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Optimum response contactor servomechanism Butt, Chak Ying 1961

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831-UBC_1962_A7 B8 O6.pdf [ 3.29MB ]
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OPTIMUM R E S P O N S E CONTACTOR SERVOMECHANISM b y CHAK T I N G BUTT B . A . S c o , U n i v e r s i t y o f B r i t i s h C o l u m b i a , 1 9 5 8 A T H E S I S S U B M I T T E D I N P A R T I A L F U L F I L M E N T OF THE R E Q U I R E M E N T S FOR THE DEGREE OF MASTER OF A P P L I E D S C I E N C E i n t h e D e p a r t m e n t o f E l e c t r i c a l E n g i n e e r i n g We a c c e p t t h i s t h e s i s a s c o n f o r m i n g t o t h e s t a n d a r d s r e q u i r e d f r o m c a n d i d a t e s f o r t h e d e g r e e o f M a s t e r o f A p p l i e d S c i e n c e M e m b e r s o f t h e D e p a r t m e n t o f E l e c t r i c a l E n g i n e e r i n g THE U N I V E R S I T Y OF B R I T I S H C O L U M B I A D e c e m b e r 9 1 9 6 1 i In presenting this thesis in partial fulfilment of the requirements for an advanced degree at the University of British Columbia, I agree that the Library shall make i t freely available for reference and study. I further agree that permission for extensive copying of this thesis for scholarly purposes may be granted by the Head of my Department or by his representatives. It is understood that copying or publication of this thesis for financial gain shall not be allowed without my written permission. Department of S^S/O^ £te/Jfa&4(4 The University of British Columbia, Vancouver 8, Canada. Date ^ . v ^ t o / ABSTRACT T h i s t h e s i s d e a l s w i t h t h e d e s i g n o f s i m p l e c i r c u i t s t o r e a l i z e t h e o p t i m u m s e c o n d o r d e r c o n t a c t o r t y p e s e r v o . The a n a l y s i s i s b a s e d o n t h e g e n e r a t i o n o f a s w i t c h i n g f u n c t i o n s o t h a t t o r q u e r e v e r s a l w i l l o c c u r a t t h e p o i n t w h e r e t h e g e n e r a t e d f u n c t i o n g ( t ) i n t e r s e c t s t h e e r r o r f u n c t i o n e ( t ) . The c o n v e n t i o n -a l t r e a t m e n t d i f f e r s f r o m t h e a b o v e m e t h o d i n t h a t t h e r e q u i r e d s w i t c h i n g b o u n d a r y r e l a t i o n s h i p , f ( e ) , b e t w e e n e a n d £ i s o b t a i n e d s o t h a t v o l t a g e p r o p o r t i o n a l t o e - f ( e ) i s u s e d a s t h e s w i t c h i n g s i g n a l . U s i n g a d - c s h u n t m o t o r o r a n i n d u c t i o n m o t o r , a n a l y s i s a n d d e s i g n o f o p t i m u m s y s t e m s b a s e d o n t h e g e n e r a t e d f u n c t i o n t r e a t m e n t h a d b e e n c a r r i e d o u t t a k i n g i n t o a c c o u n t t h e a c t u a l m o t o r c h a r a c t e r i s t i c s a n d r e l a y t i m e d e l a y . A n o p t i m u m r e l a y s e r v o f o r a. l / 5 0 ' h . p . F o r d i n d u c t i o n m o t o r was c o n s t r u c t e d o n t h i s p r i n c i p l e a n d t e s t e d . The s i m p l i c i t y o f t h e c i r c u i t s i n v o l v e d m a k e s t h i s d e s i g n h i g h l y p r a c t i c a l . The o p t i m i z a t i o n o f a s e c o n d o r d e r c o n t a c t o r s e r v o c a n a l s o be a c c o m p l i s h e d b y a p p r o x i m a t i n g t h e o p t i m u m s w i t c h i n g b o u n d a r y w i t h a s i m p l e l e a d n e t w o r k . A s e r v o s y s t e m u s i n g t h e same 1 / 5 0 h . p . i n d u c t i o n m o t o r was b u i l t a c c o r d i n g t o t h i s , m e t h o d . T h i s a p p r o a c h r e s u l t s i n a s i m p l e r c i r c u i t t h a n t h e f o r m e r ; h o w e v e r , i t h a s a l a r g e r d e a d z o n e a n d i s o n l y a p p l i c a b l e w i t h a n a - c s e r v o m o t o r . A b r i e f d i s c u s s i o n o f t h e p o s s i b l i t y o f e m p l o y i n g t h e g e n e r a t e d f u n c t i o n t e c h n i q u e t o t h e a n a l y s i s o f a 3 r d o r d e r s y s t e m was a l s o m a d e . ACKNOWLEDGEMENT The a u t h o r e x p r e s s e s h i s a p p r e c i a t i o n f a r t h e g e n e r o u s a s s i s t a n c e a n d g u i d a n c e g i v e n b y h i s s u p e r v i s o r , D r - E . V . B o h n . The a u t h o r w i s h e s t o a c k n o w l e d g e t h e n u m e r o u s o c c a s i o n s o n w h i c h m e m b e r s , s t a f f , a n d g r a d u a t e s t u d e n t s o f t h e D e p a r t m e n t o f E l e c t r i c a l E n g i n e e r i n g c o n t r i b u t e d t o t h e d e v e l o p m e n t a n d u n d e r s t a n d i n g o f t h i s p r o j e c t . The a u t h o r t h a n k s t h e N a t i o n a l R e s e a r c h C o u n c i l f o r a w a r d s w h i c h i n c l u d e a B u r s a r y f o r t h e s e s s i o n 1 9 5 9 - 6 0 a n d a S t u d e n t s h i p f o r t h e s e s s i o n 1 9 6 0 - 6 1 . The w o r k d e s c r i b e d i n t h i s t h e s i s i s p a r t o f a p r o j e c t a p p r o v e d b y t h e D e f e n c e R e s e a r c h B o a r d , D e p a r t m e n t o f N a t i o n a l D e f e n c e , C a n a d a , u n d e r G r a n t N u m b e r 4 0 0 3 - 0 1 . T A B L E OF CONTENTS P a g e T i t l e P a g e i A b s t r a c t . . . . . i i L i s t o f I l l u s t r a t i o n s ;.. i v A c k n o w l e d g e m e n t . v i I n t r o d u c t i o n 1 1 . 0 A n E l e m e n t a r y C o n t a c t o r S e r v o . . 3 2 . 0 The D - C S h u n t M o t o r S e r v o w i t h I n e r t i a L o a d . . . . . . 16 3 . 0 l / 5 0 H P I n d u c t i o n M o t o r S e r v o 25 4 . 0 T h i r d O r d e r S y s t e m . . . 52 5 . 0 C o n c l u s i o n 60 A p p e n d i x I D e t e r m i n a t i o n o f t h e C o n s t a n t s a , b , c , ' f r o m t h e T o r q u e E q u a t i o n o f t h e l / 5 0 HP I n d u c t i o n M o t o r 61 A p p e n d i x I I D e t e r m i n a t i o n o f t h e C o n s t a n t s A , B , C , a n d D f r o m t h e E q u a t i o n o f t h e P h a s e T r a j e c t o r -i e s f o r t h e 1 / 5 0 HP I n d u c t i o n M o t o r S e r v o . . . 63 A p p e n d i x I I I D e t e r m i n a t i o n o f oc, |3 a n d A . . . 66 A p p e n d i x I V M a g n i t u d e o f V o l t a g e A p p l i e d t o t h e F u n c t i o n G e n e r a t o r . 7 0 L I S T OP I L L U S T R A T I O N S p a g e F i g u r e 1 . 1 B l o c k D i a g r a m o f a n E l e m e n t a r y C o n t a c t o r S e r v o .-* 3 . 2 P h a s e P l a n e T r a j e c t o r i e s o f S y s t e m C h a r a c t e r i z e d b y e = - 1 e > 0 , e* = 1 e<0 6 , 3 S t e p R e s p o n s e o f A n I d e a l O p t i m u m S y s t e m 9 2 . 4 C i r c u i t t o G e n e r a t e F u n c t i o n g ( t ) = ^ t . . . 8 . 5 S c h e m a t i c D i a g r a m f o r a S h u n t M o t o r C o n t a c t S e r v o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 . 6 E r r o r a n d G e n e r a t e d F u n c t i o n a s a F u n c -t i o n o f T i m e . . 11 . 7 A c t u a l P h a s e P l a n e P o r t r a i t o f a C o n t a c t o r S e r v o . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 2 . 8 T o r q u e R e v e r s a l C u r v e w i t h D e l a y T i m e C o m p e n s a t i o n . 13 . 9 F u n c t i o n G e n e r a t o r w i t h D e l a y T i m e C o m p e n s a t i o n . . . . . . . . . . . . . . 15 F i g u r e 2 . 1 P h a s e P l a n e T r a j e c t o r i e s o f A S h u n t M o t o r S e r v o . . . . . i . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 0 . 2 F u n c t i o n G e n e r a t o r f o r S h u n t M o t o r S e r v o w i t h o u t D e l a y T i m e C o m p e n s a t i o n . . . . . . . . . 22 . 3 F u n c t i o n G e n e r a t o r f o r S h u n t M o t o r S e r v o w i t h C o m p e n s a t i o n f o r t h e D e l a y T i m e o f t h e R e l a y . 24 F i g u r e 3 . 1 T o r q u e S p e e d C h a r a c t e r i s t i c o f t h e l / 5 0 H P I n d u c t i o n M o t o r 26 . 2 T o r q u e v s S l i p C u r v e f o r t h e l / 5 0 H P . . . . 2 7 . 3 P h a s e P l a n e T r a j e c t o r i e s — l / 5 0 HP I n d u e t i o n M o t o r 29 . 4 T o r q u e / J v s e C u r v e —- l / 5 0 H P I n d u c t i o n M o t o r . . 31 . 5 F u n c t i o n G e n e r a t o r f o r l / 5 0 HP I n d u c t i o n M o t o r . . . . . . . . 33 .6 F u n c t i o n G e n e r a t o r f o r l / 5 0 H P I n d u c t i o n M o t o r w i t h C o m p e n s a t i o n f o r R e l a y T i m e D e l a y . . . . . , , . . . . . . . . . . . . . . 3 5 . 7 E l e c t r i c a l a n d B l o c k D i a g r a m f o r l / 5 0 H P I n d u c t i o n M o t o r S e r v o 3 7 . 8 E r r o r a n d G e n e r a t e d F u n c t i o n a s a F u n c t i o n o f T i m e — l / 5 0 HP I n d u c t i o n M o t o r S e r v o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 i v F i g u r e 3 . 9 E x p e r i m e n t a l P h a s e P l a n e P l o t f o r l / 5 0 HP I n d u c t i o n M o t o r S e r v o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 . 1 0 C i r c u i t D i a g r a m o f a L e a d N e t w o r k . . . . . . . . 3 6 . 1 1 S t r a i g h t L i n e A p p r o x i m a t i o n o f t h e T v s S l i p C u r v e 4 3 . 1 2 S w i t c h i n g B o u n d a r y O b t a i n e d f r o m a L e a d N e t w o r k w i t h a = 0 . 2 8 , T = 0 . 1 3 . 4 9 . 1 3 C i r c u i t D i a g r a m f o r t h e l / 5 0 HP I n d u c t i o n M o t o r S e r v o S y s t e m U s i n g a L e a d N e t w o r k t o A p p r o x i m a t e t h e O p t i m u m S w i t c h i n g . 1 4 E x p e r i m e n t a l P h a s e P o r t r a i t s f o r S e r v o S y s t e m o f F i g u r e 3 . 1 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 F i g u r e 4 . 1 T i m e R e s p o n s e o f a n I d e a l T h i r d - O r d e r S y s t e m t o a S t e p I n p u t . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 . 2 S c h e m a t i c D i a g r a m f o r a n I d e a l T h i r d O r d e r C o n t a c t o r S e r v o . . . . 58 . 3 E r r o r a n d G e n e r a t e d F u n c t i o n s a s F u n c t i o n s o f T i m e f o r a n I d e a l T h i r d O r d e r S y s t e m . . 