . 9 ) ; t h i s i s b e c a u s e t h e c y c l e t i m e e q u a l i t y w a s u s e d t o s o l v e f o r f i n t e r m s o f v , a s i n ( 3 . 3 ) . G i v e n a c y c l e t i m e T , t h e s o l u t i o n t o ( 3 . 9 ) w i l l y i e l d a c o n t r o l p a i r ( v , f ) a n d a d a t a p a i r ( T , C ) . N o w w e c a n l o o k m o r e c l o s e l y a t h o w t o s e l e c t a n a p p r o p r i a t e v a l u e f o r t h e d e g r e e p o f t h e f i t t e d p o l y n o m i a l . A s p i n c r e a s e s , t h e f i t t o t h e d a t a i m p r o v e s b u t w e n e e d t o g e n e r a t e m o r e d a t a p o i n t s , r e q u i r i n g m o r e c o m p u t a t i o n . T y p i c a l c o m p u t e r m e t h o d s n e e d (p+3) p o i n t s t o f i t a c u r v e o f d e g r e e p . T h u s , t h e c h o i c e o f p i s u s u a l l y a c o m p r o m i s e b e t w e e n d e s i r e d g o o d n e s s o f f i t a n d a v a i l a b l e c o m p u t i n g p o w e r . L e t ' s r e t u r n t o t h e n u m e r i c a l e x a m p l e s p r e s e n t e d e a r l i e r . I n F i g u r e s 3 - 7 , 3 - 8 , 3 - 9 , d a t a p o i n t s a n d f i t t e d c u r v e s o f v a r i o u s d e g r e e s a r e g r a p h e d f o r t h e t h r e e m e t a l - c u t t i n g o p e r a t i o n s . A l t h o u g h t u r n i n g a n d d r i l l i n g s h o w a g o o d f i t f o r s m a l l e r d e g r e e , i t w a s d e c i d e d t o u s e o n e v a l u e p = 6 t o s i m p l i f y t h e c o m p u t e r p r o g r a m . I n t h e n e x t c h a p t e r , w e w i l l d e v e l o p a n e w c o n t r o l s t r a t e g y t o m i n i m i z e A T L c o s t w h e n s t a t i o n s a r e s u b j e c t t o f a i l u r e ( a n d r e p a i r ) . 38 a a. 10 w i n to tO cnRJ a 9 o is m CO F i g u r e 3 - 7 T u r n i n g : D a t a p l u s f i t t e d c u r v e s D a t a p o i n t s g e n e r a t e d f o r c u r v e -f i t t i n g l i e a l o n g p = 6 . to I 10.0 - l 1 1 1 1 2 . 0 14.0 16.0 18.0 CYCLE TIME (MINUTES) 2 0 . 0 22.0 2 4 . 0 D ro ro ro o , o o m o o O u (D 19 r-10 Figure 3-8 D r i l l i n g :Data plus f i t ted curves Data points generated for curve-f i t t i n g l i e along p = 6 . p = 6 , 9 4'v p=3 - i 1 1 1 r~ 14 0 16.0 18.Q- 20.0 22. * CYCLE TJME (MINUTES) uil 10.0- 12.0 AO (M-F i g u r e 3 - 9 M i l l i n g : D a t a p l u s f i t t e d c u r v e s D a t a p o i n t s g e n e r a t e d f o r c u r v e -f i t t i n g l i e a l o n g p = 9 . N fM n m n a _ o 41 C H A P T E R 4 : T H E D Y N A M I C C Y C L E T I M E S T R A T E G Y I n t h e p r e v i o u s c h a p t e r , t h e c o s t m i n i m i z a t i o n o f a t r a n s f e r l i n e w a s d e s c r i b e d u s i n g f i t t e d c u r v e s t o m o d e l t h e c o s t s o f t h e c o m p o n e n t w o r k s t a t i o n s a s f u n c t i o n s o f c y c l e t i m e . W h a t e m e r g e d w a s a s i n g l e c y c l e t i m e ( t o b e a s s i g n e d t o e a c h s t a t i o n ) t h a t w o u l d m i n i m i z e t o t a l c o s t . I f m a c h i n e s n e v e r b r o k e d o w n , t h i s w o u l d b e t h e e n d o f t h e s t o r y . H o w e v e r , s t a t i o n s a r e s u b j e c t t o f a i l u r e a n d f o r h i g h v o l u m e p r o d u c t i o n r u n s , t h e r e c o u l d b e s u b s t a n t i a l m a c h i n e d o w n t i m e . T o s e e h o w t h i s c a n a f f e c t t h e c o s t m i n i m i z a t i o n p r o b l e m , c o n s i d e r t h e t w o s t a g e A T L o f F i g u r e 4 - 1 . A s s h o w n i n F i g u r e 4 - 2 , t h e c y c l e t i m e t h a t c o r r e s p o n d s t o m i n i m u m t o t a l c o s t d o e s n o t o c c u r a t t h e c o s t m i n i m u m o f e i t h e r M l o r M 2 . N o w s u p p o s e t h a t M l f a i l s . I f i n - p r o c e s s b u f f e r B 2 i s n o t e m p t y , M 2 c a n s t i l l o p e r a t e . I n f a c t , i t s c y c l e t i m e * * c o u l d b e i n c r e a s e d f r o m t 1 2 t o t 2 ( s l o w e r m a c h i n i n g ) t o r e d u c e i t s c o s t ; t h i s w o u l d d e c r e a s e t h e p r o d u c t i o n c o s t o f w o r k p i e c e s n o w i n B 2 . W h e n M1 i s r e p a i r e d , t h e c y c l e t i m e o f M 2 m u s t r e t u r n t o t * 2 . A s i m i l a r c a s e c a n b e m a d e f o r s p e e d i n g u p M1 f r o m t 1 2 t o t j w h e n M 2 f a i l s , a s l o n g a s b u f f e r B 2 d o e s n o t o v e r f l o w . T h i s i d e a o f r e - a s s i g n i n g s t a t i o n c y c l e t i m e s i n r e s p o n s e t o m a c h i n e f a i l u r e w i l l b e c a l l e d t h e D y n a m i c C y c l e T i m e ( D C T ) s t r a t e g y . T h e a l t e r n a t i v e s t r a t e g y , t o b e c a l l e d t h e F i x e d C y c l e T i m e ( F C T ) s t r a t e g y , m a k e s n o c h a n g e s t o c y c l e t i m e w h e n m a c h i n e s f a i l . T h e i m p l e m e n t a t i o n o f t h e D C T s t r a t e g y m u s t s a t i s f y t w o F i g u r e 4 - 1 A Two S t a t i o n A T L t* t* t* c l l 1 2 * 2 C y c l e T i m e 43 g o a l s . F i r s t l y , w e n e e d t o k n o w t h e s t a t u s o f e a c h w o r k s t a t i o n , i n o r d e r t o r e c o g n i z e t h e c o r r e c t s u b - s e t s o f o p e r a t i n g m a c h i n e s w i t h i n t h e A T L . S e c o n d l y , w e m u s t b e a b l e t o c h a n g e t h e c y c l e t i m e o f e a c h s t a t i o n o n - l i n e . T o a c c o m p l i s h t h i s , a t w o l e v e l c o n t r o l h i e r a r c h y i s p r o p o s e d , a s s k e t c h e d i n F i g u r e 4 - 3 . A L o c a l c o n t r o l l e r i s a s s o c i a t e d w i t h e a c h s t a t i o n , l i n k e d t o a s i n g l e S u p e r v i s o r y c o n t r o l l e r . T h e L o c a l c o n t r o l l e r i s r e s p o n s i b l e f o r t h e f o l l o w i n g a c t i v i t i e s : ( i ) p e r f o r m s a d a p t i v e c o n t r o l o f t h e m e t a l - c u t t i n g m a c h i n e ( v , f ) b a s e d o n c y c l e t i m e i n f o r m a t i o n s u p p l i e d b y S u p e r v i s o r y c o n t r o l l e r ( i i ) m o n i t o r s t h e m a c h i n e s t a t u s ( i i i ) g a t h e r s s t a t i s t i c s ( e g . t o o l w e a r ) f o r o n - l i n e a d j u s t m e n t o f t h e c o e f f i c i e n t s i n t h e M E P e q u a t i o n s T h e S u p e r v i s o r y c o n t r o l l e r d i r e c t s t h e D C T s t r a t e g y i n t h e f o l l o w i n g w a y : ( i ) g a t h e r s i n f o r m a t i o n a b o u t t h e s t a t u s a n d M E P c o e f f i c i e n t s f r o m e a c h w o r k s t a t i o n ( i i ) m o d e l s c o s t s a s f u n c t i o n s o f c y c l e t i m e ( i i i ) m i n i m i z e s c o m b i n e d c o s t s f o r a p p r o p r i a t e s u b - s e t s o f t h e A T L , a n d d e t e r m i n e s t h e c o r r e s p o n d i n g c y c l e t i m e s a n d c o n t r o l v e c t o r s T h i s k i n d o f d i s t r i b u t e d c o n t r o l i s i n f a c t a r e c e n t d e v e l o p m e n t i n m o d e r n m a n u f a c t u r i n g . H e r e i s a q u o t e f r o m a 4 4 1 9 8 1 c o n f e r e n c e o n m a c h i n e t o o l s y s t e m s [ 1 2 ] : " C o n t r o l s y s t e m s w i l l p r o b a b l y c h a n g e f r o m b e i n g c e n t r a l p r o c e s s o r b a s e d t o d i s t r i b u t e d p r o c e s s i n g s y s t e m s . ' L o c a l ' p r o c e s s o r s . . . w i l l h a n d l e i n d i -v i d u a l c o n t r o l f u n c t i o n s w i t h a c o n t r o l o v e r s e e r s y s t e m m o n i t o r i n g t h e ' l o c a l ' a c t i v i t i e s a n d u p - d a t i n g t h e s u b - s y s t e m s a s r e q u i r e d . . . S u c h s y s t e m s w o u l d h a v e b e e n i m p r a c t i c a l b o t h e c o n o -m i c a l l y a n d t e c h n o l o g i c a l l y b e f o r e n o w . " ( p . 