UBC Theses and Dissertations

UBC Theses Logo

UBC Theses and Dissertations

Vibration studies on TRIUMF resonators Lee, Jimmy 1986

Your browser doesn't seem to have a PDF viewer, please download the PDF to view this item.

Item Metadata

Download

Media
831-UBC_1986_A7 L43_3.pdf [ 5.58MB ]
Metadata
JSON: 831-1.0096914.json
JSON-LD: 831-1.0096914-ld.json
RDF/XML (Pretty): 831-1.0096914-rdf.xml
RDF/JSON: 831-1.0096914-rdf.json
Turtle: 831-1.0096914-turtle.txt
N-Triples: 831-1.0096914-rdf-ntriples.txt
Original Record: 831-1.0096914-source.json
Full Text
831-1.0096914-fulltext.txt
Citation
831-1.0096914.ris

Full Text

V I B R A T I O N S T U D I E S ON T R I U M F R E S O N A T O R S b y J I M M Y L E E B . A . S c , U N I V E R S I T Y O F B R I T I S H C O L U M B I A ( 1 9 8 4 ) A T H E S I S S U B M I T T E D I N P A R T I A L F U L F I L M E N T O F T H E R E Q U I R E M E N T S F O R T H E D E G R E E O F M A S T E R O F A P P L I E D S C I E N C E i n F A C U L T Y O F G R A D U A T E S T U D I E S D E P A R T M E N T O F M E C H A N I C A L E N G I N E E R I N G We a c c e p t t h i s t h e s i s a s c o n f o r m i n g t o t h e r e q u i r e d s t a n d a r d U N I V E R S I T Y O F B R I T I S H C O L U M B I A S E P T E M B E R 1 9 8 6 © J I M M Y L E E , 1 9 8 6 I n p r e s e n t i n g t h i s t h e s i s i n p a r t i a l f u l f i l m e n t o f t h e r e q u i r e m e n t s f o r a n a d v a n c e d d e g r e e a t t h e U N I V E R S I T Y O F B R I T I S H C O L U M B I A , I a g r e e t h a t t h e L i b r a r y s h a l l m a k e i t f r e e l y a v a i l a b l e f o r r e f e r e n c e a n d s t u d y . I f u r t h e r a g r e e t h a t p e r m i s s i o n f o r e x t e n s i v e c o p y i n g o f t h i s t h e s i s f o r s c h o l a r l y p u r p o s e s m a y b e g r a n t e d b y t h e H e a d o f my D e p a r t m e n t o r b y h i s o r h e r r e p r e s e n t a t i v e s . I t i s u n d e r s t o o d t h a t c o p y i n g o r p u b l i c a t i o n o f t h i s t h e s i s f o r f i n a n c i a l g a i n s h a l l n o t b e a l l o w e d w i t h o u t my w r i t t e n p e r m i s s i o n . D E P A R T M E N T O F M E C H A N I C A L E N G I N E E R I N G U N I V E R S I T Y O F B R I T I S H C O L U M B I A 2 0 7 5 W e s b r o o k P l a c e V a n c o u v e r , C a n a d a V 6 T 1W5 D a t e : S E P T E M B E R 1 9 8 6 A B S T R A C T T h e C y c l o t r o n D i v i s i o n o f T r i u m f , C a n a d a ' s n a t i o n a l m e s o n f a c i l i t y , i n i t i a t e d a s t u d y t o d e s i g n r e p l a c e m e n t R F r e s o n a t o r s w h i c h w h e n i n p l a c e w o u l d i m p r o v e t h e q u a l i t y o f t h e p a r t i c l e b e a m p r o d u c e d b y t h e c y c l o t r o n . A h o t - a r m , a m a j o r s t r u c t u r e o f a r e s o n a t o r , e x p e r i e n c e s t h e r m a l - r e l a t e d s t r u c t u r a l d e f o r m a t i o n a n d f l o w - i n d u c e d s t r u c t u r a l v i b r a t i o n w h i c h r e d u c e s t h e s p a t i a l s t a b i l i t y o f t h e p a r t i c l e b e a m . T h e s c o p e o f t h i s r e p o r t e n c o m p a s s e s s t u d i e s o n t h e h o t - a r m v i b r a t i o n t o d e t e r m i n e t h e d e s i r a b l e c h a r a c t e r i s t i c s f o r a r e p l a c e m e n t h o t - a r m d e s i g n w h i c h w o u l d r e d u c e h o t - a r m v i b r a t i o n . T h e i m p r o v e d b e a m s t a b i l i t y w i l l b e b e n e f i c i a l f o r t h e t y p e s o f e x p e r i m e n t s c o n d u c t e d now a t T r i u m f . I n t h e f u t u r e , i t w i l l b e b e n e f i c i a l f o r t h e p r o p o s e d K a o n F a c t o r y ; T r i u m f h a s r e q u e s t e d f u n d s t o c o n s t r u c t a k a o n p r o d u c i n g f a c t o r y e n c i r c l i n g t h e e x i s t i n g c y c l o t r o n . T h e v i b r a t i n g h o t - a r m i s m o d e l l e d a n a l y t i c a l l y t o b e a t r a n s v e r s e l y v i b r a t i n g c a n t i l e v e r b e a m . I n v e s t i g a t i o n s a r e c a r r i e d o u t o n t h e f o l l o w i n g a r e a s : 1 . t h e n a t u r e o f t h e v i b r a t i o n e x c i t a t i o n f o r c e s o r i g i n a t i n g f r o m t h e c o o l a n t w a t e r f l o w i n g i n t h e h o t - a r m ; 2. t h e e f f e c t i v e n e s s o f a d d i n g a l u m p e d m a s s , a r o t a t i o n a l s t i f f e n e r a n d d a m p i n g , t o t h e c a n t i l e v e r b e a m m o d e l , i n r e d u c i n g b e a m v i b r a t i o n ; 3. t h e m i n i m u m - w e i g h t d e s i g n o f a l i g h t l y d a m p e d v a r i a b l e - c r o s s - s e c t i o n s a n d w i c h c a n t i l e v e r b e a m , i i s u b j e c t e d t o a u n i t h a r m o n i c p o i n t f o r c e a t t h e f r e e t i p , w i t h c o n s t r a i n t o n t h e t i p a m p l i t u d e ; 4 . t h e m i n i m u m - w e i g h t d e s i g n o f a l i g h t l y d a m p e d v a r i a b l e - c r o s s - s e c t i o n s a n d w i c h c a n t i l e v e r b e a m , s u b j e c t e d t o a r a n d o m r a i n f o r c e w i t h w h i t e n o i s e p o w e r s p e c t r a l d e n s i t y o v e r t h e b e a m s p a n , w i t h c o n s t r a i n t o n t h e m e a n s q u a r e t i p d e f l e c t i o n ; 5 . t h e o p t i m a l d e s i g n o f a d y n a m i c v i b r a t i o n a b s o r b e r t o a t t e n u a t e t h e h o t - a r m v i b r a t i o n a n d 6. t h e i n f l u e n c e o f t h e s h a p e o f t h e c o o l a n t - f l o w c h a n n e l o n t h e m a g n i f i c a t i o n o f t h e f l o w - i n d u c e d e x c i t a t i o n i n a h o t - a r m . A p o s s i b l e d e s i g n f o r t h e r e p l a c e m e n t h o t - a r m i s d i s c u s s e d . i i i T a b l e o f C o n t e n t s ABSTRACT i i LIST OF TABLES vii LIST OF FIGURES ix NOMENCLATURE x i i i ACKNOWLEDGEMENT xviii 1 . I n t r o d u c t i o n 1 1.1 D e s c r i p t i o n o f t h e T r i u m f C y c l o t r o n 1 1 . 2 D e s c r i p t i o n o f a T r i u m f R e s o n a t o r 5 1 . 3 D e s c r i p t i o n o f t h e E x i s t i n g H o t - a r m a n d P r o t o t y p e d ) H o t - a r m 9 1 . 3 . 1 E x i s t i n g H o t - a r m 9 1 . 3 . 2 E x i s t i n g H o t - a r m w i t h A t t a c h e d D y n a m i c V i b r a t i o n A b s o r b e r 12 1 . 3 . 3 P r o t o t y p e d ) H o t - a r m 15 1 . 4 E f f e c t o f H o t - a r m V i b r a t i o n o n t h e A c c e l e r a t i n g P a r t i c l e s 22 1 . 5 O b j e c t i v e s 23 2 . A S t u d y o n t h e G o v e r n i n g E q u a t i o n o f M o t i o n o f a P i p e C o n v e y i n g F l u i d 2 4 2 . 1 T h e E q u a t i o n o f S m a l l M o t i o n 2 5 2 . 2 P o s s i b l e U n s t a b l e O s c i l l a t i o n o f P r o t o t y p e d ) H o t - a r m C o n v e y i n g C o o l a n t W a t e r F l o w 2 6 3 . R a n d o m V i b r a t i o n o f t h e H o t - a r m s 2 9 3 . 1 C h a r a c t e r i z i n g a R a n d o m V i b r a t i o n P r o c e s s 30 3 . 1 . 1 E n s e m b l e A v e r a g e s a n d S t a t i o n a r y P r o c e s s e s 31 3 . 1 . 2 P o w e r S p e c t r a l D e n s i t y F u n c t i o n f o r a S t a t i o n a r y P r o c e s s 31 3 . 1 . 3 R e l a t i o n s h i p B e t w e e n t h e P o w e r S p e c t r a l D e n s i t y a n d A u t o c o r r e l a t i o n F u n c t i o n f o r a S t a t i o n a r y P r o c e s s 32 i v 3 . 2 T h e N a t u r e o f t h e R a n d o m E x c i t a t i o n F o r c e s O r i g i n a t i n g f r o m t h e C o o l a n t - W a t e r F l o w i n a P r o t o t y p e d ) H o t - a r m 33 3 . 3 T r a n s v e r s e l y V i b r a t i n g C a n t i l e v e r B e a m M o d e l o f a V i b r a t i n g H o t - a r m 38 3 . 4 R e s p o n s e C a l c u l a t i o n f o r a T r a n s v e r s e l y V i b r a t i n g B e a m S u b j e c t e d t o a R a n d o m R a i n F o r c e . 3 9 3 . 5 R a n d o m V i b r a t i o n M e a s u r e m e n t s o n t h e P r o t o t y p e d ) H o t - a r m 4 5 4 . A n A n a l y t i c a l S t u d y o n t h e O p t i m a l S t r u c t u r a l G e o m e t r y f o r a H o t - a r m W h i c h M i n i m i z e s V i b r a t i o n . . . . 5 0 4 . 1 T h e A d d i t i o n o f D i s c r e t e M a s s - S t i f f n e s s - D a m p i n g t o R e d u c e t h e V i b r a t i o n D e f l e c t i o n o f a U n i f o r m C a n t i l e v e r B e a m 52 4 . 2 O p t i m u m D e s i g n o f a H y s t e r e t i c a l l y D a m p e d C a n t i l e v e r B e a m S u b j e c t e d t o a U n i t H a r m o n i c P o i n t F o r c e a t t h e F r e e T i p 60 4 . 2 . 1 O p t i m a l i t y C r i t e r i o n f o r t h e M i n i m u m - w e i g h t S a n d w i c h C a n t i l e v e r B e a m E x c i t e d b y a U n i t H a r m o n i c P o i n t F o r c e a t t h e F r e e T i p 63 4 . 2 . 2 M i n i m u m - w e i g h t s a n d w i c h c a n t i l e v e r b e a m d e s i g n w h e n t h e f r e q u e n c y o f t h e u n i t h a r m o n i c p o i n t f o r c e i s m u c h l o w e r t h a n t h e f u n d a m e n t a l f r e q u e n c y . . . 6 6 4 . 2 . 3 M i n i m u m - w e i g h t s a n d w i c h c a n t i l e v e r b e a m d e s i g n w h e n t h e f r e q u e n c y o f t h e u n i t h a r m o n i c p o i n t f o r c e i s t h e f u n d a m e n t a l f r e q u e n c y 70 4 . 3 M i n i m u m - W e i g h t D e s i g n o f A H y s t e r e t i c a l l y D a m p e d S a n d w i c h C a n t i l e v e r B e a m , S u b j e c t e d t o A R a n d o m R a i n F o r c e w i t h W h i t e N o i s e P S D , w i t h C o n s t r a i n t o n t h e T i p D e f l e c t i o n 75 4 . 3 . 1 T i p D e f l e c t i o n o f H y s t e r e t i c a l l y D a m p e d U n i f o r m B e a m s S u b j e c t e d t o a R a n d o m R a i n F o r c e w i t h W h i t e N o i s e P S D 77 4 . 3 . 2 M i n i m u m - W e i g h t D e s i g n o f a H y s t e r e t i c a l l y D a m p e d V a r i a b l e - C r o s s - S e c t i o n C a n t i l e v e r B e a m , S u b j e c t e d t o a R a n d o m R a i n F o r c e w i t h W h i t e N o i s e P S D , w i t h C o n s t r a i n t o n t h e MS T i p D e f l e c t i o n 7 9 v 4 . 4 T h e E f f e c t o f A d d i n g W e i g h t s t o t h e T i p o f a P r o t o t y p e d ) H o t - a r m 83 4 . 5 D i s c u s s i o n o n a P o s s i b l e R e p l a c e m e n t S t r o n g b a c k D e s i g n 84 5 . V i b r a t i o n D a m p i n g f o r a H o t - a r m 87 5 . 1 V a r i o u s M e t h o d s t o A t t e n u a t e t h e H o t - a r m V i b r a t i o n 88 5 . 2 A n O p t i m a l D y n a m i c V i b r a t i o n A b s o r b e r f o r t h e P r o t o t y p e d ) H o t - a r m 8 9 5 . 2 . 1 L u m p e d P a r a m e t e r s f o r a T r a n s v e r s e l y V i b r a t i n g C a n t i l e v e r B e a m E x c i t e d b y a R a n d o m R a i n F o r c e w i t h W h i t e N o i s e P S D . . . . 9 1 5 . 2 . 2 O p t i m a l A b s o r b e r P a r a m e t e r s f o r a 1 D 0 F M a i n S y s t e m E x c i t e d b y a R a n d o m F o r c e w i t h W h i t e N o i s e P S D 93 5 . 2 . 3 D a m p e d V i b r a t i o n A b s o r b e r f o r t h e P r o t o t y p e d ) H o t - a r m 96 5 . 2 . 3 . 1 C o n s i d e r a t i o n s i n S e l e c t i n g t h e A b s o r b e r D a m p i n g M e c h a n i s m 98 5 . 2 . 3 . 2 T h e T e s t i n g o f D a m p e d V i b r a t i o n A b s o r b e r s o n a P r o t o t y p e d ) H o t - a r m 102 6 . T u r b u l e n c e G e n e r a t i o n i n t h e H o t - a r m C o o l a n t W a t e r F l o w 110 C O N C L U S I O N S 113 R E F E R E N C E S 116 A P P E N D I X A 121 A P P E N D I X B 122 A P P E N D I X C 123 A P P E N D I X D 126 A P P E N D I X E 1 27 v i L I S T O F T A B L E S T a b l e P a g e 1.1 A c o m p a r i s o n o f t h e e x i s t i n g a n d P r o t o t y p e d ) h o t - a r m s . 21 3 . 1 E x t r e m e a c c e l e r a t i o n s o f t h e P r o t o t y p e d ) h o t - a r m t i p . 48 4 . 1 V i b r a t i o n d e f l e c t i o n o f a u n i f o r m c a n t i l e v e r b e a m f o r v a r i o u s c o m b i n a t i o n s o f t h e l u m p e d m a s s - s t i f f n e s s - d a m p i n g a d d i t i o n , b e a m e x c i t a t i o n m o d e l a n d d a m p i n g m o d e l . 5 5 4 . 2 A c o m p a r i s o n b e t w e e n t h e u n i f o r m s a n d w i c h c a n t i l e v e r b e a m s a n d t h e i r m i n i m u m - w e i g h t c o u n t e r p a r t s w i t h t h e s a m e t i p a m p l i t u d e . 72 4 . 3 T i p d e f l e c t i o n f o r u n i f o r m s a n d w i c h c a n t i l e v e r b e a m s s u b j e c t e d t o a r a n d o m r a i n f o r c e w i t h w h i t e n o i s e P S D . 78 4 . 4 M i n i m u m - w e i g h t d e s i g n o f a v a r i a b l e - c r o s s - s e c t i o n s a n d w i c h c a n t i l e v e r b e a m , s u b j e c t e d t o a r a n d o m r a i n f o r c e w i t h w h i t e n o i s e P S D , w i t h c o n s t r a i n t o n t h e MS t i p d e f l e c t i o n . 8 3 5 . 1 O p t i m u m a b s o r b e r p a r a m e t e r s f o r a n u n d a m p e d 1 D 0 F m a i n s y s t e m e x c i t e d b y a r a n d o m f o r c e w i t h w h i t e n o i s e P S D . 96 5 . 2 T e s t r e s u l t s f o r t h e d a m p e d v i b r a t i o n a b s o r b e r s w h i c h w e r e a t t a c h e d t o t h e P r o t o t y p e d ) h o t - a r m t i p . 1 0 3 6 . 1 A c o m p a r i s o n o f t h e h o t - a r m v i b r a t i o n f o r t h e v i i r o l l - b o n d p a n e l a n d p i p e - t y p e p a n e l . 112 v i i i L I S T O F F I G U R E S F i g u r e P a g e 1.1 P l a n v i e w o f t h e T r i u m f C y c l o t r o n t a n k . 2 1 . 2 A t y p i c a l u p p e r - r e s o n a t o r . 3 1 . 3 P a r t i a l e l e v a t i o n v i e w o f t h e T r i u m f C y c l o t r o n t a n k a n d t h e r e s o n a t o r s . 4 1 . 4 E x p l o d e d v i e w o f a n e x i s t i n g r e s o n a t o r . 6 1 . 5 P l a n v i e w o f a r o l l - b o n d h o t - a r m p a n e l . 8 1 . 6 P a r t i a l c r o s s s e c t i o n a l v i e w o f a n e x i s t i n g h o t - a r m . ( T h e c u t t i n g p l a n e i s p e r p e n d i c u l a r t o t h e l e n g t h o f t h e h o t - a r m ) 10 1 . 7 RMS s p e c t r u m o f t h e t i p d e f l e c t i o n f o r t h e e x i s t i n g h o t - a r m . 13 1 . 8 A 1DOF m a i n s y s t e m w i t h a n a t t a c h e d d a m p e d d y n a m i c v i b r a t i o n a b s o r b e r s y s t e m . 13 1 . 9 RMS s p e c t r u m o f t h e t i p d e f l e c t i o n f o r t h e e x i s t i n g h o t - a r m w i t h a n a t t a c h e d v i b r a t i o n a b s o r b e r . 14 1 . 1 0 P l a n v i e w o f a P r o t o t y p e d ) h o t - a r m p a n e l . 16 1 .11 A P r o t o t y p e d ) s t r o n g b a c k . 17 1 . 1 2 P a r t i a l c r o s s s e c t i o n a l v i e w o f a P r o t o t y p e d ) h o t - a r m . ( T h e c u t t i n g p l a n e i s p e r p e n d i c u l a r t o t h e l e n g t h o f t h e h o t - a r m ) 18 2 . 1 A c a n t i l e v e r e d t u b e c o n v e y i n g f l u i d , f i x e d a t t h e u p s t r e a m e n d , v i b r a t i n g i n t h e f i r s t m o d e . 24 2 . 2 A c a n t i l e v e r e d t u b e c o n v e y i n g f l u i d , f i x e d a t t h e u p s t r e a m e n d , v i b r a t i n g i n t h e s e c o n d m o d e . 28 i x 3 . 1 T y p i c a l p o w e r s p e c t r a o f t h e w a t e r - f l o w n o i s e o v e r a c y l i n d r i c a l r o d . R e f . [ 8 ] 3 5 3 . 2 V i b r a t i o n a c c e l e r a t i o n o f t h e P r o t o t y p e d ) h o t - a r m t i p . 4 6 3 . 3 P r o b a b i l i t y d e n s i t y f u n c t i o n o f t h e P r o t o t y p e d ) h o t - a r m t i p v i b r a t i o n a c c e l e r a t i o n . 46 4 . 1 A u n i f o r m c a n t i l e v e r b e a m w i t h a n a d d e d m a s s M ° e x c i t e d b y a h a r m o n i c p o i n t f o r c e P s i n ( w n ) t . 53 4 . 2 A u n i f o r m c a n t i l e v e r b e a m w i t h a n a d d e d r o t a t i o n a l s t i f f e n n e r K ° a n d v i s c o u s d a m p i n g C ° e x c i t e d b y a r a n d o m r a i n f o r c e w i t h w h i t e n o i s e s p e c t r a l d e n s i t y S 0 . 53 4 . 3 A v a r i a b l e - c r o s s - s e c t i o n s a n d w i c h b e a m . 64 4 . 4 O p t i m a l c o v e r - p l a t e t h i c k n e s s f o r a n u n d a m p e d c a n t i l e v e r b e a m e x c i t e d b y a u n i t h a r m o n i c p o i n t f o r c e (T = 1 0 " * ) a n d f o r a c a n t i l e v e r b e a m u n d e r s t a t i c p o i n t f o r c e (T = 0 ) , b o t h f o r c e s a t t h e f r e e t i p . 6 9 4 . 5 A v a r i a b l e - c r o s s - s e c t i o n s a n d w i c h c a n t i l e v e r b e a m . 81 4 . 6 F i n i t e e l e m e n t a p p r o x i m a t i o n o f t h e v a r i a b l e - c r o s s - s e c t i o n s a n d w i c h c a n t i l e v e r b e a m . 81 4 . 7 A r e p l a c e m e n t s t r o n g b a c k d e s i g n . 8 6 5 . 1 A t r a n s v e r s e l y v i b r a t i n g c a n t i l e v e r b e a m w i t h a n a t t a c h e d d a m p e d v i b r a t i o n a b s o r b e r . 92 5 . 2 A 1DOF m a i n s y s t e m w i t h a n a t t a c h e d d a m p e d d y n a m i c v i b r a t i o n a b s o r b e r . 94 x 5 . 3 S i m p l i f i e d d r a w i n g o f t h e f r i c t i o n d a m p e d v i b r a t i o n a b s o r b e r a t t a c h e d t o t h e h o t - a r m t i p . 97 5 . 4 D e p e n d e n c e o f t h e MS d i s p l a c e m e n t o f t h e m a i n m a s s u p o n a b s o r b e r p a r a m e t e r s , f a n d 7 . F o r v a l u e s o f f a n d 7 . w i t h i n a c o n t o u r t h e r e s p o n s e e x c e e d s t h e o p t i m a l MS d i s p l a c e m e n t b y l e s s t h a n s t a t e d p e r c e n t a g e . ' + ' O p t i m a l v a l u e s , * " * o p t r T r a = 7 a - o p t ' M = 0 . 1 , 7 m = 0 . 0 l . R e f . [ 4 0 ] 101 5 . 5 RMS s p e c t r u m o f t h e t i p d e f l e c t i o n f o r t h e P r o t o t y p e d ) h o t - a r m w i t h o u t a n a b s o r b e r . 105 5 . 6 a RMS s p e c t r u m o f t h e t i p d e f l e c t i o n f o r t h e P r o t o t y p e d ) h o t - a r m w i t h a n u n d a m p e d a b s o r b e r a t t a c h e d t o t h e t i p . U = 0 . 0 5 ) 1 0 6 5 . 6 b RMS s p e c t r u m o f t h e t i p d e f l e c t i o n f o r t h e P r o t o t y p e d ) h o t - a r m w i t h a n a d j u s t e d d a m p e d a b s o r b e r a t t a c h e d t o t h e t i p . ( * i = 0 . 0 5 ) 106 5 . 7 a RMS s p e c t r u m o f t h e t i p d e f l e c t i o n f o r t h e P r o t o t y p e d ) h o t - a r m w i t h a n u n d a m p e d a b s o r b e r a t t a c h e d t o t h e t i p . ( < i = 0 . l 0 ) 107 5 . 7 b RMS s p e c t r u m o f t h e t i p d e f l e c t i o n f o r t h e P r o t o t y p e d ) h o t - a r m w i t h a n a d j u s t e d d a m p e d a b s o r b e r a t t a c h e d t o t h e t i p . (v=0.1 0 ) 107 5 . 8 a RMS s p e c t r u m o f t h e t i p d e f l e c t i o n f o r t h e P r o t o t y p e d ) h o t - a r m w i t h a n u n d a m p e d a b s o r b e r a t t a c h e d t o t h e t i p . U = 0 . 1 5 ) 107 5 . 8 b RMS s p e c t r u m o f t h e t i p d e f l e c t i o n f o r t h e P r o t o t y p e d ) h o t - a r m w i t h a n a d j u s t e d d a m p e d x i a b s o r b e r a t t a c h e d t o t h e t i p . ( u = 0 . l 5 ) 108 6 . 1 C r o s s s e c t i o n a l v i e w o f t h e c o o l a n t c h a n n e l i n a r o l l - b o n d h o t - a r m p a n e l . I l l 6 . 2 C r o s s s e c t i o n a l v i e w o f t h e c o o l a n t c h a n n e l i n a p i p e - t y p e h o t - a r m p a n e l . 111 x i i N O M E N C L A T U R E m a s s , s p r i n g a n d v i s c o u s d a m p i n g , r e s p e c t i v e l y , o f a 1 D 0 F m a i n s y s t e m m a s s , s p r i n g a n d v i s c o u s d a m p i n g , r e s p e c t i v e l y , o f a v i b r a t i o n a b s o r b e r d e f l e c t i o n o f a t r a n s v e r s e l y v i b r a t i n g t u b e o r b e a m s p a t i a l c o o r d i n a t e p a r a l l e l t o a t u b e o r a b e a m t i m e c o o r d i n a t e l e n g t h o f a t u b e o r a b e a m f l e x u r a l r i g i d i t y o f a t u b e o r a b e a m m a s s p e r u n i t l e n g t h o f a t u b e o r a b e a m m a s s p e r u n i t l e n g t h o f f l u i d i n a t u b e m e a n s p e e d o f t h e f l u i d f l o w a m p l i t u d e o f t h e t u b e d e f l e c t i o n e x p o n e n t i a l f u n c t i o n o f t h e a r g u m e n t p a r a m e t e r s f r e q u e n c y o f t h e t u b e v i b r a t i o n , b e a m v i b r a t i o n , t u r b u l e n t w a l l - p r e s s u r e f l u c t u a t i o n o r b e a m e x c i t a t i o n f o r c e r e s u l t a n t f l u i d f l o w v e l o c i t y a t e x i t f r o m a t r a n s v e r s e l y v i b r a t i n g t u b e c o n v e y i n g f l u i d , f i x e d a t t h e u p s t r e a m e n d r e a l p a r t o f t h e c o m p l e x a r g u m e n t i m a g i n a r y p a r t o f t h e c o m p l e x a r g u m e n t d e f i n e b y , ( / ) 2 = -1 m a t h e m a t i c a l e x p e c t a t i o n o f t h e a r g u m e n t p r o b a b i l i t y d e n s i t y f u n c t i o n ( P D F ) o f t h e x i i i a r g u m e n t v a r i a b l e s MS m e a n s q u a r e v a l u e RMS r o o t m e a n s q u a r e v a l u e a 2 v a r i a n c e o f t h e s u b s c r i p t v a r i a b l e y Oy s t a n d a r d d e v i a t i o n o f t h e s u b s c r i p t v a r i a b l e y R y ( ) c r o s s c o r r e l a t i o n f u n c t i o n o f t h e s u b c r i p t v a r i a b l e y w i t h d e p e n d e n t v a r i a b l e s i n t h e a r g u m e n t S y ( ) c r o s s s p e c t r a l d e n s i t y f u n c t i o n o f t h e s u b s c r i p t v a r i a b l e y w i t h d e p e n d e n t v a r i a b l e s i n t h e a r g u m e n t 0* c c o n v e c t i o n s p e e d o f t u r b u l e n c e i n t h e f l u i d f l o w d ^ h y d r a u l i c d i a m e t e r L l e n g t h s c a l e o f t h e t u r b u l e n c e i n t h e f l u i d f l o w 6( ) D i r a c f u n c t i o n w i t h d e p e n d e n t p a r a m e t e r s i n t h e a r g u m e n t s s t r e s s i n t h e b e a m e s t r a i n i n t h e b e a m E e l a s t i c m o d u l u s o f t h e b e a m m a t e r i a l c d a m p i n g p a r a m e t e r o f a v i s c o u s l y d a m p e d b e a m v d a m p i n g p a r a m e t e r o f a h y s t e r e t i c a l l y d a m p e d b e a m ( ' ) d i f f e r e n t i a t e t h e a r g u m e n t o n c e w i t h r e s p e c t t o t (" ) d i f f e r e n t i a t e t h e a r g u m e n t t w i c e w i t h r e s p e c t t o t f ( x , t ) f o r c i n g f u n c t i o n f o r a b e a m x i v h ( x , T ; a ) u n i t i m p u l s e r e s p o n s e f u n c t i o n o f a b e a m H ( x , u ; a ) u n i t c o m p l e x f r e q u e n c y r e s p o n s e f u n c t i o n o f a b e a m # j ( x ) , 9 j ( t ) j t h n o r m a l m o d e a n d c o r r e s p o n d i n g g e n e r a l i z e d c o o r d i n a t e , r e s p e c t i v e l y , f o r a t r a n s v e r s e l y v i b r a t i n g b e a m ( j = 1 , 2 , 3 . . . ) h j ( t ) s i m i l a r t o t h e u n i t i m p u l s e r e s p o n s e f u n c t i o n f o r a 1DOF s y s t e m H j ( w ) s i m i l a r t o t h e u n i t c o m p l e x f r e q u e n c y r e s p o n s e f u n c t i o n f o r a 1DOF s y s t e m W j j t h r e s o n a n t f r e q u e n c y f o r a b e a m 7 j d a m p i n g r a t i o f o r t h e j t h n o r m a l m o d e o f t h e b e a m I J ^ ( C J ) j o i n t a c c e p t a n c e f u n c t i o n i/>T t r a n s p o s e o f t h e j t h f i n i t e e l e m e n t m o d e s h a p e v e c t o r ^ ( x ^ M , m o d e s h a p e a n d g e n e r a l i z e d m a s s o f t h e f i n i t e e l e m e n t s y s t e m c o r r e s p o n d i n g t o t h e s m a l l e s t n o n - z e r o e i g e n v a l u e 6 l o g a r i t h m i c d e c r e m e n t o f t h e d a m p e d f r e e v i b r a t i o n r e s p o n s e ( ) ' d i f f e r e n t i a t e t h e a r g u m e n t o n c e w i t h r e s p e c t t o x ( ) " d i f f e r e n t i a t e t h e a r g u m e n t t w i c e w i t h r e s p e c t t o x 0 , ( x ) t h e f i r s t n o r m a l m o d e o f a b e a m # " ( x ) t h e f i r s t n o r m a l m o d e o f a b e a m d i f f e r e n t i a t e d x v t w i c e w i t h r e s p e c t t o x M ° a d d e d l u m p e d m a s s K ° , C ° a d d e d r o t a t i o n a l s t i f f e n e r w i t h l u m p e d v i s c o u s d a m p i n g K ° , H ° a d d e d r o t a t i o n a l s t i f f e n e r w i t h l u m p e d h y s t e r e t i c d a m p i n g A a l e n g t h m u c h s m a l l e r t h a n L P c o n s t a n t m a g n i t u d e o f t h e h a r m o n i c p o i n t f o r c e S 0 c o n s t a n t p o w e r s p e c t r a l d e n s i t y o f t h e r a n d o m r a i n f o r c e I ( x ) , m ( x ) m o m e n t o f i n e r t i a o f t h e b e a m c r o s s s e c t i o n a n d m a s s p e r u n i t l e n g t h , r e s p e c t i v e l y , o f t h e v a r i a b l e - c r o s s - s e c t i o n s a n d w i c h b e a m 2 B b r e a d t h o f t h e s a n d w i c h b e a m 2 D c o n s t a n t s e p a r a t i o n d i s t a n c e b e t w e e n t h e m i d p l a n e s o f t h e c o v e r - p l a t e s i n t h e s a n d w i c h b e a m d ( x ) , E , p 2 t h i c k n e s s , e l a s t i c m o d u l u s a n d m a s s d e n s i t y , r e s p e c t i v e l y , o f t h e c o v e r - p l a t e s i n t h e s a n d w i c h b e a m p , m a s s d e n s i t y o f t h e c o r e i n t h e s a n d w i c h b e a m d c o n s t a n t t h i c k n e s s o f t h e c o v e r - p l a t e s i n t h e u n i f o r m - c r o s s - s e c t i o n s a n d w i c h b e a m s W .,1 w e i g h t a n d m o m e n t o f i n e r t i a o f c r o s s s e c t i o n , u n i ' 3 r e s p e c t i v e l y , o f t h e u n i f o r m c a n t i l e v e r b e a m s W o r l o i Y o r N o w e i g h t , m o m e n t o f i n e r t i a o f c r o s s s e c t i o n , t i p a m p l i t u d e a t t h e f u n d a m e n t a l r e s o n a n c e a n d m e a n s q u a r e t i p d e f l e c t i o n , r e s p e c t i v e l y , o f t h e x v 1 r e f e r e n c e u n i t - s q u a r e u n i f o r m c a n t i l e v e r b e a m W . w e i g h t o f t h e m i n i m u m - w e i g h t s a n d w i c h b e a m w i t h m i n c o n s t r a i n t o n t h e t i p a m p l i t u d e y , N t i p a m p l i t u d e a t t h e f u n d a m e n t a l r e s o n a n c e a n d MS t i p d e f l e c t i o n o f t h e c a n t i l e v e r b e a m s u M a / M m ' m a s s r a t 1 0 f o r t n e m a i n a n d a b s o r b e r m a s s e s C J 2 K / M a a a K m / M m m m m ' m f CJ /CJ a m 7 C /2M CJ ' a a a a 7 m C m / 2 M u m m m m S ^ c o n s t a n t p o w e r s p e c t r a l d e n s i t y o f t h e r a n d o m f o r c e o n t h e m a i n m a s s R ( / i , f , 7 a , 7 m ) d i m e n s i o n l e s s MS d i s p l a c e m e n t o f t h e m a i n m a s s x v i i A C K N O W L E D G E M E N T T h e a u t h o r w i s h e s t o t h a n k D r . S . G . H u t t o n f o r h i s g e n e r o u s h e l p d u r i n g t h e c o u r s e o f t h i s p r o j e c t . H i s g u i d a n c e t h r o u g h o u t t h i s e n t i r e p r o j e c t w a s i n v a l u a b l e . T h e a u t h o r i s a l s o g r a t e f u l f o r t h e f i n a n c i a l a s s i s t a n c e w h i c h h e h a d r e c e i v e d f r o m T r i u m f . T h i s p r o j e c t c o u l d n o t h a v e c o m p l e t e d w i t h o u t t h e p r o f e s s i o n a l g u i d a n c e f r o m M r . G u y S t a n f o r d w h o w a s t h e a u t h o r ' s i m m e d i a t e s u p e r v i s o r a t T r i u m f . H e a l s o w i s h e s t o t h a n k D r . K . F o n g o f t h e C y c l o t r o n D i v i s i o n f o r h i s u s e f u l d i s c u s s i o n s a n d c o l l a b o r a t i o n . T h e a s s i s t a n c e o f t h e T r i u m f ' s t e c h n i c i a n s i s a l s o a p p r e c i a t e d . T h e f i n a l t h a n k s g o t o t h e D e p a r t m e n t o f M e c h a n i c a l E n g i n e e r i n g o f U . B . C . a n d t h e d e p a r t m e n t ' s t e c h n i c i a n s . x v i i i 1 . I N T R O D U C T I O N 1.1 D E S C R I P T I O N O F T H E T R I U M F C Y C L O T R O N T h e p r o c e s s o f p a r t i c l e a c c e l e r a t i o n b e g i n s w i t h t h e i n j e c t i o n o f H i o n s ( h y d r o g e n i o n s ) n e a r t h e c e n t e r o f t h e c y c l o t r o n v a c u u m t a n k . T h e t a n k i s a s h a l l o w c y l i n d e r 5 1 . 3 f e e t i n d i a m e t e r a n d 1 7 . 0 5 i n c h e s i n h e i g h t w i t h i t s a x i s o f s y m m e t r y o r i e n t e d v e r t i c a l t o t h e g r o u n d . I n s i d e t h e t a n k t h e r e a r e f o u r r o w s o f e l e c t r i c a l r e s o n a t o r s , t w o r o w s o f u p p e r - r e s o n a t o r s a n d t w o r o w s o f l o w e r - r e s o n a t o r s , w i t h t w e n t y r e s o n a t o r s i n e a c h r o w . F i g u r e 1 . 