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Re-assessment of hierarchical cosmologies Krebes, Edward Stephen 1974

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A RE-ASSESSMENT OF HIERARCHICAL COSMOLOGIES by EDWARD STEPHEN KREBES B.Sc.(Hon.), U n i v e r s i t y of Alberta, 1973 A THESIS SUBMITTED IN PARTIAL FULFILMENT OF THE REQUIREMENTS FOR THE DEGREE OF MASTER OF SCIENCE i n the department of PHYSICS We accept t h i s thesis as conforming to the required standard^ THE UNIVERSITY OF BRITISH COLUMBIA September, 1974 In p r e s e n t i n g t h i s t h e s i s in p a r t i a l f u l f i l m e n t o f the r e q u i r e m e n t s f o r an advanced degree at the U n i v e r s i t y o f B r i t i s h Co lumb ia , I a g ree that the L i b r a r y s h a l l make i t f r e e l y a v a i l a b l e f o r r e f e r e n c e and s tudy . I f u r t h e r agree t h a t p e r m i s s i o n f o r e x t e n s i v e c o p y i n g o f t h i s t h e s i s f o r s c h o l a r l y purposes may be g r a n t e d by the Head o f my Department or by h i s r e p r e s e n t a t i v e s . It i s u n d e r s t o o d that c o p y i n g o r p u b l i c a t i o n o f t h i s t h e s i s f o r f i n a n c i a l g a i n s h a l l not be a l l o w e d w i thout my w r i t t e n p e r m i s s i o n . Department o f P H Y S The U n i v e r s i t y o f B r i t i s h Co lumbia Vancouver 8, Canada i i A B S T R ACT T h e e x t e n s i o n o f t h e c o n c e p t s o f N e w t o n i a n c o s m o l o g y t o a u n i v e r s e c o n s i s t i n g o f a h i e r a r c h y o f m e t a g a l a x i e s i s f a i r l y s t r a i g h t f o r w a r d . H o w e v e r , i n g e n e r a l r e l a t i v i s t i c c o s m o l o g y , t h e c o n s t r u c t i o n o f s u c h a h i e r a r c h i c a l u n i v e r s e i s a d i f f i c u l t p r o b l e m . I t i s t h e p u r p o s e o f t h i s w o r k t o e x a m i n e some a s p e c t s o f h i e r a r c h i c a l c o s m o l o g y i n b o t h t h e N e w t o n i a n a n d g e n e r a l r e l a t i v i s t i c c a s e s . I t i s s u g g e s t e d t h a t t h e m e t a g a l a x y may b e a b l a c k h o l e o r S c h w a r z s c h i l d o b j e c t , ( t o a c c o u n t f o r t h e f a c t t h a t n o o b j e c t s w h i c h c o u l d b e i d e n t i f i e d a s m e t a g a l a x i e s h a v e b e e n , a s y e t , o b s e r v e d . Some f e a t u r e s o f t h i s c o n c e p t a r e d i s -c u s s e d . T i d a l f o r c e s e x e r t e d o n a m e t a g a l a x y , d u e t o o t h e r s d i s t r i -b u t e d a r o u n d i t , a r e e s t i m a t e d i n t h e N e w t o n i a n c a s e . S u c h t i d a l f o r c e s may o r may n o t b e d e t e c t a b l e , d e p e n d i n g o n t h e d i s t a n c e b e t w e e n m e t a g a l a x i e s . T h e i n t e r i o r o f a m e t a g a l a x y i s r e p r e s e n t e d b y a F r i e d -mann m o d e l , w i t h g i v e n v a l u e s o f k a n d A. T h e F r i e d m a n n m o d e l i s m a t c h e d a t t h e b o u n d a r y t o a S c h w a r z s c h i l d s p a c e t i m e . T h e c o n s e q u e n c e s o f t h i s a n d r e l a t e d c a l c u l a t i o n s s u g g e s t t h a t i n m o s t c a s e s , a m e t a -g a l a x y may b e a b l a c k h o l e f o r o n l y p a r t o f i t s l i f e t i m e , i . e . , f o r o t h e r t i m e s , i t may b e o p t i c a l l y d e t e c t a b l e t o a n e x t e r i o r o b s e r v e r . i i i C O N TENTS i S b s t r a c t i i C o n t e n t s . . . . . . . i i i L i s t - o f T a b l e s . i v L i s t o f F i g u r e s v A c k n o w l e d g m e n t s . . . . . v i i I n t r o d u c t i o n 1 1 . T h e M e t a g a l a x y a s a N e w t o n i a n B l a c k H o l e 4 2.. S a l i e n t F e a t u r e s o f t h e W o r l d M o d e l o f L a m b e r t a n d C h a r l i e r . . 1 1 3 . H i e r a r c h i e s w i t h B l a c k H o l e s a s E l e m e n t s . 19 4. O b s e r v a b l e E f f e c t s o f a H i e r a r c h y o n t h e M e t a g a l a x y 2 1 5.. T h e M e t a g a l a x y a s a S c h w a r z s c h i l d O b j e c t 3 3 6. Some C o n s i d e r a t i o n s a b o u t H i e r a r c h i e s w i t h S c h w a r z s c h i l d O b j e c t s a s E l e m e n t s . . 6 5 F o o t n o t e s 69 B i b l i o g r a p h y . . . . . . . . . 7 0 A p p e n d i x A : On P a t h r i a ' s P a p e r . 7 1 • i v L I S T OF T A B L E S 1 - 1 . M a s s - R a d i u s D a t a '. 8 4 - 1 . C o o r d i n a t e s o f n e a r e s t n e i g h b o u r s 24 V L I S T OF F I G U R E S 1-1. Radius-Mass Diagram . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1-2. Blow-up of upper right-hand section of Fig.1-1 . . . . . . . 10 4-1. Conventional unit c e l l for fee l a t t i c e 23 4-2. Metagalaxy A and nearest neighbours . . . . . . . . 23 4-3. For use i n potential calcul a t i o n 26 4- 4. Metagalaxy A and second nearest neighbours 26 5- 1. Metagalactic models for k = -1 44 (i ) A > 0 ( i i ) A = 0 ( i i i ) A < 0 5-2. Metagalactic models for k = 0 45 (i ) A > 0 ( i i ) A = 0 ( i i i ) A < 0 5-3. Metagalactic models for k = +1 46 (i ) A > A c ( i i ) A = A c ( i i i ) 0 < A < A c (iv) A < 0 5-4. Plot of [5-62] 49 5-5. Plot of [5-77] and [5-78] for models of type V with k = -1,0 and A < 0 . . . . . . 53 5-6. Plot of [5-77] and [5-78] for models of types. V and VI with k = +1, 0 < A < A c . . . . . . . 55 5-7. Plot of [5-77] and [5-78] for the model of type V with k = +1, A < 0 . . . . . . . ' . . . . . . . 56 5-8. Plot of [5-86] . 58 (cont.) v i L I S T OF F I G U R E S ( c o n t . ) 5 - 9 . P l o t o f [ 5 - 7 7 ] , [ 5 - 8 7 ] a n d [ 5 - 8 8 ] f o r m o d e l s o f t y p e s I , I I I , a n d I V w i t h k = + 1 , A = A c . . . 6 1 5 - 1 0 . P l o t o f [ 5 - 7 7 ] f o r t y p e I I m o d e l s w i t h k = - 1 , A = 0 ; k = - 1 , 0 < A < A* ; k = 0, A = 0 ; k = 0, 0 < A < A* ; a n d k = + 1 , A c < A < A* 6 2 v i i ACKNOWLEDGMENTS I w i s h t o t h a n k D r . F . A. K a e m p f f e r f o r i n t r o d u c i n g me t o t h i s p r o b l e m , a n d f o r m a n y h e l p f u l d i s c u s s i o n s t h r o u g h o u t t h e c o u r s e o f t h i s w o r k . I w i s h t o t h a n k D r . G. F a h l m a n f o r s e v e r a l i n t e r e s t i n g c o n v e r s a t i o n s . X a l s o w i s h t o t h a n k t h e N a t i o n a l R e s e a r c h C o u n c i l o f C a n a d a f o r a 1 9 6 7 S c i e n c e S c h o l a r s h i p . 1 I N T R O D U C T I O N T h e i m p r e s s i v e o b s e r v a t i o n a l e v i d e n c e a b o u t d i s t a n t g a l a x i e s a n d o t h e r d i s t a n t o b j e c t s a c c u m u l a t e d d u r i n g t h e l a s t h a l f c e n t u r y ( s e e e . g . W e i n b e r g 1 9 7 2 ) i n d i c a t e s t h a t t h e u l t i m a t e o b j e c t s a c c e s s i b l e t o o p t i c a l - a n d r a d i o - a s t r o n o m i c a l m e t h o d s a r e c o n f i n e d t o w i t h i n a " m e t a -g a l a x y " o f f i n i t e l i n e a r d i m e n s i o n R a. 1 0 ^ l i g h t y e a r s a n d o f f i n i t e 2 3 m a s s M % 1 0 s o l a r m a s s e s . T h e v e r y c o m p a t i b i l i t y o f t h e s e o b s e r -v a t i o n a l d a t a w i t h c o s m o l o g i c a l m o d e l s c h a r a c t e r i z e d b y a f i n i t e l e n g t h R a n d a f i n i t e m a s s M h a s p e r s u a d e d t h e m a j o r i t y o f m o d e r n c o s m o l o g i s t s t o s i m p l y i d e n t i f y t h i s " m e t a g a l a x y " s e e n b y t h e a s t r o n o m e r s w i t h t h e " u n i v e r s e " w h i c h i s t h e o b j e c t o f t h e i r s p e c u l a t i o n s . A g a i n s t t h e b a c k g r o u n d o f t h e d e v e l o p m e n t o f a s t r o n o m i c a l d i s t a n c e s c a l e s t h r o u g h a s e q u e n c e o f e v e r - w i d e n i n g h o r i z o n s , f r o m t h e t r i a n -g u l a t i o n s w i t h i n t h e s o l a r s y s t e m c a r r i e d o u t b y T y c h o B r a h e , o v e r t h e f i r s t m e a s u r e m e n t o f a s t e l l a r p a r a l l a x b y B e s s e l , t o t h e m o d e r n d e t e r -m i n a t i o n o f t h e m e t a g a l a c t i c p a r a m e t e r R b y H u b b l e ' s o b s e r v a t i o n o f g a l a c t i c r e d - s h i f t s , s u c h d e f i n i t i v e c a t e g o r i z a t i o n o f t h e m e t a g a l a x y a s t h e " u n i v e r s e " , i n t h e s e n s e o f t h e " a l l a n d e v e r y t h i n g " , s e e m s t o e x c l u d e , i n a n a p p a r e n t e x c e s s o f c o n f i d e n c e i n c u r r e n t l y h e l d v i e w s , a n y f u r t h e r w i d e n i n g o f t h e c o s m i c h o r i z o n i n t h e f u t u r e . H i s t o r i c a l p r e c e d e n t s c o u n s e l t a k i n g a m o r e c a u t i o n a r y a p p r o a c h t o w a r d t h e c o s m o l o g i c a l p r o b l e m , b y c o n s i d e r i n g t h e p o s s i b i l i t y o f t h e m e t a g a l a x y b e i n g b u t a n e l e m e n t i n a l a r g e r h i e r a r c h y o f t h i n g s , a n d r e s e r v i n g t h e l a b e l " u n i v e r s e " f o r t h a t h i e r a r c h y . T h e i d e a o f a h i e r a r c h i c a l c o s m o l o g y i s n o t new. I n t h e 1 8 t h 2 c e n t u r y L a m b e r t ( 1 7 6 1 ) c o n c e i v e d t h e u n i v e r s e a s a p l a n e t a r y h i e r a r c h y . I n t h e 2 0 t h c e n t u r y t h e c o n c e p t o f t h e u n i v e r s e a s a h i e r a r c h y o f c l u s -t e r s w a s p r o m u l g a t e d b y C h a r l i e r ( 1 9 0 8 , 1 9 2 2 ) , who c o n s i d e r e d e a c h c l u s t e r o f o r d e r n a s a n e l e m e n t i n a c l u s t e r o f o r d e r n + l w i t h n o r e -s t r i c t i o n o n t h e v a l u e o f n . T a k i n g g a l a x i e s a s e l e m e n t s o f o r d e r 0 i n t h e h i e r a r c h y , t h e r e i s d e f i n i t e o b s e r v a t i o n a l e v i d e n c e f o r . s e c o n d -o r d e r c l u s t e r i n g ( i . e . f o r t h e e x i s t e n c e o f c l u s t e r s o f c l u s t e r s o f g a l a x i e s ) , a n d e v e n some i n d i c a t i o n o f t h i r d - o r d e r c l u s t e r i n g w i t h i n t h e m e t a g a l a x y ( s e e d e V a u c o u l e u r s 1 9 7 0 ) . T h e s e c o n s i d e r a t i o n s l e a d o n e t o c o n s i d e r t h e p o s s i b i l i t y o f t h e m e t a g a l a x y b e i n g a c l u s t e r o f g a l a x i e s o f o r d e r n ( n f i n i t e ) , w h i c h i s b u t a n e l e m e n t i n a n N - t h o r d e r c l u s t e r o f m e t a g a l a x i e s , w h e r e N i s n o t n e c e s s a r i l y f i n i t e , a n d t o v i e w t h e " u n i v e r s e " a s t h i s e n t i r e h i e r a r -c h y o f m e t a g a l a x i e s . I f t h a t v i e w i s a c c e p t e d , o n e i s i m m e d i a t e l y c o n f r o n t e d w i t h t h e q u e s t i o n w h y t h e a s t r o n o m e r s h a v e n o t r e p o r t e d , t o d a t e , o b j e c t s t h a t c o u l d b e i d e n t i f i e d a s m e t a g a l a x i e s , o t h e r t h a n t h e o n e w i t h i n w h i c h w e h a p p e n t o f i n d o u r s e l v e s , s e e n f r o m t h e o u t s i d e . A n o b v i o u s w a y o u t o f t h i s d i f f i c u l t y i s p r o v i d e d i f a l l m e t a g a -l a x i e s a r e b l a c k h o l e s . I n t h a t c a s e t h e y may e l u d e d e t e c t i o n f r o m t h e o u t s i d e b y t h e c o n v e n t i o n a l m e a n s o f a s t r o n o m y , a n d a n o b s e r v e r w i t h i n a m e t a g a l a x y m i g h t w r o n g l y c o n c l u d e t h a t c l u s t e r i n g t e r m i n a t e s a t t h e f i n i t e o r d e r n . T h e p u r p o s e o f t h i s w o r k i s >> t o e x a m i n e t h e c o m p a t i b i l i t y o f t h e o b s e r v a t i o n a l d a t a a b o u t t h e 3 m e t a g a l a x y w i t h t h e h y p o t h e s i s t h a t i t i s a b l a c k h o l e s e e n f r o m the i n s i d e , >> to a s s e s s t h e m e r i t s o f a h i e r a r c h i c a l c o s m o l o g y w i t h b l a c k h o l e s a s e l e m e n t s , a n d >> to s p e c u l a t e u p o n t h e p o s s i b i l i t y o f d e t e c t i n g t h e p r e s e n c e o f o t h e r b l a c k h o l e m e t a g a l a x i e s f r o m t h e o u t s i d e b y w h a t e v e r m e a n s c o n c e i -v a b l e . 4 1. THE M E T A G A L A X Y AS A NEWTONIAN B L A C K HOLE T h e t e r m " b l a c k h o l e " h a s b e e n u s e d i n t h e c o s m o l o g i c a l l i t e r a t u r e a s a l a b e l f o r a h y p o t h e t i c a l r e g i o n o f s p a c e , c o n t a i n i n g g r a v i t a t i o n a l -l y c o l l a p s e d m a t t e r , f r o m w h i c h n o l i g h t , m a t t e r , o r s i g n a l s o f a n y k i n d c a n e s c a p e ( s e e e . g . P e n r o s e 1 9 7 2 ) . I t s e x i s t e n c e w a s o r i g i n a l l y p r e d i c t e d b y O p p e n h e i m e r a n d S n y d e r ( 1 9 3 9 ) u s i n g t h e g e n e r a l t h e o r y o f r e l a t i v i t y . H o w e v e r , i t i s n o t n e c e s s a r y t o i n v o k e g e n e r a l r e l a t i -v i t y f o r t h e c o n c e p t o f a b l a c k h o l e t o b e m e a n i n g f u l . S o m e t h i n g s i -m i l a r t o a b l a c k h o l e w a s d i s c u s s e d a s e a r l y a s t h e 1 8 t h c e n t u r y b y L a p l a c e , who s u g g e s t e d t h a t , a c c o r d i n g t o N e w t o n i a n t h e o r y , a s u f f i c i e n t -l y m a s s i v e a n d c o m p a c t o b j e c t w o u l d h a v e a n e s c a p e v e l o c i t y g r e a t e r t h a n t h e s p e e d o f l i g h t , a n d t h u s , w o u l d b e i n v i s i b l e a t l a r g e d i s t a n c e s . M o r e s p e c i f i c a l l y , o n e c a n d e f i n e a " N e w t o n i a n b l a c k h o l e " a s a s p h e r i c a l o b j e c t o f m a s s M a n d r a d i u s R w h o s e g r a v i t a t i o n a l f i e l d ( i n t h e N e w t o n i a n s e n s e ) i s s u f f i c i e n t t o c a p t u r e a p h o t o n i n t o a c i r c u l a r o r b i t n e a r i t s s u r f a c e . T h e c o n d i t i o n f o r t h i s o r b i t a l c a p t u r e i s t h a t t h e g r a v i t a t i o n a l a c c e l e r a t i o n o f t h e p h o t o n m u s t b e a s l a r g e a s , o r l a r g e r t h a n i t s c e n t r i f u g a l a c c e l e r a t i o n , i . e . , [1-1] GM/R 2 > c 2 / R w h e r e c i s t h e s p e e d o f l i g h t , a n d G i s t h e g r a v i t a t i o n a l c o n s t a n t . T h i s l e a d s t o [1-2] R/M < G / c 2 = 7 . 