{"@context":{"@language":"en","Affiliation":"http:\/\/vivoweb.org\/ontology\/core#departmentOrSchool","AggregatedSourceRepository":"http:\/\/www.europeana.eu\/schemas\/edm\/dataProvider","Campus":"https:\/\/open.library.ubc.ca\/terms#degreeCampus","Creator":"http:\/\/purl.org\/dc\/terms\/creator","DateAvailable":"http:\/\/purl.org\/dc\/terms\/issued","DateIssued":"http:\/\/purl.org\/dc\/terms\/issued","Degree":"http:\/\/vivoweb.org\/ontology\/core#relatedDegree","DegreeGrantor":"https:\/\/open.library.ubc.ca\/terms#degreeGrantor","Description":"http:\/\/purl.org\/dc\/terms\/description","DigitalResourceOriginalRecord":"http:\/\/www.europeana.eu\/schemas\/edm\/aggregatedCHO","FullText":"http:\/\/www.w3.org\/2009\/08\/skos-reference\/skos.html#note","Genre":"http:\/\/www.europeana.eu\/schemas\/edm\/hasType","IsShownAt":"http:\/\/www.europeana.eu\/schemas\/edm\/isShownAt","Language":"http:\/\/purl.org\/dc\/terms\/language","Program":"https:\/\/open.library.ubc.ca\/terms#degreeDiscipline","Provider":"http:\/\/www.europeana.eu\/schemas\/edm\/provider","Publisher":"http:\/\/purl.org\/dc\/terms\/publisher","Rights":"http:\/\/purl.org\/dc\/terms\/rights","ScholarlyLevel":"https:\/\/open.library.ubc.ca\/terms#scholarLevel","Title":"http:\/\/purl.org\/dc\/terms\/title","Type":"http:\/\/purl.org\/dc\/terms\/type","URI":"https:\/\/open.library.ubc.ca\/terms#identifierURI","SortDate":"http:\/\/purl.org\/dc\/terms\/date"},"Affiliation":[{"@value":"Science, Faculty of","@language":"en"},{"@value":"Earth, Ocean and Atmospheric Sciences, Department of","@language":"en"}],"AggregatedSourceRepository":[{"@value":"DSpace","@language":"en"}],"Campus":[{"@value":"UBCV","@language":"en"}],"Creator":[{"@value":"Jones, Ian Frederick","@language":"en"}],"DateAvailable":[{"@value":"2010-06-17T23:24:13Z","@language":"en"}],"DateIssued":[{"@value":"1985","@language":"en"}],"Degree":[{"@value":"Doctor of Philosophy - PhD","@language":"en"}],"DegreeGrantor":[{"@value":"University of British Columbia","@language":"en"}],"Description":[{"@value":"The Karhunen-Lo\u00e8ve transform, which optimally extracts coherent information from multichannel data, has been applied to several problems in reflection seismic data processing. The transform is derived by a least-squares construction of an orthogonal set of principal components and eigenvectors, with corresponding eigenvalues. Data are reconstructed as a linear combination of the principal components.\r\nThe mathematical properties of the Karhunen-Lo\u00e8ve transform which render it applicable to problems in seismic data processing are reviewed, and a number of new algorithms developed. Most algorithms are tested on synthetic and real data examples, and 'production-line' industrially viable versions of some of the programs have been developed.\r\nA new signal-to-noise ratio enhancement technique, based on reconstruction of stacked seismic sections, has proved to be successful on real data. Reconstruction of less coherent information to emphasize anomalous features in stacked seismic data (\"misfit\" reconstruction) shows some promise. Diffraction hyperbolae isolated by misfit reconstruction are used to estimate residual migration velocities with some success. And, the ability of the transform to segregate coherent information is used successfully as the basis of a new multiple suppression technique. An anomaly identification scheme, based on cluster analysis of the eigenvectors of the transform, works well on the synthetic data used, and gives promising results when applied to real data. A new velocity analysis method, utilizing a ratio of the eigenvalues, works well for good data at early travel times, and offers a potential for high resolution velocity inversion studies. Use of the eigenvalues in evaluation of a constant phase approximation to dispersion for synthetic data provides promising results, leading to quantification of dispersion in terms of relative phase shifts. As part of this development, an analysis of the effect of dispersion on Vibroseis\u00a9 data acquisition, which represents an original investigation, is presented.","@language":"en"}],"DigitalResourceOriginalRecord":[{"@value":"https:\/\/circle.library.ubc.ca\/rest\/handle\/2429\/25831?expand=metadata","@language":"en"}],"FullText":[{"@value":"A P P L I C A T I O N S O F T H E K A R H U N E N - L O E V E T R A N S F O R M I N R E F L E C T I O N S E I S M O L O G Y b y I A N F R E D E R I C K J O N E S M . S c . T h e U n i v e r s i t y o f W e s t e r n O n t a r i o , 1 9 8 0 B . S c . ( H o n ) T h e U n i v e r s i t y o f M a n c h e s t e r , 1 9 7 6 A T H E S I S S U B M I T T E D I N T H E R E Q U I R E M E N T S D O C T O R OF P A R T I A L F U L F I L M E N T O F F O R T H E D E G R E E O F P H I L O S O P H Y i n T H E F A C U L T Y O F G R A D U A T E S T U D I E S ( D e p a r t m e n t O f G e o p h y s i c s A n d A s t r o n o m y ) We a c c e p t t h i s t h e s i s a s c o n f o r m i n g t o t h e r e q u i r e d s t a n d a r d T H E U N I V E R S I T Y O F B R I T I S H \" C O L U M B I A ( A p r i l 1 9 8 5 \u00a9 I a n F r e d e r i c k J o n e s , 1 9 8 5 In presenting t h i s thesis i n p a r t i a l f u l f i l m e n t of the requirements for an advanced degree at the University of B r i t i s h Columbia, I agree that the Library s h a l l make i t f r e e l y available for reference and study. I further agree that permission for extensive copying, of t h i s thesis for scholarly purposes may be granted by the head of my department or by h i s or her representatives. I t i s understood that copying or publication of t h i s thesis for f i n a n c i a l gain s h a l l not be allowed without my written permission. Department o f Q ^ C ^ W ^ ' S l o A A A c V ^ The University of B r i t i s h Columbia 1956 Main Ma l l Vancouver, Canada V6T 1Y3 Date DE-6 (3\/81) ABSTRACT The K a r h unen-Loeve t r a n s f o r m , which o p t i m a l l y e x t r a c t s c o h e r e n t i n f o r m a t i o n from m u l t i c h a n n e l d a t a , has been a p p l i e d t o s e v e r a l p r o b l e m s i n r e f l e c t i o n s e i s m i c d a t a p r o c e s s i n g . The t r a n s f o r m i s d e r i v e d by a l e a s t - s q u a r e s c o n s t r u c t i o n of an o r t h o g o n a l s e t of p r i n c i p a l components and e i g e n v e c t o r s , w i t h c o r r e s p o n d i n g e i g e n v a l u e s . Data a r e r e c o n s t r u c t e d as a l i n e a r c o m b i n a t i o n of t h e p r i n c i p a l components. The m a t h e m a t i c a l p r o p e r t i e s of t h e Karhunen-Loeve t r a n s f o r m w hich r e n d e r i t a p p l i c a b l e t o p r o b l e m s i n s e i s m i c d a t a p r o c e s s i n g a r e r e v i e w e d , and a number of new a l g o r i t h m s d e v e l o p e d . Most a l g o r i t h m s a r e t e s t e d on s y n t h e t i c and r e a l d a t a e x a m p l e s , and ' p r o d u c t i o n - 1 i n e ' i n d u s t r i a l l y v i a b l e v e r s i o n s of some of t h e programs have been d e v e l o p e d . A new s i g n a l - t o - n o i s e r a t i o enhancement t e c h n i q u e , b a s e d on r e c o n s t r u c t i o n of s t a c k e d s e i s m i c s e c t i o n s , has p r o v e d t o be s u c c e s s f u l on r e a l d a t a . R e c o n s t r u c t i o n of l e s s c o h e r e n t i n f o r m a t i o n t o emphasize anomalous f e a t u r e s i n s t a c k e d s e i s m i c d a t a ( \" m i s f i t \" r e c o n s t r u c t i o n ) shows some p r o m i s e . D i f f r a c t i o n h y p e r b o l a e i s o l a t e d by m i s f i t r e c o n s t r u c t i o n a r e used t o e s t i m a t e r e s i d u a l m i g r a t i o n v e l o c i t i e s w i t h some s u c c e s s . And, t h e a b i l i t y of t h e t r a n s f o r m t o s e g r e g a t e c o h e r e n t i n f o r m a t i o n i s u s e d s u c c e s s f u l l y as the b a s i s of a new m u l t i p l e s u p p r e s s i o n t e c h n i q u e . An anomaly i d e n t i f i c a t i o n scheme, based on c l u s t e r i i a n a l y s i s o f t h e e i g e n v e c t o r s o f t h e t r a n s f o r m , w o r k s w e l l o n t h e s y n t h e t i c d a t a u s e d , a n d g i v e s p r o m i s i n g r e s u l t s w h e n a p p l i e d t o r e a l d a t a . A n e w v e l o c i t y a n a l y s i s m e t h o d , u t i l i z i n g a r a t i o o f t h e e i g e n v a l u e s , w o r k s w e l l f o r g o o d d a t a a t e a r l y t r a v e l t i m e s , a n d o f f e r s a p o t e n t i a l f o r h i g h r e s o l u t i o n v e l o c i t y i n v e r s i o n s t u d i e s . U s e o f t h e e i g e n v a l u e s i n e v a l u a t i o n o f a c o n s t a n t p h a s e a p p r o x i m a t i o n t o d i s p e r s i o n f o r s y n t h e t i c d a t a p r o v i d e s p r o m i s i n g r e s u l t s , l e a d i n g t o q u a n t i f i c a t i o n o f d i s p e r s i o n i n t e r m s o f r e l a t i v e p h a s e s h i f t s . A s p a r t o f t h i s d e v e l o p m e n t , a n a n a l y s i s o f t h e e f f e c t o f d i s p e r s i o n o n V i b r o s e i s \u00a9 d a t a a c q u i s i t i o n , w h i c h r e p r e s e n t s a n o r i g i n a l i n v e s t i g a t i o n , i s p r e s e n t e d . T a b l e of Co n t e n t s A B S T R A C T . . . . . . . . i i T A B L E O F C O N T E N T S . i v L I S T O F F I G U R E S i x A C K N O W L E D G E M E N T S x i i i D E D I C A T I O N x i v CHAPTER 1. INTRODUCTION 1 S E C T I O N 1 . 1 : G E N E R A L I N T R O D U C T I O N 1 S E C T I O N 1 . 1 1 : R E V I E W O F P R E V I O U S W O R K . 4 a . O r t h o g o n a l E x p a n s i o n o f a F u n c t i o n 4 b . O r t h o g o n a l E x p a n s i o n o f M u l t i c h a n n e l D a t a 5 c . G e o p h y s i c a l A p p l i c a t i o n s 8 d . T h e W o r k o f t h e U . B . C . G r o u p 9 S E C T I O N 1 . I I I : S E I S M I C D A T A R E C O N S T R U C T I O N 11 a . R e c o n s t r u c t i o n o f C o h e r e n t I n f o r m a t i o n 11 b . M i s f i t R e c o n s t r u c t i o n 1 3 c . D i f f r a c t i o n s 13 d . M u l t i p l e S u p p r e s s i o n 14 S E C T I O N 1 . I V : S I M I L A R I T Y M E A S U R E S 1 5 a . C l u s t e r A n a l y s i s 1 6 b . V e l o c i t y A n a l y s i s 17 c . < 2 - I n v e r s i o n 17 i v CHAPTER 2. THEORY AND BACKGROUND . . 