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Essays in the theory and application of duality in economics Appelbaum, Eliezer 1975

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ESSAYS IN THE THEORY AND APPLICATION OF DUALITY IN ECONOMICS by E L I E Z E R A P P E L B A U M B . A . , H e b r e w U n i v e r s i t y , J e r u s a l e m , 1 9 7 0 M . A . , U n i v e r s i t y o f M a n i t o b a , 1 9 7 2 A T H E S I S S U B M I T T E D I N P A R T I A L F U L F I L M E N T O F T H E R E Q U I R E M E N T F O R T H E D E G R E E O F D O C T O R O F P H I L O S O P H Y i n t h e D e p a r t m e n t o f E C O N O M I C S We a c c e p t t h i s t h e s i s a s c o n f o r m i n g t o t h e r e q u i r e d s t a n d a r d T H E U N I V E R S I T Y O F B R I T I S H C O L U M B I A J u n e , 1 9 7 5 In presenting th i s thes is in pa r t i a l fu l f i lment of the requirements for an advanced degree at the Un ivers i ty of B r i t i s h Columbia, I agree that the L ibrary sha l l make it f ree ly ava i l ab le for reference and study. I fur ther agree that permission for extensive copying of th is thes is for scho lar ly purposes may be granted by the Head of my Department or by his representat ives. It is understood that copying or pub l i ca t ion of th is thes i s for f i nanc ia l gain sha l l not be allowed without my wr i t ten permission. Department of ^P-Co yvO/n/\/-C S The Univers i ty of B r i t i s h Columbia 20 75 Wesbrook Place Vancouver, Canada V6T 1W5 ABSTRACT T h i s t h e s i s f o c u s s e s o n t h r e e a r e a s i n t h e t h e o r y a n d a p p l i c a t i o n o f d u a l i t y i n e c o n o m i c s . F i r s t , I i n t e g r a t e d u a l i t y a n d d y n a m i c o p t i m i z a t i o n t h e o r i e s i n t h e c o n t e x t o f o p t i m a l e c o n o m i c g r o w t h . I d e m o n s t r a t e t h e p o s s i b i l i t y o f c o n t r o l t h r o u g h p r i c e s a n d t h e e q u i v a l e n c e o f t h e c e n t r a l i z e d a n d d e c e n t r a l i z e d s o l u t i o n s . T o d e v e l o p t h e d y n a m i c d u a l i t y r e l a t i o n I a p p l y t h e d u a l i t y b e t w e e n p r o d u c t i o n p o s s i b i l i t i e s s e t s a n d p r o f i t f u n c t i o n s . A n a p p l i c a t i o n i s a l s o g i v e n i n t h e c o n t e x t o f i n v e s t m e n t t h e o r y . S e c o n d , I d e v e l o p , d i s c u s s a n d i n t e r p r e t t e s t s f o r t h e s t a t i c d u a l i t y t h e o r y . F i n a l l y , I d r o p t h e p e r f e c t c o m p e t i t i o n a s s u m p t i o n a n d a p p l y d u a l i t y t o t h e t h e o r y o f a n o n - c o m p e t i t i v e f i r m . I i n v e s t i g a t e t h e e x t e n t t o w h i c h t h e p r o p o s i t i o n s i n d u a l i t y t h e o r y r e m a i n v a l i d f o r n o n - c o m p e t i t i v e f i r m s a n d p r o v i d e a f r a m e w o r k t h a t p e r m i t s t h e i d e n t i f i c a t i o n o f d i f f e r e n t m a r k e t s t r u c t u r e s . W i t h i n t h i s f r a m e w o r k I e s t i m a t e t h e t e c h n o l o g y o f a m o n o p o l i s t i c i n d u s t r y a n d t e s t f o r t h e p r i c e t a k i n g b e h a v i o u r h y p o t h e s i s . TABLE OF CONTENTS P a g e A B S T R A C T i i L I S T O F T A B L E S v A C K N O W L E D G M E N T S v i i C h a p t e r 1 I N T R O D U C T I O N 1 R e f e r e n c e s 4 2 S O M E B A S I C C O N C E P T S I N D U A L I T Y T H E O R Y 6 F o o t n o t e s . 1 3 R e f e r e n c e s 1 5 3 D Y N A M I C D U A L I T Y 1 7 P a r t I : I n t r o d u c t i o n 1 7 P a r t I I : A n A p p l i c a t i o n t o O p t i m a l G r o w t h i n a S e c t o r a l E c o n o m y 2 0 P a r t I I I : A n A p p l i c a t i o n t o O p t i m a l G r o w t h i n a J o i n t P r o d u c t i o n E c o n o m y . . . . 3 2 P a r t I V : D u a l i t y i n I n v e s t m e n t T h e o r y . . . 3 8 F o o t n o t e s 4 4 R e f e r e n c e s 4 6 i i i C h a p t e r P a g e 4 T E S T S I N D U A L I T Y T H E O R Y 4 8 I n t r o d u c t i o n 4 8 T h e o r e t i c a l M o d e l 4 9 E c o n o m e t r i c M o d e l 5 2 T e s t s f o r S h e p h a r d ' s L e m m a 5 6 T e s t s f o r D u a l i t y 6 2 F o o t n o t e s 7 2 R e f e r e n c e s 7 3 5 A P P L I C A T I O N TO T H E M O N O P O L I S T I C C A S E 7 4 I n t r o d u c t i o n 7 4 R e v e n u e F u n c t i o n A p p r o a c h 7 5 M a r g i n a l P r i c e A p p r o a c h 8 0 E c o n o m e t r i c M o d e l 8 9 E m p i r i c a l R e s u l t s 9 5 M o d e l I . . . . . . . . . 9 5 M o d e l I I 1 0 3 M o d e l I I I 1 1 0 C o n c l u s i o n 1 1 7 F o o t n o t e s 1 1 8 R e f e r e n c e s 1 2 0 A P P E N D I C E S 1 1 2 2 2 1 2 4 i v LIST OF TABLES C h a p t e r 4 T a b l e P a g e 1 P a r a m e t e r E s t i m a t e s ; P r o d u c t i o n M o d e l ( s t a n d a r d e r r o r s i n p a r e n t h e s e s ) 6 5 2 P a r a m e t e r E s t i m a t e s ; C o s t M o d e l ( s t a n d a r d e r r o r s i n p a r e n t h e s e s ) 6 6 3 E l a s t i c i t i e s o f S u b s t i t u t i o n ( S - j j ) ; P r o d u c t i o n M o d e l F u l l S y s t e m 6 7 4 E l a s t i c i t i e s o f S u b s t i t u t i o n ; P r o d u c t i o n M o d e l P a r t i a l S y s t e m 6 8 5 E l a s t i c i t i e s o f S u b s t i t u t i o n ; C o s t M o d e l F u l l S y s t e m 6 9 6 E l a s t i c i t i e s o f S u b s t i t u t i o n ; C o s t M o d e l P a r t i a l S y s t e m 7 0 C h a p t e r 5 1 M o d e l I : P a r a m e t e r E s t i m a t e s ( s t a n d a r d e r r o r s i n p a r a n t h e s e s ) 9 6 2 M o d e l I : R 2 a n d D u r b i n - W a t s o n S t a t i s t i c s 9 7 3 M o d e l I : E s t i m a t e d D e m a n d E l a s t i c i t y 1 9 4 7 - 1 9 7 1 . . . 9 8 v T a b ! e P a g e 4 M o d e l I : E l a s t i c i t i e s o f S u b s t i t u t i o n E s t i m a t e d b y M a x i m u m L i k e l i h o o d 1 0 1 5 M o d e l I : E l a s t i c i t i e s o f S u b s t i t u t i o n E s t i m a t e d b y I 3 S L S 1 0 2 6 M o d e l I I : P a r a m e t e r E s t i m a t e s ( s t a n d a r d e r r o r s i n p a r a n t h e s e s ) 1 0 4 7 M o d e l I I : R 2 a n d D u r b i n - W a t s o n S t a t i s t i c s 1 0 6 8 M o d e l I I : E s t i m a t e d D e m a n d E l a s t i c i t y 1 9 4 7 - 1 9 7 1 1 0 7 9 M o d e l I I : E l a s t i c i t i e s o f S u b s t i t u t i o n E s t i m a t e d b y M a x i m u m L i k e l i h o o d 1 0 8 1 0 M o d e l I I : E l a s t i c i t i e s o f S u b s t i t u t i o n E s t i m a t e d b y I 3 S L S 1 0 9 1 1 M o d e l I I : P a r a m e t e r E s t i m a t e s ( s t a n d a r d e r r o r s i n p a r a n t h e s e s ) I l l 1 2 M o d e l I I I : R 2 a n d D u r b i n - W a t s o n S t a t i s t i c s 1 1 2 1 3 M o d e l I I I : E s t i m a t e d D e m a n d E l a s t i c i t y 1 9 4 7 - 7 1 1 1 3 1 4 M o d e l I I I : E l a s t i c i t i e s o f S u b s t i t u t i o n E s t i m a t e d b y M L 1 1 4 1 5 M o d e l I I I : E l a s t i c i t i e s o f S u b s t i t u t i o n E s t i m a t e d b y I 3 S L S 1 1 5 v i ACKNOWLEGEMENTS T h i s t h e s i s h a s b e e n m a d e p o s s i b l e w i t h t h e s u p p o r t o f a g r e a t n u m b e r o f p e o p l e . F o r t h e i r a d v i c e a n d e n c o u r a g e -m e n t t h r o u g h o u t t h e c o u r s e o f t h i s s t u d y , I w i s h t o t h a n k t h e m e m b e r s o f m y d i s s e r t a t i o n c o m m i t t e e , W . E r w i n D i e w e r t , c h a i r m a n , E r n s t R . B e r n d t , a n d K e i z o N a g a t a n i . I n a d d i t i o n , t h e c o m m e n t s o f R i c h a r d G . H a r r i s , U l r i c h R . K o h l i a n d A . D . W o o d l a n d h a v e b e e n m o s t h e l p f u l . I g r a t e f u l l y a c k n o w l e d g e t h e f i n a n c i a l s u p p o r t f r o m t h e C a n a d a C o u n c i l , 1 9 7 3 - 7 5 , a n d t h e c o m p u t e r t i m e f r o m t h e d e p a r t m e n t o f E c o n o m i c s a t T h e U n i v e r s i t y o f B r i t i s h C o l u m b i a . I a l s o w i s h t o t h a n k E r n s t R . B e r n d t , W . E r w i n D i e w e r t a n d D a l e W . J o r g e n s o n f o r e m p l o y m e n t a s r e s e a r c h a s s i s t a n t . F i n a l l y , t h a n k s a r e a l s o d u e t o S h a r o n H a l l e r f o r t y p i n g t h e f i n a l m a n u s c r i p t . v i i C h a p t e r 1 INTRODUCTION I n r e c e n t y e a r s , t h e r e h a s b e e n a s i g n i f i c a n t d e v e l o p -m e n t i n d u a l i t y t h e o r y a n d i t s a p p l i c a t i o n s i n m a n y f i e l d s o f e c o n o m i c s . We f i n d a p p l i c a t i o n s o f d u a l i t y t h e o r y i n t h e t h e o r y o f c o n s u m e r b e h a v i o u r ( C h r i s t e n s e n , J o r g e n s o n a n d L a u [ 1 9 7 3 b ] , L a u [ 1 9 6 9 b ] ) , p r o d u c t i o n t h e o r y ( D i e w e r t [ 1 9 7 1 a ] , J o r g e n s o n a n d L a u [ 1 9 7 4 a ] , M c F a d d e n [ 1 9 7 3 ] ) , i n t e r n a t i o n t r a d e ( D i e w e r t [ 1 9 7 4 a ] , W o o d l a n d [ 1 9 7 3 ] ) , i n d e x n u m b e r t h e o r y ( D i e w e r t [ 1 9 7 4 b ] ) , C o m p a r a t i v e S t a t i c s o f g e n e r a l e q u i l i b r i u m s y s t e m s ( D i e w e r t [ 1 9 7 4 c ] , E p s t e i n [ 1 9 7 4 b ] ) a n d c h o i c e u n d e r u n c e r t a i n t y ( E p s t e i n [ 1 9 7 4 a ] , F u s s a n d M c F a d d e n [ 1 9 7 3 ] ) . T h e a r e a s o f a p p l i c a t i o n s s e e m t o g r o w c o n s t a n t l y a s m o r e a n d m o r e e c o n o m i s t s d i s c o v e r t h e m a n y a d v a n t a g e s o f " d u a l i t y t h e o r y . . T h e m o s t i m p o r t a n t a s p e c t o f d u a l i t y t h e o r y i s t h a t i t a l l o w s u s t o d e r i v e s u p p l y a n d d e m a n d f u n c t i o n s b y s i m p l e d i f f e r e n t i a t i o n , i n s t e a d o f b y s o l v i n g t h e o p t i m i -z a t i o n p r o b l e m , a p r o c e d u r e t h a t i s n o t a l w a y s p o s s i b l e . M o r e o v e r , b y u s i n g t h e d u a l f o r m u l a t i o n , w e o b t a i n t h e s u p p l y a n d d e m a n d s y s t e m s i n t e r m s o f p r i c e s , w h i c h o n t h e m i c r o 1 2 l e v e l a r e u s u a l l y c o n s i d e r e d e x o g e n o u s v a r i a b l e s . H e n c e i t i s t h e e m p i r i c a l o r p r a c t i c a l a p p l i c a t i o n o f d u a l i t y t h e o r y t h a t i s s o i m p o r t a n t , a n d i n d e e d , w e h a v e b e e n w i t n e s s i n g r e c e n t l y a n i n c r e a s i n g n u m b e r o f e m p i r i c a l s t u d i e s a p p l y i n g d u a l i t y t h e o r y ; A p p e l b a u m a n d H a r r i s [ 1 9 7 4 ] , B e r n d t a n d C h r i s t e n s e n [ 1 9 7 4 ] , B u r g e s s [ 1 9 7 3 ] , C h r i s t e n s e n , J o r g e n s o n a n d L a u [ 1 9 7 3 a ] . S e c o n d , i t e n a b l e s u s t o d e r i v e i n a v e r y s i m p l e w a y , c o m p a r a t i v e s t a t i c r e s u l t s , t h a t o t h e r w i s e r e q u i r e a l o t o f e f f o r t . T h e b e s t e x a m p l e s a r e t h e " f a m o u s " t h e o r e m s o f t h e p u r e t h e o r y o f t r a d e ; s e e D i e w e r t [ 1 9 7 4 a ] , W o o d l a n d [ 1 9 7 3 ] . T h e s e p r o p e r t i e s h a v e b e e n r e c o g n i z e d i n t h e p a s t a n d h a v e b e e n m a d e u s e o f i n a n e v e r - i n c r e a s i n g n u m b e r o f s t u d i e s , b o t h t h e o r e t i c a l a n d e m p i r i c a l . A n e x a m i n a t i o n o f p r e s e n t d u a l i t y t h e o r i e s a n d a p p l i c a t i o n s i n e c o n o m i c s , h o w e v e r , r e v e a l s t h a t t h e y a r e a l l c a s t i n a s t a t i c f r a m e w o r k , t h a t t h e y h e a v i l y d e p e n d o n t h e p e r f e c t c o m p e t i t i o n a s s u m p t i o n a n d t h a t a l t h o u g h d u a l i t y h a s b e e n a p p l i e d e x t e n s i v e l y i n e m p i r i c a l s t u d i e s , n o a t t e m p t h a s b e e n m a d e t o t e s t f o r t h e v a l i d i t y o f t h e t h e o r y a n d i t s p r o p o s i t i o n s . T h e s e t h r e e p o i n t s a r e t h e p u r p o s e o f t h i s t h e s i s . F i r s t w e i n t e g r a t e d u a l i t y a n d d y n a m i c o p t i m i z a t i o n t h e o r i e s i n t h e c o n t e x t o f o p t i m a l e c o n o m i c g r o w t h . We a p p l y h e r e t h e d u a l i t y r e l a t i o n b e t w e e n c o s t a n d p r o d u c t i o n f u n c t i o n s a n d t h e m o r e g e n e r a l o n e b e t w e e n t r a n s f o r m a t i o n a n d v a r i a b l e 3 p r o f i t f u n c t i o n s t o d e v e l o p t h e d y n a m i c d u a l i t y r e l a t i o n . We s h o w h e r e a n o t h e r i m p o r t a n t u s e o f d u a l i t y t h e o r y ; n a m e l y t h a t i t e n a b l e s u s t o c h a r a c t e r i z e c o m p e t i t i v e e c o n o m i e s ( b o t h i n a s t a t i c a n d d y n a m i c f r a m e w o r k ) i n t e r m s o f p r i c e s a l o n e . T h i s , f r o m a n e c o n o m i c p l a n n e r ' s p o i n t o f v i e w , i s a n e x t r e m e l y i m p o r t a n t p r o p e r t y , s i n c e i t m e a n s t h a t h e c a n c o n t r o l t h e e c o n o m y o p t i m a l l y o v e r t i m e t h r o u g h p r i c e s a l o n e , b y q u o t i n g t h e " r i g h t " p r i c e s . S e c o n d l y , w e p r o v i d e t e s t s f o r t h e v a l i d i t y o f s t a t i c d u a l i t y t h e o r y a r i d w e i m p l e m e n t t h e s e t e s t s e m p i r i c a l l y . F i n a l l y w e d r o p t h e p e r f e c t c o m p e i t i o n a s s u m p t i o n a n d a p p l y d u a l i t y t h e o r y t o t h e t h e o r y o f a m o n o p o l i s t i c f i r m . We i n v e s t i g a t e t h e e x t e n t t o w h i c h d u a l i t y t h e o r y i s s t i l l v a l i d f o r a n o n - c o m p e t i t i v e f i r m a n d p r o v i d e a f r a m e w o r k w i t h i n w h n ' c h w e e s t i m a t e t e c h n o l o g y o f a n o n - c o m p e t i t i v e i n d u s t r y a n d t e s t f o r t h e h y p o t h e s i s o f p r i c e t a k i n g b e h a v i o u r . REFERENCES A p p e l b a u m , E . a n d H a r r i s , R . [ 1 9 7 4 ] , " E s t i m a t i n g T e c h n o l o g y i n a n I n t e r t e m p o r a l F r a m e w o r k : A N e o - A u s t r i a n A p p r o a c h , " W o r k i n g P a p e r 5 , D e p a r t m e n t o f E c o n o m i c s , T h e U n i v e r s i t y o f B r i t i s h C o l u m b i a . B e r n d t , E . R . a n d C h r i s t e n s e n , L . R . [ 1 9 7 4 ] , " T e s t i n g f o r t h e E x i s t e n c e o f a C o n s i s t e n t A g g r e g a t e I n d e x o f L a b o u r I n p u t s , " American Economic Review, 6 4 , 3 9 1 - 4 0 4 . B u r g e s s , D . F . [ 1 9 7 3 ] , " D u a l i t y T h e o r y a n d t h e P i t f a l l s i n t h e S p e c i f i c a t i o n o f T e c h n o l o g i e s , " Journal of Econometrics, f o r t h c o m i n g . C h r i s t e n s e n , L . R . , J o r g e n s o n , D . W . , a n d L a u , L . J . [ 1 9 7 3 a ] , " T r a n s c e n d e n t a l L o g a r i t m i c P r o d u c t i o n F r o n t i e r s , " Review of Economics and S t a t i s t i c s , 5 5 , 2 8 - 4 5 . C h r i s t e n s e n , L . R . , J o r g e n s o n , D . W . a n d L a u , L . J . [ 1 9 7 3 b ] , " T r a n s c e n d e t a l L o g a r i t m i c U t i l i t y F u n c t i o n s , " H a r v a r d I n s t i t u t e o f E c o n o m i c R e s e a r c h , C a m b r i d g e , M a s s . D i e w e r t , W . E . [ 1 9 7 1 a ] , " A n A p p l i c a t i o n o f t h e S h e p h a r d D u a l i t y T h e o r e m : A G e n e r a l i z e d L e o n t i e f P r o d u c t i o n F u n c t i o n , " Journal of P o l i t i c a l Economy, 7 9 , 4 8 1 - 5 0 7 . D i e w e r t , W . E . [ 1 9 7 4 a ] , " A p p l i c a t i o n s o f D u a l i t y T h e o r y , " D e p a r t m e n t o f M a n p o w e r a n d I m m i g r a t i o n , O t t a w a . D i e w e r t , W . E . [ 1 9 7 4 b ] , " H o m o g e n e o u s W e a k S e p a r a b i l i t y a n d E x a c t I n d e x N u m b e r s , " T e c h n i c a l R e p o r t 1 2 2 , I M S S S , S t a n f o r d U n i v e r s i t y . 4 5 D i e w e r t , W . E . [ 1 9 7 4 c ] , " U n i o n s i n a G e n e r a l E q u i l i b r i u m M o d e l , " The Canadian Journal of Economics, 3 , 4 7 5 - 4 9 5 . E p s t e i n , L . [ 1 9 7 4 a ] , " A D i s a g g r e g a t e d A n a l y s i s o f C o n s u m e r C h o i c e U n d e r U n c e r t a i n t y , " D e p a r t m e n t o f M a n p o w e r a n d I m m i g r a t i o n , O t t a w a . E p s t e i n , L . [ 1 9 7 4 b ] , " S o m e E c o n o m i c E f f e c t s o f I m m i g r a t i o n : A G e n e r a l E q u i l i b r i u m A n a l y s i s , " The Canadian Journal of Economics, 2 , 1 7 4 - 1 9 0 . F u s s , M . A . a n d M c F a d d e n , D . L . [ 1 9 7 3 ] , " F l e x i b i l i t y V e r s u s E f f i c i e n c y i n E x A n t e P l a n t D e s i g n , " i n An Econometric Approach to Production Theory, M c F a d d e n ( e d . ) , A m s t e r d a m , N o r t h - H o l l a n d , f o r t h -c o m i n g . J o r g e n s o n , D . W . a n d L a u , L . J . [ 1 9 7 4 a ] , " D u a l i t y o f T e c h n o l o g y a n d E c o n o m i c B e h a v i o u r , " Review of Economic Studies, 4 1 , f o r t h c o m i n g . L a u , L . J . [ 1 9 6 9 b ] , " D u a l i t y a n d t h e S t r u c t u r e o f U t i l i t y F u n c t i o n s , " Journal of Economic Theory, 1 , 3 7 4 -3 9 6 . -M c F a d d e n , D . L . [ 1 9 7 3 ] , " C o s t , R e v e n u e a n d P r o f i t F u n c t i o n s . , " i n An Econometric Approach to Production Theory, M c F a d d e n , D . L . ( e d . ) , A m s t e r d a m : N o r t h - H o l l a n d , f o r t h c o m i n g . W o o d l a n d , A . D . [ 1 9 7 3 ] , " D u a l i t y P r i n c i p l e s i n I n t e r n a t i o n a l T r a d e , " D i s c u s s i o n P a p e r 7 3 - 2 2 , D e p a r t m e n t o f E c o n o m i c s , T h e U n i v e r s i t y o f B r i t i s h C o l u m b i a . C h a p t e r 2 SOME BASIC CONCEPTS IN DUALITY THEORY We n o w b r i e f l y d i s c u s s s o m e c o n c e p t s i n d u a l i t y t h e o r y . T h i s s e c t i o n i s a l m o s t e n t i r e l y b a s e d o n L a u [ 1 9 7 4 ] . ' ' T h e a p p r o a c h e m p l o y e d i s t h e o n e t h a t i s b a s e d o n t h e c o n j u g a c y c o r r e s p o n d e n c e f i r s t d e v e l o p e d b y F e n c h e l [ 1 9 5 3 ] a n d t h e n e x t e n d e d b y R o c k a f e l l a r [ 1 9 7 0 a ] . T h i s a p p r o a c h e v o l v e s f r o m t h e f a m o u s L e g e n d r e t r a n s f o r m a t i o n . A p p l i c a t i o n s o f t h e c o n j u g a c y c o r r e s p o n d e n c e c a n b e f o u n d i n J o r g e n s o n a n d L a u [ 1 9 7 4 a ] , [ 1 9 7 4 b ] a n d L a u [ 1 9 7 3 ] , [ 1 9 7 4 ] . 2 We a d h e r e t o t h e c o n v e n t i o n o f D e b r e u [ 1 9 5 9 ] a n d t r e a t i n p u t s a n d o u t p u t s s y m m e t r i c a l l y . I f t h e q u a n t i t y o f a c o m m o d i t y i s p o s i t i v e i t i s a n e t o u t p u t , i f i t i s n e g a t i v e i t i s a n e t i n p u t . We a s s u m e t h a t t h e r e a r e n + 1 + m c o m m o d i t i e s . T h e f i r s t n + 1 c o m m o d i t i e s , ( Y 0 " » Y ) ( t h e v e c t o r V ) a r e v a r i a b l e a n d t h e l a s t m c o m m o d i t i e s ( X i » » « X ) ( t h e v e c t o r X ) a r e f i x e d . T h e n d i m e n s i o n a l v e c t o r o f t h e l a s t n v a r i a b l e c o m m o d i t i e s i s d e n o t e d b y Y . We n o r m a l i z e t h e p r i c e o f t h e f i r s t c o m m o d i t y , Y 0 , t o b e o n e , s o t h a t a l l t h e o t h e r p r i c e s 6 7 a r e i n t e r m s o f t h e p r i c e o f t h e f i r s t c o m m o d i t y . L e t t h e n o r m a l i z e d p r i c e s o f t h e n v a r i a b l e c o m m o d i t i e s b e P = ( P i * " P ) a n d t h e n o r m a l i z e d p r i c e s o f t h e m f i x e d c o m m o d i t i e s b e s — (S . . . . S . ) . T h e p r o d u c t i o n p o s s i b i l i t y s e t T i s t h e s e t o f a l l f e a s i b l e i n p u t - o u t p u t c o m b i n a t i o n s . T i s a s u b s e t o f R n + 1 + m a n d i s a s s u m e d t o s a t i s f y t h e f o l l o w i n g r e g u l a r i t y c o n d i t i o n s : C o n d i t i o n s I o n T ( i ) 0 e T ( i i ) T i s c l o s e d ( i i i ) T i s c o n v e x ( i v ) I f ( Y , Y 0 , X ) e T t h e n ( Y , Y j , X ) e T V Y ^ < Y 0 ( v ) I f ( Y , Y 0 , X ) e T , Y 0 < 0 . C o n d i t i o n s ( i ) t h r o u g h ( i i i ) a r e t h e s t a n d a r d a s s u m p t i o n s m a d e a b o u t T . C o n d i t i o n s ( i v ) a n d ( v ) a r e i n t r o -d u c e d b y L a u [ 1 9 7 4 ] t o r e p l a c e t h e c o n v e n t i o n a l m o n o t o n i c i t y a n d b o u n d e d n e s s a s s u m p t i o n s . B y c o n d i t i o n ( i v ) w e d o n o t r e q u i r e f r e e d i s p o s a l i n a l l v a r i a b l e s , i t i s e n o u g h t h a t o n l y o n e v a r i a b l e c o m m o d i t y b e f r e e l y d i s p o s a b l e . I t i s p o s s i b l e , t h e r e f o r e , t o d e a l w i t h i n L a u ' s f r a m e w o r k w i t h c a s e s o f n e g a t i v e l y p r i c e d u n d e s i r a b l e o u t p u t s . T h e u s u a l f r e e d i s p o s a l r e q u i r e m e n t i s ( i v ) ' I f u 1 e T , u " < u 1 t h e n u " e T . 8 C o n d i t i o n ( v ) r e q u i r e s t h a t t h e r e i s a t l e a s t o n e v a r i a b l e a n d f r e e l y d i s p o s a b l e c o m m o d i t y t h a t i s n o t r e p r o -d u c i b l e . T h i s i s w e a k e r t h a n t h e r e q u i r e m e n t t h a t n o e l e m e n t o f ( V , X ) i s p o s i t i v e u n l e s s Y 0 i s n e g a t i v e , i . e . Y 0 i s e s s e n t i a l . C o n d i t i o n ( v ) r e p l a c e s t h e u s u a l b o u n d e d n e s s c o n d i t i o n : ( v ) ' I f ( V , X ) e T , V i s b o u n d e d f r o m a b o v e ( f o r f i n i t e X ) . C o n d i t i o n s ( i ) , ( i i ) , ( i i i ) , ( i v ) ' a n d ( v ) ' w i l l b e r e f e r r e d t o a s I 1 . G i v e n t h e p r o d u c t i o n p o s s i b i l i t i e s s e t T , w e d e f i n e t h e e x t e n d e d r e a l v a l u e d p r o d u c t i o n f u n c t i o n F ( Y , x ) = - s u p { Y o : ( Y , Y o , X ) e T } i f t h e r e e x i s t s a Y 0 s u c h t h a t ( Y , Y 0 , X ) e- T 3 - ° ° o t h e r w i s e . I f T s a t i s f i e s c o n d i t i o n s I , t h e n F ( Y , X ) s a t i s f i e s t h e f o l l o w -i n g c o n d i t i o n s : C o n d i t i o n s I I o n F ( a ) T h e d o m a i n o f F f o r w h i c h F i s f i n i t e ( t h e e f f e c t i v e d o m a i n ) i s a c o n v e x s e t c o n t a i n i n g t h e o r i g i n , F(0,0) = 0. ( b ) F ( Y , X ) i s c l o s e d i n ( Y , X ) ( c ) F ( Y , X ) i s c o n v e x i n ( Y , X ) ( d ) F ( Y , X ) i s n o n - n e g a t i v e . 9 We m a y n o w d e f i n e a p r o d u c t i o n p o s s i b i l i t y s e t T * w h i c h c o r r e s p o n d s t o t h e p r o d u c t i o n f u n c t i o n F b y : G i v e n c o n d i t i o n s I o n T a n d I I o n F t h e r e i s a d u a l i t y b e t w e e n T a n d F , s o t h a t T * i s e q u a l t o T . F o r p r o o f s o f t h e s e d u a l i t y r e l a t i o n s , s e e D i e w e r t [ 1 9 7 3 ] , J o r g e n s o n a n d L a u [ 1 9 7 4 a ] , L a u [ 1 9 7 4 ] . I f w e r e p l a c e c o n d i t i o n s I w i t h I 1 , t h e p r o d u c t i o n f u n c t i o n F w i l l h a v e c o r r e s p o n d i n g l y t h e m o n o t o n i c i t y ( i . e . F i s n o n - i n c r e a s i n g i n t h e c o m p o n e n t s o f ( V , X ) a n d b o u n d e d n e s s ( i . e . , F n o w h e r e t a k e s t h e v a l u e - ° ° ) p r o p e r t i e s , a n d c o n d i -t i o n s I I c h a n g e t o w h a t w e r e f e r t o a s c o n d i t i o n s I I ' . T h e c o n v e x f u n c t i o n F , : ( Z ) i s s a i d t o b e p r o p e r i f i t i s f i n i t e f o r a t l e a s t s o m e Z a n d n o t e q u a l t o - ° ° f o r a n y Z . T h e p r o d u c t i o n f u n c t i o n F ( Y , X ) d e f i n e d a b o v e i s p r o p e r c o n v e x . We a s s u m e t h a t t h e o b j e c t i v e o f p r o d u c t i v e a c t i v i t y i s t o m a x i m i z e p r o f i t s , o r e q u i v a l e n t l y m a x i m i z e n o r m a l i z e d p r o f i t s . L e t X ^ r e p r e s e n t t h e t r a n s p o s e o f t h e v e c t o r X , a n d X T Y t h e i n n e r p r o d u c t o f t h e v e c t o r s X a n d Y . We d e f i n e 4 t h e n o r m a l i z e d r e s t r i c t e d p r o f i t f u n c t i o n a s T * = ' { ( Y , Y 0 , X ) : Y 0 < - F ( Y , X ) } (2) n ( P , X ) E s u p { P ' Y - F ( Y , X ) } Y (3) w h e r e n i s k n o w n a s t h e c o n j u g a t e d u a l o f F . 