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The plane mixing region between parallel streams Pui, Nam Kiong 1969

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THE PLANE MIXING REGION BETWEEN PARALLEL STREAMS by NAM KIONG PUI B.S. (Eng.), National Taiwan University, 1967 A THESIS SUBMITTED IN PARTIAL FULFILMENT OF THE REQUIREMENTS FOR THE DEGREE OF M.A.Sc. in the Department of Mechanical Engineering We accept this thesis as conforming to the required standard THE UNIVERSITY OF BRITISH COLUMBIA December, 1969 In p r e s e n t i n g t h i s t h e s i s i n p a r t i a l f u l f i l m e n t o f the r e q u i r e m e n t s f o r an advanced degree at the U n i v e r s i t y o f B r i t i s h C o l u m b i a , I agree t h a t the L i b r a r y s h a l l make i t f r e e l y a v a i l a b l e f o r r e f e r e n c e and s t u d y . I f u r t h e r agree t h a t p e r m i s s i o n f o r e x t e n s i v e c o p y i n g o f t h i s t h e s i s f o r s c h o l a r l y purposes may be g r a n t e d by the Head o f my Department or by h i s r e p r e s e n t a t i v e s . I t i s u n d e r s t o o d t h a t c o p y i n g or p u b l i c a t i o n of t h i s t h e s i s f o r f i n a n c i a l g a i n s h a l l not be a l l o w e d w i t h o u t my w r i t t e n permi ss i o n . NAM KIONG PUI Department of M e c h a n i c a l E n g i n e e r i n g The U n i v e r s i t y of B r i t i s h C o l u m b i a , Vancouver 8, B r i t i s h C o l u m b i a , Canada D a t e ~^ZL^«^~^ WJv A B S T R A C T An e x p e r i m e n t a l s t u d y o f a m i x i n g l a y e r b e t w e e n two u n i f o r m p a r a l l e l s t r e a m s i s u n d e r t a k e n f o r t h r e e v e l o c i t y r a t i o s : 0 . 8 1 , 0.75 a n d 0 . 6 5 . I t i s f o u n d t h a t t h e m i x i n g l a y e r g r o w s l i n e a r l y w i t h s t r e a m w i s e d i s t a n c e i n e a c h c a s e , a s a n t i c i p a t e d . E x c e p t i n t h e v e r y i n t e r m i t t e n t r e g i o n , t h e mean v e l o c i t y p r o f i l e s a g r e e w i t h G S r t l e r ' s t h e o r e t i c a l p r e d i c t i o n b a s e d on t h e a s s u m p t i o n t h a t t h e e d d y v i s c o s i t y i s c o n s t a n t a c r o s s t h e f l o w . T h e m e a s u r e m e n t o f t u r b u l e n t i n t e n s i t i e s a n d s h e a r s t r e s s p r o -v i d e e v i d e n c e t h a t t h e f l o w b e c o m e s s e l f p r e s e r v i n g . T h e n o n - d i m e n s i o n a l l o n g i t u d i n a l i n t e n s i t y i s s y m m e t r i c a l a b o u t t h e a v e r a g e v e l o c i t y p o i n t , a n d i s i n d e p e n d e n t o f t h e v e l o c i t y r a t i o ; a l t h o u g h o t h e r n o n - d i m e n s i o n a l R e y n o l d s s t r e s s d i s t r i b u t i o n s a r e r o u g h l y i n d e p e n d e n t o f v e l o c i t y r a t i o , t h e y a r e n o t s y m m e t r i c a l . T h e s h e a r s t r e s s c a l c u l a t e d f r o m t h e two d i m e n s i o n a l mean e q u a t i o n o f m o t i o n a g r e e s w e l l w i t h m e a s u r e d v a l u e s . T A B L E OF CONTENTS C h a p t e r P a g e A B S T R A C T i i ACKNOWLEDGEMENTS i i i L I S T OF F I G U R E S v i L I S T OF T A B L E S . . . . v i i i N OMENCLATURE . . . . . . . . i x I I N T R O D U C T I O N 1 I I L I T E R A T U R E SURVEY AND REVIEW 4 I I I M A T H E M A T I C A L A N A L Y S I S 10 3.1 T h e Mean V e l o c i t y D i s t r i b u t i o n i n t h e M i x i n g l a y e r 10 3.2 R e l a t i o n s h i p o f R e y n o l d s S t r e s s t o Mean V e l o c i t y 17 3.3 P r i n c i p a l S t r e s s a n d P r i n c i p a l R a t e o f S t r a i n D i r e c t i o n s 17 IV E X P E R I M E N T AND A P P A R A T U S 21 4.1 T h e A p p a r a t u s 21 4.2 T h e M e a s u r i n g T e c h n i q u e a n d P r o c e d u r e 24 V R E S U L T S AND D I S C U S S I O N 27 5.1 Mean V e l o c i t y 2 7 5.2 C o n s t a n t s f r o m E d d y V i s c o s i t y A n a l y s i s . . 33 5.3 L o n g i t u d i n a l I n t e n s i t y 35 5.4 L a t e r a l I n t e n s i t i e s 35 5.5 S h e a r S t r e s s 37 5.6 T h e S h e a r C o r r e l a t i o n C o e f f i c i e n t a n d S h e a r C o e f f i c i e n t 38 V C h a p t e r P a g e VI C O N C L U S I O N S AND RECOMMENDATIONS 42 6 . 1 C o n c l u s i o n s 42 6.2 R e c o m m e n d a t i o n s 43 R E F E R E N C E S . . . • 44 A P P E N D I C E S I THE D I R E C T I O N OF THE D I V I D I N G S T R E A M L I N E . . 47 I I C A L C U L A T I O N OF L A T E R A L I N T E R S I T I E S AND SHEAR S T R E S S 50 I I I THE L E A S T SQUARES F I T PROCEDURE USED TO D E T E R M I N E U, AND U 0 54 ACKNOWLEDGEMENTS T h e a u t h o r w i s h e s t o a c k n o w l e d g e h i s i n d e b t e d n e s s t o D r . I . S . G a r t s h o r e who s u g g e s t e d t h e s u b j e c t o f t h e p r e s e n t i n v e s t i g a t i o n a n d g u i d e d i t s p r o g r e s s . F i n a n c i a l s u p p o r t o f t h e N a t i o n a l R e s e a r c h C o u n c i l o f C a n a d a a n d t h e U n i v e r s i t y o f B r i t i s h C o l u m b i a a n d u s e o f C o m p u t i n g C e n t r e f a c i l i t i e s a t t h e U n i v e r s i t y o f B r i t i s h C o l u m b i a a r e g r a t e f u l l y a c k n o w l e d g e d . L I S T OF F I G U R E S F i g u r e P a g e 1 D e f i n i t i o n s k e t c h f o r m i x i n g l a y e r 57 2 D i s t r i b u t i o n o f d i m e n s i o n l e s s mean v e l o c i t y a c r o s s t h e m i x i n g l a y e r a s s u m i n g a c o n s t a n t e d d y v i s c o s i t y 58 3 W i n d t u n n e l o u t l i n e 59 4 T h e a r r a n g e m e n t o f h o n e y c o m b a n d s c r e e n i n t h e w i n d t u n n e l 60 5 C a l i b r a t i o n c u r v e o f h o t w i r e w i t h l i n e a r i z e r 61 6 D i m e n s i o n l e s s mean v e l o c i t y d i s t r i b u t i o n : U 2 / U 1 = 0.81 62 7 T h e f l o w p a t t e r n u p s t r e a m o f t h e h o n e y c o m b . . 63 8 D i m e n s i o n l e s s mean v e l o c i t y d i s t r i b u t i o n : U 2 / U 1 = 0.75 64 9 D i m e n s i o n l e s s mean v e l o c i t y d i s t r i b u t i o n : U 2 / U ] = 0.65 65 10 T h e v a r i a t i o n o f t h e m i x i n g l a y e r w i d t h w i t h s t r e a m w i s e d i s t a n c e 66 11 T h e v a r i a t i o n o f a p p a r e n t e d d y v i s c o s i t y a c r o s s t h e m i x i n g l a y e r 67 12 T h e v a r i a t i o n o f m i x i n g l e n g t h a c r o s s t h e m i x i n g r e g i o n 68 13 T h e v a r i a t i o n o f d i m e n s i o n l e s s mean v e l o c i t y a t t h e d i v i d i n g s t r e a m l i n e a s s u m i n g a c o n s t a n t e d d y v i s c o s i t y 69 14 T h e v a r i a t i o n o f t h e w i d t h o f t h e m i x i n g l a y e r f r o m m i x i n g l e n g t h t h e o r y 69 15 T h e l o c u s o f maximum s h e a r s t r e s s p o i n t s . . . 70 16 T h e l o c u s o f Y. q, Y.c, a n d Y.-, p o i n t s . . . . 71 v i i F i g u r e P a g e 17 T h e v a r i a t i o n o f t h e G b r t l e r c o n s t a n t w i t h v e l o c i t y r a t i o . . . . . . . 72 18 T h e v a r i a t i o n o f t h e p r o p o r t i o n a l c o n s t a n t f o r e d d y v i s c o s i t y 73 19 T h e d i s t r i b u t i o n o f d i m e n s i o n l e s s l o n g i -t u d i n a l i n t e n s i t y : U 2 / U 1 = 0.81 74 20 T h e d i s t r i b u t i o n o f d i m e n s i o n l e s s l o n g i -t u d i n a l i n t e n s i t y : U 2 / U ^ = 0.75 75 21 T h e d i s t r i b u t i o n o f d i m e n s i o n l e s s l o n g i -t u d i n a l i n t e n s i t y : U 2/U-| = 0 .65 76 22 D i m e n s i o n l e s s l a t e r a l i n t e n s i t y : U 0 / U , 0.81 . ! . . . . 77 23 D i m e n s i o n l e s s l a t e r a l i n t e n s i t y ^v ' 2/u n : U 2 / U 1 = 0.75 ° . . . . 78 24 D i m e n s i o n l e s s l a t e r a l i n t e n s i t y : U 0/U-, = 0.65 ! . . . . 79 25 D i m e n s i o n l e s s l a t e r a l i n t e n s i t y ^w' 2/U : U 2 / U 1 = 0.75 ° . . . . 80 26 D i m e n s i o n l e s s s h e a r s t r e s s : U ^ / l l - , = 0.81 . . 81 27 D i m e n s i o n l e s s s h e a r s t r e s s : - u 1 v 1 / U 2 : U 2 / U ] = 0.75 82 28 D i m e n s i o n l e s s s h e a r s t r e s s : U2/U^ = 0 . 6 5 . . 83 29 D i m e n s i o n l e s s s h e a r s t r e s s : -u 1w'/U 2 : U 2 / U 1 = 0.75 0 84 30 S h e a r c o e f f i c i e n t 85 31 S h e a r c o r r e l a t i o n c o e f f i c i e n t 86 32 T h e p r i n c i p a l s t r e s s d i r e c t i o n : U 0 / U , 0.75 2. ! . . . . 87 33 T h e p r i n c i p a l s t r e s s d i r e c t i o n : U 0 / U , 0.65 2. ! . . . . 88 34 T h e t r a v e r s i n g m e c h a n i s m 89 L I S T OF T A B L E S T a b l e P a g e I T h e S l o p e o f T h e Y. f i L i n e 55 I I T h e V a l u e o f K n a n d a 56 NOMENCLATURE T h e r a t e o f g r o w t h o f t h e w i d t h o f m i x i n g l a y e r w i t h s t r e a m w i s e d i s t a n c e A c o n s t a n t T h e s l o p e o f t h e Y . 5 l i n e C o n s t a n t T h e p r o p o r t i o n a l c o n s t a n t i n m i x i n g l e n g t h t h e o r y 1 = c x D e f o r m a t i o n t e n s o r T h e d i v i d i n g s t r e a m l i n e T h e l i n e a r i z e d o u t p u t o f t h e h o t w i r e T h e l i n e a r i z e r b i a s v o l t a g e T h e f l u c t u a t i n g o u t p u t o f t h e h o t w i r e a t a n g l e cb a n d 1 8 0 ° - cb U - u 2 T h e d i m e n s i o n l e s s mean v e l o c i t y , . . U l " U 2 i i / i i 3x 1 3y T h e d i m e n s i o n l e s s s h e a r s t r e s s , - u 1 v 1 / U Q 2 T h e p r o p o r t i o n a l c o n s t a n t o f t h e c o n s t a n t e d d y v i s c o s i t y a s s u m p t i o n T h e p r o p o r t i o n a l c o n s t a n t b e t w e e n o u t p u t o f t h e l i n e a r i z e d h o t w i r e a n d f l o w v e l o c i t y T a n g e n t i a l c o o l i n g f a c t o r T h e w i d t h o f t h e m i x i n g l a y e r d e f i n e d a s Y . g - Y.-, T h e m i x i n g l e n g t h T h e e x p o n e n t i n e q . ( 1 7 ) C o o r d i n a t e p e r p e n d i c u l a r t o mean s t r e a m l i n e d i r e c t i on T h e mean p r e s s u r e T h e mean p r e s s u r e o u t s i d e t h e m i x i n g l a y e r T h e e x p o n e n t i n e q . ( 1 7 ) T h e c o o r d i n a t e i n t h e mean s t r e a m l i n e d i r e c t i o n I n s t a n t a n e o u s v e l o c i t y i n x - d i r e c t i o n T h e mean v e l o c i t y i n t h e x - d i r e c t i o n T h e f l u c t u a t i n g v e l o c i t y i n t h e x - d i r e c t i o n T h e v e l o c i t y d i f f e r e n c e - U 2 T h e f r e e s t r e a m v e l o c i t i e s o u t s i d e t h e m i x i n g l a y e r ( U ] > U 2 ) T h e mean v e l o c i t y a l o n g t h e d i v i d i n g s t r e a m l i n e u s i n g t h e c o n s t a n t e d d y v i s c o s i t y a s s u m p t i o n T h e v e l o c i t y i n t h e s - d i r e c t i o n T h e mean v e l o c i t y i n t h e y - d i r e c t i o n T h e f r e e s t r e a m v e l o c i t i e s i n t h e y - d i r e c t i o n T h e mean v e l o c i t y i n t h e n d i r e c t i o n T h e f l u c t u a t i n g v e l o c i t y i n t h e y - d i r e c t i o n T h e E u l e r i a n c o o r d i n a t e s i n t h e f r e e s t r e a m d i r e c t i o n a n d p e r p e n d i c u l a r t o f r e e s t r e a m d i r e c t i o n r e s p e c t i v e l y T h e p o i n t s w h e r e f = 0 . 9 , 0 . 5 , 0.1 a n d 0.0 r e s p e c t i v e l y T h e o r d i n a t e w h e r e V = o.O T h e a n g l e b e t w e e n x a n d a p r i n c i p a l s t r e s s d i r e c t i on T h e a n g l e b e t w e e n x a n d x 1 T h e a n g l e b e t w e e n x a n d a p r i n c i p a l r a t e o f s t r a i n d i r e c t i on (u1 - u2) (u1 + u2) <y - Y - 5 ) / L o <Yv • Y-5>/Lo ^ KgA Value of a when U2 = 0.0 Stress tensor Value of n where g(fi) = 0.0 and f{fi) = 0.0 Kinematic viscosity The dimensionless coordinate in mixing length theory, proportional to the width of the mixing 1 ayer Eddy viscosity Intermittency factor n / L o Reynolds shear stress The angle between the hot wire and the mean flow direction The fluid density Viscosity 1. I N T R O D U C T I O N Two d i m e n s i o n a l f r e e t u r b u l e n t s h e a r f l o w s s u c h as j e t s , w a k e s a n d m i x i n g l a y e r s h a v e s t r o n g s i m i l a r i t i e s b o t h i n t h e n a t u r e o f t h e i r b o u n d i n g s u r f a c e s a s e x h i b i t e d i n t h e i n t e r m i t t e n c y f a c t o r a n d i n t h e i r t u r b u l e n t s t r u c -t u r e as s h o w n b y t h e s t a t i s t i c a l p r o p e r t i e s o f t h e f l o w s . I t i s i m p o r t a n t t o h a v e a c l e a r k n o w l e d g e o f a l l o f t h e s e r e l a t i v e l y s i m p l e f l o w s , a n d t o a c c o u n t f o r t h e b e h a v i o u r o f e a c h i n f o r m u l a t i n g a c o m p r e h e n s i v e p i c t u r e o f t u r b u l e n t s h e a r f l o w . T h e t u r b u l e n t wake h a s b e e n s t u d i e d by T o w n s e n d [ 2 9 ] , t h e p l a n e j e t i n a m o v i n g s t r e a m a n d i n n e a r l y s t i l l a i r was e x a m i n e d by B r a d b u r y [ 3 ] , t h e p l a n e j e t i n s t i l l a i r , by H e s k e s t a d [ 1 0 ] ; C o r r s i n a n d K i s t l e r [ 7 ] , K i b e n s [ 1 2 ] , a n d K l e b a n o f f [ 1 3 ] d i d m e a s u r e m e n t s i n b o u n d a r y l a y e r s w i t h -o u t p r e s s u r e g r a d i e n t s , a n d s t u d i e d i n p a r t i c u l a r t h e f r e e s t r e a m b o u n d a r y o f t h e t u r b u l e n c e . M i x i n g l a y e r s , h o w e v e r , h a v e n o t b e e n s t u d i e d i n d e t a i l . L i e p m a n n a n d L a u f e r [ 1 6 ] , W y g n a n s k i a n d F i e d l e r [ 3 3 ] h a v e e x a m i n e d t h e m i x i n g l a y e r b e t w e e n a u n i f o r m s t r e a m a n d s t i