Open Collections

UBC Theses and Dissertations

UBC Theses Logo

UBC Theses and Dissertations

An experimental study of instability in square plates twisted by corner forces Williams, Gordon Colin 1988

Your browser doesn't seem to have a PDF viewer, please download the PDF to view this item.

Item Metadata

Download

Media
831-UBC_1988_A7 W54.pdf [ 4.57MB ]
Metadata
JSON: 831-1.0097910.json
JSON-LD: 831-1.0097910-ld.json
RDF/XML (Pretty): 831-1.0097910-rdf.xml
RDF/JSON: 831-1.0097910-rdf.json
Turtle: 831-1.0097910-turtle.txt
N-Triples: 831-1.0097910-rdf-ntriples.txt
Original Record: 831-1.0097910-source.json
Full Text
831-1.0097910-fulltext.txt
Citation
831-1.0097910.ris

Full Text

AN EXPERIMENTAL STUDY OF INSTABILITY IN SQUARE PLATES TWISTED BY CORNER FORCES BY GORDON C. WILLIAMS B . S c , Queen's U n i v e r s i t y , 1984 A THESIS SUBMITTED IN PARTIAL FULFILLMENT OF THE REQUIREMENTS FOR THE DEGREE OF MASTER OF APPLIED SCIENCE i n THE FACULTY OF GRADUATE STUDIES Department of Mechanical E n g i n e e r i n g We accept t h i s t h e s i s as conforming to the r e q u i r e d standard THE UNIVERSITY OF BRITISH June 1988 •Gordon C. W i l l i a m s , COLUMBIA 1988 In presenting this thesis in partial fulfilment of the requirements for an advanced degree at the University of British Columbia, I agree that the Library shall make it freely available for reference and study. I further agree that permission for extensive copying of this thesis for scholarly purposes may be granted by the head of my department or by his or her representatives. It is understood that copying or publication of this thesis for financial gain shall not be allowed without my written permission. Department of rtee-U.*^! E v ^ ^ g c r ' i n ^ The University of British Columbia Vancouver, Canada Date DE-6 (2/88) A B S T R A C T A n e x p e r i m e n t a l s t u d y i s p r e s e n t e d o n t h e n o n - l i n e a r t w i s t i n g o f p l a t e s w i t h f r e e e d g e s , t h r o u g h t h e a p p l i c a t i o n o f s e l f - e q u i l i b r a t i n g c o r n e r l o a d s . A s i m p l e a p p a r a t u s w a s d e s i g n e d a n d v a r i o u s s i z e s o f p l a t e s w e r e t w i s t e d w h i l e m e a s u r i n g t h e s u r f a c e s t r a i n s o n b o t h s i d e s a t t h e c e n t r e . I n i t i a l d i f f i c u l t y w a s e n c o u n t e r e d d u e t o u n w a n t e d d e f l e c t i o n o f t h e p l a t e u n d e r i t s o w n w e i g h t . T h e R a y l e i g h - R i t z m e t h o d i s u s e d t o d e t e r m i n e a n a n a l y t i c a l r e l a t i o n s h i p b e t w e e n m i d s u r f a c e s t r a i n s a n d c u r v a t u r e s i n t h e p r e - a n d p o s t - b i f u r c a t i o n r e g i o n s o f t w i s t i n g . I n b o t h t h e e x p e r i m e n t a l a n d a n a l y t i c a l r e s u l t s , t h e m i d s u r f a c e s t r a i n s a r e f o u n d t o v a r y l i n e a r l y w i t h t h e G a u s s i a n c u r v a t u r e . N o n - d i m e n s i o n a l g r o u p s a r e i d e n t i f i e d w h i c h c o l l a p s e t h e e x p e r i m e n t a l l o a d - s t r a i n , l o a d - c u r v a t u r e a n d m i d s u r f a c e s t r a i n - G a u s s i a n c u r v a t u r e r e l a t i o n s h i p s . T h e s e n o n -d i m e n s i o n a l g r o u p s c o l l a p s e t h e r e s u l t s i n b o t h t h e l i n e a r a n d n o n - l i n e a r r e g i o n s . T h e c u r v a t u r e a t t h e p o i n t o f b i f u r c a t i o n i s i d e n t i f i e d a s a f u n c t i o n o f p l a t e d i m e n s i o n a l i i p a r a m e t e r s . A l s o s h o w n a r e t h e e x p r e s s i o n s f o r c r i t i c a l s u r f a c e s t r a i n a n d c o r n e r l o a d a t w h i c h b i f u r c a t i o n o c c u r s . T h e e x p e r i m e n t a l l o a d - c u r v a t u r e r e l a t i o n s h i p a n d p o i n t o f b i f u r c a t i o n a r e c o m p a r e d w i t h a n a l y t i c a l r e s u l t s f o u n d i n t h e l i t e r a t u r e . A l a r g e d i s c r e p a n c y i n t h e l i t e r a t u r e i s r e s o l v e d f o r t h e t h e o r e t i c a l p o i n t o f b i f u r c a t i o n . T h e p r e s e n t r e s u l t s f o r m a b a s i s f o r v e r i f i c a t i o n o f f u t u r e a n a l y t i c a l r e s u l t s , a n d a r e i m p o r t a n t i n t h e m e a s u r e m e n t o f c o n s t i t u t i v e r e l a t i o n s h i p s u s i n g t h e t w i s t e d p l a t e t e s t . TABLE OF CONTENTS A b s t r a c t i i T a b l e o f C o n t e n t s i v L i s t o f F i g u r e s v i i L i s t o f T a b l e s x N o m e n c l a t u r e x i A c k n o w l e d g e m e n t s x i i i 1 . INTRODUCTION 1 1 . 1 B a c k g r o u n d 1 1 . 1 . 1 D e s c r i p t i o n o f t h e I n s t a b i l i t y 1 1 . 1 . 2 D e t e r m i n a t i o n o f C o n s t i t u t i v e C o e f f i c i e n t s 3 1 . 2 L i t e r a t u r e R e v i e w 4 1 . 2 . 1 M a t e r i a l T e s t i n g 5 1 . 2 . 2 P o i n t o f I n s t a b i l i t y 6 1 . 3 P u r p o s e a n d S c o p e o f t h e S t u d y 7 2 . PLATE BENDING THEORY 1 0 2 . 1 L i n e a r T h e o r y 10 2 . 1 . 1 L i m i t a t i o n s o f t h e L i n e a r T h e o r y 16 2 . 2 N o n - L i n e a r T h e o r y 17 2 . 2 . 1 G o v e r n i n g E q u a t i o n s 18 2 . 2 . 1 . 1 G e o m e t r i c S t r a i n 18 i v 2.2.1.2 C o n s t i t u t i v e R e l a t i o n s 19 2.2.1.3 C o m p a t i b i l i t y 20 2.2.1.4 E q u i l i b r i u m 21 2.2.1.5 S t r e s s F u n c t i o n 23 2.2.2 B o u n d a r y C o n d i t i o n s 24 2.3 A p p r o x i m a t e S o l u t i o n s 26 2.3.1 A n a l y t i c a l S o l u t i o n f o r M i d s u r f a c e S t r a i n i n P l a t e s w i t h U n e q u a l C u r v a t u r e s 27 3. DESCRIPTION OF EXPERIMENT 37 3.1 A p p a r a t u s 37 3.1.1 D e s i g n 37 3.1.2 I n s t r u m e n t a t i o n 42 3.1.2.1 S t r a i n Gauge S e l e c t i o n 42 3.1.2.2 S t r a i n I n d i c a t o r and B r i d g e C o n f i g u r a t i o n 44 3.1.3 P l a t e D e s i g n 45 3.1.3.1 E s t i m a t e o f P l a t e N o n - L i n e a r i t y 46 3.1.3.2 S i z e and M a t e r i a l 49 3.2 E x p e r i m e n t a l P r o c e d u r e 51 3.2.1 I n i t i a l P r e p a r a t i o n 51 3.2.2 T e s t P r o c e d u r e 52 4 . EXPERIMENTAL RESULTS 5 5 4.1 P l a t e P r i n c i p a l S t r a i n 56 4.2 P l a t e C u r v a t u r e 61 v 5. C O M P A R I S O N O F R E S U L T S W I T H T H E O R E T I C A L A N D N U M E R I C A L M O D E L S 72 5.1 C o l l a p s i n g D a t a i n t o N o n - D i m e n s i o n a l F o r m 72 5.1.1 P r i n c i p a l S t r a i n s 7 3 5.1.2 P r i n c i p a l C u r v a t u r e 7 9 5 . 1 . 3 M i d s u r f a c e S t r a i n 81 5.1.4 C o m p a r i s o n o f L o a d - C u r v a t u r e R e s u l t s W i t h A p p r o x i m a t e S o l u t i o n s 84 5 . 1 . 4 . 1 C h a n d r a [ 5 ] 86 5 . 1 . 4 . 2 R e i s s n e r [ 9 ] 87 5 . 1 . 4 . 3 R a m b e r g a n d M i l l e r [ 2 ] 8 8 5 . 1 . 4 . 4 L e e a n d H s u [ 7 ] 88 5.2 P l a t e C u r v a t u r e U n d e r i t s Own W e i g h t 8 9 5 . 3 C o m p a r i s o n o f t h e C u r v a t u r e B i f u r c a t i o n P o i n t 91 5 . 3 . 1 E x p e r i m e n t a l l y D e t e r m i n e d P o i n t 92 5 . 3 . 2 A n a l y t i c a l B i f u r c a t i o n P o i n t s 9 5 5 .4 L i m i t i n g L o a d a n d S u r f a c e S t r a i n D u r i n g t h e M e a s u r e m e n t o f S h e a r M o d u l u s 96 6 . C O N C L U S I O N S 99 7 . B I B L I O G R A P H Y 105 8 . A P P E N D I C E S 107 A . I n s t r u m e n t a t i o n 1 0 7 B . F i n i t e D i f f e r e n c e A n a l y s i s 1 1 3 v i L I S T O F F I G U R E S F i g u r e 1 . 1 , A n t i c l a s t i c s h a p e w i t h e q u a l a n d o p p o s i t e c u r v a t u r e s a l o n g t h e d i a g o n a l s . 2 F i g u r e 1 . 2 , D e f l e c t i o n o f t h e p l a t e a f t e r b i f u r c a t i o n i n t o a c y l i n d r i c a l s u r f a c e , a ) C o n c a v e u p . b ) C o n c a v e d o w n . 2 F i g u r e 2 . 1 , C o r n e r l o a d s f o r m i n g c o u p l e s o f m a g n i t u d e M x ' y 1 1 F i g u r e 2 . 2 , C o n s t a n t t w i s t i n g m o m e n t M x , 11 F i g u r e 2 . 3 , M i d s u r f a c e f o r c e s N x N N a p p l i e d t o a s m a l l e l e m e n t . 2 2 F i g u r e . 3 . 1 , S c h e m a t i c o f t h e p l a t e t w i s t i n g a p p a r a t u s 38 F i g u r e 3 . 2 , D e t a i l s o f t h e t w o s u p p o r t p o s t s , a ) P i n n e d S u p p o r t P o s t , b ) R o l l i n g S u p p o r t P o s t . 40 F i g u r e 3 . 3 , Q u a r t e r b r i d g e c o n f i g u r a t i o n . 4 5 F i g u r e 3 . 4 , D e s i g n o f p l a t e a n d l o c a t i o n o f s t r a i n g a u g e s . 4 5 F i g u r e 3 . 5 , G r a p h o f n o n - l i n e a r r a t i o v s . p l a t e s i z e . 49 F i g u r e 4 . 1 a , P l a t e p r i n c i p a l s t r a i n s , u n c o r r e c t e d f o r p l a t e w e i g h t . 6 " p l a t e . 57 F i g u r e 4 . 1 b , P l a t e p r i n c i p a l s t r a i n s , u n c o r r e c t e d f o r p l a t e w e i g h t . 8 " p l a t e . 58 F i g u r e 4 . 1 c , P l a t e p r i n c i p a l s t r a i n s , u n c o r r e c t e d f o r p l a t e w e i g h t . 1 0 " p l a t e . 59 v i i F i g u r e 4 . 1 d , P l a t e p r i n c i p a l s t r a i n s , u n c o r r e c t e d f o r p l a t e w e i g h t . 1 2 " p l a t e . 6 0 F i g u r e 4 . 2 a , P l a t e p r i n c i p a l s t r a i n s , c o r r e c t e d f o r p l a t e w e i g h t . 6 " p l a t e . 6 2 F i g u r e 4 . 2 b , P l a t e p r i n c i p a l s t r a i n s , c o r r e c t e d f o r p l a t e w e i g h t . 8 " p l a t e . 6 3 F i g u r e 4 . 2 c , P l a t e p r i n c i p a l s t r a i n s , c o r r e c t e d f o r p l a t e w e i g h t . 1 0 " p l a t e . 64 F i g u r e 4 . 2 d , P l a t e p r i n c i p a l s t r a i n s , c o r r e c t e d f o r p l a t e w e i g h t . 1 2 " p l a t e . 6 5 F i g u r e 4 . 3 a , P l a t e c u r v a t u r e , c o r r e c t e d f o r p l a t e w e i g h t . 6 " p l a t e . 67 F i g u r e 4 . 3 b , P l a t e c u r v a t u r e , c o r r e c t e d f o r p l a t e w e i g h t . 8 " p l a t e . 6 8 F i g u r e 4 . 3 c , P l a t e c u r v a t u r e , c o r r e c t e d f o r p l a t e w e i g h t . 1 0 " p l a t e . 6 9 F i g u r e 4 . 3 d , P l a t e c u r v a t u r e , c o r r e c t e d f o r p l a t e w e i g h t . 1 2 " p l a t e . 7 0 F i g u r e 5 . 1 a , N o n - d i m e n s i o n a l p r i n c i p a l s t r a i n . T o p G l d i r e c t i o n . 74 F i g u r e 5 . 1 b , N o n - d i m e n s i o n a l p r i n c i p a l s t r a i n . T o p G 3 d i r e c t i o n . 7 5 F i g u r e 5 . 1 c , N o n - d i m e n s i o n a l p r i n c i p a l s t r a i n . B o t t o m G l d i r e c t i o n . 76 F i g u r e 5 . 1 d , N o n - d i m e n s i o n a l p r i n c i p a l s t r a i n . B o t t o m G3 d i r e c t i o n . 7 7 F i g u r e 5 . 2 , N o n - d i m e n s i o n a l c u r v a t u r e . 8 0 v i i i F i g u r e 5 . 3 , N o n - d i m e n s i o n a l m i d s u r f a c e s t r a i n s . 82 F i g u r e 5 . 4 , C o m p a r i s o n o f a p p r o x i m a t e a n d e x p e r i m e n t a l r e s u l t s . 8 5 F i g u r e 5 . 5 , C u r v a t u r e d u e t o p l a t e w e i g h t . 90 F i g u r e 5 . 6 , B i f u r c a t i o n p o i n t . 93 F i g u r e B . l , D e f l e c t i o n o f p l a t e u n d e r u n i f o r m l o a d a n d s u p p o r t e d b y o p p o s i t e c o r n e r s . 1 1 5 F i g u r e B . 2 , C o n v e r g e n c e o f c e n t r e d e f l e c t i o n f o r v a r y i n g m e s h s i z e s b e t w e e n 2 a n d 1 0 . 1 1 6 F i g u r e B . 3 , C o n v e r g e n c e o f c e n t r e b e n d i n g m o m e n t f o r v a r y i n g m e s h s i z e s b e t w e e n 2 a n d 1 0 . 1 1 7 i x LIST OF TABLES T a b l e 3 . 1 , 6061-T6 M a t e r i a l p r o p e r t i e s . 50 T a b l e 3 . 2 , P l a t e s i z e a n d n o n - l i n e a r i t y r a t i o . 50 T a b l e 3 . 3 , P l a t e d e s i g n p a r a m e t e r s . 51 T a b l e A . l a , S t r a i n g a u g e d a t a s h e e t , L o t 1. 109 T a b l e A . l b , S t r a i n G a u g e D a t a S h e e t , L o t 2. 110 T a b l e A . 2 , V i s h a y P - 3 5 0 A D i g i t a l S t r a i n I n d i c a t o r s p e c i f i c a t i o n s . I l l T a b l e A . 3 , V i s h a y S B - 1 S w i t c h a n d B a l a n c e U n i t s p e c i f i c a t i o n s . 112 x N O M E N C L A T U R E a - s i m p l i f y i n g v a r i a b l e c o n t a i n i n g P o i s s o n ' s r a t i o e x £ y Y X y - b e n d i n g s t r a i n s a t s u r f a c e r e l a t i v e t o x - y a x e s e x e r X y - m i d s u r f a c e s t r a i n s r e l a t i v e t o x - y a x e s e* - s u r f a c e s t r a i n a l o n g d i a g o n a l a t p o i n t o f i n s t a b i l i t y e * e * Y .^y - s u r f a c e s t r a i n s r e l a t i v e t o x - y a x e s e x e y Y x y ~ s t r a i n s r e l a t i v e t o x - y a x e s v - P o i s s o n ' s r a t i o P x P y - n o n - d i m e n s i o n a l c u r v a t u r e CTx' a y ' T x ' y ' _ s t r e s s a n < ^ s t r a i n r e l a t i v e t o x ' - y ' a x e s £ n - n o n - d i m e n s i o n a l p o s i t i o n a - p l a t e e d g e l e n g t h c i j ^ i j C i D j " d i s p l a c e m e n t c o e f f i c i e n t s D - p l a t e f l e x u r a l r i g i d i t y e - p l a t e d i m e n s i o n E - e l a s t i c m o d u l u s f - p l a t e d i m e n s i o n F - A i r y s t r e s s f u n c t i o n G - s h e a r m o d u l u s h - p l a t e t h i c k n e s s i j k 1 - i n d i c e s K x K y K x y " l e n d i n g c u r v a t u r e s a n d t w i s t r e l a t i v e t o t h e x -y a x e s x i K - a b s o l u t e v a l u e o f p l a t e c u r v a t u r e d u r i n g u n i f o r m t w i s t a l o n g t h e x - y a x i s M x M - b e n d i n g a n d t w i s t i n g m o m e n t p e r u n i t l e n g t h r e l a t i v e t o t h e x - y a x e s N N N - m i d s u r f a c e f o r c e s , p e r u n i t l e n g t h x y x y ^ 3 N - n o n - l i n e a r r a t i o P - c o r n e r l o a d , p o s i t i v e i n z d i r e c t i o n P c - l o a d a t p o i n t o f i n s t a b i l i t y u v w - d i s p l a c e m e n t s o f t h e p l a t e m i d s u r f a c e p a r a l l e l t o t h e x , y , z a x e s x ' y' z ' - c o o r d i n a t e a x e s p a r a l l e l t o t h e e d g e o f t h e p l a t e x y z - c o o r d i n a t e a x e s p a r a l l e l t o t h e d i a g o n a l s o f t h e p l a t e V Q - m i d s u r f a c e s t r a i n e n e r g y s t o r e d i n t h e p l a t e , p e r u n i t v o l u m e V - m i d s u r f a c e s t r a i n e n e r g y s t o r e d i n t h e p l a t e , t o t a l x i i A C K N O W L E D G E M E N T S I w o u l d l i k e t o t h a n k P r o f e s s o r R a m s e y f o r h i s g u i d a n c e d u r i n g t h i s p r o j e c t a n d h i s c o m m e n t s i n t h e f i n a l p r e p a r a t i o n o f t h i s t h e s i s . I w o u l d l i k e t o t h a n k t h e t e c h n i c i a n s o f t h e D e p a r t m e n t o f M e c h a n i c a l E n g i n e e r i n g f o r t h e i r h e l p . I n p a r t i c u l a r I w o u l d l i k e t o t h a n k T o n y B e s i c f o r m a c h i n i n g t h e p l a t e s t h a t w e r e t e s t e d . L a s t , b u t m o s t o f a l l , I w o u l d l i k e t o t h a n k my p a r e n t s f o r t h e i r m a n y l o n g d i s t a n c e p h o n e c a l l s . T h e i r s u p p o r t i s v e r y m u c h a p p r e c i a t e d . S u p p o r t f o r t h i s w o r k w a s p r o v i d e d b y t h e N a t i o n a l S c i e n c e a n d E n g i n e e r i n g R e s e a r c h C o u n c i l o f C a n a d a . x i i i 1 1 . I N T R O D U C T I O N 1 . 1 B A C K G R O U N D 1 . 1 . 1 D E S C R I P T I O N OF T H E I N S T A B I L I T Y S h o w n i n F i g u r e 1 . 1 i s a t h i n s q u a r e p l a t e w i t h f r e e e d g e s l o a d e d l a t e r a l l y w i t h e q u a l a n d o p p o s i t e s e l f - e q u i l i b r a t i n g l o a d s o n a d j a c e n t c o r n e r s . C l a s s i c a l l i n e a r t h e o r y p r e d i c t s a u n i f o r m t w i s t , o r a n t i c l a s t i c s h a p e , w i t h e q u a l a n d o p p o s i t e c u r v a t u r e s a c r o s s t h e p l a t e d i a g o n a l s . A n y l i n e p a r a l l e l t o t h e e d g e o f t h e p l a t e r e m a i n s s t r a i g h t d u r i n g t w i s t i n g . T h i s c a n b e v e r i f i e d t h r o u g h e x p e r i m e n t a s l o n g a s t h e s m a l l d e f l e c t i o n c o n s t r a i n t s o f t h e l i n e a r t h e o r y a r e a d h e r e d t o . A s t h e l o a d i s i n c r e a s e d t o a p o i n t w h e r e d e f l e c t i o n s b e c o m e n o t i c e a b l e , s i g n i f i c a n t n o n - l i n e a r d e v i a t i o n s o c c u r a n d t h e p l a t e b e c o m e s s t i f f e r . A t a p a r t i c u l a r l o a d a n d c u r v a t u r e t h e a n t i c l a s t i c s h a p e i s n o l o n g e r s t a b l e a n d a t r a n s i t i o n t a k e s p l a c e t o a c y l i n d r i c a l s u r f a c e w i t h c i r c u l a r c r o s s -s e c t i o n . D u e t o t h e s y m m e t r y o f t h e p l a t e a n d l o a d i n g , t h e INTRODUCTION F i g u r e 1 . 1 , A n t i c l a s t i c s h a p e w i t h e q u a l a n d o p p o s i t e c u r v a t u r e s a l o n g t h e d i a g o n a l s . p l a t e d e f l e c t i o n c a n a r b i t r a r i l y t a k e o n e o f t w o f o r m s : e i t h e r c o n c a v e u p ( F i g . 1 . 2 a ) , o r c o n c a v e d o w n ( F i g . 1 . 2 b ) a ) C o n c a v e u p , b ) C o n c a v e d o w n , F i g u r e 1 . 2 , D e f l e c t i o n o f t h e p l a t e a f t e r b i f u r c a t i o n i n t o a c y l i n d r i c a l s u r f a c e , a ) C o n c a v e u p . b ) C o n c a v e d o w n . I N T R O D U C T I O N 3 T h e b i - s t a b l e p h e n o m e n o n c a n e a s i l y b e d e m o n s t r a t e d u s i n g a s m a l l s h e e t o f c a r d b o a r d a n d a p p l y i n g t h e c o r n e r l o a d w i t h o n e ' s f i n g e r t i p s . T h e s h e e t c a n b e f o r c e d f r o m o n e c y l i n d r i c a l f o r m t o t h e o t h e r b y t h e a p p l i c a t i o n o f a l a t e r a l l o a d a t t h e c e n t r e . O n c e i t h a s t a k e n a p a r t i c u l a r m o d e i t c o n t i n u e s t o d e f l e c t i n t h a t m o d e u n d e r c o r n e r f o r c e s a l o n e . 1 . 1 . 