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Real time coding of hand drawn curves Szeliski, Richard Stephen 1981

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REAL TIME CODING OF HAND DRAWN CURVES by RICHARD STEPHEN SZELISKI B.Eng., M c G i l l U n i v e r i s t y , 1979 THESIS SUBMITTED IN PARTIAL FULFILMENT OF THE REQUIREMENTS FOR THE DEGREE OF MASTER OF APPLIED SCIENCE i n THE FACULTY OF GRADUATE STUDIES (Department of E l e c t r i c a l Engineering) We accept t h i s t h e s i s as conforming to the re q u i r e d standard THE UNIVERSITY OF BRITISH COLUMBIA August 1981 © Richard Stephen S z e l i s k i , 1981 In p r e s e n t i n g t h i s t h e s i s i n p a r t i a l f u l f i l m e n t of the requirements f o r an advanced degree at the U n i v e r s i t y o f B r i t i s h Columbia, I agree t h a t the L i b r a r y s h a l l make i t f r e e l y a v a i l a b l e f o r r e f e r e n c e and study. I f u r t h e r agree t h a t p e r m i s s i o n f o r e x t e n s i v e copying of t h i s t h e s i s f o r s c h o l a r l y purposes may be granted by the head o f my department o r by h i s o r her r e p r e s e n t a t i v e s . I t i s understood t h a t copying or p u b l i c a t i o n of t h i s t h e s i s f o r f i n a n c i a l gain s h a l l not be allowed without my w r i t t e n p e r m i s s i o n . Department of t /ectrica.1 £~n^; nee<-"^y The U n i v e r s i t y of B r i t i s h Columbia 2075 Wesbrook P l a c e Vancouver, Canada V6T 1W5 Date A«ju<t lo j 196/ DE-6 (2/79) A b s t r a c t This t h e s i s examines some techniques f o r the r e a l - t i m e coding of hand drawn curves. These curves are drawn on a data t a b l e t or other g r a p h i c a l input device. As they are drawn, they are coded f o r transmis s i o n over a d i g i t a l l i n k and rec o n s t r u c t e d at a r e c e i v i n g t e r m i n a l . The r e a l time requirement a l l o w s t h i s system to be used f o r i n s t a n t g r a p h i c a l communications. One p o s s i b l e a p p l i c a t i o n i s as a sketchpad f a c i l i t y to a i d telephone conferencing. The techniques examined i n v o l v e sending s e l e c t e d c o n t r o l p o i n t s along the curve, and using an i n t e r p o l a t i n g f u n c t i o n f o r r e c o n s t r u c t i o n . The i n t e r p o l a t o r used i s the two dimensional parametric cubic s p l i n e . Several members of t h i s c l a s s of fun c t i o n s are introduced and evaluated. An e x i s t i n g technique for generating the c o n t r o l p o i n t s (subsampling) i s reviewed, and a new shape dependant a l g o r i t h m i s proposed. Automated curve f i t t i n g based on information i n the o r i g i n a l curve i s examined. Test runs are made using the v a r i o u s techniques, and co n c l u s i o n s drawn. i i i T able of Contents A b s t r a c t i i Table of Contents i i i L i s t of F i g u r e s v i Acknowledgement ix 1 I n t r o d u c t i o n 1 1 . 1 O b j e c t i v e s 1 1.2 Approach 3 1.3 D e s c r i p t i o n of system 5 1.4 S t r u c t u r e of the t h e s i s 6 2 The Cubic [C 1 - Hermite] S p l i n e 9 2.1 S p l i n e f u n c t i o n s 9 2.2 The one dimensional f o r m u l a t i o n 14 2.3 The D i g i t a l D i f f e r e n t i a l Analyser 18 2.4 The two dimensional f o r m u l a t i o n 20 3 A p p l i c a t i o n s of the S p l i n e 24 3.1 F l e x i b i l i t y and v e r s a t i l i t y 24 3.2 Hand f i t t i n g and curve design 26 i v 3 . 3 A p p l i c a t i o n s t o V i d e o t e x 3 3 4 T h e H e r m i t e C u b i c I n t e r p o l a t o r 37 4 . 1 T h e p r o b l e m f o r m u l a t i o n 37 4 . 2 D e t e r m i n i n g t h e s l o p e 38 4 . 3 A p p l i c a t i o n s t o D i g i t a l S i g n a l P r o c e s s i n g 5 9 4 . 4 C o n t i n u i t y r e q u i r e m e n t s 6 3 4 . 5 C o m p a r i s o n o f t e c h n i q u e s 67 5 S e g m e n t i n g t h e C u r v e 6 8 5 . 1 S u b s a m p l i n g 6 9 5 . 2 O t h e r t e c h n i q u e s 7 3 5 . 3 D e r i v a t i v e a n d a n g l e e s t i m a t i o n 7 5 5 . 4 D i r e c t i o n a n d i n f l e c t i o n s e g m e n t a t i o n 81 5 . 5 C o r n e r d e t e c t i o n a n d r e c o n s t r u c t i o n 8 8 5 . 5 R e l a t i o n s h i p t o r e c o n s t r u c t i o n m e t h o d 9 5 6 A u t o m a t e d C u r v e F i t t i n g 9 6 6 . 1 T r a d i t i o n a l m e t h o d s 9 7 6 . 2 N o n - l i n e a r m e t h o d s 102 6 . 3 T h e i t e r a t i v e s o l u t i o n 1 0 6 6 . 4 L i m i t a t i o n s 112 7 E x p e r i m e n t s a n d R e s u l t s 1 1 5 7 . 1 E r r o r m e a s u r e s 1 1 5 7 . 2 C o m p a r i s o n o f t e c h n i q u e s 121 7 . 3 O t h e r c o d i n g t e c h n i q u e s 126 V 8 C o n c l u s i o n s 129 8.1 D i s c u s s i o n 129 8.2 A p p l i c a t i o n s 132 8.3 F u r t h e r r e s e a r c h 134 8.4 Summary 135 B i b l i o g r a p h y 137 - Appendix A: Formulas and d e r i v a t i o n s 141 A.1 The Hermite cub i c 141 A.2 The D i g i t a l D i f f e r e n t i a l Analyzer 142 A.3 The e l l i p s e drawer 144 A.4 The c i r c u l a r three p o i n t f i t 145 A.5 The polynomial f i t s 147 A. 6 The sine f i l t e r 149 A.7 The l e a s t squares f i t 151 A.8 E r r o r measure a l g o r i t h m 152 Appendix B: Sample R e s u l t s 154 v i L i s t of F i g u r e s 2.1 The broken l i n e i n t e r p o l a t o r 10 2.2 The cubi c s p l i n e i n t e r p o l a t o r 12 2.3 Mapping a segment i n t o (0,1) 15 2.4 The Hermite Cubic B a s i s f u n c t i o n s 17 2.5 The g l o b a l Hermite c u b i c b a s i s f u n c t i o n s 19 2.6 A parametric r e p r e s e n t a t i o n of a curve 21 3.1 Curvature of a plane curve 25 3.2 E f f e c t of tangent magnitude on c u r v a t u r e 27 3.3 E f f e c t of tangent d i r e c t i o n on curve shape 28 3.4 Curves designed with Hermite c u b i c s 29 3.5 Hand f i t t i n g a design curve 31 3.6 Node r e p r e s e n t a t i o n s f o r the e l l i p s e 32 3.7 E l l i p s e drawn with c u b i c segments 34 4.1 A c i r c u l a r arc through 3 p o i n t s 39 4.2 C i r c u l a r completion 41 4.3 P a r a b o l i c f i t to 3 p o i n t s 43 4.4 Be s s e l - 1D 44 4.5 Bess e l - 2D 45 4.6 Akima - 1D 47 4.7 Akima - 2D 48 4.8 Q u a r t i c , uniform mesh - 1D 50 4 .9 Q u a r t i c , uniform mesh - 2D 51 4.10 The sine f u n c t i o n 54 4.11 7 p o i n t Hanning f i l t e r - 1D 56 v i i 4.12 7 p o i n t Hanning f i l t e r - 2D 57 4.13 Smoothing e f f e c t of l e a s t - s q u a r e s 60 4.14 Least squares sl o p e s i n t e r p o l a t o r response 60 4.15 FIR sine f i l t e r impulse response 62 4.16 FIR f i l t e r i n g 62 4.17 Impulse reponse by s u p e r p o s i t i o n 64 4 . 1 8 D i s c o n t i n u i t y i n d e r i v a t i v e - 1D 66 4.19 D i s c o n t i n u i t y i n d e r i v a t i v e - 2D 66 5.1 Increase i n d e n s i t y near c o r n e r s (subsampling) 70 5.2 Subsampling - 4 d i f f e r e n t r a t e s 72 5.3 Reumann and Witkam's s t r i p s of t o l e r a n c e 74 5.4 W i l l i a m s ' angle measure 74 5.5 Curve d e r i v a t i v e and angle measure 76 5.6 Least squares f i t 78 5.7 Treatment of end p o i n t d e r i v a t i v e s 78 5.8 Mapping t r a n s f o r m a t i o n s f o r a r c t a n f u n c t i o n 80 5.9 Segmentation based on d i r e c t i o n angle change 82 5.10 Segmentation for 3 d i f f e r e n t angle t h r e s h o l d s 82 5.11 Q u a r t i c f i t to sampled p o i n t s 83 . 5.12 Optimal f i t to sampled p o i n t s 84 5.13 E f f e c t of missing i n f l e c t i o n p o i n t s 86 5.14 T h r e s h o l d i n g used in d e t e c t i n g i n f l e c t i o n p o i n t s 86 5.15 Rounding of c o r n e r s d u r i n g i n t e r p o l a t i o n 87 5.16 M i s l o c a t i o n of a corner 90 5.17 A corner i s a l o c a l extremum of G' 90 5.18 S t a r t i n g the segmentation search beyond the corner ... 92 5.19 Segmentation with corner d e t e c t i o n 93 v i i i 5.20 A segmented fragment of s c r i p t 94 6.1 Smoothing f i t of a c u b i c p i e c e — 1 dimension 98 6.2 Decomposing an x-y curve i n t o i t s x and y components 100 6.3 I n c o r r e c t f i t obtained from above 101 6.4 A l t e r n a t e decomposition 101 6.5 Curvature d e r i v e d from 3 p o i n t s 103 6.6 D i s t a n c e measured p e r p e n d i c u l a r to the chord 105 6.7 The orthogonal c o o r d i n a t e s (u,v) 108 6.8 C o n t r o l of the i t e r a t i o n 111 6.9 Antisymmetric tangents on a c i r c u l a r a r c 111 6.10 Overshoot due to non-symmetric curve f i t t i n g 113 7.1 P o i n t s i n o r i g i n a l and r e c o n s t r u c t e d drawings 116 7.2 D i s t a n c e measure used to compare curves 118 7.3 V i s u a l e f f e c t s vs. absolute e r r o r 120 7.4 Chain encoding 127 i x A c k n o w l e d g e m e n t I w o u l d l i k e t o l i k e t o t h a n k D r . M a b o R . I t o f o r h i s g u i d a n c e a n d e n c o u r a g e m e n t t h r o u g h o u t t h e c o u r s e o f t h i s w o r k . I w o u l d l i k e t o t h a n k D r . U r i A s c h e r f o r a g r e e i n g t o r e a d my m a n u s c r i p t a n d f o r p r o v i d i n g h i s v a l u a b l e s u g g e s t i o n s a n d c o r r e c t i o n s . I w o u l d a l s o l i k e t o t h a n k D r . D a v i d B e n j a m i n a n d D r . S e y m o u r S h l i e n f o r t h e i r h e l p f u l s u g g e s t i o n s a n d p r o v i s i o n s o f r e l e v a n t r e f e r e n c e s . I g r a t e f u l l y a c k n o w l e d g e t h e f i n a n c i a l a s s i s t a n c e o f t h e N a t u r a l S c i e n c e s a n d E n g i n e e r i n g R e s e a r c h C o u n c i l o f C a n a d a i n t h e f o r m o f a P o s t g r a d u a t e S c h o l a r s h i p a n d u n d e r t h e g r a n t A 9 0 5 4 . I a l s o a c k n o w l e d g e t h e f i n a n c i a l a s s i s t a n c e o f a T e a c h i n g A s s i s t a n t s h i p f r o m t h e U n i v e r s i t y o f B r i t i s h C o l u m b i a . I am g r a t e f u l f o r a l l t h e h e l p a n d a d v i c e g i v e n t o me b y my f e l l o w g r a d u a t e s t u d e n t s , a n d f o r t h e i n s p i r a t i o n t h a t v a r i o u s p r o f e s s o r s a n d t e a c h e r s h a v e b e e n t o me i n t h e p a s t . 1 C h a p t e r 1 I n t r o d u c t i o n T h e p r o b l e m o f c o d i n g l i n e d r a w i n g s i s o n e t h a t h a s b e e n s t u d i e d i n t h e f i e l d o f c o m p u t e r g r a p h i c s f o r m a n y y e a r s . L i n e d r a w i n g s a r e s t i l l o n e o f t h e p r i m a r y m e a n s o f i n t e r p e r s o n a l c o m m u n i c a t i o n s . T h e e f f i c i e n t c o d i n g o f t h e s e i s n e c e s s a r y b o t h f o r s t o r a g e a n d f o r t r a n s m i s s i o n . S y s t e m s t h a t p e r f o r m t h e t r a n s m i s s i o n o f g r a p h i c a l d a t a a l l o w p e o p l e i n r e m o t e l o c a t i o n s t o e n g a g e i n g r a p h i c a l c o m m u n i c a t i o n s . T h i s t h e s i s a d d r e s s e s a s u b p r o b l e m o f t h e g e n e r a l l i n e d r a w i n g c o d i n g p r o b l e m . I n p a r t i c u l a r , i t i s d e s i r e d t o a u t o m a t i c a l l y a n d e f f i c i e n t l y c o d e h a n d d r a w n c u r v e s i n r e a l t i m e , s o t h a t t h e y c a n b e r e c o n s t r u c t e d n e a r - i n s t a n t a n e o u s l y a t t h e r e m o t e r e c e i v i n g l o c a t i o n . T h i s t y p e o f s y s t e m w o u l d a l l o w i n t e r a c t i v e g r a p h i c a l c o m m u n i c a t i o n s b e t w e e n p e o p l e i n s e p a r a t e l o c a t i o n s — a t y p e o f l o n g - d i s t a n c e s k e t c h p a d . 1.1 O b j e c t i v e s I n a c l a s s i c p a p e r o n t h e " C o m p u t e r P r o c e s s i n g o f L i n e - D r a w i n g I m a g e s " [ 2 3 ] , F r e e m a n p o i n t s o u t m a n y o f t h e b a s i c p h i l o s o p h i c a l a n d t h e o r e t i c a l c o n s i d e r a t i o n s u n d e r l y i n g s u c h p r o c e s s i n g . W h a t i s a c t u a l l y b e i n g p r o c e s s e d i s " t h e i n f o r m a t i o n c o n v e y e d b y t h e l i n e d r a w i n g " a n d i t i s t h i s i n f o r m a t i o n w h i c h m u s t b e p r e s e r v e d b y a c o d i n g / d e c o d i n g s y s t e m . 2 F r e e m a n p o i n t s o u t t h a t l i n e d r a w i n g s c a n o r i g i n a t e f r o m t h r e e s o u r c e s : a b s t r a c t g e o m e t r i c a l m o d e l s , t r a c i n g , a n d t w o d i m e n s i o n a l ( h a l f t o n e ) i m a g e s . T h i s t h e s i s r e s t r i c t s i t s e l f t o t h o s e c u r v e s d e r i v e d b y t r a c i n g , i . e . h a n d d r a w n c u r v e s . S o m e o f t h e r e s u l t s o b t a i n e d w i l l a l s o b e s e e n t o h a v e a p p l i c a t i o n s i n t h e a r e a o f d i s p l a y o f g e o m e t r i c c u r v e s [ 3 5 ] [ 4 6 ] . B o t h t h e s t o r a g e a n d t h e t r a n s m i s s i o n o f l i n e d r a w i n g s a r e c l a s s i f i e d b y F r e e m a n a s t y p e s o f m a n i p u l a t i o n , s i n c e b o t h t h e i n p u t s a n d o u t p u t s o f t h e p r o c e s s e s a r e t h e m s e l v e s l i n e d r a w i n g s . T h u s , w h i l e t h e p r i m a r y t h r u s t i s t o w a r d s t h e e f f i c i e n t c o d i n g o f s u c h p i c t u r e s f o r t r a n s m i s s i o n , t h e m a n i p u l a t i o n o f t h e s e o b j e c t s i s a l s o o f i n t e r e s t . F o r t h e s e r e a s o n s , c o n s i d e r a t i o n s s u c h a s i m p l e m e n t a t i o n a n d r e s o l u t i o n i n d e p e n d e n c e a r e i m p o r t a n t . A n y s c h e m e t h a t r e p r e s e n t s l i n e d r a w i n g s i n s i d e a c o m p u t e r m u s t d o s o i n t e r m s o f g e o m e t r i c p r i m i t i v e s , b e t h e y s t r a i g h t - l i n e s e g m e n t s , a r c s o r s p e c i a l c u r v e s s u c h a s s p l i n e s . T h e p r o c e s s o f g o i n g f r o m t h e a c t u a l i n p u t d r a w i n g t o a n i n t e r n a l r e p r e s e n t a t i o n n e c e s s a r i l y i n v o l v e s q u a n t i z a t i o n . T h u s , t h e r e c o n s t r u c t e d d r a w i n g c a n n e v e r b e a p e r f e c t r e p r o d u c t i o n o f t h e o r i g i n a l . H o w e v e r , i f t h e i n f o r m a t i o n c o n t a i n e d i n t h e d r a w i n g i s n o t l o s t o r d i s t o r t e d , t h e n t h e m e t h o d h a s s u c c e e d e d . 3 T h e p r o b l e m o f c o d i n g t w o d i m e n s i o n a l c u r v e s i s d i f f e r e n t f r o m t h a t o f o n e d i m e n s i o n a l w a v e f o r m c o d i n g , a l t h o u g h a r e a s o f o v e r l a p d o o c c u r . T h e n e c e s s i t y o f u s i n g a p a r a m e t r i c f o r m f o r t h e c u r v e i n t r o d u c e s n e w c o n s i d e r a t i o n s . T h e c o d i n g o f h a n d d r a w n c u r v e s a l s o d i f f e r s f r o m t h e c o d i n g o f o t h e r c u r v e s ( s u c h a s c o n t o u r p l o t s ) i n t h a t s e q u e n t i a l a n d t i m e i n f o r m a t i o n i s a v a i l a b l e . S o m e o f t h e s e g m e n t a t i o n t e c h n i q u e s ( s u b s a m p l i n g ) w i l l t a k e a d v a n t a g e o f t h i s , w h i l e o t h e r s w i l l t r y t o u s e o n l y s h a p e i n f o r m a t i o n . H y b r i d t e c h n i q u e s a r e o f c o u r s e p o s s i b l e . T h e o b j e c t i v e o f t h i s r e s e a r c h , t h e n , i s t o e x a m i n e t e c h n i q u e s f o r t h e r e a l - t i m e c o d i n g o f h a n d d r a w n c u r v e s . P r e s e r v a t i o n o f t h e i n f o r m a t i o n i n t h e d r a w i n g ( " t h e s i g n i f i c a n t f e a t u r e s " [ 2 2 ] ) i s t h e p r i m a r y c o n s i d e r a t i o n . T h u s , f i d e l i t y m u s t b e t r a d e d o f f a g a i n s t e f f i c i e n c y o f c o d i n g . S o m e o f t h e t e c h n i q u e s i n v e s t i g a t e d w i l l u s e t h e s e q u e n t i a l i n f o r m a t i o n a v a i l a b l e f r o m t h e t r a c i n g s . A p p l i c a t i o n s o f t h e s e t e c h n i q u e s o u t s i d e t h e a r e a o f c u r v e c o d i n g w i l l a l s o b e d i s c u s s e d . 1.2 A p p r o a c h T h e p r o b l e m o f c o d i n g c u r v e s f o r e f f i c i e n t s t o r a g e a n d t r a n s m i s s i o n h a s b e e n e x a m i n e d p r e v i o u s l y . H o w e v e r , s i n c e t h e a p p r o a c h e s u s e d h a v e b e e n d i f f e r e n t f r o m t h a t p r e s e n t e d h e r e , t h e b a s i c m e t h o d u s e d s h o u l d b e e x p l a i n e d a n d s i t u a t e d i n t h e c o n t e x t o f t h e p r e v i o u s w o r k . 4 T h e t e c h n i q u e u s e d i s t o s e g m e n t t h e c u r v e f o r c o d i n g , u s i n g t h e b r e a k p o i n t s o f t h e s e g m e n t a t i o n a s t h e d a t a p o i n t s t h a t a r e s e n t . A n i n t e r p o l a t o r - a c u r v e t h a t p a s s e s t h r o u g h t h e p o i n t s — i s t h e n u s e d t o r e c o n s t r u c t t h e p i c t u r e . T h e g e n e r a t i o n o f t h e c o n t r o l p o i n t s i s b o t h a u t o m a t e d a n d r e a l - t i m e . S o m e o f t h e p r e v i o u s w o r k h a s r e l i e d o n u s e r i n t e r a c t i o n t o a i d t h e c o m p u t e r i n t h e p l a c e m e n t o f c o n t r o l p o i n t s [ 3 ] [ 6 ] [ 3 0 ] . T h e p r o b l e m o f f i t t i n g a s p l i n e w i t h v a r i a b l e k n o t s h a s a l s o b e e n w i d e l y e x a m i n e d , b u t t h i s i s a n o f f - l i n e i t e r a t i v e t e c h n i q u e . S o m e s i m p l e s e g m e n t a t i o n p r o c e d u r e s h a v e b e e n p r o p o s e d [ 4 1 ] [ 4 7 ] , b u t t h e s e a r e d e s i g n e d f o r l i n e a r i n t e r p o l a t i o n . A s F r e e m a n p o i n t s o u t , a d e c i s i o n m u s t b e m a d e a s t o w h e t h e r t h e s e g m e n t s s h o u l d " b e l a r g e a n d f e w i n n u m b e r , o r s h o u l d t h e y b e s m a l l a n d g r e a t e r i n n u m b e r " [ 2 3 ] . T h e a p p r o a c h t a k e n h e r e i s t o a d d c o m p l e x i t y t o t h e i n t e r p o l a t i n g a l g o r i t h m i n o r d e r t o a l l o w a s m a l l n u m b e r o f p o i n t s t o b e s e n t . T h i s i s t h e a p p r o a c h o p p o s i t e t o t h a t o f c h a i n e n c o d i n g t a k e n b y F r e e m a n . S o m e t e c h n i q u e s f o r r e c o n t r u c t i o n i n v o l v e s m o o t h i n g . S u c h a p p r o a c h e s i n c l u d e q u a d r a t i c B - s p l i n e s [ 3 ] [ 3 0 ] , a n d t h e m i n i m u m - e n e r g y c u r v e a s s o c i a t e d w i t h c h a i n e n c o d i n g [ 2 2 ] , T h e i n t e r p o l a t i n g a p p r o a c h i n c l u d e s t h e s i m p l e l i n e a r i n t e r p o l a n t , a n d m o r e s o p h i s t i c a t e d t e c h n i q u e s s u c h a s F I R f i l t e r i n g [ 4 6 ] . 5 T h e i n t e r p o l a n t u s e d h e r e i s a s p e c i a l c a s e o f t h e c u b i c • s p l i n e . T h e a p p r o a c h c a n t h u s b e s u m m a r i z e d a s f o l l o w s . A s t h e o r i g i n a l c u r v e i s d r a w n , c o n t r o l p o i n t s a r e p e r i o d i c a l l y g e n e r a t e d a n d s e n t a l o n g t h e d a t a l i n k . A t t h e r e c e i v i n g e n d , t h e s e p o i n t s a r e i n t e r p o l a t e d , u s i n g a c u b i c s p l i n e b a s e d i n t e r p o l a t o r , w i t h o n l y a s m a l l n u m b e r o f p o i n t s n e e d e d t o d e f i n e t h e i n t e r p o l a t o r . 1 . 3 D e s c r i p t i o n o f s y s t e m A n a t t e m p t w a s m a d e t o k e e p t h e r e s e a r c h a s h a r d w a r e i n d e p e n d e n t a s p o s s i b l e . E v e n s o , t h e h a r d w a r e u s e d s h o u l d b e d e s c r i b e d . T h e b u l k o f t h e r e s e a r c h w a s d o n e o n a N o v a 8 4 0 1 6 - b i t m i n i c o m p u t e r r u n n i n g u n d e r R D O S . T h e g r a p h i c a l i n p u t d e v i c e i s a C o m p u t e k d a t a t a b l e t a t t a c h e d t h r o u g h a c u s t o m i n t e r f a c e t o t h e m i n i c o m p u t e r . T h e m a x i m u m s a m p l i n g r a t e o f t h e t a b l e t i s 1 0 0 H z . F o r t h i s r e s e a r c h , t h e s a m p l i n g w a s d o n e u n d e r s o f t w a r e c o n t r o l . T h e r e s o l u t i o n o f t h e t a b l e t i s 10 b i t s , w h i c h i s c o n v e r t e d t o 12 b i t s f o r s t o r a g e a n d m a n i p u l a t i o n . T h e o u t p u t d e v i c e i s a M e g a t e k 7 0 0 0 v e c t o r d i s p l a y u n i t w i t h 12 b i t r e s o l u t i o n . S i n c e t h e M e g a t e k 7 0 0 0 i s a r e f r e s h a n d n o t a s t o r a g e d e v i c e , r e a l - t i m e a n i m a t i o n ( f o r s u c h a p p l i c a t i o n s a s c u r v e d e s i g n a n d f i t t i n g ) i s p o s s i b l e . T h e s o f t w a r e w a s w r i t t e n i n F O R T R A N , w i t h s p e c i a l F O R T R A N c a l l a b l e l i b r a r y r o u t i n e s f o r t h e g r a p h i c s . T h e s o f t w a r e 6 d e v e l o p m e n t w a s k e p t m o d u l a r . S e p a r a t e p r o g r a m s w e r e w r i t t e n f o r a c q u i r i n g d r a w i n g s f r o m t h e t a b l e t , s e g m e n t i n g a n d c o d i n g t h e p i c t u r e s i n v a r i o u s w a y s , c a l c u l a t i n g t h e d e r i v a t i v e s , r e c o n s t r u c t i n g t h e d r a w i n g s u s i n g i n t e r p o l a t i o n , g e n e r a t i n g t h e e r r o r m e a s u r e s , a n d d i s p l a y i n g t h e d r a w i n g s o n t h e o u t p u t d e v i c e . T h e a c t u a l p l o t s , f i g u r e s , g r a p h s a n d t a b l e s i n c l u d e d i n t h i s t h e s i s w e r e g e n e r a t e d u s i n g t h e m a i n U B C c o m p u t i n g f a c i l i t y , a n A m d a h l V - 8 r u n n i n g u n d e r M T S . A l l g r a p h i c a l o u t p u t w a s d r a w n o n C a l c o m p a n d H o u s t o n p l o t t e r s , h a v i n g b e e n g e n e r a t e d w i t h t h e I n t e g r a t e d G r a p h i c s ( * I G ) p a c k a g e o f F O R T R A N c a l l a b l e g r a p h i c s r o u t i n e s a v a i l a b l e o n M T S . I n t h o s e c a s e s w h e r e a c t u a l d r a w i n g s r e s i d i n g o n t h e N o v a h a d t o b e r e p r o d u c e d , t h e c o d e d d a t a w a s t r a n s f e r r e d t o t h e M T S s y s t e m t h r o u g h a n i n t e r p r o c e s s o r l i n k ( H D L C ) . A * I G p r o g r a m w a s t h e n w r i t t e n t o c o n v e r t t h e c o d e d d r a w i n g s i n t o a f o r m s u i t a b l e f o r t h e p l o t t e r s . 1 . 4 S t r u c t u r e o f t h e t h e s i s T h e r e m a i n d e r o f t h e t h e s i s i s s t r u c t u r e d a s f o l l o w s . C h a p t e r 2 i n t r o d u c e s t h e C 1 c u b i c s p l i n e a n d t h e H e r m i t e b a s i s r e p r e s e n t a t i o n . A s i m p l e a l g o r i t h m f o r c a l c u l a t i n g t h e c u b i c s e g m e n t s i s g i v e n , a n d t h e t w o d i m e n s i o n a l p a r a m e t r i c r e p r e s e n t a t i o n i s p r e s e n t e d a n d d i s c u s s e d . 