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Radiation from coupled open-ended waveguides 1981

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RADIATION FROM COUPLED OPEN-ENDED WAVEGUIDES by Peter F. Driessen B.Sc., University of B r i t i s h Columbia, 1976 A THESIS SUBMITTED IN PARTIAL FULFILMENT OF THE REQUIREMENTS FOR THE DEGREE OF DOCTOR OF PHILOSOPHY in the Department of E l e c t r i c a l Engineering We accept th i s thesis as conforming to the required standard THE UNIVERSITY OF BRITISH COLUMBIA February 1981 © Peter Frank Driessen, 1981 I n p r e s e n t i n g t h i s t h e s i s i n p a r t i a l f u l f i l m e n t o f t h e r e q u i r e m e n t s f o r a n a d v a n c e d d e g r e e a t t h e U n i v e r s i t y o f B r i t i s h C o l u m b i a , I a g r e e t h a t t h e L i b r a r y s h a l l m a k e i t f r e e l y a v a i l a b l e f o r r e f e r e n c e a n d s t u d y . I f u r t h e r a g r e e t h a t p e r m i s s i o n f o r e x t e n s i v e c o p y i n g o f t h i s t h e s i s f o r s c h o l a r l y p u r p o s e s m a y b e g r a n t e d b y t h e h e a d o f my d e p a r t m e n t o r b y h i s o r h e r r e p r e s e n t a t i v e s . I t i s u n d e r s t o o d t h a t c o p y i n g o r p u b l i c a t i o n o f t h i s t h e s i s f o r f i n a n c i a l g a i n s h a l l n o t b e a l l o w e d w i t h o u t my w r i t t e n p e r m i s s i o n . D e p a r t m e n t o f E l e c t r i c a l E n g i n e e r i n g T h e U n i v e r s i t y o f B r i t i s h C o l u m b i a 2 0 7 5 W e s b r o o k P l a c e V a n c o u v e r , C a n a d a V 6 T 1W5 D a t e 29 A p r i 1 1981 D E - 6 ( 2 / 7 9 ) i i A B S T R A C T R a y - o p t i c a l m e t h o d s a r e u s e d t o c a l c u l a t e t h e c o u p l i n g b e t w e e n o p e n - e n d e d p a r a l l e l - p l a t e w a v e g u i d e s , a s w e l l a s t h e r a d i a t i o n p a t t e r n s o f f i n i t e a r r a y s o f c o u p l e d p a r a l l e l - p l a t e w a v e g u i d e s w i t h o n l y t h e c e n t r a l g u i d e d r i v e n . T h e s e m e t h o d s r e q u i r e e x t e n s i v e r a y t r a c i n g , p a r t i c u l a r l y f o r t h e l a r g e r a r r a y s , t o t a k e i n t o a c c o u n t t h e m a n y p o s s i b l e r a y p a t h s . T h e c o u p l i n g c o e f f i c i e n t s b e t w e e n b o t h t w o a n d t h r e e g u i d e s i n i s o l a t i o n a g r e e d r e m a r k a b l y w e l l w i t h t h o s e p r e v i o u s l y d e r i v e d i n t h e p r e s e n c e o f o t h e r g u i d e s , g r o u n d p l a n e s e t c . , i n d i c a t i n g a g e n e r a l l a c k o f s e n s i t i v i t y o f t h e c o u p l i n g c o e f f i c i e n t s t o t h e d e t a i l s o f t h e s u r r o u n d i n g s t r u c t u r e . T h e c a l c u l a t e d p a t t e r n s w e r e c o m p a r e d w i t h e x p e r i m e n t a l p a t t e r n s u s i n g a n H - p l a n e s e c t o r a l h o r n t o s i m u l a t e t h e p a r a l l e l - p l a t e w a v e g u i d e a r r a y . R a d i a t i o n p a t t e r n s o f b o t h t h r e e a n d f i v e e l e m e n t a r r a y s w i t h a l l w a v e g u i d e e d g e s i n t h e a p e r t u r e p l a n e , a s w e l l a s t h a t o f a t h r e e e l e m e n t s t a g g e r e d a r r a y w i t h t h e o u t e r e d g e s n o t i n t h e a p e r t u r e p l a n e a g r e e d w e l l w i t h t h e e x p e r i m e n t a l p a t t e r n s . A w i d e v a r i e t y o f p a t t e r n s c o u l d b e o b t a i n e d b y v a r y i n g t h e ' w i d t h , d e p t h , a n d n u m b e r o f t h e o u t e r g u i d e s i n t h e a r r a y . R a y - o p t i c a l m e t h o d s m a y t h u s b e u s e f u l i n t h e d e v e l o p m e n t o f w a v e g u i d e a n t e n n a s f o r a v a r i e t y o f a p p l i c a t i o n s . i i i TABLE OF CONTENTS ABSTRACT i i LIST OF TABLES v LIST OF FIGURES v i ACKNOWLEDGEMENTS x 1 Introduction And Motivation 1 1.1 Introduction 1 1.2 Lit e r a t u r e Review 3 1.3 Approach To The Problem 8 1.4 Experimental Arrangement 10 1.5 Summary 12 2 Method Of Analysis 19 2.1 General Description 19 2.2 Canonical Problems 21 2.3 Limitations Of The Method 24 2.4 Summary 28 3 Coupling Between Two Adjacent Waveguides 31 3.1 Formulation 31 3.2 Single D i f f r a c t i o n 34 3.3 Multiple D i f f r a c t i o n 34 3.4 Calculation Of The Coupling C o e f f i c i e n t 38 3.5 Numerical Results 42 3.6 Summary 46 4 Coupling Between Separated Guides 58 4.1 Calculation Of The Coupling C o e f f i c i e n t 58 4.2 A n a l y t i c a l And Numerical Results 64 4.3 Summary 68 5 Radiation Pattern Of A Single Guide 81 5.1 Introduction 81 5.2 Canonical Problems 81 5.3 Calculation Of Radiation Pattern 84 5.4 Numerical And Experimental Results 89 5.5 Summary 90 6 Radiation Pattern Of Three Element Waveguide Array . 96 6.1 Introduction 96 6.2 Ray-optical Formulation 97 6.3 Radiation Pattern With Guides Of I n f i n i t e Depth 98 i v 6.4 Radiation With Outer Guides Shorted 104 6.5 Numerical And Experimental Results 107 6.6 Summary 109 7 Radiation Pattern Of Five Element Waveguide Array .. 120 7.1 Ray-optical Formulation 120 7.2 Radiation Pattern With Outer Guides Of I n f i n i t e Depth 121 7.3 Radiation With Outer Guides Shorted 125 7.4 Numerical And Experimental Results 129 7.5 Summary 132 8 Coupling Between Staggered Guides 148 8.1 Canonical Problem 148 8.2 Calculation Of The Coupling C o e f f i c i e n t 150 8.3 Numerical Results 154 8.4 Summary 155 9 Radiation From A Staggered P a r a l l e l Plate Waveguide 163 9.1 Formulation 163 9.2 Calculation Of Radiation Pattern 164 9.3 Numerical And Experimental Results 171 9.4 Summary 172 10 Radiation From Multi-element Staggered Waveguide Array 184 10.1 Introduction 184 10.2 Radiation With Outer Guides Of I n f i n i t e Depth . 185 10.3 Radiation With Outer Guides Shorted 188 10.4 Numerical And Experimental Results 192 10.5 Summary 194 11 General Conclusions And Discussion 205 11.1 Discussion 205 11.2 Suggestions For Further Work 211 11.3 Conclusions In Brief 213 REFERENCES 215 APPENDICES 220 A Scattered F i e l d s Along A Shadow Boundary 220 B Higher Order D i f f r a c t i o n Terms For Coupling Between Adjacent P a r a l l e l Plate Waveguides in The TEM Mode 222 C Continuity Of F i e l d s Across Shadow Boundaries . 227 D Description of Antenna Pattern Range 229 V L I S T O F T A B L E S t a b l e p a g e I c o u p l i n g c o e f f i c i e n t b e t w e e n a d j a c e n t p a r a l l e l p l a t e w a v e g u i d e s • 57 I I c o u p l i n g c o e f f i c i e n t b e t w e e n s e p a r a t e d p a r a l l e l p l a t e w a v e g u i d e s 80 I I I r a d i a t i o n p a t t e r n p a r a m e t e r s 147 v i L I S T O F F I G U R E S figure page 1.1 sector-shaped radiation pattern 13 1.2 near optimum and t y p i c a l radiation patterns for a feed antenna 13 1.3 p a r a l l e l plate waveguide array with desired aperture f i e l d 13 1.4 l i n e feed for a parabolic cylinder r e f l e c t o r 14 1.5 array of concentric c i r c u l a r waveguides 14 1.6 staggered array of p a r a l l e l plate waveguides 14 1.7 cross-section of concentric c i r c u l a r waveguide feed 14 1.8 p a r a l l e l plate waveguide 15 1.9 two separated p a r a l l e l plate waveguides 15 1.10 staggered p a r a l l e l plate waveguide 15 1.11 flanged p a r a l l e l plate waveguides 15 1.12 two separated flanged p a r a l l e l plate waveguides 16 1.13 f i n i t e array of p a r a l l e l plate waveguides embedded in a groundplane 16 1.14 i n f i n i t e array of p a r a l l e l plate waveguides 16 1.15 f i n i t e array of p a r a l l e l plate waveguides embedded in a simulated groundplane 16 1.16 f i n i t e array of p a r a l l e l plate waveguides with thick walls embedded in a groundplane 17 1.17 f i n i t e array of p a r a l l e l plate waveguides in i s o l a t i o n 17 1.18 N-furcated waveguide 17 1.19 d i f f r a c t e d rays 18 1.20 two adjacent p a r a l l e l plate waveguides 17 1.21 two adjacent staggered p a r a l l e l plate waveguides 17 1.22 H-plane sectoral horn 18 2.1 incident and ref l e c t e d shadow boundaries 29 2.2 incident, re f l e c t e d and d i f f r a c t e d f i e l d s 29 2.3 l i n e source incident on a half-plane 30 2.4 l i n e source incident on two p a r a l l e l half-planes 30 2.5 l i n e source incident on two staggered half-planes 30 3.1 ray paths of mode f i e l d s in two adjacent p a r a l l e l plate waveguides 48 3.2 ray paths from the driven guide to the pa r a s i t i c guide 48 3.3 two successive rays in a ray path from the driven guide to a guide aperture 49 3.4 two successive rays in a ray path, both rays in a guide aperture 49 3.5 two successive rays in a ray path from the guide aperture to the p a r a s i t i c guide 49 3.6 TEM-TEM coupling between adjacent waveguides (a=d) 50 v i i 3 . 7 3 . 8 3 . 9 3 . 1 0 3 . 1 1 3 . 1 2 3 . 1 3 4 . 1 4 . 2 4 . 3 4 . 4 4 . 5 4 . 6 4 . 7 4 . 8 4 . 9 4 . 1 0 4 . 1 1 4 . 1 2 5 . 1 5 . 2 5 . 3 5 . 4 5 . 5 5 . 6 6 . 1 6 . 2 6 . 3 6 . 4 6 . 5 6 . 6 6 . 7 6 . 8 TEM-TEM ( a = d / 2 ) TEM-TEM ( a = 2 d ) TE ,-TE| ( a = d ) TEM-TMr, TE i-TE n TEM-TEM TEi-TEi c o u p l i n g b e t w e e n a d j a c e n t w a v e g u i d e s c o u p l i n g b e t w e e n a d j a c e n t w a v e g u i d e s c o u p l i n g b e t w e e n a d j a c e n t w a v e g u i d e s c o u p l i n g c o e f f i c i e n t ( a = d , N = 0 ) c o u p l i n g c o e f f i c i e n t ( a = d , N = l ) c o u p l i n g a t l o w f r e q u e n c i e s ' c o u p l i n g a t l o w f r e q u e n c i e s n g b e t w e e n s e p a r a t e d w a v e g u i d e s n g b e t w e e n s e p a r a t e d w a v e g u i d e s n g b e t w e e n s e p a r a t e d w a v e g u i d e s d e s r a y p a t h s o f m o d e f i e l d s i n t w o s e p a r a t e d p a r a l l e l p l a t e w a v e g u i d e s r a y p a t h s f r o m t h e d r i v e n g u i d e t o t h e p a r a s i t i c g u i d e TEM-TEM c o u p l i n g b e t w e e n s e p a r a t e d w a v e g u i d e s ( a = b = 0 . 3 3 8 7 0 TEM-TEM c o u p l i n g b e t w e e n s e p a r a t e d w a v e g u i d e s ( a = b = 0 . 7 6 1 X ) TE i-TE / c o u p l ( a = b = 0 . 7 6 1 X ) TEM-TEM c o u p l ( d = a = b ) TEM-TEM c o u p l i n g b e t w e e n s e p a r a t e d w a v e g u i d e s ( a = 2 d , b = d ) TEM-TEM c o u p l : ( a = d , b = 2 d ) TEM-TEM c o u p l i n g b e t w e e n s e p a r a t e d w a v e g u : ( a = d / 2 , b = d ) TE,-TE | c o u p l i n g b e t w e e n s e p a r a t e d w a v e g u i d e s ( a = d = b ) p l a n e w a v e n o r m a l l y i n c i d e n t o n t w o n o n - s t a g g e r e d p a r a l l e l p l a t e s p l a n e w a v e n o r m a l l y i n c i d e n t o n t h r e e n o n - s t a g g e r e d p a r a l l e l p l a t e s r a y p a t h s i n a p a r a l l e l p l a t e w a v e g u i d e r a y p a t h ( s e e t e x t ) r a y p a t h ( s e e t e x t ) c o n t i n u i t y o f f i e l d s a c r o s s s h a d o w b o u n d a r y r a y - o p t i c a l a n d e x a c t r a d i a t i o n p a t t e r n s f o r a p a r a l l e l p l a t e w a v e g u i d e ( a = 0 . 4 5 " X ) e x p e r i m e n t a l a n d e x a c t r a d i a t i o n p a t t e r n s f o r a p a r a l l e l p l a t e w a v e g u i d e ( a = 0 . 4 5 M t h r e e e l e m e n t a r r a y o f p a r a l l e l p l a t e w a v e g u i d e s w i t h o u t e r g u i d e s s h o r t e d t h r e e e l e m e n t a r r a y o f p a r a l l e l p l a t e w a v e g u i d e s w i t h o u t e r g u i d e s o f i n f i n i t e d e p t h r a y p a t h s f r o m c e n t r a l g u i d e s t o e d g e 1 r a y p a t h s f r o m c e n t r a l g u i d e s t o e d g e 3 r a y p a t h s f r o m o u t e r g u i d e s t o e d g e 1 r a y p a t h s f r o m o u t e r g u i d e t o e d g e 3 r a d i a t i o n p a t t e r n o f t h r e e e l e m e n t a r r a y w i t h o u t e r g u i d e s o f i n f i n i t e d e p t h ( a = d = 0 . 4 0 7 X ) r a d i a t i o n p a t t e r n o f t h r e e e l e m e n t a r r a y 51 52 53 54 55 56 56 70 70 71 72 73 74 7 5 76 77 78 79 79 91 91 91 92 93 95 1 1 1 1 1 1 1 1 2 1 1 2 1 1 2 1 1 2 1 1 3 v i i i a=d=0.450A s=0.856A A=0.131*0 U 114 6.9 r a d i a t i o n p a t t e r n of three element array a=d=0.339X s=0.645* A=0. 371 £. -171° 115 6.10 r a d i a t i o n p a t t e r n of three element array a=d=0.356X s=0.677A A=0.308 ̂ -134° 116 6.11. r a d i a t i o n p a t t e r n of three element array a=d=0.373X s=0.709A A=0.247 L +104° 117 6.12 r a d i a t i o n p a t t e r n of three element array a=d=0.389X s=0.459X A=0.199^+38° 118 6.13 r a d i a t i o n p a t t e r n of three element array a=d=0.44lA s = 0.597A A=0. 223 +166* 119 7.1 f i v e element array of p a r a l l e l p l a t e waveguides with outer guides shorted 134 7.2 f i v e element array of p a r a l l e l p l a t e waveguides with outer guides of i n f i n i t e depth 134 7.3 ray path (see t e x t ) 135 7.4 ray paths (see t e x t ) 135 7.5 ray paths (see t e x t ) 135 7.6 ray paths (see t e x t ) 136 7.7 ray paths (see t e x t ) 136 7.8 r a d i a t i o n p a t t e r n of f i v e element array with outer guides of i n f i n i t e depth d=a=b=0.450X 137 7.9 r a d i a t i o n pattern of f i v e element array with outer guides of i n f i n i t e depth d=a=b=0.339X 138 7.10 r a d i a t i o n pattern of f i v e element array with outer guides of i n f i n i t e depth d=a=b=0.450X comparison with [38] 139 7.11 r a d i a t i o n pattern of f i v e element array with outer guides of i n f i n i t e depth dfa = b=0.450X comparison with [29] 139 7.12 r a d i a t i o n p a t t e r n of f i v e element array d=a=b=0.441^ s,=0.838X sz=0.597X A , = 0.137^ -12° A2=0.074 ̂ -12° 140 7.13 r a d i a t i o n p a t t e r n of f i v e element array d=a=b=0.407X s,=0.774* s 2=0.55lX A,=0.171 ̂ -55° A2=0.076 ^-57° 141 7.14 r a d i a t i o n p a t t e r n of f i v e element array d=a=b=0. 373 >s s,=0.709A s 2=0.505> A, =0.247 ̂ -103° A2=0.096^ -98° 142 7.15 r a d i a t i o n p a t t e r n of f i v e element array d=a=b=0.356X s,=0.677X S!=0.487X A,=0.308 C -134° A2=0.126^ -123° '143 7.16 aperture f i e l d and r a d i a t i o n p a t t e r n of a f i v e element ar r a y A,=-0.215 A2=-0.090 d=a = b=0. 450X S,=0.610X Si=0.356X 144 7.17 aperture f i e l d and r a d i a t i o n p a t t e r n of a f i v e element array A,=+0.131 A2=+0.073 d=a = b=0. 450X s,=0. 8577\ s 2 = 0.610X 145 7.18 aperture f i e l d and r a d i a t i o n p a t t e r n of a f i v e element array A,=-0.131 A2=+0.045 d=a = b=0. 450A S,=0 . 857X S 2 = 0 .356X 146 8.1 two adjacent staggered p a r a l l e l p l a t e waveguides 156 8.2 l i n e source and plane wave i n c i d e n t on a i x h a l f - p l a n e 156 8.3 r a y p a t h s f o r c o u p l i n g c o e f f i c i e n t 157 8.4 r a y p a t h ( s e e t e x t ) 157 8.5 T E M - T E M c o u p l i n g b e t w e e n s t a g g e r e d w a v e g u i d e s 158 9.1 s t a g g e r e d p a r a l l e l p l a t e w a v e g u i d e 174 9.2 r a y p a t h s f o r r a d i a t i o n p a t t e r n c a l c u l a t i o n 174 9.3 s h a d o w b o u n d a r i e s f o r a s t a g g e r e d p a r a l l e l p l a t e w a v e g u i d e 175 9.4 c o n t i n u i t y o f f i e l d s a c r o s s s h a d o w b o u n d a r i e s 175 9.5 s t a g g e r e d p a r a l l e l p l a t e w a v e g u i d e 176 9.6 r a d i a t i o n p a t t e r n o f s t a g g e r e d w a v e g u i d e ^ = 4 5 ° 177 9.7 r a d i a t i o n p a t t e r n o f s t a g g e r e d w a v e g u i d e ^ = 4 5 ° s i n g l e a n d d o u b l e d i f f r a c t i o n o n l y 182 9.8 r a d i a t i o n p a t t e r n o f s t a g g e r e d w a v e g u i d e f o r v a r i o u s s t a g g e r a n g l e s 183 10.1 a r r a y o f s t a g g e r e d p a r a l l e l p l a t e w a v e g u i d e s w i t h o u t e r g u i d e s s h o r t e d 195 10.2 a r r a y o f s t a g g e r e d p a r a l l e l p l a t e w a v e g u i d e s w i t h o u t e r g u i d e s o f i n f i n i t e d e p t h 195 10.3 r a y p a t h f o r c a l c u l a t i n g S , 196 10.4 r a y p a t h s f o r c a l c u l a t i n g S 3 196 10.5 r a y p a t h s f o r c a l c u l a t i n g S3 196 10.6 s h a d o w b o u n d a r i e s f o r a n a r r a y o f s t a g g e r e d p a r a l l e l p l a t e w a v e g u i d e s 197 10.7 r a y p a t h s ( s e e t e x t ) 197 10.8 r a d i a t i o n p a t t e r n o f s t a g g e r e d w a v e g u i d e a r r a y w i t h o u t e r g u i d e s o f i n f i n i t e d e p t h d=a=0.450A V = 4 5 ° ' 198 10.9 r a d i a t i o n p a t t e r n o f s t a g g e r e d w a v e g u i d e a r r a y d = a = 0.4747v s = 1.166A Y = 45° 199 10.10 r a d i a t i o n p a t t e r n o f s t a g g e r e d w a v e g u i d e a r r a y d=a=0.441> s=1.083> ^ = 4 5 ° 200 10.11 r a d i a t i o n p a t t e r n o f s t a g g e r e d w a v e g u i d e a r r a y d=a=0.407* s=1.000X y = 4 5 ° 201 10.12 r a d i a t i o n p a t t e r n o f s t a g g e r e d w a v e g u i d e a r r a y d = a = 0.373?\ s = 0.916A 1̂  = 45° 202 10.13 r a d i a t i o n p a t t e r n o f s t a g g e r e d w a v e g u i d e a r r a y d=a=0.339> s=0.833A ^ = 4 5 ° 203 10.14 r a d i a t i o n p a t t e r n o f s t a q g e r e d w a v e g u i d e a r r a y s d=a=0.450A s=1.107A 204 X A C K N O W L E D G E M E N T S T h e a u t h o r i s t h a n k f u l t o D r . E d w a r d V . J u l l , w h o f i r s t p e r c e i v e d t h i s i n v e s t i g a t i o n , f o r h i s s u p e r v i s i o n o f t h i s t h e s i s a n d h i s m a n y v a l u a b l e c o m m e n t s a n d s u g g e s t i o n s a s t h e w o r k p r o g r e s s e d . T h a n k s a r e a l s o d u e t o D a v e F l e t c h e r f o r c o n s t r u c t i n g t h e s e c t o r a l h o r n a n t e n n a , t o D r . J.Y. W o n g a n d W. L a v r e n c h o f t h e N a t i o n a l R e s e a r c h C o u n c i l o f C a n a d a D i v i s i o n o f E l e c t r i c a l E n g i n e e r i n g f o r p e r m i s s i o n t o u s e t h e i r a n t e n n a r a n g e , a n d t o J o h n H a z e l l f o r a s s i s t i n g w i t h t h e m e a s u r e m e n t s . T h e a u t h o r g r a t e f u l l y a c k n o w l e d g e s t h e f i n a n c i a l s u p p o r t o f t h e N a t i o n a l S c i e n c e s a n d E n g i n e e r i n g R e s e a r c h C o u n c i l o f C a n a d a . 1 C h a p t e r 1 I N T R O D U C T I O N A N D M O T I V A T I O N 1.1 I N T R O D U C T I O N T h e c a l c u l a t i o n o f t h e e l e c t r o m a g n e t i c f i e l d s i n c o u p l e d o p e n - e n d e d p a r a l l e l - p l a t e w a v e g u i d e s i s a b a s i c p r o b l e m w h o s e s o l u t i o n m a y a s s i s t i n t h e d e s i g n o f a n t e n n a a r r a y s w i t h w a v e g u i d e e l e m e n t s . W a v e g u i d e a n t e n n a a r r a y s h a v e b e e n u s e d i n a v a r i e t y o f a p p l i c a t i o n s , i n c l u d i n g p h a s e d a r r a y s w h o s e p a t t e r n c a n b e c h a n g e d b y a l t e r i n g t h e a m p l i t u d e a n d p h a s e o f t h e f i e l d s i n e a c h e l e m e n t , a n d p a r a s i t i c a r r a y s w h o s e p a t t e r n i s f i x e d b y t h e a n t e n n a d i m e n s i o n s . I n b o t h p h a s e d a n d p a r a s i t i c a r r a y s , t h e c o u p l i n g b e t w e e n e l e m e n t s w i l l e x c i t e new f i e l d s w h i c h w i l l a l t e r t h e r a d i a t i o n p a t t e r n f r o m t h a t i f t h e c o u p l i n g w e r e i g n o r e d . T h e r a d i a t i o n p a t t e r n o f a p a r a s i t i c a r r a y c a n b e m o d i f i e d b y c h a n g i n g t h e n u m b e r , w i d t h a n d d e p t h " o f t h e p a r a s i t i c g u i d e s s u r r o u n d i n g a c e n t r a l d r i v e n g u i d e . T h e p o s s i b l e r a n g e o f a d j u s t m e n t i s s o m e w h a t l e s s t h a n f o r a p h a s e d a r r a y , b e c a u s e t h e e n e r g y i n t h e p a r a s i t i c e l e m e n t s r e l a t i v e t o t h e d r i v e n e l e m e n t i s f i x e d b y t h e c o u p l i n g b e t w e e n t h e m . F o r m a n y p u r p o s e s t h e r a n g e o f a d j u s t m e n t a v a i l a b l e w i t h a p a r a s i t i c a r r a y i s a d e q u a t e , a n d t h u s t h e a d d e d c o m p l e x i t y o f f e e d i n g e a c h e l e m e n t s e p a r a t e l y w i t h t h e a s s o c i a t e d p o w e r d i v i d e r s a n d p h a s e s h i f t e r s i s a v o i d e d . O n e p o s s i b l e a p p l i c a t i o n o f a c o u p l e d w a v e g u i d e a r r a y i s a s a f e e d a n t e n n a f o r a p a r a b o l i c r e f l e c t o r . F o r t h i s 2 case, a sector-shaped radiation pattern i s usually desirable, i . e . a pattern which provides a constant power l e v e l over a given angular range and i s zero elsewhere (Fig.1.1). A sector-shaped pattern i s nearly optimum (except for space attenuation) because i t illuminates the entire r e f l e c t o r surface almost uniformly but does not s p i l l over the sides (Fig.1.2). This provides maximum d i r e c t i v i t y while avoiding noise and interference pickup including the thermal noise from the ground. Thus the gain/noise temperature r a t i o , the figure of merit for a s a t e l l i t e earth station antenna, i s maximized. A p a r a l l e l - p l a t e waveguide array with a small number of elements (Fig.1.3) p o t e n t i a l l y s a t i s f i e s these requirements for two-dimensional f i e l d s . The aperture f i e l d at the open end of the array may be made to approximate a truncated (sin x)/x curve by adjusting the array parameters (width, depth and number of p a r a s i t i c guides surrounding the central driven guide). The radiation pattern, which i s the Fourier transform of the aperture f i e l d , w i l l then approximate the required sector shape. The parameters of t h i s p a r a l l e l - p l a t e array may be applied d i r e c t l y to the design of l i n e feeds for parabolic cylinder r e f l e c t o r s (Fig.1.4). These parameters may also be used as a guide in achieving the same sector-shaped radiation pattern with an array of concentric c i r c u l a r guides (Fig.1.5). Such an antenna has produced reasonably good patterns by empirical adjustment of the parameters [25]. 3 Good patterns have also been obtained using an array where the edges are not a l l in the same plane, but staggered s l i g h t l y [13] (Fig.1.6). Measurements of various types of feed antennas [15] has shown that there is l i t t l e difference in the resulting pattern between an array of staggered c i r c u l a r guides (Fig.1.6) and a four-ring corrugated surface [15] (Fig.1.7) when both arrays are the same si z e . The amount of stagger i s an additional parameter which can be adjusted to optimize the pattern. The design of waveguide feeds with p a r a s i t i c elements has been mainly empirical to date. Thus the analysis of an array of p a r a l l e l - p l a t e waveguides may a s s i s t in the development of optimum feeds for r e f l e c t o r antennas, at least for two dimensional structures. The results of th i s analysis could be applied not only to feed design, but to any coupled waveguide antenna. 1.2 LITERATURE REVIEW Many d i f f e r e n t types of open-ended p a r a l l e l - p l a t e waveguide structures have been analyzed using a variety of methods. The structures include i n f i n i t e arrays of p a r a l l e l - plate waveguides, f i n i t e arrays in i s o l a t i o n or embedded in a groundplane or other surface (Figs. 1.8-1.17), and closed region problems including b i , t r i and N-furcated waveguides (Fig.1.18). The f i e l d s in coupled open-ended waveguides cannot always be found rigorously except for certain geometries, 4 because the r e s u l t i n g boundary value problem does not have a known closed form solution. Hence for many cases approximate methods have been- developed to obtain the f i e l d s . When rigorous solutions can be found, the methods used include both the Wiener-Hopf technique and mode matching techniques [37]. These methods can also be used to find approximate solutions for those cases where the resulting i n t e g r a l or i n f i n i t e matrix equations cannot be solved exactly. Approximate solutions are also obtained using ray- o p t i c a l techniques based on the geometrical theory of d i f f r a c t i o n [26], modified residue calculus and function theoretic techniques [38], and numerical techniques based on moment methods [21]. The choice of method to be applied to a given problem depends on the pa r t i c u l a r geometry. Rigorous methods are generally limited to very s p e c i f i c geometries, ray-optical methods are most suitable for structures whose c h a r a c t e r i s t i c dimensions are on the order of a wavelength or greater, and numerical methods can be used with any geometry in p r i n c i p l e , but are generally suitable only for r e l a t i v e l y small structures. The l i t e r a t u r e of p a r a l l e l - plate waveguide structures i s reviewed below. A single p a r a l l e l plate waveguide in i s o l a t i o n (Fig.1.8) has been used as a test geometry for exact, numerical and ray-optical methods, p a r t i c u l a r l y for several refinements of ray-optical techniques. The exact solution for the r e f l e c t i o n c o e f f i c i e n t was given by Weinstein [45] and Heins [22] using the Wiener-Hopf technique. The 5 r e f l e c t i o n c o e f f i c i e n t was found using moment methods by Wu and Chow [48] and was improved by Gardiol and Haldemann [20]. Montgomery and Chang [38] found i t using modified residue calculus. Rudduck and Tsai [40] calculated the r e f l e c t i o n c o e f f i c i e n t using a ray-optical procedure but depending also on a r e c i p r o c i t y argument. Yee, Felsen and Keller [50] found the r e f l e c t i o n c o e f f i c i e n t by tracing rays d i r e c t l y and using a ray-to-mode conversion formula. They improved their solution for low frequencies in [18] and [49]. Bowman [8] [9] pointed out that the ray-optical solution of [50] did not agree with the asymptotic form of the exact solution. The ray-optical solution was improved by Boersma [3] [4] using the uniform asymptotic theory of Ahluwalia et a l . [ l ] , Boersma's results showed much improvement in the mode, t r a n s i t i o n regions and recovered the asymptotic form of the exact solution. Lee [30] [31] derived a modified d i f f r a c t i o n c o e f f i c i e n t which includes interactions between the two half-plane edges automatically, so that these interactions need not be e x p l i c i t l y c alculated. This method recovered the exact solution for the r e f l e c t i o n c o e f f i c i e n t . The coupling between two separated waveguides (Fig.1.9) was calculated using edge d i f f r a c t i o n theory by Dybdal,Rudduck and Tsai [17] and also using residue calculus by Montgomery and Chang [38]. The exact radiation pattern of a p a r a l l e l plate waveguide was given by Weinstein [45] and Heins [22] using the Wiener-Hopf technique. Yee and Felsen [19] [49] used ray-optical methods to derive a radiation pattern which 6 a g r e e d w e l l w i t h t h e e x a c t s o l u t i o n e x c e p t i n t h e a p e r t u r e p l a n e . R u d d u c k a n d Wu [ 4 1 ] i m p r o v e d t h e p a t t e r n i n t h e a p e r t u r e p l a n e b y u s i n g a s l o p e d i f f r a c t i o n c o e f f i c i e n t . L e e [ 3 0 ] r e c o v e r e d t h e e x a c t s o l u t i o n u s i n g h i s m e t h o d o f m o d i f i e d d i f f r a c t i o n c o e f f i c i e n t . T h e a p e r t u r e f i e l d s a n d g a i n w e r e c a l c u l a t e d b y J u l l [ 2 4 ] . T h e f i e l d s a l o n g t h e s h a d o w b o u n d a r y o f a p a r a l l e l - p l a t e w a v e g u i d e w h e n a p l a n e w a v e i s n o r m a l l y i n c i d e n t o n i t f r o m o u t s i d e t h e g u i d e w e r e c a l c u l a t e d b y L e e a n d B o e r s m a [ 3 2 ] u s i n g b o t h t h e u n i f o r m a s y m p t o t i c t h e o r y a n d t h e m o d i f i e d d i f f r a c t i o n c o e f f i c i e n t . T h e y a l s o f o u n d t h e f i e l d s f o r a l i n e s o u r c e i n c i d e n t o n t w o s t a g g e r e d p a r a l l e l p l a t e s ( F i g . 1 . 1 0 ) . B o e r s m a [ 5 ] a l s o c o n s i d e r s a p l a n e w a v e i n c i d e n t o n a s t a g g e r e d g u i d e . R a h m a t - S a m i i a n d M i t t r a [ 3 9 ] u s e a s p e c t r a l d o m a i n a p p r o a c h f o r t h i s p r o b l e m . T h e r a d i a t i o n p a t t e r n o f a s t a g g e r e d g u i d e u s i n g w e d g e d i f f r a c t i o n w a s f o u n d b y R y a n a n d R u d d u c k [ 4 2 ] . P a r a l l e l p l a t e w a v e g u i d e s e m b e d d e d i n a g r o u n d p l a n e a n d / o r s u r r o u n d e d b y o t h e r w a v e g u i d e s h a v e a l s o b e e n a n a l y z e d u s i n g r i g o r o u s , n u m e r i c a l a n d r a y - o p t i c a l m e t h o d s . T h e r e f l e c t i o n c o e f f i c i e n t f r o m a s i n g l e w a v e g u i d e e m b e d d e d i n a n i n f i n i t e g r o u n d p l a n e ( F i g . 1 . 1 1 a ) a n d a f l a n g e d w a v e g u i d e w i t h a r b i t r a r y a n g l e o f f l a n g e ( F i g . 1 . 1 1 b ) w a s c a l c u l a t e d b y R u d d u c k a n d T s a i [ 4 0 ] a n d Y e e , F e l s e n a n d K e l l e r [ 5 0 ] u s i n g r a y - o p t i c a l m e t h o d s a n d b y L e e [ 3 0 ] u s i n g h i s m o d i f i e d d i f f r a c t i o n c o e f f i c i e n t . T h e r a d i a t i o n p a t t e r n o f t h e f l a n g e d w a v e g u i d e w a s c a l c u l a t e d b y M i t t r a a n d L e e [ 3 7 ] u s i n g W e i n e r - H o p f t e c h n i q u e s , b y Y e e a n d F e l s e n [ 4 9 ] 7 u s i n g r a y - o p t i c a l m e t h o d s , b y L e e [ 3 0 ] u s i n g a m o d i f i e d d i f f r a c t i o n c o e f f i c i e n t a n d b y Wu a n d C h o w [ 4 8 ] u s i n g m o m e n t m e t h o d s . T h e c o u p l i n g b e t w e e n t w o a n d t h r e e s u c h g u i d e s e m b e d d e d i n a g r o u n d p l a n e ( F i g . 1 . 1 2 ) w a s c a l c u l a t e d n u m e r i c a l l y b y Wu [ 4 7 ] . T h e c o u p l i n g b e t w e e n a d j a c e n t a n d s e p a r a t e d g u i d e s i n b o t h a f i n i t e ( F i g . 1 . 1 3 ) a n d a n i n f i n i t e ( F i g . 1 . 1 4 ) a r r a y o f p a r a l l e l p l a t e w a v e g u i d e s h a s b e e n c a l c u l a t e d b y L e e [ 2 9 ] u s i n g t h e W e i n e r - H o p f t e c h n i q u e a n d b y M o n t g o m e r y a n d C h a n g [ 3 8 ] u s i n g m o d i f i e d r e s i d u e c a l c u l u s . R a d i a t i o n p a t t e r n s w e r e c a l c u l a t e d b y M i t t r a a n d L e e [ 3 7 ] f o r a n i n f i n i t e a r r a y w i t h a l l g u i d e s e x c i t e d a n d w i t h o n l y o n e g u i d e e x c i t e d u s i n g b o t h t h e W e i n e r - H o p f a n d m o d e - m a t c h i n g t e c h n i q u e s . R a d i a t i o n p a t t e r n s w e r e a l s o c a l c u l a t e d b y L e e [ 2 9 ] f o r a f i n i t e a r r a y e m b e d d e d i n a s i m u l a t e d g r o u n d p l a n e ( F i g . 1 . 1 5 ) w i t h o n l y o n e g u i d e e x c i t e d , b y M o n t g o m e r y a n d C h a n g [ 3 8 ] f o r a f i n i t e a r r a y i n i s o l a t i o n ( F i g . 1 . 1 7 ) a n d b y B u r n s i d e e t a l . [ 1 0 ] f o r t h e s a m e a r r a y b u t w i t h a l l g u i d e s e x c i t e d . . L u z w i c k a n d H a r r i n g t o n [ 3 5 ] [ 3 6 ] f o u n d t h e r a d i a t i o n p a t t e r n f o r a f i n i t e a r r a y w i t h t h i c k w a l l s e m b e d d e d i n a g r o u n d p l a n e w i t h t h e c e n t r a l g u i d e e x c i t e d a n d t h e o u t e r g u i d e s r e a c t i v e l y l o a d e d ( F i g . 1 . 1 6 ) . T h e c o u p l i n g b e t w e e n w a v e g u i d e s i n a c l o s e d r e g i o n ( b i , t r i a n d N - f u r c a t e d w a v e g u i d e ) ( F i g . 1 . 1 8 ) h a s b e e n c a l c u l a t e d b y M i t t r a a n d L e e [ 3 7 ] u s i n g t h e W e i n e r - H o p f t e c h n i q u e a n d b y M o n t g o m e r y a n d C h a n g [ 3 8 ] u s i n g m o d i f i e d r e s i d u e c a l c u l u s . 8 1 . 3 A P P R O A C H T O T H E P R O B L E M I t a p p e a r s t h a t t h e s m a l l p a r a l l e l p l a t e w a v e g u i d e a r r a y i n i s o l a t i o n ( F i g . 1 . 3 a n d 1 . 6 ) t o b e c o n s i d e r e d h e r e m a y b e e f f e c t i v e l y a n a l y z e d u s i n g r a y - o p t i c a l t e c h n i q u e s . S i m i l a r w a v e g u i d e s t r u c t u r e s h a v e b e e n a n a l y z e d s u c c e s s f u l l y u s i n g t h e s e m e t h o d s , a n d i t m a y b e e x p e c t e d t h a t t h e s e p r e v i o u s r e s u l t s w i l l b e u s e f u l f o r t h e p r o b l e m a t h a n d . T h e r e i s n o e x a c t s o l u t i o n f o r t h i s g e o m e t r y , a n d n u m e r i c a l m e t h o d s w o u l d r e q u i r e v e r y l a r g e m a t r i c e s b e c a u s e o f t h e r e l a t i v e l y l a r g e s i z e o f t h e a r r a y i n t e r m s o f w a v e l e n g t h s . R a y - o p t i c a l m e t h o d s u s i n g t h e g e o m e t r i c a l t h e o r y o f d i f f r a c t i o n h a v e a s t h e i r c a n o n i c a l b a s i s t h e e x a c t s o l u t i o n f o r p l a n e w a v e d i f f r a c t i o n b y a p e r f e c t l y c o n d u c t i n g h a l f - p l a n e . T h e p a r a l l e l - p l a t e w a v e g u i d e a r r a y s o f F i g . 1 . 3 a n d 1 . 6 c o n s i s t o f s e v e r a l h a l f - p l a n e e d g e s a n d s o r a y - o p t i c a l m e t h o d s a p p e a r t o b e a n a t u r a l c h o i c e f o r t h e i r a n a l y s i s . R a y - o p t i c a l m e t h o d s c a n b e u s e d t o s o l v e f o r e l e c t r o m a g n e t i c f i e l d s i n t h e p r e s e n c e o f d i f f r a c t i n g e d g e s p r o v i d e d t h e c h a r a c t e r i s t i c d i m e n s i o n s o f t h e s t r u c t u r e a r e o f t h e o r d e r o f a w a v e l e n g t h o r m o r e . T h e s e m e t h o d s a s s u m e t h a t t h e f i e l d s t r a v e l i n s t r a i g h t l i n e s c a l l e d r a y s . T h e g e o m e t r i c a l t h e o r y o f d i f f r a c t i o n ( G T D ) i s a n e x t e n s i o n o f g e o m e t r i c a l o p t i c s w h i c h a c c o u n t s f o r d i f f r a c t i o n [ 2 6 ] . I t i s p o s t u l a t e d t h a t d i f f r a c t e d r a y s a r e p r o d u c e d w h e n i n c i d e n t r a y s s t r i k e t h e e d g e s o f c o n d u c t o r s ( F i g . 1 . 1 9 ) . A d i f f r a c t i o n c o e f f i c i e n t i s i n t r o d u c e d b a s e d o n t h e a s y m p t o t i c f o r m o f t h e e x a c t s o l u t i o n f o r d i f f r a c t i o n o f a 9 p l a n e w a v e b y a p e r f e c t l y c o n d u c t i n g h a l f - p l a n e [ 7 ] , D i f f r a c t i o n i s a l o c a l e f f e c t ; t h e d i f f r a c t i o n c o e f f i c i e n t i s d e t e r m i n e d b y t h e e d g e a l o n e , a n d i s n o t d e p e n d e n t o n o t h e r p a r t s o f t h e s t r u c t u r e . T h e d i f f r a c t e d f i e l d a p p e a r s t o e m a n a t e f r o m t h e d i f f r a c t i n g e d g e w h i c h f o r a s t r a i g h t e d g e l o o k s l i k e a l i n e s o u r c e o f r a y s . O n e m a j o r f l a w i n G T D i s t h a t t h e d i f f r a c t i o n c o e f f i c i e n t i s n o t u n i f o r m l y v a l i d i n t h e a s y m p t o t i c l i m i t , a n d b e c o m e s i n f i n i t e a t t h e b o u n d a r i e s b e t w e e n l i g h t a n d s h a d o w . V a r i o u s u n i f o r m t h e o r i e s h a v e b e e n a d v o c a t e d [ 1 ] [ 2 8 ] t o o v e r c o m e t h i s d i f f i c u l t y , b u t w i t h s o m e s a c r i f i c e i n s i m p l i c i t y o f a p p l i c a t i o n . R a y - o p t i c a l m e t h o d s h a v e b e e n e x t e n d e d t o a l l o w f i e l d s m o r e g e n e r a l t h a n p l a n e w a v e s t o b e i n c i d e n t o n t h e h a l f - p l a n e [ 5 0 ] [ 6 ] . T h e s e e x t e n s i o n s a r e r e q u i r e d i n t h e a n a l y s i s w h e n a d i f f r a c t e d f i e l d i s i n t u r n d i f f r a c t e d b y a n o t h e r h a l f - p l a n e e d g e . A r a y - o p t i c a l a n a l y s i s m a y b e g i n b y t r a c i n g r a y p a t h s c o r r e s p o n d i n g t o t h e f i e l d s . I n c i d e n t f i e l d s m a y b e r e f l e c t e d f r o m a s u r f a c e , o r d i f f r a c t e d f r o m a n e d g e . T h e r e s u l t i n g f i e l d s m a y b e a g a i n r e f l e c t e d o r d i f f r a c t e d . T h e r a y - o p t i c a l a n a l y s i s o f t h e p a r a l l e l - p l a t e w a v e g u i d e a r r a y s o f F i g s . 1 . 3 a n d 1 . 6 r e q u i r e t h a t m a n y r a y p a t h s b e t r a c e d t o r e p r e s e n t t h e f i e l d s . F i e l d s e x c i t e d b y t h e s o u r c e t r a n s m i t t e r t r a v e l d o w n t h e c e n t r a l w a v e g u i d e a n d a r e d i f f r a c t e d a t t h e o p e n e n d . T h e d i f f r a c t e d f i e l d s w i l l e x c i t e f i e l d s i n t h e o u t e r p a r a s i t i c g u i d e s s u r r o u n d i n g t h e c e n t r a l d r i v e n g u i d e . T h e m a g n i t u d e o f t h e s e f i e l d s m a y b e 10 c a l c u l a t e d . T h e s e f i e l d s w i l l t r a v e l d o w n t h e o u t e r g u i d e s , b e r e f l e c t e d a t t h e s h o r t e d e n d , a n d d i f f r a c t e d a t t h e o p e n e n d . T h e s e d i f f r a c t e d f i e l d s w i l l i n t u r n e x c i t e m o r e d i f f r a c t e d f i e l d s a n d t h e p r o c e s s c o n t i n u e s . T h e r a d i a t i o n p a t t e r n i s t h e s u m o f a l l t h e s e d i f f r a c t e d f i e l d s . T h e a n a l y s i s t h u s d i v i d e s n a t u r a l l y i n t o s e v e r a l p a r t s : 1 - c o u p l i n g b e t w e e n t w o a d j a c e n t p a r a l l e l - p l a t e w a v e g u i d e s ( F i g . 