{"@context":{"@language":"en","Affiliation":"http:\/\/vivoweb.org\/ontology\/core#departmentOrSchool","AggregatedSourceRepository":"http:\/\/www.europeana.eu\/schemas\/edm\/dataProvider","Campus":"https:\/\/open.library.ubc.ca\/terms#degreeCampus","Creator":"http:\/\/purl.org\/dc\/terms\/creator","DateAvailable":"http:\/\/purl.org\/dc\/terms\/issued","DateIssued":"http:\/\/purl.org\/dc\/terms\/issued","Degree":"http:\/\/vivoweb.org\/ontology\/core#relatedDegree","DegreeGrantor":"https:\/\/open.library.ubc.ca\/terms#degreeGrantor","Description":"http:\/\/purl.org\/dc\/terms\/description","DigitalResourceOriginalRecord":"http:\/\/www.europeana.eu\/schemas\/edm\/aggregatedCHO","FullText":"http:\/\/www.w3.org\/2009\/08\/skos-reference\/skos.html#note","Genre":"http:\/\/www.europeana.eu\/schemas\/edm\/hasType","IsShownAt":"http:\/\/www.europeana.eu\/schemas\/edm\/isShownAt","Language":"http:\/\/purl.org\/dc\/terms\/language","Program":"https:\/\/open.library.ubc.ca\/terms#degreeDiscipline","Provider":"http:\/\/www.europeana.eu\/schemas\/edm\/provider","Publisher":"http:\/\/purl.org\/dc\/terms\/publisher","Rights":"http:\/\/purl.org\/dc\/terms\/rights","ScholarlyLevel":"https:\/\/open.library.ubc.ca\/terms#scholarLevel","Title":"http:\/\/purl.org\/dc\/terms\/title","Type":"http:\/\/purl.org\/dc\/terms\/type","URI":"https:\/\/open.library.ubc.ca\/terms#identifierURI","SortDate":"http:\/\/purl.org\/dc\/terms\/date"},"Affiliation":[{"@value":"Arts, Faculty of","@language":"en"},{"@value":"Geography, Department of","@language":"en"}],"AggregatedSourceRepository":[{"@value":"DSpace","@language":"en"}],"Campus":[{"@value":"UBCV","@language":"en"}],"Creator":[{"@value":"Whitaker, Roy Alexander","@language":"en"}],"DateAvailable":[{"@value":"2011-04-29T22:07:23Z","@language":"en"}],"DateIssued":[{"@value":"1971","@language":"en"}],"Degree":[{"@value":"Doctor of Philosophy - PhD","@language":"en"}],"DegreeGrantor":[{"@value":"University of British Columbia","@language":"en"}],"Description":[{"@value":"Plant location as a centralized planning objective in which some agency has control over most of the system elements can be reduced, in many circumstances, to the problem of finding the medians of a weighted graph. This concept is feasible if it can be assumed that each location sought is constrained to a subset of p nodes on an n node network. This combinatorial programming problem can be formally stated as follows: if G is a weighted graph, [formula omitted] the weighted distance of node [symbol omitted] to node [symbol omitted], and Xp is any set of p nodes on G (x\u2081, x\u2082, \u2022\u2022\u2022,Xp), then the required set of p nodes Xp\u2217 on G is the p median of the graph if it satisfies the expression [formula omitted].\r\nAlthough this objective can be explicitly optimized by branch bound algorithms, those developed to date can become computationally infeasible for some large scale problems.\r\nA fast method for estimating the medians of a weighted graph is given which will provide optimal or near optimal solutions on any type of network. The heuristic procedures adopted in this study can be generalized in terms of three basic steps; 1) partition the graph to obtain an initial feasible solution, 2) re-iterate over; step 1 to achieve a local minimum, and 3) perturb this convergence to test for a lower bound. The design of steps 1 and 3 are crucial to the success of the algorithmic method. Two procedures are given for the basic partitioning of the graph, one of which is a modification of a criterion originally developed by Singer (1968) . The other method introduces a node elimination recursion which appears, experimentally, to be the more efficient procedure for certain types of weighted networks. Efficient perturbation methods are developed for testing the lower bounds obtained.\r\nThe basic model structure is modified by the introduction\r\nof heuristics for the constrained plant location problem under a wide variety of restrictions. Numerical procedures are suggested for restricting the search to a subset of m potential plant sites among all n nodes on the network. Heuristics are developed for forcing certain locations into solution, for placing upper bound constraints on plant sizes, and for restricting the maximum link distance\r\nover which a particular allocation might be made. \r\nAttention is given to the problem of estimating the joint minimization of plant and transportation cost functions over a network surface. For dynamic location-allocation systems an explicit dynamic programming formulation is developed for the optimal sequencing of plant locations over time subject, if necessary, to periodic variations in all cost functions and node weights.\r\nAn application of the basic median algorithm to the problem of rural hospital locations in Southeast British Columbia is demonstrated, and computer codes are listed for all the specified models.","@language":"en"}],"DigitalResourceOriginalRecord":[{"@value":"https:\/\/circle.library.ubc.ca\/rest\/handle\/2429\/34175?expand=metadata","@language":"en"}],"FullText":[{"@value":"ALGORITHM FOR ESTIMATING THE MEDIANS OF A WEIGHTED GRAPH SUBJECT TO S IDE C O N S T R A I N T S , AND AN A P P L I C A T I O N TO RURAL HOSPITAL LOCATIONS IN B R I T I S H COLUMBIA by ROY ALEXANDER WHITAKER B.A., U n i v e r s i t y of E x e t e r , 1962 MSc., P e n n s y l v a n i a S t a t e U n i v e r s i t y , 1965 A THES IS SUBMITTED IN P A R T I A L FULF ILMENT OF THE REQUIREMENTS FOR THE DEGREE OF DOCTOR OF PHILOSOPHY In the Department of G e o g r a p h y We accept this thesis as conforming to the required standard THE U N I V E R S I T Y OF B R I T I S H COLUMBIA M a r c h 1971 In p r e s e n t i n g t h i s t h e s i s i n p a r t i a l f u l f i l m e n t o f the r e q u i r e m e n t s f o r an advanced degree at the U n i v e r s i t y o f B r i t i s h C o l u m b i a , I a g r e e t h a t t h e L i b r a r y s h a l l make i t f r e e l y a v a i l a b l e f o r r e f e r e n c e and s t u d y . I f u r t h e r agree t h a t p e r m i s s i o n f o r e x t e n s i v e c o p y i n g o f t h i s t h e s i s f o r s c h o l a r l y p u r p o s e s may be g r a n t e d by the Head o f my Department o r by h i s r e p r e s e n t a t i v e s . I t i s u n d e r s t o o d t h a t c o p y i n g o r p u b l i c a t i o n o f t h i s t h e s i s f o r f i n a n c i a l g a i n s h a l l not be a l l o w e d w i t h o u t my w r i t t e n p e r m i s s i o n . Department o f The U n i v e r s i t y o f B r i t i s h C olumbia Vancouver 8, Canada Date ABSTRACT P l a n t l o c a t i o n as a c e n t r a l i z e d p l a n n i n g o b j e c t i v e i n w h i c h some a g e n c y has c o n t r o l o v e r m o s t o f t h e s y s t e m e l e m e n t s c a n be r e d u c e d , i n many c i r c u m s t a n c e s , t o t h e p r o b l e m o f f i n d i n g t h e m e d i a n s o f a w e i g h t e d g r a p h . T h i s c o n c e p t i s f e a s i b l e i f i t c a n be a s s u m e d t h a t e a c h l o c a t i o n s o u g h t i s c o n s t r a i n e d t o a s u b s e t o f p n o d e s on an n node n e t w o r k . T h i s c o m b i n a t o r i a l p r o g r a m m i n g p r o b l e m c a n be f o r m a l l y s t a t e d as f o l l o w s : i f G i s a w e i g h t e d g r a p h , w ( v . v . ) t h e w e i g h t e d d i s t a n c e o f node v . t o node v . , and Xp i s a n y s e t o f p n o d e s on G ( x l s x 2 , \u2022 \u2022 \u2022 , X p ) , t h e n t h e r e q u i r e d s e t o f p n o d e s Xp on G i s t h e p m e d i a n o f t h e g r a p h i f i t s a t i s f i e s t h e e x p r e s s i o n n n A l t h o u g h t h i s o b j e c t i v e c a n be e x p l i c i t l y o p t i m i z e d by b r a n c h b o u n d a l g o r i t h m s , t h o s e d e v e l o p e d t o d a t e c a n become c o m p u t a t i o n a l l y i n f e a s i b l e f o r some l a r g e s c a l e p r o b -l e m s . A f a s t m e t h o d f o r e s t i m a t i n g t h e m e d i a n s o f a w e i g h t e d J g r a p h i s g i v e n w h i c h w i l l p r o v i d e o p t i m a l o r n e a r o p t i m a l s o l u t i o n s on any t y p e o f n e t w o r k . The h e u r i s t i c p r o c e d u r e s a d o p t e d i n t h i s s t u d y c a n be g e n e r a l i z e d i n t e r m s o f t h r e e b a s i c s t e p s ; 1) p a r t i t i o n t h e g r a p h t o o b t a i n an i n i t i a l f e a s i b l e s o l u t i o n , 2) r e - i t e r a t e over ; s t e p 1 t o a c h i e v e a l o c a l m i n i m u m , and 3) p e r t u r b t h i s c o n v e r g e n c e t o t e s t f o r a l o w e r b o u n d . The d e s i g n o f s t e p s 1 and 3 a r e c r u c i a l t o t h e s u c c e s s o f t h e a l g o r i t h m i c m e t h o d . Two p r o c e d u r e s a r e g i v e n f o r t h e b a s i c p a r t i t i o n i n g o f t h e g r a p h , one o f w h i c h i s a m o d i f i c a t i o n o f a c r i t e r i o n o r i g i n a l l y d e v e l o p e d by S i n g e r ( 1 9 6 8 ) . The o t h e r m e t h o d i n t r o d u c e s a node e l i m i n a t i o n r e c u r s i o n w h i c h a p p e a r s , e x p e r i m e n t a l l y , t o be t h e more e f f i c i e n t p r o c e d u r e f o r c e r t a i n t y p e s o f w e i g h t e d n e t w o r k s . E f f i c i e n t p e r t u r b a t i o n m e t h o d s a r e d e v e l o p e d f o r t e s t i n g t h e l o w e r b o u n d s o b t a i n e d . The b a s i c mode l s t r u c t u r e i s m o d i f i e d by t h e i n t r o -d u c t i o n o f h e u r i s t i c s f o r t h e c o n s t r a i n e d p l a n t l o c a t i o n p r o b l e m u n d e r a w i d e v a r i e t y o f r e s t r i c t i o n s . N u m e r i c a l p r o c e d u r e s a r e s u g g e s t e d f o r r e s t r i c t i n g t h e s e a r c h t o a s u b s e t o f m p o t e n t i a l p l a n t s i t e s among a l l n n o d e s on t h e n e t w o r k . H e u r i s t i c s a r e d e v e l o p e d f o r f o r c i n g c e r t a i n l o c a t i o n s i n t o s o l u t i o n , f o r p l a c i n g u p p e r b o u n d c o n s t r a i n t s on p l a n t s i z e s , and f o r r e s t r i c t i n g t h e maximum l i n k d i s -t a n c e o v e r w h i c h a p a r t i c u l a r a l l o c a t i o n m i g h t be m a d e . A t t e n t i o n i s g i v e n t o t h e p r o b l e m o f e s t i m a t i n g t h e j o i n t m i n i m i z a t i o n o f p l a n t and t r a n s p o r t a t i o n c o s t f u n c t i o n s o v e r a n e t w o r k s u r f a c e . F o r d y n a m i c l o c a t i o n - a l l o c a t i o n s y s t e m s an e x p l i c i t d y n a m i c p r o g r a m m i n g f o r m u l a t i o n i s d e v e l o p e d f o r t h e o p t i m a l s e q u e n c i n g o f p l a n t l o c a t i o n s o v e r t i m e s u b j e c t , i f n e c e s s a r y , t o p e r i o d i c v a r i a t i o n s i n a l l c o s t f u n c t i o n s and node w e i g h t s . An a p p l i c a t i o n o f t h e b a s i c m e d i a n a l g o r i t h m t o t h e p r o b l e m o f r u r a l h o s p i t a l l o c a t i o n s i n S o u t h e a s t B r i t i s h C o l u m b i a i s d e m o n s t r a t e d , and c o m p u t e r c o d e s a r e l i s t e d f o r a l l t h e s p e c i f i e d m o d e l s . P a g e ABSTRACT '. i i T A B L E OF CONTENTS . v L I S T OF T A B L E S . . i x L I S T OF F IGURES x ACKNOWLEDGMENTS . . . x i i CHAPTER T - INTRODUCTION AND STUDY OUTLINE 1 O b j e c t i v e s o f S t u d y 2 S c o p e o f t h e S t u d y . . . . . . . . 4 S t u d y O u t l i n e 6 CHAPTER I I - REGIONAL HEALTH P L A N N I N G : SOME P E R S P E C T I V E S AND PROBLEMS 8 The R a t i o n a l e f o r R e g i o n a l H e a l t h P l a n n i n g . . . . . 8 H i s t o r i c a l A n t e c e d e n t f o r R e g i o n a l i z a t i o n . . . . 11 Some I n h e r e n t P r o b l e m s i n R e g i o n a l P l a n n i n g . . . 1 8 The R o l e o f t h e M o d e r n H o s p i t a l 19 The R o l e o f S o c i a l M e d i c i n e 22 I n s u r a n c e C o v e r a g e and t h e U t i l i z a t i o n o f M e d i c a l C a r e . 28 M e d i c a l C a r e i n t h e R u r a l S e t t i n g 30 Some P r e v i o u s M o d e l s o f H e a l t h F a c i 1 i t y L o c a t i o n 32 A G e n e r a l A p p r o a c h t o R u r a l H o s p i t a l L o c a t i o n S y s t e m s 38 CHAPTER I I I - AN ALGORITHM FOR ESTIMATING THE MEDIANS OF A WEIGHTED GRAPH SUBJECT TO S IDE CONSTRAINTS 41 P r o b l e m S t a t e m e n t 41 F o r m u l a t i o n o f t h e P r o b l e m i n Terms o f a W e i g h t e d G r a p h ' . . 46 Some P r e v i o u s A p p r o a c h e s t o t h e P r o b l e m 48 ( a ) E x a c t S o l u t i o n M e t h o d s . . . . 48 ( b ) H e u r i s t i c - S o l u t i o n s 52 The S i n g e r A l g o r i t h m 57 Some Comments on T h e s e A l g o r i t h m s 69 Some A l t e r n a t i v e P a r t i t i o n i n g and P e r t u r b a t i o n M e t h o d s 70 An A l g o r i t h m f o r E s t i m a t i n g t h e M e d i a n s o f a W e i g h t e d G r a p h 73 R e s t r i c t i o n s on P o t e n t i a l P l a n t S i t e s 76 P l a n t S i z e U p p e r B o u n d s 78 Maximum D i s t a n c e C o n s t r a i n t 92 P l a n t C o s t 93 D y n a m i c L o c a t i o n - A l l o c a t i o n S y s t e m s . . 97 A D y n a m i c P r o g r a m f o r t h e O p t i m a l S e q u e n c i n g o f P l a n t L o c a t i o n s O v e r T i m e 107 CHAPTER IV - AN A P P L I C A T I O N OF THE MEDIAN ALGORITHM TO RURAL HOSPITAL LOCATIONS IN A S U B - R E G I O N OF B R I T I S H COLUMBIA 119 C h o i c e o f R e g i o n a l S t u d y A r e a 120 G e n e r a t i o n o f a M e d i c a l Demand N e t w o r k f o r S o u t h e a s t e r n B r i t i s h C o l u m b i a . . . . 122 A M e a s u r e o f t h e L o c a t i o n a l E f f i c i e n c y o f t h e H o s p i t a l S y s t e m o f S o u t h e a s t B r i t i sh C o l u m b i a 1 30 P r e d i c t i o n o f A c t u a l F l o w P a t t e r n s W i t h i n t h e S u b - R e g i o n 132 A M e t h o d f o r E s t i m a t i n g O p t i m a l P l a n t S i z e O v e r t h e C u r r e n t S y s t e m o f H o s p i t a l s i n t h e R e g i o n 141 CHAPTER V - SUMMARY AND CONCLUSIONS 144 L I T E R A T U R E CITED 148 A P P E N D I C E S I. Node P o p u l a t i o n s and Demands by M e d i c a l C a t e g o r i e s 155 I I . S h o r t D i s t a n c e M a t r i x B e t w e e n Nodes and P o t e n t i a l H o s p i t a l S i t e s . . . . 156 I I I . A C o m p u t e r P r o g r a m f o r C a l c u l a t i n g S h o r t P a t h s T h r o u g h a N e t w o r k (The D a n t z i g A l g o r i t h m ) 160 I V . A C o m p u t e r P r o g r a m f o r W a r d ' s H i e r a r c h i c a l G r o u p i n g A l g o r i t h m W i t h D e n d o g r a m 167 V . An A l g o r i t h m f o r t h e G r a p h i c a l G e n e r a -t i o n o f a D e n d o g r a m From any S t e p w i s e H i e r a r c h i c a l G r o u p i n g M e t h o d 178 V I . A C o m p u t e r P r o g r a m f o r E s t i m a t i n g t h e M e d i a n s o f a W e i g h t e d G r a p h S u b j e c t , i f o p t i o n e d , t o s i d e C o n s t r a i n t s 184 V I I . A C o m p u t e r P r o g r a m f o r t h e O p t i m a l S e q u e n c i n g o f P l a n t L o c a t i o n s O v e r T i m e by D y n a m i c P r o g r a m m i n g . . 226 V I I I . P r o g r a m Deck S e t Up f o r a l l S a m p l e P r o b l e m s D i s c u s s e d i n C h a p t e r I I I . . 240 L I S T OF TABLES T a b l e r Page 1 . S h o r t D i s t a n c e M a t r i x f o r F i g u r e 4 63 2 . The A M a t r i x f o r F i g u r e 4 64 3 . P o s s i b l e S o l u t i o n s t o t h e 4 Med ium P r o b l e m o f F i g u r e 6 by C o o p e r ' s H e u r i s t i c s 81 4 . S o l u t i o n T a b l e u f o r F i g u r e 6 88 5 . O p t i m a l S e q u e n c i n g o f P l a n t L o c a t i o n s f o r a H y p o t h e t i c a l E x a m p l e 112 6 . A b s o l u t e Number o f S c h o o l D i s t r i c t S e p a r a t i o n s by M e d i c a l C a t e g o r i e s . . . . . 124 7 . C o m p a r i s o n o f D i s t a n c e M i n i m i z i n g R e s u l t s : C o n s t r a i n e d and U n c o n s t r a i n e d S o l u t i o n s 131 8 . C o m p a r i s o n o f C o n s t r a i n e d and U n c o n -s t r a i n e d L o c a t i o n S y s t e m s 133 9 . F l o w P a t t e r n P r e d i c t i o n : D i s t a n c e M i n i m i z i n g and I n t e r a c t a n c e M o d e l s 136 L I S T OF F IGURES F i g u r e Page 1 . R e l a t i o n s h i p B e t w e e n P l a n t and T r a n s p o r t a t i o n C o s t F u n c t i o n s 43 2 . P i e c e w i s e L i n e a r A p p r o x i m a t i o n o f a C o n c a v e P l a n t C o s t F u n c t i o n 43 3 . P r i n c i p l e s o f t h e A p p l i c a t i o n o f a B r a n c h - B o u n d A l g o r i t h m t o P l a n t L o c a t i o n 50 4 . A 10 Node S a m p l e N e t w o r k P r o b l e m . . 62 5 . An 11 Node S a m p l e N e t w o r k P r o b l e m 65 6 . A 10 Node S a m p l e N e t w o r k P r o b l e m f o r P l a n t S i z e C o n s t r a i n t s 65 7 . A 20 Node S a m p l e N e t w o r k P r o b l e m . . . . . . . . 66 8 . a ) . 2 M e d i a n S o l u t i o n f o r F i g u r e 4 67 b) . 3 M e d i a n S o l u t i o n f o r F i g u r e 4 67 c ) . 3 M e d i a n S o l u t i o n f o r F i g u r e 5 67 9 . 2 M e d i a n S o l u t i o n ( L i m i t e d P o t e n t i a l S i t e s ) f o r F i g u r e 4 70 1 0 . a ) . 4 M e d i a n S o l u t i o n ( P l a n t S i z e C o n s t r a i n t s ) f o r F i g u r e 6 89 b ) . 2 and 3 M e d i a n S o l u t i o n s ( P l a n t S i z e C o n s t r a i n t s ) f o r F i g u r e 4 . . . . . . . 89 F i g u r e Page c ) . 2 M e d i a n S o l u t i o n (Maximum D i s t a n c e C o n s t r a i n t ) f o r F i g u r e 4 89 1 1 . a ) . C o m b i n e d P l a n t - T r a n s p o r t a t i o n C o s t S o l u t i o n f o r F i g u r e 4 98 b ) . 3 M e d i a n S o l u t i o n ( P l a n t C o s t s and P l a n t S i z e C o n s t r a i n t s ) f o r F i g u r e 4 . . . 98 1 2 . F o r w a r d R e c u r s i v e D y n a m i c S o l u t i o n f o r F i g u r e 7 . . 101 1 3 . F o r w a r d R e c u r s i v e (Node 9 F o r c e d ) D y n a m i c S o l u t i o n f o r F i g u r e 7 102 1 4 . B a c k w a r d R e c u r s i v e D y n a m i c S o l u t i o n f o r F i g u r e 7 106 1 5 . S c h o o l D i s t r i c t L o c a t i o n s i n S o u t h e a s t B r i t i s h C o l u m b i a 123 1 6 . M e d i c a l Demand N e t w o r k : Node and P o t e n t i a l H o s p i t a l S i t e s 129 1 7 . I l l u s t r a t i o n o f D e n d o g r a m A l g o r i t h m f o r a S i x S u b j e c t E x a m p l e 182 1 8 . G r a p h i c a l D i s p l a y o f a 40 S u b j e c t D e n d o g r a m G r o u p e d by t h e Ward A l g o r i t h m 183 ACKNOWLEDGMENTS I s h o u l d l i k e t o e x t e n d my g r a t i t u d e t o t h e many p e o p l e w h o s e a s s i s t a n c e and e n c o u r a g e m e n t made p o s s i b l e t h e c o m p l e t i o n o f t h i s s t u d y . I am i n d e b t e d t o D r . D. 0. A n d e r s o n f o r h i s h e l p w i t h t h e e p i d e m i o l o g i c a l a s p e c t s o f t h e s t u d y , t o D r . G . G a t e s and K. G . D e n i k e f o r t h e i r comments on t h e l o g i c a l s t r u c t u r e o f t h e a l g o r i t h m s , and t o D r . M. C h u r c h and M. J . P a t t e r s o n f o r t h e i r v a l u a b l e s u g g e s t i o n s w h i c h l e d t o i m p r o v e m e n t s i n t h e c o m p u t e r c o d e s . To M r s . M. W e r n t z I e x p r e s s my t h a n k s f o r r e d u c -i n g t h e c o m p u t e r t a p e s o f h o s p i t a l s e p a r a t i o n d a t a t o m a n a g e a b l e p r o p o r t i o n s , and t o t h e B r i t i s h C o l u m b i a H o s p i t a l I n s u r a n c e Scheme f o r m a k i n g t h e s e t a p e s a v a i l -a b l e . F i n a l l y I s h o u l d l i k e t o a c k n o w l e d g e w i t h a p p r e c i -a t i o n t h e C e n t r a l M o r t g a g e and H o u s i n g C o r p o r a t i o n f o r t h e i r g e n e r o u s s u p p o r t o f t h i s s t u d y o v e r i t s l a s t two y e a r s . CHAPTER I INTRODUCTION AND STUDY OUTLINE S c i e n t i f i c and t e c h n o l o g i c a l a d v a n c e s i n m e d i c i n e h a v e c r e a t e d a n e e d f o r r e f i n e m e n t s i n t h e o r g a n i z a t i o n s t h r o u g h w h i c h h e a l t h c a r e i s g i v e n . As m e d i c a l t e c h n o l o g y g r o w s e v e r more c o m p l e x i t has become i n c r e a s i n g l y a p p a r e n t t h a t an i n h e r e n t t e n d e n c y e x i s t s t o w a r d s e v e r more s p e c i a l -i z a t i o n and f r a g m e n t a t i o n i n t h e p r o v i s i o n o f m e d i c a l c a r e . T h i s t r e n d , t o g e t h e r w i t h m o u n t i n g s o c i a l c r i t i c i s m a g a i n s t t h e c o n t i n u a t i o n o f i n e q u a l i t i e s i n t h e r e c e i p t o f h e a l t h c a r e among some u n d e r p r i v i l e g e d s e g m e n t s o f t h e p o p u l a t i o n , has s e t i n m o t i o n an i n f l a t i o n a r y s p i r a l whose r e s u l t s a r e \" t o be s e e n i n m e d i c a l c o s t s r i s i n g more r a p i d l y t h a n t h e e c o n o m y c a n c o m f o r t a b l y s u s t a i n ( M c L a c h l a n , 1 9 6 7 ) . The i m p l i c a t i o n s o f s u c h a t r e n d a r e p a r t i c u l a r l y s e r i o u s i f c o n s i d e r e d a g a i n s t t h e r e a l i t y t h a t t h e n e e d s o f m e d i c i n e m u s t c o m p e t e w i t h o t h e r s e c t o r s o f t h e economy f o r t h e a l l o c a t i o n o f r e s o u r c e s a l l t o o s c a r c e f o r t h e number and v a r i e t y o f demands p l a c e d upon t h e m . The r a t i o n a l u s e o f s u c h r e s o u r c e s as a r e a l l o t t e d t o t h e h e a l t h c a r e s e c t o r has t h e r e f o r e become a d e s i r a b l e e n d , one who se n e e d has b e e n i n c r e a s i n g l y r e c o g n i z e d o v e r t h e l a s t f e w y e a r s . Y e t g i v e n t h e c o m p l e x i t