7 C h a p t e r 3 p r e s e n t s s o m e o f t h e a p p l i c a t i o n s o f t h i s s p l i n e . T h e v e r s a t i l i t y o f t h e s p l i n e i n i t s p a r a m e t r i c r e p r e s e n t a t i o n m a k e s i t u s e f u l f o r c u r v e d e s i g n a n d c u r v e d r a w i n g . A p p l i c a t i o n s t o V i d e o t e x a r e a l s o g i v e n , w i t h t h e s p l i n e b e i n g p r o p o s e d a s a new g e o m e t r i c p r i m i t i v e . C h a p t e r 4 e l a b o r a t e s o n t h e C 1 c u b i c s p l i n e a s a n i n t e r p o l a t o r f o r b o t h o n e a n d t w o d i m e n s i o n a l d a t a . V a r i o u s o l d a n d n e w t e c h n i q u e s f o r d e t e r m i n i n g t h e d e r i v a t i v e a t t h e n o d e s a r e p r e s e n t e d , c o m p a r e d a n d e v a l u a t e d . C h a p t e r 5 d e a l s w i t h t h e p r o b l e m o f c u r v e s e g m e n t a t i o n . S u b s a m p l i n g i s r e v i e w e d a n d i s f o u n d t o b e a g o o d t e c h n i q u e . A new a l g o r i t h m f o r s h a p e d e p e n d e n t s e g m e n t a t i o n i s t h e n p r e s e n t e d a n d d i s c u s s e d . C h a p t e r 6 s h o w s h o w c u r v e f i t t i n g c a n b e a u t o m a t e d f o r t h e c u r v e c o d i n g p r o b l e m , t o a c h i e v e a g o o d f i t w i t h o u t u s e r i n t e r a c t i o n . A t r a d i t i o n a l ( n o n - p a r a m t e r i c ) a p p r o a c h i s r e v i e w e d a n d f o u n d t o b e u n s u i t a b l e . A n e w t e c h n i q u e i s i n t r o d u c e d a n d d i s c u s s e d . C h a p t e r 7 p r e s e n t s t h e r e s u l t s o f t h i s r e s e a r c h . C r i t e r i a f o r e v a l u a t i n g t h e c o d i n g t e c h n i q u e s a r e d i s c u s s e d , a n d a n e r r o r m e a s u r i n g a l g o r i t h m i s p r e s e n t e d . T h e r e s u l t s o f t h e t e s t r u n s m a d e u s i n g t h e v a r i o u s t e c h n i q u e s a r e t h e n d i s c u s s e d , a n d t h e b e t t e r m e t h o d s a n d v a r i a t i o n s a r e s e l e c t e d . T h e b e s t c o d i n g 8 m e t h o d s t o e m e r g e f r o m t h i s r e s e a r c h a r e t h u s i d e n t i f i e d . C h a p t e r 8 c o n t a i n s t h e c o n c l u s i o n s . I t s u m m a r i z e s t h e b e s t m e t h o d s d e v e l o p p e d d u r i n g t h i s r e s e a r c h , a n d d i s c u s s e s t h e i r r e l a t i v e m e r i t s . A p p l i c a t i o n s o f t h e a l g o r i t h m s a n d t e c h n i q u e s a r e t h e n d i s c u s s e d , a n d r e c o m m e n d a t i o n s m a d e a s t o t h e i r a d o p t i o n . F i n a l l y , a r e a s f o r f u r t h e r r e s e a r c h a r e m e n t i o n e d . T h e t h e s i s a l s o c o n t a i n s t w o a p p e n d i c e s . A p p e n d i x A c o n t a i n s t h e d e r i v a t i o n s a n d s u m m a r i e s o f t h e f o r m u l a s a n d a l g o r i t h m s t h a t a r e u s e d . A p p e n d i x B c o n t a i n s a n i l l u s t r a t i v e s a m p l e o f t h e r e s u l t s t h a t w e r e o b t a i n e d f r o m t e s t r u n s m a d e o n t h e c o d i n g / r e c o n s t r u c t i o n a l g o r i t h m s ( a s d i s c u s s e d i n C h a p t e r 7 ) . T h e e r r o r p e r f o r m a n c e o f v a r i o u s t e c h n i q u e s i s g i v e n b o t h i n t a b u l a r a n d g r a p h i c a l f o r m , a n d a c t u a l r e c o n s t r u c t e d d r a w i n g s a r e s h o w n f o r c o m p a r a t i v e p u r p o s e s . 9 C h a p t e r 2 T h e C u b i c [ C 1 - H e r m i t e ] S p l i n e T h i s c h a p t e r p r e s e n t s t h e c u b i c s p l i n e . T h i s f u n c t i o n w i l l b e u s e d a s t h e i n t e r p o l a t i n g f u n c t i o n f o r t h e r e s e a r c h d e s c r i b e d i n t h i s t h e s i s . T h e H e r m i t e c u b i c i s i n t r o d u c e d a s a s p e c i a l c a s e o f " s p l i n e s " . B o t h t h e o n e - a n d t w o - d i m e n s i o n a l f o r m u l a t i o n s a r e p r e s e n t e d . 2 . 1 S p l i n e f u n c t i o n s T h e c u b i c s p l i n e i s a s i m p l e m e m b e r o f a c l a s s o f g e n e r a l f u n c t i o n s c a l l e d " s p l i n e s " . T h e s e f u n c t i o n s w e r e f i r s t e x a m i n e d b y m a t h e m a t i c i a n s i n t h e 1 9 4 0 ' s . T h e y h a v e b e e n u s e d e x t e n s i v e l y s i n c e t h e 1 9 6 0 ' s i n s u c h d i v e r s e f i e l d s a s c u r v e f i t t i n g , i n t e r p o l a t i o n a n d f i n i t e - e l e m e n t m e t h o d s . S p l i n e s a r e f u n c t i o n s t h a t a r e c o m p o s e d o f p o l y n o m i a l p i e c e s o f o r d e r k ( t h e h i g h e s t o r d e r t e r m i s o f d e g r e e < k ) . T h e r e a r e o t h e r f u n c t i o n s c a l l e d g e n e r a l i z e d s p l i n e s t h a t n e e d n o t c o n s i s t o f p o l y n o m i a l p i e c e s [ 1 ] [ 1 2 ] , T h e s e a r e f a r t o o c o m p l e x n u m e r i c a l l y f o r t h e e x t r a f l e x i b i l i t y t h a t t h e y a f f o r d i n o u r a p p l i c a t i o n , a n d t h e y w i l l n o t b e e x a m i n e d . A s i m p l e c a s e o f a s p l i n e i s a b r o k e n - l i n e i n t e r p o l a t o r ( F i g . 2 . 1 ) . A c u b i c s p l i n e i s a s p l i n e o f o r d e r 4 . T h e f u n c t i o n c o n s i s t s o f a c u b i c s e g m e n t b e t w e e n e a c h p a i r o f b r e a k p o i n t s . F i g . 2.1 T h e b r o k e n l i n e i n t e r p o l a t o r T h i s i s a s i m p l e e x a m p l e o f a s p l i n e f u n c t i o n . 11 M a n y a u t h o r s u s e t h e t e r m " s p l i n e " f o r s u c h a f u n c t i o n w h i c h i s c o n t i n u o u s i n i t s f i r s t k - 1 d e r i v a t i v e s . S u c h a f u n c t i o n w i l l b e r e f e r r e d t o h e r e a s a " s m o o t h s p l i n e " . S p l i n e f u n c t i o n s o f v a r i o u s o r d e r s a n d c o n t i n u i t y c o n d i t i o n s a r e u s e d f o r m a n y d i f f e r e n t a p p l i c a t i o n s . D e s c r i p t i o n s o f t h e s e , a n d m o r e d e t a i l e d m a t h e m a t i c a l f o r m u l a t i o n s , c a n b e f o u n d i n a n y s t a n d a r d r e f e r e n c e o n s p l i n e s [ 1 ] [ 1 7 ] [ 4 5 ] . F o r t h e p u r p o s e s o f t h i s r e s e a r c h , a s w i l l b e s h o w n l a t e r , t h e c u b i c s p l i n e i s o f s u f f i c i e n t f l e x i b i l i t y w i t h o u t b e i n g u n n e c e s s a r i l y c o m p l e x . O n e o f t h e k e y s u b - p r o b l e m s w h i c h m u s t b e s o l v e d i n r e c o n s t r u c t i n g a c o d e d ( s a m p l e d ) d r a w i n g c a n b e s t a t e d a s " G i v e n N d a t a p o i n t s , p a s s a s m o o t h c u r v e t h r o u g h t h e m . " T h i s c a n b e r e f e r r e d t o a s t h e i n t e r p o l a t i o n p r o b l e m . I n t h e c a s e o f t h e c u b i c s p l i n e , i t i s n a t u r a l ( a n d s i m p l e ) t o c h o o s e t h e b r e a k p o i n t s t o c o r r e s p o n d t o t h e d a t a p o i n t s . T h u s , o n a n y o f t h e s u b i n t e r v a l s ( x x , X i + 1 ) w h e r e t h e { ( x x , F ( x i ) } a r e t h e d a t a p o i n t s , we h a v e a c u b i c p o l y n o m i a l ( F i g . 2 . 2 ) . E a c h c u b i c p o l y n o m i a l f ^ ( x ) = a i 3 x 3 + a i 2 x 2 + a x l x + a \ . 0 h a s 4 p a r a m e t e r s { a ^ j } . T h e r e a r e t h u s 4 ( N - 1 ) p a r a m e t e r s t o b e d e t e r m i n e d . F o r i n t e r p o l a t i o n , we m u s t h a v e 12 F i g . 2.2 The c u b i c s p l i n e i n t e r p o l a t o r A p i e c e w i s e - c u b i c f u n c t i o n tha t passes through the data po in ts , . 13 f i ( x i ) = F i a n d f i ( x x + 1 ) = F x + 1 i = 1 , 2 , . . . , N . T h i s t i e s u p t w o p a r a m e t e r s o n e a c h s e g m e n t , l e a v i n g 2 ( N - 1 ) f r e e . T h e " s m o o t h s p l i n e " r e q u i r e s t h a t t h e f i r s t a n d s e c o n d d e r i v a t i v e s b e c o n t i n u o u s . T h i s y i e l d s t h e c o n d i t i o n s f l ( x t+ 1 ) = f 'i+ 1 ( x ^ + ! ) a n d f Y ( x x + , ) = f \l , ( x x + , ) i = 1 , 2 , . . . , N - 2 . T h i s l e a v e s t w o f r e e p a r a m e t e r s , w h i c h a r e u s u a l l y s e t b y g i v i n g v a l u e s t o f ' ( a ) = f ' ( x , ) a n d f ( b ) = f ' ( x N ) . T h e s m o o t h s p l i n e h a s s e v e r a l p r o p e r t i e s t h a t m a k e i t a p o p u l a r c h o i c e f o r i n t e r p o l a t i o n . I t h a s t h e s m o o t h n e s s p r o p e r t y o f m i n i m i z i n g t h e i n t e g r a l n o r m o f t h e s e c o n d d e r i v a t i v e [ 1 8 ] , a n d h a s g r e a t e r a c c u r a c y t h a n m e t h o d s s u c h a s B e s s e l t h a t a r e p r e s e n t e d l a t e r . H o w e v e r , t h e c a l c u l a t i o n o f t h e s p l i n e r e q u i r e s a l l N p o i n t s t o b e a v a i l a b l e . T h i s p r e c l u d e s i t s u s e f o r t h e c u r v e - c o d i n g a p p l i c a t i o n . S o m e r e c e n t a d v a n c e s i n s p l i n e f i t t i n g [ 2 9 ] [ 3 1 ] h a v e s i m p l i f i e d t h e s e c a l c u l a t i o n s , b u t n o t s u f f i c i e n t l y f o r o u r a p p l i c a t i o n . T h e p i e c e w i s e - c u b i c t h a t w i l l b e u s e d i s v a r i o u s l y k n o w n a s t h e H e r m i t e c u b i c o r C 1 c u b i c s p l i n e [ 4 5 , p p . 2 4 - 2 9 ] ( C 1 r e f e r s t o f i r s t o r d e r c o n t i n u i t y ) . I n a d d i t i o n t o i n t e r p o l a t i o n , f i r s t d e r i v a t i v e c o n t i n u i t y i s a l s o r e q u i r e d . 14 f ' i ( x u i ) = f ' i + i ( x i + 1 ) i = 1 , 2 , . . . , N - 2 T h e s e N s l o p e s , { f ' ( x ^ ) , i = 1 , 2 , . . . , N } , c a n t h e n b e c h o s e n a s t h e f r e e p a r a m e t e r s . H e r e a r i s e s t h e f u n d a m e n t a l s p l i t i n t h e c o d i n g a p p r o a c h e s u s e d i n t h i s r e s e a r c h . T h e f i r s t a p p r o a c h i s t o s e n d t h e s a m p l e ( d a t a ) p o i n t s o n l y . T h e r e c o n s t r u c t i o n a l g o r i t h m ( i n t e r p o l a t o r ) m u s t t h e n d e t e r m i n e r e a s o n a b l e s l o p e v a l u e s f o r e a c h F{ , a n d t h e n d r a w t h e c u b i c s . M e t h o d s f o r d o i n g t h i s a r e i n v e s t i g a t e d i n C h a p t e r 4 . T h e s e c o n d a p p r o a c h i s t o h a v e a s o p h i s t i c a t e d f i t t i n g a l g o r i t h m t h a t d e t e r m i n e s t h e o p t i m a l s l o p e s f r o m t h e i n p u t d r a w i n g a n d s e n d s t h e s e a l o n g w i t h t h e s a m p l e p o i n t s . A s i m p l e r e c e i v i n g t e r m i n a l c a n t h e n d r a w t h e c u b i c s . B o t h a p p r o a c h e s w i l l b e i n v e s t i g a t e d , a n d c o m p a r i s o n s d r a w n . 2 . 2 T h e o n e d i m e n s i o n a l f o r m u l a t i o n A s c a n b e s e e n f r o m t h e a b o v e d i s c u s s i o n , d r a w i n g t h e i n t e r p o l a t i n g c u r v e w i l l c o n s i s t o f d r a w i n g a c o n n e c t e d s e t o f c u b i c s e g m e n t s w h o s e t w o e n d p o i n t v a l u e s a n d s l o p e v a l u e s a r e k n o w n . T o s i m p l i f y m a t t e r s , we w i l l m a p a n y s e g m e n t ( x i , X ( + 1 ) i n t o ( 0 , 1 ) . T h i s n o r m a l i z i n g t r a n s f o r m a t i o n ( F i g . 2 . 3 ) i s a c h i e v e d b y r e t a i n i n g t h e d a t a v a l u e s a n d m u l t i p l y i n g t h e s l o p e v a l u e s b y F i g . 2 . 3 M a p p i n g a s e g m e n t i n t o ( 0 , 1 ) T h i s n o r m a l i s i n g f u n c t i o n i s a c h i e v e d b y m u l t i p l y i n g t h e f s b y d - . 16 d i - x l + , x -i. G i v e n t h e c u b i c w i t h t h e e n d c o n d i t i o n s g ( 0 ) , g ( D , g ' ( 0 ) a n d g ' ( 1 ) t h e c u b i c t h a t m a t c h e s t h e s e i s g ( t ) = [ 2 g ( 0 ) - 2 g ( l ) + g ' ( 0 ) + g ' ( D ] t 3 + [ 3 g ( D - 3 g ( 0 ) - 2 g ' ( 0 ) - g ' ( 1 ) ] t 2 + g ' ( 0 ) t + g ( 0 ) A f a r m o r e e l e g a n t r e p r e s e n t a t i o n i n v o l v e s t h e u s e o f b a s i s f u n c t i o n s , w h i c h a r e a l s o k n o w n a s b l e n d i n g f u n c t i o n s [ 4 ] [ 2 0 ] . T h e c u b i c b a s i s f u n c t i o n s a r e d e f i n e d a s • * 0 ( t ) = ( 2 t + 1 ) ( 1 - t ) 2 * , ( t ) = t (1 - t ) 2 T h e s e a r e s h o w n i n F i g . 2 . 4 , a n d h a v e t h e f o l l o w i n g p r o p e r t i e s : * i < i ' ( 0 ) = 6 i j i , j e { 0 , 1 } , f ( ' : j t h d e r i v a t i v e o f f • i l i > ( 1 ) = 0 T h i s o r t h o g o n a l i t y i s a g e n e r a l p r o p e r t y o f c a r d i n a l b a s e s . A m o r e d e t a i l e d d i s c u s s i o n o f t h e s e c a n b e f o u n d i n [ 2 0 ] , T h e r e p r e s e n t a t i o n o f t h e c u b i c i s t h e n v e r y s i m p l e : g ( t ) = g ( o ) * 0 ( t ) + g ( 1 ) * 0 d - t ) + g ' ( 0 ) * , ( t ) - g ' ( 1 ) * , ( 1 - t ) T h e l o c a l c o n s t r u c t i o n p r o p e r t y o f t h e H e r m i t e b a s i s i s o n e o f i t s a d v a n t a g e s o v e r o t h e r b a s e s s u c h a s B - s p l i n e s . T h e * l ( t ) g . 2 . 4 T h e H e r m i t e C u b i c B a s i s f u n c t i o n s 18 p a r a m e t e r s t h a t c o n t r o l t h e f u n c t i o n b e h a v i o u r a r e t h e f u n c t i o n v a l u e a n d t h e f i r s t d e r i v a t i v e v a l u e . T h i s a l l o w s f o r a g o o d v i s u a l r e p r e s e n t a t i o n o f t h e e f f e c t o f e a c h o f t h e f o u r p a r a m e t e r s . I t w i l l b e u s e d a g a i n w h e n t h e t w o - d i m e n s i o n a l f o r m u l a t i o n i s i n t r o d u c e d . T h e a b o v e r e p r e s e n t a t i o n i s a l o c a l o n e . A n e q u i v a l e n t g l o b a l r e p r e s e n t a t i o n c a n b e d e r i v e d [ 1 ] [ 2 1 ] w h e r e t h e s u p p o r t o f e a c h c a r d i n a l b a s i s s p l i n e i s l i m i t e d t o t w o i n t e r v a l s ( F i g . 2 . 5 ) . 2 . 3 T h e D i g i t a l D i f f e r e n t i a l A n a l y s e r B e f o r e p a s s i n g t o t h e t w o - d i m e n s i o n a l r e p r e s e n t a t i o n n e e d e d f o r t h e c o d i n g o f d r a w i n g s , a n e f f i c i e n t n u m e r i c a l t e c h n i q u e i s i n t r o d u c e d f o r e v a l u a t i n g t h e c u b i c p o l y n o m i a l . T h e a l g o r i t h m c o n s i s t s o f a s e t o f d i f f e r e n c e e q u a t i o n s t h a t s o l v e f o r t h e v a l u e s o f t h e d e r i v a t i v e s a n d f u n c t i o n i n a n i n c r e m e n t a l f a s h i o n [ I 3 ] [ 2 6 , p p . 1 5 5 - 1 5 6 ] , T h e d e r i v a t i o n a n d s u m m a r y o f t h e a l g o r i t h m a r e g i v e n i n A p p e n d i x A . I t s h o u l d b e n o t e d t h a t t h i s a l g o r i t h m i s v e r y e f f i c i e n t . I t i s m u c h f a s t e r t h a n o t h e r D D A s b e c a u s e n o m u l t i p l i c a t i o n s o r d i v i s i o n s a r e r e q u i r e d , a n d o n l y i n t e g e r a r i t h m e t i c n e e d b e u s e d . U n l i k e m a n y D D A s ( i . e . c i r c l e d r a w e r s ) i t i s e x a c t . T h e a c c u r a c y i s l i m i t e d o n l y b y r o u n d o f f e r r o r s , w h i c h c a n b e c o n t r o l l e d b y 19 B 2 i (x ) F i g . 2 . 5 T h e g l o b a l H e r m i t e c u b i c b a s i s f u n c t i o n s T h e s e a r e o b t a i n e d b y m a p p i n g t h e l o c a l b a s i s f u n c t i o n s o n t o d o m a i n s o f s u p p o r t . 2 0 a p p r o p r i a t e s c a l i n g . I t d o e s n o t i n t r o d u c e a n y s y s t e m i c e r r o r s [ 1 6 ] . T h e u s e s o f d i f f e r e n c e e q u a t i o n s t o g e n e r a t e v a l u e s f o r c u b i c s p l i n e s h a s p r e v i o u s l y b e e n p r o p o s e d b y M o s s a n d L i n d g a r d [ 3 5 ] . T h e i r t e c h n i q u e u s e s s m o o t h s p l i n e s t o i n t e r p o l a t e a g i v e n s e t o f p o i n t s . I t s r e l a t i o n s h i p t o s o m e o f t h e t e c h n i q u e s p r e s e n t e d h e r e i s e x p l a i n e d i n C h a p t e r 4 . 2 . 4 T h e t w o d i m e n s i o n a l f o r m u l a t i o n T o d e v i s e a f u n c t i o n a l r e p r e s e n t a t i o n f o r a t w o - d i m e n s i o n a l c u r v e , a s e t o f p a r a m e t r i c e q u a t i o n s may b e u s e d . T h i s i s t h e m o s t c o m m o n a p p r o a c h t o t w o - d i m e n s i o n a l c u r v e r e p r e s e n t a t i o n [ l , p p . 5 0 - 5 1 ] [ 2 1 ] [ 4 2 , p p . 9 0 - 9 4 ] , a n d p r o v i d e s g r e a t f l e x i b i l i t y , i . e . t h e c u r v e may c r o s s i t s e l f . U s i n g t h i s a p p r o a c h , b o t h x a n d y b e c o m e f u n c t i o n s o f a p a r a m e t e r s ( F i g . 2 . 6 ) . x = x ( s ) y = y ( s ) A m o r e c o m p a c t r e p r e s e n t a t i o n f o r t h e c u r v e i s a c h i e v e d b y u s i n g v e c t o r n o t a t i o n . f ( s ) = ( x ( s ) , y ( s ) ) T h e n o t a t i o n c a n t h u s b e e a s i l y e x t e n d e d t o t h r e e d i m e n s i o n s ( s p a c e c u r v e s ) . 21 F i g . 2 . 6 A p a r a m e t r i c r e p r e s e n t a t i o n o f a c u r v e B o t h x a n d y a r e f u n c t i o n s o f a p a r a m e t e r s . 22 T h e p a r a m e t e r s i s • u s u a l l y r e l a t e d t o t h e a r c - l e n g t h a l o n g t h e c u r v e . T h i s d e p e n d e n c e o n a r c - l e n g t h i s u s e d t o m a i n t a i n s m o o t h n e s s . I t h a s b e e n f o u n d t h a t g o o d r e s u l t s a r e a l s o o b t a i n e d b y s e t t i n g s a s t h e c u m u l a t i v e c h o r d d i s t a n c e b e t w e e n t h e p o i n t s . s , = 0 S i = s i . , + ( U i - x v , ) 2 + ( y i - y i . ! ) 2 ) 1 ' 2 = s i . , + | f i - f i . , | I f we m a p a n y s e g m e n t o f t h e c u b i c s p l i n e s e ( s \ , s - i + 1 ) i n t o t € (0,1), t h e f u n c t i o n f_ i s o b t a i n e d b y s u m m i n g t h e x a n d y c o m p o n e n t s . f ( t ) = f _ ( s i ) * 0 ( t ) + f ( s i + 1 ) * 0 ( 1 - t ) + f ' ( s i ) d i * , ( t ) - f ' ( s i + 1 ) d i * , ( l - t ) = F\ * 0 ( t ) + F l + , * 0 ( i - t ) + F ' i d i ( t ) - F\+, d i * , ( 1 - t ) w h e r e d i = | F i + 1 - F i | T h e q u a n t i t i e s F \ • d \ a n d F \ + , • d i a r e m o r e n a t u r a l t o h a n d l e t h a n t h e u n s e a l e d d e r i v a t i v e s , a s t h e y c o m e o u t i n s c r e e n u n i t s . T h e s e q u a n t i t i e s r e p r e s e n t t h e t a n g e n t v e c t o r s a t t h e b r e a k p o i n t s . F o r t h e f_ f u n c t i o n t o b e C 1 c o n t i n u o u s , we e v i d e n t l y r e q u i r e t h a t t h e f / ( s ) b e c o n t i n u o u s a t e a c h b r e a k p o i n t . H o w e v e r , f o r a v i s u a l e f f e c t o f c o n t i n u i t y , a l l t h a t i s r e q u i r e d i s t h a t t h e t a n g e n t s l i e i n t h e s a m e d i r e c t i o n , i . e . 2 3 f \ ( s i + 1 ) = k • f ' i + 1 ( s i + 1 ) T h e e f f e c t s o f n o t r e q u i r i n g s t r i c t c o n t i n u i t y a r e d i s c u s s e d i n C h a p t e r 4 . A f i n a l n o t e o n t h e p a r a m e t r i c c u r v e r e p r e s e n t a t i o n . W h e n e x p r e s s e d i n v e c t o r f o r m , i t i s e v i d e n t t h a t t h e c u r v e i s i s o t r o p i c [ 3 4 ] , t h a t i s , i n d e p e n d e n t o f t h e o r i e n t a t i o n o f t h e u n d e r l y i n g c o o r d i n a t e s y s t e m . T h i s a l l o w s t h e c o d i n g o f c u r v e s i n a n y o r i e n t a t i o n w i t h e q u a l e a s e . 2 4 C h a p t e r 3 A p p l i c a t i o n s o f t h e S p l i n e T h i s c h a p t e r d i s c u s s e s s o m e o f t h e a d v a n t a g e s o f t h e c h o i c e o f t h e p i e c e w i s e - c u b i c p o l y n o m i a l ( s p l i n e ) . A p p l i c a t i o n s t o h a n d - f i t t e d c u r v e s , c u r v e d e s i g n a n d c i r c l e d r a w e r s a r e d i s c u s s e d . T h e H e r m i t e c u b i c i s p r o p o s e d a s a new p r i m i t i v e f o r u s e i n a l p h a - g e o m e t r i c V i d e o t e x s y s t e m s . 3 . 1 F l e x i b i l i t y a n d v e r s a t i l i t y T h e f i r s t m a j o r a d v a n t a g e o f t h e H e r m i t e c u b i c i s i t s s t r i c t l o c a l i t y . T h e s u p p o r t o f t h e t w o b a s i s f u n c t i o n s ( s e e F i g . 2 . 5 ) i s l i m i t e d t o t w o i n t e r v a l s . T h i s i s a n a d v a n t a g e b o t h i n c o d i n g , w h e r e l o c a l i t y a l l o w s f o r r e a l - t i m e p r o c e s s i n g , a n d i n c u r v e d e s i g n , w h e r e l o c a l i t y r e d u c e s t h e e x t r a n e o u s e f f e c t s o f a s m a l l c u r v e c h a n g e . A s e c o n d a d v a n t a g e i s t h a t l i m i t e d c o n t r o l o f c u r v a t u r e a t e a c h n o d e i s p o s s i b l e , a s i s c o n t r o l o f t h e d i r e c t i o n o f t h e c u r v e a t t h a t n o d e . T h e c u r v a t u r e i s d i r e c t l y d e p e n d e n t o n t h e m a g n i t u d e o f t h e c u r v e d e r i v a t i v e ( F i g . 3 . 1 ) . T h e f o r m u l a f o r c u r v a t u r e i s i i ' r p = , p : r a d i u s o f c u r v a t u r e | f ' x f ' ' | T h i s c u r v a t u r e i s d e f i n e d a t a l l p o i n t s e x c e p t i n g t h e 25 F i g . 3 . 1 C u r v a t u r e o f a p l a n e c u r v e 2 6 b r e a k p o i n t s , w h e r e t h e r e m a y b e a d i s c o n t i n u i t y i n f_' ' . E v e n h e r e , h o w e v e r , t h e v i s u a l i m p r e s s i o n o f c u r v a t u r e i s r e l a t e d t o t h e m a g n i t u d e o f t h e t a n g e n t v e c t o r . F i g 3 . 2 s h o w s t h e e f f e c t s o f v a r i o u s d e r i v a t i v e v a l u e s o n t h e s h a p e o f t h e c u r v e . T h e p i e c e w i s e c u b i c w i t h d e r i v a t i v e c o n t r o l i n p a r a m e t r i c f o r m o n l y c a n b e s h o w n t o b e h a v e s i m i l a r l y t o t e n s e d s p l i n e s [ 1 5 ] [ 2 5 ] [ 3 7 ] . T h e l i m i t i n g c a s e a s t h e m a g n i t u d e a p p r o a c h e s 0 i s a s t r a i g h t l i n e , t h e s a m e l i m i t i n g c u r v e a s i n t h e c a s e o f t e n s e d s p l i n e s . T h e s l o p e d i r e c t i o n ( t a n g e n t ) c a n a l s o b e u s e d t o c o n t r o l t h e s h a p e o f t h e c u r v e ( F i g 3 . 3 ) . T h e c o m b i n a t i o n o f d i r e c t i o n a n d m a g n i t u d e c o n t r o l g i v e s t h i s b a s i s g r e a t f l e x i b i l i t y i n c u r v e d e s i g n a n d f i t t i n g ( F i g 3 . 4 ) . 3 . 2 H a n d f i t t i n g a n d c u r v e d e s i g n T h e a p p l i c a b i l i t y o f t h i s b a s i s t o c u r v e d e s i g n s h o u l d b e a p p a r e n t f r o m t h e p r e v i o u s e x a m p l e s . I n f a c t , t h i s b a s i s i s a s i m p l i f i c a t i o n o f o n e t h a t h a s b e e n u s e d b y D u b e f o r c u r v e d e s i g n [ 2 1 ] . S i m i l a r w o r k i n t h i s a r e a i s t h a t d o n e i n s h a p e c o m p l e t i o n b y R u t k o w s k i [ 4 4 ] , a n d i n t e r p o l a t i o n b y M i d g e l e y [ 3 4 ] . T h e w o r k d o n e b y D u b e u s e s a m o r e c o m p l e x b a s i s , a n d t h u s h a s t h e e x t r a f l e x i b i l i t y a n d p r e c i s i o n n e e d e d f o r c u r v e d e s i g n . F i g . 3 . 2 E f f e c t o f t a n g e n t m a g n i t u d e o n c u r v a t u r e A s t h e m a g n i t u d e s h r i n k s t h e a p p a r e n t t e n s i o n i n c r e a s e s a n d t h e c u r v e c o l l a p s e s t o a s t r a i g h t l i n e F i g . 3.3 E f f e c t of tangent d i r e c t i o n on curve shape 29 F i g . 3.4 Curves d e s i g n e d w i th Hermite c u b i c s . Great f l e x i b i l i t y i s p o s s i b l e by a d j u s t i n g the magnitude and d i r e c t i o n of the t a n g e n t s . 3 0 T h e c u b i c b a s i s , h o w e v e r , i s a d e q u a t e f o r s i m p l e d r a w i n g c o m p o s i t i o n , s u c h a s may b e u s e d i n V i d e o t e x d a t a b a s e e n t r y . A p r o g r a m w a s w r i t t e n t o a l l o w t h e d e s i g n o f c u r v e s b y m o v i n g t h e n o d e s a n d c h a n g i n g t h e s l o p e v a l u e s , w h i c h w e r e r e p r e s e n t e d g r a p h i c a l l y a s t a n g e n t s ( F i g 3 . 