1 . 2 0 ) 2 - c o u p l i n g b e t w e e n t w o s e p a r a t e d g u i d e s ( F i g . 1 . 9 ) 3 - r e f l e c t i o n f r o m t h e o p e n e n d o f a s i n g l e g u i d e ( F i g . 1 . 8 ) 4 - r a d i a t i o n p a t t e r n o f s i n g l e g u i d e ( F i g . 1 . 8 ) 5 - r a d i a t i o n p a t t e r n o f m u l t i - e l e m e n t w a v e g u i d e a r r a y ( F i g . 1 . 3 ) 6 - c o u p l i n g b e t w e e n t w o a d j a c e n t s t a g g e r e d p a r a l l e l - p l a t e w a v e g u i d e s ( F i g . 1 . 2 0 ) 7 - r e f l e c t i o n f r o m o p e n e n d o f s i n g l e s t a g g e r e d g u i d e ( F i g . 1 . 1 0 ) 8 - r a d i a t i o n p a t t e r n o f s i n g l e s t a g g e r e d g u i d e ( F i g , 1 . 1 0 ) 9 - r a d i a t i o n p a t t e r n o f m u l t i - e l e m e n t s t a g g e r e d w a v e g u i d e a r r a y ( F i g . 1 . 6 ) . P a r t s 1 , 2 , 3 a n d 4 a r e n e e d e d t o s o l v e 5 a n d s i m i l a r l y p a r t s 6 , 7 , a n d 8 a r e n e e d e d t o s o l v e 9 . P a r t s 2 , 3 , 4 , 7 a n d 8 h a v e b e e n c o n s i d e r e d i n t h e l i t e r a t u r e , h o w e v e r , s o m e o f t h e s o l u t i o n s p r e s e n t e d h e r e ( p a r t s 2 , 8 ) c o n s t i t u t e i m p r o v e m e n t s t o t h e s e e a r l i e r r e s u l t s . 1 1 1.4 E X P E R I M E N T A L A R R A N G E M E N T I t w o u l d b e v e r y d e s i r a b l e t o c o n f i r m t h e a n a l y s i s b y c o m p a r i n g t h e n u m e r i c a l r e s u l t s t o t h o s e o b t a i n e d - b y e x p e r i m e n t a l m e a s u r e m e n t . M e a s u r e m e n t o f c o u p l i n g a n d r e f l e c t i o n c o e f f i c i e n t s o f t w o d i m e n s i o n a l s t r u c t u r e s i s v e r y d i f f i c u l t t o p e r f o r m a c c u r a t e l y , b u t i s p o s s i b l e [ 1 7 ] . H o w e v e r , a p p r o x i m a t e r a d i a t i o n p a t t e r n s o f a t w o - d i m e n s i o n a l a r r a y o f p a r a l l e l - p l a t e w a v e g u i d e s m a y b e m e a s u r e d i f t h e t h i r d d i m e n s i o n ( p e r p e n d i c u l a r t o t h e p a g e i n F i g s . 1 . 3 a n d 1 . 6 ) o f t h e g u i d e s i s l a r g e e n o u g h . I f a r e c t a n g u l a r w a v e g u i d e i s f l a r e d i n o n e d i m e n s i o n t o f o r m a n H - p l a n e s e c t o r a l h o r n ( F i g . 1 . 2 2 ) , a T E 1 0 m o d e i n t h e g u i d e a p p r o x i m a t e s a t w o - d i m e n s i o n a l T E M m o d e i n t h e c e n t e r o f t h e a n t e n n a a p e r t u r e . T h u s t h e E - p l a n e r a d i a t i o n p a t t e r n o f a n H - p l a n e s e c t o r a l h o r n a p p r o x i m a t e s t h a t o f a p a r a l l e l - p l a t e w a v e g u i d e o f t h e s a m e w i d t h . A p p e n d a g e s t o t h e h o r n s i m u l a t e t h e o u t e r p a r a l l e l - p l a t e g u i d e s . T h e h o r n u s e d f o r t h e m e a s u r e m e n t s h a d a t o t a l f l a r e a n g l e o f 3 0 ° w i t h a n a p e r t u r e o f 1 . 0 1 6 x 50 c m , a n d w a s f e d w i t h W R - 9 0 w a v e g u i d e . T h e o u t e r g u i d e s w e r e 1 . 0 1 6 cm w i d e a n d o f v a r i o u s d e p t h s . R a d i a t i o n p a t t e r n m e a s u r e m e n t s w e r e p e r f o r m e d a t X - b a n d o n t h e o u t d o o r a n t e n n a r a n g e d e s c r i b e d i n A p p e n d i x D . 12 1 . 5 S U M M A R Y T h e c a l c u l a t i o n o f r a d i a t i o n p a t t e r n s o f s m a l l a r r a y s o f p a r a l l e l p l a t e w a v e g u i d e s i s p o t e n t i a l l y u s e f u l i n d e s i g n i n g a n t e n n a s w i t h w a v e g u i d e e l e m e n t s . E x a c t , n u m e r i c a l a n d r a y - o p t i c a l m e t h o d s h a v e b e e n u s e d t o a n a l y z e v a r i o u s p a r a l l e l p l a t e w a v e g u i d e s t r u c t u r e s , h o w e v e r t h e r a y - o p t i c a l m e t h o d a p p e a r s t o b e w e l l s u i t e d t o t h e t h r e e a n d f i v e e l e m e n t a r r a y s t o b e c o n s i d e r e d h e r e . T h e a n a l y s i s d i v i d e s n a t u r a l l y i n t o s e v e r a l p a r t s w h i c h a r e c o n s i d e r e d i n t u r n i n t h e f o l l o w i n g c h a p t e r s . T h e t h e o r e t i c a l p a t t e r n s w i l l b e c o m p a r e d t o e x p e r i m e n t a l m e a s u r e m e n t s m a d e w i t h a w i d e a n g l e H - p l a n e s e c t o r a l h o r n . W h e n t h e a n a l y s i s i s c o m p l e t e a n d t h e r e s u l t s v e r i f i e d b y e x p e r i m e n t t h e w i d t h , d e p t h , n u m b e r a n d a m o u n t o f s t a g g e r o f t h e e l e m e n t s o f t h e p a r a l l e l p l a t e w a v e g u i d e a r r a y m a y b e a d j u s t e d t o o p t i m i z e t h e p a t t e r n f o r p a r t i c u l a r a p p l i c a t i o n s . A w i d e v a r i e t y o f p a t t e r n s m a y b e o b t a i n e d b e c a u s e o f t h e m a n y p a r a m e t e r s a v a i l a b l e . T h e r e s u l t s a r e e x p e c t e d t o b e u s e f u l f o r t h e d e s i g n o f s e v e r a l t y p e s o f w a v e g u i d e a n t e n n a s . 13 near optimum pattern t y p i c a l pattern F i g . 1.1 sector-shaped r a d i a t i o n pattern F i g . 1.2 near optimum and t y p i c a l r a d i a t i o n patterns for a feed antenna F i g . 1.3 p a r a l l e l p late waveguide array with desired aperture f i e l d 14 F i g 1.4 l i n e f e e d f o r a p a r a b o l i c c y l i n d e r r e f l e c t o r F i g . 1.6 s t a g g e r e d a r r a y o f p a r a l l e l p l a t e waveguides F i g . 1.5 a r r a y o f c o n c e n t r i c c i r c u l a r w a veguides F i g . 1.7 c r o s s - s e c t i o n o f c o n c e n t r i c c i r c u l a r waveguide f e e d F i g . 1.8 p a r a l l e l p l a t e waveguide F i g . 1.10 s t a g g e r e d p a r a l l e l p l a t e waveguide F i g . 1 . 9 two s e p a r a t e d p a r a l l e l p l a t e waveguides F i g . l . H f l a n g e d p a r a l l e l p l a t e waveguides 16 I 1 F i g . 1.12 two separated flanged p a r a l l e l plate waveguides F i g . 1.13 f i n i t e array of p a r a l l e l plate waveguides embedded in a groundplane F i g . 1.15 f i n i t e array of p a r a l l e l p l ate waveguides embedded in a simulated groundplane F i g . 1.14 i n f i n i t e array o^ p a r a l l e l plate waveguides 17 F i g . 1.16 f i n i t e a r r a y of p a r a l l e l p l a t e waveguides w i t h t h i c k w a l l s embedded i n a g r o u n d p l a n e F i g . 1.18 N - f u r c a t e d waveguide F i g . 1.20 two a d j a c e n t p a r a l l e l p l a t e waveguides F i g . 1.17 f i n i t e a r r a y o f p a r a l l e l p l a t e waveguides i n i s o l a t i o n F i g . 1.21 two a d j a c e n t s t a g g e r e d p a r a l l e l p l a t e waveguides F i g . 1.19 d i f f r a c t e d rays 19 C h a p t e r 2 M E T H O D O F A N A L Y S I S 2 . 1 G E N E R A L D E S C R I P T I O N I n t h i s c h a p t e r t h e r a y - o p t i c a l a n a l y s i s p r o c e d u r e u s e d t o c a l c u l a t e c o u p l i n g c o e f f i c i e n t s o r r a d i a t i o n p a t t e r n s o f w a v e g u i d e a n t e n n a s w i l l b e d e s c r i b e d i n g e n e r a l , a n d s o m e c a n o n i c a l p r o b l e m s u p o n w h i c h r a y - o p t i c a l m e t h o d s a r e b a s e d w i l l b e d i s c u s s e d . I n l a t e r c h a p t e r s e a c h o f t h e p a r t s o f t h e a n a l y s i s m e n t i o n e d i n C h a p t e r 1 w i l l b e c o n s i d e r e d i n t u r n . T h e n u m e r i c a l r e s u l t s w i l l b e c o m p a r e d w i t h t h o s e o b t a i n e d b y o t h e r s f o r s i m i l a r o r r e l a t e d g e o m e t r i e s , a n d i n t h e c a s e o f r a d i a t i o n p a t t e r n s w i l l b e c o m p a r e d t o t h e e x p e r i m e n t a l r e s u l t s . T h e r a y - o p t i c a l a n a l y s i s o f a n y p a r t o f t h e a n a l y s i s b e g i n s b y f o l l o w i n g e s s e n t i a l l y t h e p r o c e d u r e i n [ 5 0 ] f o r a n a l y s i s o f t h e r e f l e c t i o n f o r a s i n g l e g u i d e . F i r s t t h e m o d e i n t h e i n c i d e n t d r i v e n g u i d e i s d e c o m p o s e d i n t o t w o p l a n e w a v e s w h i c h d i f f r a c t f r o m t h e e d g e s o f t h e o p e n e n d o f t h e w a v e g u i d e . A t d i s t a n c e s k r > > l f r o m a n e d g e t h e d i f f r a c t e d f i e l d s a p p e a r t o e m a n a t e f r o m a l i n e s o u r c e c e n t r e d a t t h e e d g e . T h e s e l i n e s o u r c e f i e l d s a r e i n t u r n d i f f r a c t e d f r o m o t h e r e d g e s , t h u s e x c i t i n g a d d i t i o n a l l i n e s o u r c e f i e l d s a t t h e e d g e s . T h e s e a d d i t i o n a l f i e l d s a r e a g a i n d i f f r a c t e d , a n d i n p r i n c i p l e t h e p r o c e s s c o n t i n u e s i n d e f i n i t e l y . I n p r a c t i c e o n l y a f e w d i f f r a c t i o n s a r e u s u a l l y a d e q u a t e . T h e s e s a m e l i n e s o u r c e f i e l d s a l s o e x c i t e 20 m o d e s i n t h e o u t e r p a r a s i t i c g u i d e s a n d a l s o r a d i a t e i n t o s p a c e . T h e c o m p l e x a m p l i t u d e s o f t h e s e w a v e g u i d e m o d e s r e l a t i v e t o t h e i n c i d e n t m o d e c o r r e s p o n d s t o t h e c o u p l i n g c o e f f i c i e n t b e t w e e n g u i d e s . T h e s u m o f a l l t h e l i n e s o u r c e f i e l d s a t t h e e d g e s a s o b s e r v e d a t a d i s t a n t p o i n t p r o d u c e s t h e r a d i a t i o n p a t t e r n o f t h e w a v e g u i d e a r r a y . T h e t o t a l i t y o f r a y s a s s o c i a t e d w i t h a l l t h e s e f i e l d s c a n b e d i v i d e d i n t o g r o u p s , e a c h g r o u p c o r r e s p o n d i n g t o a p a r t i c u l a r s e q u e n c e o f r a y s , o r r a y p a t h . T o f i n d t h e c o u p l i n g b e t w e e n g u i d e s t h e r a y p a t h w o u l d s t a r t i n o n e g u i d e a n d e n d i n a n o t h e r . T o f i n d t h e r a d i a t i o n p a t t e r n , t h e r a y p a t h w o u l d s t a r t i n a g u i d e a n d e n d u p r a d i a t i n g i n t o s p a c e . T h e a l t e r n a t e p a t h s p o s s i b l e w h e n a r a y s t r i k e s a n e d g e a r e t r a c e d i n d i v i d u a l l y . T h e n u m b e r o f p o s s i b l e r a y p a t h s i s i n f i n i t e , b u t o n l y t h e f i r s t f e w c o n t r i b u t e s i g n i f i c a n t l y t o t h e c o u p l i n g c o e f f i c i e n t s o r r a d i a t i o n p a t t e r n s . A l l r a y p a t h s t o b e c o n s i d e r e d f o r e a c h o f t h e p r o b l e m s m e n t i o n e d a b o v e w i l l b e t r a c e d e x p l i c i t l y a n d t h e i r c o n t r i b u t i o n t o c o u p l i n g o r r a d i a t i o n w i l l b e c a l c u l a t e d ( F i g s . 3 . 2 , 4 . 2 , 5 . 1 , 6 . 3 - 6 . 6 , 7 . 3 - 7 . 7 , 8 . 3 , 9 . 2 , 1 0 . 3 - 1 0 . 5 , a n d 1 0 . 7 ) . T o f a c i l i t a t e t h e s e c o m p u t a t i o n s , t h e f i e l d s r e p r e s e n t e d b y t h e v a r i o u s c o m b i n a t i o n s o f t w o s u c c e s s i v e r a y s w h i c h o c c u r i n t h e s e r a y p a t h s w i l l . b e c a l c u l a t e d f i r s t . T h e f i e l d r e p r e s e n t e d b y a n y r a y i n a p a r t i c u l a r s e q u e n c e o r r a y p a t h c a n t h e n b e f o u n d f r o m t h e f i e l d o f t h e r a y p r e c e d i n g i t . I n t h i s w a y t h e f i e l d r e p r e s e n t e d b y a l l r a y s c a n b e f o u n d . F r o m t h i s t h e t o t a l f i e l d s o l u t i o n , t h e 21 c o u p l i n g c o e f f i c i e n t s a n d r a d i a t i o n p a t t e r n s c a n b e d e r i v e d . T h i s a p p r o a c h g i v e s r i s e t o a s e r i e s o f d i f f r a c t i o n p r o b l e m s o f t w o s u c c e s s i v e r a y s i n a s e q u e n c e , w h i c h a r e s o l v e d i n t h e f o l l o w i n g s e c t i o n s a s t h e y a r e r e q u i r e d . T h e c a n o n i c a l s o l u t i o n s w i l l t h e n b e u s e d t o a s s e m b l e t h e s o l u t i o n s t o e a c h o f t h e c o u p l e d w a v e g u i d e p r o b l e m s l i s t e d a t t h e e n d o f C h a p t e r 1 . 2 . 2 C A N O N I C A L P R O B L E M S R a y - o p t i c a l m e t h o d s h a v e a s t h e i r c a n o n i c a l b a s i s t h e e x a c t s o l u t i o n f o r p l a n e w a v e d i f f r a c t i o n b y a p e r f e c t l y c o n d u c t i n g h a l f - p l a n e . T h i s p r o b l e m w a s o r i g i n a l l y s o l v e d b y S o m m e r f e l d [ 4 3 ] a n d w a s s o l v e d m o r e s i m p l y b y C l e m m o w [ 1 4 ] a n d o t h e r s . T M C o n s i d e r t h e h a l f - p l a n e y=0, z>0 a n d a — f i e l d H 1 x _ - i k r COS (6-GQ) ^ ^ ^ . = u . = e x i n c i d e n t o n i t a t a n a r b i t r a r y a n g l e 6 Q ( F i g . 2 . 1 ) , w h e r e k = 2TI/A i s t h e f r e e s p a c e w a v e n u m b e r . I n t h i s a n d a l l s u b s e q u e n t e q u a t i o n s a t i m e f a c t o r e ~ 1 L ) t i s i m p l i e d a n d s u p p r e s s e d , w h e r e w = 2r,f i s t h e a n g u l a r f r e q u e n c y o f t h e w a v e . T h e t o t a l f i e l d a t a l l p o i n t s ( x , y , z ) i n s p a c e i n t h e p r e s e n c e o f t h e h a l f - p l a n e i s g i v e n b y H * * t - u t - G ( r , e 0 , e ) , (2.2) 22 /•,/ « «\ e r - l k r c o s ( 9 - S n ) r A~T~~ x 0\ i where G ( r , 6 ,6) = — — {e ° ' F [ - / 2 k r c o s ( — ^ ) ] /n ± g - i k r c o s ( 6 - e 0 ) F [ _ ^ c o s ( ^ 0 ) ] } > ( 2 > 3 ) 0 0 i x 2 F(a) = J" e 1 X dx, (2.A) a F ( - a ) = /T7 e + " / 4 - F ( a ) , (2.5) a n d t h e t o p ( b o t t o m ) s i g n s r e f e r t o T M ( T E ) f i e l d s . T h i s r e s u l t c a n b e e v a l u a t e d f o r k r > > l u s i n g t h e a s y m p t o t i c f o r m o f t h e F r e s n e l i n t e g r a l . 2 F(a) „ i § ^ - , a » 1, t o o b t a i n u t = u g + D ( 6 0 , 6 ) E ( r ) , (2.7) w h e r e u i s t h e g e o m e t r i c a l o p t i c s f i e l d g i v e n b y 8 f e - i k r c o s ( e - e o ) ± e ~ i k r cos ( e + e 0 ) f o r 0 < e < ^ _ e o - i k r c o s ( 6 - 6 n ) , n , Q e u f o r H-6Q<6<H+6Q _0 f o r Ti+e0<6<2Ti (2.8) a n d D(e , e ) E ( r ) i s t h e d i f f r a c t e d f i e l d q i v e n b y +in/« e-e e+8 D ( 9 A , 6 ) = - 6 ( s e c ( - ^ ) ± s e c ( ~ ) } (2.9) and E ( r ) - e ^ ' / ^ i 7 . < 2 ' 1 0 ' T h i s a s y m p t o t i c r e s u l t s h o w s t h a t t h e t o t a l f i e l d i s m a d e u p o f t h e i n c i d e n t f i e l d a n d a r e f l e c t e d f i e l d w h i c h a r e b o t h p l a n e w a v e s , a n d a d i f f r a c t e d f i e l d w h i c h i s a c y l i n d r i c a l 23 w a v e ( F i g . 2 . 2 ) . D ( e 0 , e ) c a n b e i n t e r p r e t e d a s a d i f f r a c t i o n c o e f f i c i e n t g i v i n g t h e m a g n i t u d e o f t h e c y l i n d r i c a l w a v e E(r) e m a n a t i n g f r o m t h e h a l f - p l a n e e d g e . T h e d i f f r a c t i n g e d g e t h u s a p p e a r s l i k e a l i n e s o u r c e o f t h e d i f f r a c t e d f i e l d . U n f o r t u n a t e l y t h e a s y m p t o t i c e x p r e s s i o n ( 2 . 7 ) i s n o t u n i f o r m l y v a l i d , a n d b e c o m e s i n f i n i t e a l o n g t h e s h a d o w b o u n d a r i e s b e t w e e n t h e l i t a n d s h a d o w e d r e g i o n s a t e = fr ± ( F i g . 2 . 1 ) . H o w e v e r , ( 2 . 7 ) d o e s c h a r a c t e r i z e t h e d i f f r a c t e d f i e l d a s a l i n e s o u r c e a t t h e e d g e a n d c a n b e u s e d t o p r e d i c t t h e d i f f r a c t e d f i e l d a w a y f r o m t h e s h a d o w b o u n d a r y . T h e e x p r e s s i o n ( 2 . 7 ) c a n b e m a d e u n i f o r m l y v a l i d b y i n t r o d u c i n g a t r a n s i t i o n f u n c t i o n t h a t p r e c i s e l y c a n c e l s t h e i n f i n i t y a t e = n ± e Q [ 4 9 ] . T h i s i s i n f a c t e q u i v a l e n t t o r e w r i t i n g ( 2 . 2 ) f o r a n o b s e r v a t i o n p o i n t a t r = a f r o m t h e e d g e . T h e n t h e t o t a l f i e l d a t r = a i s w h i c h l o o k s l i k e a l i n e s o u r c e f i e l d a n d i s u n i f o r m l y v a l i d f o r a l l e . T o p r e d i c t t h e f i e l d s w h e n a d i f f r a c t e d f i e l d i s d i f f r a c t e d a g a i n a s e c o n d t i m e r e q u i r e s a n e x p r e s s i o n f o r t h e f i e l d s w h e n a l i n e s o u r c e i s d i f f r a c t e d b y a h a l f - p l a n e . I t h a s b e e n s h o w n [ 7 ] t h a t f o r a n i s o t r o p i c l i n e s o u r c e u t = E O ) i n t h e p r e s e n c e o f a h a l f - p l a n e ( F i g . 2 . 3 ) t h e t o t a l f i e l d f o r k ( r 0 + r ) > > l i s g i v e n b y C v v /k(r 0+r+R) / rQ r + R 2 24 i k S k r p r / k ( r n + r + S ) F [ -2 cos(-y4]} ( 2 . 1 2 ) I f r>>r 0 a n d ( 2 . 1 2 ) b e c o m e s Ut % G ( r 0 'V 6 ) E ( r ) ( 2 . 1 3 ) N o t e t h a t ( 2 . 1 3 ) i s s i m p l y t h e p l a n e w a v e s o l u t i o n ( 2 . 2 ) m u l t i p l i e d b y E ( r ) ( 2 . 1 2 ) a n d ( 2 . 1 3 ) c a n b e u s e d t o p r e d i c t m u l t i p l y d i f f r a c t e d f i e l d s . A f i e l d w h i c h h a s a l r e a d y b e e n d i f f r a c t e d a t l e a s t o n c e b e f o r e l o o k s l i k e a l i n e s o u r c e f ( 6 ) E ( r ) i n c i d e n t o n a n o t h e r d i f f r a c t i n g e d g e ( i f t h a t e d g e i s n o t o n t h e s h a d o w b o u n d a r y o f t h e f i r s t e d g e ) . I f t h i s f i e l d i s a p p r o x i m a t e d b y a n i s o t r o p i c l i n e s o u r c e f ( $ ) E ( r ) , w h e r e $ i s t h e d i r e c t i o n f r o m t h e l i n e s o u r c e t o t h e o t h e r d i f f r a c t i n g e d g e , t h e n t h e d o u b l y d i f f r a c t e d f i e l d c a n b e p r e d i c t e d u s i n g ( 2 . 1 2 ) . T h i s a p p r o x i m a t i o n h a s b e e n u s e d s u c c e s s f u l l y b y o t h e r s [ 2 4 ] [ 5 0 ] a n d g i v e s a c c e p t a b l e r e s u l t s , e x c e p t w h e r e t h e s e c o n d e d g e l i e s o n t h e s h a d o w b o u n d a r y o f t h e f i r s t . 2 . 3 L I M I T A T I O N S O F T H E M E T H O D W h e n a d i f f r a c t e d f i e l d f r o m a n e d g e i s a g a i n d i f f r a c t e d b y a n o t h e r e d g e n e a r t h e s h a d o w b o u n d a r y o f t h e f i r s t e d g e , t h e r e s u l t a n t f i e l d c a n n o t b e a c c u r a t e l y c a l c u l a t e d u s i n g t h i s i s o t r o p i c l i n e s o u r c e a p p r o x i m a t i o n . C o n s i d e r a l i n e s o u r c e f i e l d i n c i d e n t o n t w o p a r a l l e l h a l f - p l a n e s i n F i g . 2 . 4 , w h e r e t h e o b s e r v a t i o n p o i n t a n d h a l f - 25 p l a n e e d g e s a r e a l l c o l l i n e a r . T h e e s s e n c e o f t h e d i f f i c u l t y i s t h a t t h e f i e l d w h i c h i s d i f f r a c t e d f r o m t h e f i r s t e d g e a n d i n c i d e n t o n t h e s e c o n d e d g e i s n o t a " r a y f i e l d " [33], i . e . i s n o t o f t h e f o r m n e a r t h e s h a d o w b o u n d a r y ( i . e . w i t h i n a p a r a b o l a w i t h f o c u s a t t h e f i r s t e d g e a n d a x i s a l o n g t h e s h a d o w b o u n d a r y [39]). T h e r a y m e t h o d s u s e d h e r e a n d t h e i r u n i f o r m e x t e n s i o n s a r e o n l y v a l i d w h e n t h e i n c i d e n t f i e l d i s a r a y f i e l d . T h u s u s i n g t h e s o l u t i o n f o r d i f f r a c t i o n o f a n a n i s o t r o p i c l i n e s o u r c e b y a h a l f - p l a n e [6] i s n o t a c c u r a t e e i t h e r . T h i s d i f f i c u l t y a l o n g t h e s h a d o w b o u n d a r y m a y b e e x p e c t e d t o c o m p r o m i s e t h e a c c u r a c y o f s o m e o f t h e p a r t s o f t h e a n a l y s i s m e n t i o n e d o n p a g e 10 . I f b o t h a s i n g l y a n d d o u b l y d i f f r a c t e d f i e l d i n a n y r a y p a t h l i e o n t h e s h a d o w b o u n d a r y , t h e n t h e d o u b l y d i f f r a c t e d f i e l d i s n o t a r a y f i e l d , a n d t h e t r i p l y d i f f r a c t e d f i e l d c a n n o t b e c a l c u l a t e d a c c u r a t e l y u s i n g t h e l i n e s o u r c e a p p r o x i m a t i o n , s o t h a t a l l t r i p l y a n d h i g h e r o r d e r d i f f r a c t e d f i e l d s a r e p o t e n t i a l l y i n a c c u r a t e . H o w e v e r , t h i s d o e s n o t a p p e a r t o b e s e r i o u s b e c a u s e , u n l e s s t h e t r i p l y d i f f r a c t e d f i e l d i s i t s e l f a l o n g t h e s h a d o w b o u n d a r y , i t c o n t r i b u t e s v e r y l i t t l e n u m e r i c a l l y t o t h e f i n a l r e s u l t . T h u s f o r t h e c o u p l i n g b e t w e e n a d j a c e n t g u i d e s ( p a r t s 1 a n d 6) a n d t h e r e f l e c t i o n a n d r a d i a t i o n f r o m a s i n g l e g u i d e ( p a r t s 3,4,7,8) t h i s m e t h o d s h o u l d y i e l d a c c e p t a b l e r e s u l t s . i k f ( r ) (ik) m (2.14) 26 H o w e v e r , f o r t h e c o u p l i n g b e t w e e n t w o s e p a r a t e d g u i d e s ( p a r t 2 ) t h e t r i p l y a n d h i g h e r o r d e r d i f f r a c t e d f i e l d s a f f e c t t h e s h a p e o f t h e c o u p l i n g v e r s u s g u i d e w i d t h c u r v e a n d m a k e a s i g n i f i c a n t c o n t r i b u t i o n t o t h e r e s u l t . T h e r a d i a t i o n p a t t e r n s o f t h e m u l t i - e l e m e n t n o n - s t a g g e r e d a r r a y s ( p a r t 5) i s e x p e c t e d t o b e i n a c c u r a t e n e a r t h e a p e r t u r e p l a n e b e c a u s e o f t h e m a n y i n t e r a c t i o n s a l o n g t h e s h a d o w b o u n d a r y . T h e e r r o r s a r e c u m u l a t i v e b e c a u s e t h e d i f f r a c t e d f i e l d s a r e r e p e a t e d l y c a l c u l a t e d a s i f t h e i n c i d e n t f i e l d s a r e r a y f i e l d s . I n c e r t a i n c a s e s t h i s d i f f i c u l t y m a y b e o v e r c o m e b y e x p a n d i n g t h e ( n o n - r a y ) f i e l d i n a T a y l o r s e r i e s w i t h e a c h t e r m r e p r e s e n t i n g a c y l i n d r i c a l w a v e o f t h e f o r m ( 2 . 1 4 ) , a n d t h e n a p p l y i n g t h e m e t h o d o f [50] o n a t e r m - b y - t e r m b a s i s . H o w e v e r , w h e n t h e r e a r e t h r e e o r m o r e h a l f - p l a n e s , t h e f i e l d s i n t h e a p e r t u r e p l a n e c a n n o l o n g e r b e n e a t l y r e p r e s e n t e d b y a n i n f i n i t e s u m o f n t i m e s d i f f r a c t e d f i e l d s . I n t h e t w o h a l f - p l a n e c a s e , e a c h n t i m e s d i f f r a c t e d f i e l d w h e n i n t u r n d i f f r a c t e d p r o d u c e s o n l y o n e ( n + 1 ) t i m e s d i f f r a c t e d f i e l d . B y c o n t r a s t , i n t h e t h r e e h a l f - p l a n e c a s e , a n n t i m e s d i f f r a c t e d f i e l d w h i c h i s d i f f r a c t e d f r o m t h e c e n t r a l h a l f - p l a n e e d g e p r o d u c e s t w o ( n + 1 ) t i m e s d i f f r a c t e d f i e l d s . T o r e p r e s e n t a l l d i f f r a c t e d f i e l d s o f a l l o r d e r s i n c i d e n t o n a g i v e n e d g e r e q u i r e s a m u c h m o r e c o m p l e x s u m m a t i o n o f t h e t y p e d e r i v e d i n A p p e n d i x B . W h e n t h e r e a r e o n l y t w o h a l f - p l a n e s , t h e f i e l d u a 4 . ( i s d e t e r m i n e d b y a p p l y i n g U A T t o u a o n a t e r m - b y - t e r m b a s i s . T h e e x p r e s s i o n f o r t h e f i e l d i s t h e n c o m p a r e d w i t h a n A n s a t z a n d l e a d s t o a 27 s e t o f r e c u r r e n c e r e l a t i o n s w h i c h m u s t b e s o l v e d . T h i s p r o c e s s m a y b e g r e a t l y c o m p l i c a t e d i n t h e t h r e e h a l f - p l a n e c a s e b e c a u s e t h e r e a r e m a n y f i e l d s u-^. t o b e c o n s i d e r e d . I g n o r i n g t h e f a c t t h a t t h e f i e l d s a r e n o t r a y f i e l d s a n d m e c h a n i c a l l y a p p l y i n g t h e t h e o r y t o v e r y h i g h o r d e r s o f d i f f r a c t i o n a s w a s d o n e b y C i a r k o w s k i [ 1 2 ] a n d a l s o i n A p p e n d i x B l e a d s i n b o t h c a s e s t o r e f l e c t i o n a n d c o u p l i n g v e r s u s g u i d e w i d t h c u r v e s w i t h a n a p p a r e n t l y r a n d o m f i n e s t r u c t u r e w h i c h n e v e r a p p r o a c h e s t h e k n o w n s h a p e o f t h e e x a c t s o l u t i o n , r e g a r d l e s s o f t h e n u m b e r o f t e r m s c o n s i d e r e d . A s i m i l a r d i f f i c u l t y o c c u r s i f t h e p l a t e s a r e s t a g g e r e d . C o n s i d e r a l i n e s o u r c e f i e l d i n c i d e n t o n t w o s t a g g e r e d p a r a l l e l p l a t e s ( F i g . 2 . 5 ) . T h e d i f f r a c t e d f i e l d u . £ i n t h e s e f i g u r e s i s n o t a r a y f i e l d i n t h e n e i g h b o r h o o d o f t h e s e c o n d e d g e , b e c a u s e t h e e d g e i s o n t h e i n c i d e n t o r r e f l e c t e d s h a d o w b o u n d a r y . H e n c e ( 8 . 1 ) i s n o t v a l i d a n d t h e t e r m - b y - t e r m a p p r o a c h m a y b e u s e d . T h e a p p r o x i m a t i o n o f [ 2 4 ] [ 5 0 ] i s t h u s n o t e x p e c t e d t o y i e l d a c c u r a t e r e s u l t s n e a r a s h a d o w b o u n d a r y a l o n g w h i c h t h e r e a r e t h r e e o r m o r e h a l f - p l a n e e d g e s , a n d t r i p l e o r h i g h e r o r d e r d i f f r a c t i o n t e r m s c o n t r i b u t e s i g n i f i c a n t l y t o t h e n u m e r i c a l r e s u l t . T h e a c c u r a c y o f t h i s a p p r o x i m a t i o n i s e x p e c t e d t o b e a c c e p t a b l e a w a y f r o m t h e s h a d o w b o u n d a r i e s a n d n e a r t h e s h a d o w b o u n d a r y i f t h e r e a r e o n l y t w o h a l f - p l a n e e d g e s o n i t . 28 2.4 SUMMARY The ray-optical analysis of any p a r a l l e l plate waveguide structure requires that many ray paths be traced. The f i e l d s represented by these rays are calculated from the canonical problems of a plane wave or a l i n e source incident on a half-plane. This method i s inaccurate for f i e l d c a l c u l a t i o n s on or near shadow boundaries, which l i m i t s i t s application to situations where accuracy i s not required along shadow boundaries. The solutions for plane wave and l i n e source d i f f r a c t i o n by a half-plane w i l l be used in succeeding chapters to find the f i e l d s represented by the various combinations of two successive rays in a ray path, and thus the coupling c o e f f i c i e n t s and radiation patterns. F i g . 2.1 i n c i d e n t and r e f l e c t e d shadow b o u n d a r i e s F i g . 2.2 i n c i d e n t , r e f l e c t e d and d i f f r a c t e d f i e l d s F i g . 2.3 l i n e source i n c i d e n t on a h a l f - p l a n e I u 2 6 F i g . 2.A l i n e source i n c i d e n t on two p a r a l l e l h a l f - p l a n e s 5 / u 2 F i g . 2.5 l i n e source i n c i d e n t on two staggered h a l f - p l a n e s 31 Chapter 3 COUPLING BETWEEN TWO ADJACENT WAVEGUIDES 3.1 FORMULATION The f i r s t problem to be solved i s that of the coupling between two adjacent p a r a l l e l p l a t e waveguides (Fig.3.1). The ray paths from the lower dr i v e n guide to the upper p a r a s i t i c guide are determined by i n s p e c t i o n and shown i n Fig.3.2 . Consider two adjacent s e m i - i n f i n i t e p a r a l l e l p l a t e waveguides c o n s i s t i n g of the three p e r f e c t l y conducting p a r a l l e l h a l f planes i n z>0 at y=-d, y=0, y=a (F i g . 3 . 1 ) . We wish to determine the f i e l d coupled from the dr i v e n guide (- d<y<0; z>0) i n t o the p a r a s i t i c guide (0<y<a; z>0) . An in c i d e n t f i e l d \ = e " i k N Z c o s ( ^ ) (3 . 1 ) l s i n d x i n the dr i v e n guide w i l l e x c i t e f i e l d s of the form H C X _ , +11^2 COS-nTTV. c = n^O ^ n 6 s i n ( a } (3.2) E x i n the p a r a s i t i c guide. The coupling c o e f f i c i e n t i s the r e l a t i v e amplitude and phase of the nth mode i n the p a r a s i t i c guide to the Nth mode i n the i n c i d e n t guide at 32 z=0. The propagation constants k N » k n are given by ^ - / k 2 - ( , N / d ) 2 < 3 ' 3 ) k - / ^ - ( r r n / a ) 2 ^ > n Here we use the ray-optical method of Yee, Felsen and Keller [50] to f i n d A . Following [50] the incident f i e l d (3.1) i s decomposed into two plane waves H I x . = u . = 1 _ { e - i ( k N z - N r r y / d ) + x e - i ( k N z + N T r y / d ) } ( 3 > r ) £ x t r a v e l i n g in the directions TI ± e r e l a t i v e to the half plane guide boundaries, where s i n 6„ = N-n/kd , N (3.6) ,1 TM f i e l d s 7 > * = { i TE f i e l d s ' U ; T = q 2 . (3-8) The f i r s t term in (3.5) i s a plane wave t r a v e l i n g in the d i r e c t i o n 11 ~ 6 N which has the value u±=k (3-9) at the edge y=0, z=0 The other term, a plane wave in the d i r e c t i o n n + Q has the value N (-DNT (3.10) U i = ~~2^~ at the edge y=-d, z=0. These two plane waves are represented by the incident rays in the lower guide of F i g . 3.1. The f i e l d s excited by d i f f r a c t i o n into the p a r a s i t i c guide appear to originate from l i n e sources of the form u. f ( 6 ) E ( r ) (3 . 1 1 ) d 33 l o c a t e d a t t h e e d g e s z=0; y=0 o r a . I n ( 3 . 1 1 ) r i s t h e d i s t a n c e f r o m t h e edge a n d f ( 6 ) i s t h e r a d i a t i o n p a t t e r n o f t h e d i f f r a c t e d f i e l d . R a d i a t i o n i n t h e d i r e c t i o n 0 - 9r\ e x c i t e s t h e n t h w a v e g u i d e mode i n z>0; 0<y<a. The f i e l d s e x c i t e d i n t h e p a r a s i t i c g u i d e due t o a l i n e s o u r c e ( 3 . 1 1 ) a t one o f i t s e d g e s a r e [ 5 0 ] c j— = u = I , F  c d n=0 /2k a x I n ,1 i f n = 0 (3.13) c n " {2 i f n i 0 ' y Q = 0 or a . C o m p a r i s o n o f ( 3 . 1 2 ) w i t h ( 3 . 2 ) i m m e d i a t e l y y i e l d s t h e c o u p l i n g c o e f f i c i e n t A^ n. T h r o u g h o u t t h i s c h a p t e r , t h e f o l l o w i n g n o t a t i o n s a r e e m p l o y e d t o r e p r e s e n t t h e f i e l d s , where t h e s u p e r s c r i p t x r e f e r s t o t h e l e t t e r o f t h e f i g u r e s h o w i n g t h e p a r t i c u l a r r a y p a t h u n d e r c o n s i d e r a t i o n . u i i s a p l a n e wave i n t h e d r i v e n g u i d e . i s a l i n e s o u r c e f i e l d a r i s i n g f r o m d i f f r a c t i o n o f t h e i n c i d e n t f i e l d u± ( i e i s a s i n g l y d i f f r a c t e d f i e l d ) . u x i s a l i n e s o u r c e f i e l d a r i s i n g f r o m d i f f r a c t i o n o f a m x x l i n e s o u r c e u . ( i e u i s an m t i m e s m u l t i p l y d i f f r a c t e d m-l m ^ -1 f i e l d ) . A ^ ^ i s t h e c o n t r i b u t i o n t o A^ n o f ( 3 . 2 ) a r i s i n g f r o m f i e l d s d i f f r a c t e d j t i m e s . 34 3 . 2 S I N G L E D I F F R A C T I O N T h e c o u p l i n g c o n t r i b u t i o n d u e t o s i n g l e d i f f r a c t i o n i s c a l c u l a t e d f r o m t h e s o l u t i o n f o r d i f f r a c t i o n o f a p l a n e w a v e b y a h a l f p l a n e . O n e o f t h e t w o p l a n e w a v e s c o m p r i s i n g t h e f i e l d i n t h e d r i v e n g u i d e i s i n c i d e n t o n t h e e d g e y = 0 , z = 0 a t a n a n g l e QQ = 2 n - ( s e e F i g . 3 . 2 a ) . A t d i s t a n c e s k r > > l f r o m t h i s e d g e , t h e d i f f r a c t e d f i e l d i s g i v e n b y u f = D ( 2 n-e v,e ) E ( r ) , (3.14) 1 2q N n w h e r e D ( 6 , e ) i s g i v e n b y ( 2 . 9 ) . S u b s t i t u t i n g s i n e n = nti/ k a ( 3 > 1 5 ) we f i n d a 1 /^K F, , " l " 2 i ^ W E < r > - T h e r a d i a t i o n p a t t e r n f ( s ) o f ( 3 . 1 6 ) i s o b t a i n e d b y c o m p a r i s o n w i t h ( 3 . 1 1 ) . P u t t i n g t h i s i n t o ( 3 . 1 2 ) , t h e c o n t r i b u t i o n t o t h e c o u p l i n g c o e f f i c i e n t o f ( 3 . 2 ) f o r s i n g l e d i f f r a c t i o n o n l y i s /-.N / k + T k . _ / k + i k (1) _ n / N • n ^Sln " 4k a k +k n N n (3.17) 3 . 3 M U L T I P L E D I F F R A C T I O N T h e c o n t r i b u t i o n s t o t h e c o u p l i n g c o e f f i c i e n t f o r m u l t i p l e d i f f r a c t i o n a r e o b t a i n e d s e p a r a t e l y f o r e a c h r a y 35 p a t h i n F i g . 3 . 2 . F i r s t t h e i n d i v i d u a l d i f f r a c t i o n p r o b l e m s o f t w o s u c c e s s i v e r a y s i n a s e q u e n c e w i l l b e s o l v e d , a n d t h e n p i e c e d t o g e t h e r t o f i n d t h e c o u p l i n g c o n t r i b u t e d b y t h e f i e l d s i n e a c h r a y p a t h a n d t h e t o t a l c o u p l i n g . T h e p a i r s o f s u c c e s s i v e r a y s w h i c h w i l l b e c o n s i d e r e d a r e s h o w n i n F i g s . 3 . 3 , 3 . 4 a n d 3 . 5 . I n F i g . 3 . 3 a p l a n e w a v e u i s i n c i d e n t o n a h a l f - p l a n e e d g e a t 6 Q = e o r e 0 = 2TT - . T h e d i f f r a c t e d f i e l d i n t h e d i r e c t i o n e = j o r 6 = ~ a t a p o i n t r = a a w a y f r o m t h e e d g e i s , f r o m ( 2 . 1 1 ) u l = u i T l C N ( a ) > (3.18) w h e r e C N ( a ) = V a ) / E ( a ) , (3.19) - i n / 4 , . /' 2 , 2 r C N ( a ) = 1 — { e + - k " kN * F [ / | ( ^ _ AZ^)] V TT + i e 1 Y k k N 3 F [ / | (v^k+k^ + /k+k^") ]} (3.20) a n d r-' i f |e-6o|<~/2 T l 1 1 o t h e r w i s e - (3.21) F o r k a » l ( 3 . 1 8 ) s i m p l i f i e s t o U l = U i T l C N E ( r ) > (3-22) w h e r e +i-/4 / k /k-tTk C ~ * . (3.23) N / 2 T k I n F i g . 3 . 4 a n i s o t r o p i c l i n e s o u r c e u . w _ , - i= (r) 3 6 l o c a t e d a t S, a d i s t a n c e r 0 from a g u i d e w a l l i s i n c i d e n t on t h a t edge a t e>0̂  T / I or ITT/X . The t o t a l f i e l d i n the d i r e c t i o n s e = TT/X or in fx i s found from ( 2 . 1 2 ) . The r e s u l t s f o r F i g s . 3 . 4 a and 3.4c are found t o be the same. C o n s i d e r the two cas e s r>r„ and r < r 0 . I f r > r 0 s u b s t i t u t e i n (2 . 1 2 ) : R=r-d, S=r+d, e c o s ( - 2 e+e = 1 c o s ( — f ) = 0 t o f i n d e i k ( r - r 0 ) e - i , / 4 e i k ( r - r Q ) _ _ t u = F [ / 2 k r Q ] + i E ( r + r Q ) . (3.24) I f r < r f i , R=d-r, S=r+d, and i k ( r 0 - r ) -ITI/4 i k ( r 0 - r ) u = F [ / 2 k T ] + 1 E ( r + r n ) . (3.25) "m K— r ) i l J ' 2 " V 1 , l 0 ' »xkr /T. ATQ I f k r Q > > i and kr>>l, and the f i e l d from the i n c i d e n t l i n e s o urce i s s u b t r a c t e d o u t , both (3.24) and (3.25) become u = + \ E ( r + r n ) - E ( r n ) E ( r ) . (3.26) m 2 0 2 ^ U T h i s f i e l d has two components: the f i e l d of the image of the o r i g i n a l l i n e s o u r c e reduced i n a m p l i t u d e by h a l f , p l u s a f i e l d d i f f r a c t e d by the edge. These two l i n e s o u r c e s o r i g i n a t e a t d i f f e r e n t p o i n t s i n space, one a t the l o c a t i o n of image of the o r i g i n a l l i n e s o u r c e a t d i s t a n c e r„ from the edge, and the o t h e r a t the edge. The r e s u l t s f o r F i g s . 3 . 4 b and 3.4d a l s o a r e found t o be the same. C o n s i d e r the two cases r > r 0 and r < r 0 . I f r > r 0 s u b s t i t u t e i n (2 . 1 2 ) : R=r+d, S=r-d, c o s ( - / ) = o , c o s ( - / ) = -1 t o f i n d 37 1 , a " " 7 4 e i k ( r _ r 0 ) , Um = 2 E ( r + r0 } + T 7= nfik^l . (3.27) / T T / k r If r < r Q , R=r+d, S=d-r, and -iTt /4 i k ( r 0 - r ) u = 4 E ( r + r n ) + T F[/2k7] . (3.28) M 2 0 /T7 / k r T ^ If k r Q > > i and kr>>l both (3.27) and (3.28) become u = i E ( r + r n ) + T E ( r . ) E ( r ) . (3.29) m 2 0 2/2T 0 This f i e l d has two components: the o r i g i n a l l i n e source f i e l d reduced in amplitude by half, plus a f i e l d d i f f r a c t e d by the edge. These two l i n e sources originate at dif f e r e n t points in space, one at the location of the o r i g i n a l l i n e source at distance r c from the edge-, and the other at the edge. In Fig.3.5a and 3.5b an isotropic l i n e source um-l = £ ( r ) located at S, at a distance r 0 from the edge is incident on that edge at an angle e Q = TT/2 or 3TT/2 This f i e l d i s d i f f r a c t e d into a waveguide of width a at an angle 0 = e a or 2r, - e n . From (3.18), the d i f f r a c t e d f i e l d u i s , for kr>>l m Um = T l C n ( r 0 ) E ( r > > (3.30) where c n ( r o ) i s 9 i v e n bY (3.20). For kr 0>>l (3.30) s i m p l i f i e s to Um = T l C n E ( V E ( r ) • (3.31) 38 3 . 4 C A L C U L A T I O N O F T H E C O U P L I N G C O E F F I C I E N T T h e f i e l d s r e p r e s e n t e d b y v a r i o u s c o m b i n a t i o n s o f t w o s u c c e s s i v e r a y s a s p r e s e n t e d a b o v e w i l l now b e u s e d t o c a l c u l a t e t h e c o u p l i n g b e t w e e n t w o a d j a c e n t p a r a l l e l - p l a t e w a v e g u i d e s . T h e r a y p a t h s f o r t h e s e c a l c u l a t i o n s , s h o w n i n F i g . 3 . 