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Applications of the Karhunen-Loève transform in reflection seismology Jones, Ian Frederick 1985

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A P P L I C A T I O N S O F T H E K A R H U N E N - L O E V E T R A N S F O R M I N R E F L E C T I O N S E I S M O L O G Y b y I A N F R E D E R I C K J O N E S M . S c . T h e U n i v e r s i t y o f W e s t e r n O n t a r i o , 1 9 8 0 B . S c . ( H o n ) T h e U n i v e r s i t y o f M a n c h e s t e r , 1 9 7 6 A T H E S I S S U B M I T T E D I N T H E R E Q U I R E M E N T S D O C T O R OF P A R T I A L F U L F I L M E N T O F F O R T H E D E G R E E O F P H I L O S O P H Y i n T H E F A C U L T Y O F G R A D U A T E S T U D I E S ( D e p a r t m e n t O f G e o p h y s i c s A n d A s t r o n o m y ) We a c c e p t t h i s t h e s i s a s c o n f o r m i n g t o t h e r e q u i r e d s t a n d a r d T H E U N I V E R S I T Y O F B R I T I S H " C O L U M B I A ( A p r i l 1 9 8 5 © I a n F r e d e r i c k J o n e s , 1 9 8 5 In presenting t h i s thesis i n p a r t i a l f u l f i l m e n t of the requirements for an advanced degree at the University of B r i t i s h Columbia, I agree that the Library s h a l l make i t f r e e l y available for reference and study. I further agree that permission for extensive copying, of t h i s thesis for scholarly purposes may be granted by the head of my department or by h i s or her representatives. I t i s understood that copying or publication of t h i s thesis for f i n a n c i a l gain s h a l l not be allowed without my written permission. Department o f Q ^ C ^ W ^ ' S l o A A A c V ^ The University of B r i t i s h Columbia 1956 Main Ma l l Vancouver, Canada V6T 1Y3 Date DE-6 (3/81) ABSTRACT The K a r h unen-Loeve t r a n s f o r m , which o p t i m a l l y e x t r a c t s c o h e r e n t i n f o r m a t i o n from m u l t i c h a n n e l d a t a , has been a p p l i e d t o s e v e r a l p r o b l e m s i n r e f l e c t i o n s e i s m i c d a t a p r o c e s s i n g . The t r a n s f o r m i s d e r i v e d by a l e a s t - s q u a r e s c o n s t r u c t i o n of an o r t h o g o n a l s e t of p r i n c i p a l components and e i g e n v e c t o r s , w i t h c o r r e s p o n d i n g e i g e n v a l u e s . Data a r e r e c o n s t r u c t e d as a l i n e a r c o m b i n a t i o n of t h e p r i n c i p a l components. The m a t h e m a t i c a l p r o p e r t i e s of t h e Karhunen-Loeve t r a n s f o r m w hich r e n d e r i t a p p l i c a b l e t o p r o b l e m s i n s e i s m i c d a t a p r o c e s s i n g a r e r e v i e w e d , and a number of new a l g o r i t h m s d e v e l o p e d . Most a l g o r i t h m s a r e t e s t e d on s y n t h e t i c and r e a l d a t a e x a m p l e s , and ' p r o d u c t i o n - 1 i n e ' i n d u s t r i a l l y v i a b l e v e r s i o n s of some of t h e programs have been d e v e l o p e d . A new s i g n a l - t o - n o i s e r a t i o enhancement t e c h n i q u e , b a s e d on r e c o n s t r u c t i o n of s t a c k e d s e i s m i c s e c t i o n s , has p r o v e d t o be s u c c e s s f u l on r e a l d a t a . R e c o n s t r u c t i o n of l e s s c o h e r e n t i n f o r m a t i o n t o emphasize anomalous f e a t u r e s i n s t a c k e d s e i s m i c d a t a ( " m i s f i t " r e c o n s t r u c t i o n ) shows some p r o m i s e . D i f f r a c t i o n h y p e r b o l a e i s o l a t e d by m i s f i t r e c o n s t r u c t i o n a r e used t o e s t i m a t e r e s i d u a l m i g r a t i o n v e l o c i t i e s w i t h some s u c c e s s . And, t h e a b i l i t y of t h e t r a n s f o r m t o s e g r e g a t e c o h e r e n t i n f o r m a t i o n i s u s e d s u c c e s s f u l l y as the b a s i s of a new m u l t i p l e s u p p r e s s i o n t e c h n i q u e . An anomaly i d e n t i f i c a t i o n scheme, based on c l u s t e r i i a n a l y s i s o f t h e e i g e n v e c t o r s o f t h e t r a n s f o r m , w o r k s w e l l o n t h e s y n t h e t i c d a t a u s e d , a n d g i v e s p r o m i s i n g r e s u l t s w h e n a p p l i e d t o r e a l d a t a . A n e w v e l o c i t y a n a l y s i s m e t h o d , u t i l i z i n g a r a t i o o f t h e e i g e n v a l u e s , w o r k s w e l l f o r g o o d d a t a a t e a r l y t r a v e l t i m e s , a n d o f f e r s a p o t e n t i a l f o r h i g h r e s o l u t i o n v e l o c i t y i n v e r s i o n s t u d i e s . U s e o f t h e e i g e n v a l u e s i n e v a l u a t i o n o f a c o n s t a n t p h a s e a p p r o x i m a t i o n t o d i s p e r s i o n f o r s y n t h e t i c d a t a p r o v i d e s p r o m i s i n g r e s u l t s , l e a d i n g t o q u a n t i f i c a t i o n o f d i s p e r s i o n i n t e r m s o f r e l a t i v e p h a s e s h i f t s . A s p a r t o f t h i s d e v e l o p m e n t , a n a n a l y s i s o f t h e e f f e c t o f d i s p e r s i o n o n V i b r o s e i s © d a t a a c q u i s i t i o n , w h i c h r e p r e s e n t s a n o r i g i n a l i n v e s t i g a t i o n , i s p r e s e n t e d . T a b l e of Co n t e n t s A B S T R A C T . . . . . . . . i i T A B L E O F C O N T E N T S . i v L I S T O F F I G U R E S i x A C K N O W L E D G E M E N T S x i i i D E D I C A T I O N x i v CHAPTER 1. INTRODUCTION 1 S E C T I O N 1 . 1 : G E N E R A L I N T R O D U C T I O N 1 S E C T I O N 1 . 1 1 : R E V I E W O F P R E V I O U S W O R K . 4 a . O r t h o g o n a l E x p a n s i o n o f a F u n c t i o n 4 b . O r t h o g o n a l E x p a n s i o n o f M u l t i c h a n n e l D a t a 5 c . G e o p h y s i c a l A p p l i c a t i o n s 8 d . T h e W o r k o f t h e U . B . C . G r o u p 9 S E C T I O N 1 . I I I : S E I S M I C D A T A R E C O N S T R U C T I O N 11 a . R e c o n s t r u c t i o n o f C o h e r e n t I n f o r m a t i o n 11 b . M i s f i t R e c o n s t r u c t i o n 1 3 c . D i f f r a c t i o n s 13 d . M u l t i p l e S u p p r e s s i o n 14 S E C T I O N 1 . I V : S I M I L A R I T Y M E A S U R E S 1 5 a . C l u s t e r A n a l y s i s 1 6 b . V e l o c i t y A n a l y s i s 17 c . < 2 - I n v e r s i o n 17 i v CHAPTER 2. THEORY AND BACKGROUND . . 2 0 S E C T I O N 2 . 1 : T H E K A R H U N E N - L O E V E T R A N S F O R M A T I O N 2 0 a . I n t r o d u c t i o n 2 0 b . T h e o r y 2 0 c . S i n g u l a r V a l u e D e c o m p o s i t i o n 2 8 d . O u t e r - P r o d u c t I m a g e S u m m a t i o n 3 0 S E C T I O N 2 . I I : R E C O N S T R U C T I O N A N D A S S O C I A T E D E R R O R S 31 a . I d e n t i c a l S i g n a l s . . . 31 b . S i m i l a r S i g n a l s ..31 c . W i n n o w i n g a n d T r u n c a t i o n E r r o r 3 3 S E C T I O N 2 . I l l : A P P L I C A T I O N T O S E I S M I C D A T A 3 4 a . I n t r o d u c t i o n 3 4 b . F l a t L y i n g E v e n t s 3 5 c . D i p p i n g E v e n t s 3 5 d . L e s s C o h e r e n t I n f o r m a t i o n 3 6 e . T h e S i g n i f i c a n c e o f t h e E i g e n v e c t o r E l e m e n t s 3 7 S E C T I O N 2 . I V : T H E C O M P L E X K A R H U N E N - L O E V E T R A N S F O R M A T I O N . . . 3 9 a . I n t r o d u c t i o n 3 9 b . T h e C o m p l e x T r a c e 4 0 c . I d e n t i c a l S i g n a l s 41 d . P h a s e R e c o v e r y 4 2 e . T h e C o m p l e x K L T r a n s f o r m a t i o n a n d T i m e S h i f t s 4 3 f . C o m p l e x E i g e n v e c t o r s 4 6 v C H A P T E R 3 . D A T A R E C O N S T R U C T I O N . 51 S E C T I O N 3 . 1 : R E C O N S T R U C T I O N O F C O H E R E N T I N F O R M A T I O N . . . . . . . 5 1 a . I n t r o d u c t i o n . . . . 5 1 b . K L S t a c k V e r s u s t h e M e a n S t a c k .51 c . S y n t h e t i c D a t a E x a m p l e s 5 3 d . R e c o n s t r u c t i o n o f S t a c k e d D a t a . . 5 4 e . S y n t h e t i c D a t a E x a m p l e s 5 5 f . R e a l D a t a E x a m p l e s 5 7 g . D a t a C o m p r e s s i o n 6 2 h . D i s c u s s i o n 6 2 S E C T I O N 3 . I I : M I S F I T R E C O N S T R U C T I O N 7 9 a . I n t r o d u c t i o n 7 9 b . S y n t h e t i c D a t a E x a m p l e s 7 9 c . R e a l D a t a E x a m p l e s 8 0 d . D i s c u s s i o n 81 S E C T I O N 3 . I I I : S E P A R A T I O N O F D I F F R A C T I O N S 8 9 a . I n t r o d u c t i o n 8 9 b . S y n t h e t i c D a t a E x a m p l e s 8 9 c . M i g r a t i o n o f D i f f r a c t i o n S e c t i o n s 91 d . R e a l D a t a E x a m p l e s 9 2 e . D i s c u s s i o n 9 3 S E C T I O N 3 . I V : M U L T I P L E S U P P R E S S I O N 1 0 5 a . I n t r o d u c t i o n 1 0 5 b . S y n t h e t i c D a t a E x a m p l e s 1 0 6 c . R e a l D a t a E x a m p l e s 1 0 9 d . D i s c u s s i o n 1 1 0 v i CHAPTER 4. SIMILARITY MEASURES. 1 1 9 S E C T I O N 4 . 1 : T R A C E C L U S T E R A N A L Y S I S 1 1 9 a . I n t r o d u c t i o n . 1 1 9 b . S y n t h e t i c D a t a E x a m p l e s . 1 2 2 c . R e a l D a t a E x a m p l e s 1 2 5 d . D i s c u s s i o n 1 2 7 S E C T I O N 4 . I I : V E L O C I T Y A N A L Y S I S . 1 3 8 a . I n t r o d u c t i o n 1 3 8 b . T h e E f f e c t s o f S t a t i c S h i f t s 1 3 8 c . S y n t h e t i c D a t a E x a m p l e s . . . . 1 3 9 d . R e a l D a t a E x a m p l e s 1 4 2 e . D i s c u s s i o n 1 4 6 S E C T I O N 4 . I I I : Q I N V E R S I O N 1 6 9 a . I n t r o d u c t i o n 1 6 9 b . A n I t e r a t i v e D i s p e r s i o n R e m o v a l S c h e m e U s i n g a n E f f e c t i v e Q V a l u e 1 7 0 c . T h e C o n s t a n t P h a s e A p p r o x i m a t i o n 1 7 3 d . D i s p e r s i o n Q u a n t i f i c a t i o n O b j e c t i v e F u n c t i o n s 1 8 0 e . D i s c u s s i o n 1 8 5 v i i CHAPTER 5 . CONCLUSIONS 2 0 0 S E C T I O N 5 . 1 : R E V I E W O F T H E G O A L S O F T H I S W O R K . 2 0 0 S E C T I O N 5 . I I : R E M A R K S 2 0 2 a . I m a g e p r o c e s s i n g 2 0 2 b . S i m i l a r i t y . 2 0 4 S E C T I O N 5 . I l l : R E C O M M E N D A T I O N S . 2 0 6 a . S t a c k i n g 2 0 6 b . R e c o n s t r u c t i o n 2 0 6 c . S i m i l a r i t y C r i t e r i a 2 0 7 d . C o n c l u s i o n 2 0 9 REFERENCES 2 1 1 APPENDIX 1. ATTENUATION RELATED DISPERSION 21 9 a . T h e o r y 2 1 9 b . N u m e r i c a l M e t h o d s 2 2 3 c . C u m u l a t i v e t o I n t e r v a l Q I n v e r s i o n 2 2 5 APPENDIX 2. THE EFFECT OF DISPERSION ON VIBROSEIS DATA PROCESSING 2 2 6 a . I n t r o d u c t i o n 2 2 6 b . T h e o r y 2 2 7 c . T h e V i b r o s e i s ® T e c h n i q u e 2 2 9 d . S y n t h e t i c D a t a E x a m p l e s 2 3 0 e . C o m p a r i s o n w i t h P r e v i o u s W o r k 2 3 3 f . C o n c l u s i o n s 2 3 5 v i i i L i s t of F i g u r e s 2 . 1 : C u m u l a t i v e P e r c e n t a g e E n e r g y 4 8 2 . 2 : E f f e c t . o f T i m e S h i f t s o n C K L P h a s e . . . . . 4 9 2 . 3 : R o t a t e d T i m e S h i f t e d W a v e l e t s 5 0 3 . 1 : T i m e a n d P h a s e S h i f t s a n d S t a c k i n g 6 4 3 . 2 : S y n t h e t i c F a u l t e d D a t a , N o i s e , a n d R e c o n s t r u c t i o n 6 5 3 . 3 : S y n t h e t i c N o i s y D a t a a n d R e c o n s t r u c t i o n 6 6 3 . 4 : P r o c e d u r e f o r S l a n t K L R e c o n s t r u c t i o n 6 7 3 . 5 a : R e a l S t a c k e d D a t a w i t h " L e n s " 6 8 3 . 5 b : 9 5 % R e c o n s t r u c t i o n 6 9 3 . 5 c : 8 5 % R e c o n s t r u c t i o n 7 0 3 . 6 a : R e a l S t a c k e d D a t a w i t h B i f u r c a t i o n 71 3 . 6 b : 9 5 % R e c o n s t r u c t i o n 7 2 3 . 6 c : 8 5 % R e c o n s t r u c t i o n 7 3 3 . 7 : S t a c k e d S e c t i o n w i t h C a l d e r a a n d B l o c k F a u l t s 7 4 3 . 8 : 9 5 % R e c o n s t r u c t i o n o f C a l d e r a D a t a 7 5 3 . 9 a : D i p p i n g R e a l D a t a . . 7 6 3 . 9 b : S l a n t - K L 9 5 % R e c o n s t r u c t i o n 7 7 3 . 9 c : S l a n t - K L 8 5 % R e c o n s t r u c t i o n 7 8 3 . 1 0 : D i p p i n g N o i s e M i s f i t R e c o n s t r u c t i o n 8 3 3 . 1 1 : S y n t h e t i c " L e n s " M i s f i t R e c o n s t r u c t i o n 8 4 3 . 1 2 a : R e a l F a u l t e d D a t a 8 5 3 . 1 2 b : G r e y S h a d e M i s f i t O v e r l a y 8 6 i x 3 . 1 3 a : R e a l B r a i d e d S t r e a m D a t a 8 7 3 . 1 3 b : G r e y S h a d e M i s f i t O v e r l a y . 8 8 3 . 1 4 a : S y n t h e t i c A r r i v a l s f r o m a C o m m o n S o u r c e 9 4 3 . 1 4 c : F l a t t e n e d D a t a 9 5 3 . 1 5 : D i f f r a c t i o n R e c o n s t r u c t i o n 9 6 3 . 1 6 : S y n t h e t i c A r r i v a l s f o r Z e r o O f f s e t 9 7 3 . 1 7 : D i f f r a c t i o n R e c o n s t r u c t i o n 9 8 3.18: M i g r a t e d M i s f i t R e c o n s t r u c t i o n s o f D i f f r a c t i o n E v e n t s . . 9 9 3 . 1 9 a : R e a l F a u l t e d D a t a 1 0 0 3 . 1 9 b : 9 2 % R e c o n s t r u c t i o n 101 3 . 1 9 c : M i s f i t R e c o n s t r u c t i o n t o I s o l a t e D i f f r a c t i o n s 1 0 2 3 . l 9 d : M i g r a t e d M i s f i t R e c o n s t r u c t i o n 1 0 3 3 . l 9 e : M i g r a t e d M i s f i t R e c o n s t r u c t i o n 1 0 4 3 . 2 0 : S y n t h e t i c D a t a w i t h M u l t i p l e E v e n t s 1 1 2 3 . 2 1 : T i m e S t r e c h e d D a t a a n d M i s f i t R e c o n s t r u c t i o n 1 1 3 3 . 2 2 : U n s t r e c h e d M i s f i t R e c o n s t r u c t i o n 1 1 4 3 . 2 3 : M o v e o u t C o r r e c t e d M u l t i p l e S u p p r e s s e d D a t a 1 1 5 3 . 2 4 : R e a l M a r i n e D a t a w i t h M u l t i p l e E v e n t s 1 1 6 3 . 2 5 : V A B e f o r e a n d A f t e r M u l t i p l e S u p p r e s s i o n 1 1 7 3 . 2 6 : S t a c k s B e f o r e a n d A f t e r M u l t i p l e S u p p r e s s i o n 1 1 8 4 . 1 : T h e D a t a o f H a g e n ( 1 9 8 2 ) 1 2 9 4 . 2 : C l u s t e r G r o u p s f o r F a u l t e d L a y e r s 1 3 0 4 . 3 : ' C l u s t e r G r o u p s f o r P h a s e D r i f t s 131 4 . 4 : C l u s t e r G r o u p s f o r D i p p i n g L a y e r s 1 3 2 x 4 . 5 : C l u s t e r G r o u p s f o r a " R e e f " . . 1 3 3 4 . 6 : C l u s t e r G r o u p s f o r D i s c o n t i n u o u s R e a l D a t a . . . . . . . 1 3 4 4 . 7 : C l u s t e r G r o u p s f o r F a u l t e d R e a l d a t a 1 3 5 4 . 8 : C l u s t e r G r o u p s f o r a R e a l D a t a C h a r a c t e r C h a n g e 1 3 6 4 . 9 : C l u s t e r G r o u p s f o r R e a l B r a i d e d S t r e a m D a t a 137 4 . 1 0 : S i n g l e L a y e r S y n t h e t i c S e i s m o g r a m s 1 4 7 4 . 1 1 : E f f e c t o f T i m e S h i f t s o n R K L V e l o c i t y A n a l y s i s 1 4 8 4 . 1 2 : E f f e c t o f T i m e S h i f t s o n C K L V e l o c i t y A n a l y s i s 1 4 9 4 . 1 3 : E f f e c t o f N o i s e L e v e l o n V e l o c i t y A n a l y s i s 1 5 0 4 . 1 4 : S y n t h e t i c S e i s m o g r a m s f o r T h r e e L a y e r s 151 4 . 1 5 : V e l o c i t y A n a l y s i s R e s u l t s f o r T h r e e L a y e r M o d e l 1 5 2 4 . 1 6 : S y n t h e t i c S e i s m o g r a m s f o r T e n L a y e r s . . . . 1 5 3 4 . 1 7 a : S e m b l a n c e V e l o c i t y A n a l y s i s R e s u l t s 1 5 4 4 . 1 7 b : R K L V e l o c i t y A n a l y s i s R e s u l t s 1 5 5 4 . 1 7 c : C K L V e l o c i t y A n a l y s i s R e s u l t s 1 5 6 4 . 1 8 : T i m e S h i f t e d S y n t h e t i c S e i s m o g r a m s f o r T e n L a y e r s 1 5 7 4 . 1 9 a : S e m b l a n c e V e l o c i t y A n a l y s i s R e s u l t s 1 5 8 4 . 1 9 b : R K L V e l o c i t y A n a l y s i s R e s u l t s 1 5 9 4.19c: C K L V e l o c i t y A n a l y s i s R e s u l t s 1 6 0 4 . 2 0 : R e a l L a n d D a t a a n d S e m b l a n c e V e l o c i t y A n a l y s i s 161 4 . 2 1 : S a m p l e W i n d o w s f o r V e l o c i t y A n a l y s i s . . . . 1 6 2 4 . 2 2 : R K L V e l o c i t y A n a l y s i s R e s u l t s 1 6 3 4 . 2 3 : C K L V e l o c i t y A n a l y s i s R e s u l t s 1 6 4 4 . 2 4 : R e a l M a r i n e D a t a a n d S e m b l a n c e V e l o c i t y A n a l y s i s 1 6 5 4 . 2 5 : S a m p l e W i n d o w s f o r V e l o c i t y A n a l y s i s 1 6 6 x i 4 . 2 6 : R K L V e l o c i t y A n a l y s i s R e s u l t s 1 6 7 4 . 2 7 : C K L V e l o c i t y A n a l y s i s R e s u l t s . . 1 6 8 4 . 2 8 : D i s p e r s e d a n d R o t a t e d W a v e l e t s 1 8 7 4 . 2 9 : A t t e n u a t e d , D i s p e r s e d a n d R o t a t e d W a v e l e t s 1 8 8 4 . 3 0 : e V e r s u s C e n t r e F r e q u e n c y 1 8 9 4 . 3 1 : e V e r s u s C e n t r e F r e q u e n c y ( A t t e n u a t e d ) 1 9 0 4 . 3 2 : I n t e r c e p t V e r s u s C e n t r e F r e q u e n c y 191 4 . 3 3 : e V e r s u s C e n t r e F r e q u e n c y 1 9 2 4 . 3 4 : I n t e r c e p t V e r s u s C e n t r e F r e q u e n c y 1 9 3 4 . 3 5 : K L O b j e c t i v e F u n c t i o n s 1 9 4 4 . 3 6 : M o d e l a n d S y n t h e t i c D a t a 1 9 5 4 . 3 7 : O b j e c t i v e F u n c t i o n s f o r H y p e r b o l a e 1 9 6 4 . 3 8 : E x a m p l e W a v e l e t s 1 9 7 4 . 3 9 : O b j e c t i v e F u n c t i o n s f o r F o u r L a y e r s 1 9 8 4 . 4 0 : O b j e c t i v e F u n c t i o n s f o r F o u r L a y e r s ( A t t e n u a t e d ) 1 9 9 A . 1 : C o r r e l o g r a m s f o r T h r e e V i b r o s e i s ® M e t h o d s 2 3 7 A . 2 : S p e c t r a f o r V a r i o u s S w e e p M e t h o d s 2 3 8 A . 3 : C o r r e l o g r a m s f o r D i s p e r s e d d a t a 2 3 9 A . 4 : C o r r e l o g r a m s f o r A t t e n u a t e d D i s p e r s e d D a t a 2 4 0 A . 5 : C o r r e l o g r a m A f t e r H i g h F r e q u e n c y R e c o v e r y 2 4 1 A . 6 : U n i - O c t a v e V e r s u s M u l t i - O c t a v e S t a c k s 2 4 2 x i i A C K N O W L E D G E M E N T S . I e x p r e s s my d e e p e s t t h a n k s t o my s u p e r v i s o r s D r s . R . M . C l o w e s a n d R . M . E l l i s , f o r t h e i r c o n t i n u e d s u p p o r t d u r i n g my t i m e a t U . B . C , a n d t o D r s . T . J . U l r y c h , D.W. O l d e n b u r g , a n d M . J . Y e d l i n , f o r t h e i r c o n s i d e r a b l e i n p u t a n d a d v i c e d u r i n g t h i s p r o j e c t . M y t h a n k s a l s o t o D r s . P . H . L e B l o n d a n d K . L a r n e r f o r t h e i r p a r t i c i p a t i o n a s c o m m i t t e e m e m b e r a n d e x t e r n a l e x a m i n e r , r e s p e c t i v e l y . M y s p e c i a l t h a n k s g o e s t o S h l o m o L e v y , w h o i n i t i a l l y s u g g e s t e d t h i s t o p i c , a n d w h o ' s c o n t i n u e d i n p u t g u i d e d me p a s t m a n y h u r d l e s d u r i n g i t s e x e c u t i o n , l e a d i n g t o i t s p r e s e n t f o r m . T h e f r i e n d s h i p s o f R o n C l o w e s , M a t Y e d l i n , D o n P l e n d e r l e i t h , B r a d P r a g e r , J u l i a n C a b r e r a , a n d D a v i d W a l d r o n , h a v e a l l b e e n i n s t r u m e n t a l i n h e l p i n g me t h r o u g h p e r i o d s o f t u r m o i l w h i l s t s t r i v i n g t o k e e p my h e a d a b o v e t h e w a v e s d u r i n g t h e p a s t f o u r y e a r s . T h i s w o r k w a s s u p p o r t e d i n p a r t b y t h e N a t u r a l S c i e n c e s a n d E n g i n e e r i n g R e s e a r c h C o u n c i l ( g r a n t s A 7 7 0 7 , A 2 6 1 7 , A 4 2 7 0 , a n d A 1 8 0 4 ) , P e t r o - C a n a d a L t d . , a n d M o b i l O i l C a n a d a L t d . I n v e r s e T h e o r y a n d A p p l i c a t i o n s ( I T & A ) I n c . , g e n e r o u s l y m a d e a v a i l a b l e t h e c o m p u t i n g f a c i l i t i e s , d a t a , a n d p r o g r a m m i n g e x p e r t i s e n e c e s s a r y f o r t h e c o m p l e t i o n o f m u c h o f t h e w o r k p r e s e n t e d h e r e . M y t h a n k s a l s o t o D r . J . d e n B o e r , o f M o b i l O i l C a n a d a , a n d t o M r . J . M u i r , o f C h e v r o n C a n a d a R e s o u r c e s , f o r k i n d l y s u p p l y i n g d a t a f o r t h i s p r o j e c t . D E D I C A T I O N G E M M A : A c a u s a d e e s t e t r a b a j o , Y p o r t i e m p o m a l p a s a d o , c o n e n s u e n o s n o r e a l i z a d o s , Y o d i g o a h o r a : L o d e m a s e s p a r a t i . x i v 1 CHAPTER 1. INTRODUCTION. S E C T I O N 1 . 1 : G E N E R A L I N T R O D U C T I O N . T h e K a r h u n e n - L o e v e t r a n s f o r m h a s l o n g b e e n k n o w n a n d w e l l u t i l i z e d i n t h e i m a g e p r o c e s s i n g f i e l d ( A h m e d a n d R a o , 1 9 7 5 ) ; h o w e v e r , i n g e o p h y s i c a l d a t a p r o c e s s i n g , a p p l i c a t i o n s t o d a t e h a v e b e e n s c a n t . I n t h i s t h e s i s , my o b j e c t i v e i s t o i n t r o d u c e a n d e x e m p l i f y t h e K a r h u n e n - L o e v e t r a n s f o r m a t i o n t o t h e s e i s m i c d a t a p r o c e s s i n g c o m m u n i t y a s a v i a b l e m e t h o d f o r a d d r e s s i n g s e v e r a l p r o b l e m s i n m u l t i c h a n n e l s e i s m i c d a t a p r o c e s s i n g . T h e b a s i c t e n e t b e h i n d t h i s w o r k i s t h a t u s i n g t h e K a r h u n e n - L o e v e t r a n s f o r m , s e i s m i c d a t a p o s s e s s i n g l i n e a r t r a c e - t o - t r a c e c o h e r e n c y m a y b e p r o j e c t e d i n t o a s p a c e w h e r e t h e c o h e r e n t i n f o r m a t i o n i s c o m p r e s s e d i n t o t h e s m a l l e s t p o s s i b l e n u m b e r o f ' a l t e r n a t i v e d a t a ' t r a c e s . T h i s c o m p r e s s i o n s e p a r a t e s t h e c o r r e l a t e d f r o m u n c o r r e l a t e d p a r t s o f t h e i n p u t d a t a . I e x p l o i t t h i s s e p a r a b i l i t y f e a t u r e t o i m p r o v e e x i s t i n g s e i s m i c p r o c e s s i n g t e c h n i q u e s , a n d t o f o r m t h e b a s i s o f n e w m u l t i c h a n n e l s e i s m i c d a t a p r o c e s s i n g t e c h n i q u e s . S e v e r a l o f t h e t o p i c s i n t h i s t h e s i s a r e p r e s e n t e d h e r e f o r t h e f i r s t t i m e , w h i l e o t h e r s h a v e b e e n m e n t i o n e d i n e x i s t i n g l i t e r a t u r e , o r i n r e c e n t a r t i c l e s o n w h i c h I am c o - a u t h o r . 2 My a t t e n t i o n w a s o r i g i n a l l y d i r e c t e d t o t h i s t o p i c b y S . L e v y a n d T . J . U l r y c h , w h o w i t h D.W. O l d e n b u r g a n d m y s e l f h a v e b e e n i n v e s t i g a t i n g t h e u s e f u l n e s s o f t h e K a r h u n e n - L o e v e t r a n s f o r m i n t h e f r a m e w o r k o f a m o r e g e n e r a l i n v e r s i o n a p p r o a c h t o s e i s m i c d a t a p r o c e s s i n g . I n i t i a l l y , my i n t e r e s t i n t h e K a r h u n e n - L o e v e t r a n s f o r m ( r e f e r r e d t o i n t h e r e m a i n d e r o f t h i s w o r k a s t h e K L t r a n s f o r m , o r t h e K L T ) f o c u s s e d o n i t s a b i l i t y t o q u a n t i f y s i m i l a r i t y b e t w e e n w a v e f o r m s . T h i s i n t e r e s t a r o s e a s I w a s i n t e r e s t e d i n t h e p r o b l e m o f t h e q u a n t i f i c a t i o n o f d i s p e r s i o n i n s e i s m i c b o d y - w a v e d a t a , a n d t h e s u b s e q u e n t c o r r e c t i o n o f d i s p e r s i v e e f f e c t s . S u b s e q u e n t l y , my i n t e r e s t s h i f t e d m o r e t o w a r d s t h e a p p l i c a t i o n o f K L T t o v a r i o u s o t h e r p r o b l e m s . H o w e v e r , e v i d e n c e o f t h e i n i t i a l t h r u s t o f my t h e s i s i s t o b e f o u n d i n t h e c o v e r a g e g i v e n t o t h a t p r o b l e m i n t h e Q - i n v e r s i o n s e c t i o n o f C h a p t e r 4 , a n d i n t h e d e v e l o p m e n t s c o n c e r n i n g t h e e f f e c t s o f d i s p e r s i o n o n t h e c h o i c e o f b a n d w i d t h f o r V i b r o s e i s ® d a t a ( A p p e n d i x 2 ) . A s t h e m a j o r i t y o f i n t e r e s t i n t h i s w o r k i s w i t h i n t h e i n d u s t r i a l s e i s m i c d a t a p r o c e s s i n g c o m m u n i t y , o n e o f my g o a l s h a s b e e n t o p r o d u c e a v i a b l e ' p r o d u c t i o n - l i n e ' p r o c e s s i n g p a c k a g e f o r e a c h o f t h e a p p l i c a t i o n s i n v e s t i g a t e d . H o w e v e r , s o m e o f t h e a p p l i c a t i o n s , a l t h o u g h t h e y p r o v e d t o b e p r o m i s i n g o n s y n t h e t i c d a t a , h a v e n o t p r o v e d a s p o w e r f u l f o r r e a l d a t a e x a m p l e s . S o m e a p p l i c a t i o n s o f t h e K a r h u n e n - L o e v e t r a n s f o r m w e r e p r e s e n t e d b y m y s e l f o n b e h a l f o f my c o - a u t h o r s a t t h e 1 9 8 3 A n n u a l 3 I n t e r n a t i o n a l M e e t i n g o f t h e S o c i e t y o f E x p l o r a t i o n G e o p h y s i c i s t s ( S E G ) i n L a s V e g a s , N e v a d a , U S A . A m a n u s c r i p t i n p r e p a r a t i o n o n m u l t i c h a n n e l a p p l i c a t i o n s ( J o n e s a n d L e v y , 1 9 8 5 ) w a s p r e s e n t e d a t t h e 1 9 8 4 A n n u a l I n t e r n a t i o n a l M e e t i n g o f t h e E u r o p e a n A s s o c i a t i o n o f E x p l o r a t i o n G e o p h y s i c i s t s i n L o n d o n , E n g l a n d , b y my c o - a u t h o r , S . L e v y . A b r i e f r e v i e w o f s o m e o f t h e w o r k c o n s i d e r e d h e r e a n d e l s e w h e r e b y c o - w o r k e r s a n d m y s e l f w a s g i v e n b y D.W. O l d e n b u r g , a t t h e 1 9 8 4 j o i n t m e e t i n g o f t h e C a n a d i a n S o c i e t y o f E x p l o r a t i o n G e o p h y s i c i s t s ( C S E G ) a n d C a n a d i a n S o c i e t y o f P e t r o l e u m G e o l o g i s t s ( C S P G ) , i n C a l g a r y , A l b e r t a , C a n a d a , a n d a l s o a t t h e S E G S e i s m i c D e c o n v o l u t i o n W o r k s h o p i n J u l y 1 9 8 4 , i n V a i l , C o l o r a d o , U S A . T o i n t r o d u c e t h e r e a d e r t o t h e b a c k g r o u n d o f t h e K L T , t h e p r o b l e m s I c o n s i d e r , a n d t h e a p p l i c a t i o n o f t h e K L T t o t h o s e p r o b l e m s , t h e b o d y o f t h i s t h e s i s i s d i v i d e d i n t o f o u r m a j o r s e c t i o n s : 1 . A n i n t r o d u c t i o n t o p r e v i o u s w o r k u s i n g t h e K L T i n o t h e r f i e l d s , a n d t o t h e s u b s e q u e n t s e c t i o n s c o n s i d e r e d h e r e ( C h a p t e r D; 2 . A t h e o r e t i c a l i n t r o d u c t i o n t o t h e v a r i o u s a s p e c t s o f t h e K L T o u t l i n i n g t h e w e l l e s t a b l i s h e d t h e o r y f r o m t h e l i t e r a t u r e , a n d i n t r o d u c i n g t h e p h y s i c a l i n s i g h t s b e h i n d e a c h o f t h e a p p l i c a t i o n s c o n s i d e r e d h e r e ( C h a p t e r 2 ) ; 3 . A p p l i c a t i o n s o f t h e m e t h o d t o s y n t h e t i c m u l t i c h a n n e l s e i s m i c d a t a s e t s , a n d t o m u l t i c h a n n e l f i e l d d a t a , w i t h r e f e r e n c e t o t h e r e l e v a n t t h e o r e t i c a l d e v e l o p m e n t ( C h a p t e r s 3 a n d 4 ) ; a n d 4 4 . A n a s s e s m e n t o f t h e u s e f u l n e s s a n d l i m i t a t i o n s o f t h e m e t h o d i n e a c h o f t h e a p p l i c a t i o n s d i s c u s s e d ( C h a p t e r 5 ) . S E C T I O N R E V I E W O F P R E V I O U S W O R K . I n t h i s s e c t i o n , I r e v i e w t h e p r e v i o u s w o r k i n t h e l i t e r a t u r e o n o r t h o g o n a l t r a n s f o r m s , a n d m o r e s p e c i f i c a l l y , t h e e x p a n s i o n o f m u l t i c h a n n e l s o f d a t a i n t e r m s o f o r t h o g o n a l t r a n s f o r m s . a . O r t h o g o n a l E x p a n s i o n o f a F u n c t i o n . T h e b e s t k n o w n , a n d e a r l i e s t t r e a t i s e o n o r t h o g o n a l t r a n s f o r m s w a s t h a t o f F o u r i e r , w h o a s s e r t e d t h a t a f u n c t i o n w h i c h m e t c e r t a i n b r o a d c o n d i t i o n s ( s p e c i f i e d b y D i r i c h l e t ; s e e K a n a s e w i c h , 1 9 8 2 ) c o u l d b e e x p r e s s e d a s a l i n e a r c o m b i n a t i o n o f s i n u s o i d s . T h i s a p p r o a c h w a s l a t e r g e n e r a l i z e d t o t h e r e p r e s e n t a t i o n o f a n a r b i t a r y f u n c t i o n b y l i n e a r c o m b i n a t i o n o f o r t h o g o n a l n o n - s i n u s o i d a l f u n c t i o n s . F o r e x a m p l e , W a l s h ( 1 9 2 3 ) i n t r o d u c e d a s e t o f s q u a r e - w a v e - l i k e o r t h o g o n a l f u n c t i o n s , a n d s e v e r a l o t h e r f u n c t i o n s w e r e a l s o d e v i s e d ( e . g . t h e R a d e m a c h e r f u n c t i o n s , B e a u c h a m p , 1 9 7 5 ) . H o t e l l i n g ( 1 9 3 3 ) w a s o n e o f t h e e a r l i e s t w o r k e r s t o b e g i n t o u t i l i z e t h e m o r e g e n e r a l a p p r o a c h i n t h e g u i s e o f f a c t o r , o r p r i n c i p a l c o m p o n e n t a n a l y s i s . H i s i n t e r e s t w a s i n c l a s s i f y i n g p s y c h o l o g i c a l t e s t s c o r e s ; h e n c e h i s d a t a c o n s i s t e d o f 5. m u l t i c h a n n e l s o f d i s c r e t e v a l u e s . T h e s e m e t h o d s f i r s t a p p e a r e d i n t h e s i g n a l p r o c e s s i n g l i t e r a t u r e w h e n K a r h u n e n ( 1 9 4 7 ) e x p a n d e d r e p l i c a t i o n s o f s i n g l e - c h a n n e l s t e l l a r l i n e - s p e c t r a l d a t a i n t o a s u i t e o f o r t h o g o n a l f u n c t i o n s . H i s a p p r o a c h w a s f o r m a l i z e d b y L o e v e ( 1 9 4 8 , 1 9 5 5 ) , w h o t r e a t e d t h e d e r i v a t i o n o f t h e t r a n s f o r m i n a r i g o r o u s s t a t i s t i c a l s e n s e , a n d t h e t e r m K a r h u n e n - L o e v e t r a n s f o r m t h e n a p p e a r e d i n t h e l i t e r a t u r e t o c o m p l e m e n t t h e t e r m s H o t e l l i n g a n d p r i n c i p a l c o m p o n e n t t r a n s f o r m s . b . O r t h o g o n a l E x p a n s i o n o f M u l t i c h a n n e l D a t a . T h e K a r h u n e n - L o e v e t r a n s f o r m w a s d e f i n e d t o s t a t i s t i c a l l y d e s c r i b e t h e e x p a n s i o n o f a s u i t e o f r e a l i z a t i o n s o f a s i n g l e f u n c t i o n a s a n i n f i n i t e s u m o f o r t h o g o n a l f u n c t i o n s . A s a c o r o l l a r y t o t h i s , s e v e r a l w o r k e r s e x p l o r e d t h e p o s s i b i l i t y o f s i m u l t a n e o u s l y e x p a n d i n g m u l t i c h a n n e l s o f d a t a i n t e r m s o f t h e s a m e s e t o f o r t h o g o n a l f u n c t i o n s . I n t h e m u l t i c h a n n e l c a s e , t h e c o v a r i a n c e m a t r i x o f t h e d a t a i s d e c o m p o s e d , a n d f o r n c h a n n e l s o f d a t a ( c o n t i n u o u s o r d i s c r e t e ) we n e e d ( a t m o s t ) n o r t h o g o n a l f u n c t i o n s f o r a n e x a c t r e p r e s e n t a t i o n . I f t h e o r i g i n a l f u n c t i o n s c o m p r i s i n g t h e m u l t i c h a n n e l i n p u t a r e n o t l i n e a r l y i n d e p e n d e n t , t h e n t h e y c o u l d p r e s u m a b l y b e r e p r e s e n t e d b y a s u b s e t o f t h e o r t h o g o n a l f u n c t i o n s . 6 T h e f i r s t w o r k e r s t o d e m o n s t r a t e t h e d e v e l o p m e n t o f t h e t r a n s f o r m f o r m u l t i c h a n n e l d a t a u s i n g a m a t r i x a l g e b r a a p p r o a c h w e r e K r a m e r a n d M a t h e w s ( 1 9 5 6 ) w h o a p p l i e d t h e i r p r o c e d u r e s t o s p e e c h a n a l y s i s a n d d a t a c o m p r e s s i o n p r i o r t o t e l e g r a p h i c t r a n s m i s s i o n . I n f a c t , t h e s p e e c h p r o c e s s i n g a n d t e l e g r a p h i c c o m m u n i c a t i o n s c o m m u n i t i e s w e r e t h e f i r s t g r o u p s t o f u l l y e x p l o r e a n d e x p l o i t t h e u s e f u l n e s s o f t h e K L t r a n s f o r m . Y o u n g a n d H u g g i n s ( 1 9 6 2 , 1 9 6 3 ) a n d C h r i s t e n s e n a n d H i r s c h m a n ( 1 9 7 9 ) s u b s e q u e n t l y u t i l i z e d t h e m u l t i c h a n n e l d a t a a p p r o a c h t o e x t r a c t t h e u n d e r l y i n g s i g n a l f o r m s f r o m a s u i t e o f e l e c t r o c a r d i o g r a p h s i g n a l s . Y o u n g a n d H u g g i n s ( 1 9 6 2 ) a n d Y o u n g a n d C a l v e r t ( 1 9 7 4 ) a l s o r e f e r t o t h e m e t h o d i n i t s m u l t i c h a n n e l f o r m a s I n t r i n s i c C o m p o n e n t A n a l y s i s . A l s o , G u b b i n s e t a l . ( 1 9 7 1 ) i n v e s t i g a t e d t h e u s e o f H a a r a n d W a l s h f u n c t i o n s i n f i l t e r i n g t e c h n i q u e s . W a t a n a b e ( 1 9 6 5 ) g a v e a c o m p r e h e n s i v e o v e r v i e w o f t h e t r a n s f o r m , s h o w i n g h o w i t c o u l d b e d e r i v e d n o t o n l y i n a l e a s t - s q u a r e s s e n s e , a s w a s d o n e i n d e p e n d e n t l y b y K r a m e r a n d M a t h e w s ( 1 9 5 6 ) , b u t a l s o i n a w a y w h i c h m i n i m i z e d t h e e n t r o p y o f a n o b j e c t i v e f u n c t i o n . H e a l s o e l u c i d a t e d t h e s a l i e n t d i f f e r e n c e s b e t w e e n f a c t o r , o r p r i n c i p a l c o m p o n e n t a n a l y s i s ( w h i c h w a s d e v e l o p e d w i t h d i s c r e t e d a t a i n m i n d ) a n d t h e K L t r a n s f o r m , w h i c h w a s d e r i v e d f o r a c o n t i n u o u s f u n c t i o n . 7 A s u c c i n c t d e f i n i t i o n o f t h e t r a n s f o r m c o i n e d b y W a t a n a b e r e a d s a s f o l l o w s : " T h e K - L - e x p a n s i o n i s u s u a l l y k n o w n a s o n e w h i c h m i n i m i z e s t h e a v e r a g e e r r o r c o m m i t t e d b y t a k i n g o n l y a f i n i t e n u m b e r o f t e r m s i n t h e i n f i n i t e s e r i e s o f a n e x p a n s i o n w h e n a g i v e n c o l l e c t i o n o f f u n c t i o n s i s t o b e e x p r e s s e d a s a s e r i e s i n t e r m s o f s o m e c o m p l e t e s e t o f o r t h o g o n a l f u n c t i o n s . " I n t h e s a m e y e a r , P a p o u l i s ( 1 9 6 5 ) p r e s e n t e d t h e m e t h o d a s t h a t w h i c h , i n a l e a s t - s q u a r e s s e n s e , ' o p t i m a l l y ' t r a n s f o r m e d a v e c t o r o r s u i t e o f v e c t o r s i n t o a c o m p l e t e o r t h o g o n a l s e t . A f t e r f u r t h e r w o r k o n p a t t e r n r e c o g n i t i o n a n d f e a t u r e s e l e c t i o n ( C h i e n a n d F u , 1 9 6 7 ) a n d a p r o p o s e d m o d i f i c a t i o n t o t h e m e t h o d ( F u k u n a g a a n d K o o n t z , 1 9 6 9 ) , u s e o f t h e m e t h o d i n t h e i m a g e p r o c e s s i n g f i e l d b e c a m e w i d e s p r e a d ( P r a t t , 1 9 7 0 ; R e a d y a n d W i n t z , 1 9 7 3 ; P e l a t , 1 9 7 4 ; A h m e d a n d R a o , 1 9 7 5 ; A n d r e w s a n d P a t t e r s o n , 1 9 7 6 a , b , a n d c ; J a i n , 1 9 7 6 , 1 9 7 7 ; L o w i t z , 1 9 7 8 ; M a l l i c k a n d M u r t h y , 1 9 8 4 ) . A c c o r d i n g t o Y o u n g a n d C a l v e r t ( 1 9 7 4 ) , t h e a p p l i c a t i o n o f t h e K L t r a n s f o r m t o f e a t u r e e x t r a c t i o n w a s d u e i n i t i a l l y t o C h i e n a n d F u ( 1 9 6 7 ) a n d W a t a n a b e ( 1 9 6 5 ) . A h m e d a n d R a o ( 1 9 7 5 ) , i n t h e i r b o o k o n t h e a p p l i c a t i o n s o f o r t h o g o n a l t r a n s f o r m s t o d i g i t a l i m a g e p r o c e s s i n g , r e v i e w m o s t o f t h e a b o v e m e n t i o n e d t e c h n i q u e s a n d a p p l i c a t i o n s . T h e y u s e t h e d e f i n i t i o n o f t h e K a r h u n e n - L o e v e t r a n s f o r m a s a p p l i e d t o t h e 8 d e c o m p o s i t i o n o f t h e c o v a r i a n c e m a t r i x o f a n i m a g e w h e n d e s c r i b e d a s a s e r i e s o f r o w v e c t o r s . T h r o u g h o u t t h i s w o r k I w i l l b e d e a l i n g w i t h m u l t i c h a n n e l s o f d a t a , a n d w i l l u s e t h e t e r m ' K a r h u n e n - L o e v e ' ( K L ) t r a n s f o r m t o m e a n t h e e x p a n s i o n o f s u c h d a t a v i a d i a g o n a l i z a t i o n o f i t s c o v a r i a n c e m a t r i x . c . G e o p h y s i c a l A p p l i c a t i o n s . T h e f i r s t g e o p h y s i c a l a p p l i c a t i o n o f t h e m e t h o d w a s t h e i n v e s t i g a t i o n b y H e m o n a n d M a c e ( 1 9 7 8 ) o f t h e a b i l i t y o f t h e t r a n s f o r m t o e x t r a c t a c o m m o n s i g n a l f r o m a s e t o f m o v e - o u t c o r r e c t e d C D P t r a c e s a s a n a l t e r n a t i v e t o c o n v e n t i o n a l s t a c k i n g . T h e y d e m o n s t r a t e d , w i t h s y n t h e t i c e x a m p l e s , h o w t h e e f f e c t s o f G a u s s i a n n o i s e a n d o f t r a c e - t o - t r a c e s t a t i c t i m e s h i f t s w e r e l e s s t r o u b l e s o m e t o t h e K L a p p r o a c h t h a n t o t h e c o n v e n t i o n a l s t a c k i n g m e t h o d . H o w e v e r , t h e i r p a p e r w a s p u b l i s h e d i n F r e n c h w h i c h u n f o r t u n a t e l y l e d t o t h e i r w o r k b e i n g o v e r l o o k e d b y a l a r g e s e g m e n t o f t h e g e o p h y s i c a l c o m m u n i t y . T j o s t h e i m a n d S a n d v i n ( 1 9 7 9 ) e m p l o y e d t h e K L t r a n s f o r m , i n c o n j u n c t i o n w i t h a u t o - r e g r e s s i v e m e t h o d s , t o d i s t i n g u i s h b e t w e e n u n d e r g r o u n d n u c l e a r e x p l o s i o n s a n d l a r g e e a r t h q u a k e s . T h e y c l a i m e d s u c c e s s o n t h e b a s i s o f t h e d i f f e r e n c e i n n u m b e r o f o r t h o g o n a l f u n c t i o n s n e e d e d t o r e p r e s e n t t h e r e c o r d s o f a n e a r t h q u a k e a s o p p o s e d t o a n u c l e a r e x p l o s i o n . 9 , M i l l i g a n e t a l . ( 1 9 7 8 ) a n a l y s e d 1 4 0 , 0 0 0 a c o u s t i c V p i n g e r ' r e c o r d s i n a n a t t e m p t t o d i s c r i m i n a t e w a t e r - b o t t o m s e d i m e n t t y p e o n t h e b a s i s o f s e i s m i c p u l s e c h a r a c t e r . U s i n g 1.8 ms o f d a t a , t h e a l i g n e d b o t t o m ' p i n g ' r e c o r d s w e r e d e c o m p o s e d i n t o t h e i r r e p r e s e n t a t i v e o r t h o g o n a l v e c t o r s . D e p e n d i n g u p o n w h i c h s u b s e t o f o r t h o g o n a l v e c t o r s c o u l d b e u s e d t o r e p r e s e n t t h e p i n g f r o m a g i v e n l o c a l e , t h e y w e r e a b l e t o g r o u p l o c a l e s i n t o r e g i o n s w h i c h p r o v e d t o b e r e p r e s e n t a t i v e o f b o t t o m - s e d i m e n t t y p e . I n a l a t e r p a p e r , t h e s a m e g r o u p ( L e B l a n c a n d M i d d l e t o n , 1 9 8 0 ) u s e d t h e m e t h o d t o i n v e s t i g a t e t h e s i m i l a r i t i e s b e t w e e n u n d e r w a t e r s o u n d v e l o c i t y p r o f i l e s ' -on a n o c e a n - w i d e s c a l e . U n d e r t h e g u i s e o f p r i n c i p a l c o m p o n e n t s a n a l y s i s , H a g e n ( 1 9 8 2 ) , w o r k i n g w i t h t h e i n s t a n t a n e o u s p h a s e ( T a n e r e t a l . , 1 9 7 9 ) o f h i s d a t a , u s e d t h e t e c h n i q u e o f c l u s t e r a n a l y s i s ( o n t h e b a s i s o f t h e t r a n s f o r m a t i o n ' s a m p l i t u d e c o e f f i c i e n t s ) t o g r o u p s e i s m i c t r a c e s i n t o ' n a t u r a l ' c l u s t e r s . H i s h o p e w a s t h a t i n c o n j u n c t i o n w i t h w e l l - l o g c o n t r o l , t h e s e c l u s t e r s c o u l d b e r e l a t e d t o p o r o s i t y . H e n c e , a g l a n c e a t a t r a c e c l u s t e r i n g ' m a p ' f o r a d j a c e n t u n d r i l l e d a r e a s w o u l d e n a b l e a n i n t e r p r e t e r t o d i s c e r n t h e l i k e l y l o c a t i o n s f o r o i l a n d g a s a c c u m u l a t i o n s . d . T h e W o r k o f t h e U . B . C . G r o u p . M o r e i n l i n e w i t h t h e s i g n a l e x t r a c t i o n a n d c o h e r e n c y a s p e c t s o f t h e m e t h o d , U l r y c h e t a l . ( 1 9 8 3 ) p r e s e n t e d a s e r i e s o f a p p l i c a t i o n s i n t h e g e o p h y s i c a l s i g n a l s p r o c e s s i n g f i e l d . T h e y 10 c o n c e r n e d t h e m s e l v e s w i t h w a v e l e t e x t r a c t i o n f r o m b o t h m o v e - o u t h y p e r b o l a e a n d s i n g l e c h a n n e l s o f d a t a . T h e y a l s o c a r r i e d o u t s t a c k i n g a n d v e l o c i t y a n a l y s i s u s i n g t h e e i g e n v a l u e s o f t h e t r a n s f o r m t o c o n s t r u c t a s i m i l a r i t y m e a s u r e t o r e p l a c e t h e c o n v e n t i o n a l s e m b l a n c e c r i t e r i o n ( N e i d e l l a n d T a n e r , 1 9 7 1 ) . L e v y e t a l . ( 1 9 8 3 ) i n a c o m p a n i o n p a p e r e x t e n d e d t h e K L m e t h o d t o d e a l w i t h c o m p l e x s i g n a l s . T h i s a l l o w e d t h e a u t h o r s t o a d d r e s s t h e p r o b l e m o f p h a s e c h a n g e s i n t h e s e i s m i c w a v e l e t . T h e y p r o d u c e d e n h a n c e d s t a c k s o f m o v e - o u t c o r r e c t e d C D P g a t h e r s f o r s y n t h e t i c d a t a , a n d a l s o p a r a l l e l l e d t h e n e w v e l o c i t y a n a l y s i s a p p r o a c h i n t r o d u c e d b y U l r y c h e t a l . ( 1 9 8 3 ) . U t i l i z i n g t h e d i a g n o s t i c f e a t u r e s o f t h e t r a n s f o r m a t i o n ' s a m p l i t u d e c o e f f i c i e n t s ( a s i n c l u s t e r a n a l y s i s ) , t h e y d e v e l o p e d . a ' d e a d - t r a c e ' d e t e c t i o n r o u t i n e t o d i s c r i m i n a t e a g a i n s t u n u s u a l l y d i f f e r e n t s e i s m i c t r a c e s t o a v o i d d e g r a d a t i o n o f t h e f i n a l r e s u l t s w h e n , f o r e x a m p l e , s t a c k i n g o r p e r f o r m i n g v e l o c i t y a n a l y s i s . E x t e n d i n g t h e v e r s a t i l i t y o f t h e c o m p l e x K L m e t h o d e v e n f u r t h e r , t h e y e x t r a c t e d p h a s e i n f o r m a t i o n f r o m s e t s o f c o m m o n s i g n a l s f o r s y n t h e t i c d a t a , a n d i n t h e c a s e o f s u p e r - c r i t i c a l r e f l e c t i o n s f r o m a f l u i d - f l u i d i n t e r f a c e , w e r e a b l e t o i n v e r t p h a s e a n d v e l o c i t y i n f o r m a t i o n t o r e c o v e r d e n s i t y c o n t r a s t s a c r o s s a n i n t e r f a c e . I n a m o r e r e c e n t w o r k , C h a p m a n e t a l . ( i n p r e s s ) u t i l i z e d t h e s e p r o c e d u r e s t o e x t r a c t d e n s i t y c o n t r a s t i n f o r m a t i o n f r o m t h e r e l a t i v e p h a s e c h a n g e s o b s e r v e d i n s u p e r - c r i t i c a l r e f l e c t i o n s 11 w i t h i n A r c t i c a b y s s a l p l a i n s s e d i m e n t s . O n t h e p a p e r s b y C h a p m a n e t a l . ( i n p r e s s ) , U l r y c h e t a l . ( 1 9 8 3 ) , a n d L e v y e t a l . ( 1 9 8 3 ) , I am a c o - a u t h o r . T h e v e l o c i t y a n a l y s i s a n d c o n s t a n t p h a s e a p p r o x i m a t i o n f o r d i s p e r s i o n c o m p o n e n t s f r o m t h e l a t t e r t w o p a p e r s c o m p r i s e p a r t o f t h i s t h e s i s . I t i s f r o m my w o r k o n t h e s e t w o p a p e r s a n d f u r t h e r d i s c u s s i o n s w i t h S . L e v y , T . J . U l r y c h a n d D.W. O l d e n b u r g , t h a t t h i s t h e s i s e v o l v e d . A s m e n t i o n e d p r e v i o u s l y , t h e o r i g i n a l t h r u s t o f t h i s t h e s i s w a s a n i n v e s t i g a t i o n o f d i s p e r s i o n a n d i t s q u a n t i f i c a t i o n u s i n g s e n s i t i v e s i m i l a r i t y m e a s u r e s . F r o m t h i s , t h e K L m e t h o d g r e w t o b e t h e c e n t r a l t h e m e o f t h i s w o r k . A s i g n i f i c a n t a m o u n t o f t i m e w a s d e v o t e d t o t h e p o s s i b i l i t y o f e s t i m a t i n g t h e s e i s m i c q u a l i t y f a c t o r Q, a s s u m i n g t h e c o n s t a n t - Q m o d e l ( F u t t e r m a n n , 1 9 6 2 ) a n d u t i l i z i n g t h e e i g e n v a l u e s o f t h e K L m e t h o d t o d e f i n e a s i m i l a r i t y m e a s u r e . A n o v e r v i e w o f t h e q u a n t i f i c a t i o n o f Q v a l u e s , t h e c o n s t a n t - C j m o d e l , a n d t h e e f f e c t s o f d i s p e r s i o n o n s e i s m i c s o u r c e s i g n a l s i s g i v e n i n S e c t i o n 4 . I l l a n d A p p e n d i c e s 1 a n d 2 , r e s p e c t i v e l y . 