5 ) . I t w a s f o u n d t h a t t h i s m e t h o d w a s a l s o s a t i s f a c t o r y f o r h a n d f i t t i n g t h e c u r v e t o a p r e v i o u s d r a w i n g ( s e e [ 6 ] f o r s i m i l a r w o r k ) . T h i s s u c c e s s w a s t h e m a j o r i n c e n t i v e i n t h e f u r t h e r r e s e a r c h i n t o a u t o m a t i o n o f t h e f i t , a l l o w i n g r e a l - t i m e , n o n - i n t e r a c t i v e c o d i n g . C i r c l e a n d e l l i p s e d r a w i n g A n o t h e r b y p r o d u c t o f t h i s r e s e a r c h w a s t h e d i s c o v e r y t h a t t h e H e r m i t e c u b i c c a n b e u s e d a s a n e f f i c i e n t c i r c l e a n d e l l i p s e d r a w e r . T h e e l l i p s e i s g i v e n b y f o u r p o i n t s r e p r e s e n t i n g t h e m a j o r a n d m i n o r a x i s i n t e r c e p t s ( F i g . 3 . 6 a ) . A n a l t e r n a t i v e r e p r e s e n t a t i o n i s t o g i v e t h e c e n t e r p o i n t a n d o n e s e t o f m a j o r - m i n o r a x i s i n t e r c e p t s ( F i g . 3 . 6 b ) . T h e e l l i p s e d r a w e r i n t h i s f o r m i s a p a r a m e t e r i c m e t h o d [ 4 2 ] . I t i s i n t e n d e d f o r u s e i n a v e c t o r g r a p h i c s ( c a l l i g r a p h i c ) d i s p l a y . O t h e r g o o d v e c t o r a l g o r i t h m s h a v e b e e n p r o p o s e d [ 1 0 ] [ 1 6 ] , a s w e l l a s s e v e r a l d e s i g n e d e s p e c i a l l y f o r r a s t e r d e v i c e s [ 1 9 ] [ 2 7 ] . T h e c o n v e r s i o n o f l i n e s e g m e n t s f r o m v e c t o r t o r a s t e r f o r m , i f r e q u i r e d , i s a w e l l e s t a b l i s h e d t e c h n i q u e [ 3 6 ] [ 4 2 ] . A m o r e d e t a i l e d d i s c u s s i o n o f t h e p a r a m e t r i c s p l i n e u s i n g i n t e g e r a r i t h m e t i c c a n b e f o u n d i n [ 3 5 ] , 31 F i g . 3 . 5 H a n d f i t t i n g a d e s i g n c u r v e T h e p r o c e d u r e g o e s f r o m s p e c i f y i n g t h e n o d e s t o g e t t i n g a n i n i t i a l i n t e r p o l a n t , m o d i f i y i n g t h e s l o p e s a n d t o a f i n a l d e s i g n . 3.6 Node r e p r e s e n t a t i o n s fo r the e l l i p s e a) 4 major -minor a x i s i n t e r c e p t s c e n t e r and 2 ma jor -minor a x i s i n t e r c e p t s 33 The f o r m u l a t i o n f o r any quarter segment i s obtained i f we t r y to match cur v a t u r e at the nodes. Under t h i s assumption, the segment between r_, and jr 2 ( F i g . 3 . 6 b ) i s f ( t ) = r, # 0 ( t ) + r 2 * 0 ( 1 - t ) + 3 / 2 ( r . 2 - r 0 ) * i ( t ) + V 2 ( l i - r 0 ) * i ( 1 - t ) T h i s makes the implementation of the c u b i c segment DDA very simple and f a s t . While the c u b i c Hermite i s only an approximation to the t r u e e l l i p s e ( F i g . 3 . 7 ) , the maximum r e l a t i v e e r r o r i s l e s s than 2 . 8 %. For those a p p l i c a t i o n s where g r e a t e r accuracy i s not r e q u i r e d , i t i s a good a l g o r i t h m . 3 . 3 A p p l i c a t i o n s to Videotex The v e r s a t i l i t y and s i m p l i c i t y of the Hermite c u b i c make i t an a t t r a c t i v e candidate f o r a g r a p h i c s element i n a Videotex system. Videotex i s the gene r i c name given to computerized database r e t r i e v a l systems where the i n f o r m a t i o n i s d i s p l a y e d on a home (or o f f i c e ) TV s e t . The i n f o r m a t i o n s t o r e d i s both t e x t u a l and g r a p h i c a l . Many techniques are c u r r e n t l y used to ' s t o r e the g r a p h i c s , the two most popular approaches being alpha-mosaic and alpha-geometric [ 1 1 ] [ 8 ] . The Canadian T e l i d o n system [7] i s an example of an alpha-geometric system. The coding scheme used i n the T e l i d o n system c o n s i s t s of P i c t u r e D e s c r i p t i o n I n s t r u c t i o n s , PDIs [ 9 ] . The c u r r e n t geometric p r i m i t i v e s are s t r a i g h t l i n e s and c i r c u l a r a r c s . The 34 F i g . 3.7 E l l i p s e drawn with cubic segments A true e l l i p s e , and a cubic e l l i p s e with 16 l i n e pieces per quarter are drawn. 3 5 s y s t e m a l s o h a s i n i t s c o d i n g s c h e m e u n a s s i g n e d c o d e s l e f t f o r f u t u r e e x t e n s i o n s . T h e e x t e n s i o n t o c u b i c s p l i n e s i s t h u s v e r y s t r a i g h t f o r w a r d . C o o r d i n a t e s a r e t r a n s m i t t e d i n t h e e x a c t s a m e p a c k e d f o r m a s i s u s e d f o r l i n e s a n d a r c s . O n l y t h e l e a d - i n ( c o n t r o l c h a r a c t e r ) n e e d b e d i f f e r e n t t o i n d i c a t e t h a t s p l i n e d a t a i s f o l l o w i n g . T h e d e s i g n e r s o f t h e s y s t e m h a v e a l r e a d y a n t i c i p a t e d e x t e n s i o n s o f t h i s s o r t i n t h e i r d e s c r i p t i o n o f t h e A R C c o m m a n d [ 9 , p . 3 0 ] . I n p r o p o s i n g s u c h a n e x t e n s i o n t o t h e T e l i d o n s y s t e m , a d e c i s i o n m u s t b e m a d e a s t o w h e t h e r t h e n o d e s a n d s l o p e s , o r o n l y t h e n o d e s s h o u l d b e t r a n s m i t t e d . I n t h e f o r m e r c a s e , t h e s l o p e s s h o u l d b e t r a n s m i t t e d i n t h e f o r m F ' t • d i / 4 . T h e i n t e g e r s h i f t a n d a d d a l g o r i t h m ( D D A ) c a n t h e n b e u s e d t o g e n e r a t e t h e c u b i c s e g m e n t s . T h e o n l y o t h e r c o m p u t a t i o n n e c e s s a r y i s t o c a l c u l a t e t h e d i ( f o r w h i c h a g o o d C h e b y s h e v e x p a n s i o n e x i s t s ) . T h e d i ' s a r e u s e d t o o b t a i n F ' u i ' d t = ( F V i • d i + 1 ) ( d i / d - x + i ) T h i s s t e p i s n e c e s s a r y t o o b t a i n s m o o t h n e s s f o r u n e v e n l y s p a c e d d a t a p o i n t s . I f t h e s a m p l i n g i n t e r v a l i s u n i f o r m , e v e n t h i s s t e p c a n b e b y p a s s e d . I t s h o u l d b e n o t e d t h a t a n y t e r m i n a l t h a t c a n g e n e r a t e c i r c u l a r a r c s a l r e a d y h a s t h e d i s t a n c e m e a s u r e b u i l t i n . 36 S e v e r a l a d v a n t a g e s c a n b e g a i n e d f r o m u s i n g a n o d e a n d s l o p e r e p r e s e n t a t i o n . F i r s t l y , g r e a t e r f l e x i b i l i t y i s a v a i l a b l e i n d e s i g n i n g c u r v e s , a s d i s c u s s e d i n t h e p r e v i o u s s e c t i o n s o f t h i s c h a p t e r . S e c o n d l y , t h e s l o p e d e t e r m i n i n g a l g o r i t h m s p r e s e n t e d i n t h e n e x t c h a p t e r a r e n o t n e c e s s a r y , l e a d i n g t o a s i m p l e r r e c e i v i n g t e r m i n a l . T h e p r i c e p a i d i s l o w e r d a t a c o m p r e s s i o n ( o r h i g h e r s t o r a g e r e q u i r e m e n t s i n t h e d a t a b a s e ) . A d e c i s i o n t o a d o p t e i t h e r t e c h n i q u e w o u l d h a v e t o b e s u p p o r t e d b y c l e a r c o s t / b e n e f i t a n d m a r k e t i n g a n a l y s e s . T h i s c a n o n l y b e d o n e w i t h i n t h e c o n t e x t o f a p a r t i c u l a r V i d e o t e x s y s t e m , s u c h a s T e l i d o n . T h e f i n a l a d v a n t a g e o f i n c l u d i n g a c u b i c s p l i n e p r i m i t i v e i n t h e V i d e o t e x s y s t e m , i s t h a t a n y s t a n d a r d V i d e o t e x t e r m i n a l c o u l d t h e n b e u s e d a s a r e c i e v e r f o r t h e h a n d - d r a w s k e t c h e s b e i n g c o d e d i n t h i s r e s e a r c h . T h e n e e d f o r new h a r d w a r e / s o f t w a r e c o u l d b e g r e a t l y r e d u c e d i n s e t t i n g u p g r a p h i c a l i n t e r o f f i c e c o m m u n i c a t i o n s . 37 C h a p t e r 4 T h e H e r m i t e C u b i c I n t e r p o l a t o r T h i s c h a p t e r p r e s e n t s a s o l u t i o n t o t h e i n t e r p o l a t i o n p r o b l e m : g i v e n a s e t o f s a m p l e p o i n t s o n l y ( n o d e r i v a t i v e i n f o r m a t i o n ) , u s e a n i n t e r p o l a t o r t o r e c o n s t r u c t t h e o r i g i n a l c u r v e . T h e p r o b l e m i s f o r m u l a t e d , a n d a l t e r n a t e s o l u t i o n s p r o p o s e d . V a r i o u s s l o p e d e t e r m i n i n g a l g o r i t h m s a r e p r e s e n t e d a n d c o m p a r e d . T h e m e r i t s o f t h e m e t h o d s i n t e r m s o f s i m p l i c i t y a n d p e r f o r m a n c e a r e d i s c u s s e d , a n d r e c o m m e n d a t i o n s m a d e . 4 . 1 T h e p r o b l e m f o r m u l a t i o n T o r e s t a t e t h e i n t e r p o l a t i o n p r o b l e m : " G i v e n a n o r d e r e d s e t o f d a t a p o i n t s { F { , i = 1 , 2 , . . . , N } , g e n e r a t e a c u r v e f_ (s ) s u c h t h a t f _ ( s i ) = F _ i , i = 1 , 2 , . . . , N . " H e r e , s e t t h e f r e e p a r a m e t e r s ^ s u c h t h a t [ l , p . 5 1 ] 5, = 0 s i + , = s \ + d i , i = 1 , 2 , . . . , N - 1 w h e r e d i = | F u i " Z i I On a n y i n t e r v a l ( S i , S i + 1 ) we h a v e f i ( t ) = F i * 0 ( t ) + F i + 1 * 0 0 - t ) + F ' i d i * , ( t ) - F ' i + , d i * , ( 1 - t ) A l l t h a t i s r e q u i r e d t h e n i s t o o b t a i n l o c a l e s t i m a t e s o f t h e F ^ s u s i n g t h e g i v e n s a m p l e p o i n t s . 3 8 T h e H e r m i t e c u b i c i s j u s t o n e o f s e v e r a l p o s s i b l e s o l u t i o n s t o t h e i n t e r p o l a t i o n p r o b l e m . A n o t h e r g o o d a p p r o a c h i s t h a t o f F I R ( F i n i t e I m p u l s e R e s p o n s e ) f i l t e r i n g u s e d b y S h l i e n a n d A l l a r d [ 4 6 ] . T h e r e s e a r c h h e r e f o l l o w s a l o n g t h e s a m e l i n e s a s t h e i r s , a n d s o m e o f t h e t e c h n i q u e s u s e d h e r e w i l l b e s h o w n t o b e e q u i v a l e n t t o t h e i r m e t h o d . 4 . 2 D e t e r m i n i n g t h e s l o p e F o r a l l b u t t h e f i r s t m e t h o d e x a m i n e d ( c i r c u l a r c o m p l e t i o n ) , t h e d e t e r m i n a t i o n o f t h e d e r i v a t i v e c a n b e b r o k e n d o w n i n t o t w o o n e - d i m e n s i o n a l s u b p r o b l e m s . T h i s i s b e c a u s e t h e s l o p e i s a s c a l a r w e i g h t e d s u m o f t h e s a m p l e p o i n t s F \ = Z F j w t j j w h e r e t h e w^j d e p e n d o n t h e d | , . O n l y t h e c i r c u l a r c o m p l e t i o n m e t h o d i n v o l v e s c r o s s p r o d u c t s b e t w e e n t h e F j ' s . T h e m e t h o d s e x a m i n e d a r e a s f o l l o w s : c i r c u l a r c o m p l e t i o n , B e s s e l , A k i m a ' s m e t h o d , h i g h e r o r d e r p o l y n o m i a l s , t h e s i n e f i l t e r a n d l e a s t s q u a r e s . C i r c u l a r c o m p l e t i o n T h e i d e a o f p a s s i n g a c i r c l e t h r o u g h 3 p o i n t s t o d e t e r m i n e t h e s l o p e i s t a k e n f r o m M i d g e l e y [ 3 4 ] . R e f e r r i n g t o F i g . 4 . 1 , . 4 . 1 A c i r c u l a r a r c t h r o u g h 3 p o i n t s T h e a n g l e r e l a t i o n s h i p s a r e s h o w n 4 0 t = d 2 r ^ / d , + d , r 2 / d 2 s a t i s f i e s t h e g i v e n a n g l e r e l a t i o n s h i p s { A p p e n d i x A ) . T h i s y i e l d s t h e d i r e c t i o n ( n o t t h e m a g n i t u d e ) o f t h e d e r i v a t i v e v e c t o r , i n a f o r m i d e n t i c a l t o t h e B e s s e l i n t e r p o l a t o r d e s c r i b e d b e l o w . T o a d j u s t t h e m a g n i t u d e f o r a c i r c u l a r f i t , we u s e 4 I L\ I -2 + c o s e , + c o s e 2 T h e e n d p o i n t d e r i v a t i v e s a r e s i m i l a r l y c a l c u l a t e d u s i n g c i r c u l a r a r c s [ 3 4 ] . A s a t t r a c t i v e a s t h i s m e t h o d s e e m s i n t e r m s o f s i m p l i c i t y a n d s m o o t h n e s s , i t p r o v e s t o b e u n u s a b l e e x c e p t o n t h e m o s t r o u n d e d o f d r a w i n g s . A n i l l u s t r a t i v e e x a m p l e ( F i g . 4 . 2 ) s h o u l d p r o v e t h i s p o i n t . T h i s i s b e c a u s e t h e d e r i v a t i v e m a g n i t u d e d o e s n o t s h r i n k t o 0 a s | r_^  + r_2 | d o e s . T h e m e t h o d i s n o t f u r t h e r e x a m i n e d . B e s s e l F o r t h e B e s s e l i n t e r p o l a n t , t h e s l o p e s a r e d e t e r m i n e d b y a p a r a b o l i c ( q u a d r a t i c ) f i t t h r o u g h 3 p o i n t s . T h i s i n t e r p o l a n t , a l o n g w i t h t h e r e m a i n d e r o f t h e c h a p t e r , w i l l b e d i s c u s s e d i n t h e o n e - d i m e n s i o n a l c a s e . E x t e n s i o n t o t w o d i m e n s i o n s i s s t r a i g h t f o r w a r d , s u m m i n g F ^ a n d F ^ t o o b t a i n F ' . F i g . 4 . 2 C i r c u l a r c o m p l e t i o n E x c e s s i v e r o u n d n e s s m a k e s t h i s i n t e r p o l a n t u n u s a b l e . 42 T h e new n o t a t i o n f o l l o w e d h e r e w i l l b e t o r e p l a c e s w i t h x , a n d t o d r o p t h e v e c t o r s i g n f r o m F_\. We s t i l l h a v e d \ = x l + T - x •{ w h e r e d i i s t h e t w o - d i m e n s i o n a l d i s t a n c e b e t w e e n F i a n d F _ i + 1 . T h e d i v i d e d d i f f e r e n c e n o t a t i o n i s a l s o i n t r o d u c e d F [ x i , Xj ] = F ( x i ) - F (Xj ) X t - X j A l s o , l e t S i b e t h e s l o p e a t x { , S i = F ' ( x { ) . T h e s l o p e t h r o u g h 3 p o i n t s ( F i g . 4 . 3 ) i s e a s i l y d e r i v e d . S i = d i F [ x i . , , X i ] + d i . , F [ x i , x i + 1 ] d i + d i . . C l o s e l y s p a c e d p o i n t s c o n t r i b u t e m o r e t o t h e s l o p e v a l u e . F o r t h i s r e a s o n , t h e i n t e r p o l a t o r p e r f o r m s w e l l o n u n e v e n l y s p a c e d d a t a . F o r a c t u a l n u m e r i c a l i n t e r p o l a t i o n , w h e r e a c c u r a c y a n d p r e c i s i o n a r e i m p o r t a n t , t h e B e s s e l i n t e r p o l a n t i s t h e b e s t o f t h o s e p r e s e n t e d h e r e . F o r a p p l i c a t i o n s t h a t r e q u i r e e v e n g r e a t e r a c c u r a c y , h i g h e r o r d e r s m o o t h s p l i n e s a r e n o r m a l l y u s e d . T h e B e s s e l i n t e r p o l a t o r i s s h o w n o n a n u m b e r o f s a m p l e d a t a s e t s ( F i g s . 4 . 4 a n d 4 . 5 ) . F i + 1 F. i-1 x i - l V l F i g . 4.3 P a r a b o l i c f i t to 3 p o i n t s 44 F i g . 4 . 4 B e s s e l - 1D 45 F i g . 4.5 B e s s e l - 2D 4 6 A k i m a ' s m e t h o d A k i m a [ 2 ] i n t r o d u c e d a m e t h o d d e s i g n e d t o e l i m i n a t e t h e r i p p l e s t h a t c o m m o n l y o c c u r i n p o l y n o m i a l o r s m o o t h s p l i n e i n t e r p o l a t i o n . T h e s l o p e e s t i m a t e i s S i . = | mi,-m 3 | m 2 + | m 2 _ m , | m 3 | m „ - m 3 j + | m 2 - m 1 | w i t h n»i = F [ x i . 2 , x i . , ] n»2 = F [ x i . , , x i ] m 3 = F [ x i , x i + , ] m f t = F [ x i + 1 , x ^ + 2 ] T h i s m e t h o d e l i m i n a t e s r i p p l e s i n t h e i n t e r p o l a t i n g f u n c t i o n a n d i s f a i r l y e f f i c i e n t . H o w e v e r , i t i s n o t l i n e a r . I t a l s o d o e s n o t a l l o w c l o s e l y s p a c e d p o i n t s t o d o m i n a t e t h e s l o p e m e a s u r e ( F i g s . 4 . 6 a n d 4 . 7 ) . T h i s c a n b e a d i s a d v a n t a g e w i t h u n e v e n l y s p a c e d d a t a . A l s o , t h e p r e s e n c e o f r i p p l e i s n o t a s n o t i c e a b l e i n t w o d i m e n s i o n s ( p a r a m e t r i c f o r m ) , a s b o t h x ( s ) a n d y ( s ) r i p p l e s i m u l t a n e o u s l y . F o r t h e s e r e a s o n s , t h e m e t h o d i s n o t i n v e s t i g a t e d f u r t h e r . H i g h e r o r d e r p o l y n o m i a l s U s i n g a h i g h e r o r d e r ( k t h o r d e r ) p o l y n o m i a l t h r o u g h k p o i n t s i s a s i m p l e e x t e n s i o n o f t h e B e s s e l i n t e r p o l a n t . N o a d d e d a c c u r a c y i s g a i n e d , s i n c e t h e i n t e r p o l a n t i s c u b i c . H o w e v e r , t h e h i g h e r o r d e r p o l y n o m i a l s i n t r o d u c e a d e c r e a s e d l o c a l i t y t h a t i s d e s i r a b l e f r o m a s i g n a l p r o c e s s i n g p o i n t o f v i e w ( s e e t h e n e x t s e c t i o n ) . B e c a u s e s y m m e t r y i s d e s i r a b l e i n 47 F i g . 4.6 Akima - 1D F i g . 4.7 Akima - 2D 49 t h e c o d i n g o f d r a w i n g s , o n l y e v e n p o l y n o m i a l s ( q u a r t i c s , e t c . ) n e e d b e c o n s i d e r e d . U n f o r t u n a t e l y , t h e f o r m u l a t i o n f o r e v e n t h e q u a r t i c b e c o m e s t o o c o m p l i c a t e d , i n v o l v i n g 5 p r o d u c t s i n t h e w e i g h t i n g f a c t o r o f e a c h t e r m ( s e e A p p e n d i x A ) . T h e f o r m u l a t i o n s f o r h i g h e r o r d e r p o l y n o m i a l s a r e e v e n m o r e c o m p l e x . T h e f o r m u l a t i o n i s g r e a t l y s i m p l i f i e d i f a u n i f o r m s p a c i n g i s a s s u m e d . T h e s o l u t i o n c a n t h e n b e e x p r e s s e d a s a ( c o n s t a n t ) w e i g h t e d s u m o f t h e d i v i d e d d i f f e r e n c e s , i . e . S x = -We F [ x i _ 2 , x i ] + 2 / 3 F [ x i . , , x i ] + 2 / 3 F [ x i , x i + 1 ] - Vs F [ x i r X i + 2 ] f o r t h e q u a r t i c c a s e . S o l u t i o n s a r e e q u a l l y a v a i l a b l e f o r h i g h e r o r d e r p o l y n o m i a l s o n a u n i f o r m m e s h ( A p p e n d i x A ) . I t s h o u l d b e n o t e d t h a t s i n c e t h e f o r m u l a t i o n i s i n t e r m s o f d i v i d e d d i f f e r e n c e s , s o m e a l l o w a n c e i s m a d e f o r n o n - u n i f o r m s p a c i n g . I n f a c t , u n l e s s t w o n o d e s a r e v e r y c l o s e t o g e t h e r , t h i s m e t h o d p e r f o r m s w e l l . T h e u n i f o r m m e s h s o l u t i o n h a s t h e a d d e d s i m p l i c i t y o f t h e w e i g h t i n g f a c t o r s b e i n g c o n s t a n t . C o m p a r i n g t h e r e s u l t s f o r t h e B e s s e l ( F i g s . 4.4 a n d 4.5) a n d t h e q u a r t i c ( u n i f o r m ) ( F i g s . 4.8 a n d 4 . 9 ) , t h e a m o u n t o f " r i p p l e " i s s e e n t o i n c r e a s e . T h i s i s a c t u a l l y a r e f l e c t i o n o f t h e r e d u c e d l o c a l i t y o f t h e m e t h o d . T h e e f f e c t s o f t h i s r i p p l e , a s m e n t i o n e d p r e v i o u s l y , a r e n o t a s o b j e c t i o n a b l e i n t w o d i m e n s i o n s . F i g . 4.8 Q u a r t i c , un i fo rm mesh F i g . 4.9 Q u a r t i c , un i fo rm mesh 5 2 B e t w e e n t h e f u l l q u a r t i c s o l u t i o n , a n d t h e u n i f o r m m e s h s o l u t i o n , t h e r e e x i s t a n u m b e r o f h y b r i d t e c h n i q u e s b a s e d o n a p p r o x i m a t i n g t h e d o m i n a n t t e r m s i n t h e f a c t o r s . T w o s u c h p o s s i b i l i t i e s a r e : S \ = { E D ; / h ? } / { E h T 2 } a n d J J S i = { I D j / h j } / { E h j 1 } J j ( r e f e r t o A p p e n d i x A f o r t h e n o t a t i o n ) . T h e f i r s t m e t h o d h a s t h e a d v a n t a g e t h a t i t s l i m i t i n g c a s e o n a u n i f o r m m e s h i s t h e s a m e a s t h e e x a c t s o l u t i o n . T h e s e c o n d m e t h o d , r e m i n i s c e n t o f t h e B e s s e l i n t e r p o l a n t , d o e s n o t e m p h a s i z e d i f f e r e n c e s i n i n t e r v a l s i z e s ( d j ' s ) a s m u c h . I n b o t h m e t h o d s , c l o s e l y s p a c e d p o i n t s c o n t r i b u t e m o r e t o t h e s l o p e d e t e r m i n a t i o n . T h i s w i l l l a t e r b e s e e n t o b e a n a d v a n t a g e w h e r e d o u b l e n o d e s a r e p r e s e n t ( C h a p t e r 5 ) , a n d a 0 s l o p e i s d e s i r e d . T h e u n i f o r m m e s h q u a r t i c i s a l s o r e l a t e d i n a n i n t e r e s t i n g f a s h i o n t o t h e s m o o t h s p l i n e i n t e r p o l a n t u s e d b y M o s s a n d L i n d g a r d [ 3 5 ] . T h e s o l u t i o n f o r t h e s e c o n d m o m e n t o f t h e u n i f o r m m e s h q u a r t i c i s M t = V 8 F [ X i . 2 , x i ] - 3 / « F [ x i . , , x i ] + 3 / u F [ x j , x i + ! ] - 1 / 8 F [ x V f X 1 + 2 ] T h i s i s t h e e x a c t s a m e s o l u t i o n a s t h a t o b t a i n e d b y M o s s a n d L i n d g a r d i f o n l y t h e f i r s t t e r m i n t h e i r m o m e n t c a l c u l a t i o n i s c o m p u t e d . T h u s , t h e q u a r t i c f i t i s r e a l l y a n a p p r o x i m a t i o n t o t h e s m o o t h s p l i n e . 5 3 S i n e f i l t e r s S i n e f i l t e r s a r e a c l a s s o f l o w - p a s s i n t e r p o l a t i n g f i l t e r s c o m m o n l y u s e d i n d i g i t a l s i g n a l p r o c e s s i n g [ 3 9 ] b a s e d o n t h e s i n e f u n c t i o n ( F i g . 4 . 1 0 ) s i n e ( x ) = s i n tr x / IT X T h e s i n e f u n c t i o n , h a v i n g a t m o s t o n e i n f l e c t i o n p o i n t p e r i n t e r v a l ( b e t w e e n z e r o c r o s s i n g s ) i s w e l l a p p r o x i m a t e d b y a p i e c e w i s e - c u b i c . T h e s e s i n e f i l t e r s h a v e b e e n s u c e s s f u l l y u s e d b y S h l i e n a n d A l l a r d [ 4 6 ] f o r e x a c t l y t h e s a m e t y p e o f i n t e r p o l a t i o n a s i s b e i n g e x a m i n e d i n t h i s t h e s i s . T h e d e r i v a t i v e s o f t h e o f t h e s i n e f u n c t i o n a t i t s 0 c r o s s i n g s a r e ( - 1 ) / k . E x t e n d i n g t h i s c o n c e p t t o a n o n - u n i f o r m m e s h a n d a w i n d o w e d ( F I R ) f i l t e r , we g e t t h e s i m p l i f i e d f i l t e r m S \ = E { F [ X i , x i + j ] + F [ x i . : , X i ] } ( ~ 1 ) J - 1 w : j = 1 w h e r e Wj i s a w i n d o w f u n c t i o n o f w i d t h m ( d e t a i l s i n A p p e n d i x A ) . T h e n e c e s s a r y a n d s u f f i c i e n t c o n d i t i o n f o r l i n e a r i t y ( l i n e a r p r e c i s i o n ) i s m E 2 ( -1 ) J" 1 W: = 1 , v . > 0 j = 1 J O n e s u i t a b l e w i n d o w i s F i g . 4.10 The s i n e f u n c t i o n 55 H a n n i n g : WJ = c o s 2 ( tr j / 2m) O t h e r w i n d o w s , s u c h a s T r i a n g u l a r o r H a m m i n g [ 3 9 ] , m a y b e u s e d , b u t t h e y w i l l n o t a l w a y s y i e l d l i n e a r p r e c i s i o n . T h i s l a c k o f p r e c i s i o n i s m o r e o f a p r o b l e m i n n u m e r i c a l i n t e r p o l a t i o n t h a n i t i s i n t w o - d i m e n s i o n a l c u r v e r e c o n s t r u c t i o n . W i t h t h i s t e c h n i q u e , t h e r e a r e m a n y p o s s i b l e w a y s o f h a n d l i n g e n d - p o i n t v a l u e s . A s i m p l e s o l u t i o n i s t o s e t F i ^ F , f o r i < 1 , a n d F t = F N f o r i > N . T h u s F [ x x , X j ] = 0 i f i o r j <1 o r > N . T h i s m a k e s t h e e n d - s l o p e s c l o s e r t o 0 , w i t h g o o d v i s u a l r e s u l t s i n t h e t w o - d i m e n s i o n a l c a s e . F o r a p p l i c a t i o n s w h e r e c l o s e d c u r v e s a r e b e i n g c o d e d ( w e a t h e r o r t o p o g r a p h i c m a p s ) , t h e d a t a c a n b e " w r a p p e d a r o u n d " t o d e t e r m i n e e n d - p o i n t v a l u e s . T h i s i s t h e s a m e a p p r o a c h u s e d i n p e r i o d i c s p l i n e s [ l , p . 1 5 ] . A s e x a m p l e s , t h e F I R f o r m u l a t i o n s f o r t h e f i r s t t w o H a n n i n g w i n d o w s (m=2 a n d m=3) a r e : S x = V 2 F [ x i . 