2 D E T E R M I N A T I O N OF C O N S T I T U T I V E C O E F F I C I E N T S A s t h e n u m b e r o f l i g h t w e i g h t a n d h i g h s t r e n g t h s t r u c t u r e s i n c r e a s e s , m o r e a r e b e i n g f a b r i c a t e d f r o m t h i n s h e e t . T h e w o r k i n g s t r e s s e s a n d s t r a i n s a r e i n c r e a s i n g w h i l e t h e s a f e t y f a c t o r s a r e b e i n g r e d u c e d t h r o u g h t h e u s e o f m o d e r n s t r e s s a n a l y s i s t e c h n i q u e s . T h i s r e q u i r e s t h a t t h e s h e e t m a t e r i a l p r o p e r t i e s b e a c c u r a t e l y d e t e r m i n e d ; t h o s e d e d u c e d f r o m t e n s i l e t e s t i n g h e a v i e r s e c t i o n s a r e n o l o n g e r s u f f i c i e n t . T h e s h e a r m o d u l u s o f t h e m a t e r i a l c a n b e d e t e r m i n e d t h r o u g h t w i s t i n g a s q u a r e p l a t e b y t h e a p p l i c a t i o n o f c o r n e r l o a d s . B y m e a s u r i n g t h e l o a d - d e f l e c t i o n o r l o a d - c u r v a t u r e r e l a t i o n s h i p , t h e s h e a r m o d u l u s c a n b e c a l c u l a t e d u s i n g s i m p l e t h e o r y . P r e s e n t l y , t o o b t a i n r e l i a b l e t e s t r e s u l t s , t h e c o r n e r d e f l e c t i o n m u s t b e s m a l l i n c o m p a r i s o n t o t h e t h i c k n e s s o f I N T R O D U C T I O N 4 t h e p l a t e t o s t a y w i t h i n t h e l i n e a r d e f l e c t i o n r a n g e . I n t e s t i n g t h i n p l a t e s o f r e a s o n a b l e s i z e , t h e l i n e a r r a n g e i s e x c e e d e d b e f o r e t h e m a t e r i a l y i e l d p o i n t i s i d e n t i f i e d . I n t h e l a r g e d e f l e c t i o n r a n g e , n o n - l i n e a r b e h a v i o r a n d t h e p l a t e s e l f - w e i g h t m u s t b e t a k e n i n a c c o u n t . A s s o c i a t e d w i t h t h e n o n - l i n e a r i t i e s i s t h e i n s t a b i l i t y p h e n o m e n o n , d e s c r i b e d a b o v e , w h i c h p r o d u c e s u n s y m m e t r i c a l b e n d i n g . O n c e t h i s o c c u r s t h e p l a t e i s n o l o n g e r i n a s t a t e o f u n i f o r m t w i s t , t h e r e b y l i m i t i n g t h e m a x i m u m l o a d a n d s t r a i n i n t h e p l a t e d u r i n g t h e t e s t . A s w e l l a s i s o t r o p i c m a t e r i a l s , o r t h o t r o p i c m a t e r i a l s s u c h a s w o o d o r c o m p o s i t e s c a n b e t e s t e d b y t w i s t i n g t h i n s h e e t a s p a r t o f t h e i r t e s t i n g p r o c e d u r e i n d e t e r m i n i n g t h e i r c o n s t i t u t i v e c o e f f i c i e n t s . T e s t i n g a s i n g l e p l y , o r l a m i n a , s a v e s m a t e r i a l a n d i s e a s i e r t o f a b r i c a t e t h a n a m u l t i -l a y e r e d l a m i n a t e . 1 . 2 L I T E R A T U R E R E V I E W K e l v i n a n d T a i t [ l ] n o t e d i n 1 8 8 3 t h e d i s c r e p a n c y b e t w e e n t h e w h a t i s e x p e c t e d f r o m t h e l i n e a r t h e o r y , p r e d i c t i n g a u n i f o r m a n t i c l a s t i c s h a p e , a n d t h e s y n c l a s t i c d e f l e c t i o n o c c u r r i n g d u r i n g l a r g e d e f l e c t i o n s . I N T R O D U C T I O N 5 1 . 2 . 1 M A T E R I A L T E S T I N G M a n y m e t h o d s h a v e b e e n s u g g e s t e d f o r d e t e r m i n i n g t h e s h e a r m o d u l u s , G , i n a m a t e r i a l . R a m b e r g a n d M i l l e r [ 2 ] b r i e f l y d i s c u s s 1 0 d i f f e r e n t m e t h o d s . O n e c o n v e n i e n t m e t h o d i s t h e t w i s t i n g o f a s q u a r e p l a t e . T h e y u s e d s m a l l p l a t e s w i t h a l e n g t h t o t h i c k n e s s r a t i o ( a / h ) o f 1 0 i n o r d e r t o r e d u c e t h e n o n - l i n e a r e f f e c t s . M o r e r e c e n t l y , M i y a g a w a , S h i b u y a a n d U e d a [ 3 ] h a v e d o n e e x t e n s i v e t e s t i n g o f s q u a r e p l a t e s w i t h a / h r a t i o s f r o m 2 6 . 6 t o 2 4 0 a n d t h i c k n e s s r a n g i n g f r o m 1 . 0 mm t o 3 . 2 mm. O f i n t e r e s t i n t h e i r r e s u l t s i s t h e t y p i c a l r e l a t i o n s h i p b e t w e e n c o r n e r l o a d a n d p r i n c i p a l s t r a i n a t t h e c e n t r e o f t h e p l a t e . T h i s c l e a r l y d i s p l a y s t h e t r a n s i t i o n o f t h e p l a t e f r o m t h e u n i f o r m a n t i c l a s t i c s h a p e i n t o t h e s y n c l a s t i c s h a p e . T h e y s h o w i n a n o t h e r p l o t t h e e s t i m a t e d p o i n t o f c u r v a t u r e b i f u r c a t i o n f o r v a r i o u s s i z e s o f p l a t e t e s t e d . B u t , d u e t o t h e l a r g e a / h r a t i o s u s e d , t h e m i d s u r f a c e s t r a i n s w o u l d b e c o n s i d e r a b l e . T h i s n o n - l i n e a r i t y w a s n o t m e a s u r e d ; t h e r e f o r e , t h e p l a t e c u r v a t u r e c a n n o t b e c a l c u l a t e d . T h e i d e a o f m e a s u r i n g t h e d e f l e c t i o n o f a t w i s t e d p l a t e t o f i n d i t s c o n s t i t u t i v e c o e f f i c i e n t s w a s e x t e n d e d b y T s a i [ 4 ] INTRODUCTION 6 t o o r t h o t r o p i c p l a t e s . He p r o p o s e d a m e t h o d i n c o r p o r a t i n g two t w i s t t e s t s w i t h two b e n d i n g t e s t s t o d e t e r m i n e t h e 4 i n d e p e n d e n t c o n s t a n t s f o r u n i f o r m o r t h o t r o p i c m a t e r i a l s . The r e s u l t s were e x p e r i m e n t a l l y v e r i f i e d . T w i s t i n g s q u a r e o r t h o t r o p i c p l a t e s i n t o t h e l a r g e d e f l e c t i o n r e g i o n i s a n a l y s e d by C h a n d r a [ 5 ] . A n A i r y s t r e s s f u n c t i o n i s u s e d t o r e p r e s e n t t h e i n p l a n e s t r e s s e s . The e r r o r i n t h e f u n c t i o n i s m i n i m i z e d w i t h r e s p e c t t o t h e c o m p a t i b i l i t y e q u a t i o n . The p r i n c i p a l o f minimum p o t e n t i a l e n e r g y i s u s e d t o c a l c u l a t e t h e c o r n e r d e f l e c t i o n . The s t r e s s f u n c t i o n u s e d d o e s n o t s a t i s f y t h e i n p l a n e s h e a r r e q u i r e m e n t a t t h e p l a t e b o u n d a r y e x a c t l y . 1.2.2 POINT OF I N S T A B I L I T Y L e e a n d H s u [ 6 , 7 ] c a l c u l a t e t h e d i s p l a c e m e n t f i e l d o f a t w i s t e d s q u a r e p l a t e w i t h f r e e e d g e s i n t o i t s u n s t a b l e , n o n -l i n e a r r e g i o n u s i n g a n u m e r i c a l f i n i t e d i f f e r e n c e a n a l y s i s b a s e d on t h e n o n - l i n e a r v o n Karman e q u a t i o n s . Up t o t h e c r i t i c a l v a l u e o f d e f l e c t i o n , t h e p l a t e a s s u m e s an a n t i c l a s t i c s h a p e , a f t e r w h i c h a t r a n s f o r m a t i o n i n t o t h e s y n c l a s t i c s h a p e t a k e s p l a c e . T h e i r r e s u l t s g i v e t h e n o n -d i m e n s i o n a l moment a t t h e p o i n t o f b i f u r c a t i o n a s M = 2 1 . I N T R O D U C T I O N 7 R a m s e y [ 8 ] a l s o c a l c u l a t e s t h e p o i n t o f b i f u r c a t i o n , b u t u s e s n o n - l i n e a r s h e l l t h e o r y . He f i n d s t h e c r i t i c a l v a l u e o f t w i s t t o b e K a = 3 . 2 9 h / a . A v a l u e o f M c r = 1 . 4 2 w a s c a l c u l a t e d , w h i c h i s a n o r d e r o f m a g n i t u d e l e s s t h a n t h e r e s u l t i n [ 7 ] . R e i s s n e r [ 9 ] s o l v e s t h e n o n - l i n e a r v o n K a r m a n e q u a t i o n s f o r a l o n g r e c t a n g u l a r t w i s t e d p l a t e i n w h i c h h e a p p r o x i m a t e s t h e f r e e e d g e b o u n d a r y c o n d i t i o n s a l o n g t h e s h o r t e d g e . He s h o w s t h e e x i s t e n c e o f t h e s a m e t y p e o f i n s t a b i l i t y . A s s o c i a t e d w i t h t h e c y l i n d r i c a l s h a p e , w h i c h d e v e l o p s a f t e r l o a d i n g b e y o n d t h e p o i n t o f i n s t a b i l i t y , i s t h e b o u n d a r y l a y e r p h e n o m e n o n d e s c r i b e d b y F u n g a n d W i t t r i c k [ 1 0 ] . T h e y s h o w t h a t a t r a n s i t i o n z o n e o c c u r s a d j a c e n t t o t h e p l a t e f r e e e d g e i n w h i c h s t r e s s e s d e v e l o p t o s a t i s f y t h e b o u n d a r y c o n d i t i o n s f o r a c y l i n d r i c a l s h a p e . T h e y d o n o t , h o w e v e r , e x a m i n e t h e i n s t a b i l i t y i t s e l f . 1 . 3 P U R P O S E A N D SCOPE O F T H E S T U D Y T h e p u r p o s e o f t h e s t u d y i s t w o f o l d : 1 ) t o r e s o l v e a r a t h e r l a r g e d i s c r e p a n c y i n s o m e t h e o r e t i c a l r e s u l t s f o r t h e p o i n t o f b i f u r c a t i o n , a n d I N T R O D U C T I O N 8 2 ) t o g e n e r a t e e x p e r i m e n t a l d a t a f o r p l a t e s t w i s t e d i n t o t h e n o n - l i n e a r r a n g e t o f u r t h e r t h e u n d e r s t a n d i n g o f t h i s p h e n o m e n o n . T h e f o l l o w i n g i s t h e s c o p e o f t h e p r o j e c t . 1 ) T o d e s i g n t h e a p p a r a t u s t o : a ) a p p l y e q u a l a n d o p p o s i t e i n c r e m e n t a l c o r n e r l o a d s w h i c h d e f l e c t t h e p l a t e i n t o t h e n o n -l i n e a r r a n g e ; b ) a p p l y o n l y l a t e r a l p o i n t l o a d s a t t h e c o r n e r s w i t h n o m o m e n t o r i n p l a n e f o r c e s ; a n d c ) a l l o w f o r p l a t e s o f v a r i o u s s i z e s t o b e t e s t e d . 2 ) T o d e t e r m i n e a r a n g e o f t e s t p l a t e a / h r a t i o s , u s i n g l i n e a r f i n i t e d i f f e r e n c e s , w h i c h l i m i t d e f l e c t i o n a n d n o n - l i n e a r e f f e c t s u n d e r s e l f -we i g h t . 3 ) T o m e a s u r e s u r f a c e s t r a i n s f o r i n c r e m e n t s i n l o a d a n d c a l c u l a t e : a ) p r i n c i p a l s t r a i n s , b ) m i d s u r f a c e s t r a i n s , a n d c ) c u r v a t u r e s . 4 ) T o f i n d n o n - d i m e n s i o n a l g r o u p s f o r t h e c a l c u l a t e d s t r a i n s a n d c u r v a t u r e s w h i c h c o l l a p s e t h e r e s u l t s . 5 ) T o d e v e l o p a n a p p r o x i m a t e a n a l y t i c a l s o l u t i o n f o r m i d s u r f a c e s t r a i n i n a p l a t e w i t h u n e q u a l c u r v a t u r e s a n d t w i s t e d b y c o r n e r f o r c e s . I N T R O D U C T I O N T o c o m p a r e t h e e x p e r i m e n t a l r e s u l t s w i t h a n a l y t i c a l a n d n u m e r i c a l m o d e l s a n d d e r i v e c o n c l u s i o n s . 10 2. P L A T E BENDING THEORY In t h i s s e c t i o n t h e s i g n c o n v e n t i o n o f [12] i s u s e d t o d e v e l o p b o t h t h e l i n e a r and n o n - l i n e a r p l a t e b e n d i n g t h e o r y . 2 . 1 L I N E A R THEORY A n e l a s t i c s q u a r e p l a t e w i l l h a v e a u n i f o r m t w i s t i n g moment M , , t h r o u g h o u t t h e p l a t e when b e n t i n t o an a n t i c l a s t i c x y s u r f a c e w i t h e q u a l and o p p o s i t e c u r v a t u r e s a l o n g t h e p l a t e d i a g o n a l s . T h i s s i m p l e s t a t e o f s t r e s s c a n be p r o d u c e d by a p p l y i n g e q u a l and o p p o s i t e a d j a c e n t c o r n e r l o a d s a s shown i n F i g . 1 . 1 . A l o n g t h e p l a t e e d g e t h e o p p o s i n g c o r n e r l o a d s c a n be shown t o be e q u i v a l e n t t o a u n i f o r m t w i s t i n g moment d i s t r i b u t e d a l o n g t h e e d g e [ 1 2 ] . A t e a c h c o r n e r , t h e l o a d P i s r e p l a c e d by two c o r n e r l o a d s o f P / 2 . S t a t i c a l l y e q u i v a l e n t l o a d s o f +P/2 a r e a p p l i e d a t s m a l l i n t e r v a l a l o n g t h e f r e e e d g e s . T h e s e l o a d s , o f P / 2 f o r m c o u p l e s a s shown i n F i g . 2 . 1 . P L A T E B E N D I N G T H E O R Y 11 F i g u r e 2 . 1 , C o r n e r l o a d s f o r m i n g c o u p l e s o f m a g n i t u d e M x , , A l o n g t h e x ' e d g e , e a c h p l a t e e l e m e n t o f l e n g t h A y , w i l l b e s u b j e c t t o a t w i s t i n g m o m e n t o f ( P / 2 ) A y r , w h i c h r e s u l t s i n a c o n s t a n t t w i s t i n g m o m e n t p e r u n i t l e n g t h o f f A x ' M = -x ' y ' A x ' P 2 . . . (2.1) S i m i l a r l y , t h e s a m e m e t h o d c a n b e a p p l i e d t o t h e o t h e r e d g e s o f t h e p l a t e p r o d u c i n g u n i f o r m t w i s t i n g m o m e n t s a s s h o w n i n F i g . 2 . 2 . F i g u r e 2 . 2 , C o n s t a n t t w i s t i n g m o m e n t M , P L A T E B E N D I N G T H E O R Y 12 F r o m e q u i l i b r i u m , t h e i n t e r n a l m o m e n t s w i t h i n t h e p l a t e c a n b e c a l c u l a t e d u s i n g M o h r ' s c i r c l e . T h e m a x i m u m b e n d i n g m o m e n t c a n b e s h o w n t o o c c u r a t a n a n g l e o f ± 4 5 ° t o t h e s i d e s o f t h e p l a t e , i n t h e d i r e c t i o n o f t h e d i a g o n a l s . T h e v a l u e o f t h e m o m e n t s i n t h e d i r e c t i o n o f t h e d i a g o n a l s a r e ( 2 . 2 ) M = - M = M , , = - | x y x'y1 2 M = 0 xy T h e m o m e n t - c u r v a t u r e r e l a t i o n s h i p s [ 1 2 ] a r e M = D(K + vK ) x x y M = D(K + \)K ) . . . ( 2 . 3 ) y y x M = D(1-\0K xy xy w h e r e K a n d K a r e t h e c u r v a t u r e s i n t h e x a n d y d i r e c t i o n s x y 1 r e s p e c t i v e l y , i s t h e t w i s t i n t h e p l a t e a n d v i s P o i s s o n ' s r a t i o . T h e f l e x u r e r i g i d i t y o f t h e p l a t e , D , i s g i v e n b y D = E h 3 ( 2 .4 ) w h e r e E i s t h e Y o u n g ' s m o d u l u s a n d h i s t h e p l a t e t h i c k n e s s . P L A T E B E N D I N G T H E O R Y 1 3 C o m b i n i n g E q . ( 2 . 2 ) , ( 2 . 3 ) a n d ( 2 . 4 ) a n d s o l v i n g f o r t h e c u r v a t u r e s , we f i n d K = - K = - 6 ( 1 + M ) X y t h . . . ( 2 . 5 ) K = 0 x y We t h e r e f o r e h a v e e q u a l a n d o p p o s i t e c u r v a t u r e s i n t h e d i r e c t i o n o f t h e d i a g o n a l s . B e c a u s e t h e r e i s n o t w i s t i n t h e x - y a x e s , t h e s e a r e t h e p r i n c i p a l c u r v a t u r e s o f t h e p l a t e . I f t h e p l a t e d e f l e c t i o n s a r e s m a l l , t h e a s s o c i a t e d s l o p e s a r e a l s o s m a l l a n d t h e c u r v a t u r e s a n d t w i s t a r e r e l a t e d t o t h e p l a t e d e f l e c t i o n b y x a x 2 K = - f - f . . . ( 2 . 6 ) y 8 x J K 8 2 w x y 9x3y We c o n s i d e r t h e c u r v a t u r e p o s i t i v e i f t h e p l a t e i s c o n v e x d o w n w a r d i n t h e d i r e c t i o n o f z . U s i n g t h e c u r v a t u r e a l o n g t h e x - a x i s t h e d e f l e c t i o n o f t h e p l a t e i n x - y c o o r d i n a t e s i s t h e n - K ( x J - y 2 ) v = . . . ( 2 . 7 ) P L A T E B E N D I N G T H E O R Y 14 T h e d i s t r i b u t i o n o f s t r e s s a n d s t r a i n t h r o u g h t h e t h i c k n e s s o f t h e p l a t e c a n b e c a l c u l a t e d u s i n g t h e K i r c h h o f f p l a t e a s s u m p t i o n . S t r a i n s v a r y l i n e a r l y w i t h t h e d i s t a n c e z f r o m t h e m i d s u r f a c e o f t h e p l a t e a n d a r e g i v e n b y x 8 x 2 e = - z | ~ 7 . . . ( 2 . 8 ) y 8 x 2 = _ 9 3 2 w  r x y 3x3y U s i n g E q . (2.6) a n d (2.8), t h e s u r f a c e s t r a i n s o n t h e t o p o f t h e p l a t e ( z = - h / 2 ) a r e e = - ^ K x 2 x e = - ^ K . . . ( 2 . 9 ) y 2 y r = +h K ' x y x y w h e r e t h e c i r c u m f l e x s i g n i f i e s t h a t i t i s a b e n d i n g s t r a i n . I n E q . (2.5) we d e m o n s t r a t e d t h a t e q u a l a n d o p p o s i t e c u r v a t u r e s , w i t h n o t w i s t , o c c u r a l o n g t h e x - y a x e s . T h e r e f o r e , A A e = - e x y Ar = o ' x y T h e s t r a i n s , e a n d e a r e t h e p r i n c i p a l s t r a i n s x y . ( 2 . 1 0 ) a n d l i e a l o n g t h e d i a g o n a l s . P L A T E B E N D I N G T H E O R Y 1 5 B y m e a s u r i n g t h e p r i n c i p a l s u r f a c e s t r a i n f o r a g i v e n c o r n e r l o a d , t h e s h e a r m o d u l u s c a n b e f o u n d . F o r i s o t r o p i c m a t e r i a l s t h e r e l a t i o n s h i p b e t w e e n t h e t h r e e e l a s t i c c o n s t a n t s i s G . . . ( 2 . 1 1 ) C o m b i n i n g E q . ( 2 . 5 ) , ( 2 . 9 ) a n d ( 2 . 1 1 ) , a n d r e a r r a n g i n g , we f i n d G . . . ( 2 . 1 2 ) x A n o t h e r m e t h o d o f d e t e r m i n i n g G i s t h r o u g h t h e d e f l e c t i o n o f t h e p l a t e a l o n g o n e o f t h e d i a g o n a l s a t a d i s t a n c e c . A l o n g t h e x - a x i s t h e d e f l e c t i o n W c , u s i n g E q . ( 2 . 7 ) , i s -K c2 w = — 2 — . . . ( 2 . 1 3 ) c 2 C o m b i n i n g w i t h E q . ( 2 . 5 ) a n d ( 2 . 1 1 ) , we g e t l ^ S i y . . . ( 2 . 1 4 ) 2 w h 3 c F o r s m a l l d e f l e c t i o n s i n a n e l a s t i c m a t e r i a l , we c a n c a l c u l a t e t h e s h e a r m o d u l u s f r o m t h e c o r n e r l o a d a n d s u r f a c e s t r a i n o r d e f l e c t i o n . C o n v e r s e l y , we c a n p r e d i c t t h e s t r a i n a n d d e f l e c t i o n f o r a a p p l i e d . g i v e n P L A T E B E N D I N G T H E O R Y m a t e r i a l k n o w i n g t h e c o r n e r 16 l o a d 2 . 1 . 1 L I M I T A T I O N S OF T H E L I N E A R T H E O R Y I n t h e l i n e a r t h e o r y c e r t a i n l i m i t i n g f a c t o r s m u s t b e t a k e n i n t o c o n s i d e r a t i o n b e f o r e u s i n g t h i s t h e o r y . T h e t h e o r y n e g l e c t s t h e f o l l o w i n g . 1 ) E d g e e f f e c t s a r e c a u s e d b y a s s u m i n g t h e t w i s t i n g m o m e n t i s r e s i s t e d b y T x , , a l o n e , a n d d o e s n o t v a r y a l o n g t h e l e n g t h o f t h e p l a t e c r o s s -s e c t i o n . S a i n t V e n a n t ' s t h e o r y o f t o r s i o n f o r a r e c t a n g u l a r c r o s s - s e c t i o n s h o w s t h e d i s t r i b u t i o n o f T , , a n d t r a n s v e r s e s h e a r x , , o v e r t h e x ' y ' y ' z ' c r o s s - s e c t i o n . T h e b i g g e s t d e v i a t i o n o c c u r s a t t h e e d g e s o f t h e c r o s s - s e c t i o n , b u t i s n e g l i g i b l e o v e r a l l i f t h e a / h r a t i o i s l a r g e . 2) M i d s u r f a c e s t r e s s e s o c c u r b e c a u s e t h e p l a t e i s d e f l e c t e d i n t o a n o n - d e v e l o p a b l e s u r f a c e . T h e s t r e s s e s w i l l b e n e g l i g i b l e i f t h e a / h r a t i o i s s m a l l . 3 ) T h e d e f o r m a t i o n d u e t o t r a n s v e r s e s h e a r s t r e s s i s n e g l e c t e d . T h i s i s n e g l i g i b l e i f t h e a / h r a t i o i s l a r g e . P L A T E B E N D I N G T H E O R Y 17 I n [ 2 ] t h e s e l i m i t a t i o n s a r e d i s c u s s e d a n d i t i s s h o w n t h a t t h e t o t a l e f f e c t o f t h e s e e r r o r s i s m i n i m i z e d w i t h a n a / h r a t i o o f a p p r o x i m a t e l y 1 0 . 2 . 2 N O N - L I N E A R T H E O R Y , I n b e n d i n g a p l a t e i n t o a n o n - d e v e l o p a b l e s u r f a c e , t h a t i s , a s u r f a c e w i t h n o n - z e r o G a u s s i a n c u r v a t u r e , s t r e t c h i n g o f t h e m i d d l e s u r f a c e o c c u r s . I n t h e p r e v i o u s d i s c u s s i o n o f t h e l i n e a r t h e o r y , we h a d a s s u m e d t h a t t h e r e w a s n o s t r e t c h i n g o f t h e m i d d l e s u r f a c e . T h e m i d s u r f a c e s t r a i n i s n e g l i g i b l e i f t h e d e f l e c t i o n s a r e s m a l l w i t h r e s p e c t t o t h e t h i c k n e s s o f t h e p l a t e . P l a t e s w i t h l a r g e d e f l e c t i o n s d i v e r g e f r o m t h e l i n e a r t h e o r y w i t h t h e i n c r e a s e i n l o a d a s t h e m i d s u r f a c e f o r c e s h a v e a c o n s i d e r a b l e e f f e c t . T h e s t r e t c h i n g o f t h e m i d s u r f a c e m u s t b e t a k e n i n t o c o n s i d e r a t i o n w h e n d e r i v i n g t h e g o v e r n i n g d i f f e r e n t i a l e q u a t i o n s . T h e s o l u t i o n t o t h e s e c o u p l e d n o n - l i n e a r d i f f e r e n t i a l e q u a t i o n s i s c o m p l i c a t e d . T h e r e i s n o c l o s e d f o r m s o l u t i o n f o r t h e t w i s t e d p l a t e p r o b l e m a n d a p p r o x i m a t e s o l u t i o n s b a s e d o n t h e s e e q u a t i o n s a r e u s e d . P L A T E B E N D I N G T H E O R Y 18 2 . 2 . 1 G O V E R N I N G E Q U A T I O N S T h e s e n o n - l i n e a r e q u a t i o n s w h e r e d e r i v e d b y v o n K a r m a n i n 1 9 1 0 a n d a r e d e v e l o p e d i n [ 1 2 ] . T h e s e e q u a t i o n s a r e t h e f i r s t a p p r o x i m a t i o n t o t h e p r o b l e m o f n o n - l i n e a r i t y i n p l a t e s a n d u s e o n l y t h e m o s t s i g n i f i c a n t o f t h e n o n - l i n e a r t e r m s . B e l o w i s a b r i e f s u m m a r y o f t h e e q u a t i o n s i n v o l v e d f o r f u t u r e r e f e r e n c e . 