1 9 4 ) T o d a t e , t h e r e h a s b e e n s o m e t h e o r e t i c a l d i s c u s s i o n o f d i s t r i b u t e d c o n t r o l a r c h i t e c t u r e s i n N C m a n u f a c t u r i n g [ 3 4 , 3 5 ] , I n f a c t , t h i s w o u l d j u s t r e p r e s e n t t h e l o w e s t l e v e l i n t h e C o m p u t e r - A i d e d M a n u f a c t u r i n g h i e r a r c h y [ 1 ] . A l t h o u g h i n f o r m a t i o n o n i n s t a l l e d s y s t e m s i s n o t a v a i l a b l e , t h e r e a r e N C i m p l e m e n t a t i o n s t h a t c o u l d b e r e f i n e d t o p r o v i d e t h e k i n d o f c o s t m i n i m i z a t i o n s u g g e s t e d h e r e . W h e n t h e r e a r e m a n y s t a t i o n s i n t h e A T L , t h e o p p o r t u n i t y t o r e - a s s i g n c y c l e t i m e s o c c u r s m o r e f r e q u e n t l y . C o n s i d e r t h e t h r e e s t a g e l i n e s k e t c h e d i n F i g u r e 4 - 4 . W h e n M l f a i l s , t h e c o s t o f M 2 m i g h t b e m i n i m i z e d w i t h t h e c o s t o f M 3 o r b y i t s e l f , d e p e n d i n g u p o n t h e s t a t u s o f M 3 . T h e r e a r e r e a l l y s i x g r o u p s o f a d j a c e n t s t a t i o n s w i t h i n t h e A T L f o r w h i c h w e c a n d e t e r m i n e o p t i m a l c y c l e t i m e s : M l a l o n e ( w h e n M 2 a n d M 3 a r e d o w n ) M 2 a l o n e ( w h e n M1 a n d M 3 a r e d o w n ) M 3 a l o n e ( w h e n M1 a n d M 2 a r e d o w n ) M1 + M 2 ( w h e n j u s t M 3 i s d o w n ) M 2 + M 3 ( w h e n j u s t M1 i s d o w n ) M l + M 2 + M 3 T h e r e i s a s i m p l e f o r m u l a t o d e t e r m i n e t h e n u m b e r o f s u c h s u b - s e t s o f a n A T L w i t h N s t a t i o n s : 45 F i g u r e 4-3 P r o p o s e d C o n t r o l A r c h i t e c t u r e Supervisory Controller Level 1 Local Controller #1 Local Controller to Local Controller ffN ^Machine —^Machine 92 —^Machine —•* Level 2 Buffer #1 Buffer 92 Buffer #(N+1) F i g u r e 4-4 A T h r e e S t a t i o n ATL 46 # s u b - s e t s = 1 c o m b i n a t i o n o f a l l N s t a t i o n s + 2 c o m b i n a t i o n s o f ( N - 1 ) s t a t i o n s + . . . + N c o m b i n a t i o n s o f 1 s t a t i o n N = Z i 1=1 = N ( N + l ) / 2 ( 4 . 1 ) F o r e a c h s u b - s e t , t h e r e i s a n o p t i m a l c y c l e t i m e t h a t w i l l m i n i m i z e t h e c o m b i n e d c o s t o f t h e c o m p o n e n t s t a t i o n s . T h e c o s t m i n i m i z a t i o n i s a c c o m p l i s h e d b y s u m m i n g t h e a p p r o p r i a t e f i t t e d c o s t p o l y n o m i a l s ( a l l o f d e g r e e p ) t o o b t a i n a n e w p o l y n o m i a l o f d e g r e e p , s e t t i n g t h e f i r s t d e r i v a t i v e t o z e r o , s o l v i n g f o r t h e ( p - 1 ) r o o t s o f t h a t p o l y n o m i a l , a n d t h e n i s o l a t i n g t h e o n e t h a t c o r r e s p o n d s t o m i n i m u m c o s t . I n T a b l e 4 - 1 , o p t i m a l c o s t a n d c y c l e t i m e d a t a a r e l i s t e d f o r t h e s i x s u b - s e t s o f a t h r e e s t a g e A T L b a s e d o n t h e n u m e r i c a l d a t a o f t h e p r e v i o u s c h a p t e r s . T A B L E 4 - 1 : O p t i m a l C o s t a n d C y c l e T i m e D a t a f o r t h e T h r e e S t a t i o n A T L O p e r a t i o n ( s ) O p t i m a l c y c l e O p t i m a l c o s t ( s ) t i m e ( m i n ) ( $ / p i e c e ) T u r n i n g T 1 4 . 8 9 6 . 5 3 D r i l l i n g D 1 . 4 9 0 . 9 4 M i l l i n g M 2 3 . 4 6 6 4 . 3 6 T + D 1 2 . 3 0 7 . 1 0 + 6 . 9 5 D + M 1 1 . 3 9 6 . 3 4 + 6 5 . 6 4 T + D + M 1 4 . 4 6 6 . 4 7 + 8 . 1 7 + 6 5 . 7 8 I n F i g u r e 4 - 5 , f i t t e d c u r v e s a r e s h o w n f o r t h r e e o f t h e T u r n i n g + D r i l l i n g 48 s u b - s e t s . T h e y a r e b a s e d o n t h e i n d i v i d u a l c o s t c u r v e s o f F i g u r e s 3 - 7 , 3 - 8 , a n d 3 - 9 . T o e v a l u a t e t h e r e l a t i v e m e r i t o f t h e D C T s t r a t e g y , s o m e t y p i c a l A T L c o n f i g u r a t i o n s a d a p t e d f r o m [ 2 7 t o 3 0 ] w e r e s e l e c t e d f o r s i m u l a t i o n . T h e c o m p u t e r p r o g r a m d e v e l o p e d f o r t h e s i m u l a t i o n i s d e t a i l e d i n A p p e n d i x B . F o r t h e p u r p o s e o f s i m u l a t i o n , t h e r e a r e t h r e e m a i n f e a t u r e s t h a t c h a r a c t e r i z e t h e p e r f o r m a n c e o f a n A T L : ( i ) t h e p r o b a b i l i t y d i s t r i b u t i o n s f o r m a c h i n e f a i l u r e a n d r e p a i r i . e . P f [ n , T ] = p r o b [ n f a i l u r e s o v e r a t i m e T ] P r [ 1 , T ] s p r o b [ 1 r e p a i r t a k e s t i m e T ] ( i i ) t h e n u m b e r o f s t a t i o n s N ( i i i ) t h e s i z e ( s ) o f t h e i n - p r o c e s s b u f f e r ( s ) L e t T i m e - T o - F a i l T T F ( t ) = p r o b [ w a i t i n g t i m e t b e t w e e n s u c c e s i v e f a i l u r e s ] T h i s i s m o r e u s e f u l f o r s i m u l a t i o n w o r k t h a n P f ( n , t ) . T o s e e h o w t h e y a r e r e l a t e d , a s s u m e t h a t f a i l u r e i s m o d e l l e d a s a P o i s s o n p r o c e s s : i . e . P f [ n , T ] = e - X T < * * >"/ n! N o w w e c a n u s e a n e g a t i v e e x p o n e n t i a l d i s t r i b u t i o n f o r t h e w a i t i n g t i m e [ 3 6 ] . T T F ( t ) = X e ~ X t ( 4 . 2 ) a n d M e a n - T i m e - T o - F a i l M T T F = 1 / X ( 4 . 3 ) M a c h i n e r e p a i r c a n b e s i m i l a r l y m o d e l l e d : T i m e - T o - R e p a i r T T R ( t ) = V e ~ V t ( 4 . 4 ) 4 9 a n d M e a n - T i m e - T o - R e p a i r M T T R = 1/y ( 4 . 5 ) T h e f o l l o w i n g v a l u e s w e r e s e l e c t e d f o r t h e f a i l u r e a n d r e p a i r d i s t r i b u t i o n s : M T T F : 6 0 m a c h i n e c y c l e s ( w o r s t c a s e ) 2 7 0 m a c h i n e c y c l e s ( b e s t c a s e ) M T T R : 6 m a c h i n e c y c l e s ( t y p i c a l c a s e ) N o t e t h a t a l l s t a t i o n s i n t h e A T L a r e m o d e l l e d w i t h t h e s a m e T T F a n d T T R d i s t r i b u t i o n s , a l t h o u g h t h e y p e r f o r m d i f f e r e n t m e t a l - c u t t i n g o p e r a t i o n s . T h i s i s a s t a n d a r d a n a l y t i c a l c o n v e n i e n c e f o r s i m u l a t i o n w o r k o f t h i s k i n d . N e w T T F a n d T T R v a l u e s f o r e a c h s t a t i o n a r e ' d r a w n ' a t r a n d o m f r o m t h e f r e q u e n c y d i s t r i b u t i o n s a f t e r e a c h m a c h i n e f a i l u r e a n d s u b s e q u e n t r e p a i r . B e f o r e p r o c e e d i n g , l e t ' s c o n s i d e r t h e s e v a l u e s s e l e c t e d f o r s i m u l a t i o n . I f M T T R = 1 c y c l e ( o n a v e r a g e , r e p a i r a f t e r o n e m a c h i n e c y c l e ) , w e w o u l d e x p e c t t h e D C T s t r a t e g y t o s h o w l i t t l e c o s t s a v i n g s c o m p a r e d t o t h e F C T s t r a t e g y , s i n c e a n y c h a n g e t o t h e s t a t i o n c y c l e t i m e w o u l d o n l y a f f e c t a t m o s t 1 w o r k p i e c e ; t h i s w o u l d b e t r u e r e g a r d l e s s o f h o w o f t e n m a c h i n e s f a i l e d . H o w e v e r , i f M T T R » 1 a n d M T T F i s s o l a r g e t h a t m a c h i n e s r a r e l y f a i l , w e w o u l d a g a i n e x p e c t D C T t o h a v e l i t t l e e f f e c t , s i n c e t h e r e w o u l d b e f e w o p p o r t u n i t i e s t o m a k e c h a n g e s t o t h e c y c l e t i m e s o f t h e s t a t i o n s . T h u s t h e v a l u e s l i s t e d a b o v e a r e r e a s o n a b l e c h o i c e s . A t t h i s p o i n t , w e n e e d t o d e f i n e t h e c o m p o n e n t w o r k s t a t i o n s o f t h e A T L : t h e n u m b e r , a n d t h e k i n d s o f o p e r a t i o n s t o 5 0 b e p e r f o r m e d . L e t ' s l o o k a t t h e p o s s i b l e c h o i c e s i n T a b l e 4 - 1 . N o t e t h a t m i l l i n g c o s t s a r e a n o r d e r o f m a g n i t u d e g r e a t e r t h a n t h e c o s t s o f t u r n i n g a n d d r i l l i n g . T h i s m e a n s t h a t m i l l i n g w o u l d c o m p l e t e l y d o m i n a t e t h e t o t a l c o s t o f a t h r e e s t a g e A T L . T h i s a l s o m e a n s t h a t t h e D C T s t r a t e g y w o u l d n o t s h o w s i g n i f i c a n t c o s t s a v i n g s c o m p a r e d t o t h e F C T s t r a t e g y u n l e s s t h e c y c l e t i m e c h a n g e s f o r m i l l i n g r e s u l t e d i n s u b s t a n t i a l c o s t s a v i n g s . I n f a c t , t h i s i s n o t t h e c a s e ; t h e m i l l i n g c o s t c h a n g e s v e r y l i t t l e a s c y c l e t i m e c h a n g e s f r o m 1 1 . 3 9 m i n t o 2 3 . 