12 S E C T I O N 1 . I I I : S E I S M I C D A T A R E C O N S T R U C T I O N . a . R e c o n s t r u c t i o n o f C o h e r e n t I n f o r m a t i o n . G i v e n a s t a c k e d s e i s m i c s e c t i o n f r o m a r e g i o n o f r e l a t i v e l y f l a t - l y i n g o r p a r a l l e l d i p p i n g l a y e r s , t h e c h a n g e s s e e n f r o m t r a c e t o t r a c e a c r o s s t h e s e c t i o n a r e i n p a r t s t r u c t u r a l l y r e l a t e d a n d i n p a r t r a n d o m n o i s e . I w i l l a s s u m e t h a t t h e c o n t r i b u t i o n s f r o m r a n d o m e v e n t s a r e n o t c o r r e l a t e d f r o m t r a c e t o t r a c e , w h e r e a s t h e d a t a r e p r e s e n t i n g t h e g e o l o g i c a l h o r i z o n s w i l l b e . I n v i e w o f t h e s e a s s u m p t i o n s , I e n q u i r e w h e t h e r we c a n s e p a r a t e t h o s e p a r t s o f t h e d a t a w h i c h d i s p l a y t r a c e - t o - t r a c e c o h e r e n c y f r o m t h o s e p a r t s w h i c h d o n o t . A s w i l l b e s h o w n i n t h e n e x t c h a p t e r s , t h e K L T e n a b l e s u s t o s e p a r a t e t h e m o s t c o h e r e n t p a r t s o f t h e d a t a f r o m t h e l e s s c o h e r e n t p a r t s . T h e m e t h o d r e p l a c e s a s e t o f s e i s m i c t r a c e s w i t h a n e q u a l n u m b e r o f a l t e r n a t i v e ( a n d o r t h o g o n a l ) d a t a t r a c e s ( k n o w n a s t h e p r i n c i p a l c o m p o n e n t s ) , w h i c h a r e a r r a n g e d i n o r d e r o f d e c r e a s i n g v a r i a n c e ( o r e n e r g y c o n t e n t ) . T h e f i r s t p r i n c i p a l c o m p o n e n t c o n t a i n s t h a t s i g n a l w h i c h i s m o s t c o m m o n a c r o s s t h e s t a c k e d s e i s m i c s e c t i o n . T h e s u b s e q u e n t p r i n c i p a l c o m p o n e n t s c a n e i t h e r b e v i e w e d a s t h e n e x t m o s t c o m m o n s i g n a l s , o r a s t h e ' c o r r e c t i o n t e r m s ' t o b e a d d e d t o t h e c o m m o n s i g n a l t o r e p r o d u c e t h e i n p u t s i g n a l s . R e c o n s t r u c t i n g t h e o r i g i n a l s t a c k e d s e i s m i c s e c t i o n f r o m t h o s e p r i n c i p a l c o m p o n e n t s w h i c h a c c o u n t f o r t h e 13 g r e a t e s t v a r i a n c e w i l l , p r o d u c e a s e i s m i c s e c t i o n f r o m w h i c h t h e l e a s t c o h e r e n t i n f o r m a t i o n h a s b e e n o m i t t e d . T h i s t r u n c a t e d s e i s m i c d a t a r e c o n s t r u c t i o n m e t h o d h a s n o t b e e n p r e s e n t e d p r e v i o u s l y i n t h e s e i s m i c l i t e r a t u r e , a l t h o u g h i t f o r m s t h e b a s i s o f m a n y i m a g e e n h a n c e m e n t t e c h n i q u e s . b . M i s f i t R e c o n s t r u c t i o n . A s a n a t u r a l a d j u n c t t o t h e r e c o n s t r u c t i o n o f c o h e r e n t i n f o r m a t i o n , we m a y a s k t h e f o l l o w i n g q u e s t i o n : W h a t d o we h a v e i f we p e r f o r m a r e c o n s t r u c t i o n u s i n g t h e l e a s t c o h e r e n t i n f o r m a t i o n p r e s e n t ? T h e a n s w e r i s s i m p l y t h a t we t h e n h a v e t h o s e p a r t s o f t h e d a t a w h i c h a r e l e s s c o m m o n f r o m t r a c e t o t r a c e . F o r e x a m p l e , i n t h e c a s e w h e r e we h a v e a b a c k g r o u n d o f s i m i l a r f l a t - l y i n g ( o r p a r a l l e l d i p p i n g ) e v e n t s u p o n w h i c h i s s u p e r i m p o s e d s o m e s m a l l - s c a l e s t r u c t u r e s u c h a s a s a n d l e n s , o r p i n c h - o u t , we m a y t r y t o r e m o v e t h e c o m m o n f e a t u r e s i n o r d e r t o h i g h l i g h t t h e a n o m a l i e s . A t e c h n i q u e s u c h a s t h i s w o u l d d r a w a t t e n t i o n t o r e g i o n s w h i c h m a y w a r r a n t f u r t h e r i n v e s t i g a t i o n . F o r d i s p l a y p u r p o s e s , t h e a n o m a l o u s p a r t s o f t h e d a t a c o u l d b e p l o t t e d i n g r e y - s h a d e s o n t o p o f a v a r i a b l e a r e a p l o t o f a r e c o n s t r u c t i o n o f t h e o r i g i n a l d a t a i n o r d e r t o p r o d u c e a n ' a n o m a l y - h i g h l i g h t e d ' s e c t i o n . T h i s t e c h n i q u e , w h i c h I c a l l a n o m a l y o r m i s f i t r e c o n s t r u c t i o n , h a s n o t b e e n p r e s e n t e d p r e v i o u s l y i n t h e 14 s e i s m o l o g i c a l o r i m a g e p r o c e s s i n g l i t e r a t u r e . c . D i f f r a c t i o n s . W h i l s t p e r f o r m i n g r e c o n s t r u c t i o n s o f s t a c k e d s e i s m i c d a t a , I n o t i c e d a m o s t i n t e r e s t i n g f e a t u r e . I n a r e a s w i t h m u c h f a u l t i n g , t h e m i s f i t r e c o n s t r u c t i o n h i g h l i g h t e d t h e d i f f r a c t i o n h y p e r b o l a e a s s o c i a t e d w i t h f a u l t e d g e s . T h e f a c t t h a t a m i g r a t e d s t a c k e d s e c t i o n s t i l l i n c o r p o r a t e s s o m e d i f f r a c t i o n e n e r g y i n d i c a t e s t h a t r e s i d u a l m i g r a t i o n m a y b e i n o r d e r . F u r t h e r , m i g r a t i n g t h e d i f f r a c t i o n s e c t i o n ( a m i s f i t r e c o n s t r u c t i o n s h o w i n g d i f f r a c t i o n s ) i t s e l f m a y p r o d u c e a s e c t i o n w i t h e v e n t s c o n c e n t r a t e d n e a r t h e d i f f r a c t i o n s o u r c e s : t h i s c o u l d s e r v e f o r e x a m p l e a s a f a u l t - e d g e i n d i c a t o r . T h i s s e r e n d i p i t o u s a p p l i c a t i o n i s n e w , a l t h o u g h t h e s e p a r a t i o n o f d i f f r a c t i o n e v e n t s f r o m s t a c k e d s e i s m i c s e c t i o n s b y o t h e r m e a n s i s n o t ( L e v i n e t a l . , 1 9 8 3 , H a r l a n e t a l . , 1 9 8 3 ) . d . M u l t i p l e S u p p r e s s i o n . I n s h a l l o w m a r i n e s e i s m i c d a t a , m u l t i p l e s o f t e n p o s e a p r o b l e m . T h e m u l t i p l e e v e n t s a l l h a v e a p p r o x i m a t e l y t h e s a m e m o v e - o u t v e l o c i t y , a n d o f t e n d i s t o r t t h e i n f o r m a t i o n o f i n t e r e s t . P e r f o r m i n g a c o n s t a n t v e l o c i t y m o v e - o u t c o r r e c t i o n o n a m u l t i p l e i n f e s t e d c o m m o n d e p t h p o i n t ( C D P ) o r c o m m o n s h o t p o i n t ( C S P ) g a t h e r u s i n g t h e v e l o c i t y o f t h e m u l t i p l e , we p r o d u c e a g a t h e r i n . 1 5 w h i c h t h e ' m u l t i p l e ' e v e n t s a r e e s s e n t i a l l y f l a t t e n e d . I n o t h e r w o r d s t h e y w i l l t h e n a p p e a r t o b e t h e m o s t c o h e r e n t i n f o r m a t i o n i n t h e g a t h e r . A K L r e c o n s t r u c t i o n o m i t t i n g t h e m o s t c o m m o n i n f o r m a t i o n w i l l p r o d u c e a g a t h e r f r e e o f m u l t i p l e a r r i v a l s . T h e g a t h e r w o u l d t h e n b e u n - m o v e - o u t c o r r e c t e d w i t h t h e s a m e c o n s t a n t v e l o c i t y . N a t u r a l l y , t h e p r o c e s s i n g w o u l d c o m m e n c e j u s t a f t e r t h e p r i m a r y e v e n t s o a s n o t t o s u p p r e s s i t . T h i s n o v e l a p p r o a c h t o m u l t i p l e s u p p r e s s i o n i s p r e s e n t e d h e r e f o r t h e f i r s t t i m e . I t c o n s t i t u t e s a n a l t e r n a t i v e a p p r o a c h t o t h a t o f R y u ( 1 9 8 2 ) w h o p r o p o s e d a p r o c e d u r e u s i n g f r e q u e n c y - w a v e n u m b e r f i l t e r i n g o f m o v e - o u t a l t e r e d g a t h e r s . S E C T I O N 1 . I V : S I M I L A R I T Y M E A S U R E S . I n t h e p r e v i o u s s e c t i o n i t w a s m e n t i o n e d t h a t t h e K L T p r o d u c e s a s e t o f o r t h o g o n a l p r i n c i p a l c o m p o n e n t s f r o m t h e i n p u t d a t a t r a c e s . A s s h o w n i n t h e t h e o r y s e c t i o n s ( C h a p t e r 2 ) , t h e s e p r i n c i p a l c o m p o n e n t s a r e c o n s t r u c t e d a s a l i n e a r c o m b i n a t i o n o f t h e i n p u t d a t a t r a c e s ( a n d v i c e v e r s a f o r d a t a r e c o n s t r u c t i o n ) . I n t h i s s e c t i o n , I w i l l i n t r o d u c e t h e p h y s i c a l s i g n i f i c a n c e o f t h e w e i g h t i n g c o e f f i c i e n t s u s e d i n t h e s e l i n e a r c o m b i n a t i o n s . A s we w i l l s e e , t h e s e w e i g h t s a r e t h e e l e m e n t s o f t h e e i g e n v e c t o r s o f t h e c o v a r i a n c e m a t r i x o f t h e i n p u t d a t a t r a c e s . 16 a . C l u s t e r A n a l y s i s . W h e n c o n s t r u c t i n g , f o r e x a m p l e , t h e f i r s t p r i n c i p a l c o m p o n e n t , we w i l l h a v e a s e t o f w e i g h t s w h i c h w i l l t e l l u s h o w m u c h o f e a c h i n p u t t r a c e g o e s i n t o m a k i n g t h e f i r s t p r i n c i p a l c o m p o n e n t . I f t h e f i r s t d o z e n w e i g h t s h a d t h e s a m e v a l u e , t h e n we w o u l d c o n c l u d e t h a t t h e f i r s t d o z e n i n p u t t r a c e s c o n t r i b u t e d e q u a l l y t o t h e f i r s t p r i n c i p a l c o m p o n e n t . I f t h e s e c o n d d o z e n w e i g h t s w e r e s i m i l a r t o e a c h o t h e r b u t d i f f e r e d r a d i c a l l y f r o m t h e f i r s t d o z e n , we c o u l d i n f e r t h a t we h a d t w o ' n a t u r a l ' s i m i l a r i t y g r o u p s o f i n p u t d a t a t r a c e s , c h a r a c t e r i z e d b y t h e f i r s t a n d s e c o n d d o z e n i n p u t d a t a t r a c e s , r e s p e c t i v e l y . B y s t u d y i n g t h e g r o u p i n g s o f t h e w e i g h t i n g e l e m e n t s a s s o c i a t e d w i t h t h e K L T , we c a n f o r m a b a s i s f o r i d e n t i f y i n g g r o u p s , o r c l u s t e r s , o f i n p u t s i g n a l s w h i c h w e r e s i m i l a r . O n e o f t h e m a j o r a i m s o f s u c h a n a n a l y s i s w o u l d b e t o l i n k t h e r e s u l t i n g g r o u p s o f i n p u t t r a c e s t o a p h y s i c a l p a r a m e t e r , e g . p o r o s i t y , n o t e d f r o m a t t e n d a n t w e l l l o g i n f o r m a t i o n . I r e v i e w t h e a p p r o a c h t a k e n b y H a g e n ( 1 9 8 2 ) a n d c r i t i c a l l y a s s e s s t h e a p p l i c a b i l i t y o f c l u s t e r a n a l y s i s i n t h e c o n t e x t o f s e i s m i c e x p l o r a t i o n . b . V e l o c i t y A n a l y s i s . T h e e n e r g y o f t h e j . t h p r i n c i p a l c o m p o n e n t i s . g i v e n b y t h e j . t h e i g e n v a l u e o f t h e i n p u t d a t a c o v a r i a n c e m a t r i x . F u r t h e r , i f t h a t s i g n a l m o s t c o m m o n t o t h e i n p u t d a t a h a s a c o m p a r a t i v e l y l a r g e e n e r g y , t h e n we c a n s a y t h a t t h e i n p u t d a t a t r a c e s a r e a l l v e r y s i m i l a r . C o n s e q u e n t l y , a r a t i o o f t h e f i r s t e i g e n v a l u e t o t h e s u m o f t h e r e m a i n i n g e i g e n v a l u e s g i v e s a m e a s u r e o f t h e d i s t r i b u t i o n o f t h e t o t a l v a r i a n c e b e t w e e n c o m m o n a n d u n c o m m o n p a r t s o f t h e i n p u t d a t a . T h i s e i g e n v a l u e r a t i o , w h i c h I l a t e r m o d i f y t o b e t h e r a t i o o f a s u m o f t h e f i r s t m e i g e n v a l u e s t o t h e s u m o f t h e r e m a i n i n g e i g e n v a l u e s , c a n b e u s e d a s a s i m i l a r i t y m e a s u r e . U n d e r c e r t a i n c i r c u m s t a n c e s , t h i s s i m i l a r i t y m e a s u r e p r o v e s t o b e m o r e r e l i a b l e t h a n t h e c o n v e n t i o n a l s e m b l a n c e c r i t e r i o n ( N e i d e l l a n d T a n e r , 1 9 7 3 ) , e s p e c i a l l y i n t h e p r e s e n c e o f s m a l l t i m e s h i f t s b e t w e e n t h e m e m b e r s o f t h e s u i t e o f i n p u t s i g n a l s u n d e r c o n s i d e r a t i o n . I p r e s e n t t h e m o d i f i e d e i g e n v a l u e r a t i o a s a n a l t e r n a t i v e t o t h e s e m b l a n c e c r i t e r i o n u s e d i n v e l o c i t y a n a l y s i s . T h e i n i t i a l r e s u l t s o f t h i s i n v e s t i g a t i o n w e r e p r e s e n t e d i n U l r y c h e t a l . ( 1 9 8 3 ) a n d L e v y e t a l . ( 1 9 8 3 ) . 18 c . Q-Inversion. I n a p r o c e d u r e s i m i l a r t o t h e a p p l i c a t i o n t o v e l o c i t y a n a l y s i s , I u t i l i z e t h e e i g e n v a l u e r a t i o t o q u a n t i f y t h e s i m i l a r i t y b e t w e e n a d i s p e r s e d s i g n a l a n d a r e f e r e n c e s i g n a l . U t i l i z i n g t h e F u t t e r m a n n ( 1 9 6 2 ) r e l a t i o n s h i p ( w h i c h r e l a t e s t h e c h a n g e i n p h a s e v e l o c i t y t o t h e Q - v a l u e f o r a m e d i u m ; K n o p o f f ( 1 9 6 4 ) ) , t h e d i s p e r s e d s i g n a l i s . i t e r a t i v e l y u n d i s p e r s e d . T h a t i s , a t e a c h i t e r a t i o n , t h e s i g n a l i s f i r s t s u b j e c t e d t o a f r e q u e n c y d e p e n d e n t s t r e t c h i n g d e s i g n e d t o n e g a t e t h e e f f e c t s o f d i s p e r s i o n . T h i s u n d i s p e r s e d s i g n a l i s u s e d , i n c o n j u n c t i o n w i t h a r e f e r e n c e s i g n a l , t o c o m p u t e t h e v a l u e o f t h e e i g e n v a l u e r a t i o f o r t h e p a i r o f s i g n a l s . T h e c h a n g e i n m a g n i t u d e o f t h e e i g e n v a l u e r a t i o w i l l g i v e a n i n d i c a t i o n o f h o w s i m i l a r t o t h e r e f e r e n c e s i g n a l t h e p r o c e s s e d s i g n a l h a s b e c o m e . B y i d e n t i f y i n g a m i n i m u m i n t h e f u n c t i o n o f e i g e n v a l u e r a t i o v e r s u s u n d i s p e r s i n g Q - v a l u e , I t r y t o i d e n t i f y t h e Q - v a l u e o f t h e m e d i u m i n w h i c h t h e s e i s m i c w a v e l e t t r a v e l l e d . I n a d d i t i o n t o t h e a p p l i c a t i o n o f t h e K L e i g e n v a l u e r a t i o t o s i m i l a r i t y q u a n t i f i c a t i o n , a n o v e r v i e w o f t h e c o n s t a n t Q m o d e l , a n d o f t h e e f f e c t s o f d i s p e r s i o n o n V i b r o s e i s ® d a t a i s p r e s e n t e d ( A p p e n d i c e s 1 a n d 2 ) . I n S e c t i o n 4 . I l l , I p r e s e n t a n i t e r a t i v e d i s p e r s i o n r e m o v a l t e c h n i q u e f o r s y n t h e t i c d a t a f r o m a n i m p u l s i v e s o u r c e f u n c t i o n . T h i s e x t e n d s t h e w o r k o f R o b i n s o n ( 1 9 7 9 , 1 9 8 2 ) 19 w h o a t t e m p t e d t o r e m o v e t h e e f f e c t s o f d i s p e r s i o n f r o m s e i s m i c d a t a i n a n a d h o c f a s h i o n . W i t h i n t h e b o d y o f t h i s t h e s i s , a l l f i g u r e s a r e c o l l a t e d a t t h e e n d o f t h e p e r t i n e n t s e c t i o n , s o a s n o t t o i n t e r r u p t t h e t e x t . 20 CHAPTER 2. THEORY AND BACKGROUND. S E C T I O N 2 .1: T H E K A R H U N E N - L O E V E T R A N S F O R M A T I O N . a . I n t r o d u c t i o n . I n t h i s c h a p t e r , I p r e s e n t t h e t h e o r y f r o m t h e l i t e r a t u r e , a n d o u t l i n e t h e p h y s i c a l i n t e r p r e t a t i o n o f t h i s t h e o r y a s a p p l i e d t o p r o b l e m s i n r e f l e c t i o n s e i s m o l o g y . I w i l l b e d e a l i n g w i t h t h e K L t r a n s f o r m a t i o n a s a p p l i e d t o m u l t i c h a n n e l s o f d a t a ( A h m e d a n d R a o ( 1 9 7 5 ) , U l r y c h e t a l . ( 1 9 8 3 ) , L e v y e t a l . ( 1 9 8 3 ) , J o n e s a n d L e v y ( 1 9 8 4 ) ) a n d b e g i n b y d e f i n i n g t h e t e r m i n o l o g y t o b e u s e d i n t h i s w o r k . b . T h e o r y . G i v e n a s e t o f n r e a l s i g n a l s x . ( t ) , 0 < t < T, a n d a n [nx.n] t r a n s f o r m a t i o n m a t r i x A w i t h e l e m e n t s a j j > w e m a Y c o n s t r u c t a s e t o f a l t e r n a t i v e d a t a a s a l i n e a r c o m b i n a t i o n o f t h e i n p u t d a t a : n i// .(\<) = L a. . x. (t) j = J, . . . , n; 0 < t < T (I) J i=l 1J 1 C o n v e r s e l y , we m a y r e c o n s t r u c t t h e i n p u t s i g n a l s a s a l i n e a r c o m b i n a t i o n o f t h e v e c t o r s ii.(t) , w i t h w e i g h t s b. . o f a m a t r i x B: n x (t.) = L b. ^.(t) 1=1,..., n (2) j = l J J 21 We m a y d e r i v e t h e c o e f f i c i e n t s a. . a n d b. . i n a n u m b e r o f i j i j w a y s ( U l r y c h e t a l . , 1 9 8 5 , i n p r e p . ) . H o w e v e r , u s e o f t h e l e a s t - s q u a r e s m e t h o d g i v e s r i s e t o a s e t o f o r t h o g o n a l v e c t o r s (l) , a r r a n g e d i n o r d e r o f d e c r e a s i n g e n e r g y c o n t e n t , i . e . t h e s i g n a l w i t h t h e l a r g e s t v a r i a n c e w i l l a p p e a r o n \p, (t) , a n d s o o n . T h i s a p p r o a c h w a s t a k e n b y K r a m e r a n d M a t h e w s ( 1 9 5 6 ) w h o s h o w e d t h a t t h e c o e f f i c i e n t m a t r i c e s A a n d B f o r t h a t t r a n s f o r m w h i c h p a c k s t h e g r e a t e s t p o s s i b l e a m o u n t o f c o h e r e n t i n f o r m a t i o n i n t o t h e s m a l l e s t p o s s i b l e n u m b e r o f v e c t o r s ii.(i), a r e s i m p l y A = R a n d B = R, w h e r e R i s t h e e i g e n v e c t o r m a t r i x d e r i v e d f r o m t h e c o v a r i a n c e m a t r i x o f t h e i n p u t d a t a ( i n t h e n o t a t i o n o f K r a m e r a n d M a t h e w s , my A w o u l d b e t r a n s p o s e d ) . T h e i r r e s u l t c a n b e s h o w n a s f o l l o w s . D e f i n i n g a t r u n c a t e d d a t a r e c o n s t r u c t i o n a s : m x (t) = Z b ii (l) i =1, m < n (3) j = l J 3 we h a v e a n a s s o c i a t e d m i s f i t ( o r t r u n c a t i o n e r r o r ) : T n <i>(m) = / Z (x. (l) - x. ( I ) ) 2 dt (4) 0 i=l T n m = ; i (x. (t) - z b. ^.(t))2 dt 0 i=l i=l J T n m n = J Z [x. (t) - Z Z b. . a,. x , ( t ) ) 2 dl 0 i=l . 1 j = l k=l l J K } K D e m a n d i n g t h a t <p(m) b e a m i n i m u m f o r 1 < m < n, we s e t t h e p a r t i a l d e r i v a t i v e s o f 4>(m) w i t h r e s p e c t t o a.j a n d b^., t o z e r o . F o r 22 d<p(m)/db , we h a v e : T m n d(j>(m)/db = -2 j \x (t) - Z I b . a, . x, (t)} PQ 0 p j = l k=l P J k j k n • { T. a. x. (t)} dt 1=1 l q ' T n = -2 S .[ . { I a, x (t)x. (t)} 0 1=1 l q P ' m n n - { I Z I a. b . a,. x,(t) x,(t)} ] dt J = J k=l 1=1 lq PJ kj k I = 0 B u t t h e i n t e g r a l o v e r p a i r s o f i n p u t v e c t o r s g i v e s t h e s y m m e t r i c c o v a r i a n c e m a t r i x , i . e . : T 7 . . = f x . (t ) x . (t ) dt 'U 0 i J S o , we h a v e : n d<p(m)/dbnn = -2 [ { L lnla,} pq i=1 pi l q m n n J = J K = J /=; kj pj rkl lq S u m m i n g o v e r / g i v e s : m n d<j>(m)/db = -2 [ ( T A ) - { Z Z a,, b . ( T A ) , } PQ Pq j = 1 k = 1 kj pj kq A n d s u m m i n g o v e r k a n d j g i v e s : 2 3 d<p(m)/db = -2 [ (r A ) - ( B A T r A ) pq = 0 D r o p p i n g t h e e l e m e n t s u b s c r i p t s a n d t r a n s p o s i n g g i v e s : Ar r = AT T A BT (5) L i k e w i s e , f r o m s e t t i n g d<j>(m)/da = 0, we o b t a i n : r B = r A BR B (6) T o i n v e s t i g a t e t h e p r o p e r t i e s o f A a n d B, we p e r f o r m t h e f o l l o w i n g s t e p s : . S e t t i n g C = B AJ, equations (5) a n d (6) b e c o m e : c r = c r c7 r c = r c T  c F r o m t h e l a t t e r e q u a t i o n , we s e e t h a t : C = C T C , o r t r a n s p o s i n g : C T = C T C , t h u s : C = C T , a n d h e n c e : C = C 2 I n o t h e r w o r d s , C i s d i a g o n a l w i t h e i t h e r o n e s o r z e r o e s a r r a n g e d i n s o m e a s y e t u n k n o w n o r d e r a l o n g t h e d i a g o n a l . P r o c e e d i n g w i t h a p a r a l l e l a r g u m e n t f o r t h e s p e c t r a l d e c o m p o s i t i o n o f T i n t e r m s o f R a n d A , we h a v e t h e f o l l o w i n g : 24 r = R A RR (7) w h e r e R i s t h e m a t r i x o f o r t h o g o n a l c o l u m n e i g e n v e c t o r s r , a n d t h e d i a g o n a l m a t r i x A c o n t a i n s t h e c o r r e s p o n d i n g e i g e n v a l u e s A , , ^ 2 r ' ' - , ^ n , a r r a n g e d i n d e c r e a s i n g s i z e . A s C i s a l s o s y m m e t r i c , we c a n w r i t e C = R Q RJ w h e r e Q i s a d i a g o n a l m a t r i x w i t h r a n k e q u a l t o t h e r a n k o f C ( i . e . r a n k < m). N o w : Q2 = R1 C R Rr C R = RT C2 R = RT C R = Q C o n s e q u e n t l y , t h e e l e m e n t s o f t h e d i a g o n a l m a t r i x Q m u s t e i t h e r b e u n i t y o r z e r o . I n a d d i t i o n , we c a n a l s o w r i t e equation (4) i n t e r m s o f t h e d e v i a t i o n o f a f o r w a r d a n d i n v e r s e t r a n s f o r m f r o m t h e o r i g i n a l d a t a , i . e . : 4>(m) = Trace[(I - B Ar) (/ - A B7) T ] = Trace[(I - C) T ] b u t a s t h i s o n l y l o o k s a t t h e d i a g o n a l e l e m e n t s , w e c a n e q u a l l y w e l l r o t a t e t h e a r g u m e n t i n t o a d i a g o n a l f o r m : 2 5 4>(m) = Trace[RT (I - C) R RT T R] = Tracel(I - Rr C R) A] = TraceKl - Q)A] P L j =m+1 X . J w h e r e p i s t h e r a n k o f r. B u t t h i s r e p r e s e n t a t i o n o f <p(m) w i l l g i v e a m i n i m u m w h e n t h e s u m e x t e n d s o v e r t h e s m a l l e s t (p-m) e i g e n v a l u e s , a n d a s t h e o r d e r e d e i g e n v a l u e s c o r r e s p o n d t o t h e o r d e r e d e i g e n v e c t o r s o f R, we m u s t h a v e t h a t : Q = M w h e r e M i s a n i d e n t i t y m a t r i x o f r a n k m, b u t : C = R Q Rr I n o t h e r w o r d s , t h e f i r s t m c o l u m n s o f A o r B c o r r e s p o n d t o t h e f i r s t m c o l u m n s o f R . H e n c e t h e r e s u l t o f K r a m e r a n d M a t h e w s ( 1 9 5 6 ) t h a t A = B = R f o r m = n , a n d A = B = t h e f i r s t m c o l u m n s o f R f o r m < n . C o n s e q u e n t l y , a c o n v e n i e n t w a y o f s o l v i n g t h i s l e a s t - s q u a r e s p r o b l e m i s t o f i r s t c o m p u t e t h e o u t e r - p r o d u c t c o v a r i a n c e m a t r i x f , o f t h e d a t a x . ( t ) : = R M RJ = B Ar r = x xr (8) 26 w h e r e X' = {x . (t ) , i = 7, . . . , n] , a n d p r o c e e d t o d i a g o n a l i z e equation (8) v i a equation (7) t o o b t a i n t h e e i g e n v e c t o r s R . ( T h r o u g h o u t t h i s w o r k i t i s u n d e r s t o o d t h a t a f u n c t i o n x.(t) m a y b e d i s c r e t i z e d s o a s t o f o r m t h e e l e m e n t s o f t h e i.'th r o w o f a m a t r i x X) . W i t h A a n d B t h u s c h o s e n , t h e t r a n s f o r m a t i o n p a i r equations (1) a n d (2) d e f i n e t h e m u l t i c h a n n e l K a r h u n e n - L o e v e ( K L ) t r a n s f o r m : n (t) = I r x. (l) , j = J, . . . , n, i - 7 ' o r * = R a n d x (t) = L r Ai (t) , i=l, . . . , n, j = l J J o r X = R * w h e r e A . , i s t h e i.th e l e m e n t o f t h e f i r s t c o l u m n v e c t o r o f R, i J ' ^ = { ^ j ( l ) , j = l,...,n], a n d t h e v e c t o r s ^j^1^ a r e k n o w n a s t h e p r i n c i p a l c o m p o n e n t s o f t h e t r a n s f o r m a t i o n . F u r t h e r , t h e j.th e i g e n v a l u e X g i v e s t h e e n e r g y c o n t e n t o f t h e j.th p r i n c i p a l c o m p o n e n t , i . e . : 2 7 T X = j f . ( t ) 2 dl (11) J 0 J I n o t h e r w o r d s , t h e e i g e n v a l u e m a t r i x A i s s i m p l y t h e c o v a r i a n c e m a t r i x o f t h e o r t h o g o n a l a l t e r n a t i v e d a t a \\i.(\)\ A = * «1>T (12) A l s o , a s t h e t r a n s f o r m a t i o n i s m e r e l y a s p a t i a l r o t a t i o n , t h e t o t a l i n p u t e n e r g y i s c o n s e r v e d a n d we h a v e : T n Trace[T] = / I x . ( i ) 2 dt = Trace[A] (13) 0 i=l 1 D u e t o t h e w a y i n w h i c h t h e c o v a r i a n c e m a t r i x i s c a l c u l a t e d , t h e p r i n c i p a l c o m p o n e n t w i t h t h e l a r g e s t v a r i a n c e c o n t a i n s t h a t s i g n a l w h i c h i s m o s t h i g h l y c o r r e l a t e d f r o m t r a c e - t o - t r a c e . I n o t h e r w o r d s , t h e f i r s t p r i n c i p a l c o m p o n e n t r e p r e s e n t s t h e ' c o m m o n s i g n a l ' . T h e u n d e r l y i n g a s s u m p t i o n i n t h i s w o r k i s t h a t t h e r e i s a s i g n a l w h i c h i s c o m m o n t o e a c h i n p u t t r a c e : o u r p r o b l e m i s t o e x t r a c t t h a t s i g n a l . I n m a t r i x t e r m s , we a s s e r t t h a t X h a s a p r e d o m i n a n t s i g n a l c o m p o n e n t w i t h a r a n k m u c h s m a l l e r t h a n n, t h e n u m b e r o f i n p u t v e c t o r s . I f t h e r e w e r e n o t r a c e - t o - t r a c e s i m i l a r i t y ( i . e . i f t h e x.(t) w e r e o r t h o g o n a l ) , r w o u l d b e d i a g o n a l , a n d we w o u l d h a v e : \p.(t) = x . ( t ) , a n d X . = / x . ( t ) 2 d t . J  1 J o  1 w h e r e t h e 2 8 x(t) a r e r e - a r r a n g e d i n o r d e r o f d e c r e a s i n g e n e r g y c o n t e n t ( a s c . S i n g u l a r V a l u e D e c o m p o s i t i o n . F o r m o s t s e i s m o l o g i c a l a p p l i c a t i o n s we h a v e m a n y m o r e p o i n t s p e r t r a c e t h a n we h a v e t r a c e s . I n t h i s c a s e i t i s s i m p l e a n d c o n v e n i e n t t o p r o c e e d a s o u t l i n e d a b o v e . H o w e v e r , i n s i t u a t i o n s w h e r e t h e n u m b e r o f t r a c e s f a r e x c e e d s t h e n u m b e r o f p o i n t s p e r t r a c e ( M i l l i g a n e t a l . , 1 9 7 8 ) we u t i l i z e t h e r e l a t i o n s h i p b e t w e e n t h e K L t r a n s f o r m a n d s i n g u l a r - v a l u e d e c o m p o s i t i o n ( S V D ) t o r e d u c e t h e c o m p u t a t i o n a l e x p e n s e . G i v e n t h e d a t a m a t r i x X, we m a y w r i t e : w h e r e fl i s i n g e n e r a l a r e c t a n g u l a r d i a g o n a l m a t r i x c o n t a i n i n g t h e s i n g u l a r v a l u e s o f t h i s d e c o m p o s i t i o n , a n d V i s t h e p o s t m a t r i x , w h i c h i s l a t e r s e e n t o c o n t a i n t h e n o r m a l i z e d p r i n c i p a l c o m p o n e n t s . N o w , we n o t e f r o m equation (8) t h a t t h e c o v a r i a n c e m a t r i x V f o r o u r d a t a X i s g i v e n b y t h e o u t e r - p r o d u c t : \p.(t)) t o m e e t t h e r e q u i r e m e n t t h a t X , > X 2  > > X n X = R fl Vr (14) r = x xr (15) = R n VT V fl R1, a n d a s b o t h R a n d V a r e o r t h o g o n a l , t h i s b e c o m e s : 2 9 r = R fl 2  RJ, s o we s e e t h a t f r o m equation (7) fl2 = A . T h e m a t r i c e s R a n d A a r e b o t h [nxn]. H o w e v e r , f o r o u r n t r a c e s e a c h o f N p o i n t s , we h a v e t h a t X = [nxN], fl = [nxN], a n d V = [NxN], b u t f o r n < N, t h e s y s t e m i s o v e r d e t e r m i n e d a n d we o n l y h a v e a t m o s t n n o n - z e r o e i g e n v a l u e s i n t h e m a t r i x fl. H e n c e A 1 ^ 2  w h i c h i s [nxn] f u l l y r e p r e s e n t s fl w h i c h i s [nxN], N o w , i f we h a d a c a s e w h e r e t h e n u m b e r o f t r a c e s e x c e e d e d t h e n u m b e r o f p o i n t s i n a t r a c e , i . e . n > N, w e m a y w i s h t o f o r m t h e f o l l o w i n g i n n e r - p r o d u c t c o v a r i a n c e m a t r i x : = V fl2 V1 H e r e V i s t h e e i g e n v e c t o r m a t r i x o f V ( b o t h V a n d V a r e [ N x / V ] ) ; r e c a l l t h a t R c o n t a i n e d t h e e i g e n v e c t o r s d e r i v e d f r o m T. We c o n s t r u c t e d t h e p r i n c i p a l c o m p o n e n t s * (equation (9)) a s : w h e r e i s [nxN], S u b s t i t u t i n g equation (14) i n t o equation (17) y i e l d s : = RT R fl V7 r = x r x (16) * = RJ X (17) = fl VT (18) 3 0 S o we s e e t h a t t h e p r i n c i p a l c o m p o n e n t m a t r i x * , o f r i s s i m p l y a t r a n s p o s e d s c a l e d v e r s i o n o f t h e e i g e n v e c t o r m a t r i x V, o f r. G i v e n V a n d fl we m a y d e r i v e t h e e i g e n v e c t o r m a t r i x R, o f V: e q u a t i n g equations (17) a n d (18) g i v e s : Rr X = fl V1, w h i c h w h e n r e a r r a n g e d b e c o m e s : R = X V fl" 1 (19) S o , i f we s i m p l y w a n t t h e p r i n c i p a l c o m p o n e n t s , o r i f n » N, we d e c o m p o s e r, w h e r e a s i f we a r e i n t e r e s t e d i n t h e e i g e n v e c t o r s R, o r i f N >> n, we d e c o m p o s e r. d . O u t e r - P r o d u c t I m a g e S u m m a t i o n . H e r e I p r e s e n t a r e c o n s t r u c t i o n a s a l i n e a r c o m b i n a t i o n o f p r i n c i p a l c o m p o n e n t s w i t h a p p r o p r i a t e w e i g h t s . H o w e v e r , f o l l o w i n g t h e S V D a p p r o a c h , we m a y u s e t h e t e r m i n o l o g y o f A n d r e w s ( 1 9 7 0 ) a n d A n d r e w s a n d P a t t e r s o n ( 1 9 7 6 a , b , c ) a n d t h i n k o f t h e d a t a a s c o n s t i t u t i n g a n i m a g e m a t r i x X ( D a v e n p o r t a n d R o o t , 1 9 5 8 ; H u a n g a n d N a r e n d r a , 1 9 7 5 ; H u n t a n d K u b l e r , 1 9 8 4 ; o r F u k u n a g a a n d K o o n t z ( 1 9 6 9 ) ) . T h i s i m a g e c a n b e d e c o m p o s e d i n t o a s u m o f r a n k - o n e i m a g e s , e a c h o f w h i c h i s f o r m e d b y a n o u t e r - p r o d u c t e x p a n s i o n . T h a t is, from equation (14): X = L X 1/ 2 r . v T :-J J J J 31 = v/2 r ,vj .+ ... + X l / 2 r v T n n n w h e r e e a c h o u t e r - p r o d u c t ^ vT f o r m s a r a n k - o n e i m a g e o f t h e s a m e s i z e a s X. P h o t o g r a p h s o f s e v e r a l s u c h r a n k - o n e d e c o m p o s i t i o n i m a g e s c a n b e f o u n d i n A n d r e w s ( 1 9 7 0 ) . S E C T I O N 2 . I I : R E C O N S T R U C T I O N A N D A S S O C I A T E D E R R O R S . a . I d e n t i c a l S i g n a l s . W h e n we h a v e a s u i t e o f s i g n a l s w h i c h a r e i d e n t i c a l t o w i t h i n a c o n s t a n t s c a l e f a c t o r , t h e f i r s t p r i n c i p a l c o m p o n e n t h a s a n i m p o r t a n t c h a r a c t e r i s t i c . I f x.(t) = cis(t) w h e r e t h e c. a r e r e a l c o n s t a n t s , a n d s(t) i s a g i v e n s i g n a l , t h e n t h e f i r s t p r i n c i p a l c o m p o n e n t w i l l b e : * i ( t ) = ( L c. 2) 1 / 2 s(t) (20) T h a t i s , t h e f i r s t p r i n c i p a l c o m p o n e n t w i l l b e a s c a l e d v e r s i o n o f t h e s i g n a l s(t), a n d t h e c o m p l e t e s e t o f i n p u t s i g n a l v e c t o r s { x . ( t ) , i=],..., n}, c a n b e r e c o n s t r u c t e d e x a c t l y f r o m t h i s o n e p r i n c i p a l c o m p o n e n t a n d t h e a p p r o p r i a t e w e i g h t s ( t h e e l e m e n t s o f t h e f i r s t r o w o f R) . T h e r e m a i n i n g p r i n c i p a l c o m p o n e n t s {yp.(t), y = 2 , . . . , « } , w i l l h a v e z e r o e i g e n v a l u e s a n d a r e n o t n e e d e d i n t h e r e c o n s t r u c t i o n . 32 b . S i m i l a r S i g n a l s . I f t h e s u i t e o f s i g n a l s h a d r a n d o m n o i s e o r o t h e r c o n t a m i n a n t s a d d e d t o t h e m , we n o l o n g e r h a v e t h e i d e a l c a s e w h e r e t h e s u i t e c a n b e e x a c t l y r e p r e s e n t e d b y a s i n g l e p r i n c i p a l c o m p o n e n t w i t h a p p r o p r i a t e s c a l e f a c t o r s . R a t h e r , we m a y s t i l l r e p r e s e n t t h e s u i t e w i t h a s i n g l e p r i n c i p a l c o m p o n e n t a n d a c c e p t t h e i n t r o d u c t i o n o f s o m e e r r o r . I n equation (11) we n o t e d t h a t t h e j.th e i g e n v a l u e g i v e s t h e e n e r g y a s s o c i a t e d w i t h t h e j.th p r i n c i p a l c o m p o n e n t . W i t h t h i s i n m i n d , I d e f i n e a s i m i l a r i t y m e a s u r e : m n X(m) = Z X / Z X (21) j=l J j=m+l J F o r t h e ' i d e n t i c a l ' c a s e w i t h X 2 , X 3 , X ^ = 0 we w i l l h a v e : X(m) = », m = 1, 2, . . . , n- 1. O f m o r e p h y s i c a l s i g n i f i c a n c e i s t h e c a s e w h e n t h e w a v e f o r m s a r e s i m i l a r , a n d c o n t a m i n a t e d w i t h n o i s e . I n t h i s c a s e , x(m) w i l l b e l a r g e . C o n v e r s e l y , f o r i n h e r e n t l y d i s s i m i l a r s i g n a l s ( o r w h i t e n o i s e ) w i t h t h e s a m e m e a n e n e r g y , we w o u l d h a v e : x(m) 0{m/(n-m) } I n o t h e r w o r d s , i f a l l t h e s i g n a l s w e r e d i s s i m i l a r , t h e n t h e c o v a r i a n c e m a t r i x w o u l d b e m o s t l y d i a g o n a l , a n d a l l t h e 33 e i g e n v a l u e s w o u l d b e o f t h e s a m e m a g n i t u d e , h e n c e equation (21) w o u l d y i e l d a r e s u l t o f o r d e r {m/(n-m)}. T h i s m o d i f i e d e i g e n v a l u e r a t i o ( E V R ) \(m), i s a n a l a g o u s t o t h e c o n d i t i o n n u m b e r ( S t r a n g , 1 9 8 0 ) , a n d i s u s e d t h r o u g h o u t t h i s w o r k a s a m e a s u r e o f s i g n a l c o h e r e n c y . c . W i n n o w i n g a n d T r u n c a t i o n E r r o r . F o r t h e t r u n c a t e d i n v e r s e t r a n s f o r m a t i o n {equation (3)) we m u s t d e c i d e u p o n a c r i t e r i o n t o d e t e r m i n e h o w m a n y p r i n c i p a l c o m p o n e n t s t o u s e i n o r d e r t o s a t i s f a c t o r i l y r e c o n s t r u c t ( o r r e p r e s e n t ) t h e d a t a . We m a y d i s c a r d p r i n c i p a l c o m p o n e n t s m+1 t o n g i v e n t h a t t h e b u l k o f t h e e n e r g y i s p a c k e d i n t o t h e f i r s t m p r i n c i p a l c o m p o n e n t s . H o w e v e r , t h i s a p p r o x i m a t i o n g i v e s r i s e t o a n a s s o c i a t e d m i s f i t ( o r t r u n c a t i o n ) e r r o r , <t>(m) {equation (4)), w h i c h t e l l s u s h o w m u c h o f t h e i n p u t e n e r g y we h a v e o m i t t e d f r o m t h e r e c o n s t r u c t i o n . G i v e n t h a t t h e j.th e i g e n v a l u e X . s i m p l y g i v e s a m e a s u r e o f t h e e n e r g y c o n t e n t o f t h e j.th p r i n c i p a l c o m p o n e n t i>.(t) (equation (11)), a n d a s u m o f t h e e i g e n v a l u e s y i e l d s t h e t o t a l i n p u t e n e r g y (equation (13)), we m a y r e w r i t e t h i s a s : n 4>(m) = Z X . (22) j=m+1 J S o , t o d e c i d e u p o n t h e n u m b e r o f p r i n c i p a l c o m p o n e n t s t o u s e i n t h e r e c o n s t r u c t i o n , I s i m p l y r e q u e s t t h a t a s p e c i f i e d a m o u n t o f 3 4 t h e i n p u t e n e r g y b e p r e s e n t i n t h e o u t p u t . I e x p r e s s t h i s r e q u i r e m e n t i n t e r m s o f t h e r e c o n s t r u c t i o n e n e r g y : m n •n(m) = 100 Z X. / Z X. (23) j=l J j=l J C o n v e r s e l y , we m a y s p e a k o f t h e p e r c e n t a g e m i s f i t : n n u(m) = 100 Z X. / Z X. = 100 4>(m) / (p(0) (24) j=m+1 J j=1 1 I n F i g u r e 2 . 1 , we s e e a p l o t o f t h e c u m u l a t i v e p e r c e n t a g e e n e r g y v e r s u s n u m b e r o f e i g e n v a l u e s , f o r a s t a c k e d s e i s m i c s e c t i o n . We s e e m a n i f e s t h e r e t h e e n e r g y p a c k i n g p r o p e r t y o f t h e K L t r a n s f o r m : v i r t u a l l y a l l t h e s i g n a l e n e r g y i s c o n t a i n e d i n t h e f i r s t 1 5 o f t h e 1 0 0 p r i n c i p a l c o m p o n e n t s . F u r t h e r m o r e , d u e t o t h e o p t i m a l p a c k i n g o f i n f o r m a t i o n b y t h e K L t r a n s f o r m a t i o n , t h i s p e r c e n t a g e o f t h e i n p u t e n e r g y w i l l b e t h a t a s s o c i a t e d w i t h f e a t u r e s w h i c h a r e m o s t s i m i l a r a c r o s s t h e t r a c e s . S E C T I O N 2 . I l l : A P P L I C A T I O N T O S E I S M I C D A T A , a . I n t r o d u c t i o n F r o m t h e s i m p l e c a s e o f s i m i l a r w a v e f o r m s , I n o w p r o g r e s s t o t h e d e s c r i p t i o n o f w a v e f o r m s w i t h i n a s e t o f s e i s m i c d a t a . F o r t h e m o s t p a r t , I w i l l d i s c u s s s t a c k e d s e i s m i c s e c t i o n s , w h i c h o f t e n i n c o r p o r a t e f l a t - l y i n g o r d i p p i n g e v e n t s w i t h a p a r t i c u l a r 35 w a v e f o r m a c r o s s t h e d a t a s e c t i o n . b . F l a t L y i n g E v e n t s . F r o m t h e w a y i n w h i c h t h e c o v a r i a n c e m a t r i x r i s d e f i n e d , a w a v e f o r m w h i c h o c c u r s f r o m t r a c e - t o - t r a c e a t t h e s a m e a r r i v a l t i m e w i l l b e s e e n a s m o s t c o h e r e n t . I t i s t h i s s i m i l a r i t y o f s i g n a l c h a r a c t e r a c r o s s t h e t r a c e s , w h i c h c o n s t i t u t e s t h e d o m i n a n t a n d m o s t c o h e r e n t c h a r a c t e r i s t i c . I f t h e d a t a a r e h i g h l y c o h e r e n t , a s f o r e x a m p l e i n a f l a t l y i n g s t a c k e d s e i s m i c s e c t i o n , t h e n we w i l l n e e d o n l y a f e w p r i n c i p a l c o m p o n e n t s t o a d e q u a t e l y r e c o n s t r u c t t h e d a t a . c . D i p p i n g E v e n t s . T h e f l a t l y i n g e v e n t s a r e s e e n a s ' m o s t c o m m o n ' d u e t o t h e w a y i n w h i c h t h e c o v a r i a n c e m a t r i x T i s d e f i n e d . H o w e v e r , i f we w i s h e d t o e m p h a s i z e a s e t o f p a r a l l e l d i p p i n g e v e n t s , we c o u l d a d j u s t t h e c o v a r i a n c e m a t r i x c a l c u l a t i o n i n s u c h a w a y a s t o r e p r e s e n t p r e f e r r e d l a g s , c o r r e s p o n d i n g t o s o m e d e s i r e d d i p d i r e c t i o n , r a t h e r t h a n t h e z e r o - l a g w h i c h c o r r e s p o n d s t o h o r i z o n t a l e v e n t s . T h i s e n d i s a c h i e v e d m o s t e a s i l y b y i n t r o d u c i n g a w e d g e o f z e r o e s i n t o t h e s t a r t o f t h e d a t a . T h e w e d g e i s c h o s e n t o m a k e a n e v e n t o f t h e s p e c i f i e d d i p a p p e a r t o b e h o r i z o n t a l i n t h e n e w , s h i f t e d d a t a f i e l d . 3 6 I n e f f e c t , we a r e p r o d u c i n g a n e w d a t a s e t Y, s u c h t h a t : yt (t) = b { t - V ( i - l ) ) * x. (t) (25) w h e r e 8 i s t h e D i r a c d e l t a f u n c t i o n , a n d V i s t h e d i p o f t h e b e d s e x p r e s s e d i n t i m e - s a m p l e s p e r t r a c e ; '.*' d e n o t e s c o n v o l u t i o n . V c a n b e p o s i t i v e o r n e g a t i v e , d e p e n d i n g o n t h e d i p d i r e c t i o n . I r e f e r l a t e r t o a K L t r a n s f o r m a t i o n o n Y a s a ' s l a n t - K L ' b y a n a l o g y t o t h e s l a n t - s t a c k . I c o n s i d e r t h e u s e f u l n e s s o f d a t a r e c o n s t r u c t i o n f r o m a l i m i t e d n u m b e r o f p r i n c i p a l c o m p o n e n t s i n C h a p t e r 3 , S e c t i o n 3 . 1 . d . L e s s C o h e r e n t I n f o r m a t i o n . I t i s o f i n t e r e s t a t t h i s s t a g e t o c o n s i d e r a g a i n w h a t i s l e f t o v e r w h e n we h a v e r e c o n s t r u c t e d a d a t a s e t f r o m t h e f i r s t m p r i n c i p a l c o m p o n e n t s . A s n o t e d i n S e c t i o n 1 . 1 1 1 b , t h e a n s w e r i s t h a t we a r e l e f t w i t h a r e s i d u e w h i c h r e p r e s e n t s t h a t w h i c h i s l e a s t c o m m o n i n o u r d a t a . T h i s r e s i d u e w i l l c o n s i s t p r i m a r i l y o f a n o m a l o u s d a t a , d e s c r i b e d b e l o w , a n d r a n d o m ( w h i t e ) n o i s e . I f we u t i l i z e d v e r y f e w o f t h e p r i n c i p a l c o m p o n e n t s i n a r e c o n s t r u c t i o n o f a s t a c k e d s e i s m i c s e c t i o n , t h e n we w o u l d c o n s t r u c t a s e c t i o n w h i c h i n c o r p o r a t e d o n l y t h e m o s t f l a t l y i n g c o h e r e n t e v e n t s . C o n s e q u e n t l y , e v e n t s w h i c h w e r e d i p p i n g , o r e x h i b i t e d a n u n d u l a t i n g s t r u c t u r e , w o u l d b e o m i t t e d . A r e c o n s t r u c t i o n f o r g e d f r o m t h e n e x t f e w p r i n c i p a l c o m p o n e n t s 3 7 w o u l d c o m p r i s e t h e d i p p i n g o r u n d u l a t i n g e v e n t s . T h e r e m a i n i n g p r i n c i p a l c o m p o n e n t s w o u l d r e p r e s e n t i n c o h e r e n t n o i s e . S o , we s e e t h a t a m i s f i t s e i s m i c s e c t i o n , d e f i n e d a s : P xt - (t) = Z • r ii .(\) i =1,. . . , n; m < p < n (26) j=m+l J 3 c a n y i e l d u s e f u l i n s i g h t i n t o t h e s u b t l e r c h a r a c t e r i s t i c s o f t h e d a t a . T h e e f f e c t i v e n e s s o f m i s f i t r e c o n s t r u c t i o n i n o u t l i n i n g a n o m a l o u s p a r t s o f a s e i s m i c s e c t i o n i s d e m o n s t r a t e d i n C h a p t e r 3 , S e c t i o n 1 1 . M i s f i t r e c o n s t r u c t i o n a l s o f o r m s t h e b a s i s f o r S e c t i o n s 3 . I l l a n d 3 . I V . I n t h e f o r m e r , I s e p a r a t e d i f f r a c t i o n f r o m r e f l e c t i o n e v e n t s , w h i l e i n t h e l a t t e r I s e p a r a t e m u l t i p l e s ( w h i c h h a v e b e e n a l i g n e d b y c o n s t a n t - v e l o c i t y n o r m a l m o v e o u t c o r r e c t i o n : o u r c o m m o n s i g n a l ) f r o m p r i m a r y e v e n t s ( o u r d e s i r e d s i g n a l ) i n c o m m o n - d e p t h - p o i n t d a t a . e . T h e S i g n i f i c a n c e o f t h e E i g e n v e c t o r E l e m e n t s . U s e f u l i n s i g h t c a n b e g a i n e d f r o m a n i n v e s t i g a t i o n o f t h e p h y s i c a l p r o p e r t i e s o f t h e e i g e n v e c t o r s i n R. T h e e l e m e n t s o f t h e e i g e n v e c t o r r , w h i c h c o r r e s p o n d t o t h e j.th p r i n c i p a l c o m p o n e n t , d e n o t e t h e c o n t r i b u t i o n o f e a c h s e i s m i c t r a c e t o t h a t p r i n c i p a l c o m p o n e n t . C o n s e q u e n t l y , i f a l l t h e i n p u t t r a c e s e x c e p t t h e t h i r d w e r e s i m i l a r , t h e n a l l t h e e l e m e n t s o f r , w o u l d b e o f s i m i l a r s i z e e x c e p t f o r r  3 , w h i c h w o u l d b e m u c h s m a l l e r ( s e e L e v y e t a l . , 3 8 1 9 8 3 , F i g u r e 4 ) . We m a y a l s o n o t e t h a t w h e n a l l t h e i n p u t t r a c e s a r e i d e n t i c a l , t h e 1 . s t p r i n c i p a l c o m p o n e n t a l o n e w i l l c a r r y a l l t h e i n f o r m a t i o n n e c e s s a r y f o r s i g n a l r e c o n s t r u c t i o n a n d t h e e i g e n v a l u e s X 2 , X 3 >  X w i l l b e z e r o . T h e e i g e n v e c t o r e l e m e n t s r. t e l l u s h o w m u c h o f t h e i.th s e i s m i c t r a c e i s p r o j e c t e d o n t o t h e j.th p r i n c i p a l c o m p o n e n t . I n l i g h t o f t h i s , I u s e t h e f o l l o w i n g s i m i l a r i t y m e a s u r e t o e x a m i n e t h e ' d i s t a n c e ' b e t w e e n t h e p r o j e c t i o n s o f t h e i n p u t t r a c e s o n t o a g i v e n g r o u p o f p r i n c i p a l c o m p o n e n t s : m = L, ( a t j - V2 ( 2 7 ) J = 1 J J w h e r e a. . = r . . / j / X . U 1J J T h e s i g n i f i c a n c e o f t h i s m e a s u r e c a n b e s e e n a s f o l l o w s : f o r m = 1, s a y , i . e . u s i n g o n l y t h e f i r s t e i g e n v e c t o r , w i l l b e t h e s q u a r e o f t h e d i f f e r e n c e b e t w e e n t h e a m p l i t u d e s o f t h e p r o j e c t i o n s o f t h e i.th a n d k.th s e i s m i c t r a c e s o n t o t h e 1 . s t p r i n c i p a l c o m p o n e n t . S o , i f = 0 , we i n f e r t h a t t r a c e s / a n d k h a v e t h e s a m e c o n t r i b u t i o n s t o t h e 1 . s t p r i n c i p a l c o m p o n e n t . I f A ^ i s r e l a t i v e l y l a r g e , t h e n t h e c o n v e r s e i s t r u e . I f w e n o w s u m o v e r a l l m e i g e n v e c t o r s a s s o c i a t e d w i t h t h e c o h e r e n t e n e r g y , a n d f i n d t h a t A. ̂  i s s t i l l n e a r z e r o , t h e n we i n f e r t h a t t r a c e s / a n d k h a v e s i m i l a r p r o j e c t i o n s o n t o a l l m 3 9 p r i n c i p a l c o m p o n e n t s , a n d f u r t h e r , t h a t t r a c e s / a n d k a r e v e r y s i m i l a r . We w o u l d d e t e r m i n e m f r o m t h e r e q u i r e m e n t t h a t we i n c o r p o r a t e t h e e f f e c t s o f t h e m o s t s i g n i f i c a n t p e r c e n t a g e o f t h e i n p u t d a t a e n e r g y ( u s i n g equation (22)). T h i s m e t h o d w a s u s e d b y T j o s t h e i m a n d S a n d v i n ( 1 9 7 9 ) t o d i s c r i m i n a t e b e t w e e n s e i s m i c e v e n t s a n d n u c l e a r b l a s t s o n t h e b a s i s o f t h e e i g e n s t r u c t u r e o f g r o u p s o f e v e n t s . S E C T I O N 2 . I V : T H E C O M P L E X K A R H U N E N - L O E V E T R A N S F O R M A T I O N . a . I n t r o d u c t i o n . T h e i m p o r t a n t c h a r a c t e r i s t i c s o f t h e K L t r a n s f o r m a t i o n e n u m e r a t e d b y K r a m e r a n d M a t h e w s ( 1 9 5 6 ) f o r r e a l s i g n a l s c a r r y o v e r d i r e c t l y t o t h e c a s e w h e n c o m p l e x s i g n a l s a r e u s e d . T h e r a t i o n a l e f o r c o n s i d e r i n g c o m p l e x s i g n a l s i s t h a t we w i l l b e a b l e t o a d d r e s s t h e p r o b l e m o f p h a s e c h a n g e s i n t h e s i g n a l ( L e v y e t a l . , 1 9 8 3 ) . M o s t o f t h e a p p l i c a t i o n s c o n s i d e r e d i n t h i s w o r k u s i n g t h e K L T c a n b e g i v e n a f u r t h e r d e g r e e o f f r e e d o m ( i . e . t h a t o f p h a s e c h a n g e ) b y u t i l i z i n g t h e c o m p l e x K L t r a n s f o r m a t i o n . W h e n e v e r t h e c o m p l e x K L T i s u s e d a s w e l l a s t h e r e a l K L T , I w i l l d r a w a c o m p a r i s o n b e t w e e n t h e r e s u l t s . I n g e n e r a l , t h e c o m p l e x K L ( o r C K L ) t r a n s f o r m w i l l a c h i e v e a g r e a t e r c o m p r e s s i o n o f d a t a t h a n t h e r e a l K L ( o r R K L ) t r a n s f o r m . 4 0 T h i s i s d u e t o t h e a b i l i t y o f a p h a s e c h a n g e t o m a k e c e r t a i n s i g n a l s e v e n m o r e s i m i l a r . F u r t h e r , t h e c o m p l e x t e c h n i q u e a l l o w s u s t o d e a l d i r e c t l y w i t h f r e q u e n c y d o m a i n d a t a . , f r o m w h i c h a s i g n a l c o m m o n t o w i t h i n a p h a s e s h i f t , a t e a c h f r e q u e n c y i n t h e b a n d o f i n t e r e s t , c a n b e e x t r a c t e d . G i v e n t h a t we r e c o r d a r e a l s i g n a l , we a r e f a c e d i n i t i a l l y w i t h t h e p r o b l e m o f c o n s t r u c t i n g a c o m p l e x a n a l o g u e i n o r d e r t o p r o c e e d . T h i s i s m o s t r e a d i l y a c c o m p l i s h e d b y c o n s i d e r i n g t h e c o m p l e x t r a c e ( o r a n a l y t i c s i g n a l ) o f t h e d a t a x.(t) ( e g . T a n e r e t a l . , 1 9 7 7 ; B r a c e w e l l , 1 9 7 8 ) . b . T h e C o m p l e x T r a c e . G i v e n a w a v e l e t w(t), i t s c o m p l e x t r a c e w(t) i s d e f i n e d a s : w(t) = w(t) - iw(t) (28) w h e r e w(t) = H[w(t)] i s t h e H i l b e r t t r a n s f o r m ( e g . B r a c e w e l l , 1 9 7 8 ; A k i a n d R i c h a r d s , 1 9 8 0 ; L e v y a n d O l d e n b u r g , 1 9 8 2 ) o f t h e i n i t i a l w a v e l e t . T o i n t r o d u c e a p u r e p h a s e c h a n g e t o a w a v e l e t , we m u l t i p l y i t s c o m p l e x t r a c e b y a c o m p l e x e x p o n e n t i a l . C o n s e q u e n t l y , a w a v e l e t p h a s e s h i f t e d b y a n a m o u n t e , i s g i v e n b y : w(t;e) = Re[w(t) exp(-ie)] = cos(e) w(t.) + sin(e) w(t) (29) 41 F o r c o m p l e x s i g n a l s , t h e c o v a r i a n c e m a t r i x i s H e r m i t i a n a n d p o s i t i v e s e m i - d e f i n i t e a n d h e n c e a u n i t a r y m a t r i x U, i s r e q u i r e d f o r d i a g o n a l i z a t i o n ( S t r a n g , 1 9 8 0 ) , i . e . : r = X XH = U A UH, w h e r e X i s c o m p l e x ; '//' d e n o t e s t h e H e r m i t i a n , o r c o n j u g a t e , t r a n s p o s e . T h e e i g e n v a l u e s w i l l s t i l l b e r e a l , b u t t h e e i g e n v e c t o r s a r e c o m p l e x . N e v e r t h e l e s s , t h e t r u n c a t i o n e r r o r a s s o c i a t e d w i t h a r e c o n s t r u c t i o n i s s t i l l g i v e n b y equation (22). c . I d e n t i c a l S i g n a l s . A s i n S e c t i o n 2 . 1 1 a , i f we c o n s i d e r t h e c a s e w h e r e x.(t) = ci s(t), b u t w h e r e t h e c. a r e n o w c o m p l e x c o n s t a n t s , a n d x.