2 0 S E C T I O N 2 . 1 : T H E K A R H U N E N - L O E V E T R A N S F O R M A T I O N 2 0 a . I n t r o d u c t i o n 2 0 b . T h e o r y 2 0 c . S i n g u l a r V a l u e D e c o m p o s i t i o n 2 8 d . O u t e r - P r o d u c t I m a g e S u m m a t i o n 3 0 S E C T I O N 2 . I I : R E C O N S T R U C T I O N A N D A S S O C I A T E D E R R O R S 31 a . I d e n t i c a l S i g n a l s . . . 31 b . S i m i l a r S i g n a l s ..31 c . W i n n o w i n g a n d T r u n c a t i o n E r r o r 3 3 S E C T I O N 2 . I l l : A P P L I C A T I O N T O S E I S M I C D A T A 3 4 a . I n t r o d u c t i o n 3 4 b . F l a t L y i n g E v e n t s 3 5 c . D i p p i n g E v e n t s 3 5 d . L e s s C o h e r e n t I n f o r m a t i o n 3 6 e . T h e S i g n i f i c a n c e o f t h e E i g e n v e c t o r E l e m e n t s 3 7 S E C T I O N 2 . I V : T H E C O M P L E X K A R H U N E N - L O E V E T R A N S F O R M A T I O N . . . 3 9 a . I n t r o d u c t i o n 3 9 b . T h e C o m p l e x T r a c e 4 0 c . I d e n t i c a l S i g n a l s 41 d . P h a s e R e c o v e r y 4 2 e . T h e C o m p l e x K L T r a n s f o r m a t i o n a n d T i m e S h i f t s 4 3 f . C o m p l e x E i g e n v e c t o r s 4 6 v C H A P T E R 3 . D A T A R E C O N S T R U C T I O N . 51 S E C T I O N 3 . 1 : R E C O N S T R U C T I O N O F C O H E R E N T I N F O R M A T I O N . . . . . . . 5 1 a . I n t r o d u c t i o n . . . . 5 1 b . K L S t a c k V e r s u s t h e M e a n S t a c k .51 c . S y n t h e t i c D a t a E x a m p l e s 5 3 d . R e c o n s t r u c t i o n o f S t a c k e d D a t a . . 5 4 e . S y n t h e t i c D a t a E x a m p l e s 5 5 f . R e a l D a t a E x a m p l e s 5 7 g . D a t a C o m p r e s s i o n 6 2 h . D i s c u s s i o n 6 2 S E C T I O N 3 . I I : M I S F I T R E C O N S T R U C T I O N 7 9 a . I n t r o d u c t i o n 7 9 b . S y n t h e t i c D a t a E x a m p l e s 7 9 c . R e a l D a t a E x a m p l e s 8 0 d . D i s c u s s i o n 81 S E C T I O N 3 . I I I : S E P A R A T I O N O F D I F F R A C T I O N S 8 9 a . I n t r o d u c t i o n 8 9 b . S y n t h e t i c D a t a E x a m p l e s 8 9 c . M i g r a t i o n o f D i f f r a c t i o n S e c t i o n s 91 d . R e a l D a t a E x a m p l e s 9 2 e . D i s c u s s i o n 9 3 S E C T I O N 3 . I V : M U L T I P L E S U P P R E S S I O N 1 0 5 a . I n t r o d u c t i o n 1 0 5 b . S y n t h e t i c D a t a E x a m p l e s 1 0 6 c . R e a l D a t a E x a m p l e s 1 0 9 d . D i s c u s s i o n 1 1 0 v i CHAPTER 4. SIMILARITY MEASURES. 1 1 9 S E C T I O N 4 . 1 : T R A C E C L U S T E R A N A L Y S I S 1 1 9 a . I n t r o d u c t i o n . 1 1 9 b . S y n t h e t i c D a t a E x a m p l e s . 1 2 2 c . R e a l D a t a E x a m p l e s 1 2 5 d . D i s c u s s i o n 1 2 7 S E C T I O N 4 . I I : V E L O C I T Y A N A L Y S I S . 1 3 8 a . I n t r o d u c t i o n 1 3 8 b . T h e E f f e c t s o f S t a t i c S h i f t s 1 3 8 c . S y n t h e t i c D a t a E x a m p l e s . . . . 1 3 9 d . R e a l D a t a E x a m p l e s 1 4 2 e . D i s c u s s i o n 1 4 6 S E C T I O N 4 . I I I : Q I N V E R S I O N 1 6 9 a . I n t r o d u c t i o n 1 6 9 b . A n I t e r a t i v e D i s p e r s i o n R e m o v a l S c h e m e U s i n g a n E f f e c t i v e Q V a l u e 1 7 0 c . T h e C o n s t a n t P h a s e A p p r o x i m a t i o n 1 7 3 d . D i s p e r s i o n Q u a n t i f i c a t i o n O b j e c t i v e F u n c t i o n s 1 8 0 e . D i s c u s s i o n 1 8 5 v i i CHAPTER 5 . CONCLUSIONS 2 0 0 S E C T I O N 5 . 1 : R E V I E W O F T H E G O A L S O F T H I S W O R K . 2 0 0 S E C T I O N 5 . I I : R E M A R K S 2 0 2 a . I m a g e p r o c e s s i n g 2 0 2 b . S i m i l a r i t y . 2 0 4 S E C T I O N 5 . I l l : R E C O M M E N D A T I O N S . 2 0 6 a . S t a c k i n g 2 0 6 b . R e c o n s t r u c t i o n 2 0 6 c . S i m i l a r i t y C r i t e r i a 2 0 7 d . C o n c l u s i o n 2 0 9 REFERENCES 2 1 1 APPENDIX 1. ATTENUATION RELATED DISPERSION 21 9 a . T h e o r y 2 1 9 b . N u m e r i c a l M e t h o d s 2 2 3 c . C u m u l a t i v e t o I n t e r v a l Q I n v e r s i o n 2 2 5 APPENDIX 2. THE EFFECT OF DISPERSION ON VIBROSEIS DATA PROCESSING 2 2 6 a . I n t r o d u c t i o n 2 2 6 b . T h e o r y 2 2 7 c . T h e V i b r o s e i s \u00ae T e c h n i q u e 2 2 9 d . S y n t h e t i c D a t a E x a m p l e s 2 3 0 e . C o m p a r i s o n w i t h P r e v i o u s W o r k 2 3 3 f . C o n c l u s i o n s 2 3 5 v i i i L i s t of F i g u r e s 2 . 1 : C u m u l a t i v e P e r c e n t a g e E n e r g y 4 8 2 . 2 : E f f e c t . o f T i m e S h i f t s o n C K L P h a s e . . . . . 4 9 2 . 3 : R o t a t e d T i m e S h i f t e d W a v e l e t s 5 0 3 . 1 : T i m e a n d P h a s e S h i f t s a n d S t a c k i n g 6 4 3 . 2 : S y n t h e t i c F a u l t e d D a t a , N o i s e , a n d R e c o n s t r u c t i o n 6 5 3 . 3 : S y n t h e t i c N o i s y D a t a a n d R e c o n s t r u c t i o n 6 6 3 . 4 : P r o c e d u r e f o r S l a n t K L R e c o n s t r u c t i o n 6 7 3 . 5 a : R e a l S t a c k e d D a t a w i t h \" L e n s \" 6 8 3 . 5 b : 9 5 % R e c o n s t r u c t i o n 6 9 3 . 5 c : 8 5 % R e c o n s t r u c t i o n 7 0 3 . 6 a : R e a l S t a c k e d D a t a w i t h B i f u r c a t i o n 71 3 . 6 b : 9 5 % R e c o n s t r u c t i o n 7 2 3 . 6 c : 8 5 % R e c o n s t r u c t i o n 7 3 3 . 7 : S t a c k e d S e c t i o n w i t h C a l d e r a a n d B l o c k F a u l t s 7 4 3 . 8 : 9 5 % R e c o n s t r u c t i o n o f C a l d e r a D a t a 7 5 3 . 9 a : D i p p i n g R e a l D a t a . . 7 6 3 . 9 b : S l a n t - K L 9 5 % R e c o n s t r u c t i o n 7 7 3 . 9 c : S l a n t - K L 8 5 % R e c o n s t r u c t i o n 7 8 3 . 1 0 : D i p p i n g N o i s e M i s f i t R e c o n s t r u c t i o n 8 3 3 . 1 1 : S y n t h e t i c \" L e n s \" M i s f i t R e c o n s t r u c t i o n 8 4 3 . 1 2 a : R e a l F a u l t e d D a t a 8 5 3 . 1 2 b : G r e y S h a d e M i s f i t O v e r l a y 8 6 i x 3 . 1 3 a : R e a l B r a i d e d S t r e a m D a t a 8 7 3 . 1 3 b : G r e y S h a d e M i s f i t O v e r l a y . 8 8 3 . 1 4 a : S y n t h e t i c A r r i v a l s f r o m a C o m m o n S o u r c e 9 4 3 . 1 4 c : F l a t t e n e d D a t a 9 5 3 . 1 5 : D i f f r a c t i o n R e c o n s t r u c t i o n 9 6 3 . 1 6 : S y n t h e t i c A r r i v a l s f o r Z e r o O f f s e t 9 7 3 . 1 7 : D i f f r a c t i o n R e c o n s t r u c t i o n 9 8 3.18: M i g r a t e d M i s f i t R e c o n s t r u c t i o n s o f D i f f r a c t i o n E v e n t s . . 9 9 3 . 1 9 a : R e a l F a u l t e d D a t a 1 0 0 3 . 1 9 b : 9 2 % R e c o n s t r u c t i o n 101 3 . 1 9 c : M i s f i t R e c o n s t r u c t i o n t o I s o l a t e D i f f r a c t i o n s 1 0 2 3 . l 9 d : M i g r a t e d M i s f i t R e c o n s t r u c t i o n 1 0 3 3 . l 9 e : M i g r a t e d M i s f i t R e c o n s t r u c t i o n 1 0 4 3 . 2 0 : S y n t h e t i c D a t a w i t h M u l t i p l e E v e n t s 1 1 2 3 . 2 1 : T i m e S t r e c h e d D a t a a n d M i s f i t R e c o n s t r u c t i o n 1 1 3 3 . 2 2 : U n s t r e c h e d M i s f i t R e c o n s t r u c t i o n 1 1 4 3 . 2 3 : M o v e o u t C o r r e c t e d M u l t i p l e S u p p r e s s e d D a t a 1 1 5 3 . 2 4 : R e a l M a r i n e D a t a w i t h M u l t i p l e E v e n t s 1 1 6 3 . 2 5 : V A B e f o r e a n d A f t e r M u l t i p l e S u p p r e s s i o n 1 1 7 3 . 2 6 : S t a c k s B e f o r e a n d A f t e r M u l t i p l e S u p p r e s s i o n 1 1 8 4 . 1 : T h e D a t a o f H a g e n ( 1 9 8 2 ) 1 2 9 4 . 2 : C l u s t e r G r o u p s f o r F a u l t e d L a y e r s 1 3 0 4 . 3 : ' C l u s t e r G r o u p s f o r P h a s e D r i f t s 131 4 . 4 : C l u s t e r G r o u p s f o r D i p p i n g L a y e r s 1 3 2 x 4 . 5 : C l u s t e r G r o u p s f o r a \" R e e f \" . . 1 3 3 4 . 6 : C l u s t e r G r o u p s f o r D i s c o n t i n u o u s R e a l D a t a . . . . . . . 1 3 4 4 . 7 : C l u s t e r G r o u p s f o r F a u l t e d R e a l d a t a 1 3 5 4 . 8 : C l u s t e r G r o u p s f o r a R e a l D a t a C h a r a c t e r C h a n g e 1 3 6 4 . 9 : C l u s t e r G r o u p s f o r R e a l B r a i d e d S t r e a m D a t a 137 4 . 1 0 : S i n g l e L a y e r S y n t h e t i c S e i s m o g r a m s 1 4 7 4 . 1 1 : E f f e c t o f T i m e S h i f t s o n R K L V e l o c i t y A n a l y s i s 1 4 8 4 . 1 2 : E f f e c t o f T i m e S h i f t s o n C K L V e l o c i t y A n a l y s i s 1 4 9 4 . 1 3 : E f f e c t o f N o i s e L e v e l o n V e l o c i t y A n a l y s i s 1 5 0 4 . 1 4 : S y n t h e t i c S e i s m o g r a m s f o r T h r e e L a y e r s 151 4 . 1 5 : V e l o c i t y A n a l y s i s R e s u l t s f o r T h r e e L a y e r M o d e l 1 5 2 4 . 1 6 : S y n t h e t i c S e i s m o g r a m s f o r T e n L a y e r s . . . . 1 5 3 4 . 1 7 a : S e m b l a n c e V e l o c i t y A n a l y s i s R e s u l t s 1 5 4 4 . 1 7 b : R K L V e l o c i t y A n a l y s i s R e s u l t s 1 5 5 4 . 1 7 c : C K L V e l o c i t y A n a l y s i s R e s u l t s 1 5 6 4 . 1 8 : T i m e S h i f t e d S y n t h e t i c S e i s m o g r a m s f o r T e n L a y e r s 1 5 7 4 . 1 9 a : S e m b l a n c e V e l o c i t y A n a l y s i s R e s u l t s 1 5 8 4 . 1 9 b : R K L V e l o c i t y A n a l y s i s R e s u l t s 1 5 9 4.19c: C K L V e l o c i t y A n a l y s i s R e s u l t s 1 6 0 4 . 2 0 : R e a l L a n d D a t a a n d S e m b l a n c e V e l o c i t y A n a l y s i s 161 4 . 2 1 : S a m p l e W i n d o w s f o r V e l o c i t y A n a l y s i s . . . . 1 6 2 4 . 2 2 : R K L V e l o c i t y A n a l y s i s R e s u l t s 1 6 3 4 . 2 3 : C K L V e l o c i t y A n a l y s i s R e s u l t s 1 6 4 4 . 2 4 : R e a l M a r i n e D a t a a n d S e m b l a n c e V e l o c i t y A n a l y s i s 1 6 5 4 . 