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Sur la theorie de l'aimantation spontanee d'une substance ferromagnetique aux basses temperatures Banville, Marcel 1959

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- i -SUR LA THEORIE DE L'AIMANTATION SPONTANEE D'UNE SUBSTANCE FERROMA.GNETIQUE AUX BASSES TEMPERATURES r by MARCEL BANVILLE B.Sc, Universite de Montreal, 19!?6 A THESIS SUBMITTED IN PARTIAL FULFILMENT OF THE REQUIREMENTS FOR THE DEGREE OF MASTER IN SCIENCE i n the Department of Physics We accept this thesis as conforming to the required standards THE UNIVERSITY OF BRITISH COLUMBIA FEBRUARY, 1959 - i i i -ABSTRACT In 1 9 3 0 , Bloch derived a formula f o r the temperature-dependence of the spontaneous magnetisation of a ferromagnetic substance ( i n the sen-se of the well-known Heisenberg model) v a l i d asymptotically as the tempera-ture T tends to zero. In 1 9 3 6 , Kramers rederived Bloch's formula using an e n t i r e l y new approximate method. In 1937, Opechowski applied Kramers 1 method to obtain, 3/9 i n a d d i t i o n to' Bloch's T ' ^ -term i n the expression f o r the magnetisation, two a d d i t i o n a l terms, i n T and In 1956, Dyson found a rigourous method f o r dealing with t h i s pro-blem. His r e s u l t shows that there i s no T 2-term and the T ^ - t e r m has a co-e f f i c i e n t d i f f e r e n t from that found by Opechowski. In t h i s t h e s i s , some p o s s i b i l i t i e s are i n v e s t i g a t e d of modifying Kramers' method. In p a r t i c u l a r , , t h e question i s considered, which assumptions i n Kramers' method are responsible f o r the above mentioned discrepancies. In Kramers' method, the p a r t i t i o n f u n c t i o n of the Heisenberg mo-d e l i s i d e n t i f i e d with the l a r g e s t term i n i t s power s e r i e s expansion. The c a l c u l a t i o n of the l a r g e s t term i s i n turn reduced to a c e r t a i n random walk problem. This reduction o f the problem to a random walk problem i n -volves c e r t a i n assumptions which we have not t r i e d to modify i n t h i s t h e s i s . What i s new i s a c a r e f u l d i s c u s s i o n of, and improvement on the s o l u t i o n of the random walk problem. The improved method of s o l v i n g t h i s problem leads to a cubic equa-t i o n i n ff\ where J i s a c e r t a i n parameter with no s i n g l e p h y s i c a l meaning. In chapters 6 and 7, a f i r s t approximation i s obtained by omitting the term i n ? * The r e s u l t i n g quadratic equation i n p l e a d s to an expression f o r . - i v -the spontaneous m a g n e t i s a t i o n c o n t a i n i n g no t e r m i n T as i n D y s o n ' s f o r -mula . The s o l u t i o n o f the complete c u b i c e q u a t i o n u n f o r t u n a t e l y l e a d s t o an e x p r e s s i o n f o r t h e spontaneous m a g n e t i s a t i o n , i n w h i c h the term i n T 2 reappears a g a i n . One o b t a i n s a g a i n Opechowski 's r e s u l t , except f o r a s m a l l m o d i f i c a t i o n o f t h e c o e f f i c i e n t o f the T ^ ^ - t e r m ; t h i s i s due t o a b e t t e r a p p r o x i m a t i o n f o r the f a c t o r i a l s o c c u r i n g i n the c a l c u l a t i o n s . T h i s f a c t shows t h a t Kramers 1 random w a l k problem c o n s t i t u t e s too crude an a p p r o x i -mat ion o f the a c t u a l p r o b l e m . A f t e r the w r i t i n g o f t h i s t h e s i s was completed , P r o f e s s o r Ope-chowski found a way o f m o d i f y i n g Kramers ' method. The c a l c u l a t i o n o f the p a r t i t i o n f u n c t i o n i n the m o d i f i e d method i s reduced t o a s l i g h t l y d i f f e -r e n t random w a l k p r o b l e m . The e x p r e s s i o n f o r the spontaneous magnet isa-t i o n becomes then i d e n t i c a l w i t h Dyson 's up to the ^^-term i n c l u s i v e . I n p r e s e n t i n g t h i s t h e s i s i n p a r t i a l f u l f i l m e n t o f t h e r e q u i r e m e n t s f o r a n a d v a n c e d d e g r e e a t t h e U n i v e r s i t y o f B r i t i s h C o l u m b i a , I a g r e e t h a t t h e L i b r a r y s h a l l m a k e i t f r e e l y a v a i l a b l e f o r r e f e r e n c e a n d s t u d y . I f u r t h e r a g r e e t h a t p e r m i s s i o n f o r e x t e n s i v e c o p y i n g o f t h i s t h e s i s f o r s c h o l a r l y p u r p o s e s m a y b e g r a n t e d b y t h e H e a d o f m y D e p a r t m e n t o r b y h i s r e p r e s e n t a t i v e . I t i s u n d e r s t o o d t h a t c o p y i n g o r p u b l i c a t i o n o f t h i s t h e s i s f o r f i n a n c i a l g a i n s h a l l n o t b e a l l o w e d w i t h o u t m y w r i t t e n p e r m i s s i o n . D e p a r t m e n t T h e U n i v e r s i t y o f B r i t i s h C o l u m b i a , V a n c o u v e r 8, C a n a d a . - i i -TABLE DES MATIERES I INTRODUCTION I I 30MME DES ETATS EN PRESENCE DU CHAMP MAGNETIQUE. 1. PRINCIPES FONDAMENTAUX DE LA METHODE DE KRAMERS..., 1 2. APPLICATION DE LA METHODE DE KRAMERS AU MODELE DE HEISENBERG 5 3. CALCTJL DE S^(m) .11 k. DEDUCTION DES EQUATIONS DEFINIS3ANT LE PLUS GRAND TERME DE LA SOMME DES ETATS 18 $. SOLUTION DES EQUATIONS DETERMINANT LE MAXIMUM DE LA SOMME DES ETATS 21 6. CALCUL DE LA FONCTION K(l>) 29 7. CALCUL DE L'ENERGIE LIBRE F ET L'ALMNTATION SPONTANEE M EN PREMIERE APPROXIMATION 32 8. CALCUL DE L'ENERGIE LIBRE ET L1AIMANTATION SPONTANEE EN SECONDE APPROXIMATION 36 9. CALCUL DE LA CHALEUR SPECIFIQUE 38 APPENDICES A. PROPRIETES DE LA FONCTIONf(ifJ. I l l B. SOLUTION DE L'EQUATION CUBIQUE h9 C. REI^ARQUES SUR LE CALCUL D'OPECHOWSKI $k - V -REMERCIEMENTS Je desire remercier l e professeur Opechowski qui m'a confie' ce probleme et a toujours par l a s u i t e s u i v i de t r e s pres chaque phase de mon t r a v a i l . C'est grace a ses c o n s e i l s et ses d i r e c t i v e s que j ' a i pu r e a l i s e r cette these. Je remercie a u s s i monsieur Mc M i l l a n poursuivant sa maltrise en physique theorique, pour l ' a i d e q u ' i l m'a apportee en resolvant 1'equation cubique dont l e traitement apparait dans l'appendice B. - v i -I INTRODUCTION Une substance est appelee ferromagnetique s i e l l e possede un mo-ment magnetique spontane, c'est-a-dire un moment magnetique meme en l'absen-ce d'un champ magnetique externe. Les dipoles magnetiques d'une substance tendent a s'aligner dans l a meme d i r e c t i o n a cause d'une i n t e r a c t i o n d'origine quantique appelee champ de Weiss. Cette tendance a s'orienter des dipoles magnetiques est op-posee par l e u r a g i t a t i o n thermique. L'origine physique du champ de Weiss t i e n t aux "forces d'echange" comme l'o n t montre Heisenberg et Frenkel (1928) independamment. Sous cer-taines hypotheses, on peut montrer ( v o i r par exemple J.H.Van Vleck (19lr5)) que l'operateur d ' i n t e r a c t i o n des atomes i et j portant l e s spins f CfJ-£ ff^ est , a une constante a d d i t i v e pres: (i .D eM. .