4 6 m i n . B e c a u s e o f t h i s , a t w o s t a t i o n A T L b a s e d o n j u s t t u r n i n g a n d d r i l l i n g o p e r a t i o n s w a s s i m u l a t e d . A c c o r d i n g t o [ 3 7 ] , 3 3 % o f a l l A T L c o n f i g u r a t i o n s i n t h e W e s t h a v e j u s t t w o o r t h r e e w o r k s t a t i o n s ( a l t h o u g h 5 5 % h a v e f o u r t o s i x ) . M o r e o v e r , 1 3 % i n v o l v e t u r n i n g a n d 4 5 % i n v o l v e d r i l l i n g ( a l t h o u g h 6 1 % i n v o l v e m i l l i n g ) . T h u s , t h i s A T L c o n f i g u r a t i o n i s a r e a s o n a b l e c h o i c e f o r s i m u l a t i o n . T h e s i z e o f t h e i n - p r o c e s s b u f f e r s i n a n A T L d e t e r m i n e s t h e d e g r e e o f c o u p l i n g b e t w e e n a d j a c e n t m a c h i n e s . A s t h e s i z e i n c r e a s e s , a b u f f e r c a n b e t t e r ' c u s h i o n ' t h e e f f e c t s o f d i f f e r e n t c y c l e t i m e s a n d e v e n m a c h i n e f a i l u r e s . H o w e v e r , t h e e x t r a n u m b e r o f p a r t l y f i n i s h e d w o r k p i e c e s i n e a c h b u f f e r r e p r e s e n t s a d d i t i o n a l i n - p r o c e s s i n v e n t o r y w h i c h i n c r e a s e s p r o d u c t i o n c o s t . T h e f o l l o w i n g q u o t e f r o m [ 3 8 ] d e s c r i b e s t h i s t r a d e - o f f i n m o r e d e t a i l : 51 " I n t h e o r y , w h e n t h e s i z e o f t h e b u f f e r s t o r a g e b i s g r e a t e r t h a n o r e q u a l t o 2 T / t [ T = M T T R , t = c y c l e t i m e ] , t h e w o r k h e a d s [ s t a t i o n s ] a r e c o m p l e t e l y i s o l a t e d o n e f r o m t h e o t h e r a n d f u r t h e r i n c r e a s e s i n t h e s i z e o f b a r e f u t i l e . H o w e v e r , t h e g r e a t e s t b e n e f i t o c c u r s w i t h t h e s m a l l e r b u f f e r s [ c o m p a r e d t o n o b u f f e r s ] . S o a s a p r a c t i c a l g u i d e , i t i s o f t e n a s s u m e d t h a t f o r a g o o d f r e e - t r a n s f e r [ a u t o m a t i c ] . . . m a c h i n e d e s i g n , b e q u a l s T / t . " ( p . 2 1 6 ) U s i n g T = 6 c y c l e s a n d t = 1 c y c l e , w e h a v e b = 6 . T h e t h r e e v a l u e s u s e d i n t h e s i m u l a t i o n w e r e 5 , 1 0 , a n d 1 5 . T w o i m p o r t a n t s t a t i s t i c s t h a t c h a r a c t e r i z e a p r o d u c t i o n r u n a r e m e a n u n i t c o s t / w o r k p i e c e a n d m e a n i n - p r o c e s s b u f f e r l e v e l . W h e n s i m u l a t i n g a s t o c h a s t i c p r o c e s s , w e m u s t b e c a r e f u l t h a t t h e s t a t i s t i c s o f m e a n s p r o p e r l y r e f l e c t t h e p r o c e s s s t e a d y s t a t e . I n e f f e c t , w e m u s t r u n t h e s i m u l a t i o n ' l o n g e n o u g h ' t o g a i n t h e d e s i r e d s t a t i s t i c a l c o n f i d e n c e . I t ' s c l e a r t h a t t h e e x p e c t e d i m p r o v e m e n t i n p e r f o r m a n c e ( i f a n y ) d u e t o t h e D C T s t r a t e g y w i l l b e r e l a t e d t o t h e f r e q u e n c y o f s t a t i o n f a i l u r e ; w h e n s t a t i o n s f a i l m o r e o f t e n , t h e r e a r e m o r e o p p o r t u n i t i e s t o r e - a s s i g n c y c l e t i m e s . T h u s i t ' s a p p r o p r i a t e t o m e a s u r e t h e ' l e n g t h ' o f a t r i a l i n t e r m s o f M T T F . A f t e r s o m e e x p e r i m e n t a t i o n , i t w a s d i s c o v e r e d t h a t s u f f i c i e n t s t a t i s t i c a l a c c u r a c y ( 9 0 % ) c o u l d b e o b t a i n e d b y a v e r a g i n g t h e r e s u l t s o f f o u r t r i a l s e a c h o f ' l e n g t h ' 1 5 0 f a i l u r e s . T h i s i s s u e i s d e s c r i b e d i n m o r e d e t a i l i n A p p e n d i x C. A t h i r d p e r f o r m a n c e v a r i a b l e , t h e % u t i l i z a t i o n o f M 2 , w a s a l s o r e c o r d e d . T h i s i n d i c a t e s h o w m u c h o f t h e t i m e M 2 w a s i d l e ( s t a r v e d ) b e c a u s e t h e u p s t r e a m b u f f e r w a s e m p t y . T h e % u t i l i z a t i o n o f M l w a s n o t r e c o r d e d b e c a u s e t h e i n p u t b u f f e r ( b y a s s u m p t i o n ) i s n e v e r e m p t y . I n n o n - a d a p t i v e N C s y s t e m s , i d l e 5 2 t i m e i s a d i r e c t m e a s u r e o f p e r f o r m a n c e : m o r e i d l e t i m e m e a n s l o w e r m a c h i n e p r o d u c t i v i t y , a n d e x t e n d e d m a c h i n e l i f e . H o w e v e r , i n A C s y s t e m s , l o w e r m a c h i n e u t i l i z a t i o n i s n o t i n i t s e l f a s i g n o f p o o r p e r f o r m a n c e . I n f a c t , i f t h e p r o d u c t i v i t y r e m a i n s a c c e p t a b l e , m o r e i d l e t i m e m i g h t b e b e n e f i c i a l b y p r o l o n g i n g t h e l i f e c y c l e o f t h e m a c h i n e . T h e f o l l o w i n g d i s c u s s i o n o f t h e s i m u l a t i o n w o r k i s n o t i n t e n d e d t o b e a n e x h a u s t i v e a n a l y s i s o f t r a n s f e r l i n e o p t i m i z a t i o n . T h e a t t e m p t i s m a d e h o w e v e r , t o d e s c r i b e h o w t h e p e r f o r m a n c e o f s o m e s a m p l e A T L ' s c h a n g e s u n d e r t h e D C T c o n t r o l s t r a t e g y w h e n c o m p a r e d t o t h e F C T s t r a t e g y . I t i s h o p e d t h a t t h e r e s u l t s w i l l b e s u f f i c i e n t l y e n c o u r a g i n g t o c o n f i r m t h e v a l u e o f m o d e l l i n g c o s t a s a f u n c t i o n o f c y c l e t i m e , a n d t h e v a l u e o f u s i n g G P t o s o l v e t h e a s s o c i a t e d M E P ' s . F i r s t l e t us r e t u r n t o T a b l e 4 - 1 . U n d e r t h e D C T s t r a t e g y , t h e d r i l l i n g s t a t i o n i s s p e e d e d u p b y 8 8 % ( f r o m 1 2 . 3 0 m i n t o 1 . 4 9 m i n ) a n d i t s u n i t c o s t i s l o w e r e d b y 8 6 % ( f r o m $ 6 . 9 5 t o $ 0 . 9 4 ) w h e n t h e t u r n i n g s t a t i o n i s d o w n . S i m i l a r l y , w h e n t h e d r i l l i n g s t a t i o n i s d o w n , t h e t u r n i n g s t a t i o n i s s l o w e d d o w n b y 2 1 % ( f r o m 1 2 . 3 0 m i n t o 1 4 . 8 9 m i n ) a n d i t s u n i t c o s t i s d e c r e a s e d b y 8 % ( f r o m $ 7 . 1 0 t o $ 6 . 5 3 ) . T h u s , w e w o u l d e x p e c t t h a t t h e m e a n l e v e l o f t h e i n - p r o c e s s b u f f e r t o b e s m a l l e r f o r a t r a n s f e r l i n e a r r a n g e d a s T u r n i n g - > D r i l l i n g , i n s t e a d o f t h e o t h e r w a y a r o u n d . T o b e t t e r c o m p a r e t h e b e h a v i o r o f t h e s e t w o c o n f i g u r a t i o n s , b o t h w e r e s i m u l a t e d w i t h i d e n t i c a l b u f f e r s i z e s , T T F a n d T T R d i s t r i b u t i o n s . L e t ' s l o o k a t t h e r e s u l t s f o r M 1 = t u r n i n g - > M 2 = d r i l l i n g . 53 I n T a b l e 4 - 2 , d a t a f o r m e a n u n i t c o s t , m e a n b u f f e r l e v e l , a n d T h e r e l a t i v e c h a n g e s i n e a c h v a r i a b l e w h e n c o m p a r i n g D C T t o F C T a r e s h o w n i n F i g u r e s 4 - 6 , 4 - 7 , a n d 4 - 8 . I n e a c h g r a p h , t h e h o r i z o n t a l a x i s i s b u f f e r s i z e . I n g e n e r a l , t h e D C T s t r a t e g y l o w e r s u n i t c o s t a n d m e a n b u f f e r l e v e l , a n d a l s o r e d u c e s M 2 u t i l i z a t i o n . N o t e t h a t t h e s e c h a n g e s b e c o m e m o r e s i g n i f i c a n t a s M T T F d e c r e a s e s i . e . a s t h e m a c h i n e s f a i l m o r e f r e q u e n t l y . A s s h o w n i n F i g u r e 4 - 6 , t h e % c o s t s a v i n g s i s s m a l l . T h i s i s b e c a u s e t h e m e a n b u f f e r l e v e l u n d e r t h e D C T s t r a t e g y i s s m a l l ( l e s s t h a n 4 ) s o t h a t t h e r e a r e f e w w o r k p i e c e s t h a t ' b e n e f i t ' f r o m t h e r e d u c e d M 2 c o s t w h e n M1 i s d o w n . I t ' s a l s o t r u e t h a t t h e M1 c o s t i s l o w e r e d w h e n M 2 i s d o w n b u t b e c a u s e M1 c y c l e s s o s l o w l y , i t d o e s n o t p r o c e s s m a n y w o r k p i e c e s a t t h i s r e d u c e d c o s t . T h e c o s t s a v i n g s d o e s i n c r e a s e s l i g h t l y w i t h b u f f e r s i z e s i n c e t h e m e a n b u f f e r l e v e l r i s e s . O n t h e o t h e r h a n d , t h e % b u f f e r s a v i n g s i s l a r g e , a s s h o w n i n F i g u r e 4 - 7 . T h i s i s b e c a u s e t h e m e a n r e p a i r t i m e i s l o n g e n o u g h ( 6 c y c l e s ) t o a l l o w M 2 t o s u b s t a n t i a l l y r e d u c e t h e m e a n b u f f e r l e v e l ( w h i l e M l i s d o w n ) f r o m t h e F C T v a l u e . T h i s a l s o e x p l a i n s w h y t h e % b u f f e r s a v i n g s i s l a r g e l y i n d e p e n d e n t o f M T T F . I n F i g u r e 4 - 8 , w e s e e t h a t % M 2 u t i l i z a t i o n d e c r e a s e s a s t h e b u f f e r s i z e i n c r e a s e s . We w o u l d e x p e c t t h e o p p o s i t e e f f e c t , s i n c e a l a r g e r b u f f e r m e a n s m o r e w o r k p i e c e s a v a i l a b l e t o M 2 w h e n M l i s d o w n . A g l a n c e a t T a b l e 4 - 2 r e v e a l s o n e e x p l a n a t i o n : e v e n w h e n t h e b u f f e r s i z e i s l a r g e , t h e m e a n l e v e l u n d e r t h e D C T TABLE 4 - 2 S i m u l a t i o n R e s l u t s f o r t h e T u r n i n g - . . D r i l l i n g ATL MTTF B u f f e r s i z e S t r a t e g y Mean u n i t c o s t Mean b u f f e r l e v e l % M2 ( c y c l e s ) (# p i e c e s ) ( $ ) (// p i e c e s ) u t i l i z a t i o n 2 7 0 5 DCT 1 3 . 