2 5 : S a m p l e W i n d o w s f o r V e l o c i t y A n a l y s i s 1 6 6 x i 4 . 2 6 : R K L V e l o c i t y A n a l y s i s R e s u l t s 1 6 7 4 . 2 7 : C K L V e l o c i t y A n a l y s i s R e s u l t s . . 1 6 8 4 . 2 8 : D i s p e r s e d a n d R o t a t e d W a v e l e t s 1 8 7 4 . 2 9 : A t t e n u a t e d , D i s p e r s e d a n d R o t a t e d W a v e l e t s 1 8 8 4 . 3 0 : e V e r s u s C e n t r e F r e q u e n c y 1 8 9 4 . 3 1 : e V e r s u s C e n t r e F r e q u e n c y ( A t t e n u a t e d ) 1 9 0 4 . 3 2 : I n t e r c e p t V e r s u s C e n t r e F r e q u e n c y 191 4 . 3 3 : e V e r s u s C e n t r e F r e q u e n c y 1 9 2 4 . 3 4 : I n t e r c e p t V e r s u s C e n t r e F r e q u e n c y 1 9 3 4 . 3 5 : K L O b j e c t i v e F u n c t i o n s 1 9 4 4 . 3 6 : M o d e l a n d S y n t h e t i c D a t a 1 9 5 4 . 3 7 : O b j e c t i v e F u n c t i o n s f o r H y p e r b o l a e 1 9 6 4 . 3 8 : E x a m p l e W a v e l e t s 1 9 7 4 . 3 9 : O b j e c t i v e F u n c t i o n s f o r F o u r L a y e r s 1 9 8 4 . 4 0 : O b j e c t i v e F u n c t i o n s f o r F o u r L a y e r s ( A t t e n u a t e d ) 1 9 9 A . 1 : C o r r e l o g r a m s f o r T h r e e V i b r o s e i s \u00ae M e t h o d s 2 3 7 A . 2 : S p e c t r a f o r V a r i o u s S w e e p M e t h o d s 2 3 8 A . 3 : C o r r e l o g r a m s f o r D i s p e r s e d d a t a 2 3 9 A . 4 : C o r r e l o g r a m s f o r A t t e n u a t e d D i s p e r s e d D a t a 2 4 0 A . 5 : C o r r e l o g r a m A f t e r H i g h F r e q u e n c y R e c o v e r y 2 4 1 A . 6 : U n i - O c t a v e V e r s u s M u l t i - O c t a v e S t a c k s 2 4 2 x i i A C K N O W L E D G E M E N T S . I e x p r e s s my d e e p e s t t h a n k s t o my s u p e r v i s o r s D r s . R . M . C l o w e s a n d R . M . E l l i s , f o r t h e i r c o n t i n u e d s u p p o r t d u r i n g my t i m e a t U . B . C , a n d t o D r s . T . J . U l r y c h , D.W. O l d e n b u r g , a n d M . J . Y e d l i n , f o r t h e i r c o n s i d e r a b l e i n p u t a n d a d v i c e d u r i n g t h i s p r o j e c t . M y t h a n k s a l s o t o D r s . P . H . L e B l o n d a n d K . L a r n e r f o r t h e i r p a r t i c i p a t i o n a s c o m m i t t e e m e m b e r a n d e x t e r n a l e x a m i n e r , r e s p e c t i v e l y . M y s p e c i a l t h a n k s g o e s t o S h l o m o L e v y , w h o i n i t i a l l y s u g g e s t e d t h i s t o p i c , a n d w h o ' s c o n t i n u e d i n p u t g u i d e d me p a s t m a n y h u r d l e s d u r i n g i t s e x e c u t i o n , l e a d i n g t o i t s p r e s e n t f o r m . T h e f r i e n d s h i p s o f R o n C l o w e s , M a t Y e d l i n , D o n P l e n d e r l e i t h , B r a d P r a g e r , J u l i a n C a b r e r a , a n d D a v i d W a l d r o n , h a v e a l l b e e n i n s t r u m e n t a l i n h e l p i n g me t h r o u g h p e r i o d s o f t u r m o i l w h i l s t s t r i v i n g t o k e e p my h e a d a b o v e t h e w a v e s d u r i n g t h e p a s t f o u r y e a r s . T h i s w o r k w a s s u p p o r t e d i n p a r t b y t h e N a t u r a l S c i e n c e s a n d E n g i n e e r i n g R e s e a r c h C o u n c i l ( g r a n t s A 7 7 0 7 , A 2 6 1 7 , A 4 2 7 0 , a n d A 1 8 0 4 ) , P e t r o - C a n a d a L t d . , a n d M o b i l O i l C a n a d a L t d . I n v e r s e T h e o r y a n d A p p l i c a t i o n s ( I T & A ) I n c . , g e n e r o u s l y m a d e a v a i l a b l e t h e c o m p u t i n g f a c i l i t i e s , d a t a , a n d p r o g r a m m i n g e x p e r t i s e n e c e s s a r y f o r t h e c o m p l e t i o n o f m u c h o f t h e w o r k p r e s e n t e d h e r e . M y t h a n k s a l s o t o D r . J . d e n B o e r , o f M o b i l O i l C a n a d a , a n d t o M r . J . M u i r , o f C h e v r o n C a n a d a R e s o u r c e s , f o r k i n d l y s u p p l y i n g d a t a f o r t h i s p r o j e c t . D E D I C A T I O N G E M M A : A c a u s a d e e s t e t r a b a j o , Y p o r t i e m p o m a l p a s a d o , c o n e n s u e n o s n o r e a l i z a d o s , Y o d i g o a h o r a : L o d e m a s e s p a r a t i . x i v 1 CHAPTER 1. INTRODUCTION. S E C T I O N 1 . 1 : G E N E R A L I N T R O D U C T I O N . T h e K a r h u n e n - L o e v e t r a n s f o r m h a s l o n g b e e n k n o w n a n d w e l l u t i l i z e d i n t h e i m a g e p r o c e s s i n g f i e l d ( A h m e d a n d R a o , 1 9 7 5 ) ; h o w e v e r , i n g e o p h y s i c a l d a t a p r o c e s s i n g , a p p l i c a t i o n s t o d a t e h a v e b e e n s c a n t . I n t h i s t h e s i s , my o b j e c t i v e i s t o i n t r o d u c e a n d e x e m p l i f y t h e K a r h u n e n - L o e v e t r a n s f o r m a t i o n t o t h e s e i s m i c d a t a p r o c e s s i n g c o m m u n i t y a s a v i a b l e m e t h o d f o r a d d r e s s i n g s e v e r a l p r o b l e m s i n m u l t i c h a n n e l s e i s m i c d a t a p r o c e s s i n g . T h e b a s i c t e n e t b e h i n d t h i s w o r k i s t h a t u s i n g t h e K a r h u n e n - L o e v e t r a n s f o r m , s e i s m i c d a t a p o s s e s s i n g l i n e a r t r a c e - t o - t r a c e c o h e r e n c y m a y b e p r o j e c t e d i n t o a s p a c e w h e r e t h e c o h e r e n t i n f o r m a t i o n i s c o m p r e s s e d i n t o t h e s m a l l e s t p o s s i b l e n u m b e r o f ' a l t e r n a t i v e d a t a ' t r a c e s . T h i s c o m p r e s s i o n s e p a r a t e s t h e c o r r e l a t e d f r o m u n c o r r e l a t e d p a r t s o f t h e i n p u t d a t a . I e x p l o i t t h i s s e p a r a b i l i t y f e a t u r e t o i m p r o v e e x i s t i n g s e i s m i c p r o c e s s i n g t e c h n i q u e s , a n d t o f o r m t h e b a s i s o f n e w m u l t i c h a n n e l s e i s m i c d a t a p r o c e s s i n g t e c h n i q u e s . S e v e r a l o f t h e t o p i c s i n t h i s t h e s i s a r e p r e s e n t e d h e r e f o r t h e f i r s t t i m e , w h i l e o t h e r s h a v e b e e n m e n t i o n e d i n e x i s t i n g l i t e r a t u r e , o r i n r e c e n t a r t i c l e s o n w h i c h I am c o - a u t h o r . 2 My a t t e n t i o n w a s o r i g i n a l l y d i r e c t e d t o t h i s t o p i c b y S . L e v y a n d T . J . U l r y c h , w h o w i t h D.W. O l d e n b u r g a n d m y s e l f h a v e b e e n i n v e s t i g a t i n g t h e u s e f u l n e s s o f t h e K a r h u n e n - L o e v e t r a n s f o r m i n t h e f r a m e w o r k o f a m o r e g e n e r a l i n v e r s i o n a p p r o a c h t o s e i s m i c d a t a p r o c e s s i n g . I n i t i a l l y , my i n t e r e s t i n t h e K a r h u n e n - L o e v e t r a n s f o r m ( r e f e r r e d t o i n t h e r e m a i n d e r o f t h i s w o r k a s t h e K L t r a n s f o r m , o r t h e K L T ) f o c u s s e d o n i t s a b i l i t y t o q u a n t i f y s i m i l a r i t y b e t w e e n w a v e f o r m s . T h i s i n t e r e s t a r o s e a s I w a s i n t e r e s t e d i n t h e p r o b l e m o f t h e q u a n t i f i c a t i o n o f d i s p e r s i o n i n s e i s m i c b o d y - w a v e d a t a , a n d t h e s u b s e q u e n t c o r r e c t i o n o f d i s p e r s i v e e f f e c t s . S u b s e q u e n t l y , my i n t e r e s t s h i f t e d m o r e t o w a r d s t h e a p p l i c a t i o n o f K L T t o v a r i o u s o t h e r p r o b l e m s . H o w e v e r , e v i d e n c e o f t h e i n i t i a l t h r u s t o f my t h e s i s i s t o b e f o u n d i n t h e c o v e r a g e g i v e n t o t h a t p r o b l e m i n t h e Q - i n v e r s i o n s e c t i o n o f C h a p t e r 4 , a n d i n t h e d e v e l o p m e n t s c o n c e r n i n g t h e e f f e c t s o f d i s p e r s i o n o n t h e c h o i c e o f b a n d w i d t h f o r V i b r o s e i s \u00ae d a t a ( A p p e n d i x 2 ) . A s t h e m a j o r i t y o f i n t e r e s t i n t h i s w o r k i s w i t h i n t h e i n d u s t r i a l s e i s m i c d a t a p r o c e s s i n g c o m m u n i t y , o n e o f my g o a l s h a s b e e n t o p r o d u c e a v i a b l e ' p r o d u c t i o n - l i n e ' p r o c e s s i n g p a c k a g e f o r e a c h o f t h e a p p l i c a t i o n s i n v e s t i g a t e d . H o w e v e r , s o m e o f t h e a p p l i c a t i o n s , a l t h o u g h t h e y p r o v e d t o b e p r o m i s i n g o n s y n t h e t i c d a t a , h a v e n o t p r o v e d a s p o w e r f u l f o r r e a l d a t a e x a m p l e s . S o m e a p p l i c a t i o n s o f t h e K a r h u n e n - L o e v e t r a n s f o r m w e r e p r e s e n t e d b y m y s e l f o n b e h a l f o f my c o - a u t h o r s a t t h e 1 9 8 3 A n n u a l 3 I n t e r n a t i o n a l M e e t i n g o f t h e S o c i e t y o f E x p l o r a t i o n G e o p h y s i c i s t s ( S E G ) i n L a s V e g a s , N e v a d a , U S A . A m a n u s c r i p t i n p r e p a r a t i o n o n m u l t i c h a n n e l a p p l i c a t i o n s ( J o n e s a n d L e v y , 1 9 8 5 ) w a s p r e s e n t e d a t t h e 1 9 8 4 A n n u a l I n t e r n a t i o n a l M e e t i n g o f t h e E u r o p e a n A s s o c i a t i o n o f E x p l o r a t i o n G e o p h y s i c i s t s i n L o n d o n , E n g l a n d , b y my c o - a u t h o r , S . L e v y . A b r i e f r e v i e w o f s o m e o f t h e w o r k c o n s i d e r e d h e r e a n d e l s e w h e r e b y c o - w o r k e r s a n d m y s e l f w a s g i v e n b y D.W. O l d e n b u r g , a t t h e 1 9 8 4 j o i n t m e e t i n g o f t h e C a n a d i a n S o c i e t y o f E x p l o r a t i o n G e o p h y s i c i s t s ( C S E G ) a n d C a n a d i a n S o c i e t y o f P e t r o l e u m G e o l o g i s t s ( C S P G ) , i n C a l g a r y , A l b e r t a , C a n a d a , a n d a l s o a t t h e S E G S e i s m i c D e c o n v o l u t i o n W o r k s h o p i n J u l y 1 9 8 4 , i n V a i l , C o l o r a d o , U S A . T o i n t r o d u c e t h e r e a d e r t o t h e b a c k g r o u n d o f t h e K L T , t h e p r o