2 . 2 . 1 . 1 G e o m e t r i c S t r a i n T h e m i d s u r f a c e o f t h e p l a t e o r i g i n a l l y l i e s i n t h e x - y p l a n e . I t c a n b e s h o w n f r o m d i f f e r e n t i a l g e o m e t r y t h a t t h e s t r e t c h i n g o f t h e m i d s u r f a c e i s d e p e n d e n t o n t h e m i d s u r f a c e d i s p l a c e m e n t s u , v a n d w w h i c h a r e i n t h e x , y a n d z d i r e c t i o n s r e s p e c t i v e l y . T h e m i d s u r f a c e s t r a i n e q u a t i o n s a r e e x au 3x e y . . . (2.15) r. x y au ay w h e r e t h e o v e r b a r s i g n i f i e s t h a t t h e s e a r e m i d s u r f a c e s t r a i n s . P L A T E B E N D I N G T H E O R Y 19 We e x p e c t t h e i n p l a n e d i s p l a c e m e n t s , u a n d v , t o b e s m a l l i n c o m p a r i s o n w i t h t h e l a t e r a l d i s p l a c e m e n t , w . We c a n , t h e r e f o r e , d r o p t h e s e c o n d o r d e r t e r m s i n u a n d v t o p r o d u c e t h e s t r a i n s I = 9u i aw x 8x 2 ^ 3 x ; i - | Y + i ( | w ) a . . . ( 2 . 1 6 ) y 3y 2 ay 3u , 3v ^ , 3 w . , 3 w . ' x y = 3 ^ + 3x + ( 3 x } ( 3 y ° T y p i c a l l y , w h e n t h e s l o p e s , 3 w / 3 x a n d 3 w / 9 y , o f t h e m i d s u r f a c e b e c o m e l a r g e , t h e m i d s u r f a c e s t r a i n s a l s o b e c o m e l a r g e . 2 . 2 . 1 . 2 C o n s t i t u t i v e R e l a t i o n s W h e n t h e a s s u m p t i o n a z = 0 i s m a d e , t h e H o o k e ' s l a w r e l a t i o n s f o r a n i s o t r o p i c m a t e r i a l r e d u c e t o o a x y e = v =rL x E E a a I = -v =Z + . . . ( 2 . 1 7 ) -y E E T ' x y G w h e r e t h e o v e r b a r o n t h e s t r e s s e s s i g n i f i e s t h a t t h e s e a r e m i d s u r f a c e q u a n t i t i e s . P L A T E B E N D I N G T H E O R Y 2 0 2 . 2 . 1 . 3 C o m p a t i b i l i t y T h e s t r a i n s a r e s u b j e c t t o a c o m p a t i b i l i t y c o n d i t i o n . B y t a k i n g t h e s e c o n d d e r i v a t i v e s o f t h e s t r a i n s , E q . ( 2 . 1 6 ) , a n d a d d i n g , we e l i m i n a t e u a n d v p r o d u c i n g 3 y T " + 3 x ^ " ~ 3 x 3 y " ( 3 x 3 y ) ( 3 x 2 } ( 3 y 2 } . . - ( 2 . 1 8 ) T h e m i d s u r f a c e s t r e s s e s , c x , a n d T x y / c a n b e e x p r e s s e d i n t e r m s o f t h e m i d s u r f a c e f o r c e s , N N N b y x y x y J N = ho x x N = ho . . . ( 2 . 1 9 ) y y N = hT x y x y S u b s t i t u t i o n f r o m E q . ( ( 2 . 1 9 ) i n t o E q . ( 2 . 1 7 ) , a n d t h e n f r o m E q . ( 2 . 1 7 ) i n t o E q . ( 2 . 1 8 ) , y i e l d s t h e r e s u l t 1_ ,_3_i Eh ^ 3 x 2 3 2 V , 3 2 w x k 3 x 3 y ; v 3 x * ; ^ 3 y * ; ( 2 . 2 0 ) P L A T E B E N D I N G T H E O R Y 21 2 . 2 . 1 . 4 E q u i l i b r i u m F o r t h e e x a c t s o l u t i o n , e a c h e l e m e n t o f t h e p l a t e s h o u l d b e i n e q u i l i b r i u m i n t h e x , y a n d z d i r e c t i o n s . T h e i n p l a n e ( x - y ) e q u i l i b r i u m w i l l b e e x a m i n e d f i r s t . A s m a l l r e c t a n g l e o f s i z e d x b y d y h a s m i d s u r f a c e f o r c e s p e r u n i t l e n g t h N x N a n d a p p l i e d a s s h o w n i n F i g . 2 . 3 . I f n o b o d y f o r c e s a r e a p p l i e d , t h e x a n d y e q u i l i b r i u m o f t h e e l e m e n t r e q u i r e s 3N 3N 8 X 3 y . . .(2.21) 3N 3N - T 2 + IT* = 0 3x 3y r e s p e c t i v e l y . T h e h i g h e r o r d e r t e r m s t h a t m i g h t b e i n c l u d e d i n E q . ( 2 . 2 1 ) , d u e t o t h e e l e m e n t n o t b e i n g p l a n a r , a r e s m a l l a n d h a v e b e e n n e g l e c t e d . F o r z e q u i l i b r i u m , t h e m i d s u r f a c e f o r c e s N N N a r e ^ x y x y p r o j e c t e d o n t o t h e z a x i s . N e g l e c t i n g t h e h i g h e r o r d e r t e r m s we f i n d PLATE BENDING THEORY 22 F i g u r e 2.3, M i d s u r f a c e f o r c e s N x, N^, a n d N x y a p p l i e d t o a s m a l l e l e m e n t . , XF (N 32w x 3x2 + 2N + N §-7) dxdy x y 3x3y y 3y2 3 .(2.22) 3N 3N . 3N 3N T h e q u a n t i t i e s i n t h e s q u a r e b r a c k e t s m a t c h E q . ( 2 . 2 1 ) ; t h e r e f o r e t h e y a r e z e r o . T h i s l e a v e s t h e e q u i l i b r i u m i n t h e z d i r e c t i o n a s ( 2 . 2 3 ) T h e s u m o f t h e m i d s u r f a c e f o r c e s p r o j e c t e d o n t o t h e z a x i s c a n b e a d d e d t o t h e l o a d o n t h e e l e m e n t , q ( d x ) ( d y ) , w h i c h i s P L A T E B E N D I N G T H E O R Y 23 s u p p o r t e d b y t h e m o m e n t s a n d t h e s h e a r s a l o n g t h e e l e m e n t ' s e d g e s g i v i n g a* - + a y ^ " 2 i ^ T = " ( q + N x a ^ + 2 N x y Haf + N y • • • ( 2 ' 2 A ) S u b s t i t u t i n g t h e m o m e n t - c u r v a t u r e r e l a t i o n s h i p s , E q . (2.3) a n d (2.6), g i v e s 8*w ^ - 3 Av ^ 8*w 1 , , .. 8Jw . 82w 8Jw. . a x ^ + 2 a x ^ + a ^ = D ( q + N x a x ^ + 2 N x y a ^ N y ^ - . . ( 2 . 2 5 ) E q . (2.25) r e d u c e s t o t h e f a m i l i a r b i - h a r m o n i c e q u a t i o n w h e n t h e r e a r e n o m i d s u r f a c e f o r c e s . 2.2.1.5 S t r e s s F u n c t i o n T h e f o u r e q u a t i o n s t h a t m u s t b e s a t i s f i e d t o s o l v e t h e n o n -l i n e a r p r o b l e m a r e t h e t h r e e e q u i l i b r i u m e q u a t i o n s , E q . (2.21) a n d E q . (2.25) a n d t h e c o m p a t i b i l i t y e q u a t i o n , E q . (2.20). F r o m t h e s e we c a n s o l v e t h e f o u r u n k n o w n s N , N , x ' y ' N x y a n d w . T h e s e s e q u a t i o n s c a n b e r e d u c e d d o w n t o t w o e q u a t i o n s t h r o u g h t h e i n t r o d u c t i o n o f a n A i r y s t r e s s f u n c t i o n [ 1 1 ] . I f a f u n c t i o n , F ( x , y ) , i s f o u n d s u c h t h a t P L A T E B E N D I N G T H E O R Y 24 8 2 F x 3 y 2 Ny = h g ...(2.26) 3 2F N = -h x y 3x3y T h e x - y e q u i l i b r i u m e q u a t i o n s , Eq . (2 .21) , a r e i d e n t i c a l l y s a t i s f i e d b y t h e s t r e s s f u n c t i o n . S u b s t i t u t i n g t h i s f u n c t i o n i n t o t h e r e m a i n i n g e q u a t i o n s , y i e l d s 3*w , S^v , 3 i w B h , f l ^ F ^ w ^ F ^ w _ . 3 2F 32w . . 3 x " 3 x 2 3 y 2 3 y " D ^h 3 y 2 3 x 2 3 x 2 3 y 2 3x3y 3 x 3 y ; a n d a? + 2 a 3 ? 8 F + ' E [ ( W (a^ }V ) ] •••(2-28) E q u a t i o n s (2.27) a n d (2.28) f o r m t w o c o u p l e d n o n - l i n e a r d i f f e r e n t i a l e q u a t i o n s i n w a n d F. A s m e n t i o n e d e a r l i e r , t h e s o l u t i o n t o t h e s e e q u a t i o n s a n d t h e b o u n d a r y c o n d i t i o n s i s d i f f i c u l t f o r p r a c t i c a l p r o b l e m s . 2.2.2. B O U N D A R Y C O N D I T I O N S T h e s o l u t i o n t o t h e p l a t e b e n d i n g p r o b l e m m u s t s a t i s f y t h e b o u n d a r y c o n d i t i o n s i m p o s e d a l o n g t h e e d g e s o f t h e p l a t e . PLATE BENDING THEORY 25 A p l a t e w i t h f r e e edges has i s no m i d s u r f a c e f o r c e s a p p l i e d t o the edges. The s t r e s s f u n c t i o n must s a t i s f y the f o l l o w i n g : x=0,a - z e r o normal f o r c e i ^ - = o a y 2 - z e r o shear f o r c e ^ - = 0 3x3y y=0,a - z e r o normal f o r c e . . . ( 2 . 2 9 ) a 2 F a x 2 - z e r o shear f o r c e a 2 F 3x3y = 0 = 0 A l o n g the f r e e edges the bending moment and K i r c h h o f f shear are z e r o . From th e s e r e q u i r e m e n t s we g e t : x=0,a - z e r o bending moment a2w ^ ajw n i x ^ + v aT7 = 0 - z e r o K i r c h h o f f shear axT + ( 2" ^ a ^ y T " 0 y=0,a - z e r o bending moment . . . ( 2 . 3 0 ) a2w a2w _ n W + v w ~ 0 - z e r o K i r c h h o f f shear a3w ,0 . a3w n W (2""} = 0 P L A T E B E N D I N G T H E O R Y 26 T h e l a s t b o u n d a r y c o n d i t i o n a p p l i e d t o t h e p l a t e b y t h e f o u n d f o r a c o r n e r l o a d , P , a l o n g t h e e d g e s . r e l a t e s t h e t w i s t i n g m o m e n t c o r n e r l o a d . F r o m E q . ( 2 . 1 ) we t h e t w i s t i n g m o m e n t w a s + 2M , 2 . 3 A P P R O X I M A T E S O L U T I O N S A n u m b e r o f i n v e s t i g a t o r s [ 2 , 5 , 7 , 9 ] h a v e d e v e l o p e d a p p r o x i m a t e s o l u t i o n s t o t h e n o n - l i n e a r t w i s t e d p l a t e p r o b l e m u s i n g a v a r i e t y o f m e t h o d s . I n [ 2 ] , t h e r e l a t i o n s h i p b e t w e e n m i d s u r f a c e s t r a i n a n d c u r v a t u r e i s c a l c u l a t e d f o r a n a n t i c l a s t i c p l a t e w i t h e q u a l a n d o p p o s i t e c u r v a t u r e s a l o n g t h e d i a g o n a l s . T h e r e s u l t s s h o w e d t h a t t h e m i d s u r f a c e s t r a i n v a r i e d w i t h t h e s q u a r e o f t h e p l a t e c u r v a t u r e . O f i n t e r e s t i s h o w t h e m i d s u r f a c e s t r a i n c h a n g e s i n t h e p l a t e a f t e r t h e p o i n t o f b i f u r c a t i o n , w h e r e t h e c u r v a t u r e s i n t h e p l a t e a r e n o l o n g e r e q u a l i n m a g n i t u d e . P L A T E B E N D I N G T H E O R Y 27 2.3.1 A N A L Y T I C A L S O L U T I O N F O R M I D S U R F A C E S T R A I N I N P L A T E S W I T H U N E Q U A L C U R V A T U R E S T h e a p p r o a c h u s e d i s s i m i l a r t o t h e R a y l e i g h - R i t z a p p r o a c h u s e d i n [ 2 ] , b u t t h e d i s p l a c e m e n t f u n c t i o n f o r t h e d e f l e c t i o n a l l o w s t h e c u r v a t u r e s t o b e u n e q u a l i n m a g n i t u d e . T h i s e x t r a d e g r e e o f f r e e d o m i n t h e d i s p l a c e m e n t f i e l d s u b s t a n t i a l l y i n c r e a s e s t h e n u m b e r o f c o e f f i c i e n t s , d u e t o t h e l o s s o f s y m m e t r y i n t h e d i s p l a c e m e n t s u a n d v . T h i s f o r m s a m o r e g e n e r a l s o l u t i o n . T o m a n i p u l a t e t h e e q u a t i o n s , U B C R e d u c e , a s y m b o l i c a l g e b r a i c m a n i p u l a t i o n p r o g r a m , w a s u s e d . U s i n g t h e m i d s u r f a c e s t r a i n e q u a t i o n s f o r t h e l a r g e d e f l e c t i o n s o f p l a t e s , E q . (2.16), t h e m i d s u r f a c e s t r a i n c a n b e e s t i m a t e d b y a p p l y i n g t h e p r i n c i p l e o f m i n i m u m p o t e n t i a l e n e r g y . I t i s a s s u m e d t h a t t h e p l a t e , w i t h t h e c o o r d i n a t e s s h o w n i n F i g . 1.1, i s b e n t i n t o a n a n t i c l a s t i c s h a p e w i t h c u r v a t u r e s K x a n d K y a l o n g t h e d i a g o n a l s o f t h e p l a t e . T h e d e f l e c t i o n o f t h e p l a t e i s t h e n g i v e n b y w . . .(2.31) P L A T E B E N D I N G T H E O R Y 2 8 T h e m i d s u r f a c e s t r a i n s , E q . ( 2 . 1 6 ) , d e p e n d o n t h e d i s p l a c e m e n t s i n t h e u a n d v d i r e c t i o n s a s w e l l a s t h e d e f l e c t i o n w . T h e i n - p l a n e d i s p l a c e m e n t c a n b e a p p r o x i m a t e d b y t h e p o l y n o m i a l s 00 ^ 1 1 u = 2 C . . x y . . I J 1 , J . . . ( 2 . 3 2 ) 00 _ . k 1 v = 2 d , x y k , l K i w h e r e i , j , k , 1 a r e p o s i t i v e i n t e g e r s . T h e c o n d i t i o n s o f s y m m e t r y a n d a n t i s y m m e t r y a r e u ( x , y ) = u ( x , - y ) u ( x , y ) = - u ( - x , y ) ( 2 . 3 3 ) a n d v ( x , y ) = v ( x , - y ) v ( x , y ) = v ( - x , y ) ( 2 . 3 4 ) T h e s e c o n d i t i o n s a r e s a t i s f i e d i f s o m e o f t h e c o e f f i c i e n t s c ^ j a n d d ^ a r e z e r o g i v i n g i = 1 , 3 , 5 , . . . . . . ( 2 . 3 5 ) j = 0 , 2 , 4 , . . . a n d P L A T E B E N D I N G T H E O R Y 29 k = 0 , 2 , 4 , . . . . . . ( 2 . 3 6 ) 1 = 1 , 3 , 5 , . . . E x p a n d i n g t h e s e r i e s o f E q . ( 2 . 3 2 ) u p t o a n d i n c l u d i n g f i f t h p o w e r t e r m s g i v e s u = c 1 0 x + c 1 2 x y + c 1 A x y * + c 3 0 x 3 + c 3 2 x 3 y 2 + C 5 q X 5 . . . ( 2 . 3 7 ) v = d 0 1 y + d 2 1 x = y + d t l x * y + d 0 3 y 3 + d 2 3 x 2 y 3 + d 0 5 y s S u b s t i t u t i n g t h e d i s p l a c e m e n t s , E q . ( 2 . 3 1 ) a n d ( 2 . 3 7 ) i n t o E q . ( 2 . 1 6 ) g i v e s x = c i o + c : 2 y 2 + ci,y" + 3 c 3 0 x 2 + 3 c 3 J x 2 y 2 + 5 c 5 0 x " + | ( K x ) 2 y = d o i + d 2 i ^ J + d 4 1 x * + 3 d 0 3 y 2 + 3 d 2 3 x 2 y 2 + 5 d 0 5 y * + \ (K^y x y = 2 d 2 ! x y + ^ d A i x 3 Y + 2 d 2 3 x y 3 + 2 C 1 2 x y + 4 C 1 A x y 3 + 2 C 3 J x 3 y + K K x y ( K ) 2 . . . ( 2 . 3 8 ) U s i n g t h e f o l l o w i n g n o t a t i o n f o r c o n v e n i e n c e £ . = x / a , rt = y / a , P = K a , p = K b x x y y c 1 0 = c c c i a = C ^ / a 2 , cltt = C 2 / a * c 3 0 = C 3 / a 2 , c 3 2 = C 4 / a * . c 5 0 = C 5 / a * . . . ( 2 . 3 9 ) d 0 1 = D 0 , d 2 1 = D / a 2 , d „ = D 2 / a * d 0 3 = D 3 / a 2 , d 2 3 = D , / a \ d 0 5 = D 6 / a * P L A T E B E N D I N G T H E O R Y 30 l e a d s t o ...(2.AO) = 2Dxtin + 4D2&*n + 2D,c:n3 + 2 c ^ n + Ac^n3 + 2c^ 3n + P x P y ^ n T o s a t i s f y t h e b o u n d a r y c o n d i t i o n s a l o n g t h e e d g e s o f t h e p l a t e , t h e n o r m a l a n d s h e a r s t r e s s e s m u s t b e z e r o . B y s e t t i n g t h e s e s t r e s s e s a l o n g o n e o f t h e e d g e s t o b e z e r o , t h e n d u e t o t h e s y m m e t r y i m p o s e d o n t h e d i s p l a c e m e n t s , t h e o t h e r e d g e s w i l l a l s o h a v e z e r o n o r m a l a n d s h e a r s t r e s s e s . A r b i t r a r i l y we w i l l t h e n s e t ~o , a n d T , . t o z e r o a l o n g t h e e d g e x ' = a / 2 . F o r e q u i l i b r i u m o f a t r i a n g u l a r e d g e e l e m e n t w i t h s i d e s p a r a l l e l t o t h e x a n d y a x e s , t h e b o u n d a r y s t r e s s e s a r e r e l a t e d t o t h e m i d s u r f a c e s t r e s s e s ~a , a a n d x y T x y b y o +o o X = x V •2 x y ...(2.41) T x ' y ' o - o x y 2 S u b s t i t u t i n g H o o k e ' s l a w , E q . ( 2 . 1 7 ) , a n d t h e g e n e r a l i z e d s t r a i n s , E q . ( 2 . 4 0 ) i n t o E q . ( 2 . 4 1 ) , a n d u s i n g t h e n o t a t i o n P L A T E B E N D I N G T H E O R Y 31 g i v e s t h e m i d s u r f a c e s t r e s s e s i n t e r m s o f t h e 12 c o e f f i c i e n t s a n d p o s i t i o n i n t h e p l a t e . T h e f o r t h o r d e r p o l y n o m i a l s i n £, a n d n a r e E 1 x' 2 ( l -v ) {C0 + C ^2 + C 2 n * + 3C-,cy» + 3 C A ^ nJ + 5C8c;* + 5 + D 0 + D ^ 2 + D,£* + 3 D 3n2 + 3D 4 £ a n » ' + 5D 5n" + ^ P2n2 + cxUD^r, + A D j C : 3 n + 2D 4 En 3 + 2Cxlr\ + 4 C 2 £ n3 + ^ ,V^ + PxPy^ n l ) . • • • (2.43) + | p ^ 2 - (D0 + DIC; 2 + D 2 E 4 + 3 D 3n2 + 3D,c;'n2 + 5D5n" + | P y n 2 ) ] A l o n g t h e e d g e , x ' = a / 2 , w h e r e CTx , a n d f x , , a r e z e r o , t h e n o n - d i m e n s i o n a l c o o r d i n a t e s a r e e x p r e s s e d b y n = ±z - I . . . ( 2 . 44 ) V2 S u b s t i t u t i n g t h i s i n t o E q . ( 2 . 4 3 ) a n d f a c t o r i n g t h e I f r o m t h e e x p r e s s i o n g i v e s P L A T E B E N D I N G T H E O R Y 32 = g T J Z ^ y [ " 2 a D , - 4 a D 2 - 2 a C , - 4 a C 2 + 5D 6 + 3D , + D 2 + 5 C 5 + 3 C , + C 8 ] + 4V2 V [ 3aD, + 2 a D 2 + a C , + 6 a C 2 - 10D 5 - 3D , - 3 C , - 2 C 2 ] + 2V [ ~ 2 a p x P y - AaD, - AaC1 - 6 a D , - 1 2 a C 2 + p 2 + 2Dj + 2 C a + p 2 + 30D 5 + 3 D , + 6D 3 + 3 C , + 6 C 3 . . . ( 2 . 4 5 ) x y + 6 C 2 ] + 272 £ [ a p x p + 2aDj + 2 a C j + a D , + 2 a C 2 - 2 C X - p. 2 - 10D 5 - 6 D 3 - 2 C 2 ] + [ 4 C 0 + 2 C t + 4D 0 + p 2 + 5D 5 + 6 D 3 + C , ] } a n d y ' = 8 ( T H O [ " 5 ° 5 " 3 D * " ° 2 + 5 C S + 3 C " + C ' ] + 4 V L V t l O D g + 3 D , - 3 C , - 2 C 2 ] + 2 E 2 [p£ - 2 D a + 2 C 2 - p y - 30D 5 - 3 D , - 6D 3 + 3 C , + 6 C 3 + 6 C 2 ] + 2V2 ll-lC^ + P y + 10D 5 + 6 D 3 - 2 C 2 ] + [ 4 C 0 + 2 C X - 4 D 0 - P y - 5 D 5 - 6 D 6 + C 2 ] ) (2.46) F o r t h e n o r m a l a n d s h e a r s t r e s s e s t o b e z e r o a l o n g t h e b o u n d a r y , e a c h t e r m i n t h e s q u a r e b r a c k e t s o f E q . ( 2 . 4 5 ) a n d ( 2 . 4 6 ) m u s t b e z e r o . T h e s e f o r m 10 e q u a t i o n s w i t h t h e 12 u n k n o w n c o n s t a n t s . S o l v i n g t h e s e e q u a t i o n s i n a g e n e r a l f o r m b e c o m e s u n w i e l d i l y a t t h i s p o i n t . T o s i m p l i f y t h e m , v i s a s s u m e d t o b e 1 /3 m a k i n g a e q u a l 1 / 2 . S o l v i n g f o r t h e c o n s t a n t s a n d D ^ , w h e r e i = l t o 5 , i n t e r m s o f t h e o t h e r c o n s t a n t s , CQ a n d DQ a n d t h e c u r v a t u r e s , P x a n d p y , we g e t P L A T E B E N D I N G T H E O R Y 33 Yk ( " 1 1 6 C° + 4 4 D ° ~ 3 P x p y ) 12 ( 6 8 C 0 - 44 + 3 p x p y ) C 3 = ^ [ - 5 2 C 0 - 20D 0 + 3 p x ( - 4 p x - p )] j ( - 4 C 0 + 4 D 0 ) k ( A C ° + 2 0 D ° + ^ . . ( 2 . 4 7 ) ^ ( 4 4 C 0 - 116D 0 - 3 p x p y ) ^ 2 + 68D 0 + 3 p v p v ) x' y 1_ 72 [ - 2 0 C 0 - 52D 0 + 3 P y ( - p x ( A C 0 - 4 D 0 ) to ( 2 0 C » + 4 ° o + 3 p x p y } I n E q . ( 2 . 4 7 ) a c e r t a i n a n t i s y m m e t r y e x i s t s i n t h e c o e f f i c i e n t s a s m i g h t b e e x p e c t e d f r o m t h i s t y p e o f p r o b l e m . P l a c i n g t h e a b o v e r e s u l t s b a c k i n t o t h e s t r a i n e q u a t i o n s , E q . ( 2 . 4 0 ) , g i v e s t h e s t r a i n s a s a f u n c t i o n o f p o s i t i o n a s P L A T E B E N D I N G T H E O R Y 34 ix = J7 [2q* ( 3 p x p y + 6 8 C 0 - AAD 0 ) + 9 6 n2S2 ( - C 0 + D 0 ) + n2 ( " 3 P x P y " H 6 C 0 + AAD 0 ) + 21" ( 3 p x p y + A C 0 + 2 0 D 0 ) + E 2 ( - 3 pxPy - 5 2 C 0 - 2 0 D 0 ) + 2 A C 0 ] i = [2n* (3p p + 2 0 C 0 + A D 0 ) + 9 6 n2E2 ( C 0 - D 0 ) y ^ X y . . . ( 2 . A 8 ) + n2 ( - 3 P x P y " 2 0 C 0 - 5 2 D 0 ) + 2i> ( 3 p x P y - A A C 0 + 6 8 D 0 ) + V ( " 3 P x P y + A A C 0 - 116D 0 ) + 2AD 0 ] V = I W L (3pxPy + 7 5 C ° " 5 2 D o ) + 2 n E ' ( 3pxpy " 5 2 C ° + 7 6 D o ) + 3 r , £ ( p x P y - 1 2 C 0 - 1 2 D 0 ) ] T o s o l v e f o r t h e c o e f f i c i e n t s C Q a n d D Q , we r e q u i r e t h a t t h e s t r a i n e n e r g y s t o r e d i n t h e p l a t e b e a m i n i m u m . T h e s t r a i n e n e r g y p e r u n i t v o l u m e , V Q i s V n = - i ( o e + o e + ? r ) ( 2 . A 9 ) 0 2 x x y y xy'xy o r i n t e r m s o f o n l y s t r a i n s V o = T 7 T T - T [^r- ( £ 2 + 2\)e e + e2) + \ r 2 ) ] . . . ( 2 . 5 0 ) 0 2(1+\J) 1-M x x y y 2 'xy T h e e l a s t i c e n e r g y s t o r e d , V , i s f o u n d b y i n t e g r a t i o n o v e r t h e v o l u m e o f t h e p l a t e P L A T E B E N D I N G T H E O R Y 35 a/V2 (a//2)-x V m = A J" J" V 0 h dydx . . . (2.5.1) x=0 y=0 I n t e r m s o f n o n - d i m e n s i o n a l c o o r d i n a t e s 1//2 V m . = Aha 2 J J" V 0 dndE ...(2.52) 1=0 n=o U p o n s u b s t i t u t i o n o f E q . ( 2 . 4 8 ) a n d ( 2 . 5 0 ) i n t o ( 2 . 5 2 ) , t h e e q u a t i o n s b l o s s o m i n s i z e . A f t e r i n t e g r a t i o n , we g e t h a J E [333 p 2 p 2 - 7776 p p C0 - 7776 p p D 0 m 60A.800 . x y "x ry 0 "x ry + 1386A0 cj + 101152 C0D0 + 1386A D*] ...(2.53) We m i n i m i z e t h i s b y s e t t i n g 9V —52 = 0 8 C ° ...(2.5A) av —51 = 0 W h e n we c a r r y o u t t h e s e o p e r a t i o n s , a n d s o l v e t h e t w o e q u a t i o n s f o r CQ a n d D Q , we f i n d C 0 = 3/1A6 p p 7 ...(2.55) D0 = 3/1A6 p x p y P L A T E B E N D I N G T H E O R Y 36 w h i c h a r e e q u a l . P l a c i n g t h e c o n s t a n t s b a c k i n t o E q . ( 2 . 4 8 ) , we f i n d t h e f o l l o w i n g m i d s u r f a c e s t r a i n s e x = [17CV " 109n2 + 170&* " + 12] jgf-P P e = [17011" - 109n2 + 1701" - 109c? + 12] TIT^ y JOH . . . ( 2 . 