y o f t h e i n t e r n a l r e l a t i o n s h i p s w h i c h e x i s t among t h e v a r i o u s c o m p o n e n t s o f t h e m e d i c a l s e c t o r , and g i v e n t h e m u l t i p l i c i t y o f e x o g e n -e o u s e n v i r o n m e n t a l v a r i a b l e s w h i c h b e a r upon i t f r o m w i t h o u t , s u c h a g o a l r e q u i r e s o r has r e q u i r e d new p l a n n i n g s t r a t e g i e s a t a l m o s t e v e r y l e v e l o f o p e r a t i o n . O b j e c t i v e s o f S t u d y I t i s t h e a i m o f t h i s s t u d y t o f o c u s upon one s u b s e t o f t h e s e d e c i s i o n m a k i n g p r o c e s s e s , s p e c i f i c a l l y t h o s e w h i c h a r e c o n c e r n e d w i t h some f a c e t s o f t h e l o c a t i o n o f h o s p i t a l s * i n r u r a l a r e a s . The c o n s t r u c t i o n and m a i n t e n a n c e o f h o s -p i t a l u n i t s r e p r e s e n t s t h e s i n g l e m o s t c o s t l y c o m p o n e n t o f t h e h e a l t h c a r e s y s t e m , a n d a c c o u n t s f o r n e a r l y f o u r t y p e r c e n t o f t o t a l e x p e n d i t u r e s on m e d i c a l h e a l t h ( K l a m a n , 1 9 6 9 ) . A t s u c h a p r i c e i t seems a p p a r e n t t h a t t h e c o m m u n i t y a t l a r g e c a n no l o n g e r a f f o r d t h e p r a c t i c e o f o p e r a t i n g a s e p a r a t e h o s p i t a l i n l o c a l i t i e s w h e r e n e i t h e r l o c a l n e e d s n o r t h e s u p p l y o f q u a l i f i e d p e r s o n n e l c a n j u s t i f y t h e c o n -s t r u c t i o n o f s u c h c o s t l y u n i t s ( M y e r s , 1 9 6 1 ) . The end r e s u l t o f s u c h p o l i c i e s , a l l t o o p r e v a l e n t i n t h e p a s t , i s t o be s e e n i n t h e u n d e r u t i 1 i z a t i o n o f f a c i l -i t i e s and c o n s e q u e n t h i g h o p e r a t i n g c o s t s whose b u r d e n m u s t e v e n t u a l l y be b o r n e by t h e t a x p a y e r a t l a r g e . In c o n n e c t i o n w i t h t h i s p o i n t M c G i b o n y and B l o c k c o u l d s t a t e as e a r l y a s 1949 t h a t w h i l e some . . . small hospitals ave needed . . . it is also obvious that by themselves they ave not able to pvovide a complete sevvice to the patient and * n o n - m e t r o p o l i t a n that unless in some way they ave tied in with larger hospitals they may provide 3 not service, but a disservice to their -patients ( M c G i b o n y a n d B l o c k , 1 9 4 9 ) . A t t h e o t h e r end o f t h e s c a l e i t i s e q u a l l y c l e a r t h a t t h e p r o v i s i o n o f t o o f e w f a c i l i t i e s , p a r t i c u l a r l y i n r u r a l a r e a s , may r e s u l t i n t h e d e n i a l t o p e o p l e o f r e a s o n a b l e a c c e s s t o a l e v e l o f c a r e n e c e s s a r y f o r t h e m a i n t e n a n c e o f t h e i r h e a l t h . The o b j e c t i v e s o f t h i s s t u d y r e p r e s e n t an a p p r o a c h t o t h e r e s o l u t i o n o f t h i s c o n f l i c t . In more f o r m a l t e r m s t h e y may be s t a t e d as f o l l o w s : 1. To i d e n t i f y and a s s e s s some o f the major com-ponents which c o n t r o l the movement o f p a t i e n t s i n r u r a l a r e a s , t h r o u g h the m e d i c a l care system t o some s u i t a b l e h o s p i t a l t r e a t m e n t . 2. To d e v e l o p an o p e r a t i o n a l model based upon the most s i g n i f i c a n t c r i t e r i a d e v e l o p e d i n 1., which can r e p r o d u c e the system o f f l o w s i n the e x i s t -i n g network w i t h some s u c c e s s , g i v e n the con-s t r a i n t o f p r e s e n t l o c a t i o n s a t f i x e d s i z e s (measured i n terms o f some f u n c t i o n o f the number o f beds now a v a i l a b l e ) . 3 . To d e v i s e a h y p o t h e t i c a l h o s p i t a l system by means o f such a model t h a t c o n s i s t s o f the number, s i z e s and l o c a t i o n s o f f a c i l i t i e s which can s a t i s f y t he p a r t i c u l a r needs o f p a t i e n t a r e a s s u b j e c t t o the c o n s t r a i n t s t h a t , i . no p a t i e n t , or maximum number o f p a t i e n t s , be more th a n a maximum p r e d e t e r m i n e d d i s t a n c e ( o r time) from h o s p i t a l c a r e and i i . t h a t some upper bound i n t o t a l c o s t , i . e . a system budget con-s t r a i n t , i s not exceeded. Comparison o f the c u r r e n t and h y p o t h e t i c a l l o c a -t i o n s e t s w i l l a l l o w the e f f i c i e n c y o f the p r e s e n t o p e r a t i n g system t o be a s s e s s e d w i t h r e s p e c t t o the p a r t i c u l a r s p a t i a l needs o f i t s dependent p a t i e n t a r e a s . Imbalances i n the p r e s e n t network, i f f o u n d , can suggest one b a s i s f o r p o l i c y d e c i s i o n s c o n c e r n i n g the f u t u r e l o c a t i o n o r r e l o c a t i o n o f h o s p i t a l f a c i l i t i e s , and f o r the d e t e r m i n a t i o n o r c o n t i n u a t i o n o f r e f e r r a l c e n t r e s f o r more s p e c i a l i z e d t y p e s o f c a r e . \u2022 4. To make p r o v i s i o n f o r the d i r e c t i n c o r p o r a t i o n i n t o t h e model o f the p r e s e n t l o c a t i o n a l p a t t e r n a t i t s c u r r e n t s c a l e o f o p e r a t i o n s . Then, g i v e n t h i s , some f u t u r e o p t i m a l o r n e a r - o p t i m a l system o f h o s p i t a l l o c a t i o n s ( a t a p a r t i c u l a r p o i n t i n t i m e ) may be d e v i s e d i f based upon some f o r e c a s t o f p a t i e n t demand a t d i s c r e t e p o i n t s o r a r e a s a c r o s s t h a t demand s u r f a c e whose bounds a r e the bounds o f the network as a. whole. T h i s o b j e c t i v e s i m p l y r e c o g n i z e s t h a t h o s p i t a l s once b u i l t , and however w i s e l y l o c a t e d t h e y may or may not be, ar e l i a b l e t o be m a i n t a i n e d f o r as l o n g as i s p o s s i b l e . L o c a t i o n a l i n e r t i a o f t h i s k i n d i s d i r e c t l y a t t r i b u t a b l e t o the h i g h i n i t i a l i n -vestment c o s t s o f h o s p i t a l c o n s t r u c t i o n and t o the w i d e s p r e a d p r e s s u r e s w i t h i n communities t o r e s i s t t he c l o s u r e o f any m e d i c a l f a c i l i t y once opened, p a r t i c u l a r l y i f t h e r e a r e no p l a n s f o r th e r e p l a c e m e n t o f the f a c i l i t y i n t h a t l o c a l i t y . 5. To make a l l o w a n c e f o r the m u l t i p l e l o c a t i o n o f f a c i l i t i e s o v e r t i m e . I f h o s p i t a l s a r e t o be l o c a t e d i n space a t s u c c e s s i v e time i n t e r v a l s t h e n , f o r some g i v e n l o n g term time p e r i o d , which p a r t i c u l a r subset o f a l l p o t e n t i a l l o c a -t i o n s i s r e q u i r e d such t h a t some o v e r a l l c r i t e r -i o n i s m i n i m i z e d ? S c o p e o f t h e S t u d y T h i s s t u d y f o r m u l a t e s a n u m e r i c a l a l l o c a t i o n m o d e l t o f u l f i l l t h e o b j e c t i v e s a s s t a t e d a b o v e , and g i v e s a p a r t i a l a p p l i c a t i o n t o one r e g i o n a l l y d e f i n e d s u b n e t w o r k w i t h i n t h e p r o v i n c e o f B r i t i s h C o l u m b i a . F u n d a m e n t a l t o t h e q u e s t i o n o f h o s p i t a l c o s t s i s t h e p h e n o m e n o n o f r e t u r n s t o s c a l e w h i c h , i n t h i s f i e l d , a r e n o t o r i o u s l y d i f f i c u l t t o a s s e s s . A s i m p l e c o r r e l a t i o n o f t h e r e l a t i o n s h i p b e t w e e n t h e a v e r a g e c o s t o f c o n s t r u c t i n g and m a i n t a i n i n g a bed and t h e s i z e o f t h e h o s p i t a l p l a n t v \/ i l l a c t u a l l y s u g g e s t t h e o p p o s i t e t r e n d . The r e a l i t y o f t h e s i t u a t i o n i s more s u b t l e s i n c e i n p r a c t i c e t h e r e e x i s t s a h i e r a r c h y o f s e r v i c e s w h e r e b y l a r g e r h o s p i t a l s , a c t i n g a s r e f e r r a l c e n t r e s , m a i n -t a i n s p e c i a l i z e d f u n c t i o n s i n a d d i t i o n t o t h o s e l o w e r o r d e r s e r v i c e s w h i c h a l l f a c i l i t i e s o f a l o w e r r a n k p r o v i d e . T h i s c e n t r a l p l a c e c o n c e p t o f a n e s t e d h i e r a r c h i c a l s t r u c t u r e o f h o s p i t a l s e r v i c e s i s f u n d a m e n t a l t o an u n d e r s t a n d i n g o f s c a l e e c o n o m i e s f o r , a s a r u l e , t h e more s p e c i a l i z e d a f u n c t i o n i s , t h e more c o m p l e x i s t h e e q u i p m e n t r e q u i r e d , t h e more s k i l l e d i t s o p e r a t o r s m u s t b e , and t h e l e s s f r e -q u e n t l y i t i s i n u s e . C o n s e q u e n t l y s u c h s e r v i c e s a r e c o s t l y t o m a i n t a i n r e l a t i v e t o l o w e r o r d e r f u n c t i o n s . I f t h e s e e f f e c t s a r e h e l d c o n s t a n t h o w e v e r , t h e n , as B e r r y and o t h e r s h a v e d e m o n s t r a t e d , f o r a g i v e n l e v e l o f s e r v i c e s u n i t bed c o s t s w i l l t e n d t o d e c r e a s e w i t h i n c r e a s i n g s i z e o f h o s p i t a l ( B e r r y , 1 9 6 7 ) . In t e r m s o f t h e a p p l i c a t i o n o f t h e m o d e l i t h a s n o t p r o v e d p o s s i b l e t o d e r i v e a d e q u a t e c o s t c u r v e s s i n c e a s i n t i m a t e d , t h i s i s a m a j o r u n d e r t a k i n g i n i t s own r i g h t . F u r t h e r m o r e , a p p l i c a t i o n o f t h e a l g o r i t h m t o some d e s i r a b l e f u t u r e l o c a t i o n a l p a t t e r n i s d e p e n d e n t upon f o r e c a s t i n g f u t u r e demand f u n c t i o n s f o r d i s c r e t e p a t i e n t a r e a s a n d l i e s b e y o n d t h e s c o p e o f t h i s d i s s e r t a t i o n . The m a j o r c o m p o n e n t o f t h e s t u d y w i l l t h e n , be t h e d e v e l o p m e n t o f t h e m o d e l i t s e l f , a n d i t s t e s t i n g w i l l be c o n f i n e d t o 1) an a t t e m p t t o r e p r o d u c e t h e f l o w p a t t e r n s now e x t a n t on t h e e x i s t i n g n e t w o r k and 2) t h e d e r i v a t i o n o f a h y p o t h e t i c a l l o c a t i o n s y s t e m , w i t h t h e same number o f p l a n t s , W h i c h i s more e f f i c i e n t i n t e r m s o f c e r t a i n k e y c r i t e r i a t h a n i s t h e p r e s e n t o n e . T h i s l a t t e r a i m s h o u l d p r o v i d e some i n s i g h t s i n t o t h e p o t e n t i a l i m p r o v e m e n t s w h i c h m i g h t be made w i t h i n t h e c u r r e n t o p e r a t i n g s y s t e m . S t u d y O u t l i n e T h i s s t u d y c o n s i s t s o f t h r e e a d d i t i o n a l c h a p t e r s whose o u t l i n e i s g i v e n b e l o w . In C h a p t e r I I some c o n t e m -p o r a r y t r e n d s i n m e d i c a l h e a l t h p l a n n i n g a r e d i s c u s s e d t o g e t h e r w i t h some r e c e n t a n a l y s e s o f h o s p i t a l l o c a t i o n s y s t e m s . The r a t i o n a l e f o r h e a l t h p l a n n i n g i s e v a l u a t e d ; some a s p e c t s o f t h e movement o f t h e p a t i e n t t h r o u g h t h e m e d i c a l c a r e s y s t e m a r e e x a m i n e d , and some i m p l i c a t i o n s o f t h i s k n o w l e d g e i n t e r m s o f i m p r o v e d m e d i c a l p l a n n i n g a r e a s s e s s e d . The r o l e o f t h e h o s p i t a l i n t h e s y s t e m i s d i s c u s s e d a n d a c r i t i c a l r e v i e w o f some p r e v i o u s m e d i c a l l o c a t i o n m o d e l s i s a t t e m p t e d . C h a p t e r I I I p r o v i d e s , f i r s t o f a l l , a f o r m a l s t a t e -m e n t o f t h e g e n e r a l p l a n t l o c a t i o n p r o b l e m , o f w h i c h h o s -p i t a l l o c a t i o n , a t l e a s t i n r u r a l a r e a s o r t h e i n t e r u r b a n c o n t e x t , may be c o n s i d e r e d as a p a r t i c u l a r c a s e . C e r t a i n s p e c i f i c c o n s t r a i n t s w h i c h a r e o f s i g n i f i c a n c e i n t h e f o r m u l a t i o n o f t h e g e n e r a l p r o b l e m a r e i n c o r p o r a t e d i n t o t h i s s t a t e m e n t . S e c o n d l y , a r e v i e w o f p r e v i o u s a t t e m p t s t o s o l v e t h e p r o b l e m i s p r o v i d e d . F i n a l l y , a d e t a i l e d d e s c r i p t i o n o f t h e a l g o r i t h m i t s e l f i s g i v e n , and some s a m p l e p r o b l e m s on a v a r i e t y o f n e t w o r k s a r e i l l u s t r a t e d t o d e m o n s t r a t e t h e f l e x i b i l i t y o f t h e mode l d e s i g n f o r a f a i r l y w i d e r a n g e o f p o t e n t i a l p l a n t l o c a t i o n p r o b l e m s . C h a p t e r IV p a r t i t i o n s B r i t i s h C o l u m b i a i n t o s u b -r e g i o n s o f a s i z e w h i c h c a n be c o m p u t a t i o n a l l y h a n d l e d by t h e a l g o r i t h m . One o f t h e s e r e g i o n s i s t h e n s e l e c t e d and a n a l y s e d i n t e r m s o f t h e l i m i t a l o b j e c t i v e s p r e v i o u s l y s p e c i f i e d . The b a s i c a l g o r i t h m i s s u b j e c t e d t o some m o d i f -i c a t i o n s w h i c h seem a p p r o p r i a t e t o t h e p a r t i c u l a r c a s e u n d e r s t u d y , and t h e f u n d a m e n t a l s t r e n g t h s and w e a k n e s s e s o f t h e f o r m u l a t i o n a r e d i s c u s s e d t o g e t h e r w i t h some s u g g e s t i o n s f o r p o t e n t i a l i m p r o v e m e n t and d e v e l o p m e n t . CHAPTER I I REGIONAL HEALTH P L A N N I N G : SOME P E R S P E C T I V E S AND PROBLEMS The R a t i o n a l e f o r R e g i o n a l H e a l t h P l a n n i n g The l a s t d e c a d e and a h a l f i n N o r t h A m e r i c a has w i t n e s s e d a s u r g e o f i n t e r e s t i n t h e c o n c e p t o f r e g i o n a l p l a n n i n g as t h e a p p r o p r i a t e m i l i e u w i t h i n w h i c h t o i n s t i -t u t e much n e e d e d i m p r o v e m e n t s i n m e d i c a l h e a l t h . P r i o r t o t h e H i l l - B u r t o n A c t o f 1 9 4 6 , t h e r e s p o n s i b i l i t y f o r t h e p r o v i s i o n o f m e d i c a l c a r e had e s s e n t i a l l y b e e n i n l o c a l c o m m u n i t y h a n d s ( M c N e r n e y , 1 9 6 2 ) . As l o n g as t h e c o s t s o f m e d i c a l c a r e r e m a i n e d l o w r e l a t i v e t o t h e demands o f o t h e r s e c t o r s o f t h e economy t h i s r e s p o n s i b i l i t y d i d n o t p r o v e t o be a s e v e r e f i n a n c i a l b u r d e n t o m o s t c o m m u n i t i e s , a n d f o r t h e f e w f o r . w h i c h i t was ( f r e q u e n t l y r u r a l a r e a s ) , p u b l i c o p i n i o n a t l a r g e was n o t s u f f i c i e n t l y a g i t a t e d t o demand c o r r e c t i v e a c t i o n a t t h e n a t i o n a l l e v e l . As t h e s e c o s t s h a v e r i s e n s h a r p l y o v e r t h e l a s t t w e n t y y e a r s h o w e v e r , u n d e r t h e s t i m u l u s o f c h a n g i n g h e a l t h c a r e p a t t e r n s and i n -c r e a s i n g l y s o p h i s t i c a t e d m e d i c a l t e c h n o l o g y , t h e d i s p a r i t i e s b e t w e e n t h e t a x b a s e s o f r i c h and p o o r c o m m u n i t i e s , d e f i n e d a l l t o o o f t e n upon u r b a n - r u r a l l i n e s , and t h e a t t e n d a n t d i f f e r e n t i a l s i n t h e q u a l i t y o f a v a i l a b l e c a r e w h i c h t h i s h a s c a u s e d , h a v e become b o t h m e d i c a l l y and p o l i t i c a l l y i n t o l e r a b l e . In r e s p o n s e t o t h e s e n e e d s i n c r e a s i n g s u p p o r t f r o m b o t h p r o -v i n c i a l a n d n a t i o n a l s o u r c e s has now become t h e n o r m , and a l t h o u g h l o c a l r e v e n u e r e s o u r c e s w i l l c o n t i n u e t o be o f some i m p o r t a n c e i n t h e f i n a n c i n g o f l o c a l m e d i c a l s e r v i c e s f o r a c o n s i d e r a b l e t i m e t o c o m e , t h i s r o l e w i l l i n e v i t a b l y be d i m i n i s h e d i n t h e f u t u r e . As l o c a l f i n a n c i a l a u t o n o m y h a s d e c l i n e d so has t h e o p p o r t u n i t y a r i s e n f o r t h e r a t i o n a l p l a n n i n g o f h e a l t h f a c i l i t i e s upon a more r e a l i s t i c g e o g r a p h i c a l b a s i s t h a n was f o r m e r l y f e a s i b l e . The e v i l s o f u n c o - o r d i n a t e d p l a n n i n g h a v e b e e n w e l l d o c u m e n t e d i n t h e h e a l t h p l a n n i n g l i t e r a t u r e ( s e e f o r e x a m p l e ' L e t o u r n e a u , 1 9 6 5 ; C a r d w e l l and K u c k a , 1 9 6 1 ) . The d u p l i c a t i o n o f e x p e n s i v e e q u i p m e n t and p e r s o n n e l i n a d j a c e n t o r n e a r b y h o s p i t a l s ; t h e i n s t a l l a t i o n o f s p e c -i a l i z e d c a r e f a c i l i t i e s a t l o c a t i o n s w h e r e t h e demand i s n o t s u f f i c i e n t t o w a r r a n t t h e m ; and a v i r t u a l l y de f a c t o c o m p e t i t i v e s p i r i t among some h o s p i t a l s t o i n s t a l 1 f a c i 1 i -t i e s w i t h l i t t l e r e g a r d t o t h e o v e r a l l n e e d s o f t h e i r d e -p e n d e n t s e r v i c e a r e a s , a l l b e a r t e s t i m o n y t o t h e i n e f f i c i e n t u s e o f e x i s t i n g m e d i c a l r e s o u r c e s . C o n c o m i t a n t w i t h t h e s e a b u s e s a r e a s e r i e s o f p a r -a l l e l p r o b l e m s w h i c h a r e a r e f l e c t i o n o f t h e m a l d i s t r i b u t i o n o f r e s o u r c e s o v e r t h e c o n t i n e n t a t l a r g e . I n a d e q u a t e and l o w q u a l i t y f a c i l i t i e s a r e common i n many o u t l y i n g and u n d e r p r i v i l e g e d a r e a s o f b o t h C a n a d a and t h e U n i t e d ' S t a t e s . The d i s t r i b u t i o n o f f a c i l i t i e s and p e r s o n n e l a p p e a r s , i n many i n s t a n c e s , t o be more a r e f l e c t i o n o f t h e e c o n o m i c s t a t u s o f a c o m m u n i t y t h a n i t s a c t u a l h e a l t h n e e d s , and t h e o r g a n i z a t i o n o f t h a t h e a l t h c a r e s u f f e r s a l l t o o f r e q u e n t l y f r o m a c l o s e r c o r r e s p o n d e n c e w i t h l o c a l p o l i t i c a l j u r i s -d i c t i o n s , t h a n w i t h t h e n a t u r a l movement o f p e o p l e a l o n g w e l l d e f i n e d l i n k s o f c o m m u n i c a t i o n ( W e i n e r m a n , 1 9 5 1 ) . Few o r g a n i z a t i o n s t o o , a r e as f r a g m e n t e d as t h e v a r i e d c o m p o -n e n t s o f t h e h e a l t h c a r e s y s t e m . F o l l o w i n g S c h a e f e r , H i l l e b o e d e f i n e s f i v e l e v e l s o f o r g a n i z a t i o n a t w h i c h t h i s f r a g m e n t a t i o n o c c u r s . F i r s t t h e r e i s a h o r i z o n t a l f r a g -m e n t a t i o n , c a u s e d by a p a r t i t i o n i n g o f r e s p o n s i b i l i t y o f t e n i l l d e f i n e d , a t t h e f e d e r a l , s t a t e and l o c a l l e v e l s . S e c o n d l y , v e r t i c a l f r a g m e n t a t i o n i n t o a m u l t i p l i c i t y o f a g e n c i e s , c o m m i s s i o n s , d e p a r t m e n t s , d i v i s i o n s , b u r e a u s , and o f f i c e s , e a c h o f w h i c h o c c u r s a t t h e t h r e e h o r i z o n t a l l e v e l s o f o r g a n i z a t i o n . S e c t i o n a l a r r a n g e m e n t o f h e a l t h p r o g r a m s among p u b l i c , p r i v a t e and v o l u n t a r y o r g a n i z a t i o n s p r o v i d e s a t h i r d l e v e l o f f r a g m e n t a t i o n . N e x t i s t h e f r a g m e n t a t i o n o f h e a l t h a c t i v i t i e s a l o n g p r o f e s s i o n a l and t e c h n i c a l l i n e s , a n d f i n a l l y f r a g m e n t a t i o n e x i s t s i n t h e f i n a n c i n g o f h e a l t h s e r v i c e s t h r o u g h a v a r i e t y o f i n s u r a n c e and p u b l i c g r a n t s c h e m e s ( H i l l e b o e , 1 9 6 8 ) . The i n e v i t a b l e c o n s e q u e n c e o f s u c h d i v i s i o n s i s t o be s e e n i n i l l - d e f i n e d r o l e s , overr l a p p i n g r e s p o n s i b i l i t i e s and p o o r c o m m u n i c a t i o n among t h e v a r i e d l e v e l s o f t h e o r g a n i z a t i o n , a l l o f w h i c h c o n t r i b u t e t o a q u a l i t y o f m e d i c a l c a r e , b e l o w t h a t w h i c h i s now t e c h -n i c a l l y p o s s i b l e . w h i c h a r e e v o k e d by them has a r i s e n t h e c o n c e p t o f r e g i o n a l p l a n n i n g , o r t h e r e g i o n a l i z a t i o n o f m e d i c a l f a c i l i t i e s as i t has come t o be k n o w n . A s u c c i n c t d e f i n i t i o n o f t h i s c o n c e p t has b e e n g i v e n by D o n a b e d i o n and A x e l r o d ( 1 9 6 1 ) : . . . r e g i o n a l i z a t i o n e n v i s a g e s t h e u n i f i e d p l a n n i n g o f a f u n c t i o n a l l y d i f f e r e n t i a t e d a n d c a r e f u l l y c o - o r d i n a t e d s y s t e m o f h o s p i t a l s s e r v i n g a n e n t i r e g e o g r a p h i c r e g i o n d e m a r c a t e d , n o t by n a r r o w p o l i t i c a l b o u n d a r i e s , b u t a c -c o r d i n g to e s t a b l i s h e d p a t t e r n s o f s e e k i n g a n d p r o v i d i n g m e d i c a l c a r e i n a m a n n e r a n a l a g o u s to t r a d i n g a r e a s . U n d e r s u c h a p l a n , s t a n d a r d s o f m e d i c a l c a r e c o u l d b e c o n s i d e r a b l y i m p r o v e d t h r o u g h o u t t h e r e g i o n w i t h o u t c o s t l y d u p l i c a ^ - l t i o n o r i n e f f i c i e n t d e p l o y m e n t o f s c a r c e r e -s o u r c e s a n d s k i l l s . T h e r e w o u l d b e e s t a b l i s h e d a p p r o p r i a t e l y l o c a t e d c e n t r a l o r b a s e h o s p i t a l s to w h