b l e m s I c o n s i d e r , a n d t h e a p p l i c a t i o n o f t h e K L T t o t h o s e p r o b l e m s , t h e b o d y o f t h i s t h e s i s i s d i v i d e d i n t o f o u r m a j o r s e c t i o n s : 1 . A n i n t r o d u c t i o n t o p r e v i o u s w o r k u s i n g t h e K L T i n o t h e r f i e l d s , a n d t o t h e s u b s e q u e n t s e c t i o n s c o n s i d e r e d h e r e ( C h a p t e r D; 2 . A t h e o r e t i c a l i n t r o d u c t i o n t o t h e v a r i o u s a s p e c t s o f t h e K L T o u t l i n i n g t h e w e l l e s t a b l i s h e d t h e o r y f r o m t h e l i t e r a t u r e , a n d i n t r o d u c i n g t h e p h y s i c a l i n s i g h t s b e h i n d e a c h o f t h e a p p l i c a t i o n s c o n s i d e r e d h e r e ( C h a p t e r 2 ) ; 3 . A p p l i c a t i o n s o f t h e m e t h o d t o s y n t h e t i c m u l t i c h a n n e l s e i s m i c d a t a s e t s , a n d t o m u l t i c h a n n e l f i e l d d a t a , w i t h r e f e r e n c e t o t h e r e l e v a n t t h e o r e t i c a l d e v e l o p m e n t ( C h a p t e r s 3 a n d 4 ) ; a n d 4 4 . A n a s s e s m e n t o f t h e u s e f u l n e s s a n d l i m i t a t i o n s o f t h e m e t h o d i n e a c h o f t h e a p p l i c a t i o n s d i s c u s s e d ( C h a p t e r 5 ) . S E C T I O N R E V I E W O F P R E V I O U S W O R K . I n t h i s s e c t i o n , I r e v i e w t h e p r e v i o u s w o r k i n t h e l i t e r a t u r e o n o r t h o g o n a l t r a n s f o r m s , a n d m o r e s p e c i f i c a l l y , t h e e x p a n s i o n o f m u l t i c h a n n e l s o f d a t a i n t e r m s o f o r t h o g o n a l t r a n s f o r m s . a . O r t h o g o n a l E x p a n s i o n o f a F u n c t i o n . T h e b e s t k n o w n , a n d e a r l i e s t t r e a t i s e o n o r t h o g o n a l t r a n s f o r m s w a s t h a t o f F o u r i e r , w h o a s s e r t e d t h a t a f u n c t i o n w h i c h m e t c e r t a i n b r o a d c o n d i t i o n s ( s p e c i f i e d b y D i r i c h l e t ; s e e K a n a s e w i c h , 1 9 8 2 ) c o u l d b e e x p r e s s e d a s a l i n e a r c o m b i n a t i o n o f s i n u s o i d s . T h i s a p p r o a c h w a s l a t e r g e n e r a l i z e d t o t h e r e p r e s e n t a t i o n o f a n a r b i t a r y f u n c t i o n b y l i n e a r c o m b i n a t i o n o f o r t h o g o n a l n o n - s i n u s o i d a l f u n c t i o n s . F o r e x a m p l e , W a l s h ( 1 9 2 3 ) i n t r o d u c e d a s e t o f s q u a r e - w a v e - l i k e o r t h o g o n a l f u n c t i o n s , a n d s e v e r a l o t h e r f u n c t i o n s w e r e a l s o d e v i s e d ( e . g . t h e R a d e m a c h e r f u n c t i o n s , B e a u c h a m p , 1 9 7 5 ) . H o t e l l i n g ( 1 9 3 3 ) w a s o n e o f t h e e a r l i e s t w o r k e r s t o b e g i n t o u t i l i z e t h e m o r e g e n e r a l a p p r o a c h i n t h e g u i s e o f f a c t o r , o r p r i n c i p a l c o m p o n e n t a n a l y s i s . H i s i n t e r e s t w a s i n c l a s s i f y i n g p s y c h o l o g i c a l t e s t s c o r e s ; h e n c e h i s d a t a c o n s i s t e d o f 5. m u l t i c h a n n e l s o f d i s c r e t e v a l u e s . T h e s e m e t h o d s f i r s t a p p e a r e d i n t h e s i g n a l p r o c e s s i n g l i t e r a t u r e w h e n K a r h u n e n ( 1 9 4 7 ) e x p a n d e d r e p l i c a t i o n s o f s i n g l e - c h a n n e l s t e l l a r l i n e - s p e c t r a l d a t a i n t o a s u i t e o f o r t h o g o n a l f u n c t i o n s . H i s a p p r o a c h w a s f o r m a l i z e d b y L o e v e ( 1 9 4 8 , 1 9 5 5 ) , w h o t r e a t e d t h e d e r i v a t i o n o f t h e t r a n s f o r m i n a r i g o r o u s s t a t i s t i c a l s e n s e , a n d t h e t e r m K a r h u n e n - L o e v e t r a n s f o r m t h e n a p p e a r e d i n t h e l i t e r a t u r e t o c o m p l e m e n t t h e t e r m s H o t e l l i n g a n d p r i n c i p a l c o m p o n e n t t r a n s f o r m s . b . O r t h o g o n a l E x p a n s i o n o f M u l t i c h a n n e l D a t a . T h e K a r h u n e n - L o e v e t r a n s f o r m w a s d e f i n e d t o s t a t i s t i c a l l y d e s c r i b e t h e e x p a n s i o n o f a s u i t e o f r e a l i z a t i o n s o f a s i n g l e f u n c t i o n a s a n i n f i n i t e s u m o f o r t h o g o n a l f u n c t i o n s . A s a c o r o l l a r y t o t h i s , s e v e r a l w o r k e r s e x p l o r e d t h e p o s s i b i l i t y o f s i m u l t a n e o u s l y e x p a n d i n g m u l t i c h a n n e l s o f d a t a i n t e r m s o f t h e s a m e s e t o f o r t h o g o n a l f u n c t i o n s . I n t h e m u l t i c h a n n e l c a s e , t h e c o v a r i a n c e m a t r i x o f t h e d a t a i s d e c o m p o s e d , a n d f o r n c h a n n e l s o f d a t a ( c o n t i n u o u s o r d i s c r e t e ) we n e e d ( a t m o s t ) n o r t h o g o n a l f u n c t i o n s f o r a n e x a c t r e p r e s e n t a t i o n . I f t h e o r i g i n a l f u n c t i o n s c o m p r i s i n g t h e m u l t i c h a n n e l i n p u t a r e n o t l i n e a r l y i n d e p e n d e n t , t h e n t h e y c o u l d p r e s u m a b l y b e r e p r e s e n t e d b y a s u b s e t o f t h e o r t h o g o n a l f u n c t i o n s . 6 T h e f i r s t w o r k e r s t o d e m o n s t r a t e t h e d e v e l o p m e n t o f t h e t r a n s f o r m f o r m u l t i c h a n n e l d a t a u s i n g a m a t r i x a l g e b r a a p p r o a c h w e r e K r a m e r a n d M a t h e w s ( 1 9 5 6 ) w h o a p p l i e d t h e i r p r o c e d u r e s t o s p e e c h a n a l y s i s a n d d a t a c o m p r e s s i o n p r i o r t o t e l e g r a p h i c t r a n s m i s s i o n . I n f a c t , t h e s p e e c h p r o c e s s i n g a n d t e l e g r a p h i c c o m m u n i c a t i o n s c o m m u n i t i e s w e r e t h e f i r s t g r o u p s t o f u l l y e x p l o r e a n d e x p l o i t t h e u s e f u l n e s s o f t h e K L t r a n s f o r m . Y o u n g a n d H u g g i n s ( 1 9 6 2 , 1 9 6 3 ) a n d C h r i s t e n s e n a n d H i r s c h m a n ( 1 9 7 9 ) s u b s e q u e n t l y u t i l i z e d t h e m u l t i c h a n n e l d a t a a p p r o a c h t o e x t r a c t t h e u n d e r l y i n g s i g n a l f o r m s f r o m a s u i t e o f e l e c t r o c a r d i o g r a p h s i g n a l s . Y o u n g a n d H u g g i n s ( 1 9 6 2 ) a n d Y o u n g a n d C a l v e r t ( 1 9 7 4 ) a l s o r e f e r t o t h e m e t h o d i n i t s m u l t i c h a n n e l f o r m a s I n t r i n s i c C o m p o n e n t A n a l y s i s . A l s o , G u b b i n s e t a l . ( 1 9 7 1 ) i n v e s t i g a t e d t h e u s e o f H a a r a n d W a l s h f u n c t i o n s i n f i l t e r i n g t e c h n i q u e s . W a t a n a b e ( 1 9 6 5 ) g a v e a c o m p r e h e n s i v e o v e r v i e w o f t h e t r a n s f o r m , s h o w i n g h o w i t c o u l d b e d e r i v e d n o t o n l y i n a l e a s t - s q u a r e s s e n s e , a s w a s d o n e i n d e p e n d e n t l y b y K r a m e r a n d M a t h e w s ( 1 9 5 6 ) , b u t a l s o i n a w a y w h i c h m i n i m i z e d t h e e n t r o p y o f a n o b j e c t i v e f u n c t i o n . H e a l s o e l u c i d a t e d t h e s a l i e n t d i f f e r e n c e s b e t w e e n f a c t o r , o r p r i n c i p a l c o m p o n e n t a n a l y s i s ( w h i c h w a s d e v e l o p e d w i t h d i s c r e t e d a t a i n m i n d ) a n d t h e K L t r a n s f o r m , w h i c h w a s d e r i v e d f o r a c o n t i n u o u s f u n c t i o n . 7 A s u c c i n c t d e f i n i t i o n o f t h e t r a n s f o r m c o i n e d b y W a t a n a b e r e a d s a s f o l l o w s : \" T h e K - L - e x p a n s i o n i s u s u a l l y k n o w n a s o n e w h i c h m i n i m i z e s t h e a v e r a g e e r r o r c o m m i t t e d b y t a k i n g o n l y a f i n i t e n u m b e r o f t e r m s i n t h e i n f i n i t e s e r i e s o f a n e x p a n s i o n w h e n a g i v e n c o l l e c t i o n o f f u n c t i o n s i s t o b e e x p r e s s e d a s a s e r i e s i n t e r m s o f s o m e c o m p l e t e s e t o f o r t h o g o n a l f u n c t i o n s . \" I n t h e s a m e y e a r , P a p o u l i s ( 1 9 6 5 ) p r e s e n t e d t h e m e t h o d a s t h a t w h i c h , i n a l e a s t - s q u a r e s s e n s e , ' o p t i m a l l y ' t r a n s f o r m e d a v e c t o r o r s u i t e o f v e c t o r s i n t o a c o m p l e t e o r t h o g o n a l s e t . A f t e r f u r t h e r w o r k o n p a t t e r n r e c o g n i t i o n a n d f e a t u r e s e l e c t i o n ( C h i e n a n d F u , 1 9 6 7 ) a n d a p r o p o s e d m o d i f i c a t i o n t o t h e m e t h o d ( F u k u n a g a a n d K o o n t z , 1 9 6 9 ) , u s e o f t h e m e t h o d i n t h e i m a g e p r o c e s s i n g f i e l d b e c a m e w i d e s p r e a d ( P r a t t , 1 9 7 0 ; R e a d y a n d W i n t z , 1 9 7 3 ; P e l a t , 1 9 7 4 ; A h m e d a n d R a o , 1 9 7 5 ; A n d r e w s a n d P a t t e r s o n , 1 9 7 6 a , b , a n d c ; J a i n , 1 9 7 6 , 1 9 7 7 ; L o w i t z , 1 9 7 8 ; M a l l i c k a n d M u r t h y , 1 9 8 4 ) . A c c o r d i n g t o Y o u n g a n d C a l v e r t ( 1 9 7 4 ) , t h e a p p l i c a t i o n o f t h e K L t r a n s f o r m t o f e a t u r e e x t r a c t i o n w a s d u e i n i t i a l l y t o C h i e n a n d F u ( 1 9 6 7 ) a n d W a t a n a b e ( 1 9 6 5 ) . A h m e d a n d R a o ( 1 9 7 5 ) , i n t h e i r b o o k o n t h e a p p l i c a t i o n s o f o r t h o g o n a l t r a n s f o r m s t o d i g i t a l i m a g e p r o c e s s i n g , r e v i e w m o s t o f t h e a b o v e m e n t i o n e d t e c h n i q u e s a n d a p p l i c a t i o n s . T h e y u s e t h e d e f i n i t i o n o f t h e K a r h u n e n - L o e v e t r a n s f o r m a s a p p l i e d t o t h e 8 d e c o m p o s i t i o n o f t h e c o v a r i a n c e m a t r i x o f a n i m a g e w h e n d e s c r i b e d a s a s e r i e s o f r o w v e c t o r s . T h r o u g h o u t t h i s w o r k I w i l l b e d e a l i n g w