9 6 0 1 . 4 0 5 96 FCT 1 4 . 0 1 4 1 . 5 6 9 96 10 DCT 1 3 . 9 2 3 2 . 7 9 7 96 FCT 1 4 . 0 1 4 4 . 0 9 4 97 15 DCT 1 3 . 9 0 1 3 . 5 0 6 96 FCT 1 4 . 0 1 4 6 . 7 3 3 97 60 5 10 15 DCT FCT DCT FCT DCT FCT 1 3 . 8 1 6 1 4 . 0 5 9 1 3 . 6 5 6 1 4 . 0 5 9 1 3 . 5 8 1 1 4 . 0 5 9 1 . 3 9 7 1 . 6 8 3 2 . 6 7 8 4 . 2 1 9 3 . 4 0 1 6 . 8 5 5 82 8 6 82 87 82 8 8 7, c o s t " s a v i n g s •• 5 6 s t r a t e g y i s s t i l l s m a l l , s o t h a t t h e % M 2 u t i l i z a t i o n q a n n o t i n c r e a s e . H o w e v e r , t h i s d o e s n o t e x p l a i n w h y i t d e c r e a s e s s l i g h t l y . I n a n y e v e n t , t h i s i s a d e s i r a b l e e f f e c t . A l t h o u g h w e s e e m t o b e ' w a s t i n g ' m o r e m a c h i n e r e s o u r c e s w h e n u t i l i z a t i o n d e c r e a s e s , w e a r e r e a l l y j u s t i n t e r e s t e d i n t h e p e r f o r m a n c e o f t h e A T L a s a w h o l e . N o w l e t ' s p r o c e e d t o t h e r e s u l t s o f t h e s e c o n d s i m u l a t i o n . H e r e w e h a v e M 1 = d r i l l i n g - > M 2 = t u r n i n g . T h e d a t a i s l i s t e d i n T a b l e 4 - 3 a n d t h e % c h a n g e s a r e s k e t c h e d i n F i g u r e s 4 - 9 , 4 - 1 0 , a n d 4 - 1 1 . I n g e n e r a l , t h e D C T s t r a t e g y s t i l l l o w e r s u n i t c o s t b u t n o w t h e m e a n b u f f e r l e v e l i n c r e a s e s a n d t h e % M 2 u t i l i z a t i o n r i s e s s l i g h t l y t o o . N o t e t h a t t h e % c o s t s a v i n g s s h o w n i n F i g u r e 4 - 9 a l m o s t d u p l i c a t e s t h e s a v i n g s s h o w n i n F i g u r e 4 - 6 ( f o r t h e o t h e r A T L c o n f i g u r a t i o n ) . T h i s i s b e c a u s e t h e r e a l c o s t s a v i n g s i s d u e t o t h e r e d u c e d c o s t o f d r i l l i n g w h e n t h e t u r n i n g s t a t i o n i s d o w n . I n f a c t , t h e d a t a i n T a b l e 4 - 3 i n d i c a t e s t h a t t h e r e d u c e d u n i t c o s t s u n d e r t h e D C T s t r a t e g y a r e a l m o s t t h e s a m e f o r b o t h t r a n s f e r l i n e c o n f i g u r a t i o n s . A l t h o u g h t h e % c o s t s a v i n g s h a s n o t c h a n g e d , t h e c u r v e s i n F i g u r e s 4 - 1 0 a n d 4 - 1 1 a r e a l m o s t m i r r o r i m a g e s o f F i g u r e s 4 - 7 a n d 4 - 8 . S i n c e t h e c y c l e t i m e o f M 2 s u b s t a n t i a l l y i n c r e a s e s u n d e r t h e D C T s t r a t e g y w h e n M1 i s d o w n , t h e m e a n b u f f e r l e v e l r i s e s a s s h o w n i n F i g u r e 4 - 1 0 . A l s o n o t e t h a t t h e i n c r e a s e i s l a r g e l y u n r e l a t e d t o M T T F s i n c e M 2 c a n o n l y p r o c e s s a f e w w o r k p i e c e s w h i l e M l i s u n d e r r e p a i r . TABLE 4-3 Simulation Results for the Drilling-jTurning ATL MTTF Buffer size Strategy Mean unit cost Mean buffer level % M2 , -• v / j . . N /*\ r n . \ u t i l i z a t i o n (cycles) (# pieces) (?) (# pieces) 270 5 DCT 13.964 1.699 96 FCT 14.014 1.532 96 10 DCT 13.926 5.459 97 FCT 14.014 3.911 97 15 DCT 13.905 9.591 97 FCT 14.014 6.229 97 60 5 DCT 13.834 1.904 8 5 FCT 14.059 1.640 85 10 DCT 13.674 5.578 88 FCT 14.059 4.012 86 15 DCT 13.576 9.926 89 FCT 14.059 6.300 87 % c h a n g e in M 2 u t i l i -z a t i o n F i g u r e 4 - 1 1 MTTF = 60 15 b u f f e r s i z e 59 F i n a l l y , t h e % M 2 u t i l i z a t i o n i n c r e a s e s s l i g h t l y u n d e r t h e D C T s t r a t e g y b u t o n l y f o r M T T F = 6 0 c y c l e s , a s s h o w n i n F i g u r e 4 - 1 1 . T h i s i s b e c a u s e % u t i l i z a t i o n f o r M T T F = 2 7 0 c y c l e s i s a l m o s t 1 0 0 % ( s e e T a b l e 4 - 3 ) ; t h i s i n d i c a t e s t h a t M 2 i s v e r y r a r e l y i d l e b e c a u s e t h e b u f f e r i s e m p t y . W h e n f a i l u r e s o c c u r m o r e f r e q u e n t l y ( s m a l l e r M T T F ) , t h i s i d l e t i m e i s r e d u c e d u n d e r t h e D C T s t r a t e g y s i n c e t h e m e a n b u f f e r l e v e l i s h i g h e r . 60 C H A P T E R 5 : C o n c l u s i o n s a n d S u g g e s t i o n s f o r F u t u r e W o r k I n t h i s t h e s i s , a n e w c o n t r o l s t r a t e g y c a l l e d D C T ( D y n a m i c C y c l e T i m e ) w a s d e v e l o p e d f o r o p t i m i z i n g t h e p e r f o r m a n c e o f a n A T L ( A u t o m a t i c T r a n s f e r L i n e ) . T h e b a s i c i d e a i s t h e m o d e l l i n g o f t h e c o s t o f e a c h w o r k s t a t i o n a s a f u n c t i o n o f i t s c y c l e t i m e . A G e o m e t r i c P r o g r a m m i n g t e c h n i q u e c a l l e d t h e d e c o m p o s i t i o n m e t h o d w a s u s e d t o r e - i n t e r p r e t t h e M a c h i n i n g E c o n o m i c s P r o b l e m a s a s e t o f ( c y c l e t i m e , c o s t ) p a i r s t o w h i c h a p o l y n o m i a l c u r v e w a s f i t t e d . T h e f u n c t i o n t h a t e m e r g e s i s a n e w a n d p o w e r f u l d e s c r i p t i o n o f h o w c o s t v a r i e s w i t h c y c l e t i m e a n d w h a t t h e s m a l l e s t c y c l e t i m e c a n b e . T o m i n i m i z e t h e c o m b i n e d c o s t s o f s e v e r a l s t a t i o n s , w e s u m t h e i n d i v i d u a l c o s t f u n c t i o n s a n d t h e n l o c a t e t h e m i n i m u m o f t h e s u m u s i n g s i m p l e d i f f e r e n t i a l c a l c u l u s . W h e n s t a t i o n s f a i l , t h e A T L i s ' r e - c o n f i g u r e d ' a s s u b - s e t s o f o p e r a t i n g s t a t i o n s . A n e w c y c l e t i m e i s t h e n a s s i g n e d t o e a c h s u b - s e t t h a t m i n i m i z e s t h e c o m b i n e d c o s t o f t h e c o m p o n e n t s t a t i o n s . F o r t h e s a k e o f c o m p a r i s o n , t h e s t r a t e g y o f n o c h a n g e i n s t a t i o n c y c l e t i m e w a s d e f i n e d a n d c a l l e d F C T ( F i x e d C y c l e T i m e ) . T o c o m p a r e t h e c o n t r o l s t r a t e g i e s , s o m e t y p i c a l t w o s t a t i o n A T L ' s w e r e s i m u l a t e d b a s e d o n t u r n i n g a n d d r i l l i n g o p e r a t i o n s . I t w a s s h o w n t h a t t h e D C T s t r a t e g y r e s u l t s i n m o d e s t c o s t s a v i n g s a n d a s u b s t a n t i a l r e d u c t i o n i n m e a n b u f f e r l e v e l w h e n t h e o p e r a t i o n s a r e s u i t a b l y o r d e r e d ( T u r n i n g - > D r i l l i n g ) . I n f a c t , s i m u l a t i o n s o f t h e D C T s t r a t e g y a l s o i n d i c a t e t h a t t h e r e i s a p e r f o r m a n c e o p t i m a l o r d e r i n g o f o p e r a t i o n s w h i c h s h o u l d b e 61 u s e d i f t e c h n i c a l l y f e a s i b l e . I t i s h o p e d t h a t t h e s i m u l a t i o n r e s u l t s a r e s u f f i c i e n t l y e n c o u r a g i n g t o d e m o n s t r a t e t h e v a l u e o f t h e D C T s t r a t e g y a n d a n d t h e v a l u e o f m o d e l l i n g t h e M E P a s a c o s t f u n c t i o n o f c y c l e t i m e . I t s h o u l d a l s o b e c l e a r t o t h e r e a d e r t h a t G e o m e t r i c P r o g r a m m i n g i s a s i m p l e a n d p o w e r f u l t o o l f o r s o l v i n g c o n s t r a i n e d n o n - l i n e a r o p t i m i z a t i o n p r o b l e m s . I n p a r t i c u l a r , f o r p r o b l e m s o f l o w o r d e r , t h e d e c o m p o s i t i o n m e t