i c h o t h e r s m a l l h o s p i t a l s i n t h e r e g i o n w o u l d t u r n f o r h e l p a n d a d v i c e . T h e c e n t r a l h o s p i t a l , w o u l d , i n t u r n , a s s u m e c o n s i d e r a b l e r e s p o n s i b i l i t y f o r s u p p o r t i n g c o n t i n u i n g p r o -f e s s i o n a l e d u c a t i o n a n d m e d i c a l a n d a l l i e d s e r v i c e s i n t h e h o s p i t a l s a s s o c i a t e d w i t h i t . H i s t o r i c a l A n t e c e d e n t s f o r R e g i o n a l i z a t i o n The e a r l i e s t f o r m a l d o c u m e n t a t i o n o f t h e s e c o n c e p t s a p p e a r s t o h a v e b e e n c o n t a i n e d i n t h e Dawson R e p o r t , p u b -l i s h e d i n 1 9 2 0 , by t h e M i n i s t r y o f H e a l t h i n G r e a t B r i t a i n . In t h i s r e p o r t , s u b s e q u e n t l y t h e b a s i s f o r t h e o r g a n i z a t i o n o f t h e B r i t i s h H e a l t h S e r v i c e i n 1 9 4 7 , was e m b o d i e d t h e n o t i o n o f a n e t w o r k o f p r i m a r y and s e c o n d a r y h o s p i t a l s a f f i l i a t e d by s t r o n g l i n k s w i t h a l a r g e r t e a c h i n g h o s p i t a l ( M i n i s t r y o f H e a l t h o f G r e a t B r i t a i n , 1 9 2 0 ) . The t e a c h i n g h o s p i t a l was e n v i s a g e d as a c t i n g b o t h a s a r e f e r r a l c e n t r e f o r t h e s m a l l e r c o m m u n i t y h o s p i t a l and as a b a s e f r o m w h i c h m e d i c a l , t e c h n i c a l , a n d a d m i n i s t r a t i v e a s s i s t a n c e c o u l d be o f f e r e d w h e r e v e r n e c e s s a r y f o r t h e p r o v i s i o n o f h i g h e r q u a l i t y c a r e . The f i r s t e x p r e s s i o n o f t h e s e i d e a l s i n N o r t h A m e r i c a came e l e v e n y e a r s l a t e r i n 1931 when t h e B i n g h a m A s s o c i a t e s F u n d , p a r t i a l l y u n d e r ^ t h e s t i m u l u s o f w i d e s p r e a d p u b l i c d e m o r a l i z a t i o n c a u s e d by t h e s e v e r e e c o n o m i c d e p r e s s i o n o f 1 9 2 9 , o r g a n i z e d t h e e a r l i e s t s y s t e m o f r e g i o n a l h e a l t h c a r e i n t h e U n i t e d S t a t e s . T h i s p r o g r a m , b a s e d upon t h e New E n g l a n d M e d i c a l C e n t r e i n B o s t o n , s e t o u t t o o f f e r a c o m p l e t e d i a g n o s t i c and s u r g i c a l s e r v i c e t o t h e p a t i e n t s o f r e f e r r i n g p h y s i c i a n s , and t o p r o v i d e a c o n -t i n u i n g p o s t - g r a d u a t e e d u c a t i o n a l p r o g r a m f o r d o c t o r s i n t h e a f f i l i a t e d n e t w o r k o f s m a l l e r c o m m u n i t y h o s p i t a l s , w h i c h c o v e r e d m o s t o f M a i n e and much o f n o r t h e r n M a s s a c h u s e t t s ( L e m b o k e , 1 9 5 1 ) . B u t d e s p i t e t h e p r o m i s e o f t h i s e a r l y and s u c c e s s f u l b e g i n n i n g l i t t l e more was a c h i e v e d o v e r t h e n e x t f i f t e e n y e a r s . The p h i l o s o p h y o f i n d i v i d u a l r e s p o n s i b i l i t y i n a l l s p h e r e s o f l i f e , n o t l e a s t i n m e d i c a l c a r e , r u n s d e e p i n N o r t h A m e r i c a n l i f e , and t h e s t r e n g t h o f t h i s t r a d i t i o n t e n d e d t o f o s t e r an a t t i t u d e o f a p a t h y , i f n o t h o s t i l i t y , on t h e p a r t o f t h e g e n e r a l p u b l i c t o w a r d s w i d e - r a n g i n g r e g i o n a l p r o g r a m s ( S i g m o n d , 1 9 6 7 ) . I t was n o t u n t i l t h e p a s s i n g o f t h e H i l l - B u r t o n A c t i n 1 9 4 6 , t h a t t h e s t a g e became s e t f o r t h e s u b s e q u e n t w i d e s p r e a d g r o w t h o f r e g i o n -a l l y o r i e n t e d h e a l t h c a r e p r o g r a m s . The H i l l - B u r t o n A c t was i m p l e m e n t e d as a d i r e c t c o n -s e q u e n c e o f a s e v e r e s h o r t a g e o f d o c t o r s and f a c i l i t i e s i n r u r a l a r e a s , a n d was f o c u s e d p r i n c i p a l l y upon e f f o r t s t o a t t r a c t p h y s i c i a n s i n t o t h e s e r e m o t e l o c a t i o n s and t o p r o -v i d e them w i t h w e l l e q u i p p e d c e n t r e s f r o m w h i c h t o o p e r a t e . B u t t h e l e g i s l a t i o n has had a s i g n i f i c a n t i m p a c t upon r e g i o n a l m e d i c a l p l a n n i n g . O r g a n i z a t i o n o f t h e p r o g r a m a t t h e s t a t e r a t h e r t h a n t h e l o c a l l e v e l has s t r e n g t h e n e d t h e r o l e o f s t a t e h e a l t h d e p a r t m e n t s , a n e c e s s a r y p r e r e q u i s i t e f o r t h e f o u n d a t i o n o f a w i d e r and more f u n c t i o n a l p a t t e r n o f h e a l t h c a r e . A t t h e same t i m e t h e d e l e g a t i o n o f t h e r e s p o n s i b i l i t y f o r f u n d r a i s i n g t o b o t h s t a t e and c o m m u n i t y a g e n c i e s has h e l p e d t o s t i m u l a t e i n t e r e s t i n t h e h e a l t h p l a n n i n g g r o u p and has s e r v e d t o d i s s i p a t e some o f t h e e m o t i o n a l o p p o s i t i o n t o t h e r e g i o n a l p l a n n i n g c o n c e p t . F o r a l l i t s s t r e n g t h s h o w e v e r t h e r e a r e c e r t a i n i n -b u i l t r e s t r a i n t s i n t h e H i l l - B u r t o n l e g i s l a t i o n w h i c h h a v e p r e v e n t e d i t f r o m b e c o m i n g t h e b a s i s f o r a r e a l l y e f f e c t i v e s y s t e m o f m e d i c a l r e g i o n a l r e - o r g a n i z a t i o n . M o s t s i g n i f i -c a n t among t h e s e has b e e n t h e r e l i a n c e p l a c e d upon l o c a l p a r t i c i p a t i o n i n t h e f i n a n c i n g o f c o n s t r u c t i o n p r o j e c t s . D e p e n d i n g upon s t a t e and l o c a l p e r c a p i t a i n c o m e l e v e l s t h i s a m o u n t has come t o v a r y f r o m b e t w e e n one t o t w o - t h i r d s o f t h e t o t a l c o s t o f t h e p r o j e c t . U n f o r t u n a t e l y t h o s e l o c a t i o n s w i t h t h e g r e a t e s t n e e d f o r new f a c i l i t i e s h a v e p r o v e d a l l t o o o f t e n t o be t h o s e w h i c h a r e m o s t e c o n o m i c a l l y d e p r e s s e d and u n a b l e t o r a i s e e v e n t h e m i n i m u m r e v e n u e s n e c e s s a r y t o q u a l i f y f o r f e d e r a l a i d . As a c o n s e q u e n c e t h e r e has b e e n a t e n d e n c y t o w i t h h o l d f u n d s f r o m p r e c i s e l y t h o s e a r e a s i n m o s t u r g e n t n e e d o f them ( B a t t i s t e l 1 a , 1 9 6 6 ) . S e c o n d l y , t h e e m p h a s i s o f t h e p r o g r a m has b e e n upon t h e c o n s t r u c t i o n o f new b e d s t o t h e e x c l u s i o n o f t h e d e v e l o p m e n t o f b r o a d b a s e d c o - o r d i n a t e d s e r v i c e s a t d i f f e r e n t l e v e l s o f s t a t e and f e d e r a l o r g a n i z a t i o n . In M c N e r n e y ' s v i e w \" t o o many h o s p i t a l s may h a v e b e e n c o n s t r u c t e d i n c o m m u n i t i e s w h e r e r e a l n e e d may n o t h a v e b e e n so much f o r i n - h o s p i t a l b e d s as f o r w e l 1 - e q u i p p e d d i a g n o s t i c o r e m e r g e n c y c l i n i c s . \" ( M c N e r n e y , 1 9 6 2 ) A f i n a l f a i l u r e o f t h e H i l l - B u r t o n p r o g r a m has b e e n s e e n i n i t s v o l u n t a r y . t r i p a r t i t e s t r u c t u r e o f f e d e r a l , s t a t e a n d l o c a l g o v e r n m e n t s w h i c h has p r o v e d t o be an u n w i e l d y means f o r r e g i o n a l r e o r g a n i z a t i o n . P r o g r e s s has b e e n r e t a r d e d i n many s t a t e s by o u t d a t e d g o v e r n m e n t a l m a c h i n e r y w h i c h i s u n r e p r e s e n t a t i v e o f t h e n e e d s o f commu-n i t i e s , and by t h e l a c k o f v i a b l e h e a l t h o r g a n i z a t i o n s p r o f e s s i o n a l l y t r a i n e d a n d e m p o w e r e d by s u f f i c i e n t a u t h o r i t y t o c a r r y t h r o u g h r e f o r m s . The f a i l i n g s o f t h e H i l l - B u r t o n A c t p r o v i d e d l e s s o n s w h i c h w e r e n o t f o r g o t t e n i n t h e p r e p a r a t i o n o f t h e H e a r t D i s e a s e , C a n c e r and S t r o k e A c t o f 1 9 6 5 . T h i s p i e c e o f l e g i s l a t i o n , s o m e t i m e s known a s t h e R e g i o n a l M e d i c a l P r o g r a m s A c t , m a r k e d t h e f i r s t s i g n i f i c a n t a t t e m p t on a n a t i o n a l s c a l e i n N o r t h A m e r i c a t o o r g a n i z e h e a l t h s e r v i c e s i n t o a r e g i o n a l f r a m e w o r k . The a c t s p e c i f i c a l l y e n c o u r a g e d t h e c r e a t i o n o f r e g i o n s who se b o u n d a r i e s w e r e t o be d e f i n e d i n t e r m s o f m e d i c a l l y f u n c t i o n a l c r i t e r i a . As s u c h , t h e d e l i m i t a t i o n s o f t h e r e g i o n s h a v e , o f n e c e s s i t y , c u t a c r o s s l o c a l and s t a t e l i n e s i n some i n s t a n c e s , t h e r e b y o f f s e t t i n g some o f t h e m a j o r s h o r t c o m i n g s o f t h e H i l l - B u r t o n A c t . I n s o f a r as t h e p r o g r a m has b e e n s u c c e s s f u l l y i m p l e m e n t e d i s e r v i c e s have b e e n o r g a n i z e d i n t h e i n t e r d e p e n d e n t h i e r -a r c h i c a l s t r u c t u r e f u n d a m e n t a l t o t h e r e g i o n a l i z a t i o n c o n c e p t . D e c i s i o n s c o n c e r n i n g t h e p r e c i s e n a t u r e and r a n g e o f s e r v i c e s o f f e r e d w i t h i n e a c h r e g i o n h a v e b e e n d e c e n t r a l -i z e d a n d a r e b e i n g u n d e r t a k e n by l o c a l m e d i c a l p l a n n i n g g r o u p s w h i c h a r e , i n t h e o r y a t l e a s t , more s e n s i t i v e t o t h e n e e d s o f l o c a l a r e a s . F i n a l l y ; , and p e r h a p s more i m p o r t a n t o f a l l , t h e c o s t o f t h e p r o g r a m has t h u s f a r b e e n u n d e r -w r i t t e n by g r a n t s f r o m t h e N a t i o n a l I n s t i t u t e o f H e a l t h , and i s t h e r e f o r e i n d e p e n d e n t o f t h e f i n a n c i a l s t a t u s o f e a c h r e g i o n and i t s a b i l i t y o r o t h e r w i s e t o pay f o r t h e s e r v i c e s i t r e q u i r e s ( S a n a z a r o , 1 9 6 7 ; K i s s i c k , 1 9 6 7 ) . R e p o r t s on t h e c u r r e n t s t a t u s o f t h e R e g i o n a l M e d i c a l P r o g r a m s A c t i n d i c a t e t h a t a s u c c e s s f u l b e g i n n i n g has been m a d e , b u t a s w i t h any p r o g r a m on t h i s s c a l e o f m a g n i t u d e and i n n o v a t i o n , p r o b l e m s h a v e a r i s e n f r o m t i m e t o t i m e t o * i m p e d e i t s r a t e o f p r o g r e s s . C o m m i t m e n t f r o m many i n s t i -t u t i o n s has b e e n on a t e n t a t i v e b a s i s so f a r o w i n g t o t h e l i m i t e d d u r a t i o n o f c u r r e n t f i n a n c i a l s u p p o r t f o r t h e p r o ^ g r a m . A s s u r a n c e s o f l o n g e r s u p p o r t a r e s e e n as b e i n g , v i t a l t o t h e a c h i e v e m e n t o f t h e l o n g t e r m o b j e c t i v e s o f t h e p l a n ( S t e w a r t , 1 9 6 7 ) . The p r o g r a m has a l s o b e e n a d v e r s e l y a f f e c t e d by a s e r i o u s s h o r t a g e o f m e d i c a l manpower i n t h e U n i t e d S t a t e s . T h e s e s h o r t a g e s h a v e p l a c e d r e s t r a i n t s on t h e r a t e o f i m p l e m e n t a t i o n o f some o f t h e p r o g r a m ' s g o a l s . N e i t h e r i t i s known t o w h a t e x t e n t t h i s p r o g r a m ' s r e q u i r e -m e n t s f o r manpower h a v e d i m i n i s h e d t h e s u p p l y a v a i l a b l e t o o t h e r d e s e r v i n g m e d i c a l c a r e s c h e m e s . T h i s l i m i t a t i o n has r e s u l t e d n e c e s s a r i l y i n a r e l a t i v e l y g r e a t e r e m p h a s i s b e i n g g i v e n t o m e d i c a l t r a i n i n g a c t i v i t i e s i n t h e i n i t i a l o p e r -a t i n g p h a s e s o f t h e p l a n , and h a s c r e a t e d t h e f a l s e i m p r e s -s i o n i n some q u a r t e r s t h a t t h e R e g i o n a l M e d i c a l P r o g r a m s a r e p r i m a r i l y d e s i g n e d f o r t h i s t a s k . In t h e C a n a d i a n c o n t e x t t h e c o n c e p t o f r e g i o n a l p l a n n i n g has b e e n f i r m l y e n d o r s e d by t h e r e p o r t o f t h e R o y a l C o m m i s s i o n on H e a l t h S e r v i c e s and has been i m p l e m e n t e d t o some e x t e n t e v e r s i n c e t h e e s t a b l i s h m e n t o f t h e f e d e r a l g o v e r n m e n t s g r a n t - i n - a i d p r o g r a m f o r c o n s t r u c t i o n i n 1 9 4 8 . In t h e p a s t h o w e v e r , r e g i o h a l i z a t i o n , w h i c h i s o r g a n i z e d on t h e p r o v i n c i a l l e v e l i n C a n a d a , has s u f f e r e d f r o m t o o much c e n t r a l i z a t i o n a t t h e t o p and a l a c k o f s e n s i t i v i t y t o l o c a l n e e d s . In W a h n ' s v i e w an i n h e r e n t d e f e c t has b e e n t h a t \" t h o s e who u l t i m a t e l y h a v e t h e o b l i g a t i o n t o i m p l e m e n t t h e p l a n a r e n o t a c t i v e l y i n v o l v e d i n t h e p r e p a r a t i o n o f t h e p l a n \" ( W a n n , 1 9 6 7 ) . M o r e r e c e n t l y a movement t o w a r d s d e c e n t r a l i z a t i o n , i n t h e p l a n n i n g f u n c t i o n a t l e a s t , has t a k e n p l a c e , and b o t h B r i t i s h C o l u m b i a and O n t a r i o h a v e now e s t a b l i s h e d a number o f r e g i o n a l p l a n n i n g a r e a s . The B r i t i s h C o l u m b i a p l a n came i n t o e f f e c t i n 1967 w i t h t h e c r e a t i o n o f t w e n t y - s e v e n r e g i o n a l h o s p i t a l d i s t r i c t s t h r o u g h o u t t h e p r o v i n c e . In d e s i g n t h e s e d i s t r i c t s a r e s e e n t o h a v e s e v e r a l i n t e r d e -p e n d e n t f u n c t i o n s . E a c h a r e a has e s t a b l i s h e d an A d v i s o r y P l a n n i n g C o m m i t t e e whose t a s k i s t o r e v i e w t h e p r o j e c t s f o r c o n s t r u c t i o n a n d e x p a n s i o n s u b m i t t e d by t h e m a n a g e m e n t b o a r d s o f i n d i v i d u a l h o s p i t a l s i n t h e d i s t r i c t , and t o f i t them i n t o a p r i o r i t y p l a n ( w h i c h may i n c l u d e r e c o m m e n d a -t i o n s f o r t h e c r e a t i o n o f new f a c i l i t i e s ) w h i c h i s t h e n s u b m i t t e d t o t h e c e n t r a l p l a n n i n g a u t h o r i t y f o r a p p r o v a l . One m a j o r p u r p o s e o f t h e p l a n has b e e n t o p r o v i d e a g r a n t -i n - a i d s c h e m e w h i c h o f f e r s a more e q u i t a b l e way o f s h a r i n g c o n s t r u c t i o n c o s t s o v e r t h e e n t i r e a r e a w h i c h u s e s a h o s -p i t a l ' s f a c i l i t i es . As p r e s e n t l y c o n s t i t u t e d t h e p r o v i n c i a l g o v e r n m e n t p a y s s i x t y p e r c e n t o f c o n s t r u c t i o n c o s t s i n d i s t r i c t s w h e r e t h e l e v y i s up t o f o u r m i l l s and e i g h t y p e r c e n t i n r e g i o n s w h e r e t h e a s s e s s m e n t i s g r e a t e r t h a n t h i s . The r e m a i n d e r i s a c c o u n t e d f o r by d i s t r i c t and f e d e r a l c o n t r i b u t i o n s . O r g a n i z a t i o n o f s e r v i c e s on t h i s b a s i s t h u s a l l o w s t h e l o c a l s h a r e o f c o n s t r u c t i o n c o s t s t o be r a i s e d on a b r o a d e r t a x b a s e t h a n was f o r m e r l y p o s s i b l e . Some c o m m e n t a t o r s s e e p o s s i b l e l o n g t e r m w e a k n e s s e s ' i n t h e f i n a n c i n g a r r a n g e m e n t s . In p a r t i c u l a r t h e 6 0 : 4 0 p e r c e n t b a s i s f o r c o s t s h a r i n g i s n o t c o n s i d e r e d a d e q u a t e by some p l a n n e r s e s p e c i a l l y i n t h e c a s e o f t h e l a r g e r r e f e r r a l h o s p i t a l s , w h i c h t r e a t many p a t i e n t s f r o m b e y o n d t h e i r d i s -t r i c t b o u n d a r i e s , b u t r e c e i v e no e x t r a r e c o m p e n s e f o r t h i s s e r v i ce ( A n o n , 1 9 6 7 ) . I t i s t o o e a r l y a s y e t t o e v a l u a t e c r i t i c a l l y t h e s u c c e s s e s o f r e g i o n a l p l a n n i n g on t h i s c o n t i n e n t . C h a n g e s i n t h e b a s i c p h i l o s o p h y o f o r g a n i z a t i o n a l s t r u c t u r e on t h i s m a g n i t u d e i n e v i t a b l y g i v e r i s e t o p r o b l e m s u n f o r e s e e n and t o r o l e s a s y e t n o t f i r m l y d e f i n e d . To some d e g r e e t h i s has a l r e a d y become a p p a r e n t . A p a r t f r o m s u c h t e c h n i c a l c o n s i d e r a t i o n s as t h e p r i o r d e l i m i t a t i o n o f r e g i o n a l a r e a s ( s e e K l a r m a n , 1 9 6 4 ) e x p e r i e n c e w i t h a r e a w i d e p l a n n i n g a g e n c i e s h a s f r e q u e n t l y d e m o n s t r a t e d a number o f c o n f l i c t i n g i n t e r e s t s and p u r p o s e s . C o - o p e r a t i o n among a g e n c i e s a n d o t h e r p l a n n i n g b o d i e s i s c l e a r l y f u n d a m e n t a l t o s u c c e s s f u l p l a n n i n g on t h e r e -g i o n a l l e v e l b u t w h e r e , a s i s o f t e n t h e c a s e , d i f f e r e n t a g e n c i e s o r e v e n d e p a r t m e n t s w i t h i n t h e same p l a n n i n g b o a r d , h a v e d i f f e r e n t t e c h n i c a l b a c k g r o u n d s and o r i e n t a t i o n s , t h e r e has b e e n a t e n d e n c y t o d e f i n e and i d e n t i f y c o m m u n i t y h e a l t h s e r v i c e n e e d s i n d i f f e r e n t w a y s . T h i s i n t u r n has e n c o u r -a g e d s e l e c t i v e a t t e n t i o n upon t h e means t o s o l v e p a r t i c u l a r p r o b l e m s , r a t h e r t h a n t h e p r i o r f i r s t s t e p o f c r i t i c a l l y e v a l u a t i n g t h e u n d e r l y i n g p r o b l e m s t h e m s e l v e s ( A r n o l d and H i n k , 1 9 6 8 ) . A s e c o n d g r o u p o f p r o b l e m s r e f l e c t s a l a c k o f d e f i -n i t i o n i n some i n s t a n c e s o f t h e r o l e s w h i c h e a c h o f t h e v a r i o u s c o m p o n e n t s o f h e a l t h c a r e i s t o p l a y i n t h e o v e r a l l c o n t e x t o f h e a l t h p l a n n i n g . The f o c u s o f t h e p r e s e n t c o n -c e p t o f r e g i o n a l p l a n n i n g on a h i e r a r c h i c a l s t r u c t u r e o f h o s p i t a l r e f e r r a l s n e e d s t o be e x t e n d e d t o i n c l u d e a l l p u b l i c h e a l t h o r g a n i z a t i o n s and o t h e r r e l a t e d b o d i e s , whose i n t e r e s t s h a v e a b e a r i n g upon b o t h p r e v e n t i v e and c u r a t i v e m e d i c i n e . The t o t a l s y s t e m s a p p r o a c h t o h e a l t h p l a n n i n g has b e e n a d v o c a t e d by s e v e r a l a u t h o r s ( s e e f o r e x a m p l e W e i n e r m a n , 1 9 6 9 ) . H i l l e b o e h a s e x t e n d e d t h e i d e a f u r t h e r by u r g i n g t h e d e v e l o p m e n t o f s t r o n g l i n k s w h e r e p o s s i b l e w i t h o t h e r c o m m u n i t y p l a n n i n g o b j e c t i v e s . In h i s v i e w h e a l t h p l a n n i n g i s i n s e p a r a b l e f r o m t h e s e o t h e r g o a l s . The q u e s t i o n o f t h e t o t a l r e s o u r c e s a v a i l a b l e t o m e e t a l l p l a n n i n g demands i s one w h i c h i s o f t e n o v e r l o o k e d by h e a l t h a d m i n i s t r a t o r s . The c o n s t r u c t i o n o r m o d i f i c a t i o n o f h e a l t h f a c i l i t i e s n e e d s t o be m a t c h e d a g a i n s t t h e c a p a c i t y o f a v a i l a b l e b u i l d i n g r e s o u r c e s , and e s t i m a t e d manpower r e q u i r e -m e n t s s h o u l d be a r e f l e c t i o n o f a v a i l a b l e o r p o t e n t i a l l y a v a i l a b l e e d u c a t i o n a l f a c i l i t i e s i f r e a l i s t i c o b j e c t i v e s a r e t o be a t t a i n e d ( H i l l e b o e , 1 9 6 8 ) . The R o l e o f t h e M o d e r n H o s p i t a l In any d e f i n i t i o n o f r o l e s t h a t o f t h e m o d e r n h o s -p i t a l i n , t h e o r g a n i z a t i o n o f h e a l t h c a r e i s c l e a r l y one o f f u n d a m e n t a l s i g n i f i c a n c e . Many o f t h e p r o b l e m s w h i c h h a v e r e s u l t e d f r o m t h e p a s t c o n s t r u c t i o n o f f a c i l i t i e s d e s i g n e d f o r t h e t r e a t m e n t o f s p e c i f i c d i s e a s e s h a v e l o n g b e e n r e c o g -n i z e d , p a r t i c u l a r l y w h e r e t h e c o n t r o l o f i n f e c t i o u s a i l m e n t s has b e e n t h e m a j o r o b j e c t i v e . The t u b e r c u l o s i s s a n i t o r i u m , l o n g a f a m i l i a r s i g h t upon t h e l a n d s c a p e , has b e e n r e n d e r e d a l m o s t o b s o l e t e by m e d i c a l a d v a n c e s o v e r t h e l a s t t w e n t y y e a r s ( H o g e , 1 9 6 7 ) . B u t g e r i a t r i c and p s y c h i a t r i c n e e d s a r e on t h e i n c r e a s e i n m o d e r n s o c i e t y , and a c c o u n t f o r a p r o p o r t i o n a t e l y l a r g e r s h a r e o f m e d i c a l , r e s o u r c e s w i t h e v e r y p a s s i n g d e c a d e . The r o l e o f t h e c o m m u n i t y g e n e r a l h o s p i t a l w i t h r e s p e c t t o t h e s e n e e d s i s s t i l l as y e t , a m a t t e r o f some d e b a t e . The c o n t i n u e d u s e o f s e p a r a t e l o n g t e r m g e r i a t r i c and p s y c h i a t r i c c a r e i s s o m e t i m e s t h o u g h t d e s i r a b l e on t h e g r o u n d s t h a t l a r g e s c a l e i n c o r p o r a t i o n o f t h e s e s e r v i c e s i n t