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Sur la theorie de l'aimantation spontanee d'une substance ferromagnetique aux basses temperatures Banville, Marcel 1959

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831-UBC_1959_A6_7 B2 S8.pdf [ 2.9MB ]
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-i-  SUR LA THEORIE DE L'AIMANTATION SPONTANEE D'UNE SUBSTANCE FERROMA.GNETIQUE AUX BASSES TEMPERATURES r  by MARCEL BANVILLE B.Sc,  Universite de Montreal, 19!?6  A THESIS SUBMITTED IN PARTIAL FULFILMENT OF THE REQUIREMENTS FOR THE DEGREE OF MASTER IN SCIENCE i n the Department of Physics  We accept t h i s t h e s i s as conforming to the required standards  THE UNIVERSITY OF BRITISH COLUMBIA FEBRUARY, 1 9 5 9  -iii-  ABSTRACT  In 1 9 3 0 , B l o c h d e r i v e d a f o r m u l a f o r t h e  temperature-dependence  o f t h e spontaneous m a g n e t i s a t i o n o f a f e r r o m a g n e t i c s u b s t a n c e ( i n t h e s e n se o f t h e well-known  H e i s e n b e r g model) v a l i d a s y m p t o t i c a l l y as t h e  tempera-  t u r e T tends t o z e r o . In 1 9 3 6 , Kramers r e d e r i v e d B l o c h ' s f o r m u l a u s i n g an e n t i r e l y approximate method. I n 1937,  Opechowski  a p p l i e d Kramers  1  new  method t o o b t a i n ,  3/9 i n a d d i t i o n to' B l o c h ' s T ' ^-term i n t h e e x p r e s s i o n two a d d i t i o n a l terms, i n T In 1956,  f o r the magnetisation,  and  Dyson found a r i g o u r o u s method f o r d e a l i n g w i t h t h i s p r o -  blem. H i s r e s u l t shows t h a t t h e r e i s no T - t e r m and t h e T ^ - t e r m 2  e f f i c i e n t d i f f e r e n t from t h a t found b y  has a c o -  Opechowski.  In t h i s t h e s i s , some p o s s i b i l i t i e s a r e i n v e s t i g a t e d o f m o d i f y i n g Kramers' method. In p a r t i c u l a r , , t h e q u e s t i o n i s c o n s i d e r e d , which i n Kramers' method a r e r e s p o n s i b l e f o r the above mentioned  assumptions  discrepancies.  In Kramers' method, t h e p a r t i t i o n f u n c t i o n o f t h e H e i s e n b e r g  mo-  d e l i s i d e n t i f i e d w i t h t h e l a r g e s t term i n i t s power s e r i e s e x p a n s i o n . The c a l c u l a t i o n o f t h e l a r g e s t term i s i n t u r n reduced t o a c e r t a i n random walk problem. T h i s r e d u c t i o n o f t h e problem t o a random walk problem i n v o l v e s c e r t a i n assumptions which we have n o t t r i e d t o m o d i f y i n t h i s What i s new  thesis.  i s a c a r e f u l d i s c u s s i o n o f , and improvement on t h e s o l u t i o n o f  t h e random walk  problem.  The improved method o f s o l v i n g t h i s problem l e a d s t o a c u b i c  equa-  t i o n i n ff\ where J i s a c e r t a i n parameter w i t h no s i n g l e p h y s i c a l meaning. In c h a p t e r s 6 and 7, a f i r s t in ?  a p p r o x i m a t i o n i s o b t a i n e d b y o m i t t i n g t h e term  * The r e s u l t i n g q u a d r a t i c e q u a t i o n i n p l e a d s t o an e x p r e s s i o n f o r .  -iv-  t h e spontaneous  m a g n e t i s a t i o n c o n t a i n i n g no t e r m i n T  as i n D y s o n ' s  for-  m u l a . The s o l u t i o n o f t h e complete c u b i c e q u a t i o n u n f o r t u n a t e l y l e a d s t o an e x p r e s s i o n f o r t h e spontaneous m a g n e t i s a t i o n , i n w h i c h t h e t e r m i n T  2  r e a p p e a r s a g a i n . One o b t a i n s a g a i n O p e c h o w s k i ' s r e s u l t , e x c e p t f o r a s m a l l modification o f the c o e f f i c i e n t  o f t h e T ^ ^ - t e r m ; t h i s i s due t o a b e t t e r  approximation f o r the f a c t o r i a l s o c c u r i n g i n the c a l c u l a t i o n s . This f a c t shows t h a t K r a m e r s  1  random w a l k p r o b l e m c o n s t i t u t e s t o o crude an a p p r o x i -  mation o f the a c t u a l problem. A f t e r t h e w r i t i n g o f t h i s t h e s i s was c o m p l e t e d , P r o f e s s o r Opec h o w s k i found a way o f m o d i f y i n g K r a m e r s ' method. The c a l c u l a t i o n o f t h e p a r t i t i o n f u n c t i o n i n t h e m o d i f i e d method i s reduced t o a s l i g h t l y d i f f e r e n t random w a l k p r o b l e m . The e x p r e s s i o n f o r t h e spontaneous t i o n becomes t h e n i d e n t i c a l w i t h D y s o n ' s up t o t h e  magnetisa-  ^^-term  inclusive.  In the  presenting  requirements  of  British  i t  freely  agree for  that  for  an  Columbia, available  I  that  copying  gain  shall  by or  not  his  p a r t i a l degree  fulfilment  at  the  the  Library  shall  reference  and  study.  I  extensive  may  be  granted  representative.  allowed  of  t h i s  without  of  by  the  It  is  thesis  Columbia,  make  further t h i s  Head  of  thesis my  understood for  my w r i t t e n  Department The U n i v e r s i t y o f B r i t i s h V a n c o u v e r 8, Canada.  copying  of  University  that  publication be  in  advanced  for  purposes  or  thesis  agree  for  permission  scholarly  Department  this  financial  permission.  -iiTABLE DES MATIERES  I  INTRODUCTION  II  30MME DES ETATS EN PRESENCE DU CHAMP MAGNETIQUE.  1.  PRINCIPES FONDAMENTAUX DE LA METHODE DE KRAMERS...,  1  2.  APPLICATION DE LA METHODE DE KRAMERS AU MODELE DE HEISENBERG  5  3.  CALCTJL DE S^(m)  k.  DEDUCTION DES EQUATIONS DEFINIS3ANT L E PLUS GRAND TERME DE LA  .11  18  SOMME DES ETATS  $.  SOLUTION DES EQUATIONS DETERMINANT L E MAXIMUM DE LA SOMME DES ETATS  21  6.  CALCUL DE LA FONCTION K(l>)  29  7.  CALCUL DE L'ENERGIE LIBRE F ET L'ALMNTATION SPONTANEE M EN 32  PREMIERE APPROXIMATION  8.  9.  CALCUL DE L'ENERGIE LIBRE ET L AIMANTATION SPONTANEE EN 1  SECONDE APPROXIMATION  36  CALCUL DE LA CHALEUR SPECIFIQUE  38  APPENDICES  A.  PROPRIETES DE LA F O N C T I O N f ( i f J .  Ill  B.  SOLUTION DE L'EQUATION CUBIQUE  h9  C.  REI^ARQUES SUR L E CALCUL D'OPECHOWSKI  $k  -V-  REMERCIEMENTS  J e d e s i r e r e m e r c i e r l e p r o f e s s e u r Opechowski q u i m'a c o n f i e ' c e probleme e t a t o u j o u r s p a r l a s u i t e s u i v i de t r e s p r e s chaque phase de mon t r a v a i l . C'est grace a ses c o n s e i l s e t s e s d i r e c t i v e s que j ' a i p u r e a l i s e r cette these. J e r e m e r c i e a u s s i monsieur Mc M i l l a n p o u r s u i v a n t s a m a l t r i s e en p h y s i q u e t h e o r i q u e , pour l ' a i d e q u ' i l m'a apportee en r e s o l v a n t 1'equation cubique  dont l e t r a i t e m e n t a p p a r a i t dans l ' a p p e n d i c e B.  -vi-  I  INTRODUCTION  Une ment magnetique  substance e s t appelee f e r r o m a g n e t i q u e s i e l l e possede u n mospontane, c ' e s t - a - d i r e un moment magnetique meme en l ' a b s e n -  ce d'un champ magnetique e x t e r n e .  Les d i p o l e s magnetiques  d'une substance tendent a s ' a l i g n e r dans  l a meme d i r e c t i o n a cause d'une i n t e r a c t i o n d ' o r i g i n e q u a n t i q u e appelee champ de W e i s s . C e t t e tendance a s ' o r i e n t e r des d i p o l e s magnetiques e s t opposee p a r l e u r a g i t a t i o n thermique.  L ' o r i g i n e p h y s i q u e du champ de Weiss t i e n t aux " f o r c e s comme l ' o n t montre H e i s e n b e r g e t F r e n k e l  d'echange"  (1928) independamment. Sous c e r -  t a i n e s hypotheses, on p e u t montrer ( v o i r p a r exemple J.H.Van V l e c k que l ' o p e r a t e u r d ' i n t e r a c t i o n des atomes  i  et j  (19lr5))  p o r t a n t l e s s p i n s f CfJ-  £ ff^ e s t , a une c o n s t a n t e a d d i t i v e p r e s :  e.  (i.D ou <Q , (T|  M  4  (T^  .