i t h m u l t i c h a n n e l s o f d a t a , a n d w i l l u s e t h e t e r m ' K a r h u n e n - L o e v e ' ( K L ) t r a n s f o r m t o m e a n t h e e x p a n s i o n o f s u c h d a t a v i a d i a g o n a l i z a t i o n o f i t s c o v a r i a n c e m a t r i x . c . G e o p h y s i c a l A p p l i c a t i o n s . T h e f i r s t g e o p h y s i c a l a p p l i c a t i o n o f t h e m e t h o d w a s t h e i n v e s t i g a t i o n b y H e m o n a n d M a c e ( 1 9 7 8 ) o f t h e a b i l i t y o f t h e t r a n s f o r m t o e x t r a c t a c o m m o n s i g n a l f r o m a s e t o f m o v e - o u t c o r r e c t e d C D P t r a c e s a s a n a l t e r n a t i v e t o c o n v e n t i o n a l s t a c k i n g . T h e y d e m o n s t r a t e d , w i t h s y n t h e t i c e x a m p l e s , h o w t h e e f f e c t s o f G a u s s i a n n o i s e a n d o f t r a c e - t o - t r a c e s t a t i c t i m e s h i f t s w e r e l e s s t r o u b l e s o m e t o t h e K L a p p r o a c h t h a n t o t h e c o n v e n t i o n a l s t a c k i n g m e t h o d . H o w e v e r , t h e i r p a p e r w a s p u b l i s h e d i n F r e n c h w h i c h u n f o r t u n a t e l y l e d t o t h e i r w o r k b e i n g o v e r l o o k e d b y a l a r g e s e g m e n t o f t h e g e o p h y s i c a l c o m m u n i t y . T j o s t h e i m a n d S a n d v i n ( 1 9 7 9 ) e m p l o y e d t h e K L t r a n s f o r m , i n c o n j u n c t i o n w i t h a u t o - r e g r e s s i v e m e t h o d s , t o d i s t i n g u i s h b e t w e e n u n d e r g r o u n d n u c l e a r e x p l o s i o n s a n d l a r g e e a r t h q u a k e s . T h e y c l a i m e d s u c c e s s o n t h e b a s i s o f t h e d i f f e r e n c e i n n u m b e r o f o r t h o g o n a l f u n c t i o n s n e e d e d t o r e p r e s e n t t h e r e c o r d s o f a n e a r t h q u a k e a s o p p o s e d t o a n u c l e a r e x p l o s i o n . 9 , M i l l i g a n e t a l . ( 1 9 7 8 ) a n a l y s e d 1 4 0 , 0 0 0 a c o u s t i c V p i n g e r ' r e c o r d s i n a n a t t e m p t t o d i s c r i m i n a t e w a t e r - b o t t o m s e d i m e n t t y p e o n t h e b a s i s o f s e i s m i c p u l s e c h a r a c t e r . U s i n g 1.8 ms o f d a t a , t h e a l i g n e d b o t t o m ' p i n g ' r e c o r d s w e r e d e c o m p o s e d i n t o t h e i r r e p r e s e n t a t i v e o r t h o g o n a l v e c t o r s . D e p e n d i n g u p o n w h i c h s u b s e t o f o r t h o g o n a l v e c t o r s c o u l d b e u s e d t o r e p r e s e n t t h e p i n g f r o m a g i v e n l o c a l e , t h e y w e r e a b l e t o g r o u p l o c a l e s i n t o r e g i o n s w h i c h p r o v e d t o b e r e p r e s e n t a t i v e o f b o t t o m - s e d i m e n t t y p e . I n a l a t e r p a p e r , t h e s a m e g r o u p ( L e B l a n c a n d M i d d l e t o n , 1 9 8 0 ) u s e d t h e m e t h o d t o i n v e s t i g a t e t h e s i m i l a r i t i e s b e t w e e n u n d e r w a t e r s o u n d v e l o c i t y p r o f i l e s ' -on a n o c e a n - w i d e s c a l e . U n d e r t h e g u i s e o f p r i n c i p a l c o m p o n e n t s a n a l y s i s , H a g e n ( 1 9 8 2 ) , w o r k i n g w i t h t h e i n s t a n t a n e o u s p h a s e ( T a n e r e t a l . , 1 9 7 9 ) o f h i s d a t a , u s e d t h e t e c h n i q u e o f c l u s t e r a n a l y s i s ( o n t h e b a s i s o f t h e t r a n s f o r m a t i o n ' s a m p l i t u d e c o e f f i c i e n t s ) t o g r o u p s e i s m i c t r a c e s i n t o ' n a t u r a l ' c l u s t e r s . H i s h o p e w a s t h a t i n c o n j u n c t i o n w i t h w e l l - l o g c o n t r o l , t h e s e c l u s t e r s c o u l d b e r e l a t e d t o p o r o s i t y . H e n c e , a g l a n c e a t a t r a c e c l u s t e r i n g ' m a p ' f o r a d j a c e n t u n d r i l l e d a r e a s w o u l d e n a b l e a n i n t e r p r e t e r t o d i s c e r n t h e l i k e l y l o c a t i o n s f o r o i l a n d g a s a c c u m u l a t i o n s . d . T h e W o r k o f t h e U . B . C . G r o u p . M o r e i n l i n e w i t h t h e s i g n a l e x t r a c t i o n a n d c o h e r e n c y a s p e c t s o f t h e m e t h o d , U l r y c h e t a l . ( 1 9 8 3 ) p r e s e n t e d a s e r i e s o f a p p l i c a t i o n s i n t h e g e o p h y s i c a l s i g n a l s p r o c e s s i n g f i e l d . T h e y 10 c o n c e r n e d t h e m s e l v e s w i t h w a v e l e t e x t r a c t i o n f r o m b o t h m o v e - o u t h y p e r b o l a e a n d s i n g l e c h a n n e l s o f d a t a . T h e y a l s o c a r r i e d o u t s t a c k i n g a n d v e l o c i t y a n a l y s i s u s i n g t h e e i g e n v a l u e s o f t h e t r a n s f o r m t o c o n s t r u c t a s i m i l a r i t y m e a s u r e t o r e p l a c e t h e c o n v e n t i o n a l s e m b l a n c e c r i t e r i o n ( N e i d e l l a n d T a n e r , 1 9 7 1 ) . L e v y e t a l . ( 1 9 8 3 ) i n a c o m p a n i o n p a p e r e x t e n d e d t h e K L m e t h o d t o d e a l w i t h c o m p l e x s i g n a l s . T h i s a l l o w e d t h e a u t h o r s t o a d d r e s s t h e p r o b l e m o f p h a s e c h a n g e s i n t h e s e i s m i c w a v e l e t . T h e y p r o d u c e d e n h a n c e d s t a c k s o f m o v e - o u t c o r r e c t e d C D P g a t h e r s f o r s y n t h e t i c d a t a , a n d a l s o p a r a l l e l l e d t h e n e w v e l o c i t y a n a l y s i s a p p r o a c h i n t r o d u c e d b y U l r y c h e t a l . ( 1 9 8 3 ) . U t i l i z i n g t h e d i a g n o s t i c f e a t u r e s o f t h e t r a n s f o r m a t i o n ' s a m p l i t u d e c o e f f i c i e n t s ( a s i n c l u s t e r a n a l y s i s ) , t h e y d e v e l o p e d . a ' d e a d - t r a c e ' d e t e c t i o n r o u t i n e t o d i s c r i m i n a t e a g a i n s t u n u s u a l l y d i f f e r e n t s e i s m i c t r a c e s t o a v o i d d e g r a d a t i o n o f t h e f i n a l r e s u l t s w h e n , f o r e x a m p l e , s t a c k i n g o r p e r f o r m i n g v e l o c i t y a n a l y s i s . E x t e n d i n g t h e v e r s a t i l i t y o f t h e c o m p l e x K L m e t h o d e v e n f u r t h e r , t h e y e x t r a c t e d p h a s e i n f o r m a t i o n f r o m s e t s o f c o m m o n s i g n a l s f o r s y n t h e t i c d a t a , a n d i n t h e c a s e o f s u p e r - c r i t i c a l r e f l e c t i o n s f r o m a f l u i d - f l u i d i n t e r f a c e , w e r e a b l e t o i n v e r t p h a s e a n d v e l o c i t y i n f o r m a t i o n t o r e c o v e r d e n s i t y c o n t r a s t s a c r o s s a n i n t e r f a c e . I n a m o r e r e c e n t w o r k , C h a p m a n e t a l . ( i n p r e s s ) u t i l i z e d t h e s e p r o c e d u r e s t o e x t r a c t d e n s i t y c o n t r a s t i n f o r m a t i o n f r o m t h e r e l a t i v e p h a s e c h a n g e s o b s e r v e d i n s u p e r - c r i t i c a l r e f l e c t i o n s 11 w i t h i n A r c t i c a b y s s a l p l a i n s s e d i m e n t s . O n t h e p a p e r s b y C h a p m a n e t a l . ( i n p r e s s ) , U l r y c h e t a l . ( 1 9 8 3 ) , a n d L e v y e t a l . ( 1 9 8 3 ) , I am a c o - a u t h o r . T h e v e l o c i t y a n a l y s i s a n d c o n s t a n t p h a s e a p p r o x i m a t i o n f o r d i s p e r s i o n c o m p o n e n t s f r o m t h e l a t t e r t w o p a p e r s c o m p r i s e p a r t o f t h i s t h e s i s . I t i s f r o m my w o r k o n t h e s e t w o p a p e r s a n d f u r t h e r d i s c u s s i o n s w i t h S . L e v y , T . J . U l r y c h a n d D.W. O l d e n b u r g , t h a t t h i s t h e s i s e v o l v e d . A s m e n t i o n e d p r e v i o u s l y , t h e o r i g i n a l t h r u s t o f t h i s t h e s i s w a s a n i n v e s t i g a t i o n o f d i s p e r s i o n a n d i t s q u a n t i f i c a t i o n u s i n g s e n s i t i v e s i m i l a r i t y m e a s u r e s . F r o m t h i s , t h e K L m e t h o d g r e w t o b e t h e c e n t r a l t h e m e o f t h i s w o r k . A s i g n i f i c a n t a m o u n t o f t i m e w a s d e v o t e d t o t h e p o s s i b i l i t y o f e s t i m a t i n g t h e s e i s m i c q u a l i t y f a c t o r Q, a s s u m i n g t h e c o n s t a n t - Q m o d e l ( F u t t e r m a n n , 1 9 6 2 ) a n d u t i l i z i n g t h e e i g e n v a l u e s o f t h e K L m e t h o d t o d e f i n e a s i m i l a r i t y m e a s u r e . A n o v e r v i e w o f t h e q u a n t i f i c a t i o n o f Q v a l u e s , t h e c o n s t a n t - C j m o d e l , a n d t h e e f f e c t s o f d i s p e r s i o n o n s e i s m i c s o u r c e s i g n a l s i s g i v e n i n S e c t i o n 4 . I l l a n d A p p e n d i c e s 1 a n d 2 , r e s p e c t i v e l y . 