h o d w a s s h o w n t o b e a f a s t a n d r e l i a b l e ( a l g o r i t h m i c ) t e c h n i q u e s u i t a b l e f o r r e a l - t i m e m i c r o p r o c e s s o r i m p l e m e n t a t i o n s . T h e r e a r e m a n y a s p e c t s o f t h i s t h e s i s t h a t c o u l d b e e x p l o r e d f u r t h e r : ( i ) T h e D C T a n d F C T s t r a t e g i e s w e r e c o m p a r e d u s i n g n u m e r i c a l d a t a o b t a i n e d f r o m s e p a r a t e p a p e r s o n a d a p t i v e t u r n i n g a n d d r i l l i n g . I t w o u l d o f c o u r s e b e b e t t e r t o u s e r e a l d a t a f r o m a w o r k i n g A T L i n i n d u s t r y . T h i s w o u l d l i k e l y m e a n e x t e n d i n g t h e s i m u l a t i o n m o d e l t o t h r e e o r m o r e s t a t i o n s . ( i i ) We h a v e s e e n t h a t t h e o r d e r i n g o f o p e r a t i o n s i n t h e A T L i s a v e r y i m p o r t a n t c o n s i d e r a t i o n f o r t h e D C T s t r a t e g y . W h e n t h e r e a r e m a n y o p e r a t i o n s , i t w o u l d b e h a r d t o a n t i c i p a t e w h i c h o r d e r i n g w o u l d b e o p t i m a l . T h u s , t h e c o m p u t e r p r o g r a m s h o u l d b e e x t e n d e d t o s i m u l a t e a l l N ! o r d e r i n g s o f t h e N o p e r a t i o n s i n a g i v e n A T L . ( i i i ) T h e p e r f o r m a n c e o f a g i v e n A T L u n d e r t h e D C T s t r a t e g y c o m p a r e d t o t h e F C T s t r a t e g y i s d e p e n d e n t o n s e v e r a l f a c t o r s : 6 2 t h e f r e q u e n c y o f m a c h i n e f a i l u r e ( M T T F ) , t h e m a c h i n e r e p a i r t i m e ( M T T R ) , t h e s i z e o f t h e i n - p r o c e s s b u f f e r ( s ) , a n d t h e r e l a t i v e c h a n g e i n t h e c y c l e t i m e s o f e a c h s t a t i o n a c r o s s t h e v a r i o u s A T L s u b - s e t s i t b e l o n g t o . I t w o u l d b e w o r t h w h i l e t r y i n g t o d e v e l o p s o m e f i g u r e o f m e r i t f o r e a c h o f t h e p e r f o r m a n c e v a r i a b l e s ( e g . m e a n u n i t c o s t ) b a s e d o n t h e s e f a c t o r s a s a n a l t e r n a t i v e t o s i m u l a t i o n s t u d i e s . ( i v ) T h e D C T s t r a t e g y c o u l d b e m o d i f i e d t o d i r e c t a p p r o p r i a t e s t a t i o n s t o s h u t d o w n ( f o r s h o r t i n t e r v a l s ) i n s t e a d o f w a i t i n g f o r m a c h i n e s t o f a i l . I n t h i s w a y , t h e S u p e r v i s o r y c o n t r o l l e r c o u l d m o n i t o r a n d p e r i o d i c a l l y o p t i m i z e t h e i n - p r o c e s s b u f f e r l e v e l s . A l t e r n a t i v e l y , t h e S u p e r v i s o r y c o n t r o l l e r c o u l d a l s o a n t i c i p a t e r o u t i n e m a i n t e n a n c e o n a g i v e n w o r k s t a t i o n b y c a u s i n g i t s u p s t r e a m b u f f e r t o b e e m p t i e d a n d i t s d o w n s t r e a m b u f f e r t o b e f i l l e d . ( v ) R a t h e r t h a n o p e r a t e w o r k s t a t i o n s i n a n A T L c o n t i n u o u s l y w i t h o n e c y c l e t i m e t h a t m i n i m i z e s t h e i r c o m b i n e d c o s t , i t m i g h t b e f e a s i b l e t o o p e r a t e t h e m i n ' b u r s t s ' ; e a c h s t a t i o n w o u l d c y c l e s o a s t o m i n i m i z e i t s o w n c o s t a n d r e l y o n b u f f e r u n d e r f l o w / o v e r f l o w t o t e m p o r a r i l y s u s p e n d e x e c u t i o n . T h i s s t r a t e g y m i g h t b e u s e f u l w h e n t h e o p t i m a l c y c l e t i m e s o f t h e s t a t i o n s a r e v e r y d i f f e r e n t , a n d w h e n t h e i n - p r o c e s s b u f f e r s a r e l a r g e . ( v i ) A f t e r t u r n i n g , d r i l l i n g , a n d m i l l i n g , t h e f o u r t h m a c h i n i n g o p e r a t i o n i s ' g r i n d i n g . T h e M E P f o r m u l a t i o n f o r g r i n d i n g [5,7] i n v o l v e s a p o s y n o m i a l C u t t i n g p o w e r c o n s t r a i n t w h i c h c a n n o t b e 6 3 d i r e c t l y t a c k l e d by t h e d e c o m p o s i t i o n m e t h o d . T h i s m e a n s t h a t we w o u l d n e e d a n i t e r a t i v e a p p r o a c h . I t w o u l d be w o r t h w h i l e c o m p a r i n g t h e c o n d e n s a t i o n a n d t h e r e d u c e d d u a l s p a c e m e t h o d s o f C h a p t e r 2 u s i n g n u m e r i c a l e x a m p l e s o f t h e g r i n d i n g M E P . ( v i i ) I n C h a p t e r 3 , we m o d e l l e d c o s t a s a p o l y n o m i a l f u n c t i o n o f c y c l e t i m e . T h e r e a r e o t h e r c u r v e - f i t t i n g m e t h o d s t h a t m i g h t be c o n s i d e r e d e g . c u b i c s p l i n e s o r F o u r i e r s e r i e s . 6 4 A P P E N D I X A : C O N T R O L D E T A I L S F O R T H E M A C H I N I N G O P E R A T I O N S T h e b a s i c t u r n i n g o p e r a t i o n i s s h o w n i n F i g u r e A - 1 D L d to f w o r k p i e c e d i a m e t e r ( i n ) l e n g t h o f c u t ( i n ) d e p t h o f c u t ( i n ) r o t a t i o n a l s p e e d o f w o r k p i e c e ( r e v / m i n ) f e e d r a t e ( i n / r e v ) c u t t i n g s p e e d ( s u r f a c e f t / m i n ) (0 TT D / 1 2 Rotation of workpiece Direction of _ tool feed X Machined surface Tool shank Figure A -1 Control D e t a i l s f o r Turning T h e f o l l o w i n g e q u a t i o n s a n d n u m e r i c a l d a t a f o r t h e M E P w e r e a d a p t e d f r o m [ 2 0 , 2 1 , 2 2 ] . T m i s t h e m a c h i n i n g t i m e ( m i n ) , T i s t h e t o o l l i f e ( m i n ) , a n d T r i s t h e t o o l r e p l a c e m e n t t i m e ( m i n ) . T m = L a i " 1 f - 1 = L ( TT D / 1 2 ) v _ 1 f _ 1 ( A . 1 ) T = ( 7 . 5 E 3 / d ) v 5 r 2 - 1 5 ( A . 2 ) D = 3 . 0 i n X • 0 . 3 5 1 $ / m i n L = 1 0 . 0 i n C t = $ 0 , 4 8 7 ( t h r o w - a w a y d = 0 . 1 i n T r = 1 . 0 m i n w i t h T h e f o u r c o n s t r a i n t s f o r t h e M E P a r e a s f o l l o w s : C u t t i n g p o w e r = 2 3 d v f ° ' 7 6 < = 5 H P ( A . 3 ) S u r f a c e f i n i s h = f <= 0 . 0 1 4 ( A . 4 ) v m a x = 6 0 0 s f t / m i n f m a x = 0 . 0 2 i n / r e v > T h e b a s i c d r i l l i n g o p e r a t i o n i s s h o w n i n F i g u r e A - 2 . D = d r i l l d i a m e t e r ( i n ) L = l e n g t h o f c u t ( i n ) l - t o o l l e n g t h ( i n ) ai = s p i n d l e s p e e d ( r e v / m i n ) f = f e e d r a t e ( i n / r e v ) v = c u t t i n g s p e e d ( f t / m i n ) = am D / 1 2 H e r e , t h e f o l l o w i n g e q u a t i o n s a n d n u m e r i c a l d a t a w e r e a d a p t e d f r o m [ 2 1 , 2 ] : T m = L a ) ~ 1 f ~ 1 = L ( 7 7 D / l 2 ) v _ 1 f _ 1 ( A . 5 ) T = 1 . 3 2 4 E 9 v " 9 ' 8 f " 4 * 9 ( A . 6 ) w i t h D = 0 . 5 i n X = 0 . 5 6 5 $ / m i n L = 1 . 5 i n T r = 6 . 0 m i n I = 3 . 2 5 i n a n d C t = r e - s h a r p e n i n g c o s t + n e w t o o c o s t / # p o s s i b l e r e - s h a r p e n i n g s = 3 . 9 0 + 9 7 . 4 4 / 1 0 « $ 1 3 . 6 4 T h e f o u r c o n s t r a i n t s a r e a s f o l l o w s : C u t t i n g p o w e r = ( 0 . 1 7 4 B H N D ° ' ? 3 3 0 0 0 ) v f 0 , 8 ( A . 7 ) <= 4 0 H P w h e r e B H N = B r i n n e l l H a r d n e s s N u m b e r o f t h e w o r k p i e c e = 1 6 5 . 0 ( c a s t i r o n ) S u r f a c e f i n i s h = f <= 0 . 0 1 7 5 ( * / D ) D ° ' 6 ( A . 8 ) v m a x = 8 8 f t / m i n f m a x = 0 . 3 0 i n / r e v T h e t h i r d m e t a l - c u t t i n g o p e r a t i o n c o n s i d e r e d i n t h i s t h e s i s i s m i l l i n g , s h o w n i n F i g u r e A - 3 . D = t o o l d i a m e t e r (mm) L = l e n g t h o f c u t i . e . w o r k p i e c e l e n g t h (mm) d = d e p t h o f c u t (mm) N = n u m b e r o f t e e t h o n c u t t i n g t o o l W = w i d t h o f t o o l (mm) (o = s p i n d l e s p e e d ( r e v / m i n ) f = f e e d r a t e ( m m / r e v ) v = c u t t i n g s p e e d ( m / m i n ) = a) irD / 1 0 0 0 Column-to rn Head Spindle D r i l l B a s e F i g u r e A - 2 C o n t r o l D e t a i l s f o r D r i l l i n g F i g u r e A - 3 C o n t r o l D e t a i l s f o r M i l l i n g Rotation of cutter N (no. of t««tn) 6 7 T h e f o l l o w i n g e q u a t i o n s a n d n u m e r i c a l d a t a w e r e a d a p t e d f r o m [ 2 1 , 2 3 ] : - 1 T m = L f T = 3 . 5 5 E 4 / N 0 ' 7 5 7 ( . D / 1 0 0 0 ) 1 ' 8 1 8 v " 1 ' 8 1 8 f " 1 ' 2 1 2 ( A . 9 ) ( A . 1 0 ) w i t h D = 3 8 . 4 mm L = 2 0 0 mm d = 1 . 