-j  (Ll£j*>J  sont l e s m a t r i c e s de s p i n de P a u l i e t J  est 1 'integrale  d'echange l i e e a u recouvrement des d i s t r i b u t i o n s de charge i ,  j . La theorie  du ferromagnetisme dont l e p o i n t de d e p a r t e s t l ' o p e r a t e u r e n e r g i e ( I . l ) e s t appelee "Modele de H e i s e n b e r g " . L ' e n e r g i e d'echange n'a pas d'analogue  clas-  s i q u e b i e n q u ' e l l e s o i t d ' o r i g i n e e l e c t r o s t a t i q u e . C'est une consequence du p r i n c i p e d ' e x c l u s i o n de P a u l i qu'en mecanique q u a n t i q u e , l ' o n ne p e u t en g e n e r a l changer l a d i r e c t i o n r e l a t i v e des s p i n s sans changer l a d i s t r i b u t i o n s p a c i a l e de l a charge dans l a r e g i o n de recouvrement. Dans l e modele de Heisenberg, l a v a l e u r de 1 ' i n t e g r a l e d'echange e n t r e u n atome e t ceux de ses v o i s i n s p l u s e l o i g n e s que ses v o i s i n s immediats e s t posee e g a l e a z e r o  -viia cause de l a f a i b l e p o r t e e de c e t t e i n t e r a c t i o n .  Une f o r m u l e asymptotique  a e t e d e d u i t e p a r HLoch (1930):  T-*0)  (1.2) ou  pour 1 ' a i m a n t a t i o n spontanee (j(T)(pour  <T(t) * <r<o)[/-  T  e s t l a temperature  absolue e t  ,pendde l a s t r u c t u r e du -reseau  (Lrj *] v  c  c , une c o n s t a n t e dont l a v a l e u r de'-e  cristallin.  Pour d e d u i r e s a f o r m u l e , B l o c h a i n t r o d u i t s e s fameuses "ondes de s p i n " q u i ont joue d e p u i s un r o l e important dans l a t h e o r i e du f e r r o m a g n e t i s me e t de 1'antiferromagnetisme une revue du  sujet).  En 1936, te  ( v o i r p a r exemple Van Kranendonk (19!?8) pour  Kramers a obtenu l a f o r m u l e de B l o c h p a r une methode t o u -  d i f f e r e n t e . La methode de Kramers (1936) a e t e e n s u i t e a p p l i q u e e p a r  chowski  (1937) pour o b t e n i r une e x p r e s s i o n pour 1 ' a i m a n t a t i o n spontanee  Opequi  s e r a i t v a l i d e dans un domaine de temperatures un peu p l u s etendu. Le r e s u l tat  d'Opechowski e s t  (1.3) ou.  cyt) . A^  A2  et  <-,o)[,-cl<f)\A,(<fj\Ai(  sont des c o n s t a n t e s b i e n determinees.  Cependant, l a methode de Kramers n ' e s t v a l i d e qu'asymptotiquement pour  T >0  e t i l n ' e s t pas s u r que l a d e d u c t i o n des termes en  T  2  et  T^/  ne v a pas au dela. de l a v a l i d ! t e de l a methode.  n  y a quelques annees, S c h a f r o t h (195"U) e t Van Kranendonk (1955)  ont r e p r i s l e probleme en u t i l i s a n t des methodes approchees basees s u r l a t h e o r i e des ondes de s p i n e t ont obtenus au l i e u de (1.3), une e q u a t i o n de  2  -viii-  l a forme  d.u)  <rtr) . oj[i-  c(yrj' -<A(*rJ A  rt  ou l e c o e f f i c i e n t de  n ' e s t p a s l e meme chez l e s deux a u t e u r s .  F i n a l e m e n t , t o u t recemment il  r e f o r m u l e mathematiquement  Dyson (19E>6) a p u b l i e deux a r t i c l e s ou  l a methode d'ondes 'de s p i n e t 1 ' a p p l i q u e d'une  maniere q u i semble r i g o u r e u s e , au probleme q u i nous occupe. Son r e s u l t a t ne c o i n c i d e avec c e l u i d'aucun de s e s p r e d e c e s s e u r s . I I t r o u v e :  Une comparaison sommaire de l a methode de Kramers q u i , repetons-le", e s t l a s e u l e q u i n'emploie pas l e s ondes de s p i n , avec c e l l e de Dyson sugger e que l e c a l c u l d'Opechowski peut e t r e r e f o r m u l e d'une maniere p l u s r i g o u -  2 r e u s e , s u s c e p t i b l e de donner a u moins p o u r l e terme e n T , l e meme r e s u l ^ 2 t a t que Dyson; c ' e s t - a - d i r e de demontrer que l e c o e f f i c i e n t de T e s t z e r o . C e t t e t h e s e s e r a consacree a c e probleme.  I I se t r o u v e que c e r t a i n e s e q u a t i o n s a l g e b r i q u e s a u x q u e l l e s raenent l e s hypotheses de base de l a methode de Kramers peuvent e t r e r e s o l u e s d'une maniere systematique p a r a p p r o x i m a t i o n s s u c c e s s i v e s . L a premiere approximat i o n donne a l o r s une e x p r e s s i o n p o u r < T ^ o u l e terme de B l o c h en s u i v i d'un terme en  T^/ e s t 2  T^/^ (mais c e l u i - c i avec u n c o e f f i c i e n t d i f f e r e n t de  c e l u i de Dyson). Dans l a seconde a p p r o x i m a t i o n , un terme en  T  2  apparaxtj  g r a c e au ; c a r a c t e r e systematique de n o t r e t r a i t e m e n t , on peut v o i r des  laquelle  hypotheses fondamentales de Kramers e n e s t l ' o r i g i n e .  Nous montrons dans l a meme p r e m i e r e a p p r o x i m a t i o n que 1 ' e x p r e s s i o n  -ix-  pour l a c h a l e u r s p e c i f i q u e e s t l a meme que c e l l e obtenue p a r Dyson pour l e terme en  T-^  2  e t avec un c o e f f i c i e n t legerement d i f f e r e n t pour l e terme  F i n a l e m e n t , nous montrons que 1 ' e x p r e s s i o n obtenue p a r  en  Opechowski  (1937) peut e t r e obtenue p a r une c e r t a i n e a p p r o x i m a t i o n au sens de n o t r e methode .  -1-  II  SOMME DES ETATS EN PRESENCE DU CHAMP MAGNETIQUE.  I.  PRINCIPES FONDAMENTAUX DE LA METHODE DE KRAMERS.  Dans l a methode de Kramers, l a somme des e t a t s du systeme e s t c a l c u l d e p a r une e v a l u a t i o n d i r e c t e de l a t r a c e de l ' o p e r a t e u r  Dehotons p a r €  s  energie.  l ' o p e r a t e u r e n e r g i e ; 1 ' e n e r g i e l i b r e FN du s y s -  tSme e s t l i e e a l a somme des e t a t s Z p a r l a r e l a t i o n b i e n connue: (1.1)  z  *  e  w  = ^ 4  e  «  £  ^  ou N e s t l e nombre d'atomes du c r i s t a l e t F, 1 ' e n e r g i e l i b r e p a r atome. En developpant 1 ' e q u a t i o n ( 1 . 1 ) , nous pouvons e c r i r e  (1.2)  e t nous d e f i n i r o n s  ou nous avons employe l ' i n t e g r a l e d'echange J en g u i s e d'unite" d e n e r g i e . 1  Dans l a s u i t e , nous u t i l i s e r o n s l a n o t a t i o n m o d i f i e e s u i v a n t e ou nous remplacons  ^  par  f  /j  par  I  (1.3) -—TTPar  J  A«l*/  -2-  Dans c e t t e n o t a t i o n , 1 ' e q u a t i o n (1.2) d e v i e n t  FN  <*>  - i**ce  AN<»)  (1.5)  <-«*)  Dans l a n o t a t i o n h a b i t u e l l e , l ' a i m a n t a t i o n spontanee d'une subst a n c e f e r r o m a g n e t i q u e e s t donnee p a r  (1.6)  M  "-(fs)»..  \-~o ou jX ^st B  l e magneton de Bohr e t H, l e champ magnetique. S i l ' o n pose  a=  (i.7)  J 1 ' e q u a t i o n (1.6) d e v i e n t dans n o t r e n o u v e l l e n o t a t i o n  ( 1  -  H - / . ( K L  8 )  ou l a d e r i v e e e s t p r i s e a temperature c o n s t a n t e . S i nous revenons a l ' e q .  (l.U),  nous voyons que, pour l e c a s des b a s s e s temperatures auquel nous  somraes i n t e r e s s e s , l e s termes de l a somme v o n t p a s s e r p a r un maximum t r e s prononce pour l e s grandes v a l e u r s de n; i l e s t l e g i t i m e de remplacer l a somme p a r son terme dominant, l e s termes Am(*) pouvant e t r e t o u s rendus p o s i t i f s p a r 1 ' a d d i t i o n a l ' e n e r g i e d'une c o n s t a n t e n'ayant aucune ence s u r l e r e s u l t a t  e  I * P  / ("  f T  final: ] I  =  maximum p a r rapport a n  Ai*l*)_ H'-T*  1  influ-  -3ou encore, en p r e n a n t l e l o g a r i t h m e  ou  n(lnn - l )  remplace  I n n.  naturel:  p a r 1'approximation de S t i r l i n g .  1  En d e r i v a n t p a r r a p p o r t a n et i n t r o d u i s a n t l a n o t a t i o n  d.io)  •  suivante!  