(t) a n d s(t) a r e a l s o c o m p l e x , t h e n t h e f i r s t p r i n c i p a l c o m p o n e n t w i l l b e : 1>y(t) = ( Z | c . | 2 ; , / 2 s(t) (30) i=l T h i s l a t t e r e q u a t i o n s h o w s t h a t c o m p l e x s i g n a l s w h i c h d i f f e r o n l y b y a c o m p l e x s c a l e f a c t o r c a n b e r e p r e s e n t e d e x a c t l y b y a s i n g l e c o m p l e x p r i n c i p a l c o m p o n e n t a n d a s s o c i a t e d w e i g h t s ( t h e c o m p l e x e l e m e n t s o f t h e f i r s t r o w o f U ) . A s a n i l l u s t r a t i o n , we c o n s i d e r t h e f o l l o w i n g s i m p l e e x a m p l e . L e t x^(t) = s(t) a n d x2(t) = exp(-ie) s ( t ) . T h e e n e r g y 4 2 i n t h e s i g n a l i s : | | s | | 2 = J s ( t ) U t ) dt 0 w h e r e ' * ' d e n o t e s t h e c o m p l e x c o n j u g a t e . T h u s : r i 1 exp(-i e) r = I \s e xp(i e) T h e e i g e n v a l u e s o f r a r e X , = 2 | | s | | 2 , e i g e n v e c t o r m a t r i x i s : r i 1 exp(-i e) U = l/}/2 exp(i e) X 2 = 0 . T h e u n i t a r y T h e f i r s t p r i n c i p a l c o m p o n e n t i s ; tyy(l) = a , , xx(t) + M 2 1 x2(t) = / 2 s(t) (31) w h e r e u^j a r e t h e e l e m e n t s o f u, , t h e f i r s t c o l u m n e i g e n v e c t o r o f U . d . P h a s e R e c o v e r y . L e t u s n o w c o n s i d e r t h e t w o s i g n a l s : x x ( i ) = w(t) , a n d x 2 ( t ) = w(t; e) . 43 T h e i r c o r r e s p o n d i n g a n a l y t i c s i g n a l s a r e : x\(t ) = w(t ) x2(t)=w(l)exp(ie) a n d h e n c e t h e s e s i g n a l s a r e l i k e t h o s e c o n s i d e r e d i n t h e p r e c e d i n g e x a m p l e . A p p l i c a t i o n o f t h e C K L t r a n s f o r m a t i o n w i l l p r o d u c e a c o m p l e x f i r s t p r i n c i p a l c o m p o n e n t e q u a l t o w(t). F u r t h e r m o r e , s u b s t i t u t i o n o f t h e e x p r e s s i o n s f o r x\(t) a n d x2(t) i n t o equation (31) d e m a n d s t h a t t h e c o n s t a n t s u. . a r e s u c h t h a t 1 y t h e p h a s e s h i f t e i s c a n c e l l e d . I n o t h e r w o r d s , equation (31) s h o w s t h a t t h e p h a s e r o t a t i o n i n t h e s e c o n d s i g n a l i s r e c o v e r a b l e d i r e c t l y f r o m t h e e i g e n v e c t o r a s s o c i a t e d w i t h t h e f i r s t p r i n c i p a l c o m p o n e n t . T h a t i s : e = t a n " 1 ( u 2 , ) (32) e . T h e C o m p l e x K L T r a n s f o r m a t i o n a n d T i m e S h i f t s . A d j a c e n t s e i s m i c s i g n a l s d i f f e r n o t o n l y b e c a u s e o f p h a s e s h i f t s o f t h e w a v e l e t b u t a l s o b e c a u s e o f t i m e s h i f t s , t h a t i s , ' r e s i d u a l s t a t i c s ' . I f t h e s e t i m e s h i f t s a r e s m a l l t h e y c a n b e a c c o m m o d a t e d b y a p h a s e s h i f t o f t h e w a v e f o r m . T o s e e t h i s we c o n s i d e r a s i g n a l x(t) a n d i t s F o u r i e r t r a n s f o r m A ' ( f ) . I f : x(t) < > X(f) T h e n : 4 4 x(t-t0) <- > X(f) expd e) , w h e r e e = 2i:ft0r a n d t  0  i s t h e t i m e s h i f t . A l t h o u g h t h i s s h o w s t h a t t h e p h a s e s h i f t c a n n o t t r u l y b e r e g a r d e d a s a c o n s t a n t , f o r a s u f f i c i e n t l y b a n d l i m i t e d s i g n a l w i t h c e n t e r f r e q u e n c y / , t h e f r e q u e n c y d e p e n d e n c e c a n b e n e g l e c t e d a n d u s i n g t h e n o t a t i o n o f equation (29), x(t-l0) c a n b e w r i t t e n a s x(t;e) w i t h e r e d e f i n e d a s : e =  2^fc f o W h e n p r e s e n t e d w i t h t w o s i g n a l s o f f s e t b y a s t a t i c t i m e s h i f t , t h e c o m p l e x K L r o u t i n e w i l l r o t a t e t h e d i s p l a c e d w a v e l e t i n a n a t t e m p t t o m i n i m i z e t h e l e a s t - s q u a r e s m i s f i t b e t w e e n t h e r e a l p a r t o f t h e t w o s i g n a l s . I n F i g u r e 2 . 2 , we s e e a s e r i e s o f p l o t s o f t h e p h a s e r o t a t i o n a n g l e e ( r e t u r n e d b y t h e c o m p l e x K L r o u t i n e ) v e r s u s t h e s t a t i c t i m e s h i f t t0 ( i n s a m p l e p o i n t s ) b e t w e e n t w o R i c k e r w a v e l e t s . E a c h p l o t i s f o r a d i f f e r e n t w a v e l e t c e n t r e f r e q u e n c y ( e r g o b a n d w i d t h ) . T h e f i g u r e s s h o w n a r e f o r c e n t r e f r e q u e n c i e s : 5 , 1 5 , 2 5 , 3 5 , 4 5 , a n d 5 5 H z , r e s p e c t i v e l y . T h e t i m e s h i f t o v e r w h i c h t h e l o c u s i s a s t r a i g h t l i n e d e c r e a s e s f o r h i g h e r f r e q e n c i e s , a s e x p e c t e d , s i n c e t h e w a v e f o r m i s t h e n n a r r o w e r a n d t h e s t a t i c s h i f t h a s a m o r e p r o n o u n c e d e f f e c t . H o w e v e r , t h e l i n e a r i t y o f t h i s r e l a t i o n s h i p i s n o t d i a g n o s t i c o f t h e u s e f u l n e s s o f t h e p h a s e r o t a t i o n . A s t h e w a v e f o r m s s h i f t p r o g r e s s i v e l y , s o t h e p h a s e s h i f t i n c r e a s e s . We a r e m a x i m i z i n g 4 5 t h e c o m m o n a l i t y o f t h e r e a l p a r t s o f t h e c o m p l e x w a v e l e t s , b u t t h i s d o e s n o t n e c e s s a r i l y m a k e t h e m l o o k s i m i l a r . T h u s , t h e l i n e a r i t y d o e s n o t i n d i c a t e w h e t h e r t h e s h i f t e d w a v e l e t , w h e n r o t a t e d , w i l l r e s e m b l e t h e r e f e r e n c e . T o a s c e r t a i n t h i s , we l o o k a t t h e a c t u a l r o t a t e d w a v e f o r m s , o r a t t h e p e r c e n t a g e o f e n e r g y p r e s e n t i n t h e f i r s t p r i n c i p a l c o m p o n e n t . T h i s w i l l e q u a l 1 0 0 % w h e n t h e i d e n t i c a l w a v e f o r m s a r e c o i n c i d e n t , a n d f a l l - o f f t o 5 0 % w h e n t h e r e i s n o o v e r l a p a t a l l . U p t o a t i m e s h i f t p r e s c r i b e d b y equation (3 3) b e l o w , a l l r o t a t e d - w a v e l e t d i s t o r t i o n s a r e s m a l l e n o u g h t o p r o d u c e a g o o d s t a c k e d r e s u l t , a n d t h e s l o p e o f t h e s t r a i g h t l i n e s e g m e n t s o f e v e r s u s t0 ( F i g u r e 2 . 2 ) c h a n g e s u n i f o r m a l l y w i t h c e n t r e f r e q u e n c y d o w n t o a b o u t 5 H z . T h e a c t u a l w a v e f o r m s a r e s h o w n i n F i g u r e 2 . 3 . H e r e we s e e ( 1 ) t h e r e f e r e n c e , ( 2 ) t h e t i m e s h i f t e d w a v e l e t , a n d ( 3 ) t h e s h i f t e d w a v e l e t f r o m ( 2 ) a f t e r p h a s e r o t a t i o n b y e, f o r t h r e e d i f f e r e n t t i m e s h i f t s a n d c e n t r e f r e q u e n c i e s . A s c a n b e s e e n v i s u a l l y a s w e l l a s f r o m t h e l a r g e x(l) v a l u e s , t h e r o t a t e d t i m e s h i f t e d w a v e l e t s a r e v e r y s i m i l a r t o t h e r e f e r e n c e p u l s e , a n d a r e m o r e l i k e l y t o s t a c k c o n t r u c t i v e l y t h a n a r e t h e i r u n r o t a t e d c o u n t e r p a r t s . F o r t h e R i c k e r w a v e l e t s o f c e n t r e f r e q u e n c y / I f o u n d e m p i r i c a l l y t h a t t h e p h a s e s h i f t v e r s u s s t a t i c t i m e s h i f t a p p r o x i m a t i o n w a s v a l i d o v e r t i m e s h i f t s g i v e n b y : t0 < ( 0 . 4 / / ) s e c o n d s (33) 4 6 a n d t h a t t h e r e l a t i o n s h i p b e t w e e n c e n t r e f r e q u e n c y a n d p h a s e r o t a t i o n p e r m i l l i s e c o n d s h i f t w a s : e = 0 . 0 0 6 / ms c Equal i on 33 h a s a s i m p l e o r i g i n r e l a t e d t o t h e s h a p e o f a R i c k e r w a v e l e t . T h e s i d e l o b e t o s i d e l o b e b r e a d t h o f a R i c k e r p u l s e , b, i s g i v e n b y : b = y/6/(nf c) a n d f o r v i s u a l l y a c c e p t a b l e p h a s e r o t a t i o n s , w h i c h k e e p 8 5 - 9 0 % o f t h e e n e r g y i n t h e f i r s t p r i n c i p a l c o m p o n e n t , I n o t e d t h a t t h e t i m e s h i f t s h o u l d b e ^ b/2, a s e x e m p l i f i e d b y equation (33). T h i s t r a n s l a t e s i n t o p h a s e s h i f t s o f < 2 . 0 r a d i a n s . f . C o m p l e x E i g e n v e c t o r s . I i n t r o d u c e h e r e a n e x t e n s i o n o f equation (27) t o d e a l w i t h t h e c o m p l e x e i g e n v e c t o r s g e n e r a t e d b y t h e c o m p l e x K L t r a n s f o r m ( L e v y e t a l . , 1 9 8 3 ) . I n t h i s c a s e we w o u l d b e s e e i n g d i f f e r e n c e s i n p h a s e s t r u c t u r e a s r e f l e c t e d i n t h e ' p h a s e ' o f t h e c o m p l e x e i g e n v e c t o r e l e m e n t s ( b y w h i c h I m e a n at an{1m(r . )/Re(r . ) } ) , a s w e l l a s i n t h e a m p l i t u d e s o f t h e p r o j e c t i o n s . F o r t h e c o m p l e x c a s e equation (27) b e c o m e s : n * A . , = Z ( a . . - a . . ) ( a . . - a , . ) (34) i k j i j kj i j kj w h e r e ' * ' d e n o t e s t h e c o m p l e x c o n j u g a t e , a n d t h e a ' s a r e n o w 4 7 c o m p l e x , i . e . : a. . = r . . / i/X . tJ  1 J J f o r t h e c o m p l e x  r • • I u t i l i z e b o t h equations (27) a n d (34) i n S e c t i o n 4 . 1 , w h e r e I r e v i e w t h e a p p r o a c h o f H a g e n ( 1 9 8 2 ) a n d a s s e s s t h e l i m i t a t i o n s o f t h e a p p l i c a b i l i t y o f c l u s t e r a n a l y s i s t o s e i s m i c d a t a . 48 F I G U R E 2.1 T h e c u m u l a t i v e p e r c e n t a g e e n e r g y f r o m t h e R K L d e c o m p o s i t i o n o f t h e 1 0 0 t r a c e s o f s e i s m i c d a t a s h o w n i n F i g u r e 3 . 5 a . N o t e h o w v i r t u a l l y a l l o f t h e s i g n a l e n e r g y i s c o n t a i n e d i n t h e f i r s t 1 5 p r i n c i p a l c o m p o n e n t s . 4 9 0 TIME SHIFT °\ 0 • TIME SHIFT ^ 0 TIME SHIFT <? F I G U R E 2.2 E i g h t p l o t s e a c h s h o w i n g t h e r e q u i s i t e p h a s e s h i f t n e c e s s a r y t o m i n i m i z e t h e l e a s t - s q u a r e s m i s f i t b e t w e e n t h e r e a l p a r t o f t i m e d i s p l a c e d s i g n a l s . I n t h i s c a s e , t h e s i g n a l s a r e p a i r s o f R i c k e r w a v e l e t s w i t h c e n t r e f r e q u e n c y 5 , 1 5 , 2 5 , 3 5 , 4 5 , 5 5 , 6 5 , a n d 7 5 H z , r e s p e c t i v e l y , s a m p l e d a t 2 m s . T h e t i m e s h i f t a x i s i s g i v e n i n s a m p l e p o i n t s . 5 0 T V 4 ms 0.0 1 2 3 Xfl): 2 4 0 8 ms 0.0 0.1 60 16 ms 32 ms 0.0 0.1 0.0 O J 27 15Hz 15 o.o. 0.1. 1 2 3 Xd): 44 0.0 0.1( 0.0 0.1 ^£ — v — — v - I- 11 I" 5 0.0 0.1 35Hz 0.0 0.1. 1 2 3 Xd): 18 0.0 0.1 0.0 0.1 0.0 0.1 55Hz F I G U R E 2 . 3 T h r e e s e t s o f p l o t s e a c h s h o w i n g ( 1 ) t h e r e f e r e n c e R i c k e r w a v e l e t , ( 2 ) t h e t i m e s h i f t e d w a v e l e t , a n d ( 3 ) t h e s h i f t e d w a v e l e t a f t e r p h a s e r o t a t i o n b y e , f o r t h r e e t i m e s h i f t s . I n d i c a t e d b e l o w e a c h a r e i 0 , x(l), a n d e. I n t h i s c a s e , t h e s i g n a l s a r e p a i r s o f R i c k e r w a v e l e t s w i t h c e n t r e f r e q u e n c y 1 5 , 3 5 , a n d 5 5 H z , r e s p e c t i v e l y . 51 C H A P T E R 3. D A T A R E C O N S T R U C T I O N . S E C T I O N 3.1; R E C O N S T R U C T I O N O F C O H E R E N T I N F O R M A T I O N . a . I n t r o d u c t i o n . H e r e I e m p l o y t h e e n e r g y - p a c k i n g p r o p e r t y o f t h e K L t r a n s f o r m . R e c a l l t h a t f o r a s e t o f s i m i l a r i n p u t t r a c e s , t h e r e w i l l b e o n e p r i n c i p a l c o m p o n e n t t h a t c o n t a i n s m o r e e n e r g y t h a n a n y o t h e r . T h e p r i n c i p a l c o m p o n e n t s , w h e n o r d e r e d i n d e c r e a s i n g e n e r g y c o n t e n t , a f f o r d t h e i d e n t i f i c a t i o n a n d s u b s e q u e n t e l i m i n a t i o n o f i n c o h e r e n t e n e r g y p r e s e n t i n t h e i n p u t d a t a . F u r t h e r m o r e , t h e m e t h o d a l s o a l l o w s r e c o n s t r u c t i o n o f d a t a t o w i t h i n a d e s i r e d a c c u r a c y , f r o m a r e l a t i v e l y s m a l l n u m b e r o f p r i n c i p a l c o m p o n e n t s . B e f o r e p r o g r e s s i n g t o e x a m p l e s o f r e c o n s t r u c t i o n o f s t a c k e d s e i s m i c s e c t i o n s , I i n t r o d u c e a n e x a m p l e o f s t a c k i n g i n t h e p r e s e n c e o f t i m e a n d p h a s e s h i f t s b y r e p r e s e n t i n g a s t a c k b y a s u m o f t h e m o s t s i g n i f i c a n t p r i n c i p a l c o m p o n e n t s r e s u l t i n g f r o m t h e d e c o m p o s i t i o n o f a m o v e - o u t c o r r e c t e d g a t h e r . T h i s s t a c k i n g m e t h o d m a y b e p e r f o r m e d u s i n g e i t h e r t h e r e a l o r c o m p l e x K L t r a n s f o r m a t i o n . 5 2 b . K L S t a c k V e r s u s t h e M e a n S t a c k . A c o m p l e x K L a n a l y s i s o f a s e t o f s i g n a l s h a v i n g t i m e s h i f t s w h i c h a r e r a n d o m a n d h a v e z e r o m e a n w i l l h a v e a f i r s t p r i n c i p a l c o m p o n e n t t h a t i s l i k e t h e t r u e s i g n a l . T h i s s u g g e s t s a n i m m e d i a t e a p p l i c a t i o n i n s t a c k i n g s i g n a l s c o n t a m i n a t e d w i t h s t a t i c s h i f t s ( L e v y e t a l . , 1 9 8 3 ) . T h e s a m e i s t r u e t o a l e s s e r e x t e n t f o r a r e a l K L a n a l y s i s ; H e m o n a n d M a c e ( 1 9 7 8 ) a n d U l r y c h e t a l . ( 1 9 8 3 ) b o t h d e m o n s t r a t e h o w t h e f i r s t p r i n c i p a l c o m p o n e n t f r o m a r e a l K L d e c o m p o s i t i o n o f a m o v e o u t c o r r e c t e d C D P g a t h e r c a n b e u s e d a s a n e s t i m a t e o f t h e s t a c k . T h e a s s e r t i o n i s t h a t a f t e r m o v e o u t c o r r e c t i o n , t h e r e w i l l b e a n u n k n o w n t r a c e w h i c h i s c o m m o n t o a l l t h e s e i s m i c t r a c e s : t h i s i s u s u a l l y e s t i m a t e d b y e x t r a c t i n g t h e m e a n o f t h e i n p u t e n s e m b l e . F o r t h e K L c a s e we e s t i m a t e t h a t c o m m o n t r a c e b y c o n s t r u c t i n g t h e f i r s t p r i n c i p a l c o m p o n e n t , w h i c h i s a l e a s t s q u a r e s e s t i m a t e o f t h e c o m m o n s i g n a l . A f u r t h e r s t e p , w h i c h w a s n o t f u l l y e x p l o r e d i n t h e a b o v e p a p e r s , i s t h e a b i l i t y t o r e c o n s t r u c t t h e z e r o - o f f s e t r e p r e s e n t a t i o n u s i n g a s m a l l n u m b e r o f p r i n c i p a l c o m p o n e n t s w h i c h a r e a s s o c i a t e d w i t h t h e l a r g e s t e i g e n v a l u e s . T h i s p o s s i b i l i t y i s p a r t i c u l a r l y i n t e r e s t i n g f o r c a s e s w h e r e a p h a s e s h i f t c a n n o t f u l l y a c c o u n t f o r t h e o b s e r v e d p h e n o m e n o n ( a s w o u l d b e t h e c a s e w i t h r e s i d u a l s t a t i c s p r o b l e m s ) . I n e f f e c t , I r e p l a c e t h e m e a n 5 3 s t a c k : n x ( t ) = ( n - 1 ) Z x.(i) i (35) i=l w i t h a s u m o f t h e m o s t e n e r g e t i c p r i n c i p a l c o m p o n e n t s : n m x(t) = ( n - 1 ) Z Z r ij (36) I . e I h a v e s i m p l y r e p l a c e d x.(t) i n equation (35) w i t h i t s t r u n c a t e d r e c o n s t r u c t i o n f r o m equation (3). c . S y n t h e t i c D a t a E x a m p l e s . I n t h e p r e s e n c e o f s m a l l t i m e ( o r p h a s e ) s h i f t s , t h e f i r s t p r i n c i p a l c o m p o n e n t s h o u l d p r o v i d e a b e t t e r r e p r e s e n t a t i o n o f t h e t r u e s i g n a l t h a n t h e m e a n s t a c k . T h i s i s i l l u s t r a t e d i n t h e e x a m p l e s i n F i g u r e 3 . 1 . I n F i g u r e 3 . 1 ( a ) 1 5 s i g n a l s h a v e b e e n r a n d o m l y s h i f t e d b y a m o u n t s u p t o ± 2 0 m s . T h e m e a n s t a c k o f t h e s e s i g n a l s h a s b e e n c o m p u t e d a n d i t i s s e e n ( F i g u r e 3 . 1 ( a ) b o t t o m ) t o b e a p o o r r e p r e s e n t a t i o n o f t h e i n i t i a l s i g n a l . O n t h e o t h e r h a n d , t h e R K L a n d C K L s t a c k s m o r e c l o s e l y r e p r e s e n t t h e i n i t i a l s i g n a l . I n F i g u r e 3 . 1 ( b ) I s h o w a n a l a g o u s r e s u l t s w h e n t h e s i g n a l s d i f f e r o n l y b e c a u s e o f p h a s e s h i f t s . T h e m e a n s t a c k h a s v e r y s m a l l a m p l i t u d e b e c a u s e o f c a n c e l l a t i o n e f f e c t s r e s u l t i n g f r o m t h e p h a s e s h i f t s . T h e C K L s t a c k o f c o u r s e r e p r o d u c e s t h e i n p u t s i g n a l e x a c t l y , w h i l e t h e R K L s t a c k f a r e s s o m e w h a t b e t t e r t h a n t h e m e a n s t a c k . F i g u r e 3 . 1 ( c ) s h o w s t h e m e a n s t a c k , R K L , a n d C K L s t a c k s o f s i g n a l s t h a t a r e p h a s e s h i f t e d a n d 5 4 c o n t a m i n a t e d b y s t a t i c s . I n a l l c a s e s , t h e K L s t a c k y i e l d s a b e t t e r r e p r e s e n t a t i o n o f t h e i n p u t s i g n a l t h a n d o e s t h e m e a n s t a c k . T h i s s h o u l d n o t s u r p r i s e u s s i n c e t h e C K L a l g o r i t h m p o s s e s s t w o ( a n d t h e R K L s t a c k o n e ) a d d i t i o n a l d e g r e e s o f f r e e d o m w h i c h a r e n o t u t i l i z e d i n t h e m e a n s t a c k . I n t h e c o n s t r u c t i o n o f t h e p r i n c i p a l c o m p o n e n t s , e a c h t r a c e i s w e i g h t e d a c c o r d i n g t o t h e d e g r e e o f c o r r e l a t i o n i t e x h i b i t s w i t h t h e o t h e r i n p u t s i g n a l s ; a l s o , f o r t h e C K L s t a c k b e f o r e t h e c o n s t r u c t i o n o f t h e p r i n c i p a l c o m p o n e n t s , e a c h t r a c e i s f u r t h e r r o t a t e d b y a c o n s t a n t p h a s e s h i f t s o t h a t t h e t o t a l c o r r e l a t e d e n e r g y i n t h e r e a l p a r t i s i n c r e a s e d . U n l e s s o t h e r w i s e s p e c i f i e d , f o r a c o m p l e x K L a n a l y s i s , r o t a t i o n o f t h e s i g n a l s t o t h e p h a s e o f t h e u p p e r m o s t ( ' n e a r o f f s e t ' ) t r a c e s w a s c a r r i e d o u t t h r o u g h o u t t h i s w o r k u n d e r t h e a s s u m p t i o n t h a t we a r e g e n e r a l l y i n t e r e s t e d i n t h e r e c o n s t r u c t i o n o f t h e z e r o - o f f s e t t r a c e . d . R e c o n s t r u c t i o n o f S t a c k e d D a t a . M o v i n g o n t o t h e s i t u a t i o n w h e r e we h a v e s t a c k e d s e i s m i c s e c t i o n s , I c o n s i d e r t h e f o l l o w i n g s y n t h e t i c e x a m p l e s t o d e m o n s t r a t e h o w r e c o n s t r u c t i o n i s a b l e t o s e g r e g a t e d i f f e r e n t e v e n t s . I t w a s f o u n d t h a t t h e C K L m e t h o d t e n d e d t o o b l i t e r a t e t h e s m a l l d i p s a n d u n d u l a t i o n s i n s e i s m i c s e c t i o n s , r e p l a c i n g t h e m w i t h f l a t l y i n g p h a s e s h i f t e d w a v e f o r m s . C o n s e q u e n t l y , a l l r e c o n s t r u c t i o n s s h o w n i n t h i s C h a p t e r a r e d e r i v e d f r o m t h e R K L 5 5 t r a n s f o r m w h i c h p r o d u c e d e x c e l l e n t r e s u l t s . I t s h o u l d b e n o t e d t h a t i n p l o t t i n g a l l t h e f o l l o w i n g f i g u r e s I n o r m a l i z e t o t h e l a r g e s t v a l u e ; h e n c e t h e m a x i m u m a m p l i t u d e i n a l l f i g u r e s i s a r b i t a r i l y s e t t o u n i t y . e . S y n t h e t i c D a t a E x a m p l e s . 1. T w e n t y f o u r s y n t h e t i c s e i s m i c t r a c e s r e p r e s e n t i n g s h a l l o w l y d i p p i n g e v e n t s s u p e r i m p o s e d o n s t e e p l y d i p p i n g c o h e r e n t ' n o i s e ' e v e n t s , s u c h a s t h o s e i n t r o d u c e d b y m a r i n e s t r e a m e r c a b l e m o t i o n , o r g r o u n d r o l l , i n t o a f i n a l s t a c k e d s e i s m i c s e c t i o n ( L a r n e r e t a l . , 1 9 8 3 ) w e r e c o n s t r u c t e d . I i n t r o d u c e d a p r o g r e s s i v e p h a s e c h a n g e ( f r o m 0 t o ir/3 r a d i a n s ) t o t h e w a v e l e t s a c r o s s t h e e v e n t s r e p r e s e n t i n g t h e g e o l o g i c a l h o r i z o n s , a n d i n t r o d u c e d a v e r t i c a l f a u l t o f o f f s e t 3 6 ms a t t h e 10 . t h t r a c e . I t h e n a d d e d 10% w h i t e n o i s e ( a l l n o i s e l e v e l s a r e e x p r e s s e d h e r e a s a p e r c e n t a g e o f t h e m a x i m u m t r a c e a m p l i t u d e ) . F i g u r e 3 . 2 a s h o w s t h e s e i s m i c r e p r e s e n t a t i o n o f t h e b a s i c g e o l o g i c a l m o d e l : p h a s e s h i f t e d w a v e l e t s i n s h a l l o w l y d i p p i n g h o r i z o n s o f f s e t b y a v e r t i c a l f a u l t . F i g u r e 3 . 2 b i s t h e ' n o i s e ' s e c t i o n , i . e . s t e e p l y - d i p p i n g e v e n t s p l u s r a n d o m n o i s e . F i g u r e 3 . 2 c s h o w s t h e c o n t a m i n a t e d s y n t h e t i c s e i s m i c s e c t i o n d e s c r i b e d a b o v e ( i . e . t h e s u m o f 2 a a n d 2 b ) . I n F i g u r e 3 . 2 d we s e e a 7 5 % r e c o n s t r u c t i o n o f t h e d a t a : t h e c r i t e r i o n g o v e r n i n g r e c o n s t r u c t i o n w a s t h e r e c o n s t r u c t i o n e n e r g y , d e f i n e d i n equation 5 6 (23). We n o t e t h a t t h e e v e n t s w h i c h d e v i a t e f r o m t h e f l a t - l y i n g c h a r a c t e r o f t h e m o d e l h a v e b e e n s e v e r e l y a t t e n u a t e d , l e a v i n g t h e r e p r e s e n t a t i o n o f t h e u n d e r l y i n g ' g e o l o g i c a l ' s t r u c t u r e b a s i c a l l y i n t a c t . T h e p h a s e c h a r a c t e r o f t h e s i g n a l s h a s b e e n p r e s e r v e d , a s h a s t h e d i s t i n c t i v e n e s s o f t h e ' f a u l t ' e d g e . H o w e v e r , we n o t e a n i n c r e a s e i n t h e b a c k g r o u n d n o i s e i n c o m p a r i s o n t o F i g u r e 3 . 2 a . T h i s i s a r e s i d u a l e f f e c t b r o u g h t a b o u t b y d i s c a r d i n g p r i n c i p a l c o m p o n e n t s w h i c h c o n t a i n e d c o n t r i b u t i o n s f r o m b o t h t h e d i p p i n g n o i s e a n d t h e f l a t l y i n g w a v e f o r m s . T h e 2 4 p r i n c i p a l c o m p o n e n t s c o r r e s p o n d i n g t o t h e d a t a i n F i g u r e 3 . 2 c a r e s e e n i n F i g u r e 3 . 2 e . T h e f i r s t 5 p r i n c i p a l c o m p o n e n t s a r e c h a r a c t e r i s t i c o f f l a t l y i n g e v e n t s , a n d c o m b i n e w i t h t h e a p p r o p r i a t e w e i g h t s t o p r o d u c e t h e d a t a o f F i g u r e 3 . 2 d . T h e n e x t f e w p r i n c i p a l c o m p o n e n t s ( 6 - 1 2 ) s h o w a s a w t o o t h p a t t e r n ( s h a d e d i n t h e f i g u r e ) w h i c h c o m b i n e s t o f o r m t h e d i p p i n g w a v e f o r m s o f t h e i n p u t d a t a . T h e p r i n c i p a l c o m p o n e n t s h a v e b e e n n o r m a l i z e d f o r p l o t t i n g , o t h e r w i s e o n l y t h e f i r s t f e w w o u l d h a v e a d i s c e r n a b l e a m p l i t u d e . 2 . T h e s e c o n d e x a m p l e I c o n s i d e r i s s i m i l a r t o t h e f i r s t , b u t w i t h 5 0 % w h i t e n o i s e a d d e d t o t h e f i r s t 7 a n d l a s t 8 t r a c e s . N o t e a l s o t h a t t h e f a u l t l o c a t i o n i s b e t w e e n t r a c e s 7 a n d 8 i n t h i s e x a m p l e . I n F i g u r e 3 . 3 a a n d b , we s e e t h e s e i s m i c d a t a a n d n o i s y s e c t i o n a f t e r b a n d p a s s f i l t e r i n g ( 0 - 5 0 H z ) . A t t e m p t i n g t o i s o l a t e t h e m o d e l f r o m t h e n o i s e , I r e c o n s t r u c t e d t h e s e i s m o g r a m s t o 7 2 % o f t h e t o t a l e n e r g y . A s i s s e e n i n F i g u r e 3 . 3 c , t h i s 5 7 a t t e m p t h a s b e e n r e a s o n a b l y s u c c e s s f u l : t h e n o i s e l e v e l h a s b e e n c o n s i d e r a b l y r e d u c e d , a n d t h e p h a s e c h a r a c t e r a n d f a u l t e d g e h a v e b e e n w e l l p r e s e r v e d . F o r t h e m o s t p a r t , t h e f a u l t e d g e i s n o t s m e a r e d o v e r a d j a c e n t t r a c e s b u t r e m a i n s d i s t i n c t . 3 . I f t h e g e o l o g i c a l m o d e l h a d c o m p r i s e d m o r e s t e e p l y - d i p p i n g p a r a l l e l ( o r s u b - p a r a l l e l ) b e d s , t h e n I c o u l d h a v e u s e d t h e ' s l a n t K L ' p r o c e d u r e d e s c r i b e d e a r l i e r ( S e c t i o n 2 . I I I c ) . T h i s w i l l b i a s t h e s e g r e g a t i o n o f d i p p i n g e v e n t s i n f a v o u r o f t h o s e w i t h t h e s p e c i f i e d d i p (equation ( 5 ) ) . T h i s p r o c e d u r e i s d e m o n s t r a t e d i n t h e f o l l o w i n g e x a m p l e . A d a t a s e t s i m i l a r t o t h a t u s e d i n e x a m p l e 1 w a s c o n s t r u c t e d , b u t t h e d i p s o n t h e ' g e o l o g i c a l ' h o r i z o n s w e r e i n c r e a s e d b y a f a c t o r o f 5 . F o l l o w i n g t h e s a m e p r o c e d u r e a s b e f o r e , we s e e i n F i g u r e s 3 . 4 a , b , c , d , a n d e , t h e s e i s m i c s e c t i o n ; t h e s e c t i o n p l u s n o i s e a n d ' s t r e a m e r n o i s e ' ; t h e d a t a a f t e r a d i p o f 8 ms p e r t r a c e h a s b e e n r e m o v e d ; t h e 7 5 % r e c o n s t r u c t i o n d e p i c t i n g t h e u n d e r l y i n g s t r u c t u r e , a n d f i n a l l y , t h e r e c o n s t r u c t e d d a t a w i t h t h e d i p r e - i n s t a t e d . T h e p h a s e c h a r a c t e r a n d f a u l t d e f i n i t i o n a r e w e l l p r e s e r v e d , w h e r e a s t h e d i p p i n g n o i s e e v e n t s h a v e b e e n s e v e r e l y a t t e n u a t e d . f . R e a l D a t a E x a m p l e s . T h e f o l l o w i n g f i g u r e s e x e m p l i f y t h e a b i l i t y o f K L r e c o n s t r u c t i o n t o e n h a n c e c o h e r e n c y i n r e a l s t a c k e d d a t a . I n a l l 5 8 r e c o n s t r u c t i o n s we w i l l i m m e d i a t e l y s e e h o w t h e u n c o r r e l a t e d b a c k g r o u n d n o i s e l e v e l h a s b e e n r e d u c e d . T r a c e - t o - t r a c e c o h e r e n c y h a s b e e n s o m e w h a t e n h a n c e d , a s t h e e y e i s n o l o n g e r d i s t r a c t e d b y a b a c k g r o u n d o f i n c o h e r e n t e n e r g y . T h e s t o r a g e r e q u i r e m e n t s a s s o c i a t e d w i t h r e c o n s t r u c t i o n s o f d i f f e r e n t e n e r g i e s w e r e c o n s i d e r a b l y r e d u c e d a n d a r e m e n t i o n e d l a t e r . I n m o s t o f t h e r e a l d a t a e x a m p l e s s u p p l i e d t o m e , n o i n f o r m a t i o n c o n c e r n i n g t h e t r a c e s p a c i n g , s e c t i o n l o c a t i o n , g e o l o g y , o r h y d r o c a r b o n p o t e n t i a l w a s m a d e a v a i l a b l e . C o n s e q u e n t l y , t h e d e s c r i p t i o n o f t h e d a t a p r e s e n t e d h e r e i s s k e t c h y . F o r p r o c e s s i n g l a r g e s e i s m i c s e c t i o n s , I b r e a k t h e d a t a i n t o o v e r l a p p i n g t r a c e a n d t i m e s e g m e n t s . T h i s i s n e c e s s a r y f o r t w o r e a s o n s . F i r s t i s t h e u n d e r l y i n g a s s u m p t i o n t h a t we h a v e p a r a l l e l f l a t ( o r d i p p i n g ) e v e n t s , a n a s s u m p t i o n w h i c h b r e a k s d o w n u n l e s s w e l o o k a t s m a l l w i n d o w s ( e g . 1 0 0 t r a c e s b y 1 s e c o n d ) . S e c o n d i s t h e c o m p u t a t i o n a l e x p e n s e . T h e t i m e f o r d e c o m p o s i t i o n o f a m a t r i x u s i n g S V D i s p r o p o r t i o n a l t o t h e c u b e o f t h e n u m b e r o f t r a c e s ( S t r a n g ( 1 9 8 2 ) ) . C o n s e q u e n t l y , we d o n o t d e s i r e t o d e c o m p o s e s e g m e n t s w i t h m o r e t h a n a b o u t 1 0 0 t r a c e s . F o r e x a m p l e , d e c o m p o s i t i o n o f 5 3 0 t r a c e s o f d a t a , e a c h o f 5 0 0 p o i n t s , b r o k e n i n t o o v e r l a p p i n g s e g m e n t s o f 8 5 t r a c e s b y 1 5 0 p o i n t s , t o o k 7 0 m i n u t e s o f C P U t i m e o n a P e r k i n E l m e r 3 2 2 0 . T h e c o r r e s p o n d i n g r e c o n s t r u c t i o n t o o k a f e w m i n u t e s . I r e f e r t o r e c o n s t r u c t i o n o f l a r g e s e c t i o n s o f d a t a b y t h i s o v e r l a p p i n g t e c h n i q u e a s c o m p o u n d 5 9 r e c o n s t r u c t i o n . 1 . I n F i g u r e 3 . 5 a , I h a v e s e l e c t e d a w i n d o w o f 1 0 0 t r a c e s f r o m a c o n v e n t i o n a l l y p r o c e s s e d s t a c k e d s e c t i o n . T h e t r a c e s w e r e d e c o m p o s e d i n t o t h e i r p r i n c i p a l c o m p o n e n t s : t h e f i r s t f i v e p r i n c i p a l c o m p o n e n t s a l o n e a c c o u n t e d f o r 8 5 % o f t h e i n p u t e n e r g y , a n d t h e f i r s t 1 2 p r i n c i p a l c o m p o n e n t s f o r 9 5 % o f t h e e n e r g y . I n o t h e r w o r d s , f o r t h i s d a t a I n e e d o n l y 1 2 % o f t h e p r i n c i p a l c o m p o n e n t s t o a l m o s t p e r f e c t l y r e c o n s t r u c t t h e i n p u t d a t a . F i g u r e s 3 . 5 b a n d 3 . 5 c r e s p e c t i v e l y s h o w t h e 9 5 % a n d 8 5 % r e c o n s t r u c t i o n s . N o t e t h e i n c r e a s e i n c o h e r e n c y i n t h e z o n e 1.1 - 1.5 s e c o n d s , w h i c h c o n s i s t s o f i n t e r b e d d e d s a n d - s h a l e s e q u e n c e s . I n t h e 9 5 % r e c o n s t r u c t i o n , w e n o t e t h e g e n e r a l i n c r e a s e i n c o h e r e n c y , w h i l e a t t h e s a m e t i m e s m a l l - s c a l e f e a t u r e s a r e p r e s e r v e d . F o r e x a m p l e , t h e s m a l l l e n s - l i k e f e a t u r e d e p i c t e d i n t h e b o x a t a b o u t 1.1 s e c o n d s b e t w e e n t r a c e s 5 5 - 7 5 , i s e n h a n c e d i n t h e 9 5 % r e c o n s t r u c t i o n . H o w e v e r , d i s c a r d i n g m o r e p r i n c i p a l c o m p o n e n t s a s i s d o n e f o r t h e 8 5 % r e c o n s t r u c t i o n l e a v e s t h e s e c t i o n l o o k i n g v e r y s m o o t h a n d c o n t i n u o u s , e s p e c i a l l y o v e r a r e a s w i t h s m a l l s c a l e f e a t u r e s . T h e l e n s - l i k e f e a t u r e i s o b l i t e r a t e d i n t h i s r e c o n s t r u c t i o n . T h e p h a s e s t r u c t u r e o f t h e m a j o r h o r i z o n s r e m a i n s i n t a c t i n b o t h r e c o n s t r u c t i o n s ; t h i s c a n b e s e e n b y e x a m i n i n g t h e w a v e f o r m s a l o n g t h e e d g e s o f t h e s e c t i o n , f o r e x a m p l e . 6 0 2 . T h e s e c o n d r e a l e x a m p l e ( F i g u r e 3 . 6 a ) i s a l s o f r o m a c o n v e n t i o n a l l y p r o c e s s e d s t a c k e d s e c t i o n . T h e 9 6 t r a c e s w e r e d e c o m p o s e d i n t o t h e i r p r i n c i p a l c o m p o n e n t s . T h e f i r s t 12 p r i n c i p a l c o m p o n e n t s a c c o u n t f o r 8 5 % o f t h e i n p u t e n e r g y ; t h e f i r s t 3 2 p r i n c i p a l c o m p o n e n t s f o r 9 5 % o f t h e e n e r g y . H e r e I n e e d o n l y a b o u t 3 0 % o f t h e p r i n c i p a l c o m p o n e n t s t o a l m o s t p e r f e c t l y r e c o n s t r u c t t h e i n p u t d a t a s e t . F i g u r e s 3 . 6 b a n d 3 . 6 c s h o w t h e 9 5 % a n d 8 5 % r e c o n s t r u c t i o n s , r e s p e c t i v e l y . I n t h i s e x a m p l e , I f o c u s a t t e n t i o n o n t w o f e a t u r e s . F i r s t l y , i n b o x A , we s e e a n e g a t i v e t r o u g h u n d e r a s t r o n g p o s i t i v e r e f l e c t i o n . T h i s s h a r p c o n t r a s t i s i n d i c a t i v e o f a l o c a l i z e d h i g h r e f l e c t i o n c o e f f i c i e n t , a n d i s s o m e t i m e s i n d i c a t i v e o f h y d r o c a r b o n p o t e n t i a l . T h i s p o s i t i v e - n e g a t i v e f e a t u r e i s w e l l p r e s e r v e d i n b o t h r e c o n s t r u c t i o n s ; a t t h e s a m e t i m e t h e b a c k g r o u n d n o i s e l e v e l i s g r e a t l y r e d u c e d . T h e s e c o n d f e a t u r e n o t e d i s t h e b i f u r c a t i o n o f t h e r e f l e c t o r j u s t a b o v e 1.7 s e c o n d s i n t h e c e n t r e o f b o x B . T h i s f e a t u r e i s p r e s e r v e d i n t h e 9 5 % r e c o n s t r u c t i o n , b u t , b y 8 5 % we s e e a l o s s o f d e f i n i t i o n o f t h e e v e n t , i n d i c a t i v e o f o v e r w i n n o w i n g . 3 . A s a n e x a m p l e o f g e o l o g i c a l i n t e r e s t , we s e e i n F i g u r e 3 . 7 p a r t o f a s e c t i o n o f d a t a i n c o r p o r a t i n g a b u r i e d c a l d e r a , i d e n t i f i e d b y i n t e r p r e t e r s , a n d i n F i g u r e 3 . 8 , t h e c o r r e s p o n d i n g w i n d o w o f t h e 9 5 % c o m p o u n d r e c o n s t r u c t i o n o f t h e d a t a , a s w e l l a s my i n t e r p r e t i v e s k e t c h o f t h e f i g u r e . T h e c r a t e r , s e e n i n t h e 61 s k e t c h , s p a n s o v e r 8 0 t r a c e s , a n d i s b a r e l y v i s i b l e i n t h e o r i g i n a l d a t a . H o w e v e r , a f t e r a 9 5 % c o m p o u n d r e c o n s t r u c t i o n , t h e i n c o h e r e n t n o i s e l e v e l h a s f a l l e n o f f d r a s t i c a l l y , a n d t h e f e a t u r e s o f i n t e r e s t , t h e f i n e - s c a l e s t r u c t u r e d e m o n s t r a t i n g t h e d r a p i n g o f s e d i m e n t a r y s t r a t a o v e r t h e e d g e o f t h e c r a t e r , a r e m o r e c l e a r l y s e e n i n t h e r e c o n s t r u c t i o n . A l s o o f i n t e r e s t i s t h e s e v e r e n o r m a l b l o c k f a u l t i n g i n t h e c e n t r a l p a r t o f t h e s e c t i o n . T h i s i s p r o b a b l y r e l a t e d t o t h e m e t e o r i t e i m p a c t . I t i s s u c h a s t r u c t u r e w h i c h i s o f i n t e r e s t a s a p o t e n t i a l t r a p f o r h y d r o c a r b o n s , a n d t h i s e n h a n c e d p r e s e n t a t i o n m a y e n a b l e b e t t e r i n t e r p r e t a t i o n o f t h e d a t a . 4 . T o d e m o n s t r a t e t h e s l a n t - K L p r o c e d u r e , i n F i g u r e 3 . 9 I c o n s i d e r a n e n l a r g e d s e c t i o n o f t h e d a t a s h o w n i n F i g u r e 3 . 6 . T h e e v e n t s i n t h i s s e c t i o n d i p t o t h e l e f t a b o u t 0.1 s o v e r t h e 9 6 t r a c e s , a n d t h e c o m p u t a t i o n o f t h e c o v a r i a n c e m a t r i x w a s a d j u s t e d t o a c c o m m o d a t e t h i s d i p . T h e s t r o n g p a i r o f a r r i v a l s s e e n a b o v e 1.0 s i n t h e i n p u t d a t a ( a ) a r e c l a r i f i e d m a r k e d l y i n t h e 9 5 % r e c o n s t r u c t i o n ( b ) . H o w e v e r , t h e 8 5 % r e c o n s t r u c t i o n ( c ) l o s e s m u c h o f t h e f i n e r d e t a i l . A f u r t h e r e x a m p l e o f l o s s o f r e s o l u t i o n i s t h e s m a l l ' p u l l - u p ' t y p e e v e n t i n t h e b o x A . T h i s f e a t u r e , p e r h a p s i n d i c a t i v e o f a v e l o c i t y a n o m a l y a s s o c i a t e d w i t h a r e e f , i s w e l l p r e s e r v e d i n t h e 9 5 % r e c o n s t r u c t i o n , b u t h a s b e e n l o s t i n t h e 8 5 % r e c o n s t r u c t i o n . 6 2 g . D a t a C o m p r e s s i o n . A s a c o r o l l a r y t o p a r s i m o n i o u s r e c o n s t r u c t i o n , I n o t e t h e f o l l o w i n g i m p o r t a n t p o i n t . I n a l l t h e e x a m p l e s c o n s i d e r e d , we s a w h o w t h e d a t a c o u l d b e a l m o s t p e r f e c t l y r e c o n s t r u c t e d f r o m a s m a l l s u b s e t o f p r i n c i p a l c o m p o n e n t s . I n o t h e r w o r d s , t h e r e q u i r e d s t o r a g e s p a c e w i l l b e d r a s t i c a l l y r e d u c e d , a s w i l l t h e d a t a t r a n s m i s s i o n s p e e d . T h i s l a t t e r p o i n t i s o f c o n c e r n w h e n d a t a a r e b e i n g s h u n t e d f r o m a m a i n - f r a m e c o m p u t e r t o a n a u x i l i a r y m a c h i n e f o r p r o c e s s i n g . I n t h e d a t a e x a m p l e s p r o c e s s e d t o d a t e , I f i n d t h a t we t y p i c a l l y d i s p e n s e w i t h 7 0 - 9 0 % o f o u r r e q u i r e d s t o r a g e s p a c e ( t h i s p o i n t i s e x e m p l i f i e d i n F i g u r e 2 . 1 , w h i c h s h o w s t h e c u m u l a t i v e p e r c e n t a g e e n e r g y a s s o c i a t e d w i t h t h e p r i n c i p a l c o m p o n e n t s ) . F u r t h e r , i t i s n o t e d t h a t a n y p r o c e s s i n g w h i c h a s s u m e s t h e c o n d i t i o n s o f t h e l i n e a r c o n v o l u t i o n a l m o d e l m a y b e p e r f o r m e d o n t h e p r i n c i p a l c o m p o n e n t s t h e m s e l v e s r a t h e r t h a n o n t h e o r i g i n a l s e c t i o n . h . D i s c u s s i o n . T h e m a i n t h r u s t o f t h i s s e c t i o n h a s b e e n t o i n t r o d u c e t h e a p p l i c a t i o n o f t h e K L T t o t h e r e c o v e r y o f c o h e r e n t i n f o r m a t i o n f o r i m a g e e n h a n c e m e n t o f s t a c k e d s e i s m i c s e c t i o n s ( p r e s e n t e d h e r e f o r t h e f i r s t t i m e ) . T h e s t a c k i n g o f s e i s m i c d a t a ( f i r s t a p p l i e d t o m o v e o u t c o r r e c t e d g a t h e r s b y H e m o n a n d M a c e ( 1 9 7 8 ) f o r t h e 63 r e a l K L T a l o n e ) w a s m e n t i o n e d f o r t h e R K L a n d C K L t r a n s f o r m s , a s a n i n t r o d u c t i o n t o t h e s i g n a l e x t r a c t i o n c a p a b i l i t i e s o f t h e m e t h o d . T h e s t a c k e d s e c t i o n r e c o n s t r u c t i o n t e c h n i q u e h a s p r o v e d v e r y s u c c e s s f u l s o f a r , a n d h a s b e e n a p p l i e d e x t e n s i v e l y t o r e a l d a t a i n a n i n d u s t r i a l p r o c e s s i n g e n v i r o n m e n t . I t s m a i n a d v a n t a g e i s i n i t s a b i l i t y t o g r e a t l y r e d u c e t h e b a c k g r o u n d l e v e l o f i n c o h e r e n t n o i s e , w h i c h i s o f t e n p r e v a l e n t a t e a r l i e r t i m e s i n a s e i s m i c s e c t i o n . T h e c h o i c e o f a s u i t a b l e r e c o n s t r u c t i o n e n e r g y i s s u b j e c t i v e , b u t f o r m o s t o f t h e d a t a I h a v e e x a m i n e d , 9 0 - 9 5 % r e c o n s t r u c t i o n s s e e m t o g i v e r e a s o n a b l e r e s u l t s . D r o p p i n g t h e r e c o n s t r u c t i o n e n e r g y b e l o w 9 0 % r e s u l t s i n l o s s o f r e s o l u t i o n , a s s e e n i n m a n y o f t h e 8 5 % r e c o n s t r u c t i o n s p r e s e n t e d h e r e . . W h e n d i s c s t o r a g e i s a p r o b l e m d u r i n g i n t e r m e d i a t e p r o c e s s i n g s t a g e s , t h e d a t a c o m p r e s s i o n a s p e c t o f t h e t r a n s f o r m i s a l s o v a l u a b l e . 6 4 FIGURE 3.1 ( a ) F i f t e e n R i c k e r w a v e l e t s , p l u s n o i s e ( u p t o 4 0 % o f t h e m a x i m u m a m p l i t u d e ) t i m e s h i f t e d b y u p t o ± 2 0 m s . T h e l o w e r p a n e l s h o w s : ( 1 ) t h e m e a n , ( 2 ) R K L , a n d ( 3 ) C K L s t a c k s ( t h e R K L a n d C K L s t a c k s u s e d o n e p r i n c i p a l c o m p o n e n t ) . ( b ) T h e s a m e R i c k e r w a v e l e t s w i t h p h a s e s h i f t s o f u p t o ±TT. B e l o w a r e : ( 1 ) t h e m e a n , ( 2 ) R K L , a n d ( 3 ) C K L s t a c k s ( c ) T h e w a v e l e t s w i t h < 1 0 0 % n o i s e , a n d u p t o ±20 ms s t a t i c s h i f t s , A N D u p t o ±rr p h a s e s h i f t s . B e l o w a r e : ( 1 ) t h e m e a n , ( 2 ) R K L , a n d ( 3 ) C K L s t a c k s N o t e h o w i n a l l t h r e e e x a m p l e s t h e C K L s t a c k i s b e t t e r a b l e t o r e p r o d u c e t h e u n d e r l y i n g w a v e l e t , a n d h o w t h e R K L s t a c k p e r f o r m s w e l l u n l e s s l a r g e p h a s e s h i f t s a r e i n v o l v e d . 6 5 0 0-5 o 0-5 e o-5 c d e FIGURE 3.2 ( a ) S e i s m i c r e p r e s e n t a t i o n o f t h e g e o l o g i c a l m o d e l : p h a s e s h i f t e d w a v e l e t s i n s h a l l o w l y d i p p i n g h o r i z o n s ( u p t o 2 ms p e r t r a c e d i p ) , o f f s e t b y a v e r t i c a l f a u l t a t t h e 1 0 t h t r a c e . ( b ) T h e " n o i s e " s e c t i o n : s t e e p l y d i p p i n g c o h e r e n t e v e n t s ( d i p s b e t w e e n 16 a n d 2 4 ms p e r t r a c e , s u c h a s c o u l d b e p r o d u c e d b y m a r i n e s t r e a m e r n o i s e o f g r o u n d r o l l ) a n d 1 0 % r a n d o m n o i s e . ( c ) A s u m o f t h e p r e v i o u s t w o d a t a s e t s : t h i s i s t h e i n p u t f o r t h e p r o c e s s i n g . ( d ) A 7 5 % r e c o n s t r u c t i o n o f 2 c , r e q u i r i n g t h e f i r s t 5 o f t h e 2 4 p r i n c i p a l c o m p o n e n t s . N o t e t h e p r e s e r v a t i o n o f p h a s e i n f o r m a t i o n , a n d t h e c l a r i t y o f t h e f a u l t e d g e . ( e ) T h e 2 4 p r i n c i p a l c o m p o n e n t s c o r r e s p o n d i n g t o 2 c . T h e f i r s t 5 p r i n c i p a l c o m p o n e n t s a r e d o m i n a t e d b y e n e r g e t i c p e a k s c h a r a c t e r i s t i c o f f l a t l y i n g s t r u c t u r e . N o t e t h e s m a l l e r a m p l i t u d e p e a k s i n t h e b a n d o f p r i n c i p a l c o m p o n e n t s 6 - 1 7 ( s h a d e d i n t h e f i g u r e ) . I t i s t h e s e w a v e f o r m s w h i c h c o m b i n e t o f o r m t h e s t e e p l y d i p p i n g e v e n t s . 66 FIGURE 3.3 ( a ) S y n t h e t i c d a t a s i m i l a r t o t h a t o f F i g u r e 3 . 2 a , w i t h a v e r t i c a l f a u l t b e t w e e n t r a c e s 7 a n d 8 , a f t e r b a n d p a s s f i l t e r i n g ( 1 0 - 5 0 H z ) . ( b ) T h e d a t a a f t e r a d d i t i o n o f 5 0 % r a n d o m n o i s e t o t h e f i r s t 7 a n d l a s t 8 t r a c e s , a n d b a n d p a s s f i l t e r i n g a s a b o v e . ( c ) A 7 2 % r e c o n s t r u c t i o n r e q u i r i n g 4 o f t h e 2 4 p r i n c i p a l c o m p o n e n t s . N o t e t h e m a r k e d r e d u c t i o n i n t h e b a c k g r o u n d n o i s e l e v e l a n d t h e p r e s e r v a t i o n o f t h e e s s e n t i a l f e a t u r e s . 6 7 FIGURE 3.4 ( a ) S t e e p l y d i p p i n g ( b e t w e e n 7 a n d 10 ms p e r t r a c e ) s u b - p a r a l l e l p h a s e s h i f t e d e v e n t s w i t h a v e r t i c a l f a u l t . ( b ) T h e d a t a p l u s t h e d i p p i n g " n o i s e " e v e n t s o f F i g u r e 3 . 2 b . ( c ) T h e f l a t t e n e d c o n t a m i n a t e d d a t a , i . e . 3 . 4 b a f t e r a d i p o f 8 ms p e r t r a c e h a s b e e n r e m o v e d . ( d ) A 7 5 % r e c o n s t r u c t i o n r e q u i r i n g 5 o f t h e 2 4 p r i n c i p a l c o m p o n e n t s . ( e ) T h e r e c o n s t r u c t i o n a f t e r t h e d i p h a s b e e n r e i n s t a t e d . A g a i n , t h e p h a s e c h a r a c t e r a n d f a u l t d e f i n i t i o n a r e w e l l p r e s e r v e d , w h e r e a s t h e d i p p i n g n o i s e e v e n t s h a v e b e e n s e v e r e l y a t t e n u a t e d . T h e b a c k g r o u n d n o i s e l e v e l i n p l a c e s h a s i n c r e a s e d a s we h a v e o m i t t e d s o m e p r i n c i p a l c o m p o n e n t s w h i c h c o n t a i n e d b o t h t h e d e s i r e d s i g n a l a n d t h e d i p p i n g n o i s e e v e n t s . 68 IIIIIIJIl|lllllltll|lllllllll|lllllllll|lllllllll|lh lllllllll|lllllllll|llllllHl|lllllllll|lllllllll|lllllllll|llllHHl|m F I G U R E 3.5a O n e h u n d r e d t r a c e s f r o m a c o n v e n t i o n a l l y p r o c e s s e d s t a c k e d s e c t i o n . N o t e t h e d i s c o n t i n u o u s e v e n t s i n t h e l o w e r p a r t o f t h e s e c t i o n ( 2 . 1 - 2 . 7 s e c o n d s ) a n d t h e s m a l l l e n s - l i k e f e a t u r e i n t h e b o x a t 1.1 s . 6 9 o — . r \ j m ^ m < o r - c o a > o « * « M < o * w t o f * - J J J J J J J J J J n j ( M ( \ i i \ i ( M i \ i ( \ i i M |<»MtMM|lMIMlM|MM [lltlHlll|«»l M* III | l IH IH »l |tH*t***l | H1 »l 111 > | >* 111 * l 1 M > 111 * 11111»ltt**4 11111111111111111111111 III 11 l|l II111H11 tllllllll[lllllllll|lllHlin|llHMin|lH»Mll|lllllllll|lllllllll|llllMMl|lllllllll|lllllllll| |lllllllll|lllllllll|lllllllll|lHlllln|lllllllll|llHMIll| FIGURE 3 . 5 b T h e 9 5 % r e c o n s t r u c t i o n r e q u i r i n g 1 2 o f t h e 1 0 0 p r i n c i p a l c o m p o n e n t s . I n t h i s r e c o n s t r u c t i o n , t h e b a c k g r o u n d o f i n c o h e r e n t e n e r g y h a s b e e n r e d u c e d g r e a t l y , a n d s m a l l s c a l e f e a t u r e s s u c h a s t h e l e n s h i g h l i g h t e d i n t h e b o x a r e p r e s e r v e d . 7 0 FIGURE 3.5c T h e 8 5 % r e c o n s t r u c t i o n r e q u i r i n g 5 o f t h e 1 0 0 p r i n c i p a l c o m p o n e n t s . I n t h i s r e c o n s t r u c t i o n , t h e b a c k g r o u n d o f i n c o h e r e n t e n e r g y h a s a l s o b e e n r e d u c e d g r e a t l y , b u t s m a l l s c a l e f e a t u r e s s u c h a s t h e l e n s h i g h l i g h t e d i n t h e b o x h a v e b e e n o b l i t e r a t e d , b e c a u s e b y t h i s r e c o n s t r u c t i o n e n e r g y we h a v e l e f t o n l y t h e f l a t t e s t h o r i z o n s . 71 FIGURE 3.6a N i n e t y s i x t r a c e s f r o m , a c o n v e n t i o n a l l y p r o c e s s e d s t a c k e d s e c t i o n . N o t e t h e s t r o n g n e g a t i v e t r o u g h b e l o w t h e p r o m i n e n t r e f l e c t i o n i n b o x A , a n d t h e b i f u r c a t i o n o f t h e h o r i z o n i n b o x B . 7 2 8 0 6 0 U 0 2 0 FIGURE 3 . 6 b T h e 9 5 % r e c o n s t r u c t i o n r e q u i r i n g 3 2 o f t h e 9 6 p r i n c i p a l c o m p o n e n t s . I n t h i s r e c o n s t r u c t i o n t h e p o s i t i v e - n e g a t i v e c o n t r a s t i n b o x A i s w e l l p r e s e r v e d , w h i l e t h e b a c k g r o u n d n o i s e i s s e v e r e l y a t t e n u a t e d . A l s o , t h e b i f u r c a t i o n o f t h e h o r i z o n a t 1.7 s c e n t r a l t o b o x B i s w e l l p r e s e r v e d . 7 3 FIGURE 3.6c T h e 8 5 % r e c o n s t r u c t i o n r e q u i r i n g 12 o f t h e 9 6 p r i n c i p a l c o m p o n e n t s . A l s o i n t h i s r e c o n s t r u c t i o n , t h e p o s i t i v e - n e g a t i v e c o n t r a s t i n b o x A i s w e l l p r e s e r v e d , w h i l e t h e b a c k g r o u n d n o i s e i s s e v e r e l y a t t e n u a t e d . H o w e v e r , t h e b i f u r c a t i o n o f t h e h o r i z o n a t 1.7 s . c e n t r a l t o b o x B h a s l o s t d e f i n i t i o n . 