UBC Theses and Dissertations

UBC Theses Logo

UBC Theses and Dissertations

Hopping conductivity in lightly doped semiconductors Shegelski, Mark Raymond Alphonse 1986

Your browser doesn't seem to have a PDF viewer, please download the PDF to view this item.

Item Metadata

Download

Media
831-UBC_1987_A1 S53_3.pdf [ 7.24MB ]
Metadata
JSON: 831-1.0085078.json
JSON-LD: 831-1.0085078-ld.json
RDF/XML (Pretty): 831-1.0085078-rdf.xml
RDF/JSON: 831-1.0085078-rdf.json
Turtle: 831-1.0085078-turtle.txt
N-Triples: 831-1.0085078-rdf-ntriples.txt
Original Record: 831-1.0085078-source.json
Full Text
831-1.0085078-fulltext.txt
Citation
831-1.0085078.ris

Full Text

HOPPING C O N D U C T I V I T Y IN L I G H T L Y DOPED SEMICONDUCTORS by MARK R . A . S H E G E L S K I B . S c . U n i v e r s i t y o f C a l g a r y , 1979 M . S c . T h e U n i v e r s i t y o f B r i t i s h C o l u m b i a , 1982 A T H E S I S SUBMITTED IN P A R T I A L F U L F I L L M E N T OF THE REQUIREMENTS FOR THE DEGREE OF DOCTOR OF PHILOSOPHY i n THE F A C U L T Y OF GRADUATE S T U D I E S ( D e p a r t m e n t o f P h y s i c s ) We a c c e p t t h i s t h e s i s a s c o n f o r m i n g t o t h e r e q u i r e d s t a n d a r d T H E U N I V E R S I T Y OF B R I T I S H COLUMBIA N o v e m b e r , 1986 © M a r k . R . A . S h e g e l s k i , 1986 In presenting t h i s thesis i n p a r t i a l f u l f i l m e n t of the requirements for an advanced degree at the University of B r i t i s h Columbia, I agree that the Library s h a l l make i t f r e e l y available for reference and study. I further agree that permission for extensive copying of t h i s thesis for scholarly purposes may be granted by the head of my department or by h i s or her representatives. I t i s understood that copying or publication of t h i s thesis for f i n a n c i a l gain s h a l l not be allowed without my written permission. Department of PHYSICS The University of B r i t i s h Columbia 1956 Main Mall Vancouver, Canada V6T 1Y3 Date g£R DE-6 (.3/81) A B S T R A C T I n l i g h t l y d o p e d s e m i c o n d u c t o r s ( L D S s ) , e l e c t r o n s c a n e x i s t i n l o c a l i z e d s t a t e s a r o u n d i m p u r i t i e s a n d d c e l e c t r o n i c c o n d u c t i o n c a n o c c u r b y e l e c t r o n s h o p p i n g b e t w e e n l o c a l i z e d s t a t e s . S u c h h o p p i n g i s t h e d o m i n a n t m e c h a n i s m f o r c o n d u c t i o n i f t h e t e m p e r a t u r e i s s o l o w t h a t t h e c o n t r i b u t i o n f r o m b a n d e l e c t r o n s i s n e g l i g i b l e . A c c o r d i n g t o t h e o r i e s o f h o p p i n g c o n d u c t i o n , a t l o w e n o u g h t e m p e r a t u r e - ( T / T ) 1 / 1 + T, t h e c o n d u c t i v i t y a w i l l b e o = a 0 e 0 w h e r e T Q i s a t e m p e r a t u r e w h i c h d e p e n d s o n t h e m a t e r i a l . E x p e r i m e n t a l w o r k o n d o p e d s e m i c o n d u c t o r s w h i c h e x h i b i t s t h i s f o r m o f a i s s c a r c e . R e c e n t l y , h o w e v e r , c o n d u c t i v i t i e s w h i c h w e r e c l e a r l y o f t h i s f o r m w e r e r e p o r t e d f o r l i g h t l y d o p e d n - G a A s a n d l i g h t l y d o p e d n - I n P . T h e e x p e r i m e n t a l r e s u l t s w e r e s u r p r i s i n g i n t h a t t h e t e m p e r a t u r e r a n g e s w e r e w e l l a b o v e , a n d t h e T Q v a l u e s w e l l b e l o w , t h e l i m i t s s e t b y t h e t h e o r i e s . T o u n d e r s t a n d t h e s e e x p e r i m e n t a l r e s u l t s , h o p p i n g i n L D S s i s m o d e l l e d i n t h i s d i s s e r t a t i o n u s i n g a r e s i s t o r n e t w o r k . T h i s d i s s e r t a t i o n i s u n i q u e i n t h a t t h e c o n d u c t i v i t y o f t h e u n a b r i d g e d r e s i s t o r n e t w o r k i s e x a m i n e d i n a t e m p e r a t u r e r a n g e ( c a l l e d " t h e h i g h t e m p e r a t u r e r e g i m e " ) w h e r e k T i s c o m p a r a b l e t o t h e s p r e a d A e i n t h e e n e r g i e s o f l o c a l i z e d e l e c t r o n s . A n u m e r i c a l s i m u l a t i o n i s p e r f o r m e d a n d a n a n a l y t i c t h e o r y b a s e d o n p e r c o l a t i o n m e t h o d s i s p r e s e n t e d . I n t h i s d i s s e r t a t i o n , a n a n a l y t i c a p p r o a c h i s d e v e l o p e d f o r t h e f i r s t t i m e f o r s t u d y i n g h o w , i n t h e h i g h t e m p e r a t u r e r e g i m e , t h e c o n d u c t i v i t y o f t h e u n a b r i d g e d r e s i s t o r n e t w o r k d e p e n d s o n t h e d e n s i t y o f l o c a l i z e d s t a t e s . I t i s f o u n d t h a t , i n e i t h e r t w o o r t h r e e d i m e n s i o n s , i f t h e d e n s i t y o f - E / k T s t a t e s i s f l a t , a i s o f t h e a c t i v a t e d f o r m a = a Q e . T h e a c t i v a t i o n e n e r g i e s a r e f o u n d t o b e e = 0 . 2 8 A E i n t w o d i m e n s i o n s a n d e = 0 . 2 0 A e i n t h r e e a a d i m e n s i o n s . T h e s e v a l u e s a r e c o n s i d e r a b l e i m p r o v e m e n t s o v e r t h e e s t i m a t e s o f p r e v i o u s w o r k e r s , w h o u s e d t h e l o w t e m p e r a t u r e a s y m p t o t i c f o r m o f t h e r e s i s t a n c e i n t h e h i g h t e m p e r a t u r e r e g i m e . - ( T / T ) 1 / 4 I t i s a l s o r e v e a l e d t h a t a c a n b e c = a 0 e 0 i n t h e h i g h t e m p e r a t u r e r e g i m e i f t h e d e n s i t y o f s t a t e s d e c r e a s e s w i t h | e - ( j . Q | f o r e n e r g y e f a r e n o u g h a w a y f r o m t h e z e r o t e m p e r a t u r e c h e m i c a l p o t e n t i a l ]XQ, T h e s e r e s u l t s a r e i n a c c o r d w i t h t h e e x p e r i m e n t a l r e s u l t s d e s c r i b e d a b o v e . i v T A B L E OF C O N T E N T S P a g e A B S T R A C T i i L I S T OF T A B L E S v i i i L I S T OF F I G U R E S i x A C K N O W L E D G M E N T S x i i i N O TE R E G A R D I N G T H E F O R M A T OF T H I S D I S S E R T A T I O N x i v I N T R O D U C T I O N 1 I . S t a t e m e n t o f t h e P r o b l e m 1 I I . A i m s , A s s u m p t i o n s , a n d S t r a t e g i e s 5 I I I . R e v i e w o f t h e L i t e r a t u r e ; B a s i c C o n c e p t s i n V R H 1 0 ( i ) T h e B a s i c I d e a o f V R H 1 1 ( i i ) P e r c o l a t i o n A p p r o a c h t o C a l c u l a t i n g t h e C o n d u c t i v i t y 1 2 ( i i i ) E x p e r i m e n t a l S t u d i e s 1 4 ( i v ) N u m e r i c a l S t u d i e s 1 6 ( v ) A n a l y t i c S t u d i e s 1 8 R e f e r e n c e s 19 V P a B e PAPER [ I ] : Two-dimensional Numerical Simulation at High Temperatures 22 Abstract 22 I. Introduction 24 II. Comparison of Theory and Experiment for VRH i n DSs 32 I I I . The Numerical Simulation 47 ( i ) General Description 47 ( i i ) Computational Details 51 IV. Results and Discussion 53 Acknowledgments 64 References 65 PAPER [ I I ] : Two-dimensional Analytic Theory at High Temperatures 68 Abstract 68 I. Introduction 70 II. Formulation as a Percolation Problem 73 III. X . (I) and X (£) 76 mm max IV. The Boundary Curve 79 V. Expressions for p(X;£) 82 VI. Temperature Dependence; The Extremal Boundary Curve 86 VII. Summary of Equations 90 VIII. Form Chosen for B (t) 93 c v i Page IX. Comparison of Analy t i c Theory and Numerical Simulation ... 100 X. Summary 108 Appendix HO Acknowledgment 113 References 113 PAPER [ I I I ] : Three-dimensional, High Temperature Analytic Theory for F l a t Density of States 116 Abstract 116 I. Introduction 118 II. E s s e n t i a l Elements of the Theory i n Three Dimensions 123 I I I . Form Chosen for B ( t ) ; Overall Resistance for F l a t c Density of States i n Three Dimensions 127 IV. E f f e c t of the Q. . Factor 136 V. Summary 148 Acknowledgment 150 References 151 PAPER [IV]: High Temperature T~ 1 / i + Behavior With Small T Q Values 153 Abstract 153 I. Introduction 155 II . The Densities of States 157 v i i Page III. Theory 161 IV. Results 167 V. Discussion 173 VI. Summary and Recommendations for Further Study 176 Appendix 178 Acknowledgments 180 References 181 CONCLUSION 183 I. Summary and Highlights 183 II. Suggestions for Further Work 190 References 193 BIBLIOGRAPHY 194 APPENDIX 197 L I S T OF T A B L E S P A P E R [ I ] T A B L E I : C o m p a r i s o n o f t h e T h e o r e t i c a l V a l u e s j? m L n t o t h e E x p e r i m e n t a l V a l u e s £ f o r L i g h t l y D o p e d n - G a A s T A B L E I I : C o m p a r i s o n s o f t h e T h e o r e t i c a l V a l u e s T Q m : L n t o exp t h e E x p e r i m e n t a l V a l u e s T Q v a n d o f t h e m a x T h e o r e t i c a l V a l u e s T t o t h e E x p e r i m e n t a l R a n g e s o f T e m p e r a t u r e f o r L i g h t l y D o p e d n - G a A s T A B L E I I I : V a l u e s o f t h e L o c a l i z a t i o n L e n g t h s a a n d B a n d w i d t h s A e R e q u i r e d t o G i v e A g r e e m e n t B e t w e e n t h e T h e o r e t i c a l a n d E x p e r i m e n t a l V a l u e s o f £ c a n d T Q f o r L i g h t l y D o p e d n - G a A s P A P E R [ I I I ] T A B L E I : E f f e c t o f t h e Q.. F a c t o r o n t h e S l o p e s o f t h e ^ ... -^1 n IX LIST OF FIGURES P a S e PAPER [I] F i g . 1: Temperature Dependence of R^V^/R^?W for Typical e. and e 30 J i F i g . 2: Plots of the Average Currents Obtained Numerically vs. t " 1 / 3 for 1000-, 2000-, and 2800-site Samples 54 F i g . 3: Comparison of Average Currents for the 1000-site Systems and 2000-site Systems, Average Current for the 2800-site Systems and Current for one 2000-site Rectangular System 55 F i g . 4: Plots of the Average Currents for the 1000-, 2000-, and 2800-site Systems vs. t _ 1 58 F i g . 5: Comparison of Average Current for the Square 2000-site Systems and Currents for two Rectangular 2000-site Systems 61 F i g . 6: Comparison of Average Current for the 2000-site Systems and R7* 63 X P a g e P A P E R [ I I ] F i g . 1: T h e T r i a n g l e a n d t h e B o u n d a r y C u r v e 7 7 F i g . 2: F o u r P o s s i b l e R e l a t i v e P o s i t i o n s o f t h e T r i a n g l e a n d t h e B o u n d a r y C u r v e 8 3 F i g . 3 : T h e C r i t i c a l N u m b e r B ^ o f B o n d s p e r S i t e R e q u i r e d f o r P e r c o l a t i o n a s a F u n c t i o n o f T e m p e r a t u r e 9 7 F i g . 4: C o m p a r i s o n B e t w e e n A v e r a g e O v e r a l l C u r r e n t i n N u m e r i c a l S i m u l a t i o n a n d A n a l y t i c T h e o r y R e s u l t U s i n g t - 1 A b s c i s s a 1 0 1 F i g . 5: C o m p a r i s o n B e t w e e n A v e r a g e O v e r a l l C u r r e n t i n N u m e r i c a l S i m u l a t i o n a n d A n a l y t i c T h e o r y R e s u l t U s i n g t _ 1 / 3 A b s c i s s a 1 0 2 F i g . 6: T e m p e r a t u r e D e p e n d e n c e o f X 1 0 4 ° r m a x F i g . 7: T e m p e r a t u r e D e p e n d e n c e o f t h e T y p i c a l H o p p i n g E n e r g y 1 0 6 XI Page F i g . 8: Comparison Between Exact and Approximate Analytic Theory Curves for £ 114 c PAPER [III] F i g . 1: The -£ Curve When Plotted Against t - 0 * 3 132 F i g . 2: Plot Showing L i n e a r i t y of in t - 1 134 F i g . 3: The Triangle and Various Boundary Curves 137 F i g . 4: E f f e c t of the Q^. Factor on the Resulting Curve for -I vs. t~l/k 142 c F i g . 5: E f f e c t of the Factor on the Resulting Curve for -£ vs. t - 1 144 c PAPER [IV] Fi g . 1: Various Densities of States 159 F i g . 2: Plots of -£ vs. t - 1 for the Cases X = + ~rt \ = 0, X = - Using the " F l a t Density of States" B ^ t ) 168 x i i Page F i g . 3: P l o t s of -1; vs. t~l/k for the Cases X = + y, X = 0, X = - - j 169 F i g . 4: B c P l o t t e d Against t _ 1 / l t 171 X l l l A C K N O W L E D G M E N T S I t i s w i t h g r e a t p l e a s u r e t h a t I t h a n k my s u p e r v i s o r , P r o f e s s o r R o b e r t B a r r i e , f o r e x c e l l e n t s u p e r v i s i o n , m a n y h e l p f u l s u g g e s t i o n s , a n d e s p e c i a l l y f o r t h e h i g h l y s k i l l e d m a n n e r i n w h i c h h e p r o v i d e d me w i t h e n o u g h g u i d a n c e t h a t I c o u l d f i n d my w a y y e t a l s o w i t h s u f f i c i e n t f r e e d o m t h a t I c a n f u l l y e n j o y t h e s u c c e s s e s o f t h i s d i s s e r t a t i o n . I t w o u l d b e a n u n f o r t u n a t e o v e r s i g h t i f 1 d i d n o t a l s o e x p r e s s my a p p r e c i a t i o n o f P r o f e s s o r B a r r i e ' s d e e p c o n c e r n f o r me a s h i s s t u d e n t , a n d o f h i s u n w a v e r " c o m m i t m e n t t o p e r f o r m h i s d u t i e s a s a s u p e r v i s o r t o t h e u t m o s t o f h i s a b i l i t i e s - a v e r y h i g h l e v e l o f p r o f i c i e n c y , i n d e e d . I h a v e b e n e f i t t e d t r e m e n d o u s l y f r o m d i s c u s s i o n s w i t h n u m e r o u s p r o f e s s o r s , p o s t d o c t o r a l f e l l o w s , a n d g r a d u a t e s t u d e n t s a t U B C . I w i s h e s p e c i a l l y t o a c k n o w l e d g e m a n y i l l u m i n a t i n g d i s c u s s i o n s w i t h D r . P e t e r H o l d s w o r t h ; f e l l o w s t u d e n t s M a t t h e w C h o p t i u k , P e t e r M u l h e r n a n d D a n Z i m m e r m a n m u s t a l s o b e m e n t i o n e d b y n a m e . I w a s f o r t u n a t e t o r e c e i v e e s s e n t i a l m o r a l s u p p o r t f r o m s e v e r a l f i n e i n d i v i d u a l s , m o s t n o t a b l y S t e p h a n i e M u n d l e . T h e l i s t o f p e o p l e w h o h e l p e d me s i g n i f i c a n t l y i n o b t a i n i n g my P h . D . w o u l d f i l l s e v e r a l p a g e s ; I r e g r e t I c a n n o t m e n t i o n e a c h o f y o u b y n a m e . T h i s w o r k w a s s u p p o r t e d f i n a n c i a l l y b y N S E R C P o s t g r a d u a t e S c h o l a r s h i p N S E R C O p e r a t i n g G r a n t A 7 1 3 , a n d b y t h e U B C U n i v e r s i t y G r a d u a t e F e l l o w s h i p P r o g r a m m e . T h e w o r k c o m p r i s i n g t h e f o u r p a p e r s i n t h i s d i s s e r t a t i o n w a s d i v i d e d b e t w e e n P r o f e s s o r B a r r i e a n d m y s e l f a p p r o x i m a t e l y a s f o l l o w s : M.R.A. S h e g e l s k i : 9 5 % ; R. B a r r i e : 5 %. XIV N o t e R e g a r d i n g t h e F o r m a t o f t h i s D i s s e r t a t i o n T h i s d i s s e r t a t i o n c o n s i s t s o f s e v e n m a j o r d i v i s i o n s : a n I n t r o d u c t i o n f o u r P a p e r s , a C o n c l u s i o n a n d a n A p p e n d i x . T h e f o u r P a p e r s a r e r e f e r r e d s e q u e n t i a l l y a s " [ I ] " , " [ I I ] " , " [ H i ] " , a n d " [ I V ] " . R e f e r e n c e s i n e a c h m a j o r d i v i s i o n a r e g i v e n a t t h e e n d o f t h a t d i v i s i o n . - 1 -I N T R O D U C T I O N I . S t a t e m e n t o f t h e P r o b l e m L i g h t l y d o p e d s e m i c o n d u c t o r s c a n h a v e e l e c t r o n s i n l o c a l i z e d s t a t e s a r o u n d t h e i m p u r i t i e s . A p o s s i b l e m e c h a n i s m f o r d c e l e c t r o n i c c o n d u c t i o n i s f o r t h e s e e l e c t r o n s t o u n d e r g o t r a n s i t i o n s b e t w e e n l o c a l i z e d s t a t e s . S u c h t r a n s i t i o n s a r e r e f e r r e d t o a s " h o p s " a n d t h e a s s o c i a t e d c o n d u c t i v i t y i s c a l l e d " h o p p i n g c o n d u c t i v i t y " . H o p p i n g i s t h e d o m i n a n t m e c h a n i s m f o r c o n d u c t i o n i f t h e t e m p e r a t u r e i s s o l o w t h a t t h e n u m b e r o f c o n d u c t i o n b a n d e l e c t r o n s i s v e r y m u c h s m a l l e r t h a n t h e n u m b e r o f l o c a l i z e d e l e c t r o n s ^ . 2 3 4 E s t a b l i s h e d t h e o r i e s ' ' o f h o p p i n g c o n d u c t i o n p r e d i c t t h a t , a t l o w e n o u g h t e m p e r a t u r e T, t h e c o n d u c t i v i t y a i n a l i g h t l y d o p e d s e m i c o n d u c t o r i s o f t h e f o r m a = 0 Q e U 0 / i ; , ( I . l ) w h e r e t h e p r e f a c t o r aQ d e p e n d s w e a k l y o n T, a n d T„ i s g i v e n b y T 0 = — , ( 1 . 2 ) k g F a 3 w h e r e k i s B o l t z m a n n ' s c o n s t a n t , g i s t h e d e n s i t y o f l o c a l i z e d s t a t e s a t t h e F e r m i e n e r g y , a i s t h e e l e c t r o n i c l o c a l i z a t i o n l e n g t h a n d C i s a d i m e n s i o n l e s s c o n s t a n t a p p r o x i m a t e l y e q u a l t o 2 0 . H o p p i n g c o n d u c t i v i t y o f t h i s f o r m i s a l m o s t a l w a y s c a l l e d " v a r i a b l e r a n g e h o p p i n g " ( V R H ) c o n d u c t i v i t y . T h e t e r m " v a r i a b l e r a n g e h o p p i n g " i s u s e d b e c a u s e , a c c o r d i n g 2 3 4 t o t h e t h e o r i e s ' ' o f h o p p i n g c o n d u c t i o n , t h e c o n d u c t i v i t y h a s t h e f o r m ( 1 . 1 ) w h e n t h e r a n g e i n p o s i t i o n s p a c e o f t y p i c a l h o p s i n c r e a s e s a s t h e t e m p e r a t u r e d e c r e a s e s . T h e b a s i c i d e a s o f V R H w i l l b e d e v e l o p e d m o r e f u l l y i n S e c . I I I . P u b l i s h e d e x p e r i m e n t a l w o r k w h i c h e x h i b i t s c l e a r V R H c o n d u c t i o n i n d o p e d s e m i c o n d u c t o r s i s s c a r c e , a s w i l l b e d i s c u s s e d i n S e c . I I I . I n r e s p o n s e t o t h i s s h o r t a g e o f d a t a , B e n z a q u e n a n d W a l s h ' ' a n d B e n z a q u e n e t a l . p u b l i s h e d e x p e r i m e n t a l a c c o u n t s o f h o p p i n g c o n d u c t i o n i n l i g h t l y d o p e d n - G a A s a n d l i g h t l y d o p e d n - I n P , r e s p e c t i v e l y . F o r t h e t e m p e r a t u r e r a n g e 1 . 4 K < T < 3 - 7 K , t h e y f o u n d a = o0e ( V T ) S , ( i . 3 ) w i t h s c l o s e t o T Q o f t h e o r d e r o f 1 0 3 K i n G a A s a n d o f t h e o r d e r o f l O ^ K i n I n P . A t f i r s t s i g h t , t h e s e r e s u l t s a p p e a r t o s u p p o r t e x i s t i n g 2 3 4 t h e o r i e s ' ' o f V R H . H o w e v e r , t h e e x p e r i m e n t a l t e m p e r a t u r e r a n g e w a s w e l l a b o v e . t h e r a n g e w h e r e t h e t h e o r i e s p r e d i c t V R H t o b e o b s e r v e d i n t h e s e m a t e r i a l s , a n d t h e e x p e r i m e n t a l T Q v a l u e s w e r e f a r t o o s m a l l t o b e a c c o u n t e d f o r o n t h e b a s i s o f t h e s e t h e o r i e s . T h e t h e o r i e s p r e d i c t V R H w i t h T Q v a l u e s - 3 -of the order of 10 bK to be observed i n these m a t e r i a l s f or temperatures l e s s than 0.2-0.3K. The p r e d i c t e d behavior was observed by Emel'yanenko et a l . ^ i n n-GaAs — the impurity concentrations were e s s e n t i a l l y the same as those i n r e f . [5] — thereby c o n s t i t u t i n g evidence i n favor of the t h e o r i e s . Moreover, although Emel'yanenko et a l . d i d not themselves say so — a point to be f u l l y discussed i n [I] — the Emel'yanenko et a l . data seemed to i n d i c a t e a second temperature regime i n which a was of the form (1.1). The temperature range for t h i s regime was 1.2K < T < 4.2K, and the ass o c i a t e d T Q values were about 10 3K, j u s t as reported by Benzaquen and Walsh. These three experimental accounts^'^'^ suggest the existence of two I - 1 * " * regimes. The low temperature (O.IK < T < IK) regime i s w e l l understood on the ba s i s of the e s t a b l i s h e d theories of VRH, but the high temperature (IK < T < 3-7K) T - 1 / l f behavior cannot be understood on the b a s i s of these t h e o r i e s . A f u l l d i s c u s s i o n of the i n a p p l i c a b i l i t y of the t h e o r i e s to the high temperature T-1/"* behavior w i l l be given i n [ I ] . Matters become even more i n t e r e s t i n g upon c o n s i d e r a t i o n of other 8—11 experimental i n v e s t i g a t i o n s i n t o the hopping c o n d u c t i v i t y of l i g h t l y doped n-GaAs and l i g h t l y doped n-InP. In contrast to the experimental work discussed above, these experiments revealed a c o n d u c t i v i t y of the so c a l l e d " a c t i v a t e d " form, -e 3 /kT a = a 3e ( 1 . 4 ) - 4 -i n the high temperature range, IK < T < 3-7K. (The notations o"3 and are used for h i s t o r i c a l r e a s o n s ^ . ) In these various experiments^ s t r i k i n g l y d i f f e r e n t r e s u l t s f o r the c o n d u c t i v i t y have been reported f o r the same m a t e r i a l s , even though the temperature ranges and the impurity concentrations were e s s e n t i a l l y the same. Moreover, the o r i e s have been 13 advanced which have p r e d i c t e d the a c t i v a t e d c o n d u c t i v i t y (1.4) for the high temperature regime, but such t h e o r i e s have not suggested the a l t e r n a t i v e p o s s i b i l i t y of a c o n d u c t i v i t y of the form (1.1). Some i n t r i g u i n g questions emerge. Why, for the same m a t e r i a l , and i n the same temperature range, have some i n v e s t i g a t o r s found the c o n d u c t i v i t y to be of the form (1.3) with s » 4- while others have found i t to be of form 4 (1.4)? The c o n d u c t i v i t y (1.3) with s » has unequivocally been observed i n r e f . s [5] and [ 6 ] , and p o s s i b l y also i n r e f . [7] (see [ I ] ) . However, the experimental temperature range was w e l l i n excess of, and the experimental TQ values were w e l l below, the l i m i t s set by e s t a b l i s h e d t h e o r i e s of VRH. How can such experimental r e s u l t s be explained? Why i s i t that these 13 experimental r e s u l t s were not admitted as a p o s s i b i l i t y by those t h e o r i e s which p r e d i c t e d the c o n d u c t i v i t y (1.4)? - 5 -I I . A i m s , A s s u m p t i o n s , a n d S t r a t e g i e s T h e p r i n c i p a l a i m o f t h i s d i s s e r t a t i o n i s t o a n s w e r t h e q u e s t i o n s r a i s e d a t t h e e n d o f t h e p r e v i o u s s e c t i o n . T h e i n v e s t i g a t i o n s t o b e u n d e r t a k e n w i l l b e b a s e d o n a n e x t e n s i o n o f t h e m o d e l u n d e r l y i n g a l m o s t a l l t h o s e t h e o r i e s w h i c h h a v e h a d s u c c e s s i n a c c o u n t i n g f o r v a r i o u s e x p e r i m e n t a l l y o b s e r v e d f e a t u r e s o f h o p p i n g c o n d u c t i o n . T h e m o d e l r e f e r r e d t o i s t h e r e s i s t o r n e t w o r k m o d e l f o r h o p p i n g c o n d u c t i o n , f i r s t p r o p o s e d b y 14 M i l l e r a n d A b r a h a m s . I n t h i s m o d e l , a l i g h t l y d o p e d s e m i c o n d u c t o r ( L D S ) i s r e p r e s e n t e d b y a r e s i s t o r n e t w o r k w h e r e i n e v e r y p a i r o f d o n o r i m p u r i t y s i t e s i a n d j i s m a p p e d i n t o a r e s i s t o r ( f o r d e f i n i t e n e s s , a c o m p e n s a t e d , n - t y p e s e m i c o n d u c t o r i s c o n s i d e r e d ) . T h e o v e r a l l c o n d u c t i v i t y o f t h e L D S i s g i v e n i n t e r m s o f t h e o v e r a l l r e s i s t a n c e o f t h e r e s i s t o r n e t w o r k . I n t h e A p p e n d i x , t h e m a p p i n g o f a L D S i n t o a r e s i s t o r n e t w o r k i s d i s c u s s e d . T h a t a r e s i s t o r n e t w o r k c a n m o d e l t h e h o p p i n g c o n d u c t i o n i s r e a d i l y s e e n a s f o l l o w s . T h e h o p p i n g o f e l e c t r o n s f r o m d o n o r t o d o n o r c a n b e d e s c r i b e d i n t e r m s o f c u r r e n t s f l o w i n g b e t w e e n t h e d o n o r s . E v a l u a t i n g t h e s e c u r r e n t s g i v e s t h e r e s i s t a n c e s a s s o c i a t e d w i t h t h e h o p s . A d e r i v a t i o n i s p r e s e n t e d i n t h e A p p e n d i x o f t h e f o l l o w i n g f o r m o f t h e r e s i s t a n c e R..: R. . = R„ Q . . f . . X X. . ( I I . 1 ) - 6 -where *0 ( ^ T - ) 2 . ( I I - 2 ) e A 2 k O e 2 (e.-e.)a 2 ** Q,: = [1 + ( 11 1 ) ] , ( H . 3 ) 1 J 2trs and , (e.-ii)/kT -(e.-vt)/kT (e.-e.)/kT f i i = F^H 1 + T e 1 )( 1 + 2e 3 )(e J 1 - 1). ( I I . 4 ) j i d, s, E^, and K are, r e s p e c t i v e l y , the semiconductor's d e n s i t y , i t s speed of sound, i t s deformation p o t e n t i a l constant, and i t s d i e l e c t r i c constant; "h" = 2~jjT where h i s Planck's constant, kg i s the Coulomb force constant, \i i s the chemical p o t e n t i a l , and are the e l e c t r o n energies corresponding to the l o c a l i z e d s t a t e s f or m a j o r i t y impurity s i t e s i and j , with e. > 2r. . chosen for d e f i n i t e n e s s , and X.. = — w h e r e r . . i s the distance s e p a r a t i n g s i t e s i and j and a i s the e l e c t r o n l o c a l i z a t i o n length. The major assumptions in v o l v e d i n d e r i v i n g ( I I . 1 ) - ( I I . 4 ) , as discussed i n the Appendix, are as f o l l o w s . The Coulomb i n t e r a c t i o n between l o c a l i z e d e l e c t r o n s and charged i m p u r i t i e s i s taken i n t o account i n only a very simple way. At low - 7 -t e m p e r a t u r e , a n n - t y p e s e m i c o n d u c t o r o f u n i t v o l u m e w i t h n ^ d o n o r s a n d n ^ a c c e p t o r s ( n _ , > n . ) w i l l h a v e n - n . e l e c t r o n s l o c a l i z e d a b o u t n ^ d o n o r s . v D A D A D E a c h d o n o r s i t e w i l l h a v e a p a r t i c u l a r a n d u n i q u e e n v i r o n m e n t o f n e g a t i v e l y c h a r g e d a c c e p t o r s , p o s i t i v e d o n o r s a n d n e u t r a l d o n o r s . T h e c o m b i n a t i o n o f t h e C o u l o m b i n t e r a c t i o n a n d t h e u n i q u e e n v i r o n m e n t f o r e a c h d o n o r s i t e i m p l i e s t h a t t h e e n e r g y l e v e l f o r a n e l e c t r o n l o c a l i z e d a b o u t a d o n o r w i l l d i f f e r f r o m s i t e t o s i t e . T h i s v e r y c o m p l e x s i t u a t i o n i s d e a l t w i t h i n t h e r e s i s t o r n e t w o r k m o d e l b y s i m p l y t r e a t i n g t h e e l e c t r o n s a s i n d e p e n d e n t a n d b r i n g i n g i n t o p l a y a o n e - e l e c t r o n d e n s i t y o f s t a t e s g ( e ) f o r t h e l o c a l i z e d e l e c t r o n s . E l e c t r o n - e l e c t r o n c o r r e l a t i o n s a r e i g n o r e d : t h e r e s i s t a n c e ., w h i c h m o d e l s t h e r a t e a t w h i c h e l e c t r o n s h o p b e t w e e n s i t e s i a n d j , i s t a k e n t o d e p e n d o n l y o n q u a n t i t i e s p e r t a i n i n g t o s i t e s i a n d j . No c o n s i d e r a t i o n i s a f f o r d e d t o t h e w a y i n w h i c h e l e c t r o n s o n s u r r o u n d i n g s i t e s w i l l a f f e c t t h e h o p p i n g r a t e . A t i m e - a v e r a g e d r a t e e q u a t i o n a p p r o a c h i s e m p l o y e d . F u r t h e r m o r e , t h e d o n o r a n d a c c e p t o r p o s i t i o n s , a s w e l l a s t h e d o n o r e n e r g y l e v e l s f o r e l e c t r o n s , a r e a s s u m e d t o b e u n c o r r e l a t e d . F i n a l l y , t h e e l e c t r o n - p h o n o n i n t e r a c t i o n i s t r e a t e d v i a t h e d e f o r m a t i o n p o t e n t i a l a p p r o x i m a t i o n . T h e a b o v e a s s u m p t i o n s w e r e c o m m o n t o m o s t i n v e s t i g a t i o n s i n h o p p i n g c o n d u c t i o n . I n t h e s e i n v e s t i g a t i o n s , t h e T -> 0 a s y m p t o t i c f o r m o f t h e r e s i s t o r n e t w o r k ( I I . 1 ) - ( I I . 4 ) w a s a l m o s t a l w a y s u s e d . I n s o m e i n v e s t i g a t i o n s , w h e r e t h e f u l l f o r m f o r R.. w a s u s e d ( t o b e d i s c u s s e d i n - 8 -S e c . I l l ) , t h e t e m p e r a t u r e d e p e n d e n c e o f t h e c o n d u c t i v i t y w a s e x a m i n e d o n l y f o r k T m u c h s m a l l e r t h a n t h e b a n d w i d t h A e o f l o c a l i z e d s t a t e s . T h e w o r k i n t h i s d i s s e r t a t i o n i s u n i q u e i n t h a t , f o r t h e f i r s t t i m e , t h e h o p p i n g c o n d u c t i v i t y i s e x a m i n e d u s i n g t h e f u l l f o r m o f t h e r e s i s t o r n e t w o r k ( I I . 1 ) - ( I I . 4 ) , a n d i n a t e m p e r a t u r e r a n g e w h e r e k T i s o f t h e o r d e r o f A e . T h e r e a s o n s f o r u s i n g t h e f u l l r e s i s t o r n e t w o r k , a n d n o t t h e l o w T a s y m p t o t i c f o r m , a n d f o r t a k i n g k T t o b e o f o r d e r Ae, a r e a s f o l l o w s . T h e b a n d w i d t h Ae o f l o c a l i z e d s t a t e s i s o f t h e o r d e r o f t h e m e a n e l e c t r o s t a t i c p o t e n t i a l e n e r g y s h a r e d b y a l o c a l i z e d e l e c t r o n a n d a n e a r b y c h a r g e d i m p u r i t y , o r a b o u t 1 m e V i n t h e G a A s a n d I n P s a m p l e s o f r e f . s [ 5 ] a n d [ 6 ] , F o r t h e e x p e r i m e n t a l r a n g e o f t e m p e r a t u r e s ( S e c . I ) , k T l i e s i n t h e r a n g e 0 . 1 meV < k T < 0.6 meV. A s s u c h , t h e a s s u m p t i o n k T « Ae, m a d e b y o t h e r w o r k e r s , i s n o t v a l i d f o r t h e s e e x p e r i m e n t s . I t w i l l b e c o m e e v i d e n t i n t h i s d i s s e r t a t i o n t h a t k T m u s t b e a m u c h s m a l l e r f r a c t i o n o f Ae t h a n 0.6 i f t h e T •* 0 f o r m o f t h e r e s i s t o r n e t w o r k i s t o b e t r u s t e d . I t i s n e c e s s a r y t o u s e t h e f u l l f o r m o f t h e r e s i s t a n c e i n o r d e r t o p e r f o r m a m e a n i n g f u l i n v e s t i g a t i o n o f t h e c o n d u c t i v i t y i f t h e r e s i s t o r n e t w o r k m o d e l i s u s e d w h e n k T i s o f o r d e r Ae. A s s u c h , i t i s a p r i n c i p a l a i m o f t h i s d i s s e r t a t i o n t o d e v e l o p a s u i t a b l e m e a n s o f e v a l u a t i n g t h e n e t r e s i s t a n c e o f t h e r e s i s t o r n e t w o r k ( I I . 1 ) - ( I I . 4 ) f o r k T o f o r d e r Ae. I t w i l l t h e n b e f e a s i b l e t o i n v e s t i g a t e w h y i t i s p o s s i b l e t o o b t a i n a h i g h t e m p e r a t u r e e x p e r i m e n t a l h o p p i n g c o n d u c t i v i t y o f t h e f o r m ( 1 . 3 ) w i t h s M 4-, a n d w h y s o m e i n v e s t i g a t o r s f o u n d a t o b e g i v e n b y ( 1 . 4 ) i n s t e a d . - 9 -T h e w o r k i n t h i s d i s s e r t a t i o n i s d i v i d e d i n t o f o u r s e q u e n t i a l s t u d i e s . I n [ I ] , a t w o - d i m e n s i o n a l n u m e r i c a l s i m u l a t i o n i s c a r r i e d o u t t o c a l c u l a t e t h e n e t r e s i s t a n c e o f t h e f u l l r e s i s t o r n e t w o r k . A t w o - d i m e n s i o n a l a n a l y t i c t h e o r y f o r e v a l u a t i n g t h e o v e r a l l r e s i s t a n c e o f t h e n e t w o r k i s p r e s e n t e d i n [ I I ] , a n d t h e r e s u l t s a r e c o m p a r e d t o t h e n u m e r i c a l r e s u l t s o f [ I ] . B a s e d o n t h e k n o w l e d g e g a i n e d f o r t h e t w o - d i m e n s i o n a l c a s e , t h e a n a l y t i c t h e o r y i s e x t e n d e d t o t h r e e d i m e n s i o n s i n [ I I I ] , A f l a t d e n s i t y o f s t a t e s i s a s s u m e d , f o r s i m p l i c i t y , i n [ I ] , [ I I ] , a n d [ I I I ] . T h e h i g h t e m p e r a t u r e c o n d u c t i v i t y i s c a l c u l a t e d , u s i n g t h e a n a l y t i c t h e o r y , f o r v a r i o u s f u n d a m e n t a l l y d i f f e r e n t d e n s i t i e s o f s t a t e s i n [ I V ] . T h e m o s t i m p o r t a n t o f t h e _ r e s u l t s o f t h i s w o r k a r e a s f o l l o w s . A m e a n s i s d e v i s e d f o r d e a l i n g w i t h t h e f u l l r e s i s t o r n e t w o r k a t h i g h t e m p e r a t u r e . T h e c o n d u c t i v i t y i s f o u n d t o b e o f t h e f o r m (1.4) f o r a f l a t d e n s i t y o f s t a t e s , i n e i t h e r t w o o r t h r e e d i m e n s i o n s . I n t h r e e d i m e n s i o n s , a c a n v e r y p l a u s i b l y b e o f t h e f o r m (1.3) w i t h s » i f t h e d e n s i t y o f s t a t e s d e c r e a s e s w i t h | e - n 0 | f o r e f a r e n o u g h a w a y f r o m t h e z e r o t e m p e r a t u r e c h e m i c a l p o t e n t i a l \IQ . T h e s e r e s u l t s h e l p u s t o u n d e r s t a n d w h y B e n z a q u e n a n d c o - w o r k e r s o b s e r v e d T _ 1 / l + b e h a v i o r w h e r e a s o t h e r i n v e s t i g a t o r s o b t a i n e d T~^ b e h a v i o r , a s w i l l b e d i s c u s s e d f u l l y i n [ I V ] , B e f o r e p r o c e e d i n g t o t h e m a i n b o d y o f t h i s d i s s e r t a t i o n , a r e v i e w i s p r e s e n t e d o f t h e r e l e v a n t l i t e r a t u r e , a n d t h e b a s i c i d e a s i n v o l v e d i n V R H a r e d i s c u s s e d . - 1 0 -I I I . R e v i e w o f t h e L i t e r a t u r e ; B a s i c C o n c e p t s i n V R H T h e m a i n t o p i c o f t h i s d i s s e r t a t i o n i s V R H a t h i g h t e m p e r a t u r e s . A s s u c h , t h e l i t e r a t u r e r e v i e w e d w i l l b e p r e d o m i n a n t l y c o n c e r n e d w i t h V R H . S t u d i e s o f V R H w e r e , h o w e v e r , p r e c e d e d b y i n v e s t i g a t i o n s i n t o a c t i v a t e d h o p p i n g c o n d u c t i o n . I t i s t h e r e f o r e b e s t t o b r i e f l y r e v i e w t h e m a j o r w o r k s i n a c t i v a t e d h o p p i n g c o n d u c t i o n b e f o r e t u r n i n g t o t h o s e c o n c e r n i n g V R H . H o p p i n g c o n d u c t i o n w a s f i r s t p r e d i c t e d b y G u d d e n a n d S c h o t t k y ^ " * i n 1 9 3 5 . T h e f i r s t e x p e r i m e n t a l d a t a o b t a i n e d w a s t h e 1 9 4 6 w o r k o f B u s h a n d L a b h a r t ^ o n S i C . I n 1 9 5 4 , H u n g a n d G l i e s s m a n ^ s t u d i e d G e a n d S i . M a n y o t h e r e x p e r i m e n t a l i n v e s t i g a t i o n s o f h o p p i n g c o n d u c t i v i t y a p p e a r e d i n t h e l a s t h a l f o f t h e 1 9 5 0 s a n d i n t h e e a r l y 1 9 6 0 s . T h e h o p p i n g c o n d u c t i v i t y i n t h e s e e x p e r i m e n t s w a s f o u n d t o b e o f t h e a c t i v a t e d f o r m ( 1 . 4 ) . M o r e r e c e n t e x p e r i m e n t a l s t u d i e s w h i c h s h o w e d a o f t h i s f o r m w e r e t h o s e o f r e f . s [ 8 ] - [ 1 1 ] o n n - G a A s a n d n - I n P . 1 4 I n 1 9 6 0 , M i l l e r a n d A b r a h a m s d e v e l o p e d t h e r e s i s t o r n e t w o r k m o d e l o f h o p p i n g c o n d u c t i o n . T h e i r a p p r o a c h t o c a l c u l a t i n g t h e n e t r e s i s t a n c e o f t h e n e t w o r k w a s , h o w e v e r , s u s b s e q u e n t l y c r i t i c i z e d . I m p r o v e d a p p r o a c h e s w e r e b a s e d o n p e r c o l a t i o n t h e o r y . P e r c o l a t i o n - b a s e d t h e o r i e s w h i c h c a l c u l a t e d e 3 i n t e r m s o f t h e b a n d w i d t h A e , f o r i n t e r m e d i a t e c o m p e n s a t i o n s , w e r e g i v e n b y S k a l , S h k l o v s k i i a n d E f r o s ^ a n d b y H a y d e n a n d B u t c h e r ^ . T h e s e t h e o r e t i c a l a c c o u n t s w i l l b e f u r t h e r d i s c u s s e d i n [ I ] a n d [ I I I ] , w h e r e a s i m i l a r b u t i m p r o v e d c a l c u l a t i o n f o r e 3 i n t e r m s o f A e w i l l b e p r e s e n t e d . - 11 -( i ) T h e B a s i c I d e a o f V R H . . 2 T h e p o s s i b i l i t y o f V R H w a s f i r s t p o i n t e d o u t b y M o t t i n 1 9 6 8 . H i s d e r i v a t i o n o f t h e c o n d u c t i v i t y ( 1 . 1 ) w a s e s s e n t i a l l y a s f o l l o w s . T h e r a t e a t w h i c h a n e l e c t r o n w i l l h o p f r o m s i t e i t o s i t e j i s p r o p o r t i o n a l t o t h e 2 r . . e.. + -11) _ ^ a k T ' q u a n t i t y p ^ = e , w h e r e e ^ i s a p a r t i c u l a r e n e r g y d i f f e r e n c e a s s o c i a t e d w i t h t h e h o p . F o r e x a m p l e , i f e^ > e^, a p h o n o n i s a b s o r b e d i n t h e h o p , a n d e . . = £ . - £ . . I f k T i s o f o r d e r Ae a n d t h e a v e r a g e d i s t a n c e ' i.1 J i b e t w e e n s i t e s i s m u c h l a r g e r t h a n a , t h e n f o r a l m o s t a l l p a i r s i a n d j , 2 r . . / a » e . . / k T . I n t h i s c a s e , e l e c t r o n s w i l l h o p b e t w e e n n e a r e s t n e i g h b o r s i n o r d e r t o m i n i m i z e 2 r . . / a + e . . / k T a n d t h e r e b y m a x i m i z e p . . . H o w e v e r , i f kT<<Ae, t h e n f o r a s i t e j w h i c h i s a n e a r e s t n e i g h b o r o f s i t e i , e.. 2 r . . i t w i l l t y p i c a l l y b e t h a t e. . >> k T a n d r - ^ - >> —^J.. U n d e r t h e s e i j k T a c o n d i t i o n s , a n e l e c t r o n o n s i t e i c o u l d v e r y w e l l f i n d i t m o r e f a v o r a b l e t o h o p t o a s i t e j ' w h i c h i s f u r t h e r a w a y f r o m i t h a n j i s . S u c h w o u l d b e t h e c a s e i f e... w a s s u f f i c i e n t l y s m a l l e r t h a n e.. t h a t , e v e n t h o u g h r . . . > r . . , i j 6 i j 1 i j ' p . . , > p . . . C o n s i d e r t h i s s i t u a t i o n m o r e f u l l y . F i r s t , n o t e t h a t p ^ ^ c a n v a r y o v e r a n e n o r m o u s r a n g e . A s s u c h , n o t a l l o f t h e p a i r s o f s i t e s i n t h e s y s t e m a r e i m p o r t a n t . W h i c h p a i r s o f s i t e s w i l l b e t h e d o m i n a n t p a i r s a n d w i l l t h e r e b y d e t e r m i n e t h e o v e r a l l c o n d u c t i v i t y ? T o a n s w e r t h i s , r e s t r i c t a t t e n t i o n t o t h e s e t o f s i t e s w h o s e e n e r g i e s l i e w i t h i n e Q o f \x. S i t e s w i t h e n e r g i e s c l o s e t o p. a r e f o c u s e d o n b e c a u s e k T « Ae i m p l i e s s i t e s f a r f r o m \i a r e - 12 -e i t h e r c o m p l e t e l y f u l l o r c o m p l e t e l y e m p t y . T h e a i m i s t o d e t e r m i n e t h e v a l u e o f £Q t h a t c o r r e s p o n d s t o t h e s e t o f s i t e s y i e l d i n g t h e l a r g e s t c o n d u c t i v i t y . T o d o s o , c o n s i d e r a r a n d o m l y c h o s e n s i t e i w h e r e | e ^ - | i | < EQ . I m a g i n e a s p h e r e c e n t e r e d o n i w h i c h i s j u s t l a r g e e n o u g h t h a t t h e r e i s a s e c o n d s i t e j , f o r w h i c h | e ^ - ( j , | < e Q , w h i c h a l s o l i e s w i t h i n t h e s p h e r e . D e f i n e r ^ a s t h e r a d i u s o f s u c h a s p h e r e a v e r a g e d o v e r a l l s i t e s i w i t h | e ^ - | i | < E Q . N o t i c e t h a t r Q w i l l b e a m e a s u r e o f t h e h o p p i n g d i s t a n c e , a n d EQ w i l l b e a m e a s u r e o f t h e h o p p i n g e n e r g y . e Q i s e a s i l y s e e n t o b e r e l a t e d t o r Q b y e Q ~ — , w h e r e g p i s t h e d e n s i t y o f s t a t e s a t t h e F e r m i g F r o 3 e n e r g y ( i g n o r e a l l n u m e r i c a l f a c t o r s i n t h i s h e u r i s t i c a r g u m e n t ) . T h e - ( - • — ) a i ' g F K T R 0 3 t y p i c a l v a l u e o f p ^ ^ w i l l b e p ~ e . M a x i m i z i n g p w i t h r e s p e c t t o r Q g i v e s r Q ~ a ( g p k T a 3 ) ~ 1 / i + , w h i c h i s a m e a s u r e o f t h e t y p i c a l h o p p i n g d i s t a n c e , E q ~ k T ( g F k T a 3 ) - 1 / 1 + , w h i c h i s a m e a s u r e o f t h e t y p i c a l - ( g F k T a 3 r 1 / 4 h o p p i n g e n e r g y , a n d p ~ e , w h i c h i m p l i e s a c o n d u c t i v i t y o f t h e f o r m ( 1 . 1 ) . TQ i s g i v e n b y ( 1 . 