VA/  =  1* y U < » J - A i H - - A i r = 0  -  * ( j * * -1;  «VA/ (in^/V-  ;y  1 ' e q u a t i o n (1.9) d e v i e n t  D e f i n i s s o n s une f o n c t i o n  (LID  K  nous pouvons a i n s i  a.12)  W  ; . ^ i r  K(^,N) comme s u i t :  ;  -  ;  ecrire  - £ . = K ^ ; - s( w - / ;  i  *  r  compatible avec 1'equation s u i v a n t e d e f i n i s s a n t l e maximum p a r r a p p o r t a. n :  (i.i3)  t~ Kl*>) -JL>>-J^T  * o  -kNous avons e c r i t i c i  K(V,N)  demontrer q u ' i l e s t independant de 1'energie l i b r e  F  N.  sans 1 ' i n d i G e N  N  c a r nous pouvons  e s t p r l s t r e s grand, de s o r t e que  p a r p a r t i c u l e d e v i e n t independante de  Nj  i l s'ensuit  que  e t comme V* e s t soumis a l a c o n d i t i o n (1.13), nous aurons 25  ^  o  9* S i nous u t i l i s o n s 1 ' e q u a t i o n (1.13), (1.12) peut s ' e c r i r e sous l a forme  suivante:  Dans l a s e c t i o n s u i v a n t e , nous a p p l i q u e r o n s c e t t e methode au d e l e de Heisenberg a f i n d ' e v a l u e r c e t t e f o n c t i o n  K(V).  mo-  2.  APPLICATION DE LA METHODE DE KRAMERS AU MODELE DE HEISENBERG.  Le modele de Heiseriberg pour une substance :c.aracterise p a r un o p e r a t e u r e n e r g i e  ferromagnetique e s t  €s d e f i n i dans l a n o t a t i o n h a b i t u e l l e  par  (2.1)  €, = £ +C»  (2.2)  c-  (2.3)  e  ou  -  7Z  IC*J;  H  j ^ j ^ i  s o n t l e s m a t r i c e s de s p i n de P a u l i e t l a somme ( 2 . 2 ) n ' e s t  p r i s e que s u r l e s p a i r e s de v o i s i n s immediats, s o i t  Nf  paires.  _j —k  Nous avons c h o i s i d ' e c r i r e dans l a somme ( 2 . 2 ) l e s m a t r i c e s de s p i n sous l a forme  p o u r un s p i n 1/2,  •• ^ — c a r  l e s e u l c a s auquel nous nous  i n t e r e s s o n s dans c e t t e t h e s e , c e t o p e r a t e u r e s t un o p e r a t e u r de p e r m u t a t i o n ( v o i r p a r exemple Van V l e c k (19ii5)  ) e t a p o u r e f f e t de permuter l e s s p i n s  des atomes i e t j du r e s e a u . I I c o n v i e n t i c i a u s s i de remplacer,  C  par par  Les e q u a t i o n s  e  s  « €  pour £  s  :  JC J C M  (2.1)  a (2.3) s ' e c r i r o n t dans c e t t e n o u v e l l e n o t a t i o n  en t e n a n t compte de (1.3)  (2.U)  comme dans (1.3)  +c  h  -6-  e * - L  (2.5)  (2.6)  H  r  <«--«-X<««Ji Dans un c r i s t a l contenant  m  atomes magnetiques, nous d e * f i n i s -  k) d'un e'tat c a r a c t e r i s e * p a r l a p o s i t i o n  sons une f o n c t i o n d'onde de  N  d i p S l e s magnetiques p o i n t a n t dans l a d i r e c t i o n i n v e r s e du champ ma-  gnetique, d i s t r i b u e s dans l e r e s e a u ; k des d i s t r i b u t i o n s d i f f e r e n t e s des m butions  etant un i n d i c e attache  a chacune  d i p o l e s dans l e r e s e a u . Deux d i s t r i -  sont i d e n t i q u e s quand l e s memes p o i n t s du r e s e a u sont occupe's e t  donnent l i e u a l a meme f o n c t i o n  d'onde.  Dans c e q u i v a s u i v r e , nous conviendrons d ' a p p e l e r  "spins" seu-  lement l e s d i p o l e s de d i r e c t i o n oppose'e au champ magnetique, l e s a u t r e s p o i n t s du re*seau e'tant considere*s  comme inoccupe*s; sans g u i l l e m e t s , l e mot  s p i n a u r a l a meme s i g n i f i c a t i o n que* d ' h a b i t u d e .  A chaque p o i n t du re'seau e s t a t t a c h e u n i n d i c e  j , ( j=l,2,...,N)  de s o r t e que l a p o s i t i o n de chaque J'spin" e s t connue exactement.  Nous avons i c i u n systeme de une f o n c t i o n d'onde d i s t r i b u t i o n des  u-j j e t l a  "spins"  e l e c t r o n s e t a chacun a p p a r t i e n t  f o n c t i o n d'onde  'flC**h) p o u r  s e r a l e p r o d u i t d i r e c t des N  (f t»v», k ) = u,u^ Considerons un p o i n t point  N  j  une c e r t a i n e  f o n c t i o n s d'onde  • •• Hi du r e s e a u occupe* p a r u n " s p i n " ; s i l e  i , v o i s i n immediat de j , n ' e s t pas occupe*:  (2.8)  ' * ^  ou ^lm k J  i  fcjest  *^ C  i m *f(m,W;kJ  l a f o n c t i o n d'onde obtenue:de ftm,k)en d e p l a c a n t  un "spin"  de s a p o s i t i o n i n i t i a l e ci c e l l e d'un de ses v o i s i n s iramediats. Le nombre k-^  e s t un i n d i c e d e s i g n a n t  chacun des e t a t s pouvant cttre obtenus de  p a r l e deplacement de l ' u n des " s p i n s " . Dans l e c a s ou  i  et  j  fi' *^) m  ont  l e u r s " s p i n s " p a r a l l e l e s , l a f o n c t i o n ^ { i H p t y n ' e s t pas changee.  L a p a r t i e de l ' o p e r a t e u r e n e r g i e dependant du champ H  e s t diagonale et a l a v a l e u r propre  -1  s i j  magnetique  e s t occupe* e t • 1  dans  l e cas c o n t r a i r e .  En se s e r v a n t de 1 ' E q u a t i o n (2.8), o n p e u t t r o u v e r l e r e s u l t a t de 1 ' a p p l i c a t i o n de l ' o p e r a t e u r (2.5)  ou  N(m,k)  l'etat  ttf-Mfm:,*)  e s t l e nombre de v o i s i n s dont l e s s p i n s sont p a r a l l e l e s  k. De me*me, une n o u v e l l e a p p l i c a t i o n de c e t o p e r a t e u r donne  (- C f- M>( *», *) **(m>^C-0*  "* ^  4  t  (  - <  m  < '> *• J J k  dans  -8-  ou  'ft**),t. • k, k  )  t  represente  <Q(VA,\t.) p a r deux deplacements de  1'une ses  " s p i n s " v e r s une  general,deux " s p i n s " d i f f e r e n t s s e r o n s  Apres f o n c t i o n s d'onde t i q u e s a. f l * * i l * ^ t  j$  <PC»»»,l'j it, k  x  ,  (en  des  dont un c e r t a i n nombre s e r o n t  2  * Ai C**»«V X  Nous a l l o n s denoter p a r  (2.1D  position voisine  " s p i n s " , nous aurons en g e n e r a l ,  N(m,kjk^,k ,.:.,k^) = N(m,k) . Par  Xt  t /  de  deplaces).  ,k.a)  1l¥m.k)[-C) ei*,*)  *f C * i | k ; I c , k  obtenues  iden-  j dans ce c a s , l e nombre de v o i s i n s p a r a l l e l e s s e r a l e meme  dans l e s deux c a s :  (2.10)  deplacements des  des f o n c t i o n s d'onde  - .. , kj)  •* * /V  exemple:  L",*)  Sjj(m,k) , l e nombre de  identiques  a  fonctions  ff(»*» k^ , c ' e s t - a - d i r e : (  s o»,k; x  e t 1 ' e q u a t i o n (2.10) s ' e c r i r a  (2.12)  ^WH^ffimM  La puissance  n  «  tfW;  +Zry/t» u)  de 1 ' o p e r a t e u r e n e r g i e  «» = «»  t  s'ecrit  * t tm,h) t  -9e t en g e n e r a l i s a n t 1'equation (2.10), nous aurons:  (2.13)  ou  •fi-.^c-o-^.n;«  2 (")2 n"* <m.kj (" ) t  (2.13) peut e t r e s i m p l i f i e e p a r l e changement d ' i n d i c e suivants ^-«r M [  rn-JC-  &) ]  \  (2.1ii)  j  I c i nous f e r o n s l ' h y p o t h e s e s u i v a n t e : l o r s q u e  m « N , be q u i e s t l e  cas aux basses temperatures, l e nombre moyen de v o i s i n s ( p a i r e s ) p a r a l l e l e s ne depend pas de l a p o s i t i o n des " s p i n s " , C ' e s t - a - d i r e  que l e s nombres . N(m,k) e t  S^(m,k)  m  sont approximativement egaux pour u n meme  e t nous a l l o n s supposer  q u ' i l s sont exactement egaux. C e t t e hypothese r e v i e n t a n e g l i g e r l e f a i t que deux " s p i n s " ne peuvent pas o c c u p e r simultanement l e meme p o i n t du r e s e a u . I I s ' e n s u i t que  (2.15) ou  N(m) = f ( N - 2m )  f N e s t l e nombre de p a i r e s dans l e c r i s t a l .  -10La t r a c e s e r a donnee p a r une somme s'etendant sur l e s sont  obtenus en d i s t r i b u a n t dans un r e s e a u de  N  atomes,  m  ) e'tats q u i  " s p i n s " de t o u t e s  l e s fagons p o s s i b l e s e t une somme s u r m, (m = 1,...,N) :  M it) ^ ira<*i-y"z$,ZZ  (2.16)  ou nous avons f a i t usage de  ' M *<m)(t)[*l+*«)] '' n  }  S l~) a  (2.15).  La t r a c e s e r a approximativement e g a l e au maximum p a r r a p p o r t et  m  jL  des elements de l a somme  ( .x7)  !-%;".-•«.  