o t h e s t r u c t u r e o f t h e g e n e r a l h o s p i t a l w i l l d i m i n i s h i t s e f f i c i e n c y by v i r t u e o f d i s e c o n o m i e s o f s c a l e , and w i l l , a t t h e same t i m e , p r o v e t o be i n a c c e s s i b l e t o many o f t h e p a t i e n t s h o m e s , a f a c t o r o f some s i g n i f i c a n c e w h e r e l o n g t e r m c a r e i s i n v o l v e d . A g a i n s t t h i s i t may be s a i d t h a t t h e c o n s e q u e n c e s o f s u c h s e g r e g a t i o n a r e p o t e n t i a l l y more s e r i o u s , p a r t i c u l a r l y i n an a g e w h e r e m o d e r n t r a n s p o r t has i n c r e a s e d t h e r a n g e o f a c c e p t a b l e t r a v e l d i s t a n c e s . The m o s t i n t r a c t a b l e p r o b l e m a s s o c i a t e d w i t h t h e m a i n t e n a n c e o f s e p a r a t e i n s t i t u t i o n s f o r t h i s t y p e o f c a r e i s t h a t o f o b t a i n i n g s u i t a b l e q u a l i f i e d s t a f f . G e r i a t r i c and P s y c h i a t r i c h o s p i t a l s h a v e f o r l o n g b e e n r e g a r d e d as d e -p r e s s e d a r e a s by b o t h t h e p u b l i c and t h e m e d i c a l p r o f e s s i o n . A p p o i n t m e n t s t o t h e s e p o s i t i o n s a r e n o t , by and l a r g e , c o m -p e t i t i v e , and s t a f f i n g s h o r t a g e s r e m a i n a p e r e n n i a l f a c t o r , w i t h a l l t h e a t t e n d a n t e f f e c t s on t h e l e v e l and q u a l i t y o f m e d i c a l c a r e t h a t t h i s i m p l i e s . M o r e o v e r s e g r e g a t i o n f r o m t h e d i s t r i c t h o s p i t a l c e n t r e t e n d s t o d e p r e s s t h e i n t e r e s t s o f m e d i c a l r e s e a r c h i n t o t h e s e a i l m e n t s , and t h e i s o l a t i o n o f t h e p s y c h i a t r i c p a t i e n t s u f f e r s t h e f u r t h e r d i s a d v a n t a g e o f p e r p e t u a t i n g p u b l i c p r e j u d i c e s a b o u t t h e p a r t i c u l a r n a t u r e o f t h i s d i s o r d e r ( M c K e o w n , 1 9 6 6 ) . P a t i e n t s s e g r e -g a t e d upon t h e b a s i s o f s u c h d i s e a s e c h a r a c t e r i s t i c s s e l -d o m , i f e v e r , r e m a i n h o m o g e n e o u s w i t h r e s p e c t t o t h e i r m e d i c a l n e e d s . C h r o n i c a l l y i l l p a t i e n t s may d e v e l o p s y m p -toms o f a c u t e i l l n e s s w h i l e g e r i a t r i c p a t i e n t s w i l l f r e -q u e n t l y show s i g n s o f m e n t a l d i s o r d e r s . The n e t e f f e c t i s t h a t t h e i n s t i t u t i o n i n q u e s t i o n e i t h e r f i n d s i t s e l f r e s p o n s i b l e f o r c l a s s e s o f p a t i e n t s whose n e e d s a r e b e y o n d i t s r e s o u r c e s o r m u s t p r o v i d e t h o s e r e s o u r c e s i t s e l f j t h e r e b y e n c o u r a g i n g a f u r t h e r d u p l i c a t i o n o f f a c i l i t i e s and p e r -s o n n e l . The a l t e r n a t i v e a p p r o a c h , w h i c h i s now f a v o u r e d by many m e d i c a l a d m i n i s t r a t o r s , i s t o a b o l i s h s e p a r a t e i n s t i -t u t i o n s f o r t h e s e t y p e s o f c a r e and t o p r o v i d e t h e w h o l e s p e c t r u m o f c a r e i n t h e c o m m u n i t y g e n e r a l h o s p i t a l . P r o -p o n e n t s o f t h i s p o l i c y a r g u e t h a t l o n g s t a y u n i t s a t t h e d i s t r i c t h o s p i t a l n e e d n o t be i n o r d i n a t e l y e x p e n s i v e s i n c e c h r o n i c a l l y and p s y c h i a t r i c a l l y i l l p a t i e n t s n e e d n o t be a d m i t t e d t o and r e t a i n e d i n w a r d s d e s i g n e d f o r t h e more e x p e n s i v e t y p e s o f a c u t e c a r e . B e c a u s e o f t h e r e l a t i v e e a s e w i t h w h i c h p a t i e n t s c a n be t r a n s f e r r e d w i t h i n a s i n g l e h o s p i t a l c o m p l e x , t h e r e seems t o be no i n h e r e n t r e a s o n why. s p e c i a l l o n g s t a y u n i t s c a n n o t be c o n s t r u c t e d a t l o w e r j. c a p i t a l and m a i n t e n a n c e c o s t s f o r t h i s s p e c i f i c p u r p o s e . S u c h u n i t s m i g h t f u r t h e r s e r v e a d o u b l e f u n c t i o n by a c t i n g a s c o n v a l e s c e n t homes f o r p a t i e n t s who no l o n g e r n e e d a c u t e c a r e b u t who m u s t r e m a i n h o s p i t a l i z e d f o r a r e h a b i l i t a t i o n p e r i o d ( B r i d g m a n , 1 9 6 7 ) . The R o l e o f S o c i a l M e d i c i n e Thus f a r t h i s d i s c u s s i o n has c e n t r e d upon t h e p r o -v i s i o n a n d o r g a n i z a t i o n o f t h e c u r a t i v e a s p e c t s o f h o s p i t a l c a r e . The e m p h a s i s on c u r a t i v e m e d i c i n e , p a r t i c u l a r l y i n t h e h o s p i t a l s e t t i n g , made s e n s e i n t h e p a s t when a c u t e d i s e a s e o f t h e i n f e c t i o u s v a r i e t y was t h e o v e r r i d i n g m e d i c a l p r o b l e m , and c h r o n i c d i s e a s e was o f much l e s s s i g n i f i c a n c e o w i n g t o t h e s h o r t e r s p a n o f l i f e w h i c h t h e n p r e v a i l e d . B u t t h i s s i t u a t i o n i s no l o n g e r c o m m o n , a t l e a s t i n t e c h -n i c a l l y d e v e l o p e d p a r t s o f t h e w o r l d , and t h e r o l e o f p u b l i c h e a l t h p r o g r a m s and s o c i a l and p r e v e n t i v e m e d i c i n e w h i c h has r e c e i v e d l e s s a t t e n t i o n i n t h e p a s t , i s now s e e n a s b e i n g o f p o t e n t i a l l y g r e a t e r c o n s e q u e n c e i i i t h e f u t u r e . The n e e d f o r a l t e r n a t i v e a p p r o a c h e s t o i n - p a t i e n t h o s p i t a l c a r e t a k e s on an a d d e d s i g n i f i c a n c e i f t h e o p i n i o n o f t h o s e who b e l i e v e t h a t h o s p i t a l u s e i s d i r e c t l y r e l a t e d t o t h e s u p p l y o f b e d s c a n be g i v e n c r e d e n c e ( R o e m e r , 1 9 6 1 ) . A l t h o u g h R o s e n t h a l h a s t a k e n a c o n t r a r y v i e w p o i n t i n t h i s c o n t r o v e r s y , F e l d s t e i n s u p p o r t s R o e m e r ' s f i n d i n g s , and i n h i s a n a l y s i s o f h o s p i t a l u t i l i z a t i o n i n E n g l a n d , i s d r a w n i r r e s i s t a b l y t o t h e c o n c l u s i o n t h a t t h e e x i s t i n g s u p p l y o f b e d s i s t h e c o r r e c t o n e , w h a t e v e r i t s l e v e l may be ( R o s e n t h a l , 1 9 6 4 ; F e l d s t e i n , 1 9 6 7 ) . The s e a r c h f o r a l t e r n a t i v e s t o h o s p i t a l c a r e r e q u i r e s some p r i o r d i s t i n c t i o n o f t h e c o n c e p t s o f \" n e e d \" and \" d e -m a n d . \" I f demand c a n be l o o s e l y d e f i n e d as t h e a c t u a l r e -c e i p t o f m e d i c a l c a r e t h e c o n c e p t o f n e e d i s c l e a r l y more e p h e m e r a l i n n a t u r e . W h e t h e r o r n o t v a s t h e a l t h n e e d s a c t u -a l l y e x i s t as has s o m e t i m e s b e e n c l a i m e d i s a c t u a l l y a d e -b a t a b l e p o i n t . I n d e e d many p h y s i c i a n s who p r a c t i c e among i n s u r e d u r b a n p o p u l a t i o n s a r e o f t h e o p i n i o n t h a t t h e demands f o r h e a l t h s e r v i c e s o f t e n e x c e e d t h e t r u e n e e d s ( T a s k F o r c e R e p o r t , 1 9 7 0 ) . B u t w h a t e v e r t h e t r u t h o f t h e m a t t e r i s , i t seems c l e a r t h a t one o f t h e p r i m a r y a i m s o f p r e v e n t i v e m e d i c i n e i s t o k e e p p a t i e n t s , w h e r e p o s s i b l e , f r o m r e a c h i n g t h e l e v e l o f i n - p a t i e n t h o s p i t a l c a r e . P r e v e n t i v e m e d i c i n e has a l r e a d y a c h i e v e d some s t r i k -i n g s u c c e s s e s i n t h e c o n t r o l o f i n f e c t i o u s d i s e a s e s . V a c -c i n a t i o n p r o g r a m s , c o n d u c t e d on a mass b a s i s , h a v e v i r -t u a l l y e l i m i n a t e d many o f t h e c o n t a g i o u s i n f e c t i o n s w h i c h t o o k s u c h a h e a v y t o l l i n t h e p a s t . Mass s c r e e n i n g p r o g r a m s h a v e o f f e r e d a d d i t i o n a l o p p o r t u n i t i e s f o r p r e v e n t i v e m e d i -c i n e . B u t a l t h o u g h t h e y h a v e p r o v e d t h e m s e l v e s i n t h e c o n t r o l o f p r e l i m i n a r y t u b e r c u l o s i s , t h e r e i s much l e s s c o n c e n s u s on t h e i r c u r r e n t o v e r a l l w o r t h a s a w i d e s p r e a d t o o l f o r t h e e a r l y d e t e c t i o n o f many t y p e s o f d i s e a s e . Many o f t h e s e p r o g r a m s h a v e p r o v e d t o be e x p e n s i v e p r o p o s i t i o n s when c o n d u c t e d upon a l a r g e s c a l e , and t h e y h a v e n o t a l w a y s p r o v e d t o be as m e d i c a l l y r e l i a b l e as t h e i r p r o p o n e n t s h a v e c l a i m e d . I t seems c l e a r t h a t more c o s t e f f e c t i v e n e s s s t u d i e s a r e r e q u i r e d i n t h i s f i e l d a n d , a t t h e v e r y l e a s t , i t i s f e l t t h a t t h e y s h o u l d be d i r e c t e d more s e l e c t i v e l y t o w a r d s h i g h r i s k g r o u p s i n t h e p o p u l a t i o n ( T a s k F o r c e R e p o r t , 1 9 7 0 ) . One o f t h e r e c u r r i n g p r o b l e m s w h i c h f a c e s s o c i a l m e d i c i n e i s t h a t t h e p u b l i c p e r c e p t i o n o f w h a t c o n s t i t u t e s a s e r i o u s h e a l t h h a z a r d i s n o t a l w a y s c o i n c i d e n t w i t h t h a t o f t h e m e d i c a l p r o f e s s i o n . C i g a r e t t e s m o k i n g , o f t e n c i t e d as a c a s e i n p o i n t , o f f e r s an e x c e l l e n t e x a m p l e o f t h e t y p e o f c o n f l i c t w h i c h c a n o c c u r b e t w e e n , on t h e one h a n d , t h e f i n a n c i a l b e n e f i t s b e s t o w e d by a p a r t i c u l a r i n d u s t r y on t h e n a t i o n a l t r e a s u r y , and t h e a i m s and a s p i r a t i o n s o f p u b l i c h e a l t h p r o g r a m s on t h e o t h e r . J a m e s has a p t l y s u m m a r i z e d t h i s k i n d o f a m b i g u i t y i n a t t i t u d e s by r e m a r k i n g t h a t p u b l i c p r e s s u r e f o r t h e c o n t r o l o f many m e d i c a l p r o b l e m s i s a p t t o s e t q u i t e d i f f e r e n t p r i o r i t i e s f r o m t h o s e o f t h e h e a l t h p r o f e s s i o n a l . \" D i s e a s e s , \" he c o m m e n t s , \" a p p e a r t o r u n an u n p o p u l a r i t y c o n t e s t b e f o r e t h e p u b l i c a n d i t i s r a r e l y s e t t l e d by i n c i d e n c e s t a t i s t i c s \" ( J a m e s , 1 9 6 7 ) . One o f t h e k e y s t o g r e a t e r s u c c e s s i n p r e v e n t i v e m e d i c i n e w o u l d seem t o l i e i n an i n c r e a s e d u n d e r s t a n d i n g o f t h e c o m p l e x p r o c e s s e s by w h i c h i n d i v i d u a l s a r e m o t i v a t e d t o s e e k h e a l t h c a r e and by t h e way i n w h i c h p a t i e n t s move t h r o u g h t h e m e d i c a l c a r e s y s t e m . In c o n s i d e r i n g some o f t h e m e c h a n i c s o f t h i s p r o c e s s i t i s known t h a t an i n t r i c a t e n e t -w o r k o f f o r m a l and i n f o r m a l i n t e r a c t i o n s e x i s t s b e t w e e n p a t i e n t s o r p o t e n t i a l p a t i e n t s on t h e one hand and t h e p r o -v i d e r s o f ; h e a l t h c a r e , t h e p h y s i c i a n s and o t h e r m e d i c a l p e r s o n n e l ^ o n t h e o t h e r . The e v e n t s w h i c h c h a r a c t e r i z e t h e s e i n t e r a c t i o n s o c c u r i n p a r t i c u l a r s e t t i n g s i n w h i c h a t t i t u d e s w h i c h r e f l e c t s o c i a l , e c o n o m i c a n d c u l t u r a l a t t r i b u t e s h a v e a p r o f o u n d i n f l u e n c e on t h e o u t c o m e s ( D o n a b e d i o n , 1 9 6 8 ) . Many s t u d i e s h a v e b e e n made o f t h e u t i l i z a t i o n o f h e a l t h s e r v i c e s by p a t i e n t s o f w i d e l y v a r y i n g b a c k g r o u n d s . F rom t h e s e c e r t a i n g e n e r a l i z a t i o n s may be d e d u c e d w h i c h show i n e f f e c t t h a t f a c i l i t i e s a r e u t i l i z e d m o s t f r e q u e n t l y by t h e y o u n g m i d d l e - a g e d , by f e m a l e s r a t h e r t h a n m a l e s , and by t h o s e who h a v e a c h i e v e d a h i g h e r e d u c a t i o n a l and s o c i o -e c o n o m i c s t a t u s . By c o r o l l a r y t h o s e i n d i v i d u a l s o f l o w e r e d u c a t i o n s a t t a i n m e n t s and i n c r e a s e d a g e w o u l d a p p e a r t o r e a c t more s l o w l y t o t h e s e symptoms and t o d e l a y i n s e e k i n g h e l p ( O d o r o f f and A b b e , 1 9 5 7 ; F e l d s t e i n , 1 9 6 6 ) . T h e s e c o n -c l u s i o n s w o u l d seem t o be e q u a l l y v a l i d f o r t h o s e who a r e u s i n g p r e v e n t i v e and d e t e c t i o n s e r v i c e s and f o r t h o s e who a r e s e e k i n g a c t u a l d i a g n o s i s a n d t r e a t m e n t . F r i e d s o n , Suchman and o t h e r s h a v e u n d e r t a k e n more s o p h i s t i c a t e d a n a l y -s i s i n w h i c h l i n k a g e m e c h a n i s m s b e t w e e n s o c i a l c h a r a c t e r i s -t i c s and i n d i v i d u a l s p e r c e p t i o n s o f t h e i r s y m p t o m s and t h e i r r e s p o n s e s t o them a r e p r o p o s e d ( S u c h m a n , 1 9 6 5 ; F r i e d s o n , 1 9 6 1 ) . R o s e h s t o c k who h a s r e v i e w e d some o f t h e s e s t u d i e s comments upon t h e s p e c i f i c l i m i t a t i o n s o f t h e i r f o c u s w h i c h i s c o n f i n e d t o h e a l t h b e h a v i o u r u n d e r t a k e n i n r e s p o n s e t o s p e c i f i c s y m p t o m s . In h i s w o r d s : T h e f i n d i n g s a v e t h u s o f u n k n o w n v e l e v a n c e to t h e s i t u a t i o n a o n f v o n t i n g t h e p e v s o n w h o m u s t d e c i d e w h e t h e v to s e e k p v e v e n t i v e o r d e t e c t i o n s e v v i c e s b e f o v e t h e a p p e a v a n c e o f e v e n t s t h a t h e i n t e v p v e t s a s s y m p t o m s . ( R o s e n s t o c k , 1 9 6 6 ) The a u t h o r t h e n g o e s on t o p r o p o s e a m o d e l w h i c h a t t e m p t s t o e x p l a i n h e a l t h b e h a v i o u r i n i n d i v i d u a l s who b e l i e v e t h e m s e l v e s t o be p r e s e n t l y f r e e o f a n y d e f i n i t i v e s y m p t o m s . He h y p o t h e s i z e s t h a t t h e d e c i s i o n t o s e e k p r e -v e n t i v e m e d i c i n e i n s u c h a s i t u a t i o n i s d e p e n d e n t upon t h e e x t e n t t o w h i c h an i n d i v i d u a l p e r c e i v e s h i s s u s c e p t i b i l i t y t o some p a r t i c u l a r c o n d i t i o n ; t h e e x t e n t t o w h i c h he p e r -c e i v e s i t s p o s s i b l e o c c u r r e n c e as b e i n g s e r i o u s t o h i m ; and t h e d e g r e e t o w h i c h he f e e l s t h a t some p r e v e n t i v e t e s t i s a p p r o p r i a t e f o r h i m i n s o f a r a s i t w i l l d i m i n i s h h i s p e r -c e i v e d s u s c e p t i b i l i t y . Once t h e s e c o n d i t i o n s a r e o b t a i n e d , t h e n some cue o f s t i m u l u s , e i t h e r i n t e r n a l l y , o r e x t e r n a l l y s u c h as an i m p a c t f r o m some c o m m u n i c a t i o n m e d i a , i s r e q u i r e d t o t r i g g e r an a p p r o p r i a t e r e a c t i o n ( R o s e n s t o c k , 1 9 6 6 ) . The v a l i d i t y o f R o s e n s t o c k ' s m o d e l r e m a i n s l a r g e l y unknown a t t h e p r e s e n t t i m e , s i n c e t h e r e has b e e n l i t t l e e m p i r i c a l e v i d e n c e t h u s f a r t o s u b s t a n t i a t e t h e s e h y p o t h e s e s . S u c h e v i d e n c e a s i s a v a i l a b l e seems t o s u g g e s t , as R o s e n s t o c k h i m s e l f n o t e s , t h a t t h e b e h a v i o u r p a t t e r n s i m p l i c i t i n t h e h e a l t h b e l i e f m o d e l t e n d t o be e x h i b i t e d more among t h e u p p e r s o c i o e c o n o m i c g r o u p s t h a n t h e l o w e r . I t i s p r e c i s e l y among t h e s e l o w e r s t a t u s g r o u p s h o w e v e r , t h a t s o c i a l m e d i c i n e has b e e n l e a s t e f f e c t i v e t o d a t e , and w h e r e t h e n e e d i s c o n s e q u e n t l y g r e a t e r . The c l a s s i c a l r e f e r r a l p a t t e r n w h e r e -by p a t i e n t s s e e k t h e s e r v i c e s o f a p h y s i c i a n and a r e r e -f e r r e d by h i m w h e r e n e c e s s a r y t o a s p e c i a l i s t , o r t h e l a y r e f e r r a l s y s t e m i n w h i c h p a t i e n t s r e f e r t h e m s e l v e s d i r e c t l y t o a s p e c i a l i s t a r e l e s s f r e q u e n t l y s e e n i n t h e s e s o c i a l g r o u p s ( W h i t e , 1 9 6 7 ) . The p r o b l e m i s f u r t h e r c o m p o u n d e d by a r e l a t i v e i n a c c e s s i b i l i t y o f a l l t y p e s o f m e d i c a l c a r e t o t h e s e p e o p l e . The d e c l i n e o f t h e g e n e r a l p r a c t i t i o n e r i n N o r t h A m e r i c a n m e d i c a l p r a c t i c e i s a w e l l known p h e n o m e n o n . A r e c e n t s t u d y by D o r s e y o f t h e c h a n g e s i n t h e d i s t r i b u t i o n o f p h y s i c i a n s i n B o s t o n b e t w e e n 1 9 4 0 a n d 1961 r e v e a l e d a d e c l i n e i n t h e r a t i o o f p h y s i c i a n s p e r 1 0 0 , 0 0 0 p o p u l a t i o n f o r a l l s o c i o - e c o n o m i c a r e a s o f t h e c i t y . F o r s o c i a l c l a s s e s 3 - 5 , d e f i n e d i n t h e s t u d y as t h e l o w e r s t a t u s g r o u p s , t h i s t r e n d i s p a r t i c u l a r l y d i s t u r b i n g s i n c e t h e a r e a s o c c -u p i e d by t h e s e g r o u p s h a v e r e l a t i v e l y l o w p h y s i c i a n r a t i o s t o b e g i n w i t h ( D o r s e y , 1 9 6 8 ) . I f , as i n F r i e d s o n ' s v i e w , c o n v e n i e n t a c c e s s t o m e d i c a l c a r e i s i m p o r t a n t t o p a t i e n t s e s p e c i a l l y i n t e r m s o f r o u t i n e p r i m a r y c a r e , t h e n t h e i n f e r -e n c e i s t h a t t h e u r b a n p o o r w i l l , i n many c a s e s , e i t h e r i g n o r e t h e i r i n i t i a l s y m p t o m s , o r r e f e r t h e m s e l v e s t o t h e e m e r g e n c y d e p a r t m e n t o f t h e n e a r e s t h o s p i t a l , a m e d i c a l l y u n d e s i r a b l e h a b i t w h i c h a p p e a r s t o be v e r y much on t h e i n -c r e a s e i n n e a r l y e v e r y m a j o r c o m m u n i t y on t h e c o n t i n e n t ( F r i e d s o n , 1 9 6 1 ; C o l e m a n , 1 9 6 7 ) . The d e c l i n e o f t h e g e n e r a l p r a c t i b n e r a n d t h e f l i g h t o f o t h e r p h y s i c i a n s and s p e c i a l i s t s t o t h e s u b u r b s o r t o o f f i c e s l o c a t e d a d j a c e n t , i n many i n s t a n c e s , t o h o s p i t a l c o m p l e x e s , has l e f t a m e d i c a l v a c u u m f o r many p o t e n t i a l p a t i e n t s i n t h e s l u m s and g h e t t o a r e a s o f t h e l a r g e r c i t i e s . The c o n c e p t o f t h e n e i g h b o u r h o o d h e a l t h c e n t r e o r c l i n i c has b e e n p r o p o s e d as an a n s w e r t o t h i s m e d i c a l g a p . Y e r b y has d e s c r i b e d t h e e s s e n t i a l f e a t u r e s o f t h e s e c e n t r e s . They a r e c o m m u n i t y o r i e n t e d i n t h e s e n s e o f b e i n g l o c a t e d w i t h r e s p e c t t o s i g n i f i c a n t c o n c e n t r a t i o n s o f t h e l o w e r i n c o m e g r o u p s ; a r e o p e n d a y and n i g h t ; p r o v i d e b a s i c d i a g n o s t i c and t h e r a p u t i c s e r v i c e s ; a r e s t a f f e d n o t o n l y by d o c t o r s , l a b o r a t o r y t e c h n i c i a n s and f r e q u e n t l y r e q u i r e d s p e c i a l i s t s , b u t a l s o by p u b l i c h e a l t h n u r s e s and s o c i a l w o r k e r s ; a n d h a v e a d i r e c t a m b u l a n c e l i n k w i t h some h o s p i t a l f o r i m m e -d i a t e r e f e r r a l w h e r e n e c e s s a r y ( Y e r b y , 1 9 6 7 ) . I t i s h o p e d t h a t s u c h c e n t r e s w i l l u l t i m a t e l y d i m i n i s h u n n e c e s s a r y h o s p i t a l i n - p a t i e n t a d m i s s i o n , a n d w i l l do much t o r e d u c e t h e p r e s s u r e on h o s p i t a l e m e r g e n c y d e p a r t m e n t s w h i c h a r e n o t t h o u g h t t o be t h e a p p r o p r i a t e m i l i e u f o r p r i m a r y h e a l t h c a r e . I n s u r a n c e C o v e r a g e and t h e U t i l i z a t i o n o f M e d i c a l C a r e I n t e r e s t i n a l t e r n a t i v e a p p r o a c h e s t o h o s p i t a l c a r e has b e e n f u r t h e r e n c o u r a g e d by s p e c u l a t i o n as t o t h e p o t e n t t i a l l o n g t e r m e f f e c t s o f m e d i c a r e and g o v e r n m e n t s p o n s o r e d i n s u r a n c e p l a n s on i n - p a t i e n t h o s p i t a l u t i l i z a t i o n . T h e r e i s a c o n s i d e r a b l e amount o f e v i d e n c e t o show t h a t m e d i c a l s e r v i c e s a r e u s e d more f r e q u e n t l y by t h o s e who c a r r y h e a l t h i n s u r a n c e . I n d e e d t h e c o r o l l a r y o f t h i s \u2014 t h a t p e o p l e may be d e t e r r e d f r o m o b t a i n i n g n e c e s s a r y h e a l t h c a r e by v i r t u e o f t h e i r l a c k o f c o v e r a g e i s o b v i o u s l y t h e r e a s o n b e h i n d t h e r e c e n t e x p a n s i o n o f t h e r o l e o f g o v e r n m e n t s i n t h e m e d i c a l \" i n s u r a n c e f i e l d ( T a s k F o r c e R e p o r t , 1 9 7 0 ) . S t u d i e s i n t h e U n i t e d S t a t e s s u g g e s t t h a t h o s p i t a l a d m i s s i