74 F I G U R E 3 .7 ( a ) . A w i n d o w o f 1 4 0 t r a c e s f r o m a s e c t i o n w i t h a c a l d e r a . T h i s f e a t u r e , p i c k e d b y i n t e r p r e t e r s , i s n o t p a r t i c u l a r l y c l e a r i n t h e i n p u t d a t a , w h i c h i s n o i s y , a n d e x h i b i t s s e v e r e f a u l t i n g p e r h a p s a s s o c i a t e d w i t h t h e i m p a c t f e a t u r e . ( b ) . B e l o w i s a n i n t e r p r e t i v e s k e t c h b a s e d o n t h e r e c o n s t r u c t e d d a t a . 220 2 0 0 180 160 140 120 220 200 180 160 140 120 _! 1 1 . 1 1 1 o.o FIGURE 3.8 ( a ) . A w i n d o w o f 1 4 0 t r a c e s f r o m a s e c t i o n w i t h a c a l d e r a . I n t h e 9 5 % c o m p o u n d r e c o n s t r u c t i o n ( s e e t e x t ) t h e c r a t e r a n d s e d i m e n t a r y f i l l a r e m u c h c l e a r e r . A l s o p r e s e r v e d a n d c l a r i f i e d a r e t h e n o r m a l b l o c k f a u l t e d g e s c l e a r l y v i s i b l e i n t h e s e c t i o n . ( b ) . T h e s k e t c h i s r e p r o d u c e d b e l o w . 76 FIGURE 3.9a N i n e t y s i x t r a c e s f r o m a c o n v e n t i o n a l l y p r o c e s s e d s t a c k e d s e i s m i c s e c t i o n . N o t e t h e b a c k g r o u n d n o i s e s u r r o u n d i n g t h e p a i r o f d i p p i n g e v e n t s a b o v e 1.0 s . A l s o n o t e t h e r e e f - l i k e s t r u c t u r e i n b o x A . FIGURE 3.9b S l a n t - K L 95% r e c o n s t r u c t i o n : t h e d i p p i n g e v e n t s h a v e b e e n c l a r i f i e d , a n d t h e r e e f - l i k e s t r u c t u r e h a s b e e n l e f t i n t a c t . FIGURE 3 . 9 c S l a n t - K L 8 5 % r e c o n s t r u c t i o n : r e s o l u t i o n h $ s b e e n l o s t , a n d t h e r e e f - l i k e s t r u c t u r e h a s b e e n s m e a r e d - o u t . 7 9 S E C T I O N 3 . I I : M I S F I T R E C O N S T R U C T I O N . a . I n t r o d u c t i o n . U s i n g equation (23), I m a y d i s c a r d t h e m o s t c o m m o n p a r t o f a d a t a s e t a n d i n v e s t i g a t e t h e a p p e a r a n c e a n d s i g n i f i c a n c e o f t h e l e s s o b v i o u s , p e r h a p s d i a g n o s t i c f e a t u r e s w h i c h r e m a i n . b . S y n t h e t i c D a t a E x a m p l e s . 1 . I n t h e r e c o n s t r u c t i o n o f t h e s y n t h e t i c d a t a e x a m p l e ( F i g u r e 3 . 2 d ) , I u s e d 5 p r i n c i p a l c o m p o n e n t s ; t h e r e , I w a s a b l e t o s e p a r a t e t h e s t e e p l y d i p p i n g c o h e r e n t n o i s e e v e n t s f r o m t h e s e i s m i c r e p r e s e n t a t i o n o f t h e g e o l o g i c a l s t r u c t u r e . I n F i g u r e 3 . 1 0 a , I c o n s t r u c t a m i s f i t s e i s m i c s e c t i o n o f F i g u r e 3 . 2 c b y l e a v i n g - o u t t h e f i r s t 7 5 % o f t h e e n e r g y , a n d i n c l u d i n g t h e r e m a i n d e r ( i . e . I s u m p r i n c i p a l c o m p o n e n t s 6 t o 2 4 ) . A s u m o f t h e d a t a i n F i g u r e s 3 . 2 d a n d 3 . 1 0 a ( b e f o r e p l o t t i n g n o r m a l i z a t i o n ) w o u l d y i e l d e x a c t l y t h e d a t a s h o w n i n F i g u r e 3 . 2 c . T h e s a m e i s t r u e o f t h e e x a m p l e w i t h m o r e s t e e p l y d i p p i n g e v e n t s s h o w n i n F i g u r e 3 . 4 . F i g u r e 3 . 1 0 b s h o w s t h e m i s f i t r e c o n s t r u c t i o n w h i c h i s l e f t o v e r w h e n t h e f i r s t 5 p r i n c i p a l c o m p o n e n t s h a v e b e e n o m i t t e d . A s u m o f F i g u r e s 3 . 4 d a n d 3 . 1 0 b , b e f o r e p l o t t i n g n o r m a l i z a t i o n , w o u l d y i e l d e x a c t l y t h e d a t a s h o w n i n F i g u r e 3 . 4 c . 2 . T h e s e c o n d e x a m p l e s h o w s p a r a l l e l f l a t - l y i n g l a y e r s w i t h 8 0 a c e n t r a l l e n s - l i k e f e a t u r e . I n F i g u r e s 3 . 1 1 a , b , a n d c , w e s e e t h e d a t a , a 9 4 % r e c o n s t r u c t i o n , a n d a m i s f i t r e c o n s t r u c t i o n , r e s p e c t i v e l y . T h e 9 4 % r e c o n s t r u c t i o n e s s e n t i a l l y s h o w s t h e b a s i c f e a t u r e s , i . e . f l a t l y i n g e v e n t s , a n d d i s c r i m i n a t e s a g a i n s t t h e s t r u c t u r e . H o w e v e r , t h e m i s f i t r e c o n s t r u c t i o n c l e a r l y s h o w s t h e l e n s - l i k e f e a t u r e , a s t h i s w a s n o t a m a j o r c o n t r i b u t i n g f a c t o r t o t h e f i r s t 3 p r i n c i p a l c o m p o n e n t s . A d i s p l a y o f t h i s k i n d w o u l d s e r v e t o h i g h l i g h t a n o m a l o u s f e a t u r e s . c . R e a l D a t a E x a m p l e s . 1 . I n F i g u r e 3 . 1 2 ( a ) I s h o w d a t a f r o m a n a r e a w i t h a s t e e p l y d i p p i n g f a u l t . I n t h e b o x a t 1 . 4 5 s we s e e a s t r o n g n e g a t i v e e v e n t w h i c h t e r m i n a t e s a t a b o u t t r a c e 6 8 . I n b o x B , we s e e a s i n u o u s a n d d i s c o n t i n u o u s h o r i z o n e x t e n d i n g t o t h e r i g h t f r o m t r a c e 8 5 t o i t s t e r m i n a t i o n b y t h e f a u l t n e a r t r a c e 5 0 . I n ( b ) I s h o w t h e m i s f i t o v e r l a y p r o d u c e d b y p l o t t i n g a m i s f i t r e c o n s t r u c t i o n ( o m i t t i n g t h e f i r s t 7 0 % o f t h e e n e r g y ) a s g r e y s h a d e s o v e r t h e w i g g l e t r a c e p l o t o f t h e o r i g i n a l d a t a . I n b o x A , we n o t e a s t r o n g b l a c k - w h i t e c o n t r a s t h i g h l i g h t i n g t h e e v e n t s a t t h e f a u l t e d g e . T h e w h o l e o f t h e u p p e r z o n e t e n d s t o g i v e l a r g e m i s f i t v a l u e s a s i t d i p s q u i t e s t e e p l y t o t h e r i g h t , d u e t o t h e f a u l t . I n b o x B , we a g a i n s e e t h e b l a c k - w h i t e c o n t r a s t , t h i s t i m e o v e r t h e h u m p i n t h e c e n t r e o f t h e b o x . T h e w h i t e p a t c h t e r m i n a t e s t o t h e r i g h t a t t h e f a u l t . 2 . A n e x a m p l e f r o m a b r a i d e d s t r e a m s y s t e m , o f s a n d a n d 81 g r a v e l t y p e d e p o s i t s , f o r m s t h e n e x t c a s e . I n F i g u r e 3 . 1 3 ( a ) we s e e a d i s c o n t i n u o u s h o r i z o n a t a b o u t 0 . 7 s . I n d i v i d u a l e v e n t s f a d e i n a n d o u t , a s t h e s a n d l e n s e s t e r m i n a t e a n d b e g i n a g a i n . T h e m i s f i t o v e r l a y ( b ) h i g h l i g h t s t h e e n t i r e c e n t r a l r e g i o n a s h a v i n g m a n y u n u s u a l f e a t u r e s . A s a w h o l e t h e p i c t u r e i s c o n f u s i n g ; h o w e v e r , we d o s e e s o m e f e a t u r e s o f i n t e r e s t . I n b o x A , we s e e a w h i t e a r e a c o r r e s p o n d i n g t o t h e p i n c h - o u t o f t h e t h i n p o s i t i v e a n o m a l y j u s t a b o v e 0 . 7 s ( a r r o w ) . A s i m i l a r b l a c k - w h i t e f e a t u r e ( b o x B ) c o r r e s p o n d s t o t h e a p e x o f t h e h u m p b e t w e e n t r a c e s 1 a n d 2 0 a t 0 . 7 3 s . d . D i s c u s s i o n . I n t h i s s e c t i o n , I h a v e i n t r o d u c e d m i s f i t r e c o n s t r u c t i o n a s a t o o l f o r h i g h l i g h t i n g a r e a s o f a n o m a l o u s s t r u c t u r e . H o w e v e r , a s n o t e d f r o m t h e e x a m p l e s , i t i s q u e s t i o n a b l e a s t o w h e t h e r t h i s t e c h n i q u e i s g e n e r a l l y a p p l i c a b l e . B e c a u s e t h e m i s f i t s a r e e x p r e s s e d r e l a t i v e t o f l a t l y i n g ( o r p a r a l l e l ) e v e n t s ( b y v i r t u e o f t h e w a y i n w h i c h t h e c o v a r i a n c e m a t r i x i s c o m p u t e d ) a n y e v e n t w h i c h d e v i a t e s f r o m a f l a t l y i n g , o r p a r a l l e l m o d e l , w i l l c o n t r i b u t e t o t h e m i s f i t . H e n c e d a t a w i t h m a n y s m a l l ' k i n k s ' i n i t w i l l h a v e a l o t o f b a c k g r o u n d i n c o h e r e n t e n e r g y w h i c h w i l l t e n d t o p r o d u c e ' m i s f i t s ' e v e r y w h e r e . W i t h s u c h d a t a , t h e m i s f i t o v e r l a y m a y b e o f l i t t l e u s e . H o w e v e r , i n d a t a w h e r e p i n c h - o u t s o c c u r , we w o u l d e x p e c t t o s e e a n o t i c e a b l e m i s f i t i n t h e o v e r l a y p r e s e n t a t i o n . 8 2 T h i s m e t h o d o f p r e s e n t a t i o n , a l t h o u g h i n i t s e l f p e r h a p s n o t d i a g n o s t i c o f h y d r o c a r b o n - t r a p p i n g s t r u c t u r e s , m a y t e n d t o d r a w t h e i n t e r p r e t e r ' s e y e q u i c k l y t o z o n e s w h i c h a r e n o t t y p i c a l o f t h e s t a c k e d s e i s m i c s e c t i o n . H o w e v e r , w i t h o u t t h e i n p u t o f a n e x p e r i e n c e d i n t e r p r e t e r a n d s p e c i f i c k n o w l e d g e o f t h e d a t a a r e a s , I am u n a b l e t o d e t e r m i n e t h e s i g n i f i c a n c e o r u s e f u l n e s s o f t h e s e a n d o t h e r s p e c i f i c e x a m p l e s o f m i s f i t o v e r l a y s . T h e u s e f u l n e s s o f t h i s p a r t i c u l a r t e c h n i q u e w o u l d b e s t b e a s s e s s e d i n a n i n d u s t r i a l s e i s m i c i n t e r p r e t a t i o n d e p a r t m e n t w h e r e a c c e s s t o m a n y d i v e r s e d a t a s e t s a n d t h e i r g e o l o g i c a l b a c k g r o u n d a r e r e a d i l y a v a i l a b l e . 83 FIGURE 3.10 ( a ) A m i s f i t r e c o n s t r u c t i o n ( p r i n c i p a l c o m p o n e n t s 6 - 2 4 ) o f t h e d a t a s h o w n i n F i g u r e 3 . 2 c , i s o l a t i n g t h e d i p p i n g n o i s e e v e n t s ( c ) . ( b ) A m i s f i t r e c o n s t r u c t i o n ( p r i n c i p a l c o m p o n e n t s 6 - 2 4 ) o f t h e d a t a s h o w n i n F i g u r e 3 . 4 c , i s o l a t i n g t h e d i p p i n g n o i s e e v e n t s ( c ) . A g a i n , b e c a u s e I h a v e i n c l u d e d s o m e o f t h e p r i n c i p a l c o m p o n e n t s w h i c h c o n t a i n i n f o r m a t i o n f r o m t h e h o r i z o n t a l s t r u c t u r e , t h e g e n e r a l " n o i s e " l e v e l h a s b e e n i n c r e a s e d . 8 4 FIGURE 3.11 ( a ) A s y n t h e t i c s e i s m i c s e c t i o n d e p i c t i n g l e n s - l i k e s t r u c t u r e .  t  , ( b ) T h e 9 4 % r e c o n s t r u c t i o n ( r e q u i r i n g 3 c o m p o n e n t s ) i s o l a t i n g t h e p r e d o m i n a n t f l a t ( c ) T h e m i s f i t r e c o n s t r u c t i o n ( p r i n c i p a l h i g h l i g h t i n g t h e l e n s - l i k e f e a t u r e ; f l a t h o r i z o n s w i t h a o f t h e 2 4 p r i n c i p a l - l y i n g e v e n t s . c o m p o n e n t s 3 - 2 4 ) r e n o r m a l i z e d f o r p l o t t i n g . TSN 100 90 8 0 7 0 GO 5 0 4 0 30 2 0 10 F I G U R E 3 . 1 2 a I n p u t d a t a f r o m a f a u l t e d r e g i o n . N o t e t h e l a r g e n e g a t i v e a n o m a l y w h i c h t e r m i n a t e s t o t h e l e f t a t t h e f a u l t n e a r t r a c e 68 ( b o x A ) , a n d t h e d i s c o n t i n u o u s h o r i z o n i n b o x B , w h i c h t e r m i n a t e s t o t h e r i g h t a t t h e f a u l t . 86 F I G U R E 3 . 1 2 b M i s f i t o v e r l a y ( o m i t t i n g t h e f i r s t 7 0 % o f t h e e n e r g y ; i . e . t h e f i r s t f o u r p r i n c i p a l c o m p o n e n t s ) . N o t e t h e s t r o n g b l a c k - w h i t e c o n t r a s t s w h i c h h i g h l i g h t t h e e v e n t s t e r m i n a t i n g n e a r t h e f a u l t ( s e e b o x e s A a n d B ) . 8 7 F I G U R E 3 . 1 3 a D a t a f r o m a n a r e a o f b r a i d e d s t r e a m s . N o t e t h e d i s c o n t i n u i t y i n t h e e v e n t i n b o x A , d e n o t e d b y t h e a r r o w , a n d t h e h u m p b e t w e e n t r a c e s 1 a n d 2 0 a t 0 . 7 3 s i n b o x B . 8 8 F I G U R E 3 . 1 3 b M i s f i t o v e r l a y ( o m i t t i n g t h e f i r s t 6 0 % o f t h e e n e r g y ; i . e . t h e f i r s t f o u r p r i n c i p a l c o m p o n e n t s ) . N o t e t h e s t r o n g b l a c k - w h i t e c o n t r a s t s w h i c h h i g h l i g h t t h e e v e n t s i n t h e b o x e s . I n b o x A , we s e e t h e n e g a t i v e t r o u g h w h i c h r e p l a c e s t h e t h i n e v e n t m a r k e d w i t h t h e a r r o w , w h i l e i n b o x B we s e e a b l a c k - w h i t e p a i r h i g h l i g h t i n g t h e a p e x o f a h u m p . 8 9 S E C T I O N 3 . I l l : S E P A R A T I O N O F D I F F R A C T I O N S . a . I n t r o d u c t i o n . A s a n o f f s h o o t o f t h e m i s f i t r e c o n s t r u c t i o n p r o c e d u r e , I n o t e d t h a t i n a r e a s o f s e v e r e f a u l t i n g o r . w i t h n u m e r o u s ' p o i n t ' d i f f r a c t o r s , d i f f r a c t i o n e v e n t s c o u l d r e a d i l y b e s e p a r a t e d f r o m t h e f l a t o r p a r a l l e l l y i n g h o r i z o n s . I t i s d i f f i c u l t t o p e r f o r m r e s i d u a l m i g r a t i o n o r t o e s t i m a t e v e l o c i t i e s f r o m d i f f r a c t i o n h y p e r b o l a e w i t h o u t i s o l a t i n g t h o s e d i f f r a c t i o n e v e n t s f r o m t h e r e f l e c t i o n e v e n t s . L e v i n e t a l . ( 1 9 8 3 ) e m p l o y e d a s l a n t - s t a c k ( r - p ) f i l t e r i n g p r o c e d u r e t o e l i m i n a t e t h e r e f l e c t i o n e v e n t s , l e a v i n g o n l y t h e d i f f r a c t i o n e v e n t s a n d n o i s e . I p r o p o s e h e r e t o u t i l i z e t h e m i s f i t r e c o n s t r u c t i o n t o a c h i e v e t h i s g o a l . b . S y n t h e t i c D a t a E x a m p l e s . 1 . F o r a m o d e l c o n s i s t i n g o f a s i n g l e h o r i z o n t a l s h e e t t e r m i n a t i n g a t t r a c e 1 0 , b u r i e d i n a m e d i u m w i t h v e l o c i t y 5 k m / s , 21 t r a c e s s e p a r a t e d b y 5 0 m, e a c h o f 1.0 s e c o n d d u r a t i o n w e r e p r o d u c e d u s i n g a F r e s n e l i n t e g r a l s y n t h e t i c s e i s m o g r a m p r o g r a m ( M . Y e d l i n , p e r s . c o m m . , 1 9 8 4 ) . T h e s o u r c e f u n c t i o n w a s a 1 6 H z R i c k e r w a v e l e t s a m p l e d a t 4 m s . T h e s e i s m i c r e s p o n s e o f t h i s m o d e l y i e l d e d a s e r i e s o f r e f l e c t i o n e v e n t s , a n d a h y p e r b o l i c d i f f r a c t i o n a r r i v a l c e n t e r e d a b o u t t h e s h e e t e d g e ( F i g u r e 3 . 1 4 b ) . T h i s s y n t h e t i c e x a m p l e i s p a r t i c u l a r l y p r o b l e m a t i c a l , a s t o a l a r g e e x t e n t t h e r i g h t h a n d o f t h e d i f f r a c t i o n e v e n t i s b u r i e d i n 90 t h e r e f l e c t i o n . T h e m o v e o u t w a s r e m o v e d f r o m t h e d a t a t o f l a t t e n t h e r e f l e c t i o n e v e n t , ( F i g u r e 3 . 1 4 c ) , a n d a n i s o l a t e d d i f f r a c t i o n e v e n t ( p r o d u c e d s e p a r a t e l y f o r c o m p a r i s o n ) i s s h o w n a f t e r t h e s a m e m o v e o u t c o r r e c t i o n i n F i g u r e 3 . 1 4 d . I n F i g u r e s 3 . 1 5 a a n d b , we s e e t h e 9 8 % r e c o n s t r u c t i o n a n d t h e m i s f i t r e c o n s t r u c t i o n f o r t h e r e a l K L d e c o m p o s i t i o n . We s t i l l s e e r e s i d u a l w a v e f o r m s w h e r e t h e f l a t l y i n g e v e n t w a s ; t h i s i s d u e t o t h e f a c t t h a t t h e w a v e f o r m i n t h e r e f l e c t i o n e v e n t c h a n g e d s l i g h t l y a c r o s s t h e s e c t i o n a n d c o u l d n o t t o t a l l y b e r e p r o d u c e d a s a l i n e a r c o m b i n a t i o n o f t h e f i r s t t w o p r i n c i p a l c o m p o n e n t s . H o w e v e r , t h e a m p l i t u d e s o f t h e s e r e s i d u a l e v e n t s i s o n l y c o m p a r a b l e t o t h e d i f f r a c t i o n e v e n t e n e r g y ( i . e . a b o u t 1 0 % o f t h e a m p l i t u d e o f t h e i n p u t r e f l e c t i o n w a v e f o r m s ) . O n t h e o t h e r h a n d , t h e d i f f r a c t i o n e v e n t h a s b e e n f a i t h f u l l y r e p r o d u c e d b o t h i n p h a s e a n d a m p l i t u d e , e x c e p t w h e r e t h e d i f f r a c t i o n a n d r e f l e c t i o n e v e n t s r a n t o g e t h e r , a s o c c u r s b e t w e e n t r a c e s 11 a n d 2 1 . I n t h e s e r e g i o n s t h e t w o w a v e f o r m s a r e n o t s e p a r a b l e , a s t h e y a r e e s s e n t i a l l y s c a l e d v e r s i o n s o f o n e a n o t h e r . 2 . T h e s e c o n d s y n t h e t i c e x a m p l e ( M . Y e d l i n , p e r s . c o m m . , 1 9 8 4 ) s h o w s a z e r o o f f s e t s e i s m i c s e c t i o n o v e r t h e s a m e t r u n c a t e d b u r i e d h o r i z o n t a l s h e e t ( F i g u r e 3 . 1 4 a ) . T h i s r e s u l t s i n a s e r i e s o f r e f l e c t i o n e v e n t s w h i c h t e r m i n a t e o v e r t h e s h e e t e d g e , a n d a s e t o f d i f f r a c t i o n a r r i v a l s c e n t r e d a b o u t t h e t e r m i n a t i o n p o i n t ( F i g u r e 3 . 1 6 a ) . T h e d i f f r a c t i o n e v e n t i t s e l f , p r o d u c e d s e p a r a t e l y f o r c o m p a r i s o n a n d n o r m a l i z e d , i s s h o w n i n F i g u r e 3 . 1 6 b . F i g u r e s 91 3 . 1 7 a a n d b s h o w t h e 9 7 % K L r e c o n s t r u c t i o n a n d m i s f i t r e c o n s t r u c t i o n . A s i s s e e n , t h e m i s f i t r e c o n s t r u c t i o n i s w e l l a b l e t o s e p a r a t e o u t t h e d i f f r a c t i o n e v e n t w h i l s t p r e s e r v i n g t h e p h a s e a n d a m p l i t u d e i n f o r m a t i o n . S o m e r e s i d u a l f e a t u r e s r e m a i n i n t h e v i c i n i t y o f t h e s e c t i o n w h e r e t h e h o r i z o n t a l r e f l e c t i o n f e a t u r e w a s , a s s o m e c o n t r i b u t i o n f r o m t h a t f e a t u r e e x i s t s o n p r i n c i p a l c o m p o n e n t s o t h e r t h a n t h e f i r s t . c . M i g r a t i o n o f D i f f r a c t i o n S e c t i o n s . F o r t h e m o d e l d i s c u s s e d e a r l i e r , w i t h a s i n g l e s h e e t b u r i e d i n a m e d i u m o f c o n s t a n t v e l o c i t y , I c r e a t e d a z e r o - o f f s e t s e c t i o n w i t h t r a c e s e p a r a t i o n 1 2 . 5 m a n d v e l o c i t y 4 k m / s ( F i g u r e 3 . 1 8 a ) . T h e d i f f r a c t i o n e v e n t , p r o d u c e d s e p a r a t e l y f o r c o m p a r i s o n w i t h s u b s e q u e n t r e s u l t s , i s s h o w n i n F i g u r e 3 . 1 8 b . U s i n g t h e f r e q u e n c y - w a v e n u m b e r m i g r a t i o n a l g o r i t h m o f S t o l t ( 1 9 7 8 ) , I m i g r a t e d t h e d i f f r a c t i o n s e c t i o n ( F i g u r e s 3 . 1 8 c ) d e r i v e d f r o m F i g u r e 3 . 1 8 a . I n t h i s c a s e , a s t h e d i f f r a c t i o n c u r v a t u r e i s l e s s t h a t i n F i g u r e 3 . 1 6 b , t h e r e i s m o r e d i s t o r t i o n o f t h e w a v e f o r m s a l o n g t h e h y p e r b o l a , a s m o r e e n e r g y i s s e g r e g a t e d o n t o t h e f i r s t p r i n c i p a l c o m p o n e n t . T h e b e s t r e s u l t , i n t e r m s o f c o l l a p s i n g t h e e v e n t , w a s a c h i e v e d w i t h t h e c o r r e c t v e l o c i t y o f 4 k m / s . T h e e v e n t s a r e s e e n a f t e r m i g r a t i o n i n F i g u r e 3 . I 8 d . I n t h e c a s e o f i n c o r r e c t l y m i g r a t e d d a t a , v e l o c i t y t h u s i n f e r r e d c o u l d b e u s e d f o r r e s i d u a l m i g r a t i o n o f a n o r i g i n a l m i g r a t e d s t a c k e d s e c t i o n s h o w i n g r e s i d u a l d i f f r a c t i o n e v e n t s 92 ( L e v i n e t a l . , 1 9 8 3 , H a r l a n e t a l . , 1 9 8 3 ) o r s i m p l y t o a s c e r t a i n t h e v e l o c i t y o f t h e m a t e r i a l s a b o u t t h e d i f f r a c t o r . F u r t h e r , i n r e g i o n s o f s e v e r e f a u l t i n g , t h i s p r o c e d u r e m a y p o s s i b l y s e r v e a s a f a u l t - e d g e i n d i c a t o r . d . R e a l D a t a E x a m p l e s . 1 . F i g u r e 3 . 1 9 a s h o w s 9 6 t r a c e s o f s t a c k e d d a t a , w h i c h I w a s i n f o r m e d w e r e t i m e m i g r a t e d . E v e n t s b e t w e e n t r a c e s 4 5 a n d 6 5 a r e l e s s c o n t i n u o u s , a n d a t a b o u t 1.1 s we s e e t h e r i g h t h a n d l i m b o f a d i f f r a c t i o n h y p e r b o l a . G i v e n t h a t t h e s e c t i o n h a d b e e n p r e v i o u s l y m i g r a t e d , b u t s t i l l s h o w s e v i d e n c e o f d i f f r a c t i o n s , we m a y c o n c l u d e t h a t t h e d a t a w e r e i n c o r r e c t l y m i g r a t e d ( p r o b a b l y d u e t o a n i n a d e q u a t e v e l o c i t y f u n c t i o n ) . T h i s o p e n s t h e q u e s t i o n o f t h e n e e d f o r r e s i d u a l m i g r a t i o n ( L e v i n e t a l . 1 9 8 3 ) a n d a l s o p o i n t s t o t h e p o s s i b i l i t y o f u s i n g s u c h d i f f r a c t i o n s t o e s t i m a t e s e i s m i c v e l o c i t y ( H a r l a n e t a l . 1 9 8 3 ) . F i g u r e 3 . 1 9 b s h o w s a 9 2 % r e c o n s t r u c t i o n w h i c h h a s e l i m i n a t e d a l l e v i d e n c e o f d i f f r a c t i o n e v e n t s l e a v i n g o n l y t h e g r o s s , c o m m o n f e a t u r e s o f t h e d a t a . H o w e v e r , p r o d u c i n g a m i s f i t r e c o n s t r u c t i o n ( e x c l u d i n g t h e f i r s t 9 6 % ) c l e a r l y s h o w s a s e r i e s o f d i f f r a c t i o n e v e n t s c e n t r e d t h r o u g h o u t t h e z o n e b e t w e e n t r a c e s 6 5 a n d 7 5 ( F i g u r e 3 . 1 9 c ) . N o w t h a t t h e d i f f r a c t i o n e v e n t s h a v e b e e n s e g r e g a t e d f r o m t h e f l a t l y i n g e v e n t s , we m a y p e r f o r m a s e r i e s o f m i g r a t i o n s o n t h e s e d a t a i n o r d e r t o c o l l a p s e t h e h y p e r b o l a e a t e a c h d e p t h . T h i s w a s d o n e w i t h t w o s p e c i f i c h y p e r b o l a e i n m i n d ( i n d i c a t e d i n F i g u r e 3 . 1 9 c ) . E v e n t A w a s b e s t c o l l a p s e d w i t h a v e l o c i t y o f 3 k m / s ( F i g u r e 9 3 3 . l 9 d ) . E v e n t B w a s b e s t c o l l a p s e d w i t h a v e l o c i t y o f 4 k m / s ( F i g u r e 3 . l 9 e ) . I n b o t h t h e s e f i g u r e s , I s h o w t h e w i n d o w o f d a t a u s e d f o r m i g r a t i o n , a n d t h r e e m i g r a t i o n r e s u l t s : i . e . t h e b e s t v i s u a l r e s u l t , a n d t h e r e s u l t f r o m u s i n g a v e l o c i t y 1 k m / s h i g h e r a n d l o w e r t h a n t h i s . T h e o v e r a l l a p p e a r a n c e o f t h e m i g r a t e d d i f r a c t i o n s e c t i o n s i s t h a t o f m i g r a t e d n o i s e ( B e r k h o u t , 1 9 8 4 ) . T h i s i s n o t s u r p r i s i n g , s i n c e t h e m a j o r i t y o f t h e d a t a i n t h e d i f f r a c t i o n s e c t i o n i s n o i s e . H o w e v e r , f o c u s s i n g o n e ' s a t t e n t i o n o n t h e z o n e s w h e r e t h e d i f f r a c t i o n s w e r e c e n t r e d c a n a l l o w s e l e c t i o n o f a s u i t a b l e m i g r a t i o n v e l o c i t y . T h e f a c t t h a t t h e s e v e l o c i t i e s a r e h i g h r a i s e s t h e p o s i b i l i t y t h a t t h e s e p a r t i c u l a r d a t a w e r e n o t i n f a c t p r e v i o u s l y m i g r a t e d . e . D i s c u s s i o n . M i s f i t r e c o n s t r u c t i o n w i t h a v i e w t o s e p a r a t i n g d i f f r a c t i o n e v e n t s o f f e r s a n e w w a y o f i s o l a t i n g d i f f r a c t i o n s f r o m s t a c k e d s e i s m i c d a t a . T h e m e t h o d o f H a r l a n e t a l . ( 1 9 8 3 , 1 9 8 4 ) i s c o n s i d e r a b l y m o r e p r o t r a c t e d . O n c e t h e d i f f r a c t i o n e v e n t s a r e s e g r e g a t e d , t h e r e s i d u a l m i g r a t i o n t e c h n i q u e p r o p o s e d b y L e v i n e t a l . ( 1 9 8 3 ) m a y b e u s e d t o e s t i m a t e c o r r e c t i o n v e l o c i t i e s f o r i t e r a t i v e r e s i d u a l m i g r a t i o n o f s t a c k e d s e i s m i c d a t a . A s a c o r o l l a r y t o r e s i d u a l m i g r a t i o n i n a r e a s w i t h s e v e r e f a u l t i n g , s u c h a s t h e N o r t h S e a , a d i s p l a y o f t h e d i f f r a c t i o n s m a y s e r v e a s a f a u l t - e d g e i n d i c a t o r . T h i s m a y b e o f u s e i n h e l p i n g t o d e l i n e a t e f a u l t c o n t r o l l e d h y d r o c a r b o n t r a p p i n g s t r u c t u r e s . 9 4 source, 1 b € f « c t i o r i y d)f | f4a|c|t|c|r| 10 ~V cr . .to 20 F I G U R E 3 . 1 4 a ( a ) . T h e m o d e l : a t h i n s h e e t b u r i e d a t 1 km d e p t h , t e r m i n a t i n g a t ( b K e T h e r e f l e c t i o n a n d d i f f r a c t i o n a r r i v a l s f o r a 16 H z R i c k e r s o u r c e w a v e l e t , p r o p a g a t i n g i n t h e m o d e l l a ) . 95 F I G U R E 3 . 1 4 c ( c ) T h e d a t a a f t e r f l a t t e n i n g o n t h e r e f l e c t i o n e v e n t . ( d ) T h e f l a t t e n e d d i f f r a c t i o n e v e n t p r o d u c e d s e p a r a t e l y f o r c o m p a r i s o n w i t h l a t e r r e s u l t s , r e n o r m a l i z e d f o r p l o t t i n g . 96 J F I G U R E 3 . 1 5 ( a ) A 9 8 % r e c o n s t r u c t i o n o f ' t h e d a t a i n 1 4 ( b ) ( r e q u i r i n g 2 o f t h e 21 p r i n c i p a l c o m p o n e n t s ) . T o t h e e y e t h i s a p p e a r s t o h a v e r e c o v e r e d t h e f l a t t e n e d r e f l e c t i o n e v e n t . _ ( b ) T h e m i s f i t r e c o n s t r u c t i o n o f t h e d a t a i n 1 4 ( b ) ( p r i n c i p a l c o m p o n e n t s 3 - 2 1 ) r e n o r m a l i z e d f o r p l o t t i n g . F o r t h e m o s t p a r t , t h e i s o l a t e d d i f f r a c t i o n l i m b i s f a i t h f u l l y r e p r o d u c e d . H o w e v e r , w h e r e i n t e r f e r e n c e h a d d i s t o r t e d t h e o r i g i n a l l i m b , t h e m i s f i t r e c o n s t r u c t i o n i s s u b j e c t t o d i s t o r t i o n . W h e r e t h e d i f f r a c t i o n r u n s i n t o t h e r e f l e c t i o n , t h e y a r e i n s e p a r a b l e , a s t h e w a v e f o r m s a r e t h e s a m e . 9 7 F I G U R E 3 . 1 6 ( a ) A z e r o o f f s e t s e i s m i c s e c t i o n o v e r a b u r i e d h o r i z o n t a l s h e e t ( s e e s k e t c h i n F i g u r e 3 . 1 4 ( a ) ) w h i c h t e r m i n a t e s a t t r a c e 1 0 , g i v i n g r i s e t o r e f l e c t i o n e v e n t s , a n d d i f f r a c t i o n e v e n t s c e n t r e d t b ) U t T h e a d i f f r a c t i o n e v e n t s p r o d u c e d s e p a r a t e l y f o r c o m p a r i s o n t o s u b s e q u e n t r e s u l t s ; r e n o r m a l i z e d f o r p l o t t i n g . 98 10 20 D r . .cn .co r-J m o m o o :z F I G U R E 3 . 1 7 ( a ) T h e 9 7 % r e c o n s t r u c t i o n o f t h e d a t a i n 1 6 ( a ) ( r e q u i r i n g 1 o f t h e 21 p r i n c i p a l c o m p o n e n t s ) . , (b) T h e m i s f i t r e c o n s t r u c t i o n o f t h e - d a t a in ^ ( a ) ( p r i n c i p a l c o m p o n e n t s 2 - 2 1 ) h a s s u c c e s s f u l l y i s o l a t e d Jhe diffraction e v e n t P h a s e a n d a m p l i t u d e i n f o r m a t i o n a r e w e l l c o n s e r v e d , a s i s s e e n i n c o m p a r i s o n w i t h 1 6 ( b ) . R e n o r m a l i z e d f o r p l o t t i n g . 99 F I G U R E 3 . 1 8 ( a ) . T h e i n p u t s e c t i o n ( s e e t e x t ) , ( b ) . T h e d i f f r a c t i o n p r o d u c e d i n d e p e n d e n t l y f o r c o m p a r i s o n . ( c ) . T h e m i s f i t r e c o n s t r u c t i o n u s i n g p r i n c i p a l c o m p o n e n t s 2 - 1 2 8 . ( d ) . T h e d i f f r a c t i o n s e c t i o n , (c) a b o v e , a f t e r m i g r a t i o n w i t h v e l o c i t y 4 k m / s . 1 0 0 F I G U R E 3 . 1 9 a N i n e t y s i x t r a c e s o f s t a c k e d t i m e m i g r a t e d d a t a i n a r e g i o n o f f a u l t i n g . N o t e t h e d i s c o n t i n u o u s e v e n t s i n t h e a r e a f r o m t r a c e s 4 5 - 6 5 b e t w e e n 0 . 6 a n d 0 . 9 s . 101 F I G U R E 3 . 1 9 b T h e 9 2 % r e c o n s t r u c t i o n ( r e q u i r i n g 3 o f t h e 9 6 p r i n c i p a l c o m p o n e n t s ) w h i c h h i g h l i g h t s t h e g r o s s s t r u c t u r a l f e a t u r e s o f t h e s e c t i o n . N o t e t h e l o s s o f c o n t i n u i t y o f t h e e v e n t s b e t w e e n t r a c e s 4 5 - 6 5 . 1 0 2 F I G U R E 3 . 1 9 c T h e m i s f i t r e c o n s t r u c t i o n ( p r i n c i p a l c o m p o n e n t s 6 t o 9 6 , e x c l u d i n g t h e f i r s t 9 6 % ) s h o w i n g a s e r i e s o f d i f f r a c t i o n e v e n t s i n t h e r e g i o n o f i n t e r e s t . H y p e r b o l i c e v e n t s "A" a n d " B " a r e t h e t a r g e t e v e n t s f o r m i g r a t i o n . T h e d a t a h a v e b e e n r e n o r m a l i z e d f o r p l o t t i n g . 1 0 3 Region A 2000m/s 3000m/s 4000m/s FIGURE 3.19d R e g i o n A o f t h e m i s f i t r e c o n s t r u c t i o n ( F i g u r e 3 . 1 9 c ) . M i g r a t i o n s w i t h v e l o c i t y : 2 0 0 0 , 3 0 0 0 , a n d 4 0 0 0 m / s . T h e h y p e r b o l i c e v e n t A h a s b e e n f l a t t e n e d b e s t u s i n g 3 0 0 0 m / s . T h e d a t a h a v e b e e n r e n o r m a l i z e d f o r p l o t t i n g . 1 0 4 F I G U R E 3 . 1 9 e R e g i o n B o f t h e m i s f i t r e c o n s t r u c t i o n ( F i g u r e 3 . 1 9 c ) . M i g r a t i o n s w i t h v e l o c i t y : 3 0 0 0 , 4 0 0 0 , a n d 5 0 0 0 m / s . T h e h y p e r b o l i c e v e n t " B " h a s b e e n f l a t t e n e d b e s t u s i n g 4000 m / s . T h e d a t a h a v e b e e n r e n o r m a l i z e d f o r p l o t t i n g . 1 0 5 S E C T I O N 3 . I V : M U L T I P L E S U P P R E S S I O N . a . I n t r o d u c t i o n . F o r t h e p u r p o s e o f m u l t i p l e s u p p r e s s i o n , I u t i l i z e t h e e n e r g y p a c k i n g p r o p e r t y o f t h e r e a l K L t r a n s f o r m . T h e i d e a h e r e i s t o s e g r e g a t e t h e e n e r g y a s s o c i a t e d w i t h t h e m u l t i p l e s o n t o a s i n g l e p r i n c i p a l c o m p o n e n t . A d a t a r e c o n s t r u c t i o n o m i t t i n g t h a t p r i n c i p a l c o m p o n e n t s h o u l d b e e s s e n t i a l l y m u l t i p l e - f r e e . I p r o c e e d i n f i v e b a s i c s t e p s : i . F r o m t h e s t a n d a r d v e l o c i t y a n a l y s i s , i d e n t i f y t h e v e l o c i t y a n d o n s e t t i m e f o r a m u l t i p l e . i i . U s i n g t h e RMS v e l o c i t y a s s o c i a t e d w i t h t h e m u l t i p l e , p e r f o r m a c o n s t a n t v e l o c i t y m o v e o u t c o r r e c t i o n o n t h e s e i s m i c d a t a . We n o t e a t t h i s s t a g e t h a t t h e a r r i v a l s d u e t o m u l t i p l e s w i l l h a v e b e e n m o r e o r l e s s f l a t t e n e d , w h e r e a s t h e p r i m a r y e v e n t s a r e u n d e r o r o v e r c o r r e c t e d , a n d w i l l h a v e i n c r e a s e d c u r v a t u r e i n t h e s e c t i o n . i i i . C o m p u t e t h e K L t r a n s f o r m o f t h e c o n s t a n t v e l o c i t y m o v e o u t c o r r e c t e d d a t a s e t . C o r r e l a t e d e n e r g y i n t h e s e i s m o g r a m w h i c h h a d a m o v e o u t v e l o c i t y e q u a l t o t h a t o f t h e m u l t i p l e ' s v e l o c i t y w i l l n o w a p p e a r p r e d o m i n a n t l y o n t h e f i r s t p r i n c i p a l c o m p o n e n t . T h i s i s b e c a u s e c o h e r e n t e n e r g y h a v i n g t h e v e l o c i t y a s s o c i a t e d w i t h t h e m u l t i p l e h a s b e e n f l a t t e n e d , o r a l i g n e d a c r o s s t h e s e c t i o n , a n d w i l l n o w a p p e a r t o b e t h e m o s t h i g h l y 1 0 6 c o r r e l a t e d e n e r g y . i v . R e c o n s t r u c t t h e c o n s t a n t v e l o c i t y m o v e o u t c o r r e c t e d s e i s m o g r a m f r o m t h e p r i n c i p a l c o m p o n e n t s b u t o m i t t h e f i r s t p r i n c i p a l c o m p o n e n t , i . e . l e a v e o u t a n y c o r r e l a t e d e n e r g y a s s o c i a t e d w i t h t h e v e l o c i t y o f t h e m u l t i p l e . I t m a y a l s o b e a d v a n t a g e o u s t o o m i t t h e s e c o n d p r i n c i p a l c o m p o n e n t w h e n t h e m u l t i p l e a r r i v a l ' s w a v e f o r m h a s b e e n s e v e r e l y d i s t o r t e d b y i n t e r f e r i n g p r i m a r y e v e n t s . v . R e m o v e t h e m o v e o u t s t r e t c h i n g f r o m t h e r e c o n s t r u c t e d d a t a u s i n g t h e s a m e v e l o c i t y a s i n s t e p i i . T h e p r o c e d u r e i s r e p e a t e d f o r a l l m u l t i p l e s f o r w h i c h s u p p r e s s i o n i s d e s i r e d , a n d t h e n t h e u s u a l NMO c o r r e c t i o n t o a l i g n t h e d a t a p r i o r t o s t a c k i n g i s a p p l i e d . R y u ( 1 9 8 2 ) a d d r e s s e d t h e p r o b l e m o f m u l t i p l e s u p p r e s s i o n u s i n g t h e F K t r a n s f o r m a t i o n i n c o n j u n c t i o n w i t h d a t a s t r e t c h i n g v i a m o v e o u t c o r r e c t i o n . H o w e v e r , t h e a p p r o a c h d e s c r i b e d h e r e i s a n e w a n d a l t e r n a t i v e o n e , a n d w i l l n o t b e a s p r o n e t o t h e a l i a s i n g p r o b l e m s e n c o u n t e r e d w i t h t h e F K m e t h o d w h e n d e a l i n g w i t h a s m a l l n u m b e r o f t r a c e s ( D . H a m p s o n , p e r s . c o m m . , 1 9 8 5 ) . b . S y n t h e t i c D a t a E x a m p l e s . 1 . I n F i g u r e 3 . 2 0 a , I s h o w a s i m p l e s y n t h e t i c s e i s m i c s e c t i o n r e p r e s e n t i n g r e f l e c t i o n e v e n t s f r o m 9 f l a t l a y e r s o v e r a h a l f s p a c e , a l l o v e r l a i n b y w a t e r . I n c l u d e d a r e t w o e v e n t s d u e t o ' m u l t i p l e ' t r a v e l p a t h s i n t h e s u r f i c i a l w a t e r l a y e r ( i n d i c a t e d 1 0 7 b y a r r o w s ) . F i g u r e 3 . 2 0 b s h o w s t h e s e m b l a n c e v e l o c i t y a n a l y s i s ( V A ) ( N e i d e l l a n d T a n e r , 1 9 7 1 ) o f t h i s d a t a . We s e e ' m u l t i p l e ' e n e r g y a t 1.1 a n d 1 . 6 5 s e c o n d s w i t h a c h a r a c t e r i s t i c v e l o c i t y o f 1 4 5 0 m / s . F i g u r e 3 . 2 1 a s h o w s t h e d a t a a f t e r a c o n s t a n t v e l o c i t y NMO c o r r e c t i o n . N o t e h o w t h i s p r o c e d u r e h a s f l a t t e n e d t h e m u l t i p l e e v e n t s a t 1.1 a n d 1 . 6 5 s e c o n d s . S t a r t i n g j u s t a f t e r t h e p r i m a r y e v e n t a t 1.0 s ( F i g u r e 3 . 2 1 a ) , a r e a l K L d e c o m p o s i t i o n o f t h e s e c t i o n i s c a r r i e d o u t . R e c o n s t r u c t i o n o m i t t i n g t h e f i r s t a n d s e c o n d p r i n c i p a l c o m p o n e n t s g i v e s t h e r e s u l t s i n F i g u r e 3 . 2 1 b . T h e e f f e c t o f m o v e o u t s t r e t c h i n g i s t h e n r e m o v e d f r o m t h e d a t a u s i n g t h e v e l o c i t y 1 4 5 0 m/s ( F i g u r e 3 . 2 2 a ) . F i g u r e 3 . 2 2 b s h o w s a V A o f t h e d a t a a f t e r m u l t i p l e s u p p r e s s i o n p r o c e s s i n g . We n o t e b y c o m p a r i s o n w i t h F i g u r e 3 . 2 0 t h a t t h e m u l t i p l e s h a v e b e e n e f f e c t i v e l y r e m o v e d f r o m t h e d a t a , a n d t h a t t h e V A s h o w s o n l y t h e p r i m a r y b o t t o m r e f l e c t i o n w i t h t h e w a t e r v e l o c i t y . F i g u r e 3 . 2 3 a s h o w s t h e m u l t i p l e s u p p r e s s e d d a t a a f t e r a c o n v e n t i o n a l NMO p r i o r t o s t a c k . I n F i g u r e 3 . 2 3 b , we s e e a c o m p a r i s o n o f t h e t r a c e r e s u l t i n g f r o m : ( 1 ) t h e s t a c k o f s y n t h e t i c d a t a w h i c h n e v e r h a d t h e m u l t i p l e a r r i v a l s ; ( 2 ) t h e c o n v e n t i o n a l s t a c k o f t h e d a t a w i t h m u l t i p l e s ; a n d ( 3 ) t h e c o n v e n t i o n a l s t a c k o f t h e d a t a a f t e r m u l t i p l e s u p p r e s s i o n u s i n g t h e K L t e c h n i q u e . A c o m p a r i s o n o f F i g u r e s 3 . 2 3 b ( 2 ) a n d ( 3 ) s h o w s t h a t t h e m u l t i p l e s a t 1.1 a n d 1 . 6 5 s h a v e b e e n s u c c e s s f u l l y s u p p r e s s e d . T h e n o i s e i n t r o d u c e d t o t h e s e c t i o n a f t e r r e m o v a l o f t h e f i r s t t w o p r i n c i p a l c o m p o n e n t s ( F i g u r e 3 . 2 1 b ) d i d n o t s t a c k 1 0 8 c o n s t r u c t i v e l y . W i t h a v i e w t o a u t o m a t i o n , t h e a l g o r i t h m w a s m o d i f i e d t o a u t o m a t i c a l l y d e t e c t t h e m u l t i p l e s , i . e . t h e i r RMS v e l o c i t y a n d o n s e t t i m e . T o t h i s e n d , a s t a c k o f o v e r l a p p i n g t i m e s e g m e n t s o f t h e V A m a p w a s m a d e . I n F i g u r e 3 , 2 0 b we s a w t h a t m u l t i p l e e n e r g y i s r e a s o n a b l y v e r t i c a l a l o n g a l o c u s o f c o n s t a n t v e l o c i t y , w h e r e a s t h e s t a c k i n g v e l o c i t y t r a j e c t o r y i s n o t . C o n s e q u e n t l y , we e x p e c t a s t a c k o f t i m e s e g m e n t s o f t h e V A m a p t o d i s p l a y m a x i m a a t t h e l o c a t i o n o f t h e v e l o c i t y o f e a c h m u l t i p l e . T h e s e m a x i m a a r e d e t e c t e d , a n d t h e p r o c e s s i n g i s s t a r t e d f o r a g i v e n m u l t i p l e j u s t a f t e r t h e o n s e t o f t h a t m u l t i p l e s o a s n o t t o s u p p r e s s t h e p r i m a r y . F i g u r e 3 . 2 0 c s h o w s a s t a c k o f t h e f i r s t h a l f o f F i g u r e 3 . 2 0 b . We s e e a p e a k a t 1 4 5 0 m/s w h i c h c o r r e s p o n d s t o t h e o b s e r v e d t r e n d i n t h e V A m a p . I n F i g u r e 3 . 2 0 c a m a x i m u m a p p e a r s a t t h e v e l o c i t y o f t h e m u l t i p l e ( 1 4 5 0 m / s ) . H o w e v e r , t h e s t a c k a l s o s h o w s m a x i m a a t 1 7 0 0 m/s c o r r e s p o n d i n g t o t h e p r i m a r y e v e n t s b e t w e e n 0 . 8 5 a n d 1 . 1 0 s , a n d a t 2 0 0 0 m/s c o r r e s p o n d i n g t o t h e p r i m a r y e v e n t a t 1 . 2 8 s . C a r e m u s t b e t a k e n s o a s n o t t o a l l o w t h e p r o g r a m t o s u p p r e s s p r i m a r y e v e n t s o n t h e b a s i s o f t h e s e m a x i m a . O n t h e w h o l e , t h e a u t o m a t i c m o d e m u s t b e t r e a t e d c a u t i o u s l y , b u t w o r k s w e l l i f we o n l y w i s h t o s u p p r e s s m u l t i p l e s w i t h o n e c h a r a c t e r i s t i c v e l o c i t y : u s u a l l y w a t e r b o t t o m m u l t i p l e s . 1 0 9 c . R e a l D a t a E x a m p l e s . O f g r e a t e r i n t e r e s t i s t h e p e r f o r m a n c e o f t h e a l g o r i t h m o n r e a l s e i s m i c d a t a w h e n m u l t i p l e s p o s e a p r o b l e m . 1 . F i g u r e 3 . 2 4 s h o w s a C D P g a t h e r o f m a r i n e s e i s m i c d a t a s h o t o f f S a b l e I s l a n d , C a n a d a . E a c h g a t h e r h a s 6 0 t r a c e s s a m p l e d a t 4 m s , b u t t o r e d u c e e x p e n s e , o n l y e v e r y t h i r d t r a c e w a s u s e d h e r e . F i g u r e 3 . 2 5 a s h o w s a b r o a d v e l o c i t y b a n d V A o f t h e g a t h e r . We s e e a d o m i n a n t t r e n d o f m u l t i p l e e n e r g y a t 1 6 2 0 m/s s t a r t i n g a t 0 . 5 s e c o n d s . F i g u r e 3 . 2 5 b s h o w s a s t a c k o f t h e V A m a p , h i g h l i g h t i n g t h e p r e s e n c e o f t h e m u l t i p l e s : t h i s i n f o r m a t i o n i s u s e d t o d e t e c t t h e m u l t i p l e s f o r t h e p r o g r a m ' s a u t o m a t i c m u l t i p l e s u p p r e s s i o n m o d e . F i g u r e 3 . 2 5 c s h o w s t h e V A o f F i g u r e 3 . 2 4 a f t e r m u l t i p l e s u p p r e s s i o n u s i n g a n a u t o m a t i c a l l y p i c k e d v e l o c i t y ( 1 6 2 0 m / s ) . N o t e t h e a b s e n c e o f t h e b a n d o f m u l t i p l e e n e r g y b e t w e e n 0 . 5 a n d 3 . 4 s . N o t e a l s o h o w t h e e v e n t a t 2 . 2 s a n d 2 4 0 0 m/s h a s b e e n e n h a n c e d i n t h e m u l t i p l e s u p p r e s s e d V A , a s i t i s n o l o n g e r o b s c u r e d b y a r r i v a l s d u e t o m u l t i p l e t r a v e l p a t h s . T w e n t y g a t h e r s o f d a t a w e r e p r o c e s s e d i n t h i s w a y , a n d a c o m p a r i s o n o f t h e c o n v e n t i o n a l l y s t a c k e d d a t a w i t h a s t a c k o f t h e m u l t i p l e s u p p r e s s e d d a t a i s m a d e i n F i g u r e 3 . 2 6 a a n d b . T h e m o s t n o t i c e a b l e f e a t u r e s w h i c h d i f f e r b e t w e e n t h e m u l t i p l e s u p p r e s s e d s t a c k a n d t h e c o n v e n t i o n a l s t a c k a r e : t h e a b s e n c e o f t h e e v e n t a t 0 . 9 1 s ( m a r k e d ' A ' ) i n t h e m u l t i p l e s u p p r e s s e d s e c t i o n , w h i c h 1 1 0 a p p e a r s a s p a r t o f a ' d o u b l e t ' i n t h e u n p r o c e s s e d d a t a , a n d t h e c h a n g e s a t 1 . 3 5 s ( m a r k e d ' B ' ) . S e v e r a l e v e n t s a r e c l e a r e r i n t h e m u l t i p l e s u p p r e s s e d s e c t i o n , s u c h a s t h a t a t 0 . 8 6 s ( ' C ' ) , t h e t r o u g h a t 1 . 1 0 s ( ' D ' ) , a n d t h e p a i r a t 2 . 4 5 a n d 2 . 5 5 s ( ' E ' ) . S u b t r a c t i n g t h e s e t w o s e c t i o n s y i e l d s a d i f f e r e n c e s e c t i o n ( F i g u r e 3 . 2 6 c ) w h i c h e m p h a s i z e s t h e l o c a t i o n a n d n a t u r e o f t h e d i f f e r e n c e s b e t w e e n t h e p r o c e s s e d a n d u n p r o c e s s e d d a t a . B a n d s o f m u l t i p l e r e l a t e d e n e r g y a r e s e e n w i t h 0 . 4 4 s s p a c i n g . d . D i s c u s s i o n . M u l t i p l e a r r i v a l s o f t e n p o s e a s e r i o u s p r o b l e m i n s h a l l o w w a t e r a n d c e r t a i n l a n d e n v i r o n m e n t s . S i m p l e a n d e f f e c t i v e m e t h o d s f o r t h e e l i m i n a t i o n o f m u l t i p l e e v e n t s o f k n o w n s t a c k i n g v e l o c i t y a r e o f u s e i n a l l e v i a t i n g t h e s e p r o b l e m s . H e r e I p r e s e n t a n i n t u i t i v e l y s i m p l e m e t h o d f o r i s o l a t i n g a n d r e m o v i n g m u l t i p l e e v e n t s p r i o r t o f i n a l m o v e o u t c o r r e c t i o n a n d s t a c k . O n s i m p l e l a y e r e d e a r t h m o d e l s y n t h e t i c d a t a , t h e m e t h o d h a s w o r k e d w e l l . O n t h e s m a l l s a m p l e o f r e a l d a t a a n a l y s e d , t h e V A m a p s h i g h l i g h t t h e a l m o s t c o m p l e t e a b s e n c e o f m u l t i p l e r e l a t e d e n e r g y a f t e r p r o c e s s i n g . I n a d d i t i o n , p r i m a r y e v e n t s w h i c h w e r e o f s m a l l a m p l i t u d e i n t h e V A m a p b e f o r e p r o c e s s i n g w e r e g r e a t l y e n h a n c e d , b e c a u s e t h e a c t u a l d a t a h y p e r b o l a c o r r e s p o n d i n g t o t h e p r i m a r y e v e n t w a s n o l o n g e r m a s k e d b y m u l t i p l e e n e r g y a r r i v i n g a t t h e s a m e t i m e . 111 T h e r e s u l t s o n t h e b a s i s o f ' b e f o r e a n d a f t e r ' V A m a p s l o o k v e r y p r o m i s i n g , a n d i n i t i a l t e s t s o n t w e n t y g a t h e r s s h o w s e v e r a l n o t i c e a b l e d i f f e r e n c e s , t h e i r V A m a p s s h o w i n g t h a t a s i g n i f i c a n t n u m b e r o f m u l t i p l e e v e n t s h a v e b e e n r e m o v e d . I n a d d i t i o n , t h e a c t u a l w a v e f o r m s a r e e s s e n t i a l l y u n c o r r u p t e d b y t h e p r o c e s s i n g : a n i m p o r t a n t p o i n t t o n o t e . 1 12 10 INP" 7 SECTION WIS VEL(Ws) 1SO0 2000 a . from 9 l a y e r s d a t a h a v e b e e n F I G U R E 3 . 2 0 ( a ) T h e s e i s m i c r e p r e s e n t a t i o n o f r e f l e c t i o n s o v e r l y i n g a h a l f s p a c e , a l l o v e r l a i n b y w a t e r . T h e m u t e d a n d A G C ' d . T w o w a t e r b o t t o m m u l t i p l e e v e n t s c a n b e s e e n : t h e f i r s t , p o l a r i t y r e v e r s e d a t 1.1 s , t h e s e c o n d a t 1 . 6 5 s . ( b ) T h e v e l o c i t y a n a l y s i s ( V A ) o f t h e d a t a . N o t e t h e p e a k s d u e t h e m u l t i p l e s w i t h a v e l o c i t y o f 1 4 5 0 m/s w h i c h d o m i n a t e t h e l o w e r p o r t i o n o f t h e V A . ( c ) S t a c k o f t h e f i r s t h a l f o f t h e V A m a p ( b ) . A s m u l t i p l e e v e n t s t e n d t o l i e v e r t i c a l l y i n t h e V A m a p , t h e y w i l l s t a c k t o p r o d u c e a m a x i m u m , w h e r e a s c o m p a r a t i v e l y , p r i m a r y e v e n t s t o w i l l n o t FIGURE 3.21 ( a ) A s e g m e n t o f t h e d a t a a f t e r m o v e - o u t c o r r e c t i o n w i t h a c o n s t a n t v e l o c i t y o f 1 4 5 0 m / s . N o t i c e h o w t h e t w o e v e n t s d u e t o m u l t i p l e a r r i v a l s h a v e b e e n f l a t t e n e d . ( b ) A m i s f i t r e c o n s t r u c t i o n o f t h e f l a t t e n e d d a t a o m i t t i n g t h e f i r s t ' 2 p r i n c i p a l c o m p o n e n t s . S o m e r e s i d u a l n o i s e r e m a i n s i n t n e l o c a t i o n s f o r m e r l y o c c u p i e d b y t h e m u l t i p l e e v e n t s , b u t t h i s i s l a r g e l y i n c o h e r e n t , a n d w i l l n o t s t a c k t o p r o d u c e a n o t i c e a b l e e f f e c t . 1 1 4 SECTION AFTER MULTIPLE SUPPRESSION RMS V E L ^ / S ) 1500 800D FIGURE 3.22 ( a ) T h e r e c o n s t r u c t e d d a t a , a f t e r t h e e f f e c t s o f t h e c o n s t a n t v e l o c i t y m o v e o u t c o r r e c t i o n h a v e b e e n r e m o v e d , e m b e d d e d b a c k i n t o t h e o r i g i n a l d a t a , r e p l a c i n g t h e s e g m e n t w h i c h c o n t a i n e d t h e m u l t i p l e s . ( b ) T h e V A o f t h e d a t a a f t e r m u l t i p l e s u p p r e s s i o n . N o t e t h a t i n t h e a b s e n c e o f m u l t i p l e s ( w h i c h w e r e e n e r g e t i c e v e n t s ) t h e c o r r e c t V A t r e n d c a n b e m o r e r e a d i l y d i s c e r n e d t h a n i n 3 . 2 0 ( b ) . 1 1 5 10 1 3 2 1 FIGURE 3.23 ( a ) T h e m u l t i p l e s u p p r e s s e d d a t a a f t e r n o r m a l m o v e o u t c o r r e c t i o n u s i n g a v e l o c i t y f u n c t i o n p i c k e d f r o m 3 . 