56 ) r x y = [ i70n 3E + nonv + eirtf] ^ A f e w i n t e r e s t i n g c o n c l u s i o n s c a n b e m a d e a b o u t t h e r e l a t i o n s h i p b e t w e e n t h e m i d s u r f a c e s t r a i n s a n d c u r v a t u r e s f o r m a t e r i a l s w i t h v= 1 /3 . 1) F o r a n y p a r t i c u l a r p o i n t o n t h e p l a t e s u r f a c e (£, n)/ t h e m i d s u r f a c e s t r a i n s i n t h e d i r e c t i o n o f t h e d i a g o n a l s , e x a n d e y , a r e e q u a l . 2 ) T h e m i d s u r f a c e s t r a i n s , e , ~z a n d x y Y X Y, a t a l l p o i n t s v a r y l i n e a r l y w i t h t h e G a u s s i a n c u r v a t u r e o f t h e p l a t e . C y l i n d r i c a l s u r f a c e s h a v e n o m i d s u r f a c e s t r a i n . 3) A t t h e c e n t r e o f t h e p l a t e e = "e = * x y ( 3 / 1 4 6 ) p p a n d Y = 0. ' x x x y 4) T h e a m o u n t o f m i d s u r f a c e s t r a i n i s i n d e p e n d e n t o f t h e t h i c k n e s s o f t h e p l a t e . 37 3 . DESCRIPTION OF EXPERIMENT T h i s s e c t i o n i s d i v i d e d i n t o t w o s u b s e c t i o n s , a p p a r a t u s a n d p r o c e d u r e . T h e f i r s t s e c t i o n d e s c r i b e s t h e a p p a r a t u s u s e d i n t h e t e s t s . I t c o v e r s : t h e d e s i g n o f t h e b a s e p l a t e , w h i c h s u p p o r t s a n d l o a d s t h e p l a t e w i t h c o r n e r f o r c e s ; t h e i n s t r u m e n t a t i o n u s e d ; a n d t h e d e s i g n o f t h e p l a t e s u n d e r t e s t a n d t h e n u m e r i c a l a n a l y s i s u s e d i n d e t e r m i n i n g t h e p l a t e s i z e . T h e o t h e r s e c t i o n d e s c r i b e s t h e e x p e r i m e n t a l p r o c e d u r e u s e d . I t c o v e r s t h e i n i t i a l p r e p a r a t i o n b e f o r e t h e t e s t s a n d t h e o p e r a t i o n s c o m p l e t e d d u r i n g t h e t e s t . 3 . 1 A P P A R A T U S 3 . 1 . 1 D E S I G N S h o w n i n F i g . 3 . 1 i s a s c h e m a t i c o f t h e a p p a r a t u s . I t c o n s i s t s o f a b a s e , t w o s u p p o r t s a n d a l o a d i n g s y s t e m . T h e F i g u r e 3 . 1 , S c h e m a t i c o f t h e p l a t e t w i s t i n g a p p a r a t u s D E S C R I P T I O N OF E X P E R I M E N T 39 a p p a r a t u s i s d e s i g n e d t o s t r a d d l e t h e g a p b e t w e e n t w o t a b l e s o f e q u a l h e i g h t , w i t h t h e l o a d i n g s y s t e m f i t t i n g b e t w e e n t h e t w o t a b l e s . T h e b a s e i s m a d e f r o m a 3 0 " x 3 0 " x l / 4 " s t e e l p l a t e . A l o n g o n e d i a g o n a l a r e t w o s l o t s a l l o w i n g v a r i a b l e p o s i t i o n i n g o f t h e s u p p o r t p o s t s t o a c c o m m o d a t e d i f f e r e n t s i z e s o f p l a t e s . A l o n g t h e o t h e r d i a g o n a l a r e a s e r i e s o f h o l e s a l l o w i n g t h e t w o c a b l e s t o p a s s t h r o u g h t h e p l a t e . F o r e a c h d i f f e r e n t s i z e o f t e s t p l a t e , t h e b a s e h a s a s e t o f h o l e s v e r t i c a l l y b e l o w t h e t e s t p l a t e f r e e c o r n e r s , a l l o w i n g t h e h a n g e r c a b l e s t o b e f r e e f r o m r e s t r i c t i o n s . T h e b a s e r e s t s o n t h e h e a d s o f t h e b o l t s a t t a c h i n g t h e s u p p o r t p o s t s f r o m u n d e r n e a t h a n d i s l e v e l e d a n d s t a b i l i z e d u s i n g t h e t w o l e v e l l i n g s c r e w s . T h e t e s t p l a t e i s s u p p o r t e d w i t h t w o 6 " p o s t s a t e i t h e r e n d o f i t s d i a g o n a l . T h e P i n n e d S u p p o r t P o s t , s h o w n i n F i g . 3 . 2 a , h a s a h e m i s p h e r i c a l s e a t . A b a l l b e a r i n g s i t s i n t h e s e a t a n d a l i g n s a m a t c h i n g s e a t i n t h e p l a t e a b o v e . T h e b a l l ' s f u n c t i o n i s t o s t o p t h e p l a t e f r o m m o v i n g l a t e r a l l y w h i l e p r o v i d i n g p o i n t s u p p o r t . D E S C R I P T I O N OF E X P E R I M E N T 40 PLATE CORNER •BALL BEARING PINNED SUPPORT POST PLATE CORNER BALL BEARING ROLLING SUPPORT POST F i g u r e 3 . 2 , D e t a i l s o f t h e t w o s u p p o r t p o s t s , a ) P i n n e d S u p p o r t P o s t , b ) R o l l i n g S u p p o r t P o s t . D E S C R I P T I O N OF E X P E R I M E N T 41 T h e R o l l i n g S u p p o r t P o s t , s h o w n i n F i g . 3 . 2 b , h a s a g r o o v e o f c i r c u l a r c r o s s - s e c t i o n . A b a l l b e a r i n g a l i g n s t h i s g r o o v e w i t h t h e m a t c h i n g g r o o v e i n t h e p l a t e . T h i s a l l o w s t h e p l a t e t o m o v e i n w a r d d u r i n g b e n d i n g , t h u s n o i n p l a n e f o r c e s a r e i n d u c e d d u r i n g b e n d i n g . T h e p l a t e i s l o a d e d v i a t w o 1 / 1 6 " m u l t i - s t r a n d e d c a b l e s . E a c h c a b l e i s p a s s e d t h r o u g h a s m a l l h o l e i n o p p o s i t e c o r n e r s o f t h e t e s t p l a t e a n d t h e n c l a m p e d t o p r e v e n t i t s r e m o v a l . T h e F i x e d C a b l e i s a p p r o x i m a t e l y 6 " l o n g a n d p r e v e n t s t h e t e s t p l a t e c o r n e r f r o m l i f t i n g w h i l e t h e o t h e r c o r n e r i s l o a d e d . I t r u n s f r o m t h e t e s t p l a t e c o r n e r v e r t i c a l l y d o w n t h r o u g h a h o l e i n t h e b a s e p l a t e , e n d i n g i n a l o o p j u s t p r o t r u d i n g b e l o w t h e b a s e p l a t e . T h e A n c h o r R o d , w h i c h i s l o n g e r t h a n t h e b a s e p l a t e h o l e d i a m e t e r , i s p l a c e d t h r o u g h t h e l o o p a n d a c r o s s t h e h o l e p r e v e n t i n g t h e e x t r a c t i o n o f t h e c a b l e b a c k t h r o u g h t h e h o l e . T h e H a n g e r C a b l e c o n n e c t s t h e o t h e r c o r n e r o f t h e t e s t p l a t e t o t h e h a n g e r , w h i c h c a r r i e s t h e w e i g h t s . T h e p l a t e i s l o a d e d b y p l a c i n g w e i g h t s o f 1 , 2 a n d 5 l b . s i z e s i n s e r i e s o n t h e h a n g e r t o a c h i e v e t h e d e s i r e d l o a d u p t o 3 0 l b . i n w e i g h t . D E S C R I P T I O N OF E X P E R I M E N T 42 W i t h t h i s m e t h o d o f p l a t e l o a d i n g , we a c h i e v e t h e f r e e e d g e c o n d i t i o n w i t h u n i f o r m t w i s t i n g a s d e s c r i b e d i n S e c t i o n 2 . 1 . 3 . 1 . 2 I N S T R U M E N T A T I O N T h e c u r v a t u r e o f t h e p l a t e c a n e a s i l y b e c a l c u l a t e d k n o w i n g t h e p r i n c i p a l s u r f a c e s t r a i n o n e i t h e r s i d e o f t h e p l a t e . I n t h e l i n e a r r a n g e , o n e m e a s u r e m e n t o f s u r f a c e s t r a i n s i s s u f f i c i e n t , b u t i n t h e n o n - l i n e a r r a n g e , s u r f a c e s t r a i n s o n b o t h s i d e s m u s t b e m e a s u r e d i n o r d e r t o e l i m i n a t e t h e e f f e c t o f m i d s u r f a c e s t r a i n . T o m e a s u r e t h e s u r f a c e s t r a i n s , t w o r e c t a n g u l a r s t r a i n r o s e t t e s w e r e m o u n t e d a t t h e c e n t r e , o n e o n e i t h e r s i d e o f t h e p l a t e . T h e g a u g e s w e r e a l i g n e d w i t h t h e 9 0 ° a r m s a l o n g t h e d i a g o n a l s o f t h e p l a t e . A M o h r ' s c i r c l e c a n t h e n b e u s e d t o c h e c k t h e r o t a t i o n a l p l a c e m e n t a c c u r a c y a n d t o f i n d t h e p r i n c i p a l s t r a i n s . T h e g a u g e p l a c e m e n t a n d n u m b e r i n g i s s h o w n i n F i g . 3 . 4 . 3 . 1 . 2 . 1 S t r a i n G a u g e S e l e c t i o n T h e f o l l o w i n g i t e m s w e r e s u i t a b l e s t r a i n g a u g e : c o n s i d e r e d i n t h e s e l e c t i o n o f a D E S C R I P T I O N OF E X P E R I M E N T 43 1 ) s t r a i n - s e n s i t i v e a l l o y , 2 ) b a c k i n g m a t e r i a l , 3 ) g a u g e l e n g t h , 4 ) g a u g e p a t t e r n , 5 ) s e l f t e m p e r a t u r e c o m p e n s a t i o n , 6) g r i d r e s i s t a n c e , 7 ) e n c a p s u l a t i o n . T h e g a u g e s e l e c t e d w a s a M i c r o - M e a s u r e m e n t s g a u g e n u m b e r C E A - 1 3 - 1 2 5 U R - 3 5 0 . I t i s a g e n e r a l p u r p o s e c o n s t a n t a n g a u g e , w h i c h i s t e m p e r a t u r e c o r r e c t e d f o r a l u m i n i u m . I t i s c o m p l e t e l y e n c a p s u l a t e d i n p o l y i m i d e , w i t h l a r g e i n t e g r a l , c o p p e r - c o a t e d t e r m i n a l s f o r e a s y s o l d e r i n g . T h e g a u g e h a s t h e f o l l o w i n g c h a r a c t e r i s t i c s : 1 ) g a u g e l e n g t h o f . 1 2 5 " , 2 ) g a u g e p a t t e r n i s a 4 5 ° r o s e t t e i n a c o - p l a n a r o r i e n t a t i o n , 3 ) r e s i s t a n c e o f 3 5 0 8 , a n d 4 ) g a u g e f a c t o r o f a p p r o x i m a t e l y 2 . 0 . T h e d a t a s h e e t s a r e i n c l u d e d i n A p p e n d i x A . l f o r t h e t w o l o t s o f s t r a i n g a u g e s u s e d . T h e s t r a i n g a u g e s w e r e m o u n t e d f o l l o w i n g t h e m a n u f a c t u r e s i n s t r u c t i o n s [ 1 3 ] . T h e w i r e s w e r e s o l d e r e d o n i n t h e p r e s c r i b e d m a n n e r f o r 1 / 4 b r i d g e o p e r a t i o n . S t r a i n r e l i e f l o o p s w e r e f o r m e d i n t h e w i r e s a d j a c e n t t o t h e g a u g e a n d t h e D E S C R I P T I O N OF E X P E R I M E N T 44 w i r e s w e r e t a p e d f i r m l y t o t h e p l a t e t o p r e v e n t i n d u c e d s t r a i n . 3 . 1 . 2 . 2 S t r a i n I n d i c a t o r a n d B r i d g e C o n f i g u r a t i o n A V i s h a y I n s t r u m e n t s m o d e l P - 3 5 0 A D i g i t a l S t r a i n I n d i c a t o r w a s u s e d w i t h a V i s h a y S B - 1 S w i t c h a n d B a l a n c e U n i t . T h e i r s p e c i f i c a t i o n s a p p e a r i n A p p e n d i x A . 2 . T h e s i x s t r a i n g a u g e s , f r o m t h e t w o r o s e t t e s , w e r e c o n n e c t e d i n a q u a r t e r b r i d g e c o n f i g u r a t i o n t o t h e S w i t c h a n d B a l a n c e U n i t . T h i s a l l o w e d t h e g a u g e s t o b e i n d e p e n d e n t l y b a l a n c e d a n d s w i t c h e d t o t h e s t r a i n i n d i c a t o r w h e r e t h e s t r a i n c o u l d b e r e a d f r o m t h e d i g i t a l d i s p l a y . T h e t h r e e w i r e q u a r t e r b r i d g e c o n f i g u r a t i o n , s h o w n i n F i g . 3 . 3 , w a s u s e d . I t i s b o t h s i m p l e a n d a c c u r a t e w h e n u s e d w i t h h i g h q u a l i t y t e m p e r a t u r e c o m p e n s a t e d g a u g e s . T h e d e s e n s i t i z a t i o n o f t h e g a u g e , d u e t o w i r e r e s i s t a n c e , w a s n e g l e c t e d b e c a u s e t h e w i r e r e s i s t a n c e w a s i n s i g n i f i c a n t w h e n c o m p a r e d t o t h e g a u g e r e s i s t a n c e . D E S C R I P T I O N OF E X P E R I M E N T 45 S T R A I N G A U G E — V DUMMY R E S I S T O R F i g u r e 3 . 3 , Q u a r t e r b r i d g e c o n f i g u r a t i o n . 3 . 1 . 3 P L A T E D E S I G N S h o w n i n F i g . 3 . 4 i s t h e d e s i g n o f t h e p l a t e t e s t e d w i t h t h e a s s o c i a t e d d i m e n s i o n a l p a r a m e t e r s . U p w a r d l o a d s w e r e a p p l i e d a t c o r n e r s " A " b y t h e s u p p o r t p o s t s a n d d o w n w a r d l o a d s a p p l i e d a t c o r n e r s " B " b y t h e c a b l e s . T h e d e t a i l e d d e s c r i p t i o n o f l o a d i n g i s i n S e c t i o n 3 . 1 . 1 . a B T O P V I E W c - 2 ( 5 ) a N U M B E R S I N B R A C K E T S D E S I G N A T E G A U G E N U M B E R S ON B O T T O M S I D E . F i g u r e 3 . 4 , D e s i g n o f p l a t e a n d l o c a t i o n o f s t r a i n g a u g e s . D E S C R I P T I O N OF E X P E R I M E N T 46 I t w a s f o u n d f r o m i n i t i a l t e s t s o f a 24 " x 2 4 " x . 1 2 5 " p l a t e t h a t t h e i n i t i a l d e f l e c t i o n d u e t o i t s o w n w e i g h t w a s c o n s i d e r a b l e ; t h e c e n t r e d e f l e c t i o n w a s a p p r o x i m a t e l y 1 1 / 2 p l a t e t h i c k n e s s e s . W h e n t h e c o r n e r l o a d s w e r e a p p l i e d , t h e l o a d - c u r v a t u r e r e l a t i o n s h i p w a s c l e a r l y n o t l i n e a r . T h i s n o n - l i n e a r i t y c a u s e d b y i t s s e l f w e i g h t p r o m p t e d f u r t h e r i n v e s t i g a t i o n t o a s c e r t a i n p r o p e r l e n g t h s a n d t h i c k n e s s e s t o r e d u c e t h i s u n w a n t e d e f f e c t . 3 . 1 . 3 . 1 E s t i m a t e o f P l a t e N o n - L i n e a r i t y N o a n a l y t i c a l s o l u t i o n w a s f o u n d a t t h e t i m e o f t h e r e s e a r c h f o r a u n i f o r m l y l o a d e d p l a t e w i t h f r e e e d g e s a n d s u p p o r t e d b y o p p o s i t e c o r n e r s . T h e a m o u n t o f n o n - l i n e a r i t y i n t h e p l a t e c a n b e e s t i m a t e d b y c o m p a r i n g t h e m i d s u r f a c e s t r a i n t e r m s t o t h e m a x i m u m b e n d i n g s t r a i n t e r m s a t z = + h / 2 . I f t h e r a t i o o f t h e s e t e r m s i s l a r g e t h e n t h e p l a t e d e f l e c t i o n w i l l b e n o n - l i n e a r , a n d v i c e v e r s a , i f s m a l l , i t w i l l b e l i n e a r . I f we n e g l e c t t h e f i r s t t e r m o f t h e m i d s u r f a c e s t r a i n , E q . ( 2 . 1 6 ) , a n d d i v i d e b y t h e s u r f a c e b e n d i n g s t r a i n , E q . ( 2 . 1 0 ) , t h e r a t i o o f t h e m a x i m u m s t r a i n s w i l l b e D E S C R I P T I O N OF E X P E R I M E N T 47 (w ) 2 N* = . ' X ... (3.1) hw , x x w h e r e t h e c o m m a d e n o t e s d i f f e r e n t i a t i o n a n d N r e p r e s e n t s t h e a m o u n t o f n o n - l i n e a r i t y . A l i n e a r f i n i t e d i f f e r e n c e p r o g r a m w a s d e v e l o p e d t o c a l c u l a t e t h e d e f l e c t i o n u s i n g E q . (2.25), w i t h t h e m i d s u r f a c e f o r c e s e q u a l t o z e r o . T h e b o u n d a r y c o n d i t i o n s a r e s h o w n i n S e c t i o n 2.2.2, a g a i n w i t h z e r o m i d s u r f a c e f o r c e . T h e f i n i t e d i f f e r e n c e p r o c e d u r e i s e x p l a i n e d a n d t h e r e s u l t s s h o w n i n A p p e n d i x B. W i t h t h e d e f l e c t i o n s d e t e r m i n e d , ( w , ) a n d ( w , ) ' c a n ' ' x m a x ' x x ' m a x b e c a l c u l a t e d a n d s u b s t i t u t e d i n t o E q . ( 3 . 1 ) t o d e t e r m i n e t h e n o n - l i n e a r r a t i o . I t m u s t b e c l a r i f i e d t h a t t h e m e t h o d u s e d i s v e r y r o u g h d u e t o t h e a p p r o x i m a t i o n s u s e d . T h e v a l u e o f N w i l l g i v e a q u a n t i t a t i v e m e a s u r e i n s o f a r a s a l a r g e r n u m b e r r e p r e s e n t s a g r e a t e r n o n - l i n e a r i t y . F r o m A p p e n d i x B . 3 , t h e m a x i m u m s l o p e a n d c u r v a t u r e a r e D E S C R I P T I O N OF E X P E R I M E N T 48 (w ) = .206 ^ , x max D . . . ( 3 . 2 ) (w ) = .357 S i i , x x max D w h e r e q i s t h e p l a t e s e l f - l o a d , a i s t h e e d g e l e n g t h , a n d D i s t h e f l e x u r a l r i g i d i t y . S u b s t i t u t i n g E q . (3.2) i n t o E q . (3.1) g i v e s N* = .119 ^ . . . ( 3 . 3 ) T h e p l a t e s e l f - l o a d i s q = ph . . . ( 3 . 4 ) w h e r e p i s t h e m a t e r i a l d e n s i t y . S u b s t i t u t i n g t h i s a n d f l e x u r a l r i g i d i t y , E q . (2 .4) , i n t o E q . (3.3) g i v e s N * = 1 .43 ( l - \>» ) . . . ( 3 . 5 ) E q . (3.5) i s r e a r r a n g e d a n d g r a p h e d i n F i g . 3 .5. F o r s m a l l v a l u e s o f a / h , t h e r e i s l i t t l e n o n - l i n e a r i t y d u e t o i t s s e l f - w e i g h t . A s t h e r a t i o i n c r e a s e s , t h e n o n - l i n e a r i t y i n c r e a s e s e x p o n e n t i a l l y . DESCRIPTION OF EXPERIMENT 49 CN 0 0 0.0 40 .0 80.0 120.0 PLATE SIZE, a/h F i g u r e 3.5, G r a p h o f n o n - l i n e a r r a t i o v s . p l a t e s i z e . T h e i n i t i a l 24" p l a t e t e s t e d , i n w h i c h t h e n o n - l i n e a r i t i e s w h e r e p r o n o u n c e d , h a d a / h = 192. B y r e d u c i n g a / h b y a h a l f we r e d u c e t h e n o n - l i n e a r i t y r a t i o b y o v e r a n o r d e r o f m a g n i t u d e . 3.1.3.2 S i z e a n d M a t e r i a l A l l p l a t e s w e r e m a d e f r o m 6061-T6 a l u m i n u m w i t h a n o m i n a l t h i c k n e s s o f .125". T h e s a m e m a t e r i a l a n d t h i c k n e s s w e r e u s e d i n a l l t h e s p e c i m e n s d u e t o i t s a v a i l a b i l i t y . T h e m a t e r i a l p r o p e r t i e s a r e s h o w n i n T a b l e 3.1. D E S C R I P T I O N OF E X P E R I M E N T 50 D e n s i t y - .100 l b / i n 3 U l t i m a t e S t r e n g t h , T e n s i l e - 38 K s i S h e a r - 24 K s i Y i e l d S t r e n g t h , T e n s i l e - 35 K s i S h e a r - 20 K s i E l a s t i c M o d u l i , E - 10.0 x 10 6 p s i G - 3.75 x 10 6 p s i P o i s s o n ' s R a t i o - 0.33 T a b l e 3.1, 6061-T6 M a t e r i a l p r o p e r t i e s • U s i n g t h e t h i c k n e s s o f .125" a n d 6061 T6 p r o p e r t i e s , t h e v a l u e * o f N i s c a l c u l a t e d f o r v a r y i n g s i z e s o f p l a t e s a n d d i s p l a y e d i n T a b l e 3 . 2 . M a t e r i a l : A l u m i n i u m 6061-T6 T h i c k n e s s : 0.125" E d g e L e n g t h , a N o n * - l i n e a r R a t i o , N 24" 2.16 18 0.683 12 0.1350 10 0.0651 8 0.0262 6 0.0084 T a b l e 3 . 2 , P l a t e s i z e a n d n o n - l i n e a r i t y r a t i o . D E S C R I P T I O N OF E X P E R I M E N T 51 B a s e d o n t h i s a n a l y s i s t h e d e s i g n p a r a m e t e r s s h o w n i n F i g . 3.4 w e r e c h o s e n a n d a r e l i s t e d i n T a b l e 3.3. a h e f 6" .125" 0.6" 0.3" 8 .125 0.8 0.4 10 .125 1.0 0.5 12 .125 0.9 0.5 T a b l e 3.3, P l a t e d e s i g n p a r a m e t e r s . T h e v a r i a t i o n o n t h e n o m i n a l c r i t i c a l d i m e n s i o n s a a n d h , w e r e a p p r o x i m a t e l y 0.1% a n d 2% r e s p e c t i v e l y . T h e p l a t e s w e r e m a c h i n e d f r o m s e l e c t e d s t o c k w h e r e t h e f l a t n e s s w a s f i r s t e x a m i n e d . F o r t h e l a r g e s t p l a t e t h e i n i t i a l d e f l e c t i o n d u e t o m a n u f a c t u r i n g w a s a p p r o x i m a t e l y +0.007" o r +6% o f t h e t h i c k n e s s . 3.2 E X P E R I M E N T A L P R O C E D U R E 3.2.1 I N I T I A L P R E P A R A T I O N T h e i n i t i a l p r e p a r a t i o n p r i o r t o t e s t i n g , c o n s i s t e d o f a c a l i b r a t i o n c h e c k o f t h e s t r a i n i n d i c a t o r a n d w e i g h i n g o f t h e w e i g h t s a n d h a n g e r . D E S C R I P T I O N OF E X P E R I M E N T 52 T h e s t r a i n i n d i c a t o r c a l i b r a t i o n c h e c k w a s d o n e u s i n g t h e i n t e r n a l c a l i b r a t i o n c i r c u i t i n t h e i n d i c a t o r a n d a n e x t e r n a l p r e c i s i o n r e s i s t o r . T h e c a l i b r a t i o n m e t h o d i s d e s c r i b e d i n t h e i n s t r u c t i o n m a n u a l [ 1 4 ] . T h e S w i t c h a n d B a l a n c e U n i t w a s c o n n e c t e d t o t h e S t r a i n I n d i c a t o r f o l l o w i n g t h e s c h e m a t i c s o n t h e U n i t . T h e h a n g e r s y s t e m a n d w e i g h t s w e r e c a l i b r a t e d b y m e a s u r i n g t h e m o n a n e l e c t r o n i c b a l a n c e . E a c h w a s m e a s u r e d t o w i t h i n 0 . 1 g r a m . 3 . 2 . 