2 ) , a n d C i s a n u n d e t e r m i n e d n u m e r i c a l f a c t o r . N o t e t h a t r Q i n c r e a s e s a s T d e c r e a s e s , w h e n c e t h e n a m e " v a r i a b l e r a n g e h o p p i n g " c o n d u c t i v i t y . ( i i ) P e r c o l a t i o n A p p r o a c h t o C a l c u l a t i n g t h e C o n d u c t i v i t y T h e a b o v e i s o n l y a h e u r i s t i c a r g u m e n t f o r V R H . S u b s e q u e n t i n v e s t i g a t o r s w e r e a b l e t o p r o v i d e m o r e r i g o r o u s d e r i v a t i o n s . T h e b e s t - 1 3 -k n o w n o f t h e s e w o r k s a r e t h o s e o f A m b e g a o k a r , H a l p e r i n , a n d L a n g e r ( A H L ) 4 a n d P o l l a k . B o t h w o r k s w e r e b a s e d o n a p e r c o l a t i o n t h e o r y a p p r o a c h t o c a l c u l a t i n g t h e n e t r e s i s t a n c e o f t h e M i l l e r a n d A b r a h a m s r e s i s t o r n e t w o r k . I t w a s r e c o g n i z e d i n t h e s e t h e o r i e s t h a t , b e c a u s e o f t h e e n o r m o u s r a n g e o v e r w h i c h t h e r e s i s t a n c e c o u l d v a r y , o n l y a s m a l l f r a c t i o n o f t h e h u g e n u m b e r o f p a i r s o f s i t e s c o u l d b e o f a n y i m p o r t a n c e i n d e t e r m i n i n g t h e o v e r a l l c o n d u c t i v i t y . I n b o t h t h e o r i e s , i t w a s a s s u m e d t h a t k T w a s s o m u c h s m a l l e r t h a n A e t h a t t h e r e s i s t a n c e R. . c o u l d b e r e p l a c e d b y i t s T •*• 0 a s y m p t o t i c f o r m f o r e s s e n t i a l l y a l l p a i r s o f s i t e s o f i m p o r t a n c e . I n r e f . [ 3 ] , t h e f o l l o w i n g a p p r o a c h w a s p r e s e n t e d . I m a g i n e r e m o v i n g a l l t h e r e s i s t o r s . P u t b a c k t h o s e f o r w h i c h R.. < R. S t a r t w i t h R a r b i t r a r i l y s m a l l ; w h a t h a p p e n s a s R i n c r e a s e s ? A t f i r s t , o n l y i s o l a t e d c l u s t e r s o f r e s i s t o r s a p p e a r , a n d t h e r e i s n o c o n t i n u o u s p a t h f r o m o n e e n d o f t h e n e t w o r k t o t h e o p p o s i t e e n d . A s R i n c r e a s e s , t h e c l u s t e r s g r o w i n s i z e . A t s o m e c r i t i c a l v a l u e R o f R, t h e c l u s t e r s m e r g e , b e i n g c o n n e c t e d b y r e s i s t o r s o f m a g n i t u d e R , a n d t h e s e t o f r e s i s t o r s p r e s e n t " p e r c o l a t e s " f r o m o n e e n d o f t h e s y s t e m t o t h e o t h e r . S i n c e t h e r e s i s t o r s v a r y o v e r a n e x p o n e n t i a l r a n g e , t h e r e s i s t o r s i n t h e c l u s t e r s a r e e x p o n e n t i a l l y s m a l l c o m p a r e d t o t h e c r i t i c a l r e s i s t o r s . M o r e o v e r , a s f u r t h e r r e s i s t o r s a r e i n t r o d u c e d , t h e y a r e s h o r t e d o u t b y t h e n e t w o r k f o r m e d b y t h e c o n d i t i o n R ^ < R . A s s u c h , t h e o v e r a l l c o n d u c t i v i t y i s d e t e r m i n e d b y t h e c r i t i c a l r e s i s t o r s . W r i t i n g ( I H . 1 ) - 1 4 -i t f o l l o w s t h a t ( I I I . 2 ) a = A H L f o u n d 1/h ( I I I . 3 ) w i t h T Q g i v e n b y ( 1 . 2 ) ; t h e y e s t i m a t e d C t o b e a b o u t 1 6 . P o l l a k ' s a n a l y s i s a l s o g a v e e q u a t i o n s ( i l l . 2 ) , ( I I I . 3 ) a n d ( 1 . 2 ) , w i t h C e s t i m a t e d t o b e a b o u t 2 0 2 1 1 1 . 5 . O t h e r w o r k e r s ' h a v e a l s o p r o v i d e d e s t i m a t e s f o r C. T h e v a r i o u s e s t i m a t e s a v a i l a b l e r a n g e f r o m a b o u t 1 0 t o a b o u t 2 8 . T h e m o s t r e c e n t 2 2 c a l c u l a t i o n g i v e s T h e A H L d e r i v a t i o n o f ( I I I . 3 ) w i l l b e p r e s e n t e d i n [ I ] . ( i i i ) E x p e r i m e n t a l S t u d i e s A s u m m a r y o f i n v e s t i g a t i o n s i n t o h o p p i n g c o n d u c t i v i t y i n d o p e d s e m i c o n d u c t o r s w i l l b e g i v e n n e x t . B e f o r e d o i n g s o , i t i s i m p o r t a n t t o e m p h a s i z e t h a t t h i s d i s s e r t a t i o n i s c o n c e r n e d a l m o s t e x c l u s i v e l y w i t h V R H i n l i g h t l y d o p e d s e m i c o n d u c t o r s ( L D S s ) . T h e o n l y e x p e r i m e n t a l w o r k o n V R H i n C = 2 1 . 2 ± 1 . 2 . ( I I I . 4 ) - 15 -LDSs has already been discussed. Nevertheless, so as to convey the extent to which VRH has been studied in doped semiconductors, the following b r i e f summary i s presented. 5 6 The reports of Benzaquen and Walsh , Benzaquen et a l . , and Emel'yanenko et a l . ^ c o n s t i t u t e the only experimental investigations of VRH 23 i n LDSs. A l l e n and co-workers presented evidence for VRH between 0.2K and IK in heavily doped n-Ge with intermediate compensation (n /n not too close A L) 24 to 0 or 1). Shlimak and N i k u l i n examined p-Ge at intermediate compensation for O.IK < T < IK; they found VRH for the sample with the l i g h t e s t doping, but claimed that the value of s in equation (1.3) for a 25 increased with impurity concentration. Yaremenko reported VRH for heavily doped n-InSb with strong compensation (n^/n^ just less than unity) for 4K < T < 10K, although the data presented revealed some scatter. On the 26 27 28 other hand, Redfield , Zabrodskii , and Tokumoto et a l . obtained co n d u c t i v i t i e s of form (1.3) with s = y, Redfield for heavily doped, strongly compensated n-GaAs with 2K < T < 20K, Zabrodskii for heavily doped, strongly compensated n-Ge with IK <. T <. 10K, and Tokumoto et a l . for heavily doped n-InSb with intermediate compensation and 0.03K < T < 0.3K ( i n the last case, i t was the magnetoresistance that was studied). Investigations have also been ca r r i e d out on hopping conductivity i n semiconductors doped so heavily as to be barely on the i n s u l a t i n g side of the metal-insulator 29 30 t r a n s i t i o n . Kobayashi and co-workers , as well as Shafarman and 31 Castner , reported VRH i n uncompensated n-Si, the former authors for - 1 6 -2 K < T < 1 0 K , t h e l a t t e r f o r 0 . 1 5 K < T < 1 0 K . I o n o v e t a l . o b s e r v e d t h e c o n d u c t i v i t y ( 1 . 3 ) w i t h s = y i n i n t e r m e d i a t e l y c o m p e n s a t e d n - G e f o r 0 . 5 K < T < 2 K . I t i s e v i d e n t t h a t s i g n i f i c a n t d i v e r s i t y e x i s t s i n t h e e x p e r i m e n t a l l i t e r a t u r e , a n d t h a t t h e s t u d y o f V R H i n d o p e d s e m i c o n d u c t o r s w i l l b e o f g r e a t i n t e r e s t f o r s o m e t i m e t o c o m e . I n t h i s d i s s e r t a t i o n , o n l y t h e d i s c r e p a n c i e s f o r h i g h t e m p e r a t u r e h o p p i n g c o n d u c t i o n i n L D S s w i l l b e i n v e s t i g a t e d . A s s u c h , t h e o n l y e x p e r i m e n t a l r e s u l t s w h i c h r e l a t e t o t h i s d i s s e r t a t i o n a r e t h o s e o f r e f . s [ 5 ] - [ 1 1 ] , a l l o f w h i c h a r e f o r L D S s . 3 3 I t m u s t b e m e n t i o n e d t h a t t h e o r e t i c a l w o r k e x i s t s w h i c h p r e d i c t s e q u a t i o n ( 1 . 3 ) w i t h s = y f o r t h e l o w t e m p e r a t u r e c o n d u c t i v i t y i n d o p e d s e m i c o n d u c t o r s . T h i s t h e o r e t i c a l w o r k i s n o t , h o w e v e r , r e l a t e d i n a m a j o r w a y t o t h e w o r k i n t h i s d i s s e r t a t i o n . ( i v ) N u m e r i c a l S t u d i e s A n o t h e r a r e a o f t h e l i t e r a t u r e o f d i r e c t i n t e r e s t c o n c e r n s c e r t a i n n u m e r i c a l s i m u l a t i o n s . T h e s e s i m u l a t i o n s w e r e d e s i g n e d t o d e t e r m i n e t h e n e t r e s i s t a n c e o f a r e s i s t o r n e t w o r k l i k e t h e n e t w o r k ( I I . 1 ) - ( I I . 4 ) . P r i o r t o t h i s d i s s e r t a t i o n , n o t h o r o u g h s t u d y o f a ( T ) a t h i g h T ( k T o f o r d e r Ae) f o r t h e n e t w o r k ( I I . 1 ) - ( I I . 4 ) e x i s t e d . H o w e v e r , s o m e w o r k h a s b e e n d o n e w h i c h i s r e l a t e d t o s u c h a s t u d y . N u m e r i c a l w o r k s c o n c e r n i n g t h e r e s i s t o r n e t w o r k - 17 -2 r . . / a ( I I I . 5 ) 3 5 i n c l u d e t h o s e b y A m b e g a o k a r , C o c h r a n , a n d K u r k i j a r v i , a n d S e a g e r a n d 2 0 P i k e . T h e s i m u l a t i o n c a r r i e d o u t b y A m b e g a o k a r e t a l . e s t a b l i s h e d t h e v a l i d i t y o f t h e p e r c o l a t i o n a p p r o a c h t o c a l c u l a t n g t h e n e t r e s i s t a n c e o f a r a n d o m r e s i s t o r n e t w o r k w i t h e x p o n e n t i a l l y v a r y i n g r e s i s t a n c e s . T h e s e w o r k s w i l l b e r e f e r r e d t o a t t h e a p p r o p r i a t e p l a c e s i n t h i s d i s s e r t a t i o n . T h e e x p o n e n t i a l p a r t o f t h e l o w t e m p e r a t u r e a s y m p t o t i c f o r m o f t h e r e s i s t o r n e t w o r k ( I I . 1 ) i s M a s c h k e , O v e r h o f , a n d T h o m a s h a v e p e r f o r m e d c o m p u t e r s i m u l a t i o n s f o r t h e 3 6 37 n e t w o r k ( I I I . 6 ) f o r o n e d i m e n s i o n a n d t w o d i m e n s i o n s . T h e y v e r i f i e d t e m p e r a t u r e s a n d a f l a t d e n s i t y o f s t a t e s , t h e y s t a t e d t h a t A n a v a r i e s a s T ~ l , b u t o f f e r e d n o f u r t h e r i n f o r m a t i o n . 2 0 S o m e n u m e r i c a l w o r k h a s b e e n d o n e , b y S e a g e r a n d P i k e a n d b y M c l n n e s 3 8 a n d B u t c h e r , u s i n g t h e f u l l M i l l e r a n d A b r a h a m s r e s i s t o r n e t w o r k . E x c e p t t o s a y t h a t A n a v a r i e d a s T - ^ a t h i g h t e m p e r a t u r e s i f t h e d e n s i t y o f s t a t e s w a s f l a t , t h e s e w o r k s d e a l t e x c l u s i v e l y w i t h t h e l o w t e m p e r a t u r e r e g i m e . A g a i n , t h e s e w o r k s w i l l b e r e f e r r e d t o a s r e q u i r e d . ( I I I . 6 ) t h a t A n a g o e s a s T l / i a t l o w t e m p e r a t u r e s i n t w o d i m e n s i o n s . F o r h i g h - 18 -( v ) A n a l y t i c S t u d i e s 39 S o m e w o r k w a s d o n e b y B u t c h e r a n d c o - w o r k e r s i n a n e f f o r t t o c o n s t r u c t a n a n a l y t i c t h e o r y f o r t h e f u l l M i l l e r a n d A b r a h a m s r e s i s t o r n e t w o r k . T h e t h e o r y w a s c o n s t r u c t e d f o r a f l a t d e n s i t y o f s t a t e s , w a s d e v e l o p e d i n o n l y a n a p p r o x i m a t e f o r m , a n d w a s v a l i d f o r o n l y l o w t e m p e r a t u r e s . No a t t e m p t w a s m a d e t o d e t e r m i n e t h e h i g h t e m p e r a t u r e c o n d u c t i v i t y , o r t h e d e p e n d e n c e o f t h e c o n d u c t i v i t y o n t h e d e n s i t y o f s t a t e s . - 19 -References ^For definiteness, the case of a compensated n-type semiconductor i s considered. See, for example, N.W. Ashcroft and N.D. Mermin, Solid State Physics (Holt, Rinehart and Winston, Philadelphia, 1976), ch. 28 for an introduction to semiconductors. 2N.F. Mott, J. Non-Cryst. Solids J_, 1 (1968); Philos. Mag. _1£, 835 (1969). 3 V. Ambegaokar, B.I. Halperin and J.S. Langer, Phys. Rev. B 2612 (1971). 4M. Pollak, J. Non-Cryst. Solids JLj_, 1 (1972). 5M. Benzaquen and D. Walsh, Phys. Rev. B 30, 7287 (1984). M. Benzaquen, K. Mazuruk, D. Walsh and M.A. d i Forte-Poisson, J . Phys. C 18, L1007 (1985). ^O.V. Emel'yanenko, D.N. Nasledov, E.I. Nikulin and I.N. Timchenko, F i z . Tekh. Poluprov. 6^, 2283 (1972) [Sov. Phys. Semicond. 6_, 1926 (1973)]. g 0. V. Emel'yanenko, T.S. Lagunova, D.N. Nasledov, D.D. Nedeoglo and 1. N. Timchenko, F i z . Tekh. Poluprov. 7_, 1919 (1973) [Sov. Phys. Semicond. _7_, 1280 (1974)]. 9 O.V. Emel'yanenko, K.S. Masagutor, D.N. Nasledov and I.N. Timchenko, F i z . Tekh. Poluprov. 503 (1975) [Sov. Phys. Semicond. 9_, 330 (1975)]. 1 0H. Kahlert and G. Landwehr, Z. Physik B 24, 361 (1976). ^D. Lemoine, C. P e l l e t i e r , S. Rolland and R. Granger, Phys. Le t t . A 56, 497 (1976). - 20 -12 The prefactor and energy in equation (1.4) are denoted a 3 and e 3 respectively for h i s t o r i c a l reasons. In the early days of hopping conductivity, i t was found for decreasing temperature that there were three regimes for which Ana ~ T - 1 ; the associated a c t i v a t i o n energies were denoted E ^ , z^, and e 3, r e s p e c t i v e l y . 13 See, for example, B.I. Shklovskn and A.L. Efros, E l e c t r o n i c Properties of  Doped Semiconductors (Springer-Verlag, B e r l i n , 1984), pp. 191-195, and references therein. 14 A. M i l l e r and E. Abrahams, Phys. Rev. 120, 745 (1960). 1 5B. Gudden and W. Schottky, Z. Tech. Phys. _16, 323 (1935). 1 6G. Bush and H. Labhart, Helv. Phys. Acta JL4, 463 (1946). 1 7G.S. Hung and J.R. Gliessman, Phys. Rev. 96^ 1226 (1954). 18 A. S. Skal, B.I. Shklovskii and A.L. Efros, F i z . Tverd. Tela. _17, 506 (1975) [Sov. Phys,-Solid State 1_7, 316 (1975)]. 19 K.J. Hayden and P.N. Butcher, Philos. Mag. B 38, 603 (1978). 2 0 C.H. Seager and G.E. Pike, Phys. Rev. B 10, 1435 (1974). 2 1R. Jones and W. Schiach, J . Phys. C 5, 43 (1972). 22 B. I. Shklovskii and A.L. Efros, E l e c t r o n i c Properties of Doped  Semiconductors (Springer-Verlag, B e r l i n , 1984), p. 206. 2 3F.R. A l l e n and C.J. Adkins, Ph i l o s . Mag. 26, 1027 (1972); F.R. A l l e n , R.H. Wallis and C.J. Adkins, Proceedings of the 5th International  Conference on Amorphous L i q u i d Semiconductors, edited by J . Stuke and W. Brenig (Taylor and Francis, London, 1974), p. 895. 24 I.S. Shlimak and E.I. N i k u l i n , Zh. Eksp. Theor. F i z . P i s . Red. _15_, 30 (1972) [JETP Lett. 15, 20 (1972)]. - 21 -25 N.G. Yaremenko, F i z . Tekh. Poluprov. 9_, 840 (1975) [Sov. Phys. Semicond. 2, 554 (1975). 2 6D. R e d f i e l d , Phys. Rev. L e t t . 30, 1319 (1973); Adv. Phys. 24, 463 (1975). 27 A.G. Z a b r o d s k i i , F i z . Tekh. Poluprov. _L4, 1130 (1980) [Sov. Phys. Semicond. 14, 670 (1980)]; F i z . Tekh. Poluprov. 1_4, 1324 (1980) [Sov. Phys. Semicond. _14, 781 (1980)]. 28 H. Tokumoto, R. Ma n s f i e l d and M.J. Lea, S o l i d State Commun. 35, 961 (1980); P h i l o s . Mag. 46, 93 (1982). 29 See, for example, N.F. Mott, M e t a l - I n s u l a t o r T r a n s i t i o n s (Taylor and F r a n c i s , London, 1974). 30 S. Kobayashi, Y. Monden and W. Sasaki, S o l i d State Commun. 30, 661 (1979); Y. Ootuka, F. Komori, Y. Monden, S. Kobayashi and W. Sa s a k i , S o l i d State Commun. 23_, 793 (1980). 31 W.N. Shafarman and T.G. Castner, Phys. Rev. B J 3 3 , 3570 (1986). 32 A.N. Ionov, I.S. Shlimak and M.N. Matveev, S o l i d State Commun. 47, 763 (1983). 33 See B.I. S h k l o v s k i i and A.L. E f r o s , E l e c t r o n i c P r o p e r t i e s of Doped  Semiconductors ( S p r i n g e r - V e r l a g , B e r l i n , 1984), Ch. 10 and references t h e r e i n . 34 V. Ambegaokar, S. Cochran and J . K u r k i j a r v i , Phys. Rev. B 8, 3682 (1973). 3 5 J . K u r k i j a r v i , Phys. Rev. B j) , 770 (1974). 36 K. Maschke, H. Overhof, and P. Thomas, Phys. Stat. S o l . B 61_, 621 (1974). 37 K. Maschke, H. Overhof, and P. Thomas, Phys. S t a t . S o l . B Ji2, 113 (1974). 38 J.A. Mclnnes and P.N. Butcher, P h i l o s . Mag. _39, 1 (1979). 39 P.N. Butcher, K.J. Hayden and J.A. Mclnnes, P h i l o s . Mag. _36, 19 (1977); P.N. Butcher and K.J. Hayden, P h i l o s . Mag. 36, 657 (1977). - 2 2 -H o p p i n g c o n d u c t i v i t y i n l i g h t l y d o p e d s e m i c o n d u c t o r s - I : T w o - d i m e n s i o n a l n u m e r i c a l s i m u l a t i o n a t h i g h t e m p e r a t u r e s M a r k R . A . S h e g e l s k i * a n d R o b e r t B a r r i e D e p a r t m e n t o f P h y s i c s , U n i v e r s i t y o f B r i t i s h C o l u m b i a V a n c o u v e r , B . C . , C A N A D A V 6 T 2 A 6 A b s t r a c t We p o i n t o u t t h e e x i s t e n c e o f e x p e r i m e n t a l r e s u l t s f o r l i g h t l y d o p e d n - G a A s - ( T / T ) S a n d n - I n P i n w h i c h t h e c o n d u c t i v i t y a i s g i v e n b y a = a Q e 0 w i t h s c l o s e t o 7^ -, i n d i c a t i n g v a r i a b l e r a n g e h o p p i n g . We s h o w t h a t t h e e x p e r i m e n t a l r a n g e o f t e m p e r a t u r e s T, I K < T < 7 K , i n w h i c h t h i s b e h a v i o u r h o l d s , i s w e l l i n e x c e s s o f t h e t e m p e r a t u r e r a n g e p r e d i c t e d f o r t h e s e m a t e r i a l s b y e s t a b l i s h e d t h e o r i e s o f v a r i a b l e r a n g e h o p p i n g , a n d t h a t t h e e x p e r i m e n t a l T Q v a l u e s a r e t o o s m a l l t o b e u n d e r s t o o d o n t h e b a s i s o f t h e s e t h e o r i e s . A s a f i r s t s t e p t o w a r d u n d e r s t a n d i n g t h e s e e x p e r i m e n t a l r e s u l t s , we p r e s e n t i n t h i s f i r s t p a p e r t h e r e s u l t s o f a n u m e r i c a l s i m u l a t i o n o f a t w o - d i m e n s i o n a l l i g h t l y d o p e d s e m i c o n d u c t o r . We c h o o s e a f l a t d e n s i t y o f s t a t e s w i t h w i d t h A e . We m o d e l t h e s e m i c o n d u c t o r a s a M i l l e r a n d A b r a h a m s t y p e r e s i s t o r n e t w o r k ; we u s e t h e f u l l f o r m o f t h e r e s i s t a n c e a n d d o n o t t a k e t h e l o w t e m p e r a t u r e a s y m p t o t i c f o r m b e c a u s e we c a r r y o u t t h e s i m u l a t i o n - 23 -at temperatures for which kT i s of order A E . We f i n d t h a t , for a f l a t d e n sity of states and two dimensions, there i s no extensive temperature _(X / T ) S range i n which a = a Qe 0 with TQ s u b s t a n t i a l l y smaller than the t h e o r e t i c a l T Q for v a r i a b l e range hopping, and with s c l o s e to • j ( i n two dimensions, s for v a r i a b l e range hopping i s y ) . Instead, we f i n d a wide - E /kT temperature range for which a = a Qe 3 with E 3 = 0.28Ae. This value of e 3 i s considerably smaller than the value found by Hayden and Butcher. We b e l i e v e that the d i f f e r e n c e between our r e s u l t and t h e i r s may be a t t r i b u t e d to t h e i r use of the low temperature form of the r e s i s t a n c e (kT « Ae) i n a temperature range i n which kT i s of order Ae. PACS numbers: 72.20.-i - 2 4 -I . I n t r o d u c t i o n I n d i s o r d e r e d s y s t e m s s u c h a s a m o r p h o u s o r d o p e d s e m i c o n d u c t o r s , e l e c t r o n s c a n e x i s t i n l o c a l i z e d s t a t e s a n d c o n d u c t i o n c a n o c c u r b y e l e c t r o n s h o p p i n g f r o m o n e l o c a l i z e d s t a t e t o a n o t h e r . M o t t ^ w a s f i r s t t o s u g g e s t t h a t , f o r a d e n s i t y o f s t a t e s w h i c h i s f l a t i n t h e v i c i n i t y o f t h e F e r m i l e v e l a n d f o r a l o w e n o u g h t e m p e r a t u r e T, t h e d . c . e l e c t r i c c o n d u c t i v i t y a o f s u c h a s y s t e m o f r a n d o m l o c a l i z e d e l e c t r o n s w o u l d b e g i v e n b y a = aQ e u , ( 1 ) w i t h k g F a 3 ( 2 ) t h e p r e f a c t o r o Q i s w e a k l y d e p e n d e n t o n T, k i s B o l t z m a n n ' s c o n s t a n t , g ^ i s t h e d e n s i t y o f s t a t e s a t t h e F e r m i l e v e l , a i s t h e e l e c t r o n i c l o c a l i z a t i o n l e n g t h a n d C i s a d i m e n s i o n l e s s c o n s t a n t o f o r d e r u n i t y . S u b s e q u e n t 2 3 i n v e s t i g a t o r s ' w e r e a b l e t o o b t a i n t h e s a m e r e s u l t a n d a l s o e s t i m a t e C. T h e p h y s i c a l i d e a u n d e r l y i n g e q u a t i o n ( 1 ) i s t h a t , a s T i s l o w e r e d , t h e r a n g e o f e l e c t r o n h o p s i n c r e a s e s . I n c o n s e q u e n c e , s y s t e m s w h o s e c o n d u c t i v i t i e s a r e g i v e n b y e q u a t i o n ( 1 ) a r e u s u a l l y s a i d t o e x h i b i t " v a r i a b l e r a n g e h o p p i n g " ( V R H ) . - 2 5 -V R H h a s b e e n e x p e r i m e n t a l l y o b s e r v e d i n a m o r p h o u s s e m i c o n d u c t o r s ( A S s ) b y m a n y i n v e s t i g a t o r s . A l t h o u g h o n e c a n n o t u s e t h e o r e t i c a l m e a n s t o a c c u r a t e l y e s t i m a t e a a n d g f o r a n A S , o n e c a n o b t a i n v a l u e s f o r a a n d g b y e q u a t i n g t h e t h e o r e t i c a l v a l u e f o r T Q t o t h e e x p e r i m e n t a l l y o b s e r v e d v a l u e . S i n c e t h e v a l u e s o f a a n d g o b t a i n e d i n t h i s m a n n e r a r e v e r y F 1-3 r e a s o n a b l e , i t m u s t b e s a i d t h a t t h e t h e o r e t i c a l m o d e l s f o r V R H a g r e e v e r y w e l l w i t h t h e e x p e r i m e n t a l r e s u l t s f o r A S s , a t l e a s t s o f a r a s T Q g o e s . A g r e e m e n t b e t w e e n t h e t h e o r e t i c a l a n d e x p e r i m e n t a l v a l u e s f o r o"Q w a s n o t o b t a i n e d w i t h m u c h s u c c e s s u n t i l f a i r l y r e c e n t l y , w h e n t w o i n d e p e n d e n t 4 5 . 6 m o d e l s ' w e r e p r e s e n t e d . R e c e n t e x p e r i m e n t a l w o r k s e l e c t s o n e o f t h e t w o m o d e l s a s p r o v i d i n g a b e t t e r d e s c r i p t i o n o f t h e e x p e r i m e n t a l r e s u l t s t h a n t h e o t h e r . I t w o u l d t h e r e f o r e a p p e a r t h a t t h e e x p e r i m e n t a l r e s u l t s f o r V R H i n A S s a r e w e l l u n d e r s t o o d o n t h e b a s i s o f e s t a b l i s h e d t h e o r i e s . H o p p i n g c o n d u c t i o n h a s a l s o b e e n s t u d i e d e x p e r i m e n t a l l y i n d o p e d 7 8 s e m i c o n d u c t o r s ( D S s ) . E x c e p t f o r s o m e f a i r l y r e c e n t e x p e r i m e n t a l r e s u l t s ' w h i c h s h o w u n e q u i v o c a l V R H b e h a v i o r , i t i s f o r o n l y a f e w o f t h e e x p e r i m e n t a l s t u d i e s o n D S s t h a t t h e c o n d u c t i v i t y h a s b e e n f o u n d t o b e g i v e n b y e q u a t i o n ( 1 ) . ( F o r a b r i e f r e v i e w o f t h e e x p e r i m e n t a l s i t u a t i o n , s e e r e f . [ 7 ] ) . T h e s e r e c e n t e x p e r i m e n t a l r e s u l t s , h o w e v e r , h a v e t h e i n t r i g u i n g f e a t u r e t h a t t h e e x p e r i m e n t a l v a l u e f o r T Q i s f a r t o o s m a l l t o b e u n d e r s t o o d o n t h e b a s i s o f t h e e x i s t e n t t h e o r e t i c a l m o d e l s . M o r e o v e r , t h e e x p e r i m e n t a l t e m p e r a t u r e r a n g e i s w e l l a b o v e t h e h i g h e s t t e m p e r a t u r e T f o r w h i c h o n e - 26 -would expect, on the b a s i s of e x i s t e n t t h e o r i e s , to have 0 given by equation ( 1 ) . We discuss these claims i n d e t a i l i n Sec. I I . We have set upon a program to understand how, i n a temperature range w e l l i n excess of the t h e o r e t i c a l temperature T , the experimental c o n d u c t i v i t y of a DS can be of the form shown i n equation ( 1 ) , but a l s o have an experimental value of TQ which i s w e l l below the t h e o r e t i c a l value given i n equation ( 2 ) . Our program i s based on an extension of those t h e o r i e s which have been so s u c c e s s f u l i n e x p l a i n i n g the experimentally observed c o n d u c t i v i t y i n ASs. These t h e o r i e s c a l c u l a t e the c o n d u c t i v i t y of a system of l o c a l i z e d e l e c t r o n s by reducing the problem to that of determining the o v e r a l l r e s i s t a n c e of a random r e s i s t o r network. Such a network i s formed by a s s o c i a t i n g a r e s i s t o r R ^ w i t h each p a i r of one-electron l o c a l i z e d s t a t e s <b. and <\>. . The ends of R . . are located at the centers r. = <6. |r|(b.> and r ^ = <<J>^  | r | <\>^> of the two s t a t e s . R ^ . i s given by j j e ^ ( i ) ( 3 ) 2r |e . - ii| + |e . - a\ + |e. - e.| I = — i - 1 + — * 1— ( i i ) ^ i j a 2kT where R Q ^ i s a r e s i s t a n c e which depends a l g e b r a i c a l l y on r ^ j > e ^ a n < i e j , .-> -> -r . . = r . - r . , e. and e. are the one-electron energies associated w i t h i j 1 1 j 1 1 j - 2 7 -s t a t e s <\>^  a n d <\>y a n d \i i s t h e c h e m i c a l p o t e n t i a l . T h i s e x p r e s s i o n f o r i s a c t u a l l y a s i m p l i f i e d , l o w - t e m p e r a t u r e f o r m o f a m o r e g e n e r a l e x p r e s s i o n 9 . . . f i r s t o b t a i n e d b y M i l l e r a n d A b r a h a m s . S i n c e o u r i n v e s t i g a t i o n s a r e f o r a h i g h e r t e m p e r a t u r e r a n g e , we b a s e o u r p r o g r a m o f s t u d y o n a r e s i s t o r n e t w o r k o f a m o r e g e n e r a l f o r m : - X. . R.. = R Q Q.. f . . X . . e , ( 4 ) i j u X 1 J l j l j w h e r e „ _ 4 u d s 5 t r ' t f J c a i 2 Ro : ~ I rJ • ^5) • e 2 E 2 2 k n e 2 2 4 Q - [ 1 M ] , ( 6 ) 1 J 2 t r s a n d . ( e . - [ i ) / k T -(e.-p.)/kT ( e . - e . ) / k T £ i i = F~=T"(1 + T e 1 K 1 + 2 e ' )(e J 1 - 1 ) . ( 7 ) j i d i s t h e d e n s i t y o f t h e D S , s i t s s p e e d o f s o u n d , fr = -j^, h i s P l a n c k ' s c o n s t a n t , e i s t h e e l e c t r o n i c c h a r g e , E ^ i s t h e d e f o r m a t i o n p o t e n t i a l - 2 8 -c o n s t a n t , K i s t h e d i e l e c t r i c c o n s t a n t , k Q i s t h e C o u l o m b f o r c e c o n s t a n t , e . > e . i n t h e s e e q u a t i o n s , a n d X . . = 2 r . . / a . T h i s f o r m o f R.. i s o b t a i n e d ^ " b y u s i n g t h e d e f o r m a t i o n p o t e n t i a l a p p r o x i m a t i o n f o r t h e e l e c t r o n - p h o n o n i n t e r a c t i o n . I t i s e a s y t o v e r i f y t h a t R ^ a s g i v e n b y e q u a t i o n s ( 3 ) r e s u l t s b y t a k i n g t h e l o w T l i m i t o f e q u a t i o n ( 4 ) . O u r p r o g r a m t o u n d e r s t a n d t h e s m a l l T Q v a l u e s o b s e r v e d 7 8 e x p e r i m e n t a l l y ' i s b a s e d o n e q u a t i o n s ( 4 ) t o ( 7 ) , a n d t a k e s t h e f o r m o f f o u r s e q u e n t i a l i n v e s t i g a t i o n s : 1. We p e r f o r m a n u m e r i c a l s i m u l a t i o n i n t w o d i m e n s i o n s t o c a l c u l a t e t h e o v e r a l l r e s i s t a n c e o f t h e r e s i s t o r n e t w o r k ( 4 ) . T o s i m p l i f y m a t t e r s , we r e p l a c e Q.. b y u n i t y a n d w e t a k e t h e n u m b e r d e n s i t y o f d o n o r s n ^ t o b e t w i c e t h e n u m b e r d e n s i t y o f a c c e p t o r s n ^ . n Q = 2 n l e a d s t o | i = [1Q - k T A n 2 i s t h e c h e m i c a l p o t e n t i a l a t T = 0 ) . We c h o o s e a f l a t d e n s i t y o f s t a t e s w i t h b a n d w i d t h A e a n d t a k e P-Q = 0. T h e n e t w o r k s i m p l i f i e s t o X. . ( 8 ) w h e r e R n i s a c o n s t a n t r e s i s t a n c e a n d E . - E . E . - E . f ( E . , E . ) = (1+e 1)(l+e J ) ( e J M ) ( 9 ) E . - E . A g a i n , E . > E . . I t i s e s s e n t i a l t o n o t e t h a t t w i l l b e o f o r d e r u n i t y i n o u r i n v e s t i g a t i o n s . A s s u c h , i t i s c r u c i a l t h a t we u s e t h e f u l l f o r m ( 8 ) f o r ^, a n d n o t t h e l o w t e m p e r a t u r e a s y m p t o t i c f o r m . T h i s i s b e c a u s e t h e r a t i o o f t h e s e t w o e x p r e s s i o n s , n f u l l / ^ l O W , . ^ • . i r i j i j ' d e v i a t e s a p p r e c i a b l y f r o m u n i t y u n l e s s t i s v e r y s m a l l . We s h o w t h i s i n F i g . 1 b y p l o t t i n g R ^ V ^ / R ^ ? W v s . t _ 1 / 3 f o r t y p i c a l e . a n d e . a n d 1 < £ - 1 / 3 < 3. ( T h e r e a s o n s f o r c h o o s i n g t h i s s p e c i f i c t - r a n g e a n d f o r c h o o s i n g t h e a b s c i s s a t o b e t - - ^ 3 w i l l b e c o m e e v i d e n t i n S e c . I V o f t h i s p a p e r . ) T h e u p p e r c u r v e i s a t y p i c a l c u r v e f o r E ^ e j ^  0> t h e l o w e r c u r v e i s a t y p i c a l c u r v e f o r e . e . > 0. We d e v e l o p a n a n a l y t i c t h e o r y t o c a l c u l a t e t h e o v e r a l l r e s i s t a n c e o f t h e r e s i s t o r n e t w o r k ( 8 ) f o r t o f o r d e r u n i t y . We f i r s t d e v e l o p t h e t h e o r y f o r t w o d i m e n s i o n s a n d c o m p a r e t h e r e s u l t s t o t h o s e o f t h e n u m e r i c a l s i m u l a t i o n . We e x t e n d t h e a n a l y t i c t h e o r y t o t h r e e d i m e n s i o n s , b r i n g i n g b a c k i n t o c o n s i d e r a t i o n t h e Q.. f a c t o r . - 30 -- 31 -4. We examine the p r e d i c t i o n s of the a n a l y t i c theory f o r various d e n s i t i e s of states and compare our f i n d i n g s to the experimental r e s u l t s . The f i r s t of these i n v e s t i g a t i o n s w i l l be reported i n t h i s paper; the other three w i l l be the subjects of forthcoming papers. In Sec. I I of t h i s paper, we discuss b r i e f l y the experimental s i t u a t i o n f o r hopping conduction i n DSs and e x p l a i n why the experimental r e s u l t s of r e f s . [7] and [8] may not be understood on the basis of e x i s t e n t t h e o r i e s . In Sec. H I , we o u t l i n e how we d i d our numerical s i m u l a t i o n of the r e s i s t o r network ( 8 ) . We present and discuss our r e s u l t s i n Sec. IV. - 3 2 -I I . C o m p a r i s o n o f T h e o r y a n d E x p e r i m e n t f o r V R H i n D S s I n t h i s s e c t i o n , we c o m p a r e t h e t h e o r e t i c a l v a l u e f o r T Q t o t h e v a l u e o b s e r v e d e x p e r i m e n t a l l y b y B e n z a q u e n a n d W a l s h ^ f o r l i g h t l y d o p e d G a A s . T h e b a s i c m e t h o d u n d e r l y i n g t h e t h e o r e t i c a l T Q v a l u e i s t h e p e r c o l a t i o n m e t h o d ^ . T o c a l c u l a t e t h e o v e r a l l c o n d u c t i v i t y o f t h e r e s i s t o r n e t w o r k ( 3 ) u s i n g t h e p e r c o l a t i o n m e t h o d , o n e i m a g i n e s r e m o v i n g a l l o f t h e r e s i s t o r s e x c e p t t h o s e w h i c h s a t i s f y f o r s o m e a r b i t r a r i l y c h o s e n v a l u e o f T h e r e m a i n i n g n e t w o r k o f r e s i s t o r s w i l l p e r c o l a t e o n l y i f £ i s e q u a l t o o r e x c e e d s a c r i t i c a l v a l u e Z,^. A c c o r d i n g t o p e r c o l a t i o n t h e o r y , t h e o v e r a l l c o n d u c t i v i t y a o f t h e o r i g i n a l n e t w o r k i s g i v e n b y ( 1 1 ) ( 1 2 ) a = F r o m e q u a t i o n s ( 3 ( i i ) ) a n d ( 1 1 ) , i t f o l l o w s t h a t a l l p a i r s o f s i t e s c o n n e c t e d b y a r e s i s t o r s a t i s f y r . < r m a x ( 1 3 ) a n d a l l s i t e s i n t h e p e r c o l a t i n g p i e c e h a v e e n e r g y e. w i t h i n e m a x o f (j.: - 33 -£ . - ( ! < £ = kT£. (14) i 1 max Pairs of si t e s which s a t i s f y r e l a t i o n (13) are " s p a t i a l l y e l i g i b l e " for connection and a s i t e which s a t i s f i e s r e l a t i o n (14) i s " e n e r g e t i c a l l y e l i g i b l e " for connection to another s i t e , but the c r i t e r i o n for connection i s the inequality (11). For a density of states which i s f l a t within Ae above and below \i, the number density p £ of e n e r g e t i c a l l y e l i g i b l e states i s P e 2 g F 6 max (15) 1 3 so long as e < — Ae. If p r i s large enough, the set of r e s i s t o r s max 2 e max w i l l percolate: the condition for percolation (£ = £ ) is that p r = n , (16) e max c where n i s the c r i t i c a l number of s i t e s required for percolation. This c leads e a s i l y to T 1 M H where - 34 -4n L0 " " T n = — . (18) Equations (12), (17) and (18) are equivalent to equations (1) and (2). Before comparing the t h e o r e t i c a l TQ , equation (18), to the experimental value, we note some very important consequences of the above de r i v a t i o n . F i r s t , e < Ae implies T < T where max 2 c . ( g c A e ) 1 / 3 T -££--2 i . (19) C k 4n c This means that when T begins to exceed T , the curve for An -°— vs. T c °0 w i l l begin to deviate from l i n e a r i t y : s t r i c t l y speaking, the theory predicts T Q l , h An — = - (•^ r-) for T < T . However, as pointed out by Pollak and again 0 c 12 by Pollak et a l . , because the dominant hops involve energy differences considerably smaller than e , i t is to be expected that the curve for max An — vs. T~ 1 / 1 + w i l l continue to be lin e a r even for T > T . In Sec. IV, we a Q c w i l l see that, when the f u l l r e s i s t o r network (4) i s used, t h i s l i n e a r i t y extends, for two dimensions, no further than about 2T . In a numerical - c simulation s i m i l a r to ours but for three dimensions, and using the f u l l 13 M i l l e r and Abrahams r e s i s t o r network, Seager and Pike also found that the 12 l i n e a r i t y extended to about 2T^. Pollak et a l . found the li n e a r regime, - 3 5 -f o r t h r e e d i m e n s i o n s , t o e x t e n d t o e v e n h i g h e r t e m p e r a t u r e s , b u t t h e i r r e s u l t s w e r e o b t a i n e d u s i n g t h e s i m p l i f i e d f o r m ( 3 ) f o r t h e r e s i s t o r s . We w i l l , t h e r e f o r e , t a k e t h e V R H r e g i m e t o b e c o n f i n e d t o T < a T w i t h a » 2 . c S e c o n d , we m u s t h a v e g ? A e < n^, w h i c h , t o g e t h e r w i t h T < a T , i m p l i e s t h a t 2 n 1 / 3 5 > — - £ — = _L_ 5 »»» . ( 2 0 ) C a 1' 1* n ^ 3 a a 1 ^ c We a l s o h a v e n 1 / 3 T < A e D a = A e _ m a x c ' k 4 „ 1/3 2 k E m l n C ( 2 1 ) c c a s w e l l a s T0 > ft" U ™ 1 1 1 ) 3 ~= T 0 m l n . ( 2 2 ) 2 k ^ c I n s u m m a r y , t h e t h e o r y p r e d i c t s t h a t , f o r a f l a t d e n s i t y o f s t a t e s a n d T < « T m a X , a = a Q e - ( T 0 / T ) I / " a n d E > — — £ m i n w i t h T Q > T 0 ™ " n a n d a - 2. c 0 c ai/n c 0 0 We w i l l n e x t u s e i n f o r m a t i o n f r o m t h e B e n z a q u e n a n d W a l s h e x p e r i m e n t t o c a l c u l a t e t h e t h e o r e t i c a l v a l u e s o f E , T a n d T Q . We w i l l c o m p a r e t h e s e t o t h e a c t u a l e x p e r i m e n t a l v a l u e s . - 36 -F r o m r e l a t i o n (20), we s e e t h a t £ ^ m i n c a n D e c a l c u l a t e d i f we a r e g i v e n t h e e x p e r i m e n t a l v a l u e o f n ^ . We w i l l a l s o r e q u i r e t h e o r e t i c a l v a l u e s f o r n a n d a . c F o r t h e t h r e e s a m p l e s r e p o r t e d b y B e n z a q u e n a n d W a l s h ^ , n Q x 1 0 - 1 5 c m 3 14 h a d v a l u e s o f 6.4, 8.7 a n d 9. T h e e s t i m a t e d u n c e r t a i n t y i n t h e s e v a l u e s w a s l e s s t h a n a b o u t 20%. „ • v. 1-3,13,15 . • t . , V a r i o u s a t t e m p t s h a v e b e e n m a d e t o e s t i m a t e n w i t h r e s u l t s c r a n g i n g b e t w e e n 2 a n d 7; we c h o o s e t h e m o s t r e c e n t v a l u e a v a i l a b l e * ^ : n = 5.3 ± 0.3. (23) c T h e e f f e c t i v e m a s s a p p r o x i m a t i o n m a y b e u s e d w i t h c o n s i d e r a b l e c o n f i d e n c e t o c a l c u l a t e a t h e o r e t i c a l v a l u e f o r a f o r l i g h t l y d o p e d G a A s . I n t h e e f f e c t i v e m a s s a p p r o x i m a t i o n , o n e c a l c u l a t e s t h e B o h r r a d i u s a a n d B t h e d o n o r e n e r g y l e v e l f o r a n i s o l a t e d i m p u r i t y l e v e l . T h e t h e o r e t i c a l a n d e x p e r i m e n t a l v a l u e s f o r a r e f o u n d t o b e i n g o o d a g r e e m e n t f o r d o n o r i m p u r i t i e s f o r G a A s . A s s u c h , t h e t h e o r e t i c a l v a l u e f o r a f o r G a A s c a n b e c o n s i d e r e d t o b e e x t r e m e l y r e l i a b l e . F o r l i g h t d o p i n g , t h e t y p i c a l l o c a l i z a t i o n l e n g t h a f o r t h e a c t u a l l o c a l i z e d s t a t e s i n G a A s w i l l d i f f e r o n l y s l i g h t l y f r o m a ^ . F r o m t h e e f f e c t i v e m a s s a p p r o x i m a t i o n , w e c a l c u l a t e a = 100A. I n t h e B e n z a q u e n a n d W a l s h e x p e r i m e n t s o n G a A s , n < 1 0 1 6 c m - 3 , B u i . e . l i g h t d o p i n g . T h i s m e a n s we c a n b e c o n f i d e n t t h a t a w i l l d i f f e r f r o m 100A b y n o m o r e t h a n p e r h a p s a f e w p e r c e n t . - 3 7 -W r i t i n g a = a x 1 0 0 A a n d l m m = ~ m i n / - ( 2 4 ) c c w e m a y c a l c u l a t e ^ c f r o m r e l a t i o n ( 2 0 ) . We m a y c o m p a r e t h i s t h e o r e t i c a l v a l u e t o t h e e x p e r i m e n t a l v a l u e £ ^ e x P f o r £ t h e l a t t e r o f w h i c h i s s i m p l y ( T 0 e x p / T ) 1 / 1 + w h e r e T Q e x P i s t h e e x p e r i m e n t a l v a l u e f o r T Q . B y e s t i m a t i n g t h e T - r a n g e i n w h i c h V R H w a s o b s e r v e d ( s e e l a s t c o l u m n o f T a b l e I I ) , w e c a n c a l c u l a t e u p p e r a n d l o w e r b o u n d s f o r E . We c o m p a r e i n T a b l e I C^ 1 1* a n d e x p E, , we s e e t h a t f o r a l l t h r e e s a m p l e s , t h e e x p e r i m e n t a l v a l u e s f o r E d o c c n o t g o w e l l w i t h e q u a t i o n ( 1 3 ) : E < 5 . 3 i m p l i e s r < 2 6 0 A ( u s i n g a = C **** TXlclX 1 0 0 A ) w h e r e a s n ^ - ^ 3 ( a m e a s u r e o f n e a r e s t n e i g h b o r d i s t a n c e ) i s 5 0 0 A . R e c a l l t h a t r i s a m e a s u r e o f t h e s e p a r a t i o n b e t w e e n c r i t i c a l p a i r s o f m a x s i t e s a n d i s e x p e c t e d t o b e w e l l i n e x c e s s o f n ^ - ^ 3 . We may a l s o c a l c u l a t e t h e t h e o r e t i c a l v a l u e s T a n d T Q , p r o v i d e d we c a n g e t a n e s t i m a t e f o r A e . A n e s t i m a t e f o r A e i s e a s i l y o b t a i n e d b y n o t i n g t h a t B e n z a q u e n a n d W a l s h r e p o r t e d v a l u e s o f 3 . 5 5 meV t o 3 . 9 5 meV f o r e ^ - \i, w h e r e e ^ i s t h e e n e r g y a t t h e b o t t o m o f t h e c o n d u c t i o n b a n d . W r i t i n g A e = A e x l m e V , we h a v e T m a x = ~ m a x — -c c ( 2 5 ) - 38 -TABLE I Sample nD n A / n D y min Range of & c e x P [ a ] ( i n I O 1 5 cm" 3) 1 6.4 0.64 18.7 3.52 to 5.26 2 8.7 0.43 16.9 3.51 to 5.06 3 9 0.31 16.7 3.51 to 4.83 TABLE I: Comparison of the t h e o r e t i c a l minimum values of 5 C» &c » f° r l o c a l i z a t i o n length a • 100A, to the ranges of experimental values of £ c 5C*X »^ f o r l i g h t l y doped n-GaAs. Values of n^ and n p / n ^ f o r the experimental samples are a l s o g i v e n , (a) From Ref. [7]. - 39 -a n d T 0 m i n = T 0 m n A 7 / P . (26) We r e c o r d i n T a b l e I I t h e v a l u e s o f T m a x T n m l n a s w e l l a s t h e v a l u e s o f c u exo TQ a n d t h e T - r a n g e i n w h i c h V R H w a s . o b s e r v e d . S i n c e a i s c l o s e t o u n i t y , we s e e f r o m t h i s t a b l e t h a t t h e r e i s n o w a y t o c h o o s e A e t o g e t a g r e e m e n t b e t w e e n t h e o r y a n d e x p e r i m e n t : i f o n e c h o o s e s A e s m a l l e n o u g h t o g e t T 0 m i n t o a g r e e w i t h T Q e x ^ , t h e n t h e t h e o r e t i c a l v a l u e fllclX T^ b e c o m e s e v e n f u r t h e r r e m o v e d f r o m t h e e x p e r i m e n t a l T - r a n g e . E v e n t a k i n g i n t o a c c o u n t t h a t l i n e a r i t y i s e x p e c t e d f o r T a s h i g h a s a T c w i l l n o t , f o r a r e a s o n a b l e c h o i c e o f a , b r i n g t h e t h e o r e t i c a l T - r a n g e i n t o l i n e * w i t h t h e e x p e r i m e n t a l T - r a n g e . A d h o c a g r e e m e n t b e t w e e n t h e o r y a n d e x p e r i m e n t m a y b e o b t a i n e d b y m a k i n g a p a r t i c u l a r c h o i c e f o r a , a a n d A e . F o r e x a m p l e , w e l i s t i n T a b l e I I I t h e v a l u e s o f a , A e a n d a T w h i c h r e s u l t , f o r e a c h o f t h e 3 c s a m p l e s , u p o n t a k i n g a = 2. F o r t h e v a l u e s s h o w n , e q u a t i o n s (13) a n d (14) m a k e s e n s e , g i v e n t h e e x p e r i m e n t a l v a l u e s f o r £ , a n d t h e t h e o r e t i c a l c . . _ m i n , m m a x . , _ e x p . . . , _ q u a n t i t i e s T Q a n d a T ^ a g r e e w i t h T Q a n d t h e e x p e r i m e n t a l T - r a n g e . H o w e v e r , t h i s a d h o c . a g r e e m e n t i s n o t e a s i l y j u s t i f i e d , f o r t w o r e a s o n s : ( i ) s i n c e t h e e x p e r i m e n t a l v a l u e a g r e e s s o w e l l w i t h t h e e f f e c t i v e m a s s v a l u e 3 f o r e i n G a A s , a _ = 100A i s a v e r y r e l i a b l e r e s u l t ; t h u s , n _ a h a s v a l u e s d B D B - 40 -TABLE I I Sample « min T 0 T 0 e x P [ a ] w max *c experimental T-range^*^ ( i n K) ( i n K) ( i n K) ( i n K) 1 38,500 1,073 0.31 1.4 to - 7 2 28,300 915 0.35 1.4 to - 6 3 27,300 764 0.35 1.4 t o - 5 TABLE I I : Comparisons of the t h e o r e t i c a l minimum values of T Q, f^™ 1 0, to the experimental values of T Q, T 0 e x^, and of the t h e o r e t i c a l maximum values o f T £, T c < D a x, to the experimental ranges of temperature f o r l i g h t l y doped n-GaAs. For the t h e o r e t i c a l v a l u e s , the l o c a l i z a t i o n length a was taken as 100A and the bandwidth Ae of l o c a l i z e d s t a t e s as 1 meV. (a) From Ref. [7]. - 41 -TABLE I I I Sample Value of a g i v i n g agreement Value of AT g i v i n g T 0 agreement a T • * * (iS K) 1 4.5 2.5 7.0 2 4.0 2.1 5.9 3 4.0 1.8 5.0 TABLE III: Values of the l o c a l i s a t i o n lengths a ( i*7x 100A) and bandwidths Ae (Ae • Ae x lmeV) r e q u i r e d to give agreement between the t h e o r e t i c a l and experimental values of E' and Tfl f o r l i g h t l y doped n-GaAs. Als o given are the r e s u l t i n g values of a j j * * , the t h e o r e t i c a l maximum temperature above which v a r i a b l e range hopping w i l l no longer be observed. A l l q u a n t i t i e s are c a l c u l a t e d based on the choice a • 2. - 42 -14 o f 0.0064, 0.0087, 0.009 ( t o w i t h i n 20% o r s o ) f o r t h e t h r e e s a m p l e s ; a s d i s c u s s e d a t t h e e n d o f t h i s s e c t i o n , u n d e r t h e s e c o n d i t i o n s , w e a r e i n t h e s t r o n g l y l o c a l i z e d r e g i m e : i t i s d i f f i c u l t t o e n v i s a g e h o w a c o u l d b e 400A; ( i i ) i f a w e r e 400A, we w o u l d h a v e e x t e n d e d s t a t e s n e a r t h e m i d d l e o f t h e i m p u r i t y b a n d ; t h e e x p e r i m e n t a l r e s u l t s , h o w e v e r , i n d i c a t e l o c a l i z e d s t a t e s . T h e r e i s n o r e a s o n a b l e c h o i c e f o r a , a a n d Ae w h i c h w i l l b r i n g t h e o r y i n l i n e w i t h e x p e r i m e n t . We c o n c l u d e t h a t B e n z a q u e n a n d W a l s h o b s e r v e d V R H w h i c h c a n n o t a d e q u a t e l y b e d e s c r i b e d b y t h e m o d e l s w h i c h s u c c e s s f u l l y d e s c r i b e V R H i n A S s . T h e T - r a n g e o f t h e d a t a i s w e l l a b o v e t h e T - r a n g e o n e w o u l d e x p e c t , f r o m a t h e o r e t i c a l p e r s p e c t i v e , t o s e e V R H , a n d t h e e x p e r i m e n t a l T Q v a l u e s a r e m u c h s m a l l e r t h a n t h o s e o n e w o u l d p r e d i c t t h e o r e t i c a l l y . T h e o n l y o t h e r p o s s i b i l i t y , t h a t a « 400A, i s v e r y d i f f i c u l t t o e n v i s a g e j u s t i f y i n g ; w e d o n o t c o n s i d e r t h i s a v i a b l e a l t e r n a t i v e . ( S e e b e l o w . ) g B e n z a q u e n e t a l . r e p o r t e d V R H i n l i g h t l y d o p e d n - I n P . A s i m i l a r c o m p a r i s o n b e t w e e n t h e o r y a n d t h e s e e x p e r i m e n t a l d a t a c a n b e m a d e . T h e c o n c l u s i o n i s t h e s a m e : t h e e x p e r i m e n t a l T - r a n g e i s w e l l a b o v e t h e T - r a n g e f o r V R H p r e d i c t e d b y t h e t h e o r y , t h e e x p e r i m e n t a l T Q v a l u e s a r e t o o s m a l l t o b e a c c o u n t e d f o r b y t h e t h e o r y , a n d s i n c e t h e d o p i n g w a s v e r y l i g h t i n t h e n - I n P s a m p l e s s t u d i e d , t h e r e i s n o r e a s o n a b l e w a y t o c h o o s e a , a a n d Ae t o g e t a g r e e m e n t b e t w e e n t h e o r y a n d e x p e r i m e n t ; i n s h o r t : t h e V R H o b s e r v e d i n - 4 3 -b o t h G a A s a n d I n P c a n n o t b e a d e q u a t e l y d e s c r i b e d b y t h o s e m o d e l s w h i c h s o s u c c e s s f u l l y d e s c r i b e V R H i n A S s . T h e o b s e r v a t i o n s o f V R H b y B e n z a q u e n a n d W a l s h a n d b y B e n z a q u e n e t a l . b e c o m e e v e n m o r e i n t e r e s t i n g w h e n w e c o m p a r e t h e m t o t h e f i n d i n g s o f E m e l ' y a n e n k o e t a l . ^ 7 , w h o a l s o i n v e s t i g a t e d h o p p i n g c o n d u c t i o n i n l i g h t l y d o p e d G a A s . E m e l ' y a n e n k o e t a l . o b s e r v e d V R H i n 4 s a m p l e s i n t e m p e r a t u r e r a n g e s 0 . 