59 F i g u r e I I I . l T i m e v s e C u r v e f o r t h e l / 5 0 HP I n d u c t i o n M o t o r 68 v 1 INTRODUCTION O p t i m u m s w i t c h i n g o f a c o n t a c t o r s e r v o m e c h a n i s m , h a s b e e n t r e a t e d e x t e n s i v e l y b y means o f p h a s e p l a n e a n a l y s i s . The p r i n c i p l e o f t h i s : m e t h o d i s t h e a p p l i c a t i o n o f maximum t o r q u e w i t h a m i n i m u m n u m b e r o f t o r q u e r e v e r s a l s so a s t o r e d u c e t h e e r r o r o f t h e s y s t e m t o z e r o i n a m i n i m u m t i m e w i t h t h e c o n d i t i o n t h a t t h e r e i s n o o v e r s h o o t . I t h a s b e e n s h o w n t h a t ,a s e c o n d o r d e r s e r v o m e c h a n i s m c a n b e o p e r a t e d i n t h i s o p t i m u m m a n n e r b y a s i n g l e t o r q u e r e v e r s a l , a n d i t s d y n a m i c p e r f o r m a n c e c a n be. s p e c i f i e d i n t e r m s o f t w o v a r i a b l e s , t h e e r r o r , e , a n d t h e e r r o r r a t e , e . ( F o r c o n v e n i e n c e t h e d o t n o t a t i o n w i l l be u s e d t o r e p r e s e n t a t i m e d e r i v a t i v e . ) The c o n t r o l s i g n a l i s n o r m a l l y a n o n l i n e a r f u n c t i o n o f e r r o r a n d e r r o r r a t e a n d a c o m p u t e r i s u s u a l l y n e c -e s s a r y t o d e t e r m i n e t h e e x a c t t o r q u e r e v e r s a l p o i n t . The c o m p l e x i t y o f : t h e s e o p t i m u m s y s t e m s make t h e i r u s e q u e s t i o n a b l e (1) i n m o s t a p p l i c a t i o n s . B i a s e d d i o d e s n e t w o r k s h a v e a l s o b e e n 2 u s e d f o r a n i d e a l o u t p u t member o f t h e l / S f o r m , t h i s s y s t e m i s a g a i n r a t h e r c o m p l i c a t e d . A more r e c e n t s t u d y b y J . ¥ . D i e s e l I o) , s u g g e s t s a m e t h o d f o r m e c h a n i z i n g t h e o p t i m u m s y s t e m u s i n g a c t u a l m o t o r c h a r a c t e r i s t i c s r a t h e r t h a n a n i d e a l t r a n s f e r f u n c t i o n . A s y s t e m w h i c h i s o p t i m u m f o r s t e p a n d r a m p i n p u t s o f v a r i a b l e a m p l i t u d e s r e q u i r e s t w o d i f f e r e n t i a t o r s , f o u r n o n l i n e a r f u n c t i o n g e n e r a t o r s , a f u n c t i o n m u l t i p l i e r a s w e l l a s a n u m b e r o f summers a n d s i g n c h a n g e r s . The c o m p l e x i t y i n v o l v e d m a k e s t h e u s e o f s u c h a s y s t e m v e r y l i m i t e d . The u s e o f R C - n e t w o r k s a n d n o n -( 3 ) l i n e a r r e s i s t o r s i s a n o t h e r w a y o f o b t a i n i n g t h e o p t i m u m s w i t c h i n g b o u n d a r y f o r t h e c o n t a c t o r s e r v o w h o s e o u t p u t member i s o f t h e f o r m l / S . The a d v a n t a g e o f t h i s n e t w o r k i s i t s s i m p l i c i t y . H o w e v e r , t h e p r o p e r c h o i c e o f t h e n o n l i n e a r r e s i s t o r i s n o t o n l y d i f f i c u l t b u t a l s o t e d i o u s , a n d t h e r e s p o n s e i s o p t i m u m s o l e l y f o r t h e o u t p u t member c h a r a c t e r i z e d b y a t r a n s f e r f u n c t i o n o f t h e f o r m 2 l / S . None o f t h e s e m e t h o d s t a k e a c c o u n t o f t h e t i m e d e l a y d u e 2 t o t h e r e l a y . T h i s t h e s i s o f f e r s a n o t h e r s o l u t i o n t o t h e p r o b l e m o f a t t a i n i n g o p t i m u m p e r f o r m a n c e f o r a c o n t a c t o r t y p e s e r v o b y t h e u s e o f s i m p l e , p r a c t i c a l , a n d i n e x p e n s i v e RC t y p e n e t w o r k s . The a n a l y s i s i s b a s e d o n a d i f f e r e n t p r i n c i p l e i n t h a t t h e m i r r o r i m a g e ( i n t h e p h a s e p l a n e ) o f t h e o p t i m u m s w i t c h i n g f u n c t i o n i s g e n e r a t e d a n d t h a t t o r q u e r e v e r s a l o c c u r s a t t h e p o i n t w h e r e t h e g e n e r a t e d f u n c t i o n g ( t ) c r o s s e s t h e e r r o r f u n c t i o n e ( t ) . P r e v i o u s a n a l y t i c a l t r e a t m e n t s w e r e b a s e d o n m e t h o d s o f ' o b t a i n i n g t h e r e q u i r e d s w i t c h i n g b o u n d a r y r e l a t i o n s h i p , f ( e ) , , b e t w e e n e a n d e so t h a t a v o l t a g e p r o p o r t i o n a l t o e - f ( e ) c a n be u s e d a s t h e s w i t c h i n g s i g n a l . I t w i l l , b e s h o w n t h a t t h e t i m e d e l a y d u e t o t h e r e l a y c a n b e c o n v e n i e n t l y a c c o u n t e d f o r b y t h i s m e t h o d . 1. AN ELEMENTARY CONTACTOR SERVOMECHANISM 1.1 C h a r a c t e r i s t i c E q u a t i o n o f M o t i o n o f a n E l e m e n t a r y C o n t a c t o r  S e r v o The c o n t a c t o r s e r v o i s a s i m p l e n o n l i n e a r s e r v o m e c h a n i s m The b l o c k d i a g r a m , F i g u r e 1.1 r e p r e s e n t s a n e l e m e n t a r y r e l a y c o n t r o l s y s t e m . e C o n t r o l l e r M o t o r I n e r t i a J T o r q u e t Q ' 0 F i g u r e 1.1 B l o c k d i a g r a m o f a n e l e m e n t a r y c o n t a c t o r s e r v o I f w i n d a g e a n d f r i c t i o n a r e n e g l e c t e d t h e d i f f e r e n t i a l e q u a t i o n r e l a t i n g o u t p u t p o s i t i o n t o t o r q u e i s d 2 © J — ^ = T (1.1) d t w h e r e J i s t h e moment o f i n e r t i a o f t h e m o t o r , a n d 0 q t h e o u t p u t p o s i t i o n o f t h e s y s t e m . I f i t i s a s s u m e d t h a t t h e t o r q u e s u p p l i e d b y t h e m o t o r i s T = + T f f i a n d c a n be r e v e r s e d i n s t a n t a n e o u s l y , t h e b e h a v i o u r o f t h e s y s t e m i s d e s c r i b e d b y t h e s e c o n d o r d e r d i f f e r e n -t i a l e q u a t i o n s JO = +T (1.2a) o m j ' © o = - T m (1.2b) 4 F o r a s t e p i n p u t © = - 6 o 0 = - e o w h e r e e = 0 ^ - ©Q i s t h e e r r o r a n d e q u a t i o n s ( l . 2 a ) a n d ( l . 2 b ) c a n b e w r i t t e n a s J e = - T f f l ( 1 . 3 a ) J e = + T m ( 1 . 3 b ) F o r e a s e o f c a l c u l a t i o n t h e n o r m a l i z e d v a l u e s T = 1 , m J = 1 w i l l b e u s e d so t h a t e q u a t i o n s ( l . 3 a ) a n d ( l . 3 b ) h a v e t h e f o r m *e = - 1 ( 1 . 4 a ) V = + 1 ( 1 . 4 b ) I n t e g r a t i n g e q u a t i o n ( l . 4 a ) a n d i m p o s i n g t h e i n i t i a l c o n d i t i o n e = 0 a t t =0 y i e l d s e = - t ( 1 . 5 ) I n t e g r a t i n g o n c e more r e s u l t s i n w h e r e e^ i s t h e i n i t i a l e r r o r , o On c o m b i n i n g e q u a t i o n s ( 1 . 5 ) a n d ( 1 . 6 ) so a s t o e l i m i n a t e t , t h e r e s u l t i s e = i - | e 2 + e Q ( 1 . 7 ) 5 E q u a t i o n s ( 1 . 4 a ) , ( 1 . 5 ) a n d ( 1 . 6 ) d e s c r i b e t h e s t e p r e s p o n s e a s a f u n c t i o n o f t i m e , a n d e q u a t i o n ( 1 . 7 ) i s t h e p a r a -b o l i c t r a j e c t o r y w h e n t h e a p p l i e d t o r q u e i s p o s i t i v e . S i m i l a r l y , b y i n t e g r a t i n g e q u a t i o n ( l . 4 b ) t h e e q u a t i o n s d e s c r i b i n g t h e t i m e r e s p o n s e a n d t h e t r a j e c t o r y w h e n t h e a p p l i e d t o r q u e i s n e g a t i v e a r e o b t a i n e d : e = t e = % e + e^ 2 0 1 . 2 P h a s e P l a n e A n a l y s i s o f a n E l e m e n t a r y C o n t a c t o r S e r v o F i g u r e 1 . 2 i s d e r i v e d d i r e c t l y f r o m e q u a t i o n s ( 1 . 7 ) a n d ( 1 . 1 0 ) . T h e r e a r e t w o s e t s o f p a r a b o l a s , one f o r p o s i t i v e t o r q u e ( s o l i d l i n e s ) , a n d o n e f o r n e g a t i v e t o r q u e ( d a s h e d l i n e s ) . I f t h e e l e m e n t a r y c o n t a c t o r s e r v o w h o s e c h a r a c t e r i s t i c e q u a t i o n s o f m o t i o n a r e e = - 1 e > 0 ( 1 . 1 1 ) e = + 1 e < 0 ( 1 . 1 2 ) i s s u b j e c t e d t o a s t e p f u n c t i o n o f i n p u t p o s i t i o n +4, f o r e x a m p l e , i t s p h a s e p o r t r a i t s t a r t s o n t h e a b s c i s s a a t +4 a n d m o v e s i n t o t h e f o u r t h q u a d r a n t a l o n g c u r v e C D E F u n t i l i t i n t e r s e c t s t h e o r d i n a t e a t a p p r o x i m a t e l y - 2 . 8 3 . H e r e t h e t o r q u e r e v e r s e s , r e s u l t i n g i n a , r e v e r s a l o f t h e e r r o r r a t e a n d o f t h e s l o p e o f t h e p h a s e p o r t r a i t , a n d a d e c e l e r a t i o n o f t h e s y s t e m t o z e r o e r r o r r a t e a t a n e q u a l n e g a t i v e d i s t a n c e f r o m t h e o r i g i n . The p h a s e p o r t r a i t c o n t i n u e s f r o m t h e r e o n t h e same c u r v e t h r o u g h q u a d r a n t 2 a n d 1 a n d b a c k t o +4 o f t h e a b s c i s s a , w h e r e t h i s s e q u e n c e i s a g a i n r e p e a t e d . C u r v e C ' D ' E ' F 1 a n d C t I D n E , * F M a r e p h a s e p o r t r a i t s o f t h e r e s p o n s e f o r o t h e r v a l u e s o f s t e p i n p u t . I t may b e n o t e d t h a t a l l o f t h e p h a s e p o r t r a i t s a r e made u p o f s e g m e n t s o f p a r a b o l a s a n d a r e c l o s e d p a t h s h a v i n g o d d s y m m e t r y . A s y s t e m h a v i n g a p h a s e p o r t r a i t ( 1 . 8 ) ( 1 . 9 ) ( 1 . 1 0 ) 6 7 o f t h i s k i n d r e p r e s e n t s a s t a b l e o s c i l l a t o r y m o t i o n . C o n s i d e r a t i o n o f t h e c u r v e AOB s h o w s t h a t i f t h e s y s t e m t r a j e c t o r y b e c o m e s c o i n c i d e n t w i t h t h i s c u r v e i n t h e s e c o n d a n d f o u r t h q u a d r a n t s t h e n e a n d e c a n be r e d u c e d t o z e r o s i m u l t a n e o u s l y . T h u s i t i s s e e n t h a t t h e l o c u s o f p o i n t s f o r p r o p e r t o r q u e r e v e r s a l , t h e t o r q u e r e v e r s a l c u r v e , i s s i m p l y t h e t r a j e c t o r y d e s c r i b e d b y e q u a t i o n ( 1 . 7 ) a n d ( 1 . 1 0 ) w i t h e Q = 0 . The s y s t e m h a v i n g t h i s t o r q u e r e v e r s a l c u r v e w i l l h a v e t h e c h a r a c t e r i s t i c e q u a t i o n s o f m o t i o n e = - 1 p2+ 2 e > 0 ( 1 . 1 3 ) e = + 1 e 2 + 2 e < 0 ( 1 . 1 4 ) The s p e e d o f r e s p o n s e d e m o n s t r a t e d b y t h i s t y p e o f s y s t e m i s t h e maximum o b t a i n a b l e w ^ t h a n y t y p e o f s e r v o m o t o r h a v i n g a maximum f i x e d t o r q u e , w h e t h e r o p e r a t e d i n a l i n e a r o r n o n l i n e a r s y s t e m s u b j e c t t o t h e c r i t e r i o n o f z e r o o v e r s h o o t . 1 . 3 D e s i g n o f t h e O p t i m u m S y s t e m The o p t i m u m s y s t e m i s o b t a i n e d b y means o f a c o m p u t e r w h i c h s w i t c h e s t h e s y s t e m w h e n e v e r a p a t h r e a c h e s e i t h e r o f t h e two t r a j e c t o r i e s m a r k e d AO a n d OB i n F i g u r e 1 . 2 . The e q u a t i o n o f t h e s e t r a j e c t o r i e s o r s w i t c h i n g c u r v e s a r e - e 2 + 2e = 0 ( 1 . 1 5 ) e 2 + 2e = 0 ' ' w ( 1 . 1 6 ) B y c o n s i d e r i n g t h e s i g n s o f e a n d e i n q u a d r a n t s I I a n d I V o f t h e p h a s e p l a n e t h e t o r q u e r e v e r s a l c u r v e c a n be w r i t t e n i n t h e f o r m o f e + | e| e| = 0 ( 1 . 1 7 ) L e t e d = e + \ e | e | ( 1 . 