4 * 1 0 ~ 2 8 m/kg f o r a N e w t o n i a n b l a c k h o l e . I t i s a l s o p o s s i b l e t o d e f i n e a N e w t o n i a n b l a c k h o l e a s a m a s s i v e , c o m p a c t , s p h e r i c a l o b j e c t w i t h a n e s c a p e . v e l o c i t y g r e a t e r t h a n c , i n t h e s e n s e o f L a p l a c e ; h o w e v e r , t h i s w o u l d 5 o n l y m e a n r e p l a c i n g G / c 2 i n [ 1 — 2 ] b y 2 G / c 2 , a n d f o r t h e p u r p o s e s o f t h i s s e c t i o n , t h i s c h a n g e i s i n s i g n i f i c a n t . F o r t h e s a k e o f c o n v e n i e n c e t h e f o r m e r d e f i n i t i o n w i l l b e u s e d . A s s u m i n g c o n s t a n t d e n s i t y p, o n e c a n u s e t h e e q u a t i o n [ 1 - 3 ] M = 4 i r p R 3 / 3 t o e x p r e s s [ 1 - 2 ] e q u i v a l e n t l y i n t e r m s o f R a n d p , o r M a n d p, a n d o b t a i n [ 1 - 4 ] R 2p > 3C2/4TTG = 3.2 * 1 0 2 6 kg/m [ 1 - 5 ] M 2p > 3C 6/4TTG 3 = 5.9 x 1 0 8 0 k g 3 / m 3 . One c a n a l s o w r i t e [ 1 - 2 ] , [ 1 - 4 ] a n d [ 1 - 5 ] a s f o l l o w s , [ l - 2 a ] R < G M / c 2 [ l - 4 a ] R > ( C / 2 ) ( 3 / T T G P ) 1 / 2 [ l - 5 a ] M > ( C 3 / 2 ) ( 3 / T T G 3 P ) 1 / 2 . I n o r d e r t o s e e w h a t k i n d o f o b j e c t s c a n b e t h o u g h t o f a s New-t o n i a n b l a c k h o l e s , o n e c a n c o n s t r u c t a r a d i u s v s . m a s s d i a g r a m . F i g . 1-1 s h o w s s u c h a d i a g r a m , i n w h i c h s e v e r a l common o b j e c t s a r e p l o t t e d . T h e s t r a i g h t l i n e r e p r e s e n t s t h e e q u a t i o n [ 1 - 6 ] R = G M / c 2 . • .1 o r , o n t h e g r a p h , * [ 1 - 7 ] l o g R = l o g ( G M / c 2 ) = - 2 7 . 1 + l o g M . T h e m a s s o f t h e m e t a g a l a x y w a s o b t a i n e d f r o m [ 1 - 3 ] w h e r e p = 4 * 1 0 2 6 k g / m 3 a n d R = 1 0 1 0 l i g h t y e a r s = 9.46 x 1 0 2 5 m. T h e m a s s o f t h e m e t a -g a l a x y i s t h e n M = 1.4 x 1 0 5 3 k g . H o w e v e r , t h e s e v a l u e s f o r p a n d R a r e o n l y c r u d e o r d e r - o f - m a g n i t u d e e s t i m a t e s a n d t h e l o c a t i o n o f t h e p o i n t o n t h e R-M d i a g r a m r e p r e s e n t i n g t h e m e t a g a l a x y c a n v a r y a c c o r d i n g -6 l y . I n f a c t , i f h i g h - o r d e r g a l a x y c l u s t e r i n g i s p r e v a l e n t i n t h e m e t a -g a l a x y , o n e may s u s p e c t t h a t t h e v a l u e f o r p may b e m e a n i n g l e s s , s i n c e f o r a n a c c u r a t e v a l u e o f t h e m e a n d e n s i t y p , o n e m u s t c o n s i d e r a " l a r g e e n o u g h " v o l u m e o f s p a c e s u c h t h a t t h e m a t t e r i n t h i s v o l u m e i s r o u g h l y u n i f o r m l y d i s t r i b u t e d , i . e . , t h e v o l u m e m u s t b e . l a r g e e n o u g h t o c o n t a i n a t l e a s t s e v e r a l c l u s t e r s o f t h e h i g h e s t o r d e r o f c l u s t e r i n g ( d e V a u c o u l e u r s 1 9 7 0 ) . A n y e s t i m a t e o f p u s i n g a s m a l l e r v o l u m e w o u l d b e m e a n i n g l e s s b e c a u s e i t n e g l e c t s t h e c l u s t e r i n g e f f e c t . I g n o r i n g t h i s f o r t h e m o m e n t , o n e s e e s f r o m F i g . 1-1 t h a t o n e may c o n s i s t e n t l y t h i n k o f t h e m e t a g a l a x y a s a N e w t o n i a n b l a c k h o l e . T h e o t h e r o b j e c t s d e v i a t e f r o m t h e R = G M / c 2 l i n e . G i v e n t h e m a s s o f a n o b j e c t , t h e r a d i u s w o u l d h a v e t o b e m u c h s m a l l e r f o r t h a t o b j e c t t o b e a N e w t o n i a n b l a c k h o l e . F o r t h e s a k e o f c o m p l e t e n e s s , i t s h o u l d a l s o b e m e n t i o n e d t h a t o n e s h o u l d b e w a r y i n e x t r a p o l a t i n g t h e R = G M / c 2 l i n e i n F i g . 1-1 t o r e g i o n s o f s m a l l R .and M, w h e r e t h e p o s s i b l e q u a n t u m e f f e c t s o f g r a -v i t a t i o n may p l a y a r o l e . T h i s i s i n d i c a t e d o n t h e g r a p h b y a d a s h e d l i n e . T h e v a l u e s f o r R a n d M w h i c h s e p a r a t e t h e q u a n t u m r e g i o n f r o m t h e c l a s s i c a l r e g i o n a r e n o t w e l l - d e f i n e d b u t t h e - s o - c a l l e d P l a n c k l e n g t h £Q , a n d t h e c o r r e s p o n d i n g m a s s mg , i0 = ( G n / c 3 ) 1 / 2 = 1.6 x i o ~ 3 5 m m 0 =.£QC 2/G = ( n c / G ) 1 / 2 = 2.2 x i o ~ 8 k g p r o v i d e p l a u s i b l e e s t i m a t e s f o r t h e s e v a l u e s . F u r t h e r d i s c u s s i o n o f t h e q u a n t u m r e g i o n w o u l d b e o u t s i d e t h e s c o p e o f t h i s w o r k . F o r t h e e l e c t r o n i n t h e R-M d i a g r a m , t h e C o m p t o n w a v e l e n g t h , 7 •f l o g R (m) 20 + 0 4--20 -f - 6 0 e e l e c t r o n - 4 0 4- QUANTUM / E F F E C T S y - ^ s 1 h m e t a g a l a x y s m a l l g a l a x y c l u s t e r © Si E a r t h © / NEWTONIAN B L A C K HOLE R E G I O N l o g M ( k g ) -i 1 1 (— 20 4 0 H — 6 0 - 2 0 F I G . 1 - 1 . R a d i u s - M a s s D i a g r a m T h e N e w t o n i a n B l a c k H o l e r e g i o n i s d e f i n e d b y R < GM "fr/mc - 3.9 x 1 0 1 3 m w a s u s e d a s a r e a s o n a b l e e s t i m a t e o f t h e r a d i u s . F i g . 1 - 2 i s m e r e l y a b l o w - u p o f t h e u p p e r r i g h t - h a n d s e c t i o n o f F i g . 1 - 1 , w i t h m o r e o b j e c t s s h o w n , t h e p o i n t s a r e n u m b e r e d a n d t h e o b j e c t s t h e y r e p r e s e n t a r e l i s t e d i n T a b l e 1-1 b e l o w . M o s t o f t h e d a t a f o r F i g . 1 - 1 a n d F i g . 1 - 2 w a s o b t a i n e d f r o m a r e c e n t p a p e r b y d e V a u c o u -l e u r s ( 1 9 7 0 ) . One s e e s f r o m F i g . 1 - 2 t h a t n e u t r o n s t a r s a n d w h i t e d w a r f s , w h o s e d e n s i t i e s a r e v e r y h i g h , a r e s i t u a t e d n e a r t h e b l a c k h o l e r e g i o n , a s e x p e c t e d . T A B L E 1-1 M a s s - R a d i u s D a t a O b j e c t s 1. E a r t h 2. N e u t r o n s t a r 3. N e u t r o n s t a r 4. W h i t e d w a r f ( L 9 3 0 - 8 0 ) 5. W h i t e d w a r f ( v M 2 ) 6. M a i n S e q u e n c e s t a r ( S u n ) " 7 . S u p e r g i a n t s t a r (M2) 8. C o m p a c t d w a r f e l l i p t i c a l g a l a x y ( N 4 4 8 6 - B ) 9. G i a n t e l l i p t i c a l g a l a x y ( N 4 4 8 6 ) 1 0 . D e n s e g r o u p o f e l l i p t i c a l s ( V i r g o E , c o r e , o r F o r n a x I ) 1 1 . S m a l l c l u s t e r o f g a l a x i e s ( V i r g o E ) l o g M ( k g ) 2 4 . 7 8 3 0 . 1 6 2 9 . 5 4 3 0 . 4 5 2 9 . 9 0 3 0 . 3 0 3 1 . 7 4 0 . 4 4 2 . 5 4 3 . 5 4 4 . 2 l o g R (m) 6.81 3 . 9 3 5.44 6.3 7.05 8.84 1 1 . 7 5 1 8 . 5 2 0 . 4 2 1 . 7 2 2 . 3 ( c o n t . ) 9 T A B L E 1-1 ( c o n t . ) O b j e c t s 1 2 . L a r g e c l u s t e r o f e l l i p t i c a l s ( C o m a ) 1 3 . S e c o n d - o r d e r c l u s t e r o f g a l a x i e s ( L o c a l ) l o g M ( k g ) 4 5 . 3 4 5 . 7 l o g R (m) 2 2 . 6 2 3 . 5 1 4 . M e t a g a l a x y 5 3 . 1 2 6 . 0 1 0 l o g R (m) i F I G . 1 - 2 . B l o w - u p o f u p p e r r i g h t - h a n d s e c t i o n o f F i g . 1 - 1 ( l o g M > 2 3 , l o g R > 3 ) . T h e o b j e c t s a r e l i s t e d a c c o r d i n g - t o n u m b e r , i n T a b l e 1-1 . 1 1 2. S A L I E N T F E A T U R E S OF THE WORLD MODEL OF LAMBERT AND C H A R L I E R I n t h e p a s t , t h e c o n c e p t o f a h i e r a r c h i c a l c o s m o l o g y w a s c o n s i -d e r e d b y s e v e r a l i n v e s t i g a t o r s ( e . g . , L a m b e r t 1 7 6 1 , C h a r l i e r 1 9 0 8 , 1 9 2 2 ) . L a m b e r t p r o p o s e d t h a t , j u s t a s J u p i t e r ' s m o o n s a r e s a t e l l i t e s o f J u p i t e r , a n d J u p i t e r i s a s a t e l l i t e o f t h e s u n , s o i s t h e s u n a s a t e l l i t e o f s o m e o t h e r c e n t e r o f f o r c e , a n d t h i s c e n t e r o f f o r c e i s a s a t e l l i t e o f a n o t h e r c e n t e r o f f o r c e , a n d s o o n . C h a r l i e r ' s m o d e l o f t h e u n i v e r s e w a s b a s i c a l l y a r e v i s i o n o f t h e m o d e l p r o p o s e d b y L a m b e r t , t h e c h a n g e b e i n g n e c e s s a r y , b e c a u s e b y t h e t i m e o f C h a r l i e r , L a m b e r t ' s v i e w s o n t h e s t r u c t u r e o f t h e u n i v e r s e w e r e k n o w n t o b e i n e r r o r . T h e m o d e l d u e t o C h a r l i e r i s a h i e r a r c h y o f s y s t e m s c o n s i s t i n g o f g a l a x i e s ( b a s i c e l e m e n t s , o r z e r o t h o r d e r c l u s t e r s CQ), c l u s t e r s o f g a l a x i e s ( o r f i r s t o r d e r c l u s t e r s C ^ ) , c l u s t e r s o f c l u s t e r s o f g a l a x i e s ( o r s e c o n d o r d e r c l u s t e r s C^), a n d s o o n w i t h o u t l i m i t . A c t u a l l y , C h a r -l i e r ' s c l u s t e r s CQ w e r e s t a r s n o t g a l a x i e s , b u t h e r e g a l a x i e s a r e a s -s u m e d t o b e t h e b a s i c e l e m e n t s , t o a g r e e w i t h c u r r e n t t r e n d s . E a c h c l u s t e r , o f a n y o r d e r , i s a s s u m e d t o b e s p h e r i c a l , f o r m a t h e m a t i c a l s i m p l i c i t y . M o r e q u a n t i t a t i v e l y , o n e a s s u m e s t h a t MQ a n d RQ a r e t h e m a s s a n d r a d i u s o f a g a l a x y , a n d t h a t g a l a x i e s f o r m a 1 s t o r d e r c l u s t e r C^ o f m a s s M^ a n d r a d i u s R^, N ^ c l u s t e r s C^ f o r m a 2 n d o r d e r c l u s t e r o f m a s s M 2 a n d r a d i u s R 2 > N ^ c l u s t e r s C 2 f o r m a 3 r d o r d e r c l u s t e r C^ o f m a s s M^ a n d r a d i u s R^, a n d s o o n , w i t h t h e o r d e r o f c l u s t e r i n g u n b o u n d e d ( t h e n o t a t i o n h e r e i s s l i g h t l y d i f f e r e n t f r o m t h a t o f C h a r l i e r ) . T h e e l e m e n t s C^ ^ o f e a c h c l u s t e r C^ ( i = 1 , 2 , 3 , . . . ) a r e a s s u m e d t o b e t h e s a m e s i z e , a n d t o h a v e 12 t h e s a m e m a s s , a n d t o b e e v e n l y d i s t r i b u t e d w i t h i n C\ . One n o t e s t h a t [2-1] M. = N.M. .. = N.N. .N. ....N_N.M_ . ' x 1 l - l l l - l i - 2 2 1 0 T h e m a i n o b j e c t i o n s t o a n i n f i n i t e u n i v e r s e a r e t h o s e d u e t o O l b e r s (1823) a n d S e e l i g e r (1895). S e e l i g e r ' s o b j e c t i o n i s t h a t a n a p p l i c a -t i o n o f N e w t o n ' s l a w o f g r a v i t y t o a n i n f i n i t e u n i v e r s e w o u l d l e a d t o d i f f i c u l t i e s a n d c o n t r a d i c t i o n s s i n c e t h e t o t a l m a s s i s i n f i n i t e . U s i n g C h a r l i e r ' s h i e r a r c h i c a l m o d e l , o n e c a n r e m o v e S e e l i g e r ' s o b j e c -t i o n , a s C h a r l i e r h a s d o n e , b y s h o w i n g t h a t t h e t o t a l g r a v i t a t i o n a l a t t r a c t i o n o f t h e i n f i n i t e u n i v e r s e o n some o b j e c t w i t h i n i t i s f i n i t e , i f t h e r a d i i R_ a r e c h o s e n p r o p e r l y ( s e e [2-4] b e l o w ) . O n e c a n c o n -s i d e r a u n i t m a s s l y i n g o n t h e e d g e o f a g a l a x y w h i c h i s o n t h e e d g e o f a c l u s t e r C^, w h i c h i n t u r n i s o n t h e e d g e o f a c l u s t e r C^, a n d s o o n . T h e t o t a l a t t r a c t i o n o f t h e u n i v e r s e o n t h i s u n i t m a s s i s g i v e n a p p r o x i m a t e l y b y [2-2] F = (GMQ/R^) + (GM^R 2) + (GM2/R2) + ... T h i s i s o b v i o u s l y a n o v e r e s t i m a t e o f t h e a c t u a l f o r c e b u t i f F i s f i -n i t e , t h e n s o i s t h e a c t u a l f o r c e . C h a r l i e r s t a t e s t h a t t h e c o n d i t i o n f o r t h e c o n v e r g e n c e o f t h e s e r i e s [2-2] i s t h a t [2-3] GM^R 2 < G M ^ / R 2 ^ . \ U s i n g [2-1], t h i s l e a d s t o [2-4] R./R. . > N V 2 x , l - l x T h e c o n d i t i o n [2-3] i s a c t u a l l y n o t a s u f f i c i e n t c o n d i t i o n f o r c o n v e r -g e n c e i n a s t r i c t m a t h e m a t i c a l s e n s e ( e . g . , t h e d i v e r g e n t h a r m o n i c s e r i e s 1 + 1/2 + 1/3 + ... a l s o o b e y s t h i s c o n d i t i o n ) , h o w e v e r i t i s p o s s i b l e t o e s t a b l i s h a s l i g h t l y m o r e r i g o r o u s d e r i v a t i o n o f [2-4] i n t h e f o l l o w i n g w a y : t h e r a t i o t e s t f o r t h e c o n v e r g e n c e o f a n i n f i n i t e s e r i e s £ a . s t a t e s t h a t t h e s e r i e s w i l l c o n v e r g e ( a b s o l u t e l y ) i f i l i m | a . / a . - I < 1 1 x x - 1 1 T h i s c o n d i t i o n w i l l o b v i o u s l y b e s a t i s f i e d i f [ 2 - 5 ] la./a .^ l < l - 2 e , f o r a l l i , w h e r e e i s a n a r b i t r a r i l y s m a l l , b u t p o s i t i v e r e a l n u m b e r , i . e . , 0 < e << 1 . U s i n g t h i s a r g u m e n t f o r t h e s e r i e s [ 2 - 2 ] , o n e g e t s V R i - i - i V ( 1 ~ 2 £ ) ] 1 / 2 1/2 a N.' ( 1 + e ) X > N 1 / 2 . x I f E i s v e r y s m a l l , t h i s i s e q u i v a l e n t t o [ 2 - 4 ] f o r a l l p r a c t i c a l p u r -p o s e s . I n t h i s w a y , o n e s e e s t h a t t h e t o t a l a t t r a c t i o n o f t h e i n f i n i t e u n i v e r s e o n a u n i t m a s s i s f i n i t e i f t h e i n e q u a l i t y [ 2 - 4 ] i s s a t i s f i e d . T h i s e s s e n t i a l l y e l i m i n a t e s S e e l i g e r ' s o b j e c t i o n . T h e o b j e c t i o n d u e t o O l b e r s i s e x p r e s s e d b y t h e w e l l - k n o w n O l b e r s P a r a d o x , w h i c h m a y b e e x p l a i n e d a s f o l l o w s : i f i t i s a s s u m e d t h a t s t a r s a r e u n i f o r m l y d i s t r i b u t e d t h r o u g h o u t a n i n f i n i t e u n i v e r s e , i . e . t h e i r a v e r a g e n u m b e r d e n s i t y i s c o n s t a n t t h r o u g h o u t s p a c e a n d t i m e , a n d t h a t t h e a v e r a g e l u m i n o s i t y o f e a c h s t a r i s c o n s t a n t t h r o u g h o u t s p a c e a n d t i m e , a n d t h a t t h e u n i v e r s e i s s t a t i c ( n o s y s t e m a t i c l a r g e - s c a l e mo^ t i o n s ) , t h e n i t i s p o s s i b l e t o s h o w t h a t t h e t o t a l l u m i n o s i t y a t a n y p o i n t i n t h e u n i v e r s e s h o u l d b e i n f i n i t e , o r i n m o r e f a m i l i a r t e r m s , t h e n i g h t s k y s h o u l d b e i n f i n i t e l y b r i g h t . M o r e s p e c i f i c a l l y , t h e 14 a v e r a g e a p p a r e n t l u m i n o s i t y o f a s t a r a t a d i s t a n c e r f r o m some a r b i -t r a r y p o i n t P i s & / r 2 (4TT£ i s t h e a v e r a g e a b s o l u t e l u m i n o s i t y , i . e . i t i s a c o n s t a n t f o r a l l s t a r s ) . T h e n u m b e r o f s t a r s i n t h e s h e l l b e t w e e n d i s t a n c e s r a n d r + d r i s 4 i r n r 2 d r w h e r e n i s t h e a v e r a g e n u m b e r d e n s i t y o f s t a r s . H e n c e t h e t o t a l l u m i -n o s i t y a t P i s 00 . 0 0 j ( £ / r 2 ) 4 i m r 2 d r .'= 4trn£ j d r = 0 0 . J 0 . 