1 5 - 0 . 5 K t o 1 K. F o r n ^ v a l u e s o f 2 - 7 . 2 x 1 0 1 5 c m - 3 , t h e y f o u n d T Q v a l u e s b e t w e e n a b o u t 2 x 10 1* K a n d 5 x K. T h e s e f i n d i n g s a r e i n g o o d a g r e e m e n t w i t h t h e p r e d i c t i o n s o f t h e e x i s t e n t t h e o r i e s . T h e E m e l ' y a n e n k o e t a l . d a t a , a s p r e s e n t e d i n a l o g 1 0 p v s . T - 1 / l t p l o t , a l s o s u g g e s t s V R H i n t h e i r s a m p l e s f o r t h e t e m p e r a t u r e r a n g e 1 . 8 K t o 4 . 2 K , b u t w i t h c o n s i d e r a b l y s m a l l e r T Q v a l u e s . F o r e x a m p l e , f o r o n e o f t h e i r s a m p l e s ( s a m p l e 4 ) , T Q f o r t h e 0 . 1 5 K t o I K t e m p e r a t u r e r a n g e i s a b o u t 2 x 1 0 4 K w h e r e a s T Q f o r 1 . 2 K t o 4 . 2 K i s a b o u t 9 x 1 0 2 K. T h i s h i g h e r t e m p e r a t u r e V R H i s l i k e t h e V R H r e p o r t e d b y B e n z a q u e n a n d W a l s h a n d b y B e n z a q u e n e t a l . We n o t e t h a t E m e l ' y a n e n k o e t a l . d i d n o t c l a i m t o h a v e o b s e r v e d V R H f o r t h e t e m p e r a t u r e r a n g e 1.2 K t o 4 . 2 K. I n s t e a d , t h e y i n t e r p r e t e d t h i s h i g h e r t e m p e r a t u r e d a t a a s i m p u r i t y c o n d u c t i o n w i t h a c o n s t a n t a c t i v a t i o n e n e r g y . H o w e v e r , b a s e d s o l e l y o n a c o m p a r i s o n o f t h e i r l o g 1 Q p v s . T " 1 p l o t s t o t h e i r l o g 1 0 p v s « T ~ 1 / l * p l o t s , we m u s t c l a i m t h a t t h e i r s a m p l e s d o n o t s h o w i m p u r i t y c o n d u c t i o n w i t h a c o n s t a n t a c t i v a t i o n e n e r g y i n t h i s h i g h e r t e m p e r a t u r e r a n g e a n y m o r e c l e a r l y t h a n t h e y s h o w V R H . 7 8 17 T h e s e t h r e e ' ' e x p e r i m e n t a l r e p o r t s t o g e t h e r s u g g e s t t h a t t h e r e a r e t w o V R H r e g i m e s , o n e b e l o w T a n d o n e a b o v e . T h e V R H b e l o w T i s w e l l c c - 44 -u n d e r s t o o d o n t h e b a s i s o f e s t a b l i s h e d t h e o r i e s . W h i l e t h e E m e l ' y a n e n k o e t a l . d a t a f o r T > T i s o n l y a s c o n v i n c i n g a s t h e i r d a t a f o r T < T , t h e ~ c ° ~ c d a t a p r e s e n t e d b y B e n z a q u e n a n d W a l s h a n d b y B e n z a q u e n e t a l . f o r T > T s h o w u n e q u i v o c a l V R H . T h i s h i g h e r t e m p e r a t u r e V R H , a s s o c i a t e d w i t h s u c h s m a l l T Q v a l u e s , c a n n o t b e u n d e r s t o o d o n t h e b a s i s o f e x i s t e n t t h e o r i e s . S e v e r a l o t h e r e x p e r i m e n t a l i n v e s t i g a t i o n s o f h o p p i n g c o n d u c t i o n i n D S s h a v e b e e n c a r r i e d o u t . T h e s e a r e r e v i e w e d i n r e f . [ 7 ] , w h e r e i t i s p o i n t e d o u t t h a t t h e o n l y o t h e r w o r k i n w h i c h u n e q u i v o c a l V R H w a s o b s e r v e d i s r e p o r t e d i n t w o p a p e r s b y A l l e n a n d c o - w o r k e r s . I n t h e i n v e s t i g a t i o n s o f A l l e n a n d c o - w o r k e r s , h e a v i l y d o p e d n - G e w a s u s e d . I n t h e i r s a m p l e s , t h e r e w a s c o n s i d e r a b l e o v e r l a p , e x t e n d e d s t a t e s e x i s t e d i n t h e m i d d l e o f t h e i m p u r i t y b a n d a n d t h e v a l u e o f a f o r t h e l o c a l i z e d s t a t e s w a s n o t k n o w n . A l l e n a n d c o - w o r k e r s d e d u c e d v a l u e s f o r a a n d g ^ b y c o m p a r i n g t h e i r e x p e r i m e n t a l r e s u l t s t o t h e o r e t i c a l e x p r e s s i o n s . O t h e r e x p e r i m e n t a l s t u d i e s w h i c h s h o w s o m e , a l b e i t e q u i v o c a l , e v i d e n c e 2 0 2 1 f o r V R H i n D S s a r e t h o s e o f S h l i m a k a n d N i k u l i n a n d Y a r e m e n k o U n f o r t u n a t e l y , t h e m a t e r i a l s s t u d i e d w e r e h e a v i l y d o p e d a n d s o t h e v a l u e o f a f o r t h e s e m a t e r i a l s w a s u n k n o w n . S i n c e t h e v a l u e o f a c a n n o t b e c a l c u l a t e d b y t h e o r e t i c a l m e t h o d s f o r t h e n - G e s t u d i e s o f A l l e n a n d c o - w o r k e r s , r e f . s [ 7 ] , [ 8 ] a n d [ 1 7 ] c o n s t i t u t e t h e o n l y e x p e r i m e n t a l d a t a a v a i l a b l e t o d a t e w h i c h a l l o w f o r a g e n u i n e c o m p a r i s o n b e t w e e n t h e o r y a n d e x p e r i m e n t f o r V R H i n t h r e e - d i m e n s i o n a l D S s . We h a v e s h o w n i n t h i s s e c t i o n t h a t c e r t a i n l y t w o a n d p o s s i b l y a l l t h r e e o f - 4 5 -t h e s e i n v e s t i g a t i o n s r e p o r t e d V R H w h i c h c a n n o t b e u n d e r s t o o d o n t h e b a s i s o f e x i s t e n t t h e o r i e s . B e f o r e p r o c e e d i n g t o d e s c r i b e o u r n u m e r i c a l s i m u l a t i o n , we p o i n t o u t 2 2 t h a t S h a f a r m a n a n d C a s t n e r h a v e r e c e n t l y r e p o r t e d V R H w i t h s m a l l v a l u e s i n u n c o m p e n s a t e d S i : A s . T h e y f o u n d T ^ t o d e c r e a s e w i t h i n c r e a s i n g n ^ . A s t h e i r i n v e s t i g a t i o n w a s c l o s e t o t h e M e t a l - I n s u l a t o r ( M I ) t r a n s i t i o n , t h e l o c a l i z a t i o n l e n g t h a w o u l d b e e x p e c t e d t o b e c o n s i d e r a b l y l a r g e r t h a n t h e e f f e c t i v e B o h r r a d i u s f o r s h a l l o w d o n o r s i n S i . A l a r g e l o c a l i z a t i o n l e n g t h e x p l a i n s , a t l e a s t f o r t h e s a m p l e s v e r y c l o s e t o t h e M I t r a n s i t i o n , t h e s m a l l T Q v a l u e s o b s e r v e d b y S h a f a r m a n a n d C a s t n e r . We d o n o t b e l i e v e t h a t a s i m i l a r e x p l a n a t i o n c a n a c c o u n t f o r t h e s m a l l T Q v a l u e s o b s e r v e d b y B e n z a q u e n a n d W a l s h o r b y B e n z a q u e n e t a l . O u r o b j e c t i o n s t o s u c h a n o t i o n a r e f o u r f o l d . F i r s t , t h e s a m p l e s s t u d i e d w e r e 2 3 c o m p e n s a t e d ; a s p o i n t e d o u t b y F r i t z s c h e , c o m p e n s a t i o n t e n d s t o i n c r e a s e t h e c r i t i c a l c o n c e n t r a t i o n o f d o n o r i m p u r i t i e s m a r k i n g t h e M I t r a n s i t i o n . T h e d o n o r c o n c e n t r a t i o n s o f t h e s a m p l e s s t u d i e d ( 6 . 4 - 9 x 1 0 1 5 c m - 3 i n G a A s a n d 2 . 1 - 8 . 4 x 1 0 1 5 c m - 3 i n I n P ) a r e s u c h t h a t t h e s a m p l e s a r e w e l l r e m o v e d f r o m t h e M I t r a n s i t i o n , a s i s v e r i f i e d b y t w o e x p e r i m e n t a l r e p o r t s o f 2 4 2 5 E m e l ' y a n e n k o e t a l . ' S e c o n d , a s r e p o r t e d b y S h a f a r m a n a n d C a s t n e r , n e a r t h e M I t r a n s i t i o n t h e l o c a l i z a t i o n l e n g t h i n c r e a s e s a n d T ^ d e c r e a s e s a s i n c r e a s e s . W h i l e T Q w a s f o u n d t o d e c r e a s e w i t h i n c r e a s i n g n ^ i n t h e G a A s s a m p l e s ^ , t h e o p p o s i t e t r e n d o f i n c r e a s i n g T^ w i t h i n c r e a s i n g n ^ w a s g o b s e r v e d i n t h e I n P s a m p l e s . T h i r d , i f o n e w e r e t o c l a i m t h a t t h e - 4 6 -l o c a l i z a t i o n l e n g t h f o r t h e B e n z a q u e n a n d W a l s h G a A s s a m p l e s w a s t h r e e t o f o u r t i m e s t h e B o h r r a d i u s , s o a s t o e x p l a i n t h e s m a l l v a l u e s , o n e w o u l d t h e n b e a t a l o s s t o a c c o u n t f o r t h e VRH r e p o r t e d b y E m e l ' y a n e n k o e t a l . ^ , VRH w h i c h i s w e l l u n d e r s t o o d v i a t h e e s t a b l i s h e d t h e o r i e s o f VRH. F i n a l l y , s t r o n g s u p p o r t i n g e v i d e n c e t h a t — i n c o m p e n s a t e d G a A s a n d I n P s a m p l e s w i t h t h e d o n o r c o n c e n t r a t i o n s s p e c i f i e d a b o v e — t h e l o c a l i z a t i o n l e n g t h i s i n d e e d a _ , i s p r e s e n t e d i n t h e e x p e r i m e n t a l r e p o r t s o f K a h l e r t a n d 2 6 27 2 5 L a n d w e h r , L e m o i n e e t a l . a n d E m e l ' y a n e n k o e t a l . ( I n t h e s e p a p e r s , i t i s s h o w n t h a t t h e r e s i s t i v i t y p 3 v a r i e s a s p Q e x p ( — j y ^ ) w i t h a c l o s e t o "D a B 2 8 t h e t h e o r e t i c a l v a l u e o f 1 . 7 3 a f f o r d e d b y p e r c o l a t i o n t h e o r y .) I n v i e w o f t h e s e f a c t s , we c o n c l u d e t h a t — i n s t e a d o f a t t e m p t i n g t o f o r c e t h e e s t a b l i s h e d t h e o r i e s o f VRH t o a c c o u n t f o r t h e VRH o f r e f . s [ 7 ] a n d [ 8 ] — i t i s m u c h m o r e r e a s o n a b l e t o t a k e a = a a n d p r o c e e d i n t h e m a n n e r B o u t l i n e d i n S e c . I t o u n d e r s t a n d t h e s m a l l v a l u e s r e p o r t e d i n r e f . s [ 7 ] , [ 8 ] a n d p o s s i b l y a l s o i n r e f . [ 1 7 ] , - 47 -I I I . T h e N u m e r i c a l S i m u l a t i o n ( i ) G e n e r a l D e s c r i p t i o n We h a v e c a r r i e d o u t a t w o - d i m e n s i o n a l n u m e r i c a l s i m u l a t i o n f o r t h e p u r p o s e o f c a l c u l a t i n g t h e o v e r a l l r e s i s t a n c e o f t h e r e s i s t o r n e t w o r k d e s c r i b e d i n S e c . I . I n t h i s s e c t i o n , we o u t l i n e h o w t h e n u m e r i c a l s i m u l a t i o n w a s d o n e . We s t a r t e d w i t h a n b y s q u a r e l a t t i c e o f b o x e s , w h e r e L a n d L w e r e t h e n u m b e r s o f b o x e s i n t h e x - a n d y - d i r e c t i o n s , x y J ' r e s p e c t i v e l y . We c h o s e a f i x e d n u m b e r F , w h e r e 0 < F < 1, a n d f o r e a c h b o x g e n e r a t e d a n d c o m p a r e d t o F a r a n d o m n u m b e r § w h e r e , a g a i n , 0 < cp < 1. T h e r a n d o m n u m b e r (j) w a s g e n e r a t e d u s i n g a u n i f o r m ( 0 , 1 ) r a n d o m n u m b e r g e n e r a t o r ( a v a i l a b l e i n t h e U B C A P M A T H l i b r a r y ) . I f <|> > F , t h e b o x w a s l e f t e m p t y b u t i f <t> < F , t h e b o x h a d p l a c e d a t i t s c e n t e r a " s i t e " . E a c h t i m e a s i t e w a s p r o d u c e d , a n o t h e r r a n d o m v a l u e f o r <)) w a s g e n e r a t e d ; t h i s v a l u e o f <(> w a s u s e d t o a s s i g n a n e n e r g y e = 4) - y t o t h e s i t e . A f t e r h a v i n g d o n e t h i s f o r e v e r y b o x , we e n d e d u p w i t h a s e t o f N s i t e s d i s t r i b u t e d r a n d o m l y i n p o s i t i o n - s p a c e a n d h a v i n g e n e r g i e s r a n d o m l y d i s t r i b u t e d b e t w e e n - y a n d y . T h e N s i t e s w e r e l a b e l l e d 1 , 2 , 3 , i , j , k , N. S i t e " i " h a d e n e r g y a n d c o o r d i n a t e s ( x . , y . ) , w h e r e x . a n d y . w e r e t h e c o o r d i n a t e s o f t h e b o x w i t h i n w h i c h t h e s i t e w a s p l a c e d . We r e p e a t e d t h i s p r o c e s s s e v e r a l t i m e s , t h e r e b y g e n e r a t i n g a s e t o f s a m p l e s , e a c h s a m p l e h a v i n g a p p r o x i m a t e l y t h e s a m e n u m b e r o f s i t e s , a n d we c a l c u l a t e d t h e a v e r a g e r e s i s t a n c e f o r t h e s a m p l e s e t . H a d we p r o d u c e d a n e x t r e m e l y l a r g e n u m b e r o f s a m p l e s e a c h h a v i n g t h e s a m e L , L a n d F , t h e a v e r a g e n u m b e r N o f s i t e s p e r s a m p l e w o u l d - 48 -h a v e b e e n N = F L L : f o r a g i v e n L a n d L , F w a s c h o s e n t o g i v e a x y x y p a r t i c u l a r v a l u e f o r N . E a c h o f t h e s a m p l e s i n t h e c o l l e c t i o n w a s a m e m b e r o f t h e g r a n d c a n o n i c a l e n s e m b l e f o r a d o p e d s e m i c o n d u c t o r . L L w a s t h e t w o - d i m e n s i o n a l x y v o l u m e w h i l e F w a s r e l a t e d t o t h e a v e r a g e d e n s i t y o f d o n o r i m p u r i t i e s . T o s e e t h i s m o r e c l e a r l y , s u p p o s e w e h a d p r o d u c e d t h r e e - d i m e n s i o n a l s a m p l e s , e a c h s t a r t i n g f r o m a n L b y L b y L c u b i c l a t t i c e o f b o x e s , a n d s u p p o s e t h a t we c o u l d h a v e t a k e n L , L a n d L t o b e l a r g e e n o u g h t h a t F c o u l d b e x y z t a k e n t o b e t h e r a t i o o f d o n o r i m p u r i t i e s t o t o t a l n u m b e r o f h o s t c r y s t a l a t o m s i n a l i g h t l y d o p e d s e m i c o n d u c t o r ( s o F w o u l d h a v e b e e n a b o u t 1 0 ~ 7 , f o r e x a m p l e ) . T h e n e a c h b o x w o u l d h a v e r e p r e s e n t e d a h o s t c r y s t a l a t o m a n d e a c h s i t e w o u l d h a v e r e p r e s e n t e d a d o n o r a t o m . N h a d t o b e c h o s e n l a r g e e n o u g h t o d o a m e a n i n g f u l s i m u l a t i o n ( N > 1 0 0 0 , f o r e x a m p l e ) . S i n c e t h e n u m b e r o f b o x e s w a s l i m i t e d t o a b o u t 1 0 6 , we w e r e f o r c e d t o c h o o s e F t o b e m u c h l a r g e r t h a n 1 0 - 7 . L L < 1 0 6 ' x y ~ m e a n s t h a t N = 3 0 0 0 i m p l i e s F « 0 . 0 0 3 . A s s u c h , e a c h e m p t y b o x r e p r e s e n t e d a n a g g r e g a t e o f m a n y h o s t - c r y s t a l a t o m s a n d e a c h b o x w i t h a s i t e i n i t r e p r e s e n t e d a n a g g r e g a t e o f h o s t a t o m s w i t h a d o n o r i m p u r i t y a t t h e c e n t e r o f t h e a g g r e g a t e . O n e a d v a n t a g e t o h a v i n g g e n e r a t e d s i t e s i n t h e m a n n e r d e s c r i b e d — a s o p p o s e d t o h a v i n g r a n d o m l y g e n e r a t e d c o o r d i n a t e s f o r a f i x e d n u m b e r o f s i t e s ( w h i c h w o u l d c o r r e s p o n d t o h a v i n g w o r k e d i n t h e c a n o n i c a l e n s e m b l e ) — w a s t h a t w e w e r e a b l e t o a v o i d h a v i n g d o n o r a t o m s - 49 -w h i c h w o u l d h a v e b e e n s o c l o s e a s t o h a v e b e e n e f f e c t i v e l y a s i n g l e s i t e . T h e r e a s o n s f o r h a v i n g w o r k e d i n t w o d i m e n s i o n s i n s t e a d o f t h r e e w a s r e l a t e d t o t h e l i m i t a t i o n o n t h e n u m b e r o f b o x e s : p l a c i n g 3 0 0 0 s i t e s i n 1 0 6 b o x e s g i v e s a l a r g e r s i t e - t o - s i t e d i s t a n c e a n d h e n c e a m o r e r e a l i s t i c m o d e l l i n g o f s p a t i a l r a n d o m n e s s i n t w o d i m e n s i o n s t h a n i n t h r e e . T h i s i s n o t t o s a y , h o w e v e r , t h a t a t h r e e - d i m e n s i o n a l s i m u l a t i o n w o u l d n o t p r o d u c e m e a n i n g f u l r e s u l t s . I n a g i v e n s a m p l e , t h e N s i t e s r e p r e s e n t e d N n o d e s f o r t h e r e s i s t o r n e t w o r k m o d e l o f t h e d o p e d s e m i c o n d u c t o r . T h e r e s i s t a n c e b e t w e e n a n y t w o s i t e s i a n d i w a s g i v e n , i n t e r m s o f r . = ( x . . y . ) , r . = ( x . , y . ) , e . , e . , a 1 I - ' I J J J i J a n d t h e t e m p e r a t u r e t , b y e q u a t i o n s ( 8 ) - ( 1 0 ) . T o d e t e r m i n e t h e o v e r a l l r e s i s t a n c e o f t h e n e t w o r k , we b e g a n b y e x t e n d i n g t h e n e t w o r k a s f o l l o w s : w e t r e a t e d t h e L b y L s e t o f b o x e s a s a x y " u n i t c e l l " w h i c h w a s p e r i o d i c a l l y r e p e a t e d i n t w o d i m e n s i o n s . A p o t e n t i a l d r o p o f 1 u n i t w a s p l a c e d b e t w e e n a n y g i v e n s i t e a n d i t s n e x t i m a g e i n o n e o f t h e t w o d i r e c t i o n s . T h i s a r r a n g e m e n t r e s u l t e d i n a n o v e r a l l c u r r e n t f l o w . We o b v i o u s l y d i d n o t n e e d t o i n c l u d e a l l t h e r e s i s t o r s i n o r d e r t o c a l c u l a t e t h e o v e r a l l r e s i s t i v i t y o f t h e n e t w o r k , b e c a u s e r e s i s t o r s w h i c h c o n n e c t e d s i t e s t h a t w e r e v e r y f a r a p a r t w o u l d h a v e b e e n v e r y l a r g e , a n d t h o s e r e s i s t o r s w o u l d h a v e b e e n s h o r t e d o u t b y s m a l l e r r e s i s t o r s w h i c h c o n n e c t e d s i t e s t h a t w e r e c l o s e r . H o w e v e r , we n e e d e d t o b e s u r e t h a t w e d i d i n c l u d e a l l r e s i s t o r s t h a t m a t t e r e d , a n d t o d o s o , we p r o c e e d e d a s f o l l o w s : - 50 -We chose an integer d and constructed a r e s i s t o r network based on max the value of d . For a given s i t e i , we included in t h i s network a l l max r e s i s t o r s R. . for which two conditions were s a t i s f i e d : x. - x. < d , i j 1 1 j 1 max y. - y . l < d . We did t h i s for each of the N s i t e s . Our o r i g i n a l 1 3 l j 1 max e choices of L and L were made large enough to ensure that d « L , x y max x d « L for a l l d of i n t e r e s t , max y » max For a given d . we next checked to see i f the r e s i t o r network so max formed would "percolate" in the d i r e c t i o n of the p o t e n t i a l drop, which we took to be the y - d i r e c t i o n . The network percolated i n the y - d i r e c t i o n i f there was a continuous chain of r e s i s t o r s going between the edge of the unit c e l l at y = 0 and the edge at y = L^. If we did not have percolation, the o v e r a l l conductivity was zero and we would proceed to the next (larger) value of d . I f the network percolated, we used K i r c h o f f ' s laws to max c a l c u l a t e the p o t e n t i a l V. at each s i t e i in the network. The V. were I I obtained by employing the incomplete Cholesky conjugate gradient (ICCG) 29 method . We then calculated the current I.. = (V.- V.)/R.. flowing from s i t e i to s i t e j through r e s i s t o r R^-' For each of several planes at constant y, we calculated the net current crossing the plane. Since they were a l l found to be the same to within computational accuracy, we had thereby ensured ourselves of having found the correct answer. At t h i s stage, we had calculated the current l ( d ,t) for the values chosen for max d and t. max We repeated the c a l c u l a t i o n of l ( d ,t) for several values of d for max max a given t. As d increased, so did l ( d , t ) , eventually l e v e l l i n g off ° max max - 51 -w h e n d b e c a m e s o l a r g e t h a t a n i n c r e a s e i n d r e s u l t e d i n a d d i n g t o t h e m a x m a x n e t w o r k r e s i s t o r s t h a t w e r e v e r y l a r g e a n d h e n c e m a d e n o c o n t r i b u t i o n t o t h e o v e r a l l c u r r e n t . F o r t h e l a r g e s t v a l u e s o f d t r i e d , I ( d , t ) w a s m a x m a x e s s e n t i a l l y c o n s t a n t ; we d e n o t e t h i s v a l u e o f t h e c u r r e n t b y s i m p l y l ( t ) . We c a l c u l a t e d I ( t ) f o r s e v e r a l v a l u e s o f t ; t w a s t a k e n t o l i e i n t h e r a n g e 1 > t > 0 . 0 1 2 . T h e r e s u l t w a s a s e t o f v a l u e s o f l ( t ) f o r s e v e r a l v a l u e s o f t . We o b t a i n e d s u c h a s e t o f v a l u e s o f l ( t ) f o r e a c h o f a c o l l e c t i o n o f s a m p l e s w i t h t h e s a m e L , L a n d F . T h e t o t a l n u m b e r o f s i t e s N d i f f e r e d x y f r o m s a m p l e t o s a m p l e , a s d i d t h e p o s i t i o n s o f e n e r g i e s o f t h e v a r i o u s s i t e s . A s s u c h , e a c h s a m p l e r e p r e s e n t e d a m e m b e r o f t h e e n s e m b l e o f s a m p l e s f o r t h e r e s i s t o r n e t w o r k m o d e l o f a d o p e d s e m i c o n d u c t o r . B y c a l c u l a t i n g l ( t ) f o r e a c h o f t h e v a l u e s o f t f o r e a c h s a m p l e , we w e r e a b l e t o d e t e r m i n e a n a v e r a g e f o r I ( t ) , d e n o t e d < l ( t ) > a n d e s t i m a t e i t s e r r o r . ( i i ) C o m p u t a t i o n a l D e t a i l s We o b t a i n e d I ( t ) v a l u e s f o r 4 " 1 0 0 0 - s i t e " s y s t e m s ( w i t h N v a l u e s o f 9 3 2 , 9 4 7 , 9 9 2 a n d 1 0 1 5 ) , 4 " 2 0 0 0 - s i t e " s y s t e m s ( w i t h N v a l u e s o f 1 9 2 0 , 1 9 2 6 , 1 9 5 2 a n d 1 9 8 6 ) , 2 " 2 0 0 0 - s i t e , r e c t a n g u l a r " s y s t e m s ( N = 1 9 9 1 f o r e a c h ) a n d 7 " 2 8 0 0 - s i t e , r e c t a n g u l a r " s y s t e m s ( w i t h N v a l u e s o f 2 6 5 3 , 2 7 5 6 , 2 7 5 8 , 2 7 8 8 , 2 8 0 0 , 2 8 0 4 a n d 2 8 2 0 ) . T h e " 1 0 0 0 - s i t e " a n d " 2 0 0 0 - s i t e " s y s t e m s w e r e a l l s q u a r e w i t h 1 . ^ = 1 . = 7 0 0 . T h e " 2 8 0 0 - s i t e , r e c t a n g u l a r " s y s t e m s a n d o n e o f t h e t w o " 2 0 0 0 - s i t e , r e c t a n g u l a r " s y s t e m s h a d L x = 5 0 0 , = 1 0 4 0 ; t h e o t h e r " 2 0 0 0 - s i t e , r e c t a n g u l a r " s y s t e m h a d L = 4 0 0 , L = 1 3 0 0 . F o r a l l 1 7 - 5 2 -s y s t e m s , w e c h o s e r / a = 6 w h e r e r = ( L L / N ) 1 / 2 . s - s s - s x y We c h o s e d t o v a r y f r o m a n i n i t i a l v a l u e d i n c l o s e t o r t o a m a x m a x s - s f i n a l v a l u e d ^ i n w h i c h w a s r o u g h l y 3 d l n . F o r t h e f i r s t f e w s y s t e m s m a x m a x 1 • , , , • - r • r- , m . f i n s t u d i e d , d w a s t a k e n t o i n c r e a s e i n s t e p s o f u n i t y f r o m d t o d m a x m a x m a x O n c e we h a d c l e a r l y e s t a b l i s h e d t h a t l ( d ; t ) i n c r e a s e d t h e n l e v e l l e d o f f J m a x w i t h i n c r e a s i n g d i n a r e g u l a r f a s h i o n , w e n e e d e d o n l y a f e w d v a l u e s ° m a x m a x t o g e t l ( t ) f o r t h e s y s t e m s s u b s e q u e n t l y s t u d i e d . T h e c o m p u t i n g t i m e r e q u i r e d t o c a l c u l a t e t h e n e t c u r r e n t f o r g i v e n d a n d t w a s d o m i n a t e d b y t h e s t e p w h e r e K i r c h o f f ' s l a w s w e r e s o l v e d f o r m a x t h e v o l t a g e s . L a r g e c o m p u t i n g t i m e s w e r e r e q u i r e d d e s p i t e t h e u s e o f t h e I C C G m e t h o d . T h e c o m p u t i n g t i m e i n c r e a s e d w i t h N r o u g h l y a s N 3 ^ 2 . F o r N » 1 0 0 0 , t h e a v e r a g e c o m p u t i n g t i m e c o r r e s p o n d i n g t o a s i n g l e d v a l u e a n d a g i v e n t w a s r o u g h l y 17 s e c o n d s ; f o r N » 2 0 0 0 , t h e t i m e w a s a b o u t 5 0 s e c o n d s ; f o r N « 2 8 0 0 , t h e t i m e w a s r o u g h l y 9 0 s e c o n d s . T h e c o m p u t e r t i m e w a s g e n e r a l l y l a r g e r f o r a s m a l l e r v a l u e o f t . I n c o n s e q u e n c e , w e c h o s e t h e m i n i m u m t v a l u e t o i n c r e a s e s l i g h t l y w i t h t h e n u m b e r o f s i t e s ( a s c a n b e s e e n f r o m F i g . 2 ) . B e c a u s e o f t h e l a r g e c o m p u t i n g t i m e s r e q u i r e d , w e u s e d t h e a r r a y p r o c e s s o r a t U B C ( t h e F P S - 1 6 4 / M A X , w i t h o n e m e g a w o r d o f m e m o r y ) . T h e r e s u l t s f o r t h e 17 s y s t e m s w e r e c o l l e c t e d w i t h i n t w e n t y c a l e n d a r d a y s . - 5 3 -I V . R e s u l t s a n d D i s c u s s i o n I n F i g . 2 , we s h o w p l o t s o f A n < l ( t ) > v s . t _ 1 / 3 f o r t h e 4 1 0 0 0 - s i t e s y s t e m s , t h e 4 2 0 0 0 - s i t e s y s t e m s a n d t h e 7 2 8 0 0 - s i t e s y s t e m s . ( F o r t w o - d i m e n s i o n a l s y s t e m s , t h e 1/4 i n e q u a t i o n ( 1 ) i s r e p l a c e d b y 1 / 3 . ) T h e o r d i n a t e s f o r e a c h c a s e a r e s t a g g e r e d i n t h e f i g u r e t o a v o i d c l u t t e r . T h e e r r o r b a r s s h o w n r e f l e c t t h e s t a n d a r d d e v i a t i o n s i n l ( t ) ( ( n o t A n l ( t ) ) , a s i n f e r r e d f r o m t h e s e t o f s a m p l e s . T h e d i m e n s i o n l e s s l ( t ) v a l u e s r e f l e c t o u r c h o o s i n g t h e p o t e n t i a l d r o p t o b e 1 u n i t o f v o l t a g e a n d o u r t a k i n g R Q t o b e 1 u n i t o f r e s i s t a n c e . R e c a l l t h a t r _ / a = 6 f o r e v e r y s y s t e m . T h i s m e a n s t h a t e a c h s y s t e m m a y b e r e g a r d e d a s a s m a l l s e c t i o n o f a n i n f i n i t e s y s t e m w i t h r / a = 6. A s s u c h , a s s u m i n g t h e n u m b e r o f s i t e s i n e a c h s y s t e m i s l a r g e e n o u g h , w e s h o u l d e x p e c t c l o s e a g r e e m e n t b e t w e e n t h e A n < l ( t ) > v s . t ~ 1 / 3 c u r v e s f o r t h e s y s t e m s w i t h d i f f e r e n t n u m b e r s o f s i t e s . I n F i g . 3, we c o m p a r e t h e p l o t s f o r t h e 1 0 0 0 - s i t e a n d 2 0 0 0 - s i t e ( s q u a r e s y s t e m s ) a n d a l s o f o r t h e 2 8 0 0 - s i t e s y s t e m s a n d t h e s i n g l e 2 0 0 0 - s i t e s y s t e m w i t h L = 5 0 0 , L = 1 0 4 0 . A g a i n , t h e o r d i n a t e s a r e s t a g g e r e d t o a l l o w e a s e x y o f c o m p a r i s o n . We s e e t h a t i n b o t h c a s e s , t h e p l o t s a g r e e v e r y w e l l , i n d i c a t i n g t h a t 1 0 0 0 o r m o r e s i t e s a r e e n o u g h . A l s o s h o w n i n F i g . 2 a r e e x t r a p o l a t i o n s o f b o t h t h e h i g h t ( t » 1 ) a n d l o w t ( t < t E k T / A e ) t h e o r e t i c a l c u r v e s . A t h i g h t , t h e r e s i s t o r ~ c c n e t w o r k ( 8 ) b e c o m e s i n d e p e n d e n t o f t a n d t h e p r o b l e m r e d u c e s t o t h e s o - c a l l e d r - p e r c o l a t i o n p r o b l e m . F o r l o w t , t h e r e s i s t o r n e t w o r k r e d u c e s t o t h e f o r m ( 3 ) a n d t h e t h e o r e t i c a l c u r v e c o r r e s p o n d s t o t h e M o t t V R H L a w f o r - 54 -F i g . 2: P l o t s of the average currents obtained numerically vs. t - 1 ' 3 f o r : 1000-site samples (Anlj ordinate, 0 symbols), 2000-site samples ( i n l 2 ordinate, • symbols) and 2800-site samples ( A n l 3 a x i s , A symbols). The dashed curves are t h e o r e t i c a l high t and low t curves which are described i n the tex t . - 55 -F i g . 3: Comparison of average c u r r e n t s f o r the 1000-site systems (0) and 2000-site systems (•) ( I n l ^ o r d i n a t e ) , average current f o r the 2800-site systems (a) and cur r e n t f o r one 2000-site r e c t a n g u l a r system (•) ( A n l 2 o r d i n a t e ) . E r r o r bars (not shown) are given i n F i g . 2. - 56 -t w o d i m e n s i o n s . I n c o m p a r i n g t h e n u m e r i c a l r e s u l t s a n d t h e t h e o r e t i c a l c u r v e s , o n e m u s t b e a r i n m i n d t h a t t h e t h e o r e t i c a l e s t i m a t e f o r a Q i s n o t p r e c i s e : t h e u n c e r t a i n t y i n a Q i s o f o r d e r u n i t y ( s e e r e f . [ 3 0 ] f o r d e t a i l s ) . A s s u c h , we h a v e a g r e e m e n t a t h i g h t b e t w e e n t h e t h e o r e t i c a l c u r v e s ( a ^ , a 2 a n d a 3 1 ) a n d t h e l i m i t i n g n u m e r i c a l v a l u e s , a n d a t l o w t b e t w e e n t h e m a g n i t u d e o f t h e c u r r e n t f o r t h e t h e o r e t i c a l c u r v e s ( b ^ , b 2 a n d b 3 ) a n d t h e m a g n i t u d e o f t h e n u m e r i c a l p o i n t s . ( T h e t h e o r e t i c a l c u r v e s a 3 a n d a 3 ' d i f f e r i n t h a t a 3 ' t a k e s i n t o a c c o u n t t h a t t h e 2 8 0 0 - s i t e s y s t e m s a r e r e c t a n g u l a r a n d e q u a t e s t h e r e s i s t a n c e o f a s a m p l e t o R ^ L ^ / L ^ ; c u r v e s a ^ , a 2 a n d a 3 t a k e t h e r e s i s t a n c e t o b e s i m p l y R^. T h i s a p p a r e n t d e p e n d e n c e o n s h a p e o f t h e o v e r a l l r e s i s t a n c e i s d i s c u s s e d m o r e f u l l y n e a r t h e e n d o f t h i s s e c t i o n ) . A t l o w t we s e e t h a t , f o r t h e 1 0 0 0 - a n d 2 0 0 0 - s i t e s y s t e m s , we c o u l d d r a w a s t r a i g h t l i n e t h r o u g h t h e f i n a l f e w J i n < l ( t ) > p o i n t s . H o w e v e r , t h e l a r g e n e s s o f t h e e r r o r b a r s p r e v e n t s u s f r o m d o i n g s o . We w o u l d h a v e p r e f e r r e d s m a l l e r e r r o r b a r s i n t h i s t - r a n g e , b u t b e c a u s e o f t h e l o n g c o m p u t i n g t i m e s f o r s m a l l t , b e c a u s e o u r i n t e r e s t i s i n t h e h i g h e r t - r a n g e a n d b e c a u s e t h e l o w t - r a n g e i s w e l l u n d e r s t o o d , we c h o s e n o t t o p e r f o r m f u r t h e r r u n s s o a s t o r e d u c e t h e s e e r r o r b a r s . E v e n s o , we c a n c o n c l u d e t h a t A n < l ( t ) > i s n o t l i n e a r i n t _ 1 / 3 , f o r o u r t w o - d i m e n s i o n a l s t u d y , a t t e m p e r a t u r e s i n e x c e s s o f a b o u t 2t^ ( f o r o u r s a m p l e s , t » 4 . 0 ) . A s p o i n t e d o u t i n S e c . I I , t h i s e s t i m a t e a g r e e s w i t h t h e r e s u l t s o f S e a g e r a n d 13 P i k e f o r t h r e e d i m e n s i o n s . Q u i t e a p a r t f r o m t h e i r r e l a t i o n t o e x p e r i m e n t a l d a t a o n h o p p i n g c o n d u c t i o n i n D S s , o u r n u m e r i c a l s i m u l a t i o n s a r e i m p o r t a n t i n t h e i r o w n - 57 -r i g h t b e c a u s e t h e y a l l o w u s t o t e s t a n d t h e r e b y e s t a b l i s h a n a n a l y t i c t h e o r y f o r p e r c o l a t i o n a t t e m p e r a t u r e s w h e n t i s o f o r d e r u n i t y . E v e n s o , i t i s e s s e n t i a l t h a t we c o m p a r e t h e r e s u l t s o f o u r n u m e r i c a l i n v e s t i g a t i o n s t o t h e e x p e r i m e n t a l r e s u l t s d i s c u s s e d i n S e c . I I . We s e e f r o m F i g . 2 t h a t t h e r e e x i s t s n o e x t e n s i v e t e m p e r a t u r e r a n g e a b o v e t f o r w h i c h A n < l ( t ) > i s l i n e a r i n t _ 1 / 3 w i t h a s l o p e s i g n i f i c a n t l y s m a l l e r t h a n t h e s l o p e f o r V R H a t t < t . H o w e v e r , o u r n u m e r i c a l r e s u l t s ~ c d o e x p l a i n t h e g e n e r a l b e h a v i o r o b s e r v e d b y E m e l ' y a n e n k o e t a l . ^ ^ i n t h r e e - d i m e n s i o n a l l i g h t l y d o p e d G a A s ( s e e S e c . I I ) . E m e l ' y a n e n k o e t a l . o b s e r v e d t h e f o l l o w i n g g e n e r a l b e h a v i o r : t h a t a l t h o u g h t h e c o n d u c t i v i t y c o n t i n u e d t o r i s e w i t h T a b o v e T , i t s r a t e o f i n c r e a s e w i t h T w a s s m a l l e r c t h a n f o r T b e l o w T . T h i s g e n e r a l b e h a v i o r , q u e s t i o n e d b y B e n z a q u e n a n d W a l s h / , i s u n d e r s t a n d a b l e o n t h e b a s i s o f o u r t w o - d i m e n s i o n a l n u m e r i c a l s i m u l a t i o n s , a s o u r r e s u l t s r e p r o d u c e t h i s g e n e r a l b e h a v i o r . M o r e o v e r , r e c a l l f r o m S e c . I I t h a t E m e l ' y a n e n k o e t a l . c l a i m e d t h a t J i n a w a s l i n e a r i n T - 1 a b o v e T . I n F i g . 4, we h a v e p l o t t e d o u r n u m e r i c a l r e s u l t s a s A n < l ( t ) > v s . t - 1 . I n d e e d , w e f i n d a l i n e a r r e g i o n a b o v e t^. I n o u r n e x t p a p e r , w e w i l l p r e s e n t o u r a n a l y t i c t h e o r y a n d s h o w t h a t i t a g r e e s w i t h o u r n u m e r i c a l s i m u l a t i o n f o r t w o d i m e n s i o n s a n d a f l a t d e n s i t y o f s t a t e s . A t t h a t p o i n t , w e w i l l b e a b l e t o u s e t h e a n a l y t i c t h e o r y t o e x a m i n e t h e b e h a v i o r o f t h e c o n d u c t i v i t y i n t h r e e d i m e n s i o n s f o r v a r i o u s c h o s e n d e n s i t i e s o f s t a t e s . We w i l l c o m p a r e t h e r e s u l t s o f o u r t h e o r y f o r t h e s e v a r i o u s d e n s i t i e s o f s t a t e s t o t h e e x p e r i m e n t a l r e s u l t s o f B e n z a q u e n a n d W a l s h a n d B e n z a q u e n e t a l . F o r a f l a t d e n s i t y o f s t a t e s i n t h r e e d i m e n s i o n s , w e w i l l s e e t h a t t h e r e i s - 58 -F i g . 4: P l o t s of the average currents for the 1000-site systems ( 0 ) , 2000-site systems (•) and 2800-site systems (A) vs. t " 1 . The l i n e a r regions are ind i c a t e d by s o l i d l i n e s . The slopes, determined by a X 2 minimization r o u t i n e , are as follo w s : -0.271+0.009 ( 0 ) , -0.279±0.014 (•), -0.278+0.012 (A). - 59 -a g a i n a t e m p e r a t u r e r a n g e a b o v e t i n w h i c h A n a i s l i n e a r i n t _ 1 . I f t h e E m e l ' y a n e n k o e t a l . c l a i m t h a t A n a f o r t h e i r s a m p l e s i s l i n e a r i n T _ 1 a b o v e i s c o r r e c t , i t m a y b e u n d e r s t o o d o n t h e b a s i s o f o u r m o d e l : f o r e i t h e r t w o o r t h r e e d i m e n s i o n s a n d a f l a t d e n s i t y o f s t a t e s , o u r m o d e l p r e d i c t s t h e M o t t l a w b e l o w T a n d A n a l i n e a r i n T " 1 a b o v e T . S u c h l i n e a r i t y o f A n a i n c c T _ 1 a s s o c i a t e d w i t h h o p p i n g c o n d u c t i o n i n t h r e e - d i m e n s i o n a l D S s h a s o f t e n b e e n o b s e r v e d e x p e r i m e n t a l l y . ( F o r e x a m p l e , s e e r e f . s [ 2 4 ] - [ 2 7 ] . ) 3 1 3 2 . . . F o w l e r a n d H a r t s t e i n ' o b s e r v e d e x p e r i m e n t a l l y a t r a n s i t i o n i n t w o - d i m e n s i o n a l s y s t e m s f r o m A n a l i n e a r i n T - 1 ^ 3 a t l o w t e m p e r a t u r e s t o A n a 3 3 l i n e a r i n T - 1 a t h i g h e r t e m p e r a t u r e s . H a y d e n a n d B u t c h e r h a v e p r e s e n t e d a t h e o r y f o r a c t i v a t e d h o p p i n g i n t w o d i m e n s i o n s a n d c o m p a r e d t h e i r t h e o r y t o 3 1 t h e F o w l e r a n d H a r t s t e i n r e s u l t s . U n f o r t u n a t e l y , i n t h e i r t h e o r y , t h e l o w t e m p e r a t u r e f o r m o f t h e r e s i s t a n c e R ^ j > a s g i v e n b y e q u a t i o n ( 3 ) , w a s u s e d i n a t e m p e r a t u r e r a n g e w h e r e t w a s o f o r d e r u n i t y . A s s h o w n i n F i g . 1, t h e l o w t e m p e r a t u r e f o r m o f d e v i a t e s a p p r e c i a b l y f r o m t h e f u l l f o r m , e q u a t i o n ( 8 ) , f o r t > 2 t ^ . T h i s v e r y i m p o r t a n t d i f f e r e n c e b e t w e e n t h e t w o f o r m s o f R „ i s r e v e a l e d b y c o m p a r i n g t h e s l o p e s f o u n d i n F i g . 4 t o t h o s e r e p o r t e d b y H a y d e n a n d B u t c h e r f o r t h e i r m o d e l : H a y d e n a n d B u t c h e r r e p o r t e d a n a c t i v a t i o n e n e r g y o f 0 . 3 8 A e , w h e r e a s f r o m F i g . 4, we f i n d t h e c o n s i d e r a b l y d i f f e r e n t v a l u e 0 . 2 8 A e . T h i s d i f f e r e n c e i s d u e t o t h e u s e b y H a y d e n a n d B u t c h e r o f t h e l o w t e m p e r a t u r e f o r m o f R.^ i n t h e h i g h t e m p e r a t u r e r e g i o n . A s o m e w h a t u n e x p e c t e d r e s u l t o f o u r n u m e r i c a l i n v e s t i g a t i o n s c o m e s i n t h e f o r m o f p r e l i m i n a r y i n d i c a t i o n s t h a t l ( t ) d e p e n d s o n t h e s h a p e o f t h e - 60 -system. Notice that the compared plots i n F i g . 3 correspond to systems having the same shape. A comparison of curves for systems with d i f f e r e n t shapes does not reveal the agreement seen i n F i g . 2. For example, in F i g . 2, we see that the curve for the 2800-site systems — a l l of which had L = 500, L = 1040 — appears to drop, with increasing t, below the x y coinciding curves for the 1000- and 2000- s i t e systems — a l l of which were square. In F i g . 5, we plo t An l ( t ) for the 2 2000-site rectangular systems and An<l(t)> for the 4 2000-site square systems (with a single ordinate) against t - ^ ' ' 3 . We see the same trend as in F i g . 2, namely that, for the higher t values, the greater the r a t i o L^/L^, the smaller the value of I ( t ) . One might be i n c l i n e d to think that this i s simply r e f l e c t i n g that the systems are "macroscopic", i . e . that the resistance R of a given system i s given by R = p L /L where p i s the macroscopic r e s i s t i v i t y . Indeed, the y x curve a,' of F i g . 2 was obtained by writing R = R L /L . However, according 3 c y x to percolation t h e o r y " ^ t h e s e sample systems are small enough that the o v e r a l l resistance of a system i s expected to be due to a single r e s i s t o r . As such, we cannot expect the shape dependence to be due to macroscopic behavior of the systems. Nevertheless, that curve a 3 ' agrees better with the numerical r e s u l t than the curve a 3 does, suggests there i s a dependence of R on the shape of the system. We w i l l not discuss this shape dependence further i n th i s paper. We plan to perform runs for several differently-shaped samples and discuss t h i s topic i n a future p u b l i c a t i o n . - 61 -C •••••• + + + + + J D D ° • D n + • + • + o • + • T" 2 3 -'/3 F i g . 5: Comparison of average current for the square 2000-site systems (•), current for one 2000-site system v i t h L - 500, L • 1040 (•) and ^ y current for one 2000-site system v i t h L • 400, L - 1300 ( • ) . - 6 2 -F i n a l l y , o n e m a y w e l l a s k w h a t t h e s h a p e o f t h e c u r v e A n l ( t ) v s . t ~ ^ / 3 t e l l s u s a b o u t t h e t y p i c a l h o p p i n g d i s t a n c e a n d t y p i c a l h o p p i n g e n e r g y a s a f u n c t i o n o f t e m p e r a t u r e . W i t h r e l a t i o n t o t h i s p o i n t , we h a v e c o m p a r e d t h e r e s u l t s o f o u r n u m e r i c a l s i m u l a t i o n s t o a s i m p l e p l o t b a s e d o n e q u a t i o n ( 8 ) . We r e p l a c e d r . . b y 1.2 r ( w h i c h i s i n a c c o r d w i t h t h e i j s - s r - p e r c o l a t i o n p r o b l e m ) a n d p l o t t e d A n ( R ? \ ) v s . t " " 1 / 3 f o r v a r i o u s v a l u e s o f a n d ( s e e e q u a t i o n s ( 9 ) a n d ( 1 0 ) a s w e l l ) . I n F i g . 