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Computing geologically consistent models from geophysical data Granek, Justin 2011

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3 3  1 19 (2 + 3 + 6 + 8) = = 4.75 4 4  ■t ❝❛♥ ❜❡ s❤♦✇♥ t❤❛t ✲ ❛s ♦♥❡ ✇♦✉❧❞ ❡①♣❡❝t ✲ t❤❡ ❝❧✉st❡r ❛ss✐❣♥♠❡♥ts ✇❤✐❝❤ ♠✐♥✐♠✐③❡ ❊q✳ ✸✳✷ ❛r❡✿  j= C1 C2  1 √  2 √  3 √  4 √  5  6  7  √  √  √  ❛♥❞ t❤❡ ❝♦rr❡s♣♦♥❞✐♥❣ ♠❡❛♥ ✈❛❧✉❡s ❛r❡  µ1 =  10 1 (1 + 2 + 3 + 4) = = 2.50 4 4  µ2 = ✇✐t❤ ❛ ✈❛r✐❛♥❝❡ ♦❢  σ12 =  1 21 (6 + 7 + 8) = = 7.00 3 3 1 4  xi − 2.5 = 1.25 xi ∃C1  1 σ22 = 3  xi − 7 = 1.00 xi ∃C2  ❚❤❡r❡❢♦r❡ t❤❡ s♦❧✉t✐♦♥ ❝❛♥ ❜❡ s❤♦✇♥ ❛s  ❋✐❣✉r❡ ✸✳✷✿ ❙✐♠♣❧❡ ✶❉ ❞❛t❛ ❡①❛♠♣❧❡  ✇❤❡r❡ t❤❡ r❡❞ ❞✐❛♠♦♥❞s ✐♥❞✐❝❛t❡ t❤❡ ♠❡❛♥ ✈❛❧✉❡s ❛♥❞ t❤❡ ♣❛❧❡ r❡❞ ❡❧❧✐♣s❡s ❞❡♥♦t❡ t❤❡ ✈❛r✐❛♥❝❡✳ ❑✲▼❡❛♥s ❤❛s s✉❝❝❡ss❢✉❧❧② ❛rr✐✈❡❞ ❛t t❤❡ ❝♦rr❡❝t s♦❧✉t✐♦♥ t♦ t❤✐s t♦② ♣r♦❜❧❡♠✱ ❤♦✇❡✈❡r ♦♥❡ ❝❛♥ ✐♠❛❣✐♥❡ ❝❡rt❛✐♥ ❝♦♠♣❧✐❝❛t✐♦♥s t❤❛t ✇♦✉❧❞ ♥♦t ❜❡ ❤❛♥❞❧❡❞ q✉✐t❡ s♦ ♥✐❝❡❧②✿ ✸✺  ✸✳✸✳ ❊①♣❡❝t❛t✐♦♥ ▼❛①✐♠✐③❛t✐♦♥ ❆❧❣♦r✐t❤♠ ✶✳ ❑✲▼❡❛♥s ❝r❡❛t❡s s♣❤❡r✐❝❛❧ ❝❧✉st❡rs ✇✐t❤ s❤❛r❡❞ ✈❛r✐❛♥❝❡ ❢♦r ❛❧❧ ❞✐♠❡♥✲ s✐♦♥s❀ ✐t t❤❡r❡❢♦r❡ ♠✐❣❤t ♥♦t ❜❡ ✐❞❡❛❧ ❢♦r ♠♦❞❡❧✐♥❣ ♠♦r❡ ❝♦♠♣❧❡① ♣r♦✲ ❝❡ss❡s✳ ✷✳ ❚❤❡ ❛❧❣♦r✐t❤♠ ✐s ✈❡r② s✐♠♣❧✐st✐❝ ✐♥ ✐ts ❞❡t❡r♠✐♥✐st✐❝ ❝❧✉st❡r ❛ss✐❣♥♠❡♥t❀ ✇❤❛t ✐❢ ❛ ❞❛t✉♠ ❧✐❡s ❞✐r❡❝t❧② ❜❡t✇❡❡♥ t✇♦ ❝❧✉st❡rs❄ ❲❤✐❝❤ ✐s t❤❡  ❝❧♦s❡st  t❤❡♥❄ ■♥ ♦r❞❡r t♦ ❤❛♥❞❧❡ s✉❝❤ ❞✐✣❝✉❧t✐❡s✱ t❤❡ ♠♦r❡ ❣❡♥❡r❛❧ ❊①♣❡❝t❛t✐♦♥✲▼❛①✐♠✐③❛t✐♦♥ ❛❧❣♦r✐t❤♠ ❢♦r ❝❧✉st❡r✐♥❣ ✇✐❧❧ ❜❡ ✐♥tr♦❞✉❝❡❞ ❛♥❞ ❛♣♣❧✐❡❞✳  ✸✳✸ ❊①♣❡❝t❛t✐♦♥ ▼❛①✐♠✐③❛t✐♦♥ ❆❧❣♦r✐t❤♠ ❚❤❡ ❊▼ ❛❧❣♦r✐t❤♠✱ ❤❛✈✐♥❣ ❜❡❡♥ ✜rst ❢♦r♠❛❧❧② ♣r❡s❡♥t❡❞ ✐♥ ✶✾✼✼ ✐♥ ❛ ♣❛♣❡r ❜② ❆rt❤✉r ❉❡♠♣st❡r✱ ◆❛♥ ▲❛✐r❞✱ ❛♥❞ ❉♦♥❛❧❞ ❘✉❜✐♥✱ ✐s ♥♦✇ ❛ ✇❡❧❧ ❦♥♦✇♥ ❛♥❞ ✇❡❧❧ st✉❞✐❡❞ ❛❧❣♦r✐t❤♠✳ ❆s s✉❝❤✱ ♠❛♥② r❡s♦✉r❝❡s ❡①✐st t♦ ❛ss✐st ✐♥ t❤❡ ✉♥❞❡rst❛♥❞✐♥❣ ♦❢ t❤❡ ✉♥❞❡r❧②✐♥❣ t❤❡♦r②✱ ❛♥❞ ✐t s❤♦✉❧❞ ❜❡ ♥♦t❡❞ t❤❛t ❛❧❧ ❞❡r✐✈❛t✐♦♥s ✐♥ t❤✐s ❝❤❛♣t❡r ❤❛✈❡ ❜❡❡♥ r❡✲✇r✐tt❡♥ ❜❛s❡❞ ♦♥ ❛ s✉r✈❡② ♦❢ t❤❡s❡ s♦✉r❝❡s✳  ❚♦ ♠❛❦❡ t❤❡ ❞❡r✐✈❛t✐♦♥ ♠♦r❡ t❛♥❣✐❜❧❡✱ ♦♥❧② r❡❧❡✈❛♥t ❞❡t❛✐❧s ❛r❡  ♣r❡s❡♥t❡❞ ✐♥ t❤✐s ❝❤❛♣t❡r✳  ❋♦r ❢✉rt❤❡r ✐♥❢♦r♠❛t✐♦♥✱ t❤❡ r❡❛❞❡r ✐s ❞✐r❡❝t❡❞  t♦ t❤❡ ❢♦❧❧♦✇✐♥❣ r❡s♦✉r❝❡s✿ ❈❤❡♥ ❛♥❞ ●✉♣t❛ ❬✷✵✶✵❪✱ ❉❡♠♣st❡r ❡t ❛❧✳ ❬✶✾✼✼❪✱ ❉♦ ❛♥❞ ❇❛t③♦❣❧♦✉ ❬✷✵✵✽❪✱ ❋r❛❧❡② ❛♥❞ ❘❛❢t❡r② ❬✶✾✾✽❪✱ ❍❛st✐❡ ❡t ❛❧✳ ❬✷✵✵✶❪✱ ▼❝❧❛❝❤❧❛♥ ❛♥❞ P❡❡❧ ❬✷✵✵✵❪✱ ▼❝▲❛❝❤❧❛♥ ❛♥❞ ❑r✐s❤♥❛♥ ❬✷✵✵✽❪✱ 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Σi ] i = 1..M ✳  ❚❤✐s ✈❛❧✉❡ ❞✐❝t❛t❡s t❤❡ ✐♠♣♦rt❛♥❝❡ ♦❢ ❡❛❝❤  ●❛✉ss✐❛♥ ❞✐str✐❜✉t✐♦♥ ✐♥ r❡♣r❡s❡♥t✐♥❣ t❤❡ ❞❛t❛✳  ■♥ t❤❡ ❢♦❧❧♦✇✐♥❣ s❡❝t✐♦♥s t❤❡ ❊▼ ♠❡t❤♦❞ ✇✐❧❧ ❜❡ ❞❡r✐✈❡❞ t♦ s♦❧✈❡ ❢♦r t❤❡s❡ q✉❛♥t✐t✐❡s✳  ✸✳✸✳✷ ▼❛①✐♠✉♠✲▲✐❦❡❧✐❤♦♦❞ ❙✐♥❝❡ t❤❡ ❞❛t❛ ❛r❡ ✐♥❞❡♣❡♥❞❡♥t ❛♥❞ ✐❞❡♥t✐❝❛❧❧② ❞✐str✐❜✉t❡❞ ✭✐✳✐✳❞✳✮✱ t❤❡ ❧✐❦❡✲ ❧✐❤♦♦❞ ♦❢ ♦❜s❡r✈✐♥❣ t❤❡ ❡♥t✐r❡ ❞❛t❛  X  θ  ✐s t❤❡ ♣r♦❞✉❝t ♦❢  αi gi (xj |θi )  ✭✸✳✼✮  ❣✐✈❡♥ ♣❛r❛♠❡t❡rs  t❤❡ ❧✐❦❡❧✐❤♦♦❞ ♦❢ ♦❜s❡r✈✐♥❣ ❡❛❝❤ ❞❛t✉♠ ✐♥❞❡♣❡♥❞❡♥t❧②✿  N M  N  l (X|θ) =  l (xj |θ) = j=1  j=1 i=1  ❚❤❡ ❣♦❛❧ ♦❢ ❛ ▼❛①✐♠✉♠ ▲✐❦❡❧✐❤♦♦❞ ❛❧❣♦r✐t❤♠ ✐s t♦ ♦❜t❛✐♥ ❛♥ ❡st✐♠❛t❡ ❢♦r  θ = [θ1 , θ2 , ..., θM ]❛♥❞ α = [α1 , α2 , ..., αM ]✱ ✇❤❡r❡ θi = (µi , Σi ) s✉❝❤ t❤❛t t❤❡② ♠❛①✐♠✐③❡ t❤❡ ❧✐❦❡❧✐❤♦♦❞ ❢✉♥❝t✐♦♥✱ l (X|θ)✳ ■♥ ♦t❤❡r ✇♦r❞s✱ t♦ ❞✐s❝♦✈❡r t❤❡ ♠♦st ❧✐❦❡❧② ♣❛r❛♠❡t❡rs [θ, α] ❢♦r t❤❡ ❣❡♥❡r❛t✐✈❡ ❞✐str✐❜✉t✐♦♥ l (X|θ) ✇❤✐❝❤ ❡①♣❧❛✐♥s t❤❡ ❞❛t❛ X ✳ ❇❡❝❛✉s❡ l (X|θ) ✐s ❛ ♣r♦❞✉❝t ✭❊q✳ ✸✳✼✮✱ t❤❡ ♠❛①✐♠✐③❛t✐♦♥ ❝❛♥ ❜❡ s✐♠♣❧✐✜❡❞ ❜② t❛❦✐♥❣ t❤❡ ♣❛r❛♠❡t❡rs ♦❢ ❡❛❝❤ ●❛✉ss✐❛♥ ❞✐str✐❜✉t✐♦♥✱  ✸ ❛♥❞ ♠❛①✐♠✐③✐♥❣ t❤✐s ✐♥st❡❛❞✿  ✐ts ❧♦❣❛r✐t❤♠  ✸  ◆♦t❡✿ ❋♦r ❛❧❧ ❞✐s❝✉ss✐♦♥ ♦❢ t❤❡ ❊▼ ▼❡t❤♦❞✱ ❧♦❣ r❡❢❡rs t♦ t❤❡ ♥❛t✉r❛❧ ❧♦❣❛r✐t❤♠✳ ✸✽  ✸✳✸✳ ❊①♣❡❝t❛t✐♦♥ ▼❛①✐♠✐③❛t✐♦♥ ❆❧❣♦r✐t❤♠  N  log [l (X|θ)] =  M  j=1  ✇❤✐❝❤ ✇✐❧❧ ❜❡ r❡♣r❡s❡♥t❡❞ ❛s ♦❢ t❤❡ ♣❛r❛♠❡t❡rs  αi gi (xj |θi )  log  L (θ)  ✭✸✳✽✮  i=1  s✐♥❝❡ t❤❡ ❧♦❣✲❧✐❦❡❧✐❤♦♦❞ ✐s ♦♥❧② ❛ ❢✉♥❝t✐♦♥  θ✳  ✸✳✸✳✸ ❊✲❙t❡♣ ❚❤❡ ❊✲❙t❡♣✱ ♦r ❊①♣❡❝t❛t✐♦♥ st❡♣✱ ❛♣♣❧✐❡s t❤❡ ❡①♣❡❝t❛t✐♦♥ ✈❛❧✉❡ ❛❧♦♥❣ ✇✐t❤ s♦♠❡ ♦t❤❡r ♠❛t❤❡♠❛t✐❝❛❧ tr✐❝❦s t♦ r❡✇r✐t❡ t❤❡ ❧♦❣✲❧✐❦❡❧✐❤♦♦❞✱  L (θ)✱  ✐♥ t❡r♠s  t❤❛t ❝❛♥ ❜❡ ♠♦r❡ ❡❛s✐❧② ♠❛①✐♠✐③❡❞✳ ❆♣♣❧②✐♥❣ ❇❛②❡s t❤❡♦r❡♠ ✭❍❛st✐❡ ❡t ❛❧✳ ❬✷✵✵✶❪✮✱ ✐t ❝❛♥ ❜❡ s❤♦✇♥ t❤❛t s✐♥❝❡ t❤❡ ❧✐❦❡❧✐❤♦♦❞ t❤❛t t❤❡ ❞❛t❛ ❝❛♠❡ ❢r♦♠ ❛♥② ♦❢ t❤❡  M  ●❛✉ss✐❛♥ ❞✐str✐❜✉t✐♦♥s  ✐s ❡q✉❛❧ t♦ ✉♥✐t②  M  l (yi |X, θ) = 1  ✭✸✳✾✮  i=1 t❤❡ ❧♦❣✲❧✐❦❡❧✐❤♦♦❞ ❝❛♥ ❛❧s♦ ✇r✐tt❡♥ ❛s  M  l (X, Y |θ)  L (θ) = log (l (X|θ)) = log  ✭✸✳✶✵✮  i=1  ▼✉❧t✐♣❧②✐♥❣ t❤✐s ❜② ✉♥✐t② ✭❊q✳ ✸✳✾✮ ❣✐✈❡s  M  l (yi |X, θp )  L (θ) = log i=1  ✇❤❡r❡  θp  l (X, Y |θ) l (yi |X, θp )  ✭✸✳✶✶✮  ✐s ❞❡✜♥❡❞ ❛s t❤❡ ❝✉rr❡♥t ❜❡st ❡st✐♠❛t❡ ♦❢ t❤❡ ♣❛r❛♠❡t❡rs ❛t t❤❡  pth  ✐t❡r❛t✐♦♥✳ ❏❡♥s❡♥✬s ✐♥❡q✉❛❧✐t② ✭❍❛st✐❡ ❡t ❛❧✳ ❬✷✵✵✶❪✮ ❝❛♥ ❜❡ ✐♥✈♦❦❡❞ t♦ r❡✇r✐t❡ t❤✐s ❛s✿  M  l (yi |X, θp ) log  L (θ) ≥ i=1  l (X, Y |θ) l (yi |X, θp )  ✭✸✳✶✷✮  ✸✾  ✸✳✸✳ ❊①♣❡❝t❛t✐♦♥ ▼❛①✐♠✐③❛t✐♦♥ ❆❧❣♦r✐t❤♠ ❋✐♥❛❧❧②✱ s♣❧✐tt✐♥❣ ✉♣ t❤❡ ❧♦❣❛r✐t❤♠✐❝ ❢✉♥❝t✐♦♥ ❣✐✈❡s t✇♦ t❡r♠s✿  M p i=1 l (yi |X, θ ) log (l (X, Y Q (θ|θp )  L (θ) ≥ ≥  M p p i=1 l (yi |X, θ ) log (l (yi |X, θ )) R (θp |θp )  |θ)) − −  ✭✸✳✶✸✮ ❙✐♥❝❡ t❤❡ ❣♦❛❧ ✐s t♦ ♠❛①✐♠✐③❡ t❤✐s ❡①♣r❡ss✐♦♥ ✭❜② t❛❦✐♥❣ t❤❡ ❞❡r✐✈❛t✐✈❡✮ ✇✐t❤ r❡s♣❡❝t t♦  θ✱  Q (θ|θp ) ✐s ♦❢ ✐♥t❡r❡st s✐♥❝❡ R (θp |θp ) ✐s ♥♦t ❛ ❢✉♥❝t✐♦♥ ♦❢ θ✳  ♦♥❧②  ❚❤❡r❡❢♦r❡ ♦♥❧② t❤❡ ✜rst t❡r♠ ✐♥ ❊q✳ ✸✳✶✸ ✐s ♦❢ ✐♥t❡r❡st✱ ❛♥❞ ❝❛♥ ❜❡ ❡①♣❧✐❝✐t❧② ✇r✐tt❡♥ ❛s✿  M p γij log (l (xj , yj |θ))  p  Qj (θ|θ ) =  ✭✸✳✶✹✮  i=1 ✇❤❡r❡  p γij = l (yj = i|X = xj , θp )  ✭✸✳✶✺✮  ❊①♣❧✐❝✐t❧② t❤✐s ✐s ❡✈❛❧✉❛t✐♥❣ t❤❡ ❢♦❧❧♦✇✐♥❣✿  αpi  p γij =  M k=1  ■♥ ♣❧❛✐♥ t❡①t✱ t❤❛t  xj  1 det Σpi 2 αpk K (2π) 2 det Σpk  K (2π) 2  ( )  ( )  p γij  −1 2  exp 1 2  exp  T  (xj − µpi ) (Σpi ) −1 2  xj − µpk  T  −1  Σpk  (xj − µpi ) −1  xj − µpk  ✭✸✳✶✻✮  ❝❛♥ ❜❡ t❤♦✉❣❤t ♦❢ ❛s t❤❡ ❜❡st ❣✉❡ss ❛s t♦ t❤❡ ♣r♦❜❛❜✐❧✐t②  ❜❡❧♦♥❣s t♦ ❝♦♠♣♦♥❡♥t  i  ❛t ✐t❡r❛t✐♦♥  p  ✳  P❧✉❣❣✐♥❣ ✐♥ ❊q✳ ✸✳✺ ❛♥❞ s✐♠♣❧✐❢②✐♥❣✱ t❤❡ ❡①♣❡❝t❡❞ ✈❛❧✉❡ ♦❢ t❤❡ ❧♦❣✲❧✐❦❡❧✐❤♦♦❞ ♦❢ t❤❡ ❞❛t✉♠  xj  ❝♦♠✐♥❣ ❢r♦♠ ❞✐str✐❜✉t✐♦♥  i  ❣✐✈❡♥ ♣❛r❛♠❡t❡rs  θp  ❜❡❝♦♠❡s  ♠❛①✐♠✐③❡❞ ❜②✿  M p  Qj (θ|θ ) = i=1  1 1 p γij logαi − log |Σi | − (xj − µi )T (Σi )−1 (xj − µi ) 2 2 ✭✸✳✶✼✮  ❙✉♠♠✐♥❣ ♦✈❡r ❛❧❧ ❞❛t❛✱ t❤❡ ❡①♣❡❝t❡❞ ✈❛❧✉❡ ♦❢ t❤❡ ❝♦♠♣❧❡t❡ ❞❛t❛ ❧♦❣✲❧✐❦❡❧✐❤♦♦❞ ✐s ♠❛①✐♠✐③❡❞ ❜②✿  ✹✵  ✸✳✸✳ ❊①♣❡❝t❛t✐♦♥ ▼❛①✐♠✐③❛t✐♦♥ ❆❧❣♦r✐t❤♠  N  M  Q (θ|θp ) = j=1 i=1  1 1 p logαi − log |Σi | − (xj − µi )T (Σi )−1 (xj − µi ) γij 2 2 ✭✸✳✶✽✮  ❚❤✐s ❝❛♥ ❜❡ s✐♠♣❧✐✜❡❞ ❢✉rt❤❡r ❜② ❞❡✜♥✐♥❣ t❤❡ ❢♦❧❧♦✇✐♥❣ ❛s t❤❡ ♥✉♠❜❡r ♦❢  pth  ❞❛t❛ ✐♥ ❡❛❝❤ ❝❧✉st❡r ❛t t❤❡ ❡♥❞ ♦❢ t❤❡  ✐t❡r❛t✐♦♥✿  N  npi  p γij  =  ✭✸✳✶✾✮  j=1  ❙♦ t❤❛t ❊q✳ ✸✳✶✽ ♥♦✇ ❜❡❝♦♠❡s✿  M  Q (θ|θp ) = i=1  1 1 npi logαi − log |Σi | − 2 2  N  M p γij (xj − µi )T (Σi )−1 (xj − µi )  j=1 i=1 ✭✸✳✷✵✮  ✸✳✸✳✹ ▼✲❙t❡♣ ◆♦✇ t❤❛t t❤❡ ❧♦❣✲❧✐❦❡❧✐❤♦♦❞ ❤❛s ❜❡❡♥ r❡✇r✐tt❡♥ ✐♥ ♠♦r❡ ♠❛♥❛❣❡❛❜❧❡ t❡r♠s✱ t❤❡ ❢✉♥❝t✐♦♥ ✐♥ ❊q✳ ✸✳✷✵ ✇✐❧❧ ❜❡ ♠❛①✐♠✐③❡❞ ✇✐t❤ r❡s♣❡❝t t❤❡ ✉♥❦♥♦✇♥ ✈❛r✐✲ ❛❜❧❡s✿  µi ✱ Σ i  ❛♥❞  αi ✱  ❢♦r  i = 1..M ✳  ❚❤✐s ✇✐❧❧ ❜❡ ❞♦♥❡ ❜② t❛❦✐♥❣ ❞❡r✐✈❛t✐✈❡s  ❛♥❞ s❡tt✐♥❣ t❤❡♠ ❡q✉❛❧ t♦ ③❡r♦✳  ▼✐①✐♥❣ ❲❡✐❣❤ts