l l f l u i d . F o r m i x i n g l a y e r s b e t w e e n two u n i f o r m s t r e a m s , o n e may i n t u i t i v e l y f e e l t h a t t h e f l o w c a n be d e s c r i b e d by s u p e r i m p o s i n g a u n i f o r m v e l o c i t y on t o t h e m i x i n g r e g i o n b e t w e e n a u n i f o r m s t r e a m a n d s t i l l f l u i d . T h i s s u p e r p o s i t i o n p r o d u c e s an 2 u n s t e a d y f l o w , h o w e v e r w i t h t h e v i r t u a l o r i g i n o f t h e m i x i n g l a y e r m o v i n g w i t h a u n i f o r m v e l o c i t y . H e n c e t h e m i x i n g l a y e r w i t h n o n - z e r o v e l o c i t y on b o t h s i d e s d e s e r v e s s e p a r a t e e x a m i n a t i o n . O f t h e f e w e x i s t i n g m e a s u r e m e n t s i n t h i s t y p e o f m i x i n g l a y e r , W a t t ' s [ 3 0 ] s t u d y i s t h e m o s t c o m p l e t e b u t r a i s e s q u e s t i o n s w h i c h w i l l be d i s c u s s e d l a t e r . When two u n i f o r m p a r a l l e l s t r e a m s o f d i f f e r e n t v e l o c i t y U-j a n d m e e t t o g e t h e r a h i g h l y u n s t a b l e f r e e s h e a r l a y e r i s d e v e l o p e d . T h e f l o w b e c o m e s t u r b u l e n t i n t h i s r e g i o n i f t h e R e y n o l d s n u m b e r d e f i n e d a s (U-, - l ^ x / v i s h i g h e n o u g h . T h e s m a l l s c a l e v o r t i c i t y a s s o c i a t e d w i t h t h e t u r b u l e n c e d i f f u s e s i n t o t h e n o n v o r t i c a l f l u i d a s i t i s c o n v e c t e d d o w n s t r e a m a n d t h e w i d t h o f t h e m i x i n g g r o w s i n t h e s t r e a m w i s e d i r e c t i o n . As t h e f l o w b e c o m e s t u r b u l e n t , t h e f l o w p a t t e r n i s s o c o m p l i c a t e d a n d i r r e g u l a r t h a t a m a t h e m a t i c a l a n a l y s i s f o r t h e i n s t a n t a n e o u s m o t i o n i s f o r m i d a b l e . I n o r d e r t o a v o i d t h i s d i f f i c u l t y , an e n s e m b l e a v e r a g e i s a p p l i e d t o t h e f l o w f i e l d , t h e i n s t a n t a n e o u s v a l u e o f t h e v e l o c i t y a n d p r e s s u r e b e i n g t h e sum o f t h e a v e r a g e c o m p o n e n t a n d f l u c t u a t i o n c o m p o n e n t . H o w e v e r , d u r i n g t h e t i m e a v e r a g i n g p r o c e s s , much i n f o r m a t i o n o f t h e f l o w f i e l d i s l o s t a n d t h e r e s u l t i n g e q u a t i o n s c a n n o t be s o l v e d . B e c a u s e o f t h e non-^ l i n e a r t e r m i n t h e e q u a t i o n o f m o t i o n , i t i s i m p o s s i b l e t o o b t a i n an e q u a t i o n w h i c h i n c l u d e s o n l y c o r r e l a t i o n s o f o n e o r d e r . I n o r d e r t o s o l v e t h i s p r o b l e m a c l e a r p h y s i c a l i d e a i s n e e d e d t o r e l a t e t h e h i g h e r o r d e r c o r r e l a t i o n s t o t h e l o w e r o r d e r c o r r e l a t i o n s o r t o t h e mean f l o w q u a n t i t i e s . T h e p h e n o m e n o l o g i c a l a p p r o a c h h a s b e e n v e r y u s e f u l i n t h e p a s t f o r o b t a i n i n g p r a c t i c a l c o n c l u s i o n s e v e n t h o u g h i t i s e m p i r i c a l a n d t h u s i s l i m i t e d i n i t s u s e . A m o r e t h e o r e t i c -a l l y s a t i s f y i n g a n a l y t i c a p p r o a c h o f c o n s i d e r a b l y g r e a t e r c o m p l e x i t y , s u c h a s q u a s i - n o r m a l a n d d i r e c t i n t e r a c t i o n c l o s u r e a p p r o x i m a t i o n s , i s s t i l l r e s t r i c t e d t o i s o t r o p i c a n d h o m o g e n e o u s t u r b u l e n t f l o w . F o r t u r b u l e n t s h e a r f l o w , no g e n e r a l a n a l y t i c a l t h e o r y h a s b e e n d e v e l o p e d , s o t h a t e x p e r i -m e n t s a r e n e c e s s a r y t o r e v e a l t h e p h y s i c a l p i c t u r e n e e d e d f o r a m o r e g e n e r a l a n a l y t i c a p p r o a c h . T h e p r e s e n t m e a s u r e m e n t s w e r e d o n e i n a l o w t u r b u l e n c e - l e v e l , l a r g e w i n d t u n n e l , h o p e f u l l y e l i m i n a t i n g w a l l a n d u p s t r e a m e f f e c t s . T h e r e s u l t s a r e e x p e c t e d t o c o n -f o r m c l o s e l y t o i d e a l c o n d i t i o n s a n d t o g i v e d a t a n e c e s s a r y f o r an u n d e r s t a n d i n g o f t h i s " s i m p l e " s h e a r f l o w . 2. L I T E R A T U R E SURVEY AND REVIEW T h e two d i m e n s i o n a l i n c o m p r e s s i b l e t u r b u l e n t m i x i n g r e g i o n i s c o n s i d e r e d t o be o n e o f t h e " s i m p l e " s e l f p r e -s e r v i n g f r e e s h e a r f l o w s . F o r t h e s e f l o w s , a s t h e R e y n o l d s n u m b e r b e c o m e s v e r y l a r g e , t h e R e y n o l d s e q u a t i o n s o f m o t i o n c a n be s i m p l i f i e d b y u s i n g t h e s o - c a l l e d b o u n d a r y l a y e r a p p r o x i m a t i o n s . H o w e v e r , t h e n u m b e r o f e q u a t i o n s a v a i l a b l e i s l e s s t h a n t h e n u m b e r o f u n k n o w n s , s o t h a t o n e h a s t h e n t o r e l a t e f l u c t u a t i n g q u a n t i t i e s t o mean f l o w q u a n t i t i e s t h r o u g h p l a u s i b l e a s s u m p t i o n s . On t h e b a s i s o f P r a n d t l ' s m i x i n g l e n g t h t h e o r y , T o l l m i e n [ 2 5 ] s o l v e d t h e m i x i n g r e g i o n b e t w e e n a u n i f o r m s t r e a m a n d s t i l l a i r by f u r t h e r a s s u m i n g t h a t t h e m i x i n g l e n g t h i s a f u n c t i o n o f t h e s t r e a m w i s e d i s t a n c e o n l y a n d t h a t t h e mean t r a n s v e r s e v e l o c i t y i s z e r o i n t h e m o v i n g s t r e a m . K u e t h e [ 1 4 ] e x t e n d e d t h e a n a l y s i s t o t h e g e n e r a l c a s e f o r w h i c h U 2 c a n h a v e a n o n - z e r o v a l u e ; m o r e o v e r , he u s e d t h e v o n K a r m a n s u g g e s t i o n ( U V ) + ( U V ) m = 0, ( t h e c o o r d i n a t e s y s t e m u s e d i s s k e t c h e d i n F i g u r e 1) t o f i n d t h e e d g e s o f m i x i n g l a y e r . T h e s o l u t i o n h a s d i s t i n c t e d g e s w h e r e t h e mean v e l o c i t y i n t h e m i x i n g r e g i o n i s e q u a l t o t h e f r e e s t r e a m v a l u e a n d d o e s n o t a p p r o a c h t h e f r e e s t r e a m a s y m p t o t i c a l l y . T o o v e r c o m e t h i s s h o r t c o m i n g , G b r t l e r [ 9 ] b a s e d an a n a l y s i s on an e d d y v i s c o s i t y u s i n g 5 t h e h y p o t h e s i s o f P r a n d t l t h a t t h e e d d y v i s c o s i t y i s p r o -p o r t i o n a l t o t h e w i d t h o f t h e m i x i n g l a y e r a n d t o t h e f r e e . s t r e a m v e l o c i t y d i f f e r e n c e . T o g e t h e r w i t h t h e a s s u m p -t i o n o f s i m i l a r i t y i n t h e mean v e l o c i t y p r o f i l e a t d i f f e r -e n t d i s t a n c e s f r o m t h e o r i g i n , he t r a n s f o r m e d t h e b o u n d a r y l a y e r e q u a t i o n i n t o an o r d i n a r y d i f f e r e n t i a l e q u a t i o n a n d s o l v e d i t by a p o w e r s e r i e s e x p a n s i o n i n 3 = ( U ^ - U g ) / ( U 1 + U 2 ) . P a i [ 2 0 ] a n d C r a n e [ 8 ] e x t e n d e d t h e a n a l y s i s t o c o m p r e s s i b l e f l o w . P a i a p p r o x i m a t e d t h e p r o b l e m b y a s m a l l p e r t u r b a t i o n m e t h o d a n d C r a n e d e v e l o p e d t h e s t r e a m f u n c t i o n i n a d o u b l e p o w e r s e r i e s o f two s t r e a m p a r a m e t e r s : t h e M a c h N u m ber a n d t h e t e m p e r a t u r e d i f f e r e n c e o f t h e s t r e a m s . F o r i n c o m p r e s s i b l e m i x i n g l a y e r s w i t h a p r e s s u r e g r a d i e n t , S a b i n [ 2 2 ] a s s u m e d e d d y v i s c o s i t y t o be a f u n c t i o n o f s t r e a m w i s e d i s t a n c e o n l y , a n d t o be p r o p o r t i o n a l t o t h e w i d t h a n d t h e f r e e s t r e a m v e l o c i t y d i f f e r e n c e o f t h e l a y e r . He f i r s t n o n d i m e n s i o n a l i z e d t h e b o u n d a r y l a y e r e q u a t i o n , t h e n e m p l o y e d a s i m i l a r i t y t r a n s f o r m a t i o n . H i s f i n a l e q u a t i o n i s t h e n e x a c t l y t h e same as t h a t f o r t h e l a m i n a r m i x i n g l a y e r w i t h a p r e s s u r e g r a d i e n t . F i n a l l y he e x p a n d e d t h e d i m e n s i o n l e s s p r e s s u r e a n d v e l o c i t y d i s t r i b u t i o n s i n p o w e r s e r i e s . T h e f i r s t o r d e r s o l u t i o n was f o u n d a n d com-p a r e d v e r y w e l l w i t h t h e G o r t l e r c o m p l e t e s o l u t i o n f o r z e r o p r e s s u r e g r a d i e n t , when t h e v e l o c i t y r a t i o i s g r e a t e r ? t h a n 0 . 5 . T h e mean v e l o c i t y p r o f i l e s i n S a b i n ' s w o r k w e r e 6 m e a s u r e d i n a w a t e r t a b l e w i t h a u s e f u l d e p t h o f t h e w a t e r o f a b o u t 10 i n c h e s . S i n c e i n many c a s e s t h e w i d t h o f t h e m i x i n g l a y e r was g r e a t e r t h a n 6 i n c h e s , t h e e f f e c t i v e a s p e c t r a t i o d e f i n e d a s t h e w i d t h o f t h e t u n n e l i n z - d i r e c t i o n t o t h e w i d t h o f t h e m i x i n g l a y e r was o f t h e o r d e r o f u n i t y , t h e s m a l l e s t r a t i o s o f U2/U^ p r o d u c i n g t h e l a r g e s t m i x i n g r e g i o n s a n d t h e r e f o r e t h e s m a l l e s t e f f e c t i v e a s p e c t r a t i o . T h e a s s u m p t i o n o f two d i m e n s i o n a l i t y i s t h e r e f o r e s u s p e c t e d . H o w e v e r , t h e e x p e r i m e n t a l r e s u l t s l e a d h i m t o t h e c o n -c l u s i o n t h a t t h e f l o w c a n be d e s c r i b e d b y o n e f r e e c o n s t a n t w h i c h i s i n d e p e n d e n t o f v e l o c i t y r a t i o . M i l l s [ 1 9 ] b a s e d h i s w o r k on P r a n d t l ' s h y p o t h e s i s f o r e d d y v i s c o s i t y a n d w r o t e t h e e q u a t i o n s i n C r o c c o v a r i a b l e s . T h e r e s u l t i s p r e s e n t e d i n n u m e r i c a l f o r m . M i l l s m e a s u r e d mean v e l o c i t y d i s t r i b u t i o n s f o r s e v e r a l v e l o c i t y r a t i o s , a n d f o u n d t h a t f o r s m a l l v e l o c i t y r a t i o Ug/U-j s t h e a g r e e m e n t b e t w e e n t h e t h e o r e t i c a l p r o f i l e a n d t h e e x p e r i m e n t a l v a l u e s was v e r y g o o d . H o w e v e r , t h e a g r e e -m e n t b e c o m e s i n c r e a s i n g l y b a d as t h e v e l o c i t y r a t i o i n c r e a s e d . T h i s d i s c r e p a n c y m a y b e due t o the f a c t t h a t M i l l s ' t u n n e l w a l l s t e r m i n a t e d a t t h e u p s t r e a m e n d o f t h e t e s t s e c t i o n s o t h a t m i x i n g l a y e r s d e v e l o p e d a r o u n d t h e e x i t o f t h e t u n n e l a n d p o s s i b l y a f f e c t e d t h e m e a s u r e m e n t o f t h e m i x i n g l a y e r u n d e r i n v e s t i g a t i o n . B a k e r a n d W e i n s t e i n [ 1 ] e x t e n d e d G b r t l e r ' s a n a l y s i s t o m i x i n g r e g i o n s b e t w e e n s t r e a m s o f d i f f e r e n t d e n s i t y . T h e i r e x p e r i m e n t was p e r f o r m e d i n a s m a l l w i n d t u n n e l w h e r e t h e w a l T b o u n d a r y l a y e r s p r o b a b l y a f f e c t e d t h e f r e e s t r e a m v e l o c i t y . H o w e v e r , t h e y c o n c l u d e d t h a t t h e p r o p o r t i o n a l c o n s t a n t d e f i n i n g t h e e d d y v i s c o s i t y s t a y s r o u g h l y c o n s t a n t f o r v a r i o u s v e l o c i t y r a t i o s a n d t h a t t h e d e n s i t y d i f f e r e n c e h a s no a p p r e c i a b l e e f f e c t on t h e r a t e o f g r o w t h o f t h e m i x i n g l a y e r w i t h s t r e a m w i s e d i s t a n c e . T h e s o l u t i o n s f o r mean v e l o c i t y b a s e d on e i t h e r m i x i n g l e n g t h t h e o r y on e d d y v i s c o s i t y t h e o r y w i l l d e v i a t e f r o m t h e m e a s u r e m e n t s n e a r t h e e d g e s o f t h e m i x i n g l a y e r w h e r e t h e i n t e r m i t t e n c y f a c t o r i s v e r y s m a l l . T o w n s e n d [ 2 8 ] s h o w e d t h a t t h e d i s c r e p a n c y c a n be made up q u i t e w e l l by a s s u m i n g ey = c o n s t a n t a c r o s s t h e m i x i n g l a y e r , w h e r e y i s t h e i n t e r m i t t e n c y f a c t o r a n d e i s t h e e d d y v i s c o s i t y . H o w e v e r , t h e p h y s i c a l b a c k g r o u n d f o r t h i s a s s u m p t i o n i s n o t s o u n d . R e i c h a r d t [ 2 1 ] a p p e a r e d t o be t h e f i r s t o n e t o m e a s u r e t h e mean v e l o c i t y p r o f i l e f o r a " h a l f j e t " : i . e . a m i x i n g l a y e r w i t h o n e s t r e a m a t r e s t . L a t e r L i e p m a n n a n d L a u f e r [ 1 6 ] u s e d a h o t w i r e t o m e a s u r e f l u c t u a t i n g q u a n t i t i e s i n t h e same f l o w s i t u a t i o n . T h e y f o u n d t h a t n e i t h e r m i x i n g l e n g t h n o r e d d y v i s c o s i t y a r e c o n s t a n t a c r o s s t h e f l o w . T h e y r e p o r t e d h o w e v e r t h a t t h e t u r b u l e n c e m i c r o s c a l e i s c o n s t a n t f o r a l a r g e p a r t o f t h e m i x i n g z o n e , a n d t h a t t u r b u l e n t p r o d u c t i o n , d i s s i p a t i o n a n d d i f f u s i o n a r e t h e t h r e e m a i n t e r m s i n t h e t u r b u l e n t e n e r g y e q u a t i o n f o r a 8 l a r g e p o r t i o n o f t h e m i x i n g r e g i o n . W y g n a n s k i a n d F i e d l e r [ 3 3 ] r e p e a t e d