2 , r e p r e s e n t a l l p o s s i b l e c o m b i n a t i o n s o f r a y s u p t o a n d i n c l u d i n g t r i p l e d i f f r a c t i o n , a n d o n e c o m b i n a t i o n w i t h q u a d r u p l e d i f f r a c t i o n . F o r e a c h s e q u e n c e o f r a y s i n F i g . 3 . 2 , t h e f i e l d s a s s o c i a t e d w i t h t h e m t h r a y c a n b e c a l c u l a t e d f r o m t h e f i e l d s u ^ ^ o f t h e ( m - 1 ) r a y . T h e a m p l i t u d e o f t h e m o d e s i n t h e u p p e r p a r a s i t i c g u i d e e x c i t e d b y l a s t r a y i s c a l c u l a t e d b y c o m p a r i s o n o f ( 3 . 1 1 ) , ( 3 . 1 2 ) a n d ( 3 . 2 ) . T h e d o u b l y d i f f r a c t e d f i e l d s a r e r e p r e s e n t e d b y F i g u r e s 3 . 2 b a n d c . I n F i g . 3 . 2 b t h e i n c i d e n t f i e l d , g i v e n b y ( 3 . 9 ) , i s d i f f r a c t e d a t t h e e d g e y = z = 0 . F r o m ( 3 . 1 8 ) , a s o b s e r v e d a t y = a , z = 0 , t h e d i f f r a c t e d f i e l d i s a l i n e s o u r c e U l = laf C N ( a ) E ( r ) <3'32) l o c a t e d a t t h e d i f f r a c t i n g e d g e . T h i s f i e l d i s a g a i n d i f f r a c t e d a t t h e e d g e y = a , z = 0 , a n d f r o m ( 3 . 3 0 ) g i v e s a l i n e s o u r c e U 2 = l a f C ' ( a ) C n ( a ) E ( r ) (3.33) l o c a t e d a t t h e d i f f r a c t i n g e d g e . I n F i g . 3 . 2 c t h e i n c i d e n t f i e l d , g i v e n b y ( 3 . 1 0 ) , i s d i f f r a c t e d a t t h e e d g e y = - d , z = 0 . F r o m ( 3 . 1 8 ) , a s o b s e r v e d a t y = z = 0 , t h e d i f f r a c t e d f i e l d 39 i s a l i n e s o u r c e C = c : , ( d ) E ( r ) (3 .34) 1 2q N l o c a t e d a t t h e d i f f r a c t i n g e d g e . T h i s f i e l d i s a g a i n d i f f r a c t e d a t t h e e d g e y = z = 0 , a n d f r o m ( 3 . 3 0 ) g i v e s a l i n e s o u r c e U 2 = Z i ^ - ^ ( d ) C n ( d ) E ( r ) ( 3 .35 ) l o c a t e d a t t h e d i f f r a c t i n g e d g e . T h e t o t a l c o n t r i b u t i o n t o t h e c o u p l i n g c o e f f i c i e n t f r o m d o u b l e d i f f r a c t i o n i s f o u n d b y t r e a t i n g ( 3 . 3 3 ) a n d ( 3 . 3 5 ) a s l i n e s o u r c e s a n d u s i n g ( 3 . 1 1 ) , ( 3 . 1 2 ) a n d ( 3 . 2 ) . T h u s A N n ( 2 ) = ^ y 7 4 [ ( - D n C ^ ) C n ( a ) + ( - D N C ^ ( d ) C n ( d ) ] . ( 3 .36 ) 2 /2k a n T h e t r i p l y d i f f r a c t e d f i e l d s a r e r e p r e s e n t e d b y F i g u r e s 3 . 2 d , e a n d f . I n F i g . 3 . 2 d t h e i n c i d e n t f i e l d , g i v e n b y ( 3 . 1 0 ) , i s d i f f r a c t e d a t t h e e d g e y = z = 0 . F r o m ( 3 . 1 8 ) , a s o b s e r v e d a t y = - d , z = 0 , t h e d i f f r a c t e d f i e l d i s a l i n e s o u r c e U i d = f ? C N ( d > £ ( r > < 3- 3 7> l o c a t e d a t t h e d i f f r a c t i n g e d g e . T h i s f i e l d i s a g a i n d i f f r a c t e d a t t h e e d g e y = - d , z = 0 , a n d f r o m ( 3 . 2 6 ) t h e r e s u l t a n t f i e l d i s 4 ' £ C N < d > E ( d + r > + Aq JT=- C N ( d ) E ( d ) E ( r ) • ° ' 3 8 ) 4 V 2 TT u2 i s m a d e u p o f t w o l i n e s o u r c e f i e l d s , o n e c e n t e r e d a t y = - 2 d , z = 0 , t h e o t h e r a t y = ~ d , z = 0 . T h i s f i e l d i s a g a i n d i f f r a c t e d a t t h e e d g e y = z = 0 , a n d f r o m ( 3 . 3 0 ) g i v e s t w o l i n e 40 s o u r c e s +in /A U 3 " fqj C*(d)C n ( 2 d)E(r) + ̂  S — C'<d)C n(d)E(d)E(r) (3.39) l o c a t e d a t t h e d i f f r a c t i n g e d g e . In F i g . 3 . 2 e t h e i n c i d e n t f i e l d i s g i v e n b y ( 3 . 9 ) a n d t h e f i e l d i s g i v e n b y ( 3 . 3 2 ) . T h i s f i e l d i s a g a i n d i f f r a c t e d a t y = a , z = 0 a n d f r o m ( 3 . 2 6 ) t h e r e s u l t a n t f i e l d i s + i i r / A " 2 = " i - C^(a)E(a+r) - j- C ^ ( a ) E ( a ) E ( r ) . (3.40) i s m a d e u p o f t w o l i n e s o u r c e f i e l d s , o n e c e n t e r e d a t y = 2 a , z = 0 , t h e o t h e r a t y = a , z = 0 . T h i s f i e l d i s a g a i n d i f f r a c t e d a t y = z = 0 a n d f r o m ( 3 . 3 0 ) t h e r e s u l t a n t f i e l d i s e -1 + i T i / 4 U3 = 4 i C ' ( a ) C n ( 2 a ) E ( r ) + ^ - C ^ ( a ) C n ( a ) E ( a ) E ( r ) . (3.41) I n F i g . 3 . 2 f t h e i n c i d e n t - f i e l d i s g i v e n b y ( 3 . 1 0 ) a n d t h e f i e l d u ^ i s g i v e n b y ( 3 . 3 4 ) . T h i s f i e l d i s a g a i n d i f f r a c t e d a t y = z = 0 a n d f r o m ( 3 . 2 9 ) t h e r e s u l t a n t f i e l d i s u2 = " V " C N ( d ) E ( d + r ) - I 1 Z r ~ ̂ 7 = — C^(d)E(d)E(r) . (3.42) / 27T U2 i s m a d e u p o f t w o l i n e s o u r c e f i e l d s , o n e c e n t e r e d a t y = - d , z = 0 , t h e o t h e r a t y = z = 0 . T h i s f i e l d i s a g a i n d i f f r a c t e d a t y = a , z = 0 a n d f r o m ( 3 . 3 0 ) t h e r e s u l t a n t f i e l d i s f TC n N < +W4 u 3 = C ' ( d ) C n ( d + a ) E ( r ) + C^(d ) C (a)E(d)E(r). (3.43) T h e t o t a l c o n t r i b u t i o n t o t h e c o u p l i n g c o e f f i c i e n t A N n f r o m t r i p l e d i f f r a c t i o n i s f o u n d b y t r e a t i n g ( 3 . 3 9 ) , ( 3 . 4 1 ) a n d ( 3 . 4 3 ) a s l i n e s o u r c e s a n d u s i n g ( 3 . 1 1 ) , ( 3 . 1 2 ) a n d ( 3 . 2 ) . T h u s 41 r +iTr / 4 V = ^ 3 [ - C N ( d ) C n ( 2 d ) " S ( a ) C n ( 2 a ) + ( - D N + n C ' ( d ) C n ( d + a ) ] n + g ^ - [CjJ(d)C n(d)E(d) + C^(a)C n(a)E(a) + (-1) N + nCjJ(d)C n(a)E(d) ] . n (3.44) A q u a d r u p l y d i f f r a c t e d f i e l d i s r e p r e s e n t e d i n g F i g . 3 . 2 g . H e r e u 2 i s g i v e n b y ( 3 . 3 8 ) . B o t h l i n e s o u r c e f i e l d s i n ( 3 . 3 8 ) a r e d i f f r a c t e d i n d e p e n d e n t l y b y t h e e d g e y = 0 , z = 0 , s o t h a t f r o m ( 3 . 2 9 ) , c o n s i s t s o f f o u r l i n e s o u r c e f i e l d s c e n t e r e d a t ( - 2 d , 0 ) , ( 0 , 0 ) , ( - d , 0 ) a n d ( 0 , 0 ) g r e s p e c t i v e l y . N o t e t h a t o n e o f t h e s e f i e l d s i n u 3 i s Oik'^^1) w h i c h i s o f t h e s a m e o r d e r a s t h e s e c o n d t e r m i n t h e a s y m p t o t i c e x p a n s i o n o f t h e h a l f p l a n e d i f f r a c t i o n s o l u t i o n . I f t e r m s o f 0(ic'l^)are t o b e i n c l u d e d i n & N n t h e n c o n s i s t e n c y r e q u i r e s t h a t h i g h e r o r d e r t e r m s b e a d d e d t o t h e K e l l e r d i f f r a c t i o n c o e f f i c i e n t ( 2 . 9 ) a n d a l s o i n ( 3 . 2 3 ) , ( 3 . 2 6 ) , ( 3 . 2 9 ) a n d ( 3 . 3 1 ) . T h u s t h e 0(k'lfl) c o n t r i b u t i o n s d u e t o q u a d r u p l e a n d h i g h e r o r d e r d i f f r a c t i o n a r e n o t e x p e c t e d t o b e m e a n i n g f u l w i t h i n t h e r a y - o p t i c a l t h e o r y u s e d h e r e . I t t u r n s o u t t h a t t h e s e t e r m s c o n t r i b u t e v e r y l i t t l e n u m e r i c a l l y . F r o m ( 3 . 2 6 ) a n d ( 3 . 2 9 ) t h e f i e l d a m p l i t u d e s a r e r e d u c e d b y o n l y h a l f w h e n d i f f r a c t e d a l o n g t h e s h a d o w b o u n d a r y . T h e n u m b e r o f t e r m s a r i s i n g f r o m q u a d r u p l e a n d h i g h e r o r d e r d i f f r a c t i o n g r o w s r a p i d l y f o r e a c h s u c c e s s i v e l y h i g h e r o r d e r , b u t o n l y t h e 0{u"/x) a n d O t e r m s f r o m h i g h e r o r d e r d i f f r a c t i o n m a y b e e x p e c t e d t o c o n t r i b u t e s i g n i f i c a n t l y t o t h e v a l u e o f t h e c o u p l i n g c o e f f i c i e n t . 42 C o n t r i b u t i o n s t o f r o m h i g h e r o r d e r d i f f r a c t i o n o f Oik''12), c a l c u l a t e d f o r t h e s p e c i a l c a s e o f T E M - T E M c o u p l i n g ( T = l , N = 0 , n = 0 ) , a r e g i v e n i n A p p e n d i x B . 3 . 5 N U M E R I C A L R E S U L T S N u m e r i c a l v a l u e s f o r t h e c o u p l i n g c o e f f i c i e n t A^n w e r e c a l c u l a t e d f o r v a r i o u s g u i d e w i d t h s a a n d d f o r b o t h T M a n d T E p o l a r i z a t i o n s . C o n t r i b u t i o n s t o d u e t o s i n g l e , d o u b l e , a n d t r i p l e d i f f r a c t i o n w e r e i n c l u d e d . T h e a m p l i t u d e a n d p h a s e o f A 0 0 , t h e c o u p l i n g f r o m a T E M m o d e i n t h e d r i v e n g u i d e t o a T E M m o d e i n t h e p a r a s i t i c g u i d e , i s s h o w n i n F i g . 3 . 6 , 3 . 7 a n d 3 . 8 f o r g u i d e w i d t h s a = d , a = d / 2 a n d a = 2 d r e s p e c t i v e l y . V a l u e s o f ft,, ( T E , - T E / c o u p l i n g ) a r e p l o t t e d i n F i g . 3 . 9 . F i g s . 3 . 1 0 a n d 3 . 1 1 s h o w c o u p l i n g f r o m t h e T M a n d T E f u n d a m e n t a l m o d e s i n t o h i g h e r o r d e r m o d e s . W h e n b o t h d r i v e n a n d p a r a s i t i c g u i d e s a r e t h e s a m e w i d t h t h e s i n g l e d i f f r a c t i o n t e r m p r o v i d e s t h e a v e r a g e b e h a v i o u r o f t h e c o u p l i n g c o e f f i c i e n t . A d d i n g t h e d o u b l e d i f f r a c t i o n t e r m s r e v e a l s a f i n e s t r u c t u r e w i t h m i n i m a n e a r t h e c u t o f f w i d t h s o f t h e v a r i o u s m o d e s . T h e t r i p l e d i f f r a c t i o n t e r m s p r o v i d e s o m e c o r r e c t i o n t o t h i s f i n e s t r u c t u r e , e s p e c i a l l y n e a r t h e c u t o f f w i d t h s , b u t d o n o t a l t e r t h e b a s i c s h a p e o f t h e c u r v e . W h e n i n t h e T E M c a s e t h e p a r a s i t i c g u i d e i s h a l f t h e w i d t h o f t h e d r i v e n g u i d e ( a = d / 2 ) ( F i g . 3 . 7 ) t h e m i n i m a n e a r 43 t h e m o d e t r a n s i t i o n w i d t h s a r e r e d u c e d i n d e p t h . W h e n t h e p a r a s i t i c g u i d e i s d o u b l e t h e w i d t h o f t h e d r i v e n g u i d e ( a = 2 d ) ( F i g . 3 . 8 ) m i n i m a a p p e a r a t t h e m o d e t r a n s i t i o n w i d t h s f o r t h e p a r a s i t i c g u i d e a t a = n o r d = n / 2 ( n = l , 2 , 3 . . . ) . I n b o t h c a s e s a d d i n g t r i p l e d i f f r a c t i o n t e r m s p r o v i d e s a m o r e s u b s t a n t i a l c o r r e c t i o n t o t h e d o u b l e d i f f r a c t i o n r e s u l t a s c o m p a r e d t o t h e c a s e w h e r e a = d . E x a c t r e s u l t s f o r t h e c o u p l i n g c o e f f i c i e n t A N a a r e n o t a v a i l a b l e f o r c o m p a r i s o n . H o w e v e r , r a y - o p t i c a l e x p r e s s i o n s f o r t h e r e f l e c t i o n c o e f f i c i e n t f o r a s i n g l e g u i d e [ 5 0 ] w i t h t h e l o w f r e q u e n c y c o r r e c t i o n [ 1 8 ] s h o w g o o d a g r e e m e n t w i t h t h e e x a c t r e s u l t f o r g u i d e w i d t h s a s s m a l l a s 0 . 1 w a v e l e n g t h s f o r T E M - T E M c o u p l i n g a n d 0 . 6 w a v e l e n g t h s f o r T E / - T E / c o u p l i n g . T h e v a l u e s o f A ^ p r e s e n t e d h e r e may b e e x p e c t e d t o h a v e a c c u r a c y c o m p a r a b l e t o [ 5 0 ] a n d [ 1 8 ] b e c a u s e t h e s a m e m e t h o d o f c a l c u l a t i o n h a s b e e n u s e d . T h e T E M a n d T E / c o u p l i n g c o e f f i c i e n t s f o r l o w f r e q u e n c i e s n e a r m o d e c u t o f f c a l c u l a t e d u s i n g t h e a s y m p t o t i c a p p r o x i m a t i o n ( 3 . 2 2 ) a r e c o m p a r e d w i t h t h e n o n - a s y m p t o t i c r e s u l t s o b t a i n e d u s i n g ( 3 . 1 8 ) i n F i g s . 3 . 1 2 a n d 3 . 1 3 . T h e a s y m p t o t i c r e s u l t s b e g i n t o d e v i a t e s i g n i f i c a n t l y a t g u i d e w i d t h s l e s s t h a n 0 . 3 X i n t h e T E M c a s e a n d 0 . 7 " X i n t h e T E , c a s e . T h i s a p p e a r s t o b e c o n s i s t e n t w i t h t h e r e s u l t s o f [ 1 8 ] w h e r e a s i m i l a r c o m p a r i s o n w a s m a d e f o r t h e r e f l e c t i o n c o e f f i c i e n t s . W h e n t h e a s y m p t o t i c a p p r o x i m a t i o n ( 3 . 3 1 ) i s u s e d a l s o , t h e r e s u l t s d e v i a t e e v e n m o r e . H i g h e r o r d e r t e r m s o f 0(1<." , / 2) a n d 0(k~') w e r e c a l c u l a t e d 44 b u t t h e y were f o u n d t o g i v e o n l y s m a l l c o n t r i b u t i o n s . I t h a s a l s o b e e n n o t e d t h a t i n t h e c a l c u l a t i o n o f s c a t t e r i n g b y a s i n g l e o p e n - e n d e d p a r a l l e l p l a t e w a v e g u i d e t h e q u a d r u p l e a n d h i g h e r o r d e r d i f f r a c t e d f i e l d s a r e l i k e l y t o b e i n e r r o r , s i n c e t h e y d o n o t a g r e e w i t h t h e a s y m p t o t i c e x p a n s i o n o f t h e e x a c t s o l u t i o n [ 9 ] . N o t e t h a t a l l t h e c u r v e s o f c o u p l i n g v e r s u s g u i d e w i d t h h a v e m i n i m a a t w i d t h s s l i g h t l y b e l o w t h e m o d e t r a n s i t i o n w i d t h s ( nX f o r T M m o d e s a n d ( 2 n - l ) " X / 2 f o r T E m o d e s ) . T h e d e p t h o f t h e s e m i n i m a ( n u l l s ) i n c r e a s e s a n d t h e n u l l m o v e s c l o s e r t o t h e m o d e t r a n s i t i o n w i d t h a s h i g h e r o r d e r s o f d i f f r a c t i o n a r e t a k e n i n t o a c c o u n t ( F i g s . 3 . 6 a n d 3 . 9 ) . T h i s b e h a v i o u r i s s i m i l a r t o t h a t f o u n d b y Y e e e t a l . [ 5 0 ] f o r t h e r e f l e c t i o n c o e f f i c i e n t o f a s i n g l e w a v e g u i d e . I t m i g h t b e s u r m i s e d t h a t t a k i n g s t i l l m o r e t e r m s w o u l d e v e n t u a l l y g i v e a s h a r p n u l l e x a c t l y a t t h e m o d e t r a n s i t i o n w i d t h . I t t u r n s o u t t h a t t h e k n o w n e x a c t s o l u t i o n f o r t h e r e f l e c t i o n c o e f f i c i e n t o f a s i n g l e w a v e g u i d e [ 4 5 ] h a s s h a r p c u s p s w i t h d i s c o n t i n u o u s f i r s t d e r i v a t i v e a t t h e m o d e t r a n s i t i o n w i d t h s . T h e r a y - o p t i c a l s o l u t i o n [ 5 0 ] h o w e v e r d o e s n o t h a v e a n y c u s p s , e v e n w h e n v e r y l a r g e n u m b e r s o f d i f f r a c t i o n t e r m s a r e t a k e n i n t o a c c o u n t . S i m i l a r l y i n t h e c o u p l i n g c a s e , n o c u s p s a r e f o u n d i n t h e r a y - o p t i c a l s o l u t i o n , e v e n w i t h m a n y t e r m s ( s e e A p p e n d i x B ) . A n e x a c t s o l u t i o n f o r t h e c o u p l i n g c a s e i s n o t a v a i l a b l e f o r c o m p a r i s o n , h o w e v e r i t i s r e a s o n a b l e t o a s s u m e t h a t i t a l s o w i l l c o n t a i n c u s p s . I t a p p e a r s t h a t t h e r a y - o p t i c a l m e t h o d u s e d h e r e i s u n a b l e t o p r o v i d e a n a c c u r a t e s o l u t i o n n e a r t h e 45 m o d e t r a n s i t i o n w i d t h s w h e r e c u s p s a r e e x p e c t e d , b u t i s a c c e p t a b l e e l s e w h e r e . S o m e c o n s i d e r a t i o n h a s b e e n g i v e n t o a p p l y i n g t h e u n i f o r m a s y m p t o t i c t h e o r y ( U A T ) [ 1 ] t o t h i s p r o b l e m . I n t h e c a s e o f r e f l e c t i o n f r o m a s i n g l e o p e n - e n d e d p a r a l l e l - p l a t e w a v e g u i d e t h e f i n a l e x p r e s s i o n f o r t h e r e f l e c t i o n c o e f f i c i e n t i s s i m i l a r t o t h a t o b t a i n e d b y t h i s r a y - o p t i c a l m e t h o d [ 3 , e q n s . ( 3 5 ) , ( 3 6 ) ] [ 4 , e q n s . ( 8 . 7 ) , ( 8 . 8 ) ] f o r t e r m s o f O a ~ ' / z ) a n d 0(k~l). H o w e v e r t h i s s e r i e s s o l u t i o n i s s l o w l y c o n v e r g e n t ; u p t o 50 t e r m s a r e r e q u i r e d t o p r o v i d e e s s e n t i a l l y f u l l a g r e e m e n t w i t h t h e e x a c t v a l u e s n e a r t h e m o d e t r a n s i t i o n w i d t h s f o r t h e g u i d e s ( t h o u g h t h i s c o n v e r g e n c e m a y b e a c c e l e r a t e d ) . E a c h t e r m i n t h e s e r i e s r e p r e s e n t s i n t e r a c t i o n b e t w e e n e d g e s o f t h e g u i d e a n d w i t h t w o a d j a c e n t g u i d e s t h e r e i s a r a p i d g r o w t h i n t h e n u m b e r o f i n t e r a c t i o n s t h a t h a v e t o b e i n c l u d e d . S i n c e a g e n e r a l e x p r e s s i o n f o r a l l t e r m s o f 0 ( ^ ~ 9 w a s n o t f o u n d e v e n w i t h t h e s i m p l e r r a y - o p t i c a l m e t h o d ( s e e A p p e n d i x B ) , a U A T s o l u t i o n f o r A N / V p r o v i d i n g b e t t e r n u m e r i c a l a c c u r a c y w o u l d a p p e a r t o b e v e r y d i f f i c u l t t o f i n d . I t i s , h o w e v e r , o n l y a t t h e m o d e t r a n s i t i o n w i d t h s t h a t t h e U A T m a y b e e x p e c t e d t o p r o v i d e s u b s t a n t i a l i m p r o v e m e n t . O n l y m a r g i n a l , i f a n y , i m p r o v e m e n t o c c u r s n e a r c u t o f f o f t h e f u n d a m e n t a l m o d e [ 3 , F i g . 2 ] [ 4 , F i g . 2 ] N o o t h e r c a l c u l a t i o n s o f t h e c o u p l i n g b e t w e e n a d j a c e n t g u i d e s i n i s o l a t i o n h a s b e e n f o u n d ; h o w e v e r i t i s i n t e r e s t i n g t o c o m p a r e t h e c o u p l i n g c o e f f i c i e n t s o b t a i n e d h e r e w i t h t h o s e f o r a d j a c e n t g u i d e s i n t h e p r e s e n c e o f o t h e r 46 g u i d e s . M o n t g o m e r y a n d C h a n g [ 3 8 ] c a l c u l a t e d t h e c o u p l i n g b e t w e e n a d j a c e n t g u i d e s f o r t h e c l o s e d r e g i o n g e o m e t r y i n F i g . 1 . 1 8 u s i n g f u n c t i o n t h e o r e t i c t e c h n i q u e s . L e e [ 2 9 ] f o u n d t h e c o u p l i n g c o e f f i c i e n t s f o r t h e s t r u c t u r e o f F i g . 1 . 1 5 u s i n g W e i n e r - H o p f t e c h n i q u e s . T h e s t r u c t u r e s a r e s u f f i c i e n t l y s i m i l a r t o t h a t u n d e r c o n s i d e r a t i o n t h a t a r e a s o n a b l e c o m p a r i s o n m i g h t b e e x p e c t e d . T h e r e s u l t s f o r e a c h c a s e , l i s t e d i n T a b l e I , a r e v e r y s i m i l a r . T h e c o u p l i n g c o e f f i c i e n t i n t h e p r e s e n c e o f o t h e r g u i d e s i s q u i t e i n s e n s i t i v e t o w h i c h p a i r o f a d j a c e n t g u i d e s i n t h e a r r a y i s c o n s i d e r e d . I t i s t h u s n o t u n e x p e c t e d t h a t t h e c o u p l i n g c o e f f i c i e n t d e r i v e d h e r e i n t h e a b s e n c e o f o t h e r g u i d e s a g r e e s q u i t e w e l l w i t h t h e s e o t h e r r e s u l t s . T h e r a y - o p t i c a l c o u p l i n g g i v e s t h e b e s t a g r e e m e n t w h e n t h e a s y m p t o t i c f o r m o f t h e F r e s n e l i n t e g r a l s c a t t e r i n g f u n c t i o n s ( 3 . 2 3 ) , ( 3 . 2 6 ) , ( 3 . 2 9 ) a n d ( 3 . 3 1 ) a r e u s e d . 3 . 6 S U M M A R Y C o u p l i n g b e t w e e n a d j a c e n t p a r a l l e l p l a t e w a v e g u i d e s h a s b e e n c a l c u l a t e d b y f i r s t t r a c i n g s e q u e n c e s o f r a y s f r o m t h e d r i v e n g u i d e t o t h e p a r a s i t i c g u i d e a n d t h e n a d d i n g t h e c o n t r i b u t i o n s t o t h e a m p l i t u d e o f t h e m o d e e x c i t e d i n t h e p a r a s i t i c g u i d e f r o m t h e f i n a l r a y i n e a c h s e q u e n c e . T h e n u m b e r o f d i f f e r e n t s e q u e n c e s o f r a y s g r o w s r a p i d l y a s t h e n u m b e r o f r a y s i n e a c h s e q u e n c e i n c r e a s e s . H o w e v e r , u s e f u l r e s u l t s a r e o b t a i n e d e v e n w h e n o n l y t h r e e s u c h s e q u e n c e s o f r a y s ( s i n g l e a n d d o u b l e d i f f r a c t i o n ) a r e c o n s i d e r e d . A n 47 e x a c t s o l u t i o n f o r t h i s g e o m e t r y i s n o t a v a i l a b l e f o r c o m p a r i s o n , h o w e v e r , t h e c o u p l i n g c o e f f i c i e n t s o b t a i n e d h e r e a g r e e r e m a r k a b l y w e l l w i t h t h o s e o b t a i n e d b y o t h e r m e t h o d s w h e n t h e t w o g u i d e s a r e s u r r o u n d e d b y o t h e r g u i d e s o r h a l f p l a n e s . T h i s a g r e e m e n t i n d i c a t e s a g e n e r a l l a c k o f s e n s i t i v i t y o f t h e c o u p l i n g c o e f f i c i e n t s t o t h e n a t u r e o f t h e s u r r o u n d i n g s t r u c t u r e , a n d g i v e s c o n f i d e n c e t h a t t h e s e r e s u l t s a r e a p p l i c a b l e i n t h e c o n t e x t o f t h e c o m p l e t e w a v e g u i d e a r r a y . 48 F i g . 3.2 r a y p a t h s f r o m t h e d r i v e n g u i d e t o t h e p a r a s i t i c g u i d e F i g . 3.3 two s u c c e s s i v e r a y s i n a r a y p a t h from t h e d r i v e n g u i d e t o a g u i d e a p e r t u r e U m Um-1 |U m U m-1 F i g . 3.4 two s u c c e s s i v e r a y s i n a r a y p a t h , b o t h r a y s i n a g u i d e a p e r t u r e F i g . 3.5 two s u c c e s s i v e r a y s i n a r a y p a t h f r o m t h e g u i d e a p e r t u r e t o t h e p a r a s i t i c g u i d e -45 0 0.5 1.0 d/A 1.5 2.0 180 -i F i g . 3 . 6 TEM-TEM c o u p l i n g between a d j a c e n t w a v e g u i d e s s i n g l e d i f f r a c t i o n . . . . s i n g l e and d o u b l e d i f f r a c t i o n s i n g l e and d o u b l e and t r i p l e d i f f r a c t i o 0 i 1 8 0 -j 1 3 5 • - | — • — , — , — — i * * * — • — i — • — • •—•— 1—•—• • • 0 0.5 1.0 1.5 2.0 d/A 3.7 TEM-TEM c o u p l i n g between a d j a c e n t w a v e g u i d e s ( a - d / 2 s i n g l e d i f f r a c t i o n s i n g l e and d o u b l e d i f f r a c t i o n s i n g l e and d o u b l e and t r i p l e d i f f r a c t i o n 180 -i & 135 o o rO 90 45 0.5 1.0 1.5 d/A 2.0 F i g . 3 .8 TEM-TEM c o u p l i n g between a d j a c e n t w a v e g u i d e s (a=2d) s i n g l e d i f f r a c t i o n s i n g l e and d o u b l e d i f f r a c t i o n s i n g l e and d o u b l e and t r i p l e d i f f r a c t i o n 53 180 1 s i n g l e d i f f r a c t i o n s i n g l e and d o u b l e d i f f r a c t i o n s i n g l e and d o u b l e and t r i p l e d i f f r a c t i o n   10 i TABLE I C o u p l i n g C o e f f i c i e n t s Am(d,a) Between A d j a c e n t P a r a l l e l P l a t e Waveguides a = d = 0.45 X 9 e x c i t e d +# c o u p l e d i n t o Montgomery [38] Lee [29] t h i s theory u s i n g the a s y m p t o t i c form (3 .22) t h i s theory n o n - a s y m p t o t i c u s i n g the . form (3 .17 ) 20 l o g | A | (dB) Lk (degrees) 20 l o g | A | (dB) LA (degrees) 20 l o g | A | (dB) LA (degrees ) 20 l o g J A ] (dB) Lk (degrees ) 1+2 & 2+1 3+2 & 3+4 2+3 - 1 5 . 3 2 - 1 5 . 5 7 - 1 5 . 3 3 +105.2 +107.8 +105.3 - 1 5 . 7 6 - 15 .78 - 15 .78 +102.3 +106;8 +106.8 -15 .74 +102.3 - 1 5 . 8 0 +97.7 58 C h a p t e r 4 . C O U P L I N G B E T W E E N S E P A R A T E D G U I D E S 4 . 1 C A L C U L A T I O N O F T H E C O U P L I N G C O E F F I C I E N T T h e c o u p l i n g b e t w e e n t w o s e p a r a t e d g u i d e s ( F i g . 4 . 1 ) w i l l b e f o u n d i n a m a n n e r s i m i l a r t o t h a t f o r a d j a c e n t g u i d e s . F i r s t a l l p o s s i b l e r a y p a t h s u p t o a n d i n c l u d i n g q u a d r u p l e d i f f r a c t i o n a r e d e t e r m i n e d b y i n s p e c t i o n ( F i g . 4 . 2 ) . T h e f i e l d s r e p r e s e n t e d b y e a c h r a y i s c a l c u l a t e d f r o m t h e f i e l d s o f t h e r a y p r e c e d i n g i t u s i n g t h e e x p r e s s i o n s d e r i v e d i n C h a p t e r 2 . I n t h i s w a y t h e f i e l d s r e p r e s e n t e d b y a l l r a y s i n F i g . 4 . 2 a r e f o u n d a n d h e n c e t h e c o u p l i n g c o e f f i c i e n t . T h e r e s u l t s w i l l b e c o m p a r e d t o t h o s e f o u n d p r e v i o u s l y b y D y b d a l e t a l . [ 1 7 ] u s i n g e d g e d i f f r a c t i o n a n d a r e c i p r o c i t y a r g u m e n t a n d M o n t g o m e r y a n d C h a n g [ 3 8 ] u s i n g m o d i f i e d r e s i d u e c a l c u l u s . C o n s i d e r t h r e e a d j a c e n t s e m i - i n f i n i t e p a r a l l e l - p l a t e w a v e g u i d e s c o n s i s t i n g o f f o u r p e r f e c t l y c o n d u c t i n g h a l f - p l a n e s i n z > 0 a t y = - d - b , y = ~ d , y = 0 a n d y = a , s o t h a t t h e w i d t h s o f t h e t h r e e g u i d e s a r e b , d a n d a r e s p e c t i v e l y ( F i g . 4 . 1 ) . We w i s h t o d e t e r m i n e t h e f i e l d c o u p l e d f r o m t h e t r a n s m i t t i n g g u i d e - d - b < y < - d , z>0 i n t o t h e p a r a s i t i c g u i d e 0 < y < a , z > 0 . A s i n C h a p t e r 3 t h e i n c i d e n t m o d e i n t h e d r i v e n g u i d e i s d e c o m p o s e d i n t o t w o p l a n e w a v e s , w i t h v a l u e g i v e n b y ( 3 . 9 ) a t t h e e d g e y = - d , z = 0 a n d b y ( 3 . 1 0 ) a t y = - d - b , z = 0 . T h e s e p l a n e w a v e s a r e i n c i d e n t o n t h e h a l f - p l a n e e d g e s a t BD - %rr-&N a n d 0 o = £ / v r e s p e c t i v e l y w h e r e 0 * i s g i v e n b y ( 3 . 6 ) . 59 T h e d o u b l y d i f f r a c t e d f i e l d s a r e r e p r e s e n t e d b y F i g . 4 . 2 a . T h e i n c i d e n t f i e l d , g i v e n b y ( 3 . 9 ) i s d i f f r a c t e d a t t h e e d g e y = - d , z = 0 . F r o m ( 3 . 1 8 ) a s o b s e r v e d a t y = z = 0 t h e d i f f r a c t e d f i e l d i s a l i n e s o u r c e u , 3 = ^ C - ( d ) E ( r ) (4-1) 1 2q N l o c a t e d a t t h e d i f f r a c t i n g e d g e . T h i s f i e l d i s a g a i n d i f f r a c t e d a t t h e e d g e y = z = 0 a n d f r o m ( 3 . 3 0 ) g i v e s a l i n e s o u r c e T h e c o u p l i n g c o e f f i c i e n t f r o m d o u b l e d i f f r a c t i o n i s f o u n d b y t r e a t i n g ( 4 . 2 ) a s a l i n e s o u r c e a n d u s i n g ( 3 . 1 1 ) , ( 3 . 1 2 ) a n d ( 3 . 2 ) . T h u s T~ +iTT/4 e V'TT e A. = — C' (d )C (d) . (4.3) Nn _ rr , N n 2 / 2 k a n T h e t r i p l y d i f f r a c t e d f i e l d s a r e r e p r e s e n t e d b y F i g s . 4 . 2 b a n d c . I n F i g . 4 . 2 b t h e i n c i d e n t f i e l d u i s g i v e n b y ( 3 . 9 ) a n d t h e s i n g l y d i f f r a c t e d f i e l d u ^ b i s g i v e n b y ( 4 . 1 ) . T h i s f i e l d i s a g a i n d i f f r a c t e d a t t h e e d g e y = z = 0 a n d f r o m ( 3 . 2 9 ) t h e r e s u l t a n t f i e l d i s b 1 +iTT/4 S = 7Z C ' ( d ) E ( d + r ) + - 1 C'(d)E(d)E(r) . (4.4) 2 4q N 4q ^ N u 2 b i s m a d e u p o f t w o l i n e s o u r c e s , o n e c e n t r e d a t y = - d , z = 0 , t h e o t h e r a t y = z = 0 . T h i s f i e l d i s a g a i n d i f f r a c t e d a t y = a , z = 0 a n d f r o m ( 3 . 3 0 ) t h e r e s u l t a n t f i e l d i s 60 b —T 1 e + ± T / 4 U3 = icT C'(d)C n(d +a)E(r) - — — - C" (d) C n (a)E (d)E (r) . (4.5) I n F i g . 4 . 2 c t h e i n c i d e n t f i e l d u i s g i v e n b y ( 3 . 1 0 ) . F r o m ( 3 . 1 8 ) , a s o b s e r v e d a t y = - d , z = 0 , t h e d i f f r a c t e d f i e l d i s a l i n e s o u r c e u  c  = Z±Z±L C ' ( b ) E ( r ) (4.6) 1 2q N l o c a t e d a t t h e d i f f r a c t i n g e d g e . T h i s f i e l d i s a g a i n d i f f r a c t e d a t t h e e d g e y = - d , z = 0 a n d f r o m ( 3 . 2 9 ) t h e r e s u l t a n t f i e l d u c i s 2 c - ( - 1 ) N (-1) N e + i V 4 U2 = C N ( b ) E ( b + r ) " ~4q~ ^7=~ C'(b)E(b)E(r) . (4.7) u 2 c i s m a d e u p o f t w o l i n e s o u r c e s , o n e c e n t r e d a t y = - d - b , z = 0 , t h e o t h e r a t y = - d , z = 0 . T h i s f i e l d i s a g a i n d i f f r a c t e d a t y = z = 0 a n d f r o m ( 3 . 3 0 ) t h e r e s u l t a n t f i e l d i s c - ( - 1 ) N f _ ^ N +i*/4 U 3 " ~^a7 C'(b)C n(b +d)E(r) - T ~Z— C'(b)C n(d)E(b)E(r) . >'2TT (4.8) T h e t o t a l c o n t r i b u t i o n t o A f r o m t r i p l e d i f f r a c t i o n i s Nn r f o u n d b y t r e a t i n g ( 4 . 5 ) a n d ( 4 . 8 ) a s l i n e s o u r c e s a n d u s i n g ( 3 . 1 1 ) , ( 3 . 1 2 ) a n d ( 3 . 2 ) . T h u s r +iTT/4 A ( 3 ) = — [ - ( - l ) n C ' ( d ) C (d+a) - (-l) NC'(b)C (b+d)] Yin . rz , N n N n 4/2 k a n £ i T 8k a n [-(-DV (d)C (a)E(d) - (-l) NC'(b)C (d) E (b) ] (4.9) N n N n T h e q u a d r u p l y d i f f r a c t e d f i e l d s a r e r e p r e s e n t e d i n F i g s . 4 . 2 d , e , f a n d g . I n F i g . 4 . 2 d u ± i s g i v e n b y ( 3 . 1 0 ) , d d • i s g i v e n b y ( 4 . 6 ) a n d ^ 2 i s g i v e n b y ( 4 . 7 ) . T h e f i e l d * 2 i s 61 a g a i n d i f f r a c t e d a t y = z = 0 a n d f r o m ( 3 . 2 9 ) t h e r e s u l t a n t f i e l d i s d - ( - 1 ) N ( _ i ) N e + W 4 u 3 = C ^ ( b ) E ( b + d + r ) - t U e - _ _ c ' ( b ) E ( b + d ) E ( r ) ( - 1 ) N e + i T ' / 4 - 1 -(JZ- C ^ ( b ) E ( b ) E ( d + r ) . (4.10) - 3 / 2 N o t e t h a t t h e t e r m o f 0 ( k ) h a s b e e n d e l e t e d f o r t h e r e a s o n s m e n t i o n e d i n C h a p t e r 3 . " 3 d i s m a d e u p o f t h r e e l i n e s o u r c e s a t y = - d - b , z = 0 ; y = z = 0 ; a n d y = ~ d , z = 0 r e s p e c t i v e l y . T h i s f i e l d u 3 i s a g a i n d i f f r a c t e d a t y = a , z = 0 a n d f r o m ( 3 . 3 0 ) t h e r e s u l t a n t f i e l d i s , . N + i i r /4 u , = (-D ^ C ' ( b ' ) C (b+d+a)E(r) + - C ' ( b ) E ( b + d ) C ( a ) E ( r ) 4 8q N n 8q /r— N n N +1TT/4 + - i - i i - 2 C ' ( b ) E ( b ) C (d+a)E(r ) . (4.11) 8q /r N n ^ /2TT u 4 c o n s i s t s o f t h r e e l i n e s o u r c e s a l l c e n t r e d a t y = a , z = 0 . T h e c o n t r i b u t i o n t o \ n f r o m t h i s q u a d r u p l y d i f f r a c t e d f i e l d i s f o u n d b y t r e a t i n g ( 4 . 1 1 ) a s l i n e s o u r c e s a n d u s i n g ( 3 . 1 1 ) , ( 3 . 1 2 ) a n d ( 3 . 2 ) . T h u s j - +iTt /4 (4) = f n J L ! [ { _ i , N + n c . ( b ) C <bfd+a>] ^ n 8 ^ k a n E i T ( - l ) N + n + ^ I S k a [ c ; ( b ) E ( b + d ) C n ( a ) + C " (b )E(b) C r (d +a) ]. ( 4 > 1 2 ) n I n F i g . 4 . 2 e u i s g i v e n b y ( 3 . 9 ) a n d ^ i s g i v e n b y ( 4 . 1 ) . T h i s f i e l d ^ i s a g a i n d i f f r a c t e d a t t h e e d g e y = z = 0 , a n d f r o m ( 3 . 2 6 ) t h e r e s u l t a n t f i e l d i s e x 1 P + i l T / 4 U 2 = ^ C N ( d ) E ( d + r ) - 4 £ - = T - C £ ( d ) E ( d ) E ( r ) . (4.13) /2TT u 2 e i s m a d e u p o f t w o l i n e s o u r c e s , o n e a t y = d , z = 0 , t h e 62 other at y=z=0. This f i e l d u 2 e i s again d i f f r a c t e d at the edge y=-d, z=0, and from (3.26) the resultant f i e l d i s 1 e + i 7 T / 4 U 3 = i q" C N ( d ) E ( 2 d + r ) ~ ? - — — c' ( d ) E ( 2 d ) E ( r ) +171 /4 - T C ' ( d ) E ( d ) E ( d + r ) . (4.14) rz— N /2TT U ; J i s made up of three l i n e sources at y=-3d, z = 0, y=7d, ~3/2 z=0, and y=-2d, z=0 respectively. Again the term of 0(k ) e has been deleted. This f i e l d u 3 i s again d i f f r a c t e d at the edge y=z=0, and from (3.30), treating each l i n e source separately, the resultant f i e l d i s + iTT/4 u 6 = ~ C (d)C ( 3 d ) E ( r ) - -r1 - C ' ( d ) E ( 2 d ) C ( d ) E ( r ) 4 Bq N n 8q ^ N n + i 7 i / 4 - — C ' ( d ) E ( d ) C ( 2 d ) E ( r ) . (4.15) 8q rr- N n ^ /2TT In Fig.4.2f the incident f i e l d given by (3.9) is d i f f r a c t e d at the edge y=-d, z=0. From (3.18), as observed at y=-d-b, z=0, the d i f f r a c t e d f i e l d i s a l i n e source u f = - — L c' ( b ) E ( r ) (4.16) •1 2q N located at the d i f f r a c t i n g edge. This f i e l d i s again d i f f r a c t e d at the edge y=-d-b, z=0, and from (3.26) the resultant f i e l d i s f 1 T + i T T / 4 U 2 = " 4q" C N ( b ) E ( b + r ) + ^ 6 C ^ ( b ) E ( b ) E ( r ) , (4.17) > 2TT . u 2 f i s made up of two l i n e sources, one at y=-2b-d, z=0, the other at y=-d-b, z=0. This f i e l d i s again d i f f r a c t e d at the edge y=-d, z=0, and from (3.29) the resultant f i e l d i s f -1 T e + i 7 1 / 4 6 3 U 3 - i ^ C N ( b ) E ( 2 b + ^ " i ^ — = — C ' ( b ) E ( 2 b ) E ( r ) + i i T / 4 + ^ L p - C ^ ( b ) E ( b ) E ( b + r ) . (4 .18) u 3 i s made u p o f t h r e e l i n e s o u r c e s a t y = - 2 b - d , z = 0, y = - d , z= 0 , a n d y = - d - b , z=0 r e s p e c t i v e l y . T h i s f i e l d u 3 f i s a g a i n d i f f r a c t e d a t t h e e d g e y = z = 0 , a n d f r o m ( 3 . 3 0 ) , t r e a t i n g e a c h l i n e s o u r c e s e p a r a t e l y , t h e r e s u l t a n t f i e l d i s 1 +iTt /4 u . = — C ' ( b ) C (2b+d)E(r ) - - 1 C ' ( b ) E ( 2 b ) C ( d ) E ( r ) 4 8q N n 8q N n + i T T / 4 + • — - C' ( b ) E ( b ) C (b+d)E(r ) . (4.19) 8q ^ N g I n F i g . 4 . 2 g t h e i n c i d e n t f i e l d i s g i v e n b y ( 3 . 9 ) , ^ g q i s g i v e n b y ( 4 . 1 ) , a n d u 2 i s g i v e n b y ( 4 . 4 ) . T h i s f i e l d u 2 " i s a g a i n d i f f r a c t e d a t t h e e d g e y = a , z = 0 , a n d f r o m ( 3 . 2 6 ) t h e r e s u l t a n t f i e l d i s +iTt/4 u 9 = _1 c . ( d )E (d+a+r ) - C' (d )E(d+a)E (r) 3 8q N 8q ^ N + i n / 4 + - i ! C ( d ) E ( d ) E ( a + r ) . (4.20) u 3 9 i s made u p o f t h r e e l i n e s o u r c e s a t y = 2 a + d , z = 0 , y = a , z= 0 , a n d y = 2 a , z=0 r e s p e c t i v e l y . T h i s f i e l d u 3 9 i s a g a i n d i f f r a c t e d a t t h e e d g e y = z = 0 , a n d f r o m ( 3 . 3 0 ) , t r e a t i n g e a c h l i n e s o u r c e s e p a r a t e l y , t h e r e s u l t a n t f i e l d i s +1TT/4 u 9 = - — C ' (d)C (d+2a)E(r ) + -J-- C ' ( d ) E ( d + a ) C ( a ) E ( r ) 4 8q N n 8q N n + i r r / 4 - T ~ — C ' ( d ) E ( d ) C (2a )E ( r ) , (4.21) V 2 TT T h e c o n t r i b u t i o n s t o \ n. f r o m t h e s e q u a d r u p l y 64 d i f f r a c t e d f i e l d s i s f o u n d b y t r e a t i n g ( 4 . 1 5 ) , ( 4 . 1 9 ) a n d ( 4 . 2 1 ) a s l i n e s o u r c e s a n d u s i n g ( 3 . 1 1 ) , ( 3 . 1 2 ) a n d ( 3 . 2 ) . T h u s f— +i7T/4 .. (4) V * 6 \ n = r [ C N ( d ) C n ( 3 d ) - C N ( b ) C n ( 2 b + d ) 8/2 k a n - C ' ( d ) C (d+2a)] N n z i T + iftv a t" C ' ( d ) E ( 2 d ) C (d) - C ' ( d ) E ( d ) C (2d) l b K a N n N n n - C A ( b ) E ( 2 b ) C (d) + C ( b ) E ( b ) C (b+d) N n N n + C ^ ( d ) E ( d + a ) C n ( a ) - (d)E (d) C n (2a) ] (4 .22) T h e t o t a l c o n t r i b u t i o n t o \ n f r o m q u a d r u p l e d i f f r a c t i o n i s A ( 4 ) - * 1 (4) (4) T h e s u m o f ( 4 . 3 ) , ( 4 . 9 ) , ( 4 . 1 2 ) a n d ( 4 . 2 2 ) i s t h e c o u p l i n g c o e f f i c i e n t A N n b e t w e e n s e p a r a t e d w a v e g u i d e s u p t o a n d i n c l u d i n g q u a d r u p l e d i f f r a c t i o n . 4 . 2 A N A L Y T I C A L A N D N U M E R I C A L R E S U L T S T h e c o u p l i n g c o e f f i c i e n t s a r e c a l c u l a t e d f o r v a r i o u s g u i d e w i d t h s a n d s e p a r a t i o n s a n d c o m p a r e d w i t h t h e r e s u l t s o f o t h e r s . T h e e x p r e s s i o n s ( 4 . 3 ) , ( 4 . 9 ) , ( 4 . 1 2 ) a n d ( 4 . 2 2 ) w e r e c o m p a r e d w i t h t h o s e o f D y b d a l e t a l . [ 1 7 ] , T h e i r r e s u l t s w e r e o b t a i n e d b y c o n s i d e r i n g t h e t r a n s m i t t i n g g u i d e a s a l i n e s o u r c e ' i n c i d e n t o n t h e r e c e i v i n g p a r a s i t i c g u i d e . A r e c i p r o c i t y a r g u m e n t w a s u s e d t o o b t a i n t h e r e s p o n s e o f t h e g u i d e t o t h e l i n e s o u r c e . 65 I t t u r n s o u t t h a t D y b d a l ' s m e t h o d g i v e s v i r t u a l l y i d e n t i c a l r e s u l t s t o t h o s e d e r i v e d h e r e , i f o n l y t h e r a y p a t h s i n F i g s . 4 . 2 a , b , c a n d d a r e c o n s i d e r e d , i . e . i n t h e T E M c a s e 7- * Ann ( 2 ) + V < 3 ) + <4-24> I Q 00 00 00 a n d i n t h e T E , c a s e V ~ 0 - V 1 2' • » n < 3 ) • D y b d a l ' s e x p r e s s i o n s n e g l e c t t h e i n t e r a c t i o n b e t w e e n g u i d e s s h o w n i n t h e r a y p a t h s o f F i g s . 4 . 2 e , f , a n d g . T h e n u m e r i c a l v a l u e s f o r t h e c o u p l i n g c o e f f i c i e n t s A o 0 a n d An w e r e c a l c u l a t e d a s a f u n c t i o n o f t h e s e p a r a t i o n b e t w e e n t h e g u i d e s , a n d c o m p a r e d w i t h t h e r e s u l t s o f D y b d a l e t a l . [ 1 7 ] , M o n t g o m e r y a n d C h a n g [ 3 8 ] a n d L e e [ 2 9 ] . T h e a m p l i t u d e o f A o o f o r T E M c o u p l i n g i s s h o w n i n F i g . 4 . 3 a n d 4 . 4 , a n d f o r T E i c o u p l i n g i n F i g . 4 . 5 f o r g u i d e w i d t h s o f 0 . 3 3 8 " X a n d 0 . 7 6 1 X a n d s e p a r a t i o n b e t w e e n g u i d e s r a n g i n g f r o m 0 . 4 X t o 2 . 0 \ . I f i n t e r a c t i o n b e t w e e n t h e g u i d e s i s n e g l e c t e d , t h e c o u p l i n g d e c r e a s e s m o n o t o n i c a l l y a s t h e s e p a r a t i o n b e t w e e n g u i d e s i s i n c r e a s e d . A d d i t i o n o f t h e i n t e r a c t i o n t e r m s n e g l e c t e d b y D y b d a l s h o w a n o s c i l l a t i o n w i t h p e r i o d A / 2 , w h i c h b e c o m e s m o r e p r o n o u n c e d a s m o r e i n t e r a c t i o n t e r m s a r e a d d e d . T h e l i m i t a t i o n s o f t h i s r a y - o p t i c a l m e t h o d a r e i l l u s t r a t e d i n F i g . 4 . 