-j (Ll£j*>J ou <Q , (T| 4 (T^ sont l e s matrices de spin de Pau l i et J est 1 'integrale d'echange l i e e au recouvrement des d i s t r i b u t i o n s de charge i , j . La theorie du ferromagnetisme dont l e poi n t de depart est l'operateur energie ( I . l ) est appelee "Modele de Heisenberg". L'energie d'echange n'a pas d'analogue c l a s -sique bien q u ' e l l e s o i t d'origine e l e c t r o s t a t i q u e . C'est une consequence du pri n c i p e d'exclusion de Pa u l i qu'en mecanique quantique, l'on ne peut en ge-ne r a l changer l a d i r e c t i o n r e l a t i v e des spins sans changer l a d i s t r i b u t i o n spaciale de l a charge dans l a region de recouvrement. Dans l e modele de Heisenberg, l a valeur de 1'integrale d'echange entre un atome et ceux de ses v o i s i n s plus eloignes que ses v o i s i n s immediats est posee egale a zero - v i i -a cause de l a f a i b l e portee de cette i n t e r a c t i o n . Une formule asymptotique pour 1'aimantation spontanee (j(T)(pour T-*0) a ete deduite par HLoch (1930): (1.2) <T(t) * <r<o)[/- c(Lrjv*] ou T est l a temperature absolue et c , une constante dont l a v a l e u r de'-e ,pendde l a structure du -reseau c r i s t a l l i n . Pour deduire sa formule, Bloch a i n t r o d u i t ses fameuses "ondes de spin" qui ont joue depuis un r o l e important dans l a t h e o r i e du ferromagnetis-me et de 1'antiferromagnetisme ( v o i r par exemple Van Kranendonk (19!?8) pour une revue du s u j e t ) . En 1936, Kramers a obtenu l a formule de Bloch par une methode tou-te d i f f e r e n t e . La methode de Kramers (1936) a ete ensuite appliquee par Ope-chowski (1937) pour obtenir une expression pour 1'aimantation spontanee qui s e r a i t v a l i d e dans un domaine de temperatures un peu plus etendu. Le r e s u l -t a t d'Opechowski est (1.3) cyt) . <-,o)[,-cl<f)\A,(<fj\Ai( ou. A^ et A 2 sont des constantes bien determinees. Cependant, l a methode de Kramers n'est v a l i d e qu'asymptotiquement pour T > 0 et i l n'est pas sur que l a deduction des termes en T 2 et T^/ 2 ne va pas au dela. de l a v a l i d ! t e de l a methode. n y a quelques annees, Schafroth (195"U) et Van Kranendonk (1955) ont r e p r i s l e probleme en u t i l i s a n t des methodes approchees basees sur l a theorie des ondes de spin et ont obtenus au l i e u de (1.3), une equation de - v i i i -l a forme d.u) <rtr) . rtoj[i- c(yrj'A-<A(*rJ ou l e c o e f f i c i e n t de n'est pas l e meme chez l e s deux auteurs. Finalement, tout recemment Dyson (19E>6) a publie deux a r t i c l e s ou i l reformule mathematiquement l a methode d'ondes 'de spin et 1'applique d'une maniere qui semble rigoureuse, au probleme qui nous occupe. Son r e s u l t a t ne coincide avec c e l u i d'aucun de ses predecesseurs. I I trouve: Une comparaison sommaire de l a methode de Kramers qui, repetons-le", est l a seule qui n'emploie pas l e s ondes de spin, avec c e l l e de Dyson sugge-re que l e c a l c u l d'Opechowski peut etre reformule d'une maniere plus r i g o u -2 reuse, susceptible de donner au moins pour l e terme en T , l e meme r e s u l -^ 2 t a t que Dyson; c'est-a-dire de demontrer que l e c o e f f i c i e n t de T est zero. Cette these sera consacree a ce probleme. II se trouve que certaines equations algebriques auxquelles raenent l e s hypotheses de base de l a methode de Kramers peuvent etre resolues d'une maniere systematique par approximations successives. La premiere approxima-t i o n donne a l o r s une expression pour<T^ou l e terme de Bloch en T^/ 2 est s u i v i d'un terme en T^/^ (mais c e l u i - c i avec un c o e f f i c i e n t d i f f e r e n t de c e l u i de Dyson). Dans l a seconde approximation, un terme en T 2 apparaxtj grace au ; caractere systematique de notre traitement, on peut v o i r l a q u e l l e des hypotheses fondamentales de Kramers en est l ' o r i g i n e . Nous montrons dans l a meme premiere approximation que 1'expression - i x -pour l a chaleur specifique est l a meme que c e l l e obtenue par Dyson pour l e terme en T-^ 2 et avec un c o e f f i c i e n t legerement d i f f e r e n t pour l e terme en Finalement, nous montrons que 1'expression obtenue par Opechowski (1937) peut etre obtenue par une certaine approximation au sens de notre me-thode . - 1 -I I SOMME DES ETATS EN PRESENCE DU CHAMP MAGNETIQUE. I. PRINCIPES FONDAMENTAUX DE LA METHODE DE KRAMERS. Dans l a methode de Kramers, l a somme des etats du systeme est calculde par une evaluation d i r e c t e de l a trace de l'operateur energie. Dehotons par € s l'operateur energie; 1 'energie l i b r e FN du sys-tSme est l i e e a l a somme des etats Z par l a r e l a t i o n b i e n connue: (1.1) z * e w = ^ 4 e « £ ^ ou N est l e nombre d'atomes du c r i s t a l et F, 1 'energie l i b r e par atome. En developpant 1 'equation ( 1 . 1 ) , nous pouvons e c r i r e (1.2) et nous definirons ou nous avons employe l ' i n t e g r a l e d'echange J en guise d'unite" d 1energie. Dans l a s u i t e , nous u t i l i s e r o n s l a notation modifiee suivante ou nous remplacons ^ par f /j par I (1.3) - — T T P a r A«l*/ J -2-Dans cette notation, 1'equation (1.2) devient FN <*> (1.5) A N < » ) - i**ce <-«*) Dans l a notation h a b i t u e l l e , l'aimantation spontanee d'une subs-tance ferromagnetique est donnee par (1.6) M " - ( f s ) » . . \-~o ou jXB^st l e magneton de Bohr et H, l e champ magnetique. S i l'on pose (i.7) a = J 1'equation (1.6) devient dans notre nouvelle notation ( 1 - 8 ) H - / . ( K L ou l a derivee est p r i s e a temperature constante. S i nous revenons a l ' e q . (l.U), nous voyons que, pour l e cas des basses temperatures auquel nous somraes int e r e s s e s , l e s termes de l a somme vont passer par un maximum t r e s prononce pour l e s grandes valeurs de n; i l est legitime de remplacer l a somme par son terme dominant, l e s termes Am(*) pouvant etre tous rendus p o s i t i f s par 1'addition a l'energie d'une constante n'ayant aucune i n f l u -ence sur l e r e s u l t a t f i n a l : I / f ] = maximum par Ai*l*)_  e * P ( " T I rapport a n H ' - T * 1 -3-ou encore, en prenant l e logarithme n a t u r e l : ou n ( l n n - l ) remplace In n.1 par 1'approximation de S t i r l i n