2 , x i ] + 1 / 2 F [ x x . , , x i ] a n d S x = F [ x i . 2 f x i ] + V« F [ x f . 1 f x i ] + V , F [ x i , x x + 1 ] - 1 / „ F [ x i , x { + 2 ] T h e r e s p o n s e o f t h e 7 p o i n t (m=3) H a n n i n g f i l t e r i s g i v e n i n F i g s . 4 . 1 1 a n d 4 . 1 2 . F i g . 4.11 7 p o i n t Hanning f i l t e r F i g . 4.12 7 p o i n t Hanning f i l t e r 58 R e l a t i o n s h i p b e t w e e n F I R ( s i n e ) f i l t e r s a n d p o l y n o m i a l f i t s C o m p a r i n g t h e s o l u t i o n s f o r t h e u n i f o r m m e s h p o l y n o m i a l f i t ( i . e . q u a r t i c ) a n d t h e s i n e f i l t e r s h o w s t h a t t h e y a r e i d e n t i c a l i n f o r m . I n f a c t , t h e q u a r t i c s o l u t i o n i s o b t a i n e d f r o m t h e s i n e f i l t e r b y s e t t i n g t h e w e i g h t s WJ = { 2 / 3 , 1 / 6 } ( u n i f o r m m e s h q u a r t i c ) i n s t e a d o f WJ = { 3 / « , 1 / « ) ( H a n n i n g , m=3) T h i s d i f f e r e n t s e t o f w e i g h t i n g s m a k e s v e r y l i t t l e d i f f e r e n c e i n a c t u a l c u r v e r e c o n s t r u c t i o n ( c o m p a r e t h e t w o s e t o f f i g u r e s ) . S i n c e t h e u n i f o r m m e s h p o l y n o m i a l s a l w a y s y i e l d l i n e a r p r e c i s i o n f i l t e r s , a n d a r e m o r e l o c a l , t h e i r c o e f f i c i e n t s w i l l b e u s e d . L e a s t s q u a r e s a p p r o x i m a t i o n O n e f i n a l m e t h o d s h o u l d b e m e n t i o n e d i n p a s s i n g . T h i s i s t h e m o s t c o m m o n s l o p e f i l t e r , n a m e l y l e a s t s q u a r e s ( d e r i v a t i o n i n A p p e n d i x A ) . T h e w i n d o w e d , i n v e r s e d i s t a n c e w e i g h t e d l e a s t s q u a r e s f i l t e r i s m S i = I w : { F [ X v , x i + ; ] + F [ x i _ - . , x j } j=1 J J J w i t h m I 2WJ = 1 a n d wj > 0 j = 1 T h e o n l y d i f f e r e n c e b e t w e e n t h i s a n d t h e F I R f i l t e r i s t h e a b s e n c e o f t h e a l t e r n a t i n g s i g n ( - 1 ) J - 1 . T h i s a b s c e n c e , t h o u g h , 59 i s f u n d a m e n t a l t o t h e m a j o r d i f f e r e n c e i n b e h a v i o u r b e t w e e n t h e s e t w o c l a s s e s o f f i l t e r s . T h e F I R f i l t e r i s a t r u e l o w - p a s s i n t e r p o l a t i n g f i l t e r . T h e l e a s t s q u a r e s f i t , o n t h e o t h e r h a n d , i s n o t a n i n t e r p o l a t o r , b u t r a t h e r a s m o o t h e r ( F i g . 4 . 1 3 ) . T h e a c t u a l r e s p o n s e o b t a i n e d b y u s i n g a p i e c e w i s e c u b i c i n t e r p o l a t i n g r e p r e s e n t a t i o n i s t o t a l l y d i f f e r e n t ( F i g . 4 . 1 4 ) . T h e l e a s t s q u a r e s a p p r o a c h i s t h u s u n u s a b l e f o r t h e i n t e r p o l a t i n g a p p l i c a t i o n . T h i s s m o o t h i n g f i l t e r , h o w e v e r , i s v e r y u s e f u l i n d e t e r m i n i n g t h e l o c a l s l o p e o n a h a n d d r a w n c u r v e . T h i s i s b e c a u s e t h e s a m p l i n g r a t e i s m u c h h i g h e r t h a n t h e s i g n a l f r e q u e n c y c o m p o n e n t s . I t w i l l b e u s e d i n t h e n e x t c h a p t e r f o r j u s t t h i s p u r p o s e . 4 . 3 A p p l i c a t i o n s t o D i g i t a l S i g n a l P r o c e s s i n g S p l i n e s h a v e b e e n u s e d p r e v i o u s l y i n m a n y D S P a p p l i c a t i o n s [ 2 8 3 [ 3 2 ] . T h e y h a v e t h e a d v a n t a g e o v e r p o l y n o m i a l f u n c t i o n s o f b e i n g m o r e l o c a l . S m o o t h s p l i n e s , h o w e v e r , a r e n o t s u i t a b l e w h e n r e a l - t i m e p e r f o r m a n c e i s r e q u i r e d , d u e t o t h e n e e d f o r a c o m p l e t e s e t o f p o i n t s . T h e H e r m i t e c u b i c c a n t h e n b e u s e d a s a n a l t e r n a t i v e t o F I R f i l t e r s . 60 F i g . 4 . 1 4 L e a s t s q u a r e s s l o p e s i n t e r p o l a t o r r e s p o n s e 61 A t r a d i t i o n a l F I R i m p l e m e n t a t i o n s t o r e s t h e i m p u l s e r e p o n s e h ( t ) i n a l o o k u p t a b l e ( F i g . 4 . 1 5 ) . F o r e a c h o u t p u t p o i n t i t t h e n c o n v o l v e s t h e i n p u t p o i n t s w i t h t h e i m p u l s e r e s p o n s e ( F i g . 4 . 1 6 ) . Nm y ( k ) = z x ( k + j ) h ( j ) j = - N m F o r a s i m p l e s u b s a m p l i n g p r o b l e m , w h e r e t h e s u b s a m p l i n g r a t e i s N , a n d t h e f i l t e r o r d e r i s m , Nm t a b l e e n t r i e s a r e r e q u i r e d a n d 2m m u l t i p l i c a t i o n / a d d i t i o n s a r e n e e d e d f o r e a c h p o i n t . U s i n g t h e H e r m i t e c u b i c , e a c h s l o p e i s g e n e r a t e d b y a w e i g h t e d s u m o f 2m p o i n t s . m S i = Z ( x ( i + N j ) - x ( i - N j ) } w , j , * j = 1 w i t h w * = ( - 1 ) J " 1 Wj / j O n l y m w e i g h t i n g f a c t o r s n e e d t o b e s t o r e d , a n d o n l y a 2m t a p m e m o r y i s n e e d e d t o g e n e r a t e e a c h s l o p e . F i n a l l y , e a c h o u t p u t p o i n t i s g e n e r a t e d i n a f e w a d d i t i o n / s h i f t s u s i n g t h e D D A . T h u s , i n c e r t a i n a p p l i c a t i o n s , u s e o f t h e H e r m i t e c u b i c r a t h e r t h a n t h e t r a d i t i o n a l F I R f i l t e r c o u l d b e g r e a t l y m o r e e f f i c i e n t i n t e r m s o f t i m e a n d m e m o r y . T o s e e t h a t t h e p i e c e w i s e - c u b i c i s i n f a c t e q u i v a l e n t t o a t r a d i t i o n a l s i n e f i l t e r ( t o w i t h i n t h e a p p r o x i m a t i o n a c c u r a c y ) , t h e i m p u l s e r e s p o n s e s h o u l d b e e x a m i n e d . T h e n o r m a l H e r m i t e ' I l l h(k) 1 I i' I I I I l 2N 3N F i g . 4 . 1 5 F I R s i n e f i l t e r i m p u l s e r e s p o n s e Nm v a l u e s a r e u s u a l l y s t o r e d . x(k) h(k) y(K) F i g . 4 . 1 6 F I R f i l t e r i n g T h e i n p u t s i g n a l i s c o n v o l v e d w i t h t h e i m p u l s e r e s p o n s e h ( k ) 6 3 c u b i c c a n n o t b e s a i d t o h a v e a t r u e i m p u l s e r e p o n s e . T h e r e s p o n s e c o n s i s t s o f r e a c t i o n s t o b o t h t h e d a t a v a l u e a n d t h e d e r i v a t i v e a t a p o i n t ( F i g . 2 . 5 ) . H o w e v e r , w h e n t h e s l o p e b e c o m e s a w e i g h t e d s u m o f d i v i d e d d i f f e r e n c e s , a s i n g l e i m p u l s e r e s p o n s e c a n b e o b t a i n e d b y s u p e r s p o s i t i o n ( F i g . 4 . 1 7 ) . T h e f i l t e r d e s i g n e r i s f r e e t o c h o o s e a n y s e t o f w e i g h t i n g s {WJ} h e d e s i r e s ( b e i n g f r e e t o v i o l a t e t h e l i n e a r i t y c o n d i t i o n ) . H e c a n t h u s d e s i g n a l o w p a s s f i l t e r o f a r b i t r a r y o r d e r a n d f r e q u e n c y r e s p o n s e , s o l o n g a s t h e i m p u l s e r e s p o n s e m a i n t a i n s  t h e i n t e r p o l a t i n g c o n d i t i o n . h i ( j ) = 6i} 4 . 4 C o n t i n u i t y r e q u i r e m e n t s W h e n t h e d a t a p o i n t s t o b e r e c o n s t r u c t e d a r e f a i r l y e v e n l y s p a c e d , . f e w p r o b l e m s a r i s e w i t h r e g a r d s t o s c a l i n g t h e d e r i v a t i v e s a t t h e b r e a k p o i n t s . I n f a c t , f o r t h e s e t y p e s o f d a t a , i n t e r p o l a t o r s t h a t a s s u m e u n i f o r m s p a c i n g p e r f o r m b e s t . H o w e v e r , w h e n t h e s a m p l e p o i n t s b e c o m e u n e v e n l y s p a c e d , s u c h a s n e a r s h a r p c o r n e r s , i n s u f f i c i e n t w e i g h t i s g i v e n t o l o c a l s l o p e s . I n t h e s e c a s e s , i n t e r p o l a t o r s s u c h a s B e s s e l a r e b e t t e r . A h y b r i d m e t h o d , p r e s e n t e d i n t h e n e x t c h a p t e r , w h i c h s e t s d e r i v a t i v e s t o z e r o a t c o r n e r s i s a l s o u s a b l e . 64 F i g . 4 . 1 7 I m p u l s e r e p o n s e b y s u p e r p o s i t i o n r T h e r e s p o n s e i s o b t a i n e d b y s u p e r p o s i t i o n o f w e i g h t e d c o p i e s o f t h e t w o b a s i s f u n c t i o n ( F i g . 2 . 5 ) . 65 I t h a s b e e n m e n t i o n e d b e f o r e t h a t F { « d i i s a n a t u r a l w a y t o t r a n s m i t a n d m a n i p u l a t e s l o p e s , s i n c e i t i s i n s c r e e n c o o r d i n a t e s . T h i s i m p l i e s , h o w e v e r , t h e n e e d t o c a l u l a t e t h e d { ' s t o o b t a i n f { ( x ) = F v * 0 ( t ) + F { + 1 # 0 ( 1 - t ) + F{ di * , ( t ) - F ' , ( 1 d i * , ( i - t ) W h e n t h e s p a c i n g i s r e l a t i v e l y u n i f o r m , we c a n w r i t e f i ( x ) = F i * 0 ( t ) + F i + 1 * 0 d - t ) + F i ' d i * , ( t ) - F ' { + 1 d { + 1 * , ( 1 - t ) w h i c h g i v e s f ( ( x i + 1 ) = F ' i + 1 . d i + 1 / d i T h e r e i s a j u m p d i s c o n t i n u t i y i n d e r i v a t i v e w h i c h w o u l d b e v e r y n o t i c e a b l e i n o n e d i m e n s i o n ( F i g . 4 . 1 8 ) . I n 2 d i m e n s i o n s , h o w e v e r , t h e e f f e c t i s n o t a s n o t i c e a b l e , s i n c e t h e d i r e c t i o n o f t h e t a n g e n t i s m a i n t a i n e d ( F i g . 4 . 1 9 ) . F o r c e r t a i n l i m i t e d a p p l i c a t i o n s , t h e n , i t m a y b e p o s s i b l e t o d i s p e n s e w i t h t h e n e e d f o r s c a l i n g t h e d e r i v a t i v e . C o m b i n i n g t h i s w i t h s i n e t y p e f i l t e r w o u l d y i e l d a n a l g o r i t h m s o f m i n i m a l c o m p l e x i t y . H o w e v e r , w h e r e a m o r e g e n e r a l i n t e r p o l a t o r i s n e e d e d , s u c h a s f o r i n t e r p o l a t i n g a r b i t r a r i l y s p a c e d d a t a p o i n t s , t h e d e r i v a t i v e s c a l i n g m u s t b e r e t a i n e d . F i g . 4 . 1 8 D i s c o n t i n u i t y i n d e r i v a t i v e - ID T h e d i s c o n t i n u i t y a r i s e s f r o m n o t r e s c a l i n g t h e d e r i v a t i v e F i g . 4 . 1 9 D i s c o n t i n u i t y i n d e r i v a t i v e - 2D T h e d i s c o n t i n u i t y a r i s e s f r o m n o t r e s c a l i n g t h e d e r i v a t i v e 67 4 . 5 C o m p a r i s o n o f t e c h n i q u e s A c t u a l n u m e r i c a l r e s u l t s f r o m t h e v a r i o u s t e c h n i q u e s a r e d e f e r r e d t o c h a p t e r 7 . T h e p r e f e r r e d c h o i c e o f t e c h n i q u e s i s a l s o d e f f e r e d u n t i l t h e n . S o m e g e n e r a l c o n c l u s i o n s , h o w e v e r , c a n b e d r a w n f r o m t h i s c h a p t e r . T h e c i r c u l a r f i t i s n o t s u i t a b l e f o r d r a w i n g r e c o n s t r u c t i o n . T h e p i c t u r e s i t p r o d u c e s a r e t o o r o u n d e d . T h e B e s s e l i n t e r p o l a t o r h a s t h e h i g h e s t a c c u r a c y a n d p r e c i s i o n . I t i s t o b e p r e f e r r e d i n t h o s e o n e d i m e n s i o n a l a p p l i c a t i o n s w h e r e a c c u r a c y i s d e s i r e d . A k i m a ' s m e t h o d i s v e r y u s e f u l f o r r i p p l e e l i m i n a t i o n i n o n e d i m e n s i o n , b u t h a s n o a d v a n t a g e s i n t h e 2D p a r a m e t r i c c a s e . T h e h i g h e r o r d e r p o l y n o m i a l s p e r f o r m b e t t e r b e c a u s e o f t h e i n c r e a s e d n u m b e r o f p o i n t s c o n s i d e r e d . H o w e v e r , t h e c o m p l e t e s o l u t i o n s ' c o m p l e x i t y p r e c l u d e t h e i r b e i n g u s e d . T h e s i n e f i l t e r s ( i n c l u d i n g u n i f o r m m e s h p o l y n o m i a l s ) p e r f o r m w e l l f o r r e l a t i v e l y e v e n l y s p a c e d d a t a . T h e i r g r e a t e s t v a l u e i s t h e i r e x t r e m e s i m p l i c i t y . T h e y c a n v e r y e a s i l y b e a p p l i e d t o c e r t a i n a r e a s o f D S P . L e a s t s q u a r e s t y p e f i l t e r s a r e u n s u i t a b l e , a s t h e y a r e s m o o t h e r s a n d n o t i n t e r p o l a t o r s . 68 C h a p t e r 5 S e g m e n t i n g t h e C u r v e T h e p r e v i o u s c h a p t e r s h a v e e x a m i n e d how t o r e c o n s t r u c t a c u r v e g i v e n a s e t o f s a m p l e p o i n t s . T o p e r f o r m a n y c o d i n g o f c u r v i l i n e a r p i c t u r e s , t h e s e s a m p l e p o i n t s m u s t f i r s t b e g e n e r a t e d . T h e s t a r t a n d e n d p o i n t s o f a n y c o n t i n u o u s c u r v e m u s t o b v i o u s l y b e g i v e n , a l o n g w i t h s p e c i a l m a r k e r s t o i n d i c a t e t h e s e e v e n t s . F o r r e a l - t i m e a p p l i c a t i o n s , a s w e l l , a n e n d - o f - s e g m e n t i n d i c a t o r s h o u l d b e s e n t i f t h e p e n ( o r o t h e r i n p u t d e v i c e ) r e m a i n s f o r t o o l o n g i n a n y o n e l o c a t i o n . T h i s s t i l l l e a v e s t h e p r o b l e m o f g e n e r a t i n g i n t e r m e d i a t e s a m p l e p o i n t s o n a n y c o n t i n u o u s s e g m e n t . T h e o b j e c t i v e h e r e i s t o g e n e r a t e t h e p o i n t s a u t o m a t i c a l l y , w i t h o u t u s e r i n t e r a c t i o n . A s w e l l , t h e g e n e r a t i o n s h o u l d b e i n r e a l t i m e . C o m p l e t i o n o f a c u r v e s h o u l d n o t b e n e c e s s a r y b e f o r e s e g m e n t a t i o n c a n b e g i n , b u t a s m a l l t i m e d e l a y w o u l d b e a c c e p t a b l e . T h i s c h a p t e r r e v i e w s s o m e o f t h e e x i s t i n g s e g m e n t a t i o n t e c h n i q u e s , s t a r t i n g w i t h s t r a i g h t f o r w a r d s u b s a m p l i n g . Two new t e c h n i q u e s a r e t h e n i n t r o d u c e d b a s e d o n s h a p e a n d d i r e c t i o n c r i t e r i a , t h e s e c o n d o f w h i c h d e t e c t s c o r n e r s . F i n a l l y , t h e r e l a t i o n s h i p o f t h e s e g m e n t a t i o n p r o c e s s t o t h e r e c o n s t r u c t i o n m e t h o d i s d i s c u s s e d . 6 9 5 . 1 S u b s a m p l i n g S u b s a m p l i n g i s t h e s i m p l e s t t e c h n i q u e a v a i l a b l e f o r c u r v e c o d i n g , a n d a l s o o n e o f t h e b e s t . I t c o n s i s t s o f t a k i n g e v e r y N t h s a m p l e p o i n t a n d t r a n s m i t t i n g i t a s a d a t a p o i n t ( n o d e ) . M a n y g r a p h i c a l i n p u t d e v i c e s ( s u c h a s d a t a t a b l e t s o r l i g h t p e n s ) o p e r a t e a t a f i x e d s a m p l i n g r a t e ( i . e . 1 0 0 H z ) . T h i s r a t e i s u s u a l l y e i t h e r u n d e r h a r d w a r e o r s o f t w a r e c o n t r o l . S u b s a m p l i n g t h e n s i m p l y r e d u c e s t h e e f f e c t i v e s a m p l i n g r a t e , r e l y i n g o n a n i n t e r p o l a t i o n a l g o r i t h m a t t h e r e c e i v i n g t e r m i n a l t o r e c o n s t r u c t t h e o r i g i n a l p i c t u r e [ 4 6 ] , T h i s m e t h o d h a s m a n y a d v a n t a g e s . I t i s r o b u s t a n d s i m p l e . F o r a p p l i c a t i o n s w h e r e t h e d a t a c h a n n e l h a s a f i x e d b a n d w i d t h , t h e d a t a t r a n s m i s s i o n r a t e i s m a t c h e d t o t h e c h a n n e l c a p a c i t y . T h i s i s m o r e o f t h e c a s e w i t h d e d i c a t e d l i n k s t h a n w i t h p a c k e t n e t w o r k s w h e r e o p t i m a l c o m p r e s s i o n i s d e s i r e d . M o r e o v e r , i f t h e g r a p h i c a l d a t a i s t o b e s t o r e d o r m a n i p u l a t e d , a m o r e c o m p a c t r e p r e s e n t a t i o n m i g h t b e d e s i r a b l e . W i t h a s u b s a m p l i n g s y s t e m , t h e u s e r h a s s o m e c o n t r o l o v e r t h e a c c u r a c y o f t h e c o d i n g . W h e n f i n e r d e t a i l i s r e q u i r e d , t h e p i c t u r e i s s i m p l y d r a w n m o r e s l o w l y . T h i s d e p e n d e n c e o n t h e u s e r p h y s i o l o g y a l s o w o r k s t o g o o d a d v a n t a g e n e a r c o r n e r s . T h e n a t u r a l m o t i o n i s f o r t h e p e n t o s l o w d o w n , s o t h a t t h e p o i n t s b e c o m e m o r e d e n s e l y p a c k e d ( F i g . 5 . 1 ) . T h e s u b s a m p l i n g m e t h o d i s a l s o f a i r l y s c a l e i n d e p e n d e n t . F o r e x a m p l e , t h e t i m e F i g . 5.1 I n c r e a s e i n d e n s i t y n e a r c o r n e r s ( s u b s a m p l i n g ) T h i s i s d u e t o t h e p h y s i c a l n e c e s s i t y o f d e c e l e r a t i n g t h e p e n . 71 r e q u i r e d t o d r a w a s y m b o l , a n d h e n c e t h e n u m b e r o f p o i n t s u s e d t o c o d e i t , i s o n l y s l i g h t l y d e p e n d e n t o n i t s s i z e . W h a t d i s a d v a n t a g e s d o e s t h i s m e t h o d h a v e ? F i r s t a n d f o r e m o s t , i t d o e s n o t y i e l d o p t i m a l l y c o m p r e s s e d p i c t u r e s . W h e n h i g h e r c o m p r e s s i o n i s i m p o r t a n t , s u c h a s w i t h p a c k e t n e t w o r k s o r d a t a b a s e s t o r a g e , o t h e r s e g m e n t a t i o n t e c h n i q u e s m a y b e b e t t e r . I t s h o u l d b e n o t e d h o w e v e r , t h a t a l l t e c h n i q u e s b a s e d o n s a m p l i n g / r e c o n s t r u c t i o n a r e n o t a s c o m p a c t a s o t h e r s p e c i a l t e c h n i q u e s — c h a i n e n c o d i n g o r p r e d i c t i v e d i f f e r e n t i a l e n c o d i n g ( C h a p t e r 7 ) . T h e s u b s a m p l i n g m e t h o d i s a l s o v e r y m u c h h a r d w a r e o r i m p l e m e n t a t i o n d e p e n d e n t . T h e s a m p l i n g r a t e o f t h e g r a p h i c s d e v i c e d e t e r m i n e s t h e f i n a l d a t a r a t e . A s w e l l , t h e d e g r e e o f u s e r c o n t r o l e x e r c i s e d b y t h e s p e e d o f w r i t i n g c a n b e a d i s a d v a n t a g e , e s p e c i a l l y w i t h i n e x p e r i e n c e d o r h e s i t a n t u s e r s . T h i s c a n a l s o l e a d t o s c a l e d e p e n d e n c e . On t h e w h o l e , h o w e v e r , s u b s a m p l i n g p r o d u c e s g o o d r e s u l t s . T h e s e r e s u l t s d e g r a d e g r a c e f u l l y a s t h e s a m p l i n g r a t e d e c r e a s e s ( F i g . 5 . 2 ) . W h e n c o m p a r e d t o o t h e r s e g m e n t a t i o n t e c h n i q u e s , i t p e r f o r m s q u i t e w e l l . F i g . 5 . 2 S u b s a m p l i n g - 4 d i f f e r e n t r a t e s T h e s a m p l i n g i n t e r v a l s a r e 8 12 16 a n d 2 0 . 7 3 5 . 2 O t h e r t e c h n i q u e s O t h e r p o p u l a r t e c h n i q u e s f o r s e g m e n t i n g c u r v e s a r e u s u a l l y b a s e d o n d i s t a n c e m e a s u r e s [ 4 0 ] o r s t r a i g h t l i n e ( p o l y g o n a l ) a p p r o x i m a t i o n [ 3 3 ] , T h e p r o b l e m w i t h d i s t a n c e m e a s u r e s i s t h a t t h e y a r e v e r y s c a l e d e p e n d e n t . S e g m e n t a t i o n d e p e n d s o n a m a x i m u m t o l e r a b l e e r r o r . T h u s t h e s e g m e n t a t i o n c h a n g e s r a d i c a l l y f o r d i f f e r e n t s i z e s o f t h e s a m e s y m b o l . A s w e l l , s i n c e s p l i n e s a n d n o t s t r a i g h t l i n e s a r e u s e d t o r e c o n s t r u c t t h e c u r v e , t h e e r r o r m e a s u r e i s n o t a c c u r a t e . A s p o i n t e d o u t b y P a v l i d i s [ 3 8 ] , i t m a y b e s e n s i b l e t o s e g m e n t t h e c u r v e a s s u m i n g a p i e c e w i s e p o l y n o m i a l a p p r o x i m a t i o n w i t h o u t c o n t i n u i t y c o n s t r a i n t s , a n d t o t h e n a d j u s t t h e f i t l o c a l l y . T h e s e t y p e s o f m e t h o d s , a s w e l l a s p o l y g o n a l a p p r o x i m a t i o n [ 3 3 ] [ 4 0 ] , u s e i t e r a t i v e t e c h n i q u e s t h a t r e q u i r e t h e c o m p l e t e c u r v e t o b e k n o w n . T h e y a r e t h u s n o t s u i t a b l e f o r r e a l - t i m e c o d i n g . T w o o t h e r p r o m i s i n g t e c h n i q u e s d o o p e r a t e i n r e a l t i m e . R e u m a n n a n d W i t k a m [ 4 1 ] u s e s t r i p s o f t o l e r a n c e ( F i g . 5 . 3 ) t o d e t e r m i n e t h e s e g m e n t a t i o n f o r s t r a i g h t l i n e a p p r o x i m a t i o n . A n i m p r o v e m e n t o f t h i s t e c h n i q u e p r o p o s e d b y W i l l i a m s [ 4 7 ] r e l i e s o n a n g l e m e a s u r e ( F i g . 5 . 4 ) . B o t h m e t h o d s a r e g o o d f o r e l i m i n a t i n g r a s t e r n o i s e o r w h e n u s i n g s t r a i g h t l i n e a p p r o x i m a t i o n . H o w e v e r , t h e s e g m e n t a t i o n p o i n t s p r o d u c e d a r e t o o d e n s e t o b e e f f i c i e n t w h e n s p l i n e i n t e r p o l a t i o n i s u s e d . F i g . 5.4 W i l l i a m s ' a n g l e measure Only a maximum ang le spread i s a l l o w e d . 75 T h e i d e a o f a n a n g l e m e a s u r e i s n e v e r t h e l e s s a n i n t e r e s t i n g o n e , a n d i s i n c o r p o r a t e d i n t o t h e m e t h o d p r o p o s e d i n t h i s c h a p t e r . B e a r i n g i n m i n d a l l o f t h e d r a w b a c k s o f t h e p r e v i o u s t e c h n i q u e s , a s e g m e n t a t i o n a l g o r i t h m i s d e s i r e d t h a t h a s t h e f o l l o w i n g p r o p e r t i e s : — s c a l e i n d e p e n d e n c e — g o o d c o m p r e s s i o n ( a s s u m i n g s p l i n e i n t e r p o l a t i o n ) — p r e s e r v a t i o n o f f e a t u r e s ( c o r n e r s , i n f l e c t i o n p o i n t s ) — r e a l t i m e o p e r a t i o n S u c h a m e t h o d i s p r o p o s e d , w h e r e t h e s e g m e n t a t i o n i s b a s e d o n t h e d i r e c t i o n o f t h e c u r v e d e r i v a t i v e e ( t ) = a r c t a n ( y ' ( t ) / x ' ( t ) ) 5.3 D e r i v a t i v e a n d a n g l e e s t i m a t i o n G i v e n a c u r v e f _ ( t ) , we w i s h t o d e t e r m i n e t h e d e r i v a t i v e f_' ( t ) a n d f r o m t h i s t h e d i r e c t i o n e ( t ) ( F i g . 5.5) w h e r e f ' ( t ) = | f ' ( t ) | {1 c o s 9 ( t ) + j s i n e ( t ) } S i n c e f_( t ) i s o n l y k n o w n a s a s e t o f s a m p l e p o i n t s , t h e d e r i v a t i v e m u s t b e o b t a i n e d b y d i g i t a l d i f f e r e n t i a t i o n , a n i n a c c u r a t e p r o c e d u r e d u e t o t h e e m p h a s i s o f q u a n t i z a t i o n n o i s e . M o r e s o p h i s t i c a t e d t e c h n i q u e s s u c h a s s m o o t h i n g s p l i n e s [33] a r e p o s s i b l e , b u t f o r t h i s a p p l i c a t i o n , a n o r m a l s l o p e f i l t e r i s s u f f i c i e n t . 76 C u r v e d e r i v a t i v e a n d a n g l e m e a s u r e 77 T h e f o r m u l a t i o n f o r t h e l i n e a r l e a s t s q u a r e s s l o p e f i l t e r w a s i n t r o d u c e d i n C h a p t e r 4. A l t h o u g h i t w a s f o u n d t o b e u n s u i t a b l e f o r i n t e r p o l a t i o n , i t i s a c c e p t a b l e f o r s m o o t h i n g . T h e i n v e r s e d i s t a n c e w e i g h t e d l i n e a r l e a s t s q u a r e s w i t h a s q u a r e w i n d o w i s t h e s i m p l e s t ( F i g 5.6) 1 m S i = — E F [ x j . : rx\] + F [ x i , x i + : ] 2m j=1 J N o w , s i n c e t h e s p a c i n g o f t h e d a t a c o m i n g f r o m t h e i n p u t d e v i c e i s r e l a t i v e l y u n i f o r m , a n d s i n c e s c a l i n g i s n o t n e e d e d f o r t h e c o m p u t a t i o n o f 6 ( t ) , we g e t m x \ = E ( x i . + ; - x t . - ) / j j = 1 m y \ = ( y i + j - y i-j ) / j Q\ = a r c t a n ( y ' ^ / x.