2  ( ^ i ^ ' W " - * - > J " ^ f c ^  Dans l a s e c t i o n s u i v a n t e , nous r e d u i s o n s S^(m)  a  l e c a l c u l de l a f o n c t i o n  au probleme du cheminement a l e a t o i r e d'un p o i n t dans un r e s e a u a t r o i s  dimensions.  •11-  3.  CALCUL DE  S^m).  Dans ce q u i v a s u i v r e , nous conviendrons de nomraer "pas", l e r e s u l t a t du emplacement d'un  " s p i n " d'une d i s t a n c e i n t e r a t o m i q u e .  Apres l e p r e m i e r pas, un des " s p i n " s ' e s t deplace v e r s une *Pc^ k)  v o i s i n e , e t de l a f o n c t i o n  x  nous obtenons  2fm  position  nouvelles fonctions 2  ifCbVjkjfrJ W*,l<)  . Apres l e deuxieme pas  I*i,Ut)  (.& = 2 ) ,  nous aurons  (2fm)  fonctions  dont un c e r t a i n nombre s e r o n t i d e n t i q u e s a l a f o n c t i o n  Nous avons denote p a r ^ ( m ) En g e n e r a l , l e s  ^  ce nombre. (2fm)  fonctions  <fCw»,JijA^kj,.--seront  obte-  en d e p l a c a n t a chacun des JJ pas, un des " s p i n s " v e r s l'une de  nues de  ses p o s i t i o n s v o i s i n e s ( en g e n e r a l , u n " s p i n " d i f f e r e n t s e r a deplace chaque f o i s ) . Un cas t y p i q u e p o u r r a comprendre  k  x  pour l e second, e t c . , d e f i n i s s a n t a i n s i une  2f  pas pour l e p r e m i e r " s p i n " ,  = U4)  jL  Parmi ces  (2fm)^  x  "trajectoire".  e t a n t l e nombre de v o i s i n s immediats  l e nombre t o t a l de t r a j e c t o i r e s  Jt  de chaque p o i n t du r e s e a u ,  sera:  UJj—Jtm!  t r a j e c t o i r e s , nous d e s i r o n s c o n n a x t r e l e nombre  de c e l l e s pour l e s q u e l l e s l e s memes p o i n t s du r e s e a u sont occupes avant e t a p r e s l e s & p a s . l i s s e r o n t en g e n e r a l occupes p a r des " s p i n s " d i f f e r e n t s . nombre s e r a donne p a r  Ce  -12-  = fv/m/  (3.2)  (3.3)  V  " "  f  " '  f  nombres  p  l*Jx,  -  ou. nous avons r e d u i t l e c a l c u l de Les  K  t  Jl*i)  1  Vmiti,-  a un processus stochastique.  sont d e f i n i s de l a f a g o n s u i v a n t e : une t r a j e c t o i r e t y p i q u e  k  c o n t i e n t un c e r t a i n nombre de c i r c u i t s fermes d e c r i t s p a r l e s c i r c u i t p o u r r a p a r exemple i  t  e t r e engendre p a r k  m  "spins". U  " s p i n s " ou, a p r e s a v o i r  fait  p a s , l e p r e m i e r occupe l a p o s i t i o n p r i m i t i v e du second, l e second a p r e s J  pas occupe l a p o s i t i o n du t r o i s i e m e e t f i n a l e m e n t , a p r e s J p a s , l e k  kl  n  x  e r a e  occupe c e l l e du p r e m i e r .  En g e n e r a l , une t r a j e c t o i r e comportera un " s p i n " ,  p  engendres p a r  2  p-^ c i r c u i t s engendres p a r  c i r c u i t s engendres p a r deux " s p i n s " e t e n f i n , k  p^  circuits  " s p i n s " que nous c o n v i e n d r o n s de nommer c i r c u i t s - k . Nous a u -  r o n s done: Ml (3.U)  X  s  t  A  Nous a l l o n s maintenant f a i r e 1'hypothese s u i v a n t e : admettant que t o u s l e s c i r c u i t s - k ont l a meme p r o b a b i l i t e , e g a l e a l a p r o b a b i l i t e moyenne d'un c i r c u i t - k ou chacun des " s p i n s " f a i t  i / m p a s (? = S/m) l e  exactement  r e s u l t a t s e r a asymptotiquement l e meme quand  t>ftJ  sible',.- s i nous c o n s i d e r o n s que O i m £ N  04.jLh n  l e maximum p a r r a p p o r t a $ e t m  et  . C e t t e hypothese e s t p l a u ou. n » N , de s o r t e que  dans l ' e q . (3.2) a r r i v e r a pour  Q»  Dans l ' e q . ( 3 . 3 ) , nous e c r i v o n s pour l a p r o b a b i l i t e d'une t r a j e c t o i r e typique:  -13-  (3.5)  JT  j wlV)) "  et l e nombre de c l a s s e s de p e r m u t a t i o n pour c e t t e t r a j e c t o i r e s e r a  F  (3>6)  ou l e s i(  h  i n t e r v i e n n e n t du f a i t  que l e s k  c i r c u i t s - k obtenus en permutant  c i r c u l a i r e m e n t l e s " s p i n s " a 1 ' i n t e r i e u r des c i r c u i t s o n t t o u s l a meme probability .  Finalement,  V  m  e s t obtenu en p r e n a n t l a somme s u r t o u s l e s p r o d u i t s  c o m p a t i b l e s avec (3.U)» c ' e s t - a - d i r e s u r t o u t e s l e s t r a j e c t o i r e s d e c r i t e s p a r m  " s p i n s " . Dans l a s u i t e , nous a l l o n s r e m p l a c e r Y {fi,Jx,'',JQ ) m  p a r V^CC) ou  m  T=  (3.7)  Le c a l c u l de l a p r o b a b i l i t e moyenne d'un c i r c u i t - k s e r a r e d u i t au probleme du cheminement a l e a t o i r e d'un p o i n t dans un r e s e a u de B r a v a i s , de l a facon  suivante.  S i nous designons p a r w.. ^ -^ , l a p r o b a b i l i t e pour qu'un " s p i n " +  o r i g i n a n t du p o i n t  j , se r e t r o u v e  au p o i n t  j + 1 a p r e s X pas;  l a probabilite  moyenne d'un c i c u i t - k s e r a l a v a l e u r moyenne de 1 ' e x p r e s s i o n  (3.8)  W»(k) = w w ...w lj2  2j3  kjl  p r i s e s u r t o u t e s l e s p o s i t i o n s a r b i t r a i r e s des p o i n t s  Nous nous bornons p r o v i s o i r e m e n t d u i s a n t l e s coordonnees  x,y,z:  2,3,...,k.  du r e s e a u .  a. un r e s e a u s i m p l e cubique en i n t r o -  ou l e s p o i n t s du r e s e a u sont d e c r i t s p a r l e s  v a l e u r s e n t i e r e s des coordonnees. Apres V deplacements, l a p r o b a b i l i t e qu'un  -1U" s p i n " passe du p o i n t  (x^yx.zi  ) au p o i n t  (x ,y2jZ 2  2  )> ( v o i r p a r exem-  p l e CJhandrasekhar (19U3)) s e r a donnee p a r  0.9)  ^,(ipy\'*ff  ou  S i 1'on c h o i s i t l e p o i n t 1 a l ' o r i g i n e , l a v a l e u r moyenne de 1'expression  — (h r j »  +jf¥\j)  s  u  r  toutes l e s p o s i t i o n s possibles  du p o i n t 2 s e r a  I^Sih"" '' " ^ i  l  A  (3.10) mais  c e t t e e x p r e s s i o n e t a n t symetrique p a r r a p p o r t a x , y , z , I d e v i e n t  En p o s a n t dans (3.9) 1*%? nous aurons  P ^ 0  w  l j 2  et  jij^,  pour  w  2  •  -15-  e t l a moyenne  S i l ' o n r e p e t e l e procede  k  ou on a t e n u compte du f a i t q u e l e p o i n t  (3.11)  fois:  k  se r e n d a l ' o r i g i n e  (ry^O)  Wl*-)  e s t l a p r o b a b i l i t e " moyenne d'un c i r c u i t - k . L a c o n s t a n t e  c  depend de l a  s t r u c t u r e du r e s e a u ; e l l e e s t e*gale a 1'unite pour l e r e s e a u simple  Dans 1'equation  (3.3),  f o n c t i o n generatrice suivante  mm o  on se lib*ere de l a c o n d i t i o n  cubique.  (3.10 p a r  la  -16-  = c / V f ^ j - V t ^ ^ ^ .  N*wlk)  m a i s  (3.13)  of \  ( /j ) ** zir  C  V  »/*  u  et l a f o n c t i o n analytique est e c r i t e  e t possede u n p o i n t s i n g u l i e r au p o i n t 7f est  =1  . Le  m  l e m e  terme de  (3.1^)  donne p a r l a formule de Cauchy:  »•»/  ou nous n e g l i g e f o r i s ; efficient  (3.17)  (3.18)  de  N  dans  f(p  2tri J  y^ ** 1  l e terme en  1  l/W. E t l ' o n denote p a r  f^) , l e c o -  1'exponentielle:  v'^fin)  -yU&q  JiX * C e t t e i n t e g r a l e s e r a evaluee  emple Morse & F e s h b a c h  (1953)).  nimum l e l o n g de l ' a x e r e e l e t  Pour  p a r l a methode du c o l ( v o i r p a r exN  t r e s grand, ^ - ^ ^ p r e s e n t e  fy(f[)peut  un m i -  e t r e developpe en s e r i e de T a y l o r  dans l a d i r e c t i o n p e r p e n d i c u l a i r e a l ' a x e r e e l en ce p o i n t . Seule l a r e g i o n p r e s de l ' a x e c o n t r i b u e a 1 ' i n t e g r a l e  c a r p l u s l o i n , 1 ' i n t e g r a n d se met a.  o s c i l l e r rapidement e t l a p a r t i e n e g a t i v e c a n c e l l e l a p a r t i e p o s i t i v e .  -17-  '  1*  (3 19)  - , r - * 2 £ t f ' _  JL  .  