o n r a t e s a r e much h i g h e r among t h e i n s u r e d t h a n t h e u n i n s u r e d ( S o m e r s and S o m e r s , 1 9 6 2 ) . W h e t h e r o r n o t t h i s a c t u a l l y l e a d s t o o v e r -u t i l i z a t i o n i s a d e b a t a b l e i s s u e among m e d i c a l a d m i n i s t r a t o r s s i n c e t h e h o s p i t a l l e n g t h o f s t a y i s g e n e r a l l y s h o r t e r f o r t h e i n s u r e d p e r s o n . In C a n a d a t h e r e l a t i o n s h i p b e t w e e n h o s p i t a l a d m i s s i o n r a t e s and i n s u r a n c e c o v e r a g e a p p e a r s t o be l e s s c l e a r . A n d e r s e n and H u l l s t a t e t h a t t h e i n t r o d u c -t i o n o f u n i v e r s a l h o s p i t a l i n s u r a n c e i n t o t h i s c o u n t r y has n o t p r o d u c e d a m a r k e d i n c r e a s e i n t h e r a t e s o f a d m i s s i o n ( A n d e r s e n and H u l l , 1 9 6 9 ) . P e t e r s o n on t h e o t h e r hand a s s e r t s t h a t u n n e c e s s a r y a d m i s s i o n s a r e o c c u r r i n g among some p a t i e n t s a d m i t t e d p u r e l y f o r d i a g n o s t i c p u r p o s e s ( P e t e r s o n , 1 9 6 7 ) . I t may be ( a l t h o u g h t h e r e i s no d i r e c t e v i d e n c e a s y e t ) t h a t t h i s a p p a r e n t c o n t r a d i c t i o n r e f l e c t s a s l i g h t b u t p e r c e p t i b l e c h a n g e i n t h e p h y s i c i a n c u l t u r e o f C a n a d a w h i c h t r a d i t i o n a l l y , a p p e a r s t o h a v e b e e n h o s p i t a l o r i e n t e d . Thus w h e r e u n n e c e s s a r y h o s p i t a l a d m i s s i o n s f o r d i a g n o s t i c p u r -p o s e s o c c u r , t h e y m a y , t o some e x t e n t , be c o u n t e r b a l a n c e d by t h e movement t o w a r d s g r o u p p r a c t i c e w h i c h , as t h e T a s k F o r c e has t e n t a t i v e l y i n d i c a t e d , r e s u l t s i n a r e d u c t i o n o f h o s p i t a l u s a g e ; M e d i c a l C a r e i n t h e R u r a l S e t t i n g Many o f t h e d i f f i c u l t i e s w h i c h b e s e t h e a l t h a d m i n i s -t r a t o r s i n t h e p r o v i s i o n o f m e d i c a l c a r e i n m e t r o p o l i t a n a r e a s a r e m a g n i f i e d i n t h e c o n t e x t o f r u r a l l i f e . R u r a l h e a l t h c a r e i s b u r d e n e d by some p a r t i c u l a r p r o b l e m s w h i c h a r e p e c u l i a r t o i t s s e t t i n g , A l t h o u g h t h e m o r t a l i t y r a t e s f o r r u r a l i n h a b i t a n t s a r e l e s s t h a n f o r t h o s e o f t h e i r u r b a n c o u n t e r p a r t s m o r b i d i t y d u r i n g l i f e a p p e a r s t o be g r e a t e r , e s p e c i a l l y f o r c h r o n i c d i s e a s e s ( R o e m e r and A n z e l , 1 9 6 8 ) . . The p r o v i s i o n o f m e d i c a l c a r e f o r m i g r a n t a g r i c u l t u r a l w o r k e r s and f o r I n d i a n s , who do n o t f i t e a s i l y i n t o t h e m a i n s t r e a m o f N o r t h A m e r i c a n l i f e , p r e s e n t s a l m o s t u n i q u e d i f f i c u l t i e s . The b e n e f i t s o f good o c c u p a t i o n a l h e a l t h s e r v i c e s a r e g e n e r a l l y d e n i e d t o r u r a l w o r k e r s . F u n d a m e n t a l t o r u r a l a r e a s t o o , i s t h e l o w p o p u l a t i o n d e n s i t y w h i c h i s r e f l e c t e d i n g r e a t e r d i s t a n c e s b e t w e e n p a t i e n t s a n d t h e s e r v i c e s t h e y m i g h t e x p e c t t o r e c e i v e . The p r o v i s i o n o f t h e s e s e r v i c e s i s f u r t h e r c o m p o u n d e d by t h e v e r y l o w d e n s i t y o f h e a l t h p e r s o n n e l p e r u n i t a r e a . The l a c k o f h e a l t h m a n -p o w e r i n r u r a l a r e a s i s a p e r e n n i a l p r o b l e m . The r a t i o o f m e d i c a l p r o f e s s i o n a l s t o p o p u l a t i o n i s l e s s i n t h e r u r a l s e t t i n g f o r e v e r y c a t e g o r y o f h e a l t h p e r s o n n e l ( M o t t and R o e m e r , 1 9 6 8 ) . F o r t h e m o s t p a r t s m a l l r u r a l c o m m u n i t i e s h a v e f e w e r a d v a n t a g e s t o o f f e r t h e y o u n g p h y s i c i a n when c o m p e t i n g f o r h i s s e r v i c e s i n t h e o p e n m a r k e t . In p a r t i c u -l a r t h e a m e n i t i e s a v a i l a b l e , b o t h t e c h n i c a l and s o c i a l , a r e f e w e r ( M c N e r n e y and R i e d e l , 1 9 6 2 ) . M o r e o v e r , e v e n i f i t w e r e p o s s i b l e t o a t t r a c t p e r s o n n e l i n t o t h e s e a r e a s i n l a r g e n u m b e r s , t h e r e i s c o n s i d e r a b l e d o u b t as t o w h e t h e r i t w o u l d be w o r t h t h e c o s t i n t e r m s o f t h e d e g r e e t o w h i c h t h e y c o u l d be f u l l y e m p l o y e d . G r e a t e r f i n a n c i n g i s t h e n , c l e a r l y n o t t h e a n s w e r i n i t s e l f . What i s r e q u i r e d f o r t h e s e a r e a s i s a f l e x i b l e and m o b i l e s y s t e m o f m e d i c a l c a r e w h i c h c a n be a d e q u a t e l y i n c o r p o r a t e d i n t o t h e c o n c e p t o f t h e r e g i o n a l i z a -t i o n o f f i x e d f a c i l i t i e s as p r e v i o u s l y d e s c r i b e d . To some e x t e n t t h e s e g o a l s h a v e a l r e a d y b e e n a c h i e v e d . A number o f s c h e m e s h a v e been p r o p o s e d and i m p l e m e n t e d . F l y i n g d o c t o r s e r v i c e s and t h e u s e o f h e l i c o p t e r s i n e m e r -g e n c y ' s i t u a t i o n s h a v e b e e n c o m p r e h e n s i v e l y d o c u m e n t e d i n t h e h e a l t h p l a n n i n g l i t e r a t u r e ( D u n c a n , 1 9 6 6 ; J a c o b s a n d M c L a u g h l i n , 1 9 6 7 ) . The t r a i n i n g o f p a r a - m e d i c a l p e r s o n n e l , who p o s s e s s a l i m i t e d number o f t h e s k i l l s o f t h e q u a l i f i e d p h y s i c i a n , h a v e b e e n s u g g e s t e d f o r u s e i n e x t r e m e l y r e m o t e l o c a t i o n s ( W o r l d H e a l t h O r g a n i z a t i o n , 1 9 5 4 ) . In more a c c e s s -i b l e a r e a s m o b i l e h e a l t h u n i t s h a v e b e e n a d v o c a t e d as o f f e r -i n g an e x c e l l e n t m e t h o d o f p r o v i d i n g c a r e t o c o m m u n i t i e s t o o s m a l l t o m a i n t a i n a p e r m a n e n t h e a l t h f a c i l i t y ( B o d e n h e i m e r , 1969 ; K i 1 s d o n k , 1 9 6 6 ) . S u c h u n i t s h a v e been v a l u a b l e i n t h e t r e a t m e n t o f e n d e m i c i n f e c t i o u s d i s e a s e s i n A f r i c a , and as a p r e v e n t i v e m e d i c a l a i d , p a r t i c u l a r l y f o r t u b e r c u l o s i s s c r e e n i n g , i n t h e more d e v e l o p e d n a t i o n s . P h y s i c i a n s i n r u r a l a r e a s h a v e b e e n e n c o u r a g e d t o p o o l t h e i r r e s o u r c e s , r e c o r d s and e q u i p m e n t i n p a r t i c u l a r c e n t r a l l o c a t i o n s , a n d t o m a i n t a i n a s e r i e s o f s i m p l e s a t e l l i t e o f f i c e s i n s u r r o u n d i n g c o m m u n i t i e s a t w h i c h t h e y s p e n d a f e w h o u r s p e r week a t s p e c i f i e d d a y s and t i m e s ( C a n a d i a n M e d i c a l A s s o c i a t i on , 1 9 6 7 ) . A l t h o u g h i n a l l t h e s e ways a m e a s u r e o f much n e e d e d f l e x i b i l i t y has b e e n i n t r o d u c e d i n t o t h e r u r a l h e a l t h s y s t e m t h e r e s t i l l r e m a i n s t h e f u n d a m e n t a l p r o b l e m o f t h e p r o v i s i o n o f a number o f f i x e d f a c i l i t i e s , s u c h as c l i n i c s o r h o s p i -t a l s , w h i c h c a n s e r v e as a b a s i s f o r t h e o r g a n i z a t i o n o f r u r a l m e d i c a l c a r e , and t o w h i c h p a t i e n t s c a n be s e n t when t h e s e o t h e r m e a s u r e s p r o v e i n a d e q u a t e t o t h e i r n e e d s . B e a r -i n g i n m i n d t h e c o s t l y f i n a n c i a l b u r d e n o f m a i n t a i n i n g h o s p i t a l s i n t h e r u r a l c o n t e x t i t i s p e r h a p s s u r p r i s i n g t h a t so l i t t l e o b j e c t i v e a n a l y s i s has b e e n u n d e r t a k e n on t h e m u l t i p l e l o c a t i o n o f m e d i c a l f a c i l i t i e s i n t h i s s e t t i n g . As r e c e n t l y as 1 9 6 6 L o r d L I e w e w y n - D a v i e s c o u l d s a y , Very l i t t l e s t u d y h a s b e e n m a d e w i t h r e g a r d to t h e l o c a t i o n o f h e a l t h b u i l d i n g s . . . t h e l a c k o f s t u d y o f t h i s t o p i c i s s t r i k i n g w h e n t h e l i t e r a t u r e o f u r b a n p l a n n i n g a n d d e v e l o p m e n t i s e x a m i n e d . ( L o r d L I e w e l y n - D a v i e s , 1 9 6 6 ) S i n c e t h a t s t a t e m e n t was made a f e w r e s e a r c h e r s h a v e t u r n e d t h e i r a t t e n t i o n t o t h i s p r o b l e m a n d a b r i e f r e v i e w o f t h e i r m o d e l s now f o 1 1 o w s . Some P r e v i o u s M o d e l s o f H e a l t h F a c i l i t y L o c a t i o n A t l e a s t t h r e e s t u d i e s i n r e c e n t y e a r s h a v e c o n s i d e r e d m e t h o d s by w h i c h t h e l o c a t i o n a l e f f i c i e n c y o f e x i s t i n g o r p o t e n t i a l h o s p i t a l n e t w o r k s m i g h t be m e a s u r e d . In t h e f i r s t o f h i s two s t u d i e s on t h i s p r o b l e m S c h n e i d e r c o n s i d e r s t h e c a s e o f u r b a n h o s p i t a l s w i t h p a r t i c u l a r r e f e r e n c e t o C i n c i n n a t t i ( S c h n e i d e r , 1 9 6 7 ) . He p o s t u l a t e s t h a t t h e l o c a t i o n a l i m b a l a n c e o f a n y one h o s p i t a l c a n b e s t be a s s e s s e d by a n a l y z i n g t h e n e t p u l l i n g f o r c e o f h o s p i t a l i n - p a t i e n t f l o w s . G i v e n d i s c r e t e r e s i d e n t i a l l o c a t i o n s t o w h i c h a w e i g h t , r e p r e s e n t i n g n u m b e r s o f p a t i e n t s i s a t t a c h e d , he s e e k s t o f i n d among them t h e p o i n t o f m i n i m u m a g g r e g a t e t r a v e l by means o f t h e K u h n - K u e n n e a l g o r i t h m ( K u h n a n d K u e n n e , 1 9 6 2 ) . The d i f f e r e n c e b e t w e e n t h i s c o m p u t e d c e n t r e and t h e a c t u a l l o c a t i o n i s i n t e r p r e t e d as a m e a s u r e o f t h e l o c a t i o n a l i n e f f i c i e n c y o f t h e h o s p i t a l i n t e r m s o f t h e a r e a i t s e r v e s , S e v e r a l a s p e c t s o f t h i s c o n c e p t u a l i z a t i o n d e s e r v e f u r t h e r c o n s i d e r a t i o n . The Kuhn a l g o r i t h m r e q u i r e s E u c l i d e a n d i s t a n c e m e a s u r e s as i t s i n p u t s , a n d w h i l e t h e s e may be a p p r o p r i a t e i n t h e u r b a n c o n t e x t i t i s u n l i k e l y t h a t t h e y w i l l ' b e so i n a r u r a l s e t t i n g . T h e r e i s no g u a r a n t e e e i t h e r t h a t t h e o p t i m a l s o l u t i o n as c o m p u t e d by t h i s m e t h o d w i l l be c o n s t r a i n e d t o a s e t t l e m e n t o r e v e n a d j a c e n t t o a r o a d . F i n a l l y t h i s a p p r o a c h c a n c o n s i d e r o n l y one h o s p i t a l a t a t i m e a l t h o u g h h e u r i s t i c s h a v e b e e n d e v e l o p e d by C o o p e r f o r a p p l y i n g t h e a l g o r i t h m t o m u l t i p l e p l a n t l o c a t i o n p r o b -1 ems ( C o o p e r , 1 9 6 7 ) . In a l a t e r m o d e l S c h n e i d e r e x t e n d s h i s a n a l y s i s t o l o c a t i o n a l i m b a l a n c e s i n h o s p i t a l s y s t e m s . F o r e a c h m e d i c a l c a t e g o r y t h e c e n t r e o f m i n i m u m t o t a l t r a v e l b a s e d on p a t i e n t r e s i d e n c e s i s c o m p u t e d as b e f o r e . N e x t t h i s c e n t r e i s f o u n d w i t h r e s p e c t t o h o s p i t a l l o c a t i o n s , t h e w e i g h t s i n t h i s i n s t a n c e b e i n g t h e h o s p i t a l a d m i s s i o n f i g u r e s . The d i f f e r -e n c e s b e t w e e n t h e two p o i n t s i s t a k e n as an i n i t i a l m e a s u r e o f i m b a l a n c e i n t h e s y s t e m t o w h i c h i s a d d e d t h e d i s p a r i t y b e t w e e n t h e r e l a t i v e d i s p e r s i o n s ( s t a n d a r d d i s t a n c e s ) a b o u t t h e two c e n t r e s , u n d e r t h e a s s u m p t i o n t h a t t h e g r e a t e r t h e d e g r e e o f p a t i e n t d i s p e r s a l r e l a t i v e t o h o s p i t a l d i s p e r s a l , t h e g r e a t e r t h e s p a t i a l i n e f f i c i e n c y o f l o c a t i o n . A l t h o u g h t h i s f o r m u l a t i o n has m e r i t o v e r t h e p r e v i o u s one i t s u f f e r s f r o m t h e d i s a d v a n t a g e , as n o t e d by t h e a u t h o r , o f e x a g g e r a t -i n g t h e s t a n d a r d d i s t a n c e m e a s u r e s i n c a s e s w h e r e p a t i e n t demand i s c l u s t e r e d i n t o two o r more s p a t i a l l y d i s t i n c t a r e a s ( S c h n e i d e r , 1 9 6 8 ) . M o r e o v e r , w h i l e t h i s a p p r o a c h w i l l g i v e i n s i g h t s i n t o i m b a l a n c e s i n t h e p r e s e n t s y s t e m i t has l e s s t o s a y on w h e r e t h e b e s t s e t o f l o c a t i o n s m i g h t be i f more t h a n one i s d e s i r a b l e . I t i s c l e a r l y p o s s i b l e t o p o s t u l a t e new l o c a t i o n s and r e - c y c l e t h e a l g o r i t h m i n an a t t e m p t t o r e d u c e t h e i m b a l a n c e m e a s u r e , b u t i f t h e number o f p o s s i b l e s i t e s i s l a r g e a c o m b i n a t o r i a l p r o b l e m may be e n c o u n t e r e d w h i c h has no f e a s i b l e c o m p u t a t i o n a l s o l u t i o n . G o u l d and L e i n b a c h s t u d i e d t h e p r o b l e m o f r u r a l h o s p i t a l l o c a t i o n s i n G u a t e m a l a . F rom f i v e p o s s i b l e l o c a -t i o n s t h e y s e t o u t t o f i n d t h o s e t h r e e w h i c h w o u l d m i n i m i z e t o t a l p a t i e n t d i s t a n c e t r a v e l l e d . T h e y b a s e d t h e i r a p p r o a c h upon t h e c l a s s i c t r a n s p o r t a t i o n m o d e l . S e t t i n g i n i t i a l h o s p i t a l c a p a c i t y t o be e q u a l a t e a c h s i t e , t h e y e v a l u a t e d e v e r y p o s s i b l e c o m b i n a t i o n o f t h r e e o u t o f t h e f i v e p o t e n t i a l l o c a t i o n s , a s s i g n i n g t h e f l o w s f r o m e a c h p a t i e n t a r e a t o t h e c u r r e n t s e t o f h o s p i t a l s i n s o l u t i o n by means o f a l i n e a r p r o g r a m m i n g a l g o r i t h m . By i n s p e c t i n g t h e b e s t s o l u t i o n so o b t a i n e d , i n e f f i c i e n t c r o s s f l o w s w e r e e l i m i n a t e d by a d j u s t -i n g t h e h o s p i t a l s i z e i n p u t s and r e - c y c l i n g t h e a l g o r i t h m u n t i l a s a t i s f a c t o r y f l o w p a t t e r n e m e r g e d ( G o u l d and L e i n b a c h , 1 9 6 6 ) . In f a c t , i f an a l l c o m b i n a t i o n s a p p r o a c h i s a d o p t e d t h e n t h e l i n e a r p r o g r a m m i n g a s p e c t o f t h i s s o l u -t i o n p r o c e d u r e i s q u i t e u n n e c e s s a r y . A l l t h a t i s r e q u i r e d i s t o a s s i g n t h e demand a t e a c h p a t i e n t a r e a t o t h e c l o s e s t one o f t h e t h r e e h o s p i t a l s c u r r e n t l y i n t h e s o l u t i o n . T h i s p r o c e d u r e w i l l g i v e t h e o p t i m a l s o l u t i o n , and p r o v i d e i n a d d i t i o n t h e a p p r o p r i a t e h o s p i t a l s i z e w h i c h w i l l n o t n e c e s s a r i l y be f o u n d by t h e G o u l d \/ L e i n b a c h m e t h o d . H o w e v e r , s i n c e t h e number o f c o m b i n a t i o n s r i s e s v e r y r a p i d l y b o t h as a f u n c t i o n o f t h e number o f l o c a t i o n s r e q u i r e d and o f t h e number o f p o t e n t i a l l o c a t i o n s , t h i s a p p r o a c h w i l l r a p i d l y become i n f e a s i b l e f o r e v e n m o d e r a t e l y s i z e d p r o b l e m s . M o r r i l l and K e l l e y p r e s e n t a d i f f e r e n t m o d e l whose b a s i c o b j e c t i v e i s t o m e a s u r e t h e e f f i c i e n c y o f t h e l o c a t i o n o f c a p a c i t y o v e r an o p e r a t i n g s y s t e m o f h o s p i t a l s i t e s . The a u t h o r s make u s e o f a m o d i f i e d g r a v i t y i n t e r a c t a n c e a l g o r -i t h m i n w h i c h p a t i e n t f l o w s f r o m a r e a s t o h o s p i t a l s a r e c o n c e i v e d t o be n o t o n l y an i n v e r s e f u n c t i o n o f d i s t a n c e , b u t a r e a l s o r e l a t e d d i r e c t l y t o h o s p i t a l s i z e and t o t h e s i z e s and d i s t a n c e s away o f i n t e r v e n i n g o p p o r t u n i t i e s ( M o r r i l l and K e l l e y , 1 9 7 0 ) . T h i s c o n c e p t u a l i z a t i o n has b e h a v i o u r a l m e r i t i n t h e s e n s e t h a t s i z e c a n be c o n s i d e r e d t o be a c r u d e r e f l e c t i o n o f t h e h o s p i t a l r e f e r r a l f u n c t i o n and as s u c h p a t i e n t s w i l l n o t n e c e s s a r i l y be c o n s t r a i n e d t o a d m i t t a n c e a t t h e i r n e a r e s t f a c i l i t y . As w i t h t h e H u f f ( 1 9 6 3 ) and L a c k s h m a n a n and H a n s e n ( 1 9 6 6 ) m o d e l i n i t i a l u s e i s made o f t h e i n t e r a c t i o n f o r m u l a t i o n t o p r e d i c t f l o w s b e t w e e n r e s i -d e n c e s a n d f a c i l i t i e s . The d i v e r g e n c e o f t h e p r e d i c t e d f r o m a c t u a l h o s p i t a l c a p a c i t y i s c o n s i d e r e d by t h e a u t h o r s t o be a m e a s u r e o f t h e i m b a l a n c e o f t h e l o c a t i o n o f c a p a c i t y . The p a r t i c u l a r c o n t r i b u t i o n o f M o r r i l l a n d K e l l e y i s i n t h e a l g o r i t h m by w h i c h h o s p i t a l c a p a c i t y i s r e l o c a t e d so t h a t a g g r e g a t e p a t i e n t t r a v e l i s r e d u c e d b u t i n a m a n n e r w h i c h i s s t i l l c o n s i s t e n t w i t h t h e b a s i c s t r u c t u r e o f t h e i n t e r -a c t a n c e m o d e l . In t h e i r w o r d s A n a l l o c a t i o n c a n b e c o n s i d e r e d o p t i m a l i f t h e m o d e l i s i n t e r p r e t e d . a s m a x i m i z i n g t h e j o i n t s a t i s f a c t i o n o f a h e t e r o g e n e o u s p o p u l a t i o n a t m i n i m u m d i s t a n c e 3 b u t w h e r e s a t i s f a c t i o n r e -q u i r e s t h e u s e by s o m e p e o p l e , p e r h a p s p a r t o f t h e t i m e , o f a v a r i e t y o f o p p o r t u n i t i e s . ( M o r r i l l and K e l l e y , 1 9 7 0 ; p . 