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Finite element method - a Galerkin approach Hutton, Stanley George 1971

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F I N I T E ELEMENT METHOD - A GALERKIN APPROACH by STANLEY GEORGE HUTTON B.Sc., U n i v e r s i t y of N o t t i n g h a m , 1963 M.Sc., U n i v e r s i t y of C a l g a r y , 1966 A T H E S I S SUBMITTED IN PARTIAL FULFILMENT OF THE REQUIREMENTS FOR THE DEGREE OF DOCTOR OF PHILOSOPHY i n the Department of C I V I L ENGINEERING We a c c e p t t h i s t h e s i s as c o n f o r m i n g t o t h e r e q u i r e d s t a n d a r d THE UNIVERSITY OF B R I T I S H COLUMBIA AUGUST 1971 In p r e s e n t i n g t h i s t h e s i s i n p a r t i a l f u l f i l m e n t o f t h e r e q u i r e m e n t s f o r an a d v a n c e d d e g r e e a t t h e U n i v e r s i t y o f B r i t i s h C o l u m b i a , I a g r e e t h a t t h e L i b r a r y s h a l l make i t f r e e l y a v a i l a b l e f o r r e f e r e n c e and s t u d y . I f u r t h e r a g r e e t h a t p e r m i s s i o n f o r e x t e n s i v e c o p y i n g o f t h i s t h e s i s f o r s c h o l a r l y p u r p o s e s may be g r a n t e d by t h e Head o f my D e p a r t m e n t o r by h i s r e p r e s e n t a t i v e s . I t i s u n d e r s t o o d t h a t c o p y i n g o r p u b l i c a t i o n o f t h i s t h e s i s f o r f i n a n c i a l g a i n s h a l l n o t be a l l o w e d w i t h o u t my w r i t t e n p e r m i s s i o n . S. G. H u t t o n D e p a r t m e n t o f C i v i l E n g i n e e r i n g The U n i v e r s i t y o f B r i t i s h C o l u m b i a V a n c o u v e r 8, C a n a d a A u g u s t , 1 9 7 1 . F I N I T E ELEMENT METHOD - A GALERKIN APPROACH ABSTRACT T h i s s t u d y i s c o n c e r n e d w i t h d e f i n i n g t h e m a t h e -m a t i c a l f r a m e w o r k i n w h i c h t h e f i n i t e e l e m e n t p r o c e d u r e ca n m o s t a d v a n t a g e o u s l y be c o n s i d e r e d . I t i s e s t a b l i s h e d t h a t t h e f i n i t e e l e m e n t m e t hod g e n e r a t e s an a p p r o x i m a t e s o l u t i o n t o a g i v e n e q u a t i o n w h i c h i s d e f i n e d i n t e r m s o f a s s u m e d c o - o r d i n a t e f u n c t i o n s and unknown p a r a m e t e r s . The a d v a n t a g e s o f d e t e r m i n i n g t h e p a r a m e t e r s by G a l e r k i n ' s m e t h o d a r e d i s c u s s e d and t h e c o n v e r g e n c e c h a r a c t e r i s t i c s o f t h i s m e t h o d a r e r e v i e w e d u s i n g f u n c t i o n a l a n a l y s i s * p r i n c i p l e s . C o m p a r i s o n s a r e made b e t w e e n t h e G a l e r k i n and R a y l e i g h - R i t z p r o c e d u r e s and t h e c o n n e c t i o n b e t w e e n v i r t u a l work and G a l e r k i n ' s m e t hod i s i l l u s t r a t e d . The c o n v e r g e n c e r e s u l t s p r e s e n t e d f o r t h e G a l e r k i n p r o c e d u r e a r e u s e d t o p r o v i d e s u f f i c i e n t c o n d i t i o n s t h a t e n s u r e t h e c o n v e r g e n c e o f a f i n i t e e l e m e n t s o l u t i o n o f a g e n e r a l s y s t e m o f t i m e i n d e p e n d e n t l i n e a r d i f f e r e n t i a l e q u a t i o n s . A p p l i c a t i o n o f t h e p r i n c i p l e s d e v e l o p e d i s i l l u s t r a t e d w i t h a c o n v e r g e n c e p r o o f f o r a f i n i t e e l e m e n t s o l u t i o n o f a n o n - s y m m e t r i c e i g e n v a l u e p r o b l e m and by d e v e l o p i n g a c o m p u t e r p r o g r a m f o r t h e f i n i t e e l e m e n t a n a l y s i s o f t h e t w o - d i m e n s i o n a l s t e a d y s t a t e f l o w o f an i n c o m p r e s s i b l e v i s c o u s f l u i d . i i T A B L E OF CONTENTS Page ABSTRACT. i i TABLE OF CONTENTS i i i L I S T OF TABLES v L I S T OF FIGURES '. v i NOTATION v i i ACKNOWLEDGEMENTS v i 1 i CHAPTER 1. INTRODUCTION 1 1 .1 B a c k g r o u n d 1 1.2 P u r p o s e and S c o p e 2 1.3 L i m i t a t i o n s . . . . . 3 2. MATHEMATICAL PRELIMINARIES 4 2.1 B a s i c C o n c e p t s and D e f i n i t i o n s 4 2.2 V a r i a t i o n a l F o r m u l a t i o n o f t h e P r o b l e m . . . . 11 3. APPROXIMATE SOLUTION TECHNIQUES 24 3.1 R a y l e i g h - R i t z M e t h o d 25 3.2 G a l e r k i n ' s M e t h o d 30 i i i CHAPTER Page 4. THE F I N I T E ELEMENT PROCEDURE 54 4.1 G e n e r a t i o n o f a F i n i t e E l e m e n t A p p r o x i m a t i o n , 55 4.2 G e n e r a l Remarks 60 4.3 C o n v e r g e n c e C r i t e r i a 63 5. A P P L I C A T I O N OF THE GALERKIN PROCEDURE TO PROBLEMS WITH MIXED AND N0NH0M0GENE0US BOUNDARY CONDITIONS 73 5.1 Homogeneous M i x e d B o u n d a r y C o n d i t i o n s . . . . 73 5.2 Nonhomogeneous B o u n d a r y C o n d i t i o n s 79 6. BOUNDARY RESIDUAL CONCEPT AND VIRTUAL WORK . . . . 86 6.1 B o u n d a r y R e s i d u a l C o n c e p t 86 6.2 V i r t u a l Work 90 7. F I N I T E ELEMENT SOLUTION OF A NONSYMMETRIC PROBLEM 93 8. A F I N I T E ELEMENT SOLUTION OF THE LINEAR VISCOUS FLOW PROBLEM 106 8.1 G e n e r a t i o n o f t h e E q u a t i o n s G o v e r n i n g a F i n i t e E l e m e n t S o l u t i o n 106 8.2 D e v e l o p m e n t o f a F i n i t e E l e m e n t Model . . . . 114 8.3 C o m p a r i s o n w i t h Known S o l u t i o n s 121 9. SUMMARY 133 BIBLIOGRAPHY 136 APPENDIX: COMPUTER PROGRAM FOR LINEAR VISCOUS FLOW . . . . 138 i v L I S T OF TABLES T a b l e Page 7.1 D e t e r m i n a n t V a l u e V e r s u s A e r o d y n a m i c P a r a m e t e r 102 7.2 E i g e n v a l u e R e s u l t s when B = 0 i . . . 105 7.3 E i g e n v a l u e C o a l e s c e n c e R e s u l t s 105 v L I S T OF FIGURES F i g u r e Page 8.1 D e f i n i t i o n o f A r e a C o - o r d i n a t e s 120 8.2 Assumed Domain S u b d i v i s i o n s . . . . 126 8.3 2 E l e m e n t P a r a l l e l F l o w S o l u t i o n . 127 8.4 8 E l e m e n t P a r a l l e l F l o w S o l u t i o n 128 8.5 32 E l e m e n t P a r a l l e l F l o w S o l u t i o n 129 8.6 V e l o c i t y D i s t r i b u t i o n i n C h a n n e l f o r P a r a l l e l F l o w 130 8.7 V e l o c i t y D i s t r i b u t i o n i n C h a n n e l f o r C o u e t t e F l o w 131 8.8 P r e s s u r e D i s t r i b u t i o n i n C h a n n e l 132 v i NOTATION The s p e c i f i c u s u a g e and m e a n i n g o f s y m b o l s i s d e f i n e d i n t h e t e x t w h e r e t h e y a r e i n t r o d u c e d . The s u m m a t i o n c o n v e n t i o n h o l d s f o r s u b s c r i p t e d v a r i a b l e s w i t h r e p e a t e d l o w e r c a s e i n d i c e s ; i t d o e s n o t a p p l y t o r e p e a t e d u p p e r c a s e i n d i c e s . The r a n g e o f s u m m a t i o n i s i n d i c a t e d w h e r e t h e v a r i a b l e s a r e f i r s t i n t r o d u c e d . v i i ACKNOWLEDGEMENTS The a u t h o r w i s h e s t o e x p r e s s h i s g r a t i t u d e t o h i s a d v i s o r D r . D.L. A n d e r s o n f o r h i s i n v a l u a b l e a d v i c e and g u i d a n c e d u r i n g t h e r e s e a r c h and p r e p a r a t i o n o f t h i s t h e s i s . T h a n k s a r e a l s o due t o Dr. N.D. N a t h a n f o r s t i m u -l a t i n g t h e a u t h o r ' s i n t e r e s t i n t h e f i e l d o f f i n i t e e l e m e n t s and f o r h i s a s s i s t a n c e d u r i n g t h e p r e p a r a t i o n o f t h i s w o r k . The f i n a n c i a l s u p p o r t o f t h e N a t i o n a l R e s e a r c h C o u n c i l o f C a n a d a i n t h e f o r m o f a R e s e a r c h A s s i s t a n t s h i p i s g r a t e f u l l y a c k n o w l e d g e d . A u g u s t 1971 V a n c o u v e r , B r i t i s h C o l u m b i a v i i i CHAPTER 1 INTRODUCTION' 1 .1 B a c k g r o u n d The e q u a t i o n s t h a t a r e e n c o u n t e r e d i n e n g i n e e r i n g p r a c t i c e a r e , i n g e n e r a l , o f s u c h a n a t u r e t h a t no c l o s e d f o r m s o l u t i o n i s a v a i l a b l e . In o r d e r t o o b t a i n a n s w e r s t o s u c h p r o b l e m s r e c o u r s e must be made t o a p p r o x i m a t e s o l u t i o n t e c h n i q u e s . The f i n i t e e l e m e n t m e t h o d was d e v e l o p e d , on t h e b a s i s o f p h y s i c a l i n t u i t i o n , as s u c h a t o o l f o r a p p l i c a -t i o n i n t h e a n a l y s i s o f c o m p l e x s t r u c t u r a l s y s t e m s . The d e v e l o p m e n t o f t h e m e t h o d i s w e l l d o c u m e n t e d and Z i e n k i e w c z ( 2 0 ) p r o v i d e s a c o m p r e h e n s i v e l i s t o f r e f e r e n c e s i n h i s r e v i e w o f t h e m e t h o d . In r e c e n t y e a r s t h e w o r k s o f M e l o s h (8) and Keys (6) i n p a r t i c u l a r h a v e s e r v e d t o a s s o c i a t e t h e m e t h o d w i t h t h e R a y l e i g h - R i t z p r o c e d u r e . Such an a s s o c i a t i o n has e n a b l e d r i g o r o u s m a t h e m a t i c a l a r g u m e n t s t o be u s e d t o j u s t i f y t h e u s e o f f i n i t e e l e m e n t s and t o p r o v i d e s u f f i c i e n t c o n d i t i o n s t h a t e n s u r e c o n v e r g e n c e o f t h e a p p r o x i m a t e 1 2 i s o l u t i o n t o t h e c o r r e c t o n e . The work o f O l i v e i r a ( 1 3 ) i s n o t a b l e i n t h i s r e s p e c t . 1.2 P u r p o s e and S c o p e The p u r p o s e o f t h i s t h e s i s i s t o e x t e n d t h e work o f p r e v i o u s i n v e s t i g a t o r s i n t h i s f i e l d and t o d e f i n e p r e c i s e l y t h e m a t h e m a t i c a l f r a m e w o r k i n w h i c h t h e f i n i t e e l e m e n t p r o c e d u r e c a n m o s t a d v a n t a g e o u s l y be c o n s i d e r e d . I t w i l l be e s t a b l i s h e d t h a t t h e f i n i t e e l e m e n t p r o c e d u r e g e n e r a t e s an a p p r o x i m a t e s o l u t i o n f o r a g i v e n e q u a t i o n t h a t i s d e f i n e d i n t e r m s o f a s s u m e d c o - o r d i n a t e f u n c t i o n s and unknown p a r a m e t e r s . T h i s a p p r o x i m a t i o n may be u s e d i n c o n j u n c t i o n w i t h a number o f m e t h o d s f o r t h e d e t e r m i n a t i o n o f t h e unknown p a r a m e t e r s . The r e l a t i v e a d v a n t a g e s o f t h e G a l e r k i n , R a y l e i g h - R i t z , and v i r t u a l work p r o c e d u r e s a r e p r e s e n t e d and t h e G a l e r k i n m e t h o d i s j u d g e d p r e f e r a b l e . C o n v e r g e n c e r e s u l t s e s t a b l i s h e d by Mi k h1 i n ( 9 ) f o r t h e G a l e r k i n p r o c e d u r e a r e r e v i e w e d u s i n g f u n c t i o n a l a n a l y s i s p r i n c i p l e s , and i t i s d e m o n s t r a t e d t h a t t h e y c a n be a p p l i e d when a f i n i t e e l e m e n t m e t hod i s u s e d t o g e n e r a t e t h e a p p r o x i m a t e s o l u t i o n . P a r t i c u l a r a t t e n t i o n i s p a i d t o t h e b o u n d a r y c o n d i t i o n s t h a t must be s a t i s f i e d by t h e a s s u m e d c o - o r d i n a t e f u n c t i o n s . I t i s shown t h a t by s u i t a b l y f o r m u l a t i n g t h e G a l e r k i n p r o c e d u r e i t i s o f t e n s u f f i c i e n t t o s a t i s f y o n l y t h e p r i n c i p a l o n e s . 3 The c o n v e r g e n c e r e s u l t s p r e s e n t e d by M i k h l i n a r e e x t e n d e d t o i n c l u d e p r o b l e m s w i t h n o n - h o m o g e n e o u s b o u n d a r y c o n d i t i o n s and t h e e q u a t i o n s , and c o r r e s p o n d i n g c o n v e r g e n c e c r i t e r i a , t h a t g overn a f i n i t e e l e m e n t s o l u t i o n o f a g e n e r a l s y s t e m o f l i n e a r d i f f e r e n t i a l e q u a t i o n s i s p r e s e n t e d . T h i s s y s t e m o f e q u a t i o n s i n c l u d e s p r o b l e m s t o w h i c h t h e R a y l e i g h - R i t z p r o c e d u r e i s n o t a p p l i c a b l e . A p p l i c a t i o n o f t h e p r i n c i p l e s d e v e l o p e d i s i l l u s t r a t e d w i t h a c o n v e r g e n c e p r o o f f o r a f i n i t e e l e m e n t s o l u t i o n o f a n o n - s y m m e t r i c e i g e n v a l u e p r o b l e m and by d e v e l o p i n g a c o m p u t e r p r o g r a m f o r t h e f i n i t e e l e m e n t a n a l y s i s o f t h e t w o - d i m e n s i o n a l s t e a d y s t a t e f l o w o f an i n c o m p r e s s i b l e v i s c o u s f l u i d . 1.3 L i m i t a t i ons A t t e n t i o n w i l l be c o n f i n e d t o t h e c o n s i d e r a t i o n o f p r o b l e m s t h a t a r e c h a r a c t e r i z e d by t i m e i n d e p e n d e n t l i n e a r d i f f e r e n t i a l e q u a t i o n s . 4 CHAPTER 2 MATHEMATICAL PRELIMINARIES The s u b s e q u e n t d e f i n i t i o n s a n d l a t e r p r o o f s a r e b a s e d upon t h o s e p r e s e n t e d by Mi kh1 i n ( 9 , 1 0 ) and f u r t h e r m e n t i o n o f t h e s e r e f e r e n c e s w i l l be o m i t t e d . 2.1 B a s i c C o n c e p t s and D e f i n i t i o n s In a t t e m p t i n g t o p r e d i c t t h e b e h a v i o u r o f a p h y s i c a l s y s t e m by means o f m a t h e m a t i c a l a n a l y s i s i t i s n e c e s s a r y t o i d e a l i z e t h e s y s t e m i n a manner t h a t r e n d e r s t h e a n a l y s i s t r a c t a b l e . T h i s i d e a l i z a t i o n i s known as t h e m a t h e m a t i c a l model o f t h e s y s t e m and i n many c a s e s i t i s a d i f f e r e n t i a l e q u a t i o n . The f i n i t e e l e m e n t m e t h o d w i l l be p r e s e n t e d as a means o f g e n e r a t i n g an a p p r o x i m a t e s o l u -t i o n f o r m t o s u c h an e q u a t i o n and t h u s t o t h e p h y s i c a l s y s t e m . In o r d e r t h a t t h e f i n i t e e l e m e n t p r o c e d u r e may be u t i l i z e d t o i t s f u l l p o t e n t i a l a c o m p l e t e u n d e r s t a n d i n g o f i t s m a t h e m a t i c a l b a s i s i s d e s i r a b l e . W i t h t h i s i n m i n d a number o f r e l e v a n t m a t h e m a t i c a l c o n c e p t s and d e f i n i t i o n s w i l l be i n t r o d u c e d . 5 The p r o b l e m a t hand i s t h e d e t e r m i n a t i o n o f some f u n c t i o n t h a t s a t i s f i e s a g i v e n d i f f e r e n t i a l e q u a t i o n , w i t h i n some r e g i o n , a n d c e r t a i n c o n d i t i o n s on t h e b o u n d a r y o f t h a t r e g i o n . The r e g i o n w i l l be a s u r f a c e i f t h e f u n c t i o n s o u g h t d e p e n d s upon two i n d e p e n d e n t v a r i a b l e s o r a v o l u m e i f t h e number o f i n d e p e n d e n t v a r i a b l e s i s t h r e e . I f t h e f u n c t i o n d e p e n d s upon f o u r o r more v a r i a b l e s t h e n t h e d o m a i n i n w h i c h t h e f u n c t i o n i s d e f i n e d i s a h y p e r s p a c e . The c o n c e p t • o f r e g i o n , o r d o m a i n , c a n be f o r m a l i z e d by t h e f o l l o w i n g two p r o p e r t i e s : ( i ) I f some p o i n t P b e l o n g s t o t h e d o m a i n ^ t h e n a l l p o i n t s s u f f i c i e n t l y c l o s e t o P b e l o n g t o t h e domai n; ( i i ) Any two p o i n t s i n t h e d o m a i n c a n be j o i n e d by a l i n e l y i n g e n t i r e l y w i t h i n t h e d o m a i n . The f i r s t p r o p e r t y i s e q u i v a l e n t t o s a y i n g t h e d o m a i n i s o p e n , o r c o n s i s t s o f o n l y i n t e r i o r p o i n t s ; and t h e s e c o n d p r o p e r t y s p e c i f i e s t h e d o m a i n be c o n n e c t e d . The b o u n d a r y o f t h e d o m a i n i s d e f i n e d as t h a t s e t o f p o i n t s i n any n e i g h b o u r h o o d o f w h i c h t h e r e a r e b o t h p o i n t s b e l o n g i n g t o and n o t b e l o n g i n g t o t h e d o m a i n . A t t e n t i o n w i l l be c o n -f i n e d t o t h o s e p r o b l e m s w h e r e t h e c u r v e o r s u r f a c e f o r m i n g t h e b o u n d a r y i s e i t h e r s m o o t h i . e . i t has a c o n t i n u o u s l y t u r n i n g t a n g e n t o r t a n g e n t p l a n e , o r i s p i e c e w i s e s m o o t h , 6 i . e . i t c o n s i s t s o f a f i n i t e number o f s m o o t h p i e c e s . The d o m a i n w i l l be d e n o t e d by Si and t h e b o u n d a r y by 5 . N o t e t h a t t h e d o m a i n d o e s n o t i n c l u d e t h e b o u n d a r y . The s e t o f p o i n t s t h a t a r e o b t a i n e d by c o m b i n i n g t h e d o m a i n and i t s b o u n d a r y i s known as t h e c l o s e d d o m a i n and w i l l be d e n o t e d by SI . O n l y f i n i t e d o m a i n s w i l l be c o n s i d e r e d , i . e . d o m a i n s t h a t c a n be i n c l u d e d i n a s u f f i c i e n t l y l a r g e s p h e r e . The s o l u t i o n o f t h e g i v e n e q u a t i o n i s a c c o m p l i s h e d by f i n d i n g t h a t f u n c t i o n w h i c h when a c t e d upon by a g i v e n o p e r a t o r y i e l d s a known f u n c t i o n . A t t e n t i o n w i l l be r e s t r i c t e d t o t h o s e s f u n c t i o n s t h a t a r e s q u a r e summable o v e r t h e d o m a i n i . e . t o t h o s e f u n c t i o n s Lt L s u c h t h a t w h e r e k" i s a f i n i t e c o n s t a n t and L e b e s g u e i n t e g r a t i o n i s e m p l o y e d , and t h e r e p e a t e d l o w e r c a s e i n d i c e s a r e summed. The f u n c t i o n s c o n s i d e r e d w i l l , i n g e n e r a l , be v e c t o r v a l u e d a n d UL t h u s r e p r e s e n t s a c o l u m n v e c t o r w i t h c o m p o n e n t s u,, U 4 , u c . T h u s The c l a s s o f s q u a r e summable f u n c t i o n s o v e r SI , w h i c h w i l l be d e n o t e d by L ^ s i ) , c o n s t i t u t e s a v e c t o r s p a c e o v e r 7 t h e f i e l d o f r e a l n u m b e r s . T h u s i f and u;^ a r e members o f L - 2 ( s i ) and c i s a r e a l number, t h e n C ( VL +• UJL ) = c v . + c ^ and t h e v e c t o r w i t h c o m p o n e n t s c ( + u>i ) i s a l s o a member o f L 2 (52.) . The n o t a t i o n uL € Ls (si) w i l l be e m p l o y e d t o mean u- i s a member o f t h e s e t Le (si) . When d i s c u s s i n g a p p r o x i m a t e s o l u t i o n o f a g i v e n e q u a t i o n i t becomes n e c e s s a r y t o c o m p a r e d i f f e r e n t a p p r o x i -mate a n s w e r s . I t i s t h u s n e c e s s a r y t o be a b l e t o m e a s u r e t h e " d i s t a n c e " b e t w e e n f u n c t i o n s . The s t r u c t u r e f o r t h i s c a n be o b t a i n e d by i n t r o d u c i n g t h e c o n c e p t o f a norm i n t o L 2 (si) • T h i s i s a c c o m p l i s h e d by f i r s t i n t r o d u c i n g an i n n e r p r o d u c t i n t o t h e s p a c e . An i n n e r p r o d u c t o f two f u n c t i o n s , ]/L i s a f u n c t i o n (Ui , ) d e f i n e d s u c h t h a t ( i ) ( U i ' , VL ) = (VL , UL) ( i i ) ( Ui , bv£ + c u)L ) = b ( u c , V i ) +C(U.C,VL) ( i i i ) [U-i , Ui) ^ O where the e q u a l i t y only holds i f U-i = O F o r f u n c t i o n s i n L, f d e f i n e 8 52 ( 2 . 1 ) The norm o f a f u n c t i o n i s any f u n c t i o n || Ui f| s a t i s f y i n g t h e a x i o m s ( i ) >/ O , w h e r e t h e e q u a l i t y o n l y h o l d s i f Ui = O ( i i ) '/[ Ui + Vi [\ £ + f l i / c / l ( i i i ) jj c Ui jl - \c\\\uif\ , w h e r e c i s a c o n s t a n t I t c a n r e a d i l y be s e e n t h a t d e f i n i n g s a t i s f i e s t h e s e a x i o m s . The d i s t a n c e b e t w e e n two f u n c t i o n s may t h e n be c h a r a c t e r i z e d by t h e norm o f t h e i r d i f f e r e n c e , i . e . || Ui ~ Vi If . A c o m p l e t e v e c t o r s p a c e , s u c h as a H i l b e r t s p a c e . I t i s p o s s i b l e t o d e f i n e a l t e r n a t i v e i n n e r p r o d u c t s and c o r r e s p o n d i n g norms t o t h e o n e s p r e s e n t e d , as w i l l be d i s c u s s e d i n s u b s e q u e n t c h a p t e r s . t i o n s t h a t w i l l be c o n s i d e r e d . A t t e n t i o n w i l l be p r i m a r i l y c o n f i n e d t o e q u a t i o n s t h a t c a n be e x p r e s s e d i n t h e f o r m ( 2 . 2 ) L a (SI) , w i t h an a s s o c i a t e d i n n e r p r o d u c t i s known as C o n s i d e r now more s p e c i f i c a l l y t h e t y p e o f e q u a -£ SI ( 2 . 3 ) ) fi w h e r e toL and ..L a r e members o f L 2 (si) and lt i s known. AL- i s a l i n e a r d i f f e r e n t i a l o p e r a t o r o r m a t r i x J o f s u c h o p e r a t o r s . The l i n e a r i t y o f A^ - i m p l i e s ( 2 . 4 ) (ii) < A u, A l 2 , - - - A l (><c,U | r... ctut>=, c.Ai.a^.... +ccAuae w h e r e t h e C a r e c o n s t a n t s . T o g e t h e r w i t h r e d u c i n g Eq. 2.3 t o an i d e n t i t y w i t h i n 52 , o-> w i l l a l s o be r e q u i r e d t o s a t i s f y c e r t a i n b o u n d a r y c o n d i t i o n s . The c l a s s o f f u n c t i o n s t h a t s a t i s f y a l l t h e b o u n d a r y c o n d i t i o n s o f t h e p r o b l e m a n d p o s s e s s t h e r e q u i r e d c o n t i n u i t y p r o p e r t i e s t o make t h e e v a l u a -t i o n o f A ij Uj p o s s i b l e i s known as t h e f i e l d o f d e f i n i t i o n o f A^- and i s d e n o t e d by . F o r e x a m p l e , i f A - were a d i f f e r e n t i a l o p e r a t o r o f t h e f o u r t h o r d e r t h e n f u n c t i o n s i n D f t must be c o n t i n u o u s f o u r t h o r d e r d e r i v a t i v e s a t e v e r y p o i n t i n 52 . In g e n e r a l , A •• w i l l be c o n s i d e r e d d e f i n e d f o r a d e n s e s e t o f some J H i l b e r t s p a c e H . A s e t M i s s a i d t o be d e n s e i n H i f e v e r y e l e m e n t i n H c a n be o b t a i n e d as t h e l i m i t o f a s e q u e n c e o f f u n c t i o n s f r o m M 1 0 The f o l l o w i n g t y p e s o f o p e r a t o r s w i l l p l a y an i m p o r t a n t r o l e i n t h e s u b s e q u e n t d i s c u s s i o n s . An o p e r a t o r ( i ) s y m m e t r i c , i f ( A i j U j , \/t) = (Acj V j , u-,) f o r a l l u £ 1 ^ f i D A ( i i ) p o s i t i v e d e f i n i t e , i f ( A g Uj , U; ) ^ 0 f o r a l l Uj, £ D f t w h e r e t h e e q u a l i t y s i g n h o l d s o n l y i f u. = 0 ( i i i ) p o s i t i v e b o u n d e d b e l o w , i f ( , u-L) ^ y 2 ( Uj 7 (ij ) f o r a l l u c DA w h e r e y i s a p o s i t i v e c o n s t a n t . The c l a s s o f o p e r a t o r s t h a t a r e known as com-p l e t e l y c o n t i n u o u s o p e r a t o r s w i l l a l s o be o f i m p o r t a n c e i n t h e f o l l o w i n g p r e s e n t a t i o n , and t h e r e f o r e a d e f i n i t i o n o f s u c h o p e r a t o r s w i l l be g i v e n . An o p e r a t o r T' , d e f i n e d i n some H i l b e r t s p a c e H , i s s a i d t o be d e g e n e r a t e i f i t c a n be r e p r e s e n t e d i n t h e f o r m w h e r e iN i s f i n i t e and b o t h ^ , cj)^  £ H . An o p e r a t o r " T t j i s t h e n c o m p l e t e l y c o n t i n u o u s i f f o r any e y o i t c a n be r e p r e s e n t e d i n t h e f o r m w h e r e i s d e g e n e r a t e and t h e norm o f T t j i s l e s s t h a n 6 (/IT": Uj II S< * /|Ui /I) . T o g e t h e r w i t h Eq. 2.3 t h e p r o b l e m o f d e t e r m i n i n g t h e e i g e n v a l u e s and e i g e n v e c t o r s o f t h e o p e r a t o r A;.