a  *i  (3.20)  *  I I . f a u t i c i d i s t i n g u e r e n t r e l e s deux c a s :  &* *  (I) (3.21)  (II)  . yKf  V  i  >^f>  ^  °* Pour l e c a s (I), (II),  l e mirdmum a r r i v e p o u r j ^ e j ^ £ / , e t dans l e c a s  nous c h o i s i s s o n s t o u j o u r s l e p o i n t  nous p o u r r i o n s l e demontrer, l e c o l d e v i e n t cas  (II)  pour l e minimum c a r , comme s t a t i o n n a i r e au p o i n t  ne s e r a p a s t r a i t e : on montre f a c i l e m e n t que l e systeme d ' e q u a t i o n s  obtenues pour l e maximum p a r r a p p o r t a J^et  m  n'admet p a s de s o l u t i o n r e -  s i l e j dans c e c a s  (3  -  <?(fj  22)  Vu  (tHo)-f^to  e t 1 ' e q u a t i o n (3.16) d e v i e n t :  (3-23)  1. Le  V t) mC  = •»!*/-'*«[urtl\y' »j)' ,  K  -18U.  DEDUCTION DES EQUATIONS DEFINISSANT L E PLUS GRAND TERME DE LA SOMME DES ETATS.  J u s q u ' i c i , nous avons s u i v i d'assez p r e s l e t r a v a i l de Kramers (1936). Dans l a p r e s e n t e s e c t i o n e t l e s s u i v a n t e s , nous g e n e r a l ! serons son  c a l c u l e t c e l u i d'Opechowski  (1937).  Groupons maintenant l e s e q u a t i o n s  (ii.i)  A  H  (1.5), (2.15)  et  (2.17):  m j(*^Jllf+tJlN-t^'^M^V^w}  <H; =  M  et i n t r o d u i s o n s l a n o t a t i o n s u i v a n t e :  (U.2)  A= ifa  e t a l ' a i d e de 1'equation ( l . l l ) :  (1.11)  Kt*) ~+[hAnl*)  -»£*N]  K(p)=maximum p a r r a p p o r t a X e t m de K(^j^»i)  Pour e v a l u e r l e p r e m i e r terme, nous a l l o n s employer une approximation m e i l l e u r e que c e l l e de S t i r l i n g , due a Wise  avec l a q u e l l e l e p r e m i e r terme de  (I4..3)  devient  (1952J-)J  -19-  • * *•[/, ('tous l e s termes de I ' o r d r e  de  l/N  'if*'] * W pouvant e t r e n e g l i g e s c a r nous nous  i n t e r e s s o n s a l a forme asymptotique seulement.  ou nous avons remplace JttJQ/ I'ordre  de  par  Jt/jUtJ-f)  , e t n e g l i g e l e s termes de  et /? . De meme, l e s d e r n i e r s termes de (U.3)  e t en a j o u t a n t c e c i a l'e'quation  (U.3) d e v i e n t  donnent  -20-  (u.6) m ^ y y  »*A/-«/ii'*t^-»^v^y.V->^^A^i^  on peut v o i r aisement que l e maximum p a r r a p p o r t  car^K^f  /2J5 ) 5 f f  Jen  *- > (sty. - V 8  Jh> *) e t  (lt.10)  et  m  e s t identique  e t t\ :  au maximum p a r r a p p o r t a  9 K  a. J  . /atn  v e r t u de (3.19) e t l e maximum s e r a donne p a r l e s c o n d i t i o n s  *  f  f  -}<$S V-  ^  (  e t a n t a u s s i l i e s p a r une t r o i s i e m e e q u a t i o n :  * *  (3.20)j p a r ( 3 . 7 ) :  X  en v e r t u de 1 ' e qavons u a t i o done n (3.20), Nous f i n a l eou m e netn ctorroei:s e q u a t i o n s ,  a savoir:  (U.8) e t (U.10) pour d e t e r m i n e r l e s t r o i s i n c o n n u e s ^ , • ^  (U.7),  et .  -215.  SOLUTION DES EQUATIONS DETERMINANT L E MAXIMUM DE LA SOMME DES ETATS.  Dans c e t t e s e c t i o n , nous a l l o n s p r o c e d e r comme s u i t : de 1'equation  (U.10),  nous obtenons immediatement  m e t t r a d'expriraer  (U.7)  ^ en f o n c t i o n de  en f o n c t i o n de JA et  r a r e s o l u e p o u r ^ en f o n c t i o n de ^  tions  . Cette n o u v e l l e  0  0  p a r approxima-  1'expression  suivante:  (U.10)  en v e r t u de  * $  '--«<*.;  de p l u s , e c r i v o n s l e s termes dependant de J^ dans (U.7) a  m )*  (5.3)  0  J AOfJ  (5.U)  Scy ) 0  rH)]  %/1  d e v i e n d r o n t , apres a v o i r m u l t i p l i e (U.7)  a  . / H J / ^  0  S ( l ^ ) vde'fihie:par  A l ' a i d e de c e s d e f i n i t i o n s , l e s e q u a t i o n s  (5.6) Zr+^.JLlf?-  sous l e symbolep{^ ^:  -J*vf,  e s t a u s s i u t i l e d ' i n t r o d u i r e une^fohetion-  (5.7)  Finale-  successives.  (5.2)  il  equation se-  e t ^ seulement, nous d e d u i s o n s  une e q u a t i o n en ^ e t l^que nous r e s o l v o n s  Designons p a r  et  1^ . Ce q u i p e r -  p a r approximations successives.  ment, connaissantJt\ et t\ en f o n c t i o n de ^ de 1'equation (U.8)  J* e t  par  ^-i^RiM  (U.7), (U.8)  :  -k*o  et  (U.10)  -22ou nous avons remplace p a r h, l e terme dependant du champ magnetique.  e t ( 5 . 6 ) , nous v e r r o n s p l u s l o i n que  (5.5)  Dans l e s e q u a t i o n s  l e terme^n*ne joue aucun r o l e .  Dans ce q u i v a s u i v r e , nous conviendrons R, F e t S sans e c r i r e  l a variable  d'ecrire l e s fonctions  e x p l i c i t e m e n t , a f i n de s i m p l i f i e r l ' e -  c r i t u r e . Chacune de c e s f o n c t i o n s possede un developpement en p u i s s a n c e s e n t i e r e s e t s e m i - e n t i e r e s de  [-i*rf ) 9  comme nous l e montrons dans  A. En reraplacant p a r l a n o u v e l l e v a r i a b l e  ,  1 ' e x p r e s s i o n f^Jlnrfg):  f*-JLfc  (5.8) ( £ est petit  a i / e s t p r e s de 1 ' u n i t e ) . Les developpements  (5.9)  deftlfc),  Hhi-Tr.spf**<# j'S><M/ .ofrv i  alii ou V  ^  l'appendice  M  i-n'i) > J' *f •  e t $ sont des v a l e u r s de l a f o n c t i o n Z e t a de Riemann.  «.io)  ( f '(fj m  o u i r - x ^ -  ou l\ . i . g  et  s  s - / I =• -  ****  En v e r t u de  *r-i*/'*-flf.+o(ty  (5.7),  .  c  hi)  . ./ „  L'equation  (5.1(.)  ijr£  .  p e u t e t r e exprimee en f o n c -  - 2 3 -  tion d e e t  ij^ :  e t en m u l t i p l i a n t p a r S  (5.1U)  S +y*(F--*)  :  +  -^"'"(fS+IJ  *o  C e t t e e q u a t i o n p e u t e t r e r e s o l u e poury* en f o n c t i o n de j> e t p a r a p p r o x i m a t i o n s s u c c e s s i v e s . Commey***/ , nous n e g l i g e o n s a p p r o x i m a t i o n , l e s termes enyl*. et^»  en p r e m i e r e  ':  s^tgll'&J  (5.15)  Pour une s o l u t i o n p l u s p r e c i s e , nous i n t r o d u i r o n s une v a r i a b l e definie par  (5 • 1 6 )  /'"= A ce p o i n t , i l c o n v i e n t  (5.i7)'  >i " *  de m o d i f i e r l a n o t a t i o n en p o s a n t  1  (5.18)  (5.19)  (5.20)  *(/_V**s**'V+  A  i(r*& * x  k  -2u-  Nous voyons immediatement dans l e s e q u a t i o n s que l e s developpements en p u i s s a n c e s de y* e t  (5.16) a. (5.20)  t sont t o u t a f a i t  indepen-  d a n t s , c ' e s t - a - d i r e que nous pouvons e c r i r e a v o l o n t e l e s developpements avec l a p r e c i s i o n d e s i r e e de meme que p o u r veloppement en  t  t  s a u f que l a v a l i d i t e du de-  e s t r e s t r e i n t e p a r l e s termes que nous avons n e g l i g e s  dans l a s e c t i o n k*  S i nous f a i s o n s l a s u b s t i t u t i o n des e q u a t i o n s  (5.16), (5.19) e t  (5.20) dans (5.11;), nous aurons  e t a p r e s s i m p l i f i c a t i o n , n e g l i g e a n t l e s termes  -Ski\fFHt -  zs  i  et e x p l i c i t a n t  (5.21)  0(t?):  ' - *f \t '- r 3  'V-  $  t  o  K:  k *- (/+zFjr' t + on J /z  3  f  Nous eliminonsy**et X en s u b s t i t u a n t dans 1 ' e q u a t i o n (5.5)  donne p a r (5.19), A  (5.22)  e t % donnes p a r  -Af  s  L ' e q u a t i o n (5.5)  i [l+(F**Ji + x  d e v i e n t done:  k  rW]  JJu  -25-  ou on v o i t que Jn  ne donne aucune c o n t r i b u t i o n dans n o t r e degre d a p p r o x i 1  mation.  L ' e q u a t i o n (5.3) permet de remplacer nous t r o u v o n s apres  fi  par  F -f  k, l a v a l e u r donnee p a r l ' e q u a t i o n (5.21):  * - i f t*  + F Pi * - S^i*  x  *0  C e t t e e q u a t i o n p e u t s'explainer en terme de ^ s e u l e m e n t s e r t de l a d e f i n i t i o n de  F  et  S  en (5.3)  e t (5.U)  V  K  (5.25)  Pour s i m p l i f i e r l ' e c r i t u r e ,  posons:  (5.26) M = |(|) A 2  Q - J(|)  2  2  2 (2AG• B •)  s i on se  e t des e q u a t i o n s  (5.8) e t (5.11):  ou  , et  simplification  e t en i n t r o d u i s a n t pour  (5.2U)  (3/2)R  ;  P = ^(|) AB  ;  2 U - \{\) (2AD4 2BC)  2  -26-  De p l u s ,  y  //fa)  f i - m * < Pf  e  t  (5.21;) d e v i e n t  1'equation  ip/>+u p ; / t  l  ,A  v  e t e n p u i s s a n c e s de ^ :  (5.27)  .