1 8 ) 8 denote the drive signal for the relay. The relay should select positive torque above and to the right of curve AOB when e^ is positive, and negative torque below and to the left when e^ is negative. The resulting behaviour for this system is summarized in Figure L3. If a definite effort is made to switch as closely to the optimum torque reversal curve as possible, the computer must measure e and e and determine the required switching instants and the entire system will be rather complex. A different and simpler approach to the problem is the generation of the mirror image, g(t), of the locus of the torque reversal curve as shown in Figure 1.3b. e^ is expressed in terms of time by substituting equation (1.5) into equation (1.18) e d = e - | t 2 = e - g(t) (1.19) The system will switch at the instant when e^ is equal to zero so that the locus of the switching points will be the optimum torque reversal curve. The integrating circuit in Figure 1.4 can be used to generate the function g(t) = l/2 t . Figure 1.4 Circuit to generate function g(t) = yt 9 F i g u r e 1 . 3 S t e p r e s p o n s e o f a n i d e a l o p t i m u m s y s t e m 1 0 1 . 4 S y s t e m D e s c r i p t i o n F i g u r e 1 . 5 i s a s i m p l e c o n t a c t o r s e r v o m e c h a n i s m f o r p o s i t i o n c o n t r o l . The o p e r a t i o n o f t h e c i r c u i t i s a s f o l l o w s : When t h e s y s t e m i s e x c i t e d b y a p o s i t i v e s t e p i n p u t s a y +4 d i o d e s 1 a n d 3 w i l l c o n d u c t so t h a t t h e c o i l s o f r e l a y s 1 , 3 , a n d 5 a r e e n e r g i z e d , a n d a v o l t a g e o f p l u s V i s a p p l i e d t o t h e m o t o r . A p o s i t i v e s t e p o f m a g n i t u d e p l u s o n e i s a p p l i e d t o t h e i n p u t t e r m i n a l o f t h e f u n c t i o n g e n e r a t o r a n d c o n t i n u i t y e x i s t s b e t w e e n p o i n t a a n d b . The e r r o r e a n d t h e g e n e r a t e d f u n c t i o n g ( t ) a s a f u n c t i o n o f t i m e i s s h o w n i n F i g u r e 1 . 6 . A t t = t e ( t ) a n d g ( t ) a r e e q u a l t h e r e f o r e e^ w i l l b e c o m e z e r o . A t t h i s i n s t a n t r e l a y 3 w i l l b e d e - e n e r g i z e d . F o r t 3 > t t h e g e n e r a t e d f u n c t i o n s g ( t ) w i l l be g r e a t e r t h a n t h e e r r o r so t h a t t h e d r i v e s i g n a l e^ w i l l go n e g a t i v e a n d d i o d e 4 c o n d u c t s . A s a r e s u l t t h e c o i l o f r e l a y 4 i s e n e r g i z e d a n d a n e g a t i v e v o l t a g e - V w i l l b e a p p l i e d t o t h e m o t o r t o r e v e r s e t h e t o r q u e . The e r r o r c o n t i n u e s t o d i m i n i s h u n t i l i t r e a c h e s z e r o . R e l a y s 1 , 4 , a n d 5 w i l l be d e -e n e r g i z e d , a n d t h e s y s t e m i s a t r e s t . The o p e r a t i o n o f t h e s y s t e m w h e n i t i s d i s t u r b e d b y a n e g a t i v e s t e p c a n be d e d u c e d i n a s i m i l a r m a n n e r . 1 . 5 C o m p e n s a t i o n o f t h e D e l a y T i m e i n t h e R e l a y The d y n a m i c p e r f o r m a n c e o f t h e s e r v o s y s t e m c a n be d e s c r i b e d b y t h e p h a s e p l a n e p l o t i n F i g u r e 1 . 7 . When t h e s y s t e m i s d i s t u r b e d b y a p o s i t i v e i n p u t p o s i t i o n o f +4 i t s p h a s e p o r t r a i t s t a r t s o n t h e a b s c i s s a 44 a n d p r o c e e d s i n t h e f o u r t h q u a d r a n t a l o n g c u r v e CD u n t i l t h i s c u r v e c r o s s e s t h e o p t i m u m s w i t c h i n g b o u n d a r y A O B . A t p o i n t 1 t h e t o r q u e r e v e r s e s . I t t h e n f o l l o w s c u r v e OB i n t o t h e o r i g i n p r o v i d e d t h e r e l a y s a r e i d e a l . H o w e v e r , due t o t h e d e l a y t i m e i n t h e r e l a y t h e t o r q u e w i l l n o t r e v e r s e u n t i l a t p o i n t 2 . The p h a s e c u r v e o n i n t e r s e c t i n g D ' E ' c h a n g e s s l o p e a n d p a s s e s t h r o u g h t h e t h i r d a n d s e c o n d q u a d r a n t . The c u r v e a g a i n i n t e r s e c t s AOB a t p o i n t 3 i n t h e s e c o n d q u a d r a n t . S i m i l a r l y , 11 +v t 9Q.QHQJ e d -V 1 4 4 To s e r v o m o t o r i T + i - 1 N 2 2 1 F u n c t i o n G e n e r a t o r F i g u r e 1 . 5 S c h e m a t i c d i a g r a m f o r a s h u n t m o t o r c o n t a c t o r s e r v o F i g u r e 1 .6 E r r o r a n d g e n e r a t e d f u n c t i o n a s a f u n c t i o n o f t i m e F i g u r e 1 . 7 A c t u a l p h a s e p o r t r a i t o f a c o n t a c t o r s e r v o b e c a u s e o f t h e d e l a y t i m e o f t h e r e l a y , t h e r e s t o r i n g t o r q u e w i l l n o t b e r e v e r s e d i n p o l a r i t y u n t i l a t p o i n t 4, a n d t h e e r r o r a n d e r r o r r a t e a r e f u r t h e r r e d u c e d . The p h a s e c u r v e w i l l c o n t i n u e i n t h e same m a n n e r a n d s p i r a l t o w a r d s t h e o r i g i n . A t p o i n t 1 o f t h e p h a s e p o r t r a i t a v o l t a g e p l u s V w i l l be d i s c o n n n e c t f r o m t h e m o t o r i n p u t a n d t h e n e g a t i v e v o l t a g e - V w i l l n o t b e c o n n e c t e d t o t h e m o t o r u n t i l a t p o i n t 2. D u r i n g t h e i n t e r v a l b e t w e e n p o i n t 1 a n d 2 t h e r e i s n o a p p l i e d v o l t a g e t o t h e m o t o r a n d i t s s p e e d i s e s s e n t i a l l y c o n s t a n t a n d e q u a l t o - e^. L e t t ^ b e t h e d e l a y t i m e o f t h e r e l a y , t h e l e n g t h 1-2 i s t h e p r o d u c t o f |e ,| t , . The e q u a t i o n o f t h e o p t i m u m s w i t c h i n g b o u n d a r y i s 13 O w i n g t o t h e d e l a y t i m e i n t h e r e l a y t h e e q u a t i o n o f t h e a c t u a l s w i t c h i n g b o u n d a r y w i l l b e e = \ k2 + t d e a n d i s i n d i c a t e d b y c u r v e O B 1 i n F i g u r e 1 , 8 . F i g u r e 1 . 8 T o r q u e r e v e r s a l c u r v e w i t h d e l a y t i m e c o m p e n s a t i o n Now c o n s i d e r O B " w h o s e e q u a t i o n i s a n d a s s u m e c u r v e O B " t o be t h e new s w i t c h i n g b o u n d a r y . When t h i s c o n t a c t o r s e r v o i s s u b j e c t e d t o a n i n p u t s t e p f u n c t i o n o f + 5 . 2 5 r a d s , f o r e x a m p l e , t h e p h a s e c u r v e p r o c e e d s a l o n g c u r v e C l i n t h e f o u r t h q u a d r a n t u n t i l t h i s c u r v e i n t e r s e c t s c u r v e O B " a t p o i n t 1 . A t t h i s i n s t a n t t h e v a l u e o f e i s ( 1 . 2 0 ) 14 6 = 2 * 1 + V l The t o r q u e r e v e r s e s a t p o i n t 2 w h e r e , t a k i n g i n t o a c c o u n t t h e d e l a y t i m e o f t h e r e l a y , t h e m a g n i t u d e o f e i s e = | e 2 + t ^ - t a e 1 = | e 2 T h e r e f o r e t h e t o r q u e r e v e r s a l p o i n t 2 i s o n t h e o p t i m u m s w i t c h i n g c u r v e O B . A f t e r t o r q u e r e v e r s a l , t h e p h a s e c u r v e f o l l o w s OB i n t o t h e o r i g i n w i t h o u t o v e r s h o o t . The o p t i m u m s w i t c h i n g e q u a t i o n ( l . 2 l ) c a n be e x p r e s s e d i n t e r m s o f t i m e b y t h e s u b s t i t u t i o n o f e q u a t i o n ( 1 . 5 ) . T h u s , i f t d i s s m a l l e = I t 2 + t d t = | ( t d + t ) 2 - | t d 2 ^ | ( t + t d ) 2 L e t t h e g e n e r a t e d f u n c t i o n be g ( t ) = i('t+'fc < j) • 1* i s n e c e s s a r y t o s y n t h e s i z e a n e t w o r k N s u c h t h a t i t s o u t p u t i s t h a t o f g ( t ) . The L a p l a c e t r a n s f o r m o f g ( t ) i s , t , S G ( S ) = ^ e a = X ( S ) E , ( S ) ( 1 . 2 2 ) S A s s u m e t h a t t h e i n p u t t o t h e n e t w o r k N i s a u n i t s t e p w h o s e L a p l a c e t r a n s f o r m i s t h e n t h e L a p l a c e t r a n s f o r m o f t h e n e t w o r k w i l l b e tds I ( s ) = e _ « 1_ ( 1 + t d S ) The r e s u l t i n g n e t w o r k i s s h o w n i n F i g u r e 1 . 9 . 15 F i g u r e 1.9 F u n c t i o n g e n e r a t o r w i t h d e l a y t i m e c o m p e n s a t i o n 16 2 . THE DC SHUNT MOTOR SERVO W I T H I N E R T I A LOAD 2 . 1 C h a r a c t e r i s t i c E q u a t i o n o f M o t i o n I t h a s b e e n s h o w n t h a t t h e b a s i c d i f f e r e n t i a l e q u a t i o n r e l a t i n g o u t p u t p o s i t i o n t o t o r q u e T f o r a n e l e m e n t a r y c o n t a c t o r s e r v o w i t h i n e r t i a l o a d o n l y i s J O G = T ( 2 . 1 ) The t o r q u e o f a d - c s h u n t m o t o r i s g i v e n b y T = ^ r1 <v - v A * ( 2-2 ) w h e r e T i s t h e g e n e r a t e d m o t o r t o r q u e , i ^ t h e m o t o r f i e l d c u r r e n t , R t h e t o t a l a r m a t u r e c i r c u i t r e s i s t a n c e w h i c h i n c l u d e s t h e a r m a -t u r e r e s i s t a n c e a n d t h e a r m a t u r e c i r c u i t i n s e r t e d s e r i e s r e s i s t a n c e , a n d K g a r e m o t o r c o n s t a n t s . A s s u m e t h a t t h e t o r q u e c a n b e r e v e r s e d i n s t a n t a n e o u s l y a n d t h a t i t i s p o s i t i v e w h e n t h e a r m a t u r e t e r m i n a l v o l t a g e i s (+V) a n d n e g a t i v e w h e n t h e a p p l i e d v o l t a g e i s ( - V ) . W i t h t h i s a s s u m p t i o n t h e b e h a v i o u r o f t h e s y s t e m c a n be d e s c r i b e d b y t h e s e c o n d o r d e r d i f f e r e n t i a l e q u a t i o n s K , i , , J © 0 = ( V - K 2 i f 6 Q ) P O S I T I V E TORQUE ( 2 . 3 a ) K i J © 0 = ( - V - K 2 i f O Q ) N E G A T I V E TORQUE ( 2 . 3 b ) C o n s i d e r i n g o n l y t h e c a s e o f s t e p i n p u t , e q u a t i o n ( 2 . 3 a ) , ( 2 . 3 b ) , ( 2 . 4 ) * ( 2 . 5 ) , ( 2 . 6 ) c a n b e c o m b i n e d t o f o r m a s e t o f e q u a t i o n s ( 2 . 7 a ) a n d ( 2 . 7 b ) . 17 ©i - ©G = e ( 2 . 4 ) 6 = - e ( 2 . 5 ) o e o = - i (2.6) K i . V K K i 2 e = - ( - ^ j f - + J R *) = -(« 2+P.«) (2.7a) l L i „ V K , K _ i 2 . v = - H b r - - J t j F - *>. = -<«2-P*-> ( 2 - 7 b ) w l l o r o 2 K l i f V ft K l K 2 i f 2 w h e r e a = r ^ g — - , 0 = — j g A s s u m e a s o l u t i o n o f e q u a t i o n (2.7a) o f t h e f o r m e = 0^(1 - e T t ) (2.8) H e n c e e* = C ^ e " * " 6 (2.9) S u b s t i t u t i n g e q u a t i o n s (2.8) a n d (2.9) i n t o e q u a t i o n (2.7a) y i e l d s C ^ e ' 7 ? = - a 2 - p C j d - e - f f t ) (2.10) E q u a t e t e r m s o n b o t h s i d e s o f e q u a t i o n (2.10) .2 rt„ * „ a2 - a -pCj^ =0 . . C 1 = - 0 T h e r e f o r e e = - | ^ ( l - e ~ P t ) (2.11) I n t e g r a t i n g e q u a t i o n (2.1l) w i t h r e s p e c t t o t , y i e l d s • = % + ^ t j T < t + £ (2.12) 18 where e Q denotes the i n i t i a l i n p ut e r r o r . Time can be e l i m i n a t e d by combining equations (2.12), (2.13), and (2.14). e " p t = % e + 1 (2.13) or ' t = - | l n ( ^ e + 1) (2.14) p a 2 Thus e = e + ^ l n ( ^ e + l ) - J e (2.15) 0 flf a 2 P S i m i l a r l y the s o l u t i o n of equation (2.7b) i s = (1 - e ~ p t ) (2.16) By i n t e g r a t i o n w i t h r e s p e c t to time i t f o l l o w s t h a t and from equation (2.16) t h a t e - P t = B g + x ( 2 1 8 )  a or t = - | l n ( l (2.19) a Equations (2.17), (2.18), (2.19) maybe combined to form equation (2.20) which i s the equation of the t r a j e c t o r y when the a p p l i e d torque i s ne g a t i v e . e = e„ i n ( l - *~ e) - h (2.20) ° B2 a 2 P 19 The p h a s e t r a j e c t o r i e s d e s c r i b e d b y e q u a t i o n s . ( 2 . 