1 0 T h e n i f F ( Y , X ) s a t i s f i e s c o n d i t i o n s I I , t h e n o r m a l i z e d r e -s t r i c t e d p r o f i t f u n c t i o n s a t i s f i e s t h e f o l l o w i n g c o n d i t i o n s : C o n d i t i o n s I I I o n n ( P , X ) ( 1 ) T h e e f f e c t i v e d o m a i n o f n i s a c o n v e x s e t c o n t a i n i n g t h e o r i g i n , 1 1 ( 0 , 0 ) = 0 . ( 2 ) n ( P , X ) i s l o w e r - c l o s e d . 5 ( 3 ) n ( P , X ) i s c o n v e x i n P f o r e v e r y X a n d c o n c a v e i n X f o r e v e r y P . ( 4 ) n ( P , 0 ) i s n o n - n e g a t i v e , n ( 0 , X ) i s n o n - p o s i t i v e . G i v e n lf(Prx) w e c a n d e f i n e F ( Y ; X ) B y t h e c o n j u g a c y r e l a t i o n a s F ( Y , X ) 5 s u p { P T Y - n ( P , X ) } ( i . e . t h e d u a l o f t h e d u a l i s t h e o r i g i n a l f u n c t i o n ) a n d t h e p r o d u c t i o n p o s s i b i l i t y s e t T b y T = { ( Y , Y 0 , X ) : P T Y + Y 0 < n ( P , X ) , P e R n > - ( 4 ) T a k i n g t h e s t a n d a r d s t r o n g e r a s s u m p t i o n s o f m o n o t o n i c i t y a n d b o u n d e d n e s s , w i l l y i e l d c o r r e s p o n d i n g l y , m o n o t o n i c i t y ( i . e . n ( P , X ) i s n o n - i n c r e a s i n g i n X , i n c r e a s i n g o r d e c r e a s i n g i n P d e p e n d i n g w h e t h e r i t i s a n o u t p u t o r i n p u t ) p o s i t i v i t y a n d b o u n d e d n e s s o f n , h e n c e n w i l l b e c l o s e d r a t h e r t h a n l o w e r c l o s e d . T h e s e w i l l b e r e f e r r e d t o a s c o n d i t i o n s I I I 1 . N o t e t h a t t h e c l o s u r e t a n d c c q n v e x i t y f c o n e a v i t y ^ p f y n ( P , X ) i m p l y t h a t i t p o s s e s s i m p o r t a n t c o n t i n u i t y p r o p e r t i e s . 1 1 F r e q u e n t l y , i t i s a s s u m e d i n e c o n o m i c s t h a t t e c h -n o l o g y e x h i b i t s t h e p r o p e r t y o f c o n s t a n t r e t u r n s t o s c a l e . A l t h o u g h n o t n e c e s s a r y f o r e s t a b l i s h i n g t h e d u a l i t y r e l a t i o n -s h i p , i t i s o f t e n v e r y c o n v e n i e n t a n d c o m m o n p r a c t i c e t o u s e i t . T o i n t r o d u c e t h i s a s s u m p t i o n w i l l b e t o a s s u m e t h a t t h e p r o d u c t i o n p o s s i b i l i t y s e t T i s a c o n e , i . e . U e T , A > 0 i m p l i e s A U e T . G i v e n t h i s a s s u m p t i o n t h e p r o d u c t i o n f u n c t i o n F ( Y , X ) b e c o m e s l i n e a r h o m o g e n e o u s , i . e . F ( A Y , A X ) = A F ( Y , X ) X > 0 . T h i s a l s o i m p l i e s t h a t t h e n o r m a l i z e d r e s t r i c t e d p r o f i t f u n c t i o n i s l i n e a r h o m o g e n e o u s i n X . F o r p r o o f s s e e D i e w e r t [ 1 9 7 3 ] . N o t e , h o w e v e r , t h a t t h e ( u n n o r m a l i z e d ) r e -s t r i c t e d p r o f i t f u n c t i o n i s a l w a y s l i n e a r h o m o g e n e o u s i n a l l p r i i c e s ? o - ' s s a s 'Ciat;3 ' - t T h e m o s t i m p o r t a n t p r o p e r t y , f r o m t h e p r a c t i c a l p o i n t o f v i e w , o f d u a l i t y i s g i v e n b y H o t e l l i n g ' s L e m m a [ 1 9 3 2 ] . I t p r o v i d e s u s w i t h a s i m p l e a n d d i r e c t m e t h o d o f d e r i v i n g s u p p l y ( d e m a n d ) c o r r e s p o n d e n c e s t h a t a r e c o n s i s t e n t w i t h o p t i m i z i n g b e h a v i o u r . H o t e l l i n g ' s L e m m a ^ G i v e n a s s u m p t i o n s ( 1 ) t h r o u g h ( 4 ) o n n ( P , X ) , t h e p r o f i t m a x i m i z i n g s u p p l y c o r r e s p o n d e n c e c o i n c i d e s w i t h t h e s u b d i f f e r e n t i a l 8 o f n ( P , X ) a t ( P , X ) w i t h r e s p e c t t o P . I f t h e s u b d i f f e r e n t i a l i s u n i q u e , t h e s u p p l y f u n c t i o n s a r e g i v e n b y t h e g r a d i e n t a t ( P , X ) . T h e s u p e r g r a d i e n t 9 o f n ( P , X ) 1 2 w i t h r e s p e c t t o X , h a s t h e i n t e r p r e t a t i o n o f n o r m a l i z e d s h a d o w p r i c e s o f t h e f i x e d i n p u t s . 1 0 T h i s c a n be r e p r e s e n t e d a s f o l 1 o w s : Y e a p n ( p , x ) (5) S e 3xn(P.iX>) • A l s o n o t e t h a t S e 8 X F ( Y , X ) P 2 , (6) P e 9 y F ( Y , X ) T h e p r e s e n t a t i o n g i v e n a b o v e i s a v e r y g e n e r a l o n e , i t i n c l u d e s a s s p e c i a l c a s e s a l l t h e t r a d i t i o n a l t e c h n o l o g i c a l r e l a t i o n s h i p s . I f Y 0 i s t h e o n l y o u t p u t a n d a l l t h e r e s t a r e v a r i a b l e i n p u t s , F b e c o m e s t h e ( n e g a t i v e ) t r a d i t i o n a l p r o d u c t i o n f u n c t i o n . I f Y 0 i s t h e o n l y i n p u t , F r e d u c e s t o t h e f a c t o r r e q u i r e m e n t f u n c t i o n . When X i s a v e c t o r o f o u t p u t s a n d Y a v e c t o r o f i n p u t s , n r e d u c e s t o t h e ( n e g a t i v e ) n o r m a l i z e d j o i n t c o s t f u n c t i o n , o r t o t h e t r a d i t i o n a l ( n e g a -t i v e ) n o r m a l i z e d c o s t f u n c t i o n , i f Y h a s o n l y o n e e l e m e n t . When X i s a v e c t o r o f i n p u t s a n d Y a v e c t o r i n o u t p u t s , IT r e d u c e s t o t h e n o r m a l i z e d r e v e n u e f u n c t i o n . F i n a l l y , i f a l l c o m m o d i t i e s a r e v a r i a b l e , we g e t t h e n o r m a l i z e d p r o f i t f u n c -t i o n . Some o f t h e s e c a s e s w i l l be u s e d i n t h e f o l l o w i n g e s s a y s . FOOTNOTES i s a l s o p a r t l y b a s e d o n D i e w e r t [ 1 9 7 2 ] , [ 1 9 7 4 a ] J o r g e n s o n a n d L a u [ 1 9 7 4 a ] a n d L a u [ 1 9 7 3 ] . 2 T h e o t h e r t w o a p p r o a c h e s a r e b a s e d o n d i s t a n t f u n c t i o n s , S h e p a r d [ 1 9 5 3 ] , H a n o c h [ 1 9 7 3 ] a n d s u p p o r t f u n c t i o n s D i e w e r t [ 1 9 7 1 a ] , M c F a d d e n [ 1 9 6 6 ] , U z a w a [ 1 9 6 4 ] . 3 S i n c e T i s c l o s e d , t h e m a x a n d s u p a a r e ^ t h e s a m e . 4 D i e w e r t c a l l s i t v a r i a b l e p r o f i t f u n c t i o n . 5 F ( X , Y ) i s l o w e r c l o s e d i f C I „ C 1 Y F ( X , Y ) = F ( X , Y ) w h e r e C l v i s t h e c l o s u r e o p e r a t i o n w i t h r e s p e c t t o X . S e e R o c k a f e l T a r [ 1 9 7 0 a ] . R o c k a f e l l a r [ 1 9 7 0 a ] h a s s h o w n t h a t i f C a n d D a r e r e l a t i v e l y o p e n c o n v e x s e t s i n Rm a n d R n r e s p e c i t v e l y a n d i f F i s a f i n i t e c o n v e x c o n c a v e f u n c t i o n o n C x D , t h e n F i s c o n t i n u o u s r e l a t i v e t o C x D ( T h e o r e m 3 . 5 . 1 , p ~ 3 7 0 ) . ^ F o r p r o o f s o f g e n e r a l i z e d H o t e l l i n g ' s L e m m a , s e e G o r m a n [ 1 9 6 8 ] , D i e w e r t [ 1 9 7 3 ) a n d L a u [ 1 9 7 4 ] . o T h e s u b g r a d i e n t o f a c o n v e x f u n c t i o n F ( Y ) a t Y d e n o t e d Y * , i s d e f i n e d b y t h e s y s t e m o f i n e q u a l i t i e s : F ( X ) Z F ( Y ) + Y * T ( X - Y ) V X . T h e s e t o f a l l s u b g r a d i e n t s a t Y , d e n o t e d 8 F ( Y ) i s t h e s u b -d i f f e r e n t i a l o f F ( Y ) a t Y . I f 8 F ( Y ) c o n s i s t s o f o n l y o n e e l e m e n t , i t i s e q u a l t o t h e g r a d i e n t o f F ( Y ) a t Y , V F ( Y ) . 1 3 1 4 T h e s u p e r - g r a d i e n t i s d e f i n e d i n t h e s a m e w a y a s t h e s u b g r a d i e n t w i t h t h e i n e q u a l i t y s i g n r e v e r s e d . I n t h e s a m e w a y a t ( Y , X ) , w i t h r e s p e c t t o Y , p r o d u c t i v i t y c o r r e s p o n d e n c e . t h e s u b d i f f e r e n t i a l o f F ( Y , X ) c o i n c i d e s w i t h t h e m a r g i n a l REFERENCES D e b r e u , G . [ 1 9 5 9 ] , Theory of Value, N e w Y o r k : J o h n W i l e y a n d S o n s . D i e w e r t , W . E . [ 1 9 7 1 a ] , " A n A p p l i c a t i o n o f t h e S h e p h a r d D u a l i t y T h e o r e m : A G e n e r a l i z e d L e o n t i e f P r o d u c t i o n F u n c t i o n , " Journal of P o l i t i c a l Economy, 7 9 , 4 8 1 - 5 0 7 . D i e w e r t , W . E . 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A t p r e s e n t , h o w e v e r , d u a l i t y t h e o r i e s i n e c o n o m i c s a r e u s u a l l y c a s t i n a s t a t i c f r a m e w o r k , w h i l e d y n a m i c o p t i m i z a t i o n t h e o r i e s a r e o n l y c o n -c e r n e d w i t h t h e p r i m a l p r o b l e m a n d d o n o t d i s c u s s t h e d u a l r e l a t i o n s h i p a t a l l . 1 We p r o v i d e h e r e a n i n t e g r a t i o n o f d u a l i t y a n d d y n a m i c o p t i m i z a t i o n t h e o r i e s i n t h e c o n t e x t o f o p t i m a l e c o n o m i c g r o w t h . We s h o w t h a t t h e u s u a l ( p r i m a l ) o p t i m a l g r o w t h p r o b l e m h a s a s i t s d u a l a p r o b l e m o f r e n t m i n i m i z a t i o n , o r m o r e s p e c i f i c a l l y , a p r o b l e m o f d y n a m i c w a g e m i n i m i z a t i o n . T h e d u a l p r o b l e m i s s h o w n t o b e e q u i v a l e n t t o t h e o r i g i n a l o n e i n t h e s e n s e t h a t a s o l u t i o n t o o n e e x i s t s i f a n d o n l y i f a s o l u t i o n t o t h e o t h e r e x i s t s a n d b o t h s o l u t i o n s ( w h e n t h e y e x i s t ) a r e t h e s a m e . . 1 7 1 8 T h i s a p p r o a c h i s e s p e c i a l l y i m p o r t a n t f r o m a s o c i a l p l a n n i n g p o i n t o f v i e w . I t e n a b l e s u s t o c h a r a c t e r i z e a d y n a m i c e c o n o m y i n t e r m s o f p r i c e s a l o n e . I t i s p o s s i b l e t h e n , t o c o n t r o l t h e e c o n o m y e f f i c i e n t l y t h r o u g h p r i c e s , w h i c h m i g h t b e a r g u e d , i s m o r e p r a c t i c a l t h a n t h r o u g h q u a n t i t i e s . A s o c i a l p l a n n e r w i s h i n g t o c o n t r o l a n e c o n o m y o p t i m a l l y o v e r t i m e , n e e d s o n l y t o q u o t e t h e " r i g h t " p r i c e s a n d t h e e c o n o m y w i l l a d j u s t i t s e l f a c c o r d i n g l y a n d m o v e e f f i c i e n t l y o v e r t i m e . T h e d u a l i t y r e l a t i o n s h i p , t h e r e f o r e , i m p l i e s t h a t i n a d y n a m i c e c o n o m i c s y s t e m i n w h i c h i n d i v i d u a l d e c i s i o n m a k e r s s e e k t h e i r p r i v a t e o p t i m u m , a c e n t r a l i z e d s o c i a l l y o p t i m a l s o l u t i o n c a n b e a c h i e v e d b y d e c e n t r a l i z a t i o n . T h e c e n t r a l i z e d a n d d e c e n t r a l i z e d s o l u t i o n s a r e t h e s a m e a n d g i v e n o n e w e c a n g e t t h e o t h e r . T h e o n l y c r i t e r i o n f o r c h o o s i n g o n e o v e r t h e o t h e r i s t h e p r a c t i c a l i t y o f t h e i r i m p l e m e n t a t i o n , i . e . w h e t h e r i t i s m o r e p r a c t i c a l t o c o n t r o l a n e c o n o m y t h r o u g h p r i c e s o r q u a n t i t i e s . T h e c h o i c e b e c o m e s m o r e c o m p l i c a t e d w h e n w e i n t r o d u c e u n c e r t a i n t y a n d i m p e r f e c t i n f o r m a t i o n . I n t h i s c a s e t h e c o s t s a n d b e n e f i t s o f t h e t w o a l t e r n a t i v e s h a v e t o b e c o n s i d e r e d a n d t h e p r o b l e m i s o b v i o u s l y n o t t h a t 2 s i m p l e . A n i m p o r t a n t q u e s t i o n i s w h e t h e r a c o m p e t i t i v e s y s t e m c a n a c h i e v e t h e d y n a m i c o p t i m a l i t y b y i t s e l f ; w i l l t h e p r i v a t e a n d s o c i a l d y n a m i c e f f i c i e n c i e s b e c o n s i s t e n t ? T h i s w i l l d e p e n d o n t h e a v a i l a b i l i t y a n d r e q u i r e m e n t s o f 1 9 i n f o r m a t i o n , t h e e x i s t e n c e o f e x t e r n a l i t i e s a n d s u f f i c i e n t m a r k e t s a n d o n t h e b e h a v i o u r u n d e r u n d e r t a i n t y . I t s e e m s t h a t i n a c o m p e t i t i v e w o r l d w i t h o u t t h e s e m a r k e t f a i l u r e s , t h e r e i s n o r e a s o n w h y a c o m p e t i t i v e s y s t e m s h o u l d n o t b e d y n a m i c a l l y e q u a l l y e f f i c i e n t . I t i s , h o w e v e r , n o t c l e a r w h a t h a p p e n s i n a m o r e c o m p l e x w o r l d . A s i d e f r o m i t s s i g n i f i c a n c e f o r s o c i a l p l a n n i n g , t h e d u a l i t y r e l a t i o n s h i p i s v e r y i m p o r t a n t o n a p u r e l y t h e o r e t i c a l l e v e l . T h e d u a l a p p r o a c h c a n b e u s e f u l i n c h a r a c t e r i z i n g p r o b l e m s i n c a p i t a l t h e o r y w h i l e a v o i d i n g m a n y o f t h e c o n t r o v e r s i e s i n t h i s f i e l d . B y e m p l o y i n g t h e c o n c e p t o f r e s t r i c t e d p r o f i t f u n c t i o n s , w h i c h a r e n o t h i n g b u t t h e H a m i l t o n i a n f u n c t i o n s i n t h e p r o b l e m s o f c o n t r o l t h e o r y , w e c a n a n a l y s e t h e b e h a v i o u r o f a n e c o n o m y w i t h o u t h a v i n g t o r e s o r t t o a g g r e g a t e a n d s m o o t h n e o c l a s s i c a l p r o -d u c t i o n f u n c t i o n s . F u r t h e r m o r e , m o s t o f t h e c o m p a r a t i v e s t a t i c s , d y n a m i c s a n d s t a b i l i t y r e s u l t s c a n b e d e r i v e d d i r e c t l y f r o m t h e p r o p e r t i e s o f t h e d u a l f u n c t i o n s . We f i r s t a p p l y t h e d u a l i t y b e t w e e n c o s t a n d p r o -d u c t i o n f u n c t i o n s t o a d y n a m i c t w o - s e c t o r e c o n o m y a n d t h e n g e n e r a l i z e i t t o a n e c o n o m y w h i c h i s c h a r a c t e r i z e d b y j o i n t p r o d u c t i o n , w h e r e w e e m p l o y t h e d u a l i t y b e t w e e n t e c h n o l o g y ( t r a n s f o r m a t i o n f u n c t i o n ) a n d r e s t r i c t e d n o r m a l i z e d p r o f i t f u n c t i o n s . F i n a l l y , w e a p p l y d y n a m i c d u a l i t y t o t h e m i c r o p r o b l e m o f i n v e s t m e n t t h e o r y , a n d p r o v i d e a d u a l a p p r o a c h t o t h e i n v e s t m e n t p r o b l e m . 20 P a r t I I A n A p p l i c a t i o n t o O p t i m a l G r o w t h i n a S e c t o r a l E c o n o m y C o n s i d e r a t w o - s e c t o r e c o n o m y i n w h i c h c o n s u m p t i o n g o o d s ( Y Q ) a n d i n v e s t m e n t g o o d s ( Y j ) a r e p r o d u c e d b y u s i n g a p r i m a r y f a c t o r , l a b o u r ( L ) a n d a r e p r o d u c i b l e f a c t o r c a p i t a l ( K ) . 3 T h e e c o n o m y i s n o n - j o i n t , t h a t i s , w e h a v e t w o d i f f e r e n t p r o d u c t i o n f u n c t i o n s ^ Y c = F C ( K C , L C ) (1) Y I = F I ( K I ' L I ) ( 2 ) w h e r e ( L ^ ) i s t h e q u a n t i t y o f c a p i t a l ( l a b o u r ) e m p l o y e d i n s e c t o r i ( i = C , I ) . T h e p r o d u c t i o n f u n c t i o n s a r e a s s u m e d t o s a t i s f y c o n d i t i o n s I I 1 . F u r t h e r m o r e , i t i s a l s o a s s u m e d t h a t t h e y a r e h o m o g e n e o u s o f d e g r e e o n e , o n c e d i f f e r e n t i a b l e a n d 5 s a t i s f y t h e I n a d a c o n d i t i o n s a t t h e l i m i t s . L a b o u r i s f r e e l y m o b i l e a n d g r o w i n g a t a g i v e n r a t e n . C a p i t a l i s a l s o f r e e l y m o b i l e a n d d e p r e c i a t i n g a t a f i x e d r a t e p . L e t t h e u n i t p r o d u c t i o n f u n c t i o n s b e 1 = f ^ a - . b ^ ( 3 ) w h e r e a ^ b ^ ) i s t h e l a b o u r ( c a p i t a l ) i n p u t i n s e c t o r i , p e r u n i t o f o u t p u t i , i = I , C . N o t e t h a t t h e s e i n p u t - o u t p u t c o e f f i c i e n t s a r e n o t f i x e d a n d w i l l b e d e t e r m i n e d a s p a r t o f t h e o p t i m i z a t i o n p r o b l e m . L e t L = L r + L T b e t o t a l a m o u n t 2 1 o f l a b o u r , K = K c + K j b e t o t a l a m o u n t o f c a p i t a l , k = K / L , I = Y j / L a n d C = Y ^ / L . T h e n t a k i n g c o n s u m p t i o n p e r h e a d a s a m e a s u r e o f w e l f a r e , t h e u s u a l o p t i m a l g r o w t h p r o b l e m c a n b e w r i t t e n a s f o l l o w s : m a x T C d t ( 4 ) k = I - g k ( 5 ) a c C + a j l < 1 ( 6 ) b c C + b j l < k ( 7 ) 1 - f c ( a c , b c ) < 0 ( 8 ) 1 - f j U p b j ) < 0 ( 9 ) l . C , a - , b i a l l n o n - n e g a t i v e ( 1 0 ) k ( 0 ) = k 0 ( 1 1 ) k ( T ) = k T ( 1 2 ) w h e r e k = d k / d t a n d g = n + p. 22 T h e b o u n d a r y c o n d i t i o n s a r e t a k e n h e r e a s f i x e d . H o w e v e r , t h e y c a n g e n e r a l l y b e t a k e n a s t h e r e q u i r e m e n t t h a t k ( 0 ) e M 0 , k ( T ) e M y w h e r e M 0 , M y a r e n o n e m p t y c l o s e d c o n v e x s u b s e t s o f R ' . A l s o n o t e t h a t w e h a v e n o t d i s c o u n t e d f u t u r e c o n s u m p t i o n . T h e i n t r o d u c t i o n o f a d i s c o u n t r a t e c o m p l i c a t e s t h e a n a l y s i s b y i n t r o d u c i n g m e a s u r a b i 1 i t y a n d i n t e g r a b i 1 i t y p r o b l e m s . I t d o e s n o t , h o w e v e r , a f f e c t o u r r e s u l t s i n a n y e s s e n t i a l w a y . ^ A n o t h e r w a y o f w r i t i n g o u r p r o b l e m i s b y i n t r o d u c i n g a v a l u a t i o n f u n c t i o n f o r t h e b o u n d a r y c o n d i t i o n s . T h i s i s a n e q u i v a l e n t a p p r o a c h , w h i c h t u r n s o u t t o b e e x t r e m e l y u s e f u l i n f o r m u l a t i n g t h e d u a l i t y o f t h e b o u n d a r y c o n d i t i o n s . We d e f i n e a l o s s f u n c t i o n a s f o l l o w s : h [ k ( 0 ) , k ( T ) ] = 0 i f k ( 0 ) = k „ , k ( T ) = k y •<» i f k ( 0 ) f k 0 o r k ( T ) f k y ( 1 3 ) w h e r e h [ k ( 0 ) , k ( T ) ] i s a c l o s e d c o n c a v e f u n c t i o n . ^ T h e n w e c a n w r i t e t h e p r o b l e m a s : m a x C d t + h [ k ( 0 ) , k ( T ) ] ( 1 4 ) s u b j e c t t o ( 5 ) t h r o u g h ( 1 0 ) . 2 3 T h e b o u n d a r y c o n s t r a i n t s a r e i m p l i c i t l y t a k e n c a r e of i n t h i s f o r m u l a t i o n , . s i n c e a p e n a l t y i s p r e s c r i b e d i f t h e y a r e n o t s a t i s f i e d . T h i s o p t i m a l g r o w t h p r o b l e m c a n b e r e g a r d e d a s a n o p t i m a l c o n t r o l p r o b l e m a n d c a n b e s o l v e d b y a p p l y i n g t h e V a l e n t i n e - B e r k o v i t z m e t h o d ( V a l e n t i n e [ 1 9 3 7 ] , B e r k o v i t z [ 1 9 6 1 ] ) t o t h e P o n t r y a g i n m a x i m u m p r i n c i p l e ( P o r t r y a g i n [ 1 9 6 2 ] ) . T h e g p r o b l e m i s t o s e l e c t a p i e c e w i s e c o n t i n u o u s c o n t r o l [ C ( t ) , I ( t ) , a c ( t ) , a j ( t ) , b c ( t ) , b j ( t ) ] t h a t s a t i s f i e s t h e c o n s t r a i n t s a n d y i e l d s a m a x i m u m o f t h e c r i t e r i o n f u n c t i o n a l o v e r a l l s u c h a d m i s s a b l e c o n t r o l s . T h e H a m i l t o n i a n c o r r e -s p o n d i n g t o t h i s p r o b l e m i s : H ( k , p , C , I , a I , b I , b c , a c ) = C + p ( I - g k ) ( 1 5 ) w h e r e p i s t h e p r i c e o f c a p i t a l g o o d s i n t e r m s o f c o n -s u m p t i o n g o o d s . T h e H a m i l t o n i a n c a n b e i n t e r p r e t e d a s p e r c a p i t a n e t n a t i o n a l p r o d u c t . A p p l y i n g t h e m a x i m u m p r i n c i p l e , w e h a v e t o m a x i m i z e H w i t h r e s p e c t t o t h e c o n t r o l s , C , I , a c , a j b c , b j s u b j e c t t o ( 6 ) t h r o u g h ( 1 0 ) , k a n d p t a k e n a s g i v e n . We f o r m t h e L a n g a r a n g e a n L = H + w ( l - a c C - a j I ) + r ( k - b c C - b T I ) + ( 1 6 ) A c [ f c ( a c , b c ) - 1 ] + X j C f j U j . b j ) - 1 ] 24 w h e r e t h e m u l t i p l i e r s r a n d w a r e i n t e r p r e t e d a s w a g e a n d g r a n t a l r a t e s , a n d s o l v e t h e p r o b l e m m a x m i n L . ( C , I , a c , b c , a T , b I ) ( w , r , A c , A T ) ( 1 7 ) T h i s w i l l g i v e u s a s e t o f 1 0 K u h n - T u c k e r c o n d i t i o n s ( K u h n -T u c k e r [ 1 9 5 1 ] ) , f r o m w h i c h w e c a n s o l v e f o r ( C , I , a ^ a j , b ^ , b j , w , r , A c , A j ) i n t e r m s o f k a n d p . T h e n b y t h e V a 1 e n t i n e - B e r k o v i t z m e t h o d t h e d y n a m i c s o f a c l a s s o f o p t i m a l p a t h s i s g i v e n b y k = 3 L * / 3 p = I * - g k ( 1 8 ) P = - 9 L * / 9 k = g p - 9 H / 3 k ( 1 9 ) w h e r e 8 H / 3 k = r * , a n d L * i s t h e L a g r a n g e a n e v a l u a t e d a t t h e o p t i m a l s o l u t i o n . T h e b o u n d a r y c o n d i t i o n s , i . e . t h e f u n c t i o n h [ k ( 0 ) , k ( T ) ] a n d t h e t i m e h o r i z o n T c a n t h e n b e u s e d t o i d e n t i f y a n o p t i m a l p a t h . T h u s f a r w e h a v e j u s t p r e s e n t e d t h e c o n v e n t i o n a l p r i m a l a p p r o a c h t o t h e o p t i m a l g r o w t h p r o b l e m ( f o r a t w o -s e c t o r e c o n o m y ) . T h e p u r p o s e o f t h i s s e c t i o n i s t o s h o w t h a t t h e p r o b l e m d i s c u s s e d a b o v e c a n b e p r e s e n t e d e q u i v a l e n t l y i n t e r m s o f p r i c e s a l o n e . T h i s h a s f a r r e a c h i n g i m p l i c a t i o n s f o r t h e p l a n n e r . B y c h o o s i n g t h e r i g h t p r i c e s h e c a n c o n t r o l t h e e c o n o m y o p t i m a l l y t h r o u g h t i m e . 2 5 F r o m o u r k n o w l e d g e o f t h e d u a l i t y p r i n c i p l e s i n m a t h e m a t i c s a n d e s p e c i a l l y i n e c o n o m i c s , i t i s r e a s o n a b l e t o a r g u e t h a t a f i n a l o u t p u t m a x i m i z a t i o n p r o b l e m ( i n o u r c a s e c o n s u m p t i o n ) , h a s a s i t s d u a l , a p r o b l e m o f r e n t m i n i m i z a t i o n , w h i c h i s e q u i v a l e n t t o i t , i n t h e s e n s e t h a t a s o l u t i o n t o o n e e x i s t s i f a n d o n l y i f a s o l u t i o n t o t h e o t h e r e x i s t s a n d b o t h s o l u t i o n s ( w h e n t h e y e x i s t ) a r e t h e s a m e . I n o u r o p t i m a l g r o w t h p r o b l e m t h i s w o u l d i m p l y t h a t b o t h p r o b l e m s y i e l d t h e s a m e d y n a m i c b e h a v i o u r o f t h e s y s t e m . S i n c e i n o u r m o d e l t h e r e i s o n l y o n e s c a r c e n o n - r e p r o d u c i b l e r e s o u r c e , l a b o u r , i t i s t h e c o s t o f l a b o u r t h a t h a s t o b e m i n i m i z e d . T h i s i s r e l a t e d t o w h a t i s i m p l i e d b y t h e n o n - s u b s t i t u t i o n t h e o r e m . T h e r e f o r e , i n t h i s d y n a m i c o p t i m i z a t i o n m o d e l , i t i s a d y n a m i c w a g e m i n i m i z a t i o n p r o b l e m t h a t i s d u a l t o t h e a b o v e c o n s u m p t i o n m a x i m i z a t i o n p r o b l e m . A s u s u a l t h e c o n s t r a i n t s a s s o c i a t e d w i t h t h i s d u a l p r o b l e m a r e t h e n o n - p o s i t i v e p r o f i t c o n s t r a i n t s . I n t h i s d y n a m i c o p t i m i z a t i o n p r o b l e m , h o w e v e r , w e a l s o h a v e , b e s i d e s t h e u s u a l n o n - p o s i t i v e p r o f i t c o n s t r a i n t s o f s t a t i c n a t u r e , w h a t m i g h t b e c o n s i d e r e d a s a d y n a m i c n o n - p r o f i t c o n s t r a i n t P = g p - > • ( 2 0 ) T h i s c o n s t r a i n t c a n b e i n t e r p r e t e d a s t h e r e q u i r e m e n t t h a t t h e r a t e o f r e t u r n o n c a p i t a l ( i n t e r m s o f c o n s u m p t i o n ) p l u s c a p i t a l g a i n s , b e e q u a l t o t h e c o s t o f c a p i t a l . 