0 I t i s t h e v e r y d i s t a n t s t a r s t h a t a r e r e s p o n s i b l e f o r t h e d i v e r -g e n c e o f t h e i n t e g r a l , a n d t o a v o i d t h i s p a r a d o x o f i n f i n i t e e n e r g y d e n s i t y , O l b e r s p o s t u l a t e d t h e e x i s t e n c e o f a n i n t e r s t e l l a r m e d i u m w h i c h a b s o r b s t h e i r l i g h t . T h i s w a s u n s a t i s f a c t o r y b e c a u s e i n a n i n -f i n i t e u n i v e r s e , t h e e n e r g y a b s o r b e d b y t h e m e d i u m w o u l d h e a t t h e me-d i u m u n t i l i t e m i t t e d a s m u c h e n e r g y a s i t a b s o r b e d , a n d h e n c e c o u l d n o t r e d u c e t h e a v e r a g e e n e r g y d e n s i t y o f r a d i a t i o n ( W e i n b e r g 1 9 7 2 , C h a p . 1 6 ; B o n d i 1 9 6 0 , C h a p . I I I ) . O t h e r s o l u t i o n s o f t h e p a r a d o x h a v e b e e n p r o p o s e d , s u c h a s a s s u m i n g t h a t s p a c e i s n o n - E u c l i d e a n , o r t h a t t h e u n i v e r s e i s f i n i t e , o r y o u n g , o r e x p a n d i n g . O n e o f t h e m o s t r e c e n t p r o p o s a l s i s t h a t " t h e n i g h t s k y i s d a r k b e c a u s e t h e t i m e r e q u i r e d f o r t h e r a d i a t i o n f i e l d t o r e a c h t h e r m o d y n a m i c e q u i l i b r i u m i s l a r g e c o m p a r e d w i t h a l l o t h e r t i m e s c a l e s o f i n t e r e s t " ( H a r r i s o n 1 9 7 4 ) . I t i s s h o w n i n C h a r l i e r ' s p a p e r t h a t t h e O l b e r s P a r a d o x i s a l s o e l i m i n a t e d i n t h e h i e r a r c h i c a l m o d e l i f [ 2 - 4 ] i s s a t i s f i e d . C h a r l i e r ' s a r g u m e n t ( w i t h t h e p r e s e n t n o t a t i o n ) b a s i c a l l y p r o c e e d s a s f o l l o w s : * * a s s u m e t h a t a c l u s t e r C f t i s a t t h e c e n t e r o f a c l u s t e r C,, a n d t h a t 15 * * i s a t t h e c e n t e r o f C^, a n d s o o n . T h e a s t e r i s k d i s t i n g u i s h e s t h e * c e n t r a l c l u s t e r C. f r o m i t s n e i g h b o u r s C . L e t r b e t h e r a d i a l d i s -1 1 * t a n c e f r o m C^. L e t J t ^ / r 2 ^ = a v e r a g e a p p a r e n t l u m i n o s i t y o f a c l u s t e r CQ ( w i t h i n C^) a t t h e d i s t a n c e r = r ^ ^2^T2 ~ a v e r a 8 e a p p a r e n t l u m i n o s i t y o f a c l u s t e r C^ ( w i t h i n C^) a t t h e d i s t a n c e r = r ^ , e t c . * w h e r e r ^ i s o f t h e o r d e r o f t h e d i s t a n c e b e t w e e n t w o e l e m e n t s o f C^, * a n d I. i s a c o n s t a n t f o r a l l e l e m e n t s o f C . A l s o , l e t l i -* L . = t o t a l l u m i n o s i t y o f C. a s s e e n f r o m i t s c e n t e r . i x T h e n u m b e r o f c l u s t e r s CQ i n t h e s h e l l b e t w e e n r a n d r + d r ( w i t h i n * ^ ) i s ( N ^ ^ R 3 ) ( 4 T r r 2 d r ) = O N ^ / R j ^ d r . * T h e a v e r a g e a p p a r e n t l u m i n o s i t y o f a c l u s t e r CQ ( w i t h i n C^) a t a d i s -t a n c e r i s £ ^ / r 2 , h e n c e , r R i L 1 = J 1 ( £ 1 / r 2 ) ( 3 N 1 r 2 / R 3 ) d r = S N ^ / R j I n g e n e r a l , o n e h a s ; L . = 3N.A./R2 , h e n c e , 1 i x i [2-6] L ^ L ^ = ( N I / N i _ 1 ) ( R i _ 1 / R i ) 2 a i / j i i _ 1 ) . One c a l c u l a t e s a s f o l l o w s . T h e a v e r a g e a p p a r e n t l u m i n o s i t y o f a c l u s t e r C Q ( w i t h i n C^) a t a d i s t a n c e r = f r o m C Q i s ^^Jx\ • H e n c e * t h e a v e r a g e a p p a r e n t l u m i n o s i t y o f a t r = i s N l A ] / R 2 = A2^ R2 I , E ' ' 16 &2 = » a n d i n g e n e r a l , 1 l - l l - l E q u a t i o n [ 2 - 6 ] t h e n g i v e s L . / L . = N . ( R . - / R . ) 2 . . l l - l l l - l l T h e t o t a l l u m i n o s i t y o f t h e u n i v e r s e a t r = 0 i s L = L± + L 2 + L 3 + ... T h i s i s a n o v e r e s t i m a t e , a s i n [ 2 - 2 ] , L m u s t c o n v e r g e t o a v o i d t h e O l b e r s P a r a d o x . A p p l y i n g t h e " e - p r o o f " a b o v e y i e l d s t h e c o n v e r g e n c e c o n d i t i o n f o r L , [ 2 - 4 ] VR-.-L > N ^ / 2 . . T h e c a l c u l a t i o n c a n b e d o n e w i t h o u t t h e a b o v e s i m p l i f y i n g a s s u m p t i o n s * * * * ( i . e . t h a t CQ i s a t t h e c e n t e r o f C^, a n d i s a t t h e c e n t e r o f C^, e t c . ) . T h e s a m e r e s u l t , [ 2 - 4 ] , h o l d s ( s e e C h a r l i e r 1 9 2 2 ) . A n o t h e r i n t e r e s t i n g f e a t u r e o f C h a r l i e r ' s i n f i n i t e h i e r a r c h i c a l u n i v e r s e i s t h a t t h e a v e r a g e m a s s d e n s i t y o f a c l u s t e r C^ v a n i s h e s i n t h e l i m i t i-*» , i . e . [ 2 - 7 ] l i m p . = 0 i-*» x i T h i s c a n b e s h o w n i n t h e f o l l o w i n g w a y . T h e e x p r e s s i o n f o r p ^ i n t e r m s o f M. a n d R. i s i l p i - V f R i 3 • T a k i n g t h e l i m i t i-*» y i e l d s , l i m p = ( 3 / 4 i r ) l i m M^/R? -= ( 3 / 4 i r ) ( l i m M,./R?) ( l i m 1/R_.) 17 Now, u s i n g a m a t h e m a t i c a l t h e o r e m w h i c h s t a t e s t h a t l i m a . = 0 i f t h e X-HX> i n f i n i t e s e r i e s 52 a . c o n v e r g e s , i t i s s e e n t h a t 1 [ 2 - 8 ] l i m M./R? = 0 . 1 1 i-*» s i n c e t h e s e r i e s f o r F i n [ 2 - 2 ] c o n v e r g e s ( a s s u m i n g [ 2 - 4 ] i s s a t i s f i e d ) . A l s o , s i n c e l i m 1/R. = 0, [ 2 - 7 ] i s e s t a b l i s h e d . ( o n e may q u e s t i o n w h e t h e r t h e n u m b e r q = l i m 1/R. i s p e r h a p s a p o s i t i v e r e a l n u m b e r , i n -s t e a d o f z e r o . T h i s w o u l d n o t a l t e r t h e r e s u l t [ 2 - 7 ] , b u t f o r t h e s a k e o f c o m p l e t e n e s s , o n e c a n a r g u e t h a t q i s a c t u a l l y z e r o . T o do t h i s , f i r s t s u p p o s e t h a t q i s a p o s i t i v e f i n i t e r e a l n u m b e r . T h e n l i m R ? i s a l s o a p o s i t i v e f i n i t e r e a l n u m b e r . I f [ 2 - 2 ] c o n v e r g e s , t h e n [ 2 - 8 ] i s t r u e , h e n c e o n e m u s t h a v e l i m M. = 0, w h i c h i s a c o n t r a d i c t i o n . T h e r e -. 1 i-x» f o r e q m u s t b e z e r o . I t c a n a l s o b e s e e n i n t u i t i v e l y t h a t a f i n i t e v a l u e f o r l i m R ? w o u l d e s s e n t i a l l y m e a n t h a t t h e o r d e r o f c l u s t e r i n g j[-X» i s b o u n d e d a b o v e ) . O n e s e e s f r o m t h e a b o v e a r g u m e n t s t h a t C h a r l i e r ' s h i e r a r c h i c a l c o s m o l o g y i s a p l a u s i b l e m o d e l o f t h e u n i v e r s e . I t may b e a r g u e d t h a t t h i s m o d e l i s o v e r s i m p l i f i e d a n d u n r e a l i s t i c b e c a u s e o f i t s d i s c r e t e m a t h e m a t i c a l n a t u r e a n d b e c a u s e o f t h e a s s u m p t i o n s t h a t a l l c l u s t e r s a r e s p h e r i c a l , a n d t h a t c l u s t e r s o f t h e s a me o r d e r h a v e t h e s a m e s i z e a n d m a s s . O b s e r v a t i o n c l e a r l y i n d i c a t e s t h a t t h e s e a s s u m p t i o n s a r e n o t t r u e . ' G a l a x i e s a r e c e r t a i n l y n o t s p h e r i c a l , b u t e l l i p t i c a l i n s h a p e , a n d t h e y v a r y i n s i z e a n d m a s s . A l s o , m o r e c o n v i n c i n g s o l u t i o n s t o t h e O l b e r s P a r a d o x h a v e b e e n p r o v i d e d b y m o d e r n t h e o r e t i c a l a n d e x p e r i m e n t a l i n v e s t i g a t i o n s , s u c h a s t h e d i s c o v e r y o f t h e u n i v e r s a l r e d s h i f t a n d t h e d e v e l o p m e n t o f f i n i t e w o r l d m o d e l s , a s m e n t i o n e d b y d e V a u c o u l e u r s 18 ( 1 9 7 0 ) . H o w e v e r , t h e s e f i n d i n g s d o n o t d i s p r o v e t h e s u g g e s t i o n t h a t t h e u n i v e r s e m a y h a v e a h i e r a r c h i c a l s t r u c t u r e . I f o n e i s c o n c e r n e d f i r s t m a i n l y w i t h i n v e s t i g a t i n g t h e b a s i c p r o p e r t i e s o f a h i e r a r c h i c a l u n i v e r s e , t h e n t h e s i m p l i f i e d n a t u r e o f t h e a b o v e - m e n t i o n e d a s s u m p t i o n s d o e s n o t p r e s e n t a s e r i o u s d i f f i c u l t y . T h e o v e r s i m p l i f i c a t i o n i s o b -v i o u s l y a m a t h e m a t i c a l c o n v e n i e n c e , b u t i t c l e a r l y d e m o n s t r a t e s some o f t h e b a s i c c o n c e p t s a n d i d e a s i n v o l v e d w i t h a h i e r a r c h i c a l s t r u c t u r e , a n d t h e s e may i n d i c a t e , t o some e x t e n t , t h e w a y t o a m o r e c o m p l e x a n d r e a l i s t i c m o d e l , p e r h a p s o f a q u a s i - c o n t i n u o u s n a t u r e . I n a n y e v e n t , c o s m o l o g i c a l m o d e l s c o n s i s t i n g o f a h i e r a r c h y o f s y s t e m s s h o u l d b e s e r i o u s l y c o n s i d e r e d i n a n y i n v e s t i g a t i o n s o f t h e s t r u c t u r e o f t h e u n i v e r s e . 1 9 3. H I E R A R C H I E S WITH B L A C K HOLES AS ELEMENTS A s m e n t i o n e d p r e v i o u s l y , t h e m e t a g a l a x y c a n b e c o n s i s t e n t l y t h o u g h t o f a s a N e w t o n i a n b l a c k h o l e . C o m b i n e d w i t h t h e n o t i o n s i n t h e p r e c e d i n g s e c t i o n s o f a h i e r a r c h i c a l c o s m i c s t r u c t u r e , t h i s l e a d s t o t h e c o n c e p t o f a h i e r a r c h i c a l u n i v e r s e w i t h b l a c k h o l e s a s e l e m e n t s . I t i s i n t e r e s t i n g t o i n v e s t i g a t e t h e c o n d i t i o n s t h a t m u s t b e s a t i s f i e d b y t h e e l e m e n t s o f C h a r l i e r ' s h i e r a r c h i c a l u n i v e r s e i n o r d e r f o r C h a r -l i e r ' s m o d e l t o b e c o m p a t i b l e w i t h t h e n o t i o n t h a t t h e e l e m e n t s o r c l u s t e r s C. a r e N e w t o n i a n b l a c k h o l e s . 1 L e t e a c h c l u s t e r C. b e a N e w t o n i a n b l a c k h o l e . T h i s m e a n s t h a t l [ 3 - 1 ] \/W± 1 G / c 2 , i = 0 , 1 , 2 , ... F o r i n s t a n c e , i n t h e a c t u a l c a s e o f t h e u n i v e r s e , t h i s m e a n s t h a t o n e c o u l d t a k e o u r m e t a g a l a x y t o b e a b a s i c e l e m e n t o r c l u s t e r CQ, a n d a s s u m e t h a t t h e o t h e r c l u s t e r s CQ, C^, C^, e t c . , a r e N e w t o n i a n b l a c k h o l e s . M u l t i p l y i n g c o n d i t i o n [ 3 - 1 ] b y M^/R^ ^ g i v e s [ 3 - 2 ] R ^ R ^ < ( G / c 2 ) ( M i / R i _ 1 ) = ( G M ^ / ^ R ^ ) ^ , u s i n g [ 2 - 1 ] = a i - l N i w h e r e a . = G M . / c 2 R . i i i [ 3 - 3 ] a n d , f r o m [ 3 - 1 ] , a± > 1 , i = 0 , 1 , 2 , ... C o n d i t i o n [ 3 - 2 ] m u s t b e s a t i s f i e d b y t h e r a d i i o f t h e c l u s t e r s C^ i n o r d e r f o r e a c h C. t o b e a N e w t o n i a n b l a c k h o l e . l 2 0 I n t h e p r e v i o u s s e c t i o n , a d i f f e r e n t i n e q u a l i t y i n v o l v i n g R^/R^ L w a s d e r i v e d , n a m e l y [ 2 - 4 ] R./R. . > N V 2 x x - 1 1 T h i s w a s s h o w n t o b e a n e c e s s a r y c o n d i t i o n i n C h a r l i e r ' s i n f i n i t e h i e r a r c h i c a l m o d e l f o r t h e e l i m i n a t i o n o f t h e O l b e r s P a r a d o x a n d S e e -l i g e r ' s o b j e c t i o n . T h e O l b e r s P a r a d o x d o e s n o t a p p l y t o a h i e r a r c h i c a l u n i v e r s e w h e r e e a c h c l u s t e r C. i s a N e w t o n i a n b l a c k h o l e , h o w e v e r , i S e e l i g e r ' s c r i t i c i s m i s s t i l l v a l i d , i f o n e a s s u m e s t h a t N e w t o n i a n b l a c k h o l e s , w h i c h a r e s i m p l y c o m p a c t c l u m p s o f m a t t e r i n t h e N e w t o n i a n s e n s e , a r e s u b j e c t t o s t a t i c g r a v i t a t i o n a l f o r c e s . H e n c e [ 2 - 4 ] may b e i n v o k e d t o e l i m i n a t e S e e l i g e r ' s o b j e c t i o n . T h i s t h e n l e a d s t o t h e i n e q u a l i t y , 1/2 [ 3 - 4 ] N T < R./R. , < a . -N. I I l - l - i - 1 I D u e t o [ 3 - 3 ] , t h i s i s a c o n s i s t e n t i n e q u a l i t y , i . e . 1/2 N. < a . .N. x 1-1 1 H e n c e , a C h a r l i e r - t y p e h i e r a r c h i c a l u n i v e r s e , w i t h e a c h C^ b e i n g a N e w t o n i a n b l a c k h o l e , m u s t s a t i s f y [ 3 - 4 ] . 2 1 4. O B S E R V A B L E E F F E C T S OF A H I E R A R C H Y ON THE M ETAGALAXY T h e r e a s o n f o r s p e c u l a t i n g , i n t h e l a s t s e c t i o n , u p o n a h i e r a r c h i -c a l u n i v e r s e w i t h b l a c k h o l e s a s e l e m e n t s i s t o p r o v i d e a p o s s i b l e e x -p l a n a t i o n o f t h e f a c t t h a t n o a s t r o n o m i c a l o b j e c t s t h a t c o u l d b e i d e n -t i f i e d w i t h m e t a g a l a x i e s h a v e b e e n d e t e c t e d a s y e t ( o t h e r t h a n o u r own m e t a g a l a x y ) . E l e m e n t s o f a h i e r a r c h i c a l u n i v e r s e t h a t a r e b l a c k h o l e s c o u l d b e u n d e t e c t a b l e t o e a c h o t h e r b y c o n v e n t i o n a l o p t i c a l m e a n s , t h e r e b y h a m p e r i n g t h e e s t a b l i s h m e n t o f a c o m p l e t e p i c t u r e o f t h e u n i -v e r s e . H o w e v e r , t h e r e s t i l l r e m a i n s t h e p o s s i b i l i t y o f d e t e c t i o n t h r o u g h t h e e f f e c t s o f s t a t i c g r a v i t a t i o n a l " f i e l d s . F o r i n s t a n c e , t h e d e t e c t i o n o f t i d a l f o r c e s o n o u r m e t a g a l a x y w o u l d s u g g e s t t h e e x i s t e n c e o f m e t a g a l a x i e s o u t s i d e o u r o w n . I n o r d e r t o c a l c u l a t e a n o r d e r - o f - m a g n i t u d e e s t i m a t e o f t h e t i d a l f o r c e s o n s o m e m e t a g a l a x y d u e t o o t h e r s d i s t r i b u t e d a r o u n d i t , i t w i l l b e a s s u m e d t h a t t h e d i s t r i b u t i o n o f m e t a g a l a x i e s i s s u c h t h a t e a c h o n e i s l o c a t e d a t t h e c e n t e r o f a s p h e r e a n d t h a t t h e s p h e r e s a r e c l o s e -p a c k e d . F o r s i m p l i c i t y i t w i l l b e a s s u m e d t h a t a l l s p h e r e s a r e t h e s a me s i z e , a n d t h a t a l l m e t a g a l a x i e s h a v e t h e s ame r a d i u s R a n d m a s s M. T h e r e a r e t w o w a y s t o p a c k e q u i v a l e n t s p h e r e s a s c l o s e a s p o s s i b l e . O ne w a y l e a d s t o t h e h e x a g o n a l c l o s e - p a c k e d l a t t i c e s t r u c t u r e a n d t h e o t h e r w a y l e a d s t o t h e f a c e - c e n t e r e d c u b i c ( c u b i c c l o s e - p a c k e d ) l a t t i c e s t r u c t u r e . B o t h s t r u c t u r e s a r e e q u a l l y c l o s e - p a c k e d ( s e e e . g . K i t t e l 1 9 7 1 , P . 