- w i l l J a l s o be c o n s i d e r e d . T h a t i s , t h e s o l u t i o n o f t h e e q u a t i o n AjWj - w < (2 w i l l be d i s c u s s e d . In t h i s e q u a t i o n )\ i s a n u m e r i c a l p a r a m e t e r a n d t h e s o l u t i o n o f t h e e q u a t i o n e n t a i l s t h e d e t e r m i n a t i o n o f t h o s e v a l u e s o f A s a y )\ f o r w h i c h t h e r e e x i s t c o r r e s p o n d i n g non t r i v i a l s o l u t i o n s f o r s a y . S u c h )\ a r e c a l l e d t h e e i g e n v a l u e s and t h e c o r r e s p o n d i n g u[ t h e e i g e n v e c t o r s o f t h e o p e r a t o r A-- . In t h e f o l l o w i n g d e v e l o p m e n t s t h e u s e o f s u b -s c r i p t e d v a r i a b l e s w i l l be a b a n d o n e d , e x c e p t w h e r e n e c e s -s a r y f o r c l a r i f i c a t i o n , and a l l t h e f u n c t i o n s e m p l o y e d a s s u m e d t o be v e c t o r v a l u e d . Thus f o r e x a m p l e Eq . 2.3 w i l l be w r i t t e n A w = f 2.2 V a r i a t i o n a l F o r m u l a t i o n o f t h e P r o b l e m The p u r p o s e o f t h i s s e c t i o n i s t o i n t r o d u c e c o n c e p t s t h a t a r e n e c e s s a r y f o r t h e l a t e r d e v e l o p m e n t o f t h e G a l e r k i n p r o c e d u r e a n d a t t h e same t i m e t o d i s c u s s t h e r a n g e o f a p p l i c a b i l i t y o f t h e R a y ! e i g h - R i t z p r o c e d u r e . In 12 o r d e r t o do t h i s t h e c o n d i t i o n s u n d e r w h i c h t h e s o l u t i o n o f a g i v e n d i f f e r e n t i a l e q u a t i o n c o i n c i d e s w i t h t h e f u n c t i o n t h a t m i n i m i z e s a known f u n c t i o n a l w i l l be d i s c u s s e d . I t . w i l l f u r t h e r be shown t h a t i t i s p o s s i b l e t o o b t a i n a s o l u t i o n v i a t h e v a r i a t i o n a l f o r m u l a t i o n e v e n when no s o l u t i o n o f t h e o r i g i n a l e q u a t i o n e x i s t s i n D A . C o n s i d e r t h e e q u a t i o n 0 A UJ — € SI ( 2 . 6 ) w h e r e u> and | a r e members o f some H i l b e r t s p a c e H , and tu i s p r e s c r i b e d t o s a t i s f y c e r t a i n homogeneous b o u n d a r y c o n d i t i o n s . T h e o r e m 2.1. L e t A be a s y m m e t r i c p o s i t i v e b o u n d e d b e l o w o p e r a t o r d e f i n e d f o r some d e n s e l i n e a r s e t D f t o f H I f Eq. 2.6 has a s o l u t i o n ( i n D f t) t h e n t h i s s o l u t i o n m i n i -m i z e s t h e f u n c t i o n a l F ( u ) = ( A u , u ) - < ? ( u , | ) a £ D R ( 2 . 7 ) C o n v e r s e l y , i f t h e r e e x i s t s i n D A a f u n c t i o n w h i c h m i n i -m i z e s F(u) t h e n t h i s f u n c t i o n s a t i s f i e s Eq. 2.6. p r o o f : -13 Assume t h a t u , g e Dfl and s e t u - U J =• , w h e r e uj i s t h e s o l u t i o n o f Eq. 2.6. Thus u = w + rj = Ffu,) 4 2 ( A * - / , 5) + (A} . ) ) B u t A U J - ^ - O by hypo t h e s i s , h e n c e F ( U J = F H + (Aj, j) Now A i s p o s i t i v e b o u n d e d b e l o w whence Thus F(u) ^ F(u>) w i t h t h e e q u a l i t y o n l y v a l i d i f j = o . H e nce t h e f u n c t i o n a t t a i n s i t s minimum v a l u e when u. » w C o n v e r s e l y , assume t h e f u n c t i o n a l a t t a i n s i t s minimum v a l u e when u, - cu . L e t rj e. "Dft and t h u s uu+-^rj d D f t w h e r e A i s a c o n s t a n t . Then by h y p o t h e s i s F ( w + > rj) % F (w) whi ch r e d u c e s t o The l e f t - h a n d s i d e i s a non n e g a t i v e q u a d r a t i c f u n c t i o n f o r t h e r e a l p a r a m e t e r A . T h u s 14 B u t fj i s an a r b i t r a r y f u n c t i o n f r o m t h e d e n s e s e t , and t h e o n l y f u n c t i o n o r t h o g o n a l t o a l l s u c h f u n c t i o n s i s t h e z e r o f u n c t i o n . T h e r e f o r e A * = | T h a t UJ i s t h e o n l y f u n c t i o n t h a t s a t i s f i e s Eq. 2.6 c a n be s e e n by a s s u m i n g t h a t uj 0 i s a l s o a s o l u t i o n . T h i s i m p l i e s A ( cu - oJ0 ) = O whence ( A ( UJ-I*J0), UJ-UJ* ) = o The p o s i t i v e b o u n d e d b e l o w n a t u r e o f A t h e n r e q u i r e s w 0 = o Thus w B = w . I t c a n o c c u r t h a t f o r some f u n c t i o n s ^ 6 H t h e r e d o e s n o t e x i s t a f u n c t i o n w i n t h e f i e l d o f d e f i n i t i o n o f A t h a t w i l l s a t i s f y E q . 2.6. As an e x a m p l e o f t h i s s i t u a t i o n c o n s i d e r t h e p r o b l e m o f p r e d i c t i n g t h e d e f l e c t i o n o f a u n i f o r m c a n t i l e v e r e d beam u n d e r t h e a c t i o n o f d i s -t r i b u t e d l o a d <j(x) . The e q u a t i o n s c h a r a c t e r i z i n g t h e d e f l e c t i o n o f t h e beam a r e £1 Um = ^ X ) X 6 [ O . L ] ( 2- 8 a) Lflo) = Lfl(0) - U»(L) = ^ ' " ( L ) = 0 ( 2 . 8 b ) The d i f f e r e n t i a l e q u a t i o n i s d e r i v e d by c o n s i d e r i n g t h e e q u i l i b r i u m o f a n . i n f i n i t e s i m a l l e n g t h o f t h e beam u n d e r t h e a s s u m p t i o n t h a t t h e l o a d i n g i s c o n t i n u o u s a c r o s s s u c h a s e c t i o n . 1 5 In t h i s c a s e t h e o p e r a t o r i s A = EI j * ( 2 - 9 ) and i t s f i e l d o f d e f i n i t i o n D f t i s t h e t o t a l i t y o f t h o s e f u n c t i o n s d e f i n e d o v e r [ o, L ] w i t h c o n t i n u o u s f o u r t h d e r i -v a t i v e s t h a t s a t i s f y t h e b o u n d a r y c o n d i t i o n s o f t h e p r o b l e m . Thus i f c^(x) i s c o n t i n u o u s t h e n t h e r e e x i s t s a s o l u t i o n i n D A b u t i f <^(x) i s d i s c o n t i n u o u s no s o l u t i o n c a n be f o u n d i n D A . T h i s d i f f i c u l t y c a n be o v e r c o m e by c o n -s i d e r i n g l i m i t s o f f u n c t i o n s t h a t l i e i n .and i t i s t h e n p o s s i b l e t o f o r m u l a t e t h e f u n c t i o n a l F ( u ) i n s u c h a m a nner t h a t a g e n e r a l i z e d s o l u t i o n o f E q . 2.6 i s o b t a i n e d . J u s t as a d i s c o n t i n u o u s l o a d may be c o n s i d e r e d as t h e l i m i t o f a s e q u e n c e o f c o n t i n u o u s l o a d s , so f u n c t i o n s w i t h d i s c o n t i n u o u s f o u r t h d e r i v a t i v e s a r e i n t r o d u c e d t h a t a r e t h e l i m i t s o f s e q u e n c e s o f f u n c t i o n s w i t h c o n t i n u o u s f o u r t h d e r i v a t i v e s . I t c a n t h e n be a s s e r t e d t h a t a m o n g s t t h e new s e t o f f u n c t i o n s l i e s t h e s o l u t i o n ( o r g e n e r a l i z e d s o l u t i o n i f i t i s n o t i n D f l ) o f Eq. 2.6 f o r any j 1 £ H F o r t h e e x a m p l e c o n s i d e r e d H i s t a k e n as t h e s e t o f f u n c t i o n s s q u a r e summable o v e r [ o , L ] . The f o r m a l d e v e l o p m e n t o f t h e s e i d e a s f o l l o w s . A new i n n e r ( o r s c a l a r ) p r o d u c t , c a l l e d t h e e n e r g y p r o d u c t , i s i n t r o d u c e d f o r t h e s e t D f t . R e c a l l i n g 16 t h a t t h e o p e r a t o r A i s s y m m e t r i c i t i s p o s s i b l e , u s i n g i n t e g r a t i o n by p a r t s , t o w r i t e ( A u , v ) = f ( B u ) ( b v ) iei , u , / fe D A i n w h i c h B i s a d i f f e r e n t i a l o p e r a t o r . The e n e r g y p r o d u c t , w h i c h w i l l be d e n o t e d by s q u a r e b r a c k e t s , i s t h e n d e f i n e d as [ u , v ] = ( B u ) ( B v ) d s i ? u , / f e D A (2.10) A J si The e n e r g y norm, w h i c h i s d e n o t e d by b o l d v e r t i c a l l i n e s , i s d e f i n e d as I ui A - n*>a\ <2-n) The e n e r g y p r o d u c t and e n e r g y norm s a t i s f y t h e a x i o m s d e f i n i n g an i n n e r p r o d u c t and a norm p r e s e n t e d i n t h e p r e -v i o u s s e c t i o n . I t may be t h a t t h e s p a c e i s i n c o m p l e t e w i t h r e s p e c t t o t h e e n e r g y norm i . e . n o t a l l C a u c h y s e q u e n c e s i n c o n v e r g e t o a f u n c t i o n i n D A . I f t h i s i s s o t h e n Dft i s c o m p l e t e d by d e f i n i n g u t o be a member o f t h e s p a c e i f I - U I —> O as n -> a> (2.12) A 17 w h e r e u f t i s a t y p i c a l member o f a s e q u e n c e /u„} e a c h member o f w h i c h i s i n D A . The c o m p l e t e d s p a c e so o b t a i n e d i s a H i l b e r t s p a c e and i s d e n o t e d by HA t o e m p h a s i z e i t s d e p e n d e n c e upon A . The e n e r g y p r o d u c t i n Eq. 2.10 i s o n l y d e f i n e d f o r f u n c t i o n s i n D A b u t may i n ah o b v i o u s f a s h i o n be d e f i n e d f o r a l l f u n c t i o n s i n Hfl : fi — > 00 ( B tin) (BVn) A*- , Un,Vn fe D f t ( 2 - 1 3 ) SI Thus t h e e n e r g y p r o d u c t and e n e r g y norm h a v e m e a n i n g f o r any f u n c t i o n i n H A • T h e i r d e f i n i t i o n e n s u r e s t h a t t h e y s a t i s f y a l l t h e r e q u i r e d p r o p e r t i e s o f i n n e r p r o d u c t s and n o r m s . The f i e l d o f d e f i n i t i o n o f t h e f u n c t i o n a l F ( u ) o f Eq. 2.7 c a n now be e x t e n d e d f r o m D A t o HA and T h e o r e m 2.1 b e c o m e s : T h e o r e m 2.1A. I f A i s a s y m m e t r i c p o s i t i v e b o u n d e d b e l o w o p e r a t o r , t h e n o f a l l o f t h e f u n c t i o n s i n HA t h e one t h a t m i n i m i z e s t h e f u n c t i o n a l . F M = K "3A - , «• £ HA ( 2 - 1 4 ) i s t h e s o l u t i o n o f Eq. 2.6. 18 p r o o f : T h e o r e m 2.1 d e m o n s t r a t e s t h a t i f Eq. 2.6 has a s o l u t i o n tu i n D f t t h i s s o l u t i o n u n i q u e l y m i n i m i z e s F ( u ) i n t h e c l a s s o f f u n c t i o n s c o n s t i t u t i n g t h e f i e l d o f d e f i n i t i o n o f A . I t w i l l be shown t h a t t h e minimum o f F ( u ) i n t h e w i d e r c l a s s H A i s n o t a l t e r e d and t h a t t h e f u n c t i o n UJ o n l y g i v e s t h e minimum v a l u e . D e n o t e by d t h e minimum v a l u e o f f ( " ) i n D A and by ~d t h e minimum i n H A . T h e n as H A i n c l u d e s D A cl 4 d Assume cl < d . T h e n t h e r e e x i s t s a f u n c t i o n d fc H f l s u c h t h a t F ( u ) < d , i . e . [ u , a] - 2 ( u , f) = U l ' - 2fu, /) < & B u t as Cl € H ft i t - f o l l o w s t h a t t h e r e e x i s t s a s e q u e n c e o f f u n c t i o n s {un\ 6 s u c h t h a t | u a - a I - » o , w h i c h a l s o i m p l i e s II U R - Cl II o as A i s p o s i t i v e b o u n d e d b e l o w . Thus | U f t I | il I a n d ( U a , -j?) ( u , f) T h e r e f o r e f o r s u f f i c i e n t l y l a r g e n F ( u ) and F ( u n ) d i f f e r by an a r b i t r a r y s m a l l amount and i t f o l l o w s t h a t F ( u n ) ^ ^ T h i s h o w e v e r i s i m p o s s i b l e as Un e D A . The c o n t r a -d i c t i o n shows cl = d To show t h a t t h e minimum o f t h e f u n c t i o n a l i s u n i q u e assume t h a t tu fc. H f t a l s o m i n i m i z e s t h e f u n c t i o n a l . 19 From t h e p r o o f o f T h e o r e m 2.1 ( ^ U J - |, i j ] = o f o r any f u n c t i o n rj e. D A . T h i s r e l a t i o n may be w r i t t e n [ > , n ] = ( f i ? ) ( 2 > 1 5 ) In p a r t i c u l a r s e t t i n g ij = UJ g i v e s [ w, w ] = ( ^ , a;) ( 2 . 1 6 ) Eq. 2.15 i s a l s o v a l i d f o r a n y f u n c t i o n i n H f t . In f a c t i f /j £ H A t h e n t h e r e e x i s t s a s e q u e n c e o f f u n c t i o n s f j n } £ D A s u c h t h a t | j _ j) J o , II rj - g a I I o and C L y i Q n . J = (-^i Qrv) • P i ^ e c e e d i n g t o t h e l i m i t g i v e s Eq. 2.15 w h i c h i s t h e v a l i d f o r a r b i t r a r y f u n c t i o n s i n H A . Thus [ > , * > ] = ( / , * ) ( 2 ' 1 7 ) By r e p e a t i n g t h e p r o o f o f T h e o r e m 2.1 w i t h -F-(u-) e x p r e s s e d as i n E q . 2.14 t h e i d e n t i t y C uJ, yl = ( j 7 n ) i s o b t a i n e d w h e r e rj i s an a r b i t r a r y f u n c t i o n i n H A . P u t t i n g fj = CD, UJ g i v e s [ CD , CD ] = ( -j1, &) ( 2 . 1 8 ) ( 2 . 1 9 ) S u b t r a c t i n g E q . 2.18 f r o m Eq. 2.17 and E q . 2.19 f r o m Eq 2.16 g i v e s 20 [ UJ - UJ , UJ ] = O ; [ w - u>, UJ ] = 0 F i n a l l y s u b t r a c t i n g t h e s e two e q u a t i o n s g i v e s L"UJ-U3, U - W ] - o whence u) = u; I f t h e minimum o f t h e f u n c t i o n a l e x p r e s s e d i n Eq. 2.14 i s g i v e n by a f u n c t i o n t h a t i s n o t i n , t h e n t h i s f u n c t i o n i s known as a g e n e r a l i z e d s o l u t i o n o f Eq . 2.6. As an i l l u s t r a t i o n o f t h e s e c o n c e p t s c o n s i d e r a g a i n t h e p r o b l e m o f t h e b e n d i n g o f a beam d e f i n e d by Eq s . 2.8. tut (Aui.v) = v £1 u w At o ~ (vElu'-v'EW'J + f f l u V A Thus u" £1 /" ix ( 2 . 2 0 ) The o p e r a t o r i s t h u s s y m m e t r i c a n d i s i n f a c t a l s o p o s i t i v e b o u n d e d b e l o w . Thus t h e f u n c t i o n a l F(u) i s Jo U q Jt ( 2 . 2 1 ) w h i c h i s t w i c e t h e p o t e n t i a l e n e r g y o f t h e s y s t e m . In t h i s c a s e f u n c t i o n s , U , i n Hft a r e d e f i n e d s u c h t h a t 21 f (CL"- ) 2 C(X -5> O as M —> co i n w h i c h t h e £ D A and t h e r e f o r e h a ve c o n t i n u o u s f o u r t h d e r i v a t i v e s and s a t i s f y a l l t h e b o u n d a r y c o n d i t i o n s o f t h e p r o b l e m . S u c h a d e f i n i t i o n means t h a t t h e f u n c t i o n s i n HL h a v e g e n e r a l i z e d s e c o n d d e r i v a t i v e s w h i c h i n t h i s c a s e Pi i m p l i e s t h a t t h e y h a v e c o n t i n u o u s f i r s t d e r i v a t i v e s . T h e s e f u n c t i o n s must t h e r e f o r e s a t i s f y t h e same b o u n d a r y c o n d i -t i o n s i n v o l v i n g t h e f i r s t d e r i v a t i v e o f t h e f u n c t i o n o r t h e f u n c t i o n i t s e l f as t h e f u n c t i o n s . The d e f i n i t i o n d o e s n o t i m p l y t h a t t h e f u n c t i o n s must s a t i s f y t h o s e b o u n d a r y c o n d i t i o n s i n v o l v i n g s e c o n d o r t h i r d d e r i v a t i v e s . T h e o r e m 2.1A s t a t e s t h a t t h e f u n c t i o n t h a t m i n i -m i z e s t h e f u n c t i o n a l g i v e n i n E q . 2.14 i s t h e s o l u t i o n o f Eq. 2.6 and t h a t t h i s f u n c t i o n c a n be f o u n d u n i q u e l y a m o nst t h e e l e m e n t s o f H f t . In t h i s c o n t e x t i t i s c o n v e n i e n t t o i n t r o d u c e t h e c o n c e p t o f a c o m p l e t e s e t o f f u n c t i o n s i n H A . A s e t o f f u n c t i o n s £ 4 k 1 ^ = 1 S s a i d t o be c o m p l e t e i n Hft ( w i t h r e s p e c t t o t h e e n e r g y norm) i f f o r e v e r y V 6 Hft and £ y o t h e r e i s an i n t e g e r M and c o n s t a n t s a , , a M s u c h t h a t 22 In o t h e r w o r d s , any f u n c t i o n i n H A c a n be a p p r o x i m a t e d a r b i t r a r i l y c l o s e l y , i n e n e r g y norm, by a l i n e a r c o m b i n a -t i o n o f members o f a c o m p l e t e s e t i n H A . C o n s i d e r t h e g e n e r a l c a s e w h e r e t h e s y m m e t r i c o p e r a t o r A i s o f o r d e r 2. tn . E x p r e s s i n g t h e e n e r g y p r o d u c t i n i t s s y m m e t r i c f o r m w o u l d t h e n i n v o l v e d e r i v a -t i v e s o f maximum o r d e r m and f u n c t i o n s i n H A w o u l d be t h e l i m i t i n e n e r g y o f f u n c t i o n s w i t h <?m d e r i v a t i v e s t h a t s a t i s f y a l l t h e b o u n d a r y c o n d i t i o n s . S u c h f u n c t i o n s p o s s e s s g e n e r a l i z e d m ih o r d e r d e r i v a t i v e s and must s a t i s f y a l l t h o s e b o u n d a r y c o n d i t i o n s t h a t do n o t i n v o l v e d e r i v a t i v e s o f t h e m o r d e r and h i g h e r . The b o u n d a r y c o n d i t i o n s t h a t i n v o l v e d e r i v a t i v e s o f o r d e r g r e a t e r t h a n o r e q u a l t o m. a r e known as n a t u r a l f o r A . The r e m a i n i n g b o u n d a r y c o n d i t i o n s a r e c a l l e d t h e f o r c e d o r p r i n c i p a l b o u n d a r y c o n d i t i o n s . In a n e q u i v a l e n t way t h o s e d e r i v a t i v e s o f o r d e r l e s s t h a n m. a r e known as p r i n c i p a l d e r i v a t i v e s . T hus f u n c t i o n s i n n e c e s -s a r i l y s a t i s f y t h e f o r c e d b o u n d a r y c o n d i t i o n s b u t n e e d n o t s a t i s f y t h e n a t u r a l . T h i s i s an i m p o r t a n t c o n s i d e r a t i o n when c h o o s i n g t r i a l s o l u t i o n s f o r t h e a p p r o x i m a t e s o l u t i o n t e c h n i q u e s t h a t w i l l be d i s c u s s e d i n t h e n e x t c h a p t e r . The e i g e n v a l u e p r o b l e m t h a t i s r e p r e s e n t e d by t h e e q u a t i o n /\ uj = )\ uJ ( 2 . 23 c a n a l s o be e x p r e s s e d i n a v a r i a t i o n a l manner i f A i s s y m m e t r i c a n d p o s i t i v e b o u n d e d b e l o w . The d e v e l o p m e n t s a r e p r e s e n t e d by M i k h l i n (9) and w i l l n o t be r e p e a t e d h e r e as t h o s e c o n c e p t s n e c e s s a r y f o r t h e f u r t h e r d e v e l o p -ment o f t h i s t h e s i s h a v e a l r e a d y b e e n i n t r o d u c e d i n t h e p r e c e e d i n g d i s c u s s i o n . CHAPTER 3 APPROXIMATE SOLUTION TECHNIQUES The p u r p o s e o f t h i s c h a p t e r i s t o p r e s e n t m e t h o d s t h a t c a n be u s e d t o o b t a i n an a p p r o x i m a t e s o l u t i o n f o r E q . 2.6. A g a i n i t i s c o n v e n i e n t t o assume t h a t A i s a d i f f e r -e n t i a l o p e r a t o r o f o r d e r 2 m and t h a t t h e b o u n d a r y c o n d i t i o n s a r e h o m o g e n e o u s . The d e v e l o p m e n t s p r e s e n t e d h e r e i n f o l l o w t h o s e g i v e n by M i k h l i n ( 9 ) . Many a p p r o x i m a t e m e t h o d s a r e b a s e d upon t h e c o n -c e p t o f a s s u m i n g a s o l u t i o n i n t h e f o r m ten i n w h i c h t h e a r e unknown p a r a m e t e r s and t h e c j ^ a r e known c o - o r d i n a t e f u n c t i o n s . T h i s f o r m i s v a l i d i f u; i s a s i n g l e f u n c t i o n . H o w e v e r , as i n d i c a t e d i n C h a p t e r 2 u> may be c o n s i d e r e d as a v e c t o r q u a n t i t y w i t h more t h a n one c o m p o n e n t . In t h i s c a s e an a p p r o x i m a t i o n o f t h e f o r m o f Eq . 3.1 must be a s s u m e d f o r e a c h c o m p o n e n t o f LP . T h u s , i n g e n e r a l , i f u; i s a v e c t o r q u a n t i t y i t w i l l be d e n o t e d by oJL w h e r e _ T UJ • =- < a i , , , OJC > and w h e r e e a c h c o m p o n e n t i s t h e n a p p r o x i m a t e d by 24 25 Once a g a i n i n t h e i n t e r e s t s o f a l g e b r a i c s i m p l i c i t y t h e f o l l o w i n g d e v e l o p m e n t s w i l l be i n t e r m s o f Eq. 3.1. T r e a t m e n t o f s u c h a p p r o x i m a t e m e t h o d s c a n be f o u n d i n t h e w o r k s o f C r a n d a l l ( 2 ) and F i n y l a s o n and S c r i v e n ( 4 ) . A t t e n t i o n i n t h i s t h e s i s w i l l be c o n f i n e d t o t h e d i s c u s s i o n o f two r e l a t e d m e t h o d s : R a y l e i g h - R i t z and G a l e r k i n . 3.1 R a y l e i g h - R i t z M e t h o d The R a y l e i gh-^Ri t z m e t h o d i s a p p l i c a b l e o n l y i f t h e e q u a t i o n t o be s o l v e d has a s o l u t i o n t h a t c o r r e s p o n d s t o t h e s t a t i o n a r y v a l u e o f some k n o w n • f u n c t i o n a l . The m e t h o d t h e n c a l c u l a t e s t h e unknown i n s u c h a manner t h a t t h e a p p r o x i m a t e s o l u t i o n U J r e n d e r s t h e g i v e n f u n c t i o n a l s t a t i o n a r y i n t h e M d i m e n s i o n a l s u b s p a c e s p a n n e d by t h e c o - o r d i n a t e f u n c t i o n s t j ^ fc=l,....M . T h e o r e m 2.1A s t a t e s t h a t i f A i s s y m m e t r i c and p o s i t i v e b o u n d e d b e l o w t h e n t h e s o l u t i o n o f Eq. 2.6 i s t h a t f u n c t i o n i n HA w h i c h m i n i m i z e s t h e f u n c t i o n a l F (u) = £ u , u ] A - £ ( a , | ) The R a y l e i g h - R i t z p r o c e d u r e i s t o s u b s t i t u t e t h e a p p r o x i m a t e s o l u t i o n uj i n t o t h e f u n c t i o n a l and t h e n m i n i m i z e F(u5) w i t h r e s p e c t t o t h e <Xu . H e n c e 26 Now, i f t h e ^ a r e l i n e a r l y i n d e p e n d e n t F(u>) i s s t a t i o n a r y when 111*) = 0 - I,.... " 3 a k Thus M M J" ^ U s i n g t h e symmetry o f t h e e n e r g y p r o d u c t g i v e s w h i c h i s a s y s t e m o f l i n e a r e q u a t i o n s f o r t h e QJ, w h i c h h a s a u n i q u e s o l u t i o n as t h e ^ h a v e b e e n a s s u m e d t o be l i n e a r l y i n d e p e n d e n t . I f t h e s e t o f c o - o r d i n a t e f u n c t i o n s > w h e r e t h e d?