-.tf<7  %  *[<  c? * » -  < *• J /  »  ou encore  (5.28)  - t / / V  * , / / • - • /  ' . i , / * j .  ,  v  ,  •[h'Mf.A//''] = ou. nous avons pose;  H  = <V/C  c -of/?  ;  ?  A/ = V Y  1^ »-  =  L ' e q u a t i o n (5.28) p o u r r a i t e t r e aisement remplacee p a r u n developpement contenant l e s p u i s s a n c e s p l u s e l e v e e s de p l o n g e r l e s developpements remplecerait alors  de  F  et S  ; il  suf'firait d'al-  e n f o n c t i o n de f . L ' e q u a t i o n q u i  (5.28) a u r a i t t o u j o u r s l e meme degre d ' a p p r o x i m a t i o n  par rapport a t .  H  se t r o u v e que 1'approximation l a p l u s b a s s e en f q u i permet  d ' o b t e n i r l e terme de B l o c h e s t c e l l e q u i  c o n s i s t s a ne g a r d e r que l e s  termes q u a d r a t i q u e s en j> . Nous a l l o n s done t o u t d'abord r e s o u d r e 1'equat i o n obtenue de  (5.29)  (5.28) en omettant l e terme enf ; a s a v o i r  fC^'Of-**  <*] -l/' [Pt"*H*'] A  f  -27-  Pour r l s o u d r e c e t t e e q u a t i o n ,  (5.30)  l < *** i j f r . * + C  - A  C  -  nous a l l o n s examiner l ' e q u a t i o n :  O  ;  >  A / / V A / J  »'  .  l a p a r t i e dependant du champ magnetique e t a n t c o n s i d e r e e p l u s p e t i t e que chacun des termes q u i en s o n t i n d e p e n d a n t s , c a r nous a l l o n s a l a f i n f a i r e tendre  h — * - 0 , c ' e s t - a - d i r e que nous pouvons ne g a r d e r  n e a i r e s en  ou C-tl  que l e s termes  l i -  h.  t i e n t compte du s i g n e . L a p a r t i e independante du champ magnetique  e s t remplacee p a r l e symbole  e t p o u r x\  nous aurons  V.  -28-  w  tL  ¥  /!  ^  ) / ^... 1  -296.  CALGUL DE LA FONGTION  K(*?).  Nous a l l o n s maintenant s i m p l i f i e r l ' e q u a t i o n (ii.6) a. l ' a i d e des c o n d i t i o n s pour l e maximum p a r r a p p o r t aL^ e t ) , a f i n de l ' e x p r i m e r en f o n c t i o n de J) , p u i s nous s u b s t i t u e r o n s p o u r l e s p u i s s a n c e s  d&Jf  l e u r s que nous venons de t r o u v e r . S i nous a j o u t o n s l ' e q u a t i o n puis  raultipliant  l e r e s u l t a t p a r (-)J  y  l e s va-  (U.8)  a  (5.5),  , L l e q u a t i o n (1|.6) ne s e r a p a s changee  en l u i a j o u t a n t c e r e s u l t a t q u i e s t z e r o :  A l ' a i d e des e q u a t i o n s  (5.19), (5.21) e t (5.22) on montre a i s e -  ment que l e c r o c h e t e s t de I ' o r d r e de 1 ' u n i t e :  c ' e s t - a - d i r e que  Jusqu'a concurrence  (6.2)  KI') E t des e q u a t i o n s  des termes en  s ' e c r i t done  + O U (5.21) e t (5.22), nous t i r o n s  k  )  -30-  (6.U)  *f(lfj  •*.({+  En s u b s t i t u a n t  (6.5)  * w  ef+  (6.3)  - ir Al**0  et  (6.1i) dans  +  x  .;  t/fH+r/y  r.Jfi (6.2):  l'equation  l*H*+i*M +*^ r  I c i , nous pouvons e t u d i e r en d e t a i l c e que s i g n i f i e n o t r e miere a p p r o x i m a t i o n en f  pre-  e t l e s s u i v a n t e s . Nous appelons p r e m i e r e a p p r o x i -  mation l a f o r m u l e obtenue en i g n o r a n t l e s termes a u t r e s que P e t 9 dans l e s equations  (5.28) e t  (6.5),  c a r meme l a f o r m u l e de B l o c h n ' e s t pas obtenue  en ne g a r d a n t que l e s termes e n ^ . L a c o n t r i b u t i o n des a p p r o x i m a t i o n s s u i v a n t e s s e r a t r a i t e e p l u s l o i n dans l a s e c t i o n 8 .  Nous a l l o n s maintenant e c r i r e e x p l i c i t e m e n t de  (6  t  a l ' a i d e des e q u a t i o n s  (5.31)  et  K ( t ) en f o n c t i o n  (5.32); (C.9.)" ejr (C.lO)  de l ' a p p . C  -31-  oix nous avons denote p a r  (6.7)  (6.8)  C = f«(tA  G  et  L  l e s constantes  +S+SC)  ;  Apres s i m p l i f i c a t i o n ,  K(t)  KUJ  L* $*(JA  SO)  devient:  «Si +($v J  + e8*  SA+*e*){ +oU r  k  J i-  En exprimant t o u t e s l e s c o n s t a n t e s i n t r o d u i t e s au c o u r s du  calcul  en f o n c t i o n des v a l e u r s de l a f o n c t i o n Z e t a de Memann, nous voyons que l e coefficient  de  s i nous exprimons  (6.9)  nil)  t  2  dans l a p a r t i e dependant du champ magnetique e s t n u l e t K(t)  dans s a forme l a p l u s g e n e r a l e :  *i f A,i**f)  *m'*yi''*of4 'j*  l  <  ou l a v a l e u r des c o n s t a n t e s s e r a dans n o t r e p r e m i e r e  (6.10)  i  x = * f 0  3S  y^jj-  approximation  >  -32-  7.  CALCUL DE L'ENERGIE LIBRE  F  ET DE L'AIMANTATION SPONTANEE  M  EN  PREMIERE APPROXIMATION.  Nous pouvons maintenant c a l c u l e r d i r e c t e m e n t f i n i e en f o n c t i o n de  K(vO  par l'equation  l'energie l i b r e  (I.I4)  (l.lii) ou nous u t i l i s o n s l a forme g e n e r a l e  (6.9)  pour  K.  Les d e r i v e e s p a r r a p p o r t a / s e r o n t en v e r t u de  (7.2)  >>0  e t de l ' e q u a t i o n  (7.3)  (5.17):  *.iry»(**0-l.xt'-£yt *-* r  (I.I4):  -f.ir +ixi**ly*- *--' x  L'aimantation  r  spontanee e s t donnee p a r l ' e q u a t i o n  (1.8)  ou nous e c r i v o n s  (7.4)  (7.5) ou l e s d e r i v e e s sont p r i s e s a temperature  constante.  (1.8)  de-  -33La v a r i a b l e / e s t d e f i n i e en f o n c t i o n de l a temperature p a r (1.13)  (1.13)  k'^JLSt  que nous pouvons e c r i r e comme s u i t :  <7  = k  6)  * *  de s o r t e que  e t l ' e q u a t i o n (7.5)  devient  Les d e r i v e e s p a r r a p p o r t a. a.  1-,  2-  De l ' e q u a t i o n  ( 7  -  1 0 )  _L.  =  (7.3)  tt'« A  (7.2)  fa * f)-3x  2.  nous obtenons  -"(£fl - r / t r Et l'equation  (7.ii)  Ik  v o n t dormer en v e r t u de l ' e q u a t i o n :  l  '-fy Ui-}]  - f  X1  donne p o u r  * J  K'  *yi t*,{-)(( 7  t  - a  $/  y  - 3>/•••}  -3k-  *Xt**OUV*  ( 7 a 3 )  A/...j  Et nous r e e c r i r o n s l ' e q u a t i o n  r..?[fr*Xt*+r*  (7.15)  (1.13) e t (7.11) permettent d'exprimer t  Les e q u a t i o n s t i o n de  W -  s  e t p o u r GL-+ 0 nous  (7.16)  f  (7.17)  / -  «  (T -- / + 0  et par l ' e q u a t i o n  0  J  *fa /JfhM'- ry/ i  J  ^ ' ( i - J X / ' ' - ^ ' - - ; ( r ? ; ^ /  <r *  7  obtiendrons  r  ? ^  En v e r t u de l ' e q u a t i o n  (7.20)  en f o n c -  Tj  V T r e * etftIL 1**0}  (7.19)  (7.10) de l a f a c o n s u i v a n t e :  J  V f v  7  - l  (7.16), (7.15) d e v i e n t  A < { % ^ f  y  * ( ^ . 3 X ; /  J  * -  (7.18)  xXii7)^*^^Lf/J *(^y-^HW^*'' l  -35S i nous revenons a l a notation h a b i t u e l l e , kT/j,  ( 7  -  en reraplacant  nous p o u r r o n s d e f i n i r un nouveau parametre O de l a f a c o n  2 1 )  @  T  par  suivante  j^J  ou  c  depend de l a s t r u c t u r e du r e s e a u , e t  en reraplacant l e s c o n s t a n t e s p a r l e s v a l e u r s donne'es en (6.10)  (7.22)  - 3TC  S i nous coraparons ce r e s u l t a t avec c e l u i de Dyson, p o u r £ ( l e c h o i x e t a n t indeterniine* dans n o t r e t h e b r i e ) l e c o e f f i c i e n t e s t e n v i r o n 2.62  f o i s c e l u i de Dyson.  de  ss*/ T^/2  -368.  CALCUL DE L'ENERGIE LIBRE  F  ET DE L'AIMANTATION SPONTANEE EN SECON-  DE APPROXIMATION.  A f i n d ' e t u d i e r l ' e f f e t de l a seconde a p p r o x i m a t i o n , v o n s l ' e q u a t i o n cubique dans l ' a p p e n d i c e B . L a s o l u t i o n  nous r e s o l -  se t r o u v e m o d i f i e e  1  de f a c o n a a f f e c t e r l e p r e c e d e n t r e s u l t a t concernant l e terme en 1'aimantation  spontanee. nous avons en e f f e t pour  x, x  et  2  T  2  de  x : 3  (8.1)  (8.2)  (8.3)  * ' = tM*f*. .... . hjfe  }  S i nous s u b s t i t u o n s c e r e s u l t a t dans l ' e q u a t i o n  (6.5),  nous aurons  -37-  En comparant avec l ' e q u a t i o n  .  