2 8 ) . T h e f a c e - c e n t e r e d c u b i c ( f e e ) s t r u c t u r e w i l l b e u s e d i n t h e f o l l o w i n g c a l c u l a t i o n . T h e c o n v e n t i o n a l u n i t c e l l f o r t h e f e e l a t -t i c e i s s h o w n i n F i g . 4 - 1 . M e t a g a l a x i e s a r e s i t u a t e d a t t h e f e e l a t t i c e 2 2 p o i n t s . E a c h m e t a g a l a x y h a s t w e l v e n e a r e s t n e i g h b o u r s , e a c h a t a d i s -t a n c e a/*/?. E i g h t o f t h e n e a r e s t n e i g h b o u r s t o l a t t i c e p o i n t A a r e s h o w n ( s h a d e d ) . T h e r e m a i n i n g f o u r a r e o n t h e s i d e s o f t h e c e l l d i r e c -t l y a b o v e t h e o n e s h o w n . T h e g r a v i t a t i o n a l f i e l d ( i . e . g r a v i t a t i o n a l a c c e l e r a t i o n o n a u n i t m a s s ) a t s o m e p o i n t P i n s p a c e n e a r t h e m e t a g a l a x y A d u e t o t h e s u r -r o u n d i n g d i s t r i b u t i o n o f m e t a g a l a x i e s w i l l b e c a l c u l a t e d . O n l y t h e n e a r e s t n e i g h b o u r s t o A w i l l f i r s t b e c o n s i d e r e d . T h e d i f f e r e n c e b e -t w e e n t h e g r a v i t a t i o n a l a c c e l e r a t i o n a t some p o i n t o n t h e s u r f a c e o f t h e m e t a g a l a x y A d u e t o t h e s u r r o u n d i n g d i s t r i b u t i o n , a n d t h a t a t t h e c e n t e r o f A , d u e t o t h e s u r r o u n d i n g d i s t r i b u t i o n i s a m e a s u r e o f t h e t i d a l e f f e c t a t t h a t p o i n t o n A. T h e s t r u c t u r e o f t h e m e t a g a l a x y A a n d i t s n e a r e s t n e i g h b o u r s i s d e p i c t e d i n F i g . 4 - 2 . T h e g r a v i t a t i o n a l p o t e n t i a l a t P d u e t o a m a s s M a t some p o i n t Q ( s e e F i g . 4 - 3 ) i s g i v e n b y [ 4 - 1 ] - # p Q = -GM/1 T h e p o i n t s P a n d Q h a v e s p h e r i c a l c o o r d i n a t e s (r,9,cf>) a n d (?,8,<j>) r e s p e c t i v e l y . W i t h t h e h e l p o f F i g . 4 - 3 , I c a n e a s i l y b e e x p r e s s e d i n t e r m s o f r,9,<j»,r,8 a n d $ : [ 4 - 2 ] I2 = r 2 + r 2 - 2 f r [ c o s 6 c o s 6 + s i n e s i n S c o s ( $ - * ) ] . T h e t o t a l g r a v i t a t i o n a l p o t e n t i a l a t P d u e t o t h e t w e l v e m a s s e s M i n F i g . 4 - 2 i s 12 [ 4 - 3 ] = - G M H ( I / O i = l w h e r e i s t h e d i s t a n c e f r o m P t o t h e p o i n t i i n F i g . 4 - 2 . S i n c e t h e n e a r e s t n e i g h b o u r d i s t a n c e r . i s t h e same f o r a l l i , i t w i l l b e d e n o t e d 23 b y r . = s . F r o m [ 4 - 2 ] , c a n b e w r i t t e n a s [ 4 - 4 ] (l/£ ) = hi - 2q.w + W 2 ) " 1 / 2 = ( q . ) w " n=0 [ 4 - 5 ] w h e r e w = r / f ^ = r / s [ 4 - 6 ] a n d = c o s 0 \ c o s 9 + s i n 9 \ s i n 0 c o s (<j>.j-<)>) a n d i s t h e n t h o r d e r L e g e n d r e p o l y n o m i a l . H e n c e [ 4 - 3 ] b e c o m e s 1 2 n=0 i = l T h e c o o r d i n a t e s 8\, <j>_^  f o r t h e t w e l v e m e t a g a l a x i e s i n F i g . 4 - 2 a r e g i v e n i n T a b l e 4 - 1 . T A B L E 4 - 1 . C o o r d i n a t e s o f n e a r e s t n e i g h b o u r s i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 9. l tr 4 77 4 TT 4 TT 4 TT 2 TT 2 TT 2 Tf 2 3TT 4 3TT 4 3TT 4 3TT 4 h 0 Tf 2 TT 3TT 2 . TT 4 3TT 4 5TT 4 7TT 4 0 TT 2 TT 3rr 2 U s i n g T a b l e 4--1 a n d e q u a t i o n [ 4 - 6 ] , o n e h a s [ 4 - 8 ] q L = ( c o s 9 + sin9cos<J>) / JT " - q l l q 2 = ( c o s 8 + s i n g s i n t l ) ) / ^ ? = " q 1 2 q 3 = ( c o s 9 - s i n 9 c o s < j ) ) / V 2l - - q 9 q 4 = ( c o s 9 - s i n 9 s i n c ( ) ) i J l * = " q i o q 5 = s i n 9 ( s i n c ( ) + cos$)/JT = - q ? q 6 = s i n 9 (sincj) - cos$)ls/T •• " q 8 T h i s m e a n s t h a t . 1 2 [ 4 - 9 ] i = l 2 m + l _ q i • 0 a n d [ 4 - 1 0 ] i l q f = 2 t<lT i = l i = l 1 w h e r e m i s a n i n t e g e r . H e n c e 0 1 2 [ 4 - 1 1 ] H P ( q . ) = i = l n 1 n o d d 2 H V q i > n i = l n 1 e v e n s i n c e P ( q . ) i s a n o d d o r e v e n p o l y n o m i a l i n q . i f n i s o d d o r e v e n n x r e s p e c t i v e l y . T h e r e f o r e , [ 4 - 7 ] b e c o m e s 6 [*-«] Jb - f E [ D 2 l ( v ' S n = 0 L i = l z n 1 J w 2 n F r o m [ 4 - 8 ] , o n e c a n e a s i l y c a l c u l a t e [ 4 - 1 3 ] J ^ q J = 2 a n d i = l 6 J l q ^ = 3 c o s 2 9 - 2 c o s 1 + e + s i n ' + e (3cos 2 < j > - 2COS 1** + s i n 4 * ) i = l x = f(e,*) . U s i n g [ 4 - 1 3 ] , o n e h a s t h e n 6 6 [ 4 - 1 4 ] J ^ P ( q ) = ^ 1 = 6 i = l i = l 6 6 E P 2 ( q 1 ) = d / 2 ) n ( 3 q 2 - D = 0 i = l i = l 6 6 ^ P 4 ( q i } = f E ( 3 5 q ^ - 3 0 q 2 + 3 ) = ± [ 3 5 f (e,*) - 4 2 ] H e n c e [ 4 - 1 2 ] i s [ 4 - 1 5 ] fa = - - ^ [ 6 + | ( 3 5 f - 4 2 ) w l t + 0 ( W 6 ) ] T h e g r a v i t a t i o n a l f i e l d a t P d u e t o t h e t w e l v e s u r r o u n d i n g m a s s e s i s 26 27 ^ A A w h e r e r,9,<}> a r e u n i t v e c t o r s i n t h e r , 9 a n d <j> d i r e c t i o n s . T h i s g i v e s [ 4 - 1 7 ] y - - I f = ® 5 l ( 3 5 f - 4 2 ) -/ G M r 3 \ 3 f v S 5 y " U 1 9 1 ^ = 1 Z% _ 35( G M r 3 \ Qf/3<fr) 1 " y j ^ $ ~ r s i n 0 3<j> 4 ^ g 5 / s i n 9 w h e r e i t h a s b e e n a s s u m e d t h a t [ 4 - 2 0 ] w 5 = ( r / s ) 5 « 1 , —v i . e . o n l y t e r m s u p t o t h e f o u r t h o r d e r i n w h a v e b e e n k e p t i n 0^ ( t h e — > c o e f f i c i e n t s o f w1* i n cf- a r e a l l z e r o , o f c o u r s e ) . T h e g r a v i t a t i o n a l f i e l d a t t h e c e n t e r o f A d u e t o t h e t w e l v e s u r -— » r o u n d i n g m e t a g a l a x i e s i s o b v i o u s l y z e r o b e c a u s e o f s y m m e t r y . H e n c e 3^ i s t h e t i d a l a c c e l e r a t i o n a t some p o i n t r , 9, <j>. T o g e t a n e s t i m a t e o f t h e t i d a l e f f e c t o n t h e m e t a g a l a x y A d u e t o t h e t w e l v e m a s s e s , c o n -s i d e r p o i n t s o n t h e s u r f a c e o f A ( r = R ) a t w h i c h t h e t i d a l a c c e l e r a t i o n i s r a d i a l i . e . ~f = j£ = 0. A t o t h e r p o i n t s , t h e t i d a l a c c e l e r a t i o n 9 cj> w i l l b e a c o m b i n a t i o n o f r a d i a l a n d a n g u l a r a c c e l e r a t i o n s . A f t e r s o m e c a l c u l a t i o n , 3 f / 3 9 a n d 3f/3<j> a r e g i v e n b y [ 4 - 2 1 ] U = - s i n 2 9 [ 3 - 4 c o s 2 0 - 2 s i n 2 0 ( 3 c o s 2 A - 2cos'+<j> + s i n 1 * * ) ] [ 4 - 2 2 ] | £ = | s l n ' + e s l n 4 * . T h e c o n d i t i o n s 3,, = 0, 3", = 0 r e q u i r e t h a t [ 4 - 2 3 ] |f = 0 a n d ^ f f = ± s i n 3 9 s i n 4 4 = 0 28 w h i c h i s e q u i v a l e n t t o [ 4 - 2 4 ] 3 f / 3 0 = 0 a n d 3f/3cj> = 0 s i n c e s i n 3 9 a n d s i n 1 ^ h a v e t h e same z e r o s . E q u a t i o n s [ 4 - 2 4 ] a n d [ 4 - 1 7 ] s h o w t h a t p o i n t s o n a s u r f a c e o f c o n s t a n t r a t w h i c h "J- = 3 ^ = 0 a r e 0 <p a l s o t h e e x t r e m u m p o i n t s o f ^  • I t i s e a s y t o s h o w t h a t t h e p o i n t s i n t h e f i r s t q u a d r a n t ( 0 < 9 < TF/2, 0 < 9 < TT/2) o n a s u r f a c e o f c o n -s t a n t r a t w h i c h [ 4 - 2 4 ] h o l d s a r e : • [ 4 - 2 5 ] (9,4.) = ( 0 , 4 0 , (TT/4,0), (TT/2,0), ( c o s _ 1 ^ | , 7 r / 4 ) , 0 r / 2 , i r / 4 ) , ( 7 r / 4 , T r / 2 ) , (TT/2, TT/2) . O t h e r q u a d r a n t s h a v e s y m m e t r i c a l l y c o r r e s p o n d i n g p o i n t s . U s i n g [ 4 - 1 7 ] a n d t h e d e f i n i t i o n o f f i n [ 4 - 1 3 ] , g i v e s a t t h e s e p o i n t s : [4-26] (0,9): (TT/4,0) (TT/2,0) ( c o s 1 — ,TT/4) (TT/2,TT/4) (TT/4,TT/2) (TT/2,TT/2) ( w h e r e J-Q = G M r 3 / s 5 ) 3 7 ^ = + ( 7 / 4 ) r ? / ? Q = + ( 1 4 / 3 ) r 3 r / > 0 = +(7/4)£ ? / 3 r Q = +(7/4)r 3 / 3 F 0 - - 7 ? -Hence the r a d i a l t i d a l a c c e l e r a t i o n of l a r g e s t magnitude i s [4-27] | ^ J - = 7GMr 3/s 5 . ' r'max C o m p a r i n g t h i s w i t h t h e a c c e l e r a t i o n , a „ , a t t h e s u r f a c e r = R o f t h e R m e t a g a l a x y A d u e t o A i t s e l f , g i v e s [4-28] /% = ( 7 G M R 3 / s 5 ) / ( G M / R 2 ) = 7 ( R / s ) 5 . i — i x 1113. X K U n d e r t h e a s s u m p t i o n [ 4 - 2 0 ] , i t i s s e e n t h a t t i d a l e f f e c t s o n a m e t a -g a l a x y may b e t o o s m a l l t o b e n o t i c e a b l e . B e c a u s e o f t h e f i f t h p o w e r o f R / s i n [ 4 - 2 8 ] , i t i s s e e n t h a t m e t a g a l a x i e s w o u l d h a v e t o b e r e l a -t i v e l y c l o s e t o g e t h e r b e f o r e R o c h e ' s l i m i t c o m e s i n t o e f f e c t , i . e . b e f o r e t i d a l f o r c e s w o u l d b e g r e a t e n o u g h t o m a k e e a c h m e t a g a l a x y f l y a p a r t . F o r i n s t a n c e i f [ 4-29] ( R / s ) 5 -<v 1/32 t h e n [ 4-20] i s a d e q u a t e l y s a t i s f i e d t o make t h e p r e v i o u s t i d a l c a l c u l -a t i o n s v a l i d . H o w e v e r \j- _I /a„ i s t h e n ^ 7/32 ^ 0.22 w h i c h i s 1 ^ r = R 1 max R n o t m u c h l e s s t h a n u n i t y i . e . R o c h e ' s l i m i t i s b e i n g a p p r o a c h e d . E q u a -t i o n [ 4-29] g i v e s s ^ 2R, i . e . m e t a g a l a x i e s may h a v e t o b e " t o u c h i n g " o r " o v e r l a p p i n g " b e f o r e t h e y c a u s e e a c h o t h e r t o f l y a p a r t . O f c o u r s e , i f m e t a g a l a x i e s v a r y w i d e l y i n m a s s , t h e n t h i s a r g u m e n t may n o t b e v a l i d s i n c e [ 4-28] w o u l d d e p e n d o n m a s s r a t i o s . N o t e t h a t [ 4 - 1 7 ] - [ 4 - 1 9 ] s h o w a t h i r d - o r d e r ( i n w, o r r ) t i d a l — > e f f e c t . A f i r s t o r s e c o n d o r d e r c a l c u l a t i o n w o u l d h a v e y i e l d e d = 0. T h i s i s b e c a u s e o f t h e h i g h s p h e r i c a l s y m m e t r y a n d t h e r e l a t i v e l y l a r g e n u m b e r o f m a s s e s . I f t h e t w e l v e m a s s e s w o u l d b e s p r e a d o u t u n i f o r m l y I n a s h e l l o f c o n s t a n t d e n s i t y , t h e n "3- w o u l d b e e x a c t l y z e r o s i n c e t h e g r a v i t a t i o n a l f i e l d i n s i d e a u n i f o r m s p h e r i c a l s h e l l i s e x a c t l y z e r o . E q u a t i o n s [ 4 - 1 7 ] - [ 4 - 1 9 ] s h o w t h e d e v i a t i o n s f r o m a u n i f o r m s p h e -r i c a l s h e l l d i s t r i b u t i o n . I t h a s b e e n a s s u m e d t h a t c o n t r i b u t i o n s f r o m s e c o n d n e a r e s t n e i g h -b o u r s a r e n e g l i g i b l e . T o g e t a n e s t i m a t e o f t h e i r e f f e c t , o n e c a n do t h e s a m e c a l c u l a t i o n s a s a b o v e . T h e m e t a g a l a x y A h a s s i x s e c o n d n e i g h -b o u r s e a c h a t a d i s t a n c e o f a = >^s. T h e s t r u c t u r e o f A a n d i t s s e c o n d 3 0 n e i g h b o u r s i s d e p i c t e d i n F i g . 4 - 4 . T h e c o o r d i n a t e s y s t e m i s t h e same a s t h a t o f F i g . 4 - 2 . A s b e f o r e , [ 4-30l i r - - ? i E [ i p n < « 1 ) ] v n a n = 0 L i = l n 1 J [ 4 - 3 1 ] w i t h v = r / a = xl JT s [ 4 - 3 2 ] a n d u . = c o s 9 ~ . c o s 0 + s i n e . s i n O c o s (cb .-d>) F r o m F i g . 4 - 4 i t i s e a s y t o s h o w t h a t [ 4 - 3 3 ] u , = c o s 6 = - u , X. o u„ = s i n 0 c o s d > = - u , Z 4 u ^ = s i n 9 s i n A = -u,. H e n c e , a s b e f o r e , t h i s r e d u c e s jb t o °° r 3 [4-34] ^ - - f i r [ r P ( ) p n a n=0 L i = l Z n 1 J I t i s e a s y t o s h o w t h a t 3 [ 4 - 3 5 ] YLu? = 1 a n d 1=1 X i = l T h i s y i e l d s 3 X l u ' t = c o s 4 9 + s i n 4 9 ( c o s 4 * + s i n 4 * ) = 3 ( 6 , * ) 3 3 [ 4 - 3 6 ] H P 0 ( U . ) = X I 1 = 3 i = l i = l 1=1 1=1 3 3 £ L P 4 ( u i ) =• I £ ( 3 5 u 4 - 3 0 u | + 3 ) = | [ 3 5 j (0,<j>) - 21] i = l i = l [4-37] hence % = - — [ 3 + ^ -(35j - 21)^ .+ 0(v 6)] a O Using [4-16] and a = y/? s, t h i s gives [4-38] = J p . f S£i\(35J - 21) 9 167? \ s 5 / 3 9 r 4_40l -* = -35_/CTIri\ O j / 3 y ) ^ 16 7? I SS j s i n 9 where i t has been assumed that [4-41] v 5 = ( r / a ) 5 « 1 . One can compare 3^. with the nearest neighbour values of J at some of the points i n [4-26]. Denoting the second neighbour acceleration by 2 3*r and the nearest neighbour acceleration by 13*'r> o n e n a s '• [4-42] (TT/4,0): ^ r ^ O = - 7 / 8 ^ which gives l 2 ^ / 1 ^ ! = (7/8^)/(7/4) = 1/2 72" <v, 0.36 (cos - 1 zi ,TT/4): 2^/^ = -7/37? which gives 7? 2 3 ' / 1 3 - I = (7/37?)/(14/3) = 1/272 1 (O.cf,): 2 - ^ r / ^ 0 = + 7 / 2 ^ which gives l 2 ^ / 1 ^ ! = .(7/2j2>/7 = 1/27? . Calculation of 3j/3cj> gives [4-43] 3j/3<J) = -sin4 0sin4<}) = -2af/a<j) [4-44] which gives l 2 ^ / 1 ^ ! = 1/272' at a l l points. <p 9 I t appears that nearest neighbour t i d a l effects are roughly three 3 2 t i m e s g r e a t e r t h a n s e c o n d n e i g h b o u r e f f e c t s , i . e . t h e m a j o r p a r t s o f t h e t i d a l f o r c e s o n a m e t a g a l a x y a r e d u e t o i t s n e a r e s t n e i g h b o u r s . 33 5. THE M E T A G A L A X Y AS A SCHWARZSCHILD O B J E C T I n t h e p r e v i o u s s e c t i o n s , h i e r a r c h i c a l c o s m o l o g y h a s b e e n d i s c u s -s e d i n N e w t o n i a n t e r m s . T h e c o n c e p t s o f t h e m e t a g a l a x y b e i n g a N e w t o -n i a n b l a c k h o l e , a n d a h i e r a r c h i c a l u n i v e r s e w i t h b l a c k h o l e s a s e l e -m e n t s , w e r e p r o p o s e d , a n d t h e i r f e a t u r e s w e r e e x a m i n e d . I n o r d e r t o o b t a i n a m o r e m o d e r n p o i n t o f v i e w , i t w o u l d b e i n t e r e s t i n g t o t r e a t t h e p r o b l e m u s i n g t h e g e n e r a l t h e o r y o f r e l a t i v i t y . T h e c l a s s i c a l n o t i o n p r e s e n t e d p r e v i o u s l y t h a t t h e m e t a g a l a x y i s s i m p l y a n e l e m e n t i n a h i e r a r c h y o f m e t a g a l a x i e s , i . e . t h a t i t i s o n e o f a n u m b e r o f c l u m p s o f m a t t e r g r o u p e d t o g e t h e r , l e a d s t o t h e g e n e r a l r e l a t i v i s t i c c o n c e p t o f t h e m e t a g a l a x y b e i n g o n e o f a n u m b e r o f S c h w a r z -s c h i l d o b j e c t s g r o u p e d t o g e t h e r . A l s o , j u s t a s t h e m e t a g a l a x y may b e c o n s i s t e n t l y t h o u g h t o f a s a N e w t o n i a n b l a c k h o l e i n t h e c l a s s i c a l c a s e , s o i t . i s c o n c e i v a b l e t h a t t h e m e t a g a l a x y may b e a b l a c k h o l e i n t h e g e n e r a l r e l a t i v i s t i c s e n s e . I t i s t h e p u r p o s e o f t h i s s e c t i o n t o e x a m i n e t h e n a t u r e o f t h i s c o n c e p t . T h e s p a c e t i m e c o m p r i s i n g t h e i n t e r i o r o f t h e m e t a g a l a x y may b e d e s c r i b e d b y a m e t r i c o f t h e R o b e r t s o n - W a l k e r t y p e [ 5 - 1 ] d s 2 = d t 2 - R 2 ( t ) [ ( l - k r 2 ) _ 1 d r 2 + r 2 d f t 2 ] r w i t h d f t 2 = d 9 2 + s i n 2 9 d < j > 2 ( s e e e . g . W e i n b e r g 1 9 7 2 , p . 