3 i n w h i c h M o n t g o m e r y ' s r e s u l t s a r e c o m p a r e d t o t h o s e o b t a i n e d h e r e . M o n t g o m e r y ' s r e s u l t s i n t h e T E M c a s e h a v e c u s p s a t g u i d e s e p a r a t i o n s o f n X / 2 , (n=l,2,...), 66 b u t t h e r a y - o p t i c a l r e s u l t s o b t a i n e d h e r e s h o w o n l y a p p r o x i m a t e a g r e e m e n t . H i g h e r o r d e r d i f f r a c t i o n t e r m s a d d a n o s c i l l a t i o n t o t h e c u r v e i n p h a s e w i t h t h e c u s p s . H o w e v e r , t h e c u s p s w e r e n o t o b t a i n e d w i t h t h i s r a y - o p t i c a l t h e o r y , e v e n w i t h a l a r g e n u m b e r o f t e r m s . W h i l e t h e a d d i t i o n o f t h e i n t e r a c t i o n t e r m s g i v e s a q u a l i t a t i v e a g r e e m e n t w i t h M o n t g o m e r y ' s r e s u l t s , t h e q u a n t i t a t i v e a g r e e m e n t i s l e s s f o r s o m e v a l u e s o f g u i d e s e p a r a t i o n . T h e s e i n t e r a c t i o n t e r m s a r e a l l q u a d r u p l e a n d h i g h e r o r d e r d i f f r a c t i o n a n d c a n n o t b e c a l c u l a t e d a c c u r a t e l y a l o n g t h e s h a d o w b o u n d a r y w i t h t h i s r a y - o p t i c a l t h e o r y . A s s u m i n g t h a t M o n t g o m e r y ' s r e s u l t s a r e a c c u r a t e , t h e r a y - o p t i c a l t h e o r y u n d e r e s t i m a t e s t h e c o u p l i n g b y a b o u t 0 - 2 d B . T h i s i s a m e a s u r e o f t h e e r r o r w h i c h m a y b e e x p e c t e d i n t h e c a l c u l a t i o n o f t h e f i e l d s a l o n g t h e s h a d o w b o u n d a r y . T h e m e t h o d u s e d h e r e p r e d i c t s t h a t t h e s i n g l y d i f f r a c t e d f i e l d a l o n g t h e s h a d o w b o u n d a r y w i l l b e o n e - h a l f t h e i n c i d e n t f i e l d a n d t h e d o u b l y d i f f r a c t e d f i e l d . w i l l b e o n e - q u a r t e r t h e i n c i d e n t f i e l d ( e q u a t i o n s ( 3 . 2 6 ) o r ( 3 . 2 9 ) a p p l i e d t w i c e ) . T h e s e r e s u l t s a r e i n c o r r e c t i n v i e w o f t h e a n a l y s i s o f L e e a n d B o e r s m a [ 3 2 ] a n d L e e e t a l . [ 3 3 ] . L e e a n d B o e r s m a [ 3 2 ] f i n d t h e f i e l d s o n t h e s h a d o w b o u n d a r y o f t w o p a r a l l e l p l a t e s f o r t w o c a s e s : a p l a n e w a v e n o r m a l l y i n c i d e n t o n t w o n o n - s t a g g e r e d p a r a l l e l p l a t e s ( F i g . 4 . 1 1 ) a n d a l i n e s o u r c e i n c i d e n t o n t w o s t a g g e r e d p a r a l l e l p l a t e s ( F i g . 2 . 5 ) . I n b o t h o f t h e s e t w o c a s e s t h e d o u b l y d i f f r a c t e d f i e l d i s s o m e w h a t g r e a t e r t h a n o n e - q u a r t e r o f t h e i n c i d e n t f i e l d . E v e n t h o u g h L e e a n d B o e r s m a d o n o t c o n s i d e r t h e 67 s p e c i f i c c a s e w h i c h a r i s e s h e r e ( l i n e s o u r c e i n c i d e n t o n t w o p a r a l l e l p l a t e s , F i g . 2 . 3 o r 4 . 2 d ) , t h e i r r e s u l t s ( [ 3 2 ] , F i g . ( 4 ) ) i n d i c a t e t h a t t h e a n a l y s i s u s e d h e r e u n d e r e s t i m a t e s t h e f i e l d s n e a r t h e s h a d o w b o u n d a r y . T h e i r r e s u l t s a l s o i n d i c a t e t h a t e n h a n c e d c o u p l i n g w i l l o c c u r a t d=n"X / 2 ( n = l , 2 , . . . ) , w h i c h i s c o n s i s t e n t w i t h t h e r e s u l t s o f M o n t g o m e r y a n d C h a n g [ 3 8 ] . T h e a p p l i c a t i o n o f t h e m e t h o d o f [ 3 2 ] t o t h e p r o b l e m a t h a n d i s n o t t r i v i a l , a n d m a y b e i n t r a c t a b l e f o r t h e t h r e e h a l f - p l a n e c a s e ( F i g . 4 . 1 2 ) w h i c h a r i s e s i n l a t e r c h a p t e r s . T h e c o u p l i n g i s a l s o c a l c u l a t e d f o r t h e c a s e t h a t a l l t h r e e g u i d e s a r e o f t h e s a m e w i d t h a n d t h i s w i d t h i s v a r i e d f r o m 0 . 4 " X t o 2 . O A ( F i g s . 4 . 6 - 4 . 1 0 ) . T h e r e s u l t s a r e s i m i l a r t o t h o s e f o r t w o g u i d e s o f t h e s a m e w i d t h ( F i g . 3 . 6 - 3 . 9 ) , b u t w i t h s o m e i m p o r t a n t d i f f e r e n c e s : 1 - t h e a d d i t i o n o f h i g h e r o r d e r d i f f r a c t i o n t e r m s m a k e s m o r e d i f f e r e n c e t o t h e s h a p e o f t h e c u r v e e s p e c i a l l y a t t h e m o d e t r a n s i t i o n w i d t h s . 2 - t h e m i n i m a a r e e x a c t l y a t t h e m o d e t r a n s i t i o n w i d t h s a n d m u c h d e e p e r w h e n u p t o f i v e t i m e s d i f f r a c t i o n i s t a k e n i n t o a c c o u n t . H o w e v e r , i f i n t e r a c t i o n b e t w e e n t h e g u i d e s i s n e g l e c t e d t h e s e m i n i m a a r e q u i t e s h a l l o w a n d b r o a d . T h e s e r e s u l t s f o r t h e c a s e a = d = b = 0 . 4 5 / \ a r e c o m p a r e d w i t h t h o s e o f M o n t g o m e r y e t a l . [ 3 8 ] a n d L e e [ 2 9 ] i n T a b l e i i . B o t h t h e s e a u t h o r s c o n s i d e r e d f i v e a d j a c e n t w a v e g u i d e s a n d c a l c u l a t e d c o u p l i n g b e t w e e n e a c h p a i r o f s e p a r a t e d g u i d e s . M o n t g o m e r y ' s a r r a y w a s i n f r e e s p a c e ( F i g . 1 . 1 7 ) a n d L e e ' s a r r a y w a s e m b e d d e d i n a s i m u l a t e d g r o u n d p l a n e 68 ( F i g . 1 . 1 5 ) . A s i n t h e c a s e f o r a d j a c e n t g u i d e s t h e c o u p l i n g c o e f f i c i e n t s a r e i n s e n s i t i v e t o w h i c h p a i r o f s e p a r a t e d g u i d e s i s c o n s i d e r e d . T h e c o u p l i n g d e r i v e d h e r e i n t h e a b s e n c e o f o t h e r g u i d e s a g r e e s q u i t e w e l l w i t h t h e s e r e s u l t s i n t h e p r e s e n c e o f o t h e r g u i d e s . T h i s s i m i l a r i t y o f t h e c o u p l i n g b e t w e e n t w o s e p a r a t e d g u i d e s i n i s o l a t i o n , i n t h e p r e s e n c e o f o t h e r g u i d e s a n d e m b e d d e d i n a s i m u l a t e d g r o u n d p l a n e i n d i c a t e s a g e n e r a l l a c k o f s e n s i t i v i t y o f t h e c o u p l i n g c o e f f i c i e n t s t o t h e n a t u r e o f t h e s u r r o u n d i n g s t r u c t u r e . 4 . 3 SUMMARY T h e c o u p l i n g b e t w e e n t w o s e p a r a t e d p a r a l l e l p l a t e w a v e g u i d e s h a s b e e n c a l c u l a t e d b y t h e s a m e m e t h o d u s e d f o r a d j a c e n t w a v e g u i d e s . T o o b t a i n a n a p p r o x i m a t e l y c o r r e c t s h a p e o f t h e c u r v e o f c o u p l i n g v e r s u s g u i d e w i d t h i t w a s n e c e s s a r y t o i n c l u d e t e r m s u p t o a t l e a s t q u a d r u p l e d i f f r a c t i o n , a s c o m p a r e d t o o n l y d o u b l e d i f f r a c t i o n f o r a d j a c e n t g u i d e s . T h e c o u p l i n g c o e f f i c i e n t s o b t a i n e d h e r e a g r e e v e r y w e l l w i t h t h o s e c a l c u l a t e d b y D y b d a l e t a l . [ 1 7 ] i f i n t e r a c t i o n b e t w e e n t h e g u i d e s i s n e g l e c t e d . I n c l u d i n g t h o s e i n t e r a c t i o n s s h o w s o n l y a p p r o x i m a t e a g r e e m e n t w i t h t h e r e s u l t s o : f M o n t g o m e r y a n d C h a n g [ 3 8 ] . T h u s t h e i n a c c u r a c y o f t h e r a y - o p t i c a l m e t h o d w h e n t h e r e a r e f o u r e d g e s a l o n g a s h a d o w b o u n d a r y i s a p p a r e n t . H o w e v e r , t h e r e s u l t s o b t a i n e d 69 h e r e a r e s i m i l a r t o t h o s e f o r g u i d e s i n t h e p r e s e n c e o f o t h e r g u i d e s o r a g r o u n d p l a n e . T h u s t h e c o u p l i n g c o e f f i c i e n t s b e t w e e n s e p a r a t e d g u i d e s m a y b e u s e d i n t h e c a l c u l a t i o n s i n v o l v i n g t h e a r r a y o f F i g . 1 . 3 w i t h o u t c o n s i d e r i n g t h e d e t a i l s o f t h e o t h e r g u i d e s i n t h e a r r a y . 70 F i g . 4.2 ray path from the driven guide to the p a r a s i t i c guide 71 - 1 5 i -20 ^ - 2 5 -30 J - 3 5 0 0 . 5 1 . 0 d/A 1 .5 2 .0 180 i 90 -90 -180 4 .3 TEM-TEM c o u p l i n g between s e p a r a t e d wavegu ides (a=b=0. 3 3 8X). F o r F i g s . 4 . 3 - 4 . 9 as a p p l i c a b l e , (2) A ( 2 ) + A ( 3 ) + A ( 4 ) + A ( 5 ) A +A A ( 2 ) + A ( 3 ) + A , ( 4 ) OO CO CO A +A +A - o - Montgomery and Chang [38] * D y b d a l e t a l . [17] (measured) 72 F i g . 4.4 TEM-TEM c o u p l i n g between s e p a r a t e d w a v e g u i d e s (a=b=0. 761X). See F i g . 4.3 f o r k e y . 25 30 35 •40 -^•h -45 0 0.5 1.0 1.5 d/A 2.0 180 i 90 / -90 -180 •7 / / V / / / / / // / / • / 0 0.5 1.0 1.5 2.0 d/A F i g . 4 . 5 T F ^ - T F ^ c o u p l i n g between s e p a r a t e d w a v e g u i d e s (a=b=0. 7 6 1 X ) . See F i g . 4 . 3 f o r k e y . 74 F i g . 4.6 TEM-TEM c o u p l i n g between s e p a r a t e d w a v e g u i d e s (d=a=b). See F i g . 4.3 f o r k e y .  76 F i g . 4.9 TEM-TEM c o u p l i n g between s e p a r a t e d w a v e g u i d e s (a=d/2, b=d) . See F i g . 4.3 f o r k e y . 78 § - 3 0 cn o o CM - 6 0 - 9 0 0 . 5 1 . 0 1 . 5 2 . 0 d A if) <b ^_ cn X3 < no 1 8 0 i 9 0 0 ^ - 9 0 4 7 fl / / / / / - 1 8 0 - / 4- 0 . 5 1 . 0 1 . 5 2 . 0 d/A F i g . 4.10 TE 1-TE c o u p l i n g between s e p a r a t e d waveguides (a=d=b). A l l (2) . . . . A n i 2 ' ^ ^ ) ^ ^ ) l u 2 F i g . 4.11 p l a n e wave n o r m a l l y i n c i d e n t on two n o n - s t a g g e r e d p a r a l l e l p l a t e s i u 3 F i g . 4.12 l i n e s o u r c e n o r m a l l y i n c i d e n t on t h r e e n o n - s t a g g e r e d p a r a l l e l p l a t e s TABLE I I C o u p l i n g C o e f f i c i e n t s A ^ b . d . a ) Between S e p a r a t e d P a r a l l e l P l a t e Waveguides a = d = b = 0.45 X t excited -nit coupled Into Montgomery [38] Lee [29] Dybdal [17] this theory using the asymptotic form (3.17) this theorj non-asymptot: r using the c form (3.22) 20 log|A| (dB) LA (degrees) 20 log|A| (dB) LA (degrees) 20 log|A| (dB) LA (degrees) 20 log|A| (dB) LA (degrees) 20 log|Al (dB) LA (deEreeo) 3+1 & 3-»5 1-3 2+4 -20.69 -20.69 -20.83 -74.8 -74.9 -72.4 -21.27 -21.27 -21.24 -77.7 -77.7 -73.8 -21.34 -74.6 -22.26 -75.8 -22.64 -84.6 81 C h a p t e r 5 R A D I A T I O N P A T T E R N O F A S I N G L E G U I D E 5 . 1 I N T R O D U C T I O N T h e r a d i a t i o n p a t t e r n o f a s i n g l e o p e n - e n d e d p a r a l l e l - p l a t e w a v e g u i d e i s f o u n d b y r a y - o p t i c a l m e t h o d s s i m i l a r t o t h o s e e m p l o y e d f o r t h e c o u p l i n g a n a l y s i s . T h i s r a d i a t i o n p a t t e r n w a s p r e v i o u s l y o b t a i n e d b y Y e e a n d F e l s e n [ 4 9 ] , B e c a u s e m a n y p a r t s o f t h i s a n a l y s i s w i l l b e r e q u i r e d t o f i n d t h e r a d i a t i o n p a t t e r n o f t h e m u l t i - e l e m e n t w a v e g u i d e a r r a y , i t i s r e p e a t e d h e r e f o r c o n v e n i e n c e . T h e a n a l y s i s w i l l b e r e s t r i c t e d t o t h e T E M c a s e . T h e f i e l d s r a d i a t e d f r o m t h e w a v e g u i d e a r e m a d e u p o f f i e l d s d i f f r a c t e d f r o m t h e w a v e g u i d e e d g e s . T h e s e d i f f r a c t e d f i e l d s a r e c a l c u l a t e d b y t r a c i n g r a y p a t h s f r o m t h e m o d e i n t h e g u i d e t o t h e e d g e u n d e r c o n s i d e r a t i o n ( F i g . 5 . 1 ) . T h e f i e l d s r e p r e s e n t e d b y s u c c e s s i v e r a y s i n a r a y p a t h a r e c a l c u l a t e d i n t u r n . T h e f i n a l r a y i n e a c h r a y p a t h r e p r e s e n t s f i e l d s r a d i a t e d i n t o s p a c e . S e v e r a l d i f f e r e n t r a y p a t h s c a n b e t r a c e d f r o m t h e m o d e i n t h e g u i d e t o a p a r t i c u l a r e d g e . T h e t o t a l r a d i a t i o n p a t t e r n i s m a d e u p o f t h e s u m o f t h e f i e l d s r e p r e s e n t e d b y a l l r a y p a t h s l e a d i n g t o b o t h e d g e s o f t h e w a v e g u i d e . 5 . 2 C A N O N I C A L P R O B L E M S 82 T h e f i e l d s r e p r e s e n t e d - b y s o m e o f t h e v a r i o u s c o m b i n a t i o n s o f t w o s u c c e s s i v e r a y s i n t h e r a y p a t h s o f F i g . 5 . 1 h a v e b e e n c a l c u l a t e d i n C h a p t e r 3 . T h u s t h e f i e l d s r e p r e s e n t e d b y a n y r a y i n a s e q u e n c e c a n b e f o u n d f r o m t h e f i e l d s o f t h e r a y i m m e d i a t e l y p r e c e d i n g i t . O t h e r n e e d e d c o m b i n a t i o n s ( F i g . 5 . 2 a n d 5 . 3 ) w e r e n o t i n c l u d e d a n d a r e p r e s e n t e d h e r e . I n F i g . 5 . 2 a a p l a n e w a v e u = 1/2 i s i n c i d e n t o n a w a v e g u i d e e d g e y = z = 0 a t e o = 0 . F r o m ( 2 . 7 ) , t h e d i f f r a c t e d f i e l d i n t h e d i r e c t i o n 6 i s g i v e n b y + i V 4 u = u D ( 0 , 6 ) E ( r ) = - u s e c ( ^ ) E ( r ) , (5 .1) 1 2 I n F i g 5 . 2 b a p l a n e w a v e u = 1/2 i s i n c i d e n t o n t h e e d g e y = a , z = 0 a t e 0 = 2 l T . F r o m ( 2 . 7 ) , t h e d i f f r a c t e d f i e l d i n t h e d i r e c t i o n 6 i s g i v e n b y + i7T/4 u x = u. D(27! ,6 )E(r ) = +u £ s e c(f - ) E ( r ) . ( 5 2 ) / 2 T 2 I n F i g 5 . 3 a a n i s o t r o p i c l i n e s o u r c e u = E ( r ) m l o c a t e d a d i s t a n c e r 0 f r o m a g u i d e w a l l i s i n c i d e n t o n t h a t e d g e a t a n a n g l e QQ = 3TT/2 . F r o m ( 2 . 1 2 ) , t h e d i f f r a c t e d ( n o t t h e t o t a l ) f i e l d i n t h e d i r e c t i o n e i s g i v e n b y U m + 1 = G ( V e ) E ( r ) , (5.3) w h e r e f o r o < e < TT/2 e - i i r / 4 + i k r Q s i n e Q Q G ( r , 6 ) = (+e F t v k r 0 (cos - - s i n - ) ] 83 - i k r s i n e fl fl +e ° F [ « £ r ~ (cos j + s i n | ) ] } } (5.4a) f o r TT/2 < G < 3TI/2 - iu/4 + i k r s i n S Q e G ( r ,6) = {-e F[>/kT~ ( - c o s - + s i n - ) ] 0 i— u ^ ^ v'TT - i k r s i n e „ fi +e ° F [ A 7 ^ (cos | + s i n j ) ]} (5.4b) and f o r 3TT/2 < 6 < 2TT -i7i/4 + i k r s i n 6 ^ g G ( r . 6) = {-e F [ * £ r ~ ( - c o s - + s i n - ) ] O r — 0 Z Z - i k r s i n e p fl -e U F f v ^ ( - c o s j - s i n | ) ]} , (5.4c) f o r k r >> 1 0 + i 7 T / 4 e „ , > cos(e/2) G ( r .e) ^ E ( r ) ' - -0 /— 0 cos6 (5.5) I n F i g 5.3b a n i s o t r o p i c l i n e s o u r c e = E(r) l o c a t e d a d i s t a n c e r 0 f r o m a g u i d e w a l l i s i n c i d e n t o n t h a t e d g e a t a n a n g l e e o = v/2 . F r o m ( 2 . 1 2 ) , t h e d i f f r a c t e d ( n o t t h e t o t a l ) f i e l d i n t h e d i r e c t i o n & i s g i v e n b y m + 1 - G ( r , 6 ) E ( r ) . 84 (5.6) 5 . 3 C A L C U L A T I O N O F R A D I A T I O N P A T T E R N T h e t o t a l r a d i a t i o n p a t t e r n p 0 ( d ) o f a p a r a l l e l - p l a t e w a v e g u i d e o f w i d t h d i s c a l c u l a t e d h e r e . C o n s i d e r a s e m i - i n f i n i t e p a r a l l e l - p l a t e w a v e g u i d e c o n s i s t i n g o f t h e t w o p e r f e c t l y c o n d u c t i n g p a r a l l e l h a l f - p l a n e s i n z > 0 a t y = - d / 2 a n d y = + d / 2 . We w i s h t o d e t e r m i n e t h e f i e l d s r a d i a t e d i n t o t h e s p a c e o u t s i d e t h e g u i d e . A s b e f o r e , t h e i n c i d e n t f i e l d - i k z i (5.7) i n t h e g u i d e i s d e c o m p o s e d i n t o t w o p l a n e w a v e s i n c i d e n t o n t h e t o p a n d b o t t o m e d g e s a t 9a = 0 o r 2~r r e s p e c t i v e l y , w h o s e v a l u e i s 1 U i ~ 2 (5.8) a t b o t h e d g e s . T h e s i n g l y d i f f r a c t e d f i e l d s a r e s h o w n i n F i g 5 . 1 a a n d e . I n F i g . 5 . l a t h e i n c i d e n t f i e l d ( 5 . 8 ) i s d i f f r a c t e d b y t h e e d g e y = + d / 2 , 2 = 0 . F r o m ( 5 . 2 ) t h e d i f f r a c t e d f i e l d i s u . 3 = ^ D(2TT , 6 )E (r) . (5.9) I n F i g . 5 . l b t h e i n c i d e n t f i e l d ( 5 . 8 ) i s d i f f r a c t e d b y t h e e d g e y = - d / 2 , z = 0 . F r o m ( 3 . 1 8 ) , a s o b s e r v e d a t y = + d / 2 , 2 = 0 t h e d i f f r a c t e d f i e l d u i s a l i n e s o u r c e 85 u b = - - C ( d ) E ( r ) (5.10) 1 2 0 l o c a t e d a t t h e d i f f r a c t i n g e d g e , w h e r e f r o m ( 3 . 1 9 ) a n d ( 3 . 2 0 ) e ^ 4 2 F ( ^ d ) /T7 c . ( d ) = _ _ _ 7 _ r _ . ( 5 > n ) I f k d » l , +in/4 C (d) ^ - • (5.12) 0 /r7 T h i s l i n e s o u r c e i s a g a i n d i f f r a c t e d a t t h e e d g e y = + d / 2 , 2 = 0 a n d f r o m ( 5 . 3 ) g i v e s a f i e l d h _ c n ( d ) u 2 ° = ~ G ( d , 6 ) E ( r ) . ( 5 .13 ) I n F i g . 5 . 1 c t h e i n c i d e n t f i e l d ( 5 . 8 ) i s d i f f r a c t e d b y t h e e d g e y = + d / 2 , 2 = 0 . F r o m ( 3 . 1 8 ) , a s o b s e r v e d a t y = + d / 2 , c 2 = 0 t h e d i f f r a c t e d f i e l d ^ a s a l i n e s o u r c e -c; (d) U l ° = ~ E ( r ) (5.14) l o c a t e d a t t h e d i f f r a c t i n g e d g e . T h i s f i e l d i s a g a i n d i f f r a c t e d a t t h e e d g e y = - d / 2 , 2= 0 a n d f r o m ( 3 . 2 6 ) t h e r e s u l t a n t f i e l d i s c _ C 0 ( d ) e + i V 4  u 2 = —4 E(d+r ) + C ' ( d ) E ( d ) E ( r ) . (5 .15) u ^ c i s m a d e u p o f t w o l i n e s o u r c e s , o n e a t y = - 3 d / 2 , 2 = 0 , t h e o t h e r a t y = - d / 2 , 2 = 0 . T h i s f i e l d i s a g a i n d i f f r a c t e d a t t h e e d g e y = + d / 2 , 2 = 0 a n d f r o m ( 5 . 3 ) t h e r e s u l t a n t f i e l d i s c  - C 0 ( d ) + i V 4 8 6 u 3 = —1 G ( 2 d , 6 ) E ( r ) + C ' ( d ) E ( d ) G ( d , 6 ) E ( r ) (5 .16) which looks l i k e two l i n e sources at the d i f f r a c t i n g edge. In F i g 5.Id the i n c i d e n t f i e l d u i s given by (5.8) and the f i e l d u i s given by (5.10). This f i e l d i s again d i f f r a c t e d at the edge y=+d/2, z=0 and from (3.26) the r e s u l t a n t f i e l d i s d " C 0 ( d ) e + i l T / 4 u 2 = — E(d+r ) + — C ' ( d ) E ( d ) E ( r ) . (5.17) u 2 i s made up of two l i n e sources, one at y=+3d/2, z=0, the other at y=+d/2, z=0. This f i e l d i s again d i f f r a c t e d at the edge y=-d/2, z=0 and from (3.26) the r e s u l t a n t f i e l d i s d " C 0 ( d ) e + L v / 4 u = — E(2d+r) + C ' ( d ) E ( 2 d ) E ( r ) '  +iTT/4 + C' (d )E (d )E (d+r ) . (5.18) u 3 d i s made up of three l i n e sources at y=-5d/2, y=-d/2 and y=-3d/2, z=0 r e s p e c t i v e l y . This f i e l d i s again d i f f r a c t e d at the edge y=+d/2, z=0 and from (5.3) the r e s u l t a n t f i e l d i s d - C Q ( d ) e + W 4 u 4 = — G ( 3 d , 6 ) E ( r ) + C ' ( d ) E ( 2 d ) G ( d , 6 ) E (r) +iTT/4 + • C ' ( d ) E ( d ) G ( 2 d , 6 ) E ( r ) (5.19) 8/2TT U which looks l i k e three l i n e sources at the d i f f r a c t i n g edge. The t o t a l f i e l d s p o d i f f r a c t e d from the edge y=+d/2, z=0 up to quadruple d i f f r a c t i o n are given by the sum of (5.9), (5.13), (5.16) and (5.19). These f i e l d s appear l i k e l i n e sources at the edge. The f i e l d d i f f r a c t e d from the edge y=-d/2, z=0 and r a d i a t e d i n t o space i s c a l c u l a t e d 87 s i m i l a r l y u s i n g t h e r a y p a t h s i n F i g . 5 . l e , f , g , h , a n d i s g i v e n b y P " = - P i . (5 .20) 0 0, T h e r a d i a t i o n p a t t e r n f o r m e d b y t h e s e a p p a r e n t l i n e s o u r c e s a t t h e t w o e d g e s o f t h e w a v e g u i d e i s g i v e n b y -ikd . „ +ikd . — — s i n 6 — — s i n 6 P = P ' e + P " e (5.21) 0 0 0 i n t h e s e c o n d q u a d r a n t CTT/2 < e < TT) , w h e r e t h e e x p o n e n t i a l t e r m s a r e t h e a r r a y f a c t o r s w h i c h a d j u s t f o r t h e d i f f e r e n t p a t h l e n g t h s f r o m t h e e d g e s t o a d i s t a n t o b s e r v a t i o n p o i n t . I n t h e f i r s t q u a d r a n t (o < e < TT/2) , o n e o f t h e e d g e s i s s h a d o w e d a n d -ikd . . —z s i ne P o = P . e . ( 5.22) T h e p a t t e r n i s s y m m e t r i c a l a b o u t e = n s o t h a t P n ( d , 2 n - 6 ) = p ( d,6) 0 0 V * (5.23) T h e r a d i a t i o n p a t t e r n f o r s i n g l e d i f f r a c t i o n m a y b e w r i t t e n (1) e + i 3 T i / 4 e k d p 0 = — ~ s e c ( - ) sin (— sine)E (r) . (5.24) /2TT N o t e t h a t a t e = TT t h e v a l u e o f P q ( 1 ) i s f i n i t e a n d i s g i v e n b y (1) +13TT/4 P o (d,e=,> = ? ~ - k d E ( r ) f /2TT s o t h a t t h e m a x i m u m r a d i a t i o n i s p r o p o r t i o n a l t o t h e g u i d e w i d t h . F o r o < e < TT/2 88 • /„ - i k d . „ (i) i e + l V 4 « — s i n 6 p 0 = - 2 ~ ~ r = ~ S E C 2 ) E • ( 5 ' 2 6 ) A t e = 7r/2 t h e r e i s a d i s c o n t i n u i t y i n t h e s i n g l e e d i f f r a c t i o n r a d i a t i o n p a t t e r n , b e c a u s e u i s s h a d o w e d f o r e < TT/2 . T h i s d i s c o n t i n u i t y c a n b e r e d u c e d b y t a k i n g h i g h e r o r d e r d i f f r a c t i o n i n t o a c c o u n t . T h e a d d i t i o n o f d o u b l e d i f f r a c t i o n t e r m ^ 2 e l i m i n a t e s t h i s d i s c o n t i n u i t y b e c a u s e i t c a n b e e n s h o w n t h a t ( F i g . 5 . 4 a ) ± i M s ine Z i M e i - n f l - i k d . n e,ir-»- 2 S X n b b TT+ s i ne — - s i n e i f t h e a s y m p t o t i c f o r m o f ( 5 . 1 2 ) i s u s e d . T h e d i s c o n t i n u i t y i n t h e d o u b l e d i f f r a c t i o n r a d i a t i o n p a t t e r n a t 6 = TT/2 i s g i v e n b y t h e r e m a i n i n g d o u b l e d i f f r a c t i o n t e r m +ikd . . f —T~ s i n 9 u  1 (H_) e z w h i c h i s a b o u t h a l f o f 2 2 + i k d . „[49] e ,TT- , 2 s i n D . T h e a d d i t i o n o f t r i p l e d i f f r a c t i o n t e r m u 2 ( j ) d u-i e l i m i n a t e s t h e d i s c o n t i n u i t y i n t h e d o u b l e d i f f r a c t i o n r a d i a t i o n p a t t e r n a t 6 = n / 2 b e c a u s e s i m i l a r l y i t c a n b e s h o w n t h a t ( F i g . 5 . 4 b ) U 2 ( 2 ) E + U 2 ( J ) E = U 2 ( 2 ) E * ( 5 - 2 8 ) T h e d i s c o n t i n u i t y i n t h e t r i p l e d i f f r a c t i o n r a d i a t i o n +ikd . — - T " s i n 6 p a t t e r n a t e = TT/2 I S g i v e n b y u <3 (IL~) e ^ w h i c h i s a b o u t h a l f o f f ^ - i ~ s ine [49] . T h u s b y t a k i n g u 2 ( j ) e s u c c e s s i v e l y h i g h e r o r d e r d i f f r a c t i o n t e r m s , t h e d i s c o n t i n u i t y a t e = TT/2 m a y b e r e d u c e d . S i m i l a r r e a s o n i n g a p p l i e s t o t h e d i s c o n t i n u i t y a t 0 = 3V2 . 89 5 . 4 N U M E R I C A L A N D E X P E R I M E N T A L R E S U L T S T h e r a d i a t i o n p a t t e r n o f a s i n g l e p a r a l l e l - p l a t e w a v e g u i d e c a l c u l a t e d b y r a y - o p t i c a l m e t h o d s i s c o m p a r e d w i t h t h e k n o w n e x a c t p a t t e r n [ W e i n s t e i n , 1 9 6 9 ] a n d t h e m e a s u r e d E - p l a n e p a t t e r n o f t h e H - p l a n e s e c t o r a l h o r n ( s e c t i o n 1 . 4 ) . T h e s e p a t t e r n s a r e s h o w n f o r v a r i o u s g u i d e w i d t h s i n F i g . 5 . 5 a n d 5 . 6 . T h e r a d i a t i o n p a t t e r n s a r e c a l c u l a t e d f o r o < e < 2r i n r a d i a n m e a s u r e , b u t a r e p l o t t e d f o r - 1 8 0 ° < e' < 1 8 0 ° . C ©' = e - TT) T h e r a d i a t i o n p a t t e r n s o f a p a r a l l e l p l a t e w a v e g u i d e c o n s i s t o f o n l y a s i n g l e l o b e . A s m i g h t b e e x p e c t e d , t h e g a i n i n c r e a s e s a n d t h e b e a m w i d t h d e c r e a s e s a s t h e w i d t h o f t h e g u i d e i s i n c r e a s e d . T h e p h a s e i s e s s e n t i a l l y c o n s t a n t i n t h e f o r w a r d d i r e c t i o n ( - 9 0 ° < 0'<90°). T h e m a x i m u m e r r o r b e t w e e n t h e r a y - o p t i c a l a n d t h e e x a c t p a t t e r n i s n e v e r m o r e t h e n 1 d B a n d i s l e s s t h e n 0 . 5 d B i n t h e f o r w a r d d i r e c t i o n ( F i g . 5 . 5 a ) . T h e d i s c o n t i n u i t y a t 6 = n / 2 i s l e s s t h e n 1 d B w h e n q u a d r u p l e d i f f r a c t i o n i s t a k e n i n t o a c c o u n t . T h e r a y - o p t i c a l p a t t e r n i s m o r e a c c u r a t e a t t h e s h a d o w b o u n d a r y w h e n t h e a s y m p t o t i c f o r m o f ( 5 . 1 2 ) i s u s e d t h r o u g h o u t ( F i g . 5 . 5 b ) . T h e d i s c o n t i n u i t y a t 6 = T T / 2 i s a l s o m u c h s m a l l e r s i n c e t h e c o n t i n u i t y r e l a t i o n s ( 5 . 2 7 ) a n d ( 5 . 2 8 ) a r e t r u e o n l y f o r t h e a s y m p t o t i c f o r m , a n d m a y b e r e d u c e d t o a n a r b i t r a r i l y s m a l l v a l u e b y c o n s i d e r i n g s t i l l h i g h e r o r d e r t e r m s . E a c h s u c c e s s i v e i n t e r a c t i o n r e d u c e s t h e d i s c o n t i n u i t y b y a p p r o x i m a t e l y o n e - h a l f . T h e e x p e r i m e n t a l p a t t e r n i s a l s o w i t h i n 1 d B o f t h e e x a c t p a t t e r n f o r g u i d e w i d t h s f r o m 0 . 3 3 9 ^ t o 0 . 4 4 1 ^ ( f*10- 90 1 3 G H z ) a n d o v e r t h e e n t i r e a n g u l a r r a n g e , e x c e p t f o r B > 1 5 0 ° w h e r e t h e p a t t e r n s c o u l d n o t b e m e a s u r e d a c c u r a t e l y b e c a u s e o f b l o c k a g e b y t h e a n t e n n a m o u n t i n g a r r a n g e m e n t ( F i g s . 5 . 6 a , b , c , d ) . 5 . 5 S U M M A R Y T h e r a d i a t i o n p a t t e r n o f a s i n g l e n o n - s t a g g e r e d p a r a l l e l p l a t e w a v e g u i d e i s f o u n d b y r a y - o p t i c a l m e t h o d s a n d c o m p a r e d t o e x p e r i m e n t a l p a t t e r n s o b t a i n e d w i t h a n H - p l a n e s e c t o r a l h o r n . T h e d i s c o n t i n u i t y e x p e c t e d a l o n g t h e s h a d o w b o u n d a r y i n t h e a p e r t u r e p l a n e i s l e s s t h e n 1 d B w h e n t e r m s u p t o q u a d r u p l e d i f f r a c t i o n a r e t a k e n i n t o a c c o u n t a n d c a n b e r e d u c e d s t i l l f u r t h e r b y t a k i n g t h e a s y m p t o t i c f o r m o f t h e e x p r e s s i o n a n d / o r a d d i n g h i g h e r o r d e r d i f f r a c t i o n t e r m s . T h e g o o d a g r e e m e n t b e t w e e n t h e e x a c t a n d e x p e r i m e n t a l r e s u l t s c o n f i r m s t h a t t h e E - p l a n e p a t t e r n o f t h e H - p l a n e s e c t o r a l h o r n s i m u l a t e s t h a t o f a p a r a l l e l - p l a t e w a v e g u i d e q u i t e w e l l , a n d g i v e s a n e s t i m a t e o f t h e a c c u r a c y o f t h i s a p p r o x i m a t i o n . T h e g o o d a g r e e m e n t b e t w e e n e x a c t , r a y - o p t i c a l a n d e x p e r i m e n t a l p a t t e r n s s u g g e s t s t h a t b o t h t h e r a y - o p t i c a l a n d e x p e r i m e n t a l m e t h o d s m a y b e e x t e n d e d w i t h c o n f i d e n c e t o m o r e c o m p l e x s t r u c t u r e s t o b e c o n s i d e r e d i n t h e f o l l o w i n g c h a p t e r s . \ \ \ _ t t r tit. F i g . 5.1 r a y p a t h s i n a p a r a l l e l p l a t e waveguide e e F i g . 5.2 r a y p a t h (see t e x t ) F i g . 5.3 r a y p a t h (see t e x t ) 92 F i g . 5.4 continuity of f i e l d s across shadow boundary see eqns. (5.27) and (5.28). CL I -20 a> angle (degrees) 5.5a Ray-optical and exact r a d i a t i o n patterns f o r a p a r a l l e l p late waveguide (a=0. 45A). using (5.11) exact r a y - o p t i c a l 94 270 i 180 9 0 -90 -180 -90 0 angle (degrees) 90 180 F i g . 5 . 5b R a y - o p t i c a l and e x a c t r a d i a t i o n p a t t e r n s f o r a p a r a l l e l p l a t e waveguide (a=0. 45X) u s i n g a s y m p t o t i c form (5.12) e x a c t r a y - o p t i c a l F i g . 5.6 Exact r a d i a t i o n patterns f o r a p a r a l l e l p l a t e waveguide compared with measured E-plane pat t e r n s of H-plane s e c t o r a l horn. 96 Chapter 6 RADIATION PATTERN OF THREE ELEMENT WAVEGUIDE ARRAY 6.1 INTRODUCTION In t h i s chapter the radiation pattern of a multi- element waveguide array (Fig.6.1) i s found by methods similar to those used for a single waveguide, and w i l l be compared to experimental results using the H-plane sectoral horn. Calculation of the radiation pattern of the p a r a l l e l - plate waveguide array begins by f i r s t c a l c u l a t i n g the pattern for the case when a l l three guides are of i n f i n i t e depth (Fig.6.2). A l l edges of the re s u l t i n g array of p a r a l l e l - p l a t e waveguides are excited by the central driven guide. The f i e l d s d i f f r a c t e d by these edges are calculated to y i e l d the radiation pattern. If the p a r a s i t i c guides are of f i n i t e depth, the f i e l d s coupled into them also contribute to the t o t a l radiation pattern. For thi s case, the coupling c o e f f i c i e n t between the central driven guide and the p a r a s i t i c guide on either side must be calculated. The coupled f i e l d s are refl e c t e d between open and closed ends of the p a r a s i t i c guide and eventually radiated from the open end. The t o t a l radiation pattern of the waveguide array i s calculated by adding the f i e l d s radiated from the edges excited by the central driven guide and the f i e l d s radiated from the outer guides. In the TE \ case the coupling between adjacent guides i s 97 v e r y weak, a n d n o t e n o u g h p o w e r i s c o u p l e d i n t o t h e p a r a s i t i c g u i d e f o r i t s r a d i a t i o n t o s i g n i f i c a n t l y a f f e c t t h e p a t t e r n . F o r t h i s r e a s o n t h e a n a l y s i s i s r e s t r i c t e d t o t h e TEM c a s e where t h e c o u p l i n g i s much s t r o n g e r . 6.2 RAY-OPTICAL FORMULATION C o n s i d e r t h r e e a d j a c e n t s e m i - i n f i n i t e p a r a l l e l - p l a t e w a v e g u i d e s c o n s i s t i n g o f f o u r p e r f e c t l y c o n d u c t i n g i n f i n i t e l y t h i n h a l f - p l a n e s i n z>0 a t y=-d/2-a, y=-d/2, y=d/2, y=d/2+a ( F i g . 6 . 2 ) . As i n C h a p t e r 5 t h e i n c i d e n t TEM mode i n t h e c e n t r a l d r i v e n g u i d e -d/2<y<d/2, z>0, g i v e n by ( 5 . 7 ) i s d e c o m p o s e d i n t o two p l a n e waves i n c i d e n t on t h e t o p and b o t t o m e d g e s a t 0 = o o r 2T? r e s p e c t i v e l y . T h e s e p l a n e waves b o t h h a v e t h e v a l u e l V " 2 (6.1) a t t h e edge y=d/2, z=0, a n d y=-d/2, z=0, and a r e r e p r e s e n t e d by t h e i n c i d e n t r a y s i n t h e c e n t r a l g u i d e o f F i g . 6 . 2 . T h e s e p l a n e waves a r e d i f f r a c t e d by t h e w a v e g u i d e e d g e s . The r e s u l t i n g d i f f r a c t e d f i e l d s may be r a d i a t e d o r may be d i f f r a c t e d a g a i n by a n o t h e r w a v e g u i d e e d g e . Thus a l l f o u r w a v e g u i d e e d g e s a r e e x c i t e d by t h e f i e l d s i n t h e c e n t r a l d r i v e n g u i d e a n d c o n t r i b u t e t o t h e r a d i a t i o n p a t t e r n . S e q u e n c e s o f r a y s c a l l e d r a y p a t h s t r a c e t h e f i e l d s a s t h e y a r e d i f f r a c t e d f r o m v a r i o u s e d g e s a n d e v e n t u a l l y r a d i a t e d i n t o s p a c e . F i g . 6 . 1 shows some o f t h e r a y p a t h s w h i c h must be 98 considered to c a l c u l a t e the r a d i a t i o n pattern of the c e n t r a l d r i v e n guide i n the absence of the outer guides. Fig.6.3 and 6.4 shows some of the ray paths which must be considered, to c a l c u l a t e the a d d i t i o n a l d i f f r a c t i o n from the waveguide edges e x c i t e d by the c e n t r a l d r i v e n guide when the waveguides of i n f i n i t e depth are added. 6.3 RADIATION PATTERN WITH GUIDES OF INFINITE DEPTH The t o t a l r a d i a t i o n p a t t e r n P • of the array of three p a r a l l e l p l a t e waveguides with only the center guide d r i v e n i s c a l c u l a t e d . The f i e l d p i s made up of the sum of the f i e l d s s c a t t e r e d from a l l the edges. P o ( d ) represents the f i e l d s c a t t e r e d from the open end of the c e n t r a l guide, and p n (n=l,2,3,4) represents the t o t a l f i e l d s c a t t e r e d from the nth edge (as l a b e l l e d i n Fig.6.2) not already included in p . o The t o t a l r a d i a t i o n p a t t e r n P for the array of Fig.6.2 i s given by the sum of the f i e l d s from a l l the edges. In the rear halfspace a l l but the outermost edges are shadowed, so that f o r angles o < e < TT/2 only the edge at y=(d+2a)/2, z = 0 i s v i s i b l e , and P t - P 3 e ,d+2a. . r, - i k ( — — ) s ine ( 6 2 ) For angles ~ /2 < e < -n a l l edges are v i s i b l e and ,d+2a, . „ - l k (—— ) s i n 6 P T - P 3 e -ik — sine + P e l 99 +ik — sine + P e 2 + P +ik ( d+2a 2 •)sin6 4 e (6.3) The p a t t e r n i s s y m m e t r i c a l about 6 = T T . The f i e l d P q was c a l c u l a t e d i n Chapter 5 u s i n g the ray p a t h s i n F i g . 5 . 1 . The f i e l d p j _ i s c a l c u l a t e d u s i n g the r a y p a t h s i n F i g . 6 . 3 . The f i e l d p 3 i s c a l c u l a t e d u s i n g the r a y p a t h s i n F i g . 6 . 4 . The ray p a t h s used t o c a l c u l a t e p 2 a n c ^ P 4 a r e the image about the z - a x i s of t h o s e shown i n F i g s . 6 . 3 and 6.4. The s o l u t i o n f o r the f i e l d s r e p r e s e n t e d by two s u c c e s s i v e r a y s i n the r a y p a t h s of F i g s . 6 . 3 and 6.4 can now be used t o c a l c u l a t e a l l the f i e l d s a s s o c i a t e d w i t h a ray p a t h and t h u s the c o n t r i b u t i o n s p n (n=l,2,3,4) from the waveguide edges. Note t h a t t h e r e a r e s e v e r a l d i f f e r e n t ray p a t h s ( l a b e l l e d a , b , c , e t c . i n F i g s . 6.3 and 6.4) which c o n t r i b u t e t o any P N . The f o l l o w i n g n o t a t i o n s a r e employed t o r e p r e s e n t the f i e l d s , where the s u p e r s c r i p t x r e f e r s t o the l e t t e r of the f i g u r e showing the p a r t i c u l a r ray p a t h under c o n s i d e r a t i o n . u. 1 = an i n c i d e n t f i e l d i n the c e n t r a l d r i v e n g uide X = a f i e l d i n a ray p a t h c o n t r i b u t i n g t o p n which u nm has been d i f f r a c t e d m t i m e s . 100 T h e f i e l d P q h a s b e e n c a l c u l a t e d i n C h a p t e r 5 . T o c a l c u l a t e c o n t r i b u t i o n s t o p 3 , c o n s i d e r t h e r a y d i a g r a m s i n F i g . 6 . 4 . I n F i g . 6 . 4 a t h e i n c i d e n t f i e l d u i , g i v e n b y ( 6 . 1 ) , i s d i f f r a c t e d a t t h e e d g e y = d / 2 , z = 0 . F r o m ( 3 . 1 8 ) , a s o b s e r v e d a t y = d / 2 + a , z=0 t h e d i f f r a c t e d f i e l d u * i s a l i n e s o u r c e U 3 1 = ~~2 ( r ) ( 6 - 4 ) l o c a t e d a t t h e d i f f r a c t i n g e d g e . T h i s f i e l d i s a g a i n d i f f r a c t e d a t t h e e d g e y = d / 2 + a , z = 0 , a n d f r o m ( 5 . 3 ) t h e r e s u l t a n t f i e l d i s C ! (a) = A — G ( a,6 ) E ( r ) (6.5) f r o m t h e e d g e . I n F i g . 6 . 4 b t h e i n c i d e n t f i e l d u , g i v e n b y ( 6 . 1 ) , i s d i f f r a c t e d a t t h e e d g e y = - d / 2 , z = 0 . F r o m ( 3 . 1 8 ) a s o b s e r v e d a t y = + d / 2 , z = 0 t h e d i f f r a c t e d f i e l d u i s a l i n e s o u r c e b " C n ( d ) u = - ~ E ( r ) (6.6) a t t h e e d g e . T h i s l i n e s o u r c e i s a g a i n d i f f r a c t e d a t t h e e d g e y = d / 2 , z=0 a n d f r o m ( 3 . 2 9 ) t h e r e s u l t a n t d o u b l y d i f f r a c t e d f i e l d i s - C ' (d) „ i l T / 4 u  b  = _2 E (d+r) - C ' ( d ) E ( d ) E ( r ) . ( 6 . 7 ) u 3 2 i s m a d e u p o f t w o l i n e s o u r c e f i e l d s , o n e c e n t r e d a t y = - d / 2 , z = 0 , t h e o t h e r a t y = d / 2 , z = 0 . T h e f i e l d ( 6 . 7 ) i s a g a i n d i f f r a c t e d a t y = ( d + 2 a ) / 2 , z = 0 , a n d f r o m ( 5 . 3 ) t h e r e s u l t a n t f i e l d i s 101 - C - ( d ) i i r / 4 u G ( d + a , 6 ) E ( r ) - C ' (d) E (d) G ( a , 6 )E (r) , (6.8) 33 4 0 I n F i g . 6 . 4 c t h e i n c i d e n t f i e l d u i i s g i v e n b y ( 6 . 1 ) ' a n d t h e f i e l d u ^ i s g i v e n b y ( 6 . 4 ) . T h i s f i e l d i s a g a i n d i f f r a c t e d a t t h e e d g e y = + d / 2 + a , z = 0 a n d f r o m ( 3 . 2 6 ) t h e r e s u l t a n t f i e l d i s C (a) i.T,/A u c = - A _ E ( a + r ) - C ' ( a ) E ( a ) E ( r ) . (6.9) 32 4 ^ 0 i s m a d e u p o f t w o l i n e s o u r c e f i e l d s c e n t r e d a t y = + d / 2 + 2 a , z=0 a n d y = + d / 2 + a , z=0 r e s p e c t i v e l y . T h i s f i e l d i s a g a i n d i f f r a c t e d a t y = + d / 2 , z=0 a n d f r o m ( 3 . 2 6 ) t h e r e s u l t a n t f i e l d i s C'(a) i n / 4 u 3 3 = — g — E(2a+r) - C ! ( a ) E(2a)E ( r ) i r r /4 ~ ~T C i ( a ) E ( a ) E ( a + r ) . (6 .10) 8 / 2 7 U i s m a d e u p o f t h r e e l i n e s o u r c e f i e l d s c e n t r e d a t y = + d / 2 - 2 a , y = + d / 2 a n d y = + d / 2 - a , z=0 r e s p e c t i v e l y . T h i s f i e l d i s a g a i n d i f f r a c t e d a t t h e e d g e y = + d / 2 + a , z=0 a n d f r o m ( 5 . 3 ) t h e r e s u l t a n t f i e l d i s r> f a i i n / 4 u c . V ! i G ( 3 a ( e ) E ( r ) . S _ c ' ( a ) E ( 2 a ) G ( a , 6 ) E ( r ) 34 8 8 / 2 T T i n / 4 _ f. C ' ( a ) E ( a ) G ( 2 a , 6 ) E ( r ) (6.11) 8 / 2 T T " ° w h i c h a p p e a r s a s t h r e e l i n e s o u r c e s a l l c e n t r e d a t t h e d i f f r a c t i n g e d g e . T h e s u m o f ( 6 . 5 ) , ( 6 . 8 ) , a n d ( 6 . 1 1 ) r e p r e s e n t s t h e t o t a l f i e l d P3 f r o m t h e e d g e y = + d / 2 + a , z=0 u p t o a n d i n c l u d i n g q u a d r u p l e d i f f r a c t i o n . 102 T o c a l c u l a t e c o n t r i b u t i o n s t o ^ c o n s i d e r t h e r a y d i a g r a m s i n F i g . 6 . 3 . I n F i g . 6 . 3 a t h e i n c i d e n t f i e l d " i i s g i v e n b y ( 6 . 1 ) , t h e s i n g l y d i f f r a c t e d f i e l d u ; Q i s g i v e n b y ( 6 . 4 ) a n d i s g i v e n b y ( 6 . 