£ a r e l i n e a r l y i n d e p e n d e n t , i s c o m p l e t e i n H A t h e a p p r o x i m a t e s o l u t i o n o b t a i n e d by t h e R a y l e i g h - R i t z m e t h o d c a n be made a r b i t r a r i l y c l o s e i n e n e r g y norm t o t h e e x a c t s o l u t i o n by i n c r e a s i n g N s u f f i c i e n t l y . p r o o f : The minimum v a l u e o f F ( u ) i s o b t a i n e d when U = OJ , t h e s o l u t i o n o f /\u)=-^ . 27 F ( w ) - [ w , ^ ] - 2 (UJ, AUJ) = - M 2 L e t fil = - | IU | 2 w h i c h i s t h e e x a c t l o w e r bound o f t h e f u n c t i o n a l Flu) . Hence i f f i s an A r b i t r a r y s m a l l p o s i t i v e number, t h e n t h e r e e x i s t s i n Hft a f u n c t i o n v s u c h t h a t J ^ F(v) ^ c l 4 Vz F u r t h e r as t h e s e t f^*} i s c o m P 1 e t e i n e n e r g y i t i s p o s s i b l e t o show Flv) - Flv) < £/<L w h e r e To s e e t h i s n o t e Flu) = [u,u] - e (u,/j = [u-uJ, u-u;] - Qw.cuJ =. | a- UJ | - I UJ \ Whence F ( v ) - F ( v) = | / - U J | 2 - | v-u)| The t r i a n g l e i n e q u a l i t y g i v e s 28 Thus F(?) - F(V) ^ ( I V - U J \ + I y-vX) | v- / | By t h e c o m p l e t e n e s s o f t h e s e t fcj> f e| M c a n be c h o s e n s u c h t h a t | V - V I < £/c w h e r e c i s t o be c h o s e n and C h o o s e c s u c h t h a t («? | / | + 2 | u > » + r / c ) '/c < '/a Thus J « F(?) ^ F (v) +• < d + £ L e t u3 be a f u n c t i o n c o n s t r u c t e d by t h e R a y ! e i g h - R i t z method.• T h e n c/4 F(w) 4 FlW OR Fie) 4 d + * L e t t i n g £ - > o i m p l i e s f [&) d ** - I u> | T h u s 29 T h e r e f o r e | U> - UJ I —> 0 a s M - ? o o (3 A T hus t h e R a y l e i g h - R i t z a p p r o x i m a t i o n c o n v e r g e s , i n t h e s e n s e o f t h e e n e r g y norm, t o t h e e x a c t s o l u t i o n i f t h e c o - o r d i n a t e f u n c t i o n s a r e c o m p l e t e i n HA • In p r a c t i c e i t i s n o t s t r i c t l y n e c e s s a r y f o r t h e c o - o r d i n a t e f u n c t i o n s t o be c o m p l e t e i n Hft . I t i s s u f f i c i e n t t h a t t h e y be c o m p l e t e w i t h r e s p e c t t o any s u b s e t o f Hft t h a t c o n t a i n s t h e e x a c t s o l u t i o n . In t h i s r e s p e c t r e c a l l t h a t c o n s i d e r a t i o n i n t h i s t h e s i s h a s b e e n r e s t r i c t e d t o t h o s e f u n c t i o n s t h a t a r e s q u a r e summable. S p e c i f i c a l l y , t h e r i g h t h a n d s i d e o f Eq. 2.6 m ust be s u c h a f u n c t i o n . T h u s 02 (AUJ) dsi = A si < oo (3 I f A has o r d e r c?m. and i f ^ i s a b o u n d e d f u n c t i o n t h e n E q . 3.4 i m p l i e s t h a t t h e S m ~ \ d e r i v a t i v e s o f UJ a r e c o n t i n u o u s . T h e r e f o r e i t may be c o n c l u d e d t h a t t h e s p a c e o f f u n c t i o n s t h a t h a v e c o n t i n u o u s 2m- | d e r i v a t i v e s and f u r t h e r , s a t i s f y a l l t h e b o u n d a r y c o n d i t i o n s , c o n t a i n s t h e e x a c t s o l u t i o n . T h u s i t i s s u f f i c i e n t t h a t t h e c o - o r d i n a t e f u n c t i o n s be c o m p l e t e w i t h r e s p e c t t o t h i s s p a c e w h i c h w i l l be known as . C o n v e r g e n c e , h o w e v e r , i s s t i l l o n l y e n s u r e d i n t h e s e n s e o f t h e e n e r g y norm. 30 The Ray 1 e i g h - R i t z p r o c e d u r e may a l s o be e m p l o y e d f o r t h e d e t e r m i n a t i o n o f t h e e i g e n v a l u e s o f Eq. 2.23. The n e c e s s a r y d e v e l o p m e n t i s p r e s e n t e d i n M i k h l i n ( 9 ) . b u t w i l l n o t be r e p e a t e d h e r e . I t i s w o r t h y o f n o t e t h a t t h e a p p r o x i m a t e e i g e n v a l u e s so o b t a i n e d a r e b o u n d e d b e l o w by t h e i r r e s p e c t i v e e x a c t v a l u e s . 3.2 G a l e r k i n ' s M e t h o d G a l e r k i n ' s m e t h o d s p e c i f i e s t h a t t h e r e s i d u a l o b t a i n e d by s u b s t i t u t i n g t h e a p p r o x i m a t e s o l u t i o n u i n t o Eq. 2.6 i s made o r t h o g o n a l , t h r o u g h o u t t h e d o m a i n , t o e a c h o f t h e c o - o r d i n a t e f u n c t i o n s ^ . T h i s p r o c e d u r e i s a p p l i c a b l e t o any o p e r a t o r t h a t i s p o s i t i v e d e f i n i t e . T h us i t i s r e q u i r e d t h a t ' ^ (A ui - -f ) da - 0 j = l , . . . n ( 3 . 5 a ) si w h i c h may be w r i t t e n (M£ VM"" { ) fydft= 0 j = ! , . . . M ( 3 . 5 b ) T h i s s y s t e m o f l i n e a r e q u a t i o n s has a u n i q u e s o l u t i o n f o r t h e i f t h e a r e l i n e a r l y i n d e p e n d e n t t h r o u g h o u t i l . N o t e , h o w e v e r , t h a t t h e e v a l u a t i o n o f t h i s e q u a t i o n i n t h e f o r m g i v e n i s o n l y p o s s i b l e i f t h e c o - o r d i n a t e f u n c t i o n s h a v e 31 c o n t i n u o u s 2m-\ d e r i v a t i v e s . In f a c t c o n v e r g e n c e i s e n s u r e d , as w i l l be p r o v e d i n t h i s s e c t i o n , i f t h e c o -o r d i n a t e f u n c t i o n s a r e c o m p l e t e i n HA , i . e . t h e y h a v e c o n t i n u o u s 2 m -1 d e r i v a t i v e s and s a t i s f y . a l l t h e b o u n d a r y c o n d i t i o n s . H o w e v e r , as w i l l a l s o be d e m o n s t r a t e d , i t may be p o s s i b l e t o e x p r e s s E q . 3.5b i n a f o r m s u c h t h a t t h e c o -o r d i n a t e f u n c t i o n s n e e d o n l y be c o m p l e t e i n a s p a c e e q u i v a -l e n t t o HA t o e n s u r e c o n v e r g e n c e . The g e n e r a l c h a r a c t e r i s t i c s o f a c l a s s o f p r o b l e m s f o r w h i c h t h e G a l e r k i n p r o c e d u r e i s known t o c o n v e r g e w i l l f i r s t be d i s c u s s e d . T h e o r e m s w i l l t h e n be p r e s e n t e d t h a t f o r m t h e b a s i s o f t h e s u b s e q u e n t c o n v e r g e n c e i n v e s t i g a t i o n . In t h i s d i s c u s s i o n t h e c o n d i t i o n s t h a t t h e c o - o r d i n a t e f u n c t i o n s must s a t i s f y t o e n s u r e c o n v e r g e n c e , t h e t y p e o f c o n v e r g e n c e o b t a i n e d , a n d t h e r e l a t i o n s h i p b e t w e e n t h e R a y l e i g h - R i t z and G a l e r k i n p r o c e d u r e s a r e s p e c i f i c a l l y d e a l t wi t h . A c l a s s o f e q u a t i o n s f o r w h i c h t h e G a l e r k i n p r o c e d u r e i s known t o c o n v e r g e i s c h a r a c t e r i z e d by t h e e q u a t i on UJ - > T = e SL (3. w h e r e U J i s t h e r e q u i r e d e l e m e n t and i s t h e g i v e n e l e m e n t o f some H i l b e r t s p a c e H . T i s some c o m p l e t e l y 32 c o n t i n u o u s o p e r a t o r i n H , and A i s a n u m e r i c a l p a r a m e t e r . The g e n e r a l p r o p e r t i e s o f s u c h e q u a t i o n s w i l l f i r s t be e s t a b l i s h e d . Assume t h a t A c a n assume any f i x e d v a l u e w i t h m o d u l u s n o t e x c e e d i n g some c o n s t a n t R , s o t h a t IA I ^  R T h e n , as T i s c o m p l e t e l y c o n t i n u o u s i t may be e x p r e s s e d i n t h e f o r m T - T ' + T " ( 3 . 7 ) whe r e I i s d e g e n e r a t e and ||T" H ^ W** ( 3 - 8 ) I t c a n t h e n be shown ( 9 , p. 463) t h a t t h e l i n e a r o p e r a t o r ( £ - > T " ) ' . w h e r e £ i s t h e i d e n t i t y o p e r a t o r , e x i s t s and i s b o u n d e d . Eq. 3.6 c a n be w r i t t e n i n t h e f o r m UJ ( 3 . 9 ) w h i c h when m u l t i p l i e d by ( E - > T " ) " ' g i v e s LO - >(E->T")-VW - { (e-MT'- F> ( 3 . 1 0 ) F u r t h e r as T l i s d e g e n e r a t e i t i s p o s s i b l e t o w r i t e 33 w h e r e t h e s e t o f e l e m e n t s <J>te and a l s o t h e s e t i j ^ c a n be c o n s i d e r e d as l i n e a r l y i n d e p e n d e n t . T h e n f E - y r T T ' u , - f ( a , , ^ ) U , ) k ( 3 . 1 2 ) -I _ I id = w h e r e U ^ , = ( £ - > T " ) " ( | ) k ( 3 . 1 3 ) a r e l i n e a r l y i n d e p e n d e n t . Eq. 3.10 may now be w r i t t e n i n t h e f o r m U> - >2 C k V k = F, ( 3 - 1 4 ) w h e r e = ( UJ , 'ij>k) ( 3 . 1 5 ) F o r m i n g t h e i n n e r p r o d u c t o f e a c h t e r m i n E q . . 3 . 1 4 . w i t h % g i v e s ^ wher e fr=l T h u s t h e s o l u t i o n o f Eq. 3.6 c a n be o b t a i n e d f r o m E q . 3.14 i f E q . 3.16 c a n be s o l v e d f o r t h e unknown . 34 T h e c o n d i t i o n s u n d e r w h i c h Eq. 3.16 w i l l h a v e a s o l u t i o n c a n be e x a m i n e d by i n v e s t i g a t i o n o f t h e m a t r i x o f c o e f f i c i e n t s o f t h e . W r i t i n g t h e e q u a t i o n i n m a t r i x f o r m g i v e s I - Aa,, , , -Aa •A, -Aa , I - A Q N M c, < j (3 D e n o t e t h e d e t e r m i n a n t o f t h e a b o v e m a t r i x by DR(M • The c o e f f i c i e n t s Clm^ and c o n s e q u e n t l y DR (A) a r e c o n t i n u o u s f u n c t i o n s o f A i n t h e c i r c l e IAI^ R o f t h e c o m p l e x p l a n e . T h i s c o n t i n u i t y , t o g e t h e r w i t h t h e f a c t t h a t £ ( 0 ) _ | i m p l i e s D R ( A ) ^ 0 and t h a t t h e d e t e r m i n a n t " has o n l y a f i n i t e number o f r o o t s i n - t h e c i r c l e IA I ^ R I f D R (A) = 0 t h e n t h e homogeneous s y s t e m o b t a i n e d f r o m E q . 3.16 by r e p l a c i n g t h e r i g h t h a n d s i d e by z e r o s has a non t r i v i a l s o l u t i o n . T h e n i t f o l l o w s t h a t t h e homogeneous e q u a t i o n i d - "X I UJ = 0 (3. 35 has a n o n - t r i v i a l s o l u t i o n and t h e \ c o n s i d e r e d i s a q u a n t i t y w h i c h i s t h e r e c i p r o c a l o f t h e e i g e n v a l u e o f T . S u c h X a r e a l s o known as c h a r a c t e r i s t i c v a l u e s . I f DR I >i ) =f= o t h e n Eq. 3.16, a n d h e n c e E q . 3.6, has a u n i q u e s o l u t i o n . In t h i s c a s e t h e r e f o r e t h e o p e r a t o r ( £ - > " ! " ) ' e x i s t s and w i l l be d e n o t e d by T h o s e v a l u e s o f )) f o r w h i c h e x i s t s a r e known as r e g u l a r v a l u e s . T h u s t h e e x i s t e n c e o f s o l u t i o n s o f e q u a t i o n s o f t h e f o r m o f Eq. 3.6 c o n t a i n i n g a c o m p l e t e l y c o n t i n u o u s o p e r a t o r i s p r o v e n . The f o l l o w i n g a l t e r n a t i v e ( c a l l e d F r e d h o l m ' s a l t e r n a t i v e ) h o l d s : e i t h e r t h e n o n - h o m o g e n e o u s e q u a t i o n i s s o l u b l e and u n i q u e l y so f o r a n y i n d e p e n d e n t t e r m ^ and t h e n t h e c o r r e s p o n d i n g homogeneous e q u a t i o n has o n l y t h e t r i v i a l s o l u t i o n , o r t h e n o n - h o m o g e n e o u s n e q u a t i o n i s n o t s o l u b l e f o r some v a l u e o f -t- and t h e n t h e c o r r e s p o n d i n g homogeneous e q u a t i o n has a n o n - t r i v i a l s o l u t i o n . The f i r s t p a r t o f t h e a l t e r n a t i v e h o l d s i f A i s a r e g u l a r v a l u e and t h e s e c o n d i f )\ i s a c h a r a c t e r -i s t i c v a l u e . The f o l l o w i n g theorems w h i c h f o r m t h e b a s i s f o r t h e d i s c u s s i o n o f t h e c o n v e r g e n c e o f t h e G a l e r k i n p r o c e d u r e c a n now be p r o v e n . 36 T h e r o e m 3 . 1 . L e t [Tvj be a s e t o f c o m p l e t e l y c o n t i n u o u s o p e r a t o r s i n some H i l b e r t s p a c e H w h i c h t e n d t o some c o m p l e t e l y c o n t i n u o u s o p e r a t o r T i n t h e s e n s e t h a t T" Tn II ~^ O as ti -> « (3.19) F u r t h e r l e t {"fn} b e 3 s e t o f e l e m e n t s o f t h e same s p a c e w h i c h t e n d t o some e l e m e n t f . I f >l I s a r e g u l a r v a l u e o f t h e e q u a t i o n - > T c o = j3 ( 3 . 2 0 ) t h e n f o r s u f f i c i e n t l y l a r g e n, , A w i l l a l s o be a r e g u l a r v a l u e f o r t h e e q u a t i o n ( 3 . 2 1 ) a n d t h e s o l u t i o n o f E q . 3.21 w i l l t e n d t o t h e s o l u t i o n o f E q . 3.20 as n. —* oo . p r o o f : C o n s i d e r t h e e q u a t i o n V - >\ T a V = J ( 3 . 2 2 ) w h e r e 9 i s a n a r b i t r a r y e l e m e n t f r o m W T h i s e q u a t i o n 37 may be w r i t t e n V ->7V - > (Trv- T ) • - 3 ( 3 .23 ) By h y p o t h e s i s - ( E - > T ) 1 e x i s t s and a p p l y i n g i t t o b o t h s i d e s o f Eq. 3 .23 g i v e s V - )> £ ( T F T - T ) V = P> J (3 .24 ) Now I U ? | T R - T ) | | 4 li | lT n -T | i ( 3 .25 ) w h i c h f r o m t h e c o n d i t i o n s o f t h e t h e o r e m c a n be made as s m a l l as r e q u i r e d f o r s u f f i c i e n t l y l a r g e n . Ch o o s e Tt so 1 a r g e t h a t I I K h f T „ - T ) | | < i / e I t t h e n f o l l o w s ( 9 , p. 467) t h a t t h e o p e r a t o r (E - >(J (T^T))" ' e x i s t s , i s d e f i n e d f o r t h e w h o l e s p a c e and i t s norm d o e s n o t e x c e e d 2. From Eq . 3 .24 t h e s o l u t i o n o f Eq. 3 .22 i s V - ( E ->r >(T.-T)- '( j 3 T h u s t h e o p e r a t o r 38 - ( E - > T * r ' * ( f - > r A (^-Tir'l] ( 3 . 2 6 ) e x i s t s f o r t h e g i v e n v a l u e o f a • T h e r e f o r e t h e g i v e n v a l u e o f \^ i s r e g u l a r f o r E q . 3.22. To e s t a b l i s h t h e s e c o n d p a r t o f t h e t h e o r e m i t w i l l f i r s t be shown t h a t H P - P || -? 0 as n-^ oo D e f i n e B a = > FJ ( T R - T ) N o t e t h a t whence k = o Thus m a k i n g u s e o f Eq. 3.26 C O i fc = o nX > / _ j a ^ te = i and m a k i n g u s e o f E q . 3.25 l-IIBJI 39 T h u s h e n c e By v i r t u e o f E q . 3.27 t h e f i r s t t e r m on t h e r i g h t hand s i d e t e n d s t o z e r o and by p o s t u l a t i o n so d o e s t h e s e c o n d t e r m . T h u s || u;^  - to |] —> o as n co ( 3 . 2 8 ) and t h e t h e o r e m has b e e n p r o v e d . T h e o r e m 3.2. I f II T n - T )) o w h e r e T and \ a r e c o m p l e t e l y c o n t i n u o u s o p e r a t o r s t h e n t h e e i g e n v a l u e s o f t h e e q u a t i o n UJ - )|Tu> = O ( 3 . 2 9 ) a r e o b t a i n e d by t h e l i m i t p r o c e s s as n. -*a> f r o m t h e e i g e n -v a l u e s o f t h e e q u a t i o n «4i - >T n u J a = 0 ( 3 . 3 0 ) 40 p r o o f : The p r o o f u t i l i z e s t h e f a c t t h a t as T n T t h e c o e f f i c i e n t m a t r i x o f E q . 3.17 c o r r e s p o n d i n g t o whose d e t e r m i n a n t i s d e n o t e d by ^ R I A ) c o n v e r g e s t o t h e m a t r i x shown i n E q . 3.17 whose d e t e r m i n a n t i s d e n o t e d by D R U) L e t ^0 be any r o o t o f DD (M w h i c h l i e s w i t h i n R t h e c i r c l e I A I ^  R and l e t p be i t s m u l t i p l i c i t y . S u r r o u n d X 0 b y a c i r c l e o f r a d i u s t s u c h t h a t t h e r e i s no r o o t o f t ) ^ ( A ) b e s i d e s ~h0 w i t h i n o r on a c i r c l e w i t h t h i s r a d i u s . In p a r t i c u l a r D R C M i s n o n - z e r o on t h e c i r c l e I A - Ao I = £ . D e f i n e q = m I D R I A ) I , Q > o Now s e l e c t N s u c h t h a t f o r a >N By R o u c h e ' s t h e o r e m ( 1 6 , p. 89) DRlM has p e q u a l r o o t s i n t h e c i r c l e I )\ - X 0 I < € . D e n o t e them by Ch^i whence Xn. ~ J\0 I < * , j = I, f i n 7 N S i n c e <? c a n be c h o s e n as s m a l l a s r e q u i r e d , t h i s i s e q u i v a l e n t t o t h e s t a t e m e n t 41 n-f oo ( 3 . 3 1 ) T h e o r e m s 3.1 a n d 3.2 e n a b l e t h e q u e s t i o n o f t h e c o n -v e r g e n c e o f t h e G a l e r k i n p r o c e d u r e t o be c o n s i d e r e d when a p p l i e d t o e q u a t i o n s o f t h e f o r m o f E q s . 3.6 and 3.18. C o n s i d e r f i r s t t h e G a l e r k i n e q u a t i o n s t h a t a r e a p p l i c a b l e t o Eq. 3.6. UJ - ) l T u) = - 1 w h e r e T i s c o m p l e t e l y c o n t i n u o u s i n some H i l b e r t s p a c e H . A s s u m i n g an a p p r o x i m a t e s o l u t i o n i n t h e u s u a l m a n n e r t h e G a l e r k i n e q u a t i o n s become A 32) w h e r e 52 UJ Si. Eq. 3.32 may be r e w r i t t e n M A l s o w i t h o u t any l o s s o f g e n e r a l i t y t h e c o - o r d i n a t e f u n c t i o n s ^ , w h i c h a r e l i n e a r l y i n d e p e n d e n t , may be c o n s i d e r e d t o be o r t h o n o r m a l i z e d i n t h e s p a c e H . T h a t i s 42 = o fe=fj whence Q; - ^ J T ^ J ) - ( ^ f j ) j . | , . ( 3 . 3 3 ) The c o n v e r g e n c e o f t h e a p p r o x i m a t e s o l u t i o n so o b t a i n e d i s g o v e r n e d by t h e f o l l o w i n g t h e o r e m . T h e o r e m 3.3. The a p p r o x i m a t e s o l u t i o n o f E q : 3.6 c o n s t r u c t e d by t h e G a l e r k i n p r o c e d u r e c o n v e r g e s t o t h e e x a c t s o l u t i o n ( i n t h e norm o f H) i f a) Eq. 3.6 has o n l y one s o l u t i o n i n H b) t h e o p e r a t o r T i s c o m p l e t e l y c o n t i n u o u s i n H c) t h e c o - o r d i n a t e f u n c t i o n s f o r m a c o m p l e t e s e t i n H p r o o f : As t h e s e t o f c o - o r d i n a t e f u n c t i o n s i s c o r n p l e t e n H i t i s p o s s i b l e t o w r i t e D e f i n e ( 3 . 3 4 ) 43 T h e n || ^  - J 1 -7 0 as n - > c o . A l s o | | T f t - T l l - ? o as w i l l now be p r o v e n . As T i s c o m p l e t e l y c o n t i n u o u s i n H i t c a n be e x p a n d e d i n t o a sum T = T 1 1 T " s w h e r e T 1 i s d e g e n e r a t e and |l T 1 1 )| < 2/2 , wh e r e i i s an a r b i t r a r i l y s m a l l p o s i t i v e number. Then CO (T-TB)u> - T L U -Tftu> = £ ( T f c , ^ ) ^ ( T - T . ) u > » E f T ' u , ^ ) < k , + g ( T " w , < L U „ ( 3 . 3 5 ) R e c a l 1 whence I as t h e ej^  a r e a s s u m e d n o r m a l i z e d i n H . Now by B e s s e l ' s i n e q u a l i t y t h e r i g h t hand s i d e o f Eq. 3.36 d o e s n o t e x c e e d H e n c e 44 I 2 ( T V 4 V ) ( M < <» M < 3 , 3 7 ) C o n s i d e r now t h e f i r s t t e r m i n E q . 3.35. The d e g e n e r a t e o p e r a t o r T 'UJ may be w r i t t e n i n t h e f o r m w h e r e s i s a f i n i t e number and , Uj a r e members o f H . Thus oo a> S < II 2 i T C j i ^ / f K u j , ^ r ) (3-38) 2 The s e r i e s 2. 1 (u- 4>f? ) I c o n v e r g e s . Hence t h e c o e f -f i c i e n t o f || cu (| w i l l be l e s s t h a n £ / 2 f o r s u f f i c i e n t l y l a r g e a , s a y a > N . Thus f r o m E q s . 3.35 , 3.37 and 3.38 || ( T - T j w || < «f Ml n > M whence ' T - T a || —? 0 a s a —> e» 45 w h i c h was t o be p r o v e d ! The o p e r a t o r T A i s d e g e n e r a t e and h e n c e c o m p l e t e l y c o n t i n u o u s . Thus f r o m T h e o r e m 3.1 t h e e q u a t i o n ^ a - >T„ uv - f „ <3-39> has a u n i q u e s o l u t i o n f o r s u f f i c i e n t l y l a r g e a a n d - uj || — 7 > 0 as n oo S u b s t i t u t i n g f o r t a and Jn i n E q . 3.39 g i v e s w » - ^ ( ( / . ^ ) ^ + > f T W . , ^ ) ^ ) A * < 3 - 4 0 ) w h e r e / A ^ = f -f i T\) + W T ^ f f e ) ( 3 - 4 1 ) S u b s t i t u t i n g t h e v a l u e o f • w f t f r o m E q . 3.40 i n t o Eq. 3.41 g i v e s - >2 A ( T ^ , ) - f f <fc) ( 3 - 4 2 ) From t h e p r e c e e d i n g s t a t e m e n t s t h e c o n s t a n t s c a l c u l a t e d f r o m t h i s e q u a t i o n e n s u r e t h a t t h e a p p r o x i m a t e s o l u t i o n as g i v e n by Eq. 3.40 c o n v e r g e s t o t h e c o r r e c t s o l u t i o n . B u t Eq. 3.42 i s i d e n t i c a l t o E q . 3.33 o b t a i n e d f r o m t h e G a l e r k i n p r o c e d u r e . Thus t h e G a l e r k i n a p p r o x i m a t i o n c o n v e r g e s t o t h e e x a c t s o l u t i o n i n t h e norm o f H. 46 S i m i l a r l y by r e p e a t i n g t h e a b o v e a r g u m e n t s t h e a p p l i -c a t i o n o f t h e G a l e r k i n m e t h o d t o t h e p r o b l e m o f f i n d i n g t h e e i g e n v a l u e s o f t h e e q u a t i o n id — \ T UJ = c (3 c a n be shown t o be e q u i v a l e n t t o f i n d i n g t h e e i g e n v a l u e s o f t h e e q u a t i o n From w h i c h i t f o l l o w s by T h e o r e m 3.2 t h a t t h e e i g e n v a l u e s o f Eq. 3.43 a r e t h e l i m i t s o f t h e c o r r e s p o n d i n g e i g e n v a l u e s o f Eq. 3.44. T h u s t h e f o l l o w i n g t h e o r e m may be s t a t e d . T h e o r e m 3.4. The a p p l i c a t i o n o f t h e G a l e r k i n m e t h o d t o t h e p r o b l e m o f s e e k i n g e i g e n v a l u e s o f e q u a t i o n s o f t h e f o r m lu - >\T uJ = O l e a d s t o a c o n v e r g e n t p r o c e s s i f a) T i s c o m p l e t e l y c o n t i n u o u s i n H b) t h e c o - o r d i n a t e f u n c t i o n s f o r m a c o m p l e t e s e t i n H. N o t e t h a t t h e a b o v e t h e o r e m s have b e e n d e v e l o p e d w i t h r e s p e c t t o a g i v e n H i l b e r t s p a c e H. In g e n e r a l , when d e a l i n g w i t h d i f f e r e n t i a l e q u a t i o n s , t h i s s p a c e w i l l c o i n c i d e w i t h t h e Hk s p a c e d e v e l o p e d i n t h e p r e v i o u s s e c t i o n . 47 The b a s i c e q u a t i o n s c o n s i d e r e d i n t h i s t h e s i s h a v e b e e n a s s u m e d t o be e x p r e s s i b l e i n t h e f o r m o f E q . 2.6. A w = | In o r d e r t o s e e how t h i s c o r r e s p o n d s t o e q u a t i o n s o f t h e f o r m o f E q . 3.20, w h i c h h a v e b e e n c e n t r a l t o t h e p r e c e e d i n g d i s c u s s i o n , and a t t h e same t i m e t o i l l u s t r a t e t h e r e l a t i o n -s h i p b e t w e e n t h e R a y 1 e i g h - R i t z and G a l e r k i n p r o c e d u r e s , c o n s i d e r t h a t t h e o p e r a t o r A has t h e f o r m A = R + K ( 3 . 4 5 ) In t h i s e q u a t i o n R i s a s y m m e t r i c a n d p o s i t i v e b o u n d e d b e l o w o p e r a t o r o f o r d e r 2m and K i s any o p e r a t o r s u c h t h a t i t s f i e l d o f d e f i n i t i o n encompasses t h a t o f R , t h a t i s fcu has a m e a n i n g w h e n e v e r Ru i s m e a n i n g f u l . T h u s i n g e n e r a l A n e e d n o t be s y m m e t r i c . S u b s t i t u t i n g f o r A i n E q . 2.6 g i v e s R UJ + k UJ ( 3 . 