2 2 b . T h e r e s i d u a l e v e n t s r e m a i n i n g f r o m t h e m u l t i p l e s c a n s t i l l b e s e e n , b u t t h e s e d o n o t s t a c k c o n s t r u c t i v e l y . ( b ) T h r e e v e r s i o n s o f a s t a c k o f t h e d a t a : (1) t h e s t a c k o f a s y n t h e t i c d a t a s e t p r o d u c e d w i t h o u t m u l t i p l e s : t h i s i s o u r d e s i r e d , o r o p t i m u m r e s u l t ; ( 2 ) t h e s t a c k o f t h e d a t a i n 3 . 2 0 ( a ) a f t e r NMO c o r r e c t i o n . N o t i c e t h e m u l t i p l e a r r i v a l s a t 1.1 a n d 1 . 6 5 s w h i c h s t a c k e d c o n s t r u c t i v e l y ; a n d ( 3 ) t h e s t a c k o f t h e m u l t i p l e s u p p r e s s e d d a t a i n 3 . 2 2 ( a ) a f t e r NMO c o r r e c t i o n . I n c o m p a r i s o n w i t h ( 2 ) we n o t e t h e a b s e n c e o f m u l t i p l e e v e n t s . 1 1 6 FIGURE 3.24 E v e r y t h i r d t r a c e f r o m a m a r i n e g a t h e r o f 6 0 t r a c e s , a f t e r b a n d p a s s ( 5 - 5 5 H z ) , m u t i n g , a n d a p p l i c a t i o n o f a n AGC. 1500 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4 1.6 £ 1.8 2.01 > cr F 2.2> 5 2.4 J- SEflB.RflS VEL(^/S) 200^ 2500  | | 0.4 . 0.6. 0.8. 1.0 . 1.2 . 1.4 J 1.6 1.8 J 2.0 J 2.2 j 2.4 J 2.6 J 2.81 3.0 1 3.2 i 3.4 I 3.61 1500 SEHB.RHS VEL ( W i ) 200n 2500 1 17 1500 FIGURE 3.25 ( a ) V A o f t h e d a t a i n 3 . 2 4 . N o t e t h e v e r t i c a l t r e n d o f e n e r g y a t 1 6 2 0 m/s d u e t o w a t e r b o t t o m r e l a t e d m u l t i p l e s . ( b ) T h e s t a c k o f t h e V A m a p a b o v e . T h e m a x i m u m a t 1 6 2 0 m/s w a s d e t e c t e d b y t h e a l g o r i t h m a n d s u b s e q u e n t l y u s e d a s t h e m u l t i p l e s u p p r e s s i o n v e l o c i t y . ( c ) T h e V A m a p o f t h e s e c t i o n a f t e r m u l t i p l e t h e a b s e n c e o f e n e r g y a t 1 6 2 0 m/s a f t e r e n h a n c e m e n t o f t h e p r i m a r y a r r i v a l p e a k a t 2 . 2 2 4 0 0 m / s . s u p p r e s s i o n . N o t e 0 . 5 s , a n d t h e s w i t h v e l o c i t y 118 FIGURE 3.26 ( a ) T h e c o n v e n t i o n a l s t a c k o f 2 0 g a t h e r s . ( b ) T h e s a m e g a t h e r s a f t e r m u l t i p l e s u p p r e s s i o n u s i n g t h e a u t o m a t i c a l l y l o c a t e d m u l t i p l e v e l o c i t y o f 1 6 2 0 m / s . N o t e t h e a b s e n c e o f t h e e v e n t a t 0 . 9 1 s ( A ) a n d c h a n g e s a t 1 . 3 5 s ( B ) . A l s o n o t e t h e e n h a n c e m e n t o f e v e n t s a t 0 . 8 6 s ( C ) , 1 . 1 0 s ( D ) , a n d t h e p a i r a t 2 . 4 5 a n d 2 . 5 5 s ( E ) . O n l y t h e p r o c e s s e d s e c t i o n o f t h e g a t h e r s h a s b e e n p l o t t e d h e r e . ( c ) T h e d i f f e r e n c e s e c t i o n , t o e m p h a s i z e t h e l o c a t i o n a n d n a t u r e o f t h e d i f f e r e n c e s b e t w e e n t h e p r o c e s e d a n d u n p r o c e s s e d d a t a . B a n d s o f e n e r g y a s s o c i a t e d w i t h t h e m u l t i p l e s a p p e a r a t a b o u t 0 . 4 4 s i n t e r v a l s , i n d i c a t e d b y t h e a r r o w s . 1 1 9 C H A P T E R 4. S I M I L A R I T Y M E A S U R E S . S E C T I O N 4 . 1 : T R A C E C L U S T E R A N A L Y S I S . a . I n t r o d u c t i o n . R e c a l l t h a t t h e e i g e n v e c t o r e l e m e n t s f r o m equation (5) a r e s i m p l y t h e w e i g h t s a p p l i e d t o e a c h i n p u t t r a c e t o c o n s t r u c t a g i v e n p r i n c i p a l c o m p o n e n t . We i n f e r t h a t i f a g r o u p o f t r a c e s ( g r o u p 1 , s a y ) h a s t h e s a m e w e i g h t f o r t h e f i r s t p r i n c i p a l c o m p o n e n t , t h e n t h o s e t r a c e s a r e s i m i l a r t o e a c h o t h e r . I f we t h e n s e e a n o t h e r g r o u p o f t r a c e s ( g r o u p 2 , s a y ) w h i c h h a d w e i g h t i n g s w h i c h d i f f e r e d f r o m t h o s e o f g r o u p 1 , b u t w e r e s i m i l a r w i t h i n g r o u p 2 , we i n f e r t h a t t h e t r a c e s i n g r o u p 2 a r e s i m i l a r t o e a c h o t h e r b u t d i f f e r e n t f r o m t h e m e m b e r s o f g r o u p 1 . I n t h i s w a y o n e m a y s t r i v e t o r e c o g n i s e n a t u r a l g r o u p i n g s w i t h i n a m u l t i c h a n n e l d a t a s e t . T o b e m e a n i n g f u l , s u c h a p r o c e d u r e m u s t o n l y c o n s i d e r a n a r r o w t i m e w i n d o w c e n t r e d a b o u t a p a r t i c u l a r e v e n t . I n e f f e c t , w e w i l l b e s e a r c h i n g f o r b o t h c h a n g e s i n c h a r a c t e r a n d r e p e t i t i o n s o f c e r t a i n c h a r a c t e r i s t i c s a l o n g t h e h o r i z o n i n t h e w i n d o w . M i l l i g a n e t a l . ( 1 9 7 8 ) c o n s i d e r e d t h e a b o v e p r o b l e m f o r t h e c a s e o f ' a c o u s t i c p i n g e r ' d a t a w h i l s t m a p p i n g t h e d i s t r i b u t i o n o f b o t t o m s e d i m e n t s i n a s h a l l o w b a y . T h e y a n a l y s e d t h e b o t t o m 1 2 0 r e f l e c t i o n p u l s e , a n d p r o c e e d e d t o c o r r e l a t e t h e p u l s e c h a r a c t e r w i t h k n o w n b o t t o m s e d i m e n t t y p e w i t h c o n s i d e r a b l e s u c c e s s . T h e y i m p l e m e n t e d t h e K L t r a n s f o r m v i a equation ( 6 ) , b e c a u s e t h e y h a d m a n y m o r e t r a c e s t h a n t i m e s a m p l e s , a n d d e r i v e d t h e e i g e n v e c t o r e l e m e n t s b y c o r r e l a t i o n . H a g e n ( 1 9 8 2 ) t r i e d t o a d a p t t h e i r m e t h o d f o r a p p l i c a t i o n t o s e i s m i c r e f l e c t i o n d a t a t o f a c i l i t a t e t h e r e c o g n i t i o n o f s t r a t i g r a p h i c c h a r a c t e r c h a n g e . H e n o t e d t h a t t h e ' i n s t a n t a n e o u s p h a s e ' ( T a n e r e t a l . , 1 9 7 7 ) w a s s o m e t i m e s i n d i c a t i v e o f p o r o s i t y ( a l a r g e i n s t a n t a n e o u s p h a s e c o r r e s p o n d i n g t o a l a r g e v a l u e o f p o r o s i t y ) a n d d e c i d e d t o p e r f o r m t h e K L d e c o m p o s i t i o n o f t h e I n s t a n t a n e o u s P h a s e r e p r e s e n t a t i o n o f h i s d a t a . H e u s e d t h e d o m i n a n t e i g e n v e c t o r s a s s o c i a t e d w i t h t h e K L t r a n s f o r m a s t h e i n p u t f o r a c l u s t e r a n a l y s i s r o u t i n e , a n d s e a r c h e d f o r n a t u r a l g r o u p i n g s o f e i g e n v e c t o r e l e m e n t s , a s w e l l a s f o r g r o u p i n g s a b o u t u s e r d e f i n e d l o c a t i o n s . W i t h a s i n g l e r e a l K L t r a n s f o r m , h e w a s l i m i t e d t o o b t a i n i n g t h e e i g e n s t r u c t u r e o f t h e I n s t a n t a n e o u s P h a s e d a t a a l o n e . H o w e v e r , s i n c e t h e i n t r o d u c t i o n o f t h e c o m p l e x K L t r a n s f o r m ( L e v y e t a l . , 1 9 8 3 ) we m a y o b t a i n t h e e i g e n s t r u c t u r e o f t h e c o m p l e x t r a c e o f t h e o r i g i n a l d a t a . I n s y n t h e t i c d a t a e x a m p l e s , I f o u n d t h a t t h e f e a t u r e s w h i c h d o m i n a t e d s e i s m i c t r a c e c l u s t e r i n g w e r e t h e g r o s s s t r u c t u r a l c h a n g e s i n t h e d a t a , e . g . f a u l t o f f s e t s o r s t e e p d i p s . S u b t l e r v a r i a t i o n s i n t h e d a t a s u c h a s p h a s e d r i f t s , o r o t h e r c h a n g e s i n w a v e l e t c h a r a c t e r c o u l d o n l y b e i s o l a t e d w h e n g r o s s s t r u c t u r a l 121 f e a t u r e s w e r e a b s e n t . A p r o b l e m w i t h t h e e x a m p l e c o n s i d e r e d b y H a g e n ( 1 9 8 2 , F i g u r e 2 ; r e p r o d u c e d i n F i g u r e 4 . 1 a ) i s t h a t t h e u p p e r e v e n t ( p o s i t i v e p e a k s a t a b o u t 1 . 6 6 s e c o n d s ) p i n c h e s - o u t o r j o i n s w i t h t h e l o w e r e v e n t n e a r t r a c e s 1 5 5 a n d 2 2 5 . A l s o , t h e d a t a w e r e n o t l e v e l l e d o n t h e l a y e r i n t h e z o n e a n a l y s e d . C o n s e q u e n t l y t h e r e i s a t w o f o l d g r o s s c h a r a c t e r p e r t u r b a t i o n t o a n o t h e r w i s e f l a t l y i n g s t r u c t u r e . A s e x p e c t e d , we s e e i n F i g u r e 4 . 1 b , t h e f i r s t a n d s e c o n d e i g e n v e c t o r s r o u g h l y i n a n t i p h a s e ( H a g e n 1 9 8 2 , F i g u r e 6 ; r e p r o d u c e d i n F i g u r e 4 . 1 b ) a n d s h o w i n g g r o s s c h a r a c t e r c h a n g e s n e a r t r a c e s 1 7 0 a n d 2 1 5 . S o , t o a f i r s t a p p r o x i m a t i o n , H a g e n ' s u s e r d e f i n e d c l u s t e r i n g a b o u t t r a c e s 2 1 4 a n d 2 3 0 w i l l s i m p l y t e l l u s w h i c h t r a c e s l i e i n t h e f l a t c e n t r a l r e g i o n o f t h e d a t a ( c o n t a i n i n g t w o h o r i z o n s ) , a n d w h i c h t r a c e s l i e i n t h e e x t r e m a l r e g i o n s ( c o n t a i n i n g o n l y o n e h o r i z o n ) . H o w e v e r , i n e s s e n c e t h e m e t h o d H a g e n p r e s e n t e d w a s s o u n d , a n d I p r o c e e d e d t o f o l l o w h i s l e a d a n d e x a m i n e d a t a s e t s u s i n g t h e r e a l a n d c o m p l e x K L t r a n s f o r m s . I i n t r o d u c e h e r e a n a l t e r n a t i v e a p p r o a c h t o t h e i s o l a t i o n o f s u b t l e c h a r a c t e r c h a n g e f r o m t h e d o m i n a n t s t r u c t u r e s . B y a n a l o g y w i t h m i s f i t r e c o n s t r u c t i o n ( d e f i n e d b y equation ( 2 6 ) ) , I p e r f o r m c l u s t e r a n a l y s i s o n t h e e i g e n v e c t o r s s e p a r a t e l y , o r i n g r o u p s , a n d c o n c e n t r a t e o n d e t e r m i n i n g t h e g r o u p i n g s d i s p l a y e d b y t h e s e a n a l y s e s . T h i s p r o c e d u r e w o u l d b e e x p e c t e d t o b e o f u s e w h e n we h a d s u b t l e p h a s e c h a n g e s i n a n o t h e r w i s e f l a t l y i n g s t r u c t u r e . 122 T h e h o r i z o n ' s s t r u c t u r e w o u l d d o m i n a t e t h e f i r s t p r i n c i p a l c o m p o n e n t a n d b e r e f l e c t e d i n t h e m a k e u p o f t h e f i r s t e i g e n v e c t o r . T h e d e v i a t i o n f r o m t h e h o r i z o n t a l s t r u c t u r e w o u l d b e c h a r a c t e r i z e d b y s u b s e q u e n t p r i n c i p a l c o m p o n e n t s a n d m a y b e s e e n i n t h e i r e i g e n v e c t o r s . I a l s o d i v e r g e s l i g h t l y f r o m t h e a p p r o a c h o f H a g e n i n t h a t I c o m p u t e a m e m b e r s h i p p r o b a b i l i t y f o r e a c h o f t h e t r a c e s w i t h r e s p e c t t o e a c h o f t h e g r o u p s , o n t h e b a s i s o f t h e s t a t i s t i c a l m o d e o f t h e g i v e n g r o u p . T h a t i s , f o r t h e i.th s e i s m i c t r a c e x.(t), t h e p r o b a b i l i t y o f b e l o n g i n g t o t h e j.th g r o u p G., o n t h e b a s i s o f i n f o r m a t i o n o b t a i n e d f r o m t h e k.th p r i n c i p a l c o m p o n e n t i s g i v e n b y : P{x.(t)eG.} = [1.0 / D{r . k;w. k}]/NORM w h e r e : D[rik' wjk ] = I' /* "  wjk\ i s t h e ' d i s t a n c e ' o f t h e e i g e n v e c t o r e l e m e n t r . ̂ , f r o m t h e m o d e w.,, o f t h e e i g e n v e c t o r e l e m e n t s o f t h e m e m b e r s o f t h e j.th J  K c l u s t e r g r o u p G. , a n d : n c NORM = I [1.0 / D{r . k',w k) ] j=  1 w h e r e nc i s t h e n u m b e r o f c l u s t e r g r o u p s f o r m e d . 1 2 3 b . S y n t h e t i c D a t a E x a m p l e s . T o d e m o n s t r a t e t h e a p p l i c a t i o n o f t h i s m e t h o d , I c o n s i d e r e d f o u r b a s i c s y n t h e t i c d a t a e x a m p l e s . T h e f i r s t i n v o l v e d u s i n g t h e f i r s t t w o l a y e r s o f F i g u r e 3 . 2 a , i . e . g e n t l y d i p p i n g l a y e r s , o v e r w h i c h t h e w a v e l e t i s p r o g r e s s i v e l y p h a s e s h i f t e d , o f f s e t w i t h a v e r t i c a l f a u l t . F i g u r e 4 . 2 s h o w s t h e s e d a t a , t h e f i r s t a n d s e c o n d e i g e n v e c t o r s ( F i g u r e 4 . 2 b ) , a n d t h e c l u s t e r g r o u p i n g s d e t e r m i n e d s e p a r a t e l y f r o m t h e m ( F i g u r e 4 . 2 c ) . I n t h i s c a s e o n l y t w o g r o u p s w e r e n e e d e d t o h i g h l i g h t t h e f a u l t , b u t i n g e n e r a l I f o u n d t h a t o n e s h o u l d r e q u e s t m o r e g r o u p s t h a n o n e e x p e c t s , s o t h a t t r a c e s w h i c h a r e c o m p l e t e l y d i s s i m i l a r ( ' b a d ' t r a c e s ) c a n f a l l i n t o t h e i r o w n g r o u p w i t h o u t a d v e r s e l y a f f e c t i n g t h e o v e r a l l r e s u l t s . T h e r e s u l t s f r o m t h e c o m p l e x K L o p t i o n w e r e i d e n t i c a l , w h e r e a s t h e r e s u l t s o f a r u n u s i n g t h e i n s t a n t a n e o u s p h a s e o f t h e d a t a w e r e s l i g h t l y i n f e r i o r . I h a v e d i s p l a y e d t h e c l u s t e r g r o u p i n g s f r o m t h e f i r s t t w o e i g e n v e c t o r s s e p a r a t e l y s o a s t o i n d i c a t e h o w e a c h s i d e o f t h e f a u l t d o m i n a t e s a p a r t i c u l a r e i g e n v e c t o r . T h e s i d e o f t h e f a u l t w i t h m o s t t r a c e s d o m i n a t e s t h e s y s t e m , a n d a p p e a r s o n t h e f i r s t e i g e n v e c t o r a s t h e m o s t ' e n e r g e t i c ' e v e n t . T h e c o m p o u n d c l u s t e r i n g m o d e , w h i c h c o m b i n e s t h e e f f e c t s o f s e v e r a l e i g e n v e c t o r s a s p e r equation (27), y i e l d e d t h e s e s a m e g r o u p i n g s w h e n c o m b i n i n g t h e s e f i r s t t w o e i g e n v e c t o r s ( c o r r e s p o n d i n g t o 7 3 % o f t h e t o t a l e n e r g y ) . 124 I n t h e s e c o n d e x a m p l e . F i g u r e 4 . 3 , we s e e t w o f l a t l y i n g c l o s e l y s p a c e d e v e n t s w i t h a p h a s e d r i f t i n c r e a s i n g t o -n/2 a t t h e c e n t r e , a n d f a i l i n g - o f f a g a i n t o z e r o a t t h e l a s t t r a c e . T h e d o m i n a n t s t r u c t u r e i s t h a t o f t w o p a r a l l e l h o r i z o n t a l l a y e r s : c o n s e q u e n t l y , t h e f i r s t e i g e n v e c t o r s h o w s n o p a r t i c u l a r s t r u c t u r e . H o w e v e r , t h e s e c o n d e i g e n v e c t o r i s r e a d i l y a b l e t o i n d i c a t e t h e u n d e r l y i n g , s u b t l e r f e a t u r e s o f t h e p h a s e d r i f t , a n d y i e l d s g r o u p i n g s s y m m e t r i c a b o u t t h e c e n t r a l t r a c e s . I n t h i s i n s t a n c e , t h e c o m p o u n d c l u s t e r i n g w a s d o m i n a t e d b y t h e s e c o n d e i g e n v e c t o r , a s i t c o n t a i n e d t h e m o s t p r o n o u n c e d s t r u c t u r e , a n d t h e g r o u p i n g s f r o m t h e c o m b i n a t i o n o f t h e f i r s t t w o e i g e n v e c t o r s ( c o r r e s p o n d i n g t o 9 7 % o f t h e t o t a l e n e r g y ) a l s o d e l i n e a t e d t h e p h a s e d r i f t . A g a i n , t h e r e s u l t s f r o m t h e c o m p l e x R L o p t i o n w e r e i d e n t i c a l , a n d t h e i n s t a n t a n e o u s p h a s e r e s u l t s w e r e s l i g h t l y i n f e r i o r . I n t h e c a s e o f g e n t l y d i p p i n g l a y e r s ( F i g u r e 4 . 4 ) we e x p e c t a n d d o s e e a t e n d e n c y f o r c l u s t e r s t o c o n t a i n t r a c e s i n g r o u p s m o v i n g p r o g r e s s i v e l y a c r o s s t h e s e c t i o n . I f t h e d a t a h a d b e e n f l a t t e n e d , t h e s e g r o u p s w o u l d n o t e x i s t a n d n o p a r t i c u l a r g r o u p i n g p a t t e r n s w o u l d b e e v i d e n t . C o n s e q u e n t l y , g r o u p i n g s w h i c h c h a n g e s y s t e m a t i c a l l y a n d p r o g r e s s i v e l y a c r o s s t h e s e c t i o n w i l l b e i n d i c a t i v e o f a d i p ( i n t h e a b s e n c e o f p h a s e c h a n g e s ) . T h e s e r e s u l t s a r e e v i d e n t i n t h e g r o u p i n g s f o r t h e f i r s t e i g e n v e c t o r . H o w e v e r , t h e s e c o n d e i g e n v e c t o r s h o w s t h e s y m m e t r i c d i s t r i b u t i o n o f c l u s t e r s s i m i l a r t o t h e e x a m p l e w i t h a p h a s e d r i f t i n t o t h e 1 2 5 c e n t r e o f t h e g r o u p o f t r a c e s . T h i s i s b e c a u s e t h e s e c o n d e i g e n v e c t o r i s t e l l i n g u s a b o u t t h e r e s i d u a l s t r u c t u r e , w h i c h f o r a c o n s t a n t l y d i p p i n g l a y e r i s a s e r i e s o f a n t i s y m m e t r i c ' s t a t i c ' t i m e s h i f t s . T h i s a n t i s y m m e t r y i n t h e r e s i d u a l s t r u c t u r e i s s e e n a s a s y m m e t r i c p a t t e r n i n t h e c l u s t e r g r o u p i n g s f o r t h e s e c o n d e i g e n v e c t o r , a s t h e a l g o r i t h m u s e s t h e s q u a r e s o f m i s f i t s t o d e t e r m i n e t h e g r o u p i n g s . S i m i l a r r e s u l t s w o u l d b e o b t a i n e d i f t h e d a t a c o m p r i s e d f l a t l a y e r s w i t h a c o n s t a n t p h a s e d r i f t i n t h e w a v e f o r m s a c r o s s t h e e v e n t . T w o s u c h c a s e s c o u l d n o t b e d i s t i n g u i s h e d b y t h i s m e t h o d . A g a i n , b o t h t h e r e a l a n d c o m p l e x K L m e t h o d s y i e l d e s s e n t i a l l y t h e s a m e r e s u l t s . F i n a l l y , I c o n s i d e r t h e c a s e o f a g e n t l y d i p p i n g h o r i z o n w i t h a n a n o m a l o u s z o n e ( i n t h i s c a s e a h u m p r e p r e s e n t i n g a r e e f o r s a n d l e n s : s e e F i g u r e 4 . 5 a ) . B e c a u s e t h e c e n t r a l h u m p d e v i a t e s s o m u c h f r o m t h e f l a t l y i n g e v e n t s , t h e e n e r g y a s s o c i a t e d w i t h i t i s s p r e a d o v e r s e v e r a l p r i n c i p a l c o m p o n e n t s . C o n s e q u e n t l y , t h e g r o u p i n g s c o n t a i n i n g t h e t r a c e s i n t h e h u m p c a n b e s e e n i n t h e c l u s t e r a n a l y s i s o f t h e f i r s t 4 e i g e n v e c t o r s . F i g u r e 4 . 5 b a n d c , s h o w s t h e r e s u l t s f o r t h e f i r s t a n d f o u r t h e i g e n v e c t o r s , r e s p e c t i v e l y . B o t h t h e r e a l a n d c o m p l e x K L m e t h o d s c l e a r l y d e l i n e a t e t h i s f e a t u r e , b u t t h e i n s t a n t a n e o u s p h a s e r e s u l t s w e r e p o o r . 1 2 6 c . R e a l D a t a E x a m p l e s . 1 . T h e f i r s t r e a l d a t a e x a m p l e ( F i g u r e 4 . 6 ) i s o f 1 0 0 t r a c e s f r o m a p r e d o m i n a n t l y f l a t l y i n g z o n e . T h e s t r o n g u p p e r e v e n t ( 1 ) d o m i n a t e s t h e s t r u c t u r a l c h a r a c t e r , w h i l e t h e w e a k i n t e r m i t t e n t e v e n t ( 2 ) a n d t h e l o w e r d i s c o n t i n u o u s e v e n t ( 3 ) a r e l e s s c o h e r e n t . T h e f i r s t e i g e n v e c t o r s h o w e d n o p a r t i c u l a r l y s i g n i f i c a n t g r o u p i n g s . H o w e v e r , t h e s e c o n d e i g e n v e c t o r ( F i g u r e 4 . 6 b ) , s h o w s t h r e e m a i n g r o u p s , w h i c h c o r r e s p o n d t o ( A ) t h e p r e d o m i n a n t f l a t l y i n g s t r u c t u r e b e t w e e n t r a c e s 1 a n d 4 5 , ( B ) t h e z o n e s c o n t a i n i n g t h e d e e p t r o u g h a t 0 . 6 1 s ( t r a c e s 18 - 2 8 , a n d 3 8 - 5 4 ) , a n d ( C ) t h e f a i r l y u n i f o r m z o n e b e t w e e n t r a c e s 7 3 a n d 9 4 . T h e t h i r d a n d f o u r t h e i g e n v e c t o r s ( F i g u r e 4 . 6 c a n d d ) a l s o e m p h a s i z e t h e l o c a t i o n o f t h e d i s r u p t e d c e n t r a l z o n e . 2 . T h e s e c o n d r e a l d a t a e x a m p l e c o m p r i s e s e v e n t s o f f s e t b y a f a u l t n e a r t r a c e 5 8 ( F i g u r e 4 . 7 ) : t o t h e r i g h t o f t h e f a u l t t h e h o r i z o n s d r o p s l i g h t l y . T h e c l u s t e r g r o u p m e m b e r s h i p , b a s e d o n t h e f i r s t t h r e e e i g e n v e c t o r s , i s s h o w n b e l o w ( F i g u r e 4 . 7 b , c , a n d d ) . F o r t h e f i r s t e i g e n v e c t o r , t h e f i r s t g r o u p , A , c o n t a i n s m o s t o f t h e t r a c e s t o t h e l e f t o f t h e f a u l t . H o w e v e r . , a s m a l l a n o m a l y ( B ) c l e a r l y s h o w s u p i n t h e g r o u p i n g s ; n a m e l y t r a c e s 3 3 - 4 0 : t h i s c o r r e s o n d s t o t h e a n o m a l y a t 1 . 6 6 s . T o t h e r i g h t o f t h e f a u l t , a t h i r d g r o u p C b r a c k e t s t r a c e s 6 0 t o 7 6 , a n d m a y d e l i n e a t e a s e c o n d f a u l t t o t h e r i g h t n e a r t r a c e 8 0 a t 1.6 s . 1 2 7 T h e g r o u p i n g s d e t e r m i n e d o n t h e b a s i s o f t h e s e c o n d e i g e n v e c t o r s h o w a s y m m e t r i c p a t t e r n b e l y i n g t h e s y m m e t r y a b o u t t h e c e n t r a l f a u l t . T h e s e g r o u p i n g s a r e s y m m e t r i c r a t h e r t h a n a n t i s y m m e t r i c , a s t h e c l u s t e r i n g c r i t e r i o n w a s b a s e d o n t h e s q u a r e s o f d i f f e r e n c e s . T h e t h i r d e i g e n v e c t o r a g a i n c l e a r l y d e n o t e s t h e c e n t r a l f a u l t . 3 . T h e n e x t e x a m p l e , o f 9 6 t r a c e s , i s o f a n e v e n t w h i c h u n d e r g o e s a m a r k e d c h a r a c t e r c h a n g e a c r o s s t h e s e c t i o n ( F i g u r e 4 . 8 ) . T h i s c a n b e s e e n i n t h e t w o e i g e n v e c t o r s ( F i g u r e 4 . 8 b a n d c ) . A l s o o f i n t e r e s t h e r e i s t h e a p p e a r a n c e o f t h e t h i r d e i g e n v e c t o r ( F i g u r e 4 . 8 d ) , w h i c h c l e a r l y d e n o t e s t h e s l i g h t d i s c o n t i n u i t i e s a t 2 . 0 4 s n e a r t r a c e 2 0 a n d a g a i n n e a r t r a c e 3 6 , a n d t h e t r u n c a t i o n o f t h e e v e n t n e a r t r a c e 8 5 ( t h e s e d i s c o n t i n u i t i e s a r e m a r k e d i n t h e f i g u r e ) . 4 . I n t h e f i n a l e x a m p l e ( F i g u r e 4 . 9 ) , I s h o w a 0.1 s w i n d o w o f d a t a f r o m a s a n d b a r . T h e b a r i s s e e n a t a b o u t 0 . 6 8 s , b e t w e e n t r a c e s 2 9 a n d 7 0 . I n t h i s c a s e , t h e f i r s t e i g e n v e c t o r c l u s t e r i n g s d e l i n e a t e a g r o u p i n t h e r e g i o n o f t h e b a r ( B ) b r a c k e t e d b y m e m b e r s o f a d i f f e r e n t g r o u p ( A ) ( F i g u r e 4 . 9 b ) . I n t h e s e c o n d e i g e n v e c t o r ( F i g u r e 4 . 9 c ) , we a l s o n o t e a d i s c o n t i n u i t y b e t w e e n t r a c e s 6 5 - 8 5 , w h e r e t h e r e f l e c t i o n c h a r a c t e r o f t h e u p p e r e v e n t ( a t 0 . 6 7 s ) c h a n g e s , b e c o m i n g s t r o n g e r . T h e t h i r d e i g e n v e c t o r ( F i g u r e 4 . 9 d ) r e s e m b l e s t h e f i r s t i n t h a t i t d e n o t e s a c e n t r a l g r o u p f l a n k e d b y m e m b e r s o f a s e c o n d g r o u p . 1 2 8 d . D i s c u s s i o n . F o r d a t a i n w h i c h t h e d o m i n a n t s t r u c t u r e s a r e p a r a l l e l , c l u s t e r a n a l y s i s m a y p r o v i d e a u s e f u l t o o l t o a i d t h e e x p l o r a t i o n i s t i n l o c a t i n g u n u s u a l f e a t u r e s . M u c h d e p e n d s o n t h e p r e s e n t a t i o n o f t h e s e d a t a . A c o l o u r o v e r l a y i n g t e c h n i q u e o f p r e s e n t a t i o n m a y p r o v e q u i t e u s e f u l i n c o n v e y i n g t h e i n f o r m a t i o n c l e a r l y . F e a t u r e s s u c h a s f a u l t b o u n d a r i e s , p i n c h - o u t s , a n d l e n s e s , a l l f a l l i n t h e c a t e g o r y o f s t r u c t u r e s f o r w h i c h t h e m e t h o d h a s t h e p o t e n t i a l o f i d e n t i f y i n g a s b e i n g ' d i f f e r e n t ' . H o w e v e r , a s w i t h m a n y n o v e l t e c h n i q u e s , m u c h i n t e r a c t i v e s t u d y i s n e c e s s a r y i n o r d e r t o a s s e s s t h e f u l l p o t e n t i a l ( i f a n y ) o f t h e m e t h o d . C o m p r e h e n s i v e a n a l y s i s o f w e l l s t u d i e d a r e a s i s n e e d e d t o g i v e a n o u t l i n e o f t h e r e l i a b i l i t y a n d m e a n i n g o f t h e r e s u l t s s e e n i n t h e c l u s t e r g r o u p s . T h i s c a n m o s t r e a d i l y b e a c c o m p l i s h e d i n a n e n v i r o n m e n t w h e r e t h e a p p r o p r i a t e d a t a s e t s a r e a v a i l a b l e . T h e m a j o r p i t f a l l w i t h t h i s t e c h n i q u e i s l i k e l y t o b e i t s s e n s i t i v i t y t o n o n - p a r a l l e l i s m i n t h e i n p u t d a t a . I n t h i s r e g a r d , c l u s t e r a n a l y s i s o n t h e b a s i s o f e i g e n v e c t o r e l e m e n t s s u f f e r s f r o m t h e s a m e p r o b l e m a s d o e s t h e m i s f i t r e c o n s t r u c t i o n t e c h n i q u e p r e s e n t e d e a r l i e r . 1 2 9 ISO 160 170 180 190 a 200 210 220 230 WELL CLASSIFICATION • POROUS O NON-POROUS • 10 — 1st COMPONENT — 2nd COMPONENT -- 3rd COMPONENT WELL LOCATIONS IA! 1/ - 10" J I I L J L 150 160 170 180 190 200 210 220 230 240 FIGURE 4.1 ( a ) T h e d a t a u s e d b y H a g e n ( 1 9 8 2 ) f o r h i s c l u s t e r a n a l y s i s . Note t h e c e n t r a l p a i r o f e v e n t s w h i c h a r e f l a n k e d b y s i n g l e h o r i z o n s ( A ) . ( b ) T h e f i r s t t h r e e e i g e n v e c t o r s f o r d e c o m p o s i t i o n o f t h e d a t a i n ( a ) . N o t e t h e a n t i p h a s e r e l a t i o n s h i p b e t w e e n t h e f i r s t a n d s e c o n d e i g e n v e c t o r s , a n d h o w t h e c h a r a c t e r c h a n g e c o i n c i d e s w i t h t h e p i n c h - o u t s o f t h e f l a t c e n t r a l r e g i o n o f t h e d a t a ( d i a g r a m s f r o m H a g e n , 1 9 8 2 ) . 1 30 1.0 6.0 11.0 16.0 21.0 26.0 FIRST EIGENVECTOR 1.0 6.0 11.0 16.0 21.0 26.0 SECOND EIGENVECTOR FIGURE 4.2 ( a ) T h e s e i s m i c r e p r e s e n t a t i o n o f t h e u p p e r t w o l a y e r s d i p p i n g a t a b o u t 2 ms p e r t r a c e , o f f s e t b y a v e r t i c a l f a u l t . T h e f i r s t t w o e i g e n v e c t o r s ( a a n d b ) w i t h t h e c l u s t e r g r o u p m e m b e r s h i p s d e n o t e d o n t h e m . N o t e h o w t h e t r a c e s o n e i t h e r s i d e o f t h e f a u l t f a l l i n t o s e p a r a t e g r o u p s . 131 F I G U R E 4 . 3 , ( . , T h e s e i s m i c - p r e s e n t a t i o n o f t w o « l . t ^ " ^ ^ c A o ^ e r o d r i f t i n c r e a s i n g t o ir/2 a t t n e c e n t r e t o ^ T h e ^ l u s t e r i n g s o f t h e f i r s t e i g e n v e c t o r s h o w n o p a r t i c u l a r p a t t e r n s , a s t h e d o m i n a n t s t r u c t u r e is f l a t .  r d i s p l a y ( C ) T h e c l u s t e r i n g s f o r «e secona y  c e n t r e d i s t i n c t i v e g r o u p i n g s d e l i n e a t i n g t h e p h a s e d r i r r a n d o u t a g a i n . 132 FIGURE 4.4 ( a ) T h e s e i s m i c r e p r e s e n t a t i o n o f t w o l a y e r s d i p p i n g a t 2 ms p e r t r a c e . ( b ) T h e f i r s t e i g e n v e c t o r d e l i n e a t e s g r o u p i n g s w i t h t r a c e m e m b e r s h i p m o v i n g p r o g r e s s i v e l y a c r o s s t h e s e c t i o n . T h i s i s c h a r a c t e r i s t i c o f a d i p , o r o f a c o n s t a n t p h a s e d r i f t o v e r f l a t l a y e r s . ( c ) T h e s e c o n d e i g e n v e c t o r d e l i n e a t e s t h e r e s i d u a l s t r u c t u r e , w h i c h f o r a c o n s t a n t l y d i p p i n g l a y e r i s a n a n t i s y m m e t r i c f e a t u r e . 133 F I G U R E 4 . 5 ( a ) T h e s e i s m i c r e p r e s e n t a t i o n o f t w o f l a t l a y e r s w i t h a c e n t r a l h u m p . T h e f i r s t ( b ) a n d f o u r t h ( c ) e i g e n v e c t o r s c l e a r l y d e l i n e a t e t h i s f e a t u r e . 134 0.00 2.00 4.00 G , T R A C E N U M B E R oo B . 0 0 1 0 . 0 0 10 U J o - 0 2 . 0 0 4 . 0 0 6 . 0 0 T R A C E N U M B E R m I O 8 . 0 0 1 0 . 0 0 ? . 0 0 4 . 0 0 6 . 0 0 TRACE NUMBER «10 10.00 F I G U R E 4 .6 (a) One hundred traces from a real stacked seismic section, with three c h a r a c t e r i s t i c events: the strong upper event (1), the weak intermittent event (2), and the lower event (3). The f i r s t eigenvector i s f a i r l y f l a t , hence shows no clear groupings and i s not shown. (b) The second eigenvector shows three major groups which correspond to (A) the f l a t l ying structure between traces 1 and 45,(5)the deep trough at 0.61 s (traces 18-28 and 38-54), and (C) the f a i r l y uniform zone between traces 73 and 94. (c) The t h i r d eigenvector appears to r e f l e c t character change in the trough below the f i r s t event (1), while the fourth eigenvector (d), again demarcates events to the right and l e f t of the central discontinuous zone. TSN 20 40 GO 80 TSN 1 3 5 TRACE NUMBER »10 • o O o CM CC — C J U J I 1 1 1 '•—I u 0 . 0 0 2 . 0 0 4 . 0 0 6 . 0 0 8 . 0 0 U J TRACE NUMBER « 1 0 1 0 . 0 0 • o O o cc — C J U J > < L U ^" —J " 'o.oo 2 . 0 0 4 . 0 0 6 . 0 0 TRACE NUMBER a!0 8 . 0 0 1 0 . 0 0 F I G U R E 4 . 7 ( a ) N i n e t y s i x t r a c e s f r o m a f a u l t e d z o n e . ( b ) F o r t h e f i r s t e i g e n v e c t o r ( 1 ) , g r o u p ( A ) c o n t a i n s m o s t o f t h e t r a c e s t o t h e l e f t o f t h e f a u l t . A s m a l l a n o m a l y ( B ) c a n b e s e e n b e t w e e n t r a c e s 3 3 t o 4 0 a t 1 . 6 6 s . T o t h e r i g h t , a t h i r d g r o u p m a y d e l i n e a t e a s e c o n d f a u l t ( C ) n e a r t r a c e 7 6 . ( c ) T h e g r o u p i n g s f r o m t h e s e c o n d e i g e n v e c t o r s h o w a s y m m e t r i c p a t t e r n b e l y i n g t h e s y m m e t r y a b o u t t h e c e n t r a l f a u l t , a s d o e s t h e t h i r d e i g e n v e c t o r ( d ) . 1 3 6 TSN 2.0 a :: 2.1 cc — o ° >— CJ UJ :> o 0 '0l00 2T0O TToO 6loO sloO [D T R A C E NUMBER MIO 10.00 0  '0.00 T 1 1 1- 2.00 4.00 6.00 8.00 T R A C E NUMBER «10 10.00 O o " '0.00 T R A C E N U M B E R »10 10.00 F I G U R E 4.8 ( a ) N i n e t y s i x t r a c e s w h i c h c h a n g e n o t i c e a b l y i n c h a r a c t e r a c r o s s t h e e v e n t . T h e f i r s t t w o e i g e n v e c t o r s ( b a n d c ) b e l i e t h i s c h a n g e . ( d ) T h e c l u s t e r i n g s f r o m t h e t h i r d e i g e n v e c t o r c l e a r l y d e n o t e s u b t l e c h a n g e s i n t h e d a t a : n a m e l y d i s c o n t i n u i t i e s n e a r t r a c e 2 0 a n d t r a c e 3 6 a t 2 . 0 4 s , t h e t r u n c a t i o n o f t h e e v e n t n e a r t r a c e 8 5 ( m a r k e d #1, # 2 , a n d # 3 , r e s p e c t i v e l y ) . F I G U R E 4.9 ( a ) O n e h u n d r e d t r a c e o f 0 . 1 s o f d a t a f r o m a r e g i o n o f b r a i d e d s a n d l e n s e s , i n a p o t e n t i a l p r o d u c t i o n z o n e . N o t e t h e p e r s i s t a n c e o f a t h i n p o s i t i v e e v e n t a t 0 . 6 8 s , b e t w e e n t r a c e s 2 9 a n d 7 0 . I n t h i s c a s e , t h e c l u s e r i n g s f r o m b o t h t h e f i r s t a n d s e c o n d e i g e n v e c t o r s ( b a n d c ) d e l i n e a t e a g r o u p i n t h e r e g i o n o f t h e b a r ( B ) b r a c k e t e d b y m e m b e r s o f a d i f f e r e n t g r o u p ( A ) . A l s o i n t h e s e c o n d e i g e n v e c t o r we n o t e a d i s c o n t i n u i t y b e t w e e n t r a c e s 6 5 - 8 5 w h e r e t h e r e f l e c t i o n c h a r a c t e r n e a r 0 . 6 7 s c h a n g e s , b e c o m i n g s t r o n g e r ( C ) . T h e t h i r d e i g e n v e c t o r ( d ) a l s o d e m o n s t r a t e s t h e p r e s e n c e o f a c e n t r a l g r o u p , f l a n k e d b y m e m b e r s o f a s e c o n d g r o u p . 1 3 8 S E C T I O N 4 . I I : V E L O C I T Y A N A L Y S I S . a . I n t r o d u c t i o n . I n t h i s s e c t i o n I s h o w h o w t h e e i g e n v a l u e s d e r i v e d f r o m t h e c o v a r i a n c e m a t r i x c a n b e u s e d t o e s t a b l i s h a c o r r e l a t i o n c r i t e r i o n , w h i c h u n d e r c e r t a i n c o n d i t i o n s m a y b e s u p e r i o r t o t h e c o m m o n l y u s e d s e m b l a n c e c r i t e r i o n ( e g . N e i d e l a n d T a n e r , 1 9 7 1 ) . W i t h x(m) d e f i n e d i n equation (21) we n o t e f o r n o r m a l i z e d i n p u t t r a c e s t h a t i f \(1) =  0 0  t h e s i g n a l s a r e p e r f e c t l y c o r r e l a t e d w h i l e i f x(1) - l / ( n - l ) t h e n t h e s i g n a l s a r e n e a r l y o r t h o g o n a l . b . T h e E f f e c t s o f S t a t i c S h i f t s . F o r w a v e l e t s w h i c h h a v e b e e n o f f s e t b y a s t a t i c s h i f t we a l s o e x p e c t x(l) t o p r o v i d e a g o o d i n d i c a t i o n o f t h e c o r r e l a t i o n i f t h e a m o u n t o f s t a t i c s h i f t i s l e s s t h a n t h a t p r e s c r i b e d b y equation (33). A s t h e s t a t i c s h i f t i n c r e a s e s h o w e v e r , i t w i l l b e i m p o s s i b l e t o r e p r e s e n t t h e s i g n a l e n e r g y i n t e r m s o f a s i n g l e p r i n c i p a l c o m p o n e n t ; m o r e p r i n c i p a l c o m p o n e n t s w i l l b e r e q u i r e d . S o , f o r t h e C K L v e l o c i t y a n a l y s i s ( V A ) , a w a v e l e t d i s p l a c e d b y a s m a l l s t a t i c t i m e s h i f t w i l l b e r o t a t e d s o a s t o a p p e a r m o r e c o h e r e n t , a n d t h e V A s h o u l d b e l e s s s e n s i t i v e t o t h e d e g r a d i n g e f f e c t s o f t h e t i m e s h i f t s . 1 3 9 c . S y n t h e t i c D a t a E x a m p l e s . I n t h e f o l l o w i n g t r i a l s , t h e w i d t h o f t h e V A t i m e w i n d o w w a s s e t t o 16 s a m p l e s , a b o u t 2 / 3 o f t h e w a v e l e t w i d t h . A s t h e w i n d o w w a s n a r r o w e d o r b r o a d e n e d , t h e r e s u l t s f o r b o t h s e m b l a n c e a n d K L V A m e t h o d s d e t e r i o r a t e d , a s e x p e c t e d , b e c a u s e w i t h a w i n d o w w h i c h i s t o o w i d e m o s t e v e n t s a p p e a r d i s s i m i l a r , w h i l e w i t h a v e r y n a r r o w w i n d o w m o s t e v e n t s l o o k s i m i l a r , i n t h a t t h e y a r e f a i r l y c o n s t a n t , a n d w i l l h a v e a l a r g e c o m m o n m e a n c o m p o n e n t . T o d e m o n s t r a t e t h e p e r f o r m a n c e o f s e m b l a n c e v e r s u s t h e r e a l a n d c o m p l e x K L m o d i f i e d e i g e n v a l u e r a t i o , I c o n s i d e r t h e c a s e o f a s i n g l e e v e n t ( a t 1 s , w i t h a n a s s o c i a t e d v e l o c i t y o f 1 5 0 0 m / s ) . T w e l v e t r a c e s ( F i g u r e 4 . 1 0 ) w e r e p r o g r e s s i v e l y s u b j e c t e d t o s t a t i c t i m e s h i f t s , r a n g i n g f r o m z e r o t o a m a x i m u m o f ^ ± 8 t i m e s a m p l e s . I n F i g u r e 4 . 1 1 we s e e i n t h e l e f t c o l u m n t h e s e m b l a n c e V A f o r s t a t i c t i m e s h i f t s o f < ± 0 , ± 2 , ± 4 , ± 6 , a n d ± 8 t i m e s a m p l e s . T h e p e a k ( a t 1 5 0 0 m / s , a n d 1.0 s ) i s q u i c k l y s m e a r e d a s t h e s t a t i c s h i f t i n c r e a s e s . A l s o n o t e t h e v e r t i c a l s m e a r i n g c h a r a c t e r i s t i c o f s e m b l a n c e V A r e s u l t s . O n t h e r i g h t o f t h e f i g u r e a r e s h o w n t h e r e s u l t s o f a n R K L V A f o r e a c h o f s e v e r a l x(m) v a l u e s f o r e a c h s t a t i c t i m e s h i f t . N o t e h o w t h e p e a k o f t h e R K L V A c a n s t i l l b e i d e n t i f i e d e v e n a t l a r g e s t a t i c s h i f t s b y i n c r e a s i n g t h e n u m b e r o f e i g e n v a l u e s i n t h e n u m e r a t o r o f equation (21) ( i . e . i n c r e a s i n g m i n x(m)) . T h i s e f f e c t i v e l y i n c l u d e s m o r e 1 4 0 o f t h e s i g n a l r e l a t e d e n e r g y i n t h e n u m e r a t o r o f equation (21). T h i s e x c e r c i s e w a s r e p e a t e d f o r t h e C K L V A , a n d t h e c o m p a r i s o n w i t h s e m b l a n c e r e s u l t s m a d e a g a i n ( F i g u r e 4 . 1 2 ) . A g a i n , t h e K L V A m e t h o d i s r e a d i l y a b l e t o d e n o t e t h e l o c a t i o n o f t h e p e a k a s s t a t i c t i m e s h i f t s a r e i n t r o d u c e d . S i m i l a r t r i a l s w e r e p e r f o r m e d f o r t h e c a s e o f i n c r e a s i n g w h i t e n o i s e l e v e l s . I n t h i s i n s t a n c e n o t h i n g w a s g a i n e d b y i n c r e a s i n g t h e n u m b e r o f e i g e n v a l u e s i n t h e n u m e r a t o r o f equation (21). T h i s i s b e c a u s e w h i t e n o i s e a d d s e n e r g y u n i f o r m a l l y t o t h e d i a g o n a l o f t h e c o v a r i a n c e m a t r i x a n d i n c r e a s i n g t h e n u m b e r o f e l e m e n t s o n t h e t o p l i n e m e r e l y i n c l u d e s m o r e n o i s e e n e r g y i n t h e n u m e r a t o r . A c o m p a r i s o n o f t h e s e m b l a n c e , R K L a n d C K L V A r e s u l t s a r e s h o w n f o r 5 n o i s e l e v e l s ( 4 0 , 5 5 , 7 0 , 8 5 , a n d 1 0 0 % ) i n F i g u r e 4 . 1 3 ) . A l t h o u g h t h e s e m b l a n c e r e s u l t s d e g r a d e s e v e r e l y w i t h i n c r e a s e i n n o i s e l e v e l , t h e y r e m a i n s u p e r i o r t o b o t h t h e K L V A r e s u l t s . I n o t h e r w o r d s , t h e K L V A m e t h o d i s m o r e s e n s i t i v e t o h i g h n o i s e l e v e l s t h a n i s t h e s e m b l a n c e . H o w e v e r , a t m o d e r a t e n o i s e l e v e l s ( < 3 0 % b y m a x i m u m a m p l i t u d e ) t h e K L m e t h o d s a r e s u p e r i o r . T o e x a m i n e t h e r e s o l u t i o n o f c l o s e l y s p a c e d ' t h i n b e d s ' , I r e p e a t e d t h e a b o v e e x a m p l e w i t h a f o u r l a y e r m o d e l . I n t h e p r e v i o u s e x a m p l e , t h e v e l o c i t y w a s q u i t e l o w a n d h e n c e t h e m o v e o u t w a s p r o n o u n c e d a n d t h e a l g o r i t h m s a l l w o r k e d w e l l . I n c r e a s i n g t h e v e l o c i t y r e d u c e s t h e c u r v a t u r e , a n d we e x p e c t t o 141 s e e a s m e a r i n g o f t h e p e a k s i n t h e V A m a p . F i g u r e 4 . 1 4 s h o w s t h e 1 2 s y n t h e t i c s e i s m o g r a m s , s a m p l e d a t 4 m s , r e p r e s e n t i n g t h e t h r e e i n t e r f a c e r e f l e c t i o n s f r o m f o u r l a y e r s ( w i t h t h i c k n e s s a n d v e l o c i t y : 1 8 0 0 m, 1 8 0 0 m / s ; 5 0 m, 1 8 5 0 m / s ; 5 0 m, 1 9 0 0 m / s ; a n d 5 0 m, 1 9 5 0 m/s r e s p e c t i v e l y ) . N o t e t h a t i n s u c h a m o d e l , t h e s t a c k i n g v e l o c i t i e s c h a n g e v e r y l i t t l e . T h e r e s u l t s f r o m t h e s e m b l a n c e , R K L a n d C K L V A ' s a r e s h o w n i n F i g u r e 4 . 1 5 ( t h e f i r s t t h r e e x(m) c r i t e r i a V A ' s f o r t h e K L r u n s a r e s h o w n ) . T h e R K L r e s u l t f o r x(2) s e p a r a t e s t h e t h r e e e v e n t s , w h e r e a s t h e C K L x(1) V A d o e s l e s s w e l l a n d t h e C K L x(2) V A i s s o m e w h a t s m e a r e d , a l t h o u g h t h e t h r e e e v e n t s c a n b e s e e n . T h e s e m b l a n c e V A f a i l s c o m p l e t e l y , a n d s m e a r s t h e t r i p l e t i n t o a v a g u e z o n e o f h i g h a m p l i t u d e . T h i s i n d i c a t e s t h a t t h e K L m e t h o d s h o u l d b e b e t t e r a b l e t o r e s o l v e p r o x i m a l e v e n t s . H o w e v e r , t h i s c o n c l u s i o n i s n o t c o n f i r m e d b y t h e m a j o r i t y o f s u b s e q u e n t r e s u l t s . I n t h e f o l l o w i n g s y n t h e t i c d a t a e x a m p l e s , I p r e s e n t t h e c a s e o f a m u l t i l a y e r e d r e f l e c t i o n s e q u e n c e . T h e i n p u t s e i s m o g r a m s , s a m p l e d a t 4 m s , F i g u r e 4 . 1 6 a c o r r e p o n d i n g t o t h e a d j a c e n t l a y e r e d e a r t h m o d e l ( b ) , w e r e c o n t a m i n a t e d b y a s m a l l a m o u n t o f w h i t e n o i s e ( u p t o 5 % o f t h e m a x i m u m s i g n a l a m p l i t u d e ) , p r i m a r i l y t o s t a b i l i z e t h e p e r f o r m a n c e o f t h e a l g o r i t h m a t z o n e s w h e r e n o s i g n a l i s p r e s e n t . T h e r e s u l t s o f t h e s e m b l a n c e , R K L , a n d C K L v e l o c i t y a n a l y s e s a r e s h o w n a f t e r g a i n c o n t r o l i n F i g u r e 4 . 1 7 a , b , a n d c , r e s p e c t i v e l y . 1 4 2 We - s e e t h a t t h e K L r e s u l t s ( p r e s e n t e d f o r x(D, x ( 2 ) , a n d x(3) , r e s p e c t i v e l y ) g i v e b e t t e r t e m p o r a l r e s o l u t i o n o f e v e n t s t h a n d o e s t h e s e m b l a n c e . T h i s h a s i m p o r t a n t a d v a n t a g e s w h e n s t a c k i n g v e l o c i t i e s a r e t o b e i n v e r t e d t o r e c o v e r i n t e r v a l v e l o c i t i e s . H o w e v e r , t h e s e m b l a n c e r e s u l t s a r e f a i r l y e v e n l y b a l a n c e d a n d w i l l a l s o y i e l d a g o o d s t a c k i n g v e l o c i t y c u r v e . N o n e o f t h e V A m a p s i n t h i s e x a m p l e w a s a b l e t o d e l i n e a t e t h e c e n t r a l p e a k o f t h e t r i p l e t a t 1 . 0 6 s f r o m i t s a d j a c e n t p e a k s ( a t a b o u t 1.0.0 a n d 1 . 1 2 s , r e s p e c t i v e l y ) . I n t h e n e x t e x a m p l e I d e m o n s t r a t e t h e p e r f o r m a n c e o f t h e V A a l g o r i t h m s w h e n s t a t i c s a r e p r e s e n t . S t a t i c s h i f t s w i t h v a l u e s a s l a r g e a s ±1 2 ms a r e i n t r o d u c e d ( b y d e l e t i n g o r a d d i n g z e r o e s t o t h e s t a r t o f e a c h t r a c e ) . C o n s e q u e n t l y m o r e t h a n o n e p r i n c i p a l c o m p o n e n t i s n e e d e d t o r e p r e s e n t t h e s i g n a l e n e r g y , a n d x(3) w a s v i s u a l l y c h o s e n a s t h e b e s t c o r r e l a t i o n c r i t e r i o n . T h e d a t a , c o n t a m i n a t e d w i t h s t a t i c s a r e s h o w n i n F i g u r e 4 . 1 8 . T h e V A r e s u l t s ( F i g u r e 4 . 1 9 a , b , a n d c ) a r e c o n s i d e r a b l y w o r s e t h a n t h o s e i n F i g u r e 4 . 1 7 , b u t t h e p e a k s e x h i b i t e d b y t h e x(2) a n d x(3) p l o t s f o r b o t h t h e R K L a n d C K L V A ' s a r e a t t h e c o r r e c t v e l o c i t i e s . O n t h e o t h e r h a n d , t h e s e m b l a n c e r e s u l t s a r e s m e a r e d a n d m u l t i p l e p e a k s a p p e a r f o r c e r t a i n t i m e s ( e . g . a t 1 . 3 4 s e c o n d s w h e r e t h e s e m b l a n c e p o w e r i s l a r g e ) . 1 4 3 d . R e a l D a t a E x a m p l e s . T h e 16 t r a c e s s h o w n i n F i g u r e 4 . 2 0 a a r e t a k e n f r o m a C S P g a t h e r s h o t i n n o r t h e r n A l b e r t a ' b y C h e v r o n C a n a d a R e s o u r c e s L t d . T h e o f f s e t s r a n g e f r o m 5 8 2 t o 1 6 6 2 m, w i t h a g e o p h o n e s p a c i n g o f 7 2 m, a n d t h e b a s e m e n t i s a t 1.6 s . F o r t h i s e x a m i n a t i o n , I h a v e s e l e c t e d d a t a s o a s t o p r o v i d e 1.2 s o f z e r o o f f s e t t i m e i n t h e V A m a p . T h e s e m b l a n c e r e s u l t s ( F i g u r e 4 . 2 0 b ) s h o w a s m e a r e d t r a j e c t o r y , b u t p i c k s c a n r e a d i l y b e m a d e d o w n t o 1 s . I n a n a t t e m p t t o d e t e r m i n e a g o o d x(m) t o u s e i n t h e K L V A , I s e l e c t e d t w o s m a l l w i n d o w s : o n e f r o m 0 . 0 - 0 . 2 s , a n d o n e f r o m 0 . 9 - 1.1 s . A c o m p a r i s o n o f r e s u l t s f o r s e m b l a n c e , R K L , a n d C K L V A ' s i s s h o w n i n F i g u r e 4 . 2 1 f o r t h e t w o w i n d o w s r e p e c t i v e l y . B o t h t h e R K L a n d C K L r e s u l t s s u g g e s t e d u s i n g x(D, x(2), o r x(3). T h e R K L a n d C K L V A m a p s f o r t h e c o m p l e t e d a t a s a m p l e a r e s h o w n f o r a l l t h r e e x(m) v a l u e s , a f t e r a p p l i c a t i o n o f a n A G C o p e r a t o r , i n F i g u r e s 4 . 2 2 a n d 4 . 2 3 , r e s p e c t i v e l y . A m a j o r p r o b l e m t h a t a r i s e s w i t h b o t h t h e K L V A m e t h o d s i s t h e l a c k o f c o n s i s t e n c y d o w n t h e V A m a p . A x(1) c r i t e r i o n w o r k s w e l l a t t h e s t a r t o f t h e m a p , b u t n o t l a t e r . N o n e w o r k w e l l i n t h e r e g i o n n e a r 0 . 4 s ; t h e x(2) a n d x(3) c r i t e r i a w o r k w e l l a t g r e a t e r t i m e s . T h e g e n e r a l t r e n d s a r e t h o s e e x p e c t e d , i . e . we n e e d t o i n c r e a s e m i n x(™) w i t h i n c r e a s i n g t i m e , a s t h e m o v e o u t 1 4 4 h y p e r b o l a e a r e b e c o m i n g f l a t t e r a n d s t a t i c s h i f t s w i l l b e m o r e n o t i c a b l e . T h e s e c o n d r e a l d a t a s e t I e x a m i n e , w a s c o l l e c t e d d u r i n g t h e U B C - R E C O P E p r o j e c t i n C o s t a R i c a i n 1 9 8 2 ( v o n B r e y m a n n a n d C l o w e s , p e r s . c o m m . , 1 9 8 4 ) . I t c o n s i s t s o f w i d e a n g l e r e f l e c t i o n d a t a s h o t w i t h a n a i r g u n i n d e e p w a t e r ( > 2 km) ( s e e F i g u r e 4 . 2 4 a ) . T h e o f f s e t s f o r t h e d a t a s u b s e t I c o n s i d e r r a n g e f r o m 1 6 3 0 t o 4 4 1 5 m w i t h a n a v e r a g e r e c e i v e r s p a c i n g o f 1 2 0 m. T h e V A m a p s s p a n t h e z e r o o f f s e t t w o w a y t r a v e l t i m e w i n d o w 2 . 9 t o 4 . 4 s ( t h e w a t e r b o t t o m r e f l e c t i o n c o m e s i n a t a b o u t 3 . 0 s ) . T o d e t e r m i n e w h i c h x(m) c r i t e r i o n t o u s e f o r t h e K L V A ' s , t w o s m a l l t i m e w i n d o w s w e r e c h o s e n ( a t 3 . 0 a n d 4 . 0 s : s e e F i g u r e 4 . 2 5 ) . H o w e v e r , t h e s e p r o v e d t o b e m i s l e a d i n g , a s t h e b e s t o v e r a l l r e s u l t s w e r e o b t a i n e d u s i n g x(l) a n d x(2), a n d n o t w i t h x(4) a s s u g g e s t e d b y t h e s a m p l e w i n d o w s . T h e r e s u l t s f r o m t h e s e m b l a n c e , R K L , a n d C K L V A ' s a r e s h o w n a f t e r A G C i n F i g u r e s 4 . 2 4 b , 4 . 2 6 , a n d 4 . 2 7 , r e s p e c t i v e l y . F o r t h e K L V A ' s , r e s u l t s f o r b o t h x(1) a n d x(2) a r e s h o w n . F r o m t h e s e m b l a n c e m a p , p i c k s c a n b e m a d e f o r : r = 2 . 