1 5 ) a n d ( 2 . 2 0 ) a r e s h o w n i n F i g u r e 2 . 1 . The s o l i d l i n e i n F i g u r e 2 . 1 i s t h e o p t i m u m t o r q u e r e v e r s a l c u r v e ( c o r r e s p o n d i n g t o e Q = 0 ) . The c o m p l e t e t o r q u e r e v e r s a l c u r v e e q u a t i o n c a n be, w r i t t e n a s i n e q u a t i o n ( 2 . 1 2 ) , a s a s p e c i a l c a s e o f e q u a t i o n ( 2 . 1 5 ) a n d ( 2 . 2 0 ) , b y c o n s i d e r i n g t h e s i g n s o f e a n d § i n t h e f o u r t h a n d s e c o n d q u a d r a n t s o f t h e p h a s e p l a n e . j f y e =a5-m(^ |ft| - h i ) - i | e | ( 2 . 2 1 ) P GC The c h a r a c t e r i s t i c e q u a t i o n s o f m o t i o n o f t h e o p t i m u m s y s t e m a r e a s f o l l o w s : ' ' 2 e* = -(ct2 + B e ) ; -J-§J- e - ^ l n ( ^ | * |. + l ) + |M>0 P tt ( 2 . 2 2 ) e = - U2 - B e ) ; * e - ^ l n ( \ | e | + .1 ) 4- ± [ e | < 0 ' P tt ( 2 . 2 3 ) 2 . 2 D e s i g n o f t h e O p t i m u m S y s t e m S i n c e t h e o p t i m u m t o r q u e r e v e r s a l c u r v e o r o p t i m u m s w i t c h i n g c u r v e i n t h e f o u r t h a n d s e c o n d q u a d r a n t a r e s y m m e t r i c a l w i t h r e s p e c t t o t h e o r i g i n , i t i s s u f f i c i e n t t o c o n s i d e r t h e f o u r t h q u a d r a n t . The e q u a t i o n o f t h e s w i t c h i n g b o u n d a r y i n t h e f o u r t h q u a d r a n t o f t h e p h a s e p l a n e i s e = - ^ lnd - ^ e ) - I e ( 2 . 2 4 ) 8 a P cc 2 8 E x p a n d i n g - —x l n ( l - e ) i n t o a p o w e r s e r i e s y i e l d s 8 oc F i g u r e 2,1 P h a s e p l a n e t r a j e c t o r i e s o f a s h u n t m o t o r s e r v o 21 4ln(l - % * ) = " 4 8^ a - 2 8^ -^2 ^  ~" 9^ a" — 3(^ 2™ ^  * • a a P a 2 p r o v i d e d i s v e r y m u c h s m a l l e r t h a n u n i t y . or E q u a t i o n ( 2 . 2 4 ) c a n b e r e w r i t t e n a s o r » ~ . I * 4. I_ *2 • 1 . e » - I _ e 2 2a' The r e l a y d r i v i n g s i g n a l e^ i s t a k e n t o b< ( 2 . 2 5 ) 1 x2 e , = e - — r e d 2a 2 ( 2 . 2 6 ) w h i c h c h a n g e s s i g n a t t h e s w i t c h i n g b o u n d a r y . E x p r e s s i n g e q u a t i o n ( 2 . 2 5 ) i n t e r m s o f t i m e b y s u b s t i -t u t i o n o f e q u a t i o n ( 2 . 1 1 ) y i e l d s 1 /a x 2 / , - B t v 2 •4- ,-i?. <r ,- < 1" e 1 ( 2 . 2 7 ) The g e n e r a t e d f u n c t i o n i s t a k e n a s g ( t ) = | ^ ( 1 - 2e- p t + e - 2 p t ) ( 2 . 2 8 ) 22 The L a p l a c e t r a n s f o r m o f e q u a t i o n ( 2 . 2 8 ) i s r(c\ l a /I 2 1 \ _ 1 a U V D ; ~ 2 p 2 V S " S+B + S+20/ ~ 2 ^2 S ( S + B ) ( S + 2 B ) L e t t h e t r a n s f e r f u n c t i o n o f t h e f u n c t i o n g e n e r a t o r be T(S) - G ( ?> F o r a u n i t s t e p i n p u t Ms) =i T ( S ) = S G ( S ) = a ' .2 o r T ( S ) = ( S + 8 ) ( S + 2 B ) ( 2 . 2 9 ) The a b o v e t r a n s f e r f u n c t i o n c a n b e r e a l i z e d b y s i m p l e R C - n e t w o r k s a s s h o w n i n F i g u r e 2 . 2 w h e r e R g ^ R ^ F i g u r e 2 . 2 F u n c t i o n g e n e r a t o r f o r s h u n t m o t o r s e r v o w i t h o u t d e l a y t i m e c o m p e n s a t i o n 23 2.3 C o m p e n s a t i o n f o r t h e D e l a y T i m e i n t h e R e l a y The e q u a t i o n o f t h e s w i t c h i n g b o u n d a r y w i t h c o m p e n s a t i o n f o r t h e d e l a y t i m e t d f o r t h e r e l a y c a n b e s i m i l a r l y d e r i v e d a s i n s e c t i o n 1 . 5 . 1 . 2 * . ( 1 o 1 \ o e = — ~ e - t , e = { — ~ e - t , ; e 2 a a 2cx* ( 2 . 3 0 ) S u b s t i t u t i n g e q u a t i o n (2.11) i n t o e q u a t i o n ( 2 . 3 0 ) y i e l d s 1 a.2, 0 - 8 t . - 2 8 t v , . a 2 / , - 0 t > e = 2 — ( l-2e r + e ) + t d |pU - e , ; L e t t h e g e n e r a t e d f u n c t i o n g ( t ) b e g ( t ) = f -The L a p l a c e t r a n s f o r m o f t h e a b o v e e q u a t i o n i s .2 G ( S ) = f , B , , v S(S+0)(S+20) . S ( S + 8 ) a 2 ( l + 2 8 t d ) 1 + l + 2 B t d " S ( S + 8 ) ( S + 2 8 ) The new f u n c t i o n g e n e r a t o r w i t h d e l a y t i m e c o m p e n s a t i o n w i l l be o f t h e f o r m s h o w n i n F i g u r e 2 . 3 w h e r e A i s a b u f f e r a m p l i f i e r . The s c h e m a t i c d i a g r a m o f a n o p t i m u m s h u n t m o t o r c o n t a c t o r s e r v o c a n b e t h e same a s t h a t o f F i g u r e 1 .5 e x c e p t t h e f u n c t i o n g e n e r a t o r i s t h a t o f F i g u r e 2 . 3 . 24 B 1 C 1 = J R 2 C 2 = V R l S t e p i n p u t a 2 A A A A -rt3°3 " 1 + 28 t . R 2 » R 1 R, F i g u r e 2 . 3 F u n c t i o n g e n e r a t o r f o r s h u n t m o t o r s e r v o w i t h c o m p e n s a t i o n f o r d e l a y t i m e o f t h e r e l a y 25 3 . 1/50 HP I N D U C T I O N MOTOR SERVO (FORD M E D I U M - I N E R T I A SERVO MOTOR) 3 . 1 C h a r a c t e r i s t i c E q u a t i o n o f M o t i o n The same a n a l y t i c a l t e c h n i q u e d e s c r i b e d p r e v i o u s l y c a n be a p p l i e d t o t h e d e s i g n o f a n i n d u c t i o n m o t o r s e r v o a s w e l l . The t o r q u e - s p e e d c h a r a c t e r i s t i c o f a F o r d l / 5 0 H P s e r v o m o t o r , a s s u p p l i e d b y t h e m a n u f a c t u r e r ; ; , i s s h o w n i n F i g u r e 3 . 1 , n d e n o t e s t h e s p e e d o f t h e m o t o r a n d n i t s maximum s p e e d i n A m ,• • x r . p . m . F i g u r e 3 . 2 i s o b t a i n e d f r o m F i g u r e 3 . 1 b y means o f t h e ( 4 ) -t o r q u e e q u a t i o n f o r a n i n d u c t i o n m o t o r T = ( 3 . 1 ) s +bs+^ c n - n w h e r e s = — — = 1 - j j - ( 3 . 2 ) n s n s i s t h e s l i p a n d n , t h e s y n c h r o n o u s s p e e d . I t i s a m a t t e r o f s c h o o s i n g t h e c o n s t a n t s a , b , a n d c s u c h t h a t F i g u r e 3 . 1 w i l l be b e s t r e p r e s e n t e d b y t h e e q u a t i o n ( 3 . 1 ) . The d e t e r m i n a t i o n o f t h e c o n s t a n t s a , b , a n d c i s i l l u s t r a t e d i n a p p e n d i x 1 . K n o w i n g t h e c o n s t a n t s a , b , a n d c t h e t o r q u e v s s l i p c u r v e c a n be p l o t t e d f o r a n y v a l u e o f s b y s u b s t i t u t i n g i t s v a l u e i n t o e q u a t i o n ( 3 . 1 ) f o r t h e c o r r e s p o n d i n g v a l u e o f t o r q u e T . The d o t t e d l i n e o n F i g u r e 3 . 2 i s a p l o t o f e q u a t i o n ( 3 . 1 ) f o r t h e v a l u e o f s f r o m 1 t o 2 w h i c h i s n o t u s u a l l y g i v e n b y t h e m a n u f a c t u r e r . I n a n i n d u c t i o n m o t o r t h e s y n c h r o n o u s s p e e d i s t h e s p e e d o f t h e r o t a t i n g s t a t o r f l u x t h e r e f o r e t h e t o r q u e i s p o s i t i v e w h e n n g i s e q u a l t o + | n m | a n d i t i s n e g a t i v e w h e n n g i s e q u a l t o - I n m F o r a s t e p i n p u t e = - 0 , e = - 0 ( 3 . 5 ) o ' m om 26 F i g u r e 3 . 1 T o r q u e s p e e d c h a r a c t e r i s t i c o f t h e l / 5 0 HP i n d u c t i o n m o t o r T ( o z - i n ) F i g u r e 3 . 2 T o r q u e v s S l i p c u r v e f o r . 1-/50 HP i n d u c t i o n m o t o r to 28 w h e r e e d e n o t e s t h e maximum e r r o r r a t e a n d 9 t h e maximum o u t p u t m om x m o t o r v e l o c i t y i n r a d / s e c . S i n c e n = — a n d n = © m ( 3 . 4 ) 2n ° m 2TI om e q u a t i o n ( 3 . 2 ) , ( 3 . 3 ) , a n d ( 3 . 4 ) c a n b e c o m b i n e d t o f o r m a s e t o f e q u a t i o n s ( 3 . 5 ) a n d ( 3 . 6 ) s = 1 + " p f j P O S I T I V E TORQUE ( .3 .5) s = 1 -7§-r N E G A T I V E TORQUE ( 3 . 6 ) I m| A s s u m e t h a t t h e t o r q u e s u p p l i e d b y t h e m o t o r (*T = * - ) ~ s +bs+c c a n b e r e v e r s e d i n s t a n t a n e o u s l y . W i t h t h i s a s s u m p t i o n t h e s y s t e m i s d e s c r i b e d b y t h e d i f f e r e n t i a l e q u a t i o n s J O = +T = - ~ P O S I T I V E TORQUE ( 3 . 7 ) 0 s S-bs+c J O = - T = ~ a s — N E G A T I V E TORQUE ( 3 . 8 ) ° s^+bs-JC F o r a s t e p i n p u t e q u a t i o n s ( 3 . 7 ) a n d ( 3 . 8 ) c a n be r e w r i t t e n a s = J e | | = - T = - a s — P O S I T I V E TORQUE ( 3 . 9 ) s +bs+c Je* = J e ~ = T = N E G A T I V E TORQUE ( 3 . 1 0 ) a e s +bs-tc E l i m i n a t i n g s b y s u b s t i t u t i n g e q u a t i o n s ( 3 . 5 ) a n d ( 3 . 6 ) i n t o e q u a t i o n s ( 3 . 9 ) a n d ( 3 . 1 0 ) r e s p e c t i v e l y , a n d i n t e g r a t i n g t h e r e s u l t i n g e q u a t i o n s y i e l d s . A . 3 B 4 2 e = e — q + pJ _ I e * + Ce + D l n ( l + y ~ y ) P O S I T I V E TORQUE (3 .11 . ) I m| o + 3 ® 3 + 2 § 2 + C® D l n ( 1 - "fTT^ N E G A T I V E TORQUE ( 3 . 1 2 ) 29 3 0 w h e r e e i s t h e i n i t i a l e r r o r * o The d e t e r m i n a t i o n o f t h e c o n s t a n t s A , B , C , a n d D i s g i v e n i n A p p e n d i x I I . The p h a s e p l a n e t r a j e c t o r i e s d e s c r i b e d b y e q u a t i o n ( 3 . 1 1 ) ( s o l i d l i n e s ) a n d e q u a t i o n ( 3 . 1 2 ) ( d a s h e d l i n e s ) a r e s h o w n i n F i g u r e 3 . 3 . The c u r v e m a r k e d AO a n d OB i s t h e o p t i m u m t o r q u e r e v e r s a l c u r v e o r s w i t c h i n g b o u n d a r y c o r r e s p o n d i n g t o e Q = 0 i n e q u a t i o n s ( 3 . 1 1 ) a n d ( 3 . 1 2 ) r e s p e c t i v e l y . H e n c e t h e e q u a t i o n o f t h e o p t i m u m s w i t c h i n g c u r v e OB- i s e = j e 3 + | e 2 + Ce - D l n ( l - r j ^ - ) ( 3 . 1 3 ) a n d t h a t o f AO i s e = | e 3 + | S 2 + Ce + D l n ( l + rA- ) ( 3 . 1 4 ) B y c o n s i d e r i n g e q u a t i o n s ( 3 . 1 3 ) a n d ( 3 . 1 4 ) a n d t h e s i g n o f e a n d & i n q u a d r a n t I I a n d I V o f t h e p h a s e p l a n e , t h e s w i t c h i n g b o u n d a r y e q u a t i o n c a n b e w r i t t e n i n t h e f o r m - ^ e = - | | e | 3 + | e 2 - C | e | - D l n ( l + | ^ ) ( 3 . 1 5 ) T h e r e f o r e t h e c h a r a c t e r i s t i c e q u a t i o n s o f m o t i o n o f t h e o p t i m u m s y s t e m a r e Je* Je* = - T ; y | y e - f |e| 3 + § e 2 - C | e | - D l n ( l + ^ p ) > 0 ( 3 . 1 6 ) = T J jf]- e " tl.«|3 + § ^  - C|«| - m n ( H j ^ j - ) < 0 ( 3 . 1 7 ) 31 3 . 