26 So t h e d u a l p r o b l e m i s o f t h e f o r m rT m i n i w d t s u b j e c t t o (21 ) p = gp - r ( 2 2 ) 1 - C c(w,r) < 0 ( 2 3 ) p - C j ( w . r ) < 0 ( 2 4 ) w , r > 0 ( 2 5 ) p ( 0 ) = p 0 ( 2 6 ) P ( T ) = P T ( 2 7 ) w h e r e C j ( w , r ) i s t h e u n i t c o s t f u n c t i o n i n s e c t o r i , w h i c h i s d e f i n e d a s C . ( w , r ) = m i n {w a - + r b . : f , ( a . , b , ) > 1 a . , b . , > 0 } - ( 2 8 ) 1 a • , b . 1 I I i - i i -N o t e t h a t t h e l i n e a r h o m o g e n e i t y o f t h e p r o d u c t i o n f u n c t i o n s e n s u r e s t h a t t h e u n i t c o s t f u n c t i o n i s i n d e p e n d e n t o f o u t p u t . A g a i n i t s h o u l d be u n d e r s t o o d t h a t t h e b o u n d a r y c o n d i t i o n s a n d t h e t i m e h o r i z o n c a n be o f a n y k i n d we l i k e , a s l o n g a s we a r e c o n s i s t e n t w i t h t h e p r i m a l . We w i l l s h o w b e l o w 2 7 h o w t h e d u a l b o u n d a r y c o n d i t i o n s c a n b e d e r i v e d f r o m t h e p r i m a l b o u n d a r y c o n d i t i o n s . A s i n t h e p r i m a l , w e c o n s i d e r t h e d u a l a s a n o p t i m a l c o n t r o l p r o b l e m i n w h i c h w e h a v e t o s e l e c t a p i e c e w i s e c o n -t i n u o u s c o n t r o l ( w ( t ) , r ( t ) ) t h a t s a t i s f i e s t h e c o n s t r a i n t s a n d y i e l d s a m a x i m u m o f t h e c r i t e r i o n f u n c t i o n a l o v e r a l l s u c h a d m i s s a b l e c o n t r o l s . We f o r m t h e H a m i l t o n i a n H 1 = w + k ( r - g p ) ( 2 9 ) w h i c h i s i n t e r p r e t e d a s p e r c a p i t a n e t n a t i o n a l i n c o m e a n d a c c o r d i n g t o t h e m a x i m u m p r i n c i p l e t h i s n e t n a t i o n a l i n c o m e h a s t o b e m i n i m i z e d w i t h r e s p e c t t o w a n d r s u b j e c t t o ( 2 3 ) t h r o u g h ( 2 5 ) , k a n d p t a k e n a s g i v e n . We f o r m t h e L a g r a n g e a n L ' = H ' + C [ l - C c ( w , r ) ] + I [ p - C j ( w , r ) ] ( 3 0 ) a n d s o l v e t h e p r o b l e m m i n m a x L 1 w , r > 0 C , I > 0 T h i s w i l l g i v e u s a s e t o f K u h n - T u c k e r c o n d i t i o n s , f r o m w h i c h i t c a n b e s o l v e d f o r w , r , I , C i n t e r m s o f k a n d p . L e t t h i s s o l u t i o n b e w , F , T , C " . T h e n b y t h e V a l e n t i n e - B e r k o v i t z m e t h o d t h e d y n a m i c s o f a c l a s s o f o p t i m a l p a t h s i s g i v e n b y : 2 8 p = - 3 L / 3 k = g p - r ( 3 2 ) k = 3 L / 3 p = T - g k ( 3 3 ) w h e r e L i s t h e L a g r a n g e a n e v a l u a t e d a t t h e o p t i m a l s o l u t i o n . T h e i n i t i a l a n d t e r m i n a l c o n d i t i o n s , p l u s t h e t i m e h o r i z o n c a n t h e n b e u s e d t o i d e n t i f y a n o p t i m a l p a t h . T o s h o w t h a t t h e t w o s o l u t i o n s a r e i n f a c t t h e s a m e , i . e . t h e p r i m a l a n d d u a l a r e e q u i v a l e n t p r o b l e m s , w e d e r i v e t h e d u a l p r o b l e m d i r e c t l y d r o m t h e p r i m a l . T o d e r i v e t h e d u a l p r o b l e m w e s i m p l y r e a r r a n g e t h e t e r m s i n t h e L a g r a n g e a n ( 1 6 ) , a n d t h e n m a k e u s e o f t h e K u h n -T u c k e r s a d d l e p o i n t t h e o r e m a n d t h e d u a l i t y b e t w e e n c o s t a n d p r o d u c t i o n f u n c t i o n s . T h e L a g r a n g e a n ( 1 6 ) c a n b e w r i t t e n i n a n e q u i v a l e n t f o r m a s L = w + k ( r - g p ) + C ( l - a c w - b c r ) + I ( p - a T w - b j r ) + ( 3 4 ) A c [ f c ( a c , b c ) - 1 ] + A j C f j U j . b j ) - 1 ] . F r o m t h e K u h n - T u c k e r s a d d l e p o i n t t h e o r e m i t i s k n o w n t h a t t h e p r o b l e m o f m a x i m i z i n g H w i t h r e s p e c t t o C , I , s u b j e c t t o ( 6 ) - ( 1 0 ) , i s e q u i v a l e n t t o t h e p r o b l e m o f f i n d i n g t h e s a l l e p o i n t o f t h e L a g r a n g e a n L ( C , I , a c , a j , b ^ , b j ; w , r , X ^ , X j ) , i . e . , i t i s e q u i v a l e n t t o t h e p r o b l e m 29 m a x m i n C , I , a c , b c , b j , a j ; w , r , X c , X j > 0 ( 3 5 ) B u t t h i s i s e q u i v a l e n t t o t h e p r o b l e m m a x m m C , I w , r L_ w + k ( r - g p ) + C [ l + m a x m i n - ( a ^ w + b ^ r ) + a C ' b C A C X c ( f c ( a c , b c ) - 1 ) ] + I [ p + m a x m i n - (ajW + b j r ) + ( 3 6 ) a j , b j X j X I ( f I ( a I , b I ) - 1 ) ] b u t b y t h e d e f i n i t i o n o f t h e u n i t c o s t f u n c t i o n m i n m a x = a i , b i Xi ( a . w + t ^ . r ) + X n . ( l - f ^ a ^ b ^ ) - C ^ w . r ) ( 3 7 ) w h e r e C . ( w , r ) - i s t h e u n i t c o s t f u n c t i o n . S o t h a t m a x C , I , a j , a c , b j , b c , w , r , X j , X c m i n L = m i n m a x { w + k ( r - g p ) w , r C , I ( 3 8 ) + C [ l - C r ( w , r ) ] + I [ p - C T ( w , r ) ] } w h i c h c o r r e s p o n d s t o t h e p r o b l e m m i n w + k ( r - g p ) w , r s u b j e c t t o 3 0 1 - C r ( w , r ) < 0 ( 2 3 ) p - C T ( w , r ) < 0 ( 2 4 ) w , r > 0 . ( 2 5 ) T h i s i n t u r n c o r r e s p o n d s t o t h e c o n t r o l p r o b l e m rT m i n w d t s u b j e c t t o ( 2 2 ) t h r o u g h ( 2 5 ) . S i n c e i t i s t h e s a m e s a d d l e p o i n t p r o b l e m t h a t i s e q u i v a l e n t t o b o t h t h e p r i m a l a n d t h e d u a l , i t i s c l e a r t h a t a s o l u t i o n t o o n e p r o b l e m e x i s t s i f a n d o n l y i f a s o l u t i o n t o t h e o t h e r e x i s t s , a n d f u r t h e r m o r e , t h e s o l u t i o n s , w h e n t h e y e x i s t , a r e t h e s a m e f o r t h e p r i m a l a n d t h e d u a l . S o t h a t C * = C , I * = I , w * = w a n d r * = r a n d b o t h p r o b l e m s y i e l d t h e s a m e c l a s s o f o p t i m a l p a t h s . a t e a c h p o i n t i n t i m e t h e v a l u e s o f t h e t w o H a m i l t o n i a n s a r e t h e s a m e , i . e . , n e t ( a n d g r o s s ) n a t i o n a l p r o d u c t a n d i n c o m e a r e e q u a l . a b l e t o s p e c i f y a l s o t h e b o u n d a r y c o n d i t i o n s i n t e r m s o f p r i c e s . T o d o t h i s w e m a k e u s e o f t h e c o n j u g a c y r e l a t i o n o f c o n v e x f u n c t i o n s . G i v e n t h e p r i m a l v a l u a t i o n f u n c t i o n h [ k ( 0 ) , k ( T ) ] d e f i n e d b y ( 1 3 ) , w e d e f i n e i t s c o n j u g a t e d u a l a s : A s f o r t h e v a l u e s o f t h e t w o p r o g r a m s , w e s e e t h a t T o c o m p l e t e t h i s d u a l i t y r e l a t i o n , w e h a v e t o b e 31 m [ p ( 0 ) , p ( T ) ] = s u p { h [ k ( 0 ) , k ( T ) J - p(0)k(0) - p ( T ) k ( T ) } k(0 ) , k ( T ) (39) m [ p(0) , p ( T ) ] i s c l o s e d a n d c o n c a v e , a n d g i v e n (13) i t c a n b e w r i t t e n a s : m [ p ( 0 ) , p ( T ) ] = - hj,[p(0)]+ h | [ p ( T ) ] k(0 ) e M 0 , k ( T ) e M o t h e r w i s e T w h e r e h0[p(0)] a n d h j [ p ( T ) ] a r e t h e s u p p o r t f u n c t i o n s o f M o a n d M T d e f i n e d a s : h ' . ( p ) = s u p [ p T X : X e C ] . 1 0 T h e n , d u e t o t h e s y m m e t r i c n a t u r e o f t h e d u a l r e l a t i o n s h i p , t h e p r t - m a l v a l u a t i o n f u n c t i o n i s g i v e n b y h [ k ( 0 ) , k ( T ) ] = s u p ( p ( O ) k ( O ) + p ( T ) k ( T ) + m[p(0) , p ( T ) ] } p(0 ) , p ( T ) (40) F u r t h e r m o r e , t h e b o u n d a r y v a l u e s a r e r e c o v e r e d b y m a k i n g u s e o f t h e p r o p e r t y o f d u a l c o n j u g a t e s n a m e l y , p(0), p ( T)J e 3h[K(0), k ( T ) ] k(0), - k ( t ) ] e 3m[p(0), p ( T ) ] (41) (42) 32 w h e r e 9 h ( Y ) i s t h e s u b d i f f e r e n t i a l o f h a t Y • I f t h e s u b d i f f e r e n t i a l c o n s i s t s o f o n l y o n e e l e m e n t , t h e n i t b e c o m e s t h e g r a d i e n t , a n d t h e b o u n d a r y c o n d i t i o n s a r e o b t a i n e d s i m p l y b y d i f f e r e n t i a t i n g t h e v a l u a t i o n f u n c t i o n s . S o w e h a v e c h a r a c t e r i z e d t h e o p t i m a l g r o w t h p r o b l e m i n t e r m s o f p r i c e s a l o n e . We h a v e s h o w n t h a t t h e u s u a l s t a t i c d u a l i t y c a n b e e x t e n d e d t o d y n a m i c o p t i m i z a t i o n p r o b l e m s . F r o m t h e p r a c t i c a l p o i n t o f v i e w t h i s i m p l i e s t h a t i t i s p o s s i b l e t o c o n t r o l a n e c o n o m y e f f i c i e n t l y t h r o u g h t i m e , b y s e t t i n g t h e r i g h t p r i c e s . A l l t h a t i s r e q u i r e d t o k n o w i s t h e t e c h n o l o g y , i . e . t h e p r o d u c t i o n f u n c t i o n s a n d t h e i n i t i a l a n d t e r m i n a l p o s i t i o n s . G i v e n t h e p r o d u c t i o n f u n c t i o n s w e c a n d e t e r m i n e t h e c o s t f u n c t i o n s a n d g i v e n t h e b o u n d a r y s t o c k v a l u e s w e c a n d e t e r m i n e t h e b o u n d a r y p r i c e t a r g e t s a n d t h e p r o b l e m c a n t h e n b e e a s i l y s o l v e d . P a r t I I I A n A p p l i c a t i o n ' t o O p t i m a l G r o w t h i n a J o i n t P r o d u c t i o n E c o n o m y We g e n e r a l i z e n o w t h e m o d e l d i s c u s s e d i n t h e p r e v i o u s s e c t i o n t o t h e c a s e o f a n e c o n o m y w i t h j o i n t p r o d u c t i o n a n d a c o n c a v e u t i l i t y f u n c t i o n . I n v i e w o f t h e f a c t t h a t t r a d i t i o n a l r e s u l t s o r t h e o r e m s a r e o f t e n c h a n g e d w h e n j o i n t p r o d u c t i o n i s 33 i n t o r d u c e d , ' 1 i t i s i n t e r e s t i n g t o s e e w h e t h e r t h i s i s a l s o t h e c a s e h e r e . We f i n d t h a t t h e r e s u l t s a r e s i m i l a r t o t h o s e o f t h e n o n - j o i n t e c o n o m y , n a m e l y , i t i s p o s s i b l e t o c o n t r o l t h e e c o n o m y o p t i m a l l y o v e r t i m e , t h r o u g h p r i c e s a l o n e . T h e j o i n t e c o n o m y m o d e l d i f f e r s f r o m t h e p r e v i o u s o n e i n o n l y o n e a s p e c t ; w e a r e n o w u n a b l e t o s e t u p t h e d u a l p r o b l e m i n t e r m s o f p r i c e s a l o n e . We g e t w h a t m a y b e c a l l e d a n o n - p u r e o r m i x e d d u a l , w h e r e b o t h p r i c e s a n d q u a n t i t i e s a p p e a r i n t h e p r o b l e m . ( I n t h e p r e v i o u s s e c t i o n f o r i n s t a n c e w e h a d a p u r e d u a l , w h e r e o n l y p r i c e v a r i a b l e s a p p e a r e d i n t h e p r o b l e m . ) T o c o n t r o l t h e e c o n o m y w e s t i l l h a v e t o s e t o n l y p r i c e s , b u t w e n o w h a v e t o k n o w a l s o t h e c a p i t a l s t o c k a t e a c h p o i n t i n t i m e . T h i s , h o w e v e r , p r e s e n t s n o p r o b l e m , s i n c e c a p i t a l s t o c k i s g i v e n h i s t o r i c a l l y . L e t t e c h n o l o g y b e g i v e n b y t h e p r o d u c t i o n p o s s i -b i l i t y s e t T a s d e f i n e d b y I 1 , w i t h t h e f u r t h e r a s s u m p t i o n t h a t T i s a c o n e . T h e p r o d u c t i o n ( t r a n s f o r m a t i o n ) f u n c t i o n i s g i v e n b y Y c = - Z ( Y j , K , L ) ( 1 ) w h e r e t h e n o t a t i o n r e m a i n s t h e s a m e a s i n t h e p r e v i o u s s e c t i o n ( n o t e , h o w e v e r , t h a t Z i s n e g a t i v e , i . e . , Y j , i s a n o u t p u t ) , a n d Z i s a s s u m e d t o b e o n c e d i f f e r e n t i a b l e a n d s a t i s f y i n g t h e I n a d a c o n d i t i o n s . I f w e n o r m a l i z e i n t e r m s o f l a b o u r w e g e t 34 C = -G(I,k) . (2) Let the u t i l i t y function U(C) be a real-valued, continuous, concave, and non-decreasing function. The optimal control problem discussed in the pre-vious section can be written as max •T U[-G(I,k)] dt (3) o k = I - g k k(0) = k0 k(T) = k T . Given the concavity and monotonicity of U in C, and the convexity of G, U[-G(I,k)] = V(I,k) is a concave function in (I,k). We form the Hamiltonian H = [V(I,k) + p I - p gk] (4) and maximize i t with respect to the control variable I. Let H* be the Hamiltonian evaluated at the optimal solution, then H* = max [V(I,k) + pi - g pk] = J(p,k) - g pk (5) I 35 w h e r e J ( p , k ) = m a x [ V ( I , k ) + p i ] i s t h e u s u a l n o r m a l i z e d r e s t r i c t e d p r o f i t f u n c t i o n , a n d t h e r e f o r e h a s i t s p r o p e r t i e s ( c o n v e x i t y i n p a n d c o n c a v i t y i n k ) . F u r t h e r m o r e , b y H o t e l l i n g ' s L e m m a w e g e t t h e o p t i m a l s u p p l y o f i n v e s t m e n t a n d t h e o p t i m a l s h a d o w p r i c e o f c a p i t a l a s = 9 J ( p , k ) * _ 9 J ( p , k ) ( f ) )  1 9 P 9 k { ° ' T h e o p t i m a l p a t h s a r e g i v e n b y •  g p - r * (8) • 9H P " ~ 9k M C ^ i l . g p a n d g i v e n t h e t i m e h o r i z o n a n d t h e b o u n d a r y c o n d i t i o n s w e c a n i d e n t i f y a n o p t i m a l p a t h . W h a t w e a c t u a l l y h a v e h e r e i s a d y n a m i c v e r s i o n o f H o t e l l i n g ' s L e m m a , w h e r e g i v e n t h e d u a l f u n c t i o n , w e c a n d e r i v e t h e d y n a m i c o p t i m a l p a t h b y s i m p l e d i f f e r e n t i a t i o n . T h i s p r o p e r t y h a s s o m e a d v a n t a g e s f r o m t h e p r a c t i c a l p o i n t o f v i e w ; a l l w e n e e d t o d o i s s p e c i f y a f u n c t i o n a l f o r m f o r t h e H a m i l t o n i a n , t h a t s a t i s f i e s t h e r e q u i r e d p r o p e r t i e s , a n d t h e d y n a m i c b e h a v i o u r f o l l o w s i m m e d i a t e l y . T h i s c o u l d b e u s e d i n e s t i m a t i n g t e c h n o l o g y o v e r t i m e , a n d c a n p r o v i d e a c r i t e r i o n f o r m e a s u r i n g t h e d e g r e e o f o p t i m a l i t y o r e f f i c i e n c y o f a g i v e n e c o n o m y , b y c o m p a r i n g a c t u a l w i t h o p t i m a l p a t h s . 36 N o t e t h a t t h e i n t r o d u c t i o n o f a c o n c a v e u t i l i t y f u n c -t i o n c h a n g e s o u r r e s u l t s , o n l y i n t h a t i t t r a n s f o r m s p r i c e s t o b e m e a s u r e d i n t e r m s o f m a r g i n a l u t i l i t y . F o r e x a m p l e U 1 3 G 8 G n o w p = - 5 j , r = - u " y r / , w h e r e a s i n t h e p r e v i o u s s e c t i o n w e h a d U ' = 1 , f o r a l l C . T o d e r i v e t h e d u a l c o n t r o l p r o b l e m , w e f i r s t d e f i n e t h e d u a l p r o b l e m t o t h e p r o f i t ( r e v e n u e ) m a x i m i z a t i o n p r o b l e m (5). T h e d u a l t o a p r o f i t m a x i m i z a t i o n p r o b l e m , i s k n o w n t o b e a p r o b l e m o f f i x e d v a r i a b l e s p a y m e n t s m i n i m i z a t i o n - s u b j e c t 1 2 t o a n o n - p o s i t i v e p r o f i t s c o n s t r a i n t . S o H * c a n b e w r i t t e n a s H * = J ( p , k ) - g p k E m i n w , r r k + w : J ( p , k ) < r k + w ; w , r , > oj- - g p k (9) w h i c h c o r r e s p o n d s t o t h e c o n t r o l p r o b l e m r T m i n w d t (10) p = g p - r J ( p , k ) - r k - w < 0 w , r > 0 S i n c e i t i s t h e s a m e H a m i l t o n i a n H * t h a t c o r r e s p o n d s t o t h e p r i m a l a n d t h e d u a l , t h e y b o t h c l e a r l y y i e l d t h e s a m e 37 dynamic behaviour, i.e., they both yield the dynamic equations (7) and (8). Furthermore, this also implies that a solution to one problem exists i f an only i f a solution to the other exist. Equivalently, we can say that imposing regularity conditions to ensure existence in the primal, implies by duality, regularity conditions on the dual. Given a valuation function h [ k ( 0 ) , k(T)] for the primal, the boundary conditions for the dual are given by These conditions, together with the time horizon, serve to identify the optimal path. that of the last section where we had non-joint production. We are able to derive an equivalent problem in which wage and rental rates are the controls. It is therefore possible to control an economy that is characterized by joint production, through prices alone. Furthermore, the optimal dynamic behaviour is identical to the one that is implied by control through quantities. The only difference between the joint and non-joint production cases is that in the non-joint case we were able to formulate the dual problem in terms of prices alone, whereas here also quantities are needed. The capital stock k, now appears in the constraint in ( 1 0 ) . This, how-ever, is not much of a problem since the capital stock is p(T) = Vh[k ( 0 ) , k(T)] . ( 1 1 ) The result we get here i s , therefore, similar to 38 f i x e d a t e a c h p o i n t i n t i m e a n d g i v e n h i s t o r i c a l l y , s o t h a t t o c o n t r o l w e s t i l l h a v e t o s e t t h e r i g h t p r i c e s o n l y . P a r t I V D u a l i t y i n I n v e s t m e n t T h e o r y I n t h i s s e c t i o n w e g i v e a n a p p l i c a t i o n o f d y n a m i c d u a l i t y t o t h e t h e o r y o f i n v e s t m e n t . We l o o k a t a f i r m m a x i m i z i n g i t s d i s c o u n t e d p r e s e n t v a l u e s u b j e c t t o a g i v e n t e c h n o l o g y a n d a s u p p l y c u r v e o f c a p i t a l . I n o t h e r w o r d s , t h e f i r m i s a m o n o p s o n i s t i n t h e c a p i t a l m a r k e t a n d t h e f a s t e r i t i n v e s t s t h e h i g h e r i s t h e p r i c e i t h a s t o p a y f o r c a p i t a l g o o d s . T h e r a t e a t w h i c h t h e f i r m a d j u s t s , i . e . , t h e r a t e o f i n v e s t m e n t i s , t h e r e f o r e , b o u n d e d d u e t o t h e i n c r e a s i n g p r i c e o f c a p i t a l . L e t t h e f i r m ' s p r o d u c t i o n f u n c t i o n b e g i v e n b y Y = F ( K , L ) w h e r e F i s p o s i t i v e , n o n - d e c r e a s i n g , c o n c a v e a n d l i n e a r h o m o g e n e o u s , a n d Y , K , L a r e o u t p u t c a p i t a l a n d l a b o u r r e s p e c t i v e l y . L e t t h e s u p p l y c u r v e o f i n v e s t m e n t b e g i v e n b y q = q ( I ) w h e r e I i s i n v e s t m e n t , q i t s p r i c e a n d q ' > 0 , q " > 0. L e t P , w , r , g b e t h e p r i c e o f o u t p u t , w a g e i n t e r e s t a n d d e p r e -c i a t i o n r a t e s r e s p e c t i v e l y . T h e f i r m ' s p r o b l e n c a n t h e n b e w r i t t e n a s 39 m a x j T | P F ( K , L ) - w L - q ( I ) i j e~ r% d t ( 1 ) K = I - g K K(0) = K 0 K ( T ) = K T ' We f o r m t h e H a m i l t o n i a n H E e " r t P F ( K , L ) - w L - q ( I ) I + i p ( I - g K ) (2) a n d m a x i m i z e i t w i t h r e s p e c t t o t h e c o n t r o l s L a n d I . L e t H * b e t h e H a m i l t o n i a n e v a l u a t e d a t t h e o p t i m a l s o l u t i o n . T h e n H * = m a x L , I • r t P F ( K , L ) - w L r t TJ> I - q ( I ) I e " ' \ - g n - r t e m a x P F ( K , L ) - w L + m a x I - q ( I ) I e - r t ,= e~ H n(Hw,*')'+ G(TpAe" n , tt)=- T g , TpK = (3) 40 w h e r e G ( ^ , e " * ) = m a x - q ( I ) I e " r t ) a n d I n ( P , w , K ) s m a x ( P F ( K , L ) - w L ) . L n ( P , w , K ) i s t h e u s u a l r e s t r i c t e d p r o f i t f u n c t i o n a n d i s t h e r e f o r e c o n v e x a n d l i n e a r h o m o g e n e o u s i n ( P , w ) . G i v e n t h e l i n e a r h o m o g e n e i t y o f F ( K , L ) , n ( P , w , K ) c a n b e w r i t t e n a s K n ' ( P , w ) . F u r t h e r m o r e , b y H o t e l l i n g ' s L e m m a t h e o p t i m a l o u t p u t , d e m a n d f o r l a b o u r a n d s h a d o w p r i c e o f c a p i t a l a r e g i v e n b y Y * = an ( p , w , K ) ^ _ L * = 3 n ( p , w , K ) ^ s * = 3 n ( p , w , K ) = n . ( P j W ) . 3 p ' 3 w K (4) T h e m o n o t o n i c i t y a n d c o n v e x i t y o f q ( I ) a r e s u f f i c i e n t t o r t e n s u r e t h e c o n v e x i t y o f q ( I ) I . G ( i j j , e ) i s t h e r e f o r e a p r o f i t f u n c t i o n , s o t h a t i t i s l i n e a r h o m o g e n e o u s a n d c o n v e x - r t i n (i>,e ) , a n d t h e o p t i m a l i n v e s t m e n t q u a n t i t y a n d i n v e s t -m e n t e x p e n d i t u r e a r e g i v e n b y H o t e l l i n g ' s L e m m a a s I * - ni*-*'**) q ( I * ) I * . - " ( t . e - " ) , ( 5 ) 3 e T h e o p t i m a l p a t h s a r e g i v e n b y a n d 4 1 8H* 8K . e - r t an ( P w . K ) + g ^ • r t n ' ( P , w ) + g = - r t * • e r t S + g i p . (7) T h e e x p l i c i t t i m e v a r i a b l e t , c a n b e e l i m i n a t e d r t b y d e f i n i n g A s u c h t h a t A = i{> e . E q u a t i o n (7) t h e n b e c o m e s ( A e " r t ) = - = - e " r t S * + g A e " r t o r A = ( g + r ) A = S * . (7' ) G i v e n t h e b o u n d a r y c o n d i t i o n s a n d t h e t i m e h o r i z o n w e c a n i d e n t i f y a n o p t i m a l p a t h . S o f a r w e h a v e j u s t p r e s e n t e d t h e c o n v e n t i o n a l i n v e s t m e n t t h e o r y m o d e l f o r t h e c a s e o f a f i r m f a c i n g a n u p w a r d s s l o p i n g s u p p l y c u r v e o f i n v e s t m e n t g o o d s . N o w t h e q u e s t i o n i s w h e t h e r i t i s p o s s i b l e t o f i n d a p r o b l e m i n p r i c e s p a c e , w h i c h w i l l b e e q u i v a l e n t t o t h e o n e p r e s e n t e d a b o v e . T o d e r i v e t h e d u a l c o n t r o l p r o b l e m w e f i r s t a p p l y t h e d u a l i t y b e t w e e n r e s t r i c t e d p r o f i t m a x i m i z a t i o n a n d f i x e d v a r i a b l e s p a y m e n t m i n i m i z a t i o n . We d e f i n e : n ' ( P . w ) = m i n * S : n ' ( P . w ) - S < 0 S > 0 S <-(8) H * c a n t h e n b e w r i t t e n a s 42 H * E e " r t K m i n i S S : n' ( P , w ) - S < 0, S > oj- + G ( ^ , e " r t ) - giDK m i n S G U , e " r t ) + K ( e " r t S - qty): n ' ( P , w ) - S < 0, S > 0 w h i c h c o r r e s p o n d s t o t h e c o n t r o l p r o b l e m m i n G ( ^ , e " r t ) d t (9) i = g <i> - e " r t s IT ( P , w ) - S < 0 S > 0 G i v e n a v a l u a t i o n f u n c t i o n h [ K ( 0 ) , K ( T ) ] f o r t h e p r i m a l , t h e b o u n d a r y c o n d i t i o n s f o r t h e d u a l a r e g i v e n b y * ( 0 ) , i |>(T) V h [ K ( 0 ) , K ( T ) ] (10) T h e s e c o n d i t i o n s t o g e t h e r w i t h t h e t i m e h o r i z o n s e r v e t o i d e n t i f y t h e o p t i m a l p a t h . T h e d u a l p r o b l e m i s i n t u i t i v e l y q u i t e a p p e a l i n g . I t s h o w s t h a t , w h e n f a c e d w i t h v a r i a b l e i n v e s t m e n t c o s t s , m i n i m i z a t i o n o f t h e d i s c o u n t e d c o s t s i n v o l v e d i n t h e t r a n s i t i o n f r o m t h e i n i t i a l t o t h e f i n a l p o s i t i o n , i s e q u i v a l e n t t o a p r o b l e m o f d i s c o u n t e d p r e s e n t v a l u e m a x i m i z a t i o n . 