a n d e x t e n d e d t h e s e m e a s u r e m e n t s t o h i g h e r moment t e r m s o f f l u c t u a t i n g v e l o c i t i e s . I n s t e a d o f u s i n g a c o n v e n t i o n a l a v e r a g i n g m e t h o d , t h e y u s e d a t u r b u l e n t d e t e c t o r t o d i s t i n g u i s h b e t w e e n t u r b u l e n t a n d n o n - t u r b u l e n t r e g i o n s a n d e m p l o y e d t h e " z o n e - a v e r a g e m e t h o d " w h i c h a v e r a g e s o n l y i n t u r b u l e n t o r n o n - t u r b u l e n t r e g i o n s . T h e y f o u n d t h a t t h e t u r b u l e n t s t r u c t u r e i m p l i e d by t h e z o n e a v e r a g e i s q u i t e d i f f e r e n t f r o m t h a t i n f e r r e d f r o m c o n v e n t i o n a l a v e r a g i n g . T h e y c o n c l u d e d i n t h e t u r b u l e n t z o n e t h a t t h e c o n s t a n t e d d y v i s c o s i t y c o n c e p t i s a c c e p t a b l e , a n d t h a t t h e s t r u c t u r e o f t h e w h o l e r e g i o n c a n be d i v i d e d i n t o two h a l v e s : t h e i n n e r h a l f n e a r t h e m o v i n g s t r e a m w h i c h r e -s e m b l e s t h e o u t e r p a r t o f b o u n d a r y l a y e r a n d t h e o u t e r h a l f , s i m i l a r t o a p l a n e w a k e . T h e i n t e r f a c e s b o u n d i n g t h e m i x -i n g r e g i o n , t h e v i s c o u s s u p e r l a y e r s , a r e m o v i n g i n d e p e n -d e n t l y o f e a c h o t h e r . W a t t [ 3 1 ] e x t e n d e d t h e m e a s u r e m e n t s t o v e l o c i t y r a t i o s g r e a t e r t h a n z e r o a n d t o f l o w s w i t h s t e p c h a n g e s i n t e m p e r a t u r e . He f o u n d t h a t t h e f l o w i s s e l f - p r e s e r v i n g a n d t h e s t r u c t u r e i s u n i f o r m a n d t h a t t h e t u r b u l e n t s t r u c t u r e p a r a m e t e r s a r e r o u g h l y c o n s t a n t f o r a l a r g e p a r t o f t h e m i x i n g r e g i o n . M o r e o v e r he n o t e d t h e r e s e m b l a n c e i n s t r u c t u r e b e t w e e n t h e m i x i n g l a y e r , t h e p l a n e w a k e a n d t h e p l a n e j e t . H o w e v e r t h e b l o c k a g e r a t i o ' , d e f i n e d a s t h e r a t i o o f t h e h e i g h t o f t h e t u n n e l u s e d t o t h e maximum w i d t h o f t h e m i x i n g l a y e r was as s m a l l as 3 o r 9 4 o v e r t h e r a n g e o f h i s i n v e s t i g a t i o n . C o m b i n e d w i t h t h e w a l l b o u n d a r y l a y e r g r o w t h , t h i s p l a c e d h i s f l o w i n a f a v o u r a b l e p r e s s u r e g r a d i e n t , s o t h a t t h e w i d t h o f t h e m i x i n g l a y e r was s u p p r e s s e d , a n d t h e s t r u c t u r e o f t h e f l o w was p r o b a b l y a f f e c t e d . 3. M A T H E M A T I C A L A N A L Y S I S 3 . 1 T h e Mean V e l o c i t y D i s t r i b u t i o n i n t h e M i x i n g L a y e r I n t h e p l a n e m i x i n g l a y e r , t h e mean f l o w i s two d i m e n s i o n a l a n d s i n c e t h e w i d t h i s v e r y s m a l l i n c o m p a r -i s o n w i t h t h e o t h e r mean f l o w d i m e n s i o n s , t h e b o u n d a r y l a y e r a p p r o x i m a t i o n i s a s s u m e d t o be v a l i d , x a n d y a r e t h e a x e s p a r a l l e l a n d p e r p e n d i c u l a r t o t h e o r i g i n a l s t r e a m d i r e c t i o n s r e s p e c t i v e l y . u a n d v a r e t h e v e l o c -i t i e s i n t h e d i r e c t i o n o f x a n d y as s h o w n i n F i g u r e 1 . T h e f l o w f i e l d q u a n t i t i e s w i t h o v e r b a r i n d i c a t e t i m e a v e r a g e v a l u e s , w h i l e p r i m e s d e n o t e f l u c t u a t i o n v a l u e s ; t h e i n s t a n -t a n e o u s v a l u e i s t h e sum o f t h e s e t w o . T h e N a v i e r - S t o k e s e q u a t i o n s t h e n a r e s i m p l i f i e d t o : _ 90 _ 9U , 9P 9 2U 9 9 —- 0 u — + v — = - L — + v — TTTT7r)+ — (u1^) (l) 3x 9y p 9x 9 y 2 9y 9x , 9P 9v' 1 _ + = 0 (2) p 9y 9y F r o m e q . ( 2 ) , i n t e g r a t i n g a l o n g t h e y - d i r e c t i o n P + p v ' 2 = P Q ( x ) ( 3 ) w h e r e P 0 ( x ) i s t h e p r e s s u r e o u t s i d e t h e m i x i n g l a y e r . 11 S u b s t i t u t i n g P Q ( x ) i n t o e q . ( 1 ) , we g e t 3U _ 3IJ i d P n 3 2 U 3 3 U — + V — = - -L — - ^ + v — 2 ( i F F " ) + — ( u , £ - v , £ ) (4) 3x 3y p 3X 3y 3y 3x Th e v e l o c i t y o u t s i d e t h e m i x i n g l a y e r i s c o n s t a n t , s o t h a t P Q ( x ) i s c o n s t a n t . I n an i n h o m o g e n e o u s t u r b u l e n t f l o w u 1 a n d v ' a r e u s u a l l y o f t h e same o r d e r o f m a g n i t u d e a n d t h e d i f f e r e n c e o f t h e t w o t e r m s i s v e r y s m a l l . T h e l a s t t e r m i n e q . (4) c a n t h e r e f o r e be n e g l e c t e d , a n d e q . (4) b e c o m e s _ 311 _ 9U 3 2 U 3 U _ + v — = v — r - ( u T v r ) (5) 3x 3y 3 y ^ 3y T h e c o n t i n u i t y e q u a t i o n b e c o m e s 3U 3V — + — = 0 (6) 3x 3y F a r d o w n s t r e a m f r o m t h e p o i n t w h e r e t h e t wo s t r e a m s s t a r t m i x i n g , t h e f l o w i t s e l f b e c o m e s s e l f - p r e s e r v i n g . T h e t e r m " s e l f - p r e s e r v a t i o n " m e a n s t h a t t h e s t r u c t u r e o f t h e t u r b u l e n c e m a i n t a i n s i t s s i m i l a r i t y d u r i n g d e v e l o p m e n t . I n T o w n s e n d ' s [28] n o t a t i o n , s e l f - p r e s e r v a t i o n i m p l i e s U = U 2 + U Q f ( n ) - r - r 2 y _ Y " 5 u 1 v 1 = U a ( n ) » w h e r e n = U 0 > L a r e v e l o c i t y s c a l e a n d l e n g t h s c a l e r e s p e c t i v e l y , and. Y « 5 i s t h e v a l u e o f y w h e r e ( U - U 2 ) / U r e a c h e s 5 0 % o f i t s maximum v a l u e . U , L a n d Y.,- a r e f u n c t i o n s o f x o o 5 g e n e r a l l y a l t h o u g h i n t h e m i x i n g l a y e r , u" 0 i s a c o n s t a n t . In t h e p r e s e n t c a s e , a s i m p l e c h a r a c t e r i s t i c l e n g t h i s t h e w i d t h o f t h e m i x i n g l a y e r , s o t h a t L Q may be i n t e r p r e t e d a s t h e w i d t h . As ri-^+oo i . e . y->-+00 U U 1 a n d i f f ( + » ) = 1.0, t h e n U Q = l ^ - l ^ , a c o n s t a n t , a s s t a t e d e a r l i e r . As n-*--00, t h e r e f o r e f(-°°) = 0.0 V c a n be f o u n d by i n t e g r a t i n g t h e c o n t i n u i t y e q u a t i o n a l o n g t h e y - d i r e c t i o n . r 9U" r d L r t d Y . . V = -/ - d y = U f ( f r y — 2 - + f 1 d n ] JY dx 0 Jr\ dx dx i f Y y , n v a r e l o c a t e d w h e r e V = 0, a n d f = -j--. S u b s t i t u t i n g i n t o e q . ( 5 ) , we o b t a i n U 0 dL U, d Y . r dL d Y . K r dL f ' n — 0 + — f + f ' f n — - + f f - f 1 / f ' n — - dn U 0 dx U 0 dx dx dx * ^ n v dx _ f . / f 5 d r ] = g l ( n ) f, , ( 7 ) \ d x U o L o 13 w h e r e I t w i l l f u r t h e r be a s s u m e d t h a t t h e R e y n o l d s n u m b e r o f t h e mean f l o w i s l a r g e , s o t h a t t h e l a s t t e r m on t h e r i g h t h a n d s i d e o f e q . ( 7 ) i s n e g l i g i b l e . T h e a s s u m p t i o n o f s e l f -p r e s e r v i n g f l o w r e q u i r e s t h a t t h e c o e f f i c i e n t s o f a l l f u n c t i o n s o f n a r e e i t h e r c o n s t a n t s o r p r o p o r t i o n a l t o e a c h o t h e r . S i n c e t h e c o e f f i c i e n t o f g ' ( n ) i s u n i t y , t h e o t h e r c o e f f i c i e n t s m u s t be c o n s t a n t s ( p o s s i b l y z e r o ) , a n d s i n c e II i s c o n s t a n t , t h i s l e a d s t o t h e c o n c l u s i o n t h a t L a n d the o o Y.g l i n e v a r y l i n e a r l y w i t h x. S i n c e t h e r e f e r e n c e p o i n t n = 0.0 o f t h e d i m e n s i o n l e s s v e l o c i t y p r o f i l e c a n be d e f i n e d c o n c l u d e t h a t a l o n g a n y s t r a i g h t l i n e p a s s i n g t h r o u g h t h e v i r t u a l o r i g i n x = 0, t h e d i m e n s i o n l e s s v e l o c i t y i s c o n s t a n t , a n d i n d e e d t h a t t h e d i m e n s i o n a l v e l o c i t y i s a l s o c o n s t a n t . T h i s d o e s n o t i m p l y t h a t l i n e s o f c o n s t a n t mean v e l o c i t y a r e a t a n y c o n s t a n t v e l o c i t y p o i n t g i v e n b y s o we c a n mean s t r e a m l i n e s ; o n l y o n e mean s t r e a m l i n e p a s s e s t h r o u g h x = 0. T h e n e q . ( 7 ) b e c o m e s f ' B + f f ' n A + f f ' B - f * / f ' n A d n - f ' B / f ' d n - g' ( n ) (8) dL d Y . 5 W h e r e A = = c o n s t a n t , a n d B = = c o n s t a n t . dx dx dP When t h e p r e s s u r e g r a d i e n t i s n o t z e r o , t h e f l o w c a n n o t dx a p p r o a c h s e l f - p r e s e r v a t i o n . S e v e r a l p h e n o m e n o l o g i c a l t h e o r i e s h a v e b e e n u s e d t o s o l v e f o r f ( n ) - A c c o r d i n g t o m i x i n g l e n g t h t h e o r y , t h e a s s u m p t i o n f o r s h e a r s t r e s s i s : 2 9 U a U T = p l o | ~ | _ , w h e r e l Q i s p r o p o r t i o n a l t o L Q , t h e w i d t h o f t h e m i x i n g l a y e r . T h e n 1 Q = c x , w h e r e c i s a c o n s t a n t . S u b s t i t u t i n g i n t o e q . (5) w i t h U - U 9 + U f ( e ) , . 3 y - Y . Q d ° w h e r e e i s d e f i n e d as e = / 7 c \ ( —; ) , a n d Y.^ i s t h e ( 2 ) L o 0 e d g e o f t h e m i x i n g l a y e r ( f = 0 . 0 ) , a n d d i f f e r e n t i a t i n g a g a i n w i t h r e s p e c t t o e , we o b t a i n u 2 f • i • + f + _ £ = 0 ( 9 ) U o W h e r e f = ^| -E — E / 3 — - -U; / 3 — -T h e s o l u t i o n i s f = c-| e ~ + c 2 e 2 c o s e + Cge2 s i n h. w h e r e C-, , c 2 a n d c ^ a r e a r b i t r a r y c o n s t a n t s , w h i c h c a n be f o u n d f r o m t h e f o l l o w i n g b o u n d a r y c o n d i t i o n s : 15 i = 0 . 0 , f = 0 . 0 , d f 0.0 a n d f = 1.0, ^ d f de 0.0 e u i s t h e u p p e r e d g e o f t h e m i x i n g l a y e r a n d i s p r o p o r t i o n a l t o t h e w i d t h o f t h e m i x i n g l a y e r . T h e v a l u e o f i s p l o t t e d i n F i g . ( 1 4 ) v e r s u s v e l o c i t y r a t i o U ^ / U i . T h e p r e s e n t f o r m o f t h e mean v e l o c i t y p r o f i l e a n d t h e g o v e r n i n g d i f f e r e n t i a l e q u a t i o n a p p e a r d i f f e r e n t f r o m t h o s e o f K u e t h e [ 1 4 ] , b u t t h e f i n a l e x p r e s s i o n s f o r t h e v e l o c i t y p r o f i l e a r e t h e same i n b o t h c a s e s . A l t e r n a t i v e l y , f o l l o w i n g P r a n d t l ' s h y p o t h e s i s f o r e d d y v i s c o s i t y ; T = e |S! a n d e = KL U ay o o W h e r e K i s a c o n s t a n t f o r a n y o n e m i x i n g l a y e r a n d p o s s i b l y f o r a l l m i x i n g l a y e r s . S u b s t i t u t i n g t h i s a s s u m p t i o n a n d U = I J^ + U f ( n ) i n t o e q . ( 5 ) , w i t h t h e v i s c o u s t e r m a t t h e r i g h t h a n d s i d e o f t h e e q u a t i o n n e g l e c t e d , we o b t a i n dY.,- r + u 1 / f « dn = K U f " / f ( 1 0 ) dx 16 KU i s a c o n s t a n t i n e q . ( 1 0 ) , s o t h a t , i f t h e f l o w i s s e l f dL d Y . 5 p r e s e r v i n g = c o n s t a n t = A , a n d = c o n s t a n t = B. dx dx D i f f e r e n t i a t i n g e q . ( 1 0 ) w i t h r e s p e c t t o n , we g e t f ' " f ' - ( f , , ) 2 + ^ - f ( f ' ) 2 + ( f ) 2 A , ^ l = o ( 1 1 ) U o L e t 0 = J K. ' (—^)r\ a n d s u b s t i t u t e i n t o e q . ( 1 1 ) t o o b t a i n : f ' " f - ( f " ) 2 + f ( f ' ) 2 + ( f 1 ) 2 ^ = 0 ( 1 2 ) U o w h e r e f 1 = . T h e f o l l o w i n g b o u n d a r y c o n d i t i o n s a r e now a p p r o p r i a t e : 6 + °° , f («) = 1 .0 9 = 0 , f ( 0 ) = 0.5 0 + °° , f(-°°) = 0.0 . T h i s e q u a t i o n a p p e a r s d i f f e r e n t f r o m G o r t l e r ' s [ 9 ] f i n a l e q u a t i o n b e c a u s e o f t h e d i f f e r e n t a s s u m p t i o n s f o r t h e v e l o c i t y p r o f i l e a n d t h e s h e a r s t r e s s - u 1 v 1 . T h e n u m e r i c a l s o l u t i o n s a p p e a r i n g f r o m t h e s e e q u a t i o n s a r e p r a c t i c a l l y i d e n t i c a l t o G o r t l e r [ 9 ] h o w e v e r , t h e d i f f e r e n c e e v e n i n t h e w o r s t c a s e b e i n g l e s s t h a n 0 . 0 1 % . I t i s s h o w n i n F i g . ( 2 ) t h a t G o r t l e r ' s f i r s t a p p r o x i m a t i o n , n a m e l y , t h e e r r o r i n t e g r a l , , i s a v e r y g o o d a p p r o x i m a t i o n . I t d i f f e r s f r o m t h e c o m p l e t e s o l u t i o n by l e s s t h a n 1% when t h e v e l o c i t y r a t i o i s g r e a t e r t h a n 0 . 5 , a n d a p p r o a c h e s t h e e x a c t s o l u t i o n m o r e c l o s e l y a s t h e v e l o c i t y r a t i o a p p r o a c h e s 1.0. 3.2 R e l a t i o n s h i p o f R e y n o l d s S h e a r S t r e s s t o Mean V e l o c i t y I f f ( n ) i s known e x p e r i m e n t a l l y , t h e s h e a r s t r e s s g ( n ) c a n be f o u n d f r o m e q . ( 8 ) . I n t e g r a t i n g e q . ( 8 ) f r o m t h e l o w e r v e l o c i t y s i d e , we g e t g ( n ) = M—r\f - — f f d n + f x / n v f + f f f d n - f ( f ) 2 d n } U U -'ri V V Jx\ JT\ o o 1 v u2 + B ( - * - + f ) f U V o ( 1 3 ) w h e r e g(n) = 0, f ( f j ) = 0, a n d f = f ( n v ) , w h e r e n v i d e n -t i f i e s t h e o r d i n a t e w h e r e V = 0. T h e v a l u e o f n v i s u n f o r t u n a t e l y n o t k n o w n . 3.3 P r i n c i p a l S t r e s s a n d P r i n c i p a l R a t e o f S t r a i n D i r e c t i on T h e t i m e a v e r a g e s t a t e o f s t r e s s a n d r a t e o f s t r a i n i n an i m c o m p r e s s i b l e a n d t u r b u l e n t m e d i u m may be e x p r e s s e d i n c a r t e s i a n n o t a t i o n c r . . a n d D.. r e s p e c t i v e l y , w h e r e 18 911, 9U. D = ( — 1 + - J - ) J 9 x . 