4 6 ) w h i c h c a n be e x p r e s s e d i n t h e f o r m o f Eq. 3.20 as W + K UJ = R" 1 f o r -48 UJ + T u J ( 3 . 4 7 ) w h e r e T - "R k and D e f i n e a s p a c e H as i n C h a p t e r 3.1 i n w h i c h t h e i n n e r p r o d u c t i s g i v e n by ( 3 . 4 8 ) Si i n w h i c h D i s a d i f f e r e n t i a l o p e r a t o r o f o r d e r m . T h e o r e m 3.3 e n s u r e s t h e c o n v e r g e n c e o f t h e a p p r o x i m a t e s o l u t i o n o f Eq: 3.47 i f T=R"'K i s c o m p l e t e l y c o n t i n u o u s i n some H i l b e r t s p a c e H a n d i f t h e c o - o r d i n a t e f u n c t i o n s a r e c o m p l e t e i n H . Thu s i f T i s c o m p l e t e l y c o n t i n u o u s i n H R r e p e a t i n g t h e p r o o f o f T h e o r e m 3.3 i n te r m s o f t h e e n e r g y p r o d u c t i n H R g i v e s t h e e q u i v a l e n t o f Eq. 3.42 as ( 3 . 4 9 ) i n w h i c h and the have been assumed orthonormalized in H i . e . 49 = 1 = 0 F u r t h e r t h e t h e o r e m s t a t e s I UJ - UJ | —^ O as M - > < » 1 R C o n s i d e r now a p p l y i n g t h e G a l e r k i n p r o c e d u r e d i r e c t l y t o Eq. 3.46. The r e q u i r e d e q u a t i o n s a r e w h i c h may be w r i t t e n g a ^ R ^ ) * ^ . = ^ J . ) (3.50) K has b e e n s p e c i f i e d t o be s u c h t h a t i t s f i e l d o f d e f i n i t i o n encompasses t h a t o f R . Assume f u r t h e r t h a t i t i s d e f i n e d f o r e v e r y e l e m e n t o f H R . Then Eq. 3.50 c a n be w r i t t e n £ s{ c 4...+j ]„ + = ( fH) ( 3 - 5 1 ) w h i c h t h e n has m e a n i n g f o r any <j>fe e HR . Eq. 3.51 may be r e -w r i t t e n by n o t i n g f i r s t t h a t t h e qb f e h a v e b e e n a s s u m e d o r t h o n o r m a l i z e d i n H R and s e c o n d l y t h a t t h e f o l l o w i n g r e l a t i o n s h o l d 50 T h u s Eq . 3.51 may be w r i t t e n T h i s e q u a t i o n c o i n c i d e s w i t h Eq: 3.49. Thus t h e a p p l i c a -t i o n o f t h e G a l e r k i n p r o c e d u r e t o Eq. 3.46 p r o v i d e s an a p p r o x i m a t e s o l u t i o n t h a t c o n v e r g e s i n t h e norm o f H R t o t h e e x a c t s o l u t i o n o f E q . 3.47. C l e a r l y any s o l u t i o n o f Eq. 3.46 i s a s o l u t i o n o f Eq. 3.47. However i t may be t h a t no s o l u t i o n e x i s t s i n DR b u t a s o l u t i o n d o es e x i s t i n H R In t h i s c a s e t h e s o l u t i o n o f Eq. 3.47 i s t h e g e n e r a l i z e d s o l u t i o n o f Eq. 3.46 and i n t h i s way any s o l u t i o n o f Eq. 3.47 w i l l be c o n s i d e r e d a s o l u t i o n o f Eq. 3.46. T h u s Eq. 3.51 o b t a i n e d by a p p l y i n g t h e G a l e r k i n p r o c e d u r e t o E q . 3.46 e n s u r e s c o n v e r g e n c e t o t h e e x a c t s o l u t i o n i f T - R'1 K i s c o m p l e t e l y c o n t i n u o u s i n and t h e c o - o r d i n a t e f u n c t i o n s a r e c o m p l e t e i n H R . The c o -o r d i n a t e f u n c t i o n s t h e r e f o r e n e e d n o t s a t i s f y t h e n a t u r a l b o u n d a r y c o n d i t i o n s o f t h e p r o b l e m i . e . t h o s e b o u n d a r y c o n d i t i o n s i n v o l v i n g d e r i v a t i v e s o f o r d e r m. o r h i g h e r . 51 I f K i s n o t d e f i n e d f o r a l l f u n c t i o n s i n HR c o n v e r g e n c e c a n be o b t a i n e d by c h o o s i n g c o - o r d i n a t e f u n c -0 t i o n s f r o m H R i . e . f u n c t i o n s w i t h c o n t i n u o u s £ m - I d e r i v a t i v e s t h a t s a t i s f y a l l t h e b o u n d a r y c o n d i t i o n s . A p a r t i c u l a r c a s e o f Eq. 3.46 i s w h e r e ' K i s t h e n u l l o p e r a t o r , i n w h i c h s i t u a t i o n /\=R a n d i s s y m m e t r i c and p o s i t i v e b o u n d e d b e l o w . Eq . 3.51 t h e n r e d u c e s t o £ akC4k, ^ 3 R = ff, it) j..r..M (3-T h i s e q u a t i o n i s i d e n t i c a l t o Eq. 3.2 o b t a i n e d by t h e R a y l e i g h - R i t z p r o c e d u r e and c o n v e r g e s u n d e r i d e n t i c a l c o n d i t i o n s . T h u s f o r a s y m m e t r i c , p o s i t i v e b o u n d e d b e l o w o p e r a t o r t h e two m e t h o d s l e a d t o t h e same e q u a t i o n s a n d a r e g o v e r n e d by t h e same c o n v e r g e n c e c r i t e r i a . The G a l e r k i n p r o c e d u r e t h u s a p p e a r s as a g e n e r a l i z a t i o n o f t h e R a y l e i g h -R i t z p r o c e d u r e . T h e G a l e r k i n p r o c e d u r e c a n t h u s e n s u r e c o n v e r g e n c e e n e r g y norm f o r e q u a t i o n s o f t h e t y p e g i v e n i n Eq. 3.46 when t h e c o - o r d i n a t e f u n c t i o n s do n o t s a t i s f y t h e n a t u r a l b o u n d a r y c o n d i t i o n s o f t h e p r o b l e m . T h i s c o n v e r g e n c e i n v o l v e s t h e d e r i v a t i v e s o f i7J up t o o r d e r m b u t p r o v i d e s no i n f o r m a t i o n as t o t h e manner o f c o n v e r g e n c e o f h i g h e r o r d e r d e r i v a t i v e s . T h e f o l l o w i n g p r e s e n t a t i o n i l l u s t r a t e s t h e manner i n w h i c h t h e s e h i g h e r o r d e r d e r i v a t i v e s c o n v e r g e . 52 Assume CJ i s some f i x e d e l e m e n t f r o m HR . (Rio + - J! , ej ). = ^ R ( C D - w ) + K ( u i - w ) , g ) Thus |( Rw + kuo , ^  ) | « | W - U J | R | gl R + ( K (cu~u)),cj) (3.54) The s e c o n d t e r m on t h e r i g h t hand s i d e o f t h e e q u a t i o n i s a b o u n d e d l i n e a r f u n c t i o n i n H R and may t h e r e f o r e be e x p r e s s e d as an i n n e r p r o d u c t on t h i s s p a c e ( 9 ) . Thus f f t ( u5 - co), j ) = [ w - tu, Tp] ^ 1 uJ - OL» 1 11|»lR w h e r e ij/ i s a f i x e d e l e m e n t o f H R . Thus E q . 3.54 may be w r i t t e n H owever t h e G a l e r k i n p r o c e d u r e e n s u r e s T h u s Eq. 3.55 i m p l i e s ' ( R * + kuJ - / ) J d s i ° J 6 SI I f A i s s y m m e t r i c and p o s i t i v e b o u n d e d b e l o w i.e.KsO a s t r o n g e r c o n v e r g e n c e c a n be p r o v e n . To s e e 53 t h i s assume cj 6. L 2 ( n . ) . Th e n s i n c e H f t i s d e n s e i n L 5 ( s i ) t h e r e e x i s t s (j1 e H A s u c h t h a t || g ' - g || <. 6. . Now f A C D - /, 5 ) = C A - -f, g' ) + (Af i - f i 9 - 3 ' ) F u r t h e r I ( A o - / , g ' ) l < f J Ac II + II/l} and f o r M s u f f i c i e n t l y l a r g e t < C £ C = Consf. H e n c e Whence as £ c a n be made a r b i t r a r i l y s m a l l n f f\ uj - I ) 0 d s i - > o cj L L£ fa) 54 CHAPTER 4  THE F I N I T E ELEMENT PROCEDURE The f i n i t e e l e m e n t p r o c e d u r e was o r i g i n a l l y d e v e l o p e d by e n g i n e e r s on t h e b a s i s o f p h y s i c a l i n t u i t i o n f o r a p p l i c a t i o n i n t h e a n a l y s i s o f c o m p l e x s t r u c t u r a l s y s t e m s . The r e v i e w by Z i e n k i e w c z ( 1 9 ) o u t l i n e s t h e d e v e l o p m e n t o f t h e m e t h o d and c o n t a i n s a c o m p r e h e n s i v e l i s t o f r e f e r e n c e s . R e c e n t l y t h e m a t h e m a t i c a l f r a m e w o r k o f t h e p r o c e d u r e has come u n d e r c l o s e s c r u t i n y and i t i s t h e p u r p o s e o f t h i s c h a p t e r t o d i s c u s s t h i s a s p e c t o f t h e m e t h o d . In 1969 Oden ( 1 1 , 1 2 ) p o i n t e d o u t t h a t t h e f o r m u -l a t i o n o f a f i n i t e e l e m e n t model o f a f u n c t i o n i s a p u r e l y t o p o l o g i c a l c o n s t r u c t i o n and has n o t h i n g t o do w i t h v a r i a -t i o n a l p r i n c i p l e s . The f i n i t e e l e m e n t m e t h o d , as w i l l be shown i n t h i s c h a p t e r , i s i n f a c t a means o f c o n s t r u c t i n g an a p p r o x i m a t e s o l u t i o n f o r m t o a g i v e n e q u a t i o n . T h i s a p p r o x i m a t i o n i s e x p r e s s e d i n t e r m s o f known c o - o r d i n a t e f u n c t i o n s and unknown p a r a m e t e r s . T h i s a p p r o x i m a t e s o l u t i o n f o r m may be u s e d i n c o n j u n c t i o n w i t h a number o f t e c h n i q u e s t o d e t e r m i n e t h e unknown p a r a m e t e r s . 55 The p r o b l e m c o n s i d e r e d i s t h a t o f o b t a i n i n g an a p p r o x i m a t e s o l u t i o n t o E q . 2.6 u n d e r homogeneous b o u n d a r y c o n d i t i o n s . As was d i s c u s s e d i n C h a p t e r 3 t h e r e a r e a number o f t e c h n i q u e s a v a i l a b l e t h a t a r e b a s e d upon t h e i d e a o f a s s u m i n g an a p p r o x i m a t e s o l u t i o n i n t h e f o r m M * = • £ Q * T \ I t w i l l f i r s t be d e m o n s t r a t e d t h a t t h e f i n i t e e l e m e n t p r o -c e d u r e g e n e r a t e s s u c h an a p p r o x i m a t i o n , a n d t h e n t h e c o n -v e r g e n c e r e s u l t s t h a t h a v e b e e n p r e s e n t e d f o r t h e G a l e r k i n p r o c e d u r e w i l l be i n t e r p r e t e d i n t e r m s o f a f i n i t e e l e m e n t a p p r o x i m a t i o n . 4.1 G e n e r a t i o n o f a F i n i t e E l e m e n t A p p r o x i m a t i o n The b a s i c s t e p s t h a t c h a r a c t e r i z e t h e f i n i t e e l e m e n t p r o c e d u r e w i l l be p r e s e n t e d . A r i g o r o u s d i s c u s s i o n o f t h e f o l l o w i n g p o i n t s has b e e n p r e s e n t e d by Oden ( 1 1 ) . T h e f i r s t s t e p i s t o r e p l a c e t h e d o m a i n o f d e f i n i -t i o n o f t h e p r o b l e m Si by Si. s u c h t h a t SL may be e x a c t l y s u b d i v i d e d i n t o a number, s a y E, o f non o v e r l a p p i n g s u b -d o m a i n s c a l l e d e l e m e n t s . The d o m a i n o f a t y p i c a l e l e m e n t w i l l be d e n o t e d by 52 e and s u c h d o m a i n s a r e g e n e r a l l y c h o s e n t o h a v e a s i m p l e g e o m e t r i c a l f o r m . A d j a c e n t e l e m e n t s a r e s p e c i f i e d t o h a v e a common b o u n d a r y . T h u s 56 w h e r e © i s t h e empty s e t , and 5.* « u 5.€ <4-2> _ # The e l e m e n t s a r e c h o s e n , i f p o s s i b l e , s u c h t h a t 51 c o i n c i d e s w i t h SL , b u t i f n o t , i n s u c h a manner t h a t t h e e r r o r — t i n v o l v e d i s a c c e p t a b l e . I t w i l l be a s s u m e d t h a t t h e SI h a v e b e e n t h u s c h o s e n and t h e n o t a t i o n SL , SI w i l l be u s e d t o r e p r e s e n t SL , SI The s e c o n d s t e p i n t h e m e t h o d i n v o l v e s t h e assump-t i o n o f an a p p r o x i m a t e s o l u t i o n f o r UJ i n e a c h o f t h e e l e m e n t s t h a t c a n be e x p r e s s e d i n t h e f o r m (4.3, w h e r e t h e <j)* a r e c o - o r d i n a t e f u n c t i o n s d e f i n e d o n l y i n i z * and t h e at a r e t h e v a l u e s o f u5 € o r one o f i t s R d e r i v a t i v e s a t c e r t a i n n o d a l p o i n t s g e n e r a l l y s i t u a t e d on t h e b o u n d a r y o f 51* . F o r e x a m p l e i f 0. e n = I, N c o r r e s p o n d s t o t h e v a l u e o f a t t h e node w i t h c o -o r d i n a t e s t h e n 57 S u c h a d e f i n i t i o n e n s u r e s t h a t t h e a r e l i n e a r l y i n d e p e n d e n t t h r o u g h o u t 51 I t i s p o s s i b l e , by a l i n e a r t r a n s f o r m a t i o n , t o e x p r e s s any w* c o n t a i n i n g N l i n e a r l y i n d e p e n d e n t t e r m s i n t h e f o r m o f Eq. 4.3. In p a r t i c u l a r a p o l y n o m i a l may be so e x p r e s s e d , w h i c h means t h a t t h e a p p r o x i m a t e s o l u t i o n may be e x p r e s s e d i n p o l y n o m i a l f o r m , w h i c h i s o f t e n c o n v e n i e n t , and t h e n t r a n s f o r m e d i n t o t h e f o r m o f Eq. 4.3. In t h e a p p l i c a t i o n o f t h e f i n i t e e l e m e n t p r o c e d u r e i t i s o n l y n e c e s s a r y t o assume c o - o r d i n a t e f u n c t i o n s d e f i n e d o v e r i n d i v i d u a l e l e m e n t s t o o b t a i n a s o l u t i o n . H o w e v e r , i n o r d e r t o d e m o n s t r a t e t h a t s u c h a p p r o x i m a t i o n s c a n be c o n s i d e r e d t o be o f t h e f o r m o f Eq. 3.1 i t i s c o n v e n i e n t t o i n t r o d u c e o t h e r f u n c t i o n s w h i c h a r e d e f i n e d i n t e r m s o f t h e i n t h e f o l l o w i n g m a n n e r . C o n s i d e r f u n c t i o n s ^ R d e f i n e d o v e r t h e w h o l e d o m a i n i i s u c h t h a t ( 4 . 5 ) 58 w h e r e t h e X;, r e p r e s e n t s a p o i n t i n t h e d o m a i n . T h e n t h e a s s u m e d a p p r o x i m a t i o n f o r LU t h r o u g h o u t t h e w h o l e d o m a i n Si may be w r i t t e n On i n t e r e l e m e n t b o u n d a r i e s w h e r e n o d e s o f a d j a c e n t e l e m e n t s c o i n c i d e i t i s n a t u r a l t o s p e c i f y t h a t t h e s e n o d a l v a l u e s s h o u l d be t h e same. Assume t h a t t h e r e a r e M i n d e p e n d e n t g l o b a l d e g r e e s o f f r e e d o m i n SI w h i c h w i l l be d e n o t e d by . T h e n t h e e l e m e n t d e g r e e s o f f r e e d o m a r e r e l a t e d t o t h e g l o b a l d e g r e e s o f f r e e d o m by t h e r e l a t i o n s h i p t N ( 4 . 6 ) ( 4 . 7 ) w h e r e = 1 i f node a R c o i n c i d e s w i t h Oj o t h e r w i se 0 T h e n d e f i n e ( 4 . 8 ) 59 E q . 4.6 may t h e n be w r i t t e n M i n w h i c h t h e <j). a r e l i n e a r l y i n d e p e n d e n t t h r o u g h o u t t h e J domai n. T h u s a f i n i t e e l e m e n t a p p r o x i m a t i o n has t h e f o r m o f Eq. 3.1. The e s s e n t i a l f e a t u r e o f t h e m e t h o d l i e s i n f o r m u l a t i n g an a p p r o x i m a t e s o l u t i o n t h a t i s d e f i n e d o v e r t h e w h o l e d o m a i n i n t e r m s o f a p p r o x i m a t i o n s t h a t a r e n o n - z e r o o n l y o v e r s u b d o m a i n s . A r e f i n e d a p p r o x i m a t i o n i s o b t a i n e d by r e s u b -d i v i d i n g t h e d o m a i n SI i n t o a l a r g e r number o f e l e m e n t s . The same a p p r o x i m a t e s o l u t i o n i s a s s u m e d i n e a c h o f t h e new e l e m e n t s and t h e r e f o r e t h e f i n a l a p p r o x i m a t i o n i s a g a i n i n t h e f o r m o f Eq. 3.1. The c o - o r d i n a t e f u n c t i o n s j>j a r e r e f i n e d i n s u c h a way t h a t t h e y h a v e t h e same s h a p e b u t a r e d e f i n e d t o be n o n - z e r o o v e r a s m a l l e r r e g i o n o f SI t h a n t h e i r p r e d e c e s s o r s . I t i s a l s o p o s s i b l e t o r e f i n e t h e a p p r o x i m a t i o n by l e a v i n g t h e number o f e l e m e n t s c o n s t a n t and i n c r e a s i n g t h e number o f c o - o r d i n a t e f u n c t i o n s p e r e l e m e n t . The unknown p a r a m e t e r s i n t h e a p p r o x i m a t e s o l u t i o n may be e v a l u a t e d , f o r e x a m p l e , by s o l v i n g t h e e q u a t i o n s g i v e n by t h e G a l e r k i n p r o c e d u r e : 60 T h i s e q u a t i o n i s i n p r a c t i c e g e n e r a t e d by a s s e m b l i n g t h e r e l a t i o n s o b t a i n e d f r o m i n d i v i d u a l e l e m e n t s . W r i t i n g E q . 4.9 f o r e a c h o f t h e e l e m e n t s i n t u r n g i v e s w h e r e t h e s u p e r s c r i p t i n d i c a t e s t h a t t h e i n n e r p r o d u c t s a r e e v a l u a t e d o v e r t h e s u b d o m a i n s 51 . S o l v i n g E q s . 4.10 g i v e s t h e r e l a t i o n s h i p b e t w e e n and ^ w h i c h c a n t h e n be e m p l o y e d t o d e t e r m i n e t h e r e l a t i o n s h i p b e t w e e n and |j by m a k i n g u s e o f E q s . 4.7 a n d 4.8. An i m p o r t a n t f e a t u r e o f t h e f i n i t e e l e m e n t p r o -c e d u r e t h a t f o l l o w s f r o m t h e a b o v e c o n s t r u c t i o n o f t h e g o v e r n i n g e q u a t i o n i s t h e b a n d e d n a t u r e o f t h e c o e f f i c i e n t m a t r i x t h a t may be o b t a i n e d by s u i t a b l y o r d e r i n g t h e . S u c h a f e a t u r e i s i m p o r t a n t i n t h e n u m e r i c a l s o l u t i o n o f p r o b l e m s w i t h a l a r g e number o f d e g r e e s o f f r e e d o m . 4.2 G e n e r a l Remarks I t i s w o r t h w h i l e t o n o t e t h e a n a l o g y b e t w e e n a f i n i t e e l e m e n t a p p r o x i m a t i o n o f a f u n c t i o n and a F o u r i e r 61 s e r i e s a p p r o x i m a t i o n o f a f u n c t i o n . One i m p o r t a n t d i f f e r e n c e , h o w e v e r , l i e s i n t h e f a c t t h a t i n a F o u r i e r s e r i e s t h e c o - o r d i n a t e f u n c t i o n s h a v e c o n t i n u o u s d e r i v a t i v e s t o any o r d e r t h r o u g h o u t t h e w h o l e d o m a i n , w h e r e a s a f i n i t e e l e m e n t c o - o r d i n a t e f u n c t i o n j>j . g e n e r a l l y has d i s c o n t i n u i t i e s i n i t s l o w e s t d e r i v a t i v e s a t e l e m e n t b o u n d a r i e s . A n o t h e r d i f f e r e n c e i s t h a t r e f i n e m e n t o f a f i n i t e e l e m e n t a p p r o x i -m a t i o n i s e f f e c t e d by a r e d e f i n i t i o n o f t h e c o - o r d i n a t e f u n c t i o n s as o p p o s e d t o s i m p l y a d d i n g e x t r a f u n c t i o n s as i s common i n F o u r i e r s e r i e s a p p r o x i m a t i o n s . One a d v a n t a g e o f a g i v e n f i n i t e e l e m e n t a p p r o x i m a t i o n i s i t s f a c i l i t y t o a p p r o x i m a t e v a r i o u s b o u n d a r y c o n d i t i o n s . T h i s i s p o s s i b l e as t h e b o u n d a r y c o n d i t i o n s a r e h a n d l e d by p r e s c r i b i n g v a l u e s t o t h e g e n e r a l i z e d ' c o - o r d i n a t e s Oj l o c a t e d on t h e b o u n d a r y . A c e n t r a l q u e s t i o n i n t h e a p p l i c a t i o n o f a f i n i t e e l e m e n t a p p r o x i m a t i o n c o n c e r n s t h e c o n d i t i o n s t h a t t h e a s s u m e d s o l u t i o n w i t h i n e a c h e l e m e n t must s a t i s f y t o e n s u r e c o n v e r g e n c e as more and more e l e m e n t s a r e t a k e n . In p a r t i c u l a r , two r e l a t e d q u e s t i o n s must be a n s w e r e d : ( i ) on w h a t b a s i s s h o u l d t h e a p p r o x i m a t i o n i n e a c h e l e m e n t be c h o s e n , a n d ( i i ) w h a t c o n t i n u i t y o f uJ and i t s d e r i v a t i v e s s h o u l d be e n s u r e d a t t h e n o d e s a n d a c r o s s e l e m e n t b o u n d a r i e s ? 62 T h e s e q u e s t i o n s c a n be a n s w e r e d by i n v e s t i g a t i n g t h e c o n d i -t i o n s u n d e r w h i c h t h e p a r t i c u l a r m e t h o d e m p l o y e d t o e v a l u a t e t h e unknown p a r a m e t e r s i s known t o c o n v e r g e . I t i s c l e a r t h a t s u c h e v a l u a t i o n c a n be e f f e c t e d by a number o f d i f f e r -e n t t e c h n i q u e s . Thus i t i s a l s o c l e a r t h a t t h e f i n i t e e l e m e n t " m e t h o d " n e e d n o t be a s s o c i a t e d w i t h a n y p a r t i c u l a r t e c h n i q u e . S p e c i f i c a l l y i t i s n o t a c c u r a t e t o s t a t e t h a t t h e f i n i t e e l e m e n t m e t hod i s a R a y l e i g h - R i t z p r o c e d u r e . The f i n i t e e l e m e n t m e t h o d s i m p l y g e n e r a t e s an a p p r o x i m a t e s o l u t i o n f o r m , d e f i n e d i n t e r m s o f unknown p a r a m e t e r s , t h a t may be u s e d i n c o n j u n c t i o n w i t h a number o f t e c h n i q u e s t o o b t a i n an a p p r o x i m a t e a n s w e r t o t h e g i v e n e q u a t i o n . I t i s n a t u r a l t o i n v e s t i g a t e t h e r e l a t i v e a d v a n t a g e s o f t h e d i f f e r e n t s o l u t i o n t e c h n i q u e s a v a i l a b l e . T r a d i t i o n a l l y v i r t u a l work o r R a y l e i g h - R i t z h a v e b e e n u s e d i n f i n i t e e l e m e n t w o r k . The G a l e r k i n p r o c e d u r e has b e e n u s e d i n a number o f s p e c i f i c c a s e s ( 1 7 , 1 8 , 2 0 ) . T h e s e c a s e s c o u l d , h o w e v e r , h a v e b e e n a n a l y s e d u s i n g t h e R a y l e i g h -R i t z p r o c e d u r e . The p o s s i b i l i t y o f a p p l y i n g t h e G a l e r k i n p r o c e d u r e t o a c l a s s o f p r o b l e m s t o w h i c h t h e R a y l e i g h - R i t z m e t h o d i s n o t a p p l i c a b l e , and a t t h e same t i m e e n s u r i n g c o n v e r g e n c e , d o e s n o t a p p e a r t o h a v e b e e n p r e v i o u s l y e x p l o r e d . As was p o i n t e d o u t i n C h a p t e r 3 t h e G a l e r k i n p r o c e d u r e i s a g e n e r a l i z a t i o n o f t h e R a y l e i g h - R i t z m e t h o d 63 and h e n c e i n g e n e r a l p r e f e r a b l e . In p a r t i c u l a r , p r o b l e m s t h a t a r e c h a r a c t e r i z e d by n o n - s y m m e t r i c o p e r a t o r s may be a m e n a b l e t o t h e G a l e r k i n p r o c e d u r e , w h e r e a s t h e y c a n n o t be h a n d l e d by R a y l e i g h - R i t z . A l s o , as i s i l l u s t r a t e d i n C h a p t e r 6, t h e G a l e r k i n p r o c e d u r e i s a p p l i c a b l e t o a l l t h o s e p r o b l e m s o f s t r u c t u r a l m e c h a n i c s t h a t v i r t u a l work c a n be u s e d f o r , w i t h t h e a d d e d a d v a n t a g e . t h a t u n l i k e v i r t u a l work G a l e r k i n has p r o v e n c o n v e r g e n c e c r i t e r i a . On t h e b a s i s o f t h e s e r e m a r k s t h e G a l e r k i n p r o -c e d u r e w i l l be c h o s e n f o r t h e d e t e r m i n a t i o n o f t h e g e n e r a l i z e d c o - o r d i n a t e s ctj and f o r t h e i n v e s t i g a t i o n o f t h o s e s u f f i c i e n t c o n d i t i o n s t h a t t h e e l e m e n t a p p r o x i m a t i o n — e _ tu m u s t s a t i s f y i n o r d e r t o e n s u r e c o n v e r g e n c e o f OJ t o t h e c o r r e c t a n s w e r . 