12 S E C T I O N 1 . I I I : S E I S M I C D A T A R E C O N S T R U C T I O N . a . R e c o n s t r u c t i o n o f C o h e r e n t I n f o r m a t i o n . G i v e n a s t a c k e d s e i s m i c s e c t i o n f r o m a r e g i o n o f r e l a t i v e l y f l a t - l y i n g o r p a r a l l e l d i p p i n g l a y e r s , t h e c h a n g e s s e e n f r o m t r a c e t o t r a c e a c r o s s t h e s e c t i o n a r e i n p a r t s t r u c t u r a l l y r e l a t e d a n d i n p a r t r a n d o m n o i s e . I w i l l a s s u m e t h a t t h e c o n t r i b u t i o n s f r o m r a n d o m e v e n t s a r e n o t c o r r e l a t e d f r o m t r a c e t o t r a c e , w h e r e a s t h e d a t a r e p r e s e n t i n g t h e g e o l o g i c a l h o r i z o n s w i l l b e . I n v i e w o f t h e s e a s s u m p t i o n s , I e n q u i r e w h e t h e r we c a n s e p a r a t e t h o s e p a r t s o f t h e d a t a w h i c h d i s p l a y t r a c e - t o - t r a c e c o h e r e n c y f r o m t h o s e p a r t s w h i c h d o n o t . A s w i l l b e s h o w n i n t h e n e x t c h a p t e r s , t h e K L T e n a b l e s u s t o s e p a r a t e t h e m o s t c o h e r e n t p a r t s o f t h e d a t a f r o m t h e l e s s c o h e r e n t p a r t s . T h e m e t h o d r e p l a c e s a s e t o f s e i s m i c t r a c e s w i t h a n e q u a l n u m b e r o f a l t e r n a t i v e ( a n d o r t h o g o n a l ) d a t a t r a c e s ( k n o w n a s t h e p r i n c i p a l c o m p o n e n t s ) , w h i c h a r e a r r a n g e d i n o r d e r o f d e c r e a s i n g v a r i a n c e ( o r e n e r g y c o n t e n t ) . T h e f i r s t p r i n c i p a l c o m p o n e n t c o n t a i n s t h a t s i g n a l w h i c h i s m o s t c o m m o n a c r o s s t h e s t a c k e d s e i s m i c s e c t i o n . T h e s u b s e q u e n t p r i n c i p a l c o m p o n e n t s c a n e i t h e r b e v i e w e d a s t h e n e x t m o s t c o m m o n s i g n a l s , o r a s t h e ' c o r r e c t i o n t e r m s ' t o b e a d d e d t o t h e c o m m o n s i g n a l t o r e p r o d u c e t h e i n p u t s i g n a l s . R e c o n s t r u c t i n g t h e o r i g i n a l s t a c k e d s e i s m i c s e c t i o n f r o m t h o s e p r i n c i p a l c o m p o n e n t s w h i c h a c c o u n t f o r t h e 13 g r e a t e s t v a r i a n c e w i l l , p r o d u c e a s e i s m i c s e c t i o n f r o m w h i c h t h e l e a s t c o h e r e n t i n f o r m a t i o n h a s b e e n o m i t t e d . T h i s t r u n c a t e d s e i s m i c d a t a r e c o n s t r u c t i o n m e t h o d h a s n o t b e e n p r e s e n t e d p r e v i o u s l y i n t h e s e i s m i c l i t e r a t u r e , a l t h o u g h i t f o r m s t h e b a s i s o f m a n y i m a g e e n h a n c e m e n t t e c h n i q u e s . b . M i s f i t R e c o n s t r u c t i o n . A s a n a t u r a l a d j u n c t t o t h e r e c o n s t r u c t i o n o f c o h e r e n t i n f o r m a t i o n , we m a y a s k t h e f o l l o w i n g q u e s t i o n : W h a t d o we h a v e i f we p e r f o r m a r e c o n s t r u c t i o n u s i n g t h e l e a s t c o h e r e n t i n f o r m a t i o n p r e s e n t ? T h e a n s w e r i s s i m p l y t h a t we t h e n h a v e t h o s e p a r t s o f t h e d a t a w h i c h a r e l e s s c o m m o n f r o m t r a c e t o t r a c e . F o r e x a m p l e , i n t h e c a s e w h e r e we h a v e a b a c k g r o u n d o f s i m i l a r f l a t - l y i n g ( o r p a r a l l e l d i p p i n g ) e v e n t s u p o n w h i c h i s s u p e r i m p o s e d s o m e s m a l l - s c a l e s t r u c t u r e s u c h a s a s a n d l e n s , o r p i n c h - o u t , we m a y t r y t o r e m o v e t h e c o m m o n f e a t u r e s i n o r d e r t o h i g h l i g h t t h e a n o m a l i e s . A t e c h n i q u e s u c h a s t h i s w o u l d d r a w a t t e n t i o n t o r e g i o n s w h i c h m a y w a r r a n t f u r t h e r i n v e s t i g a t i o n . F o r d i s p l a y p u r p o s e s , t h e a n o m a l o u s p a r t s o f t h e d a t a c o u l d b e p l o t t e d i n g r e y - s h a d e s o n t o p o f a v a r i a b l e a r e a p l o t o f a r e c o n s t r u c t i o n o f t h e o r i g i n a l d a t a i n o r d e r t o p r o d u c e a n ' a n o m a l y - h i g h l i g h t e d ' s e c t i o n . T h i s t e c h n i q u e , w h i c h I c a l l a n o m a l y o r m i s f i t r e c o n s t r u c t i o n , h a s n o t b e e n p r e s e n t e d p r e v i o u s l y i n t h e 14 s e i s m o l o g i c a l o r i m a g e p r o c e s s i n g l i t e r a t u r e . c . D i f f r a c t i o n s . W h i l s t p e r f o r m i n g r e c o n s t r u c t i o n s o f s t a c k e d s e i s m i c d a t a , I n o t i c e d a m o s t i n t e r e s t i n g f e a t u r e . I n a r e a s w i t h m u c h f a u l t i n g , t h e m i s f i t r e c o n s t r u c t i o n h i g h l i g h t e d t h e d i f f r a c t i o n h y p e r b o l a e a s s o c i a t e d w i t h f a u l t e d g e s . T h e f a c t t h a t a m i g r a t e d s t a c k e d s e c t i o n s t i l l i n c o r p o r a t e s s o m e d i f f r a c t i o n e n e r g y i n d i c a t e s t h a t r e s i d u a l m i g r a t i o n m a y b e i n o r d e r . F u r t h e r , m i g r a t i n g t h e d i f f r a c t i o n s e c t i o n ( a m i s f i t r e c o n s t r u c t i o n s h o w i n g d i f f r a c t i o n s ) i t s e l f m a y p r o d u c e a s e c t i o n w i t h e v e n t s c o n c e n t r a t e d n e a r t h e d i f f r a c t i o n s o u r c e s : t h i s c o u l d s e r v e f o r e x a m p l e a s a f a u l t - e d g e i n d i c a t o r . T h i s s e r e n d i p i t o u s a p p l i c a t i o n i s n e w , a l t h o u g h t h e s e p a r a t i o n o f d i f f r a c t i o n e v e n t s f r o m s t a c k e d s e i s m i c s e c t i o n s b y o t h e r m e a n s i s n o t ( L e v i n e t a l . , 1 9 8 3 , H a r l a n e t a l . , 1 9 8 3 ) . d . M u l t i p l e S u p p r e s s i o n . I n s h a l l o w m a r i n e s e i s m i c d a t a , m u l t i p l e s o f t e n p o s e a p r o b l e m . T h e m u l t i p l e e v e n t s a l l h a v e a p p r o x i m a t e l y t h e s a m e m o v e - o u t v e l o c i t y , a n d o f t e n d i s t o r t t h e i n f o r m a t i o n o f i n t e r e s t . P e r f o r m i n g a c o n s t a n t v e l o c i t y m o v e - o u t c o r r e c t i o n o n a m u l t i p l e i n f e s t e d c o m m o n d e p t h p o i n t ( C D P ) o r c o m m o n s h o t p o i n t ( C S P ) g a t h e r u s i n g t h e v e l o c i t y o f t h e m u l t i p l e , we p r o d u c e a g a t h e r i n . 1 5 w h i c h t h e ' m u l t i p l e ' e v e n t s a r e e s s e n t i a l l y f l a t t e n e d . I n o t h e r w o r d s t h e y w i l l t h e n a p p e a r t o b e t h e m o s t c o h e r e n t i n f o r m a t i o n i n t h e g a t h e r . A K L r e c o n s t r u c t i o n o m i t t i n g t h e m o s t c o m m o n i n f o r m a t i o n w i l l p r o d u c e a g a t h e r f r e e o f m u l t i p l e a r r i v a l s . T h e g a t h e r w o u l d t h e n b e u n - m o v e - o u t c o r r e c t e d w i t h t h e s a m e c o n s t a n t v e l o c i t y . N a t u r a l l y , t h e p r o c e s s i n g w o u l d c o m m e n c e j u s t a f t e r t h e p r i m a r y e v e n t s o a s n o t t o s u p p r e s s i t . T h i s n o v e l a p p r o a c h t o m u l t i p l e s u p p r e s s i o n i s p r e s e n t e d h e r e f o r t h e f i r s t t i m e . I t c o n s t i t u t e s a n a l t e r n a t i v e a p p r o a c h t o t h a t o f R y u ( 1 9 8 2 ) w h o p r o p o s e d a p r o c e d u r e u s i n g f r e q u e n c y - w a v e n u m b e r f i l t e r i n g o f m o v e - o u t a l t e r e d g a t h e r s . S E C T I O N 1 . I V : S I M I L A R I T Y M E A S U R E S . I n t h e p r e v i o u s s e c t i o n i t w a s m e n t i o n e d t h a t t h e K L T p r o d u c e s a s e t o f o r t h o g o n a l p r i n c i p a l c o m p o n e n t s f r o m t h e i n p u t d a t a t r a c e s . A s s h o w n i n t h e t h e o r y s e c t i o n s ( C h a p t e r 2 ) , t h e s e p r i n c i p a l c o m p o n e n t s a r e c o n s t r u c t e d a s a l i n e a r c o m b i n a t i o n o f t h e i n p u t d a t a t r a c e s ( a n d v i c e v e r s a f o r d a t a r e c o n s t r u c t i o n ) . I n t h i s s e c t i o n , I w i l l i n t r o d u c e t h e p h y s i c a l s i g n i f i c a n c e o f t h e w e i g h t i n g c o e f f i c i e n t s u s e d i n t h e s e l i n e a r c o m b i n a t i o n s . A s we w i l l s e e , t h e s e w e i g h t s a r e t h e e l e m e n t s o f t h e e i g e n v e c t o r s o f t h e c o v a r i a n c e m a t r i x o f t h e i n p u t d a t a t r a c e s . 16 a . C l u s t e r A n a l y s i s . W h e n c o n s t r u c t i n g , f o r e x a m p l e , t h e f i r s t p r i n c i p a l c o m p o n e n t , we w i l l h a v e a s e t o f w e i g h t s w h i c h w i l l t e l l u s h o w m u c h o f e a c h i n p u t t r a c e g o e s i n t o m a k i n g t h e f i r s t p r i n c i p a l c o m p o n e n t . I f t h e f i r s t d o z e n w e i g h t s h a d t h e s a m e v a l u e , t h e n we w o u l d c o n c l u d e t h a t t h e f i r s t d o z e n i n p u t t r a c e s c o n t r i b u t e d e q u a l l y t o t h e f i r s t p r i n c i p a l c o m p o n e n t . I f t h e s e c o n d d o z e n w e i g h t s w e r e s i m i l a r t o e a c h o t h e r b u t d i f f e r e d r a d i c a l l y f r o m t h e f i r s t d o z e n , we c o u l d i n f e r t h a t we h a d t w o ' n a t u r a l ' s i m i l a r i t y g r o u p s o f i n p u t d a t a t r a c e s , c h a r a c t e r i z e d b y t h e f i r s t a n d s e c o n d d o z e n i n p u t d a t a t r a c e s , r e s p e c t i v e l y . B y s t u d y i n g t h e g r o u p i n g s o f t h e w e i g h t i n g e l e m e n t s a s s o c i a t e d w i t h t h e K L T , we c a n f o r m a b a s i s f o r i d e n t i f y i n g g r o u p s , o r c l u s t e r s , o f i n p u t s i g n a l s w h i c h w e r e s i m i l a r . O n e o f t h e m a j o r a i m s o f s u c h a n a n a l y s i s w o u l d b e t o l i n k t h e r e s u l t i n g g r o u p s o f i n p u t t r a c e s t o a p h y s i c a l p a r a m e t e r , e g . p o r o s i t y , n o t e d f r o m a t t e n d a n t w e l l l o g i n f o r m a t i o n . I r e v i e w t h e a p p r o a c h t a k e n b y H a g e n ( 1 9 8 2 ) a n d c r i t i c a l l y a s s e s s t h e a p p l i c a b i l i t y o f c l u s t e r a n a l y s i s i n t h e c o n t e x t o f s e i s m i c e x p l o r a t i o n . b . V e l o c i t y A n a l y s i s . T h e e n e r g y o f t h e j . t h p r i n c i p a l c o m p o n e n t i s . g i v e n b y t h e j . t h e i g e n v a l u e o f t h e i n p u t d a t a c o v a r i a n c e m a t r i x . F u r t h e r , i f t h a t s i g n a l m o s t c o m m o n t o t h e i n p u t d a t a h a s a c o m p a r a t i v e l y l a r g e e n e r g y , t h e n we c a n s a y t h a t t h e i n p u t d a t a t r a c e s a r e a l l v e r y s i m i l a r . C o n s e q u e n t l y , a r a t i o o f t h e f i r s t e i g e n v a l u e t o t h e s u m o f t h e r e m a i n i n g e i g e n v a l u e s g i v e s a m e a s u r e o f t h e d i s t r i b u t i o n o f t h e t o t a l v a r i a n c e b e t w e e n c o m m o n a n d u n c o m m o n p a r t s o f t h e i n p u t d a t a . T h i s e i g e n v a l u e r a t i o , w h i c h I l a t e r m o d i f y t o b e t h e r a t i o o f a s u m o f t h e f i r s t m e i g e n v a l u e s t o t h e s u m o f t h e r e m a i n i n g e i g e n v a l u e s , c a n b e u s e d a s a s i m i l a r i t y m e a s u r e . U n d e r c e r t a i n c i r c u m s t a n c e s , t h i s s i m i l a r i t y m e a s u r e p r o v e s t o b e m o r e r e l i a b l e t h a n t h e c o n v e n t i o n a l s e m b l a n c e c r i t e r i o n ( N e i d e l l a n d T a n e r , 1 9 7 3 ) , e s p e c i a l l y i n t h e p r e s e n c e o f s m a l l t i m e s h i f t s b e t w e e n t h e m e m b e r s o f t h e s u i t e o f i n p u t s i g n a l s u n d e r c o n s i d e r a t i o n . I p r e s e n t t h e m o d i f i e d e i g e n v a l u e r a t i o a s a n a l t e r n a t i v e t o t h e s e m b l a n c e c r i t e r i o n u s e d i n v e l o c i t y a n a l y s i s . T h e i n i t i a l r e s u l t s o f t h i s i n v e s t i g a t i o n w e r e p r e s e n t e d i n U l r y c h e t a l . ( 1 9 8 3 ) a n d L e v y e t a l . ( 1 9 8 3 ) . 