6, we c o m p a r e o n e s u c h p l o t t o t h e a v e r a g e f o r t h e 2 0 0 0 - s i t e s y s t e m s . T h e R ^ - c u r v e a g r e e s w e l l w i t h t h e n u m e r i c a l r e s u l t s a t h i g h e r t b u t d e v i a t e s s u b s t a n t i a l l y a t l o w e r t . T h e f i g u r e i n d i c a t e s t h a t , i f we t h i n k i n t e r m s o f a s i n g l e r e s i s t o r d o m i n a t i n g , we h a v e n e a r e s t n e i g h b o r h o p p i n g d o w n t o t » 0 . 0 7 b u t f o r l o w e r t e m p e r a t u r e s , t h e v a l u e s o f e ^ , a n d r ^ . e n t e r i n g t h e t y p i c a l r e s i s t a n c e R ^ v a r y w i t h t e m p e r a t u r e , c o r r e s p o n d i n g t o h o p s o f l a r g e r r a n g e . C o m p a r i n g F i g s . 4 a n d 6, we s e e t h a t , f o r t h e 2 0 0 0 - s i t e s y s t e m s , e s s e n t i a l l y a l l o f t h e t e m p e r a t u r e r a n g e f o r w h i c h A n I i s l i n e a r i n t - 1 i s a n e a r e s t - n e i g h b o r h o p p i n g r e g i m e . M o r e o v e r , F i g . 6 i n d i c a t e s t h a t , f o r t h e 2 0 0 0 - s i t e s y s t e m s , V R H s h o u l d b e s e e n i n a t e m p e r a t u r e r a n g e f o r w h i c h t < 0 . 0 7 . F i g . 2 i n d i c a t e s t h i s t o b e s o . A f u l l e r u n d e r s t a n d i n g o f t h e s h a p e o f t h e A n l ( t ) v s . t - 1 ' ' 3 c u r v e i s o b t a i n e d v i a t h e a n a l y t i c t h e o r y we h a v e d e v e l o p e d t o c a l c u l a t e t h e o v e r a l l r e s i s t a n c e o f t h e r e s i s t o r n e t w o r k ( 8 ) . I n t h e n e x t p a p e r i n t h i s s e r i e s , w e r e p o r t t h e a n a l y t i c t h e o r y a n d c o m p a r e t h e r e s u l t s f o r o u r t h e o r y t o t h e n u m e r i c a l r e s u l t s p r e s e n t e d h e r e . - 63 -F i g . 6: Comparison of average current for the 2000-site systems (•) and fC\ (equation (8)) with r . . - 1.2 r g _ s , Cj - 0.225, e. - -0.225. - 64 -' A C K N O W L E D G M E N T S We w i s h t o t h a n k P e t e r C.W. H o l d s w o r t h f o r m a n y u s e f u l d i s c u s s i o n s , M a t t h e w C h o p t u i k , J i m G l o s l i a n d T o m N i c o l f o r a s s i s t a n c e w i t h c o m p u t a t i o n a l d e t a i l s , D a n Z i m m e r m a n f o r m a n y u s e f u l d i s c u s s i o n s a n d N e b D u r i c f o r s u p p l y i n g t h e x2 m i n i m i z a t i o n r o u t i n e . T h i s w o r k w a s s u p p o r t e d f i n a n c i a l l y b y N S E R C O p e r a t i n g G r a n t A 7 1 3 a n d b y t h e G r a d u a t e S t u d e n t F e l l o w s h i p P r o g r a m m e a t U B C . - 65 -R E F E R E N C E S * P r e s e n t a d d r e s s : D e p a r t m e n t o f P h y s i c s , D a l h o u s i e U n i v e r s i t y , H a l i f a x , N . S . , C A N A D A B 3 H 3 J 5 1 N . F . M o t t , J . N o n - C r y s t . S o l i d s J _ , 1 ( 1 9 6 8 ) ; P h i l o s . M a g . _19_, 8 3 5 ( 1 9 6 9 ) . 2 V . A m b e g a o k a r , B . I . H a l p e r i n a n d J . S . L a n g e r , P h y s . R e v . B 4_, 2 6 1 2 ( 1 9 7 1 ) . 3 M . P o l l a k , J . N o n - C r y s t . S o l i d s U_, 1 ( 1 9 7 2 ) . L M. O r t u n o a n d M. P o l l a k , P h i l o s . M a g . B 4 7 , L 9 3 ( 1 9 8 3 ) . 5 P . V i s c o r , P h y s . R e v . B 2 8 , 9 2 7 ( 1 9 8 3 ) . ^ N . M a l o u f i , A. A u d o u a r d , M. P i e c u c h a n d G. M a r c h a l , P h y s . R e v . L e t t . 5 6 , 2 3 0 7 ( 1 9 8 6 ) . 7 M . B e n z a q u e n a n d D. W a l s h , P h y s . R e v . B 3 0 , 7 2 8 7 ( 1 9 8 4 ) . g M. B e n z a q u e n , K. M a z u r u k , D. W a l s h a n d M.A. d i F o r t e - P o i s s o n , J . P h y s . C 1 8 , L 1 0 0 7 ( 1 9 8 5 ) . 9 A. M i l l e r a n d E . A b r a h a m s , P h y s . R e v . 1 2 0 , 7 4 5 ( 1 9 6 0 ) . ^ A d e r i v a t i o n o f t h i s f o r m o f R. . m a y b e f o u n d e i t h e r i n B . I . S h k l o v s k i i a n d A . L . E f r o s , E l e c t r o n i c P r o p e r t i e s o f D o p e d S e m i c o n d u c t o r s ( S p r i n g e r - V e r l a g , B e r l i n , 1 9 8 4 ) , p p . 8 2 - 8 8 , o r i n M.R.A. S h e g e l s k i , P h . D . t h e s i s ( u n p u b l i s h e d ) ; t h i s f o r m o f R „ d i f f e r s s l i g h t l y f r o m t h e f o r m d e r i v e d b y M i l l e r a n d A b r a h a m s . - 66 -^See, for example, B.I. Shklovskii and A.L. Efros, E l e c t r o n i c Properties of  Doped Semiconductors (Springer-Verlag, B e r l i n , 1984), pp. 130-136, 204-207. 12 M. Pollak, M.L. Knotek, H. Kurtzman and H. Glick, Phys. Rev. Lett. 30.» 8 5 6 (1973). 1 3C.H. Seager and G.E. Pike, Phys. Rev. B 10, 1435 (1974). 14 D. Walsh, private communication. 1 5R. Jones and W. Schaich, J. Phys. C _5. 43 (1972). ^ B . I . Shklovskii and A.L. Efros, E l e c t r o n i c Properties of Doped Semiconductors (Springer-Verlag, B e r l i n , 1984), p. 206. ^O.V. Emel'yanenko, D.N. Nasledov, E.I. Nik u l i n and I.N. Timchenko, F i z . Tekh. Poluprov. 6_, 2283 (1972) [Sov. Phys. Semicond. 6, 1926 (1973)]. 18 F.R. A l l e n and C.J. Adkins, P h i l o s . Mag. 26, 1027 (1972). 19 F.R. A l l e n , R.H. Wallis and C.J. Adkms, Proceedings of the 5th  International Conference on Amorphous Liquid Semiconductors, edited by J . Stuke and W. Brenig (Taylor and Francis, London, 1974), p. 895. 20 I.S. Shlimak and E.I. N i k u l i n , Zh. Eksp. Theor. F i z . P i s . Red. J_5, 30 (1972) [JETP L e t t . 15_, 20 (1972)]. 21 N.G. Yaremenko, F i z . Tekh. Poluprov. 9_, 840 (1975) [Sov. Phys. Semicond. 2, 554 (1975)]. 22W.N. Shafarman and T.G. Castner, Phys. Rev. B _33_, 3570 (1986). 2 3H. F r i t z s c h e , P h i l o s . Mag. b 42, 835 (1980). 24 0. V. Emel'yanenko, T.S. Lagunova, D.N. Nasledov, D.D. Nedeoglo and 1. N. Timchenko, F i z . Tekn. Poluprov. 7_, 1919 (1973) [Sov. Phys. Semicond. 7, 1280 (1974)]. - 6 7 -2 5 O.V. E m e l ' y a n e n k o , K . G . M a s a g u t o r , D.N. N a s l e d o v a n d I . N . T i m c h e n k o , F i z . T e k n . P o l u p r o v . 9_, 5 0 3 ( 1 9 7 5 ) [ S o v . P h y s . S e m i c o n d . 9_, 3 3 0 ( 1 9 7 5 ) ] . 2 6 H . K a h l e r t a n d G. L a n d w e h r , Z. P h y s i k B 2 4 , 3 6 1 (1976). 2 7 D. L e m o m e , C. P e l l e t i e r , S. R o l l a n d a n d R. G r a n g e r , P h y s . L e t t . A 5 6 , 497 (1976). 2 8 S e e , f o r e x a m p l e , B . I . S h k l o v s k i i a n d A . L . E f r o s , E l e c t r o n i c P r o p e r t i e s o f  D o p e d S e m i c o n d u c t o r s ( S p r i n g e r - V e r l a g , B e r l i n , 1984), p p . 1 3 7 - 1 4 0 . 2 9 D.S. K e r s h a w , J . C o m p u t . P h y s . 26.» 4 3 (1978). 3 0 B . I . S h k l o v s k i i a n d A . L . E f r o s , E l e c t r o n i c P r o p e r t i e s o f D o p e d  S e m i c o n d u c t o r s ( S p r i n g e r - V e r l a g , B e r l i n , 1984), p p . 1 3 4 - 1 3 6 , 2 2 2 - 2 2 4 . 3 1 A . B . F o w l e r a n d A. H a r t s t e i n , P r o c e e d i n g s o f t h e 2 n d I n t e r n a t i o n a l  C o n f e r e n c e o n t h e E l e c t r o n i c P r o p e r t i e s o f T w o - D i m e n s i o n a l S y s t e m s , e d i t e d b y J . F . K o c h a n d G. L a n d w e h r ( W u r z b u r g : T h e U n i v e r s i t y , 1 9 7 7 ) , p . 2 7 . 3 2 A . B . F o w l e r a n d A . H a r t s t e i n , P h i l o s . M a g . B 42_, 9 4 9 ( 1 9 8 0 ) . 3 3 K . J . H a y d e n a n d P . N . B u t c h e r , P h i l o s . M a g . B 3 8 , 6 0 3 ( 1 9 7 8 ) . 3 4 H . O v e r h o f , F e s t k o r p e r p r o b l e m e X V I , 2 3 9 ( 1 9 7 6 ) . - 6 8 -H o p p i n g c o n d u c t i v i t y i n l i g h t l y d o p e d s e m i c o n d u c t o r s - I I : T w o - d i m e n s i o n a l a n a l y t i c t h e o r y a t h i g h t e m p e r a t u r e s M a r k R . A . S h e g e l s k i * a n d R o b e r t B a r r i e D e p a r t m e n t o f P h y s i c s , U n i v e r s i t y o f B r i t i s h C o l u m b i a , V a n c o u v e r , B . C . , C A N A D A V 6 T 2 A 6 A b s t r a c t I n a p r e v i o u s p a p e r , we p e r f o r m e d a n u m e r i c a l s i m u l a t i o n o f a t w o - d i m e n s i o n a l l i g h t l y d o p e d s e m i c o n d u c t o r . We c h o s e a f l a t d e n s i t y o f s t a t e s w i t h w i d t h A e a n d m o d e l l e d t h e s e m i c o n d u c t o r a s a M i l l e r a n d A b r a h a m s t y p e r e s i s t o r n e t w o r k . I n t h i s p a p e r , we a g a i n d e t e r m i n e t h e o v e r a l l r e s i s t a n c e o f t h e r e s i s t o r n e t w o r k , b u t t h i s t i m e b y d e v e l o p i n g a n a n a l y t i c t h e o r y . A s b e f o r e , we u s e t h e f u l l f o r m o f t h e r e s i s t a n c e a n d d o n o t t a k e t h e l o w t e m p e r a t u r e a s y m p t o t i c f o r m b e c a u s e we a r e i n t e r e s t e d i n k T t e m p e r a t u r e s w h e r e t h e r e d u c e d t e m p e r a t u r e t = i s o f o r d e r u n i t y . We u s e p e r c o l a t i o n t h e o r y t o o b t a i n a s e t o f e q u a t i o n s w h i c h s p e c i f y t h e o v e r a l l r e s i s t a n c e R ( t ) o f t h e n e t w o r k a s a f u n c t i o n o f t . T h i s t h e o r e t i c a l r e s u l t f o r R ( t ) d e p e n d s o n t h e f o r m c h o s e n f o r t h e t e m p e r a t u r e d e p e n d e n c e o f t h e c r i t i c a l n u m b e r B ( t ) o f b o n d s ( r e s i s t o r s ) p e r s i t e r e q u i r e d f o r c p e r c o l a t i o n . We o b t a i n a g r e e m e n t b e t w e e n t h e a n a l y t i c t h e o r y a n d t h e - 69 -n u m e r i c a l s i m u l a t i o n b y c h o o s i n g a v e r y r e a s o n a b l e f o r m f o r B c ( t ) f o r t o f o r d e r u n i t y ; t h i s f o r m f o r B c ( t ) i s i n a c c o r d w i t h t h e h i g h t l i m i t a n d t h e l o w t a s y m p t o t i c f o r m o f B^Ct). I n p a r t i c u l a r , we c o n f i r m t h e r e s u l t o f o u r e 3 / k T n u m e r i c a l s i m u l a t i o n t h a t t h e r e e x i s t s a t - r a n g e w h e r e R ( t ) = R Q e , w i t h e 3 = 0 . 2 8 A e . T h e a n a l y t i c t h e o r y a l s o p r o v i d e s u s w i t h t h e t e m p e r a t u r e d e p e n d e n c e s o f t h e t y p i c a l h o p p i n g d i s t a n c e a n d t h e t y p i c a l e n e r g y a s s o c i a t e d w i t h a h o p i n t h e t e m p e r a t u r e r a n g e w h e r e t i s o f o r d e r u n i t y . P A C S n u m b e r s : 7 2 . 2 0 . - i - 7 0 -I . I n t r o d u c t i o n V a r i a b l e r a n g e h o p p i n g ( V R H ) i n d i s o r d e r e d s y s t e m s , s u c h a s a m o r p h o u s s e m i c o n d u c t o r s o r d o p e d s e m i c o n d u c t o r s , i s c h a r a c t e r i z e d b y a c o n d u c t i v i t y a o f t h e f o r m - ( T / T ) 1 / 1 + a = a Q e ^ 0 , U , ( 1 . 1 ) 1 2 3 w h e r e a Q d e p e n d s w e a k l y o n t h e t e m p e r a t u r e T. M o t t a n d o t h e r s ' , b y a s s u m i n g a d e n s i t y o f s t a t e s f l a t i n t h e v i c i n i t y o f t h e F e r m i l e v e l , h a v e p r o v i d e d t h e o r e t i c a l d e r i v a t i o n s o f e q u a t i o n ( 1 . 1 ) , f i n d i n g T 0 = , ( 1 . 2 ) k § F a w h e r e C i s a d i m e n s i o n l e s s c o n s t a n t a p p r o x i m a t e l y e q u a l t o 2 0 , k i s B o l t z m a n n ' s c o n s t a n t , g^, i s t h e d e n s i t y o f s t a t e s a t t h e F e r m i l e v e l a n d a i s t h e e l e c t r o n l o c a l i z a t i o n l e n g t h . 4 I n a p r e v i o u s p a p e r , h e r e a f t e r r e f e r r e d t o a s [ I ] , we r e p o r t e d t h a t t h e r e e x i s t e x p e r i m e n t a l r e s u l t s ^ ' ^ s h o w i n g u n e q u i v o c a l V R H i n l i g h t l y d o p e d s e m i c o n d u c t o r s ( L D S s ) a n d t h a t t h i s e x p e r i m e n t a l V R H h a s a t p r e s e n t n o s u i t a b l e t h e o r e t i c a l e x p l a n a t i o n . T h e e x p e r i m e n t a l V R H w a s o b s e r v e d i n a t e m p e r a t u r e r a n g e w e l l a b o v e t h e t e m p e r a t u r e r a n g e w h e r e e x i s t e n t t h e o r i e s p r e d i c t V R H a n d t h e e x p e r i m e n t a l T v a l u e s w e r e f o u n d t o b e m u c h s m a l l e r t h a n t h e t h e o r e t i c a l v a l u e s . - 71 -T h i s p a p e r r e p r e s e n t s t h e s e c o n d o f f o u r s e q u e n t i a l i n v e s t i g a t i o n s w h i c h c o m p r i s e a p r o g r a m d e s i g n e d t o u n d e r s t a n d t h e s e e x p e r i m e n t a l r e s u l t s . T h e p r o g r a m i s b a s e d o n t h e r e s i s t o r n e t w o r k m o d e l o f a L D S , w h i c h w a s p r e s e n t e d i n [ l ] . I n t h i s m o d e l , t h e L D S i s r e p l a c e d b y a n e t w o r k o f r e s i s t o r s . E v e r y p a i r o f d o n o r s i n t h e L D S i s m a p p e d i n t o a r e s i s t o r R^^. I n [ I ] , we p e r f o r m e d a n u m e r i c a l s i m u l a t i o n i n t w o d i m e n s i o n s t o c a l c u l a t e t h e o v e r a l l r e s i s t a n c e o f t h e n e t w o r k . T o s i m p l i f y m a t t e r s , we t o o k t h e n u m b e r d e n s i t y n ^ o f d o n o r s t o b e t w i c e t h e n u m b e r d e n s i t y n ^ o f a c c e p t o r s , w h i c h s i m p l i f i e d t h e c h e m i c a l p o t e n t i a l (i t o |i = | i - k T A.TI2. We c h o s e a f l a t d e n s i t y o f s t a t e s w i t h b a n d w i d t h A e a n d t o o k \i = 0. T h e r e s i s t o r n e t w o r k s i m p l i f e d t o . . = R,, f ( E . , E .) X T ^ e i j ^ i .1 i j X. . i . l ( 1 . 3 ) w h e r e RQ w a s a c o n s t a n t r e s i s t a n c e a n d E . -E . E . - E . f ( E . , E . ) = 1 ,1 ( 1 + e 1 ) ( l + e J ) ( e J X - l ) ( 1 . 4 ) E . - E . J i I t I A e ' A e i j ( 1 . 5 ) w h e r e E . > E . . S i n c e t w a s o f o r d e r u n i t y , we d i d n o t m a k e t h e u s u a l - 72 -s i m p l i f i c a t i o n a n d r e p l a c e t h e b y t h e i r l o w t e m p e r a t u r e a s y m p t o t i c f o r m . I n t h i s p a p e r , we a g a i n c a l c u l a t e t h e o v e r a l l r e s i s t a n c e o f t h e r e s i s t o r n e t w o r k ( 1 . 3 ) , b u t t h i s t i m e a n a l y t i c a l l y . I n S e c . I I , w e f o r m u l a t e t h e c a l c u l a t i o n i n t e r m s o f a p e r c o l a t i o n p r o b l e m . A l t h o u g h t h e c a l c u l a t i o n i s c o n c e p t u a l l y s i m p l e , i t i s r a t h e r i n v o l v e d . We t h e r e f o r e o b t a i n t h e n e c e s s a r y s e t o f e q u a t i o n s s t e p b y s t e p i n S e e s . I l l t h r o u g h V I , s u m m a r i z i n g i n S e c . V I I . O u r c a l c u l a t i o n r e q u i r e s a k n o w l e d g e o f t h e t e m p e r a t u r e d e p e n d e n c e o f t h e n u m b e r o f b o n d s ( r e s i s t o r s ) p e r s i t e B c ( t ) r e q u i r e d f o r p e r c o l a t i o n . I n S e c . V I I I , w e d i s c u s s h o w we c h o o s e a f o r m f o r B ( t ) . We s h o w i n S e c . I X t h a t o u r a n a l y t i c t h e o r y r e s u l t s a r e i n g o o d a g r e e m e n t w i t h t h e n u m e r i c a l r e s u l t s we p r e s e n t e d i n [ I ] . We s u m m a r i z e o u r r e s u l t s i n S e c . X . I n a n a p p e n d i x , w e o u t l i n e a m u c h s i m p l i f i e d v e r s i o n o f o u r t h e o r y w h i c h c a n b e u s e d m o r e e a s i l y a n d g i v e s r e s u l t s w i t h i n a f e w p e r c e n t o f t h e m o r e e x a c t t h e o r y . - 73 -I I . Formulation as a P e r c o l a t i o n Problem In t h i s paper, we describe an a n a l y t i c approach which enables us to determine the o v e r a l l r e s i s t a n c e of the r e s i s t o r network given by equation (1.3). The basic method un d e r l y i n g our theory i s the p e r c o l a t i o n method 7. In the p e r c o l a t i o n method, one imagines removing a l l of the r e s i s t o r s except those which s a t i s f y R. . < R. e^ ( I I . 1) for some a r b i t r a r i l y chosen value of E. The remaining network of r e s i s t o r s w i l l p e r c o l a t e only i f £ i s equal to or exceeds a c r i t i c a l value E, . According to p e r c o l a t i o n theory, the o v e r a l l c o n d u c t i v i t y a of the o r i g i n a l network i s given by a = c 0 e C , ( I I . 2 ) where 0 n depends only weakly on the temperature t . Combining equation (1.3) for R^. with the i n e q u a l i t y ( I I . 1) gives X. . f(E.,E.) X.."2 e 1 J < e^. ( I I . 3 ) Our o b j e c t i v e i s to f i n d the c r i t i c a l value E^ of E. for which the network of - 74 -r e s i s t o r s s p e c i f i e d b y i n e q u a l i t y ( I I . 3 ) j u s t p e r c o l a t e s . S i n c e t h e E ^ a n d E j i n i n e q u a l i t y ( I I . 3 ) i n v o l v e t h e t e m p e r a t u r e t , E ^ w i l l b e a f u n c t i o n o f t . O n c e we k n o w E ^ ( t ) , we h a v e , v i a e q u a t i o n ( I I . 2 ) , t h e d o m i n a n t t e m p e r a t u r e d e p e n d e n c e o f t h e o v e r a l l c o n d u c t i v i t y a. T o d e t e r m i n e £^(0, w e b e g i n b y r e c o g n i z i n g t h a t i n e q u a l i t y ( I I . 3 ) s p e c i f i e s , i n t e r m s o f E , w h i c h p a i r s o f s i t e s w i l l b e c o n n e c t e d b y a r e s i s t o r . A s s u c h , we c a n d e t e r m i n e ? c ( t ) b y p r o c e e d i n g a s f o l l o w s . We i m a g i n e c h o o s i n g a s i t e a t r a n d o m . T h e p r o b a b i l i t y t h a t t h e r e w i l l b e a n o t h e r s i t e b e t w e e n X a n d X + d X a w a y f r o m t h e c h o s e n s i t e i s w h e r e p g i s t h e n u m b e r o f s i t e s p e r u n i t a r e a . G i v e n t h a t t h e r e i s i n d e e d a s i t e b e t w e e n X a n d X + d X a w a y f r o m t h e c h o s e n s i t e , l e t p ( X ; £ ) d e n o t e t h e p r o b a b i l i t y t h a t t h e e n e r g i e s o f t h e t w o s i t e s a r e s u c h t h a t t h e t w o s i t e s a r e c o n n e c t e d . We w i l l u s e i n e q u a l i t y ( I I . 3 ) t o d e t e r m i n e p ( X ; E ) . O n c e we k n o w p ( X ; E ) , we c a n e a s i l y c a l c u l a t e t h e a v e r a g e n u m b e r B ( £ ) o f r e s i s t o r s , o r " b o n d s " , t h a t a r e c o n n e c t e d t o a s i t e . B y B ( E , ) , we m e a n t h e r a t i o o f t w i c e t h e t o t a l n u m b e r o f r e s i s t o r s a d m i t t e d b y i n e q u a l i t y ( I I . 3 ) t o t h e t o t a l n u m b e r o f s i t e s . I t i s c l e a r t h a t p ( X ) = j P g a 2 X d X , ( I I . 4 ) B(5) - f P s a 2 J X p ( X ; E ) d X , ( I I . 5 ) where X . (£) and X (£) are, r e s p e c t i v e l y , the c l o s e s t and f a r t h e s t apart mm max J v two s i t e s can be i n accordance with i n e q u a l i t y ( I I . 3 ) . I f we know X . ( E ) , mm Xmax^)" and p(X;£), we can get E. ( t ) . The way to do so i s to note that i f B(£) i s too s m a l l , there w i l l be no p e r c o l a t i o n ; p e r c o l a t i o n w i l l occur, at temperature t , only i f B(E.) > ft^(t), where B ^ t ) i s the c r i t i c a l number of bonds per s i t e r e q u i r e d f or p e r c o l a t i o n at temperature t . S o l v i n g B(E) = B ( t ) (II. 6 ) c w i l l give us £ ( t ) . c We w i l l turn next to a d i s c u s s i o n of how to determine X . ( E ) , X (E) mm max and p(X;E). We w i l l see that c a l c u l a t i n g p(X;E) i s an involved process. Several equations i n v o l v i n g E w i l l need to be considered. Although the c a l c u l a t i o n of £ , as o u t l i n e d above, i s a c o n c e p t u a l l y simple task, there are many d e t a i l s i n v o l v e d ; the reader w i l l a ppreciate that the forthcoming c a l c u l a t i o n i s n e c e s s a r i l y q u i t e complicated. To make the reading e a s i e r , we have s p l i t the paper i n t o short s e c t i o n s . A f t e r we have derived a l l the equations required to c a l c u l a t e £ c(t) given B ( t ) , we w i l l describe how B^Ct) may be s p e c i f i e d . - 76 -I I I . X . (I) a n d X ( £ ) m i n m a x I t w i l l b e h e l p f u l t o i n t r o d u c e a q u a n t i t y b = E . - E . a n d t o w o r k w i t h J i t h e t h r e e v a r i a b l e s E ^ , E ^ a n d b e v e n t h o u g h o n l y t w o o f t h e m a r e i n d e p e n d e n t . R e w r i t i n g f ( E ^ , E ^ ) i n t e r m s o f b a n d E ^ g i v e s f ( b , E . ) = 2 ( « £ J L b - + s i n h ^ b / 2 ) c Q s h ( E _ _ b } ) _ R e c a l l i n g t h a t E . < E . a n d - < E . < y~-, we s e e t h a t t h e r e g i o n o f t h e 1 j J ^ c E ^ E J p l a n e i n w h i c h we a r e i n t e r e s t e d i s t h e t r i a n g l e f o r m e d b y t h e l i n e s E ^ = - • — , E j = y^-, b = 0 ( s e e F i g . 1 ) . We w i l l r e f e r t o t h i s r e g i o n , f r o m h e r e o n i n , s i m p l y a s " t h e t r i a n g l e " . F r o m e q u a t i o n ( I I I . 1 ) , we s e e t h a t f ( b , E . ) i s s y m m e t r i c a l a b o u t t h e l i n e E . = - E . o r E . = \ . M o r e o v e r , f ( b , E . ) J J i J 2 J i n c r e a s e s a l o n g a l i n e o f f i x e d b a s w e m o v e a w a y f r o m E ^ = — . F i n a l l y , f ( b , E j ) i n c r e a s e s a l o n g t h e l i n e E ^ = y a s we m o v e a w a y f r o m t h e o r i g i n . We s e e t h e n t h a t t h e m i n i m u m v a l u e o f f ( E . , E . ) i s 4, w h i c h o c c u r s w h e n E . = E . = 0. T h i s i m p l i e s , v i a i n e q u a l i t y ( I I . 3 ) , t h a t X ^ i s r e s t r i c t e d a c c o r d i n g t o X. X. . - 2 e i j < f el. ( I I I . 2 ) P r o v i d e d E. > 2 , t h e i n e q u a l i t y ( i l l . 2 ) i s s a t i s f i e d f o r X ^ s u c h t h a t - 77 -F i g . 1: The t r i a n g l e and the boundary curve. The t r i a n g l e i s the region s p e c i f i e d by - - i j - < E. < - i p - < < E £ < E j . The boundary curve i s symmetrical about the l i n e E j • -E^ (dashed l i n e ) . The q u a n t i t i e s b , E , E.°, associated with the ^ max j 'max j ' boundary curve, are described i n the t e x t . - 78 -X . < X,. < X , w h e r e X . a n d X a r e t h e t w o s o l u t i o n s o f X 2 e = 4 m m 1 j m a x m m m a x ( X . < 2 a n d X > 2 ) . R e c a l l t h a t X . . = 2 c o r r e s p o n d s t o t w o s i t e s a m m m a x i j r d i s t a n c e a a p a r t . B e c a u s e i t i s u n r e a s o n a b l e t o b e t h i n k i n g , i n t h e c a s e o f l i g h t l y d o p e d s e m i c o n d u c t o r s , i n t e r m s o f l o c a l i z e d e l e c t r o n i c s t a t e s w i t h 9 X c e n t e r s l e s s t h a n a b o u t a a p a r t , a n d s i n c e t h e f u n c t i o n X _ z e i s m i n i m i z e d a t X = 2, we t a k e X . (5 ) E 2 f o r a l l I > 2 a n d 2 < X.. < X ( £ ) , w h e r e m i n i j m a x X ( £ ) i s g i v e n b y m a x X 2 / X m a x = 4 < (III.3) m a x E q u a t i o n ( I I . 5 ) r e d u c e s t o X m a x B(£) = j p s a 2 / X p ( X ; £ ) d X . ( I I I . 4 ) H e r e a f t e r , we s h a l l a l w a y s t a k e E > 2 a n d 2 < X < X m a x - 79 -I V . T h e B o u n d a r y C u r v e We w a n t t o e v e n t u a l l y o b t a i n a n e x p r e s s i o n f o r p ( X ; E ) . We b e g i n b y o b s e r v i n g t h a t , a c c o r d i n g t o i n e q u a l i t y ( I I . 3 ) , t w o s i t e s s e p a r a t e d b y a d i s t a n c e X w i l l b e c o n n e c t e d o n l y i f t h e i r " e n e r g i e s " E . a n d E . s a t i s f y i J f ( E . , E . ) < X 2 e C _ X . ( I V . 1) i J T h i s m e a n s t h a t E ^ a n d E ^ m u s t l i e n o t o n l y w i t h i n " t h e t r i a n g l e " b u t a l s o w i t h i n a " b o u n d a r y c u r v e " g i v e n b y f ( b , E . ) = X 2 e ? X . ( I V . 2) F o r a g i v e n X a n d £> e q u a t i o n ( I V . 2 ) s p e c i f i e s E ^ i n t e r m s o f b . We d e n o t e t h i s r e l a t i o n s h i p b y E * ? ( X ; E ) o r , s o a s t o a v o i d c l u t t e r i n n o t a t i o n , s i m p l y b y E j k ' We c a l l t h e r e l a t i o n s h i p E^* b e t w e e n E ^ a n d b t h e " b o u n d a r y c u r v e " . F r o m e q u a t i o n s ( I I I . 1 ) a n d ( I V . 2 ) , . r „ b b ^ _ b/2 f X 2 e ^ ~ X s i n h b ^ ° s h ^ . i " V - s i n h ( b / 2 ) ( 2 — ( l V - 3 ) A s o l u t i o n f o r E e x i s t s p r o v i d e d 0 < b < b , w h e r e j m a x - 8 0 -s i n h b s i n h ( b / 2 ) v 2 £ - x m a x . m a x X*1 e m a x b 12 m a x ( I V . 4 ) b m a x i . e . : a s b -*• b , E . — r — . N o t e t h a t b d e p e n d s o n X a n d E . A s m a x j 2 m a x b •> 0, E . b E .° w h e r e J J c o s h E . = J X 2 e ^ X - 1. ( I V . 5 ) T h u s , a s s h o w n i n F i g . 1, t h e b o u n d a r y c u r v e g o e s f r o m E ^ = E ^ = E ^ w h e n m a x w h e n b = b . O n e c a n r e a d i l y s h o w t h a t t h e b = 0 t o E . = - E . = „ j l 2 m a x 0 E b s l o p e a ^ o f t h e b o u n d a r y c u r v e a p p r o a c h e s - 1 a s b -*• 0 a n d a p p r o a c h e s O E . 1 b b +1 a s b + b . T h i s i m p l i e s t h a t E . h a s a m a x i m u m v a l u e , d e n o t e d E . ) , m a x j j 'max a t s o m e v a l u e o f b b e t w e e n 0 a n d b . T h i s p a r t i c u l a r v a l u e o f b a n d m a x E . k ) a r e f o u n d b y s i m u l t a n e o u s l y s o l v i n g e q u a t i o n ( I V . 3 ) a n d t h e e q u a t i o n 3 ' m a x 5 E . b 5 b ^ — = 0, w h i c h i s x 2 E - X ' h b b b b b b ( 1 — n , — ) ( s i n h y ~ y c o s h y ) + s i n h -=( s i n h b - b c o s h b ) + b s i n n 2 — s i n h ( E . ~ "T ) = 0. ( I V . 6 ) S u m m a r i z i n g , t h e e s s e n t i a l f e a t u r e s o f t h e b o u n d a r y c u r v e , a l l o f w h i c h - 81 -0 E . B a r e d i s p l a y e d i n F i e . 1, a r e a s f o l l o w s . E . = E . = E . ° a n d ^ j = - 1 a t i i i o E . l o b b = 0 w h e r e E ^ i s g i v e n b y e q u a t i o n ( I V . 5 ) ; a s b i n c r e a s e s , E^ i n c r e a s e s u n t i l , a t a v a l u e o f b d e t e r m i n e d b y e q u a t i o n s ( I V . 3 ) a n d ( I V . 6 ) , E . r e a c h e s a m a x i m u m v a l u e E . b ) a l s o d e t e r m i n e d b y e q u a t i o n s ( I V . 3 ) a n d j ' m a x ( I V . 6 ) ; b c a n f u r t h e r i n c r e a s e t o a m a x i m u m v a l u e b g i v e n b y e q u a t i o n m a x J b m a x & E ' b ( I V . 4 ) , w h e r e E . = - E . = m f X a n d .I = + 1 . T h e b o u n d a r y c u r v e i s j I 2 S E . 3 I b s y m m e t r i c a l a b o u t t h e l i n e E . = -E .. O n e c a n a l s o s h o w t h a t E . > —i— : J 1 J 2 t h e v a l u e o f E . b a t b = 0 e x c e e d s t h e v a l u e o f E . b a t b = b ( w e r e f e r j j m a x h e r e t o t h e p o s i t i v e v a l u e o f E . ° w h i c h s a t i s f i e s e q u a t i o n ( I V . 5 ) ) . J - 8 2 -V . E x p r e s s i o n s f o r p ( X ; E ) B a s e d o n t h e a b o v e d i s c u s s i o n o f t h e s a l i e n t f e a t u r e s o f t h e b o u n d a r y c u r v e E j k > we m a y p r o c e e d t o w r i t e d o w n a n e x p r e s s i o n f o r p ( X ; E , ) . A f l a t d e n s i t y o f s t a t e s i m p l i e s t h a t t h e p r o b a b i l i t y t h a t o n e s i t e h a s e n e r g y E ^ a n d t h e o t h e r E . i s t h e s a m e f o r a l l v a l u e s o f t h e p a i r E . , E . t h a t l i e J i J w i t h i n t h e t r i a n g l e . T h i s m e a n s t h a t p ( X ; E . ) i s s i m p l y t h e f r a c t i o n o f t h e a r e a o f t h e t r i a n g l e w h i c h i s e n c l o s e d b y t h e b o u n d a r y c u r v e . D e p e n d i n g o n t h e v a l u e s o f X , £ a n d t , t h e b o u n d a r y c u r v e w i l l b e p o s i t i o n e d r e l a t i v e t o t h e t r i a n g l e i n o n e o f f o u r p o s s i b l e a r r a n g e m e n t s , a s d i s p l a y e d i n F i g . 2 . We d i s c u s s e a c h o f t h e s e a r r a n g e m e n t s i n t u r n . ( i ) T h e b o u n d a r y c u r v e m a y b e w h o l l y i n s i d e t h e t r i a n g l e . I n t h i s c a s e , p ( X ; C ) = K O , b ) ( V . l ) m a x w h e r e I<b 1 (b a> , te* db ^[si2'lm ( ^ - f ^ - ^ ) ] - <V.2) ( i i ) T h e b o u n d a r y c u r v e c a n c u t t h r o u g h t h e t r i a n g l e a t t w o v a l u e s o f b . T h i s o c c u r s w h e n E . b l > a n d E .° < T h e t w o v a l u e s o f b a r e j ' m a x 2 t j 2 t d e n o t e d b . a n d b , w h e r e 0 < b . < b < b . p ( X ; g ) i s g i v e n , i n t e r m s o f - 83 -F i g . 2: Four p o s s i b l e r e l a t i v e p o s i t i o n s of the t r i a n g l e and the boundary curve, ( i ) The boundary curve l i e s completely i n s i d e the t r i a n g l e , ( i i ) The boundary curve cuts through the t r i a n g l e at two d i s t i n c t values of b = - E^. ( i i i ) The boundary curve cuts through the t r i a n g l e at one value of b. ( i v ) The boundary curve encloses the t r i a n g l e . - 8 4 -p ( X ; E ) = 1 ( 0 , b 0 ) + K b , ,b ) + 2 t ( b - b . ) - t 2 ( b 2 - b 2 ) . (V.3) x h max h i h X T h e e q u a t i o n w h i c h d e t e r m i n e s b ^ a n d b ^ i s o b t a i n e d b y p u t t i n g E = i n e q u a t i o n ( I V . 3 ) , a n d i s 2 c o s h (YJT - I") s i n h \ + s i n h b - \ X 2 e ^ " X = 0. (V.4) N o t e t h a t , l i k e b , b . a n d b, d e p e n d o n X a n d E , b u t b „ a n d b, a l s o m a x X h X h i n v o l v e t . ( i i i ) T h e b o u n d a r y c u r v e m a y c u t t h r o u g h t h e t r i a n g l e a t o n l y o n e v a l u e o f b . T h i s o c c u r s w h e n E . ° > \— a n d b < 7-. D e n o t i n g t h i s s i n g l e v a l u e j 2 t m a x t 0 0 o f b b y b ^ , we w r i t e p ( X ; E ) = I ( b , ,b ) + tb,(2-tb, ). (V.5) 1 m a x 1 l b ^ i s g i v e n b y e q u a t i o n ( V . 4 ) . ( i v ) I f t h e b o u n d a r y c u r v e w h o l l y e n c l o s e s t h e t r i a n g l e , t h e n p ( X ; E ) = 1. (V.6) T h i s o c c u r s w h e n b > m a x t T h e f i n a l s t e p i s t o u s e t h e a b o v e i n f o r m a t i o n t o c a l c u l a t e E £ a s a f u n c t i o n o f t . A l t h o u g h t h i s i s a c o n c e p t u a l l y s i m p l e t a s k , t h e r e a r e - 85 -several equations which are involved. To see t h i s , r e c a l l that £ c(t) i s determined by equations ( I I . 6 ) , ( I I I . 3 ) , and (III.4) with p(X;£) given by one of equations ( V . l ) , (V.3), (V.5) or (V.6). Equations ( V . l ) , (V.3) and (V.5) involve b , given by equation (IV.4), and possibly also either b nicix X and b^ or b^, given by equation (V.4). This i s not a l l , however, because the temperature t also comes into play: which of the four r e l a t i v e arrangements of the boundary curve and the t r i a n g l e are possible w i l l depend on the value of t. We turn next to a deta i l e d discussion of t h i s issue. - 86 -V I . T e m p e r a t u r e D e p e n d e n c e ; T h e E x t r e m a l B o u n d a r y C u r v e We w i s h t o e n s u r e t h a t t h e d i s c u s s i o n o f t h e t e m p e r a t u r e d e p e n d e n c e i s c l e a r . T o t h i s e n d , we p h r a s e t h e d i s c u s s i o n n o t i n t e r m s o f a n a r b i t r a r y v a l u e o f E , b u t i n t e r m s o f t h e c r i t i c a l v a l u e E ( t ) = E . c c We s t a r t b y o b s e r v i n g t h a t , f o r a g i v e n E ^ , t h e b o u n d a r y c u r v e E . b ( X , E ) c l o s e s i n o n t h e o r i g i n a s X i n c r e a s e s f r o m 2 t o X . F o r X = j c m a x X m a x ' t b e b o u n d a r y c u r v e c o l l a p s e s c o m p l e t e l y , w h e r e a s f o r X = 2, t h e b o u n d a r y c u r v e e n c l o s e s t h e m a x i m u m a r e a p o s s i b l e . We w i l l r e f e r t o t h e X = 2 b o u n d a r y c u r v e a s " t h e e x t r e m a l b o u n d a r y c u r v e " . A t l o w t e m p e r a t u r e , h o p p i n g w i l l o c c u r p r i m a r i l y b e t w e e n s i t e s w h o s e e n e r g y d i f f e r e n c e | e ^ - e ^ | i s c o m p a r a b l e t o k T . I f t i s v e r y s m a l l ( t << 1), t h e e x t r e m a l b o u n d a r y c u r v e m u s t l i e w e l l i n s i d e t h e t r i a n g l e . A s t h e t e m p e r a t u r e r i s e s , t h e t r i a n g l e b e c o m e s s m a l l e r . T h i s i n i t s e l f i s n o t i m p o r t a n t . W h a t i s i m p o r t a n t i s t h e r e l a t i o n b e t w e e n t h e e x t r e m a l b o u n d a r y c u r v e a n d t h e t r i a n g l e . I f t i s v e r y l a r g e ( t » 1), t h e n h o p p i n g w i l l o c c u r e s s e n t i a l l y j u s t b e t w e e n n e a r e s t n e i g h b o r s : t h e e n e r g y o f a s i t e w i l l b e u n i m p o r t a n t . T h u s , a s t i n c r e a s e s , t h e e x t r e m a l b o u n d a r y c u r v e w i l l m o v e o u t f r o m t h e o r i g i n a n d a p p r o a c h t h e t r i a n g l e — t h i s i s a r e l a t i v e s t a t e m e n t , b e c a u s e i t t u r n s o u t t h a t b o t h t h e t r i a n g l e a n d t h e e x t r e m a l b o u n d a r y c u r v e s h r i n k a s t i n c r e a s e s , b u t t h e f o r m e r s h r i n k s m o r e q u i c k l y w i t h i n c r e a s i n g t t h a n t h e l a t t e r . A s t i n c r e a s e s , t h e e x t r e m a l b o u n d a r y c u r v e w i l l a p p r o a c h t h e t r i a n g l e a n d w i l l e v e n t u a l l y , a t t = t , " t o p o u t " a n d j u s t t o u c h t h e t r i a n g l e . A s - 87 -such, when t < t , each boundary curve E. b(X:E ), where 2 < X < X , w i l l top 3 j c max' l i e wholly i n s i d e the t r i a n g l e , corresponding to case ( i ) of F i g . 2. When t = t , the point E.° of the extremal boundary curve l i e s below top' v j the top of the t r i a n g l e : E^° < y^ -. Increasing t w i l l e v e n t u a l l y b r i n g t h i s p oint up to the top of the t r i a n g l e . We c a l l t the value of t for which mid Ej° = At t = t m £ ( j » the point of the extremal boundary curve at b = . b D TT13.X b w i l l have E. = — r — and w i l l l i e below the top of the t r i a n g l e : max j 2 b . — 2 ~ - ^ 2t"» Increasing t w i l l e v e n t u a l l y r e s u l t i n t h i s point moving to the upper l e f t corner of the t r i a n g l e , t = - t j u n i s the temperature at which the extremal boundary curve j u s t f u l l y encloses the t r i a n g l e . Now we need to discus s the various boundary curves which correspond to values of X exceeding 2. R e c a l l t h a t , as X increases from 2 to X , the max boundary curve closes toward the o r i g i n . For t < t , each boundary curve for each X such that 2 < X < X top max w i l l l i e wholly w i t h i n the t r i a n g l e , corresponding to case ( i ) . When t < t < t .,, there i s a range of X, X < X < X , where the boundary top mid top max 3 curve l i e s wholly i n s i d e the t r i a n g l e . X^ i s the value of X for which the 3 top boundary curve E^CXjE^) j u s t tops out. I f 2 < X < , the boundary curve w i l l cut through the t r i a n g l e as i n case ( i i ) . Things are even more complicated for t . , < t < t , . Once again, ° mid f u l l there e x i s t s an X such that for X < X < X , the boundary curves are top top max case ( i ) . But now there i s als o a value X . , such that the boundary curve mid 3 - 88 -E. b(X . •& ) has E.° = That i s , for X < X < X , the boundary j mid' c j 2t mid top' J curves are case ( i i ) , w hile f or 2 < X < X .,, the curves are case ( i i i ) . mid F i n a l l y , i f t , < t , we have an X^ and an X . as before, but now J f u l l top mid also an X. ,,. For X < X < X , the boundary curves are case ( i ) ; f o r f u l l top max' J X . , < X < X , the curves are case ( i i ) ; for X c i n < X < X . ., the curves mid top f u l l mid are case ( i i i ) ; f o r 2 < X < X, ,,, the curves are case ( i v ) . The boundary f u l l curve E . b ( X c ) j u s t wholly encloses the t r i a n g l e , j f u l l c X i s given i n terms of E v i a equations ( I V . 3 ) and ( I V . 6 ) by top 6 c J r e p l a c i n g E. b by — and E by E . The two equations r e s u l t i n g may be w r i t t e n j zt c as f o l l o w s : 2cosh(-2^- - y H s i n n 2 — ^coshy) + sinhb ~ D coshb + b sinhy sinh(yj;— ~r) = °, (VI.la) 2 E -X 2cosh(^- - 4) sinh 5- + sinh b - £ X e C t o p = 0. (VI. lb) K 2t 2J 2 2 top b i s solved for i n terms of t v i a equation ( V I . l a ) and then used i n equation ( V I . l b ) to give X_ . top We use equation (IV.5) to obtain the equation for X : n mid X 2 e ^ C X m i d = 2 + 2cosh (VI.2) mid It - 89 -X r ,, i s g i v e n b y p u t t i n g E = E a n d b = — i n t o e q u a t i o n ( I V . 4 ) f u l l c m a x t 9 ^ f u l l „ . , 1 , . , 1 X c e = 2 t s i n h — + 4 t s i n h — . ( V I . f u l l t 2 t - 90 -V I I . S u m m a r y o f E q u a t i o n s I n s u m m a r y , C c ( t ) i s s p e c i f i e d b y t h e f o l l o w i n g e q u a t i o n s : B ( t ) = B ( £ ) , ( V I I . l ) c c X m a x Ml ) = \ p a 2 / X p ( X ; 5 ) d X , ( V I I . 2 ) c / s 2 c a n d X 2 e° X m 3 X = 4, ( V I I . 3 ) m a x w h e r e p ( X ; £ ^ ) d e p e n d s u p o n t h e t - r a n g e a n d t h e X - v a l u e f o r t h a t t - r a n g e a s f o l l o w s : - 9 1 -P ( X ; E C ) 1 , i f t > t , „ a n d 2 < X < X , , • f u l l f u l l Kb, ,b ) + tb, ( 2 - t b , ), i f 1 max 1 J- ' t . , < t < t , and 2 < X < X . ,. mid f u l l mid or t > t , a n d X . „ < X < X . • f u l l f u l l mid t <t<t . . and 2 < X < X , top mid top 1 ( 0 , b 0 ) + l(b, ,b ) + 2 t ( b - b 0 ) - t 2 ( b 2 - b 2 ) , i f or t . .<t<t, „ and X . _,<X<X X h ' max h X h X mid f u l l mid top or t > t c 1 , and X .,<X<X : f u l l mid top t < t a n d 2 < X < X , top max or t < t < t . , and X < X < X top mid top max l ( 0 , b ), i f max or t .. < t < t , and X < X < X mid f u l l top max or t > t , and X < X < X f u l l top max (VII.4) - 9 2 -iCb^ jbg) is given by equation ( V . 2 ) , ^ m a K by equation ( I V . 4 ) , b^ , b^  and b^  by equation ( V . 4 ) , X f c by equations ( V I . 1 ) , X ^ ^ by equation ( V I . 2 ) and X.. ,, by equation ( V I . 3 ) . t , t . , and t, t 1 are given by: full top mid full j ' m a x X = 2 , 1=1 ( t ) c t o p 2 t ' t o p ( V I I . 5 ) E . J 1 X = 2 , E = £ ( t -,) 2 t m i d c m i d ( V I I . 6 ) a n d m a x ( V I I . 7 ) X = 2 , E = £ ( t , i n ) ' c f u l l f u l l T h e s e e q u a t i o n s m a y b e s o l v e d n u m e r i c a l l y f o r n o t o n l y C £(t) b u t a l s o , i f d e s i r e d , t , t . ,, t , 1 1 S X ( t ) , X t ( t ) , X . , ( t ) a n d Xc ,At), t o p m i d f u l l m a x t o p m i d f u l l p r o v i d e d o n e h a s a n e x p r e s s i o n f o r B ^ t ) . We n e x t d e s c r i b e h o w we o b t a i n e d s u c h a n e x p r e s s i o n . - 9 3 -V I I I . F o r m C h o s e n f o r B ( t ) c O u r b a s i c s t r a t e g y f o r o b t a i n i n g a n e x p r e s s i o n f o r B ( t ) w i t h t o f o r d e r u n i t y i s t o f i r s t d e t e r m i n e h i g h t a n d l o w t a s y m p t o t i c f o r m s f o r B ( t ) , t h e n t o i n t e r p o l a t e b e t w e e n t h e t w o . c I f t » 1 , t h e r e s i s t o r n e t w o r k ( 1 . 3 ) r e d u c e s t o X. . R. . = 4 R n X. ."2 e 1 J , ( V I I I . 1 ) a n d t h e t e m p e r a t u r e d e p e n d e n c e e s s e n t i a l l y d i s a p p e a r s . F o r t h e r e s i s t o r X i i 8 n e t w o r k R ^ = R Q e , B c i s a p p r o x i m a t e l y 4 . 5 i n t w o d i m e n s i o n s . T h e f a c t o r X . . ~ 2 in t h e r e s i s t o r n e t w o r k ( V I I I . 1 ) w i l l b e d o m i n a t e d b y t h e X. . e x p o n e n t i a l f a c t o r e L"'. A s s u c h , we t a k e B ^ t o b e a p p r o x i m a t e l y 4 . 5 w h e n t » 1. I f t « 1 , t h e r e s i s t o r n e t w o r k ( 1 . 3 ) m a y b e r e p l a c e d b y a r e d u c e d f o r m w h i c h h a s b e e n s t u d i e d b y m a n y i n v e s t i g a t o r s : C i i R.. = RQ e J , l ± . = f . . + X.., ( V I I I . 2 ) - 9 4 -w h e r e e . i f e . > e . > 0, f . . = T V 1 - , e . . = e . - e . i f E . > 0 > e . , ( V I I I . 3 ) i ] H i ] j l j i * - e . i f 0 > e . > e . . ( T h e z e r o o f e n e r g y h a s o n c e a g a i n b e e n c h o s e n t o c o i n c i d e w i t h t h e c h e m i c a l p o t e n t i a l . ) I m p o s i n g < Rg e a n d l o o k i n g f o r p e r c o l a t i o n l e a d s d i r e c t l y t o t h e M o t t l a w f o r v a r i a b l e r a n g e h o p p i n g ^ . F o r t w o d i m e n s i o n s , E ^ m a y b e w r i t t e n i n t h e f o r m 2 n ( 2 ) 1/3 C c ( t ) = ( ' ( V I I I . 4 ) p a t s w h e r e n w a s r e c e n t l y g i v e n a s c n ( 2 ) = 6.9 ± 0 . 4 . ( V I I I . 5 ) c I t i s a s t r a i g h t f o r w a r d m a t t e r t o p r o c e e d f r o m E . . < E ( t ) t o d e r i v e a n - 95 -e x p r e s s i o n f o r B ( t ) . We f i r s t n o t e t h a t 0 < X . . < E . We a l s o s e e t h a t c i j c t w o s i t e s a d i s t a n c e X a p a r t a r e c o n n e c t e d i f f . . < E - X. ( V I I I . 6 ) i j c F r o m e q u a t i o n ( V I I I . 3 ) a n d r e l a t i o n ( V I I I . 6 ) , we f i n d t h a t t h e b o u n d a r y c u r v e h e r e i s d e s c r i b e d b y E . = E - X f o r 0 < E . < E - X , J c 1 ^ c E . = E . + I - X f o r - ( £ - X ) < E . < 0, ( V I I I . 7 ) J i c ^ c 1 E . = - ( £ - X ) f o r - ( £ - X ) < E . < 0. i c c j T h e s e t h r e e l i n e s e g m e n t s t o g e t h e r w i t h t h e l i n e s e g m e n t E . = E . f o r - ( E - X ) < E . < E - X j l c l ^ c d e t e r m i n e a t r a p e z o i d . S i n c e t « 1, t h e t r a p e z o i d w i l l l i e w h o l l y i n s i d e t h e t r i a n g l e , w h e n c e p ( X ; E ) = 3 t 2 ( E - X ) 2 ( V I I I . 