\) T h e t r e a t m e n t o f e n d p o i n t s i s f a i r l y s t r a i g h t f o r w a r d b y d e f i n i n g ( x i , y t ) = f_i f o r i < 1 a n d i > N I i -j = 11 " " I i ) J > 1 IM*J = IN + (IN - IH-J > J > 1 T h i s i n e f f e c t p u t s " g h o s t i m a g e s " o f t h e s a m p l e p o i n t s b e y o n d t h e s e g m e n t ( F i g . 5 . 7 ) . A s w i t h a n y s m o o t h i n g t e c h n i q u e , a t r a d e o f f m u s t b e m a d e b e t w e e n t h e e l i m i n a t i o n o f q u a n t i z a t i o n n o i s e a n d t h e l o s s o f F i g . 5.7 Treatment of end p o i n t d e r i v a t i v e s Ghost images of p o i n t s are u s e d . 79 s i g n i f i c a n t f e a t u r e s ( c o r n e r s ) . F o r t h i s a p p l i c a t i o n , t h e m i n i m u m a m o u n t o f s m o o t h i n g n e c e s s a r y t o k e e p t h e a n g l e j i t t e r (0 e r r o r d u e t o n o i s e i n x ' a n d y ' ) t o a s m a l l v a l u e ( s a y 1 0 ° ) i s p e r f o r m e d . T h r e s h o l d i n g i s u s e d l a t e r t o r e d u c e t h e e f f e c t s o f t h i s j i t t e r . T h i s v e r y s i m p l e f i l t e r , w h i l e f a i r l y n o i s y , p e r f o r m s w e l l i n c o m b i n a t i o n w i t h t h e o t h e r t e c h n i q u e s p r e s e n t e d h e r e . G o o d t y p i c a l v a l u e s f o r m ( f i l t e r o r d e r ) a r e b e t w e e n 4 a n d 6. O n c e t h e d e r i v a t i v e h a s b e e n o b t a i n e d , a n e s t i m a t e f o r t h e d i r e c t i o n e ( t ) m u s t b e d e r i v e d . A v e r y c o n v e n i e n t w a y t o m a n i p u l a t e t h e a n g l e i s t o m a p [ - i r , + i r ) . t o [ - m a x i n t , + m a x i n t ) w h e r e m a x i n t i s t h e m a x i m u m i n t e g e r r e p r e s e n t a b l e o n t h e c o m p u t e r . T h i s a u t o m a t i c a l l y t a k e s c a r e o f t h e + i r t o - i r w r a p a r o u n d b y m e a n s o f i n t e g e r o v e r f l o w . T o o b t a i n t h e a r c t a n w i t h o u t w o r r y i n g a b o u t d i v i s i o n b y z e r o , m a p ( x , y ) i n t o ( x * , y * ) w h e r e | y * | ^ x * ( F i g . 5 . 8 ) . T h e t r u e a n g l e i s t h e n o b t a i n e d b y m a p p i n g 0 * = a r c t a n y * / x * b a c k i n t o 6 . T h e f i n a l s i m p l i f i c a t i o n i s t o u s e 9 * := i r /4 • y * / x * a s a n a p p r o x i m a t i o n . T h i s a p p r o x i m a t i o n i n t r o d u c e s a m a x i m u m e r r o r o f 4 ° w h i c h i s f a r l e s s t h a n t h e j i t t e r d u e t o t h e d e r i v a t i v e n o i s e . T h e r e s u l t i n g i n t e g e r a l g o r i t h m r e q u i r e s o n l y o n e e x t e n d e d i n t e g e r d i v i s i o n . T h e c o s t o f c o m p u t i n g t h e d i r e c t i o n a t e a c h p o i n t i s t h u s m i n i m a l . 8 0 F i g . 5 . 8 M a p p i n g t r a n s f o r m a t i o n s f o r a r c t a n f u n c t i o n 81 5 . 4 D i r e c t i o n a n d i n f l e c t i o n s e g m e n t a t i o n T h e f i r s t m a j o r m e a s u r e u s e d f o r s e g m e n t a t i o n i s t h e n e t c h a n g e i n d i r e c t i o n f r o m t h e p r e v i o u s n o d e ( s e g m e n t a t i o n p o i n t ) ( F i g . 5 . 9 ) . T h e r e a s o n f o r t h i s i s t h a t a s p l i n e s e g m e n t c a n b e e x p e c t e d t o r e p r o d u c e a c u r v e w i t h t h e s a m e r e l a t i v e e r r o r i f t h e a n g l e d i f f e r e n c e b e t w e e n t h e t a n g e n t s i s t h e s a m e . T h u s t h e s e g m e n t a t i o n a l g o r i t h m p r o c e e d s a l o n g a c u r v e u n t i l a p r e d e t e r m i n e d a n g l e c h a n g e i s e x c e e d e d ( F i g . 5 . 1 0 ) . T h i s g i v e s t h e d e s i r a b l e r e s u l t t h a t d a t a p o i n t s a r e m o r e d e n s e l y s p a c e d i n a r e a s o f h i g h e r c u r v a t u r e . A l s o , t h e c r i t e r i o n i s o b v i o u s l y s c a l e i n d e p e n d e n t . T h e c h o i c e o f t h e a n g l e i n c r e m e n t , 0j>, c o n t r o l s t h e e f f e c t i v e s a m p l i n g d e n s i t y ( a n d h e n c e c o m p r e s s i o n f a c t o r ) o f t h e t e c h n i q u e . T h u s f o r m o r e a c c u r a c y b u t g r e a t e r d a t a b a n d w i d t h , a s m a l l e r e D i s c h o s e n . T o g e t g o o d r e s u l t s , t h e m a x i m u m a l l o w a b l e a n g l e i n c r e m e n t f o r n o r m a l s p l i n e i n t e r p o l a t i o n h a s b e e n f o u n d t o b e a r o u n d 6 0 ° ( F i g . 5 . 1 1 ) . I f t h e c u r v e s a r e f i t t e d , h o w e v e r , a l a r g e r a n g l e o f 9 0 ° m a y b e u s e d ( F i g . 5 . 1 2 ) . A n a n g l e l a r g e r t h a n 9 0 ° i s n o t d e s i r e d b e c a u s e o b t a i n i n g a g o o d f i t b e c o m e s d i f f i c u l t . T h e s e c o n d m a j o r f e a t u r e u s e d f o r s e g m e n t a t i o n c o n t r o l a r e i n f l e c t i o n p o i n t s . W h i l e t h e s e a r e n o r m a l l y d e f i n e d i n t e r m s o f h i g h e r o r d e r d e r i v a t i v e s o f f, t h e y c a n e a s i l y b e e x p r e s s e d a s l o c a l m a x i m a o r m i n i m a o f t h e 0 f u n c t i o n . I n f l e c t i o n p o i n t s a r e 82 F i g . 5 . 9 S e g m e n t a t i o n b a s e d o n d i r e c t i o n a n g l e c h a n g e S e g m e n t a t i o n o c c u r s w h e n | A G | > 6 ^ . F i g . 5 . 1 0 S e g m e n t a t i o n f o r 3 d i f f e r e n t a n g l e t h r e s h o l d s 0 p = 4 5 ° 6 0 ° a n d 9 0 ° . 83 F i g . 5.11 Q u a r t i c f i t t o sampled p o i n t s e D = 45° 60° and 90°. 85 e x a m p l e s o f c r i t i c a l p o i n t s , w h i c h a r e f e a t u r e s t h a t a r e a l s o u s e f u l f o r s e g m e n t a t i o n i n s o m e p a t t e r n r e c o g n i t i o n p r o b l e m s [ 2 4 ] . I t i s d e s i r a b l e t o d e t e c t i n f l e c t i o n p o i n t s b e c a u s e a s p l i n e c a n n o t b e e x p e c t e d t o r e p r o d u c e t h e s e u n l e s s a n o d e i s p l a c e d o n t h o s e p o i n t s ( F i g . 5 . 1 3 ) . B e c a u s e o f t h e j i t t e r i n t h e a n g l e , t h r e s h o l d i n g m u s t b e u s e d t o p r e v e n t t h e d e t e c t i o n o f s p u r i o u s i n f l e c t i o n p o i n t s ( F i g . 5 . 1 4 ) . U n d e r t h i s m e t h o d , t h e m i n i m a x m u s t b e a t l e a s t e T h i g h / d e e p . T o e x p r e s s t h i s i n m a t h e m a t i c a l n o t a t i o n , f o r a m a x i m u m t o e x i s t L e t 6 0 = 9 ( t 0 ) : d i r e c t i o n a t l a s t s e g m e n t a t i o n p o i n t 0 , = 9 ( t , ) : " " p o s s i b l e i n f l e c t i o n p o i n t T h e n AG = 01 - 6 o > 0 T a n d i t 2 > t , s . t . V t , < t * < t 2 , 0 ( t , ) > 0 ( t * ) > 0 ( t 2 ) a n d © , - 0 2 > © T T h e d e f i n i t i o n f o r a m i n i m u m i s s i m i l a r . W i t h t h e s e t w o c r i t e r i a , t h e a l g o r i t h m w o r k s w e l l f o r s m o o t h " c u r v y " p i c t u r e s . H o w e v e r , f o r d r a w i n g s w i t h s h a r p a n g l e s a n d c o r n e r s , t h e a l g o r i t h m m i s s e s t h e s e f e a t u r e s . E v e n w h e n t h e y a r e d e t e c t e d , t h e i n t e r p o l a t o r d o e s n o t d i s t i n g u i s h t h e s e p o i n t s a n d e x e c e s s i v e r o u n d i n g o c c u r s ( F i g . 5 . 1 5 ) . T h u s , a s p e c i a l m e t h o d f o r d e t e c t i n g a n d h a n d l i n g c o r n e r s h a d t o b e d e v i s e d . F i g . 5 . 1 3 E f f e c t o f m i s s i n g i n f l e c t i o n p o i n t s T h e s p l i n e i n t e r p o l a t o r c a n n o t r e c o n s t u c t t h e m . F i g . 5 . 1 4 T h r e s h o l d i n g u s e d i n d e t e c t i n g i n f l e c t i o n p o i n t s T h i s i s t o s u p r e s s m i n o r m a x i m a a n d m i n i m a . F i g . 5 . 1 5 R o u n d i n g o f c o r n e r s d u r i n g i n t e r p o l a t i o n A s p e c i a l t r e a t m e n t f o r t h e s e m u s t b e d e v i s e d . ( O r i g i n a l c u r v e i s s h o w n a s d a s h e d l i n e ) . 88 5 . 5 C o r n e r d e t e c t i o n a n d r e c o n s t r u c t i o n T h e r e c o n s t r u c t i o n o f c o r n e r s t u r n s o u t t o b e a m u c h s i m p l e r p r o b l e m t h a n t h a t o f f i n d i n g t h e m . S i n c e t h e r e c o n s t r u c t i o n m e t h o d d i c t a t e s w h i c h " c o r n e r s " n e e d t o b e f o u n d , t h i s s u b j e c t i s d e a l t w i t h f i r s t . T h e d e s i r e d e f f e c t a t c o r n e r s i s t o h a v e a d i s c o n t i n u i t y i n t h e s l o p e . A s s e e n f r o m C h a p t e r 3 ( p . 2 6 ) , t h i s c o r r e s p o n d s t o s e t t i n g t h e d e r i v a t i v e t o z e r o a t t h e s e p o i n t s [ 2 5 ] , T h i s i s s i m p l e i n t h e c u r v e f i t t i n g c a s e , w h e r e b o t h t h e n o d e s a n d d e r i v a t i v e s a r e s e n t . I n t h e n o r m a l i n t e r p o l a t i n g c a s e , h o w e v e r , s o m e m e c h a n i s m m u s t b e u s e d t o s i g n a l c o r n e r s . A v e r y s i m p l e s o l u t i o n i s t o p u t a d o u b l e n o d e a t e a c h c o r n e r . T h i s i n c r e a s e s t h e a m o u n t o f d a t a t r a n s m i t t e d , b u t i t i s n e c e s s a r y i n o r d e r t o f a i t h f u l l y r e c o n s t r u c t t h e p i c t u r e s . T h i s c o u l d b e i n t e r p r e t e d a s u s i n g a d o u b l e k n o t . H o w e v e r , s i n c e t h e H e r m i t e c u b i c s a r e b e i n g u s e d , t h e i n t e r p r e t a t i o n o f z e r o d e r i v a t i v e i s r e t a i n e d . T h e d o u b l e n o d e i d e a w o r k s i f t h e i n t e r p o l a t i n g a l g o r i t h m s e t s t h e d e r i v a t i v e s t o z e r o f o r s u c h a n o c c u r r e n c e . I f we d e f i n e t h e d i v i d e d d i f f e r e n c e a s F [ x t , x x ] = 0 / 0 = 0 ( a s o p p o s e d t o t h e n o r m a l i n t e r p r e t a t i o n o f F ' ( x x ) ) , t h e n i n t e r p o l a t o r s s u c h a s B e s s e l w o r k f i n e . H o w e v e r , t h e p o l y n o m i a l 89 a n d s i n c - t y p e i n t e r p o l a t o r s m u s t b e m o d i f i e d t o d e t e c t t h e o c c u r r e n c e o f a d o u b l e n o d e a n d t o t h e n s e t t h e d e r i v a t i v e t o z e r o . T h i s t r e a t m e n t o f c o r n e r s p r o d u c e s t h e d e s i r e d r e s u l t . A n a l t e r n a t i v e t r e a t m e n t , w h i c h i n t r o d u c e s o n l y s l i g h t l y m o r e o v e r h e a d , i s t o s i g n a l t h e e n d - o f - c u r v e a t t h e c o r n e r a n d t o s t a r t a new c u r v e a t t h e s a m e l o c a t i o n . F o r t h e n o d e a n d s l o p e m e t h o d o f c o d i n g , t h e c o r n e r m u s t s i m p l y b e d e t e c t e d , s i n c e t h e f i t t i n g a l g o r i t h m w i l l d e t e r m i n e t h e n e e d f o r a z e r o d e r i v a t i v e . T h e c o r n e r h a s t o b e c o r r e c t l y l o c a t e d , h o w e v e r , o r a g o o d f i t i s i m p o s s i b l e ( F i g . 5 . 1 6 ) . T h e m a i n p r o b l e m , t h e n , i s o n e o f d e t e c t i n g a c o r n e r a n d p r o p e r l y l o c a t i n g t h e n o d e a t i t s a p e x . R o s e n f e l d h a s d o n e s o m e w o r k i n t h i s a r e a [ 4 3 ] . H i s m e t h o d s e a r c h e s f o r a c o r n e r a s a l o c a l m a x i m u m i n c u r v a t u r e , g i v e n s o m e s t a r t i n g l o c a t i o n . U n f o r t u n a t e l y , t h e r e i s n o w a y o f t e l l i n g i f s u c h a m a x i m u m i s i n d e e d a c o r n e r o r j u s t a n a r e a o f h i g h c u r v a t u r e . T h e r e f o r e , a new m e t h o d o f c o r n e r d e t e c t i o n i s d e s c r i b e d b e l o w . A c o r n e r c a n b e d e f i n e d a s l o c a l e x t r e m u m i n 9 ' ( F i g . 5 . 1 7 ) . O n c e a g a i n , t h e p r o b l e m o f d i g i t a l d i f f e r e n t i a t i o n i n t r o d u c e s n o i s e . M o r e o v e r , n o s e n s i b l e t h r e s h o l d f o r 9 ' i s p o s s i b l e , s i n c e t h i s v a l u e i s v e r y d e p e n d e n t o f t h e s a m p l i n g f r e q u e n c y . S o p h i s i t i c a t e d m a t c h e d f i l t e r i n g o r s p i k e d e t e c t i o n a l g o r i t h m s m i g h t b e p o s s i b l e , b u t a v e r y s i m p l e t e c h n i q u e i s 90 F i g . 5 . 1 6 M i s l o c a t i o n o f a c o r n e r N o g o o d f i t i s p o s s i b l e . F i g . 5 . 1 7 A c o r n e r i s a l o c a l e x t r e m u m o f 8 ' N o i s e a l s o i n t r o d u c e s s u c h e x t r e m a . 91 u s e d i n s t e a d . S i n c e t h e 6 f u n c t i o n i s e x p e c t e d t o s h o w a l a r g e j u m p w i t h i n a s m a l l i n t e r v a l , we u s e t h e m e a s u r e \B\ - 0 \.p \ w h e r e p i s s o m e f i x e d l a g s i m i l a r t o t h e f i l t e r o r d e r ( i . e . 4 ) . T h i s q u a n t i t y i s t h e n t h r e s h o l d e d t o d e t e r m i n e t h e p r e s e n c e o f a c o r n e r , s o t h a t i f | e i - 0 {.j, | > 0 C t h e n i i s a c o r n e r W h i l e t h i s m e t h o d i s q u i t e h e u r i s t i c , s u i t a b l e v a l u e s f o r © c t h a t w o r k w e l l c a n b e f o u n d ( o b v i o u s l y © c < ©i> o r c o r n e r s w i l l n e v e r b e d e t e c t e d ) . T h i s t e c h n i q u e r a r e l y c a u s e s m i s - s e g m e n t a t i o n , a n d t h e n o n l y i n a r e a s o f v e r y h i g h c u r v a t u r e w h e r e t h e e f f e c t i s n o t n o t i c e a b l e . A m o r e s e r i o u s p r o b l e m w i t h t h i s m e t h o d i s t h a t i t p r o d u c e s m o r e t h a n o n e n o d e a t s o m e c o r n e r s . F o r e x a m p l e i f 0 C = 3 0 ° , t h e n a 9 0 ° c o r n e r w i l l s o m e t i m e s g e n e r a t e t w o s e p a r a t e c o r n e r n o d e s . T o s o l v e t h i s p r o b l e m , t h e s e a r c h f o r t h e n e x t s e g m e n t a t i o n p o i n t i s n o t s t a r t e d u n t i l s o m e f i x e d i n t e r v a l b e y o n d t h e c o r n e r . T h i s e n s u r e s t h a t t h e v a l u e f o r 0 h a s a c h a n c e t o s t a b i l i z e ( F i g . 5 . 1 8 ) . S u i t a b l e v a l u e s f o r t h i s l a g w e r e f o u n d t o b e a b o u t 4 t o 6 s a m p l e s ( i n t h e o r d e r o f p ) . T h i s m e t h o d o f c o r n e r d e t e c t i o n , w h e n c o m b i n e d w i t h t h e p r e v i o u s d i r e c t i o n b a s e d t e c h n i q u e s p r o d u c e s g o o d s e g m e n t a t i o n ( F i g s . 5 . 1 9 a n 5 . 2 0 ) . 92 e ( s ) F i g . 5 . 1 8 S t a r t i n g t h e s e g m e n t a t i o n s e a r c h b e y o n d t h e c o r n e r T h i s a v o i d s t h e p r o b l e m o f m u l t i p l e s e g m e n t a t i o n o f o n e c o r n e r . F i g . 5 . 1 9 S e g m e n t a t i o n w i t h c o r n e r d e t e c t i o n C o m p a r e w i t h F i g . 5 . 1 5 . F i g . 5.20 A segmented fragment of s c r i p t 95 5.5 R e l a t i o n s h i p t o r e c o n s t r u c t i o n m e t h o d T h e p e r f o r m a n c e o f a s e g m e n t a t i o n t e c h n i q u e c a n o n l y b e m e a s u r e d f r o m a r e c o n s t r u c t e d p i c t u r e . I t t u r n s o u t t h a t t h i s p e r f o r m a n c e d e p e n d s h e a v i l y o n t h e r e c o n s t r u c t i o n m e t h o d . F o r i n s t a n c e , w h i l e c o r n e r s m u s t b e f l a g g e d b y s e n d i n g d o u b l e n o d e s i n a n i n t e r p o l a t i o n s c h e m e , t h i s i s n o t n e c e s s a r y w i t h t h e a u t o m a t i c c u r v e f i t t e r . A l s o , i f a s u b s a m p l i n g s e g m e n t a t i o n i s u s e d , t h e n t h e b e s t i n t e r p o l a t o r i s o n e t h a t a s s u m e s u n i f o r m s p a c i n g . T h e s e t y p e s o f c o n s i d e r a t i o n s a r e d i s c u s s e d w i t h e x a m p l e s i n C h a p t e r 7. 9 6 C h a p t e r 6 A u t o m a t e d C u r v e F i t t i n g T h e i d e a o f a d j u s t i n g t h e c u b i c s p l i n e d e r i v a t i v e s t o f i t t h e o r i g i n a l d r a w i n g h a s b e e n m e n t i o n e d p r e v i o u s l y . P i e c e w i s e - c u b i c s w i t h a d j u s t a b l e d e r i v a t i v e s h a v e b e e n u s e d b y o t h e r s b o t h a s e l e m e n t s f o r c u r v e d e s i g n [ 4 ] [ 2 5 ] , a n d a s a w a y o f i n t r o d u c i n g " t e n s i o n " i n t o o t h e r i n t e r p o l a t o r s [ 1 5 ] . O t h e r w o r k h a s a l s o b e e n d o n e u s i n g d i f f e r e n t b a s i c e l e m e n t s f o r c u r v e c o d i n g , s u c h a s l i n e s a n d a r c s [ 6 ] o r q u a d r a t i c B - s p l i n e s [ 3 0 ] . T h e t e c h n i q u e p r e s e n t e d h e r e b u i l d s u p o n t h e w o r k p r e s e n t e d i n t h e p r e v i o u s c h a p t e r s . T h e s e g m e n t a t i o n a l g o r i t h m s d i s c u s s e d i n C h a p t e r 5 a r e u s e d a s a s t a r t i n g p o i n t . T h e s l o p e g e n e r a t i o n m e t h o d s b a s e d o n l y o n t h e s e g m e n t a t i o n p o i n t s ( C h a p t e r 4 ) a r e n o t u s e d . I n s t e a d , t h e s l o p e i s a d j u s t e d t o g i v e a b e s t f i t t o t h e o r i g i n a l d r a w i n g . T h i s m e t h o d c a n b e u s e d n o t o n l y f o r a u t o m a t e d c o d i n g o f c u r v e s , b u t a l s o a s a p r e l i m i n a r y s t e p i n i n t e r a c t i v e c u r v e d e s i g n . T h i s c h a p t e r f i r s t r e v i e w s s o m e t r a d i t i o n a l c u r v e f i t t i n g m e t h o d s , a n d s h o w s why t h e y f a i l i n t h i s a p p l i c a t i o n . A n o n - l i n e a r m e t h o d i s p r o p o s e d w h e r e a d i s t a n c e m a p p i n g i s u s e d t o g e n e r a t e c o n t r o l p o i n t s . T h i s l e a d s t o a n i t e r a t i v e s o l u t i o n , w h o s e d e t a i l s a r e c o n s i d e r e d . T h e v a r i o u s p a r a m e t e r s a n d p o s s i b i l i t i e s f o r s u c h a n a l g o r i t h m a r e d i s c u s s e d . F i n a l l y , t h e l i m i t a t i o n s o f t h e m e t h o d a r e e x p l a i n e d . 97 6 . 1 T r a d i t i o n a l m e t h o d s T h e b e s t k n o w n o f t h e t r a d i t i o n a l c u r v e f i t t i n g m e t h o d s a r e l e a s t s q u a r e s a n d s p l i n e s m o o t h i n g . A s p r e s e n t e d i n t h e p r e v i o u s c h a p t e r , t h e l i n e a r l e a s t s q u a r e s f i t c a n b e u s e d a s a s l o p e f i l t e r t o d e t e r m i n e t h e d i r e c t i o n o f t h e d e r i v a t i v e f_'. H o w e v e r , t o o b t a i n a g o o d f i t , t h e m a g n i t u d e o f t h e d e r i v a t i v e m u s t a l s o b e k n o w n o r a d j u s t e d ( r e c a l l F i g . 3 . 2 ) . T h u s , a f o r m u l a t i o n t h a t y i e l d s b o t h i s n e e d e d . I n t h e n o r m a l o n e d i m e n s i o n a l c a s e , w h e r e a c u r v e i s t o b e f i t t e d t o a s e t o f n o i s y p o i n t s ( s u c h a s t h e d a t a t a b l e t i n p u t ) , a d a t a s m o o t h e r c a n b e u s e d . A m i n i m i z a t i o n o f t h e f o l l o w i n g e r r o r n o r m i s d e s i r e d , E j , = [ I { f (xt) - F i }M 1 '> i w h e r e t h e F{ a r e t h e d a t a p o i n t s . T h e v a r i o u s c a s e s f o r p = 1 , p = 2 a n d p= oo a r e k n o w n a s a b s o l u t e e r r o r , l e a s t - s q u a r e s a n d m a x i m u m e r r o r , r e s p e c t i v e l y . F o r o u r a p p l i c a t i o n , f ( x ) i s a c u b i c s e g m e n t w h o s e e n d - p o i n t v a l u e s a r e k n o w n , a n d w h o s e e n d - p o i n t d e r i v a t i v e s m u s t b e a d j u s t e d ( F i g . 6 . 1 ) . f ' ( x - i , ) c a n b e a d j u s t e d b y m a k i n g a s s u m p t i o n s a b o u t f ' t x - i . , ) a n d f ' ( x { + 1 ) . F o r t w o d i m e n s i o n s , t h e l e a s t s q u a r e s e r r o r n o r m c a n b e w r i t t e n a s 98 F i g . 6.1 S m o o t h i n g f i t o f a c u b i c p i e c e — 1 d i m e n s i o n T h e e n d d e r i v a t i v e s a r e a d j u s t e d f o r a b e s t f i t . 99 + E ( y ( s ^ ) - y i ) 2 i T h u s , t h e t w o - d i m e n s i o n a l m i n i m i z a t i o n p r o b l e m i s d e c o m p o s e d i n t o t w o d i s j o i n t o n e - d i m e n s i o n a l p r o b l e m s . A s a s i m p l e c a s e , t a k e t h e d r a w i n g i n F i g . 6 . 2 a n d d e c o m p o s e i t i n t o i t s x a n d y c o m p o n e n t s . T h e o n e - d i m e n s i o n a l b e s t f i t a t t h e c o r n e r , r e g a r d l e s s o f t h e m e t h o d u s e d , i s t h e n ( x ' , y ' ) = ( 2 ~ 1 ' 2 , 0 ) . H o w e v e r , w h e n t h i s i s u s e d t o i n t e r p o l a t e t h e x - y c u r v e , a w r o n g r e s u l t i s o b t a i n e d ( F i g . 6 . 3 ) . E x a m i n a t i o n o f t h e a b o v e p r o c e d u r e r e v e a l s t h e p r o b l e m . T h e a s s u m p t i o n o f d i s j o i n t o n e d i m e n s i o n a l s o l u t i o n s i s v a l i d , b u t t h e e r r o r o c c u r s i n g o i n g f r o m t h e x - y t o t h e p a r a m e t r i c x ( s ) , y ( s ) r e p r e s e n t a t i o n . A n a l t e r n a t e d e c o m p o s i t i o n ( F i g . 6 . 4 ) y i e l d s t h e c o r r e c t r e s u l t ( x ' , y ' ) = ( 0 , 0 ) . I t i s i m m e d i a t e l y a p p a r e n t t h a t a m u l t i t u d e o f p o s s i b l e d e c o m p o s i t i o n s e x i s t . W h i c h o n e i s a p p r o p r i a t e i s n o t k n o w n u n t i l t h e c o r r e c t v a l u e f o r f _ ' ( x i ) h a s b e e n f o u n d . T h i s p r o b l e m s t e m s f r o m t h e f a c t t h a t , w h e n u s i n g c u b i c p a r a m e t r i c s p l i n e s , t h e p a r a m e t e r s c a n b e h i g h l y n o n - l i n e a r w i t h r e s p e c t t o t h e  a r c - l e n g t h . W h a t g i v e s t h e p a r a m e t r i c r e p r e s e n t a t i o n i t s p o w e r f o r c u r v e d e s i g n a n d l o c a l t e n s i o n a d j u s t m e n t , p r o v e s t o b e t h e d o w n f a l l o f a n o r m a l c u r v e f i t t i n g m e t h o d . W h a t i s n e e d e d t h e n , i s a m e t h o d t h a t t a k e s i n t o a c c o u n t t h e n o n - l i n e a r m a p p i n g o f s i n t o a r c - l e n g t h . E 2 = E | f ( s t ) - F t 1 2 i = E ( x ( s 4 ) - x t ) 2 i 100 F i g . 6 . 2 D e c o m p o s i n g a n x - y c u r v e i n t o i t s x a n d y c o m p o n e n t s F r o m t h i s , b e s t f i t s c a n b e o b t a i n e d i n e a c h d i m e n s i o n x(a) H — >< x(b) F i g . 6 . 3 I n c o r r e c t f i t o b t a i n e d f r o m a b o v e T h i s i s d u e t o t h e n o n l i n e a r m a p p i n g n e c e s s a r y f o r s . F i g . 6 . 4 A l t e r n a t e d e c o m p o s i t i o n T h i s y i e l d s t h e c o r r e c t r e s u l t . 1 0 2 6 . 2 N o n - l i n e a r m e t h o d s O n e p o s s i b l e a p p r o a c h t h a t d o e s a w a y w i t h t h e n e e d f o r s p e c i a l p a r a m e t e r m a p p i n g i s t o t r y t o m a t c h c u r v a t u r e . T h e c u r v a t u r e o f t h e c u b i c s p l i n e i s w e l l d e f i n e d , e v e n t h o u g h i t may b e d i s c o n t i n u o u s a t t h e b r e a k p o i n t . T h e p r o b l e m a r i s e s w h e n t r y i n g t o d e t e r m i n e t h e c u r v a t u r e o f t h e a c t u a l d r a w i n g . I f we w r i t e t h e c u r v a t u r e a s a f u n c t i o n o f F ' a n d F ' ' , t h e n d i g i t a l d i f f e r e n t i a t i o n i n t r o d u c e s t o o m u c h n o i s e f o r t h i s m e t h o d t o b e u s a b l e . A n a l t e r n a t i v e a p p r o a c h i s t o u s e a c i r c u l a r f i t t h r o u g h t h r e e p o i n t s ( F i g 6 . 