2 8 6 ) . The r e - a l l o c a t i n g a l g o r i t h m a d j u s t s t h e s i z e s o f t h e h o s p i -t a l by r e d u c i n g c a p a c i t y a t u n d e r p r e d i c t e d l o c a t i o n s and i n c r e a s i n g i t a t o v e r p r e d i c t e d o n e s . T h i s s t e p w h i c h a m o u n t s t o u s i n g t h e p r e d i c t e d c a p a c i t i e s as i n p u t s , i s r e p e a t e d u n t i l some a c c e p t a b l e l e v e l o f c o n v e r g e n c e i s a t t a i n e d b e t w e e n two s u c c e s s i v e i t e r a t i o n s . I t s h o u l d be n o t e d h o w e v e r , t h a t a f t e r t h e i n i t i a l a l l o c a t i o n t h e c a l c u l a t e d d i v e r g e n c e may be a s much due t o i m b a l a n c e s i n t h e g r a v i t y m o d e l as t o a c t u a l i m b a l a n c e s i n t h e l o c a t i o n o f c a p a c i t y . F u r t h e r m o r e t h e r e d u c t i o n i n a g g r e g a t e p a t i e n t t r a v e l w h i c h m i g h t be a c h i e v e d w i l l n o t n e c e s s a r i l y be one i n w h i c h t h e c a p a c i t y o f l o c a t i o n has b e e n o p t i m a l l y r e d i s t r i b u t e d . S e v e r a l e q u i l i b r i u m s t a t e s may e x i s t and i t i s p o s s i b l e t o d e v i s e n e t w o r k s t r u c t u r e s w h e r e t h i s o c c u r s t o w i t h i n q u i t e l o w t o l e r a n c e l e v e l s ' ( u n d e r 5 p e r c e n t ) , and w h e r e t h e a l g o r i t h m c o n v e r g e s f r o m a g i v e n s t a r t i n g p o i n t t o some l o c a l m i n i m u m . An a l t e r n a -t i v e m e t h o d s u g g e s t e d h e r e i s t o b e g i n t h e c y c l i n g w i t h an i n i t i a l s e t o f h o s p i t a l s i z e s b a s e d n o t on t h e c u r r e n t o p e r a t i n g l e v e l s b u t upon a s e t o f v a l u e s d e r i v e d f r o m a l l o c a t i n g e a c h a r e a o f p a t i e n t demand t o i t s n e a r e s t t r e a t ment c e n t r e . I t i s c o n j e c t u r e d t h a t t h i s p r o c e d u r e w i l l t e n d t o g i v e a b e t t e r r e d i s t r i b u t i o n o f c a p a c i t y s i n c e t h e d i r e c t i o n o f a d j u s t m e n t t o a c h i e v e c o n s i s t e n c y w i t h t h e g r a v i t y s t r u c t u r e i s a l w a y s away f r o m t h e m i n i m u m d i s t a n c e a l l o c a t i o n . T h i s s u g g e s t s t h a t t h e e q u i l i b r i u m o b t a i n e d upon t e r m i n a t i o n o f t h e i t e r a t i o n s w i l l t e n d t o be n e a r e r t h e d e s i r e d g o a l t h a n a n y o t h e r f e a s i b l e s o l u t i o n . E x p e r i -m e n t s w i t h a v e r y l i m i t e d number o f s m a l l h y p o t h e t i c a l e x a m p l e s h a v e b o r n e t h i s o u t i n some i n s t a n c e s , and i n o t h e r c a s e s w h e r e b o t h m e t h o d s c o n v e r g e d t o t h e same a p p r o x i m a t e s o l u t i o n t h e p r o p o s e d a l g o r i t h m r e q u i r e d f e w e r i t e r a -t i o n s t o c o n v e r g e , p a r t i c u l a r l y w h e r e t h e s t a r t i n g p o i n t was b a d l y o u t o f b a l a n c e . I t i s p o s s i b l e t o t e s t t h e v i a b i l i t y o f new f a c i l i -t i e s w i t h t h e M o r r i 1 1 - K e l 1 e y a l g o r i t h m by i n t r o d u c i n g p o t e n t i a l s i t e s i n t o t h e n e t w o r k a n d r e - a l l o c a t i n g f l o w s a c c o r d i n g t o t h e i n t e r a c t a n c e m e c h a n i s m i n much t h e same way as was p r o p o s e d by ( H u f f , 1 9 6 6 ) f o r r e t a i l o u t l e t s . T h i s m o d e l c a n n o t h o w e v e r , t e s t f o r t h e d i r e c t e f f i c i e n c y o f l o c a t i o n i n t h e s e n s e o f s o l v i n g f o r t h e o p t i m a l s y s t e m o f l o c a t i o n s w i t h r e s p e c t t o a l l p o s s i b l e s i t e s . I t i s t h i s p a r t i c u l a r p r o b l e m w i t h w h i c h t h i s s t u d y i s p r i n c i p a l l y c o n c e r n e d . A G e n e r a l A p p r o a c h t o R u r a l H o s p i t a l L o c a t i o n S y s t e m s As s u g g e s t e d p r e v i o u s l y i n t h i s c h a p t e r t h e i n t e r -r e l a t i o n s h i p s among t h e many c o m p o n e n t s o f t h e h e a l t h c a r e s y s t e m t h r o u g h w h i c h t h e p a t i e n t r e c e i v e s m e d i c a l c a r e a r e v e r y c o m p l e x and n o t f u l l y r e s o l v e d as y e t . The p a t h o f some p a t i e n t t o t r e a t m e n t a t a n y h o s p i t a l may be t h e c u l m i -n a t i o n o f a c o m p l i c a t e d c h a i n o f e v e n t s . The r o l e o f a c c e s s i b i l i t y i n t h i s p r o c e s s h a s r e c e i v e d c o n s i d e r a b l e d o c u m e n t a t i o n i h t h e p a s t ( M o r r i l l and E a r i c k s o n , 1 9 7 0 ; M a r r i n s o n , 1 9 6 6 ) . Even i n m e t r o p o l i t a n r e g i o n s , w h e r e t h e p a t t e r n o f c r o s s f l o w s c a n be e x p e c t e d t o be c o m p l e x , d i s -t a n c e m i n i m i z i n g t e n d e n c i e s e x e r t a s i g n i f i c a n t i n f l u e n c e ( L u b i n e t . a l . , 1 9 6 6 ) . T h i s p r i n c i p i e i s h o w e v e r , f r e -q u e n t l y v i o l a t e d by o t h e r o f f s e t t i n g f a c t o r s . F o r t h e p h y s i c i a n w i t h h o s p i t a l p r i v i l e g e s t h e c h o i c e o f p r e f e r r e d o f f i c e l o c a t i o n w i l l t e n d t o be i n f l u e n c e d by a c c e s s i b i l i t y t o t h e h o s p i t a l i n w h i c h he p r a c t i c e s , and w h e r e t h i s c o i n -c i d e s w i t h a b u s i n e s s d i s t r i c t a c o n s i d e r a b l e p r o p o r t i o n o f t h e c l i e n t e l e may be e x p e c t e d t o be i n a t t e n d a n c e d u r i n g t h e i r w o r k i n g h o u r s . S i n c e t h e c h o i c e o f h o s p i t a l f o r t r e a t m e n t i s n o r m a l l y d i c t a t e d by t h e p h y s i c i a n ' s p r e f e r e n c e t h i s c a n n o t a l w a y s be e x p e c t e d t o c o i n c i d e w i t h t h e p a t i e n t ' s g e n e r a l a r e a o f r e s i d e n c e . C a s e m i x d i f f e r e n c e s a r e a l s o o f i m p o r t a n c e p a r t i c u l a r l y w i t h r e s p e c t t o t h e l e s s f r e -q u e n t l y u t i l i z e d s p e c t r u m o f s e r v i c e s . R e f e r r a l s t o s p e c -i a l i s t s and t o h o s p i t a l s f o r s p e c i a l i s e d t r e a t m e n t s w i l l c l e a r l y t e n d t o o f f s e t t h e d i s t a n c e m i n i m i z i n g p r i n c i p l e . O t h e r h o s p i t a l s w h i c h h a v e p a r t i c u l a r r e l i g i o u s o r e t h n i c a f f i l i a t i o n s may d r a w p a t i e n t s f r o m a n y p a r t o f t h e c i t y . F i n a l l y t h e r e a r e a w h o l e r a n g e o f l e s s w e l l d e f i n e d v a r i -a b l e s r e l a t e d t o t h e q u a l i t y o f a v a i l a b l e s e r v i c e s and t h e p r e s t i g e o f i n s t i t u t i o n s and p r a c t i t i o n e r s , w h i c h c a n and do c o m p l i c a t e t h e w h o l e p a t t e r n o f p a t i e n t f l o w s . S u c h i n t e r v e n i n g o p p o r t u n i t i e s a r e , a s i s t o be e x p e c t e d , much l e s s i n e v i d e n c e i n t h e r u r a l c o n t e x t , w h e r e d i s t a n c e s b e t w e e n c o m m u n i t i e s r e s o l v e t h e p r o b l e m i n t o a s t u d y o f i n t e r r a t h e r t h a n i n t r a u r b a n l o c a t i o n s . A p a r t f r o m s p e c i a l i s t r e f e r r a l s ( l e s s t h a n 10 p e r c e n t o f a l l p a t i e n t s ) t h e a c c e s s i b i l i t y v a r i a b l e a p p e a r s , w i t h some e x c e p t i o n s , t o be much t h e m o s t d o m i n a n t f o r c e . S i n c e t h i s i s g e n e r a l l y so t h e p r o b l e m o f o p t i m i z i n g h o s p i t a l l o c a t i o n s i n r u r a l a r e a s c a n be c o n c e p t u a l l y r e d u c e d t o one o f f i n d i n g t h e m e d i a n s o f a w e i g h t e d g r a p h s u b j e c t t o c e r t a i n s i d e c o n s t r a i n t s . S u c h a m o d e l i s d e v i s e d i n t h e f o l l o w i n g c h a p t e r and t e s t e d i n t h e f o u r t h . The t e s t i n g p r o c e d u r e f o r a s s e s s i n g t h e l o c a t i o n a l e f f i c i e n c y o f a s e t o f s i t e s o v e r a g i v e n n e t w o r k i s t o m e a s u r e t h e d i f f e r e n c e s i n t o t a l d i s t a n c e t r a v e l l e d b e t w e e n two s o l u t i o n s , one c o n s t r a i n e d t o t h e e x i s t i n g s y s t e m o f l o c a t i o n s a n d t h e o t h e r u n c o n -s t r a i n e d . I f a more r e a l i s t i c t r i p d i s t r i b u t i o n p a t t e r n i s d e s i r e d , one i n w h i c h p a t i e n t a r e a s a r e n o t a l l o c a t e d i n b l o c k t o a s i n g l e c e n t r e , t h e n t h e s e s o l u t i o n s s h o u l d be m o d i f i e d by an i n t e r a c t a n c e m o d e l . T h e s e v a r i o u s a p p l i c a t i o n s a r e u n d e r t a k e n i n C h a p t e r I V , t o g e t h e r w i t h a p r a c t i c a l c o m p a r -i s o n o f t h e two m e t h o d s p r e v i o u s l y d i s c u s s e d f o r r e d i s t r i b u t -i n g c a p a c i t y o v e r an o p e r a t i n g l o c a t i o n s y s t e m . CHAPTER I I I AN ALGORITHM FOR EST IMATING THE MEDIANS OF A WEIGHTED GRAPH SUBJECT TO S IDE CONSTRAINTS P r o b l e m S t a t e m e n t I f h o s p i t a l l o c a t i o n c a n be r e g a r d e d as a s p e c i a l c a s e o f t h e g e n e r a l i z e d p l a n t l o c a t i o n p r o b l e m t h e n t h e s o l u t i o n r e q u i r e s t h e d e t e r m i n a t i o n o f t h e n u m b e r , s i z e s and l o c a t i o n s o f p l a n t s w h i c h w i l l s e r v i c e a t a m i n i m u m o v e r a l l c o s t , a g i v e n s e t o f demands a t d i s c r e t e p o i n t s o v e r s p a c e . The u n i t t r a n s p o r t c o s t s o r d i s t a n c e s b e t w e e n e a c h demand p o i n t and p o t e n t i a l l o c a t i o n s i t e m u s t be known i n a d v a n c e , and i f t h e number o f s p e c i f i e d p l a n t s i s n o t known a t t h e o u t s e t i t w i l l be a s s u m e d t h a t a p r o d u c t i o n c o s t f u n c t i o n i s a s s o c i a t e d w i t h e a c h p o t e n t i a l p l a n t l o c a -t i o n . B e c a u s e o f t h e e c o n o m i e s o f s c a l e i n h e r e n t i n p l a n t p r o d u c t i o n c o s t s t h i s p r o b l e m , b o t h t h e o r e t i c a l l y and c o m -p u t a t i o n a l l y , i s one o f c o n s i d e r a b l e c o m p l e x i t y . A t t h e p r e s e n t t i m e no u n d i s p u t e d e x a c t a n a l y t i c a l s o l u t i o n h a s b e e n d e v e l o p e d f o r t h e c a s e w h e r e t h e p l a n t c o s t f u n c t i o n s a r e c o n t i n u o u s a n d c o n c a v e o v e r t h e w h o l e o f t h e i r f e a s i b l e r a n g e . I t i s known h o w e v e r , t h a t u n d e r s c a l e e c o n o m i e s u n i t p r o d u c t i o n c o s t s w i l l r i s e as t h e number o f p l a n t s i n c r e a s e s , w h e r e a s c o n v e r s e l y , t h e t r a n s p o r t a t i o n c o s t s w i l l f a l l ( F i g u r e 1 ) . In t h e t w i n c o s t p l a n t l o c a t i o n p r o b l e m t h e g o a l t h e r e f o r e , i s t o a c h i e v e an e q u i l i b r i u m among t h e s e two o p p o s i n g s e t s o f f u n c t i o n s s u c h t h a t t h e t o t a l c o s t l e v e l i s m i n i m i z e d . The r e a l n a t u r e o f many p l a n t l o c a t i o n p r o b l e m s i s s u c h t h a t i t i s f r e q u e n t l y d e s i r a b l e t o i m p o s e , w h e r e p o s -s i b l e , a f u r t h e r s e t o f c o n d i t i o n s and c o n s t r a i n t s upon t h e s y s t e m . S u c h c o n s t r a i n t s c a n t a k e a w i d e v a r i e t y o f f o r m s and may i n c l u d e r e s t r i c t i o n s p l a c e d upon t h e s i z e o f p l a n t o p e r a t i o n , upon t h e maximum f l o w a l l o w a b l e o v e r a n y one l i n k , o r upon some p r e d e t e r m i n e d maximum d i s t a n c e any demand p o i n t may be f r o m some s u p p l y i n g s o u r c e . The number o f p o t e n t i a l l o c a t i o n s may be l e s s t h a n t h e number o f n e t w o r k n o d e s , o r a g a i n t h e r e may be a p r i o r i r e a s o n s f o r f o r c i n g c e r t a i n l o c a t i o n s i n t o t h e s o l u t i o n a s , f o r e x a m p l e , when e x t e n s i o n s t o an e x i s t i n g d i s t r i b u t i o n s y s t e m a r e r e q u i r e d . M u l t i p l e p r o d u c t a l l o c a t i o n p r o b l e m s , s t o c h a s t i c demand f u n c t i o n s and w a r e h o u s e l o c a t i o n s , i n t e r m e d i a t e b e t w e e n p l a n t s o u r c e s and c u s t o m e r s , r e p r e s e n t f u r t h e r p o t e n t i a l v a r i a -t i o n s upon t h e g e n e r a l f o r m u l a t i o n . In t h i s c h a p t e r a n u m e r i c a l m e t h o d i s d e v e l o p e d f o r o b t a i n i n g o p t i m a l o r n e a r o p t i m a l s o l u t i o n s t o t h e p l a n t 1 o c a t i o n . p r o b l e m , s u b j e c t w h e r e a p p l i c a b l e , t o a s p e c i f i c s u b s e t o f a l l f e a s i b l e c o n s t r a i n t s . Some a d v a n t a g e i s t a k e n i n t h i s m o d e l o f an i n g e n i o u s p a r t i t i o n i n g h e u r i s t i c g i v e n \\jransportation \\ Cost \"'Plant Cost c o Unit Cost Funct ! I I 1 Minimum Cost Solution 1 1 1 1 1 Number of Plants F i g u r e 1 R e l a t i o n s h i p B e t w e e n P l a n t and T r a n s p o r t a t i o n C o s t F u n c t i o n \u2022 Variable ^ - s \u00bb \" C o s t ^ r ^ it Cost \u2014 y? >Vi__ 1 \u2014Piecewise Linear Cost Approximation o OL \u2014 \/ > \/ \u2022 Ss S' \/ \/ \/' > Fixed Cost j 1 1 1 1 1 1 1 Plant Size F i g u r e 2 P i e c e W i s e L i n e a r A p p r o x i m a t i o n o f a C o n c a v e P l a n t C o s t F u n c t i o n by ( S i n g e r , 1 9 6 8 ) w h o s e c o n t r i b u t i o n w i l l s u b s e q u e n t l y be r e v i e w e d . The p a r t i c u l a r p r o b l e m s p e c i f i c a t i o n t o be c o n -s i d e r e d h e r e c a n be e x p r e s s e d as f o l l o w s : G i v e n ; (1) The l o c a t i o n o f each d e s t i n a t i o n . (2) The demand a t each d e s t i n a t i o n f o r a s i n g l e p r o d u c t commodity c o n s i d e r e d as a f i x e d n o n - s t o c h a s t i c v a r i a b l e . (3) A v e c t o r o f p o t e n t i a l p l a n t s i t e l o c a t i o n s . (4) A subset of l o c a t i o n s t o be f o r c e d i n t o the s o l u t i o n \u2014 i f n e c e s s a r y . (5) An upper bound on the s i z e o f each p o t e n t i a l p l a n t s i t e \u2014 i f o p t i o n e d . (6) A c o n s t r a i n t on the maximum d i s t a n c e any d e s t i n a t i o n may be from some s u p p l y s o u r c e \u2014 i f o p t i o n e d . (7) A s e t o f u n i t t r a n s p o r t c o s t s ( c u r r e n c y , time or d i s t a n c e ) between each d e s t i n a t i o n and each p o t e n t i a l s u p p l y p o i n t w h i c h , s i n c e they a re averaged u n i t v a l u e s , may r e p r e s e n t n o n - l i n e a r i t i e s . ( 8 ) A v e c t o r o f p r o d u c t i o n f u n c t i o n s \u2014 i f o p t i o n e d \u2014 o f any t y p e , which may o r may not be i d e n t i c a l f o r each p r o s p e c t i v e s i t e . Then d e t e r m i n e ; (1) The number o f s u p p l y s o u r c e s r e q u i r e d (unknown o n l y i f p l a n t c o s t s a re o p t i o n e d ) . ( 2 ) The l o c a t i o n o f each s u p p l y s o u r c e . (3) The s i z e o f each s u p p l y s o u r c e . (4) The a l l o c a t i o n o f d e s t i n a t i o n s t o each s u p p l y p o i n t . (5) The amount s u p p l i e d from each p l a n t s o u r c e so chosen t o each d e s t i n a t i o n so a l l o c a t e d (may be f r a c t i o n a l o n l y i f p l a n t s i z e upper bounds are imposed). M a t h e m a t i c a l l y t h i s i s a- m i x e d i n t e g e r p r o g r a m -m i n g p r o b l e m o f t h e f o r m : ( 1 ) Min = s s u b j e c t t o m n m = T y X.. D.. X. + I f . (T.) X. 1=1 j i i 1 J 1 J 1 i = i 1 1 1 ( 2 ) X ^ 0 ( 1=1 , \u2022\u2022\u2022,,m ; j = l , . \" , n ) _L J m ( 3 ) I X = B (j=l,.,..,n) 1=1 1 J J (4.) I X = T (1 = 1,.-.,m) j = l 3 1 m n m n ( 5 ) I T = I B = I I X (1=1,,..,m ; 1 = 1 j = l J 1 = 1 j = l 1 J j = l , \u2022 \u2022 \u2022 , n ) ( 6 ) T. ^ C. (1=1, . . . ,m) ( 7 ) D i j \" v j (1=1,\u2022\u2022\u2022 sm ; j = l , . . . , n ) (8.) X\u00b1 = 1 (1=1,-..,k) (9) x\u00b1 = (l=k+l,...,m) Where n = The number o f d e s t i n a t i o n s k = The number o f f o r c e d p l a n t s i n s o l u t i o n ( i f any) m = The t o t a l number o f p o t e n t i a l p l a n t s i t e s ( i n c l u d i n g f o r c e d nodes) X. . .= The commodity f l o w from p l a n t i t o des-^ t i n a t i o n j .T. = The volume o f p l a n t i D. . = The c o s t o f t r a n s p o r t i n g one u n i t o f X.. 1^ from p l a n t i t o d e s t i n a t i o n j . x^ C. = The p l a n t s i z e upper bound c o n s t r a i n t on 1 p l a n t i B . = The demand a t d e s t i n a t i o n j 3 V. = Maximum d i s t a n c e ( t r a n s p o r t c o s t ) c o n s t r a i n t ^ on d e s t i n a t i o n j f . =\u2022 P l a n t c o s t f u n c t i o n a t p l a n t i A. = A zero one v a r i a b l e ; a one i n d i c a t i n g a 1 p l a n t s i t e i s i n the s o l u t i o n , a ze r o i n d i c a t i n g i t i s n o t . F o r m u l a t i o n o f t h e P r o b l e m i n T e r m s o f a W e i g h t e d G r a p h F o r t h e p u r p o s e o f s u b s e q u e n t e x p o s i t i o n t h i s m a t h e -m a t i c a l s p e c i f i c a t i o n o f t h e p r o b l e m may be r e p h r a s e d i n t e r m s o f a w e i g h t e d g r a p h . C o n s i d e r a c o n n e c t e d g r a p h G w i t h n v e r t i c e s l a b e l l e d v . , i = l , - - - , n and k b r a n c h e s o r l i n k s . E a c h l i n k has a l e n g t h >0 a s s o c i a t e d w i t h i t s u c h t h a t t h i s l e n g t h i s t h e d i s t a n c e f r o m some v . t o some v . . \u2022 i J In a d d i t i o n e a c h node h a s a t t a c h e d t o i t a w e i g h t b^ w h e r e b . >0 and i s t h e demand a t v . . I f b . >1 f o r a t l e a s t o n e node on t h e n e t w o r k a w e i g h t e d g r a p h e x i s t s ; o t h e r w i s e t h e g r a p h i s s a i d t o be n o n - w e i g h t e d . The b a s i c p r o b l e m , w i t h -o u t c o n s t r a i n t s , i s t o f i n d a s e t o f p n o d e s on t h e g r a p h s u c h t h a t t h e w e i g h t e d d i s t a n c e s f r o m t h i s s e t t o a l l o t h e r n o d e s on t h e g r a p h i s a m i n i m u m o v e r a n y s u c h s e t o f p . D e s i g n a t e a n y s e t o f p n o d e s on G ( x 1 , x 2 , , , , , x ) as Xp and l e t D = | d ( v ^ v. . ) | an n by m d i s t a n c e m a t r i x i n w h i c h e a c h e l e m e n t d ( v . v . ) i s t h e v a l u e o f t h e s h o r t e s t p a t h f r o m v e r t e x i , i = 1 , \u2022 - \u2022 , n t o v e r t e x j , j = l , w h e r e m i s t h e number o f p o t e n t i a l p l a n t s i t e s m s n . F rom |D| g e n e r a t e a new m a t r i x |W| s u c h t h a t w(v.. v . ) = d (v . . v j ) D . j o v e r a l l i and j . T h i s w e i g h t e d d i s t a n c e m a t r i x |W| i s t h e n , e q u i v a l e n t t o t h e m u l t i p l i c a t i o n o f e a c h row i i n |D| by t h e c o r r e s p o n d i n g w e i g h t b . o f t h e v e r t e x v . . F o r e a c h n o d e ' v . l e t ( 1 0 ) w(v. X ) = min l p w(v. X , ) ,. W ( V . X \u201e ) , ' ' ' , W ( V . x ) l 1 3 l 2 ' ' I p t h a t i s , f i n d f o r e a c h node i t s m i n i m u m w e i g h t e d d i s t a n c e t o some member o f t h e s e t X . \u2022 The r e q u i r e d s e t o f p n o d e s Xp on G i s t h e p m e d i a n o f t h e n e t w o r k i f , f o r e v e r y o t h e r p o s s i b l e s e t o f X on G . P n n ( 1 1 ) I w(v . X ) > T w ( v . X*) i = l i P \u00b1 ^ 1 w i P y As S c o t t h a s r e c e n t l y p r o v i d e d an e x c e l l e n t c r i t i q u e o f p l a n t l o c a t i o n a l g o r i t h m s o n l y a s h o r t s u r v e y o f t h e c u r r e n t m e t h o d s w i l l be r e v i e w e d h e r e ( S c o t t , 1 9 7 0 ) . T h e r e a r e , b r i e f l y , two p o s s i b l e a p p r o a c h e s t o t h e p r o b l e m ; e x a c t s o l u t i o n t e c h n i q u e s a n d h e u r i s t i c n u m e r i c a l m e t h o d s . ( a ) E x a c t S o l u t i o n M e t h o d s I f p l a n t c o s t s a r e i g n o r e d t h e n t h e b a s i c l o c a t i o n p r o b l e m f o r a n y f i x e d v a l u e o f p c a n be n e a t l y s t r u c t u r e d and s o l v e d i n a l i n e a r p r o g r a m m i n g f o r m a t ( R e v e l l e and S w a i n , 1 9 7 0 ) . The i n c l u s i o n o f p r o d u c t i o n c o s t s a d d s c o n -s i d e r a b l y t o t h e c o m p l e x i t y o f t h e p r o b l e m , and as p r e v i o u s l y n o t e d , t h e v a l u e o f p i s n o t known a t t h e o u t s e t . An e x a c t s o l u t i o n m e t h o d f o r c a s e s w h e r e t h e p l a n t c o s t s a r e c o n t i n u -o u s l y c o n c a v e o v e r t h e i r w h o l e r a n g e i s g i v e n by R u t e n b e r g ( R u t e n b e r g , 1 9 6 8 ) , b u t i t r e m a i n s , t o be c o n c l u s i v e l y shown t h a t t h i s a l g o r i t h m w i l l a l w a y s c o n v e r g e t o t h e o p t i m a l s o l u t i o n . E f r o y m s o n and Ray ( 1 9 6 6 ) t a k e a d i f f e r e n t , and c o m p u t a t i o n a l l y f a s t e r a p p r o a c h by a p p r o x i m a t i n g t h e c o n c a v e c o s t f u n c t i o n w i t h p i e c e w i s e l i n e a r s e g m e n t s ( F i g u r e 2 ) , and s o l v i n g a g a i n i n an e x t e n d e d p r o g r a m m i n g f o r m . As a . g e n e r a l r u l e t h e i n i t i a l l i n e a r p r o g r a m m i n g s o l u t i o n w i l l n o t meet t h e i n t e g e r r e s t r i c t i o n w h i c h r e q u i r e s e a c h p o -t e n t i a l p l a n t s i t e t o h a v e a v a l u e o f z e r o o r one d e p e n d i n g upon w h e t h e r i t i s , o r i s n o t , a c t i v e i n t h e f i n a l s o l u t i o n . I f e a c h v a r i a b l e n o t s a t i s f y i n g t h i s c o n d i t o n i s now g i v e n one o f t h e s e v a l u e s , and i f e v e r y a l t e r n a t i v e i s c o n s i d e r e d , a c o m b i n a t o r i a l t r e e c a n be c o n s t r u c t e d w h i c h r e p r e s e n t s t h e e n t i r e s p a c e o f a l l f e a s i b l e s o l u t i o n s ! The g e n e r a t i o n o f s u c h a t r e e e s t a b l i s h e s a s e t o f t e r m i n a l s t a t e s , e a c h one o f w h i c h i s an i n t e g e r s o l u t i o n . In p r a c t i c e i t i s n o t p o s s i b l e t o s e a r c h a l l o f t h e s e , a n d t h e a p p r o a c h t a k e n by E f r o y m s o n and Ray i s t o d e v i s e a b r a n c h - b o u n d a l g o r i t h m w h i c h w i l l i g n o r e e v a l u a t i o n o f a l l s u c h a l t e r n a t i v e s as l i e a l o n g t h o s e b r a n c h e s o f t h e t r e e w h o s e d e s c e n d e n t s o l u t i o n s a r e k n o w n , a p r i o r i , t o be i n f e a s i b l e by v i r t u e o f some p r e -v i o u s l y e s t a b l i s h e d l o w e r b o u n d i n t e g e r s o l u t i o n . The g e n e r a l n a t u r e o f b r a n c h - b o u n d a l g o r i t h m s c a n be r e a d l y i l l u s t r a t e d w i t h r e f e r e n c e t o F i g u r e 3 , a l t h o u g h t h i s i s n o t p r e c i s e l y t h e m e t h o d u s e d by E f r o y m s o n and R a y . C o n s i d e r a p r o b l e m w i t h n d e s t i n a t i o n s and m p o s s i b l e p l a n t s i t e s w h e r e m s n . L e t m h a v e t h e v a l u e o f 3 and d e s i g n a t e t h e 3 p o s s i b l e s i t e s as X-j X 2 and X 3 . Any s u b s e t o f t h i s s e t may c o n t a i n t h e o p t i m a l s o l u t i o n . S o l v e t h e p r o b l e m f i r s t as an i n t e g e r u n c o n s t r a i n e d l i n e a r p r o g r a m w i t h a m i n i m u m c o s t o f , s a y , e q u a l t o 7 0 . A l l s u b s e q u e n t i n t e g e r r e s t r i c t e d s o l u t i o n s m u s t be a t l e a s t as g r e a t as t h i s . S e t X-j e q u a l t o 1 and s o l v e a g a i n t o o b t a i n a s o l u t i o n o f 7 5 . A t t h i s s t a g e a s s u m e t h a t n e i t h e r X 2 n o r Xg h a s i n t e g e r c o e f f i c i e n t s . B r a n c h n e x t on X 2 = 1 and o b t a i n a b o u n d o f 7 8 . S e t Xg = 1 and s o l v e a g a i n w i t h S = 8 5 . T h i s i s one t e r m i n a l s t a t e on t h e t r e e , an i n t e g e r f e a s i b l e s o l u t i o n . Unconstrained Solution S = 70 X, =0 S = 83 S = 85 F i g u r e 3 P r i n c i p l e s o f t h e A p p l i c a t i o n o f a B r a n c h - B o u n d A l g o r i t h m t o P l a n t L o c a t i o n Now b a c k t r a c k down t h e t r e e and s e t Xg = 0 , k e e p i n g = 1 and X 2 = 1 . A new l o w e r b o u n d w i t h t h e o b j e c t i v e f u n c t i o n S = 83 i s e s t a b l i s h e d . N e x t r e l a x t h e e x p l i c i t i n t e g e r c o n s t r a i n t on X g , c o n t i n u e down t h e t r e e and s e t X 2 = 0 . In s o l v i n g t h i s l i n e a r p r o g r a m w i t h X-j = 1 , X 2 = 0 and Xg u n c o n s t r a i n e d t h e o b t a i n e d s o l u t i o n i s 8 4 . I t i s n o t n e c e s -s a r y t h e r e f o r e t o c o n t i n u e t h e s e a r c h a l o n g t h i s b r a n c h o f i t h e t r e e s i n c e r e s t r a i n i n g Xg t o e i t h e r 1 o r 0' m u s t r e s u l t i n a s o l u t i o n > t o 8 4 , t h e b o u n d o b t a i n e d when Xg was u n -c o n s t r a i n e d . When t h e c o n s t r a i n t s a r e r e l a x e d on b o t h X 2 and X g , a n d X-j i s s e t = 0 , t h e u n c o n s t r a i n e d s o l u t i o n ( i n t e r m s o f X 2 and Xg) a g a i n e x c e e d s t h e l o w e r b o u n d on t h e b e s t p r e v i o u s l y e s t a b l i s h e d i n t e g e r s o l u t i o n f o r w h i c h S = 8 3 , and a n y f u r t h e r e v a l u a t i o n i n t h i s d i r e c t i o n i s t h e r e f o r e q u i t e u n n e c e s s a r y ( s e e a l s o S c o t t , 1 9 6 9 ; W h i t e , 1 9 6 9 ) . 