9 x . ( F o r e x a m p l e s e e H i n z e [ 1 1 ] ) . F o r a s e c o n d o r d e r t e n s o r R--, t h e t r a n s f o r m a t i o n f r o m t h e o r i g i n a l c o o r d i n a t e s y s t e m t o a new c o o r d i n a t e s y s t e m w h i c h h a s t h e same o r i g i n i s R\k • xn hi R i j < 1 4 » w h e r e A^. i s t h e c o s i n e o f t h e a n g l e b e t w e e n t h e x^ a n d t h e x^ a x e s . I n two d i m e n s i o n a l s p a c e , a n d f o r a s y m m e t r i c a l t e n s o r , i t c a n be s h o w n f r o m e q . ( 1 4 ) t h a t = 0 w h e n : 2R - i ? t a n 2 a = — — ( 1 5 ) R 1 1 " R 2 2 a n d w h e r e a i s t h e a n g l e b e t w e e n t h e x a n d x 1 a x e s . T h e p r i n -c i p a l s t r e s s a n d p r i n c i p a l r a t e o f s t r a i n d i r e c t i o n a r e d e f i n e d as t h o s e d i r e c t i o n s a l o n g w h i c h t h e s h e a r s t r e s s a n d r a t e o f s h e a r s t r a i n w i l l v a n i s h , r e s p e c t i v e l y . F o r two d i m e n s i o n a l t u r b u l e n t b o u n d a r y l a y e r t y p e f l o w , t h e s t r e s s e s a r e 19 3U a,, = -P + 2y p u ' 2 3x 3V p a 2 2 = ~P + 2 v i — - p v 1 a n d a 1 ? = y ( — + — ) - p u 1 v 1 ay ax When t h e R e y n o l d s n u m b e r i s l a r g e e n o u g h , we c a n n e g l e c t t h e v i s c o u s s t r e s s t e r m s . T h e n f r o m e q . ( 1 5 ) , t h e p r i n c i p a l s t r e s s d i r e c t i o n i s 2 u ' v ' t a n 2 a P s u ' 2 - v ' 2 , 2 u ' v ' a n_ = 1/2 t a n " 1 ( ) ( 1 6 ) u ' ^ - v ' ^ T h e mean r a t e s o f s t r a i n a r e 3U 1 3X 3V D 2 2 = 2 — a n d 3U 3V D 1 = - + — 3y 3x So t h a t f r o m e q . ( 1 5 ) , t h e p r i n c i p a l r a t e o f s t r a i n d i r e c t i o n i s D i r D 2 2 1 8 U / 9 Y I 1 2 3U/3X 2 G 3U 3U By u s i n g t h e b o u n d a r y l a y e r a p p r o x i m a t i o n — > > — 3y 3x 1/G i s v e r y much g r e a t e r t h a n 1. °Vs = \ t a n _ 1 \ \ \ (\ - 2G + 1 ( 2 G ) 3 + - -) S i n c e G i s s m a l l a r s " J ~ T h e p r i n c i p a l mean r a t e s o f s t r a i n d i r e c t i o n i s t h e r e f o r e v e r y c l o s e t o ±45° w i t h r e s p e c t t o t h e m a i n f l o w d i r e c t i o n . 4 . E X P E R I M E N T AND A P P A R A T U S 4 . 1 T h e A p p a r a t u s T h e e x p e r i m e n t was d o n e i n t h e UBC l o w s p e e d l o w t u r b u l e n c e - l e v e l c l o s e d c i r c u i t w i n d t u n n e l s k e t c h e d i n F i g . ( 3 ) . W i t h e m p t y w o r k i n g s e c t i o n , t h e f r e e s t r e a m t u r b u l e n c e l e v e l i s l e s s t h a n 0 . 1 % a n d t h e s p a t i a l v a r i a t i o n o f mean v e l o c i t y i s l e s s t h a n 0 .25% o u t s i d e t h e b o u n d a r y l a y e r r e g i o n s n e a r t h e w a l l s . T h e p r e s s u r e d i f f e r e n c e a c r o s s t h e 7 : 1 c o n t r a c t i o n s e c t i o n i s r e a d f r o m a B e t z M a n o m e t e r , w i t h a c c u r a c y g r e a t e r t h a n 0 . 0 5 mm o f w a t e r . T h e t u n n e l i s d r i v e n by a 15 h o r s e p o w e r a x i a l f l o w f a n w h o s e s p e e d i s c o n t r o l l e d b y r h e o s t a t s u s i n g a W a r d L e o n a r d s y s t e m . T h e r e c t a n g u l a r t e s t s e c t i o n i s 36 i n c h e s b y 27 i n c h e s a n d 104 i n c h e s l o n g . F o u r t a p e r e d f i l l e t s a r e u s e d t o c o m p e n s a t e f o r t h e b o u n d a r y l a y e r g r o w t h i n t h e s t r e a m -w i s e d i r e c t i o n a n d t o r e d u c e t h e s e c o n d a r y f l o w a t t h e c o r n e r s . A b r e a t h e r f o l l o w s t h e t e s t - s e c t i o n t o e n s u r e t h a t t h e p r e s s u r e i n t h e t e s t - s e c t i o n i s a t m o s p h e r i c . I n o r d e r t o g e n e r a t e a d i s c o n t i n u o u s v e l o c i t y p r o -f i l e a s s h o w n i n F i g . ( 1 ) , a d e e p c e l l h o n e y c o m b a n d s q u a r e g r i d s c r e e n w e r e u s e d . T h e h o n e y c o m b was p l a c e d a t t h e u p s t r e a m e n d o f t h e w i n d t u n n e l t e s t s e c t i o n , a n d a p i e c e o f s c r e e n was f a s t e n e d o v e r h a l f o f t h e h o n e y c o m b ' o n t h e u p -s t r e a m s i d e . T h e a r r a n g e m e n t i s s h o w n i n F i g ' . ! ^ t 4 ) . The. 22 h o n e y c o m b i s 12 i n c h e s d e e p w i t h 1/8 i n c h h e x o g o n a l c e l l a n d 0 . 0 0 0 7 i n c h c e l l w a l l t h i c k n e s s . T h e s c r e e n mesh s i z e u s e d d e p e n d e d u p o n t h e v e l o c i t y r a t i o r e q u i r e d . I n t h e p r e s e n t i n v e s t i g a t i o n , 12 m e s h w i t h 0 . 0 2 3 i n c h d i a m e t e r w i r e , 20 mesh w i t h 0 . 0 1 6 i n c h d i a m e t e r w i r e , a n d 35 mesh w i t h 0 . 0 0 9 i n c h d i a m e t e r w i r e w e r e u s e d . T h e r e s u l t i n g v e l o c i t y r a t i o s w e r e 0 . 8 1 , 0.75 a n d 0.65 r e s p e c t i v e l y , a n d d i d n o t d e p e n d t o a n y a p p r e c i a b l e e x t e n t on t h e f r e e s t r e a m v e l o c i t y i n t h e r a n g e t e s t e d . H o w e v e r t h e f r e e s t r e a m v e l o c i t y c o u l d n o t be i n c r e a s e d i n d e f i n i t e l y ; t h e t u n n e l s t a r t e d v i b r a t i n g when t h e f r e e s t r e a m v e l o c i t y was s e t a b o v e a c e r t a i n v a l u e p r e s u m a b l y b e c a u s e o f t h e b l o c k a g e i m p o s e d by t h e h o n e y c o m b a n d t h e s c r e e n a n d t h e r e s u l t i n g s t a l l i n g o f t h e t u n n e l f a n . When 50 mesh s c r e e n was u s e d , t h e r e s u l t p r o v e d u n s a t i s f a c t o r y , a l o c a l v e l o c i t y d e f e c t n e a r t h e h i g h e r v e l o c i t y s t r e a m b e i n g f o u n d . M o r e s p e c i f -i c a l l y , t h e mean v e l o c i t y i n c r e a s e d t o i t s maximum v a l u e 1.02 t i m e s t h e f r e e s t r e a m v a l u e , t h e n d r o p p e d down t o 0.96 o f i t s f r e e s t r e a m v e l o c i t y a n d r o s e b a c k a g a i n t o f r e e -s t r e a m v e l o c i t y . When t h e R e y n o l d s n u m b e r b a s e d on h y d r a u l i c d i a m e t e r i s s m a l l e r t h a n a b o u t 2 0 0 0 , t h e f l o w i n a n o n c i r c u l a r c r o s s s e c t i o n t u b e i s e x p e c t e d t o be l a m i n a r . ( S e e S c h l i c h t i n g [ 2 3 ] ) . T h e r e f o r e t h e t u r b u l e n c e g e n e r a t e d by t h e s c r e e n i n t h e p r e -s e n t e x p e r i m e n t w i l l d i e o u t w h e n p a s s i n g t h r o u g h t h e h o n e y -comb, i f t h e R e y n o l d s n u m b e r i s s m a l l e r t h a n a b o u t 2 0 0 0 . 23 A l t h o u g h t h e h o n e y c o m b i t s e l f g e n e r a t e s t u r b u l e n c e , t h e t u r b u l e n c e l e v e l s i n b o t h s t r e a m s o u t s i d e t h e m i x i n g l a y e r a r e a p p r o x i m a t e l y e q u a l , t h e t u r b u l e n c e l e v e l g e n e r a t e d d e p e n d i n g on t h e R e y n o l d s n u m b e r o f t h e f l o w p a s s i n g t h r o u g h t h e h o n e y c o m b as s h o w n by L u m l e y a n d M c M a h o n [ 1 8 ] . T h e a s s e m b l y f o r t r a v e r s i n g t h e p r o b e s a c r o s s t h e f l o w i s s h o w n i n F i g . ( 3 4 ) . T h e p r o b e s w e r e m o u n t e d t h r o u g h a r i g h t a n g l e p r o b e h o l d e r w h i c h was a t t a c h e d t o t h e c a r r i e r by a c l a m p . T h e c a r r i e r was m o v e d a l o n g two 3/4 i n c h g u i d e r o d s a n d a d j u s t a b l e b a l l b u s h i n g s w e r e u s e d t o e n s u r e t h a t t h e c a r r i e r m o v e d e a s i l y . T h e 20 t h r e a d s p e r i n c h t h r e a d e d r o d was r o t a t e d f r o m a h a n d l e o u t s i d e t h e w i n d t u n n e l , t h e h a n d l e p l a t e b e i n g c a l i b r a t e d s o t h a t i t c o u l d m e a s u r e t o an a c c u r a c y o f 0 . 0 1 2 5 i n c h j an i m p u l s e t y p e e l e c t r i c a l c o u n t e r was u s e d t o r e g i s t e r t h e p o s i t i o n o f t h e p r o b e d u r i n g t h e m e a s u r e m e n t . T h e p r o b e was t r a v e r s e d a c r o s s t h e s t r e a m i n a h o r i z o n t a l p l a n e . T o c h a n g e t h e l o n g i t u d i n a l p o s i t i o n o f t h e p r o b e t h e w h o l e a s s e m b l y was r o l l e d a l o n g r a i l s f i x e d o u t s i d e t h e w i n d t u n n e l w a l l s . A t a p e m e a s u r e was f i x e d a l o n g t h e r a i l s f o r e a s e o f m e a s u r e m e n t o f l o n g i t u d i n a l p o s i t i o n a n d a "C" c l a m p was u s e d t o f i x t h e t r a v e r s i n g m e c h a n i s m a t t h e d e s i r e d l o n g i t u d i n a l p o s i t i o n . A D I S A m i n i a t u r e p l a t i n u m - p l a t e d t u n g s t e n h o t w i r e was u s e d i n c o n j u n c t i o n w i t h a D I S A c o n s t a n t t e m p e r a t u r e a n e m o m e t e r a n d a D I S A l i n e a r i z e r . T h e r e l a t i o n s h i p b e t w e e n t h e o u t p u t o f t h e s y s t e m a n d t h e f l o w v e l o c i t y i s " . 24 o u t K, ( a + b ( U ) q E b i a s ) m ( 1 7 ) w h e r e E Q L | t a n d E b i - a s a r e l i n e a r i z e d o u t p u t a n d l i n e a r i z e r b i a s v o l t a g e s r e s p e c t i v e l y a n d U i s t h e f l o w v e l o c i t y ; a a n d b a r e c o n s t a n t i f t h e d e n s i t y a n d t e m p e r a t u r e o f t h e f l o w a r e c o n s t a n t a n d K-| i s a p r o p o r t i o n a l c o n s t a n t . T h e e x p o n e n t q l i e s b e t w e e n 0.4 a n d 0.5 f o r R e y n o l d s n u m b e r b a s e d on w i r e d i a m e t e r b e t w e e n 0.1 a n d 1 0 ^ . ( F o r d e t a i l , s e e H i n z e [ 1 1 ] a n d C o l l i s a n d W i l l i a m s [ 6 ] ) . I f E. . _ = a a n d u J b i a s m = -^ , t h e o u t p u t i s p r o p o r t i o n a l t o t h e f l o w v e l o c i t y . B o t h E ^ g j . a n d m h a v e t o be d e t e r m i n e d b y e x p e r i m e n t f o r t h e b e s t f i t t o t h e d a t a . A t y p i c a l c a l i b r a t i o n c u r v e i s s h o w n i n F i g . ( 5 ) . 4.2 T h e M e a s u r i n g T e c h n i q u e a n d P r o c e d u r e I n t h e p r e s e n t i n v e s t i g a t i o n , mean v e l o c i t y p r o f i l e s a t d i f f e r e n t s t a t i o n s d o w n s t r e a m o f t h e h o n e y c o m b w e r e f i r s t m e a s u r e d u s i n g a p i t o t s t a t i c t u b e a n d a h o t w i r e a n e m o m e t e r . S i n c e t h e mean v e l o c i t y p r o f i l e s may show s i m i l a r i t y b e f o r e t h e t u r b u l e n t q u a n t i t i e s a p p r o a c h s e l f p r e s e r v a t i o n , t h e m e a s u r e m e n t o f t u r b u l e n t q u a n t i t i e s i s n e c e s s a r y t o p r o v i d e d e f i n i t e e v i d e n c e o f s e l f p r e s e r v a t i o n . T h u s l o n g i t u d i n a l a n d l a t e r a l t u r b u l e n t i n t e n s i t i e s a n d R e y n o l d s s h e a r s t r e s s w e r e m e a s u r e d a t d i f f e r e n t d i s t a n c e s d o w n s t r e a m f r o m t h e h o n e y c o m b . 25 A pitot-static tube was used for mean velocity meas-urements. The outer tubing of the pitot-static tube is 1/8 inch in diameter and the inner tubing is made of 0.043 inch hypodermic tube. The tip of the inner tube has been tapered to reduce its directional sensitivity and i t has been calibrated against the Betz manometer in the empty, tunnel. The dynamic pressure was measured with a Lambrecht inclined micromanometer. The mean velocity was also measured by the hot wire in conjunction with a DISA linearizer, the results being essentially the same as those found with the pitot-static tube. In measuring the longitudinal intensity with the DISA constant temperature anemometer and the DISA linearizer, the low pass f i l t e r was set at lOKHz. This limiting value was calculated from the maximum hot wire response curve determined as indicated in the DISA Manual. Since the tung-sten wire is 1 mm long and the maximum velocity in the experiment is smaller than 25 ft/sec, then by the Taylor hypothesis, "the frozen f i e l d theory", the approximate upper frequency limit which the hot wire can resolve is 7.62 KHz. The setting of the low pass f i l t e r is therefore quite j u s t i f i e d . Since the absolute turbulent intensity is less than 10% in the mixing layer, the small fluctuation approximation was used in calculating the turbulent inten-sity. During the experiment the temperature was kept within ±0.5°F. . . . • • 26 F o r m e a s u r i n g l a t e r a l i n t e n s i t i e s a n d s h e a r s t r e s s , D I S A m i n a t u r e s l a n t e d w i r e a n d X - w i r e s w e r e u s e d . F o r t h e X - w i r e m e a s u r e m e n t , o n l y o n e o f t h e w i r e s was h e a t e d a t a t i m e i n o r d e r t o p r e v e n t a t h e r m a l wake i n t e r a c t i o n b e t w e e n t h e w i r e s . X - w i r e s w e r e u s e d f o r t h e m e a s u r e m e n t s f o r U 2 ^ 1 = a n c ' t n e f i P s t t h r e e s t a t i o n s o f v e l o c i t y r a t i o 0 . 