9 5 s , V R M S  = 1 5 0 0 m / s ; r = 3 . 5 0 s , V R M S  = 1 6 0 0 m / s ; a n d t = 4 . 2 5 s , V = 1 7 0 0 m / s . 1 4 5 F r o m t h e R K L m a p s (x(D a n d x(2)), p i c k s c a n b e m a d e f o r : T = 2 . 9 5 s , V RMS = 1 5 0 0 m / s ; r = 3 . 0 4 s , V RMS = 1 5 5 0 m / s ; T = 3 . 1 8 s , V RMS = 1 5 8 0 m / s ; T = 3 . 4 5 s , V RMS = 1 6 5 0 m / s ; a n d T = 4 . 2 3 s , V RMS = 17 10 m / s ; f r o m t h e C K L m a p s (x(0 a n d x(2)), p i c k s c a n b e m a d e f o r : r = 2 . 9 5 s , V RMS = 1 5 0 0 m / s ; 7 = 3 . 0 4 s , V RMS = 1 5 5 0 m / s ; r = 3 . 1 8 s , V RMS = 1 5 8 0 m / s ; T = 3 . 4 5 s , V RMS = 1 6 4 0 m / s ; T = 3 . 9 0 s , v RMS = 1 6 9 0 m / s ; T = 4 . 4 5 s , v RMS = 17 5 0 m / s ; I n t h e R K L V A m a p s , s o m e d o u b l e a r r i v a l s a r e s e e n ( e . g . a t 3 . 2 0 a n d 4 . 4 3 s ) w h i c h a r e p r o b a b l y d u e t o t h e i n t e r n a l s t r u c t u r e o f t h e w a v e l e t b e i n g r e s o l v e d , i . e . t h e m a p s h o w s t h e r e f l e c t i o n s f r o m t h e l e a d i n g a n d t r a i l i n g e d g e s o f t h e d o w n g o i n g w a v e l e t . A l l t h e K L V A ' s w e r e d i s s a p o i n t i n g i n t h e i r g e n e r a l a p p e a r a n c e , a s I h a d e x p e c t e d g r e a t e r c l a r i t y a n d d e f i n i t i o n o f a r r i v a l s . D e c r e a s i n g A V ( t h e V A v e l o c i t y i n c r e m e n t ) f r o m 5 0 t o 2 5 m/s i m p r o v e d t h e s e m b l a n c e , b u t n o t t h e K L r e s u l t s . B a n d p a s s i n g t h e d a t a f r o m i t s o r i g i n a l 2 - 8 5 H z d o w n t o 5 - 5 0 H z a g a i n d i d n o t i m p r o v e t h e K L V A ' s . B a n d p a s s i n g s h o u l d r e d u c e t h e a m o u n t o f u n c o r r e l a t e d h i g h f r e q u e n c y e n e r g y , a n d t h u s r e d u c e t h e d e g r a d a t i o n o f t h e x(m) c r i t e r i o n . U n c o r r e l a t e d h i g h f r e q u e n c y 1 4 6 e n e r g y w o u l d a c t a s w h i t e n o i s e , a d d i n g p o w e r u n i f o r m a l l y t o t h e c o v a r i a n c e m a t r i x d i a g o n a l a n d d e g r a d i n g \(m). e . D i s c u s s i o n . T h e e i g e n v a l u e r a t i o s i m i l a r i t y c r i t e r i o n c o n s t i t u t e s a h i g h l y s e n s i t i v e s i m i l a r i t y m e a s u r e . H o w e v e r , w i t h r e a l d a t a t h e m e a s u r e s e e m s t o f a i l s e v e r e l y f o r n o i s y d a t a . I n a c o m p l i c a t e d C D P g a t h e r w i t h m a n y i n t e r f e r i n g m o v e o u t h y p e r b o l a e , t h e C K L m e t h o d w i l l b e a b l e t o r o t a t e m o s t w a v e f o r m s a n d m a k e t h e m s o s i m i l a r t h a t t h e V A w i l l h a v e m a x i m a a t s p u r i o u s r a n d V R M g l o c a t i o n s . T h e r e f o r e , t h i s m e t h o d m u s t b e t r e a t e d c a u t i o u s l y . F o r e a r l y a r r i v a l s , s u c h a s t h o s e s e e n i n t h e r e a l d a t a e x a m p l e o f F i g u r e 4 . 2 1 , t h e K L m e t h o d w o r k s v e r y w e l l i n c o m p a r i s o n t o t h e s e m b l a n c e V A . H o w e v e r , f o r t h e r e a l d a t a e x a m p l e w i t h h i g h e r n o i s e l e v e l s ( F i g u r e 4 . 2 5 ) t h e s e m b l a n c e r e s u l t i s c l e a r l y s u p e r i o r . T h e t e c h n i q u e m a y t h u s p r o v e t o b e o f u s e f o r h i g h r e s o l u t i o n n e a r s u r f a c e v e l o c i t y i n v e r s i o n p r o b l e m s . 1 4 7 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4 1.6 1.8 2.0 ' • 1 1 1 1 i i i i —r r * " ' 1 i 1 — ~ • 1 *L 1 w 1 J w jl ir w 1 1 1 1 1 1 1 « 4 . - F I G U R E 4.10 T w e l v e t r a c e s r e p r e s e n t i n g r e f l e c t i o n s f r o m t h e b a s e o f a l a y e r 7 5 0 m t h i c k w i t h v e l o c i t y 1 5 0 0 m / s . O f f s e t s r a n g e f r o m 0 t o 2 0 0 0 m. V(RMS): 1500 nws K K I . V A Hilli MM r HHHWti <±2 mm mm iwttjw stHrtew p t a mkm m$m m < ± 4 " " I ] mm mm WW Ml •HiJHH-! ItWftttl l«H)M l i # f « (HWtottl Itftttlttttl mm mm mm mm mm* mm mm <±6 < ± 8 i i i i n L i i i J fttntftTtr. j S m b l » n i u n ITIITTTTT" X mm mm mm X i J i mm mm x IHHJHMI m mM mm\ mmm mm\ IWHJWH umm x %7 Xa 1 4 8 F I G U R E 4.11 L e f t c o l u m n : S e m b l a n c e c r i t e r i o n V A f o r p r o g r e s s i v e l y i n c r e a s i n g s t a t i c t i m e s h i f t s ; d o w n t h e c o l u m n : u p t o 0 , ± 2 , ± 4 , ± 6 , ±8 s a m p l e p o i n t s ( i . e . 0 , ± 8 , ± 1 6 , ± 2 4 , ±32 m s ) . S e c o n d l e f t t o f a r r i g h t : R K L e i g e n v a l u e r a t i o c r i t e r i o n ; c o l u m n s f o r x(D , x(2) , . . . , x(S) . A s t h e s t a t i c s c a t t e r i n c r e a s e s , t h e s e m b l a n c e V A b r e a k s d o w n a n d i s u n a b l e t o r e l i a b l y l o c a t e t h e p e a k c o r r e s p o n d i n g t o t h e a r r i v a l . F o r t h e R K L V A , we n o t e h o w a p r o g r e s s i n g i n c r e a s e i n m, i n x(m), c o u n t e r a c t s t h e d e g r a d i n g e f f e c t o f a n i n c r e a s e i n s t a t i c s c a t t e r . T h e v e l o c i t y t i c k m a r k s a r e s e p a r a t e d b y 5 0 m / s . V(RMS) : i soom/ 5 CKL VA j l j i i i i i i i irTTTtltn U l l l l l i U l . " n i t ; : I i i u i jTITIipiiT jT;"ltp!ti < ± 2 wfym k t p t l Iwnpti b - p t l IHWHWI wttpti «JH«J WftjttHj |WH|HH |(HfjHHj JWHjHHj (ttWJWt S d ^ ± 4 « p d w p ) wHpt) wwpl kwp« Hfwp < ± 6 ^ 2 - LULU JlJl, ffTTTT TTTT » « P « w « P * f ™ r ™ w # ™ £ ± 8 Snb WttAtrt X i 3 x IHJHHI x» x« iHlllltllll EX Xa 1 4 9 F I G U R E 4 . 1 2 L e f t c o l u m n : S e m b l a n c e c r i t e r i o n V A f o r p r o g r e s s i v e l y i n c r e a s i n g s t a t i c t i m e s h i f t s ; d o w n t h e c o l u m n : u p t o 0 , ± 2 , ± 4 , ± 6 , ±8 s a m p l e p o i n t s ( i . e . 0 , ± 8 , ± 1 6 , ± 2 4 , ±3 2 m s ) . S e c o n d l e f t t o f a r r i g h t : C K L e i g e n v a l u e r a t i o c r i t e r i o n ; c o l u m n s f o r x(l), x(2), x(8). A s t h e s t a t i c s c a t t e r i n c r e a s e s , t h e s e m b l a n c e V A b r e a k s d o w n a n d i s u n a b l e t o r e l i a b l y l o c a t e t h e p e a k c o r r e s p o n d i n g t o t h e a r r i v a l . F o r t h e C K L V A , we n o t e h o w a p r o g r e s s i n g i n c r e a s e i n m, i n x(m), c o u n t e r a c t s t h e d e g r a d i n g e f f e c t o f a n i n c r e a s e i n s t a t i c s c a t t e r . T h e v e l o c i t y t i c k m a r k s a r e s e p a r a t e d b y 5 0 m / s . 1 5 0 V(RMS):1500m/s RKL 40% 55% 70% mm 85% 100% z3z iiml) mm mm mm p p mm X3 i i i MHUHH mm mm EE pWHtj mm mm mm W«l M M WWWH W W i . . . . l m i U t t U U l nffnnrn n n n i n i i i C K L m\m mm p»h Xi p t ™ WWW W K W i • nm torn IWM WWW*) wwwn ««ww INHUMI WWWf F I G U R E 4.13 T h e e f f e c t o f i n c r e a s i n g r a n d o m n o i s e l e v e l s ( d o w n t h e c o l u m n s : 4 0 , 5 5 , 7 0 , 8 5 , a n d 1 0 0 % o f t h e m a x i m u m a m p l i t u d e ) o n s e m b l a n c e ( f a r l e f t ) a n d K L V A ' s . C e n t r e a r e t h e R K L r e s u l t s , f a r r i g h t a r e t h e C K L r e s u l t s . A n i n c r e a s e i n m i n x(m) d o e s n o t i m p r o v e t h e r e s u l t f o r a d d e d r a n d o m n o i s e . T h i s i s b e c a u s e w h i t e n o i s e a d d s e n e r g y t o t h e d i a g o n a l o f t h e c o v a r i a n c e m a t r i x u n i f o r m a l l y , d e g r a d i n g t h e s i m i l a r i t y m e a s u r e f o r a l l m ( s e e t e x t ) . A s - t h e n o i s e l e v e l i n c r e a s e s , t h e s e m b l a n c e V A r e s u l t s a r e a b l e t o r e l i a b l y l o c a t e t h e m a x i m u m , b u t , d u e t o t h e i n c r e a s e i n e n e r g y a l l a l o n g t h e c o v a r i a n c e d i a g o n a l , t h e K L V A m a x i m a a r e l o s t i n t h e b a c k g r o u n d n o i s e . T h e v e l o c i t y t i c k m a r k s a r e a t 5 0 m / s . 151 F I G U R E 4.14 T w e l v e s y n t h e t i c s e i s i n o g r a m s r e p r e s e n t i n g r e f l e c t i o n s f r o m t h r e e c l o s e l y s p a c e d i n t e r f a c e s ( 5 0 m a p a r t ) . O f f s e t s r a n g e f r o m 0 t o 2 0 0 0 m. 1 5 2 1800 1 9 0 0 m / s 4—.—»- RKL 2.0 . 2.2. H—(- CKL 2.0 . 2.2_ H—I—h H—I—f- Xi H—I—h -\—I—f- I I I uuUOTJUUUuu«»- X2 H—I—h **lUHL!'IU1'"' " • 1 mjuiruuuupw. -f—f- "TjTJUUUUUUuwi vOUtJUUUUUuiix rftflflnTDUllliu . . . . . . 4—1—h F I G U R E 4 . 1 5 V A r e s u l t s f o r t h e t h r e e r e f l e c t i o n e v e n t s . T h e s e m b l a n c e V A s m e a r s t h e e v e n t s a n d i s u n a b l e t o r e s o l v e t h e m . H o w e v e r , b o t h K L V A ' s a r e w e l l a b l e t o d i s t i n g u i s h t h e o u t e r t w o e v e n t s , a n d t h e R K L x(2) a n d C K L x(3) V A ' s i n d i c a t e t h e p o s s i b i l i t y o f a t h i r d c e n t r a l e v e n t . I n b o t h t h e s e V A ' s , t h e o u t e r e v e n t a p p e a r s a t a b o u t 2 . 1 2 5 s , w h i c h i s a b i t l a t e . T r u e r a n d V_ „ v a l u e s a r e : 1 8 0 0 m/s a t 2 . 0 s , 1 8 6 1 m/s a t 2 . 0 6 , a n d 1 8 0 4 m/s Kt 2 . 1 1 s . T h e v e l o c i t y t i c k m a r k s a r e a t 5 0 m / s . 153 (0 E o in E o o CO \ E o 10 E o o CO E o o (O E o m CO E o 0> E o m (0 \ E o O) 0> E o o (fl o CM E o m (0 \ E o o Csl E o (0 E o o CM CM T ( s ) F I G U R E 4 . 1 6 T w e l v e s y n t h e t i c s e i s m o g r a m s ( a ) r e p r e s e n t i n g r e f l e c t i o n s f r o m t e n f l a t l a y e r s , a s s h o w n i n ( b ) . O f f s e t s r a n g e f r o m 0 t o 2 0 0 0 m. 1 5 4 SEMB.RMS VEL 1500 1800 -* 1 1 1 (- LU CE err r— cr 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4 1.6 F I G U R E 4 . 1 7 a F o r t h e d a t a o f F i g u r e 4 . 1 6 , t h e s e m b l a n c e V A ( a ) g i v e s a f a i r l y c o n s i s t e n t p i c t u r e o f s m e a r e d - a r r i v a l s , h o w e v e r , t h e s t a c k i n g v e l o c i t y t r a j e c t o r y c a n r e a d i l y b e p i c k e d . T h e s o l i d l i n e i s t h e t r u e t~VD.  c  l o c u s . T h e v e l o c i t y t i c k m a r k s a r e a t 5 0 m / s . 155 CO X CM X T o C O cr cr X cn LO CD CD CO CD CD CM CD VER.TRflV.TiriE F I G U R E 4 . 1 7 b T h e R K L m e t h o d ( f o r x(D, x(2), a n d x(3)) g i v e s a m u c h s h a r p e r d e f i n i t i o n o f e v e n t s , a n d a l l e x c e p t x(0 h a v e g i v e n a c l e a r d e l i n e a t i o n o f t h e v e r y f i r s t e v e n t ( a t 0 . 6 s , a n d 1 5 5 0 m / s ) , w h e r e a s t h e s e m b l a n c e V A g i v e s a s p u r i o u s v a l u e o f 1 6 0 0 m/s f o r t h i s a r r i v a l . H o w e v e r , t h e s e m b l a n c e V A g i v e s a c l e a r i n d i c a t i o n o f t h e p r e s e n c e o f t h e e v e n t a t 1 . 0 5 s , w h e r e a s t h e R K L V A d o e s n o t . T h e s o l i d l i n e i s t h e t r u e r - V m s l o c u s . T h e v e l o c i t y t i c k m a r k s a r e a t 5 0 m / s . 1 5 6 oo CO cr X CD LO CD CO cz) CM CD CD CD «—* —• —' —' VER.TRRV.TiriE F I G U R E 4 . 1 7 c T h e C K L m e t h o d ( f o r x(D, x(2), a n d x(3)) g i v e s a m u c h s h a r p e r d e f i n i t i o n o f e v e n t s , a n d a l l h a v e g i v e n a c l e a r d e l i n e a t i o n o f t h e v e r y f i r s t e v e n t ( a t 0 . 6 s , a n d 1 5 5 0 m / s ) , w h e r e a s t h e s e m b l a n c e V A g i v e s a s p u r i o u s v a l u e o f 1 6 0 0 m/s f o r t h i s a r r i v a l . H o w e v e r , t h e s e m b l a n c e V A g i v e s a c l e a r i n d i c a t i o n o f t h e o f t h e e v e n t a t 1 . 0 5 s . w h e r e a s t h e C K L V A d o e s n o t . T h e p r e s e n c e s o l i d l i n e a t 5 0 m / s . i s t h e t r u e T-Vnir l o c u s . T h e v e l o c i t y t i c k m a r k s a r e RMS 1 5 7 T CM 1 2 F I G U R E 4 . 1 8 T w e l v e s y n t h e t i c s e i s m o g r a m s a s p e r F i g u r e 4 . 1 6 a , b u t w i t h t i m e s h i f t s o f u p t o ± 12 ms i n t r o d u c e d t o e a c h t r a c e . O f f s e t s r a n g e " f r o m 0 t o 2 0 0 0 m. 1 5 8 SEMB.RMS VEL 1500 1800 r./£ H 1 1 1 1- CT cr h— cr 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4 1.6 F I G U R E 4 . 1 9 a I n t h e c a s e w i t h s t a t i c t i m e s h i f t s , t h e s e m b l a n c e V A o f t h e d a t a ( F i g u r e 4 . 1 8 ) p e r f o r m s p o o r l y . T h e s o l i d l i n e i s t h e t r u e r-VRMS l o c u s . T h e v e l o c i t y t i c k m a r k s a r e a t 5 0 m / s . 1 5 9 CM X CO cr cr VER.TRRV.TIME F I G U R E 4 . 1 9 b F o r t h e R K L V A o f t h e d a t a ( F i g u r e 4 . 1 8 ) , t h e V A m a p s f o r x( 2) a n d x(3) a r e a b l e t o r e s o l v e t h e m a j o r i t y o f t h e r e f l e c t i o n e v e n t s . T h e s o l i d l i n e t i c k m a r k s a r e a t 5 0 m / s . i s t h e t r u e t-V RMS l o c u s . T h e v e l o c i t y 160 CM X C 3 C D CO C O n cn CD" CD LO CD CO CD CD CD T — CM CD V E R . T R A V . T I f l E F I G U R E 4 . 1 9 c F o r t h e C K L V A o f t h e d a t a ( F i g u r e 4 . 1 8 ) , a l l t h r e e V A m a p s , a r e a b l e t o r e s o l v e t h e m a j o r i t y o f t h e r e f l e c t i o n e v e n t s . T h e s o l i d l i n e i s t h e t r u e r-Vms l o c u s . T h e v e l o c i t y t i c k m a r k s a r e a t 5 0 m / s . LU C O 5Z cn cri LU co CD - CD • 00 - CD- CD CD C\J 161 ^ CO 00 • CD CD CD CD t — 3UIi'Addl'd3A —^_ - 4 — CO F I G U R E 4.20 ( a ) . T h r e e s e c o n d s o f 2 ms r e f l e c t i o n s e i s m i c d a t a f o r 1 6 o f f s e t s ( 5 8 2 t o 1 6 6 2 m) a f t e r b a n d p a s s f i l t e r i n g ( 8 t o 5 5 H z ) , m u t e , a n d a p p l i c a t i o n o f a n A G C . T h e b a s e m e n t i s a t a b o u t 1 . 6 2 s . ( b ) . T h e s e m b l a n c e V A o f t h i s d a t a : a s t a c k i n g v e l o c i t y l o c u s c a n b e p i c k e d f o r s e v e r a l p o i n t s . T h e v e l o c i t y t i c k m a r k s a r e a t 5 0 m / s . V(RMS) 2 0 0 0 I 11111 V(RMS) 2 5 0 0 162 Sm b Smb 1 0 0 . 2 R K L 0 . 2 J 44- IIIIIIH C K L 0.2 4-f 4+ 44- +4- 4-4- R K L 1.0 +444 X , 4444- 4444 X2 4444- 4444 X3 4444- C K L 1.0 +44444+4 X2 +4+44444 l l l l l l l l +4444444 X3 +4+44+44 F I G U R E 4.21 S a m p l e V A m a p s f o r 0 . 2 s o f d a t a i n t w o t i m e w i n d o w s . T h e s e r e s u l t s w e r e u s e d t o d e t e r m i n e a g o o d c h o i c e o f x(m) t o u s e i n t h e K L V A ' s . A t 0 . 2 s ( l e f t ) , t h e R K L V A f o r \(2) a n d x(3) p i c k s - o u t t w o d i s t i n c t e v e n t s c o r r e s p o n d i n g t o a s m e a r e d e q u i v a l e n t i n t h e s e m b l a n c e V A m a p . T h e C K L V A o n l y d e l i n e a t e s o n e e v e n t . F o r t h e w i n d o w a t 1.0 s ( r i g h t ) , R K L x(2) a n d C K L x(O d e l i n e a t e a s i n g l e e v e n t , w h e r e a s t h e s e m b l a n c e i s a g a i n s m e a r e d . T h e v e l o c i t y t i c k m a r k s a r e a t 5 0 m / s . 163 VER.TRflV.TIflE F I G U R E 4.22 R K L r e s u l t s f o r x(l), x(2), a n d x(3) f o r t h e d a t a s e e n i n F i g u r e 4 . 2 0 . A l t h o u g h i n d i v i d u a l e v e n t s a r e s h a r p e r t h a n t h o s e o f t h e s e m b l a n c e V A m a p , t h e g e n e r a l p i c t u r e i s l e s s c o n v i n c i n g . E v e n t s a r e w e l l r e s o l v e d a t e a r l y t i m e s , b u t b y 0 . 4 s , e v e n t s h a v e s t a r t e d t o d i s a p p e a r . T h e x(3) m a p g i v e s a c l e a r p i c k a t 1 s , b u t t h e p r e c e d i n g e v e n t s s e e n i n t h e s e m b l a n c e V A m a p a t 0 . 9 5 s , i s a b s e n t . 1 6 4 O J C D co CD CD CD CD VER.TRflV.TIME F I G U R E 4 . 2 3 C K L r e s u l t s f o r x(0, x(2), a n d x(3) f o r t h e d a t a o f F i g u r e 4 . 2 0 . A s w i t h t h e R K L V A r e s u l t s , t h e s e V A m a p s a r e p o o r l y b a l a n c e d . R e s o l u t i o n a t e a r l y t i m e s i s g o o d , b u t d e t e r i o r a t e s m a r k e d l y p a s t 0 . 3 s . O v e r a l l , t h e s e r e s u l t s s e e n l e s s p l a u s i b l e t h a n t h o s e o f t h e s e m b l a n c e V A m a p . T h e v e l o c i t y t i c k m a r k s a r e a t 5 0 m / s . o r N j ^ ( D C O o ( \ i ^ r oo co ro co* oo V E R J R f l V . T I N E 4 ) . . ) 1 t I I I I t t ) I F I G U R E 4.24 ( a ) . A s a m p l e o f t h e w i d e - a n g l e s e i s m i c r e f l e c t i o n d a t a c o l l e c t e d d u r i n g t h e U B C - R E C O P E ( C o s t a R i c a n N a t i o n a l O i l C o . ) j o i n t s e i s m i c p r o j e c t ( 1 9 8 2 ) . O f f s e t s r a n g e f r o m 1 6 3 0 t o 4 4 1 5 m. ( b ) . R e s u l t s o f a s e m b l a n c e V A . A l t h o u g h s m e a r e d , p i c k s c a n r e a d i l y b e m a d e f o r t h r e e p r i m a r y a r r i v a l s . 166 co em u FIGURE 4.25 T w o s a m p l e t i m e w i n d o w s t o a s s i s t i n c h o o s i n g a n a p p r o p r i a t e x(m) c r i t e r i o n f o r t h e K L V A o f t h e d a t a . T h e r e s u l t s a t 3 s ( l e f t ) s u g g e s t e d u s i n g x(4) f o r b o t h t h e R K L a n d C K L V A ' s . F o r t h e 4 s w i n d o w ( r i g h t ) , x(3) a n d x(4) l o o k p r o m i s i n g . H o w e v e r , i n p r a c t i c e t h e x(D a n d x(2) V A ' s p r o v e d t o b e o f g r e a t e r u s e . T h e v e l o c i t y t i c k m a r k s a r e a t 5 0 m / s . 167 CO IZ cn cr co cr c r o CD" CD LO C 5 CD" CD LO CD CO* CM CO co* CD CO* CO CO* CD VER.TRflV.TiriE F I G U R E 4 . 2 6 R K L V A r e s u l t s f o r x( O a n d x(2). A f t e r m u c h s c r u t i n y , p i c k s f o r f i v e RMS v e l o c i t i e s c a n b e m a d e : a n i m p r o v e m e n t o v e r t h e s e m b l a n c e V A m a p ( s e e t e x t ) . H o w e v e r , t h e o v e r a l l a p p e a r a n c e o f t h e s e m a p s i s n o t h e l p f u l t o t h e p i c k i n g . T h e v e l o c i t y t i c k m a r k s a r e a t 5 0 m / s . 168 L U 6 o o r - ' C O Z Z cm CM X o CD" CD L O L U > C O ? o o- C J CD LO CD 00* oo oo* C D 00* C O 00* CD C \ I V E R . T R f l V . T I H E F I G U R E 4 . 2 7 C K L V A r e s u l t s f o r x(l) a n d x(2). S i x RMS v e l o c i t i e s c a n b e m a d e f r o m t h e s e m a p s ( s e e t e x t ) . T h e v e l o c i t y t i c k m a r k s a r e a t 5 0 m / s . 1 6 9 S E C T I O N 4 . I l l : Q I N V E R S I O N . a . I n t r o d u c t i o n . B o t h R o b i n s o n ( 1 9 7 9 , 1 9 8 2 ) a n d B e r e s f o r d - S m i t h a n d M a s o n ( 1 9 8 0 ) d e v e l o p e d t e c h n i q u e s t o f a c i l i t a t e t h e r e m o v a l o f d i s p e r s i v e e f f e c t s f r o m s e i s m i c r e f l e c t i o n d a t a . R o b i n s o n ( 1 9 7 9 ) u t i l i s e d t h e t h e o r e t i c a l d e v e l o p m e n t s o f F u t t e r m a n n ( 1 9 6 2 ) t o p r o d u c e s y n t h e t i c s e i s m o g r a m s f o r d i s p e r s e d d a t a , a n d p r o c e e d e d t o s h o w h o w t h e e f f e c t s o f d i s p e r s i o n m a y b e r e m o v e d f r o m b o t h s y n t h e t i c a n d r e a l d a t a f o r a n h o m o g e n e o u s m e d i u m w i t h a k n o w n Q v a l u e ( A p p e n d i x 1 ) . R o b i n s o n ( 1 9 8 2 ) e x t e n d e d t h e w o r k i n h i s 1 9 7 9 p a p e r t o r e m o v e t h e e f f e c t s o f d i s p e r s i o n i n v e r t i c a l l y i n h o m o g e n e o u s m e d i a ( i . e . Q v a r y i n g w i t h d e p t h ) . H o w e v e r , h e a s s u m e d t h a t t h e Q s t r u c t u r e o f t h e r e f l e c t i o n s e c t i o n w a s k n o w n a p r i o r i . B e r e s f o r d - S m i t h a n d M a s o n ( 1 9 8 0 ) r e l i e d o n a m e a s u r e o f t h e d e g r e e o f d i s p e r s i o n t o e s t i m a t e t h e d i s p e r s i v e p r o p e r t i e s o f t h e m e d i u m . S u b s e q u e n t m i n i m i z a t i o n o f t h i s m e a s u r e i n a n i t e r a t i v e p r o c e d u r e w a s u s e d t o r e m o v e t h e c o r r e c t a m o u n t o f d i s t o r t i o n f r o m e a c h s e c t i o n o f t h e d a t a . B o t h t h e s e w o r k s a t t a c k e d t h e p r o b l e m d i r e c t l y a n d s h o u l d p r o v e m o s t u s e f u l i n t h e t r e a t m e n t o f e x i s t i n g c o n v e n t i o n a l l y c o l l e c t e d s e i s m i c r e f l e c t i o n d a t a . G a n l e y a n d K a n a s e w i c h ( 1 9 7 9 ) , r a t h e r t h a n a t t e m p t i n g t o r e m o v e t h e d i s p e r s i v e e f f e c t s f r o m t h e d a t a , s o u g h t a n e s t i m a t e 1 7 0 o f t h e Q s t r u c t u r e f o r t h e s e i s m i c r e f l e c t i o n s e c t i o n . T h e y a s s u m e d t h a t t h e i n p u t s i g n a l a n d t h e d i s p e r s i o n r e l a t i o n ( a g a i n a c o n s t a n t Q m o d e l ) w e r e k n o w n . U s i n g t h e c o m p l e x s p e c t r a l r a t i o t e c h n i q u e , t h e y d i v i d e d - o u t t h e n o n - d i s p e r s e d i n p u t s i g n a l f r o m t h e d i s p e r s e d d a t a t o o b t a i n t h e c u m u l a t i v e , a n d t h e n c e i n t e r v a l , Q v a l u e s . A t t e n t i o n w a s a l s o d i r e c t e d t o t h i s p r o b l e m a t t h e S t a n f o r d Q C o n f e r e n c e ( 1 9 8 0 ) , a n d b y S m i t h a n d N e i d e l ( 1 9 7 6 ) , T o k s o z a n d J o h n s o n ( 1 9 8 1 ) , M c M e c h a n a n d Y e d l i n (1981 ) , a n d R a f i p o u r ( 1 9 8 1 ) . b . A n I t e r a t i v e D i s p e r s i o n R e m o v a l S c h e m e U s i n g a n E f f e c t i v e - Q V a l u e F o l l o w i n g t h e a p p r o a c h o f R o b i n s o n ( 1 9 7 9 ) o u t l i n e d i n A p p e n d i x 1 , t h e c o n s t a n t Q m o d e l w a s e m p l o y e d t o u n d i s p e r s e a s e g m e n t o f d a t a u s i n g a s p e c i f i c Q v a l u e . H e r e I d i v e r g e f r o m h i s a p p r o a c h a n d r e p e a t t h e p r o c e d u r e f o r a s u i t e o f Q v a l u e s , a t e a c h i t e r a t i o n c o m p u t i n g a s i m i l a r i t y m e a s u r e x(1), b e t w e e n a r e f e r e n c e w a v e l e t a n d t h e u n d i s p e r s e d s i g n a l , o r b e t w e e n t h e m e m b e r s o f a s u i t e o f u n d i s p e r s e d s i g n a l s . I n s p e c t i o n o f t h e f u n c t i o n o f u n d i s p e r s i n g - C 2 _ v a l u e v e r s u s x(l) s h o u l d y i e l d a m a x i m u m w h e n t h e s i g n a l s h a v e b e e n u n d i s p e r s e d w i t h t h e Q v a l u e w i t h w h i c h t h e y w e r e o r i g i n a l l y d i s p e r s e d ( b y t h e e a r t h ) . A n e q u i v a l e n t a n d a l t e r n a t i v e a p p r o a c h w o u l d b e t o d i s p e r s e t h e r e f e r e n c e s i g n a l p r i o r t o c o m p a r i s o n w i t h t h e d i s p e r s e d d a t a . 1 7 1 F o r w a v e l e t s w i t h l a r g e t r a v e l t i m e s , t h e e x p e n s e o f F o u r i e r t r a n s f o r m i n g m a n y l o n g t i m e s e g m e n t s p o s e s a p r o b l e m . I i n t r o d u c e h e r e a n a p p r o x i m a t i o n t o f a c i l i t a t e a d e q u a t e r e p r e s e n t a t i o n o f a p u l s e a t a l a r g e t i m e w h i c h t r a v e l l e d t h r o u g h a m e d i u m w i t h q u a l i t y f a c t o r QQ , w i t h a p u l s e l o c a t e d a t s o m e s m a l l t i m e T . I e f f e c t t h i s a p p r o x i m a t i o n b y i n t r o d u c i n g a n e f f e c t i v e - Q v a l u e , Q fr. F o r a w a v e l e t o f d u r a t i o n l e s s t h a n T c e n t r e d a b o u t a r r i v a l t i m e T^, I r e p l a c e t h e t i m e s e r i e s w i t h t h e s a m e w a v e l e t c e n t r e d i n a w i n d o w o f w i d t h T . A f t e r p r o p a g a t i n g f o r a t i m e T^, t h e w a v e f o r m w i l l s u f f e r f r o m a l o s s i n a m p l i t u d e g i v e n b y : A(t) = A0 exp(-u>l/2Q) , w h i c h i s equation ( A l . l ) , w h e r e u> i s a n g u l a r f r e q u e n c y . T o p r o d u c e t h e s a m e l o s s o f e n e r g y , w h i l e i n s e r t i n g a s m a l l a p p a r a n t a r r i v a l t i m e T , w h e r e T = T /2, we m u s t c h o o s e a l o w e r s s w ' e f f e c t i v e ' Q v a l u e , h e n c e : Aft) = A0 exp(-uTs/2Qeff) s o : Ts/2Qeff - V 2 ^ o r : Qeff = Q T W / 2 T L ( 3 ? ) I t i s t h i s ' e f f e c t i v e ' Q v a l u e t h a t i s u s e d i n m o s t s u b s e q u e n t p r o c e s s i n g 1 7 2 We m a y t h i n k o f t h e r e a s o n i n g b e h i n d t h i s a p p r o x i m a t i o n a s f o l l o w s : f o r a c o n s t a n t Q m o d e l , a s i n u s o i d l o s e s a f i x e d p r o p o r t i o n o f e n e r g y p e r c y c l e t r a v e l l e d . C o n s e q u e n t l y , a l l o w i n g a s i n u s o i d t o p r o p a g a t e f o r 1 0 0 c y c l e s w i t h Q = 5 0 , i n c u r s t h e s a m e e n e r g y l o s s a s a l l o w i n g i t t o p r o p a g a t e f o r 5 0 c y c l e s w i t h Q = 2 5 . I t r a n s l a t e t h i s i n t o a s h i f t i n a r r i v a l t i m e i n c o n j u n c t i o n w i t h a n e f f e c t i v e Q v a l u e . H o w e v e r , a s n o t e d i n A p p e n d i x 1 , t h e F u t t e r m a n r e l a t i o n o n l y h o l d s f o r Q v a l u e s d o w n t o 2-n, d u e t o t h e a p p r o x i m a t i o n s i n v o l v e d . C o n s e q u e n t l y , i f @eff f a l l s b e l o w 2 i r f o r a g i v e n w i n d o w , t h e l e n g t h o f t h e s a m p l e w i n d o w i s d o u b l e d ( w i t h t h e w a v e l e t a g a i n c e n t r e d ) a n d £ ? e y y r e c a l c u l a t e d . T h e s a m p l e w i n d o w l e n g t h i s i n c r e a s e d i n t h i s w a y u n t i l Qefj- - 4 7 r . W h e n a r e l i a b l e r e f e r e n c e s i g n a l i s a v a i l a b l e , f o r e x a m p l e a c l e a n n e a r o f f s e t e a r l y a r r i v a l , t h e n t h e s u b s e q u e n t , a n d m o r e d i s p e r s e d s i g n a l s m a y b e c o m p a r e d t o i t . W h e n o n e h a s a s u i t e o f s i g n a l s w i t h s i m i l a r t r a v e l p a t h s ( a s a l o n g a m o v e o u t h y p e r b o l a f o r e x a m p l e ) , t h e n t h e e n t i r e s u i t e o f s i g n a l s m a y b e u n d i s p e r s e d a n d t h e s u i t e a s a w h o l e s u b s e q u e n t l y c o m p a r e d t o t h e r e f e r e n c e . I n t h i s l a t t e r c a s e , e a c h w a v e l e t i n t h e s u i t e i s u n d i s p e r s e d w i t h i t s a p p r o p r i a t e a r r i v a l t i m e a n d e f f e c t i v e Q v a l u e . T h e s u i t e a s a w h o l e w i l l b e b e s t u n d i s p e r s e d , h e n c e m o s t s i m i l a r , w h e n t h e a c t u a l c u m u l a t i v e Q v a l u e h a s b e e n u s e d . C o n s e q u e n t l y , t h e Q s t r u c t u r e d e r i v e d i n t h i s w a y w o u l d b e a b s o l u t e . I f t h e h o r i z o n t a l c o m p o n e n t o f t h e t r a v e l p a t h s v a r i e d g r e a t l y , t h e n e t 1 7 3 e f f e c t w o u l d b e t o a v e r a g e a n y l a t e r a l c h a n g e s i n Q . c . T h e C o n s t a n t P h a s e A p p r o x i m a t i o n . T h e i t e r a t i v e u n d i s p e r s i o n s c h e m e m a y b e u s e d w i t h h i g h q u a l i t y d a t a i n a n a t t e m p t t o r e c o v e r t h e c u m u l a t i v e ( t h e n c e i n t e r v a l ) Q s t r u c t u r e o f t h e d a t a . H o w e v e r , w h e n t h e o b j e c t o f t h e e x e r c i s e i s s i m p l y t o a l l e v i a t e t h e e f f e c t s o f d i s p e r s i o n , we m a y s e e k a s i m p l e r a n d m o r e c o s t e f f e c t i v e m e t h o d . H e r e , I u s e t h e c o m p l e x K L m e t h o d t o d e t e r m i n e w h e t h e r , a n d u n d e r w h a t c o n d i t i o n s , d i s p e r s i o n c a n b e a p p r o x i m a t e d b y a c o n s t a n t p h a s e s h i f t , v i z . x. (t ) =Re [ x. (t. ) exp(i e) ] , w h e r e x.(t) i s a m e a s u r e d ( a n d d i s p e r s e d ) s e i s m o g r a m , a n d x.(t) i s t h e c o m p l e x t r a c e o f t h e u n d e r l y i n g s i g n a l ( L e v y a n d O l d e n b u r g , 1 9 8 2 ) . I f a p p l i c a b i l i t y c a n b e d e t e r m i n e d t h e f i r s t e i g e n v e c t o r w i l l b e u s e d t o e s t i m a t e t h e s h i f t a n g l e e w h i c h w i l l r o t a t e t h e d i s p e r s e d t r a c e t o i t s u n d i s p e r s e d f o r m . T h e c h a n g e s o f e o v e r a s e i s m i c s e c t i o n w o u l d b e i n d i c a t i v e o f t h e d e g r e e o f d i s t o r t i o n o f t h e u n d e r l y i n g s i g n a l . T h i s d i s t o r t i o n w o u l d b e b r o u g h t a b o u t b y p h e n o m e n a s u c h a s i n t e r f e r e n c e i n t h i n l a y e r s , a t t e n u a t i o n , d i s p e r s i o n , a n d o u t - o f - p l a n e s c a t t e r i n g . A s e c t i o n d e p i c t i n g e v a l u e s w o u l d h i g h l i g h t t h e r a p i d i t y o f c h a n g e i n t h e p r o p a g a t i n g w a v e f o r m . W i t h t h e a p p r o p r i a t e q u a l i t y o f d a t a , s u c h a m a p o f e v a l u e s c o u l d b e u s e d a s a d i r e c t h y d r o c a r b o n i n d i c a t o r : a l a r g e e v a l u e 1 7 4 b e i n g i n d i c a t i v e o f a l a r g e c h a n g e i n t h e s i g n a l . S u c h a c h a n g e m a y b e b r o u g h t a b o u t b y a n i n c r e a s e i n t h e d i s p e r s i v e p r o p e r t i e s o f t h e m e d i u m , s u c h a s o c c u r s i n g a s s a t u r a t e d m e d i a . H o w e v e r , h e r e I w i l l s i m p l y d e m o n s t r a t e t h e a p p l i c a b i l i t y o f t h e c o n s t a n t p h a s e s h i f t a p p r o x i m a t i o n t o d i s p e r s i o n b y c o n s i d e r i n g a s e t o f s y n t h e t i c d a t a e x a m p l e s a n d c o m p l e t i n g t h e f o l l o w i n g s t e p s : ( 1 ) s e l e c t a t i m e w i n d o w w h i c h c o n t a i n s a d i s p e r s e d p u l s e ; ( 2 ) c a l c u l a t e t h e e n v e l o p e o f t h e a n a l y t i c s i g n a l f o r t h e d i s p e r s e d p u l s e a n d r e f e r e n c e p u l s e ( i n i t i a l w a v e l e t ) , a l i g n i n g t h e p e a k s o f t h e e n v e l o p e s s o t h e r e i s n o t i m e d i s c r e p a n c y ; ( 3 ) a p p l y t h e c o m p l e x K L t r a n s f o r m a t i o n ; ( 4 ) e v a l u a t e x(D a n d e (equation (32)). I f x(0 i s l a r g e , t h e n t h e d i s p e r s e d s i g n a l i s a p p r o x i m a t e l y a p h a s e s h i f t e d v e r s o n o f t h e o r i g i n a l . I f x(1) - 1 t h e n t h e c o n s t a n t p h a s e s h i f t a s s u m p t i o n i s n o t v a l i d . T h e f i r s t s e r i e s o f e x a m p l e s c o v e r s t h e c o n s t a n t p h a s e a p p r o x i m a t i o n . I n e a c h o f t h e f i g u r e s p r e s e n t e d , I s h o w ( 1 ) t h e r e f e r e n c e w a v e l e t ( a R i c k e r w a v e l e t o f c e n t r e f r e q u e n c y 3 5 H z , n o t d i s p e r s e d ) ; ( 2 ) t h e d i s p e r s e d w a v e l e t ( w h i c h s i m u l a t e s a n a r r i v a l f r o m a s p e c i f i e d t i m e ) ; ( 3 ) t h e r e a l p a r t o f t h e f i r s t p r i n c i p a l c o m p o n e n t ; ( 4 ) t h e r e a l p a r t o f t h e s e c o n d p r i n c i p a l c o m p o n e n t , p r i n c i p a l c o m p o n e n t s f r o m t h e C K L d e c o m p o s i t i o n o f t h e t w o i n p u t w a v e f o r m s , a n d ( 5 ) t h e d i s p e r s e d w a v e f o r m ( a s i n ( 2 ) ) 1 7 5 r o t a t e d b y t h e p h a s e a n g l e e ( f r o m equation (32)). F i g u r e 4 . 2 8 s h o w s f o u r p a n e l s , e a c h a s d e s c r i b e d a b o v e f o r a w a v e l e t c e n t r e d a t 0 . 5 s e c o n d s d i s p e r s e d w i t h Q v a l u e s 2 5 , 5 5 , 8 5 , a n d 1 1 5 r e s p e c t i v e l y . F i g u r e 4 . 2 9 s h o w s t h e a n a l a g o u s r e s u l t s f o r t h e c a s e w h e r e t h e e f f e c t s o f a t t e n u a t i o n a r e i n c l u d e d . I n a l l e x a m p l e s , t h e w a v e f o r m s w e r e a l i g n e d o n t h e b a s i s o f c o m p l e x t r a c e e n v e l o p e . I n g e n e r a l , we n o t e t h a t t h e C K L a l g o r i t h m i s w e l l a b l e t o e x t r a c t a s i g n a l c o m m o n t o t h e r e f e r e n c e ( 1 ) a n d t h e d i s p e r s e d w a v e l e t ( 2 ) , w i t h a l a r g e v a l u e o f x ( J ) . T h e r e s u l t s i m p r o v e w i t h i n c r e a s i n g Q v a l u e , a s t h e d i s p e r s e d w a v e f o r m b e c o m e s m o r e l i k e a p u r e l y p h a s e r o t a t e d w a v e l e t . I n c l u d i n g t h e e f f e c t s o f a t t e n u a t i o n d e g r a d e s t h e r e s u l t . T h e p h a s e s h i f t r e q u i r e d t o ' c o r r e c t ' f o r t h e d i s p e r s i o n a l s o d e c r e a s e s w i t h i n c r e a s i n g Q v a l u e , a s t h e d i s p e r s i v e d i s t o r t i o n d e c r e a s e s . T h e e x a m p l e s s h o w n w e r e f o r a R i c k e r w a v e l e t o f c e n t r e f r e q u e n c y 3 5 H z . I n F i g u r e 4 . 3 0 , I s h o w t h e r e s u l t s o f v a r y i n g t h e c e n t r e f r e q u e n c y b e t w e e n 1 5 a n d 5 5 H z , o n t h e l o c u s o f Ln(\e\) v e r s u s Ln(Qeyj.) . F o r a f i x e d w i n d o w l e n g t h , f o r w a v e l e t s w i t h c e n t r e f r e q u e n c y a b o v e 10 H z , I d e t e r m i n e d t h e f o l l o w i n g e m p i r i c a l r e l a t i o n s h i p : Ln(\e\) = 3.7-1.0 Ln(Qeff/Tj H e r e I h a v e i n v o k e d my a s s u m p t i o n t h a t a s h i f t i n t i m e c a n b e d u p l i c a t e d b y a c h a n g e i n Q, h e n c e t h e r e l a t i o n i n v o l v e s o n l y t h e 1 7 6 v a r i a b l e Qej-j-> r a t h e r t h a n t i m e a n d Q e x p l i c i t l y . F o r t h e l o w e s t c e n t r e f r e q u e n c y c o n s i d e r e d ( 1 5 H z ) , t h e r e l a t i o n s h i p i s e r r a t i c b e l o w Q = 8 5 ; t h i s i s d u e t o w a v e l e t a l i g n m e n t p r o b l e m s ( m a n u a l l y s h i f t i n g t h e w a v e l e t i n t o a l i g n m e n t b y o n e t i m e s a m p l e m o v e d m o s t o f t h e p o i n t s o n t o t h e c o m m o n l o c u s ) . A l s o , t h e ' c o n s t a n t ' f o r t h e i n t e r c e p t d o e s c h a n g e w i t h / , b u t f o r t h e m i d - r a n g e o f c e n t r e f r e q u e n c i e s i s a b o u t 3 . 7 ( t h e d e p e n d e n c e o f t h e i n t e r c e p t o n / i s d i s c u s s e d i n s o m e d e t a i l l a t e r ) . T h e r e s u l t s w e r e c o n s i s t e n t f o r t h e c a s e w i t h a t t e n u a t i o n ( F i g u r e 4 . 3 1 ) . H e r e , t h e w a v e l e t a l i g n m e n t w a s m o r e o f a p r o b l e m , a n d t h e l o c u s j u m p e d d o w n t o a s u b p a r a l l e l t r a j e c t o r y f o r e a c h s a m p l e p o i n t o f m i s a l i g n m e n t . C h a n g i n g t h e l e n g t h o f t h e w a v e l e t w i n d o w T , d i d n o t a f f e c t t h e s l o p e o r i n t e r c e p t o f t h e c u r v e s . T h e f o r m o f t h i s r e l a t i o n s h i p i s n o t s u r p r i s i n g , s i n c e i t g i v e s e a s b e i n g i n v e r s e l y p r o p o r t i o n a l t o t h e e f f e c t i v e Q v a l u e , Qeff, o r : | e | = C(2TL/Q) (38) w h e r e C = exp(3. 7) = 45 T h i s f o r m u l a t i o n a l s o r a i s e s t h e p o s s i b i l i t y o f e s t i m a t i n g Q d i r e c t l y f r o m t h e e s t i m a t e d p h a s e s h i f t e . T o s e e t h e f o r m o f t h i s r e l a t i o n s h i p f r o m a n a n a l y t i c a l v i e w p o i n t , I c o n s i d e r t h e p r o b l e m i n t h e f r e q u e n c y d o m a i n . F o r a w a v e l e t X(f), w h i c h w a s c e n t r e d a b o u t t i m e z e r o , a n d w h i c h c a n b e 1 7 7 d i s p e r s e d a c c o r d i n g t o equation (A1.9) a n d equation (A1.10), I a s s e r t t h a t t h e d i s p e r s i o n c a n b e r e p r e s e n t e d b y a s i n g l e p h a s e s h i f t , e . T h a t i s : X(f)exp(ie) = | / + Ln(f/fb)/nQ\ X(f[l + Ln (f/f J/nQ)) w h e r e fb i s t h e r e f e r e n c e f r e q u e n c y d i s c u s s e d i n A p p e n d i x 1 . F o r a n a n a l y t i c s i g n a l , we c o n s i d e r o n l y p o s i t i v e f r e q u e n c i e s , a n d f o r a R i c k e r w a v e l e t , t h e s i g n a l i s r e a l , o t h e r t h a n f o r t h e p h a s e c o m p o n e n t i n t r o d u c e d b y c e n t r i n g t h e w a v e l e t a t i n t h e t i m e d o m a i n . A s s u m i n g t h a t X(f) i s a R i c k e r w a v e l e t ( t h e s e c o n d d e r i v a t i v e o f a G a u s s i a n p u l s e , R i c k e r , 1 9 5 3 ) : X(f) = (f/fc) 2exp(-(f/fc)*) we h a v e , f o r a w a v e l e t c e n t r e d a b o u t T^i (f/f c) 2exp(-(f/f c ) 2 ) exp(ie) exp(2nifT L ) = exp(2TTifT L  [1 + Ln(f/fb)/nQ]) \l + Ln(f/fb)/itQ\ (f/fc) 2 [1 + Ln(f/fb)/7tQ] 2 exp(-(f/f c ) 2 \ l + Ln(f/fb)/nQ] 2) E q u a t i n g t h e r e a l p a r t s , a n d r e a r r a n g i n g g i v e s : Cos(e)= Cos(2nfTL[J + Ln(f/f b)/irQ] - 2irfTL)\l + Ln (f/f b)/nQ\  3 exp([-(f/fc) 2Ln(f/fb)/irQ} [2 + Ln(f/fb)/irQ]) o r : 178 Cos(e) = Cos(2TLfLn(f/f b) /Q) \1 + Ln(f/fb)/vQ]3 exp([-(f/fc)*Ln(f/fb)/nQ] [2 + Ln( f/f b) / itQ}) (39) I n . t h e p r o b l e m a s p o s e d h e r e , I a m e x t r a c t i n g t h a t p a r t o f t h e d i s p e r s e d s i g n a l w h i c h i s m o s t s i m i l a r t o a n o n - d i s p e r s e d R i c k e r w a v e l e t . T h e e v a l u e r e t u r n e d b y t h e c o m p l e x K L T s i m p l y t e l l s u s b y h o w m u c h we m u s t r o t a t e t h i s s i g n a l t o b e s t r e s e m b l e t h e d i s p e r s e d w a v e f o r m . A c o m p o n e n t o f t h e d i s p e r s e d w a v e f o r m i s d i s c a r d e d a n d a p p e a r s o n t h e s e c o n d p r i n c i p a l c o m p o n e n t . H e n c e , we s h o u l d n o t e x p e c t t h e a b o v e e q u a t i o n t o e x a c t l y r e p r o d u c e t h e e m p i r i c a l r e s u l t . H o w e v e r , b y s e p a r a t i n g t h e p h a s e d i s t o r t i v e c o m p o n e n t o f t h e d i s p e r s i v e p r o c e s s ( t h a t a s s o c i a t e d w i t h t h e c o m p l e x p a r t o f t h e s i g n a l ) f r o m t h e a m p l i t u d e d i s t o r t i v e c o m p o n e n t , we s h o u l d b e a b l e t o b e t t e r m i m i c t h e p h a s e r e l a t i o n s h i p n o t e d f r o m equation (38). I n t h i s c a s e , t h e p h a s e r e l a t e d f a c t o r s a r e t h o s e w i t h i n t h e c o s i n e t e r m s , w h i l e t h e a m p l i t u d e r e l a t e d t e r m s a r e t h e l a t t e r t w o o n t h e r i g h t h a n d s i d e o f equation (39). D r o p p i n g t h e a m p l i t u d e r e l a t e d t e r m s a n d e q u a t i n g t h e a r g u m e n t s o f t h e c o s i n e s g i v e s : e = (2TL/Q)fLn(f/fb) (40) w h i c h i s o f t h e s a m e f o r m a s equation (38). 179 T h e f r e q u e n c y d e p e n d e n t p r o p o r t i o n a l i t y t e r m i n equation (40) m a y b e e s t i m a t e d b y c o m p a r i s o n w i t h t h a t f o u n d i n equation (38). T h e d o m i n a n t f r e q u e n c y i n t h e b a n d o f i n t e r e s t i s / , t h e c e n t r e f r e q u e n c y o f t h e R i c k e r w a v e l e t , a n d s u b s t i t u t i n g t h i s i n t o equation (40) f o r / , we h a v e : C(fc) = fcLn(fc/fb) (41) T h e b a s e f r e q u e n c y fb i n t h i s c a s e w a s f i x e d a t t h e N y q u i s t f r e q u e n c y , s o t h a t a l l c o m p a r i s o n s b e t w e e n w a v e l e t s w i t h d i f f e r e n t c e n t r e f r e q u e n c i e s w o u l d b e c o n s i s t e n t . I n F i g u r e 4 . 3 2 , I s h o w p l o t s o f t h e m a g n i t u d e o f t h e o b s e r v e d C(f ) v a l u e s f r o m equation (38) p l o t t e d a g a i n s t / , a n d s u p e r i m p o s e d o n t h i s t h e l o c u s o f C(f ) v a l u e s c a l c u l a t e d f r o m equation (40). T h e a g r e e m e n t i s v e r y g o o d , h o w e v e r , a s t h e b a n d w i d t h i n c r e a s e s , t h e a p p r o x i m a t i o n d e g r a d e s . T h i s r e s u l t a n d t h a t r e l a t i n g e t o Q f f a l s o h o l d t r u e f o r a c o s i n e - G a u s s i a n w a v e l e t ( i . e . a c o s i n e i n a G a u s s i a n e n v e l o p e ) . R e s u l t s s i m i l a r t o t h o s e s h o w n f o r a R i c k e r w a v e l e t a r e s h o w n f o r t h i s w a v e f o r m i n F i g u r e s 4 . 3 3 a n d 4 . 3 4 r e s p e c t i v e l y . P r o b l e m s o f a l i g n m e n t p e r s i s t h e r e a l s o , r e s u l t i n g i n t h e d e v i a t i o n f r o m a l i n e a r t r e n d i n F i g u r e 4 . 3 3 . H o w e v e r , a s t h e b a n d w i d t h o f t h i s s i g n a l i s n a r r o w e r t h a n t h a t o f a R i c k e r w a v e l e t , t h e f i t o f C(f ) t o t h e t h e o r e t i c a l c u r v e i s m u c h b e t t e r a t h i g h f r e q u e n c i e s . 180 I n c o n c l u s i o n , t h e c o n s t a n t p h a s e a p p r o x i m a t i o n i s s u m m a r i z e d b y : e = 2TLfcLn(fc/fb)/Q w h e r e e i s t h e c o n s t a n t p h a s e s h i f t w h i c h b e s t m i m i c s t h e d i s p e r s i v e e f f e c t o n a w a v e l e t o f d o m i n a n t f r e q u e n c y / , t r a v e l l i n g f o r T ̂  s e c o n d s i n a m e d i u m w i t h s e i s m i c q u a l i t y f a c t o r Q- d . D i s p e r s i o n Q u a n t i f i c a t i o n O b j e c t i v e F u n c t i o n s . I d e a l n e x t w i t h a n a t t e m p t t o e s t i m a t e Q u s i n g t h e i t e r a t i v e s c h e m e d e s c r i b e d e a r l i e r . F i r s t I p r e s e n t t h e s i m p l e c a s e o f a k n o w n r e f e r e n c e t r a c e a n d a s i n g l e d i s p e r s e d p u l s e . A l l w a v e l e t s a r e a l i g n e d o n t h e b a s i s o f c o m p l e x t r a c e e n v e l o p e s p r i o r t o s u b s e q u e n t p r o c e s s i n g . I n t h e f i r s t s e t o f f i g u r e s ( F i g u r e 4 . 3 5 ) , t w o s i m i l a r i t y m e a s u r e s , o r o b j e c t i v e f u n c t i o n s , a r e s h o w n . T h e f i r s t i s t h e e i g e n v a l u e r a t i o ( E V R ) i . e . x(0; t h e s e c o n d i s t h e p h a s e d i f f e r e n c e e , b e t w e e n t h e r e f e r e n c e t r a c e a n d t h e u n d i s p e r s e d w a v e l e t , o r a s u m o f t h e p h a s e d i f f e r e n c e s i n t h e c a s e o f a s u i t e o f s i g n a l s . I f t h e s i g n a l s w e r e m a d e t o l o o k i d e n t i c a l b y t h e u n d i s p e r s i n g p r o c e d u r e , t h e n n o p h a s e d i f f e r e n c e w o u l d e x i s t b e t w e e n t h e m . H o w e v e r , w h e n t h e s i g n a l s a r e d i s p e r s e d w i t h r e s p e c t t o o n e a n o t h e r , t h e d i f f e r e n c e s b e t w e e n t h e m t a k e o n t h e a p p e a r a n c e o f a c o n s t a n t p h a s e r o t a t i o n . T h i s r o t a t i o n i n c r e a s e s 181 w i t h r e l a t i v e d i s p e r s i o n . I n F i g u r e 4 . 3 5 a , I s h o w t h e t w o o b j e c t i v e f u n c t i o n s v e r s u s u n d i s p e r s i n g Q v a l u e . I n t h i s c a s e , t h e w a v e l e t ( a 3 5 H z R i c k e r a t 1 . 0 s ) w a s o r i g i n a l l y d i s p e r s e d w i t h Q=30. A s i s s e e n , t h e E V R p e a k s a t (2=30, a n d t h e e v a l u e h a s a m i n i m u m t h e r e . I n t h i s s i m p l e c a s e t h e a l g o r i t h m h a s s u c e s s f u l l y l o c a t e d t h e Q v a l u e w h i c h o p t i m a l l y r e m o v e s t h e e f f e c t s o f d i s p e r s i o n f r o m t h e d i s p e r s e d w a v e l e t . I n F i g u r e 4 . 3 5 b a r e s h o w n t h e a n a l a g o u s r e s u l t s f o r a n a t t e n u a t e d a n d d i s p e r s e d w a v e l e t : t h e r e i s e s s e n t i a l l y n o d i f f e r e n c e i n t h e r e s u l t s . A d d i n g r a n d o m n o i s e ( 2 0 % o f t h e m a x i m u m a m p l i t u d e ) t o t h e a t t e n u a t e d a n d d i s p e r s e d w a v e l e t , s e v e r e l y d e g r a d e s t h e E V R , b u t e s t i l l h a s a w e l l d e f i n e d m i n i m u m a t t h e c o r r e c t Q v a l u e . I n t h e f o l l o w i n g t r i a l s , I u s e a s u i t e o f s i g n a l s r e p r e s e n t i n g t h e m e m b e r s o f a h y p e r b o l i c m o v e - o u t c u r v e . E a c h w a v e l e t i s u n d i s p e r s e d u s i n g t h e @eff v a l u e (equation (37)) a p p r o p r i a t e f o r i t s a r r i v a l t i m e , a n d t h e m e m b e r s o f t h e s u i t e o f s i g n a l s c o m p a r e d t o e a c h o t h e r s i m u l t a n e o u s l y . T h e s i m i l a r i t y m e a s u r e i n t h i s c a s e w i l l s t i l l b e x(l). H o w e v e r , w h e n t h e d a t a a r e m e m b e r s o f m o v e o u t h y p e r b o l a e , c e r t a i n c o n d i t i o n s m u s t b e m e t f o r t h e m e t h o d o f c o m p a r i s o n s w i t h i n h y p e r b o l a e t o w o r k . F i r s t l y , we m u s t s e e a s i g n i f i c a n t d i f f e r e n c e i n t h e d i s p e r s i o n o f e a c h w a v e l e t a l o n g a h y p e r b o l a . O t h e r w i s e a l l w a v e l e t s w i l l b e s i m i l a r f r o m t h e o u t s e t , a n d t h e m e t h o d w i l l f a i l . A w a v e l e t t o w a v e l e t d i f f e r e n c e c a n b e e n s u r e d b y h a v i n g s u f f i c i e n t m o v e o u t , s u c h t h a t 1 8 2 t h e i n d i v i d u a l t r a v e l t i m e s v a r y s i g n i f i c a n t l y . H o w e v e r , i f t h e o f f s e t r a n g e i s t o o g r e a t , t h e t r a v e l t i m e s i n t h e i n d i v i d u a l e a r t h l a y e r s v a r y g r e a t l y , a n d t h e c u m u l a t i v e Q v a l u e s e e n b y w a v e l e t s p r o p a g a t i n g a l o n g r a y p a t h s t o d i f f e r e n t r e c e i v e r s f r o m a g i v e n r e f l e c t o r w i l l a l s o v a r y g r e a t l y . I n t h i s c a s e t h e a s s u m p t i o n t h a t e a c h r a y p a t h s a m p l e s t h e s a m e c u m u l a t i v e Q v a l u e b r e a k s d o w n , a n d t h e s u i t e o f w a v e l e t s p i c k e d f r o m a n i n d i v i d u a l m o v e o u t h y p e r b o l a c a n n o t b e u s e d t o e s t i m a t e a c o m m o n c u m u l a t i v e Q v a l u e . F o r t h e s i m p l e m o d e l u s e d h e r e ( F i g u r e 4 . 3 6 a ) o f f s e t s o f u p t o 3 km p r o d u c e l i t t l e c h a n g e i n c u m u l a t i v e Q o v e r t h e v a r i o u s r a y p a t h s f o r a g i v e n r e f l e c t o r . T h e s y n t h e t i c s e i s m o g r a m s i n t h i s e x a m p l e s p a n n e d 2 k m , a n d t h e d a t a w e r e c o n t a m i n a t e d w i t h 5 % r a n d o m n o i s e . I n F i g u r e 4 . 3 7 , I s h o w t h e o b j e c t i v e f u n c t i o n ( t h e r e a l K L E V R , x(U) v e r s u s u n d i s p e r s i n g Q v a l u e f o r t h e f i r s t t h r e e r e f l e c t i n g h o r i z o n s . I n 4 . 