0 mm N = 3 W = 3 0 mm X 0 . 4 8 0 $ / m i n C t = $ 3 8 , 9 7 4 ( t h r o w - a w a y t y p e ) T r = 1 . 3 3 m i n T h e c o n s t r a i n t s a r e a s f o l l o w s : n. 4-4-4 MC c T T 1 . 1 7 8 6 , 0 . 9 1 2 8 , n C u t t i n g = 1 4 6 . 6 W d 60 p o w e r T j l . 1 7 1 3 n 6 0 1 0 . 2 < 7 . 5 KW JLP_ 1 0 0 0 v - 0 . 5 5 6 f 0 . 7 5 0 9 ( A . l l ) S u r f a c e f i n i s h = ( u D / 1 0 0 0 ) v _ i <= 0 . 1 v m a x = 1 4 5 m / m i n f m a x = 1 7 3 m m / m i n ( A . 1 2 ) 68 A P P E N D I X B : N O T E S O N T H E C O M P U T E R P R O G R A M C O M P U T E R P R O G R A M M I N G N O T E S T h i s t h e s i s w o r k h a s t w o m a i n t h e m e s : a n a l y s i s a n d s i m u l a t i o n . I t w a s t h e r e f o r e i m p o r t a n t t o s e l e c t a p r o g r a m m i n g l a n g u a g e t h a t c o u l d p r o p e r l y s e r v e b o t h n e e d s . S I M U L A i s a g e n e r a l p u r p o s e s i m u l a t i o n l a n g u a g e f o r d i s c r e t e t i m e e v e n t m o d e l l i n g . I t i s a s u p e r - s e t o f A L G O L 6 0 , a n d t h u s e n c o u r a g e s s t r u c t u r e d p r o g r a m m i n g . A n o t h e r i m p o r t a n t f e a t u r e i s t h e C L A S S d e c l a r a t i o n w h i c h i s u s e d t o c r e a t e i d e n t i c a l ' p r o c e s s e s ' v i a a s i n g l e t e m p l a t e . F i n a l l y , S I M U L A i s t r a n s p o r t a b l e s i n c e t h e r e e x i s t s j u s t o n e l i c e n s o r : T h e N o r w e g i a n C o m p u t i n g C e n t r e o f O s l o , N o r w a y . F o r t h e s e r e a s o n s , S I M U L A w a s s e l e c t e d a s t h e t a r g e t l a n g u a g e f o r t h i s t h e s i s . M o r e i n f o r m a t i o n a b o u t p r o g r a m m i n g i n S I M U L A c a n b e f o u n d i n [ 3 9 , 4 0 ] , T h e p r o g r a m C L A S S h i e r a r c h y i s s h o w n i n F i g u r e B - 1 . T h e F A C T O R Y c o m p r i s e s a S u p e r v i s o r y C o n t r o l l e r a n d t h r e e k i n d s o f L o c a l C o n t r o l l e r s , e a c h a s s o c i a t e d w i t h a d i f f e r e n t m e t a l - c u t t i n g o p e r a t i o n . T h e f o u r t h c l a s s , M A C H I N E , w i l l b e d i s c u s s e d l a t e r . T h e L o c a l C o n t r o l l e r s u s e s p e c i f i c w o r k p i e c e d a t a ( e g . l e n g t h o f c u t ) w i t h f i x e d m a c h i n i n g d a t a ( e g . t o o l s i z e ) t o d e f i n e t h e M E P ' s o f s p e c i f i c w o r k s t a t i o n s , a s s h o w n i n F i g u r e B . 2 . T h e S u p e r v i s o r y C o n t r o l l e r t h e n a n a l y z e s e a c h w o r k s t a t i o n s e p a r a t e l y . F i r s t , t h e M E P i s s o l v e d u s i n g t h e G P d e c o m p o s i t i o n m e t h o d . T h e d u a l s e t o f s i m u l t a n e o u s e q u a t i o n s i s s o l v e d u s i n g a n M T S p r o g r a m c a l l e d F S L E [ 4 1 ] ; t h i s y i e l d s t h e m i n i m u m c o s t a n d o p t i m a l c y c l e t i m e . N e x t , a l o w e r b o u n d o n c y c l e t i m e i s d e t e r m i n e d f r o m t h e c o n s t r a i n t s a n d a n u p p e r b o u n d f r o m t h e o p t i m a l c y c l e t i m e s o f t h e i n d i v i d u a l w o r k s t a t i o n s . F i n a l l y , ( c y c l e t i m e , c o s t ) d a t a a r e g e n e r a t e d f o r t h e r e g i o n o f i n t e r e s t a n d t h e d a t a i s f i t t o a p o l y n o m i a l c u r v e . T h e c u r v e f i t t i n g u s e s a n M T S p r o g r a m c a l l e d D O L S F [ 4 2 ] , A t t h i s p o i n t , t h e c u r v e s o f s e l e c t e d s t a t i o n s a r e s u m m e d t o r e p r e s e n t t h e i r c o m b i n e d c o s t , a n d t h e m i n i m u m i s o b t a i n e d b y s e t t i n g t h e f i r s t d e r i v a t i v e t o z e r o . T h i s r e q u i r e s a n o t h e r M T S p r o g r a m R P O L Y 2 [ 4 3 ] t h a t c a l c u l a t e s t h e z e r o s o f a p o l y n o m i a l ( s i n c e t h e d e r i v a t i v e o f a p o l y n o m i a l i s i t s e l f a p o l y n o m i a l ) . O n c e m i n i m u m c o s t a n d o p t i m a l c y c l e t i m e d a t a a r e o b t a i n e d f o r a l l a p p r o p r i a t e s u b - s e t s o f t h e A T L , t h e a n a l y s i s i s c o m p l e t e ( F i g u r e B . 3 ) . T h e C L A S S M A C H I N E i s u s e d t o g e n e r a t e a s p e c i f i c t r a n s f e r l i n e c o m p o s e d o f s e v e r a l w o r k s t a t i o n s w i t h c o m m o n f a i l u r e a n d r e p a i r d i s t r i b u t i o n s , a s e t o f b u f f e r s , a n d o n e S u p e r v i s o r y C o n t r o l l e r ( F i g u r e B . 4 ) . T h e s t a t u s o f a s t a t i o n i s m o d e l l e d a s U P ( w o r k i n g ) , DOWN ( f a i l e d ) , S T A R V E D ( u p s t r e a m b u f f e r e m p t y ) , B L O C K E D ( d o w n s t r e a m b u f f e r f u l l ) , o r J U S T R E P A I R E D . T h e i n t e r a c t i o n o f t h e s e C L A S S ' S w i t h i n t h e t w o l e v e l h i e r a r c h y i s o u t l i n e d i n F i g u r e B . 5 a n d F i g u r e B . 6 . N o t e t h a t t h e S u p e r v i s o r y C o n t r o l l e r d o e s n o t m o n i t o r t h e A T L . W h e n a M a c h i n e i s r e a d y t o s t a r t o n a n e w w o r k p i e c e , i t s i g n a l s t h e S u p e r v i s o r y C o n t r o l l e r t o r e v i e w t h e s t a t u s o f t h e A T L a n d a s s i g n t h e p r o p e r c y c l e t i m e ( a n d c o s t d a t a ) t o t h a t M a c h i n e . 69 FACTORY MACHINE SUPERVISORY CONTROLLER TURNING D R I L L I N G M I L L I N G OPERATION OPERATION OPERATION F i g u r e B - l P r o g r a m C l a s s H i e r a r c h y O A c c e p t i n s t r u c t i o n s f o r d e s i r e d m e t a l - c u t t i n g ( e g . l e n g t h o f c u t ) . I C o m b i n e w i t h f i x e d d a t a a b o u t w o r k p i e c e , t o o l , a n d m a c h i n e . C a l c u l a t e c o e f f i c i e n t s f o r t h e MEP o b j e c t i v e f u n c t i o n a n d c o n s t r a i n t s . F i g u r e B-2 A n a l y s i s F l o w C h a r t f o r C l a s s : L o c a l C o n t r o l l e r 70 O — __ U s e s p e c i f i c m e t a l - c u t t i n g i n s t r u c t i o n s t o g e n e r a t e a s e t o f w o r k s t a t i o n s ( L o c a l C o n t r o l l e r s ) .  U s e t h e GP d e c o m p o s i t i o n m e t h o d t o s o l v e e a c h MEP a n d o b t a i n t h e c o n t r o l p a i r a n d c y c l e t i m e f o r m i n i m u m c o s t . X D e t e r m i n e t h e l o w e r b o u n d o n c y c l e t i m e f o r e a c h w o r k s t a t i o n , a n d d e f i n e t h e c y c l e t i m e i n t e r v a l t o be u s e d f o r c u r v e -f i t t i n g .  _ G e n e r a t e t h e r e q u i r e d n u m b e r o f d a t a p o i n t s ( c y c l e t i m e , c o s t ) t o f i t t h e p o l y n o m i a l c u r v e o f d e s i r e d d e g r e e f o r e a c h w o r k s t a t i o n .  _ : Sum t h e f i t t e d c u r v e s o f a p p r o p r i a t e s u b - s e t s o f t h e t r a n s f e r l i n e . O b t a i n t h e m i n i m u m c o s t s a n d c o r r e s p o n d i n g c y c l e t i m e s . F i g u r e B-3 A n a l y s i s F l o w C h a r t f o r C l a s s : S u p e r v i s o r y C o n t r o l l e r Supervisory Controller Level 1 Local Controller #1 Machine Local Controller to Local Controller Machine toj-* —^Machine — + Level 2 Buffer #1 Buffer to Buffer #(N+1) F i g u r e B - 4 P r o p o s e d C o n t r o l A r c h i t e c t u r e 7 1 I n i t i a l i z a t i o n : S t a t u s = UP D r a w v a l u e s f o r T T F , T T R f r o m t h e p r o b a b i l i t y d i s t r i b u t i o n s . C U P t i m e > TTF ? ' A w a k e n ' S u p e r v i s o r y C o n t r o l l e r t o o b t a i n new c y c l e t i m e b a s e d o n t h e s t a t u s o f t h e o t h e r s t a t i o n s . S p a c e i n d o w n s t r e a m b u f f e r ? 5 W o r k p i e c e i n u p s t r e a m b u f f e r ? Remove w o r k p i e c e f r o m u p s t r e a m b u f f e r . I n c r e m e n t U P t i m e b y c y c l e t i m e . W a i t t i m e c y c l e t i m e . D e p o s i t w o r k p i e c e i n d o w n s t r e a m b u f f e r . S t a t u s = UP S t a t u s = DOWN W a i t t i m e TTR S t a t u s = JUST REPAIRED Draw new v a l u e s f o r T T F , T T R . S t a t u s = BLOCKED * S t a t u s = STARVED F i g u r e B - 5 S i m u l a t i o n F l o w C h a r t f o r C l a s s : M a c h i n e S t r a t e g y - DCT G e n e r a t e t r a n s f e r l i n e a n d s t a r t m a c h i n e s . W a i t f o r c u e f r o m a m a c h i n e . < YES < L a s t b u f f e r c o n t a i n s d e s i r e d l o t s i z e ? 