4 1 2 ) . T h e c o n s t a n t k t a k e s t h e v a l u e s - 1 , 0 , o r +1 d e p e n d i n g o n w h e t h e r m e t a g a l a c t i c s p a c e i s i n f i n i t e o r f i n -i t e r e s p e c t i v e l y . H e r e , 6 a n d <j> a r e s p h e r i c a l a n g l e v a r i a b l e s . U n i t s i n w h i c h c = s p e e d o f l i g h t = 1 h a v e b e e n u s e d . T h e m e t r i c d s 2 d e s -r c r i b e s a s p h e r i c a l l y s y m m e t r i c , i s o t r o p i c a n d h o m o g e n e o u s s p a c e t i m e . 34 T h e s p a t i a l c o o r d i n a t e s r , 6 a n d cj> o f a p o i n t c o m o v i n g w i t h t h e " c o s m i c f l u i d " d o n o t c h a n g e t h e i r v a l u e s , i . e . t h e y a r e c o m o v i n g c o -o r d i n a t e s . U s i n g [ 5 - 1 ] i n E i n s t e i n ' s f i e l d e q u a t i o n s , w i t h t h e c o s m i c c o n s t a n t A u n e q u a l t o z e r o , o n e o b t a i n s t h e f o l l o w i n g d i f f e r e n t i a l e q u a t i o n f o r R ( t ) : [ 5 - 2 ] R 2 + k = 8-rrGpR 2/3 + A R 2 / 3 w h e r e R = d R / d t ( s e e e . g . W e i n b e r g 1 9 7 2 , p . 6 1 3 - 6 1 4 ) a n d p = p ( t ) i s t h e e n e r g y d e n s i t y . T h e e q u a t i o n f o r t h e c o n s e r v a t i o n o f e n e r g y i s [ 5 - 3 ] d ( p R 3 ) / d R = - 3 p R 2 w h e r e p i s t h e p r e s s u r e o f c o s m i c m a t t e r ( b a s e d o n W e i n b e r g 1 9 7 2 , p . 4 7 2 , p . 6 1 4 ; a n d , A d l e r , B a z i n , S c h i f f e r 1 9 6 5 , p . 3 5 8 ) . G i v e n a n e q u a t i o n o f s t a t e p = p ( p ) , e q u a t i o n [ 5 - 3 ] w i l l d e t e r m i n e p a s a f u n c t i o n o f R, w h i c h c a n t h e n b e u s e d i n [ 5 - 2 ] t o d e t e r m i n e R a s a f u n c t i o n o f t . T h e v a l u e s a s s i g n e d t o k a n d A w i l l a l s o d e t e r m i n e t h e b e h a v i o u r o f R a s a f u n c t i o n o f t . C o s m o l o g i c a l m o d e l s i n w h i c h R ( t ) i s d e r i v e d i n t h i s w a y c o m p r i s e t h e w e l l - k n o w n F r i e d m a n n m o d e l s , h e n c e t h e s u b s c r i p t " F " o h t h e l i n e e l e m e n t d s i n e q u a t i o n [ 5 - 1 ] . F o r t h e c a s e k = + 1 , R i s s o m e t i m e s c a l l e d t h e " r a d i u s " o f t h e m e t a g a l a x y , s i n c e i t i s t h e r a d i u s o f a f o u r - d i m e n s i o n a l E u c l i d e a n h y p e r s p h e r e . F o r t h e c a s e s k = - 1 , 0 , R i s s i m p l y a s c a l e f a c t o r i . e . i t s e t s t h e s c a l e o f t h e g e o m e t r y o f s p a c e ( W e i n b e r g 1 9 7 2 , p . 4 1 2 ) . I n p r e s s u r e l e s s c o s m o l o g i c a l m o d e l s (p = 0 ) o n e h a s f r o m [ 5 - 3 ] , [ 5 - 4 ] p R 3 = c o n s t a n t . I n t h i s c a s e [ 5 - 2 ] c a n b e w r i t t e n a s [ 5 - 5 ] R 2 + k = u/R + A R 2 / 3 35 w i t h \i •= 8-rrGpR 3/3 = c o n s t a n t I f t h e m e t a g a l a x y may b e t h o u g h t o f a s a S c h w a r z s c h i l d o b j e c t , t h e n t h e s p a c e t i m e e x t e r i o r t o t h e m e t a g a l a x y i s d e s c r i b e d b y t h e S c h w a r z s c h i l d l i n e e l e m e n t f o r e m p t y s p a c e , [ 5 - 6 ] d s 2 = ( 1 - 2m/f - A f 2 / 3 ) d t 2 - ( 1 - 2m/f - M2/3)-1dfz - r 2 d H 2 w h e r e d H 2 = d e 2 + s i n 2 9 d < f i 2 a n d m = GM = G x m a s s o f S c h w a r z s c h i l d o b j e c t ( s e e e . g . A d l e r , B a z i n , S c h i f f e r 1 9 6 5 , p . 3 3 5 - 3 3 6 ) . T h e t w o m e t r i c s d s 2 a n d d s 2 m u s t b e m a t c h e d a t t h e b o u n d a r y d i v i -d i n g t h e i n t e r i o r a n d e x t e r i o r r e g i o n s . B o t h m e t r i c s d e s c r i b e s p h e r i -c a l l y s y m m e t r i c s p a c e t i m e s , h e n c e , i n t h e m a t c h i n g p r o c e s s , t h e t w o c o o r d i n a t e s y s t e m s may b e " c e n t e r e d " w i t h r e s p e c t t o t h e a n g l e v a r i a b l e s b y t a k i n g [ 5 - 7 ] 9 = 9 a n d <j> =• <j> i . e . dn = d f i . A l s o , f o r t h e s a k e o f g e n e r a l i t y , i t w i l l f i r s t b e a s s u m e d t h a t t h e F r i e d m a n n a n d S c h w a r z s c h i l d r e g i o n s h a v e d i f f e r e n t v a l u e s o f t h e c o s m i c c o n s t a n t , i . e . t h e c o s m i c c o n s t a n t i s A „ f o r t h e F r i e d m a n n r e g i o n a n d r A g f o r t h e S c h w a r z s c h i l d r e g i o n . I t w i l l b e s h o w n t h a t t h i s a s s u m p t i o n l e a d s t o a n u n d e s i r a b l e r e s u l t , a n d i t w i l l t h e n b e d r o p p e d . T h e t w o m e t r i c s a r e [ 5 - 8 ] d s 2 = d t 2 - R 2 ( t ) [ ( l - k r 2 ) ~ l d r 2 + r 2 d f i 2 ] [ 5 - 9 ] w i t h R 2 + k = u/R + A „ R 2 / 3 • F a s s u m i n g t h a t p r e s s u r e i s n e g l i g i b l e , i . e . p % 0, and. [ 5 - 1 0 ] d s 2 = ( 1 - 2m/f - A g f 2 / 3 ) d t 2 - ( 1 - 2m/f - Af2/3)-ldfZ _ f 2 d j } 2 . 36 I n o r d e r t o m a t c h t h e m a t t h e b o u n d a r y , t h e m e t r i c d s 2 w i l l b e r e x p r e s s e d i n t e r m s o f t h e s t a n d a r d c o o r d i n a t e s ( o r S c h w a r z s c h i l d c o -o r d i n a t e s ) f,G , < j),t . T h e m o s t g e n e r a l f o r m f o r a s p h e r i c a l l y s y m m e t r i c , i s o t r o p i c m e t r i c i n t h e s e c o o r d i n a t e s i s t h e s t a n d a r d f o r m [ 5 - 1 1 ] d s 2 = B ( r , t ) d t 2 - A ( f , t ) d f 2 - f 2 d f t 2 ( s e e e . g . W e i n b e r g 1 9 7 2 , e q u a t i o n 1 1 . 7 . 1 ^ p . 3 3 6 ) . T h e f o l l o w i n g c a l c u l a -t i o n h a s b e e n a d a p t e d f r o m o t h e r c a l c u l a t i o n s f o r m a t c h i n g s p a c e t i m e s . ( s e e e . g . E i n s t e i n a n d S t r a u s s 1 9 4 5 ; O p p e n h e i m e r a n d S n y d e r 1 9 3 9 ; s e e a l s o W e i n b e r g 1 9 7 2 j p . 3 4 2 - 3 4 6 ) . One m u s t f i n d a t r a n s f o r m a t i o n [ 5 - 1 2 a ] t = t ( r , t ) [ 5 - 1 2 b ] f = f ( r , t ) w h i c h t r a n s f o r m s d s i n t o s t a n d a r d f o r m . T a k i n g d i f f e r e n t i a l s a n d s o l v i n g f o r d r a n d d t g i v e s [ 5 - 1 3 ] d r = ( t t d f - f d t ) / n a n d d t = ( f r d t - t r d f ) / n w h e r e n = t f - F t t r t r a n d t = 3 t / 3 t , e t c . . U s i n g [ 5 - 1 3 ] i n [ 5 - 8 ] y i e l d s [ 5 - 1 4 ] d s 2 = ( f 2 - a f 2 ) n " 2 d t 2 - ( a t 2 - t 2 ) n " 2 d f 2  F r t . t r - 2 ( f t - o f t i . ) n ~ 2 d f d t - r 2 R 2 d G 2 r r t t [ 5 - 1 5 ] w h e r e a = R 2 ( t ) ( 1 - k r 2 ) " 1 C o m p a r i n g w i t h [ 5 - 1 1 ] , t h i s y i e l d s t h e t r a n s f o r m a t i o n [ 5 - 1 2 b ] [ 5 - 1 6 ] f = r R ( t ) ( s e e e . g . W e i n b e r g 1 9 7 2 , p . 3 4 5 ) a n d a l s o [ 5 - 1 7 a ] B ( r , t ) = ( r 2 - o - f 2 ) r r 2 [ 5 - 1 7 b ] A ( r , t ) = ( a t 2 - t 2 ) n - 2 a n d [ 5 - 1 7 c ] r r t r = a r t t t . I t i s u n d e r s t o o d t h a t r a n d t i n [ 5 - 1 7 a ] a n d [ 5 - 1 7 b ] a r e e x p r e s s e d a s f u n c t i o n s o f r a n d t . E q u a t i o n [ 5 - 1 7 c ] c a n b e u s e d t o e l i m i n a t e f f r o m [ 5 - 1 7 a ] a n d n . T h i s g i v e s [ 5 - 1 8 a ] B - 1 = t 2 [ l - a-Htr/tt)2] [ 5 - 1 8 b ] A " 1 = f 2 [ a ( t t / t r ) 2 - 1 ] U s i n g [ 5 - 1 5 ] a n d [ 5 - 1 6 ] , e q u a t i o n [ 5 - 1 7 c ] g i v e s [ 5 - 1 9 ] ( t r / t t ) = o f t / f r = r R R ( l - k r 2 ) - 1 T h e n , u s i n g [ 5 - 9 ] , [ 5 - 1 5 ] , [ 5 - 1 6 ] a n d [ 5 - 1 9 ] i n [ 5 - 1 8 ] , B a n d A b e c o m e [ 5 - 2 0 a ] B = ( l / t 2 ) ( l - k r 2 ) ( l - y r 2 / R - hr2R2/3)~l t r [ 5 - 2 0 b ] A = ( 1 - y r 2 / R - A T 7 r 2 R 2 / 3 ) ~ 1 r A i s n o w k n o w n , b u t B i s s t i l l u n d e t e r m i n e d d u e t o t h e f a c t o r ( 1 / t 2 ) . A m u s t a g r e e w i t h t h e c o e f f i c i e n t o f d f 2 i n t h e S c h w a r z s c h i l d m e t r i c [ 5 - 6 ] a t t h e b o u n d a r y . B w i l l a g r e e w i t h t h e c o e f f i c i e n t o f d t 2 i n [ 5 - 6 ] a t t h e b o u n d a r y i f t ^ i s c h o s e n a p p r o p r i a t e l y a t t h e b o u n d a r y . T h e b o u n d a r y may b e d e s c r i b e d b y 1 -[ 5 - 2 1 ] r = b w h e r e b i s a c o n s t a n t s i n c e r i s a c o m o v i n g c o o r d i n a t e . M a t c h i n g A a t r = b y i e l d s [ 5 - 2 2 ] 1 - u b 2 / R - A „ b 2 R 2 / 3 = 1 - 2m/bR - A c b 2 R 2 / 3 w h e r e [ 5 - 1 6 ] h a s b e e n u s e d . T h i s i s e q u i v a l e n t t o [ 5 - 2 3 ] 2m = b 3 [ u + ( A p - A g ) R 3 / 3 ] T h i s m e a n s t h a t i n o r d e r f o r d s 2 t o b e e x p r e s s i b l e i n s t a n d a r d f o r m , r 38 t h e S c h w a r z s c h i l d g e o m e t r i z e d m a s s m m u s t b e t i m e - d e p e n d e n t . T h i s i s u n r e a l i s t i c , a n d s o t h e c o s m i c c o n s t a n t A w i l l h e n c e f o r t h b e a s s u m e d t o h a v e o n e u n i v e r s a l v a l u e , i . e . , A F = A g = A I n t h i s c a s e , o n e h a s [ 5 - 2 4 ] m = | u b 3 o r , u s i n g t h e d e f i n i t i o n o f y i n [ 5 - 5 ] , [ 5 - 2 5 ] M = - | r r p ( b R ) 3 a f a m i l i a r r e s u l t . M a t c h i n g B a t r = b g i v e s [ 5 - 2 6 ] t " 2 ( b , t ) ( l - k b 2 ) ( l - u b 2 / R - A b ^ 2 / ^ ) " 1 = 1 -• u b 2 / R - A b 2 R 2 / 3 w h e r e [ 5 - 2 4 ] i s u n d e r s t o o d . T h i s g i v e s t h e e x p r e s s i o n f o r t a t t h e b o u n d a r y , [ 5 - 2 7 ] t f c ( b , t ) = ±(1 - k b 2 ) 1 / 2 ( l - u b 2 / R - A b 2 R 2 / 3 ) _ 1 w h e r e t h e s i g n i s a r b i t r a r y . T h e g e n e r a l s o l u t i o n t o t h e d i f f e r e n t i a l e q u a t i o n o f [ 5 - 1 9 ] , c o m b i n e d w i t h t h e i n t e g r a l o f [ 5 - 2 7 ] g i v e s t h e r e q u i r e d t r a n s f o r m a t i o n f o r t i n [ 5 - 1 2 a ] , T h e q u a n t i t y t t ( r , t ) c a n t h e n b e c a l c u l a t e d t o g i v e t h e e x p r e s s i o n f o r B i n [ 5 - 2 0 a ] . T h e g e n e r a l s o l u t i o n t o [ 5 - 1 9 ] i s [ 5 - 2 8 ] t = F ( x ) [ 5 - 2 9 ] w h e r e x = J ( l - k r 2 ) - Y / 2 V I ( R ) [ 5 - 3 0 ] w i t h I ( R ) = / R ( y + A R 3 / 3 - k R ) - 1 d R w h e r e [ 5 - 5 ] h a s b e e n u s e d . J a n d y a r e a r b i t r a r y c o n s t a n t s b u t i t i s c o n v e n i e n t t o c h o o s e t h e m a s — 1 / 2 J = ( 1 - k b 2 ) a n d y = - k , h e n c e , 39 = / 1 - k r 2 \ 1 / 2 \ 1 - k b 2 / - k l ( R ) 1/2 [ 5 - 3 1 ] x = F i s a n a r b i t r a r y f u n c t i o n o f x . E q u a t i o n [ 5 - 2 7 ] g i v e s [ 5 - 3 2 ] t ( b , t ) = ± / l - k b 2 ' | t ( l - y b 2 / R - A b 2 R 2 / 3 ) - 1 d t - i e j l ^ f ! dR_ / l R \ J ( 1 - y b 2 / R - A b 2 R 2 / 3 ) \ y + A R 3 / 3 - k R / w h e r e [ 5 - 5 ] h a s b e e n u s e d , a n d e i s t h e s i g n o f R. E q u a t i o n [ 5 - 3 2 ] c a n a l s o b e w r i t t e n a s r f ( x b ) [ 5 - 3 3 ] t ( b , t ) « i e j l - k b 2 ' d R ,1/2 ( 1 - y b 2 / R - A b 2 R 2 / 3 ) \ y •+ A R 3 / 3 - k R [ 5 - 3 4 ] w h e r e x b = x ( r = b ) = e ~ k I ( R ) a n d f ( z ) i s a s o l u t i o n o f [ 5 - 3 5 ] z - e - k I ( f ( z » H e n c e , f o r a n y r , a n e x p r e s s i o n f o r t i s o b t a i n e d b y r e p l a c i n g x b b y x , i . e . . [ 5 - 3 6 ] t ( r , t ) = i e j l - k b 2 ' ] •f(x) dR ( 1 - y b 2 / R - A b 2 R 2 / 3 ) \ y + A R 3 / (—J  \u + A R 3 / 3 - k R / f ( x n ) [ 5 - 3 7 ] w h e r e f ( x Q ) = f ( x ( t = 0 ) ) = f and RQ = R(t=0) 1 - k r 2 ' 1 / 2 e - k I ( R 0 ) 1 - k b ' The lower l i m i t to the i n t e g r a l has been conveniently chosen, so that one has,. [5-38] t(r,0) = 0 Equation [5-36] i s the required transformation [5-12a]. 4 0 To obtain B, one must f i r s t calculate t from [5-36], The resu l t i s [5-391 t l ( r , 0 - i p p P - ^ Af3(x) - kf(x) f(x) 3 ±Ab2f2(x)] Using t h i s i n [5-20a] gives [5-40] B = I t l - f e - - f o 2 f 2 ( x ) ] 2 f(x) [1 - ^  - -jAr 2R 2 ] 1-kr 2 y + -jAR3 •AR3 - kR kR [_l-kb2 The expression for A i s repeated here for convenience, y + -jAf 3(x) - kf(x) [5-41] A = (1 - i f - - i A ^ R 2 ) - 1 Summarizing, the Friedmann metric i s given i n standard form by [5-11] with A and B given by [5-40] and [5-41]. The transformations connec-ting ( f , t ) to ( r , t ) are given by equations [5-16] and [5-36]. the Schwarzschild metric i s expressed i n standard form by equation [5-10] (with Ag = A, of course). Since, at the boundary r = b, one has -kl(R) * = XD = e V I and f(x) = f ( x b ) = R equation [5-40] reduces to [5-42] B = 1 - yb 2/R - Ab 2R 2/3 at r = b, as required. In the case A = 0, one has [5-43] I(R) = - k ~ 1 l n ( y - kR) [5-44] hence \ l - kb 2 / kR) 4 1 [ 5 - 4 5 ] a n d = y - k R [ 5 - 4 6 ] a n d [ 5 - 4 7 ] h e n c e [ 5 - 4 8 ] a n d / l - k r 2 \ U - k b 2 / 1/2 ( y - k R Q ) f ( x ) = ( y - x ) / k f ( x Q ) = ( y - x Q ) / k T h e r e f o r e B a n d A r e d u c e t o [5-49a] B - f« l j i ^ u S ^ L r w J [ 1 - y r ' f ( x ) ] 2 - 2 / R ] 1 - k r 2 1 - k b ' 1/2 (A = 0 ) [ 5 - 4 9 b ] A = ( 1 - y ^ / R ) " 1 (A = 0 ) A n e a s i e r w a y t o m a t c h m e t r i c s a t t h e b o u n d a r y i s s i m p l y t o e q u a t e d s 2 a n d d s 2 a t r = b . H o w e v e r , t h i s m e t h o d y i e l d s o n l y e q u a t i o n s [ 5 - 1 6 ] O r a t t h e b o u n d a r y r = b , a n d [ 5 - 3 2 ] , i . e . t h e t r a n s f o r m a t i o n s f o r f = f ( r , t ) a n d t = t ( r , t ) a r e r e v e a l e d o n l y f o r r = b , n o t f o r a n y r . B a n d A a r e a l s o k n o w n o n l y a t t h e b o u n d a r y r = b b y t h i s m e t h o d . T h e m o r e r i g o r o u s m a t c h i n g p r o c e s s h a s b e e n u s e d a b o v e f o r c o m p l e t e n e s s . T h e s i m p l e r m e t h o d g o e s a s f o l l o w s : R e p e a t i n g , t h e t w o m e t r i c s a r e [ 5 - 5 0 ] d s 2 = d t 2 - R 2 ( t ) [ ( l - k r 2 ) _ 1 d r 2 + r 2 d n 2 ] , a n d c i [ 5 - 5 1 ] d s 2 = ( 1 - 2m/f - A f 2 / 3 ) d t 2 - ( 1 - 2m/f - A f 2 / 3 ) ~ 1 d f 2 - f 2 d f l 2 w h e r e d f t 2 = d 9 2 + s i n 2 6 d < } > 2 A t t h e b o u n d a r y r = b , o n e h a s [ 5 - 5 2 ] d s | = d t 2 - R 2 b 2 d ^ 2 = d s 2 = ( 1 - 2 m / f v - A f 2 / 3 ) d t 2 - ( 1 - ' 2 m / r u - A f 2 / 3 ) _ 1 d f 2 - f 2 d ^ 2 . D D D D . D . D D T h i s y i e l d s [ 5 - 5 3 ] . - f , » b R ( t ) D [ 5 - 5 4 ] h e n c e d f , = b d R = b R d t b ' W i t h t h e h e l p o f [ 5 - 5 3 ] a n d [ 5 - 5 4 ] , [ 5 - 5 2 ] b e c o m e s [ 5 - 5 5 ] d t 2 = ( 1 - 2m/bR - A b 2 R 2 / 3 ) d t 2 - ( 1 - 2m/bR - A b 2 R 2 / 3 ) _ 1 b 2 R 2 d t 2 . .b U s i n g e q u a t i o n s [ 5 - 2 ] f o r R, a n d a s s u m i n g t h e v a l i d i t y o f e q u a t i o n [ 5 - 2 4 ] o r [ 5 - 2 5 ] , o n e c a n s o l v e [ 5 - 5 5 ] f o r d t , / d t t o g i v e b [ 5 - 5 6 ] ^ = | | ( b , t ) = H(b,t) = i / ^ b 7 ( 1 - y b 2 / R - hb2R2/3r1 w h i c h y i e l d s [ 5 - 3 2 ] w h e n i n t e g r a t e d . . ( f o r s i m i l a r e x p r e s s i o n s , s e e e . g . K a n t o w s k i 1 9 6 9 ) . v T h e f o r e g o i n g m e t h o d s h a v e b e e n u s e d t o embed a F r i e d m a n n s p a c e -t i m e a t t h e c e n t e r o f a S c h w a r z s c h i l d s p a c e t i m e . T h e e x a c t s a m e me-t h o d s c a n o b v i o u s l y b e u s e d t o e m b e d S c h w a r z s c h i l d o b j e c t s i n a F r i e d -m a n n s p a c e t i m e . T h i s h a s b e e n d o n e i n t h e s o - c a l l e d " S w i s s c h e e s e " m o d e l s o f t h e m e t a g a l a x y ( s e e e . g . K a n t o w s k i 1 9 6 9 ) . T h e r e s u l t s o f t h e s e m e t h o d s w i l l b e u s e d i n l a t e r p a r t s o f t h i s w o r k i n t h e c o n s i -d e r a t i o n o f a h i e r a r c h y o f m e t a g a l a x i e s r e p r e s e n t e d a s S c h w a r z s c h i l d o b j e c t s e m b e d d e d i n a F r i e d m a n n s p a c e t i m e . V a r i o u s d y n a m i c a l m o d e l s o f t h e m e t a g a l a x y a r e o b t a i n e d b y a s s i g n -i n g d i f f e r e n t v a l u e s t o t h e c o n s t a n t s k a n d A. T h e s e m o d e l s a r e d e -s c r i b e d b y t h e s c a l e f a c t o r R a s a f u n c t i o n o f t , w h i c h i s a s o l u t i o n o f [ 5 - 2 ] , o r o f [ 5 - 5 ] i f p r e s s u r e i s n e g l i g i b l e i . e . i f [ 5 - 4 ] i s a s -s u m e d . T h e v a r i o u s s o l u t i o n s o f [ 5 - 5 ] a r e d e p i c t e d g r a p h i c a l l y i n F i g s . 