9 ) . T h i s f i e l d i s d i f f r a c t e d a t t h e e d g e y = + d / 2 , z = 0 , a n d f r o m ( 5 . 3 ) t h e r e s u l t a n t f i e l d i s -CA(a) 1TT/4 = - ~ ~ G ( 2 a , e ) E ( r ) + C j ( a ) E ( a ) G ( a , 6 ) E ( r ) . (6.12) I n F i g . 6 . 3 b t h e i n c i d e n t f i e l d u ± i s g i v e n b y ( 6 . 1 ) , t h e f i e l d i s g i v e n b y ( 6 . 6 ) a n d i s g i v e n b y ( 6 . 7 ) . T h i s f i e l d i s a g a i n d i f f r a c t e d a t t h e e d g e y = + d / 2 + a , z=0 a n d f r o m ( 3 . 2 6 ) t h e r e s u l t a n t f i e l d i s b " c o ( d ) i W A u 1 3 = — g ~ E ( d + a + r ) + - C ' ( d ) E ( d + a ) E ( r ) i r / 4 - ^ — " C ' ( d ) E ( d ) E ( a + r ) . (6.13) 8/2T U u k c o n s i s t s o f t h r e e l i n e s o u r c e f i e l d s a t y = + 3 d / 2 + 2 a , y = + d / 2 + a a n d y = + d / 2 + 2 a , z=0 r e s p e c t i v e l y . T h i s f i e l d i s a g a i n d i f f r a c t e d a t t h e e d g e y = + d / 2 , z=0 a n d f r o m ( 5 . 3 ) t h e r e s u l t a n t f i e l d i s . C ' ( d ) l * / 4 u b = - V - G(d+2a,9)E(r) - C ' ( d ) E ( d + a ) G ( a , 6 ) E ( r ) i n / 4 + - C ' ( d ) E ( d ) G ( 2 a , 8 ) E ( r ) . (6.14) I n F i g . 6 . 3 c t h e i n c i d e n t f i e l d g i v e n b y ( 6 . 1 ) i s d i f f r a c t e d a t t h e e d g e y = - d / 2 , z=0 . F r o m ( 3 . 1 8 ) , a s o b s e r v e d a t t h e e d g e y = - d / 2 - a , z=0 t h e f i e l d u i s g i v e n b y a l i n e s o u r c e = -Ŝ — E ( r ) (6-15) l o c a t e d a t t h e d i f f r a c t i n g e d g e . T h i s f i e l d i s a g a i n d i f f r a c t e d a t t h e e d g e y = - d / 2 - a , z = 0 a n d f r o m ( 3 . 2 6 ) t h e r e s u l t a n t f i e l d i s C 0 ( a ) e " / 4 u 1 2 = — 7 ^ - E ( a + r ) - -S C j ( a ) E ( a ) E ( r ) . (6.16) u l 2 c o n s i s t s o f t w o l i n e s o u r c e f i e l d s a t y = - d / 2 - 2 a , z=0 a n d y = - d / 2 - a , z=0 r e s p e c t i v e l y . T h i s f i e l d i s a g a i n d i f f r a c t e d a t t h e e d g e y = - d / 2 , z=0 a n d f r o m ( 3 . 2 9 ) t h e r e s u l t a n t f i e l d i s C'(a) i n / 4 u., = -^5— E(2a+r) + C ' ( a ) E ( 2 a ) E ( r ) i n / 4 - C ' ( a ) E ( a ) E ( a + r ) . (6.17) 8V/2T7 U c u 1 3 c o n s i s t s o f t h r e e l i n e s o u r c e f i e l d s a t y = - d / 2 - 2 a , y = - d / 2 a n d y = - d / 2 - a , z=0 r e s p e c t i v e l y . T h i s f i e l d i s a g a i n d i f f r a c t e d a t t h e e d g e y = + d / 2 , z=0 a n d f r o m ( 5 . 3 ) t h e r e s u l t a n t f i e l d i s C ( a ) i n / 4 u <; = - V - G (2a+d,6)E(r) + ~~~~~ C ' ( a ) E ( 2 a ) G ( d , 9 ) E ( r ) i n /4 _ ^ c:(a)E(a)G(a+d,6)E(r) . (6.18) 8 v ^ 0 T h e s u m o f ( 6 . 1 2 ) , ( 6 . 1 4 ) a n d ( 6 . 1 8 ) r e p r e s e n t s t h e f i e l d ?2 f r o m t h e e d g e y = d / 2 , z=0 u p t o a n d i n c l u d i n g q u a d r u p l e d i f f r a c t i o n . S i m i l a r c a l c u l a t i o n s f o r t h e f i e l d s ? 2 s c a t t e r e d f r o m t h e e d g e y = - d / 2 , z=0 a n d P4 f r o m y = - d / 2 - a , s h o w t h a t 104 P 2 = -P ( 6 . 1 9 ) P , = - P 4 3 • ( 6 . 2 0 ) T h e r e s u l t s f o r ? n a r e s u b s t i t u t e d i n ( 6 . 2 ) a n d (6.3) t o g i v e t h e t o t a l r a d i a t i o n p a t t e r n o f t h e a r r a y o f F i g . 6 . 2 w i t h p a r a s i t i c g u i d e s o f i n f i n i t e d e p t h . 6 . 4 R A D I A T I O N W I T H O U T E R G U I D E S S H O R T E D C o n s i d e r t h e a r r a y o f F i g . 6 . 1 , w h i c h i s e q u i v a l e n t t o t h e a r r a y o f F i g . 6 . 2 e x c e p t t h a t t h e o u t e r g u i d e s a r e now o f f i n i t e d e p t h . T h e f i e l d s c o u p l e d i n t o t h e s e g u i d e s w i l l b e r e f l e c t e d f r o m t h e f a r e n d a n d r e r a d i a t e d . A d j u s t i n g t h e d e p t h o f t h e g u i d e s w i l l c h a n g e t h e r e l a t i v e p h a s e o f t h e i r r a d i a t i o n a n d t h u s a l t e r t h e r a d i a t i o n p a t t e r n . T h e c o u p l i n g c o e f f i c i e n t A Q 0 ( d , a ) b e t w e e n t h e c e n t r a l d r i v e n g u i d e o f w i d t h d a n d t h e a d j a c e n t p a r a s i t i c g u i d e o f w i d t h a h a s b e e n c a l c u l a t e d i n C h a p t e r 3. T h e c o u p l e d f i e l d s t r a v e l d o w n t h e o u t e r g u i d e a n d a r e r e f l e c t e d a t t h e s h o r t e d e n d . T h e f i e l d s t h e n t r a v e l t o w a r d s t h e o p e n e n d , w h e r e p a r t i s r e f l e c t e d b a c k a n d p a r t i s r a d i a t e d . T h e v a l u e A o f t h e f i e l d s i n t h e o u t e r g u i d e s a t t h e a p e r t u r e p l a n e z = 0 r e l a t i v e t o t h o s e f r o m t h e c e n t r a l d r i v e n g u i d e i s t h e s u m o f a g e o m e t r i c s e r i e s A„„e 1 - A = A oo e l Z K S + AooRoo e^ = + W e " " " + ••• = , . 7 7 ^ 00 ( 6 . 2 1 ) w h e r e R 0 Q i s t h e r e f l e c t i o n c o e f f i c i e n t a t t h e o p e n e n d o f t h e p a r a l l e l p l a t e w a v e g u i d e [ 4 5 ] [ 5 0 ] , a n d S i s t h e d e p t h o f 105 t h e o u t e r g u i d e . T h e t o t a l r a d i a t i o n p a t t e r n o f t h e a r r a y o f F i g . 6 . 1 i s c a l c u l a t e d b y a d d i n g t h e r a d i a t i o n f i e l d c a u s e d b y t h e f i n i t e d e p t h o f t h e o u t e r g u i d e s t o t h e f i e l d s r a d i a t e d f r o m t h e a r r a y o f F i g . 6 . 2 . T h e a d d i t i o n a l f i e l d s c o n s i s t o f f i e l d s r a d i a t e d d i r e c t l y f r o m t h e o u t e r g u i d e s ( F i g . 5 . 1 ) , a n d f i e l d s f r o m o t h e r e d g e s e x c i t e d b y f i e l d s i n a s h o r t e d g u i d e ( F i g s . 6 . 5 a n d 6 . 6 ) . S i n c e a l l f i e l d s i n t h e o u t e r g u i d e s h a v e b e e n d i f f r a c t e d a t l e a s t o n c e , t h e r a y p a t h s i n F i g s . 6 . 5 a n d 6 . 6 r e p r e s e n t f i e l d s i n c l u d i n g q u a d r u p l e d i f f r a c t i o n . R a d i a t i o n f r o m t h e o u t e r g u i d e s s h o w n i n F i g . 5 . 1 i s s i m p l y t h e p a t t e r n P Q ( a ) i n ( 5 . 2 1 ) a n d ( 5 . 2 2 ) o f a p a r a l l e l - p l a t e w a v e g u i d e m u l t i p l i e d b y A o f ( 6 . 2 1 ) . S c a t t e r i n g f r o m o t h e r e d g e s d u e t o r a d i a t i o n f r o m t h e o u t e r g u i d e s i s c a l c u l a t e d b y c o n s i d e r i n g t h e r a y p a t h s i n F i g s . 6 . 5 a n d 6 . 6 . I n F i g . 6 . 5 a t h e f i e l d f r o m t h e e d g e y = d / 2 , z = 0 i s u 1-2 = G ( d , 6 ) E ( r ) . (6-22) I n F i g . 6 . 5 b t h e f i e l d f r o m t h e s a m e e d g e i s i C'(d) in/A u l t 3 = G ( 2 d , e ) E ( r ) - C ^ ( d ) E ( d ) G ( d , 6 ) E ( r ) . (6.23) A /2T7 I n F i g . 6 . 5 c t h e f i e l d f r o m t h e s a m e e d g e i s c " C 0 ( a ) e i 7 ! / 4 U 1 ' 3 = — G ( d + a , 6 ) E ( r ) - — — C ' ( a ) E ( a ) G ( d , 6 ) E ( r ) . (6.24) A/2TT I n F i g . 6 . 6 t h e f i e l d f r o m t h e e d g e y = ( d + 2 a ) / 2 , z = 0 i s C l ( d ) ITT/4 u = -iL G ( d + a , 6 ) E ( r ) + C l ( d ) E ( d ) G ( a , 6 ) E ( r ) . (6.25) 3 3 4 Av^7 0 106 T h e f i e l d s ( 6 . 2 2 ) , ( 6 . 2 3 ) a n d ( 6 . 2 4 ) m u s t b e a d d e d t o g i v e t h e f i e l d f r o m t h e e d g e y = d / 2 , z = 0 e x c i t e d b y r a d i a t i o n f r o m t h e o u t e r g u i d e s . S i m i l a r l y ( 6 . 2 5 ) g i v e s t h e f i e l d P^ f r o m t h e e d g e y = d / 2 + a , z = 0 . S i m i l a r c a l c u l a t i o n s o f t h e f i e l d s P^ f r o m t h e e d g e y = - d / 2 , z = 0 , a n d p ^ f r o m y = - d / 2 - a , z = 0 s h o w t h a t P- = _P< (6.26) 2 1 p. _ _ P. (6-27) T h e r a y p a t h s u s e d t o c a l c u l a t e P^ a n d ?l a r e t h e i m a g e a b o u t t h e z - a x i s o f t h o s e s h o w n i n F i g . 6 . 5 a n d 6 . 6 . T h e r a d i a t i o n c a u s e d b y t h e f i n i t e d e p t h o f t h e o u t e r g u i d e s i s t h e a r r a y s u m o f P q a n d P^ m u l t i p l i e d b y t h e c o u p l i n g c o e f f i c i e n t A . T h i s r a d i a t i o n m u s t b e a d d e d t o P i n ( 6 . 2 ) a n d ( 6 . 3 ) t o o b t a i n t h e c o m p l e t e r a d i a t i o n p a t t e r n p t o t a l f o r t h e a r r a y o f F i g . 6 . 1 . I n t h e f i r s t q u a d r a n t f o r o < 6 < TT/2 a \ \ e d g e s e x c e p t t h a t a t y = d / 2 + a , z=0 a r e s h a d o w e d a n d d o n o t c o n t r i b u t e t o t h e r a d i a t e d f i e l d s , s o t h a t - i k ( — — ) s m o P = P + API e t o t a l k 3 • i /d+a, . . -ik(—TT - J s i n o + A P Q e 2 . (6.26) I n t h e s e c o n d q u a d r a n t f o r TT/2 < e < T 107 P = P + API e t o t a l t 3 ., .d+2a. . c - i k ( — — ) s m 6 - i k ( ~ - ) s i n e + AP (a) e u - i k ^ s i n 6 + A?^ e +i k y s i n e + AP^ e + i k ( ^ - ) s i n 6 + A P Q ( a ) e + AP! e 4 ., ,d+2a, . 0 (6.29) + i k ( — 2 ~ ) s i n e T h i s p a t t e r n i s s y m m e t r i c a l a b o u t 6 = TI S O t h a t P , (2TT-6) = P^ _ , (6) . t o t a l t o t a l 6 . 5 N U M E R I C A L A N D E X P E R I M E N T A L R E S U L T S T h e r a d i a t i o n p a t t e r n o f a t h r e e e l e m e n t a r r a y o f p a r a l l e l p l a t e w a v e g u i d e s c a l c u l a t e d b y r a y - o p t i c a l m e t h o d s i s c o m p a r e d t o m e a s u r e d E - p l a n e p a t t e r n s o f a n ' H - p l a n e s e c t o r a l h o r n w i t h a p p e n d a g e s a d d e d t o s i m u l a t e t h e o u t e r g u i d e s ( F i g . 1 . 2 ) . T h e p a t t e r n s a r e p l o t t e d f o r - 1 8 0 ° < 6 ' < 1 8 0 ° (0 ' = 0 — IT) . W h e n t h e o u t e r g u i d e s a r e o f i n f i n i t e d e p t h ( F i g . 6 . 2 ) , t h e r a d i a t i o n p a t t e r n P t , g i v e n b y ( 6 . 2 ) a n d ( 6 . 3 ) , h a s a s o m e w h a t n a r r o w e r b e a m w i d t h t h e n a s i n g l e g u i d e . T h e a d d i t i o n o f t h e o u t e r g u i d e s a l t e r e d t h e r a d i a t i o n p a t t e r n o f t h e c e n t r a l d r i v e n g u i d e i n d i f f e r e n t w a y s d e p e n d i n g o n t h e i r d e p t h . A d j u s t m e n t o f t h e d e p t h o f t h e o u t e r g u i d e s v a r i e s t h e p h a s e o f A i n ( 6 . 2 1 ) . T h e p a t t e r n o f t h e t h r e e - e l e m e n t a r r a y w i t h o u t e r 108 guides shorted shows a pronounced reduction of the beamwidth compared to that of a single guide when the radiation from a l l three guides i s in phase (arg A = 0) (Fig.6.8). Adjustment of the frequency such that t h i s phase difference i s near 180° produces a pattern with a n u l l on the beam axis and two main lobes to either side (Figs.6.9,6.13) These pattern shapes with varying A are what would be expected from a Fourier transform of the aperture f i e l d s [27]. For another value of t h i s phase the pattern amplitude was e s s e n t i a l l y constant over an angular sector of about±60° (Fig.6.10). In a l l cases the phase of the pattern is r e l a t i v e l y constant in the forward d i r e c t i o n and the back radiation i s substantially reduced compared to that of a single guide. Thus t h i s p a r a l l e l - p l a t e waveguide can produce a variety of patterns by adjustment of the depth of the outer guides or the frequency. The calculated patterns are expected to be least accurate at about 6 = 90 off the beam axis near the shadow boundary in the aperture plane for the reasons mentioned in Chapter 2. At angles s l i g h t l y greater then 90° only the outermost edge contributes to the radiation (6.28), whereas at angles less then 90° a l l edges contribute (6.29), and consequently a discontinuity in the pattern i s found at 6= 90°. This discontinuity may be reduced by including more ray paths along the shadow boundary. Terms up to quadruple d i f f r a c t i o n appear to be s u f f i c i e n t , since more terms do not reduce the discontinuity s i g n i f i c a n t l y , and the number of terms grows very rapidly for higher orders of d i f f r a c t i o n . 109 T h e d i s c o n t i n u i t y a t 6= 9 0 ° v a r i e s b e t w e e n - 4 d B a n d + 4 d B d e p e n d i n g o n t h e d e p t h o f t h e o u t e r g u i d e s a n d t h e f r e q u e n c y . T h e p r o b l e m s o n t h e s h a d o w b o u n d a r i e s w e r e d i s c u s s e d i n m o r e d e t a i l i n C h a p t e r 2 . T o e f f e c t a s i g n i f i c a n t i m p r o v e m e n t i n t h e p a t t e r n a c c u r a c y u s i n g r a y - o p t i c a l t e c h n i q u e s m a y r e q u i r e t h a t t h e m e t h o d o f L e e a n d B o e r s m a [ 3 2 ] b e a p p l i e d t o f i n d t h e f i e l d s n e a r t h e s h a d o w b o u n d a r y . A s o l u t i o n f o r t h e d i f f r a c t i o n p r o b l e m o f a l i n e s o u r c e i n c i d e n t o n t w o n o n - s t a g g e r e d h a l f - p l a n e s i s n e e d e d , w h e r e t h e s o u r c e , o b s e r v a t i o n p o i n t a n d h a l f - p l a n e e d g e s a r e a l l c o l l i n e a r . S u c h a r a y - o p t i c a l s o l u t i o n , w h i c h w o u l d b e u s e d t o e v a l u a t e t h e f i e l d s i n F i g s . 6 . 3 b , 6 . 3 c , 6 . 4 b , 6 . 5 c a n d 6 . 6 , i s n o t p r e s e n t l y a v a i l a b l e . T h e e x p e r i m e n t a l p a t t e r n s w e r e g e n e r a l l y w i t h i n 1 d B o f t h e c a l c u l a t e d r e s u l t s u p t o 9=±60 , a n d w i t h i n 3 d B u p t o 8 = - 1 5 0 ° . A n y p a t t e r n a s y m m e t r y a n d t h e s m a l l o s c i l l a t i o n s a r e c a u s e d b y s i t e r e f l e c t i o n s . T h e p a t t e r n s n e a r © = 1 8 0 ° c o u l d n o t b e m e a s u r e d a c c u r a t e l y b e c a u s e o f b l o c k a g e b y t h e a n t e n n a m o u n t i n g a r r a n g e m e n t . 6 . 6 S U M M A R Y R a d i a t i o n f r o m a f i n i t e , r a t h e r t h a n a n i n f i n i t e a p e r i o d i c a r r a y o f o p e n - e n d e d p a r a l l e l p l a t e w a v e g u i d e s h a s b e e n a n a l y z e d b y r a y - o p t i c a l m e t h o d s . O n l y s m a l l a r r a y s a r e t r a c t a b l e h o w e v e r f o r t h e n u m b e r s o f r a y r e q u i r e d f o r r e a s o n a b l e a c c u r a c y r a p i d l y i n c r e a s e s w i t h t h e n u m b e r o f 110 d i f f r a c t i n g e d g e s . H e r e a t h r e e - e l e m e n t a r r a y h a s b e e n a n a l y z e d w i t h t r i p l e d i f f r a c t i o n b y t h e f o u r e d g e s i n c l u d e d . T h e c a l c u l a t e d r e s u l t s c o n t a i n a d i s c o n t i n u i t y a t 90 o f f t h e b e a m a x i s b e c a u s e m o s t o f t h e d i f f r a c t i n g e d g e s a r e s h a d o w e d i n t h e b a c k w a r d d i r e c t i o n . T h i s d i s c o n t i n u i t y c a n b e r e d u c e d b y t a k i n g m o r e r a y p a t h s i n t o a c c o u n t , b u t c a n n o t b e e l i m i n a t e d f o r a l l v a l u e s o f d , a a n d s , e v e n w i t h a l a r g e r n u m b e r o f r a y s . T h e r a y - o p t i c a l a n a l y s i s i s o n l y v a l i d f o r w a v e g u i d e d i m e n s i o n s o f m o d e r a t e a n d l a r g e w i d t h . I n a c c u r a c i e s a r e e x p e c t e d w h e n t h e d i m e n s i o n s a r e r e d u c e d t o A /3 o r l e s s , p a r t i c u l a r l y i n t h e c a l c u l a t i o n o f t h e f i e l d s i n t h e a p e r t u r e p l a n e a l o n g t h e s h a d o w b o u n d a r y . T h e e x p e r i m e n t a l p a t t e r n s g e n e r a l l y a g r e e w i t h t h o s e c a l c u l a t e d o n e s , s o t h a t t h e H - p l a n e s e c t o r a l h o r n w i t h a p p e n d a g e s a p p e a r s t o s i m u l a t e a p a r a l l e l - p l a t e w a v e g u i d e a r r a y i n t h e T E M m o d e r e a s o n a b l y w e l l . T h e o u t e r g u i d e s i n c r e a s e d o r d e c r e a s e d t h e b e a m w i d t h d e p e n d i n g o n t h e d i m e n s i o n s o f t h e g u i d e s a n d t h e f r e q u e n c y . T h u s t h e p a t t e r n o f t h i s w a v e g u i d e a n t e n n a a r r a y m a y b e a d j u s t e d t o s u i t t h e a p p l i c a t i o n . —> z F i g . 6.1 t h r e e element a r r a y o f p a r a l l e l p l a t e w aveguides w i t h o u t e r g u i d e s s h o r t e d d/2 d/2 F i g . 6.2 t h r e e element a r r a y o f p a r a l l e l p l a t e waveguides w i t h o u t e r g u i d e s of i n f i n i t e d e p t h 112 \ it N J 1 t. ii F i g . 6.3 r a y p a t h s from c e n t r a l g u i d e s t o edge 1 \ \ F i g . 6.6 F i g . 6.4 r a y p a t h from o u t e r r a y p a t h s from c e n t r a l g u i d e g u i d e t o edge 3 t o edge 3 \ n F i g . 6.5 r a y p a t h s from o u t e r g u i d e s t o edge 1 113 - 9 0 -I-—• • 1 • • ' — • • • - 1 8 0 - 9 0 0 9 0 1 8 0 angle (degrees) F i g . 6.7 R a d i a t i o n p a t t e r n o f t h r e e element a r r a y w i t h o u t e r g u i d e s o f i n f i n i t e d e p t h (a=d= 0 . 401X). 270 i angle (degrees) F i g . 6.8 R a d i a t i o n p a t t e r n o f t h r e e element a r r a y a=d=0. 450X s=0. 856X A=0.131 L 0°. 115 270 i F i g . 6.9 R a d i a t i o n p a t t e r n o f t h r e e element a r r a y a=d=0. 339X s=0. 645X A=0. 371 L - 1 7 l ! u s i n g (5.12) u s i n g (5.11) 116 _90 -I . . • • • — — l -180 -90 0 90 180 angle (degrees) F i g . 6.10 R a d i a t i o n p a t t e r n o f t h r e e element a r r a y a=d=0. 356X s=0. 677X A=0. 308 L -134°. 117 F i g 6.11 R a d i a t i o n p a t t e r n o f t h r e e element a r r a y a=d=0. 373X s=0. 709X A=0. 247 L +104 . 118 - 9 0 H — • • • • - ' ' - 1 8 0 - 9 0 0 9 0 1 8 0 a n g l e ( d e g r e e s ) F i g . 6.12 Radiation pattern of three element array a=d=0. 389X s=0. 459X A=0. 199 L +38°. 119 -90 -I • . • •— • • • • • -180 -90 0 90 180 angle (degrees) F i g . 6.13 R a d i a t i o n p a t t e r n o f t h r e e e l e m e n t a r r a y a=d=0. 441X s=0. 597X A=0. 223 L +166°. 120 C h a p t e r 7 R A D I A T I O N P A T T E R N O F F I V E E L E M E N T W A V E G U I D E A R R A Y 7 . 1 R A Y - O P T I C A L F O R M U L A T I O N T h e r a d i a t i o n p a t t e r n o f a f i v e e l e m e n t p a r a l l e l p l a t e w a v e g u i d e a r r a y ( F i g . 7 . 1 , 7 . 2 ) m a y b e f o u n d b y e x t e n d i n g t h e r e s u l t s f o r t h e t h r e e e l e m e n t a r r a y c o n s i d e r e d i n C h a p t e r 6 . T h e a d d i t i o n a l o u t e r g u i d e s i n t h e f i v e e l e m e n t a r r a y a l l o w t h e f o r m a t i o n o f m a n y m o r e r a y p a t h s w h i c h m u s t b e t a k e n i n t o a c c o u n t . T h e p a t t e r n s w i l l b e c a l c u l a t e d f o r o u t e r g u i d e s o f b o t h i n f i n i t e ( F i g . 7 . 2 ) a n d f i n i t e ( F i g . 7 . 1 ) d e p t h a n d w i l l b e c o m p a r e d w i t h r e s u l t s f o u n d b y o t h e r m e t h o d s [ 2 9 ] [ 3 8 ] a n d e x p e r i m e n t a l r e s u l t s r e s p e c t i v e l y . C o n s i d e r f i v e a d j a c e n t s e m i - i n f i n i t e p a r a l l e l p l a t e w a v e g u i d e s c o n s i s t i n g o f s i x p e r f e c t l y c o n d u c t i n g h a l f - p l a n e s i n z > 0 a t y = - d / 2 - 2 a , y = - d / 2 - a , y = - d / 2 , y = + d / 2 , d = + d / 2 + a a n d y = d / 2 + 2 a ( F i g . 7 . 2 ) . A s i n C h a p t e r 6 t h e i n c i d e n t m o d e i n t h e c e n t r a l g u i d e - d / 2 < y < + d / 2 , z > 0 , g i v e n b y ( 5 . 7 ) , i s d e c o m p o s e d i n t o t w o p l a n e w a v e s e a c h w i t h a m p l i t u d e (7.1) a t t h e e d g e s y = - d / 2 , z = 0 a n d y = + d / 2 , z = 0 . T h e s e t w o p l a n e w a v e s a r e r e p r e s e n t e d b y t h e i n c i d e n t r a y s i n t h e c e n t r a l g u i d e o f F i g . 7 . 2 . M a n y o f t h e r a y p a t h s w h i c h m u s t b e c o n s i d e r e d t o c a l c u l a t e t h e r a d i a t i o n p a t t e r n a r e s h o w n i n C h a p t e r 6 . T h e a d d i t i o n a l r a y p a t h s w h i c h o c c u r i n t h e f i v e 121 e l e m e n t a r r a y b u t n o t i n t h e t h r e e e l e m e n t a r r a y a r e s h o w n i n F i g s . 7 . 3 - 7 . 7 . 7 . 2 R A D I A T I O N P A T T E R N W I T H O U T E R G U I D E S O F I N F I N I T E D E P T H T h e t o t a l r a d i a t i o n p a t t e r n ? t f o r t h e a r r a y o f F i g . 7 . 2 i s g i v e n b y t h e s u m o f t h e f i e l d s f r o m a l l e d g e s . I n t h e f i r s t q u a d r a n t a l l b u t t h e o u t e r m o s t e d g e s a r e s h a d o w e d s o t h a t f o r 0<e<ii/2 o n l y t h e e d g e y = d / 2 + 2 a , z = 0 i s v i s i b l e a n d . , ,d+4a. . Q - i k ( — ) s x n 9 P t = P 5 d I n t h e s e c o n d q u a d r a n t ( Tt/2<e<n ) a l l e d g e s a r e v i s i b l e a n d _ i k ( d ± i a ) s i n e - l k (——) sine + P 3 d d - i k — sine + P d + po d +ik - sine + P „ e 2 . . ,d+2a. . . + ik (——) sine + p e 4 + i k { ^ ) s i n e + P e  2 (7.3) 6 122 w h e r e ? n i s a f i e l d r a d i a t e d f r o m e d g e # n . T h e p a t t e r n i s s y m m e t r i c a l a b o u t e = n s o t h a t P t ( 2 n - e ) = P t < e ) . T h e f i e l d s P 3 a n d P 4 c a l c u l a t e d i n C h a p t e r 6 m u s t now b e m o d i f i e d t o t a k e i n t o a c c o u n t a d d i t i o n a l r a y p a t h s c r e a t e d b y t h e p r e s e n c e o f t h e new o u t e r g u i d e s ( F i g . 7 . 3 ) . T h e f i e l d s P a n d P 2 n e e d n o t b e m o d i f i e d b e c a u s e t h e r e a r e n o a d d i t i o n a l r a y p a t h s u p t o q u a d r u p l e d i f f r a c t i o n . T h e f i e l d s P c a n d P c a r e new a n d m u s t b e c a l c u l a t e d u s i n g t h e r a y p a t h s i n F i g . 7 . 4 . T o c a l c u l a t e t h e a d d i t i o n a l c o n t r i b u t i o n t o P 3 c o n s i d e r t h e r a y d i a g r a m o f F i g . 7 . 3 . T h e i n c i d e n t f i e l d u g i v e n b y ( 7 . 1 ) i s d i f f r a c t e d a t t h e e d g e y = + d / 2 , z = 0 . F r o m ( 3 . 1 8 ) a s o b s e r v e d a t y = d / 2 + a , z = 0 t h e d i f f r a c t e d f i e l d i s a l i n e s o u r c e c A ( a ) in A\ a _0 , . (7.4) u 3 1 = - 5 — E ( r ) l o c a t e d a t t h e d i f f r a c t i n g e d g e . T h i s f i e l d i s a g a i n d i f f r a c t e d a t y = d / 2 + a , z=0 a n d f r o m ( 3 . 2 9 ) t h e r e s u l t a n t f i e l d i s C'(a) e i 7 , / 4 (7-5) a u V ! i E ( a + r ) + S — C ' ( a ) E ( a ) E ( r ) 32 4 4/2T7 u 3 2 i s m a d e u p o f t w o l i n e s o u r c e s , o n e c e n t r e d a t y = + d / 2 , z = 0 , t h e o t h e r a t y = + d / 2 + a , z = 0 . T h i s f i e l d i s a g a i n d i f f r a c t e d a t y = + d / 2 + 2 a , z = 0 a n d f r o m ( 3 . 2 6 ) t h e r e s u l t a n t f i e l d i s C ' ( a ) p i 7 1 / 4 u a = - 0 E(a+b+r) - C' ( a ) E ( a + b ) E ( r ) 3 3 8 Bl^Z i n / 4 + C ( a ) E ( a ) E (b+r) . (7.6) 8/2^ ° 123 T h i s f i e l d i s a g a i n d i f f r a c t e d a t y = + d / 2 + a , z = 0 a n d f r o m ( 5 . 3 ) t h e r e s u l t a n t f i e l d i s -C'(a) u a = ° G(a+2b,6 )E ( r ) + - C ' ( a ) E ( a + b ) G ( b,6 ) E ( r ) 3 4 8 8v^ ° i i t / 4 - S C ( a ) E ( a ) G ( 2 b,6 ) E ( r ) , (7.7) 8>/2TT 0 a u 3 4 m u s t b e a d d e d t o P 3 i n C h a p t e r 6 t o g i v e t h e f i e l d P 3 i n ( 7 . 3 ) w h i c h r e p r e s e n t s t h e f i e l d f r o m t h e e d g e y = d / 2 + a , z = 0 u p t o a n d i n c l u d i n g q u a d r u p l e d i f f r a c t i o n . T o c a l c u l a t e t h e f i e l d c o n s i d e r t h e r a y d i a g r a m s o f F i g . 7 . 4 . I n F i g . 7 . 4 a t h e i n c i d e n t f i e l d u i i s g i v e n b y a a ( 7 . 1 ) , u i s g i v e n b y ( 7 . 4 ) a n d u 5 2 i s g i v e n b y ( 7 . 5 ) . T h i s f i e l d i s a g a i n d i f f r a c t e d a t y = + d / 2 + a , z = 0 a n d f r o m ( 5 . 3 ) t h e r e s u l t a n t f i e l d i s C 0 ( a ) e i V 4 u 5 3 = — G(a+b,6 )E ( r ) + C ' ( a ) E ( a ) G ( b,6 ) E ( r ) . (7.8) 8/27 ° I n F i g . 7 . 4 b t h e i n c i d e n t f i e l d u g i v e n b y ( 7 . 1 ) i s d i f f r a c t e d a t t h e e d g e y = - d / 2 , z = 0 . F r o m ( 3 . 1 8 ) a s o b s e r v e d a t y = + d / 2 , z = 0 t h e d i f f r a c t e d f i e l d i s a l i n e s o u r c e h " c n { d ) u 5 * = - V B ( r ) ( 7 . 9 ) b l o c a t e d a t t h e d i f f r a c t i n g e d g e . T h i s f i e l d u 5 1 i s a g a i n d i f f r a c t e d a t y = + d / 2 , z = 0 a n d f r o m ( 3 . 2 9 ) t h e r e s u l t a n t f i e l d i s u  b = -2 E(d+r) - C'(d)E(d)E(r) . (7.10) 52 4 . pr~ 0 u 5 2 ^ S m a ^ e U P ° ^ t w 0 l i n e s o u r c e s , o n e c e n t r e d a t y = - 1 2 4 d / 2 r z = 0 , t h e o t h e r a t y = + d / 2 , z = 0 . T h i s f i e l d i s a g a i n d i f f r a c t e d a t y = + d / 2 + a , z = 0 a n d f r o m ( 3 . 2 9 ) t h e r e s u l t a n t f i e l d i s - C ' ( d ) in/4 u b = - ° - E (d+a+r) - C ' ( d ) E ( d + a ) E ( r ) 5 3 8 8>^"r7 ° iTT/4 - C 1 ( d ) E ( d ) E ( a + r ) (7.11) 8/2TT 0 u.̂ 3 i s m a d e u p o f t h r e e l i n e s o u r c e s a t y = - d / 2 , y = + d / 2 + a a n d y = + d / 2 r e s p e c t i v e l y . T h i s f i e l d i s a g a i n d i f f r a c t e d a t y = + d / 2 + 2 a , z = 0 a n d f r o m ( 5 . 3 ) t h e r e s u l t a n t f i e l d i s - C ' ( d ) c i 7 T / 4 u b = -2 G ( d + a + b,6 ) E ( r ) - C ' ( d ) E ( d + a ) G ( b ,0 ) E ( r ) 5 4 8 8^ i i r / 4 _ £ C (d)E ( d ) G ( a + b , 0 ) E ( r ) (7.12) 8^7 ° T h e s u m o f ( 7 . 8 ) a n d ( 7 . 1 2 ) r e p r e s e n t s t h e f i e l d P5 f r o m t h e e d g e y = d / 2 + 2 a , z = 0 u p t o a n d i n c l u d i n g q u a d r u p l e d i f f r a c t i o n . S i m i l a r c a l c u l a t i o n s f o r P 6 a n d t h e a d d i t i o n a l c o n t r i b u t i o n s t o s h o w t h a t P 4 = ^ 3 (7.13) P = _ P (7.14) 6 5 . T h e r a y p a t h s u s e d t o c a l c u l a t e ?(, a n d t h e a d d i t i o n a l c o n t r i b u t i o n s t o Pif a r e t h e i m a g e a b o u t t h e z - a x i s o f t h o s e i n F i g s . 7 . 3 a n d 7 . 4 . T h e r e s u l t s f o r P n a r e s u b s t i t u t e d i n ( 7 . 2 ) a n d ( 7 . 3 ) t o g i v e t h e t o t a l r a d i a t i o n p a t t e r n o f t h e a r r a y o f F i g . 7 . 2 w i t h p a r a s i t i c g u i d e s o f i n f i n i t e d e p t h . 125 7 . 3 R A D I A T I O N W I T H O U T E R G U I D E S S H O R T E D C o n s i d e r t h e a r r a y o f F i g . 7 . 1 w h i c h i s e q u i v a l e n t t o F i g . 7 . 2 e x c e p t t h a t t h e o u t e r g u i d e s a r e n o w o f f i n i t e d e p t h . T h e f i e l d s c o u p l e d i n t o t h e s e g u i d e s w i l l now b e r e f l e c t e d f r o m t h e s h o r t e d e n d a n d r e r a d i a t e d . T h e T E M c o u p l i n g c o e f f i c i e n t A Q 0 ( d , a ) b e t w e e n a d j a c e n t g u i d e s o f w i d t h d a n d a a n d B 0 0 ( d , a , b ) b e t w e e n g u i d e s o f w i d t h b a n d a s e p a r a t e d b y d i s t a n c e d w e r e c a l c u l a t e d i n C h a p t e r s 3 a n d 4 r e s p e c t i v e l y . T h e s e c o u p l i n g c o e f f i c i e n t s a r e u s e d t o d e t e r m i n e t h e v a l u e s \ a n d & 2 o f t h e ' f i e l d s i n t h e o u t e r g u i d e s a t t h e a p e r t u r e p l a n e r e l a t i v e t o t h e f i e l d s f r o m t h e c e n t r a l d r i v e n g u i d e . T h e v a l u e & 1 o f t h e f i e l d s i n t h e f i r s t o u t e r g u i d e + d / 2 < y < + d / 2 + a i s , f r o m ( 6 . 2 1 ) g i v e n b y i 2 k s A 0 Q ( d ' a ) 6 A l = OklT 1 (7-15> 1" Roo ( a ) 6 w h e r e R 0 0 ( a ) * s t n e r e f l e c t i o n c o e f f i c i e n t a t t h e o p e n e n d o f t h e g u i d e o f w i d t h a , a n d ŝ ^ i s t h e d e p t h o f t h e f i r s t o u t e r g u i d e . T o d e t e r m i n e t h e v a l u e A 2 o f t h e f i e l d s i n t h e s e c o n d o u t e r g u i d e + d / 2 + a < y < + d / 2 + a + b , t h e c o u p l i n g f r o m b o t h t h e d r i v e n g u i d e a n d t h e f i r s t o u t e r g u i d e i n t o t h e s e c o n d o u t e r g u i d e m u s t b e t a k e n i n t o a c c o u n t . T h e e n e r g y c o u p l e d i n t o t h e s e c o n d o u t e r g u i d e i s g i v e n b y B 0 Q ( d , a , b ) + A ^ A (a,b) (7.16) 126 T h e v a l u e o f t h e f i e l d A 2 a t t n e a p e r t u r e p l a n e i s t h e s u m o f a g e o m e t r i c s e r i e s i k s A 2 = f B o o ( d ' a ' b ) + A l A 0 0 ( a ' b ) ] e ( 7 ' 1 7 ) ., , i k s 2 1 - R 0 0 ( b ) e w h e r e s 2 i s t h e d e p t h o f t h e s e c o n d o u t e r g u i d e . T h e t o t a l r a d i a t i o n p a t t e r n o f t h e a r r a y o f F i g . 7 . 1 i s c a l c u l a t e d b y a d d i n g t h e r a d i a t i o n f i e l d c a u s e d b y t h e f i n i t e d e p t h o f t h e o u t e r g u i d e s t o t h e f i e l d s r a d i a t e d f r o m t h e a r r a y o f F i g . 7 . 2 . T h e a d d i t i o n a l f i e l d s c o n s i s t o f f i e l d s r a d i a t e d d i r e c t l y f r o m t h e o u t e r g u i d e s ( F i g . 5 . 1 ) , a n d f i e l d s f r o m o t h e r e d g e s e x c i t e d b y f i e l d s i n a s h o r t e d g u i d e ( F i g . 7 . 5 - 7 . 7 ) R a d i a t i o n f r o m t h e o u t e r g u i d e s s h o w n i n F i g . 5 . 1 i s s i m p l y t h e p a t t e r n p 0 i n ( 5 . 2 1 ) a n d ( 5 . 2 2 ) o f a p a r a l l e l p l a t e w a v e g u i d e m u l t i p l i e d b y A x o r A 2 S c a t t e r i n g f r o m o t h e r e d g e s d u e t o r a d i a t i o n f r o m t h e o u t e r g u i d e s i s c a l c u l a t e d b y c o n s i d e r i n g t h e r a y p a t h s i n F i g . 7 . 5 - 7 . 7 . I n F i g . 7 . 5 a t h e f i e l d f r o m t h e e d g e y = + d / 2 + a + b , z = 0 i s g i v e n b y c- (b) U 5 " 2 = G(b,8 )E(r> . (7.18) I n F i g . 7 . 5 b t h e f i e l d u 5 „ a f r o m t h e e d g e y = + d / 2 + a + b , z = 0 i s g i v e n b y -C'(a) i V 4 u b = — G ( a + b , 6 ) E ( r ) - - C ' ( a ) E ( a ) G (b, e )E ( r ) . (7.19) 5"3 4 . 4 i / ^ 0 T h e f i e l d s u 5 „ a a n d u 5 „ b a r e a d d e d t o g i v e t h e f i e l d P 5 " f r o m t h e e d g e y = + d / 2 + a + b , z = 0 e x c i t e d b y r a d i a t i o n f r o m t h e f i r s t o u t e r g u i d e . I n F i g . 7 . 6 a t h e f i e l d 127 a u 3 " 3 f r o m t h e f-.dge y = + d / 2 + a , z = 0 i s g i v e n b y - C (b) XT,/A a = _0 G ( 2 b , 6 ) E ( r ) + - C ' (b)E (b) G (b, 6) E (r) . (7.20) 3"3 4 ^ 0 I n F i g . 7 . 6 b t h e f i e l d u b f r o m t h e e d g e y = + d / 2 + a , z = 0 i s 3"3 g i v e n b y b C n ( a ) P I T L / 4 u = — G ( 2 a , 6 ) E ( r ) - C ' (a) E (a) G (a , 6) E (r) . (7.21) u a i s t h e f i e l d p " f r o m t h e e d g e y = + d / 2 + a , z = 0 e x c i t e d b y 3"3 31 2 r a d i a t i o n f r o m t h e f i r s t o u t e r g u i d e i n t h e p r e s e n c e o f t h e s e c o n d o u t e r g u i d e , a n d w o u l d n o t b e p r e s e n t i f t h e s e c o n d o u t e r g u i d e w a s m i s s i n g . u 3 , ( b i s t h e f i e l d p ^ f r o m t h e s a m e e d g e e x c i t e d b y r a d i a t i o n f r o m t h e s e c o n d o u t e r g u i d e . I n F i g . 7 . 7 a t h e f i e l d ^ v ^ 2 f r o m t h e e d g e y = + d / 2 , z = 0 i s g i v e n b y - C ' ( a ) U l " 2 = 2~~ G(a'6)E(r) • (7'22) I n F i g . 7 . 7 b t h e f i e l d u 1 , ! ^ f r o m t h e e d g e y = + d / 2 , z = 0 i s g i v e n b y b C n ( b ) B i T / 4 u = - — — G ( a + b , 6 ) E ( r ) + C ' (b) E (b) G (a ,6) E (r) . (7.23) 4v57 I n F i g . 7 . 7 c t h e f i e l d u 1 1 1 3 f r o m t h e e d g e y = + d / 2 , z = 0 i s g i v e n b y C ' ( a ) u  c = -2 G ( a + d , 6 ) E (r) + C ' (a) E (a) G ( d , 6) E (r) . (7.24) 1 , 1 3 4 4v/27 ° T h e f i e l d s ( 7 . 2 2 ) , ( 7 . 2 3 ) a n d ( 7 . 2 4 ) a r e a d d e d t o g i v e t h e f i e l d f r o m t h e e d g e y = + d / 2 , z = 0 e x c i t e d b y r a d i a t i o n f r o m t h e s e c o n d o u t e r g u i d e w h i c h w o u l d n o t b e p r e s e n t w i t h o n l y o n e o u t e r g u i d e . 128 S i m i l a r c a l c u l a t i o n s f r o m t h e f i e l d s P ^ f o r t h e e d g e y = - d / 2 , z = 0 , a n d P ^ 2 f r o m t h e e d g e y = - d / 2 - a , z = 0 a n d P6 f r o m t h e e d g e y = - d / 2 - a - b s h o w t h a t P " = - p " 2 1 (7.25) P 4 1 = - P 3 ' l ( 7 ' 2 6 ) P " = - P " 42 42 (7.27) (7.28) T h e r a y p a t h s u s e d t o c a l c u l a t e p 2 ' P 4 ] / P 4 2 a n d P ^ a r e t h e i m a g e a b o u t t h e z - a x i s o f t h o s e s h o w n i n F i g s . 7 . 5 , 7 . 6 a n d 7 . 7 . T h e r a d i a t i o n c a u s e d b y t h e f i n i t e d e p t h o f t h e o u t e r g u i d e s i s t h e a r r a y s u m o f p 0 ( a ) , p 0 ( b ) a n d p ^ m u l t i p l i e d b y t h e a p p r o p r i a t e c o e f f i c i e n t A o r A . T h i s r a d i a t i o n m u s t b e a d d e d t o ? t o f ( 7 . 2 ) a n d ( 7 ' . 3 ) t o o b t a i n t h e c o m p l e t e r a d i a t i o n p a t t e r n p t o t a i o f t h e a r r a y o f F i g . 7 . 1 . I n t h e f i r s t q u a d r a n t o < e < TT/2 a l l e d g e s e x c e p t t h a t a t y = + d / 2 + a + b a r e s h a d o w e d a n d d o n o t c o n t r i b u t e t o t h e r a d i a t e d f i e l d s o t h a t ,d+2a+2b, . Q - i k ( ) sme p = P + A, P" e P t o t a l t l 1 5 ,d+2a+b, . . - i k — ) s i n 6 2 (7 29) + A 2 P Q ( b ) e . ( / ' ^ > I n t h e s e c o n d q u a d r a n t f o r TT/2 < e < TT _ i k ( ± t 2 | ± 2 b ) s i n e p = P + A P" e F t o t a l t 1 5 . , ,d+2a+b. . . - i k ( —) s i n e 129 + A 2 P 0 ( b ) e -ik l y s i n e + t V 3 + V 3 1 + V 3 2 ] e - i k f ^ J s i n e + A . P (a) e 1 0 d - i k — s i n e + [ A ^ + A 2 P ^ ] e +ik — s i n e + [A, P i + A P"]e 1 1 2 2 2 J +ik (~^-) s i n e + A jP (a) e . , ,d+2a, . . +ik (——) s m S + [ A X P 4 + A ^ + A 2 P 4 ' 2 ] e +ik ( ) s i n e + A P (b) e . , ,d+2a+2b, . „ +ik ( ) s i n e + A . P " e • (7.30) 1 6 w h e r e P ^ a r e g i v e n i n C h a p t e r 6. T h e p a t t e r n i s s y m m e t r i c a l a b o u t e = TT S O t h a t p t o t a i ( 2 l 1 " e ) = P t o t a i ( 6 ) - 7.4 N U M E R I C A L A N D E X P E R I M E N T A L R E S U L T S T h e r a d i a t i o n p a t t e r n s o f a f i v e e l e m e n t w a v e g u i d e a r r a y a r e c o m p a r e d w i t h o t h e r t h e o r e t i c a l r e s u l t s a n d t h e m e a s u r e d E - p l a n e p a t t e r n s o f a n H - p l a n e s e c t o r a l h o r n w i t h a p p e n d a g e s t o s i m u l a t e t h e o u t e r g u i d e s ( e ' - 0 - T r ) . 130 W h e n t h e o u t e r g u i d e s a r e o f i n f i n i t e d e p t h t h e p a t t e r n c o n s i s t s o f a s i n g l e l o b e ( F i g . 7 . 8 , 7 . 9 ) . T h e f i e l d s a r e e s s e n t i a l l y c o n s t a n t o v e r a n a n g u l a r r a n g e o f a b o u t 9 0 - 1 2 0 d e g r e e s d e p e n d i n g o n t h e f r e q u e n c y . T h e r e i s a s m a l l d i s c o n t i n u i t y ( < l d B ) a t e'= 90° o f f t h e b e a m a x i s i n t h e a p e r t u r e p l a n e a l o n g t h e s h a d o w b o u n d a r y . T h e p a t t e r n s c a l c u l a t e d h e r e a r e c o m p a r e d t o t h a t f o u n d b y r e s i d u e c a l c u l u s m e t h o d s [ 3 8 ] i n F i g . 7 . 1 0 . T h e p a t t e r n s a g r e e t o w i t h i n a f r a c t i o n o f a d B a t a l l . a n g l e s i n t h e f o r w a r d d i r e c t i o n e x c e p t n e a r e = 90° i n t h e a p e r t u r e p l a n e . T a k i n g h i g h e r o r d e r d i f f r a c t i o n t e r m s r e d u c e s b u t d o e s n o t e l i m i n a t e t h i s d i s c r e p a n c y o n t h e s h a d o w b o u n d a r y . I n F i g . 7 . 1 1 t h e r a y - o p t i c a l p a t t e r n i s c o m p a r e d t o t h a t c a l c u l a t e d f o r t h e c a s e t h a t t h e f i v e e l e m e n t a r r a y i s e m b e d d e d i n a s i m u l a t e d g r o u n d p l a n e [ 2 9 ] . O v e r a n a n g u l a r r a n g e o f 4 5 ° i n t h e f o r w a r d d i r e c t i o n t h e t w o p a t t e r n s a g r e e r e m a r k a b l y w e l l , d e s p i t e t h e p r e s e n c e o f t h e s i m u l a t e d g r o u n d p l a n e . A s e x p e c t e d , a g r e e m e n t i s n o t s o g o o d f o r l a r g e r a n g l e s , b e c a u s e t h e g r o u n d p l a n e r e q u i r e s t h e f i e l d t o b e z e r o a t © = ± 9 0 . W h e n t h e g u i d e s a r e o f f i n i t e d e p t h i t i s p o s s i b l e t o c o n t r o l t h e p h a s e o f t h e a p e r t u r e f i e l d i n t h e p a r a s i t i c g u i d e s r e l a t i v e t o t h a t i n t h e d r i v e n g u i d e . H e n c e t h e r a d i a t i o n p a t t e r n m a y b e a d j u s t e d t o s u i t a p a r t i c u l a r a p p l i c a t i o n ( F i g s . 7 . 1 2 - 7 . 