6 5 ; a l l o t h e r s h e a r s t r e s s a n d l a t e r a l i n t e n s i t y m e a s u r e -m e n t s w e r e d o n e w i t h a s i n g l e s l a n t e d w i r e . D u r i n g t h e f i r s t t r a v e r s e , t h e s i n g l e s l a n t e d w i r e was i n c l i n e d a t a n g l e <(> t o t h e mean f l o w , w h i l e f o r t h e s e c o n d t r a v e r s e a t t h e same s t a t i o n , t h e i n c l i n a t i o n a n g l e was 1 8 0 ° - tj>. F o r t h e w i r e s e t p a r a l l e l t o a x - y p l a n e , t h e d i f f e r e n c e o f t h e s e t r a v e r s e s i s p r o p o r t i o n a l t o u 1 v 1 , w h i l e t h e sum o f t h e s e 2 — 2 ~ two m e a s u r e m e n t s a t t h e same p o s i t i o n p r o v i d e s u 1 a n d v 1 . S i m i l a r l y f o r t h e w i r e s e t p a r a l l e l t o a x - z p l a n e t h e sum 2 2 g i v e s u 1 a n d w' , a n d t h e d i f f e r e n c e i s p r o p o r t i o n a l t o u 1 w' . T h e i n c l i n a t i o n a n g l e was d e t e r m i n e d b y p r o j e c t i n g t h e s h a d o w o f t h e p r o b e on a . s c r e e n u s i n g a p h o t o g r a p h i c e n l a r g e r a n d r o t a t i n g t h e p r o b e u n t i l t h e maximum a n g l e was f o u n d . A l l t h e m e a s u r e m e n t s w e r e d o n e w i t h an o v e r h e a t r e s i s t a n c e r a t i o o f 1.8 t i m e s t h e c o l d r e s i s t a n c e i n s t i l l a i r . 5. R E S U L T S AND D I S C U S S I O N 5.1 Mean V e l o c i t y F r o m t h e mean v e l o c i t y p r o f i l e ( F i g . ( 6 ) ) , i t c a n be s e e n t h a t t h e r e i s a d i p n e a r t h e l o w v e l o c i t y s i d e a n d a hump n e a r t h e h i g h v e l o c i t y s i d e . T h e s e made t h e p r o p e r a n d d e f i n i t e c h o i c e s o f U-j a n d U 2 d i f f i c u l t . T o make t h e c h o i c e c o n s i s t e n t , a l e a s t s q u a r e e r r o r f u n c t i o n f i t was u s e d t o f i n d U | a n d U 2 f o r e v e r y s t a t i o n . A f t e r U-| a n d U 2 w e r e f o u n d , an a v e r a g e was t a k e n f o r t h e v e l o c i t y r a t i o U 2/U.j o v e r a l l s t a t i o n s w i t h i n t h e same c a s e , a n d t h i s a v e r a g e v a l u e was u s e d t o f i n a l l y d e t e r m i n e U^ f o r e v e r y s t a t i o n ( S e e A p p e n d i x I I I ) . T h a t U 2/U-| was e s s e n t i a l l y c o n s t a n t i n t h e m e a s u r e m e n t s was s h o w n b y t h e m e a s u r e m e n t o f t h e f r e e s t r e a m v e l o c i t i e s w e l l o u t s i d e t h e m i x i n g l a y e r a t v a r i o u s s t r e a m w i s e l o c a t i o n s . W i t h i n t h e a c c u r a c y o f t h e m e a s u r e m e n t s , t h e s e v e l o c i t i e s do n o t v a r y w i t h l o n g i t u d i n a l p o s i t i o n . T h e mean v e l o c i t y was p l o t t e d i n d i m e n s i o n l e s s f o r m w i t h r e s p e c t t o t h e d i m e n s i o n l e s s c o o r d i n a t e n ( n i s y - v . 5 d e f i n e d a s , w h e r e Y . r i s t h e a v e r a g e v e l o c i t y p o i n t ) . L o 0 B e c a u s e a p r o p e r c h o i c e o f U-j a n d U 2 was s l i g h t l y a r b i t r a r y , t h e l o c a t i o n o f Y . i n v o l v e d s l i g h t u n c e r t a i n l y , a f a c t o f some i m p o r t a n c e t o l a t e r c a l c u l a t i o n s . D i f f e r e n t c h o i c e s o f U 2 a n d U-j d i d n o t a f f e c t t h e t o t a l w i d t h a p p r e c i a b l y ; t h e e f f e c t on t h e Y . r p o i n t i s w i t h i n t h e e x p e r i m e n t a l e r r o r i n t h e m e a s u r e m e n t o f p o s i t i o n d u e t o t h e b a c k l a s h b e t w e e n t h e t h r e a d e d r o d a n d t h e n u t o f the probe c a r r i e r and t h e s e t t i n g o f t h e s t a r t i n g p o i n t f o r e v e r y t r a v e r s e . T h e d e f e c t s i n mean v e l o c i t y p r o f i l e a r e d u e t o t h e b l o c k i n g e f f e c t o f t h e s c r e e n . T h e v e l o c i t y d i s t r i b u t i o n a c r o s s t h e c r o s s s e c t i o n w i t h t h e h o n e y c o m b i n s t a l l e d b u t no s c r e e n , h a d b e e n m e a s u r e d a n d t h e p r o f i l e was u n i f o r m w i t h i n 0 . 5 % . T h e e x p e c t e d s t r e a m l i n e p a t t e r n a f t e r f i x i n g t h e s c r e e n i s s k e t c h e d i n F i g . ( 7 ) . T h e same f l o w p a t t e r n h a d b e e n o b s e r v e d i n a s m o k e t u n n e l . T h e d i v i d i n g s t r e a m l i n e c u r v e d i n t o t h e h i g h v e l o c i t y s t r e a m s i d e ( p o i n t A i n F i g . ( 7 ) ) . T h e m o r e i t c u r v e d t o w a r d s t h e h i g h v e l o c i t y s i d e , t h e m o r e r e v e r s e c u r v a t u r e i s r e q u i r e d a t t h e u p s t r e a m e n d o f t h e h o n e y c o m b i n p r o d u c i n g a f l o w p a r a l l e l t o t h e c e l l t u b e o f t h e h o n e y c o m b when p a s s i n g t h r o u g h t h e h o n e y c o m b . H o w e v e r , t h e r a d i a l p r e s s u r e g r a d i e n t i s d i r e c t e d away f r o m t h e c e n t e r o f c u r v a t u r e , t h e b i g g e r t h e c u r v a t u r e , t h e b i g g e r b e i n g t h e p r e s s u r e g r a d i e n t . T h e p r e s s u r e a t A i s t h e r e f o r e g r e a t e r t h a n a t B; by u s i n g B e r n o u l l i ' s e q u a t i o n t h e v e l o c i t y a b o v e t h e d i v i d i n g s t r e a m l i n e B i s f a s t e r t h a n t h e v e l o c i t y a t A w h e r e t h e s t r e a m l i n e s a r e s t r a i g h t i n t h e m a i n f l o w d i r e c t i o n . By t h e same t o k e n , t h e v e l o c i t y b e l o w t h e d i v i d i n g s t r e a m l i n e B i s s l o w e r t h a n t h e v e l o c i t y a t C. T h e v e l o c i t y f a r u p s t r e a m f r o m t h e h o n e y c o m b i s a s s u m e d t o be u n i f o r m . T h e a b s o l u t e m a g n i t u d e o f d e f e c t i n v e l o c i t y i n t h e d i p sand: i n t h e hump i s i n c r e a s e d w i t h i n c r e a s i n g s o l i d i t y o f s c r e e n u s e d , a n d d e c r e a s e s a l o n g t h e x d i r e c t i o n . I n n o n d i m e n s i o n a l i z i n g t h e v e l o c i t y a s ( U - U 2 ) ? ( U - j - U 2 ) , a s m a l l d e f e c t i s m a g n i f i e d , t h e m a g n i f i c a t i o n f a c t o r i n c r e a s i n g w i t h i n c r e a s i n g v e l o c i t y r a t i o U^/U^. F o r e x a m p l e a 1% d e f e c t i n U/U-, , a f t e r n o n d i m e n s i o n a l i z a t i o n b e c o m e s a d e f e c t U - U ? 1 i n -• o f 3% f o r U 9 / U , = 0.65 a n d 5% f o r U 9 / U , = 0 . 8 1 . U l U 2 T h e v e l o c i t y d e f e c t m i g h t be r e d u c e d by a c u r v e d s e p a r a t i o n p l a t e o f p r o p e r s h a p e o r by a c u r v e d s c r e e n ( S e e L a u [ 1 5 ] ) . B o t h t h e s e w o u l d p r o d u c e l o c a l t u r b u l e n c e a n d e n e r g y l o s s e s w h i c h m i g h t f u r t h e r c o m p 1 i c a t e t h e r e s u l t i n g f l o w p a t t e r n h o w e v e r . T h e mean v e l o c i t y p r o f i l e a t d i f f e r e n t d i s t a n c e s d o w n s t r e a m f r o m t h e h o n e y c o m b was f o u n d t o c o l l a p s e o n t o a s i n g l e n o n - d i m e n s i o n a l c u r v e a s s h o w n i n F i g s . ( 6 ) } ( 8 ) a n d ( 9 ) . T h e w i d t h o f t h e m i x i n g l a y e r i n c r e a s e d l i n e a r l y w i t h x as e x p e c t e d e x c e p t a t x = 20 i n c h e s . T h i s e a r l y d e p a r t u r e f r o m l i n e a r i t y i s p r o b a b l y a r e s u l t o f i n a d e q u a t e d e v e l o p m e n t l e n g t h . T h e l o c a t i o n o f t h e v i r t u a l o r i g i n was n o t e x a c t l y a t x = 0 a n d y = 0 as s h o w n i n F i g . ( 1 0 ) , d e p e n d i n g s t r o n g l y on t h e u p s t r e a m c o n d i t i o n s . T h e s o l u t i o n a s s u m i n g a c o n s t a n t e d d y v i s c o s i t y a n d d e s c r i b e d i n S e c t i o n 3.1 c a n be m a t c h e d w i t h t h e e x p e r i m e n t a l d a t a i n t h e c e n t r a l p a r t o f m i x i n g l a y e r b y p r o p e r l y c h o o s i n g the f r e e c o n s t a n t . I t d e v i a t e s f rom e x p e r i m e n t a l d a t a a t both e d g e s ; a t the h i g h e r v e l o c i t y s i d e the s o l u t i o n p r e -d i c t s a l o w e r mean v e l o c i t y and a t the l o w e r v e l o c i t y s i d e , the s o l u t i o n g i v e s a h i g h e r mean v e l o c i t y as shown i n F i g . ( 6 ) . The eddy v i s c o s i t y computed f rom measurement i s shown i n F i g . ( 1 1 ) . For the c a l c u l a t i o n , the s l o p e of the mean v e l o c i t y p r o f i l e was found by f i t t i n g a c u r v e t h r o u g h the e x p e r i m e n t a l p o i n t s , and the v a l u e of the R e y n o l d s s h e a r s t r e s s was t a k e n f rom the e x p e r i m e n t a l c u r v e . O b v i o u s l y the eddy v i s c o s i t y i s not c o n s t a n t a c r o s s the m i x i n g l a y e r , as c o n c l u d e d a l s o by L iepmann and L a u f e r ( 1 6 ) . I f , f o l l o w -i n g Townsend 's s u g g e s t i o n [ 2 8 ] , the q u a n t i t y ye were assumed c o n s t a n t (y i s the i n t e r m i t t e n c y f a c t o r wh ich i s d e f i n e d as y ( y ) = P r o b ( y < Y ( t ) ) , where Y ( t ) i s the i n s t a n t a n e o u s p o s i t i o n of the boundary between v o r t i c a l and n o n - v o r t i c a l f l u i d ) , i t would b r i n g the a n a l y t i c s o l u t i o n c l o s e r to the e x p e r i m e n t a l r e s u l t t h r o u g h o u t the m i x i n g r e g i o n . The p h y s i c a l p i c t u r e of t u r b u l e n c e i m p l i e d by t h e s e a s s u m p t i o n s i s f a r too s i m p l e and can be used a t b e s t t o . p r e d i c t the mean v e l o c i t y p r o f i l e o n l y . For the m i x i n g l e n g t h s o l u t i o n , the same d i s -c r e p a n c y i n the mean v e l o c i t y p r o f i l e e x i s t s as f o r ; t h a t u s i n g the eddy v i s c o s i t y . In the u s u a l m i x i n g l e n g t h t h e o r y f o r m u l a t i o n , i t i s assumed t h a t the s m a l l e d d i e s a re r e s p o n s i b l e f o r the momentum t r a n s f e r . As B a t c h e l o r [2 ] has p o i n t e d o u t , however , n e i t h e r the l a r g e e d d i e s nor the s m a l l e d d i e s a re a l o n e r e s p o n s i b l e f o r the t o t a l momentum t r a n s f e r . T h e a s s u m p t i o n i s v a l i d when t h e t u r b u l e n t e n e r g y p r o d u c t i o n i s a p p r o x i m a t e l y e q u a l t o t u r b u l e n t d i s s i p a t i o n , i . e . w i t h i n a n e q u i l i b r i u m l a y e r w i t h n e g l i g i b l e t u r b u l e n t t r a n s f e r ( a s s h o w n by T o w n s e n d [ 2 7 ] ) . T h e m i x i n g l e n g t h f o u n d f r o m e x p e r i m e n t i s s h o w n i n F i g . ( 1 2 ) * i t i s n o t e v e n r o u g h l y c o n s t a n t a c r o s s t h e m i x i n g r e g i o n . T h e : s l o p e o f t h e mean v e l o c i t y p r o f i l e was f o u n d f o r t h e s e c a l c u l a t i o n s i n t h e same way as a l r e a d y d e s c r i b e d i n c o n n e c -t i o n w i t h d e t e r m i n a t i o n o f t h e e d d y v i s c o s i t y i n t h e m i x i n g r e g i o n . A l o n g t h e d i v i d i n g s t r e a m l i n e , t h e v e l o c i t y V + p e r -9U + p e n d i c u l a r t o s i s z e r o a n d -TT— = 0, w h e r e s i s i n t h e o S d i v i d i n g s t r e a m l i n e d i r e c t i o n a n d U + i s t h e mean v e l o c i t y i n t h e s - d i r e c t i o n . S i n c e a l o n g a n y s t r a i g h t l i n e f r o m t h e v i r t u a l o r i g i n , t h e v e l o c i t y U i s c o n s t a n t u n d e r t h e s e l f -p r e s e r v a t i o n a s s u m p t i o n , t h e n — = 0 f r o m t h e momentum e q u a t i o n , w h e r e n i s p e r p e n d i c u l a r t o s . T h e l o c u s o f maximum s h e a r s t r e s s i n t h e p r e s e n t e x p e r i m e n t i s p l o t t e d i n F i g . ( 1 5 ) . T h e e x a c t p o i n t o f maximum s h e a r s t r e s s i s u n c e r t a i n b e c a u s e o f t h e i l l - d e f i n e d s h a p e o f t h e s h e a r s t r e s s c u r v e ( S e e F i g . ( 2 7 ) ) , a n d t h e r e s u l t i n g e r r o r i n t h e p r e s e n t e x p e r i m e n t i s o f t h e o r d e r o f 0.25 i n c h . R e g a r d i n g t h e v a l u e o f y f o r maximum s h e a r , c o n c l u s i o n s a r e d i f f i c u l t t o make f o r t h e v e l o c i t y r a t i o 0.81 c a s e . F o r t h e v e l o c i t y r a t i o e q u a l t o 0 . 7 5 , o n l y two p o i n t s a r e a v a i l a b l e a n d no d e f i n i t e c o n c l u s i o n c a n be d r a w n a l t h o u g h t h e t r e n d i s t o w a r d s t h e l o w v e l o c i t y s i d e . F o r t h e v e l o c i t y r a t i o 0.65 c a s e , t h e l o c u s o f p o i n t s o f maximum s h e a r i s a g a i n i n c l i n e d t o t h e l o w v e l o c i t y s i d e . T h e v e l o c i t y U s on t h e d i v i d i n g s t r e a m l i n e c a n be f o u n d a n a l y t i c a l l y i f t h e e d d y v i s c o s i t y i s a s s u m e d c o n s t a n t a c r o s s t h e m i x i n g l a y e r . T h e r e s u l t i s s h o w n i n F i g . ( 1 3 ) , i n d i c a t i n g a v a r i a t i o n i n (U - U g J / U - j - U g ) f r o m 0 . 5 8 7 3 t o 0.5 as t h e v e l o c i t y r a t i o U 2/U.| i n c r e a s e s f r o m 0.0 t o 1.0. T h i s i s i d e n t i c a l w i t h L o c k ' s [ 1 7 ] r e s u l t f o r l a m i n a r f l o w a n d M i l l ' s [ 1 9 ] r e s u l t f o r t u r b u l e n t f l o w a l t h o u g h e m p l o y i n g a s l i g h t l y d i f f e r e n t t e c h n i q u e b a s e d on t h e same a s s u m p t i o n : e = e ( x ) . T h e s o c a l l e d " t h i r d b o u n d a r y c o n d i t i o n " w h i c h r e l a t e s t h e f r e e s t r e a m t r a n s v e r s e v e l o c i t i e s V-j , V 2 t o U-| a n d U 2 was f o u n d f r o m t h e a s s u m p t i o n e = e ( x ) by T i n g [ 2 4 ] , a n d i s t h e same as t h e v o n K a r m a n s u g g e s t i o n f o r no n e t t r a n v e r s e f o r c e s as m e n t i o n e d by K u e t h e [ 1 4 ] , i . e . U-jV-j + U 2 V 2 = 0 . I f a s e l f p r e s e r v a t i o n a s s u m p t i o n i s u s e d , i t c a n be s h o w n t h a t t h e d i v i d i n g s t r e a m l i n e s h o u l d i n c l i n e t o t h e l o w v e l o c i t y s i d e ( A p p e n d i x I ) , t h e a n g l e o f i n c l i n a -t i o n d e c r e a s i n g w i t h i n c r e a s i n g v e l o c i t y r a t i o a n d f i n a l l y c o i n c i d i n g w i t h t h a t o f t h e Y . c l i n e . o T h e v e l o c i t y d i f f e r e n c e b e t w e e n t h e d i v i d i n g s t r e a m -l i n e a n d t h e Y - 5 l i n e d e c r e a s e s as t h e v e l o c i t y r a t i o i n -c r e a s e s . In t h e p r e s e n t e x p e r i m e n t , t h e v e l o c i t y r a t i o i s c l o s e r t o 1.0 t h a n 0 . 