4.3 C o n v e r g e n c e C r i t e r i a In C h a p t e r 3 c o n d i t i o n s t h a t e n s u r e d c o n v e r g e n c e o f t h e G a l e r k i n p r o c e d u r e f o r a w i d e c l a s s o f p r o b l e m s w e r e p r e s e n t e d . In t h i s s e c t i o n t h e s e r e s u l t s w i l l be u t i l i z e d t o p r o v i d e s u f f i c i e n t c o n v e r g e n c e c r i t e r i a f o r a f i n i t e e l e m e n t a p p r o x i m a t i o n . T h e o r e m 3.3 a s s e r t s t h a t t h e c o n v e r g e n c e o f t h e G a l e r k i n a p p r o x i m a t i o n i s e n s u r e d when a p p l i e d t o e q u a t i o n s o f t h e f o r m 64 UJ - >Tu> - / i f t h e s o l u t i o n i s u n i q u e i n some H i l b e r t s p a c e H, t h e o p e r a t o r T i s c o m p l e t e l y c o n t i n u o u s i n H , and i f t h e c o - o r d i n a t e f u n c t i o n s a r e c o m p l e t e i n H . The i n t e r p r e -t a t i o n o f t h e s e c o n d i t i o n s i n t e r m s o f a f i n i t e e l e m e n t a p p r o x i m a t i o n w i l l be p r e s e n t e d by means o f a p a r t i c u l a r e x a m p l e . C o n s i d e r t h e p r o b l e m o f d e t e r m i n i n g t h e e q u i l -i b r i u m c o n f i g u r a t i o n o f a u n i f o r m beam when s u b j e c t e d t o b o t h a n o r m a l l o a d and a l o a d t h a t i s p r o p o r t i o n a l t o t h e s l o p e o f t h e beam. S u c h non c o n s e r v a t i v e l o a d s a r e e n -c o u n t e r e d i n t h e s t u d y o f a e r o e l a s t i c i t y . The g o v e r n i n g e q u a t i o n s a r e EI ( j " " + c cj' - j x £ [ o , L ] ( 4 . 1 1 a ) u;(o) - U(L) = if"(o) - y " ( i _ ) - 0 ( 4 . 1 1 b ) w h e r e c i s a c o n s t a n t and i s t h e n o r m a l f o r c e . The o p e r a t o r i n t h i s e q u a t i o n c a n r e a d i l y be s e e n t o be un-s y m m e t r i c . T h i s e q u a t i o n c o r r e s p o n d s t o E q . 3.46 i n w h i c h 65 R - EI d 4 ; K S CJ ( 4 . 1 2 ) As i n C h a p t e r 3.2 c o n s t r u c t a s p a c e HR i n w h i c h I U | 8 = / " [ U , U ] R = /• f ' f l u V J x ( 4 - 1 3 ) Jo F u n c t i o n s u t h a t a r e i n HR must t h e n s a t i s f y t h e c o n d i -t i o n EI (u"-U f t" )2dx 0 asn-^oo', i ^ f i D R (4.14) The s p a c e c o n t a i n s t h e e x a c t s o l u t i o n a n d , as i s v e r i f i e d i n C h a p t e r 7, T - R"' ^  i s c o m p l e t e l y c o n -t i n u o u s i n t h i s s p a c e . Thus T h e o r e m 3.3 e n s u r e s c o n v e r -g e n c e i f t h e c o - o r d i n a t e f u n c t i o n s a r e c o m p l e t e i n H R . A f i n i t e e l e m e n t a p p r o x i m a t i o n i s o b t a i n e d by d i v i d i n g t h e beam i n t o F_ s e c t i o n s and w i t h i n e a c h s e c t i o n a s s u m i n g a s o l u t i o n o f t h e f o r m The e l e m e n t s t i f f n e s s e q u a t i o n s a r e , on t h e b a s i s o f Eq. 4.10, g i v e n by 66 i< f(«w<tf)'+ ciwti)* - up* j - 1 - n < 4 - i 6 ) w h e r e t h e r e l a t i o n ( 4 . 1 7 ) has b e e n u s e d . E q s . 4.16 c a n t h e n be a s s e m b l e d i n t o t h e f o r m ^ fL it L ( 4 . 1 8 ) and t h e a p p r o x i m a t e s o l u t i o n ( 4 . 1 9 ) c o n v e r g e s t o t h e c o r r e c t a n s w e r i f t h e ^ a r e c o m p l e t e i n H R . The c o n d i t i o n s t h a t must be s a t i s f i e d by t h e assumed s o l u t i o n w i t h i n e a c h e l e m e n t i n o r d e r t o e n s u r e t h a t t h e c o - o r d i n a t e s d e f i n i n g t h e t o t a l s o l u t i o n be com-p l e t e i n H R must t h e r e f o r e be e s t a b l i s h e d . 67 In t h i s e x a m p l e , Eq. 4.14 shows t h a t f u n c t i o n s i n HR must have g e n e r a l i z e d s e c o n d d e r i v a t i v e s and h e n c e c o n t i n u o u s f i r s t d e r i v a t i v e s . T hus t h e f i n i t e e l e m e n t a p p r o x i m a t i o n must e n s u r e t h e c o n t i n u i t y o f s l o p e a c r o s s e l e m e n t b o u n d a r i e s . F u r t h e r i t must a l s o s a t i s f y t h e f o r c e d b o u n d a r y c o n d i t i o n s as a l l f u n c t i o n s i n f+R a r e r e q u i r e d t o s a t i s f y t h e s e c o n d i t i o n s . B e f o r e c o n s i d e r i n g t h e c o n d i t i o n s u n d e r w h i c h c o m p l e t e n e s s c a n be o b t a i n e d t h e d e f i n i t i o n o f c o m p l e t e -n e s s w i l l be r e p e a t e d i n t e r m s o f a f i n i t e e l e m e n t a p p r o x i m a t i o n . A f i n i t e e l e m e n t a p p r o x i m a t i o n i s com-p l e t e i n H i n some s t a t e d norm i f f o r a r b i t r a r y f u n c -t i o n V £ H and a n y £ > 0 t h e r e e x i s t s a s u b d i v i s i o n o f t h e d o m a i n c o r r e s p o n d i n g t o M d e g r e e s o f f r e e d o m s u c h t h a t M J The c o n d i t i o n s t h a t a f i n i t e e l e m e n t a p p r o x i m a -t i o n m ust s a t i s f y f o r c o m p l e t e n e s s h a v e b e e n p r o v i d e d by O l i v e i r a ( 1 3 ) . T h e y w i l l be q u o t e d f o r a f u n c t i o n t h a t has c c o m p o n e n t s to,, u>2, .. . t u c . I t i s a s s u m e d t h a t t h e e n e r g y norm i s b a s e d upon a s y m m e t r i c e n e r g y p r o d u c t t h a t c o n t a i n s d e r i v a t i v e s o f e a c h c o m p o n e n t 68 iPT o f maximum o r d e r m T . I t i s f u r t h e r a s s u m e d t h a t t h e e x a c t s o l u t i o n i s s u c h t h a t t h e d e r i v a t i v e s o f i t s c o m p o n e n t s o f o r d e r n a T + I a r e c o n t i n u o u s w i t h i n e a c h e l e m e n t . D i s c o n t i n u i t i e s o f t h e m T and m T + I d e r i v a -t i v e s a r e s t i l l a l l o w e d a t p o i n t s w h i c h a l w a y s r e m a i n on e l e m e n t b o u n d a r i e s as t h e s i z e o f t h e e l e m e n t i s p r o g r e s -s i v e l y r e d u c e d . O l i v e i r a t h e n p r o v e s t h a t c o m p l e t e n e s s w i l l be o b t a i n e d i f c o n t i n u i t y o f t h e m T - I d e r i v a t i v e s i s e n s u r e d t h r o u g h o u t t h e d o m a i n and i f t h e a p p r o x i m a t i o n u) * f o r w T w i t h i n e a c h e l e m e n t i s b a s e d upon a p o l y n o m i a l o f d e g r e e n o t l e s s t h a n m T , a l l t h e t e r m s o f w h i c h a r e a f f e c t e d by i n d e p e n d e n t a r b i t r a r y c o e f f i c i e n t s . T h e s e c o n d i t i o n s a r e o f t e n e x p r e s s e d by s t a t i n g t h a t t h e e l e m e n t s must be c o n f o r m i n g a n d t h a t t h e y must be a b l e t o r e p r e s e n t c o n s t a n t s t r a i n . T h u s i n t h e e x a m p l e b e i n g c o n s i d e r e d t h e com-p l e t e n e s s r e q u i r e m e n t means t h a t ij must be b a s e d upon a c o m p l e t e p o l y n o m i a l o f o r d e r n o t l e s s t h a n two. S a t i s f a c t i o n o f b o t h t h e c o n f o r m i n g and c o m p l e t e n e s s c o n d i t i o n s c a n be o b t a i n e d by a s s u m i n g an a p p r o x i m a t i o n w i t h i n e a c h e l e m e n t o f t h e f o r m if e = a 0 e + a, ex + flaV + a£x3 ( 4 . 2 0 ) 6 9 and c h o o s i n g d e g r e e s o f f r e e d o m c o r r e s p o n d i n g t o t h e d i s p l a c e m e n t a n d r o t a t i o n a t e a c h end o f t h e e l e m e n t . N o t e t h a t i t was p o s s i b l e t o c h o o s e an a p p r o x i -m a t i o n i n H R as K = c d/dx i s d e f i n e d f o r a l l t h e c o -o r d i n a t e f u n c t i o n s i n H R . C o - o r d i n a t e f u n c t i o n s i n w h a v e c o n t i n u o u s f i r s t d e r i v a t i v e s and K i s d e f i n e d 1 R f o r a l l s u c h f u n c t i o n s . S a t i s f a c t i o n o f t h e i n d i c a t e d c o n d i t i o n s t h u s e n s u r e s e n e r g y c o n v e r g e n c e o f t h e f i n i t e e l e m e n t a p p r o x i m a -t i o n t o t h e c o r r e c t s o l u t i o n L | e . S p e c i f i c a l l y t"I ( u" - «fi )* dx o os M CD ( 4 . 2 1 ) I t s h o u l d be n o t e d t h a t c o n f o r m i t y i s o n l y a s u f f i c i e n t c o n d i t i o n f o r p r o v i n g t h e c o n v e r g e n c e o f a f i n i t e e l e m e n t a p p r o x i m a t i o n . O l i v e i r a ( 1 3 ) has a l s o s t u d i e d t h e q u e s t i o n o f n o n - c o n f o r m i n g e l e m e n t s i n t h e c o n t e x t o f t h e R a y l e i g h - R i t z p r o c e d u r e and c o n c l u d e d t h a t u n d e r c e r t a i n c o n d i t i o n s t h e y t o o c a n e n s u r e c o n v e r g e n c e t o t h e c o r r e c t s o l u t i o n . N o n - c o n f o r m i n g e l e m e n t s w i l l n o t be d i s c u s s e d i n t h i s t h e s i s . However i t i s p o s s i b l e t o i n t r o d u c e a w e l l d e f i n e d norm i n t o t h e s p a c e o f f u n c t i o n s t h a t s a t i s f y t h e f o r c e d b o u n d a r y c o n d i t i o n s and h a v e c o n -t i n u o u s p r i n c i p a l d e r i v a t i v e s o n l y a t n o d a l p o i n t s o f t h e 70 d o m a i n . In t h i s way t h e work o f t h i s t h e s i s c a n be e x t e n d e d t o p r o v i d e a s y s t e m a t i c s t u d y o f t h e c o n v e r g e n c e p r o p e r t i e s o f n o n - c o n f o r m i n g e l e m e n t s . The d e v e l o p m e n t s t h a t h a v e b e e n p r e s e n t e d w i t h r e s p e c t t o Eq. 4.11 c a n be p a r a l l e l e d f o r any e q u a t i o n t h a t c a n be e x p r e s s e d i n t h e f o r m o f Eq. 3.20. C o n s i d e r , i n g e n e r a l , t h e p r o b l e m o f o b t a i n i n g a f i n i t e e l e m e n t s o l u t i o n f o r Eq. 3.46. W r i t i n g t h i s e q u a t i o n o u t i n i n d i c i a ! n o t a t i o n g i v e s + - K ».»-'.-< (4-22) Assume a s o l u t i o n (JJ = ( w, , LU, , uJ t >" ( 4 . 2 3 a ) T n w h e r e WT » Z Q r k # T - ..... c ( 4 . 3 3 b ) The G a l e r k i n e q u a t i o n s f o r E q . 4.22 t h e n become (KTn^ t kr^m - fr) £ J a = O T-I....C ( 4 . 2 4 ) fc-l,...L I f K i s d e f i n e d f o r a l l t h e c o - o r d i n a t e f u n c t i o n s i n t h i s e q u a t i o n may be e x p r e s s e d i n t h e f o r m 71 t w h e r e Q £ T , ^ J i s t h e s y m m e t r i c f o r m o f J ( R T m w m) <J3^ " 5^2. . W r i t i n g Eq. 4.25 i n e l e m e n t f o r m ' 5 1 g i v e s £ e - 1 w h e r e S i m i l a r l y e i g e n v a l u e p r o b l e m s t h a t a r e e x p r e s s i b l e i n t h e f o r m o f E q . 3.18 may be so t r e a t e d . C o n s i d e r , f o r e x a m p l e , t h e p r o b l e m ***** + > fr- = 0 < 4- 2 8 ) The r e q u i r e d f i n i t e e l e m e n t e q u a t i o n s a r e R e - i E 72 Thus a p p l i c a t i o n o f t h e G a l e r k i n p r o c e d u r e e n a b l e s t h e e q u a t i o n s and c o r r e s p o n d i n g c o n v e r g e n c e c r i t e r i a o f a f i n i t e e l e m e n t s o l u t i o n t o be s e t down f o r a w i d e c l a s s o f p r o b l e m s . CHAPTER 5 A P P L I C A T I O N OF THE GALERKIN.PROCEDURE TO PROBLEMS WITH  MIXED AND NONHOMOGENEOUS BOUNDARY CONDITIONS A t t e n t i o n has b e e n c o n f i n e d so f a r i n t h i s t h e s i t o p r o b l e m s w i t h u n m i x e d homogeneous b o u n d a r y c o n d i t i o n s . In t h i s c h a p t e r a p r o b l e m w i t h m i x e d homogeneous b o u n d a r y c o n d i t i o n s w i l l be t r e a t e d and t h e m o d i f i c a t i o n s n e c e s s a r y t o d e a l w i t h n o n h o m o g e n e o u s b o u n d a r y c o n d i t i o n s p r e s e n t e d . F o r i l l u s t r a t i o n p u r p o s e s t h e e q u a t i o n s g o v e r n i n g t h e e q u i l i b r i u m c o n f i g u r a t i o n o f a l i n e a r e l a s t i c c o n t i n u u m w i l l be c o n s i d e r e d . 5.1 Homogeneous M i x e d B o u n d a r y C o n d i t i o n s The g o v e r n i n g e q u a t i o n s i n t h i s c a s e a r e (5 O (5 73 74 $j Oj - O ^ ST ( 5 . 1 c ) (TL. n. +ca^= 0 ^ 5 n (5.id) J J w h e r e 0"^ i s t h e s t r e s s . t e n s o r , t h e d e n s i t y , XL t h e body f o r c e p e r u n i t m a s s , UL t h e d i s p l a c e m e n t , flj t h e com-p o n e n t o f u n i t o u t w a r d n o r m a l t o t h e b o u n d a r y , and c i s a c o n s t a n t . 5U , ST , and SM r e p r e s e n t r e s p e c t i v e l y t h o s e p o r t i o n s o f t h e b o u n d a r y on w h i c h t h e d i s p l a c e m e n t s , s t r e s s e s , and m i x e d c o n d i t i o n s , a r e s p e c i f i e d . In o r d e r t o f o r m u l a t e t h i s p r o b l e m i n t e r m s o f t h e d i s p l a c e m e n t v e c t o r U L t h e g r a d i e n t o f t h e s t r e s s t e n s o r i n E q . 5.1a i s r e l a t e d t o t h e d i s p l a c e m e n t by means o f t h e c o n s t i t u t i v e r e l a t i o n % - ^ ^ + > ^ ( 5- 2 ) and t h e k i n e m a t i c e q u a t i o n ( 5 . 3 ) w h e r e j*. and )\ a r e Lame's c o n s t a n t s , i s t h e K r o n e c k e r 75 d e l t a , and £ L- i s t h e s t r a i n t e n s o r . C a r r y i n g o u t t h e J i n d i c a t e d s u b s t i t u t i o n s g i v e s ( 5 . 4 ) w h i c h may be p l a c e d i n t o c o r r e s p o n d e n c e w i t h t h e g e n e r a l e q u a t i on V - f In t h i s c a s e f\L- i s a m a t r i x o f d i f f e r e n t i a l o p e r a t o r s o f t h e s e c o n d o r d e r and i s s y m m e t r i c . F o r p r e s e n t p u r p o s e s i t i s c o n v e n i e n t n o t t o e x p r e s s A w^- by means o f Eq. 5.4 b u t i n s t e a d t o u s e t h e r e l a t i o n V ( 5 . 6 ) Eq. 5.6 c a n now be u s e d t o i l l u s t r a t e t h e symmetry o f AL-J T h u s r i i* —* 1 " / . « 52. w h e r e ^. d e n o t e s t h e s t r e s s t e n s o r c o r r e s p o n d i n g t o t h e d i s p l a c e m e n t v e c t o r U L . Now 5Z 76 As t h e v a r i a b l e s c o n s i d e r e d a r e i n t h e f i e l d o f d e f i n i t i o n o f t h e o p e r a t o r t h e y must s a t i s f y a l l t h e b o u n d a r y c o n d i -t i o n s o f E q s . 5.1. T h e r e f o r e *si. u • u" d | c Ui" di = j 12^ fL- + > Zkk ^- ) da + c a- u-' ds r " 1 1 = L • u O Whence t h e o p e r a t o r A - i s s y m m e t r i c and t h e e n e r g y p r o d u c t i n t h e s p a c e i s g i v e n by r 1 " 1 ' " J c ul ds ( 5 . 7 ) 5 M In t h i s c a s e t h e m i x e d b o u n d a r y c o n d i t i o n g i v e s r i s e t o a s u r f a c e i n t e g r a l i n t h e e n e r g y p r o d u c t . The G a l e r k i n e q u a t i o n s g o v e r n i n g t h e s o l u t i o n o f t h i s p r o b l e m c a n be o b t a i n e d f r o m Eq. 4.25 by e q u a t i n g A^- a n d R-L- a n d a s s u m i n g J J 'j \(^. i s t h e n u l l o p e r a t o r . T h e e q u a t i o n s a r e 77 [ f f r . f i ]A - (fT. 4;) ( 5 ' 8 ) w h e r e an a p p r o x i m a t e s o l u t i o n has b e e n a s s u m e d i n t h e f o r m _ _ T Q. = < a, , u 2 , u5 > T = 1,2, 3 W r i t i n g E q . 5.8 o u t i n f u l l g i v e s ( 5 . 9 ) 'Tfc ty SI + I cm. T<j>jJs - ( V M j ^ { 5 , 1 0 ) i n w h i c h (7 , i s t h e s t r e s s t e n s o r d e r i v e d f r o m t h e a p p r o x -Tk i m a t e s o l u t i o n U i . T h i s e q u a t i o n e n s u r e s c o n v e r g e n c e o f t h e a p p r o x i m a t e s o l u t i o n i f t h e c o - o r d i n a t e f u n c t i o n s a r e c o m p l e t e i n H f t . By n o t i n g t h a t t h e e n e r g y p r o d u c t d e f i n e d by Eq. 5.7 c o n t a i n s f i r s t d e r i v a t i v e s o f t h e d i s -p l a c e m e n t i t i s s u f f i c i e n t t h a t t h e a s s u m e d d i s p l a c e m e n t f i e l d be c o n t i n u o u s t h r o u g h o u t 51. . Thus a f i n i t e e l e m e n t a p p r o x i m a t i o n may g i v e u s e t o s t r e s s d i s c o n t i n u i t i e s a t e l e m e n t b o u n d a r i e s . F u r t h e r i t c a n be n o t e d t h a t t h e b o u n d a r y c o n d i t i o n s p r e s c r i b e d on 5 r and S M c o n t a i n f i r s t o r d e r d e r i v a t i v e s and a r e t h e r e f o r e n a t u r a l . The c o - o r d i n a t e f u n c t i o n s t h e r e f o r e need n o t s a t i s f y t h e s e b o u n d a r y c o n d i t i o n s 78 I f t h e c o - o r d i n a t e f u n c t i o n s a r e c h o s e n f r o m H i . e . i f t h e y h a v e c o n t i n u o u s f i r s t d e r i v a t i v e s , A w h i c h e n s u r e s a c o n t i n u o u s s t r e s s f i e l d , and s a t i s f y a l l t h e b o u n d a r y c o n d i t i o n s , t h e n SI " E q . 5.10 c a n t h e n be w r i t t e n ^ L d Si + cu\rfds ( 5 . 1 1 ) J T h u s i f t h e c o - o r d i n a t e f u n c t i o n s a r e i n Hft i t i s n o t n e c e s s a r y t o e x p r e s s t h e e n e r g y p r o d u c t i n i t s s y m m e t r i c f o r m . In g e n e r a l E q . 5.12 may be w r i t t e n 0 A w h e r e ( 5 . 1 3 b ) 79 5.2 Nonhomogeneous B o u n d a r y C o n d i t i o n s The g o v e r n i n g e q u a t i o n s a r e ( 5 . 1 4 a ) H i = * 5 U (5.14b). ffijrtj = T L ° 6 S x ( 5 . 1 4 c ) a ^ . * <r^ . = c i € 5 M ( 5 . i 4 d ) The a p p r o a c h i n t h i s c a s e i s t o c h a n g e v a r i a b l e s i n s u c h a way t h a t t h e p r o b l e m i s r e d u c e d t o one w i t h homogeneous b o u n d a r y c o n d i t i o n s . T h u s , assume t h a t t h e r e e x i s t s a f u n c t i o n I T , whose c o m p o n e n t s h a v e c o n t i n u o u s f i r s t d e r i v a t i v e s , s u c h t h a t U- = ul  (5' 15a) ffytlj = T l ( 5 . 1 5 b ) Olj/lj + CU ; = Li ( 5 . 1 5 c ) D e f i n e a new v a r i a b l e UL s u c h t h a t Ui ~ UL - u\ ( 5 . 1 6 ) S u b s t i t u t i n g Eq. 5.16 i n t o E q s . 5.14 a n d t a k i n g n o t e o f E q s . 5.15 g i v e s 80 fc:.: = .V. + -L /»" £ * ( 5 . 1 7 a ) J II U; , = 0 £ S„ ( 5 . 1 7 b ) II ^ " j = 0 e 5^  ( 5 . 1 7 c ) ^]nj + CU^ ° ^ Sm (5-17d) Thus i n t e r m s o f a" t h e p r o b l e m has homogeneous b o u n d a r y c o n d i t i o n s , a n d t h e o n l y d i f f e r e n c e f r o m E q s . 5.1 i s t h e i n t r o d u c t i o n o f t h e t e r m 0>. • . I f t h i s t e r m w e r e known MM i t w o u l d be p o s s i b l e t o o b t a i n an a p p r o x i m a t e s o l u t i o n f o r u" and c o n v e r g e n c e w o u l d be e n s u r e d i f t h e c o - o r d i n a t e f u n c t i o n s w e r e c o m p l e t e w i t h r e s p e c t t o t h e s p a c e c o r r e s p o n d i n g t o t h e e n e r g y p r o d u c t g i v e n i n Eq. 5.7. Ass umi ng U T ' = l^if], (5-18) t h e r e q u i r e d G a l e r k i n e q u a t i o n s , f r o m Eq. 4.25, a r e [ V , 4>J ] A - f / r ' - *J) T;i,2'3i: (5-i9) Thus a s o l u t i o n f o r u" c o u l d be o b t a i n e d s u c h t h a t I U i " " U i I 0 ( 5 . 2 0 ) 81 H o w e v e r , a s o l u t i o n may be o b t a i n e d d i r e c t l y f o r w i t h o u t a c t u a l l y k n o w i n g U' . T h i s i s a c c o m p l i s h e d by a s s u m i n g an a p p r o x i m a t i o n f o r t h e c o m p o n e n t s o f i n t h e f o r m J tfT =• ^ aTH ^ T * 1 , 2 1 3 ( 5 . 2 1 ) k = l w h e r e t h e s e t o f f u n c t i o n s / ^ } 1 S c o m p l e t e i n t h e s p a c e c o n s i d e r e d w i t h r e s p e c t t o t h e n o n h o m o g e n e o u s b o u n d a r y c o n d i t i o n s . T h e n as t h e f u n c t i o n aL + uL s a t i s f i e s s u c h n o n h o m o g e n e o u s b o u n d a r y c o n d i t i o n s i t f o l l o w s t h a t t h e r e e x i s t tt . s u c h t h a t I £ _ ( f i - + U- ) I —^  0 os C ^ oo { 5 2 2 ) ' Pi - / - " 1 \ F u r t h e r t h e f u n c t i o n - ( u. L + ; has homogeneous f o r c e d b o u n d a r y v a l u e s a n d t h u s Eq. 5.22 i m p l i e s [ - (a* + ul), e- ] = o ( 5 . 2 3 ) A w h e r e 0^ « ( Qt ) e2 Q3*y i s an a r b i t r a r y f u n c t i o n i n t h e s p a c e c o n s i d e r e d , w i t h homogeneous f o r c e d b o u n d a r y v a l u e s . Thus i n p a r t i c u l a r [ u T - (u-; w i , ft j = o T-i,,., A p = I, • • • L. 82 o r [ * r . 41 ] A - [ U T - u'T , ft ] ( 5 . 2 4 ) Eq. 5.19 c a n t h e r e f o r e be w r i t t e n taT,^T]A - (/;,4>T). [ u ; , ^ r ] A (5. 25) Now f r o m E q . 5.17a si U s i n g E q s . 5.15 and t h e f a c t t h a t j)* = 0 on 5 U g i v e s J ( 5 . 2 6 ) T h u s E q s . 5.26 and 5.7 e n a b l e E q . 5.25 t o be w r i t t e n w h i c h a r e t h e G a l e r k i n e q u a t i o n s t h a t g o v e r n a s o l u t i o n i n H f t when t h e b o u n d a r y c o n d i t i o n s a r e n o n h o m o g e n e o u s . 83 W r i t t e n o u t i n f u l l u s i n g Eq. 5.7 t h e s e e q u a t i o n s become fl r-SI 5M ( 5 . 2 8 ) A 3T i n w h i c h i t has b e e n r e q u i r e d t h a t t h e a p p r o x i m a t e s o l u t i o n f o r g i v e n by Eq. 5.21 s h o u l d s a t i s f y t h e nonhomogeneous f o r c e d b o u n d a r y c o n d i t i o n s a n d t h a t t h e c o - o r d i n a t e f u n c t i o n s (j). s h o u l d s a t i s f y h o mogeneous f o r c e d b o u n d a r y c o n d i t i o n s . J The f o r c e d b o u n d a r y c o n d i t i o n s a r e t h o s e o c c u r i n g on 5 U . In g e n e r a t i n g a f i n i t e e l e m e n t s o l u t i o n t h e r e i s no n e c e s s i t y t o i n t r o d u c e d i f f e r e n t a p p r o x i m a t i o n s c o r r e -s p o n d i n g t o t h e IJJ and § c o - o r d i n a t e f u n c t i o n s . F o r a f i n i t e e l e m e n t a p p r o x i m a t i o n i n t h e c o - o r d i n a t e f u n c -t i o n s a s s o c i a t e d w i t h t h e d e g r e e s o f f r e e d o m t h a t do n o t l i e on 5U s a t i s f y h o mogeneous c o n d i t i o n s on 5 U . E q s . 5.28 a r e s o l v e d by f i r s t s p e c i f y i n g t h e v a l u e s o f t h a t l i e on S u and e l e m i n a t i n g t h e s e a T ^ f r o m t h e e q u a t i o n s . T h e r e m a i n i n g c o - o r d i n a t e f u n c t i o n s s a t i s f y h o mogeneous f o r c e d b o u n d a r y c o n d i t i o n s and t h u s o n l y one s e t o f c o - o r d i n a t e f u n c t i o n s n e e d be i n t r o d u c e d . A s o l u t i o n i n H A c a n be a c h i e v e d by c h o o s i n g c o - o r d i n a t e f u n c t i o n s t h a t s a t i s f y a l l t h e nonhomogeneous b o u n d a r y c o n d i t i o n s and h a v e c o n t i n u o u s 84 f i r s t d e r i v a t i v e s . In t h i s c a s e Eq. 5.28 may be w r i t t e n w h i c h i s t h e same as Eq. 5.13a o b t a i n e d f o r t h e homogen-eo u s b o u n d a r y c o n d i t i o n p r o b l e m . I t r e m a i n s t o d e m o n s t r a t e t h a t t h e a p p r o x i m a t e s o l u t i o n u.