43 A s i n t h e p r e v i o u s s e c t i o n s , w e h a v e s h o w n h e r e t h a t d u a l i t y p r i n c i p l e s c a n b e a p p l i e d t o d e r i v e a p r o b l e m i n p r i c e s p a c e , w h i c h w i l l b e e q u i v a l e n t t o t h e u s u a l i n v e s t m e n t t h e o r y p r o b l e m . T h e d u a l p r o b l e m r e q u i r e s t h e s a m e r e g u l a r i t y c o n d i t i o n s ( s o t h a t e x i s t e n c e c o n d i t i o n s a r e t h e s a m e ) a n d y i e l d s t h e s a m e o p t i m a l d y n a m i c b e h a v i o u r . T h e d u a l a p p r o a c h i n t h i s e x a m p l e i s i n a m i c r o c o n t e x t a n d i s n o t a s s i g n i f i c a n t h e r e a s i t i s i n t h e m a c r o c o n t e x t o f p l a n n i n g o f a n e c o n o m y , w h e r e i t i m p l i e s t h e p o s s i b i l i t y o f c o n t r o l t h r o u g h p r i c e s . I t d o e s , h o w e v e r , g i v e u s e x t r a i n s i g h t i n t o t h e n a t u r e o f t h e p r o b l e m a n d a p p e a l s q u i t e s t r o n g l y t o o u r e c o n o m i c i n t u i t i o n . FOOTNOTES B r u n o [ 1 9 6 9 ] m e n t i o n s t h e d u a l i t y r e l a t i o n , b u t h e i s c o n c e r n e d w i t h t h e m o m e n t a r y r a t h e r t h a n t h e d y a n m i c d u a l i t y . S e e W e i t z m a n [ 1 9 7 4 ] f o r a n i n t e r e s t i n g d i s c u s s i o n o f t h i s p r o b l e m i n a s t a t i c f r a m e w o r k . F o r d i s c u s s i o n o f j o i n t n e s s i n p r o d u c t i o n , s e e L a u [ 1 9 6 9 a ] , S a m u e l s o n [ 1 9 6 6 ] . F o r s i m p 1 i c i t y w e d r o p a l l t i m e s u b s c r i p t s , n o t e , h o w e v e r , t h a t a l l v a r i a b l e s a r e e v a l u a t e d a t a p o i n t i n t i m e . 5 We r e q u i r e t h a t 9 F i 3 F i 1 i m v p — - 1 i m — K .+oo d l S* L .^oo d L i "i i 1 i m 9 F . K . - o 3 K . 1 i m 3 L i i = I , C I n h i s f a m o u s p a p e r [ 1 9 2 8 ] R a m s e y a r g u e s a g a i n s t d i s c o u n t i n g . T h e o n l y w a y d i s c o u n t i n g w i l l a f f e c t t h e a n a l y s i s i ' s . ^ b y i i c h a n g i n g T t h e o d y n a m i . c p r l c e u e q u a ' t i o n t o sp* :-> ( g + <5) ' p - r w h e r e 6 i s t h e d i s c o u n t r a t e . .y c h a n r . ' " ' t:,z d y n s . i i - »r: u s s q u a t -~ s t h e d~' s u o u r t , 4 4 45 ^ F o r a d i s c u s s i o n o f t h e s e v a l u a t i o n f u n c t i o n s , s e e R o c k a f e l 1 a r [ 1 9 7 0 b ] . • 8 T h e f u n c t i o n f ( t ) i s s a i d t o b e p i e c e w i s e c o n -t i n u o u s o v e r t h e i n t e r v a l t i < t 5 t 0 M f : ( i ) t h e r e e x i s t n o t m o r e t h a n a f i n i t e n u m b e r o f p o i n t s i n t h e i n t e r v a l w h e r e i t i s n o t c o n t i n u o u s , ( i i ) a t a n y d i s c o n t i n u i t y p o i n t , i t i s a j u m p d i s c o n t i n u i t y . 9 We o f c o u r s e r e q u i r e t h a t t h e c o n s t r a i n t s q u a l i f i c a t i o n c o n d i t i o n s a r e s a t i s f i e d , s e e B e r k o v i t z [ 1 9 6 1 ] . 1 0 S e e R o c k a f e l l a r [ 1 9 7 0 a ] F o r e x a m p l e , t h e n o n - s u b s t i t u t i o n a n d t h e f a c t o r p r i c e e q u a l i z a t i o n t h e o r e m s d o n o t h o l d w h e n w e h a v e j o i n t p r o d u c t i o n . 1 2 S e e W o o d l a n d [ 1 9 7 3 ] REFERENCES B e r k o v i t z , M . C . [ 1 9 6 1 ] , " V a r i a t i o n a l M e t h o d s i n t h e P r o b l e m o f C o n t r o l a n d P r o g r a m m i n g , " Journal of Mathematical Analysis and Application, 3 , 1 4 5 - 1 6 9 . B r u n o , M . [ 1 9 6 9 ] , " F u n d a m e n t a l D u a l i t y T h e o r e m i n t h e P u r e T h e o r y o f C a p i t a l a n d G r o w t h , " Review of Economic Studies, 3 6 , 3 9 - 5 3 . K h u n , H . W . a n d T u c k e r , A . W . [ 1 9 5 2 ] , " n o n l i n e a r P r o g r a m m i n g , " C h a p t e r 1 i n Readings in Mathematical Economics, V o l . I , V a l u e T h e o r y , P e t e r N e w m a n ( e d . ) . L a u , L . J . [ 1 9 6 9 a ] , " S o m e A p p l i c a t i o n s o f P r o f i t F u n c t i o n s , " m e m o r a n d u m N o . 8 6 A a n d B , C e n t r e f o r R e s e a r c h i n E c o n o m i c G r o w t h , S t a n f o r d U n i v e r s i t y . P o n t r y a g i n , L . S . et al. [ 1 9 6 2 ] , The Mathematical Theory of Optimal Processes ( K . N . 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[ 1 9 3 7 ] , " T h e P r o b l e m o f L a n g u a g e w i t h D i f f e r e n t i a l I n e q u a l i t i e s a s A d d e d S i d e C o n d i t i o n s , " i n Contributions to the Calculus of Variations 1933-1937, U n i v e r s i t y o f C h i c a g o P r e s s , C h i c a g o , 1 9 3 7 , 4 0 7 - 4 4 8 . W e i t z m a n , M . L . [ 1 9 7 4 ] , " P r i c e s v s . Q u a n t i t i e s , " Review of Economic Studies, 4 1 , 4 7 7 - 4 9 1 . W o o d ! a n d , A . D . [ 1 9 7 3 ] , " D u a l i t y P r i n c i p l e s i n I n t e r n a t i o n a l T r a d e , " D i s c u s s i o n P a p e r 7 3 - 2 2 , D e p a r t m e n t o f E c o n o m i c s , T h e U n i v e r s i t y o f B r i t i s h C o l u m b i a . C h a p t e r 4 TESTS IN DUALITY THEORY I n t r o d u c t i o n D u a l i t y t h e o r y p r o v i d e s us w i t h a v e r y c o n v e n i e n t f r a m e w o r k f o r e m p i r i c a l s t u d i e s i n p r o d u c t i o n t h e o r y , a n d i n d e e d we f i n d a n i n c r e a s i n g n u m b e r o f e m p i r i c a l s t u d i e s a p p l y i n g i t J V e r y l i t t l e a t t e m p t h a s b e e n m a d e , h o w e v e r , t o t e s t t h e t h e o r y a n d i t s p r o p o s i t i o n s . We p r o p o s e a n d c a r r y o u t i n t h i s s e c t i o n some t e s t s f o r d u a l i t y t h e o r y a n d i t s p r o p o s i t i o n s . F i r s t , we t e s t f o t t h e v a l i d i t y o f an i m p l i c a t i o n o f d u a l i t y t h e o r y known a s H o t e l l i n g ' s L e m m a , o r S h e p h a r d ' s Lemma i n t h e c o n t e x t o f c o s t f u n c t i o n s . T h e n , we i n v e s t i g a t e t h e p o s s i b i l i t i e s o f t e s t i n g f o r t h e d u a l i t y r e l a t i o n s h i p i t s e l f ( r a t h e r t h a n i t s i m p l i c a t i o n s ) . We f i n d t h a t t h e t h e o r y d o e s n o t a l w a y s p a s s t h e p r o p o s e d t e s t s , i n o t h e r w o r d s , t h e S h e p h a r d ' s Lemma r e l a t i o n -s h i p i s n o t s a t i s f i e d f o r o u r b o d y o f d a t a . S e c o n d , we f i n d t h a t t h e t h e o r y d o e s n o t e n a b l e us t o c a r r y o u t t h e t e s t f o r t h e v a l i d i t y o f t h e d u a l i t y r e l a t i o n s h i p . We t h e r e f o r e p r o v i d e 48 49 a n a l t e r n a t i v e i n d i r e c t w a y o f e v a l u a t i n g t h e d u a l r e l a t i o n -s h i p . We c o m p a r e t h e r e s u l t s d e r i v e d f r o m a p r i m a l s y s t e m w i t h t h o s e o b t a i n e d f r o m a d u a l s y s t e m a n d f i n d t h e r e s u l t s t o b e , f o r p r a c t i c a l p u r p o s e s , n o t m u c h d i f f e r e n t . T h e o r e t i c a l M o d e l L e t T b e t h e p r o d u c t i o n p o s s i b i l i t y s e t d e f i n e d i n I ' i n C h a p t e r 2. ( F o r c o n v e n i e n c e i n t h e e m p i r i c a l a p p l i c a -t i o n w e c h a n g e t h e n o t a t i o n a n d m e a s u r e b o t h i n p u t s a n d o u t p u t s p o s i t i v e l y ) . L e t t h e p r o d u c t i o n f u n c t i o n b e g i v e n b y F ( X ) = m a x [ Y : ( X , Y ) e T ] , (1) a n d t h e c o r r e s p o n d i n g c o s t f u n c t i o n b y C ( P , Y ) = m i n [ P T X : F ( X ) < Y ] , (2) w h e r e X i s a n n v e c t o r o f i n p u t s , P t h e i r c o r r e -s p o n d i n g p r i c e s a n d Y a n o u t p u t . T h e p r o d u c t i o n f u n c t i o n c a n t h e n b e w r i t t e n a s F ( X ) = m a x [Y: C(P,Y) < P'x]. (3) F u r t h e r m o r e , t h e d e r i v e d d e m a n d a n d i n v e r s e d e m a n d c o n s i s t e n t w i t h o p t i m i z i n g b e h a v i o u r , a r e g i v e n b y L e m m a a s e q u a t i o n s S h e p h a r d 1 s 5 0 X = V p C ( P , Y ; a ) ( 4 ) a n d ^ = V x F ( X ; g ) ( 5 ) w h e r e a , g a r e v e c t o r s o f p a r a m e t e r s a n d q i s o u t p u t p r i c e . S h e p h a r d ' s L e m m a i s e x t r e m e l y i m p o r t a n t f r o m a n e m p i r i c a l p o i n t o f v i e w . I t a l l o w s u s t o d e r i v e t h e i n p u t d e m a n d e q u a t i o n s b y s i m p l e d i f f e r e n t i a t i o n , i n s t e a d o f b y a n a l y t i c a l l y s o l v i n g t h e o p t i m i z a t i o n p r o b l e m , a p r o c e d u r e t h a t i s n o t a l w a y s p o s s i b l e f o r g e n e r a l f u n c t i o n a l f o r m s . G i v e n t h e a s s u m p t i o n s o n T , t h e r e i s a o n e t o o n e c o r r e s p o n d e n c e b e t w e e n C a n d F ( a n d T ) , s o t h a t w e m i g h t s a y t h a t o n e f u n c t i o n i s a " s u f f i c i e n t s t a t i s t i c " f o r t h e o t h e r a n d t h e r e i s o n l y o n e s e t o f p a r a m e t e r s i n t h e t w o m o d e l s . I n e s t i m a t i n g t h e p r i m a l w e m a k e u s e o f r e l a t i o n s ( 5 ) , a n d i n e s t i m a t i n g t h e d u a l w e m a k e u s e o f r e l a t i o n s ( 4 ) . I n b o t h c a s e s w e a c h i e v e m o r e d e g r e e s o f f r e e d o m b y e s t i m a t i n g t h e s y s t e m o f e q u a t i o n s ( 4 ) o r ( 5 ) r a t h e r t h a n t h e o r i g i n a l f u n c t i o n ( 1 ) o r ( 2 ) . T h e s e s y s t e m s m e t h o d s , h o w e v e r , w i l l b e a p p r o p r i a t e o n l y i f t h e r e l a t i o n s ( 4 ) a n d ( 5 ) a r e i n f a c t d e r i v a t i v e s o f t h e c o s t f u n c t i o n ( 2 ) a n d t h e p r o d u c t i o n f u n c -t i o n ( 1 ) r e s p e c t i v e l y . D u a l i t y t h e o r y , o r r a t h e r , n e o c l a s s i c a l p r o d u c t i o n t h e o r y t e l l s u s t h a t t h e s e d e r i v a t i v e r e l a t i o n s h o l d t r u e . T h e d e r i v e d d e m a n d e q u a t i o n s a r e d e r i v a t i v e s o f t h e 5 1 c o s t r u n c t i o n a n d t h e i n v e r s e d e m a n d e q u a t i o n s a r e d e r i v a t i v e s o f t h e p r o d u c t i o n f u n c t i o n . I n t h i s c a s e , o n e o f t h e t w o s y s t e m s (4) o r (5) t e l l s u s e v e r y t h i n g a b o u t t h e o r i g i n a l ( c o s t o r p r o d u c t i o n ) f u n c t i o n a n d b y t h e d u a l i t y r e l a t i o n , i t a l s o c o m p l e t e l y d e s c r i b e s i t s d u a l . I n o t h e r w o r d s , t h e p a r a m e t e r s o f t h e d e r i v e d d e m a n d e q u a t i o n s , f o r i n s t a n c e , a r e t h e s a m e a s t h o s e o f t h e c o s t f u n c t i o n , w h i c h i n t u r n c o r r e s p o n d t o t h o s e o f t h e p r o d u c t i o n f u n c t i o n a n d t h e s e a r e t h e s a m e a s t h e p a r a m e t e r s o f t h e i n v e r s e d e m a n d e q u a t i o n s . We t e s t f i r s t f o r t h e v a l i d i t y o f t h e d e r i v a t i v e r e l a t i o n s h i p , w h i c h c a n b e c o n s i d e r e d a s a t e s t f o r d u a l i t y t h e o r y . T h e n , a s s u m i n g t h e s e r e l a t i o n s a r e t r u e , w e t e s t f o r t h e e q u a l i t y b e t w e e n t h e p a r a m e t e r s o f t h e c o s t ( p r o d u c t i o n ) f u n c t i o n a n d t h o s e o f t h e d e r i v e d d e m a n d ( i n v e r s e d e m a n d ) e q u a t i o n s . T h i s w i l l b e a t e s t f o r t h e i n t e r n a l c o n s i s t e n c y o f t h e t h e o r y . F i n a l l y , w e i n v e s t i g a t e t h e p o s s i b i l i t y o f t e s t i n g w h e t h e r t h e p a r a m e t e r s o f t h e p r i m a l a n d t h e d u a l a r e t h e s a m e . T o c a r r y o u t t h e s e t e s t s w e c h o o s e a g e n e r a l f l e x i b l e f u n c t i o n a l f o r m , o n e t h a t c a n b e r e g a r d e d a s a s e c o n d o r d e r a p p r o x i m a t i o n t o a n a r b i t r a r y t w i c e d i f f e r e n t i a b l e c o s t o r p r o d u c t i o n f u n c t i o n . I f w e c h o o s e a m o r e r e s t r i c t i v e f o r m , t h e n i n c a s e o f a r e j e c t i o n o f a h y p o t h e s i s , i t c o u l d b e a r g u e d t h a t i t i s t h e f u n c t i o n a l f o r m b e i n g r e j e c t e d . B y c h o o s i n g a v e r y g e n e r a l f o r m w e m a k e o u r r e s t u l s s t r o n g e r a n d n o t a s d e p e n d e n t o n t h e s p e c i f i c f u n c t i o n a l f o r m c h o s e n . 5 2 E c o n o m e t r i c M o d e l F o r t h e f i r s t t w o t e s t s w e c h o o s e t h e t r a n s l o g f u n c t i o n ( C h r i s t e n s e n et al, [ 1 9 7 1 ] ) . T h e t r a n s l o g f u n c t i o n c a n b e w r i t t e n a s : I n Y = I n a 0 + I-- .a. I n X i + \ \ \ y.- I n X . I n X. . We i m p o s e o n t h e p r o d u c t i o n f u n c t i o n ( 6 ) s y m m e t r y a n d l i n e a r h o m o g e n e i t y i n i n p u t s . T o g e t h e r t h e s e i m p l y t h e f o l l o w i n g p a r a m e t e r r e s t r i c t i o n s : Y - j j •= l*i = ] ' } Y i j = ° 9 1 1 1 a n d I y., = 0 a l 1 j . i J T h e i n v e r s e d e m a n d e q u a t i o n s a r e : S i = a i + I Y i j l n X j 1 = 1 ' " n w h e r e i s t h e s h a r e o f i n p u t i a n d I = 1 . i T h e t r a n s l o g c o s t f u n c t i o n c a n b e w r i t t e n a s 2 I n C = l n 6 o + I 6 i I n W . + | 11 l n W i l n W . + i J I e . I n Y I n W . + y l n Y + | ( l n Y ) i 53 w h e r e C i s t o t a l c o s t a n d W . t h e p r i c e o f i n p u t i . We i m p o s e l i n e a r h o m o g e n e i t y i n p r i c e s a n d o u t p u t a n d s y m m e t r y . T h i s i m p l i e s t h e f o l l o w i n g p a r a m e t e r r e s t r i c t i o n s : * i 5 = V ]*i - a l l 1 , I 6.. = 0 a l l j , e. = 0 a l l i , y = 1 a n d 0 = 0 . ( 8 a ) • 1 J I T h e d e r i v e d d e m a n d e q u a t i o n s a r e : S , i = 3 i + ? 6 i j l n W i i = l - - - n , (9) J w h e r e J S . = 1 v i S i n c e s h a r e s s u m t o o n e , o n l y n - 1 e q u a t i o n s i n t h e s y s t e n s (7) a n d (9) a r e i n d e p e n d e n t . I n t h e e s t i m a t i o n w e d r o p o n e e q u a t i o n f r o m t h e s y s t e m o f n e q u a t i o n s . N o t e t h a t n t h i s a d d i n g u p p r o p e r t y ( i . e . £ S ^ = 1 ) i m p l i e s .. n n i = 1 I OL- = 1 , £ y • • = 0 f o r t h e p r o d u c t i o n f u n c t i o n a n d i = l i = l 1 J n n I $ . = 1 , £ 6.. = 0 f o r t h e c o s t f u n c t i o n . H e n c e s y m m e t r y i = l i = l 1 J i m p l i e s l i n e a r h o m o g e n e i t y . F o r e m p i r i c a l i m p l e m e n t a t i o n t h e m o d e l s h a v e t o b e i m b e d d e d w i t h i n a s t o c h a s t i c f r a m e w o r k . T o d o t h i s , w e a s s u m e t h a t t h e c o s t a n d p r o d u c t i o n f u n c t i o n s a r e s t o c h a s t i c d u e t o 5 4 t e c h n i c a l e r r o r s a n d t h a t t h e r e l a t i o n s ( 7 ) a n d ( 9 ) a r e s t o c h a s t i c d u e t o e r r o r s i n o p t i m i z a t i o n . We d e f i n e t h e a d d i t v e d i s t u r -t h j b a n c e i n t h e i e q u a t i o n a s e ^ ( t ) , i = l « « « n - l , j a n d j = c o s t , p r o d u c t i o n . We a l s o d e f i n e t h e c o l u m n v e c t o r o f d i s t u r b a n c e s a t t i m e t a s e ^ , e j l ( t ) , . . . , e j _ 1 ( t ) , e j ( t ) t = l • • - T 4 We a s s u m e t h a t t h e v e c t o r o f d i s t u r b a n c e s i s i d e n t i c a l l y a n d i n d e p e n d e n t l y j o i n t n o r m a l l y d i s t r i b u t e d w i t h m e a n v e c t o r z e r o a n d n o n - s i n g u l a r c o v a r i a n c e m a t r i x tt, E [ e J ( t ) ] = 0 E [ e ( s ) e ' ( t ) ] = \m f o r t = s f o r a l l t , s 0 f o r t ^ s We c a r r y o u t t h e t e s t s f o r a t h r e e i n p u t m o d e l . We a s s u m e w e a k s e p a r a b i l i t y o f t h e s e t h r e e i n p u t s f r o m a l l o t h e r i n p u t s . T h e d a t a u s e d i s t h a t f r o m B e r n d t - C h r i s t e n s e n [ 1 9 7 4 ] u p d a t e d t o 1 9 7 1 . T h i s i s d a t a f o r b l u e a n d w h i t e c o l l a r l a b o u r a n d a g g r e g a t e c a p i t a l i n U . S . M a n u f a c t u r i n g 1 9 2 9 - 1 9 7 1 . T h e d a t a i s g i v e n i n T a b l e s A l a n d A 2 ( s e e A p p e n d i x 1 ) . 55 We h a v e c o n s t r u c t e d a D i v i s i a i n d e x o f i n p u t s a s a m e a s u r e o f o u t p u t a n d a D i v i s i a i n d e x o f i n p u t p r i c e s a s a m e a s u r e o f o u t p u t p r i c e . T h e s e i n d i c e s a r e e x a c t f o r t h e l i n e a r h o m o g e n e o u s t r a n s l o g f u n c t i o n a s w a s s h o w n b y D i e w e r t [ 1 9 7 4 b ] . We h a v e f o u n d t h a t t h e D i v i s i a i n d e x " a l m o s t " p a s s e s t h e f a c t o r r e v e r s a l t e s t . T h e r e w a s n o s i g n i f i c a n t d i f f e r e n c e b e t w e e n t h e o u t p u t i n d e x a c h i e v e d b y a d i r e c t D i v i s i a i n d e x o f i n p u t s a n d t h e o u t p u t i n d e x a c h i e v e d v i a a D i v i s i a i n d e x o f o u t p u t p r i c e . M o r e o v e r , w e f i n d t h a t t h e r e i s a l m o s t a p e r f e c t f i t i n t h e p r o d u c t i o n ( c o s t ) e q u a t i o n ( R 2 ~ . 9 9 ) i n a l l m o d e l s . I n o t h e r w o r d s t h e f i t t e d v a l u e s a r e a l m o s t t h e s a m e a s t h o s e o f t h e D i v i s i a i n d e x . T h e e s t i m a t i o n m e t h o d u s e d i s m a x i m u m l i k e l i h o o d . T h i s e n s u r e s t h a t r e s u l t s a r e i n v a r i a n t t o t h e c h o i c e o f t h e e q u a t i o n d r o p p e d . S i n c e f o r a g g r e g a t e d a t a b o t h p r i c e s a n d q u a n t i t i e s s h o u l d b e c o n s i d e r e d e n d o g e n o u s , i t m i g h t h a v e b e e n m o r e a p p r o p r i a t e t o d o a n i t e r a t i v e 3 S L S p r o c e d u r e b y u s i n g i n s t r u m e n t a l v a r i a b l e s . T h e p r o b l e m w i t h t h e i n s t r u m e n t a l v a r i a b l e s m e t h o d i s t h a t i t m a y b e v e r y s e n s i t i v e t o t h e c h o i c e o f i n s t r u m e n t s . S i n c e t h e c h o i c e o f i n s t r u m e n t s i s q u i t e a r b i t r a r y i t i s n o t c l e a r w h e t h e r t h e r e s u l t s w o u l d b e b e t t e r t h e n t h o s e o f t h e m a x i m u m l i k e l i h o o d . F u r t h e r m o r e , t h e I 3 S L S r e s u l t s o f B e r n d t a n d C h r i s t e n s e n h a v e b e e n c o m p a r e d t o t h o s e o f t h e c o r r e s p o n d i n g m o d e l i n o u r s t u d y a n d t h e y w e r e n o t m u c h d i f f e r e n t . 5 6 T e s t s f o r S h e p h a r d ' s L e m m a T h e p r o p o s e d t e s t s a r e a s f o l l o w s : O n t h e c o s t s i d e , w e a s s u m e t h e c o s t f u n c t i o n ( 8 ) ( p l u s a n e r r o r t e r m ) w i t h t h e r e s t r i c t i o n s ( 8 a ) i m p o s e d . T h e d e r i v e d d e m a n d e q u a t i o n s , h o w e v e r , w i l l b e w r i t t e n a s S. = B . + T o . . I n W. + u . i = i . . . n - l ( 1 0 ) i i j J J 1 w h e r e & . a n d 3 . . a r e c o m p l e t e l y u n r e s t r i c t e d . I n o t h e r w o r d s w e d o n o t i m p o s e s y m m e t r y o r l i n e a r h o m o g e n e i t y o n t h e d e r i v e d d e m a n d e q u a t i o n s . T h e t e s t t h e n i s , f o r t h e e q u a l i t y o f t h e p a r a m e t e r s i n ( 1 0 ) t o t h e c o r r e s p o n d i n g o n e s i n ( 8 ) , i . e . w e h a v e t h e t e s t : TeeJU,: H0: ^ = ^ , 6.. = Hx: 8n. t B i 5 6^ t 3 . . . S i m i l a r l y o n t h e p r o d u c t i o n s i d e , w e i m p o s e t h e r e s t r i c t i o n s ( 6 a ) o n ( 6 ) , b u t l e a v e t h e p a r a m e t e r s o f t h e i n v e r s e d e m a n d e q u a t i o n s c o m p l e t e l y u n r e s t r i c t e d . We w r i t e t h i s s y s t e m a s : S . = • a - + 7 y . - l n X . + e . i l j Y i j J i i = 1 • • • n - 1 ( 1 1 ) 57 T h e t e s t t h e n i s : Test 2: H 0 : a . = , y.. = y.. Hx: a. f a., Y i j t Y J J • F o r t e s t i n g w e u s e t h e l i k e l i h o o d r a t i o p r o c e d u r e . T h e r e s u l t s a r e a s f o l l o w s : Test 1: C o s t s i d e : X 2 = 6 0 . 9 8 , c r i t i c a l v a l u e : x 2 = 2 0 . 1 . ( 8 ) . 0 1 Test 2: P r o d u c t i o n s i d e : X 2 = 4 3 . 0 8 , c r i t i c a l v a l u e : x 2 = 2 0 . 1 . ( 8 ) . 0 1 O u r s e c o n d s e t o f t e s t s i s f o r t h e i n t e r n a l c o n s i s t e n c y o f t h e t h e o r y . H e r e i n a d d i t i o n w e i m p o s e a l l t h e r e s t r i c -t i o n s o n t h e s h a r e e q u a t i o n s a s w e l l , i . e . w e i m p o s e : I B i = 1 , I = 0 a n d I a. = 1 , I y.. = 0 o n ( 1 0 ) a n d ( 1 1 ) , r e s p e c t i v e l y , a n d t e s t f o r t h e e q u a l i t y o f p a r a m e t e r s . T h e t e s t s a r e a s f o l l o w s : Test 3: H 0 : S i = V 6.. - 6.. 5 8 Test 4: H 0 : c ^ . = , y.. = Y ^ j » H i : a . t a i 5 Y l j t J i y O u r r e s u l t s a r e : Test 3: C o s t s i d e : X 2 = 1 9 . 6 8 , c r i t i c a l v a l u e : x 2 = 1 5 - 1 ( 5 ) . 0 1 Test 4: P r o d u c t i o n s i d e : X 2 = 1 4 . 0 1 , c r i t i c a l v a l u e : x 2 = 1 5 . 1 . ( 5 ) . 0 1 A t a . 0 1 s i g n i f i c a n c e l e v e l , w e c o n c l u d e t h a t i n t h e f i r s t t w o t e s t s t h e n u l l h y p o t h e s i s i s d e c i s i v e l y r e j e c t e d , w h e r e a s i n t e s t 3 i t i s b a r e l y r e j e c t e d a n d i n t e s t 4 a c c p e t e d . T h i s s e e m s t o i n d i c a t e t h a t o n c e w e h a v e a c c e p t e d t h e t h e o r y a n d i t s i m p l i c a t i o n s , t h e t e s t f o r i n t e r n a l c o n s i s t e n c y i s m o r e l i k e l y t o p a s s . T o b e t t e r u n d e r s t a n d t h i s , w e n o t e t h a t t h e r e j e c t i o n o f t e s t s 1 a n d 2 i s m a i n l y d u e t o t h e l a c k o f s y m m e t r y a n d l i n e a r h o m o g e n e i t y i n t h e d e r i v e d a n d i n v e r s e d e m a n d e q u a t i o n s . I n b o t h p r o d u c t i o n a n d c o s t s i d e s , s y m m e t r y p l u s l i n e a r h o m o g e n e i t y a r e d e c i s i v e l y r e j e c t e d . T h e x 2 v a l u e s f o r t h e s e t e s t s a r e 4 1 . 8 9 f o r t h e d e r i v e d d e m a n d e q u a -t i o n s a n d ' 2 9 . 0 7 f o r t h e i n v e r s e d e m a n d e q u a t i o n s . T h e c r i t i c a l v a l u e i n b o t h c a s e s i s x 2 = 1 1 - 3 4 . ( 3 ) . 0 1 59 Since they are a direct result of optimizing behaviour, symmetry and linear homogeneity of the cost func-tion are central to the theory of production. Linear homo-geneity in inputs, which implies linear homogeneity in output of the cost function, although not essential to the neoclassical production theory, is usually assumed in most traditional studies. The model used above assumes constant returns to scale. Since this could be considered a questionable assump-tion, we might wonder how important this assumption is as far as our results are concerned. Intuitively, i t seems that the more of traditional theory we accept a pr i o r i , the greater the chances are that the theory will past the tests. This point is demonstrated by carrying out the tests under different assumptions on technology, a different body of data and using a different estimation technique. First, we relax the assumption of constant returns to scale and carry out the test for Shepard's Lemma assuming a general non-homothetic cost function, i.e. we relax the restrictions e. = 0, y. = 1 and 0 = 0 in equation (8) above. The estimation method used here is an interative 3S LS. Dhrymes [1973] has shown that i f one interates on 3S LS one obtains parameter estimates symptotically equivalent to maximum likelihood estimates. The instrumental variables used are the ones used by Berndt and Christensen [1974]. The result is that the hypothesis is even more decisively rejected; X2 = 110.689, c r i t i c a l value X 2 ( 1 0 ) 0 l = 2 3 - 2 - T n i s 6 0 s t r e n g t h e n s o u r p r e v i o u s r e s u l t s , b e c a u s e i t i m p l i e s t h a t t h e r e j e c t i o n a l s o t a k e s p l a c e w h e n a d i f f e r e n t e s t i m a t i o n m e t h o d a n d a n o n - h o m o t h e t i c s p e c i f i c a t i o n a r e e m p l o y e d . T h e a s s u m p t i o n o f a t h r e e i n p u t c a s e i m p l i e s t h a t w e h a v e i m p l i c i t l y a s s u m e d w e a k s e p a r a b i l i t y b e t w e e n t h e s e t h r e e i n p u t s a n d a l l o t h e r i n p u t s . T o c h e c k w h e t h e r t h e a b o v e r e s u l t s s t i l l h o l d f o r a m o d e l w i t h m o r e t h a n j u s t c a p i t a l a n d l a b o u r i n p u t s , a s w e l l a s t o t e s t t h e r e s u l t s b y u s i n g a d i f f e r e n t b o d y o f d a t a , w e t e s t f o r t h e S h e p h a r d ' s L e m m a r e l a t i o n u s i n g t h e f o u r i n p u t U . S . m a n u f a c t u r i n g ( 1 9 4 7 - 1 9 7 1 ) d a t a o n c a p i t a l , l a b o u r , e n e r g y a n d m a t e r i a l s , f r o m B e r n d t a n d W o o d [ 1 9 7 5 ] a n d a n o n - h o m o t h e t i c c o s t f u n c t i o n . A g a i n , t h e e s t i m a t i o n m e t h o d i s i t e r a t i v e 3 S L S u s i n g t h e s a m e i n s t r u -m e n t s a s b e f o r e . T h e t e s t r e s u l t s a r e t h e s a m e . T h e h y p o t h e s i s t h a t S h e p h a r d ' s L e m m a h o l d s i s r e j e c t e d : x 2 = 9 7 . 