2 T E S T P R O C E D U R E T h e s t r a i n g a u g e s w e r e c o n n e c t e d t o t h e S w i t c h a n d B a l a n c e U n i t . E a c h g a u g e n u m b e r , i d e n t i f i e d b y F i g . 3 . 4 , c o r r e s p o n d e d t o t h e c h a n n e l t o w h i c h i t w a s c o n n e c t e d . T h e q u a r t e r b r i d g e h o o k u p i s d e s c r i b e d b y t h e s c h e m a t i c o n t h e S w i t c h a n d B a l a n c e U n i t . A c h e c k l i s t / d a t a r e c o r d i n g s h e e t w a s u s e d f o r e a c h t e s t t o e n s u r e t h e s a m e p r o c e d u r e w a s f o l l o w e d . T h e f o l l o w i n g i t e m s w e r e r e c o r d e d . D E S C R I P T I O N OF E X P E R I M E N T 5 3 1) D a t e . 2 ) P l a t e s i z e . 3 ) G a u g e f a c t o r f o r t h e p a r t i c u l a r l o t o f g a u g e s u s e d . 4 ) S t r a i n I n d i c a t o r c o n t r o l s : a ) g a u g e f a c t o r s e t t o 2 . 0 0 , b ) c a l i b r a t i o n s w i t c h o f f , c ) b a l a n c e s w i t c h o f f , a n d d ) q u a r t e r b r i d g e s w i t c h o n . 5 ) R o o m t e m p e r a t u r e . T h e s i x s t r a i n g a u g e s m u s t b e b a l a n c e d w i t h t h e p l a t e i n a n u n s t r a i n e d p o s i t i o n . T o n e g a t e t h e s t r a i n i n d u c e d b y t h e b e n d i n g - o f t h e p l a t e u n d e r i t s o w n w e i g h t , t h e p l a t e w a s h e l d i n t h e v e r t i c a l p l a n e d u r i n g t h e b a l a n c i n g p r o c e s s . T h e p l a t e w a s t h e n m o u n t e d o n t h e t e s t a p p a r a t u s w i t h t h e b a l l b e a r i n g s u n d e r t h e p l a t e c o r n e r s a s s h o w n i n F i g . 3 . 2 . T h e b a l l b e a r i n g , w h i c h s i t s o n t h e R o l l i n g S u p p o r t P o s t w a s p o s i t i o n e d a t t h e e n d o f t h e p l a t e g r o o v e n e a r e s t t o t h e c e n t r e o f t h e p l a t e . T h e s t r a i n w i t h z e r o c o r n e r l o a d w a s m e a s u r e d . T h e t w o c a b l e s w e r e t h e n a t t a c h e d a n d t h e s t r a i n w a s a g a i n r e c o r d e d . S t r a i n m e a s u r e m e n t s w e r e m a d e a t 2 l b . i n c r e m e n t s u p t o 30 l b . o f c o r n e r l o a d . D E S C R I P T I O N OF E X P E R I M E N T D u r i n g t h e u n l o a d i n g o f t h e p l a t e t h e s t r a i n m e a s u r e m e n t s w e r e t a k e n p e r i o d i c a l l y t o c h e c k f o r m e a s u r e m e n t d r i f t . 55 4 . E X P E R I M E N T A L R E S U L T S I n t h i s s e c t i o n t h e i n d i v i d u a l p l a t e r e s u l t s a r e d e s c r i b e d . I t i s b r o k e n i n t o t w o s e c t i o n s , O n e c o n t a i n i n g t h e p r i n c i p a l s t r a i n s o n b o t h s i d e s o f t h e p l a t e , a n d t h e o t h e r d e s c r i b i n g t h e a m o u n t o f c u r v a t u r e a l o n g t h e p l a t e d i a g o n a l s . E a c h s e c t i o n h a s t h e r e s u l t s d i s p l a y e d i n a n u n c o r r e c t e d a n d c o r r e c t e d f o r m . I n t h e u n c o r r e c t e d f o r m n o c o r r e c t i o n h a s b e e n m a d e f o r t h e i n i t i a l s t r a i n s o r c u r v a t u r e s c a u s e d b y t h e d e f l e c t i o n o f t h e p l a t e u n d e r i t s o w n w e i g h t . T h e s e a r e e s s e n t i a l l y t h e r a w r e s u l t s . I n t h e c o r r e c t e d f o r m t h e i n i t i a l s t r a i n s a n d c u r v a t u r e s h a v e b e e n s u b t r a c t e d f r o m a l l t h e r e s u l t s . T h e G l a n d G3 d i r e c t i o n s s h o w n o n t h e f o l l o w i n g g r a p h s r e f e r t o t h e p l a t e d i a g o n a l s r u n n i n g b e t w e e n t h e s u p p o r t p o s t c o r n e r s a n d b e t w e e n t h e h a n g e r c o r n e r s r e s p e c t i v e l y . F o r c o m p a r i s o n p u r p o s e s , t h e a b s o l u t e v a l u e o f t h e s t r a i n a n d c u r v a t u r e a r e g r a p h e d w i t h t h e s i g n s h o w n i n t h e l e g e n d b o x w h e n n e g a t i v e . E X P E R I M E N T A L R E S U L T S 56 4 . 1 P L A T E P R I N C I P A L S T R A I N T h e d a t a f r o m t h e r e c o r d i n g s h e e t w e r e e n t e r e d i n t o a c o m p u t e r . U s i n g a s p r e a d s h e e t t h e f o l l o w i n g w a s d o n e : 1 ) l o t g a u g e f a c t o r c o r r e c t i o n , 2 ) c a l c u l a t i o n o f s t r a i n s i n t h e a x e s o f t h e s t r a i n g a u g e , a n d 3 ) c a l c u l a t i o n p r i n c i p a l s t r a i n s . T h e u n c o r r e c t e d p r i n c i p a l s t r a i n r e s u l t s a r e s h o w n i n F i g . 4 . 1 a - d . T h e i n i t i a l s t r a i n s d u e t o . t h e p l a t e s e l f - w e i g h t c a n b e s e e n b y t h e o f f s e t a t z e r o c o r n e r l o a d . A s t h e p l a t e i n c r e a s e s i n s i z e t h e o f f s e t s i n b o t h t h e G l a n d G3 d i r e c t i o n s b e c o m e l a r g e r . U n d e r t h e s e l f - w e i g h t o f t h e p l a t e t h e s t r a i n s i n t h e G l d i r e c t i o n a r e l a r g e r t h a n t h o s e i n t h e G3 d i r e c t i o n . T h e c o r r e c t e d r e s u l t s , s h o w n i n F i g . 4 . 2 a - d , h a v e h a d t h e i n i t i a l s t r a i n s d u e t o s e l f - w e i g h t r e m o v e d . C o m p a r i n g t h e s e f i g u r e s a p r o g r e s s i o n i n t h e p r i n c i p a l s t r a i n s i n r e l a t i o n t o t h e p l a t e s i z e c a n b e s e e n . T h e a m o u n t o f m i d s u r f a c e s t r a i n , d e p e n d i n g o n t h e d i r e c t i o n , c a n b e f o u n d b y t a k i n g o n e h a l f t h e v a l u e o f s t r a i n b e t w e e n t h e b l a c k o r w h i t e s y m b o l s . T h e g r e a t e r t h e m i d s u r f a c e s t r a i n , t h e g r e a t e r t h e c h a n g e i n s l o p e o f t h e l i n e r e p r e s e n t i n g t h e n o n - l i n e a r i t y . E X P E R I M E N T A L R E S U L T S 57 PLATE PRINCIPAL STRAINS UNCORRECTED TOR PLATE WEIGHT MATERIAL: ALUMINIUM SIZE: 6'X6'X.125' 0.0 100.0 200.0 300.0 -300.0 500.0 600.0 700.0 800.0 PRINCIPAL STRAIN (MICRO-STRAIN) F i g u r e 4 . 1 a , P l a t e p r i n c i p a l s t r a i n s , u n c o r r e c t e d f o r p l a t e w e i g h t . 6" p l a t e . E X P E R I M E N T A L R E S U L T S 58 PLATE PRINCIPAL STRAINS UNCORRECTED FOR PLATE WEIGHT MATERIAL: ALUMINIUM SIZE: 8"X8'X.125" LD O • rO LD • CM CO G O o CE r\j O LJ 2 o or • o £ o LJ CE 5 ? ° O f / y • - Gl o = G2 • - Gl n •= R ' 2 LEGEND DIR.,TOP (NEG.) DIR.,TOP DIR.,BOTTOM DIR.,BOTTOM (NEG.) 0.0 100.0 200.0 300.0 400.0 500.0 600.0 P R I N C I P A L STRAIN (MICRO-STRAIN) 700.0 F i g u r e 4 . 1 b , P l a t e p r i n c i p a l s t r a i n s , u n c o r r e c t e d f o r p l a t e w e i g h t . 8 " p l a t e E X P E R I M E N T A L R E S U L T S 59 PLATE PRINCIPRL STRAINS UNCORRECTED FOR PLATE WEIGHT MATERIAL: ALUMINIUM SIZE: 1•'XI••X.125' o in • I I j I I I m CD 0.0 100.0 200.0 300.0 400.0 500.0 600.0 700.0 PRINCIPAL STRAIN (MICRO-STRAIN) F i g u r e 4 . 1 c , P l a t e w e i g h t . p r i n c i p a l s t r a i n s , 1 0 " p l a t e . u n c o r r e c t e d f o r p l a t e E X P E R I M E N T A L R E S U L T S 6 0 PLATE PRINCIPAL 5TRRIN5 UNCORRECTED TOR PLATE WEIGHT MATERIAL: ALUMINIUM SIZE: 12"X12'X.125" o m i i I i i i i r o 0.0 100.0 200.0 300.0 400.0 500.0 600.0 700.0 PRINCIPAL STRAIN (MICRO-STRAIN) F i g u r e 4 . 1 d , P l a t e p r i n c i p a l s t r a i n s , u n c o r r e c t e d f o r p l a t e w e i g h t . 1 2 " p l a t e . E X P E R I M E N T A L R E S U L T S 61 T h e 6 " p l a t e , F i g . 4 . 2 a , h a s t w o a l m o s t c o i n c i d e n t l i n e s t h a t d i v e r g e w i t h i n c r e a s i n g l o a d . T h e d i v e r g e n c e i s c a u s e d b y t h e i n c r e a s e i n m i d s u r f a c e s t r a i n . T h e f a c t t h a t t h e s e t w o s e t s o f c o i n c i d e n t l i n e s a r e f o r m e d i n d i c a t e s t h a t b o t h t h e c u r v a t u r e s a r e e q u a l , a n d t h e m i d s u r f a c e s t r a i n s a r e e q u a l , a l o n g b o t h o f t h e d i a g o n a l s f o r a g i v e n l o a d . T h e 1 2 " p l a t e , F i g . 4 . 2 d , h a s c h a r a c t e r i s t i c s a t s m a l l v a l u e s o f s t r a i n w h i c h a r e s i m i l a r t o t h e 6 " p l a t e . A f t e r t h i s p o i n t t h e l i n e s w h i c h w h e r e i n i t i a l l y c o i n c i d e n t a l s o d i v e r g e . T h e m i d s u r f a c e s t r a i n s a l o n g t h e d i a g o n a l s a r e t h e s a m e , t h e r e f o r e , t h e c u r v a t u r e s a l o n g t h e d i a g o n a l s a r e n o l o n g e r t h e s a m e . T h e 8 " a n d 1 0 " p l a t e s , F i g . 4 . 2 b , c , h a v e c h a r a c t e r i s t i c s w h i c h a r e i n b e t w e e n t h e t w o e x t r e m e s . T h e t h i c k n e s s o f t h e p l a t e s a r e t h e s a m e , s h o w i n g t h e r e i s a d e p e n d e n c e o n e d g e l e n g t h . 4 . 2 P L A T E C U R V A T U R E T h e c u r v a t u r e i s r e l a t e d d i r e c t l y t o t h e s t r a i n i n t h e p l a t e d u e t o b e n d i n g . T o c a l c u l a t e t h e c u r v a t u r e i n t h e p l a t e , t h e f o l l o w i n g w a s d o n e : EXPERIMENTAL RESULTS 62 PLATE PRINCIPAL STRAINS CORRECTED FOR PLATE WEIGHT MATERIAL: ALUMINIUM SIZE: 6'X6'X.125' D.O 100.0 200.0 300.0 400.0 500.0 600.0 700.0 BDO.O PRINCIPAL STRAIN (MICRO-STRAIN) F i g u r e 4 . 2 a , P l a t e p r i n c i p a l s t r a i n s , c o r r e c t e d f o r p l a t e w e i g h t . 6 " p l a t e . E X P E R I M E N T A L R E S U L T S 6 3 PLRTE PRINCIPAL STRRINS CORRECTED FOR PLRTE WEIGHT MATERIAL: ALUMINIUM SIZE: 8'X8'X.125" 0.0 100.0 200.0 300.0 400.0 500.0 600.0 700.0 800.0 PRINCIPAL STRAIN (MICRO-STRAIN) F i g u r e 4 . 2 b , P l a t e p r i n c i p a l s t r a i n s , c o r r e c t e d f o r p l a t e w e i g h t . 8 " p l a t e . E X P E R I M E N T A L R E S U L T S 64 PLATE PRINCIPAL 5TRRIN5 CORRECTED FOR PLATE WEIGHT MATERIAL: ALUMINIUM SIZE: 10•X]•'X.125" 0.0 100.0 200.0 300.0 400.0 500.0 600.0 PRINCIPAL STRAIN (MICRO-STRAIN) 700.0 800.0 F i g u r e 4 . 2 c , P l a t e w e i g h t . p r i n c i p a l s t r a i n s , 1 0 " p l a t e . c o r r e c t e d f o r p l a t e E X P E R I M E N T A L R E S U L T S 6 5 PLATE PRINCIPAL STRRINS CORRECTED FOR PLATE WEIGHT MATERIAL: ALUMINIUM SIZE: 12'XI2'X.125' o L n i i i i | | I r o 0.0 100.0 200.0 300.0 100.0 500.0 600.0 700.0 PRINCIPAL STRAIN (MICRO-STRAIN) F i g u r e 4 . 2 d , P l a t e w e i g h t . p r i n c i p a l s t r a i n s , 1 2 " p l a t e . c o r r e c t e d f o r p l a t e E X P E R I M E N T A L R E S U L T S 66 1 ) F i n d t h e b e n d i n g s t r a i n b y t a k i n g t h e a v e r a g e o f t h e m a g n i t u d e o f t h e p r i n c i p a l s t r a i n s a l o n g t h e d i a g o n a l a n d o n o p p o s i t e s i d e s o f t h e p l a t e . 2 ) U s e E q . ( 2 . 9 ) t o c a l c u l a t e t h e c u r v a t u r e . 3 ) S u b t r a c t o f f t h e i n i t i a l c u r v a t u r e s d u e t o p l a t e w e i g h t . S h o w n i n F i g . 4 . 3 a - d i s t h e l o a d - c u r v a t u r e r e l a t i o n s h i p f o r t h e d i f f e r e n t s i z e d p l a t e s . T h e r e s u l t s a r e c o r r e c t e d f o r t h e i n i t i a l c u r v a t u r e . T h e c u r v a t u r e i n t h e G3 d i r e c t i o n i s n e g a t i v e d u e t o t h e c o o r d i n a t e s y s t e m u s e d . T h e 6 " p l a t e , F i g . 4 . 3 a , s h o w s t h a t t h e c u r v a t u r e s a r e e q u a l a n d o p p o s i t e a l o n g t h e d i a g o n a l s . O n l y a t t h e l a r g e s t c u r v a t u r e s i s t h e r e a s l i g h t d i v e r g e n c e s h o w i n g t h e o n s e t o f t h e i n s t a b i l i t y . T h e l i n e i s o n l y s l i g h t l y c u r v e d p r o d u c i n g a d e v i a t i o n f r o m w h a t i s e x p e c t e d f r o m t h e l i n e a r t h e o r y i n t h e o r d e r o f 10% a t t h e m a x i m u m c u r v a t u r e . W i t h t h e o t h e r p l a t e s , F i g . 4 . 3 b , c a n d d , t h e c u r v a t u r e s a l o n g t h e d i a g o n a l s a r e e q u a l o n l y f o r s m a l l c u r v a t u r e s , a f t e r w h i c h t h e l i n e s d i v e r g e s h o w i n g b i f u r c a t i o n . EXPERIMENTAL RESULTS 67 PLATE CURVATURE CORRECTED FOR PLATE WEIGHT MATERIAL: ALUMINIUM SIZE: 6'X 6•X.125" in r o o ro LD CO CD o £ °-CE C M O LJ 2 o ct: • o o L J cr D LD " D D . « 1 / r J* G3 HIDDEN / / LEGEND UGE 1 DIR. UGE 3 DIR. (NEG.) / • - GR o - GA 0.000 0. D02 0. D04 0.006 0. CURVATURE (I 008 0. /IN. ) 010 0. 012 0. F i g u r e 4.3a, P l a t e c u r v a t u r e , c o r r e c t e d f o r p l a t e w e i g h t . 6" p l a t e . E X P E R I M E N T A L R E S U L T S 6 8 PLRTE CURVATURE CORRECTED FOR PLRTE WEIGHT MATERIAL: ALUMINIUM SIZE: 8'X8."X.125" Ul o • i n • (M CO CD o O L J • CD O L J f— cr o o i n o D / / • - GF o -LEGEND 1UGE 1 DIR. 1UGE 3 DIR. (NEG.) ^ o r 0.000 0.002 0.004 0.006 0.0DB 0.010 CURVATURE (1/IN.) 0.012 0.014 F i g u r e 4 . 3 b , P l a t e c u r v a t u r e , c o r r e c t e d f o r p l a t e w e i g h t . 8" p l a t e . EXPERIMENTAL RESULTS 69 PLRTE CURVRTURE CORRECTED FOR PLRTE WEIGHT MRTER]RL: RLUM1NIUM SIZE: 1•'XIO•X.125 * 0.000 0.002 0.004 0.006 CURVATURE 0.008 ( 1 / 1 N . ) 0.012 0.014 F i g u r e 4 . 3 c , P l a t e c u r v a t u r e , c o r r e c t e d f o r p l a t e w e i g h t . 1 0 " p l a t e . E X P E R I M E N T A L R E S U L T S 7 0 PLATE CURVATURE CORRECTED FOR PLATE WEIGHT MATERIAL: ALUMINIUM SIZE: ]2•XI2'X.125* 0.000 0.002 0.004 0.006 CURVATURE 0.008 l l / I N , 0.014 F i g u r e 4 . 3 d , P l a t e c u r v a t u r e , c o r r e c t e d f o r p l a t e w e i g h t . 1 2 " p l a t e . E X P E R I M E N T A L R E S U L T S 71 T h e e f f e c t o f n o n - l i n e a r i t y i s c l e a r l y s e e n i n t h e l a r g e r p l a t e s . F o r s m a l l v a l u e s o f c u r v a t u r e t h e c o r n e r l o a d -c u r v a t u r e r e l a t i o n s h i p i s l i n e a r , a f t e r w h i c h t h e p l a t e s b e c o m e s t i f f e r i n t h e n o n - l i n e a r r e g i o n . D u e t o s e l f - w e i g h t , t h e p l a t e s h a v e a l a r g e r c u r v a t u r e i n t h e G l d i r e c t i o n t h a n a l o n g t h e G3 d i r e c t i o n . I t w o u l d b e e x p e c t e d a f t e r t h e p o i n t o f c u r v a t u r e b i f u r c a t i o n t h a t t h e G l d i r e c t i o n c u r v a t u r e w o u l d i n c r e a s e w h i l e t h e G3 c u r v a t u r e w o u l d d e c r e a s e . T h r e e o f t h e p l a t e s e x h i b i t e d t h i s , b u t t h e 8" p l a t e d i d n o t . I t w a s f o u n d t h a t t h i s p l a t e w a s n o t f l a t a f t e r m a n u f a c t u r i n g . T h e s l i g h t i n i t i a l c u r v a t u r e i n t h e G3 d i r e c t i o n w a s l a r g e e n o u g h t o t r i g g e r t h e o t h e r m o d e a f t e r b i f u r c a t i o n . W h e n t h e p l a t e s w h e r e l o a d e d p a s t t h e p o i n t o f b i f u r c a t i o n a l a t e r a l l o a d w a s a p p l i e d t o s e e i f t h e o t h e r s t a b l e m o d e c o u l d b e c r e a t e d a s c a n b e d o n e w i t h a t w i s t e d s h e e t o f c a r d b o a r d . I n a l l c a s e s t h i s f a i l e d a n d t h e p l a t e r e t u r n e d t o i t s i n i t i a l s h a p e . 72 5. COMPARISON OF RESULTS WITH THEORETICAL AND NUMERICAL MODELS T h e r e s u l t s , s h o w n i n S e c t i o n 4 , a r e c o m p i l e d a n d s h o w n i n n o n - d i m e n s i o n a l f o r m . T h i s a l l o w s m o r e g e n e r a l s t a t e m e n t s t o b e m a d e a b o u t t h e d e f o r m a t i o n o f t h e p l a t e w h i c h a r e n o t l i m i t e d t o p l a t e s o f p a r t i c u l a r s i z e . T h e n o n - d i m e n s i o n a l g r a p h s a r e t h e n c o m p a r e d t o t h e o r e t i c a l a n d n u m e r i c a l r e s u l t s . 5 . 1 C O L L A P S I N G D A T A I N T O N O N - D I M E N S I O N A L FORM T h e p r i n c i p a l s t r a i n a n d c u r v a t u r e g r a p h s , w h i c h w e r e c o r r e c t e d f o r s e l f - w e i g h t i n F i g . 4 . 2 a n d 4 . 3 , a r e r e d u c e d t o a n o n - d i m e n s i o n a l f o r m i n w h i c h t h e r e s u l t s f r o m t h e f o u r p l a t e s f o r m c o i n c i d e n t c u r v e s . T h e n o n - d i m e n s i o n a l g r o u p i n g s w h i c h a c h i e v e t h i s c o l l a p s e c o m e p a r t l y f r o m t h e o r y a n d p a r t l y f r o m o b s e r v a t i o n . T h e n o n - d i m e n s i o n a l g r o u p s f o r t h e m i d s u r f a c e s t r a i n c o m e f r o m t h e a n a l y s i s i n S e c t i o n 2 . 3 . 1 . C O M P A R I S O N OF R E S U L T S 73 F o r c o n v e n i e n c e , t h e t e r m s l o a d , c u r v a t u r e a n d s t r a i n r e f e r t o t h e i r n o n - d i m e n s i o n a l q u a n t i t i e s i n t h i s s e c t i o n . 5 . 1 . 1 P R I N C I P A L S T R A I N S F r o m E q . ( 2 . 1 2 ) we g e t t h e p r o p o r t i o n a l r e l a t i o n s h i p e - h T G • • • ( 5 - 1 ) R e p l a c i n g G w i t h E q . ( 2 . 1 1 ) f o r i s o t r o p i c m a t e r i a l s , we g e t e « (1+v) £7^ ' . . . (5.2) T o k e e p t h e n o n - d i m e n s i o n a l f o r m we c a n m u l t i p l y b o t h s i d e s b y a n y n o n - d i m e n s i o n a l q u a n t i t y . T o c o l l a p s e t h e r e s u l t s we 2 n e e d t o m u l t i p l y b y ( a / h ) g i v i n g hT" tt h^E . . . (5.3) A s a l l t h e m a t e r i a l s t e s t e d h a v e a \ > = . 3 3 , t h e n o n -2 4 d i m e n s i o n a l l o a d w a s t a k e n a s P a / E h . S h o w n i n F i g . 5 . 1 a - d a r e t h e n o n - d i m e n s i o n a l g r a p h s f o r l o a d v s . p r i n c i p a l s t r a i n a l o n g t h e t w o d i a g o n a l s a n d o n b o t h s i d e s o f t h e p l a t e . COMPARISON OF RESULTS o o x x L J L D \ OO X X D D_ O — CE O O CO ZZL LJ L J -z. or o o CE t\ o tn I CD o o PRINCIPAL STRAIN TOP GAUGE 1 DIRECTION CORRECTED TOR PLATE WEIGHT MATERIAL: ALUMINIUM p / LEGEND • - 12 ,X12 ,X.125' o - ]0"X]0'X.]25" A- 8'X 8"X. 125" + - 6"X 6"X.]25' / / / / LINE/ 01 THEORY y 9y j y 0.0 ].0 2.0 3.0 4.0 5.0 NON-DIMENSIONAL PRINCIPAL STRAIN, £axx2/h*K2 6.0 F i g u r e 5 . 1 a , N o n - d i m e n s i o n a l p r i n c i p a l s t r a i n . T o p G l d i r e c t i o n . C O M P A R I S O N OF R E S U L T S 7 5 PRINCIPAL STRAIN TOP GAUGE 3 DIRECTION CORRECTED FOR PLATE WEIGHT MATERIAL: ALUMINIUM D LD r\j I I j LD x x _c L J \ r o x X D 12 10 8 6 3 LEGEND X12"X.125' XIO'X.125' X B'X.125" X 6'X.125' 9VX3.94X 0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 NON-DIMENSIONAL PRINCIPAL STRAIN, £a**2/b**2 F i g u r e 5 . 1 b , N o n - d i m e n s i o n a l p r i n c i p a l s t r a i n . T o p G 3 d i r e c t i o n . C O M P A R I S O N O F R E S U L T S 76 PRINCIPAL STRRIN BOTTOM GAUGE 1 DIRECTION CORRECTED TOR PLATE WEIGHT MATERIAL: ALUMINIUM o i n — 0.0 0 .5 1.0 1.5 2 . 0 2 .5 3 .0 3.5 NON-DIMENSIONAL PRINCIPAL STRAIN, £ax*2/hxK2 F i g u r e 5 . 1 c , N o n - d i m e n s i o n a l p r i n c i p a l s t r a i n . B o t t o m G l COMPARISON OF RESULTS 7 7 PRINCIPAL STRRIN BOTTOM GAUGE 3 DIRECTION CORRECTED FOR PLATE WEIGHT MATERIAL: ALUMINIUM o o 0.0 3.0 2.0 3.0 4.0 5.0 6.0 NON-DIMENSIONAL PRINCIPAL STRAIN, £o**2/h**2 F i g u r e 5 . 1 d , N o n - d i m e n s i o n a l p r i n c i p a l s t r a i n . B o t t o m G 3 C O M P A R I S O N OF R E S U L T S 7 8 T h e r e i s e x c e l l e n t a g r e e m e n t b e t w e e n t h e r e s u l t s o f t h e f o u r p l a t e s . I n b o t h t h e l i n e a r a n d n o n - l i n e a r s e c t i o n s t h e r e s u l t s c o l l a p s e o n t o o n e c o i n c i d e n t c u r v e . I n F i g . 