1 The d i s a d v a n t a g e s o f t h e e x a c t s o l u t i o n a p p r o a c h a r e g e n e r a l l y a c k n o w l e d g e d t o be t w o - f o l d . A l t h o u g h t h e l i n e a r a p p r o x i m a t i o n o f t h e c o n c a v e c o s t c u r v e may be a c h i e v e d t o a n y d e s i r e d d e g r e e o f a c c u r a c y , c o m p u t e r s t o r a g e r e q u i r e -m e n t s t e n d t o become e x c e s s i v e as t h e number o f s e g m e n t s i n c r e a s e s . I t i s more d i f f i c u l t t o g e n e r a l i z e upon t h e c o m -p u t a t i o n a l e f f i c i e n c y o f b r a n c h b o u n d a l g o r i t h m s s i n c e i f a g o o d i n t e g e r s o l u t i o n i s q u i c k l y f o u n d t h e a m o u n t o f s e a r c h i n g a l o n g t h e b r a n c h e s o f t h e t r e e c a n be g r e a t l y c u r t a i l e d , and t h e a l g o r i t h m may r a p i d l y c o n v e r g e t o t h e g l o b a l m i n i m u m . As a r u l e h o w e v e r , t h e s e m o d e l s t e n d t o become c o m p u t a t i o n a l l y o v e r - e x t e n d e d f o r t h e l a r g e r s i z e d p r o b l e m s , and t h i s t e n d e n c y i s c o n s i d e r a b l y e n h a n c e d w i t h e a c h a d d i t i o n a l c o n s t r a i n t t h a t i s p l a c e d upon t h e s y s t e m . ( b ) . H e u r i s t i c S o l u t i o n s H e u r i s t i c a l g o r i t h m s g e n e r a t e , by c o n t r a s t , s o l u t i o n s c h a r a c t e r i z e d by a much g r e a t e r d e g r e e o f c o m p u t a t i o n a l e f f i c i e n c y a t t h e e x p e n s e o f known a c c u r a c y i n t h e f i n a l p r o d u c t . The two a p p r o a c h e s c a n be u s e d t o c o m p l e m e n t e a c h o t h e r i f t h e b r a n c h - b o u n d a l g o r i t h m c a n be s t r u c t u r e d i n s u c h a way a s t o t a k e a d v a n t a g e o f t h e h e u r i s t i c s o l u t i o n as an i n i t i a l s t a r t i n g b o u n d . In t h i s m a n n e r t h e number o f a l t e r n a t i v e s e v a l u a t e d by t h e e x a c t s o l u t i o n m e t h o d may be g r e a t l y r e d u c e d i f t h e h e u r i s t i c s o l u t i o n i s n e a r o p t i m a l . I t i s e v e n p o s s i b l e , s i n c e t h e c o n c a v e c o s t f u n c -t i o n s n e e d n o t be a p p r o x i m a t e d i n h e u r i s t i c m o d e l s , t h a t t h i s a p p r o a c h may a c t u a l l y f i n d a l o w e r c o s t s o l u t i o n . Kuhn and H a m b u r g e r ( 1 9 6 3 ) s u g g e s t an a l g o r i t h m i n w h i c h i t i s a s s u m e d t h a t t h e b e s t p s o u r c e s w i l l be c o n -t a i n e d among t h e b e s t p+1 l o c a t i o n s . T h i s m e t h o d l o c a t e s t h e p p l a n t a t t h a t s i t e w h i c h o f f e r s t h e l a r g e s t c o s t s a v i n g s o v e r t h e s e t o f s o u r c e s c o n t a i n e d i n t h e p - 1 s o l u -t i o n . The v a l u e o f p i s i n c r e m e n t e d s e q u e n t i a l l y u n t i l s u c h t i m e as t h e p+1 s o l u t i o n e x c e e d s i n c o s t t h e p s o l u t i o n , a t w h i c h p o i n t t h e a l g o r i t h m t e r m i n a t e s . A t e a c h s t a g e i n t h e c y c l i n g p r o c e d u r e some m o d i f i c a t i o n o f t h e c u r r e n t l o c a t i o n s y s t e m i s a l l o w e d f o r by a b u m p - s h i f t r o u t i n e w h i c h e l i m i n a t e s a l l s u c h p l a n t s i n s o l u t i o n as h a v e become u n e c o n o m i c a l as a r e s u l t o f t h e g e n e r a t i o n o f s u b s e q u e n t p l a n t s . F e l d m a n e t . a l . ( 1 9 6 6 ) c o n s i d e r t h e p r o b l e m f r o m t h e r e v e r s e o r d e r and b e g i n w i t h a l l i n p o t e n t i a l p l a n t s i t e s i n s o l u t i o n . A t e a c h s t e p one p l a n t i s e l i m i n a t e d u n t i l no f u r t h e r c o s t r e d u c t i o n i s a t t a i n e d . T h i s i s t h e p o i n t a t w h i c h s c a l e e c o n o m i e s a c h i e v e d by i n c r e a s i n g p l a n t s i z e as t h e number o f s o u r c e s d i m i n i s h e s i s o f f s e t by g r e a t e r t r a n s p o r t a t i o n c o s t s w h i c h a c c r u e f r o m t h e s m a l l e r number o f p l a n t s now i n s o l u t i o n . An i n i t i a l e s t i m a t e o f p l a n t s i z e , n e c e s s a r y f o r t h e b e g i n n i n g s o l u t i o n , i s d e r i v e d f r o m e a c h p l a n t ' s l o c a l c u s t o m e r s e t d e f i n e d as b e i n g t h o s e d e s t i n a t i o n s t o w h i c h e a c h p l a n t i s c l o s e s t t o i n t e r m s o f t r a n s p o r t a t i o n c o s t s a l o n e . The b a s i c d i s a d v a n t a g e o f t h e s e m e t h o d s i s t h a t on a n y c y c l e i n w h i c h t h e v a l u e o f p c h a n g e s t h e s e t o f c u r r e n t s o u r c e s may t e n d t o be t o o d e p e n d e n t upon t h e v e c t o r o f p l a n t s d e f i n e d i n t h e a n t e c e d e n t s t e p . Two o t h e r f u n d a -m e n t a l a p p r o a c h e s t o t h e p r o b l e m h a v e b e e n a d v o c a t e d i n w h i c h f o r a n y v a l u e p t h e n e t w o r k may be i n d e p e n d e n t l y b r o k e n i n t o p d e s c e n d e n t s u b g r a p h s . T h e r e a r e t h e v e r t e x s u b s t i t u t i o n m e t h o d and t h e p a r t i t i o n a p p r o a c h . In t h e f i r s t o f t h e s e a s e t o f p p o i n t s i s c h o s e n ( o f t e n a r b i t r a r i l y ) a s t h e i n i t i a l s o u r c e c o n f i g u r a t i o n . E a c h node i s now a s s i g n e d t o t h a t member o f t h e s e t t o w h i c h i t i s c l o s e s t and a l o w e r c o s t b o u n d S , t h e o b j e c t i v e f u n c t i o n i s c a l c u l a t e d f o r t h i s s e t o f p , X p . Some v e r t e x My n o t a member o f Xp i s now s e l e c t e d and i n t u r n e a c h v . e X i s r e p l a c e d by v . . I f a l o w e r b o u n d o f S i s f o u n d d u r i n g a n y one o f t h e s e p s u b s t i t u t i o n s t h e n t h i s s e t r e -p l a c e s X p . I f n o t , t h e n some o t h e r v^. i s c h o s e n and t h e p r o c e s s i s r e p e a t e d . The a l g o r i t h m t e r m i n a t e s when a c o m -p l e t e c y c l e h a s b e e n made d u r i n g w h i c h no r e d u c t i o n i n S i s f o u n d . V a r i a t i o n s on t h i s m e t h o d has b e e n p r o p o s e d by T e i t z and B a r t ( 1 9 6 8 ) , and by S c o t t ( 1 9 6 9 ) . N o t e t h a t t h i s m e t h o d i n v o l v e s a f a i r l y e x t e n s i v e s e a r c h p a t t e r n , w h i c h , w h i l e f a l l i n g f a r s h o r t o f a d i r e c t e n u m e r a t i o n o f a l l p c o m b i n a t i o n s on t h e g r a p h , i s l i k e l y t o become c o m p u t a -t i o n a l l y p r o h i b i t i v e f o r t h e l a r g e r s c a l e p r o b l e m w i t h s e v e r a l h u n d r e d n o d e s . F o r n e t w o r k s o f t h i s m a g n i t u d e t h e p a r t i t i o n i n g a p p r o a c h a p p e a r s t o o f f e r t h e b e s t a l t e r n a t i v e f o r e s t i m a t -i n g t h e r e q u i r e d p m e d i a n . S u c h m e t h o d s c a n be g e n e r a l i z e d i n t e r m s o f t h r e e b a s i c s t e p s . i ) A p p l y some c r i t e r i o n t o p a r t i t i o n t h e g r a p h i n t o some i n i t i a l s e t o f X p n o d e s . C a l l t h i s s e t t h e b e g i n n i n g s e t X - . i i ) N e x t e v e r y o t h e r node o r d e s t i n a t i o n i s a s -s i g n e d t o some member o f X - by ( 1 0 ) . E a c h s u b g r a p h , i = p - n o w h a s an a s s o c i a t e d s u b s e t o f n o d e s v r e G . . and f o r e a c h s u c h s u b g r a p h t h e r e e x i s t s some node v ^ . ( n o t n e c e s s a r i l y u n i q u e ) f o r w h i c h (12) e Q_ w(v r v k \u00b1 ) = min = S. w h e r e v k i i s d e s i g n a t e d as t h e m e d i a n o f s u b g r a p h G^ and i s t h e v a l u e o f v ^ . , o r t h e a g g r e g a t e w e i g h t e d d i s t a n c e f r o m v ^ . t o a l l o t h e r n o d e s i n G^ w h e r e t h i s v a l u e i s a t a m i n i m u m f o r one s u c h node ( v ^ - ) i n G.j . The v a l u e $13) S = I S. 1=1 o v e r a l l p o s s i b l e p a r t i t i o n i n g s o f G i n t o p s u b g r a p h s i s t h e v a l u e w h o s e o v e r a l l m i n i m u m i s s o u g h t ^ To t e s t , a t a n y s t a g e , w h e t h e r a t l e a s t a l o c a l m i n i m u m o b t a i n s t h e f o l l o w -i n g c o n d i t i o n , (14) w(v r v k . ) > w(v r v k ) j = l , - - - , p - l ; j T i i s e x a m i n e d f o r e a c h G^ and f o r e a c h node v r e G ^ . I f t h i s c o n d i t i o n h o l d s t h e n v r may be s w i t c h e d f r o m G. t o G . , n o t a b l y t o t h a t G . f o r w h i c h w(v v . . ) i s a m i n i -l j j r K J mum i f . i s n o t u n i q u e . The v a l u e o f S so o b t a i n e d w i l l be l e s s t h a n t h e p r e v i o u s v a l u e o f S i f ( 1 4 ) i s a s t r i c t i n e q u a l i t y , and w i l l be l e s s t h a n o r e q u a l t o i t i f ( 1 4 ) i s s a t i s f i e d as an e q u a l i t y . S t e p ( i i ) i s r e i t e r a t e d u n t i l s u c h t i m e a s (15) w(v. v, . ) 1 w(v V, . ) r k i r kj i s met f o r a l l o v e r a l l . A l t e r n a t i v e s o l u t i o n s may be o b t a i n e d i n i n s t a n c e s w h e r e c o n d i t i o n ( 1 4 ) e x i s t s as an e q u a l i t y , and w i l l o c c u r when t h e m e d i a n o f some s u b g r a p h ( s ) i s n o t u n i q u e and c o n d i t i o n ( 1 5 ) i s met f o r a l l t h e c o m b i -n a t i o n s o f t h e p m e d i a n s o f t h e s u b g r a p h s . i i i ) The p r o c e d u r e s o f s t e p i i ) e n s u r e a t l e a s t a l o c a l m i n i m u m w h i c h may o r may n o t be t h e o p t i m a l s o l u t i o n . M o s t p a r t i t i o n i n g m e t h o d s c o n t a i n some means o f t e s t i n g t h i s l o w e r b o u n d by p e r t u r b i n g t h e s o l u t i o n ; t h a t i s s w i t c h -i n g n o d e s a c c o r d i n g t o some r u l e and r e - c a l c u l a t i n g s t e p i i ) : The a c t u a l p e r f o r m a n c e o f a n y p a r t i t i o n i n g a l g o r -i t h m i s c l e a r l y d e p e n d e n t upon t h e l o g i c a l s t r e n g t h o f t h e h e u r i s t i c s a d o p t e d f o r s t e p s i ) and i i i ) . A l t h o u g h r a n d o m s t a r t s w i l l p r o v i d e f a s t s o l u t i o n s t h e y a r e g e n e r a l l y much l e s s d e s i r a b l e t h a n s y s t e m a t i c p a r t i t i o n i n g p r o c e d u r e s . A h e u r i s t i c g i v e n by C o o p e r c o n s i s t s o f b e g i n n i n g w i t h t h e s e t o f a l l p o t e n t i a l s i t e s and e l i m i n a t i n g one member a t e a c h s t e p u n t i l o n l y p n o d e s a r e l e f t ( C o o p e r , 1 9 6 7 ) . The e l i m i n a t i o n c r i t e r i o n ( f o r ' C o o p e r ' s g r a p h i s n o n -w e i g h t e d ) i s t o t a k e t h e c l o s e s t p a i r o f p o i n t s on a n y i t e r a t i o n and t o d r o p t h a t one w h o s e e s t i m a t e o f t h e s i n g l e p m e d i a n o f t h e n e t w o r k i s t h e h i g h e r . A f t e r c o m p l e t i o n o f s t e p i i ) t h e p e r t u r b a t i o n t e s t on t h e l o w e r b o u n d f i r s t f i n d s some G . s u c h t h a t f o r a n y two n o d e s v . a n d v . , 1 \"I J d ( v . v . ) i s a maximum o v e r a l l G . . T h i s m e d i a n i s t h e n d r o p p e d t o be r e p l a c e d by b o t h v . and v . . S i n c e X now 1 J P c o n t a i n s p+1 members t h e two c l o s e s t m e d i a n s a r e s e l e c t e d and i n t u r n e a c h one i s d r o p p e d w h i l e s t e p i i ) i s r e p e a t e d . The S i n g e r A l g o r i t h m S i n g e r has d e v e l o p e d an a l t e r n a t i v e a l g o r i t h m o f v e r y c o n s i d e r a b l e m e r i t i n w h i c h he p r e s e n t s an i n g e n i o u s m e t h o d f o r o b t a i n i n g X - b a s e d upon t h e a t t a i n m e n t o f a s e t o f p n o d e s w h i c h a r e t h e maximum w e i g h t e d d i s t a n c e a p a r t . L e t |A| be an n by n ( o r m by m i f t h e number o f p o t e n t i a l s i t e s i s l e s s t h a n n) s y m m e t r i c m a t r i x i n w h i c h e a c h a . , e l e m e n t i s t h e w e i g h t e d d i s t a n c e a p a r t o f some v . and some v . , V 1 * V j . Then s e t = dCv, V j ) b . b j .\/ ( b . + b . ) w h i c h i s e q u i v a l e n t t o a . . = w ( v . e) = w ( v . e) w h e r e e i s t h e f u l c r u m b e t w e e n e a c h o f t h e p a i r w i s e w e i g h t e d v e r t i c e s . F o r t h e n o n - w e i g h t e d g r a p h i n w h i c h a l l b^ = 1 , e a c h a^ . v a l u e i s s i m p l y e q u a l t o o n e - h a l f o f t h e s h o r t e s t d i s t a n c e b e t w e e n e a c h p a i r o f v e r t i c e s ( S i n g e r , 1 9 6 8 ) . The a i m b e h i n d t h i s and m o s t o t h e r p a r t i t i o n i n g c r i t e r i a i s t o o b t a i n t h a t s e t o f X - n o d e s w h i c h , c e t e r i s P p a r i b u s , a r e t h e l e a s t l i k e l y i n t h e f i n a l s o l u t i o n t o be i n t h e same s u b g r a p h s e t . S i n c e node w e i g h t s a r e t r a d e d a g a i n s t t h e d i s t a n c e s b e t w e e n n o d e s , t h e S i n g e r c r i t e r i o n p r o v i d e s a l o g i c a l l y s o u n d s p r i n g b o a r d f r o m w h i c h t o b e g i n t h e s e a r c h p r o c e d u r e . In m a t r i x |A| t h e maximum a . , e l e m e n t w i l l d e s i g n a t e t h e two n o d e s and v .^ w h i c h a r e t h e m a x i -mum w e i g h t e d d i s t a n c e a p a r t . F o r p > 2 X - i s t h e r e q u i r e d s e t o f p n o d e s i f , and o n l y i f , t h e m i n i m u m p a i r w i s e a . , v a l u e s among a l l p a i r s o f n o d e s v . , v . ' e X i s a maximum o v e r a l l s u c h m i n i m u m v a l u e s i n e v e r y o t h e r s e t Xp i n G . A c o m p u t a t i o n a l m e t h o d f o r o b t a i n i n g Xp when p>2 ( e v a l u a t i o n o f a l l c o m b i n a t i o n s o f X b e i n g g e n e r a l l y i n -f e a s i b l e ) i s g i v e n by S i n g e r and may be i l l u s t r a t e d f o r t h e c a s e o f p = 3. i ) L e t a . , be t h e maximum v a l u e i n row i i n t h e A m a t r i x . i i ) S c a n down t h e rows o f jA| and c h o o s e some y row r f o r w h i c h maxmin (a . y a . ) i s s a t i s f i e d . T h a t i s r i A r j p i c k t h e row i n w h i c h t h e m i n i m u m o f a r | . o r & r - i s a m a x i -mum o v e r a l l r ( r = n ) r o w s . The a s s o c i a t e d node v^ i s t h e t e n t a t i v e t h i r d n o d e . i i i ) D e s i g n a t e a g as t h e m i n i m u m o f ( a j j)< a r j X a r j ' ' i v ) R e p e a t s t e p s i i ) and i i i ) f o r a l l p a i r s o f n o d e s v^ and v .^ i n row i f o r w h i c h a ^ . > a s . The s e t o f p n o d e s f o r w h i c h t h e m i n i m u m v a l u e o f a i s a maximum i s t h e s c a n d i d a t e s e t f r o m t h i s r o w . v ) R e p e a t s t e p s i ) t o i v ) f o r a l l r ows and c h o o s e t h a t s e t o f 3 n o d e s ( v . v . v ) f o r w h i c h a , as d e f i n e d , i s i J i s a maximum o v e r a l l r o w s . G e n e r a l i z i n g t o p > 3 , f i n d i n e a c h row i t h e p - 2 maximum e l e m e n t s . T h e r e a r e p - 1 i n d i c e s a s s o c i a t e d w i t h t h e s e e l e m e n t s , t h a t i s p - 2 i n d i c e s w h i c h c o r r e s p o n d t o t h e c o l u m n s i n |A| c o n t a i n i n g t h e maximum e l e m e n t s , p l u s t h e i n d e x o f t h e row i t s e l f . I t i s p o s s i b l e t o s p e e d up S i n g e r ' s c o m p u t a t i o n a l p r o c e d u r e by o m i t t i n g s t e p i v ) u n t i l a l l r o w s o f t h e m a t r i x h a v e b e e n s c a n n e d a t l e a s t o n c e . T h i s i n c r e a s e s t h e p r o b a b i l i t y o f f i n d i n g an i n i t i a l l y g o o d v a l u e f o r a g . H o w e v e r i n t h e a u t h o r ' s e x p e r i e n c e e v e n t h i s i m p r o v e m e n t c a n be c o m p u t a t i o n a l l y e x a c t i n g i f n o t i n -f e a s i b l e , s h o u l d t h e a c t u a l r e q u i r e d maximum v a l u e o f a $ h a p p e n t o be r e l a t i v e l y s m a l l , o r s h o u l d a good u p p e r b o u n d f o r i t n o t be e s t a b l i s h e d e a r l y i n t h e s e a r c h . C o n s i d e r t h e e x a m p l e o f a 100 node n e t w o r k w i t h p=6 . F o r a n y row i a f t e r one c o m p l e t e s c a n t h e r e may be many n o d e s , i n t e r m s o f s t e p i v ) , w h i c h e x c e e d t h e c u r r e n t v a l u e o f a g . T h i s i m p l i e s t h e r e f o r e t h a t t h e r e may be many c o m b i n a t i o n s o f p - 1 n o d e s ( t h e f i r s t member o f w h i c h i s a l w a y s t h e row i n d e x ) t h a t r e q u i r e r e i t e r a t i o n o f s t e p s i ) t o i i i ) . I f t h e v a l u e o f p i s l a r g e i n b o t h a b s o l u t e t e r m s and p e r h a p s more s i g n i f i c a n t l y r e l a t i v e t o m, t h e n t h e number o f c o m -b i n a t i o n s t o be e v a l u a t e d c a n e a s i l y become c o m p u t a t i o n a l l y p r o h i b i t i v e . An a l t e r n a t i v e m e t h o d f o r o b t a i n i n g a good e s t i m a t e o f X\" i n t e r m s o f t h e S i n g e r c r i t e r i o n and w h i c h a v o i d s t h e a b o v e d i f f i c u l t i e s may now be g i v e n . The p r i n c i p l e i s t o a d d n o d e s one a t a t i m e a p p l y i n g t h e maxmin c r i t e r i o n a t e a c h s t e p . S a t i s f a c t i o n o f t h i s c r i t e r i o n w i l l d e t e r m i n e t h e n e x t v e r t e x t o be a d d e d . N o t e t h a t i n t h e S i n g e r m e t h o d p - 1 e l e m e n t s a r e c h o s e n p r i o r t o t h e a p p l i c a t i o n o f t h e maximum c r i t e r i o n w h i c h i s u t i l i z e d o n l y t o f i n d t h e p*'1 node f o r t h e c a n d i d a t e s e t f r o m t h a t r o w . In a d d i n g e a c h new node by t h i s s u g g e s t e d m e t h o d i t i s n o t n e c e s s a r y i n u p d a t i n g a g t o r e - s c a n t h e c o l u m n s o f |A| b e l o n g i n g t o t h o s e n o d e s a l r e a d y a s s i g n e d t o t h e c a n d i d a t e s e t , i f t h e f o l l o w i n g p r o c e d u r e i s a d o p t e d . F o r e a c h row i ( l e t p = 3 f o r i l l u s t r a t i o n ) . i ) S c a n t h e i c o l u m n i n |A| and s t o r e a l l a . , v a l u e s , j = l , - - - , m , j =f i , i n some among s a y | BC | . 3 P i c k t h e maximum a . , v a l u e = a and s t o r e t h e a s s o c i a t e d J i s node v w h e r e r d e n o t e s t h e row i n d e x i n w h i c h a \u201e was r s f o u n d . The c a n d i d a t e s e t row h a s two m e m b e r s , v^ and V i i ) B r a n c h n e x t on v^ a l o n e ; t h a t i s s c a n o n l y c o l u m n r i n | A | . C o n s i d e r a g a i n a l l e l e m e n t s a j r > j = l , - - - , m , j f i and j =( r . T h a t i s i g n o r e t h e row i n d i c e s o f a l l t h e c u r r e n t members o f t h e c a n d i d a t e s e t . Now i f some a . < b e . t h e n r e p l a c e t h e j e l e m e n t i n IBCI w i t h t h a t a . v a l u e . Thus t h e v a l u e s now s t o r e d i n | BC | o f t h o s e n o d e s n o t y e t i n t h e b e g i n n i n g s e t a r e a l w a y s t h e m i n i m u m v a l u e s i n |A| w i t h r e s p e c t t o t h o s e members w h i c h a r e c u r r e n t l y i n X - . F o r a n y node v . t h e n , P J v.j f V j and v .^ =) v r i t s v a l u e i n |BC| i s a l w a y s m i n ( a j i 5 a j r ) . Now s e a r c h among BC e x c l u d i n g bc^ a n d b c ^ and f i n d some b e . = m a x , s t o r i n g v 0 t h e a s s o c i a t e d n o d e . L e t a \u201e = b e . max = t h e m i n i m u m o f ( a . , a \u201e . , a n ^ ) . T h i s i s s j 1 l r \u00a31 i r t h e maximum o f t h e m i n i m u m p a i r w i s e v a l u e s o f a n y o t h e r I w i t h i and r i n | A | . i i i ) I f p > 3 r e p e a t s t e p i i ) u n t i l a l l p v e r t i c e s h a v e b e e n c h o s e n , t h e c a n d i d a t e s e t Xp f o r t h i s r o w . L e t a = a t h e maximum v a l u e o v e r p e l e m e n t s m s ( a g a l w a y s d e c r e a s e s w i t h e a c h a d d i t i o n a l n o d e ) . i v ) R e p e a t s t e p s i t o i i i ) f o r a l l i r o w s . I f t h e l a s t v a l u e f o r a \u201e f o r a n y row i s > a r e p l a c e s J m r a m w i t h a g and s t o r e t h i s s e t o f n o d e s i n p r e f e r e n c e . I f a s = a m s t o r e b o t h s e t s o f n o d e s i f t h e y d i f f e r , f o r t h e s e a r e a l t e r n a t e s e t s o f X - . P T h i s p a r t i t i o n i n g h e u r i s t i c may be i l l u s t r a t e d w i t h r e f e r e n c e t o t h e n e t w o r k d i s p l a y e d i n F i g u r e 4. In t h i s and a l l s u b s e q u e n t e x a m p l e t h e node r e f e r e n c e s a r e d e s i g n a t e d as v . , i = l , - - - , n , t h e b . v a l u e o f e a c h v e r t e x i s e n c i r c l e d , and t h e d i s t a n c e b e t w e e n e a c h p a i r o f n o d e s i s t h e f i g u r e l y i n g a d j a c e n t t o e a c h l i n k . The d i s t a n c e o f e a c h v e r t e x w i t h i t s e l f i s a s s u m e d t o be z e r o and t h e s h o r t d i s t a n c e and A m a t r i c e s f o r t h i s F i g u r e 4 Table 1 SHORT DISTANCE MATRIX FOR FIGURE 4 0.0 4.0 5.0 3.0 1.0 3.0 2.0 4.0 5.0 6.0 4.0 0.0 3.0 2.0 4.0 5.0 5.0 4.0 5.0 3.0 5.0 3.0 0.0 5.0 4.0 2.0 3.0 1.0 2.0 1.0 3.0 2.0 5.0 0.0 2.0 4.0 3.0 5.0 6.0 5.0 1.0 4.0 4.0 2.0 0.0 2.0 1.0 3.0 4.0 5.0 3.0 5.0 2.0 4.0 2.0 0.0 3.0 1.0 2.0 3.0 2.0 5.0 3.0 3.0 1.0 3.0 0.0 2.0 3.0 4.0 4.0 4.0 1.0 5.0 3.0 1.0 2.0 0.0 1.0 2.0 5.0 5.0 2.0 6.0 4.0 2.0 3.0 1.0 0.0 2.0 6.0 3.0 1.0 5.0 5.0 3.0 4.0 2.0 2.0 0.0 T a b l e 2 THE |AI MATRIX FOR FIGURE 4 0 . 