^  o b t a i n e d f r o m Eq. 5.28 c o n v e r g e s t o t h e c o r r e c t a n s w e r . U s i n g E q . 5.23 i t i s p o s s i b l e t o w r i t e o r ( 5 . 3 0 ) ( 5 . 3 1 ) A l s o E q . 5.16 may be u s e d t o w r i t e ( 5 . 3 2 ) S u b t r a c t i n g E q . 5.31 f r o m E q . 5.32 g i v e s A A U s i n g t h e C a u c h y B u n y a k o v s k y i n e q u a l i t y g i v e s 85 Eq. 5.20 t h e n i m p l i e s B u t as Q-L i s an a r b i t r a r y f u n c t i o n w i t h homogeneous f o r c e d b o u n d a r y v a l u e s , i t may be s e t e q u a l t o Ui-uc . T h e n [ ULi - UL , U L - U L ] — ^ 0 whence I ~ « i l A 0 ( 5 . 3 3 ) i . e . t h e a p p r o x i m a t e s o l u t i o n t o t h e nonhomogeneous b o u n d a r y c o n d i t i o n p r o b l e m c o n v e r g e s i n t h e norm o f j-J A t o t h e e x a c t s o l u t i o n . T h e e q u a t i o n s g o v e r n i n g a f i n i t e e l e m e n t s o l u t i o n i n H f t may, on t h e b a s i s o f Eq. 5.27, be w r i t t e n as 5? i n w h i c h 5 r , 5 M r e p r e s e n t t h a t p o r t i o n o f t h e b o u n d a r y o f e l e m e n t £ t h a t c o i n c i d e s w i t h 5 T , 5 M r e s p e c t i v e l y . 86 CHAPTER 6 BOUNDARY RESIDUAL CONCEPT AND VIRTUAL WORK • In t h i s c h a p t e r t h e e q u a t i o n s g e n e r a t e d by t h e G a l e r k i n p r o c e d u r e as h a v e b e e n p r e s e n t e d h e r e i n a r e com-p a r e d w i t h t h o s e o b t a i n e d f r o m t h e b o u n d a r y r e s i d u a l c o n c e p t as a p p l i e d t o t h e G a l e r k i n p r o c e d u r e and t o t h o s e o b t a i n e d u s i n g v i r t u a l work p r i n c i p l e s . 6.1 B o u n d a r y R e s i d u a l C o n c e p t An a l t e r n a t e i n t e r p r e t a t i o n o f t h e G a l e r k i n p r o c e d u r e t h a t has b e e n p r e s e n t e d by F i n l a y s o n and S c r i v e n (4) c o n s i d e r s t h a t a b o u n d a r y r e s i d u a l t e r m i s i n c l u d e d w i t h t h e d o m a i n r e s i d u a l i n t h e g o v e r n i n g e q u a t i o n . The unknown p a r a m e t e r s a r e t h e n d e t e r m i n e d s u c h t h a t t h e sum o f t h e s e two r e s i d u a l s i s m i n i m i z e d . S p e c i f i c a l l y , t h e b o u n d a r y r e s i d u a l c o n s i d e r e d i s t h a t o c c u r i n g on t h a t p o r t i o n o f t h e b o u n d a r y on w h i c h t h e n a t u r a l b o u n d a r y c o n d i t i o n s a r e s p e c i f i e d . T hus i f t h e e q u a t i o n a n d n a t u r a l b o u n d a r y c o n d i t i o n s a r e 87 Aij Uj = -Ii £ SI ; i,j = 1,2,3 ( 6 . 1 a ) B;J Uj = pi.° £ 5* (6.1b) t h e r e q u i r e d e q u a t i o n s become (hr)Uj ~ A* + ^Bg "j - p r ° ) ^ ^ S =0, T=-|,<>(3_(6.2) w h e r e t h e c o m p o n e n t s o f t h e a p p r o x i m a t e s o l u t i o n u. h a v e b e e n a s s u m e d t o be U T = Z ^ r f e $k ( 6 . 3 ) and t h i s a p p r o x i m a t i o n s a t i s f i e s t h e f o r c e d b o u n d a r y c o n d i t i ons . I t w i l l be shown t h a t s u c h an a p p r o a c h l e a d s t o t h e same e q u a t i o n s as h a v e b e e n d e v e l o p e d h e r e i n f o r a s o l u t i o n i n H° b u t t h a t d i f f e r e n t e q u a t i o n s a r e o b t a i n e d i n i f t h e f o r c e d b o u n d a r y c o n d i t i o n s a r e n o t h o m o g e n e o u s . C o n s i d e r a g a i n t h e n o nhomogeneous p r o b l e m d e f i n e d by E q s . 5.14. The e q u a t i o n s o b t a i n e d by t h e a p p l i c a t i o n o f t h e b o u n d a r y r e s i d u a l c o n c e p t a r e 88 si f(j T.nj + c u T - CT° j fk J s = o , T * 1,2,3r ( 6 . 4 ) F i r s t c o n s i d e r t h e g e n e r a t i o n o f a s o l u t i o n i n . As was m e n t i o n e d i n C h a p t e r 5 t h e c o - o r d i n a t e f u n c t i o n s m ust t h e n be s u c h t h a t t h e s t r e s s e s a r e c o n t i n u o u s t h r o u g h o u t t h e d o m a i n and a l l t h e b o u n d a r y c o n d i t i o n s a r e s a t i s f i e d . U n d e r t h e s e c o n d i t i o n s E q . 6.4 r e d u c e s t o 5 2 . = 'JL ( 6 . 5 ) 'SL w h i c h c o i n c i d e s w i t h Eq. 5.29. Thus t h e b o u n d a r y r e s i d u a l c o n c e p t g i v e s t h e same e q u a t i o n s as d o e s t h e G a l e r k i n p r o c e d u r e i f t h e s o l u t i o n i s s o u g h t i n n A . I f a s o l u t i o n i s r e q u i r e d i n H A t h e r e q u i r e d e q u a t i o n s d e r i v e d on t h e b a s i s o f t h e b o u n d a r y r e s i d u a l c o n c e p t c a n be o b t a i n e d by a p p l y i n g G a u s s ' t h e o r e m t o Eq. 6.4. T h i s g i v e s + ( 6 . 6 ) 89 T h e r e f o r e n ^ ftJ sz + C/T <j£ Ji '52. 4 fdXTfkd SI ( 6 . 7 ) cr nuT° ds S a d ' w h i c h c o r r e s p o n d s t o Eq. 5.28 o n l y i f t h e f o r c e d b o u n d a r y c o n d i t i o n s a r e h o m o g e n e o u s . The b o u n d a r y r e s i d u a l c o n c e p t , as p r e s e n t e d h e r e i n , w o u l d a p p e a r t o be an a t t e m p t t o e x p r e s s t h e G a l e r k i n e q u a t i o n s i n a f o r m i n w h i c h c o - o r d i n a t e f u n c t i o n s f r o m a r e a d m i s s a b l e by a more i n t u i t i v e a p p r o a c h t h a n has b e e n p r e s e n t e d i n t h i s t h e s i s . However t h e a p p r o a c h i s n o t e n t i r e l y c o r r e c t and s h o u l d be m o d i f i e d somewhat. The r e q u i r e d m o d i f i c a t i o n s w o u l d be t o e x p r e s s t h e a s s u m e d s o l u t i o n i n E q . 6.2 i n t h e f o r m tt'l ( 6 . 8 ) T h i s a p p r o x i m a t i o n i s r e q u i r e d t o s a t i s f y t h e n o n h o m o g e n e o u s f o r c e d b o u n d a r y c o n d i t i o n s , w h e r e a s t h e c o - o r d i n a t e f u n c t i o n s <j>^ s h o u l d s a t i s f y homogeneous f o r c e d b o u n d a r y c o n d i t i o n s . T h e n i n t e g r a t i n g E q . 6.2 by p a r t s r e s u l t s i n t h e c o r r e c t e q u a t i o n as g i v e n by E q . 5.28. In t h i s c a s e t h e p h y s i c a l i n t e r p r e t a t i o n o f E q . 6.2 i s t h a t t h e d o m a i n r e s i d u a l p l u s t h e r e s i d u a l on t h a t p o r t i o n o f t h e b o u n d a r y c o r r e s p o n d i n g 90 t o t h e n a t u r a l b o u n d a r y c o n d i t i o n s a r e made o r t h o g o n a l t o a f i n i t e number o f d i s p l a c e m e n t s t h a t s a t i s f y homogen-e o u s f o r c e d b o u n d a r y c o n d i t i o n s . 6.2 V i r t u a l Work The p r i n c i p l e o f v i r t u a l work s t a t e s t h a t f o r any s y s t e m i n e q u i l i b r i u m t h e i n t e r n a l and t h e e x t e r n a l work p e r f o r m e d by t h e e x i s t i n g s t r e s s s y s t e m as t h e body moves t h r o u g h any c o m p a t i b l e v i r t u a l d i s p l a c e m e n t s h o u l d be e q u a l . A c o m p a t i b l e d i s p l a c e m e n t i s one t h a t s a t i s f i e s h omogeneous f o r c e d b o u n d a r y c o n d i t i o n s and e n s u r e s c o n -t i n u i t y o f t h e p r i n c i p a l d e r i v a t i v e s i . e . t h o s e d e r i v a t i v e s o f o r d e r l e s s t h a n m. i f t h e g o v e r n i n g e q u a t i o n has d e r i v a t i v e s o f maximum o r d e r 2m . S u c h a d i s p l a c e m e n t f u n c t i o n i s a l l o w a b l e i n H A , and f u r t h e r , as was p r e s e n t e d i n C h a p t e r 4.3, a s e t o f s u c h f u n c t i o n s c a n be c o m p l e t e i n A p p l y i n g t h e v i r t u a l w ork p r i n c i p l e t o E q s . 5.14 g i v e s ( 6 . 9 ) + T= /, s, 3 J 91 w h e r e t h e body has b e e n g i v e n a c o m p a t i b l e v i r t u a l d i s p l a c e -ment SuT whence i t i s c o n t i n u o u s t h r o u g h o u t t h e w h o l e d o m a i n and S U T = O on 5 U . In t h i s e q u a t i o n CTj r e p r e -s e n t s t h e e q u i l i b r i u m s t r e s s f i e l d i . e . t h a t s t r e s s f i e l d t h a t s a t i s f i e s E q s . 5.14. The p r i n c i p l e o f v i r t u a l work s t a t e s t h a t E q . 6.9 must h o l d f o r any £ u T . Not e t h a t as 0" Tj i s s y m m e t r i c J -^(°TjSuTfj + 0>jSiijfT)dsi =• U K J S U T . J + C T T J S U T , J ) dsi ST. J 52-Thus E q . 6.9 can be w r i t t e n (<rT|. 8uTfj - /a^SO dsi - TT°SuTds J J I J 5 T ( 6 . 1 0 ) (- cuT + Cr) §urds = O w h e r e t h e f a c t t h a t t h e s t r e s s f i e l d s a t i s f i e s Eq. 5.14d has b e e n u s e d . As S Ur i s a r b i t r a r y l e t T T = 1,2,3 whence and t h e cj>£ must be c o n t i n u o u s and s a t i s f y homogeneous f o r c e d b o u n d a r y c o n d i t i o n s . I f t h e c o - o r d i n a t e f u n c t i o n s I , . . . . LT r e p r e s e n t e d a l l p o s s i b l e d e g r e e s o f f r e e d o m o f t h e s y s t e m t h e n i n E q . 6.10 i t w o u l d be a l l o w a b l e t o 92 r e p l a c e t h e S u T w i t h cj)^ and t h e s t r e s s s y s t e m w o u l d s t i l l c o r r e s p o n d t o t h e e x a c t o n e . However as t h e c o -o r d i n a t e f u n c t i o n s i n g e n e r a l do n o t r e p r e s e n t a l l p o s s i b l e d e g r e e s o f f r e e d o m o f t h e s y s t e m an a p p r o x i m a t e s t r e s s f i e l d c r T j i s o b t a i n e d w h i c h i s d e f i n e d by si c 5 M uT $ d s = f T I T X^ldsi. + TT°cj)R Js + cTef* i ( 6 . "a 15 T = ' i 2 . 3 Thus T h i s e q u a t i o n i s t h e same as Eq. 5.28. f o r t h e t y p e o f e q u a t i o n s c o n s i d e r e d t h e e q u a t i o n s d e v e l o p e d by v i r t u a l work c o r r e s p o n d t o t h o s e g e n e r a t e d by t h e G a l e r k i n p r o c e d u r e . 93 CHAPTER 7 F I N I T E ELEMENT SOLUTION OF A NON-SYMMETRIC PROBLEM The p r o b l e m c o n s i d e r e d i s t h a t o f p a n e l f l u t t e r as a n a l y s e d by O l s o n ( 1 4 ) u s i n g f i n i t e e l e m e n t s . T h i s a n a l y s i s was a c h i e v e d u s i n g v i r t u a l work p r i n c i p l e s and a l t h o u g h no c o n v e r g e n c e p r o o f was p r e s e n t e d t h e a c c u r a c y o f t h e r e s u l t s was j u s t i f i e d by t h e a g r e e m e n t o b t a i n e d i n c o m p a r i s o n w i t h known s o l u t i o n s . The c o n c e p t s ' p r e s e n t e d h e r e i n e n a b l e t h e c o n v e r g e n c e o f h i s a n a l y s i s t o be p r o v e n , as w i l l be d e m o n s t r a t e d i n t h e f o l l o w i n g d i s -c u s s i o n . The p r o b l e m c o n c e r n s t h e b e h a v i o u r o f a p a n e l o v e r w h i c h a s u p e r s o n i c a i r s t r e a m f l o w s i n t h e p o s i t i v e /| d i r e c t i o n . The s p e c i f i c q u e s t i o n i s t h a t o f d e t e r m i n i n g t h e c o n d i t i o n s u n d e r w h i c h t h e m o t i o n o f t h e p a n e l becomes u n s t a b l e . The p a n e l i s a s s u m e d t o be a s t r e s s f r e e p l a t e and o n l y one d i m e n s i o n a l d e f o r m a t i o n s a r e c o n s i d e r e d . N e g l e c t i n g t h e e f f e c t o f t h e a i r e n t r a p p e d b e l o w t h e p a n e l 94 t h e d i f f e r e n t i a l e q u a t i o n and b o u n d a r y c o n d i t i o n s g o v e r n i n g i n f i n i t e s i m a l m o t i o n o f a s i m p l y s u p p o r t e d p a n e l a r e ( 1 4 ) £!v + 5.2Y + & t i z i k 3V + rn_L + £ V * O ( 7 . 1 a ) Yfr) = Yfij - YVO) = Y'Y') = 0 ( 7 . 1 b ) t A [ *" 3 w h e r e m. i s t h e p a n e l mass p e r u n i t a r e a , g_ t h e d y n a m i c p r e s s u r e , U t h e f r e e s t r e a m v e l o c i t y , M f f l t h e f r e e s t r e a m Mach number, D t h e p l a t e b e n d i n g r i g i d i t y a n d y~ <W-» x~ QJL- , B~ <?q_ L3JD(-^~i)'^ ' a r e t h e non d i m e n s i o n a l d e f l e c t i o n , s t r e a m w i s e c o - o r d i n a t e , and a e r o d y n a m i c p a r a m e t e r , r e s p e c t i v e l y . A s s u m i n g a s o l u t i o n i n t h e f o r m Y = ( 7 - 2 ) wh e r e , i n g e n e r a l , cK i s a c o m p l e x number oc - + , E q . 7.1 becomes //// Be/' - Au = 0 ( 7 . 3 a ) .(f . •+ Q tf  ij95 yM= f(°)* tfO) = O ( 7 . 3 b ) w h e r e A i s an e i g e n v a l u e o f t h e f o r m )\ = - B f L / u ) n M ; - 2 ) / f M w - l ) j o i - ( W L ' / D ) * * ( 7 . 4 ) Thus t h e p r o b l e m r e d u c e s t o t h e d e t e r m i n a t i o n o f t h e e i g e n v a l u e s o f t h e n o n - s y m m e t r i c E q s . 7.3 u s i n g a f i n i t e e l e m e n t a p p r o x i m a t i o n . F i r s t c o n s i d e r t h e s i m p l i f i e d e q u a t i o n t h a t i s o b t a i n e d i f B= O . E q s . 7.3 t h e n become if'"1 - > Lj = O ( 7 . 5 a ) - i/'Vo) s </"(') = 0 ( 7 . 5 b ) In t h i s c a s e t h e o p e r a t o r A i s g i v e n by A = i 4 ( 7 . 6 ) <LK+ U s i n g Eq. 7.5b i n c a n r e a d i l y be v e r i f i e d t h a t /Au,r) = Cu , /J = f ' u V i * L>,o7 ( 7 ' 7 ) 96 whence t h e o p e r a t o r i s s y m m e t r i c . I t i s a l s o p o s i t i v e b o u n d e d b e l o w as c a n be s e e n f r o m t h e f o l l o w i n g d e v e l o p -ment. I f A 2 £ X I » fuYx,)- u'ta.))' = ( J " i . u"ft) A ) J u J X 4 e The same i n e q u a l i t y r e s u l t s i f X, ^  X £ . Thus u ( x f + l i f e ) 2 - aa'(x,)uYx£) j ' u V O ^ t o o Jo Jo J o As t h e f u n c t i o n u i s i n B . u(o) = u ( l ) = o , whence J o J o ( 7 . 8 ) Now whence Jo U.M2 = ( j \ a70dt)' 97 u(x)2dx 4 x dx u W 2 ^ X * J . f a llh)2dt ( 7 . 9 ) E q s . 7.8 and 7.9 i m p l y f'u(x)2cJx ^ i f u 'M^x R e c a l l f a , u j = | u a d x and f r o m Eq. 7.7 f Aut u) = f ( u / f d x o J o T h u s f « ,<* ) « i (Au,u) and t h e o p e r a t o r i s s e e n t o be p o s i t i v e b o u n d e d b e l o w . The e q u a t i o n s g o v e r n i n g a f i n i t e e l e m e n t s o l u t i o n o f E q s . 7.5 a r e g i v e n by Eq. 4.29 i f K i s t h e i d e n t i t y o p e r a t o r . F o r t h i s p r o b l e m t h e y become latf(titi'->$it))dx~o, j . . , - " ( 7 . 1 0 ) k'l Jo i n w h i c h an a p p r o x i m a t e s o l u t i o n f o r ij w i t h i n e a c h e l e m e n t has b e e n a s s u m e d t o be _ € ft i « . H = 1 Q f e <f* ( 7 . 1 1 ) k=7 98 E q . 7.10 c o r r e s p o n d s t o t h a t d e v e l o p e d i n ( 1 4 ) u s i n g v i r t u a l work p r i n c i p l e s . The r e q u i r e d e i g e n v a l u e s a r e o b t a i n e d by s e t t i n g t h e c o e f f i c i e n t m a t r i x o f Eq. 7.10 e q u a l t o z e r o . From t h e r e s u l t s o f C h a p t e r 4 c o n v e r g e n c e o f t h e e i g e n v a l u e s and e i g e n v e c t o r s i n Hft i s e n s u r e d i f t h e c o - o r d i n a t e f u n c t i o n s a r e c o m p l e t e i n HA . The e n e r g y p r o d u c t i n Hfi i s g i v e n by Eq. 7.7 and i n v o l v e s d e r i v a t i v e s o f o r d e r two. T h u s f u n c t i o n s i n HA must h a v e g e n e r a l i z e d s e c o n d d e r i v a t i v e s and h e n c e c o n t i n u o u s f i r s t d e r i v a t i v e s . The f i n i t e e l e m e n t a p p r o x i m a t i o n must t h e r e f o r e e n s u r e s l o p e c o n t i n u i t y a c r o s s e l e m e n t b o u n d a r i e s and be s u c h t h a t t h e f o r c e d b o u n d a r y c o n d i t i o n s a r e s a t i s f i e d . S uch e l e m e n t s w i l l t h e n g i v e a s o l u t i o n t h a t c o n v e r g e s t o t h e c o r r e c t a n s w e r i f t h e y a r e c o m p l e t e i n HA . A s u f f i c i e n t c o n d i t i o n f o r c o m p l e t e n e s s ( s e e C h a p t e r 4) i s t h a t t h e e l e m e n t a p p r o x i m a t i o n s be b a s e d upon a c o m p l e t e p o l y n o m i a l o f o r d e r n o t l e s s t h a n two. In t h e a b o v e m e n t i o n e d p a p e r t h e s e c o n d i t i o n s a r e a l l s a t i s f i e d by c h o o s i n g an e l e m e n t a p p r o x i m a t i o n t h a t i s b a s e d upon 99 and by c h o o s i n g d e g r e e s o f f r e e d o m t h a t c o r r e s p o n d t o d e f l e c t i o n s and r o t a t i o n s a t e a c h end o f t h e e l e m e n t . T h u s c o n v e r g e n c e i n hfi i s e n s u r e d and t h e r e s u l t s o b t a i n e d i l l u s t r a t i n g t h e m o n o t o n i c c o n v e r g e n c e a c t u a l l y f o u n d a r e r e p r o d u c e d i n T a b l e 7.2. S u c h c o n -v e r g e n c e c o u l d h a v e been p r e d i c t e d f r o m t h e c o n v e r g e n c e p r o p e r t i e s o f t h e R a y l e i g h - R i t z p r o c e d u r e . However i n t h e c a s e w h e r e t h e a e r o d y n a m i c p a r a m e t e r B i s n o n - z e r o t h e o p e r a t o r i n E q . 7.3 becomes A = + B i ( 7 . 1 3 ) w h i c h i s n o n - s y m m e t r i c and t h e R a y l e i g h - R i t z p r o c e d u r e i s n o t a p p l i c a b l e , w h e r e a s t h e G a l e r k i n p r o c e d u r e may s t i l l be u s e d . In o r d e r t o be e n s u r e d o f c o n v e r g e n c e E q . 7.3a c a n be e x p r e s s e d i n a f o r m t h a t c o r r e s p o n d s t o E q . 3.43, f o r w h i c h c o n v e r g e n c e c r i t e r i a a r e known, i n t h e f o l l o w i n g m a n n e r . L7 - > T t j = O ( 7 . 1 4 ) 1 00 w h e r e T = r l* + B A i F u r t h e r , i n o r d e r t o a p p l y t h e r e s u l t s d e v e l o p e d w i t h r e s p e c t t o E q . 3.43 i t i s n e c e s s a r y t o show t h a t T i s c o m p l e t e l y c o n t i n u o u s . To do t h i s c o n s i d e r t h e e q u a t i o n ( 7 . 1 5 ) U + E> U ( 7 . 1 6 ) u n d e r t h e b o u n d a r y c o n d i t i o n s 7.3b. jj? i s some a r b i t r a r y f u n c t i o n o f X .• Now i f a = ( 7 . 1 7 ) t h e n G(x,£) i s known as t h e Green's f u n c t i o n c o r r e s p o n d -i n g t o Eq. 7.16. I f G(x,i) i s s u c h t h a t ° f 6(x,f)* dx di < ( 7 . 1 8 ) t h e n T i s c o m p l e t e l y c o n t i n u o u s i n L 2 ( J I ) ( 9 ) s i n c e U = ( 7 . 1 9 ) I t w i l l be d e m o n s t r a t e d t h a t E q . 7.18 i s v a l i d and t h u s t h a t T i s c o m p l e t e l y c o n t i n u o u s . 101 The e x i s t e n c e o f a G r e e n ' s f u n c t i o n i s e n s u r e d i f E q . 7.16 has a u n i q u e s o l u t i o n f o r a r b i t r a r y J£ , w h i c h i s t h e c a s e i f t h e homogeneous e q u a t i o n has a u n i q u e s o l u t i o n . The g e n e r a l s o l u t i o n o f t h e homogeneous e q u a t i o n c a n be f o u n d by a s s u m i n g U. = C^JL ( 7 . 2 0 ) w h i c h when s u b s t i t u t e d i n t o t h e e q u a t i o n g i v e s fm 3-r B )m - 0 m=0, a ( i + L / 3 ) , - a , 2 £ w h e r e Thus u = C, + Cd e + C3 £ + C 4 e w h i c h may be w r i t t e n -ax _ ax/2 _ _ ax/s r- (7 21) ii - D, + D 3 e + IXC cosv/lax + ILC siaf3axK 1 w h e r e t h e D's a r e c o n s t a n t s and a r e c o m b i n a t i o n s o f t h e C%s . A p p l y i n g t h e b o u n d a r y c o n d i t i o n s l e a d s t o a s e t o f f o u r s i m u l t a n e o u s e q u a t i o n s f o r t h e D , w h i c h was shown n u m e r i c a l l y t o have a u n i q u e s o l u t i o n f o r a l l B o f i n t e r e s t . Table 7.1 i l l u s t r a t e s t h e r e l a t i o n s h i p b e t w e e n 102 AERODYNAMIC PARAMETER B DETERMINANT VALUE 614.12 -69,121 . 512.00 -41 ,487. 421.87 - 2 4 , 6 9 0 . 343.00 - 1 4 , 5 7 3 . 274.62 - 8,556. 216.00 - 5,034. 166.37 - 3,006. 125.00 - 1 ,850. 91.12 - 1 ,190. 64.00 800. 42.87 556. 27.00 388. 8.00 167 . 1 .00 42. 0.12 10. T A B L E 7.1 DETERMINANT VALUE VERSUS AERODYNAMIC PARAMETER 103 t h e d e t e r m i n a n t o f t h e m a t r i x and B . T hus Eq. 7.16 has a u n i q u e s o l u t i o n f o r a r b i t r a r y J? ; whence t h e G r e e n ' s f u n c t i o n e x i s t s . F u r t h e r t h e G r e e n ' s f u n c t i o n f o r t h e p r o b l e m i s c o n s t r u c t e d , by d e f i n i t i o n , s u c h t h a t i t s a t i s f i e s t h e f o l l o w i n g c o n d i t i o n s . d 4 6 (x ,r) + 6 d G ( x , s ) = O , o<x<i ( 7 . 2 2 a ) 6(0,f) = Gn(o,f) = O ( 7 . 2 2 b ) •+ B ^_GU±l) = ° 7 f<x<\ ( 7 . 2 2 c ) 3X' 5>x ( 7 . 2 2 d ) F u r t h e r G (x, f) 9 G'(x,f), 6"(x, f) m u s t be con-t i n u o u s a t X* € and 6 ~r o 6 fx, i) dx3 - 336(x,f) dx2 = 1 ( 7 . 2 2 e ) Th e c o n t i n u i t y o f t h e g e n e r a l s o l u t i o n g i v e n i n E q . 7.21 and t h e a b o v e d e f i n i t i o n s e n s u r e t h e c o n t i n u i t y o f t h e G r e e n ' s f u n c t i o n f o r t h e p r o b l e m . T h e r e f o r e as a c o n t i n u o u s f u n c t i o n d e f i n e d on a c l o s e d b o u n d e d i n t e r v a l i s b o u n d e d i t f o l l o w s t h a t E q . 7.18 h o l d s . T hus t h e o p e r a t o r T i s c o m p l e t e l y c o n t i n u o u s i n t h e s p a c e o f f u n c t i o n s t h a t a r e 104 s q u a r e summable o v e r £ 0, IJ , and t h u s i t i s c o m p l e t e l y c o n t i n u o u s i n H A . C h o o s i n g c o - o r d i n a t e f u n c t i o n s t h a t a r e c o m p l e t e i n H A , as O l s o n d i d , t h u s e n s u r e s t h e c o n v e r g e n c e o f t h e e i g e n v a l u e s and e i g e n v e c t o r s o f E q s . 7.3 when t h e g o v e r n i n g e q u a t i o n s a r e g e n e r a t e d by t h e G a l e r k i n o r v i r t u a l work p r o c e d u r e s . The s o l u t i o n o f t h e p r o b l e m i s c h a r a c t e r i z e d by t h e f a c t t h a t t h e two l o w e s t e i g e n v a l u e s a r e r e a l and d i s t i n c t f o r a l l v a l u e s o f B l e s s t h a n t h e c r i t i c a l v a l u e B C R w h i c h f i r s t c a u s e s f l u t t e r ; b u t t h e y a p p r o a c h e a c h o t h e r and c o a l e s c e t o A C R when E> = B C R . T a b l e 7.3 r e p r o d u c e s t h e r e s u l t s o b t a i n e d and d e m o n s t r a t e s t h e c o n v e r g e n c e o b t a i n e d f o r B C R and ) t c R . In t h i s c a s e i t i s n o t e d t h a t t h e c o n v e r g e n c e i s n o t m o n o t o n i c . The r e q u i r e d G a l e r k i n e q u a t i o n s a r e o b t a i n e d d i r e c t l y f r o m a p p l i c a t i o n o f t h e p r o c e d u r e t o Eq. 7.3a. In t e r m s o f a f i n i t e e l e m e n t a p p r o x i m a t i o n t h e e q u a t i o n s a r e £ < - > > # # J < / X = O , ( 7 - 2 3 ) w h i c h c o r r e s p o n d t o t h o s e d e r i v e d by O l s o n on t h e b a s i s o f v i r t u a l work p r i n c i p l e s . 