5 ) . H o w e v e r , t h i s m e a s u r e i s t o o s e n s i t i v e t o t h e l o c a t i o n o f t h e 3 p o i n t s . F o r e x a m p l e , i f a c o r n e r i s p r e s e n t , t h e c o r r e c t r e s u l t o f a z e r o r a d i u s o f c u r v a t u r e c a n n o t b e f o u n d . M o v i n g t h e p o i n t s c l o s e r t o t h e b r e a k p o i n t o n l y i n c r e a s e s t h e n o i s e i n t h e m e a s u r e . C u r v a t u r e m a t c h i n g i s t h u s n o t a s u i t a b l e t e c h n i q u e , b e c a u s e o f t h e n a t u r e o f t h e i n p u t d r a w i n g . O n e a p p r o a c h t h a t w o r k s i s i n s o m e s e n s e c o u n t e r i n t u i t i v e t o t h e o r i g i n a l c u r v e f i t t i n g a t t e m p t . I n s t e a d o f p i c k i n g p o i n t s ( x i » y - i . ) a n d m i n i m i z i n g t h e d i s t a n c e t o t h e m , we s t a r t b y s e l e c t i n g a v a l u e t * f o r t h e f r e e v a r i a b l e , a n d f r o m t h i s d e r i v i n g t h e p o i n t ( x * , y * ) . 1 0 3 F i g . 6 . 5 C u r v a t u r e d e r i v e d f r o m 3 p o i n t s T h i s m e a s u r e i s s e n s i t i v e t o t h e l o c a t i o n o f t h e p o i n t s . 104 T h e m e t h o d t h e n w o r k s a s f o l l o w s . F o r a g i v e n p a r a m e t e r t * , 0 < t * < l / 2 , o b t a i n x * a n d y * f r o m t h e c u b i c s e g m e n t f o r m u l a ( a s s u m i n g s o m e v a l u e f o r f ' ) . T h e n f i n d t h e d i s t a n c e o f ( x * , y * ) t o t h e o r i g i n a l c u r v e , a n d a d j u s t t h e v a l u e o f f_' t o p u t ( x ( t * ) , y ( t * ) ) o n t o t h e c u r v e . T h e d i s t a n c e o f ( x * , y * ) t o t h e c u r v e i s n o t e a s y t o c o m p u t e . A c o m p u t a t i o n a l l y m o r e u s e f u l q u a n t i t y i s t h e d i s t a n c e m e a s u r e d p e r p e n d i c u l a r t o t h e c h o r d d e f i n i n g t h e c u b i c s e g m e n t ( F i g . 6 . 6 ) . T h i s i s c a c l u l a t e d f a i r l y s i m p l y b y m o v i n g a l o n g t h e o r i g i n a l c u r v e u n t i l t h e d i r e c t e d d i s t a n c e a l o n g t h e c h o r d i s t h e s a m e a s t h a t o f ( x * , y * ) , i . e . [ ( x , y ) - ( x 0 , y 0 ) ] • r > [ ( x * , y * ) - ( x 0 , y 0 ) ] • I T h e q u a n t i t y d / d * may b e u s e d t o c a l c u l a t e t h e n e c e s s a r y v a l u e f o r f_'. T h i s i s b e c a u s e b y c o n t r o l l i n g t h e t e n s i o n , f_' c o n t r o l s t h e " b u l g e " o f t h e c u r v e a w a y f r o m i t s d e f i n i n g c h o r d . T h e p r o c e d u r e h e r e h a s o n l y b e e n d e s c r i b e d f o r o n e s e g m e n t . I t m u s t a c t u a l l y b e p e r f o r m e d o n b o t h s e g m e n t s w h o s e b e h a v i o u r i s c o n t r o l l e d b y f ' . A m e t h o d m u s t b e d e f i n e d t o a d j u s t f_' b a s e d o n t h e s h a p e o f t h e c u r v e s o n b o t h s i d e s . I t w o u l d b e c o n v e n i e n t i f t h e o p t i m a l f_' c o u l d b e o b t a i n e d i n o n e s t e p f r o m s u c h m e a s u r e s a s d / d * . U n f o r t u n a t e l y , s i n c e t h e v a l u e s o f ( x * , y * ) d e p e n d o n f_' , c h a n g i n g f_' w i l l a f f e c t b o t h t h e p a r a l l e l a n d t h e p e r p e n d i c u l a r d i s t a n c e o f ( x * , y * ) f r o m ( x l 5 y i ) ( x 0 5 y 0 ) 6.6 D i s t a n c e measured p e r p e n d i c u l a r to the c h o r d T h i s measure i s used to a d j u s t the d e r i v a t i v e . 1 06 ( x O f Y o ) ' T h u s , a new ( x * , y * ) m u s t b e c a l c u l a t e d a n d t h e p r o c e d u r e r e p e a t e d . A n i t e r a t i v e s o l u t i o n t h e r e f o r e b e c o m e s n e c e s s a r y , a n d t h i s i s t h e r e a s o n w h y t h e m e t h o d i s n o n - l i n e a r . O n e - s t e p c o n v e r g e n c e i s n o t p o s s i b l e , b u t f o r t u n a t e l y t h e m e t h o d d o e s c o n v e r g e q u i c k l y i f t h e a p p r o p r i a t e u p d a t i n g c h o i c e s f o r f_' a r e m a d e . 6 . 3 T h e i t e r a t i v e s o l u t i o n T h e p r e s e n t a t i o n o f t h e i t e r a t i v e s o l u t i o n t h u s f a r h a s b e e n i n t e n t i o n a l l y d e s c r i p t i v e . T h e m e t h o d c o n s i s t s o f c h o o s i n g f_', a n d t h e n f o r a g i v e n p a r a m e t e r t * , o b t a i n i n g ( x * , y * ) . F r o m t h e s e , t h e p e r p e n d i c u l a r d i s t a n c e s t o t h e c h o r d o f b o t h ( x * , y * ) a n d t h e o r i g i n a l c u r v e a r e c a l c u l a t e d . T h e s e d i s t a n c e s a r e u s e d t o u p d a t e f_' a n d t h e p r o c e d u r e r e p e a t e d . T h i s r a i s e s s o m e q u e s t i o n s a b o u t t h e d e t a i l s o f t h e m e t h o d : — w h a t a r e t h e s t a r t i n g v a l u e s f o r f_\ ( a l s o t\. , a n d f . ' { + i ) ? — w h a t i s t h e c h o i c e o f f r e e p a r a m e t e r t * ? — h o w d o y o u u p d a t e _f'{ g i v e n t h e d i s t a n c e s d a n d d * ? — w h a t a r e t h e s t o p p i n g c o n d i t i o n s f o r t h e a l g o r i t h m ? — w h a t i s t h e s t a b i l i t y a n d e f f i c i e n c y o f t h e m e t h o d ? T h e s e q u e s t i o n s a r e d e a l t w i t h i n t h i s s e c t i o n . F i n d i n g a s t a r t i n g v a l u e f o r t\ i s o n e o f t h e e a s i e r p r o b l e m s . T h e s l o p e e s t i m a t e u s e d i n C h a p t e r 5 c a n a l s o b e u s e d h e r e . T h e d i r e c t i o n may b e i n c o r r e c t b y a s m a l l a m o u n t , b u t i n t h o s e a r e a s w h e r e t h e u n c e r t a i n t y i n d i r e c t i o n i s g r e a t e s t 1 0 7 ( a r e a s o f h i g h e s t c u r v a t u r e ) , t h e m a g n i t u d e o f f_' w i l l e v e n t u a l l y b e s m a l l s o t h a t t h i s e f f e c t i s m i n i m i z e d . T h e a l t e r n a t i v e i s t o u s e o n e o f t h e s l o p e e s t i m a t e s f r o m C h a p t e r 4 . T h e l o c a l d i r e c t i o n e s t i m a t e o f C h a p t e r 5 i s p r e f e r r e d , s i n c e i t u s e s m o r e o f t h e i n f o r m a t i o n p r e s e n t i n t h e o r i g i n a l c u r v e . A s t a r t i n g m a g n i t u d e f o r _f' m u s t a l s o b e f o u n d , s i n c e t h e s l o p e f i l t e r y i e l d s o n l y d i r e c t i o n . W h e n u s i n g i n t e r p o l a t i o n , t h e d e r i v a t i v e i s u s u a l l y a l i n e a r c o m b i n a t i o n o f F[X{,XJ], w h o s e m a g n i t u d e i s a l w a y s 1. T h u s , a s t a r t i n g m a g n i t u d e o f 1 i s r e a s o n a b l e , a n d i s i n d e e d t h e l i m i t i n g c a s e a s t h e s e g m e n t a t i o n b e c o m e s m o r e d e n s e . T h e c h o i c e o f t h e p a r a m e t e r t * c o n t r o l s t h e l o c a l i t y o f t h e f i t t i n g p r o c e d u r e . I t i s r e l a t e d m o n o t o n i c a l l y , b u t u s u a l l y n o t l i n e a r l y , t o t h e d i r e c t e d d i s t a n c e b e t w e e n t h e s e g m e n t e n d - p o i n t s . F o r t h i s d i s c u s s i o n , l e t u s i n t r o d u c e o r t h o g o n a l c o o r d i n a t e s ( u , v ) , w h e r e u l i e s a l o n g t h e c h o r d d i r e c t i o n ( F i g . 6 . 7 ) . F o r t * c l o s e r t o 0 , t h e m e t h o d i s m o r e l o c a l , s i n c e t h e c o n t r i b u t i o n f r o m f_, • * , ( t * - 1 ) g o e s t o 0 , i . e . t h e m e t h o d d e p e n d s l e s s o n t h e a s s u m e d v a l u e o f t h e o t h e r e n d - p o i n t d e r i v a t i v e . A s t * a p p r o a c h e s V 2 1 t h i s l o c a l i t y i s r e d u c e d , b u t a b e t t t e r f i t a t t h e m i d - p o i n t o f t h e s e g m e n t i s o b t a i n e d . T h e s e t w o c o n s i d e r a t i o n s , u n c e r t a i n t y i n e n d - c o n d i t i o n a n d d e s i r e t o f i t t h e w h o l e c u r v e w e l l , m u s t b e b a l a n c e d o f f . T y p i c a l g o o d v a l u e s f o r t * a r e Wn o r We-108 F i g . 6.7 T h e o r t h o g o n a l c o o r d i n a t e s ( u , v ) T h e c u b i c f u n c t i o n i s r e p r e s e n t e d i n t e r m s o f p a r a l l e l a n d n o r m a l c o n t r i b u t i o n s . 109 How t o u p d a t e f_' i s a c o m p l e x q u e s t i o n . T w o b a s i c a l l y d i f f e r e n t a p p r o a c h e s e x i s t , a l t h o u g h h y b r i d m e t h o d s a r e p o s s i b l e . T h e f i r s t a p p r o a c h i s t o a d j u s t t h e m a g n i t u d e o n l y , w h i l e t h e s e c o n d i s t o r e - c a l c u l a t e t h e n e w f_' ( m a g n i t u d e a n d d i r e c t i o n ) u p o n e a c h i t e r a t i o n . A d j u s t i n g t h e m a g n i t u d e i s a f a r s i m p l e r a n d m o r e s t a b l e a p p r o a c h . O n e s u c h v e r y s i m p l e m e t h o d i s t o s e t t h e n e w f_' a c c o r d i n g t o t h e r a t i o d / d * f ' := f ' • [ d . / d * • d + / d * ] 1 ' 2 w h e r e t h e p l u s a n d m i n u s s i g n s d i s t i n g u i s h b e t w e e n t h e p r e v i o u s a n d n e x t s e g m e n t s . C o n t r o l o f t h e i t e r a t i o n i s q u i t e s i m p l e , b e c a u s e o n l y o n e f r e e v a r i a b l e e x i s t s , n a m e l y | f_' | . A m o r e c o m p l e x f o r m u l a f o r u p d a t i n g f_' , o n e t h a t a d j u s t s b o t h m a g n i t u d e a n d d i r e c t i o n , c a n b e u s e d . R e f e r r i n g t o F i g . 6.7, we d e s i r e k 2 ' A f ' = [ ( x , y ) - ( x * , y * ) ] . T h i s w i l l y i e l d t w o c o n f l i c t i n g i n c r e m e n t s , o n e f r o m e a c h s i d e o f t h e n o d e , w h i c h m u s t s o m e h o w b e c o m b i n e d . T h e p r o b l e m w i t h t h i s a p p r o a c h i s t h a t i t i s d i f f i c u l t t o c o n t r o l t h e i t e r a t i o n . A s w e l l , i t i s p o s s i b l e t o e n d u p w i t h a d i r e c t i o n f o r t h e d e r i v a t i v e f_' t h a t d o e s n o t c o r r e s p o n d a t a l l t o t h e l o c a l d i r e c t i o n o f t h e o r i g i n a l c u r v e . F o r t h e s e r e a s o n s , o n l y t h e m a g n i t u d e a d j u s t i n g f i t i s e x a m i n e d f u r t h e r . 1 1 0 R e t u r n i n g t o t h e f i r s t a p p r o a c h , t h e c o n t r o l o f t h e i t e r a t i o n i s n o t a d i f f i c u l t p r o b l e m w i t h o n l y o n e f r e e v a r i a b l e ( m a g n i t u d e ) . C h e c k s a r e m a d e t o e n s u r e t h a t n o l o o p i n g i s o c c u r r i n g ( F i g . 6 . 8 ) . S i n c e t h e f i t n e e d o n l y b e o f a c e r t a i n a c c u r a c y , t h e i t e r a t i o n i s s t o p p e d i f t h e c h a n g e i n | f ' | i s s m a l l e n o u g h (< 5 % ) , o r a s u f f i c i e n t l y s m a l l v a l u e o f | f ' | i s r e a c h e d (< . 0 5 ) . A s w e l l , i f a n e g a t i v e v a l u e o f j f ' | o c c u r s , t h e n | f ' | i s s e t t o z e r o a n d t h e i t e r a t i o n i s s t o p p e d . U s i n g t h e s e c r i t e r i a , t h e m e t h o d u s u a l l y c o n v e r g e s v e r y r a p i d l y (1 t o 2 i t e r a t i o n s ) . T h e s t a b i l i t y o f t h e m e t h o d i s a l s o v e r y g o o d , s i n c e e x c e s s i v e l o o p i n g i s c o n t r o l l e d . T h e o n e r e m a i n i n g p r o b l e m i s h o w t o c h o o s e t h e o t h e r e n d - p o i n t d e r i v a t i v e s f_\. 1 a n d f_ ' i+ i w h e n a d j u s t i n g f\. S e v e r a l p o s s i b i l i t i e s e x i s t : 1) S e t f . t . 1 a n d _f\+1 t o z e r o . T h i s c a u s e s o v e r s h o o t i n t h e c u r v e f i t t e r . 2 ) S e t f . \ . i a n d f_\ + , t o b e a n t i s y m m e t r i c c o p i e s o f f_\, i . e . r e f e r r i n g t o t h e o r t h o g o n a l c o o r d i n a t e s , s e t f ' 1 v = - f o V a n d f i n = + f o u • W h i l e t h i s i s i n t u i t i v e l y a p p e a l i n g b e c a u s e i t i s a n a l a g o u s t o t h e b e h a v i o u r o f c i r c u l a r a r c s ( F i g . 6 . 9 ) , i t d o e s n o t w o r k w e l l b e c a u s e t h e a c t u a l f_\. , a n d f . \+1 m a y b e v a s t l y d i f f e r e n t . 3 ) U s e t h e d i r e c t i o n i n f o r m a t i o n a v a i l a b l e e ( s t . i ) a n d e ( s l + 1 ) t o g e n e r a t e g u e s s e s s i m i l a r t o t h e f i r s t g u e s s f o r £ { . T h i s w o r k s w e l l u n l e s s t h e a c t u a l f i t t e d m a g n i t u d e o f t\., o r _ f \ + ! t u r n s o u t t o b e f a r f r o m o n e . 111 a l l o w e d no t a l l o w e d F i g . 6.8 C o n t r o l o f t h e i t e r a t i o n P o s s i b l e l o o p i n g s i t u a t i o n s a r e n o t a l l o w e d . f . F i g . 6 . 9 A n t i s y m m e t r i c t a n g e n t s o n a c i r c u l a r a r c E x p r e s s e d i n ( u , v ) c o o r d i n a t e s , f ' 1 Y = - f 0 v a n d f ' m = + f ou • 1 12 4 ) A s a n i m p r o v e m e n t o n t h e a b o v e m e t h o d , u s e t h e f_\. •, p r e v i o u s l y g e n e r a t e d , a n d s e t f_' 1 +, - | f . V i l * ^ c o s © i + i , s i n e l + 1 ) . T h i s i s t h e b e s t t h a t c a n b e d o n e w i t h o u t " a p r i o r i " k n o w l e d g e o f t h e n e x t d e r i v a t i v e v a l u e f. ' i+1 . T h e q u e s t i o n m a y a r i s e a s t o w h y f i t t i n g b o t h s e g m e n t s s u r r o u n d i n g t_\ i s n e c e s s a r y . I f we f i t o n l y o n t h e p r e c e d i n g s e g m e n t , u s i n g t h e v a l u e o f f. V 1 p r e v i o u s l y d e t e r m i n e d , a p e r f e c t f i t s h o u l d b e p o s s i b l e . U n f o r t u n a t e l y , t h i s c o u l d r e s u l t i n o v e r s h o o t o n t h e n e x t s e g m e n t ( F i g . 6 . 1 0 ) . T h u s , b o t h s e g m e n t s n e e d t o b e c o n s i d e r e d a t t h e s a m e t i m e . 6 . 4 L i m i t a t i o n s T h e f i r s t o b v i o u s l i m i t a t i o n o f t h i s t e c h n i q u e i s t h a t o n l y o n e p o i n t i s u s e d o n e a c h s e g m e n t t o f i t t h e w h o l e c u r v e . T h i s i s e a s i l y o v e r c o m e b y u s i n g m o r e p o i n t s , i . e . a d d a n o t h e r p o i n t t * * , s a y 0 < t * * < t * . T h e p o i n t s ( x * * , y * * ) a r e s i m i l a r l y g e n e r a t e d , a n d t h e f_\ i s u p d a t e d b y a w e i g h t e d g e o m e t r i c a l m e a n o f a l l t h e p e r p e n d i c u l a r d i s t a n c e m e a s u r e s . T h i s a d d i t i o n y i e l d s a s m a l l i m p r o v e m e n t i n t h e p e r f o r m a n c e o f t h e f i t t i n g a l g o r i t h m , a t t h e e x p e n s e o f m o r e c o m p u t i n g t i m e . T h e m o r e s e r i o u s l i m i t a t i o n i s t h e p r o b l e m o f n o t k n o w i n g JL'i+1 " a p r i o r i " , w h i c h l e a d s t o s u b - o p t i m a l v a l u e s f o r t\. T h i s b a s i c d e f i c i e n c y c a n n o t b e o v e r c o m e w i t h o u t r e s o r t i n g t o s o m e s o r t o f f o r w a r d - b a c k w a r d i t e r a t i o n , e s s e n t i a l l y r e m o v i n g t h e 113 F i g . 6 . 1 0 O v e r s h o o t d u e t o n o n - s y m m e t r i c c u r v e f i t t i n g T h i s o c c u r s o n l y w h e n t h e p r e c e d i n g s e g m e n t i s u s e d t o d e t e r m i n e 1 14 r e a l - t i m e n a t u r e o f t h e t e c h n i q u e . I n t h o s e s i t u a t i o n s w e r e a n o f f - l i n e t e c h n i q u e i s f e a s i b l e , a v e r y g o o d f i t s h o u l d b e o b t a i n a b l e b y u s i n g a t w o - p a s s p r o c e d u r e . 1 1 5 C h a p t e r 7 E x p e r i m e n t s a n d R e s u l t s T h i s c h a p t e r c o m p a r e s t h e v a r i o u s c o d i n g / d e c o d i n g m e t h o d s t h a t a r e m a d e p o s s i b l e b y c o m b i n i n g t h e t e c h n i q u e s p r e s e n t e d p r e v i o u s l y . E r r o r m e a s u r e s , b o t h q u a n t i t a t i v e a n d q u a l i t a t i v e , a r e f i r s t i n t r o d u c e d . S o m e o f t h e b e s t t e c h n i q u e s t o e m e r g e f r o m t h i s r e s e a r c h a r e t h e n p r e s e n t e d a n d c o m p a r e d . F i n a l l y , o t h e r p o s s i b l e t e c h n i q u e s s u c h a s c h a i n e n c o d i n g a r e m e n t i o n e d . 7 . 1 E r r o r m e a s u r e s B e f o r e b e i n g a b l e t o c o m p a r e a n y t w o c o d i n g m e t h o d s , e r r o r m e a s u r e s m u s t b e i n t r o d u c e d t o g i v e a b a s i s f o r c o m p a r i s o n . T h e s e c a n b e s t r i c t l y q u a n t i t a t i v e , s u c h a s r m s d e v i a t i o n , o r s t r i c t l y q u a l i t a t i v e , s u c h a s l e g i b i l i t y . S i n c e t h e e n d p u r p o s e o f a c o d i n g s y s t e m i s t o t r a n s m i t g r a p h i c a l i n f o r m a t i o n w i t h o u t l o s s o f c o n t e n t , t h e v i s u a l c r i t e r i a w o u l d s e e m t o b e m o r e i m p o r t a n t . H o w e v e r , q u a n t i t a t i v e e r r o r m e a s u r e s a r e r i g o r o u s l y d e f i n e d , a n d c a n t h u s b e u s e d m o r e e a s i l y i n e x p e r i m e n t a l w o r k . T o o b t a i n s o m e s o r t o f e r r o r f i g u r e , b e i t m a x i m u m e r r o r o r r m s e r r o r , a d i s t a n c e m e a s u r e f o r t w o c u r v e s m u s t b e d e f i n e d . T h i s i s n o t a s i m p l e m a t t e r , a s t h e r e i s n o o n e - t o - o n e c o r r e s p o n d a n c e b e t w e e n i n p u t a n d o u t p u t p o i n t s ( F i g . . 7 . 1 ) . T h u s , s o m e s o r t o f d y n a m i c t i m e - w a r p i n g ( o r d i s t a n c e - w a r p i n g ) a l g o r i t h m i s r e q u i r e d . S o p h i s t i c a t e d m e t h o d s , s u c h a s d y n a m i c F i g . 7 . 1 P o i n t s i n o r i g i n a l a n d r e c o n s t r u c t e d d r a w i n g s T h e r e i s n o o n e - t o - o n e c o r r e s p o n d a n c e b e t w e e n p o i n t s . 1 17 p r o g r a m m i n g h a v e b e e n d e s i g n e d t o h a n d l e t h i s p r o b l e m , b u t f o r t h i s a p p l i c a t i o n , a r a t h e r s i m p l e c u r v e d i s t a n c e m a p p i n g t e c h n i q u e i s s u f f i c i e n t . T h e a l g o r i t h m w o r k s b y t r y i n g t o m a t c h e v e r y o u t p u t p o i n t t o s o m e i n p u t p o i n t t h r o u g h m i n i m i z a t i o n o f t h e d i s t a n c e b e t w e e n t h e t w o p o i n t s . T h e s e a r c h f o r a m i n i m u m c o n t i n u e s u n t i l s o m e t h r e s h o l d d i f f e r e n c e i s e x c e e d e d ( F i g . 7 . 2 ) . T h i s t h r e s h o l d i n g a l l o w s f o r a m i n i m u m s e a r c h i n t h e p r e s e n c e o f q u a n t i z a t i o n n o i s e , b u t h o p e f u l l y p r e v e n t s t h e s e a r c h f r o m g o i n g a r o u n d t o o f a r a n d m i s s i n g a w h o l e l o o p . T h e a l g o r i t h m i s g i v e n i n A p p e n d i x A . A f e w c o m m e n t s s h o u l d b e m a d e a b o u t t h i s a l g o r i t h m . F i r s t , t h e c h o i c e o f t h r e s h o l d € i s r a t h e r h e u r i s t i c , b a s e d o n h a l f t h e s t e p s i z e o f t h e o u t p u t d a t a . S e c o n d , i f we r u n a s t r i c t l y s u b s a m p l e d f i l e t h r o u g h t h e e r r o r m e a s u r e , t h e r e s u l t i n g e r r o r i s z e r o ! T h i s i s b e c a u s e e a c h p o i n t i n t h e o u t p u t f i l e c o r r e s p o n d s e x a c t l y t o s o m e i n p u t p o i n t . . T o o v e r c o m e t h i s p r o b l e m , m i d p o i n t s o f t h e r e c o n s t r u c t i n g l i n e s e g m e n t s a r e a l s o u s e d i n t h e e r r o r m e a s u r e . L a s t l y , t h e r m s e r r o r m e a s u r e f o r a l m o s t a l l m e t h o d s b o t t o m s o u t a r o u n d 3 s c r e e n u n i t s . T h i s i s d u e t o t h e q u a n t i z a t i o n n o i s e a t t h e d a t a t a b l e t . H a v i n g e s t a b l i s h e d a q u a n t i t a t i v e t e c h n i q u e t h a t w o r k s w e l l , l e t u s p a s s t o m o r e s u b j e c t i v e c r i t e r i a . B o t h t h e r m s a n d m a x i m u m e r r o r m e a s u r e s c a n b e u s e d . T h e m a x i m u m e r r o r i s m o r e 118 reconstructed curve match F i g . 7 . 2 D i s t a n c e m e a s u r e u s e d t o c o m p a r e c u r v e s T h e s e a r c h f o r a m i n i m u m c o n t i n u e s u n t i l s o m e t h r e s h o l d i s e x c e e d e d . 1 1 9 m e a n i n g f u l v i s u a l l y , b u t i s a l s o m o r e s e n s i t i v e t o o n e - s h o t e r r o r s . O t h e r t y p e s o f n o i s e , s u c h a s h i g h f r e q u e n c y j i t t e r , a r e m o r e a n n o y i n g v i s u a l l y t h a n t h e i r e r r o r m e a s u r e w o u l d i n d i c a t e . T h i s i s d u e i n p a r t t o t h e s e n s i t i v i t y o f t h e v i s u a l s y s t e m t o h i g h f r e q u e n c i e s . T h i s a l s o a p p l i e s t o t h e l o s s o f f e a t u r e s , s u c h a s t h e r o u n d i n g o f c o r n e r s . T h e l o s s o f t h i s i n f o r m a t i o n c a n b e m o r e i m p o r t a n t t h a n a l a r g e r q u a n t i t a t i v e e r r o r a l o n g t h e m i d - p o i n t o f a n a r c ( F i g . 7 . 3 ) . O t h e r f e a t u r e s t h a t a r e i m p o r t a n t i n c l u d e t h e c l o s u r e o f c u r v e s , a c c u r a t e s t a r t a n d e n d p o i n t s , a n d c u r v e c r o s s i n g s . S i n c e i t i s i m p o s s i b l e t o p u t d o w n t h e s e c o n s i d e r a t i o n s s t r i n g e n t l y , a f e w g u i d e l i n e s s h o u l d b e s e t . A g o o d c o d i n g s y s t e m s h o u l d : 1) s t a r t a n d e n d a c c u r a t e l y 2 ) h a v e r e a s o n a b l e a b s o l u t e e r r o r 3 ) r e p r o d u c e c o r n e r s w e l l 4 ) n o t i n t r o d u c e e x t r a " w i g g l e s " 5 ) n o t i n t r o d u c e h i g h f r e q u e n c y n o i s e ( j i t t e r ) T h e s e d e s i r e d p r o p e r t i e s w i l l b e c o n s i d e r e d w h e n c o m p a r i n g t h e v a r i o u s m e t h o d s i n t h i s c h a p t e r . B e f o r e p a s s i n g t o t h e s e , a c o m m e n t s h o u l d b e m a d e o n t h e c l a s s e s o f p i c t u r e s b e i n g c o d e d . T h e p e r f o r m a n c e o f a c o d i n g t e c h n i q u e d e p e n d s t o s o m e e x t e n t o n t h e t y p e o f c u r v e b e i n g s e n t . S m o o t h " c u r v y " d r a w i n g s s u c h a s s c r i p t w r i t i n g a n d f r e e - h a n d d r a w i n g s h o u l d p r o d u c e d i f f e r e n t r e s u l t s t h a n " c h o p p y " F i g . 7.3 V i s u a l e f f e c t s v s . a b s o l u t e e r r o r E f f e c t such as corner round ing can have more impact than l a r g e a b s o l u t e e r r o r s . 121 p i c t u r e s s u c h a s p r i n t a n d s c h e m a t i c d i a g r a m s . A n a t t e m p t h a s b e e n m a d e t o t e s t e a c h a l g o r i t h m o n m e m b e r s o f e a c h c l a s s . T h e f i n a l t e s t , h o w e v e r , h a s t o b e w i t h t h e i n t e n d e d a p p l i c a t i o n , s u c h a s g r a p h i c a l i n t e r o f f i c e c o m m u n i c a t i o n s . 7 . 