5 . 1 b a n d 5 . 1 c t h e r e s u l t s f r o m F i g . 4 o f [ 3 ] a r e n o n - d i m e n s i o n a l i z e d a n d p l o t t e d . T h i s p l a t e h a s a b o u t h a l f t h e e d g e l e n g t h a n d t h i c k n e s s o f t h e s m a l l e s t p l a t e u s e d i n t h e p r e s e n t e x p e r i m e n t . T h i s c o m p a r i s o n p r o v i d e s a f u r t h e r c h e c k o n t h e n o n -d i m e n s i o n a l g r o u p s . U p t o a s t r a i n o f a p p r o x i m a t e l y 1 . 5 , t h e r e s u l t s f r o m t h i s s m a l l e r p l a t e a r e i n g o o d a g r e e m e n t w i t h t h e e x p e r i m e n t a l t e s t s d o n e h e r e . A f t e r t h i s p o i n t , w h i c h i s c l o s e t o t h e i d e n t i f i e d b i f u r c a t i o n p o i n t i n [ 3 ] , t h e a g r e e m e n t e n d s a n d a r a d i c a l d e p a r t u r e t a k e s p l a c e . F o r t h i n n e r p l a t e s t h e c h a n g e f r o m t h e a n t i c l a s t i c s h a p e t o t h e s y n c l a s t i c s h a p e o c c u r s a t a g r e a t e r r a t e a s t h e l o a d i s i n c r e a s e d . T h e e x p e r i m e n t a l r e s u l t s a g r e e w i t h t h e l i n e a r l i n e u p t o a p r i n c i p a l s t r a i n o f 1 o n t h e G3 T o p a n d G l B o t t o m g r a p h s , w h i l e u p t o 2 o n t h e G l T o p a n d G3 B o t t o m g r a p h s . T h i s a g r e e m e n t i s d u e t o t h e m i d s u r f a c e s t r a i n s a r e b e i n g a d d e d t o t h e b e n d i n g s t r a i n s i n t h e f i r s t c a s e a n d s u b t r a c t e d i n t h e s e c o n d . C O M P A R I S O N OF R E S U L T S 79 5 . 1 . 2 P R I N C I P A L C U R V A T U R E T h e n o n - d i m e n s i o n a l q u a n t i t i e s f o r t h e l o a d - c u r v a t u r e r e l a t i o n s h i p c o m e f r o m E q . 2 . 5 . B y m u l t i p l y i n g b o t h s i d e s b y 2 a / h we g e t t h e p r o p o r t i o n a l r e l a t i o n s h i p Ka J , , Pa 2 , c , x IT " iVE • • • ( 5 - 4 ) w h i c h c o l l a p s e t h e r e s u l t s . A s i n t h e p r i n c i p a l s t r a i n c a s e , a l l t h e m a t e r i a l s t e s t e d h a v e a v = . 3 3 , t h e r e f o r e t h e n o n - d i m e n s i o n a l l o a d w a s 2 4 t a k e n a s P a / E h . U s i n g t h e s e q u a n t i t i e s t h e c u r v a t u r e s i n t h e G l a n d G3 d i r e c t i o n s a r e s h o w n i n F i g . 5 . 2 . T h e e x p e c t e d r e s u l t u s i n g t h e l i n e a r t h e o r y i n S e c t i o n 2 . 1 i s a l s o s h o w n o n t h e g r a p h . U p t o a c u r v a t u r e o f a p p r o x i m a t e l y 3 . 0 t h e l o a d - c u r v a t u r e r e l a t i o n s h i p i s l i n e a r a n d c o r r e s p o n d s t o the l i n e a r t h e o r y c l o s e l y . B e t w e e n a c u r v a t u r e o f 3 . 0 a n d 4 . 0 t h e c u r v a t u r e i n t h e G l a n d G3 d i r e c t i o n s b i f u r c a t e s h o w i n g t h e s t a r t o f t h e t r a n s i t i o n b e t w e e n t h e a n t i c l a s t i c s h a p e a n d t h e s y n c l a s t i c s h a p e . C O M P A R I S O N OF R E S U L T S 80 CURVATURE CORRECTED TOR PLATE WEIGHT MATERIAL: ALUMINIUM SIZE: .125' THICK o LD D LEGEND a tr o • = 12 X12" GAUGE 1 DIR. o = 12 XI2' GAUGE 3 DIR. A = 10 XI •" GAUGE 1 DIR. + = 10 X10' GAUGE 3 DIR. X = 8 X 8' GAUGE 1 DIR. o = 8 X 8' GAUGE 3 DIR. V = 6 X 6' GAUGE 1 DIR. B = 6 X 6' GAUGE 3 DIR. • • 0.0 ] .0 2.0 3.0 4.0 5.0 6.0 NON-DIMENSIONAL CURVATURE 7.0 8.0 F i g u r e 5 . 2 , N o n - d i m e n s i o n a l c u r v a t u r e . C O M P A R I S O N OF R E S U L T S 81 I t i s w i t h i n t h e f i r s t s e c t i o n o f t h e n o n - l i n e a r r e g i o n i n w h i c h t h e b i f u r c a t i o n o c c u r s . A f t e r t h e b i f u r c a t i o n p o i n t t h e d e v i a t i o n f r o m t h e l i n e a r t h e o r y i n c r e a s e s q u i c k l y . E v e n i n t h e n o n - l i n e a r r e g i o n , p l a t e s w i t h t h e s a m e t h i c k n e s s r e a c t i n t h e s a m e m a n n e r a s t h e c u r v a t u r e s f o r m c o i n c i d e n t l i n e s i n t h e n o n - d i m e n s i o n a l f o r m . 5 . 1 . 3 M I D S U R F A C E S T R A I N F r o m t h e m i d s u r f a c e s t r a i n a n a l y s i s i n S e c t i o n 2 . 3 . 1 t h e n o n - d i m e n s i o n a l r e l a t i o n s h i p a t t h e c e n t r e o f t h e p l a t e w a s f o u n d t o b e e = e « p p . . . ( 5 . 5 ) x y K x K y w h e r e p = K a K x x p = K a K y y ( 5 . 6 ) T h e m i d s u r f a c e s t r a i n i s p l o t t e d a g a i n s t n o n - d i m e n s i o n a l G a u s s i a n c u r v a t u r e i n F i g . 5 . 3 . T h e r e s u l t s s h o w a l i n e a r r e l a t i o n s h i p f o r a l l t h e p l a t e s t e s t e d w i t h j u s t a s m a l l a m o u n t o f s c a t t e r . C O M P A R I S O N OF R E S U L T S 82 MIDPLRNE STRRINS UNCORRECTED FOR PLATE WEIGHT MATERIAL: ALUMINIUM SIZE: .125' THICK o o D . I O CD. o o • cn i CE co i o oc o o • CO I i CD-f CE f— CO I LJ ZZ. ° CE o-CL 1 Q _ o • O • r o CD C D -CM I CD CD I O CD • = o = A = + = X = O = V -= 12'X12 12'X12 10'XIO 10X10 8'X 8 8'X 8 X 6 X 6 6 6 LEGEND GAUGE GAUGE GAUGE GAUGE GAUGE GAUGE GAUGE GAUGE DIR. DIR. DIR. DIR. DIR.. DIR. DIR. DIR. < ^ v x "0>5 X" vx 3 ZS +/ • X XL-7° 0.0000.000 -0.002 -0.003 -0.004 -0.005 -0.006 -0.007 -0.008 -0.009 -0.0)0 NON-DIMENSIONAL GAUSSIAN CURVATURE F i g u r e 5.3, N o n - d i m e n s i o n a l m i d s u r f a c e s t r a i n s . C O M P A R I S O N OF R E S U L T S 8 3 L i n e a r r e g r e s s i o n w a s u s e d t o c a l c u l a t e t h e b e s t f i t l i n e . U s i n g t h i s l i n e we g e t t h e e q u a t i o n e = e = .0124 K K a 2 . . . ( 5 . 7 ) x y x y T h e l i n e a r c o e f f i c i e n t o f . 0 1 2 4 i s 40% l e s s t h a n t h e a n a l y t i c a l o n e o f 3 / 1 4 6 i n E q . ( 2 . 5 5 ) . T h e d i s c r e p a n c y c a n b e e x p l a i n e d b y t h e t y p e o f a n a l y s i s u s e d i n d e v e l o p i n g t h e a n a l y t i c a l r e s u l t . T h e d i s p l a c e m e n t f i e l d i n u a n d v i n i t i a l l y h a d 1 2 d e g r e e s o f f r e e d o m , b u t t h r o u g h t h e s y m m e t r i e s i n t h e p r o b l e m i t w a s r e d u c e d t o 2 d e g r e e s o f f r e e d o m w h i c h a r e e q u a l ( i . e . o n l y o n e D O F ) . A s s h o w n i n [ 2 ] t h i s n u m b e r o f d e g r e e s o f f r e e d o m d o e s n o t s a t i s f y t h e e q u i l i b r i u m r e q u i r e m e n t s i n t h e p l a t e a n d i s t h e r e f o r e n o t t h e e x a c t s o l u t i o n . B y i n c r e a s i n g t h e n u m b e r o f d e g r e e s o f f r e e d o m f o r t h e p r o b l e m , t h e d i s p l a c e m e n t f i e l d w o u l d r e p r e s e n t t h e t r u e d i s p l a c e m e n t f i e l d m o r e c l o s e l y . A s t h e n u m b e r o f d e g r e e s o f f r e e d o m i s i n c r e a s e d , t h e c a l c u l a t e d p l a t e s t r a i n e n e r g y w o u l d d e c r e a s e , c o n v e r g i n g o n t h e t r u e s t r a i n e n e r g y . T h e r e f o r e i n a n o v e r a l l s e n s e t h e c a l c u l a t e d s t r a i n s w o u l d a l s o d e c r e a s e , c o n v e r g i n g o n t h e t r u e s t r a i n s . B y a l l o w i n g t h e n o r m a l d i s p l a c e m e n t o f t h e p l a t e t o a s s u m e a s h a p e w i t h u n e q u a l o p p o s i t e c u r v a t u r e s a s i n S e c t i o n 2 . 3 . 1 , C O M P A R I S O N OF R E S U L T S 84 t h e p o i n t o f b i f u r c a t i o n c o u l d b e p r e d i c t e d b y m i n i m i z i n g t h e t o t a l p o t e n t i a l e n e r g y . T o a c h i e v e a n a c c u r a t e r e s u l t t h e d e g r e e o f f r e e d o m o f t h e i n p l a n e d i s p l a c e m e n t s w o u l d h a v e t o b e i n c r e a s e d . A s a f i r s t a p p r o x i m a t i o n t h e t h e o r e t i c a l c a l c u l a t i o n w a s g o o d . A l t h o u g h t h e m a g n i t u d e o f t h e l i n e a r c o e f f i c i e n t w a s o f f , i t s h o w e d t h a t t h e r e w a s a l i n e a r r e l a t i o n s h i p w i t h t h e G a u s s i a n c u r v a t u r e , w h i c h w a s e x p e r i m e n t a l l y v e r i f i e d . T h e f a c t t h a t t h i s r e l a t i o n s h i p i s i n d e p e n d e n t o f t h e t h i c k n e s s o f t h e p l a t e w i l l b e u s e d l a t e r . 5 . 1 . 4 C O M P A R I S O N OF L O A D - C U R V A T U R E R E S U L T S W I T H A P P R O X I M A T E S O L U T I O N S T h e d o t t e d l i n e i n F i g . 5 . 4 r e p r e s e n t s t h e b e s t f i t o f t h e l o a d - c u r v a t u r e r e s u l t s i n F i g . 5 . 2 . C o m p a r e d t o t h e s e e x p e r i m e n t a l r e s u l t s a r e t h e a p p r o x i m a t e s o l u t i o n s o f C h a n d r a [ 5 ] , R e i s s n e r [ 9 ] , R a m b e r g a n d M i l l e r [ 2 ] a n d L e e a n d H s u [ 7 ) . T h e r e s u l t f r o m t h e l i n e a r t h e o r y i s p l o t t e d w i t h a d a s h e d l i n e . A l l t h e r e s u l t s a r e a s y m p t o t i c w i t h t h e l i n e a r r e s u l t a s t h e c u r v a t u r e a p p r o a c h e s z e r o . C O M P A R I S O N OF R E S U L T S 85 COMPRRISON OF RESULTS CORRECTED FOR PLRTE WEIGHT MATERIAL: ALUMINIUM o o in O L n O CE O _} _ Ln or O J 9 0 LEGEND o - EXPERIMENTAL Gl DIR. o - EXPERIMENTAL G3 DIR. A - LINEAR THEORY + - CHANDRA x - REISSNER o - RAMBERG AND MILLER v - LEE AND HSU II 1 I i /. /p I 4 J i / / I-/ / / ' /* Ii / / / s * > /* • y ' '• y * A > or o o o o CE o C O UJ £ D I O Z. o in in o o 0.0 1.0 2 .0 3 .0 4 .0 5 .0 6 .0 7 .0 NON-DIMENSIONAL CURVATURE 8.0 9.0 F i g u r e 5 . 4 , C o m p a r i s o n o f a p p r o x i m a t e a n d e x p e r i m e n t a l r e s u l t s . C O M P A R I S O N OF R E S U L T S 8 6 5 . 1 . 4 . 1 C h a n d r a [ 5 ] T a k i n g t h e l o a d - d e f l e c t i o n r e l a t i o n s h i p i n [ 5 ] , a n d c o n v e r t i n g i t t o t h e f o r m t o b e g r a p h e d , w i t h v=.33, we g e t Pa 2 1 Ka 2 2 [1 + .0270 (^-)2] . . . ( 5 . 8 ) Eh" 8 h T h e f i r s t t e r m i n t h e s q u a r e b r a c k e t s r e p r e s e n t s t h e l i n e a r p a r t o f t h e e q u a t i o n a n d t h e s e c o n d t e r m t h e n o n - l i n e a r p a r t . A s c a n b e s e e n i n F i g . 5 . 4 , E q . ( 5 . 8 ) d o e s n o t f i t t h e e x p e r i m e n t a l d a t a v e r y w e l l . A t a c u r v a t u r e o f 6 , t h e c o r r e s p o n d i n g l o a d i s o v e r 40% h i g h . I n C h a n d r a ' s a n a l y s i s , t h e A i r y s t r e s s f u n c t i o n d o e s n o t r e p r e s e n t t h e b o u n d a r y c o n d i t i o n s o f t h e p l a t e v e r y w e l l . T h e n o r m a l s t r e s s e s a l o n g t h e b o u n d a r y a r e s a t i s f i e d e x a c t l y , b u t t h e s h e a r s t r e s s e s a r e n o t . T h e s h e a r s t r e s s e s v a r y p e r i o d i c a l l y a l o n g t h e e d g e a n d t h e z e r o s h e a r s t r e s s b o u n d a r y c o n d i t i o n i s o n l y s a t i s f i e d i n a n o v e r a l l s e n s e . T h i s e x t r a s t r a i n i m p o s e d o n t h e b o u n d a r y d i s t o r t s t h e m i d s u r f a c e s t r a i n e n e r g y i n t h e p l a t e a n d a n o v e r l y s t i f f p l a t e r e s u l t s . C O M P A R I S O N OF R E S U L T S 87 5.1.4.2 R e i s s n e r [ 9 ] R e i s s n e r s o l v e s t h e t w i s t i n g o f a l o n g r e c t a n g u l a r p l a t e i n t o t h e n o n - l i n e a r r e g i o n . I t i s i n t e r e s t i n g t o c o m p a r e t h i s s o l u t i o n w i t h t h e e x p e r i m e n t a l r e s u l t s f r o m t w i s t i n g s q u a r e p l a t e s . W h e n E q . (31) o f [9] i s r e a r r a n g e d i n t o a n o n - d i m e n s i o n a l f o r m w i t h \>=.33, we g e t T h i s e q u a t i o n i s g r a p h e d i n F i g . 5.4 w h e r e i t d e v i a t e s s t r o n g l y f r o m t h e e x p e r i m e n t a l r e s u l t s . R e i s s n e r s o l v e s t h e n o n - l i n e a r v o n K a r m a n e q u a t i o n s . T o d o t h i s h e c a n o n l y e x a c t l y s a t i s f y t h e b o u n d a r y c o n d i t i o n s a l o n g t w o o p p o s i t e s i d e s o f t h e p l a t e . A l o n g t h e o t h e r s i d e s h e s a t i s f i e s t h e b o u n d a r y c o n d i t i o n s i n a n o v e r a l l s e n s e . I n v i e w o f S a i n t V e n a n t ' s p r i n c i p a l t h e r e s u l t s w i l l o n l y b e m e a n i n g f u l i f t h e s i d e s i m p o s e d w i t h t h e l a t t e r b o u n d a r y c o n d i t i o n s a r e s h o r t w h e n c o m p a r e d t o t h e f o r m e r . T h i s c o n s t r a i n t i s n o t m e t w i t h a s q u a r e p l a t e a n d t h e r e s u l t s d o n o t m a t c h , a l t h o u g h t h e y a r e b e t t e r t h a n [5]. Eh* Pa 2 = I M i [1 + .0222 (Mi)'] 8 h h . . . (5.9) C O M P A R I S O N OF R E S U L T S 88 5 . 1 . 4 . 3 R a m b e r g a n d M i l l e r [ 2 ] B y t a k i n g E q . ( 6 7 ) o f [ 2 ] a n d p u t t i n g i t i n t o n o n -d i m e n s i o n a l f o r m , we g e t Eh* Pa 2 = | ^ [1 + .00917 ( ~ - ) 2 ] . . . ( 5 . 1 0 ) T h i s e q u a t i o n c o r r e s p o n d s w i t h t h e e x p e r i m e n t a l r e s u l t s u p t o a n o n - d i m e n s i o n a l c u r v a t u r e o f 6. A l t h o u g h t h e d i s t r i b u t i o n o f m i d s u r f a c e s t r a i n i s i n c o r r e c t d u e t o t h e l i m i t e d d e g r e e o f f r e e d o m o f t h e d i s p l a c e m e n t s , a s d i s c u s s e d i n t h e p r e v i o u s s e c t i o n , t h e e n e r g y s t o r e d o n t h e m i d s u r f a c e s t r a i n i s c l o s e t o t h e a c t u a l a s a g o o d e x p e r i m e n t a l f i t i s p r o d u c e d . 5 . 1 . 4 . 4 L e e a n d H s u [ 7 ] W h e n t h e r e s u l t s o f L e e a n d H s u w e r e c o m p a r e d t o t h e e x p e r i m e n t a l r e s u l t s a n e r r o r w a s f o u n d i n t h e i r w o r k . F i g u r e 8 o f [ 7 ] s h o w s a l i n e r e p r e s e n t i n g l i n e a r p l a t e t h e o r y . T a k i n g t h e s l o p e o f t h i s l i n e a n d e q u a t i n g t h e n o n -d i m e n s i o n a l q u a n t i t i e s f o r d e f l e c t i o n a n d m o m e n t , E q . ( 5 ) a n d E q . ( 1 4 ) r e s p e c t i v e l y , we f i n d t h e r e i s a f a c t o r o f t w o m i s s i n g . E i t h e r b o t h t h e g r a p h s a x e s , F i g . 8 a n d 9 , h a v e C O M P A R I S O N OF R E S U L T S 89 b e e n l a b e l e d w r o n g o r o n e o f t h e d i r a e n s i o n l e s s q u a n t i t i e s h a s b e e n i n c o r r e c t l y t y p e d . M o s t l i k e l y i t w a s t h e l a t t e r ; t h e 4 i n t h e d e n o m i n a t o r o f E q . ( 1 4 ) s h o u l d h a v e b e e n a 2 . T h i s c h a n g e p r o v i d e s t h e c l o s e s t f i t t o t h e e x p e r i m e n t a l r e s u l t s . W i t h t h i s c o r r e c t i o n t h e r e s u l t s a r e s h o w n i n F i g . 5 . 4 . I t c o i n c i d e s w i t h t h e e x p e r i m e n t a l r e s u l t s u p t o a n o n -d i m e n s i o n a l c u r v a t u r e o f 5 , a n d t h e n s t a r t s t o d e v i a t e s h o w i n g l e s s s t i f f n e s s . T h e p o i n t o f b i f u r c a t i o n s h o w n i n F i g . 8 o f [ 7 ] a l s o o c c u r s a t a m u c h h i g h e r l o a d t h a n w h a t i s s e e n i n t h e e x p e r i m e n t a l r e s u l t s . A s s e e n i n F i g . 9 o f [ 7 ] , t h e m o m e n t h a s n o t y e t c o n v e r g e d f o r a g r i d d i v i s i o n o f 1 2 . T h i s a l o n g w i t h m a c h i n e e r r o r s c o u l d a c c o u n t f o r t h e d i s c r e p a n c y . 5 . 2 P L A T E C U R V A T U R E U N D E R I T S OWN W E I G H T A c o m p a r i s o n w a s m a d e b e t w e e n t h e c u r v a t u r e s d u e t o s e l f -w e i g h t a n d t h o s e p r e d i c t e d f r o m t h e l i n e a r f i n i t e d i f f e r e n c e s c h e m e i n A p p e n d i x B . C O M P A R I S O N OF R E S U L T S 9 0 CURVATURE DUE TO PLATE WEIGHT COMPARISON OP EXPERIMENTAL AND PD RESULTS MATERIAL: ALUMINIUM « SIZE: .325' THICK 'o o in to. C D -CM > or ZD CD _J CE zz o c n LJ ^ Q I O o 2 d : O i n ' o d . LEGEND • - EXPERIMENTAL DATA, Gl o = EXPERIMENTAL DATA, G3 A = FINITE DIFFERENCE, Gl + - FINITE DIFFERENCE, G3 DIR. DIR. DIR. / • DIR. / o o 1 0.0 2 . 0 4 .0 6 .0 8.0 10.0 12.0 14.0 NON-DIMENSIONAL PLATE LOAD, hqoxK2/D *10 -5 F i g u r e 5 . 5 , C u r v a t u r e d u e t o p l a t e w e i g h t . C O M P A R I S O N OF R E S U L T S . 91 T h e d e f l e c t i o n a t t h e g r i d p o i n t s , i n t h e c e n t r e p o r t i o n o f t h e p l a t e , w a s u s e d t o c a l c u l a t e t h e c u r v a t u r e a l o n g t h e d i a g o n a l s a t t h e c e n t r e . T h e s e w e r e t h e n c o m p a r e d t o t h e v a l u e s c a l c u l a t e d f r o m t h e s t r a i n m e a s u r e m e n t s . T h e f i n i t e d i f f e r e n c e a n d e x p e r i m e n t a l r e s u l t s a r e s h o w n i n F i g . 5 . 5 . I n t h e G l d i r e c t i o n , b e t w e e n t h e s u p p o r t i n g p o s t s , t h e c u r v a t u r e i s t h e l a r g e s t a s w o u l d b e e x p e c t e d . T h e e x p e r i m e n t a l r e s u l t s f o l l o w t h e n u m e r i c a l r e s u l t s c l o s e l y . I n t h e G3 d i r e c t i o n t h e n u m e r i c a l r e s u l t i s a p p r o x i m a t e l y 1 0 % l e s s t h a n t h e e x p e r i m e n t a l . T h i s e r r o r i s n o t u n r e a s o n a b l e f o r t h e f o l l o w i n g r e a s o n s : 1 ) T h e s o l u t i o n i s s t i l l c o n v e r g i n g a s t h e g r i d i s r e f i n e d a s s h o w n i n F i g . B . 2 . 1 . 2) T h e m e a s u r e d s t r a i n s a r e v e r y s m a l l m a k i n g t h e i n s t r u m e n t r e a d i n g e r r o r c o m p a r a t i v e l y l a r g e . 3) T h e r e a r e e x t e r n a l f a c t o r s s u c h a s t h e w e i g h t o f t h e s t r a i n g a u g e w i r e s . 5.3 C O M P A R I S O N OF T H E C U R V A T U R E B I F U R C A T I O N P O I N T I n t h i s s e c t i o n t h e t h e o r e t i c a l p o i n t s o f b i f u r c a t i o n o f L e e a n d H s u [ 7 ] a n d R a m s e y [ 8 ] w i l l b e c o m p a r e d w i t h t h e e x p e r i m e n t a l l y d e t e r m i n e d p o i n t . C O M P A R I S O N OF R E S U L T S 92 5 . 3 . 1 E X P E R I M E N T A L L Y D E T E R M I N E D P O I N T T h e b i f u r c a t i o n p o i n t s o f t h e f o u r p l a t e s t e s t e d i n t h i s e x p e r i m e n t w e r e f o u n d b y e x a m i n i n g t h e c o r r e c t e d p l a t e c u r v a t u r e g r a p h s , F i g . 4 . 3 a - d . T h e y a r e p l o t t e d i n t h e n o n -d i m e n s i o n a l f o r m o f [ 8 ] i n F i g . 5 . 6 . S q u a r e s y m b o l s m a r k t h e p o i n t s . U s i n g t h e e x p e r i m e n t a l l y d e t e r m i n e d r e l a t i o n s h i p b e t w e e n c u r v a t u r e a n d m i d s u r f a c e s t r a i n , E q . ( 5 . 7 ) , f u r t h e r i n f o r m a t i o n o n t h e b i f u r c a t i o n p o i n t w a s e x t r a c t e d f r o m t h e w o r k o f M i y a g a w a e t a l [ 3 ] . I t w a s d e d u c e d t h a t t h e y h a d p l a c e d t h e i r s t r a i n g a u g e s o n o p p o s i t e s i d e s a n d a l o n g o p p o s i t e d i a g o n a l s o f t h e p l a t e b y c o m p a r i n g t h e i r r e s u l t s w i t h t h e r e s u l t s o f t h i s e x p e r i m e n t . I t w a s s h o w n i n S e c t i o n 2 . 3 . 1 a n d 5 . 1 . 3 t h a t t h e m i d s u r f a c e s t r a i n s a r e e q u a l i n t h e d i r e c t i o n o f t h e d i a g o n a l s a t t h e c e n t r e o f t h e p l a t e a n d a r e g i v e n b y E q . ( 5 . 