6 7 , c r i t i c a l v a l u e x 2 = 3 4 . 8 . ( 1 8 ) . 0 1 We n o w c o n s i d e r w h a t t h e a b o v e s e t o f r e s u l t s m e a n s . C l e a r l y , t h e y w a r n u s t h a t t h e r e i s s o m e t h i n g w r o n g w i t h o u r t h e o r y a n d w i t h t h e w a y w e u s u a l l y a p p l y i t i n e m p i r i c a l s t u d i e s . I f t h e p a r a m e t e r s o f t h e d e r i v e d d e m a n d e q u a t i o n s c a n n o t b e p r e s u m e d t o b e t h e s a m e a s t h o s e o f t h e c o s t f u n c t i o n , t h e n w h a t e x a c t l y d o e s i t m e a n t o e s t i m a t e t h e d e r i v e d d e m a n d p a r a m e t e r s ? W h a t d o t h e y r e p r e s e n t ? W h a t f o r i n s t a n c e , w i l l b e t h e m e a n i n g o f e l a s t i c i t i e s o f s u b -s t i t u t i o n t h a t a r e o b t a i n e d f r o m d e r i v e d d e m a n d e q u a t i o n s ? 6 1 I n r e j e c t i n g o u r t e s t s w e h a v e i n f a c t r e j e c t e d a w h o l e s e t o f a s s u m p t i o n s i d e n t i f i e d w i t h t h e n e o c l a s s i c a l t h e o r y o f p r o d u c t i o n . T h e s e a s s u m p t i o n s i n c l u d e t h e c o s t m i n i m i z a t i o n b e h a v i o u r , p e r f e c t c o m p e t i t i o n , e q u i l i b r i u m , s t a t i c f r a m e w o r k , n o u n c e r t a i n t i e s a n d m o r e . A n y o r a l l o f t h e n e o c l a s s i c a l u n d e r l y i n g a s s u m p t i o n s m i g h t h a v e b e e n t h e r e a s o n f o r t h e r e j e c t i o n . T h e p r o b l e m m i g h t a l s o b e w i t h t h e w a y t h e t h e o r y i s u s u a l l y b e i n g a p p l i e d , n o t o n l y w i t h t h e t h e o r y i t s e l f . T h e r e a r e p r o b a b l y m a n y e l e m e n t s t h a t c o n t r i b u t e t o t h e s e r e s u l t s a n d i t i s n o t s i m p l e t o i s o l a t e t h e s e c o n t r i b u t i o n s . T h e p r o b l e m m i g h t b e w i t h t h e d a t a a n d t h e w a y i t i s c o n -s t r u c t e d . I t m i g h t b e i n t h e s p e c i f i c a t i o n o f t h e m o d e l . I n o r d e r t o c a r r y o u t o u r t e s t s w e h a v e i m p l i c i t l y a s s u m e d w e a k s e p a r a b i l i t y b e t w e e n t h e i i n c l u d e d i n p u t s a n d a l l o t h e r e x c l u d e d i n p u t s . T h i s a s s u m p t i o n m i g h t n o t b e v a l i d . We h a v e a l s o a s s u m e d H i c k s n e u t r a l t e c h n i c a l c h a n g e ( i . e . t e c h -n i c a l c h a n g e i s s e p a r a b l e f r o m i n p u t s ) , w h i c h m i g h t n o t b e v a l i d e i t h e r . A v e r y s e r i o u s p r o b l e m m i g h t b e a g g r e g a t i o n o v e r i n p u t s a n d o v e r f i r m s . T h e c o n d i t i o n s f o r c o n s i s t e n t a g g r e g a t i o n a r e u s u a l l y v e r y s t r i n g e n t a n d w e c a n n o t e x p e c t t h e m t o h o l d . We s h o u l d a l s o n o t f o r g e t t h a t o u r f u n c t i o n a l f o r m i s o n l y a s e c o n d o r d e r l o c a l a p p r o x i m a t i o n . We d o n o t k n o w w h a t k i n d o f e r r o r i s i n v o l v e d ; t h e a p p r o x i m a t i n g e r r o r m i g h t b e s i g n i f i c a n t . F i n a l l y , s o m e o f t h e p r o b l e m c o u l d c o m e f r o m a n i n c o r r e c t s t o c h a s t i c s p e c i f i c a t i o n . 6 2 I t i s v e r y i m p o r t a n t t o t r y t o i d e n t i f y w h a t e x a c t l y h a s b e e n r e j e c t e d . E v e n t h o u g h t h e p r e c i s e c a u s e m i g h t n o t b e e a s i l y i d e n t i f i e d , w e s h o u l d a l w a y s k e e p i n m i n d t h e e x t e n t t o w h i c h o u r e m p i r i c a l a p p l i c a t i o n s a r e c o n -s i s t e n t w i t h t h e t h e o r y . T e s t s f o r D u a l i t y S o f a r w e h a v e a n a l y s e d t h e p r i m a l a n d d u a l s e p -a r a t e l y . N o w w e c o m b i n e t h e t w o p a r t s a n d t r y t o t e s t f o r t h e d u a l i t y r e l a t i o n s h i p i t s e l f . T h e d u a l i t y b e t w e e n c o s t a n d p r o d u c t i o n t e l l s u s t h a t o n e f u n c t i o n i s a s u f f i c i e n t s t a t i s t i c f o r t h e o t h e r . We w i l l t r y t o t e s t w h e t h e r t h e p a r a m e t e r s o f t h e p r i m a l i n d e e d c o r r e s p o n d t o t h o s e o f t h e d u a l . T o c a r r y o u t t h i s t e s t w e n e e d a f u n c t i o n a l f o r m 5 t h a t h a s a n e x p l i c i t d u a l . T h e o n l y f l e x i b l e f u n c t i o n w i t h a n e x p l i c i t d u a l i s t h e q u a d r a t i c ( s e e D i e w e r t [ 1 9 7 2 ] , L a u [ 1 9 7 3 ] ) . T h e s q u a r e r o o t e d q u a d r a t i c c a n b e w r i t t e n a s : Y = ( X T A X ) 1 / 2 w h e r e A i s a n x n s y m m e t r i c m a t r i x . D e f i n e t h e c o s t f u n c t i o n a s 63 C ( W , X ) = m i n { W T X : ( X T A X ) 1 / 2 > Y } X T h e m i n i m i z a t i o n y i e l d s C ( W , Y ) = ( W T A " 1 W ) Y . ( 1 3 ) T h e d e r i v e d d e m a n d e q u a t i o n s a r e 7 " A " 1 * ( 1 4 ) a n d t h e i n v e r s e d e m a n d e q u a t i o n s £ - A f . ( 1 5 ) T h e s e t w o s e t s o f e q u a t i o n s a r e e q u i v a l e n t , f o r A = ( y - ) - 1 i n b o t h c a s e s . We c a n n o t t h e r e f o r e t e s t f o r t h e d u a l i t y r e l a t i o n , i . e . t e s t w h e t h e r t h e p a r a m e t e r m a t r i x i n ( 1 4 ) i s i n d e e d t h e i n v e r s e o f t h e p a r a m e t e r m a t r i x i n ( 1 5 ) . D u a l i t y h e r e h o l d s b y d e f i n i t i o n a n d w e c a n n o t t e s t f o r i t . T h i s p r o p e r t y m a k e s t h e q u a d r a t i c f u n c t i o n v e r y a t t r a c t i v e f o r e m p i r i c a l s t u d i e s . I t e n s u r e s t h a t d u a l i t y h o l d s a n d i t i s t h e n e q u i v a l e n t t o u s e t h e p r i m a l o r t h e d u a l f o r e s t i m a t i o n S i n c e w e c a n n o t t e s t f o r d u a l i t y d i r e c t l y , a s a n a l t e r n a t i v e f o r e v a l u a t i n g t h e d u a l r e l a t i o n s h i p , w e c o m p a r e t h e r e s u l t s d e r i v e d f r o m a p r i m a l s y s t e m w i t h t h o s e o b t a i n e d 6 4 f r o m a d u a l s y s t e m . We a g a i n e m p l o y t h e t h r e e i n p u t t r a n s l o g m o d e l u s i n g t h e d a t a o f B e r n d t - C h r i s t e n s e n [ 1 9 7 4 ] . S i n c e t h e t r a n s l o g f u n c t i o n d o e s n o t h a v e a n e x p l i c i t d u a l , w e c a n n o t i n f e r m u c h f r o m c o m p a r i n g t h e p a r a m e t e r s a l o n e . We c a n , h o w e v e r , c o m p a r e t h e i m p l i c a t i o n s o f t h e t w o m o d e l s . We c o m p a r e t h e e l a s t i c i t i e s o f s u b s t i t u t i o n , t h e c o n v e x i t y a n d m o n o t o n i c i t y r e s u l t s o b t a i n e d f r o m t h e t w o m o d e l s . We d o t h i s f o r t w o c a s e s . I n t h e f i r s t c a s e , w e i n c l u d e t h e c o s t a n d p r o d u c t i o n f u n c t i o n s t h e m s e l v e s i n t h e e s t i m a t i n g s y s t e m , i . e . w e c o m p a r e t h e r e s u l t s o b t a i n e d f r o m t h e s y s t e m ( 6 ) a n d ( 7 ) t o t h o s e o b t a i n e d f r o m t h e s y s t e m ( 8 ) a n d ( 9 ) . I n t h e s e c o n d c a s e , o n l y t h e d e r i v e d e q u a t i o n s a r e c o m p a r e d . T h i s i s t h e t r a d i t i o n a l a p p r o a c h t o e s t i m a t i n g t e c h n o l o g y . We t h e n m a k e a c o m p a r i s o n b e t w e e n ; t h e t w o c a s e s , i . e . w e c o m p a r e t h e r e s u l t s o b t a i n e d f r o m e s t i m a t i n g a " f u l l " s y s t e m ( w h e r e a l s o t h e c o s t a n d p r o d u c t i o n f u n c t i o n s a r e i n c l u d e d ) t o t h o s e o b t a i n e d f r o m a " p a r t i a l " s y s t e m ( o n l y d e r i v e d e q u a t i o n s ) . T h e p a r a m e t e r e s t i m a t e s f o r t h e f o u r m o d e l s a r e g i v e n i n T a b l e s 1 a n d 2 . T a b l e s 3 - 6 p r o v i d e e l a s t i c i t i e s o f s u b s t i t u t i o n f o r s e l e c t e d y e a r s . T h e r e s u l t s o b t a i n e d f r o m a l l f o u r m o d l e s a r e q u i t e s i m i l a r . M o n o t o n i c i t y i s s a t i s f i e d i n a l l f o u r m o d e l s a t a l l o b s e r v a t i o n p o i n t s . C o n c a v i t y p a s s e s g l o b a l l y f o r t h e t w o m o d e l s o n t h e c o s t s i d e . O n t h e p r o d u c t i o n s i d e c o n c a v i t y p a s s e s f o r a l l b u t t h r e e y e a r s ( 1 9 4 2 - 1 9 4 4 ) i n t h e p a r t i a l s y s t e m , a n d i n a l l b u t o n e y e a r ( 1 9 4 3 ) i n t h e f u l l s y s t e m . 6 5 T a b l e 1 P a r a m e t e r E s t i m a t e s ; P r o d u c t i o n M o d e l ( s t a n d a r d e r r o r s i n p a r e n t h e s e s ) F u l l S y s t e r n P a r t i a l S y s t e m 6 0 4 . 0 3 7 1 ( . 0 0 0 8 ) 6 1 . 6 3 1 2 . 6 3 0 5 ( . 0 0 2 1 ) ( . 0 0 3 9 ) . 2 1 5 6 . 2 1 6 5 ( . 0 0 2 8 ) ( . 0 0 3 9 ) 6 1 1 . 1 7 6 3 . 1 8 1 0 ( . 0 0 7 5 ) ( . 0 1 1 5 ) 6 1 2 - . 1 4 1 4 - . 1 4 6 7 ( . 0 0 6 5 ) ( . 0 0 8 2 ) 6 2 2 . 0 9 8 1 . 1 0 0 0 ( . 0 1 2 0 ) ( . 0 1 6 1 ) N o t e : 1 2 3 = b l u e c o l l a r = w h i t e c o l l a r = c a p i t a l T a b l e 2 P a r a m e t e r E s t i m a t e s ; C o s t M o d e l ( s t a n d a r d e r r o r s i n p a r e n t h e s e s ) F u l l S y s t e m P a r t i a l S y s t e m a o . 0 0 2 7 ( . 0 0 0 9 ) . 6 0 5 6 ( . 0 0 7 3 ) . 5 8 3 5 ( . 0 0 9 5 ) a 2 . 2 3 9 6 ( . 0 0 5 3 ) . 2 5 5 6 ( . 0 0 6 2 ) Y i i - . 2 3 8 3 ( . 0 8 1 8 ) - . 2 8 0 5 ( . 0 9 4 1 ) Y i 2 . 2 1 0 2 ( . 0 5 9 5 ) . 2 2 6 8 ( . 0 6 3 5 ) Y2 2 - . 1 4 1 0 ( . 0 4 5 9 ) - . 1 3 1 2 ( . 0 4 8 0 ) 6 7 T a b l e 3 E l a s t i c i t i e s o f S u b s t i t u t i o n ( S . . ) ; P r o d u c t i o n M o d e l F u l 1 S y s t e m Y e a r S I 1 S 2 2 S 3 3 S I 2 S I 3 S 2 3 1 9 2 9 - 3 . 1 6 7 2 0 - 1 0 . 0 8 3 0 - 5 . 9 1 0 9 3 5 . 2 3 6 1 5 2 . 8 6 5 9 8 - 2 . 5 6 2 8 1 1 9 3 6 - 3 . 1 4 2 4 5 - 1 2 . 9 0 2 9 - 6 . 5 6 0 3 9 5 . 9 6 0 8 0 3 . 1 3 5 1 5 - 3 . 6 0 6 3 5 1 9 4 3 1 . 9 9 6 8 3 8 . 3 2 9 6 - 0 . 9 4 6 0 6 8 - 9 . 2 1 5 0 5 - 2 . 3 8 2 8 2 1 4 . 9 8 6 6 1 9 5 0 - 3 . 7 9 8 8 3 - 2 5 . 1 9 4 2 - 8 . 8 0 0 5 7 9 . 3 8 2 1 6 4 . 4 2 6 4 6 - 8 . 2 1 7 8 9 1 9 5 7 - 3 . 2 0 0 4 3 - 9 . 3 6 1 6 4 - 5 . 7 5 3 2 2 5 . 0 5 6 9 5 2 . 8 0 6 1 7 - 2 . 3 0 9 0 9 1 9 6 4 - 3 . 3 1 8 3 5 - 8 . 1 9 3 8 8 - 5 . 4 5 0 3 0 4 . 7 9 1 0 5 2 . 7 1 5 7 6 - 1 . 8 9 1 1 8 1 9 7 1 - 3 . 4 4 9 2 4 - 7 . 0 3 2 8 8 - 5 . 3 2 4 2 4 4 . 5 0 7 1 1 2 . 6 6 4 2 8 - 1 . 5 4 8 8 2 N o t e : 1 = b l u e c o l 1 a r 2 = w h i t e c o l l a r 3 = c a p i t a l 68 Table 4 Elasticities of Substitution; Production Model Partial System Year Sll S22 S33 S12 S13 S23 1929 -3.54619 -10.9968 -5.96227 5.84055 3.11114-3.01380 1936 -3.57434 -14.3963 -6.72267 6.77861 3.47264 -4.31414 1943 1.42330 .28.4852 -1.83517 -6.82614 -1.60744 11.6496 1950 -4.78606 -31.5568 -9.80107 11.9027 5.46590 -10.9555 1957 -3.57063 -10.1485 -5.78501 5.61358 3.03233 -2.70649 1964 -3.68904 -8.80800 -5.45029 5.28686 2.91582 -2.21070 1971 -3.80945 -7.46446 -5.33074 4.92640 2.84628 -1.80892 69 Table 5 Elasticities of Substitution; Cost Model Full Sys tern Year SI 1 S22 S33 SI 2 SI 3 S23 1929 -1 .21343 -6 .81337 -3 .59081 2 .58719 1 .27024 -0 .995739 1936 -1 .23949 -6 .1 4954 -3 .74948 2 .50290 1 .28758 -0 .974514 1 943 -1 .05300 -9 .77980 -3 .49961 2 .87408 1 .24708 -1 .42537 1 950 -1 .19863 -6 .69016 -3 .69883 2 .56104 1 .27869 -1 .04567 1957 -1 .40750 -5 .12821 -3 .61902 2 .42105 1 .29125 -0 .689381 1964 -1 . 32694 -5 .57918 -3 .67117 2 .45786 1 .28864 -0 .81 0831 1 971 -1 .37678 -4 .68000 -4 .02517 2 .33015 1 .33082 -0 .832295 70 Table 6 Elasticities of Substitution; Cost Model, Partial System Year SI 1 S22 S33 SI 2 SI 3 S23 1929 -1 .39246 -6 .10677 -3 .49268 2 .66463 1 .52849 -1 .57257 1936 -1 .45069 -5 .344-2 -3 .64670 2 .55957 1 .56684 -1 .49240 1943 -1 .16178 -9 .19387 -3 .46618 2 .99282 1 .48470 -2 .29875 1950 -1 .38591 -5 .88582 -3 .61108 2 .62323 1 . 54880 -1 .61589 1957 -1 .67541 -4 .49394 -3 .45003 2 .49645 1 .56686 -1 .09522 1964 -1 .56577 -4 .87755 -3 .53169 2 .52545 1 .56458 -1 .26539 1971 -1 .69294 -3 .88034 -3 .87701 2 .37447 1 .65812 -1 .21248 71 A l t h o u g h t h e e l a s t i c i t i e s o f s u b s t i t u t i o n a r e n o t n u m e r i c a l l y t h e s a m e f o r t h e d u a l a n d p r i m a l s y s t e m s , t h e y a l l h a v e t h e s a m e s i g n a n d p r e s e r v e t h e o r d e r i n g o f m a g n i t u d e s . H e n c e t h e p r i m a l a n d d u a l s y s t e m s y i e l d s i m i l a r r e s u l t s i n b o t h t h e f u l l a n d p a r t i a l s y s t e m s . F u r t h e r , w h e n c o m p a r i n g t h e f u l l a n d p a r t i a l s y s t e m s t h e m s e l v e s , w e f i n d n o s i g n i f i c a n t d i f f e r -g e n c e s i n t h e r e s u l t s . I n s u m m a r y , i f w e t a k e t h e s e c o m p a r i s o n s a s a c r i t e r i o n f o r e v a l u a t i n g t h e d u a l i t y r e l a t i o n s h i p ( g i v e n t h a t a l l o t h e r p r o p e r t i e s l i k e s y m m e t r y l i n e a r h o m o g e n e i t y a n d S h e p h a r d ' s L e m m a h o l d ) , w e c o n c l u d e t h a t w i t h o u r d a t a t h e p r i m a l a n d d u a l y i e l d r e s u l t s w h i c h , f o r p r a c t i c a l p u r p o s e s , a r e e s s e n t i a l l y e q u i v a l e n t . FOOTNOTES ^ R e f e r e n c e s t o t h e v a r i o u s s t u d i e s c a n b e f o u n d i n D i e w e r t [ 1 9 7 4 a ] , L a u [ 1 9 7 3 ] . 2 N o t e t h a t t h e t r a n s l o g c o s t f u n c t i o n i s n o t t h e d u a l o f t h e t r a n s l o g p r o d u c t i o n f u n c t i o n . 3 N o t e t h a t l i n e a r h o m o g e n e i t y i n o u t p u t i s a r e s u l t o f c o n s t a n t r e t u r n s t o s c a l e . 4 T o v a o i d c o n f u s i o n w i t h t h e t i m e s y m b o l T , w e u s e p r i m e t o d e n o t e t r a n s p o s i t i o n . 5 T h e g e n e r a l i z e d L e o n t i e f f u n c t i o n h a s a n e x p l i c i t d u a l , b u t i t i s n o t u s e f u l f o r p r a c t i c a l p u r p o s e s . T h e C . E . S , a n d C o b b - D o u g l a s f u n c t i o n s a l s o h a v e a d u a l , b u t t h e y a r e t o o r e s t r i c t i v e . ^ T h e s e r e s u l t s a r e c o n t r a r y t o t h o s e f o u n d i n B u r g e s s [ 1 9 7 3 ] . 7 2 REFERENCES B e r n d t , E . R . a n d C h r i s t e n s e n , L . R . [ 1 9 7 4 ] , " T e s t i n g f o r t h e E i x s t e n c e o f a C o n s i s t e n t A g g r e g a t e I n d e x o f L a b o u r I n p u t s , " American Economic Review, 6 4 , 3 9 1 - 4 0 4 . B e r n d t , E . R . a n d W o o d , D . O . [ 1 9 7 5 ] , " T e c h n o l o g y , P r i c e s , a n d D e r i v e d D e m a n d f o r E n e r g y , " Review of Economics and S t a t i s t i c s , f o r t h c o m i n g . B u r g e s s , D . F . [ 1 9 7 3 ] , " D u a l i t y T h e o r y a n d t h e P i t f a l l s i n t h e S p e c i f i c a t i o n o f T e c h n o l o g i e s , " Journal of Econometrics, f o r t h c o m i n g . C h r i s t e n s e n , L . R . , J o r g e n s o n , D . W . a n d L a u , L . J . [ 1 9 7 1 ] , " C o n j u g a t e D u a l i t y a n d t h e T r a n s c e n d e n t a l L o g a r i t m i c P r o d u c t i o n F u n c t i o n , " Econometrica, 3 9 , 2 5 5 - 2 5 6 . D h r y m e s , P . J . [ 1 9 7 3 ] , " S m a l l S a m p l e a n d A s y m p t o t i c R e l a t i o n s B e t w e e n M a x i m u m L i k e l i h o o d a n d T h r e e S t a g e L e a s t S q u a r e s E s t i m a t o r s , " Econometrica, 4 1 , 3 5 7 - 3 6 4 . D i e w e r t , W . E . [ 1 9 7 2 ] , " F u n c a t i o n a l F o r m s f o r R e v e n u e a n d F a c t o r R e q u i r e m e n t s F u n c t i o n s , " D e p a r t m e n t o f M a n p o w e r a n d I m m i g r a t i o n , O t t a w a . D i e w e r t , W . E . [ 1 9 7 4 a ] , " A p p l i c a t i o n s o f D u a l i t y T h e o r y , " D e p a r t m e n t o f M a n p o w e r a n d I m m i g r a t i o n , O t t a w a . D i e w e r t , W . E . [ 1 9 7 4 b ] , " H o m o g e n e o u s W e a k S e p a r a b i l i t y a n d E x a c t I n d e x N u m b e r s , " T e c h n i c a l R e p o r t 1 2 2 , I M S S S , S t a n f o r d U n i v e r s i t y . L a u , L . J . [ 1 9 7 3 ] , " A p p l i c a t i o n s o f D u a l i t y T h e o r y : A c o m m e n t , " T e c h n i c a l R e p o r t 9 9 , I M S S S , S t a n f o r d U n i v e r s i t y . 7 3 C h a p t e r 5 APPLICATION TO THE MONOPOLISTIC CASE I n t r o d u c t i o n P r a c t i c a l l y a l l s t u d i e s i n d u a l i t y t h e o r y a s s u m e p e r f e c t c o m p e t i t i o n . E c o n o m i c a g e n t s a r e t h e n p r i c e t a k e r s a n d c a r r y o u t t h e i r o p t i m i z a t i o n f o r t h e g i v e n p r i c e s . T h i s a s s u m p t i o n i s , i n f a c t , t h e b a s i s f o r t h e a p p l i c a t i o n o f d u a l i t y t h e o r y i n e c o n o m i c s , s i n c e i t e n a b l e s u s t o e m p l o y t h e c o n c e p t o f s u p p o r t f u n c t i o n s o f c o n v e x s e t s . I f p r i c e s a r e n o t g i v e n , t h e n o t i o n o f s u p p o r t f u n c t i o n s l o s e s i t s m e a n i n g . T h a t i s w h y . t h e o r e t i c a l a n d e m p i r i c a l s t u d i e s i n d u a l i t y t h e o r y , u s u a l l y a s s u m e c o m p e t i t i v e b e h a v i o u r . T h e r e i s , i n f a c t a s t r o n g t e n d e n c y t o o v e r e m p h a s i z e t h e c o m p e t i t i v e m o d e l s i n a l l a r e a s o f e c o n o m i c t h e o r y a n d i n t h e i r e m p i r i c a l a p p l i c a t i o n s . N o d o u b t , t h e c o m p e t i t i v e m o d e l s a r e u s e f u l a n d s e r v e i m p o r t a n t p u r p o s e s . T h e y d o n o t , h o w e v e r , a l w a y s p r o v i d e a c l o s e a p p r o x i m a t i o n t o r e a l i t y . I t i s , t h e r e f o r e , i m p o r t a n t t o h a v e a n a l t e r n a t i v e f r a m e w o r k , w i t h i n w h i c h w e c a n a n a l y s e a n d e m p i r i c a l l y s t u d y n o n - c o m p e t i t i v e b e h a v i o u r . F u r t h e r m o r e , i t w i l l b e e s p e c i a l l y u s e f u l i f w e c o u l d t e s t 74 75 f o r t h e h y p o t h e s i s o f c o m p e t i t i v e b e h a v i o u r . T h e r e e x i s t a v a r e i t y o f s t u d i e s w h i c h d e a l w i t h t h e p r o b l e m o f m e a s u r i n g t h e d e g r e e o f m o n o p o l y ( s e e B a i n [ 1 9 6 3 ] , L e r n e r [ 1 9 4 2 ] ) , b u t t h e y d o n o t a c t u a l l y p r o v i d e a s t a t i s t i c a l p a r a m e t r i c t e s t f o r i t . I n t h i s s e c t i o n w e i n t e n d t o a p p l y t h e p r i n c i p l e s o f d u a l i t y t h e o r y t o a m o n o p o l i s t i c c a s e . A l t h o u g h d u a l i t y i n t h e u s u a l s e n s e , i . e . t h e o n e t o o n e c o r r e s p o n d e n c e b e t w e e n p r o f i t a n d p r o d u c t i o n f u n c t i o n s ( o r p r o d u c t i o n p o s s i b i l i t y s e t s ) n o l o n g e r h o l d s , w e c a n s t i l l a p p l y t h e d u a l i t y p r i n c i p l e u n d e r c e r t a i n c o n d i t i o n s t o a n a l y s e a m o n o p o l i s t i c f i r m . F u r t h e r m o r e , w e c a n p r o v i d e a d i r e c t t e s t f o r t h e h y p o t h e s i s o f p e r f e c t c o m p e t i t i o n . T h e f r a m e w o r k w e d e v e l o p c o u l d p r o v e t o b e v e r y u s e f u l i n s t u d y i n g m a r k e t s t r u c t u r e . I t e n a b l e s u s t o a n a l y s e a g i v e n i n d u s t r y a n d d e t e r m i n e i t s p r i c e t a k i n g o r p r i c e s e t t i n g b e h a v i o u r a n d t h u s , i t e n a b l e s u s t o d i s t i n g u i s h B e t w e e n : ° d i f f e r e n t ; : . m a y i k e t s t r u c t u r e s . T h e s a m e f r a m e w o r k c a n b e u s e d t o s t u d y o t h e r f o r m s o f n o n - c o m p e t i t i v e b e h a v i o u r ; m o n o p s o n y , o l i g o p o l y e t c . I n t h e e m p i r i c a l p a r t , w e a p p l y o u r a p p r o a c h t o t h e U . S . c r u d e p e t r o l e u m a n d n a t u r a l g a s i n d u s t r y a n d f i n d t h a t t h e p r i c e t a k i n g b e h a v i o u r a s s u m p t i o n , i s n o t a p p r o p r i a t e f o r t h i s i n d u s t r y . R e v e n u e F u n c t i o n A p p r o a c h ^ C o n s i d e r a m o n o p o l i s t f a c i n g a d o w n w a r d s s l o p i n g m a r k e t d e m a n d d u r v e , f o r t h e o u t p u t Y 0 , o f t h e f o r m 76 P ( - Y o ) w h e r e P 0 i s t h e p r i c e o f Y 0 a n d D ' ( - Y 0 ) > 0. S u p p o s e h i s o b j e c t i s t o m a x i m i z e p r o f i t s s u b j e c t t o t h e d e m a n d c u r v e ( 1 ) a n d h i s t e c h n o l o g y w h i c h i s g i v e n b y t h e f u n c t i o n Y 0 = - F ( Y , X ) w h e r e Y i s a v e c t o r o f v a r i a b l e c o m m o d i t i e s w i t h p r i c e s P , a n d X i s a v e c t o r o f f i x e d c o m m o d i t i e s T h e p r o b l e m c a n b e w r i t t e n a s t h a t o f f i n d i n g S u p - P T Y - D [ F ( Y , X ) ] F ( Y , X ) - = S u p - P T Y - S ( Y , X ) > Y 1 ; Y <• > w h e r e S ( Y , X ) = D [ F ( Y , X ) ] F ( Y , X ) = - P 0 Y L e t u s d e f i n e • n ( P , X ) = S u p Y P T Y S ( P , X ) C l e a r l y n o t m u c h c a n b e s a i d a b o u t n ( P , X ) u n l e s s w e k n o w t h e p r o p e r t i e s o f t h e f u n c t i o n S ( Y , X ) . W i t h o u t t h i s k n o w l e 77 we cannot ensure existence of a well defined s o l u t i o n to the problem:, or deduce the p r o p e r t i e s of n(P,X). Since S(Y,X) i s a f u n c t i o n which i s a product of two f u n c t i o n s , knowledge of technology i s not s u f f i c i e n t to e s t a b l i s h the usual d u a l i t y r e l a t i o n s h i p . We need more information than t h a t , namely, 3 information on demand c o n d i t i o n s . given body of data, we can assume that the observations correspond to actual decisions taken, i . e . to s o l u t i o n s of the problem (3). Thus given the sample of observed v a r i a b l e s , we say that these values correspond to a s o l u t i o n of the o p t i m i -z a t i o n problem, and hence we conclude t h a t , at the sample neighbourhood, s u f f i c i e n t r e g u l a r i t y e x i s t s (otherwise we would not observe any s o l u t i o n ) to ensure a meaningful s o l u -t i o n . This approach seems quite c o n s i s t e n t and a p p r o p r i a t e , since i n econometric a p p l i c a t i o n s we u s u a l l y deal with func-4 t i o n a l forms which s a t i s f y r e g u l a r i t y conditions only l o c a l l y . We say, then, that S(Y,X) has the f o l l o w i n g p r o p e r t i e s ( l o c a l l y ) For the purpose of econometric a p p l i c a t i o n to a ( 1 ) S(Y,X) < 0 (5) ( i i ) S(Y,X) i s convex in Y ( i i i ) S(Y,X) i s nondecreasing i n Y. Note that ( i ) i s s a t i s f i e d g l o b a l l y and f o l l o w s from the f a c t that Y 0 > 0 and D[F(Y,X)] = p 0 > 0. P r o p e r t i e s ( i i ) and ( i i i ) 78 a r e s a t i s f i e d ( a t l e a s t ) l o c a l l y . C o n d i t i o n ( i i ) f o l l o w s f r o m t h e e x i s t e n c e o f a s t r o n g o p t i m u m a n d ( i i i ) f o l l o w s f r o m t h e f i r s t o r d e r c o n d i t i o n s ( i . e . V S ( Y , X ) = P > 0 ) . S o f a r w e h a v e n o t u s e d a n y o f t h e p r o p e r t i e s o f t e c h n o l o g y o r t h e d e m a n d f u n c t i o n . I f w e a s s u m e F ( 0 , 0 ) = 0 , t h e n S ( 0 , 0 ) = 0 . I f w e a s s u m e b o u n d e d n e s s a n d m o n o t o n i c i t y o f F i n X , i t a l s o f o l l o w s t h a t S i s b o u n d e d ( g i v e n t h a t D i s b o u n d e d ) a n d n o n d e c r e a s i n g i n X . N o t e , h o w e v e r , t h a t c o n v e x i t y o f F ( Y , X ) i n X , w i l l n o t i m p l y n e c e s s a r i l y c o n v e x i t y o f S ( Y , X ) i n X , l i k e w i s e , l i n e a r h o m o g e n e i t y o f F d o e s n o t i m p l y l i n e a r h o m o g e n e i t y o f S ( u n l e s s D i s o f a v e r y s p e c i a l f o r m ) . M o n o t o n i c i t y o f F i n Y , p l u s c o n d i t i o n ( i i i ) - i m p l i c i t l y , i m p l y a l o c a l r e s t r i c t i o n o n t h e d e m a n d f u n c t i o n D [ F ( Y , X ) ] , n a m e l y t h a t t h e e l a s t i c i t y o f d e m a n d , e ( Y , X ) = ( 3 D ( F ) / 3 F ) ( F / D ( F ) ) s a t i s f y : - 1 < e ( Y , X ) < 0 . ( 6 ) G i v e n c o n d i t i o n ( i ) , ( i i ) , ( i i i ) o n S , n ( P , X ) i s t h e c o n j u g a t e d u a l o f S ( Y , X ) a n d s a t i s f i e s t h e f o l l o w i n g c o n d i t i o n s ( l o c a l l y ) : ( a ) n ( P , X ) > 0 ( b ) n ( P , X ) i s c o n v e x i n P f o r a g i v e n X ( c ) n ( P , X ) i s n o n d e c r e a s i n g i n P . i f Y ^ i s a n o u t p u t a n d n o n - i n c r e a s i n g i n P . i f Y . i s a n i n p u t . (7) 79 Boundedness and monotonicity of S in X will imply boundedness and monotonicity of n in X. Convexity of S in X will imply concavity of II in X. We see, therefore, that by the simple assumption that the observed variables represent the. outcome of an optimi-zation problem, we were able to derive the properties of a normalized variable profit function. To derive properties (a), (b), (c) we do not require knowledge of the properties of either technology or the demand function. The normalized variable profit function n(P,X) is the conjugate dual of S(Y,X) and, therefore (assuming dif f e r e n t i a b i l i t y ) , the profit maximizing supply functions are obtained by applying Hotelling's Lemma: For an empricial application, we can simply specify a functional form that satisfies the conditions (7) above, and then estimate the system of equations (8). An examination of (8) reveals two things. First, the usual symmetry conditions hold: yp— = p^ 3p = jp*~ • j i J i Second and most important, equations (8) are not homogeneous of degree zero in prices (in other words n(P,X) is not linear homogeneous in prices). This follows from the fact that one Y = V p n(P,X) (8) 3 X . 