1 8 ) . M o r e c o n t r o l o f t h e p a t t e r n i s p o s s i b l e f o r t h e f i v e e l e m e n t a r r a y c o n s i d e r e d h e r e a s c o m p a r e d t o t h e t h r e e e l e m e n t a r r a y , b e c a u s e t h e r e a r e m o r e p a r a m e t e r s w h i c h m a y b e a d j u s t e d . I n g e n e r a l t h e f i v e 131 e l e m e n t p a t t e r n s h a v e a s m a l l e r b e a m w i d t h a n d s t e e p e r s l o p e s t h e n t h e t h r e e e l e m e n t p a t t e r n s . T h e f i v e e l e m e n t p a t t e r n s m a y b e a d j u s t e d t o p r o d u c e t w o a d j a c e n t n u l l s a b o u t t h e b e a m a x i s , w h e r e a s t h e t h r e e e l e m e n t p a t t e r n s c a n p r o d u c e o n l y a s i n g l e n u l l a t t h e b e a m a x i s . T h e p h a s e o f t h e f i v e e l e m e n t p a t t e r n s i s g e n e r a l l y m o r e c o n s t a n t i n t h e f o r w a r d d i r e c t i o n a n d t h e b a c k r a d i a t i o n i s l e s s t h e n t h e t h r e e e l e m e n t p a t t e r n s . A s i n t h e t h r e e e l e m e n t c a s e , t h e p a t t e r n s a r e l e a s t a c c u r a t e a t 9 0 ° o f f t h e b e a m a x i s a l o n g t h e s h a d o w b o u n d a r y . T h e d i s c o n t i n u i t y i n t h e p a t t e r n s i s r e d u c e d b y t a k i n g m o r e r a y p a t h s i n t o a c c o u n t ; h o w e v e r n o s i g n i f i c a n t i m p r o v e m e n t i s n o t e d b e y o n d . q u a d r u p l e d i f f r a c t i o n . T h e d i s c o n t i n u i t y v a r i e s b e t w e e n + 3 d B a n d - 3 d B d e p e n d i n g o n t h e a r r a y p a r a m e t e r s , w h i c h i s l a r g e r t h e n f o r t h e i n f i n i t e d e p t h c a s e . T h e s h a d o w b o u n d a r y d i f f i c u l t i e s w e r e d i s c u s s e d i n m o r e d e t a i l i n C h a p t e r 2 . B e c a u s e o f t h e l a r g e r n u m b e r o f e d g e s i n a f i v e e l e m e n t a r r a y , t h e s e d i f f i c u l t i e s may b e e x p e c t e d t o b e g r e a t e r h e r e t h e n f o r t h e t h r e e e l e m e n t a r r a y d i s c u s s e d i n t h e p r e c e d i n g c h a p t e r . T h e e x p e r i m e n t a l p a t t e r n s f o r t h e f i v e e l e m e n t a r r a y ( F i g s . 7 . 1 2 - 7 . 1 5 ) g e n e r a l l y a g r e e w i t h t h e c a l c u l a t e d o n e s t o w i t h i n a n a c c u r a c y n o t q u i t e a s g o o d a s t h e t h r e e e l e m e n t p a t t e r n s ( 1 d B u p t o 0 = 6 0 ° a n d 3 d B u p t o e ' = 1 5 0 ° ) , b u t s t i l l c o m p a r a b l e . T h u s t h e a c c u r a c y o f t h e r a y - o p t i c a l p a t t e r n c a l c u l a t i o n a p p e a r s t o b e d e g r a d e d s l i g h t l y w h e n t h e a r r a y i s m a d e l a r g e r . A d d i t i o n a l c a l c u l a t i o n s a r e p e r f o r m e d f o r a r r a y s f o r 132 w h i c h t h e g u i d e d e p t h w a s c h o s e n t o m a k e t h e a p e r t u r e f i e l d s i n t h e p a r a s i t i c g u i d e s e x a c t l y i n p h a s e o r e x a c t l y o u t o f p h a s e w i t h t h e d r i v e n g u i d e . T h e a p e r t u r e f i e l d s a n d t h e c o r r e s p o n d i n g r a d i a t i o n p a t t e r n s a r e s h o w n i n F i g s . 7 . 1 6 - 7 . 1 8 ) . R e l e v a n t p a r a m e t e r s o f t h e s e p a t t e r n s a r e t a b u l a t e d i n T a b l e i l l . N o t e t h a t t h e p a t t e r n h a s t h e n a r r o w e s t 3 d B b e a m w i d t h w h e n a l l a p e r t u r e f i e l d s a r e i n p h a s e ( F i g . 7 . 1 7 ) , a s m i g h t b e e x p e c t e d . H o w e v e r , t h e b e a m i s n o t v e r y f l a t a c r o s s t h e t o p . W h e n t h e a p e r t u r e f i e l d s i n t h e p a r a s i t i c g u i d e a r e o u t o f p h a s e ( F i g . 7 . 1 6 ) t h e r e i s a d e e p n u l l o n t h e b e a m a x i s a n d t w o l o b e s a t 6? = ± 3 8 . W h e n t h e a p e r t u r e f i e l d i s a l t e r n a t i n g i n s i g n ( F i g . 7 . 1 8 ) t h e p a t t e r n i s a good a p p r o x i m a t i o n t o a s e c t o r s h a p e , c o n s i d e r i n g t h e s m a l l s i z e o f t h e a r r a y . T h i s i s n o t s u r p r i s i n g b e c a u s e t h e a p e r t u r e f i e l d s f o r t h i s c a s e a r e a c r u d e a p p r o x i m a t i o n o f a t r u n c a t e d ( s i n x ) / x c u r v e ( F i g . 1 . 3 ) , w h o s e r a d i a t i o n p a t t e r n i s e x p e c t e d t o a p p r o x i m a t e a s e c t o r s h a p e . N o t e t h a t t h e a m p l i t u d e a n d p h a s e o f t h e a p e r t u r e f i e l d a r e d e t e r m i n e d b y t h e a r r a y d i m e n s i o n s a n d c a n n o t b e a d j u s t e d i n d e p e n d e n t l y . A f u r t h e r i m p r o v e m e n t i n t h e p a t t e r n s w o u l d r e q u i r e t h a t e a c h e l e m e n t b e e x c i t e d a s i n a p h a s e d a r r a y . 7 . 5 S U M M A R Y T h e r a d i a t i o n f r o m a f i v e e l e m e n t f i n i t e a r r a y o f p a r a l l e l p l a t e w a v e g u i d e s h a s b e e n a n a l y z e d t h e s a m e r a y - 133 o p t i c a l m e t h o d s u s e d f o r t h e t h r e e e l e m e n t a r r a y i n C h a p t e r 6. T h e r a d i a t i o n p a t t e r n c a l c u l a t i o n i s m o r e c o m p l e x h o w e v e r , b e c a u s e t h e r e a r e m o r e d i f f r a c t i n g e d g e s a n d h e n c e m o r e r a y p a t h s t o b e t a k e n i n t o a c c o u n t . W h e n t h e o u t e r g u i d e s a r e o f i n f i n i t e d e p t h t h e a g r e e m e n t b e t w e e n t h e r a y - o p t i c a l r e s u l t a n d t h a t c a l c u l a t e d b y t h e r e s i d u e c a l c u l u s m e t h o d i s q u i t e g o o d , w h i c h g i v e s c o n f i d e n c e t h a t t h e r a y - o p t i c a l m e t h o d c a n g i v e a c c e p t a b l e r e s u l t s f o r t h i s s i z e o f a r r a y . T h e p a t t e r n a l s o a g r e e s the q u i t e w e l l w i t h t h a t c a l c u l a t e d b y A W i e n e r — H o p f t e c h n i q u e , f o r t h e a r r a y e m b e d d e d i n a s i m u l a t e d g r o u n d p l a n e , w h i c h i n d i c a t e s a g e n e r a l l a c k o f s e n s i t i v i t y o f t h e p a t t e r n i n t h e f o r w a r d d i r e c t i o n t o t h e t y p e o f s u r r o u n d i n g s t r u c t u r e . W h e n t h e o u t e r g u i d e s a r e o f f i n i t e d e p t h t h e c a l c u l a t e d a n d e x p e r i m e n t a l p a t t e r n s d o n o t a g r e e q u i t e a s w e l l a s f o r t h e t h r e e e l e m e n t a r r a y , i n d i c a t i n g a s l i g h t d e g r a d a t i o n o f a c c u r a c y o f t h e r a y - o p t i c a l m e t h o d a s t h e c o m p l e x i t y o f t h e s t r u c t u r e i n c r e a s e s . T h e f i v e e l e m e n t a r r a y c a n p r o d u c e a w i d e r v a r i e t y o f p a t t e r n s t h e n t h e t h r e e e l e m e n t b y a d j u s t m e n t o f t h e p a r a m e t e r s , i n c l u d i n g a g o o d a p p r o x i m a t i o n t o a s e c t o r s h a p e d p a t t e r n f o r s u c h a s m a l l a r r a y . 134 F i g . 7 .2 f i v e element a r r a y o f p a r a l l e l p l a t e waveguides w i t h o u t e r g u i d e s o f i n f i n i t e d e p t h F i g . 7.1 f i v e element a r r a y of p a r a l l e l p l a t e waveguides w i t h o u t e r g u i d e s s h o r t e d A V r 1 -r- i b i d/2 d/2 — * — i b t a b F i g . 7.3 F i g . 7.A r a y p a t h (see t e x t ) r a y p a t h s ( s e e t e x t ) \ t t F i g . 7.5 r a y p a t h s ( s e e t e x t ) 11 b F i g . 7.6 r a y p a t h s (see t e x t ) V \ F i g . 7.7 r a y p a t h s (see t e x t ) 137 angle (degrees) F i g . 7 .8 R a d i a t i o n p a t t e r n o f f i v e e l e m e n t a r r a y w i t h o u t e r g u i d e s o f i n f i n i t e d e p t h d=a=b=0. 450X. 138 angle (degrees) angle (degrees) i g . 7.9 R a d i a t i o n p a t t e r n o f f i v e element a r r a y w i t o u t e r g u i d e s o f i n f i n i t e d e p t h d=a=b=0. 3 139 0 1 F i g . 7.11 10 CD i Q. £ -20 JTJ 0. - 3 0 -90 -45 0 4 5 angle (degrees) 9 0 R a d i a t i o n p a t t e r n o f f i v e element a r r a y w i t h o u t e r g u i d e s o f i n f i n i t e d e p t h , d=a=b=0. 450A,comparison w i t h [ 2 9 ] . CD S - i_ O CL OI > - 1 0 H I - 2 0 H - 3 0 -90 -45 0 angle (degrees) 4 5 9 0 F i g . 7.10 R a d i a t i o n p a t t e r n o f f i v e element a r r a y w i t h o u t e r g u i d e s o f i n f i n i t e d e p t h , d=a=b=0.450X,comparison w i t h [ 3 8 ] . t h i s t h e o r y c o m p a r i s o n 140 angle (degrees) F i g . 7.12 R a d i a t i o n p a t t e r n o f f i v e element a r r a y d=a=b=0.441X s,=0.838X s =0.597X. A=0.137 L -12° A=0.074 L -12°. 141 CD 32. § CL > -10 -30 -20 H -180 •90 0 angle (degrees) 180 180 - i in cn a> ro _c CL 90 -90 -180 -180 F i g . 7.13 -90 0 angle (degrees) 90 180 R a d i a t i o n p a t t e r n o f f i v e element a r r a y d=a=b=0.407X s =0.774X s_=0.551X ft-0.171 L -55° A=0.076 L -57°. t 2 142 - 1 8 0 -I • • 1 • • ' • • 1 ^ ' - 1 8 0 - 9 0 0 9 0 1 8 0 angle (degrees) F i g . 7.14 Radiation pattern of f i v e element array d=a=b=0.373X S!=0.709X s 2=0.505X A=0.247 L -103° A=0.096 L -98°. i z - 3 0 - 1 8 0 - 9 0 0 9 0 angle (degrees) 1 8 0 1 8 0 - i 9 0 - 9 0 - 1 8 0 - 1 8 0 F i g . 7 . 1 5 - 9 0 0 angle (degrees) 9 0 1 8 0 R a d i a t i o n p a t t e r n o f f i v e element a r r a y d = a = b = 0 . 3 5 6 X S ;L=0 .677A s 2 = 0 . 4 8 7 X A = 0 . 3 0 8 L - 1 3 4 ° A = 0 . 1 2 6 L - 1 2 3 ° . i Z 144 F i g . 7.16 A p e r t u r e f i e l d and r a d i a t i o n p a t t e r n o f a f i v e element a r r a y A=-0.215 A=-0.090 d=a=b=0.450X S l=0.610X s 2=0.356X. 145 F i g . 7.17 A p e r t u r e f i e l d and r a d i a t i o n p a t t e r n o f a f i v e e lement a r r a y A=+0.131 A=+0.073 d=a=b=0.450X S]_=0.857X s 2=0.610X. 146 F i g . 7.18 A p e r t u r e f i e l d and r a d i a t i o n p a t t e r n o f a f i v e e l e m e n t a r r a y A=-0.131 A=+0.045 d=a=b=0.450X s 1=0.857X s 2=0.356X. TABLE I I I Radiation Pattern Parameters Figure A null(dB) Beamwidth (de :grees) back A l A2 -ldB -3dB -lOdB radiation(dB) 7.8a 0 0 0 39 54 76 -25 7.13a +0.131 +0.073 0 12 21 64 -28 7.13b -0.215 -0.090 -9 50 59 78 -26 7.13c -0.131 +0.045 0 31 43 67 -32 148 C h a p t e r 8 C O U P L I N G B E T W E E N S T A G G E R E D G U I D E S T h e c o u p l i n g c o e f f i c i e n t f o r a d j a c e n t s t a g g e r e d w a v e g u i d e s ( F i g . 8 . 1 ) w i l l b e f o u n d i n a m a n n e r s i m i l a r t o t h a t f o r r e f l e c t i o n a n d c o u p l i n g o f n o n - s t a g g e r e d g u i d e s . F i r s t a l l p o s s i b l e r a y p a t h s u p t o a n d i n c l u d i n g t r i p l e d i f f r a c t i o n a r e d e t e r m i n e d b y i n s p e c t i o n . T h e f i e l d r e p r e s e n t e d b y e a c h r a y i s c a l c u l a t e d f r o m t h e f i e l d o f t h e r a y p r e c e d i n g i t . T h e d i f f r a c t i o n p r o b l e m s o f t w o s u c c e s s i v e r a y s w h i c h o c c u r i n t h e s e r a y p a t h s w i l l b e s o l v e d f i r s t t o e s t a b l i s h t h e n o t a t i o n u s e d h e r e . T h e a n a l y s i s i s r e s t r i c t e d t o t h e T E M c a s e . 8 . 1 C A N O N I C A L P R O B L E M I n F i g . 8 . 2 a a n i s o t r o p i c l i n e s o u r c e = E ( r ) l o c a t e d a t a d i s t a n c e r 0 f r o m a n e d g e i s i n c i d e n t o n t h a t e d g e a t a n a n g l e e Q . T h e d i f f r a c t e d ( n o t t h e t o t a l ) f i e l d o b s e r v e d a t p 6±8 s u c h t h a t c o s ( _ _ o } Q i s g i v e n b y u . = G.(r , e n , 6 ) E ( r ) (8.1) m+1 d 0 0 a t t h e d i f f r a c t i n g e d g e , w h e r e 149 -in/4 _ i k r n cos(9-6 ) 6-9 G , ( r . 6 .6) = {-e F [ v ^ k r ~ cos ( — ) ] d 0 0 f~ u ^ /iT - i k r c o s ( 0 + 6 ) 6+6 - e ° ° F [ / 2 k r ^ c o s (——)]) , (8 .2 ) F ' (c i ) = F ( a ) - F ( - a ) a > 0 a < 0 (8.2a) F ( a ) i s g i v e n by (2.4) and E ( r ) i s g i v e n by (2.10) 150 I n e a c h c a s e t h e d i f f r a c t e d f i e l d i s a l i n e s o u r c e c e n t r e d a t t h e d i f f r a c t i n g e d g e . - i k r c o s ( 6 - 6 ) I n F i g . 8 . 2 b a p l a n e w a v e u = e 0 i s i n c i d e n t o n a h a l f - p l a n e e d g e a t a n g l e 6 Q . A n e x p r e s s i o n f o r t h e d i f f r a c t e d f i e l d w h i c h i s u n i f o r m l y v a l i d f o r a l l a n g l e s 6 m a y , f r o m ( 2 . 2 ) , b e w r i t t e n a s U l = G d ( a ' e 0 ' e ) E ( r ) ' (8.3) w h e r e G (a,6 ,9) G d ( a ' V 6 ) = — iuo <8-4' a n d a i s t h e d i s t a n c e f r o m t h e e d g e t o t h e o b s e r v a t i o n p o i n t . I f k a > > l , G A ( a , e o , 6 ) „ D ( 6 0 . 8 i , ( 8 - 5 ) w h e r e D(e ,6) i s g i v e n b y ( 2 . 9 ) . 8 . 2 C A L C U L A T I O N O F T H E C O U P L I N G C O E F F I C I E N T C o n s i d e r t w o a d j a c e n t s e m i - i n f i n i t e p a r a l l e l - p l a t e w a v e g u i d e s c o n s i s t i n g o f t h e t h r e e p e r f e c t l y c o n d u c t i n g h a l f - p l a n e s y = a , z > l , y = 0 , z > 0 a n d y = - d , z = 0 , w h e r e f > o i s t h e a n g l e o f s t a g g e r o f t h e t o p g u i d e a n d l = a t a n y . We w i s h t o d e t e r m i n e t h e f i e l d s c o u p l e d f r o m t h e d r i v e n g u i d e ( - d < y < 0 , z > 0 ) i n t o t h e s t a g g e r e d g u i d e ( 0 < y < a , z > 0 ) . A s b e f o r e t h e i n c i d e n t f i e l d _ i v z U i = e 1 (8.6) 151 i n t h e g u i d e i s d e c o m p o s e d i n t o t w o p l a n e w a v e s i n c i d e n t o n t h e h a l f - p l a n e e d g e s y = - d , z=0 a n d y=z=0 a t a n g l e s 6 = o a n d 2TT r e s p e c t i v e l y . B o t h p l a n e w a v e s h a v e v a l u e u = 1 (8.7) i 2 a t t h e e d g e s . T h e s i n g l y d i f f r a c t e d f i e l d i s s h o w n i n F i g . 8 . 3 a . T h e i n c i d e n t f i e l d u g i v e n b y (8 . 7 ) i s d i f f r a c t e d a t t h e e d g e y=z=0. F r o m ( 2 . 7 ) t h e d i f f r a c t e d f i e l d i s g i v e n b y a l i n e s o u r c e u a = j D(2T T,0)E (r) (8.8) l o c a t e d a t t h e d i f f r a c t i n g e d g e . T h e c o n t r i b u t i o n t o t h e c o u p l i n g f o r s i n g l e d i f f r a c t i o n i s f o u n d b y t r e a t i n g (8.8) a s a l i n e s o u r c e a n d u s i n g ( 3 . 1 1 ) , ( 3 . 1 2 ) a n d ( 3 . 2 ) . T h u s . . jz i n / 4 A Q ( 1 ) « 0 ( 2 , , 0 ) , (8.9) 2>/2 k a w h i c h i s i d e n t i c a l t o ( 3 . 1 7 ) i n t h e T E M c a s e . . T h e d o u b l y d i f f r a c t e d f i e l d s a r e s h o w n i n F i g s . 8 . 5 b a n d c . I n F i g . 8 . 3 b t h e i n c i d e n t f i e l d u g i v e n b y ( 8 . 7 ) , i s d i f f r a c t e d a t t h e e d g e y=z=0. F r o m ( 8 . 3 ) , a s o b s e r v e d a t t h e e d g e y = a , z = l t h e d i f f r a c t e d f i e l d i s a l i n e s o u r c e u b = i G ' ( c . 2 7 T f f - * ) E ( r ) < 8 - 1 0 ) 1 2 a i / 2 2 = /£ + l o c a t e d a t t h e d i f f r a c t i n g e d g e , w h e r e c a i s t h e d i s t a n c e b e t w e e n t h e t w o e d g e s . T h i s f i e l d i s a g a i n d i f f r a c t e d a t t h e e d g e y = a , z = l a n d f r o m (8.1) g i v e s a l i n e s o u r c e 152 u b = j G^<C,2TT,J - v ) G d ( c , ^ 2 L -Y,2n )E ( r ) . (8.11) Fig.8.3c shows a ray path which i s i d e n t i c a l to that shown in Fig.3.2c for a non-staggered guide. Here ^ i s given by (8.7), i s given by (3.34) and ̂  i s 9 i v e n by (3.35). The contribution to the coupling c o e f f i c i e n t A g from double d i f f r a c t i o n i s given by (2) = X e 1 1 T / 4 ( C ) 2 * _ y ) G 31 - , , 2 , ) E - I K £ S 2/1 k a d 2 d 2 + c^(d)C (d)] . (8.12) If \jf = O , (8.12) i s equivalent to (3.36) in the TEM case. The t r i p l y d i f f r a c t e d f i e l d s are shown in Figs.8.5d and e. Fig.8.3d shows a ray path which i s i d e n t i c a l to that shown in Fig.3.2d for a non-staggered guide. Here ^ i s given by (8.7), i s given by ( 3 . 3 7 ) , i s given by (3.38) and u 3 i s given by (3.39) speci a l i z e d for the TEM case. In e e Fig.8.3e i s given by (8.7), u i s given by (8.10) and ̂ 2 i s given by (8.11) with the f i n a l 2-n replaced by 2JL _y This f i e l d i s again d i f f r a c t e d at y=z=0 and from (8.1) gives a l i n e source U 3 = j G ^ ( c ( 2 » ^ - ? ) G a ( c ( ^ - T ^ - * ) G d ( c i - t O ) E ( r ) (8.13) at the edge. In Fig.8.3f the incident f i e l d u given by (8.7) i s d i f f r a c t e d at the edge y=-d,z=0. From (8.3) as observed at y=z=0 the d i f f r a c t e d f i e l d i s a li n e source u f = ; G M d , 0 , ^ ) E ( r ) (8.14) 1 2 d 2 153 l o c a t e d at the d i f f r a c t i n g edge. This f i e l d i s again d i f f r a c t e d at y=z=0 and from (8.1) gives a l i n e source u o = ^ G ' ( d ( 0 ^ ) G . ( d , ^ - ¥ ) E ( r ) (8 .15) 2 2 d 2 d 2 2 l o c a t e d at the d i f f r a c t i n g edge. This f i e l d i s again d i f f r a c t e d at y=z=0 and from (8.1) gives a l i n e source u , = k GA ( d,0 , J )G . ( a , - V ) G . ( c , ^ J - ? , 2 T i ) E ( r ) . (8.16) 3 2 d 2 d 2 2 d 2 In Fig.8.3g the i n c i d e n t f i e l d u i s given by (8.7), i s given by (8.10) and i s given by (8.11) with the f i n a l 2TT replaced by 3TT/2 . This f i e l d i s r e f l e c t e d at y=0,z = l and looks l i k e a l i n e source u| = i G ^ ( c , 2 T T ^ - H ' ) G d ( c , ^ - ^ ^ ) E ( r ) (8.17) x at the image point y=-a,z=l, where the n o t a t i o n u— denotes a f i e l d i n the f i g u r e l a b e l l e d x that has been d i f f r a c t e d m times and a l s o r e f l e c t e d . This f i e l d i s again d i f f r a c t e d at y=a,z=l and from (8.1) gives a l i n e source = G ' (c ,2TT - T ) G (c ,~r ,~r) G ( 2 a ,^r,2 n) E (r) (8.18) 3 2 d 2 d 2 2 d 2. at the edge. The t o t a l c o n t r i b u t i o n to the coupling c o e f f i c i e n t from t r i p l e d i f f r a c t i o n i s found by t r e a t i n g (3.39), (8.13), (8.16) and (8.18) as l i n e sources and using (3.11), (3.12) and (3.2). Thus r 1^/4 , + G ^ ( c , 2 T T , i - T ) G d ( c , ^ - - y , ^ L - Y ) G d ( c 1 - w , 0 ) 154 + G d ( d , 2 , l - « C d ( c f - T , f ) G d ( 2 a ^ 2 , ) e - i k V + 8x7 t C 0 ( d ^ o ^ ) E ( d ) ] , (8 .19) T h e t o t a l c o u p l i n g c o e f f i c i e n t A g ( d , a ) u p t o a n d i n c l u d i n g t r i p l e d i f f r a c t i o n i s g i v e n b y t h e s u m o f ( 8 . 9 ) , ( 8 . 1 2 ) a n d ( 8 . 1 9 ) . N o t e t h a t ( 8 . 1 9 ) i s n o t . v a l i d f o r v = o ( n o n - s t a g g e r e d g u i d e s ) b e c a u s e o f t h e r e s t r i c t i o n s w h i c h a p p l y t o ( 8 . 1 ) . I f Y = °> A s 3 ) i s g i v e n b y ( 3 . 4 4 ) . N o t e t h a t i f t h e c o u p l e d f i e l d i n t h e s t a g g e r e d g u i d e i s a l o n g a s h a d o w b o u n d a r y t h e r a y - t o - m o d e c o n v e r s i o n ( 3 . 1 2 ) i s n o l o n g e r v a l i d b e c a u s e t h e c o u p l e d f i e l d i s n o t a r a y f i e l d . T h i s d i f f i c u l t y a r i s e s w h e n t h e m o d a l a n g l e 5>n i s t h e c o m p l e m e n t o f t h e s t a g g e r a n g l e y ( i . e . Bn = ~n~/2- Y, F i g . 8 . 4 ) . I t d o e s n o t o c c u r i n t h e T E M c a s e h e r e w h e r e &n=0, b u t w o u l d a r i s e i f o t h e r w a v e g u i d e m o d e s w e r e c o n s i d e r e d . 8 . 3 N U M E R I C A L R E S U L T S N u m e r i c a l v a l u e s f o r t h e c o u p l i n g c o e f f i c i e n t A (a,a) c a l c u l a t e d a s a f u n c t i o n o f t h e g u i d e w i d t h s a a n d d a n d f o r v a r i o u s a n g l e s v a r e s h o w n i n F i g . 8 . 4 . A s f o r t h e n o n - s t a g g e r e d g u i d e s , t h e s i n g l e d i f f r a c t i o n p r o v i d e s t h e a v e r a g e b e h a v i o u r o f t h e c o u p l i n g c o e f f i c i e n t . A d d i t i o n o f t h e d o u b l e d i f f r a c t i o n t e r m s r e v e a l s a f i n e s t r u c t u r e w h i c h b e c o m e s l e s s p r o n o u n c e d a s v i s i n c r e a s e d . 155 Exact r e s u l t s for the coupling c o e f f i c i e n t s are not available for comparison. However, on comparing curves with and without t r i p l e d i f f r a c t i o n , i t appears there i s some deteri o r a t i o n i n accuracy as the stagger increases. 8.4 SUMMARY The c o u p l i n g c o e f f i c i e n t between a d j a c e n t s t a g g e r e d p a r a l l e l p l a t e waveguides was found by r a y - o p t i c a l methods. The n u m e r i c a l r e s u l t s show a moderate and g r a d u a l change from the n o n - s t a g g e r e d r e s u l t s as the a n g l e of s t a g g e r i s i n c r e a s e d . These c a l c u l a t i o n s w i l l be u s e f u l f o r c a l c u l a t i o n s i n v o l v i n g an a r r a y of s t a g g e r e d waveguides. F i g . 8.1 two a d j a c e n t s t a g g e r e d p a r a l l e l p l a t e waveguides F i g . 8.2 l i n e s o u r c e and p l a n e wave i n c i d e n t on a h a l f p l a n e u 157 F i g . 8.3 r a y p a t h s f o r c o u p l i n g c o e f f i c i e n t F i g . 8.4 r a y p a t h (see t e x t ) 1 5 8 0 i 180 i F i g . 8 . 5 a T E M - T E M c o u p l i n g b e t w e e n s t a g g e r e d w a v e g u i d e s <y=cr s i n g l e d i f f r a c t i o n s i n g l e a n d d o u b l e d i f f r a c t i o n s i n g l e a n d d o u b l e a n d t r i p l e d i f f r a c t i o n -45 0 . 5 1.0 1.5 2.0 d / A 180 i 8.5b TEM-TEM c o u p l i n g between s t a g g e r e d waveguides 4*= 15°. s i n g l e d i f f r a c t i o n s i n g l e and d o u b l e d i f f r a c t i o n s i n g l e and d o u b l e and t r i p l e d i f f r a c t i o n 160 - 4 5 0 . 5 1.0 1.5 d/A 2.0 F i g . 8.5c TEM-TEM c o u p l i n g between s t a g g e r e d wavegu ides Y=30°. s i n g l e d i f f r a c t i o n s i n g l e and d o u b l e d i f f r a c t i o n s i n g l e and d o u b l e and t r i p l e d i f f r a c t i o n - 4 5 I — > 0 0 . 5 1 . 0 1 . 5 2 . 0 d /A 180 -i 1 3 5 •{ F i g . 8.5d TEM-TEM c o u p l i n g between s t a g g e r e d w a v e g u i d e s Y=45°. s i n g l e d i f f r a c t i o n s i n g l e and d o u b l e d i f f r a c t i o n s i n g l e and d o u b l e and t r i p l e d i f f r a c t i o n 162 0 1 F i g . 8.5e TEM-TEM c o u p l i n g between s t a g g e r e d w a v e g u i d e s 4<=60°. s i n g l e d i f f r a c t i o n s i n g l e and d o u b l e d i f f r a c t i o n , s i n g l e and d o u b l e and t r i p l e d i f f a c t i o n 163 C h a p t e r 9 R A D I A T I O N F R O M A S T A G G E R E D P A R A L L E L - P L A T E W A V E G U I D E 9.1 F O R M U L A T I O N T h e r a d i a t i o n p a t t e r n o f a s t a g g e r e d p a r a l l e l - p l a t e w a v e g u i d e ( F i g . 9 . 1 ) i n t h e T E M m o d e i s f o u n d b y r a y - o p t i c a l m e t h o d s s i m i l a r t o t h o s e f o r a n o n - s t a g g e r e d g u i d e ( C h a p t e r 5 ) . T h i s p a t t e r n w a s f o u n d p r e v i o u s l y b y R y a n a n d R u d d u c k [ 4 2 ] u s i n g e d g e d i f f r a c t i o n t h e o r y i n c l u d i n g t e r m s e q u i v a l e n t t o d o u b l e d i f f r a c t i o n o n l y . T h e r a y p a t h s r e p r e s e n t i n g t h e f i e l d s c o n s i d e r e d h e r e a r e s h o w n i n F i g . 9 . 2 u p t o a n d i n c l u d i n g t r i p l e d i f f r a c t i o n . N o t e t h a t t h e s t a g g e r e d g u i d e h a s m a n y m o r e r a y p a t h s f o r a g i v e n o r d e r o f d i f f r a c t i o n t h e n a n o n - s t a g g e r e d o n e . T h e t o t a l , r a d i a t i o n p a t t e r n i s m a d e u p o f t h e s u m o f t h e f i e l d s r e p r e s e n t e d b y a l l t h e r a y p a t h s , t a k i n g i n t o a c c o u n t t h a t s o m e f i e l d s a r e s h a d o w e d a n d d o n o t c o n t r i b u t e i n s o m e a n g u l a r d i r e c t i o n s . I n t h e f o l l o w i n g s e c t i o n t h e f i e l d s r e p r e s e n t e d b y e a c h r a y p a t h w i l l b e c a l c u l a t e d , a n d t h e n t h e t o t a l r a d i a t i o n p a t t e r n w i l l b e f o u n d f o r a l l a n g l e s . C o n s i d e r a s e m i - i n f i n i t e p a r a l l e l - p l a t e w a v e g u i d e o f w i d t h a c o n s i s t i n g o f t w o p e r f e c t l y c o n d u c t i n g h a l f - p l a n e s y = - a / 2 , z > 0 a n d y = + a / 2 , z = l , w h e r e Y > 0 * s t n e a n g l e o f s t a g g e r a n d l = a t a n 'b/ . We w i s h t o d e t e r m i n e t h e f i e l d s r a d i a t e d i n t o t h e s p a c e o u t s i d e t h e g u i d e . A s b e f o r e t h e i n c i d e n t f i e l d ( 8 . 6 ) i n t h e g u i d e i s d e c o m p o s e d i n t o t w o p l a n e w a v e s i n c i d e n t o n t h e h a l f - p l a n e 164 e d g e s . T h e w a v e i n c i d e n t o n t h e b o t t o m e d g e y = - a / 2 , z = 0 a t 6 o=0 h a s v a l u e ( 8 . 7 ) a t t h a t e d g e . T h e w a v e i n c i d e n t o n t h e t o p e d g e y = + a / 2 , z = l a t 60=2T h a s v a l u e -ikJ, a t t h a t e d g e . 9 . 2 C A L C U L A T I O N O F R A D I A T I O N P A T T E R N T h e s i n g l y d i f f r a c t e d f i e l d s a r e s h o w n i n F i g s . 9 . 2 a a n d b . I n F i g . 9 . 2 a t h e i n c i d e n t f i e l d u g i v e n b y ( 9 . 1 ) i s d i f f r a c t e d a t t h e e d g e y = + a / 2 , z = l . F r o m ( 2 . 7 ) t h e d i f f r a c t e d f i e l d i s a l i n e s o u r c e U A = D { 2 T , , e ) E ( r ) ( 9 - 2 ) a t t h e e d g e . I n F i g . 9 . 2 b t h e i n c i d e n t f i e l d u g i v e n b y ( 8 . 7 ) i s d i f f r a c t e d a t t h e e d g e y = - a / 2 , z = 0 . F r o m ( 2 . 7 ) t h e d i f f r a c t e d f i e l d i s a l i n e s o u r c e u b = i D ( 0 , 6 ) E ( r ) { 9 - 3 ) a t t h e e d g e . I n F i g . 9 . 2 c t h e i n c i d e n t f i e l d u ± g i v e n b y ( 8 . 7 ) i s d i f f r a c t e d a t t h e e d g e y = + a / 2 , z = l . F r o m ( 2 . 7 ) t h e d i f f r a c t e d f i e l d i s a l i n e s o u r c e -ik£ u 1 = — D(2Ti,2Tr-e)E(r) (9.4) l o c a t e d a t t h e d i f f r a c t i n g e d g e . T h i s f i e l d i s r e f l e c t e d f r o m t h e l o w e r g u i d e a t y = - a / 2 , z = l - a t a n f . T h e r e f l e c t e d f i e l d u-r i s a l i n e s o u r c e ( 9 . 4 ) l o c a t e d a t t h e i m a g e p o i n t 165 y = - 3 a / 2 , z = l . T h e r a d i a t i o n p a t t e r n f r o m s i n g l e d i f f r a c t i o n i s f o r m e d b y t h e t h r e e l i n e s o u r c e s ( 9 . 2 ) , ( 9 . 3 ) a n d ( 9 . 4 ) l o c a t e d a t t h e t w o g u i d e e d g e s a n d t h e i m a g e p o i n t r e s p e c t i v e l y . T h e d o u b l y d i f f r a c t e d f i e l d s a r e s h o w n i n F i g s . 9 . 2 d - h . I n F i g . 9 . 2 d u i i s g i v e n b y ( 8 . 7 ) a n d u d i s f o u n d f rom (8.3). T h i s f i e l d i s a g a i n d i f f r a c t e d a t y = + a / 2 , z = l a n d f r o m ( 8 . 1 ) g i v e s a l i n e s o u r c e u d = j G M : , 0 , T - f l G J c , 7 - ? , e ) E ( r ) (9.5) 2 2 d 2 d 2 l o c a t e d a t t h e d i f f r a c t i n g e d g e . I n F i g . 9 . 2 e t h e i n c i d e n t f i e l d u g i v e n b y ( 9 . 1 ) i s d i f f r a c t e d a t t h e e d g e y = + a / 2 , z = l . F r o m ( 8 . 1 ) t h e d i f f r a c t e d f i e l d i s a l i n e s o u r c e - i k £ u * = ^-z G U 2 d , 2 n A E ( r ) (9.6) 1 2 a 2 l o c a t e d a t t h e d i f f r a c t i n g e d g e . T h i s f i e l d i s r e f l e c t e d a t t h e l o w e r h a l f - p l a n e a t y = - a / 2 , z = l a n d , a s o b s e r v e d a t y = + a / 2 , z = l , u | l o o k s l i k e a l i n e s o u r c e ( 9 . 6 ) l o c a t e d a t t h e i m a g e p o i n t y = - 3 a / 2 , z = l . T h i s f i e l d i s a g a i n d i f f r a c t e d a t y = + a / 2 , z = l a n d f r o m ( 8 . 1 ) g i v e s a l i n e s o u r c e - i k i . e e 3 1 , . „ A 3t fi»F/r> (9.7) G ' ( 2 d , 2 T i , ^ - ) G ( 2 d , ^ , 6 ) E ( r ) u 2 = - y - ^ u , . , . , 2 , « d l o c a t e d a t t h e d i f f r a c t i n g e d g e . I n F i g . 9 . 2 f u ± i s g i v e n b y ( 9 . 1 ) a n d \ i s f o u n d f r o m (8.3). T h i s f i e l d i s d i f f r a c t e d a t y = - a / 2 , z = 0 a n d f r o m ( 8 . 1 ) g i v e s a l i n e s o u r c e f S L ^ l G . (c 2v 21 -*>G ( c , J - Y , 6 ) E ( r ) (9.8) l o c a t e d a t t h e d i f f r a c t i n g e d g e . I n F i g . 9 . 2 g VL i s g i v e n b y 1 6 6 (8.7) a n d ^ i s found from (8.3). , T h i s f i e l d i s d i f f r a c t e d a t y = + a / 2 , z = l a n d f r o m (8.1) g i v e s a l i n e s o u r c e u^ = ~ G' (c,0,~ -v)G (c,~r - f ,271-6 ) E ( r) (9.9) 2 2 d 2 d I l o c a t e d a t t h e d i f f r a c t i n g e d g e . T h i s f i e l d i s r e f l e c t e d a t t h e l o w e r h a l f - p l a n e a t y = - a / 2 , z = l - a t a n 0 . T h e r e f l e c t e d f i e l d u2 l o o k s l i k e a l i n e s o u r c e (9.9) l o c a t e d a t t h e i m a g e p o i n t y = - 3 a / 2 , z = l . I n F i g . 9 . 2 h ^ i s g i v e n b y (9.1) a n d u^ b y (9.6). T h i s f i e l d i s d i f f r a c t e d a t y = + a / 2 , z = l a n d f r o m (8.1) g i v e s a l i n e s o u r c e _ I K 5 - 3TT 3TT - U \ - e l r \ (9.10) u h = £ _ G ' ( 2 d , 2 T T , ^ - ) G d ( 2 d , — , 2 T , - 6 ) E ( r ) l o c a t e d a t t h e d i f f r a c t i n g e d g e . T h i s f i e l d i s r e f l e c t e d a t t h e l o w e r h a l f - p l a n e a t y = - a / 2 , z = l - a t a n e T h e r e f l e c t e d f i e l d u- l o o k s l i k e a l i n e s o u r c e (9 . 1 0 ) l o c a t e d a t t h e i m a g e p o i n t y = - 3 a / 2 , z = l . T h e t r i p l y d i f f r a c t e d r a d i a t e d f i e l d s a r e r e p r e s e n t e d b y t h e r a y d i a g r a m s i n F i g s . 9 . 2 i - p . U s i n g m e t h o d s s i m i l a r t o t h o s e a b o v e , t h e e x p r e s s i o n s f o r t h e f i e l d s c a n b e d e t e r m i n e d b y i n s p e c t i o n . I n F i g . 9 . 2 i t h e r a d i a t e d f i e l d i s a l i n e s o u r c e u i = ^ G ; ( c ' 2 i ' T , , , G d ( c ' r , , ' r - ) G d ( c ^ ' w l E ( r l ( 9 - u ) l o c a t e d a t y = + a / 2 , z = l . I n F i g . 9 . 2 j t h e r a d i a t e d f i e l d i s a l i n e s o u r c e u 3 . I c i ( c . 0 . | - « G a < c , 2 l . T a . „ G a ( e . l - , . . , E ( r , l o c a t e d a t y = - a / 2 , z = 0 . I n F i g . 9 . 2 k t h e r a d i a t e d f i e l d i s a 1 6 7 l i n e s o u r c e G' (c , 2 TT -¥>G Ac , J - » ) G . ( c , ^ -V.2iT - e)E(r) k e „, - 3_l „,._ . 1 _ v _1 i - .3JL -u, 2 T r - 6 ) E ( r ) ( 9 . 1 3 ) l o c a t e d a t y = - 3 a / 2 , z = l . I n F i g . 9 . 2 1 t h e r a d i a t e d f i e l d i s a l i n e s o u r c e u * = ^ — G - ( 2 a , 2 T r , ^ ) G d ( 2 a , ^ - Y ) G d ( c , f - ^ e ) E ( r ) ( 9 . 1 4 ) l o c a t e d a t y = - a / 2 , z = l . I n F i g . 9 . 2 m t h e r a d i a t e d f i e l d i s a l i n e s o u r c e U 3 = j G ' ( c , 0 i - T ) G a ( c ^ - ! ^ ) G a ( 2 a , ^ 8 ) E ( r ) ( 9 . 1 5 ) l o c a t e d a t y = + a / 2 , z = l . I n F i g . 9 . 2 n t h e r a d i a t e d f i e l d i s a l i n e s o u r c e u 3 - J ^ ( c . O ^ - m d ( c ^ - f , f ) G d ( 2 a , ^ M ) E ( r ) ( 9 . 1 6 ) l o c a t e d a t y = - 3 a / 2 , z = l . I n F i g s 9 . 1 m a n d n ( 8 . 1 ) i s n o t v a l i d a n d t h e c o n t r i b u t i o n f r o m t h e s e r a y p a t h s i s c a l c u l a t e d s e p a r a t e l y . I n F i g . 9 . 2 o u i s g i v e n b y ( 9 . 1 ) a n d u° i s g i v e n b y ( 9 . 6 ) . T h e r e f l e c t e d f i e l d w h i c h a p p e a r s l i k e a l i n e s o u r c e a t y = - 3 a / 2 , z = l i s d i f f r a c t e d a t t h e e d g e y = + a / 2 , z = l a n d f r o m ( 3 . 2 6 ) t h e r e s u l t a n t f i e l d i s o _ e " i k £ 3TT 1 i * / 4 U 2 " 2 ^ d ( 2 a , 2 T r , —) [— E ( 2 a + r ) — — E ( 2 a ) E ( r ) ] . ( 9 . 1 7 ) 2 V ^ T T T h e f i e l d u° i s m a d e u p o f t w o l i n e s o u r c e s , o n e c e n t e r e d a t y = + 5 a / 2 , z = l , t h e o t h e r a t y = + a / 2 , z = l . T h e r e f l e c t e d f i e l d w h i c h i s m a d e u p o f t w o l i n e s o u r c e s a t y = - 7 a / 2 , z = l a n d y = - 3 a / 2 , z = l i s a g a i n d i f f r a c t e d a t y = + a / 2 , z = l a n d f r o m ( 8 . 1 ) 168 t h e r e s u l t a n t f i e l d i s u ° = e _ _ G ' ( 2 a , 2 T T f ^ - ) G (4a,^|,6 )E(r) 3 4 d 2 d 2 e - i k J . i T r / 4 , G ' ( 2 a , 2 i r A ^ — E(2a)G ( 2 a , ^ , 6 ) E ( r ) . (9.18) - ^ v ^ , ^ , 2 ; -» — / - d » —, 2 I n F i g . 9 . 2 p , g i v e n b y ( 9 . 8 ) w i t h e r e p l a c e d b y 2TT-e , i s r e f l e c t e d a t t h e l o w e r h a l f - p l a n e a t y = - a / 2 , z = l - a t a n e , T h e r e f l e c t e d f i e l d u| l o o k s l i k e a l i n e s o u r c e -ik£ U3 = ~ — G d ( 2 a,2Tt , ^ - ) G d(4a,^,2Ti-e ) E ( r ) e ~ i k t T T T I 7 T / 4 - — G l ( 2 a , 2 T i f - J ) E(2a)G_(2a,^-,6)E(r) (9.19) 4 d 2 /2T -3 2 l o c a t e d a t t h e i m a g e p o i n t y = - 3 a / 2 , z = l . T h e t o t a l f i e l d s S ' Q d i f f r a c t e d f r o m t h e u p p e r e d g e y = + a / 2 , z = l u p t o t r i p l e d i f f r a c t i o n a r e g i v e n b y t h e s u m o f ( 9 . 2 ) , ( 9 . 5 ) , ( 9 . 7 ) , ( 9 . 1 1 ) , ( 9 . 1 5 ) a n d ( 9 . 1 8 ) . T h e s e f i e l d s a p p e a r a s l i n e s o u r c e s a t t h e e d g e . T h e t o t a l f i e l d s d i f f r a c t e d f r o m t h e l o w e r e d g e y = - a / 2 , z = 0 u p t o t r i p l e d i f f r a c t i o n a r e g i v e n b y t h e s u m o f ( 9 . 3 ) , ( 9 . 8 ) , ( 9 . 1 2 ) a n d ( 9 . ( 4 ) . T h e s e f i e l d s a p p e a r a s l i n e s o u r c e s a t t h e e d g e . T h e t o t a l f i e l d s s Q , g i v e n b y t h e s u m o f ( 9 . 4 ) , ( 9 . 9 ) , ( 9 . 1 0 ) , ( 9 . ( 3 ) , ( 9 . 1 6 ) a n d ( 9 . | 9 ) , a p p e a r a s l i n e s o u r c e s a t y = - 3 a / 2 , z = l , w h i c h i s t h e i m a g e o f t h e u p p e r e d g e . T h e r a d i a t i o n p a t t e r n f o r m e d b y t h e s e a p p a r e n t l i n e s o u r c e s f o r | - < e < ^ + 4 , i s g i v e n b y d - i k — s i n 6 - i k J i c o s d S„ = S' e e 0 0 169 +ik — sine + S" e o +ik — sine -ik£cos6 + S " ' e 2 e - (9-20) 0 w h e r e t h e e x p o n e n t i a l t e r m s a r e t h e a r r a y f a c t o r s w h i c h a d j u s t f o r t h e d i f f e r i n g p a t h l e n g t h s f r o m t h e l i n e s o u r c e s t o a d i s t a n t o b s e r v a t i o n p o i n t . I n o t h e r a n g u l a r r a n g e s , s o m e o f t h e a p p a r e n t l i n e s o u r c e s a r e s h a d o w e d a n d d o n o t c o n t r i b u t e t o t h e p a t t e r n . T h e r e a r e f o u r s h a d o w b o u n d a r i e s d i v i d i n g t h e r a d i a t i o n p a t t e r n i n t o f i v e r e g i o n s w h i c h m u s t b e c o n s i d e r e d s e p a r a t e l y ( F i g . 9 . 3 ) . F o r o < e < n/2 - v - i k — sine -ik£cos6 S 0 = S 0 6 e (9.21) TT TI TT 37T F o r — " y < 6 < — and — + Y < e < £ - j - * d • d - i k — sine -ik£cosO +ik — sine s 0 = S' e e + e 2 (9.22) F o r ^ - * < 9 < 2, + i k f s i n e { 9 2 3 ) bo ~ bo e T h e p a t t e r n i s c l e a r l y n o t s y m m e t r i c a l a b o u t 6 = T . A t t h e s h a d o w b o u n d a r i e s e = ~ - y, ^, ^ + y a n d ^ - j - y t h e r e a r e d i s c o n t i n u i t i e s i n t h e r a d i a t i o n p a t t e r n , w h i c h m a y b e r e d u c e d b y t a k i n g h i g h e r o r d e r d i f f r a c t i o n t e r m s i n t o a c c o u n t . F o r e x a m p l e t h e s i n g l e d i f f r a c t i o n r a d i a t i o n p a t t e r n g i v e n b y (9 .2) , (9.3) a n d (9.4) h a s a d i s c o n t i n u i t y a t e = TT/2 b e c a u s e u b i s s h a d o w e d f o r e < j - ? T h e a d d i t i o n o f d o u b l e d i f f r a c t i o n u 2 e l i m i n a t e s t h i s d i s c o n t i n u i t y b e c a u s e i t c a n b e s h o w n t h a t ( F i g . 9 . 4 a ) + i k f s i n e a „ + " i k f s i n e -ik£cos6 1 7 0 b [ 6 M 1 - , ) + ] e 2 + u d [6-<J-¥> +] e 1 <- - i k - s i n e -ik£cose = u d [ e - ^ - Y M e 2 e (9.24) i f t h e a s y m p t o t i c f o r m (8.5) i s u s e d . S i m i l a r l y t h e d i s c o n t i n u i t y a t 6 = T T / 2 c a u s e d b y s h a d o w i n g o f f o r e < n/2 c a n b e e l i m i n a t e d b y a d d i n g b e c a u s e ( F i g . 9 . 4 b ) 3d d + + i k — s i n 6 -ik£cose + - i k — s i n e -ik£.cos9 c it , 2 e r o T T 2 u x [6= - ] e e + u 2 [6= j ] e e d - i k — s i n e -ik£cos9 = [6= \ } e e . (9.25) S i m i l a r l y t h e d i s c o n t i n u i t y a t e = +^ c a u s e d b y s h a d o w i n g o f C T T f ^ 1 f o r 8 > — + y c a n b e e l i m i n a t e d b y a d d i n g " 2 b e c a u s e ( F i g . 9 . 4 c ) 3d d +ik — s i n e -ik2.cosS + i k — s i n 6 [ 6 = ( j + Y ) ~ ] e e + u 2 [e=(j+«n~] e + i k — s i n e = [ 6 = ( j +^) + ] e 2 . (9.26) S i m i l a r l y t h e d i s c o n t i n u i t y a t e = - ^ - y c a u s e d b y s h a d o w i n g o f f o r e > -y c a n b e e l i m i n a t e d b y a d d i n g u 2 b e c a u s e ( F i g . 9 . 4 d ) d d - i k — s i n e - i k 2 c o s 9 , + i k — s i n ? uJ [6=(^ e 2 e + u* [6=(^- -*')'] e 2 <3 . „ +ik — s i n e f r o -3TT + 2 = u 2 [ e = ( — -H-) ] e . (9.27) H o w e v e r t h e a d d i t i o n o f t h e s e d o u b l e d i f f r a c t i o n t e r m s d o e s n o t c o m p l e t e l y e l i m i n a t e d i s c o n t i n u i t i e s i n t h e r a d i a t i o n p a t t e r n , b e c a u s e t h e a d d e d t e r m s a r e t h e m s e l v e s s h a d o w e d i n s o m e r e g i o n s a n d h a v e d i s c o n t i n u i t i e s a t t h e s h a d o w 171 b o u n d a r i e s . H o w e v e r , t h e d i s c o n t i n u i t i e s i n t h e d o u b l e d i f f r a c t i o n t e r m s i s m u c h l e s s t h e n t h o s e i n t h e s i n g l e d i f f r a c t i o n t e r m s , s o t h a t t h e o v e r a l l e f f e c t o f a d d i n g t h e d o u b l e d i f f r a c t i o n t e r m s i s t o r e d u c e t h e d i s c o n t i n u i t i e s i n t h e r a d i a t i o n p a t t e r n . S i m i l a r l y , b y a d d i n g c e r t a i n t r i p l e d i f f r a c t i o n t e r m s , t h e d i s c o n t i n u i t i e s i n t h e d o u b l e d i f f r a c t i o n t e r m s c a n e a c h b e e l i m i n a t e d . A g a i n , t h e d i s c o n t i n u i t i e s w h i c h r e m a i n i n t h e t r i p l e d i f f r a c t i o n t e r m s a r e m u c h l e s s t h e n t h o s e i n t h e d o u b l e d i f f r a c t i o n t e r m s . I n s u m m a r y , h i g h e r o r d e r d i f f r a c t i o n t e r m s c a n b e a d d e d t o r e d u c e t h e d i s c o n t i n u i t i e s a t s h a d o w b o u n d a r i e s . T h e r a d i a t i o n p a t t e r n s o f o r t h e s t a g g e r e d g u i d e o f F i g . 9 . 