2 D e s i g n o f a n O p t i m u m C o n t a c t o r S e r v o S y s t e m w i t h a F o r d 1 / 5 0 H P I n d u c t i o n M o t o r U s i n g t h e G e n e r a t e d F u n c t i o n M e t h o d I t h a s b e e n s h o w n t h a t t h e s y s t e m c a n b e d e s c r i b e d b y t h e e q u a t i o n s V = - § P O S I T I V E TORQUE ( 3 . 1 8 ) *e* = j N E G A T I V E TORQUE ( 3 . 1 9 ) F i g u r e 3 . 4 i s a p l o t o f T / J v s 5 . T / J F i g u r e 3 . 4 T / J v s e c u r v e l / 5 0 H P i n d u c t i o n m o t o r B y a p p r o x i m a t i n g t h e T / J v s e c u r v e b y t w o s t r a i g h t l i n e s MN a n d PQ e q u a t i o n s ( 3 . 1 8 ) a n d ( 3 . 1 9 ) c a n b e r e w r i t t e n a s - ( a 2 + B e ) P O S I T I V E TORQUE ( 3 . 2 0 ) e* = I = X 2 N E G A T I V E TORQUE ( 3 . 2 l ) 32 2 2 where a , p and A are constants and t h e i r v a l u e s are determined i n Appendix I I I . Equations (3.20) and (3.2l) represent the t r a j e c t o r i e s f o r t h i s servo i n the t h i r d and f o u r t h quadrant o n l y . I t i s s u f f i c i e n t to co n s i d e r h a l f of the phase plane because the t r a j e c t o r i e s i n the f i r s t and second quadrants are obtained from those 1 i n the t h i r d and f o u r t h quardrants by r e f -l e c t i n g f i r s t about the a b s c i s s a and then about the o r d i n a t e . The s o l u t i o n s of equations (3.20) and (3.2l) w i t h the i n i t i a l c o n d i t i o n e = 0 a t t = 0 are g i v e n by e = - j p ( l - e ~ p t ) POSITIVE TORQUE (3.22) and e = A 2 t NEGATIVE TORQUE (3.23) r e s p e c t i v e l y . I n t e g r a t i n g the above equations with r e s p e c t to time g i v e s e = e Q + ^ - ~ ( t + j e ~ P t ) POSITIVE TORQUE (3.24) 2 2 6 = e o + ^~2~" NEGATIVE TORQUE (3.25) where e i s the i n i t i a l e r r o r , o S o l v i n g equation (3.22) and (3.23) f o r t i n terms of e, y i e l d s t = - t l n ( ^ e + 1) POSITIVE TORQUE (3.26) P cc t = ~ NEGATIVE TORQUE (3.27) S u b s t i t u t i n g equations (3.26) and (3.27) i n t o equations (3.24) and (3.25) r e s p e c t i v e l y g i v e s e = e + — ln(&x e + . l ) - s * POSITIVE TORQUE (3.28) 0 P * - oT • P e = e Q + | ( f ) 2 NEGATIVE TORQUE (3.29) 33 The e q u a t i o n o f t h e a p p r o x i m a t e d o p t i m u m s w i t c h i n g b o u n d a r y o n t h e f o u r t h q u a d r a n t i s t h e n ( c o r r e s p o n d i n g t o e Q = 0 i n e q u a t i o n 3 . 2 9 ) e = | ( f ) 2 ( 3 . 3 0 ) A s s u m e t h e d r i v i n g s i g n a l t o b e e a=e - | ( f ) 2 (3.31) E x p r e s s i n g e q u a t i o n (3 . 3 1 ) i n t e r m s o f t i m e b y s u b s t i t u t -i n g e q u a t i o n ( 3 . 2 2 ) y i e l d s 4 e d = e - \ ^ ( l ^ V 2 ^ ) ( 3 . 3 2 ) A B The g e n e r a t e d f u n c t i o n c h o s e n i n t h i s c a s e i s g ( t ) = i 4? ( l - 2 e " p t + e - 2 p t ) ( 3 . 3 3 ) A B T h i s g e n e r a t e d f u n c t i o n c a n be r e a l i z e d b y t h e R C -n e t w o r k s h o w n i n F i g u r e 3 . 5 u s i n g "the m e t h o d d i s c u s s e d i n s e c t i o n 2 . 2 . ;R1 R 2 . » - 1 S t e p i n p u t ^ T ~ n ~ i R 2 C 2 = W A = Buffer A m p l i f i e r R2 » R x F i g u r e 3 . 5 F u n c t i o n g e n e r a t o r f o r l / 5 0 HP i n d u c t i o n m o t o r s e r v o w i t h o u t 1 c o m p e n s a t i o n f o r r e l a y t i m e d e l a y 34 C o m p e n s a t i o n f o r t h e d e l a y t i m e i n t h e r e l a y c a n a l s o b e a c c o m p l i s h e d b y a l e a d n e t w o r k f o l l o w i n g t h e p r o c e d u r e o u t -l i n e d i n s e c t i o n 2 . 3 . The e q u a t i o n o f t h e s w i t c h i n g b o u n d a r y w i t h c o m p e n s a t i o n f o r t h e d e l a y t i m e t ^ f o r t h e r e l a y i s e = - ~ e 2 - t , e 2X2 d ( 3 . 3 4 ) S u b s t i t u t i n g e q u a t i o n ( 3 . 2 2 ) i n t o e q u a t i o n ( 3 . 3 4 ) y i e l d s e = 4 ( l _ 2 e - e t + e . 2 B t ) + gicLe-Pt) 2X2 p 2 d 8 L e t t h e g e n e r a t e d f u n c t i o n g ( t ) be g(t) = v A 2 p ^ ( l - 2 e - B t + e " 2 B t ) + 4 t d ( l " e " P t ) G ( S ) = V * P The L a p l a c e t r a n s f o r m i s £ + fl' 0 , o f _ _ S C S + p ) ( S + 2 p ) + S ( S + p ) a 1 + 2 ^ ? + ? V S ( S + p ) ( S + 2 p ) 2 4 2 p t , A ' a 1 + t d x 2 s S ( S + p ) ( S + 2 p ) o 2 p t , A ^ a 2 ( l - H - l - d — ) or The f u n c t i o n g e n e r a t o r w i t h d e l a y t i m e c o m p e n s a t i o n i s s h o w n i n F i g u r e 3 . 6 . The network(P^i^ur'feiS-'ifev). r e s u l t s w h e n t h e v a l u e s a = 5 2 , p = 6 . 9 2 , A = 4 3 . 2 a n d t , =0 . 1 sec a r e u s e d . 35 B l S = 1 4 5 K ' W \ A -R 2 = 1 . 4 5 M c ,=o .5nf-r - j - G 2 = 0 . 1 j i f R 4 = 1 5 K R l C l = 3 l f . R 2 G 2 = 20 R 3 G 3 = ' d a 2 1 -! I-2B t d -5 a F i g u r e 3.6 F u n c t i o n g e n e r a t o r f o r l / 5 0 HP i n d u c t i o n m o t o r s e r v o w i t h c o m p e n s a t i o n f o r r e l a y t i m e d e l a y 3.3 P e r f o r m a n c e o f t h e l / 5 0 H P I n d u c t i o n M o t o r S e r v o F i g u r e 3.7 i s the , c i r c u i t d i a g r a m f o r t h e l / 5 0 H P i n d u c t i o n m o t o r s e r v o s y s t e m . When t h e s y s t e m i s e x c i t e d b y a p o s i t i v e s t e p i n p u t s a y a p p r o x i m a t e l y +120 r a d s , t h e p o s i t i v e r e l a y , P , i s e n e r g i z e d . C o n t i n u i t y e x i s t s b e t w e e n c o n t a c t s 6 a n d 7, 5 a n d S , a n d p o s i t i v e t o r q u e w i l l be d e v e l o p e d . A t t h e same t i m e a v o l t a g e +20V ( s e e A p p e n d i x I V ) w i l l be a p p l i e d t o t h e i n p u t t e r m i n a l o f t h e f u n c t i o n g e n e r a t o r . I n t h i s c a s e d i o d e P 2 c o n d u c t s , a n d d i o d e s , D 3 , a n d w i l l b e b l o c k e d s o t h a t t h e t r a n s f e r f u n c t i o n o f n e t w o r k N 2 w i l l b e t h a t o f n e t w o r k N ^ . The e r r o r a n d t h e g e n e r a t e d f u n c t i o n a r e s h o w n i n F i g u r e 3.8. A t t = t s , e ( t ) a n d g ( t ) a r e e q u a l a n d e^ w i l l b e z e r o . A t t h i s i n s t a n t t h e c o i l o f r e l a y P w i l l b e d e - e n e r g i z e d . O w i n g t o t h e i n e r t i a o f t h e m o t o r t h e e r r o r w i l l c o n t i n u e t o d i m i n i s h so t h a t e^ g o e s n e g a t i v e ; c o n s e q u e n t l y t h e c o i l o f t h e 36 n e g a t i v e r e l a y N w i l l be e n e r g i z e d . Due t o t h e d e a d z o n e a n d d e l a y t i m e o f t h e r e l a y , c o n t i n u i t y b e t v r e e n c o n t a c t s 6 ' a n d 7 ' , 5 1 a n d 8 ' w i l l n o t be e s t a b l i s h e d u n t i l a t a p p r o x i m a t e l y p o i n t B a f t e r a c e r t a i n t i m e i n t e r v a l t ^ ' a s s h o w n i n F i g u r e 3 . 8 . A t t h i s i n s t a n t t h e m o t o r t o r q u e w i l l b e n e g a t i v e a n d a t t h e same t i m e a v o l t a g e - 2 0 V i s c o n n e c t e d t o t h e i n p u t t e r m i n a l o f t h e f u n c t i o n g e n e r a t o r ; d i o d e s D^ a n d D^ w i l l now c o n d u c t a n d d i o d e s D« a n d D . a r e b l o c k e d . The r e s i s t o r B i s a d d e d t o t h e n e t w o r k 2 4 N ^ t o v a r y i t s t i m e c o n s t a n t w h i c h c a n b e s o a d j u s t e d t h a t t h e o u t p u t o f ' t h e f u n c t i o n g e n e r a t o r i s r e s t o r e d t o z e r o . i n s u c h a m a n n e r t h a t t h e s y s t e m w i l l come t o r e s t w i t h o u t o v e r s h o o t f o r s t e p i n p u t o f v a r i o u s a m p l i t u d e s . The r e s u l t i n g g e n e r a t e d f u n c t i o n i s i n d i c a t e d b y t h e c u r v e BCD i h F i g u r e 3 . 8 . A t p o i n t C t h e n e g a -t i v e r e l a y w i l l be d e - e n e r g i z e d a n d i f t h e d r i v i n g s i g n a l e^ f r o m t h i s p o i n t o n w i l l n o t e x c e e d t h a t r e q u i r e d t o o v e r c o m e t h e d e a d z o n e , t h e p o s i t i v e r e l a y w i l l n o t o p e r a t e a n d t h e s y s t e m w i l l t h e r e f o r e come t o r e s t f o l l o w i n g t h e o p t i m u m s w i t c h i n g t r a j e c t o r y . The f a c t t h a t t h e m o t o r i s d a m p e d w h e n c o n t i n u i t y e x i s t s b e t w e e n c o n s t a c t s 4 , 6 , 4 ' a n d 6 ' , h e l p s t o s t a b i l i z e t h e s y s t e m . The o p e r a t i o n o f t h e s y s t e m w h e n t h e i n p u t e r r o r i s a n e g a t i v e s t e p c a n b e s i m i l a r l y d e d u c e d . F i g u r e 3 . 9 i s t h e p h a s e p l a n e p l o t s o b t a i n e d e x p e r i m e n t -a l l y o n a CRO w i t h t h e s y s t e m d e s c r i b e d a b o v e . I t s h o w s t h a t t h e e r r o r i s r e d u c e d t o z e r o w i t h o u t o v e r s h o o t . 3 . 4 D e s i g n o f a n O p t i m u m C o n t a c t o r S e r v o S y s t e m b y A p p r o x i m a t i n g  t h e O p t i m u m S w i t c h i n g B o u n d a r y W i t h a L e a d N e t w o r k U s i n g a  1 / 5 0 H P F o r d I n d u c t i o n M o t o r " C o n s i d e r F i g u r e 3 . 1 0 e +e , - l | p — + F i g u r e 3 . 1 0 C i r c u i t d i a g r a m o f a l e a d n e t w o r k 5%. / 7 \ — y -/•Sir r 2<K A^M//6 /08:/ Toe/,. f /WBHW) >iin i /Z»es/m/1 tr Po+errho-/AW a * . Vof/oye ^Primary £aoenr/or trOttrtny C(ConJro//&/ Figure 3.7 E l e c t r i c a l and Block diagram for l/50 HP induction motor servo 0 . 6 T i m e ( s e c ) F i g u r e 3 . 8 E r r o r a n d g e n e r a t e d f u n c t i o n a s a f u n c t i o n o f t i m e l / 5 0 HP i n d u c t i o n m o t o r s e r v o F i g u r e 3 . 9 E x p e r i m e n t a l p h a s e p l a n e p l o t f o r l / 5 0 H F i n d u c t i o n m o t o r s e r v o ( e , v e r t i c a l s c a l e s * 23 r a d s / s e c p e r d i v . , e , h o r i z o n t a l s c a l e =*12 r a d s p e r d i v . ) 40 The t r a n s f e r f u n c t i o n o f t h e a b o v e c i r c u i t i s ^ ' - E _ a 1+arS w h e n c e E d = a E + a^ fSE - aT?SEd ( 3 . 3 5 ) R 2 w h e r e T = R n C , a n d a = 1"1 """" * - R 1 + R 2 a n d f r o m e q u a t i o n ( 3 . 3 5) t h a t d e , e d ( t ) = a e ( t ) + a T e ( t ) ^ a T e ( t ) ^ ( 3 . 3 6 ) The p r o b l e m d e a l t w i t h i s t h e c h o i c e o f " a " a n d i n e q u a t i o n ( 3 . 3 6 ) s u c h t h a t t h e o p t i m u m s w i t c h i n g b o u n d a r y AOB ( F i g u r e 3 . 3 ) w i l l b e b e s t a p p r o x i m a t e d b y t h e a b o v e n e t w o r k . F i r s t c o n s i d e r a c h o i c e o f " a " a n d so t h a t i t s p r o d u c t aX i s v e r y m u c h s m a l l e r t h a n 1 . W i t h t h i s a s s u m p t i o n e q u a t i o n ( 3 . 3 5 ) w i l l a p p r o x i m a t e l y e q u a l E d = a E + a T S E a n d e d = ae + a t e ( 3 . 3 7 ) I f t h e s y s t e m s w i t c h e s w h e n e d i s z e r o , t h e e q u a t i o n o f t h e s w i t c h i n g b o u n d a r y o f s u c h a s y s t e m i s e + T e = 0 ( 3 . 