18 c . Q-Inversion. I n a p r o c e d u r e s i m i l a r t o t h e a p p l i c a t i o n t o v e l o c i t y a n a l y s i s , I u t i l i z e t h e e i g e n v a l u e r a t i o t o q u a n t i f y t h e s i m i l a r i t y b e t w e e n a d i s p e r s e d s i g n a l a n d a r e f e r e n c e s i g n a l . U t i l i z i n g t h e F u t t e r m a n n ( 1 9 6 2 ) r e l a t i o n s h i p ( w h i c h r e l a t e s t h e c h a n g e i n p h a s e v e l o c i t y t o t h e Q - v a l u e f o r a m e d i u m ; K n o p o f f ( 1 9 6 4 ) ) , t h e d i s p e r s e d s i g n a l i s . i t e r a t i v e l y u n d i s p e r s e d . T h a t i s , a t e a c h i t e r a t i o n , t h e s i g n a l i s f i r s t s u b j e c t e d t o a f r e q u e n c y d e p e n d e n t s t r e t c h i n g d e s i g n e d t o n e g a t e t h e e f f e c t s o f d i s p e r s i o n . T h i s u n d i s p e r s e d s i g n a l i s u s e d , i n c o n j u n c t i o n w i t h a r e f e r e n c e s i g n a l , t o c o m p u t e t h e v a l u e o f t h e e i g e n v a l u e r a t i o f o r t h e p a i r o f s i g n a l s . T h e c h a n g e i n m a g n i t u d e o f t h e e i g e n v a l u e r a t i o w i l l g i v e a n i n d i c a t i o n o f h o w s i m i l a r t o t h e r e f e r e n c e s i g n a l t h e p r o c e s s e d s i g n a l h a s b e c o m e . B y i d e n t i f y i n g a m i n i m u m i n t h e f u n c t i o n o f e i g e n v a l u e r a t i o v e r s u s u n d i s p e r s i n g Q - v a l u e , I t r y t o i d e n t i f y t h e Q - v a l u e o f t h e m e d i u m i n w h i c h t h e s e i s m i c w a v e l e t t r a v e l l e d . I n a d d i t i o n t o t h e a p p l i c a t i o n o f t h e K L e i g e n v a l u e r a t i o t o s i m i l a r i t y q u a n t i f i c a t i o n , a n o v e r v i e w o f t h e c o n s t a n t Q m o d e l , a n d o f t h e e f f e c t s o f d i s p e r s i o n o n V i b r o s e i s \u00ae d a t a i s p r e s e n t e d ( A p p e n d i c e s 1 a n d 2 ) . I n S e c t i o n 4 . I l l , I p r e s e n t a n i t e r a t i v e d i s p e r s i o n r e m o v a l t e c h n i q u e f o r s y n t h e t i c d a t a f r o m a n i m p u l s i v e s o u r c e f u n c t i o n . T h i s e x t e n d s t h e w o r k o f R o b i n s o n ( 1 9 7 9 , 1 9 8 2 ) 19 w h o a t t e m p t e d t o r e m o v e t h e e f f e c t s o f d i s p e r s i o n f r o m s e i s m i c d a t a i n a n a d h o c f a s h i o n . W i t h i n t h e b o d y o f t h i s t h e s i s , a l l f i g u r e s a r e c o l l a t e d a t t h e e n d o f t h e p e r t i n e n t s e c t i o n , s o a s n o t t o i n t e r r u p t t h e t e x t . 20 CHAPTER 2. THEORY AND BACKGROUND. S E C T I O N 2 .1: T H E K A R H U N E N - L O E V E T R A N S F O R M A T I O N . a . I n t r o d u c t i o n . I n t h i s c h a p t e r , I p r e s e n t t h e t h e o r y f r o m t h e l i t e r a t u r e , a n d o u t l i n e t h e p h y s i c a l i n t e r p r e t a t i o n o f t h i s t h e o r y a s a p p l i e d t o p r o b l e m s i n r e f l e c t i o n s e i s m o l o g y . I w i l l b e d e a l i n g w i t h t h e K L t r a n s f o r m a t i o n a s a p p l i e d t o m u l t i c h a n n e l s o f d a t a ( A h m e d a n d R a o ( 1 9 7 5 ) , U l r y c h e t a l . ( 1 9 8 3 ) , L e v y e t a l . ( 1 9 8 3 ) , J o n e s a n d L e v y ( 1 9 8 4 ) ) a n d b e g i n b y d e f i n i n g t h e t e r m i n o l o g y t o b e u s e d i n t h i s w o r k . b . T h e o r y . G i v e n a s e t o f n r e a l s i g n a l s x . ( t ) , 0 < t < T, a n d a n [nx.n] t r a n s f o r m a t i o n m a t r i x A w i t h e l e m e n t s a j j > w e m a Y c o n s t r u c t a s e t o f a l t e r n a t i v e d a t a a s a l i n e a r c o m b i n a t i o n o f t h e i n p u t d a t a : n i\/\/ .(\\<) = L a. . x. (t) j = J, . . . , n; 0 < t < T (I) J i=l 1J 1 C o n v e r s e l y , we m a y r e c o n s t r u c t t h e i n p u t s i g n a l s a s a l i n e a r c o m b i n a t i o n o f t h e v e c t o r s ii.(t) , w i t h w e i g h t s b. . o f a m a t r i x B: n x (t.) = L b. ^.(t) 1=1,..., n (2) j = l J J 21 We m a y d e r i v e t h e c o e f f i c i e n t s a. . a n d b. . i n a n u m b e r o f i j i j w a y s ( U l r y c h e t a l . , 1 9 8 5 , i n p r e p . ) . H o w e v e r , u s e o f t h e l e a s t - s q u a r e s m e t h o d g i v e s r i s e t o a s e t o f o r t h o g o n a l v e c t o r s (l) , a r r a n g e d i n o r d e r o f d e c r e a s i n g e n e r g y c o n t e n t , i . e . t h e s i g n a l w i t h t h e l a r g e s t v a r i a n c e w i l l a p p e a r o n \\p, (t) , a n d s o o n . T h i s a p p r o a c h w a s t a k e n b y K r a m e r a n d M a t h e w s ( 1 9 5 6 ) w h o s h o w e d t h a t t h e c o e f f i c i e n t m a t r i c e s A a n d B f o r t h a t t r a n s f o r m w h i c h p a c k s t h e g r e a t e s t p o s s i b l e a m o u n t o f c o h e r e n t i n f o r m a t i o n i n t o t h e s m a l l e s t p o s s i b l e n u m b e r o f v e c t o r s ii.(i), a r e s i m p l y A = R a n d B = R, w h e r e R i s t h e e i g e n v e c t o r m a t r i x d e r i v e d f r o m t h e c o v a r i a n c e m a t r i x o f t h e i n p u t d a t a ( i n t h e n o t a t i o n o f K r a m e r a n d M a t h e w s , my A w o u l d b e t r a n s p o s e d ) . T h e i r r e s u l t c a n b e s h o w n a s f o l l o w s . D e f i n i n g a t r u n c a t e d d a t a r e c o n s t r u c t i o n a s : m x (t) = Z b ii (l) i =1, m < n (3) j = l J 3 we h a v e a n a s s o c i a t e d m i s f i t ( o r t r u n c a t i o n e r r o r ) : T n (m) = \/ Z (x. (l) - x. ( I ) ) 2 dt (4) 0 i=l T n m = ; i (x. (t) - z b. ^.(t))2 dt 0 i=l i=l J T n m n = J Z [x. (t) - Z Z b. . a,. x , ( t ) ) 2 dl 0 i=l . 1 j = l k=l l J K } K D e m a n d i n g t h a t
(m) w i t h r e s p e c t t o a.j a n d b^., t o z e r o . F o r 22 d
(m)\/db = -2 j \\x (t) - Z I b . a, . x, (t)} PQ 0 p j = l k=l P J k j k n \u2022 { T. a. x. (t)} dt 1=1 l q ' T n = -2 S .[ . { I a, x (t)x. (t)} 0 1=1 l q P ' m n n - { I Z I a. b . a,. x,(t) x,(t)} ] dt J = J k=l 1=1 lq PJ kj k I = 0 B u t t h e i n t e g r a l o v e r p a i r s o f i n p u t v e c t o r s g i v e s t h e s y m m e t r i c c o v a r i a n c e m a t r i x , i . e . : T 7 . . = f x . (t ) x . (t ) dt 'U 0 i J S o , we h a v e : n d
(m)\/db = -2 [ ( T A ) - { Z Z a,, b . ( T A ) , } PQ Pq j = 1 k = 1 kj pj kq A n d s u m m i n g o v e r k a n d j g i v e s : 2 3 d
(m)\/da = 0, we o b t a i n : r B = r A BR B (6) T o i n v e s t i g a t e t h e p r o p e r t i e s o f A a n d B, we p e r f o r m t h e f o l l o w i n g s t e p s : . S e t t i n g C = B AJ, equations (5) a n d (6) b e c o m e : c r = c r c7 r c = r cT c F r o m t h e l a t t e r e q u a t i o n , we s e e t h a t : C = CTC , o r t r a n s p o s i n g : CT= CTC , t h u s : C = CT, a n d h e n c e : C = C2 I n o t h e r w o r d s , C i s d i a g o n a l w i t h e i t h e r o n e s o r z e r o e s a r r a n g e d i n s o m e a s y e t u n k n o w n o r d e r a l o n g t h e d i a g o n a l . P r o c e e d i n g w i t h a p a r a l l e l a r g u m e n t f o r t h e s p e c t r a l d e c o m p o s i t i o n o f T i n t e r m s o f R a n d A , we h a v e t h e f o l l o w i n g : 24 r = R A RR (7) w h e r e R i s t h e m a t r i x o f o r t h o g o n a l c o l u m n e i g e n v e c t o r s r , a n d t h e d i a g o n a l m a t r i x A c o n t a i n s t h e c o r r e s p o n d i n g e i g e n v a l u e s A , , ^ 2 r ' ' - , ^ n , a r r a n g e d i n d e c r e a s i n g s i z e . A s C i s a l s o s y m m e t r i c , we c a n w r i t e C = R Q RJ w h e r e Q i s a d i a g o n a l m a t r i x w i t h r a n k e q u a l t o t h e r a n k o f C ( i . e . r a n k < m). N o w : Q2 = R1 C R Rr C R = RT C2 R = RT C R = Q C o n s e q u e n t l y , t h e e l e m e n t s o f t h e d i a g o n a l m a t r i x Q m u s t e i t h e r b e u n i t y o r z e r o . I n a d d i t i o n , we c a n a l s o w r i t e equation (4) i n t e r m s o f t h e d e v i a t i o n o f a f o r w a r d a n d i n v e r s e t r a n s f o r m f r o m t h e o r i g i n a l d a t a , i . e . : 4>(m) = Trace[(I - B Ar) (\/ - A B7) T ] = Trace[(I - C) T ] b u t a s t h i s o n l y l o o k s a t t h e d i a g o n a l e l e m e n t s , w e c a n e q u a l l y w e l l r o t a t e t h e a r g u m e n t i n t o a d i a g o n a l f o r m : 2 5 4>(m) = Trace[RT (I - C) R RT T R] = Tracel(I - Rr C R) A] = TraceKl - Q)A] P L j =m+1 X . J w h e r e p i s t h e r a n k o f r. B u t t h i s r e p r e s e n t a t i o n o f