3 2 n 80 p r i c e i n t h e s y s t e m , n a m e l y P 0 , i s n o l o n g e r g i v e n , b u t a d e c i s i o n v a r i a b l e . T h e t e s t f o r l i n e a r h o m o g e n e i t y , t h e r e f o r e , c o u l d b e r e g a r d e d a n i m p l i c i t t e s t f o r c o m p e t i t i v e n e s s . M a r g i n a l P r i c e A p p r o a c h T h e a p p r o a c h o u t l i n e d a b o v e i s a p p l i c a b l e e m p r i c a l l y i n a s t r a i g h t f o r w a r d m a n n e r . I t s u f f e r s , h o w e v e r , f r o m t h e d r a w b a c k t h a t i t d o e s n o t e n a b l e u s t o t e s t e x p l i c i t l y t h e h y p o t h e s i s o f p r i c e t a k i n g b e h a v i o u r . T r u e , i t p r o v i d e s u s w i t h a f r a m e w o r k w i t h i n w h i c h w e c a n i m p l i c i t l y t e s t f o r p e r f e c t c o m p e t i t i o n ( t h e t e s t f o r l i n e a r h o m o g e n e i t y i n p r i c e s ) . T h i s t e s t , h o w e v e r , i s v e r y i n d i r e c t a n d d o e s n o t i n g e n e r a l e n a b l e u s t o g e t p e r f e c t c o m p e t i t i o n a s a s p e c i a l c a s e . I f o n e i s n o t p a r t i c u l a r l y i n t e r e s t e d i n a n e x p l i c i t t e s t f o r p e r f e c t c o m p e t i t i o n , t h e n t h i s f r a m e w o r k i s u s e f u l . I f , o n t h e o t h e r , h a n d , w e - a r e i n t e r e s t e d i n t h i s e x p l i c i t t e s t , t h e n t h e a b o v e m o d e l i s n o l o n g e r s u f f i c i e n t . T o p r o v i d e a f r a m e w o r k , w h i c h w i l l e n a b l e u s t o c a r r y o u t t h i s t e s t , w e d e v e l o p a n a p p r o a c h w h i c h i s i n t h e s p i r i t o f t h e o n e m e n t i o n e d i n D i e w e r t [ 1 9 7 1 b ] , [ 1 9 7 4 a ] , a n d e m p l o y s t h e n o t i o n o f m a r g i n a l o r a d j u s t e d p r i c e . S u p p o s e t h e m o n o p o l i s t ' s t e c h n o l o g y i s g i v e n b y t h e t r a n s f o r m a t i o n f u n c t i o n Y 0 = - F ( Y , X ) t h a t s a t i s f i e s a l l t h e u s u a l c o n d i t i o n s a s i n I I ' . F u r t h e r m o r e , l e t Y 0 b e a n i n t e r -m e d i a t e p r o d u c t i o n g o o d , s o t h a t i t i s a n i n p u t d e m a n d e d b y 5 o t h e r p r o d u c e r s , w h o s e t r a n s f o r m a t i o n f u n c t i o n i s g i v e n b y 8 1 Z„ = - G ( Z , Y 0 ) , w h e r e Z 0 a n d t h e n v e c t o r Z a r e v a r i a b l e c o m -m o d i t i e s w h o s e c o r r e s p o n d i n g p r i c e s a r e P = 1 a n d P z o z r e s p e c t i v e l y . ^ T h e n o r m a l i z e d p r o f i t f u n c t i o n c o r r e s p o n d i n g t o G i s g i v e n b y P z , P o = S u p - P ' Z + Y 0 P o - G ( Z , Y 0 ) (9) T h e m a r k e t d e m a n d f o r Y 0 i s t h e n g i v e n b y 3 J 8P P z , P o = D P z , P o ( 1 0 ) o r a l t e r n a t i v e l y , t h e i n v e r s e d e m a n d e q u a t i o n i s g i v e n b y Po = 3 G ( f Y I 0 > = H(Z'Y°) • ( 1 1 ) A s s u m i n g ( 1 0 ) c a n b e s o l v e d f o r P 0 , w e c a n w r i t e D ( - Y 0 , P Z ) D [ F ( Y , X ) , P z ] ( 1 2 ) w h e r e D = D - 1 T h e v a r i a b l e p r o f i t f u n c t i o n o f t h e m o n o p o l i s t c a n t h e n b e w r i t t e n a s S u p Y , Y 0 P Y + Y 0 P 0 : Po = D ( - Y 0 , P Z ) , Y 0 = - F ( Y , X ) | . ( 1 3 ) 82 * * Suppose the solution is given by (Y , Y 0 ) , then the same optimal values for Y and Y 0 are obtained by solving the linearized problem Sup | P T Y + Y 0 [ D ( - Y t , P Z ) + ! £ - ( - Y * , P Z ) Y * ] : Y 0 = - F ( Y , X ) f ( 1 4 ) Y , Y o = Sup | P T Y + Y 0 ( P t + 6): Y 0 = - F ( Y , X ) l = U{P ,P* + 6 , X ) Y , Y 0 ^ J where * * , 3D(-Y 0 , P ) * * P o = D ( - Y 0 , P Z ) and 6 = ^ Y 0 = S ( P Z , P 0 ) is a markup terms and P 0 + 6 is regarded as •fs (? 'kiothe marginal price of Y 0 . Alternatively using ( 1 1 ) we could express the markup term as a function of ( Z , Y 0 ) , i.e. the marginal price becomes P* + S ' U . Y ! ) ( 1 5 ) where 5< = i d . F 7  0 3F r ' What we have done here is replace the problem by one that is linearized around the optimal solution. Then, i f we specify a functional form satisfying a l l the usual properties, and i f we know <5, we can estimate the system of supply and .demand equations 83 Y = V p n ( P , P 0 + 6 , X . ) ( 1 6 ) Y o = v p * + 6 n ( p , p t + S , X ) . 8 S i n c e 6 i s s o m e f u n c t i o n o f t h e p r i c e s a n d n o t k n o w n o r o b s e r v a b l e , w e c a n n o t d i r e c t l y p r o c e e d i n t h i s w a y . O n e p o s s i b l e w a y o f p r o c e e d i n g i s t o m a k e s o m e s p e c i f i c a s s u m p t i o n s o n 6. F o r e x a m p l e , a m o n o p l i s t i s o f t e n d e s c r i b e d a s h a v i n g a c o n s t a n t m a r k u p . I n t h a t ' c a s e S b e c o m e s a p a r a m e t e r , w h i c h w e s i m p l y p l u g i n t o ( 1 6 ) . S i m i l a r l y , o n e c o u l d a s s u m e t h a t 6 i s p r o p o r t i o n a l t o P 0 , i . e . 6 = y P 0 . T h i s o f c o u r s e i m p l i e s t h a t t h e d e m a n d e l a s t i c i t y e = y , i s c o n s t a n t , e t h e n b e c o m e s a p a r e m t e r a n d t h e m a r g i n a l p r i c e P 0 ( l + y ) c a n b e p l u g e d i n t o ( 1 6 ) . W h e n m a k i n g a s s u m p t i o n s o n 6 w e s h o u l d b e a r i n m i n d t h a t 6 i s d e r i v e d f r o m a n u n d e r l y i n g d e m a n d f u n c t i o n a n d t h i s i n t u r n h a s c e r t a i n p r o p e r t i e s . We c a n n o t , t h e r e f o r e , m a k e a r b i t r a r y a s s u m p t i o n s o n 6. F o r e x a m p l e , i t f o l l o w s i m m e d i a t e l y f r o m t h e f a c t t h a t t h e d e m a n d f u n c t i o n i s h o m o -g e n e o u s o f d e g r e e z e r o i n p r i c e s , t h a t 6 h a s t o b e l i n e a r h o m o -g e n e o u s i n p r i c e s . T h e a s s u m p t i o n t h a t <5 i s c o n s t a n t c a n n o t , t h e r e f o r e , b e c o n s i s t e n t w i t h o p t i m i z i n g b e h a v i o u r . 6 m i g h t b e c o n s t a n t w h e n w e l o o k a t a n i s o l a t e d M a r s h a l i a n d e m a n d c u r v e , b u t i t c a n n o t b e s o , i f w e c o n s i d e r t h e i n t e r a c t i o n w i t h o t h e r m a r k e t s . I n t h i s c a s e i t m i g h t o n l y b e c o n s i d e r e d c o n s t a n t i n t h e s e n s e t h a t i t d o e s n o t d e p e n d o n P 0 , b u t o n o t h e r p r i c e s . 84 With this interpretation of the constant markup, we could then combine the proportionality and constancy assumptions and take 6 as a linear function of all prices, i.e. 6 = b ^ P z + i u P 0 . The marginal price of Y0 becomes P 0(l+u) + b ^ P z , which we plug into ( 1 6 ) . The test for the perfect competition assumption is then the test for b^ " = u = 0 . This test, however, cannot be carried out using the system ( 1 6 ) above, since the parameters of 6 cannot be identified in that system. To show, this, let P'Q = PQ + & and let a P 0 be a typical marginal price term in the system ( 1 6 ) where a is the parameter of P 0 . But aP'0 = aP„ + a S = a(l+u ) P 0 + ab ^ P z and clearly we cannot identify all of these parameters. In order to be able to do so, we have to intro-duce the demand function i t s e l f in the estimating system. The demand function then serves to identify the parameters of 6. Given the demand function and the system ( 1 6 ) , we can test for the perfect competition hypothesis. Furthermore, we could then test for the hypothesis of constant or propor-tional markups. A problem that arises here is that deriving "the" demand function underlying a given markup term (linear markup in this case), is not always possible. In fact we know that usually we cannot find a unique technology for a given elas-Q t i c i t y function. In our case i t means that there is more than one profit function corresonding to a linear markup term. 85 I n g e n e r a l i f w e a r e n o t c o n c e r n e d w i t h t h e u n i q u e -n e s s , f i n d i n g a t e c h n o l o g y t h a t y i e l d s a g i v e n m a r k u p i s n o t m u c h o f a p r o b l e m . T h e n , b y s i m p l y p l u g i n g 6 i n t o ( 1 6 ) a n d t o g e t h e r w i t h t h e m a r k e t d e m a n d f u n c t i o n , t h i s a p p r o a c h . p r o v i d e s u s w i t h t h e d e s i r e d t e s t f o r p r i c e t a k i n g b e h a v i o u r . e c o n o m e t r i c p r o b l e m s a s s o c i a t e d w i t h s i m u l t a n e o u s s y s t e m s , w e s o m e w h a t c h a n g e t h e a p p r o a c h , a n d p r o v i d e a f r a m e w o r k i n w h i c h i t i s n o l o n g e r n e c e s s a r y t o i n c l u d e t h e d e m a n d f u n c t i o n i t s e l f i n t h e e s t i m a t i n g s y s t e m , a n d y e t w e c a n i d e n t i f y a l l t h e p a r a m e t e r s o f 6 a n d c a r r y o u t t h e d e s i r e d t e s t . t e c h n o l o g y , i . e . a s s u m e t h a t h i s t e c h n o l o g y F i s t h e t r a d i t i o n a l p r o d u c t i o n f u n c t i o n ( a l t h o u g h i t m i g h t a l s o h a v e s o m e f i x e d v a r i a b l e s i n i t ) . C o r r e s p o n d i n g t o F , w e h a v e t h e c o s t f u n c -t i o n d e f i n e d a s i n t o t w o s t a g e s ; f i r s t a n i n p u t d e c i s i o n f o r g i v e n Y 0 , s e c o n d a n d o u t p u t d e c i s i o n . T h e o p t i m a l d e c i s i o n s a r e g i v e n b y t h e H o t e l 1 i n g - S h e p h a r d L e m m a a s t h e o p t i m a l d e r i v e d d e m a n d a n d s h a d o w p r i c e e q u a t i o n s T o a v o i d t h e n o n - u n i q u e n e s s p r o b l e m a s w e l l a s t h e S u p p o s e Y 0 i s t h e o n l y o u t p u t i n t h e m o n o p o l i s t ' s Y ( 1 7 ) H i s p r o f i t m a x i m i z a t i o n d e c i s i o n c a n b e b r o k e n 86 Y = V p C(P,X,Y 0) ( 1 8 ) Po + 6 = V v C(P,X,Y 0) o r P 0 = V v C(P,X,Y 0) - <S i o ' o W o r k i n g w i t h t h e s y s t e m ( 1 8 ) s i m p l i f i e s m a t t e r s q u i t e a b i t . T h e r e i s no n e e d now t o s p e c i f y a n d i n c l u d e t h e d e m a n d f u n c t i o n i t s e l f i n t h e e s t i m a t i n g s y s t e m . A l l we h a v e t o do i s s p e c i f y a f u n c t i o n f o r C a n d o n e f o r 6. F o r e x a m p l e , 6" c a n be t a k e n a s a l i n e a r f u n c t i o n o f p r i c e s a s b e f o r e , 6 =•b^P + u P 0 , a n d t h e t e s t t h e n i s f o r b^ = u = 0 . I n t h e e m p i r i c a l p a r t , we a p p l y t h i s m o d e l t o t h e U . S . c r u d e p e t r o l e u m a n d n a t u r a l g a s i n d u s t r y 1 9 4 7 - 1 9 7 1 . i n p u t m u l t i p l e o u t p u t c a s e . A l l we h a v e t o do i s w r i t e t h e o p t i m i z a t i o n p r o b l e m ( 1 4 ) a s T h i s a p p r o a c h c a n , a l s o , be a p p l i e d t o a m u l t i p l e s u p j s u p [ P T Y : Yo = - F ( Y , X ) ] + Y 0 ( P 0 + 5) -Yo 1 Y > ( 1 9 ) = s u p jW ( P , X , Y 0 ) + Y 0 ( P o + 6 ) f Yo 1 J T h e o p t i m a l i t y c o n d i t i o n s ( 1 6 ) a r e t h e n r e p l a c e d by Y = V p IT (P,X,Y 0) ( 2 0 ) Po + 6 = V v IT ( P , X , Y 0 ) . I o 8 7 I n o t h e r w o r d s , i n s t e a d o f t h e s u p p l y f u n c t i o n o f Y 0 , w e n o w h a v e a s t h e o p t i m a l i t y c o n d i t i o n , t h e i n v e r s e s u p p l y , o r s h a d o w p r i c e e q u a t i o n o f Y 0 . A g a i n , a l l w e h a v e t o d o i s s p e c i f y a f u n c t i o n a l f o r m f o r 6 a n d o n e f o r t h e p r o f i t f u n c t i o n I T , f r o m w h i c h b y a p p l y i n g H o t e l l i n g ' s L e m m a w e g e t t h e s y s t e m ( 2 0 ) . S i n c e w e d o n o t h a v e a v a i l a b l e d a t a f o r a m u l t i p l e i n p u t m u l t i p l e o u t p u t c a s e w e d o n o t a p p l y t h i s m o d e l i n t h e e m p r i c i a l p a r t . A n a p p l i c a t i o n o f t h i s m o d e l c a n b e f o u n d i n A p p e l b a u m a n d K o h l i [ 1 9 7 5 ] , w h e r e a m u l t i p l e i n p u t m u l t i p l e o u t p u t m o d e l o f t h e C a n a d i a n e c o n o m y i s e s t i m a t e d a n d t e s t s a r e c a r r i e d o u t f o r t h e h y p o t h e s i s o f C a n a d a b e i n g a s m a l l o p e n e c o n o m y ( i . e . p r i c e t a k i n g b e h a v i o u r i n t h e i m p o r t a n d e x p o r t m a r k e t s ) . T h e a p p r o a c h e s o u t l i n e d a b o v e a l l p r o v i d e u s w i t h a d i r e c t t e s t f o r t h e p e r f e c t c o m p e t i t i o n a s s u m p t i o n . I n o r d e r t o c a r r y o u t a p a r a m e t r i c t e s t , h o w e v e r , w e h a v e t o s p e c i f y a n e x p l i c i t f u n c t i o n a l f o r m f o r 6. C l e a r l y , a n y a s s u m p t i o n s w e m a k e o n 6 i m p l y c o r r e s p o n d i n g r e s t r i c t i o n s o n t h e u n d e r -l y i n g t e c h n o l o g y ( t h e f u n c t i o n s G o r J ) . T h e q u e s t i o n i s : h o w g e n e r a l c a n t e c h n o l o g y b e a n d s t i l l y i e l d a m a r k u p t e r m w h i c h h a s a s i m p l e f o r m t h a t l e n d s i t s e l f t o t h e p a r a m e t r i c t e s t 6 = 0 ? W h a t w e w o u l d l i k e t o f i n d i s a f u n c t i o n a l f o r m w h i c h n o t o n l y i s f l e x i b l e a n d p r o v i d e s a s e c o n d o r d e r a p p r o x i -m a t i o n t o a n a r b i t r a r y t e c h n o l o g y , b u t a l s o y i e l d s a s i m p l e m a r k u p t e r m . 88 O n e f u n c t i o n a l f o r m w i t h t h e s e p r o p e r t i e s i s t h e s q u a r e r o o t e d q u a d r a t i c f u n c t i o n . L e t t h e p r o d u c t i o n f u n c t i o n o f t h e d e m a n d e r s o f t h e m o n o p o l i s t i c i n p u t Y b e g i v e n b y Z o = C ( Y o , Z ) T A ( Y 0 , Z ) ] 1 / 2 . ( 2 1 ) T h e i n v e r s e d e m a n d e q u a t i o n f o r Y 0 i s g i v e n b y t h e m a r g i n a l p r o d u c t i v i t y c o n d i t i o n a s a n d 3 Z Q P 3 Y 0 z „ ( 2 2 ) 3 P 3 Y Y 3(|y^ P7 ) / 3 Y ( 2 3 ) A f t e r d i f f e r e n t i a t i n g a n d u s i n g ( 2 1 ) a n d ( 2 2 ) w e g e t , b y r e a r r a n g i n g t h e e x p r e s s i o n , t h a t o r Y 0 P , n n <5 = t Q J J ( a a . . - a . a • ) Z . Z . z 0 3 j£i ii] y y u yi y r i J Y Q P _ n n Z o 7 - g - y J D . . Z . Z ( 2 4 ) ( 2 5 ) w h e r e a n d a , - , - i » J = l ' ^ n . y a r e t h e e l e m e n t s o f A ° i j = a y y ^ i j = a y i a y j 8 9 T o t e s t f o r 6 = 0 , w e t e s t f o r D . . = 0 a l l i , j . S i n c e w e a r e n o t i n t e r e s t e d i n e s t i m a t i n g t h e w h o l e A m a t r i x , w e c a n t r e a t t h e D . . 1 s a s p a r a m e t e r s a n d w e d o n o t h a v e t o w o r r y a b o u t t h e i d e n t i f i c a t i o n o f A . F u r t h e r m o r e , t h e m a r k u p t e r m w e h a v e d e r i v e d , i s l i n e a r i n t h e p a r a m e t e r s D . • , w e c a n t h e r e f o r e a p p l y l i n e a r r e g r e s s i o n t o e s t i m a t e t h e s y s t e m ( 1 8 ) A n o t h e r f u n c t i o n a l f o r m w i t h t h i s p r o p e r t y i s t h e G e n e r a l i z e d L e o n t i e f . f u n c t i o n . L e t t h e p r o d u c t i o n f u n c t i o n o f t h e d e m a n d e r s o f Y 0 b e g i v e n b y ZS " ,1, ,1 a i j ( Z i Z J ) 1 / 2 + ,1 a y j ( Y ' V 1 / 2 + V ' • <26> A f t e r d i f f e r e n t i a t i n g a n d s u b s t i t u t i n g i n t o ( 2 3 ) w e g e t 6 = - 5 " a . J - l y j 1 1 o; 1 / 2 P z 0 ( 2 7 ) T h e t e s t i n t h i s c a s e i s , t h e r e f o r e , f o r a . = 0 y J a l l j . A g a i n t h i s i s a t e r m w h i c h i s l i n e a r i n t h e p a r a m e t e r s , s o t h a t w e c a n u s e l i n e a r r e g r e s s i o n f o r e s t i m a t i o n . E c o n o m e t r i c M o d e l H a v i n g o u t l i n e d t h e t h e o r e t i c a l f r a m e w o r k , w e n o w a p p l y i t i n a s t u d y o f U . S . c r u d e p e t r o l e u m a n d n a t u r a l g a s i n d u s t r y . T h e d a t a i s g i v e n i n F a u c e t t [ 1 9 7 3 ] , w h e r e i n p u t 9 0 o u t p u t t a b l e s a r e p r o v i d e d f o r d i f f e r e n t s e c t o r s o f t h e U . S . e c o n o m y , f o r t h e y e a r s 1 9 4 7 - 1 9 7 1 . We a s s u m e t h a t t h e r e a r e t h r e e c o m p e t i t i v e l y p r i c e d i n p u t s i n p r o d u c t i o n : c a p i t a l ( K ) , l a b o u r ( L ) a n d e n e r g y ( E ) . ^ T h e o u t p u t o f t h e m o n o p o l i s t i c i n d u s t r y ( Y 0 ) , i s a n i n t e r m e d i a t e g o o d , w h i c h i n c o n j u n c t i o n w i t h c a p i t a l ( K * ) , l a b o u r ( L * ) a n d e n e r g y ( E * ) , ( w h o s e p r i c e s a r e P j £ , P * , P | r ) , i s u s e d b y t h e r e s t o f t h e e c o n o m y , w h i c h i s a s s u m e d t o b e c o m p e t i t i v e , i n t h e p r o d u c t i o n o f a n a g g r e g a t e o u t p u t Z 0 . T h e p r i c e a n d q u a n t i t y s e r i e s f o r t h e i n d u s t r y a r e g i v e n i n t h e i n p u t o u t p u t t a b l e s . T h e p r i c e a n d q u a n t i t y s e r i e s f o r t h e r e s t o f t h e e c o n o m y a r e c o n s t r u c t e d b y D i v i s i a i n d i c e s . T h e s e f i g u r e s a r e g i v e n i n T a b l e s D 1 - D 4 ( s e e A p p e n d i x 2 ) . A t t h i s p o i n t i t i s i m p o r t a n t t o n o t i c e t h a t w e a r e n o w g o i n g f r o m a f i r m t o a n i n d u s t r y . I n o t h e r w o r d s , w e l o o k a t a m o n o p o l i s t i c i n d u s t r y r a t h e r t h a n a m o n o p o l i s t i c f i r m . S i n c e a c o m p e t i t i v e i n d u s t r y m a y a p p e a r t o b e m o n o p o l i s t i c o n t h e i n d u s t r y l e v e l , o n e m i g h t w o n d e r w h e t h e r o u r m o d e l i s c a p a b l e o f d i s t i n g u i s h i n g c o m p e t i t i v e f r o m m o n o p o l i s t i c i n d u s t r i e s . C l e a r l y , i f a l l f i r m s w e r e c o m p e t i t i v e , t h e i r p r i c e s a n d s h a d o w p r i c e s w o u l d b e t h e s a m e . T h e r e f o r e , w h e n w e a g g r e g a t e o v e r a l l s u c h f i r m s s i n t h e i n d u s t r y , t h e i n d u s t r y ' s p r i c e a n d s h a d o w p r i c e w i l l b e t h e s a m e a s w e l l . I n o t h e r w o r d s , u n l e s s t h e i n d i v i d u a l f i r m s a r e m o n o p o l i s t i c , o u r m o d e l w i l l n o t i n d i c a t e t h a t t h e i n d u s t r y i s m o n o p o l i s t i c . T h e f r a m e w o r k w e d e v e l o p i s u s e f u l , t h e r e f o r e , n o t o n l y f o r 9 1 a n a l y s i n g a n o n - c o m p e t i t i v e f i r m , b u t a l s o f o r s t u d y i n g a n d i n v e s t i g a t i n g m a r k e t s t r u c t u r e , s i n c e i t e n a b l e s u s t o i d e n t i f y o r d i s t i n g u i s h b e t w e e n d i f f e r e n t m a r k e t s t r u c t u r e s . We e s t i m a t e t h e s y s t e m ( 1 8 ) u s i n g t h r e e d i f f e r e n t m o d e l s ( m o d e l s I , I I a n d I I I ) . I n a l l t h r e e c a s e s w e u s e t h e G e n e r a l i z e d L e o n t i e f f u n c t i o n a l f o r m t o r e p r e s e n t t h e t e c h -n o l o g y o f t h e m o n o p o l i s t . T h e c o s t f u n c t i o n o f t h e p e t r o l e u m i n d u s t r y i s t h e n w r i t t e n a s : I J . i , J = K , L , E ( 2 8 ) w h e r e e q u a t i o n s A p p l y i n g S h e p h a r d ' s L e m m a w e g e t t h e d e r i v e d d e m a n d 1 / 2 , 1 / 2 7 7 = 3 6 L L + 6 L E + 6 L K ( 2 9 ) Y7 = 3 E E + 3 L E 1 / 2 ?7l + B E K 1 / 2 — = R + Y 0 K K 1 / 2 L K SKJ E K 1 / 2 w h e r e P K , P L ' P E a r e c a p i t a l , l a b o u r a n d e n e r g y p r i c e s r e s p e c t i v e l y . 