3 8 ) E q u a t i o n ( 3 . 3 8 ) i s a f a m i l y o f s t r a i g h t l i n e s w h o s e s l o p e i s d e t e r m i n e d b y X . F o r e x a m p l e , i n F i g u r e 3 . 3 , 0MB i s 1 3 4 5 5 one o f s u c h s t r a i g h t l i n e w i t h s l o p e e q u a l t o - ^ = - — j ^ — = -10.8, I t i s s e e n f r o m F i g u r e 3 . 3 t h a t t h e a b o v e l i n e a r - d e s i g n e d l e a d n e t w o r k i s n o t o p t i m u m . 41 To o p t i m i z e t h e d e s i g n o f t h e l e a d n e t w o r k t h e m e t h o d o f s u c c e s s i v e a p p r o x i m a t i o n w i l l be u s e d . F i r s t o f a l l d i f f e r e n -t i a t e e q u a t i o n ( 3 . 3 7 ) ( w h i c h r e p r e s e n t s t h e z e r o o r d e r a p p r o x i m -a t i o n ) w i t h r e s p e c t t o e . . = a + a T f | ( 3 . 3 9 ) d e d E l i m i n a t i n g b y s u b s t i t u t i n g e q u a t i o n ( 3 . 3 9 ) i n t o e q u a t i o n ( 3 . 3 6 ) t h e r e r e s u l t s e d = ae + ( a r - a 2 T ) e - a \ 2 e | | ( 3 . 4 0 ) j I T h i s r e p r e s e n t s t h e f i r s t o r d e r a p p r o x i m a t i o n . L e t t h e s y s t e m s w i t c h a t t h e i n s t a n t e^ = 0 , t h e s w i t c h i n g b o u n d a r y e q u a t i o n i s t h e n o b t a i n e d b y p u t t i n g = 0 i n e q u a t i o n ( 3 . 4 0 ) . I t f o l l o w s t h a t e = ( a T - T ) e + a ? 2 e ff ( 3 . 4 1 ) I t i s a m a t t e r o f d e t e r m i n i n g t h e v a l u e o f " a " a n d " - j*" so t h a t e q u a t i o n ( 3 . 4 l ) w i l l b e s t a p p r o x i m a t e t h e o p t i m u m s w i t c h i n g b o u n d a r y AOB i n F i g u r e 3 . 3 . S e l e c t t w o p o i n t s f r o m t h e o p t i m u m ' / T* fl c\ ' s w i t c h i n g b o u n d a r y A O B , f o r e x a m p l e p o i n t o n e (e = - 3 4 5 . 5 e = 3 2 r a d s . ) , p o i n t t w o (e = - 1 7 2 . 7 5 £ a d - , e = 7 . 5 9 r a d s . ) i n s e c F i g u r e 3 . 3 . P u t t i n g t h e c o o r d i n a t e s o f p o i n t one a n d p o i n t t w o de a n d t h e i r c o r r e s p o n d i n g v a l u e s o f e -j-^-, c a l c u l a t e d f r o m e q u a t i o n ( 3 . 9 ) i n t o e q u a t i o n ( 3 . 4 1 ) t h e f o l l o w i n g s e t o f e q u a t i o n s i s o b t a i n e d r- a r > 0 . 0 9 2 8 a T 2 = 4 . 7 2 9 ( 1 0 " 3 ) S o l v i n g t h e a b o v e e q u a t i o n s s i m u l t a n e o u s l y g i v e s a = 0 . 2 8 , r= 0 . 1 3 42 Once the val u e s of a and X are known the components of- the l e a d network can be determined. However i t i s necessary to see whether the val u e s of a and X obtained above w i l l g i ve a s w i t c h i n g boundary c l o s e to the optimum one. I t has been shown t h a t the output f o r a l e a d network (equation 3.36) i s d e d e^ = ae + aTe - are i AX de, = ae + afS - are fj ^ (3.42) d§ T S u b s t i t u t i n g e ^ = - j i n t o the above equation y i e l d s e d = ae + are + a t j (3.43) and i t f o l l o w s from equation (3.43) t h a t ^ ^ 8 a = - - i a(e +Xe) (3.44) de aTT d arT The torque (T) vs s l i p (s) curve i s now approximated by segments of s t r a i g h t l i n e s as shown i n F i g u r e 3.11. The equation of each segment i s T = M i S + p ± (3.45) M. = the slope of the i ^ * 1 segment t h p^ = the i n t e r c e p t of the i segment s = 1 + e/ Je^j (from equation 3.5) i = 1, 2, 3, 4, 5, 6. F i g u r e 3 . 1 1 S t r a i g h t l i n e s a p p r o x i m a t i o n o f t h e T v s s c u r v e 44 The e q u a t i o n s o f s e g m e n t s 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , a n d 6 a r e r e s p e c t i v e l y T = s + 11 T = 4 s + 8 . 6 T = 7 . 5 s + 6 . 5 T = 1 6 . 8 8 s + 2 . 7 5 T = 2 6 . 2 5 s + 0 . 8 8 T = 3 5 s 0 . 8 < s $ 1 0 . 6 3=rs ^ 0 . 8 0 . 4 <-s ^ 0 . 6 0 . 2 ^ 0 . 4 0 . 1 $ s $ 0 . 2 0 $ s $ 0 . 1 E l i m i n a t i n g s f r o m e q u a t i o n ( 3 . 4 5 ) g i v e s M . T = ( M . + p ) ( l + A . e ) = 1 . • (1 + A e ) i \ m| w h e r e I t h a s b e e n s h o w n t h a t A . = M . l 1 ~ |*m| < M i + ^ ( 3 , 4 6 ) . d § _ T e de ~ " J S u b s t i t u t i n g e q u a t i o n ( 3 . 4 6 ) i n t o t h e a b o v e e q u a t i o n y i e l d s ( M . + p . ) . de e de" ( 3 . 4 7 ) B y i n t e g r a t i n g e q u a t i o n ( 3 . 4 7 ) t h e e q u a t i o n o f t r a j e c t o r y c o r r e s p o n d i n g t o t h e i * * 1 s e g m e n t o f t h e t o r q u e c u r v e i s f o u n d t o be e = d . -l J l e I m M . e - v i - l n ( l + A i e ) i ( 3 . 4 8 ) , t h w h e r e d ^ i s t h e c o n s t a n t o f i n t e g r a t i o n f o r t h e i s e g m e n t . F o r e x a m p l e , d ^ , t h e c o n s t a n t o f i n t e g r a t i o n f o r s e g m e n t o n e , i s e q u a l t o e Q t h e i n i t i a l v a l u e o f s t e p i n p u t a p p l i e d t o t h e l e a d n e t w o r k . K n o w i n g t h e v a l u e o f e a t s = 0 . 8 o r e = — 0 . 2 J f r o m s e g m e n t o n e , t h e v a l u e o f & 0 i s f o u n d t o b e e - 0 . 0 0 6 . 4 5 S i m i l a r l y , d - j , d ^ , d ^ , ar id d ^ a r e f o u n d t o be e o - 0 . 1 7 4 , e o - . 1 . 6 2 6 , e Q ~ 4 . 6 5 , e Q - 9 r e s p e c t i v e l y . On c o m b i n i n g t h e e q u a t i o n s ( 3 . 4 6 ) , ( 3 . 4 8 ) , a n d ( 3 . 4 4 ) t o e l i m i n a t e T a n d e t h e r e s u l t i s e d de J A . e • , — i "1- (—1 ) e -J A , a t M . ' 1 + A i e / C d t M . i m (—± ) 4 + A . g ' 1 d ± - i - l n ( 1 + A ± e ) + T e i L e t P = -J A i K atM IfasL ( 3 . 4 9 ) y ~ r M . V l + A . e ' d. - 4 - l n ( l + A . e ) +Te x A ^ v x a n d e q u a t i o n ( 3 . 4 9 ) c a n b e w r i t t e n i n t h e f o r m o f d e 3 de ( 3 . 5 0 ) The s o l u t i o n o f e q u a t i o n ( 3 . 5 0 ) i s P d e r J P d e e d e x p = / 2 e x p de + d . 1 I w h e r e d ^ = t h e c o n s t a n t o f i n t e g r a t i o n c o r r e s p o n d i n g t o t h e i s e g m e n t o f t h e t o r q u e c h a r a c t e r i s t i c ( 3 . 5 1 ) • t h J A . P d e = - m P d e l - J I 6 de 1 + A . e I J e 1 ml a t M . m ( i + A . a ) m j e x p = ( 1 + A . e ) a . ^ = (1 + A . e ) " ^ , q = ^ f j -v x \ x ' a ^ i 46 ypde fQexp de = -J A . le i I m TM. l . + A . e 1 d j + I e - j - l n ( l + A . e ) i ( 1 + A i e ) •'4 ^d£ = a I t f o l l o w s f r o m e q u a t i o n ( 3 . 5 1 ) t h a t e , , t h e o u t p u t o f t h e l e a d n e t w o r k c o r r e s p o n d i n g t o t h e i s e g m e n t o f t h e t o r q u e c u r v e i s e d = • * + d ! ( 1 + A . e ) q CO d . + ~ ^ T ( T - + q e ) + to? 1 q - 1 A . >• i l n ( l + A . e ) + -1 q ( 3 . 5 2 ) >+ d^l+A-e)* J e - 1 = T - T h * - . J l e , 1 m w i = F L A T 1 1 B e t w e e n t h e v a l u e s e = 0 a n d e = - 2 je^j , d ^ i s e q u a l t o d^ = e Q a n d a p p l y i n g t h e i n i t i a l c o n d i t i o n © £ = 6 e=0 t h e c o n s t a n t d | c a n b e f o u n d . d ' = e - a 1 o CO. J o + A T T q ^ i y + q w i t h d£ k n o w n , e q u a t i o n ( 3 . 5 2 ) c a n be w r i t t e n a s e d = a + ( l - a ) ( l + A ± e ) e +a< o CO, co: 1 , ~ 1 A , ( q - D + q. L l 1 - ( 1 + A i e ) ( 1 co1 qe + - ~ - • K o ^ l n ( l + A i e ) 1 ( 3 . 5 3 ) J l e w h e r e co^  = m M l ' ^ " M 1 A 1 J • fr 47 S u b t r a c t i n g [ a + U - a M l + A j S ) * ! j ^ j ^ - [ e - j p l n d + A ^ )]J f r o m b o t h J I e I r , s i d e s o f e q u a t i o n ( 3 . 5 3 ) a n d r e p l a c i n g e w i t h e n - -t h e r e s u l t i n g e q u a t i o n i s J e. mi a + ( l - a ) ( l + A i e ) q M l e - T — I n (1+A. e) 1 ± a e + _ A 1 ( q - l ) + q_ W l 1 I" "I " l ^ 6 — l - d + A ^ ) ' 1 + + a ^ l n ( l + A ^ a + ( l - a ) ( l + A ^ ) ' ( 3 , 5 4 ) A t t h e s w i t c h i n g b o u n d a r y e^ i s t o b e z e r o , t h e r e f o r e t h e . s w i t c h i n g b o u n d a r y e q u a t i o n o b t a i n e d f r o m t h e n e t w o r k b e t w e e n t h e v a l u e s e = 0 a n d e = - 0 . 2 l e I i s I ml a e = -a + ( 1 - a ) ( l + A ^ ) * 1 J l e I m M . e -l n d + A j ^ e ) A , ( 3 . 5 5 ) F r o m e q u a t i o n ( 3 . 5 3 ) o n e c a n c a l c u l a t e t h e v a l u e o f e^ a t e = - . 2 |e m | , o r s = 0 . 8 , K n o w i n g t h e v a l u e o f e^ a t e = - . 2 e m j t h e v a l u e o f d ^ f o r s e g m e n t t w o c a n be d e t e r m i n e d a n d t h e e q u a t i o n o f t h e s w i t c h i n g b o u n d a r y f r o m e = ~ . 2 | e m | t o e = . 4 | e m | c a n b e o b t a i n e d . The s w i t c h i n g b o u n d a r y f o r t h e r e s t o f t h e s e g m e n t s c a n b e f o u n d i n a s i m i l a r w a y . The s w i t c h i n g b o u n d a r y f o r d i f f e r e n t v a l u e s o f a a n d X c a n now be p l o t t e d a n d t h e v a l u e o f a a n d T w h i c h w i l l g i v e a s w i t c h i n g c u r v e c l o s e s t t o t h e 48 o p t i m u m c a n be f o u n d b y t r i a l a n d e r r o r . The s w i t c h i n g b o u n d a r y o b t a i n e d f r o m t h e l e a d n e t w o r k ( a = 0 . 2 8 , X = » 1 3 ) a n d « t h e t h e o r e t i c a l o p t i m u m s w i t c h i n g b o u n d a r y ( e q u a t i o n 3 . 1 3 ) a r e p l o t t e d i n F i g u r e 3 . 1 2 , s i n c e i t i s v e r y c l o s e t o t h e o p t i m u m s w i t c h i n g t r a j e c t o r y t h i s v a l u e o f a a n d X i s c h o s e n f o r t h e l e a d n e t w o r k . I t was f o u n d t h a t s h o r t - c i r c u i t i n g o n e o f t h e p h a s e s o f t h e i n d u c t i o n m o t o r w o u l d r e s u l t i n a s i m i l a r t o r q u e c h a r a c t -e r i s t i c u n d e r d y n a m i c o p e r a t i o n a s c a u s e d b y t o r q u e r e v e r s a l ( c u r v e MN i n F i g u r e 3 . 4 ) . Consequently, t h e d e r i v a t i o n o f t h e s w i t c h i n g b o u n d a r y r e m a i n s u n c h a n g e d f o r t h i s mode o f o p e r a t i o n w h i c h i s p h y s i c a l l y m u c h s j i m p l e r . F i g u r e 3 . 1 3 i s t h e c i r c u i t d i a g r a m f o r t h e l / 5 0 HP i n d u c t i o n m o t o r s e r v o s y s t e m u s i n g a l e a d n e t w o r k t o a p p r o x i m a t e t h e o p t i m u m s w i t c h i n g b o u n d a r y . I t i s n o t e d t h a t t h e c i r c u i t i s e x t r e m e l y s i m p l e . I f t h e s y s t e m i s d i s t u r b e d b y a p o s i t i v e s t e p i n p u t t h e p o s i t i v e r e l a y P i s e n e r g i z e d . C o n t i n u i t y b e t w e e n c o n t a c t s 6 a n d 7 i s e s t a b l i s h e d . C o n s e q u e n t l y , p o s i t i v e t o r q u e w i l l be d e v e l o p e d , a n d t h e e r r o r r e d u c e d . A t t h e i n s t a n t e^ i s z e r o t h e p o s i t i v e r e l a y P i s d e — e n e r g i z e d . Due t o t h e d e a d z o n e a n d t h e d e l a y t i m e o f t h e r e l a y , c o n t a c t s 6 ' a n d 7 ' o f t h e n e g a t i v e r e l a y N w i l l n o t b e c o n n e c t e d u n t i l a f t e r a c e r t a i n t i m e i n t e r v a l d u r i n g w h i c h c o n t i n u i t y w i l l e x i s t b e t w e e n c o n t a c t s 4 , 6 , 4 ' a n d 6 ' a n d t h e m o t o r w i l l b e d a m p e d . I f t h e m a g n i t u d e o f t h e d r i v i n g s i g n a l | e d | d o e s n o t e x c e e d t h e d e a d z o n e t h e n e g a t i v e r e l a y N w i l l n o t o p e r a t e , a n d t h e s y s t e m w i l l r e m a i n i n t h i s mode o f o p e r a t i o n u n t i l t h e e r r o r r a t e e i s z e r o . F i g u r e 3 . 