0 , a n d i t i s o n l y p o s s i b l e t o s a y f r o m t h e e x p e r i m e n t a l d a t a t h a t t h e v e l o c i t y a t t h e d i v i d i n g s t r e a m l i n e i s w i t h i n 1 0 % o f t h e t h e o r e t i c a l v a l u e o f U s when b o t h a r e e x p r e s s e d n o n - d i m e n s i o n a l 1 y . F o r c o m p a r i s o n , f r o m t h e m e a s u r e m e n t s a t t h e e x t r e m e c a s e Ug = 0.0 by L i e p m a n n a n d L a u f e r [ 1 6 ] a n d W y g n a n s k i a n d F i e d l e r [ 3 3 ] , t h e v e l o c i t y r a t i o U/U-j a t t h e maximum s h e a r s t r e s s p o i n t i s r o u g h l y 0.65 f r o m b o t h r e f e r e n c e s . F r o m W a t t ' s [ 3 1 ] m e a s u r e m e n t w i t h v e l o c i t y r a t i o 0 . 5 1 , t h e v e l o c i t y ( U - U 2 / U1-U2) a t maximum s h e a r s t r e s s i s a b o u t 0 . 6 . As s h o w n i n F i g . ( 1 6 ) f r o m t h e e x p e r i m e n t a l r e s u l t s , t h e Y.g l i n e f o r e a c h c a s e i s i n c l i n e d t o w a r d t h e l o w v e l o c i t y s i d e a n d i t i s a s t r a i g h t l i n e . T h e d a t a o f W a t t [ 3 ] , L i e p m a n n a n d L a u f e r [ 1 6 ] a n d W y n a n s k i a n d F i e d l e r [ 3 3 ] i n -d i c a t e t h e same t r e n d . 5.2 C o n s t a n t s f r o m E d d y V i s c o s i t y T h e G o r t l e r c o n s t a n t a i s d e f i n e d a s — - — , w h e r e d L n A i s — - a n d 3 i s ( U , - u 9 ) / ( U , + U 9 ) . T h i s i s f o u n d f r o m a dx \ £ \ d b e s t f i t o f t h e G o r t l e r s o l u t i o n t o t h e e x p e r i m e n t a l d a t a . T h e v a r i a t i o n o f a w i t h v e l o c i t y r a t i o f o l l o w s S a b i n ' s [ 2 2 ] p r e d i c t i o n v e r y w e l l a s i s s h o w n i n F i g . ( 1 7 ) . T h e v a l u e a0 = 9 f o u n d by W y g n a n s k i a n d F i e d l e r [ 3 3 ] i s u s e d f o r t h e z e r o v e l o c i t y r a t i o i n t h i s f i g u r e . T h e p r o p o r t i o n a l c o n s t a n t K u s e d i n t h e e d d y v i s c o s i t y a s s u m p t i o n d o e s n o t v a r y s i g n i f i c a n t l y w i t h v e l o c i t y r a t i o as s h o w n i n F i g . ( 1 8 ) . I t i s c a l c u l a t e d f r o m a a n d t h e u-u2 d i s t a n c e i n d i m e n s i o n l e s s c o o r d i n a t e s b e t w e e n = 0.9 u,-u2 a n d 0.1 ( t h e w i d t h i s t h e n d e f i n e d as Y . g - Y . - | ) . F r o m t h e p r e s e n t e x p e r i m e n t s i t i s f o u n d t o be a p p r o x i m a t e l y 0 . 0 1 5 , c o m p a r e d w i t h W a t t ' s [ 3 0 ] r e s u l t o f 0 . 0 1 1 . T h e d i f f e r e n c e may be d u e t o t h e s m a l l t u n n e l u s e d by W a t t [ 3 0 ] c o m p a r e d t o t h e w i d t h o f h i s m i x i n g l a y e r . As s u g g e s t e d i n C h a p t e r 2, w a l l b o u n d a r y l a y e r g r o w t h t o g e t h e r w i t h m i x i n g l a y e r g r o w t h a p p a r e n t l y d e v e l o p e d a f a v o r a b l e p r e s s u r e g r a d i e n t i n t h e f r e e s t r e a m i n h i s c a s e w h i c h w o u l d t e n d t o s u p p r e s s t h e g r o w t h o f t h e m i x i n g l a y e r . T h e p r e s s u r e g r a d i e n t i s e v i d e n t f r o m W a t t ' s v a l u e s f o r U-j a t d i f f e r e n t s t a t i o n s w h i c h i n -c r e a s e p r o g r e s s i v e l y . F u r t h e r , t h e t o t a l w i d t h o f h i s m i x i n g l a y e r d o e s n o t g r o w l i n e a r l y w i t h x f r o m h i s d a t a f o r v e l o c i t y r a t i o s 0.78 a n d 0 . 7 2 , b u t h a s a d i s t i n c t l y p a r a b o l i c s h a p e . H o w e v e r , h i s v e l o c i t y r a t i o 0.51 c a s e i s a p p a r e n t l y f r e e f r o m t h e s e d e f e c t s . S i m i l a r s h o r t c o m i n g s o c c u r r e d i n B a k e r a n d W e i n s t e i n ' s [ 1 ] e x p e r i m e n t , as t h e y p o i n t o u t i n t h e i r p a p e r . M i l l s [ 1 9 ] r e s u l t s h o w s t h a t t h e p r o p o r t i o n a l c o n s t a n t K i n c r e a s e s w i t h i n c r e a s i n g v e l o c i t y r a t i o . T h e w i n d t u n n e l u s e d i n M i l l s ' e x p e r i m e n t i s e s s e n t i a l l y a n o z z l e h o w e v e r , a n d t h e m i x i n g l a y e r f r o m a r o u n d t h e o u t l e t o f t h e n o z z l e p r o b a b l y i n t e r f e r r e d w i t h t h e m i x i n g l a y e r b e i n g i n v e s t i g a t e d i n t h e c e n t e r o f t h e n o z z l e . T h e d e p a r t u r e f r o m c o n s t a n c y r e p o r t e d by M i l l s may be d u e t o t h i s e f f e c t . A l t h o u g h t h e r e p o r t e d v a l u e s o f t h e p r o -35 p o r t i o n a l c o n s t a n t a r e s c a t t e r e d , an a v e r a g e v a l u e o f 0 . 0 1 6 a p p e a r s r e a s o n a b l e . 5.3 L o n g i t u d i n a l I n t e n s i t y F r o m F i g s . ( 1 9 ) , ( 2 0 ) a n d ( 2 1 ) , i t c a n be s e e n t h a t t h e d i m e n s i o n l e s s l o n g i t u d i n a l i n t e n s i t y f a l l s o n t o a s i n g l e c u r v e e x c e p t a t t h e e x t r e m e e d g e s . H e r e t h e d e c a y o f f r e e s t r e a m t u r b u l e n c e g e n e r a t e d by t h e h o n e y c o m b a n d t h e s c r e e n , when e x a g g e r a t e d by n o n d i m e n s i o n a l i z a t i o n , p r o -v i d e s t h e v a l u e s s e e n i n t h e s e f i g u r e s . T h e f r e e s t r e a m t u r b u l e n c e l e v e l w i l l d e c r e a s e a s t h e f l o w i n t h e h o n e y -comb b e c o m e s t u r b u l e n t , an e f f e c t w h i c h h a s b e e n p r e d i c t e d by L u m l e y a n d McMahon [ 1 8 ] . T h e maximum v a l u e a n d t h e m a i n p o r t i o n o f t h e i n t e n s i t y do n o t c h a n g e s i g n i f i c a n t l y w i t h v e l o c i t y r a t i o . T h e maximum v a l u e o f /~T2^ c o m p a r e s v e r y w e l l w i t h W a t t ' s [ 3 0 ] m e a s u r e m e n t s , b u t i t i s 1 0 % l a r g e r t h a n t h e v a l u e s o b t a i n e d by W y g n a n s k i a n d F i e d l e r [ 3 3 ] . T h e p r e s e n t l o n g i t u d i n a l i n t e n s i t y p r o f i l e i s e s s e n t i a l l y s y m m e t r i c a l a b o u t n = 0.0 as h a s b e e n f o u n d b y W a t t a n d b y W y g n a n s k i a n d F i e d l e r , b u t n o t b y L i e p m a n n a n d L a u f e r [ 1 6 ] . 5.4 L a t e r a l I n t e n s i t i e s In c a l c u l a t i n g l a t e r a l i n t e n s i t i e s a n d R e y n o l d s s h e a r s t r e s s , a t a n g e n t i a l c o o l i n g f a c t o r k was u s e d . S i n c e t h e w i r e l e n g t h t o d i a m e t e r r a t i o i s a b o u t 2 0 0 , t h e c o o l i n g f a c t o r k = 0.2 f o u n d b y C h a m p a g n e S l e i c h e r a n d W e h r m a n n [ 4 ] a n d W e b s t e r [ 3 2 ] was u s e d f o r t h e c a l c u l a t i o n . As s h o w n i n F i g s . ( 2 2 ) , ( 2 3 ) a n d ( 2 4 ) , t h e • / ^ T f / I J i s no l o n g e r o s y m m e t r i c a l a b o u t n = 0.0 n o r i s /^72/u » s h o w n i n F i g . ( 2 5 ) . T h e maximum v a l u e o f / ^ T i ? / I J i s l a r g e r t h a n t h a t o f /JT2"/y , as r e p o r t e d by W a t t [ 3 1 ] a n d W y g n a n s k i a n d F i e d l e r o [ 3 3 ] . T h e l a c k o f s y m m e t r y may i n d i c a t e a c h a n g e i n s t r u c -t u r e f r o m o n e s i d e t o ; a n o t h e r , as s u g g e s t e d by ; W y g n a n s k i , a n d F i e d l e r [ 3 3 ] . F o r U^/U-j = 0 . 8 1 , t h e maximum v a l u e o f /^7"2 i s n o t s m a l l e r t h a n t h a t o f / j r f i n c o n t r a s t t o t h e o t h e r two c a s e s a n d i t c a n be s e e n f r o m F i g . ( 2 6 ) t h a t t h e m e a s u r e d s h e a r s t r e s s i s a l w a y s l a r g e r t h a n t h a t c a l c u l a t e d f r o m t h e m e a s u r e d mean v e l o c i t y p r o f i l e ( a s d e s c r i b e d i n t h e f o l l o w -i n g s e c t i o n ) . As h a s b e e n m e n t i o n e d i n C h a p t e r 4, t h i s s e t o f d a t a was m e a s u r e d by c o m m e r c i a l D I S A f u l l s i z e X w i r e p r o b e w i t h o n e o f t h e two w i r e s h e a t e d . S i n c e t h e d i s t a n c e b e t w e e n t h e w i r e s i s a b o u t 1/10 o f t h e w i r e l e n g t h , t h e • d i s c r e p a n c y may d u e t o t h e i n t e r f e r e n c e o f t h e u n h e a t e d w i r e a n d i t s s u p p o r t s on t h e h e a t e d w i r e . T h e u s e o f a c o n v e n -t i o n a l X w i r e p r o b e , e v e n when u s e d a s a s i n g l e s l a n t e d w i r e by h e a t i n g o n l y o n e w i r e a t a t i m e i s t h e r e f o r e n o t r e c o m m e n d -e d u n l e s s t h e p r o b e h a s b e e n m o d i f i e d . 37 5.5 S h e a r S t r e s s T h e s h e a r s t r e s s c a n be c a l c u l a t e d f r o m t h e mean v e l o c i t y p r o f i l e u s i n g e q . ( 1 3 ) . T h i s was d o n e f o r e a c h c a s e i n t h e f o l l o w i n g w a y : T h e s h e a r s t r e s s f u n c t i o n g(n) was a s s u m e d t o be z e r o a t n = - 2 . 0 ; n v t h e p o i n t w h e r e V = 0 was f o u n d by u s i n g von K a r m a n ' s s u g g e s t i o n ( S e e K u e t h e [ 1 4 ] ) ; t h e f u n c t i o n f ( n ) was o b t a i n e d by f i t t i n g t h e e x p e r i m e n t a l v a l u e s by a l e a s t s q u a r e m e t h o d , u s i n g an e r r o r d Y . 5 f u n c t i o n s e r i e s t o t h e f o u r t h p o w e r ; was f o u n d f r o m dx e x p e r i m e n t a l d a t a . F r o m e q u a t i o n ( 1 3 ) , i t c a n be s e e n t h a t t h e s h e a r s t r e s s a t t h e h i g h e r v e l o c i t y e d g e ( e f f e c t i v e l y d Y . 5 g ( + 0 0 ) ) i s s t r o n g l y d e p e n d e n t on . F r o m e x p e r i m e n t , dx a n d e x p e r i e n c e we know t h a t as n -> °°, g (n) s h o u l d d Y . 5 d e c r e a s e t o z e r o . When t h e e x p e r i m e n t a l v a l u e o f was dx u s e d g («=) was a b o u t a f i f t h o f i t s maximum v a l u e , o b v i o u s l y an i n c o r r e c t r e s u l t . As h a s b e e n p o i n t e d o u t i n t h e p r e -v i o u s s e c t i o n t h e Y.,- p o i n t i s n o t known w i t h v e r y g r e a t -d Y . 5 a c c u r a c y s o t h a t t h e s l o p e c a n n o t be m e a s u r e d p r e c i s e l y . dx d Y . 5 B e c a u s e o f t h i s s l i g h t u n c e r t a i n t y i n , an i t e r a t i o n d Y . 5 dx p r o c e s s was u s e d t o c h a n g e u n t i l g (+°°) b e c o m e z e r o dx d Y . 5 i n t h e s h e a r s t r e s s c a l c u l a t i o n . T h e f i n a l f o u n d by dx t h i s i t e r a t i o n p r o c e d u r e was w i t h i n 0.004 (two t e n t h s o f a d e g r e e s l o p e ) o f t h e e x p e r i m e n t a l v a l u e . T h e f i n a l r e s u l t s p l o t t e d i n t h i s r e p o r t a s s u m e t h a t g ( + » ) = 0 a n d f i n d t h e d Y . 5 v a l u e o f — t o e n s u r e t h i s . I n g e n e r a l t h e v a l u e o f d Y . 5 dx i s v e r y s m a l l . F o r t h e p r e s e n t e x p e r i m e n t , g (+«>) dx d o e s n o t d e p e n d p e r c e p t i b l y on n y , u n l e s s n v i s l a r g e r t h a n - 0 . 3 . T h e same s h e a r s t r e s s d i s t r i b u t i o n a c r o s s t h e m i x -i n g l a y e r i s f o u n d i f g (+<») i s s e t z e r o a n d g (-°°) i s a d j u s t e d u n t i l i t b e c o m e s e s s e n t i a l l y z e r o a t l a r g e | n | . C o m p a r i s o n s b e t w e e n m e a s u r e d v a l u e s a n d d i s t r i b u t i o n s c a l c u -l a t e d f r o m t h e mean v e l o c i t y p r o f i l e a r e s h o w n i n F i g s . ( 2 6 ) , ( 2 7 ) a n d ( 2 8 ) . F o r u^/U-, = 0 . 8 1 , t h e m e a s u r e d v a l u e i s a l w a y s l a r g e r t h a n t h a t c o m p u t e d f r o m t h e m e a s u r e d mean v e l o c i t y p r o f i l e f o r r e a s o n s s u g g e s t e d i n S e c t i o n 5 . 4 . T h e maximum v a l u e c a l c u l a t e d d o e s n o t c h a n g e s i g n i f i c a n t l y w i t h dY v e l o c i t y r a t i o . T h e v a l u e s o f m e a s u r e d a n d c a l c u l a t e d d Y . 5 dx a r e t a b u l a t e d i n T a b l e 1. dx 5.6 T h e S h e a r C o r r e l a t i o n C o e f f i c i e n t a n d S h e a r C o e f f i c i e n t A s i m p l e m e a s u r e o f t h e t u r b u l e n t s t r u c t u r e i n a m i x -II ' w I i n g l a y e r i s g i v e n by t h e q u a n t i t i e s - a n d II ' w 1 u 1 V ' T h e s h e a r c o r r e l a t i o n c o e f f i c i e n t i s s h o w n i n F i g . ( 3 1 ) . N e a r t h e c e n t r e o f t h e m i x i n g l a y e r , i t i s q u i t e c o n s t a n t a n d d o e s n o t c h a n g e w i t h v e l o c i t y r a t i o o v e r t h e r a n g e i n v e s t i g a t e d . T h e v a l u e i n t h e c e n t e r r e g i o n a g r e e s w i t h W a t t ' s [ 3 1 ] f i n d i n g s b u t d i f f e r s f r o m L i e p m a n n a n d L a u f e r ' s [ 1 6 ] r e s u l t by 1 8 % . T h e s h e a r c o e -f f i c i e n t - • as s h o w n i n F i g . ( 3 0 ) i s a g a i n c o n s t a n t o v e r 4 7 2 t h e m a j o r p a r t o f t h e m i x i n g l a y e r a n d no v e l o c i t y 39 r a t i o d e p e n d e n c e i s f o u n d . F o r b o t h s h e a r c o e f f i c i e n t s , a s l i g h t d e g r e e o f a s y m m e t r y s u g g e s t s d i f f e r e n c e s b e t w e e n t h e two s i d e s , a s was a l s o e v i d e n t i n t h e d i s t r i b u t i o n . T h e s h e a r c o r r e l a t i o n c o e f f i c i e n t a n d s h e a r c o e f f i c i e n t a t t h e c e n t r a l p o r t i o n o f t h e m i x i n g l a y e r a r e 0.45 a n d 0.4 r e s p e c t i v e l y . T h e s e v a l u e s a r e t h e same as T o w n s e n d [ 2 9 ] f o u n d i n a s m a l l d e f i c i t w a k e a n d a p p r o x i m a t e l y t h e same as B r a d b u r y [ 3 ] f o u n d i n a p l a n e j e t ( 0 . 