2 C o m p a r i s o n o f t e c h n i q u e s O f t h o s e t e c h n i q u e s t h a t h a v e b e e n p r e s e n t e d p r e v i o u s l y , s o m e o f t h e b e t t e r o n e s a r e c o m p a r e d h e r e . T h i s c h a p t e r r e s t r i c t s i t s e l f m o s t l y t o d i s c u s s i n g t h e s e i n q u a l i t a t i v e t e r m s . T h e a c t u a l r e s u l t s a r e c o n t a i n e d i n A p p e n d i x B , w h i c h i n c l u d e s t h e c o d e d / d e c o d e d d r a w i n g s , a n d t h e t a b l e s a n d g r a p h s o f t h e e r r o r m e a s u r e s . A s m e n t i o n e d p r e v i o u s l y , q u a n t i t a t i v e e r r o r m e a s u r e s a r e o f l i m i t e d u s e f u l n e s s i n c o m p a r i n g c o d i n g t e c h n i q u e s . F o r t h e s e r e a s o n s , t h e y a r e u s e d a s g u i d e s , a n d t h e q u a l i t a t i v e p r o p e r t i e s g i v e n i n t h e p r e v i o u s s e c t i o n a r e a l s o d i s c u s s e d . S u b s a m p l i n g S u b s a m p l i n g i s a g o o d a p p r o a c h d u e t o i t s s i m p l i c i t y a n d r o b u s t n e s s . T e s t r u n s w e r e m a d e u s i n g v a r i o u s s u b s a m p l i n g r a t e s a n d r e c o n s t r u c t i o n m e t h o d s ( s e e A p p e n d i x B ) . T h e " b e s t " r e c o n s t r u c t i o n m e t h o d i n t e r m s o f e r r o r i s b y a s m a l l m a r g i n t h e u n i f o r m m e t h o d . T h i s m e t h o d a s s u m e s a u n i f o r m d a t a s p a c i n g , a n d d o e s n o t c o m p u t e d i v i d e d d i f f e r e n c e s . F o r a 3 r d o r d e r u n i f o r m 1 22 f i l t e r , t h e s l o p e i s S i • d i = 2 / 3 " F * . , } - 1 / 1 2 { F i + 2 - F i . 2 ] N o g r e a t e r r o r d e c r e a s e i s o b t a i n e d b y g o i n g t o a 4 t h o r d e r f i l t e r . T h e a d v a n t a g e o f a l o w e r o r d e r f i l t e r i s f a s t e r r e c o n s t r u c t i o n ( l e s s t i m e d e l a y ) . T h e 3rd o r d e r u n i f o r m f i l t e r i s t h u s c h o s e n a s t h e p r e f e r r e d r e c o n s t r u c t i o n t e c h n i q u e f o r s u b s a m p l i n g . S o m e c o d e d d r a w i n g s a n d a p l o t o f e r r o r v s . c o m p r e s s i o n a r e g i v e n i n A p p e n d i x B . T h e p e r f o r m a n c e o f t h e s u b s a m p l i n g t e c h n i q u e d e g r a d e s g r a c e f u l l y a s g r e a t e r c o m p r e s s i o n i s i n t r o d u c e d . T h e e r r o r , h o w e v e r , i s v e r y d e p e n d e n t o n t h e o r i g i n a l d r a w i n g s p e e d . S u b s a m p l i n g o p e r a t e s o v e r a v e r y w i d e r a n g e o f c o m p r e s s i o n f a c t o r s . I t w o r k s b e s t f o r l o w t o m e d i u m c o m p r e s s i o n , b u t a t h i g h e r c o m p r e s s i o n i t s t a r t s t o r o u n d c o r n e r s a n d m i s s s i g n i f i c a n t f e a t u r e s . Shape dependent segmentation T w o d i f f e r e n t s e g m e n t a t i o n t e c h n i q u e s a r e i n c l u d e d h e r e : o n e t h a t d o e s n o t h a v e a s p e c i a l t r e a t m e n t f o r c o r n e r s , a n d o n e t h a t s e n d s a d o u b l e n o d e f o r e a c h c o r n e r d e t e c t e d . T h e f i r s t t e c h n i q u e w o r k s b e s t w i t h a n o r m a l s l o p e e s t i m a t e b a s e d o n d i v i d e d d i f f e r e n c e s 1 2 3 S = 2 / 3 ( F [ x i + 1 , X i ] + F [ x i . . , , - x i ] } -Vs ( F l x ^ a ^ i ] + F [ x i . 2 , X i ] j O n c e a g a i n , t h e t h i r d o r d e r f i l t e r ( ' F i l t e r 3 ' i n A p p e n d i x B ) i s s e l e c t e d a s a g o o d c o m p r o m i s e b e t w e e n e r r o r m e a s u r e a n d t i m e d e l a y . T h e c o r n e r d e t e c t i n g t e c h n i q u e w o r k s b e s t w i t h a m o d i f i c a t i o n o f t h e a b o v e f i l t e r t h a t s e t s t h e s l o p e s t o z e r o a t a n y d o u b l e n o d e ( ' S p e c i a l 3 ' i n A p p e n d i x B ) . T h e f i r s t t e c h n i q u e o f t e n r o u n d s c o r n e r s , w h i l e t h e s e c o n d d e a l s w i t h t h i s p r o b l e m a t t h e e x p e n s e o f e x t r a d a t a p o i n t s ( l o w e r c o m p r e s s i o n ) . B o t h t e c h n i q u e s o p e r a t e o v e r a l i m i t e d r a n g e o f c o m p r e s s i o n , o n e t h a t i s u s u a l l y h i g h e r t h a n t h a t o f s u b s a m p l i n g . T h e n u m b e r o f p o i n t s n e e d e d t o r e p r e s e n t a g i v e n s y m b o l i s i n d e p e n d e n t o f i t s s i z e a n d d r a w i n g s p e e d . T h i s y i e l d s w i d e l y v a r y i n g c o m p r e s s i o n f i g u r e s , b u t o n e s w h i c h a r e i n s o m e s e n s e ' m a x i m a l ' w i t h r e s p e c t t o t o l e r a b l e e r r o r . A u t o m a t e d c u r v e f i t T h e s h a p e d e p e n d e n t s e g m e n t a t i o n t e c h n i q u e w i t h c o r n e r d e t e c t i o n i s u s e d a s a b a s i s f o r t h e c u r v e f i t . H o w e v e r , d o u b l e n o d e s a r e n o t g e n e r a t e d , s i n c e t h e f i t t i n g a l g o r i t h m w i l l t r e a t c o r n e r s c o r r e c t l y a n y h o w . T e s t r u n s w e r e m a d e w i t h a n a l g o r i t h m t h a t u s e s o n e p o i n t o n e a c h s i d e o f t h e n o d e t o p e r f o r m t h e f i t , a n d o n e w h i c h u s e s t w o p o i n t s o n e a c h s i d e . N o s i g n i f i c a n t i m p r o v e m e n t w a s f o u n d i n g o i n g t o t w o p o i n t s , s o t h a t t h e f i r s t t e c h n i q u e , w h i c h i s s i m p l e r , w a s s e l e c t e d f o r t h e s a m p l e 124 d r a w i n g s a n d g r a p h s . T h e r e s u l t s o f t h i s t e c h n i q u e a r e v i s u a l l y p l e a s i n g , a l t h o u g h u n f o r s e e n g l i t c h e s s o m e t i m e s o c c u r . A s w i t h t h e s h a p e d e p e n d e n t s e g m e n t a t i o n o n w h i c h t h i s t e c h n i q u e i s b a s e d , t h e c o m p r e s s i o n f a c t o r s s p a n a l i m i t e d r a n g e . T h e t e c h n i q u e a l s o s h a r e s t h e s c a l e a n d t i m e i n v a r i a n c e p r o p e r t i e s w i t h t h e f o r m e r . T h e e r r o r f i g u r e s f o r t h i s t e c h n i q u e a r e m u c h l o w e r t h a n f o r t h e n o d e s o n l y t e c h n i q u e s . H o w e v e r , t h e p r i c e t h a t i s p a i d i s t h e d o u b l i n g o f d a t a s e n t ( h a l v i n g t h e c o m p r e s s i o n ) f o r t h e s a m e s e g m e n t a t i o n d e n s i t y . S u m m a r y D r a w i n g t o g e t h e r t h e v a r i o u s r e s u l t s d i s c u s s e d a b o v e ( a c o m p o s i t e g r a p h i s i n A p p e n d i x B ) , we c a n a r r i v e a t s o m e c o n c l u s i o n s . F o r t h e g r e a t e s t g e n e r a l i t y a n d f l e x i b i l i t y , t h e p r e f e r r e d r e c o n s t r u c t i o n m e t h o d i s ' S p e c i a l 3 ' , t h e m o d i f i c a t i o n o f t h e g e n e r a l t h i r d o r d e r f i l t e r . W h e n d o u b l e n o d e s a r e n o t p r e s e n t , i t w o r k s i d e n t i c a l l y t o t h e n o r m a l f i l t e r . I t s p e r f o r m a n c e i s a l s o n o t s i g n i f i c a n t l y p o o r e r t h a n t h a t o f t h e u n i f o r m m e s h b a s e d f i l t e r o n s u b s a m p l e d d a t a . T h e ' u n i f o r m ' f i l t e r c a n o n l y b e j u s t i f i e d i n t h o s e c a s e s w h e r e t h e d i v i s i o n n e c e s s a r y t o c a l c u l a t e t h e d i v i d e d d i f f e r e n c e s p r e v e n t s r e a l - t i m e o p e r a t i o n . 1 2 5 T h e c h o i c e o f 3 r d o r d e r y i e l d s a g o o d e r r o r v s . t i m e d e l a y t r a d e - o f f . W h e r e a m i n i m a l t i m e d e l a y i s n e c e s s a r y , t h e ' S p e c i a l 2 ' f i l t e r o r B e s s e l i n t e r p o l a t o r a r e b o t h p o s s i b l e , w i t h t h e f o r m e r n o r m a l l y h a v i n g a b e t t e r e r r o r m e a s u r e . T h e B e s s e l i n t e r p o l a t o r , h o w e v e r , u s u a l l y h a s g r e a t e r p r e c i s i o n a n d s o m e t i m e s p e r f o r m s b e t t e r ( i . e . p i c t u r e #1 i n A p p e n d i x B ) . A c o m p a r i s o n b e t w e e n s u b s a m p l i n g a n d s h a p e d e p e n d e n t s e g m e n t a t i o n i s n o t e a s y , s i n c e t h e y o p e r a t e u n d e r d i f f e r e n t a s s u m p t i o n s . O f t h e t w o s h a p e d e p e n d e n t t e c h n i q u e s , we w i l l c o n s i d e r o n l y t h e c o r n e r d e t e c t i n g o n e , s i n c e i t y i e l d s b e t t e r v i s u a l r e s u l t s f o r a s m a l l i n c r e a s e i n d a t a t r a n s m i t t e d . S u b s a m p l i n g o p e r a t e s a t a k n o w n c o m p r e s s i o n r a t i o , a n d f o r a f i x e d f r e q u e n c y i n p u t d e v i c e , i t p r o d u c e s a f i x e d f r e q u e n c y o u t p u t . T h e n u m b e r o f p o i n t s f o r a n y g i v e n s y m b o l , a n d h e n c e i t s l e g i b i l i t y , w i l l v a r y a c c o r d i n g t o t h e w r i t i n g s p e e d , a n d h e n c e t o s o m e e x t e n t a c c o r d i n g t o s i z e . S h a p e d e p e n d e n t s e g m e n t a t i o n d o e s t h e o p p o s i t e . I t g e n e r a t e s a f i x e d n u m b e r o f p o i n t s f o r a n y s y m b o l , r e g a r d l e s s o f s i z e . T h e r e s u l t i n g c o m p r e s s i o n f a c t o r , o r n e c e s s a r y d a t a c h a n n e l b a n d w i d t h , i s n o t k n o w n a h e a d o f t i m e . F o r h i g h e r c o m p r e s s i o n , t h i s m e t h o d i s p r e f e r a b l e . T h e t e c h n i q u e i s m o r e s e n s i t i v e t o m i s - s e g m e n t a t i o n e r r o r ( n o t e t h e d i s p e r s e d n a t u r e o f t h e e r r o r v s . c o m p r e s s i o n g r a p h ) , b u t t h e s e e r r o r s o n l y a f f e c t a s m a l l n e i g h b o r h o o d . 1 2 6 A u t o m a t e d c u r v e f i t t i n g h a s t h e s a m e p r o p e r t i e s a s t h e s h a p e d e p e n d e n t s e g m e n t a t i o n o n w h i c h i t i s b a s e d . A l t h o u g h i t y i e l d s g o o d f i t s , t h e e x t r a d a t a t h a t m u s t b e s e n t c a n n o t b e j u s t i f i e d u n d e r n o r m a l c i r c u m s t a n c e s f r o m a n e r r o r v s . c o m p r e s s i o n v i e w p o i n t . H o w e v e r , w h e r e a s y s t e m a l r e a d y e x i s t s w i t h t h e n o d e - a n d - s l o p e r e p r e s e n t a t i o n a s i t s p r i m i t i v e , t h i s i s n o t a p r o b l e m . A s w e l l , t h e t e c h n i q u e c a n b e u s e d t o g o o d a d v a n t a g e a s a p r e l i m i n a r y s t e p i n c u r v e d e s i g n , o r i n a p p l i c a t i o n s w h e r e m a x i m a l c o m p r e s s i o n i s n o t n e c e s s a r y . A s c a n b e s e e n f o r m t h e a b o v e d i s c u s s i o n , t h e c h o i c e o f m e t h o d i s d i c t a t e d b y i t s a p p l i c a t i o n , a n d n o t s o m u c h b y t h e q u a n t i t a t i v e e r r o r v s . c o m p r e s s i o n p e r f o r m a n c e . 7 . 3 O t h e r c o d i n g t e c h n i q u e s O t h e r t e c h n i q u e s e x i s t t h a t w o u l d b e s u i t a b l e f o r t h e r e a l - t i m e c o d i n g o f c u r v e s . C h a i n e n c o d i n g [ 2 3 ] a n d p r e d i c t i v e d i f f e r e n t i a l c o d i n g a r e t w o s u c h p o s s i b i l i t i e s . S i n c e c h a i n e n c o d i n g i s a p o p u l a r a n d s i m p l e m e t h o d , i t i s e x a m i n e d f u r t h e r f o r c o m p a r a t i v e p u r p o s e s . C h a i n e n c o d i n g c o n s i s t o f a l i n k e d s e r i e s o f i n c r e m e n t a l m o v e s i n o n e o f e i g h t d i r e c t i o n s ( F i g . 7 . 4 ) . T h u s , 3 b i t s a r e r e q u i r e d f o r e a c h m o v e , a n d t h e a c c u r a c y o f t h e m e t h o d i s d e t e r m i n e d b y t h e g r i d m e s h s i z e [ 2 2 ] . S e v e r a l t e s t r u n s w e r e m a d e w i t h v a r y i n g m e s h s i z e s . T h e r e c o n s t r u c t i o n m e t h o d w a s (1) (2) F i g . 7.4 Cha in encoding (1) Coding scheme (2) Cha in 001020765 128 s i m p l e l i n e a r i n t e r p o l a t i o n . T h i s d o e s n o t d o t r u e j u s t i c e t o t h e m e t h o d , s i n c e t h e r e c o n s t r u c t i o n s h o u l d b e a t y p e o f s p l i n e s m o o t h e r k n o w n a s t h e m i n i m u m - e n e r g y c u r v e ( M E C ) w h i c h i s f a i r l y d i f f i c u l t t o c o m p u t e [ 2 2 ] , T h e e f f e c t o f t h e m e s h s i z e o n t h e e r r o r i s v e r y s i m i l a r t o t h a t o f s u b s a m p l i n g r a t e . I t i s d i f f i c u l t t o c o m p a r e t h i s t e c h n i q u e t o t h e s e g m e n t / i n t e r p o l a t e s c h e m e s d i s c u s s e d i n t h i s t h e s i s . S u c h a c o m p a r i s o n w o u l d h a v e t o b e b a s e d o n a k n o w l e d g e o f t h e s y s t e m r e s o l u t i o n , s a m p l i n g r a t e a n d s c r e e n s i z e . A s w e l l , c o d i n g s t r a t e g i e s w o u l d h a v e t o b e e x a m i n e d . F o r e x a m p l e , f o r c h a i n e n c o d i n g we c a n p a c k t w o p o i n t s p e r b y t e . F o r n o d e e n c o d i n g , 4 b y t e s a r e u s u a l l y r e q u i r e d t o s e n d e a c h c o o r d i n a t e p a i r ( 1 2 b i t r e s o l u t i o n ) . T h e s e t y p e s o f c o n s i d e r a t i o n a r e b e s t d e a l t w i t h w i t h i n t h e c o n t e x t o f a p a r t i c u l a r a p p l i c a t i o n . T h u s , w h i l e o t h e r c o d i n g s c h e m e s e x i s t f o r t r a n s m i s s i o n o f c u r v e s i n r e a l t i m e , t h e y c a n n o t b e d i r e c t l y c o m p a r e d t o t h e t e c h n i q u e s p r e s e n t e d h e r e w i t h o u t f i r s t d e f i n i n g t h e i n t e n d e d a p p l i c a t i o n a n d i m p l e m e n t a t i o n s y s t e m . 1 2 9 C h a p t e r 8 C o n c l u s i o n s T h i s c h a p t e r s u m m a r i z e s t h e c o d i n g t e c h n i q u e s p r e s e n t e d i n t h i s t h e s i s . I t a l s o d i s c u s s e s t h e i r r e l a t i v e a d v a n t a g e s a n d d i s a d v a n t a g e s . R e c o m m e n d a t i o n s a r e m a d e a b o u t p o s s i b l e a p p l i c a t i o n s o f t h e c u r v e c o d i n g a n d i n t e r p o l a t i n g a l g o r i t h m s p r e s e n t e d . F i n a l l y , a r e a s f o r f u r t h e r r e s e a r c h a r e d i s c u s s e d . 8 . 1 D i s c u s s i o n T h e c o d i n g t e c h n i q u e s e x a m i n e d i n t h i s t h e s i s h a v e b e e n o f t h e s e g m e n t a t i o n / i n t e r p o l a t i o n t y p e . T h u s , s e l e c t e d p o i n t s f r o m t h e o r i g i n a l c u r v e a r e t r a n s m i t t e d , p o s s i b l y a l o n g w i t h t h e d e r i v a t i v e s a t t h e s e p o i n t s . I n t e r p o l a t i n g a l g o r i t h m s b a s e d o n H e r m i t e c u b i c s p l i n e s a r e t h e n u s e d t o r e c o n s t r u c t t h e o r i g i n a l d r a w i n g . T h e c o d i n g i s d o n e a u t o m a t i c a l l y , w i t h o u t a n y u s e r i n t e r a c t i o n . O t h e r r e p r e s e n t a t i o n s f o r c u r v e s a r e p o s s i b l e , s u c h a s B - s p l i n e s [ 3 0 ] o r B e z i e r c u r v e s [ 3 6 ] , T h e s e u s u a l l y i n v o l v e i n t e r a c t i v e m e t h o d s t o f i t t h e c u r v e . T h e l o c a t i o n o f t h e c o n t r o l p o i n t s l i e s o f f t h e c u r v e i t s e l f , s i n c e t h e s e t e c h n i q u e s a r e s m o o t h e r s a n d n o t i n t e r p o l a t o r s . T h e c u b i c s p l i n e r e p r e s e n t a t i o n h a s t h e a d v a n t a g e t h a t t h e c o n t r o l p o i n t s d o l i e o n t h e c u r v e . A s w e l l , w i t h t h e H e r m i t e c u b i c , t h e e f f e c t o f a n y c h a n g e i n a c o n t r o l p o i n t o r d e r i v a t i v e i s s t r i c t l y l o c a l , 1 30 c o n f i n e d t o t h e t w o s e g m e n t s a d j o i n i n g i t . T h e c u b i c b a s i s h a s o t h e r a d v a n t a g e s . T h e l o c a l c o n t r o l o f t h e d e r i v a t i v e a l l o w s f o r c o n t r o l o f b o t h t h e c u r v e d i r e c t i o n a n d c u r v a t u r e , t h u s g i v i n g g o o d f l e x i b i l i t y t o t h e b a s i s . T h e c a l c u l a t i o n o f t h e c u b i c s e g m e n t i s c o m p u t a t i o n a l l y s i m p l e w h e n u s i n g t h e D D A . T h e r e p r e s e n t a t i o n i s a l s o f a i r l y c o m p a c t , e s p e c i a l l y w h e n o n l y t h e c o n t r o l p o i n t s a r e t r a n s m i t t e d . T h e c u b i c s p l i n e a l s o c o m p a r e s f a v o r a b l y w i t h o t h e r c u r v e r e c o n s t r u c t i o n i n t e r p o l a t o r s , s u c h a s F I R f i l t e r i n g [ 4 6 ] . I t c a n b e m a d e t o g i v e a g o o d a p p r o x i m a t i o n t o a F I R s i n e f i l t e r , a t l o w e r c o m p u t a t i o n a l c o m p l e x i t y . T h e r e a r e a l s o p o s s i b l e a p p l i c a t i o n s o f t h e c u b i c s p l i n e t o o n e d i m e n s i o n a l i n t e r p o l a t i o n i n d i g i t a l s i g n a l p r o c e s s i n g . P r e v i o u s w o r k i n t h i s f i e l d [ 2 8 ] h a s u s e d t h e s m o o t h c u b i c s p l i n e f o r i n t e r p o l a t i o n . T h e H e r m i t e c u b i c c a n b e u s e d a t c o n s i d e r a b l y l o w e r c o s t . T h e f i r s t m a j o r p a r t o f t h e t h e s i s w a s t h e i n t r o d u c t i o n o f t h e n o d e a n d s l o p e r e p r e s e n t a t i o n f o r c o d e d c u r v e s , a n d t h e H e r m i t e c u b i c a s t h e i n t e r p o l a t o r . T h e s e c o n d i n t r o d u c e d v a r i o u s i n t e r p o l a t i o n t e c h n i q u e s b a s e d o n d i f f e r e n t s l o p e d e t e r m i n i n g f o r m u l a s . T h e t h i r d p a r t i s t h e e x a m i n a t i o n o f s e v e r a l s e g m e n t a t i o n s t r a t e g i e s . S u b s a m p l i n g i s a n e x i s t i n g m e t h o d w h i c h u n d e r s o m e c i r c u m s t a n c e s s t i l l p e r f o r m s b e s t . T h i s i s t h e c a s e w h e n a f i x e d c a p a c i t y c h a n n e l i s a v a i l a b l e f o r t h e 131 t r a n s m i s s i o n o f t h e c o d e d d a t a , a n d m a x i m a l c o m p r e s s i o n i s n o t n e e d e d . T h e e r r o r a n d f i d e l i t y o f t h e c o d i n g d e p e n d o n t h e d r a w i n g s p e e d o f t h e u s e r . T h i s h a s b o t h a d v a n t a g e s a n d d i s a d v a n t a g e s , a s d i s c u s s e d p r e v i o u s l y . . S h a p e d e p e n d e n t s e g m e n t a t i o n , b a s e d o n l o c a l d i r e c t i o n , i s a n e w t e c h n i q u e i n t r o d u c e d i n t h i s t h e s i s . I t l a r g e l y r e m o v e s t h e t i m e a n d s c a l e d e p e n d e n c e f r o m t h e c o d i n g p r o c e s s . I t t h u s y i e l d s a c o n s t a n t r e l a t i v e d i s t o r t i o n f o r a g i v e n s y m b o l . I n s o m e s e n s e , t h e c o m p r e s s i o n i s m a x i m a l f o r a g i v e n l e v e l o f d e s i r e d f i d e l i t y . T h e m e t h o d w o u l d b e p r e f e r r e d w h e r e c o d i n g c o m p r e s s i o n i s i m p o r t a n t , a n d w h e r e t h e s y s t e m i s f a s t e n o u g h t o a c c o m o d a t e t h e a d d e d c o m p l e x i t y o f t h e s e g m e n t a t i o n a l g o r i t h m . I t i s a l s o t o b e p r e f e r r e d w h e r e t h e d r a w i n g s a r e t o b e s t o r e d a n d m a n i p u l a t e d , a s t h e s u b s a m p l i n g s e g m e n t a t i o n d o e s n o t s c a l e w e l l . A u t o m a t e d c u r v e f i t t i n g f o r m s t h e l a s t p a r t o f t h e t h e s i s r e s e a r c h . I n t h i s c a s e , t h e d e r i v a t i v e s a t t h e c o n t r o l p o i n t s a r e d e t e r m i n e d f r o m t h e l o c a l i n f o r m a t i o n p r e s e n t i n t h e o r i g i n a l c u r v e . T h e s e a r e a d j u s t e d t o y i e l d t h e b e s t c u r v e f i t t o t h e o r i g i n a l d r a w i n g . T h e n e e d f o r i t e r a t i o n i s s h o w n , a n d a n e w a l g o r i t h m i s p r e s e n t e d t o p e r f o r m s u c h a f i t . A l i m i t a t i o n e x i s t s i n t h e r e a l - t i m e a l g o r i t h m d u e t o t h e i n a b i l i t y t o p r e d i c t t h e n e x t c o n t r o l p o i n t d e r i v a t i v e . A n o f f - l i n e , i t e r a t i v e m e t h o d w o u l d o v e r c o m e t h i s . E v e n w i t h t h i s l i m i t a t i o n , t h e r e s u l t s o b t a i n e d a r e q u i t e g o o d . T h e n e e d t o 1 3 2 s e n d b o t h t h e n o d e s a n d s l o p e s , h o w e v e r , p r e v e n t s t h i s t e c h n i q u e f r o m b e i n g c o m p e t i t i v e i n t e r m s o f c o d i n g e f f i c i e n c y w i t h n o d e o n l y m e t h o d s . I n t h e c a s e w h e r e t h e n o d e - a n d - s l o p e r e p r e s e n t a t i o n a l r e a d y e x i s t s i n t h e s y s t e m , o r w h e r e t h e e x t r a f l e x i b i l i t y a f f o r d e d b y s l o p e c o n t r o l i s d e s i r e d , t h e c u r v e f i t t i n g t e c h n i q u e t h e n b e c o m e s a t t r a c t i v e . I t s h o u l d b e n o t e d t h a t a l l o f t h e t e c h n i q u e s p r e s e n t e d h e r e , b a s e d o n c o d i n g o f s a m p l e p o i n t s a n d p o s s i b l y s l o p e s , m a k e t h e m a n i p u l a t i o n o f t h e c u r v e s s t r a i g h t f o r w a r d . C e r t a i n o t h e r t e c h n i q u e s , s u c h a s c h a i n e n c o d i n g , d o n o t a l l o w f o r e a s y m a n i p u l a t i o n ( i . e . s c a l i n g ) . T e c h n i q u e s w h i c h a r e i n c r e m e n t a l ( c h a i n e n c o d i n g ) o r p r e d i c t i v e ( d i f f e r e n t i a l e n c o d i n g ) a r e a l s o m o r e s e n s i t i v e t o e r r o r s i n t r a n s m i s s i o n t h a n s t r a i g h t f o r w a r d p o i n t e n c o d i n g . 8 . 2 A p p l i c a t i o n s T h e t e c h n i q u e s i n t r o d u c e d a n d e x a m i n e d h e r e h a v e s e v e r a l p o s s i b l e a p p l i c a t i o n s . T h e f i r s t a n d p r i m a r y o f t h e s e i s t h e r e a l - t i m e c o d i n g o f h a n d d r a w n c u r v e s . D e p e n d i n g o n t h e s y s t e m c o n f i g u r a t i o n , c h a n n e l b a n d w i d t h a n d c o m p u t a t i o n a l c o m p l e x i t y p e r m i s s i b l e , s e v e r a l o f t h e t e c h n i q u e s p r e s e n t e d h e r e a r e u s a b l e . A p r i m a r y a p p l i c a t i o n o f s u c h a s y s t e m w o u l d b e a s a n a i d t o t e l e p h o n e c o n f e r e n c i n g , a l l o w i n g f o r t h e i n t e r a c t i v e e x c h a n g e o f g r a p h i c a l i n f o r m a t i o n . R e s e a r c h i n t o s u c h i n t e r a c t i v e v i d e o c o m m u n i c a t i o n s h a s b e e n d o n e [ 5 ] [ 1 4 ] . T h e 133 t e c h n i q u e s p r o p o s e d h e r e c o u l d b e u s e d i n s u c h s y s t e m s t o e f f i c i e n t l y t r a n s m i t c u r v i l i n e a r d a t a . A r e l a t e d a p p l i c a t i o n i s t h e i n t r o d u c t i o n o f t h e c u b i c H e r m i t e s p l i n e a s a new p r i m i t i v e i n V i d e o t e x s y s t e m s s u c h a s T e l i d o n . T h e f l e x i b i l i t y a f f o r d e d b y s u c h a p r i m i t i v e w o u l d i n c r e a s e t h e r a n g e o f d r a w i n g s t h a t c o u l d b e t r a n s m i t t e d . A s w e l l , t h e n o d e r e p r e s e n t a t i o n t i e s i n n e a t l y t o e x i s t i n g T e l i d o n p r i m i t i v e s s u c h a s l i n e s a n d a r c s . T h e s e l e c t i o n o f a n o d e a n d s l o p e r e p r e s e n t a t i o n w o u l d a l l o w f o r e v e n g r e a t e r v e r s a t i l i t y i n t h e p r i m i t i v e s . I f s u c h p r i m i t i v e s w e r e a d d e d t o t h e s y s t e m , t h e n s t a n d a r d V i d e o t e x t e r m i n a l s c o u l d t h e n b e u s e d a s r e c e i v e r s f o r t h e i n t e r a c t i v e g r a p h i c a l c o m m u n i c a t i o n s a p p l i c a t i o n e n v i s a g e d a b o v e . T h e e l l i p s e / c i r c l e d r a w e r d e s c r i b e d i n t h i s t h e s i s i s a b y p r o d u c t o f t h i s r e s e a r c h . F o r a p p l i c a t i o n s w h e r e t h e 2 . 