7 ) . T h e m i d s u r f a c e s t r a i n i s d e p e n d e n t o n l y o n t h e c u r v a t u r e o f t h e p l a t e a n d t h e e d g e l e n g t h , b u t n o t t h e t h i c k n e s s . U p t o t h e p o i n t o f b i f u r c a t i o n , t h e c u r v a t u r e s a r e e q u a l a n d o p p o s i t e i n s i g n . U s i n g E q . ( 5 . 7 ) g i v e s C O M P A R I S O N OF R E S U L T S 93 CURVATURE BIFURCATION POINT MATERIAL: ALUMINIUM LD CD oo O o L J > or ZD o 2: o C O L J ° . r : o CD I O -<r o CO o o CO o — LEGEND • - .125" THICK o - .118' A - .098' + - .079' x - .059' o - .039' v •= BEST FIT LINE O + o y o o n / + y o 1 X x • . A A X X > / < > A A o A X s N / A "t > A * A A y ^ i • • • 0.000 0.005 0.010 0.015 0.020 0.025 T H I C K N E S S - L E N G T H R A T I O , h /o-0.030 F i g u r e 5 . 6 , B i f u r c a t i o n p o i n t . C O M P A R I S O N OF R E S U L T S 94 i = - . 0 1 2 4 K 2 a . . . ( 5 . 1 1 ) w h e r e K i s t h e p o s i t i v e c u r v a t u r e a l o n g t h e d i a g o n a l . S u b s t i t u t i n g i n t h e c u r v a t u r e - b e n d i n g s t r a i n r e l a t i o n s h i p o f E q . ( 2 . 9 ) g i v e s i ' = - . 0 1 2 4 (^rr-) . . . ( 5 . 1 2 ) T h e s u r f a c e s t r a i n i s e * = £ + i ' . . . ( 5 . 1 3 ) w h e r e t h e a s t e r i s k , c i r c u m f l e x a n d o v e r b a r r e p r e s e n t t h e t o t a l s u r f a c e s t r a i n , t h e b e n d i n g s t r a i n a t t h e s u r f a c e a n d t h e m i d s u r f a c e s t r a i n r e s p e c t i v e l y . C o m b i n i n g w i t h E q . ( 5 . 1 2 ) , we g e t t h e n o n - l i n e a r r e l a t i o n s h i p e * = e - .0124 ( ^ ^ ) . . . ( 5 . 1 4 ) S h o w n i n F i g . 5 o f [ 3 ] i s t h e s u r f a c e s t r a i n a t t h e p o i n t o f b i f u r c a t i o n f o r v a r i o u s s i z e s o f p l a t e s . T a k i n g t h e s u r f a c e s t r a i n a t t h e p o i n t o f b i f u r c a t i o n , we c a n t h e n s o l v e f o r t h e b e n d i n g s t r a i n , u s i n g E q . ( 5 . 1 4 ) , a n d t h e n t h e c u r v a t u r e s , u s i n g E q . ( 2 . 1 0 ) . C O M P A R I S O N OF R E S U L T S 9 5 T h i s w a s c o m p l e t e d a n d t h e r e s u l t s a r e s h o w n i n F i g . 5 . 6 . T h e s o l i d l i n e r e p r e s e n t s t h e l e a s t s q u a r e f i t g i v i n g t h e e q u a t i o n Ka = 3.64 h/a . . . (5.15) T h e s c a t t e r i s m o d e r a t e l y h i g h f r o m t h e e r r o r s a s s o c i a t e d w i t h e s t i m a t i n g t h e p o i n t o f b i f u r c a t i o n . I t c a n b e s e e n i n F i g . 4 . 3 , t h a t t h e l i n e s r e p r e s e n t i n g t h e c u r v a t u r e s d i v e r g e s l o w l y . A s m a l l e r r o r i n s t r a i n m e a s u r e m e n t , a n d h e n c e t h e c u r v a t u r e c a l c u l a t e d , w o u l d p r o d u c e s i g n i f i c a n t c h a n g e s i n t h e b i f u r c a t i o n p o i n t . A c e r t a i n a m o u n t o f e r r o r i s a l s o a s s o c i a t e d w i t h t h e m e a s u r e m e n t o f t h e p o i n t s f r o m F i g . 5 i n [ 3 ] . B y t a k i n g E q . (5 .15) a n d r e a r r a n g i n g i t i n t o t h e n o n -2 d i m e n s i o n a l c u r v a t u r e f o r m K a / h , we s e e t h e n o n - d i m e n s i o n a l c u r v a t u r e i s a c o n s t a n t a t t h e p o i n t o f b i f u r c a t i o n . A s n o t e d i n S e c t i o n 5 . 1 . 2 , t h e b i f u r c a t i o n p o i n t , s h o w n i n F i g . 5 . 2 , o c c u r s a t a c u r v a t u r e o f b e t w e e n 3.0 a n d 4 . 0 , w h i c h v e r i f i e s E q . ( 5 . 1 5 ) . 5 .3 .2 A N A L Y T I C A L B I F U R C A T I O N P O I N T S R a m s e y [ 8 ] f o u n d t h a t t h e p o i n t o f b i f u r c a t i o n o c c u r r e d a t C O M P A R I S O N OF R E S U L T S 96 Ka = 3 . 2 9 h / a . . .(5.16) w h i l e L e e a n d H s u [ 7 ] , a f t e r m a k i n g t h e c o r r e c t i o n o f a f a c t o r o f 2 n o t e d i n S e c t i o n 5 . 1 . 4 . 4 , h a s f r o m a n e x t r a p o l a t e d M c r = 2 1 . 6 , f o u n d i n F i g . 9 o f [ 7 ] . T h e r e i s a f a c t o r o f 8 t i m e s d i f f e r e n c e b e t w e e n t h e s e r e s u l t s . C o m p a r i n g t h e a n a l y t i c a l r e s u l t s t o t h e e x p e r i m e n t a l r e s u l t , E q . ( 5 . 1 5 ) , we f i n d t h e d i f f e r e n c e i s 10% l e s s f o r [ 8 ] a n d 7 0 0 % m o r e f o r [ 7 ] . 5 . 4 L I M I T I N G L O A D A N D S U R F A C E S T R A I N D U R I N G T H E M E A S U R E M E N T  OF S H E A R M O D U L U S I n t h e d e t e r m i n a t i o n o f G a n d t h e s h e a r s t r e s s - s t r a i n r e l a t i o n s h i p t h r o u g h t h e a p p l i c a t i o n o f t h e t w i s t e d p l a t e t e s t , t h e m e t h o d i s l i m i t e d b y t h e o n s e t o f b i f u r c a t i o n . U s i n g t h e r e s u l t s o b t a i n e d i n t h i s e x p e r i m e n t , t h e l o a d a n d s u r f a c e s t r a i n a t w h i c h t h e i n s t a b i l i t y o c c u r s c a n b e c a l c u l a t e d . T h e s e v a l u e s s h o u l d n o t b e e x c e e d e d d u r i n g t h e t e s t . Ka = 2 4 . 9 h / a . . .(5.17) C O M P A R I S O N OF R E S U L T S 97 T h e p o i n t o f b i f u r c a t i o n i s g i v e n b y E q . ( 5 . 1 5 ) . T h e b e n d i n g s t r a i n a t t h i s c u r v a t u r e c a n b e f o u n d u s i n g E q . ( 2 . 9 ) . T h i s g i v e s -2^ *4 . . .(5.18) c 2 a 2 S u b s t i t u t i n g t h i s i n t o t h e s u r f a c e s t r a i n , E q . ( 5 . 1 4 ) , a n d 2 f a c t o r i n g t h e ( h / a ) , we g e t e* = 1.66 (h/a) 2 . . .(5.19) c T h i s i s t h e s u r f a c e s t r a i n a t w h i c h b i f u r c a t i o n o c c u r s . T o c a l c u l a t e t h e l o a d a t t h e p o i n t o f b i f u r c a t i o n we u s e t h e r e l a t i o n s h i p b e t w e e n c o r n e r l o a d a n d c u r v a t u r e , E q . ( 2 . 5 ) . S u b s t i t u t i n g t h e c u r v a t u r e s a t t h e p o i n t o f b i f u r c a t i o n , E q . ( 5 . 1 5 ) , P = 2D(l-\0 (3.64 h/a 2 ) . . .(5.20) c R e p l a c i n g t h e f l e x u r a l r i g i d i t y , D , g i v e s = ^607 Eh* .. .(5.21) c (1+v) a 2 We n o w h a v e t h e l i m i t i n g v a l u e s o f t h e c o r n e r l o a d a n d s u r f a c e s t r a i n , w h i c h s h o u l d n o t b e e x c e e d e d d u r i n g t h e C O M P A R I S O N OF R E S U L T S 9 8 t e s t . T h e s e l i m i t i n g v a l u e s a p p l y t o a n y s i z e o f i s o t r o p i c p l a t e . C a r e m u s t b e t a k e n n o t t o m a k e t h e h / a r a t i o l a r g e t o a v o i d t h e i n s t a b i l i t y . W i t h r a t i o s l a r g e r t h a n a b o u t 1 / 1 0 p r o b l e m s w i t h e d g e e f f e c t s a n d t r a n s v e r s e s h e a r w i l l b e e n c o u n t e r e d [ 2 ] . 99 6 . C O N C L U S I O N S I n t h e a n a l y s i s o f t h e e x p e r i m e n t a l r e s u l t s a n u m b e r o f n o n -d i m e n s i o n a l q u a n t i t i e s w e r e f o u n d w h i c h c o l l a p s e t h e e x p e r i m e n t a l r e s u l t s . F o r d i f f e r e n t s i z e s o f p l a t e t h i s a l l o w s m o r e g e n e r a l s t a t e m e n t s t o b e m a d e a b o u t t h e d e f o r m a t i o n o f t h e p l a t e , w h i c h a r e n o t l i m i t e d t o p l a t e s o f p a r t i c u l a r s i z e . T h e f o l l o w i n g c o n c l u s i o n s c a n b e m a d e a b o u t t h e p r i n c i p a l s t r a i n o f t h e p l a t e i n t h e l i n e a r a n d n o n - l i n e a r r e g i o n s : 1 ) T h e p r i n c i p a l s t r a i n s a t t h e c e n t r e o f t h e p l a t e l i e a l o n g t h e d i a g o n a l s o f t h e p l a t e i n b o t h l i n e a r a n d n o n - l i n e a r r e g i o n s . 2 ) T h e n o n - d i m e n s i o n a l q u a n t i t i e s , w h i c h c o l l a p s e t h e 2 4 l o a d - s t r a i n r e l a t i o n s h i p , a r e ( l + v ) P a / E h 2 a n d e ( a / h ) . 3 ) T h e s e n o n - d i m e n s i o n a l q u a n t i t i e s c o l l a p s e t h e r e s u l t s f o r t h e s a m e p l a t e t h i c k n e s s i n b o t h t h e C O N C L U S I O N S 100 l i n e a r a n d n o n - l i n e a r r e g i o n s w i t h v e r y l i t t l e s c a t t e r . 4 ) T h e n o n - d i m e n s i o n a l r e s u l t s o f p l a t e s o f d i f f e r e n t t h i c k n e s s a l s o c o l l a p s e i n t h e l i n e a r a n d t h e s t a r t o f t h e n o n - l i n e a r r e g i o n . B u t , a f t e r t h e p o i n t o f b i f u r c a t i o n , t h e r e s u l t s f o r p l a t e s o f d i f f e r e n t t h i c k n e s s d o n o t c o l l a p s e . T h e t h i n n e r t h e p l a t e t h e h i g h e r t h e r a t e a t w h i c h i t c h a n g e s f r o m t h e a n t i c l a s t i c s h a p e t o t h e s y n c l a s t i c s h a p e a s t h e n o n - d i m e n s i o n a l l o a d i s i n c r e a s e d . 5 ) T h e s t a r t o f t h e l o a d - s t r a i n r e l a t i o n s h i p i s l i n e a r a n d c o i n c i d e s w i t h t h e l i n e a r t h e o r y u p t o a n o n - d i m e n s i o n a l s t r a i n o f a p p r o x i m a t e l y 1 . 5 . T h e f o l l o w i n g c o n c l u s i o n s c a n b e m a d e a b o u t t h e p r i n c i p a l c u r v a t u r e s o f t h e p l a t e i n t h e l i n e a r a n d n o n - l i n e a r r e g i o n s : 1 ) T h e p r i n c i p a l c u r v a t u r e s l i e a l o n g t h e d i a g o n a l s o f t h e p l a t e i n b o t h t h e l i n e a r a n d n o n - l i n e a r r e g i o n s . 2 ) T h e n o n - d i m e n s i o n a l q u a n t i t i e s w h i c h c o l l a p s e t h e l o a d - c u r v a t u r e r e l a t i o n s h i p f o r p l a t e s o f t h e s a m e t h i c k n e s s , i n b o t h t h e l i n e a r a n d n o n - l i n e a r CONCLUSIONS 101 2 4 2 r e g i o n s , a r e ( l + v ) P a / E h a n d K a / h . P l a t e s o f t h e s a m e t h i c k n e s s b e h a v e s i m i l a r l y a f t e r b i f u r c a t i o n . 3) T h e s t a r t o f t h e l o a d - c u r v a t u r e r e l a t i o n s h i p i s l i n e a r a n d c o i n c i d e s w i t h t h e l i n e a r t h e o r y u p t o a n o n - d i m e n s i o n a l c u r v a t u r e o f a p p r o x i m a t e l y 3.0. T h e f o l l o w i n g c o n c l u s i o n s c a n b e m a d e a b o u t t h e m i d s u r f a c e s t r a i n i n t h e p l a t e i n b o t h t h e p r e - a n d p o s t - b i f u r c a t i o n r e g i o n s . 1 ) A t a n y p a r t i c u l a r p o i n t o n t h e p l a t e , t h e n o r m a l m i d s u r f a c e s t r a i n s , e a n d e , a r e x y ' e q u a l i n t h e d i r e c t i o n o f t h e d i a g o n a l s . 2 ) T h e m i d s u r f a c e s t r a i n s v a r y l i n e a r l y w i t h t h e n o n -2 d i m e n s i o n a l G a u s s i a n c u r v a t u r e K ^ K ^ a . T h e r e a r e n o m i d s u r f a c e s t r a i n s i n d e v e l o p a b l e s u r f a c e s . 3 ) A t t h e c e n t r e o f t h e p l a t e , t h e r e l a t i o n s h i p - - 2 t = e . 0 1 2 4 K K a w a s f o u n d w i t h x y x y l i t t l e s c a t t e r i n t h e e x p e r i m e n t a l r e s u l t s . 4) T h e e x p e r i m e n t a l l y d e t e r m i n e d s h o w n a b o v e w a s 40% l e s s t h a n d e t e r m i n e d o n e . B y i n c r e a s i n g m i d s u r f a c e s t r a i n t h e a n a l y t i c a l l y t h e d e g r e e o f C O N C L U S I O N S 1 0 2 f r e e d o m o f t h e i n - p l a n e d i s p l a c e m e n t s , t h e a n a l y t i c a l l y d e t e r m i n e d m i d s u r f a c e s t r a i n w o u l d c o n v e r g e o n t h e t r u e s t r a i n s . 5 ) T h e m i d s u r f a c e s t r a i n s a r e i n d e p e n d e n t o f t h e p l a t e t h i c k n e s s . F o u r a p p r o x i m a t e s o l u t i o n s w e r e c o m p a r e d t o t h e e x p e r i m e n t a l n o n - d i m e n s i o n a l l o a d - c u r v a t u r e r e s u l t s . T h e r e s u l t s o f C h a n d r a [ 5 ] a n d R e i s s n e r [ 9 ] p r o d u c e d a p o o r f i t b e c a u s e t h e i r s o l u t i o n s d i d n o t s a t i s f y t h e b o u n d a r y c o n d i t i o n s c l o s e l y . T h e r e s u l t s o f R a m b e r g a n d M i l l e r [ 2 ] a n d L e e a n d H s u [ 7 ] a r e i n f a i r l y g o o d a g r e e m e n t w i t h t h e e x p e r i m e n t a l r e s u l t s u p t o a n o n - d i m e n s i o n a l c u r v a t u r e o f 6 a n d 5 r e s p e c t i v e l y . T h e s o l u t i o n i n [ 2 ] w a s l i m i t e d b y t h e l a c k o f f r e e d o m o f t h e i n - p l a n e d i s p l a c e m e n t s a n d t h e i n a b i l i t y o f t h e d i s p l a c e m e n t f i e l d t o b i f u r c a t e . T h e e r r o r i n t h e r e s u l t s o f [ 7 ] m i g h t b e d u e t o l a c k o f c o n v e r g e n c e o r m a c h i n e e r r o r s . I n i t i a l p r o b l e m s w e r e e n c o u n t e r e d w i t h l a r g e d e f l e c t i o n s i n t h e p l a t e s d u e t o t h e i r s e l f - w e i g h t . T h e u s e o f l i n e a r f i n i t e d i f f e r e n c e s w a s s a t i s f a c t o r y i n c a l c u l a t i n g t h e p l a t e d e f l e c t i o n s , a n d e s t i m a t i n g t h e a m o u n t o f n o n - l i n e a r i t y i n p l a t e s o f d i f f e r e n t s i z e s d u r i n g t h e p l a t e d e s i g n p r o c e s s . I n r e t r o s p e c t , o t h e r m e t h o d s , s u c h a s f i n i t e e l e m e n t s o r a s i m p l e R a y l e i g h - R i t z m e t h o d , c o u l d h a v e a c h i e v e d c o m p a r a b l e C O N C L U S I O N S 1 0 3 o r b e t t e r r e s u l t s i n e s t i m a t i n g p l a t e n o n - l i n e a r i t y w i t h l e s s t i m e a n d e f f o r t . I n i t i a l c u r v a t u r e s i n t h e p l a t e , w h e t h e r d u e t o f l a t n e s s i m p e r f e c t i o n s f o r m e d i n t h e m a n u f a c t u r i n g p r o c e s s o r d e f l e c t i o n d u e t o s e l f - w e i g h t , i n f l u e n c e t h e m o d e o f d e f l e c t i o n a f t e r t h e p o i n t o f b i f u r c a t i o n . O n c e a p a r t i c u l a r d i s p l a c e m e n t m o d e w a s a s s u m e d , t h e o t h e r c o u l d n o t b e f o r m e d b y a p p l y i n g a l a t e r a l l o a d . T h e c u r v a t u r e a t t h e p o i n t o f b i f u r c a t i o n w a s K a = 3 . 6 4 h / a . T h e a n a l y t i c r e s u l t s o f R a m s e y [ 8 ] a n d L e e a n d H s u [ 7 ] a r e 10% l e s s a n d 7 0 0 % m o r e r e s p e c t i v e l y . A l t h o u g h t h e l o a d - c u r v a t u r e r e l a t i o n s h i p o f [ 7 ] i s f a i r l y g o o d , t h e p r e d i c t e d p o i n t o f b i f u r c a t i o n i s n o t . T h e p o i n t o f b i f u r c a t i o n i s d i f f i c u l t t o m e a s u r e c a u s i n g s c a t t e r i n t h e r e s u l t s . T h e t w i s t e d p l a t e m e t h o d u s e d i n t h e d e t e r m i n a t i o n o f t h e e l a s t i c s h e a r s t r e s s - s t r a i n r e l a t i o n s h i p c a n o n l y b e u s e d u p t o t h e p o i n t o f b i f u r c a t i o n . T h e c r i t i c a l s u r f a c e s t r a i n a n d c o r n e r l o a d , w h i c h s h o u l d n o t b e e x c e e d e d d u r i n g t h e t e s t , * 2 4 2 a r e e = 1 . 6 6 ( h / a ) a n d P = . 6 0 7 E h / ( l + \>)a r e s p e c t i v e l y , c o T h r e e a r e a s a r e i n n e e d o f f u r t h e r c o n s i d e r a t i o n . T h e f i r s t i n v o l v e s a b e t t e r m e t h o d o f m e a s u r i n g t h e p l a t e c u r v a t u r e s o t h e p o i n t o f b i f u r c a t i o n c a n m o r e a c c u r a t e l y d e t e r m i n e d w i t h l e s s s c a t t e r i n t h e r e s u l t s . T h e s e c o n d i s t h e d e v e l o p m e n t C O N C L U S I O N S 1 0 4 o f a n e w t e s t i n g a p p a r a t u s w h i c h w o u l d h o l d t h e t e s t p l a t e i n t h e v e r t i c a l p l a n e , n e g a t i n g t h e u n w a n t e d d e f l e c t i o n o f t h e p l a t e u n d e r i t s o w n w e i g h t . A n d l a s t l y , i s t h e t w i s t i n g o f o r t h o t r o p i c m a t e r i a l s i n t o t h e n o n - l i n e a r r e g i o n . T h e w o r k p r e s e n t e d h e r e g o e s b e y o n d t h e w o r k o f M i y a g a w a e t a l [ 3 ] . I n t h i s p r e s e n t e x p e r i m e n t , t h e p r i n c i p a l s t r a i n s o n b o t h s i d e s o f t h e p l a t e w e r e m e a s u r e d , a l l o w i n g t h e c a l c u l a t i o n o f m i d s u r f a c e s t r a i n s a n d c u r v a t u r e s . T h i s e n a b l e d t h e d e m o n s t r a t i o n o f d i m e n s i o n l e s s q u a n t i t i e s w h i c h c o l l a p s e t h e r e s u l t s a n d t h e d e t e r m i n a t i o n o f e x p r e s s i o n s f o r c u r v a t u r e , l o a d a n d s u r f a c e s t r a i n a t w h i c h b i f u r c a t i o n o c c u r s ; a l l o f w h i c h a r e n o v e l . T h e r e s u l t s p r e s e n t e d i n t h i s t h e s i s f o r m a b a s i s f o r t h e v e r i f i c a t i o n o f f u t u r e a n a l y t i c a l m o d e l s a n d a r e o f d i r e c t i m p o r t a n c e t o t h e m e a s u r e m e n t o f c o n s t i t u t i v e r e l a t i o n s h i p s u s i n g t h e t w i s t e d p l a t e t e s t . 105 7. B I B L I O G R A P H Y [1] K e l v i n a n d T a i t P . G . T r e a t i s e o n N a t u r a l P h i l o s o p h y , V o l . 1, P a r t 2, C a m b r i d g e U n i v e r s i t y P r e s s , 1883, p p . 203-204. [2] R a m b e r g W. a n d M i l l e r J . A . " T w i s t e d S q u a r e P l a t e M e t h o d a n d O t h e r M e t h o d s f o r D e t e r m i n i n g t h e S h e a r S t r e s s - S t r a i n R e l a t i o n o f F l a t S h e e t " , J . R e s .  N a t ' l . B u r . S t a n d a r d s , V o l . 50, N o . 2, 1953, p p . 111-123. [3] M i y a g a w a M . , S h i b u y a Y . , a n d U e d a M . " M e a s u r e m e n t o f S h e a r M o d u l u s o f E l a s t i c i t y b y M e a n s o f T w i s t e d S q u a r e P l a t e " , T h e T w e l f t h J a p a n C o n g r e s s o n  M a t e r i a l s R e s e a r c h - T e s t i n g M e t h o d a n d A p p a r a t u s , pp.261-264. [4] T s a i S . W . " E x p e r i m e n t a l D e t e r m i n a t i o n o f t h e E l a s t i c B e h a v i o r o f O r t h o t r o p i c P l a t e s " , J o u r n a l o f  E n g i n e e r i n g f o r I n d u s t r y , A u g . 1965, p p . 315-318. [5] C h a n d r a R . " O n t w i s t i n g o f O r t h o t r o p i c P l a t e s i n t h e L a r g e D e f l e c t i o n R e g i m e " , A I A A J o u r n a l , V o l . 14, N o . 8, 1976, p p . 1130-1131. [6] H s u C S . a n d L e e S . S . " S t a b i l i t y o f D o u b l y P e r i o d i c D e f o r m e d C o n f i g u r a t i o n s o f P l a t e s a n d S h a l l o w S h e l l s " , J . A p p l . M e c h . , V o l . 37, 1970, p p . 641-650. [7] L e e S . S . a n d H s u C S . " S t a b i l i t y o f S a d d l e - l i k e D e f o r m e d C o n f i g u r a t i o n s o f P l a t e s a n d S h a l l o w S h e l l s " , I n t .  J . N o n - L i n e a r M e c h a n i c s , V o l . 6, 1971, pp.221-236. [8] R a m s e y H . " A R a y l e i g h Q u o t i e n t f o r t h e I n s t a b i l i t y o f a R e c t a n g u l a r P l a t e w i t h F r e e E d g e s T w i s t e d b y C o r n e r F o r c e s " , J o u r n a l d e M e c a n i q u e T h e o r i q u e e t  A p p l i q u e e , V o l . 4, N o . 2, 1985, pp.243-256. [9] R e i s s n e r E . " F i n i t e T w i s t i n g a n d B e n d i n g o f t h i n R e c t a n g u l a r E l a s t i c P l a t e s " , J . A p p l . M e c h . , V o l . 24, 1957, pp.391-396. [10] F u n g Y . C a n d W i t t r i c k W . H . " A B o u n d a r y L a y e r P h e n o m e n o n i n t h e L a r g e D e f l e c t i o n o f T h i n P l a t e s " , Q u a r t . J . M e c h . A p p l . M a t h . , V o l . 8, 1955, p p . 