105 T o t a l Number o f E l e m e n t s F i r s t E i g e n v a l u e X % E r r o r S e c o n d E i g e n v a l u e % E r r o r 1 2 3 4 E x a c t V a l u e 120 .00 23.6 98 .18 0.79 97 .57 0.16 97 .46 0.05 97.41 2520.00 1920.00 1 595 .61 1570.87 1558.55 61 .5 23.1 2.38 0.79 TA B L E 7.2, EIGENVALUE RESULTS WHEN B=0 T o t a l Number o f E l e m e n t s 1 2 3 4 E x a c t V a l ue B CR 453.56 398.54 340.72 342.34 343.36 'CR % E r r o r 32.10 16.07 - 0.77 - 0.30 A CR 1320.00 1206.31 1027.85 1043.46 1051.80 CR % E r r o r 25.50 14.69 - 2.28 - 0.79 TA B L E 7.3, EIGENVALUE COALESCENCE RESULTS 1 06 CHAPTER 8 A F I N I T E ELEMENT SOLUTION OF THE LINEAR  VISCOUS FLOW PROBLEM In t h i s c h a p t e r a f i n i t e e l e m e n t s o l u t i o n w i l l be d e v e l o p e d f o r t h e two d i m e n s i o n a l f l o w o f an i n c o m p r e s -s i b l e v i s c o u s f l u i d i n w h i c h i n e r t i a l e f f e c t s may be n e g l e c t e d i n c o m p a r i s o n t o v i s c o u s e f f e c t s . The d e v e l o p -ment f u r t h e r i l l u s t r a t e s t h e a p p l i c a t i o n o f t h e G a l e r k i n p r o c e d u r e t o p r o b l e m s i n v o l v i n g more t h a n one d e p e n d e n t v a r i a b l e . A programme i s w r i t t e n t h a t g e n e r a t e s a s o l u t i o n i n t h e s p a c e , w h i c h i s b a s e d upon minimum c o n v e r g e n c e r e q u i r e m e n t s . C o m p a r i s o n w i t h known s o l u t i o n s a r e p r e s e n t e d t h a t i l l u s t r a t e t h e c o n v e r g e n c e o b t a i n e d . 8.1 G e n e r a t i o n o f E q u a t i o n s G o v e r n i n g a F i n i t e E l e m e n t S o l u t i o n The e q u a t i o n s g o v e r n i n g t h e f l o w o f an i n c o m p r e s -s i b l e v i s c o u s f l u i d a r e 107 ( i ) E q u i l i b r i u m TJt Oij.flj = V € ST ( 8 ' L B > ( i i ) C o n s t i t u t i v e ( i i i ) C o m p a t i b i l i t y 4j = ^ ( V i . j + V ^ ) £ SI ( 8 . 3 a ) - v £ . ^ 0 £52 ( 8 . 3 b ) V; - VL° 6 Sy (8-3c) i n w h i c h V- i s t h e v e l o c i t y , D / D t t h e m a t e r i a l d e r i v a -t i v e , p t h e d e n s i t y , d^. t h e s t r a i n r a t e t e n s o r , t h e c o e f f i c i e n t o f v i s c o s i t y , p t h e h y d r o s t a t i c p r e s s u r e , and Sy t h a t p o r t i o n o f t h e b o u n d a r y on w h i c h t h e v e l o c i t y i s s p e c i f i e s . Eq. 8.3b s p e c i f i e s t h a t t h e f l o w be i n c o m -p r e s s i b l e . F o r m u l a t i n g t h e p r o b l e m i n t e r m s o f t h e v e l o c i t y and p r e s s u r e g i v e s t h e w e l l known N a v i e r - S t o k e s e q u a t i o n s : -Dfc 108 t o g e t h e r w i t h t h e c o n s t r a i n t o f i n c o m p r e s s i b i 1 i t y . I f t h e r a t i o o f t h e i n e r t i a ! f o r c e s t o t h e v i s c o u s f o r c e s i s s m a l l c o m p a r e d t o u n i t y t h e n t h e s y s t e m o f e q u a t i o n s t o be s o l v e d c a n be r e d u c e d t o -MVW/ +viu, ) + P.. = p>*i 6 5 2 ( 8 ' 5 a ) - V j . j = O a SI ( 8 . 5 b ) 0-.. a,- = T° 6 5T (8-5c) L) 1 V £ = V-' e S v ( 8 . 5 d ) o A d e t a i l e d d i s c u s s i o n o f t h e r a n g e o f a p p l i c a b i l i t y o f t h e s e e q u a t i o n s may be f o u n d i n S c h l i c h t i n g ( 1 5 ) . E q s . 8.5 may be p l a c e d i n t o c o r r e s p o n d e n c e w i t h t h e g e n e r a l s y s t e m o f e q u a t i o n s . ( 8 . 6 ) w h e r e = < u>,, w£ , uj 3 > = < V | , vt , p > ( 8 . 7 ) T h r o u g h t o u t t h i s s e c t i o n r e p e a t e d s u b s c r i p t s n , m. w i l l be summed 1, 2, 3 and r e p e a t e d s u b s c r i p t s ^ , j w i l l be summed 1, 2. 109 N o t e t h a t Eq. 8.5b i s i n c l u d e d as one o f t h e e q u a t i o n s t o w h i c h t h e G a l e r k i n p r o c e d u r e i s t o be a p p l i e d . In t h i s c a s e t h e r e s i d u a l i s a v e c t o r w i t h t h r e e com-p o n e n t s w h i c h a r e vrn ' 'ma jm The G a l e r k i n p r o c e d u r e t h e n s p e c i f i e s t h a t t h i s r e s i d u a l v e c t o r s h o u l d be made o r t h o g o n a l t o a r b i t r a r y v a r i a t i o n s o f t h e a s s u m e d v e c t o r OJ^ . The r e q u i r e d e q u a t i o n s a r e where u ; ^ i s a r b i t r a r y and t h e r e f o r e t h i s e q u a t i o n may be w r i t t e n A ( V r , Zr ) = ( Kn.^^- {') Aa = O ( 8 . 1 0 ) T - 1 , 2 , 3 w h e r e L O t i s an a r b i t r a r y v a r i a t i o n o f t h e T t h c o m p o n e n t o f U)^ . Once a g a i n i t i s c o n v e n i e n t n o t t o i n t e r p r e t txJ„ i n t e r m s o f E q s . 8.5 b u t i n s t e a d t o u s e ™ T J ' J - ~vio (8'llb) n o The e n e r g y p r o d u c t f o r t h i s m a t r i x o f o p e r a t o r s w i t h r e s p e c t t o homogeneous b o u n d a r y c o n d i t i o n s i s ( 8 . 1 2 ) si i n w h i c h (7.. i s t h e s t r e s s t e n s o r c o r r e s p o n d i n g t o U>a and J If m ( 8 . 1 3 ) R e a r r a n g i n g , a p p l y i n g G a u s s ' t h e o r e m and m a k i n g u s e o f t h e s y m m e t r y o f 0^- g i v e s SI T h u s t h e o p e r a t o r i s s y m m e t r i c and t h e r e f o r e a v a r i a t i o n a l f o r m u l a t i o n e x i s t s , as has b e e n d e v e l o p e d by J o h n s o n ( 5 ) . However t h e i n t r o d u c t i o n o f s u c h a f u n c t i o n a l i s u n n e c e s s a r y as t h e f o l l o w i n g d e r i v a t i o n i l l u s t r a t e s . From t h e s y m m e t r y p r o o f t h e e n e r g y p r o d u c t o f t h e o p e r a t o r i s I l l 5i The a p p r o p r i a t e f i n i t e e l e m e n t e q u a t i o n s c a n be d e r i v e d f r o m Eq. 5.27 by a s s u m i n g t h a t t h e a p p r o x i m a t e s o l u t i o n w i t h i n e a c h e l e m e n t i s UJ w h e r e - e hi T =1,2. ( 8 . 1 5 a ) - € T h e n u s i n g E q . 8.14 i t c a n be s e e n t h a t ( 8 . 1 5 b ) 51* .si. The r e q u i r e d e q u a t i o n s , f r o m Eq. 5.27, may be w r i t t e n ( 8 . 1 6 a ) ( 8 . 1 6 b ) (h Kj + V ) Cj - P* - [ptrfil* + ( T T * ^ - ( 8 - ' 7 a ) T - I , * 112 C o n v e r g e n c e o f t h e a p p r o x i m a t e s o l u t i o n g e n e r a t e d by E q s . 8.17 i s e n s u r e d i f t h e c o - o r d i n a t e f u n c t i o n s a r e c o m p l e t e i n HA . From E q . 8.14 i t c a n be s e e n t h a t t h e e n e r g y p r o d u c t i n v o l v e s d e r i v a t i v e s o f v, and v a o f o r d e r o n e , and z e r o o r d e r d e r i v a t i v e s o f p . D e n o t e t h e maximum o r d e r d e r i v a t i v e o f oJT ( t h e T c o m p o n e n t o f t h e unknown f u n c t i o n u> ), o c c u r i n g i n t h e e n e r g y p r o d u c t by m T ; t h e n m,= m e = I , rn 3 = 0 . O l i v e i r a ' s work p r o v e s c o m p l e t e n e s s i f t h e e l e m e n t s e n s u r e c o n t i n u i t y o f t h e m T - l d e r i v a t i v e s and t h e a p p r o x i m a t i o n f o r e a c h com-p o n e n t w i t h i n e a c h e l e m e n t i s b a s e d upon a c o m p l e t e p o l y -n o m i a l o f d e g r e e n o t l e s s t h e n m T . Th u s i t i s s u f f i c i e n t t h a t t h e c o - o r d i n a t e f u n c t i o n s f o r tu, = V, and uJ a = K4 be b a s e d upon a f i r s t o r d e r p o l y n o m i a l and e n s u r e c o n t i n u i t y o f t h e v e l o c i t y . The c o - o r d i n a t e f u n c t i o n s f o r u u 3 = p n e e d o n l y be b a s e d upon a z e r o o r d e r p o l y n o m i a l . Thus t h e p r e s s u r e a p p r o x i m a t i o n w i t h i n e a c h e l e m e n t may be a c o n -s t a n t , and n e e d n o t e n s u r e any c o n t i n u i t y b e t w e e n e l e m e n t s . F u r t h e r i t c a n be n o t e d t h a t b o u n d a r y c o n d i t i o n s t h a t i n v o l v e t h e p r e s s u r e o r f i r s t d e r i v a t i v e o f t h e v e l o c i t y a r e t h e n a t u r a l b o u n d a r y c o n d i t i o n s . Hence t h e b o u n d a r y 11 3 c o n d i t i o n on Sy i s t h e o n l y f o r c e d b o u n d a r y c o n d i t i o n . The a p p r o x i m a t e s o l u t i o n u J a , o r more p r e c i s e l y t h e c o m p o n e n t s V, and Vz , must t h e r e f o r e s a t i s f y t h i s f o r c e d b o u n d a r y c o n d i t i o n . I f a c o m p l e t e s e t o f f u n c t i o n s i s c h o s e n f r o m Hft t h e n as i n C h a p t e r 5.2 i t i s n o t n e c e s s a r y t o e x p r e s s t h e e n e r g y p r o d u c t i n i t s s y m m e t r i c f o r m . In t h i s c a s e f r o m Eq. 8.12 i t c a n be s e e n K J./I'- P ' O . J W si si ( 8 . 1 8 ) whence A , T J ' J Y k T = I, 2. ( 8 . 1 9 a ) w > 0 e.3 A ( 8 . 1 9 b ) The r e q u i r e d e q u a t i o n s f o r a s o l u t i o n i n a r e t h e n o b t a i n e d f r o m E q . 5.30: O te-- I,-- - N £»(,...£" ( 8 . 2 0 b ) 114 F o r a f i n i t e e l e m e n t s o l u t i o n i n H* t h e e l e m e n t s must e n s u r e c o n t i n u i t y o f t h e p r e s s u r e and o f t h e f i r s t d e r i v a t i v e s o f t h e v e l o c i t y . The d e v e l o p m e n t o f an e l e m e n t t o s a t i s f y t h e p r e s s u r e r e q u i r e m e n t p r e s e n t s no p r o b l e m ; t o d e r i v e an e l e m e n t t h a t s a t i s f i e s t h e v e l o c i t y r e q u i r e m e n t s i s somewhat more c o m p l i c a t e d b u t s u c h an e l e m e n t has b e e n d e v e l o p e d f o r u s e i n t h e a n a l y s i s o f p l a t e b e n d i n g p r o b l e m s ( 1 ) . Thus t h e g e n e r a t i o n o f a s o l u t i o n i s c e r t a i n l y f e a s i b l e i n t h i s c a s e . However s u c h a s o l u t i o n w i l l n o t be g e n e r a t e d i n t h i s t h e s i s . 8.2 D e v e l o p m e n t o f a F i n i t e E l e m e n t Model In t h i s s e c t i o n a f i n i t e e l e m e n t model i s d e v e l o p e d i n [\^ a s s u m i n g z e r o body f o r c e s . The r e q u i r e d e q u a t i o n s a r e g i v e n i n E q s . 8.17, o m i t t i n g t h e body f o r c e t e r m . The minimum c o n d i t i o n s f o r c o m p l e t n e s s p r e s e n t e d i n t h e p r e v i o u s s e c t i o n a r e s a t i s f i e d by a s s u m i n g >1 T - \,i ( 8 . 2 1 a ) C € (const) ( 8 . 2 1 b ) Which i n t h e n o t a t i o n o f E q s . 8.15 i s 115 T* 1,2 p« ^ _ > e ( c o n s t . ) w h e r e V*^ i s t h e v e l o c i t y i n d i r e c t i o n T a t node k, and }f i s t h e p r e s s u r e i n e l e m e n t € , a s s u m e d c o n s t a n t . The r e q u i r e d c o n d i t i o n o f c o n t i n u i t y c a n t h e n be s a t i s f i e d by a s s u m i n g a t r i a n g u l a r e l e m e n t w i t h s i x d e g r e e s o f f r e e d o m f o r t h e v e l o c i t y and one d e g r e e o f f r e e d o m f o r t h e p r e s s u r e . T h i s e l e m e n t i s shown b e l o w . N o t e t h a t t h e l o c a t i o n o f t h e n o d e s and t h e l i n e a r i t y o f t h e assumed v e l o c i t y f i e l d e n s u r e t h a t t h e v e l o c i t y i s c o n t i n u o u s a c r o s s e l e m e n t b o u n d a r i e s and t h u s t h r o u g h o u t t h e w h o l e d o m a i n as r e q u i r e d . A l t h o u g h t h e e l e m e n t w o u l d a p p e a r s a t i s f a c t o r y , i t i s i n f a c t n o t s u i t a b l e f o r p r o b l e m s i n w h i c h a 116 r e l a t i v e l y l a r g e number o f v e l o c i t i e s a r e p r e s c r i b e d . The d i f f i c u l t y s t e m s from t h e i n c o m p r e s s i b i 1 i t y c o n d i t i o n w h i c h c o n s t r a i n s t h e n o d a l v e l o c i t i e s i n e a c h e l e m e n t . I f t h e d o m a i n i s s u b d i v i d e d i n t o E e l e m e n t s t h e r e a r e t h e n E c o n s t r a i nt? e q u a t i ons f o r t h e 2 ( E + 2 ) v e l o c i t y d e g r e e s o f f r e e d o m . Thus t h e r e a r e E+4 d e g r e e s o f f r e e d o m r e m a i n -i n g t o s a t i s f y t h e e q u i l i b r i u m c o n d i t i o n . T h e r e f o r e i f t h e number o f p r e s c r i b e d v e l o c i t i e s e x c e e d s (E+4) no s o l u t i o n c a n e x i s t . c o n s i d e r i n g t h e e q u a t i o n s t h a t must be s o l v e d t o o b t a i n t h e r e q u i r e d n o d a l v e l o c i t i e s . The a s s e m b l e d e q u a t i o n s a r e o b t a i n e d f r o m E q s . 8.17 and t h e y may be e x p r e s s e d i n t h e f o r m E q u i v a l e n t l y , t h e d i f f i c u l t y c a n be s e e n by 2L E V 11 R 0 K o o 117 w h e r e t h e K c o r r e s p o n d t o p r e s c r i b e d v e l o c i t i e s and a r e unknown. I f F v e l o c i t i e s must be p r e s c r i b e d t o s a t i s f y t h e f o r c e d b o u n d a r y c o n d i t i o n s t h e n t h i s s y s t e m o f e q u a t i o n s may be r e d u c e d t o V ( 8 . 2 2 ) >7 R 0 I w h e r e B = 2 L - F . In o r d e r f o r a u n i q u e s o l u t i o n t o e x i s t f o r t h e n o d a l v e l o c i t i e s and e l e m e n t p r e s s u r e s t h e m a t r i x K d e f i n e d by , K i 2 K 2 i 1 0 m u st h a v e a n o n - z e r o d e t e r m i n a n t . Thus a l l i t s rows must be l i n e a r l y i n d e p e n d e n t , w h i c h means B - E i . e . 2 L - F > E . B u t L=E+2 whence E+4>F becomes a n e c e s s a r y c o n d i t i o n f o r a u n i q u e s o l u t i o n t o e x i s t . W h i c h o f c o u r s e i s t h e same c o n c l u s i o n t h a t was o b t a i n e d by t h e more p h y s i c a l a r g u m e n t p r e s e n t e d a b o v e . 118 To a v o i d t h i s d i f f i c u l t y i t i s a d v i s a b l e t o m o d i f y t h e e l e m e n t . To do t h i s assume a v e l o c i t y f i e l d t h a t i s b a s e d upon a s e c o n d o r d e r p o l y n o m i a l , i . e . and a t r i a n g u l a r e l e m e n t w i t h n o d e s a t t h e mid p o i n t o f t h e s i d e s and a t t h e c o r n e r s . The p r e s s u r e a s s u m p t i o n r e m a i n s u n c h a n g e d . In t h i s c a s e E e l e m e n t s r e s u l t i n 6 ( E + 1 ) v e l o c i t y d e g r e e s o f f r e e d o m and t h e number o f p r e s c r i b e d v e l o c i t i e s must e x c e e d 5E+1 f o r no s o l u t i o n t o e x i s t . Once a g a i n c o n t i n u i t y o f v e l o c i t y i s e n s u r e d , as t h e t h r e e n o d a l v e l o c i t i e s on e a c h s i d e o f t h e e l e m e n t u n i q u e l y d e t e r m i n e t h e q u a d r a t i c d i s t r i b u t i o n a s s u m e d , b u t c o n t i n u i t y o f v e l o c i t y g r a d i e n t i s n o t o b t a i n e d . ( 8 . 2 3 ) if 119 The assumed v e l o c i t y f i e l d i s e x p r e s s e d d i r e c t l y i n t e r m s o f a r e a c o - o r d i n a t e s ( 3 ) w h i c h a r e c h a r a c t e r i z e d by t h e p r o p e r t y t h a t t h e y a u t o m a t i c a l l y s a t i s f y E q . 4.4. Thus w h e r e V , _ 1 ( 8 . 2 5 ) i n w h i c h A i s t h e a r e a o f t h e t r i a n g l e and ( * N , ^ N ) a r e t h e c o - o r d i n a t e s o f node N. F i g . 8.1 f u r t h e r d e f i n e s t h e s e c o - o r d i n a t e s . E q s . 8.17 t h e r e f o r e t a k e t h e f o r m T=l ,2 ( 8 . 2 6 a ) 1 20 Fig.8.1 DEFINITION OF AREA COORDINATES. 121 ( 8 . 2 6 b ) i n w h i c h t h e - )| € has b e e n c a n c e l l e d f r o m E q . 8.26b. E q s . 8.26 may now be a s s e m b l e d and s o l v e d f o r t h e unknown v e l o c i t i e s and p r e s s u r e s . The programme u s e d f o r t h i s i s i n c l u d e d i n A p p e n d i x 1. 8.3 C o m p a r i s o n w i t h Known S o l u t i o n s Two p r o b l e m s a r e s o l v e d f o r w h i c h t h e e x a c t s o l u t i o n s a r e known and t h e c o n v e r g e n c e o f t h e f i n i t e e l e m e n t s o l u t i o n i s i l l u s t r a t e d . T he f i r s t e x a m p l e c o n c e r n s t h e f l o w o f a v i s c o u s f l u i d b e t w e e n p a r a l l e l s t a t i o n a r y p l a t e s o f i n f i n i t e e x t e n t t h a t a r e a d i s t a n c e c2d a p a r t and t h e s e c o n d , t h a t s i t u a t i o n when one o f t h e p l a t e s i s m o v i n g w i t h r e s p e c t t o t h e o t h e r a t c o n s t a n t v e l o c i t y ( C o u e e t t e f l o w ) . The e x a c t s o l u t i o n f o r b o t h t h e s e c a s e s i s p r e s e n t e d by S c h l i c h t i n g ( 1 5 ) and t h e s e s o l u t i o n s a r e s u m m a r i z e d b e l o w . In b o t h c a s e s t h e m o t i o n i s s u c h t h a t t h e a c c e l e r a t i o n t e r m i n Eq. 8.4 i s i d e n t i c a l l y z e r o . ( 1 ) P a r a l l e l Flow, 122 S / << ^ ^ s- _^ s. s s I / / / i / J — / / ' / s <> ' S ' { / / ' L »i The b o u n d a r y c o n d i t i o n s a r e = O T h e s o l u t i o n i s ^ = 0 ( i i ) C o u e t t e F l o w .HI / / / i S / 7 7 7—7 / / j / / / 1 The b o u n d a r y c o n d i t i o n s a r e P (0 • H) * p. P ( ^ H ) ^ p a The s o l u t i o n i s V(x,u) - Ji . (u+d) - J - £ ^ (d'-Y) dp - O dp . P*_lP' dx u In t h e e x a m p l e c o n s i d e r e d t h e f o l l o w i n g v a l u e s w e r e u s e d : ji = 20 X I0~6 |t| sec / ^ t i The a p p r o x i m a t e s o l u t i o n s c o r r e s p o n d i n g t o t h r e e d i f f e r e n t s u b d i v i s i o n s o f t h e d o m a i n were c a l c u l a t e d . The s u b d i v i s i o n s e m p l o y e d a r e i l l u s t r a t e d i n F i g . 8.2 and 124 i n v o l v e t h e u s e o f 2, 8, a n d 32 e l e m e n t s . F i g s . 8.3, 8.4, and 8.5 show t h e r e s u l t s o b t a i n e d f o r t h e p a r a l l e l f l o w p r o b l e m f o r t h e d i f f e r e n t s u b d i v i s i o n s o f t h e d o m a i n . The r e s u l t i n g v e l o c i t i e s a r e c o m p a r e d w i t h t h e e x a c t s o l u t i o n i n F i g . 8.6. Two v a l u e s o f v e l o c i t y a r e p l o t t e d f o r e a c h s u b d i v i s i o n c o r r e s p o n d i n g t o t h e d i f f e r e n t v a l u e s o b t a i n e d f r o m n o d e s a t t h e same h e i g h t o f t h e same t r i a n g l e . In e a c h c a s e i t c a n be s e e n t h a t t h e s e v a l u e s s p a n t h e e x a c t s o l u t i o n and w i t h i n c r e a s i n g number o f e l e m e n t s b o t h v a l u e s c o n v e r g e t o t h e e x a c t s o l u t i o n . S i m i l a r r e s u l t s w e r e o b t a i n e d f o r t h e C o u e t t e f l o w p r o b l e m a n d F i g . 8.7 i l l u s t r a t e s t h e c o n v e r g e n c e o b t a i n e d . In b o t h c a s e s t h e e x a c t v e l o c i t y s o l u t i o n i s a q u a d r a t i c d i s t r i b u t i o n . Thus as t h e a s s u m e d v e l o c i t y f i e l d w i t h i n e a c h e l e m e n t i s q u a d r a t i c i t w o u l d be e x p e c t e d t h a t an a c c u r a t e a n s w e r w o u l d be o b t a i n e d . H o w e v e r , a s s u m i n g t h e p r e s s u r e t o be a c o n s t a n t w i t h i n e a c h e l e m e n t w h e r e a s t h e e x a c t s o l u t i o n i s a l i n e a r d i s t r i b u t i o n w o u l d a p p e a r a more r e a l i s t i c t e s t o f t h e c o n v e r g e n c e o f t h e s o l u t i o n . F i g . 8.8 c o m p a r e s t h e e x a c t s o l u t i o n w i t h t h e p r e s s u r e s o b t a i n e d on t h e a s s u m p t i o n t h a t t h e p r e s s u r e a c t s a t t h e c e n t r o i d o f i t s t r i a n g l e . The p r e s s u r e d i s t r i b u t i o n f o r t h e p a r a l l e l and C o u e t t e f l o w was f o u n d t o be t h e same, 125 and e x c e l l e n t a g r e e m e n t was o b t a i n e d w i t h t h e e x a c t s o l u t i o n e v e n w i t h t h e two e l e m e n t s u b d i v i s i o n . 126 a) 2 Elements b) 8 Elements c) 32 Elements Fig. 8 .2 ASSUMED DOMAIN SUB-DIVISIONS . 127 Fig. 8.3 2 ELEMENT PARALLEL FLOW SOLUTION. 1 28 Fig. 8.4 8 E L E M E N T PARALLEL FLOW SOLUTION . 129 f . O I Velocity in f.p.s. O P r e s s u r e p.s.f. x I0 4 Fig. 8.5 32 ELEMENT PARALLEL FLOW SOLUTION. Fig. 8.6 VELOCITY DISTRIBUTION IN CHANNEL FOR PARALLEL FLOW Velocity in x direction ( f. p. s ) Fig. 8.7 VELOCITY DISTRIBUTION IN CHANNEL FOR COUETTE FLOW . I I I I 0 .5 1.0 1.5 D i s t a n c e a l o n g Channel ( f e e t ) F i g . 8 . 8 P R E S S U R E D I S T R I B U T I O N IN C H A N N E L . 