1 4 i l l u s t r a t e s t h e p h a s e p o r t r a i t s o f t h i s s y s t e m o b t a i n e d e x p e r i m e n t a l l y o n a CRO f r o m d i f f e r e n t s t e p i n p u t s . I t s h o w s t h a t t h e e r r o r i s r e d u c e d t o z e r o w i t h o u t o v e r s h o o t . The a d v a n t a g e o f t h i s s y s t e m o v e r t h a t s h o w n i n F i g u r e 3 . 7 i s i t s s i m p l e r c i r c u i t ; h o w e v e r i t h a s a l a r g e r d e a d z o n e ( a p p r o x -i m a t e l y - 6 0 r a d s ) a n d i s o n l y a p p l i c a b l e w i t h a n a - e s e r v o m o t o r . Figure 3 . 1 3 C i r c u i t diagram for the l /50 HP induction motor servo system using a lead network to approximate the optimum switching Boundary -F i g u r e 3 . 1 4 E x p e r i m e n t a l p h a s e p t a n e prrot f o r s e r v o s y s t e m o f F i g u r e 3 . 1 3 ( e , v e r t i c a l s c a l e ~ 1 7 r a d s / s e c p e r d i v . , e , h o r i z o n t a l s c a l e d 29 r a d s p e r d i v . ) 52 4 . T H I R D ORDER S Y S T E M U p t o t h i s p o i n t , i n t h e d i s c u s s i o n o f o p t i m u m r e s p o n s e r e l a y c o n t r o l s , no s y s t e m h i g h e r t h a n s e c o n d o r d e r h a s b e e n c o n s i d e r e d . A f i n i t e t i m e o r d i n a r i l y w i l l b e r e q u i r e d f o r t h e t o r q u e t o go f r o m one e x t r m e m e v a l u e t o t h e o t h e r . The v a r i a -t i o n o f t o r q u e w i t h t i m e may t a k e s e v e r a l f o r m s , a l l o f w h i c h r a i s e t h e o r d e r o f t h e d i f f e r e n t i a l e q u a t i o n ; a n d a more c o m p l i c a t e d c o n t r o l l e r i s r e q u i r e d . The f i r s t d i f f i c u l t y e n c o u n t e r e d i n g o i n g t o t h i r d o r h i g h e r o r d e r s y s t e m i s t h e n e c e s s i t y o f u s i n g a m u l t i - d i m e n s i o n a l s p a c e a s a means f o r d e s c r i b i n g t h e d y n a m i c b e h a v i o u r o f t h e s y s t e m . A r e a s o n a b l e g e o m e t r i c i n t e r p r e t a t i o n o f t h e t h i r d o r d e r s y s t e m i s s t i l l p o s s i b l e . T h i s i n v o l v e s t h e u s e o f , a t h r e e d i m e n s i o n a l s p a c e , c o n s i s t i n g o f p o s i t i o n , v e l o c i t y a n d a c c e l e r a t i o n c o o r d i n a t e s , ( e , e , *e) i n w h i c h s w i t c h i n g o c c u r s a t a p a r t i c u l a r s u r f a c e r a t h e r t h a n a t a p o i n t . I n s t r u m e n t a t i o n o f t h e s w i t c h i n g s u r f a c e s u g g e s t e d b y O . J . M . S m i t h ( 5 ) r e q u i r e s a t w o - v a r i a b l e f u n c t i o n g e n e r a t o r o r some s i m i l a r c o m p u t a t i o n i n w h i c h t h e s w i t c h i n g f u n c t i o n i s f o u n d f r o m e , e , a n d e*. T h i s s y s t e m i s r a t h e r c o m p l i c a t e d . The s i m p l e a n a l y t i c t e c h n i q u e d i s c u s s e d p r e v i o u s l y i n t h i s t h e s i s c a n b e a p p l i e d t o a t h i r d o r d e r a s w e l l . C o n s i d e r a n i d e a l i z e d t h i r d o r d e r s y s t e m i n w h i c h t h e t o r q u e i s a l i n e a r f u n c t i o n o f t i m e a n d t h e t o r q u e r a t e e q u a l s K V . The e q u a t i o n o f m o t i o n f o r a n o u t p u t member w i t h i n e r t i a o n l y i s d 2 © d 3 © 53 a n d f o r a s t e p i n p u t V 4* + d 3 e _ - KV j 3 ~ + J I n t h i s c a s e t h e o u t p u t member t r a n s f e r f u n c t i o n t a k e s t h e f o r m l / S . F i g u r e 4 . 1 s h o w s , f o r a s t e p i n p u t , t h e i d e a l r e s p o n s e o f t h i s s y s t e m a s a f u n c t i o n o f t i m e ; t h e t o r q u e r a t e r e v e r s a l s o c c u r a t t a n d 3 t . I n F i g u r e ( 4 . I f ) t h e s e g m e n t o f s s c u r v e d e n o t e d b y P r e f e r s t o t h e s t a t e i n w h i c h t h e t o r q u e r a t e i s p o s i t i v e a n d t h e c u r v e s e g m e n t d e n o t e d b y N r e f e r s t o t h e s t a t e i n w h i c h t h e t o r q u e r a t e i s n e g a t i v e . A s s u m e t h e d r i v e s i g n a l o f t h e s y s t e m t o be e d = e - g x ( t ) w h e r e Sj^(t) i s a g e n e r a t e d f u n c t i o n . I t i s r e q u i r e d t h a t e^ i s p o s i t i v e i n t h e P s t a t e a n d n e g a t i v e i n t h e N s t a t e a n d a l s o e^ i s z e r o w h e n t i m e i s e q u a l t o t a n d 3 t . s s A s t h i s t h e s i s d e a l s m a i n l y w i t h s e c o n d o r d e r s y s t e m s , t h e d e t a i l e d s t u d y o f a t h i r d o r d e r s y s t e m i s b e y o n d i t s s c o p e . H o w e v e r , t o i l l u s t r a t e t h e p o s s i b i l i t y o f u s i n g g e n e r a t e d f u n c t i o n t o a c q u i r e t h e p r o p e r s w i t c h i n g i n s t a n t s , t h e g e n e r a t e d f u n c t i o n f o r t h e s i m p l e t h i r d o r d e r s y s t e m v a l i d b e t w e e n t = 0 a n d t = t w i l l b e w o r k e d o u t a s f o l l o w s : I t h a s b e e n s h o w n t h a t t h e e q u a t i o n s d e s c r i b i n g t h e t h i r d o r d e r s y s t e m w i t h K V / J e q u a l t o 1 a r e 3 ^4 = - 1 P s t a t e ( 4 . 2 ) d t , 3 ^ ~ = +1 N s t a t e ( 4 . 3 ) d t F i g u r e 4 . 1 T i m e r e s p o n s e o f a n i d e a l t h i r d o r d e r s y s t e m ( K V / J = l ) t o a s t e p i n p u t 55 I n t e g r a t i n g e q u a t i o n ( 4 . 2 ) y i e l d s t h e f o l l o w i n g s e t o f e q u a t i o n s e = - t 0 < t < t ( 4 . 4 ) s t 2 e = - f - 0 < t < t g ( 4 . 5 ) e = e Q - | - 0 ^ t < t „ ( 4 . 6 ) s w h e r e e Q i s t h e i n i t i a l e r r o r . S i m i l a r l y i n t e g r a t i n g e q u a t i o n ( 4 . 3 ) y i e l d s X = 0 a t t =. 2 t g e* =X - t s ^ r ^ t g ( 4 . 7 ) e - t s 2 - t 8 ^ r < t s ( 4 . 8 ) 3 e = f - - t s 2 + e ' - t s $ r r ^ t s ( 4 . 9 ) w h e r e e^ i s a n i n t e g r a t i o n c o n s t a n t . A t t = t o r r = - t s s t 3 t 3 e = e - - | - = - - | - + t J + e ' o 6 o s o 3 o r e ' = e - t o o s T h e r e f o r e e q u a t i o n ( 4 . 9 ) c a n b e r e w r i t t e n a s e = T — - t c + e —t 6 s o s I n t h e s e c o n d P s t a t e 3 t $T t $ ; 4 t ( f ' = 0 a t t = 3 t ) V = _ r « + t ( 4 . 1 1 ) s X2 e = — ~ - + t r 1 + e " ( 4 . 1 2 ) 2 t 1 3 A r " 2 56 w h e r e e o ' ' ' a n d e ' ' * a r e c o n s t a n t s o f i n t e g r a t i o n . A t f ' = 0 o r X = t s t 2 t 2 • ' = -4- - t 2 = - - § - ( 4 . 1 4 ) o 2 s S i m i l a r l y a t ^ ' = 0 o r 7/ = +,« t 3 t 3 e = e 1 " = -4- - t 3 + e - t 3 = -4- - 2 t 3 + e 6 s o s 6 s o t h e r e f o r e t . V 2 t * r ' e = r 3 + - 4 - £ - - s - ^ £ - + 2 t 3 t s „ A 3 6 - 2 t s + e o ( 4 ' 1 5 ) I t i s a s s u m e d t h a t t h e e r r o r w i l l go t o z e r o w h e n t i m e r e a c h e s 4 t o r T-' •= t . s c s C o n s e q u e n t l y , t 3 t 3 t 3 t 3 „ a n d e Q = 2 t g 3 ( 4 . 1 6 ) T h u s t h e v a l u e o f e r r o r a t t c a n b e d e t e r m i n e d f r o m e q u a t i o n ( 4 . 6 ) s B y i n s p e c t i n g e q u a t i o n ( 4 . 1 7 ) i t i s a p p a r e n t t h a t t h e e q u a t i o n o f t h e g e n e r a t e d f u n c t i o n b e t w e e n t = 0 a n d t = t i s g l ( t ) = | i t 3 ( 4 . 1 3 ) o r g x .($,*.) = | i e S ( 4 . 1 9 ) 57 F i g u r e 4 . 2 i s a s i m p l e t h i r d o r d e r c o n t a c t o r s e r v o s y s t e m . The d i o d e s i n s e r i e s w i t h t h e c o i l s o f r e l a y s 1 , 3 , a n d 5 a l l o w o n l y p o s i t i v e v o l t a g e t o b e a p p l i e d t o t h e s e c o i l s , a n d t h o s e i n s e r i e s w i t h t h e c o i l s o f r e l a y s 2 , 4 , a n d 6 p e r m i t o n l y n e g a t i v e v o l t a g e t o be a p p l i e d . A s s u m e t h e s y s t e m i s e x c i t e d b y a p o s i t i v e i n p u t s t e p o f m a g n i t u d e +2 t h e c o i l s o f r e l a y s 1 , 3 , a.nd 5 aire e n e r g i z e d . A v p l t a g e p l u s V w i l l be a p p l i e d t o t h e m o t o r a n d p o s i t i v e t o r q u e w i l l r e s u l t . A t t h e same t i m e a p o s i t i v e s t e p o f m a g n i t u d e p l u s one i s c o n n e c t e d t o t h e i n p u t t e r m i n a l s o f f u n c t i o n g e n e r a t o r s a n d N g . The s y s t e m i s i n a P s t a t e . The e r r o r e ( t ) a n d t h e g e n e r a t e d f u n c t i o n s g-^(t) a n d g2(" t ) a s f u n c t i o n s o f t i m e a r e s h o w n i n F i g u r e 4 . 3 . A t t = t e ( t ) a n d g ^ ( t ) a r e e q u a l , t h e r e f o r e t h e d r i v i n g s i g n a l e^ w i l l be z e r o . A t t h i s i n s t a n t r e l a y 5 i s d e -e n e r g i z e d . F o r t g ^ t ^ 3 t g . g-^(t) r e m a i n s c o n s t a n t a n d i s g r e a t e r t h a n t h e e r r o r f u n c t i o n s o t h a t t h e d r i v e s i g n a l e^ i s n e g a t i v e . The s y s t e m w i l l r e m a i n i n t h e N s t a t e f o r t h i s t i m e i n t e r v a l d u r i n g w h i c h t h e m o t o r t o r q u e i s n e g a t i v e b e c a u s e t h e c o n t a c t s o f r e l a y 6 a r e i n t h e c l o s e d p o s i t i o n . A t t = 3 t e ( t ) i s e q u a l t o ggCt), t h e r e f o r e e^ i s z e r o a n d b e c o m i n g n e g a t i v e ; r e l a y 3 w i l l b e d e - e n e r g i z e d , a n d r e l a y 4 e n e r g i z e d . The v a l u e o f 1 3 g 0 ( t ) a t t h i s moment i s r t ( c a l c u l a t e d f r o m e q u a t i o n 4 . 1 0 a t O S *! o X- t g ) f r o m w h i c h g^^^ * s d e d u c e d t o be 5(3)3 • A s s o o n a s r e l a y 4 i s e n e r g i z e d , t h e o u t p u t o f t h e f u n c t i o n g e n e r a t o r w i l l b e g r o u n d e d . I t f o l l o w s t h a t t h e d r i v i n g s i g n a l e^ w i l l b e c o m e p o s i t i v e a n d t h e s y s t e m i s a g a i n i n a P s t a t e . The s y s t e m w i l l c o n t i n u e t o b e i n t h i s s t a t e u n t i l t h e e r r o r i s r e d u c e d t o z e r o . R e l a y s 1 , 4 , a n d 5 w i l l t h e n b e d e - e n e r g i z e d a n d t h e s y s t e m a t r e s t . The o p e r a t i o n o f t h e s y s t e m w i t h a n i n i t i a l n e g a t i v e s t e p i n p u t c a n b e d e d u c e d i n a s i m i l a r m a n n e r . H .toga. e *1 1 / -*-sf ZJ L JL —*-t 'JL • / J To Serya F i g u r e 4 . 2 S c h e m a t i c d i a g r a m f o r a n i d e a l t h i r d o r d e r c o n t a c t o r s e r v o •VJl oo F i g u r e 4 . 