1 N 0 ~ YES M a c h i n e BLOCKED o r STARVED ? > NO < ^ S t r a t e g y = DCT " ? ~ ^ > J, YES NO C h e c k s t a t u s o f a l l m a c h i n e s a n d t h e n r e - a s s i g n a p p r o p r i a t e c y c l e t i m e s t o t h o s e t h a t a r e w o r k i n g . YES <^ M a c h i n e JTJST REPAIRED ? ] > NO Awaken a d j a c e n t m a c h i n e s t h a t a r e BLOCKED o r STARVED w h e r e a p p r o p r i a t e . S h u t down t h i s m a c h i n e a n d a l l o t h e r s t h a t a r e DOWN. W a i t f o r c u e s f r o m r e m a i n i n g w o r k i n g m a c h i n e s , a n d s h u t t h e m down o n e - b y - o n e . <d S t r a t e g y = F C T ~ ? ~ ^ > YES NO S t r a t e g y = FCT 6 F i g u r e B - 6 S i m u l a t i o n F l o w C h a r t f o r C l a s s : S u p e r v i s o r y C o n t r o l l e r 73 T h i s p e r m i t s a m o r e e f f i c i e n t s i m u l a t i o n , a n d a l s o m i m i c s t h e i n t e r r u p t - d r i v e n c o m m u n i c a t i o n s s c h e m e e n v i s i o n e d f o r t h e c o n t r o l h i e r a r c h y . I n C h a p t e r 4 , t h e l e n g t h o f a s i m u l a t i o n t r i a l w a s m e a s u r e d i n t e r m s o f t h e n u m b e r o f f a i l u r e s e x p e c t e d F , w h i c h i s r e l a t e d t o M T T F . H o w e v e r , f r o m a p r o g r a m m i n g p o i n t o f v i e w , i t w a s m o r e c o n v e n i e n t t o u s e t h e n u m b e r o f w o r k p i e c e s N i n t h e l a s t b u f f e r . I f w e a s s o c i a t e o n e w o r k p i e c e w i t h o n e m a c h i n e c y c l e , t h e n N ( p i e c e s ) = M T T F ( p i e c e s / f a i l u r e ) x F ( f a i l u r e s ) ( B . 1 ) T o s i m p l i f y t h e p r o g r a m f u r t h e r , t h e M T T F a n d M T T R v a l u e s w e r e c o n v e r t e d f r o m c y c l e s t o m i n u t e s u s i n g a ' m e a n ' c y c l e t i m e t i s t h e a r i t h m e t i c a v e r a g e o f t h e o p t i m a l c y c l e t i m e s f o r t h e s u b - s e t s o f t h e A T L . F o r e x a m p l e , f o r a t w o s t a t i o n A T L : t - 1 / 3 ( t * 2 + t * + t\ ) ( B . 2 ) A s a f i n a l n o t e , t h e c o m p u t e r p l o t s i n t h i s t h e s i s w e r e o b t a i n e d u s i n g t h e M T S p r o g r a m p a c k a g e A L G R A F [ 4 4 ] , 7 4 A P P E N D I X C : S T A T I S T I C A L A C C U R A C Y I N S I M U L A T I O N I n t h i s t h e s i s , t r a n s f e r l i n e b e h a v i o r w a s m o d e l l e d a s a s t o c h a s t i c p r o c e s s . T w o o f t h e m e a s u r e s u s e d t o c h a r a c t e r i z e p r o d u c t i o n w e r e m e a n i n - p r o c e s s b u f f e r l e v e l a n d m e a n c o s t / w o r k p i e c e . B e c a u s e t h e s e a r e s t a t i s t i c s o f m e a n s , w e m u s t t a k e c a r e w h e n t h e s i m u l a t i o n i s p e r f o r m e d . S t a t i s t i c s c a n e i t h e r b e o b t a i n e d f r o m o n e l o n g t r i a l , o r f r o m a v e r a g i n g m a n y s h o r t e r t r i a l s . T h e m a i n a d v a n t a g e o f m u l t i p l e t r i a l s i s t h a t s t a t i s t i c a l a c c u r a c y c a n b e e a s i l y i n c r e a s e d b y a d d i n g m o r e t r i a l s ; i n t h i s w a y , t h e ' n e w ' d a t a i s s i m p l y a d d e d t o t h e ' o l d ' . I f w e w a n t t o h a v e j u s t o n e t r i a l , w e m u s t r e - r u n t h e s i m u l a t i o n o v e r a n d o v e r a g a i n w i t h l a r g e r L ' s ; t h i s m e a n s t h a t w e g e n e r a t e a l l n e w d a t a e a c h t i m e , w h i c h i s w a s t e f u l . T o m a k e e a c h t r i a l s t a t i s t i c a l l y i n d e p e n d e n t , w e m u s t u s e u n i q u e s e e d s f o r t h e r a n d o m d r a w s f r o m t h e p r o b a b i l i t y d i s t r i b u t i o n s . T h e s t u d e n t ' s t d i s t r i b u t i o n c a n b e u s e d t o d e t e r m i n e t h e r e q u i r e d l e n g t h L o f a t r i a l a n d t h e n u m b e r o f t r i a l s N b y u s i n g e s t i m a t e s f o r t h e m e a n a n d s t a n d a r d d e v i a t i o n o f t h e r a n d o m v a r i a b l e x [ 4 5 , 4 6 ] . C o n s i d e r a s a m p l e o f N t r i a l s , e a c h o f l e n g t h L . x - s a m p l e m e a n - ( Z x i ) / N u = t r u e m e a n * . , s = s a m p l e s t a n d a r d d e v i a t i o n - ( z ( x . - X ) 2 ) / ( N - 1 ) We c a n n o w u s e t h e f o l l o w i n g p r o c e d u r e t o d e t e r m i n e w h e t h e r "x i s a r e l i a b l e m e a s u r e o f u o r n o t . 1 . S e l e c t a n a c c e p t a b l e c o n f i d e n c e i n t e r v a l C I e g . 9 5 % 2 . D e t e r m i n e t h e t v a l u e t * f o r ( N - 1 ) d e g r e e s o f f r e e d o m f r o m a s e t o f s t a t i s t i c a l t a b l e s . 3 . C o m p u t e t = ( x - u ) / ( s / TO" ) _ ( C . 1 ) 4 . i f t > t * , t h e n a c c e p t t h e h y p o t h e s i s t h a t x i s a n a c c e p t a b l e m e a s u r e o f u w i t h c e r t a i n t y C I ; o t h e r w i s e , L o r N o r b o t h m u s t b e i n c r e a s e d . W h e n t h e t r u e m e a n u i s u n k n o w n , t h e n u m e r a t o r o f ( C . I ) c a n b e r e p l a c e d b y k x , w h e r e k i n d i c a t e s h o w f a r a w a y u c a n b e f r o m 3 f . F o r e x a m p l e , i f k - 0 . 1 0 , t h e n t > t o . 9 5 m e a n s t h a t w e a r e 9 5 % c e r t a i n t h a t t h e t r u e m e a n u i s w i t h i n 10% o f t h e s a m p l e m e a n " x . F o r t h e s i m u l a t i o n w o r k o f C h a p t e r 4 f C I = 9 0 N = 4 k = 0 . 1 0 L - 1 5 0 f a i l u r e s ( o n a v e r a g e ) t * ( 3 ) = 1 . 6 4 0 . 9 0 A P P E N D I X D : T H E D U A L F U N C T I O N F O R C O N S T R A I N T S g > ^ l L e t ' s s t a r t w i t h t h e d e r i v a t i o n o f ( 2 . 2 0 ) f o r c o n s t r a i n t s o f t h e t r a d i t i o n a l k i n d [ 1 7 ] . C o n s i d e r t h e f o l l o w i n g p r o b l e m : m m i n g n ( x ) = E u . s u b j e c t t o g . ( x ) = z u± < 0 i = l 1 1 i-nri-I T h e g e n e r a l i z e d A r i t h m e t i c M e a n / G e o m e t r i c M e a n i n e q u a l i t y s t a t e s t h a t i f u a n d X a r e v e c t o r s i n I R n w i t h u > 0 a n d X > = 0 , t h e n I u ± x >= n ( c ± / « ±)H xx ( D . 2 ) w h e r e X = Z 6 i a n d AS = 0 ( o r t h o g o n a l i t y c o n d i t i o n s ) . N o w a p p l y i n g t h i s t o t h e o b j e c t i v e f u n c t i o n o f ( D . I ) , w e o b t a i n X 0 = Z6± - 1 ( n o r m a l i t y c o n d i t i o n ) ( D . 3 ) 1=1 m m a n d g Q ( x ) = Z u ± >= n ( u ± / 6 ± ) 6 ± ( D . 4 ) F o r t h e c o n s t r a i n t g , w e h a v e P 1 Xx = z 6 ± >= o a n d ( D . 5 ) i=m+l 1 >= 9 l X i =z u ± x i >= n ( C i / ^ ) 6 ! x X l =n (^xi/^) 6! ( D . 6 ) I f w e m u l t i p l y t h e t w o i n e q u a l i t i e s ( D . 4 ) a n d ( D . 6 ) , w e o b t a i n g n ( x ) >-9 ( c / V ) 6 i 5 ( c i j / « 4 ) { i ( D . 7 ) 0 i = l 1 1 i=m+l 1 1 w h i c h i s j u s t ( 2 . 2 0 ) . N o w r e p l a c e g^ i n ( D . 1 ) b y t h e f o l l o w i n g c o n s t r a i n t : P g 0 = Z u . >=1 w i t h X 2 < = 0 ( D . 8 ) z i=m+l 1 R a t h e r t h a n d e a l i n g w i t h g^ d i r e c t l y , l e t u s d e f i n e g = g - 1 w i t h X 3 = - A 2 > = 0 ( D . 9 ) 3 3 3 2 T h e n u s i n g ( D . 2 ) , w e h a v e 1 > - 9 3 X 3 • ( 9 ^ ) X 3 = ( 9 2 3 > _ 1 > " 1 1 lc±\3/6±)- *1 ( D . 1 0 ) F i n a l l y , w e o b t a i n ( 2 . 2 6 ) b y m u l t i p l y i n g ( D . 4 ) a n d ( D . 1 0 ) . p t o q , ( x ) = Z u i <=1 ( D . 1 ) 7 6 R E F E R E N C E S 1 . P r e s s m a n , R . , W i l l i a m s , J . , N u m e r i c a l C o n t r o l a n d C o m p u t e r - A i d e d M a n u f a c t u r i n g , - W i l e y , 1 9 7 7 . 2 . B a t r a , J . , B a r a s h , M . , " A u t o m a t i c C o m p u t e r i z e d O p t i m i z a t i o n o f M u l t i - s p i n d l e D r i l l i n g w i t h P r o b a b i l i s t i c T o o l L i f e " , M a c . T o o l D e s . R e s . , V . 1 4 , 1 9 7 3 . 3 . C h a n g , T . , W y s k , R . , D a v i s , R . , C h o i , B . , " M i l l i n g P a r a m e t e r o p t i m i -z a t i o n t h r o u g h a D i s c r e t e V a r i a b l e T r a n s f o r m a t i o n " , I n t . J . P r o d . R e s . , V . 2 0 # 4 , 1 9 8 1 . 