1 , t h e p l a n v i e w o f t h e t a n k , s h o w s t w o r o w s o f t h e l o w e r - r e s o n a t o r s . T h e u p p e r - r e s o n a t o r s a r e l o c a t e d d i r e c t l y a b o v e t h e l o w e r - r e s o n a t o r s . A t y p i c a l u p p e r - r e s o n a t o r i s s h o w n i n F i g u r e 1 . 2 . F i g u r e 1 . 3 , a n e l e v a t i o n v i e w o f t h e t a n k , s e c t i o n e d t h r o u g h A - A i n F i g u r e 1 . 1 , s h o w s t h a t a u p p e r - r e s o n a t o r a n d a l o w e r - r e s o n a t o r a r e m i r r o r i m a g e s o f o n e a n o t h e r a b o u t t h e a c c e l e r a t i n g p a r t i c l e b e a m p l a n e . T h e s e r o w s o f r e s o n a t o r f o r m a g i a n t e l e c t r i c a l c i r c u i t o f r e s i s t o r s , i n d u c t o r s a n d c a p a c i t o r s r e s o n a t i n g e l e c t r i c a l l y a t R F ( r a d i o f r e q u e n c y ) o f 2 3 . 0 7 5 m e g a - h e r t z ( M H z ) t o c r e a t e a n a l t e r n a t i n g p o t e n t i a l d i f f e r e n c e o f 192 k i l o - v o l t ( k V ) a c r o s s t h e D e e G a p [ 1 ] 1 . T h e i n j e c t e d i o n s a c c e l e r a t e i n t h e b e a m p l a n e i n a s p i r a l p a t h u n t i l t h e y h a v e g a i n e d 5 2 0 m e g a - e l e c t r o n - v o l t ( M e V ) i n k i n e t i c e n e r g y a t t h e o u t e r r a d i u s o f t h e t a n k . W i t h a p p r o x i m a t e l y 4 0 0 K e V o f e n e r g y 1 a l l r e f e r e n c e n u m b e r s a r e e n v e l o p e d i n s i d e a s e t o f s q u a r e b r a c k e t s 1 F i g u r e 1 . 1 : P l a n v i e w o f t h e T r i u m f C y c l o t r o n t a n k . 6.5" F i g u r e 1.2: A t y p i c a l u p p e r - r e s o n a t o r . C Y C L O T R O N - R E S O N A T O R l - R E S O N A T O R F i g u r e 1 . 3 : P a r t i a l e l e v a t i o n v i e w o f t h e T r i u m f C y c l o t r o n t a n k a n d t h e r e s o n a t o r s . 5 g a i n p e r o r b i t , 1 2 5 0 t u r n s a t a r o t a t i o n f r e q u e n c y o f 4 . 6 1 5 M H z a r e r e q u i r e d t o r e a c h 5 2 0 M e V . T h i s r e s u l t i n g h i g h e n e r g y b e a m o f p a r t i c l e s i s u s e d f o r s u b - a t o m i c a n d m e d i c a l r e s e a r c h . 1 . 2 D E S C R I P T I O N O F A T R I U M F R E S O N A T O R A r e s o n a t o r h a s t h r e e m a j o r c o m p o n e n t s : a g r o u n d - a r m , a h o t - a r m a n d a l e v e l l i n g - a r m a s s h o w n i n F i g u r e 1 . 3 . T h e g r o u n d - a r m c o n s i s t s o f a g r o u n d p a n e l w h i c h i s s h o w n i n F i g u r e 1 . 4 . T h e h o t - a r m c o n s i s t s o f t w o s u b - c o m p o n e n t s , a s t r o n g b a c k a n d a h o t - a r m p a n e l w h i c h a r e s h o w n i n F i g u r e 1 . 4 . T h e g r o u n d - a r m a n d h o t - a r m a r e 3 1 . 5 i n c h e s w i d e . T h e l e n g t h o f t h e p a n e l s i s 123 i n c h e s w h i c h i s a p p r o x i m a t e l y o n e - q u a r t e r w a v e l e n g t h o f t h e R F m o d e a t 2 3 . 0 7 5 M H z . T h e g r o u n d p a n e l i s a n c h o r e d t o e i t h e r t h e l i d o r t h e f l o o r o f t h e v a c u u m t a n k a t s e v e r a l d i s t r i b u t e d p o i n t s . T h e l i d a n d t h e f l o o r a r e r e s p e c t i v e l y t h e t o p a n d t h e b o t t o m c i r c u l a r w a l l s o f t h e v a c u u m t a n k . F a c i n g o p p o s i t e t h e g r o u n d p a n e l i s t h e h o t - a r m p a n e l w h i c h i s s u p p o r t e d f r o m t h e s t r o n g b a c k a t s e v e r a l d i s t r i b u t e d p o i n t s ; a p a n e l h a s i n s u f f i c i e n t r i g i d i t y i t s e l f t o c a n t i l e v e r o u t 123 i n c h e s . N o t e , t h e w o r d g r o u n d s i g n i f i e s t h a t t h e R F v o l t a g e i s a t g r o u n d p o t e n t i a l a n d t h e w o r d h o t s i g n i f i e s t h a t t h e R F v o l t a g e i s a t h i g h p o t e n t i a l . T h e e l e c t r i c a l l y i n e r t v o i d b e t w e e n t h e g r o u n d p a n e l a n d h o t - a r m p a n e l i s c a l l e d a R F - c a v i t y . C o l l e c t i v e l y , t h e R F - c a v i t i e s a l l o w t h e f o r m a t i o n o f a n a l t e r n a t i n g e l e c t r o - m a g n e t i c f i e l d i n s i d e t h e c y c l o t r o n . T h e p a n e l s a r e F i g u r e 1 . 4 : E x p l o d e d v i e w o f a n e x i s t i n g r e s o n a t o r . 7 a l s o c a l l e d R F - p a n e l s . C a n t i l e v e r i n g o f t h e h o t - a r m p a n e l i s n e c e s s a r y b e c a u s e e l e c t r i c a l l y i n s u l a t e d s t r u c t u r a l s u p p o r t s c a n n o t m a i n t a i n t h e i r i n s u l a t i n g p r o p e r t i e s f o r p r o l o n g e d p e r i o d o f t i m e d u e t o t h e d e p o s i t i o n o f m e t a l l i c i o n s o n t h e s e s u p p o r t s . T h e l e v e l l i n g - a r m i s c l a m p e d t o t h e r o o t e n d o f t h e s t r o n g b a c k ( a n a l o g o u s t o t h e r o o t o f a c a n t i l e v e r e d b e a m ) . T h i s a s s e m b l y o f s t r o n g b a c k a n d l e v e l l i n g - a r m i s a n c h o r e d t o e i t h e r t h e l i d o r t h e f l o o r o f t h e t a n k a t t h r e e l o c a t i o n s : p o i n t s A , B a n d C . A m e c h a n i s m a t p o i n t C a l l o w s t h e m o v e m e n t o f t h e h o t - a r m , p i v o t i n g a b o u t p o i n t A a n d B , t o a d j u s t t h e s i z e o f t h e R F - c a v i t y . T h e d i s t a n c e f r o m p o i n t A o r B t o t h e u n s u p p o r t e d t i p o f t h e s t r o n g b a c k i s 123 i n c h e s b u t t h e e n t i r e l e n g t h o f t h e s t r o n g b a c k i s 132 i n c h e s a s s h o w n i n F i g u r e 1 . 2 . T h e t o t a l R F p o w e r c o n s u m p t i o n o f t h e c y c l o t r o n i s 1 . 0 m e g a - w a t t s . H i g h c u r r e n t s i n t h e c o p p e r p l a t e d p a n e l s g e n e r a t e l a r g e q u a n t i t i e s o f h e a t . T h i s h e a t i s r e m o v e d b y t h e c o o l a n t w a t e r w h i c h i s c i r c u l a t e d t h r o u g h t h e p a n e l s . T h e e x i s t i n g p a n e l s a r e m a n u f a c t u r e d b y r o l l - b o n d m e t h o d w h i c h h a s i n c o r p o r a t e d i n t o e a c h p a n e l a l o o p i n g c o o l a n t - f l o w c h a n n e l a s s h o w n i n F i g u r e 1 . 5 . B o t h t h e g r o u n d a n d h o t - a r m p a n e l a r e c o n n e c t e d t o t h e c o o l a n t w a t e r i n l e t a n d o u t l e t p i p e s a t t h e r o o t e n d o f t h e s t r o n g b a c k . A p p r o x i m a t e l y 2 0 i n 3 / s o f c o o l a n t w a t e r f l o w s t h r o u g h e a c h p a n e l . V i b r a t i o n o f t h e h o t - a r m w a s d e t e c t e d w h e n t h e c o o l a n t w a t e r w a s a l l o w e d t o f l o w t h r o u g h t h e h o t - a r m p a n e l . W A T E R I N L E T ( O U T L E T ) P A N E L A T T A C H M E N T P O I N T R O O T E N D W A T E R F L O W T I P E N D F i g u r e 1 . 5 : P l a n v i e w o f a r o l l - b o n d h o t - a r m p a n e l . co 9 1.3 D E S C R I P T I O N O F T H E E X I S T I N G H O T - A R M A N D P R O T O T Y P E ( 1 )  H O T - A R M W h e n t h i s a u t h o r s t a r t e d h i s a s s o c i a t i o n w i t h T r i u m f , i t s p e o p l e w e r e a t w o r k o n a r e p l a c e m e n t h o t - a r m m o d e l c a l l e d t h e P r o t o t y p e d ) h o t - a r m . R e p l a c e m e n t h o t - a r m s w i t h i m p r o v e d d e s i g n a r e n e e d e d t o r e d u c e : t h e t h e r m a l - r e l a t e d s t r u c t u r a l d e f o r m a t i o n i n t h e h o t - a r m s ( s o u r c e o f h e a t i s R F l e a k a g e ) a n d t h e f l o w - i n d u c e d s t r u c t u r a l v i b r a t i o n o f t h e h o t - a r m s . H o w e v e r t h i s r e p o r t w i l l o n l y i n v e s t i g a t e t h e o p t i m a l d e s i g n o f a h o t - a r m w h i c h m i n i m i z e s t h e h o t - a r m v i b r a t i o n . T h e v i b r a t i o n o f t w o c o n s t r u c t e d h o t - a r m s , t h e e x i s t i n g h o t - a r m a n d t h e P r o t o t y p e d ) h o t - a r m s , w i l l b e i n v e s t i g a t e d . A l l t h e i n f o r m a t i o n a n d d i a g r a m s g i v e n p r i o r t o t h i s s e c t i o n a r e p e r t i n e n t t o t h e e x i s t i n g r e s o n a t o r s . T h e f o l l o w i n g d e s c r i b e s t h e p h y s i c a l s i z e a n d s h a p e o f t h e e x i s t i n g h o t - a r m , t h e e x i s t i n g h o t - a r m w i t h a n a t t a c h e d d y n a m i c v i b r a t i o n a b s o r b e r a n d t h e P r o t o t y p e d ) h o t - a r m . 1.3.1 E X I S T I N G H O T - A R M T h e e x i s t i n g h o t - a r m p a n e l i s m a n u f a c t u r e d b y a r o l l - b o n d t e c h n i q u e . A r o l l - b o n d p a n e l i s f a b r i c a t e d f r o m t w o l a y e r s o f a l l o y m e t a l s h e e t s w h i c h a r e b o n d e d e v e r y w h e r e e x c e p t f o r t h e l o o p i n g p a t t e r n w h i c h i s n e x t i n f l a t e d t o f o r m a c o o l a n t c h a n n e l w h o s e c r o s s s e c t i o n i s s h o w n i n F i g u r e 1.6. T h e i r r e g u l a r s h a p e o f t h e c o o l a n t c h a n n e l c r o s s s e c t i o n i n t h e r o l l - b o n d p a n e l i s s u s p e c t e d t o p r o m o t e F i g u r e 1 . 6 : P a r t i a l c r o s s - s e c t i o n a l v i e w o f a n e x i s t i n g h o t - a r m . ( T h e c u t t i n g p l a n e i s p e r p e n d i c u l a r t o t h e l e n g t h o f t h e h o t - a r m ) 11 t u r b u l e n c e r e l a t e d v i b r a t i o n e x c i t a t i o n f o r c e s . T h e e x i s t i n g s t r o n g b a c k i s a 1 . 7 5 i n c h - t h i c k a l u m i n u m e x t r u s i o n s t r u c t u r e . F i g u r e 1 . 6 , a p a r t i a l c r o s s s e c t i o n p e r p e n d i c u l a r t o t h e l e n g t h o f t h e s t r o n g b a c k , s h o w s t w o a n d a h a l f o f t h e f i v e p a r a l l e l I - b e a m - l i k e w e b s o f t h e e x i s t i n g s t r o n g b a c k . T h e 3 1 . 5 i n c h - w i d e f l a n g e o f t h e s t r o n g b a c k i s p a r t i a l l y c u t a w a y i n t h e u n s u p p o r t e d h a l f o f t h e s p a n ( s e e F i g u r e 1 . 4 ) i n o r d e r t o r e d u c e t h e h o t - a r m f r e e t i p d e f l e c t i o n u n d e r g r a v i t y a t t h e e x p e n s e o f b e n d i n g s t i f f n e s s . I n f a c t t h e a l u m i n u m e x t r u s i o n s t r u c t u r e i s s h o r t e r t h a n t h e h o t - a r m p a n e l . T h e o v e r h a n g i n g p o r t i o n o f t h e h o t - a r m p a n e l i s s u p p o r t e d b y t w o s t a i n l e s s s t e e l t u b e s w h i c h e x t e n d f u r t h e r f r o m t h e a l u m i n u m e x t r u s i o n . T h e c o m b i n e d w e i g h t o f t h e e x i s t i n g s t r o n g b a c k a n d t h e p a n e l i s 2 8 0 p o u n d s . T h e a l u m i n u m s t r o n g b a c k i s c l a m p e d t o a m o r e r i g i d s t a i n l e s s s t e e l l e v e l l i n g - a r m . F r o m t h e d i m e n s i o n s g i v e n , i t i s e a s y t o s e e t h a t t h e h o t - a r m w i l l b e h a v e v e r y m u c h l i k e a t r a n s v e r s e l y v i b r a t i n g c a n t i l e v e r b e a m w i t h n o n - u n i f o r m c r o s s s e c t i o n , e s s e n t i a l l y v i b r a t i n g i n t h e y d i r e c t i o n a s s h o w n i n F i g u r e 1 . 4 . T h e t o r s i o n a l a n d p l a t e - b e n d i n g v i b r a t i o n o f t h e h o t - a r m a r e l e s s s i g n i f i c a n t t h a n t h e b e a m - b e n d i n g v i b r a t i o n . T h e r o o t o f t h i s c a n t i l e v e r b e a m m o d e l c o i n c i d e s w i t h t h e r o o t o f t h e s t r o n g b a c k a t p o i n t s A a n d B o f F i g u r e 1 . 4 . A c c e l e r a t i o n m e a s u r e m e n t s h a v e b e e n t a k e n o n a s i n g l e e x i s t i n g h o t - a r m a t t h e t e s t f a c i l i t y w i t h 20 i n 3 / s o f 12 c o o l a n t w a t e r f l o w i n g t h r o u g h t h e h o t a r m p a n e l . A V i b r a m e t r i c 1 0 3 0 a c c e l e r o m e t e r w a s a t t a c h e d t o t h e t i p o f t h e h o t - a r m . T h e r o o t m e a n s q u a r e ( R M S ) s p e c t r u m o f t h e t i p d e f l e c t i o n , s h o w n i n F i g u r e 1 . 7 , w a s r e c o r d e d w i t h a N i c h o l e t 6 6 0 A f a s t F o u r i e r t r a n s f o r m ( F F T ) a n a l y z e r . T h e d e f i n i t i o n o f RMS d e f l e c t i o n i s g i v e n i n S e c t i o n 3 . M o s t o f t h e r e s p o n s e i s i n t h e f u n d a m e n t a l m o d e a t 4 . 8 H z a n d t h e n a r r o w b a n d r e s p o n s e i s a n i n d i c a t i o n o f l i g h t d a m p i n g . T h e o n e m o d e RMS d e f l e c t i o n , i n t e g r a t i o n o f t h e a r e a u n d e r t h e RMS d e f l e c t i o n s p e c t r u m i n t h e v i c i n i t y o f t h e f u n d a m e n t a l f r e q u e n c y , i s 0 . 5 * 1 0 ~ 3 i n c h . 1 . 3 . 2 E X I S T I N G H O T - A R M W I T H A T T A C H E D D Y N A M I C V I B R A T I O N  A B S O R B E R A l l o f t h e e x i s t i n g h o t - a r m s a r e f i t t e d w i t h a d a m p e d d y n a m i c v i b r a t i o n a b s o r b e r f o r t h e p u r p o s e o f a t t e n u a t i n g t h e h o t - a r m v i b r a t i o n i n t h e f i r s t m o d e . S c h e m a t i c a l l y , t h e s y s t e m o f h o t - a r m a n d i t s a t t a c h e d a b s o r b e r c a n b e r e p r e s e n t e d , f o r m o t i o n i n i t s f i r s t m o d e , b y a t w o - d e g r e e - o f - f r e e d o m ( 2 D O F ) s y s t e m a s s h o w n i n F i g u r e 1 . 8 . T h e M , K a n d C a r e , r e s p e c t i v e l y , t h e m a s s , s p r i n g a n d m m m v i s c o u s d a m p i n g o f t h e m a i n s y s t e m ( t h e h o t a r m ) a n d t h e M Q , K a n d C a r e , r e s p e c t i v e l y , t h e m a s s , s p r i n g a n d v i s c o u s d a m p i n g o f t h e a b s o r b e r . N o t e t h a t t h e v i s c o u s d a s h p o t s a r e t h e d i a g r a m a t i c r e p r e s e n t a t i o n o f t h e a c t u a l d a m p i n g m e c h a n i s m s i n t h e s y s t e m w h i c h a r e n o t n e c e s s a r i l l y v i s c o u s . T h e w e i g h t o f t h e a b s o r b e r m a s s i s 0 . 7 p o u n d . T h e a b s o r b e r 13 1.4 S -(_> * _i LL. O 'o 1 " 10 FREQUENCY CHZ) 15 £ 0 F i g u r e 1 . 7 : RMS s p e c t r u m o f t h e t i p d e f l e c t i o n f o r t h e e x i s t i n g h o t - a r m . MAIN SYSTEM ABSORBER SYSTEM F i g u r e 1 . 8 : A 1 D 0 F m a i n s y s t e m w i t h a n a t t a c h e d d a m p e d d y n a m i c v i b r a t i o n a b s o r b e r s y s t e m . 14 s p r i n g i s a s m a l l c a n t i l e v e r e d p l a t e . T h e a b s o r b e r d a m p i n g i s a c c o m p l i s h e d b y t h e d r y f r i c t i o n a l r u b b i n g o f a c e r a m i c b u t t o n o n a s t a i n l e s s s t e e l p l a t e . T h e p r e s s u r e f o r c e b e t w e e n t h e s l i d i n g s u r f a c e s i s p r o v i d e d b y a n o t h e r s m a l l c a n t i l e v e r s p r i n g . T h e d a m p e d a b s o r b e r a t t a c h e d t o t h e t i p o f a n e x i s t i n g h o t - a r m a t t e n u a t e s t h e RMS d e f l e c t i o n o f t h e h o t - a r m t i p t o 0 . 2 * 1 0 - * i n c h a s i n d i c a t e d b y t h e s m a l l e r a r e a u n d e r t h e RMS s p e c t r u m c u r v e o f F i g u r e 1 . 9 . \- </> (_) * Ld Z _l LL. « ' o CL ^ FREQUENCY <HZ> F i g u r e 1 . 9 : RMS s p e c t r u m o f t h e t i p d e f l e c t i o n f o r t h e e x i s t i n g h o t - a r m w i t h a n a t t a c h e d v i b r a t i o n a b s o r b e r . 15 1 . 3 . 3 P R O T O T Y P E ( 1 ) H O T - A R M T h e P r o t o t y p e d ) h o t - a r m p a n e l i s n o l o n g e r a r o l l - b o n d p a n e l . T h e p a n e l h a s s t a i n l e s s s t e e l c o o l a n t p i p e s s o l d e r e d t o a 0 . 0 3 2 i n c h - t h i c k c o p p e r s h e e t . T h e s e p i p e s r u n a l o n g t h e l e n g t h o f t h e h o t - a r m p a n e l w i t h U - t u r n s a t t h e v i b r a t i n g t i p a s s h o w n i n F i g u r e 1 . 1 0 . T h e d e s i g n c h a n g e w a s m a d e w i t h t h e i n t e n t t o r e d u c e t h e t u r b u l e n t - f l o w e x c i t a t i o n ; t h e d i s c o n t i n u i t i e s i n t h e s h a p e o f t h e c o o l a n t - c h a n n e l c r o s s s e c t i o n o f a r o l l - b o n d p a n e l a r e s u s p e c t e d t o p r o m o t e t u r b u l e n c e g e n e r a t i o n . T h e P r o p o t y p e d ) s t r o n g b a c k h a s a r i v e t e d c o n s t r u c t i o n . R i v e t i n g w a s u s e d t o p r e s t r e s s t h e s t r o n g b a c k s u c h t h a t i t d o e s n o t s a g u n d e r g r a v i t y . T h e s t r o n g b a c k c a n b e t h o u g h t o f a s a t h r e e - l a y e r s a n d w i c h b e a m h e l d t o g e t h e r b y r i v e t s . T h e c o r e o f t h i s s a n d w i c h i s f o u r p a r a l l e l a l u m i n u m I - b e a m s r u n n i n g t h e l e n g t h o f t h e s t r o n g b a c k a s s h o w n i n F i g u r e 1 .11 a n d 1 . 1 2 . O n e i t h e r s i d e o f t h e c o r e r i v e t e d t o t h e f l a n g e s o f t h e I - b e a m s a r e 3 1 . 5 i n c h - w i d e a l u m i n u m p l a t e s . T h e s e c o v e r - p l a t e s g i v e e f f i c i e n t b e n d i n g r e s i s t a n c e t o t h e s a n d w i c h b e a m . T h e P r o t o t y p e d ) s t r o n g b a c k i s c o n s t r u c t e d t o b e m o r e r i g i d i n b e n d i n g i n t h e v i c i n i t y o f t h e r o o t a n d l i g h t e r i n w e i g h t i n t h e v i c i n i t y o f t h e t i p . T h e c o v e r - p l a t e t h i c k n e s s i s t a p e r e d i n d i s c r e t e s t e p s t o w a r d s t h e t i p . F i g u r e 1 .11 s h o w s t h e b a s i c c o n s t r u c t i o n o f t h e P r o t o t y p e d ) s t r o n g b a c k . T h e u p p e r c o v e r - p l a t e b e t w e e n s t a t i o n s 1 a n d 3 i s a 0 . 3 7 5 i n c h - t h i c k c o n t i n u o u s p l a t e a p p r o x i m a t e l y 7 f e e t i n l e n g t h . W A T E R I N L E T ( O U T L E T ) T3T P A N E L A T T A C H M E N T P O I N T TT" 1 4 _3_ CP CP C D T 3$C J3L R O O T E N D T I P u r e 1.10: P l a n v i e w o f a P r o t o t y p e d ) h o t - a r m p a n e l . L O W E R C O V E R - P L A T E V E R T I C A L S C A L E : 6 MM = 1 I N C H I U P P E R C O V E R - P L A T E F i g u r e 1 . 1 1 : A P r o t o t y p e d ) s t r o n g b a c k . F i g u r e 1.12: P a r t i a l c r o s s - s e c t i o n a l v i e w o f a P r o t o t y p e d ) h o t - a r m . ( T h e c u t t i n g p l a n e i s p e r p e n d i c u l a r t o t h e l e n g t h o f t h e h o t - a r m ) i—» 00 19 T h e l o w e r c o v e r - p l a t e b e t w e e n s t a t i o n s 1 a n d 3 i s a 0 . 6 2 5 i n c h - t h i c k c o n t i n u o u s p l a t e w h i c h h a s b e e n m a c h i n e d d o w n t o 0 . 3 7 5 i n c h b e t w e e n s t a t i o n s 2 a n d 3 , a l e n g t h o f 30 i n c h e s . T h e u p p e r a n d l o w e r c o v e r - p l a t e s b e t w e e n s t a t i o n 3 a n d 4 a r e 0 . 0 8 0 i n c h - t h i c h p l a t e s 30 i n c h e s i n l e n g t h . B e t w e e n s t a t i o n 4 a n d 5 , t h e r e i s a 0 . 0 2 0 i n c h - t h i c k u p p e r c o v e r - p l a t e 18 i n c h e s i n l e n g t h b u t t h e r e i s n o l o w e r c o v e r - p l a t e . T h e n e i g h b o u r i n g c o v e r - p l a t e s a r e s e a m e d t o g e t h e r w i t h a r i v e t e d l a p j o i n t . N o t e t h a t t h e c r o s s s e c t i o n o f t h e s t r o n g b a c k b e t w e e n s t a t i o n 1 a n d 2 i s n o t s y m m e t r i c a b o u t t h e c o r e . T h e 0 . 6 2 5 i n c h - t h i c k l o w e r c o v e r - p l a t e h a s c u t i n t o i t g r o v e s w h i c h a c c o m o d a t e t h e p r o t r u d i n g c o o l a n t p i p e s o f t h e P r o t o t y p e d ) h o t - a r m p a n e l . T h i s w a s d o n e t o i n c r e a s e t h e b e n d i n g s t i f f n e s s , u t i l i z i n g t h e s p a c e b e t w e e n c o o l a n t p i p e s . T h i s s p a c e i s p r e c i o u s s i n c e a h o t - a r m c a n n o t b e b u i l t m u c h t h i c k e r t h a n 1 . 8 5 i n c h e s i n o r d e r t h a t i t w o u l d n o t e n c r o a c h i n t o t h e b e a m g a p . A s m a l l n o t e s h o u l d b e m a d e h e r e t h a t a b e a m w h i c h i s s y m m e t r i c a b o u t t h e n e u t r a l a x i s o f b e n d i n g s h o w s m o r e e f f i c i e n t u s e o f t h e b e a m m a t e r i a l t o m a x i m i z e 20 t h e b e n d i n g s t i f f n e s s . T h e c o n s e q u e n c e s o f t h e s t e p - w i s e t a p e r e d c o v e r - p l a t e c o n s t r u c t i o n a r e a s f o l l o w s . 1 . I t i n c r e a s e s t h e c o m p l e x i t y a n d c o s t o f c o n s t r u c t i n g a s t r o n g b a c k ( e g . c o s t o f r i v e t i n g ) . 2 . I t r e d u c e s p r e s t r e s s i n g r e q u i r e m e n t n e e d e d t o c o u n t e r t h e s t r o n g b a c k d e f l e c t i o n u n d e r g r a v i t y . 3 . I t i n c r e a s e s t h e s t r u c t u r a l e f f i c i e n c y , w i t h r e s p e c t t o t h e b e n d i n g s t i f f n e s s , u n d e r s t a t i c l o a d s f o r a g i v e n a m o u n t o f t h e c o n s t r u c t i o n m a t e r i a l . 4 . I t i n c r e a s e s t h e f u n d a m e n t a l f r e q u e n c y o f t h e s t r o n g b a c k . T h e q u e s t i o n s w h i c h a r i s e s n a t u r a l l y f r o m t h e a b o v e a r e a s f o l l o w s : 1 . W h a t i s t h e o p t i m a l s t r u c t u r a l g e o m e t r y o f t h e s t r o n g b a c k w h i c h m i n i m i z e s t h e t i p v i b r a t i o n ? 2 . D o e s a s t r o n g b a c k d e s i g n w h i c h o p t i m i z e s t h e f u n d a m e n t a l f r e q u e n c y a l s o m i n i m i z e s t i p v i b r a t i o n ? 3 . D o e s a s t r o n g b a c k d e s i g n w h i c h o p t i m i z e s t h e s t r u c t u r a l s t r e n g t h f o r s t a t i c l o a d s a l s o m i n i m i z e s t i p v i b r a t i o n ? T h e RMS t i p d e f l e c t i o n o f t h e P r o t o t y p e d ) h o t - a r m a t c o o l a n t w a t e r f l o w r a t e o f 20 i n 3 / s i s 0 . 0 8 * 1 0 - 3 i n c h . T a b l e 1.1 g i v e s a c o m p a r i s o n o f t h e e x i s t i n g a n d P r o t o t y p e d ) h o t - a r m s . 21 T a b l e 1 . 1 : A c o m p a r i s o n o f t h e E x i s t i n g a n d P r o t o t y p e d ) H o t - a r m s . E x i s t i n g P r o t o t y p e ( 1 ) h o t - a r m h o t - a r m s t a t i c t i p s t i f f n e s s ( l b / i n ) 5 5 143 w e i g h t o f t h e h o t - a r m ( l b ) 2 8 0 3 0 5 f u n d a m e n t a l f r e q u e n c y ( H z ) 4 . 8 5 . 0 5 d a m p i n g r a t i o 0 . 0 0 5 0 . 0 0 3 RMS t i p d e f l e c t i o n ( i n ) 0 . 5 * 1 0 - 3 0 . 0 8 * 1 0 - 3 N o t e t h a t a l l v i b r a t i o n m e a s u r e m e n t s r e p o r t e d a l l t h r o u g h t h i s r e p o r t w e r e t h o s e f r o m t h e t e s t f r a m e a t T r i u m f w h i c h c o u l d h o l d o n e h o t - a r m a t a t i m e , m o u n t e d a t p o i n t s A , B a n d C o f F i g u r e 1 . 4 . A c c e s s t o t h e h o t - a r m s i n s i d e t h e c y c l o t r o n w a s l i m i t e d . S t u d i e s o n T r i u m f ' s e n g i n e e r i n g r e p o r t s s h o w e d t h a t t h e h o t - a r m v i b r a t i o n a t t h e t e s t f r a m e i s s i m i l a r t o t h o s e i n t h e c y c l o t r o n . W i t h t h e l a r g e p r e s s u r e s m o o t h i n g t a n k a n d t h e m e t e r s o f p l u m b i n g p i p e s b e t w e e n t h e c o o l a n t w a t e r p u m p a n d t h e h o t - a r m s i n t h e c y c l o t r o n , p u m p i n g e f f e c t s w e r e n o t d e t e c t a b l e ; t h e v i b r a t i o n o f t h e h o t - a r m s i n t h e c y c l o t r o n w e r e p r e d o m i n a n t l y i n t h e f i r s t b e a m m o d e n e a r 4 . 8 H z . 22 1 . 4 E F F E C T O F H O T - A R M V I B R A T I O N ON T H E A C C E L E R A T I N G  P A R T I C L E S V i b r a t i o n o f t h e h o t - a r m s i n t h e c y c l o t r o n g i v e s f l u c t u a t i o n o f t h e R F - c a v i t y s i z e a n d c a u s e s s u b s e q u e n t v a r i a t i o n s i n t h e v o l t a g e a n d p h a s e a t t h e D e e G a p . B e c a u s e o f t h e r e s u l t i n g v a r i a t i o n i n t h e k i n e t i c e n e r g y , t h e a c c e l e r a t i n g i o n s d o n o t h a v e a s p a t i a l l y s t a t i o n a r y s p i r a l p a t h . A t 4 5 0 M e V , t h e s p a c i n g o f t h e p a r t i c l e o r b i t s i s 1 . 5 m i l l i m e t e r . T h u s i t i s a d v a n t a g e o u s t o k e e p t h e h o t - a r m v i b r a t i o n a s s m a l l a s p o s s i b l e t o o b t a i n a s p a t i a l l y s t a b l e p a r t i c l e b e a m . A s t a b l e b e a m w i l l b e b e n e f i c i a l f o r t h e t y p e s o f e x p e r i m e n t s c o n d u c t e d now a t T r i u m f . I n t h e f u t u r e , i t w i l l b e b e n e f i c i a l f o r t h e p r o p o s e d K a o n F a c t o r y ; T r i u m f h a s r e q u e s t e d f u n d s t o c o n s t r u c t a k a o n p r o d u c i n g f a c t o r y e n c i r c l i n g t h e e x i s t i n g c y c l o t r o n . P a r t i c l e p r o d u c e d f r o m t h e e x i s t i n g 5 2 0 M e V c y c l o t r o n w i l l b e r o u t e d t h r o u g h a n i n t e r m e d i a t e 3 G e V s y n c h r o t r o n a n d a f i n a l 30 G e V s y n c h r o t r o n . T h e e x i s t i n g c y c l o t r o n w i l l b e n e e d e d t o s e r v e a n i m p o r t a n t f u n c t i o n i n t h e new K a o n F a c t o r y . T h e i n f l u e n c e o f h o t - a r m v i b r a t i o n o n t h e p a r t i c l e b e a m i s s i g n i f i c a n t s i n c e a p a r t i c l e i s i n t h e c y c l o t r o n o n l y 0 . 2 7 m i l l i - s e c o n d , a m u c h s h o r t e r d u r a t i o n o f t i m e t h a n t h e p e r i o d o f h o t - a r m v i b r a t i o n . H o t - a r m s a t t h e c e n t r e o f t h e c y c l o t r o n a r e a n c h o r e d t o t h e c e n t e r p o s t . N e x t t o t h e c i r c u m f e r e n t i a l t a n k w a l l , a t r o w e n d s , t h e h o t - a r m o f a n u p p e r - r e s o n a t o r i s a t t a c h e d t o t h e h o t - a r m o f t h e 23 l o w e r - r e s o n a t o r d i r e c t l y b e l o w . H o t - a r m s o f a h a l f - r o w ( a l s o c a l l e d a q u a d r a n t ) , l o c a t e d b e t w e e n t h e c e n t r e p o s t a n d t h e c i r c u m f e r e n t i a l t a n k w a l l , a r e c o n n e c t e d t o t h e i r n e i g h b o u r s a t t h e i r t i p s . T h e c o p p e r t u l i p - s h a p e d p l u g a n d m a t c h i n g s o c k e t c o n n e c t o r s a r e d e s i g n e d p r i m a r i l y f o r e l e c t r i c i t y f l o w , b u t t h e c o n n e c t i o n i s s t r o n g e n o u g h t h a t h o t - a r m s o f a q u a d r a n t c a n n o t v i b r a t e i n d e p e n d e n t l y o f o n e a n o t h e r . T h u s t h e n e g a t i v e e f f e c t o f o n e v i b r a t i n g h o t - a r m o n a p a r t i c l e w o u l d n o t b e n u l l i f i e d b y t h e v i b r a t i o n o f t h e n e i g h b o u r i n g h o t - a r m s i n t h e s a m e q u a d r a n t . 1 . 5 O B J E C T I V E S T h e e f f o r t o f t h e f o l l o w i n g s t u d y i s a s s o c i a t e d w i t h t h e v i b r a t i o n o f a s i n g l e r e s o n a t o r r a t h e r t h a n a w h o l e c y c l o t r o n o f r e s o n a t o r s . I m p r o v e d d e s i g n o f t h e i n d i v i d u a l r e s o n a t o r s w o u l d l e a d t o a n i m p r o v e d c y c l o t r o n . T h e g o a l s o f t h i s s t u d y a r e : 1 . t o i d e n t i f y t h e n a t u r e o f t h e e x c i t a t i o n f o r c e s o n a h o t - a r m a n d t h e v i b r a t i o n o f a h o t - a r m , 2 . t o i d e n t i f y t h e o p t i m a l s t r u c t u r a l g e o m e t r y o f a s t r o n g b a c k w h i c h m i n i m i z e s t h e t i p v i b r a t i o n , 3 . t o i d e n t i f y t h e o p t i m a l m e t h o d f o r d a m p i n g t h e h o t - a r m v i b r a t i o n a n d 4 . t o i d e n t i f y t h e o p t i m a l s h a p e o f a c o o l a n t c h a n n e l c r o s s s e c t i o n w h i c h m i n i m i z e s t h e t i p v i b r a t i o n . 2 . A S T U D Y ON T H E G O V E R N I N G E Q U A T I O N O F M O T I O N O F A P I P E C O N V E Y I N G F L U I D T h e p r o b l e m o f a v i b r a t i n g h o t - a r m h a s s i m i l a r i t i e s t o t h e p r o b l e m o f a t r a n s v e r s e l y v i b r a t i n g c a n t i l e v e r e d p i p e c o n v e y i n g f l u i d s h o w n i n F i g u r e 2 . 