8 ) c c a n d , i n t u r n , - 96 -B ( t ) = | p a 2 t 2 I 4 ( t ) . ( V I I I . 9 ) C O S c T h e e x t r e m a l t r a p e z o i d , c o r r e s p o n d i n g t o X = 0, r e a c h e s t h e t r i a n g l e , o r " t o p s o u t " , a t a c r i t i c a l t e m p e r a t u r e t g i v e n b y t i s g i v e n b y 5 ( t ) = -=7- . ( V I I I . 1 0 ) c c it c p a 2 ! ' 2 s cc - (77125-) • ( v i i i . i D 1 6 n c 2 3 7 T h e s t a n d a r d p e r c o l a t i o n t h e o r y ' ' b a s e d o n r e s i s t o r n e t w o r k ( V I I I . 2 ) i s v a l i d f o r t < 2 t ( s e e [ i ] ) . T y p i c a l l y , p a 2 w i l l b e s m a l l , w h e n c e t i s ~ c s c a l s o s m a l l . I n t h i s t - r a n g e , we h a v e f r o m e q u a t i o n s ( V I I I . 4 ) , ( V I I I . 9 ) a n d ( V I I I . 1 1 ) , it ( 2 ) / t s 2 / 3 B ( t ) = | n U ; ( f - • ( V I I I . 1 2 ) c o c t ' c F o r o u r p u r p o s e s , we t a k e B ( t ) t o b e g i v e n b y e q u a t i o n ( V I I I . 1 2 ) f o r c t < t . ~ c I n F i g . 3 , we p l o t B v s . t 1 / 3 f o r p a 2 = — ( t » 0 . 0 1 5 9 , C S -5 D C g. 3: The c r i t i c a l number of bonds per s i t e required for p e r c o l a t i o n as a function of temperature. The high t l i m i t of B £ i s approximately 4.5. The low t asymptotic form for B £ i s in d i c a t e d by the dashed curve: the curve for B £ will'merge onto t h i s low t curve when t i s very small. The curves l a b e l l e d "1", "2" and "3" are described i n the tex t . - 98 -~ 1 / 3 t « 3 . 9 8 ) . We c h o o s e t h i s v a l u e f o r p a 2 t o c o i n c i d e w i t h t h e v a l u e c s u s e d i n [ I ] . T h e h i g h t e m p e r a t u r e l i m i t o f B (« 4 . 5 ) a n d t h e l o w c t e m p e r a t u r e a s y m p t o t i c f o r m o f B ^ , s h o w n i n F i g . 3 , s u g g e s t a r o u g h f o r m f o r B ^ i n t h e i n t e r m e d i a t e t e m p e r a t u r e r a n g e . H o w e v e r , we w i l l n e e d t o a p p e a l t o t h e n u m e r i c a l w o r k o f [ I ] t o d e t e r m i n e a s u i t a b l e c u r v e f o r B ( t ) . c F i g . 6 o f [ I ] s u g g e s t s t h a t t h e h o p p i n g i s e s s e n t i a l l y n e a r e s t n e i g h b o r h o p p i n g f o r t - 1 / 3 < 2 . 4 . A s s u c h , t h e c u r v e f o r B £ ( t ) s h o u l d b e f a i r l y f l a t a n d c l o s e t o t h e h i g h t l i m i t i n g v a l u e (« 4 . 5 ) f o r t~^'^ < 2 . 4 . F o r 2 . 4 < t - 1 / 3 < t ~ 1 / 3 , t h e c u r v e f o r B ( t ) m u s t d e c r e a s e w i t h i n c r e a s i n g t _ 1 / 3 a n d , a t l o w e n o u g h t , e v e n t u a l l y m e r g e o n t o t h e c u r v e f o r t h e l o w t a s y m p t o t i c f o r m . T h r e e p o s s i b l e B ^ c u r v e s h a v i n g t h e s e f e a t u r e s a r e s h o w n i n F i g . 3 f o r 1 < t " 1 / 3 < 3 . 4 7 ( 1 > t > 0 . 0 2 4 ) . T h e c u r v e l a b e l l e d " 1 " c o n s i s t s o f a l i n e s e g m e n t w h i c h i s n e a r l y t a n g e n t t o t h e l o w t a s y m p t o t i c f o r m a t t = t a n d e x t e n d s f r o m ( t " 1 / 3 , B ) = ( 3 . 4 7 , 3 . 2 6 ) t o ( 2 . 3 , 4 . 5 ) , p l u s a l i n e s e g m e n t w i t h B ^ = 4 . 5 f r o m t h i s p o i n t t o t - 1 ^ 3 = 1. T h e c u r v e l a b e l l e d " 2 " c o n s i s t s o f a s e g m e n t g o i n g f r o m ( 3 . 4 7 , 3 . 6 ) t o ( 2 . 4 , 4 . 3 ) , p l u s a s e c o n d s e g m e n t g o i n g f r o m t h i s p o i n t t o ( 1 , 4 . 4 ) . C u r v e " 3 " c o n s i s t s o f f i v e l i n e s e g m e n t s : o n e f r o m ( 3 . 4 7 , 3 . 2 6 ) t o ( 3 . 1 , 3 . 7 ) , a n o t h e r e x t e n d i n g t o ( 2 . 7 , 4 . 0 5 ) , a n o t h e r g o i n g t o ( 2 . 4 , 4 . 2 5 ) , a n o t h e r p r o c e e d i n g t o m a t c h u p t o c u r v e " 2 " a t t _ 1 / 3 = 2 . 1 a n d a f i n a l s e g m e n t w h i c h c o i n c i d e s w i t h c u r v e " 2 " f o r 1 < t " 1 / 3 < 2 . 1 . We d e t e r m i n e d E ( t ) f o r e a c h o f t h e s e t h r e e c u r v e s f o r B ( t ) . c c - 99 -S a t i s f a c t o r y agreement between the a n a l y t i c theory and the numerical r e s u l t s was obtained with curve "3". We next present the r e s u l t s of our a n a l y t i c i n v e s t i g a t i o n and compare the a n a l y t i c theory to the numerical s i m u l a t i o n described i n [ I ] . - 1 0 0 -I X . C o m p a r i s o n o f A n a l y t i c T h e o r y a n d N u m e r i c a l S i m u l a t i o n I n [ I ] , we p e r f o r m e d a n u m e r i c a l s i m u l a t i o n t o d e t e r m i n e t h e o v e r a l l c u r r e n t i n a r a n d o m r e s i s t o r n e t w o r k w i t h r e s i s t a n c e s ( 1 . 3 ) . We c a l c u l a t e d t h e a v e r a g e c u r r e n t l ( t ) f o r s e v e r a l t v a l u e s f o r s a m p l e s o f r o u g h l y 1 0 0 0 , 2 0 0 0 a n d 2 8 0 0 s i t e s . I n F i g s . 4 a n d 5, we c o m p a r e t h e n u m e r i c a l r e s u l t s f o r x n l t o t h e a n a l y t i c r e s u l t f o r -E . T h e c u r r e n t I i n t h e s e f i g u r e s i s e x p r e s s e d i n u n i t s w h e r e t h e v o l t a g e d r o p a c r o s s t h e s a m p l e i s o n e u n i t o f v o l t a g e a n d R Q i s t h e u n i t o f r e s i s t a n c e . x n l a n d - £ a r e p l o t t e d a g a i n s t t ~ * i n F i g . 4 a n d a g a i n s t t - 1 / 3 i n F i g . 5. I t w a s r e v e a l e d i n [ I ] t h a t t h e n u m e r i c a l r e s u l t s f o r t h e 1 0 0 0 - a n d 2 0 0 0 - s i t e s y s t e m s a g r e e w i t h i n t h e s t a n d a r d d e v i a t i o n s i n t h e i r l ( t ) v a l u e s . A s s u c h , we s e e f r o m F i g s . 4 a n d 5 t h a t t h e a n a l y t i c t h e o r y c u r v e a g r e e s q u i t e w e l l w i t h t h e n u m e r i c a l p o i n t s f o r t h e 1 0 0 0 - a n d 2 0 0 0 - s i t e s y s t e m s , a n d t h a t t h i s i s e s p e c i a l l y s o a t h i g h e r v a l u e s o f t . T h e s o l i d n u m e r i c a l p o i n t s i n F i g . 4 d e s i g n a t e t h e p o i n t s i n a s i m i l a r f i g u r e i n [ I ] w h i c h i n d i c a t e d x n l t o b e l i n e a r i n t _ 1 o v e r t h e t - r a n g e : 0 . 0 4 < t < 0 . 2 . We s e e i n F i g . 4 t h a t t h e a n a l y t i c c u r v e r e p r o d u c e s t h i s l i n e a r r e g i m e , i n a g r e e m e n t w i t h t h e n u m e r i c a l r e s u l t s . F i n a l l y , i t w a s p o i n t e d o u t i n [ I ] a n d i t i s r e v e a l e d a g a i n i n F i g s . 4 a n d 5 t h a t t h e n u m e r i c a l p o i n t s f o r t h e 2 8 0 0 - s i t e s y s t e m s l i e b e l o w t h e p o i n t s f o r t h e 1 0 0 0 - a n d 2 0 0 0 - s i t e s y s t e m s . A s d i s c u s s e d i n [ I ] , t h i s i s a p p a r e n t l y d u e t o a s h a p e - d e p e n d e n c e o f l ( t ) ; t h e 1 0 0 0 - a n d 2 0 0 0 - s i t e s y s t e m s w e r e s q u a r e w h e r e a s t h e 2 8 0 0 - s i t e s y s t e m s w e r e r e c t a n g u l a r , l o n g i n t h e d i r e c t i o n o f t h e p o t e n t i a l d r o p . T h i s a p p a r e n t s h a p e d e p e n d e n c e w i l l b e t h e t o p i c o f a f u t u r e p u b l i c a t i o n . - 101 -F i g . 4: Comparison between the average I of the o v e r a l l current, obtained v i a the numerical simulation, and the a n a l y t i c theory r e s u l t £ c < The boxes i n d i c a t e an average of 4 1000-site systems, the c i r c l e s an average of 4 2000-site systems and the t r i a n g l e s an average of 7 2800-site systems. The shaded symbols i n d i c a t e the points for which x n l i s taken to be l i n e a r i n t - 1 . The s o l i d curve represents the a n a l y t i c curve for -£ ( t ) . - 102 -F i g . 5: Same as F i g . 4 but without shaded symbols and with t ~ 1 / 3 as the abscissa. - 1 0 3 -T h e a n a l y t i c t h e o r y g o e s b e y o n d t h e n u m e r i c a l s i m u l a t i o n : i t p r o v i d e s u s w i t h i n f o r m a t i o n a s t o h o w t h e t y p i c a l h o p p i n g d i s t a n c e , a n d t h e t y p i c a l e n e r g y c h a n g e i n v o l v e d i n a h o p , v a r y w i t h t e m p e r a t u r e . X p r o v i d e s a I T l c l X g o o d i n d i c a t i o n o f t h e t y p i c a l h o p p i n g d i s t a n c e . I n F i g . 6, we p l o t X ^ v s . t ~ 1 / 3 . P r e v i o u s l y , we h a v e s u g g e s t e d t h a t t h e h o p p i n g f o r t - ^ 3 < 2.4 w a s e s s e n t i a l l y n e a r e s t n e i g h b o r h o p p i n g w h e r e a s f o r t - 1 ' ' 3 > 2 . 4 t h e h o p p i n g w a s o v e r g r e a t e r a n d g r e a t e r d i s t a n c e s u n t i l , a t v e r y l o w t ( t < t = 3 . 9 8 ) t h e h o p p i n g w o u l d b e v a r i a b l e r a n g e . T h e s e g e n e r a l i d e a s a r e b o r n e o u t i n 2 r . . r F i g . 6. R e c a l l i n g t h a t X . . = a n d t h a t = 6, ° ° i j a a a n d d e f i n i n g r = - r X , we s e e f r o m F i g . 6 t h a t w h e r e a s t h e h o p p i n g m a x 2 m a x d i s t a n c e r i n c r e a s e s f r o m 1 . 2 r a t t - 1 ^ 3 = 1 t o o n l y a b o u t 1 . 4 r a t m a x s - s s - s t - l / 3 _ 2 . 4 , r f u r t h e r i n c r e a s e s t o a b o u t 2 . 1 r a t t _ 1 / 3 = 3 . 4 7 . A l s o m a x s - s s h o w n i n F i g . 6 i s t h e e x t r a p o l a t i o n o f t h e l o w t f o r m f o r r : b r m a x r = -f- E ( t ) , w i t h E ( t ) g i v e n b y e q u a t i o n ( V I I I . 4 ) . A s s e e n i n t h e m a x 2 c c f i e u r e , r " o v e r s h o o t s " t h i s a s y m p t o t e a s t ~ 1 / 3 i n c r e a s e s f r o m 1 t o a b o u t 6 ' m a x J 2 , i n s t e a d o f m e r g i n g d i r e c t l y o n t o t h e a s y m p t o t e . A s s u c h , * r e m a i n s c l o s e t o i t s h i g h t v a l u e , a n d t h e h o p p i n g r e m a i n s e s s e n t i a l l y n e a r e s t n e i g h b o r h o p p i n g , d o w n t o l o w e r t e m p e r a t u r e s t h a n i t w o u l d h a v e h a d t h e m e r g i n g b e e n d i r e c t . A s t - 1 ^ 3 i n c r e a s e s p a s t 3 . 4 7 , t h e c u r v e f o r B ( t ) ( F i g . 3 ) w i l l e v e n t u a l l y m e r g e o n t o t h e l o w t a s y m p t o t i c c u r v e f o r B^(t), a n d s o t h e c u r v e f o r X ( t ) w i l l m e r g e o n t o t h e l o w t a s y m p t o t i c c u r v e f o r m a x X ( t ) . m a x We c a n c o m b i n e o u r r e s u l t f o r E ( t ) w i t h e q u a t i o n ( 1 . 3 ) f o r R.. t o g e t c i j - 104 -max 2 3 i g . 6: Temperature dependence of X . The s o l i d curve indicates the max temperature dependence of the t y p i c a l hopping distance r ( t ) v i a X (c) " 12r(t)/r , where r i s a measure of the s i t e - t o - s i t e max s-s s—s distance (see text for d e t a i l s ) . The dashed l i n e i s an extrapolation of the low t asymptotic form of X ( t ) : the curve max for X w i l l merge onto t h i s low t curve when t gets very small. - 1 0 5 -a n i d e a o f t h e t e m p e r a t u r e d e p e n d e n c e o f t h e t y p i c a l h o p p i n g e n e r g y . T a k i n g t h e h o p t o b e o n e c o n n e c t i n g n e i g h b o r i n g s i t e s w i t h e n e r g i e s e q u a l l y r e m o v e d C c ( t ) f r o m b u t o n o p p o s i t e s i d e s o f \iQ ( i . e . = - E ^ > 0 ) , s e t t i n g = R Q e a n d w r i t i n g X . . = X , we h a v e - E ( t ) / 2 ^ 2 ( E ( t ) Z, ( t ) - X 1 1 + e ) ( e - 1 ) = x 2 E ( t ) e C , ( I X . 1 ) e f c ( t ) w h e r e E ( t ) = * ^  a n d e ( t ) i s t h e t y p i c a l h o p p i n g . e n e r g y ( i . e . e ( t ) = e . - e . = 2 e . ; s e e e q u a t i o n ( 1 . 5 ) 1 . I n F i g . 7, w e p l o t e v t y p j l j ; t y p 2 . 4 r v s . t " 1 / 3 f o r X « ( t h e h i g h t i i m i t o f X ) . N o c u r v e f o r e i s a m a x t y p p r e s e n t e d f o r m o s t o f t h e t - r a n g e c o r r e s p o n d i n g t o n e a r e s t n e i g h b o r h o p p i n g . T h i s i s b e c a u s e e t v p d e p e n d s v e r y s e n s i t i v e l y o n ^ a n d X i n t h i s t - r a n g e . F o r e x a m p l e , s l i g h t v a r i a t i o n s i n X i n e q u a t i o n ( I X . 1 ) r e s u l t i n l a r g e v a r i a t i o n s i n e t y p i n t n e n e a r e s t n e i g h b o r h o p p i n g r e g i m e . A s m a l l ( » 1 % ) f r a c t i o n a l i n c r e a s e ( d e c r e a s e ) i n X r e s u l t s i n a n o r d e r o f m a g n i t u d e s h i f t d o w n w a r d s ( u p w a r d s ) i n t h e v a l u e o f e a t t = 1. S u c h b e h a v i o r r e v e a l s t y p t h a t t h e r e i s n o t y p i c a l h o p p i n g e n e r g y i n t h e n e a r e s t n e i g h b o r h o p p i n g r e g i m e : t h e t e m p e r a t u r e i s h i g h e n o u g h t h a t n o n e o f t h e s i t e s m a y b e c o n s i d e r e d t o b e u n i m p o r t a n t b e c a u s e o f i t s e n e r g y . H o w e v e r , s l i g h t v a r i a t i o n s i n X i n e q u a t i o n ( I X . 1 ) r e s u l t i n o n l y s l i g h t c h a n g e s i n e f o r t y p - 106 -typ Y \ \ \ \ \ \ \ \ j . 7: Temperature dependence of the t y p i c a l hopping energy e t y p ( s o l i d curve) obtained from equation (IX.1) using X " 14.34. The dashed curve i s an extrapolation of the low t asymptotic form of e . . typ - 107 -temperatures lower than those corresponding to the nearest neighbor hopping regime. In t h i s lower temperature range, where the hops are over greater d i s t a n c e s , the energies of the s i t e s do matter and we may obt a i n a meaningful curve for e t y p • The p r e c i s e curve obtained depends on the p r e c i s e value of X used, but the general shape of the curve — decreasing with i n c r e a s i n g t - 1 / 3 — always emerges. The low t asymptotic curve i s a l s o shown i n F i g . 7: as t gets very s m a l l , the curve for e ( t ) w i l l e v e n t u a l l y typ J merge onto the low t asymptotic curve. We note, i n c l o s i n g , that the same conclusions are reached i f we consider two s i t e s with energies on the same side of the chemical p o t e n t i a l . - 1 0 8 -X . S u m m a r y We h a v e u s e d p e r c o l a t i o n t h e o r y t o o b t a i n a s e t o f a n a l y t i c e q u a t i o n s w h i c h d e t e r m i n e t h e o v e r a l l r e s i s t a n c e o f a r a n d o m r e s i s t o r n e t w o r k w i t h r e s i s t a n c e s R ^ j s p e c i f i e d b y e q u a t i o n ( 1 . 3 ) . T h e t h e o r y a p p l i e s t o a t w o - d i m e n s i o n a l s y s t e m w i t h a f l a t d e n s i t y o f s t a t e s o f w i d t h A e a n d i s v a l i d f o r t e m p e r a t u r e s w h e r e t i s o f o r d e r u n i t y ( k T o f o r d e r A e ) . We w e r e a b l e t o g e t a g r e e m e n t b e t w e e n t h e t h e o r y a n d t h e r e s u l t s o f a n u m e r i c a l s i m u l a t i o n p e r f o r m e d i n [ I ] ( F i g s . 4 a n d 5 ) . We d i d s o b y u s i n g a v e r y r e a s o n a b l e c u r v e f o r t h e t e m p e r a t u r e d e p e n d e n c e o f t h e c r i t i c a l n u m b e r o f b o n d s ( r e s i s t o r s ) p e r s i t e B c ( t ) r e q u i r e d f o r p e r c o l a t i o n ( F i g . 3 ) . F o r a 9 1 n u m b e r d e n s i t y o f s i t e s p a n d l o c a l i z a t i o n l e n g t h a r e l a t e d b y p a ^ = - r r " , S ; S J O t h e a n a l y t i c t h e o r y c o n f i r m s t h e f o l l o w i n g f i n d i n g s o f t h e n u m e r i c a l e / k T s i m u l a t i o n : t h a t t h e o v e r a l l r e s i s t a n c e i s p r o p o r t i o n a l t o e 3 f o r 0 . 0 4 < t < 0.2 w i t h e 3 = 0 . 2 8 A e , t h a t t h e h o p p i n g i s e s s e n t i a l l y j u s t n e a r e s t n e i g h b o r h o p p i n g f o r t ~ 1 / 3 < 2.4 a n d t h a t t h e h o p s a r e o f l o n g e r r a n g e f o r t ~ 1 / 3 > 2 . 4 . T h e a n a l y t i c t h e o r y p r o v i d e d m o r e i n f o r m a t i o n a b o u t t h e h i g h t e m p e r a t u r e r a n g e a n d i n t e r m e d i a t e t e m p e r a t u r e r a n g e h o p p i n g p r o c e s s . We w e r e a b l e t o d e t e r m i n e t h e t e m p e r a t u r e d e p e n d e n c e s o f t h e t y p i c a l h o p p i n g d i s t a n c e a n d t h e t y p i c a l h o p p i n g e n e r g y ( F i g s . 6 a n d 7 ) . I n t h e n e x t p a p e r i n t h i s s e r i e s , w e w i l l e x t e n d t h e a n a l y t i c t h e o r y t o t h r e e d i m e n s i o n s . T h e f i n a l p a p e r o f t h i s s e r i e s w i l l c o m p a r e t h e p r e d i c t i o n s o f t h e t h r e e - d i m e n s i o n a l t h e o r y f o r v a r i o u s d e n s i t i e s o f s t a t e s , o t h e r t h a n f l a t , t o e x p e r i m e n t a l r e s u l t s f o r V R H i n L D S s ; t h e s e e x p e r i m e n t a l r e s u l t s s h o w V R H i n a t e m p e r a t u r e r a n g e w e l l i n e x c e s s o f t h e t e m p e r a t u r e - 109 -r a n g e w h e r e e s t a b l i s h e d t h e o r i e s p r e d i c t V R H , a n d h a v e T Q v a l u e s w h i c h a r e m u c h s m a l l e r t h a n t h e t h e o r e t i c a l T n v a l u e s . - 1 1 0 -A P P E N D I X I n t h i s a p p e n d i x , we d e s c r i b e a m u c h s i m p l i f i e d v e r s i o n o f o u r a n a l y t i c t h e o r y . We b e g i n b y r e p o r t i n g t h a t t h e b o u n d a r y c u r v e a s y m p t o t i c a l l y a p p r o a c h e s a t r a p e z o i d a l s h a p e ^ a s X 2 e ^ X •*• <*>. T h e t r a p e z o i d i s g i v e n b y t h e f o u r l i n e s e g m e n t s : E . J = b m a x f o r 0 • E . J = E . + b 1 m a x f o r - b E . 1 = - b m a x f o r - b E . J = E . l f o r -b m a x m a x m a x < E . < b m a x l m a x w h e r e b i s g i v e n b y e q u a t i o n ( I V . 4 ) . T h e a p p r o x i m a t e v e r s i o n o f o u r m a x t h e o r y i s b a s e d o n r e p l a c i n g t h e b o u n d a r y c u r v e b y t h i s t r a p e z o i d . F o r a g i v e n E , t h e t r a p e z o i d " t o p s o u t " w h e n b = ~ ~ : t h i s d e f i n e s a c r m a x 2 t n e w X , g i v e n b y t o p £ - X 2 e c t o p = 4 t g i n h 1 + G T S I N H 1 t o p 2 t 4 t ( A . l ) We h a v e u s e d e q u a t i o n ( I V . 4 ) a n d h a v e p u t b = 77—. S i m i l a r l y , t h e n r m a x 2 t J t r a p e z o i d f i r s t f u l l y e n c l o s e s t h e t r i a n g l e w h e n b = — : t h i s d e f i n e s m a x t X f u l l ' w ^ c n s t i l l g i v e n b y e q u a t i o n ( V I . 3 ) : - I l l -2 ^ c ~ X f u l l „ . . 1 . . L 1 X c e = It sinh — + kt sinh -z—. f u l l t 2t The temperature t i s now given by top max 1 X = 2 « ^ c ( t t o P ) ^ ^ P ' while the temperature 1 S s t i l l given by equation ( V I I . 7 ) : max X=2, 1=1 ( t , ..) C f u l l c f u l l X . , and t . , do not appear i n the s i m p l i f i e d v e r s i o n of the theory, mid mid With these s i m p l i f i c a t i o n s , the f o l l o w i n g expression for p(X ; E ) e a s i l y obtained: - 1 1 2 -p(X;E) 1 , i f t > t , a n d 2 < X < X , , , , f u l l f u l l t > t c a n d X r < X < X , f u l l f u l l t o p * t b [ 2 - t b ] , i f m a x m a x . , o r t < t < t £ „ a n d 2 < X < X , t o p f u l l t o p t > t f n a n d X t < X < X , ( A . 5 ) f u l l t o p m a x ' 3 t 2 b 2 , i f o r t < t < t , „ a n d X < X < X m a x t o p f u l l t o p m a x o r t < t a n d 2 < X < X t o p m a x T h e f u l l s e t o f e q u a t i o n s f o r t h e a p p r o x i m a t e t h e o r y i s a s f o l l o w s : B ( t ) = B ( £ ) , ( A . 6 ) c c X B ( ? ) 4 p a 2 | m 3 X X p ( X ; C )dX, ( A . 7 ) c -^ s 2 c l -x v 2 c m a x _ . / » o \ X ^ e = 4, ( A . 8 ) m a x w i t h p ( X ; & c ) g i v e n b y e q u a t i o n s ( A . 5 ) , t f c a n d t f u ^ ^  e 1 u a t i o n s ( A . 3 ) a n d ( A . 4 ) , X a n d X . b y e q u a t i o n s ( A . 1 ) a n d ( A . 2 ) . a n d b b y e q u a t i o n t o p f u l l m a x J ( I V . 4 ) : - 113 -sinh b _ _ sinh(b /2) ^ max max _ «. , . "b + b 72 2 • (A'9) max max Given an expression for B^Ct), the equations i n this appendix may be solved numerically for E (t) and also, i f desired, t . t r ,,, X ( t ) , J c top f u l l max ' X^ (t) and X, ^ ( t ) . top f u l l In F i g . 8, we compare the l\^(t) obtained v i a the exact theory to the C c ( t ) using the approximate version of the theory. Curve "3" of F i g . 3 for B^Ct) was used for both the exact and approximate versions of the theory. F i g . 8 reveals that the two versions of the theory agree to within less than about 5% for t _ 1 / 3 < 3.47. We also note that when curve "2" for B c ( t ) i s used, the approximate version of the theory agrees with the numerical r e s u l t s almost as well as the exact version of the theory does when using curve "3" for B ( t ) . c ACKNOWLEDGMENTS We wish to thank Peter C.W. Holdsworth and Matthew Choptuik for some h e l p f u l discussions. This work was supported f i n a n c i a l l y by NSERC Operating Grant A713 and by the Graduate Student Fellowship Programme at UBC. - 114 -8: Comparison between curves for $ c obtained v i a the exact analytic theory (lower curve) and the approximate analytic theory (upper curve). - 115 -REFERENCES *Present Address: Department of Physics, Dalhousie University, H a l i f a x , N.S.', CANADA B3H 3J5 ^ . F . Mott, J. Non-Cryst. Solids _1, 1 (1968); Philos. Mag. 19_, 835 (1969). 2 V. Ambegaokar, B.I. Halperin and J.S. Langer, Phys. Rev. B 4, 2612 (1971). M. Pollak, J. Non-Cryst. Solids 11, 1 (1972). 4 . . M.R.A. Shegelski and R. Barrie, submitted to Phys. Rev. B. 5M. Benzaquen and D. Walsh, Phys. Rev. B 30, 7287 (1984). M^. Benzaquen, K. Mazuruk, D. Walsh and M.A. d i Forte-Poisson, J. Phys. C 18_, L1007 (1985). 7See, for example, B.I. Shklovskii and A.L. Efros, E l e c t r o n i c Properties of Doped Semiconductors (Springer-Verlag, B e r l i n , 1984), pp. 130-136, 204-207. g See, for example, G.E. Pike and C.H. Seager, Phys. Rev. B 10 (1421), 1974. 9 B.I. Shklovskii and A.L. Efros, E l e c t r o n i c Properties of Doped Semiconductors (Springer-Verlag, B e r l i n , 1984), p. 206. ^Con s i d e r a t i o n s s i m i l a r to those i n th i s appendix may be found i n eit h e r K.J. Hayden and P.N. Butcher, Philos. Mag. B 38, 603 (1978), or P.N. Butcher and K.J. Hayden, P h i l o s . Mag. 36, 657 (1977). - 1 1 6 -H o p p i n g c o n d u c t i v i t y i n l i g h t l y d o p e d s e m i c o n d u c t o r s - I I I : T h r e e - d i m e n s i o n a l , h i g h t e m p e r a t u r e a n a l y t i c t h e o r y f o r f l a t d e n s i t y o f s t a t e s M a r k R.A. S h e g e l s k i * a n d R o b e r t B a r r i e D e p a r t m e n t o f P h y s i c s , U n i v e r s i t y o f B r i t i s h C o l u m b i a , V a n c o u v e r , B . C . , C A N A D A V 6 T 2 A 6 A b s t r a c t I n p r e v i o u s w o r k s , we p e r f o r m e d a n u m e r i c a l s i m u l a t i o n o f a n d p r e s e n t e d a n a n a l y t i c t h e o r y f o r a t w o - d i m e n s i o n a l l i g h t l y d o p e d s e m i c o n d u c t o r . T h e s e w e r e f i r s t s t e p s t o w a r d s u n d e r s t a n d i n g c e r t a i n e x p e r i m e n t a l r e s u l t s f o r l i g h t l y d o p e d n - G a A s a n d n - I n P , i n w h i c h t h e c o n d u c t i v i t y a w a s f o u n d t o b e - ( T / T ) S 1 a = a Q e 0 w i t h s c l o s e t o —-t i n d i c a t i n g v a r i a b l e r a n g e h o p p i n g ( V R H ) . T h e e x p e r i m e n t a l r a n g e o f t e m p e r a t u r e s T, I K < T < 7 K , w a s w e l l a b o v e , a n d t h e e x p e r i m e n t a l T Q v a l u e s w e l l b e l o w , t h e l i m i t s s e t b y e s t a b l i s h e d t h e o r i e s o f V R H . I n t h i s p a p e r , we e x t e n d o u r a n a l y t i c t h e o r y t o t h r e e d i m e n s i o n s . A s b e f o r e , we c h o o s e a f l a t d e n s i t y o f s t a t e s w i t h w i d t h A e a n d m o d e l t h e s e m i c o n d u c t o r a s a M i l l e r a n d A b r a h a m s t y p e r e s i s t o r n e t w o r k ; we a g a i n u s e t h e f u l l f o r m o f t h e r e s i s t a n c e a n d d o n o t t a k e t h e l o w t e m p e r a t u r e a s y m p t o t i c f o r m b e c a u s e we a r e i n t e r e s t e d i n t e m p e r a t u r e s w h e r e - 1 1 7 -t h e r e d u c e d t e m p e r a t u r e t = i s o f o r d e r u n i t y . O n e o f t h e m a j o r r e s u l t s o f t h i s p a p e r i s t h a t we e s t a b l i s h t h a t t h e s m a l l e x p e r i m e n t a l T n v a l u e s m a y n o t b e a c c o u n t e d f o r u s i n g a f l a t d e n s i t y o f s t a t e s i n c o n j u n c t i o n w i t h t h e f u l l r e s i s t o r n e t w o r k m o d e l . We a l s o d e m o n s t r a t e t h a t , i n t h e h i g h t e m p e r a t u r e r e g i m e , o u r t h e o r y p r e d i c t s a c o n d u c t i v i t y o f t h e f o r m O = 0Q e e 3 w j i e r e t h e a c t i v a t i o n e n e r g y e 3 = 0 . 2 0 A e f o r t h r e e d i m e n s i o n s . F o r t w o d i m e n s i o n s , we f o u n d e 3 = 0 . 2 8 A e . O u r v a l u e s f o r e 3 d i f f e r c o n s i d e r a b l y f r o m t h o s e r e p o r t e d b y S k a l , S h k l o v s k i i , a n d E f r o s a n d H a y d e n a n d B u t c h e r . We b e l i e v e t h a t o u r r e s u l t s d i f f e r f r o m t h o s e o f t h e s e o t h e r w o r k e r s b e c a u s e o f t h e i r u s e o f t h e l o w t e m p e r a t u r e f o r m o f t h e r e s i s t a n c e s i n t h e h i g h t e m p e r a t u r e r e g i m e . We a l s o i n v e s t i g a t e t h e e f f e c t o f a u s u a l l y n e g l e c t e d Q f a c t o r . We f i n d t h a t i n c l u s i o n o f t h i s f a c t o r i n t h e a n a l y s i s £3 p r o d u c e s a t r e n d o f d e c r e a s i n g w i t h i n c r e a s i n g A e , a l t h o u g h e 3 i t s e l f i n c r e a s e s w i t h A e ; t a k i n g t h e f a c t o r i n t o c o n s i d e r a t i o n d o e s n o t l e a d t o a n e x p l a n a t i o n o f t h e s m a l l T g v a l u e s . We c o n j e c t u r e t h a t a d e n s i t y o f s t a t e s o t h e r t h a n f l a t w i l l b e r e q u i r e d f o r s u c h a n e x p l a n a t i o n . P A C S n u m b e r s : 7 2 . 2 0 . - i - 118 -I . I n t r o d u c t i o n V a r i a b l e r a n g e h o p p i n g ( V R H ) i n d i s o r d e r e d s y s t e m s , s u c h a s a m o r p h o u s s e m i c o n d u c t o r s o r d o p e d s e m i c o n d u c t o r s , i s c h a r a c t e r i z e d b y a c o n d u c t i v i t y a o f t h e f o r m - ( T /T)l/l* a = aQ e ^ T o / T ; , ( i . l ) 1 2 3 w h e r e aQ d e p e n d s w e a k l y o n t h e t e m p e r a t u r e T. M o t t a n d o t h e r s ' , b y a s s u m i n g a d e n s i t y o f s t a t e s f l a t i n t h e v i c i n i t y o f t h e F e r m i l e v e l , h a v e p r o v i d e d t h e o r e t i c a l d e r i v a t i o n s o f e q u a t i o n ( I . l ) , f i n d i n g T 0 = — — , ( 1 . 2 ) k g p a 3 w h e r e C i s a d i m e n s i o n l e s s c o n s t a n t a p p r o x i m a t e l y e q u a l t o 2 0 , k i s B o l t z m a n n ' s c o n s t a n t , g p i s t h e d e n s i t y o f s t a t e s a t t h e F e r m i l e v e l a n d a i s t h e e l e c t r o n l o c a l i z a t i o n l e n g t h . 4 I n a p r e v i o u s p a p e r , h e r e a f t e r r e f e r r e d t o a s [ I ] , we r e p o r t e d t h a t 5 6 t h e r e e x i s t e x p e r i m e n t a l r e s u l t s ' s h o w i n g u n e q u i v o c a l V R H i n l i g h t l y d o p e d s e m i c o n d u c t o r s ( L D S s ) a n d t h a t t h i s e x p e r i m e n t a l V R H h a s a t p r e s e n t n o s u i t a b l e t h e o r e t i c a l e x p l a n a t i o n . T h e e x p e r i m e n t a l V R H w a s o b s e r v e d i n a t e m p e r a t u r e r a n g e w e l l a b o v e t h e t e m p e r a t u r e r a n g e w h e r e e x i s t e n t t h e o r i e s h a v e p r e d i c t e d V R H a n d t h e e x p e r i m e n t a l T Q v a l u e s w e r e f o u n d t o . b e m u c h s m a l l e r t h a n t h e t h e o r e t i c a l v a l u e s . - 119 -This paper represents the t h i r d of four s e q u e n t i a l i n v e s t i g a t i o n s which comprise a program designed to understand these experimental r e s u l t s . The program i s based on the r e s i s t o r network model of a LDS, which was presented i n [ I ] . In t h i s model, the LDS i s replaced by a network of r e s i s t o r s . Every p a i r of donors i n the LDS i s mapped i n t o a r e s i s t o r In [ i ] , we performed a numerical s i m u l a t i o n i n two dimensions to c a l c u l a t e the o v e r a l l r e s i s t a n c e of the network. To s i m p l i f y matters, we took the number den s i t y n^ of donors to be twice the number den s i t y n. of acceptors, which D A s i m p l i f i e d the chemical p o t e n t i a l \i to fi = |J.Q - kT An2. We chose a f l a t d e n sity of states w i t h bandwidth Ae and took \XQ = 0. The r e s i s t o r network s i m p l i f e d to R. . = R,, Q. . f ( E . , E.) XT2, e X. . (1.3) where RQ was a constant r e s i s t a n c e , ( 1 . 4 ) f (E. , E. ) = E. -E. E.-E. (1+e L)(H-e J ) ( e J *-!) E ,-E. (1.5) and - 1 2 0 -£ = aAe_ E . ! i ~ s f i 5 k T . ^ i j . 2 ^ i t 1 A e A e ' i j a ' h w h e r e "h" = n i s P l a n c k ' s c o n s t a n t , s i s t h e s p e e d o f s o u n d , e ^ i s t h e e n e r g y o f d o n o r s i t e i , r ^ i s t h e d i s t a n c e s e p a r a t i n g d o n o r s i t e s i a n d j , a n d b y d e f i n i t i o n E ^ > E ^ . ( A l t h o u g h Q „ d o e s n o t d e p e n d o n t h e t e m p e r a t u r e , i t p r o v e s t o b e c o n v e n i e n t t o w r i t e i n t h e f o r m ( 1 . 4 ) ; w e e l a b o r a t e o n t h i s p o i n t l a t e r . ) E q u a t i o n ( 1 . 3 ) m a y b e d e r i v e d ^ u s i n g t h e d e f o r m a t i o n p o t e n t i a l a p p r o x i m a t i o n f o r t h e e l e c t r o n - p h o n o n i n t e r a c t i o n . g I n a s u b s e q u e n t p a p e r , h e r e a f t e r r e f e r r e d t o a s [ I I ] , we a g a i n c a l c u l a t e d t h e o v e r a l l r e s i s t a n c e o f t h e r e s i s t o r n e t w o r k ( 1 . 3 ) , u s i n g a n a n a l y t i c i n s t e a d o f a n u m e r i c a l a p p r o a c h . We f o r m u l a t e d t h e c a l c u l a t i o n i n t e r m s o f a p e r c o l a t i o n p r o b l e m . T h e t h e o r y w a s c o n s t r u c t e d f o r a t w o - d i m e n s i o n a l s y s t e m w i t h a f l a t d e n s i t y o f s t a t e s a n d w i t h n = 2 n . I n b o t h [ I ] a n d [ I I ] , s i n c e t h e t e m p e r a t u r e r a n g e i n t h e e x p e r i m e n t s o f r e f . s [ 5 ] a n d [ 6 ] w a s s u c h t h a t k T w a s n o t n e c e s s a r i l y s m a l l c o m p a r e d t o A e , we t o o k t t o b e o f o r d e r u n i t y . T h i s n e c e s s i t a t e d t h a t we n o t m a k e t h e u s u a l s i m p l i f i c a t i o n o f r e p l a c i n g R „ b y i t s l o w t e m p e r a t u r e a s y m p t o t i c f o r m . I n c o n s e q u e n c e , t h e a n a l y t i c t h e o r y r e q u i r e d t h e u s e o f a t e m p e r a t u r e d e p e n d e n t a v e r a g e n u m b e r o f b o n d s ( r e s i s t o r s ) p e r s i t e , B^Ct), r e q u i r e d f o r p e r c o l a t i o n . B y c h o o s i n g a r e a s o n a b l e f o r m f o r B ^ t ) , we w e r e a b l e t o o b t a i n a g r e e m e n t b e t w e e n t h e a n a l y t i c t h e o r y a n d t h e r e s u l t s o f t h e n u m e r i c a l s i m u l a t i o n . - 121 -In t h i s paper, we use the knowledge gained from our study of two dimensions to extend our a n a l y t i c theory to three dimensions. Once again, we consider a f l a t d e n s i t y of st a t e s and we take n„ = 2n A. One of our main D A o b j e c t i v e s i n t h i s paper i s to determine whether or not the small T n values observed experimentally can be accounted for by using the f u l l r e s i s t o r network (1.3) and a f l a t d e n s i t y of s t a t e s . To t h i s end, we begin by summarizing i n Sec. I I the e s s e n t i a l features of our theory and o u t l i n i n g the changes required to extend the theory from two to three dimensions; we w i l l show that the o v e r a l l r e s i s t a n c e of the network depends on a c r i t i c a l -I ( t ) r e s i s t a n c e R £ = R Q e .We w i l l a l s o see that extending the theory to three dimensions comes down to determining a form for B ( t ) . In Sec. I l l we c i n d i c a t e how B ^ ( t ) may be s p e c i f i e d . As i n [I] and [ I I ] , we replace Q „ by u n i t y and obtain a r e s u l t f or E ( t ) . We do not f i n d a temperature range which i s wide enough wherein T n i s small enough to account for the experimental r e s u l t s ; i n s t e a d , as was the case i n our two-dimensional study, we f i n d for three dimensions and a f l a t d e nsity of states that E ( t ) i s c l i n e a r i n t - ^ for t of order u n i t y . In Sec. IV, we b r i n g i n t o c o n s i d e r a t i o n the Q. . f a c t o r and study the e f f e c t s of t h i s term on the form of E ( t ) . We J c present a summary of our i n v e s t i g a t i o n f or three dimensions and a f l a t d e n sity of states i n Sec. V. In order that t h i s paper be s e l f - c o n t a i n e d , i t has been necessary i n t h i s i n t r o d u c t i o n , and i t w i l l continue to be necessary i n Sees. I I and I I I , to repeat i n b r i e f some of the e s s e n t i a l concepts discussed i n [I] and [ I I ] . - 122 -E v e n s o , t h e w o r k p r e s e n t e d h e r e i n w i l l b e u n d e r s t o o d m o r e f u l l y i f t h i s p a p e r i s r e a d i n c o n j u n c t i o n w i t h [ I ] a n d [ I I ] . - 1 2 3 -I I . E s s e n t i a l E l e m e n t s o f t h e T h e o r y i n T h r e e D i m e n s i o n s I n t h i s s e c t i o n , we r e v i e w t h e b a s i c a s p e c t s o f o u r t h e o r y , p o i n t i n g o u t t h e m o d i f i c a t i o n s r e q u i r e d t o g o f r o m t w o d i m e n s i o n s t o t h r e e . 9 T h e b a s i c m e t h o d u n d e r l y i n g o u r t h e o r y i s t h e p e r c o l a t i o n m e t h o d . I n t h e p e r c o l a t i o n m e t h o d , o n e i m a g i n e s r e m o v i n g a l l o f t h e r e s i s t o r s e x c e p t t h o s e w h i c h s a t i s f y R. . < R, e ^ ( I I . 1 ) f o r s o m e a r b i t r a r i l y c h o s e n v a l u e o f E.. T h e r e m a i n i n g n e t w o r k o f r e s i s t o r s w i l l p e r c o l a t e o n l y i f E i s e q u a l t o o r e x c e e d s a c r i t i c a l v a l u e E, . c A c c o r d i n g t o p e r c o l a t i o n t h e o r y , t h e o v e r a l l c o n d u c t i v i t y a o f t h e o r i g i n a l n e t w o r k i s g i v e n b y J0 ' a = a n e c , ( I I . 2 ) w h e r e a n d e p e n d s o n l y w e a k l y o n t h e t e m p e r a t u r e t . C o m b i n i n g e q u a t i o n ( 1 . 3 ) f o r R ^ w i t h t h e i n e q u a l i t y ( I I . 1 ) g i v e s X. . Q.. f ( E . , E . ) X. . - 2 e 1 J < e°. ( I I . 3 ) We s e e k t h e c r i t i c a l v a l u e E o f E f o r w h i c h t h e n e t w o r k o f r e s i s t o r s c s p e c i f i e d b y i n e q u a l i t y ( I I . 3 ) j u s t p e r c o l a t e s . S i n c e t h e E ^ a n d E ^ i n - 1 2 4 -i n e q u a l i t y ( I I . 3 ) i n v o l v e t h e t e m p e r a t u r e t , E. w i l l b e a f u n c t i o n o f t . I f we k n o w E ^ t ) , we h a v e , v i a e q u a t i o n ( I I . 2 ) , t h e d o m i n a n t t e m p e r a t u r e d e p e n d e n c e o f t h e o v e r a l l c o n d u c t i v i t y a. D e t e r m i n i n g £ c ( t ) b e g i n s w i t h t h e o b s e r v a t i o n t h a t i n e q u a l i t y ( I I . 3 ) s p e c i f i e s , i n t e r m s o f £ , w h i c h p a i r s o f s i t e s w i l l b e c o n n e c t e d b y a r e s i s t o r . A s s u c h , we c a n d e t e r m i n e E ^ ( t ) b y p r o c e e d i n g a s f o l l o w s . We i m a g i n e c h o o s i n g a s i t e a t r a n d o m . T h e p r o b a b i l i t y p ( X ) t h a t t h e r e w i l l b e a n o t h e r s i t e b e t w e e n X a n d X + d X a w a y f r o m t h e c h o s e n s i t e d e p e n d s o n t h e n u m b e r o f d i m e n s i o n s . F o r t h r e e d i m e n s i o n s , p ( X ) = | p g a 3 X 2 d X , ( I I . 4 ) w h e r e p i s t h e n u m b e r o f s i t e s p e r u n i t v o l u m e . G i v e n t h a t t h e r e i s i n d e e d s a s i t e b e t w e e n X a n d X + d X a w a y f r o m t h e c h o s e n s i t e , l e t p ( X ; E ) d e n o t e t h e p r o b a b i l i t y t h a t t h e e n e r g i e s o f t h e t w o s i t e s a r e s u c h t h a t t h e t w o s i t e s a r e c o n n e c t e d . p ( X ; E ) c a n b e d e t e r m i n e d f r o m i n e q u a l i t y ( I I . 3 ) . T h e r e s u l t d o e s , n o t d e p e n d o n t h e n u m b e r o f d i m e n s i o n s . O n c e we k n o w p ( X ; E ) , we c a n e a s i l y c a l c u l a t e t h e a v e r a g e n u m b e r B ( £ ) o f r e s i s t o r s , o r " b o n d s " , t h a t a r e c o n n e c t e d t o a s i t e . B y B ( E , ) , we m e a n t h e r a t i o o f t w i c e t h e t o t a l n u m b e r o f r e s i s t o r s a d m i t t e d b y i n e q u a l i t y ( I I . 3 ) t o t h e t o t a l n u m b e r o f s i t e s . I t i s c l e a r t h a t , f o r t h r e e d i m e n s i o n s , - 1 2 5 -X (E) m a x B(E) = 2. p a 3 J x 2 p ( X ; E ) d X , ( I I . 5 ) S X . (E) m m w h e r e X . (E) a n d X ( £ ) a r e , r e s p e c t i v e l y , t h e c l o s e s t a n d f a r t h e s t a p a r t m m m a x r t w o s i t e s c a n b e i n a c c o r d a n c e w i t h i n e q u a l i t y ( I I . 3 ) . S i n c e t h e m i n i m u m v a l u e o f Q.. f ( E . , E . ) i s 4, X . . i s r e s t r i c t e d a c c o r d i n g t o X. . X^- 2 e 1 J < |- e ^ . ( I I . 6) P r o v i d e d E, > 2 , t h e i n e q u a l i t y ( I I . 6 ) i s s a t i s f i e d f o r X ^ . s u c h t h a t E — X X . < X . . < X , w h e r e X . a n d X a r e t h e t w o s o l u t i o n s o f X 2 e ^ = 4 m m l j m a x m m m a x ( X . < 2 a n d X > 2 ) . R e c a l l t h a t X.. = 2 c o r r e s p o n d s t o t w o s i t e s a m m m a x i j r d i s t a n c e a a p a r t . B e c a u s e i t i s u n r e a s o n a b l e t o b e t h i n k i n g , i n t h e c a s e o f l i g h t l y d o p e d s e m i c o n d u c t o r s , i n t e r m s o f l o c a l i z e d e l e c t r o n i c s t a t e s w i t h c e n t e r s l e s s t h a n a b o u t a a p a r t , a n d s i n c e t h e f u n c t i o n X - 2 e i s m i n i m i z e d a t X = 2, w e t a k e X . (E) = 2 f o r a l l E > 2 a n d 2 < X.. < X ( E ) , w h e r e m m i j m a x X (E) i s g i v e n b y m a x E-X X 2 e m a x = 4. ( I I . 7 ) m a x E q u a t i o n ( I I . 5 ) r e d u c e s t o - 126 -X max B<5> = | P S a 3 / 2 X 2p(X;E)dX. (II.8) Hereafter, we s h a l l always take Z, > 2 and 2 < X < X . Once we know max p(X;E,), we can get Z, ( t ) . The way to do so i s to note that i f B(£) i s too c s m a l l , there w i l l be no p e r c o l a t i o n ; p e r c o l a t i o n w i l l occur, at temperature t , only i f B(£) > B ^ t ) , where B c ( t ) i s the c r i t i c a l number of bonds per s i t e required f or p e r c o l a t i o n at temperature t . S o l v i n g w i l l give us Z, ( t ) . c C a l c u l a t i n g Z, ( t ) reduces to determining an expression for B ( t ) . We c c turn to t h i s task i n the next s e c t i o n , where we w i l l a l s o present a r e s u l t B(E) = B ( t ) c (II.9) for I ( t ) . c - 1 2 7 -I I I . F o r m C h o s e n f o r B ( t ) ; O v e r a l l R e s i s t a n c e f o r F l a t D e n s i t y o f S t a t e s i n c 3 T h r e e D i m e n s i o n s T o c a l c u l a t e t h e o v e r a l l r e s i s t a n c e o f t h e r e s i s t o r n e t w o r k ( 1 . 3 ) , we w i l l n e e d a n e x p r e s s i o n f o r B ^ ( t ) f o r t o f o r d e r u n i t y . A s s u c h , i t w i l l b e h e l p f u l t o s t a r t b y s p e c i f y i n g t h e h i g h t l i m i t a n d l o w t a s y m p t o t i c f o r m o f B ( t ) . I f t » 1 , t h e r e s i s t o r n e t w o r k ( 1 . 3 ) r e d u c e s t o c X. . R . . = R n X. ."2 e 1 J , ( I H . l ) w h e r e we t a k e Q.. = 1 t h r o u g h o u t t h i s s e c t i o n . F o r t h e r e s i s t o r n e t w o r k X. . R. . = R,, e *~J i n t h r e e d i m e n s i o n s , B = 2 . 7 7 ( r e f . [ 1 0 ] ) . S i n c e t h e f a c t o r l j ^ c X. . 9 11 w i l l b e d o m i n a t e d b y t h e f a c t o r e i n t h e r e s i s t o r n e t w o r k ( l l l . l ) , w e t a k e B^ = 2 . 7 7 f o r t » 1. I f t « 1 , t h e r e s i s t o r n e t w o r k ( 1 . 3 ) m a y b e r e p l a c e d b y t h e f o r m X , . + ( + | e . | + e - e ) / 2 t R.. = R Q e 1 3 J 1 . ( I I I . 2 ) I n t h r e e d i m e n s i o n s , & c f o r t h i s r e s i s t o r n e t w o r k m a y b e w r i t t e n a s 4 n l ' * I ( t ) = ( £-) , ( I I I . 3 ) p a3 t s - 1 2 8 -w h e r e = 5.3 ± 0 . 3 ( r e f . [ 1 1 ] ) . A s we s a w i n [ I I ] , f o r t h e r e s i s t o r n e t w o r k ( I I I . 2 ) a n d a f l a t d e n s i t y o f s t a t e s we h a v e p ( X ; £ c ) = 3 t 2 ( C c " X ) 2 , ( I I I . 4 ) p r o v i d e d t h a t t < t ^ , w h e r e t c i s g i v e n b y E ( t ) = - r f - . ( I I I . 