0 3 . 0 2 . 1 4 . 5 1 . 2 5 . 1 3 . 7 3 . 0 7 . 5 7 . 2 3 . 0 0 . 0 1 . 0 1 . 5 2 . 7 4 . 0 4 . 2 2 . 0 3 . 8 2 . 0 2 . 1 1 . 0 0 . 0 2 . 1 1 . 6 0 . 9 1 . 4 0 . 3 0 . 9 0 . 4 4 . 5 1 . 5 2 . 1 0 . 0 2 . 4 6 . 9 5 . 6 3 . 8 9 . 0 6 . 0 1 . 2 2 . 7 1 . 6 2 . 4 0 . 0 2 . 7 1 . 4 2 . 0 4 . 8 5 . 0 5 . 1 4 . 0 0 . 9 6 . 9 2 . 7 0 . 0 6 . 7 0 . 9 3 . 4 4 . 0 3 . 8 4 . 2 1 . 4 5 . 6 1 . 4 6 . 7 0 . 0 1 . 7 5 . 6 5 . 7 3 . 0 2 . 0 0 . 3 3 . 8 2 . 0 0 . 8 1 . 7 0 . 0 0 . 8 1 . 3 7 . 5 3 . 8 0 . 9 9 . 0 4 . 8 3 . 4 5 . 6 0 . 8 0 . 0 2 . 4 7 . 2 2 . 0 0 . 4 6 . 0 5 . 0 4 . 0 5 . 7 1 . 3 2 . 4 0.0 ' F i g u r e 6 F i g u r e 7 PBOBLEB BASE FIGURE 8(A) 2 HEOIAI! SOLUTION ?OS FIGUSE 4 ( U I I LOCATION-ALLOCATION 2 BEDIAB SOLUTION BEDIAB PLAST SIZE FR EIGHT COST PLAST COST TOTAL COST BODES SERVICED TOLO.IE SUPPLIED TO . EACH BEDIAB 1 5 10.00 18.00 0.00 18.00 1 2 4 5 7 3.0 1.0 3.0 2.0 5.0 2 8 10.50 1 1.50 0.00 1 1. 50 3 6 8 9 10 0.5 4.0 1.0 3.0 2.0 lETaoaK 24.50 29.SO 0.00 29.50 \" PLAKT LOCATION-ALLOCATION 2 BEDIAS SOLUTIOS H E Dl AK PLAKT SIZE FREIGHT COST PLAST COST TOTAL COST BODES SERVICED VOLOBE StJPPLISD TO EACH BEDIAB 1 S 13.00 14.00 0.00 14.00 1 ( 5 7 3.0 3.0 2.0 5.0 2 8 11.50 15.50 0.00 15.50 2 3 6 8 9 1.0 0.5 4.0 1.0 3.0 10 2.0 BETWORK 24.50 29.50 0.00 29.50 \u2022 ll4*t*ittttlM\u00abt4*t>4*.*tt4tttttt(t*\u00bbttilttt**\u00bbtt4\u00ab*t*tt.*ttttt*t..t*\u00bb.t*ttdrt.*,*\u00bb*\u00bb\u00bb,ttt*ttt*t\u00abtlttt**(t)*(?t*t\u00ab PBOBLE.! BARE FIGURE 8(B) 3 BEDIAS SOLUTION FOR FIGURE 4 \u2022 \u2022 * < * t * \u00bb * * t 4 \u00ab \u00ab * * * . * \u00ab \u00bb * * * * * * t * * * * * * 4 * * * * * * * * 4 * * * * \u00bb t \u00ab * \u00bb * * * * * * * * t * * * \u00bb * * * \u00bb * * \u00bb * * \u00ab \u00bb 4 4 ! * * * PLAKT LOCATION-ALLOCATION 3 BEDIA1C SOLOTIOS BEDIAB PLANT SIZE FREIGHT COST PLANT COST TOTAL COST BODES SERVICED VOLOBE SUPPLIED TO EACH REDIiN 4.00 10.00 10.50 24.50 2.00 8.00 1 1. 50 21.50 0.00 0.00 0.00 0.00 2.00 8.00 11.50 21.50 10 1.0 3.0 O.S 3.0 2.0 4.0 5.0 1.0 3.0 2.0 1 ET'WC RK t \u00bb * \u00bb 4 4 4 4 44 \u00bb 44.4 444 4 * * 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 * 4 4 4 4 * 4 4 > \u00bb * 4 * * * * 4 4 4 * 4 * * * 4 * 4 * * * 4 4 4 * 4 4 4 * 4 4 4 * * 4 * 4 4 * 4 4 4 4 4 * 4 * * * * * * 4 * * * \u00ab * * * \u00ab * * * * * * 4 4 PLABT LOCATIOB'ALLOCATIOB 3 B EDIAN SOL0TIOB BEDIAB PLABT SIZE FREIGHT COST PLABT COST' TOTAL COST BODES SERVICED VOLOBE SUPPLIED TO EACH HEDIAN 4.00 10.00 10.50 24.50 2.00 8.00 11.50 21. 50 0.00 0.00 0.00 0.00 2.00 8.00 11.50 21.50 1.0 3.0 0.5 3.0 2.0 4.0 5.0 1.0 BET80EK \u2022 4 4 4 * * * * 4 * 4 4 * 4 * * * * * * 4 4 * * t * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * t * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * PROBLEM BABE FIGURE 8(C) 3 BEDIAB SOLUTIOB FOR FIGURE 5 * 4 * * * * * * * * 4 4 * t * * * * * * * \u00ab * 4 * \u00ab * 4 4 * * * * * * * * * * 4 * * * * * * * * * * * * * * * * 4 4 4 4 * * 4 * * * * * * * * * 4 4 * * * * * * * * * * \u00bb * * * * * 4 \u00ab * \u00bb * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * PLABT LOCATIOS-ALLOCAIION 3 BEDIAB SOLUTIOB BEDIAB PLABT SIZE FREIGHT COST PLAST COST TOTAL COST BODES SERVICED VOLOBE SUPPLIED TO EACH BEDIAB 1 3 22.00 10.00 0.00 10.00 1 2 3 1.0 1.0 20.0 2 4 25.00 137.00 0.00 137.00 4 5 6 7 8 20.0 1.0 1.0 1.0 1.0 9 1.0 3 10 2.00 1.00 0.00 1.00 10 11 1.0 1.0 SET tfOBK 49.00 143.00 0.00 148.00 \u2022 * 4 4 * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * t * * * * * \u00ab * * * \u00ab * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * \u00ab * * * * 4 * * * * * * * * 4 * * * * * * * * * * * * * * * * * * * \u00ab \u00ab * * * * * * * * * * * * 4 4 * * * * 4 \u00ab 4 PLABT LOCATIOB-ALLOCATIOB 3 BEDIAB SOLUTIOB BEDIAB PLAST SIZE FREIGHT COST PLAST COST TOTAL COST BODES SERVICED VOLOBE SOPPLIED TO EACH BEDIAB 1 3 22.00 10.00 0.00 10.00 1 2 3 1.0 1.0 20.0 2 4 25.00 137.00 0.00 137.00 4 5 6 7 8 20.0 1.0 1.0 1.0 1.0 9 1.0 3 11 2.00 1.00 0.00 1.00 10 11 1.0 1.0 \u2022ETBOBK 49.00 148.00 0.00 148.00 \u2022 \u2022 \u2022 \u2022 \u2022 \u2022 * * * * * * * \u00ab * * * * * * * * \u00ab * * \u00ab * * * * * * \u00ab * * * * \u00ab * \u00ab \u00ab * * \u00ab * \u00ab * \u00ab * \u00ab \u00ab * * \u00ab \u00bb * * 4 * * \u00ab 4 4 \u00ab * 4 * * \u00ab * * * \u00ab * * * * * * 4 4 * * * \u00ab * 4 4 4 * 4 * * \u00ab * * \u00ab * * * * a \u00ab \u00ab * * * \u00ab * * * \u00ab * * * * PLAST LOCATION-ALLOCATION 3 BEDIAB SOLUTIOS BEDIAB PLAST SIZE FREIGHT COST PLAST COST TOTAL COST BODES SERVICEO VOLOBE SOPPLIED TO EACH BEDIAB 1 3 22.00 10.00 0.00 10.00 1 2 3 1.0 1.0 20.0 2 4 23.00 80.00 0.00 80.00 4 5 10 11 20.0 1.0 1.0 1.0 3 6 4.00 16.00 0.00 16.00 6 7 8 9 1.0 1.0 1.0 1.0 BETVOSK 49.00 106.00 0.00 106.00 \u2022 \u00ab 4 * 4 * 4 4 4 * * 4 4 4 4 * 4 4 * * 4 * * * * \u00ab * * t * 4 4 4 4 * 4 \u00ab 4 4 * * 4 \u00ab * . \u00ab 4 * * * * * 4 4 4 * \u00ab 4 4 4 4 4 * * * * * * * * 4 4 4 * 4 4 * * * * * \u00ab * \u00bb * * 4 * * * \u00ab 4 4 * 4 * * * * * t * \u00ab t 4 * * * * * \u00ab \u00ab * * * * F i g u r e 8 g r a p h a r e g i v e n i n T a b l e s 1 and 2 r e s p e c t i v e l y . F o r t h e two m e d i a n s o l u t i o n o f t h i s n e t w o r k t h e members o f t h e s e t Xp- f o r w h i c h a ^ . i s a maximum a r e v^ and Vg w i t h a v a l u e o f 9 . F o r t h e t h r e e m e d i a n s o f t h i s g r a p h t h e i n i t i a l p a r t i t i o n i n g i s b a s e d upon e a c h o f t h e t h r e e s e t s o f X - ( v 4 v ? v g ) , ( v 4 v g v ? ) ; o r ( v 4 v ? v 1 Q ) . The m i n i m u m p a i r w i s e d i s t a n c e b e t w e e n a n y two n o d e s i n t h e s e t h r e e s e t s i s a maximum o v e r a l l s u c h s e t s i n t h e n e t w o r k w i t h a v a l u e o f 5 - 6 2 5 . The l o w e r b o u n d p e r t u r b a t i o n t e s t s u g g e s t e d by S i n g e r i s t o a r r a y f i r s t t h e s u b g r a p h s i n d e c r e a s i n g o r d e r o f t h e v a l u e s S-. Then f o r e a c h . s u b g r a p h , t h a t node v.. e G^ w h o s e w e i g h t e d d i s t a n c e t o t h e m e d i a n o f some o t h e r s u b g r a p h G . i s l e a s t , i . e . f o r w h i c h w ( v . v . . ) J 1 K j i s a m i n i m u m , i s s w i t c h e d t o s u b g r a p h G . and t h e r e -3 s u l t a n t s u b g r a p h s a r e m o d i f i e d u n t i l c o n d i t i o n ( 1 5 ) i s s a t i s f i e d . T h i s p r o c e d u r e i s r e p e a t e d p t i m e s m o v i n g one node on e a c h o c c a s i o n . I f a l o w e r b o u n d i s f o u n d on a n y i t e r a t i o n t h e n t h e w h o l e t e s t i n g p r o c e s s i s a g a i n r e - c y c l e d . The s o l u t i o n s t o t h e two and t h r e e m e d i a n s o f F i g u r e 4 w e r e a c t u a l l y o b t a i n e d w i t h o u t r e c o u r s e t o t h e p e r t u r b a t i o n t e s t a n d a r e shown i n F i g u r e s 8a and 8 b . Some Comments on T h e s e A l g o r i t h m s One c o n s i d e r a b l e a d v a n t a g e o f S i n g e r ' s a l g o r i t h m i s t h a t f o r e a c h v a l u e o f p r e q u i r e d , t h e g r a p h i s r e p a r t i t i o n e d . T h i s means t h a t t h e X - + 1 o r X - - 1 P P b e g i n n i n g s e t i s n o t n e c e s s a r i l y d e p e n d e n t upon t h e s e t o f X - p r e s e n t i n t h e pzfn o r a n t e c e d e n t s t e p . I t i s n o t t o o d i f f i c u l t i n p r a c t i c e h o w e v e r , t o d e s i g n n e t w o r k s i n w h i c h n e i t h e r t h e S i n g e r n o r C o o p e r c r i t e r i o n p r o v i d e s a g o o d i n i t i a l s t a r t i n g b a s i s . C o n s i d e r t h e n e t w o r k shown i n F i g u r e 5 f o r w h i c h t h e t h r e e m e d i a n s o l u t i o n i s r e q u i r e d . B o t h o f t h e s e m e t h o d s ( i f w e i g h t e d r a t h e r t h a n s i m p l e d i s t a n c e s a r e c o n s i d e r e d f o r C o o p e r ' s c r i t e r i o n ) g i v e a s e t o f Xp c o n t a i n i n g n o d e s v ^ , and v - ^ , w h i c h c o n v e r g e t o a l o c a l m i n i m u m o f S = 1 4 8 - 0 . As i t h a p p e n s C o o p e r ' s p e r t u r b a t i o n t e s t f i n d s t h e g l o b a l o p t i m u m ( s e e F i g u r e 8 c ) w h e r e a s S i n g e r ' s t e s t d o e s n o t . In t h i s r e s p e c t C o o p e r ' s m e t h o d seems t o be c o n s i s -t e n t l y t h e b e t t e r o f t h e two a p p r o a c h e s . S i n g e r ' s p e r t u r b a t i o n r o u t i n e s u f f e r s f r o m t h e f u r t h e r d i s -a d v a n t a g e t h a t a t l e a s t p r e - a s s i g n m e n t s and m o d i f i -c a t i o n s m u s t be made on e a c h t e s t i n g c y c l e , so t h a t f o r b i g n e t w o r k s w h e r e p i s a l s o l a r g e , t h i s t a s k c o u l d c o n c e i v a b l y become o v e r - e x t e n d e d . The b a s i c p r o b l e m w i t h b o t h t h e p a r t i t i o n i n g and p e r t u r b a t i o n h e u r i s t i c s o f t h e s e and o t h e r a l g o r i t h m s i s t h a t n o d e s a r e e v a l u a t e d i n d i v i d u a l l y a n d w i t h o u t s u f f i c i e n t c o n s i d e r a t i o n o f t h e w e i g h t s and d i s t a n c e s away o f t h e i r i m m e d i a t e n e i g h b o u r s . As a c o n s e q u e n c e b i a s e s c a n o c c u r t o w a r d s t h e i n c l u s i o n o f s o l i t a r y n o d e s w h i c h l i e f a r r e m o v e d a t t h e p e r i p h e r y o f t h e n e t w o r k . T h i s c i r c u m s t a n c e i s s o m e t i m e s p r e v a l e n t w i t h n e t w o r k s o f a t r e e o r d e n d r i t i c d e s i g n . Some c l u s t e r i n g p r o c e d u r e w h i c h c o n s i d e r s t h e r e l a t i o n s h i p o f e a c h node t o i t s s u r -r o u n d i n g n e i g h b o u r s i s c l e a r l y d e s i r a b l e i f t h i s e f f e c t i s t o be d i m i n i s h e d . In d e r i v i n g - X - i t i s a l w a y s p o s s i b l e t o a r t i f i c i a l l y i n c r e a s e t h e a t t r a c t i o n o f some p a r t i c u l a r s i t e by a d d i n g t o i t s w e i g h t t h e demands o f a l l s u c h s u r -r o u n d i n g n o d e s , n o t t h e m s e l v e s c o n t e n d e r s f o r a p l a n t l o c a -t i o n , w h i c h a r e c l o s e r t o i t t h a n t o some o t h e r p o t e n t i a l s i t e . T h i s p r o c e d u r e c a n be a d o p t e d w h e r e v e r t h e number o f n e t w o r k n o d e s i s g r e a t e r t h a n t h e number o f f e a s i b l e s i t e s , b u t w h e r e t h i s i s n o t so some o t h e r p r o c e d u r e i s r e q u i r e d . Some A l t e r n a t i v e P a r t i t i o n i n g and P e r t u r b a t i o n M e t h o d s The p r o b l e m o f node a g g l o m e r a t i o n c a n be a p p r o a c h e d by a d o p t i n g t h e f o l l o w i n g p r o c e d u r e w h i c h w i l l be known h e r e a f t e r as t h e w e i g h t s h i f t e l i m i n a t i o n m e t h o d . The d e t a i l s f o r d e r i v i n g X - w i t h t h i s h e u r i s t i c may be g i v e n as i ) F o r e a c h node on t h e n e t w o r k f i n d some o t h e r n o d e v - f o r w h i c h d ( v . v . ) i s a m i n i m u m . S t o r e a l l v . i n some a r r a y s a y | A B | , a l l v . i n |AC| and a l l d ( v . v . ) i n a r r a y | A D | . L e t some v e c t o r |B| c o n t a i n t h e l i s t o f node w e i g h t s f o r e a c h p o t e n t i a l s i t e tK , i = 1 , \u2022\u2022\u2022 , m . i i ) S c a n a r r a y |A D j and f i n d some e l e m e n t , t h e r^ *1 e l e m e n t , f o r w h i c h d ( v . v . ) b . = w ( v . v . ) i s a m i n i -mum. D e s i g n a t e t h e a s s o c i a t e d node i n |AB|as v^ and t h a t i n AC as v , . s i i i ) E l i m i n a t e node v^ f r o m | A B | . R e w r i t e a r r a y s |AB|, |AC| a n d |AD| o m i t t i n g t h e r t h e l e m e n t i n e a c h and r e d u c e n t o n - 1 w h i c h i s t h e number o f n o d e s now e x t a n t i n X - . i v ) L e t b be t h e w e i g h t o f node v and b \u201e t h e r 3 r s w e i g h t o f node v . Then c h a n g e b so t h a t b = b + b . \u2022 s - s s s r In t h i s s t e p a d v a n t a g e i s t h u s t a k e n o f t h e w e i g h t o f t h e node v w h i c h i s d r o p p e d on e a c h i t e r a t i o n . S p e c i f i c a l l y i t s w e i g h t i s a d d e d t o t h e w e i g h t o f t h a t node v g t o w h i c h i t was c l o s e s t b e f o r e e l i m i n a t i o n . E a c h t i m e d ( v . v . ) b i i s c a l c u l a t e d a s i n s t e p i i ) t h e v a l u e o f b^ i n t h e c o m p u -t a t i o n may t h e r e f o r e be g r e a t e r t h a n t h e a c t u a l w e i g h t o f node v.j on t h e n e t w o r k . As n o d e s a r e p r o g r e s s i v e l y e l i m i -n a t e d t h e w e i g h t t r a n s f e r s a r e . c u m u l a t i v e , t h e w e i g h t o f e a c h d r o p p e d node c o n s i s t i n g o f t h e sum o f a l l w e i g h t s p r e -v i o u s l y a s s i g n e d t o i t i n t u r n by n o d e s w h i c h w e r e d r o p p e d on an e a r l i e r i t e r a t i o n . The n e t r e s u l t o f t h i s c u m u l a t i v e w e i g h t s h i f t i n g i s t o p r o v i d e i n e f f e c t a m e a s u r e o f node a g g l o m e r a t i o n . v ) In t h e f i n a l s t e p a r r a y |AC| i s s e a r c h e d and f o r a l l n o d e s v . i n 1AC1 f o r w h i c h v . = v c a l c u l a t e a new J J r v a l u e d ( v . v . ) v . f v . R e p l a c e t h e a p p r o p r i a t e e l e m e n t s ' 3 3 ^ i n |AC| and |AD| w i t h t h e new v a l u e s o f v . a n d d ( v . v . ) 3 J r e s p e c t i v e l y . In o t h e r w o r d s a new n e a r e s t n e i g h b o u r v . i s f o u n d f o r a l l n o d e s v . whose c l o s e s t node was v b e f o r e i r i t s e l i m i n a t i o n . S t e p s i i ) t o v ) a r e r e p e a t e d u n t i l X - c o n t a i n s p n o d e s . T h i s i s t h e c a n d i d a t e s e t o f b e g i n n i n g n o d e s b a s e d upon t h i s h e u r i s t i c . I f t h e t h r e e m e d i a n p r o b l e m o f F i g u r e 5 i s r e c o n s i d e r e d t h e s e t o f X - d e r i v e d by t h i s p r o c e d u r e i s v 3 , v^ and v g w h i c h i s c l e a r l y a b e t t e r i n i t i a l f e a s i b l e s o l u t i o n t h a n t h o s e g i v e n by t h e o t h e r m e t h o d s . F o r p e r t u r b i n g t h e l o w e r b o u n d s o l u t i o n t h e f o l l o w -i n g h e u r i s t i c i s s u g g e s t e d . D rop i n s e q u e n c e f r o m one t o t h r e e o f t h e c u r r e n t m e d i a n s and r e p l a c e them i n t u r n w i t h some o t h e r p o t e n t i a l p l a n t s i t e n o t p r e s e n t l y i n t h e l o w e r b o u n d s o l u t i o n . From among t h e s e n o d e s v.. , i = l , - - - , m - p t h e r e e x i s t s one s u c h member v f o r w h i c h p (16) max 7 y. . w(v.. v ) - w(v. v, . ) . L . H e G. j v j kx w h e r e ' v . i s a member o f G . s u c h t h a t w ( v - v \u201e ) < w ( v - V i , - ) -j i j r j K l T h i s e n s u r e s t h e c h o i c e o f t h a t node f o r w h i c h t h e sum o f t h e d i f f e r e n c e s o f t h e w e i g h t e d d i s t a n c e s o f a l l n o d e s w h i c h a r e n e a r e r t o i t t h a n t o t h e i r a s s i g n e d m e d i a n , i s a m a x i m u m . T h i s node i s t h e n s u b s t i t u t e d i n t u r n f o r t h e f o l -l o w i n g t h r e e m e d i a n s , a s s u m i n g a d i f f e r e n t m e d i a n i n e a c h c a s e . F i r s t d r o p t h e m e d i a n o f t h a t G^ f o r w h i c h i s a m i n i m u m b e f o r e ( T 6 ) i s e x e c u t e d . The s e c o n d c a n d i d a t e m e d i a n f o r e l i m i n a t i o n b e l o n g s t o t h a t s u b g r a p h whose S. v a l u e i s a t a m i n i m u m a f t e r c o m p l e t i o n o f ( 1 6 ) . F i n a l l y t h e t h i r d c a n d i d a t e m e d i a n i s t h e one f o r w h i c h wCv^.. v^j) i s l e a s t . T h i s i s t h e m e d i a n whose w e i g h t e d d i s t a n c e t o some o t h e r m e d i a n i s a m i n i m u m o v e r t h e n e t w o r k . An A l g o r i t h m f o r E s t i m a t i n g t h e M e d i a n s o f a W e i g h t e d G r a p h T h i s a l g o r i t h m u t i l i z e s f r o m one t o f o u r m e t h o d s ( a t t h e u s e r ' s d i s c r e t i o n ) f o r o b t a i n i n g t h e i n i t i a l p a r -t i t i o n i n g o f t h e g r a p h . The b e s t d e s c e n d a n t s o l u t i o n f r o m a n y o n e o f t h e s e m e t h o d s i s r e t a i n e d a s t h e e s t i m a t e d m i n i -mum b o u n d . The f i r s t p a r t i t i o n i n g h e u r i s t i c makes u s e o f t h e S i n g e r c r i t e r i o n as p r e v i o u s l y d e s c r i b e d . I t i s w o r t h n o t i n g t h a t s i n c e a s e t o f X - i s d e r i v e d f o r e a c h r o w , f o r l a r g e s c a l e p r o b l e m s w i t h many h u n d r e d s o f n o d e s c o m -p u t a t i o n c a n become e x a c t i n g . F o r s u c h c a s e s an a l t e r n a t i v e p r o c e d u r e i s t o o b t a i n j u s t one c a n d i d a t e s e t w h i c h i s r e s o l v e d f r o m b r a n c h i n g on t h a t p a i r o f n o d e s f o r w h i c h a ^ . i s a maximum o v e r a l l s u c h e l e m e n t s i n | A | . ]A s e c o n d p a r t i -t i o n i n g h e u r i s t i c c o n s i s t s o f a d d i n g n o d e s one a t a t i m e a c c o r d i n g t o t h e m a x m i n \u2022 p r i n c i p i e s u c h t h a t v t h e n e x t node a d d e d , i s t h a t one f o r w h i c h t h e m i n i m u m o f w ( v r X p ) i s a maximum o v e r a n y s u c h v.. , w h e r e Xp c o n t a i n s n o d e s p r e v i o u s l y a s s i g n e d t o t h e c a n d i d a t e s e t and V . f X p . T h i s i s r e a l l y a s o r t o f s e c o n d - h a n d v e r s i o n o f t h e S i n g e r c r i t e r i o n , i t s m a i n b e n e f i t b e i n g t o p r o v i d e a q u i c k a l t e r -n a t i v e s e t o f Xp f o r t h e l a r g e r s c a l e p r o b l e m . The t h i r d p a r t i t i o n i n g h e u r i s t i c i s t h e w e i g h t s h i f t e l i m i n a t i o n m e t h o d , and t h e f o u r t h i s s i m i l a r t o t h e t h i r d b u t w i t h s t e p i v ) o m i t t e d , and i s t h e r e f o r e t a n t a m o u n t t o a w e i g h t e d v e r s i o n o f C o o p e r ' s e l i m i n a t i o n p r o c e d u r e . Any one o r a l l o f t h e s e p a r t i t i o n i n g h e u r i s t i c s may be u s e d d e p e n d i n g on t h e s i z e o f t h e n e t w o r k and t h e a m o u n t o f c o m p u t i n g t i m e a v a i l a b l e . The w e i g h t s h i f t e l i m -i n a t i o n m e t h o d g i v e s , i n t h e a u t h o r ' s e x p e r i e n c e , t h e b e s t i n i t i a l s t a r t i n g s o l u t i o n . The s h o r t v e r s i o n o f t h e S i n g e r c r i t e r i o n c a n be r e c o m m e n d e d f o r t h e l a r g e n e t w o r k p r o b l e m , s i n c e t h e d e r i v a t i o n o f Xp b a s e d on t h i s h e u r i s t i c i s c o m -p u t a t i o n a l l y f a s t e r t h a n f o r a n y o f t h e o t h e r a l t e r n a t i v e m e t h o d s . W i t h t h e p r e s e n t a t i o n o f p a r t i t i o n i n g and p e r t u r b a -t i o n m e t h o d s now c o m p l e t e a f o r m a l d e s c r i p t i o n o f t h e b a s i c a l g o r i t h m may now be g i v e n . S t e p 1 ) . I n p u t t h e d a t a c o n s i s t i n g o f a s h o r t p a t h c o s t m a t r i x and a v e c t o r o f node d e m a n d s , t h e v a l u e s . A p p e n d i x 3 g i v e s a F o r t r a n IV c o m p u t e r p r o g r a m ( t h e D a n t z i g a l g o r i t h m ) f o r c a l c u l a t i n g a l l t h e s h o r t e s t p a t h s t h r o u g h a n e t w o r k . The m i n i m u m l o w e r b o u n d v a l u e S i s i n i t i a l i z e d w i t h an a r b i t r a r i l y h i g h n u m b e r , and some i n d e x , s a y I , i s s e t e q u a l t o z e r o . S t e p 2 ) . P a r t i t i o n t h e g r a p h a c c o r d i n g t o a n y o r a l l o f t h e h e u r i s t i c s j u s t g i v e n . I f , f o r m e t h o d s one and t w o , more t h a n one i n i t i a l s e t o f i s f o u n d , o n l y t h e f i r s t two a r e r e t a i n e d . The u s e r may w i s h t o s u p p l y , i n a d d i t i o n , h i s own s e t o f b e g i n n i n g w e i g h t s a n d \/ o r an i n i t i a l g u e s s a t t h e o p t i m a l s o l u t i o n . L e t J = t h e t o t a l number o f X-s e t s . S t e p 3) . I n c r e m e n t I by o n e . C o n s i d e r t h e I**1 s e t of -Xp n o d e s and l e t t h e s e be d e s i g n a t e d as t h e i n i t i a l p m e d i a n s o f t h e n e t w o r k . S t e p 4 ) . A s s i g n n o d e s t o t h e c u r r e n t s e t o f m e d i a n s by e q u a t i o n ( 1 0 ) , f i n d a new s e t o f m e d i a n s as i n ( 1 2 ) and an o b j e c t i v e f u n c t i o n
and S . I f cf> < S , l e t S =