1 . G r e g o r y a n d P a i d o u s s i s ( 1 9 6 5 ) [ 2 ] h a v e s h o w n t h a t w h e n t h e v e l o c i t y o f f l u i d f l o w i n a t u b e , f i x e d a t t h e u p s t r e a m e n d a n d f r e e a t t h e o t h e r , i s i n c r e a s e d b e y o n d a c e r t a i n c r i t i c a l v a l u e , t h e s y s t e m b e c o m e s u n s t a b l e a n d s m a l l r a n d o m p e r t u r b a t i o n s g r o w i n t o l a t e r a l o s c i l l a t i o n s o f l a r g e a m p l i t u d e . I n t h e f o l l o w i n g , t h e e q u a t i o n o f f l o w - i n d u c e d u n s t a b l e o s c i l l a t i o n i s b r i e f l y r e v i e w e d a n d t h e u n s t a b l e o s c i l l a t i o n o f a h o t - a r m i s s h o w n n o t t o b e p o s s i b l e . 3 y ( L , t ) 9 t x F i g u r e 2 . 1 : A c a n t i l e v e r e d t u b e c o n v e y i n g f l u i d , f i x e d a t t h e u p s t r e a m e n d , v i b r a t i n g i n t h e f i r s t m o d e . 24 2 5 2 . 1 T H E E Q U A T I O N O F S M A L L M O T I O N T h e s y s t e m s t u d i e d b y G r e g o r y a n d P a i d o u s s i s c o n s i s t s o f a u n i f o r m , t u b u l a r c a n t i l e v e r o f l e n g t h L , f l e x u r a l r i g i d i t y E I a n d m a s s p e r u n i t l e n g t h m, c o n v e y i n g a s t r e a m o f i n c o m p r e s s i b l e f l u i d o f m a s s m^ p e r u n i t l e n g t h w i t h a m e a n f l o w v e l o c i t y U . T h e x a x i s c o i n c i d e s w i t h t h e c e n t r e l i n e o f t h e u n d e f l e c t e d t u b e a n d i t s t r a n s v e r s e d e f l e c t i o n y ( x , t ) i s m e a s u r e d p e r p e n d i c u l a r t o o x . U s i n g t h e c l a s s i c a l b e a m b e n d i n g t h e o r y a n d h a v i n g e s t a b l i s h e d t h a t t h e d y n a m i c a l p r o b l e m i s i n d e p e n d e n t o f t h e f l u i d f r i c t i o n , G r e g o r y a n d P a i d o u s s i s a r r i v e d a t t h e e q u a t i o n o f s m a l l m o t i o n v i b r a t i o n o f t h e c a n t i l e v e r e d t u b e : 3 " y ( x , t ) 3 2 y ( x , t ) 3 2 y ( x , t ) 3 2 y ( x , t ) E I + m f U 2 + 2 m f U + ( m f + m ) =0 3 x ° r 3 x 2 3 x 3 t 3 t 2 ( 2 . 1 . 1 ) T h e b o u n d a r y c o n d i t i o n s a r e : y = 3 y / 3 x = 0 a t x = 0 3 2 y / 3 x 2 = 3 3 y / 3 x 3 = 0 a t x = L . ( 2 . 1 . 2 ) T h e f i r s t a n d f o r t h t e r m s o f e q u a t i o n 2 . 1 a r e , r e s p e c t i v e l y , t h e u s u a l s t i f f n e s s a n d i n e r t i a f o r c e s o f t h e c l a s s i c a l b e a m v i b r a t i o n p r o b l e m . T h e s e c o n d a n d t h i r d t e r m s a r e , r e s p e c t i v e l y , t h e c e n t r i f u g a l a n d c o r i o l i s f o r c e s o f t h e f l o w i n g f l u i d . S o l u t i o n P r o c e d u r e A s o l u t i o n p r o c e d u r e i s t o a s s u m e a d e f l e c t i o n o f t h e f o r m : 26 y ( x , t ) = J J e [ Y ( x ) e x p ( / cot)], ( 2 . 1 . 3 ) w h e r e Re[ ] d e n o t e s t a k i n g t h e r e a l p a r t o f t h e c o m p l e x a r g u e m e n t . I n g e n e r a l t h e c i r c u l a r f r e q u e n c y w i s a c o m p l e x n u m b e r . T h e s y s t e m w i l l b e u n s t a b l e i f t h e i m a g i n a r y p a r t o f co i s n e g a t i v e . T h e s y s t e m i s i n n e u t r a l s t a b i l i t y i f t h e i m a g i n a r y p a r t o f t h e w i s z e r o . G r e g o r y a n d P a i d o u s s i s h a v e s h o w n t h a t a s t h e f l o w v e l o c i t y i s i n c r e a s e d s l o w l y f r o m z e r o , t h e s y s t e m w i l l b e c o m e u n s t a b l e i n o n e o r m o r e m o d e s . F o r a g i v e n m a s s r a t i o ( m ^ + m ) / m , a s t h e f l o w v e l o c i t y i s i n c r e a s e d t h e s y s t e m w i l l b e c o m e u n s t a b l e f i r s t i n i t s s e c o n d m o d e a n d i f t h e f l o w v e l o c i t y i s i n c r e a s e d f u r t h e r i t w i l l a l s o b e c o m e u n s t a b l e i n i t s f o u r t h m o d e . T h e u n s t a b l e o s c i l l a t i o n i n s t i l l h i g h e r m o d e s w e r e n o t s t u d i e d b y G r e g o r y a n d P a i d o u s s i s . 2 . 2 P O S S I B L E U N S T A B L E O S C I L L A T I O N O F P R O T O T Y P E ( 1 ) H O T - A R M  C O N V E Y I N G C O O L A N T W A T E R F L O W F o r c o m p l e t e n e s s , a n a s s u m e d a n a l y t i c a l m o d e l o f t h e P r o t o t y p e d ) h o t - a r m , a c a n t i l e v e r e d t u b e c o n v e y i n g c o o l a n t w a t e r f l o w , w a s c h e c k e d f o r t h e p o s s i b i l i t y o f u n s t a b l e o s c i l l a t i o n . T h e c o r i o l i s t e r m i n t h e d i f f e r e n t i a l e q u a t i o n o f m o t i o n f o r t h e p i p e g i v e s t h e e f f e c t o f p o s i t i v e d a m p i n g f o r c r i t i c a l f l u i d f l o w s i t u a t i o n . W h e n t h i s o c c u r s t h e s m a l l r a n d o m p e r t u r b a t i o n s g r o w i n t o l a t e r a l v i b r a t i o n o f l a r g e a m p l i t u d e s . I n t h e c a s e o f t h e P r o t o t y p e d ) h o t - a r m , t h e c o o l a n t w a t e r f l o w s i n t w o o p p o s i n g d i r e c t i o n s a l o n g t h e l e n g t h o f t h e h o t - a r m ; t h u s t h e n e t e f f e c t o f t h e c o r i o l i s 27 f o r c e i s z e r o . I n s p e c t i o n o f t h e e n e r g y t r a n s f e r m e c h a n i s m i n t h e s y s t e m a l s o s h o w s t h a t u n s t a b l e o s c i l l a t i o n o f a h o t - a r m c a n n o t o c c u r . A n e c e s s a r y c o n d i t i o n f o r u n s t a b l e o s c i l l a t i o n i s t h a t t h e v i b r a t i o n s y s t e m b e c a p a b l e o f a c c u m u l a t i n g e n e r g y f r o m t h e f l u i d f l o w . A s s u m e t h a t t h e c a n t i l e v e r e d t u b e c o n v e y i n g a f l u i d f l o w c a n v i b r a t e o n l y i n i t s f i r s t a n d s e c o n d m o d e s . F i g u r e 2 . 1 s h o w s t h a t w h e n t h e t u b e i s v i b r a t i n g i n i t s f i r s t m o d e , t h e r e s u l t a n t v e l o c i t y o f t h e f l u i d a t t h e o u t l e t , U r , c a n b e l a r g e r t h a n t h e i n l e t v e l o c i t y U . F o r t h i s t o o c c u r , e n e r g y f r o m t h e e x t e r n a l f o r c e s m u s t b e t r a n s f e r r e d t o t h e f l u i d . F i g u r e 2 . 2 s h o w s t h a t w h e n t h e t u b e i s v i b r a t i n g i n i t s s e c o n d m o d e , t h e r e s u l t a n t v e l o c i t y o f t h e f l u i d a t t h e o u t l e t , U r , c a n b e s m a l l e r t h a n t h e i n l e t v e l o c i t y U . F o r t h i s t o o c c u r , e n e r g y f r o m t h e f l u i d m u s t b e t r a n s f e r r e d t o t h e v i b r a t i n g s y s t e m . D u r i n g t h e i n t e r a c t i o n o f t h e s e t w o m o d e s o f v i b r a t i o n , t h e t u b e w i l l u n d e r g o u n s t a b l e o s c i l l a t i o n w h e n t h e n e t e n e r g y g a i n e d f r o m t h e f l u i d i s p o s i t i v e . S i n c e a h o t - a r m ' s c o o l a n t w a t e r i n l e t a n d o u t l e t a r e f i x e d t o t h e r i g i d t a n k , a v i b r a t i n g h o t - a r m c a n n o t e x t r a c t e n e r g y f r o m t h e w a t e r f l o w . T h u s u n s t a b l e o s c i l l a t i o n i s n o t p o s s i b l e f o r b o t h t h e e x i s t i n g a n d P r o t o t y p e d ) h o t - a r m s . 28 F i g u r e 2.2: A c a n t i l e v e r e d t u b e c o n v e y i n g f l u i d , f i x e d a t t h e u p s t r e a m e n d , v i b r a t i n g i n t h e s e c o n d m o d e . 3 . RANDOM V I B R A T I O N O F T H E H O T - A R M S I n a p r e v i o u s s e c t i o n t h e r a n d o m e x c i t a t i o n o f a t u r b u l e n t f l u i d f l o w o n a t u b e i s c o n s i d e r e d m e r e l y a s t h e s o u r c e o f r a n d o m p e r t u r b a t i o n a t t h e o n s e t o f t h e u n s t a b l e o s c i l l a t i o n . I n t h i s s e c t i o n , t h e m a i n f o c u s i s o n t h i s r a n d o m e x c i t a t i o n . T h e s t u d y o f r a n d o m v i b r a t i o n i s a r e c e n t d e v e l o p m e n t i n c o m p a r i s o n t o t h e w e l l e s t a b l i s h e d s t u d y o f c l a s s i c a l v i b r a t i o n . A c c o u n t s o f t h e t h e o r y a n d l i s t s o f r e f e r e n c e s a r e g i v e n b y C r a n d a l l ( 1 9 5 8 , 1 9 6 3 , 1 9 7 9 ) [ 3 , 4 , 5 ] , L i n ( 1 9 6 7 ) [ 6 ] a n d N i g a m ( 1 9 8 4 ) [ 7 ] , A c c o u n t s o n m a n y t y p e s o f f l o w - i n d u c e d v i b r a t i o n p r o b l e m s a r e g i v e n b y B l e v i n s ( 1 9 8 4 ) [ 8 ] , T u r b u l e n t w a l l - p r e s s u r e f l u c t u a t i o n s o n b o d i e s e x p o s e d t o f l u i d f l o w s w e r e s t u d i e d b y C o r c o s ( 1 9 6 2 ) [ 9 ] , B a k e w e l l (1 9 6 8 ) [ 1 0 ] a n d C l i n c h ( 1 9 6 8 ) [ 1 1 ] . V i b r a t i o n o f c y l i n d r i c a l r o d s i n d u c e d b y t h e t u r b u l e n t w a l l - p r e s s u r e f l u c t u a t i o n s w e r e s t u d i e s b y C h e n a n d W a m b s g a n s s ( 1 9 7 1 ) [ 1 2 ] a n d P a i d o u s s i s ( 1 9 7 4 ) [ 1 3 ] . A t t h e o u t s e t , t h e m o t i o n o f a c y l i n d r i c a l r o d i s p o s t u l a t e d t o b e e x c i t e d b y t h e r a n d o m t u r b u l e n t w a l l - p r e s s u r e f l u c t u a t i o n . C y l i n d r i c a l r o d d e f l e c t i o n i s a f u n c t i o n o f t h e p o w e r s p e c t r a l d e n s i t y o f t h e f l u c t u a t i n g w a l l - p r e s s u r e , t h e c r o s s c o r r e l a t i o n f u n c t i o n o f t h e f l u c t u a t i n g w a l l - p r e s s u r e a n d t h e m o d e s h a p e s o f t h e v i b r a t i n g r o d . I n a s i m i l a r m a n n e r , a P r o t o t y p e d ) h o t - a r m v i b r a t e s u n d e r t h e r a n d o m e x c i t a t i o n 2 9 30 i n d u c e d b y t h e c o o l a n t w a t e r f l o w . T h e s t u d y o f t h e r a n d o m v i b r a t i o n o f a P r o t o t y p e d ) h o t - a r m i s o r g a n i z e d i n t o s m a l l e r s e c t i o n s a s f o l l o w s . 1 . A b r i e f d e f i n i t i o n o f t h e r a n d o m v i b r a t i o n t e r m i n o l o g i e s a r e g i v e n . 2 . T h e n a t u r e o f t h e r a n d o m e x c i t a t i o n f o r c e s o r i g i n a t i n g f r o m t h e c o o l a n t w a t e r f l o w i n a P r o t o t y p e d ) h o t - a r m a r e s t u d i e d ; i n o r d e r t o d e t e r m i n e t h e o p t i m a l h o t - a r m d e s i g n a k n o w l e d g e o f e x c i t a t i o n f o r c e s i s n e e d e d . 3 . F o r a n a l y t i c a l s t u d i e s , a v i b r a t i n g h o t - a r m i s m o d e l l e d a s a t r a n s v e r s e l y v i b r a t i n g c a n t i l e v e r b e a m . 4 . F o r a n a l y t i c a l s t u d i e s , t h e r e s p o n s e c a l c u l a t i o n f o r a v i b r a t i n g b e a m s u b j e c t e d t o a r a n d o m r a i n f o r c e o v e r t h e b e a m s p a n i s s h o w n . 5 . T h e r a n d o m v i b r a t i o n m e a s u r e m e n t s o n a P r o t o t y p e d ) h o t - a r m a r e a n a l y z e d . 3 . 1 C H A R A C T E R I Z I N G A R A N D O M V I B R A T I O N P R O C E S S C o n s i d e r n n u m b e r o f s i m i l a r , r a n d o m l y v i b r a t i n g h o t - a r m s e a c h w i t h a n a c c e l e r o m e t e r m o u n t e d t o t h e v i b r a t i n g t i p . T h e m o d e l o f t h e r a n d o m p r o c e s s f o r a h o t - a r m i s a n e n s e m b l e o f n a c c e l e r o m e t e r s i g n a l s , y ( t ) f o r r = 1 , 2 , 3 , . . . , n . T h e d e p e n d e n t r a n d o m v a r i a b l e s y r ( t ) a r e f u n c t i o n s o f t h e o n e i n d e p e n d e n t v a r i a b l e t , t h e t i m e . T o c h a r a c t e r i z e t h e r a n d o m v i b r a t i o n o f a h o t - a r m i t i s n e c e s s a r y t o e s t a b l i s h a m u l t i v a r i a t e p r o b a b i l i t y d e n s i t y f u n c t i o n ( P D F ) . B u t u s u a l l y i t i s s u f f i c i e n t t o e s t a b l i s h 31 o n l y t h e f i r s t o r d e r a n d t h e s e c o n d o r d e r P D F , p C y ^ a n d p ( y i f v 2 ) r w h e r e y ^ = y ( t ^ ) a n d t j a r e d i s c r e t e v a l u e s o f t i m e . 3 . 1 . 1 E N S E M B L E A V E R A G E S A N D S T A T I O N A R Y P R O C E S S E S I m p o r t a n t a v e r a g e s o f a r a n d o m p r o c e s s a r e t a k e n a c r o s s a n e n s e m b l e . C o n s i d e r t h e e n s e m b l e o f v a l u e s y ( t , ) o r s i m p l y y a t a f i x e d t i m e t = T h e e n s e m b l e a v e r a g e s o f y a r e : m e a n v a l u e : E[y] = / y p ( y ) d y ( 3 . 1 . 1 ) m e a n s q u a r e v a l u e ( M S ) : £ [ y 2 ] = J y 2 p ( y ) d y ( 3 . 1 . 2 ) r o o t m e a n s q u a r e v a l u e ( R M S ) : RMS = / M S ( 3 . 1 . 3 ) v a r i a n c e : o 2 = £ [ y 2 ] - S t y ] 2 ( 3 . 1 . 4 ) s t a n d a r d d e v i a t i o n : = / v a r i a n c e . ( 3 . 1 . 5 ) I f t h e s e a v e r a g e s a r e i n d e p e n d e n t o f t i m e ( i e . i n d e p e n d e n t o f j ) , t h e r a n d o m p r o c e s s i s s a i d t o b e s t a t i o n a r y . S t i l l a n o t h e r i m p o r t a n t a v e r a g e i s t h e a u t o c o r r e l a t i o n f u n c t i o n . C o n s i d e r t w o s e t s o f e n s e m b l e v a l u e s y , a n d y 2 , r e s p e c t i v e l y , a t t w o f i x e d t i m e s t , a n d t 2 . I f t h e r a n d o m p r o c e s s i s s t a t i o n a r y , t h e a v e r a g e o f y i Y 2 ° r t h e a u t o c o r r e l a t i o n f u n c t i o n , i s j u s t a f u n c t i o n o f T = t 2 - t , a n d n o t a f u n c t i o n o f o r t 2 i n d i v i d u a l l y , i e . , £ [ y i y 2 J = £ [ y ( t ) y ( t + r ) ] = R ( T ) . ( 3 . 1 . 6 ) 3 . 1 . 2 POWER S P E C T R A L D E N S I T Y F U N C T I O N F O R A S T A T I O N A R Y  P R O C E S S A n o t h e r t y p e o f e n s e m b l e a v e r a g e i s d o n e i n t h e f r e q u e n c y d o m a i n . A n y s t a t i o n a r y m e m b e r o f t h e e n s e m b l e 32 y ( t ) , r e p r e s e n t e d i n t h e t i m e i n t e r v a l - s / 2 t o s / 2 c a n b e e x p a n d e d i n t o a p e r i o d i c f u n c t i o n y w h i c h i s i d e n t i c a l w i t h y ( t ) i n t h e t i m e i n t e r v a l , i e . , y = £ C e x p ( / n c j 0 t ) ( 3 . 1 . 7 ) s n= 1 n f o r l a r g e k . T h e t e m p o r a l m e a n s q u a r e v a l u e o f t h e s t a t i o n a r y p r o c e s s y ( t ) i s g i v e n b y : {y!(t)J = i sjj^ yMt) dt w h e r e t h e b r a c k e t s { } d e n o t e s t i m e a v e r a g i n g a l o n g a s i n g l e m e m b e r o f t h e e n s e m b l e . L e t nco o = co, co 0 = Aco a n d s = 27r /Aco. I n t h e l i m i t i n g p r o c e s s w h e n s a p p r o a c h e s i n f i n i t y t h e s u m m a t i o n i n e q u a t i o n 3 . 1 . 8 b e c o m e s a n i n t e g r a l o f t h e f o l l o w i n g f o r m : { y 2 ( t ) } = / Zo, S (a>) dco, ( 3 . 1 . 9 ) w h e r e S^(co) i s c a l l e d t h e p o w e r s p e c t r a l d e n s i t y ( P S D ) f u n c t i o n o f y ( t ) . 3 . 1 . 3 R E L A T I O N S H I P B E T W E E N T H E POWER S P E C T R A L D E N S I T Y A N D  A U T O C O R R E L A T I O N F U N C T I O N F O R A S T A T I O N A R Y P R O C E S S P r i o r t o t h i s , t ( t i m e ) w a s t h e o n l y i n d e p e n d e n t v a r i a b l e c o n s i d e r e d . I n m a n y r a n d o m p r o c e s s e s s u c h t h e t u r b u l e n t w a l l - p r e s s u r e f l u c t u a t i o n o n b o d i e s e x p o s e d t o a f l u i d f l o w , t h e s p a t i a l c o o r d i n a t e s a l s o a r e t h e i n d e p e n d e n t v a r i a b l e s . I f y ( x , t ) i s a r a n d o m s p a c e - t i m e p r o c e s s , i t s s t a t i s t i c a l a v e r a g e s , a u t o c o r r e l a t i o n a n d P S D c a n b e d e f i n e d e a s i l y b y u p d a t i n g t h e p r e v i o u s d e f i n i t i o n s t o i n c l u d e t h e 33 v a r i a b l e x . T h e a d d i t i o n a l s p a t i a l v a r i a b l e x g i v e s a F o u r i e r t r a n s f o r m p a i r c a l l e d t h e s p a c e - t i m e c r o s s c o r r e l a t i o n a n d c r o s s s p e c t r a l d e n s i t y ( C S D ) f u n c t i o n s w h i c h a r e , r e s p e c t i v e l y : R y ( x i » x 2 / f ) = / _ t t S ( x 1 , x 2 , w ) e x p ( / WT) 6CJ ( 3 . 1 . 1 0 ) S y ( x , , x 2 f u ) = ( 1/27T) J Tec R ( x l f x 2 , r ) e x p ( - / CJT) 6T ( 3 . 1 . 1 1 ) 3 . 2 T H E N A T U R E O F T H E RANDOM E X C I T A T I O N F O R C E S O R I G I N A T I N G  F R O M T H E C O O L A N T - W A T E R F L O W I N A P R O T O T Y P E ( 1 ) H O T - A R M T o d e t e r m i n e t h e o p t i m a l h o t - a r m d e s i g n , a k n o w l e d g e o f t h e e x c i t a t i o n f o r c e s o n t h e h o t - a r m i s n e c e s s a r y ; a f t e r a l l , t h e v i b r a t i o n r e s p o n s e o f a h o t - a r m i s t h e d i r e c t c o n s e q u e n c e o f t h e e x c i t a t i o n f o r c e s . T h e f o r m o f t h e t u r b u l e n t - f l o w e x c i t a t i o n o n t h e h o t - a r m i s u n d o u b t e d l y a c o m p l e x o n e . T o m e a s u r e t h e c r o s s c o r r e l a t i o n o f t h e f l u c t u a t i n g w a l l - p r e s s u r e , o n t h e i n n e r s u r f a c e o f t h e c o o l a n t p i p e s , w o u l d r e q u i r e m a n y d e l i c a t e p r e s s u r e t r a n s d u c e r s a n d i t m a y b e t o o c o m p l e x t o c h a r a c t e r i z e . F o r t u n a t e l y , i t i s p o s s i b l e t o c h a r a c t e r i z e t h e r a n d o m p r e s s u r e f i e l d q u a l i t a t i v e l y . B o u n d a r y - l a y e r - t u r b u l e n c e ( B L T ) w a l l - p r e s s u r e i s a t y p e o f f l o w - i n d u c e d e x c i t a t i o n s t u d i e d b y s o m e r e s e a r c h e r s . T h e s o u r c e s o f t h e B L T n o i s e a r e f l o w p u l s a t i o n , v o r t e x s h e d d i n g , t u r b u l e n t g e n e r a t i n g b e n d s , c a v i t a t i o n a n d f l o w s e p a r a t i o n . T h e f o l l o w i n g e m p i r i c a l m o d e l o f t h e C S D f o r t h e B L T w a l l - p r e s s u r e f l u c t u a t i o n i s p r o p o s e d b y C o r c o s : 34 S ( c o , x , z ) = S(co) A ( c o x / U C ) B ( c o z / U C ) c o s ( c o x / U C ) , ( 3 . 2 . 1 ) w h e r e , x = x , - x 2 a n d z = z , - z 2 r e s p e c t i v e l y a r e t h e s e p a r a t i o n d i s t a n c e s i n t h e d i r e c t i o n o f f l o w a n d p e r p e n d i c u l a r t o f l o w . cu i s t h e f r e q u e n c y o f t h e w a l l - p r e s s u r e f l u c t u a t i o n . U C i s t h e s p e e d a t w h i c h t h e B L T i s c o n v e c t e d . S(co) i s t h e P S D f u n c t i o n o f t h e B L T w a l l - p r e s s u r e f l u c t u a t i o n . A ( C J X / U c ) a n d B ( c o z / U C ) r e s p e c t i v e l y a r e t h e c r o s s c o r r e l a t i o n a m p l i t u d e s i n t h e d i r e c t i o n o f f l o w a n d p e r p e n d i c u l a r t o f l o w . I n t h i s e m p i r i c a l m o d e l f o r a h o m o g e n e o u s t u r b u l e n c e , t h e C S D i s i n d e p e n d e n t o f t h e l o c a t i o n s a n d d e p e n d e n t o n t h e s e p a r a t i o n d i s t a n c e s , i e . , S (co, x , , x , , z , , z 1 ) = S ( c o , x 2 , x 2 , z 2 , z 2 ) = S ( c o ) . ( 3 . 2 . 2 ) F o r l o w f r e q u e n c y a n d p a r a l l e l w a t e r f l o w o v e r a c y l i n d r i c a l r o d , C h e n a n d W a m b s g a n s s s u g g e s t : U /U = 0 . 6 + 0 . 4 e x p [ - 2 . 2 ( c o » c / U ) ] c A ( w x / U ) = e x p ( - 0 . 1 | c o x / U C | ) B ( c o z / U C ) = e x p ( - 0 . 5 5 | c o z / U C | ) , ( 3 . 2 . 3 ) w h e r e K i s t h e t h i c k n e s s o f t h e t u r b u l e n t b o u n d a r y l a y e r a n d U i s t h e f r e e s t r e a m v e l o c i t y . T y p i c a l p o w e r s p e c t r a m e a s u r e d b y C h e n a n d W a m b s g a n s s a r e s h o w n i n F i g u r e 3 . 1 [ 8 ] . T h e s p e c t r a w e r e m e a s u r e d o n t h e s u r f a c e o f a 1 i n c h r o d i n a 2 i n c h w a t e r c h a n n e l . I n 35 F i g u r e 3.1: T y p i c a l p o w e r s p e c t r a o f t h e w a t e r - f l o w n o i s e o v e r a c y l i n d r i c a l r o d . 36 t h e S t r o u h a l n u m b e r r a n g e 10 > tod^/2ir\J > 0 . 1 , t h e s p e c t r a a r e n e a r l y c o n s t a n t a n d B l e v i n s s u g g e s t s t h e f o l l o w i n g a p p r o x i m a t e c o n s t a n t P S D : S ( « ) = Q 2 ( p w U 2 ) 2 d 3 , ( 3 . 2 . 4 ) w h e r e Q2 _ 9 . 4 * 1 0 " 7 s e c / f t 3 , p w i s t h e d e n s i t y o f t h e w a t e r a n d d ^ i s t h e h y d r a u l i c d i a m e t e r . A p p r o x i m a t e L e n g t h S c a l e o f t h e B L T i n a P r o t o t y p e d ) H o t - a r m T h e R e y n o l d ' s n u m b e r o f t h e t u r b u l e n t f l o w i n a P r o t o t y p e d ) h o t - a r m p a n e l a t 20 i n 3 / s o f c o o l a n t w a t e r , e v a l u a t e d i n A p p e n d i x A , i s g i v e n b y : R e y n o l d ' s N o . = 1 . 1 * 1 0 * . T h e S t r o u h a l n u m b e r o f t h e B L T w a l l - p r e s s u r e f l u c t u a t i o n e v a l u a t e d a t t h e f u n d a m e n t a l f r e q u e n c y o f t h e h o t - a r m i s g i v e n b y : S t r o u h a l N o . = f d h / U = 5 . 0 5 ( 0 . 3 1 ) / 4 0 = 0 . 0 4 , w h e r e f i s t h e f u n d a m e n t a l f r e q u e n c y ( 5 . 0 5 H z ) , d ^ i s t h e h y d r a u l i c d i a m e t e r ( 0 . 3 1 i n ) , a n d U i s t h e f r e e s t r e a m v e l o c i t y o f c o o l a n t w a t e r ( 4 0 i n / s ) . T h i s S t r o u h a l n u m b e r i s s l i g h t l y l o w e r t h a n t h e e x p e r i m e n t a l c a s e s s t u d i e d b y C h e n a n d W a m b g a n s s . B u t t h e m o s t i m p o r t a n t n u m b e r i s t h e i n t e g r a l l e n g t h s c a l e o f t h e B L T a t t h e f u n d a m e n t a l f r e q u e n c y o f t h e h o t - a r m s i n c e m o s t c o n t r i b u t i o n t o t h e h o t - a r m v i b r a t i o n w o u l d c o m e f r o m t h e P S D o f t h e w a l l - p r e s s u r e i n t h e v i c i n i t y o f t h e f u n d a m e n t a l f r e q u e n c y . 37 T h e c o n v e c t i o n s p e e d u"c i s a p p r o x i m a t e l y e q u a l t o 60 p e r c e n t o f U . T h e e d d y d e c a y d i s t a n c e , t h e s e p a r a t i o n d i s t a n c e f o r t h e C S D t o a t t e n u a t e t o a f r a c t i o n 1 / e o r 0 . 3 7 , i s a p p r o x i m a t e l y e q u a l t o U c / o > . S i n c e t h e c o r r e l a t i o n a m p l i t u d e s a r e e x p o n e n t i a l - d e c a y f u n c t i o n s , t h e a p p r o x i m a t e i n t e g r a l l e n g t h s c a l e , L , f o r c r o s s c o r r e l a t i o n f u n c t i o n i s t h e s a m e a s t h e e d d y d e c a y d i s t a n c e . T h e i n t e g r a l l e n g t h s c a l e i s s m a l l e r f o r t h e h i g h e r f r e q u e n c y c o m p o n e n t s s i n c e e n e r g y d i s s i p a t i o n i s p r o p o r t i o n a l t o t h e f r e q u e n c y . T h e a p p r o x i m a t e i n t e g r a l l e n g t h s c a l e i s g i v e n b y : L « U / u « 0 . 6 U / w = 0 . 6 ( 4 0 ) / ( 2 ) T T ( 5 . 0 5 ) = 0 . 8 i n « L . T h e l e n g t h s c a l e i s m u c h s m a l l e r t h a n t h e l e n g t h o f t h e h o t - a r m w h i c h i s 123 i n c h e s . T h i s s i t u a t i o n i s n o t v e r y d i f f e r e n t f r o m t h e l i m i t i n g c a s e o f z e r o c o r r e l a t i o n l e n g t h , a f o r m o f r a n d o m r a i n , a s p a t i a l w h i t e n o i s e w i t h n o c o r r e l a t i o n o f t h e e x c i t a t i o n b e t w e e n p o i n t s i n s p a c e . F o r o n e d i m e n s i o n a l c a s e i n f l o w d i r e c t i o n , t h e C S D o f t h i s r a n d o m r a i n m a y b e w r i t t e n a s : S f ( w , x , , x 2 ) = S ( C J ) 6 ( x , - x 2 ) , ( 3 . 2 . 5 ) w h e r e 6 i s a D i r a c f u n c t i o n . F o r t h e l o n g b e a m - l i k e h o t - a r m o n e d i m e n s i o n a l d i s t r i b u t i o n o f e x c i t a t i o n f o r c e s i s a d e q u a t e f o r f u r t h e r a n a l y t i c a l s t u d i e s . A S u m m a r y o n t h e N a t u r e o f t h e F l o w - i n d u c e d E x c i t a t i o n i n a  P r o t o t y p e ( 1 ) H o t - a r m T h e a b o v e w a s j u s t a n e x a m p l e . T h e f l o w - i n d u c e d e x c i t a t i o n o n t h e h o t - a r m i s l i k e l y t o b e m o r e c o m p l e x t h a n 38 t h e B L T e x c i t a t i o n . H o w e v e r , t h e l e n g t h s c a l e o f t h e f l o w - i n d u c e d e x c i t a t i o n s h o u l d b e s m a l l i n c o m p a r i s o n t o t h e t o t a l l e n g t h o f t h e h o t - a r m s i n c e t h e w a t e r i s a v i s c o u s f l u i d a n d t h u s d i s t u r b a n c e s w o u l d d e c a y v e r y q u i c k l y d o w n s t r e a m . T h e d a t a t a k e n b y B a k e w e l l , C l i n c h , C h e n a n d W a m b g a n s s a l l i n d i c a t e t h a t t h e P S D o f t h e B L T w a l l - p r e s s u r e f l u c t u a t i o n o f a w a t e r f l o w h a s a w i d e - b a n d f r e q u e n c y c o n t e n t i n t h e l o w f r e q u e n c y r a n g e . A l t h o u g h n o n e o f t h e m t o o k d a t a f o r t h e v e r y l o w f r e q u e n c i e s i n t h e v i c i n i t y o f h o t - a r m ' s f u n d a m e n t a l f r e q u e n c y , i t i s r e a s o n a b l e t o a s s u m e t h a t t h e P S D w o u l d b e w i d e - b a n d a n d s l o w l y v a r y i n g i n t h o s e l o w e r f r e q u e n c i e s . T h u s a r a n d o m r a i n f o r c e w i t h w h i t e n o i s e s p e c t r a l d e n s i t y i s a p o s s i b l e m o d e l o f t h e a c t u a l f l o w - i n d u c e d e x c i t a t i o n o n a h o t - a r m . 3 . 3 T R A N S V E R S E L Y V I B R A T I N G C A N T I L E V E R B E A M M O D E L O F A  V I B R A T I N G H O T - A R M F o r a n a l y t i c a l s t u d i e s , a h o t - a r m i s m o d e l l e d w i t h a t r a n s v e r s e l y v i b r a t i n g c a n t i l e v e r b e a m w i t h a u n i f o r m c r o s s s e c t i o n , c o n v e y i n g c o o l a n t w a t e r w i t h i n i t s s t r u c t u r e . T h e s t r u c t u r a l m a t e r i a l o f t h e b e a m i s p o s t u l a t e d t o o b e y a o n e d i m e n s i o n a l s t r e s s - s t r a i n r e l a t i o n o f t h e v i s c o e l a s t i c t y p e , i e . , S = E ( e + c e ) , ( 3 . 3 . 1 ) w h e r e s a n d e a r e , r e s p e c t i v e l y , s t r e s s a n d s t r a i n , E i s t h e m o d u l u s o f e l a s t i c i t y a n d c i s t h e v i s c o u s d a m p i n g c o n s t a n t , a n d t h e d o t d e n o t e s d i f f e r e n t i a t i o n w i t h r e s p e c t t o t i m e . 39 T h e b e n d i n g m o m e n t o f t h e b e a m i s g i v e n b y : 3 2 y ( x , t ) 3 3 y ( x , t ) M = - E I ( + c ) . ( 3 . 3 . 2 ) 3 x 2 3 x 2 3 t M o d i f y i n g t h e u n d a m p e d e q u a t i o n o f m o t i o n , e q u a t i o n 2 . 1 , t h e d a m p e d e q u a t i o n o f m o t i o n i s g i v e n b y : 3 " y ( x , t ) 3 5 y ( x , t ) 3 2 y ( x , t ) 3 2 y ( x , t ) E I + c E I + m , U 2 + 2 m f U 3 x f l 3 x " 3 t 1 3 x 2 £ 3 x 3 t 3 2 y ( x , t ) + (m,+m) = f ( x , t ) , ( 3 . 3 . 3 ) t 3 t 2 w h e r e f ( x , t ) , a f o r c i n g f u n c t i o n i s i n d e p e n d e n t o f y a n d i t s d e r i v a t i v e s . T h i s s y s t e m d o e s n o t p o s s e s s c l a s s i c a l n o r m a l m o d e s b e c a u s e o f t h e t h e d a m p i n g f o r c e , c e n t r i f u g a l f o r c e a n d c o r i o l i s f o r c e , r e s p e c t i v e l y , t h e s e c o n d , t h i r d a n d f o r t h t e r m s o f e q u a t i o n ( 3 . 3 . 3 ) . F o r a T r i u m f h o t - a r m , c e n t r i f u g a l a n d t h e c o r i o l i s t e r m s a r e t a k e n t o b e s m a l l i n c o m p a r i s o n t o t h e s t i f f n e s s t e r m a n d t h e y a r e n e g l e c t e d ; t h e f u n d a m e n t a l f r e q u e n c y o f a h o t - a r m , w i t h o r w i t h o u t t h e c o o l a n t w a t e r f l o w , s h o w e d n o d e t e c t a b l e d i f f e r e n c e . Now t h e u s u a l c l a s s i c a l u n d a m p e d b e a m m o d e s h a p e s a n d t h e i r o r t h o g o n a l i t y c o n d i t i o n s c a n b e e m p l o y e d . 3 . 