4 8 a n d 0.4 r e s p e c t i v e l y ) . T h e v a l u e o f t h e s e c o e f f i c i e n t s i n t h e o u t e r p a r t o f a b o u n d a r y l a y e r w i t h o u t a p r e s s u r e g r a d i e n t c a l c u l a t e d f r o m K l e b a n o f f ' s [ 1 3 ] r e s u l t a r e 0.49 a n d 0.33 r e s p e c t i v e l y . . T h a t t h e s e c o e f f i c i e n t s a r e s i m i l a r i n t h e m i x i n g l a y e r , t h e w a k e , t h e p l a n e j e t a n d t h e o u t e r p a r t o f t h e b o u n d a r y l a y e r s u g g e s t s t h e e s t a b l i s h m e n t o f a s t r u c t u r a l e q u i l i b r i u m common t o a l l p l a n e t u r b u l e n t s h e a r f l o w s . F o r a l l two d i m e n s i o n a l f l o w s i n w h i c h t h e b o u n d a r y ; l a y e r a p p r o x i m a t i o n s a p p l y , t h e p r i n c i p a l r a t e o f mean s t r a i n d i r e c t i o n i s v e r y c l o s e t o ± 4 5 ° w i t h r e s p e c t t o t h e x d i r e c t i o n . T h e p r i n c i p a l R e y n o l d s s t r e s s d i r e c t i o n i s n o t c o i n c i d e n t w i t h t h e p r i n c i p a l r a t e o f mean s t r a i n d i r e c t i o n . As s h o w n i n F i g . ( 3 2 ) a n d ( 3 3 ) , n e v e r t h e l e s s , t h e p r i n c i p a l s t r e s s d i r e c t i o n i s f a i r l y c o n s t a n t o v e r t h e c e n t r a l p a r t o f t h e m i x i n g l a y e r a n d i t i s i n d e p e n d e n t o f v e l o c i t y r a t i o . H e n c e t h e u n i f o r m s t r u c t u r e a c r o s s t h e c e n t r a l r e g i o n a n d t h e e s t a b l i s h m e n t o f s t r u c t u r a l e q u i l i b r i u m o f t h e m i x i n g l a y e r i s a g a i n i m p l i e d . A f t e r t r a n s f o r m i n g t h e R e y n o l d s s t r e s s e s t o t h e p r i n c i p a l s t r e s s d i r e c t i o n , t h e s t r u c t u r a l p a r a m e t e r Kg d e -2 2 2 2 2 f i n e d as ( u ' - v ' ) / ( u ' +v' ) h a s b e e n f o u n d w h e r e u ' a n d 2 v 1 a r e s t r e s s e s i n t h e p r i n c i p a l s t r e s s d i r e c t i o n s x' a n d y 1 r e s p e c t i v e l y . K Q , w h i c h i s a s i m p l e m e a s u r e d o f l o c a l i s o t r o p y , h a s b e e n e v a l u a t e d a t t h e maximum s h e a r s t r e s s p o i n t f o r t h e p l a n e w a k e , p l a n e j e t a n d t h e m i x i n g l a y e r s a n d f o r t h e f l a t p l a t e b o u n d a r y l a y e r a t y / 6 = 0 . 5 , y = 0.95 w h e r e y i s t h e d i s t a n c e f r o m t h e w a l l a n d 6 i s t h e b o u n d a r y l a y e r t h i c k n e s s . I f t h e n v i e w e d f r o m t h e p r i n c i p a l s t r e s s d i r e c t i o n , t h e f l o w i s d i s t o r t e d by mean r a t e o f s t r a i n o n l y T h e v a l u e o f K Q a n d p r i n c i p a l s t r e s s d i r e c t i o n i s t a b u l a t e d i n T a b l e I I . I f we n e g l e c t t h e s m a l l mean r a t e o f s h e a r s t r a i n e x i s t i n g i n p r i n c i p a l s t r e s s c o - o r d i n a t e s x ' , y 1 t h e f l o w i s t h e n d i s t o r t e d by i r r o t a t i o n a l p l a n e s t r a i n . F r o m ! T u c k e r a n d R e y n o l d ' s [ 3 0 ] e x p e r i m e n t s on t h e d i s t o r t i o n o f ; h o m o n g e n e o u s t u r b u l e n c e by i r r o t a t i o n a l s t r a i n , t h e s t r a i n r a t i o s c o r r e s p o n d i n g t o t a b u l a t e d v a l u e s o f K Q a r e 2 . 5 , 3 . 5 , 3.5 a n d 6 f o r p l a n e w a k e , p l a n e j e t , m i x i n g l a y e r a n d b o u n d a r y l a y e r i n z e r o p r e s s u r e g r a d i e n t r e s p e c t i v e l y . T o w n s e n d [ 2 6 ] h a s r e c e n t l y g i v e n an a n a l y s i s o f t h e s e f l o w s b a s e d on t h e t o t a l s t r a i n r a t i o r a t h e r t h a n t h e r a t e o f s t r a i n c o n c e p t m o r e common i n f l u i d m e c h a n i c s . H i s a n a l y t i c a l s t r a i n r a t i o s a r e t h e r e f o r e c o m p a r a b l e w i t h t h o s e q u o t e d a b o v e a n d a r e 2 . 6 , 5 . 2 , 3.6 t o 6.6 a n d 10 t o 15 a g a i n f o r t h e p l a n e w a k e , p l a n e j e t , m i x i n g l a y e r a n d f l a t p l a t e b o u n d a r y l a y e r r e s p e c t i v e l y . T h e s i m i l a r i t y b e t w e e n Townsend 's c a l c u l a t e d v a l u e s and t h o s e d e r i v e d f rom m e a s u r e -ments and quoted a b o v e , i s g o o d , c o n s i d e r i n g the c o m p l e x i t y of t h e s e f l o w s , and s u g g e s t s t h a t the t h e o r y i s w e l l f o u n d e d . 6. C O N C L U S I O N S AND RECOMMENDATIONS 6.1 C o n c l u s i o n s T h r e e m i x i n g l a y e r s w i t h v e l o c i t y r a t i o s 0 . 8 1 , 0 . 7 5 , 0.65 h a v e b e e n e x a m i n e d . I n e v e r y c a s e t h e s e m i x i n g l a y e r s w e r e f o u n d t o be f u l l y d e v e l o p e d a n d s e l f p r e s e r v i n g 30 i n c h e s d o w n s t r e a m f r o m t h e e f f e c t i v e o r i g i n o f m i x i n g . E v i d e n c e f o r s e l f - p r e s e r v a t i o n i s s u p p l i e d b y t h e d i m e n s i o n -l e s s v e l o c i t y p r o f i l e s , t h e R e y n o l d s s t r e s s p r o f i l e s a n d t h e g r o w t h o f t h e w i d t h o f t h e m i x i n g l a y e r . T h e m i x i n g l e n g t h a n d e d d y v i s c o s i t y t h e o r i e s p r e d i c t t h e mean v e l o c i t y q u i t e w e l l i n t h e c e n t r a l p a r t o f t h e m i x -i n g l a y e r . H o w e v e r , b o t h o f t h e s e q u a n t i t i e s a r e f o u n d t o v a r y s o m e w h a t a c r o s s t h e m i x i n g l a y e r , when c a l c u l a t e d f r o m m e a s u r e d s t r e s s a n d v e l o c i t y d i s t r i b u t i o n s . M i x i n g l e n g t h d o e s n o t s t a y c o n s t a n t e v e n o v e r t h e c e n t r a l p o r t i o n o f t h e m i x i n g l a y e r ; h o w e v e r , t h e p r o f i l e d o e s n o t v a r y w i t h v e l o c i t y r a t i o . T h e p r i n c i p a l s t r e s s d i r e c t i o n d o e s n o t c o i n c i d e w i t h t h e p r i n c i p a l s t r a i n d i r e c t i o n , o v e r a l a r g e p a r t o f t h e m i x i n g z o n e ; t h e p r i n c i p a l s t r e s s d i r e c t i o n s t a y s c o n s t a n t a n d i s i n d e p e n d e n t o f v e l o c i t y r a t i o o v e r t h e r a n g e e x a m i n e d h o w e v e r . T h e n o n d i m e n s i o n a l s h e a r s t r e s s m e a s u r e d c o m p a r e s w e l l w i t h t h e v a l u e c o m p u t e d f r o m t h e mean v e l o c i t y p r o f i l e a n d i s v e l o c i t y r a t i o i n d e p e n d e n t . The measured l o n g i t u d i n a l i n t e n s i t y d i s t r i b u t i o n i s s y m m e t r i c a l w i t h r e s p e c t to n = 0 . 0 and i s a g a i n i n d e p e n d e n t of v e l o c i t y r a t i o . The s h e a r c o r r e l a t i o n c o e f f i c i e n t and s h e a r c o e f f i c i e n t s t a y c o n s t a n t over a l a r g e p a r t o f the m i x i n g l a y e r and do not v a r y w i t h v e l o c i t y r a t i o . The v a l u e s o f t h e s e p a r a m e t e r s compare w e l l w i t h t h o s e of p l a n e j e t , p l a n e s m a l 1 - d e f i c i t wake and the o u t e r p a r t o f boundary l a y e r w i t h z e r o p r e s s u r e g r a d i e n t , s u g g e s t i n g t h a t the e q u i l i b r i u m t u r b u l e n t s t r u c t u r e s of a l l t h e s e p l a n e t u r b u l e n t s h e a r f l o w s are a t l e a s t c l o s e l y s i m i l a r i f not u n i v e r s a l . 6 . 2 Recommendations •, In o r d e r to p r o v i d e f u r t h e r i n f o r m a t i o n about the t u r b u l e n t s t r u c t u r e , measurements of p a r t i c u l a r space c o r r e l a t i o n f u n c t i o n s and the i n t e r m i t t e n c y f a c t o r s s h o u l d be made i n the m i x i n g r e g i o n s . Among o t h e r t h i n g s , t h i s would then g i v e the l o n g i t u d i n a l s c a l e o f the t u r b u l e n c e ? , i t s decay t ime and the d i s s i p a t i o n l e n g t h s c a l e . A s p e c t r u m a n a l y s i s s h o u l d be made i n o r d e r to have as much i n f o r m a t i o n as p o s s i b l e about t h e s e f l o w s . REFERENCES 1 . B a k e r , R . L . and W e i n s t e i n H. E x p e r i m e n t a l I n v e s t i g a t i o n of the M i x i n g of Two P a r a l l e l St reams o f D i s i m i l a r F l u i d s . NASA C R - 9 5 7 , J a n u a r y , 1 9 6 8 . 2 . B a t c h e l o r , G .K . Note on Free T u r b u l e n t F lows Wi th S p e c i a l R e f e r e n c e to the Two D i m e n s i o n a l Wake. J o u r n . A e r o . S c i . 1 7 . 4 4 1 , 1950 . 3 . B r a d b u r y , L . S . The S t r u c t u r e o f a S e l f P r e s e r v i n g T u r b u l e n t P l a n e J e t . J o u r n . F l u i d Mech. Z3_, 31 , 1 9 6 5 . 4 . Champagne, F . H . , S l e i c h e r , C . A . and Wehrmann, O .H . T u r b u l e n c e Measurements w i t h I n c l i n e d W i r e s , P a r t 1 . Heat T r a n s f e r E x p e r i m e n t s w i t h I n c l i n e d W i r e s . J o u r n . F l u i d Mech. 2 8 , 1 5 3 , 1967 . 5 . Champagne, F . H . and S l e i c h e r , C . A . T u r b u l e n t Measurements w i t h I n c l i n e d Hot W i r e s . P a r t 2 . Hot Wi re Response E q u a t i o n s . J o u r n . F l u i d Mech. 2_8, 177 , 1 9 6 7 . 6 . C o l l i s , D .C . and W i l l i a m s , M . J . T w o - D i m e n s i o n a l C o n -v e c t i o n f rom Heated Wi res a t Low R e y n o l d s Numbers. J o u r n . F l u i d Mech. 6 , 3 5 7 , 1959 . 7 . C o r r s i n , S . and K i s t l e r , A . L . The Free S t ream B o u n d a r i e s of T u r b u l e n t F l o w s . NACA T e c h . Notes No. 3 1 3 3 . 8 . C r a n e , L . J . The L a m i n a r and T u r b u l e n t M i x i n g of J e t s of C o m p r e s s i b l e F l u i d . P a r t I I , The M i x i n g o f Two S e m i -I n f i n i t e S t r e a m s . J o u r n . F l u i d Mech. 3_, 81 , 1957. 9 . G o r t l e r , H. A New A p p r o x i m a t i o n Method For N u m e r i c a l E v a l u a t i o n o f Free T u r b u l e n t P r o b l e m s . Z . A . M . M . 2 2 , 2 4 4 , 1942 . ( T r a n s l a t e d as A . R . C . 7 9 4 7 , FM718) . 10 . H e s k e s t a d , G. Hot Wire Measurements i n a P l a n e T u r b u l e n t J e t . J o u r n a l . App . Mech. 3 3 . T r a n s . ASME. 8 8 , 7 2 1 , 1 9 6 5 . 1 1 . H i n z e , J . O . T u r b u l e n c e , An I n t r o d u c t i o n t o I t s Mechanism and T h e o r y . McGraw H i l l Book Company I n c . New Y o r k , 1959 . 45 1 2 . K i b e n s , V. T h e I n t e r m i t t e n t R e g i o n o f A T u r b u l e n t B o u n d a r y L a y e r . PhD. T h e s i s , D e p t . o f M e c h a n i c s . T h e J o h n s H o p k i n s U n i v e r s i t y . F e b r u a r y , 1 9 6 8 . 1 3 . K l e b a n o f f , P.S. C h a r a c t e r i s t i c o f T u r b u l e n c e i n a B o u n d a r y L a y e r w i t h Z e r o P r e s s u r e G r a d i e n t . NACA T e c h N o t e s No. 3 1 7 8 . 1 4 . K u e t h e , A.M. I n v e s t i g a t i o n o f t h e T u r b u l e n t M i x i n g R e g i o n s F o r m e d by J e t s . J o u r n . A p p . M e c h . 2, T r a n s ASME 5 7 , A - 8 7 , 1 9 3 5 . 1 5 . L a u , Y . L . T h e F l o w o f S t r a t i f i e d a n d H o m o g e n e o u s F l u i d s T h r o u g h C u r v e d S c r e e n . U n i v e r s i t y o f T o r o n t o . D e p t . o f M e c h . E n g r g . T P 6 6 0 5 , S e p t e m b e r , 1 9 6 6 . 16. L i e p m a n n , H.W. a n d L a u f e r , J . I n v e s t i g a t i o n o f F r e e T u r b u l e n t M i x i n g NACA T e c h . N o t e s NO. 1 2 5 7 , 1 9 4 7 . 1 7 . L o c k , R.C. T h e V e l o c i t y D i s t r i b u t i o n i n L a m i n a r B o u n d a r y L a y e r B e t w e e n P a r a l l e l S t r e a m s . Q u a r t . J o u r n . M e c h . A p p . M a t h . 4, 4 4 , 1 9 5 1 . 18. L u m l e y , J . L . a n d M c M a h o n , J . F . R e d u c i n g W a t e r T u n n e l T u r b u l e n c e by M e a n s o f a H o n e y c o m b . J o u r n . o f B a s i c E n g r g . T r a n s . ASME, 8 9 , 7 6 4 , 1 9 6 7 . 1 9 . M i l l s , R.D. N u m e r i c a l a n d E x p e r i m e n t a l I n v e s t i g a t i o n s o f T h e S h e a r L a y e r B e t w e e n Two P a r a l l e l S t r e a m s . J o u r n . F l u i d M e c h . 33 , 591 , 1 9 6 8 . 2 0 . P a i , S . I . Two D i m e n s i o n a l J e t M i x i n g o f a C o m p r e s s i b l e F l u i d . J o u r n . A e r o . S c i . J_6, 4 6 3 , 1 9 4 9 . 2 1 . R e i c h a r d t , H. On a New T h e o r y o f F r e e T u r b u l e n c e . J o u r n . R o y . A e r o . S o c . 47_, 167 , 1 9 4 3 . 2 2 . S a b i n , C M . An A n a l y t i c a l a n d E x p e r i m e n t a l S t u d y o f T h e P l a n e I n c o m p r e s s i b l e T u r b u l e n t F r e e S h e a r L a y e r w i t h A r b i t r a r y V e l o c i t y a n d P r e s s u r e G r a d i e n t . J o u r n . B a s i c E n g r g . T r a n s . ASME 8 7 , 4 2 1 , 1 9 6 5 . 2 3 . S c h l i c h t i n g , H. B o u n d a r y L a y e r T h e o r y . M c G r a w H i l l B o o k C o m p a n y I n c . , New Y o r k , F o u r t h E d i t i o n , 1 9 6 0 . 2 4 . T i n g , L . On t h e M i x i n g o f Two P a r a l l e l S t r e a m s . M a t h , a n d P h y s i c s , 3 8 , 1 5 3 , 1 9 5 9 . 46 2 5 . T o l l m e i n , W. C a l c u l a t i o n o f T u r b u l e n t E x p a n s i o n P r o -c e s s e s . NACA T e c h . Memo. No. 1 0 8 5 , S e p t e m b e r , 1 9 4 5 . 