5 ) C C It c U s i n g e q u a t i o n s ( I I I . 4 ) a n d ( I I I . 3 ) i n e q u a t i o n ( I I . 8 ) y i e l d s , s i n c e t « 1 , it , t- ^3/'t BC( T ) = TW-H ' ( I I I - 6 ) c w h e r e t ^ i s o b t a i n e d e x p l i c i t l y u p o n c o m b i n i n g e q u a t i o n s ( I I I . 3 ) a n d ( I I I . 5 ) : 1/3 P s 3 ' t = — . ( I I I . 7 ) C 4 n 1/3 c 1/3 S i n c e p a w i l l b e s m a l l , f o r L D S s , t w i l l b e s m a l l . We c h o o s e " s c p a 3 = 0 . 0 0 8 7 , w h i c h w a s t h e v a l u e i n t h e G a A s s a m p l e o f r e f . [ 5 ] w i t h n . / n „ s A D - 1 2 9 -c l o s e s t t o ; r . E q u a t i o n ( I I I . 7 ) t h e n g i v e s t a 0 . 0 3 0 . 2. c We n e x t u s e t h e k n o w l e d g e g a i n e d f r o m o u r t w o - d i m e n s i o n a l s t u d i e s , [ I ] a n d [ I I ] , t o i n t e r p o l a t e f o r B ( t ) b e t w e e n t h e h i g h t l i m i t B = 2 . 7 7 a n d c ° c t h e l o w t ( t < t c ) a s y m p t o t i c f o r m ( I I I . 6 ) f o r B^Ct). A l t h o u g h w e a n t i c i p a t e o u r f i n a l r e s u l t f o r £ c ( t ) t o b e r e l i a b l e , w e m u s t a c k n o w l e d g e t h a t , b e c a u s e we a r e m a k i n g a n e x t e n s i o n f r o m t w o t o t h r e e d i m e n s i o n s , E ( t ) c c a n n o t b e o b t a i n e d t o a r b i t r a r y p r e c i s i o n . A s s u c h , we u s e t h e a p p r o x i m a t e v e r s i o n o f o u r t h e o r y , w h i c h w a s p r e s e n t e d i n t h e a p p e n d i x o f [ I I ] , a n d w h i c h - a s p o i n t e d o u t i n [ I I ] - a g r e e s t o w i t h i n a f e w p e r c e n t o f t h e e x a c t v e r s i o n o f o u r t h e o r y . (We h a v e c h e c k e d t h a t s u c h a g r e e m e n t a l s o h o l d s i n t h e t h r e e - d i m e n s i o n a l c a s e ; t h e r e s u l t i s a f i g u r e w h i c h i s v e r y m u c h l i k e F i g . 8 o f [ I I ] . ) A c e r t a i n B c ( t ) c u r v e w a s u s e d i n c o n j u n c t i o n w i t h t h e a p p r o x i m a t e v e r s i o n o f o u r t h e o r y t o g i v e a g r e e m e n t w i t h t h e n u m e r i c a l r e s u l t s i n t w o d i m e n s i o n s . T h e e s s e n t i a l f e a t u r e s o f t h i s c u r v e ( c u r v e " 2 " o f F i g . 3 o f 12 [ I I ] ) w e r e a s f o l l o w s . T h e B c ( t ) c u r v e f o r t h e h i g h t r e g i m e c o n s i s t e d o f t w o l i n e s e g m e n t s . O n e s e g m e n t w a s a l m o s t f l a t , g o i n g f r o m t h e h i g h t l i m i t i n g v a l u e o f B a t c t ~ 1 / 3 = 1 t o a b o u t 0 . 9 8 o f t h i s v a l u e a t ( t " 1 / 3 - l ) / ( t _ 1 / 3 - 1 ) » ^ ( i . e . , c 2 a p p r o x i m a t e l y h a l f w a y f r o m t - 1 / 3 = 1 t o t ~ 1 / 3 = t c ~ 1 / 3 o n t h e t - 1 ^ 3 a x i s ) . T h e f l a t n e s s o f t h i s s e g m e n t r e v e a l e d t h e n e a r e s t n e i g h b o r h o p p i n g c h a r a c t e r o f t h i s t - r a n g e , a n d a l s o s h o w e d t h a t t h e i n f i n i t e t e m p e r a t u r e l i m i t h a d e s s e n t i a l l y b e e n r e a c h e d b y t = 1. T h e s e c o n d s e g m e n t d r o p p e d f u r t h e r s o - 1 3 0 -t h a t B w e n t t o a b o u t 0.8 o f i t s t~l/3 = 1 v a l u e a t c ( t ~ 1 / 3 - l ) / ( t _ 1 / 3 - 1 ) » 0.8 ( i . e . , a p p r o x i m a t e l y f o u r f i f t h s o f t h e w a y c f r o m t " 1 / 3 = 1 t o t " 1 / 3 = t c " " 1 / 3 o n t h e t ~ 1 / 3 a x i s ) . T h i s f i n a l p o i n t l a y c l o s e t o t h e e x t r a p o l a t i o n o f t h e l o w t a s y m p t o t i c c u r v e f o r B ^ t ) . I f we e x t e n d t h e s e f e a t u r e s t o t h r e e d i m e n s i o n s , f o r t h e c h o i c e p g a 3 = 0 . 0 0 8 7 , we c o n s t r u c t a c u r v e w h i c h d r o p s l i n e a r l y f r o m B ^ = 2 . 7 7 a t t - l / k = 1 t o B = 2 . 7 1 a t t ~ 1 / l + = 1 . 6 6 6 , a n d t h e n t o B = 2 . 2 8 a t c c t - 1 " " * = 2 . 1 7 5 . T h i s l a s t p o i n t , a g a i n , l i e s v e r y c l o s e t o t h e e x t r a p o l a t i o n o f t h e l o w t a s y m p t o t i c c u r v e . S i n c e P g a 3 = 0 . 0 0 8 7 , we h a v e , f r o m e q u a t i o n ( I I I . 7 ) , t * 2 . 4 1 3 . c Q.. = 1 i n t h i s s e c t i o n ; t h i s w a s a l s o t h e c a s e i n [ I I ] . A s s u c h , we c a n a p p l y h e r e t h e t h e o r y t h a t w a s d e r i v e d i n [ I I ] . U s i n g t h e a p p r o x i m a t e v e r s i o n o f t h e t h e o r y , we h a v e d e t e r m i n e d E ( t ) f o r t h e B ( t ) c u r v e J c c s p e c i f i e d . T o d e t e r m i n e t h e f o r m o f t h e t e m p e r a t u r e d e p e n d e n c e o f E ( t ) , w e c h a v e p l o t t e d - E ^ ( t ) a g a i n s t t f o r v a r i o u s c h o i c e s o f s . (We h a v e p l o t t e d - E . c ( t ) , a s o p p o s e d t o E ^ ( t ) , a g a i n s t t 5 b e c a u s e w e w i s h t o m a i n t a i n t h e t r e n d e s t a b l i s h e d i n [ I ] a n d [ I I ] . ) We h a v e f o u n d t h a t , f o r e a c h v a l u e o f s c h o s e n i n t h e r a n g e ^ < s < 2 , t h e r e i s s o m e r e g i o n o f t h e r e s u l t a n t c u r v e w h i c h i s l i n e a r . O f p a r t i c u l a r i n t e r e s t t o u s i s t h e c a s e s » ^ . We w i s h - s 1 t o c o m p a r e a p l o t o f -h^^it) v s . t , w i t h s c l o s e t o , t o t h e e x p e r i m e n t a l r e s u l t s o f r e f s . [ 5 ] a n d [ 6 ] , T h e e s s e n t i a l f e a t u r e s o f t h e s e r e s u l t s a r e - s 1 a s f o l l o w s . A n a w a s f o u n d t o b e l i n e a r i n T w i t h s c l o s e t o -r a n d f o r a 4 - 131 -t e m p e r a t u r e r a n g e w h e r e T w a s a f e w K e l v i n . F o r e x a m p l e , f o r s a m p l e 2 o f r e f . [ 5 ] ( w h e r e n - G a A s w a s s t u d i e d ) , t h e l i n e a r i t y w a s f o u n d f o r 1 . 4 K < T < 6 K w i t h s = 0 . 2 7 . T h e e x p e r i m e n t a l T Q v a l u e ( 9 1 5 K ) w a s s u c h t h a t T 1/4 3.5 < [~^~J < 5 . 1 . I n o r d e r t o a c c o u n t f o r t h i s e x p e r i m e n t a l r e s u l t , we - s . 1 w o u l d n e e d t o p r e s e n t a p l o t o f - E ( t ) v s . t , w i t h s c l o s e t o w h e r e i n : ( 1 ) - E ( t ) w o u l d b e l i n e a r i n t f o r t . < t < t , a n d w h e r e c m m m a x t m a x 6 ( 2 ) * r — 7 - « 4 . 3 , a n d w h e r e ( 3 ) t h e m a g n i t u d e m o f t h e s l o p e o f t h i s m m l i n e a r r e g i o n w o u l d s a t i s f y 3 .5 < m t _ 1 / 1 + < 5.1 o r mt~l/l* » 5 . 1 , & J ~ ~ m m _ 1 / U . . . . . . , . . , m t « 3 . 5 . We h a v e t r i e d s u c h a f i t f o r v a r i o u s v a l u e s o f s c l o s e t o 7-. m a x 4 T h e p r o c e d u r e h a s m e t w i t h o n l y p a r t i a l s u c c e s s . We s h o w i n F i g . 1 o n e o f - 0 3 t h e b e t t e r e x a m p l e s ; - E ( t ) i s p l o t t e d a g a i n s t t ' . T h e l i n e a r s e g m e n t , i n d i c a t e d b y a h e a v y , s o l i d l i n e , h a s a s l o p e w i t h m a g n i t u d e m « 2 . 7 . T h e h i g h a n d l o w t l i m i t s , t ^ a n d t ^ r e s p e c t i v e l y , o f t h e l i n e a r r e g i o n a r e t , « 0 . 1 8 , t . « 0 . 1 0 . A s s u c h , — » 1.8 o r a f a c t o r o f a b o u t 2.4 t o o s m a l l , h A t A T h e m t _ 1 / l t v a l u e s f a l l i n t o t h e c o r r e c t r a n g e : m t ~ 1 / l * « 4 . 2 , m t ~ 1 / 1 + » 4 . 8 . T h i s a l l i n d i c a t e s t h a t t h e s l o p e o f t h e l i n e a r r e g i o n i s i n a c c o r d w i t h t h e e x p e r i m e n t a l r e s u l t , b u t t h a t t h e e x t e n t o f t h e l i n e a r r e g i o n i s s i m p l y n o t w i d e e n o u g h t o f u l l y d e s c r i b e t h e e x p e r i m e n t a l c u r v e . T h e d a s h e d l i n e i n F i g . 1 i s a n e x a m p l e o f t h e l i n e a r i t y r e q u i r e d t o f u l l y e x p l a i n t h e s m a l l T Q v a l u e f o u n d b y e x p e r i m e n t . S i n c e t h i s l i n e a r i t y i s n o t o v e r l y r e m o v e d f r o m t h e c u r v e f o r - E ( t ) , w e w i l l e x a m i n e , i n S e c . I V , t h e e f f e c t o f t h e Q.. c 1.1 f a c t o r i n o r d e r t o e s t a b l i s h u n a m b i g u o u s l y w h e t h e r o r n o t t h e f u l l r e s i s t o r - 132 -CD i I I CD I CD I O i 1.5 r Q 3 2.0 2.5 -0.3 F i g . 1: The -E curve when p l o t t e d against t * . The heavy, s o l i d l i n e segment has a slope which agrees with experimental r e s u l t s of r e f . [5]. However, i n order to f u l l y e x p l a i n the experimental r e s u l t s , the -E curve would have to coincide with the l i n e segment over a wider t-range: the dashed l i n e segment gives an example of the l i n e a r i t y required to account for the experimental r e s u l t s . - 133 -n e t w o r k a n d a f l a t d e n s i t y o f s t a t e s c a n e x p l a i n t h e e x p e r i m e n t a l f i n d i n g s . M e a n w h i l e , h o w e v e r , w e w i l l d e s c r i b e t h e r e s u l t s o f o u r p l o t t i n g - £ ( t ) - s . 1 v s . t f o r v a r i o u s s b e t w e e n —- a n d 2. A l t h o u g h f o r a n y s u c h s t h e r e i s s o m e l i n e a r r a n g e , b e c a u s e t h e m o s t e x t e n s i v e l i n e a r r e g i o n i s f o u n d f o r s » 1, a n d s i n c e Una h a s e x p e r i m e n t a l l y o f t e n b e e n f o u n d t o b e l i n e a r i n T - 1 f o r d o p e d s e m i c o n d u c t o r s ( s e e , f o r e x a m p l e , r e f . s [13] t o [16]), we p r e s e n t i n F i g . 2 o u r r e s u l t f o r - ^ ( t ) p l o t t e d a g a i n s t t " 1 . S i n c e C c ( t ) w a s d e t e r m i n e d n u m e r i c a l l y , we h a v e u s e d a x2 m i n i m i z a t i o n r o u t i n e t o o b t a i n t h e s l o p e o f t h e c u r v e i n F i g . 2. T h e r e s u l t i s 0.200 ± 0.002. T h i s - e 3 / k T c o r r e s p o n d s t o a c o n d u c t i v i t y o f t h e f o r m a = a Q e w i t h a c t i v a t i o n e n e r g y e 3 = 0.20AE. T h e t e m p e r a t u r e r a n g e o f t h e l i n e a r i t y i n F i g . 2 h a s b e e n t a k e n a s 5 < t _ 1 $,22. I n o u r t w o d i m e n s i o n a l s t u d i e s , we f o u n d t h e l i n e a r r e g i m e t o b e 5 < t - 1 < 20-25, a n d t h e c o r r e s p o n d i n g v a l u e f o r e 3 t o b e 0.28Ae. We s e e t h a t e 3 i s l e s s i n t h r e e d i m e n s i o n s t h a n i n t w o . O u r 17 18 r e s u l t s d i f f e r f r o m t h o s e o f S k a l , S h k l o v s k i i , a n d E f r o s ' , w h o o b t a i n e d e 3 = Y2^e t o r i n t e r m e d i a t e c o m p e n s a t i o n s i n e i t h e r t w o o r t h r e e d i m e n s i o n s , 19 a n d t h o s e o f H a y d e n a n d B u t c h e r , w h o c l a i m e d e 3 = 0.38AE f o r t h e t w o - d i m e n s i o n a l c a s e . T h e s e o t h e r w o r k e r s ' f i n d i n g s , h o w e v e r , w e r e o b t a i n e d u s i n g t h e l o w t e m p e r a t u r e , a s y m p t o t i c f o r m o f t h e r e s i s t o r n e t w o r k (1.3). A s s h o w n i n [ I ] , t h e f u l l f o r m o f t h e r e s i s t a n c e a n d t h e l o w t e m p e r a t u r e a s y m p t o t i c f o r m d i f f e r a p p r e c i a b l y u n l e s s t i s q u i t e s m a l l , b e l o w t h e t - r a n g e s h o w n i n F i g . 2. We b e l i e v e t h a t o u r r e s u l t s d i f f e r f r o m t h e i r s - 134 -I h— o I CO-I a H i o I T 1 r 10 T 1 r .-I 15 ~1 r 2 0 F i g . 2: P l o t showing l i n e a r i t y of -£ i n t " 1 . The l i n e a r region i s taken c to be 5 < t " 1 < 2 2 . The slope, obtained from a x2 minimization r o u t i n e , i s - 0 . 2 0 0 ± 0.002, which corresponds to an a c t i v a t i o n energy e 3 - 0.20Ae. - 135 -because of t h e i r use of the low temperature asymptotic form for i n a high temperature regime. We also wish to point out t h a t , although the t-range of the l i n e a r regime for three dimensions i s e s s e n t i a l l y the same as i t was f o r two dimensions (see [ I I ] ) , whereas the l i n e a r regime i n two dimensions corresponded mostly to the " f l a t " part of the B ^ t ) curve and the nearest neighbor hopping regime, i n three dimensions i t corresponds mostly to the "dropping" part of the B ( t ) curve. c Since we d i d not f i n d a wide enough temperature range wherein -E ( t ) c was l i n e a r i n t - 1 / , 1 + w i t h a small enough slope to account for the small T Q values observed experimentally as reported i n r e f . s [5] and [ 6 ] , we have e s t a b l i s h e d that for a f l a t d e n s i t y of states i n three dimensions, and where the f a c t o r i n equation (1.3) i s replaced by u n i t y , there r e s u l t s no temperature range which i s s u f f i c i e n t l y extensive and wherein the slope i s small enough to account for the s m a l l , experimental T Q values. We turn next to the task of b r i n g i n g i n t o c o n s i d e r a t i o n the f a c t o r Q... - 1 3 6 -I V . E f f e c t o f t h e Q.. F a c t o r A s i n [ I I ] , we w i l l f i n d i t c o n v e n i e n t t o i n t r o d u c e b = E . - E . a n d J i w o r k w i t h t h e t h r e e q u a n t i t i e s E ^ , E ^ , b e v e n t h o u g h o n l y t w o a r e i n d e p e n d e n t . S i n c e E . < E . a n d - 77— < E . < 7 7 - , t h e r e g i o n i n t h e E . E . p l a n e 1 j 2 t j 2 t ' 6 1 J c o r r e s p o n d i n g t o a l l o w e d p a i r s o f e n e r g i e s i s f o r m e d b y t h e l i n e s E ^ = - — • , E j = ~ , b = 0; we r e f e r t o t h i s r e g i o n a s " t h e t r i a n g l e " ( s e e F i g . 3 ) . T o d e t e r m i n e p ( X ; £ ) w h e n X * 0 ( Q ^ * 1 ) , we b e g i n b y r e w r i t i n g a n d f ( E . , E . ) i n t e r m s o f b a n d E . : 1 J J Q ( b ) = [ l + x 2 b 2 t 2 ] \ ( I V . 1 ) \ _ «r s i n h b s i n h ( b / 2 ) , b,-, , T „ „, f ( b , E J = 2 [ — + -j^ c o s h ( E ^ - y ) J. ( I V . 2 ) A s p o i n t e d o u t i n S e c . I , i t s e l f d o e s n o t a c t u a l l y d e p e n d o n t e m p e r a t u r e ; d e p e n d s o n l y o n t h e e n e r g y d i f f e r e n c e e ^ - e ^ , a ( e . - e . ) v i z . Q-. = [ l + ( ^ — j 2 ] 1 * . H o w e v e r , a s we s a w i n [ I I ] , t h e e n e r g y 1 J 2 t r e d i f f e r e n c e o f t h e i m p o r t a n t p a i r s o f s i t e s d o e s v a r y w i t h t e m p e r a t u r e : w h e n t h e t e m p e r a t u r e d r o p s b e l o w t h e r a n g e c o r r e s p o n d i n g t o n e a r e s t n e i g h b o r h o p p i n g , t h e e n e r g y d i f f e r e n c e f o r t h e i m p o r t a n t p a i r s d e c r e a s e s w i t h d e c r e a s i n g t . A s s u c h , t h e f a c t o r s a s s o c i a t e d w i t h t h e r e s i s t o r s f o r s u c h i m p o r t a n t p a i r s w i l l s h o w a t e m p e r a t u r e d e p e n d e n c e , a n d t h e e f f e c t o f - 137 -F i g . 3: The t r i a n g l e and va r i o u s boundary curves. The t r i a n g l e i s s p e c i f i e d by the l i n e s E^ • E i " ~ It"» E j " E i * T h e b o u n d a r v curves, l a b e l l e d according t o the value of JL appearing i n the f a c t o r Q^ . (equation (IV.1)), are symmetrical about the l i n e E. - - E. (dashed l i n e ) . The q u a n t i t y E.°. a s s o c i a t e d w i t h a l l 3 i J boundary cu r v e s , and the q u a n t i t y ° m a x corresponding to the boundary curve f o r Jt • 0, are shown and are described i n the t e x t . - 1 3 8 -t h e Q „ f a c t o r o n t h e o v e r a l l v a l u e o f E ^ w i l l v a r y w i t h t e m p e r a t u r e . T h i s i s r e f l e c t e d i n t h e f o r m c h o s e n t o w r i t e i n e q u a t i o n ( I V . 1 ) , a n d w i l l b e r e v e a l e d f u r t h e r b e l o w b y t h e m a n n e r i n w h i c h Q ( b ) a f f e c t s - t h e p r o b a b i l i t y t h a t s i t e s w i t h " e n e r g i e s " E ^ a n d E ^ , s e p a r a t e d b y a d i s t a n c e X , w i l l b e c o n n e c t e d . C o m b i n i n g ( 1 . 3 ) , ( I I . 1 ) , ( I V . 1 ) a n d ( I V . 2 ) g i v e s t h e c r i t e r i o n w h i c h E ^ a n d E ^ m u s t s a t i s f y i f s i t e s i a n d j , s e p a r a t e d b y a d i s t a n c e X , a r e t o b e c o n n e c t e d : Q ( b ) f ( b , E j < X 2 e ^ X . ( I V . 3 ) A s s u c h , s i t e s i a n d j a r e c o n n e c t e d i f E ^ a n d E ^ a r e i n s i d e " t h e t r i a n g l e " a n d a l s o w i t h i n t h e " b o u n d a r y c u r v e " s p e c i f i e d b y Q ( b ) f ( b , E . ) = X 2 e C X , ( I V . 4 ) o r E — X , f „ b b-i _ b / 2 f X 2 e s i n h , . c o s h ( E . " 7) " s i n h ( b / 2 ) (^Q (bT b ~ J ' ( I V ' 5 ) We w r i t e E ^ b i n e q u a t i o n ( I V . 5 ) t o d e n o t e t h a t E ^ , f o r g i v e n X a n d i s a f u n c t i o n o f b . F o r a f l a t d e n s i t y o f s t a t e s , t h e p r o b a b i l i t y p ( X ; E . ) i s s i m p l y t h e f r a c t i o n o f t h e a r e a o f t h e t r i a n g l e e n c l o s e d b y t h e " b o u n d a r y - 1 3 9 -c u r v e " E . b ( s e e F i g . 3 ) . T h e b a s i c f e a t u r e s o f t h e b o u n d a r y c u r v e f o r t h e c a s e Q ( b ) £ 1 ( x # 0), a s s p e c i f i e d b y e q u a t i o n ( I V . 5 ) , a r e t h e s a m e a s f o r t h e c a s e Q ( b ) = 1 ( x = 0), w h i c h w e r e d i s c u s s e d t h o r o u g h l y i n [ I I ] , a n d a r e a s 0 E b f o l l o w s . E . = E . = E . ° a n d ^ = - 1 a t b = 0, w h e r e y2 J>~x c o s h E.° = — | 1. ( I V . 6 ) A s b i n c r e a s e s , E ^ b i n c r e a s e s , r e a c h e s a m a x i m u m v a l u e , t h e n d e c r e a s e s s t e a d i l y w i t h b : b c a n i n c r e a s e t o a m a x i m u m v a l u e b w h e r e J m a x b o E . b E . = - E . = — - — a n d • J i • = + 1 , b b e i n g g i v e n b y 1 I 2 0 E . m a x l s i n h b s i n h ( b / 2 ) wo E-X m a x m a x _ X^  e b b / 2 2 Q ( b ) " m a x m a x ( I V . 7 ) b b A s b i n c r e a s e s f r o m 0 t o b , E . - — d e c r e a s e s m o n o t o n i c a l l y , m e a n i n g t h a t m a x j 2 t h e b o u n d a r y c u r v e m o n o t o n i c a l l y a p p r o a c h e s t h e l i n e E ^ = - E ^ ( s e e F i g . 3 ) . T h e b o u n d a r y c u r v e i s s y m m e t r i c a l a b o u t t h e l i n e E ^ = - E ^ ; t h e v a l u e o f E ^ ° b m a x e x c e e d s — — f o r a l l v a l u e s o f X. A l l o f t h e s e f e a t u r e s a r e d i s p l a y e d i n F i g . 3. - 140 -Although E . is independent of A , b raonotonically decreases with 3 max J increasing A . This is illustrated in F i g . 3 by showing boundary curves corresponding to given values of £ and X and different values of A. The principal characteristic of the curves is that the curves become more and more flattened as A increases, i.e. that b decreases as A increases. max Our main goal in this section is to establish how the factor affects the shape of the -£ (t) vs. t-*'"* curve: will inclusion of Q. . c ij result in sufficient straightening of the curve in F i g . 1 to account for the experimental results of ref.s [5] and [6]? To answer this question, we employ the approximate version of our theory, which was described in the appendix of [II], to obtain results for 5c(t) for various choices of A. The approximation is to replace the boundary curve by its low t asymptotic trapezoidal shape; the trapezoid is given by the line segments E. = b for j max 0 < E. < b , E. = E.+ b for -b < E. < 0, E. = -b for -b < E. < l max j l max max l l max max . j 0 and E. = E. for -b < E. < b . Because b depends on A , the j l max l max max approximate version of the theory must be slightly modified from the form given in [II] in order to obtain results for the case A * 0. Notice from equation (IV.7) that b decreases as X increases. For a given t and a max given E (t), the trapezoid "tops out", as X decreases, when b = TT~. This ° c max 2t occurs for X = X ; from equation (IV.7), top • X 2 e C t0p = [l + AVtsinh - r - + Stsinh 7-]. (IV.8) top 4 J L 2t 4 t J - 141 -S i m i l a r l y , t h e t r a p e z o i d j u s t f u l l y e n c l o s e s t h e t r i a n g l e w h e n b x = "jr> o c c u r r i n g f o r X = X r ,,: f u l l 2 e C f u l l = r x + A 2 ] 4 [2t s i n h I + 4 t s i n h ! _ ] . ( I V . 9 ) X f u l l N o t e t h a t , i f t i s s m a l l e n o u g h , t h e r e w i l l b e n o s o l u t i o n f o r i r c i s s m a l l e r s t i l l , t h e r e w i l l b e n o s o l u t i o n f o r X . T h i s i s b e c a u s e t h e r e t o p a r e t e m p e r a t u r e s t a n d t , s u c h t h a t , f o r t < t , t h e t r a p e z o i d f o r t o p f u l l t o p X = 2 i s w h o l l y i n s i d e t h e t r i a n g l e , w h i l e f o r t > t , t h e t r a p e z o i d f o r f u l l X = 2 w h o l l y e n c l o s e s t h e t r i a n g l e . T h e s e a n d o t h e r d e t a i l s a r e f u l l y d i s c u s s e d i n [ I I ] . U s i n g t h e t h e o r y p r e s e n t e d i n t h e a p p e n d i x o f [ I I ] , a l o n g w i t h e q u a t i o n s ( I V . 7 ) , ( I V . 8 ) , a n d ( I V . 9 ) , we a r e a b l e t o d e t e r m i n e a. A G £ ( t ) f o r v a r i o u s c h o i c e s o f X . T h e s e v a r i o u s c h o i c e s o f X = c o r r e s p o n d c 2 t r s t o v a r i o u s b a n d w i d t h s A e . I n F i g . 4, we p l o t t h e c u r v e s f o r - £ ( t ) v s . t " 1 / 1 + f o r x = 0.75, 1.5, 2 . 2 5 , 3 . U s i n g a = 100A a n d s - 5 x 10 3 m ' s - 1 , t h e s e c o r r e s p o n d r o u g h l y t o b a n d w i d t h s A e o f 0.5, 1, 1.5 a n d 2 meV. A l s o s h o w n i n F i g . 4 i s t h e c u r v e o b t a i n e d w h e n t h e f a c t o r i s r e p l a c e d b y u n i t y . F i g . 4 r e v e a l s t h a t , a s X i n c r e a s e s , ( t ) s h i f t s d o w n w a r d s a n d , s i n c e £ ( t ) v a r i e s o v e r a s m a l l e r r a n g e , t h e c u r v e s b e c o m e f l a t t e r . A n a t t e m p t t o c f i t t h e c u r v e s t o t h e e x p e r i m e n t a l r e s u l t s o f r e f . [ 5 ] d i s c l o s e s t h a t t h e c u r v e s a r e n o t l i n e a r o v e r a w i d e e n o u g h t - r a n g e t o e x p l a i n t h e e x p e r i m e n t a l - 142 -F i g . 4: E f f e c t of the Q. . f a c t o r on the r e s u l t i n g curve for -£ vs. t ~ 1 / l * . i j c The curves are l a b e l l e d according to the value f o r A appearing i n equation (IV.1) f o r QJJ« A • 0 corresponds to r e p l a c i n g by u n i t y . The other choices of A are r e l a t e d to p a r t i c u l a r choices f o r the bandwidth Ae, as shown i n Table I. As was the case i n F i g . 1, none of the curves i s l i n e a r over a wide enough range of temperature to e x p l a i n the experimental r e s u l t s of r e f . [5]. Compare w i t h F i g . 5. - 143 -r e s u l t s . We conclude that i n c l u s i o n of the Q.. factor w i l l not account for the small T Q values observed experimentally. In F i g . 5, we plot -E^ Ct) vs. t - 1 for the various values of X. As we saw previously i n F i g . 2, for X = 0, -E (t) varies l i n e a r l y with t - 1 , having a slope of about -0.20. This corresponds to a conductivity of the form a = -e 3/kT OQ e where the a c t i v a t i o n energy e 3 = 0.20Ae. As A increases, the E 3 magnitude of the slope, which i s T^-, decreases. According to Table I, as the bandwidth Ae increases, the a c t i v a t i o n energy e 3 becomes a smaller f r a c t i o n of the bandwidth. Even so, e 3 increases with increasing Ae, but more slowly for larger bandwidths, suggesting perhaps a l i m i t i n g value. E 3 One s immediate i n c l i n a t i o n might be to think that the decrease i n — with X Ae kT to be due to the l i n e a r i t y appearing i n T-ranges where t = -— was Ae successively smaller. F i g . 5 indicates this to be not so. The decrease i n E 3 T^- with increasing Ae i s a consequence of the Q fa c t o r . We must point out that the numbers presented i n Table I are only approximate. This i s p a r t l y because, as shown in F i g . 3, with increasing X, the boundary curves become more flattened. The consequence of this i s that the trapezoidal approximation described b r i e f l y above becomes less r e l i a b l e as X increases. Moreover, the plots of - E c ( t ) vs. t _ 1 appearing i n F i g . 5 become less l i n e a r and more curved as X increases. The kink that appears i n the curves corresponding to larger values of X i s simply a manifestation of the kink used i n the curve for B (t) (Sec. I I I ) . This kink could be c - 144 -• 0 5 10 15 20 F i g . 5: As i n F i g . 4 but w i t h -£ p l o t t e d against t ~ . The curves are c l i n e a r f o r the temperature ranges given i n Table I. The f i g u r e and t a b l e together r e v e a l t h a t , as Ae i n c r e a s e s , the magnitude of the sl o p e , decreases: the a c t i v a t i o n energy e 3 becomes a s m a l l e r f r a c t i o n of Ae as Ae i n c r e a s e s . See text and Table I for more d e t a i l s . - 145 -TABLE I Jl Ae ( i n meV) |slope|(Jf-) e3 ( i n meV) T-range of l i n e a r regime ( i n K) 0.75 0.5 0.19 0.10 0.3 to 1.2 1.5 1 0.17 0.17 0.6 to 1.7 2.25 1.5 0.15 0.22 1.1 to 2.3 3 2 0.12 0.24 1.8 to 3.9 TABLE I: E f f e c t of the Q^. f a c t o r on the slope of the curves i n F i g . 5. Jl i s a parameter e n t e r i n g Q^j which designates a choice of bandwidth Ae of l o c a l i z e d s t a t e s . The tabu l a t e d magnitudes of the s l o p e s , — , a s s o c i a t e d values for the a c t i v a t i o n energies e 3 , and ranges of temperatures T f o r the l i n e a r regimes are approximate only and are estimated from the curves i n F i g . 5. - 146 -s m o o t h e d a w a y s i m p l y b y u s i n g a s m o o t h c u r v e f o r B^Ct). T h e t r a p e z o i d a l a p p r o x i m a t i o n c o u l d a l s o b e i m p r o v e d u p o n . F o r e x a m p l e , o n e c o u l d u s e t h e t r a p e z o i d d e s c r i b e d b y t h e f o u r l i n e s e g m e n t s : E . = E . ° f o r E . ° - b < E . J J J m a x 1 < E . ° , E . = E . + b f o r - E . ° < E . < E.° - b , E . = - E . ° f o r - E . ° < E.< J J i m a x j l j m a x ' I j j j - E . ° + b a n d E . = E . f o r - E .° < E . < E.° . A l t e r n a t i v e l y , o n e c o u l d u s e J m a x j l J J J t h e f u l l f o r m o f t h e t h e o r y , a s p r e s e n t e d i n [ I I ] , a n d n o t m a k e a n y a p p r o x i m a t i o n t o t h e b o u n d a r y c u r v e . We r e a l i z e t h a t s u c h i m p r o v e m e n t s a r e e x p e c t e d t o p r o d u c e s l i g h t c h a n g e s i n t h e v a l u e s p r e s e n t e d i n T a b l e I . H o w e v e r , w e h a v e d e c i d e d n o t t o u n d e r t a k e a m o r e p r e c i s e t r e a t m e n t o f t h i s p r o b l e m . B a s e d o n t h e e x p e r i e n c e w e h a v e g a i n e d i n o u r w o r k f o r t w o d i m e n s i o n s , we b e l i e v e t h a t u s e o f t h e f u l l f o r m o f t h e t h e o r y w i l l r e s u l t i n £ ( t ) c u r v e s w h i c h d i f f e r o n l y s l i g h t l y f r o m t h o s e o b t a i n e d a b o v e v i a t h e c a p p r o x i m a t e v e r s i o n o f t h e t h e o r y . We a r e c e r t a i n l y c o n v i n c e d t h a t t h e e x a c t c u r v e s f o r £ c ( t ) w i l l n o t a c c o u n t f o r t h e e x p e r i m e n t a l r e s u l t s . F o r o u r p u r p o s e s , t h e g a i n s t o b e r e a p e d f r o m a m o r e c a r e f u l a n a l y s i s a r e o u t w e i g h e d b y t h e h u m a n t i m e , c o m p u t e r t i m e , a n d c o m p u t e r d o l l a r s w h i c h w o u l d n e e d t o b e i n v e s t e d . A l t h o u g h i t i s c l e a r t h a t a m o r e t h o r o u g h i n v e s t i g a t i o n i n t o t h e Q - d e p e n d e n c e o f t h e s l o p e s o f -E,^{t) v s . t - 1 w o u l d p r o v e t o b e v a l u a b l e , a n d w o u l d l e a d t o m o r e p r e c i s e e n t r i e s i n T a b l e I , we a r e a t p r e s e n t c o n t e n t t o h a v e e s t a b l i s h e d w h a t i s t h e e s s e n t i a l s i g n i f i c a n c e o f t h e Q „ f a c t o r : t h e b a s i c e f f e c t s o f t h e Q.. f a c t o r a r e t o d e c r e a s e - E ( t ) w i t h i n c r e a s i n g i j c b a n d w i d t h A e , t o p r o d u c e a t r e n d o f d e c r e a s i n g 7 — w i t h i n c r e a s i n g A e , a n d t o - 147 -r e s u l t i n a r i s e i n a c t i v a t i o n e n e r g y e 3 w i t h A e , p o s s i b l y l e v e l l i n g o f f a t l a r g e e n o u g h A e . T h u s , we d o n o t a t p r e s e n t u n d e r t a k e a m o r e p r e c i s e t r e a t m e n t . O u r n e x t t a s k w i l l b e t o a t t e m p t t o e x p l a i n t h e s m a l l T Q v a l u e s o b s e r v e d e x p e r i m e n t a l l y b y e x a m i n i n g o u r t h e o r y f o r d e n s i t i e s o f s t a t e s o t h e r t h a n f l a t . We w i l l r e p o r t t h e r e s u l t s o f s u c h a n i n v e s t i g a t i o n i n o u r n e x t p a p e r . - 1 4 8 -V . S u m m a r y O n e o f t h e p r i n c i p a l o b j e c t i v e s o f t h i s p a p e r w a s t o d e t e r m i n e w h e t h e r o r n o t t h e s m a l l T Q v a l u e s o b s e r v e d e x p e r i m e n t a l l y ^ 1 ^ i n t h r e e - d i m e n s i o n a l L D S s c o u l d b e a c c o u n t e d f o r b y u s i n g t h e f u l l r e s i s t o r n e t w o r k ( 1 . 3 ) a n d a f l a t d e n s i t y o f s t a t e s . We b e g a n b y e x t e n d i n g o u r t w o - d i m e n s i o n a l a n a l y t i c t h e o r y t o t h r e e d i m e n s i o n s . A l t h o u g h we w e r e a b l e t o f i n d , f o r a p l o t o f -E ( t ) v s . t ~ 1 / , 1 + , a t - r a n g e w h e r e i n t h e c u r v e w a s l i n e a r a n d w i t h a s m a l l e n o u g h s l o p e t o m a t c h t h e e x p e r i m e n t a l v a l u e o f T Q , t h e t - r a n g e w a s n o t w i d e e n o u g h t o f u l l y a c c o u n t f o r t h e e x p e r i m e n t a l r e s u l t s . We f o u n d t h a t - E ( t ) c w a s b e t t e r d e s c r i b e d a s b e i n g l i n e a r i n t - * , w i t h a s l o p e o f a b o u t - 0 . 2 0 , _ e 3 / k T c o r r e s p o n d i n g t o a c o n d u c t i v i t y o f t h e f o r m a = a n e w i t h a c t i v a t i o n e n e r g y e 3 = 0 . 2 0 A e . We f o u n d i n [ 1 ] t h e s a m e f o r m f o r a f o r t w o d i m e n s i o n s , b u t w i t h e 3 = 0 . 2 8 A e : t h e e f f e c t o f g o i n g f r o m t w o d i m e n s i o n s t o t h r e e d i m e n s i o n s i s t o r e d u c e t h e a c t i v a t i o n e n e r g y e 3 r e l a t i v e t o t h e b a n d w i d t h A e . We h a v e a l s o s e e n t h a t , i n t h r e e d i m e n s i o n s , t h e l i n e a r r e g i m e c o r r e s p o n d s m o s t l y t o t h e " d r o p p i n g " p a r t o f t h e B ^ ( t ) c u r v e , w h e r e a s i n t w o d i m e n s i o n s , i t c o r r e s p o n d e d m o s t l y t o t h e " f l a t " p a r t o f t h e B ( t ) c u r v e . 17 1 8 O u r r e s u l t s d i f f e r f r o m t h o s e o f S k a l , S h k l o v s k i i , a n d E f r o s ' , w h o r e p o r t e d e 3 = A e f o r b o t h t w o a n d t h r e e d i m e n s i o n s , a n d a l s o t h o s e o f 1 9 H a y d e n a n d B u t c h e r , w h o f o u n d e 3 = 0 . 3 8 A e f o r t w o d i m e n s i o n s . We b e l i e v e t h a t o u r r e s u l t s d i f f e r f r o m t h e s e o t h e r w o r k e r s ' b e c a u s e o f t h e i r u s e o f t h e l o w t e m p e r a t u r e f o r m o f t h e r e s i s t a n c e i n t h e h i g h t e m p e r a t u r e r e g i m e . S i n c e t h e - E ( t ) v s . t - ^ 1 * c u r v e s w e r e n o t t o o f a r f r o m b e i n g i n f u l l - 1 4 9 -a g r e e m e n t w i t h t h e e x p e r i m e n t a l r e s u l t s , we e x a m i n e d t h e e f f e c t o f t h e u s u a l l y n e g l e c t e d f a c t o r . O u r m a i n g o a l i n t h i s i n v e s t i g a t i o n w a s t o e s t a b l i s h w h e t h e r o r n o t i n c l u s i o n o f t h e Q.. f a c t o r w o u l d s t r a i g h t e n o u t t h e -C^Ct) v s . t _ 1 / l t c u r v e s e n o u g h t o m a t c h t h e e x p e r i m e n t a l c u r v e s . We h a v e e s t a b l i s h e d t h i s t o b e n o t s o . A s s u c h , we h a v e c o n c l u d e d t h a t t h e e x p e r i m e n t a l r e s u l t s m a y n o t b e u n d e r s t o o d u s i n g t h e f u l l r e s i s t o r n e t w o r k a l o n g w i t h a f l a t d e n s i t y o f s t a t e s . B e y o n d t h i s r e s u l t , we h a v e a l s o d e m o n s t r a t e d w h a t t h e p r i n c i p a l e f f e c t s o f t h e Q^. f a c t o r a r e . T h e m a j o r e 3 r o l e p l a y e d b y t h e f a c t o r i s t o p r o d u c e a t r e n d o f d e c r e a s i n g — w i t h i n c r e a s i n g A e . T h e a c t i v a t i o n e n e r g y e 3 w h e n i s r e p l a c e d b y u n i t y , a s q u o t e d a b o v e , i s e 3 = 0 . 2 0 A e f o r t h r e e d i m e n s i o n s . W i t h t a k e n i n t o c o n s i d e r a t i o n , t h e a c t i v a t i o n e n e r g y c a n b e a m u c h s m a l l e r f r a c t i o n o f A e £ 3 t h a n 0 . 2 0 ( s e e T a b l e I ) . A l t h o u g h d e c r e a s e s w i t h i n c r e a s i n g A e , e 3 i t s e l f r i s e s w i t h A e , p o s s i b l y l e v e l l i n g o f f a t l a r g e e n o u g h A e . F i n a l l y , t h e Q.. f a c t o r a l s o r e s u l t s i n a d e c r e a s e i n -E w i t h i n c r e a s i n g A e . i j c A l t h o u g h we h a v e p r e s e n t e d t h e n a t u r e o f t h e e s s e n t i a l e f f e c t s o f t h e Q^^ f a c t o r , we r e a l i z e t h a t a m o r e p r e c i s e t r e a t m e n t c a n a n d s h o u l d b e m a d e . We h a v e n o t a t t e m p t e d a c o m p l e t e a n a l y s i s o f t h e r o l e p l a y e d b y Q — • C* u r a p p r o a c h w a s b a s e d o n t h e d e f o r m a t i o n p o t e n t i a l a p p r o x i m a t i o n ; a p o s s i b i l i t y f o r r e f i n e m e n t o f o u r r e s u l t s , b e y o n d t h o s e s u g g e s t i o n s g i v e n i n S e c . I V , i s t o t a k e i n t o c o n s i d e r a t i o n t h e p i e z o e l e c t r i c e f f e c t ( s e e r e f . [ 1 5 ] a n d o t h e r r e f e r e n c e s t h e r e i n ) . I n o u r n e x t p a p e r , we w i l l i n v e s t i g a t e t h e e f f e c t w h i c h d i f f e r e n t - 1 5 0 -d e n s i t i e s o f s t a t e s h a v e o n t h e s h a p e o f t h e -E ( t ) v s . t - 1 / , l t c u r v e . We w i l l e s t a b l i s h w h e t h e r o r n o t t h e f u l l r e s i s t o r n e t w o r k f o r a n y r e a s o n a b l e d e n s i t y o f s t a t e s c a n e x p l a i n t h e l o w T Q v a l u e s a n d h i g h T - r a n g e r e p o r t e d e x p e r i m e n t a l l y i n r e f . s [ 5 ] a n d [ 6 ] . A C K N O W L E D G M E N T S We w i s h t o a c k n o w l e d g e u s e f u l d i s c u s s i o n s w i t h P e t e r C.W. H o l d s w o r t h . T h i s w o r k w a s s u p p o r t e d f i n a n c i a l l y b y N S E R C O p e r a t i n g G r a n t A 7 1 3 . - 151 -REFERENCES *Present Address: Department of Physics, Dalhousie University, H a l i f a x , N.S., CANADA B3H 3J5 XN.F. Mott, J. Non-Cryst. Solids 1_, 1 (1968); Philos. Mag. _19, 835 (1969). 2 V. Ambegaokar, B.I. Halperm and J.S. Langer, Phys. Rev. B 4, 2612 (1971). 3M. Pollak, J. Non-Cryst. Solids U_, 1 (1972). 4 M.R.A. Shegelski and R. Barrie, submitted to Phys. Rev. B. 5M. Benzaquen and D. Walsh, Phys. Rev. B _30, 7287 (1984). S l . Benzaquen, K. Mazuruk, D. Walsh and M.A. d i Forte-Poisson, J. Phys. C JJ3, L1007 (1985). ^See either B.I. Shklovskii and A.L. Efros, E l e c t r o n i c Properties of Doped Semiconductors (Springer-Verlag, B e r l i n , 1984), pp. 82-88, or M.R.A. Shegelski, Ph.D. Thesis (unpublished, 1986). g M.R.A. Shegelski and R. Barrie, submitted to Phys. Rev. B. 9 See, for example, B.I. Shklovskii and A.L. Efros, E l e c t r o n i c Properties of  Doped Semiconductors (Springer-Verlag, B e r l i n ^ 1984), pp. 130-136, 204-207. 1 0See, for example, J. K u r k i j a r v i , Phys. Rev. B 9 > » 770 (1974). ^ B . I . Shklovskii and A.L. Efros, E l e c t r o n i c Properties of Doped  Semiconductors (Springer-Verlag, B e r l i n , 1984), p. 206. - 152 -12 1 1 In two dimensions, the —• i n equation ( i . l ) i s replaced by —; for t h i s reason, i s p l o t t e d against t - ^ 3 i n two dimensions but against t " ^ 1 * i n three dimensions. 13 0. V. Emel'yanenko, T.S. Lagunova, D.N. Nasledov, D.D. Nedeoglo and 1. N. Timchenko, F i z . Tekn. Poluprov. 7_, 1919 (1973) [Sov. Phys. Semicond. _7_, 1280 (1974)]. 14 O.V. Emel'yanenko, K.S Masagutor, D.N. Nasledov and I.N. Timchenko, F i z . Tekn. Poluprov. 9_, 503 (1975) [Sov. Phys. Semicond. 9_, 3 3 0 (1975)]. 1 5H. Kahlert and G. Landwehr, Z. Physik B 24, 361 (1976). 1 6D. Lemoine, C. P e l l e t i e r , S. Rolland and R. Granger, Phys. L e t t . A 56, 497 (1976). 1 7A.S. S k a l , B.I. S h k l o v s k i i and A.L. E f r o s , F i z . Tverd. Tela. 17_, 506 (1975) [Sov. Phy s . - S o l i d State 316 (1975)]. 18 B.I. S h k l o v s k i i and A.L. E f r o s , E l e c t r o n i c P r o p e r t i e s of Doped  Semiconductors ( S p r i n g e r - V e r l a g , B e r l i n , 1984), pp. 191-195. 1 9 K . J . Hayden and P.N. Butcher, P h i l o s . Mag. B 38, 603 (1978). - 153 -H o p p i n g c o n d u c t i v i t y i n l i g h t l y d o p e d s e m i c o n d u c t o r s - I V : H i g h t e m p e r a t u r e T - 1 / l t b e h a v i o r w i t h s m a l l T Q v a l u e s M a r k R.A. S h e g e l s k i * a n d R o b e r t B a r r i e D e p a r t m e n t o f P h y s i c s , U n i v e r s i t y o f B r i t i s h C o l u m b i a V a n c o u v e r , B . C . , C A N A D A V 6 T 2 A 6 Abstract In previous works, we performed a numerical s i m u l a t i o n of, and presented an a n a l y t i c theory f o r , a l i g h t l y doped semiconductor with a f l a t d ensity of s t a t e s . These were f i r s t steps toward the aim of the present work: to understand c e r t a i n experimental r e s u l t s for l i g h t l y doped n-GaAs -(T / T ) S and n-InP i n which the c o n d u c t i v i t y a was found to be a = a Qe 0 w i t h c l o s e to The experimental range of temperatures T, IK < T < 7K, was wel above, and the experimental Tn values w e l l below, the l i m i t s set by those e s t a b l i s h e d theories which p r e d i c t o to be of t h i s form. In t h i s paper, we extend our a n a l y t i c theory to study how the form of the density of s t a t e s a f f e c t s the r e s u l t i n g c o n d u c t i v i t y . As before, we model the semiconductor as a M i l l e r and Abrahams type r e s i s t o r network. We examine d e n s i t i e s of states g(e) with dependence on energy e of the form g(e) « where X = + \r, 0, - \ , and the chemical p o t e n t i a l i s chosen to be zero. We f i n d - 154 -t h a t a l t h o u g h t h e d e n s i t i e s o f s t a t e s w i t h X = + y , 0 a r e n o t c o m p a t i b l e w i t h t h e e x p e r i m e n t a l c o n d u c t i v i t y , i t i s h i g h l y p l a u s i b l e t h a t a d e n s i t y o f s t a t e s w h i c h d e c r e a s e s w i t h | e j f o r e f a r e n o u g h a w a y f r o m t h e c h e m i c a l p o t e n t i a l ( X = - y ) a c c o u n t s f o r t h e e x p e r i m e n t a l c o n d u c t i v i t y . C r u c i a l i n o u r a n a l y s i s i s t h e u s e o f t h e f u l l f o r m o f t h e r e s i s t o r n e t w o r k ; we d o n o t t a k e t h e l o w t e m p e r a t u r e a s y m p t o t i c f o r m b e c a u s e we a r e i n t e r e s t e d i n t e m p e r a t u r e s w h e r e k T i s o f o r d e r o f t h e b a n d w i d t h A e . We a l s o p r e d i c t t h a t - ( T / T ) 1 / l + t h e TQ i n t h e c o n d u c t i v i t y a = o n e 0 w i l l s w i t c h f r o m a s m a l l v a l u e a t t e m p e r a t u r e s w h e r e k T i s o f o r d e r A e t o a l a r g e v a l u e w h e n k T « A e . We a l s o s u g g e s t t h a t w h e t h e r a g o e s l i k e T _ 1 o r T ~ 1 / l t w h e n k T i s o f o r d e r A e may b e d u e s i m p l y t o t h e d e n s i t y o f s t a t e s , a n d t h a t t h e e l e c t r o n - e l e c t r o n i n t e r a c t i o n a p p e a r s t o p l a y n o r o l e i n d e t e r m i n i n g t h e f o r m o f a w h e n k T i s o f o r d e r A e . P A C S n u m b e r s : 7 2 . 