4 R E S P O N S E C A L C U L A T I O N F O R A T R A N S V E R S E L Y V I B R A T I N G B E A M  S U B J E C T E D T O A RANDOM R A I N F O R C E F o r a l i n e a r s t r u c t u r e , t h e r e s p o n s e t o a g e n e r a l e x c i t a t i o n c a n b e o b t a i n e d b y s u p e r p o s i t i o n o f t h e r e s p o n s e t o s t a n d a r d i z e d u n i t e x c i t a t i o n s . A u n i t i m p u l s e r e s p o n s e a p p l i e d a t x = a a n d t = t 0 i s a s t a n d a r d f o r m o f e x c i t a t i o n f o r c e , i e . , 40 f ( x , t ) = 6 ( x - a ) 6 ( t - t 0 ) . ( 3 . 4 . 1 ) T h e u n i t i m p u l s e r e s p o n s e f u n c t i o n i s t o b e d e n o t e d a s y ( x , t ) = h ( x , r ; a ) , ( 3 . 4 . 2 ) w h e r e r = t - t 0 . A n o t h e r s t a n d a r d f o r m o f t h e e x c i t a t i o n i s t h e u n i t c o m p l e x h a r m o n i c f o r c e a t a f i x e d f r e q u e n c y co a p p l i e d a t x = a , i e . , f ( x , t ) = 6 ( x - a ) e x p ( z c o t ) . ( 3 . 4 . 3 ) T h e s t e a d y s t a t e u n i t c o m p l e x f r e q u e n c y r e s p o n s e f u n c t i o n i s t o b e d e n o t e d a s : y ( x , t ) = H ( x , c o ; a ) e x p ( / cot). ( 3 . 4 . 4 ) S i n c e t h e t e r m 6 ( x - a ) i n e q u a t i o n ( 3 . 4 . 3 ) i s t h e F o u r i e r t r a n s f o r m o f ( 3 . 4 . 1 ) , i t f o l l o w s t h a t H ( x , c o ; a ) i s F o u r i e r t r a n s f o r m o f h ( x , c o ; a ) . T h e s p a c e - t i m e c r o s s c o r r e l a t i o n o f t h e r e s p o n s e i s o b t a i n e d b y t h e s u p e r p o s i t i o n o f t h e u n i t i m p u l s e r e s p o n s e s a s f o l l o w s : R y ( x 1 r x 2 , T ) = / Za cU>i J Za d 0 2 d £ , R F U , r S 2 , T + e , - d 2 ) M x , , * ? , ; * , ) h ( x 2 , 0 2 ; £ 2 ) d £ 2 , ( 3 . 4 . 5 ) w h e r e 0 , a n d 82 a r e t h e i n t e g r a t i o n v a r i a b l e s f o r t h e t i m e c o o r d i n a t e , a n d £ 2 a r e t h e i n t e g r a t i o n v a r i a b l e f o r t h e s p a t i a l c o o r d i n a t e a n d R^ i s t h e s p a c e - t i m e c r o s s c o r r e l a t i o n o f t h e e x c i t a t i o n f o r c e . T h e c o r r e s p o n d i n g C S D o f t h e r e s p o n s e i s o b t a i n e d b y F o u r i e r t r a n s f o r m i n g t h e c r o s s c o r r e l a t i o n a s f o l l o w s : S y ( x 1 f x 2 , c o ) = /Q d £ , /jj H ( x , , - c o ; £ , ) H ( x 2 , co ; £ 2 ) S f U, , £ 2 , c o ) d £ 2 ( 3 . 4 . 6 ) w h e r e S r i s t h e C S D o f t h e e x c i t a t i o n . 41 T h e i m p u l s e r e s p o n s e o f a u n i f o r m - c r o s s - s e c t i o n b e a m c a n b e f o u n d i n t e r m s o f i t s n o r m a l m o d e s , i e . , h ( x , t ; a ) = Z g . ( t ; a ) 4>.{x) ( j = 1 , 2 . . . n ) , ( 3 . 4 . 7 ) j 1 3 w h e r e # j ( x ) i s t h e j t h n o r m a l m o d e s h a p e a n d g j ( t ) i s t h e c o r r e s p o n d i n g g e n e r a l i z e d c o o r d i n a t e . L e t <6j(x) b e n o r m a l i z e d s u c h t h a t t h e i r c o r r e s p o n d i n g g e n e r a l i z e d m a s s e s a r e d e f i n e d a s f o l l o w s : /Q m ^ j ( x ) t f > k ( x ) d x = mL f o r j = k (k = 1 , 2 . . . n ) = 0 f o r j * k , ( 3 . 4 . 8 ) w h e r e L a n d m, r e s p e c t i v e l y , a r e t h e l e n g t h a n d m a s s p e r u n i t l e n g t h o f t h e b e a m . S u b s t i t u t e e q u a t i o n ( 3 . 4 . 7 ) a n d ( 3 . 4 . 1 ) i n t o ( 3 . 3 . 3 ) , m u l t i p l y t h e r e s u l t i n g e q u a t i o n b y tf>k(x), i n t e g r a t e o v e r x f r o m 0 t o L a n d a p p l y t h e o r t h o g o n a l i t y c o n d i t i o n s o f t h e n o r m a l m o d e s [ 1 4 ] t o y i e l d : g k + c c j 2 g k + o , 2 g k = 0 k ( a ) 5 ( t ) / m L . ( 3 . 4 . 9 ) T h e s o l u t i o n t o e q u a t i o n ( 3 . 4 . 9 ) w i t h z e r o i n i t i a l c o n d i t i o n s i s g i v e n b y : g k ( t ; a ) = h k ( t ) c 6 k ( a ) , ( 3 . 4 . 1 0 ) w h e r e h k ( t ) i s t h e s a m e a s t h e o n e - d e g r e e - o f - f r e e d o m ( 1 D O F ) u n i t i m p u l s e r e s p o n s e f u n c t i o n . T h u s t h e u n i t i m p u l s e r e s p o n s e f o r t h e b e a m i s g i v e n b y : h ( x , t ; a ) = Z 0 k ( x ) 0 R ( a ) h k ( t ) . ( 3 . 4 . 1 1 ) k F o u r i e r t r a n s f o r m o f e q u a t i o n 3 . 4 . 1 1 g i v e s : H ( x , w ; a ) = Z # R ( x ) 0 R ( a ) H R ( w ) , ( 3 . 4 . 1 2 ) k w h e r e H k (u>) i s t h e s a m e a s t h e 1DOF u n i t c o m p l e x f r e q u e n c y r e s p o n s e f u n c t i o n g i v e n b y : H k 1 ( w ) = m L [ t o J - £ J 2 + / 2 7 k w k c o ] , ( 3 . 4 . 1 3 ) 42 a n d t h e d a m p i n g r a t i o 7 k i s g i v e n b y : 2 7 k = e c u 2 . . ( 3 . 4 . 1 4 ) S u b s t i t u t i n g e q u a t i o n ( 3 . 4 . 1 2 ) i n t o ( 3 . 4 . 6 ) y i e l d s : S ( x , , x 2 , o > ) = Z Z 0 • ( x , )<t>, ( x 2 ) H . ( - w ) H . . . ( u ) ( 3 . 4 . 1 5 ) y j ^ i K J K _ J K w h e r e , I j k ( w ) = 'o^O * j U i ) 0 k ( « 2 ) S f U, , * 2 , " ) d £ , d £ 2 . ( 3 . 4 . 1 6 ) T h e f u n c t i o n I j k ( < j ) i s k n o w n a s t h e j o i n t a c c e p t a n c e f u n c t i o n . V i b r a t i o n R e s p o n s e t o a R a n d o m R a i n F o r c e T h e j o i n t a c c e p t a n c e f u n c t i o n f o r a u n i f o r m - c r o s s - s e c t i o n b e a m e x c i t e d b y a r a n d o m r a i n f o r c i n g f u n c t i o n o f e q u a t i o n ( 3 . 2 . 5 ) i s e v a l u a t e d t o b e : I j k ( w ) = S(w) JQ D X F O R :5 = K = 0 f o r j * k . ( 3 . 4 . 1 7 ) B y v i r t u e o f e q u a t i o n ( 3 . 4 . 8 ) t h e i n t e g r a l i n e q u a t i o n 3 . 4 . 1 7 i s e q u a l t o m L / m . F o r a n o n - u n i f o r m b e a m , t h e f i n i t e e l e m e n t m e t h o d c a n b e u s e d t o e v a l u a t e t h e r e p o n s e . C o n s i d e r t h e f o l l o w i n g f i n i t e e l e m e n t d i s c r e t i z e d s y s t e m f o r a u n i f o r m - c r o s s - s e c t i o n b e a m g i v e n b y : [M ]v + [ K ] v = 0 , w h e r e v , [M] a n d [ K ] a r e , r e s p e c t i v e l y , t h e d i s p l a c e m e n t c o o r d i n a t e v e c t o r , m a s s m a t r i x a n d s t i f f n e s s m a t r i x . L e t d e n o t e t h e n o r m a l i z e d f i n i t e e l e m e n t m o d e s h a p e s . T h e n t h e i n n e r p r o d u c t i//j[M]\J>j i s a n a l o g o u s t o t h e g e n e r a l i z e d m a s s o f e q u a t i o n ( 3 . 4 . 8 ) . U s u a l l y t h e f i n i t e e l e m e n t g e n e r a l i z e d 43 m a s s i s n o r m a l i z e d t o e q u a l u n i t y . T h e n f o r t h e f i n i t e e l e m e n t c a s e , t h e a n a l o g y o f t h e i n t e g r a l i n t h e j o i n t a c c e p t a n c e f u n c t i o n o f e q u a t i o n ( 3 . 4 . 1 7 ) i s e q u a l t o 1 / m . T h e r e a s o n f o r t h e e x i s t e n c e o f a s i m p l e a n a l o g y i s , t h a t t h e i n d i v i d u a l t e r m s o f t h e c o n s i s t e n t f i n i t e e l e m e n t m a s s m a t r i x a r e e v a l u a t e d f r o m i n t e g r a l s s i m i l a r t o e q u a t i o n ( 3 . 4 . 8 ) . W h e n t h e s y s t e m i s c o m p o s e d o f m a n y b e a m e l e m e n t s w i t h d i s s i m i l a r c r o s s s e c t i o n a l p r o p e r t i e s , t h e " i n n e r p r o d u c t " ^j[M]\ / / j i s a n a l o g o u s t o t h e i n t e g r a l i n e q u a t i o n ( 3 . 4 . 1 7 ) , w h e r e [M] i s a m a t r i x e q u a l t o t h e m a s s m a t r i x o f t h e s y s t e m w h e n t h e m a s s p e r u n i t l e n g t h o f a l l t h e e l e m e n t s a r e s e t t o u n i t y . C o n t i n u i n g w i t h t h e d i s c u s s i o n o n a u n i f o r m - c r o s s - s e c t i o n b e a m , f o r a l i g h t l y d a m p e d s t r u c t u r e w i t h r e s o n a n c e p e a k s w e l l s e p a r a t e d , s u b s t i t u t i n g e q u a t i o n ( 3 . 4 . 1 7 ) i n t o ( 3 . 4 . 1 5 ) a n d a p p l y i n g ( 3 . 4 . 8 ) g i v e s : S y ( x , u ) =* S ( u ) L Z c62 ( x ) | H k ( u ) | 2 . ( 3 . 4 . 1 8 ) F o r a r a n d o m r a i n f o r c e w i t h w h i t e n o i s e PSD, w h e r e S ( w ) = S 0 , i n t e g r a t i n g S y ( x , w ) o v e r t h e r a n g e - « > <J > °° b y t h e r e s i d u e t h e o r e m [ 4 ] y i e l d s t h e f o l l o w i n g MS d e f l e c t i o n : S 0 i r <6 2 (x ) £ [ y 2 ( x , t ) ] * Z — . ( 3 . 4 . 1 9 ) c m 2 L k CJ£ O f t e n a o n e m o d e a p p r o x i m a t i o n i s a d e q u a t e ; t h e c o n v e r g e n c e o f t h e m o d e s u m m a t i o n . s o l u t i o n i s o f t h e o r d e r 1A>£« I t i s a l s o i n t u i t i v e t h a t m o s t o f t h e c o n t r i b u t i o n t o t h e f i r s t m o d e a p p r o x i m a t i o n w o u l d c o m e f r o m t h e S(CJ) i n t h e v i c i n i t y o f t h e f i r s t r e s o n a n t f r e q u e n c y , to,. T h u s f o r S(co) s l o w l y 44 v a r y i n g n e a r O J , , t h e o n e m o d e a p p r o x i m a t i o n o f t h e MS d e f l e c t i o n i s g i v e n b y : S(tO, )7TC/>2 ( x ) £ [ y 2 ( x , t ) ] » . ( 3 . 4 . 2 0 ) m 2 L c a > i T h e e n e r g y d i s s i p a t e d p e r c y c l e b y a v i s c o u s l y d a m p e d v i b r a t o r y s y s t e m i n c r e a s e s w i t h t h e f r e q u e n c y o f v i b r a t i o n w h e n t h e a m p l i t u d e o f v i b r a t i o n i s c o n s t a n t . B u t f o r m a n y e l a s t i c b o d i e s , t h e h y s t e r e t i c d a m p i n g m e c h a n i s m , w h o s e e n e r g y d i s s i p a t i o n p e r c y c l e i s i n d e p e n d e n t o f t h e f r e q u e n c y , i s a b e t t e r a p p r o x i m a t i o n t h a n v i s c o u s d a m p i n g [ 1 4 ] , F o r h y s t e r e t i c d a m p i n g , t h e MS d e f l e c t i o n i s g i v e n b y : S t w , ) i r 0 2 ( x ) £ [ y 2 ( x , t ) ] * , ( 3 . 4 . 2 1 ) m 2 L vco3 w h e r e v i s t h e h y s t e r e t i c d a m p i n g c o n s t a n t . T h e f i n i t e e l e m e n t e q u i v a l e n c e o f e q u a t i o n 3 . 4 . 2 1 i s g i v e n b y : S f w , )*UT [M]tf , )H ( x ) £ [ y 2 ( x , t ) ] « , ( 3 . 4 . 2 2 ) ? M 2 w 3 w h e r e M , i s t h e m o d a l m a s s i n t h e f u n d a m e n t a l m o d e w h i c h i s u s a l l y n o r m a l i z e d t o u n i t y . Now a o n e m o d e v i b r a t i o n r e s p o n s e o f a t r a n s v e r s e l y v i b r a t i n g b e a m s u b j e c t e d t o a o n e d i m e n s i o n a l r a n d o m r a i n f o r c e o v e r t h e b e a m s p a n h a s b e e n e s t a b l i s h e d . T h e s e r e s u l t s w i l l b e n e e d e d l a t e r i n t h e s t u d y f o r t h e o p t i m a l h o t - a r m d e s i g n . 45 3 . 5 RANDOM V I B R A T I O N M E A S U R E M E N T S ON T H E P R O T O T Y P E ( 1 )  H O T - A R M R a n d o m v i b r a t i o n o f t h e h o t - a r m t i p w a s m e a s u r e d w i t h t h e f o l l o w i n g a p p a r a t u s : V i b r a m e t r i c 1 0 3 0 p i e z o e l e c t r i c a c c e l e r o m e t e r , K r o h n - H i t e 3 7 5 0 b a n d f i l t e r a n d N i c h o l e t 6 6 0 A F F T s i g n a l a n a l y z e r . I n s p e c t i o n o f t h e t i p d e f l e c t i o n s p e c t r a s h o w e d t h a t v i b r a t i o n c o n t r i b u t i o n s f r o m t h e s e c o n d a n d h i g h e r b e a m m o d e s o f t h e h o t - a r m a r e s m a l l . T h e t r a n s d u c e r s i g n a l w a s b a n d f i l t e r e d f o r f i r s t m o d e a n a l y s i s a t 5 . 0 5 H z a n d c h a n n e l e d i n t o t h e N i c h o l e t s i g n a l a n a l y z e r . T h e f i l t e r i n g w a s n e e d e d b e c a u s e a l t h o u g h t h e t i p d e f l e c t i o n c o n t r i b u t i o n s f r o m t h e h i g h e r m o d e s w e r e s m a l l , t h e i r t i p a c c e l e r a t i o n c o n t r i b u t i o n s w e r e l a r g e . T h e t i m e d o m a i n p l o t o f t h e t i p a c c e l e r a t i o n y ( t ) p l o t t e d i n F i g u r e 3 . 2 i s a t y p i c a l r e s p o n s e o f a l i g h t l y d a m p e d 1DOF s y s t e m e x c i t e d b y a G a u s s i a n w h i t e n o i s e e x c i t a t i o n . T h e e x p e c t e d f r e q u e n c y o f z e r o c r o s s i n g s o r t h e a v e r a g e f r e q u e n c y o f v i b r a t i o n f o r a n a r r o w - b a n d s y s t e m i s e q u a l t o t h e f u n d a m e n t a l f r e q u e n c y . B e c a u s e o f t h e b e a t p h e n o m e n o n a s s o c i a t e d w i t h a n y t w o h a r m o n i c s w h o s e f r e q u e n c i e s a r e c l o s e t o g e t h e r , t h e n a r r o w - b a n d h o t - a r m r e s p o n s e i n t h e f i g u r e s h o w s a s i m i l a r b e a t i n g e n v e l o p e w i t h a m p l i t u d e o f t h e e n v e l o p e s l o w l y v a r y i n g i n a r a n d o m f a s h i o n [ 1 5 ] . T h e P D F o f y , p ( y ) , p l o t t e d i n F i g u r e 3 . 3 a p p r o x i m a t e s a n o r m a l o r G a u s s i a n d i s t r i b u t i o n . T h i s i s p l a u s i b l e s i n c e f l o w t u r b u l e n c e i s a p r o c e s s w i t h m a n y i n d e p e n d e n t r a n d o m 46 cu Ld O U TIME ( S E C ) F i g u r e 3 . 2 : V i b r a t i o n a c c e l e r a t i o n o f t h e P r o t o t y p e d ) h o t - a r m t i p . 5.66 : >> CL 0.0 -0.854 - r 0 0.854 T I P A C C E L E R A T I O N , y CIN/S > F i g u r e 3 . 3 : P r o b a b i l i t y d e n s i t y f u n c t i o n o f t h e P r o t o t y p e d ) h o t - a r m t i p v i b r a t i o n a c c e l e r a t i o n . 47 s o u r c e s a n d s u c h a r a n d o m p r o c e s s i s a p p r o x i m a t e l y G a u s s i a n . A G a u s s i a n i n p u t i n t o a l i n e a r v i b r a t o r y s y s t e m w i l l r e s u l t i n a G a u s s i a n o u t p u t . A s i n g l e - v a r i a b l e G a u s s i a n P D F h a s t h e f o l l o w i n g f o r m o f d i s t r i b u t i o n : 1 - ( y - y ) 2 p ( y ) = e x p { }. ( 3 . 5 . 1 ) • ( 2 * ) o~ 2 a j A c c o r d i n g t o F i g u r e 3 . 3 , t h e m e a n o f y d e n o t e d b y y i s z e r o a n d t h e s t a n d a r d d e v i a t i o n o f y d e n o t e d b y a.. i s 1 2 y a p p r o x i m a t e l y 0 . 0 7 8 i n / s 2 . T h e s t a n d a r d d e v i a t i o n o f t h e h o t - a r m t i p d e f l e c t i o n d e n o t e d b y i s e q u a l t o a » / w 2 = 0 . 0 8 * 1 0 ~ 3 i n , w h e r e to, i s t h e e x p e c t e d f r e q u e n c y o f z e r o c r o s s i n g s . N o t e t h a t s i n c e t h e m e a n v a l u e i s z e r o , t h e s t a n d a r d d e v i a t i o n i s e q u a l t o t h e RMS v a l u e a n d t h e v a r i a n c e i s e q u a l t o t h e MS v a l u e . T a k i n g a n o t h e r l o o k a t t h e t i m e d o m a i n p l o t o f t h e y , i t i s e v i d e n t t h a t t h e e x t r e m e v a l u e s o f t h e a c c e l e r a t i o n w o u l d b e b i g g e r t h a n t h e s t a n d a r d d e v i a t i o n o f t h e a c c e l e r a t i o n . A s e t o f e x t r e m e d a t a i s s h o w n i n T a b l e 3 . 1 ; o n e e x t r e m e v a l u e i s s a m p l e d f o r e v e r y t w e n t y s e c o n d t i m e i n t e r v a l . 48 T a b l e 3 . 1 ; E x t r e m e a c c e l e r a t i o n s o f t h e P r o t o t y p e d ) h o t - a r m  t i p . ( i n / s 2 ) 0 . 2 0 0 . 1 2 0 . 1 5 0 . 1 3 0 . 7 4 0 . 1 3 0 . 1 1 0 . 2 0 0 . 1 3 0 . 1 5 0 . 0 9 2 0 . 0 7 4 0 . 1 5 0 . 1 3 0 . 1 2 0 . 0 9 2 0 . 1 1 0 . 0 9 2 0 . 1 2 0 . 1 5 0 . 12 0 . 1 1 0 . 0 9 2 0 . 1 5 0 . 1 2 0 . 1 3 0 . 1 3 0 . 1 2 0 . 1 3 0 . 0 9 2 0 . 1 8 0 . 1 7 0 . 1 8 0 . 1 3 0 . 1 8 0 . 1 6 0 . 2 1 0 . 1 8 0 . 1 1 0 . 1 5 0 . 1 2 0 . 1 5 0 . 0 6 1 0 . 1 3 0 . 1 2 0 . 0 7 4 0 . 1 8 0 . 1 2 0 . 1 3 0 . 1 3 M e a n - e x t r e m e v a l u e : y g = 0 . 1 3 i n / s 2 T h i s s h o w s t h a t t h e u s u a l p r a c t i c e o f t a k i n g t h r e e t i m e s t h e s t a n d a r d d e v i a t i o n a s t h e m e a n - e x t r e m e v a l u e i s a g o o d e s t i m a t e , i e . , y e = * 3 a » . T h e r e a d e r c a n f i n d f u r t h e r r e f e r e n c e s o n t h e t h e o r y o f e x t r e m e v a l u e s w i t h a p p l i c a t i o n t o v i b r a t i o n i n a n o t e b y D a v e n p o r t [ 1 6 ] . E s t i m a t e o f t h e E x c i t a t i o n F o r c e o n a P r o t o t y p e d ) H o t - a r m T h e P r o t o t y p e d ) h o t - a r m e x c i t e d b y t h e c o o l a n t f l o w i s t o b e m o d e l l e d a s a t r a n s v e r s e l y v i b r a t i n g c a n t i l e v e r b e a m s u b j e c t e d t o a o n e d i m e n s i o n a l r a n d o m r a i n f o r c e o v e r t h e 4 9 b e a m s p a n . A s m e n t i o n e d i n a p r e v i o u s s e c t i o n , t h e r o o t o f t h i s c a n t i l e v e r b e a m c o i n c i d e s w i t h p o i n t s A a n d B o f F i g u r e 1 . 4 . V i b r a t i o n r e s p o n s e i n t h e f i r s t m o d e a l o n e i s t o b e c o n s i d e r e d . T h e b e a m m a t e r i a l i s h y s t e r e t i c a l l y d a m p e d . T h e P S D o f t h i s r a n d o m r a i n f o r c e a t o)y, S t w , ) , c a n b e e s t i m a t e d f r o m t h e m e a s u r e d MS d e f l e c t i o n o f t h e h o t - a r m t i p i n t h e f i r s t m o d e . T h e m o d e s h a p e , m o d a l m a s s a n d j o i n t a c c e p t a n c e f u n c t i o n o f t h e P r o t o t y p e d ) h o t - a r m a r e e v a l u a t e d w i t h t h e f i n i t e e l e m e n t m e t h o d . T h e P r o t o t y p e d ) h o t - a r m i s m o d e l l e d a s a n o n - u n i f o r m f i n i t e e l e m e n t c a n t i l e v e r b e a m a s s h o w n i n A p p e n d i x B . T h e e l a s t i c m o d u l u s o f t h e m o d e l i s s e l e c t e d s u c h t h a t i t s f u n d a m e n t a l f r e q u e n c y i s t h e s a m e a s t h a t o f t h e a c t u a l h o t - a r m . T h e e l a s t i c m o d u l u s f o r t h e m o d e l i s 6 . 5 * 1 0 6 p s i , l o w e r t h a n t h e u s u a l 1 0 . 6 * 1 0 6 p s i f o r a l u m i n u m m a t e r i a l . T h i s d i s c r e p a n c y i n t h e e l a s t i c m o d u l i c a n b e a t t r i b u t e d t o t h e r i v e t e d c o n s t r u c t i o n o f P r o t y p e d ) a n d t h e f a c t t h a t a h o t - a r m i s a p p r o x i m a t e d t o b e a c a n t i l e v e r b e a m . T h e m o d e l h a s a t i p s t i f f n e s s o f 109 l b / i n w h e r e a s t h e a c t u a l h o t - a r m h a s a m e a s u r e d t i p s t i f f n e s s o f 140 l b / i n . T h e o n e m o d e p a r a m e t e r s o f t h e f i n i t e e l e m e n t m o d e l a r e g i v e n b y : M , = 1 l b * i n , (*![M]*i) = 2 5 5 i n 3 / s 2 , i/>,(L) = 2 . 9 5 i n , = 3 1 . 7 r a d / s F o r v a r i a n c e o f t h e t i p d e f l e c t i o n : o* = 6 . 0 * 1 0 - 9 i n 2 , t h e s t r e n g t h o f t h e e x c i t a t i o n i s a p p r o x i m a t e d b y e q u a t i o n ( 3 . 4 . 2 2 ) t o b e : Siujv/v = 8 . 9 * 1 0 " 8 l b * i n . 4 . A N A N A L Y T I C A L S T U D Y ON T H E O P T I M A L S T R U C T U R A L G E O M E T R Y  F O R A H O T - A R M W H I C H M I N I M I Z E S V I B R A T I O N A n a n a l y t i c a l s t u d y i s c o n d u c t e d t o d e t e r m i n e t h e d e s i r a b l e s t r u c t u r a l g e o m e t r y f o r a h o t - a r m w h i c h w o u l d r e d u c e h o t - a r m v i b r a t i o n . T h e h o t - a r m s t r u c t u r e i s r e p l a c e d b y a t r a n s v e r s e l y v i b r a t i n g c a n t i l e v e r b e a m m o d e l f o r a n a l y t i c a l s t u d i e s . T h e s t a r t i n g p o i n t o f t h i s i n v e s t i g a t i o n i s t o d e t e r m i n e w h a t e f f e c t t h a t a d d i n g o f d i s c r e t e m a s s , r o t a t i o n a l s t i f f e n e r , o r d a m p i n g h a s o n t h e v i b r a t i o n r e s p o n s e o f a u n i f o r m c a n t i l e v e r b e a m . A c o m p a r i s o n i s m a d e o f t h e a n a l y t i c a l b e a m r e s p o n s e s f o r t w o m o d e l s o f t h e b e a m e x c i t a t i o n . I t w a s s h o w n i n a p r e v i o u s s e c t i o n t h a t a o n e d i m e n s i o n a l r a n d o m r a i n f o r c e w i t h w h i t e n o i s e P S D i s a p o s s i b l e m o d e l o f t h e f l o w - i n d u c e d r a n d o m e x c i t a t i o n o n a h o t - a r m . T h e o t h e r , a s t a n d a r d t y p e o f e x c i t a t i o n , i s a u n i t h a r m o n i c p o i n t f o r c e a t t h e f u n d a m e n t a l f r e q u e n c y a p p l i e d t o t h e f r e e t i p o f t h e c a n t i l e v e r b e a m . T h e r e s u l t o f t h e d i s c r e t e m a s s - s t i f f n e s s - d a m p i n g a d d i t i o n s t u d y i s t h e n e x t e n d e d t o f i n d t h e o p t i m a l s t r u c t u r a l g e o m e t r y o f a h o t - a r m i n v o l v i n g c o n t i n u o u s d i s t r i b u t i o n o f s t r u c t u r a l m a t e r i a l , i e . , a c o n t i n u o u s l y v a r i a b l e - c r o s s - s e c t i o n c a n t i l e v e r b e a m . F o r a n e l a s t i c s t r u c t u r e l i k e t h e T r i u m f h o t - a r m , h y s t e r e t i c d a m p i n g i s a b e t t e r m o d e l o f t h e d a m p i n g t h a n t h e v i s c o u s d a m p i n g . T h u s m i n i m u m - w e i g h t d e s i g n o f a h y s t e r e t i c a l l y d a m p e d v a r i a b l e - c r o s s - s e c t i o n s a n d w i c h c a n t i l e v e r b e a m , s u b j e c t e d t o e i t h e r t h e u n i t h a r m o n i c p o i n t f o r c e o r t h e r a n d o m r a i n 50 51 f o r c e , w i t h c o n s t r a i n t o n t h e t i p v i b r a t i o n , i s i n v e s t i g a t e d . T h e r a t i o n a l f o r i n v e s t i g a t i n g m i n i m u m - w e i g h t d e s i g n s i s t o m a k e e f f i c i e n t u s e o f t h e c o n s t r u c t i o n m a t e r i a l : t o p u t t h e m a t e r i a l w h e r e i t w i l l d o m o s t g o o d . S i z e r e s t r i c t i o n o n t h e h o t - a r m i s i m p o s e d o n t o t h e d e s i g n s i n t h e f o r m o f a d i m e n s i o n l e s s r a t i o b e t w e e n t h e b e a m l e n g t h a n d b e a m d e p t h . A p o s s i b l e r e p l a c e m e n t h o t - a r m d e s i g n i s r e p o r t e d o n a f t e r a c a r e f u l c o n s i d e r a t i o n o f t h e a b o v e a n a l y s e s . 52 4 . 1 T H E A D D I T I O N O F D I S C R E T E M A S S - S T I F F N E S S - D A M P I N G T O  R E D U C E T H E V I B R A T I O N D E F L E C T I O N O F A U N I F O R M C A N T I L E V E R  B E A M L e t t h r e e m o d e l s o f t h e c a n t i l e v e r b e a m b e l a b e l l e d a s m o d e l s ' A T , ' A 2 ' a n d ' A 3 ' . A1 A u n i f o r m c a n t i l e v e r b e a m w i t h m a s s p e r u n i t l e n g t h m i s f i x e d a t e n d x=0 a n d f r e e a t e n d x = L . A 2 A l u m p e d m a s s M ° i s a d d e d t o m o d e l A1 a t x = a a s s h o w n i n F i g u r e 4 . 1 . A 3 A l u m p e d r o t a t i o n a l s t i f f e n e r K ° i s a t t a c h e d t o m o d e l A1 a t x = a a n d x = a + A a s s h o w n i n F i g u r e 4 . 2 , w h e r e A << L . L e t t w o a n a l y t i c a l m o d e l s o f b e a m e x c i t a t i o n b e l a b e l l e d a s m o d e l s ' B 1 ' a n d ' B 2 ' . B1 A u n i t h a r m o n i c p o i n t f o r c e o f P s i n ( o j n t ) i s a p p l i e d a t x = L , a s s h o w n i n F i g u r e 4 . 1 , w h e r e co n i s t h e f u n d a m e n t a l f r e q u e n c y o f t h e m o d i f i e d b e a m a n d P c o u l d b e u n i t y . B 2 A r a n d o m r a i n f o r c e w i t h w h i t e n o i s e P S D , S 0 , i s a p p l i e d o v e r t h e s p a n o f t h e b e a m a s s h o w n i n F i g u r e 4 . 2 . L e t t w o a n a l y t i c a l m o d e l s o f d a m p i n g b e l a b e l l e d a s m o d e l s ' C 1 ' a n d ' C 2 ' . C1 A l i g h t v i s c o u s d a m p i n g p a r a m e t e r c i s i n t r o d u c e d i n t o t h e b e a m v i a c o m p l e x m o d u l u s a p p r o a c h a n d a l u m p e d v i s c o u s d a m p i n g p a r a m e t e r C ° i s a d d e d i n p a r a l l e l t o K ° . C 2 A l i g h t h y s t e r e t i c d a m p i n g p a r a m e t e r v i s i n t r o d u c e d i n t o t h e b e a m v i a c o m p l e x m o d u l u s a p p r o a c h a n d a l u m p e d h y s t e r e t i c d a m p i n g p a r a m e t e r H ° i s a d d e d i n p a r a l l e l t o K ° . 53 F i g u r e 4 . 1 : A u n i f o r m c a n t i l e v e r b e a m w i t h a n a d d e d m a s s M ° e x c i t e d b y a h a r m o n i c p o i n t f o r c e P s i n ( a > ) t . F i g u r e 4 . 2 : A u n i f o r m c a n t i l e v e r b e a m w i t h a n a d d e d r o t a t i o n a l s t i f f e n n e r K ° a n d v i s c o u s d a m p i n g C ° e x c i t e d b y a r a n d o m r a i n f o r c e w i t h w h i t e n o i s e s p e c t r a l d e n s i t y S 0 . 54 F o r s m a l l m a s s - s t i f f n e s s - d a m p i n g a d d i t i o n ( i e . , M ° « 2 ( a ) « m L , K ° A 2 0 7 2 ( a ) « < j 2 m L , C ° A 2 ^ 2 ( a ) « c c o 2 m L , a n d H 0 A 2 # " 2 ( a ) « v c o 2 m L ) a n d l i g h t d a m p i n g i n t h e b e a m s ( i e . , c << 1 a n d v « 1) a o n e m o d e a n a l y s i s i s a d e q u a t e . I f m o r e a c c u r a c y i s n e e d e d , t h e m o d e a c c e l e r a t i o n m e t h o d , d e s c r i b e d i n r e f e r e n c e [ 1 7 ] , c a n b e u s e d t o i n c r e a s e t h e c o n v e r g e n c e r a t e o f t h e m o d e s u m m a t i o n p r o c e d u r e . T h e m o d e a c c e l e r a t i o n m e t h o d c a n g i v e m o r e a c c u r a t e a p p r o x i m a t i o n o f t h e f u n d a m e n t a l f r e q u e n c y b u t t h e m e t h o d d o e s n o t l e n d i t s e l f t o s i m p l e s o l u t i o n s . A p p e n d i x C s h o w s a o n e m o d e a n a l y s i s o f t h e v i b r a t i o n d e f l e c t i o n f o r t h e c o m b i n a t i o n s o f m a s s - s t i f f n e s s - d a m p i n g a d d i t i o n , b e a m e x c i t a t i o n m o d e l a n d d a m p i n g m o d e l . T h e r e s u l t s a r e t a b u l a t e d i n T a b l e 4 . 1 . 55 T a b l e 4 . 1 ; V i b r a t i o n d e f l e c t i o n o f a u n i f o r m c a n t i l e v e r b e a m f o r v a r i o u s c o m b i n a t i o n s o f t h e l u m p e d m a s s - s t i f f n e s s - d a m p i n g a d d i t i o n , b e a m e x c i t a t i o n m o d e l a n d  d a m p i n g m o d e l M o d e l A 1 : M ° = 0 , K ° = 0 , C ° = 0 , H ° = 0 M o d e l B 1 ; P s i n ( c j n t ) M o d e l C I : v i s c o u s d a m p i n g P 0 , ( L ) « , ( x ) y ( x ) - • m L c w i M o d e l B1 : P s i n ( a > n t ) M o d e l C 2 : h y s t e r e t i c d a m p i n g Pt6, ( L ) * , ( x ) y ( x ) -mL vix>\ M o d e l B 2 : S 0 M o d e l C I : v i s c o u s d a m p i n g S o ? r 0 i ( x ) £ [ y 2 ( x , t ) ] m 2 L c c o ^ M o d e l B 2 : S 0 M o d e l C 2 : h y s t e r e t i c d a m p i n g S 0 J T < 6 2 ( x ) £ [ y 2 ( x , t ) ] * m 2 L f w i c o n t i n u e t a b l e . . . M o d e l A 2 : M ° # 0 , K ° = 0 , C ° = 0 , H ° = 0 M o d e l B 1 : P s i n ( a > n t ) M o d e l C1 : v i s c o u s d a m p i n g P * , ( L ) * , ( x ) ^ { l + ( M ° / m L ) < 6 2 ( a ) } y ( x ) -mLco) 3 M o d e l B 1 : P s i n ( a > n t ) M o d e l C 2 : h y s t e r e t i c d a m p i n g P<4, ( L ) ^ , ( x ) y ( x ) -mL I>CJ2 M o d e l B 2 : S 0 M o d e l C 1 : v i s c o u s d a m p i n g S 0 T T C 4 2 ( x ) £ [ y 2 ( x , t ) ] * m 2 L c w ? M o d e l B 2 : S 0 M o d e l C 2 : h y s t e r e t i c d a m p i n g S O 7 T 0 2 ( x ) £ [ y 2 ( x , t ) ] m 2 L v c o V ( 1 + ( M ° / m L ) 0 2 ( a ) } 57 c o n t i n u e t a b l e . . . M o d e l A 3 : M ° = 0 , K ° * 0 , C ° # 0 o r H ° # 0 M o d e l B1 : P s i n ( c o n t ) M o d e l C1 : v i s c o u s d a m p i n g P t f , ( U t f , ( x ) y ( x ) m L { c w 2 + ( C ° A 2 / m L ) c 4 7 2 ( a ) }v/{cj 2 + ( K ° A 2 / m L ) 0 V 2 ( a ) } M o d e l B1 : P s i n ( a > n t ) M o d e l C 2 : h y s t e r e t i c d a m p i n g P0, ( L ) $ , ( x ) y ( x ) -m L { ^ c j 2 + ( H ° A 2 / m L ) 0 V 2 ( a ) } M o d e l B 2 : S 0 M o d e l C 1 : v i s c o u s d a m p i n g S O 7 T 0 2 ( x ) £ [ y 2 ( x , t ) ] m 2 L { c u > 2 + ( C 0 A 2 / m L ) < f > ' J 2 ( a ) }{u>2 + ( K ° A 2 / m L ) 0','2 ( a ) } M o d e l B 2 : S 0 M o d e l C 2 : h y s t e r e t i c d a m p i n g S O 7 T 0 2 ( x ) £ [ y 2 ( x , t ) ] -m 2 L { ^ c o 2 + ( H o A 2 / m L ) 0 V 2 ( a ) } / { c j 2 + ( K ° A 2 / m L ) c 6 ^ 2 ( a ) } w h e r e , a>, : t h e f u n d a m e n t a l f r e q u e n c y o f t h e b e a m f o r M ° = K ° = 0 . 