g . En derivant par rapport a n et introduisant l a notation suivante! d.io) • = V A / - 1* y U < » J - A i H - - A i r = 0 * ( j * * - 1 ; « V A / ( i n ^ / V - ;y 1'equation (1.9) devient Definissons une f o n c t i o n K(^,N) comme s u i t : (LID K W ; . ^ i r ; - ; nous pouvons a i n s i e c r i r e a.12) - £ . = K ^ ; - s( w - / ; i * r compatible avec 1'equation suivante d e f i n i s s a n t l e maximum par rapport a. n: (i.i3) t~ Kl*>) -JL>>-J^T * o -k-Nous avons e c r i t i c i K(V,N) sans 1'indiGe N car nous pouvons demontrer q u ' i l est independant de N. N est p r l s t r e s grand, de sorte que 1'energie l i b r e F par p a r t i c u l e devient independante de Nj i l s'ensuit que et comme V* est soumis a l a c o n d i t i o n (1.13), nous aurons 2 5 ^ o 9* Si nous u t i l i s o n s 1'equation (1.13), (1.12) peut s ' e c r i r e sous l a forme suivante: Dans l a s e c t i o n suivante, nous appliquerons cette methode au mo-dele de Heisenberg a f i n d'evaluer cette f o n c t i o n K(V). 2. APPLICATION DE LA METHODE DE KRAMERS AU MODELE DE HEISENBERG. Le modele de Heiseriberg pour une substance ferromagnetique est :c.aracterise par un operateur energie €s d e f i n i dans l a notation h a b i t u e l l e par (2.1) €, = £ +C» (2.2) c - - 7 Z (2.3) eH IC*J; ou j ^ j ^ i sont l e s matrices de spin de Pauli et l a somme (2.2) n'est p r i s e que sur l e s paires de v o i s i n s immediats, s o i t Nf p a i r e s . Nous avons c h o i s i d ' e c r i r e dans l a somme (2.2) l e s matrices de spin _j —k sous l a forme •• ^ — c a r pour un spin 1/2, l e seul cas auquel nous nous interessons dans cette these, cet operateur est un operateur de permutation ( v o i r par exemple Van Vleck (19ii5) ) et a pour e f f e t de permuter l e s spins des atomes i et j du reseau. I I convient i c i aussi de remplacer, comme dans (1.3) pour £ s : C par JC par J C M Les equations (2.1) a (2.3) s ' e c r i r o n t dans cette nouvelle notation en tenant compte de (1.3) (2.U) es « € +ch - 6 -(2 .5) e * - L H r ( 2 . 6 ) < « - - « - X < « « J i Dans un c r i s t a l contenant N atomes magnetiques, nous de*finis-sons une f o n c t i o n d'onde k) d'un e'tat caracterise* par l a p o s i t i o n de m dipSles magnetiques pointant dans l a d i r e c t i o n inverse du champ ma-gnetique, d i s t r i b u e s dans l e reseau; k etant un in d i c e attache a chacune des d i s t r i b u t i o n s d i f f e r e n t e s des m dipoles dans l e reseau. Deux d i s t r i -butions sont identiques quand l e s memes points du reseau sont occupe's et donnent l i e u a l a meme f o n c t i o n d'onde. Dans ce qui va suivre, nous conviendrons d'appeler "spins" seu-lement l e s dipoles de d i r e c t i o n oppose'e au champ magnetique, l e s autres points du re*seau e'tant considere*s comme inoccupe*s; sans guillemets, l e mot spin aura l a meme s i g n i f i c a t i o n que* d'habitude. A chaque point du re'seau est attache un i n d i c e j , ( j=l , 2 ,...,N) de sorte que l a p o s i t i o n de chaque J'spin" est connue exactement. Nous avons i c i un systeme de N electrons et a chacun appartient une f o n c t i o n d'onde u-j j et l a f o n c t i o n d'onde 'flC**h) pour une cert a i n e d i s t r i b u t i o n des "spins" sera l e produit d i r e c t des N fonctions d'onde (f t»v», k) = u,u^ • •• Hi Considerons un point j du reseau occupe* par un "spin"; s i l e point i , v o i s i n immediat de j , n'est pas occupe*: ( 2 . 8 ) ' * ^ *^  C i m * f ( m , W ; k J ou ^lmJki fcjest l a f o n c t i o n d'onde obtenue:de ftm,k)en deplacant un "spin" de sa p o s i t i o n i n i t i a l e ci c e l l e d'un de ses v o i s i n s iramediats. Le nombre k-^  est un i n d i c e designant chacun des etats pouvant cttre obtenus de fi'm*^) par l e deplacement de l'un des "spins". Dans l e cas ou i et j ont l e u r s " s p i n s " p a r a l l e l e s , l a fo n c t i o n ^{iHptyn'est pas changee. La p a r t i e de l'operateur energie dependant du champ magnetique H est diagonale et a l a valeur propre - 1 s i j est occupe* et • 1 dans l e cas c o n t r a i r e . En se servant de 1 'Equation (2.8), on peut t r o u v e r l e r e s u l t a t de 1 ' a p p l i c a t i o n de l'operateur (2.5) ttf-Mfm:,*) ou N(m,k) est l e nombre de v o i s i n s dont l e s spins sont p a r a l l e l e s dans l ' e t a t k. De me*me, une nouvelle a p p l i c a t i o n de cet operateur donne (- C f- M>( *», *) **(m>^C-0* "* ^  4 t ( - < m<k '> *• J J - 8 -ou 'ft**),t. • k, kt ) represente 1'une des fonctions d'onde obtenues de <Q(VA,\t.) par deux deplacements de ses "spins" vers une p o s i t i o n v o i s i n e (en general,deux "spins" d i f f e r e n t s serons deplaces). Apres j$ deplacements des "spins", nous aurons en general, des fonctions d'onde <PC»»»,l'j it, kx , ,k.a) dont un c e r t a i n nombre seront iden-tiques a. t f l * * i l * ^ j dans ce cas, l e nombre de v o i s i n s p a r a l l e l e s sera l e meme dans l e s deux cas: N(m,kjk^,k 2,.:.,k^) = N(m,k) . Par exemple: (2.10) 1l¥m.k)[-C)Xtei*,*) * Ai X C * * » « V •* * /V L",*) Nous a l l o n s denoter par Sjj(m,k) , l e nombre de fonctions *f C * i|k ; I c , k t / - .. , kj) identiques a ff(»*»(k^ , c 'est-a-dire: (2.1D s x o » , k ; et 1'equation (2.10) s ' e c r i r a (2.12) ^WH^ffimM « tfW; +Zry/t»tu) * tttm,h) La puissance n de 1'operateur energie s ' e c r i t «» = «» - 9 -et en generalisant 1'equation (2.10), nous aurons: (2.13) • f i-.^c - o - ^ . n ; « 2 (")2 n"* <m.kj ("t) ou (2.13) peut etre s i m p l i f i e e par l e changement d'indice suivants ^ - « r M [ rn-JC- & ) ] (2.1ii) \ j I c i nous ferons l'hypothese suivante: lorsque m « N , be qui est l e cas aux basses temperatures, l e nombre moyen de v o i s i n s (paires) p a r a l l e l e s ne depend pas de l a p o s i t i o n des "spins", C'est-a-dire que l e s nombres . N(m,k) et S^(m,k) sont approximativement egaux pour un meme m et nous a l l o n s supposer q u ' i l s sont exactement egaux. Cette hypothese revient a negliger l e f a i t que deux "spins" ne peuvent pas occuper simultanement l e meme point du reseau. II s'ensuit que (2.15) N(m) = f( N - 2m ) ou fN est l e nombre de pa i r e s dans l e c r i s t a l . -10-La t r a c e sera donnee par une somme s'etendant sur l e s ) e'tats qui sont obtenus en d i s t r i b u a n t dans un reseau de N atomes, m "spins" de toutes l e s fagons p o s s i b l e s et une somme sur m, (m = 1,...,N) : M it) ^ ' (2.16) ira<*i-y"z$,ZZ Mn*<m)(t)[*l+*«)]}'' Sal~) ou nous avons f a i t usage de (2 .15) . La t r a c e sera approximativement egale au maximum par rapport a jL et m des elements de l a somme (2.x7) !