2 0 . - i - 155 -I . I n t r o d u c t i o n I n a p r e v i o u s p a p e r \ h e r e a f t e r r e f e r r e d t o a s [ I ] , we r e p o r t e d t h a t 2 3 t h e r e e x i s t e x p e r i m e n t a l r e s u l t s ' f o r l i g h t l y d o p e d n - G a A s a n d n - I n P f o r w h i c h t h e c o n d u c t i v i t y 0 i s g i v e n b y - f T / T ) 1 / l t a = a 0 e u 0 / u , ( I . l ) a n d t h a t t h e s e e x p e r i m e n t a l r e s u l t s h a v e n o t u n t i l n o w h a d a s u i t a b l e t h e o r e t i c a l e x p l a n a t i o n . T h e e x p e r i m e n t a l c o n d u c t i v i t y ( I . l ) h o l d s f o r a r a n g e o f t e m p e r a t u r e s T w h i c h i s w e l l a b o v e t h e t e m p e r a t u r e r a n g e w h e r e 4 5 6 c e r t a i n w e l l k n o w n t h e o r i e s ' ' p r e d i c t a t o b e o f t h e f o r m ( I . l ) , a n d t h e e x p e r i m e n t a l v a l u e s f o r t h e c h a r a c t e r i s t i c t e m p e r a t u r e T Q a r e m u c h s m a l l e r t h a n t h e t h e o r e t i c a l v a l u e s . T h i s p a p e r r e p r e s e n t s t h e c u l m i n a t i o n o f f o u r i n v e s t i g a t i o n s w h i c h h a v e l e d t o a n u n d e r s t a n d i n g o f t h e s e e x p e r i m e n t a l r e s u l t s . T h e i n v e s t i g a t i o n s h a v e b e e n b a s e d o n a r e s i s t o r n e t w o r k m o d e l o f a l i g h t l y d o p e d s e m i c o n d u c t o r , w h i c h w a s p r e s e n t e d i n d e t a i l i n [ I ] . I n [ I ] , we p e r f o r m e d a n u m e r i c a l s i m u l a t i o n i n t w o d i m e n s i o n s t o c a l c u l a t e t h e t e m p e r a t u r e d e p e n d e n c e o f t h e o v e r a l l r e s i s t a n c e o f t h e r e s i s t o r n e t w o r k . I n a s u b s e q u e n t p a p e r 7 , h e r e a f t e r r e f e r r e d t o a s [ I I ] , we u s e d a n a n a l y t i c a p p r o a c h t o c a l c u l a t e t h e o v e r a l l r e s i s t a n c e o f t h e n e t w o r k . We f o r m u l a t e d t h e c a l c u l a t i o n i n t e r m s o f a p e r c o l a t i o n p r o b l e m . T h e a n a l y t i c t h e o r y i n v o l v e d t h e u s e o f t h e t e m p e r a t u r e d e p e n d e n t c r i t i c a l n u m b e r o f r e s i s t o r s , o r b o n d s , p e r s i t e , B ( T ) , r e q u i r e d f o r p e r c o l a t i o n a t t e m p e r a t u r e T. B y - 156 -c h o o s i n g a r e a s o n a b l e f o r m f o r B ^ C T ) , we w e r e a b l e t o o b t a i n a g r e e m e n t b e t w e e n t h e a n a l y t i c t h e o r y a n d t h e r e s u l t s o f t h e n u m e r i c a l s i m u l a t i o n . I n g a t h i r d p a p e r , [ I I I ] , we e x t e n d e d o u r a n a l y t i c t h e o r y t o t h r e e d i m e n s i o n s . I n a l l t h r e e p a p e r s , w e c h o s e t h e d e n s i t y o f l o c a l i z e d d o n o r s t a t e s t o b e f l a t . We e s t a b l i s h e d i n [ I I I ] t h a t t h e e x p e r i m e n t a l c o n d u c t i v i t y r e p o r t e d i n r e f . s [ 2 ] a n d [ 3 ] c o u l d n o t b e a c c o u n t e d f o r b y u s i n g a f l a t d e n s i t y o f s t a t e s . I n t h e p r e s e n t p a p e r , we c o n s i d e r d e n s i t i e s o f s t a t e s o t h e r t h a n f l a t . T h e d e n s i t i e s o f s t a t e s s t u d i e d , a n d t h e r e a s o n s f o r c h o o s i n g t h e m , a r e d e s c r i b e d i n S e c . I I . We v e r y b r i e f l y o u t l i n e i n S e c . I l l t h e k e y e q u a t i o n s i n v o l v e d i n o u r t h e o r y . We a l s o d e s c r i b e i n d e t a i l h o w o u r t h e o r y — d e l i v e r e d i n f u l l i n [ I I ] a n d [ I I I ] — m u s t b e m o d i f i e d w h e n a f l a t d e n s i t y o f s t a t e s i s r e p l a c e d b y a n e n e r g y - d e p e n d e n t d e n s i t y o f s t a t e s . P r e s e n t e d i n S e c . I V a r e t h e r e s u l t s o f o u r i n v e s t i g a t i o n s f o r t h e v a r i o u s d e n s i t i e s o f s t a t e s e x a m i n e d . I n S e c . V , we d i s c u s s h o w t h e s e r e s u l t s r e v e a l a n u n d e r s t a n d i n g o f t h e e x p e r i m e n t a l c o n d u c t i v i t y . We a l s o r e l a t e t h e i m p l i c a t i o n s o f o u r e x p l a n a t i o n o f t h e e x p e r i m e n t a l r e s u l t s . A s u m m a r y a n d r e c o m m e n d a t i o n f o r f u r t h e r s t u d y a r e o f f e r e d i n S e c . V I . We a s s u m e t h a t t h e r e a d e r i s f a m i l i a r w i t h t h e w o r k we r e p o r t e d i n [ I ] , [ I I ] , a n d [ I I I ] . I f h e o r s h e i s n o t , t h e e s s e n t i a l i d e a s i n , a n d f i n d i n g s o f , o u r w o r k ma y b e a b s o r b e d b y s k i m m i n g S e e s I I t h r o u g h I V , a n d r e a d i n g S e c . V a n d S e c . V I . - 1 5 7 -I I . T h e D e n s i t i e s o f S t a t e s I n t h i s p a p e r , we c o n s i d e r t h e s a m e b a s i c p r o b l e m a s t h a t o f [ I I ] a n d [ I I I ] , a n d we e m p l o y a l l t h e s a m e n o t a t i o n . I n p a r t i c u l a r , we c o n t i n u e t o r e g a r d t h e d e n s i t y o f s t a t e s g ( e ) t o b e s y m m e t r i c a l a b o u t t h e z e r o t e m p e r a t u r e c h e m i c a l p o t e n t i a l \xQ , we s e t n Q = 0, a n d f o r s i m p l i c i t y w e t a k e t h e n u m b e r d e n s i t y n ^ o f d o n o r s t o b e t w i c e t h e n u m b e r d e n s i t y n . o f D J A a c c e p t o r s . A s s u c h , t h e r e s i s t a n c e s R.. a r e o f t h e s a m e f o r m a s i n o u r p r e v i o u s w o r k s . H o w e v e r , b e c a u s e we f o u n d i n [ I I I ] t h a t t h e Q.. f a c t o r i n R.. d i d n o t a f f e c t t h e v a l u e o f s c o r r e s p o n d i n g t o - £ b e i n g l i n e a r i n t , we w i l l r e p l a c e b y u n i t y i n t h i s p a p e r . A s i n o u r p r e v i o u s w o r k s , w e u s e t h e f u l l f o r m o f t h e r e s i s t o r n e t w o r k , a n d d o n o t t a k e t h e l o w t a s y m p t o t i c f o r m , b e c a u s e we a r e i n t e r e s t e d i n t e m p e r a t u r e s w h e r e k T i s o f t h e o r d e r o f t h e b a n d w i d t h A e o f t h e d e n s i t y o f s t a t e s . T h e o n l y n e w e l e m e n t t o b e i n t r o d u c e d i n t h i s p a p e r i s t h e f o r m o f t h e d e n s i t y o f s t a t e s . We w a n t t o e x a m i n e h o w d i f f e r e n t d e n s i t i e s o f s t a t e s a f f e c t t h e r e s u l t o b t a i n e d f o r - £ ( t ) ( t h e c r i t i c a l r e s i s t o r R i s g i v e n b y R = R n e ) . We C C o j c u a r e i n t e r e s t e d i n d e n s i t i e s o f s t a t e s w h i c h d i f f e r f u n d a m e n t a l l y f r o m o n e a n o t h e r . A s s u c h , we c o n s i d e r d e n s i t i e s o f s t a t e s o f t h e f o r m 0, f o r | e | > |£-, , A ( I I . 1 ) a | e | \ f o r 0 < | e | < TT", X > - 1 , - 1 5 8 -A e / 2 w h e r e a i s f i x e d b y / g ( e ) d e = n . T h e c a s e X = 0 c o r r e s p o n d s t o a - A e / 2 U f l a t d e n s i t y o f s t a t e s ; X = 2 c o r r e s p o n d s t o a c a s e l i k e t h e o n e e n v i s i o n e d b y S h k l o v s k i i a n d E f r o s w h e r e t h e d e n s i t y o f s t a t e s v a n i s h e s a t t h e F e r m i 9 l e v e l i n c o n s e q u e n c e o f t h e e l e c t r o n - e l e c t r o n i n t e r a c t i o n . T h e g a p i n t h e d e n s i t y o f s t a t e s i s r e f e r r e d t o a s t h e C o u l o m b g a p . We w i l l e x a m i n e t h e c a s e s X = + y a n d X = - —. T h e d e n s i t i e s o f s t a t e s f o r c a s e s X = + y , X = 0, X = - y a r e s h o w n b y s o l i d c u r v e s i n F i g . 1. T h e f i r s t c o r r e s p o n d s t o a n a r r o w e r C o u l o m b g a p t h a n t h e X = 2 c a s e ; t h e l a s t m o d e l s a d e n s i t y o f s t a t e s w h i c h d e c r e a s e s w i t h | e | a s e m o v e s a w a y f r o m \XQ, a n d i s c h a r a c t e r i s t i c o f a c a s e w h e r e t h e r e i s n o C o u l o m b g a p . F o r t h e c h o i c e X = - i t w o u l d b e m o r e a p p r o p r i a t e t o t a k e t h e d e n s i t y o f s t a t e s t o b e g p , f o r 0 < | e | < 2-, ; ( e ) = <| a | e | \ f o r \ < | e | < f ^ , ( I I . 2 ) 0, f o r > Ae_ 2 ' TI X w h e r e g ^ = a \-^ \ ( s e e t h e d a s h e d c u r v e i n F i g . 1 ) . O n e m i g h t a l s o w i s h t o e m p l o y e q u a t i o n ( I I . 2 ) f o r t h e c a s e X = + y. O u r a t t i t u d e i n t h e r e m a i n d e r o f t h i s p a p e r w i l l b e a s f o l l o w s . We c o n s i d e r t h e d e n s i t y o f s t a t e s t o b e o f t h e f o r m ( I I . 2 ) . A s s u c h , a t l o w T ( k T « r ) ) , we t a k e g ( e ) = g ^ , s i n c e - 159 -F i g . 1: Various d e n s i t i e s of states. Densities of states of the form (II.1) with X • • y, X » 0 and X - - y are indicated by s o l i d curves; the density of states (II.2) for X • - i s indicated by a dashed curve. Notice that a l l the d e n s i t i e s of states are symmetric about the aero temperature chemical p o t e n t i a l u Q . The area under each of the curves i s equal to the number density n^ of donors. The bandwidth for each case i s Ae. - 1 6 0 -o n l y t h o s e s t a t e s w i t h s m a l l | e | m a t t e r , a n d a w i l l b e o f t h e f o r m ( 1 . 1 ) w i t h TQ l a r g e . ( T h i s w i l l a c c o u n t f o r t h e l o w t e m p e r a t u r e c o n d u c t i v i t y o b s e r v e d b y E m e l ' y a n e n k o e t a l . ^ , w h i c h w a s m o r e t h o r o u g h l y d i s c u s s e d i n k T [ I ] . We r e t u r n t o t h i s p o i n t i n S e c . V . ) A t h i g h T ( t = - — o f o r d e r A e u n i t y ) , p r o v i d e d i s n o t t o o c l o s e t o u n i t y , w e r e p l a c e t h e d e n s i t y o f s t a t e s ( I I . 2 ) b y t h e f o r m ( I I . 1 ) . We c a n d o s o b e c a u s e t h e s t a t e s n e a r t h e b a n d e d g e s w i l l b e a s i m p o r t a n t a t h i g h T a s t h o s e n e a r t h e m i d d l e o f t h e b a n d . We m a k e s u c h a n a p p r o x i m a t i o n a t h i g h T f o r t w o r e a s o n s . O u r m a i n o b j e c t i v e i s t o e s t a b l i s h t h e m a n n e r i n w h i c h f u n d a m e n t a l l y d i f f e r e n t t y p e s o f d e n s i t i e s o f s t a t e s — s u c h a s t h e c a s e s \ = ± y — w i l l a f f e c t t h e c o n d u c t i v i t y . I n p a r t i c u l a r , w e w i l l d e t e r m i n e w h e t h e r o r n o t , f o r a r e a s o n a b l e d e n s i t y o f s t a t e s , t h e c o n d u c t i v i t y p r e d i c t e d b y t h e r e s i s t o r n e t w o r k m o d e l ( s e e [ I ] ) c a n b e o f t h e f o r m ( 1 . 1 ) a t h i g h t e m p e r a t u r e s ( t o f o r d e r u n i t y ) a n d w i t h T n m u c h s m a l l e r t h a n t h e v a l u e f o r T n a s s o c i a t e d w i t h 4 5 6 l o w t e m p e r a t u r e s ( t « 1 ) a n d a f l a t d e n s i t y o f s t a t e s ' ' . A n a n s w e r i n t h e a f f i r m a t i v e w i l l c o n s t i t u t e a t l a s t a p o s s i b l e e x p l a n a t i o n f o r t h e . . 2 e x p e r i m e n t a l c o n d u c t i v i t y r e p o r t e d b y B e n z a q u e n a n d W a l s h f o r l i g h t l y d o p e d 3 n - G a A s a n d b y B e n z a q u e n e t a l . f o r l i g h t l y d o p e d n - I n P . H o w e v e r , i t i s n o t o u r o b j e c t i v e a t t h i s t i m e t o d e t e r m i n e t h e e x a c t d e n s i t y o f s t a t e s r e q u i r e d t o a c c o u n t f o r t h e s e e x p e r i m e n t a l r e s u l t s . M o r e o v e r , r e p l a c i n g t h e d e n s i t y o f s t a t e s ( I I . 2 ) b y t h e r e d u c e d f o r m ( I I . l ) g r e a t l y s i m p l i f i e s t h e t h e o r e t i c a l a n a l y s i s t o b e p r e s e n t e d i n t h e n e x t s e c t i o n . T h e f o r m ( I I . l ) f o r t h e d e n s i t y o f s t a t e s w i l l b e s u i t a b l e f o r o u r p u r p o s e s . - 1 6 1 -I I I . T h e o r y T h e o v e r a l l c o n d u c t i v i t y o f t h e r e s i s t o r n e t w o r k ( s e e [ I ] , [ I I ] , [ I I I ] ) i s g i v e n b y a = a Q e , ( l l l . l ) - 5 C w h e r e E, i s g i v e n i n t e r m s o f t h e c r i t i c a l r e s i s t a n c e R b y R = R f,e ( R r l c c c u u i s a p r e f a c t o r c o m m o n t o a l l r e s i s t o r s i n t h e n e t w o r k ) , a n d i s f i x e d b y t h e f o l l o w i n g e q u a t i o n s : X B ( t ) =2.p a 3 / m 3 X X 2 p ( X ; E ) d X , ( I I I . 2 ) C £• s 2 c X 2 e c ~ X m a x = 4, ( I I I . 3 ) m a x w h e r e B ^ ( t ) i s t h e c r i t i c a l n u m b e r o f b o n d s ( r e s i s t o r s ) p e r s i t e r e q u i r e d f o r p e r c o l a t i o n a t t e m p e r a t u r e t , a n d p ( X ; £ ^ ) i s t h e p r o b a b i l i t y t h a t t w o s i t e s a d i s t a n c e X a p a r t w i l l h a v e e n e r g i e s s u c h t h a t t h e s i t e s w i l l b e c o n n e c t e d . I n t h i s s e c t i o n , we o b t a i n a n e x p r e s s i o n f o r p ( X ; £ ^ ) w h e n t h e d e n s i t y o f s t a t e s i s o f t h e f o r m ( I I . 1 ) , a n d we g i v e e x p l i c i t e x p r e s s i o n s f o r X = ± y ( t h e c a s e X = 0 w a s d e a l t w i t h t h o r o u g h l y i n [ I I ] a n d [ I I I ] ) . T h e - 162 -s y m b o l s u s e d a r e a s d e f i n e d i n [ I I ] a n d [ I I I ] . F o r t h e d e n s i t y o f s t a t e s ( I I . l ) , t h e p r o b a b i l i t y t h a t a s i t e c h o s e n a t r a n d o m h a s e n e r g y e ^ b e t w e e n e a n d e + d e i s 2 X q + l ) | e l X d e ( A e ) T h e p r o b a b i l i t y t h a t , i n s e l e c t i n g a p a i r o f s i t e s a t r a n d o m , o n e h a s e n e r g y b e t w e e n e . a n d e. + d e . , a n d t h e o t h e r h a s e n e r g y b e t w e e n e. a n d e . + d e . , i s 2 2 X + 1 U + 1 ) 2 | e l X | e . | X d e . d e . ( A e ) e . e . I n t e r m s o f E . = — | r , E . = — ~ k a n d t , t h i s l a s t q u a n t i t y a b o v e , d e n o t e d b y l k T j k T J J p ( E ^ , E j ) , m a y b e w r i t t e n a s p ( E . , E . ) = hx+D2 ( 2 t ) 2 X + 2 | E . | X | E . | X d E . d E . . ( I I I . 4 ) p ( X ; E ) i s d e t e r m i n e d b y i n t e g r a t i n g p ( E . , E . ) o v e r t h e i n t e r s e c t i o n o f t h e c i J t r i a n g l e a n d t h e r e g i o n i n t e r i o r t o t h e b o u n d a r y c u r v e ( s e e [ I I ] ) . I n t h e c o n t e x t o f t h e t r a p e z o i d a l a p p r o x i m a t i o n ( d e s c r i b e d i n t h e a p p e n d i x o f [ I I ] ) , t h e r e a r e t w o c a s e s t o c o n s i d e r : 0 < b < — • a n d < b < 7-. I t ' m a x 2 t 2 t m a x t i s s t r a i g h t f o r w a r d t o o b t a i n t h e e x p r e s s i o n s f o r p ( X ; E ^ ) f o r t h e s e c a s e s . - 163 -p(X;£ ) turns out to depend only on 2tb = u (where, i n t u r n , b depends C TR3.X IflelX on X and E. as given by equation (IV.4) of [ I I ] ) , so we w r i t e c p(X;£ c) = p(u). The expression for p(u) for X > -1 i s : p(u) = Ir i x fy^\ r ( x + i ) r ( x + 2 ) ^ 2X+2 2* 1 + r ( 2X + 3 ) J u , for 0 < u < 1, iKl + (u-l)X+1) + - k x + l ) u 2 X + 2 J U _ 1 dC C X ( 1 - C ) X + 1 , for Ku<2, ( I I I . 5 ) 1-u - 1 1, for u > 2, when T(x) i s the Gamma f u n c t i o n . For the p a r t i c u l a r cases X = ± y, we have: + f i ^ " 3 ' for 0 < u < 1, P + 1 / 2 ( u ) = y ( 1 + ( u " 1 ) 3 / 2 ) + T ^ ^ f " " a r c c o s u " 1 / 2 ^ ( H I . 6 ) + j - u ( 2 - u ) ( u - l ) 1 / 2 , for 1 < u < 2, 1, for u > 2, - 1 6 4 -a n d ( r - + | - ) u , f o r o < u < 1 , P - l / 2 ( u ) = ± { l + ( u - 1 )1 ' 2 ) a r c c o s u ~ 1 / 2 ) , f o r 1 < u < 2 , ( I I I . 7 ) 1 , f o r u > 2 . T h e r e a s o n f o r u s i n g t h e a p p r o x i m a t e v e r s i o n o f o u r t h e o r y i n s t e a d o f t h e f u l l f o r m w i l l s o o n b e c o m e o b v i o u s . H a v i n g f o u n d e x p r e s s i o n s f o r p(X;Z,^), t h e o n l y i n g r e d i e n t i n o u r t h e o r y r e m a i n i n g t o b e s p e c i f i e d i s t h e c u r v e f o r B ( t ) . I n [ I I ] , we o b t a i n e d t h e B c ( t ) c u r v e f o r t w o d i m e n s i o n s a n d a f l a t d e n s i t y o f s t a t e s b y m a t c h i n g o u r t h e o r e t i c a l r e s u l t f o r E ( t ) w i t h t h e n u m e r i c a l r e s u l t o b t a i n e d i n [ I ] . I n c [ I I I ] , w e u s e d t h e B ( t ) c u r v e f o r t h r e e d i m e n s i o n s a n d a f l a t d e n s i t y o f c s t a t e s . I n s t r u m e n t a l i n o u r a n a l y s e s w e r e c o n s i d e r a t i o n s o f t h e t -> <*> l i m i t a n d t h e 0 a s y m p t o t i c f o r m o f B ^ t ) . F o r t h e t h r e e - d i m e n s i o n a l c a s e w h e r e t h e d e n s i t y o f s t a t e s i s n o t f l a t , t h e t •* <*> l i m i t o f B ( , ( t ) i s s t i l l 2 . 7 7 ( s e e [ I I I ] ) b u t t h e t -> 0 a s y m p t o t i c f o r m i s d i f f e r e n t . I n a n a p p e n d i x , w e d e r i v e t h e l o w t a s y m p t o t i c f o r m f o r B c ( t ) f o r t h e d e n s i t y o f s t a t e s ( I I . 2 ) w i t h X = - •—. T h e r e a s o n s f o r e x a m i n i n g t h i s c a s e w i l l b e c o m e c l e a r i n t h e n e x t s e c t i o n . T h e e x p r e s s i o n we o b t a i n i s - 1 6 5 -A 3 B ( t ) = ( f B ° ( t ) , ( I I I . 8 ) C v T] ' C w h e r e f , t h e f r a c t i o n o f s t a t e s f o r w h i c h | e | < i s f = , ( I I I . 9 ) 2 f ^ ) 1 / 2 - 1 a n d B ° ( t ) i s t h e e x p r e s s i o n f o r t h e l o w t f o r m o f B ( t ) f o r X = 0: ( t ) = To nc^t ) > (in.io) w h e r e n w a s t a k e n i n [ I ] t o b e 5.3 ± 0 . 3 ( r e f . [ 1 1 ] ) a n d t w a s s h o w n i n c c [ I I I ] t o b e p l ' 3 a t = - 2 . ( I I I . 1 1 ) C 4 n 1/3 c I t i s i m p o r t a n t t o n o t e t h a t , w h e r e a s t h e B c ( t ) c u r v e f o r t h e c a s e X = 0 i s e x p e c t e d t o m e r g e o n t o t h e l o w a s y m p t o t i c f o r m B ° ( t ) w h e n t < t c , f o r 1 n X = - •— t h e m e r g i n g c a n b e e x p e c t e d o n l y f o r t < f l / 3 J _ t ( s e e e q u a t i o n ( A . 5 ) o f t h e a p p e n d i x ) . C o m b i n e d w i t h e q u a t i o n ( I I I . 8 ) , t h i s i m p l i e s t h a t t h e m e r g i n g m o v e s t o b o t h s m a l l e r t a n d t o a s m a l l e r v a l u e o f B ^ . ( t < f 1 / 3 7 - t i m p l i e s B < f 777 « ~ 1 . 6 6 f . ) A e c v c 1 0 c - 166 -T h e c o n s e q u e n c e o f t h i s s h i f t i n t h e m e r g i n g i s a s f o l l o w s . I t b e c o m e s l e s s c l e a r t h a n i t w a s i n [ i l l ] h o w t o i n t e r p o l a t e f o r B ( t ) b e t w e e n t h e c h i g h t l i m i t a n d t h e l o w t a s y m p t o t i c f o r m . I n [ I I I ] , w e c o u l d o b t a i n t h e a p p r o p r i a t e f o r m f o r B^ Ct) f o r t h r e e d i m e n s i o n s a n d a f l a t d e n s i t y o f s t a t e s b y a p p e a l i n g t o t h e f o r m f o r B ( t ) o b t a i n e d i n [ I I ] f o r t w o d i m e n s i o n s a n d a c f l a t d e n s i t y o f s t a t e s . We h a v e l e s s t o g u i d e u s i n c h o o s i n g B^ Ct) f o r t h r e e d i m e n s i o n s a n d a d e n s i t y o f s t a t e s o t h e r t h a n f l a t . A s s u c h , i t i s c l e a r t h a t i t w o u l d n o t b e s u i t a b l e t o u s e t h e f u l l f o r m o f o u r t h e o r y ; t h e a p p r o x i m a t e v e r s i o n w i l l s u f f i c e . D e s p i t e n o t b e i n g a b l e t o s p e c i f y B ( t ) e x a c t l y , t h e c i r c u m s t a n c e s f o r c o n t i n u e d i n v e s t i g a t i o n r e m a i n f a v o r a b l e , a n d we a d o p t t h e f o l l o w i n g s t r a t e g y . We w i l l b e g i n b y a s s u m i n g t h a t B c ( t ) d o e s n o t c h a n g e a p p r e c i a b l y w i t h a c h a n g e i n t h e d e n s i t y o f s t a t e s , a n d we w i l l u s e f o r o u r i n i t i a l i n v e s t i g a t i o n t h e f o r m f o r B^ Ct) p r e s e n t e d i n [ I I I ] . We w i l l i n q u i r e a s t o h o w c l o s e t h e c u r v e s f o r - E c ( t ) v s . t - 1 / l t c o m e t o a c c o u n t i n g f o r t h e e x p e r i m e n t a l c o n d u c t i v i t i e s r e p o r t e d i n r e f . s [ 2 ] a n d [ 3 ] , B a s e d o n t h e r e s u l t s o b t a i n e d , w e w i l l a s k : f o r a r e a s o n a b l e d e n s i t y o f s t a t e s , i s t h e r e a r e a s o n a b l e f o r m f o r B ( t ) t h a t a r r a n g e s t h a t t h e -£ ( t ) v s . t _ 1 / 1 + c u r v e c c d o e s c o r r e s p o n d t o t h e e x p e r i m e n t a l d a t a f o r A n o v s . T - ^ 1 * ? T h e a n s w e r i s g i v e n i n t h e n e x t s e c t i o n . - 1 6 7 -I V . R e s u l t s C o m b i n i n g t h e e x p r e s s i o n s f o r pCX-.E^) o f S e c . I l l w i t h t h e a p p r o x i m a t e f o r m o f o u r t h e o r y ( t h e t r a p e z o i d a l a p p r o x i m a t i o n , d e s c r i b e d i n [ I I ] a n d [ I I I ] ) , we h a v e o b t a i n e d £ £ ( t ) f o r t h e d e n s i t y o f s t a t e s ( I I . l ) f o r X = ± y. F o r t h e " f l a t d e n s i t y o f s t a t e s " B ( t ) u s e d i n [ I I I ] , w e f i n d t h a t E i s c c l i n e a r i n t _ 1 f o r b o t h v a l u e s o f X, a s w a s f o u n d i n [ I I I ] f o r X = 0. I n F i g . 2 , w e p l o t - E v s . t - 1 f o r t h e t h r e e c a s e s X = - y , X = 0, X = + y. We s e e f r o m t h e f i g u r e t h a t t h e m a g n i t u d e o f t h e s l o p e o f t h e c u r v e i n c r e a s e s a s X i n c r e a s e s . ( F o r d i s c u s s i o n s o f t h e l i n e a r i t y o f £ c i n t - 1 , s e e [ I I ] a n d [ I I I ] . ) I n F i g . 3 , we p l o t -E v s . t~^^ f o r t h e t h r e e v a l u e s o f X, w i t h t h i s s a m e B c ( t ) . A l s o s h o w n i n t h e f i g u r e i s a h e a v y c u r v e , h e r e a f t e r r e f e r r e d t o a s " t h e e x p e r i m e n t a l c u r v e " , w h i c h i s c o n s i s t e n t w i t h t h e e x p e r i m e n t a l c o n d u c t i v i t y f o r s a m p l e 2 ( p g a 3 = 0 . 0 0 8 7 ) o f r e f . [ 2 ] . ( T h e r e a s o n s f o r c h o o s i n g t h i s s a m p l e w e r e g i v e n i n [ I I I ] . ) T h i s c u r v e h a s t h e t h r e e f e a t u r e s r e q u i r e d f o r c o n s i s t e n c y w i t h e x p e r i m e n t ( s e e t h e d i s c u s s i o n i n S e c . I l l o f [ I I I ] ) : ( 1 ) -E i s l i n e a r i n t " 1 / l t , ( 2 ) t h e r a n g e o f t h e c l i n e a r i t y , t - < t < t , i s e x t e n s i v e e n o u g h t o m a t c h t h e e x p e r i m e n t a l m m m a x r r a n g e , v i z . t . a 0 . 0 3 6 , t » 0 . 1 5 , t h e r e b y c o r r e s p o n d i n g t o t h e ° ' m m m a x e x p e r i m e n t a l v a l u e s T . = 1 . 4 K , T » 6 K , a n d ( 3 ) t h e m a g n i t u d e m o f t h e m m m a x s l o p e i s s m a l l e n o u g h t o m a t c h t h e s m a l l e x p e r i m e n t a l T Q v a l u e ( 9 1 5 K ) , v i z . T - 1 / 4 x - 1 / 4 ' m t _ 1 / l t » ( ^ ~ ) « 5 . 1 , m t _ 1 / l t = ( ^ ~ ) - 3.5 (m « 2 . 2 ) . T h e m m T . ' m a x v T 1 m m m a x - 168 -- 169 -3: Plo t s of vs. t " 1 / v for the cases X • • X - 0 , X • - with c * * B given by curve "1" of F i g . 4; these plot s are given by the c curves of normal thickness. The heavy curve corresponds to X • - y and B as given by curve "2" of F i g . 4. See text for d e t a i l s and c d i s c u s s i o n . - 1 7 0 -e x p e r i m e n t a l c u r v e h a s b e e n p o s i t i o n e d n e a r t o t h e c u r v e f o r - £ c ( t ) c o r r e s p o n d i n g t o X. = - y f o r a n o b v i o u s r e a s o n : t h e c u r v e f o r X = - y i s b y f a r t h e c l o s e s t o f t h e t h r e e t o m a t c h i n g t h e e x p e r i m e n t a l c u r v e . M o r e o v e r , n o t i c e t h a t t h e X = - y c u r v e i s a c t u a l l y q u i t e c l o s e t o m a t c h i n g t h e e x p e r i m e n t a l c u r v e . A s s u c h , we a s k : w h a t m u s t B ( t ) b e f o r t h e c a s e c X - - — i n o r d e r t h a t - £ c ( t ) c o i n c i d e w i t h t h e e x p e r i m e n t a l c u r v e , a n d i s t h i s f o r m o f B ( t ) r e a s o n a b l e ? c T h e c u r v e f o r B ( t ) r e q u i r e d t o g i v e s u c h a g r e e m e n t , h e r e a f t e r r e f e r r e d t o a s " t h e n e w B ( t ) c u r v e " , i s l a b e l l e d " 2 " i n F i g . 4. T h e f l a t d e n s i t y o f s t a t e s B ( t ) c u r v e , w h i c h h a s b e e n u s e d u n t i l n o w a n d i s h e r e a f t e r r e f e r r e d c t o a s " t h e o l d B ( t ) c u r v e " , i s l a b e l l e d " 1 " i n F i g . 4. T h e t w o c u r v e s c o i n c i d e f o r t - * ' " 4 < 1 . 6 . T h e n e w B ( t ) c u r v e a g r e e s w i t h t h e t -> °° l i m i t , a n d i s a l s o c o n s i s t e n t w i t h t h e l o w t a s y m p t o t i c f o r m d e s c r i b e d i n S e c . I I I . T o e s t a b l i s h t h e l a t t e r c l a i m m o r e c l e a r l y , we r e c a l l t h a t , f o r t h e c a s e u n d e r c o n s i d e r a t i o n ( p g a 3 = 0 . 0 0 8 7 ) , , t c _ 1 / l t « 2 . 4 . T h e l o w t a s y m p t o t i c f o r m ( I I I . 8 ) f o r B ^ ( t ) c o r r e s p o n d i n g t o t h e d e n s i t y o f s t a t e s ( I I . 2 ) w i t h X 1 n = - TT, h o l d s , a s w e s a w i n S e c . I l l , f o r t < f 1 / 3 ^ t , t h e r e b y i m p l y i n g A 1/4 —1/4 t h a t B < 1 . 6 6 f . T h e p o i n t ( t _ 1 / \ B ) = ( f - 1 / 1 2 ( — ) t , 1 . 6 6 f ) l i e s C ~ C K T) C ' " t o t h e r i g h t a n d d o w n " r e l a t i v e t o t h e r i g h t m o s t a n d l o w e s t p o i n t o f c u r v e " 2 " i n F i g . 4 ( t h e n e w B ( t ) c u r v e ) . F o r t h e s a k e o f i l l u s t r a t i o n , t h e ° c p o i n t ( t - 1 / \ B ) i s ( 3 . 0 , 0 . 9 1 ) f o r Ae = 2 n , ( 3 . 7 , 0 . 5 5 ) f o r Ae = 4 n , ( 7 . 2 , 0 . 1 5 ) f o r Ae = 3 6 n . A s s u c h , we s e e t h a t t h e n e w B ^ ( t ) c u r v e i s a - 171 -4: Bfi p l o t t e d against t " 1 ' . The curve l a b e l l e d "1" corresponds to the form of B used i n [ I I I ] . The curve l a b e l l e d "2" i s the form c of B c required to give £ c l i n e a r i n t - 1 / i * over a wide enough range of t and with a small enough slope to account for the experimental c o n d u c t i v i t y of r e f . [ 2 ] ; t h i s curve for £ c i s given i n F i g . 3. See text for d e t a i l s and d i s c u s s i o n . - 172 -reasonable curve. We turn next to a discussion of the implications of our results. - 1 7 3 -V . D i s c u s s i o n A l t h o u g h t h e B ( t ) c u r v e o f F i g . 4 w h i c h g i v e s a g r e e m e n t w i t h e x p e r i m e n t i s a r e a s o n a b l e c u r v e , t h e r e i s n o g u a r a n t e e t h a t i t i s t h e t r u e B ( t ) c u r v e . G i v e n a p a r t i c u l a r f o r m f o r t h e d e n s i t y o f s t a t e s , B ( t ) i s c c f i x e d ; t h e B ( t ) c u r v e f o r t h e d e n s i t y o f s t a t e s ( I I . 2 ) w i t h X = - m a y o r m a y n o t c o i n c i d e c l o s e l y w i t h t h e B ( t ) c u r v e o f F i g . 4 . O n e o f t h e k e y p o i n t s o f o u r a n a l y s i s i s s i m p l y t h a t i t i s q u i t e c o n c e i v a b l e t h a t t h e t w o c u r v e s d o c o i n c i d e c l o s e l y . O u r c o n t e n t i o n i s n o t n e c e s s a r i l y t h a t t h e d e n s i t y o f s t a t e s f o r s a m p l e 2 o f r e f . [ 2 ] i s g i v e n b y ( ( I I . 2 ) w i t h X = - y ; a s we s t a t e d i n S e c . I I , i t i s n o t o u r o b j e c t i v e a t p r e s e n t t o d e t e r m i n e t h e e x a c t d e n s i t y o f s t a t e s r e q u i r e d t o e x p l a i n t h e e x p e r i m e n t a l d a t a . R a t h e r , we h a v e d e m o n s t r a t e d t h a t i t i s h i g h l y p l a u s i b l e t h a t t h e h i g h t e m p e r a t u r e e x p e r i m e n t a l c o n d u c t i v i t y ( 1 . 1 ) , w i t h i t s a s s o c i a t e d s m a l l T Q v a l u e , m a y b e a c c o u n t e d f o r , i n t h e c o n t e x t o f t h e r e s i s t o r n e t w o r k m o d e l , b y a d e n s i t y o f s t a t e s w h i c h h a s t h e c h a r a c t e r o f ( I I . 2 ) w i t h X = - y . T h e c h a r a c t e r r e f e r r e d t o i s t h a t t h e d e n s i t y o f s t a t e s d e c r e a s e s w i t h | e | f o r e f a r e n o u g h a w a y f r o m UQ. E v e n i f t h e t r u e B ^ ( t ) c u r v e f o r X = - y i s n o t c l o s e t o t h e c u r v e o f F i g . 4 , i t i s v e r y p l a u s i b l e t h a t , f o r s o m e p a r t i c u l a r d e n s i t y o f s t a t e s w h i c h d e c r e a s e s w i t h | e | f o r e f a r e n o u g h a w a y f r o m p. Q, t h e t r u e B ^ ( t ) c u r v e f o r t h a t d e n s i t y o f s t a t e s i s s u c h t h a t -E v a r i e s a s t - 1 * " * w i t h a s m a l l c s l o p e a t h i g h t . F o r s u c h a d e n s i t y o f s t a t e s , s i n c e a t l o w e n o u g h t e m p e r a t u r e t h e o n l y s t a t e s t h a t w i l l m a t t e r w i l l b e t h o s e w i t h e c l o s e t o p. n, t h e e f f e c t i v e - 1 7 4 -d e n s i t y o f s t a t e s w i l l b e f l a t . (We h a v e b u i l t t h i s i n t o t h e d e n s i t y o f s t a t e s ( I I . 2 ) . ) A s s u c h , a s t h e t e m p e r a t u r e i s l o w e r e d , we e x p e c t t o s e e t h e c o n d u c t i v i t y g o f r o m t h e f o r m ( I . l ) w i t h T Q s m a l l t o t h e f o r m ( I . l ) w i t h T Q l a r g e . A s we a r g u e d i n [ I ] , t h i s i s p r e c i s e l y t h e b e h a v i o r t h a t w a s o b s e r v e d b y E m e l ' y a n e n k o e t a l . ^ i n l i g h t l y d o p e d n - G a A s . O u r i n t e r p r e t a t i o n o f t h e i r d a t a f o r t h e t e m p e r a t u r e r a n g e 1 . 2 K t o 4 . 2 K a g r e e s . . 2 w i t h t h e c o n d u c t i v i t y r e p o r t e d b y B e n z a q u e n a n d W a l s h f o r l i g h t l y d o p e d n - G a A s i n t h e r a n g e 1 . 4 K t o 5 - 7 K . M o r e o v e r , we p r e d i c t t h a t , j u s t a s E m e l ' y a n e n k o e t a l . f o u n d ( I . l ) t o h o l d f o r 0 . 1 5 K t o I K w i t h T Q h a v i n g a 4 5 6 v a l u e g i v e n b y e s t a b l i s h e d t h e o r i e s o f v a r i a b l e r a n g e h o p p i n g ' ' , h a d t h e B e n z a q u e n a n d W a l s h d a t a b e e n e x t e n d e d t o l o w e r t e m p e r a t u r e s , t h e c o n d u c t i v i t y w o u l d h a v e s w i t c h e d t o t h e f o r m ( I . l ) w i t h a s i g n i f i c a n t l y l a r g e r v a l u e o f T Q . ( F o r f u r t h e r d e t a i l s , r e f e r t o t h e d i s c u s s i o n i n [ I ] . ) W h a t we a r e s u g g e s t i n g i s t h e e x i s t e n c e o f t w o r e g i m e s : o n e a t l o w t e m p e r a t u r e , w i t h l a r g e T Q , w h i c h i s w e l l u n d e r s t o o d o n t h e b a s i s o f 4 5 6 e s t a b l i s h e d t h e o r i e s ' ' o f v a r i a b l e r a n g e h o p p i n g , a n d o n e a t h i g h t e m p e r a t u r e , w i t h s m a l l T Q , w h i c h m a y n o w b e u n d e r s t o o d o n t h e b a s i s o f t h e i d e a s p r e s e n t e d i n t h i s p a p e r . A p u z z l e r e l a t e d t o t h e e x p e r i m e n t a l c o n d u c t i v i t i e s r e p o r t e d i n t h e l i t e r a t u r e f o r l i g h t l y d o p e d n - G a A s o r n - I n P i s t h e f o l l o w i n g . I n s o m e e x p e r i m e n t a l s t u d i e s ( s e e , f o r e x a m p l e , r e f . s [ 1 2 ] t o [ 1 5 ] , i t w a s r e p o r t e d 2 3 t h a t A n a v a r i e d a s T - ^ , w h e r e a s i n o t h e r s ' i t w a s r e p o r t e d t h a t A n a v a r i e d a s T " L / 1 + ; i n a l l c a s e s , T w a s s u c h t h a t I K < T < 1 0 K. I n v i e w o f t h e - 175 -r e s u l t s p r e s e n t e d i n S e c . I V , we a r e a b l e t o o f f e r a s u g g e s t i o n a s t o w h y t h i s i s s o . I n a s m u c h a s a c h a n g e i n t h e B ( t ) c u r v e u s e d i n o u r t h e o r y c a n l e a d t o a c h a n g e i n t h e v a l u e o f s f o r w h i c h - E i s l i n e a r i n t — c u r v e " 1 " i n F i g . 4 g a v e s « 1 f o r X = + y , 0 , - y , w h i l e c u r v e " 2 " g a v e s = f o r X = - y — , d i f f e r e n t d e n s i t i e s o f s t a t e s , w i t h t h e i r c o n c o m i t a n t d i f f e r e n t B ( t ) c u r v e s , w i l l h a v e d i f f e r e n t v a l u e s o f s a s s o c i a t e d w i t h t h e m , c M o r e o v e r , j u s t a s t h e t w o B c ( t ) c u r v e s i n F i g . 4 d o n o t d i f f e r n e a r l y a s d r a s t i c a l l y a s t h e y m i g h t h a v e , i t i s q u i t e f e a s i b l e t h a t t h e d e n s i t y o f s t a t e s c o r r e s p o n d i n g t o s = 1 i s n o t w i l d l y d i f f e r e n t f r o m t h e d e n s i t y o f s t a t e s c o r r e s p o n d i n g t o s = | . F i n a l l y , w e p o i n t o u t t h a t , n o w h e r e i n o u r w o r k w e r e w e r e q u i r e d t o i n v o k e a d e n s i t y o f s t a t e s h a v i n g a d i p a t t h e c h e m i c a l p o t e n t i a l i n o r d e r t o a c c o u n t f o r t h e e x p e r i m e n t a l c o n d u c t i v i t y o f r e f . s [2] a n d [ 3 ] . I n d e e d , t h e d e n s i t y o f s t a t e s f o r X = + y i n F i g . 1 i s u n q u e s t i o n a b l y w i t h o u t a h o p e o f b e i n g a b l e t o d e s c r i b e t h e e x p e r i m e n t a l c o n d u c t i v i t y . I t h a s b e e n s u g g e s t e d t h a t s u c h a d i p i n t h e s i n g l e - p a r t i c l e d e n s i t y o f s t a t e s w o u l d a r i s e f r o m e l e c t r o n - e l e c t r o n i n t e r a c t i o n . O u r m o d e l o f h o p p i n g c o n d u c t i v i t y i g n o r e s s u c h i n t e r a c t i o n . - 176 -V I . S u m m a r y a n d R e c o m m e n d a t i o n s f o r F u r t h e r S t u d y We h a v e d e m o n s t r a t e d t h a t i t i s h i g h l y p l a u s i b l e t h a t t h e c o n d u c t i v i t y ( I . l ) , a s s o c i a t e d w i t h s m a l l T Q v a l u e s ( T Q » 1 0 3 K ) , a n d o b s e r v e d a t h i g h t e m p e r a t u r e s ( I K < T < 5-7 K ) i n l i g h t l y d o p e d s e m i c o n d u c t o r s ( r e f . s [ 2 ] , [ 3 ] , a n d p o s s i b l y a l s o [ 1 0 ] — s e e [ I ] ) , m a y b e a c c o u n t e d f o r b y u s i n g t h e r e s i s t o r n e t w o r k m o d e l a l o n g w i t h a d e n s i t y o f s t a t e s w h i c h d e c r e a s e s w i t h | e | f o r z tar e n o u g h a w a y f r o m We h a v e s t a t e d t h a t a t l o w e r t e m p e r a t u r e s , t h e c o n d u c t i v i t y w i l l b e o f t h e f o r m ( I . l ) b u t w i t h a m u c h l a r g e r v a l u e o f T Q ( T Q « 1 0 5 K ) . We h a v e a l s o s u g g e s t e d t h a t w h e t h e r t h e c o n d u c t i v i t y g o e s , a t h i g h t e m p e r a t u r e s , .as o r a s T~l/L* — o r , i n d e e d , a s a n y p o w e r i n b e t w e e n — m a y s i m p l y b e d u e t o t h e d e n s i t y o f s t a t e s , a n d we h a v e o b s e r v e d t h a t o u r r e s u l t s i n d i c a t e t h e l a c k o f a n e e d t o t a k e i n t o c o n s i d e r a t i o n t h e e l e c t r o n - e l e c t r o n i n t e r a c t i o n t o u n d e r s t a n d t h e h i g h t e m p e r a t u r e h o p p i n g c o n d u c t i v i t y . We r e c o g n i z e t h a t we h a v e n o t e s t a b l i s h e d u n e q u i v o c a l l y t h a t t h e h i g h t e m p e r a t u r e c o n d u c t i v i t y ( I . l ) w i t h s m a l l T Q v a l u e s m a y b e a c c o u n t e d f o r v i a t h e r e s i s t o r n e t w o r k m o d e l . H o w e v e r , we e x p e c t t h a t f u r t h e r s t u d y i n t h i s a r e a w i l l r e m o v e a n y d o u b t . O u r r e c o m m e n d a t i o n s f o r f u r t h e r s t u d y a r e a s f o l l o w s . T h e p r o g r a m we h a v e c a r r i e d o u t c a n b e r e p e a t e d f o r v a r i o u s d e n s i t i e s o f s t a t e s , a n d t h e a c t u a l f o r m o f B ( t ) c a n b e d e t e r m i n e d b y c o m p u t e r s i m u l a t i o n . T o o b t a i n B ( t ) f o r a g i v e n d e n s i t y o f s t a t e s , o n e c o n s t r u c t s a r e s i t o r n e t w o r k a s o u t l i n e d i n [ I ] , c o n n e c t s u p r e s i s t o r s u n t i l p e r c o l a t i o n o c c u r s , a n d c o u n t s t h e n u m b e r o f r e s i s t o r s p r e s e n t a t - 177 -p e r c o l a t i o n . A s s u c h , S ^ ( t ) w i l l b e k n o w n , w h e n c e o n e c a n e x a m i n e h o w t h e v a r i o u s d e n s i t i e s o f s t a t e s l e a d t o d i f f e r e n t t y p e s o f b e h a v i o u r f o r t h e c o n d u c t i v i t y a t h i g h t e m p e r a t u r e s . T h e v a r i o u s d e n s i t i e s o f s t a t e s m a y b e t a k e n t o b e o f t h e f o r m ( I I . 2 ) . I f s o , we s u g g e s t t h a t t h e f u l l f o r m ( I I . 2 ) b e u s e d a n d n o t t h e s i m p l i f i c a t i o n ( I I . l ) . T h i s m e a n s t h e t h e o r y w i l l h a v e t w o p a r a m e t e r s , X a n d — , a n d t h a t o n e c a n i n v e s t i g a t e t h e t r a n s i t i o n f r o m a o f f o r m ( I . ' l ) w i t h s m a l l T n a t h i g h t e m p e r a t u r e t o f o r m ( i . l ) w i t h l a r g e r T Q a t s m a l l t e m p e r a t u r e . F u r t h e r i m p r o v e m e n t c a n b e o b t a i n e d b y u s i n g t h e f u l l f o r m o f t h e t h e o r y i n s t e a d o f t h e a p p r o x i m a t e v e r s i o n . I t i s o u r b e l i e f t h a t s u c h a s t u d y w i l l e s t a b l i s h w i t h o u t d o u b t w h a t w e h a v e a d v a n c e d a s a s t r o n g p l a u s i b i l i t y a r g u m e n t i n t h i s p a p e r . S u c h a s t u d y i s b e i n g u n d e r t a k e n . - 178 -APPENDIX In t h i s appendix, we d e r i v e the low t asymptotic form for B ( t ) c corresponding to the density of states ( I I . 2 ) with X > -1. We begin by no t i n g that the low t form of E , c may be expressed as 4n ^ h = ( 7) • gpkTa 3 4n tc={ M , ( A . l ) fp a 3 t where f i s the f r a c t i o n of states for which |e| < 5" and t = — . The 1 1 2 n n equation kT £ (T ) =5" defines T ; we f i n d c c c 2 c (fp ) 1 / 3 5 3 (A.2) ' T l . c 4n I / 3 ' kT where t = . T),C T) The p r o b a b i l i t y that a p a i r of s i t e s selected at random w i l l have one energy between e. and E.+de. and the other between E . and e.+de., where 1 1 1 J J J - 179 -0 <, l e . l < 7 a n d 0 < | e . | < ; k i s 2 f 2 t 2 d E . d E . . I n t h e t r a p e z o i d a l a p p r o x i m a t i o n , ^ > m a x = ^ c ~ x a t ^ o w t , a n c * t h e a r e a o f t h e t r a p e z o i d i s T ^ C ^ - X ) 2 . T h i s g i v e s p ( X ; E ) = 3 f 2 t 2 ( E - X ) 2 ( A . 3 ) C X] c a t l o w t ( i . e . E < - T — o r t < t ) . c 2 t T) T | , C T) C o m b i n i n g e q u a t i o n s ( I I I . 2 ) a n d ( A . 3 ) l e a d s t o t 3 / 4 T1,C i n t h e l i m i t t •> 0. We may r e w r i t e ( A . 4 ) i n t h e f o r m ( I I I . 8 ) . A t l o w e n o u g h t , t h e B ^ ( t ) c u r v e w i l l m e r g e o n t o t h e a s y m p t o t i c f o r m ( A . 4 ) . T h e t e m p e r a t u r e a t w h i c h t h i s o c c u r s w i l l b e o f t h e o r d e r o f t h e t e m p e r a t u r e f o r w h i c h t » t = f 1 / 3 t , o r n r | , c c ' t « f 1 / 3 t . ( A . 5 ) A e c f i s g i v e n b y - 180 -A l l of the above i s v a l i d f or X > -1-. For the case X = - —•> w e have the p a r t i c u l a r case ( I I I . 9 ) for f. ACKNOWLEDGMENTS We are very g r a t e f u l to Peter C.W. Holdsworth for continued u s e f u l d i s c u s s i o n s . This work was supported f i n a n c i a l l y by NSERC Operating Grant A713. - 1 8 1 -R E F E R E N C E S * P r e s e n t A d d r e s s : D e p a r t m e n t o f P h y s i c s , D a l h o u s i e U n i v e r s i t y , H a l i f a x , N . S . , C A N A D A B 3 H 3 J 5 ^M.R.A. S h e g e l s k i a n d R. B a r r i e , s u b m i t t e d t o P h y s . R e v . B . 2 M. B e n z a q u e n a n d D. W a l s h , P h y s . R e v . B 3 0 , 7 2 8 7 (1984). 3 M. B e n z a q u e n , K. M a z u r u k , D. W a l s h a n d M.A. d i F o r t e - P o i s s o n , J . P h y s . C 1 8 , L 1 0 0 7 ( 1 9 8 5 ) . 4 N . F . M o t t , J . N o n - C r y s t . S o l i d s j _ , 1 ( 1 9 6 8 ) ; P h i l o s . M a g . _19, 8 3 5 ( 1 9 6 9 ) . 5 V . A m b e g a o k a r , B . I . H a l p e r i n a n d J . S . L a n g e r , P h y s . R e v . B 4 , 2 6 1 2 ( 1 9 7 1 ) , 6 M . P o l l a k , J . N o n - C r y s t . S o l i d s _ U , 1 ( 1 9 7 2 ) . ^M.R.A. S h e g e l s k i a n d R. B a r r i e , s u b m i t t e d t o P h y s . R e v . B. g M.R.A. S h e g e l s k i a n d R. B a r r i e , s u b m i t t e d t o P h y s . R e v . B. 9 S e e B . I . S h k l o v s k i i a n d A . L . E f r o s , E l e c t r o n i c P r o p e r t i e s o f D o p e d  S e m i c o n d u c t o r s ( S p r i n g e r - V e r l a g , B e r l i n , 1 9 8 4 ) , C h . 1 0 . ^ O . V . E m e l ' y a n e n k o , D.N. N a s l e d o v , E . I . N i k u l i n a n d I . N . T i m c h e n k o , F i z . T e k h . P o l u p r o v . 6>, 2 2 8 3 ( 1 9 7 2 ) [ S o v . P h y s . S e m i c o n d . _6, 1 9 2 6 ( 1 9 7 3 ) ] . ^ B . I . S h k l o v s k i i a n d A . L . E f r o s , E l e c t r o n i c P r o p e r t i e s o f D o p e d  S e m i c o n d u c t o r s ( S p r i n g e r - V e r l a g , B e r l i n , 1 9 8 4 ) , p . 2 0 6 . 12 0. V . E m e l ' y a n e n k o , T . S . L a g u n o v a , D.N. N a s l e d o v , D.D. N e d e o g l o a n d 1. N. T i m c h e n k o , F i z . T e k h . P o l u p r o v . _7> 1 9 1 9 ( 1 9 7 3 ) [ S o v . P h y s . S e m i c o n d , 7, 1 2 8 0 (1974J]. - 182 -O.V. Emel'yanenko, K.G. Masagutor, D.N. Nasledov and I.N. Timchenko, F i z . Tekh. Poluprov. 9_, 5 0 3 (1975) [Sov. Phys. Semicond. 9.. 