0 2 ( x ) : t h e s q u a r e o f t h e f i r s t n o r m a l m o d e s h a p e f o r M ° = K ° = 0 ; i t i s p o s i t i v e a n d i n c r e a s e s w i t h i n c r e a s i n g v a l u e o f x [ 1 7 ] . < 6 7 2 ( x ) : t h e s q u a r e o f t h e c u r v a t u r e o f t h e f i r s t n o r m a l m o d e s h a p e f o r M ° = K ° = 0 ; i t i s p o s i t i v e a n d d e c r e a s e s w i t h 58 i n c r e a s i n g v a l u e o f x [17], T h e f o l l o w i n g o b s e r v a t i o n s c a n b e m a d e : m o d e l A 2 - B 1 - C 1 s h o w s t h a t M ° i n c r e a s e s t h e r e s o n a n t a m p l i t u d e . m o d e l s A 2 - B 1 - C 2 a n d A 2 - B 2 - C 1 s h o w t h a t M ° h a s l i t t l e e f f e c t o n t h e r e s o n a n t a n d MS d e f l e c t i o n . m o d e l A 2 - B 2 - C 2 s h o w s t h a t M ° a t t e n u a t e s t h e MS d e f l e c t i o n . m o d e l s A 3 - B 1 - C 1 , A 3 - B 1 - C 2 , A 3 - B 2 - C 1 a n d A 3 - B 2 - C 2 s h o w t h a t C ° a n d H ° a t t e n u a t e t h e r e s o n a n t a n d MS d e f l e c t i o n , m o d e l A 3 - B 1 - C 2 s h o w s t h a t K ° h a s l i t t l e e f f e c t o n t h e r e s o n a n t a m p l i t u d e . m o d e l s A 3 - B 1 - C 1 , A 3 - B 2 - C 1 a n d A 3 - B 2 - C 2 s h o w t h a t K ° a t t e n u a t e t h e r e s o n a n t a n d MS d e f l e c t i o n . A d d e d d a m p i n g s C ° a n d H ° a t t e n u a t e t h e r e s o n a n t a n d MS d e f l e c t i o n i n a l l c a s e s . H o w e v e r t h e e f f e c t s o f M ° a n d K ° o n t h e d e f l e c t i o n a r e d e p e n d e n t o n t h e m o d e l o f b e a m e x c i t a t i o n a n d d a m p i n g . F o r a n e l a s t i c s t r u c t u r e l i k e t h e h o t - a r m , h y s t e r e t i c d a m p i n g , w h i c h i s i n d e p e n d e n t o f t h e f r e q u e n c y , i s t h e b e t t e r m o d e l o f t h e d a m p i n g [ 1 3 ] . I n s p e c t i o n o f t h e r e s o n a n t a m p l i t u d e s o f h y s t e r e t i c a l l y d a m p e d m o d e l s s h o w s t h a t M ° a n d K ° h a v e l i t t l e e f f e c t w h i l e H ° a t t e n u a t e s t h e a m p l i t u d e s . T h e c h a r a c t e r i s t i c o f t h e f u n c t i o n 0 " 2 ( x ) i n d i c t a t e s t h a t a r o t a t i o n a l s t i f f e n e r w i t h d a m p i n g H ° i s m o s t e f f e c t i v e w h e n i t s a t t a c h m e n t p o i n t s a r e a t x=0 a n d x = A . T h i s s u g g e s t s t h a t t h e c o n t i n u o u s l y m o d i f i e d ( e x t e n s i o n o f d i s c r e t e l y m o d i f i e d ) m i n i m u m - w e i g h t c a n t i l e v e r 5 9 b e a m d e s i g n w i t h c o n s t r a i n t o n t h e r e s o n a n t a m p l i t u d e s h o u l d b e o n e w h i c h i s s t i f f e n e d i n b e n d i n g n e a r t h e f i x e d e n d , i e . , a b e a m w h i c h i s t a p e r e d t o w a r d s t h e t i p . T h e g e o m e t r y o f t a p e r i n g , i e . , l i n e a r l y , p a r a b o l i c a l l y , c u b i c a l l y e t c . , i s n o t k n o w n a t t h i s p o i n t ? i t i s d i s c u s s e d l a t e r . I n s p e c t i o n o f t h e MS d e f l e c t i o n s o f h y s t e r e t i c a l l y d a m p e d m o d e l s s h o w s t h a t M ° , K ° a n d H ° a l l a t t e n u a t e t h e MS d e f l e c t i o n . T h e e f f e c t s o f M ° , K ° a n d H ° o n t h e MS d e f l e c t i o n c a n b e e x p l a i n e d a s f o l l o w s . T h e f r e q u e n c y r e s p o n s e o f a d a m p e d 1DOF s y s t e m c a n b e d i v i d e d i n t o t h r e e r e g i o n s . A t f r e q u e n c i e s b e l o w a n d a w a y f r o m t h e r e s o n a n c e , t h e s t i f f n e s s f o r c e ( o r g e n e r a l i z e d s t i f f n e s s f o r c e ) i s d o m i n a n t w h i l e a t f r e q u e n c i e s a b o v e a n d a w a y f r o m t h e r e s o n a n c e t h e i n e r t i a f o r c e ( o r g e n e r a l i z e d i n e r t i a f o r c e ) i s d o m i n a n t . A t f r e q u e n c i e s o n a n d n e a r r e s o n a n c e t h e d a m p i n g f o r c e ( o r g e n e r a l i z e d d a m p i n g f o r c e ) i s d o m i n a n t . T h e f a c t t h a t MS d e f l e c t i o n h a s c o n t r i b u t i o n s f r o m a l l t h r e e r e g i o n s o f t h e f r e q u e n c y r e s p o n s e , c o m b i n e d w i t h t h e f a c t t h a t h y s t e r e t i c d a m p i n g f o r c e i s i n d e p e n d e n t o f t h e f r e q u e n c y o f v i b r a t i o n , e x p l a i n s w h y M ° , K ° a n d H ° a l l g i v e a t t e n u a t i o n . T h e c h a r a c t e r i s t i c s o f t h e f u n c t i o n s tf>2(x) a n d 0 " 2 ( x ) d i c t a t e t h a t M ° i s m o s t e f f e c t i v e a t x = L , a n d K ° w i t h H ° m o s t e f f e c t i v e w h e n a t t a c h e d a t x=0 a n d x = A t o a t t e n u a t e t h e MS d e f l e c t i o n . T h i s s u g g e s t s t h a t a c o n t i n u o u s l y m o d i f i e d ( e x t e n s i o n o f d i s c r e t e l y m o d i f i e d ) m i n i m u m - w e i g h t c a n t i l e v e r b e a m d e s i g n w i t h c o n s t r a i n t o n t h e MS d e f l e c t i o n s h o u l d b e o n e w h i c h i s h e a v i e r i n t h e v i c i n i t y o f t h e f r e e 60 t i p a n d s t i f f e n e d i n t h e v i c i n i t y o f t h e f i x e d e n d . T h e g e o m e t r y o f t h i s v a r i a b l e - c r o s s - s e c t i o n m i n i m u m - w e i g h t b e a m i s d i s c u s s e d l a t e r . 4 . 2 O P T I M U M D E S I G N O F A H Y S T E R E T I C A L L Y D A M P E D C A N T I L E V E R  B E A M S U B J E C T E D T O A U N I T H A R M O N I C P O I N T F O R C E A T T H E  F R E E T I P S u b s t a n t i a l l i t e r a t u r e e x i s t s o n t h e o p t i m u m d e s i g n o f e l a s t i c s t r u c t u r e s i n v o l v i n g c o n t i n u o u s d i s t r i b u t i o n o f s t r u c t u r a l m a t e r i a l . A c o m p r e h e n s i v e c o l l e c t i o n o f l i t e r a t u r e a n d r e f e r e n c e s c a n b e f o u n d i n a t w o v o l u m e e d i t i o n t i t l e d O p t i m i z a t i o n o f D i s t r i b u t e d P a r a m e t e r  S t r u c t u r e s ( 1 9 8 0 ) [ 1 8 ] . T h e o p t i m i z a t i o n l i t e r a t u r e i s o r g a n i z e d a c c o r d i n g t o p r o b l e m t y p e a s f o l l o w s . B u c k l i n g o f c o l u m n s , p l a t e s , a n d s h e l l s M a x i m i z a t i o n o f f u n d a m e n t a l f r e q u e n c y o f b a r s , b e a m s , p l a t e s a n d s h e l l s D e f l e c t i o n a n d c o m p l i a n c e o f s t r u c t u r e s D y n a m i c r e s p o n s e S h a p e o f t w o a n d t h r e e d i m e n s i o n a l e l e m e n t s M u l t i - p u r p o s e s t r u c t u r e s a n d s p e c i a l p r o b l e m s T h e c a t e g o r y d y n a m i c r e s p o n s e c a n b e d i v i d e d i n t o t w o s u b - c a t e g o r i e s , a s f o l l o w s . f o r c e d s t e a d y s t a t e o s c i l l a t i o n t r a n s i e n t d y n a m i c r e s p o n s e P u b l i s h e d a r t i c l e s o n f o r c e d s t e a d y s t a t e o s c i l l a t i o n i n c h r o n o l o g i c a l o r d e r a r e a s f o l l o w s . I c e r m a n ( 1 9 6 9 ) [ 1 9 ] 61 f o r m u l a t e d a m i n u m u m - w e i g h t d e s i g n p r o b l e m w i t h a d e s i g n c o n s t r a i n t t h a t s e t s a n u p p e r b o u n d o n t h e v i r t u a l w o r k o f t h e g i v e n a m p l i t u d e o f l o a d o n t h e a m p l i t u d e o f t h e d e f l e c t i o n a t t h e p o i n t o f a p p l i c a t i o n . M r o z ( 1 9 7 0 ) [ 2 0 ] u s e d a v a r i a t i o n a l f o r m u l a t i o n w h i c h i s a p p l i c a b l e t o a b r o a d e r c l a s s o f s t r u c t u r e s . T h e t w o a u t h o r s o b t a i n e d o p t i m a l i t y c o n d i t i o n s f o r a x i a l m o t i o n o f a r o d , b e n d i n g o f a b e a m , b e n d i n g o f a p l a t e a n d r e s p o n s e o f a t r u s s . P l a u t ( 1 9 7 1 ) [ 2 1 ] f o r m u l a t e d t h e p r o b l e m o f m i n i m u m - w e i g h t d e s i g n o f s t r u c t u r e s u n d e r p e r i o d i c l o a d i n g , s u b j e c t e d t o t h e d e s i g n c o n s t r a i n t t h a t p r e s c r i b e s t h e d e f l e c t i o n o f a s p e c i f i e d p o i n t o n t h e s t r u c t u r e . H e u s e d t h e p r i n c i p l e o f s t a t i o n a r y m u t u a l p o t e n t i a l e n e r g y t o d e r i v e t h e o p t i m a l i t y c o n d i t i o n f o r b e n d i n g o f a b e a m . P l a u t ( 1 9 7 3 ) [ 2 2 ] u s e d a R a y l e i g h - R i t z t e c h n i q u e t o a p p r o x i m a t e o p t i m a l d e s i g n o f s t r u c t u r e s f o r b o t h s t a t i c a n d d y n a m i c d e f l e c t i o n s . I n a r t i c l e s b y I c e r m a n , M r o z a n d P l a u t t h e y h a v e d e a l t w i t h u n d a m p e d e l a s t i c s t r u c t u r e s . I n m o r e r e a l i s t i c c a s e s d a m p i n g s h o u l d b e i n c l u d e d . I n t h e p a r t i c u l a r c a s e o f h o t - a r m v i b r a t i o n , e f f e c t i v e d a m p i n g a t t h e f u n d a m e n t a l r e s o n a n c e i s o f i n t e r e s t . I n t h e f o l l o w i n g t h e m i n i m u m - w e i g h t d e s i g n o f a h y s t e r e t i c a l l y d a m p e d s a n d w i c h c a n t i l e v e r b e a m , s u b j e c t e d t o a u n i t h a r m o n i c p o i n t l o a d a t t h e f r e e t i p , w i t h c o n s t r a i n t o n t h e t i p a m p l i t u d e , i s i n v e s t i g a t e d . 62 T h e g o v e r n i n g e q u a t i o n f o r t h e t r a n s v e r s e v i b r a t i o n o f a h y s t e r e t i c a l l y d a m p e d u n i f o r m o r n o n - u n i f o r m c a n t i l e v e r b e a m i s g i v e n b y : 3 2 3 2 y ( x , t ) 3 3 y ( x , t ) 3 2 y ( x , t ) E [ I ( x ) + - I ( x ) ] + m ( x ) 3 x 2 3 x 2 u 3 x 2 3 t 3 t 2 = f ( x , t ) . ( 4 . 2 . 1 ) T a k e t r i a l s o l u t i o n o f t h e f o r m y ( x , t ) = y ( x ) c o s ( c o t ) , ( 4 . 2 . 2 ) f o r H ( - c o ) f ( x , t ) = P 6 ( x - L ) cos(cot) . ( 4 . 2 . 3 ) | H ( w ) | F o r co < co 1 f H(co) i s a f u n c t i o n w h i c h c a n b e a p p r o x i m a t e d b y H ,(co), t h e u n i t c o m p l e x f r e q u e n c y r e s p o n s e f o r a 1 D 0 F s y s t e m w i t h r e s o n a n c e a t co,, i e . , H T ( - C O ) ( C O 2 - C O 2 ) + i »>co2 = . ( 4 . 2 . 4 ) | H , ( w ) | /{(co 2-co 2) 2 + Uco 2 ) 2 } N o t e t h a t co, i s a n u n k n o w n a t p r e s e n t . F o r c o n v e n i e n c e l e t y = y ( x ) , I = I ( x ) a n d m = m ( x ) . S u b s t i t u t i n g ( 4 . 2 . 2 ) , ( 4 . 2 . 3 ) a n d ( 4 . 2 . 4 ) i n t o ( 4 . 2 . 1 ) y i e l d s : H(-co) E ( 1+/ v) [ l y " ] B - co2my = P 5 ( x - L ) . ( 4 . 2 . 5 ) |H(co) | w h e r e ( ) ' a n d ( ) " , r e s p e c t i v e l y , d e n o t e s d i f f e r e n t i a t i n g t h e a r g u e m e n t o n c e a n d t w i c e w i t h r e s p e c t t o x . 4 . 2 . 1 O P T I M A L I T Y C R I T E R I O N F O R T H E M I N I M U M - W E I G H T S A N D W I C H C A N T I L E V E R B E A M E X C I T E D B Y A U N I T H A R M O N I C P O I N T F O R C E A T T H E F R E E T I P 63 I f y i s a k i n e m a t i c a l l y a d m i s s i b l e a p p r o x i m a t i o n o f y t h e n y g i v e s a s t i f f e r s y s t e m . C o n s e q u e n t l y b y R a y l e i g h ' s p r i n c i p l e , w h e n co < co^ , , „ T „ Re{H(-co)} E Jn I y " 2 d x - co2 Sn m y 2 d x £ y ( L ) P ( 4 . 2 . 6 ) 0 0 |H(u)| a n d b y a n a l o g y t o t h e p r i n c i p l e o f m i n i m u m p o t e n t i a l e n e r g y j . Im{H(-co)} i vE fn I y " 2 d x £ y ( L ) P / ( 4 . 2 . 7 ) 0 |H(u)| w h e r e Re{ } a n d Jm{ } d e n o t e , r e s p e c t i v e l y , t a k i n g t h e r e a l a n d i m a g i n a r y p a r t o f t h e a r g u e m e n t . A s a n d w i c h b e a m d e p i c t e d i n F i g u r e 4 . 3 h a s t h e p r o p e r t i e s : m ( x ) = 4 B { p 1 D + p 2 d ( x ) } I ( x ) = 4 B D 2 d ( x ) ( 4 . 2 . 8 ) w h e r e p , a n d p 2 , r e s p e c t i v e l y , a r e t h e m a s s d e n s i t i e s o f t h e c o r e a n d t h e c o v e r - p l a t e s a n d E i s t h e e l a s t i c m o d u l u s f o r t h e c o v e r - p l a t e . T h e c o r e m a i n t a i n s t h e p h y s i c a l s e p a r a t i o n b e t w e e n t h e c o v e r - p l a t e s b u t i t d o e s n o t c o n t r i b u t e d i r e c t l y t o t h e b e n d i n g s t i f f n e s s o f a b e a m . C o n s i d e r t w o s u c h d e s i g n s I a n d I, w i t h c o r r e s p o n d i n g d e f l e c t i o n s y a n d y , w h i c h a r e c o n s t r a i n e d t o h a v e t h e s a m e t i p a m p l i t u d e , i e . , ReiH(-co)} Re{li(-co)} y ( L ) P = y ( L ) P |H(w)| |H(co)| o r E / Q I y n 2 d x c o 2 j £ m y 2 d x = Ej|j I y " 2 d x - W 2 /Q m y 2 d x ( 4 . 2 . 9 ) a n d Im{H{-oo) } Im{U(-co)} y ( L ) P = y ( L ) P |H( W)| |H(«)| 64 F i g u r e 4 . 3 : A v a r i a b l e - c r o s s - s e c t i o n s a n d w i c h b e a m . o r uE / Q I y " 2 d x = * E / Q l y " 2 d x . ( 4 . 2 . 1 0 ) C o m b i n i n g ( 4 . 2 . 9 ) , ( 4 . 2 . 8 ) a n d ( 4 . 2 . 6 ) y i e l d s : / Q ( I - I ) [ E y " 2 - t J 2 ( p 2 / H 2 ) y 2 ] > 0 . ( 4 . 2 . 1 1 ) I f y o f d e s i g n I s a t i s f i e s E y " 2 - w 2 ( p 2 / D 2 ) y 2 = G 2 , ( 4 . 2 . 1 2 ) w i t h k i n e m a t i c c o n s t r a i n t s : y ( 0 ) = 0 y ' ( L ) = 0 y ( L ) = X ( 4 . 2 . 1 3 ) w h e r e G 2 i s a p o s i t i v e c o n s t a n t , t h e n i t f o l l o w s f r o m ( 4 . 2 . 1 1 ) t h a t d e s i g n I c a n n o t b e h e a v i e r t h a n a n y o t h e r d e s i g n I w i t h t h e s a m e t i p a m p l i t u d e . C o m b i n i n g ( 4 . 2 . 1 0 ) , ( 4 . 2 . 8 ) a n d ( 4 . 2 . 7 ) y i e l d s : vEf^ ( I - I ) y " 2 d x £ 0 . • ( 4 . 2 . 1 4 ) I f y o f d e s i g n I s a t i s f i e s 6 5 v E y " 2 = G l , ( 4 . 2 . 1 5 ) w i t h k i n e m a t i c c o n s t r a i n t s : y ( 0 ) = 0 y ' ( 0 ) = 0 y ( L ) = X ( 4 . 2 . 1 6 ) w h e r e G 2 i s a p o s i t i v e c o n s t a n t , t h e n i t f o l l o w s f r o m ( 4 . 2 . 1 4 ) t h a t d e s i g n I c a n n o t b e h e a v i e r t h a n a n y o t h e r d e s i g n I w i t h t h e s a m e t i p a m p l i t u d e . F o r a m u c h s m a l l e r t h a n co, a n d l i g h t d a m p i n g , o p t i m a l i t y c r i t e r i o n ( 4 . 2 . 1 2 ) a l o n e i s a d e q u a t e . H o w e v e r a s co a p p r o a c h e s n e a r co 1 f t h e d a m p i n g f o r c e b e c o m e s i m p o r t a n t a n d t h u s o p t i m a l i t y c r i t e r i o n ( 4 . 2 . 1 5 ) s h o u l d b e u s e d i n s t e a d . T h e g o v e r n i n g e q u a t i o n o f m o t i o n ( 4 . 2 . 5 ) c a n b e d i v i d e d i n t o r e a l a n d i m a g i n a r y p a r t s . T h e r e a l p a r t i s g i v e n b y : E [ l y " ] " - c j 2 4 B ( p 1 D + p 2 d ) y = 0 , ( 4 . 2 . 1 7 ) w i t h f o r c e c o n s t r a i n t s : a t x = L Re{H(-u>) } E I ( x ) y " ( x ) = 0 E [ I ( x ) y " ( x ) ] ' = - P ( 4 . 2 . 1 8 ) |H(u)| a n d t h e i m a g i n a r y p a r t i s g i v e n b y : / i > E [ l y n ] " = 0 ( 4 . 2 . 1 9 ) w i t h f o r c e c o n s t r a i n t s : a t x = L / m { H ( - u ) } vEl(x)y"(x)=0 ? E [ I ( x ) y " ( x ) ] ' = - P . ( 4 . 2 . 2 0 ) | H ( w ) | F o r y o b t a i n e d f r o m ( 4 . 2 . 1 2 ) a n d ( 4 . 2 . 1 5 ) , t h e m i n i m u m - w e i g h t d e s i g n I ( x ) m u s t s a t i s f y b o t h ( 4 . 2 . 1 7 ) a n d ( 4 . 2 . 1 9 ) . T h e p r o b l e m a s f o r m u l a t e d i s q u i t e c o m p l i c a t e d ; a p p r o x i m a t i o n s a r e n e e d e d t o f i n d t h e m i n i m u m - w e i g h t d e s i g n . F o r w m u c h s m a l l e r t h a n co, a n d l i g h t h y s t e r e t i c d a m p i n g , 66 d e s i g n I ( x ) w h i c h s a t i s f i e s e q u a t i o n s ( 4 . 2 . 1 2 ) a n d ( 4 . 2 . 1 7 ) , a p p r o x i m a t e s t h e m i n i m u m - w e i g h t d e s i g n . H o w e v e r a s CJ a p p r o a c h e s n e a r c o , , t h e d a m p i n g f o r c e b e c o m e s i m p o r t a n t a n d t h u s d e s i g n l ( x ) w h i c h s a t i s f i e s ( 4 . 2 . 1 5 ) a n d ( 4 . 2 . 1 9 ) , a p p r o x i m a t e s t h e m i n i m u m - w e i g h t d e s i g n . 4 . 2 . 2 M I N I M U M - W E I G H T S A N D W I C H C A N T I L E V E R B E A M D E S I G N WHEN  T H E F R E Q U E N C Y O F T H E U N I T H A R M O N I C P O I N T F O R C E I S MUCH  L O W E R T H A N T H E F U N D A M E N T A L F R E Q U E N C Y I n t r o d u c i n g t h e d i m e n s i o n l e s s q u a n t i t i e s : x = x / L y = y / L D = D / L d = d / L I = 4 B / L T = w 2 p 2 L 2 / E M = M / E L 3 s = s / E P = P / E L 2 ( 4 . 2 . 2 1 ) w h e r e s i s t h e a m p l i t u d e o f t h e s t r e s s i n t h e c o v e r - p l a t e s o f t h e s a n d w i c h b e a m w h i c h i s g i v e n b y : s = - (1 +/ » > ) E D y " , a n d M i s g i v e n b y : (1+/*>)M = 4 B D d s . F o r CJ m u c h s m a l l e r t h a n u 1 a n d l i g h t h y s t e r e t i c d a m p i n g , t h e s a n d w i c h b e a m d e s i g n w h i c h s a t i s f i e s ( 4 . 2 . 1 2 ) a n d ( 4 . 2 . 1 7 ) a p p r o x i m a t e s t h e m i n i m u m - w e i g h t d e s i g n . I n t h e i r d i m e n s i o n l e s s f o r m s t h e t w o o p t i m a l i t y e q u a t i o n s a r e g i v e n b y : D 2 y " 2 - T y 2 = a 2 ( 4 . 2 . 2 2 ) w h e r e ai i s a c o n s t a n t w h i c h c a n b e e x p r e s s e d i n t e r m s o f X a n d d i s g i v e n b y : M T y = 0 ( 4 . 2 . 2 3 ) D » / ( a 2 + T y 2 ) 67 M d = — — . ( 4 . 2 . 2 4 ) B D / ( a 2 + T y 2 ) T h e d i m e n s i o n l e s s b o u n d a r y c o n d i t i o n s a r e : a t x=0 y ( x ) = 0 y ' ( x ) = 0 — ~ — ~ ~ Re{H{~co)} " a t x=1 y ( x ) = X M ( x ) = 0 M ' ( x ) = P . ( 4 . 2 . 2 5 ) |H(co) | F o r a n u n d a m p e d b e a m M r o z u s e d t h e p e r t u r b a t i o n m e t h o d a n d f o u n d a s e r i e s s o l u t i o n i n t e r m s o f a s m a l l p a r a m e t e r . T h e d a m p e d b e a m p r o b l e m t o b e s o l v e d h e r e i s d i f f e r e n t f r o m M r o z ' s o n l y i n t h e f o r c e d b o u n d a r y c o n d i t i o n s . T h u s s e r i e s s o l u t i o n s o f t h e k i n d ( 4 . 2 . 2 6 ) a n d ( 4 . 2 . 2 7 ) a r e f o u n d f o r s m a l l v a l u e s o f t h e p a r a m e t e r T , i e . , Y = 5o + T y , + T 2 y 2 + . . . ( 4 . 2 . 2 6 ) M = M 0 + T M , + T 2 M 2 + . . . ( 4 . 2 . 2 7 ) N o t e f o r co m u c h s m a l l e r t h a n co, , t h e p a r a m e t e r T i s s m a l l . S u b s t i t u t i n g ( 4 . 2 . 2 6 ) i n t o ( 4 . 2 . 2 2 ) , e q u a t i n g t e r m s o f l i k e p o w e r s o f T , i n t e g r a t i n g o v e r x a n d a p p l y i n g t h e b o u n d a r y c o n d i t i o n s y i e l d t h e t w o t e r m s s o l u t i o n g i v e n b y : a, „ Yo = — ~ x 2 2 D — a, „ y , = x 6 . ( 4 . 2 . 2 8 ) 2 4 0 D 3 S u b s t i t u t i o n ( 4 . 2 . 2 7 ) a n d ( 4 . 2 . 2 8 ) i n t o ( 4 . 2 . 2 3 ) , e q u a t i n g t e r m s o f l i k e p o w e r s o f T , i n t e g r a t i n g o v e r x a n d a p p l y i n g t h e b o u n d a r y c o n d i t i o n s y i e l d : 68 _ Re{H(-o)} M 0 = - P ( 1 - x ) |H(u)I B a , p , _ P ( H ( - C J ) } _ M , = ( 4 x - x « - 3 ) + - ( 5 x " - 3 x 5 - 5 x + 3 ) . 24 p 2 120 D 2 | H ( u ) | ( 4 . 2 . 2 9 ) T o s p e c i f y H^ico) a n i t e r a t i v e c o m p u t e r s c h e m e i s r e q u i r e d t o g u e s s c o r r e c t l y . F o r a t e n t a t i v e d e s i g n I ( x ) , t h e f u n d a m e n t a l f r e q u e n c y co, c a n b e e v a l u a t e d f r o m t h e R a y l e i g h ' s q u o t i e n t , i e . , j i E B D 2 d y " d x a) 2 = -z 7---Z—-. ( 4 . 2 . 3 0 ) L 2 / ( ! ) B ( p 1 D + p 2 d ) y 2 d x I n t h e c a s e o f a n u n d a m p e d b e a m v=0, t h e t e r m | H ( w ) | i s e q u a l t o u n i t y a n d a n i t e r a t i v e s c h e m e t o g u e s s C J , i s n o t n e e d e d . I n t h e c a s e o f z e r o f r e q u e n c y T = 0 , t h e p r o b l e m c o r r e s p o n d s t o a b e a m l o a d e d s t a t i c a l l y . F i g u r e 4 . 4 p r e s e n t s t h e v a r i a b l e p l a t e t h i c k n e s s d ( x ) f o r t h e f o l l o w i n g d i m e n s i o n l e s s d a t a : P = 1 0 " 1 3 5 = 1 / 1 2 0 1 = 1 / 2 a , = 1 0 - 7 p , / p 2 = 1 / 1 0 T = 1 0 - " a n d T = 0 w h i c h c o u l d c o r r e s p o n d t o t h e d a t a t y p i c a l o f a h o t - a r m , i e . , L = 120 i n 2D = 2 i n 2 B = 30 i n p 2 / E = 2 . 5 4 * 1 0 " " / 1 0 . 3 * 1 0 6 ( s 2 / i n 2 ) ( a l u m i n u m ) a n d C J 2 = 2 8 0 s " 2 , a n d f o r P = 1 . 5 * 1 0 " 2 l b . 69 F i g u r e 4 . 4 : O p t i m a l c o v e r - p l a t e t h i c k n e s s f o r a n u n d a m p e d c a n t i l e v e r b e a m e x c i t e d b y a u n i t h a r m o n i c p o i n t f o r c e ( T = 1 0 " " ) a n d f o r a c a n t i l e v e r b e a m u n d e r s t a t i c p o i n t f o r c e ( T = 0 ) , b o t h f o r c e s a t t h e f r e e t i p . 70 4 . 2 . 3 M I N I M U M - W E I G H T S A N D W I C H C A N T I L E V E R B E A M D E S I G N WHEN  T H E F R E Q U E N C Y O F T H E U N I T H A R M O N I C P O I N T F O R C E I S T H E  F U N D A M E N T A L F R E Q U E N C Y F o r s t u d y a t f u n d a m e n t a l r e s o n a n c e , e q u a t i o n ( 4 . 2 . 1 5 ) a n d ( 4 . 2 . 1 9 ) i n t h e i r d i m e n s i o n l e s s f o r m s a r e g i v e n b y : D 2 y " 2 = a \ ( 4 . 2 . 3 1 ) v M " = 0 ( 4 . 2 . 3 2 ) w h e r e a 2 i s a c o n s t a n t w h i c h c a n b e e x p r e s s e d i n t e r m s o f X a n d d i s g i v e n b y : M d = — — . ( 4 . 2 . 3 3 ) B D a 2 T h e d i m e n s i o n l e s s b o u n d a r y c o n d i t i o n s a r e : a t x=0 y ( x ) = 0 y ' ( x ) = 0 a t x=1 y ( x ) = X M ( x ) = 0 t-M' ( x ) = P . ( 4 . 2 . 3 4 ) E q u a t i o n s ( 4 . 2 . 3 1 ) a n d ( 4 . 2 . 3 2 ) a r e s i m i l a r i n f o r m s t o t h o s e e q u a t i o n s f o r m i n i m u m - w e i g h t d e s i g n o f a b e a m l o a d e d s t a t i c a l l y . P r a g e r a n d S h i e l d ( 1 9 6 8 ) [ 2 3 ] a p p l i e d t h e p r i n c i p l e o f m i n i m u m p o t e n t i a l e n e r g y t o d e r i v e t h e o p t i m a l i t y c r i t e r i o n f o r m i n i m u m - w e i g h t d e s i g n o f a s t a t i c a l l y l o a d e d s a n d w i c h b e a m . I n t e g r a t i n g e q u a t i o n s ( 4 . 2 . 3 1 ) a n d ( 4 . 2 . 3 2 ) t h e n a p p l y i n g t h e d i m e n s i o n l e s s b o u n d a r y c o n d i t i o n s y i e l d : y = — - x 2 ( 4 . 2 . 3 5 ) 2 D ~ P M = — ( 1 - x ) . ( 4 . 2 . 3 6 ) v 71 w h e r e a2 = 2 X D . T h e m i n i m u m - w e i g h t d ( x ) f o r t h e r e s o n a n c e e x c i t a t i o n i s t h e s a m e a s t h a t o f t h e s t a t i c a l l y l o a d e d c a s e e x c e p t f o r a f a c t o r 1 / V , i e . , ~ ~ P ~ d ( x ) = — ( 1 - x ) . ( 4 . 2 . 3 7 ) v B D a 2 F o r t h e c a s e i n w h i c h p 1 D / p 2 d i s s m a l l a n d n e g l i g i b l e , t h e w e i g h t o f t h e m i n i m u m - w e i g h t b e a m i s t h a t o f t h e c o v e r - p l a t e s a l o n e , i e . , p 2 g P L 2 " . i n • 7 - r <*-2-38) w h e r e g i s t h e g r a v i t a t i o n a l a c c e l e r a t i o n . A t y p i c a l l i n e o f T a b l e 4 . 2 r e p r e s e n t s a c o m p a r i s o n b e t w e e n a u n i f o r m - c r o s s - s e c t i o n c a n t i l e v e r b e a m a n d i t s m i n i m u m - w e i g h t c o u n t e r p a r t w h e r e b o t h a r e c o n s t r a i n e d t o t h e s a m e t i p a m p l i t u d e . T h e f i r s t t h r e e c o l u m n s o f T a b l e 4 . 2 a r e f o r t h e u n i f o r m b e a m s , t h e s i x t h c o l u m n i s f o r t h e m i n i m u m - w e i g h t b e a m , a n d t h e f o r t h a n d f i f t h a r e c o m m o n t o b o t h u n i f o r m a n d m i n i m u m - w e i g h t b e a m s . B o t h o f t h e b e a m s a r e s u b j e c t e d t o a u n i t h a r m o n i c f o r c e o f P s i n f o ^ t ) a t t h e f r e e t i p w h e r e c o / s a r e t h e r e s p e c t i v e f u n d a m e n t a l f r e q u e n c i e s o f t h e b e a m s . N o t e t h e f u n d a m e n t a l f r e q u e n c y o f a u n i f o r m c a n t i l e v e r i s n o t t h e s a m e a s t h a t o f i t s m i n i m u m - w e i g h t c o u n t e r p a r t . 72 T a b l e 4 . 2 : A c o m p a r i s o n b e t w e e n t h e u n i f o r m - c r o s s - s e c t i o n  c a n t i l e v e r b e a m s a n d t h e i r m i n i m u m - w e i g h t c o u n t e r p a r t s w i t h  t h e s a m e r e s o n a n t t i p a m p l i t u d e u n i f o r m W u n i w 0 u n i f o r m d u n i f o r m I I o c o m m o n D c o m m o n y y o m i n i m u m - w e i g h t W . m m W 0 1 . 0 N / A 1 . 0 0 0 N / A 1 . 0 0 0 N / A 0 . 5 0 . 2 5 0 . 8 4 4 0 . 3 7 5 1 . 1 8 5 0 . 3 8 6 0 . 4 0 . 2 0 0 . 7 6 8 0 . 4 0 0 1 . 3 0 2 0 . 3 0 9 0 . 3 0 . 1 5 0 . 6 5 0 0 . 4 2 5 1 . 5 3 8 0 . 2 3 2 0 . 2 0 . 1 0 0 . 4 8 6 0 . 4 5 0 2 . 0 5 8 0 . 155 0 . 1 0 . 0 5 0 . 2 7 1 0 . 4 7 5 3 . 6 9 3 0 . 0 7 7 w h e r e , N / A : n o t a p p l i c a b l e W 0 : 6 0 p 2 g p 2 : m a s s d e n s i t y o f t h e c o v e r - p l a t e m a t e r i a l g : g r a v i t a t i o n a l a c c e l e r a t i o n I 0 : 0 . 0 8 3 3 3 y 0 : 8 . 3 8 6 8 * 1 0 5 [ P / ^ E ] A l l t h e c a n t i l e v e r b e a m s a r e f i x e d a t x=0 a n d f r e e a t x = L . A l l s a n d w i c h b e a m s , u n i f o r m a n d m i n i m u m - w e i g h t , a r e o f t h e t y p e s h o w n i n F i g u r e 4 . 3 a n d d e s c r i b e d b y e q u a t i o n 73 ( 4 . 2 . 8 ) . T h e w e i g h t o f t h e s a n d w i c h c o r e i s a s s u m e d n e g l i g i b l e i n c o m p a r i s o n t o t h e c o v e r - p l a t e s . A l l b e a m s a r e d a m p e d l i g h t l y a n d h y s t e r e t i c a l l y . T h e r e s o n a n t t i p a m p l i t u d e f o r t h e u n i f o r m b e a m s a r e o n e m o d e a p p r o x i m a t i o n o f t h e k i n d f o u n d i n T a b l e 4 . 1 . L e t t h e u n i f o r m c a n t i l e v e r b e a m w i t h u n i t - s q u a r e c r o s s s e c t i o n w i t h o u t a s a n d w i c h c o r e b e t h e r e f e r e n c e b e a m . T h e l e n g t h o f t h e b e a m i s 60 u n i t s . T h i s d e p t h t o l e n g t h r a t i o o f 60 i s c h a r a c t e r i s t i c o f T r i u m f h o t - a r m s . T h e f i r s t e n t r y o f T a b l e 4 . 2 c o r r e s p o n d s t o t h i s u n i t - s q u a r e n o - c o r e b e a m . L e t W 0 , I 0 a n d y 0 b e , r e s p e c t i v e l y , t h e t o t a l w e i g h t , m o m e n t o f i n e r t i a o f c r o s s s e c t i o n a n d t i p a m p l i t u d e o f t h e r e f e r e n c e b e a m . T h e s u b s e q u e n t u n i f o r m c r o s s s e c t i o n s l i s t e d i n T a b l e 4 . 2 a r e m o d i f i c a t i o n s o f t h e r e f e r e n c e b e a m w h e r e t h e m o d i f i c a t i o n i s t h e i n c l u s i o n o f a s a n d w i c h c o r e . T h e i n i t i a l u n i t - s q u a r e e x t e r i o r b o u n d a r y i s m a i n t a i n e d t h r o u g h o u t ; t h u s t h e c r o s s s e c t i o n a l a r e a o f a b e a m d e c r e a s e s p r o p o r t i o n a t e l y w i t h i n c r e a s i n g c o r e t h i c k n e s s . T h e b e a m s a r e o f l e n g t h L = 6 0 , d e p t h 2D+d=1 a n d w i d t h 2 B = 1 . L e t w u n ^ d , D , I a n d y b e , r e s p e c t i v e l y , t h e t o t a l w e i g h t , u n i f o r m c o v e r - p l a t e t h i c k n e s s , r a d i u s o f g y r a t i o n o f c r o s s s e c t i o n , m o m e n t o f i n e r t i a o f c r o s s s e c t i o n a n d t i p a m p l i t u d e o f t h e u n i f o r m c a n t i l e v e r b e a m s . T h e m i n i m u m - w e i g h t c a n t i l e v e r b e a m s a r e o f l e n g t h L = 6 0 , d e p t h 2 D + d ( 0 ) > 1 a n d w i d t h 2 B = 1 . A m i n i m u m - w e i g h t b e a m h a s t h e s a m e r a d i u s o f g y r a t i o n D a s i t s u n i f o r m - c r o s s - s e c t i o n 74 c o u n t e r p a r t w i t h t h e s a m e t i p a m p l i t u d e . L e t W . a n d d ( 0 ) m i n b e , r e s p e c t i v e l y , t h e t o t a l w e i g h t a n d c o v e r - p l a t e t h i c k n e s s a t x=0 f o r t h e m i n i m u m - w e i g h t c a n t i l e v e r b e a m s . N o t e t h a t e q u a t i o n ( 4 . 2 . 8 ) , I ( x ) = 4 B D 2 d ( x ) b e c o m e s m o r e i n a c c u r a t e i n c o m p a r i s o n t o t h e m o r e c o n v e n t i o n a l , I ( x ) = 2 B [ ( 2 D + d ( x ) } 3 - { 2 D - d ( x ) } 3 ] / l 2 , ( 4 . 2 . 3 9 ) a s d ( x ) i n c r e a s e s r e l a t i v e t o D . T h e e r r o r a t d = 0 . 2 5 a n d D = 0 . 3 7 5 i s 3 . 5 p e r c e n t . T h e e r r o r a t d = 0 . 1 a n d D = 0 . 4 7 5 i s a l m o s t z e r o p e r c e n t . F o r t h i s r e a s o n , u n i f o r m b e a m s w i t h d l e s s t h a n 0 . 2 5 a r e e x c l u d e d f r o m T a b l e 4 . 2 w i t h t h e e x c e p t i o n o f t h e r e f e r e n c e b e a m . E q u a t i o n ( 4 . 2 . 3 9 ) w a s u s e d i n t h e c a s e o f t h e r e f e r e n c e b e a m . I n t h e i l l u s t r a t i o n , t h e d e p t h o f t h e m i n i m u m - w e i g h t b e a m a t x=0 e x c e e d s u n i t y , i e . , 2 D + d ( 0 ) > 1 , w h e r e ( 3 . 5 1 6 0 ) 2 d ( 0 ) = d . ( 4 . 2 . 4 0 ) 8 T h e m a x i m u m d e p t h o f t h e m i n i m u m - w e i g h t b e a m , 2 D + d ( 0 ) , d o e s n o t h a v e t o e x c e e d t h e d e p t h o f t h e u n i f o r m b e a m , 2 D + d , i f D ' s f o r t h e t w o b e a m s a r e c h o o s e n a p p r o p i a t e l y ; b u t t h i s 7 5 i l l u s t r a t i o n w o u l d b e s l i g h t l y m o r e c o m p l e x . T a b l e 4 . 