a ... 1Z±££ .  (8 s)  et l e s autres pas  c o n s t a n t e s ne  explicitement  (6.10),  i l faudra e c r i r e  iii  sont pas m o d i f i e e s s a u f q u e nous  n'ecrirons  a cause de s a grande c o m p l e x i t e dans c e t t e a p p r o x i m a t i o n .  L ' a i m a n t a t i o n spontanee d e v i e n d r a done:  (8.6) ou  u ir III- IL& .vIET) /  ?<f  x  = /7V/ Aucune des au terme en que  c approximations superieures  contribue  T . S i nous acceptons l e r e s u l t a t de Dyson, i l f a u t  l e s fonctions  F  et  S  conclure  pour l e s q u e l l e s nous avons t r o u v e des  pements e x a c t s en p u i s s a n c e s de f trop  a. l a seconde ne  develop-  ont e t e obtenues a p a r t i r d'hypotheses  grossieres.  L ' o r i g i n e des  f o n c t i o n s dependant de l a v a r i a b l e f  V(£)  a - d i r e que  l ' h y p o t h e s e i n t r o d u i t e dans l e c a l c u l de l a p r o b a b i l i t e moyenne  c i r c u i t - k j a s a v o i r ; que  l e nombre de pas  (m)  de l a s e c t i o n 3 . J  c a l c u l de  d'un  ou encore de l a f o n c t i o n  e s t dans l e  de  chaque " s p i n " e s t e g a l .  • f * ^/*% , e s t t r o p g r o s s i e r e . En r e a l i t e , chacun des 1  ajl-k  pas  c'est-  " s p i n s " peut f a i r e  a de  e t i l s e r a i t p o s s i b l e en p r i n c i p e de t e n i r compte de ces d i -  v e r s e s p o s s i b i l i t e s dans l e c a l c u l de l a demarche a l e a t o i r e d'un  point  dans  l e reseau. * Apres que l a r e d a c t i o n de c e t t e t h e s e f u t termine'e, l e p r o f e s s e u r Opechowski a r e u s s i a t e h i r "compte de ces p o s s i b i l i t e s . d'une a u t r e manier e obtenant a i n s i l ' e q u a t i o n (1.5) avec l e s memes v a l e u r s des c o e f f i c i e n t s C i i , CU e t (X3 que c e l l e s donnees p a r Dyson. 2  -389.  CALCTIL DE LA CHALEUR SPECIFIQUE.  S i nous denotons p a r Z , l a somme des e t a t s e t p a r  U , l'energie  i n t e r n e p a r p a r t i c u l e , nous aurons dans l a n o t a t i o n h a b i t u e l l e  (9.1)  z  (9.2)  u  r  - f»A  - e.  (9.3)  IT Dans l a n o t a t i o n d e f i n i e dans l a s e c t i o n 1.,  ces e q u a t i o n s d e v i e n -  dront  (9.u)  z  = e  (9.5)  e t s i nous remplacons  (9.6)  £  if  [l*  U  9T  (9.7)  c* = A / A  A  T  Les e q u a t i o n s (l.lij.) e t (9.H)  Z  = k  (9.8)  ^ ^  e t en groupant  (9.5) e t ( 9 . 7 ) ;  -  permettront d ' e c r i r e  '-f  -39-  0.9) (9.10)  +-"*t W]c„ «kr gk + lk£  (9.11)  A/ 2 f c 5  ri  v  ZA/kT  -  iL* _ ^ 2 * ' _  E t de l ' e q u a t i o n  k  Ov^  <^  (7.18):.  l*L&)\  (7.18)  (9.12)  z  e  " f *-  Les e q u a t i o n s  #/  t a / /  ~ jrU/s  (6.9) e t (7.11) peuvent  maintenant s ' e c r i r e  -iiO-  Nous aurons done en groupant l e s e q u a t i o n s (9.12) a (9.16):  A/  2*/X)#  r//r.)Vi  wX/r)/  L  e t l a c h a l e u r s p e c i f i q u e s e r a donnee a l ' a i d e de l ' e q u a t i o n (9.10)  C e t t e formule exprimee dans l a n o t a t i o n i n t r o d u i t e p a r (7.21)  =  ft  *.e(«W  . */  %  (9,;20)  S i l ' o n a c c e p t e l e r e s u l t a t de Dyson p r e m i e r terme de  (9.20) e s t i d e n t i q u e  que p a r e n v i r o n 8$.  (1955),  l ' o n v o i t que. l e  au s i e n e t l e second n'en d i f f e r e  En e f f e t , Dyson donne  Les approximations s u p e r i e u r e s a. l a premiere ne donne aucune cont r i b u t i o n a ces deux p r e m i e r s termes de l a c h a l e u r s p e c i f i q u e e t un developpement p l u s pousse i n t r o d u i r a i t un terme en  T , en c o n t r a d i c t i o n avec Dyson. 3  -UlAPPENDICE  A.  PROPRIETES DE LA FONCTION  ~f(*().  Le c a l c u l q u i s u i t a e t e t i r e des n o t e s non p u b l i e e s ( v o i r cependant l ' a p p e n d i c e  de s o n t r a v a i l  d'Opechowski  ( 1 9 3 7 ) ) : l e s r e f e r e n c e s aux c a l -  c u l s p l u s r e c e n t s s u r l e s p r o p r i e t e s de c e t t e f o n c t i o n peuvent e t r e dans R.B.Dingle (1957) ou b i e n J.E.Robinson  La f o n c t i o n  (1951).  definie par  CO y. H mmf peut s'exprimer sous l a forme i n t e g r a l e s u i v a n t e  (A.2) ou  fa)  . j L j JLM-  e s t l a f o n c t i o n Gamma:  (A.3)  n * ; «  /  s*''e. Js mT  En e f f e t , en v e r t u de ( A . 3 ) nous pouvons  e t en f a i s a n t l e changement de v a r i a b l e s u i v a n t :  nous aurons  i1?*t*)>o  ecrire  trouvees  E t a l ' a i d e du nouveau changement de v a r i a b l e s  tv*  (A.U)  fe  1  nous montrons que  (A.5) ou  C  e s t l e parcours d ' i n t e g r a t i o n suivant  (fig.l): plan-w C  < x  T  poles  coupure  Fig.l  (X)  est arbitraire s i  {li)£tL>0  <l  si  JL**l*l)  £O « *  Dans l a t h e s e , l e cas ( i i ) e s t c e l u i q u i nous i n t e r e s s e . Les pol e s sont a l o r s donnes p a r  t  -  j  ou  co*  ^ Kk.tr I  (k, un e n t i e r )  -U3e t pour  S i nous acceptons  (A.6)  KO  < / , c e s p o l e s sont a. d r o i t e du contour, dans l e p l a n ^  l ' e q u a t i o n ( A . £ ) , de  (A.2) nous pouvons e c r i r e  Q<V*--: L'equation  (A.5) s e r a demontree p l u s l o i n . I I n ' e s t pas  cependant que l ' e q u a t i o n (A.6)  evident  s o i t v a l i d e p o u r ff tendant v e r s 1 ' u n i t e ;  c a r dans ce c a s , l e p o l e s u r l ' a x e r e e l approche de l ' o r i g i n e . Pour l a v a l i d i t e de l ' e q u a t i o n (A.6) nous d e f i n i s s o n s une a l ' a i d e d'une f o r m u l e i d e n t i q u e a (A.6) D  prouver  nouvelle fonction/i/ffj  s a u f pour l e f a i t que l e  contour  entoure l e p o l e s u r l ' a x e n e g a t i f ( f i g . 2 ) plan-w  coupure  Fig.2  (A.?)  r*.(nj--, x i rw  . ***** i  (A  S i nous d i v i s o n s l e c o n t o u r  C  en t r o i s p a r t i e s 2f , i\ e t  ( f i g . 3 ) , nous obtenons plan-w  V  Flg.3  (A.9)  ,  — d o if  - I,  t l  x  r  7,  -kh-  De l ' e q u a t i o n (A.U), nous voyons immediatement que  l-u»— et  (A.9)  *  [f e «'VJ C  . (f  *"  est reel)  devient  (A.ll)  /.  *  / ——7—  ' ^ ' ^  J  e  L ' i n t e g r a l e a i c i une v a l e u r f i n i e e t  En v e r t u de (A.10) e t ( A . l l ) , l ' e q u a t i o n (A.9) d e v i e n t  I  tr-ri  c  *  0  prouvant l ' e q u a t i o n  '  (A.3>).  S i nous revenons a l ' e q u a t i o n  (A.8):  l e pole e s t sur l'axe r e e l n e g a t i f , s o i t pour  If  r  -U5ou  " A  done  (A.13)  /  a  *  -  -JLf  et finalement l'equation (A.12) devient  e t p a r une i d e n t i t e e b i e n connue de l a f o n c t i o n Gamma:  c t*()  (A.III)  t  c F UI) K  + r(hz;(-Xr()  v a l i d e p o u r t o u t e s l e s v a l e u r s complexes de ^ excepte p e u t - e t r e p o u r (f  >/  reel)  Nous a l l o n s maintenant e v a l u e r l a f o n c t i o n tions  (A.7) e t  f^(Jj) a  l ' a i d e des equa-  (A.13):  ou nous avons remplace * J t ^  par  i m a g i n a i r e du p l a n - u e t l e c o n t o u r  U J l e s p o l e s sont maintenant s u r 1 'axe E  iir.  e s t c e l u i de l a  f T"  fig.U  plan-u  Fig.U  -U6-  Les v a l e u r s de  sont l i m i t e e s p a r l a p r e s e n c e des p o l e s s u r  l'axe imaginaire:  e  e  donnant p o u r l ' e q u a t i o n ( A . 7 ) :  (A.1S)  z ft S i nous posons  • / dans l ' e q u a t i o n (A.6), nous obtenons l a  f o n c t i o n de Riemann:  (A.16)  fix)  =  -  c ou l e contour e s t l e meme que l e c o n t o u r  et  entier.  (A.l?) devient  oo que nous pouvons s i m p l i f i e r en e c r i v a n t  E:  -U7-  \  w /  siskin-*.)  y,;  (A.17)  ISO (A.i8)  /,  ,  t  n  „  )  r  /  l  .  