9 2 M o d e l I a s s u m e s a m a r k u p t e r m w h i c h i s l i n e a r i n p r i c e s . I n o t h e r w o r d s , i t i s a s s u m e d t h a t e c o n o m y ' s t e c h -n o l o g y i s g i v e n b y s o m e f u n c t i o n w h i c h y i e l d s t h e m a r k u p t e r m i s <5 = b K P K + b L P L +• b £ P E + i l P o ( 3 0 ) T h e s h a d o w p r i c e e q u a t i o n i n ( 1 8 ) t h e n b e c o m e s o - 6 L L P L + B E E P E + 6 K K P K H - 2 6 L K ( P L P K )1 / 2 + 2 B L E ( P L P E ) 1 / 2 ( 3 1 ) + 2 6 E K ( P K P E ) 1 / 2 " B K P K " b L P L " bEPT "-J 1+y ' O o I n m o d e l I I w e a s s u m e a s q u a r e r o o t e d q u a d r a t i c f u n c t i o n f o r t h e e c o n o m y ' s t e c h n o l o g y a n d t a k e t h e m a r k u p t e r m a s i n ( 2 5 ) . T h e s h a d o w p r i c e e q u a t i o n t h e n b e c o m e s P o = 3 L L P L + B E E P E + 3 K K P K + 2 B L K ( P L P K ) 1 / 2 + 2 3 L E ( P L P E ) 1 / 2 + 2 3 E K ( P E P K ) 1 / 2 - D L | _ L 2 - D E E E 2 - D K K K 2 - 2 D , , I K -L K 2 D L E L T _ 2 D E K E K ( 3 2 ) 9 3 Y P w h e r e L = L * h , K = K * h , E = E * h , h = ° f ° a n d L 0 P i s a g g r e g a t e o u t p u t p r i c e . z o I n m o d e l I I I w e a s s u m e a G e n e r a l i z e d L e o n t i e f f u n c t i o n a l f o r m f o r t h e e c o n o m y ' s t e c h n o l o g y . T h e m a r k u p t e r m i s a s i n ( 2 7 ) a n d t h e s h a d o w p r i c e e q u a t i o n b e c o m e s P o = 3 L L P L + 6 E E P E + 6 K K P K + 2 3 L K ( P L P K ) 1 / 2 + 2 3 L E ( P L P E ) 1 / 2 + + 2 B E K ( P E P L ) 1 / 2 + a L L ' + a E E ' + a ' ( 3 3 ) w h e r e L ' = L 1 / 2 h \ E ' = L 1 / 2 h ' , K ' = K 1 / 2 h ' P a n d h 1 = Y 0 " " - i Z o M o d e l I i n c l u d e s , t h e r e f o r e , t h e s y s t e m ( 2 9 ) a n d ( 3 1 ) , m o d e l I I t h e s y s t e m ( 2 9 ) a n d ( 3 2 ) , a n d m o d e l I I I t h e s y s t e m ( 2 9 ) a n d ( 3 3 ) . F o r e m p i r i c a l i m p l e m e n t a t i o n t h e m o d e l s h a v e t o b e i m b e d d e d w i t h i n a s t o c h a s t i c f r a m e w o r k . T o d o t h i s , w e a s s u m e t h a t e q u a t i o n s ( 2 9 ) , ( 3 1 ) , ( 3 2 ) a n d ( 3 3 ) a r e s t o c h a s t i c d u e t o e r r o r s i n o p t i m i z a t i o n . We d e f i n e t h e a d d i t i v e d i s t u r b a n c e i n t h e i e q u a t i o n ( i = L , E , K , P 0 ) a t t i m e t a s e ^ t ) , a n d t h e c o l u m n v e c t o r o f d i s t u r b a n c e s a t t i m e t a s e ^ , e t = ( e L ( t ) , e £ ( t ) , e K ( t ) , e j t ) ) ' , t = l - • - T . ( 3 4 ) 94 We a s s u m e t h a t t h e v e c t o r o f d i s t u r b a n c e s i s i d e n t i c a l l y a n d i n d e p e n d e n t l y j o i n t n o r m a l l y d i s t r i b u t e d w i t h m e a n v e c t o r z e r o a n d n o n - s i n g u l a r c o v a r i a n c e m a t r i x fi, E [ e . ( t ) ] = 0 E [ e ( s ) e ' ( t ) ] = fi f o r t = s ( 3 5 ) f o r a l l s , t 0 f o r t f s w h e r e fi i s a n 4 x 4 p o s i t i v e d e f i n i t e m a t r i x S i n c e f o r a g g r e g a t e d a t a b o t h p r i c e s a n d q u a n t i t i e s s h o u l d b e c o n s i d e r e d e n d o g e n o u s , i t m i g h t b e a p p r o p r i a t e t o u s e a 3 S L S e s t i m a t i o n m e t h o d , b y u s i n g i n s t r u m e n t a l v a r i a b l e s . T h e e x o g e n e o u s i n s t r u m e n t s a r e u s e d i n t h e f i r s t s t a g e t o p u r g e t h e p r i c e s o f t h e i r c o r r e l a t i o n w i t h t h e a d d i t i v e d i s t u r -b a n c e s , t h e n , t h e f i t t e d v a l u e s o f t h e r e g r e s s o r s a r e u s e d i n t h e e s t i m a t i o n . I t h a s b e e n s h o w n t h a t i f o n e i n t e r a t e s o n 3 S L S , i t i s a s y m p t o t i c a l l y e q u i v a l e n t t o m a x i m u m l i k e l i h o o d e s t i m a t i o n . 1 1 T h e p r o b l e m w d t h t h e i n s t r u m e n t a l v a r i a b l e s m e t h o d i s t h a t i t m a y b e s e n s i t i v e t o t h e c h o i c e o f i n s t r u m e n t s . S i n c e t h e c h o i c e o f i n s t r u m e n t s i s q u i t e a r b i t r a r y , i t i s n o t c l e a r w h e t h e r t h e r e s u l t s w o u l d b e b e t t e r t h a n t h o s e o f t h e m a x i m u m l i k e l i h o o d . I n a n y c a s e , w e u s e b o t h t h e m a x i m u m 1 2 l i k e l i h o o d a n d t h e i t e r a t i v e 3 S L S , a s e s t i m a t i o n m e t h o d s . T h e i n s t r u m e n t s i n t h e I 3 S L S m e t h o d , a r e t h e o n e s u s e d b y 9 5 B e r n d t a n d C h r i s t e n s e n [ 1 9 7 4 ] a n d C h r i s t e n s e n , J o r g e n s o n a n d L a u [ 1 9 7 3 ] . F o r h y p o t h e s i s t e s t i n g w e u s e t h e l i k e l i h o o d r a t i o i n t h e m a x i m u m l i k e l i h o o d c a s e a n d t h e W a l d s t a t i s t i c i n . t h e . . 13SLS c a s e . 1 ^ E m p i r i c a l R e s u l t s  M o d e l I We c o n s i d e r n o w t h e e m p i r i c a l r e s u l t s f o r m o d e l I . We c a r r i e d o u t b o t h m a x i m u m l i k e l i h o o d a n d i t e r a t i v e 3 S L S e s t i m a t i o n s a n d w e r e p o r t t h e r e s u l t s f o r b o t h . T h e p a r a m e t e r e s t i m a t e s a n d s t a n d a r d e r r o r s a r e g i v e n i n T a b l e 1 . T h e c o n v e n t i o n a l R 2 f i g u r e s ( c a l c u l a t e d a s o n e m i n u s t h e r a t i o o f t h e r e s i d u a l s u m o f s q u a r e s t o t h e t o t a l s u m o f s q u a r e s i n e a c h e q u a t i o n ) a n d t h e D u r b i n - W a t s o n s t a t i s t i c s a r e r e p o r t e d i n T a b l e 2 . U s i n g t h e G e n e r a l i z e d L e o n t i e f f o r m t o r e p r e s e n t t h e m o n o p o l i s t ' s c o s t f u n c t i o n e n s u r e s t h a t t h e c o s t f u n c t i o n i s l i n e a r h o m o g e n e o u s i n p r i c e s . I t , h o w e v e r , d o e s n o t g u a r a n t e e t h a t t h e m o n o t o n i c i t y a n d c o n c a v i t y c o n d i t i o n s a r e s a t i s f i e d . I t i s n e c e s s a r y , t h e r e f o r e , t o c h e c k w h e t h e r t h e s e c o n d i t i o n s h o l d a n d i f t h e y d o n o t h o l d , t o i m p o s e t h e m . M o n o t o n i c i t y i s s a t i s f i e d i f t h e f i t t e d u n i t d e m a n d s a r e p o s i t i v e . We c h e c k e d t h e f i t t e d u n i t d e m a n d s a n d f o u n d t h a t t h e y w e r e p o s i t i v e a t a l l o b s e r v a t i o n s , f o r b o t h t h e I 3 S L S a n d t h e M L c a s e s . C o n c a v i t y o f t h e c o s t f u n c t i o n i s s a t i s f i e d 9 6 T a b l e 1 M o d e l I : P a r a m e t e r E s t i m a t e s ( s t a n d a r d e r r o r s i n p a r a n t h e s e s ) P a r a m e t e r I 3 S L S M L . 0 2 4 4 6 I . 0 2 7 8 ) . 0 1 1 5 4 ( . 0 2 8 4 ) - . 3 6 2 7 4 ' . 0 5 6 4 ) - . 2 9 0 5 8 ( . 0 3 5 5 ) h . 2 5 0 3 6 [ . 0 7 0 0 ) . 3 4 0 6 5 ( . 0 3 8 6 ) e L E . 2 6 2 1 9 < . 0 2 9 2 ) . 2 8 7 4 1 ( . 0 2 2 4 ) 6 L K - . 0 6 8 7 7 ( . 0 7 5 0 ) - . 0 8 2 7 9 ( . 0 1 9 2 ) B E K . 2 5 1 4 6 < ' . 0 5 8 5 ) . 1 6 1 8 2 ( . 0 3 3 2 ) b K - . 6 6 8 7 9 ( . 5 9 3 5 ) - . 2 7 2 4 8 ( . 0 9 9 8 ) b L - . 3 5 0 0 5 ( . 2 3 9 9 ) - . 2 1 1 7 1 ( . 0 4 9 6 ) b E - . 5 0 9 7 7 ( . 6 4 2 3 ) - . 0 1 9 7 7 ( . 0 8 3 5 ) y 1 . 5 6 2 8 0 ( 1 . 5 1 8 0 ) . 4 8 7 8 5 ( . 1 9 5 0 ) 9 7 T a b l e 2 M o d e l I : R 2 a n d D u r b i n - W a t s o n S t a t i s t i c s _ E q u a t i o n R 2 D . W . * M L I 3 S L S M L I 3 S L S L a b o u r . 5 4 1 7 . 5 3 6 0 . 8 2 6 1 . 7 9 7 6 C a p i t a l . 3 2 2 5 . 3 7 7 5 1 . 2 8 2 3 1 . 4 4 9 8 E n e r g y . 8 3 7 5 . 7 9 1 6 . 7 7 3 3 . 6 5 0 8 S h a d o w P r i c e . 5 8 9 8 . 5 8 7 2 1 . 1 6 7 1 1 . 5 0 3 0 T h e a p p r o p r i a t e d e g r e e s o f f r e e d o m a r e : ( 1 0 , 2 5 ) f o r t h e I 3 S L S , a n d ( M , 2 5 ) f o r t h e M L , w h e r e 1 0 i s n u m b e r o f i n s t r u m e n t s , 2 5 t h e n u m b e r o f o b s e r v a t i o n s a n d M t h e n u m b e r o f r e g r e s s o r s i n t h e e q u a t i o n . 9 8 i f t h e H e s s i a n m a t r i x i s n e g a t i v e s e m i - d e f i n i t e . A g a i n , t h i s i s s a t i s f i e d g l o b a l l y i n b o t h t h e M L a n d I 3 S L S c a s e s . We c a n , t h e r e f o r e , s a y t h a t t h e e s t i m a t e d c o s t f u n c t i o n i s w e l l b e h a v e d . t h e e l a s t i c i t y o f t h e d e m a n d f u n c t i o n , e = 6 / P o , f o r t h e y e a r s 1 9 4 7 - 1 9 7 1 . T h e e s t i m a t e d e l a s t i c i t y f i g u r e s a r e g i v e n i n T a b l e 3 . We h a v e s h o w n a b o v e t h a t i n o r d e r t o b e c o n s i s t e n t w i t h o p t i m i z i n g b e h a v i o u r , t h e d e m a n d e l a s t i c i t y e, h a s t o s a t i s f y - 1 < e < 0 . L o o k i n g a t T a b l e 3 s h o w s t h a t t h i s c o n d i -t i o n i s s a t i s f i e d i n a l l b u t t w o y e a r s ( 1 9 4 7 , 1 9 5 0 ) i n b o t h t h e M L a n d t h e I 3 S L S c a s e s . T h e t a b l e a l s o s h o w s t h a t t h e d e m a n d e l a s t i c i t y i s m u c h h i g h e r i n t h e t l a s t f e w y e a r s t h a n i t w a s i n t h e e a r l i e r y e a r s . m o d e l , w e c a l c u l a t e d t h e e s t i m a t e d A l l e n p a r t i a l e l a s t i c i t i e s o f s u b s t i t u t i o n . T h e s e e l a s t i c i t i e s h a v e b e e n s h o w n b y U z a w a [ 1 9 6 2 ] t o b e g i v e n b y G i v e n t h e A l l e n p a r t i a l e l a s t i c i t i e s o f s u b s t i t u -t i o n , w e c a n e a s i l y c a l c u l a t e t h e p r i c e e l a s t i c i t i e s , w h i c h a r e g i v e n b y G i v e n t h e p a r a m e t e r e s t i m a t e s w e h a v e c a l c u l a t e d T o m e a s u r e t h e s u b s t i t u t i o n p o s s i b i l i t i e s i n o u r (32C/3P.3P_.) C ( 3 6 ) a. . = i J O A . 1 . I _ J 3P . . X . J i ( 3 7 ) Table 3 Model I: Estimated Demand Elasticity 1947-1971 Year I3SLS ML 1947 .00040 .02213 1948 -.05997 -.04188 1949 -.04622 -.03224 1950 .06974 .02722 1951 -.00188 -.01504 1952 -.09479 - .05648 1 953 -.00718 -.02863 1954 - .05290 - .05229 1955 -.03140 - .02281 1956 -.00824 -.000436 1957 -.01022 -.04022 1 958 -.11822 -.08962 1 959 -.10449 -.08530 1960 -.10799 -.08194 1961 -.10071 -.08235 1962 -.06903 -.06317 1963 -.03220 -.05019 1964 -.08285 - .0751 8 1965 -.05282 -.06122 1966 -.05742 - .06722 1967 -.09385 -.10228 1 968 -.10857 -.11286 1969 -.09948 -.10958 1970 -.11267 -.13240 1971 -.13622 -.13173 1 00 F o r t h e G e n e r a l i z e d L e o n t i e f f u n c t i o n t h e A l l e n p a r t i a l e l a s -t i c i t i e s o f s u b s t i t u t i o n a r e ° i j " « J xVk> b i j / " i V p i p j ) 1 / 2 m ( 3 8 w h e r e i s t h e e s t i m a t e d u n i t d e m a n d f o r i n p u t i . I n T a b l e 4 w e r e p o r t s e l e c t e d e l a s t i c i t i e s o b t a i n e d b y M L , a n d i n T a b l e 5 t h e s a m e e l a s t i c i t i e s o b t a i n e d b y I 3 S L S . We s e e t h a t w h i l e t h e " o w n " s u b s t i t u t i o n o f c a p i t a l a n d l a b o u r , h a s r e m a i n e d m o r e o r l e s s t h e s a m e , t h a t o f e n e r g y h a s d e c r e a s e d s u b s t a n t i a l l y . I n s p i t e o f t h i s d e c r e a s e i t i s s t i l l q u i t e s i g n i f i c a n t . A n e x a m i n a t i o n o f t h e c r o s s e l a s t i c i t i e s r e v e a l s t h a t e n e r g y i s a v e r y s t r o n g s u b s t i t u t e f o r l a b o u r a n d t o a l e s s e r d e g r e e f o r c a p i t a l . T h i s s u b s t i t u t a b i 1 i t y , h o w e v e r , h a s b e e n d e c r e a s i n g o v e r t i m e . A v e r y i n t e r e s t i n g r e s u l t i s t h a t c a p i t a l a n d l a b o u r a r e f o u n d t o b e c o m p l e m e n t s ( a l t h o u g h n o t t o a h i g h e r d e g r e e ) , f u r t h e r m o r e , t h e d e g r e e o f c o m p l e -m e n t a r i t y s e e m s t o b e i n c r e a s i n g o v e r t i m e . T o c a l c u l a t e t h e p r i c e e l a s t i c i t i e s w e n e e d t h e i n p u t s s h a r e s i n e a c h y e a r . S i n c e t h e s h a r e s w e r e s t a b l e o v e r t i m e , w e r e p o r t o n l y a v e r a g e s h a r e s , a n d t h e s e c a n b e u s e d ( i n a l l t h e m o d e l s ) t o c a l c u l a t e t h e p r i c e e l a s t i c i t i e s . 1 0 1 T a b l e 4 M o d e l I : E l a s t i c i t i e s o f S u b s t i t u t i o n E s t i m a t e d b y M a x i m u m L i k e l i h o o d Y e a r a L L a E E a L K a L E a E K 1 9 4 7 - 1 . 8 4 9 - . 1 8 6 - 1 2 . 8 0 9 - . 3 1 2 4 . 4 4 7 1 . 2 8 2 1 9 5 1 - 2 . 2 9 4 - . 1 4 9 - 8 . 8 5 7 - . 3 6 9 4 . 1 8 2 1 . 0 0 7 1 9 5 5 - 2 . 2 4 0 - . 1 4 8 - 8 . 0 2 6 - . 3 7 8 3 . 9 6 7 . 9 6 1 1 9 5 9 - 1 . 8 3 2 - . 1 6 7 - 6 . 8 3 1 - . 3 7 3 3 . 3 6 0 . 9 3 1 1 9 6 3 - 2 . 0 1 8 - . 1 4 9 - 6 . 2 9 4 - . 3 9 7 3 . 4 0 8 . 8 6 7 1 9 6 7 - 2 . 0 4 3 - . 1 3 0 - 5 . 0 0 7 - . 4 4 1 3 . 1 3 2 . 7 6 2 1 9 7 1 - 1 . 9 1 9 - . 1 2 3 - 4 . 3 1 3 - . 4 6 5 2 . 8 6 1 . . 7 1 6 1 0 2 T a b l e 5 M o d e l I : E l a s t i c i t i e s o f S u b s t i t u t i o n E s t i m a t e d b y I 3 S L S Y e a r a L L a E E a L K a L E a E K 1 9 4 7 - 1 . 7 7 7 - . 3 6 7 - 1 7 . 0 8 2 - . 2 5 4 4 . 3 7 5 2 . 0 7 1 1 9 5 1 - 2 . 1 6 2 - . 3 2 5 - 9 . 5 7 8 - . 3 0 7 3 . 6 3 0 1 . 5 0 6 1 9 5 5 - 2 . 1 0 1 - . 3 2 9 - 8 . 7 6 6 - . 3 1 3 3 . 4 6 1 1 . 4 4 7 1 9 5 9 - 1 . 7 1 4 - . 3 7 5 - 8 . 3 5 5 - . 3 0 2 3 . 1 4 5 1 . 4 6 8 1 9 6 3 - 1 . 8 7 1 - . 3 5 0 - 7 . 1 8 6 - . 3 2 5 3 . 0 5 1 1 . 3 3 6 1 9 6 7 - 1 . 8 5 6 - . 3 4 2 - 5 . 5 7 3 - . 3 6 0 2 . 7 4 5 1 . 1 7 5 1 9 7 1 - 1 . 7 2 4 - . 3 5 4 - 4 . 8 8 1 - . 3 7 6 2 . 5 2 9 1 . 1 1 6 1 0 3 T h e a v e r a g e s h a r e s a r e : l a b o u r , . 2 2 6 , c a p i t a l , . 5 6 4 a n d e n e r g y , . 2 1 0 . T h e m a i n p u r p o s e o f t h i s s t u d y i s t o p r o v i d e a f r a m e -w o r k w i t h i n w h i c h i t i s p o s s i b l e t o t e s t f o r t h e h y p o t h e s i s o f p r i c e t a k i n g b e h a v i o u r . T o d o t h i s , w e c a r r i e d o u t t h e t e s t f o r t h e n u l l h y p o t h e s i s o f b K = b L = b £ = y = 0 , a g a i n s t t h e a l t e r n a t i v e h y p o t h e s i s o f e i t h e r o n e o r a l l o f t h e m d i f f e r e n t t h a n z e r o . T h e x 2 s t a t i s t i c i s 4 6 . 1 8 0 0 f o r t h e m a x i m u m l i k e l i -h o o d m o d e l a n d 3 6 . 2 6 3 2 f o r t h e I 3 S L S m o d e l . T h e n u l l h y p o t h e s i s i s t h e r e f o r e b a d l y r e j e c t e d i n b o t h c a s e s ( x 2 ( 4 ) Q 0 1 = 1 8 . 5 ) . A l s o t h e s e p a r a t e t e s t s f o r t h e n o n - e x i s t e n c e o f a c o n s t a n t a n d a p r o p o r t i o n a l t e r m a r e r e j e c t e d . T h e r e s u l t s i n t h i s m o d e l , t h e r e f o r e , s h o w t h a t f o r o u r b o d y o f d a t a , n a m e l y U . S . c r u d e p e t r o l e u m a n d n a t u r a l g a s i n d u s t r y , t h e a s s u m p t i o n o f p r i c e t a k i n g b e h a v i o u r , i s n o t a g o o d a p p r o x i m a t i o n o f r e a l i t y . S i n c e t h e l i n e a r i t y o f 6 i n p r i c e s i s a n a s s u m p -t i o n w h i c h p l a c e s q u i t e s e v e r e r e s t r i c t i o n s o n t h e u n d e r l y i n g t e c h n o l o g y , i t i s i n t e r e s t i n g t o s e e t o w h a t e x t e n t t h e r e s u l t d e p e n d s o n t h e a s s u m p t i o n m a d e o n 6 " . T o a n s w e r t h i s q u e s t i o n w e l o o k a t t h e e m p i r i c a l r e s u l t s o f m o d e l s I I , a n d I I I . M o d e l I I T h e s a m e a s i n m o d e l I , w e c a r r i e d o u t b o t h M L a n d I 3 S L S e s t i m a t i o n s . T h e p a r a m e t e r e s t i m a t e s a n d s t a n d a r d e r r o r s a r e g i v e n i n T a b l e 6 . T h e R 2 a n d D u r b i n - W a t s o n 1 0 4 T a b l e 6 M o d e l I I : P a r a m e t e r E s t i m a t e s ( s t a n d a r d e r r o r s i n p a r a n t h e s e s ) P a r a m e t e r M L I 3 S L S ^ L . 0 3 3 7 1 ( . 0 2 6 2 ) . 0 3 3 8 2 ( . 0 3 0 2 ) e E - . 3 1 5 0 4 ( . 0 3 4 0 ) s - . 3 0 2 2 3 ( . 0 4 8 9 ) B K . 2 8 8 5 5 ( . 0 3 3 8 ) . 3 4 0 3 1 ( . 0 6 4 7 ) ^ L E . 2 5 6 6 1 ( . 0 2 2 5 ) . 2 8 1 7 0 [ . 0 2 7 0 ) ^ L K - . 0 7 0 9 2 ( . 0 1 8 2 ) - . 0 9 3 5 4 ( . 0 2 5 0 ) . 2 1 1 5 6 ( . 0 2 9 2 ) . 1 7 8 5 0 [ . 0 5 3 6 ) D K 1 . 4 5 9 2 4 ( . 5 3 0 8 ) . 6 6 7 7 8 ( 1 . 1 7 0 1 ) D L - . 0 3 6 1 7 ( . 0 8 0 7 ) . 1 8 3 1 6 ( ' . 2 0 6 3 ) D E . 3 5 2 5 9 ( . 2 0 4 4 ) . 0 8 6 9 8 ( . 4 3 8 4 ) D L K . 4 3 4 9 5 ( . 1 6 1 1 ) - . 2 5 2 9 1 ( . 3 5 5 4 ) D E K - . 9 4 2 0 7 ( . 3 7 9 8 ) - . 3 1 5 5 1 ( . 8 5 0 4 ) D L E . 4 5 0 2 8 ( . 2 1 4 3 ) . 0 5 4 7 6 ( . 4 9 1 8 ) 1 0 5 s t a t i s t i c s a r e r e p o r t e d i n T a b l e 7 . I t i s i n t e r e s t i n g t o n o t e t h a t b o t h t h e M L a n d I 3 S L S m e t h o d s y i e l d t h e s a m e R 2 , s , D . W . s t a t i s t i c s a n d $ p a r a m e t e r ( a n d s t a n d a r d e r r o r s ) , t h e D p a r a m e t e r ( i . e . t h e p a r a m e t e r s o f t h e m a r k u p t e r m ) a n d t h e i r s t a n d a r d e r r o r s , h o w e v e r , a r e q u i t e d i f f e r e n t ( t h e s t a n d a r d e r r o r s o f t h e M L D ' s a r e m u c h l o w e r ) . We c h e c k e d f o r m o n o t o n i c i t y , a n d i t p a s s e d g l o b a l l y f o r b o t h t h e M L a n d I 3 S L S c a s e s . T h e c o n c a v i t y c o n d i t i o n s w e r e s a t i s f i e d g l o b a l l y i n t h e M l c a s e , a n d i n a l l b u t t h e l a s t f o u r y e a r s i n t h e I 3 S L S c a s e . T h e e s t i m a t e d d e m a n d e l a s t i c i t y f i g u r e s a r e g i v e n i n T a b l e 8 . A g a i n w e s e e t h a t t h e r e q u i r e d c o n d i t i o n i s s a t i s f i e d a l m o s t g l o b a l l y ; i t i s s a t i s f i e d i n a l l y e a r s b u t 1 9 4 7 i n t h e M L c a s e a n d i n a l l y e a r s b u t 1 9 4 7 , 1 9 6 5 i n t h e I 3 S L S c a s e . S e l e c t e d e l a s t i c i t i e s o f s u b s t i t u t i o n f o r t h i s m o d e l a r e g i v e n i n T a b l e s 9 a n d 1 0 . T h e s e f i g u r e s c o n f i r m t h e r e s u l t s o f m o d e l I . T h e o w n e l a s t i c i t y o f c a p i t a l a n d l a b o u r i s g e n e r a l l y c o n s t a n t , w h e r e a s t h a t o f e n e r g y , h a s d e c r e a s e d s u b s t a n t i a l l y , b u t i s n e v e r t h e l e s s , s t i l l v e r y h i g h . E n e r g y a n d l a b o u r a r e s t r o n g s u b s t i t u t e s , a n d t o a l e s s e r d e g r e e , s o a r e e n e r g y a n d c a p i t a l . B o t h o f t h e s e e l a s t i c i t i e s , h o w e v e r , h a v e b e e n d e c r e a s i n g o v e r t i m e . F i n a l l y , c a p i t a l a n d l a b o u r a r e s l i g h t l y c o m p l e m e n t s , w i t h t h e d e g r e e o f c o m -p l e m e n t a r i t y i n c r e a s i n g o v e r t i m e . 1 0 6 T a b l e 7 M o d e l I I : R 2 a n d D u r b i n - W a t s o n S t a t i s t i c s E q u a t i o n R 2 D . W . M L I 3 S L S M L I 3 S L S L a b o u r . 5 2 5 3 . 5 2 5 1 . 7 8 1 6 . 8 0 9 5 C a p i t a l . 3 5 5 8 . 3 5 9 3 1 . 3 7 2 5 1 . 3 6 4 7 E n e r g y . 8 2 0 2 . 8 3 2 0 . 7 0 3 9 . 7 4 6 6 S h a d o w P r i c e . 6 2 1 3 . 6 1 8 0 1 . 2 6 6 3 1 . 3 1 6 1 Table 8 Model II: Estimated Demand Elasticity 1947-1971 Year I3SLS ML 1947 .04184 . .05957 1948 - .02459 -.02660 1949 -.05664 -.06819 1950 -.03685 -.03376 1 951 -.05678 -.06232 1952 -.03282 -.05920 1 953 -.04385 -.03262 1 954 -.07811 -.06159 1955 -.03908 -.04922 1 956 -.02243 -.02365 1957 - .1 3108 -.10803 1958 - .09991 -.08840 1 959 -.08087 -.07087 1960 - .07492 -.06536 1 961 -.07831 -.06824 1962 -.05591 -.04317 1963 -.05689 -.04980 1964 -.04576 -.03523 1 965 .08381 -.01963 1966 - .04621 -.04141 1967 -.08609 -.06898 1968 -.06117 -.05042 1 969 -.09376 -.09037 1970 - .15318 -.13488 1971 -.10651 -.11041 1 0 8 T a b l e 9 M o d e l I I : E l a s t i c i t i e s o f S u b s t i t u t i o n E s t i m a t e d b y M a x i m u m L i k e l i h o o d Y e a r a L L a K K a E E a L K G L E a E K 1 9 4 7 - 1 . 7 0 8 - . ' 2 9 5 - 1 4 . 1 3 6 - . 2 6 5 4 . 0 9 3 1 . 6 8 3 1 9 5 1 - 2 . 0 6 4 - . 2 5 2 - 8 . 9 2 9 - . 3 1 5 3 . 6 0 7 1 . 2 8 3 1 9 5 5 - 1 . 9 9 9 - . 2 5 4 - 8 . 1 9 9 - . 3 2 1 3 . 4 3 7 1 . 2 3 3 1 9 5 9 - 1 . 6 2 1 - . 2 9 0 - 7 . 5 4 5 - . 3 1 1 3 . 0 4 4 1 . 2 3 6 1 9 6 3 - 1 . 7 6 4 - . 2 6 7 - 6 . 7 1 2 - . 3 3 2 3 . 0 0 5 1 . 1 3 8 1 9 6 7 - 1 . 7 3 2 - . 2 5 5 - 5 . 3 3 6 - . 3 6 5 2 . 7 2 3 1 . 0 0 8 1 9 7 1 - 1 . 5 9 5 - . 2 6 0 - 4 . 6 8 4 - . 3 8 0 2 . 4 9 8 . 9 5 8 1 0 9 T a b l e 1 0 M o d e l I I : E l a s t i c i t i e s o f S u b s t i t u t i o n E s t i m a t e d b y I 3 S L S Y e a r a L L a E E a L K a L E a E K 1 9 4 7 - 1 . 6 9 2 - . 1 9 7 - 1 3 . 4 0 5 - . 3 4 7 4 . 3 7 8 1 . 4 1 0 1 9 5 1 - . 2 0 7 5 - . 1 5 9 - 8 . 9 8 0 - . 4 1 4 4 . 0 5 6 1 . 0 9 3 1 9 5 5 - 2 . 0 1 0 - . 1 5 8 - 8 . 1 6 2 - . 4 2 2 3 . 8 4 2 1 . 0 4 5 1 9 5 9 - 1 . 6 1 6 - . 1 7 8 - 7 . 1 0 4 - . 4 1 1 3 . 2 5 5 1 . 0 2 9 1 9 6 3 - 1 . 7 7 0 - . 1 5 8 - 6 . 4 7 1 - . 4 3 9 3 . 2 8 3 . 9 5 2 1 9 6 7 - 1 . 7 4 6 - . 1 3 9 - 5 . 1 3 8 - . 4 8 5 2 . 9 8 8 . 8 4 0 1 9 7 1 - 1 . 6 0 6 - . 1 3 1 - 4 . 4 4 9 - . 5 0 7 2 . 7 1 1 . 7 9 5 1 1 0 We h a v e c a r r i e d o u t t h e t e s t f o r t h e n u l l h y p o t h e s i s o f a l l D ' s e q u a l t o z e r o , a g a i n s t t h e a l t e r n a t i v e h y p o t h e s i s o f n o t a l l t h e D ' s e q u a l t o z e r o . T h e c h i - s q u a r e s t a t i s t i c i s 3 0 . 8 3 0 6 f o r t h e I 3 S L S m o d e l a n d 2 5 . 6 8 8 4 f o r t h e M L m o d e l . T h e n u l l h y p o t h e s i s i s t h e r e f o r e r e j e c t e d i n b o t h c a s e s ( x 2 ( 5 ) ooi = 2 2 - 5 ) - T h u s , w e f i n d t h a t t h e d e g r e e o f m o n o p o l y i n t h e U . S . c r u d e p e t r o l e u m a n d n a t u r a l g a s i n d u s t r y i n t h e y e a r s 1 9 4 7 - 1 9 7 1 , i s n o t s t a t i s t i c a l l y i n s i g n i f i c a n t . T h e i n t r o d u c t i o n o f a m o r e g e n e r a l m a r k u p t e r m , t h e r e f o r e , d i d n o t c h a n g e t h e r e s u l t s o f M b d e l I . M o d e l I I I T h e e m p i r i c a l r e s u l t s o f m o d e l I I I a r e v e r y s i m i l a r a n d r e c o n f i r m t h e r e s u l t s o f t h e p r e v i o u s m o d e l s . We w i l l , t h e r e f o r e , n o t d i s c u s s t h e m i n d e t a i l b u t r e p o r t t h e m v e r y b r i e f l y . T h e p a r a m e t e r e s t i m a t e s , R 2 l s a n d D . W . s t a t i s t i c s a r e g i v e n i n T a b l e s 1 1 a n d 1 2 . A g a i n t h e s t a n d a r d e r r o r s ( a n d p a r a m e t e r e s t i m a t e s ) a r e l o w e r i n t h e M L t h a n i n t h e I 3 S L S c a s e . M o n o t o n i c i t y a n d c o n c a v i t y c o n d i t i o n s a r e s a t i s f i e d g l o b a l l y , s o t h a t t h e c o s t f u n c t i o n i s w e l l b e h a v e d . T h e e s t i m a t e d d e m a n d e l a s t i c i t y ( g i v e n i n T a b l e 1 3 ) s a t i s f i e s t h e r e q u i r e d c o n d i t i o n i n a l l b u t t h e f i r s t y e a r . T h e e l a s -t i c i t i e s o f s u b s t i t u t i o n ( g i v e n i n T a b l e s 1 4 a n d 1 5 ) a r e t h e s a m e a s t h e o n e s o f m o d e l s I a n d I I , i n t e r m s o f s i g n s , m a g n i t u d e s a n d c h a n g e s o v e r t i m e . F i n a l l y , t h e n u l l h y p o t h e s i s o f a l l a ' s e q u a l t o z e r o , a g a i n s t t h e a l t e r n a t i v e of n o t a l l I l l Table 11 Model III: Parameter Estimates (standard errors in paranthesis) Parameter ML I3SLS .02898 ( .0245) .03030 (.0266) -.35255 ( .0396) -.37026 ( .0521 ) .20746 ( .0346) .22585 (.0628) 0LE .22928 ( .0235) .24839 (.0286) BLK -.04369 ( .0180) -.06076 (.0242) BEK .27200 ( .0315) .27136 (.0525) aK -.25667 ( .0756) -.39647 (.0975) aL .00571 ( .0452) .04082 (.0571 ) aE .31074 ( .0770) .41427 (.0984) 1 1 2 T a b l e 1 2 M o d e l I I I : R 2 a n d D u r b i n - W a t s o n S t a t i s t i c s E q u a t i o n R D . W . M L I 3 S L S M L I 3 S L S L a b o u r . 5 2 6 7 . 5 2 9 1 . 7 5 4 5 . 7 7 6 4 C a p i t a l . 3 5 1 1 . 3 7 1 1 1 . 4 1 6 6 1 . 4 6 8 6 E n e r g y . 7 8 7 2 . 7 8 2 6 . 6 5 8 9 . 6 4 7 9 S h a d o w P r i c e . 6 7 0 3 . 6 4 9 7 1 . 0 7 7 1 1 . 