2.0 _ CO ro CHAPTER 9 SUMMARY A m a t h e m a t i c a l f r a m e w o r k f o r t h e f i n i t e e l e m e n t p r o c e d u r e has b e e n p r e s e n t e d t h a t shows t h e m e t h o d t o be a t e c h n i q u e f o r g e n e r a t i n g an a p p r o x i m a t e s o l u t i o n f o r a g i v e n e q u a t i o n i n t e r m s o f known f u n c t i o n s p i e c e - w i s e d e f i n e d o v e r t h e d o m a i n , and unknown p a r a m e t e r s . The unknown p a r a m e t e r s , w h i c h a r e u s u a l l y n o d a l v a l u e s o f t h e r e q u i r e d f u n c t i o n s o r one o f i t s d e r i v a t i v e s , may be s o l v e d f o r i n a number o f d i f f e r e n t w a y s . Any t e c h n i q u e t h a t g i v e s a s o l u t i o n t h a t c o n v e r g e s t o t h e c o r r e c t a n s w e r w i t h i n c r e a s i n g number o f e l e m e n t s i s e q u a l l y v a l i d . T h e R a y l e i g h - R i t z p r o c e d u r e and v i r t u a l work p r i n c i p l e s h a v e commonly b e e n u s e d t o g e n e r a t e t h e r e q u i r e d e q u a t i o n s . H o w e v e r , t h e R a y l e i g h - R i t z m e t h o d i s l i m i t e d t o t h o s e p r o b l e m s whose s o l u t i o n c o r r e s p o n d s t o t h e s t a t i o n a r y v a l u e o f a known f u n c t i o n a l and t h e v i r t u a l work a p p r o a c h d o e s n o t y i e l d c o n v e r g e n c e c r i t e r i a . U s i n g r e s u l t s o b t a i n e d by M i k h l i n ( 9 ) , i t has b e e n shown t h a t t h e G a l e r k i n p r o c e d u r e e n a b l e s c o n v e r g e n c e 133 134 c r i t e r i a t o be s t a t e d f o r a w i d e c l a s s o f p r o b l e m s . F o r t h o s e p r o b l e m s t o w h i c h t h e R a y l e i g h - R i t z m e t h o d i s a p p l i c a b l e t h e G a l e r k i n m e t h od c o i n c i d e s w i t h t h e R a y l e i g h -R i t z p r o c e d u r e , b u t t h e r e e x i s t many p r o b l e m s f o r w h i c h G a l e r k i n i s a p p l i c a b l e b u t R a y 1 e i g h - R i t z i s n o t . I t i s o f t e n a s s u m e d t h a t G a l e r k i n ' s m e t h o d r e q u i r e s t h a t t h e a s s u m e d c o - o r d i n a t e f u n c t i o n s s a t i s f y a l l t h e b o u n d a r y c o n d i t i o n s ; h o w e v e r , i t i s shown t h a t by s u i t a b l y f o r m u l a t i n g t h e p r o b l e m i t i s o f t e n o n l y n e c e s s a r y t o s a t i s f y t h e p r i n c i p a l b o u n d a r y c o n d i t i o n s . The b o u n d a r y r e s i d u a l c o n c e p t has b e e n shown t o l e a d t o e q u a t i o n s t h a t a r e t h e same as t h o s e d e v e l o p e d by t h e G a l e r k i n p r o c e d u r e i f t h e f o r c e d b o u n d a r y c o n d i t i o n s a r e h o m o g e n e o u s . I f t h i s c o n d i t i o n i s n o t s a t i s f i e d t h e c o n c e p t l e a d s t o i n c o r r e c t e q u a t i o n s . A c o r r e c t e d v e r s i o n o f t h e b o u n d a r y r e s i d u a l c o n c e p t i s p r e s e n t e d w h i c h shows i t t o be e q u i v a l e n t t o a p p l i c a t i o n o f t h e v i r t u a l work p r i n c i p l e . I t i s f u r t h e r d e m o n s t r a t e d t h a t d e r i v i n g t h e e q u a t i o n s g o v e r n i n g t h e e q u i l i b r i u m c o n f i g u r a t i o n o f a l i n e a r c o n t i n u u m u s i n g v i r t u a l work l e a d s t o t h e same e q u a t i o n s as a r e o b t a i n e d by s o l v i n g t h e e q u i l i b r i u m e q u a t i o n s u s i n g G a l e r k i n ' s m e t h o d . The c o n v e r g e n c e p r o o f o f O l s o n ' s ( 1 4 ) f i n i t e e l e m e n t a n a l y s i s o f t h e p a n e l f l u t t e r p r o b l e m has b een 135 p r e s e n t e d . T h i s p r o o f i l l u s t r a t e s t h e a p p l i c a t i o n o f t h e G a l e r k i n p r o c e d u r e t o a p r o b l e m f o r w h i c h t h e R a y l e i g h -R i t z m e t h od i s i n a p p l i c a b l e . The a p p l i c a t i o n o f t h e G a l e r k i n p r o c e d u r e t o p r o b l e m s i n v o l v i n g more t h a n one d e p e n d e n t v a r i a b l e has b e e n i l l u s t r a t e d by g e n e r a t i n g a f i n i t e e l e m e n t s o l u t i o n f o r t h e l i n e a r v i s c o u s f l o w p r o b l e m . The d e v e l o p -ment i n d i c a t e s t h a t e v e n i f a v a r i a t i o n a l f o r m u l a t i o n o f t h e p r o b l e m d o e s e x i s t t h e R a y l e i g h - R i t z p r o c e d u r e i s n o t n e c e s s a r i l y t h e m o s t a d v a n t a g e o u s way t o d e v e l o p t h e r e q u i r e d e q u a t i o n s . N u m e r i c a l r e s u l t s o b t a i n e d show e x c e l l e n t a g r e e m e n t w i t h known s o l u t i o n s . A t t e n t i o n i n t h i s t h e s i s has b e e n c o n f i n e d t o t h e c o n s i d e r a t i o n o f c o n f o r m i n g e l e m e n t s , h o w e v e r t h e a p p r o a c h a d o p t e d e n a b l e s t h e s t u d y o f n o n - c o n f o r m i n g e l e m e n t s t o be u n d e r t a k e n i n a s y s t e m a t i c m a n n e r . F u r t h e r , a d o p t i n g t h e p o i n t o f v i e w p r o p o s e d e n a b l e s t h e c o n v e r g e n c e o f a f i n i t e e l e m e n t a p p r o x i m a t i o n t o be i n v e s t i g a t e d f o r a f a r w i d e r c l a s s o f p r o b l e m s t h a n h a v e b e e n c o n s i d e r e d h e r e i n . F o r e x a m p l e , t h e work o f a p p l i e d m a t h e m a t i c i a n s c o n c e r n i n g t h e c o n v e r g e n c e o f G a l e r k i n ' s m e t h o d f o r n o n - l i n e a r e q u a t i o n s becomes o f i m m e d i a t e i n t e r e s t t o t h o s e c o n c e r n e d w i t h t h e f i n i t e e l e m e n t s o l u t i o n o f n o n - l i n e a r p r o b l e m s . BIBLIOGRAPHY Cowper, G.R., K o s k o , E . , L i n d b e r g , G.M., and O l s o n , M.D., "A H i g h P r e c i s i o n T r i a n g u l a r P l a t e - B e n d i n g E l e m e n t , " N a t i o n a l R e s e a r c h C o u n c i l o f C a n a d a , A e r o n a u t i c a l R e p o r t L R - 5 1 4 , O t t a w a , D e c e m b e r , 1 968. C r a n d a l l , S.H., E n g i n e e r i n g A n a l y s i s , M c G r a w - H i l l , New Y o r k , 1956. 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NO. 777057 UNIVERSITY OF B C COMPUTING CENTRE MTSi AN120) 1&8 ,**#*•************ THIS JOB SUBMITTED THROUGH FRONT DESK READER ******************* *G OSGH ^ AST SIGNON WAS: 14:33:27 C8-18-71  iER "OSGH" SIGNED ON AT 14:37:28 ON 0 8 - 1 8 - 7 1 ;ST *SOURCE* PROGRAM H2 FOR SLOW VISCOUS FLOW OF INCOMPRESSIBLE NEWTON IAN FLUID 0 C 1 USING QUADRATIC DISPLACEMENT F I E L D AND 6 NODE TRIANGULAR ELEMENTS 3 DIMENSION N P 1 ( 1 5 0 ) , N P 2 ( 1 5 0 ) ,X(150) ,Y (1 50) » NODE 1 { 1 5 0 ) , N 0 D E 2 ( 1 5 0 ) , N O 4 1DE3<150),N0DE4(150),N0DE5(150),N0DE6( 15 0),TOA( 100) ,S E ( 1 3 , 1 3 ) ,SK(90 5 1 , 2 5 0 ) , S { 9 0 0 0 ) , V K ( 9 9 ) , M U ( 1 0 0 ) , M C f 1 3 ) , D E L T A ( 1 6 0 ) , X1( 150) , X 2 ( 150 ) ,X 6 1 3 ( 1 5 0 ) , X 4 ( 1 5 0 ) , X 5 ( 1 5 0 ) , X 6 { 150) ,Y1( 150) ,Y2(150) , Y 3 ( 1 5 0 ) , Y 4 ( 1 5 0 ) , Y 5 ( ,7 1 1 5 0 ) , Y 6 ( 1 5 0 ) , N 0 D E 7 ( 1 5 0 J . A l l 1 0 0 ) , A 5 ( 1 0 0)» A3( 100)» B 1 ( 1 0 0 ) , B 3 < 1 0 0 ) , 8 5 8 li100) ,R( 1 0 0 ) , R K ( 3 0 0 ) , R K l ( 1 5 0 ) ,RK2 < 150 ) • 9 REAL MU t 10 DOUBLE PRECISION S , DELTA, RAT 10 , SUM, DE 11 COMMON/ZDET/DE,NCN 12 COMMON/ZCON/COND . l l c WHEN NUMBERING SRTUCTURE D F I R S T OR LAST DEGREE OF FREEDOM SHOULD 14 c NOT CORRESPOND TO PRESSURE t2)PRESSURE DEGREE OF FREEDOM SHOULD NOT 15 -c BE THE SMALLEST NUMBER IN ITS TRIANGLE .GT. MFIX .BOTH LEAD TO A V 16 c BLOW UP OF BAND! 17 c NODES NO. 123456 NOT 142536 i d c NO. FOR MIN. BAND WIDTH IGNORING FIXED DEGREES OF FREEDOM 19. c NFIX=NO.CF PRESCRIBED VEL.. NOT = TO Z ERO+ANY PRESCRIBED PRESSURE 20 c NFIXO=NO. OF VELO C I T I E S PRESCRIBED= TO 0 21 c IF NO PRESCRIBED FORCES NFORCE=0,OTHERWISE NFORCE=1.UNKNOWN FORCES 22 c READ I N AS ZERO FORCES 2 3 READ(5,2)NELEM,NNODE,NFIX,NFIXO,NFORCE 24 2 FORMAT (5 110) 25 WR1TE(6,4)NELEN,NNODE,NFIX, NFIXG,NFORCE 26 4 FORMAT ( 'NELEM = ',110 , 'NNODE = M I C ' N F I X = ',110,' NFIXG ',110, 27 1' NFORCE ',110) 28 D06 1=1,NELEM 29 READ(5,5 ) NODE 11 I ),N0DE2( I ) ,N0DE3( I ),N0DE4( I),NODE 5 ( I ) , N 0 D E 6 ( I ) , N O D 30 1E7( I ) 3 I _ 5 FORMAT (7 110) 32 6 CONTINUE 33 C NODE 7 = PRESSURE I N ELEMENT (CANNOT BE S P E C I F I E D AS 1) V-'34 C S P E C I F Y I N G A NEGATIVE PRESSURE CORRESPONDS TO A COMPRESSIVE STRESS 35 WRITE(6,8) .•** 36 8 FORMAT('ELEMENT NO. NODE(l) N0DE12) N0DE(3) N0DE(4) NODE(5) 3X 1 N 0 D E ( 6 ) , N 0 D E 7 ( I ) ') 38 D010 1 = 1, NELEM 39 WRITE(6,9)I,NODE1< I ) ,N0DE2(I) , N 0 D E 3 ( I ) , N 0 D E 4 ( I ) ,N0DE5 <I) , N 0 D E 6 ( I ) , -f 40 1 N 0 D E 7 ( I ) 41 9 FORMAT! 17,1 11 ,619) 42 10 CONTINUE 43 C ONLY INTEGER VELOCITIES ALLOWED 44 D012 J = l,NNODE 45 READ(5,11) N P 1 ( J ) , N P 2 ( J ) , X ( J ) ,Y(J)»RK1(J),RK2{J) 46 11 FORMAT(2 I 1 0 , 2 F 1 0 . 3 , 2 E l 5.4) 47 12 CONTINUE 48 C ONLY NEED S P E C I F Y X,Y FOR NODES 1,3,5 AS2,4,6 ARE MID POINTS 49__ WRTTF(6.14) 50 14 FORMAT(• NODE NO. NP1 NP2 X Y X-FO 51 1RCE Y-FORCE' ) 52 D016 J=l,NNODE 5 3 W R I T E ( 6 , 1 5 ) J , N P 1 ( J ) , N P 2 < J ) , X ( J } , Y ( J ) , R K 1 { J ) , R K 2 < J > 54 15 F 0 R M A T I I 6 t I 1 1 , 111 , F8 .2 , F8 .2 , 2 E15 .4 ) 1 3 9 55 16 CONTINUE 56 C IF NODE IS FIXED AT 0 NP = 0, IF NODE VEL.=V NP=V,IF NODE IS FREE 57 C 1NP=1 58 C • FOR PRESSURE DEGREES OF FREEDOM NP1=1,NP2=-1  59 MFIX = NF'.IXO + NFIX 60 N=0 6 1 NFIX1=NFIX+1 . 62 NU=NFIX+NF IXO 63 NUU=NFIXO 64 D025 J=1,NN0DE 65 I F t N P l (J).EQ.O)GO TO 161 66 IF{ N P K J ) .EQ. 1)G0 TO 18 67 • GO TO 163  68 161 N = N + 1 69 V K ( N ) = N P 1 ( J ) 70 N P 1 ( J ) = N 71 WR.ITE(6,162)J,N 72 162 FORMAT(• NP 1 ( ' »I 3 » * ) - ' ,14) 73 GO TO 20 74 >• 7 5 > 76 163 NUU=NUU+1 VK(NUU)=NP1(J) N P l { J ) = NUU 77 78 - 79 17 W R I T E ( 6 , 1 7 ) J t N U U FORM AT ( ' N P K 13,' )=' ,14) GO TO 20 80 " 81 8 2 18 NU=NU+1 N P l i J ) = N U WRITE(6,19)J,NU 83 84 8 5 19 20 FORMAT( • N P K » ,13,' ) = » ,14) IF ( N P 2 ( J ) - E Q . - l ) GO TO 25 I F ( NP2 ( J ).EQ.0)GO TO 201 86 87 , 88 2 01 IF ( N P 2 ( J ) .EQ. DGO TO 22 GO TO 20 3 N=N+ 1 89 >_ 90 . 9 i V K ( N ) = N P 2 ( J ) NP2<J)=N WRITE-16,202) J,N 92 " 9z •>. 9^ 1 • 202 203 . FORMAT<' NP2( « , 13,• )=• ,14) GO TO 25 NUU=NUU+1 9f " 9^ , 91 VK(NUU ) =NP 2 ( J ) NP2 1J)=NUU WRITE(6,21)J,NUU 9? 9 ( -rlOC • I I 21 22 FORMAT ( • NP2( » , 13, * )= • , I 4) GO TO 25 NU=NU+1 101 "102 , 1 0 . 2 3 NP2(JJ=NU WRI TE (6 ,23 ) J ,NU FORMA T( ' NP2( ',I3,» )=« ,14) 104 lO f 4 0 6 > 25 CONTINUE IF(MFJX.EQ.O)GO TO 291 WRITE(6,27) 107 "10 J . 105 27 FORMAT (» VK » ) DO 29 K=1,NUU W R I T E ( 6 , 2 8 ) V K ( K ) i i c i i ] A 1 2 28 29 291 F 0 R M A T ( l X t F 1 2 . 2 ) CONTINUE WRITE(6,30)NU > 30 FORMAT ( 1 TOTAL NO. OF DEGREES OF FREEDOM = S I 6 ) DO 301 J = l , 9000 , & n S { J ) = 0 301 CONTINUE DO 32 1=1,90 DO 31 J = l ,250 119 S K ( I , J ) = 0 120 31 CONT INUE 121 3.2 CONTINUE 122 IF<MFI X-90) 325,325,323 123 325 I F ( N U - 2 5 0 ) 3 2 6 , 3 2 6 , 3 2 3 124 323 WRITE(6,324) 324 FORMAT( 'DIMENSION OF SK EXCEEDED 1 ) GO TO 70 326 CONTINUE , . C MBAND IS ASSUMED MAX. BAND WIDTH - I F EXCEEDED PROGRAM PRINTS OUT C THE FACT AND STOPS MBAND=50 FACTOR-.00001 FACTOR= COEFF. OF VISCOSITY DIVIDED BY 2 D050 I=1,NELEM MAX = 0 MIN=1000 DO 322 L = l , 1 3 DO 321 K = l , 13 SE( K , L ) = 0 321 CONTINUE 322 CONTINUE X l { I )=X( N0DE1 (I ) ) X2( I )=X(N0D£2( I) ) X 3 ( I ) = X ( N 0 D E 3 ( I ) ) X 4 ( I ) = X ( N 0 D E 4 { I ) ) _X3JJJ_5X-(.fiaD^E5_.LLLL X 6 ( I ) = X ( N 0 D E 6 < I ) ) Y l ( I ) = Y ( N O D E K I ) ) Y2 ( I ) = Y ( N 0 D E 2 ( I ) ) Y31 I 5 = Y( N0DE3{ I ) ) Y4( I ) = Y(N0DE4{ I) ) J^5Ji)_EX.(JiQD_E_L(-UJ_ Y 6 ( I ) = Y ( N 0 D E 6 U ) ) A K I )=X5 ( I >-X3( I ) A 3 ( I ) = X 1 ( I ) - X 5 ( I ) A 5 U )=X3( I ) - X l ( I) B l ( I > = Y 3 ( I ) -Y 5 ( I ) B5( I }=YK I ) - Y 3 ( I ) TOA( I ) = Y 1 ( I ) * ( X 5 ( I )-X3 ( I ) ') + Y 3 ( I ) * ( X 1 ( I ) -X 5 ( I ) ) +Y51 I ) *( X3< I )-X 1(1 ) ) MU( I )=FACTOR/T0A(I )  MU = COEFF OF V I S C . DIVIDED BY 4A SE( 1,1)=(2*B1 (I . ) * * 2 + A1 ( I )**2)*MU( I ) j5EAA^2jJE±UJJJ&UJJjmX)lJJ S E U , 3 ) = 4 . / 3 . * ( 2 * B 1 ( I ) * B 3 ( I ) + A l { I ) * A 3 ( I ) ) * M U ( I ) SEC 1,4)= A 1 I I ) * B 3 ( I ) * M U ( I ) * 4 . / 3 . SE( 115 )= - <2*B1 ( I )*B3( I ) + A K I )*A3( I ) )*MU( I ) * l . / 3 . SE( 1,6) = - A K I ) * B 3 U ) *MU< I )*1 . /3 SE( 1,7 ) = 0 SE(1 . 8 ) = 0  SE{ 1, 9)= - ( 2 * B 1 (I ) * B 5 U ) + A l ( I )*A5{ I ) )*MU( I )*1 ./3, S E ( 1 , 1 0 ) = - A l ( I ) * B 5 ( I } * M U ( I 3*1./3. SEC 1,11)= ( 2*B1( I ) *B5( I >+Al m * A 5 < I ) )*MUt I ) * 4 . / 3 . SE(1 t12 )= A l < I )*B5 ( I )*MU < I ) * 4 . / 3 . SE( 2,2) =( 2*A1(.I ) **2+BL( I )**2.)*MUl I ) S E ( 2 , 3 ) = B l ( I )*A3( I )*MU( I ) * 4 . / 3 . S E ( 2 , 4 ) = ( 2 * A l ( I ) * A 3 { I ) + B l { I ) * B 3 ( I ) ) * M U ( I ) * 4 . / 3 . S E ( 2 , 5 ) = -A3( I ) * B 1 U )*MU<I ) * l . / 3 . S E ( 2 , 6 ) = - ( 2 * A 3 ( I ) * A 1 ( I ) + B 3 ( I ) * B 1 ( I ) )*MU( I ) * 1 . / 3 . 141 SEC 2,7) =0 SEC 2,8) =0 SEC 2, 9 ) = - A 5 { I ) * B 1 ( I ) * M U ( I ) *1* / 3 S E ( 2 , 1 0 ) = - < 2 * A 1 ( I ) * A 5 ( I ) + B l ( I ) * B 5 ( I ) ) * M U ( I ) * l . / 3 . S E ( 2 , 1 1 ) = B U I )*A5( I)*MU-( I ) * 4 . / 3 . S£( 2,12? = ( 2 » A 1 ( I ) * A 5 ( I ) + 8 1 U ) * B 5 ( 1 ) ) * M U ( I ) * 4 . / 3 . S E ( 3 ,3 ) = < 2*(B3( I ) * * 2 + B K I )*B3( I ) + B 1 ( I ) * * 2 ) + A 3 ( I ) * * 2 + A 3 ( I ) * A K I 1 ) + A 1 U ) * * 2 ) *MU< I ) * 8 . / 3 . _&E13i£±-=. ( A3 ( I ) * B 3 l I )+0. 5*1 A K I ) *B3( I )+A3( I )*B1 ( I ) ) + A l { I ) *B1 ( I 1 ) ) * M U ( I ) * 8 . / 3 . S E ( 3 , 5 ) = { 2 * B 3 ( I ) * B l U ) + A 3 { I ) * A l ( I ) ) * M U ( I ) H . / 3 . S£(3,6) = B3( I )*A1( I )*MU-( I ) * 4 . / 3 . SE(3,7} = { 2 * ( B 3 C I ) * B 5 < I ) + B 3 ( I ) * * 2 + 2 * B l ( I ) * B 5 ( I ) + B 1 ( I J*B3( I ) ) + 1A3C I.)*A5<I) + A3< I )**2+2*AH I ) * A 5 ( I)+A1( I )*A3( I ) ) *MU< I ) * 4 . / 3 . SEC 3,8) = ( A3 { r ) *B5( I ) + 2*A1 ( I )»B5( I ) -+A3 ( I )*B3 ( I )+Al ( I )*B3( I ) H_M_ l U ( I ) * 4 . / 3 . S E ( 3 , 9 ) =0 S E ( 3 1 1 0) = 0  SE 13 ,11 )= ( 2 * <2*B3 < I J*B5( D + B l U )*B5( I )+Bl( I )*B3( D + B l ! I !**2) + 12*A3( I )*A5( I ) + A l ( I )*A5( I ) + A l ( I ) * A 3 C I l + A l l I )**2 ) * M U ( I } #4 . / 3. S E ( 3 , 1 2 ) = ( 2 * A3 ( I )*B5( I H A H T )*B5( I 1+A3U ) *B1< I ) + A1 t I ) *B1( I ) )*M l U ( l ) * 4 . / 3 . S E ( 4 , 4 ) = ( 2 * ( A 3 ( I )**2+Al<I ) * A 3 ( I ) + A 1 { I) * * 2) + B 3 ( I ) * * 2 + B 3 ( I ) * B l { 11 ) + B H I ) **2 ) * MU(I )*8 ./3 .  SEC 4,5) = A 3 C I ) * B 1 U ) * M U ( I ) * 4 . / 3 . SEC4,6) = (2*A3 ( I )*A1< I )+83( I )*B1( I ) ) *MU-( I ) * 4 . / 3 . S E ( 4 , 7 ) = ( B 3 ( I ) *A5( I ) + 2 * B U I ) * A 5 ( I ) + A 3 ( I ) * B 3 ( 1 ) + B l ( I )»A3(I) )*M l U ( I ) * 4 . / 3 . S E(4,8) = (2=M A3 <I ) * A 5 ( I ) + A 3 < I ) * * 2 + 2 * A l ( I ) * A 5 ( I ) + A l ( I )*A3( I) ) + 1B3( I )*B5( I )+B3( I )**2 + 2 * B l ( I ) *B 5 { !.) + B 1 ( I ) *B3t I) )*MU (I ) *4. / 3 .  S£(4,9) =0 SE ( 4 ,1 0) = 0 _ _ _ _ A _ 1 J J = C 2*B3( I )*A5( I l t R K I )»A5( I )+B3( I )»AH I ) + A l ( I ) *B1 11 ) ) »M l U ( I ) * 4 . / 3 . SEi 4,12)= ( 2*( 2*A3( I )*A5( I ) + A l ( 1 )*A5 ( I 1+A1 ( I )*A3 (I ) + A l ( I )**2) + 12»B3 { I )*B5 ( I ) +B1 ( I ?*B5( I ) + B 1 ( I ] * B 3 ( I )+BK I ) **2) *MU( I ) * 4 . / 3 . _ SEC 5,5) = ( 2 * B 3 ( I ) * * 2 + A 3 ( I } * * 2 ) * M U ( I ) SEC 5,6) =B3( I )*A3( 1 )*MU( I 1 SE ( 5 , 7 ) = (2«B3 { I )*B5 ( I ) + A3 C I ) * A 5 ( I ) ) »HU( I )»4./3. SFJ5»8)= A3( I ) *B 5 (I ) *MU (I ) * 4 . / 3 . S E ( 5 , 9 ) = - ( 2 * B 3 ( I )* B5( I )+A3( I ) * A 5 ( I ) ) * M U ( I ) * 1 • / 3 . SEC 5,10)= - A 3 ( I ) * B 5 ( 1 ) * M U ( I ) * 1 . / 3 .  S E ( 5 , 1 1 ) = 0 SE(5,12)=0 SE( 6,6) =( 2*A3( I )**2+B3< I )**2)*MU( I ) . , S E ( 6 , 7 ) = B3 C I )*A5( I )*MU( I ) * 4 . / 3 . S E ( 6 , 8 ) = ( 2 * A 3 ( I ) *A5( I ) +B3( I ,)*B5 ( I ) J*MU( I )*4 . / 3 . S E ( 6 , 9 ) = - A 5 ( D * B 3 ( I ) * M U ( I ) * l . / 3 . S E ( 6 , 1 0 ) = - ( 2* A3 ( I ) * A5 ( I ) + B3 ( I ) *B5 ( I ) ) *MU ( I )* 1 . / 3 . SE ( 6 , 1 1 ) = 0 SE(6 ,12 )=0 . SEC 7,7) = <2*<B5(I)**2 + 8 3 C I ) * B 5 ( I ) + B 3 ( I ) * * 2 ) + A 5 ( I ) * * 2 + A3( I )*A5( 1 I ) + A3( I } * * 2 ) * M U ( I ) * 8 . / 3 . SE(7,8) = (A5( I ) * B 5 ( I ) + 0 . 5 * ( A 3 ( I ) * B 5 ( I ) + A 5 ( I ) *B 3 ( I ) ) + A 3 ( I )»B3( I 2 3 3 1 ) ) * M U ( I ) * 8 . / 3 . 2 3 4 S E ( 7 , 9 ) = ( 2 * B 3 •( I ) * B5 ( I ) + A 5 ( I ) * A 3 { I ) ) * M U ( I ) * 4 . / 3 . 1 4 2 2 3 5 S E ( 7 , 1 0 ) = B 5 ( I ) * A 3 ( I ) * M U ( I ) * 4 • / 3 . 2 3 6 S E < 7 , 1 1 ) = ( 2 * ( B 5 t I ) * * 2 + B 3 ( I ) * B 5 ( I ) + B 1 ( I ) * S 5 ( I ) + 2 * B l ( I •) * B 3 U ) ) + A 2 3 7 1 5 ( 1 ) * * 2 + A 3 ( I ) * A 5 ( I 3 + A 1 ( I ) * A 5 < I ) + 2 * A l ( I ) * A 3 ( I 1 ) * M U ( I ) * 4 . / 3 . 2 3 8 S E ( 7 , 1 2 J = ( B 5 ( I ) * A 5 ( I ) + 8 5 ( I ) * A 3 ( I ) + B 1 ( I ) * A 5 ( I )+ 2 * B 1 ( I ) * A 3 ( I ) ) * M 2 3 9 l U ( I ) * 4 . / 3 . 2 4 0 S E ( 8 , 8 ) = ( 2 * ! A 5 ( I ) * * 2 + A 3 m * A 5 ( I ) + A 3 ( I > * * 2 ) + B 5 ( I ) * * 2 + B 3 ( I ) * B 5 ( .24,3 - UJ.±&3JJJ*l2J±mLU*&^JJb^ 2 4 2 S E ( 8 , 9 ) = B3< I 5 * A 5 ( I ) * M U ( I ) * 4 . / 3 . ' " 2 4 3 S E ( 8 , 1 0 ) = ( 2 * A 5 ( I ) * A 3 ( I ) + B 5 < I ) * B 3 < I ) ) * MU ( I ) * 4 . / 3 . + 2 4 4 S E ( 8 , 1 1 )= ( A 5 ( I ) * B 5 ( I ) + A 5 ( I ) * B 3 ( I ) +A 1 ( I ) * B 5 ( I ) + A 1 ( I ) * B 3 ( I ) * 2 ) * M 2 4 5 l U ( I ) * 4 . / 3 . 2 4 6 S E ( 8 f 1 2 )= ( 2 * 1 A 5 { I ) * * 2 + A 3 ( I ) * A 5 ( I ) + A 1 ( I ) * A 5 ( I ) + 2 * A 1 ( I ) * A 3 < I ) ) + B 24 7 1 5 ( 1 ) * * 2 + B 3 ( I ) * B 5 ( I ) + B 1 ( I ) * B 5 ( I ) + 2 * B l ( I ) * B 3 ( I ) ) * M U ( I ) * 4 . A 3 .  2 4 8 S E ( 9 , 9 ) =( 2 * B 5( I ) * * 2 + A 5 ( I ) * * 2 ) * M U ( I ) ' 2 4 9 S E ( 9 » 1 0 ) = B5 ( I ) * A 5 ( I ) * M U ( I ) r 2 5 0 S E ( 9 , 1 1 ) = ( 2 * B 5 ( I ) * B 1 ( T ) + A 5 ( I ) * A 1 ( I ) ) * M U ( I ) * 4 . / 3 .  2 5 1 S E ( 9 , 1 2 ) = A 5 ( I ) * B l ( I ) * M U { I ) * 4 . / 3 . 2 5 2 S E < 1 0 , 1 0 ) = < 2 * A 5 ( I ) * * 2 + B 5 ( I ) * * 2 ) * M U ( I ) _2.5_3 S E t 1 0 . 1 1 ) = B 5 ( I ) * A 1 { I ) * M U ( I ) * 4 . / 3 . 2 5 4 S E ( 1 0 , 1 2 ) = ( 2 * A 5 ( I ) * A 1 ( I } + B 5 ( I ) * B 1 ( I ) ) * M U ( I ) * 4 . / 3 . ^2 5 5 S E ( 1 1 , 1 1 )= ( 2 * ( B 5 ( I ) * * 2 + B l ( I ) * B 5 ( I ) + B l ( I ) * * 2 ) + A 5 ( I ) * * 2 + A l ( I ) * A 5 ^ 2 5 6 1 ( I ) + A 1 ( I ) * * 2 ) * M U ( n * 8 . / 3 .  2 5 7 S E ( 1 1 , 1 2 ) = ( A 5 { I ) * B 5 ( I ) + 0 . 5 * ( A l ( I ) * B 5 ( I ) + A 5 ( I ) * B 1 U ) ) + A l ( I ) * B 1 < ' 2 5 8 1 I ) ) * M U ( I ) * 8 . / 3 . •J2.59 S £ J L L 2 _ 0 2 J L = ( 2 * ( A 5 ( I ) * * 2 + A l ( I ) * A 5 ( I ) + A 1 ( I ) * * 2 ) + B 5 ( I ) * * 2 + B l ( I ) * B 5 2 6 0 K I l + B K I ) * * 2 ) * M U ( I ) * 8 . / 3 . • ' 261 C A S S E M B L E I N C O M P R E S S I B I L I T Y C O N D I T I O N M U L T I P L I E D B Y . 0 0 0 0 6 »2 6 2 A = . 0 0 0 0 1  2 6 3 S E ( 1 3 , 1 ) = B 1 ( I ) * A 2 6 4 S E < 1 3 , 2 ) = A1 ( I ) * A _2.6_5 S E ( 1 3 . 3 ) = 4 * ( B l ( I ) + B 3 ( I ) ) * A : 2 6 6 S E ( 1 3 , 4 ) = 4 * ( A 1 ( I ) + A 3 ( I ) ) * A 2 6 7 S E ( 1 3 , 5 ) = B 3 ( I ) * A - 2 6 8 S E ( I 3 , 6 ) = A 3 ( I ) * A 2 6 9 S E ( 1 3 , 7 ) = 4 * ( B 3 ( I ) + B 5 ( I ) ) * A " 2 7 0 S E ( 1 3 , 8 ) = 4 * ( A 3 ( I J + A 5 U ) )*A 2.7.1 _ _S.EJ.A.3J-9J.=A5..UJ_*A _ 2 7 2 S E ( 1 3 , 1 0 ) = A 5 ( I ) * A 2 7 3 S E ( 1 3 , 1 1 ) = 4 * ( B l ( I ) + 8 5 ( I ) ) * A ^ 2 7 4 S E ( 1 3 , 1 2 ) = 4 * ( A l ( I ) + A 5 ( I ) ) * A 2 7 5 S E ( 1 3 , 1 3 ) = 0 v 2 7 6 D O 3 3 K = l , 1 2 23 ^ J l L I L i J ^ i ^ £ J L 1 3 j J L l 2T f|3 3 3 C O N T I N U E 27') D O 3 5 K = l , 1 2 i l 8 0 DO 3 4 L = l , 1 2  . 2 8 ! . S E ( L , K ) = S E ( K , L ) '*2 8;> 3 4 C O N T I N U E .28:1 3 5 C O N T I N U E 284 D O 3 4 1 K = l , 1 3 285 M C ( K ) = 0 , 2 8 6 3 4 1 C O N T I N U E  2 8 7 M C ( 1 ) = N P 1 ( N 0 D E 1 ( I ' 2 8 8 M C ( 2 ) = N P 2 ( N 0 D E 1 ( I 2 8 3 M C ( 3 ) = N P 1 ( N 0 D E 2 ( I 2 9 0 MC ( 4 ) = N P 2 ( N 0 D E 2 ( I 2 9 1 M C ( 5 ) = N P 1 ( N 0 0 E 3 ( I *29;> M C ( 6 ) = N P 2 ( N 0 D E 3 ( I 2 9 3 M C ( 7 ) = N P 1 ( N 0 D E 4 ( I ) ) 2 9 4 M C ( 8 ) = N P 2 { M 0 D E 4 ( I ) ) 1 4 3 . 2 9 5 M C ( 9 ) = N P K N 0 D E 5 ( I ) ) 2 9 f t M C ( 1 0 ) = N P 2 ( N O D E 5 ( I ) ) > 2 9 7 M C ( 1 1 ) = N P 1 ( N 0 0 E 6 ( I ) ) , 2 9 8 M C ( 1 2 ) = N P 2 ( N 0 P E 6 ( I ) )  2 9 9 M C ( 1 3 ) = N P 1 ( N 0 D E 7 ( I ) J 3 0 0 D O 3 7 K = l , 1 3 ,._30 1 IF< M C ( K ) - M F I X ) 3 7 , 3 7 , 3 5 1 3 0 2 3 5 1 DO 3 6 L = 1 , 1 3 " 3 0 3 I F { M C ( L ) - M F I X ) 3 6 , 3 6 , 3 5 2 v - 3 0 4 3 5 2 I F ( M C ( K ) - M C ( L ) ) 3 5 3 , 3 6 , 3 5 4  3 0 5 3 5 3 I F ( M C ( L ) . G T . M A X ) M A X = M C { L ) y 3 0 6 G O T O 3 6 3 0 7 3 5 4 I F ( M C ( L ) . L T . M I N ) M I N = M C ( L ) ;  3 0 8 3 6 C O N T I N U E " 3 0 9 3 7 C O N T I N U E . • 3 1 0 N A N D= M A X - M I N +1 I F ( M B A N D . G T . N A N D ) G O T O 3 7 2 W R I T E < 6 , 3 7 1 ) 1 , N A N D 3 7 1 F O R M A T ( 1 B A N D W I D T H E X C E E O E D IN E L E M E N T ' , 1 4 , ' B A N D W I D T H = « , I 4 ) G O T O 7 0 C G E N E R A T E S ( < N U - M F I X ) * * 2 ) , S K ( M F I X * ( N U - N F 1 X O ) ) 3 7 2 D O 4 8 L = l , 1 3  I F ( M C { L ) - N F I X 0 ) 4 8 , 4 8 , 3 8 3 8 I F ( M C ( L J - M F IX ) 4 2 , 4 2 , 3 9 3 9 D O 4 1 K = l , 1 3 . I F ( MCI K ) - M F I X ) 4 0 1 , 4 0 1 , 4 0 4 0 I F ( M C ( L ) . . L T . M C ( K ) I GO T O 4 1 K K = M C ( K J - M F I X 3 2 3 L L = M C ( L ) - M F I X 3 2 4 M = { K K - 1 ) * ( M B A N D - 1 ) + L L . 3 2 5 S ( M ) = S < M ) + S E ( K - , L ) 3 2 6 G O T O 4 1 " 3 2 7 4 0 1 M C L = M C ( L ) - N F I X O j 3 2 l 3 S K { M C ( K ) , M C L ) = S K ( M C ( K ) , M C L ) + S E ( K , 1 ) '? 4 1 C O N T I N U E G O T O 4 8 4 2 D O 4 4 K = l . 1 3 I F < M C ( K ) - M F I X ) 4 3 , 4 3 , 4 4 4 3 M C L = M C ( L ) - N F I X O S K ( M C ( K ) , M C L ) = S K ( M C ( K ) , M C L ) + S E ( K , L ) 4 4 C O N T I N U E 4 8 C O N T I N U E 5 0 C O N T I N U E DO 4 9 1 = 1 , 3 0 0 R K < I ) = 0 4 9 C O N T I N U E I F { N F O R C E . E Q . 0 ) G 0 T O 5 0 2 DO 5 0 1 J = l , N N O D E R K ( N P 1 ( J ) ) = R K 1 ( J )  I F { N P 2 < J ) . E Q . - l ) G O T O 5 0 1 R K ( N P 2 ( J ) ) = RK 2 ( J ) 5 0 1 C O N T I N U E D O 5 0 4 J = 1 , N U W R I T E ( 6 , 5 0 3 } R K ( J ) 5 0 4 C O N T I N U E 5 0 3 F O R M A T ( I X , E 1 6 . 7 ) 5 0 2 M F I X 1 = M F I X + 1 N U F 0 = N U - NF I X O IF(MFIX.EO.O)GO TO 541 IF(NFIX.EO.O)GO TO 541 144 DO 54 L=NFIXl,NUFO SUM=0 NFIXO1=NFIXO+1 DO 51 K=NFIXQ.1,MFIX  SUM=SUM + S K ( K , L ) * V K { K ) 51 CONTINUE te=L=HEJX , _ J = L+NF IXO DELTA(M) =RMJ)-SUM 54 CONTINUE  GO TO 544 541 DO 543 J=l,NUFO H=J+NF IXO D E L T A ( J ) = R K (M ) 543 .CONTINUE DO 546 K=l,NUFO WRITE(6 » 5 4 5 ) D E L T A ( K ) 545 FQRMAT(1X,E16.7) 3J*& CONTmLE 544 NE T=NU—MF I X RAT 10= 1 .E-6 CALL CBAND I ( S , P E L T A,NET,MBAND, l t RAT 10) RNE T=NE T D= CON D/RN ET _WJLI_IE.(_6„,-5_5J_D_ 55 FORMAT( 'RATIO OF CONDITICN NO. TO ORDER OF S WRITE(6,56)DE,NCN 56 F ORMAT ( ' DETERMINANT^ D16 .7 , ' * 1 . E ' 13 ) WRITE{6,58) 58 FORMAT { * NODE VEL-PRESS.V) X IF PRESSURE TERM =-A THEN ACTUAL PRESSURE IS V.0006*A COMPRESSIVE D060 1=1,NET L=MFIX +I WRI T E ( 6 , 5 9 ) L , D E L TA(I ) 59 FORMAT(I5,D18.8) 60 CONTINUE .  J J E J J ^ J t ^ ^ J U J ^ - J I L J U L DO 6 3 K=1,MFIX SUM=0 IF ( N F I X . E Q . O ) GO TO 611 DO 61 L=1,NFIX M=L+NF IXO SUM=SUM+SK(K,L)*VK(M) 6 1 CONTINUE 611 NFIX1=NFIX+1 NETO=NU-NFIXO DO 62 L=NFIX1,NETO M=L-NFIX _S.U.M^JJM+.SK.(-l<j-L.)JiD.E.L_TA-(.Ml__ l't 62 CONTINUE '5 R(K) = SUM 63 CONTINUE WRITE(6,64) 64 FORMAT(• NODE FORCE ') Q0__^6_J^L,HEI_X WRITE(6,65) I , R ( I ) 65 FORMAT(I 5,E18.8) 66 CONTINUE  413 70 STOP 414 END 1 4 5 D OF FILE 

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