-%;".-•«. ( ^ i ^ ' W " - * - > J " ^ f c ^ Dans l a section suivante, nous reduisons l e c a l c u l de l a f o n c t i o n S^(m) au probleme du cheminement a l e a t o i r e d'un point dans un reseau a t r o i s dimensions. •11-3. CALCUL DE S^m). Dans ce qui va suivre, nous conviendrons de nomraer "pas", l e r e s u l -t a t du emplacement d'un "spin" d'une distance interatomique. Apres l e premier pas, un des "spin" s'est deplace vers une p o s i t i o n v o i s i n e , et de l a f o n c t i o n *Pc^xk) nous obtenons 2fm nouvelles fonctions 2 ifCbVjkjfrJ . Apres l e deuxieme pas (.& = 2 ) , nous aurons (2fm) fonctions W*,l<) I*i,Ut) dont un c e r t a i n nombre seront identiques a l a f o n c t i o n ^ Nous avons denote par ^(m) ce nombre. En general, l e s (2fm) fonctions < f C w » , J i j A ^ k j , . - - s e r o n t obte-nues de en deplacant a chacun des JJ pas, un des "spins" vers l'une de ses p o s i t i o n s v o i s i n e s ( en general,un "spin" d i f f e r e n t sera deplace chaque f o i s ) . Un cas typique pourra comprendre kx pas pour l e premier "spin", Jtx pour l e second, etc., d e f i n i s s a n t a i n s i une " t r a j e c t o i r e " . 2f etant l e nombre de v o i s i n s immediats de chaque poi n t du reseau, l e nombre t o t a l de t r a j e c t o i r e s sera: = U4) jL UJj—Jtm! Parmi ces (2fm)^ t r a j e c t o i r e s , nous desirons connaxtre l e nombre de c e l l e s pour l e s q u e l l e s l e s memes points du reseau sont occupes avant et apres l e s & pas. l i s seront en general occupes par des "spins" d i f f e r e n t s . Ce nombre sera donne par -12-(3.2) = f v / m / K l*Jx, tJl*i) (3.3) V " " f " ' f - 1 ou. nous avons r e d u i t l e c a l c u l de Vmiti,- a un processus stochastique. Les nombres p k sont d e f i n i s de l a fagon suivante: une t r a j e c t o i r e typique contient un c e r t a i n nombre de c i r c u i t s fermes d e c r i t s par l e s m "spins". U n c i r c u i t pourra par exemple etre engendre par k "spins" ou, apres avoir f a i t it pas,le premier occupe l a p o s i t i o n p r i m i t i v e du second, l e second apres Jx pas occupe l a p o s i t i o n du troisieme et finalement, apres Jk pas,le k l e r a e occupe c e l l e du premier. En general, une t r a j e c t o i r e comportera p-^  c i r c u i t s engendres par un "spin", p 2 c i r c u i t s engendres par deux "spins" et enf i n , p^ c i r c u i t s engendres par k "spins" que nous conviendrons de nommer c i r c u i t s - k . Nous au-rons done: Ml (3.U) X s t A Nous a l l o n s maintenant f a i r e 1'hypothese suivante: admettant que tous l e s c i r c u i t s - k ont l a meme p r o b a b i l i t e , egale a l a p r o b a b i l i t e moyenne d'un c i r c u i t - k ou chacun des "spins" f a i t exactement i/m pas (? = S/m) l e r e s u l t a t sera asymptotiquement l e meme quand t> ft J . Cette hypothese est plau-sible',.- s i nous considerons que O i m £ N et 04.jLh n ou. n » N , de sorte que l e maximum par rapport a $ et m dans l ' e q . (3.2) a r r i v e r a pour Q» Dans l'eq.(3.3), nous ecrivons pour l a p r o b a b i l i t e d'une t r a j e c t o i r e typique: -13-(3.5) JT j wlV)) " et l e nombre de classes de permutation pour cette t r a j e c t o i r e sera (3>6) F ou l e s i( h interviennent du f a i t que l e s k c i r c u i t s - k obtenus en permutant circulairement l e s "spins" a 1 ' i n t e r i e u r des c i r c u i t s ont tous l a meme proba-b i l i t y . Finalement, V m est obtenu en prenant l a somme sur tous l e s produits compatibles avec (3.U)» c'est-a-dire sur toutes l e s t r a j e c t o i r e s d e c r i t e s par m "spins". Dans l a s u i t e , nous a l l o n s remplacer Ym{fi,Jx,'',JQm) par V^CC) ou (3 .7) T = Le c a l c u l de l a p r o b a b i l i t e moyenne d'un c i r c u i t - k sera r e d u i t au probleme du cheminement a l e a t o i r e d'un point dans un reseau de Bravais, de l a facon suivante. Si nous designons par w.. ^ +-^ , l a p r o b a b i l i t e pour qu'un "spin" originant du point j , se retrouve au point j+1 apres X pas; l a p r o b a b i l i t e moyenne d'un c i c u i t - k sera l a v a l e u r moyenne de 1'expression (3.8) W»(k) = wlj2w2j3...wkjl p r i s e sur toutes l e s p o s i t i o n s a r b i t r a i r e s des points 2,3,...,k. du reseau. Nous nous bornons provisoirement a. un reseau simple cubique en i n t r o -duisant l e s coordonnees x,y,z: ou l e s points du reseau sont d e c r i t s par l e s valeurs entieres des coordonnees. Apres V deplacements, l a p r o b a b i l i t e qu'un -1U-"spin" passe du poin t ( x ^ y x . z i ) au point ( x 2 , y 2 j Z 2 )> (vo i r par exem-ple CJhandrasekhar (19U3)) sera donnee par 0.9) ^,(ipy\'*ff ou S i 1'on c h o i s i t l e point 1 a l ' o r i g i n e , l a valeur moyenne de 1'expression — (h r j » +jf¥\j) s u r toutes l e s p o s i t i o n s p o s s i b l e s du point 2 sera I^Sih""i''l"A^ (3.10) mais cette expression etant symetrique par rapport a x,y,z, I devient En posant dans (3.9) 1*%? P 0 ^ w l j 2 et j i j ^ , pour w 2 • nous aurons -15-et l a moyenne S i l'on repete l e procede k f o i s : ou on a tenu compte du f a i t quele point k se rend a l ' o r i g i n e ( r y ^ O ) (3.11) Wl*-) est l a probabilite" moyenne d'un c i r c u i t - k . La constante c depend de l a structure du reseau; e l l e est e*gale a 1'unite pour l e reseau simple cubique. Dans 1'equation (3.3), on se lib*ere de l a co n d i t i o n (3.10 par l a fon c t i o n generatrice suivante mm o -16-m a i s N*wlk) = c / V f ^ j - V t ^ ^ ^ . »/* (3.13) of \ C ( zir/j ) ** V u et l a f o n c t i o n analytique est e c r i t e et possede un point s i n g u l i e r au point 7f =1 . Le m l e m e terme de (3.1^) est donne par l a formule de Cauchy: »•»/ 2tri J y^1**1 ou nous negligeforis; l e terme en l/W. E t l'on denote par f^) , l e co-e f f i c i e n t de N dans 1'exponentielle: (3.17) f(p v'^fin) -yU&q (3.18) JiX * Cette i n t e g r a l e sera evaluee par l a methode du c o l ( v o i r par ex-emple Morse & Feshbach (1953)). Pour N t r e s grand, ^ - ^ ^ p r e s e n t e un mi-nimum l e long de l'axe r e e l et fy(f[) peut etre developpe en s e r i e de Taylor dans l a d i r e c t i o n perpendiculaire a l'axe r e e l en ce point. Seule l a region pres de l'axe contribue a 1'integrale car plus l o i n , 1'integrand se met a. o s c i l l e r rapidement et l a p a r t i e negative cancelle l a p a r t i e p o s i t i v e . -17-(3'19) 1* - , r - * 2 £ t f ' _ JL . a (3.20) *i * I I . faut i c i d i s t i n g u e r entre l e s deux cas: (I) & * * (3.21) (II) . y K f V i >^f> ^ °* Pour l e cas (I), l e mirdmum a r r i v e pourj^ej^ £ / , et dans l e cas (II), nous choisissons toujours l e point pour l e minimum car, comme nous pourrions l e demontrer, l e c o l devient s t a t i o n n a i r e au point 1. Le cas (II) ne sera pas t r a i t e : on montre facilement que l e systeme d'equations obtenues pour l e maximum par rapport a J^et m n'admet pas de s o l u t i o n r e -s i l e j dans ce cas (3-22) <?