5 i s c a l c u l a t e d i n e x a c t l y t h e s a m e w a y a s sQ . i t i s f o u n d t h a t ~Q(B) = S ( 2 T T - 9 ) T h e r a y p a t h s w h i c h m u s t b e c o n s i d e r e d t o f i n d s o a r e t h e m i r r o r i m a g e a b o u t t h e z - a x i s o f t h o s e s h o w n i n F i g . 9 . 2 . 9 . 3 N U M E R I C A L A N D E X P E R I M E N T A L R E S U L T S T h e r a d i a t i o n p a t t e r n o f a s i n g l e s t a g g e r e d p a r a l l e l - p l a t e w a v e g u i d e c a l c u l a t e d b y r a y - o p t i c a l m e t h o d s i s c o m p a r e d w i t h t h e m e a s u r e d E - p l a n e p a t t e r n s o f t h e H - p l a n e s e c t o r a l h o r n f o r a s t a g g e r a n g l e o f ^ = 4 5 ° . T h e p a t t e r n s c o n s i s t o f a s i n g l e a s y m m e t r i c a l l o b e w i t h m a x i m u m a m p l i t u d e a t a b o u t 9 = 4 0 ° o f f t h e g u i d e a x i s ( F i g s . 9 . 6 a - d ) . T h e 172 d i s c o n t i n u i t i e s w h i c h m i g h t b e e x p e c t e d o n t h e f o u r s h a d o w i b o u n d a r i e s a t 6=-135°, - 9 0 ° , - 4 5 ° , a n d + 4 5 ° ( F i g . 9 . 3 ) a r e v e r y s m a l l w h e n t h e a s y m p t o t i c f o r m ( 8 . 5 ) i s u s e d . I f ( 8 . 5 ) i s n o t u s e d t h e r e i s a d i s c o n t i n u i t y o f a b o u t 3 d B a t £ = + 4 5 ° b u t a l l o t h e r d i s c o n t i n u i t i e s r e m a i n s m a l l . T h e p h a s e v a r i e s c o n s i d e r a b l y i n t h e f o r w a r d d i r e c t i o n ( | © | < 9 0 ° ) i n c o n t r a s t t o a n o n - s t a g g e r e d g u i d e w h e r e t h e p h a s e i s e s s e n t i a l l y c o n s t a n t o v e r t h i s r a n g e . T h e e x p e r i m e n t a l p a t t e r n s g e n e r a l l y a g r e e d w i t h t h e r a y - o p t i c a l t h e o r y t o w i t h i n 1 d B e x c e p t a t l a r g e a n g l e s . T h e p a t t e r n s c a l c u l a t e d b y R y a n a n d R u d d u c k [ 4 2 ] a r e v e r y s i m i l a r t o t h o s e o b t a i n e d h e r e i f o n l y t h e r a y p a t h s 9 . 1 a - h a r e c o n s i d e r e d . R a d i a t i o n p a t t e r n s c a l c u l a t e d u s i n g o n l y s i n g l e a n d d o u b l e d i f f r a c t i o n a r e s h o w n i n F i g . 9 . 7 . T h e s i n g l e d i f f r a c t i o n p a t t e r n h a s p r o n o u n c e d d i s c o n t i n u i t i e s a t t h e s h a d o w b o u n d a r i e s , b u t t h e d o u b l e d i f f r a c t i o n p a t t e r n h a s r e m a r k a b l y s m a l l d i s c o n t i n u i t i e s a n d i s v e r y s i m i l a r t o t h e t r i p l e d i f f r a c t i o n p a t t e r n . T h e r a d i a t i o n p a t t e r n s f o r s t a g g e r a n g l e s f r o m 0 ° t o 7 5 ° a t a f i x e d g u i d e w i d t h a r e s h o w n i n F i g . 9 . 8 . T h e p a t t e r n c h a n g e s g r a d u a l l y f r o m t h a t o f a n o n - s t a g g e r e d g u i d e a s i s i n c r e a s e d a n d b e c o m e s m o r e a s y m m e t r i c a l . 9 . 4 S U M M A R Y T h e r a d i a t i o n p a t t e r n o f a s i n g l e s t a g g e r e d p a r a l l e l p l a t e w a v e g u i d e i s c a l c u l a t e d b y r a y - o p t i c a l m e t h o d s . T h e 173 d i s c o n t i n u i t i e s e x p e c t e d a l o n g t h e f o u r s h a d o w b o u n d a r i e s a r e v e r y s m a l l , e v e n w h e n t e r m s u p t o a n d i n c l u d i n g o n l y d o u b l e d i f f r a c t i o n a r e c o n s i d e r e d . T h e g o o d a g r e e m e n t b e t w e e n t h i s t h e o r y a n d t h e e x p e r i m e n t a l r e s u l t s g i v e s c o n f i d e n c e t h a t b o t h m a y b e a p p l i e d t o m o r e c o m p l e x g e o m e t r i e s . H d/2 F i g . 9.1 staggered p a r a l l e l p l a t e waveguide \ \ \ \ /Ti Tin vUTi m n F i g . 9.2 ray paths f o r r a d i a t i o n p a t t e r n c a l c u l a t i o n I I 175 III ; iv H F i g . 9.3 shadow b o u n d a r i e s f o r s t a g g e r e d p a r a l l e l p l a t e waveguides r/ + + F i g . 9.4 c o n t i n u i t y f i e l d s a c r o s s shadow b o u n d a r i e s see eqns. (9.24) - ( 9 . 2 7 ) . 176 1 — j d/2 d/2 F i g . 9.5 s t a g g e r e d p a r a l l e l p l a t e wavegu ide - 1 8 0 - 9 0 0 90 angle (degrees) 9 0 n angle (degrees) F i g . 9.6a R a d i a t i o n p a t t e r n o f s t a g g e r e d waveguide ¥=45°. d-0.3 u s i n g (8.5) u s i n g (8.4) 178 -270 -I • • • • . • • • -180 -90 0 90 180 angle (degrees) F i g . 9.6b R a d i a t i o n p a t t e r n o f s t a g g e r e d waveguide ¥=45 . d=0.373X 179 - 3 0 - H—• • — ' ' ' ' -1 ' ~ ~ L - 1 8 0 - 9 0 0 90 180 angle (degrees) 90 i angle (degrees) F i g . 9 . 6 c R a d i a t i o n p a t t e r n o f s t a g g e r e d waveguide ¥ = 4 5 . d=0.407X 180 181 angle (degrees) 9 0 i angle (degrees) F i g . 9.6e Radiation pattern of staggered waveguide ¥=45 . d=0.474X 182 -270 -I • • 1 • • . • • . • • . -180 -90 0 90 180 angle (degrees) F i g . 9.7 Radiation pattern of staggered waveguide ¥=45° sing l e and double d i f f r a c t i o n only. d=0.441A sing l e d i f f r a c t i o n s i n g l e and double d i f f r a c t i o n 183 CD 33. O C L > -180 •90 0 angle (degrees) 90 90 Cl -90 H -180 -270 -180 -90 0 angle (degrees) 90 F i g . 9.8 Radiation pattern of staggered waveguide f o r various stagger angles. ... ^=15' — • ¥=30' 4/=45c ¥=60 c 184 C h a p t e r 10 R A D I A T I O N F R O M M U L T I - E L E M E N T S T A G G E R E D W A V E G U I D E A R R A Y 10.1 I N T R O D U C T I O N T h e r a d i a t i o n p a t t e r n o f a m u l t i - e l e m e n t w a v e g u i d e a r r a y (Fig.10.1) w i t h s t a g g e r e d w a v e g u i d e s i s f o u n d b y m e t h o d s s i m i l a r t o t h o s e u s e d f o r t h e a r r a y o f C h a p t e r 6. T h e m a i n d i f f e r e n c e b e t w e e n t h e t w o a r r a y s i s t h a t i n t h e n o n - s t a g g e r e d a r r a y a l l e d g e s a r e i n t h e a p e r t u r e p l a n e , w h e r e a s i n t h e s t a g g e r e d a r r a y t h e o u t e r w a v e g u i d e e d g e s a r e b e h i n d t h e a p e r t u r e p l a n e . T h e s t a g g e r d o e s c h a n g e t h e r a d i a t i o n p a t t e r n c a l c u l a t i o n s i g n i f i c a n t l y , h o w e v e r . A s b e f o r e t h e p a t t e r n f o r t h e c a s e w h e n a l l g u i d e s a r e o f i n f i n i t e d e p t h i s c a l c u l a t e d f i r s t . T h e a d d i t i o n a l f i e l d s r a d i a t e d w h e n t h e o u t e r g u i d e s a r e s h o r t e d a r e c a l c u l a t e d l a t e r . T h e a n a l y s i s i s r e s t r i c t e d t o t h e T E M - c a s e . C o n s i d e r t h r e e a d j a c e n t s e m i - i n f i n i t e p a r a l l e l - p l a t e w a v e g u i d e s c o n s i s t i n g o f f o u r p e r f e c t l y c o n d u c t i n g i n f i n i t e l y t h i n h a l f - p l a n e s a t y = - d / 2 - a , z > l , y=-d/2,z>0, y=+d/2,z>0 a n d y = d / 2 + a , z > l (Fig.1 0 . 2 ) . T h e i n c i d e n t f i e l d (8.6) i n t h e c e n t r a l d r i v e n g u i d e -d/2<y<d/2 i s d e c o m p o s e d i n t o t w o p l a n e w a v e s e a c h w i t h v a l u e (8.7) a t t h e e d g e s y = - d/2,z=0 a n d y=+d/2,z=0. T h e s e t w o p l a n e w a v e s a r e r e p r e s e n t e d b y t h e i n c i d e n t r a y s i n t h e c e n t r a l g u i d e o f Fig.1 0 . 2 . 185 1 0 . 2 R A D I A T I O N W I T H O U T E R G U I D E S O F I N F I N I T E D E P T H T h e t o t a l r a d i a t i o n p a t t e r n s t o f t h e a r r a y o f t h r e e p a r a l l e l p l a t e w a v e g u i d e s w i t h o n l y t h e c e n t e r g u i d e d r i v e n i s c a l c u l a t e d . T h e f i e l d s t i s m a d e u p o f t h e s u m o f t h e f i e l d s s c a t t e r e d f r o m a l l t h e e d g e s a n d t h e i r i m a g e s . p 0 ^ r e p r e s e n t s t h e f i e l d s c a t t e r e d f r o m t h e o p e n e n d o f t h e c e n t r a l g u i d e o f w i d t h d , $ n ( n = l , 2 , 3 , 4 ) r e p r e s e n t s t h e t o t a l f i e l d s c a t t e r e d f r o m t h e n t h e d g e ( a s l a b e l l e d i n F i g . 1 0 . 2 ) n o t a l r e a d y i n c l u d e d i n P (d) ( F i g . 1 0 . 3 , 1 0 . 4 ) , a n d s - ( n = 3 , 4 ) r e p r e s e n t s t h e f i e l d s s c a t t e r e d f r o m t h e n t h e d g e a n d t h e n r e f l e c t e d f r o m t h e o u t e r s u r f a c e o f t h e c e n t r a l g u i d e ( F i g . 1 0 . 5 ) . T h e f i e l d s s- a p p e a r t o e m a n a t e f r o m t h e i m a g e o f t h e n t h e d g e . T h e t o t a l r a d i a t i o n p a t t e r n m u s t b e f o u n d s e p a r a t e l y f o r e a c h o f s e v e n d i f f e r e n t a n g u l a r r e g i o n s ( F i g . 1 0 . 6 ) , b e c a u s e n o t a l l e d g e s a n d i m a g e s a r e v i s i b l e a t a l l a n g l e s . T h e p a t t e r n n e e d o n l y b e c a l c u l a t e d f o r o < e < n b e c a u s e t h e p a t t e r n i s s y m m e t r i c a l a b o u t e = n . o < e < j a l l e d g e s e x c e p t e d g e 1 a r e s h a d o w e d a n d - i k ^ ^ s i n e -ikJccosG S - S , e 2 e . d O . l ) t 3 F o r j -w < e < ~ - i k ( ^ + 2 a ) s i n 6 -ik£cos6 S t = S 3 e - i k — s m o + S 1 e + P ( J ( d ) (10.2) 186 / F o r — < B < - i k ( d - ^ 2 p - ) s i n 6 -ik£cos6 - i k y s i n 6 + S l e + P 0 ( d ) - i k ( d j l | a - ) s i n e -ik2,cos6 + S- e e + S 2 6 F o r j +* < e < T; + i k — s i n 6 2 (10.3) • i k ( d ^ | p - ) s i n e -ik".cos9 - i k y s i n e + S e + P Q(d) +ik s i n e + S 2 6 +ik (—-~) s i n e -ik2.cos6 + S e e (10.4) 4 T h e f i e l d s P q w e r e c a l c u l a t e d i n C h a p t e r 5 . T h e f i e l d s s 1 a r e c a l c u l a t e d u s i n g t h e r a y p a t h s i n F i g . 1 0 . 3 . T h e f i e l d s s 3 a r e c a l c u l a t e d u s i n g t h e r a y p a t h s i n F i g . 1 0 . 4 . T h e f i e l d s s- a r e c a l c u l a t e d u s i n g t h e r a y p a t h s i n F i g . 1 0 . 5 . T h e r a y p a t h s u s e d t o c a l c u l a t e s 2 a n d s 4 a r e t h e i m a g e a b o u t t h e z - a x i s o f t h o s e s h o w n i n F i g s . 1 0 . 3 a n d 1 0 . 4 . T h e 187 s o l u t i o n s f o r t h e f i e l d s r e p r e s e n t e d b y a l l t h e s e r a y p a t h s a r e f o u n d i n a m a n n e r s i m i l a r t o t h a t i n C h a p t e r 8 a n d 9. T o c a l c u l a t e s 1 c o n s i d e r t h e r a y d i a g r a m i n F i g . 1 0 . 3 . H e r e t h e r a d i a t e d f i e l d i s a l i n e s o u r c e u, = ^ G ' ( C , 2 T T ^ -V)G AC,^ -V,^r -4-)G Ac ,\ - Y , 6 ) E ( r ) (10.5) 13 2 a 2 a. 2. z o\ , w h e r e c = X 2 + a^ . T o c a l c u l a t e s 3 c o n s i d e r t h e r a y d i a g r a m i n F i g . 1 0 . 4 . I n F i g . 1 0 . 4 a t h e r a d i a t e d f i e l d u 3 2 i s a l i n e s o u r c e u 3 2 = 2 G d ( c ' 2 " ' f - * ) G d ( c ' 1 2 - ^ 6 ) E ( r ) • ( 1 0 ' 6 ) I n F i g . 1 0 . 4 b t h e r a d i a t e d f i e l d u 3 3 i s a l i n e s o u r c e U 3 3 = 2 G d ( c ' 2 7 ; . | -*'>VCHT - ^ . 1 f ) G d ( 2 a , ^ , e ) E ( r ) . (10.7) I n F i g . 1 0 . 4 c t h e r a d i a t e d f i e l d u 3 3 i s a l i n e s o u r c e U 3 3 = 2 G d ( d * 0 - 2 ) G d ( d ' 1 f , 2 " V ) G d ( c , 1 2 -'> e> E( r> • ( 1 0- 8> T o c a l c u l a t e s- c o n s i d e r t h e r a y d i a g r a m i n F i g . 1 0 . 5 . I n F i g . 1 0 . 5 a t h e r a d i a t e d f i e l d i s a l i n e s o u r c e = i G l ( c , 2 i r , f -V)G.(c,-2f -Y,2ir-9)E(r). (10.9) 32 2 d z a z I n F i g . 1 0 . 5 b t h e r a d i a t e d f i e l d i s a l i n e s o u r c e U 3 3 = 2 G d ( c ' 2 ^ ' f - ^ G j C c . ^ j - -y,^j)-G d(2a,^ 2 L,27i-e)E(r) . (10.10) I n F i g . 1 0 . 5 c t h e r a d i a t e d f i e l d i s a l i n e s o u r c e U 3 3 = | G d ( d , 0 , | ) G d ( d ) ^ , | - ¥ ) G d ( c , ^ - H , 2 , - 6 ) E ( r ) . (10.11) 2 S i m i l a r c a l c u l a t i o n s f o r t h e f i e l d s s 2 s c a t t e r e d f r o m t h e 188 e d g e y = - d / 2 , z = 0 a n d s 4 f r o m y = - d / 2 - a , z = l s h o w t h a t S 2 = -S]_ t (10.12) S. = -S. (10.13) T h e s e r e s u l t s f o r s n a n d s ~ a r e now s u b s t i t u t e d i n t o ( 1 0 . 1 ) , ( 1 0 . 2 ) , ( 1 0 . 3 ) a n d ( 1 0 . 4 ) t o g i v e t h e t o t a l r a d i a t i o n p a t t e r n o f t h e a r r a y o f F i g . 1 0 . 2 . 1 0 . 3 R A D I A T I O N W I T H O U T E R G U I D E S S H O R T E D C o n s i d e r t h e a r r a y o f F i g . 1 0 . 1 , w h i c h i s e q u i v a l e n t t o t h e a r r a y o f F i g . 1 0 . 2 e x c e p t t h a t t h e o u t e r g u i d e s a r e now o f f i n i t e d e p t h . T h e f i e l d s c o u p l e d i n t o t h e s e g u i d e s w i l l b e r e f l e c t e d f r o m t h e f a r e n d a n d r e r a d i a t e d . A d j u s t i n g t h e d e p t h o f t h e g u i d e s w i l l c h a n g e t h e r e l a t i v e p h a s e o f t h e i r r a d i a t i o n a n d t h u s a l t e r t h e r a d i a t i o n p a t t e r n . T h e c o u p l i n g c o e f f i c i e n t A g(d,a) b e t w e e n t h e c e n t r a l d r i v e n g u i d e o f w i d t h d a n d t h e a d j a c e n t s t a g g e r e d o u t e r g u i d e o f w i d t h a h a s b e e n c a l c u l a t e d i n C h a p t e r 8. T h e c o u p l e d f i e l d s t r a v e l d o w n t h e o u t e r g u i d e a n d a r e r e f l e c t e d a t t h e s h o r t e d e n d . T h e f i e l d s t h e n t r a v e l t o w a r d s t h e o p e n e n d , w h e r e p a r t i s r e f l e c t e d b a c k a n d p a r t i s r a d i a t e d . T h e v a l u e A' o f t h e f i e l d s i n t h e o u t e r g u i d e s a t t h e a p e r t u r e p l a n e z = 0 r e l a t i v e t o t h o s e f r o m t h e c e n t r a l d r i v e n g u i d e i s t h e s u m o f a g e o m e t r i c s e r i e s 189 w h e r e R g ( a ) i s t h e r e f l e c t i o n c o e f f i c i e n t a t t h e o p e n e n d of t h e s t a g g e r e d p a r a l l e l - p l a t e w a v e g u i d e o f w i d t h a [ 4 0 ] , a n d S i s t h e d e p t h o f t h e o u t e r g u i d e m e a s u r e d f r o m t h e a p e r t u r e p l a n e . T h e t o t a l r a d i a t i o n p a t t e r n o f t h e a r r a y o f F i g . 1 0 . 1 i s c a l c u l a t e d b y a d d i n g t h e r a d i a t i o n f i e l d c a u s e d b y t h e f i n i t e d e p t h o f t h e o u t e r g u i d e s t o t h e f i e l d s r a d i a t e d f r o m t h e a r r a y o f F i g . 1 0 . 2 . T h e a d d i t i o n a l f i e l d s c o n s i s t o f f i e l d s r a d i a t e d d i r e c t l y f r o m t h e o u t e r g u i d e s , a n d f i e l d s f r o m o t h e r e d g e s e x c i t e d b y f i e l d s i n a s h o r t e d g u i d e ( F i g . 1 0 . 7 ) . R a d i a t i o n f r o m t h e o u t e r g u i d e s i s s i m p l y t h e p a t t e r n s 0 ( 9 . 1 9 - 9 . 2 2 ) o f a s t a g g e r e d p a r a l l e l - p l a t e w a v e g u i d e m u l t i p l i e d b y A* o f ( 1 0 . 1 4 ) . S c a t t e r i n g f r o m o t h e r e d g e s d u e t o r a d i a t i o n f r o m t h e o u t e r g u i d e s i s c a l c u l a t e d b y c o n s i d e r i n g t h e r a y p a t h s i n F i g . 1 0 . 7 . I n F i g . 1 0 . 7 a t h e f i e l d f r o m t h e e d g e y = + d / 2 , z = 0 c a n b e w r i t t e n U 1 ' 2 = J G d ( d , 2 i r , ^ ) G d ( d , 2 j , 6 ) E ( r ) . (10.15) I n F i g . 1 0 . 7 b t h e f i e l d f r o m t h e e d g e y = + d / 2 , z = 0 c a n b e w r i t t e n i n / 4 U 1 ' 3 = 4 G ' ( d , 0 , ^ ) G d ( 2 d , ^ , e ) - ^ G d ( d , 0 , ^ ) E ( d ) G d ( d , ^ , e ) . A / 2TT (10.16) I n F i g . 1 0 . 7 c t h e f i e l d f r o m t h e e d g e y = + d / 2 , z = 0 i s -ikJ. V 3 " ^~T~ °d V L' u'2 " r , ' l ' d ^ , ~ 2 ^ ' 2 ' 0 d v u ' ~ 2 "n.$ = Z-z— G l ( c , 0 , - ^ +V)G J(c , 3 4 + 4 ' , ^ ) G J ( d , ^ , 6 ) . (10.17) I n F i g . 1 0 . 7 d t h e f i e l d f r o m t h e e d g e y = + d / 2 + a , z = l i s U 1 ' 3 = | G d ( d ' 2 ^ | ) G d ( d , ^ - ¥ ) G d ( c , ^ - - ¥ , e ) . (10.18) I n F i g . 1 0 . 7 e t h e f i e l d f r o m t h e e d g e y = + d / 2 - a , z = l i s e I n . f c . 3 j L _ H - 2 7 1 - 6 ) (10.19) = iG d(d . 2,.|)G d(d.2|.f-*)G d ( c . ^ - , . 2 i . - e ) u 3 ' 3 2 w d T h e f i e l d s ( 1 0 . 1 5 ) , ( 1 0 . 1 6 ) a n d ( 1 0 . 1 7 ) a r e a d d e d t o g i v e t h e f i e l d f r o m t h e e d g e y = d / 2 , z = 0 e x c i t e d b y r a d i a t i o n f r o m t h e o u t e r g u i d e s . S i m i l a r l y ( 1 0 . 1 8 ) g i v e s t h e f i e l d S 3 f r o m t h e e d g e y = + d / 2 + a , z = l , a n d ( 1 0 . 1 9 ) g i v e s t h e f i e l d f r o m t h e i m a g e p o i n t y = + d / 2 - a , z = l . S i m i l a r c a l c u l a t i o n s o f t h e f i e l d s f r o m t h e e d g e y = - d / 2 , z = 0 a n d S 4 f r o m y = - d / 2 - a , z = l s h o w t h a t c - = _ s ' (10.20) S 2 1 K - -H (1°-21) 4 3 • T h e a d d i t i o n a l r a d i a t i o n c a u s e d b y t h e f i n i t e d e p t h o f t h e o u t e r g u i d e s i s t h e a r r a y sum o f s Q , S^, and s£ m u l t i p l i e d b y t h e c o e f f i c i e n t A* o f ( 1 0 . 1 4 ) . T h i s r a d i a t i o n i s a d d e d t o S i n ( 1 0 . 1 ) - ( 1 0 . 4 ) t o o b t a i n t h e c o m p l e t e r a d i a t i o n p a t t e r n s t o t a l f o r t h e a r r a y o f F i g . 1 0 . 1 . F o r 0 < 6 < — 2 - i k ( d j ^ ) s i n e -ik£cos6 S , = + A 'S ' e t o t a l t 3 - i k (d-^") s i n 6 + A 'S 0 e 2 • (10.22) 191 IT Ti F o r - - ¥ < 6 < - - i k j — ^ s i n e -ik£cos6 s = S + A ' S ' e e ^ t o t a l t 3 + A ' S Q e - i k l y s i n e + A ' S ^ e -ik — sine (10.23) F o r — < 6 < +¥ 2 2 t o t a l - i k ( d - f 2 a ) sine -ik£cos6 S + A ' S ' e e t 3 + A ' S e 0 - i k ( ~ . ) s i n 6 + A ' S ^ e - i k — s i n 6 - i k ( d 2 a ) s i n 6 -ik£cos6 + A ' S - e e 3 + A ' S ' e 2 +ik — sine + A S 0 e + i k ( ~ 2 — ) sine (10.24) 192 F o r j +¥ < e < TI - i k (d"'"2a) s i n S -ik£cos6 S . , = S + A ' S ' e e t o t a l t 3 . , ,d+a, . „ - i k (——) s i n e + A ' S e 0 . , d . „ - i k — s i n e + A ' S ^ e + i k — s i n e + A ' S ' e 2 2 . , ,d+a. . „ - _ + i k ( — — - ) s i n e + A ' S e 0 +ik ( d" f 2 a) s i n 6 -ik£cos9 + A ' s 4 e e • (10.25) 10.4 N U M E R I C A L A N D E X P E R I M E N T A L R E S U L T S T h e r a d i a t i o n p a t t e r n o f a t h r e e e l e m e n t s t a g g e r e d w a v e g u i d e a r r a y c a l c u l a t e d b y r a y - o p t i c a l m e t h o d s i s c o m p a r e d w i t h m e a s u r e d E - p l a n e p a t t e r n s o f a n H - p l a n e s e c t o r a l h o r n w i t h a p p e n d a g e s a d d e d t o s i m u l a t e t h e o u t e r g u i d e s . R a d i a t i o n p a t t e r n s w h e n t h e o u t e r g u i d e s a r e o f i n f i n i t e d e p t h a r e s h o w n i n F i g . 1 0 . 8 f o r v a r i o u s s t a g g e r a n g l e s y . A s y c h a n g e s f r o m 0° t o 90° t h e s h a p e o f t h e 193 p a t t e r n c h a n g e s g r a d u a l l y f r o m t h a t o f a t h r e e e l e m e n t n o n - s t a g g e r e d a r r a y t o t h a t o f a s i n g l e g u i d e , a s m i g h t b e e x p e c t e d . T h e g e n e r a l e f f e c t o f i n c r e a s i n g \jf i s t o b r o a d e n t h e p a t t e r n . W h e n t h e o u t e r g u i d e s a r e o f f i n i t e d e p t h t h e p a t t e r n s a r e g e n e r a l l y s i m i l a r t o t h o s e f o r t h e t h r e e e l e m e n t n o n - s t a g g e r e d a r r a y . T h e p a t t e r n s h a v e 3 d B b e a m w i d t h s r a n g i n g f r o m ± 2 0 ° t o * 9 0 ° d e p e n d i n g o n t h e f r e q u e n c y ( F i g . 1 0 . 9 - 1 0 . 1 3 ) . T h e d i s c o n t i n u i t i e s e x p e c t e d a l o n g t h e s h a d o w b o u n d a r i e s a t &= TT/2 a n d 6= 1 I / 2 + y w e r e g e n e r a l l y s m a l l e r t h e n i n t h e n o n - s t a g g e r e d c a s e : l e s s t h e n 2 d B a t 6 - ~>T/2 a n d l e s s t h e n 1 d B a t © = "n"/2 + y . T h i s i s b e c a u s e t h e r e a r e o n l y t w o e d g e s a l o n g a n y s h a d o w b o u n d a r y i n t h e s t a g g e r e d a r r a y a s c o m p a r e d t o f o u r o r s i x e d g e s i n t h e n o n - s t a g g e r e d a r r a y s o f C h a p t e r s 6 a n d 7 . T h e e x p e r i m e n t a l p a t t e r n s g e n e r a l l y a g r e e w i t h t h e c a l c u l a t e d o n e s t o w i t h i n 1 d B u p t o 0 = 1 6 0 ° a n d w i t h i n 3 d B u p t o e ' = - 1 5 0 ° . T h e p a t t e r n s a t e' = 1 8 0 ° c o u l d n o t b e m e a s u r e d a c c u r a t e l y b e c a u s e o f b l o c k a g e b y t h e a n t e n n a m o u n t i n g a r r a n g e m e n t {e'-9-ir). T h e e f f e c t o f i n c r e a s i n g y f r o m 0 ° t o 6 0 ° f o r a f i x e d g u i d e d e p t h i s s h o w n i n F i g . 1 0 . 1 4 . T h e p a t t e r n s c h a n g e g r a d u a l l y f r o m t h e n o n - s t a g g e r e d p a t t e r n f o r t h a t g u i d e d e p t h , w h i c h h a s a n u l l o n t h e b e a m a x i s , t o a p a t t e r n w i t h a s i n g l e l o b e w i t h b e a m w i d t h c o n s i d e r a b l y n a r r o w e r t h e n t h a t o f a s i n g l e g u i d e . 194 10.5 SUMMARY T h e r a d i a t i o n p a t t e r n o f a n a r r a y o f s t a g g e r e d p a r a l l e l p l a t e w a v e g u i d e s w a s c a l c u l a t e d b y r a y - o p t i c a l m e t h o d s a n d c o m p a r e d w i t h e x p e r i m e n t a l r e s u l t s o b t a i n e d u s i n g a n H - p l a n e s e c t o r a l h o r n w i t h a p p e n d a g e s . T h e c a l c u l a t i o n i s m o r e c o m p l e x t h e n t h e n o n - s t a g g e r e d c a s e b e c a u s e t h e r e a r e m o r e s h a d o w b o u n d a r i e s a n d m o r e r a y p a t h s t o b e c o n s i d e r e d . O n t h e o t h e r h a n d , t h e c a l c u l a t i o n i s s i m p l e r b e c a u s e n o t a l l e d g e s a r e i n t h e s a m e p l a n e , t h u s a v o i d i n g t h e d i f f i c u l t i e s o f m u l t i p l e e d g e s a l o n g a s h a d o w b o u n d a r y . T h e d i s c o n t i n u i t i e s o b s e r v e d a t t h e s h a d o w b o u n d a r i e s a r e g e n e r a l l y m u c h s m a l l e r t h e n t h o s e o b s e r v e d i n t h e n o n - s t a g g e r e d c a s e . T h i s i s n o t u n e x p e c t e d b e c a u s e o n l y o n e e d g e i s s h a d o w e d a t a t i m e w h e n t r a v e r s i n g s h a d o w b o u n d a r i e s i n t h e s t a g g e r e d a r r a y , a s c o m p a r e d t o t h r e e o r f i v e w h i c h m a y b e s h a d o w e d i n t h e n o n - s t a g g e r e d a r r a y . T h e p a t t e r n s a r e g e n e r a l l y b r o a d e r t h e n f o r t h e n o n - s t a g g e r e d c a s e , e s p e c i a l l y f o r l a r g e ty" . T h e p a r a m e t e r s c a n b e a d j u s t e d t o g i v e a s i g n i f i c a n t r e d u c t i o n i n b e a m w i d t h a s c o m p a r e d t o a s i n g l e g u i d e , h o w e v e r . F i g . 10.1 a r r a y o f s t a g g e r e d p a r a l l e l p l a t e waveguides w i t h o u t e r g u i d e s s h o r t e d T a d/2 d/2 4— F i g . 10.2 a r r a y o f s t a g g e r e d p a r a l l e l p l a t e waveguides w i t h o u t e r g u i d e s o f i n f i n i t e d e p t h 196 \ F i g . 10.3 r a y p a t h f o r c a l c u l a t i n g \ \ \ F i g . 10.4 r a y p a t h s f o r c a l c u l a t i n g v/ y/n v/ F i g . 10.5 r a y p a t h s f o r c a l c u l a t i n g Ill II / I \ V I I V I F i g . 10.6 hadow boundaries for an array of taggered p a r a l l e l plate waveguides \ d F i g . 10.7 ray paths (see text) £-20 -30 -180 -90 0 90 angle (degrees) 180 180 4 Si 9 0 33. 0 -90 4 -180 -180 -90 0 angle (degrees) 90 F i g . 10.8 R a d i a t i o n p a t t e r n o f s t a g g e r e d waveguide a r r a y w i t h o u t e r g u i d e s o f i n f i n i t e d e p t h d=a=0.450X ¥=45°. ¥=15 £ ¥=30* ¥=45 ¥=60 c ¥=75 > - 2 0 Cu > - 3 0 - 1 8 0 - 9 0 0 9 0 angle (degrees) 1 8 0 n - 1 8 0 - 1 8 0 - 9 0 0 90 angle (degrees) F i q . 10.9 R a d i a t i o n p a t t e r n o f s t a g g e r e d wave d=a=0.474X s=1.166X ¥=45 . 200 angle (degrees) 180 i angle (degrees) 10.10 R a d i a t i o n p a t t e r n o f s t a g g e r e d waveguide a r r a y d=a=0.441X s=1.083X ¥=45°. 201 angle (degrees) 180 i angle (degrees) 10 11 R a d i a t i o n p a t t e r n o f s t a g g e r e d waveguide a r r a y d=a=0.407X s=1.000X ¥=45°. 202 angle (degrees) - 1 8 0 - 1 8 0 - 9 0 0 angle (degrees) 90 180 F i g . 10.12 R a d i a t i o n p a t t e r n o f s t a g g e r e d waveguide a r r a y d=a=0.373X s=0.916X ¥=45°. 203 angle (degrees) 1 8 0 n - 1 8 0 - 1 8 0 - 9 0 0 angle (degrees) 90 180 F i g 10 13 R a d i a t i o n p a t t e r n o f s t a g g e r e d wavegu ide a r r a y d=a=0.339X s=0.833X ¥=45°. 204 0 i 03 0» -10 CD I Q . £ -20 4 -30 -180 -90 0 90 angle (degrees) 0) cn SI CL 180 i 90 -90 1 -180 -180 -90 0 angle (degrees) 90 180 F i g . 10 .14 R a d i a t i o n p a t t e r n o f s t a g g e r e d w a v e g u i d e a r r a y f o r v a r i o u s s t a g g e r a n g l e s ¥ d=a=0.450X s=1 .107X. ¥ = 1 5 c ¥ = 3 0 ' ¥ = 4 5 ¥ = 6 0 ' 205 C h a p t e r 11 G E N E R A L C O N C L U S I O N S A N D D I S C U S S I O N 11.1 D I S C U S S I O N R a y - o p t i c a l m e t h o d s b a s e d o n t h e g e o m e t r i c a l t h e o r y o f d i f f r a c t i o n h a v e b e e n u s e d t o a n a l y z e t h e f i e l d s i n c o u p l e d p a r a l l e l p l a t e w a v e g u i d e s . C o u p l i n g c o e f f i c i e n t s b e t w e e n b o t h a d j a c e n t a n d s e p a r a t e d w a v e g u i d e s w e r e c a l c u l a t e d . R a d i a t i o n p a t t e r n s f o r s m a l l a r r a y s , b o t h s t a g g e r e d a n d n o n - s t a g g e r e d , w e r e c a l c u l a t e d a n d a l s o m e a s u r e d u s i n g a n H - p l a n e s e c t o r a l h o r n t o s i m u l a t e t h e t w o - d i m e n s i o n a l s t r u c t u r e s . R a y - o p t i c a l m e t h o d s w e r e c h o s e n f o r t h i s a n a l y s i s l a r g e l y b e c a u s e o f t h e g o o d r e s u l t s o b t a i n e d b y o t h e r s f o r v a r i o u s s i m p l e s t r u c t u r e s i n v o l v i n g h a l f - p l a n e s a n d p a r a l l e l p l a t e w a v e g u i d e s . T h e s t r u c t u r e s c o n s i d e r e d h e r e , e v e n t h o u g h c o n s i d e r a b l y m o r e c o m p l e x , c o n s i s t o f v a r i o u s c o m b i n a t i o n s o f p a r a l l e l p l a t e w a v e g u i d e s . T h u s i t w a s a n t i c i p a t e d t h a t r a y - o p t i c a l m e t h o d s m i g h t b e e x t e n d e d t o t h e s e m o r e c o m p l e x s t r u c t u r e s . T h e g e n e r a l l y g o o d a g r e e m e n t o f t h e r a y - o p t i c a l r e s u l t s o b t a i n e d h e r e w i t h e x p e r i m e n t a l a n d o t h e r t h e o r e t i c a l r e s u l t s w h e r e a v a i l a b l e , i n d i c a t e s t h a t t h i s e x t e n s i o n c a n b e s u c c e s s f u l i f t h e n u m b e r o f d i f f r a c t i n g e d g e s i s s m a l l . S p e c i f i c a l l y , t h e c o u p l i n g c o e f f i c i e n t s o b t a i n e d h e r e a g r e e d q u i t e w e l l w i t h t h o s e c a l c u l a t e d b y o t h e r m e t h o d s i n t h e p r e s e n c e o f o t h e r g u i d e s a n d / o r a s i m u l a t e d g r o u n d p l a n e 206 [ 2 9 ] [ 3 8 ] . O t h e r r e s u l t s f o r c o u p l i n g b e t w e e n t w o a d j a c e n t g u i d e s i n i s o l a t i o n ( F i g . 3 . 1 ) w e r e n o t a v a i l a b l e f o r c o m p a r i s o n . R e s u l t s f o r c o u p l i n g b e t w e e n t w o s e p a r a t e d g u i d e s i n i s o l a t i o n ( F i g . 4 . 1 ) a g r e e d w i t h t h o s e o b t a i n e d u s i n g w e d g e d i f f r a c t i o n t e c h n i q u e s [ 1 7 ] i f t h e i n t e r a c t i o n b e t w e e n g u i d e s w a s i g n o r e d . T h e i n c l u s i o n o f t h i s i n t e r a c t i o n y i e l d e d a n o s c i l l a t i o n i n t h e c o u p l i n g v e r s u s s e p a r a t i o n c u r v e w h i c h w a s q u a l i t a t i v e l y s i m i l a r t o t h a t o b t a i n e d r e c e n t l y i n [ 3 8 ] u s i n g m o d i f i e d r e s i d u e c a l c u l u s , b u t n o t i n g o o d q u a n t i t a t i v e a g r e e m e n t . A g e n e r a l l a c k o f s e n s i t i v i t y o f t h e c o u p l i n g c o e f f i c i e n t s t o t h e d e t a i l s o f t h e s u r r o u n d i n g s t r u c t u r e w a s o b s e r v e d , w h i c h g i v e s c o n f i d e n c e t h a t t h e s e r e s u l t s m a y b e a p p l i e d d i r e c t l y t o m o r e c o m p l e x s t r u c t u r e s . T h e r a d i a t i o n p a t t e r n s o b t a i n e d h e r e f o r a r r a y s w i t h g u i d e s o f i n f i n i t e d e p t h ( F i g . 7 . 2 ) a g r e e d w e l l w i t h t h o s e c a l c u l a t e d b y . o t h e r m e t h o d s [ 2 9 ] [ 3 8 ] f o r t h e s a m e a r r a y i n i s o l a t i o n o r e m b e d d e d i n a s i m u l a t e d g r o u n d p l a n e . T h e p a t t e r n s f o r a r r a y s w i t h o u t e r g u i d e s s h o r t e d ( F i g s . 6 . 1 , 7 . 1 , 1 0 . 1 ) s h o w e d g o o d a g r e e m e n t w i t h e x p e r i m e n t a l p a t t e r n s u s i n g a n H - p l a n e s e c t o r a l h o r n i n a l l c a s e s . O t h e r c a l c u l a t e d p a t t e r n s f o r t h e s e a r r a y s w e r e n o t a v a i l a b l e f o r c o m p a r i s o n . T h e b a s i c d i f f i c u l t y i n a p p l y i n g r a y - o p t i c a l m e t h o d s t o t h e s e g e o m e t r i e s i s t h a t f i e l d s d i f f r a c t e d a l o n g s h a d o w b o u n d a r i e s a r e c o m b i n a t i o n s o f f i e l d s o f t h e s a m e o r d e r o f k a s t h e i n c i d e n t f i e l d a n d h i g h e r o r d e r d i f f r a c t e d f i e l d s . C o n s e q u e n t l y , t h e o r d e r o f e a c h s u b s e q u e n t d i f f r a c t e d f i e l d 207 i s n o t d i m i n i s h e d . T h u s o n e i m m e d i a t e r e s u l t o f e x t e n d i n g r a y - o p t i c a l m e t h o d s t o m o r e c o m p l e x s t r u c t u r e s i s t h a t t h e n u m b e r o f p o s s i b l e r a y p a t h s u p t o a g i v e n o r d e r o f d i f f r a c t i o n w h i c h m u s t b e c o n s i d e r e d g r o w s r a p i d l y a s m o r e h a l f - p l a n e e d g e s a r e i n t r o d u c e d i n t o t h e s t r u c t u r e f r o m w h i c h t h e r a y s m a y d i f f r a c t . A p a r a l l e l p l a t e w a v e g u i d e c o n t a i n i n g o n l y t w o e d g e s w i l l r e q u i r e o n l y 2 r a y p a t h s t o b e c o n s i d e r e d t o f i n d t h e c o n t r i b u t i o n t o t h e r e f l e c t i o n c o e f f i c i e n t f r o m t e r m s r e p r e s e n t i n g n t i m e s d i f f r a c t i o n . B y c o n t r a s t , t w o a d j a c e n t g u i d e s w i l l r e q u i r e m a n y r a y p a t h s ( d e p e n d i n g o n n , s e e A p p e n d i x B ) . T h u s r a y - o p t i c a l c a l c u l a t i o n s f o r s i m p l e g e o m e t r i e s w h i c h r e q u i r e t e r m s i n c l u d i n g h i g h o r d e r s o f d i f f r a c t i o n b e c o m e i n t r a c t a b l e f o r m o r e c o m p l e x g e o m e t r i e s . T h i s d i f f i c u l t y i s p a r t o f t h e r e a s o n w h y i t m a y b e v e r y d i f f i c u l t t o u s e t h e u n i f o r m a s y m p t o t i c t h e o r y ( U A T ) t o a c c u r a t e l y c a l c u l a t e t h e c o u p l i n g b e t w e e n a d j a c e n t w a v e g u i d e s . T h e U A T i s v e r y s u c c e s s f u l i n o b t a i n i n g e x c e l l e n t a g r e e m e n t w i t h t h e k n o w n e x a c t s o l u t i o n f o r t h e r e f l e c t i o n c o e f f i c i e n t o f a p a r a l l e l p l a t e w a v e g u i d e . E x c e l l e n t a g r e e m e n t i s o b t a i n e d e v e n a t t h e m o d e t r a n s i t i o n w i d t h s , w h e r e t h e e x a c t c u r v e o f c o u p l i n g v e r s u s g u i d e w i d t h h a s a c u s p w i t h d i s c o n t i n u o u s f i r s t d e r i v a t i v e . H o w e v e r , t h i s e x c e l l e n t a g r e e m e n t i s o n l y o b t a i n e d i f t e r m s u p t o n = 5 0 t i m e s d i f f r a c t i o n a r e i n c l u d e d . T h e u s e o f U A T w i t h o n l y a f e w o r d e r s o f d i f f r a c t i o n d o e s n o t g i v e s i g n i f i c a n t i m p r o v e m e n t i n t h e r e f l e c t i o n c a s e a t t h e m o d e t r a n s i t i o n w i d t h s o v e r t h e s i m p l e r r a y - o p t i c a l m e t h o d u s e d h e r e , a n d 208 t h u s w o u l d n o t b e e x p e c t e d t o s i g n i f i c a n t l y i m p r o v e t h e c o u p l i n g c o e f f i c i e n t e i t h e r . A n o t h e r r e s u l t o f e x t e n d i n g r a y - o p t i c a l m e t h o d s t o m o r e c o m p l e x s t r u c t u r e s i s t h a t t h e d i s c o n t i n u i t i e s w h i c h o c c u r a t t h e s h a d o w b o u n d a r i e s b e c o m e l a r g e r . F o r a s i n g l e p a r a l l e l p l a t e w a v e g u i d e t h i s d i s c o n t i n u i t y i n t h e a p e r t u r e p l a n e i s l e s s t h e 0 . 5 d B , e v e n w h e n o n l y 6 r a y p a t h s u p t o t r i p l e d i f f r a c t i o n a r e t a k e n i n t o a c c o u n t , a n d m a y b e r e d u c e d t o a n a r b i t r a r i l y s m a l l v a l u e b y c o n s i d e r i n g m o r e r a y p a t h s . F o r a t h r e e e l e m e n t a r r a y o f n o n - s t a g g e r e d g u i d e s t h i s d i s c o n t i n u i t y c a n b e u p t o 3 d B d e p e n d i n g o n t h e a r r a y p a r a m e t e r s , e v e n w h e n 2 0 r a y p a t h s u p t o q u a d r u p l e d i f f r a c t i o n a r e c o n s i d e r e d . I t w a s n o t p o s s i b l e t o r e d u c e t h i s d i s c o n t i n u i t y f u r t h e r b y t a k i n g m o r e t e r m s w i t h t h e m e t h o d u s e d h e r e . T h u s n e a r t h e s h a d o w b o u n d a r i e s , t h e a c c u r a c y o f t h e r a y - o p t i c a l m e t h o d d e c r e a s e s a s t h e c o m p l e x i t y o f t h e s t r u c t u r e i n c r e a s e s . T h e a c c u r a c y a w a y f r o m t h e s h a d o w b o u n d a r i e s i s o n l y s l i g h t l y a f f e c t e d b y t h e a r r a y s i z e , a s i n d i c a t e d b y t h e a g r e e m e n t b e t w e e n r a y - o p t i c a l a n d e x p e r i m e n t a l r e s u l t s , w h i c h i s a b o u t e q u a l l y g o o d f o r b o t h s i m p l e a n d m o r e c o m p l e x a r r a y s . T h e b a s i c r e a s o n f o r t h i s d i f f i c u l t y a t t h e s h a d o w b o u n d a r i e s i s t h a t t h e m e t h o d u s e d t o c a l c u l a t e t h e f i e l d s a l o n g s h a d o w b o u n d a r i e s i s n o t a c c u r a t e . I f a f i e l d r e p r e s e n t e d b y a r a y i n t h e a p e r t u r e p l a n e i s d i f f r a c t e d , t h e n t h e r e s u l t a n t f i e l d i n t h e a p e r t u r e p l a n e i s n o t a r a y f i e l d . T h u s w h e n t h i s f i e l d i s i n t u r n d i f f r a c t e d i n t h e 209 a p e r t u r e p l a n e , t h e r a y m e t h o d u s e d h e r e d o e s n o t y i e l d a n a c c u r a t e v a l u e . T h i s a p p l i e s t o a l l t r i p l y a n d h i g h e r o r d e r d i f f r a c t e d f i e l d s i n n o n - s t a g g e r e d o p e n - e n d e d p a r a l l e l p l a t e w a v e g u i d e s c a l c u l a t i o n s b y t h e r a y - o p t i c a l m e t h o d . F o r a s i n g l e g u i d e t h i s i n a c c u r a c y , a s m e a s u r e d b y t h e s i z e o f t h e d i s c o n t i n u i t y i n t h e p a t t e r n a n d c o m p a r i s o n w i t h t h e e x a c t r e s u l t i s q u i t e s m a l l . F o r t h e w a v e g u i d e a r r a y s , h o w e v e r , t h e e r r o r s a r e c u m u l a t i v e , b e c a u s e d i f f r a c t e d f i e l d s a r e r e p e a t e d l y c a l c u l a t e d a s i f t h e i n c i d e n t f i e l d s a r e r a y f i e l d s . T h e m e t h o d u s e d h e r e p r e d i c t s t h a t t h e s i n g l y d i f f r a c t e d f i e l d a l o n g t h e s h a d o w b o u n d a r y w i l l l o o k l i k e o n e - h a l f t h e i n c i d e n t f i e l d a n d t h e d o u b l y d i f f r a c t e d f i e l d w i l l l o o k l i k e o n e - q u a r t e r t h e i n c i d e n t f i e l d . L e e a n d B o e r s m a [ 3 2 ] s h o w e d t h i s t o b e i n a c c u r a t e f o r t h e c a s e o f a p l a n e w a v e i n c i d e n t o n t w o n o n - s t a g g e r e d p a r a l l e l p l a t e s a n d a l i n e s o u r c e i n c i d e n t o n t w o s t a g g e r e d p l a t e s . T h u s i t m a y b e e x p e c t e d t o b e i n a c c u r a t e f o r t h e c a s e o f a l i n e s o u r c e i n c i d e n t o n t w o n o n - s t a g g e r e d p l a t e s w h i c h a r i s e s r e p e a t e l y i n t h e a r r a y s o f C h a p t e r s 6 a n d 7 . I f a s o l u t i o n f o r t h i s d o u b l e h a l f - p l a n e d i f f r a c t i o n p r o b l e m w a s a v a i l a b l e , t h e d i s c o n t i n u i t i e s i n t h e r a d i a t i o n p a t t e r n s i n t h e a p e r t u r e p l a n e m i g h t h a v e b e e n r e d u c e d s o m e w h a t . H o w e v e r , f o r b e t t e r a c c u r a c y a s o l u t i o n t o t h e t r i p l e h a l f - p l a n e d i f f r a c t i o n p r o b l e m ( F i g . 4 . 