2 6 . T o w n s e n d , A . A . E n t r a i n m e n t a n d S t r u c t u r e o f T u r b u l e n t F l o w - P a p e r P r e s e n t e d a t S y m p o s i u m on T u r b u l e n c e . S e a t t l e , W a s h i n g t o n . 2 3 - 2 7 J u n e , 1 9 6 9 . 2 7 . T o w n s e n d , A . A . E q u i l i b r i u m L a y e r s a n d W a l l T u r b u l e n c e . J o u r n . F l u i d M e c h . 1 1 , 9 7 , 1 9 6 1 . 2 8 . T o w n s e n d , A . A . T h e S t r u c t u r e o f T u r b u l e n t S h e a r F l o w . C a m b r i d g e U n i v e r s i t y P r e s s , 1 9 5 6 . 2 9 . T o w n s e n d , A . A . T h e F u l l y D e v e l o p e d T u r b u l e n t Wake o f A C i r c u l a r C y l i n d e r . A u s t . J o u r n . S c i . R e s . A2_, 451 , 1 9 4 9 . 3 0 . T u c k e r , H . J . a n d R e y n o l d s , A . J . T h e D i s t o r t i o n o f T u r b u l e n c e by I r r o t a t i o n a l P l a n e S t r a i n . J o u r n . F l u i d M e c h . 32_, 6 5 7 , 1 9 6 8 . 3 1 . W a t t , W.E. T h e V e l o c i t y - T e m p e r a t u r e M i x i n g L a y e r . U n i v e r s i t y o f T o r o n t o , D e p t . o f M e c h . E n g r g . T P 6 7 0 5 , S e p t e m b e r , 1 9 6 7 . 3 2 . W e b s t e r , C.A.G. A N o t e on t h e S e n s i t i v i t y t o Yaw o f a H o t W i r e A n e m o m e t e r . J o u r n . F l u i d M e c h . J_3 , 307 , 1 9 6 2 . 3 3 . W y g n a n s k i , I . a n d F i e d l e r , H.E. T h e T w o - D i m e n s i o n a l M i x i n g R e g i o n . P a p e r P r e s e n t e d a t S y m p o s i u m on T u r b u l e n c e . S e a t t l e , W a s h i n g t o n . 2 3 - 2 7 J u n e , 1 9 6 9 . A P P E N D I X I F r o m e q . ( 5 ) i n C h a p t e r 3 ij M + v — = — (Al 1) u 3x v 3y 3y V A i . u 3 II —i—— w h e r e T = u- ~ - p u' v 1 We u s e t h e f o l l o w i n g t r a n s f o r m a t i o n f o r e q . ( A l . l ) s = x n = y - D ( x ) U + = U v + = V-U w h e r e D ( x ) i s t h e d i v i d i n g s t r e a m l i n e , I t b e c o m e s , „ u+ 9U1 + V + Uil = H (A1.2) 3s 3n 3n + 3II A l o n g d i v i d i n g s t r e a m l i n e V = 0 , a n d 3s 3 T So t h a t jrr = 0, t h e s h e a r s t r e s s i s maximum a t t h e d i v i d i n g s t r e a m l i n e . T h e c o n t i n u i t y e q u a t i o n b e c o m e s | ^ + f £ = 0 (A.!.3) 48 U + = U 2 + U 0 f (us) where to = n/L I n t e g r a t i n g e q . ( A 1 . 3 ) a l o n g n d i r e c t i o n , we get V + - Alt •I oi dL. ds f 1 U)dcD dL "j 01 /*U1 J—oo J — co f d u ) ( A 1 . 4 ) The boundary c o n d i t i o n s a re f (oo) = l . 0 f ( - » ) = 0 . 0 and when ui = 0 , V = 0 so t h a t v 9 = U o — / f d w * 0 ds vt = U. J - 0 d L o r r ds ./o fdco] ( A l . 5 ) where w + o o i s the p o i n t f(u> + o o) = 1 .0 49 Jo S i n c e / fdw = w. - a , w h e r e + 0 0 ' a i s a p o s i t i v e c o n s t a n t + d L t h e n V* = U — - a ( A l .6) ds By u s i n g v o n K a r m a n ' s s u g g e s t i o n u,v, • u 2v 2 We g e t ^ dD _ K V 1 + U2 V2> U l + U2 v j a n d V 2 a r e p o s i t i v e , s o t h a t ^ j — i s n e g a t i v e , i t i n c l i n e s t o w a r d s l o w v e l o c i t y s i d e . A P P E N D I X I I F o r a s l a n t e d h o t w i r e , t h e l i n e a r i z e d o u r p u t c a n be w r i t t e n a s o u t = K, U(cp) ( A 2 . 1 ) a n d U (cb) = U ( 0 ) ( s i n cb + k c o s ( b ) , w h e r e k i s t h e t a n g e n -t i a l c o o l i n g f a c t o r , k h a s b e e n f o u n d b y C h a m p a g n e , S l e i c h e r a n d W e h rmann [ 4 ] t o be 0.2 when t h e r a t i o o f t h e l e n g t h o f t h e w i r e t o t h e d i a m e t e r o f t h e w i r e i s a b o u t 2 0 0 , a n d i t d o e s n o t d e p e n d on t h e v e l o c i t y a p p r e c i a b l y , cb i s t h e a n g l e b e t w e e n t h e mean v e l o c i t y d i r e c t i o n a n d t h e w i r e , a n d U ( 0 ) i s t h e a p p a r e n t v e l o c i t y when cb = 0,.K^ i s a p r o p o r t i o n a l c o n s t a n t . When t h e t u r b u l e n t i n t e n s i t y i s s m a l l , t h e s m a l l f l u c t u a t i o n a p p r o x i m a t i o n c a n be a p p l i e d , s o t h a t : i i ' = d l l ( O ) v ' = U(0)dcb a n d e = dE D i f f e r e n t i a t i n g e . g . ( A 2 . 1 ) . We g e t dE = K , d U ( 0 ) ( s i n 2 c b + k 2 c o s 2 cb)2 51 ( 1 - k 2 ) s i n 2 4) + K..,U(0) y - d<j> 2 ( s i n24> + k 2cos 2<J>)2~ 1 2 o 9 ? T i ( 1 - k ) sin2<p e, = Kn (s i n^cp + I TcosS) (u> + 4 v ' ) ( A 2 . 2 ) I I 2 2 2 s i n (J> + k c o s <j> R e v e r s i n g t h e i n c l i n a t i o n a n g l e i . e . (<j> = -*) 1 2 e'p = (sin2* + k2cos2((>)2 (u' - A ( 1 ; k ) s 1" 2 < j ) ? v') ( A 2 . 3 ) sin^ 4> + k^ cosS T h e n 2 —o- — 5 " p « « 9 ( 1 - k ) s i n 2 c p e / - e o = 2Kt(sin^4> + k ^ c o s ^ ) u T v ~ r ( A 2 . 4 ) 2 2 2 s i n (j) + k c o s * V Q 2 = 2 U Q 2 ( 0 ) ( s i n 2 * + k 2 c o s 2 4 > ) ( A 2 . 5 ) w h e r e U Q ( 0 ) i s t h e mean v e l o c i t y s c a l e U 0 i n t h e e x p r e s s i o n 0 = " U 2 ; + - U 0 f ( n ) . D i v i d i n g e q . ( A 2 . 4 ) b y e q . ( A 2 . 5 ) , we g e t , „ 2 , , ,2 2, e n 2 eT-^ | - = 1 s i n + + k c o s + ( - l ^ - - ^ ) ( A 2 . 6 ) U o ( l - k 2 ) s i n 2 d ; V o V o 52 F r o m e q s . ( A 2 . 1 ) , ( A 2 . 2 ) a n d ( A 2 . 5 ) we g e t e l 2 , e 2 2 _ , 9 u ' 2 . 1 ( l - k 2 ) 2 s i n 2 2 c b v 2 V o 2 + 7 7 " '"7 + 2 ( s i n 2 c b + k 2 c o s 2 < j > ) 2 U Q 2 2 2 + 7 _ s i n d> + k c o s d> L e t t i n g Z = ^ 3 1 , we g e t ( 1 - k ) s i n 2 c b 2 ? ? v ' 2 ? e i e ? U V = 2 Z ^ ( 1 + _2 _ 2 ) ( A 2 > 7 ) o o o u o T h e s h e a r s t r e s s a n d l a t e r a l i n t e n s i t y a r e c a l c u l a t e d b y u s i n g e q s . ( A 2 . 6 ) a n d ( A 2 . 7 ) r e s p e c t i v e l y I f cb = 4 5 ° , e q . ( A 2 . 6 ) r e d u c e s t o 2 JHH 1 (1 + k 2 ) , e l e 2 x 2 ~ 4 ^ 2 " 2 ' V (1 - k2) V V f o r k = 0.2 ITT7" 1 .08 ( ) k = 0.0 a n d e q . ( A 2 . 7 ) b e c o m e s :4. ^ (H4>2(!4+!4-24 U c c l - k ^ V L V c U ^  f o r k = 0.2 ! 1.17 ( i d ) -U Q 2 u 0 2 k=0.0 Th e e r r o r i s t h e r e f o r e 8% i n s h e a r s t r e s s a n d 1 7 % i n l a t e r a l i n t e n s i t y i f t h e t a n g e n t i a l c o o l i n g f a c t o r i s n e g l e c t e d , a s f o u n d b y C h a m p a g n e a n d S l e i c h e r [5 ]. A P P E N D I X I I I THE L E A S T SQUARES F I T PROCEDURE USED TO D E T E R M I N E U ] AND U 2 I n f i n d i n g t h e f r e e s t r e a m v e l o c i t i e s U-j a n d U 2 , a l e a s t s q u a r e s f i t o f t h e e r r o r f u n c t i o n was i n two w a y s : T h e e x p r e s s i o n f i r s t u s e d w a s : y - p . U = ( U ] - U 2 ) ( 0 . 5 + 0.5 e r f ( - ) ) + U 2 P 2 W h e r e t h e v a l u e s o f P.j , P 2 , U-| a n d U 2 w e r e f o u n d f r o m a l e a s t s q u a r e f i t t o t h e d a t a o f e a c h i n d i v i d u a l t r a n v e r s e . T h e two c o e f f i c i e n t s o f v a l u e 0.5 a r e j u s t i f i e d b y t h e d e f i n i t i o n o f t h e Y . 5 p o i n t ( P ^ i n t h e a b o v e e x p r e s s i o n ) a n d t h e b o u n d a r y c o n d i t i o n s a t b o t h e d g e s o f t h e m i x i n g l a y e r . A f t e r U-j a n d U 2 w e r e f o u n d , an a v e r a g e o f u^/U-j was t a k e n f o r a l l t h e s t a t i o n s w i t h i n t h e same c a s e . T h e a v e r a g e U 2/U.| was t h e n u s e d t o f i n d U^ f o r e a c h s t a t i o n o f t h e same c a s e b y t h e f o l l o w i n g e x p r e s s i o n : U ? U ? y - P , U = M ( — + (1 - — ) ( 0 . 5 + 0.5 e r f ( * - ) ) ) . U l U l P 2 T h e v a r i a b l e s i n t h i s e x p r e s s i o n a r e U-j s P-| a n d P 2 a n d a l l a r e f o u n d a s a r e s u l t o f t h e l e a s t s q u a r e s p r o c e d u r e . A f t e r f i n d i n g U 1 i n t h i s w a y , U 2 was f o u n d f r o m t h e r a t i o U 2 / U 1 , ; a l r e a d y d e t e r m i n e d a n d t h e r e s u l t i n g v a l u e s o f P^, P 2 , U 1 a n d U 2 w e r e u s e d f o r t h e n o n - d i m e n s i o n a l i z i n g a l l mean m e a s u r e d q u a n t i t i e s . T A B L E I THE S L O P E OF THE Y . c L I N E 5 E x p e r i m e n t a l V a l u e C o m p u t e d V a l u e u 2 / u 1 - 0 . 0 0 4 1 - 0 . 0 0 0 9 4 - 0 . 0 0 8 9 - 0 . 0 0 0 9 5 5 - 0 . 0 0 1 8 5 - 0 . 0 0 4 5 7 5 0 . 8 1 0 . 7 5 0 . 6 5 56 T A B L E I I THE V A L U E OF K n AND a 0 ps T y p e o f F l ow K 0 * p l a n e wake ( R e f . 2 8 ) 0.41 - 3 5 ° p l a n e j e t ( R e f . 3 ) 0 . 4 8 3 6 . 5 ° m i x i n g l a y e r ( R e f . 3 3 ) ( u 2 = o . o ) 0.44 - 3 0 . 0 ° m i x i n g l a y e r ( P r e s e n t ) 0 . 48 - 3 6 ° b o u n d a r y l a y e r ( R e f . 1 3 ) 0.60 - 2 4 ° m e a s u r e d t o m a g n i t u d e ) . t h e l a r g e r p r i n c i p l e s t r e s s d i r e c t i o n u 0=u,-u 2 F i g u r e 1 D e f i n i t i o n s k e t c h f o r m i x i n g l a y e r 58 o - - G o r t l e r ' s A - - F i r s t A p p r o • - - x i m a t i o n . • - -, P r e s e n t • - -S o l u t i o n . 1 . 0 • .9 -.8 .7 1 1 i I I A • • o 8 9 £ • o ° z • o & • ° o A S • 9 • • i i i • -2.8 -2.4 -2.0 -1.6 -1.2 -0.8 -0.4 § A A 0 .4 .8 1.2 1.6 2.0 24 2.8 3.2 e • o o • • o o o o • ° • o o . * • A • 9 - .4 A Uz/ • /Ui - .3 o -- - - 0.0 • • - -- - 0.0 • " .2 A - - 0.5 • - - 0.5 - J • - -- - 0 . 8 - - 0.8 A A * • " F i g u r e 2 D i s t r i b u t i o n o f d i m e n s i o n l e s s mean a c r o s s the m i x i n g l a y e r a s s u m i n g a eddy v i s c o s i t y v e l o c i t y c o n s t a n t Figure 3. Wind tunnel outline Figure 4 The arrangement of honeycomb and screen in the wind tunnel o o F i g u r e 5 C a l i b r a t i o n c u r v e o f h o t w i r e w i t h l i n e a r i z e r F i g u r e 6 D i m e n s i o n l e s s mean v e l o c i t y d i s t r i b u t i o n : L L / U , = 0 . 8 1 63 F i g u r e 7 T h e f l o w p a t t e r n u p s t r e a m o f t h e h o n e y c o m b F i g u r e 8 D i m e n s i o n l e s s mean v e l o c i t y d i s t r i b u t i o n : Ug/U^ = 0.75 F i g u r e 10 The v a r i a t i o n o f the m i x i n g l a y e r w i d t h w i t h s t r e a m w i s e d i s t a n c e .025 .020 o _ l o UP .015 010 005 U2 2 / u , o - - - 0.75 • - - - 0.65 O . O O o o ° h o ° o 0 o 0 0 1 > • ' 1 I i L_ -1.0 -0.5 0 0.5 1.0 1 F i g u r e 11 T h e v a r i a t i o n o f a p p a r e n t e d d y v i s c o s i t y a c r o s s t h e m i x i n g l a y e r F i g u r e 12 T h e v a r i a t i o n o f m i x i n g l e n g t h a c r o s s t h e m i x i n g r e g i o n .6 -.5 Us-U2 U1-U2 .3 .2 -U2 Ul 0 Figure 13 .2 8 1.0 U2 Ul o >o The v a r i a t i o n of dimensionless mean v e l o c i t y at the d i v id ing streamline assuming a constant eddy v i s c o s i t y Figure 14 The va r ia t ion of the width of the mixing layer from mixing length theory 70 20. 19. >-18. 17. -16. 10 20 • © 30 s t a t i o n e - - - 0 . 8 1 v - - - 0 . 7 5 • - - - 0 . 6 5 • s e ° 40 The Edge of the Screen 50 60 X in. F i g u r e 15 The l o c u s o f maximum s h e a r s t r e s s p o i n t s 0 .1 .2 .3 .4 .5 .6 .7 .8 .9 1.0 Figure 17 The variation of the Gortler constant with velocity ratio .02 \-.01 0 0 0 0 v • o • a • • - * 0 A - S a b i n - M i l l s - L i e p m a n n & L a u f e r - W a t t - W y g n a n s k i & F i e d l e r - B a k e r & W e i n s t e i n - P r e s e n t E x p e r i m e n t • • 0 .1 .2 ,3 .4 .5 U2/. Ui .6 .7 .8 • .9 1.0 F i g u r e 18 T h e v a r i a t i o n o f t h e p r o p o r t i o n a l c o n s t a n t f o r e d d y v i s c o s i t y CO l%,= 081 U , = 22.22 f t / s e c .20 .15 ,10 .05 v -A -9 -• -• -station - 20 - 30 - 40 - 50 - 60 © V A A A Lav • • o L - 3 . 0 -2.25 -1.5 -0 .75 9 v A D v n G • Q 0 0.75 1.5 Figure 19 ' The distribution of dimensionless longitudinal intensity: U2/U] = 0.81 I I -2.25 -1.5 -0.75 0 0.75 1.5 r The^distribution of dimensionless longitudinal intensity: U 2 /Ui = 0.65 Ui =23.82 ft/ s e c - 2 . 2 5 -1.5 -0 .75 0.75 1.5 The d i s t r i b u t i o n o f d i m e n s i o n l e s s l o n g i t u d i n a l i n t e n s i t y U 2 / U 1 = 0 . 6 5 y .25 .20 .15 ,10 U 2 y U l = 0.8] Ui = 22.22 ft/sec A. A 30 ^ A A v v v , H j t i • - - - 40 A V • A « _ V • station v - - - 20 • •- - 50 • - - - 60 9 • a # A • A D 4} D • A V • • A •05 h . * a • " t l T • • a ' • • a Q 1 • 1 • 1 • 1 -3.0 -2 .25 -1.5 -0.75 0 0.75 1.5 2.25 3.0 r F i g u r e 22 D i m e n s i o n l e s s l a t e r a l i n t e n s i t y : U g / U j = 0.81 .20 •15 .10 .05 h -3 .0 U 2 / =0.75 Ui= 22.92 f t /see. station . 50 60 Y • IT • lb - 2 25 -1 .5 -0 .75 COY • Y • Y 0.75 1 ure 23 Dimensionless lateral intensity v / W / U Q : U 2 / U l % = 0.65 Ui =23.82 fy5 .20 «—> _ a O -15I-[CN ^  • .10 .05 v -V -station - 20 30 - 40 - 50 - 60 V A • A v v2 V • r • V • A Or T T A©J3 • Jm -3 .0 - 2 . 2 5 -1.5 -0 .75 Figure 24 Dimensionless lateral intensity • A • J V TJ • A D V • 1 0.75 0.65 .25 station - 6 0 • • -2 .25 -1.5 - 0 . 7 5 0 0.75 1 F i g u r e 25 D i m e n s i o n l e s s l a t e r a l i n t e n s i t y "V 2 / l U 2 / u r a 8 1 U l z 2 2 - 2 2 ft/< station 1 00 F i g u r e 26 D i m e n s i o n l e s s s h e a r s t r e s s : U o / U i = 0.81 — Figure 27 Dimensionless shear stress : -u'v1/U • Up/U, = 0.75 / U o ' .015 .010 .005 0 U 2 / U i z 0 . 7 5 Ui = 22.92 f t / s e c < station o 6 0 • h . . . • , i n 1 " " r, n n P a ° DQ a a , [ ^ _ | a -3 .0 -2 .25 - 1 . 5 - 0 . 7 5 0 0.75 1.5 2.25 1^ F i g u r e 29 D i m e n s i o n l e s s s h e a r s t r e s s : MTW^/U 2 • U 2 / U 1 = 0 . 7 5 0 -60 -50 §?-40 -o CO o. -30 -20 -10 U 2 / u i = o - 7 5 station o ---50 • - --60 o • • • .1 .2 .3 .4 .5 -Q5 -0.4 -0.3 -0.2 -Q l 0.0 F i g u r e 32 T h e p r i n c i p a l s t r e s s d i r e c t i o n : U 2 / U ^ = 0.75 -60 0 -0.5 -0.4 -0.3 -0.2 -0.1 0.0 .1 F i g u r e 33 T h e p r i n c i p a l s t r e s s d i r e c t i o n 89 F i g u r e 34 T h e t r a v e r s i n g m e c h a n i sm 

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