4 . B o e r , C . , D e M a l h e r b e , M . , " A d a p t i v e C o n t r o l o p t i m i z a t i o n f o r a N u m e r i c a l l y C o n t r o l l e r M i l l i n g P r o c e s s " , M a c . T o o l D e s . R e s . , V . 1 8 , 1 9 7 7 . 5 . M a y n e , R . , M a l k i n , S . , " P a r a m e t e r O p t i m i z a t i o n o f t h e S t e e l G r i n d i n g P r o c e s s , T r a n s . A S M E , J . E n g . I n d . , A u g u s t 1 9 7 6 . 6 . S t e l s o n , T . , K o m a n d u r i , R . , S h a w , M . , " M a n u a l A d a p t i v e C o n t r o l o f a C o n t i n u o u s G r i n d i n g O p e r a t i o n " , I n t . J . P r o d . R e s . , V . 1 7 # 2 , 1 9 7 9 . 7 . A m i t a y , G . , M a l k i n , S . , K o r e n , Y . , " A d a p t i v e C o n t r o l O p t i m i z a t i o n o f G r i n d i n g " , T r a n s . A S M E , J . E n g . I n d . , F e b r u a r y 1 9 8 1 . 8 . M a s o r y , 0 . , K o r e n , Y . , " A d a p t i v e C o n t r o l S y s t e m f o r T u r n i n g " , A n n a l s o f t h e C I R P , V . 2 9 # 1 , 1 9 8 0 . 9 . E l - K a r a m a n y , Y . , P a p a i , F . , " D e t e r m i n a t i o n o f T u r n i n g M a c h i n e P e r f o r m a n c e b y N o n - L i n e a r P r o g r a m m i n g " , I n t . J . M a c h . T o o l D e s . R e s . , V . 1 8 , 1 9 7 8 . 1 0 . W i l s o n , G . , W i l k i n s o n , J . , " A d a p t i v e C o n t r o l f o r a C . N . C . L a t h e " , P r o c . 2 2 n d M a c h . T o o l D e s . R e s . C o n f . , 1 9 8 1 . 1 1 . B e d i n i , R . , L i s i n i , G . , P i n o t t i , P . , " E x p e r i m e n t s o n A d a p t i v e C o n t r o l o f a M i l l i n g M a c h i n e " , T r a n s . A S M E , J . E n g . I n d , F e b r u a r y 1 9 7 6 . 1 2 . L e w i s , A . , N a g p a l , B . , " E c o n o m i c C o n s i d e r a t i o n s i n A d a p t i v e C o n t r o l " , P r o c . 2 2 n d M a c h . T o o l D e s . R e s . C o n f . , 1 9 8 1 . 1 3 . A m a r e g o , E . , B r o w n , R . , T h e M a c h i n i n g o f M e t a l s , P r e n t i c e - H a l l , 1 9 6 9 . 1 4 . D u f f i n . R . , P e t e r s o n , E . , Z e n e r , C . , G e o m e t r i c P r o g r a m m i n g , W i l e y , 1 9 6 7 . 1 5 . Z e n e r , C . , E n g i n e e r i n g D e s i g n b y G e o m e t r i c P r o g r a m m i n g , W i l e y - I n t e r s c i e n c e , 1 9 7 1 . i 7 7 1 6 . B e i g h t l e r , C . , P h i l l i p s , D . , A p p l i e d G e o m e t r i c P r o g r a m m i n g , W i l e y , 1 9 7 6 . 1 7 . E c k e r , J . , " G e o m e t r i c P r o g r a m m i n g : m e t h o d s , c o m p u t a t i o n s , a n d a p p l i c a t i o n s " , S I A M R e v i e w , V . 2 2 # 3 , 1 9 8 0 . 1 8 . B o h n , E . , " O p t i m u m D e s i g n o f C o n t r o l S y s t e m C o m p e n s a t o r s b y G e o m e t r i c P r o g r a m m i n g " , T r a n s . A S M E , J . D y n . S y s . M e a s . C o n t . , J u n e 1 9 8 0 . 1 9 . B o h n , E . , P r i v a t e C o r r e s p o n d e n c e , 1 9 8 2 - 1 9 8 3 . 2 0 . P h i l l i p s , D . , B e i g h t l e r , C . , " O p t i m i z a t i o n i n T o o l E n g i n e e r i n g u s i n g G e o m e t r i c P r o g r a m m i n g " , A I I E T r a n s . , V . 2 # 4 , 1 9 7 0 . 2 1 . B o o t h r o y d , G . , F u n d a m e n t a l s o f M e t a l - M a c h i n i n g a n d M a c h i n e T o o l s , S c r i p t a , 1 9 7 5 . 2 2 . W a l v e k a r , A . , L a m b e r t , B . , " A n A p p l i c a t i o n o f G e o m e t r i c P r o g r a m m i n g t o M a c h i n i n g V a r i a b l e S e l e c t i o n " , I n t . J . P r o d . R e s . , V . 8 # 3 , 1 9 7 0 . 2 3 . P e t r o p o u l o s , P . , " O p t i m a l S e l e c t i o n o f M a c h i n i n g R a t e V a r i a b l e s b y G e o m e t r i c P r o g r a m m i n g " , I n t . J . P r o d . R e s . , V . 1 1 # 4 , 1 9 7 3 . 2 4 . E r m e r , D . , " O p t i m i z a t i o n o f t h e C o n s t r a i n e d M a c h i n i n g E c o n o m i c s P r o b l e m b y G e o m e t r i c P r o g r a m m i n g " , T r a n s . A S M E , J . E n g . I n d . , N o v e m b e r 1 9 7 1 . 2 5 . E r m e r , D . , K r o m d i h a r d j o , S . , " O p t i m i z a t i o n o f M u l t i - p a s s T u r n i n g w i t h C o n s t r a i n t s " , T r a n s . A S M E , J . E n g . I n d . , N o v e m b e r 1 9 8 1 . 2 6 . 0 h m i , T . , " A n A p p r o x i m a t i o n f o r t h e P r o d u c t i o n E f f i c i e n c y o f A u t o m a t i c T r a n s f e r L i n e s w i t h I n - P r o c e s s S t o r a g e " , A I I E T r a n s . , V . 1 3 # 1 , 1 9 8 1 . 2 7 . Y a n g , H . , C h e n , K . , C h a n g , W . , W a n g , Y . , " A n I n v e s t i g a t i o n o n R e l i a b l i t y a n d O p t i m u m B u f f e r S t o c k s o f M a c h i n e T o o l , T r a n s f e r L i n e s a n d t h e i r S i m u l a t i o n s o n D i g i t a l C o m p u t e r " , M a c h . T o o l D e s . R e s . , V . 2 1 , 1 9 8 1 . 2 8 . B u z a c o t t , " A u t o m a t i c T r a n s f e r L i n e s w i t h B u f f e r S t o c k s " , I n t . J . P r o d . R e s . , V . 5 # 3 , 1 9 6 7 . 2 9 . L a w , S . , " A G e n e r a l i z e d S i m u l a t o r f o r A u t o m a t i c T r a n s f e r L i n e S y s t e m s " , A n n a l s o f t h e C I R P , V . 3 # 1 , 1 9 8 2 . 3 0 . M a s s o , J . , S m i t h , M . , " I n t e r s t a g e S t o r a g e s f o r T h r e e S t a g e L i n e s s u b j e c t t o S t o c h a s t i c F a i l u r e s " , A I I E T r a n s . , V . 6 # 4 , 1 9 7 4 . 78 3 1 . H a t c h e r , J . , " T h e E f f e c t o f I n t e r n a l S t o r a g e o n t h e P r o d u c t i o n R a t e o f a S e r i e s o f S t a g e s h a v i n g E x p o n e n t i a l S e r v i c e T i m e s " , A I I E T r a n s . , V . I # 2 , 1 9 6 9 . 3 2 . M u t h , E . , " T h e P r o d u c t i o n R a t e o f a S e r i e s o f W o r k S t a t i o n s w i t h V a r i a b l e S e r v i c e T i m e s " , I n t . J . P r o d . R e s . , V . 1 1 # 2 , 1 9 7 3 . 3 3 . C a n u t o , E . , V i l l a , A . , R o s s e t t o , S . , " T r a n s f e r L i n e s : a d e t e r m i n i s t i c m o d e l f o r b u f f e r c a p a c i t y s e l e c t i o n " , T r a n s . A S M E , J . E n g . I n d . , M a y 1 9 8 2 . 3 4 . F r o s t - S m i t h , E . , M a r t e n , H . , Y e a t e s , A . , " O p t i m i z i n g C o n t r o l o f a B a t c h M a c h i n e S h o p " , P r o c . I E E , V . 1 1 8 # 1 2 , 1 9 7 1 . 3 5 . D u f f i e , N . , B o l l i n g e r , J . , " D i s t r i b u t e d C o m p u t i n g S y s t e m s f o r M u l t i p l e - P r o c e s s o r I n d u s t r i a l C o n t r o l " , A n n a l s o f t h e C I R P , V . 2 9 # 1 , 1 9 8 0 . 3 6 . W a d s w o r t h , G . , B r y a n , J . , I n t r o d u c t i o n t o P r o b a b i l i t y a n d R a n d o m V a r i a b l e s . M c G r a w - H i l l . 1 9 6 0 . 3 7 . A r n d t , G . , " A S u r v e y o f F l e x i b l e M a n u f a c t u r i n g S y s t e m L a y o u t s " , I n s t , o f E n g . A u s t . , M e c h . E n g . T r a n s . , 1 9 8 2 . 3 8 . B o o t h r o y d , G . , P o l i , C . , M u r c h , L . , A u t o m a t i c A s s e m b l y , D e k k e r , 1 9 8 2 . 3 9 . S I M U L A D o c u m e n t a t i o n f r o m t h e N o r w e g i a n C o m p u t i n g C e n t e r : P r o g r a m m e r ' s G u i d e , I B M S y s t e m 3 6 0 , # S - 2 3 - 0 , 1 9 7 3 . U s e r ' s G u i d e , I B M S y s t e m 3 6 0 , # S - 2 4 - 1 , 1 9 7 5 . 3 6 0 / 3 7 0 E x t e r n a l P r o c e d u r e L i b r a r y , # S - 5 6 , 1 9 8 1 . 4 0 . B i r t w i s t l e , G . , S I M U L A B e g i n , S t u d e n t l i t t e r a t u r , 1 9 7 4 ( E n g . T r a n s . ) . 4 1 . U B C M A T R I X , U B C C o m p u t i n g C e n t r e , M a r c h 1 9 8 2 . 4 2 . U B C C U R V E , U B C C o m p u t i n g C e n t r e , S e p t e m b e r 1 9 8 1 . 4 3 . U B C R O O T , U B C C o m p u t i n g C e n t r e , J u n e 1 9 8 0 . 4 4 . U B C G R A P H I C S , U B C C o m p u t i n g C e n t r e , A p r i l 1 9 8 1 . 4 5 . W a l p o l e , R . , M y e r s , R . , P r o b a b i l i t y a n d S t a t i s t i c s f o r E n g i n e e r s a n d S c i e n t i s t s . M a c m i l l a n , 1 9 7 2 . 4 6 . K l e i j n e n , J . , " D e s i g n a n d A n a l y s i s o f S i m u l a t i o n s : p r a c t i c a l s t a t i s t i c a l t e c h n i q u e s " , T e c h . J . S o c . C o m p . S i m . , V . 2 8 # 3 , 1 9 7 7 . 

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