5 - 1 t o 5-3. T h e s e d i a g r a m s h a v e b e e n a d a p t e d f r o m " C o s m o l o g y " 4 3 ( B o n d i 1 9 6 0 , C h a p . I X ) . I n e a c h o f t h e p o s s i b l e m o d e l s , R ( t ) b e h a v e s i n o n e o f t h e f o l l o w i n g w a y s : I . R ( t ) i s a c o n s t a n t f o r a l l t ( F i g . 5 - 3 ( i i ) ( a ) ) . I I . R ( t ) e x p a n d s m o n o t o n i c a l l y (R(t)-*» a s t-**>) s t a r t i n g a t a d e f i n i t e t i m e f r o m R = 0 ( F i g s . 5 - l ( i ) , 5 - 1 ( i i ) , 5 - 2 ( i ) , 5 - 2 ( i i ) , 5 - 3 ( i ) ) . I I I . R ( t ) e x p a n d s m o n o t o n i c a l l y f r o m a f i n i t e v a l u e o f R a t t = -« (R(t)-*=° a s t-*») ( F i g . 5 - 3 ( i i ) ( c ) ) . I V . R ( t ) e x p a n d s m o n o t o n i c a l l y s t a r t i n g a t a f i n i t e t i m e f r o m R = 0 a n d t e n d s t o a l i m i t a s t-*» ( F i g . 5 - 3 ( i i ) ( b ) ) . V . R ( t ) o s c i l l a t e s b e t w e e n R = 0 a n d a f i n i t e v a l u e o f R ( F i g s . 5 - 1 ( i i i ) , 5 - 2 ( i i i ) , 5 - 3 ( i i i ) ( a ) , 5 - 3 ( i v ) ) . V I . R ( t ) c o n t r a c t s f r o m i n f i n i t y t o a f i n i t e v a l u e o f R a n d t h e n e x -p a n d s a g a i n t o i n f i n i t y ( F i g . 5 - 3 ( i i i ) ( b ) ) . I f t h e m e t a g a l a x y i s a b l a c k h o l e , t h e n i t w o u l d b e u n d e t e c t a b l e b y o p t i c a l m e a n s f r o m t h e o u t s i d e . E l e c t r o m a g n e t i c s i g n a l s c o u l d b e r e c e i v e d f r o m t h e o u t s i d e ; h o w e v e r , i f t h e o u t s i d e c o n s i s t s o f n o t h i n g b u t o t h e r b l a c k h o l e - m e t a g a l a x i e s , t h e n t h e r e w o u l d b e n o c o n n e c t i o n a t a l l v i a o p t i c a l m e a n s . A g a i n , o n l y t i d a l f o r c e s o n some m e t a g a l a x y d u e t o o t h e r s a r o u n d i t m i g h t b e n o t i c e a b l e a c c o r d i n g t o a n a r g u m e n t s i m i l a r t o t h e o n e p r e s e n t e d i n s e c t i o n 4. H o w e v e r , i f m e t a g a l a x i e s a r e S c h w a r z s c h i l d o b j e c t s b u t n o t b l a c k h o l e s , t h e n o p t i c a l d e t e c t i o n may b e p o s s i b l e . T o c l a r i f y t h i s , c o n s i d e r t h e f o l l o w i n g s i m p l e e x a m p l e : t w o m e t a -g a l a x i e s a r e r e p r e s e n t e d a s S c h w a r z s c h i l d o b j e c t s e m b e d d e d i n a F r i e d -m a n n s p a c e t i m e . F o r s i m p l i c i t y , a s s u m e A = 0. S i n c e t h e S c h w a r z s c h i l d f c o o r d i n a t e o f t h e b o u n d a r y o f a m e t a g a l a x y i s g i v e n b y [ 5 - 5 3 ] , i . e . [ 5 - 5 3 ] r b = r ( b , t ) = b R ( t ) 44 F I G . 5 - 1 . M e t a g a l a c t i c m o d e l s f o r k = - 1 . F I G . 5 - 2 . M e t a g a l a c t i c m o d e l s f o r k = 0. f R ( t ) ( i v ) A < 0 FIG.5-3 . M e t a g a l a c t i c m o d e l s f o r k = + 1 . A c = 4 / 9 y 2 47 o n e may d e n o t e t h e g r a v i t a t i o n a l r a d i u s ( o r S c h w a r z s c h i l d r a d i u s ) o f t h e m e t a g a l a x y b y w h e r e f = 2m. T h e F r i e d m a n n s p a c e t i m e i s c o n -n e c t e d t o t h e t w o S c h w a r z s c h i l d s p a c e t i m e s a t r e g i o n s e x t e r i o r t o t h e i r g r a v i t a t i o n a l r a d i i i . e . a t r e g i o n s w h e r e f > r ^ = 2m. I n o r d e r f o r a n o p t i c a l c o n n e c t i o n t o e x i s t b e t w e e n t h e t w o m e t a g a l a x i e s i t i s n e -c e s s a r y t h a t t h e b o u n d a r y o f a t l e a s t o n e o f t h e m b e b e y o n d i t s g r a v i -t a t i o n a l r a d i u s f , s o t o s p e a k . F o r i n s t a n c e , i f t h e m e t a g a l a x y i s e x p a n d i n g s t a r t i n g f r o m R = 0, i . e . i f i t i s o f t y p e I I , t h e n t h e b o u n d a r y o f t h i s m e t a g a l a x y w o u l d h a v e t o e x p a n d w i t h t u n t i l ' t r e a c h e d t , s u c h t h a t g [ 5 - 5 7 ] f . = f ( b , t ) = 2m = b R ( t )' = b R . b g g g g F o r t > t g , t h e S c h w a r z s c h i l d c o o r d i n a t e o f t h e b o u n d a r y w o u l d b e g r e a t e r t h a n r b g > h e n c e t h e m e t a g a l a x y w o u l d n o l o n g e r b e a b l a c k h o l e , a n d w o u l d b e a b l e t o t r a n s m i t o p t i c a l s i g n a l s t o t h e o t h e r m e t a g a l a x y . T h e b e h a v i o u r o f t ^ 3 t ( b , t ) n e a r t = t c a n b e d e t e r m i n e d b y u s i n g [ 5 - 2 7 ] . S i n c e i s d e f i n e d b y [ 5 - 5 8 ] 1 - 2m/r, - A f 2 /3 = 0 i . e . , b g b g [ 5 - 5 9 ] 1 - p b 2 / R - A b 2 R 2 / 3 = 0 . \ ' g g 1 ( u s i n g [ 5 - 2 4 ] ) , e q u a t i o n [ 5 - 2 7 ] s h o w s t h a t [ 5 - 6 0 ] t t ( b , t ) = ± » [ 5 - 6 1 ] ==> t . -»• ± » a s t .-»• t b g T h i s s h o w s t h a t i t w o u l d t a k e a n i n f i n i t e S c h w a r z s c h i l d t i m e t , f o r b t h e b o u n d a r y t o r e a c h t h e g r a v i t a t i o n a l r a d i u s . I t h a s b e e n a s s u m e d i n t h e l a s t p a r a g r a p h t h a t R e x i s t s , h o w e v e r , 4 8 since i s defined by [5-59], i t i s seen that R^ may not e x i s t , i . e . [5-59] may not have any r e a l solutions for R (such that R > 0), i f A i s p o s i t i v e and large enough. This can be shown by rewriting [5-59] as [5-62] -|-AR3 = — - y a t R = R 3 b 2 . g and p l o t t i n g both sides simultaneously as functions of R as i n Fig.5-4. If A > A* , then R does not e x i s t . Note that for A < A*, two gra v i -t a t i o n a l r a d i i ? can exist for one metagalaxy. The c r i t i c a l value A* can be derived by noting that at R = R*, the slopes of A*R3/3 and s R/b2 - y are equal, i . e . [5-63] A*(R*) 2 = 1/b2 [5-64] =$> A* = l / ( b R * ) 2 Using t h i s i n the equation [5-65] - k*(R*) 3 = i-R* - y 3 g b2 g [5-66] gives R* = 3yb2/2 = 3m/b [5-67] which means A* = 4/9y 2b 6 = l/9m 2 For the metagalaxy, [5-68] m = GM . ^ R (c = 1) 1 according to Fig.1-1. Hence [5-69] A* ^ 1/9R2 \ 10" 5 3 meter - 2 assuming R 1 0 1 0 l i g h t years ^ 1 0 2 6 meters. Hence i f [5-70] A > A* % 1/9R2 then a g r a v i t a t i o n a l radius does not exist for the metagalaxy as a Schwarzschild object. In such a case, i n which there i s no g r a v i t a t i o n a l radius, the FIG.5-4 . P l o t o f [ 5 - 6 2 ] . I f A > A*, t h e n R d o e s n o t e x i s t . One h a s 0 < b < 0 0 f o r k = -1,0 a n d 0 < b < 1 f o r k = +1 . F o r 0 < A < A*, t h e r e a r e t w o v a l u e s o f R 5 0 f o l l o w i n g i n e q u a l i t y h o l d s : [ 5 - 7 1 ] 1 - u b 2 / R - A b 2 R 2 / 3 < 0 ( r = b ) f o r a l l v a l u e s o f R ( t ) , o r e q u i v a l e h t l y , [ 5 - 7 2 ] 1 - 2m/r, - A f 2 / 3 < 0 D D f o r a l l v a l u e s o f f , . b W i t h r e f e r e n c e t o F i g s . 5-1 t o 5 - 3 , i t i s s e e n . t h a t t h e r e a r e o n l y t h r e e m e t a g a l a c t i c m o d e l s t h a t c o u l d p o s s i b l y b e l o n g t o t h e c a t e g o r y A > A*. T h e y a r e ( 1 ) t h e c a s e k = - 1 , A > 0 i . e . F i g . 5 - l ( i ) ( 2 ) t h e c a s e k = 0 , A > 0 i . e . F i g . 5 - 2 ( i ) ( 3 ) t h e c a s e k = +1 , A > A^ i . e . F i g . 5 - 3 ( i ) T h e s e t h r e e c a s e s d o n o t h a v e t o h a v e A > A* — i t i s o n l y a p o s s i b i -l i t y . T h e y a r e a l l m o d e l s o f t y p e I I . T h e r e m a i n i n g m o d e l s d o n o t b e l o n g i n t h e c a t e g o r y A > A* f o r t h e f o l l o w i n g r e a s o n s : some o f t h e m h a v e A < 0 a n d s o o b v i o u s l y d o n o t b e l o n g . O t h e r s h a v e 0 < A < A £ , b u t i n t h e s e c a s e s , k = + 1 , h e n c e b c a n o n l y t a k e v a l u e s i n t h e r a n g e 0 < b < 1 . T h i s m e a n s t h a t [ 5 - 7 3 ] A c = 4 / 9 u 2 < A* = 4 / 9 y 2 b 6 [ 5 - 7 4 ] h e n c e A < A* . T h e r e f o r e c a s e s ( l ) - ( 3 ) a b o v e a r e t h e o n l y o n e s t h a t d o n o t n e c e s s a r i l y h a v e a g r a v i t a t i o n a l r a d i u s . I f A > A*, c a s e s ( l ) - ( 3 ) w o u l d r e p r e s e n t m o n o t o n i c a l l y e x p a n d i n g m e t a g a l a x i e s ( t y p e I I ) w h i c h s a t i s f y [ 5 - 7 1 ] f o r a l l v a l u e s o f R ( t ) . E x a m i n a t i o n o f [ 5 - 2 7 ] s h o w s t h a t t , w o u l d b e f i n i t e f o r a l l v a l u e s o f b t , a n d t h a t t , w o u l d b e a m o n o t o n i c a l l y i n c r e a s i n g o r d e c r e a s i n g f u n c t i o n o f t ( d e p e n d i n g o n t h e s i g n o f t ^ ( b , t ) ) . A c c o r d i n g t o [ 5 - 7 2 ] , t h e c o e f f i c i e n t o f d t 2 i n t h e S c h w a r z s c h i l d m e t r i c i s n e g a t i v e b , f o r a l l v a l u e s o f r , , a n d t h e c o e f f i c i e n t o f d f 2 i s p o s i t i v e f o r a l l b b v a l u e s o f f , . T h i s m e a n s t h a t f , i s a t i m e l i k e c o o r d i n a t e a n d t , i s a b D b s p a c e l i k e c o o r d i n a t e . T h e i n c r e a s e o f f , i n t h e s e m o d e l s r e p r e s e n t s b t h e p a s s a g e o f S c h w a r z s c h i l d t i m e , a n d t h e i n c r e a s e o r d e c r e a s e o f t , b r e p r e s e n t s t h e p a s s a g e o f S c h w a r z s c h i l d s p a c e ( s e e e . g . M i s n e r , T h o m e a n d w h e e l e r 1 9 7 3 , p . 8 2 3 ) . S u c h a r e g i o n o f S c h w a r z s c h i l d s p a c e t i m e , i n w h i c h t h e s p a c e l i k e a n d t i m e l i k e r o l e s o f r a n d t a r e r e v e r s e d , w i l l h e n c e f o r t h b e r e f e r r e d t o a s a " n e g a t i v e r e g i o n o f S c h w a r z s c h i l d s. s p a c e t i m e " s i n c e 1 - 2m/f - A f 2 / 3 i s n e g a t i v e . T h e r e g i o n o f S c h w a r z -s c h i l d s p a c e t i m e i n w h i c h r a n d t p l a y t h e f a m i l i a r s p a c e l i k e a n d t i m e -l i k e r o l e s , r e s p e c t i v e l y , w i l l h e n c e f o r t h b e r e f e r r e d t o a s t h e " p o s i -t i v e r e g i o n o f S c h w a r z s c h i l d s p a c e t i m e " , s i n c e 1 - 2 m / f - A r 2 / 3 i s p o s i t i v e . I f A > A*, c a s e s ( l ) - ( 3 ) w o u l d b e t y p e I I m e t a g a l a x i e s w h o s e b o u n d a r i e s a r e a l w a y s s i t u a t e d i n a n e g a t i v e r e g i o n o f S c h w a r z s c h i l d s p a c e t i m e . C o n s i d e r n o w t h e c a s e s i n w h i c h a g r a v i t a t i o n a l r a d i u s ( o r r a d i i ) d o e s e x i s t f o r a m e t a g a l a x y , i . e . c a s e s i n w h i c h A < A*. I t w o u l d b e i n t e r e s t i n g t o f i n d a n o s c i l l a t i n g m e t a g a l a c t i c m o d e l , i . e . a m o d e l o f t y p e V , i n w h i c h t h e m a x i m u m v a l u e o f R ( t ) c o i n c i d e s w i t h t h e g r a v i t a -t i o n a l r a d i u s ( o r t h e g r a v i t a t i o n a l r a d i u s o f s m a l l e s t v a l u e i f t h e r e a r e t w o ) . I n o t h e r w o r d s i t w o u l d b e i n t e r e s t i n g t o h a v e t h e c a s e [ 5 - 7 5 ] R = R m g w h e r e R = R ( t ) i s t h e m a x i m u m v a l u e o f R, a n d t = t i s t h e t i m e a t m m m w h i c h t h i s m a x i m u m i s r e a c h e d . T h i s m e a n s t h a t t h i s m e t a g a l a x y w o u l d 5 2 b e o p t i c a l l y u n d e t e c t a b l e f r o m r e g i o n s b e y o n d t h e g r a v i t a t i o n a l r a d i u s f o r a l l v a l u e s o f t . O n e m i g h t a l s o c o n s i d e r t h e c a s e [ 5 - 7 6 ] R < R m g h o w e v e r t h i s c a s e w o u l d b e u r i p h y s i c a l b e c a u s e i n t h i s r e g i o n w h e r e f.. < f, i . e . R ( t ) < R , t h e c o o r d i n a t e f, i s a t i m e l i k e c o o r d i n a t e b b g g b a n d t , i s a s p a c e l i k e o n e . A r e v e r s a l o f R ( t ) , f r o m e x p a n s i o n t o c o n -b t r a c t i o n , w i t h i n t h i s n e g a t i v e r e g i o n m e a n s a r e v e r s a l o f f , w h i c h b w o u l d s i g n i f y a r e v e r s a l o f t h e d i r e c t i o n o f t h e f l o w o f S c h w a r z s c h i l d t i m e . H o w e v e r , i t w i l l b e s e e n t h a t t h i s c a s e d o e s n o t o c c u r a n y w a y . T h e p o s s i b i l i t y o f t h e c a s e [ 5 - 7 5 ] w i l l n ow b e i n v e s t i g a t e d . T h e e q u a t i o n t h a t R m u s t s a t i s f y i s g i v e n b y [ 5 - 5 9 ] w h i c h c a n b e w r i t t e n a s [ 5 - 7 7 ] -|AR3 = — - y a t R = R 3 b 2 8 I n m o d e l s o f t y p e V , t h e m a x i m u m v a l u e R^ m u s t s a t i s f y [ 5 - 7 8 ] ^-AR 3 = k R - y a t R = R J m w h i c h i s o b t a i n e d b y s e t t i n g R = 0 i n [ 5 - 5 ] ( p r e s s u r e i s a s s u m e d n e -g l i g i b l e ) . T o d e t e r m i n e w h e t h e r o r n o t t h e c a s e = R^ i s p o s s i b l e , e q u a t i o n s [ 5 - 7 7 ] a n d [ 5 - 7 8 ] c a n b e d i s c u s s e d g r a p h i c a l l y b y p l o t t i n g b o t h s i d e s o f b o t h e q u a t i o n s s i m u l t a n e o u s l y a s f u n c t i o n s o f R, f o r e a c h o f t h e f o u r m o d e l s o f t y p e V , a s i n F i g s . 