2 , f o r c a n t i l e v e r b e a m s w i t h l i g h t h y s t e r e t i c d a m p i n g s u b j e c t e d t o a h a r m o n i c p o i n t f o r c e a t t h e f r e e t i p a n d a t t h e f u n d a m e n t a l f r e q u e n c y , w i t h c o n s t r a i n t o n t h e t i p a m p l i t u d e , s h o w s : w e i g h t a n d m a t e r i a l s a v i n g a r e p o s s i b l e w h e n t h e m i n i m u m - w e i g h t s a n d w i c h b e a m i s u s e d i n s t e a d o f a u n i f o r m b e a m , i e . , W . ( 3 . 5 1 6 0 ) 2 W . - E i * « ( 4 . 2 . 4 1 ) W 0 16 W 0 b e a m m a t e r i a l l o c a t e d n e a r e s t t o t h e n e u t r a l a x i s o f b e n d i n g s h o w s t h e l e a s t e f f i c i e n t u s e o f t h e m a t e r i a l t o m i n i m i z e t h e t i p a m p l i t u d e . s t r u c t u r a l m a t e r i a l s w i t h l a r g e r e l a s t i c m o d u l u s E g i v e s m a l l e r t i p a m p l i t u d e . s t r u c t u r a l m a t e r i a l s w i t h l a r g e r d a m p i n g p a r a m e t e r v g i v e s m a l l e r t i p a m p l i t u d e . 4 . 3 M I N I M U M - W E I G H T D E S I G N O F A H Y S T E R E T I C A L L Y D A M P E D  S A N D W I C H C A N T I L E V E R B E A M , S U B J E C T E D T O A RANDOM R A I N  F O R C E W I T H W H I T E N O I S E P S D , W I T H C O N S T R A I N T ON T H E T I P  D E F L E C T I O N T h e r e a r e j u s t a f e w r e f e r e n c e s o n t h e s u b j e c t o f s t r u c t u r a l o p t i m i z a t i o n i n r a n d o m v i b r a t i o n e n v i r o m e n t . N i g a m ( 1 9 7 2 ) [ 2 4 ] s t u d i e d t h e s t r u c t u r a l o p t i m i z a t i o n p r o b l e m w i t h w e i g h t a n d f a t i g u e d a m a g e a s t h e o b j e c t i v e f u n c t i o n s . I n N i g a m ' s i l l u s t r a t i o n , a v i s c o u s l y d a m p e d u n i f o r m 76 c a n t i l e v e r b e a m w i t h c o n s t a n t - t h i c k n e s s t h i n - w a l l e d b o x c r o s s s e c t i o n a n d a t i p m a s s i s s u b j e c t e d t o a s t a t i o n a r y - r a n d o m - p r o c e s s g r o u n d a c c e l e r a t i o n w i t h z e r o m e a n a n d a p r e s c r i b e d P S D . T h e b e a m i s a s s u m e d w e i g h t l e s s . T h e e x p e c t e d r a t e o f f a t i g u e d a m a g e i s m i n i m i z e d u n d e r w e i g h t , f r e q u e n c y a n d p r o b a b i l i s t i c s t r e s s c o n s t r a i n t s . T h e o p t i m i z e d s t r u c t u r a l p a r a m e t e r s a r e t h e d e p t h a n d w i d t h o f t h e b o x s e c t i o n a n d t h e t h i c k n e s s o f t h e t h i n w a l l . T h i s p r o b l e m r e p r e s e n t s a s i m p l i f i e d m o d e l o f a w a t e r t a n k t o w e r s u b j e c t e d t o a g r o u n d a c c e l e r a t i o n . R a o ( 1 9 8 4 ) [ 2 5 ] s t u d i e d a m o r e g e n e r a l m u l t i o b j e c t i v e s t r u c t u r a l o p t i m i z a t i o n p r o b l e m i n r a n d o m e n v i r o n m e n t . B o t h a r t i c l e s d e a l t w i t h p r o b a b i l i s t i c d e s i g n p r o b l e m s . R e f e r e n c e s s u i t a b l e f o r t h e p r o b l e m u n d e r s t u d y w e r e n o t l o c a t a b l e . I n t h e f o l l o w i n g t h e m i n i m u m - w e i g h t d e s i g n o f a h y s t e r e t i c a l l y d a m p e d v a r i a b l e - c r o s s - s e c t i o n s a n d w i c h c a n t i l e v e r b e a m s u b j e c t e d t o a r a n d o m r a i n f o r c e w i t h w h i t e n o i s e P S D , S 0 , o v e r t h e b e a m s p a n i s f o u n d u s i n g t h e d i r e c t m e t h o d . T h e v a l u e o f a n o b j e c t i v e f u n c t i o n i s e v a l u a t e d d i r e c t l y ( i e . MS t i p d e f l e c t i o n ) f o r a t r i a l v a r i a b l e - c r o s s - s e c t i o n o f t h e c a n t i l e v e r b e a m . T h e i t e r a t i v e s e a r c h i s c a r r i e d o u t i n t h e f e a s i b l e r e g i m e d e f i n e d b y t h e w e i g h t a n d d i m e n s i o n a l c o n s t r a i n t s o n t h e s t r u c t u r e . T h e d i m e n s i o n a l c o n s t r a i n t s o n t h e s t r o n g b a c k a r e t h a t t h e s t r o n g b a c k s h o u l d b e n o l a r g e r t h a n 123 i n c h e s i n l e n g t h , 3 1 . 5 i n c h e s i n w i d t h a n d 1 . 8 5 i n c h e s i n d e p t h . I f t h e s t a t i c d e f l e c t i o n d u e t o g r a v i t y c a n b e k e p t s m a l l b y 77 p r e s t r e s s i n g t h e s t r o n g b a c k , t h e n a l l o f t h e 1 . 8 5 i n c h e s o f d e p t h s h o u l d b e u t i l i z e d t o m a x i m i z e t h e b e n d i n g s t i f f n e s s . T h e f i r s t o f t h e f o l l o w i n g i n v e s t i g a t i o n s p e r t a i n s t o u n i f o r m s a n d w i c h c a n t i l e v e r b e a m s a n d t h e s e c o n d p e r t a i n s t o v a r i a b l e - c r o s s - s e c t i o n s a n d w i c h c a n t i l e v e r b e a m s . 4 . 3 . 1 T I P D E F L E C T I O N O F H Y S T E R E T I C A L L Y D A M P E D U N I F O R M B E A M S S U B J E C T E D T O A RANDOM R A I N F O R C E W I T H W H I T E N O I S E P S D C o n s i d e r t h e u n i t - s q u a r e r e f e r e n c e a n d t h e u n i f o r m s a n d w i c h c a n t i l e v e r b e a m s w h i c h w e r e d e s c r i b e d i n t h e s e c t i o n o n m i n i m u m - w e i g h t d e s i g n f o r u n i t h a r m o n i c p o i n t f o r c e a t t h e f u n d a m e n t a l f r e q u e n c y . T h i s t i m e h o w e v e r , t h e m o m e n t o f i n e r t i a o f a b e a m c r o s s s e c t i o n w i l l b e e v a l u a t e d i n a c c o r d a n c e w i t h e q u a t i o n ( 4 . 2 . 3 9 ) . L e t W 0 , I 0 , CJ10 a n d N 0 b e , r e s p e c t i v e l y , t h e t o t a l w e i g h t , m o m e n t o f i n e r t i a o f c r o s s s e c t i o n , f u n d a m e n t a l f r e q u e n c y a n d MS t i p d e f l e c t i o n o f t h e r e f e r e n c e c a n t i l e v e r b e a m . L e t W • , d , 2 D , I , <J, a n d um' ' ' ' 1 N b e , r e s p e c t i v e l y , t h e t o t a l w e i g h t , u n i f o r m c o v e r - p l a t e t h i c k n e s s , c o v e r - p l a t e s e p a r a t i o n , m o m e n t o f i n e r t i a o f c r o s s s e c t i o n , f u n d a m e n t a l f r e q u e n c y a n d MS t i p d e f l e c t i o n o f t h e u n i f o r m s a n d w i c h c a n t i l e v e r b e a m s . I f t h e u n i f o r m c a n t i l e v e r b e a m s a r e s u b j e c t e d t o a r a n d o m r a i n f o r c e w i t h w h i t e n o i s e P S D , S 0 , o v e r t h e s p a n o f t h e b e a m s , T a b l e 4 . 3 g i v e s t h e i r MS t i p d e f l e c t i o n s . A o n e m o d e s o l u t i o n f o r t h e l i g h t h y s t e r e t i c d a m p i n g c a s e o f t h e k i n d f o u n d i n T a b l e 4 . 1 i s u s e d . 78 T a b l e 4 . 3 ; T i p d e f l e c t i o n f o r u n i f o r m s a n d w i c h c a n t i l e v e r  b e a m s s u b j e c t e d t o a r a n d o m r a i n f o r c e w i t h w h i t e n o i s e PSD w . u n i d D I N W 0 I o N 0 1 . 0 0 . 5 0 0 . 2 5 0 1 . 0 0 0 1 . 0 0 0 1 . 0 0 0 0 . 9 0 . 4 5 0 . 2 7 5 0 . 9 9 9 1 . 0 5 4 1 . 0 5 6 0 . 8 0 . 4 0 0 . 3 0 0 0 . 9 9 2 1 . 1 1 4 1 . 1 32 0 . 7 0 . 3 5 0 . 3 2 5 0 . 9 7 3 1 . 1 7 9 1 . 2 4 5 0 . 6 0 . 3 0 0 . 3 5 0 0 . 9 3 6 1 . 2 4 9 1 . 4 2 6 0 . 5 0 . 2 5 0 . 3 7 5 0 . 8 7 5 1 . 3 2 3 1 . 7 2 8 0 . 4 0 . 2 0 0 . 4 0 0 0 . 7 8 4 1 . 4 0 0 2 . 2 7 8 0 . 3 0 . 1 5 0 . 4 2 5 0 . 6 5 7 1 . 4 8 0 3 . 4 2 8 0 . 2 0 . 1 0 0 . 4 5 0 0 . 4 8 8 1 . 5 6 2 6 . 5 5 9 0 . 1 0 . 0 5 0 . 4 7 5 0 . 2 7 1 1 . 6 4 6 2 2 . 4 1 w h e r e , I 0 : 0 . 0 8 3 3 3 1 w , o : 2 . 8 l 9 4 * l 0 - a [ E / p 2 ] 2 " S 0 : w h i t e n o i s e PSD o r c o n s t a n t PSD 3 1 N 0 : 2 . 9 7 4 7 * l 0 9 [ S o i r A E 2 p f ] 7 9 I n s p e c t i o n o f T a b l e 4 . 3 , f o r u n i f o r m c a n t i l e v e r b e a m s w i t h l i g h t h y s t e r e t i c d a m p i n g s u b j e c t e d t o a r a n d o m f o r c e w i t h w h i t e n o i s e P S D o v e r t h e b e a m s p a n , f o r v i b r a t i o n i n t h e f u n d a m e n t a l m o d e , s h o w s : t h e u n i t - s q u a r e n o - c o r e c a n t i l e v e r b e a m h a s t h e s m a l l e s t MS t i p d e f l e c t i o n . t h e b e a m m a t e r i a l l o c a t e d n e a r e s t t o t h e n e u t r a l a x i s o f b e n d i n g s h o w s t h e l e a s t e f f i c i e n t u s e o f t h e b e a m m a t e r i a l t o m i n i m i z e t h e MS t i p d e f l e c t i o n , t h e MS t i p d e f l e c t i o n , N , i s i n v e r s e l y p r o p o r t i o n a l t o 3 J t h e p a r a m e t e r s v, a n d p f . a . s t r u c t u r a l m a t e r i a l s w i t h l a r g e r d a m p i n g p a r a m e t e r v g i v e s m a l l e r MS t i p d e f l e c t i o n . b . s t r u c t u r a l m a t e r i a l s w i t h l a r g e r e l a s t i c m o d u l u s E a n d m a s s d e n s i t y p 2 g i v e s m a l l e r MS t i p d e f l e c t i o n , i e . , s t e e l i s p r e f e r r e d o v e r a l u m i n u m . 4 . 3 . 2 M I N I M U M - W E I G H T D E S I G N O F A H Y S T E R E T I C A L L Y D A M P E D  V A R I A B L E - C R O S S - S E C T I O N C A N T I L E V E R B E A M , S U B J E C T E D T O A  RANDOM R A I N F O R C E W I T H W H I T E N O I S E P S D , W I T H  C O N S T R A I N T ON T H E MS T I P D E F L E C T I O N I n t h e c a s e o f t h e m i n i m u m - w e i g h t d e s i g n o f a l i g h t h y s t e r e t i c a l l y d a m p e d c a n t i l e v e r b e a m , s u b j e c t e d t o a u n i t h a r m o n i c p o i n t f o r c e a t t h e f u n d a m e n t a l f r e q u e n c y , w i t h c o n s t r a i n t o n t h e t i p a m p l i t u d e , a p a r a m e t r i c s o l u t i o n w a s f o u n d . H o w e v e r , f o r r a n d o m r a i n f o r c e w i t h w h i t e n o i s e P S D , 8 0 S 0 , a p a r a m e t r i c s o l u t i o n i s n o t k n o w n t o t h i s a u t h o r ; a n a p p r o x i m a t e n u m e r i c a l s o l u t i o n w a s f o u n d i n s t e a d . T h e g e n e r a l s h a p e o f t h e m i n i m u m - w e i g h t b e a m w a s g u e s s e d f i r s t a n d t h e v a l u e s o f t h e f r e e p a r a m e t e r s w e r e o p t i m i z e d i t e r a t i v e l y . I n s e c t i o n 4 . 1 i t w a s s h o w n t h a t a c a n t i l e v e r b e a m d e s i g n w h i c h i s o p t i m a l w i t h r e s p e c t t o t h e MS d e f l e c t i o n s h o u l d b e h e a v i e r n e a r t h e f r e e t i p a n d s t i f f e n e d n e a r t h e f i x e d e n d . T h u s f o r f i r s t a p p r o x i m a t i o n , t h e v a r i a b l e - t h i c k n e s s c o v e r - p l a t e w a s g i v e n a p a r a b o l i c s h a p e C ( x ) , w i t h f r e e p a r a m e t e r s a , b a n d c a s s h o w n F i g u r e 4 . 5 w h e r e , C ( x ) = - a ( x - b ) 2 + c . ( 4 . 3 . 1 ) A l l t h e c a n t i l e v e r b e a m s w e r e o f L = 6 0 a n d t h e b e a m c r o s s s e c t i o n s a r e c o n f i n e d w i t h i n a u n i t s q u a r e . F o r a g i v e n w e i g h t o f t h e b e a m , t h e r e e x i s t s a , b a n d c f o r w h i c h t h e MS t i p d e f l e c t i o n i s m i n i m u m . A c o m p u t e r i t e r a t i v e s c h e m e w a s u s e d t o s e a r c h t h e s e t h r e e p a r a m e t e r s . S e g m e n t s o f a f i n i t e e l e m e n t p r o g r a m c a l l e d V A S T ( r e s i d i n g i n t h e M e c h a n i c a l E n g i n e e r i n g D e p a r t m e n t c o m p u t e r ) w e r e u s e d t o e v a l u a t e t h e m a s s m a t r i x , m o d e s h a p e s a n d j o i n t a c c e p t a n c e f u n c t i o n f o r t h e b e a m . A p r e p r o c e s s i n g p r o g r a m , t o a u t o m a t e t h e r e p e t i t i v e t a s k o f c r e a t i n g a new i n p u t d a t a f i l e f o r e a c h c o m p u t e r i t e r a t i o n , c o m p a t i b l e w i t h t h e s e g m e n t s o f t h e V A S T p r o g r a m u s e d , w a s w r i t t e n . A o n e m o d e s o l u t i o n o f t h e k i n d g i v e n i n e q u a t i o n ( 3 . 4 . 2 2 ) w a s u s e d . T w e n t y b e a m f i n i t e e l e m e n t s o f e q u a l l e n g t h s , w i t h c u b i c d e f l e c t i o n f i e l d s , w e r e u s e d t o a p p r o x i m a t e t h e 81 p a r a b o l i c p r o f i l e a s s h o w n i n F i g u r e 4.6. E a c h b e a m e l e m e n t h a d a s e t o f u n i f o r m c r o s s s e c t i o n a l p r o p e r t i e s . T h e m a s s o f t h e n o n - u n i f o r m b e a m o v e r a n e l e m e n t ' s l e n g t h w a s e v a l u a t e d a t t w o G a u s s i n t e g r a t i o n p o i n t s a n d t h e a v e r a g e w a s a s s i g n e d t o t h e f i n i t e e l e m e n t . F o r c o n v e n i e n c e , t h e m o m e n t o f i n e r t i a o f t h e n o n - u n i f o r m c r o s s s e c t i o n w a s e v a l u a t e d a t t h e s a m e t w o G a u s s p o i n t s a n d t h e a v e r a g e w a s a s s i g n e d t o t h e f i n i t e e l e m e n t . T a b l e 4.4 s h o w s t h r e e m i n i m u m - w e i g h t s a n d w i c h c a n t i l e v e r b e a m s w h e r e C(0) a n d C ( L ) a r e , r e s p e c t i v e l y , C (x=0) a n d C ( x = L ) . T h e d e f i n i t i o n s o f o t h e r s y m b o l s a r e c o n s i s t e n t w i t h t h o s e i n p r e v i o u s s e c t i o n s . C o m p a r i s o n o f T a b l e s 4.4 w i t h 4.3 s h o w s t h a t i m p r o v e m e n t s o v e r t h e i r r e s p e c t i v e u n i f o r m e q u a l - w e i g h t c o u n t e r p a r t s a r e v e r y s m a l l . T h e s m a l l i m p r o v e m e n t s d o n o t j u s t i f y t h e c o m p l i c a t e d m a s s d i s t r i b u t i o n s . H o w e v e r t h e r e s u l t s e m p h a s i z e t h a t t h e m i n i m u m - w e i g h t d e s i g n o f a s a n d w i c h c a n t i l e v e r b e a m , s u b j e c t e d t o a r a n d o m r a i n f o r c e w i t h w h i t e n o i s e P S D , w i t h c o n s t r a i n t o n t h e MS t i p d e f l e c t i o n , s h o u l d b e o n e w i t h c o v e r - p l a t e s w h i c h a r e h e a v i e r i n t h e v i c i n i t y o f t h e f r e e t i p a n d s t i f f e n e d i n t h e v i c i n i t y o f t h e f i x e d e n d . 82 SECTION A-A F i g u r e 4.5: A v a r i a b l e - c r o s s - s e c t i o n s a n d w i c h c a n t i l e v e r b e a m . F i g u r e 4.6: F i n i t e e l e m e n t a p p r o x i m a t i o n o f t h e v a r i a b l e - c r o s s - s e c t i o n s a n d w i c h . c a n t i l e v e r b e a m . 83 T a b l e 4 . 4 : M i n i m u m - w e i g h t d e s i g n o f a v a r i a b l e - c r o s s - s e c t i o n s a n d w i c h c a n t i l e v e r b e a m , s u b j e c t e d t o a r a n d o m r a i n f o r c e w i t h w h i t e n o i s e P S D , w i t h c o n s t r a i n t o n t h e MS t i p d e f l e c t i o n w a b c C ( 0 ) C ( L ) N W 0 W'D N 0 0 . 5 2 . 1 6 * 1 0 " 5 2 8 . 8 0 . 3 1 5 0 . 136 0 . 105 2 . 0 3 7 1 . 657 0 . 3 2 . 51 * 1 0 - 5 6 6 . 0 0 . 3 9 0 0.281 0 . 3 8 9 1 . 762 3 . 2 5 3 0 . 2 1 . 8 4 * 1 0 - 5 7 0 . 0 0 . 4 4 0 0 . 3 4 5 0 . 4 3 3 1 .234 6 . 0 0 2 4 . 4 T H E E F F E C T O F A D D I N G W E I G H T S T O T H E T I P O F A  P R O T O T Y P E ( 1 ) H O T - A R M S o f a r s e v e r a l a n a l y t i c a l a n d c o m p u t e r r e s u l t s h a v e b e e n p r e s e n t e d . I t w o u l d b e r e a s s u r i n g i f o n e c o u l d d o e x p e r i m e n t s t o c o m f i r m t h e a n a l y t i c a l r e s u l t s . T h e o n e r e s u l t w h i c h c o u l d b e c h e c k e d e a s i l y w a s t h e e f f e c t o f p l a c i n g w e i g h t s a t t h e t i p o f a v i b r a t i n g P r o t o t y p e d ) h o t - a r m . A o n e m o d e a n a l y s i s h a s s h o w n t h a t t h e a d d i t i o n o f a l u m p e d m a s s a t t e n u a t e s t h e v i b r a t i o n o f a u n i f o r m c a n t i l e v e r b e a m w h i c h i s s u b j e c t e d t o a r a n d o m r a i n f o r c e w i t h w h i t e n o i s e P S D . B l o c k s o f s t e e l e a c h w e i g h i n g a p p r o x i m a t e l y 1.27 k g w e r e p l a c e d a t t h e t i p o f a P r o t o t y p e d ) h o t - a r m w i t h 84 c o o l a n t w a t e r f l o w i n g i n s i d e . W h e n a t o t a l o f 34 b l o c k s w e r e a d d e d t h e f u n d a m e n t a l f r e q u e n c y o f t h e h o t - a r m h a s d e c r e a s e d f r o m i n i t i a l 5 . 3 5 H z t o f i n a l 3 . 2 5 H z . T h e f u n d a m e n t a l m o d e MS t i p d e f l e c t i o n s a t v a r i o u s n u m b e r s o f s t e e l b l o c k s a r e r e c o r d e d i n A p p e n d i x D . U n f o r t u n a t e l y n o c o n c l u s i o n c o u l d b e d r a w n f r o m t h e e x p e r i m e n t a l d a t a w h i c h s h o w e d n o c l e a r t r e n d . T h e r e a r e n o d e f i n i t e e x p l a n a t i o n s f o r t h e a b o v e e x c e p t t h a t p o s s i b l y a q u i e t e r e x p e r i m e n t ( e g . , l e s s a i r c u r r e n t s , s m o o t h e r w a t e r s u p p l y a n d l e s s h u m a n t r a f f i c ) c o u l d h a v e m a d e a d i f f e r e n c e . • 4 . 5 D I S C U S S I O N ON A P O S S I B L E R E P L A C E M E N T S T R O N G B A C K D E S I G N P a r a m e t r i c s t u d i e s o n u n i f o r m c a n t i l e v e r b e a m s w i t h l i g h t h y s t e r e t i c d a m p i n g s u b j e c t e d t o e i t h e r a u n i t h a r m o n i c p o i n t f o r c e a t t h e f u n d a m e n t a l f r e q u e n c y o r r a n d o m r a i n f o r c e w i t h w h i t e n o i s e P S D s h o w t h a t t h e p r e s e n c e o f t h e b e a m m a t e r i a l n e a r e s t t o t h e n e u t r a l a x i s o f b e n d i n g h a s m i n i m a l e f f e c t o n t h e t i p v i b r a t i o n . T a b l e 4 . 2 a n d 4 . 3 s h o w t h a t t h e i n c l u s i o n o f a u n i f o r m c o r e , 50 % t h e v o l u m e o f t h e r e f e r e n c e n o - c o r e b e a m o r 0 . 5 V 0 , d o e s n o t l e a d t o a p p r e c i a b l e i n c r e a s e i n t h e t i p d e f l e c t i o n i n c o m p a r i s o n t o t h e r e f e r e n c e b e a m . T h u s a c o r e v o l u m e o f 0 . 5 V 0 m a y b e u s e d a s a g u i d e i n d e s i g n i n g a r e p l a c e m e n t s t r o n g b a c k . S t u d i e s o n m i n i m u m - w e i g h t d e s i g n s o f v a r i a b l e - c r o s s - s e c t i o n s a n d w i c h c a n t i l e v e r b e a m s w i t h l i g h t h y s t e r e t i c d a m p i n g s u b j e c t e d t o t w o m o d e l s o f t h e b e a m e x c i t a t i o n y i e l d d i f f e r i n g o p t i m a l c o v e r - p l a t e g e o m e t r i e s . 85 T h e m i n i m u m - w e i g h t d e s i g n o f a s a n d w i c h c a n t i l e v e r b e a m s u b j e c t e d t o a u n i t h a r m o n i c p o i n t f o r c e a t t h e f r e e t i p a n d a t t h e f u n d a m e n t a l f r e q u e n c y i s o n e w i t h c o v e r - p l a t e s t h a t a r e t a p e r e d l i n e a r l y s u c h t h a t t h e y a r e l i g h t e r i n w e i g h t n e a r t h e t i p a n d s t i f f e n e d n e a r t h e f i x e d e n d . T h e m i n i m u m - w e i g h t d e s i g n o f a s a n d w i c h c a n t i l e v e r b e a m s u b j e c t e d t o a r a n d o m r a i n f o r c e w i t h w h i t e n o i s e P S D o v e r t h e b e a m s p a n i s o n e w i t h c o v e r - p l a t e t h a t a r e h e a v i e r n e a r t h e f r e e t i p a n d s t i f f e n e d n e a r t h e f i x e d e n d . B u t i n l i g h t o f t h e d i s c u s s i o n o n f l o w - i n d u c e d e x c i t a t i o n i n S e c t i o n 3 , a n e x c i t a t i o n w i t h a w i d e - b a n d f r e q u e n c y c o n t e n t s h o u l d b e t h e m o r e r e a l i s t i c e x c i t a t i o n m o d e l . T r i u m f h a s s p e c i f i e d a l u m i n u m a s t h e c h i e f m a t e r i a l o f c o n s t r u c t i o n f o r i t s n o n - m a g n e t i c p r o p e r t y . M o s t c o m m o n l y m a n u f a c t u r e d a l u m i n u m p l a t e s a r e o f t h e l e n g t h 8 f e e t . A s t r o n g b a c k i s 11 f e e t i n l e n g t h . T h e 8 - f o o t a l u m i n u m c o v e r - p l a t e s a r e s h o r t 3 f e e t . S i n c e m a s s a n d n o t b e n d i n g s t i f f n e s s i s o v e r l y i m p o r t a n t a t t h e t i p f o r a s t r o n g b a c k s u b j e c t e d t o a r a n d o m r a i n f o r c e , t h i n n e r c o v e r - p l a t e s c a n b e u s e d a t t h e t i p a n d a l u m p e d m a s s c a n b e a d d e d t o t h e t i p i n t h e f o r m o f a d y n a m i c v i b r a t i o n a b s o r b e r a s s h o w n i n F i g u r e 4 . 7 . T h e a b s o r b e r s e r v e s d u a l p u r p o s e ? i t i n c r e a s e s t h e e f f e c t i v e m a s s a t t h e h o t - a r m t i p a n d i t i n c r e a s e s t h e d a m p i n g c a p a c i t y o f t h e e n t i r e v i b r a t o r y s y s t e m . T h e v i b r a t i o n a b s o r b e r s a r e d i s c u s s e d f u r t h e r i n t h e n e x t s e c t i o n . 86 T h e a b o v e p r o p o s e d r e p l a c e m e n t s t r o n g b a c k d e s i g n h a s t h e c r u d e c h a r a c t e r i s t i c s o f a n a i r p l a n e w i n g w h o s e c r o s s s e c t i o n t a p e r s g r a d u a l l y t o w a r d s t h e t i p . B u t a s t r o n g b a c k h a s a t t a c h e d t o i t s t i p a d y n a m i c v i b r a t i o n a b s o r b e r . T h e p r o p o s e d s t r o n g b a c k d e s i g n e n c o m p a s s e s t h e c h a r a c t e r i s t i c s f r o m b o t h t h e m i n i m u m - w e i g h t d e s i g n s , t h e d e s i g n f o r a u n i t h a r m o n i c p o i n t f o r c e a t t h e f u n d a m e n t a l f r e q u e n c y a n d t h e d e s i g n f o r a r a n d o m r a i n f o r c e w i t h w h i t e n o i s e P S D . F u r t h e r m o r e , t h e p r o p o s e d d e s i g n i s f a i r l y s i m p l e t o c o n s t r u c t . CDRE CDVER-PLATES ABSORBER RDDT TIP NDT TD SCALE F i g u r e 4 . 7 : A r e p l a c e m e n t s t r o n g b a c k d e s i g n . 5 . V I B R A T I O N D A M P I N G F O R A H O T - A R M T r i u m f h o t - a r m s a r e l i g h t l y d a m p e d s t r u c t u r e s a s i n d i c a t e d b y t h e i r n a r r o w - b a n d v i b r a t i o n . I n t h e f o l l o w i n g , v a r i o u s m e t h o d s t o i n c r e a s e t h e d a m p i n g c a p a c i t y i n a v i b r a t i n g h o t - a r m a r e i n v e s t i g a t e d . I t w a s f o u n d t h a t a d y n a m i c v i b r a t i o n a b s o r b e r i s a p r a c t i c a l d e v i c e f o r r e d u c i n g h o t - a r m v i b r a t i o n . A n a b s o r b e r c a n b e d e s i g n e d s u c h t h a t i t s a m p l i t u d e s a r e a m p l i f i e d m a n y t i m e s l a r g e r t h a n t h e h o t - a r m a m p l i t u d e s . T h i s i s a n i m p o r t a n t c o n s i d e r a t i o n s i n c e t h e v i b r a t i o n a m p l i t u d e s o f a h o t - a r m a r e s m a l l , w h i c h m a k e s d e s i g n i n g a s e c o n d a r y d a m p i n g m e c h a n i s m d i f f i c u l t . S i n c e m o s t o f t h e c o n t r i b u t i o n t o t h e h o t - a r m v i b r a t i o n c o m e s f r o m i t s f i r s t m o d e , a n a b s o r b e r i s t u n e d t o t h e f i r s t m o d e a n d a t t a c h e d t o t h e t i p w h e r e t h e f i r s t m o d e d e f l e c t i o n i s m a x i m u m . T h e e x i s t i n g d a m p e d v i b r a t i o n a b s o r b e r s f o r t h e o r i g i n a l h o t - a r m s a r e l i g h t i n c o m p a r i s o n t o t h e t o t a l w e i g h t o f a h o t - a r m . A s e r i e s o f h e a v i e r a b s o r b e r s w e r e b u i l t f o r t h e P r o t o t y p e d ) h o t - a r m a n d t h e e f f e c t o f t h e h e a v i e r w e i g h t s w e r e t e s t e d . T h e a b s o r b e r s w e r e g i v e n p a r a m e t e r s t h a t a r e o p t i m a l f o r t h e c a s e o f a 1 D 0 F m a i n s y s t e m s u b j e c t e d t o a r a n d o m f o r c e w i t h w h i t e n o i s e P S D , S ^ . T h e t e s t i n g s h o w e d e f f e c t i v e r e d u c t i o n o f h o t - a r m v i b r a t i o n b y d a m p e d a b s o r b e r s . I n a d d i t i o n , a d a m p e d a b s o r b e r s h o u l d q u i c k l y d a m p o u t l a r g e t r a n s i e n t v i b r a t i o n . 87 88 5 . 1 V A R I O U S M E T H O D S T O A T T E N U A T E T H E H O T - A R M V I B R A T I O N T h e t w o m a j o r c l a s s i f i c a t i o n s o n v i b r a t i o n a t t e n u a t i n g d e v i c e s a r e : a c t i v e d e v i c e s a n d p a s s i v e d e v i c e s . F r o m t h e b e g i n n i n g a c t i v e d e v i c e s a r e r u l e d o u t s i n c e e l e c t r o m a g n e t i c d e v i c e s w i l l i n t e r f e r e w i t h t h e m a g n e t i c f i e l d i n s i d e t h e c y c l o t r o n a n d o t h e r m o d e s o f p r i m e p o w e r a r e i m p r a c t i c a l t o u s e . O n t h e o t h e r h a n d p a s s i v e d e v i c e s a r e s i m p l e a n d p o s s i b l y m o r e r e l i a b l e . T h e t w o s u b - c l a s s i f i c a t i o n s o n p a s s i v e d e v i c e s a r e : d i s t r i b u t e d v i b r a t i o n d a m p i n g d e v i c e s a n d c o n c e n t r a t e d v i b r a t i o n a b s o r p t i o n d e v i c e s . A l a r g e n u m b e r o f d i s t r i b u t e d v i b r a t i o n d a m p i n g d e v i c e s a r e r e v i e w e d i n a c o l l e c t i o n o f p a p e r s b y A S M E ( 1 9 8 0 ) [ 2 6 ] . J o n e s [ 2 7 ] h a d m a d e a s u r v e y o n v i s c o e l a s t i c m a t e r i a l s a n d v i t r e o u s e n a m e l m a t e r i a l s f o r d a m p i n g a p p l i c a t i o n . H o w e v e r , i t i s d i f f i c u l t t o f i n d a n i n e x p e n s i v e c o a t i n g m a t e r i a l , t o b e p a i n t e d o n t o t h e h o t - a r m , w h i c h w o u l d n o t r e l e a s e r e t a i n e d g a s a n d o t h e r m o l e c u l e s i n t o t h e c y c l o t r o n v a c u u m t a n k . T h e v a c u u m m u s t b e k e p t c l e a n o f u n d e s i r a b l e p a r t i c l e s t o a v o i d e l e c t r i c a l a r c i n g . T h e s e r v i c e l i f e o f s u c h a c o a t i n g , t h e p e r i o d o f t i m e t o u n l i n k t h e m o l e c u l a r c h a i n s i n a v i s c o e l a s t i c m a t e r i a l , i n a r a d i o a c t i v e e n v i r o m e n t o f u n s p e c i f i e d i n t e n s i t y a n d u n d e r h e a t i s d i f f i c u l t t o p r e d i c t . T h e a c q u i s i t i o n o f s p e c i f i c c o a t i n g m a t e r i a l s f o r f i e l d t e s t i n g i s d i f f i c u l t t o d o w i t h i n t h e a v a i l a b l e t i m e 8 9 f r a m e . S l i p d a m p i n g i n a r i v e t e d l a p j o i n t h a s b e e n c o n s i d e r e d b y T r i u m f i n i t s n e w h o t - a r m d e s i g n s . T h i s i s a h e l p f u l f e a t u r e i f t h e s u r f a c e s i n c o n t a c t a r e m a d e s m o o t h t o p r o m o t e s l i d i n g [ 2 8 ] , B u t s t i l l , m o r e d a m p i n g i s n e e d e d . A c o n c e n t r a t e d v i b r a t i o n a b s o r p t i o n d e v i c e h a s a s e c o n d a r y m a s s , s e c o n d a r y s p r i n g a n d s e c o n d a r y d a m p i n g . V a r i o u s f o r m s o f s u c h d e v i c e s c a l l e d d y n a m i c v i b r a t i o n a b s o r b e r s a r e r e v i e w e d b y H u n t ( 1 9 7 9 ) [ 2 9 ] . A d y n a m i c v i b r a t i o n a b s o r b e r c a n b e d e s i g n e d s u c h t h a t i t s a m p l i t u d e s a r e m a g n i f i e d m a n y t i m e s l a r g e r t h a n t h e h o t - a r m t i p a m p l i t u d e s . T h i s i s a n i m p o r t a n t c o n s i d e r a t i o n s i n c e t h e i n i t i a l v i b r a t i o n a m p l i t u d e s o f a h o t a r m a r e s m a l l , w h i c h m a k e s d e s i g n i n g a s e c o n d a r y d a m p i n g m e c h a n i s m d i f f i c u l t . T h e b e s t l o c a t i o n t o p l a c e a n a b s o r b e r i s a t t h e f r e e t i p o f t h e h o t - a r m w h e r e t h e v i b r a t i o n d e f l e c t i o n i s m a x i m u m f o r t h e h o t - a r m v i b r a t i o n p r e d o m i n a n t l y i n t h e f i r s t m o d e . B e c a u s e a h o t - a r m h a s w e l l s e p a r a t e d r e s o n a n c e s ( f i r s t a n d s e c o n d r e s o n a n c e s o f P r o t o t y p e d ) a r e r e s p e c t i v e l y a t 5 H z a n d 15 H z ) a n d i t i s d a m p e d l i g h t l y , a n a b s o r b e r t u n e d t o t h e f i r s t m o d e w i l l o p e r a t e e f f i c i e n t l y w i t h l i t t l e i n t e r a c t i o n w i t h t h e o t h e r m o d e s . 5 . 