3 3 0 (1975)]. H. Kahlert and G. Landwehr, Z. Physik B 24, 361 (1976). D. Lemoine, C. P e l l e t i e r , S. Rolland and R. Granger, Phys. L e t t . A 56, 497 (1976). - 1 8 3 -C O N C L U S I O N I . S u m m a r y a n d H i g h l i g h t s O n e o f t h e h i g h l i g h t s o f t h i s d i s s e r t a t i o n w a s t o e s t a b l i s h t h a t c e r t a i n e x p e r i m e n t a l r e s u l t s , o r i g i n a l l y t h o u g h t t o b e w e l l u n d e r s t o o d , d i d n o t a c t u a l l y h a v e a s a t i s f a c t o r y e x p l a n a t i o n p r i o r t o t h e w o r k o f t h i s d i s s e r t a t i o n . T h e e x p e r i m e n t a l c o n d u c t i v i t y a i n l i g h t l y d o p e d n - G a A s w a s f o u n d b y B e n z a q u e n a n d W a l s h * ' t o b e - ( T n / T ) S a = a Q e V i 0 ' ^ , (1.1) w i t h s c l o s e t o T h e s a m e b e h a v i o r w a s s u b s e q u e n t l y r e p o r t e d i n l i g h t l y d o p e d n - I n P ( r e f . [ 2 ] ) . T h i s e x p e r i m e n t a l b e h a v i o r w a s i n i t i a l l y ^ r e g a r d e d t o b e e v i d e n c e o f v a r i a b l e r a n g e h o p p i n g ( V R H ) a s d e s c r i b e d b y e s t a b l i s h e d 3 4 5 t h e o r i e s ' ' o f h o p p i n g c o n d u c t i o n . H o w e v e r , i t w a s r e v e a l e d i n [ I ] t h a t t h e e x p e r i m e n t a l r a n g e o f t e m p e r a t u r e s T w e r e w e l l a b o v e , a n d t h e e x p e r i m e n t a l T Q v a l u e s w e l l b e l o w , t h e l i m i t s s e t b y t h e s e t h e o r i e s . T h e p r i n c i p a l a i m o f t h i s d i s s e r t a t i o n w a s t o e x p l a i n t h e s e r e s u l t s . I n v i e w o f t h e s u c c e s s o f t h e M i l l e r a n d A b r a h a m s r e s i s t o r n e t w o r k m o d e l * * o f h o p p i n g c o n d u c t i o n i n d o p e d a n d a m o r p h o u s s e m i c o n d u c t o r s , a l i g h t l y d o p e d s e m i c o n d u c t o r w a s m o d e l l e d i n t h i s d i s s e r t a t i o n b y t h i s t y p e o f r e s i s t o r n e t w o r k . T h e s p e c i f i c f o r m o f t h e r e s i s t a n c e w a s g i v e n b y - 1 8 4 -e q u a t i o n s ( 4 ) - ( 7 ) o f [ I ] ; a d e r i v a t i o n o f t h e s e e q u a t i o n s a p p e a r s i n t h e A p p e n d i x . T h e m a j o r a s s u m p t i o n s u n d e r l y i n g t h e r e s i s t o r n e t w o r k m o d e l w e r e a s f o l l o w s . T h e e l e c t r o n - e l e c t r o n C o u l o m b i n t e r a c t i o n w a s t r e a t e d i n o n l y a v e r y s i m p l e m a n n e r , h a v i n g b e e n t a k e n i n t o a c c o u n t o n l y t h r o u g h t h e f o r m o f t h e d e n s i t y o f o n e - e l e c t r o n l o c a l i z e d s t a t e s . E l e c t r o n - e l e c t r o n c o r r e l a t i o n s w e r e a s s u m e d t o p l a y n o p a r t i n t h e h o p p i n g p r o c e s s , s o t h e r e s i s t a n c e s d e p e n d e d o n l y o n q u a n t i t i e s p e r t a i n i n g t o t h e t w o s i t e s a t t h e e n d s o f t h e r e s i s t o r , a n d a r a t e e q u a t i o n a p p r o a c h w a s u s e d t o d e s c r i b e t h e s i t e t o s i t e h o p p i n g . M o r e o v e r , t h e p o s i t i o n s o f d o n o r s a n d a c c e p t o r s , a n d t h e e n e r g y l e v e l s a s s o c i a t e d w i t h t h e d o n o r s i t e s , w e r e a s s u m e d t o b e u n c o r r e l a t e d . F i n a l l y , t h e e l e c t r o n - p h o n o n i n t e r a c t i o n w a s m o d e l l e d b y t h e d e f o r m a t i o n p o t e n t i a l a p p r o x i m a t i o n . T h e t e m p e r a t u r e r a n g e i n t h e i n v e s t i g a t i o n s u n d e r t a k e n i n [ I ] - [ I V ] w a s a l w a y s s u c h t h a t k T w a s o f o r d e r o f t h e b a n d w i d t h Ae o f l o c a l i z e d s t a t e s . F o r s u c h a t e m p e r a t u r e r a n g e , i t i s e s s e n t i a l t o u s e t h e f u l l r e s i s t o r n e t w o r k i f m e a n i n g f u l r e s u l t s a r e t o b e o b t a i n e d . T h i s d i s s e r t a t i o n r e p r e s e n t s t h e f i r s t w o r k i n w h i c h t h e f u l l f o r m o f t h e r e s i s t o r n e t w o r k w a s u s e d f o r t h e p u r p o s e o f d e t e r m i n i n g t h e t e m p e r a t u r e d e p e n d e n c e o f a w h e n k T w a s o f o r d e r Ae . A t w o - d i m e n s i o n a l n u m e r i c a l s i m u l a t i o n d e s i g n e d t o c a l c u l a t e a w a s p e r f o r m e d i n [ I ] . T h e d e n s i t y o f s t a t e s w a s t a k e n a s f l a t a n d t h e n u m b e r d e n s i t y n ^ o f d o n o r s w a s c h o s e n f o r s i m p l i c i t y t o b e t w i c e t h e n u m b e r d e n s i t y n o f a c c e p t o r s . T h e r e s u l t s o f t h e s i m u l a t i o n c o u l d h a v e b e e n - 1 8 5 -v i e w e d a s b e i n g i n a c c o r d w i t h t h e e x p e r i m e n t a l r e s u l t s o f r e f s . [ 1 ] a n d [ 2 ] h a d t h e f o l l o w i n g r e q u i r e m e n t s b e e n m e t : ( i ) t h e r e w o u l d h a v e b e e n a r a n g e k T o f t e m p e r a t u r e s a t h i g h t ( t = T J - / o f o r d e r u n i t y ) w h e r e i n a w a s g i v e n b y ( 1 . 1 ) w i t h s h a v i n g t h e t w o - d i m e n s i o n a l v a l u e f o r V R H , ( i i ) t h i s b e h a v i o r w o u l d h a v e h e l d o v e r a w i d e e n o u g h t e m p e r a t u r e r a n g e t o m a t c h t h e e x p e r i m e n t a l b e h a v i o r ; ( i i i ) t h e s l o p e o f t h e r e g i o n w i t h Xna l i n e a r i n t w o u l d h a v e b e e n s m a l l e n o u g h t o m a t c h t h e s m a l l e x p e r i m e n t a l T n v a l u e s . H a d s u c h b e h a v i o r b e e n f o u n d , i t w o u l d h a v e s t r o n g l y s u g g e s t e d t h a t t h e s a m e b e h a v i o r w o u l d o c c u r i n t h r e e d i m e n s i o n s . H o w e v e r , s u c h b e h a v i o r w a s n o t f o u n d . I n s t e a d , i t w a s f o u n d t h a t - e 3 / k T a = c r 0 e . ( 1 . 2 ) T h i s f i n d i n g d i d n o t p r e c l u d e t h a t t h e a b o v e r e q u i r e m e n t s w o u l d h o l d i n t h r e e d i m e n s i o n s . T h i s i s s u e w a s e v e n t u a l l y s e t t l e d i n [ I I I ] a n d [ I V ] , a s w i l l b e d i s c u s s e d b e l o w . O n e o f t h e h i g h l i g h t s o f t h e w o r k i n [ I ] w a s o b t a i n i n g a t r u s t w o r t h y v a l u e o f e 3 . F o r t w o d i m e n s i o n s , i t w a s f o u n d t h a t e 3 = 0 . 2 8 A e . T h i s w a s a n e w r e s u l t w h i c h d i f f e r e d m a r k e d l y f r o m v a l u e s r e p o r t e d b y e a r l i e r i n v e s t i g a t o r s : H a y d e n a n d B u t c h e r ^ f o u n d e 3 = 0 . 3 8 A E w h i l e S k a l , S h k l o v s k i i 8 5 a n d E f r o s r e p o r t e d e 3 = y ^ 6 ' T h e r e s u l t o b t a i n e d i n t h i s d i s s e r t a t i o n i s a n i m p r o v e m e n t o n t h e s e p r e v i o u s v a l u e s b e c a u s e t h i s d i s s e r t a t i o n u s e d t h e f u l l r e s i s t o r n e t w o r k . T h e o t h e r i n v e s t i g a t o r s e m p l o y e d t h e l o w t - 186 -a s y m p t o t i c f o r m o f t h e r e s i s t a n c e i n t h e h i g h t r e g i m e . T h a t p r e v i o u s w o r k e r s f o u n d v a l u e s f o r e 3 w h i c h d i f f e r s i g n i f i c a n t l y f r o m t h e v a l u e o b t a i n e d i n t h i s d i s s e r t a t i o n e s t a b l i s h e d t h e n e c e s s i t y o f u s i n g t h e f u l l f o r m o f t h e r e s i s t a n c e a t h i g h t . I n [ I I ] , a t w o - d i m e n s i o n a l a n a l y t i c t h e o r y b a s e d o n t h e p e r c o l a t i o n m e t h o d w a s p r e s e n t e d . T h e t h e o r y i n v o l v e d t h e c r i t i c a l n u m b e r B ( t ) o f c b o n d s ( r e s i s t o r s ) p e r s i t e r e q u i r e d f o r p e r c o l a t i o n . A g r e e m e n t b e t w e e n t h e a n a l y t i c t h e o r y a n d t h e n u m e r i c a l s i m u l a t i o n w a s o b t a i n e d b y u s i n g a r e a s o n a b l e f o r m f o r B ( t ) . T h i s f o r m o f B ( t ) w a s o b t a i n e d i n t w o s t e p s . c c v F i r s t , a c o n j e c t u r e w a s m a d e f o r t h e f o r m o f B ^ t ) . T h e c o n j e c t u r e d f o r m g a v e a g r e e m e n t t o w i t h i n a f e w p e r c e n t b e t w e e n t h e a n a l y t i c a n d t h e n u m e r i c a l c o n d u c t i v i t i e s ; t h i s f o r m o f B ( t ) w a s t h e n f i n e t u n e d b y c J r e q u i r i n g i m p r o v e d a g r e e m e n t b e t w e e n t h e a n a l y t i c a n d n u m e r i c a l r e s u l t s . T h e a n a l y t i c t h e o r y v e r i f i e d t h e f i n d i n g ( 1 . 2 ) w i t h e 3 = 0.*28Ae, a n d a l s o g a v e i n f o r m a t i o n a b o u t t h e t y p i c a l h o p p i n g d i s t a n c e a n d t y p i c a l h o p p i n g e n e r g y . I t w a s f o u n d t h a t t h e h o p p i n g w a s e s s e n t i a l l y n e a r e s t n e i g h b o r h o p p i n g f o r t h e t e m p e r a t u r e r a n g e w h e r e ( 1 . 2 ) h e l d , a n d t h a t t h e h o p p i n g d i s t a n c e i n c r e a s e d w i t h d e c r e a s i n g t e m p e r a t u r e b e l o w t h i s r a n g e . I t w a s a l s o d e m o n s t r a t e d t h a t a t y p i c a l h o p p i n g e n e r g y e x i s t e d o n l y f o r t h e t e m p e r a t u r e r a n g e w h e r e t h e h o p p i n g d i s t a n c e i n c r e a s e d w i t h d e c r e a s i n g t e m p e r a t u r e . W h e n t h e h o p s w e r e b e t w e e n n e a r e s t n e i g h b o r s , t h e e n e r g i e s o f t h e s i t e s p l a y e d n o r o l e i n s e l e c t i n g t h e p a i r s o f s i t e s w h i c h d e t e r m i n e d t h e o v e r a l l c o n d u c t i v i t y . A s s u c h , a l t h o u g h t h e r e w a s a n a v e r a g e h o p p i n g e n e r g y i n t h e n e a r e s t n e i g h b o r r e g i m e , t h e r e w a s n o t y p i c a l h o p p i n g e n e r g y . - 1 8 7 -I n [ I I I ] , t h e a n a l y t i c t h e o r y w a s e x t e n d e d t o t h r e e d i m e n s i o n s . I t w a s e s t a b l i s h e d t h a t t h e e x p e r i m e n t a l c o n d u c t i v i t y o f r e f . s [ 1 ] a n d [ 2 ] c o u l d n o t b e a c c o u n t e d f o r b y u s i n g a f l a t d e n s i t y o f s t a t e s . O n e o f t h e h i g h l i g h t s o f [ I I I ] w a s t h a t ( 1 . 2 ) , w i t h e 3 = 0 . 2 0 A e , w a s o b t a i n e d f o r t h e c o n d u c t i v i t y . T h e r e s u l t r e v e a l e d t h a t g o i n g f r o m t w o d i m e n s i o n s t o t h r e e £ 3 . 5 r e d u c e d - — . T h i s r e s u l t w a s d i f f e r e n t t h a n t h e v a l u e e q = v r A e d u e t o S k a l , A e 3 12 g S h k l o v s k i i a n d E f r o s , w h o c l a i m e d t h a t e 3 w o u l d b e t h e s a m e i n t h r e e d i m e n s i o n s a s i n t w o . T h a t t h e v a l u e o f e 3 f o u n d i n t h i s d i s s e r t a t i o n d i f f e r e d f r o m t h e r e s u l t o f t h e s e p r e v i o u s w o r k e r s o n c e a g a i n v e r i f i e d t h e n e e d t o u s e t h e f u l l f o r m o f t h e r e s i s t a n c e a t h i g h t . A n o t h e r o f t h e h i g h l i g h t s o f [ i l l ] w a s t o s h o w t h a t t h e e f f e c t o f i n c l u d i n g t h e f a c t o r £ 3 i n t h e a n a l y t i c t h e o r y w a s t o p r o d u c e a t r e n d o f d e c r e a s i n g — w i t h i n c r e a s i n g A e . I n c l u s i o n o f t h e Q^^ f a c t o r d i d n o t c h a n g e t h e v a l u e o f s —g f o r w h i c h Una w a s p r o p o r t i o n a l t o T . T h e c o n d u c t i v i t y w a s s t i l l o f t h e f o r m ( 1 . 2 ) . I n [ I V ] , a n i n q u i r y w a s m a d e a s t o h o w f u n d a m e n t a l l y d i f f e r e n t f o r m s o f t h e d e n s i t i e s o f s t a t e s w o u l d i n f l u e n c e t h e t e m p e r a t u r e d e p e n d e n c e o f 0 . F o r s i m p l i c i t y , t h e d e n s i t i e s o f s t a t e s w e r e c h o s e n t o b e s y m m e t r i c a b o u t t h e z e r o t e m p e r a t u r e c h e m i c a l p o t e n t i a l \LQ , a n d w e r e t a k e n t o b e o f t h e f o r m X A a | e | , i f 0 < | e | < \ > - 1 , g ( e ) = < 0, i f | e | ( 1 . 3 ) 2 ~ - 188 -Ae_ 2 w i t h a f i x e d b y t h e r e q u i r e m e n t / g ( e ) d e = n Q , a n d s e t t o z e r o . T h e A e 2 c a s e s X = + y, 0, - y w e r e s t u d i e d , b e c a u s e t h e y d e s c r i b e d f u n d a m e n t a l l y d i f f e r e n t d e n s i t i e s o f s t a t e s . I t w a s f o u n d t o b e i m p o s s i b l e f o r t h e c a s e s X = + y, 0 t o a c c o u n t f o r t h e h i g h t e m p e r a t u r e e x p e r i m e n t a l c o n d u c t i v i t y . H o w e v e r , , e x a m i n a t i o n o f t h e c a s e X = - y l e d t o a v e r y i m p o r t a n t d i s c o v e r y . I t i s h i g h l y p l a u s i b l e t h a t t h e r e s i s t o r n e t w o r k m o d e l , u s e d i n c o n j u n c t i o n w i t h a d e n s i t y o f s t a t e s w h i c h d e c r e a s e s w i t h | e | f o r e f a r e n o u g h a w a y f r o m w i l l a c c o u n t f o r t h e e x p e r i m e n t a l c o n d u c t i v i t y . T h i s c l a i m w a s r e a l i z e d a s f o l l o w s . T h e r e a r e t w o B^Ct) f u n c t i o n s t o c o n s i d e r w i t h r e g a r d t o t h e d e n s i t y o f s t a t e s f o r X = - y. O n e i s t h e B ^ ( t ) t h a t i s f i x e d b y t h e d e n s i t y o f s t a t e s , w h i c h i s r e f e r r e d t o a s " t h e t r u e B ( t ) " . A s d i s c u s s e d i n [ I V ] , i t w a s n o t p o s s i b l e t o d e t e r m i n e t h i s B ( t ) . T h e o t h e r B ( t ) , c c w h i c h w i l l b e c a l l e d " t h e B^Ct) c u r v e " , i s t h e o n e r e q u i r e d i n o r d e r t h a t t h e c o n d u c t i v i t y o f t h e c a s e X = - y a g r e e w i t h t h e e x p e r i m e n t a l c o n d u c t i v i t y . T h e B ^ ( t ) c u r v e w a s d e t e r m i n e d i n [ I V ] , A l t h o u g h i t w a s n o t p o s s i b l e t o d e t e r m i n e i n [ I V ] h o w c l o s e l y t h e B ( t ) c u r v e m a t c h e d t h e t r u e c B ( t ) , i t w a s d e m o n s t r a t e d t h a t t h e B ( t ) c u r v e w a s c o m p a t i b l e w i t h b o t h t h e c c t •> n l i m i t a n d t h e t+0 a s y m p t o t i c f o r m o f t h e t r u e B ( t ) . T h e w o r k i n t h i s d i s s e r t a t i o n h a s n o t c u l m i n a t e d i n a n u n e q u i v o c a l e x p l a n a t i o n o f t h e e x p e r i m e n t a l r e s u l t s i n r e f . s [1] a n d [2], N e v e r t h e l e s s , a p r i n c i p a l h i g h l i g h t o f t h i s w o r k i s t h e e s t a b l i s h m e n t o f a v e r y p l a u s i b l e t h e o r e t i c a l a c c o u n t i n g f o r t h e s e r e s u l t s . T h i s p o i n t w i l l b e d i s c u s s e d f u r t h e r i n - 1 8 9 -S e c . I I b e l o w . O n t h e b a s i s o f t h e w o r k i n [ I V ] , i t w a s p o s s i b l e t o p r e s e n t 1 2 a s u g g e s t i o n a s t o w h y s o m e i n v e s t i g a t o r s ' f o u n d a t o b e o f t h e f o r m ( 1 . 1 ) 1 9 - 1 2 w i t h s a "2" w h i l e o t h e r s f o u n d s = 1 ( i n a l l c a s e s , l i g h t l y d o p e d n - G a A s o r n - I n P w a s s t u d i e d , a n d I K < T < 1 0 K ) : d i f f e r e n t d e n s i t i e s o f s t a t e s w i l l h a v e d i f f e r e n t c o n c o m i t a n t B ( t ) w h i c h i n t u r n w i l l l e a d t o h i g h t c & c o n d u c t i v i t i e s w i t h d i f f e r e n t v a l u e s o f s i n ( 1 . 1 ) . A k e y p r e d i c t i o n a s s o c i a t e d w i t h t h e i d e a s s e t f o r t h i n t h e l a s t t w o p a r a g r a p h s i s a s f o l l o w s . E x p e r i m e n t a l c o n d u c t i v i t i e s o f t h e f o r m ( 1 . 1 ) w i t h s 5 3 a n d T n s m a l l ( T Q » 1 0 3 K i n r e f . [ 1 ] ) a t h i g h t e m p e r a t u r e s ( I K < T < 7 K i n r e f . [ 1 ] ) , w i l l g o o v e r t o t h e f o r m ( 1 . 1 ) w i t h s = a n d T n l a r g e (* 1 0 5 K ) a t l o w t e m p e r a t u r e s ( T < I K ) . I t w o u l d b e o f g r e a t v a l u e f o r t h e a u t h o r s o f r e f . s [ 1 ] a n d [ 2 ] t o e x t e n d t h e i r m e a s u r e m e n t s t o l o w e r t e m p e r a t u r e s a n d t h e r e b y t e s t t h i s p r e d i c t i o n . B e y o n d t h e a c h i e v e m e n t s d e s c r i b e d a b o v e , o n e o f t h e m o s t i m p o r t a n t f e a t u r e s o f t h i s d i s s e r t a t i o n i s t h a t , f o r t h e f i r s t t i m e , a n a n a l y t i c t h e o r y u s i n g t h e f u l l r e s i s t o r n e t w o r k h a s b e e n d e v e l o p e d . A s s u c h , t h e w a y h a s b e e n p a v e d f o r f u r t h e r t h e o r e t i c a l w o r k o n h i g h t e m p e r a t u r e h o p p i n g c o n d u c t i o n . - 1 9 0 -I I . S u g g e s t i o n s f o r F u r t h e r W o r k W i t h e a c h s u c c e s s i v e i n v e s t i g a t i o n u n d e r t a k e n i n t h i s d i s s e r t a t i o n , i t b e c a m e l e s s c e r t a i n t h a t t h e B ( t ) c u r v e b e i n g u s e d w a s c l o s e t o t h e t r u e B^Ct). T h i s w a s n o t a t a l l a c o n c e r n i n [ I I ] ; i n [ I I I ] , t h e u n c e r t a i n t y i n t h e B^ Ct) c u r v e w a s s t i l l n o t c a u s e f o r s e r i o u s c o n c e r n . H o w e v e r , i n [ I V ] , w h e r e t h e m o s t i n t e r e s t i n g i n v e s t i g a t i o n w a s c a r r i e d o u t , t h e u n c e r t a i n t y i n t h e f o r m o f B^Ct) w a s e n o u g h t o m e r i t t h e i m p l e m e n t a t i o n o f a n e w a p p r o a c h . R a t h e r t h a n c a l c u l a t i n g t h e c o n d u c t i v i t y r e s u l t i n g f r o m a g i v e n B ( t ) , a n c i n q u i r y w a s m a d e a s t o w h e t h e r o r n o t t h e B ^ ( t ) r e q u i r e d t o g i v e a g r e e m e n t w i t h t h e e x p e r i m e n t a l c o n d u c t i v i t y w a s a r e a s o n a b l e B^Ct). A s s u c h , a l t h o u g h t h i s d i s s e r t a i o n h a s p r e s e n t e d a h i g h l y p l a u s i b l e t h e o r e t i c a l e x p l a n a t i o n f o r t h e e x p e r i m e n t a l r e s u l t s p r e s e n t e d i n r e f . s [ 1 ] a n d [ 2 ] , i t c a n n o t b e c l a i m e d t h a t t h e w o r k h e r e i n c o n s t i t u t e s a n u n e q u i v o c a l u n d e r s t a n d i n g o f t h e s e e x p e r i m e n t a l r e s u l t s . I n o r d e r t o r e m o v e a n y d o u b t i n t h e p l a u s i b i l i t y a r g u m e n t t h a t w a s p r e s e n t e d i n [ I V ] , a f u r t h e r i n v e s t i g a t i o n a l o n g t h e s a m e l i n e s i s r e q u i r e d . I n t h i s f u r t h e r i n v e s t i g a t i o n , v a r i o u s d e n s i t i e s o f s t a t e s w i l l b e e x a m i n e d . T h e B ^ ( t ) c o n c o m i t a n t t o a g i v e n d e n s i t y o f s t a t e s w i l l b e d e t e r m i n e d b y c o m p u t e r s i m u l a t i o n : a r e s i s t o r n e t w o r k w i l l b e c o n s t r u c t e d a s d e s c r i b e d i n [ I ] , a n d B ( t ) w i l l b e g i v e n i n t e r m s o f t h e t e m p e r a t u r e d e p e n d e n c e o f t h e c n u m b e r o f r e s i s t o r s p r e s e n t a t p e r c o l a t i o n . U s i n g t h i s k n o w l e d g e o f B ( t ) c i n c o n j u n c t i o n w i t h t h e a n a l y t i c t h e o r y d e v e l o p e d i n t h i s d i s s e r t a t i o n , t h e d e p e n d e n c e o f t h e c o n d u c t i v i t y o n t h e f o r m o f t h e d e n s i t y o f s t a t e s c a n b e s t u d i e d . T h e w o r k i n t h i s d i s s e r t a t i o n i n d i c a t e s t h a t i t i s v e r y l i k e l y - 1 9 1 -t h a t t h e r e a r e d e n s i t i e s o f s t a t e s f o r w h i c h a w i l l b e o f t h e f o r m ( 1 . 1 ) w i t h e i t h e r s = 1 o r s = I t i s h o p e d t h a t t h e i n v e s t i g a t i o n w i l l r e v e a l w h a t v a l u e s s c a n h a v e i n e q u a t i o n ( 1 . 1 ) ; i t m a y b e t h e c a s e t h a t s i s r a t h e r u n r e s t r i c t e d , o r , a l t e r n a t i v e l y , t h a t m o s t d e n s i t i e s o f s t a t e s g i v e e i t h e r s ° 1 o r s ° | . A s s u c h , p e r h a p s t h e i n v e s t i g a t i o n w i l l s h e d l i g h t o n w h y e x p e r i m e n t a l s t u d i e s h a v e f u r n i s h e d e i t h e r t h e r e s u l t s » ( r e f . s [ 1 ] a n d [ 2 ] ) o r s = l ( r e f . s [ 9 ] — [ 1 2 ] ) . I f , i n t h e v i c i n i t y o f t h e z e r o t e m p e r a t u r e c h e m i c a l p o t e n t i a l , t h e d e n s i t i e s o f s t a t e s e x a m i n e d a r e f l a t , t h e n t h e i n v e s t i g a t i o n w i l l a l s o p r o v i d e i n f o r m a t i o n o n t h e t r a n s i t i o n t o t h e l o w t e m p e r a t u r e f o r m o f t h e c o n d u c t i v i t y . A s e c o n d p r o j e c t o f g r e a t i n t e r e s t h a s t o d o w i t h s i m p l i f y i n g t h e a n a l y t i c t h e o r y . T h e a n a l y t i c t h e o r y w a s d e v e l o p e d t o a l l o w t h e b e s t p o s s i b l e d e t e r m i n a t i o n o f t h e c o n d u c t i v i t y w i t h i n t h e c o n t e x t o f t h e r e s i s t o r n e t w o r k m o d e l . T h e r e s u l t s o b t a i n e d w e r e i m p r o v e m e n t s o v e r p r e v i o u s r e s u l t s , a s d i s c u s s e d i n S e c . I . U n f o r t u n a t e l y , t h e t h e o r y i n i t s p r e s e n t f o r m d o e s n o t p r o v i d e a c l e a r v i e w o f t h e u n d e r l y i n g p h y s i c a l p r o c e s s e s . I t w o u l d b e o f g r e a t v a l u e t o e x t e n d t h e d e v e l o p m e n t o f t h e t h e o r y t o t h e p o i n t w h e r e t h e s e u n d e r l y i n g p r o c e s s e s w e r e r e v e a l e d . I n t e r e s t i n g q u e s t i o n s s u c h a s t h e f o l l o w i n g c o u l d t h e n b e a d d r e s s e d . I n t h e h i g h t e m p e r a t u r e r e g i m e , w h e r e a i s g i v e n b y ( l . l ) w i t h s » w h a t d e t e r m i n e s t h e s i z e o f T Q ? Why i s t h e h i g h t e m p e r a t u r e T Q s m a l l e r t h a n t h e l o w t e m p e r a t u r e T n ? W h a t d o e s T n d e p e n d o n ? I f a i s o f t h e f o r m ( 1 . 1 ) w i t h s " T"» w i l l t h e h o p p i n g n e c e s s a r i l y b e v a r i a b l e r a n g e ? - 1 9 2 -A n o t h e r p o s s i b l e i n v e s t i g a t i o n i s t o e x a m i n e c a r e f u l l y t h e s h a p e d e p e n d e n c e o f t h e n u m e r i c a l l y d e t e r m i n e d o v e r a l l r e s i s t a n c e , a s w a s d i s c u s s e d i n [ I ] , A f u l l e r a n a l y s i s o f t h e r o l e o f t h e Q.. f a c t o r c o u l d a l s o b e c a r r i e d o u t , p o s s i b l y a l o n g t h e l i n e s s u g g e s t e d i n [ I I I ] , N o w h e r e i n t h i s d i s s e r t a t i o n w a s t h e p r e f a c t o r a Q w o r k e d o u t . M o r e o v e r , n o i n v e s t i g a t i o n s f o r n ^ # 2 n ^ w e r e m a d e . No s t u d i e s w e r e p e r f o r m e d t o e x p l o r e t h e d e p e n d e n c e o f a o n n Q . F u r t h e r w o r k c o u l d i n v o l v e c o n s i d e r a t i o n s o f t h e s e k i n d s . T h e m o s t i m p o r t a n t r e s u l t o f t h i s d i s s e r t a t i o n w a s t o e s t a b l i s h a p l a u s i b l e e x p l a n a t i o n f o r t h e e x p e r i m e n t a l r e s u l t s o f r e f . s [ 1 ] a n d [ 2 ] . T h e m o s t i m p o r t a n t p i e c e o f w o r k t o b e b a s e d o n t h i s d i s s e r t a t i o n w i l l b e t h e f u l l i n v e s t i g a t i o n o f t h e e f f e c t o f t h e d e n s i t y o f s t a t e s o n t h e f o r m o f t h e c o n d u c t i v i t y . I n t e r e s t i n g q u e s t i o n s r e m a i n t o b e s o l v e d . T h i s d i s s e r t a t i o n h a s e s t a b l i s h e d a b a s i s f r o m w h i c h t o p r o c e e d t o t h e a n s w e r s . - 193 -R E F E R E N C E S M. B e n z a q u e n a n d D. W a l s h , P h y s . R e v . B 30, 7287 (1984). M. B e n z a q u e n , K. M a z u r u k , D. W a l s h a n d M.A. d i F o r t e - P o i s s o n , J . P h y s . C 18, L1007 (1985). ( N . F . M o t t , J . N o n - C r y s t . S o l i d s J_, 1 (1968); P h i l o s . M a g . _19, 835 (1969). V. A m b e g a o k a r , B . l . H a l p e r i n a n d J . S . L a n g e r , P h y s . R e v . B 4-, 2612 (1971). M. P o l l a k , J . N o n - C r y s t . S o l i d s U_, 1 (1972). *A. M i l l e r a n d E . A b r a h a m s , P h y s . R e v . 120, 745 (1960). K . J . H a y d e n a n d P . N . B u t c h e r , P h i l o s . M a g . B 38, 603 (1978). A.S. S k a l , B . I . S h k l o v s k i i a n d A.L. E f r o s , F i z . T v e r d . T e l a . _17, 506 (1975) [ S o v . P h y s . - S o l i d S t a t e 17_, 316 (1975)]; B . I . S h k l o v s k i i a n d A.L. E f r o s , E l e c t r o n i c P r o p e r t i e s o f D o p e d S e m i c o n d u c t o r s ( S p r i n g e r V e r l a g , B e r l i n , 1984), p p . 191-195. 0. V . E m e l ' y a n e n k o , T . S . L a g u n o v a , D.N. N a s l e d o v , D.D. N e d e o g l o a n d 1. N. T i m c h e n k o , F i z . T e k n . P o l u p r o v . ]_, 1919 (1973) [ S o v . P h y s . S e m i c o n d . ]_, 1280 (1974)]. ^O.V. E m e l ' y a n e n k o , K . G . M a s g u t o r , D.N. N a s l e d o v a n d I . N . T i m c h e n k o , F i z . T e k n . P o l u p r o v . 9, 503 (1975) [ S o v . P h y s . S e m i c o n d . _9. 330 (1975)]. 1 H . K a h l e r t a n d G. L a n d w e h r , Z. P h y s i k B 24, 361 (1976). 2 D. L e m o i n e , C. P e l l e t i e r , S. R o l l a n d a n d R. G r a n g e r , P h y s . L e t t . A 56, 497 (1976). - 194 -B I B L I O G R A P H Y F . R . A l l e n a n d C . J . A d k i n s , P h i l o s . M a g . 2 6 , 1 0 2 7 ( 1 9 7 2 ) . F . R. A l l e n , R . H . W a l l i s a n d C . J . A d k i n s , P r o c e e d i n g s o f t h e 5 t h  I n t e r n a t i o n a l C o n f e r e n c e o n A m o r p h o u s L i q u i d S e m i c o n d u c t o r s , e d i t e d b y J . S t u k e a n d W. B r e n i g ( T a y l o r a n d F r a n c i s , L o n d o n , 1 9 7 4 ) . V . A m b e g a o k a r , S. C o c h r a n a n d J . K u r k i j a r v i , P h y s . R e v . B 8;, 3 6 8 2 ( 1 9 7 3 ) . V . A m b e g a o k a r , B . I . H a l p e r i n a n d J . S . L a n g e r , P h y s . R e v . B 4_, 2 6 1 2 ( 1 9 7 1 ) . N.W. A s h c r o f t a n d N.D. M e r m i n , S o l i d S t a t e P h y s i c s ( H o l t , R i n e h a r t a n d W i n s t o n , P h i l a d e l p h i a , 1 9 7 6 ) . M. B e n z a q u e n , K. M a z u r u k , D. W a l s h a n d M.A. d i F o r t e - P o i s s o n , J . P h y s . C 1 8 , L 1 0 0 7 ( 1 9 8 5 ) . M. B e n z a q u e n a n d D. W a l s h , P h y s . R e v . B 310, 7 2 8 7 ( 1 9 8 4 ) . G. B u s h a n d H. L a b h a r t , H e l v . P h y s . A c t a 1_4, 4 6 3 ( 1 9 4 6 ) . P . N . B u t c h e r a n d K . J . H a y d e n , P h i l o s . M a g . _36, 6 5 7 ( 1 9 7 7 ) . P . N . B u t c h e r , K . J . H a y d e n a n d J . A . M c l n n e s , P h i l o s . M a g . 3_6, 1 9 ( 1 9 7 7 ) . O.V. E m e l ' y a n e n k o , T . S . L a g u n o v a , D.N. N a s l e d o v , D.D. N e d e o g l o a n d I . N . T i m c h e n k o , F i z . T e k h . P o l u p r o v . 7_, 1 9 1 9 ( 1 9 7 3 ) [ S o v . P h y s . S e m i c o n d . _7, 1 2 8 0 ( 1 9 7 4 ) ] . O.V. E m e l ' y a n e n k o , K . S . M a s a g u t o r , D.N. N a s l e d o v a n d I . N . T i m c h e n k o , F i z . T e k h . P o l u p r o v . 9_, 5 0 3 ( 1 9 7 5 ) [ S o v . P h y s . S e m i c o n d . 9^, 3 3 0 ( 1 9 7 5 ) ] . O.V. E m e l ' y a n e n k o , D.N. N a s l e d o v , E . I . N i k u l i n a n d I . N . T i m c h e n k o , F i z . T e k h . P o l u p r o v . b, 2 2 8 3 ( 1 9 7 2 ) [ S o v . P h y s . S e m i c o n d . _6, 1 9 2 6 ( 1 9 7 3 ) ] . A . B . F o w l e r a n d A. H a r t s t e i n , P r o c e e d i n g s o f t h e 2 n d I n t e r n a t i o n a l C o n f e r e n c e o n t h e E l e c t r o n i c P r o p e r t i e s o f T w o - D i m e n s i o n a l S y s t e m s , e d i t e d b y J . F . K o c h a n d G. L a n d w e h r ( W u r z b u r g : T h e U n i v e r s i t y , 1 9 7 7 ) . A . B . F o w l e r a n d A. H a r t s t e i n , P h i l o s . M a g . B 42_, 9 4 9 ( 1 9 8 0 ) . H. F r i t z s c h e , P h i l o s . M a g . B 4 2 , 8 3 5 ( 1 9 8 0 ) . - 195 -B. Gudden and W. Schottky, Z. Tech. Phys. J_6, 323 (1935). K.J. Hayden and P.N. Butcher, Ph i l o s . Mag. B 38, 603 (1978). G. S. Hung and J.R. Gliessman, Phys. Rev. 96_, 1226 (1954). R. Jones and W. Schiach, J. Phys. C 5, 43 (1972). H. Kahlert and G. Landwehr, Z. Physik B 24, 361 (1976). D.S. Kershaw, J. Comput. Phys. 26, 43 (1978). S. Kobayashi, Y. Monden and W. Sasaki, So l i d State Commun. 30, 661 (1979). J . K u r k i j a r v i , Phys. Rev. B 9, 770 (1974). D. Lemoine, C. P e l l e t i e r , S. Rolland and R. Granger, Phys. Lett. A 56, 497 (1976). N. Maloufi, A. Audouard, M. Piecuch and G. Marchal, Phys. Rev. Lett. 56, 2307 (1986). K. Maschke, H. Overhof, and P. Thomas, Phys. Stat. Sol. B 61_, 621 (1974). K. Maschke, H. Overhof, and P. Thomas, Phys. Stat. Sol. B 62_, 113 (1974). J.A. Mclnnes and P.N. Butcher, Ph i l o s . Mag. 39_, 1 (1979). A. M i l l e r and E. Abrahams, Phys. Rev. 120, 745 (1960). N.F. Mott, J. Non-Cryst. Solids j_, 1 (1968). N.F. Mott, Philos. Mag. 1_9, 835 (1969). N.F. Mott, Metal-Insulator Transitions (Taylor and Francis, London, 1974). N.F. Mott and E.A. Davis, E l e c t r o n i c Processes i n Non-crystalline Materials (Clarendon, Oxford, 1979). Y. Ootuka, F. Komori, Y. Monden, S. Kobayashi and W. Sasaki, Solid State Commun. 33, 793 (1980). M. Ortuno and M. Pollak, P h i l o s . Mag. B 47, L93 (1983). H. Overhof, Festkorperprobleme XVI, 239 (1976). - 196 -M. P o l l a k , J . N o n - C r y s t . S o l i d s U_, 1 (1972). M. P o l l a k , M . L . K n o t e k , H. K u r t z m a n a n d H. G l i c k , P h y s . R e v . L e t t . 30, 856 (1973). D. R e d f i e l d , P h y s . R e v . L e t t . 30, 1319 (1973). D. R e d f i e l d , A d v . P h y s . 24, 463 (1975). C.H. S e a g e r a n d G . E . P i k e , P h y s . R e v . B 10_, 1435 (1974). W.N. S h a f a r m a n a n d T.G. C a s t n e r , P h y s . R e v . B 33_, 3570 (1986). B . I . S h k l o v s k i i a n d A . L . E f r o s , E l e c t r o n i c P r o p e r t i e s o f D o p e d  S e m i c o n d u c t o r s ( S p r i n g e r - V e r l a g , B e r l i n , 1984). I . S . S h l i m a k a n d E . I . N i k u l i n , Z h . E k s p . T h e o r . F i z . P i s . R e d . 15, 30 (1972) [ J E T P L e t t . JL5_, 20 (1972)]. A . S . S k a l , B . I . S h k l o v s k i i a n d A . L . E f r o s , F i z . T v e r d . T e l a . _17, 506 (1975) [ S o v . P h y s . - S o l i d S t a t e 316 (1975)]. S.M. S z e , P h y s i c s o f S e m i c o n d u c t o r D e v i c e s ( J o h n W i l e y & S o n s , T o r o n t o , 1981)'. H. T o k u m o t o , R. M a n s f i e l d a n d M . J . L e a , S o l i d S t a t e Commun. _35, 961 (1980); P h i l o s . M a g . 46, 93 (1982). P . V i s c o r , P h y s . R e v . B 2 8 , 927 (1983). N.G. Y a r e m e n k o , F i z . T e k h . P o l u p r o v . 9_, 840 (1975) [ S o v . P h y s . S e m i c o n d . 9, 554 (1975). ~ A . G . Z a b r o d s k i i , F i z . T e k h . P o l u p r o v . _14» H30 (1980) [ S o v . P h y s . S e m i c o n d . _14, 670 (1980)]. A . G . Z a b r o d s k i i , F i z . T e k h . P o l u p r o v . _14, 1324 (1980) [ S o v . P h y s . S e m i c o n d . 14, 781 (1980)]. - 197 -APPENDIX In t h i s appendix, a d e s c r i p t i o n i s given of how to derive the r e s i s t o r network, used i n t h i s d i s s e r t a t i o n . The d e r i v a t i o n i s based on a time-averaged r a t e equation approach for d e s c r i b i n g the hopping process. The time-averaged occupation number n^ f o r donor s i t e i i s given by on. ar = ? ( rjr rij)> ( i ) where r.^ i s the time-averaged r a t e at which e l e c t r o n s hop from s i t e i to s i t e j, t i s time, and the sum i s over a l l donor s i t e s j d i f f e r e n t from i . The hopping r a t e F^JJ given by r . . = n.y • .(1-n.), (ii) i j i i ] J i s a product of three p r o b a b i l i t i e s : the p r o b a b i l i t y n^ that s i t e i i s occupied, the p r o b a b i l i t y (1-n^) that s i t e j i s empty, and the p r o b a b i l i t y per u n i t time y that an e l e c t r o n on s i t e i w i l l hop to an empty s i t e j . The net e l e c t r i c current 1 ^ f l o w i n g from s i t e i to s i t e j i s given by I. . = -e(r..- T . . ), ( i i i ) i j i J J i - 1 9 8 -w h e r e e i s t h e m o d u l u s o f t h e e l e c t r o n i c c h a r g e . W h e n t h e r e i s n o e x t e r n a l e l e c t r i c f i e l d ( i . e . i n e q u i l i b r i u m ) , t h e r e i s a d e t a i l e d b a l a n c e : V.. =T... I . . = 0, a n d t h e r e i s n o b u l k c u r r e n t i j J i i J f l o w . A p p l i c a t i o n o f a n e l e c t r i c f i e l d E a l t e r s t h e h o p p i n g r a t e s , m a k i n g i t m o r e l i k e l y f o r e l e c t r o n s t o h o p i n t h e d i r e c t i o n - E . T h e I . . b e c o m e i j n o n - z e r o a n d a b u l k c u r r e n t r e s u l t s . T h e n e t w o r k o f c u r r e n t s m a y b e r e p l a c e d b y a n e t w o r k o f r e s i s t o r s i n t h e m a n n e r d e s c r i b e d b e l o w . W h e n t h e r e i s a n e l e c t r i c f i e l d , t h e o c c u p a t i o n n u m b e r s c h a n g e . T h i s i s b e c a u s e e q u i l i b r i u m h a s g i v e n w a y t o a s t e a d y s t a t e s i t u a t i o n i n w h i c h t h e r e a r e e l e c t r o n f l o w s t o w a r d , a n d a w a y f r o m , e a c h d o n o r s i t e . T a k i n g E t o b e s m a l l , n ^ m a y b e w r i t t e n i n t e r m s o f t h e s m a l l u n k n o w n A ^ a s . ( e . + A . - n ) / k T _ 1 n i = [j e 1 1 + 1 ] , ( i v ) w h e r e a n d \i a r e t h e l o c a l i z a t i o n e n e r g y f o r s i t e i a n d t h e c h e m i c a l p o t e n t i a l w h e n E = 0, a n d T i s t h e t e m p e r a t u r e . ( W h e n E = 0, A^ = 0 a n d n ^ h a s i t s e q u i l i b r i u m f o r m ^ . ) S u p p o s e a p h o n o n i s a b s o r b e d i n h o p p i n g f r o m s i t e i t o j . T h e n y . . n J I q w h e r e n ^ i s t h e n u m b e r o f p h o n o n s o f m o d e q . T h e e n e r g y o f t h e m o d e i s - 1 9 9 -given by (vi) where r^ locates donor s i t e i . Assuming the phonons to be i n thermal equilibrium, n i s given by Steady state means the l e f t hand side of equation ( i ) i s zero. As such, the can in p r i n c i p l e be solved for by combining equations ( i ) , ( i i ) , and ( i v ) - ( v i i ) . This formidable task can be circumvented by deriving an expression for 1^ ^ to f i r s t order i n E. Combining equations ( i i ) - ( v i i ) gives q tco /kT n - [e q L ( v i i ) i . . v.. ( v i i i ) where (ix) - 2 0 0 -and 1 J e2r9. e2n9Y9.(l-n?) i . l i i ] J where t h e s u p e r s c r i p t s 0 denote e q u i l i b r i u m v a l u e s . I n s t e a d y s t a t e , e q u a t i o n ( i ) i s I I . . = 0 . ( x i ) - IJ 1 E q u a t i o n s ( v i i i ) - ( x i ) d e s c r i b e a r e s i s t o r network w i t h r e s i s t a n c e s R9. and p o t e n t i a l drops V... K i r c h o f f ' s laws a r e g i v e n by e q u a t i o n s ( i x ) and ( x i ) . Thus, t h e c u r r e n t I . , t h a t f l o w s i n r e s i s t o r R9. i s t h e same c u r r e n t t h a t f l o w s i n t h e l i g h t l y doped s e m i c o n d u c t o r (LDS) between donor s i t e s i and j , and t h e r e s i s t o r network may be used t o c a l c u l a t e t he c o n d u c t i v i t y o f the s e m i c o n d u c t o r . S i n c e R9. i n v o l v e s o n l y known q u a n t i t i e s , t he c o n d u c t i v i t y can be c a l c u l a t e d w i t h o u t s o l v i n g f o r the A - . Note t h a t by w r i t i n g I . . = V../R.. where V.. = a..V.., R.. = a..R?., i j i-J i J i J i J i J i l I J i J a.. = (V.-V.)/V... where V. and V. a r e a r b i t r a r y but u n e q u a l , i t f o l l o w s i j i J i ] i J t h a t t he r e s i s t o r n etwork R.. i s an a l t e r n a t i v e network t o model the LDS i J w i t h . As s u c h , t h e r e a r e i n f i n i t e l y many networks t o choose from. The c h o i c e R9. i s made because i t i s the c h o i c e i n v o l v i n g none o f t h e unknowns A . . That such freedom o f c h o i c e i s p o s s i b l e i m p l i e s t h a t no s p e c i a l s i g n i f i c a n c e s h o u l d be a t t a c h e d t o t h e A . . Some a u t h o r s have a s c r i b e d t o - 2 0 1 -|j.-A^ t h e p h y s i c a l s i g n i f i c a n c e o f " l o c a l c h e m i c a l p o t e n t i a l a t s i t e i " ; t h e a b o v e s h o w s t h a t i t i s u n n e c e s s a r y t o a p p l y a m a c r o s c o p i c c o n c e p t ( c h e m i c a l p o t e n t i a l ) a t t h e m i c r o s c o p i c l e v e l . O b t a i n i n g a n e x p r e s s i o n f o r R ? . r e d u c e s t o c a l c u l a t i n g Y ? . . Y ? . w a s V3 i j . . . 2 o r i g i n a l l y e v a l u a t e d b y M i l l e r a n d A b r a h a m s , a n d l a t e r b y S h k l o v s k i i a n d 3 E f r o s . A s s u m i n g a n i s o t r o p i c , a c o u s t i c p h o n o n b r a n c h , n o v a l l e y d e g e n e r a c y a n d a n i s o t r o p i c e f f e c t i v e m a s s f o r t h e b o t t o m o f t h e c o n d u c t i o n b a n d , a n d u s i n g t h e d e f o r m a t i o n p o t e n t i a l a p p r o x i m a t i o n f o r t h e e l e c t r o n - p h o n o n i n t e r a c t i o n , Y ? . i s g i v e n b y w h e r e t h e s y m b o l s a r e a l l a s d e f i n e d p r e v i o u s l y i n t h i s d i s s e r t a t i o n ( s e e , f o r e x a m p l e , [ I ] ) , a n d w h e r e n i s g i v e n b y ( v i i ) w i t h tru) = e.-e. . U s i n g q q j 1 e q u a t i o n ( x i i ) i n e q u a t i o n ( x ) g i v e s e q u a t i o n s ( 4 ) - ( 7 ) o f [ I ] f o r t h e r e s i s t o r n e t w o r k . A p a r t f r o m t h e w o r k s o f t h i s d i s s e r t a t i o n , t h e e x p r e s s i o n s ( 4 ) - ( 7 ) o f [ I ] f o r t h e r e s i s t o r n e t w o r k d o n o t a p p e a r e x p l i c i t l y i n t h e l i t e r a t u r e . T h i s i s p a r t l y b e c a u s e m o s t a u t h o r s u s e t h e T •* 0 a s y m p t o t i c f o r m f o r t h e 3 r e s i s t a n c e . S h k l o v s k i i a n d E f r o s p r e s e n t e d e q u a t i o n s ( x ) a n d ( x i i ) e x p l i c i t l y ( t h e i r e q u a t i o n s ( 4 . 2 . 3 0 ) , a n d ( 4 . 2 . 1 7 ) c o m b i n e d w i t h ( 4 . 7 . 1 8 ) , r e s p e c t i v e l y ) , b u t w h e n c o m b i n i n g t h e m w r o t e d o w n o n l y t h e T -v 0 a s y m p t o t i c f o r m . M i l l e r a n d A b r a h a m s , w h i l e n o t t a k i n g t h e T -*• 0 a s y m p t o t i c f o r m , d i d - 2 r . . / a i j e n ( x i i ) - 2 0 2 -r e s p e c t i v e l y ) , b u t w h e n c o m b i n i n g t h e m w r o t e d o w n o n l y t h e T •> 0 a s y m p t o t i c f o r m . M i l l e r a n d A b r a h a m s , w h i l e n o t t a k i n g t h e T -* 0 a s y m p t o t i c f o r m , d i d n o t e x p l i c i t l y r e c o r d e q u a t i o n ( x i i ) . I n s t e a d , t h e y r e p l a c e d t h e t e r m 1 + ( e . - e . ) a 2 ( — ^ — ) b y u n i t y . T h e y a l s o p a r t i c u l a r i z e d t o G e a n d S i , m a t e r i a l s 2 t r s h a v i n g v a l l e y d e g e n e r a c i e s . T h i s r e s u l t e d i n a s l i g h t l y d i f f e r e n t 3 p r e f a c t o r , a n d r ^ / a a p p e a r i n g t o t h e p o w e r — i n s t e a d o f 2 — s e e t h e i r e q u a t i o n s ( 1 1 1 - 2 2 ) - ( 1 1 1 - 2 6 ) . T h e e x p r e s s i o n ( x i i ) i s s u i t a b l e f o r G a A s a n d I n P b e c a u s e t h e s e m a t e r i a l s h a v e i s o t r o p i c e f f e c t i v e m a s s e s . F o r a d e r i v a t i o n o f t h e e q u i l i b r i u m f o r m o f n ^ , s e e , f o r e x a m p l e , N.W. A s h c r o f t a n d N.D. M e r m i n , S o l i d S t a t e P h y s i c s ( H o l t , R i n e h a r t a n d W i n s t o n , P h i l a d e l p h i a , 1 9 7 6 ) , p p . 5 8 1 - 5 8 2 . A . M i l l e r a n d E . A b r a h a m s , P h y s . R e v . 1 2 0 , 7 4 5 ( 1 9 6 0 ) . ' B . I . S h k l o v s k i i a n d A . L . E f r o s , E l e c t r o n i c P r o p e r t i e s o f D o p e d  S e m i c o n d u c t o r s ( S p r i n g e r - V e r l a g , B e r l i n , 1 9 8 4 ) , p p . 8 2 - 8 9 . 

Cite

Citation Scheme:

        

Citations by CSL (citeproc-js)

Usage Statistics

Share

Embed

Customize your widget with the following options, then copy and paste the code below into the HTML of your page to embed this item in your website.
                        
                            <div id="ubcOpenCollectionsWidgetDisplay">
                            <script id="ubcOpenCollectionsWidget"
                            src="{[{embed.src}]}"
                            data-item="{[{embed.item}]}"
                            data-collection="{[{embed.collection}]}"
                            data-metadata="{[{embed.showMetadata}]}"
                            data-width="{[{embed.width}]}"
                            async >
                            </script>
                            </div>
                        
                    
IIIF logo Our image viewer uses the IIIF 2.0 standard. To load this item in other compatible viewers, use this url:
https://iiif.library.ubc.ca/presentation/dsp.831.1-0085078/manifest

Comment

Related Items