5 - 5 t o 5 - 7 . T h e s e f o u r m o d e l s w i l l n ow b e d i s c u s s e d : k = - 1 , A < 0 ( F i g . 5 - l ( i i i ) ) : I n t h i s c a s e , o n e h a s . O < b < °°. O n e s e e s f r o m F i g . 5 - 5 t h a t R > R f o r a l l p o s s i b l e v a l u e s o f A a n d b . m g 54 k = 0, A < 0 ( F i g . 5 - 2 ( i i i ) ) : I n t h i s c a s e , o n e h a s 0 < b < ». O n e s e e s f r o m F i g . 5 - 5 t h a t R > R f o r a l l p o s s i b l e v a l u e s o f A a n d b . m g k = + 1 , 0 < A < A £ ( F i g . 5 - 3 ( i i i ) ( a ) ) : I n t h i s c a s e o n e h a s 0 < b < 1 . O n e s e e s f r o m F i g . 5 - 6 t h a t t h e r e a r e t w o v a l u e s o f R a n d R . O n e g m h a s R , > R _ • F o r t h i s m o d e l , R ( t ) d o e s n o t e x c e e d R .. a n d h e n c e m l g l m l d o e s n o t r e a c h R g 2 * a c t u a l l y r e p r e s e n t s t h e m i n i m u m v a l u e o f R f o r t h e m o d e l o f t y p e V I — i t w i l l b e d i s c u s s e d l a t e r . N o t e t h a t f o r R ^ < R < R ^ i n F i g . 5 - 6 , o n e h a s A R 3 / 3 < k R - u w h i c h m e a n s t h a t RR^ < 0 w h i c h i s u n p h y s i c a l . S i m i l a r r e g i o n s e x i s t i n F i g s . 5-5 a n d 5 - 7 . k = + 1 , A < 0 ( F i g . 5 - 3 ( i v ) ) : I n t h i s c a s e o n e h a s 0 < b < 1 . O n e s e e s f r o m F i g . 5 - 7 t h a t R > R f o r a l l p o s s i b l e v a l u e s o f A a n d b . m g H e n c e i n a l l m o d e l s o f t y p e V , o n e h a s [ 5 - 7 9 ] R > R o m g i . e . t h e c a s e R = R d o e s n o t o c c u r \ I n t h e s e m o d e l s , t h e b o u n d a r y m g e x p a n d s f r o m R = 0 i n t h e n e g a t i v e r e g i o n , c r o s s e s t h e g r a v i t a t i o n a l r a d i u s i n t o t h e p o s i t i v e r e g i o n , r e a c h e s a m a x i m u m , c o n t r a c t s , c r o s s e s t h e g r a v i t a t i o n a l r a d i u s i n t o t h e n e g a t i v e r e g i o n , a n d c o l l a p s e s t o R = 0. T h i s c y c l e i s i n d e f i n i t e l y r e p e a t e d . T h e r e a r e t w o v a l u e s o f t a t w h i c h t h e b o u n d a r y c r o s s e s t h e g r a v i t a t i o n a l r a d i u s , a n d a t b o t h o f t h e s e v a l u e s o n e h a s [ 5 - 8 0 ] t b = t ( b , t ) = ± co . F o r c l a r i t y , a s p e c i f i c e x a m p l e w i l l now b e d i s c u s s e d m o r e q u a n t i t a -t i v e l y . C o n s i d e r t h e c a s e o f F i g . 5 - 3 ( i v ) , w i t h k = +1 a n d A = 0. F o r t h i s c a s e , t h e s o l u t i o n t o [ 5 - 5 ] i s t h e w e l l - k n o w n c y c l o i d , F I G . 5 - 6 . P l o t o f [ 5 - 7 7 ] a n d [ 5 - 7 8 ] f o r t h e ' m o d e l s o f t y p e s V a n d V I w i t h k = +1 , 0 < A < A c . F I G . 5 - 7 . P l o t o f [ 5 - 7 7 ] a n d [ 5 - 7 8 ] f o r t h e m o d e l o f t y p e V w i t h k = +1 , A < 0 . 1 57 [ 5 - 8 1 ] R = - | y ( l - cost/;) [ 5 - 8 2 ] £ = l u t y _ Sin40 ( s e e e . g . W e i n b e r g 1 9 7 2 , p . 4 8 2 - 4 8 3 ) . E q u a t i o n [ 5 - 2 7 ] y i e l d s [ 5 - 8 3 ] | | ( b , t ) = _ £ Z _ = £ Z R 9 t ( 1 - y b 2 / R ) R - y b 2 w h e r e t h e "+" s i g h h a s b e e n c h o s e n a r b i t r a r i l y f o r t ( b , t ) . H e n c e , [ 5 - 8 4 ] t ( b , t ) = t , = Jl-b2' b U R d t R - y b 2 + c o n s t a n t U s i n g [ 5 - 8 1 ] a n d [ 5 - 8 2 ] , t h i s b e c o m e s [ 5 - 8 5 ] t ( b , t ) = t b = | u j l - b 2 ' ( 1 -. c o s i j Oz d ^ ^ —- " 2 1 + c o n s t a n t 1 - 2 b 2 - c o s i j * U p o n i n t e g r a t i o n , t h i s b e c o m e s |b + \ l l - b 2 * t a n ( i | ; / 2 ) [ 5 - 8 6 ] t = ^ y j l - b 2 ' 7h3 ( l + 2 b 2 H - s i n i | ; - . I n b - <Jl-b2'tan0j>/2) w h e r e \\) i s u n d e r s t o o d t o b e a f u n c t i o n o f t t h r o u g h [ 5 - 8 2 ] , T h e c o n -s t a n t o f i n t e g r a t i o n i s c h o s e n t o b e z e r o s o t h a t t i s z e r o w h e n t i s z e r o . T h e e q u a t i o n i n [ 5 - 8 6 ] i s p l o t t e d a s t ^ v s . t , w i t h t h e h e l p o f [ 5 - 8 2 ] , i n F i g . 5 - 8 , f o r o n e c y c l e i . e . 0 < 4» < : 2TT . T h e t w o v a l u e s o f t a r e d e n o t e d b y t , a n d t _ . I n t h e n e g a t i v e r e g i o n A t h e b o u n -g g l g2 d a r y o f t h e m e t a g a l a x y i s e x p a n d i n g . A s t + t g l ' t b e S c h w a r z s c h i l d t i m e t , -*• - °°. I n o t h e r w o r d s , i t w o u l d t a k e a n i n f i n i t e S c h w a r z s c h i l d b t i m e t ^ f o r t h e b o u n d a r y t o c r o s s t h e g r a v i t a t i o n a l r a d i u s . A n o b s e r -v e r i n t h e S c h w a r z s c h i l d s p a c e t i m e w o u l d n e v e r s e e t h e m e t a g a l a x y e m e r g e f r o m t h e n e g a t i v e r e g i o n . I n t h e p o s i t i v e r e g i o n B t h e m e t a -g a l a x y h a s c r o s s e d t h e g r a v i t a t i o n a l r a d i u s a n d i s n o t a b l a c k h o l e . 59 T h e b o u n d a r y i s e x p a n d i n g t o w a r d s t h e maximum v a l u e o f R w h i c h i t r e a c h e s a t t = t^. I t t h e n e n t e r s r e g i o n C i n w h i c h i t b e g i n s t o c o n -t r a c t t o w a r d s t h e g r a v i t a t i o n a l r a d i u s . I n t h e r e g i o n s B a n d C, t h e m e t a g a l a x y m a y b e o p t i c a l l y d e t e c t a b l e t o a n o b s e r v e r i n t h e S c h w a r z -s c h i l d s p a c e t i m e . O n e s e e s t h a t t h e m e t a g a l a x y e m e r g e d f r o m t h e n e -g a t i v e r e g i o n a t t , = - °°, a n d t h a t i t w i l l e n t e r i t a g a i n a t t , = + <=°. b b T o a S c h w a r z s c h i l d o b s e r v e r , t h e b o u n d a r y o f t h e m e t a g a l a x y h a s a l w a y s b e e n , a n d w i l l a l w a y s b e o u t s i d e t h e n e g a t i v e r e g i o n . I n r e g i o n D t h e m e t a g a l a x y h a s c r o s s e d t h e g r a v i t a t i o n a l r a d i u s a g a i n , a n d i s a b l a c k h o l e . T h e c a s e R^ = R^ d o e s n o t o c c u r f o r t y p e V m e t a g a l a x i e s ; t h e y a r e o p t i c a l l y d e t e c t a b l e t o p o s i t i v e r e g i o n o b s e r v e r s i n a c e r t a i n p a r t o f t h e i r l i f e t i m e . I f o u r m e t a g a l a x y i s o f t y p e V , a n d i f t h e u n i v e r s e c o n s i s t s o f a h i e r a r c h y o f t y p e V m e t a g a l a x i e s , t h e n i t i s p o s s i b l e t h a t w e may b e a b l e t o d e t e c t some o f t h e s e o t h e r m e t a g a l a x i e s . T u r n i n g t o o t h e r m o d e l s , o n e may s i m i l a r l y a s k w h e t h e r o r n o t t h e c o n s t a n t v a l u e o f R i n t h e m o d e l o f t y p e I i s e q u a l t o R , a n d w h e t h e r o r n o t t h e u p p e r l i m i t o f R i n t h e m o d e l o f t y p e I V i s e q u a l t o R . I n t h e t y p e I m o d e l ( k = +1, A = A ) t h e c o n s t a n t v a l u e o f R, R c , s a -t i s f i e s [5-78] a t R = R , i . e . c [5-87] 4 R 3 = k R - u a t R = R J c c w h i c h i s o b t a i n e d b y s e t t i n g R = 0 i n [5-5], a s i n [5-78]. S i m i l a r l y , t h e u p p e r l i m i t o f R, R^, i n t h e t y p e I V m o d e l ( k = +1, A ="AC)' s a t i s -f i e s [5-88] -|ACR3 = k R - u a t R = R f c 60 One sees from F i g . 5 - 3 ( i i ) that [5-89] \ = \ • • As usual, R must s a t i s f y [5-77], Discussing these models graphically g as before, one has: k = +1, A = A c (Fig.5-3(ii)(a) and 5-3(ii)(b) ): In these cases, one has 0 < b < 1. One sees from Fig.5-9 that R„ = R > R for a l l - H c g possible values of b. Note that there are two values of R^, however R(t) does not exceed R„ = R and hence does not reach the larger SL c value of R . g Hence the p o s s i b i l i t y of R = R = R i s eliminated. The model of type ~ c g I i s a s t a t i c metagalaxy. I t i s a Schwarzschild object whose boundary i s situated i n the p o s i t i v e region of Schwarzschild spacetime hence i t would be o p t i c a l l y detectable to an observer i n the p o s i t i v e region. In the model of type TV, the boundary expands from R = 0, crosses the g r a v i t a t i o n a l radius and continues expanding towards i t s upper l i m i t . As usual, at t = t one has t. = ± For t > t , t h i s metagalaxy i s g bg g also o p t i c a l l y detectable to a positive region observer, and i t i s o p t i c a l l y undetectable to a p o s i t i v e region observer for t < t . s The remaining models to be considered are of types I I , I I I , and VI. Consider models of type I I . They have no values of R at which R = 0. They can be discussed graphically by p l o t t i n g both sides of [5-77] as functions of R. There are f i v e models of type I I : k = -1, 0 < A < A* ( F i g . 5 - l ( i ) ): In t h i s case, 0 < b < °°. One sees from Fig.5-10 that there are two values of R . g k = -1, A = 0 ( F i g . 5 - l ( i i ) ): In t h i s case, 0 < b < °°. One sees from Fig.5-10 that there i s one value of Rg. The expression AR3/3 i s the F I G . 5 - 9 P l o t o f [ 5 - 7 7 ] , [ 5 - 8 7 ] a n d [ 5 - 8 8 ] f o r m o d e l s o f t y p e s I , I I I , a n d I V w i t h k = +1 , A =.A c . 6 2 F I G . 5 - 1 0 P l o t o f [ 5 -•A = 0 ; k = 0 < A < A * 7 7 ] f o r t y p e I I m o d e l s w i t h k = - 1 , - 1 , 0 < A < A* ; k = 0, A = 0 ; k = 0, ; a n d k = + 1 , A c < A < A* . h o r i z o n t a l a x i s f o r A = 0. k = 0 , 0 < A < A * ( F i g . 5-2 ( i ) ) : I n t h i s c a s e , 0 < b < °°. T h i s i s s i -m i l a r t o t h e f i r s t c a s e a b o v e , k = - 1 , 0 < A < A*. T h e r e a r e t w o v a l u e s o f R , a s s e e n i n F i g . 5 - 1 0 . g k = 0 , A = 0 ( F i g . 5 - 2 ( i i ) ) : I n t h i s c a s e 0 < b < «>. T h i s i s s i m i l a r t o t h e s e c o n d c a s e a b o v e , k = - 1 , A = 0. T h e r e i s o n e v a l u e o f R , 8 a s s e e n i n F i g . 5 - 1 0 . k = + 1 , A c < A < A* ( F i g . 5 - 3 ( i ) ) : I n t h i s c a s e , 0 < b < 1 . T h i s i s s i m i l a r t o t h e f i r s t a n d t h i r d c a s e s a b o v e . T h e r e a r e t w o v a l u e s o f R , a s s e e n i n F i g . 5 - 1 0 . g I n t h e a b o v e m o d e l s i n w h i c h t h e r e a r e t w o v a l u e s o f R , t h e b o u n -g d a r y o f t h e m e t a g a l a x y i n i t i a l l y e x p a n d s f r o m R = 0 i n a n e g a t i v e r e g i o n o f S c h w a r z s c h i l d s p a c e t i m e , c r o s s e s t h e f i r s t g r a v i t a t i o n a l r a d i u s i n t o a p o s i t i v e r e g i o n , c o n t i n u e s e x p a n d i n g , a n d c r o s s e s t h e s e c o n d g r a v i -t a t i o n a l r a d i u s i n t o a n e g a t i v e r e g i o n , a n d c o n t i n u e s e x p a n d i n g f r o m t h e r e o n . O n e h a s , a s u s u a l , t , = ± 0 0 a t b o t h v a l u e s o f t = t . b g g When t h e b o u n d a r y i s i n t h e p o s i t i v e r e g i o n b e t w e e n t h e t w o g r a v i t a -t i o n a l r a d i i , t h e m e t a g a l a x y may b e o p t i c a l l y d e t e c t a b l e t o a p o s i t i v e r e g i o n o b s e r v e r . When t h e b o u n d a r y i s i n t h e f i r s t n e g a t i v e r e g i o n , t h e m e t a g a l a x y i s o p t i c a l l y u n d e t e c t a b l e t o a p o s i t i v e r e g i o n o b s e r v e r . I n t h e a b o v e t y p e I I m o d e l s w i t h A = 0, t h e b o u n d a r y b e g i n s e x -p a n d i n g a t R = 0, c r o s s e s t h e g r a v i t a t i o n a l r a d i u s a n d c o n t i n u e s e x -p a n d i n g . A f t e r i t h a s c r o s s e d t h e g r a v i t a t i o n a l r a d i u s i n t o t h e p o -s i t i v e r e g i o n , i t may b e o p t i c a l l y d e t e c t a b l e t o a n o b s e r v e r i n t h i s r e g i o n . A l s o t , = ± °° a t t = t b g g Now c o n s i d e r t h e m o d e l o f t y p e I I I : 64 k = + 1 , A = A C ( F i g . 5 - 3 ( i i ) ( c ) ) : T h i s c a s e h a s t h e same v a l u e s f o r k a n d A a s t h e m o d e l s o f t y p e I a n d I V d i s c u s s e d a b o v e . O n e h a s 0 < b < 1 . F i g . 5 - 9 s h o w s t h e r e a r e t w o v a l u e s o f R . R ( t ) h a s a g m i n i m u m v a l u e a t R = R c i . e . [ 5 - 8 7 ] i s s a t i s f i e d . T h e b o u n d a r y o f t h i s m e t a g a l a c t i c m o d e l b e g i n s e x p a n d i n g a t R = R c a t t = - <», i . e . o u t s i d e t h e f i r s t g r a v i t a t i o n a l r a d i u s i n a p o s i t i v e r e g i o n . I t c o n t i n u e s e x p a n d i n g i n t h i s r e g i o n ( i n w h i c h i t may b e o p t i c a l l y d e t e c t a b l e t o a n o b s e r v e r i n t h i s r e g i o n ) a n d t h e n c r o s s e s t h e s e c o n d g r a v i t a t i o n a l r a d i u s i n t o a n e g a t i v e r e g i o n . O n e h a s t = + co a t t = t . b g g F i n a l l y , c o n s i d e r t h e m o d e l o f t y p e V I : k = + 1 , 0 < A < A C ( F i g . 5 - 3 ( i i i ) ( b ) ) : T h i s m o d e l h a s t h e s a m e v a l u e s o f k a n d A a s t h e t y p e V m o d e l o f F i g . 5 - 3 ( i i i ) ( a ) d i s c u s s e d e a r l i e r . O n e h a s 0 < b < 1. R ( t ) h a s a m i n i m u m v a l u e a t R = R m 2 * E q u a t i o n s [ 5 - 7 7 ] a n d [ 5 - 7 8 ] ( w h e r e R i s t h e m i n i m u m v a l u e o f R, R 0 ) c a n b e m mz d i s c u s s e d g r a p h i c a l l y i n F i g . 5 - 6 . T h e b o u n d a r y o f t h i s m e t a g a l a x y c o n t r a c t s f r o m R = m i n a n e g a t i v e r e g i o n , c r o s s e s R = R 2 i n t o a p o s i t i v e r e g i o n , r e a c h e s t h e m i n i m u m , e x p a n d s , c r o s s e s R ^ 2 i n t o . t h e i n i t i a l n e g a t i v e r e g i o n , a n d e x p a n d s t o i n f i n i t y . W h i l e i n t h e p o -s i t i v e r e g i o n , i t may b e d e t e c t a b l e t o a p o s i t i v e r e g i o n o b s e r v e r . A g a i n t , = + « a t t = t . b g g A l l o f t h e m o d e l s h a v e b e e n c o n s i d e r e d now, a n d i t i s s e e n t h a t t h e r e e x i s t n o m o d e l s i n w h i c h t h e b o u n d a r y o f t h e m e t a g a l a x y i s a l w a y s c o n f i n e d t o n e g a t i v e r e g i o n s , e x c e p t f o r t h o s e m o d e l s w i t h A > A* i n w h i c h n o g r a v i t a t i o n a l r a d i u s e x i s t s . 