2 A N O P T I M A L D Y N A M I C V I B R A T I O N A B S O R B E R F O R T H E  P R O T O T Y P E ( 1 ) H O T - A R M F o r m a n y y e a r s t h e r e h a s b e e n c o n s i d e r a b l e i n t e r e s t i n t h e d e s i g n o f d y n a m i c v i b r a t i o n a b s o r b e r s t h a t , w h e n a d d e d t o a v i b r a t o r y s y s t e m , w i l l r e d u c e s i g n i f i c a n t l y t h e 90 v i b r a t i o n r e s p o n s e . T h e c l a s s i c a l p r o b l e m i n v e s t i g a t e d b y O r m o n d r o y d a n d D e n H a r t o g ( 1 9 2 8 ) [ 3 0 , 3 1 ] i s t h a t o f a n a b s o r b e r , w h i c h c o n s i s t s o f a m a s s , s p r i n g a n d v i s c o u s d a m p e r , a t t a c h e d t o a n u m d a m p e d 1DOF s y s t e m o f w h i c h t h e m a s s i s s u b j e c t e d t o h a r m o n i c e x c i t a t i o n . R a n d a l l et al ( 1 9 7 8 ) [ 3 2 ] m a d e d e s i g n c h a r t s f o r t h e o p t i m u m a b s o r b e r p a r a m e t e r s w h e n t h e m a i n s y s t e m c o n t a i n s s o m e d a m p i n g . S n o w d o n ( 1 9 6 8 ) [ 3 3 ] s h o w e d t h e a p p l i c a t i o n o f d a m p e d a b s o r b e r s t o c o n t i n u o u s e l a s t i c s y s t e m s , s u c h a s r o d s a n d b e a m s . I n a l l t h e s t u d i e s m e n t i o n e d a b o v e , t h e m a i n s y s t e m i s s u b j e c t e d t o a d e t e r m i n i s t i c h a r m o n i c e x c i t a t i o n . J a c q u o t a n d H o p p e ( 1 9 7 3 ) [ 3 4 ] , W i r s c h i n g a n d C a m p b e l l ( 1 9 7 4 ) [ 3 5 ] , a n d W a r b u r t o n ( 1 9 8 2 ) [ 3 6 ] o p t i m i z e d t h e a b s o r b e r p a r a m e t e r s f o r a m a i n s y s t e m e x c i t e d b y a r a n d o m f o r c e w i t h w h i t e n o i s e P S D . I t i s r e f e r e n c e [ 3 6 ] w h i c h i s u s e d m o s t e x t e n s i v e l y i n t h e f o l l o w i n g . T h e r e f e r e n c e s g i v e n a b o v e r e p r e s e n t a s m a l l b u t i m p o r t a n t f r a c t i o n o f t h e n u m e r o u s s t u d i e s d o n e o n t h e 91 d y n a m i c v i b r a t i o n a b s o r b e r s . T h e b a s i c s t r a t e g y o f d e s i g n i n g a n a b s o r b e r f o r a c o n t i n u o u s e l a s t i c s y s t e m s u c h a s t h e P r o t o t y p e d ) h o t - a r m f o r v i b r a t i o n i n t h e f i r s t m o d e i s a s f o l l o w s : c o n t i n u o u s s y s t e m i s r e p l a c e d w i t h a 1 D 0 F m a i n s y s t e m w i t h e q u i v a l e n t l u m p e d p a r a m e t e r s f o r v i b r a t i o n i n t h e f i r s t m o d e . o p t i m a l a b s o r b e r p a r a m e t e r s f o r t h e 1 D 0 F m a i n s y s t e m a r e f o u n d a n a l y t i c a l l y . a n a l y t i c a l r e s u l t s a r e i m p l e m e n t e d i n c o n s t r u c t i n g a n a b s o r b e r . a . c o n s i d e r t h e p r a c t i c a l l i m i t a t i o n s i n c o n s t r u c t i n g t h e a b s o r b e r . b . t e s t t h e c o n s t r u c t e d a b s o r b e r . 5 . 2 . 1 L U M P E D P A R A M E T E R S F O R A T R A N S V E R S E L Y V I B R A T I N G  C A N T I L E V E R B E A M E X C I T E D B Y A RANDOM R A I N F O R C E W I T H  W H I T E N O I S E P S D F i g u r e 5 . 1 s h o w s a t r a n s v e r s e l y v i b r a t i n g c a n t i l e v e r b e a m a n d a n a t t a c h e d d a m p e d a b s o r b e r a t x = L . T h e l u m p e d p a r a m e t e r s o f t h e b e a m f o r v i b r a t i o n i n t h e f i r s t m o d e c a n b e a p p r o x i m a t e d f r o m t h e k i n e t i c e n e r g y a n d t h e s t r a i n e n e r g y o f t h e b e a m v i b r a t i n g i n t h e f i r s t m o d e . T h e f r e e u n d a m p e d v i b r a t i o n d e f l e c t i o n i n t h e f i r s t m o d e a t x = L c a n b e e x p r e s s e d a s : y ( L , t ) = ( L ) g , ( t ) . ( 5 . 2 . 1 ) ( N o t e , t h e p r e v i o u s d e f i n i t i o n s o f s y m b o l s a r e v a l i d u n l e s s 92 o t h e r w i s e s t a t e d . ) T h e e f f e c t i v e m a s s , M e f f f ° r t n e b e a m i s a l u m p e d m a s s , w h i c h w h e n p l a c e d a t t h e p o i n t o f a t t a c h m e n t o f t h e a b s o r b e r , g i v e s t h e s a m e k i n e t i c e n e r g y a s t h e c a n t i l e v e r b e a m v i b r a t i n g i n t h e f i r s t m o d e . I t i s g i v e n b y : M e f £ = M , / ^ ? ( L ) . (5.2.2) S i m i l a r l y t h e e f f e c t i v e s t i f f n e s s , K e f £ » f o r t h e b e a m i s a l u m p e d s p r i n g , w h i c h w h e n p l a c e d a t t h e p o i n t o f a t t a c h m e n t o f t h e a b s o r b e r , g i v e s t h e s a m e s t r a i n e n e r g y a s t h e c a n t i l e v e r b e a m v i b r a t i n g i n t h e f i r s t m o d e . I t i s g i v e n b y : K e f f = M,^2/!//2 (L) . (5.2.3) T h e e f f e c t i v e v i s c o u s d a m p i n g r a t i o , 7 ej£f o f t h e b e a m i s g i v e n b y : 93 7 e f f * 6/2* ( 5 . 2 . 4 ) w h e r e 6 i s t h e l o g a r i t h m i c d e c r e m e n t o f t h e b e a m f o r v i b r a t i o n i n t h e f i r s t m o d e . F o r r e s p o n s e c a l c u l a t i o n , ^yeff c a n b e s u b s t i t u t e d f o r c u , i n e q u a t i o n 3 . 4 . 1 9 . T h e e f f e c t i v e l u m p e d s p e c t r a l d e n s i t y , S e ^ , f o r t h e r a n d o m r a i n f o r c e w i t h w h i t e n o i s e P S D , f o r v i b r a t i o n i n t h e f i r s t m o d e , i s g i v e n b y : 5 . 2 . 2 O P T I M A L A B S O R B E R P A R A M E T E R S F O R A 1 D 0 F M A I N S Y S T E M  E X C I T E D B Y A R A N D O M F O R C E W I T H W H I T E N O I S E P S D H a v i n g i s o l a t e d t h e n e c e s s a r y l u m p e d p a r a m e t e r s , t h e c a n t i l e v e r b e a m a n d a b s o r b e r s y s t e m c a n now b e m o d e l l e d a s a 2 D O F d i s c r e t e s y s t e m a s s h o w n i n F i g u r e 5 . 2 , w h e r e t h e s u b s c r i p t ' m ' d e n o t e s m a i n s y s t e m a n d s u b s c r i p t ' a ' d e n o t e s a b s o r b e r s y s t e m . T h e 1DOF m a i n s y s t e m i s g i v e n t h e e f f e c t i v e l u m p e d p a r a m e t e r s o f t h e b e a m ; t h u s t h e s u b s c r i p t ' e f f c a n b e r e p l a c e d w i t h s u b s c r i p t ' m ' . = SoUTlM]*, )/*?(L) • ( 5 . 2 . 5 ) 94 I n t r o d u c i n g t h e n o n - d i m e n s i o n a l p a r a m e t e r s : m a s s r a t i o n = M / M a m "I - V M a co 2 = K / M m m' m f o r c e d f r e q u e n c y r a t i o r = "A>m t u n i n g r a t i o f = co /co a m a b s o r b e r d a m p i n g 7 = C /2M = co = a o a a m a i n s y s t e m d a m p i n g 7 = C / 2 M co J ^ 3 ; m m m m w h i t e n o i s e P S D = S „ m T h e n o n - d i m e n s i o n a l MS d i s p l a c e m e n t o f t h e m a i n m a s s , R , i s g i v e n b y : R U , f ,7 a,7 m) - ( 1 / 2 T T ) / Za H ( r ) H ( - r ) d r ( 5 . 3 . 1 ) MAIN SYSTEM ABSORBER SYSTEM F i g u r e 5 . 2 : A 1 D 0 F m a i n s y s t e m w i t h a n a t t a c h e d d a m p e d d y n a m i c v i b r a t i o n a b s o r b e r . 95 w h e r e H ( r ) i s t h e d i m e n s i o n l e s s c o m p l e x f r e q u e n c y r e s p o n s e o f t h e m a i n m a s s d i s p l a c e m e n t , g i v e n i n A p p e n d i x E . T h e d i m e n s i o n a l MS d i s p l a c e m e n t o f t h e m a i n m a s s , N, i s g i v e n b y : N = 2TTS <U R / K 2 . ( 5 . 3 . 2 ) m m m F o r g i v e n v a l u e s o f u a n d 7 , t h e o p t i m a l i t y c o n d i t i o n s f o r t h e a b s o r b e r a r e t h e f o l l o w i n g p a r t i a l d e r i v a t i v e s : 3R/37= = 0 3R/3f = 0. ( 5 . 3 . 2 ) a T h e s e t w o n o n l i n e a r e q u a t i o n s , g i v e n i n A p p e n d i x E , h a v e t o b e s o l v e d s i m u l t a n e o u s l y t o o b t a i n t h e o p t i m a l d a m p i n g r a t i o , f r e q u e n c y r a t i o a n d d i m e n s i o n l e s s MS d i s p l a c e m e n t o f t h e m a i n m a s s , w h i c h a r e r e s p e c t i v e l y , 7 a - D p t r ^ o p t a n d R Q p t . T a b l e 5.1 s h o w s t h e o p t i m a l a b s o r b e r p a r a m e t e r s f o r a n u n d a m p e d m a i n s y s t e m e x c i t e d b y a r a n d o m f o r c e w i t h w h i t e n o i s e PSD, S M . T h e r e s p o n s e R Q p t d e c r e a s e s m o n o t o n i c a l l y w i t h i n c r e a s i n g a. 96 T a b l e 5 . 1 ; O p t i m a l a b s o r b e r p a r a m e t e r s f o r a n u n d a m p e d 1 D 0 F  m a i n s y s t e m e x c i t e d b y a r a n d o m f o r c e w i t h w h i t e n o i s e P S D . M f o p t 7 a ' o p t R o p t 0 . 0 1 0 . 9 9 2 6 0 . 0 4 9 8 9 . 9 8 8 0 . 1 0 0 . 9 3 1 5 0 . 1 5 2 5 3 . 1 2 6 0 . 2 0 0 . 8 7 4 0 0 . 2 0 8 7 2 . 1 8 9 0 . 3 0 0 . 8 2 4 9 0 . 2 4 7 9 1 . 7 7 2 0 . 4 0 0 . 7 8 2 5 0 . 2 7 8 2 1 . 5 2 4 0 . 5 0 0 . 7 4 5 4 0 . 3 0 2 8 1 . 3 5 4 0 . 6 0 0 . 7 1 2 6 0 . 3 2 3 4 1 . 2 2 9 0 . 7 0 0 . 6 8 3 5 0 . 3 4 1 0 1 . 132 0 . 8 0 0 . 6 5 7 3 0 . 3 5 6 4 1 . 0 5 4 0 . 9 0 0 . 6 3 3 8 0 . 3 6 9 9 0 . 9 9 0 1 . 0 0 0 . 6 1 2 4 0 . 3 8 1 9 0 . 9 3 5 5 . 2 . 3 D A M P E D V I B R A T I O N A B S O R B E R F O R T H E P R O T O T Y P E p ) H O T - A R M F r o m t h e p r e v i o u s s e c t i o n i t i s a p p a r e n t t h a t n i s t h e o n l y p a r a m e t e r w h i c h c a n b e c h o s e n f r e e l y . T h e e x i s t i n g d a m p e d v i b r a t i o n a b s o r b e r w e i g h s a m e r e 0 . 7 p o u n d , a v e r y s m a l l w e i g h t i n c o m p a r i s o n t o t h e w e i g h t o f a h o t a r m . I n t h i s s e c t i o n , d a m p e d a b s o r b e r s o f v a r i o u s s i z e s o f n t h a t w e r e b u i l t a n d t e s t e d o n a P r o t o t y p e d ) h o t - a r m a r e 97 r e p o r t e d . F i g u r e 5 . 3 s h o w s t h e b a s i c d e s i g n o f a d a m p e d a b s o r b e r c o n s t r u c t e d a n d t e s t e d . I t c o n t a i n s a w e i g h t , a c a n t i l e v e r s p r i n g a n d a s l i d i n g - f r i c t i o n d a m p i n g m e c h a n i s m . T h e a b s o r b e r w e i g h t a n d s p r i n g w e r e m a d e o f s t e e l a n d t h e s l i d i n g - f r i c t i o n m e c h a n i s m w a s a c e r a m i c b u t t o n w h i c h s l i d o n a s t e e l p l a t e . T h e e f f e c t i v e n e s s o f e m p l o y i n g a s l i d i n g - f r i c t i o n d a m p i n g m e c h a n i s m i s a l s o d i s c u s s e d i n t h e f o l l o w i n g . F i g u r e 5 . 3 : S i m p l i f i e d d r a w i n g o f t h e f r i c t i o n d a m p e d v i b r a t i o n a b s o r b e r a t t a c h e d t o t h e h o t - a r m t i p . 98 5 . 2 . 3 . 1 C o n s i d e r a t i o n s i n S e l e c t i n g t h e A b s o r b e r D a m p i n g M e c h a n i s m I n t h e a n a l y t i c a l s t u d y f o r t h e o p t i m a l a b s o r b e r p a r a m e t e r s t h e a b s o r b e r d a m p i n g m e c h a n s i s m w a s m o d e l l e d w i t h a v i s c o u s d a s h p o t . H o w e v e r t h e a c t u a l c o n s t r u c t e d a b s o r b e r u s e s a s l i d i n g - f r i c t i o n d a m p i n g m e c h a n i s m . T h e f o l l o w i n g i s a d i s c u s s i o n o n t h e a d v a n t a g e s a n d t h e d i s a d v a n t a g e s o f t h e s l i d i n g - f r i c t i o n d a m p i n g a n d o t h e r k i n d s o f a b s o r b e r d a m p i n g . C o n s i d e r a 1 D 0 F d i s c r e t e s y s t e m w i t h f r i c t i o n d a m p i n g e x c i t e d b y a h a r m o n i c f o r c e : My + f ( y ) + K y = P s i n c u t , w h e r e t h e p l u s o r m i n u s s i g n o f t h e f r i c t i o n f o r c e , f ( y ) = ± F , i s d e p e n d e n t o n t h e s i g n o f t h e v e l o c i t y c o o r d i n a t e . F r i c t i o n d a m p i n g i s n o n l i n e a r b u t i f t h e d a m p i n g i s s m a l l , t h e m o t i o n i s a p p r o x i m a t e l y s i n o s o i d a l , y = Y s i n c o t . T h e u s u a l m e t h o d o f s o l u t i o n r e p l a c e s t h e f r i c t i o n d a m p i n g w i t h a n e q u i v a l e n t v i s c o u s d a m p i n g w h i c h g i v e s t h e s a m e a m o u n t o f d a m p i n g w o r k p e r c y c l e o f m o t i o n . T h e e q u i v a l e n t v i s c o u s d a m p i n g p a r a m e t e r c i s e q u a l t o 4 F / 7 T C J Y . W h e n P i s s m a l l e r t h a n F n o s l i d i n g o c c u r s a n d n o e n e r g y i s d i s s i p a t e d . W h e n P i s b i g g e r t h a n F t h e e n e r g y d i s s i p a t i o n p e r c y c l e o f m o t i o n i s p r o p o r t i o n a l t o t h e d i s p l a c e m e n t c o o r d i n a t e [ 3 7 ] , C o n s i d e r a 1D0F d i s c r e t e s y s t e m w i t h a v i s c o u s d a s h p o t e x c i t e d b y a h a r m o n i c f o r c e : My + c y + K y = P s i n c o t . 99 W i t h a t r u e v i s c o u s d a s h p o t , t h e e n e r g y d i s s i p a t i o n p e r c y c l e o f m o t i o n i s p r o p o r t i o n a l t o t h e s q u a r e o f t h e v e l o c i t y c o - o r d i n a t e . A v i s c o u s l y d a m p e d v i b r a t o r y s y s t e m i s m o r e s t a b l e t h a n a f r i c t i o n d a m p e d s y s t e m s i n c e t h e m a g n i t u d e o f t h e d i s p l a c e m e n t c o - o r d i n a t e c a n n o t g r o w l a r g e w i t h o u t a c o r r e s p o n d i n g i n c r e a s e i n t h e v i s c o u s f o r c e w h i c h i s p r o p o r t i o n a l t o t h e v e l o c i t y c o - o r d i n a t e . W i t h t h e c o r r e s p o n d i n g i n c r e a s e i n t h e e n e r g y d i s s i p a t e d , t h e d i s p l a c e m e n t c o o r d i n a t e c a n n o t g r o w l a r g e . F o r e x a m p l e , w h e n v i s c o u s d a m p i n g i s b e l o w o p t i m a l t h e v i s c o u s f o r c e w i l l a d j u s t q u i c k l y w i t h a s l i g h t i n c r e a s e o f t h e v e l o c i t y c o o r d i n a t e . A v i s c o u s t y p e d a m p i n g i s p r e f e r r e d b u t a v i s c o u s d a m p i n g m e c h a n i s m w h i c h i s r e s i s t a n t t o t h e h e a t a n d r a d i a t i o n , n o n - c o n t a m i n a t i n g t o t h e c y c l o t r o n v a c u u m a n d y e t s i m p l e i n c o n s t r u c t i o n h a s n o t b e e n f o u n d . E n e r g y - d i s s i p a t i n g v i s c o e l a s t i c m a t e r i a l s , f o r c o a t i n g t h e a b s o r b e r s p r i n g o r f o r c o n s t r a i n e d - l a y e r - d a m p i n g [ 2 6 ] o f t h e a b s o r b e r s p r i n g , c a n d e t e r i o r a t e i n r a d i a t i o n a s w e l l a s c o n t a m i n a t e t h e c y c l o t r o n v a c u u m b y o u t - g a s s i n g . T h e v i s c o u s d a m p i n g p r o d u c e d b y t h e a b s o r b e r m a s s s l o s h i n g a b o u t i n a f l u i d - f i l l e d c o n t a i n e r i s a g o o d a l t e r n a t i v e i f t h e c o m p l e x i t y o f v a c u u m - s e a l i n g t h e c o n t a i n e r i s j u s t i f e d . A n o t h e r s i m p l e d a m p i n g m e c h a n i s m w h o s e e n e r g y d i s s i p a t i o n h a s s o m e r e l a t i o n s h i p t o t h e s q u a r e o f t h e v e l o c i t y i s t h e d a m p i n g p r o d u c e d b y t h e i m p a c t i n g o f t h e 100 a b s o r b e r m a s s o n t h e m a i n m a s s [ 3 8 ] . A n a b s o r b e r w i t h i m p a c t d a m p i n g w a s t e s t e d . I t s a b i l i t y t o r e d u c e h o t - a r m t i p v i b r a t i o n i n c r e a s e s w h e n t h e a b s o r b e r s p r i n g w a s m a d e b a r e l y s t r o n g e n o u g h t o b a l a n c e t h e w e i g h t o f t h e a b s o r b e r m a s s . I n t h e l i m i t w h e n t h e a b s o r b e r h a s n o s p r i n g ( i . e . h o r i z o n t a l m o t i o n o n l y ) , i t b e c o m e s a L a n c h e s t e r d a m p e r . I t i s k n o w n t h a t a L a n c h e s t e r d a m p e r i s n o t a s e f f i c i e n t a s a v i s c o u s l y d a m p e d a b s o r b e r f o r a m a i n m a s s e x c i t e d b y a s t e a d y h a r m o n i c f o r c e [ 3 9 ] . O t h e r p o s s i b l e d a m p i n g m e c h a n i s m s i n c l u d e t h e e n e r g y - d i s s i p a t i n g r o o t - s l i p p i n g o f t h e a b s o r b e r s p r i n g a n d e n e r g y - d i s s i p a t i n g j o i n t - s l i p p i n g o f a r i v e t e d m u l t i - l a y e r a b s o r b e r c a n t i l e v e r s p r i n g . T h e r e a r e e n d l e s s v a r i a t i o n s o n d a m p i n g . T h e i n v e s t i g a t i o n w a s d i s c o n t i n u e d a t t h i s p o i n t . A d a m p i n g m e c h a n i s m w h i c h i s s u p e r i o r t o t h e s l i d i n g - f r i c t i o n m e c h a n i s m a n d y e t s i m p l e i n c o n s t r u c t i o n h a s n o t b e e n f o u n d . T h e r e l i a b i l i t y o f t h e s l i d i n g - f r i c t i o n d a m p i n g m e c h a n i s m d e p e n d s o n c a r e t a k e n i n t h e c o n s t r u c t i o n a n d a d j u s t m e n t o f t h e u n i t . T h e u n i t m u s t b e a d j u s t e d a t v i b r a t i o n l e v e l s s i m i l a r t o t h e o p e r a t i n g c o n d i t i o n s i n c e f r i c t i o n d a m p i n g i s s e n s i t i v e t o t h e m a g n i t u d e s o f t h e v i b r a t i o n a m p l i t u d e s . F i g u r e 5 . 4 s h o w s t h e c o n t o u r s o f t h e p e r c e n t i n c r e a s e i n R f r o m R Q p t f o r a r a n g e o f f a n d 7_ r e p o r t e d b y W a r b u r t o n ( 1 9 8 2 ) [ 4 0 ] . F o r a d a s h p o t d a m p e d a b s o r b e r , t h e r e s p o n s e R d o e s n o t i n c r e a s e a p p r e c i a b l y f o r s m a l l d e v i a t i o n s f r o m t h e o p t i m a l 101 F i g u r e 5 . 4 : D e p e n d e n c e o f t h e MS d i s p l a c e m e n t o f t h e m a i n m a s s u p o n a b s o r b e r p a r a m e t e r s , f a n d 7 . F o r v a l u e s o f f a n d 7 . w i t h i n a c o n t o u r t h e r e s p o n s e e x c e e d s t h e o p t i m a l MS a, d i s p l a c e m e n t b y l e s s t h a n s t a t e d p e r c e n t a g e . ' + ' o p t i m a l v a l u e s , f - f 7 A - 7 A . O P T , * = 0 - 1 ' 7 M - 0 . 0 1 . R e f . [ 4 0 ] 102 a b s o r b e r p a r a m e t e r s . B u t f o r f r i c t i o n d a m p i n g t h e a l l o w a b l e e r r o r s m a y b e s m a l l e r . 5 . 2 . 3 . 2 T h e T e s t i n g o f D a m p e d V i b r a t i o n A b s o r b e r s o n a P r o t o t y p e ( 1 ) H o t - a r m T h e l u m p e d p a r a m e t e r s o f t h e P r o t o t y p e d ) h o t - a r m f o r v i b r a t i o n i n t h e f i r s t m o d e , e v a l u a t e d f r o m i t s f i n i t e e l e m e n t m o d e l , a r e g i v e n b y : M m = M,/WU = 1 / ( 2 . 9 4 5 7 ) 2 = 0 . 1 1 5 l b * s 2 / i n K m = M,co 2/V / 2 ( L ) = 1 ( 3 2 ) 2 / ( 2 . 9 4 5 7 ) 2 = 116 l b / i n 7 m * £ / 2 T T <* 0 . 0 0 3 . F o r t h i s s m a l l 7 , t h e o p t i m a l a b s o r b e r p a r a m e t e r s a r e n o t m u c h d i f f e r e n t f r o m t h e c a s e 7 m = 0 ; s o l v i n g t h e t w o n o n l i n e a r e q u a t i o n s o f A p p e n d i x E f o r a r a n g e o f u ( 0 . 0 1 t o 1 . 0 ) s h o w s n o d i f f e r e n c e f o r t h r e e d e c i m a l p l a c e s i n f o p t a n d V o p f T a b l e 5 . 2 a n d t h e a c c o m p a n y i n g f i g u r e s g i v e a n a c c o u n t o f t h e e x p e r i m e n t s w i t h f o u r v a l u e s o f n. F o r e a c h u, t h e a b s o r b e r w a s f i r s t t u n e d t o f Q p t a n d t h e n t h e p r e s s u r e f o r c e b e t w e e n t h e c e r a m i c b u t t o n a n d s t a i n l e s s s t e e l p l a t e o f t h e f r i c t i o n d a m p i n g m e c h a n i s m w a s a d j u s t e d u n t i l t h e RMS d e f l e c t i o n o f t h e h o t - a r m t i p w a s m a d e a s s m a l l a s p o s s i b l e . 1 0 3 T a b l e 5 . 2 : T e s t r e s u l t s f o r t h e d a m p e d a b s o r b e r s w h i c h  w e r e a t t a c h e d t o t h e P r o t o t y p e d ) h o t - a r m t i p . F i g . N o . M a l b * s 2 / i n M f t o p t 7 a R 4 . o p t N i n 2 5 . 5 0 . 0 0 N / A N / A N / A 5 . 2 5 1 5 * 1 0 " 9 5 . 6 a 0 . 5 7 * 1 0 - 2 0 . 0 5 0 . 9 6 5 f r e e N / A 1 4 * 1 0 " 9 5 . 6 b 0 . 5 7 * 1 0 - 2 0 . 0 5 0 . 9 6 5 0 . 109 4 . 4 9 4 . 7 * 1 0 " 9 5 . 7 a 1 . 1 4 * 1 0 " 2 0 . 1 0 0 . 9 3 2 f r e e N / A 7 . 0 * 1 0 " 9 5 . 7 b 1 . 1 4 * 1 0 " 2 0 . 1 0 0 . 9 3 2 0 . 1 5 2 3 . 1 4 3 . 1 * 1 0 - 9 5 . 8 a 1 . 7 1 * 1 0 " 2 0 . 1 5 0 . 9 0 3 f r e e N / A 3 . 9 * 1 0 " 9 5 . 8 b 1 . 7 1 * 1 0 " 2 0 . 1 5 0 . 9 0 3 0 . 183 2 . 2 6 n o i s e w h e r e , 7 : t h e n u m e r i c a l v a l u e s a r e t h e d e s i r e d o p t i m a l 3 a b s o r b e r d a m p i n g r a t i o f r o m t h e a n a l y t i c a l s t u d y ; t h e y a r e n o t t h e m e a s u r e d v a l u e s . R o p t : t * i e d i m e n s i o n l e s s MS d i s p l a c e m e n t o f t h e m a i n m a s s f r o m t h e a n a l y t i c a l s t u d y . N : t h e m e a s u r e d MS t i p d e f l e c t i o n f o r v i b r a t i o n n e a r 5 H z ) , o n e p e a k i n t h e s p e c t r u m a t CJ^ f o r t h e m a i n s y s t e m a l o n e b u t t w o p e a k s n e a r um f o r t h e m a i n s y s t e m w i t h a n a t t a c h e d a b s o r b e r . f r e e : t h e f r i c t i o n d a m p i n g m e c h a n i s m i s d i s e n g a g e d b u t 104 i t t a k e s n o a c c o u n t o f t h e s t r u c t u r a l d a m p i n g i n t h e a b s o r b e r . n o i s e : t h e s m a l l b a c k g r o u n d n o i s e o r i g i n a t i n g f r o m t h e v i b r a t i o n m e a s u r i n g e q u i p m e n t a n d t e s t e n v i r o m e n t . N / A : n o t a p p l i c a b l e . F i g u r e 5 . 5 s h o w s t h e RMS s p e c t r u m o f t h e h o t - a r m t i p d e f l e c t i o n w h e n t h e c o o l a n t w a s f l o w i n g t h r o u g h t h e h o t - a r m p a n e l . I t s h o w s a p r o m i n e n t p e a k a t CJ^  o f t h e h o t - a r m . F i g u r e 5 . 6 a , 5 . 7 a a n d 5 . 8 a s h o w t h e RMS s p e c t r u m o f t h e t i p d e f l e c t i o n w h e n u n d a m p e d ( n o t a c c o u n t i n g f o r t h e s t r u c t u r a l d a m p i n g ) a b s o r b e r s o f d i f f e r e n t j z ' s w e r e a t t a c h e d t o t h e h o t - a r m t i p . T h e y s h o w t w o p e a k s o n e a b o v e a n d o n e b e l o w com (= 5 H z ) . L e t a n d f 2 b e t h e c e n t r e f r e q u e n c i e s o f t h e t w o p e a k s , f , < f 2 . I n f , m o d e t h e h o t - a r m a n d a b s o r b e r m a s s m o v e d i n t h e s a m e d i r e c t i o n a n d i n f 2 m o d e t h e h o t - a r m a n d a b s o r b e r m a s s m o v e d i n t h e o p p o s i t e d i r e c t i o n s . B o t h f , a n d f 2 m o d e s c o n t r i b u t e d t o t h e r e l a t i v e m o t i o n b e t w e e n t h e h o t - a r m a n d a b s o r b e r m a s s . W h e n f r i c t i o n d a m p i n g w a s a d d e d , t h e r a t e o f e n e r g y d i s s i p a t i o n w a s i n c r e a s e d i n p r o p o r t i o n t o t h i s r e l a t i v e m o t i o n a n d t h e t w o p e a k s w e r e a t t e n u a t e d . W i t h u n d a m p e d a b s o r b e r s , i n c r e a s e d M g a v e a t t e n u a t i o n o f t h e p e a k s a n d a m p l i f i c a t i o n o f t h e f 2 p e a k s a s s h o w n i n F i g u r e s 5 . 6 a , 5 . 7 a a n d 5 . 8 a . S i n c e t h e f 2 m o d e w a s s t r i c t l y r e l a t i v e m o t i o n , w i t h i n c r e a s e d u, 7 c o u l d b e i n c r e a s e d f u r t h e r b e f o r e c a u s i n g o v e r 105 0 5 10 15 20 FREQUENCY <HZ> F i g u r e 5 . 5 : RMS s p e c t r u m o f t h e t i p d e f l e c t i o n f o r t h e P r o t o t y p e d ) h o t - a r m w i t h o u t a n a b s o r b e r . 1C6 0 5 10 15 20 FREQUENCY <HZ> F i g u r e 5 . 6 a : RMS s p e c t r u m o f t h e t i p d e f l e c t i o n f o r t h e P r o t o t y p e d ) h o t - a r m w i t h a n u n d a m p e d a b s o r b e r a t t a c h e d t o t h e t i p . ( M = 0 . 0 5 ) FREQUENCY <HZ> F i g u r e 5 . 6 b : RMS s p e c t r u m o f t h e t i p d e f l e c t i o n f o r t h e P r o t o t y p e d ) h o t - a r m w i t h a n a d j u s t e d d a m p e d a b s o r b e r a t t a c h e d t o t h e t i p . ( M = 0 . 0 5 ) 107 FREQUENCY <HZ> F i g u r e 5.7a: RMS s p e c t r u m o f t h e t i p d e f l e c t i o n f o r t h e P r o t o t y p e d ) h o t - a r m w i t h a n u n d a m p e d a b s o r b e r a t t a c h e d t o t h e t i p .(u=0.10) FREQUENCY <HZ) F i g u r e 5.7b: RMS s p e c t r u m o f t h e t i p d e f l e c t i o n f o r t h e P r o t o t y p e d ) h o t - a r m w i t h a n a d j u s t e d d a m p e d a b s o r b e r a t t a c h e d t o t h e t i p . ( M = 0 . l 0 ) 108 FREQUENCY CHZ) F i g u r e 5 . 8 a : RMS s p e c t r u m o f t h e t i p d e f l e c t i o n f o r t h e P r o t o t y p e d ) h o t - a r m w i t h a n u n d a m p e d a b s o r b e r a t t a c h e d t o t h e t i p . ( M = 0 . 1 5 ) FREQUENCY <HZ> F i g u r e 5 . 8 b : RMS s p e c t r u m o f t h e t i p d e f l e c t i o n f o r t h e P r o t o t y p e d ) h o t - a r m w i t h a n a d j u s t e d d a m p e d a b s o r b e r a t t a c h e d t o t h e t i p . ( /z=0.1 5 ) 109 d a m p i n g i n t h e a b s o r b e r . O v e r d a m p i n g w o u l d s t o p s l i d i n g i n t h e f r i c t i o n m e c h a n i s m a n d r e d u c e t h e r a t e o f e n e r g y d i s s i p a t i o n o f t h e e n t i r e v i b r a t o r y s y s t e m . T h e o v e r a l l e f f e c t o f i n c r e a s i n g n a n d o p t i m a l l y i n c r e a s i n g 7 w a s t h e f u r t h e r a t t e n u a t i o n o f b o t h p e a k s a s s h o w n b y F i g u r e s 5 . 6 b , 5 . 7 b a n d 5 . 8 b a n d t h e MS t i p d e f l e c t i o n s i n T a b l e 5 . 2 . F o r n = 1 .71 * 1 0 _ 2 , F i g u r e 5 . 8 b s h o w s m o s t l y b a c k g r o u n d n o i s e o r i g i n a t i n g f r o m t h e v i b r a t i o n m e a s u r i n g e q u i p m e n t a n d t e s t e n v i r o m e n t ; t h e h o t - a r m v i b r a t i o n w a s a t t e n u a t e d s i g n i f i c a n t l y . O v e r a l l , t h e h o t - a r m v i b r a t i o n w a s a t t e n u a t e d b y t h e a d d i t i o n o f a s m a l l a m o u n t o f s e c o n d a r y d a m p i n g i n t h e f o r m o f a d a m p e d a b s o r b e r . I n a d d i t i o n t o r e d u c i n g t h e s t e a d y s t a t e r a n d o m v i b r a t i o n , a d a m p e d a b s o r b e r s h o u l d s h o r t e n t h e t i m e n e e d e d t o a t t e n u a t e l a r g e t r a n s i e n t v i b r a t i o n s . 6 . T U R B U L E N C E G E N E R A T I O N I N T H E H O T - A R M C O O L A N T W A T E R F L O W T h e c o n c e n s u s o n t h e t u r b u l e n t - f l o w e x c i t a t i o n i s t h a t i t c a n b e a g g r a v a t e d b y t h e b e n d s i n t h e f l o w p a t h , b r a n c h i n g o f t h e f l o w , r o u g h n e s s o n t h e c h a n n e l w a l l a n d i r r e g u l a r s h a p e ( s h o w n i n F i g u r e 6 . 1 ) o f t h e c o o l a n t - c h a n n e l c r o s s s e c t i o n i n a r o l l - b o n d p a n e l . T h e s u b j e c t o f t u r b u l e n c e i n c o o l a n t w a t e r f l o w i s a n e b u l o u s o n e . T h e p r u d e n t d e s i g n e r o f a h o t - a r m p a n e l w o u l d a v o i d t h e s e p o t e n t i a l t u r b u l e n c e g e n e r a t i n g c h a r a c t e r i s t i c s . A b r i e f s t u d y t o d e t e r m i n e t h e c o n t r i b u t i o n t o t u r b u l e n c e g e n e r a t i o n b y t h e i r r e g u l a r s h a p e o f t h e c o o l a n t - c h a n n e l c r o s s s e c t i o n i n a r o l l - b o n d p a n e l d i d n o t y i e l d a n y c o n c l u s i v e a n s w e r s . T h e s t u d y c o m p a r e d t h e v i b r a t i o n l e v e l s o f t h e P r o t o t y p e d ) h o t - a r m w h e n t w o d i f f e r e n t t y p e s o f h o t - a r m p a n e l s w e r e u s e d . A o n e - t h i r d - l e n g t h r o l l - b o n d p a n e l w a s c u t f r o m a r o l l - b o n d p a n e l . A n o t h e r p a n e l o f t h e s a m e s i z e b u t w i t h c o o l a n t c h a n n e l m a d e f r o m a s l i g h t l y f l a t t e n p i p e a s s h o w n i n t h e f i g u r e 6 . 2 w a s c o n s t r u c t e d . T h e p i p e w a s b e n t t o t r a c e t h e s a m e l o o p i n g f l o w p a t t e r n a s i n t h e r o l l - b o n d p a n e l a n d i t w a s s o l d e r e d o n t o a c o p p e r - p l a t e d a l u m i n u m p l a t e t o f o r m t h e o n e - t h i r d - l e n g t h p i p e - t y p e p a n e l . O n e a t a t i m e , t h e t w o p a n e l s w e r e i n s t a l l e d o n t o t h e P r o t o t y p e d ) h o t - a r m a n d t h e c o o l a n t w a t e r w a s l e t t h r o u g h . T h e MS d e f l e c t i o n o f t h e h o t - a r m t i p , N , f o r v i b r a t i o n i n t h e f i r s t m o d e a t s e v e r a l f l o w r a t e s w e r e r e c o r d e d i n T a b l e 6 . 1 . 110 •0.3' F i g u r e 6 . 1 : C r o s s s e c t i o n a l v i e w o f t h e c o o l a n t c h a n n e l i n a r o l l - b o n d h o t - a r m p a n e l . C D •0.3' F i g u r e 6 . 