3 7 a we s e e a w e l l d e f i n e d p e a k a t Q=30, w h i c h i s t h e c o r r e c t Q v a l u e f o r t h i s l a y e r . T h e m a x i m a f o r t h e n e x t t w o l a y e r s g i v e c u m u l a t i v e Q v a l u e s o f 4 2 a n d 5 1 , r e s p e c t i v e l y ( b o t h t h e s e v a l u e s a r e t o o h i g h - s e e T a b l e 1 l a t e r ) . A f t e r t h e t h i r d m o v e o u t h y p e r b o l a , t h e r e s u l t s d e g r a d e s e v e r e l y , a s t h e r e i s i n s u f f i c i e n t m o v e o u t t o p r o d u c e a n o t i c e a b l e d i f f e r e n c e i n t h e t r a v e l t i m e s ( h e n c e a p p e a r a n c e ) o f t h e w a v e f o r m s . I n F i g u r e 4 . 3 8 , I s h o w t h e w a v e l e t s f o r t h e f i r s t r e f l e c t i n g h o r i z o n , f r o m a s e q u e n c e o f u n d i s p e r s i n g Q v a l u e s . A s t h e a r r i v a l t i m e o f e a c h w a v e l e t w i t h i n t h e w i n d o w ( p i c k e d f r o m 1 8 3 t h e m o v e o u t h y p e r b o l a ) i n c r e a s e s s l i g h t l y d o w n t h e w i n d o w , t h e p r o c e s s i n g w i l l r e m o v e p r o p o r t i o n a l l y m o r e d i s p e r s i v e e f f e c t f o r e a c h s u c c e s s i v e w a v e l e t . T h e c o r r e c t Q v a l u e f o r t h e f i r s t h o r i z o n i s 3 0 . C o n s e q u e n t l y , t h e e a r l y p a n e l s ( Q = 2 0 a n d 2 5 ) a r e o v e r c o r r e c t e d , a n d t h e l a t e r p a n e l s {Q= 3 5 a n d 4 5 ) a r e u n d e r c o r r e c t e d . A t (2=30, t h e w a v e l e t s w i t h i n t h e p a n e l h a v e a l l b e e n r e s t o r e d t o t h e f o r m o f a n o n - d i s p e r s e d R i c k e r w a v e l e t . O f g r e a t e r p r a c t i c a l i n t e r e s t i n t h i s c a s e i s t h e r e s u l t o f p i c k i n g o n e w a v e l e t f r o m e a c h a r r i v a l t i m e f o r a s i n g l e t r a c e . I n t h i s c a s e I c o m p u t e t h e r e l a t i v e d i s p e r s i o n b e t w e e n t h e f i r s t w a v e l e t a n d e a c h s u b s e q u e n t w a v e l e t a l o n g t h e t r a c e . T h i s p r o c e d u r e i s r e p e a t e d f o r e a c h t r a c e i n t u r n , a n d t h e r e s u l t s s u m m e d t o e s t i m a t e t h e c u m u l a t i v e Q v a l u e s . T h i s a s s u m e s t h a t Q i s n o t v a r y i n g l a t e r a l l y o v e r t h e r e g i o n o f t h e g a t h e r . T h e r e s u l t s f o r a c o m p a r i s o n o f t h e w a v e l e t s w i t h i n e a c h t r a c e ( F i g u r e 4 . 3 6 ) a r e s h o w n i n F i g u r e 4 . 3 9 . T h e f i r s t c o m p a r i s o n y i e l d s t h e i n t e r v a l Q v a l u e f o r t h e f i r s t l a y e r , a s t h e r e f l e c t i o n e v e n t f r o m t h e b a s e o f l a y e r 1 i s b e i n g c o m p a r e d t o t h a t f r o m l a y e r 2 . S u b s e q u e n t r e s u l t s g i v e t h e c u m u l a t i v e Q v a l u e b e t w e e n t h e t o p o f l a y e r 2 a n d s u b s e q u e n t r e f l e c t i o n h o r i z o n s . T h i s p r o c e d u r e w a s r e p e a t e d f o r t h e c a s e i n c l u d i n g a t t e n u a t i v e e f f e c t s . I n t h i s i n s t a n c e t h e o b j e c t i v e f u n c t i o n s a r e l e s s d i s t i n c t ( F i g u r e 4 . 4 0 ) . I n c r e a s i n g t h e n o i s e l e v e l s a b o v e 1 0 % s e v e r e l y d e g r a d e d t h e s e r e s u l t s , a n d f o r a l l e x a m p l e s , t h e c o m p l e x K L r e s u l t s w e r e e s s e n t i a l l y t h e s a m e . 1 8 4 F r o m equation (A1.12), we d e r i v e t h a t t h e i n t e r v a l Q v a l u e i s r e l a t e d t o t h e c u m u l a t i v e Q v a l u e b y : j J - J Q. = l . {{ L l )/Qcum. -( L t )/Qcum. }~  1 J J i = i J i = j J T h i s i n v e r s i o n s c h e m e h o l d s f o r z e r o o f f s e t d a t a , b u t w a s f o u n d t o b e a d e q u a t e f o r t h e o f f s e t s c o n s i d e r e d h e r e , a s t h e r e w a s l i t t l e c h a n g e i n t h e c u m u l a t i v e Q v a l u e s . F o r t h e r e s u l t s b a s e d o n t h e d a t a s h o w n i n F i g u r e s 4 . 3 7 a n d 4 . 3 9 , we n o t e i n T a b l e 1 t h a t : T A B L E 1 j L a y e r I n t e r v a l Q ( T r u e ) C 2 ( D i s p ) Q ( A t t e n ) T h i c k n e s s V e l o c i t y Qcum(est) Q ( e s t ) Qcum(est) Q ( e s t ) 1 5 0 0 1 7 0 0 3 0 - - 3 0 3 0 2 5 0 0 1 8 5 0 5 0 5 3 5 3 51 51 3 4 0 0 2 0 0 0 8 0 6 2 8 0 6 6 1 0 9 4 5 0 0 21 5 0 9 0 6 9 9 0 7 0 8 0 5 3 0 0 2 3 5 0 1 0 0 7 8 2 8 0 7 5 1 2 4 W h e r e t h e c o l u m n s s h o w : l a y e r n u m b e r , l a y e r t h i c k n e s s ( m ) , i n t e r v a l v e l o c i t y ( m / s ) , a c t u a l Q v a l u e u s e d t o g e n e r a t e t h e s y n t h e t i c d a t a , t h e c u m u l a t i v e Q v a l u e s p i c k e d f r o m t h e p l o t t e d r e s u l t s , a n d t h e Q v a l u e e s t i m a t e d f r o m t h e i n v e r s i o n p r o c e d u r e ( f o r t h e d i s p e r s e d s y n t h e t i c d a t a ) , a n d f i n a l l y , t h e c u m u l a t i v e Q v a l u e s a n d e s t i m a t e d Q v a l u e s f o r t h e a t t e n u a t e d a n d d i s p e r s e d s y n t h e t i c d a t a . T h e Q v a l u e f o r t h e f i r s t l a y e r w a s e s t i m a t e d 1 8 5 f r o m t h e a s s o c i a t e d m o v e o u t h y p e r b o l a , w h e r e a s s u b s e q u e n t v a l u e s w e r e e s t i m a t e d f r o m t h e d o w n - t r a c e c o m p a r i s o n s . T h e a g r e e m e n t , e s p e c i a l l y f o r t h e e a r l i e r a r r i v a l s i s v e r y g o o d ( t h e l a y e r t h i c k n e s s a n d i n t e r v a l v e l o c i t y a r e s h o w n f o r i n t e r e s t ) . T h e i n t e r v a l t r a v e l t i m e s f o r u s e i n t h e i n v e r s i o n s c h e m e w e r e p i c k e d f r o m a n R K L v e l o c i t y a n a l y s i s o f t h e d a t a , a n d n o t a s s u m e d a p r i o r i . F o r t h e d i s p e r s e d - o n l y s y n t h e t i c d a t a , t h e o b j e c t i v e f u n c t i o n e s t i m a t e s f o r a l l 12 t r a c e s w e r e c o m b i n e d . H o w e v e r , f o r t h e a t t e n u a t e d a n d d i s p e r s e d d a t a o n l y t h e f i r s t f i v e t r a c e s w e r e u s e d ( u s i n g m o r e d e g r a d e d t h e o b j e c t i v e f u n c t i o n ) . e . D i s c u s s i o n . T h e e i g e n v a l u e r a t i o d e r i v e d f r o m t h e c o m p l e x o r r e a l K L t r a n s f o r m a t i o n c a n b e u s e d t o c o n s t r u c t a s e n s i t i v e s i m i l a r i t y m e a s u r e . H e r e I u t i l i z e d t h i s m e a s u r e t o a s c e r t a i n w h e n , a n d u n d e r w h a t c o n d i t i o n s , d i s p e r s i v e s i g n a l d i s t o r t i o n c a n b e a p p r o x i m a t e d b y a c o n s t a n t p h a s e c h a n g e . W i t h s i m p l e s y n t h e t i c e x a m p l e s , t h e c o n s t a n t p h a s e a p p r o x i m a t i o n w a s s h o w n t o h o l d q u i t e w e l l , a n d a r e l a t i o n s h i p b e t w e e n e f f e c t i v e Q v a l u e , c e n t r e f r e q u e n c y , a n d r e p r e s e n t a t i v e p h a s e s h i f t w a s d e r i v e d e m p i r i c a l l y a n d a n a l y t i c a l l y . F u r t h e r , I u s e d t h e m e a s u r e t o q u a n t i f y t h e d e g r e e o f s u c c e s s i n r e m o v i n g d i s p e r s i v e e f f e c t s f r o m s i g n a l s . I n t h e c a s e 1 8 6 o f a s y n t h e t i c m u l t i c h a n n e l c o m m o n s h o t p o i n t g a t h e r , I e s t i m a t e d t h e c u m u l a t i v e a n d i n t e r v a l Q s t r u c t u r e f o r a l a y e r e d e a r t h m o d e l . T h i s w a s a c h i e v e d b y c o m p a r i n g w a v e f o r m s a l o n g m o v e o u t h y p e r b o l a e a n d d o w n t r a c e s w i t h i n a l o o p i t e r a t i n g o v e r Q v a l u e s . R e s u l t s f o r Q s t r u c t u r e w e r e d e g r a d e d b y i n c l u d i n g a t t e n u a t i v e e f f e c t s , a n d a l s o b y i n c l u d i n g r a n d o m n o i s e ( a b o v e 1 0 % b y a m p l i t u d e ) . 1 8 7 F I G U R E 4 . 2 8 E a c h p a n e l s h o w s : ( 1 ) t h e r e f e r e n c e w a v e l e t , ( 2 ) t h e d i s p e r s e d w a v e l e t , ( 3 ) t h e r e a l p a r t o f t h e C K L f i r s t p r i n c i p a l c o m p o n e n t ( 4 ) t h e r e a l p a r t o f t h e C K L s e c o n d p r i n c i p a l c o m p o n e n t ( w i t h a m p l i t u d e e x a g g e r a t e d f o r p l o t t i n g ) , a n d (5) t h e d i s p e r s e d w a v e f o r m a s i n ( 2 ) r o t a t e d b y e . P a n e l s a r e s h o w n f o r Q- 2 5 t o 1 1 5 1 8 8 0.1 o 0.1 o F I G U R E 4 . 2 9 E a c h p a n e l s h o w s : ( 1 ) t h e r e f e r e n c e w a v e l e t , ( 2 ) t h e a t t e n u a t e d d i s p e r s e d w a v e l e t , ( 3 ) t h e r e a l p a r t o f t h e C K L f i r s t p r i n c i p a l c o m p o n e n t , ( 4 ) t h e r e a l p a r t o f t h e C K L s e c o n d P r i n c i p a l c o m p o n e n t , ( w i t h a m p l i t u d e e x a g g e r a t e d f o r p l o t t i n g ) , a n d ( 5 ) t h e d i s p e r s e d w a v e f o r m a s i n ( 2 ) r o t a t e d b y e . P a n e l s a r e s h o w n f o r <2= 2 5 t o 1 1 5 1 8 9 2 . 7 1 3 . 3 2 3 3 . 9 3 5 4 . 5 4 8 5 . 1 6 L N ( Q - E F F ) F I G U R E 4 . 3 0 T h e e f f e c t o f v a r y i n g c e n t r e f r e q u e n c y o n t h e l o c u s o f l o g | e | v e r s u s l o g ( ( ?  f , ) , f o r d i s p e r s e d R i c k e r w a v e l e t s . D e v i a t i o n s f r o m t h e l o c i i a r e c a u s e d b y a l i g n m e n t p r o b l e m s ( s e e t e x t ) . C i r c l e s = 1 5 H z , t r i a n g l e s = 2 5 H z , + = 3 5 H z , X = 4 5 H z , a n d d i a m o n d s = 5 5 H z 1 9 0 LO 2 71 3.323 3.935 4.548 5.16 LN(RTT(Q-EFFjJ F I G U R E 4 . 3 1 T h e e f f e c t o f v a r y i n g c e n t r e f r e q u e n c y o n t h e l o c u s o f l o g | e | v e r s u s l o g ( £ ? , , ) , f o r a t t e n u a t e d a n d d i s p e r s e d R i c k e r w a v e l e t s . D e v i a t i o n s f r o m t h e l o c i i a r e c a u s e d b y a l i g n m e n t p r o b l e m s ( s e e t e x t ) . C i r c l e s = 1 5 H z , t r i a n g l e s = 2 5 H z , + = 3 5 H z , X = 4 5 H z , a n d d i a m o n d s = 5 5 H z 1 9 1 o 0 0  — i 0 0 20.0 40.0 60.0 8.0.0 FCCHZJ F I G U R E 4 . 3 2 T h e v a r i a t i o n o f t h e i n t e r c e p t i n F i g u r e 4 . 3 0 , a s a f u n c t i o n o f c e n t r e f r e q u e n c y ( s h o w n a s c i r c l e s ) . T r i a n g l e s r e p r e s e n t t h e a n a l y t i c a l r e s u l t s . 1 9 2 2.708 3.206 3.704 4.202 4.7 LN(Q-EFF) F I G U R E 4.33 T h e e f f e c t o f v a r y i n g c e n t r e f r e q u e n c y o n t h e l o c u s o f l o g | e | v e r s u s l o g ( ( 2 / • / • ) / f o r d i s p e r s e d c o s i n e - G a u s s i a n w a v e l e t s . D e v i a t i o n s f r o m t h e l o c c i a r e c a u s e d b y a l i g n m e n t p r o b l e m s . C i r c l e s = 2 5 H z , t r i a n g l e s = 3 5 H z , + = 4 5 H z , X = 5 5 H z , a n d d i a m o n d s = 6 5 H z 1 9 3 o 0 3  — i o oo'H I 1 I I 0.0 20.0 40.0 60.0 80.0 F C ( H Z ) F I G U R E 4.34 T h e v a r i a t i o n o f t h e i n t e r c e p t i n F i g u r e 4 . 3 3 , a s a f u n c t i o n o f c e n t r e f r e q u e n c y ( s h o w n a s c i r c l e s ) . T r i a n g l e s r e p r e s e n t t h e a n a l y t i c a l r e s u l t s . 1 94 F I G U R E 4.35 ( a ) T h e E V R a n d e o b j e c t i v e f u n c t i o n s f r o m a C K L d i s p e r s i o n r e m o v a l p r o c e d u r e o n a d i s p e r s e d R i c k e r w a v e l e t . ( b ) T h e r e s u l t s f o r a t t e n u a t e d a n d d i s p e r s e d d a t a , a n d ( c ) d e g r a d e d r e s u l t s f r o m n o i s y a t t e n u a t e d d i s p e r s e d d a t a . 1 9 5 O O o > (0 CO 0) c u (0 \ E o o o o o o o o w m \ V \ 00 o T - CO T— T " CM CM CM CM \ o o o O o ov N CO m CO 0) o *- \ T - \ v \ o o o o O \ \ \ o o o o O m <r w CO \ \ F I G U R E 4 . 3 6 ( a ) T h e l a y e r e d e a r t h m o d e l u s e d f o r Q i n v e r s i o n . ( b ) D i s p e r s e d s y n t h e t i c s e i s m o g r a m s , w i t h 5 % n o i s e . O f f s e t s r a n g e f r o m 0 t o 2 0 0 0 m. 196 F I G U R E 4.37 T h e R K L o b j e c t i v e f u n c t i o n f o r t h e f i r s t t h r e e m o v e o u t h y p e r b o l a e . T h e s i m i l a r i t y i s c o m p u t e d b e t w e e n t h e m e m b e r s o f a h y p e r b o l a a s a w h o l e . A f t e r t h e f i r s t r e s u l t , t h e c u m u l a t i v e Q v a l u e s a r e t o o h i g h . 197 0.4 • m i m ) n n F I G U R E 4.38 T w e l v e w a v e l e t s p i c k e d f r o m t h e f i r s t m o v e o u t h y p e r b o l a ( a t 0 . 4 s i n F i g u r e 4 . 3 6 ) , s h o w n a t d i f f e r e n t s t a g e s i n t h e i t e r a t i v e o r o c e s s A t Q = 3 0 , t h e w a v e l e t s a r e c o r r e c t l y u n d i s p e r s e d , a n d t h e c o r r e s p o n d i n g value o f the o b j e c t i v e f u n c t i o n e x h i b i t s a m a x i m u m . 1 9 8 o F I G U R E 4 . 3 9 T h e R K L o b j e c t i v e f u n c t i o n f o r t h e l a t t e r f o u r r e f l e c t i o n e v e n t s ( 2 , 3 , 4 , a n d 5 ) , f o r d i s p e r s e d d a t a . H e r e t h e s i m i l a r i t y i s c o m p u t e d p a i r - w i s e b e t w e e n t h e m e m b e r s o f a s i n g l e t r a c e . T h e r e s u l t s f r o m , e a c h o f t h e 1 2 t r a c e s w e r e c o m b i n e d t o p r o d u c e a s i n g l e c o m p o u n d o b j e c t i v e f u n c t i o n f o r a g i v e n r e f l e c t i o n e v e n t . 1 9 9 (-,10 60.0 0-VflLUE 25.0 —1 1 42.5 60.0 Q-VALUE i 77. I 95.0 F I G U R E 4 . 4 0 T h e R K L o b j e c t i v e f u n c t i o n f o r t h e l a t t e r f o u r r e f l e c t i o n e v e n t s ( 2 , 3 , 4 , a n d 5 ) , f o r a t t e n u a t e d a n d d i s p e r s e d d a t a . H e r e t h e s i m i l a r i t y i s c o m p u t e d - p a i r - w i s e b e t w e e n t h e m e m b e r s o f a s i n g l e t r a c e . T h e r e s u l t s f r o m e a c h o f t h e 12 t r a c e s w e r e c o m b i n e d t o p r o d u c e a s i n g l e c o m p o u n d o b j e c t i v e f u n c t i o n f o r a g i v e n r e f l e c t i o n e v e n t . 2 0 0 C H A P T E R 5 . C O N C L U S I O N S . S E C T I O N 5 . 1 ; R E V I E W O F T H E G O A L S O F T H I S W O R K . My i n i t i a l i n t e r e s t i n t h e K a r h u n e n - L o e v e t r a n s f o r m c o n c e r n e d i t s a b i l i t y t o q u a n t i f y t h e s i m i l a r i t y b e t w e e n a p a i r , o r a s u i t e o f s i g n a l s . T h i s i n t e r e s t a r o s e f r o m my a t t e m p t s t o q u a n t i f y d i s p e r s i o n i n s e i s m i c d a t a . E x t e n d i n g f r o m t h a t w o r k , my i n t e r e s t s h i f t e d t o t h e m o r e g e n e r a l a p p l i c a t i o n s o f t h i s t r a n s f o r m t o i m a g e p r o c e s s i n g p r o b l e m s i n s e i s m i c d a t a p r o c e s s i n g . I f i r s t u s e d t h e t r a n s f o r m a t i o n t o u p d a t e e x i s t i n g p r o c e s s i n g t e c h n i q u e s w i t h a v i e w t o e x t r a c t i n g a d d i t i o n a l i n f o r m a t i o n f r o m t h e d a t a . F r o m t h e s e e n d e a v o u r s t h e a p p l i c a t i o n s t o s t a c k e d . d a t a r e c o n s t r u c t i o n ( f o l l o w i n g t h e l e a d o f t h e s a t e l l i t e i m a g e p r o c e s s i n g c o m m u n i t y ) , m i s f i t r e c o n s t r u c t i o n , d i f f r a c t i o n s e p a r a t i o n , a n d m u l t i p l e s u p p r e s s i o n h a v e e v o l v e d . A p p l y i n g i n s i g h t s g a i n e d f r o m w o r k o n ' d e a d t r a c e d e t e c t i o n ' ( L e v y e t a l . , 1 9 8 3 ) , I c o n s i d e r e d t h e p r o b l e m o f g r o u p i n g s e i s m i c t r a c e s o n t h e b a s i s o f e i g e n v e c t o r w e i g h t i n g s . S u b s e q u e n t l y I f o u n d t h e p a p e r b y H a g e n ( 1 9 8 2 ) w h i c h d e a l t w i t h t h e s a m e p r o b l e m . N o t i n g s o m e o f t h e p i t f a l l s i n f e r r e d f r o m t h i s p a p e r p r o m p t e d me t o i n v e s t i g a t e t h a t p r o b l e m f u r t h e r . T h e w o r k b y L e B l a n c a n d M i d d l e t o n ( 1 9 8 0 ) a n d M i l l i g a n e t a l . ( 1 9 7 8 ) d e a l i n g 2 0 1 w i t h a c o u s t i c p i n g e r r e c o r d s , h a d s h o w e d c o n c l u s i v e l y t h a t r e l i a b l e i n f e r e n c e s c o u l d b e m a d e a b o u t b o t t o m s e d i m e n t t y p e o n t h e b a s i s o f e i g e n v e c t o r c l u s t e r a n a l y s i s i n c o n j u n c t i o n w i t h m e a s u r e m e n t s o f p h y s i c a l p a r a m e t e r s . T h e a p p l i c a t i o n o f t h i s t e c h n i q u e t o s e i s m i c s t r a t i g r a p h i c c h a r a c t e r c h a n g e r e c o g n i t i o n h a s p o t e n t i a l s i g n i f i c a n c e . T h e w o r k o n v e l o c i t y a n a l y s i s a l s o e v o l v e d f r o m my i n v o l v e m e n t i n t h e L e v y e t a l . ( 1 9 8 3 ) s t u d y . A t t h a t t i m e I w a s o p t i m i s t i c o f t h e p o t e n t i a l o f t h e v e l o c i t y a n a l y s i s t e c h n i q u e , a s t h e r e s u l t s o n s y n t h e t i c e x a m p l e s w e r e e x t r e m e l y e n c o u r a g i n g . T h e d i s a p p o i n t i n g r e s u l t s w i t h r e a l d a t a p o i n t t o t h e l i m i t a t i o n o f t h e t e c h n i q u e i n t h e p r e s e n c e o f n o i s e . F i n a l l y , I p r e s e n t my i n i t i a l w o r k . T h i s b e g a n a s a s e a r c h f o r a n ' o b j e c t i v e f u n c t i o n ' a k i n t o t h a t d e v i s e d b y B e r e s f o r d - S m i t h a n d M a s o n ( 1 9 8 0 ) , f o r t h e q u a n t i f i c a t i o n o f d i s p e r s i v e e f f e c t s . I b e g a n b y e x a m i n i n g t h e p h a s o r d i a g r a m s f o r t h e c o m p l e x t r a c e o f t h e s e i s m i c w a v e f o r m ( i . e . a p l o t o f t h e r e a l v e r s u s t h e c o m p l e x p a r t o f t h e a n a l y t i c t r a c e ) . T h e s e r e s u l t s ( n o t s h o w n h e r e ) w e r e p i c t u r e s q u e , b u t o f l i t t l e p r a c t i c a l u s e . T h e y d e a l t w i t h g e o m e t r i c d i s p e r s i o n , w h i c h p r o d u c e s a m o r e p r o f o u n d e f f e c t o n d a t a t h a n d o e s a t t e n u a t i o n - r e l a t e d d i s p e r s i o n . A s a r e s u l t , I a b a n d o n e d t h i s s p e c i f i c t o p i c , a n d e n r o u t e t o u s e o f t h e K L e i g e n v a l u e r a t i o p r o c e d u r e , I i n v e s t i g a t e d t h e u s e f u l n e s s o f t h e i n s t a n t a n e o u s p h a s e a n d i n s t a n t a n e o u s f r e q u e n c y o f t h e d a t a . N e i t h e r o f t h e 2 0 2 l a t t e r t r a n s f o r m a t i o n s p r o v e d t o b e o f m u c h h e l p , a n d f i n a l l y I t r i e d t h e e i g e n v a l u e r a t i o m e t h o d d e s c r i b e d i n S e c t i o n 2 . I I . W h i l e a d d r e s s i n g t h e d i s p e r s i o n p r o b l e m , I n o t e d t h e p h a s e s h i f t e d a p p e a r a n c e o f d i s p e r s e d s i g n a l s , a n d a t t e m p t e d t o m o d e l d i s p e r s i v e w a v e l e t c h a r a c t e r c h a n g e w i t h a s i m p l e c o n s t a n t p h a s e c h a n g e . T h i s p r o c e d u r e p r o v e d r e a s o n a b l y a c c e p t a b l e , a n d m a y e v e n o b v i a t e t h e p r o c e d u r e o f i t e r a t i v e d i s p e r s i o n r e m o v a l , a s a n e s t i m a t e o f e f o r a r e f e r e n c e a n d d i s p e r s e d s i g n a l y i e l d s a d i r e c t e s t i m a t e o f Q ( r e l a t i v e t o t h e r e f e r e n c e s i g n a l : S e c t i o n 4 . I l l ) . S E C T I O N 5 . 1 1 : R E M A R K S . a . I m a g e p r o c e s s i n g . T h e m a i n t h r u s t o f t h i s w o r k h a s b e e n t o i n t r o d u c e n e w a p p l i c a t i o n s o f i m a g e p r o c e s s i n g t e c h n i q u e s b a s e d o n t h e r e a l K a r h u n e n - L o e v e t r a n s f o r m a t i o n ( S e c t i o n 2 . 1 ) . R e c o v e r y o f c o h e r e n t i n f o r m a t i o n f o r i m a g e e n h a n c e m e n t o f s t a c k e d s e i s m i c s e c t i o n s a n d d e p i c t i o n o f a n o m a l o u s i n f o r m a t i o n i n t h o s e s t a c k e d s e c t i o n s c o n s t i t u t e d t h e c o r e o f C h a p t e r 3 . T h e s t a c k e d s e c t i o n r e c o n s t r u c t i o n t e c h n i q u e ( S e c t i o n 3 . 1 ) h a s b e e n t h e m o s t s u c c e s s f u l t o d a t e , a n d h a s a r o u s e d s o m e i n t e r e s t i n t h e i n d u s t r i a l c o m m u n i t y , a n d b e e n a p p l i e d e x t e n s i v e l y t o r e a l d a t a i n a n i n d u s t r i a l p r o c e s s i n g e n v i r o n m e n t . 2 0 3 I t s m a i n a d v a n t a g e i s i t s a b i l i t y t o g r e a t l y r e d u c e t h e b a c k g r o u n d l e v e l o f i n c o h e r e n t n o i s e . O f t h e t o p i c s c o n s i d e r e d i n t h i s t h e s i s , I c o n s i d e r t h i s p a r t i c u l a r a p p l i c a t i o n t o b e t h e m o s t s i g n i f i c a n t . I t i s s i m p l e t o i m p l e m e n t , a n d w i t h a p p r o p r i a t e d a t a , g e n e r a l l y y i e l d s g o o d r e s u l t s . M i s f i t r e c o n s t r u c t i o n ( S e c t i o n 3 . I I ) i s p r o b a b l y n o t a s w i d e l y a p p l i c a b l e , b u t f o r d a t a w h i c h a r e a p p r o p r i a t e f o r t h i s m e t h o d , a m i s f i t o v e r l a y p r e s e n t a t i o n m a y b e o f a s s i s t a n c e i n d r a w i n g a t t e n t i o n t o a n o m a l o u s z o n e s . T h e i n p u t f r o m a n e x p e r i e n c e d i n t e r p r e t e r a n d s p e c i f i c k n o w l e d g e o f t h e d a t a a r e a w o u l d e n a b l e m o r e m e a n i n g f u l e v a l u a t i o n o f t h e s i g n i f i c a n c e o r u s e f u l n e s s o f t h e m i s f i t o v e r l a y . T h e u s e f u l n e s s o f t h i s p a r t i c u l a r t e c h n i q u e w o u l d b e s t b e a s s e s s e d i n a n i n d u s t r i a l s e i s m i c i n t e r p r e t a t i o n e n v i r o n m e n t w h e r e a c c e s s t o m a n y d i v e r s e d a t a s e t s a n d t h e i r g e o l o g i c a l b a c k g r o u n d a r e r e a d i l y a v a i l a b l e . A n i n t e r e s t i n g c o r o l l a r y i s m i s f i t r e c o n s t r u c t i o n w i t h a v i e w t o i s o l a t i n g d i f f r a c t i o n s f r o m s t a c k e d s e i s m i c d a t a ( S e c t i o n 3 . 1 1 1 ) . O n c e s e g r e g a t e d , t h e d i f f r a c t i o n h y p e r b o l a e c a n f o r m t h e b a s i s f o r r e s i d u a l m i g r a t i o n . I n a d d i t i o n , i n a r e a s w i t h s e v e r e f a u l t i n g , t h e s e g r e g a t e d d i f f r a c t i o n s m a y i n d i c a t e t h e l o c a t i o n o f f a u l t e d g e s . T h i s m a y p r o v e u s e f u l i n d e l i n e a t i n g s t r u c t u r a l l y c o n t r o l l e d h y d r o c a r b o n t r a p p i n g f e a t u r e s . T h i s a p p l i c a t i o n i s a n i n t e r e s t i n g o n e , b u t w i l l p r o b a b l y n o t b e o f g e n e r a l u s e . M o r e l i k e l y i t w i l l b e s t • b e u s e d w i t h s p e c i f i c d a t a f r o m s e v e r e l y f a u l t e d r e g i o n s . 2 0 4 F i n a l l y , I p r e s e n t a s i m p l e a n d e f f e c t i v e m e t h o d f o r t h e e l i m i n a t i o n o f m u l t i p l e e v e n t s o f k n o w n s t a c k i n g v e l o c i t y ( S e c t i o n - 3 . I V ) . A s a n a s i d e , a n a t t e m p t t o e s t i m a t e t h e m u l t i p l e v e l o c i t y b y s t a c k i n g t h e V A m a p a l s o p r o v e d s u c c e s s f u l . O n r e a l d a t a , t h e V A m a p s h i g h l i g h t t h e a l m o s t c o m p l e t e a b s e n c e o f m u l t i p l e r e l a t e d e n e r g y a f t e r p r o c e s s i n g . I n a d d i t i o n , p r i m a r y e v e n t s w h i c h w e r e o f s m a l l a m p l i t u d e i n t h e V A m a p b e f o r e p r o c e s s i n g w e r e g r e a t l y e n h a n c e d , a s t h e a c t u a l d a t a h y p e r b o l a c o r r e s p o n d i n g t o t h e p r i m a r y e v e n t w a s n o l o n g e r d i s t o r t e d b y m u l t i p l e e n e r g y a r r i v i n g a t t h e s a m e t i m e . A l s o o f i m p o r t a n c e w i t h t h i s m e t h o d i s i t s a b i l i t y t o p r e s e r v e w a v e l e t s h a p e a f t e r s t a c k i n g . T h a t i s , t h e p r o c e s s i n g t e c h n i q u e d o e s n o t d i s t o r t t h e w a v e f o r m s s u c h t h a t t h e s t a c k e d r e s u l t i s d e g r a d e d . T h e i n i t i a l t e s t s o f t h i s t e c h n i q u e p r o d u c e d s t a c k e d s e c t i o n s w h i c h l o o k e d p r o m i s i n g . I c o n s i d e r t h i s t e c h n i q u e t o b e t h e s e c o n d m a j o r c o n t r i b u t i o n o f t h i s t h e s i s . A g a i n , i t i s s i m p l e e n o u g h t o b e r e a d i l y i n c o r p o r a t e d i n t o a s t a n d a r d p r o c e s s i n g s t r e a m , a n d p r o d u c e s e n c o u r a g i n g r e s u l t s . b . S i m i l a r i t y . I n C h a p t e r 4 , I i n v e s t i g a t e d t h e p r o p e r t i e s o f t h e e i g e n v e c t o r s a n d e i g e n v a l u e s o f t h e t r a n s f o r m a t i o n . T h i s w a s a n a t u r a l e x t e n s i o n o f t h e w o r k o n r e c o n s t r u c t i o n , a s a m o r e d e t a i l e d k n o w l e d g e o f t h e v a g a r i e s o f t h e m e t h o d w a s n e c e s s a r y t o a p p r e c i a t e i t s p i t f a l l s . 2 0 5 A p p l i c a t i o n o f c l u s t e r a n a l y s i s t o s e i s m i c p r o b l e m s ( S e c t i o n 4 . 1 ) s h o w e d t h e s a m e s t r e n g t h s a n d w e a k n e s s e s a s d i d m i s f i t r e c o n s t r u c t i o n . C l u s t e r a n a l y s i s m a y p r o v i d e a u s e f u l t o o l t o a i d t h e e x p l o r a t i o n i s t i n l o c a t i n g u n u s u a l f e a t u r e s , b u t m u c h d e p e n d s o n t h e p r e s e n t a t i o n o f t h i s d a t a , a n d o n h o w n o n - u n i f o r m a p a r t i c u l a r s t a c k e d s e c t i o n m a y b e . A s w i t h t h e m i s f i t r e c o n s t r u c t i o n , t h i s t e c h n i q u e w o u l d b e s t b e i n v e s t i g a t e d f u r t h e r i n a n i n d u s t r i a l i n t e r p r e t a t i o n e n v i r o n m e n t . T h e e i g e n v a l u e r a t i o c r i t e r i o n c o n s t i t u t e s a h i g h l y s e n s i t i v e s i m i l a r i t y m e a s u r e . H o w e v e r , i n t h e c o n t e x t o f v e l o c i t y a n a l y s i s ( S e c t i o n 4 . I I ) w i t h r e a l d a t a , t h e m e a s u r e s e e m s t o f a i l e x c e p t w h e n a p p l i e d t o s m a l l s e g m e n t s o f g o o d d a t a . H i g h l e v e l s o f b a c k g r o u n d n o i s e s e e m t o b e t h e c a u s e f o r t h i s f a i l u r e . W o r k i n g w i t h d a t a a f t e r d e c o n v o l u t i o n m a y i n c r e a s e t h e p r o b a b i l i t y o f s u c c e s s . H o w e v e r , a s d e m o n s t r a t e d i n F i g u r e 4 . 2 1 , t h e R K L a n d C K L m e t h o d s c l e a r l y o u t - p e r f o r m e d t h e c o n v e n t i o n a l s e m b l a n c e V A i n r e s o l v i n g a r r i v a l s a t e a r l y t i m e s . T h i s p o i n t s t o t h e a p p l i c a t i o n o f t h e K L V A t o h i g h r e s o l u t i o n V A a n d R M S v e l o c i t y i n v e r s i o n , f o r d e t a i l e d s t u d y o f t h e n e a r s u r f a c e f r o m h i g h q u a l i t y d a t a . I n a d d i t i o n t o v e l o c i t y a n a l y s i s , I u t i l i z e d t h e e i g e n v a l u e r a t i o c r i t e r i o n t o a s c e r t a i n w h e n , a n d u n d e r w h a t c o n d i t i o n s , d i s p e r s i v e s i g n a l d i s t o r t i o n c a n b e a p p r o x i m a t e d b e a c o n s t a n t p h a s e c h a n g e , f o r s y n t h e t i c d a t a ( S e c t i o n 4 . 1 1 1 ) . F u r t h e r , I u s e d t h e m e a s u r e t o q u a n t i f y t h e d e g r e e o f s u c c e s s i n r e m o v i n g 2 0 6 d i s p e r s i v e e f f e c t s f r o m s i g n a l s . W i t h . s i m p l e s y n t h e t i c e x a m p l e s , t h e c o n s t a n t p h a s e a p p r o x i m a t i o n w a s s h o w n t o h o l d , a n d a r e l a t i o n s h i p b e t w e e n e f f e c t i v e Q v a l u e , c e n t r e f r e q u e n c y , a n d r e p r e s e n t a t i v e p h a s e s h i f t w a s d e r i v e d e m p i r i c a l l y . A t h e o r e t i c a l t r e a t m e n t o f t h e p r o b l e m f o r R i c k e r w a v e l e t s w a s p r e s e n t e d , a n d a r e s u l t d e r i v e d w h i c h c o r r o b o r a t e d t h e e m p i r i c a l f i n d i n g s . S E C T I O N 5 . 1 I I ; R E C O M M E N D A T I O N S . a . S t a c k i n g . T h e a p p l i c a t i o n o f t h e K a r h u n e n - L o e v e t r a n s f o r m t o s i g n a l e x t r a c t i o n i n s t a c k i n g o f m o v e o u t c o r r e c t e d C D P g a t h e r s h a s n o t b e e n e x p l o r e d f u l l y i n t h i s w o r k . I i n t r o d u c e d t h i s a p p l i c a t i o n ( e x p l o r e d i n d e t a i l b y H e m o n a n d M a c e , 1 9 7 8 ) a s a p r e a m b l e t o t h e r e c o n s t r u c t i o n o f s t a c k e d s e i s m i c d a t a . I t h a s b e e n n o t e d ( L e v y e t a l . , 1 9 8 3 , U l r y c h e t a l . , 1 9 8 3 ) t h a t b o t h t h e R K L a n d C K L t r a n s f o r m s o p t i m a l l y e x t r a c t c o h e r e n t s i g n a l f r o m a p r e - s t a c k e d g a t h e r . A l t h o u g h I w a s a c o - a u t h o r i n t h o s e s t u d i e s , I r e s t r i c t e d t h e s c o p e o f t h i s t h e s i s b y e x c l u d i n g t h e s t a c k i n g p r o b l e m d u e t o l i m i t a t i o n s o f t i m e . b . R e c o n s t r u c t i o n . T h e r e c o n s t r u c t i o n o f s t a c k e d s e i s m i c s e c t i o n s h a s b e e n a p p l i e d e x t e n s i v e l y t o d a t a , w i t h g o o d r e s u l t s i n t h e i n d u s t r i a l e n v i r o n m e n t . F u r t h e r m o d i f i c a t i o n s t o t h e e x i s t i n g a l g o r i t h m 2 0 7 w o u l d i n c l u d e t h e i n c o r p o r a t i o n o f t h e s l a n t K L p r o c e d u r e ( S e c t i o n 2 . I l l ) t o c o m p o u n d r e c o n s t r u c t i o n ( S e c t i o n 3 . 1 ( f ) ) . A t p r e s e n t , t h e c o m p u t a t i o n o f a ' d i p d e p e n d e n t ' c o v a r i a n c e m a t r i x i s l i m i t e d t o d e c o m p o s i t i o n o f a s i n g l e i m a g e . T h e p r o g r a m w h i c h c o m b i n e s o v e r l a p p i n g s e g m e n t s o f l a r g e s e i s m i c s e c t i o n s ( i . e . t h e ' c o m p o u n d r e c o n s t r u c t i o n ' t e c h n i q u e ) d o e s n o t y e t i n c o r p o r a t e a s l a n t K L o p t i o n . U n d e r t h e c a t e g o r y o f m i s f i t r e c o n s t r u c t i o n , I i n t r o d u c e d t h e m i s f i t s e i s m i c s e c t i o n i n a n a t t e m p t t o h i g h l i g h t b o t h a n o m a l o u s f e a t u r e s a n d d i f f r a c t i o n s i n s t a c k e d s e i s m i c d a t a ; a n d a l s o t h e n e w m u l t i p l e s u p p r e s s i o n t e c h n i q u e . O f t h e s e t h r e e t o p i c s , t h e l a t t e r i s o f t h e g r e a t e s t i m m e d i a t e v a l u e . A n i n t u i t i v e l y s i m p l e s c h e m e , i t w o r k s w e l l e v e n w h e n o n l y a f e w t r a c e s p e r g a t h e r a r e a v a i l a b l e , w h e r e a s t h e c o m m o n l y u s e d F K t e c h n i q u e o f R y u ( 1 9 8 2 ) s u f f e r s f r o m w r a p - a r o u n d p r o b l e m s ( D . H a m p s o n , p e r s . c o m m . 1 9 8 5 ) . F o r t h e o t h e r t w o a p p l i c a t i o n s , t h e r e a l d a t a e x a m p l e s I h a v e f o u n d s o f a r h a v e n o t b e e n a s c o n v i n c i n g . T h e m i s f i t s t a c k e d s e c t i o n f o r a n o m a l y r e c o g n i t i o n w i l l p r o b a b l y w o r k b e s t i n a r e a s w i t h g e n e r a l l y p a r a l l e l s t r u c t u r e s , w h e r e a s t h e d i f f r a c t i o n s e p a r a t i o n s c h e m e m a y p r o d u c e u s e f u l r e s u l t s i n r e g i o n s o f s e v e r e f a u l t i n g . 2 0 8 c . S i m i l a r i t y C r i t e r i a . I n t h e f o u r t h c h a p t e r o f t h i s t h e s i s , I c o n s i d e r e d t h e e i g e n v e c t o r s o f t h e K L T a n d t h e i r a s s o c i a t e d e i g e n v a l u e s . T h e c l u s t e r g r o u p s d e t e r m i n e d f r o m t h e e i g e n v e c t o r s ( S e c t i o n 4 . 1 ) w e r e s h o w n t o b e l i e s t r u c t u r a l c h a n g e s , a n d a l s o t o d e n o t e c h a n g e s i n p h a s e c h a r a c t e r f o r s y n t h e t i c d a t a e x a m p l e s . F o r r e a l d a t a e x a m p l e s h o w e v e r , t h e s i t u a t i o n w a s n o t a s c l e a r . G r o u p i n g s w e r e s e e n w h i c h c o r r e l a t e d w i t h d i s c e r n a b l e f e a t u r e s i n t h e d a t a . T h e q u e s t i o n r e m a i n s a s t o t h e s i g n i f i c a n c e o r u s e f u l n e s s o f t h e s e c o r r e l a t i o n s . I f g r o u p i n g s c a n b e f o u n d w h i c h m a t c h t h e i n f e r e n c e s o f o t h e r d a t a , o b t a i n e d f r o m w e l l l o g s f o r e x a m p l e , t h e n t h e t e c h n i q u e m a y h a v e g r e a t v a l u e . F u r t h e r d e v e l o p m e n t w o u l d b e s t b e p e r f o r m e d t h r o u g h i n t e r a c t i o n w i t h e x p e r i e n c e d s e i s m i c i n t e r p r e t e r s . U s i n g t h e e i g e n v a l u e r a t i o t o c o n s t i t u t e a s i m i l a r i t y m e a s u r e ( S e c t i o n 4 . 1 1 1 ) , I e x p a n d e d t h e w o r k o f L e v y e t a l . ( 1 9 8 3 ) , t o a p p r a i s e t h e K L V A t e c h n i q u e . T h i s g a v e g o o d r e s u l t s f o r e a r l y a r r i v a l s i n c l e a n d a t a : t h e K L V A e v e n t s b e i n g b e t t e r r e s o l v e d t h a n t h o s e o f a c o r r e s p o n d i n g s e m b l a n c e V A . T h e K L V A t e c h n i q u e m a y b e o f u s e f o r h i g h r e s o l u t i o n RMS v e l o c i t y i n v e r s i o n s t u d i e s f o r n e a r s u r f a c e s e d i m e n t s . H o w e v e r , f o r d a t a w h i c h h a d s i g n i f i c a n t l e v e l s o f n o i s e , a s e v i d e n c e d b y t h e e x a m p l e o f F i g u r e 4 . 2 5 , t h e K L V A t e c h n i q u e f a i l e d . T h i s 2 0 9 i n c o n s i s t e n c y i n p e r f o r m a n c e r e n d e r s i t i n a p p r o p r i a t e a s a s t a n d a r d p r o c e s s i n g t e c h n i q u e . T h e f i n a l s e c t i o n o f C h a p t e r 4 d e a l t w i t h t h e e f f e c t s o f d i s p e r s i o n i n s y n t h e t i c d a t a , a n d t h e a b i l i t y o f t h e K L e i g e n v a l u e r a t i o t o a i d i n q u a n t i f i c a t i o n o f s i g n a l s i m i l a r i t y . I f o u n d t h a t t h e e i g e n v a l u e r a t i o x(m), w a s a g o o d i n d i c a t o r o f s i g n a l s i m i l a r i t y . F u r t h e r , u s i n g t h e C K L t e c h n i q u e t o e s t i m a t e t h e p h a s e d i f f e r e n c e b e t w e e n a d i s p e r s e d s i g n a l a n d a n u n d i s p e r s e d r e f e r e n c e , I w a s a b l e t o d e r i v e a r e l a t i o n s h i p b e t w e e n t h e m e a s u r e d p h a s e s h i f t a n g l e e , a n d t h e d i s p e r s i n g Q v a l u e f o r t h e d a t a , b o t h t h e o r e t i c a l l y a n d e m p i r i c a l l y f o r s y n t h e t i c s e i s m o g r a m s . F u r t h e r i n v e s t i g a t i o n a n d c o r r o b o r a t i o n o f t h e s y n t h e t i c d a t a r e s u l t s c o u l d b e p e r f o r m e d u s i n g h i g h q u a l i t y w a v e f o r m r e c o r d i n g s , s u c h a s t h o s e p r e s e n t e d b y R i c k e r ( 1 9 5 3 ) . d . C o n c l u s i o n . I n t h i s w o r k I h a v e d e m o n s t r a t e d t h e a p p l i c a b i l i t y o f t h e K a r h u n e n - L o e v e t r a n s f o r m t o s e v e r a l t o p i c s i n m u l t i c h a n n e l s e i s m i c r e f l e c t i o n d a t a p r o c e s s i n g . T h e i m a g e r e c o n s t r u c t i o n t e c h n i q u e s a r e e s s e n t i a l l y a n e x t e n s i o n o f a p p l i c a t i o n s f r o m t h e p i c t u r e p r o c e s s i n g a n d s a t e l l i t e d a t a t r a n s m i s s i o n f i e l d s . H o w e v e r , a s a p p l i e d t o t h e s e p a r a t i o n o f r e s i d u a l d a t a ( m i s f i t r e c o n s t r u c t i o n s ) , t h e t e c h n i q u e s a r e n e w . T h e a l g o r i t h m s d e v e l o p e d d u r i n g t h i s w o r k a r e c u r r e n t l y b e i n g t e s t e d i n a n i n d u s t r i a l e n v i r o n m e n t , w h e r e a d d i t i o n a l d a t a a n d e x p e r t i s e a r e 210 a v a i l a b l e t o j u d g e t h e u s e f u l n e s s o f t h e p r o c e d u r e s . H o p e f u l l y , f u r t h e r w o r k o n t h e s e a n d r e l a t e d t o p i c s w i l l b e g i v e n c o n s i d e r a t i o n b y i n d u s t r i a l p r o c e s s i n g g r o u p s , w i t h a v i e w t o f u l l y e x p l o i t i n g t h e p o t e n t i a l o f t h e K a r h u n e n - L o e v e t r a n s f o r m i n t h e s e i s m i c d a t a p r o c e s s i n g f i e l d . 21 1 R E F E R E N C E S . 1 . A h m e d , N . , a n d R a o , K . R . , 1 9 7 5 , O r t h o g o n a l t r a n s f o r m s f o r d i g i t a l i m a g e p r o c e s s i n g : S p r i n g e r , B e r l i n , p . 1 8 9 - 2 2 4 . 2 . A k i , K . , a n d R i c h a r d s , P . G . , 1 9 8 0 , Q u a n t i t a t i v e s e i s m o l o g y : W.H. F r e e m a n , N e w Y o r k , p 1 6 7 - l 8 0 . 3 . A n d r e w s , H . C , 1 9 7 0 , C o m p u t e r t e c h n i q u e s i n i m a g e p r o c e s s i n g : A c a d e m i c P r e s s , N e w Y o r k . 4 . A n d r e w s , H . C , a n d P a t t e r s o n , C . L . ( I l l ) , 1 9 7 6 ( a ) , O u t e r p r o d u c t e x p a n s i o n s a n d t h e i r u s e s i n d i g i t a l i m a g e p r o c e s s i n g : I E E E T r a n s . C o m p u t . , v . 2 5 , p . 1 4 0 - 1 4 8 . 5 . A n d r e w s , H . C , a n d P a t t e r s o n , C . L . ( I l l ) , 1 9 7 6 ( b ) , S i n g u l a r v a l u e d e c o m p o s i t i o n ( S V D ) i m a g e c o d i n g : I E E E T r a n s . C o m m u n . , v . 2 4 , p . 4 2 5 - 4 3 2 . 6 . A n d r e w s , H . C , a n d P a t t e r s o n , C . L . ( I l l ) , 1 9 7 6 ( c ) , S i n g u l a r v a l u e d e c o m p o s i t i o n a n d d i g i t a l i m a g e p r o c e s s i n g : I E E E T r a n s . A c o u s t i c s , S p e e c h , a n d S i g n a l P r o c e s s i n g , v . 2 4 , p . 2 6 - 5 3 . 7 . B e a u c h a m p , K . G , 1 9 7 5 , W a l s h f u n c t i o n s a n d t h e i r a p p l i c a t i o n s : A c a d e m i c P r e s s , L o n d o n a n d N e w Y o r k . B e r e s f o r d - S m i t h , G . , a n d M a s o n , I . M . , 1 9 8 0 , A p a r a m e t r i c a p p r o a c h t o t h e c o m p r e s s i o n o f s e i s m i c s i g n a l s b y f r e q u e n c y t r a n s f o r m a t i o n : G e o p h . P r o s p . , v . 2 8 , p . 5 5 1 - 5 7 1 . 9 . B e r k h o u t , A . , J . , 1 9 8 4 , S e i s m i c m i g r a t i o n : i m a g i n g o f a c o u s t i c e n e r g y b y w a v e f i e l d e x t r a p o l a t i o n . B . p r a c t i c a l a s p e c t s : E l s e v i e r , N e w Y o r k . 1 0 . B r a c e w e l l , R . N . , 1 9 7 8 , T h e F o u r i e r t r a n s f o r m a n d i t s a p p l i c a t i o n s : s e c o n d e d i t i o n , M c G r a w - H i l l , New Y o r k . 2 1 2 1 1 . C h a p m a n , N . R , L e v y , S . , S t i n s o n , K . , J o n e s , I . F . , P r a g e r , B . T . , a n d O l d e n b u r g , D.W., 1 9 8 4 , I n v e r s i o n o f s o u n d s p e e d a n d d e n s i t y p r o f i l e s i n d e e p o c e a n s e d i m e n t s : s u b m i t t e d t o t h e J o u r n a l o f t h e A c o u s t i c a l S o c i e t y o f A m e r i c a . 1 2 . C h a p m a n , W . L . , B r o w n , G . L . , a n d F a i r , D.W. 1 9 8 1 , T h e V i b r o s e i s ® s y s t e m : a h i g h f r e q u e n c y t o o l : G e o p h y s i c s , v . 4 6 , p . 1 6 5 7 - 1 6 6 6 . 1 3 . C h i e n , Y . T . , a n d F u , K . S . , 1 9 6 7 , O n t h e g e n e r a l i z e d K a r h u n e n - L o e v e e x p a n s i o n : I E E E T r a n s . I n f o r m a t i o n T h e o r y , v . I T - 1 3 , p . 5 1 8 - 5 2 0 . 1 4 . C h r i s t e n s e n , R . A . , a n d H i r s c h m a n , A . D . 1 9 7 9 , A u t o m a t i c p h a s e a l i g n m e n t f o r t h e K a r h u n e n - L o e v e e x p a n s i o n : I E E E T r a n s . B i o m e d . E n g . , v . B M E - 2 6 . 1 5 . D a v e n p o r t , W . B . , J r . , a n d R o o t , W . L . , 1 9 5 8 , A n i n t r o d u c t i o n t o t h e t h e o r y o f r a n d o m s i g n a l s a n d n o i s e : M c G r a w - H i l l , N e w Y o r k . 1 6 . D i x , C . H . , 1 9 5 5 , S e i s m i c v e l o c i t i e s f r o m s u r f a c e m e a s u r e m e n t s : G e o p h y s i c s , v . 2 0 , p . 6 8 - 8 6 . 1 7 . E d e l m a n n , H . A . K . , a n d W e r n e r , H . , 1 9 8 2 , T h e e n c o d e d s w e e p t e c h n i q u e f o r V i b r o s e i s ® : G e o p h y s i c s , v . 4 7 , p . 8 0 9 - 8 1 8 . 1 8 . F u k u n a g a , K . , a n d K o o n t z , W . L . G . , 1 9 6 9 , A p p l i c a t i o n o f t h e K a r h u n e n - L o e v e e x p a n s i o n t o f e a t u r e s e l e c t i o n a n d o r d e r i n g . I E E E T r a n s . C o m p u t . , v . C - 1 9 , p . 3 1 1 - 3 1 8 . 1 9 . F u t t e r m a n , W . I . , 1 9 6 2 , D i s p e r s i v e b o d y w a v e s : J . G e o p h y s . R e s . , v . 6 7 , p . 5 2 7 9 - 5 2 9 1 . 2 0 . G a n l e y , D . C , a n d K a n a s e w i c h , E . R . , 1 9 8 0 , M e a s u r e m e n t o f a b s o r p t i o n a n d d i s p e r s i o n i n c h e c k s h o t s u r v e y s : J . G e o p h y s . R e s . , v . 8 5 , p . 5 2 1 9 - 5 2 2 6 . 2 1 . . G u b b i n s , D . , S c h o l l a r , I . , a n d W i s s k i r c h e n , P . , 1 9 7 1 , T w o d i m e n s i o n a l d i g i t a l f i l t e r i n g w i t h H A A R a n d W A L S H 2 1 3 t r a n s f o r m s : A n n a l e s d e G e o p h y s i q u e , v.21, p . 8 5 - 1 0 4 . 2 2 . G u r b u z , B . M . , 1 9 8 2 , a t t e n u a t i o n V i b r o s e i s ® p . 4 3 2 - 4 4 3 . U p s w e e p s i g n a l s w i t h h i g h - f r e q u e n c y a n d t h e i r u s e i n t h e c o n s t r u c t i o n o f s y n t h e t i c s e i s m o g r a m s : G e o p h . P r o s p . , v . 3 0 , 2 3 . H a g e n , D . C . , a n a l y s i s 9 3 - 1 1 1 . 1 9 8 2 , T h e a p p l i c a t i o n o f p r i n c i p a l c o m p o n e n t s t o s e i s m i c d a t a s e t s : G e o e x p l o r a t i o n , v . 2 0 , p . 2 4 . H a r l a n , W.S., C l a e r b o u t , J . F . , a n d R o c c a , F . , 1 9 8 3 , E x t r a c t i n g v e l o c i t i e s f r o m d i f f r a c t i o n s : P r o c e e d i n g s o f t h e 5 3 r d A n n u a l I n t e r n a t i o n a l S E G M e e t i n g L a s V e g a s , p a p e r S 2 2 . 2 , p . 5 7 4 - 5 7 7 . 2 5 . H a r l a n , W.S., C l a e r b o u t , J . F . , a n d R o c c a , F . , 1 9 8 4 , S i g n a l / n o i s e s e p a r a t i o n a n d v e l o c i t y e s t i m a t i o n : G e o p h y s i c s , v . 4 9 , p . 1 8 6 9 - 1 8 9 5 . 2 6 . H e m o n , C h . , a n d M a c e , D . , 1 9 7 8 , U s e t r a n s f o r m a t i o n i n s e i s m i c d a t a P r o s p . , v . 2 6 , p . 6 0 0 - 6 2 6 . o f t h e K a r h u n e n - L o e v e p r o c e s s i n g : G e o p h . 2 7 . H o t e l l i n g , H . , 1 9 3 3 , A n a l y s i s o f c o m p l e x s t a t i s t i c a l v a r i a b l e s i n t o p r i n c i p a l c o m p o n e n t s : J . E d u c . P s y c h o l . , v . 2 4 , p . 4 1 7 - 4 3 8 a n d p . 4 9 8 - 5 2 0 . 2 8 . H u a n g , T . S . , a n d N a r e n d r a , P . M . , 1 9 7 5 , I m a g e r e s t o r a t i o n b y s i n g u l a r v a l u e d e c o m p o s i t i o n : A p p l . O p t . , v . 1 4 , p . 2 2 1 3 - 2 2 1 6 . 2 9 . H u n t , B . R . , a n d K u b l e r , 0 . , 1 9 8 4 , K a r h u n e n - L o e v e m u l t i s p e c t r a l i m a g e r e s t o r a t i o n , p a r t 1: t h e o r y : I E E E T r a n s A c c o u s . , S p e e c h , S i g n a l P r o c , v . A s s p - 3 2 , p . 5 9 2 - 5 9 9 . 3 0 . J a i n , A . K . , 1 9 7 6 , A f a s t K a r h u n e n - L o e v e t r a n s f o r m f o r a c l a s s o f r a n d o m p r o c e s s e s : I E E E T r a n s . C o m m u n . , v . C O M - 2 4 , p . 1 0 2 3 - 1 0 2 9 . 2 1 4 3 1 . J a i n , A . K . , 1 9 7 7 , A f a s t K a r h u n e n - L o e v e t r a n s f o r m f o r d i g i t a l r e s t o r a t i o n o f i m a g e s b y w h i t e a n d c o l o r e d n o i s e : I E E E T r a n s . C o m p u t . , v . C - 2 6 , p . 5 6 0 - 5 7 1 . 3 2 . J o n e s , I . F . , a n d L e v y , S . , 1 9 8 5 , O n t h e s e p a r a t i o n o f s i g n a l a n d c o h e r e n t n o i s e : f o r s u b m i s s i o n t o G e o p h . P r o s p . 3 3 . K a n a m o r i , H . , a n d A n d e r s o n , D . L . , 1 9 7 7 , I m p o r t a n c e o f p h y s i c a l d i s p e r s i o n i n s u r f a c e w a v e a n d f r e e o s c i l l a t i o n p r o b l e m s : r e v i e w : R e v . G e o p h y s . S p a c e P h y s . , v . 1 5 , p . 1 0 5 - 1 1 2 . 3 4 . K a n a s e w i c h , E . R . , 1 9 8 2 , T i m e s e q u e n c e a n a l y s i s i n g e o p h y s i c s : U n i v e r s i t y o f A l b e r t a P r e s s , E d m o n t o n . 3 5 . K a r h u n e n , K . , 1 9 4 7 , U b e r l i n e a r e m e t h o d e n i n d e r W a h r s c h e i n l i c h k e i t s r e c h n u n g : A n n . A c a d . S c i . F e n n . , ( S u o m a l a i n e n T i e d e a k a t e m i a ) , v . 3 7 , p . 1 - 7 9 . ( T r a n s l a t i o n b y I . S e l i n , 1 9 6 0 : "On l i n e a r m e t h o d s i n p r o b a b i l i t y t h e o r y . " : T - 1 3 1 R A N D C o r p . , S a n t a M o n i c a , C a l i f o r n i a ) . 3 6 . K j a r t a n s s o n , E . , 1 9 7 9 , C o n s t a n t Q w a v e p r o p a g a t i o n a n d a t t e n u a t i o n : J . G e o p h y s . R e s . , v . 8 4 , p . 4 7 3 7 - 4 7 4 8 . 3 7 . K n o p o f f , L . , 1 9 6 4 , Q: R e v . G e o p h y s . S p a c e P h y s . , v . 2 , p . 6 2 5 - 6 6 0 . 3 8 . K r a m e r , H . P . , a n d M a t h e w s , M . V . , 1 9 5 6 , A l i n e a r c o d i n g f o r t r a n s m i t t i n g a s e t o f c o r r e l a t e d s i g n a l s : I R E T r a n s . I n f o r m . T h e o . , v . I T - 2 , p . 4 1 - 4 6 . 3 9 . L a r n e r , K . , C h a m b e r s , R . , Y a n g , M., l y n n , W., W a i , W., 1 9 8 3 , C o h e r e n t n o i s e i n m a r i n e s e i s m i c d a t a : G e o p h y s i c s , v . 4 8 , p . 8 5 4 - 8 8 6 . 4 0 . L e B l a n c , L . R . , a n d M i d d l e t o n , F . H . , 1 9 8 0 , A n u n d e r w a t e r a c o u s t i c s o u n d v e l o c i t y d a t a m o d e l : J . A c o u s t . S o c . A m . , v . 6 7 , p . 