6 5 6. SOME C O N S I D E R A T I O N S ABOUT H I E R A R C H I E S WITH SCHWARZSCHILD O B J E C T S AS E L E M E N T S T h e b a s i c f e a t u r e s o f t h e c o n c e p t o f t h e m e t a g a l a x y b e i n g a S c h w a r z s c h i l d o b j e c t h a v e b e e n d i s c u s s e d i n s e c t i o n 5. T h e s e f e a t u r e s h e l p t o d e t e r m i n e t h e b e h a v i o u r o f a h i e r a r c h y o f m e t a g a l a c t i c S c h w a r z -s c h i l d o b j e c t s . I t h a s b e e n s h o w n h o w i t i s p o s s i b l e t o embed a F r i e d -m a n n s p a c e t i m e a t t h e c e n t e r o f a S c h w a r z s c h i l d s p a c e t i m e . T h e same m e t h o d s c a n o b v i o u s l y b e u s e d t o embed S c h w a r z s c h i l d o b j e c t s i n a F r i e d m a n n s p a c e t i m e . T h e s e S c h w a r z s c h i l d o b j e c t s c o n s i s t o f m e t a g a l a -x i e s m a t c h e d t o S c h w a r z s c h i l d s p a c e t i m e s , a n d t h e s e S c h w a r z s c h i l d s p a c e t i m e s h a v e t o b e m a t c h e d t o t h e F r i e d m a n n s p a c e t i m e i n w h i c h t h e y a r e e m b e d d e d . I n o t h e r w o r d s , o n e c a n h a v e z e r o t h o r d e r m e t a g a l a x i e s e m b e d d e d i n f i r s t o r d e r m e t a g a l a x i e s , w h i c h may b e s i m i l a r l y e m b e d d e d i n s e c o n d o r d e r m e t a g a l a x i e s , a n d s o o n . T h i s i s a n a l o g o u s t o t h e New-t o n i a n c a s e o f z e r o t h o r d e r c l u s t e r s c o n t a i n e d i n f i r s t o r d e r c l u s t e r s , w h i c h may b e c o n t a i n e d i n s e c o n d o r d e r c l u s t e r s , a n d s o o n . • S i n c e t h e r e a r e q u i t e a f e w m e t a g a l a c t i c m o d e l s t h a t c a n d e s c r i b e a g i v e n m e t a g a l a x y , a n d s i n c e t h e r e i s n o o b v i o u s r e a s o n w h y a l l m e t a -g a l a x i e s i n t h e h i e r a r c h y s h o u l d b e d e s c r i b e d b y t h e same m o d e l , t h e u n i v e r s e may b e a s y s t e m d i s p l a y i n g c o m p l i c a t e d d y n a m i c a l m o t i o n s . A n i t h o r d e r m e t a g a l a x y may b e c o n t r a c t i n g w h i l e i t s ( i - l ) t h o r d e r e l e -m e n t s a r e e x p a n d i n g , p o s s i b l y r e s u l t i n g i n b l u e s h i f t s ( i f t h e b o u n -d a r i e s a r e i n p o s i t i v e S c h w a r z s c h i l d r e g i o n s ) , r a t e s o f e x p a n s i o n a n d c o n t r a c t i o n d i f f e r f r o m o n e m e t a g a l a x y t o a n o t h e r , a n d s o o n . C o n s i d e r t h e i n t e r i o r o f o u r m e t a g a l a x y t o b e a F r i e d m a n n s p a c e -t i m e , F_ , o f o r d e r z e r o . T o c o n s t r u c t a h i e r a r c h y o f m e t a g a l a c t i c 66 S c h w a r z s c h i l d o b j e c t s , z e r o t h o r d e r m e t a g a l a x i e s m u s t b e e m b e d d e d i n f i r s t o r d e r m e t a g a l a x i e s , w h i c h m u s t b e e m b e d d e d i n s e c o n d o r d e r m e t a -g a l a x i e s , a n d s o o n . E a c h F r i e d m a n n s p a c e t i m e FQ m u s t b e c o n n e c t e d t o a S c h w a r z s c h i l d s p a c e t i m e SQ a n d e a c h o f t h e s e S c h w a r z s c h i l d s p a c e t i m e s SQ m u s t b e c o n n e c t e d t o a common f i r s t o r d e r F r i e d m a n n s p a c e t i m e F ^ . S i m i l a r l y , t h e s e F r i e d m a n n s p a c e t i m e s F ^ m u s t b e c o n n e c t e d t o S c h w a r z -s c h i l d s p a c e t i m e s S^, e a c h o f w h i c h m u s t b e c o n n e c t e d t o a common F r i e d m a n n s p a c e t i m e F^, a n d s o o n . C o n s i d e r t h e c o n n e c t i o n b e t w e e n FQ a n d SQ. L e t r ^ b e t h e c o m o v i n g r - c o o r d i n a t e f o r FQ, a n d l e t [6-1] r ^ = b p = c o n s t a n t b e t h e e q u a t i o n f o r t h e b o u n d a r y s e p a r a t i n g FQ a n d SQ. T h e n e q u a t i o n [5-24] g i v e s [6-2] m Q = | v 0 b 3 T h e s u b s c r i p t s " 0 " p e r t a i n t o t h e F r i e d m a n n s p a c e t i m e FQ. F o r s i m p l i -c i t y , a s s u m e t h a t a l l z e r o t h o r d e r m e t a g a l a x i e s h a v e t h e same v a l u e s o f mQ, b p , UQ e t c . T h e same g o e s f o r h i g h e r - o r d e r m e t a g a l a x i e s . N e x t c o n s i d e r t h e c o n n e c t i o n b e t w e e n SQ a n d F ^ . L e t r ^ b e t h e c o m o v i n g r - c o o r d i n a t e f o r F ^ , a n d l e t [6-3] r ^ = a ^ = c o n s t a n t b e t h e e q u a t i o n f o r t h e b o u n d a r y s e p a r a t i n g F ^ a n d a g i v e n SQ. N o t e t h a t [6-3] d e s c r i b e s t h e SQ-F-J^  b o u n d a r y o n l y f o r a p a r t i c u l a r S Q . F o r t h e o t h e r SQ-F^ b o u n d a r i e s , d i f f e r e n t r ^ - c o o r d i n a t e s , r ^ , t ^ ' , e t c . , m u s t b e u s e d i n o r d e r f o r a n e q u a t i o n l i k e [6-3] t o b e v a l i d , i . e . f o r so m e o t h e r g i v e n SQ, t h e SQ-F^ b o u n d a r y may b e d e s c r i b e d b y 67 [6-4] r £ = a± a s s u m i n g t h a t a ^ i s t h e same f o r a l l t h e SQ-F^ b o u n d a r i e s . T o c l a r i f y t h i s b y a n a l o g y , n o t e t h a t o n l y a c e r t a i n c l a s s o f s t r a i g h t l i n e s o n a t w o - d i m e n s i o n a l x - y p l a n e c a n b e d e s c r i b e d b y x = c o n s t a n t o r y = c o n -s t a n t . T h e r e m a i n i n g o n e s m u s t b e d e s c r i b e d b y e q u a t i o n s l i k e y = mx + c , o r b y e q u a t i o n s l i k e x ' = c o n s t a n t o r y" = c o n s t a n t w h e r e t h e x " - y " c o o r d i n a t e s y s t e m i s r o t a t e d a p p r o p r i a t e l y w i t h r e s p e c t t o t h e x - y s y s t e m . H o w e v e r , t h e r e s u l t o f t h i s c a l c u l a t i o n w i l l n o t i n v o l v e t h e s e d i f f e r e n t r - c o o r d i n a t e s , s o t h e y n e e d r e c e i v e n o f u r t h e r m e n t i o n . C o n t i n u i n g , f o r t h e S^-F^ b o u n d a r y d e s c r i b e d b y [6 - 3 ] , e q u a t i o n [5-24] g i v e s [6-5] m Q = " l ^ a 3 C o n s i d e r n o w t h e F-^S^ b o u n d a r y , d e s c r i b e d s i m i l a r l y b y [6-6] r £ ^ = b ^ = c o n s t a n t w h e r e r £ " i s t h e a p p r o p r i a t e r ^ - c o o r d i n a t e . E q u a t i o n [5-24] g i v e s [6-7] m 1 = -p-jO 3 N o t e t h a t a g i v e n i t h o r d e r F r i e d m a n n s p a c e t i m e F_^ i s c o n n e c t e d t o b y a n e q u a t i o n l i k e r ^ = b ^ , a n d F ^ i s c o n n e c t e d t o t h e S c h w a r z s c h i l d s p a c e t i m e s S^ ^ i t c o n t a i n s b y a n e q u a t i o n l i k e r ^ = a ^ . - One c a n e a s i l y o b t a i n a n e x p r e s s i o n f o r b ^ / a ^ . D i v i d i n g [6-7] b y [6-5] g i v e s [6-8] m i / m 0 = M^MQ = ( b 1 / a 1 ) 3 [6-9] i . e . b 1 / a 1 = (MJ/MQ) 1 ' 3 I n g e n e r a l , 68 [ 6 - 1 0 ] b ± / a i .- ( M i / M i _ 1 ) 1 / 3 . ' . T h i s e q u a t i o n s h o w s a c o m p a r i s o n o f t h e " s i z e s " o f t h e t w o t y p e s o f S c h w a r z s c h i l d - F r i e d m a n n b o u n d a r i e s o f a m e t a g a l a x y o f o r d e r i . A n o b j e c t i o n t o t h e c o n c e p t o f t h e m e t a g a l a x y b e i n g a S c h w a r z -s c h i l d o b j e c t i s t h a t b y " c u t t i n g o f f " t h e F r i e d m a n n s p a c e t i m e t h a t d e s c r i b e s t h e m e t a g a l a x y a t some b o u n d a r y r = b , s p a t i a l i s o t r o p y a t a l l p o i n t s , o n a m e t a g a l a c t i c s c a l e , i s a p p a r e n t l y l o s t — a n o b s e r v e r n e a r t h e " e d g e " , r = b , o f t h e m e t a g a l a x y w o u l d n o t s e e t h e same t h i n g i n a l l d i r e c t i o n s . H o w e v e r , i f t h e u n i v e r s e c o n s i s t s o f a n i n f i n i t e h i e r a r c h y o f m e t a g a l a x i e s o f a l l o r d e r s , t h e n s p a t i a l i s o t r o p y a t a l l p o i n t s i s v a l i d , a l t h o u g h o n a g r a n d e r s c a l e t h a n m e t a g a l a c t i c . I n o t h e r w o r d s , t h e c o s m o l o g i c a l p r i n c i p l e , w h i c h s t a t e s t h a t t h e u n i v e r s e p r e s e n t s t h e same a s p e c t f r o m e v e r y p o i n t e x c e p t f o r l o c a l i r r e g u l a r i -t i e s ( B o n d i 1 9 6 0 , p . 1 1 ) , i s v a l i d f o r a h i e r a r c h i c a l u n i v e r s e ( s e e B o n d i 1 9 6 0 , p . 1 4 ) . T h e f a c t t h a t a n o b s e r v e r n e a r t h e e d g e , r = b , o f a m e t a g a l a x y s e e s d i f f e r e n t t h i n g s i n d i f f e r e n t d i r e c t i o n s , w o u l d b e c l a s s i f i e d a s a " l o c a l i r r e g u l a r i t y " . A s a l w a y s , o b s e r v a t i o n a l e v i d e n c e w i l l h a v e t o d e t e r m i n e t h e c o r -r e c t n e s s o f t h e a b o v e c o n c e p t s . O p t i c a l d e t e c t i o n o f o t h e r m e t a g a -l a x i e s , i f t h e y e x i s t , may h a v e t p a w a i t a f u t u r e d a t e . 69 FOOTNOTES 1. ( p . 5 4 ) I t h a s r e c e n t l y b e e n b r o u g h t t o my a t t e n t i o n t h a t a n e a r l i e r a t t e m p t t o c o n s i d e r t h e m e t a g a l a x y a s a b l a c k h o l e , s u c h t h a t R m = R g , h a s b e e n made b y P a t h r i a ( 1 9 7 2 ) . He c o n c l u d e s t h a t t h e c a s e R_ = R „ c a n , i n f a c t , o c c u r . H o w e v e r , I b e l i e v e t h a t h i s m g ' ' ' c o n c l u s i o n may b e w r o n g . F o r f u r t h e r e x p l a n a t i o n , s e e a p p e n d i x A. 7 0 B I B L I O G R A P H Y A d l e r R., B a z i n M. a n d S c h i f f e r M., 1 9 6 5 , I n t r o d u c t i o n t o G e n e r a l  R e l a t i v i t y , M c G r a w - H i l l B o o k C o . , N.Y. B o n d i H., 1 9 6 0 , C o s m o l o g y , C a m b r i d g e U. P r e s s . C h a r l i e r C . V . L . , 1 9 0 8 , A r k . M a t h . A s t r o n . P h y s . , 4_, N o . 2 4 ; 1 9 2 2 , i b i d . , 1 6 , N o . 2 2 . E i n s t e i n A . a n d S t r a u s s E . G . , 1 9 4 5 , R e v . M o d . P h y s . 1_7_, 1 2 0 . H a r r i s o n E .R., F e b . 1 9 7 4 , P h y s i c s T o d a y , p . 3 0 . K a n t o w s k i R., 1 9 6 9 , A s t r o p h y s . J . 1 5 5 , 8 9 . K i t t e l C , 1 9 7 1 , I n t r o d u c t i o n t o S o l i d S t a t e P h y s i c s ( 4 t h e d . ) , J o h n W i l e y a n d S o n s , I n c . , N.Y. L a m b e r t J . H . , 1 7 6 1 , K o s m o l o g i s c h e B r i e f e , L e i p z i g . M i s n e r C , T h o m e K. a n d W h e e l e r J . , 1 9 7 3 , G r a v i t a t i o n , W.H. F r e e m a n & C o . , S a n F r a n c i s c o . O l b e r s H.W.M., 1 8 2 3 , i n A s t r o n o m i s c h e s J a h r b u c h f u r d a s J a h r 1 8 2 6 ( J . E . B o d e , e d . ) , p . 1 1 0 , S p a t h e n , B e r l i n . O p p e n h e i m e r J . R . a n d S n y d e r H., 1 9 3 9 , P h y s . R e v . 5 6 , 4 5 5 . P a t h r i a R.K., 1 9 7 2 , N a t u r e 2 4 0 ( D e c . 1 ) , 2 9 8 . P e n r o s e R., M a y 1 9 7 2 , S c i e n t i f i c A m e r i c a n 2 2 6 , 3 8 . S e e l i g e r H., 1 8 9 5 , A s t r . N a c h r . , N o . 3 2 7 3 . d e V a u c o u l e u r s G., 1 9 7 0 , S c i e n c e 1 6 7 , 1 2 0 3 . W e i n b e r g S., 1 9 7 2 , G r a v i t a t i o n a n d C o s m o l o g y , J o h n W i l e y a n d S o n s , I n c . , N.Y. 7 1 A P P E N D I X A : ON P A T H R I A ' S P A P E R P a t h r i a ( 1 9 7 2 ) a s s u m e s t h e i n t e r i o r o f t h e m e t a g a l a x y t o b e d e s -c r i b e d b y t h e R o b e r t s o n - W a l k e r m e t r i c a n d t h e e x t e r i o r b y t h e S c h w a r z -s c h i l d m e t r i c ( w i t h A = 0 ) . H o w e v e r , h e f a i l s , i n h i s a n a l y s i s , t o c o n s i d e r t h e c o n d i t i o n s i m p o s e d w h e n t h e t w o m e t r i c s a r e m a t c h e d a t t h e b o u n d a r y s e p a r a t i n g t h e m . I n t h e p r e s e n t w o r k , i t i s s h o w n ( p . 5 2 - 5 4 ) t h a t t h e c a s e = R g d o e s n o t o c c u r . F o r k = +1 ( w h i c h i s t h e c a s e P a t h r i a c o n c e n t r a t e s o n ) i t i s s e e n ( p . 5 4 ) t h a t t h i s i s d u e t o t h e c o n d i t i o n 0 < b < 1 , i . e . b / l . I f b = 1 w a s p o s s i b l e , t h e n F i g s . 5-6 a n d 5-7 w o u l d s h o w t h a t R m a n d R g c o u l d c o i n c i d e , i n a g r e e m e n t w i t h P a t h r i a ' s r e s u l t s . H o w e v e r , t h e t r a n s f o r m a t i o n t = t ( r , t ) d e r i v e d b y m a t c h i n g t h e t w o m e t r i c s a t t h e b o u n d a r y r = b , b e c o m e s s i n g u l a r a t b = 1 , a s s e e n f r o m e q u a t i o n s [ 5 - 2 7 ] , [ 5 - 3 6 ] o r [ 5 - 3 9 ] . F o r i n s t a n c e , c o n s i d e r t h e c a s e k = + 1 , A = 0 ( f o r t h i s c a s e t ^ i s w o r k e d o u t e x p l i -c i t l y o n p . 5 7 - 5 8 ) . T h i s i s o n e o f t h e c a s e s o f P a t h r i a ' s p a p e r i n w h i c h h e c l a i m s R m = R i s p o s s i b l e . T o a g r e e w i t h P a t h r i a ' s r e s u l t s , O o n e m u s t h a v e b = 1 i n e q u a t i o n [ 5 - 8 5 ] , w h i c h g i v e s t ^ = c o n s t a n t f o r a n y v a l u e o f t . T h i s i s a n u n p h y s i c a l r e s u l t , h e n c e i t s e e m s o n e m u s t h a v e b f 1 a n d R m > R g . T h e s i n g u l a r i t y i n t a t b = 1 i s a p p a r e n t l y n o t a v o i d e d b y t r a n s -f o r m i n g t h e R o b e r t s o n - W a l k e r m e t r i c t o a n o t h e r c o o r d i n a t e s y s t e m . F o r i n s t a n c e , b y t r a n s f o r m i n g t o a s y s t e m w i t h r = s i n u ) ( k = +1) g i v e s [ A - l ] d s | = d t 2 - R 2 ( t ) [ d u > 2 + s i n 2 c j d f i 2 ] w h i c h s h o w s t h a t r = 1 i s o n l y a n a p p a r e n t s i n g u l a r i t y i n t h e R o b e r t -s o n - W a l k e r m e t r i c . H o w e v e r , i n t h i s w,0,cj>,t c o o r d i n a t e s y s t e m , t h e 72 f a c t o r \ j l - b 2 ' i n t b e c o m e s [A-2] J l - b 2 ' + J l - s i n 2 o ) b ' = ± c o s u b w h i c h , a g a i n , m a k e s t s i n g u l a r a t a ) b = TT/2. I t i s i n t e r e s t i n g t o q u e s t i o n t h e p h y s i c a l s i g n i f i c a n c e o f t h e c o n d i t i o n 0 < b < 1. I f o n e i s d e a l i n g w i t h o n l y t h e R o b e r t s o n - W a l k e r s p a c e t i m e , t h e n b c a n c e r t a i n l y a s s u m e t h e v a l u e 1 . H o w e v e r , w h e n o n e m a t c h e s i t t o a S c h w a r z s c h i l d s p a c e t i m e , o n e m u s t a p p a r e n t l y h a v e b . 1 . I t s e e m s t h a t b + 1 i s n e c e s s a r y t o a l l o w f o r t h e p o s s i b i l i t y o f c o n n e c t i n g t h e R o b e r t s o n - W a l k e r s p a c e t i m e t o a S c h w a r z s c h i l d s p a c e -t i m e , i . e . o n e m u s t " l e a v e r o o m " s o t o s p e a k , f o r a s m o o t h c o n n e c t i o n b e t w e e n t h e t w o s p a c e t i m e s ( f r o m r e m a r k s m a d e b y P r o f . G. F a h l m a n i n a c o n v e r s a t i o n ) . 

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