(fj Vu(tHo)-f^to et 1'equation (3.16) devient: (3-23) VmCt) = • » ! * / - ' * « [ u r t l \ y ' , » j ) ' K -18-U. DEDUCTION DES EQUATIONS DEFINISSANT LE PLUS GRAND TERME DE LA SOMME DES ETATS. J u s q u ' i c i , nous avons s u i v i d'assez pres l e t r a v a i l de Kramers (1936). Dans l a presente s e c t i o n et l e s suivantes, nous general! serons son c a l c u l et c e l u i d'Opechowski (1937). Groupons maintenant l e s equations (1.5), (2.15) et (2 .17): (ii.i) AH < H ; = mMj(*^Jllf+tJlN-t^'^M^V^w} et introduisons l a notation suivante: (U.2) A= ifa et a l ' a i d e de 1'equation ( l . l l ) : (1.11) Kt*) ~+[hAnl*) -»£*N] K(p)=maximum par rapport a X et m de K(^j^»i) Pour evaluer l e premier terme, nous allon s employer une approxi-mation meilleure que c e l l e de S t i r l i n g , due a Wise (1952J-)J avec l a q u e l l e l e premier terme de (I4..3) devient -19-• * *•[/, ('- 'if*'] * W tous l e s termes de I'ordre de l/N pouvant etre negliges car nous nous interessons a l a forme asymptotique seulement. ou nous avons remplace JttJQ/ par Jt/jUtJ-f) , et neglige l e s termes de I'ordre de et /? . De meme, l e s derniers termes de (U.3) donnent et en ajoutant c e c i a l'e'quation (U.3) devient -20-(u.6) m ^ y y » * A / - « / i i ' * t ^ - » ^ v ^ y . V - > ^ ^ A ^ i ^ on peut v o i r aisement que l e maximum par rapport a. J et m est identique au maximum par rapport a et t\ : 9 K /2J5 ) . / a t n c a r ^ K ^ f f f 5 J e n v e r t u de (3.19) et l e maximum sera donne par l e s conditions *-8> (sty. - V * f f -}<$S(V- ^ * * Jh> *) et etant aussi l i e s par une troisieme equation: (3.20)j par (3.7): en v e r t u de 1'equation (3.20), ou encore: (lt.10) X Nous avons done finalement t o i s equations, a s a v o i r : (U.7), (U.8) et (U.10) pour determiner l e s t r o i s i n c o n n u e s ^ , • ^  et . -21-5. SOLUTION DES EQUATIONS DETERMINANT LE MAXIMUM DE LA SOMME DES ETATS. Dans cette section, nous a l l o n s proceder comme s u i t : de 1'equation (U.10), nous obtenons immediatement ^ en fo n c t i o n de J* et 1^ . Ce qui per-mettra d'expriraer (U.7) en f o n c t i o n de JA et . Cette nouvelle equation se-r a resolue p o u r ^ en fon c t i o n de ^  par approximations successives. F i n a l e -ment, connaissantJt\ et t\ en f o n c t i o n de ^ 0 et ^  seulement, nous deduisons de 1'equation (U.8) une equation en ^ 0 et l^que nous resolvons par approxima-ti o n s successives. Designons par 1'expression suivante: et en v e r t u de (U.10) (5.2) * $ ' - - « < * . ; de plus, ecrivons l e s termes dependant de J^a dans (U.7) sous l e symbolep{^ 0^: (5.3) m0)* J A O f J -J*vf, i l est aussi u t i l e d'introduire une^fohetion- S ( l ^ ) vde'fihie:par (5.U) Scy0) rH)]%/1 A l ' a i d e de ces d e f i n i t i o n s , l e s equations (U.7), (U.8) et (U.10) deviendront, apres a v o i r m u l t i p l i e (U.7) par : (5.6) Zr+^.JLlf?- ^-i^RiM -k*o (5.7) a . / H J / ^ -22-ou nous avons remplace par h, l e terme dependant du champ magnetique. Dans l e s equations (5.5) et (5 .6 ) , nous verrons plus l o i n que l e terme^n*ne joue aucun r o l e . Dans ce qui va suivre, nous conviendrons d'ecrire l e s fonctions R, F et S sans e c r i r e l a v a r i a b l e explicitement, a f i n de s i m p l i f i e r l ' e -c r i t u r e . Chacune de ces fonctions possede un developpement en puissances entieres et semi-entieres de [-i*rf9) comme nous l e montrons dans l'appendice A. En reraplacant par l a nouvelle v a r i a b l e ^  , 1 'expression f^Jlnrfg): (5.8) f*-JLfc ( £ est p e t i t a i / est pres de 1'unite). Les developpements deftlfc), (5.9) Hhi-Tr.spf**<#ij'S><M/M.ofrv a l i i i-n'i) > J' *f • ou V et $ sont des valeurs de l a f o n c t i o n Zeta de Riemann. « . i o ) (m f '(fj *r-i*/'*-flf.+o(ty o u i r - x ^ - et s - / I =• - hi) ou l\ . i . g s **** . c . ./ „ ijr£ . En v e r t u de (5.7), L'equation (5.1(.) peut etre exprimee en fonc-- 2 3 -t i o n d e e t ij^ : et en m u l t i p l i a n t par S : ( 5 . 1 U ) S +y*(F--*) + -^"'"(fS+IJ *o Cette equation peut etre resolue poury* en fo n c t i o n de j> et par approximations successives. Commey***/ , nous negligeons en premiere approximation, l e s termes enyl*. et^» ': (5.15) s^tgll'&J Pour une s o l u t i o n plus p r e c i s e , nous introduirons une v a r i a b l e k d e f i n i e par (5 • 1 6 ) / '"= A ce point, i l convient de modifier l a notation en posant ( 5 . i 7 ) ' >i " * 1 (5.18) (5.19) A*(/_V**s**'V+ i(r*&x* ( 5 . 2 0 ) - 2 u -Nous voyons immediatement dans l e s equations (5.16) a. (5.20) que l e s developpements en puissances de y* et t sont tout a f a i t indepen-dants, c'est-a-dire que nous pouvons e c r i r e a volonte l e s developpements avec l a p r e c i s i o n desiree de meme que pour t sauf que l a v a l i d i t e du de-veloppement en t est r e s t r e i n t e par l e s termes que nous avons negliges dans l a section k* S i nous faisons l a s u b s t i t u t i o n des equations (5.16), (5.19) et (5.20) dans (5.11;), nous aurons et apres s i m p l i f i c a t i o n , negligeant l e s termes 0 ( t ? ) : -Ski\fFHti- zs ' - *f3\t$'-tr ' V - o et e x p l i c i t a n t K: (5.21) k *- (/+zFjr'/zt 3+ on fJ Nous eliminonsy**et X en substituant dans 1'equation (5.5) JJu donne par (5.19), A et % donnes par (5.22) -A-s ix[l+(F**Jik+ rW] f L'equation (5.5) devient done: -25-ou on v o i t que Jn ne donne aucune c o n t r i b u t i o n dans notre degre d 1approxi-mation. L'equation (5.3) permet de remplacer (3/2)R par F -f , et nous trouvons apres s i m p l i f i c a t i o n et en introduisant pour k, l a val e u r donnee par l'equation (5.21): (5.2U) fi * - i fxt* + F Pi * - S^i* *0 Cette equation peut s'explainer en terme de ^seulement s i on se s e r t de l a d e f i n i t i o n de F et S en (5.3) et (5.U) et des equations (5.8) et (5.11): VK (5.25) (5.26) Pour s i m p l i f i e r l ' e c r i t u r e , posons: ou M = | ( | ) 2 A 2 ; P = ^(|) 2AB 2 2 2 Q - J(|) (2AG• B •) ; U - \{\) (2AD4 2BC) -26-De p l u s , y //fa) e t 1'equation (5.21;) devient f il - m * < Pf ip/>+u p,A; / v t et en puissances de ^  : (5.27) . - . t f < 7 % * [ < c? * » - < *• J / » ou encore (5.28) - t / / V * , / / • - • / ' . i , / * j . v , , •[h'Mf.A//''] = ou. nous avons pose; H = <V/C c - o f / ? ; ? = 1^ »- A/ = V Y L'equation (5.28) p o u r r a i t etre aisement remplacee par un deve-loppement contenant l e s puissances plus elevees de p ; i l s u f ' f i r a i t d ' a l -longer l e s developpements de F et S en fo n c t i o n de f . L'equation qui remplecerait a l o r s (5.28) a u r a i t toujours l e meme degre d'approximation par rapport a t . H se trouve que 1'approximation l a plus basse en f qui permet d'obtenir l e terme de Bloch est c e l l e q ui c o n s i s t s a ne garder que l e s termes quadratiques en j> . Nous allon s done tout d'abord resoudre 1'equa-t i o n obtenue de (5.28) en omettant l e terme enf ; a savoir (5.29) fC^'Of-** <*] -l/'A[Pt"*H*'] f -27-Pour rlsoudre cette equation, nous a l l o n s examiner l'equation: (5.30) l < *** i j f r . * + C - O C - A ; > A / / V A / J » ' . l a p a r t i e dependant du champ magnetique etant consideree plus p e t i t e que chacun des termes qui en sont independants, car nous a l l o n s a l a f i n f a i r e tendre h —*-0, c'est-a-dire que nous pouvons ne garder que l e s termes l i -n eaires en h. ou C-tl t i e n t compte du signe. La p a r t i e independante du champ magnetique est remplacee par l e symbole V. et pour x\ nous aurons -28-w t L ¥ /! ^ ) /1 ^ ... -29-6. CALGUL DE LA FONGTION K(*?). Nous a l l o n s maintenant s i m p l i f i e r l'equation (ii.6) a. l ' a i d e des conditions pour l e maximum par rapport aL^ et ) , a f i n de l'exprimer en fonc t i o n de J) , puis nous substituerons pour l e s puissances d&Jf y l e s va-l e u r s que nous venons de trouver. S i nous ajoutons l'equation (U.8) a (5.5), puis raultipliant l e r e s u l t a t par (-)J , Llequation (1|.6) ne sera pas changee en l u i ajoutant ce r e s u l t a t qui est zero: A l ' a i d e des equations (5.19), (5.21) et (5.22) on montre a i s e -ment que l e crochet est de I'ordre de 1'unite: c'est-a-dire que Jusqu'a concurrence des termes en s ' e c r i t done (6.2) KI') + O U k ) Et des equations (5.21) et (5.22), nous t i r o n s -30-(6.U) *f(lfj •*.({+ ef+ t/fH+r/y . ; r.Jfi En substituant (6.3) et (6.1i) dans l'equation (6 .2 ) : (6.5) * w - irxAl**0 + l*H*+i*Mr+*^ I c i , nous pouvons etudier en d e t a i l ce que s i g n i f i e notre pre-miere approximation en f et l e s suivantes. Nous appelons premiere approxi-mation l a formule obtenue en ignorant l e s termes autres que P et 9 dans l e s equations (5 .28) et (6.5), car meme l a formule de Bloch n'est pas obtenue en ne gardant que l e s termes e n ^ . La co n t r i b u t i o n des approximations suivantes sera t r a i t e e plus l o i n dans l a sec t i o n 8 . Nous a l l o n s maintenant e c r i r e explicitement K(t) en f o n c t i o n de t a l ' a i d e des equations (5.31) et (5.32); (C.9.)" ejr (C.lO) de l'app. C (6 -31-oix nous avons denote par G et L l e s constantes ( 6 . 7 ) C = f«(tA +S+SC) ; L* $*(JA + e8* SO) Apres s i m p l i f i c a t i o n , K(t) devient: ( 6 . 8 ) KUJ «SiJ+($v SA+*e*){r+oU kJ i-En exprimant toutes l e s constantes i n t r o d u i t e s au cours du c a l c u l en f o n c t i o n des valeurs de l a f o n c t i o n Zeta de Memann, nous voyons que l e c o e f f i c i e n t de t 2 dans l a p a r t i e dependant du champ magnetique est n u l et s i nous exprimons K(t) dans sa forme l a plus generale: ( 6 . 9 ) nil) *i flA,i**f) *m'*yi''*of4<'j* ou l a valeur des constantes sera dans notre premiere approximation (6.10) x = * f i y^jj- > 0 3S -32-7 . CALCUL DE L'ENERGIE LIBRE F ET DE L'AIMANTATION SPONTANEE M EN PREMIERE APPROXIMATION. Nous pouvons maintenant c a l c u l e r directement l ' e n e r g i e l i b r e de-f i n i e en f o n c t i o n de K(vO par l'equation ( I . I4 ) ( l . l i i ) ou nous u t i l i s o n s l a forme generale (6.9) pour K. Les derivees par rapport a / seront en v e r t u de (5 .17): ( 7 . 2 ) >>0 *.iry»(**0-l.xt'-£ytr*-* et de l'equation (I.I4): ( 7 . 3 ) -f.irx+ixi**ly*-r*--' L'aimantation spontanee est donnee par l'equation ( 1 . 8 ) ( 1 . 8 ) ou nous ecrivons (7 .4 ) (7.5) ou l e s derivees sont p r i s e s a temperature constante. -33-La v a r i a b l e / est d e f i n i e en f o n c t i o n de l a temperature par (1.13) (1.13) k'^JLSt que nous pouvons e c r i r e comme s u i t : <7-6) = k * * de sorte que et l'equation (7.5) devient Les derivees par rapport a. a. vont dormer en v e r t u de l'equation: 1-, 2- Ik = _ L . 2. De l'equation (7.3) nous obtenons ( 7 - 1 0 ) - " ( £ f l - r / t r l - f X1'-fytUi-}] Et l'equation (7.2) donne pour K' ( 7 . i i ) tt'« A fa * f)-3x * J - *yi 7t*,{-)(( - a $ / y - 3 > / • • • } -3k-( 7 a 3 ) *Xt**OUV* A/...j Et nous r e e c r i r o n s l'equation (7.10) de l a facon suivante: (7 .15) r..?[fr*Xt*+r* Les equations (1.13) et (7.11) permettent d'exprimer t en fonc-t i o n de T j V T r e * s etftIL 1**0} W - 7J *fa /JfhM'- ry/ i J et pour GL-+ 0 nous obtiendrons (7.16) f « ^ ' ( i - J X / ' ' - ^ ' - - ; (7.17) / - ( r ? ; ^ / r ? ^ J V f v 7 - l En v e r t u de l'equation (7.16), (7.15) devient (7.19) ( T 0 - - / + A < { % ^ f y * ( ^ . 3 X ; / J * -et par l'equation (7.18) (7.20) <r0 * xXii7)^*^^Lf/Jl*(^y-^HW^*'' -35-Si nous revenons a l a notation habituelle, en reraplacant T par kT / j , nous pourrons d e f i n i r un nouveau parametre O de l a facon suivante ( 7 - 2 1 ) @ -j ^ J ou c depend de l a structure du reseau, et en reraplacant l e s constantes par l e s valeurs donne'es en (6.10) (7.22) - 3 T C S i nous coraparons ce r e s u l t a t avec c e l u i de Dyson, pour £ ss*/ (le choix etant indeterniine* dans notre thebrie) l e c o e f f i c i e n t de T^/2 est environ 2.62 f o i s c e l u i de Dyson. -36-8. CALCUL DE L'ENERGIE LIBRE F ET DE L'AIMANTATION SPONTANEE EN SECON-DE APPROXIMATION. A f i n d'etudier l ' e f f e t de l a seconde approximation, nous r e s o l -vons l'equation cubique dans l'appendice B1. La s o l u t i o n se trouve modifiee de facon a a f f e c t e r l e precedent r e s u l t a t concernant l e terme en T 2 de 1'aimantation spontanee. nous avons en e f f e t pour x, x 2 et x 3 : (8.1) (8.2) (8.3) * ' = tM*f*. .... . hjfe } S i nous substituons ce r e s u l t a t dans l'equation (6.5), nous aurons -37-En comparant avec l'equation (6.10), i l faudra e c r i r e (8.s) a ... 1Z±££ . iii et l e s autres constantes ne sont pas modifiees s a u f q u e nous n'ecrirons pas explicitement a cause de sa grande complexite dans cette approximation. L'aimantation spontanee deviendra done: (8.6) ou u irx III- IL& .vIET) / ?