1 2 ) w o u l d h a v e b e e n n e e d e d a l s o . W h e n t h e r a y - o p t i c a l m e t h o d s u s e d h e r e a r e e x t e n d e d t o m o r e c o m p l e x p a r a l l e l p l a t e w a v e g u i d e s t r u c t u r e s , t h e 210 c o m b i n a t i o n o f t h e l a r g e n u m b e r o f r a y p a t h s n e e d e d a n d t h e i n a c c u r a c y o f t h e m e t h o d a l o n g t h e s h a d o w b o u n d a r i e s l e a d s t o d i s c o n t i n u i t i e s u p t o ± 3 d B i n t h e n o n - s t a g g e r e d c a s e i n t h e c a l c u l a t e d r a d i a t i o n p a t t e r n , w h i c h c a n n o t b e e l i m i n a t e d i n a s i m p l e m a n n e r . H o w e v e r , t h e r a d i a t i o n p a t t e r n s a w a y f r o m t h e s h a d o w b o u n d a r y i n t h e a p e r t u r e p l a n e a g r e e q u i t e w e l l w i t h t h e e x p e r i m e n t a l r e s u l t s s o t h a t t h e r a y - o p t i c a l m e t h o d s e m p l o y e d h e r e c a n b e u s e f u l f o r p r e d i c t i n g t h e p a t t e r n s i n t h e a n g u l a r r e g i o n s o f g r e a t e s t i n t e r e s t f o r m o s t a p p l i c a t i o n s . T h u s r a y - o p t i c a l m e t h o d s c a n , w i t h i n t h e s e l i m i t s , s u c c e s s f u l l y p r e d i c t t h e r a d i a t i o n f r o m c o u p l e d p a r a l l e l p l a t e w a v e g u i d e s . T h e r a d i a t i o n p a t t e r n s o f s m a l l a r r a y s o f p a r a l l e l p l a t e w a v e g u i d e s a r e p o t e n t i a l l y s u i t a b l e f o r a v a r i e t y o f a p p l i c a t i o n s . A r e m a r k a b l y g o o d s e c t o r - s h a p e d p a t t e r n w i t h a - 1 0 d B b e a m w i d t h o f 1 3 4 ° a n d s t e e p s k i r t s w a s o b t a i n e d w i t h a f i v e e l e m e n t a r r a y , c o n s i d e r i n g t h a t t h e a p e r t u r e s i z e i s o n l y s l i g h t l y m o r e t h e n t w o w a v e l e n g t h s . A p a t t e r n w h o s e a m p l i t u d e w a s c o n s t a n t w i t h i n 0 . 5 d B o v e r a 1 2 0 ° a n g u l a r r a n g e w a s o b t a i n e d w i t h a t h r e e e l e m e n t n o n - s t a g g e r e d a r r a y . O t h e r p a t t e r n s w e r e o b t a i n e d w i t h n u l l s o n t h e b e a m a x i s . T h e s e r e s u l t s c o u l d b e a p p l i e d d i r e c t l y t o t h e d e s i g n o f H - p l a n e s e c t o r a l h o r n s w i t h a p p e n d a g e s t o p r o d u c e a f a n b e a m w i t h w i d e a n g l e c o v e r a g e i n t h e E - p l a n e a n d a n a r r o w b e a m i n t h e H - p l a n e . T h e s e c t o r - s h a p e d p a t t e r n c o u l d b e a p p l i e d d i r e c t l y a s a l i n e f e e d f o r a p a r a b o l i c c y l i n d e r r e f l e c t o r . I f t h e d e p t h o f t h e p a r a s i t i c g u i d e s c o u l d b e v a r i e d d y n a m i c a l l y , e . g . b y t h e r e a c t i v e l o a d i n g d e s c r i b e d 211 i n [ 3 5 ] , s o m e b e a m s t e e r i n g s h o u l d b e p o s s i b l e . 1 1 . 2 S U G G E S T I O N S F O R F U R T H E R WORK T h e r e a r e a n u m b e r o f q u e s t i o n s w h i c h a r i s e f r o m t h i s w o r k t h a t w a r r a n t f u r t h e r i n v e s t i g a t i o n . A n a t t e m p t m a y b e m a d e t o i m p r o v e t h e a c c u r a c y o f t h e c a l c u l a t i o n o f t h e f i e l d s a l o n g t h e s h a d o w b o u n d a r i e s o f t h e n o n - s t a g g e r e d a r r a y b y u s i n g t h e u n i f o r m m e t h o d s o f L e e a n d B o e r s m a [ 3 2 ] , t h u s a v o i d i n g t h e a s s u m p t i o n u s e d h e r e t h a t a l l f i e l d s a r e r a y f i e l d s . T h e p r o b l e m o f a l i n e s o u r c e n o r m a l l y i n c i d e n t o n t w o p a r a l l e l p l a t e s m a y b e i n v e s t i g a t e d f i r s t . T h e f a r f i e l d m a y b e o b t a i n e d b y a r e c i p r o c i t y a r g u m e n t u s i n g t h e s o l u t i o n f o r a p l a n e w a v e o n t w o p a r a l l e l p l a t e s i n [ 3 2 ] , b u t t h e f i e l d a t a l l p o i n t s a l o n g t h e s h a d o w b o u n d a r y i s n e e d e d h e r e . T h e s o l u t i o n f o r a l i n e s o u r c e i n c i d e n t o n t h r e e p a r a l l e l p l a t e s w o u l d a l s o b e r e q u i r e d f o r b o t h t h e t h r e e a n d f i v e e l e m e n t n o n - s t a g g e r e d a r r a y s . H o w e v e r , a s t h e n u m b e r o f e d g e s a l o n g t h e s h a d o w b o u n d a r y i n c r e a s e s , t h e p r o b l e m b e c o m e s m u c h m o r e d i f f i c u l t , b e c a u s e t h e n u m b e r o f r a y p a t h s t o b e c o n s i d e r e d t o o b t a i n t h e d e s i r e d a c c u r a c y g r o w s r a p i d l y . R a y - o p t i c a l m e t h o d s m a y c e a s e t o b e p r a c t i c a l w h e n m o r e t h e n t w o e d g e s a r e c o n s i d e r e d i f b e t t e r a c c u r a c y i s r e q u i r e d t h a n w a s o b t a i n e d w i t h t h e m e t h o d s u s e d h e r e . S i m i l a r l y , t h e c o u p l i n g c o e f f i c i e n t c a l c u l a t i o n s m a y b e i m p r o v e d u s i n g u n i f o r m m e t h o d s , p a r t i c u l a r l y n e a r t h e m o d e t r a n s i t i o n r e g i o n s w h e r e c u s p s a r e e x p e c t e d , b u t a g a i n t h e n u m b e r o f r a y p a t h s w h i c h m u s t b e c o n s i d e r e d f o r b e t t e r 212 a c c u r a c y i s v e r y l a r g e . O t h e r m e t h o d s m a y b e u s e d t o i m p r o v e t h e c o u p l i n g a n d r a d i a t i o n p a t t e r n r e s u l t s . F o r c o u p l i n g b e t w e e n t w o s e p a r a t e d g u i d e s , t h e m o d i f i e d r e s i d u e c a l c u l u s m e t h o d [ 3 8 ] p r o d u c e d t h e e x p e c t e d c u s p s a t t h e m o d e t r a n s i t i o n w i d t h s , a n d i s m o r e a c c u r a t e t h a n t h e r a y - o p t i c a l a p p r o a c h u s e d h e r e . T h i s c o u p l i n g c o e f f i c i e n t m a y b e s u b s t i t u t e d i n p l a c e o f t h e r a y - o p t i c a l o n e t o i m p r o v e t h e r a d i a t i o n p a t t e r n c a l c u l a t i o n o f t h e 5 e l e m e n t a r r a y . H o w e v e r , t h e r e s u l t i n g i m p r o v e m e n t m a y n o t b e l a r g e , b e c a u s e t h e c o u p l i n g c o e f f i c i e n t i s o n l y a b o u t 0 . 1 ( - 2 0 d B ) , a n d t h e f i e l d d i f f r a c t e d f r o m t h e o u t e r e d g e w h i c h i s n o t r e r a d i a t e d f r o m t h e o u t e r g u i d e i s a b o u t 0 . 2 5 ( - 1 2 d B ) c o m p a r e d t o t h e f i e l d i n t h e c e n t r a l g u i d e . R a d i a t i o n p a t t e r n s f o r a r r a y s w i t h o u t e r g u i d e s o f i n f i n i t e d e p t h h a v e a l s o b e e n c a l c u l a t e d u s i n g m o d i f i e d r e s i d u e c a l c u l u s , a n d t h i s m e t h o d m a y b e e x t e n d e d t o t h e c a s e o f s h o r t e d o u t e r g u i d e s . H o w e v e r , t h i s m e t h o d b e c o m e s m o r e d i f f i c u l t t o u s e f o r l a r g e s t r u c t u r e s w h e r e t h e r e a r e m a n y p r o p a g a t i n g m o d e s . T h e r e f l e c t i o n c o e f f i c i e n t f r o m a s i n g l e w a v e g u i d e w a s c a l c u l a t e d w i t h g o o d a c c u r a c y u s i n g a m o m e n t m e t h o d [ 4 8 ] , a n d t h i s a p p r o a c h m a y b e e x t e n d e d t o f i n d c o u p l i n g c o e f f i c i e n t s a n d r a d i a t i o n p a t t e r n s . A n o t h e r m o m e n t m e t h o d [ 3 5 ] [ 3 6 ] w h i c h h a s b e e n a p p l i e d t o r e a c t i v e l y l o a d e d p a r a l l e l p l a t e w a v e g u i d e a r r a y s w i t h w a l l s o f f i n i t e t h i c k n e s s i n a g r o u n d p l a n e m a y a l s o b e u s e f u l i n t h i s c o n t e x t . A c o m b i n a t i o n o f r a y - o p t i c a l a n d m o m e n t m e t h o d s [ 1 1 ] [ 4 4 ] m a y h e l p t o o v e r c o m e s o m e o f t h e d i f f i c u l t i e s n e a r s h a d o w b o u n d a r i e s i f t h e m o m e n t m e t h o d i s 213 u s e d n e a r t h e a p e r t u r e p l a n e a n d t h e r a y - o p t i c a l m e t h o d a w a y f r o m i t . T h e r e s u l t s o b t a i n e d h e r e m a y a l s o b e u s e d a s a g u i d e t o d e s i g n i n g a n a r r a y o f c o n c e n t r i c c i r c u l a r w a v e g u i d e s ( F i g . 1 . 5 ) . T h e s e a r e k n o w n t o p r o d u c e r e a s o n a b l y g o o d p a t t e r n s b y e m p i r i c a l a d j u s t m e n t o f t h e p a r a m e t e r s . T h e T E , | - T E M c o u p l i n g c o e f f i c i e n t b e t w e e n o p e n - e n d e d c o a x i a l c i r c u l a r w a v e g u i d e s w o u l d b e r e q u i r e d t o p r e d i c t t h e r a d i a t i o n p a t t e r n . T h e p r e s e n t w o r k m a y b e c o n s i d e r e d a f i r s t s t e p t o w a r d s t h e a n a l y s i s a n d o p t i m i z a t i o n o f s u c h a n a r r a y . 1 1 . 3 C O N C L U S I O N S I N B R I E F R a y - o p t i c a l m e t h o d s h a v e b e e n a p p l i e d t o p a r a l l e l p l a t e w a v e g u i d e s t r u c t u r e s w i t h u p t o s i x h a l f - p l a n e e d g e s . T h e o r e t i c a l a n d e x p e r i m e n t a l r a d i a t i o n p a t t e r n s a g r e e q u i t e w e l l e x c e p t n e a r s h a d o w b o u n d a r i e s , w h e r e d i s c o n t i n u i t i e s a r e o b s e r v e d . T h e m e t h o d i s n o t a c c u r a t e n e a r m o d e t r a n s i t i o n r e g i o n s a n d s h a d o w b o u n d a r i e s , e v e n w h e n m a n y o r d e r s o f d i f f r a c t i o n a r e t a k e n i n t o a c c o u n t . C o n s e q u e n t l y , t h e a c c u r a c y i s r e d u c e d a s t h e n u m b e r o f h a l f - p l a n e e d g e s a l o n g a s h a d o w b o u n d a r y i s i n c r e a s e d . H o w e v e r , t h e r e g i o n s o f g r e a t e s t i n t e r e s t a r e m o s t o f t e n a w a y f r o m t h e m o d e t r a n s i t i o n r e g i o n s a n d s h a d o w b o u n d a r i e s , a n d h e r e t h e e r r o r s a r e a c c e p t a b l y s m a l l , p r o v i d e d t h e s p a c i n g b e t w e e n e d g e s i s a t l e a s t o n e - t h i r d o f a w a v e l e n g t h . I m p r o v i n g t h e r e s u l t s b y u s i n g u n i f o r m m e t h o d s i s d i f f i c u l t b e c a u s e o f t h e 214 large number of edge interactions which must be considered. Larger and more complex arrays require higher orders of d i f f r a c t i o n than smaller and simpler arrays. A wide variety of patterns i s available with a three and f i v e element waveguide array with only the central guide driven by adjusting the width and depth of the outer p a r a s i t i c guides, including some which could be used to e f f i c i e n t l y illuminate a parabolic cylinder r e f l e c t o r . 215 R E F E R E N C E S [ 1] D.S.Ahluwalia, R.M.Lewis, and J.Boersma, "Uniform asymptotic theory of d i f f r a c t i o n by a plane screen", SIAM J.Appl.Math., vol.16, pp.783-807, 1968. [ 2] N.Amitay, V.Galindo and C.P.Wu, "Theory and A n a l y s i s of Phased Array Antennas", Wiley, New York, 1972. [ 3 ] J . B o e r s m a , " R a y - o p t i c a l a n a l y s i s o f r e f l e c t i o n i n a n o p e n - e n d e d p a r a l l e l - p l a n e w a v e g u i d e . I : T M c a s e " , S I A M J . A p p l . M a t h . , v o l . 2 9 , p p . 1 6 4 - 1 9 5 , 1 9 7 5 . [ 4 ] J . B o e r s m a , " R a y - o p t i c a l a n a l y s i s o f r e f l e c t i o n i n a n o p e n - e n d e d p a r a l l e l - p l a n e w a v e g u i d e . I I : T E c a s e " , P r o c . I E E E , v o l . 6 2 , p p . 1 4 7 5 - 1 4 8 1 , 1 9 7 4 . [ 5 ] J . B o e r s m a , " D i f f r a c t i o n b y t w o p a r a l l e l h a l f - p l a n e s " , Q u a r t . J . M e c h . A p p l . M a t h . , v o l . 2 8 , p p . 4 0 5 - 4 2 5 , 1 9 7 5 . [ 6 ] J . B o e r s m a a n d S . W . L e e , " H i g h - f r e q u e n c y d i f f r a c t i o n o f a l i n e s o u r c e f i e l d b y a h a l f - p l a n e : S o l u t i o n s b y r a y t e c h n i q u e s " , I E E E T r a n s . A n t e n n a s P r o p a g a t . , v o l . A P - 2 5 , 1 9 7 7 . [ 7 ] M . B o r n a n d E . W o l f , P r i n c i p l e s o f O p t i c s , 5 t h E d . , New Y o r k : P e r m a g o n P r e s s , 1 9 7 0 . [ 8 ] J . J . B o w m a n , " C o m p a r i s o n o f r a y t h e o r y w i t h e x a c t t h e o r y f o r s c a t t e r i n g b y a n o p e n w a v e g u i d e " , I E E E T r a n s . A n t e n n a s P r o p a g a t . , v o l . A P - 1 8 , p p . 1 3 1 - 1 3 2 , 1 9 7 0 . [ 9 ] J . J . B o w m a n , " C o m p a r i s o n o f r a y t h e o r y w i t h e x a c t t h e o r y f o r s c a t t e r i n g b y a n o p e n w a v e g u i d e " , S I A M J . A p p l . M a t h . , v o l . 1 8 , p p . 8 1 8 - 8 2 9 , 1 9 7 0 . [ 1 0 ] W . D . B u r n s i d e , E . L . P e l t o n a n d L . P e t e r s , J r . , " A n a l y s i s o f f i n i t e p a r a l l e l - p l a t e w a v e g u i d e a r r a y s " , I E E E T r a n s . A n t e n n a s P r o p a g a t . , v o l . A P - 1 8 , p p . 7 0 1 - 7 0 5 , 1 9 7 0 . [ 1 1 ] W . D . B u r n s i d e , C . L . Y u a n d R . J . M a r h e f k a , " A t e c h n i q u e t o c o m b i n e t h e g e o m e t r i c a l t h e o r y o f d i f f r a c t i o n a n d t h e m o m e n t m e t h o d " , I E E E T r a n s . A n t e n n a s P r o p a g a t . , v o l . A P - 2 3 , p p . 5 5 1 - 5 5 8 , 1 9 7 5 . 216 [ 1 2 ] A . C i a r k o w s k i , " A n a p p l i c a t i o n o f u n i f o r m a s y m p t o t i c t h e o r y o f d i f f r a c t i o n b y a p l a n e s c r e e n t o t h e a n a l y s i s o f a n o p e n - e n d e d w a v e g u i d e " , A c t a P h y s i c a P o l o n i c a , v o l . A 4 7 , p p . 6 2 1 - 6 3 1 , 1 9 7 5 . [ 1 3 ] P . J . B C l a r r i c o a t s , " S o m e r e c e n t a d v a n c e s i n m i c r o w a v e r e f l e c t o r a n t e n n a s " , P r o c . I E E , v o l . 1 2 6 , p p . 9 - 2 5 , 1 9 7 9 . [ 1 4 ] P . C . C l e m m o w , " T h e P l a n e W a v e S p e c t r u m R e p r e s e n t a t i o n i n E l e c t r o m a g n e t i c F i e l d s " , New Y o r k : P e r m a g o n P r e s s , 1 9 6 6 . [ 1 5 ] E . C o n f o r t i , " A c o m p a c t f e e d f o r s h o r t f o c a l l e n g t h r e f l e c t o r s " , M . A . S c . t h e s i s , U n i v e r s i t y o f T o r o n t o , 1 9 7 8 . [ 1 6 ] P . F . D r i e s s e n , " R a y t h e o r y o f c o u p l i n g b e t w e e n a d j a c e n t p a r a l l e l p l a t e w a v e g u i d e s " , R a d i o S c i e n c e , v o l . 1 4 , p p . 9 6 9 - 9 7 8 , 1 9 7 9 . [ 1 7 ] R . B . D y b d a l , R . C . R u d d u c k a n d L . L . T s a i , " M u t u a l c o u p l i n g b e t w e e n T E M a n d T E o f p a r a l l e l - p l a t e w a v e g u i d e a p e r t u r e s " , I E E E T r a n s . A n t e n n a s P r o p a g a t . , v o l . A P - 1 4 , p p . 5 7 4 - 5 8 0 , 1 9 6 6 . [ 1 8 ] L . B . F e l s e n a n d H . Y . Y e e , " R a y - o p t i c a l t e c h n i q u e s f o r w a v e g u i d e d i s c o n t i n u i t i e s " , I E E E T r a n s . A n t e n n a s P r o p a g a t . , v o l . A P - 1 6 , p p . 2 6 8 - 2 6 9 , 1 9 6 8 . [ 1 9 ] L . B . F e l s e n a n d H . Y . Y e e , " M u l t i p l e i n t e r a c t i o n b y r a y o p t i c s - s o m e o b s e r v a t i o n s a n d a n e x a m p l e " , I E E E T r a n s . A n t e n n a s P r o p a g a t . , v o l . A P - 1 6 , p p . 3 6 0 - 3 6 2 , 1 9 6 8 . [ 2 0 ] F . E . G a r d i o l a n d P . H a l d e m a n n , " N u m e r i c a l I n s t a b i l i t i e s o f t h e m o m e n t m e t h o d i n w a v e g u i d e c a l c u l a t i o n s " , E l e c t . L e t t . , v o l . 1 3 , p p . 6 9 4 - 6 9 5 , 1 9 7 7 . [ 2 1 ] R . F . H a r r i n g t o n , F i e l d C o m p u t a t i o n b y M o m e n t M e t h o d s , r e p r i n t e d b y R . F . H a r r i n g t o n , 1 9 7 7 . [ 2 2 ] A . E . H e i n s , " T h e r a d i a t i o n a n d t r a n s m i s s i o n p r o p e r t i e s o f a p a i r o f s e m i - i n f i n i t e p a r a l l e l p l a t e s " , Q u a r t . A p p l . M a t h . , v o l . 6 , p a r t I , p p . 1 5 7 - 1 6 6 , p a r t I I , p p . 2 1 5 - 2 2 0 , 1 9 4 8 . 2 1 7 [ 2 3 ] D . S . J o n e s , " D o u b l e k n i f e - e d g e d i f f r a c t i o n a n d r a y t h e o r y " , Q u a r t . J . M e c h . A p p l . M a t h . , v o l 26, p p . 1 - 1 8 , 1 9 7 3 . [ 2 4 ] E . V . J u l l , " A p e r t u r e f i e l d s a n d g a i n o f o p e n - e n d e d p a r a l l e l - D l a t e w a v e g u i d e s " , I E E E T r a n s . A n t e n n a s P r o p a g a t . , v o l . A P - 2 l " , p p . 1 4 - 1 8 , 1 9 7 3 . [ 2 5 ] K.M.Keen, " B e a m w i d t h v a r i a t i o n w i t h a p e r t u r e d i a m e t e r o f t h e c h o k e d w a v e g u i d e f e e d a n t e n n a " , E l e c t . L e t t . , v o l 14, p p . 4 0 6 - 4 0 7 , 1978. [ 2 6 ] J . B . K e l l e r , " G e o m e t r i c a l t h e o r y o f d i f f r a c t i o n " , J . O p t . S o c . A m e r . , v o l . 5 2 , p p . 1 1 6 - 1 3 0 , 1962. [ 2 7 ] G .F.Koch, " C o a x i a l f e e d s f o r h i g h a p e r t u r e e f f i c i e n c y a n d l o w s p i l l o v e r o f p a r a b o l o i d a l r e f l e c t o r a n t e n n a s " , I E E E T r a n s . A n t e n n a s P r o p a g a t . , v o l . A P - 2 1 , p p . 1 6 4 - 1 6 9 , 1 9 7 3 . [ 2 8 ] R . G . K o u y o u m j i a n a n d P . H . P a t h a k , "A u n i f o r m g e o m e t r i c a l t h e o r y f o r an edge i n a p e r f e c t l y c o n d u c t i n g s u r f a c e " , P r o c . I E E E , v o l . 6 2 , p p . 1 4 4 8 - 1 4 6 1 , 1974. [ 2 9 ] S.W.Lee, " R a d i a t i o n f r o m an i n f i n i t e a p e r i o d i c a r r a y o f p a r a l l e l - p l a t e w a v e g u i d e s " , I E E E T r a n s . A n t e n n a s P r o p a g a t . , v o l . A P - 1 5 , p p . 5 9 8 - 6 0 6 , 1 9 6 7 . [3 0 ] S.W.Lee, "Ray t h e o r y o f d i f f r a c t i o n by o p e n - e n d e d w a v e g u i d e s . I . F i e l d s i n w a v e g u i d e s " , J . M a t h . P h y s . , v o l . 1 1 , p p . 2 8 3 0 - 2 8 5 0 , 1 9 7 0 . [ 3 1 ] S.W.Lee, "Ray t h e o r y o f d i f f r a c t i o n by o p e n - e n d e d w a v e g u i d e s . I I . A p p l i c a t i o n s " , J . M a t h . P h y s . , v o l . 1 3 , p p . 6 5 6 - 664, 1 9 7 2 . [ 3 2 ] S.W.Lee a n d J . B o e r s m a , " R a y - o p t i c a l a n a l y s i s o f f i e l d s on shadow b o u n d a r i e s o f two p a r a l l e l p l a t e s " , J . M a t h . P h y s . , v o l . 1 6 , p p . 1 7 4 6 - 1 7 6 4 , 1 9 7 5 . [ 3 3 ] S.W.Lee, Y . R a h m a t - S a m i i a n d R.C.Menendez, "GTD, r a y f i e l d , a n d comments on two p a p e r s " , I E E E T r a n s . A n t e n n a s P r o p a g a t . , v o l . A P - 2 6 , p p . 3 5 2 - 3 5 4 , 1 9 7 8 . [34] R.M.Lewis a n d J . B o e r s m a , " U n i f o r m a s y m p t o t i c t h e o r y o f edge d i f f r a c t i o n " , J . M a t h . P h y s . , v o l . 1 0 , pp.2291-2305, 1969. 218 [ 3 5 ] J . L u z w i c k a n d R . F . H a r r i n g t o n , " A r e a c t i v e l y l o a d e d a p e r t u r e a n t e n n a a r r a y " , T e c h n i c a l R e p o r t N o . 3 , D e p t . O f E l e c t r i c a l a n d C o m p u t e r E n g i n e e r i n g , S y r a c u s e U n i v e r s i t y , S y r a c u s e , New Y o r k , 1 9 7 6 . [ 3 6 ] J . L u z w i c k a n d R . F . H a r r i n g t o n , " A s o l u t i o n f o r a w i d e a p e r t u r e r e a c t i v e l y l o a d e d a n t e n n a a r r a y " , T e c h n i c a l R e p o r t N o . 5 , D e p t . O f E l e c t r i c a l a n d C o m p u t e r E n g i n e e r i n g , S y r a c u s e U n i v e r s i t y , S y r a c u s e , New Y o r k , 1 9 7 7 . [ 3 7 ] R . M i t t r a a n d S . W . L e e , A n a l y t i c a l T e c h n i q u e s i n t h e T h e o r y o f G u i d e d W a v e s . New Y o r k : M a c m i l l a n , 1 9 7 1 . [ 3 8 ] J . P . M o n t g o m e r y a n d D . C . C h a n g , " E l e c t r o m a g n e t i c b o u n d a r y v a l u e p r o b l e m s b a s e d u p o n a m o d i f i c a t i o n o f r e s i d u e c a l c u l u s a n d f u n c t i o n t h e o r e t i c t e c h n i q u e s " , N B S M o n o g r a p h 1 6 4 , U . S . D e p a r t m e n t o f C o m m e r c e , 1 9 7 9 . [ 3 9 ] Y . R a h m a t - S a m i i a n d R . M i t t r a , " O n t h e i n v e s t i g a t i o n o f d i f f r a c t e d f i e l d s a t t h e s h a d o w b o u n d a r i e s o f s t a g g e r e d p a r a l l e l p l a t e s " , R a d i o S c i e n c e , v o l . 1 2 , p p . 6 5 9 - 6 7 0 , 1 9 7 7 . [ 4 0 ] R . C . R u d d u c k a n d L . L . T s a i , " A p e r t u r e r e f l e c t i o n c o e f f i c i e n t o f T E M a n d T E o l m o d e p a r a l l e l - p l a t e w a v e g u i d e s " , I E E E T r a n s . A n t e n n a s P r o p a g a t . , v o l . A P - 1 6 , p p . 8 3 - 8 9 , 1 9 6 8 . [ 4 1 ] R . C . R u d d u c k a n d D . C . F . W u , " S l o p e d i f f r a c t i o n a n a l y s i s o f T E M p a r a l l e l - p l a t e g u i d e r a d i a t i o n p a t t e r n s " , I E E E T r a n s . A n t e n n a s P r o p a g a t . , v o l . A P - 1 7 , p p . 7 9 7 - 7 9 9 , 1 9 6 9 . [ 4 2 ] C . E . R y a n , J r . A n d R . C . R u d d u c k , " A w e d g e d i f f r a c t i o n a n a l y s i s o f t h e r a d i a t i o n p a t t e r n s o f p a r a l l e l - p l a t e w a v e g u i d e s " , I E E E T r a n s . A n t e n n a s P r o p a g a t , v o l . A P - 1 6 , p p . 4 9 0 - 4 9 1 , 1 9 6 8 . [ 4 3 ] A . S o m m e r f e l d , " M a t h e m a t i s c h e T h e o r i e d e r D i f f r a k t i o n " , M a t h . A n n . , v o l . 4 7 , p p . 3 1 7 - 3 7 4 , 1 8 9 6 . [ 4 4 ] G . A . T h i e l e a n d T . H . N e w h o u s e , " A h y b r i d t e c h n i q u e f o r c o m b i n i n g m o m e n t m e t h o d s w i t h t h e g e o m e t r i c a l t h e o r y o f d i f f r a c t i o n " , I E E E T r a n s . A n t e n n a s P r o p a g a t . , v o l . A P - 2 3 , p p . 6 2 - 6 9 , 1 9 7 5 . 219 [ 4 5 ] L . A . W e i n s t e i n , T h e T h e o r y o f D i f f r a c t i o n a n d t h e F a c t o r i z a t i o n M e t h o d . B o u l d e r , C o l o r a d o : G o l e m P r e s s , 1 9 6 9 . [ 4 6 ] R . W o h l l e b e n , H . M a t h e s a n d O . L o c h n e r , " S i m p l e s m a l l p r i m a r y f e e d f o r l a r g e o p e n i n g a n g l e s a n d h i g h a p e r t u r e e f f i c i e n c y " , E l e c t . L e t t . , v o l . 8 , p p . 4 7 4 - 4 7 6 , 1 9 7 2 . [ 4 7 ] C . P . W u , " N u m e r i c a l s o l u t i o n f o r t h e c o u p l i n g b e t w e e n w a v e g u i d e s i n f i n i t e a r r a y s " , R a d i o S c i e n c e , v o l . 1 4 , p p . 2 4 5 - 2 5 4 , 1 9 6 9 . [ 4 8 ] S . L . W u a n d Y . L . C h o w , " A n a p p l i c a t i o n o f m o m e n t m e t h o d s t o w a v e g u i d e s s c a t t e r i n g p r o b l e m s " , I E E E T r a n s . M i c r o w . T h . T e c h . , v o l . M T T - 2 0 , p p . 7 4 4 - 7 4 9 , 1 9 7 2 . [ 4 9 ] H . Y . Y e e a n d L . B . F e l s e n , " R a y - o p t i c a l t e c h n i q u e s f o r w a v e g u i d e d i s c o n t i n u i t i e s " , E l e c t r o p h y s . D e p . , P o l y t e c h n i c I n s t . B r o o k l y n , F a r m i n g d a l e , N . Y . , R e p . P I B E P - 6 8 - 0 0 5 , J u n e 1 9 6 8 . [ 5 0 ] H . Y . Y e e , L . B . F e l s e n a n d J . B . K e l l e r , " R a y t h e o r y o f r e f l e c t i o n f r o m t h e o p e n e n d o f a w a v e g u i d e " , S I A M J . A p p l . M a t h . , v o l . 1 6 , p p . 2 6 8 - 3 0 0 , 1 9 6 8 . 220 APPENDIX A SCATTERED F IELDS ALONG A SHADOW BOUNDARY The r e s u l t s (3.26) and (3.29) may be c h e c k e d by u s i n g a symmetry r e l a t i o n f o r s c a t t e r e d f i e l d s u (2TT-9) = -T u (6) s s ( A . l ) w h i c h i s e x a c t f o r d i f f r a c t i o n by a p l a n e s c r e e n [ 3 ] . The s c a t t e r e d f i e l d by d e f i n i t i o n i n c l u d e s r e f l e c t e d and d i f f r a c t e d f i e l d s , b u t n o t t h e i n c i d e n t f i e l d , (3.26) and (3.29) as w r i t t e n do n o t s a t i s f y ( A . l ) . However , i f (3.29) i s d e r i v e d by f i n d i n g t h e f i e l d a t a s m a l l a n g l e 6 o f f t h e shadow b o u n d a r y ( F i g . A . l ) and t h e n t a k i n g 6 -»• 0, t h e n (3.29) may be w r i t t e n = + i k ( r + r Q ) / k ( r + r Q ) i k ( r + r Q ) 2 / k ( r + r Q ) + T • ,* i k r +17T/4 0 i k r e e e 2/2TT / k r _ / k r (A.2) I f t h e f i r s t t e r m , w h i c h i s t h e i n c i d e n t f i e l d a t the o b s e r v a t i o n p o i n t i s s u b t r a c t e d o u t , t h e n t h e r e m a i n i n g t e r m s r e p r e s e n t i n g t h e s c a t t e r e d f i e l d u (zr) s a t i s f i e s ' ( A . l ) , where u i s g i v e n by (3.26), as i s shown b e l o w , s 2 s 2 C o n s i d e r a l i n e s o u r c e E ( r ) i n c i d e n t on a h a l f p l a n e a t 6^=3^/2 ( F i g . A . l ) , t h e t o t a l f i e l d o b s e r v e d a t 6 = y +6 i s g i v e n , f r o m (2.12) by '2 - i i r / 4 — e TT i k R / k (r Q+r+R) / k r 0 r . «' I s i n — r Q +r+R i k S +x / k ( r Q + r + S ) +2 / c o s — V r + S > (A.3) 221 /2~ i k R A ( r Q + r + R ) /2 - i i r / 4 j + I - e ^ i k R / k ( r Q + r + R ) +2 / s i n - r + r + R 0 i k S + T / k ( r Q + r + S ) +2 / cos — r Q + r + S (A.4) w h e r e R , S , r , r 0 , 6 a n d e Q a r e d e f i n e d i n F i g . 2 . 3 . l e t 6 -»• 0 , t h e n R •* r + r Q , S •> r _ r Q » a n d i k ( r + r Q ) i k ( r + r o ) i k ( r . r J + T - fc / k ( r + r Q ) 2 / k ( r + r Q ) 0 F[/2kr^] I f k r Q > > l (A.5) = (A.2) Q E D . ( A . 5 ) F i g . A . l 222 APPENDIX B HIGHER ORDER DIFFRACTION TERMS FOR COUPLING BETWEEN ADJACENT PARALLEL PLATE WAVEGUIDES IN THE TEM MODE A g e n e r a l e x p r e s s i o n f o r TEM-TEM c o u p l i n g o f 0 (k ) between a d j a - c e n t w a v e g u i d e s i s d e r i v e d f o r a l l o r d e r s o f d i f f r a c t i o n . F i r s t t h e e q u a t i o n s ( 3 . 1 8 ) , ( 3 . 2 6 ) , (3 .29) and (3.30) a r e s p e c i a l i z e d t o t h e TEM c a s e and u s e d t o c a l c u l a t e t h e c o n t r i b u t i o n t o t h e c o u p l i n g f o r a g e n e r a l i z e d r a y p a t h . A l l p o s s i b l e r a y p a t h s f rom t h e d r i v e n g u i d e t o t h e p a r a s i t i c g u i d e a r e t r a c e d s y s t e m a t i c a l l y and t h e i r c o n t r i b u t i o n s a r e added t o g i v e t h e c o u p l i n g c o e f f i - c i e n t . From (3.18) t h e i n c i d e n t f i e l d u ^ = ^ " i n t n e d r i v e n g u i d e e x c i t e s a d i f f r a c t e d f i e l d u L = j T 2 C ^ r ^ E C r ) ( B . l ) as o b s e r v e d a t a p o i n t i n t h e a p e r t u r e p l a n e a d i s t a n c e r^ away f r o m t h e d i f f r a c t i n g e d g e , where - l i f |e-eQ| = T T / 2 T 2 = (B.2) + i i f | e - e 0 | = 3T T /2 . T h i s f i e l d t r a v e l s a l o n g t h e shadow b o u n d a r y and i s a g a i n d i f f r a c t e d a t a n - o t h e r edge a d i s t a n c e r^ away i n t h e a p e r t u r e p l a n e . The r e s u l t a n t d o u b l y d i f f r a c t e d f i e l d o f 0 ( k ~ 1 / 2 ) i s f rom (3.26) o r (3.29) u 2 = ~ C ^ ) ( r 1 ) E ( r 1 + r ) . (B.3) When t h e l i n e s o u r c e u - i n t h e a p e r t u r e p l a n e i s d i f f r a c t e d f rom a n o t h e r m-1 223 edge the r e s u l t a n t f i e l d i s u = — C ' l r j E ^ + . - . + r ,+r) , (B.4) m 2 m 0 1 1 m - l where r , i s t h e d i s t a n c e f rom the l i n e s o u r c e t o the d i f f r a c t i n g e d g e . The m - l f i e l d u may be d i f f r a c t e d i n t o t h e p a r a s i t i c g u i d e a t 6=0 o r 2TT and f rom m (3.30) t h e r e s u l t a n t f i e l d i s u - = T T C ' (r ) C (r + . . . + r ) E ( r ) (B.5) m+1 2 3 0 1 0 1 m where r i s the d i s t a n c e f rom t h e i n c i d e n t l i n e s o u r c e t o t h e d i f f r a c t i n g edge m and x^ i s g i v e n by (B.2) The f i e l d u , c o n t r i b u t e s t o the a m p l i t u d e A o f the mode i n t h e m+1 00 p a r a s i t i c g u i d e f rom (m+1) d i f f r a c t i o n (m+1) m / £ _ e 2_J. r + . . . + r ) (B.6) 00 / 2 " k a 2 m ° 1 ° 1 - 1 / 2 The 0 (k ) c o n t r i b u t i o n s t o A ^ Q f o r t h e f i e l d s o f any r a y p a t h a r e t h u s m+1 dependent o n l y on t h e s i g n s o f x and x and on t h e t o t a l p a t h l e n g t h r = E n=l i n the a p e r t u r e p l a n e . A l l p o s s i b l e r a y p a t h s f r o m t h e d r i v e n t o t h e p a r a s i t i c g u i d e a r e now t r a c e d and t h e v a l u e s o f x , x^ and a r e e v a l u a t e d f o r e a c h r a y p a t h . E a c h r a y p a t h i n t h e a p e r t u r e p l a n e s t a r t i n g and e n d i n g a t the c e n t r a l edge y=z=0 f o l l o w s a s i m p l e p a t t e r n w h i c h may be u n i q u e l y r e p r e s e n t e d by a b i n a r y number ( 0 , 1 , 0 0 , 0 1 , 1 0 , 1 1 , 0 0 0 , 0 0 1 , e t c . ) where 1 r e p r e s e n t s a r a y g o i n g down t o y = - d , z=0 and b a c k t o c e n t r e and 0 r e p r e s e n t s a r a y g o i n g up t o y=a , z=0 and back t o c e n t r e . The p a t h s l e n g t h r t = S o f any r a y p a t h s t a r t i n g and e n d i n g a t t h e c e n t r a l edge y=z=0 may be w r i t t e n 5 = /=1 [2a(1"W + 2d w (B-7) 224 where i"mkj = a b i n a r y d i g i t i n a b i n a r y number r e p r e s e n t i n g a r a y p a t h , m = number o f d i g i t s i n b i n a r y number , k = d e c i m a l v a l u e o f b i n a r y number , j = d i g i t number i n b i n a r y number c o u n t i n g f rom l e f t t o r i g h t . A l l p o s s i b l e r a y p a t h s i n c l u d i n g a t l e a s t q u a d r u p l y d i f f r a c t e d f i e l d s c o n t a i n w i t h i n them a p a t h s t a r t i n g and e n d i n g a t the c e n t r a l edge y = z = 0 f o r w h i c h the p a t h l e n g t h i s g i v e n by S . The r a y p a t h s d i v i d e n a t u r a l l y i n t o f o u r g r o u p s d e p e n d i n g on f r o m w h i c h edge i n t h e d r i v e n g u i d e (y = 0 o r -d) t h e i n c i d e n t f i e l d i s f i r s t d i f f r a c t e d and f r o m w h i c h edge the p e n u l t i m a t e r a y i s d i f f r a c t e d i n t o t h e p a r a s i t i c g u i d e (y = 0 o r a ) . The f o u r g r o u p s shown i n T a b l e B . l . TABLE B . l Groups o f Ray P a t h s Group # I n c i d e n t D i f f r a c t e d Ray a t y= P e n u l t i m a t e D i f f r a c t e d Ray a t y= R a t h L e n g t h r t 1 0 0 S 2 0 a S + a 3 - d 0 S + d 4 - d a S + d + a The p r o d u c t T ^ T ^ s d e t e r m i n e d by i n s p e c t i o n o f t h e r a y p a t h s i n e a p h g r o u p . The q u a d r u p l e and h i g h e r o r d e r d i f f r a c t i o n c o n t r i b u t i o n s t o t h e c o u p l i n g c o e f f i c i e n t a r e g i v e n by te rms o f t h e f o r m ( B . 6 ) . The c o m p l e t e e x - p r e s s i o n i s , u s i n g t h e a s y m p t o t i c f o r m ( 5 . 1 2 ) : 225 - 2 m C (s+a) i . . + 1 + y y _2 (_D L , . L , _(2m+l) ; m=l k = l 2 2 m C (S+d) i , mil k = l 2 ( 2 m + 1 ) 2 m C (S+d+a) m=l k = l 2 A g e n e r a l e x p r e s s i o n f o r te rms o f 0 (k "S was n o t f o u n d . The c o n t r i b u t i o n o f t h e s e te rms beyond s i x o r d e r s o f d i f f r a c t i o n was n o t s i g n i f i c a n t , h o w e v e r . Note t h a t t h e number o f r a y p a t h s f o r e a c h o r d e r o f d i f f r a c t i o n n i s g i v e n by 2 n / / 2 f o r n e v e n and 2 ^ n ^ ^ f o r n odd and n ^ l . By c o m p a r i s o n t h e r e a r e o n l y two r a y p a t h s f o r e a c h o r d e r o f d i f f r a c t i o n i n t h e c a l c u l a t i o n o f t h e r e f l e c t i o n c o e f f i c i e n t . In t h e s p e c i a l c a s e o f TEM-TEM c o u p l i n g between g u i d e s o f e q u a l w i d t h s (a=d) t h e e x p r e s s i o n (B .8 ) r e d u c e s t o i M . . C (na) n even F o r k a » 1, u s i n g (3 .31) and (3.23) . i3Tr/4 0 0 i k n a n even N u m e r i c a l v a l u e s f o r t h e c o m p l e t e c o u p l i n g c o e f f i c i e n t A ^ u s i n g t h e r e s u l t s o f C h a p t e r 3 up t o and i n c l u d i n g t r i p l e d i f f r a c t i o n and (B.10) f o r h i g h e r o r d e r s o f d i f f r a c t i o n a r e g i v e n i n F i g . B . l . Note t h a t t h e s o l u t i o n i s n o t s i g n i f i c a n t l y i m p r o v e d o v e r t h e t r i p l e d i f f r a c t i o n r e s u l t s o f C h a p t e r 3 . The c u s p s w h i c h a r e e x p e c t e d a t t h e mode t r a n s i t i o n w i d t h s a r e n o t o b t a i n e d . 226 -h A c o m p a r i s o n o f e x p r e s s i o n s f o r t h e 0 (k ) r e f l e c t i o n c o e f f i c i e n t o b t a i n e d by Yee e t a l . [50] and Boersma [3] shows t h a t t h e UAT s o l u t i o n o f [3] 3/2 may be o b t a i n e d f r o m t h e r a y - o p t i c a l s o l u t i o n o f [50] by s u b s t i t u t i n g n f o r 2 n 1 n1/f2 i n t h e d e n o m i n a t o r o f t h e i n f i n i t e sum ([3], e q n s . (8.3) and (8.9)). I t was c o n j e c t u r e d t h a t t h e same s u b s t i t u t i o n m i g h t y i e l d an i m p r o v e d e x p r e s s i o n f o r t h e c o u p l i n g c o e f f i c i e n t . P e r f o r m i n g t h i s s u b s t i t u t i o n on (B.10) y i e l d s (4_oo) ? e A „ „ ^ 00 i3TT / 4 I _n/2 i k n a 2 e 2 / 2 T ( k a ) 3 / 2 n=4 2 n 3 /2 ( B . l l ) n e v e n w h i c h may be r e w r i t t e n , u s i n g n=2m I „m ik2ma 2 e 1 A x i3iT / 4 (4-oo) I  e 00 -jT- . 3 / 2 ^„ 3/2 3 /2 2/2TT (ka) m=2 2 2 m (B.12) In the r e f l e c t i o n c a s e , t h i s s u b s t i t u t i o n works v e r y w e l l , and t h e n u m e r i c a l r e s u l t s c o n v e r g e s l o w l y t o show a c u s p a t the mode t r a n s i t i o n w i d t h s , as e x - p e c t e d , f o r n £ 50 . However , i n t h e c o u p l i n g c a s e , t h i s s u b s t i t u t i o n does n o t work a t a l l , b e c a u s e a r a t i o t e s t shows t h a t t h e s e r i e s (B.12) d o e s n o t c o n - v e r g e . 0 CQ 8 < O O CM •25H -50- —1—.—.—.—1—1—1 1.0 2.0 d/X F i g . B . l c o u p l i n g c o e f f i c i e n t A 00 227 APPENDIX C CONTINUITY OF FIELDS ACROSS SHADOW BOUNDARIES The expression (9.24), which shows how a discontinuity in the single diffraction radiation pattern of a staggered parallel plate waveguide i s elimi- nated by adding a double diffraction term, i s derived here using (8.2) and the IT asymptotic form (8.5). It w i l l be shown that (Fig. 9.3a) for 6 = — -¥ that as 6 -»• 0 +ik — sin8 -ik — sin9 -ik£cos6 u± (9+6) e + u2 ( 8 + 6 ) 6 6 -ik ^ sin8 -ik£cos9 = u^ (9-6) e e ( C l ) Note f rom F i g . 9.1 S , 2 +d 2 = c 2 ; c o s ( ^ -V) = - ; s i n ( ^ - - ¥ ) = A , A ' , A " , A " ' 2 c 2 c and B a r e d e f i n e d by r e f e r e n c e t o t h e p r e v i o u s e q u a t i o n . +ik j sin{j -V+6) j D ( 0 , j -¥+6 )E(r )e - i k j s i n {j -¥+6) - i k i l c o s (j -¥+6) + | D ( 0 , j -4 ' ) G d ( c , ^ j - ¥ , j -¥+6 )E(r )e e . - i k j sin(~ -y-6) - i k H c o s(|- -¥-6) (C.2) = 7 D ( 0 ~ -^)GA(c,~- - 4 f-6 ) E ( r ) e e 2 2 a 2 2 +ikdsin(^- -¥+6) +ik£cos(^ -¥+6) A'e 2 e 2 + A"G d(c,^- -¥,j -¥+6) A-G^c,^- -¥-6) (C3) 228 + i k d s i n ( j -V+6) + i k J l c o s ( j - ¥ + 6 ) A ' e e + A.. CHI { - e + i k c C O s 5 F [ / 2 k c - s i n ( f ) ] + e " i k C C ° S ( 2 * " 6 > F c o s <¥- f) ] } - i / 4 = A" ' | + e - i k c c o s 6 p [ / 2 i r ^ s i n ( . | ) ] + e - i k C C ° S ( 2 f + 6 ) F [ / 2 k c - c o s ( ¥ + f ) ] } (C.4) l e t <5 -> 0 , t h e n A ' = A" = A '" = A , and A e + i k C + A ^ i ( - e + i k C F [ O ] + e " i k C C ° S ™ P [ ^ t e c o s * ] A" - I T T / 4 ^ _ i k _ i k C Q 2 V J ( ,_ | = A i +e F [ O ] + e F [ / 2 k c c o s ¥ j > (C.5) + i k c A + i k c , _ A + i k c _ „ n ( r fi» A e - — e + B = — e + B Q E D . i<~.t>) T h e e x p r e s s i o n s (9 .24) - (9.26) a r e d e r i v e d i n a p r e c i s e l y a n a l o g o u s m a n n e r . 229 APPENDIX D National Research Council of Canada D i v i s i o n of E l e c t r i c a l Engineering Antenna Pattern Range TRANSMITTER A standard 1 mW s i g n a l generator output was fed through a coaxial coupler to a t r a v e l l i n g wave tube a m p l i f i e r with a gain of 30 db. A sample from the coupler was used to monitor f r e - quency, using a d i g i t a l counter. A low-pass f i l t e r was inserted at the output of the a m p l i f i e r as a safeguard against any harmonics. The s i g n a l was then fed through low-loss semi-rigid coax up to the roof. The antenna used to flood the horn under t e s t was a standard X-band horn. RECEIVER The other end of the l i n k b a s i c a l l y consists of a large turntable on the roof, which i s rotatable through 360 , and ap- propriate r e c e i v i n g instrumentation. Antennas under test are mounted on t h i s turntable, whose angle of r o t a t i o n i s linked by a synchro system to a lab recorder chart d r i v e . A f t e r reception by the horn under t e s t , the R.F. s i g n a l was converted to an I.F. of 65 MHz by a waveguide c r y s t a l mixer attached to the horn flange. Frequency s e l e c t i v e tees within the S c i e n t i f i c A tlanta Series 1600 Wideband receiver, permit the use of a sin g l e RG214/U coaxial cable to trans f e r the L.O. s i g n a l from receiver to mixer, and, a f t e r harmonic mixing takes place, the I.F. s i g n a l from the mixer back down to the re c e i v e r . D i r e c t l y below the turntable, above the lab c e i l i n g , an R.F. r o t a t i n g j o i n t with mercury contacts, f a c i l i t a t e s r o t a t i o n . A f t e r the CW s i g n a l reaches the receiver, and has passed through a s e r i e s of d i f f e r e n t conversions,1 KHz modulation i s added. This modulation i s then detected by a bolometer detector and the output fed to a S c i e n t i f i c Atlanta Rectangular-Polar Pattern Recorder, Series 1580 for p l o t t i n g . PATH LENGTH Transmission path length from the turntable centre of ro- t a t i o n to the adjacent v e r t i c a l 4"x4" support was 27 feet, 4 inches. Actual aperture to aperture separation was about 12 inches l e s s . 2 3 0 ^ UJ m £ 3 CJ ul .<5 uj i V i f * o o o: L_. U) 1 I

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