T (12) A l s o , a s t h e t r a n s f o r m a t i o n i s m e r e l y a s p a t i a l r o t a t i o n , t h e t o t a l i n p u t e n e r g y i s c o n s e r v e d a n d we h a v e : T n Trace[T] = \/ I x . ( i ) 2 dt = Trace[A] (13) 0 i=l 1 D u e t o t h e w a y i n w h i c h t h e c o v a r i a n c e m a t r i x i s c a l c u l a t e d , t h e p r i n c i p a l c o m p o n e n t w i t h t h e l a r g e s t v a r i a n c e c o n t a i n s t h a t s i g n a l w h i c h i s m o s t h i g h l y c o r r e l a t e d f r o m t r a c e - t o - t r a c e . I n o t h e r w o r d s , t h e f i r s t p r i n c i p a l c o m p o n e n t r e p r e s e n t s t h e ' c o m m o n s i g n a l ' . T h e u n d e r l y i n g a s s u m p t i o n i n t h i s w o r k i s t h a t t h e r e i s a s i g n a l w h i c h i s c o m m o n t o e a c h i n p u t t r a c e : o u r p r o b l e m i s t o e x t r a c t t h a t s i g n a l . I n m a t r i x t e r m s , we a s s e r t t h a t X h a s a p r e d o m i n a n t s i g n a l c o m p o n e n t w i t h a r a n k m u c h s m a l l e r t h a n n, t h e n u m b e r o f i n p u t v e c t o r s . I f t h e r e w e r e n o t r a c e - t o - t r a c e s i m i l a r i t y ( i . e . i f t h e x.(t) w e r e o r t h o g o n a l ) , r w o u l d b e d i a g o n a l , a n d we w o u l d h a v e : \\p.(t) = x . ( t ) , a n d X . = \/ x . ( t ) 2 d t . J 1 J o 1 w h e r e t h e 2 8 x(t) a r e r e - a r r a n g e d i n o r d e r o f d e c r e a s i n g e n e r g y c o n t e n t ( a s c . S i n g u l a r V a l u e D e c o m p o s i t i o n . F o r m o s t s e i s m o l o g i c a l a p p l i c a t i o n s we h a v e m a n y m o r e p o i n t s p e r t r a c e t h a n we h a v e t r a c e s . I n t h i s c a s e i t i s s i m p l e a n d c o n v e n i e n t t o p r o c e e d a s o u t l i n e d a b o v e . H o w e v e r , i n s i t u a t i o n s w h e r e t h e n u m b e r o f t r a c e s f a r e x c e e d s t h e n u m b e r o f p o i n t s p e r t r a c e ( M i l l i g a n e t a l . , 1 9 7 8 ) we u t i l i z e t h e r e l a t i o n s h i p b e t w e e n t h e K L t r a n s f o r m a n d s i n g u l a r - v a l u e d e c o m p o s i t i o n ( S V D ) t o r e d u c e t h e c o m p u t a t i o n a l e x p e n s e . G i v e n t h e d a t a m a t r i x X, we m a y w r i t e : w h e r e fl i s i n g e n e r a l a r e c t a n g u l a r d i a g o n a l m a t r i x c o n t a i n i n g t h e s i n g u l a r v a l u e s o f t h i s d e c o m p o s i t i o n , a n d V i s t h e p o s t m a t r i x , w h i c h i s l a t e r s e e n t o c o n t a i n t h e n o r m a l i z e d p r i n c i p a l c o m p o n e n t s . N o w , we n o t e f r o m equation (8) t h a t t h e c o v a r i a n c e m a t r i x V f o r o u r d a t a X i s g i v e n b y t h e o u t e r - p r o d u c t : \\p.(t)) t o m e e t t h e r e q u i r e m e n t t h a t X , > X2 > > X n X = R fl Vr (14) r = x xr (15) = R n VT V fl R1, a n d a s b o t h R a n d V a r e o r t h o g o n a l , t h i s b e c o m e s : 2 9 r = R fl2 RJ, s o we s e e t h a t f r o m equation (7) fl2 = A . T h e m a t r i c e s R a n d A a r e b o t h [nxn]. H o w e v e r , f o r o u r n t r a c e s e a c h o f N p o i n t s , we h a v e t h a t X = [nxN], fl = [nxN], a n d V = [NxN], b u t f o r n < N, t h e s y s t e m i s o v e r d e t e r m i n e d a n d we o n l y h a v e a t m o s t n n o n - z e r o e i g e n v a l u e s i n t h e m a t r i x fl. H e n c e A1^2 w h i c h i s [nxn] f u l l y r e p r e s e n t s fl w h i c h i s [nxN], N o w , i f we h a d a c a s e w h e r e t h e n u m b e r o f t r a c e s e x c e e d e d t h e n u m b e r o f p o i n t s i n a t r a c e , i . e . n > N, w e m a y w i s h t o f o r m t h e f o l l o w i n g i n n e r - p r o d u c t c o v a r i a n c e m a t r i x : = V fl2 V1 H e r e V i s t h e e i g e n v e c t o r m a t r i x o f V ( b o t h V a n d V a r e [ N x \/ V ] ) ; r e c a l l t h a t R c o n t a i n e d t h e e i g e n v e c t o r s d e r i v e d f r o m T. We c o n s t r u c t e d t h e p r i n c i p a l c o m p o n e n t s * (equation (9)) a s : w h e r e i s [nxN], S u b s t i t u t i n g equation (14) i n t o equation (17) y i e l d s : = RT R fl V7 r = xr x (16) * = RJ X (17) = fl VT (18) 3 0 S o we s e e t h a t t h e p r i n c i p a l c o m p o n e n t m a t r i x * , o f r i s s i m p l y a t r a n s p o s e d s c a l e d v e r s i o n o f t h e e i g e n v e c t o r m a t r i x V, o f r. G i v e n V a n d fl we m a y d e r i v e t h e e i g e n v e c t o r m a t r i x R, o f V: e q u a t i n g equations (17) a n d (18) g i v e s : Rr X = fl V1, w h i c h w h e n r e a r r a n g e d b e c o m e s : R = X V fl\" 1 (19) S o , i f we s i m p l y w a n t t h e p r i n c i p a l c o m p o n e n t s , o r i f n \u00bb N, we d e c o m p o s e r, w h e r e a s i f we a r e i n t e r e s t e d i n t h e e i g e n v e c t o r s R, o r i f N >> n, we d e c o m p o s e r. d . O u t e r - P r o d u c t I m a g e S u m m a t i o n . H e r e I p r e s e n t a r e c o n s t r u c t i o n a s a l i n e a r c o m b i n a t i o n o f p r i n c i p a l c o m p o n e n t s w i t h a p p r o p r i a t e w e i g h t s . H o w e v e r , f o l l o w i n g t h e S V D a p p r o a c h , we m a y u s e t h e t e r m i n o l o g y o f A n d r e w s ( 1 9 7 0 ) a n d A n d r e w s a n d P a t t e r s o n ( 1 9 7 6 a , b , c ) a n d t h i n k o f t h e d a t a a s c o n s t i t u t i n g a n i m a g e m a t r i x X ( D a v e n p o r t a n d R o o t , 1 9 5 8 ; H u a n g a n d N a r e n d r a , 1 9 7 5 ; H u n t a n d K u b l e r , 1 9 8 4 ; o r F u k u n a g a a n d K o o n t z ( 1 9 6 9 ) ) . T h i s i m a g e c a n b e d e c o m p o s e d i n t o a s u m o f r a n k - o n e i m a g e s , e a c h o f w h i c h i s f o r m e d b y a n o u t e r - p r o d u c t e x p a n s i o n . T h a t is, from equation (14): X = L X 1\/ 2 r . v T :-J J J J 31 = v\/2 r ,vj .+ ... + X l \/ 2 r v T n n n w h e r e e a c h o u t e r - p r o d u c t ^ vT f o r m s a r a n k - o n e i m a g e o f t h e s a m e s i z e a s X. P h o t o g r a p h s o f s e v e r a l s u c h r a n k - o n e d e c o m p o s i t i o n i m a g e s c a n b e f o u n d i n A n d r e w s ( 1 9 7 0 ) . S E C T I O N 2 . I I : R E C O N S T R U C T I O N A N D A S S O C I A T E D E R R O R S . a . I d e n t i c a l S i g n a l s . W h e n we h a v e a s u i t e o f s i g n a l s w h i c h a r e i d e n t i c a l t o w i t h i n a c o n s t a n t s c a l e f a c t o r , t h e f i r s t p r i n c i p a l c o m p o n e n t h a s a n i m p o r t a n t c h a r a c t e r i s t i c . I f x.(t) = cis(t) w h e r e t h e c. a r e r e a l c o n s t a n t s , a n d s(t) i s a g i v e n s i g n a l , t h e n t h e f i r s t p r i n c i p a l c o m p o n e n t w i l l b e : * i ( t ) = ( L c. 2) 1 \/ 2 s(t) (20) T h a t i s , t h e f i r s t p r i n c i p a l c o m p o n e n t w i l l b e a s c a l e d v e r s i o n o f t h e s i g n a l s(t), a n d t h e c o m p l e t e s e t o f i n p u t s i g n a l v e c t o r s { x . ( t ) , i=],..., n}, c a n b e r e c o n s t r u c t e d e x a c t l y f r o m t h i s o n e p r i n c i p a l c o m p o n e n t a n d t h e a p p r o p r i a t e w e i g h t s ( t h e e l e m e n t s o f t h e f i r s t r o w o f R) . T h e r e m a i n i n g p r i n c i p a l c o m p o n e n t s {yp.(t), y = 2 , . . . , \u00ab } , w i l l h a v e z e r o e i g e n v a l u e s a n d a r e n o t n e e d e d i n t h e r e c o n s t r u c t i o n . 32 b . S i m i l a r S i g n a l s . I f t h e s u i t e o f s i g n a l s h a d r a n d o m n o i s e o r o t h e r c o n t a m i n a n t s a d d e d t o t h e m , we n o l o n g e r h a v e t h e i d e a l c a s e w h e r e t h e s u i t e c a n b e e x a c t l y r e p r e s e n t e d b y a s i n g l e p r i n c i p a l c o m p o n e n t w i t h a p p r o p r i a t e s c a l e f a c t o r s . R a t h e r , we m a y s t i l l r e p r e s e n t t h e s u i t e w i t h a s i n g l e p r i n c i p a l c o m p o n e n t a n d a c c e p t t h e i n t r o d u c t i o n o f s o m e e r r o r . I n equation (11) we n o t e d t h a t t h e j.th e i g e n v a l u e g i v e s t h e e n e r g y a s s o c i a t e d w i t h t h e j.th p r i n c i p a l c o m p o n e n t . W i t h t h i s i n m i n d , I d e f i n e a s i m i l a r i t y m e a s u r e : m n X(m) = Z X \/ Z X (21) j=l J j=m+l J F o r t h e ' i d e n t i c a l ' c a s e w i t h X2, X3, X ^ = 0 we w i l l h a v e : X(m) = \u00bb, m = 1, 2, . . . , n- 1. O f m o r e p h y s i c a l s i g n i f i c a n c e i s t h e c a s e w h e n t h e w a v e f o r m s a r e s i m i l a r , a n d c o n t a m i n a t e d w i t h n o i s e . I n t h i s c a s e , x(m) w i l l b e l a r g e . C o n v e r s e l y , f o r i n h e r e n t l y d i s s i m i l a r s i g n a l s ( o r w h i t e n o i s e ) w i t h t h e s a m e m e a n e n e r g y , we w o u l d h a v e : x(m) 0{m\/(n-m) } I n o t h e r w o r d s , i f a l l t h e s i g n a l s w e r e d i s s i m i l a r , t h e n t h e c o v a r i a n c e m a t r i x w o u l d b e m o s t l y d i a g o n a l , a n d a l l t h e 33 e i g e n v a l u e s w o u l d b e o f t h e s a m e m a g n i t u d e , h e n c e equation (21) w o u l d y i e l d a r e s u l t o f o r d e r {m\/(n-m)}. T h i s m o d i f i e d e i g e n v a l u e r a t i o ( E V R ) \\(m), i s a n a l a g o u s t o t h e c o n d i t i o n n u m b e r ( S t r a n g , 1 9 8 0 ) , a n d i s u s e d t h r o u g h o u t t h i s w o r k a s a m e a s u r e o f s i g n a l c o h e r e n c y . c . W i n n o w i n g a n d T r u n c a t i o n E r r o r . F o r t h e t r u n c a t e d i n v e r s e t r a n s f o r m a t i o n {equation (3)) we m u s t d e c i d e u p o n a c r i t e r i o n t o d e t e r m i n e h o w m a n y p r i n c i p a l c o m p o n e n t s t o u s e i n o r d e r t o s a t i s f a c t o r i l y r e c o n s t r u c t ( o r r e p r e s e n t ) t h e d a t a . We m a y d i s c a r d p r i n c i p a l c o m p o n e n t s m+1 t o n g i v e n t h a t t h e b u l k o f t h e e n e r g y i s p a c k e d i n t o t h e f i r s t m p r i n c i p a l c o m p o n e n t s . H o w e v e r , t h i s a p p r o x i m a t i o n g i v e s r i s e t o a n a s s o c i a t e d m i s f i t ( o r t r u n c a t i o n ) e r r o r ,