<f = /7V/ c Aucune des approximations superieures a. l a seconde ne contribue au terme en T . S i nous acceptons l e r e s u l t a t de Dyson, i l faut conclure que l e s fonctions F et S pour l e s q u e l l e s nous avons trouve des develop-pements exacts en puissances de f ont ete obtenues a p a r t i r d'hypotheses trop g r o s s i e r e s . L'origine des fonctions dependant de l a v a r i a b l e f est dans l e c a l c u l de V(£) ou encore de l a f o n c t i o n (m) de l a s e c t i o n 3 . J c'est-a-dire que l'hypothese i n t r o d u i t e dans l e c a l c u l de l a p r o b a b i l i t e moyenne d'un c i r c u i t - k j a savoir; que l e nombre de pas de chaque "spin" est egal. a • f * ^/*% , est trop g r o s s i e r e . En r e a l i t e , chacun des "spins" peut f a i r e de 1 ajl-k pas et i l s e r a i t p o s s i b l e en p r i n c i p e de t e n i r compte de ces d i -verses p o s s i b i l i t e s dans l e c a l c u l de l a demarche a l e a t o i r e d'un point dans l e reseau. * Apres que l a redaction de c e t t e these f u t termine'e, l e professeur Ope-chowski a r e u s s i a t e h i r "compte de ces p o s s i b i l i t e s . d'une autre manie-re obtenant a i n s i l'equation (1.5) avec l e s memes valeurs des c o e f f i -c i e n t s C i i , CU2 et (X3 que c e l l e s donnees par Dyson. -38-9. CALCTIL DE LA CHALEUR SPECIFIQUE. S i nous denotons par Z , l a somme des eta t s et par U , l'en e r g i e interne par p a r t i c u l e , nous aurons dans l a notation h a b i t u e l l e - f»A r - e. (9.1) z (9.2) u (9.3) IT Dans l a notation d e f i n i e dans l a se c t i o n 1., ces equations devien-dront (9.u) z = e (9.5) et s i nous remplacons (9.6) £ [l* U if 9T (9.7) c* = A / A A T Les equations (l.lij.) et (9.H) permettront d'ecrire (9.8) ^ ^ Z = k - ' - f et en groupant (9.5) et ( 9 . 7 ) ; -39-0 . 9 ) +-"*triW]-(9.10) c„ «krvgkz + ZA/kT lk£ (9.11) A/ 2 f c 5 - iL* _ ^  2 * ' _ k Ov^ <^ Et de l'equation (7.18):. (7.18) l*L&)\ (9.12) e " f * - #/ t a / / ~ jrU/s Les equations (6.9) et (7.11) peuvent maintenant s ' e c r i r e -iiO-Nous aurons done en groupant l e s equations (9.12) a (9.16): A / 2 * / X ) # r//r.)Vi wX/r)/L et l a chaleur specifique sera donnee a l ' a i d e de l'equation (9.10) Cette formule exprimee dans l a notation i n t r o d u i t e par (7.21) ft = . */ * . e ( « W % (9,;20) S i l ' o n accepte l e r e s u l t a t de Dyson (1955), l'on v o i t que. l e premier terme de (9.20) est identique au s i e n et l e second n'en d i f f e r e que par environ 8$. En e f f e t , Dyson donne Les approximations superieures a. l a premiere ne donne aucune con-t r i b u t i o n a ces deux premiers termes de l a chaleur specifique et un developpe-ment plus pousse i n t r o d u i r a i t un terme en T 3, en c o n t r a d i c t i o n avec Dyson. -Ul-APPENDICE A. PROPRIETES DE LA FONCTION ~f(*(). Le c a l c u l qui s u i t a ete t i r e des notes non publiees d'Opechowski (vo i r cependant l'appendice de son t r a v a i l ( 1937)) : l e s references aux c a l -culs plus recents sur l e s proprietes de cette f o n c t i o n peuvent etre trouvees dans R.B.Dingle (1957) ou bien J.E.Robinson (1951). La f o n c t i o n d e f i n i e par CO y. H mmf peut s'exprimer sous la forme i n t e g r a l e suivante (A.2) fa) . j L j JLM-ou est l a f o n c t i o n Gamma: (A.3) n * ; « / s*''e. mTJs i1?*t*)>o En e f f e t , en v e r t u de (A . 3 ) nous pouvons e c r i r e et en f a i s a n t l e changement de v a r i a b l e suivant: nous aurons Et a l ' a i d e du nouveau changement de v a r i a b l e s ( A . U ) tv* fe 1 nous montrons que (A.5) ou C est l e parcours d'in t e g r a t i o n suivant ( f i g . l ) : < x poles plan-w C F i g . l T coupure (X) est a r b i t r a i r e s i JL**l*l) £ O {li)£tL>0 <l s i « * Dans l a these, l e cas ( i i ) est c e l u i qui nous i n t e r e s s e . Les po-l e s sont a l o r s donnes par t - j ou c o * ^ Kk.tr I (k, un entier) -U3-et pour < / , ces poles sont a. d r o i t e du contour, dans l e p l a n ^ KO , S i nous acceptons l'equation (A.£), de (A.2) nous pouvons e c r i r e (A.6) Q<V*--: L'equation (A.5) sera demontree plus l o i n . I I n'est pas evident cependant que l'equation (A.6) s o i t v a l i d e pour ff tendant vers 1'unite; car dans ce cas, l e pole sur l'axe r e e l approche de l ' o r i g i n e . Pour prouver l a v a l i d i t e de l'equation (A.6) nous definissons une nouvelle fonction/i/ffj a l ' a i d e d'une formule identique a (A.6) sauf pour l e f a i t que l e contour D entoure l e pole sur l'axe n e g a t i f ( f i g . 2 ) plan-w coupure Fig.2 ( A . ? ) r*.(nj--, . -x i r w ***** i (A S i nous divisons l e contour C en t r o i s p a r t i e s 2f , i\ et ( f i g . 3 ) , nous obtenons plan-w V Flg.3 (A.9) — d o if - I, t lx r 7, -kh-De l'equation (A.U), nous voyons immediatement que l-u»— * [f e C«'VJ *" . ( f est r e e l ) et (A.9) devient /. * / ——7— ' ^ ' ^ ( A . l l ) J e L'integrale a i c i une val e u r f i n i e et En v e r t u de (A.10) et ( A . l l ) , l'equation (A.9) devient I t r - r i *r c 0 ' prouvant l'equation (A.3>). S i nous revenons a l'equation (A.8): l e pole est sur l'axe r e e l n e gatif, s o i t pour If -U5-ou done " A -(A.13) / a * - J L f et finalement l'equation ( A .12) devient et par une i d e n t i t e e b i e n connue de l a f o n c t i o n Gamma: ( A . I I I ) ctt*() c FKUI) + r(hz;(-Xr() v a l i d e pour toutes l e s valeurs complexes de ^ excepte peut-etre pour >/ ( f r e e l ) Nous a l l o n s maintenant evaluer l a f o n c t i o n f^(Jj) a l ' a i d e des equa-t i o n s (A.7) et ( A.13): ou nous avons remplace * J t ^ par U J l e s poles sont maintenant sur 1 'axe imaginaire du plan-u et l e contour E est c e l u i de l a fig .U plan-u f T" iir. Fig.U - U 6 -Les valeurs de sont l i m i t e e s par l a presence des poles sur l'axe imaginaire: e e donnant pour l'equation (A.7): (A.1S) z ft e n t i e r . S i nous posons • / dans l'equation (A.6), nous obtenons l a f o n c t i o n de Riemann: (A.16) fix) = -c ou l e contour est l e meme que l e contour E: et (A.l?) devient oo que nous pouvons s i m p l i f i e r en ecrivant -U7-(A.17) \ w / s i s k i n - * . ) y,; ISO (A.i8) /, , t n ) „ r / l . Z J ^ '•' * SO u ' ^  / < iTT e"k 2 / e n t i e r . ou e t f* i. o pour t e l que o < ^ | CALCUL DES DERIVEES. Corame^ *• fj , equation (A.13), nous aurons U , o ) ^ . - ^ (A.21) . ^ ? * ( z - , ; r ( / - z j / > * ' z mais lz-» ri'-ZJ r fe"'^ - _ ^ W et groupant l e s equations (A.21) et (A.22): et l a derivee par rapport a ^ : -4*8-(A .23) ^ ^ - y - rm.,ti) (A .2U) Dans l e texte, nous faisons usage d'un quotient de l a forme fx (*) ft ih) 1 <^ a> 4., 1« Pour i e cas qui nous i n t e r e s s e , z=5/2, nous t i r o n s de l'equation M a o ( A . 