2 : C r o s s s e c t i o n a l v i e w o f t h e c o o l a n t c h a n n e l i n a p i p e - t y p e h o t - a r m p a n e l . 1 12 T a b l e 6 . 1 : A c o m p a r i s o n o f h o t - a r m v i b r a t i o n f o r t h e  r o l l - b o n d p a n e l a n d p i p e - t y p e p a n e l . t y p e o f p a n e l w a t e r f l o w r a t e N l i t r e s / m i n i n 2 p i p e - t y p e 16 2 6 * 1 0 " 9 p i p e - t y p e 3 5 4 3 * 1 0 " 9 r o l l - b o n d 18 1 0 * 1 0 - 9 r o l l - b o n d 36 3 5 * 1 0 " 9 F r o m T a b l e 6 . 1 i t w a s n o t p o s s i b l e t o d e t e r m i n e w h i c h p a n e l i s b e t t e r . T h e l e v e l s o f v i b r a t i o n a r e v e r y s i m i l a r . I t i s d i f f i c u l t t o m a k e a c c u r a t e v i b r a t i o n m e a s u r e m e n t t o d i f f e r e n t i a t e t w o v e r y s i m i l a r v i b r a t o r y s y s t e m s . W i t h o u t a s p e c i a l i z e d t e s t f a c i l i t y a n d e s p e c i a l l y w i t h o u t a n a l y t i c a l b a s i s i t i s d i f f i c u l t t o d e t e r m i n e t h e o p t i m a l c o o l a n t f l o w d e s i g n w h i c h m i n i m i z e s h o t - a r m v i b r a t i o n . C O N C L U S I O N S T h e w i d e - b a n d r a n d o m r a i n f o r c e w i t h w h i t e n o i s e P S D i s a s i m p l e a n a l y t i c a l m o d e l o f t h e a c t u a l f l o w - i n d u c e d e x c i t a t i o n i n a T r i u m f h o t - a r m a s s h o w n b y t h e d i s c u s s i o n o n t h e b o u n d a r y - l a y e r - t u r b u l e n c e w a l l - p r e s s u r e . T h e a n a l y s e s w i t h a u n i f o r m c a n t i l e v e r b e a m m o d e l s h o w t h a t b e a m m a t e r i a l n e a r e s t t o t h e n e u t r a l a x i s o f b e n d i n g h a s m i n i m a l c o n t r i b u t i o n i n m i n i m i z i n g t h e t i p v i b r a t i o n . T h u s s a n d w i c h b e a m s a r e m o s t e f f i c i e n t i n t h e i r u t i l i z a t i o n o f t h e b e a m m a t e r i a l t o m i n i m i z e t i p v i b r a t i o n . T h e a n a l y s e s w i t h a u n i f o r m c a n t i l e v e r b e a m m o d e l s h o w t h a t w h e n t h e o n l y c o n s t r a i n t i s f o r t h e b e a m c r o s s s e c t i o n t o f i t i n s i d e a u n i t s q u a r e , t h e l i g h t l y d a m p e d n o - c o r e u n i t s q u a r e b e a m g i v e s t h e s m a l l e s t t i p v i b r a t i o n f o r b o t h t h e u n i t h a r m o n i c p o i n t f o r c e a t t h e f u n d a m e n t a l f r e q u e n c y a n d t h e r a n d o m r a i n f o r c e w i t h w h i t e n o i s e P S D , f o r v i b r a t i o n i n t h e f u n d a m e n t a l m o d e . T h e m i n i m u m - w e i g h t d e s i g n o f a s a n d w i c h c a n t i l e v e r b e a m w i t h l i g h t h y s t e r e t i c d a m p i n g , s u b j e c t e d t o a s t a n d a r d t y p e e x c i t a t i o n o f u n i t h a r m o n i c p o i n t f o r c e a t t h e f r e e t i p a n d f u n d a m e n t a l f r e q u e n c y , w i t h c o n s t r a i n t o n t h e t i p a m p l i t u d e , i s o n e w i t h c o v e r - p l a t e s w h o s e t h i c k n e s s t a p e r s l i n e a r l y t o z e r o a t t h e t i p . T h e m i n i m u m - w e i g h t d e s i g n o f a s a n d w i c h c a n t i l e v e r b e a m w i t h l i g h t h y s t e r e t i c d a m p i n g , s u b j e c t e d t o a r a n d o m 113 1 14 r a i n f o r c e w i t h w h i t e n o i s e P S D , w i t h c o n s t r a i n t o n t h e m e a n s q u a r e t i p d e f l e c t i o n , f o r v i b r a t i o n i n t h e f u n d a m e n t a l m o d e , i s o n e w i t h c o v e r - p l a t e s w h i c h a r e h e a v i e r n e a r t h e t i p a n d s t i f f e n e d n e a r t h e f i x e d e n d . 6 . T h e b e a m m a t e r i a l s w i t h l a r g e r e l a s t i c m o d u l u s E g i v e s m a l l e r c a n t i l e v e r b e a m v i b r a t i o n f o r b o t h e x c i t a t i o n m o d e l s , t h e u n i t h a r m o n i c p o i n t f o r c e a t t h e f u n d a m e n t a l f r e q u e n c y a n d r a n d o m r a i n f o r c e w i t h w h i t e n o i s e P S D . 7 . T h e b e a m m a t e r i a l s w i t h l a r g e r m a s s d e n s i t y p 2 g i v e s m a l l e r c a n t i l e v e r b e a m v i b r a t i o n f o r t h e c a s e o f t h e r a n d o m r a i n f o r c e w i t h w h i t e n o i s e P S D . 8 . T h e b e a m m a t e r i a l s w i t h l a r g e r d a m p i n g p a r a m e t e r v g i v e s m a l l e r c a n t i l e v e r b e a m v i b r a t i o n f o r b o t h e x c i t a t i o n m o d e l s , t h e u n i t h a r m o n i c p o i n t f o r c e a t t h e f u n d a m e n t a l f r e q u e n c y a n d r a n d o m r a i n f o r c e w i t h w h i t e n o i s e P S D . 9 . T h e p r o p o s e d r e p l a c e m e n t s t r o n g b a c k d e s i g n d e s c r i b e d i n a p r e v i o u s s e c t i o n e n c o m p a s s e s t h e c h a r a c t e r i s t i c s o f b o t h m i n i m u m - w e i g h t d e s i g n s , d e s i g n f o r t h e u n i t h a r m o n i c p o i n t f o r c e a n d d e s i g n f o r t h e w h i t e n o i s e P S D . T h e s t r o n g b a c k i s t o b e m a d e l i g h t e r i n w e i g h t n e a r t h e t i p b u t a d y n a m i c v i b r a t i o n a b s o r b e r i s t o b e a t t a c h e d t o t h e t i p . T h e d a m p e d a b s o r b e r s e r v e s d u a l p u r p o s e ; i t i n c r e a s e s t h e e f f e c t i v e m a s s a t t h e h o t - a r m t i p a n d i t i n c r e a s e s t h e d a m p i n g c a p a c i t y o f t h e e n t i r e s t r u c t u r e . 1 0 . T h e p r e d o m i n a n t l y f i r s t m o d e , n a r r o w - b a n d r a n d o m v i b r a t i o n o f a h o t - a r m c a n b e a t t e n u a t e d b y a d a m p e d a b s o r b e r t u n e d t o a n e f f e c t i v e 1DOF m a i n s y s t e m . T h e 115 o p t i m a l a b s o r b e r p a r a m e t e r s a r e t h o s e f o r m a i n s y s t e m e x c i t e d b y a r a n d o m f o r c e w i t h w h i t e n o i s e P S D . T h e h e a v i e r a b s o r b e r m a s s w i l l g i v e b i g g e r a t t e n u a t i o n o f t h e t i p v i b r a t i o n . 1 1 . T h e c o n t r i b u t i o n s t o t u r b u l e n c e g e n e r a t i o n b y b e n d s i n c o o l a n t f l o w p a t h , b r a n c h e s i n c o o l a n t f l o w p a t h , i r r e g u l a r s h a p e o f t h e c o o l a n t - c h a n n e l c r o s s s e c t i o n i n a r o l l - b o n d p a n e l a n d r o u g h n e s s o n t h e c h a n n e l w a l l a r e t o o n e b u l o u s t o s t u d y . R E F E R E N C E S 1 . B r a c k h a u s , K . H . , " T h e g e n e r a t i o n a n d c o n t r o l o f 1 . 5 m e g a w a t t s o f R F p o w e r f o r t h e T r i u m f C y c l o t r o n " , P h . D . t h e s i s , P h y s i c s D e p a r t m e n t o f t h e U n i v e r s i t y o f B r i t i s h C o l u m b i a , C a n a d a , 1 9 7 5 . 2 . G r e g o r y , R . W . a n d P a i d o u s s i s , M . P . , " U n s t a b l e o s c i l l a t i o n o f t u b u l a r c a n t i l e v e r s c o n v e y i n g f l u i d " , P r o c . R o y a l S o c i e t y , L o n d o n , 1 9 6 6 , v o l . 2 9 3 , p p . 5 1 3 - 5 4 2 . 3 . C r a n d a l l , S . H . , e d i t o r , R a n d o m V i b r a t i o n , M . I . T . P r e s s , C a m b r i d g e , M a s s . , 1 9 5 9 . 4 . C r a n d a l l , S . H . a n d M a r k , W . D . , R a n d o m V i b r a t i o n i n  M e c h a n i c a l S y s t e m s , A c a d e m i c P r e s s , New Y o r k a n d L o n d o n , 1 9 6 3 . 5 . C r a n d a l l , S . H . , D e v e l o p m e n t s i n S t a t i s t i c s , A c a m e d i c P r e s s , New Y o r k a n d L o n d o n , 1 9 7 9 . 6 . L i n , Y . K . , P r o b a b i l i s t i c T h e o r y o f S t r u c t u r a l D y n a m i c s , M c G r a w - H i l l , New Y o r k , 1 9 6 7 . 7 . N i g a m , N . C . , I n t r o d u c t i o n t o R a n d o m V i b r a t i o n s , M . I . T . P r e s s , C a m b r i d g e , M a s s . , 1 9 8 3 . 8 . B l e v i n s , R . D . , " V i b r a t i o n i n d u c e d b y T u r b u l e n c e " , F l o w - I n d u c e d V i b r a t i o n , V a n N o s t r a n d R e i n h o l d C o . , 1 9 8 4 , p p . 1 4 7 - 2 0 9 . 9 . C o r c o s , G . M . , " R e s o l u t i o n o f p r e s s u r e i n t u r b u l e n c e " , J .  A c o u s . S o c . A m e r . , 1 9 6 3 , v o l 3 5 ( 2 ) , p p . 1 9 2 - 1 9 9 . 1 0 . B a k e w e l l J r . , H . P . , " T u r b u l e n t w a l l - p r e s s u r e f l u c t u a t i o n s o n a b o d y o f r e v o l u t i o n " , J . A c o u s t . S o c . 116 1 17 A m . , v o l . 4 3 ( 6 ) , 1 9 6 8 , p p . 1 3 5 8 - 1 3 6 3 . 1 1 . C l i n c h , J . M . , " M e a s u r e m e n t s o f t h e w a l l p r e s s u r e f i e l d a t t h e s u r f a c e o f a s m o o t h - w a l l e d p i p e c o n t a i n i n g t u r b u l e n t w a t e r f l o w " , J . S o u n d V i b . , 1 9 6 9 , v o l . 9 ( 3 ) , p p . 3 9 8 - 4 1 9 . 1 2 . C h e n , S . S . a n d W a m b s g a n s s , M . W . , " P a r a l l e l - f l o w - i n d u c e d v i b r a t i o n o f f u e l r o d s " , N u c l e a r E n g r g . a n d D e s i g n , 1 9 7 2 , v o l . 1 8 , p p . 2 5 3 - 2 7 8 . 1 3 . P a i d o u s s i s , M . P . , " V i b r a t i o n o f c y l i n d r i c a l s t r u c t u r e s i n d u c e d b y a x i a l f l o w " , J . E n g r g . I n d . , 1 9 7 4 , v o l . 9 6 , p p . 5 4 7 - 5 5 2 . ' 1 4 . W a r b u r t o n , G . B . , T h e D y n a m i c a l B e h a v i o u r o f S t r u c t u r e s , P e r g a m o n P r e s s , 1 9 7 6 , p p . 3 1 8 - 3 1 9 a n d p p . 1 5 - 1 9 . 1 5 . C l o u g h , R . W . a n d P e n z i e n , J . , " R a n d o m V i b r a t i o n s " , D y n a m i c s o f S t r u c t u r e s , M c G r a w - H i l l , New Y o r k , 1 9 7 5 , p p . 3 8 9 - 5 1 5 . 1 6 . D a v e n p o r t , A . G . , " N o t e o n t h e d i s t r i b u t i o n o f t h e l a r g e s t v a l u e o f a r a n d o m f u n c t i o n w i t h a p p l i c a t i o n t o g u s t l o a d i n g " , P r o c . I n s t . C i v . E n g . , 1 9 6 4 , v o l . 2 8 , p p . 1 8 7 - 1 9 6 . 1 7 . T h o m s o n , W . T . , T h e o r y o f V i b r a t i o n w i t h A p p l i c a t i o n s , P r e n t i c e - H a l l , 2 n d e d . , 1 9 8 1 , p p . 3 4 0 - 3 5 5 a n d p p . 4 6 4 - 4 7 4 . 1 8 . H a u g , E . J . a n d C e a , J e a n , e d i t o r s , O p t i m i z a t i o n o f  D i s t r i b u t e d P a r a m e t e r S t r u c t u r e s , t w o v o l u m e s , S i j t h o f f & N o o r d h o f f , N e t h e r l a n d s , 1 9 8 1 , 1 6 0 9 p a g e s . 1 9 . I c e r m a n , L . J . , " O p t i m a l s t r u c t r a l d e s i g n f o r g i v e n d y n a m i c d e f l e c t i o n " , I n t . J . S o l i d s S t r u c t u r e s , 1 9 6 9 , 118 p p . 4 7 3 - 4 9 0 . 2 0 . M r o z , Z . , " O p t i m a l d e s i g n o f s t r u c t u r e s s u b j e c t t o d y n a m i c , h a r m o n i c a l l y - v a r y i n g l o a d s " , Z A M M , v o l . 5 0 , 1 9 7 0 , p p . 3 0 3 - 3 0 9 . 2 1 . P l a u t , R . H . , " O p t i m a l s t r u c t u r a l d e s i g n f o r g i v e n d e f l e c t i o n u n d e r p e r i o d i c l o a d i n g " , Q u a r t e r l y o f A p p l i e d  M a t h e m a t i c s , v o l . 2 9 , 1 9 7 1 , p p . 3 1 5 - 3 1 8 . 2 2 . P l a u t , R . H . , " A p p r o x i m a t e s o l u t i o n s t o s o m e s t a t i c a n d d y n a m i c o p t i m a l s t r u c t u r a l d e s i g n p r o b l e m s " , Q u a r t e r l y  o f A p p l i e d M a t h e m a t i c s , v o l . 3 1 , 1 9 7 3 , p p . 5 3 5 - 5 3 9 . 2 3 . P r a g e r , W. a n d S h i e l d , R . T . , " O p t i m a l d e s i g n o f m u l t i - p u r p o s e s t r u c t u r e s " , I n t . J . S o l i d s S t r u c t u r e s , 1 9 6 8 , v o l . 4 , p p . 4 6 9 - 4 7 5 . 2 4 . N i g a m , N . C . , " S t r u c t u r a l o p t i m i z a t i o n i n r a n d o m v i b r a t i o n e n v i r o m e n t " , A I A A J o u r n a l , 1 9 7 2 , v o l . 1 0 , N o . 4 , p p . 5 5 1 - 5 5 3 . 2 5 . R a o , S . S . , " M u l t i o b j e c t i v e o p t i m i z a t i o n i n s t r u c t u r a l d e s i g n w i t h u n c e r t a i n p a r a m e t e r s a n d s t o c h a s t i c p r o c e s s " , A I A A J o u r n a l , 1 9 8 4 , v o l . 2 2 , N o . 1 1 , p p . 1 6 7 0 - 1 6 7 8 . 2 6 . T o r v i k , P . J . , e d i t o r , D a m p i n g A p p l i c a t i o n s f o r V i b r a t i o n  C o n t r o l , 1 9 8 0 , A S M E , S h o c k a n d V i b r a t i o n s C o m m i t t e e , A p p l i e d M e c h a n i c s D i v i s i o n , A M D - v o l . 3 8 . 2 7 . J o n e s , D . I . G . , " V i s c o e l a s t i c m a t e r i a l s f o r d a m p i n g a p p l i c a t i o n s " , D a m p i n g A p p l i c a t i o n s f o r V i b r a t i o n  C o n t r o l , P . J . T o r v i k e d i t o r , 1 9 8 0 , A S M E , A M D - v o l . 3 8 , p p . 2 7 - 5 1 . 119 2 8 . B r o w n , C . B . , " F a c t o r s a f f e c t i n g d a m p i n g i n a l a p j o i n t " , P r o c . A S C E , J . S t r u c t . D i v . , 1 9 6 8 , v o l . 9 6 , p p . 1 1 9 7 - 1 2 1 7 . 2 9 . H u n t , J . B . , e d i t o r , " A c c e l e r a t i o n d a m p e r s o r i m p a c t v i b r a t i o n a b s o r b e r s " , D y n a m i c V i b r a t i o n A b s o r b e r s , M e c h a n i c a l E n g i n e e r i n g P u b l i c a t i o n L t d . , L o n d o n , 1 9 7 9 . 3 0 . O r m o n d r o y d , J . a n d D e n H a r t o g , J . P . , " T h e t h e o r y o f t h e d y n a m i c v i b r a t i o n a b s o r b e r " , T r a n s . A S M E , v o l . 4 9 / 5 0 , A 9 - A 2 2 , 1 9 2 8 . 3 1 . D e n H a r t o g , J . P . , " T w o d e g r e e s o f f r e e d o m " , M e c h a n i c a l  V i b r a t i o n s , 4 t h . e d n . , M c G r a w - H i l l , New Y o r k , 1 9 5 6 , p p . 7 9 - 1 2 0 . 3 2 . R a n d a l l , S . E . , H a l s t e d I I I , D . M . a n d T a y l o r , D . L . , " O p t i m u m v i b r a t i o n a b s o r b e r s f o r l i n e a r d a m p e d s y s t e m s " , J . M e c h . D e s i g n , 1 9 8 V , v o l . 1 0 3 , p p . 9 0 8 - 9 1 3 . 3 3 . S n o w d o n , J . C , V i b r a t i o n a n d S h o c k i n D a m p e d M e c h a n i c a l  S y s t e m s , W i l e y , New Y o r k , 1 9 6 8 . 3 4 . J a c q u o t , R . G . a n d H o p p e , D . L . , " O p t i m a l r a n d o m v i b r a t i o n a b s o r b e r " , J . E n g r g . M e c h . D i v . , A S C E , 1 9 7 3 , v o l . 9 9 , p p . 6 1 2 - 6 1 6 . 3 5 . W i r s c h i n g , P . H . a n d C a m p b e l l , G . W . , " M i n i m a l s t r u c t u r a l r e s p o n s e u n d e r r a n d o m e x c i t a t i o n u s i n g t h e v i b r a t i o n a b s o r b e r " , E a r t h q u a k e E n g r g . S t r u c t . D y n . , 1 9 7 4 , v o l . 2 , p p . 3 0 3 - 3 1 2 . 3 6 . W a r b u r t o n , G . B . , " O p t i m u m a b s o r b e r p a r a m e t e r s f o r v a r i o u s c o m b i n a t i o n s o f r e s p o n s e a n d e x c i t a t i o n p a r a m e t e r s " , E a r t h q u a k e E n g r g . S t r u c t . D y n . , 1 9 8 2 , v o l . 120 1 0 , p p . 3 8 1 - 4 0 1 . 3 7 . D e n H a r t o g , " S y s t e m s w i t h v a r i a b l e o r n o n - l i n e a r c h a r a c t e r i s t i c s " , J . P . , M e c h a n i c a l V i b r a t i o n s , 4 t h . e d n . , M c G r a w - H i l l , New Y o r k , 1 9 5 6 , p p . 3 3 5 - 3 7 9 . 3 8 . T h o m a s , M . D . a n d S a d e k , M . M . , " T h e e f f e c t i v e n e s s o f t h e i m p a c t d a m p e r w i t h a s p r i n g - s u p p o r t e d a u x i l i a r y m a s s " , J . M e c h . E n g . S c i e n c e , 1 9 7 4 , V o l . 1 6 , N o . 2 , p p . 1 0 9 - 1 1 6 . 3 9 . H u n t , J . B . , e d i t o r , " A c c e l e r a t i o n d a m p e r s o r i m p a c t v i b r a t i o n a b s o r b e r s " , D y n a m i c V i b r a t i o n A b s o r b e r s , M e c h a n i c a l E n g i n e e r i n g P u b l i c a t i o n L t d . , L o n d o n , 1 9 7 9 , p p . 8 7 - 9 7 . 4 0 . W a r b u r t o n , G . B . , " A d e s i g n p r o c e d u r e f o r a b s o r b e r " , D y n a m i c V i b r a t i o n I s o l a t i o n a n d A b s o r p t i o n , M e c h a n i c a l E n g i n e e r i n g P u b l i c a t i o n s L t d . , W o r t h i n g , E n g l a n d , 1 9 8 2 , p p . 5 9 - 6 9 . 4 1 . J a m e s , H . M . , N i c h o l s , N . B . a n d P h i l l i p s , R . S . , e d i t o r s , T h e o r y o f S e r v o m e c h a n i s m s , M . I . T . P r e s s , 1 9 6 4 . A P P E N D I X A R e y n o l d ' s n u m b e r o f t h e w a t e r f l o w i n t h e P r o t o t y p e ( 1 )  h o t - a r m . q = f l o w r a t e o f c o o l a n t w a t e r i n a P r o t o t y p e d ) h o t - a r m p a n e l A f c = f l o w a r e a o f a t u b e i n t h e p a n e l n = n u m b e r o f t u b e s i n a p a n e l U = m e a n s p e e d o f t h e w a t e r f l o w i n a t u b e d t = a v e r a g e d i a m e t e r f o r t h e s l i g h t l y f l a t t e n e d t u b e p = d e n s i t y o f w a t e r M w = a b s o l u t e v i s c o s i t y o f w a t e r R = R e y n o l d ' s N o . o f t h e w a t e r f l o w q = 20 i n 3 / s A t = 7 . 5 * 1 0 " 2 i n 2 n = 7 d f c = 0 . 5 i n P w = 1 . 9 4 s l u g / f t 3 uv = 2 . 3 6 * 1 0 - 5 . l b * s / f t 2 U = q / 7 A t = 40 i n / s R = U d t p w / M w = ( U / 1 2 ) ( d t / l 2 ) p w / M y , = 1 . 1 * 1 0 " T h e v a l u e o f R i n d i c a t e s t h a t t h i s f l o w i s a t u r b u l e n t o n e . 121 A P P E N D I X B T h e c r o s s s e c t i o n a l p r o p e r t i e s f o r t h e f i n i t e e l e m e n t b e a m  m o d e l o f P r o t o t y p e d ) h o t - a r m T h e P r o t o t y p e d ) h o t - a r m i s t r e a t e d a s a t r a n s v e r s e l y v i b r a t i n g f i n i t e e l e m e n t c a n t i l e v e r b e a m w i t h i t s r o o t a t x = 0 i n c h a n d t i p a t x = 1 2 2 . 7 5 i n c h e s . S e c t i o n a l p r o p e r t i e s o f t h e f i n i t e e l e m e n t b e a m a r e g i v e n i n t h e f o l l o w i n g t a b l e . S e c t . x 2 A I P N o . i n i n i n 2 i n " l b * s 2 / i n f t 1 1 2 2 . 7 5 1 0 4 . 7 5 3 . 6 6 0 0 . 8 4 3 0 . 5 9 0 * 1 0 - * 2 1 0 4 . 7 5 7 5 . 0 0 9 . 7 5 6 4 . 2 5 6 0 . 3 8 7 * 1 0 - 3 3 7 5 . 0 0 4 5 . 0 0 2 3 . 4 6 0 8 . 8 8 3 0 . 3 1 5 * 1 0 - 3 4 4 5 . 0 0 1 1 . 9 3 2 8 . 9 6 0 1 2 . 7 2 2 0 . 3 0 5 * 1 0 - 3 5 1 1 . 9 3 0 . 0 0 3 6 . 0 2 9 1 3 . 5 7 0 0 . 2 9 7 * 1 0 - 3 w h e r e , x , , x 2 : x c o o r d i n a t e s f o r t w o e n d s o f a b e a m e l e m e n t A : c r o s s s e c t i o n a l a r e a I : m o m e n t o f i n e r t i a o f c r o s s s e c t i o n p : m a s s p e r u n i t v o l u m e A l u m p w e i g h t o f 5 p o u n d s i s a l s o a t t a c h e d t o t h e t i p a t x = 1 2 2 . 7 5 i n c h e s t o a c c o u n t f o r t h e h o t - a r m a c c e s s o r i e s . 122 A P P E N D I X C T h e e f f e c t o f a d d i n g a l u m p m a s s t o a u n i f o r m c a n t i l e v e r  b e a m w h i c h i s s u b j e c t e d t o a h a r m o n i c p o i n t f o r c e a t t h e  f r e e t i p C o n s i d e r a t r a n s v e r s e l y v i b r a t i n g u n i f o r m c a n t i l e v e r b e a m s u b j e c t e d t o a h a r m o n i c p o i n t f o r c e F ( a , t ) a n d a c o n c e n t r a t e d m o m e n t M ( a , t ) a p p l i e d a t x = a . A s s u m e a s o l u t i o n i n t e r m s o f t h e n o r m a l m o d e s y ( x , t ) = L g . ( t ) 0 . ( x ) f j J 3 w h e r e t h e g e n e r a l i z e d c o o r d i n a t e g j m u s t s a t i s f y t h e e q u a t i o n g j ( t ) + o j ? g j ( t ) = [ F ( a , t ) * j ( a ) + M ( a , t ) * J ( a ) ] / m L a n d mL i s t h e g e n e r a l i z e d m a s s o f t h e b e a m . I f a l u m p m a s s o f M ° i s a t t a c h e d t o t h e b e a m a t x = a , a s s h o w n i n F i g u r e 4 . 1 , t h e f o r c e e x e r t e d b y M ° o n t h e b e a m i s g i v e n b y : F ( a , t ) = - M ° y ( a , t ) = - M ° I g . <6. ( a ) I f M ° i s a s m a l l m o d i f i c a t i o n a o n e m o d e a n a l y s i s i s a d e q u a t e . T h e o n e m o d e a p p r o x i m a t i o n o f t h e f u n d a m e n t a l f r e q u e n c y i s g i v e n b y : w 2 * c o 2 / { l + ( M ° / m L ) 0 2 ( a ) } . I f t h e b e a m a n d a t t a c h e d m a s s i s s u b j e c t e d t o a h a r m o n i c p o i n t f o r c e o f P s i n ( c o t ) a t x = L , o n e m o d e a n a l y s i s g i v e s t h e b e a m d e f l e c t i o n y ( x , t ) =* P s i n ( < j t ) < 6 1 (L)<)>, ( x ) H , (co) , w h e r e H i 1 ( c o ) = m L [ c o 2 - { 1 + ( M ° / m L ) c 4 2 ( a ) }co 2 + / c c o 2 c o ] . 123 124 I f t h e h a r m o n i c p o i n t f o r c e i s P s i n ( c o n t ) , t h e r e s o n a n t d e f l e c t i o n f o r l i g h t l y d a m p e d b e a m w i t h v i s c o u s p a r a m e t e r c i s g i v e n b y : P 0 , ( L ) 0 , ( x ) v / { l + ( M o / m L ) 0 2 ( a ) } y ( x ) — mLccj, T h e b e a m d e f l e c t i o n s f o r v a r i o u s o t h e r s i t u a t i o n s a r e g i v e n i n T a b l e 4 . 1 . T h e e f f e c t o f a d d i n g a l u m p e d r o t a t i o n a l s t i f f e n e r w i t h a l u m p e d v i s c o u s d a m p i n g t o a u n i f o r m c a n t i l e v e r b e a m w h i c h i s s u b j e c t e d t o a h a r m o n i c p o i n t f o r c e a t t h e f r e e t i p I f a l u m p e d r o t a t i o n a l s t i f f e n e r o f K ° i s a t t a c h e d t o t h e c a n t i l e v e r b e a m a t x = a a n d x = a + A a s s h o w n i n f i g u r e 4 . 2 , t h e m o m e n t e x e r t e d b y t h e s t i f f e n e r i s g i v e n b y : M ( a , t ) = K ° { y ' ( a + A , t ) - y ' ( a , t ) } = K ° { L g . 0 ! ( a + A ) - Z g . * ! ( a ) } . i i I f t h e s t i f f e n e r i s a s m a l l m o d i f i c a t i o n a o n e m o d e a n a l y s i s i s a d e q u a t e . O n e m o d e a p p r o x i m a t i o n g i v e s t h e e q u a t i o n t h a t t h e g e n e r a l i z e d c o o r d i n a t e m u s t s a t i s f y g i + u ? g , * - ( K ° / m L ) {cV, ( a + A j - c V , ( a ) } 2 g , « - ( K ° A 2 / m L ) 0 7 2 ( a ) g 1 . T h e f u n d a m e n t a l f r e q u e n c y o f t h e s t i f f e n e d b e a m i s g i v e n b y : CJ2 = £0 2 + ( K ° A 2 / m L ) c 4 7 2 ( a ) . I f a l u m p e d v i s c o u s d a m p i n g C ° i s a d d e d t o K ° i n p a r a l l e l a n d t h e b e a m i s s u b j e c t e d t o a h a r m o n i c p o i n t f o r c e o f P s i n ( c o t ) a t x = L , a o n e m o d e a n a l y s i s g i v e s t h e b e a m d e f l e c t i o n y ( x , t ) « P s i n t u t ) * , ( L ) 0 , ( x ) H , ( u ) , 125 w h e r e H i ' ( u ) « mL[{co 2 + ( K ° A 2 / m L ) 0 l 2 ( a ) } - £ j 2 } + / { c u 2 + ( C ° A 2 / m L ) 0 l 2 ( a ) }co]. I f t h e h a r m o n i c p o i n t f o r c e i s P s i n ( t o n t ) , t h e r e s o n a n t b e a m d e f l e c t i o n i s g i v e n b y : P0, ( L)0, ( x ) y ( x ) = m L { c e o 2 + ( C ° A 2 / m L ) 01 2 ( a ) }v / {^ 2 + ( K ° A 2 / m L ) 01 2 ( a ) } T h e b e a m d e f l e c t i o n s f o r v a r i o u s o t h e r s i t u a t i o n s a r e l i s t e d T a b l e 4 . 1 . A P P E N D I X D E x p e r i m e n t a l s t u d y o n t h e e f f e c t o f p l a c i n g b l o c k s o f  w e i g h t s a t t h e t i p o f a P r o t o t y p e d ) h o t - a r m . T h e e f f e c t t h a t p l a c i n g o f s t e e l b l o c k s a t t h e t i p o f a P r o t o t y p e d ) h o t - a r m h a s o n t h e MS t i p d e f l e c t i o n w a s e x p e r i m e n t e d . A c o m b i n e d f l o w o f 60 l i t r e s / m i n o f w a t e r w a s l e t t h r o u g h a P r o t o t y p e d ) h o t - a r m a n d a n e x i s t i n g g r o u n d a r m p a n e l a t a p r e s s u r e d r o p o f 10 p s i b e t w e e n i n l e t a n d o u t l e t . A t o t a l o f 34 s t e e l b l o c k s e a c h w e i g h i n g 1 . 2 7 k g w e r e p l a c e d a t t h e t i p , a t i n c r e m e n t s o f t w o s . A t i n c r e m e n t s o f t w o b l o c k s t h e f u n d a m e n t a l f r e q u e n c y , f a n d t h e m e a n s q u a r e t i p d e f l e c t i o n f o r v i b r a t i o n i n t h e f u n d a m e n t a l m o d e , N , w e r e r e c o r d e d • b l o c k f n N N o . H z i n 2 0 5 . 3 5 0 1 0 . 8 * 1 0 - 9 2 5 . 100 9 . 2 * 1 0 - 9 4 4 . 9 0 0 8 . 9 * 1 0 - 9 6 4 . 7 0 0 1 0 . 8 * 1 0 - 9 8 4 . 5 5 0 1 0 . 6 * 1 0 - 9 10 4 . 3 7 5 1 1 . 2 * 1 0 - 9 12 4 . 2 5 0 5 . 5 * 1 0 - 9 14 4 . 125 6 . 3 * 1 0 " 9 16 4 . 0 0 0 5 . 7 * 1 0 - 9 b l o c k f n N N o . H z i n 2 18 3.900 11.9*10-9 20 3.800 1 2 . 8 * 1 0 - 9 22 3.700 17.3*10" 924 3.600 10. 1 * 1o-9 26 3.500 10.9*10-9 28 3.450 9.3*10"9 30 3.350 9.1 * 1 0 ~9 32 3.300 8.9*10- 9 34 3.250 7.2*10" 9 126 A P P E N D I X E T h e o p t i m u m a b s o r b e r p a r a m e t e r s f o r a 1 D 0 F m a i n s y s t e m  e x c i t e d b y a r a n d o m f o r c e w i t h w h i t e n o i s e P S D C o n s i d e r a d a m p e d 1 0 D F m a i n s y s t e m a n d a n a t t a c h e d d a m p e d a b s o r b e r o f w h i c h t h e m a i n m a s s i s e x c i t e d b y a r a n d o m f o r c e w i t h w h i t e n o i s e P S D . T h e o p t i m a l a b s o r b e r p a r a m e t e r s w h i c h m i n i m i z e s t h i s m a i n m a s s d i s p l a c e m e n t a r e f o u n d b e l o w . T h e n o n - d i m e n s i o n a l c o m p l e x f r e q u e n c y r e s p o n s e f u n c t i o n f o r m a i n m a s s d i s p l a c e m e n t i s g i v e n b y : H ( r ) = y K / P = ( A + / B ) / ( C + / D ) •* m m w h e r e A = f 2 - r 2 B = 2 7 a f r C = ( f 2 - r 2 ) ( 1 - r 2 ) - M f 2 r 2 - 4 7 7 f r 2 a m D = 2 7 r f d - r 2 - M r 2 ) + 2 7 r ( f 2 - r 2 ) a Ul T h e n o n - d i m e n s i o n a l MS d i s p l a c e m e n t o f t h e m a i n m a s s i s g i v e n b y : R U , f , 7 a , 7 m ) = ( 1/2T T) / H ( r ) H ( - r ) d r . T h e i n t e g r a l w a s r e p o r t e d b y W a r b u r t o n [ 3 6 ] . I t w a s e v a l u a t e d a g a i n t o b e c e r t a i n t h a t n o e r r o r s h a v e b e e n r e c o r d e d . T h e i n t e g r a n d w a s e v a l u a t e d w i t h t h e a i d o f a s y m b o l i c a l g e b r a p r o g r a m c a l l e d " R e d u c e " w h i c h i s a v a i l a b l e o n t h e U B C M T S c o m p u t e r n e t w o r k . T h e i n t e g r a n d w a s i n t e g r a t e d b y c a l c u l u s o f r e s i d u e i n t e g r a l t a b l e s f o u n d i n r e f e r e n c e [ 4 ] a n d [ 4 1 ] t o y i e l d : 127 128 R U ' f ' 7 a ' 7 m ) = K M , f , 7 a , 7 m ) / L ( M , f na,ym), where L ( M , f , 7 a , 7 m ) = 4 [ M f 7 | + 7 a 7 m { l " 2 f 2 + f f t ( l + / i ) 2 + 4f 2 7 f 0 + M ) + 4 f 7 = 7 T J 1+f 2(1+M) ]+4f 2 7 2 } + Mf 3 7 2 ] a a m m m K M , f , 7 a , 7 m ) = 7 a [ l - f 2 ( 2 + M ) + f ( l + M ) 2 ] + M f 3 7 m + 4 f 2 7 | ( l + M ) + 4 f 7 2 7 m [ l + f 2 d + M ) ] + 4 f 2 7 a 7 2 The o p t i m a l c o n d i t i o n s which m i n i m i z e s the MS d i s p l a c e m e n t of the main mass a r e g i v e n by: 3R/3f = 0 = 2 7 a 7 m ( l + M ) 2 f 5 + [ 3 7 a ( l + M ) 2 + M 7 2 + 4 7 2 7 2 ( l + M ) ] f + 27 a7 mfM+47f (1+M) ]f 3 + 7M47!(1+M)-(2 + ^ ) ]f 2 - 2 7 = 7 m f - 7 2 a ui a a a a m a 3 R / 3 7 a = 0 = 4 f 2 ( l + y ) 7 « + 8 f 3 7 (1+M)7 3 a m a + [ 4 7 2 f a ( l+<.)-1+f 2 ( 2 + A t)"f " ( l + ^ ) 2 37|-2Mf 3 7 m 7 a " M f fl72 These p a r t i a l d e r i v a t i v e s were a l s o checked w i t h "Reduce". These two n o n - l i n e a r e q u a t i o n s were s o l v e d s i m u l t a n e o u s l y w i t h a s t a n d a r d computer s o l u t i o n r o u t i n e f o r f ^ and opt 7 a " o p t * For the s p e c i a l c a s e of 7 m = 0 , s i m p l e s o l u t i o n s a r e as f o l l o w s : f o p t = ( 1 + ^ / 2 ) 2 / ( 1 + M ) 7 2 o p t = M(1+3M/4)/[4(1+M)(1+/I/2)] R . = (1/M)^[(1+3M / 4)/(1+M ) ] 2 

Cite

Citation Scheme:

        

Citations by CSL (citeproc-js)

Usage Statistics

Share

Embed

Customize your widget with the following options, then copy and paste the code below into the HTML of your page to embed this item in your website.
                        
                            <div id="ubcOpenCollectionsWidgetDisplay">
                            <script id="ubcOpenCollectionsWidget"
                            src="{[{embed.src}]}"
                            data-item="{[{embed.item}]}"
                            data-collection="{[{embed.collection}]}"
                            data-metadata="{[{embed.showMetadata}]}"
                            data-width="{[{embed.width}]}"
                            async >
                            </script>
                            </div>
                        
                    
IIIF logo Our image viewer uses the IIIF 2.0 standard. To load this item in other compatible viewers, use this url:
https://iiif.library.ubc.ca/presentation/dsp.831.1-0096914/manifest

Comment

Related Items