0 1 2 5 Table 13 Model III: Estimated Demand Elasticity 1947-71 Year I3SLS ML 1 947 .02869 .00138 1 948 -.08511 -.07139 1949 -.06521 -.06241 1950 -.02873 -.03756 1951 -.05177 -.05042 1 952 -.03952 -.04112 1953 -.11493 -.10386 1954 -.07671 -.06978 1955 -.03128 -.03596 1956 -.01846 -.02769 1 957 -.09316 -.08752 1 958 -.06796 -.06961 1 959 - .06120 -.06450 1960 -.05767 -.06149 1961 -.05913 -.06424 1962 -.04764 -.05688 1963 -.05196 -.06083 1 964 -.04559 -.05505 1 965 -.03149 -.05081 1 966 -.05139 -.05770 1 967 -.09996 -.09115 1968 -.09632 -.08836 1969 -.09230 -.08762 1 970 -.13448 -.12038 1971 -.09882 -.09382 1 1 4 T a b l e 1 4 M o d e l I I I : E l a s t i c i t i e s o f S u b s t i t u t i o n E s t i m a t e d b y M L Y e a r a L L a K K a E E a L K a L E a E K 1 9 4 7 - 1 1 7 7 5 - . 4 4 4 - 1 5 . 8 0 5 - . 1 6 5 3 . 7 9 2 2 . 1 7 2 1 9 5 1 - 2 . 1 1 2 - . 4 0 7 - 8 . 9 0 6 - . 1 9 7 3 . 0 8 0 1 . 5 9 8 1 9 5 5 - 2 . 0 4 9 - . 4 1 3 - 8 . 3 7 6 - . 2 0 1 2 . 9 5 9 1 . 5 4 5 1 9 5 9 - 1 . 6 8 3 - . 4 6 6 - - 8 . 3 0 2 - . 1 9 3 2 . 7 9 8 1 . 5 9 4 1 9 6 3 - 1 . 8 2 0 - . 4 4 1 - 7 . 0 7 2 - . 2 0 7 2 . 6 7 2 1 . 4 5 1 1 9 6 7 - 1 . 7 8 5 - . 4 4 1 - 5 5 5 8 7 - . 2 2 7 2 . 4 0 6 1 . 2 8 9 1 9 7 1 - 1 . 6 5 2 - . 4 6 1 - 4 . 9 9 4 - . 2 3 5 2 . 2 4 2 1 . 2 3 3 1 1 5 T a b ! e 1 5 M o d e l I I I : E l a s t i c i t i e s o f S u b s t i t u t i o n E s t i m a t e d b y I 3 S L S Y e a r G L L a E E CTLK a L E a E K 1 9 4 7 - 1 . 7 4 7 - . 4 1 3 - 1 7 . 2 9 6 - . 2 2 5 4 . 1 6 5 2 . 2 1 9 1 9 5 1 - 2 . 1 0 3 - . 3 7 3 - 9 . 4 3 4 - . 2 7 2 3 . 3 7 6 1 . 6 0 2 1 9 5 5 - 2 . 0 4 0 - . 3 7 9 - 8 . 6 9 1 - . 2 7 7 3 . 2 2 8 1 . 5 4 4 1 9 5 9 - 1 . 6 6 3 - . 4 2 9 - 8 . 5 6 3 - . 2 6 6 2 . 9 9 5 1 . 2 8 6 1 9 6 3 - 1 . 8 0 7 - . 4 0 4 - 7 7 2 2 6 9 - . 2 8 6 2 . 8 7 1 . 4 4 0 1 9 6 7 - 1 . 7 7 7 - . 4 0 1 - 5 . 6 5 4 - . 3 1 6 2 . 5 7 8 1 . 2 7 0 1 9 7 1 - 1 . 6 4 2 - . 4 1 7 - 4 . 9 9 8 - . 3 2 8 2 . 3 8 4 1 . 2 1 2 1 1 6 t h e a ' s e q u a l z e r o , - i s r e j e c t e d b a d l y i n b o t h t h e M L (x 2 = 4 1 . 4 3 ) a n d I 3 S L S (x 2 = 3 9 . 4 1 ) c a s e s ( x 2 ( 3 ) 0 0 1 = 1 6 . 3 ) , s o t h a t t h e d e g r e e o f m o n o p o l y i s s t a t i s t i c a l l y s i g n i f i c a n t . I t i s w e l l k n o w n t h a t t h e i n p u t m i x a m o n o p o l i s t c h o o s e s , i s i n d e p e n d e n t o f o u t p u t p r i c e , i n o t h e r w o r d s t h e c o s t m i n i m i z i n g b e h a v i o u r i s t h e s a m e a s t h a t o f a p e r f e c t l y c o m p e t i t i v e f i r m . T o c o n f i r m t h i s w e e s t i m a t e d t h e s y s t e m o f d e r i v e d d e m a n d e q u a t i o n s a l o n e a n d c a l c u l a t e d t h e A l l e n p a r t i a l e l a s t i c i t i e s o f s u b s t i t u t i o n . T h e s e e l a s t i c i t i e s , w h i c h a r e n o t r e p o r t e d h e r e , w e r e f o u n d t o b e v e r y s i m i l a r t o t h o s e o f t h e p r e v i o u s m o d e l s a n d s o w e r e t h e i r p a t t e r n s o v e r t i m e . T h e m o n o t o n i c i t y a n d c o n c a v i t y c o n d i t i o n s w e r e c h e c k e d a n d w e r e f o u n d t o b e s a t i s f i e d g l o b a l l y . T h i s i n d i -c a t e s , a s w e h a v e m e n t i o n e d b e f o r e , t h a t i f o n e i s n o t i n t e r -e s t e d i n s t u d y i n g t h e p r i c e t a k i n g b e h a v i o u r , o r t e s t f o r i t , b u t , f o r i n s t a n c e , i n t h e e l a s t i c i t i e s , i t i s q u i t e a p p r o p r i a t e t o u s e t h e r e v e n u e f u n c t i o n a p p r o a c h . I f w e l o o k a t t h e r e s u l t s o f t h e t h r e e m o d e l s , i t i s c l e a r t h a t t h e y a r e m o r e t h a n j u s t c o n s i s t e n t w i t h e a c h o t h e r ; t h e y a r e i n f a c t a l m o s t t h e s a m e . T h e y a l l y i e l d t h e s a m e m o n o t o n i c i t y , c o n c a v i t y a n d s u b s t i t u t i o n r e s u l t s . E v e n m o r e i m p o r t a n t , i n o u r c a s e , i s t h e f a c t t h a t t h e y a l l s t r o n g l y i n d i c a t e t h a t t h e p r i c e t a k i n g b e h a v i o u r a s s u m p t i o n i s n o t v e r y a p p r o p r i a t e f o r t h e U . S . c r u d e p e t r o l e u m a n d n a t u r a l g a s i n d u s t r y . W h a t i s r e a s s u r i n g , i s t h a t w i t h t h r e e d i f f e r e n t a s s u m p t i o n s m a d e o n t h e m a r k u p t e r m ( t h e d e m a n d f u n c t i o n ) , t h e c o n c l u s i o n r e m a i n e d t h e s a m e . 1 1 7 C o n c l u s i o n s We h a v e p r o v i d e d a f r a m e w o r k w i t h i n w h i c h a n o n -c o m p e t i t i v e i n d u s t r y o r f i r m c a n b e a n a l y s e d , e m p i r i c a l l y s t u d i e s a n d t h e h y p o t h e s i s o f p r i c e t a k i n g b e h a v i o u r c a n b e t e s t e d . T h i s f r a m e w o r k c a n t h e r e f o r e b e u s e d t o d i n t i n g u i s h b e t w e e n d i f f e r e n t m a r k e t s t r u c t u r e s . We h a v e g i v e n a n e m p i r i c a l a p p l i c a t i o n t o t h e U . S . c r u d e p e t r o l e u m a n d n a t u r a l g a s i n d u s t r y 1 9 4 7 - 1 9 7 1 , w h e r e w e f o u n d t h a t t h e d e g r e e o f m o n o p o l y i s s t a t i s t i c a l l y s i g n i f i c a n t . T h i s a p p r o a c h c a n b e a p p l i e d t o o t h e r t y p e s o f n o n - c o m p e t i t i v e m a r k e t s , n o t n e c e s s a r i l y m o n o p o l i s t i c . F u r t h e r m o r e , w e c a n g e n e r a l i z e i t t o p r o v i d e m o r e o f a g e n e r a l e q u i l i b r i u m f r a m e w o r k . F o r e x a m p l e , i n t h e m o d e l a n a l y s e d a b o v e , w e c o u l d l o o k a t a s y s t e m w h i c h i n c l u d e s s u p p l y a n d d e m a n d f u n c t i o n s o f t h e m o n o p o l i s t , a s w e l l a s s u p p l y a n d d e m a n d f u n c t i o n s o f t h e r e s t o f t h e e c o n o m y ( t h e d e m a n d e r s o f t h e m o n o p o l i s t ' s o u t p u t ) . T h i s w o u l d b e a m o r e c o m p l e t e m o d e l , i t w o u l d , h o w e v e r , b e m o r e d i f f i c u l t t o a p p l y e m p i r i c a l l y . FOOTNOTES ^ T h i s a p p r o a c h i s b a s e d o n L a u [ 1 9 7 3 ] 2 T h e n o t a t i o n i s t h e s a m e a s i n C h a p t e r 2 e x c e p t t h a t n o w Y 0 > 0 , i . e . F ( Y , X ) < 0 , q I t s h o u l d b e n o t e d t h a t s i n c e S ( Y , X ) i s a p r o d u c t o f t w o f u n c t i o n s , e v e n i f F a n d D a r e c o n v e x ( a n d m o n o t o n i c ) t h i s i s n o t s u f f i c i e n t t o e n s u r e c o n v e x i t y o f S ( Y , X ) . 4 A c t u a l l y w h a t w e a s s u m e i s t h a t t h e s e c o n d o r d e r d e t e r m i n e n t a l c o n d i t i o n s a r e s a t i s f i e d l o c a l l y , i . e . t h e m a x i m u m i s " s t r o n g . " T h i s i s s l i g h t l y m o r e t h a n w e a r e e n t i t l e d , i t i s , h o w e v e r , q u i t e a c o m m o n p r a c t i c e i n m i c r o e c o n o m i c s . ' 5 A l t e r n a t i v e l y , w e c o u l d a s s u m e t h a t Y 0 i s a c o n -s u m e r g o o d . T h e d e m a n d f u n c t i o n c a n t h e n b e d e r i v e d b y R o y ' s i d e n t i t y f r o m t h e i n d i r e c t u t i l i t y f u n c t i o n . T h e p r i c e s i n P m a y o r m a y n o t b e t h e s a m e a s i n P . z ^ N o t e t h a t i n g e n e r a l , t h e r e i s n o s i m p l e r e l a t i o n -s h i p b e t w e e n 6 a n d 6 ' . F o r c o n v e n i e n c e w e d r o p t h e s t a r s u p e r s c r i p t f r o m P 0 . 9 S e e L a u [ 1 9 7 5 ] . 1 1 8 1 1 9 ^ T h i s i m p l i e s t h a t i m p l i c i t l y w e a s s u m e w e a k s e p a r -a b i l i t y b e t w e e n t h e s e t h r e e a n d o t h e r i n p u t s . 1 ] S e e D h r y m e s [ 1 9 7 3 ] . 1 2 T h e m a x i m u m l i k e l i h o o d m e t h o d i s e q u i v a l e n t t o t h e i t e r a t i v e v e r s i o n o f t h e Z e l n e r e f f i c i e n t e s t i m a t i o n m e t h o d . 1 3 A l i s t o f t h e i n s t r u m e n t s i s g i v e n i n T a b l e s D . 5 - D . 6 1 4 T h e l i k e l i h o o d r a t i o X h a s t h e p r o p e r t y t h a t - 2 l o g X ~ x 2 ( n ) , w h e r e n i s t h e n u m b e r o f r e s t r i c t i o n s . T h e W a l d s t a t i s t i c h a s t h e p r o p e r t y t h a t W ~ x 2 ( n ) w h e r e W = S l M S a - S i ) a n d S l s S 2 a r e t h e e r r o r m a t r i c e s o f t h e u n c o n s t r a i n e d a n d c o n s t r a i n e d s y s t e m s r e s p e c t i v e l y . REFERENCES A p p e l b a u m , E . , a n d K o h l i , U . [ 1 9 7 5 ] , " C a n a d a U . S . T r a d e ; T e s t s f o r t h e S m a l . 1 O p e n E c o n o m y H y p o t h e s i s , " W o r k i n g p a p e r 7 , D e p a r t m e n t o f E c o n o m i c s , T h e U n i v e r s i t y o f B r i t i s h C o l u m b i a . B a i n , J . S . , [ 1 9 6 3 ] , Barriers to New Competition, H a r v a r d U n i v e r s i t y P r e s s . B e r n d t , E . R . a n d C h r i s t e n s e n , L . R . [ 1 9 7 4 ] , " T e s t i n g f o r t h e E x i s t e n c e o f a C o n s i s t e n t A g g r e g a t e I n d e x o f L a b o u r I n p u t s , " American Economic Review, 6 4 , 3 9 1 - 4 0 4 . C h r i s t e n s e n , L . R . , J o r g e n s o n , D . W . , a n d L a u , L . J . [ 1 9 7 3 a ] , " T r a n s c e n d e n t a l L o g a r i t m i c P r o d u c t i o n F r o n t i e r s , " Review of Economics and S t a t i s t i c s , 5 5 , 2 8 - 4 5 . D h r y m e s , P . J . [ 1 9 7 3 ] , " S m a l l S a m p l e a n d A s y m p t o t i c R e l a t i o n s B e t w e e n M a x i m u m L i k e l i h o o d a n d T h r e e S t a t e L e a s t S q u a r e s E s t i m a t o r s , " Econometrica, 4 1 , 3 5 7 - 3 6 4 . D i e w e r t , W . E . [ 1 9 7 1 b ] , " C h o i c e o n L a b o u r M a r k e t s a n d t h e T h e o r y o f A l l o c a t i o n o f T i m e , " D i s c u s s i o n p a p e r N o . 6 5 , D e p a r t m e n t o f E c o n o m i c s , T h e U n i v e r s i t y o f B r i t i s h C o l u m b i a . D i e w e r t , W . E . [ 1 9 7 4 a ] , " A p p l i c a t i o n s o f D u a l i t y T h e o r y , " D e p a r t m e n t o f M a n p o w e r a n d I m m i g r a t i o n , O t t a w a . F a u c e t t , J a c k , A s s o c i a t e s [ M a y 1 9 7 3 ] , Data Development for the 1-0 Energy Model, J a c k F a u c e t t A s s o c i a t e s , C h e r y C h a s e , M d . L a u , L . J . [ 1 9 7 3 ] , " A p p l i c a t i o n s o f D u a l i t y T h e o r y : A C o m m e n t , " T e c h n i c a l R e p o r t 9 9 , I M S S S , S t a n f o r d U n i v e r s i t y . 1 2 0 1 2 1 L a u , L . J . [ 1 9 7 5 ] , " A N o t e o n E l a s t i c i t y o f S u b s t i t u t i o n F u n c t i o n s , " D i s c u s s i o n p a p e r 7 4 - 2 9 , D e p a r t m e n t o f E c o n o m i c s , T h e U n v e r s i t y o f B r i t i s h C o l u m b i a . L e r n e r , A . P . [ 1 9 3 4 ] , " T h e C o n c e p t o f M o n o p o l y a n d t h e M e a s u r e m e n t o f M o n o p o l y P o w e r , " Review of Economic Studies, 1 , 1 5 7 - 1 7 5 . U z a w a , H . [ 1 9 6 2 ] , " P r o d u c t i o n F u n c t i o n s w i t h C o n s t a n t E l a s t i c i t y o f S u b s t i t u t i o n , " Review of Economic Studies, 2 9 , 2 9 1 - 2 9 9 . APPENDIX 1 1 2 2 T A B L E A . l P R I C E I N D E X E S FOR B L U E C O L L A R » WHITE C O L L A R AND C A P I T A L U . S . MANUFACTURING 1 9 2 9 - 1 9 7 1 YEAR P B L U E PWHITE P C A P I T A L 1 9 2 9 0 . 9 4 6 6 0 9 1 . 0 0 0 6 3 1 . 2 2 9 7 7 1 9 3 0 0 . 9 5 4 6 9 2 1 . 0 6 6 6 1 1 . 0 9 3 3 7 1 0 3 1 0 . 9 8 4 7 7 9 1 . 1 8 7 5 8 0 . 8 3 7 0 3 5 1 9 3 2 1 . 0 8 2 0 0 1 . 3 3 4 8 4 0 . 7 2 5 2 8 6 1 9 3 3 0 . 8 9 0 9 9 9 1 . 2 0 1 0 2 1 . 0 1 6 7 9 1 9 3 4 0 . 9 9 8 0 9 2 1 . 3 3 9 1 6 0 . 6 0 2 8 3 2 1 9 3 5 0 . 9 3 0 6 0 1 1 . 0 8 7 3 8 1 . 0 9 0 7 0 1 9 3 6 0 . 9 9 7 5 0 5 1 . 0 4 8 6 5 1 . 0 5 9 1 9 1 9 3 7 0 . 9 8 9 1 1 4 0 . 8 9 4 8 3 5 1 . 1 5 9 5 6 0 1 9 3 8 1 . 0 2 6 0 5 0 . 9 2 4 8 9 2 0 . 9 7 0 8 7 0 1 9 3 9 1 . 0 0 0 6 6 0 . 8 7 4 8 6 8 1 . 1 4 2 1 2 1 9 4 0 1 . 0 2 3 6 3 0 . 8 9 8 8 4 1 1 . 1 4 2 6 5 1 9 4 1 0 . 9 6 8 3 4 6 0 . 8 7 1 5 6 8 1 . 3 1 8 3 6 1 9 4 2 0 . 9 3 4 2 3 9 1 . 0 1 4 1 3 1 . 3 0 0 4 8 1 9 4 3 0 . 8 8 2 6 6 8 1 . 0 6 8 4 7 1 . 6 1 7 9 8 1 9 4 4 0 . 9 2 3 7 8 4 0 . 8 7 8 7 2 9 1 . 6 6 6 4 9 1 9 4 5 0 . 9 4 3 5 9 3 0 . 9 1 7 7 0 1 1 . 3 5 6 6 0 1 9 4 6 0 . 9 2 6 0 5 3 0 . 9 2 0 7 7 0 1 . 4 6 9 3 3 1947 0 . 9 4 4 2 2 4 0 . 8 7 8 6 3 8 1 . 4 4 C 8 5 1 9 4 8 0 . 6 9 7 6 7 7 1 . 1 1 6 2 8 1 . 3 3 6 4 3 1 9 4 9 1 . 0 0 0 0 0 1 . 0 0 0 0 0 1 . 0 0 0 0 0 195 0 0 . 9 5 7 6 8 2 1 . 0 4 0 4 9 1 . 1 3 4 5 7 1 9 5 1 0 . 9 5 0 2 6 6 1 . 0 3 2 2 6 1 . 1 7 9 8 3 1 9 5 2 0 . 9 8 7 7 5 5 0 . 9 8 7 7 5 4 1 . 1 1 3 6 9 1 9 5 3 0 . 9 9 2 5 6 0 0 . 9 6 9 8 9 7 1 . 0 7 4 7 2 1 9 5 4 0 . 9 9 1 7 2 9 0 . 9 3 5 2 9 6 1 . 1 3 4 7 4 1 9 5 5 0 . 9 9 7 6 0 5 0 . 9 3 5 0 3 5 1 . 1 1 1 6 9 1 9 5 6 1 . 0 6 9 9 8 0 . 9 9 7 6 3 9 1 . 0 2 8 0 2 1 9 5 7 1 . 0 2 6 1 4 0 . 9 3 3 3 9 4 1 . 0 0 2 3 7 1 9 5 8 1 . 0 1 9 3 2 0 . 9 1 3 5 3 0 1 . 0 6 0 1 5 1 9 5 9 0 . 9 9 7 5 1 5 0 . 9 0 9 4 3 2 1 . 1 3 8 7 6 1 9 6 0 1 . 0 5 6 0 5 0 . 9 5 5 5 5 4 1 . 1 2 1 3 5 1 9 6 1 1 . 0 1 3 8 9 0 . 9 2 0 1 2 5 1 . 0 6 3 8 2 1 9 6 2 1 . 0 1 3 3 2 0 . 9 3 6 9 4 2 1 . 0 3 4 3 4 1 9 6 3 1 . 0 0 9 3 7 0 . 9 3 5 2 6 5 1 . 0 5 1 0 7 1 9 6 4 1 . 0 1 9 5 6 0 . 9 9 9 3 7 2 1 . 0 4 0 1 6 1 9 6 5 0 . 9 9 7 4 4 3 0 . 9 5 6 6 1 3 1 . 0 5 1 5 7 1 9 6 6 0 . 9 9 6 9 2 5 0 . 9 6 0 6 7 3 1 . 0 4 5 7 7 1 9 6 7 1 . 0 0 9 3 3 0 . 9 8 2 4 6 1 0 . 9 6 2 2 3 1 1 9 6 8 1 . 0 0 6 8 8 0 . 9 8 6 9 3 8 0 . 9 9 6 8 5 8 1 9 6 9 1 . 0 1 5 3 6 0 . 9 9 2 5 2 5 0 . 9 2 5 7 9 4 1 9 7 0 1 . 0 3 1 1 0 1 . 0 1 9 5 6 0 . 8 3 2 2 8 8 1 9 7 1 1 . 0 6 1 1 0 1 . 0 4 0 6 6 0 . 7 1 6 5 0 2 123 TABLE A.2 QUANTITY INDEXES FOR BLUE COLLAR, WHITE COLLAR AND CAPITAL U.S. MANUFACTURING 1929-197! YEAR OBLUE Q WHITE QCAPITAL 1929 0.580357 0 .263291 0. 152201 1930 0 .53636.3 0.276586 0.176453 1031 0.512539 0 .271131 0.207010 1932 0.463115 0.252982 0.225289 1933 0.558719 0.228834 0. 223596 1934 0.590008 0 .213397 0.207930 193 5 0.603292 0.223040 0.179745 1936 0.620596 0.233537 0. 154142 1937 0.623773 C .242629 0.143078 193 8 0.574419 0.261706 0. 173624 1939 0.6 10114 0 .247035 0. 151792 1940 0.613451 0.244515 0.1373 8 8 1941 0.682860 0.210979 0. 11 7476 1942 0.745873 0 . 16174 2 0. 106999 1 943 0.796415 0.137137 0.0930210 1944 0.740175 0-183724 0.C877579 1945 0.713633 0.214508 0.0956570 1946 0. 685743 0.221498 0.109586 1947 0.679810 G .212765 0. 118795 1948 0.963790 0 .169900 0.129011 1949 0.645421 0.203363 0.151218 1950 0.673370 0. 180032 0. 14790 2 1951 0.670748 0.191001 0.1402 36 1952 0.657562 0.210916 0.143050 1953 0.635422 0.225932 0.139735 1954 0.597540 0.251407 0.151807 1955 0.608395 Q.242640 0. 149493 1956 0.594310 0.257017 0. 14965 3. 1957 0.571761 0.274975 0.156257 1958 0.537610 0.296521 0. 170847 1959 0.554512 0.287749 0. 16 2614 1960 0.?42256 0.295171 0.. 160063 1961 0.536497 0 .305053 0. 164846 1962 0.546378 0.300130 0.159655 196 3 0.544699 0.302538 0. 159123 1964 0.556096 0 .297848 0. 15 6712 1965 0.556399 0.294001 0.155750 1966 0.559784 0.291557 0.154766 1967 0.542308 0.300537 0. 16 3545 1968 0.541278 0.298904 0. 165520 1969 0.534486 0.302147 0. 170035 1970 0.516705 0 .308 216 0. 183802 1971 0. 513646 0.303177 0.194649 A P P E N D I X 2 T A B L E D . l AGGREGATE INPUT Q U A N T I T Y I N D E X E S OF C A P I T A L , LABOUR AND E N E R G Y , U . S . ECONOMY 1 9 4 7 - 1 9 7 1 YEAR K * L * E * 1 9 4 7 1 . 0 0 2 0 2 1 . 0 1 2 7 8 0 . 6 4 7 6 2 8 1 9 4 8 0 . 5 5 9 0 3 6 0 . 9 8 7 3 3 5 0 . 6 5 5 2 8 6 1 9 4 9 0 . 7 0 9 4 3 5 0 . 9 2 6 2 2 3 0 . 6 9 9 8 8 8 1 9 5 0 0 . 9 2 6 1 6 6 0 . 9 5 2 4 5 5 0 . 7 9 0 0 2 1 1 9 5 1 0 . 8 0 0 9 5 8 0 . 9 9 3 9 9 5 0 . 7 8 8 0 4 0 1 9 5 2 0 . 7 7 2 1 5 7 1 . 0 0 8 1 8 0 . 6 9 3 8 2 5 1 9 5 3 0 . 8 1 9 0 2 8 1 . 0 6 1 3 7 0 . 9 2 4 6 5 3 1 9 5 4 0 . 7 6 4 5 5 3 0 . 9 6 8 1 9 8 0 . 8 4 8 8 0 5 1 9 5 5 0 . 8 7 1 5 7 0 0 . 9 9 6 7 6 5 0 . 7 6 5 3 5 1 1 9 5 6 0 . 9 7 8 1 6 8 1 . 0 3 1 5 1 0 . 7 9 9 8 6 2 1 9 5 7 1 . 0 2 4 9 2 1 . 0 2 2 6 4 1 . 1 8 0 5 8 1 9 5 8 1 . 0 0 0 0 0 1 . 0 0 0 0 1 . 0 0 0 0 0 1 9 5 9 1 . 0 7 6 7 1 1 . 0 0 9 5 3 1 . 0 6 5 3 7 1 9 6 0 1 . 1 0 7 5 3 1 . 0 6 4 5 9 1 . 0 7 6 0 6 1 9 6 1 1 . 1 6 0 4 7 1 . 0 2 4 3 8 1 . 1 3 4 9 5 1 9 6 2 1 . 2 9 8 3 5 1 . 0 6 1 9 4 1 . 2 1 1 1 6 1 9 6 3 1 . 4 0 7 9 6 1 . 0 7 4 2 1 1 . 3 4 8 7 5 1 9 6 4 1 . 3 7 6 7 3 1 . 0 9 1 2 3 1 . 2 8 5 1 0 1 9 6 5 1 . 4 6 5 7 8 1 . 1 1 2 5 4 1 . 3 6 6 2 6 1 9 6 6 1 . 4 9 0 3 4 1 . 1 9 2 4 8 1 . 4 5 4 9 2 1 9 6 7 1 . 2 7 1 7 2 1 . 1 9 6 1 7 1 . 6 2 9 2 8 1 9 6 8 1 . 3 2 3 0 5 1 . 2 2 4 7 1 1 . 6 7 3 6 4 1 9 6 9 1 . 4 9 8 6 4 1 . 2 5 3 8 1 1 . 8 0 0 7 9 1 9 7 0 1 . 4 6 8 4 9 1 . 2 0 6 0 7 2 . 1 6 9 1 2 1 9 7 1 1 . 5 6 1 1 1 1 . 2 2 0 9 1 1 . 9 1 9 5 5 125 TABLE D.2 INPUT QUANTITY INDEXES OF CAPITAL, LABOUR, ENERGY AND OUTPUT U.S. CRUDE PETROLEUM AND NATURAL GAS INDUSTRY 1947- 1971 YEAR K L E Y 1947 2.81117 1.45983 0.751582 6.49174 1948 2.93923 1.65210 0.944876 7.20102 1949 3.19149 1.62024 0,958264 6.83273 1950 3.29312 1.50853 0.985671 7.41466 1951 3.31338 1.86711 1.07653 8.34216 1952 3.51190 2.05499 1.07397 8.57439 1953 3.58350 2.32138 1.25511 6.96723 1 954 3.66261 2.27498 1.20615 8.90363 1955 3.81999 2.31059 1.27489 9.55011 1956 4.15814 2.46355 1. 40813 9.83760 1957 4.46970 2.49143 1.83237 10.1290 1958 4.61165 2.35523 1.71000 9.87200 1959 4.60172 2.40795 1.81159 10.2466 1960 4.65690 2.45802 1.84032 10.4292 1961 4.69229 2.47540 1.95901 10.5379 1962 4.75109 2.42315 2.06424 10.9136 1963 4.7872 9 2.29224 2.31713 11.2623 1 964 4.72876 2.28600 2.31910 11.4828 1965 4.79410 2.22419 2.39085 11.8142 1966 4.78849 2.07324 2.63357 12.4178 1967 4.79364 2.02729 2.98331 12.9606 1968 4.86476 1.99589 3.04804 13.5121 1969 4.92660 1.92950 3.26421 13.9533 1970 5.17019 1.92061 3.72928 14.1791 1971 4.95273 1.94553 3.54366 14.3878 126 TABLE D.3 INPUT PRICE INDEXES OF CAPITAL, LABOUR, ENERGY AND OUTPUT U.S, CRUDE PETROLEUM AND NATURAL GAS INDUSTRY 1947-1971 YEAR PK PL PE PY 194 7 0.825414 0.599032 0. 880806 0.622483 1948 1.18974 0.685020 1.02870 0.816134 1949 0.964936 0.714976 0.903716 0.793827 1950 1.15087 0.797380 0.931343 0.786280 1951 1.26206 0.758006 0.979067 0.803029 1952 1.08512 0.799542 0.998159 0.809620 1953 1.24133 0.763800 0.933784 1.12728 1954 1.24085 0.835032 0.986606 0.911089 1955 1.37508 0.891124 1.06205 0.912346 1956 1.41106 0.930803 1.08086 0.923701 1957 1.19075 0.983805 0.971418 1.01363-1958 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000 1959 1.08968 1.02122 1.00906 0.985207 1960 1.13645 0.988384 1.03569 0.997291 1961 1. 14792 0.982027 1.04032 1.01690 1962 1.19782 1.01809 1.06092 1.02688 1963 1.26341 1.06658 1.01159 1.02936 1964 1.24139 1.10003 1.04265 1.02344 1965 1.36003 1.15192 1.05234 1.02275 196 6 1.37491 1.26692 1.04573 1.03247 1967 1.41141 1.32895 1.01230 1.05034 1968 1.41283 1.43156 1.03542 1.06431 1969 1.33907 1.61205 1.02934 1.11121 1970 1.39860 1.63447 0.965331 1.15120 1971 1.47368 1.66366 1.06331 1.21944 127 TABLE D. 4 AGGREGATE INPUT PRICE INDEXES OF CAPITAL, LABOUR AND ENERGY, U,S. ECONOMY 1947-1971 YEAR PK* PL* PE* 1947 0.538907 0.542427 0.804050 194 8 1.10106 0.602276 0.898010 1949 0.825425 0.640755 0.820621 1950 0.747979 0.663837 0.782217 1951 0.974920 0.707388 0.866371 1952 1.01187 0.742244 1.01102 1953 0.974241 0.762805 0.807262 1954 1.06761 0.847,492 0.914115 1955 1.04276 0.869226 1.09086 1956 0.940328 0.904402 1. 17011 1957 0.939153 0.962805 0.832969 1958 1.00000 1.00000 1.00000 1959 1.02885 1 .06143 1.01242 1960 1.02750 1.08253 1.08103 1961 0.996186 1.14005 1.05853 1962 0.945540 1.15931 1.05800 1963 0.912065 1.19421 0.986912 1964 1.00668 1.25567 1.09937 1965 1.02846 1.29198 1.08881 1966 1.08682 1.33840 1.09773 1967 1.31534 1.40451 1.03846 1968 1.36588 1.50750 1.08709 1969 1.25654 1.61675 1.09827 1970 1.30579 1.81156 1.02498 1971 1.35998 1 .91370 1.28328 1 2 8 TABLE D.5 INSTRUMENTAL VARIABLES USED IN THE I3SLS MODELS Z1 Z2 Z3 Z4 Z5 03. 5220 08.2990 .0176 60 .014887 1172.7511 02. 8250 07.5920 .019375 .015083 1223.3314 01 . 9950 06.8840 .021577 .015437 1295.1568 01 . 2750 05.8630 .03 0315 .017064 1326.5884 01. 3380 05.7920 .043465 .018564 1356.0674 01 . 9000 05.4320 .05C733 .018886 1460.8232 02. 0600 05.6660 .049645 .018737 1465.7499 02. 3810 05.7780 .046657 .019415 1461.7550 03. 4440 06.3560 .045601 .019436 1465.3522 03. 3150 06.5750 .047562 .018405 1527.7371 03. 7170 06.3330 .045757 .018815 1537.6071 05. 1470 05.8680 .046300 .019429 1565.1735 05. 4210 05.7510 .046566 .019268 1588.1867 03. 7680 04.0160 .041069 .017688 1592.4700 03. 0770 03.6950 .038943 .016543 1597.2938 03. 4210 04.1620 .043672 .015972 1626.9546 03. 9600 06. 1960 .050875 .015551 1685.2048 06. 2490 13.3030 .055569 .014865 1782.5065 08. 9660 13.6340 .051284 .014184 1647.6214 06. 5160 11.6030 .049606 .013053 1897.3116 06. 4360 11.6830 .053170 .012918 1934. 1617 05. 5590 10.6990 .050842 .013749 1986.5103 06. 3230 13.0100 .048706 .013346 2025.4162 06. 6410 11.5690 .050820 .012927 2057.0467 06. 7220 11.0880 .050911 .013411 2100.4232 07.0400 11.7980 .047853 .013770 2143.9041 08. 0310 12.8420 .047627 .014488 2168.5006 09. 2440 14.9490 .048460 .014892 2209.9778 09. 9530 16.2000 .048101 .0 14787 2264.2733 08.2630 14.8040 .047143 .014801 2328.7103 08. 0520 15.7080 .048139 .015288 2378.8909 09. 8030 17.4610 .050736 .015769 2426.1266 09. 7100 18.3220 .049540 .016318 2485.8574 10. 1620 19.8620 .049556 .016945 2531.3457 10. 7780 21.3700 .049971 .017183 2597.9047 12. 4100 24.1390 .049179 .017460 2658.3501 12. 4140 25.0240 .048148 .017741 2711.2122 13. 5920 26.6520 .044843 .017598 2783.8800 14. 4950 27.6 380 .045883 .017687 2853.2838 16. 2040 29.4600 .048350 .018119 2924.1548 17. 6890 30.7450 .048567 .018496 2997.7567 18. 8160 33.3560 .050926 .018719 3087.6103 18. 4780 34.1060 .051160 .019298 3168.6259 Z1= U.S. POPULATION, Z2= U.S.POPULATION OF WOEKING AGE, Z3= EFFECTIVE RATES OF SALES AND EXCISE TAXZTION, Z4= EF-FECTIVE RATE OF PROPERTY TAXATION, Z5= GCVEBN MINT EUECBfl-SES OF DURABLE GOODS. 129 TABLE D.6 INSTRUMENTAL VARIABLES USED IN THE I3SLS MODELS Z6 Z7 Z8 Z9 Z10 11 . 9976 0884.8469 00.9061 04.6555 121.7670 12 .5968 0900.0451 0 1. 4101 05.7717 123. 0770 13 . 2241 0896.2252 02.4853 05.6543 124.0400 12 .9321 0879.6498 03. 7350 04. 299 1 124. 8400 15.1259 0847.7182 04.0852 03.0726 125. 5790 19 . 2768 08 20.283 4 0 3. 1011 04.4137 126.3740 20 . 43 85 0802.1742 03.9502 03.6820 127.2500 25 .1817 0798.0004 02.9208 05.4647 128. 0530 22 . 1532 0803.9523 03.4375 04.5114 128. 8250 25 .2106 0816.6728 04.4470 05.4667 129.8250 25 . 0408 0808.8764 04 .7463 06.1336 130. 8800 25 .5541 0812.8842 05.2202 06. 5885 132. 1220 30 . 2969 0828.7106 07.7949 17.5398 133. 4020 Ul .9452 0855/5677 20.9354 51.3378 134. 8600 70 . 4403 0849.0804 21.0388 77.7564 136. 7390 81 .4591 0832.3565 23. 3942 83.1071 138. 3970 76 . 4269 0817.4950 17.4180 66.3135 139. 9280 36 .4596 0810.6190 04. 3796 06.9793 141. 3890 28.6602 0849.6600 03.9008 07.3056 144. 1260 29 . 3900 0886.9965 06. 3795 11.9406 146. 6310 31 .0142 0931.7507 08.5780 15.1466 149. 1880 32 . 4455 0961. 190 1 05.7444 16.5949 152. 2710 40 . 8226 1016.4015 09.0163 28.3267 154. 8780 44 . 8486 1062.6462 13.0830 37.6272 157. 5530 45.0717 1094.0602 18.6426 38.7381 160. 1840 44 .5779 1128.2957 13.2391 34.3938 163.0260 44 . 1477 1157.0846 12.1713 31.5801 165. 9310 44 .7398 1207.4657 10.9076 32.6729 168. 9030 45.8818 1249.254 7 13.5831 33.3275 171 . 9840 46 .8850 1281.9721 15.5830 35.6370 174. 8820 47 . 7848 1300.0639 16.3274 35.1818 177. 8300 49 ,3268 1335.3974 16.6308 34.3927 180. 6710 51 . 4686 1367.4032 18.7960 37.0781 183. 6910 54 . 0054 1392. 1049 22.3722 38.5617 186. 5380 55 . 4005 1428.9714 22. 1709 40.3094 189. 2420 57 . 0960 1469. 1780 23.5741 39.8519 191. 88 9 0 59 . 1007 1514.6664 26.7136 39.2350 194. 3030 64 .7287 1571.2944 31. 9403 42. 1485 196. 5600 69 . 7831 1634.0031 36.9684 47.4447 198.7120 72 . 9681 1683.2296 4 1. 2682 49.3801 200. 7060 76 . 0057 1736.8310 41 .8581 45.8648 202. 6770 79 .4572 1791.3713 39.0394 41.6817 204. 8790 82 .9184 1831 .9810 35.3395 43.7059 207. 0490 Z6= GOVERNMENT PURCHASES OF NON-DURABLE GOODS AND SERVICES Z7= GOVERNMENT PURCHSES OF LABOUR SERVICES, Z8= REfil- EXPORTS Z9=REAL EXPORTS OF NON-CURABLE GOODS AND SERVICES, Z10= U.S. TANGIBLE CAPITAL AT THE END CP THE PREVIOUS YIP.B. 

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