α ❚❤❡ ✜rst s❡t ♦❢ ✈❛r✐❛❜❧❡s ✇❤✐❝❤ ✇✐❧❧ ❜❡ s♦❧✈❡❞ ❢♦r ❛r❡ t❤❡ ♠✐①✐♥❣ ✇❡✐❣❤ts✱  α✳  ❋♦r♠❛❧❧②✱ t❤❡ ❢♦❧❧♦✇✐♥❣ ✇✐❧❧ ❜❡ s♦❧✈❡❞✿  M  argmax Q (θ|θp ) s.t. θ  αi = 1  ✭✸✳✷✶✮  i=1  ✹✶  ✸✳✸✳ ❊①♣❡❝t❛t✐♦♥ ▼❛①✐♠✐③❛t✐♦♥ ❆❧❣♦r✐t❤♠ ❯s✐♥❣ ❛ ▲❛❣r❛♥❣✐❛♥ t♦ s♦❧✈❡ ❢♦r t❤❡ ✇❡✐❣❤ts ❣✐✈❡s  M  J (α, λ) = Q (θ|θp ) + λ  αi − 1  ✭✸✳✷✷✮  i=1  ❚❛❦✐♥❣ t❤❡ ❞❡r✐✈❛t✐✈❡ ♦❢ t❤✐s ❡①♣r❡ss✐♦♥ ✇✐t❤ r❡s♣❡❝t t♦ t❤❡ ✇❡✐❣❤ts  npi ∂J (α, λ) = +λ=0 ∂αi αi ❙✉♠♠✐♥❣ ♦✈❡r ❛❧❧ t❤❡ ❝♦♠♣♦♥❡♥ts✱  i = 1..M ✱  ✭✸✳✷✸✮  ❣✐✈❡s  M  npi  λ=−  ✭✸✳✷✹✮  i=1  ❚❤❡r❡❢♦r❡  αip+1 =  npi  =  M  npi i=1  npi N  ✭✸✳✷✺✮  ✇❤✐❝❤ ✐♥t✉✐t✐✈❡❧② ♠❛❦❡s s❡♥s❡✿ t❤❡ ✇❡✐❣❤t ✭✐♠♣♦rt❛♥❝❡✮ ♣r❡s❝r✐❜❡❞ t♦ ❡❛❝❤ ●❛✉ss✐❛♥ ❞✐str✐❜✉t✐♦♥ ✐s ❡q✉❛❧ t♦ t❤❡ ♥✉♠❜❡r ♦❢ ❞❛t❛ ✇❤✐❝❤ ❛r❡ r❡♣r❡s❡♥t❡❞ ❜② ❡❛❝❤ ❞✐str✐❜✉t✐♦♥ ♥♦r♠❛❧✐③❡❞ ❜② t❤❡ t♦t❛❧ ♥✉♠❜❡r ♦❢ ❞❛t❛✳  ▼❡❛♥ ❱❛❧✉❡s µ ❋♦❧❧♦✇✐♥❣ t❤❡ s❛♠❡ ♣r♦❝❡❞✉r❡✱ t❤❡ ♠❡❛♥ ✈❛❧✉❡s ❝❛♥ ❜❡ s♦❧✈❡❞ ❢♦r ❜② t❛❦✐♥❣ t❤❡ ❞❡r✐✈❛t✐✈❡ ♦❢ ❊q✳ ✸✳✷✵✱ t❤✐s t✐♠❡ ✇✐t❤ r❡s♣❡❝t t♦  µi  ❛♥❞ s❡tt✐♥❣ ✐t ❡q✉❛❧  t♦ ③❡r♦✿  ∂Q (θ|θp ) ∂µi   = (Σpi )    N  −1   p γij xj − npi  = 0  ✭✸✳✷✻✮  p γij xj  ✭✸✳✷✼✮  j=1  ❘❡❛rr❛♥❣✐♥❣ ❣✐✈❡s  µp+1 i  1 = p ni  N j=1 ✹✷  ✸✳✸✳ ❊①♣❡❝t❛t✐♦♥ ▼❛①✐♠✐③❛t✐♦♥ ❆❧❣♦r✐t❤♠ ✇❤✐❝❤✱ ❢♦r t❤❡  ith  ●❛✉ss✐❛♥ ❞✐str✐❜✉t✐♦♥✱ ✐♥ ✇♦r❞s ✐s✿ ✏t❤❡ s✉♠ ♦❢ ❛❧❧ ❞❛t❛  ✭xj ) ✇❡✐❣❤t❡❞ ❜② t❤❡✐r ♣r♦❜❛❜✐❧✐t② ♦❢ ❜❡❧♦♥❣✐♥❣ t♦ t❤❡  ith  ❞✐str✐❜✉t✐♦♥ ✭γij ✮✱  t❤❡♥ ♥♦r♠❛❧✐③❡❞ ❜② t❤❡ ♥✉♠❜❡r ♦❢ ❞❛t❛ r❡♣r❡s❡♥t❡❞ ❜② t❤❡  ith  ❞✐str✐❜✉t✐♦♥  ✭ni ✮✑✳  ❈♦✈❛r✐❛♥❝❡s Σ ❋✐♥❛❧❧②✱ ♦♥❝❡ ♠♦r❡ t♦ s♦❧✈❡ ❢♦r t❤❡ ❝♦✈❛r✐❛♥❝❡s✱ t❤❡ ❞❡r✐✈❛t✐✈❡ ♦❢ ❊q✳✸✳✷✵ ✐s t❛❦❡♥ ✇✐t❤ r❡s♣❡❝t t♦  Σi ✱  ❛♥❞ s❡t ❡q✉❛❧ t♦ ③❡r♦✿  ∂Q (θ|θp ) −1 p −1 1 = n Σ + ∂Σi 2 i i 2  N T  p −1 γij Σi (xj − µpi ) (xj − µpi ) Σ−1 i =0  ✭✸✳✷✽✮  j=1  ❘❡❛rr❛♥❣✐♥❣ ❣✐✈❡s  Σp+1 = i  ✇❤✐❝❤ ❛❣❛✐♥✱ ❢♦r t❤❡  1 npi  N T  p γij (xj − µpi ) (xj − µpi )  ✭✸✳✷✾✮  j=1  ith ●❛✉ss✐❛♥  ❞✐str✐❜✉t✐♦♥✱ ✐♥ ✇♦r❞s ✐s✿ ✏t❤❡ s✉♠ ♦❢ t❤❡  ith ♠❡❛♥ ✈❛❧✉❡ ✭µi ✮✱ ✇❡✐❣❤t❡❞ th ❜② t❤❡✐r ♣r♦❜❛❜✐❧✐t② ♦❢ ❜❡❧♦♥❣✐♥❣ t♦ t❤❡ i ❞✐str✐❜✉t✐♦♥ ✭γij ✮✱ ❛♥❞ t❤❡♥ ♥♦r✲ th ❞✐str✐❜✉t✐♦♥ ✭n ✮✑✳ ♠❛❧✐③❡❞ ❜② t❤❡ ♥✉♠❜❡r ♦❢ ❞❛t❛ r❡♣r❡s❡♥t❡❞ ❜② t❤❡ i i sq✉❛r❡❞ ❞✐✛❡r❡♥❝❡ ❜❡t✇❡❡♥ ❡❛❝❤ ❞❛t✉♠ ❛♥❞ t❤❡  ✸✳✸✳✺ ❈♦♥✈❡r❣❡♥❝❡ ❚❤❡s❡ t✇♦ st❡♣s✱ t❤❡ ❊✲❙t❡♣ ❛♥❞ t❤❡ ▼✲❙t❡♣✱ ❛r❡ ✐t❡r❛t❡❞ r❡♣❡❛t❡❞❧② ✉♥t✐❧ ❝♦♥✈❡r❣❡♥❝❡ ✐s r❡❛❝❤❡❞✳ ❚❤❡ t②♣✐❝❛❧ st♦♣♣✐♥❣