2 5 ) tK tV,nO-rtV/. *r(-U/t.%*i«VAx*-(A. 26) f i / i ) <tc{) • / K ; / . * . ^ , i ti-yA\... et dans l e te x t e , nous u t i l i s o n s l a notation suivante P«ni) >r*ul) it-uSJ et l a valeur des fonctions et en vert u de l'equation (A . 2 u ) ; (A.27) ou r* / * > ^ ' * T r y . . - 4 9 -APPENDICE B. SOLUTION DE L'EQUATION CUBIQUE. Nous a l l o n s resoudre l'equation obtenue de (5.28) en d i v i s a n t par t ^ : (B.l) A * ' *I3*X + C* *P -O ou A - U ; Q = r%- Q -of,* t Cette equation se re d u i t a : (B.2) «J \ffj + J * O par l e changement de v a r i a b l e s suivant sj = JC + B/jJl et L . £ . - a* 2JL3 r A 3A ' 7 *?A* 3*7 A La s o l u t i o n de cet t e equation est donnee par l a formule M e n connue: (f.g) ; . J - * \ Ol .SSI* , ICO , C ' \1 >V leg A* iA* +Tr JT -g *T *,7 j i et en substituant i e s valeurs d e f i n i e s dans ( B . l ) ^ (nous omettons systema-tiquement l e s termes en puissances de t plus grandes que -k et dans l e s termes dependant du champ magnetique, l e s puissances plus grandes que -8. ( B . U ) 7 7 * frit '\ oC+Vjl OCt>J (B.5) g » ocrj * kotrV (B-6) A? *--£(t'k-3*r*-i*Af\otry)i**Nt+ hk-H) (B*7) mX*(*(4m%; En groupant l e s equations ( B . U ) a ( B.8), nous aurons ^ [ ^ ' ' ^ r ' - w H r*...., ^.10) «« r cr' *( ^ 3 5 " * W *• // Dans l e c a l c u l de -q/2, i l faudra done ne g l i g e r l e s termes plus p e t i t s que 0(t~"'') et dans l e s termes dependant du champ magnetique, ceux plus p e t i t s que 0(t"^) s i l ' o n veut garder l e meme degre d'approximation que precedemment: 1 i &1 ± US. n I - 27 A1 ~ 6 Ax *" (B.u) j£ - £ fr *- 3 Q i' *- ?V/e r '+9QX4- x~Ol / V ] (B.i2) j£ * £ % [ - i r r x - r i t - ' o t * v ) w^r'* .-.TT^r *2H *w/f+ij -52-OVL C s % i ( B - 1 6 > W - '£\h«tx-t"*+****i)i'*($*''*- Wfr* ou nous aurons u s i £ = + 1 et v s i «f = - 1. Les deux solutions correspondant a une raeilleure approximation pour l'equation quadratique de l a s e c t i o n 5 sont (B.17) 3 , * - * £ * + - ^ O e j - ; ^ . . H £ £ . « £ f Denotons par (Xet d%, l e s expressions suivantes: (B.i8) a • - ; 03 = ^ /<J (E.i9) > =. c < . * r / i (B.2O) cc *^-Y/. t n l - o * t\(^o\uf)ii* f -03-i/M I *M \ tew ZH s W r JJ De l'equation (B.2), nous avons (B .22) tt y - /^4/<J (B .23) * . tlftl +(P+ & g2-^ ) t \ t * g r (B.2U) v c X * * / ^ ^ ( ' ^ ( r r ' ^ Cx + &t") ou nous avons pose, pour s i r a p l i f i e r : (B.26) k f l * * r f + 3 X ^ | (B.27) * v = ( 3 ( / V * -V A » r A APPENDICE Ci. REMARQUES SUR LE CALCUL D'OPECHOWSKI. Nous montrons dans cet appendice, l'or i g i n e . du r e s u l t a t d'Ope-chowski(1937), au sens de notre methode. Nous rappelons que dans son t r a -v a i l , Opechowski ne f a i t pas l e c a l c u l de 1 'energie l i b r e en presence du champ magnetique, mais q u ' i l l v a l u e 1'aimantation spontanee a l ' a i d e de l a formule approchee suivante: (Ci.l) ou m est l e nombre de spins dont l a d i r e c t i o n est opposee a c e l l e de l a majorite. A l ' a i d e des equations (5.U) et (5.10), l a formule (5.19) d e f i -n i s s a n t ^ en fo n c t i o n de / devient (ca) f i f f ' W i * [I* l r i * * - ~ ) fWt'(l+ lift** *f + - ^i'(**bf Kycff • ^ / * / * / > f V • •. J Pour evaluer c e c i , i l f a ut connaitre l a valeur de f et f sans l e champ magnetiquej c'est-a-dire l e s fonctions V et ¥ de l a sec t i o n 5., l a fo n c t i o n V est donnee par: ( 0 . 3 ) T / « - />^ *fr- j Art* -55-' (0;.5) f = -w » _/'JLr_ j H / / ., i (0.6) / *»kx+(\Cl>/M . et l'equation (C.2) devient i r{r'*T +* *! /«• A t / / en v e r t u de l'equation (7 .18) . Nous avons remplace l e s constantes par l e u r d e f i n i t i o n par l e s equation (5.26) et (5.9) a (5.11). Ce r e s u l t a t est l e meme qu'obtient Opechowski (1937) sauf pour l e fac t e u r t stl ( i l obtient £«•/) indetermine dans notre methode et l e terme 4- • ^ T ^" dans l e c o e f f i c i e n t de T-^. La presence de ce terme est due I S a 1'amelioration du c a l c u l en intr o d u i s a n t l a formule de Wise (1954) pour evaluer l a forme asymptotique des c o e f f i c i e n t s de Newton. Nous pouvons retrouver l a formule (Qj.8) d'une facon tout a f a i t independante, u t i l i s a n t l'energie l i b r e F en f o n c t i o n du champ magnetique. Ce c a l c u l montre immediatement dans q u e l l e mesure l'equation (C'.l) est va-l i d e . Nous ferons usage dans ce c a l c u l , des solutions pour / et P obte-. J*. x nues dans l a se c t i o n 5. (premiere approximation) pour e v a l u e r ^ 7 et ^  q u i -56-apparaissent dans l a seconde approximation ".pour K ( t ) , de l'equation (6.5). A l ' a i d e de (5.31), (5.32), (c.U) et (C.6) nous pouvons e c r i r e (do , -( o.ii) eH*<\.:+kfir&r+typ-gf)*--•] (C.12) fX* Hxi H + XH A i jSi nous designons par ^ j / j / ^ , l e s facteurs obtenus de (6.5) en f a i s a n t usage des equations (0.11) et (0.12) additionnels a ceux de (6.8), nous aurons (C.13) *kt»*0(+<;i>t,flc«<l/Ztl+(3<JP- %~+>*«r«)(3'j Comparant c e c i a l'equation (6.10), nous pouvons e c r i r e Ajp.et A£* pour l e s termes supplementaires: (G.1U) Cctd/h ' i C t f f ^ (0.05) ZJ^ + nrtJ _ r z far v V 1 £ V / ^ t / 1 et en ajoutant a. (6.9) J (©.i6) * - s f juei1-+ if dkiu? et pour l'aimantation spontanee(7 . 2 0 ) (cn) ^ - i - w f ^ ; ^ " / ? ^ ^ ; 1 * Et nous voyons immediatement que l e s equations (C.8) et (C.17) s a t i s f o n t l'equation ( G . l ) . Done, l e c a l c u l d'Opechowski comporte un degre d'approximation equivalent a remplacer l a s o l u t i o n d'un polynome par l a so-l u t i o n obtenue de l a forme quadratique correspondante. -58-BIBLIOGRAPHIE. F.Bloch (1930), Z.Physik 61, 206 (1930),- 7U, 925 (1932) S.Chandrasekhar (19u3), Rev. of Mod. Phys. 15, 1 (19U3) R.B.Dingle (1957), Appl. Scient. Res. 1^6, 2l|0 (1957) F.G.Dyson (1956) Phys. Rev. 102, 1217 (1956)j 102, 1230 (1956) W.Heinsenberg (1928) Z.Physik U9, 6I4 (1928) H.A.Kramers (1936) Commun. Kammerlingh Onnes Lab. Univ. Leiden Supp. No. 83 (1936) P.M.Morse & H.Feshbach (1953) Methods of Theoretical Physics. (Mc Graw H i l l , New York, 1953) W.OpechowskL (1937) Physica U, 715 (1937) J.E.Robinson (195l) Phys. Rev. 83, (195l) M.R.Shafroth (195U) Proc. Phys. Soc. A67, 33 (195u) J.Van Kranendonk (1955) Physica 21, 8l,749,925 (1955) J.Van Kranendonk & J.H.Van Vleck (1958) Revs. Mod. Phys. 30, 1 (1958) J.H.Van Vleck (19U5) Rev. Mod. Phys. 17, 27 (19U5) M.E.Wise (195U) Proc. A57, 513 (195U) Koninkl. Nederl. Akademie Van 

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