3 E r r o r a n d g e n e r a t e d f u n c t i o n s a s f u n c t i o n s o f t i m e f o r a n i d e a l t h i r d o r d e r s y s t e m 5. CONCLUSIONS The g e n e r a t e d f u n c t i o n m e t h o d e n a b l e s a s i m p l e d e s i g n o f a n o p t i m u m s e c o n d o r d e r c o n t a c t o r t y p e s e r v o t a k i n g i n t o a c c o u n t t h e a c t u a l m o t o r c h a r a c t e r i s t i c a n d r e l a y t i m e d e l a y . The s i m p l i c i t y o f t h e c i r c u i t s make t h i s d e s i g n h i g h l y p r a c t i c a l . I t h a s b e e n s h o w n t h a t t h e u s e o f t h e g e n e r a t e d f u n c t i o n t e c h n i q u e s f o r h i g h e r - o r d e r s y s t e m s i s p o s s i b l e a n d f u r t h e r s t u d y may b e w o r t h w h i l e . 61 A P P E N D I X I D E T E R M I N A T I O N OF THE CONSTANTS a , b , AND c FROM THE TORQUE E Q U A T I O N OF THE l / 5 0 H P INDUCTION- MOTOR The t o r q u e o f a n i n d u c t i o n m o t o r c a n be r e p r e s e n t e d b y t h e f o l l o w i n g e q u a t i o n : _ a s s 2 + b s + o I n v e r t i n g t h e a b o v e e q u a t i o n y i e l d s 1 s 2 + b s + c T ~ a s o r 1 _ s, b c f _ a a + a s ( I . l ) S e l e c t t w o p o i n t s f r o m t h e t o r q u e v s s l i p c u r v e : T = 1 2 s = 1 T = 1 0 . 4 5 s = I S u b s t i t u t i n g t h e v a l u e s o f t h e s e p o i n t s i n t o e q u a t i o n ( I . l ) g i v e s h = l + l + i u .2) i r + r + ' l ^ (1.3) 1 0 . 4 5 2 a a a a n d a t s = 0 |I = a. = 1 | 0 ( I < 4 ) 62 S o l v i n g e q u a t i o n s ( 1.2), ( 1 . 3 ) , a n d ( l . 4 ) s i m u l t a n e o u s s y t h e v a l u e s o f a , b , a n d c a r e f o u n d t o b e 3 5 , . 9 8 a n d . 9 3 5 r e s p e c t i v e l y . D i f f e r e n t v a l u e s o f a , b , a n d c a r e o b t a i n e d b y s e l e c t i n g d i f f e r e n t p o i n t s o n t h e t o r q u e v s s l i p c u r v e a n d t h o s e v a l u e s o f a , b , a n d c w h i c h w i l l make t h e c u r v e o f t h e t o r q u e e q u a t i o n c l o s e s t t o t h e e x a c t t o r q u e - s l i p c u r v e a r e c h o s e n . The t o r q u e e q u a t i o n s e l e c t e d i s 63 A P P E N D I X I I D E T E R M I N A T I O N OF THE CONSTANTS A , B , C , AND D FROM THE E Q U A T I O N OF THE P H A S E P L A N E T R A J E C T O R I E S FOR THE l / 5 0 H P I N D U C T I O N MOTOR I t h a s b e e n s h o w n f r o m s e c t i o n 3 . 1 t h a t J V = - T = - a s s 2 + b s + c P O S I T I V E TORQUE ( I I . 1 ) J e = +T = a s s +bs+;c N E G A T I V E TORQUE ( I I . 2 ) s = 1 + ml P O S I T I V E TORQUE ( I I . 3 ) s = 1 m N E G A T I V E TORQUE ( I I . 4 ) where a = 3 5 . b = . 9 8 , c = 0 . 9 3 5 , I § = 3 4 5 . 5 r a d / s e c , and 2 | m J = 2 . 2 5 O Z - i n . S u b s t i t u t i n g e q u a t i o n ? ( I I . 3 ) a n d ( I I . 4 ) i n t o e q u a t i o n s ( I I . l ) a n d ( I I . 2 ) r e s p e c t i v e l y y i e l d s P O S I T I V E TORQUE ( I I . 5 ) d £ d x 1 + k j e k 2 & + k j e + k 4 o r . d e de 1 + ^ e k 2 e + k 3 e + k 4 ( I I . 6 ) 64 de W d t k 2 e 2 - k 3 e + k 4 N E G A T I V E TORQUE or , d £ e d e " , 2 k 2 e - k 3 § + k 4 , J k * 2 . 9 8 J k , w h e r e ^ = -j-J—p , k 2 = , k 3 = 3 5 , a n d k 4 = ^ ' j f f i * 1 . The s o l u t i o n s o f e q u a t i o n s ( I I . 5 ) , ( I I . 6 ) , ( I I . 7 ) , a n d ( I I . 8 ) a r e r e s p e c t i v e l y ; t = A S 2 - Be + C l n ( l + - r f - r ) P O S I T I V E TORQUE ( I I . 9 ) m e = e + ^ e 3 - | $ 2 + Ce" + D l n ( l + -rf-p) 0 3 2 | 5 m t = A S 2 + BS + C l n ( l - TX-T) NEGATIVE TORQUE ( I I . l l ) m e = e + f e 3 + | e 2 + CS - D l n ( l - -rJj-) o T 3 m 1 1 . 1 2 ) w h e r e k = - — = - 4 . 8 2 5 ( l O " 7 ) B = ^ - (kj-^) = 3 . 3 ( 1 0 ~ 4 ) K l k 4 - fc^V = - 5 . 3 7 ( 1 0 - 2 ) a n d D = L l L k 4 " 5 ^ <V kj) = 1 8 . 5 65 The e q u a t i o n o f t h e p h a s e p l a n e t r a j e c t o r i e s f o r t h e I/50 H P i n d u c t i o n m o t o r c a n be w r i t t e n a s : e = e - 1 6 . l ( l O " " 8 ) e 3 - 1 . 6 5 ( l O " 4 ) e ^ - 5 . 3 7 ( l O " 2 ) e + 1 8 . 5 1 n ( l + T | e m P O S I T I V E TORQUE ( I I . 1 3 ) e = e - 1 6 . l ( l O " 8 ) e 3 + 1 . 6 5 ( l O " 4 ) e 2 - 5 . 3 7 ( l O ~ 2 ) e - 1 8 . 5 1 n ( l - - r f - r - ) 1 m N E G A T I V E TORQUE ( I I . 1 4 ) 66 A P P E N D I X I I I D E T E R M I N A T I O N OF a , 8 , a n d A The a p p r o x i m a t e e q u a t i o n o f t h e o p t i m u m s w i t c h i n g b o u n d a r y i n t h e f o u r t h q u a d r a n t i s ( e q u a t i o n 3 . 3 0 ) e = e 2 ( I l l . l ) 2 A ^ S e v e r a l p o i n t s o n t h e e x a c t s w i t c h i n g b o u n d a r y ( F i g u r e 3 . 3 ) a r e s e l e c t e d a n d s u b s t i t u t e d i n t o e q u a t i o n ( i l l . l ) t o o b t a i n d i f f e r -e n t v a l u e s o f A . The A w h i c h w i l l g i v e t h e c l o s e s t a p p r o x i m a t i o n t o t h e e x a c t s w i t c h i n g b o u n d a r y w i l l b e c h o s e n . The v a l u e o f A s e l e c t e d i s 4 3 . 2 . I t i s o b t a i n e d a s f o l l o w s : S u b s t i t u t i n g t h e p o i n t (e = 3 2 . 0 6 , e = - 3 4 5 . 5 r a d / s e c ) f r o m t h e e x a c t s w i t c h i n g b o u n d a r y i n t o e q u a t i o n ( I l l . l ) y i e l d s 3 2 . 0 6 = - ~ ( - 3 4 5 . 5 ) 2 2 A 2 i ~ = 5 . 3 7 ( 1 0 ~ 4 ) A A = 4 3 . 2 The a p p r o x i m a t e e q u a t i o n o f t h e o p t i m u m s w i t c h i n g b o u n d a r y i s e = 2 . 6 8 ( l 0 " 4 ) e 2 ( I I I . 2 ) To d e t e r m i n e t h e v a l u e o f a a n d B t h e m e t h o d o f t r i a l a n d e r r o r w i l l a g a i n b e u s e d . I t h a s b e e n d e r i v e d i n s e c t i o n 3 . 2 ( e q u a t i o n 3 . 2 2 ) t h a t i n t h e t h i r d a n d f o u r t h q u a d r a n t s 6 7 e = - j - ( 1 - e ~ 8 * ) P O S I T I V E TORQUE e " 8 t = C ' e + 1 ( I I I . 3 ) w h e r e C = a A g r a p h o f e q u a t i o n ( I I . 9 ) i s s h o w n i n F i g u r e ( i l l . l ) . F r o m t h i s g r a p h t w o p a i r s o f c o o r d i n a t e s s a y t = . 1 0 s e c , S . = - 1 9 5 r a d / s e c a n d t = . 3 0 s e c f e = - 3 4 0 r a d / s e c a r e c h o s e n . S u b s t i t u t i n g t h e s e v a l u e s i n t o e q u a t i o n ( I I I . 3 ) t h e f o l l o w i n g s i m u l t a n e o u s e q u a t i o n s a r e o b t a i n e d : e - 0 . 1 8 = x _ 1 9 5 G , ( I I I . 4 ) e - 0 . 3 8 = 1 _ 3 4 0 C , ( I I I . 5 ) E q u a t i o n s ( I I I . 4 ) a n d ( I I I . 5 ) y i e l d C ' 2 - C + = 0 ( I I I . 6 ) 1 9 5 ? The s o l u t i o n o f e q u a t i o n ( I I I . 6 ) i s C " 3 9 0 o r 78 S u b s t i t u t i n g t h e v a l u e s o f C 1 i n t o e q u a t i o n ( I I I . 4 ) y i e l d s e - ° ' 1 B = | ( I I I . 7 ) e - 0 . 3 P = - i | I (HI.8) l / 7 8 i s n o t a s u i t a b l e s o l u t i o n b e c a u s e i t w i l l make e ~ * 3 8 e q u a l 69 t o a n e g a t i v e n u m b e r a s s h o w n i n e q u a t i o n ( I I I . 8 ) . S o l v i n g e q u a t i o n ( i l l . 7 ) f o r 8 g i v e s 8 = 6 . 9 2 c " a 2 " 3 9 0 . . a = 52 w i t h t h e v a l u e s o f a a n d 8 a n a p p r o x i m a t e t v s & c u r v e c a n be p l o t t e d a s s h o w n d o t t e d i n F i g u r e ( I l l . l ) . ' D i f f e r e n t c o o r d i n a t e s a r e c h o s e n f r o m t h e e x a c t t y s J c u r v e t o o b t a i n d i f f e r e n t v a l u e s o f a a n d 8 b y t h e a b o v e p r o c e d u r e u n t i l t h o s e v a l u e s o f a a n d 8 w h i c h w i l l g i v e t h e c l o s e s t a p p r o x i m a t i o n t o t h e e x a c t t v s § c u r v e a r e f o u n d . The v a l u e s o f a a n d 8 c h o s e n a r e 52 a n d 6 . 9 2 r e s p e c t i v e l y . The e q u a t i o n o f t h e a p p r o x i m a t e d p h a s e p l a n e t r a j -e c t o r i e s i n t h e t h i r d a n d f o u r t h q u a d r a n t s c a n b e w r i t t e n a s e .= e 6 + 3 9 0 + l ) - e P O S I T I V E TORQUE ( i l l . 9 ) A P P E N D I X I V MAGNITUDE OP V O L T A G E A P P L I E D TO THE F U N C T I O N GENERATOR The e q u a t i o n o f t h e g e n e r a t e d f u n c t i o n i s g ( t ) = * X 2S I p d - a e ^ 8 ^ e - 2 B t ) + ^ t d C l - e " P t ) A s t ^ o o g ( t ) ^ V ( | B + V d ) k*B 2 P or tt S u b s t i t u t i n g t h e v a l u e s o f a , B , A , a n d t ^ i n t o t h e a b o v e e q u a t i o n y i e l d s g ( t ) 8 0 r a d s O w i n g t o t h e f a c t t h a t t h e v o l t a g e m e a s u r e d a t p o i n t A' ( F i g u r e 3 . 7 ) f o r one r a d i a n o f m o t o r * s h a f t r o t a t i o n i s a p p r o x i m a t e l y l / 6 0 V a n d t h a t , t h e l e a d n e t w o r k a n d t h e c a t h o d e f o l l o w e r i n t h e f u n c t i o n g e n e r a t o r h a s a g a i n o f . 0 6 6 , t h e n e c e s s a r y v o l t a g e a p p l i e d t o t h e f u n c t i o n g e n e r a t o r i s v = f§ T i b = 2 0 - 2 v o l t s 71 R E F E R E N C E S 1 . U t t l e y , A . , Hammond, P . H . , The S t a b i l i z a t i o n o f O n - O f f C o n t r o l l e d S e r v o m e c h a n i s m , A u t o m a t i c a n d M a n u a l C o n t r o l , 1 9 5 1 C r a n f i e l d C o n f e r e n c e , p.. 2 8 5 . 2 . D i e s e l , J . ¥ . , E x t e n d e d S w i t c h i n g C r i t e r i o n f o r S e c o n d - O r d e r S a t u r a t e d S e r v o m e c h a n i s m s , A I E E T r a n s a c t i o n s , P a r t I I , J a n u a r y 1 9 5 8 , p . 3 8 9 . 3 . M c D o n a l d , D . N o n l i n e a r T e c h n i q u e s f o r I m p r o v i n g S e r v o P e r f o r m -a n c e , P r o c e e d i n g s o f t h e N a t i o n a l E l e c t r o n i c s C o n f e r e n c e , 1 9 5 0 , p . 4 0 0 . 4 . L a n g s d o r f , A l e x a n d e r S . , T h e o r y o f A l t e r n a t i n g C u r r e n t M a c h i n e r y , M c G r a w - H i l l P u b l i s h i n g Gb., I n c . , New Y o r k , S e c o n d E d i t i o n , 1 9 5 5 , p . 2 6 3 . 5 . S m i t h , O . J . M . , F e e d b a c k C o n t r o l S y s t e m s . M c G r a w - H i l l P u b l i s h -i n g C , I n c . , New Y o r k , P a r t s I I I a n d I V , 1 9 5 8 . 6 . M a t h e w s , K . C . , a n d B o e , R . C . , The A p p l i c a t i o n o f N o n l i n e a r T e c h n i q u e s t o S e r v o m e c h a n i s m s . P r o c e e d i n g s o f t h e N E C , 1 9 5 2 , p . 1 0 . 7 . L e w i s , J o h n B . , O p t i m u m R e s p o n s e R e l a y S e r v o s , C o n t r o l E n g i n -e e r i n g , P a r t I , M a y I 9 6 0 , p . i 1 2 5 ; P a r t I I , J u l y 1 9 6 0 , p . 7 7 ; a n d P a r t I I I , O c t o b e r 1 9 6 0 , p . 1 2 9 . 8 . T r u x a l , J o h n G . , C o n t r o l S y s t e m S y n t h e s i s , M c G r a w - H i l l P u b l i s h i n g C o . , I n c . , New Y o r k , 1 9 5 5 . 

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