2 0 5 5 - 2 0 6 2 . 4 1 . L e v i n , S . A . , R o t h m a n , D . , a n d R o c c a , F . , 1 9 8 3 , R e s i d u a l 2 1 5 m i g r a t i o n : a p p l i c a t i o n s a n d l i m i t a t i o n s : P r o c e e d i n g s o f t h e 5 3 r d A n n u a l I n t e r n a t i o n a l S E G M e e t i n g , L a s V e g a s , p a p e r S 1 0 . 7 , p . 3 9 3 - 3 9 5 . 4 2 . L e v y , S . , a n d O l d e n b u r g , D.W., 1 9 8 2 , D e c o n v o l u t i o n o f p h a s e s h i f t e d w a v e l e t s : G e o p h y s i c s , v . 4 7 , p . 1 2 8 5 - 1 2 9 4 . 4 3 . L e v y , S . , U l r y c h , T . J . , J o n e s , I . F . , a n d O l d e n b u r g , D.W., 1 9 8 3 , A p p l i c a t i o n s o f c o m p l e x c o m m o n s i g n a l a n a l y s i s i n e x p l o r a t i o n s e i s m o l o g y : P r o c e e d i n g s o f t h e - 5 3 r d A n n u a l I n t e r n a t i o n a l S E G M e e t i n g i n L a s V e g a s , p a p e r S 6 . 6 , p . 3 2 5 - 3 2 8 . 4 4 . L o e v e , M., 1 9 4 8 , F u n c t i o n s a l e a t o r i e s d e s e c o n d o r d r e : C h a p t e r 8 , p . 2 9 9 - 3 5 2 , H e r m a n n , P a r i s . 4 5 . L o e v e , M . , 1 9 5 5 , P r o b a b i l i t y t h e o r y : D . v a n N o s t r a n d , N e w Y o r k . 4 6 . L o w i t z , G . E . , 1 9 7 8 , S t a b i l i t y a n d d i m e n s i o n a l i t y o f K a r h u n e n - L o e v e m u l t i s p e c t r a l i m a g e e x p a n s i o n s : P a t t e r n R e c o g n i t i o n , v . 1 0 , p . 3 5 9 - 3 6 3 . 4 7 . M a l l i c k , K . , a n d M u r t h y , Y . V . S . , 1 9 8 4 , P a t t e r n o f L a n d s a t M S S d a t a o v e r Z a w a r l e a d - z i n c m i n e s , R a j a s t h a n , I n d i a : F i r s t B r e a k , v . 2 , p . 1 6 - 2 1 . 4 8 . M c M e c h a n , G . , a n d Y e d l i n , M . , 1 9 8 1 , A n a l y s i s o f d i s p e r s i v e w a v e s b y w a v e f i e l d t r a n s f o r m a t i o n : G e o p h y s i c s , v . 4 6 , p . 8 6 9 - 8 7 4 . 4 9 . M i l l i g a n , S . D . , L e B l a n c , L.W., a n d M i d d l e t o n , F . H . , 1 9 7 8 , S t a t i s t i c a l g r o u p i n g o f a c o u s t i c r e f l e c t i o n p r o f i l e s : J . A c o u s t . S o c . A m . , v . 6 4 , p . 7 5 9 - 8 0 7 . 5 0 . N e i d e l l , N . S . , a n d T a n e r , M . T . , 1 9 7 1 , S e m b l a n c e a n d o t h e r c o h e r e n c y m e a s u r e s f o r m u l t i c h a n n e l d a t a : G e o p h y s i c s , v . 3 6 , p . 4 8 2 - 4 9 7 . 5 1 . P a p o u l i s , A . , 1 9 6 5 , P r o b a b i l i t y , r a n d o m v a r i a b l e s , a n d s t o c h a s i c p r o c e s s e s : M c G r a w - H i l l , N e w Y o r k . 2 1 6 5 2 . P e l a t , D . , 1 9 7 4 , K a r h u n e n - L o e v e s e r i e s e x p a n s i o n : a n e w a p p r o a c h f o r s t u d y i n g a s t r o p h y s i c a l d a t a : A s t r o n . a n d A s t r o p h y s . , v . 3 3 , p . 3 2 1 - 3 2 9 . 5 3 . P r a t t , W.K., 1 9 7 0 , K a r h u n e n - L o e v e t r a n s f o r m c o d i n g o f i m a g e s : P r o c e e d i n g s o f t h e 1.970 I E E E I n t . S y m p . I n f o r m . T h e o r y . 5 4 . R a f i p o u r , B . J . , 1 9 8 1 , P h a s e a n d a t t e n u a t i o n s t u d i e s u s i n g p h a s e - m a t c h e d f i l t e r i n g t e c h n i q u e : P h . D . t h e s i s , S o u t h e r n M e t h o d i s t U n i v e r s i t y , D a l l a s . 5 5 . R e a d y , R . J . , a n d W i n t z , P . , A . , 1 9 7 3 , I n f o r m a t i o n e x t r a c t i o n , S N R i m p r o v e m e n t , a n d d a t a c o m p r e s s i o n i n m u l t i s p e c t r a l i m a g e r y : I E E E T r a n s . C o m m u n . , v . C O M - 2 1 , p . 1 1 2 3 - 1 1 3 0 . 5 6 . R i c k e r , N . H . , 1 9 5 3 , T h e f o r m a n d l a w s o f p r o p a g a t i o n o f s e i s m i c w a v e l e t s : G e o p h y s i c s , v . 1 8 , p . 1 0 - 4 0 . 5 7 . R i e t s c h , E . , 1 9 8 1 , R e d u c t i o n o f h a r m o n i c d i s t o r t i o n i n v i b r a t o r y s o u r c e r e c o r d s : G e o p h . P r o s p . , v . 2 9 , p . 1 7 8 - 1 8 8 . 5 8 . R o b i n s o n , J . C , 1 9 7 9 , A t e c h n i q u e f o r t h e c o n t i n u o u s r e p r e s e n t a t i o n o f d i s p e r s i o n i n s e i s m i c d a t a : G e o p h y s i c s , v . 4 4 , p . 1 3 4 5 - 1 3 5 1 . 5 9 . R o b i n s o n , J . C , 1 9 8 2 , T i m e - v a r i a b l e d i s p e r s i o n p r o c e s s i n g t h r o u g h t h e u s e o f " p h a s e d " s i n e f u n c t i o n s : G e o p h y s i c s , v . 4 7 , p . 1 1 0 6 - 1 1 1 0 . 6 0 . R o s e n b a u m , J . H . , a n d B o u d r e a u x , G . F . , 1 9 8 1 , R a p i d c o n v e r g e n c e o f s o m e s e i s m i c p r o c e s s i n g a l g o r i t h m s : G e o p h y s i c s , v . 4 6 , p . 1 6 6 7 - 1 6 7 2 . 6 1 . R y u , J . V . , 1 9 8 2 , D e c o m p o s i t i o n ( D E C O M ) a p p r o a c h t o w a v e f i e l d a n a l y s i s w i t h s e i s m i c r e f l e c t i o n r e c o r d s : G e o p h y s i c s , v . 4 7 , p . 8 6 9 - 8 8 3 . 6 2 . S m i t h , T . A . , a n d N e i d e l l , N . S . , 1 9 7 6 , S e i s m i c d i s p e r s i o n e s t i m a t i o n i n l a b o r a t o r y a n d m a r i n e r e f l e c t i o n d a t a : 2 1 7 P r o c e e d i n g s o f t h e 5 0 t h A n n u a l I n t e r n a t i o n a l S E G M e e t i n g , N e w O r l e a n s . 6 3 . S t a n f o r d Q C o n f e r e n c e 1 9 8 0 , J . G e o p h y s . R e s . , v . 8 5 , p . 5 1 7 1 - 5 2 5 6 . 6 4 . S t r a n g , G . , 1 9 8 0 , L i n e a r a l g e b r a a n d i t s a p p l i c a t i o n s : A c a d e m i c P r e s s , N e w Y o r k . 6 5 . S t r i c k , E . , 1 9 7 0 , A p r e d i c t e d p e d e s t a l e f f e c t f o r p u l s e p r o p a g a t i o n i n c o n s t a n t - Q s o l i d s : G e o p h y s i c s , v . 3 5 , p . 3 8 7 - 4 0 3 . 6 6 . T a n e r , M . T . , K o e h l e r , F . , a n d S h e r i f f , R . E . , 1 9 7 9 , C o m p l e x s e i s m i c t r a c e a n a l y s i s : G e o p h y s i c s , v . 4 4 , p . 1 0 4 1 - 1 0 5 7 . 6 7 . T j o s t h e i m , D., a n d S a n d v i n , 0 , 1 9 7 9 , M u l t i v a r i a t e a u t o r e g r e s s i v e f e a t u r e e x t r a c t i o n a n d t h e r e c o g n i t i o n o f m u l t i c h a n n e l w a v e f o r m s : I E E E T r a n s a c t i o n s o n P a t t e r n A n a l y s i s a n d M a c h i n e I n t e l l i g e n c e , v . P A M I - 1 , p . 8 0 - 8 6 . 6 8 . T o k s o z , M.N., a n d J o h n s t o n , D . H . , ( e d i t o r s ) 1 9 8 1 , S e i s m i c w a v e a t t e n u a t i o n : S o c i e t y o f E x p l o r a t i o n G e o p h y s i c i s t s , G e o p h y s i c s R e p r i n t S e r i e s n o . 2 . 6 9 . U l r y c h , T . J . , L e v y , S . , O l d e n b u r g , D.W., a n d J o n e s , I . F . , 1 9 8 3 , A p p l i c a t i o n s o f t h e K a r h u n e n - L o e v e t r a n s f o r m a t i o n i n r e f l e c t i o n s e i s m o l o g y : P r o c e e d i n g s o f t h e 5 3 r d A n n u a l I n t e r n a t i o n a l S E G M e e t i n g i n L a s V e g a s , p a p e r S 6 . 5 , p . 3 2 3 - 3 2 5 . 7 0 . W a l s h , J . L . , 1 9 2 3 , A c l o s e d s e t o f o r t h o g o n a l f u n c t i o n s : A m . J o u r n . M a t h . , v . 5 5 , p . 5 - 2 4 . 7 1 . W a t a n a b e , S . , 1 9 6 5 , K a r h u n e n - L o e v e e x p a n s i o n a n d f a c t o r a n a l y s i s . T h e o r e t i c a l r e m a r k s a n d a p p l i c a t i o n s . R e p r i n t e d i n : P a t t e r n R e c o g n i t i o n , J . S k l a n s k y , e d . , S t r o u d s b u r g , P e n n s y l v a n i a , 1 9 7 3 ( p . 1 4 6 - 1 7 1 ) . 7 2 . W e r n e r , H . , a n d K r e y , T . , 1 9 7 9 , C o m b i s w e e p - a c o n t r i b u t i o n t o s w e e p t e c h n i q u e s : G e o p h . P r o s p . , v . 2 7 , p . 7 8 - 1 0 5 . 2 1 8 7 3 . W u e n s c h e l , P . C , 1 9 6 5 , D i s p e r s i v e b o d y w a v e s - a n e x p e r i m e n t a l s t u d y : G e o p h y s i c s , v . 3 0 , p . 5 3 9 - 5 5 1 . 7 4 . Y o u n g , T . Y . , a n d H u g g i n s , W.H., 1 9 6 2 , T h e i n t r i n s i c c o m p o n e n t t h e o r y o f e l e c t r o c a r d i o g r a m s : I R E T r a n s . B i o m e d i c a l E l e c . , v . B M E - 9 , p . 2 1 4 - 2 2 1 . 7 5 . Y o u n g , T . Y . , a n d H u g g i n s , W.H., 1 9 6 3 , O n t h e r e p r e s e n t a t i o n o f e l e c t r o c a r d i o g r a m s : I E E E T r a n s . B i o m e d i c a l E l e c . , v . B M E - 1 0 , p . 8 6 - 9 5 . 7 6 . Y o u n g , T . Y . , a n d C a l v e r t , T.W., 1 9 7 4 , C l a s s i f i c a t i o n e s t i m a t i o n a n d p a t t e r n r e c o g n i t i o n : E l s e v i e r , N e w Y o r k . 2 1 9 APPENDIX 1. ATTENUATION RELATED DISPERSION. a . T h e o r y . F o r a m a t e r i a l w h i c h o b e y s a l i n e a r s t r e s s - s t r a i n r e l a t i o n s h i p , t h e Q f a c t o r f o r a m o n o c h r o m a t i c p l a n e w a v e i s d e f i n e d a s t h e r a t i o o f t h e a m p l i t u d e A t o t h e d e c r e a s e i n a m p l i t u d e 8A, o v e r a t r a v e l p a t h o f o n e w a v e l e n g t h ( A k i a n d R i c h a r d s , 1 9 8 0 , p . 1 6 8 . F o r a g i v e n a n g u l a r f r e q u e n c y OJ, we h a v e : Q(CJ) = -vA/bA F r o m t h i s d e f i n i t i o n , we s e e t h a t t h e a m p l i t u d e o f t h i s m o n o c h r o m a t i c w a v e a t s o m e t i m e t , i s g i v e n b y : A(t) = A0(l-n/Q)n, w h e r e n i s t h e n u m b e r o f w a v e l e n g t h s X , t r a v e l l e d i n t i m e t . U s i n g t h e r e l a t i o n t = n X / v = 2irn/u, w h e r e v i s t h e v e l o c i t y , a n d a s s u m i n g t h a t Q i s c o n s t a n t f o r a l l f r e q u e n c i e s , we o b t a i n : A(l ,u>) = A0(J-u)t/2Qn)n, w h i c h f o r l a r g e n b e c o m e s : 2 2 0 A(l ,u>) = A0e xp (-ul / 2Q) (AJ. 1) F o r a p l a n e w a v e w h i c h u n d e r g o e s a t t e n u a t i o n , we h a v e f r o m equat i on (Al. 1) : N o w , f o r c a u s a l i t y t o r e m a i n i n v i o l a t e , we r e q u i r e : A(t) = 0, tor t < 0 S a t i s f y i n g t h i s c o n d i t i o n r e q u i r e s t h a t w a v e s b e d i s p e r s e d , a s w e l l a s a t t e n u a t e d . F u t t e r m a n n ( 1 9 6 2 ) , u s i n g equation (A1.2) p r o c e e d e d t o i n v o k e t h e c a u s a l i t y c o n d i t i o n t o o b t a i n t h r e e p o s s i b l e a b s o r p t i o n - d i s p e r s i o n p a i r s . R o b i n s o n ( 1 9 7 9 ) u s e d t h e d i s p e r s i o n r e l a t i o n f r o m t h e t h i r d o f t h e s e p a i r s : w h e r e V(f) i s t h e p h a s e v e l o c i t y a t f r e q u e n c y / , f0 t h e l o w f r e q u e n c y c u t - o f f , V0 t h e p h a s e v e l o c i t y a t f0, Q0 t h e v a l u e o f t h e s e i s m i c q u a l i t y f a c t o r a t / 0 , Ln(e) E u l e r ' s c o n s t a n t , a n d T o r e n d e r t h i s e x p r e s s i o n i n d e p e n d e n t o f t h e l o w f r e q u e n c y l i m i t R o b i n s o n c h o s e a n a r b i t a r y b a s e f r e q u e n c y a n d r e d e f i n e d t h e d i s p e r s i o n r e l a t i o n equation (A1.3) w i t h r e s p e c t t o F o r s o m e f r e q u e n c y A(l) = A0e xp( i u>t ) e xp(-u>t/2QJ (Al. 2) V(f) = V0/{l-Ln(ef/f0)/7TQ0} (Al. 3) QoV0 = Q(f)V(f) (Al. 4) 2 2 1 V(fb  + 5f) = V(fb) + W(f,fb) (Al. 5) S u b s t i t u t i n g equation (A1.4) a n d equation (A1.5) i n t o equation (2.3) a n d s u b t r a c t i n g equation (A1.3) f r o m t h e r e s u l t y i e l d s : U n d e r t h e a s s u m p t i o n t h a t Q i s i n d e p e n d e n t o f f r e q u e n c y , w h i c h i s j u s t i f i e d f o r r e l a t i v e l y n a r r o w b a n d s e i s m i c s i g n a l s ( F u t t e r m a n n , 1 9 6 2 ; W u e n s c h e l , 1 9 6 5 ; K a n a m o r i & A n d e r s o n , 1 9 7 7 ; K j a r t a n s s o n , 1 9 7 9 ; A k i & R i c h a r d s , 1 9 8 0 , p . 1 6 7 ) equation (A1.6) y i e l d s a s i m p l e a n d u s e f u l b a s i s f o r d i s p e r s i o n m o d e l l i n g o r f o r t h e r e m o v a l o f d i s p e r s i v e e f f e c t s . N o w , c o n s i d e r a p a i r o f p l a n e w a v e s o f f r e q u e n c i e s / a n d fb i n i t i a t e d s i m u l t a n e o u s l y a t s o m e a r b i t a r y s o u r c e l o c a t i o n X . T h e a r r i v a l t i m e s o f t h e s e w a v e s a t s o m e r e c e i v e r l o c a t i o n X , i s r g i v e n b y : sv(f,fb)/{v(fb) + bV(f,fb)} Ln(f/fb)/{*Q(fb)} (AI. 6) T(f) bX/V(f) , a n d T(fb) hX/V(fb) , w h e r e 5X = X - X r s t h u s , T(fb) ~ T(f) T(fb) - bX/V(f) = T(fb) - T(fb)V(fb)/V(f) 2 2 2 = ST(f,fb), s a y (AI. 7) B y a n a l o g y w i t h equal i on (A1.5) l e t V(f)=V(fb)+W(f, f ) , s o : bT(f,fb) = T(fb) - T(fb)V(fb)/{V(fb) + bV(f,fb)} bT(f,f b )/T(fb) = 1 ~ V(fb)/{V(fb) + bV(f,fb)} = bv(f,fb)/{v(fb) + bV(f,fb)} E q u a t i n g t h i s w i t h equal i on (Al. 6) we h a v e : bT(f,f b )/T(fb) = Ln(f/fb)/{irQ} (A1.8) F r o m equation (A1.7) we s e e t h a t f r e q u e n c i e s a b o v e fb w i l l h a v e a p o s i t i v e bT, i . e . f r o m equation (A1.3) t h e h i g h e r f r e q u e n c i e s a r r i v e f i r s t , a n d v i c e v e r s a . E s s e n t i a l l y , t h e r e l a t i o n s p e c i f i e d i n equation (A1.3) s t a t e s t h a t t h e e f f e c t s o f a f r e q u e n c y d e p e n d e n t v e l o c i t y a r e e q u i v a l e n t t o t h o s e o b t a i n e d f r o m a s i m p l e l i n e a r s c a l i n g o f t h e t i m e a x i s f o r e a c h f r e q u e n c y . T h i s s c a l i n g o p e r a t i o n i s s u m m a r i z e d b y t h e F o u r i e r s c a l i n g o r s i m i l a r i t y t h e o r e m ( B r a c e w e l l , 1 9 7 8 , p . 1 0 1 ) . F o r o u r s i g n a l x(t), we i n t r o d u c e t h i s f r e q u e n c y d e p e n d e n t t i m e r e s c a l i n g f a c t o r : l(f,fb) = (T(fb) + bT(f,f b ))/T(fb) = / + bT(f,fb)/T(fb) 2 2 3 w h i c h f r o m equation (A1.8) b e c o m e s : l(f,fb) = 1 + Ln(f/fb)/{irQ} (Al. 9) T h e r e f o r e , u p o n d i s p e r s i o n we h a v e : x(t) — > x(t/y(f,fb)), 1 . e . t h e c o n t r i b u t i o n t o x(t) a t t i m e t f r o m f r e q u e n c y / , f o r f > fb s a y , n o w a r r i v e s i n a s h o r t e r t i m e t h a n i t w o u l d i n a n u n d i s p e r s e d s i g n a l . I n t h e c o n t e x t o f t h i s s c a l i n g t h e o r e m , t h e t i m e s i g n a l x(l/y) i s g i v e n b y : x(t/y) = S yX(fy)exP(i 2*ft) df t h a t i s : x(t/y(f,fb)) < — > y(f,fb)X(y(f,fb)f) (ALIO) I t i s t h i s e x p r e s s i o n u p o n w h i c h R o b i n s o n ' s ( 1 9 7 9 ) , a n d o u r , p r o g r a m s f o r d i s p e r s i o n w e r e b a s e d , w h i l e a n a t t e n u a t i v e c o m p o n e n t i n o u r s y n t h e t i c d a t a c o u l d b e i n t r o d u c e d v i a equation (Al. 1), i f d e s i r e d . b . N u m e r i c a l M e t h o d s . A s t h e c o m p l e x s p e c t r u m X(f) i s r e s c a l e d t o yX(yf) b u t o n l y s a m p l e d a t X(nhf) ( w h e r e hf i s t h e f r e q u e n c y i n t e r v a l a n d n=0, 1, 2, . . . ) we m u s t a t s o m e s t a g e i n t r o d u c e a n i n t e r p o l a t i o n . O u r 2 2 4 a p p r o a c h w a s t o a s k t h e f o l l o w i n g q u e s t i o n : g i v e n t h e d i s c r e t e l o c a t i o n s nbf, w h e r e d i d t h e s p e c t r a l c o m p o n e n t , w i t h i t s c u r r e n t p h a s e a n d a m p l i t u d e , c o m e f r o m ( a s s u m i n g t h a t i t w a s s h i f t e d b y s o m e p h a s e c h a n g e d u e t o d i s p e r s i o n ) ? K n o w i n g t h a t : fc = 7/o = [ 1 + Ln(fQ/f b)/{*Q}]f0, w h e r e / i s t h e c u r r e n t f r e q u e n c y , a n d / 0  i s t h e f r e q u e n c y t h a t w a s s h i f t e d , w e d e v e l o p a N e w t o n - R a p h s o n i t e r a t i v e a p p r o a c h t o f i n d i n g f0 g i v e n / . T o d o t h i s , w e n e e d e x p r e s s i o n s f o r b o t h t h e f u n c t i o n t o b e m i n i m i z e d , a n d i t s d e r i v a t i v e : = [ 1 + Ln(f0/fb)/{irQ}]f0 - fQ $ 2 = a4>,/9/0 = / + [/+ Ln(f0/fb)]/{nQ} H a v i n g f o u n d t h e l o c a t i o n / 0 , a t w h i c h we w i s h t o e v a l u a t e t h e c o m p l e x f u n c t i o n X(f), we u t i l i z e a n i n t e r p o l a t i o n a l g o r i t h m b a s e d o n i n t e g r a t i o n - b y - p a r t s ( a f t e r R o s e n b a u m a n d B o u d r e a u x , 1 9 8 1 ) . T o i n v o k e a t t e n u a t i o n s a t i s f y i n g equation (Al.l), we s a m p l e d t h e d a t a w i t h a w i n d o w o f w i d t h W, c e n t r e d a b o u t t h e c u r r e n t t i m e T . T h e d a t a i n t h e w i n d o w w e r e F o u r i e r t r a n s f o r m e d a n d c 2 2 5 m u l t i p l i e d b y exp(-<JT /2Q) . T h e w i n d o w w a s m o v e d a l o n g t h e d a t a i n s t e p s o f W/2 a n d t h e r e s u l t i n g s e t o f a t t e n u a t e d c o m p l e x s p e c t r a t r a n s f o r m e d b a c k i n t o t h e t i m e d o m a i n . T h e d a t a s e g m e n t s w e r e t h e n c o m b i n e d t o c o n s t r u c t t h e a t t e n u a t e d t i m e s e r i e s . c . C u m u l a t i v e t o I n t e r v a l Q I n v e r s i o n . I n t h e s a m e w a y t h a t i n t e r v a l v e l o c i t i e s a r e a v e r a g e d t o p r o d u c e RMS v e l o c i t i e s ( D i x , 1 9 5 5 ) , t h e l a y e r Q v a l u e s a r e s e e n i n a n a v e r a g e d s e n s e i n t h e m e a s u r e d d a t a . F o r a l a y e r e d e a r t h w i t h i n t e r v a l Q v a l u e s c o r r e s p o n d i n g t o t h e i.th l a y e r w i t h i n t e r v a l t r a v e l t i m e t .. we h a v e : / i \/Qcum. ={ L ig/Q,}/ L t (ALU) 3 j=l j=I A s e q u e n c e o f m e a s u r e d c u m u l a t i v e Q v a l u e s m a y b e i t e r a t i v e l y t r e a t e d i n t h e u s u a l ' l a y e r s t r i p p i n g ' m a n n e r , o r i n v e r t e d u s i n g B a c k u s - G i l b e r t i n v e r s i o n m e t h o d s , t o y i e l d t h e i n t e r v a l Q s t r u c t u r e . 226 APPENDIX 2. THE EFFECT OF DISPERSION ON VIBROSEIS DATA PROCESSING. a . I n t r o d u c t i o n . T h e m a t e r i a l i n t h i s A p p e n d i x i s e s s e n t i a l l y t h e t e x t o f a m a n u s c r i p t i n p r e p a r a t i o n , a n d i s a c o n t i n u a t i o n o f w o r k i n i t i a t e d b y S . L e v y i n 1 9 8 0 . H e r e we p r e s e n t a b a c k g r o u n d t o t h e p r o b l e m o f d i s p e r s i o n a s i t a f f e c t s a s i g n a l w i t h r e g a r d t o b a n d w i d t h a n d , i n l i g h t o f t h e c o n s t a n t Q m o d e l , p r o d u c e s y n t h e t i c s e i s m o g r a m s t o d e m o n s t r a t e h o w t h e p r o b l e m s o f d i s p e r s i o n m a n i f e s t t h e m s e l v e s . O u r a d o p t i o n o f t h e c o n s t a n t Q m o d e l i s m e a n t t o b e i n s t r u c t i v e , n o t d e f i n i t i v e : we b e l i e v e t h a t i t y i e l d s u s e f u l i n s i g h t s i n t o t h e n a t u r e o f t h e p r o b l e m . T h e c o n s t a n t Q m o d e l ( F u t t e r m a n n , 1 9 6 2 ; W u e n s c h e l , 1 9 6 5 ; K a n a m o r i & A n d e r s o n , 1 9 7 7 ; K j a r t a n s s o n , 1 9 7 9 ; A k i & R i c h a r d s , 1 9 8 0 , p 1 6 7 ) s t a t e s t h a t a t t e n u a t i o n i n c r e a s e s l i n e a r l y w i t h f r e q u e n c y o v e r t h e b a n d o f i n t e r e s t : i . e . Q, t h e f r a c t i o n a l e n e r g y l o s s p e r c y c l e , i s c o n s t a n t f o r a g i v e n m e d i u m . G i v e n t h e a s s u m p t i o n o f c o n s t a n t Q, we p r o c e e d t o s h o w h o w a j u d i c i a l c h o i c e o f b a n d - w i d t h a n d b a n d l o c a t i o n o f t h e i n p u t s i g n a l c a n p a r t i a l l y o v e r c o m e t h e d e l e t e r i o u s e f f e c t s o f d i s p e r s i o n . S u c h c h o i c e i s o n l y p o s s i b l e w i t h t u n e d s o u r c e s , s u c h a s t h o s e a p p l i e d i n t h e V i b r o s e i s ® t e c h n i q u e . T h r o u g h t h e u s e o f 2 2 7 s y n t h e t i c d a t a , we c o n s i d e r i n s o m e d e t a i l t h e e f f e c t o f d i s p e r s i o n o n V i b r o s e i s ® d a t a p r o c e s s i n g . We d e v e l o p t h e r a t i o n a l e f o r a m e t h o d o f s e p a r a t i n g t h e u s u a l m u l t i - o c t a v e V i b r o s e i s ® s w e e p ( h e r e a f t e r r e f e r r e d t o a s t h e s w e e p ) i n t o n o n - o v e r l a p p i n g i n d i v i d u a l o c t a v e s w e e p s . A f t e r r e c o r d i n g t h e s e p a r a t e d a t a s e t s a n d c r o s s c o r r e l a t i n g w i t h t h e a p p r o p r i a t e s w e e p , t h e c o r r e l o g r a m s f r o m t h e d i f f e r e n t s w e e p s a r e w e i g h t e d a n d t h e n s t a c k e d . I t i s o u r c o n t e n t i o n t h a t d a t a g a t h e r e d a n d c o m p i l e d i n t h i s m a n n e r m a y s u f f e r l e s s f r o m t h e e f f e c t s o f d i s p e r s i o n t h a n w o u l d a s i n g l e , m u l t i - o c t a v e s w e e p , o r a s t a c k o f o v e r l a p p i n g m u l t i - o c t a v e f r e q u e n c y b a n d s w e e p s ( e . g . t h e C o m b i s w e e p o f W e r n e r & K r e y ( 1 9 7 9 ) ) . b . T h e o r y . D i s p e r s i o n c a n b e c o n c e p t u a l i s e d a s a f r e q u e n c y d e p e n d e n t s t r e t c h i n g o f t h e t i m e a x i s ( A p p e n d i x 1 ) . F o r a s i g n a l x(t) w h i c h b e c o m e s d i s p e r s e d , o n e h a s , f o l l o w i n g equation (A1.9): x(t) > x(t/y(f,fb)), w h e r e -y(f,fb) = l + Ln(f/fb)/{nQ} (A2.1) fb i s s o m e b a s e , o r r e f e r e n c e f r e q u e n c y , a n d Q i s t h e s e i s m i c q u a l i t y f a c t o r . F r o m t h i s e x p r e s s i o n we n o t e t h a t f r e q u e n c i e s a b o v e fb w i l l b e p h a s e a d v a n c e d , f r e q u e n c i e s b e l o w / , p h a s e d e l a y e d . 2 2 8 We n o w c o n s i d e r t h e e f f e c t o f b a n d w i d t h o n t h e a b s o l u t e d e g r e e o f d i s t o r t i o n d u e t o d i s p e r s i o n . T a k i n g y(f,fb) f r o m equation (A2.1) a t f r e q u e n c i e s / , a n d f2 ( / 1 < f i) , w e h a v e : l(fy,fb)- 7(f2,fb) = {Ln(fJ - Ln(f2)}/{nQ) = Ln (f \ /f 2.) /{ ITQ} (A2. 2) = hi(fy,f2), s a y F o r a b a n d o n e o c t a v e i n w i d t h , r e g a r d l e s s o f f r e q u e n c y , we h a v e /, = 2f2, t h u s 8y(2f,f) = Ln(2)/{nQ} = 0.22/Q. T h e r e f o r e , f o r n o c t a v e s we h a v e : Sy(2 nf/f) = nLn(2)/{nQ} = 0.22n/Q (A2.3) T h e d i f f e r e n c e by(f^,f2) i n t h e f r e q u e n c y d e p e n d e n t t i m e - r e s c a l i n g f a c t o r y(f,f^), o v e r a g i v e n b a n d i s a l i n e a r f u n c t i o n o f t h e n u m b e r o f o c t a v e s i n t h a t b a n d . T h u s , a s i g n a l w i t h a s p e c t r u m s e v e r a l o c t a v e s w i d e w i l l h a v e f r e q u e n c i e s a t e i t h e r e n d o f t h e b a n d w i t h l a r g e r e l a t i v e p h a s e s h i f t s . T h i s l e a d s t o c o n s i d e r a b l e d i s t o r t i o n o f t h e r e c e i v e d d i s p e r s e d s i g n a l . S u b s e q u e n t d e c o n v o l u t i o n o r c r o s s c o r r e l a t i o n w i t h a k n o w n o r e s t i m a t e d i n p u t s i g n a t u r e g i v e s r i s e t o e v e n g r e a t e r p r o b l e m s , a s t h e s i g n a t u r e u s e d i n t h e s e p r o c e d u r e s i s n o t d i s p e r s e d w h i l s t i t s r e p l i c a t i o n s w i t h i n t h e r e c o r d e d s i g n a l a r e i n c r e a s i n g l y d i s p e r s e d , a n d a t t e n u a t e d , w i t h 2 2 9 g r e a t e r t r a v e l t i m e . c . T h e V i b r o s e i s ® T e c h n i q u e . O n e o f t h e p r o b l e m s w i t h t h e V i b r o s e i s ® m e t h o d i s t h e d e g r a d a t i o n o f s i g n a l d u e i n p a r t t o d i s p e r s i o n a n d a t t e n u a t i o n . S e v e r a l m e t h o d s h a v e b e e n s u g g e s t e d w h e r e b y t h e s w e e p i s m o d i f i e d o r e n c o d e d i n s o m e w a y s o a s t o m i n i m i z e t h e n o i s e i n , a n d i n c r e a s e t h e r e s o l u t i o n o f t h e r e c o r d e d s i g n a l ( G u r b u z 1 9 8 2 ; E d e l m a n n & W e r n e r 1 9 8 2 ; C h a p m a n e t a l . 1 9 8 1 ; R i e t s c h 1 9 8 1 ; W e r n e r & R r e y 1 9 7 9 ) . F o l l o w i n g f r o m t h e i n s i g h t s g l e e n e d f r o m a n a l y s i s o f t h e t h e o r y , we p r o p o s e a m o d i f i c a t i o n o f t h e e x i s t i n g m e t h o d s . R e c a l l i n g t h a t a m u l t i - o c t a v e s w e e p i s p r o n e t o m o r e d i s t o r t i o n t h a n a s i n g l e o c t a v e s w e e p , we s u g g e s t t h a t t h e s w e e p b e c o n f i n e d t o o n e o c t a v e . R e p e a t i n g t h e s w e e p s u c c e s s i v e l y f o r t h r e e d i f f e r e n t o c t a v e s w o u l d y i e l d t h r e e s e t s o f d a t a , e a c h d a t a s e t h a v i n g s u c c u m b e d t o a m i n i m a l a m o u n t o f d i s p e r s i v e e f f e c t s . S u b s e q u e n t c r o s s c o r r e l a t i o n w i t h t h e r e s p e c t i v e s w e e p s , a n d s t a c k i n g , w o u l d p r o d u c e a m u l t i - o c t a v e d a t a s e t w i t h l e s s d i s t o r t i o n t h a n d a t a o f c o m p a r a b l e b a n d - w i d t h t h a t h a d b e e n c o l l e c t e d a n d p r o c e s s e d c o n v e n t i o n a l l y . R e p e a t i n g t h e h i g h e r f r e q u e n c y o c t a v e s w e e p s s e v e r a l t i m e s a n d i n c l u d i n g t h e s e d a t a s e t s i n t h e s u b s e q u e n t s t a c k w o u l d p a r t i a l l y a l l e v i a t e a t t e n u a t i v e l o s s b y i n i t i a l b o o s t i n g o f t h e h i g h f r e q u e n c y c o n t e n t . T h i s p r o c e d u r e c o u l d b e p a r a l l e l e d w i t h e x i s t i n g d a t a b y 2 3 0 b a n d p a s s i n g t h e p r e - c o r r e l a t e d d a t a a n d w a v e l e t , a n d s t a c k i n g t h e c o r r e l o g r a m s f r o m s e v e r a l s u c h b a n d l i m i t e d r e p l i c a t i o n s . d . S y n t h e t i c D a t a E x a m p l e s . T h e o b j e c t i v e o f t h e f o l l o w i n g e x a m p l e s i s t o d e m o n s t r a t e t h e e f f e c t s o f d i s p e r s i o n a n d o f a t t e n u a t i o n o n t h e p h a s e a n d a m p l i t u d e s t r u c t u r e o f t h e i n p u t d a t a . T o f u r t h e r t h i s e n d , t h e s y n t h e t i c d a t a w e r e k e p t s i m p l e . F o u r s y n t h e t i c s e i s m o g r a m s , e a c h c o m p r i s i n g f i v e s p i k e s o f a l t e r n a t i n g p o l a r i t y s p r e a d o v e r f o u r s e c o n d s , w e r e c r e a t e d a n d c o r r e l a t e d w i t h a p a r t i c u l a r s w e e p . F o r t h i s d e m o n s t r a t i o n , s w e e p s o f o n l y o n e h a l f s e c o n d d u r a t i o n w e r e u s e d ( i n p r a c t i c e t h e s w e e p i s a t l e a s t s e v e r a l s e c o n d s i n d u r a t i o n ) w i t h a s a m p l i n g i n t e r v a l o f 4 m s . T h e b a n d w i d t h s c h o s e n f o r t h e f o u r s y n t h e t i c s w e e p s w e r e : a . 1 0 . 0 - 2 1 . 5 H z b . 1 8 . 5 - 4 3 . 0 H z c . 3 7 . 0 - 8 0 . 0 H z d . 1 0 . 0 - 8 0 . 0 H z . A l l s p e c t r a w e r e t a p e r e d a n d b a n d w i d t h s a , b , & c w e r e o v e r l a p p e d s l i g h t l y t o a v o i d g a p s i n t h e s p e c t r u m o f t h e s t a c k e d c o r r e l o g r a m . T h e s p e c t r a s h o w n i n F i g u r e A . 2 , a r e o f o n e h a l f s e c o n d o f d a t a c e n t r e d a b o u t t h e p u l s e n e a r 3 . 6 s . 2 3 1 F o l l o w i n g t h e a p p r o a c h e s o f R o b i n s o n ( 1 9 7 9 ) a n d S t r i c k ( 1 9 7 0 ) , p r o g r a m s w e r e d e v e l o p e d t o d i s p e r s e a n d a t t e n u a t e t h e d a t a g i v e n t h e s e i s m i c q u a l i t y f a c t o r , Q, t h e f r e q u e n c y b a n d , a n d t h e b a s e f r e q u e n c y , fb ( A p p e n d i x 1 ) . I n e a c h c a s e t h e b a s e f r e q u e n c y fb w a s c h o s e n t o l i e a t t h e m i d - p o i n t o f t h e r e s p e c t i v e f r e q u e n c y b a n d . I n F i g u r e A.1 t h e c o r r e l o g r a m o f t h e m u l t i - o c t a v e s w e e p ( a ) , i s c o m p a r e d t o t h e c o r r e l o g r a m f o r m e d f r o m t h e s t a c k o f t h e t h r e e s i n g l e o c t a v e s w e e p c o r r e l o g r a m s ( b ) . T h e s t a c k w a s w e i g h t e d t o b a l a n c e t h e e n e r g i e s i n t h e t h r e e o c t a v e s ( F i g u r e A . 2 a a n d b ) . A s e x p e c t e d , t h e s e r e s u l t s a r e s i m i l a r . T h e l o b e s i n t h e c o n v e n t i o n a l b a n d s p e c t r u m ( F i g u r e A . 2 a ) a r e d u e t o G i b b ' s p h e n o m e n o n ( B r a c e w e l l , 1 9 7 8 ) . T h e f o u r d a t a s e t s w e r e d i s p e r s e d w i t h a c o n s t a n t Q o f 1 5 0 , a n d c r o s s - c o r r e l a t e d w i t h t h e r e s p e c t i v e n o n - d i s p e r s e d s w e e p s . T h i s m i m i c s t h e a c t u a l f i e l d p r o c e d u r e , i . e . t h e r e c o r d e d s i g n a l , c o m p l e t e w i t h t h e v a r i o u s ' e a r t h e f f e c t s ' , i s c r o s s c o r r e l a t e d w i t h t h e k n o w n i n p u t s w e e p . T h e t h r e e i n d i v i d u a l o c t a v e s w e e p s w e r e a g a i n s t a c k e d . F i g u r e A . 3 ( a a n d b ) d e m o n s t r a t e s t h e m a r k e d d i s p a r i t y b e t w e e n t h e t w o p r o c e d u r e s . T h e m u l t i - o c t a v e r e s u l t s s h o w s i g n i f i c a n t d i s t o r t i o n a f t e r t h e f i r s t s e c o n d o f t w o w a y t r a v e l t i m e . P o l a r i t y b e g i n s t o b e l o s t a s t h e d i s p e r s i v e e f f e c t s i n c r e a s i n g l y d i s t o r t t h e p h a s e s t r u c t u r e o f t h e s i g n a l . H o w e v e r , t h e r e s u l t f r o m t h e s t a c k , i s m u c h b e t t e r , a l t h o u g h i t a l s o i s s o m e w h a t e f f e c t e d . 232 R e p e a t i n g t h e a b o v e p r o c e d u r e w i t h 62=125 a n d i n t r o d u c i n g a t t e n u a t i o n p r i o r t o d i s p e r s i o n we h a v e , a s e x p e c t e d , a n i n c r e a s i n g l o s s o f r e s o l u t i o n w i t h d e p t h a s t h e h i g h f r e q u e n c i e s a r e a t t e n u a t e d . F i g u r e A.4 ( a a n d b) s h o w s o n c e m o r e t h e c o m p a r i s o n o f t h e c o n v e n t i o n a l a p p r o a c h t o o c t a v e s t a c k i n g . P o l a r i t y a n d p o s i t i o n a r e n o w s e v e r e l y d e g r a d e d i n t h e s t a n d a r d m u l t i - o c t a v e s w e e p . I n t h e s p e c t r a ( F i g u r e A.2 d a n d e ) we n o t e t h a t t h e h i g h f r e q u e n c i e s a r e s e v e r e l y a t t e n u a t e d . T h e d i s t o r t i o n d u e t o t h e t i m e - d e p e n d e n t c o m p o n e n t o f a t t e n u a t i o n c a n be p a r t i a l l y c o m p e n s a t e d by t h e i m p l e m e n t a t i o n o f a u t o m a t i c g a i n c o n t r o l . H o w e v e r , t h e r e c o v e r y o f a t t e n u a t e d f r e q u e n c i e s p o s e s a g r e a t e r p r o b l e m . I n o u r c a s e , w i t h t h e w e l l d e f i n e d s e p a r a t e o c t a v e s w e e p s , we p r o c e e d t o i m p l e m e n t a f o r m o f s p e c t r a l n o r m a l i z a t i o n . T h e m e a n e n e r g y i n e a c h o c t a v e w a s e q u a l i z e d s o a s t o b o o s t t h e h i g h f r e q u e n c i e s . T h e n o r m a l i z a t i o n i s o n l y i m p l e m e n t e d w i t h i n t h e r e s p e c t i v e f r e q u e n c y b a n d s o a s n o t t o a m p l i f y n o i s e o u t s i d e t h e b a n d . F i g u r e A.5 ( a a n d b ) c o m p a r e s t h e a t t e n u a t e d a n d d i s p e r s e d d a t a o f F i g u r e A.4b b e f o r e a n d a f t e r h i g h f r e q u e n c y r e c o v e r y . T h e w a v e l e t s s h a r p e n - u p c o n s i d e r a b l y , a s n o t e d i n t h e r e s p e c t i v e s p e c t r a ( F i g u r e A.5 c a n d d ) . T h i s p r o c e d u r e a s s u m e d n o p r i o r k n o w l e d g e o f t h e Q v a l u e u s e d t o i n t r o d u c e a t t e n u a t i o n i n t h e o r i g i n a l s y n t h e t i c s e i s m o g r a m s . T h i s t h e o r e t i c a l p r o c e d u r e c o u l d b e m i m i c e d i n t h e f i e l d b y r e p e a t i n g t h e h i g h f r e q u e n c y o c t a v e s w e e p s e v e r a l t i m e s a n d 2 3 3 i n c l u d i n g t h e s e r e p e t i t i o n s i n t h e s t a c k w i t h t h e o t h e r o c t a v e s w e e p s . I n e f f e c t we b o o s t t h e h i g h f r e q u e n c y c o n t e n t o f t h e c o m p o u n d s p e c t r u m . I n o r d e r t o i m p l e m e n t h i g h f r e q u e n c y r e c o v e r y i n a m o r e e x a c t m a n n e r , we w o u l d n e e d a d e t a i l e d k n o w l e d g e o f t h e a b s o r p t i v e a n d s c a t t e r i n g c o n t r i b u t i o n s t o t h e a t t e n u a t i o n p r o c e s s . e . C o m p a r i s o n w i t h P r e v i o u s W o r k . O v e r l a p p i n g f r e q u e n c y b a n d s , a s s u g g e s t e d b y W e r n e r a n d K r e y ( 1 9 7 9 ) p r o v i d e a n i m p r o v e m e n t o v e r s i n g l e m u l t i - o c t a v e p r o c e d u r e , b u t t h e m e t h o d i s s t i l l i n f e r i o r t o t h e s e p a r a t e o c t a v e a p p r o a c h . T o e x e m p l i f y t h i s p o i n t , we c r e a t e d t h r e e m o r e s y n t h e t i c t r a c e s , d i v i d i n g t h e 10 - . 8 0 H z r a n g e i n t o t h r e e o v e r l a p p i n g b a n d s . T h e y w e r e : e . 10 - 5 2 H z , f . 2 4 - 6 6 H z , a n d g . 3 8 - 8 0 H z . A l l b a n d s a r e 4 2 H z w i d e , a n d e a c h s u b s e q u e n t b a n d i s s h i f t e d b y 14 H z , t h i s c h o i c e o f f r e q u e n c y b a n d s a p p r o x i m a t e l y m i m i c s t h o s e o f W e r n e r a n d K r e y ( 1 9 7 9 ) . I n F i g u r e s A . 1 c & 2 c r e s p e c t i v e l y , t h e s t a c k e d c o r r e l o g r a m f o r t h e o v e r l a p p i n g b a n d s a n d i t s s p e c t r u m a r e s h o w n . F o l l o w i n g o u r e a r l i e r e x a m p l e s we d i s p e r s e t h e s e i s m o g r a m s u s i n g ( 2 = 1 5 0 . F i g u r e A . 3 c o m p a r e s t h e c o r r e l o g r a m s f r o m t h e c o n v e n t i o n a l m e t h o d ( a ) , o c t a v e s t a c k ( b ) , a n d o v e r l a p p i n g b a n d s t a c k ( c ) , f o r d i s p e r s e d d a t a . T h e i m p r o v e m e n t 2 3 4 o f t h e o c t a v e s t a c k o v e r t h e o v e r l a p p i n g b a n d s t a c k i s a b o u t t h e s a m e a s t h a t o f t h e l a t t e r o v e r a c o n v e n t i o n a l m u l t i - o c t a v e c o r r e l o g r a m . A t t e n u a t i n g a n d d i s p e r s i n g t h e d a t a w i t h 0 = 1 2 5 p r o d u c e s r e s u l t s s i m i l a r t o t h o s e i n F i g u r e A . 3 o n l y n o w we s e e t h e d r o p - o f f o f t h e h i g h f r e q u e n c i e s ( F i g u r e A . 2 f ) a n d t h e l o s s o f s i g n a l s t r e n g t h w i t h t i m e ( F i g u r e A . 4 ) . C h a p m a n e t a l . ( 1 9 8 1 ) , i n t h e i r p a p e r o n t h e u s e h i g h f r e q u e n c y V i b r o s e i s ® s w e e p s s h o w s e v e r a l r e a l d a t a s e c t i o n s c o m p a r i n g c o n v e n t i o n a l t o h i g h f r e q u e n c y s w e e p s . T h e i r d a t a e l e g a n t l y s h o w t h e v a s t i m p r o v e m e n t o f t h e h i g h f r e q u e n c y m e t h o d o v e r t h e c o n v e n t i o n a l s w e e p . H o w e v e r , t h e i r h i g h e r f r e q u e n c y s w e e p s s p a n l e s s t h a n t w o o c t a v e s , w h i l e t h e i r l o w s w e e p s s p a n m o r e t h a n t w o o c t a v e s . R e f e r r i n g b a c k t o equations (A2.2) a n d (A2.3) we n o t e t h a t t h i s i m p r o v e m e n t w o u l d b e e x p e c t e d g i v e n t h e r e d u c t i o n i n t h e n u m b e r o f o c t a v e s e n c o m p a s s e d i n t h e h i g h f r e q u e n c y r a n g e . I n o r d e r t o d e m o n s t r a t e t h i s c o n t e n t i o n m o r e c l e a r l y , we c o n s t r u c t e d o n e m o r e s e t o f s y n t h e t i c t r a c e s : h . 1 0 - 3 2 H z , a n d i . 2 4 - 8 0 H z . B o t h t h e s e s w e e p s c o n s t i t u t e a b o u t 1.4 o c t a v e s , i . e . 10 - 2 8 a n d 2 8 - 8 0 H z w i t h s o m e o v e r l a p t o a v o i d g a p s i n t h e c o m p o u n d s p e c t r u m , a n d s p a n t h e s a m e f r e q u e n c y r a n g e a s d i d o u r f i r s t 2 3 5 t r i a d o f u n i - o c t a v e s w e e p s . T h i s p a i r o f s w e e p s w a s - c o r r e l a t e d a n d s t a c k e d i n a s i m i l a r m a n n e r t o t h e e a r l i e r t r i a d . W i t h o u t a k n o w l e d g e o f t h e i m p l i c a t i o n s o f t h e c o n s t a n t Q m o d e l we w o u l d e x p e c t t h e s e t w o e x a m p l e s , w h e n d i s p e r s e d , t o g i v e s i m i l a r r e s u l t s , a s t h e o v e r a l l f r e q u e n c y r a n g e s p a n n e d b y t h e s t a c k e d d a t a s e t s i s t h e s a m e . T h e t h r e e c o m p o n e n t s t a c k s h o u l d h a v e s l i g h t l y l o w e r n o i s e . H o w e v e r , a f t e r d i s p e r s i o n w i t h (2=100, t h e r e s u l t f r o m t h e s t a c k e d p a i r o f 1.4 o c t a v e s w e e p s i s m a r k e d l y i n f e r i o r t o t h a t o f t h e s t a c k e d u n i - o c t a v e t r i a d ( F i g u r e s A . 6 ) . f . C o n c l u s i o n s . D i s p e r s i o n , w h i c h p l a y s a r o l e i n t h e d e g r a d a t i o n o f l o n g s e i s m i c r e c o r d s , p r o d u c e s e f f e c t s r e l a t e d t o t h e n u m b e r o f o c t a v e s p r e s e n t i n a s i g n a l . G i v e n t h e a p p l i c a b i l i t y o f t h e c o n s t a n t Q m o d e l t o s e i s m i c r e f l e c t i o n d a t a , t h e d e l e t e r i o u s e f f e c t s o f d i s p e r s i o n m a y b e p a r t i a l l y a v o i d e d b y j u d i c i a l c h o i c e o f t h e b a n d w i d t h a n d b a n d l o c a t i o n o f t h e i n p u t s i g n a l . S u c h c h o i c e i s p o s s i b l e w i t h t u n e d s o u r c e s , s u c h a s V i b r o s e i s ® , a n d m a y p r o v e t o b e w o r t h t h e a d d i t i o n a l r e c o r d i n g a n d p r o c e s s i n g c o s t s i n v o l v e d i n t h e p r o p o s e d m e t h o d . S y s t e m s a l r e a d y d e s i g n e d t o r u n a C o m b i s w e e p s u r v e y c o u l d b e r e a d i l y a d j u s t e d t o t h e o c t a v e - s t a c k m e t h o d . R e g a r d l e s s o f t h e a b s o l u t e v a l i d i t y o f a c o n s t a n t , o r n e a r l y c o n s t a n t , Q m o d e l , a n a l y s e s s u c h a s t h e o n e p r e s e n t e d h e r e c a n o f f e r u s e f u l i n s i g h t s i n t o t h e p r o c e s s e s a f f e c t i n g a n d a f f l i c t i n g t h e p r o p a g a t i n g s e i s m i c w a v e l e t . 2 3 7 FIGURE A . l C o r r e l o g r a m s f o r s y n t h e t i c s e i s m o g r a m s : ( a ) p r o d u c e d b y a s i n g l e m u l t i - o c t a v e s w e e p , ( b ) p r o d u c e d b y s t a c k i n g t h r e e s i n g l e o c t a v e s w e e p s , ( c ) p r o d u c e d b y s t a c k i n g t h r e e o v e r l a p p i n g b a n d s w e e p s , a l l d a t a a r e o f t h e s a m e f i n a l b a n d w i d t h . A l l m e t h o d s r e s u l t i n a s y m m e t r i c w a v e f o r m w i t h w e l l d e f i n e d p o l a r i t y 238 (00 LOO FRtOUtNCT (HZ] |80 FRtoi.ifNcr ( H Z ) 1 0 0 FIGURE A.2 s p e c t r a c o r r e s p o n d t o t h e d a t a o f F i g u r e A . I : a s i n g l e m u l t i - o c t a v e s w e e p , b y s t a c k i n g t h r e e s i n g l e o c t a v e s w e e p s , b y s t a c k i n g t h r e e o v e r l a p p i n g b a n d s w e e p s , ( a ) a r e d u e t o G i b b ' s e f f e c t . I n ( b ) t h e s p e c t r a a n d o v e r l a p p e d s l i g h t l y t o a v o i d g a p s , a n d i n ( c ) we n o t e t h e p y r a m i d a l e f f e c t o f s t a c k i n g C o m b i s w e e p d a t a T h e s e c o n d t r i a d o f s p e c t r a ( ( d ) - ( e ) ) , c o r r e s p o n d t o t h e a t t e n u a t e d v e r s i o n s o f t h e s e i s m o g r a m s w h i c h p r o d u c e d t h e f i r s t t h r e e s p e c t r a T h e f i r s t t h r e e ( a ) p r o d u c e d b y ( b ) p r o d u c e d ( c ) p r o d u c e d T h e l o b e s i n w e r e t a p e r e d 2 3 9 -to.o 0.0 * J 4 C o r r e l o g r a m s ( a ) p r o d u c e d ( b ) p r o d u c e d ( c ) p r o d u c e d a l l d a t a a r e ( w i t h Q = 1 5 0 ) F I G U R E A .3 f o r d i s p e r s e d s y n t h e t i c s e i s m o g r a m s b y a s i n g l e m u l t i - o c t a v e s w e e p , b y s t a c k i n g t h r e e s i n g l e o c t a v e s w e e p s , b y s t a c k i n g t h r e e o v e r l a p p i n g b a n d s w e e p s , o f t h e s a m e f i n a l b a n d w i d t h . P o l a r i t y b e g i n s t o l o s t a f t e r a b o u t 1.5 s , h o w e v e r , t h e e f f e c t i s m u c h w o r s e f o r s i n g l e o c t a v e s w e e p . T h e b e s t r e s u l t i s f o r t h e s i n g l e s t a c k ( b ) . b e t h e o c t a n e 2 4 0 F I G U R E A . 4 C o r r e l o g r a m s f o r a t t e n u a t e d d i s p e r s e d s y n t h e t i c s e i s m o g r a m s ( w i t h ( 2 = 1 2 5 ) : ( a ) p r o d u c e d b y a s i n g l e m u l t i - o c t a v e s w e e p , ( b ) p r o d u c e d b y s t a c k i n g t h r e e s i n g l e o c t a v e s w e e p s , ( c ) p r o d u c e d b y s t a c k i n g t h r e e o v e r l a p p i n g b a n d s w e e p s , a l l d a t a a r e o f t h e s a m e f i n a l b a n d w i d t h . P o l a r i t y b e g i n s t o b e l o s t a f t e r a b o u t 1.5 s , h o w e v e r , t h e e f f e c t i s m u c h w o r s e f o r t h e s i n g l e o c t a v e s w e e p . T h e b e s t r e s u l t i s f o r t h e s i n g l e o c t a v e s t a c k ( b ) . D u e t o t h e a t t e n u a t i o n , t h e e n e r g y d i e s d o w n r a p i d l y w i t h t i m e , a n d t h e h i g h f r e q u e n c i e s a r e l o s t . -20.0 0.0 20.0 -8.0 2.0 12.0 F I G U R E A . 5 ( a ) T h e c o r r e l o g r a m f o r a n a t t e n u a t e d d i s p e r s e d s y n t h e t i c s e i s m o g r a m p r o d u c e d u s i n g t h e s i n g l e o c t a v e s t a c k m e t h o d ( a s p e r F i g u r e A .4b) ( b ) T h e s a m e a f t e r r e c o v e r y o f t h e h i g h f r e q u e n c i e s ( a s d e s c r i b e d i n t h e t e x t ) . T h i s e f f e c t m a y b e m i m i c k e d i n %he f i e l d b y r e p e a t i n g t h e h i g h e r f r e q u e n c y s w e e p s a n d t h e n s t a c k i n g t h e c o r r e l o g r a m s . ( c ) T h e s p e c t r u m o f ( a ) . ( d ) T h e s p e c t r u m o f ( b ) . 2 4 2 -M.O o . o a o . o -eo.o o . o ao.o F I G U R E A.6 C o r r e l o g r a m s f o r d i s p e r s e d s y n t h e t i c s e i s m o g r a m s ( w i t h ( ? = 1 0 0 ) : ( a ) p r o d u c e d b y s t a c k i n g t h r e e s i n g l e o c t a v e s w e e p s , ( b ) p r o d u c e d b y s t a c k i n g t w o 1 . 4 o c t a v e s w e e p s , T h e s i n g l e o c t a v e m e t h o d ( a ) p r o d u c e s a b e t t e r f i n a l p r o d u c t , e v e n t h o u g h b o t h d a t a a r e o f t h e s a m e f i n a l b a n d w i d t h . R E F E R E E D P U B L I C A T I O N S : 1. J o n e s , I . F . , M a n s i n h a , L , a n d S h e n , P . Y . , 1 9 8 2 , O n t h e d o u b l e e x p o n e n t i a l f r e q u e n c y - m a g n i t u d e r e l a t i o n o f e a r t h q u a k e s : B u l l e t i n o f t h e S e i s m o l o g i c a l S o c i e t y o f A m e r i c a , v . 7 2 , p . 2 3 7 3 - 2 3 7 5 . 2 . E l l i s , R . M . , S p e n c e , G . D . , C l o w e s , R . M . , W a l d r o n , D . A . , J o n e s , I . F . , G r e e n , A . G . , F o r s y t h , D . A . , M a i r , J . A . , B e r r y , M . J . , M e r e u , R . F . , K a n a s e w i c h , E . R . , C u m m i n g , G . L . , H a j n a l , Z . , H y n d m a n , R . D . , M c M e c h a n , G . A . , a n d L o n c a r e v i c , B . D . , 1 9 8 3 , T h e V a n c o u v e r I s l a n d s e i s m i c p r o j e c t : a C O - C R U S T o n s h o r e - o f f s h o r e s t u d y o f a c o n v e r g e n t m a r g i n : C a n a d i a n J o u n a l o f E a r t h S c i e n c e s , v . 2 0 , p . 7 1 9 - 7 4 1 . 3 . C l o w e s , R . M . , E l l i s , R . M . , H a j n a l , Z . , a n d J o n e s , I . F . , 1 9 8 3 , S e i s m i c r e f l e c t i o n s f r o m t h e s u b d u c t i n g l i t h o s p h e r e ? : N a t u r e , v . 3 0 3 , p . 6 6 8 - 6 7 0 . 4 . C h a p m a n , N . R . , L e v y , S . , J o n e s , I . F . , S t i n s o n , K . , O l d e n b u r g , D.W., a n d P r a g e r , B . T . , 1 9 8 4 , I n v e r s i o n o f d e e p o c e a n m a r i n e s e i m i c d a t a t o r e c o v e r v e l o c i t y a n d d e n s i t y i n f o r m a t i o n f o r a b y s a a l p l a i n s e d i m e n t s . S u b m i t t e d t o t h e J o u r n a l o f t h e A c o u s t i c a l S o c i e t y o f A m e r i c a . 5 . J o n e s , I . F . , a n d L e v y , S . , 1 9 8 4 , T h e a p p l i c a t i o n o f t h e K a r h u n e n - L o e v e t r a n s f o r m a t i o n i n i n m u l t i c h a n n e l s e i s m i c d a t a p o c e s s i n g : ( i n v i t e d p a p e r f o r G e o p h y s i c a l P r o s p e c t i n g ) . 6 . L e v y , S . , J o n e s , I . F . , U l r y c h , T . J . , a n d O l d e n b u r g , D.W., 1 9 8 4 , C o m p l e x C o m m o n S i g n a l A n a l y s i s . I n p r e p . . 7 . U l r y c h , T . J . , L e v y , S . , O l d e n b u r g D.W., a n d J o n e s , I . F . , 1 9 8 4 , A p p l i c a t i o n s o f t h e c o m p l e x K a r h u n e n - L o e v e t r a n s f o r m a t i o n i n e x p l o r a t i o n s e i s m o l o g y : i n p r e p . . O T H E R P U B L I C A T I O N S : 1 . J o n e s , I . F . , . 1 9 8 0 , A s p e c t s o f g l o b a l s e i s m i c i t y : M a s t e r ' s t h e s i s , U n i v . W e s t e r n O n t a r i o . 2 . U l r y c h , T . J . , L e v y , S . , O l d e n b u r g D.W., a n d J o n e s , I . F . , 1 9 8 3 , A p p l i c a t i o n s o f t h e K a r h u n e n - L o e v e t r a n s f o r m a t i o n i n e x p l o r a t i o n g e o p h i s i c s : p a p e r S 6 . 5 , p r o c e e d i n g s o f t h e 5 3 r d . a n n u a l m e e t i n g o f t h e S o c i e t y o f E x p l o r a t i o n G e o p h y s i c i s t s . 3 . L e v y , S . , U l r y c h , T . J . , J o n e s , I . F . , a n d O l d e n b u r g , D.W., 1 9 8 3 , A p p l i c a t i o n s o f c o m p l e x c o m m o n s i g n a l a n a l y s i s i n e x p l o r a t i o n s e i s m o l o g y : p a p e r S 6 . 6 , p r o c e e d i n g s o f - t h e 5 3 r d . a n n u a l m e e t i n g o f t h e S o c i e t y o f E x p l o r a t i o n G e o p h y s i c i s t s .

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