353-355. BIBL IOGRAPHY 1 0 6 [ 1 1 ] T i m o s h e n k o S . and G o o d i e r J . N . T h e o r y o f E l a s t i c i t y , 3 r d e d i t i o n , M c G r a w - H i l l , N e w Y o r k , 1 9 7 0 . [ 1 2 ] T i m o s h e n k o S . a n d W o i n o w s k y - K r i e g e r T h e o r y o f P l a t e s  a n d S h e l l s , 2 n d e d i t i o n , M c G r a w - H i l l , New Y o r k , 1 9 5 9 . [ 1 3 ] M e a s u r e m e n t s G r o u p S t r a i n G a g e I n s t a l l a t i o n w i t h M - B o n d  2 0 0 A d h e s i v e , I n s t r u c t i o n B u l l e t i n B - 1 2 7 - 9 , V i s h a y , U S A . [ 1 4 ] M e a s u r e m e n t s G r o u p I n s t r u c t i o n M a n u a l P - 3 5 0 A D i g i t a l  S t r a i n I n d i c a t o r , V i s h a y , U S A , 1 9 8 0 . [ 1 5 ] S z i l a r d R. T h e o r y a n d A n a l y s i s o f P l a t e s , C l a s s i c a l a n d  N u m e r i c a l M e t h o d s , P r e n t i c e - H a l l I n c . , New J e r s e y , 1 9 7 4 , p p . 1 5 8 - 1 8 5 . [ 1 6 ] J a m e s M.L., S m i t h G . M . , a n d W o l f o r d J . C . A p p l i e d N u m e r i c a l M e t h o d s f o r D i g i t a l C o m p u t a t i o n , H a r p e r a n d Row I n c . , N e w Y o r k , 1 9 7 7 , p p . 3 4 3 - 3 4 8 . 107 8. APPENDICES A . I N S T R U M E N T A T I O N I n t h i s a p p e n d i x t h e s p e c i f i c a t i o n s f o r t h e i n s t r u m e n t a t i o n a r e d e s c r i b e d . T h e f i r s t s u b - s e c t i o n d e a l s w i t h t h e s t r a i n g a u g e s u s e d , a n d t h e s e c o n d t h e s t r a i n i n d i c a t o r a n d s w i t c h a n d b a l a n c e u n i t . A . l S T R A I N G A U G E D A T A S H E E T T w o l o t s o f s t r a i n g a u g e s w e r e u s e d i n t h e e x p e r i m e n t . T h e y w e r e m a n u f a c t u r e d b y t h e M e a s u r e m e n t s G r o u p a n d w e r e o f t y p e C E A - 1 3 - 1 2 5 U R - 3 5 0 . A g e n e r a l d e s c r i p t i o n i s g i v e n i n S e c t i o n 3 . 1 . 2 . 1 . T h e s p e c i f i c a t i o n s f o r t h e s e s t r a i n g a u g e s a r e l i s t e d i n T a b l e s A . l a a n d A . l b . A.2 V I S H A Y I N S T R U M E N T S P E C I F I C A T I O N S T h e s t r a i n w a s m e a s u r e d u s i n g t h e V i s h a y P-350A D i g i t a l S t r a i n I n d i c a t o r a n d t h e V i s h a y SB - 1 S w i t c h a n d B a l a n c e U n i t . T h e i n d i c a t o r i s d e s i g n e d f o r r e s i s t a n c e t y p e s t r a i n A P P E N D I C E S 108 g a u g e s a n d a l l o w s t h e s t r a i n t o b e r e a d d i r e c t l y , i n m i c r o -s t r a i n , f r o m a d i g i t a l d i s p l a y . T h e S w i t c h a n d B a l a n c e U n i t i s d e s i g n e d t o p r o v i d e a m e t h o d o f s e q u e n t i a l l y r e a d i n g t h e o u t p u t o f 10 c h a n n e l s o n a s i n g l e s t r a i n i n d i c a t o r . E a c h c h a n n e l c a n b e i n d e p e n d e n t l y b a l a n c e d t o z e r o o u t p u t t o s i m p l i f y d a t a r e d u c t i o n a n d i n t e r p r e t a t i o n . T h e s p e c i f i c a t i o n s f o r t h e s e t w o u n i t s a r e s h o w n i n T a b l e s A . 2 a n d A . 3 A P P E N D I C E S 1 0 9 SMSM5 ENGINEERING DATA SHEET THE INFORMATION APPEARING ON THIS SHEET HAS BEEN COMPILED SPECtFI-CALLV FOR THE GAGES CONTAINED IN THIS PACKAGE. THIS FORM IS PRODUCEO WITH ADVANCED EQUIPMENT ft PROCEDURES WHICH PERMIT COMPREHENSIVE QUALITY ASSURANCE VERIFICATION OF ALL DATA SUPPLIED HEREIN, SHOULD ANV QUESTIONS Aftis{ RELATIVE TO THESE GAGES. PLEASE MENTION GAGE TYPf. ITEM NUMBER. AND LOT NUMBER. u M. . jTZ Mlcro-M»a»ur»m»nt» Division MEASUREMENTS GROUP HALE IOH. NORTH CAROLINA PRECISION STRAIN GAGES • N a s a 2.135 SEC1 2.065 SECl 951516 coot > *© I* 1 " " o cr - o cn 2 - o cn © to •0.7 •0.9 3 So. S o 50 • sen IP S - * » o Z ~ ~ fi m | . ; *» 5-n Z o O 1 ro 2 . cn &** ft ft if 30 I P Cd cn GENERAL INFORMATION: SERIES CEA FEATURE GAGES GENERAL DESCRIPTION: CCA M M «r* • a>n»wa CXXPOBI family of L W P I • fpgs am H»lid with • fully ancapajhatae and and a TEMPERATURE RANGE; - 10CTF f-»*C7 B *«0*F 1*208*0 far t> FATIGUE LIFE: Faiigua lit* « t ma«*ad functnn af aMoar tottn Hrmmxr. WW 3D' ANG a lif*«<llb* 10* t>o-« 1150ai<n/in f j*n/tr»/ M. Una MIA Sotaar. CEMENTS: &*r»pat*«» with MM Canitiad M-Bond 200 but ii irill normally W pro*.* tt» araam arrwn Iwntt M«r» I' M Bond AE-10/15. M Bond GA 2, M Bono 600. and M-Bond 610 an M Bond 610 a Bw KMC* ovar rht •ntinj opanrtinB njnpt, R«*» to M M Cratog A 110 tor information on bond-TO. anann. M l n B 127. 6 IX. and B-137 f<V iraxaJlatnn prandura*. SOLDER: it oparating twrxtntum **.<• no, I U M •300'F I'tSO'O, H i n t aMdw tvo* 961A 163-37) tin wad Attar ma\ M U * M tor Mad *nae*v*ant. U-bm a>ioar tvo* «50 IBS-SI tm• wwwv t MntKwy tn -*00*F i*30S'CJ. Kw*w ro MM Cauiog A 110 far tunnar intormrion on vhjarv aid BulMrun TT 606 for was marfimant ntftruQuaa. BACKING: Th» backing of CEA Saia Gaga* na. baari (pacialN traatad far optimum bond formation wrth aJI appropnan Knj gaga tetmwm. No rurrhar ctMninrj a nacaaaarv if oamsmtnation of tna prarjwafl ajrtaca it aroMMd dwm) Handling. T E M P I F U T U R E INDUCED APPARENT STRAIN LOT N O . . TEMPERATURE IN'CELSIUS <^i.Btiio^4.i7i>pV3 .aMtti^*e.ooiiDV-.i.eatio^' f n 4- ! • — € , ^ . 6 4 1 1 0V4 . 1 7 i l o S ^ . g 2 > l 0 ^ ^ 3 2 i l O ^ - 4 . B t t [ 1 0"V f*Q - ion o • > » *m> •» MOO *W0 ™T>A--TA ii lUTi tk TEMPERATURE IN'FAHRENHEIT _,,„,„ TESTED ON: ag«-T4 ALlMDUl cOOE. KM 16 ENG. £ cJ - N TEST PROCEDURES U8EO BY MK^O-MEASUREMEP/T t FOR STRAIN OAOE PERFCMUatAMCE EVALUAT)OM OPTICAL DEFECT AMALYSU GAGE FACTOR AT TFf ASTM ESS 147 « a f VARIATION WITH TEMPEFU.TURE AJTM E3S1-67 Q APPARENT S T R A I N VERSUS TEMPCRATUNC A 6 T M CJS.1-67 Bfcw I W M Raw. C a i w — ^ R i u iM< THAMSVERH SEWmVITY ASTM Uftl-*? INITIAL RESIST AMCC M-MJ P*ajBMaa% OtMai M l TnaaWaarf aa RaaaBnea kaWrA FATIGUE LIFE MA« M l (MetMaW STRAIN LIMITS GAGE THICKNESS CREEP AND DPUFT N-M PtaaaWaa (SkwS*> aj MAS 642II T a b l e A . l a , S t r a i n g a u g e d a t a s h e e t , L o t 1 . A P P E N D I C E S 110 =M=M= ENGINEERING DATA SHEET T X l INFORMATION A m A R I N G ON THIS SHEET HAS K I M COMPILED S"*fClFl CALL V 'OR THE CAGES CONTAINED IN THIS PACKAGE THIS FOAM IT PRODUCED WITH ADVANCED EQUIPMENT • PROCEDURE* WHICH RERMIT COM* A€ HI NIL VE OUALITV ASSURANCE VERIFICATION OF ALL DATA SULLIED HEREIN SHOULD ANY QUESTIONS ARIU RELATIVE TO THEM OASES, FLEAM MENTION OAGE TYFE.MTCH NUMBER, AMD LOT N U M l t R MMUC I® f-""i • S E T T M I Mlcro-Mt»iur*m«nU r ~ : m - Division MEASUREMENTS GROUP, INC. P R E C I S I O N S T R A I N G A G E S GENERAL INFORMATION: CEA-SERIES STRAIN GAGES OCHCRAl D C S C A i m O N . C E A OROta V* • e a n a * » i - p u r p o w lamih/ of C O n M n U n ttr»m paoaa WKH^y i M ••> asparmwmai R W • n a i f t i i Tha o a o M auopiM0 wit* • rvl'y arKAWKriatao gnO *na t x p o — c o p o a t - c o a w t i imagiV aoMMr* (AM T U m M A T i m c H A N O C : -100* to *400*F ( - W K> 'ZOT Q ten O O W A X K J I in t a r e w m u w u n n MI^-TVMRf PtATUftf C O H W A A T I O M : S M d m cutwa EMMw. • T W A I N LIMITI: ApproxmaMrty S** KK oaoa langtrti 1/1 m iJiMnjmd kvoar. and W O K M W I 9% tor gmgm Rjngtm U-MMI 1/8 m (3 2 mm) M T K l l I t LRU F a n g u a M a a a * W f » « l w » ^ 0 « 0< W N W pO»nt l o n r W O " WHFi SQ-AWG HMiOt rac t ty MRCPaMi IDQAQa t A M MmgiM ^ M« w<c M 10* CYO*» at i l S C O y i n / i n (tvn/m/ ua»ng. W-Dna 3Si A ao*0»< CCMEHTt: ComtMt.&ic wtm M - M C4KUfwd M-Bono TOC but ft v iH normally not proncM tha p r a a m : a w . IM*I  Mrcro-M a « u u r » m a n a M - B o r > g A E - i O n S . i * - p o o t f GA-2.M-tk>f>aacC.aA0U-tAonfl6i0araa»o>ii»r>l M-Booc 610 r» iha M P W C * Of*-t h a » " i > r a o p a ' i l > n c ranoa rWar U> M - U Cai**og A-110*0* mrormatjon on eonaiftO affaou. «nfl Bwi»trna B-12?. B - I X ano 6-13* tw tfttiaiianori procaouraa EfcCH-Dfft « ecwfStine, tomoaratura «<H not a*OMd *300*F f l S C C j . U-Ltm aotoar M l A (63-37) bn-MaC ao*0»« mar » m a d for MAC artaehmanl U - L m a l o U a * 450 (B6-5) ur-*ntimo->T a a t t s l t c to ry to **0C* » r*2O0*C; to M - M Catalog A-110 Io' • u n r w information on ao>0*"V a^e Tacn Tip T T 4 0 6 tor «nacnm#rTt tactin^uaa • V A C * I N 0 Th* bamr tg Of C t A - S w M paoaa Naa ba*n wwciaitv M a t M '©* Optimum b O M formation wrrri »li Bopropnata airain Oaot aonawvaa No l u r t n c ctaamng • n i o i n i r y rl ooniartwoaijon of (ft* prafMrafl aurtaoa • avo>xMd Ounng n*no>.r»Q Q M S ROM. anM-oc 111 Hi THtHMAi. OUTTUT LOT NO.. TtaanRATURE IN *ciL»LS • j ; il / | ! i FACTOR /. -• WD 0 i M ' C 1 ; ! "} i 1 ; ; /: I ; ; / ; i i n i ! TW* RJMU.OU W t f ! i / ; i i i / ! ! i i , / i ^-lMi 1» '«?.<3i 10 *1 -2.3b S i¥ * .» !C* t ' - 3 . T9i It*! i € w-l.Eilo'il.S7ilo'l-6 .»<i*:£T !t3.«il0^ 3-3.».ldV I'd X£*-U ALLK14> •aoo •aa 1f iATU*U IN'FAHRENHEIT :* ft-51 CODE JEHL_«« £ E A 2 _ T U T mOCCDUfUU USED BT KIOTO EMail WF.MEHTt O R T t C A L O f F I C T A N A L T i l l O A 0 I R l t l t T A N C E AT M * C AMD fr*** KH Eft-* Rr r* Oirvcl MBS T n OAOI r » C T O « • T N ' C 4 R R > * M M M w n « H f « * - R M B J O n U T « 4 J R l . . U T T i l - l l T1M»l«4TL>Rt C O f " P ( C « l f T Of OAOE PACTOR **TFJ | » 1 DvrwctW* feMttXHI) THERMAL OUTRUT A»T1I I-IS1 ( I M H*MMfl •**•- C — a n m u . r , R * « ^ a M ) T R A N t V f R | E » I M i r T t v m r AT EM* C • 90% HH A t T N I « i • ATICUE LIFE •*» (M»«n.»«l • TRAIN LIMITS «M» ( M . a . i . . S | OAOC T H I C K N E S S » ' • « • • • " • C R E E F AND DRIFT F i a M w n ( I t w W i M N A t M l M*in»«i T a b l e A . l b , S t r a i n G a u g e D a t a S h e e t , L o t 2. 2.0 SPECIFICATIONS RANGE & DISPLAY ±50,000 microstrain (ue): 10,000uc on the primary balance knob. Polarity and range extension on the range extender knob. Total reading in single d i g i t a l display. SENSITIVITY Variable: Null meter deflects from zero to f u l l scale with 40 to 4000ue (nominal at GF=2). READABILITY lue. ACCURACY 10.11 of reading or Sue, whichever i s greater, for R-120B and GF-2. •0.31 of reading or 5ut, whichever i s greater, for R=120n, GF-1.5-4.5. ±0.5» of reading or 5ue, whichever i s greater, for R=50-2000(J, GF=1.5-4.5. CALIBRATION Self-contained shunt-calib-ration across internal 120fi and 350(1 dummy gages. Simulates +5000ut (±0.1%) on quarter bridge operation regardless of lead-wire resistance (GF=2). INPUT CURCUITS 50-20000 half or f u l l bridge internal dummy gage provided for 1200 and 3S0fi 3-wire quarter bridges. BALANCE BRIDGE EXCITATION LEAD WIRE CAPACITANCE EFFECT AMPLIFIER GAGE FACTOR OSCILLOSCOPE OUTPUT GALVANOMETER OUTPUT A l l bridge completion r e s i s t -ors are standard self-temp-erature-compensated strain gages bonded to 2024 aluminum. 10-turn lock knob provides approximately ±2000 micro-strain (GF=2, quarter and half bridge or 1200 f u l l bridge) for zeroing the d i g i t a l readout prior to load application. On-off switch provided. 1.5 volts RMS, 1000 Hz square wave. Typically less than .05% loss of accuracy with .005 microfarads. Negligible effect with 500 feet of lead wire. AC transistorized. Continuously variable from 0.10 to 10.00 (calibrated between 1.50 and 4.50 only). Linear range ±250 mv DC. Sensitivity variable from approximately 0.2 to 20 ue/mv Bandpass approx. DC to 60 Hz (±51) . Ful l scale ±1/2 ma un-f i l t e r e d DC. Sensitivity variable from approximately 80 to 8000iiE/ma. > PJ o n m A P P E N D I C E S 112 2 . 0 S P E C I F I C A T I O N S C A P A C I T Y 10 c h a n n e l s p l u s OPEN p o s i t i o n . E X T E R N A L C I R C U I T S W i l l a c c e p t q u a r t e r , h a l f , o r f u l l b r i d g e c i r c u i t s o r a n y c o m b i n a t i o n . Q u a r t e r b r i d g e i n p u t s may be 2 - o r 3 - w i r e c i r c u i t s . I N P U T B R I D G E R E S I S T A N C E 50 t o 2000 o h m s . OUTPUT C o m p a t i b l e w i t h a n y s t r a i n i n d i c a t o r . B A L A N C E RANGE (GF=2) Q u a r t e r a n d H a l f B r i d g e : +2000 uc w i t h 1 2 0 - o h m h a l f b r i d g e i n i n d i c a t o r . F u l l B r i d g e : ± 2 0 0 0 U E f o r 1 2 0 - o h m b r i d g e . R a n g e p r o p o r t i o n a l t o b r i d g e r e s i s t a n c e . B A L A N C E R E S O L U T I O N (GF=2) B e t t e r t h a n 1 p c . SWITCHING R E P E A T A B I L I T Y B e t t e r t h a n 1 y e . C A S E A l u m i n u m - d u s t a n d s p r a y -t i g h t w i t h d e t a c h a b l e c o v e r . S I Z E 9"w. x 6 " h . x 6 " d . [230 x 150 x 150mm] WEIGHT 5 - 1 / 2 p o u n d s 1 2 . 4 k g ] T a b l e A . 3 , V i s h a y S B - 1 S w i t c h a n d B a l a n c e U n i t s p e c i f i c a t i o n s . A P P E N D I C E S 1 1 3 B . F I N I T E D I F F E R E N C E A N A L Y S I S L i n e a r f i n i t e d i f f e r e n c e s w e r e u s e d t o c a l c u l a t e t h e d e f l e c t i o n o f a u n i f o r m l y l o a d e d p l a t e s u p p o r t e d b y o p p o s i t e c o r n e r s . H a v i n g t h e s e d e f l e c t i o n s , t h e c u r v a t u r e s a n d s l o p e s w e r e c a l c u l a t e d a n d u s e d i n S e c t i o n 3 . 1 . 3 . 1 t o c a l c u l a t e t h e n o n - l i n e a r i t y r a t i o . T h e f i n i t e d i f f e r e n c e m e t h o d i s q u i t e s i m p l e i n i t s b a s i c l i n e a r f o r m . T h e d e r i v a t i v e s i n t h e g o v e r n i n g d i f f e r e n t i a l e q u a t i o n s a r e r e p l a c e d b y d i f f e r e n c e q u a n t i t i e s a t s e l e c t e d m e s h p o i n t s a l o n g a n d i n s i d e t h e p l a t e b o u n d a r y . T h e f i n i t e d i f f e r e n c e m e t h o d i s d i s c u s s e d i n [ 1 2 , 1 5 , 1 6 ] . 2 A c e n t r a l d i f f e r e n c e s c h e m e , w i t h e r r o r o f o r d e r A x , w a s u s e d t o a p p r o x i m a t e t h e g o v e r n i n g d i f f e r e n t i a l e q u a t i o n s . T h e b i - h a r m o n i c e q u a t i o n , E q . ( 2 . 2 7 ) , w i t h z e r o m i d s u r f a c e f o r c e s , w a s a p p l i e d a t a l l m e s h p o i n t s o n t h e p l a t e s u r f a c e . T h e b o u n d a r y c o n d i t i o n s , E q . ( 2 . 2 9 ) , ( 2 . 3 0 ) a n d ( 2 . 1 ) , w e r e i m p o s e d a t t h e i r r e s p e c t i v e b o u n d a r i e s a n d c o r n e r s . T h i s f o r m e d a s e t o f s i m u l t a n e o u s e q u a t i o n s w h i c h w e r e s o l v e d f o r t h e d e f l e c t i o n o f t h e p l a t e . A p r o g r a m w a s w r i t t e n t o g e n e r a t e a n d s o l v e t h e s e s i m u l t a n e o u s e q u a t i o n s . T e s t s w e r e m a d e o n p r o b l e m s w h e r e a n a l y t i c a l s o l u t i o n s e x i s t , t o v e r i f y t h e p r o g r a m a n d t e s t i t s a c c u r a c y . A P P E N D I C E S • 1 1 4 B . l D E F L E C T I O N R E S U L T S T h e n o n - d i m e n s i o n a l d e f l e c t i o n o f a u n i f o r m l y l o a d e d p l a t e s u p p o r t e d b y o p p o s i t e c o r n e r s i s s h o w n i n F i g . B . l . T h e s u p p o r t e d c o r n e r s a r e s h o w n w i t h z e r o d e f l e c t i o n . A t t h e 4 c e n t r e a n d t h e f r e e c o r n e r s t h e d e f l e c t i o n s a r e . 0 7 0 3 q a / D 4 a n d . 0 8 9 3 q a / D r e s p e c t i v e l y , w h e r e q i s t h e p l a t e l o a d i n g , a i s t h e e d g e l e n g t h , a n d D t h e f l e x u r a l r i g i d i t y . T h e p l a t e a s s u m e s a n a l m o s t c y l i n d r i c a l s h a p e w i t h o n l y a s m a l l a m o u n t o f a n t i c l a s t i c c u r v a t u r e p r e s e n t u n d e r t h i s l o a d i n g . B . 2 C O N V E R G E N C E T o d e t e r m i n e h o w f i n e t h e m e s h s h o u l d b e m a d e t o o b t a i n r e a s o n a b l e r e s u l t s , t h e c e n t r e d e f l e c t i o n a n d b e n d i n g m o m e n t p a r a l l e l t o t h e p l a t e e d g e w a s e x a m i n e d f o r c o n v e r g e n c e . A s e r i e s o f t e s t s w e r e m a d e , v a r y i n g t h e m e s h s i z e f r o m 2 b y 2 t o 1 0 b y 1 0 , i n i n c r e m e n t s o f 2 . T h e d e f l e c t i o n a n d m o m e n t c o n v e r g e n c e a r e p l o t t e d i n F i g . B . 2 a n d B . 3 r e s p e c t i v e l y . F o r t h e l a s t i n c r e m e n t i n p l a t e s i z e , t h e d e f l e c t i o n a n d m o m e n t c h a n g e w a s s m a l l , a p p r o x i m a t e l y . 2 % a n d . 1 % r e s p e c t i v e l y . T h e c o n v e r g e n c e f i g u r e s s h o w t h e r e w a s o n l y a s m a l l e r r o r f o r t h e 1 0 b y 1 0 m e s h . A P P E N D I C E S 1 1 5 DEFLECTIONS PLATE SUPPORTED BY TWO CORNER POSTS F i g u r e B . l , D e f l e c t i o n o f p l a t e u n d e r u n i f o r m l o a d a n d s u p p o r t e d b y o p p o s i t e c o r n e r s . A P P E N D I C E S 1 1 6 EFFECT OF GRID REFINEMENT L O > 1 O ><^. '—'r-Q X • d C 3 — ZZ. <M CT LU 1 I L_ • LxJr^ CD o -o CENTRE DEFLECTION 2.0 4.0 GRID ~~1 r 6.0 (N BY N) 8.0 10.0 F i g u r e B . 2 , C o n v e r g e n c e o f c e n t r e d e f l e c t i o n f o r v a r y i n g m e s h s i z e s b e t w e e n 2 a n d 1 0 . A P P E N D I C E S 1 1 7 EFFECT OF GRID REFINEMENT CM CM I o „ X CD © o CNTR. MOMENT 2.0 6.0 8.0 GRID (N BY N) 10.0 F i g u r e B . 3 , C o n v e r g e n c e o f c e n t r e b e n d i n g m o m e n t f o r v a r y i n g m e s h s i z e s b e t w e e n 2 a n d 1 0 . A P P E N D I C E S 1 1 8 B . 3 M A X I M U M V A L U E S OF C U R V A T U R E A N D S L O P E I n S e c t i o n 3 . 1 . 3 . 1 t h e m a x i m u m c u r v a t u r e a n d s l o p e w e r e r e q u i r e d f o r t h e e s t i m a t i o n o f n o n - l i n e a r i t y u s e d i n t h e d e s i g n o f t h e t e s t p l a t e . A t e a c h m e s h p o i n t t h e c u r v a t u r e s a n d t w i s t w h e r e c a l c u l a t e d u s i n g a x e s p a r a l l e l w i t h t h e p l a t e e d g e s . T h e m a x i m u m v a l u e s o f c u r v a t u r e w e r e c a l c u l a t e d u s i n g a M o h r ' s c i r c l e . T h e m a x i m u m c u r v a t u r e ( w , x x ) m a x = - 3 5 7 < 3 a 4 / ° . . . ( B . l ) w a s f o u n d a t t h e s u p p o r t e d c o r n e r s a n d w a s e q u a l i n t h e d i r e c t i o n o f b o t h t h e p l a t e d i a g o n a l s . T h e m a x i m u m s l o p e w a s f o u n d u s i n g t h e g e o m e t r i c r e l a t i o n s h i p i n [ 1 2 ] g i v i n g ( w , x ) m a x = - 2 0 6 < J * 3 / D . . . ( B . 2 ) T h i s m a x i m u m w a s a l s o f o u n d a t t h e s u p p o r t e d c o r n e r s a n d w a s i n t h e d i r e c t i o n o f t h e d i a g o n a l b e t w e e n t h e p o s t s . T h e p o i n t s o f m a x i m u m s l o p e c a n b e c l e a r l y s e e n i n F i g . B . l . 

Cite

Citation Scheme:

        

Citations by CSL (citeproc-js)

Usage Statistics

Share

Embed

Customize your widget with the following options, then copy and paste the code below into the HTML of your page to embed this item in your website.
                        
                            <div id="ubcOpenCollectionsWidgetDisplay">
                            <script id="ubcOpenCollectionsWidget"
                            src="{[{embed.src}]}"
                            data-item="{[{embed.item}]}"
                            data-collection="{[{embed.collection}]}"
                            data-metadata="{[{embed.showMetadata}]}"
                            data-width="{[{embed.width}]}"
                            async >
                            </script>
                            </div>
                        
                    
IIIF logo Our image viewer uses the IIIF 2.0 standard. To load this item in other compatible viewers, use this url:
http://iiif.library.ubc.ca/presentation/dsp.831.1-0097910/manifest

Comment

Related Items