Z  ^  J  '•'  * SO  ou  '^ /  u  e  t  < iTT  f* i. o  "k  e  pour  2  /  t e l que  entier.  o < ^  |  CALCUL DES DERIVEES.  fj , e q u a t i o n (A.13), nous aurons  Corame^ *•  U,o)  ^  (A.21)  mais  .  .  lz-»  -  ^ ? *  ri'-ZJ  r  ^  (z-,;r(/-zj/>*'  fe"'^  -  _ ^  et  groupant l e s e q u a t i o n s (A.21) e t (A.22):  et  l a derivee par rapport a ^ :  z  W  -4*8-  (A.23)  r .,ti)  ^ ^ - y -  m  Dans l e t e x t e , nous f a i s o n s usage d'un q u o t i e n t de l a forme  (A.2U)  fx (*)  ft  1 <^a>  4.,  ih)  Pour i 1« e cas q u i nous i n t e r e s s e , z=5/2, nous t i r o n s de l ' e q u a t i o n  Mao  (A.  2 5  )  (A. 6) 2  t  K  *r(-U/t. *i«VA *-  t ,nO-rtV/.  fi/i)  <tc{) • / K ; / . * . ^  e t dans l e t e x t e , nous u t i l i s o n s l a n o t a t i o n  P«ni)  x  %  V  ,  i  ti-y \... A  suivante  it-uSJ  >r*ul)  e t l a v a l e u r des f o n c t i o n s  e t e n v e r t u de l ' e q u a t i o n  (A.2u);  (A.27)  ou  r*  /*  > ^  ' *  T r y . .  -49APPENDICE  B.  SOLUTION DE L'EQUATION CUBIQUE.  Nous a l l o n s r e s o u d r e l ' e q u a t i o n  par  obtenue de (5.28) en d i v i s a n t  t^:  (B.l)  A * '  ou  A  *I3*  + C*  X  -U  ;  *P  -O  Q =  r%  Q -of,* t  C e t t e e q u a t i o n se r e d u i t a :  «J  (B.2)  \ffj  +  J*  p a r l e changement de v a r i a b l e s  sj  =  JC +  r  suivant  B/jJl  L . £ . A 3A  et  O  - a* 2JL ' *?A* 7  3  3*  7  A  La s o l u t i o n de c e t t e e q u a t i o n e s t donnee p a r l a f o r m u l e M e n connue:  (f.g)  \1  Ol .SSI*  ; . J - * \ >V  leg A*  e t en s u b s t i t u a n t i e s v a l e u r s  *  iA  , ICO  +Tr JT -g  d e f i n i e s dans ( B . l ) ^  , C '  * T *,7  ji  (nous omettons systema-  tiquement l e s termes en p u i s s a n c e s de  t p l u s grandes que -k e t dans l e s  termes dependant du champ magnetique, l e s p u i s s a n c e s p l u s grandes que -8.  (B.U)  (B.5) (B  -  6)  *  (B  7)  7 7 * frit '\ oC+Vjl OCt>J  g  » ocrj  A?  *  kotrV  *--£(t' -3*r*-i*Af\otry)i**Nt+ k  m  X*(*  (4m%;  En groupant l e s e q u a t i o n s  ( B . U ) a ( B . 8 ) , nous aurons  ^ [ ^ ' ' ^ r ' - w H r*....,  hk- ) H  ^.10)  «« r  cr' *( ^  Dans l e c a l c u l de p e t i t s que  3 5 " *  W  *• //  -q/2, i l f a u d r a done n e g l i g e r l e s termes p l u s  0(t~"'') e t dans l e s termes dependant du champ magnetique, ceux  p l u s p e t i t s que  0 ( t " ^ ) s i l ' o n v e u t g a r d e r l e meme degre d ' a p p r o x i m a t i o n  que precedemment:  1  I (B.u) (B.i2)  i  27  &1  A  1  j£ - £ fr  j£  * £  %  w^r'*  ±  ~  6  n  US.  A *" x  *- 3 Q i' *- ?V/e r '+ 4X 9Q  x  ~Ol / V ]  [ - i r r - r i t - ' o t * v ) x  .-.TT^r  *2H  *w/ +ij f  -52-  OVL  (B  -  16>  %i  C s  Wfr*  W - '£\h«t -t"*+****i)i'*($*''*x  ou nous aurons  u  si£ = + 1  et v  s i «f = - 1.  Les deux s o l u t i o n s correspondant a une  raeilleure  approximation  p o u r l ' e q u a t i o n q u a d r a t i q u e de l a s e c t i o n 5 sont  (B.17)  3  ,  *  -  * £ *  +  -^Oej-  ; ^ . .  H £ £ .  « £ f  Denotons p a r (Xet d%, l e s e x p r e s s i o n s s u i v a n t e s :  (B.i8)  (E.i9)  (B.2O)  a  • -  >  ;  =. c < . * r /  cc *^-Y/.  03  =  ^  /<J  i  t n - o * t\(^o\uf)i * l  i  f  -03I  i/M  *M  te  w  \  sW  ZH  JJ  r  De l ' e q u a t i o n (B.2), nous avons  tt  (B.22)  (B.23)  (B.2U)  tlftl  * .  vc * X  y  - ^/4/<J  +(P+ &  g -^ 2  ) t \ t * g r  * / ^ ^ ( ' ^ ( r r ' ^  C + x  ou nous avons pose, p o u r s i r a p l i f i e r :  kfl**rf+  (B.26)  (B.27)  *  v  =  (3(/V  *  -V A »r  A  3  X  ^  |  &t")  APPENDICE  Ci. REMARQUES SUR L E CALCUL D'OPECHOWSKI.  Nous montrons dans c e t appendice, l ' o r i g i n e . du r e s u l t a t d'Opechowski(1937), au sens de n o t r e methode. Nous r a p p e l o n s que dans s o n t r a vail,  Opechowski ne f a i t p a s l e c a l c u l de 1 'energie l i b r e en p r e s e n c e du  champ magnetique, mais q u ' i l l v a l u e 1 ' a i m a n t a t i o n spontanee a l ' a i d e de l a formule approchee s u i v a n t e :  (Ci.l)  ou  m  e s t l e nombre de s p i n s dont l a d i r e c t i o n e s t opposee a c e l l e de l a  majorite.  A l ' a i d e des e q u a t i o n s nissant ^  (ca)  (5.U) e t (5.10),  l a formule  [I*  fWt'(l+ - ^i'(**bf  lri**-~)  lift**  *f  +  Kycff • ^ / * / * / > f  V  Pour e v a l u e r c e c i , i l f a u t c o n n a i t r e l a v a l e u r de f champ magnetiquej c ' e s t - a - d i r e l e s f o n c t i o n s  (0.3)  defi-  e n f o n c t i o n de / d e v i e n t  f i f f ' W i *  fonction  (5.19)  V  V  et  e s t donnee p a r :  T / «-  />^*fr- j  Art*  ¥  • •. J et f  sans l e  de l a s e c t i o n 5., l a  -55-' (0;.5)  f = -w  (0.6)  /  » _/'JLr_ j H  *»k +(\Cl>/M  +* *!  r  d e f i n i t i o n par l e s equation  Ce r e s u l t a t  I  T  ^"  /«• A t / /  ( 7 . 1 8 ) . Nous avons remplace l e s c o n s t a n t e s p a r l e u r  en v e r t u de l ' e q u a t i o n  s  i  devient  i r{ '*T  f a c t e u r t tl  .,  .  x  e t l ' e q u a t i o n (C.2)  4- • ^  / /  (5.26) e t (5.9) a (5.11).  e s t l e meme q u ' o b t i e n t Opechowski  (1937) s a u f p o u r l e  ( i l o b t i e n t £ « • / ) i n d e t e r m i n e dans n o t r e methode e t l e terme dans l e c o e f f i c i e n t de  T-^.  L a p r e s e n c e de ce terme e s t due  S  a 1 ' a m e l i o r a t i o n du c a l c u l en i n t r o d u i s a n t l a f o r m u l e de Wise e v a l u e r l a forme asymptotique des c o e f f i c i e n t s Nous pouvons r e t r o u v e r l a f o r m u l e independante, u t i l i s a n t l ' e n e r g i e l i b r e  F  (1954) pour  de Newton.  (Qj.8) d'une f a c o n t o u t a f a i t en f o n c t i o n du champ magnetique.  Ce c a l c u l montre immediatement dans q u e l l e mesure l ' e q u a t i o n (C'.l) e s t v a lide.  Nous f e r o n s usage dans ce c a l c u l , des s o l u t i o n s p o u r /  . nues dans l a s e c t i o n 5.  (premiere a p p r o x i m a t i o n ) p o u r e v a l u e r ^  e t P obte-  J*. 7  et ^  x qui  -56-  a p p a r a i s s e n t dans l a seconde a p p r o x i m a t i o n ".pour K ( t ) , de l ' e q u a t i o n A l ' a i d e de  (5.31), (5.32), (c.U)  (do ,  -  (C.6)  nous pouvons e c r i r e  *<\.:+kfir&r+typ-gf)*--•]  (o.ii)  (C.12)  et  (6.5).  eH  f* X  Hi x  H  +  XH A  i  j S i nous designons f a i s a n t usage des e q u a t i o n s  par^j/j/^, (0.11)  l e s f a c t e u r s obtenus de  et  (0.12)  (6.5)  a d d i t i o n n e l s a ceux de  en  (6.8),  nous aurons  (C.13)  *kt»*0(+<;i>t,flc«<l/Zt +(3<JP-  %~+>*«r«)( 'j  l  Comparant c e c i a l ' e q u a t i o n  3  (6.10),  nous pouvons e c r i r e  pour l e s termes s u p p l e m e n t a i r e s :  (G.1U)  Cctd/h  ' i C t f f ^  (0.05)  ZJ^ _  e t en a j o u t a n t  r  a. (6.9) J  +  z far v V  nrtJ 1  £  V/^t/  1  Ajp.et A£*  (©.i6)  * -  s  f juei -+ 1  if  dkiu?  e t pour l ' a i m a n t a t i o n s p o n t a n e e ( 7 . 2 0 )  (cn)  ^ - i - w f ^ ; ^ " / ? ^ ^ ;  E t nous voyons immediatement  1  *  que l e s e q u a t i o n s (C.8) e t (C.17)  s a t i s f o n t l ' e q u a t i o n ( G . l ) . Done, l e c a l c u l d'Opechowski  comporte un degre  d'approximation e q u i v a l e n t a r e m p l a c e r l a s o l u t i o n d'un polynome p a r l a sol u t i o n obtenue de l a forme q u a d r a t i q u e c o r r e s p o n d a n t e .  -58BIBLIOGRAPHIE. F.Bloch  (1930),  S.Chandrasekhar R.B.Dingle F.G.Dyson  (19u3),  (1957), (1956)  206  Z.Physik 61,  Rev. o f Mod.  1^6, 2l|0  (1957)  102, 1217 (1956)j 102, 1230 (1956)  Z.Physik U9,  W.Heinsenberg (1928)  (1932)  15, 1 (19U3)  Phys.  A p p l . S c i e n t . Res.  Phys. Rev.  H.A.Kramers (1936)  (1930),- 7U, 925  6I4 (1928)  Commun. Kammerlingh  Onnes Lab. U n i v . 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