8 % e r r o r i s t o l e r a b l e ( m o s t n o n - t e c h n i c a l c o m p u t e r g r a p h i c s ) , t h e f a s t DDA a l g o r i t h m i s a n a t t r a c t i v e a l t e r n a t i v e t o s t a n d a r d c i r c l e d r a w e r s . A n o t h e r b y p r o d u c t o f t h e r e s e a r c h i s t h e a p p l i c a t i o n o f t h e c u b i c s i n c - t y p e i n t e r p o l a t o r t o d i g i t a l s i g n a l p r o c e s s i n g . T h e c u b i c s e g m e n t DDA a l g o r i t h m r e q u i r e s o n l y a d d i t i o n s a n d s h i f t s , a n d t h e s l o p e i s c o m p u t e d a s a w e i g h t e d sum o f s a m p l e v a l u e s . T h e r e s u l t i n g a l g o r i t h m i s t h u s v e r y f a s t . A s w e l l , t h e f i l t e r d e s i g n e r s t i l l h a s t h e f r e e d o m t o s e l e c t a p p r o p r i a t e f i l t e r 134 o r d e r s a n d w i n d o w f u n c t i o n s t h r o u g h t h e c h o i c e o f t h e w e i g h t i n g f a c t o r s u s e d i n t h e s l o p e c a l c u l a t i o n . L a s t l y , t h e c u r v e f i t t i n g t e c h n i q u e s p r e s e n t e d h e r e c a n b e u s e d a s a p r e l i m i n a r y s t a g e i n c u r v e d e s i g n o r c o m p u t e r g r a p h i c d r a w i n g s c o m p o s i t i o n . T h e e a s e o f m a n i p u l a t i o n o f t h i s r e p r e s e n t a t i o n , a n d t h e f l e x i b i l i t y a f f o r d e d b y l o c a l d e r i v a t i v e c o n t r o l m a k e i t w e l l s u i t e d f o r a p p l i c a t i o n s w h e r e p r e c i s i o n i s n o t o f m a x i m a l i m p o r t a n c e . O n e s u c h a p p l i c a t i o n c o u l d b e i n t h e i n f o r m a t i o n p r o v i d e r t e r m i n a l s w h i c h a r e u s e d i n c o m p o s i n g d a t a b a s e e n t r i e s f o r V i d e o t e x s y s t e m s . 8 . 3 F u r t h e r r e s e a r c h T h i s t h e s i s h a s e s t a b l i s h e d t h e b a s i c t h e o r y a n d a l g o r i t h m s f o r t h e u s e o f H e r m i t e c u b i c s i n c u r v e c o d i n g a n d i n t e r p o l a t i o n . I t h a s a l s o i n t r o d u c e d s o m e s e g m e n t a t i o n t e c h n i q u e s a n d a u t o m a t e d t w o d i m e n s i o n a l c u r v e f i t t i n g t e c h n i q u e s . T h e i r p r i m a r y u s e i s f o r t h e r e a l - t i m e c o d i n g o f h a n d d r a w n c u r v e s . T h e r e s e a r c h , h o w e v e r , h a s s t a y e d a w a y f r o m b e i n g t o o m u c h i m p l e m e n t a t i o n d e p e n d e n t . T h e e v a l u a t i o n o f t h e s e t e c h n i q u e s a g a i n s t o t h e r c o d i n g t e c h n i q u e s s u c h a s c h a i n e n c o d i n g m u s t b e d o n e w i t h i n t h e c o n t e x t o f a g i v e n a p p l i c a t i o n . S o m e o f t h e f a c t o r s t h a t w o u l d h a v e t o b e c o n s i d e r e d i n c l u d e i n p u t a n d o u t p u t d e v i c e s , c o m p u t a t i o n a l c o m p l e x i t y o f a l g o r i t h m s a n d s p e e d o f a v a i l a b l e h a r d w a r e , t h e n a t u r e a n d c a p a c i t y o f t h e d a t a 1 35 c h a n n e l , e f f e c t o f t r a n s m i s s i o n e r r o r s , a n d c o d i n g e f f i c i e n c y v s . s i m p l i c i t y a n d f l e x i b i l i t y . A p a r t i c u l a r i m p l e m e n t a t i o n w o u l d h a v e t o r e f i n e a n d s i m p l i f y t h e a l g o r i t h m s , a n d a l s o e x a m i n e t h e m f o r s t a b i l i t y a n d e r r o r c o n t r o l . S p e c i f i c c o d i n g c o n v e n t i o n s w o u l d h a v e t o b e d e v i s e d a n d i m p l e m e n t e d . A s w e l l , t e s t s w o u l d h a v e t o b e m a d e i n t h e a c t u a l i n t e n d e d w o r k i n g e n v i r o n m e n t . T h u s , t h e m a i n t h r u s t o f a n y s u b s e q u e n t d e v e l o p m e n t i n t h i s a r e a w o u l d b e i n i m p l e m e n t a t i o n . T h e r e a r e p o s s i b i l i t i e s f o r t h e r e f i n e m e n t o f t h e s e g m e n t a t i o n a n d f i t t i n g s t r a t e g i e s . T h e r e a r e d o u b t l e s s o t h e r a p p r o a c h e s t o t h e s e t w o p r o b l e m s . H o w e v e r , t h e b u l k o f t h e w o r k t h a t r e m a i n s n e e d s t o b e d o n e w i t h i n t h e c o n t e x t o f a p a r t i c u l a r a p p l i c a t i o n . 8.4 S u m m a r y T h e c u b i c s p l i n e i n t e r p o l a t o r , a p o p u l a r m e t h o d i n o n e d i m e n s i o a a l c u r v e f i t t i n g , h a s b e e n a p p l i e d t o t h e p r o b l e m o f c o d i n g t w o d i m e n s i o n a l c u r v e s . I n p a r t i c u l a r , t h e H e r m i t e c u b i c i s u s e d , a n d v a r i o u s new a n d o l d t e c h n i q u e s f o r d e t e r m i n i n g t h e d e r i v a t i v e s a r e p r o p o s e d a n d r e v i e w e d . T h e m e r i t s o f t h e s e v a r i o u s t e c h n i q u e s a r e c o m p a r e d . T h e c u r v e s e g m e n t a t i o n n e c e s s a r y t o g e n e r a t e t h e c o n t r o l p o i n t s i s e x a m i n e d n e x t . T h e s t a n d a r d m e t h o d o f s u b s a m p l i n g i s e x a m i n e d , a n d s o m e new t e c h n i q u e s f o r s h a p e d e p e n d e n t 136 s e g m e n t a t i o n a r e p r o p o s e d . A u t o m a t e d c u r v e f i t t i n g i s i n t r o d u c e d a s a n a l t e r n a t i v e t o d e t e r m i n i n g t h e d e r i v a t i v e b a s e d s o l e l y o n c o n t r o l p o i n t s . I n f o r m a t i o n f r o m t h e o r i g i n a l c u r v e i s u s e d t o d e t e r m i n e t h e d e r i v a t i v e , a n d a n e w a l g o r i t h m i s p r o p o s e d t o d o t h i s . T e s t r u n s a r e m a d e a n d t h e a b o v e t e c h n i q u e s e v a l u a t e d . T h i s r e s e a r c h , t h e n , p r e s e n t s a c l a s s o f t e c h n i q u e s a v a i l a b l e f o r t h e r e a l - t i m e c o d i n g o f h a n d d r a w n c u r v e s . S e v e r a l o f t h e t e c h n i q u e s e x a m i n e d y i e l d g o o d r e s u l t s , a n d s h o u l d b e c o n s i d e r e d i n t h o s e a p p l i c a t i o n s w h e r e s u c h c o d i n g i s t o b e i m p l e m e n t e d . 137 B i b l i o g r a p h y [ I ] J . H . A h l b e r g , E . N . N i l s o n a n d J . L . W a l s h , T h e T h e o r y o f  S p l i n e s a n d t h e i r A p p l i c a t i o n s , New Y o r k , A c a d e m i c P r e s s , 1 9 6 7 . [ 2 ] H . A k i m a , " A New M e t h o d f o r I n t e r p o l a t i o n a n d S m o o t h C u r v e F i t t i n g B a s e d o n L o c a l P r o c e d u r e s " , J o u r n a l o f t h e A C M , v o l . 1 7 , n o . 4 , p p . 5 8 9 - 6 0 2 , O c t o b e r 1 9 7 0 . [ 3 ] P . E . A l l a r d a n d H . G . B o w n , " O n t h e G e n e r a t i o n a n d R e p r e s e n t a t i o n o f L i n e D r a w i n g s " , C R C T e c h n i c a l N o t e 6 8 9 , D e p a r t m e n t o f C o m m u n i c a t i o n s , O t t a w a , F e b r u a r y 1 9 7 8 . [ 4 ] A . A . B a l l , " A S i m p l e S p e c i f i c a t i o n o f t h e P a r a m e t r i c C u b i c S e g m e n t " , C o m p u t e r A i d e d D e s i g n , v o l . 1 0 , n o . 3 , p p . 1 8 1 - 1 8 2 , M a y 1 9 7 8 . [ 5 ] D . B e n j a m i n , R . J o h n s t o n a n d B . P r a s a d a , " A M o d e l f o r C o m p u t e r - M e d i a t e d I n t e r a c t i v e V i s u a l C o m m u n i c a t i o n s " , p p . 5 6 . 2 . 1 - 5 6 . 2 . 6 , I C C P r o c e d i n g s , 1 9 7 9 . [ 6 ] M . D . B e n j a m i n , " P i c t u r e D e s c r i p t i o n P r i m i t i v e s f o r A l p h a - g e o m e t r i c D a t a b a s e s " , p p . 3 . 1 . 1 - 3 . 1 . 6 , I C C  P r o c e e d i n g s , 1 9 8 0 . [ 7 ] H . G . B o w n , C D . O ' B r i e n , W. S a w c h u k a n d J . R . S t o r e y , " A G e n e r a l D e s c r i p t i o n o f T e l i d o n : - A C a n a d i a n P r o p o s a l f o r V i d o t e x S y s t e m s " , C R C T e c h n i c a l N o t e 6 9 7 , D e p a r t m e n t o f C o m m u n i c a t i o n s , O t t a w a , D e c e m b e r 1 9 7 8 . [ 8 ] H . G . B o w n , C D . O ' B r i e n , W . S a w c h u k a n d J . S t o r e y , " T e l i d o n : A New A p p r o a c h t o a V i d e o t e x S y s t e m D e s i g n " , I E E E  T r a n s . o n C o n s u m e r E l e c t r o n i c s , v o l . C E - 2 5 , n o . 3 , p p . 2 5 6 - 2 6 8 , J u l y 1 9 7 9 . [ 9 ] H . G . B o w n , C D . O ' B r i e n , W. S a w c h u k a n d J . R . S t o r e y , " P i c t u r e D e s c r i p t i o n I n s t r u c t i o n s , P D I , f o r t h e T e l i d o n V i d e o t e x S y s t e m " , C R C T e c h n i c a l N o t e 6 9 9 , D e p a r t m e n t o f C o m m u n i c a t i o n s , O t t a w a , N o v e m b e r 1 9 7 9 . [ 1 0 ] C M . C h a i k i n , " A n A l g o r i t h m f o r H i g h S p e e d C u r v e G e n e r a t i o n " , C o m p u t e r G r a p h i c s a n d I m a g e P r o c e s s i n g , v o l . 3 , n o . 4 , p p . 3 4 6 - 3 4 9 , D e c e m b e r 1 9 7 4 . [ I I ] W. C i c i o r a , G . S g r i g n o l i , W. T h o m a s , " A n I n t r o d u c t i o n t o T e l e t e x t a n d V i e w d a t a w i t h C o m m e n t s o n C o m p a t i b i l i t y " , I E E E  T r a n s . o n C o n s u m e r E l e c t r o n i c s . , v o l . C E - 2 5 , n o . 3 , p p . 2 3 5 - 2 4 5 , J u l y 1 9 7 9 . 138 1 2 ] A . K . C l i n e , " S c a l a r - a n d P l a n a r - V a l u e d C u r v e F i t t i n g U s i n g S p l i n e s U n d e r T e n s i o n " , C o m m u n i c a t i o n s o f t h e A C M , v o l . 1 7 , n o . 4 , p p . 2 1 8 - 2 2 3 , A p r i l 1 9 7 4 . 1 3 ] D . C o h e n , " O n L i n e a r D i f f e r e n c e C u r v e s " , A d v a n c e d C o m p u t e r  G r a p h i c s , R . D . P a r s l o w a n d R . E . G r e e n , e d s . , P l e n u m P r e s s , L o n d o n , 1 9 7 1 . 1 4 ] " C o n v e r s a t i o n a l G r a p h i c s v i a S c r i b b l e p h o n e " , T e l e s i s , v o l . 3 , n o . 5 , p . 1 5 8 , J a n / F e b 1 9 7 4 . 1 5 ] S . A . C o o n s , " M o d i f i c a t i o n o f t h e s h a p e o f p i e c e w i s e c u r v e s " , C o m p u t e r A i d e d D e s i g n , v o l . 9 , n o . 3 , p p . 1 7 8 - 1 8 0 , J u l y 1 9 7 7 . 1 6 ] P . E . D a n i e l s o n , " I n c r e m e n t a l C u r v e G e n e r a t i o n " , I E E E T r a n s . o n C o m p u t e r s , v o l . C - 1 9 , n o . 9 , p p . 7 8 3 - 7 9 3 , S e p t e m b e r 1 9 7 0 . 1 7 ] C . d e B o o r , " O n C a l c u l a t i n g w i t h B - s p l i n e s " , J o u r n a l o f  A p p r o x i m a t i o n T h e o r y , v o l . 6 , n o . 1 , p p . 5 0 - 6 2 , J u l y 1 9 7 2 . 1 8 ] C . d e B o o r , A P r a c t i c a l G u i d e t o S p l i n e s , S p r i n g e r - V e r l a g , New Y o r k , 1 9 7 8 . 1 9 ] E . D e n e r t , " A M e t h o d f o r C o m p u t i n g P o i n t s o f a C i r c l e U s i n g o n l y I n t e g e r s " , C o m p u t e r G r a p h i c s a n d I m a g e P r o c e s s i n g , v o l . 2 , n o . 1 , p p . 8 3 - 9 1 , A u g u s t 1 9 7 3 . 2 0 ] R . P . D u b e , " U n i v a r i a t e B l e n d i n g F u n c t i o n s a n d A l t e r n a t i v e s " , C o m p u t e r G r a p h i c s a n d I m a g e P r o c e s s i n g , v o l . 6 , n o . 4 , p p . 3 9 4 - 4 0 8 , A u g u s t 1 9 7 7 . 2 1 ] R . P . D u b e , " P r e l i m i n a r y S p e c i f i c a t i o n o f S p l i n e C u r v e s " , I E E E T r a n s , o n C o m p u t e r s , v o l . C - 2 8 , n o . 4 , p p . 2 8 6 - 2 9 0 , A p r i l 1 9 7 9 . 2 2 ] H . F r e e m a n a n d J . M . G l a s s , " O n t h e Q u a n t i z a t i o n o f L i n e - D r a w i n g D a t a " , I E E E T r a n s . o n S y s t e m S c i e n c e a n d  C y b e r n e t i c s , v o l . S S C - 5 , n o . 1 , p p . 7 0 - 7 9 , J a n u a r y 1 9 6 9 . 2 3 ] H . F r e e m a n , " C o m p u t e r P r o c e s s i n g o f L i n e D r a w i n g I m a g e s " , A C M C o m p u t i n g S u r v e y s , v o l . 6 , n o . 1 , p p . 5 7 - 9 7 , J a n u a r y 1 9 7 4 . 2 4 ] H . F r e e m a n , " S h a p e D e s c r i p t i o n v i a t h e U s e o f C r i t i c a l P o i n t s " , P a t t e r n R e c o g n i t i o n a n d I m a g e P r o c e s s i n g  C o n f e r e n c e , p p . 1 6 8 - 1 7 4 , I E E E P r e s s , 1 9 7 7 . 2 5 ] A . N . G o d w i n , " F a m i l y o f C u b i c S p l i n e s w i t h O n e D e g r e e o f F r e e d o m " , C o m p u t e r A i d e d D e s i g n , v o l . 1 1 , n o . 1 , p p . 1 3 - 1 8 , J a n u a r y 1 9 7 9 . 1 3 9 [ 2 6 ] R . W . H a m m i n g , N u m e r i c a l M e t h o d s f o r S c i e n t i s t s a n d  E n g i n e e r s , M c G r a w - H i l l , New Y o r k , 1 9 7 3 . [ 2 7 ] B . K . P . H o r n , " C i r c l e G e n e r a t o r s f o r D i s p l a y D e v i c e s " , C o m p u t e r G r a p h i c s a n d I m a g e P r o c e s s i n g , v o l . 5 , n o . 2 , p p . 2 8 0 - 2 8 8 , J u n e 1 9 7 6 . [ 2 8 ] H . S . H o u a n d H . C . A n d r e w s , " C u b i c S p l i n e s f o r I m a g e I n t e r p o l a t i o n a n d D i g i t a l F i l t e r i n g " , I E E E T r a n s . o n  A c o u s t i c s , S p e e c h a n d S i g n a l P r o c e s s i n g , v o l . A S S P - 2 6 , n o . 6 , p p . 5 0 8 - 5 1 7 , D e c e m b e r 1 9 7 8 . [ 2 9 ] K . T . I c h i d a , " C u r v e F i t t i n g b y a O n e - p a s s M e t h o d w i t h a P i e c e w i s e C u b i c P o l y n o m i a l " , A C M T r a n s . o n M a t h e m a t i c a l  S o f t w a r e , v o l . 3 , n o . 2 , p p . 1 6 4 - 1 7 4 , J u n e 1 9 7 7 . [ 3 0 ] R . S . L a p a l m e , A n I n t e r a c t i v e D a t a R e d u c t i o n T e c h n i q u e f o r  L i n e D r a w i n g s , M . E n g . T h e s i s , R o y a l M i l i t a r y C o l l e g e o f C a n a d a , K i n g s t o n , J u n e 1 9 7 7 . [ 3 1 ] M - L . L i o u , " S p l i n e F i t M a d e E a s y " , I E E E T r a n s . o n  C o m p u t e r s , v o l . C - 2 5 , n o . 5 , p p . 5 2 2 - 5 2 7 , M a y 1 9 7 6 . [ 3 2 ] D . G . M c C a u g h e y , " A n I m a g e C o d i n g A l g o r i t h m u s i n g S p l i n e F u n c t i o n s " , A p p l i c a t i o n s o f D i g i t a l I m a g e P r o c e s s i n g , v o l . 1 4 9 , p p . 5 1 - 6 1 , 1 9 7 2 . [ 3 3 ] D . M c C l u r e , " C o m p u t a t i o n o f A p p r o x i m a t e l y O p t i m a l C o m p r e s s e d R e p r e s e n t a t i o n s o f D i s c r e t i z e d P l a n e C u r v e s " , P a t t e r n R e c o g n i t i o n a n d I m a g e P r o c e s s i n g C o n f e r e n c e  P r o c e e d i n g s , p p . 1 7 5 - 1 8 3 , 1 9 7 7 . [ 3 4 ] J . E . M i d g e l e y , " I s o t r o p i c F o u r - P o i n t I n t e r p o l a t i o n " , C o m p u t e r G r a p h i c s a n d I m a g e P r o c e s s i n g , v o l . 9 , n o . 2 , p p . 1 9 2 - 1 9 6 , F e b r u a r y 1 9 7 9 . [ 3 5 ] R . M o s s a n d A . L i n d g a r d , " P a r a m e t r i c S p l i n e C u r v e s i n I n t e g e r A r i t h m e t i c D e s i g n e d f o r U s e i n M i c r o c o m p u t e r C o n t r o l l e d P l o t t e r s " , C o m p u t e r s & G r a p h i c s , v o l . 4 , n o . 1 , p p . 5 1 - 6 1 , 1 9 7 9 . [ 3 6 ] W . M . N e w m a n a n d R . F . S p r o u l l , P r i n c i p l e s o f I n t e r a c t i v e  C o m p u t e r G r a p h i c s , M c G r a w - H i l l , New Y o r k , 1 9 7 3 . [ 3 7 ] G . M . N i e l s e n , " S o m e P i e c e w i s e P o l y n o m i a l A l t e r n a t i v e s t o S p l i n e s u n d e r T e n s i o n " , C o m p u t e r A i d e d G e o m e t r i c D e s i g n , R . E . B a r n h i l l a n d R . F . R i e s e n f e l d , e d s . , p p . 2 0 9 - 2 3 5 , A c a d e m i c P r e s s , New Y o r k , 1 9 7 4 . [ 3 8 ] T . P a v l i d i s a n d S . L . H o r o w i t z , " S e g m e n t a t i o n o f P l a n e C u r v e s " , I E E E T r a n s . o n C o m p u t e r s , v o l . C - 2 3 , n o . 8 , p p . 8 6 6 - 8 7 0 , A u g u s t 1 9 7 4 . 1 4 0 [ 3 9 ] L . R . R a b i n e r a n d B . G o l d , T h e o r y a n d A p p l i c a t i o n o f D i g i t a l  S i g n a l P r o c e s s i n g , P r e n t i c e - H a l l , E n g l e w o o d C l i f f s , N J , 1 9 7 5 . [ 4 0 ] U . R a m e r , " A n I t e r a t i v e P r o c e d u r e f o r t h e P o l y g o n a l A p p r o x i m a t i o n o f P l a n e C u r v e s " , C o m p u t e r G r a p h i c s a n d I m a g e  P r o c e s s i n g , v o l . 1 , n o . 3 , p p . 2 4 4 - 2 5 6 , N o v e m b e r 1 9 7 2 . [ 4 1 ] K . R e u m a n n a n d W. W i t k a m , " O p t i m i z i n g C u r v e S e g m e n t a t i o n i n C o m p u t e r G r a p h i c s " , I n t e r n a t i o n a l C o m p u t i n g S y m p o s i u m , p p . 4 6 7 - 4 7 2 , N o r t h H o l l a n d , 1 9 7 4 . [ 4 2 ] D . F . R o g e r a n d J . A . A d a m s , M a t h e m a t i c a l E l e m e n t s f o r  C o m p u t e r G r a p h i c s , M c G r a w - H i l l , New Y o r k , 1 9 7 6 . [ 4 3 ] A . R o s e n f e l d a n d E . J o h n s t o n , " A n g l e D e t e c t i o n o n D i g i t a l C u r v e s " , I E E E T r a n s . o n C o m p u t e r s , v o l . C - 2 2 , n o . 9 , p p . 8 7 5 - 8 7 8 , S e p t e m b e r 1 9 7 3 . [ 4 4 ] W . S . R u t k o w s k i , " S h a p e C o m p l e t i o n " , C o m p u t e r G r a p h i c s a n d  I m a g e P r o c e s s i n g , v o l . 9 , n o . 1 , p p . 8 9 - 1 0 1 , J a n u a r y 1 9 7 9 . [ 4 5 ] M . H . S c h u l t z , S p l i n e A n a l y s i s , P r e n t i c e - H a l l , E n g l e w o o d C l i f f s , N J , 1 9 7 3 . [ 4 6 ] S . S h l i e n a n d P . A l l a r d , " A F I R A p p r o a c h f o r t h e G e n e r a t i o n o f S m o o t h C u r v e s o n a G r a p h i c s T e r m i n a l " , p r e - p u b l i c a t i o n c o p y ( C R C , O t t a w a , 1 9 8 0 ) . [ 4 7 ] C M . W i l l i a m s , " A n E f f i c i e n t A l g o r i t h m f o r t h e P i e c e w i s e L i n e a r A p p r o x i m a t i o n o f P l a n a r C u r v e s " , C o m p u t e r G r a p h i c s  a n d I m a g e P r o c e s s i n g , v o l . 8 . , n o . 2 , p p . 2 8 6 - 2 9 3 , O c t o b e r 1 9 7 8 . 141 A p p e n d i x A F o r m u l a s a n d d e r i v a t i o n s T h i s f i r s t a p p e n d i x c o n t a i n s a s u m m a r y o f t h e f o r m u l a s a n d a l g o r i t h m s p r e s e n t e d i n t h i s t h e s i s . D e t a i l e d d e r i v a t i o n s a r e a l s o p r e s e n t e d i n t h e c a s e s w h e r e t h e y w e r e p r e v i o u s l y o m i t t e d . A . 1 T h e H e r m i t e c u b i c T h e n o r m a l i z e d c u b i c e x p r e s s e d i n i t s e x p a n d e d f o r m i n t e r m s o f i t s e n d p o i n t p a r t i a l s i s g ( t ) = [ 2 g ( 0 ) - 2 g ( 1 ) + g ' ( 0 ) + g ' ( D ] t 3 + [ 3 g ( D - 3 g ( 0 ) - 2 g ' ( 0 ) - g ' ( 1 ) ] t 2 + g ' ( 0 ) t + g ( 0 ) T h e c u b i c b a s i s f u n c t i o n s a r e d e f i n e d a s * 0 ( t ) = ( 2 t + 1 ) ( 1 - t ) 2 * 0 ( t ) = t (1 - t ) 2 w i t h t h e f o l l o w i n g p r o p e r t y ( o r t h o g o n a l i t y ) : n ( 3 > ( 0 ) = 6 i ; i , j e { 0 , 1 } * i ( 3 > (1 ) = 0 T h e r e p r e s e n t a t i o n o f t h e c u b i c i n t e r m s o f t h e b a s i s f u n c t i o n s i s g ( t ) = g ( o ) * 0 ( t ) + g d ) * 0 0 - t ) + g ' ( 0 ) * , ( t ) - g ' ( 1 ) * , ( 1 - t ) 1 4 2 I f we m a p a n y s e g m e n t o f t h e c u b i c s p l i n e s € ( s . , , s - , . + , ) i n t o t € ( 0 , 1 ) , t h e f u n c t i o n f_ i s t h e 2 d i m e n s i o n a l p a r a m e t r i c s p l i n e f ( t ) = F \ - * 0 ( t ) + F 1 + , * 0 ( 1 - t ) + F ' i d i * , ( t ) - F ' i + 1 d i * , ( l - t ) w h e r e d i = I F i + i " I i | a n d t = ( s - s i ) / ( s i + ! - s \ ) A . 2 T h e D i g i t a l D i f f e r e n t i a l A n a l y z e r T o g e n e r a t e a c u b i c o n a n i n t e r v a l , k n o w i n g t h e e n d p o i n t p a r t i a l s , g ( 0 ) , g ( 1 ) , g * ( 0 ) a n d g ' ( l ) , a D i g i t a l D i f f e r e n t i a l A n a l y z e r c a n b e u s e d . T h i s i s a n o t h e r n a m e f o r a s e t o f l i n e a r d i f f e r e n c e e q u a t i o n s . g ' ' ' ( t + A t ) = g ' " ( t ) = g ' " ( 0 ) g ' ' ( t + A t ) = g " ( t ) + A t g " M 0 ) g ' ( t + A t ) = g ' ( t ) + A t [ g " ( t ) + g ' ' ( t + A t ) ] / 2 g ( t + A t ) = g ( t ) + A t [ g ' ( t ) + g 1 ( t + A t ) 3 / 2 -g " ' ( 0 ) A t 3 / 1 2 T h e o r i g i n a l p a r t i a l s c a n b e o b t a i n e d i n t e r m s o f g ( 0 ) , g ( 1 ) , g ' ( 0 ) a n d g ' ( 1 ) a s g " ( 0 ) = 6 g ( 1 ) - 6 g ( 0 ) - 4 g ' ( 0 ) - 2 g ' ( D g " ' ( 0 ) = 1 2 { g ( 0 ) - g ( 1 ) } + 6 { g ' ( 0 ) + g ' ( 1 ) } I f t h e n u m b e r o f p o i n t s t o b e g e n e r a t e d o n t h e ( 0 , 1 ) i n t e r v a l i s n , t h e n A t = 1 / n . 1 4 3 T h e f o l l o w i n g i s t h e DDA a l g o r i t h m : V a r i a b l e s a n d v v i v i v 0 & V , g ' ' ' / l 2 ( t h i r d d e r i v a t i v e ) g ' ' « n / 8 ( s e c o n d d e r i v a t i v e s ) g 1 « n / 4 ( f i r s t d e r i v a t i v e s ) g « n ( s c a l e d v a l u e s ) h [ k ] = g ( t ) f o r t = k / n k = 0 , 1 , S e t u p v i ' v 0 h [ 0 ] = { g ( 0 ) - g ( 1 ) } + { g ' ( 0 ) + g ' ( 1 ) } / 2 = { 3 g d ) - 3 g ( 0 ) - 2 g ' ( O ) - g ' ( 1 ) } - n / 4 = g ( 0 ) - n / 4 = g ( 0 ) - n = g ( 0 ) I t e r a t i o n f o r i := 1 t o n d o b e g i n v , h [ i ] Vo v i v 0 e n d ; = v i ' + 3 v ' ' ' / 2 = v i + ( v j ' + v l ' l / n = v 0 + ( v i + v \ ) / ( n / 2 ) = v , / n - v ' ' * / n : T h e s c a l i n g f a c t o r s w e r e s e l e c t e d f o r o p t i m a l p e r f o r m a n c e ( p r e c i s i o n a n d d y n a m i c r a n g e ) f o r 16 b i t i n t e g e r a r i t h m e t i c w i t h n = l 6 . T h e a b o v e a l g o r i t h m c a n b e i m p l e m e n t e d w i t h o u t m u l t i p l i c a t i o n o r d i v i s i o n ( u s i n g o n l y s h i f t a n d a d d ) f o r n a p o w e r o f 2 . 1 44 A . 3 T h e e l l i p s e d r a w e r T h e s t a r t i n g a s s u m p t i o n i s t h a t t h e e l l i p s e w i l l b e d r a w n a s 4 s e g m e n t s , w i t h t h e m a j o r a n d m i n o r a x i s i n t e r c e p t s b e i n g t h e b r e a k p o i n t s ( F i g . 3 . 6 a ) . B e t w e e n t w o s u c h p o i n t s , s a y r_, a n d r_2 ( F i g . 3 . 6 b ) , we h a v e t h e c u b i c p i e c e f ( x ) = r , * 0 ( t ) + r 2 * 0 ( l - t ) + v , * , ( t ) - v 2 * , ( 1 - t ) T h e d e s i r e d e n d c o n d i t i o n a r e : Y . i 1 ( I i ~ I o ) , v 2 J_ ( r 2 - r 0 ) a n d f " ( 0 ) / / ( r , - r 0 ) , f " ( D / / ( r 2 - r 0 ) T h e l a s t t w o c o n d i t i o n s e n s u r e t h a t t h e e l l i p s e i s t r u l y ' c i r c u l a r ' a t t h e e n d p o i n t s . L e t v , = k , ( r 2 - r 0 ) a n d v 2 = k 2 ( r 0 - r , ) T h e n f " ( 0 ) = 6 ( r 2 - r , ) - 4 k 1 ( r 2 - r 0 ) - 2 k 2 ( r 0 - r 1 ) = ( 6 - 2 k 2 ) ( r 0 - r 1 ) + ( 6 - 4 k , ) ( r 2 - r 0 ) T h u s k , = 3 / 2 a n d s i m i l a r l y = 3 / 2 N o t e t h a t t h i s m e t h o d p r o d u c e s a c u r v a t u r e a t t h e e n d p o i n t s I I ' I 3 3 | r 2 - r 0 [ 2 P | f ' x f " | 4 | r , - r 0 | t h a t d o e s n o t e x a c t l y m a t c h t h a t o f t h e t r u e e l l i p s e . T h e f i n a l f o r m u l a t i o n i s t h u s 1 4 5 f ( x ) = r , * 0 ( t ) + r 2 * 0 ( 1 - t ) . .+ V 2 ( l 2 - I o ) * i ( t ) - 3 / 2 ( l i - I o ) * i ( 1 - t ) w i t h t h e p a r t i a l s f * ( 0 ) = 3 ( r 2 - r 0 ) / 2 f ' ' ( 0 ) = 3 ( r 0 - r 1 ) f " ' ( 0 ) = 6 ( r 2 - r , ) T h e m a x i m u m e r r o r o c c u r s f o r t = 1 / 2 w h e n f_c = £ o + 1 1 / i 6 ( £ i ~ I o + l 2 _ £ o ) ( c u b i c ) w h e r e a s f t = r 0 + 2 " 1 ' 2 ( r , - r 0 + r 2 - r 0 ) ( e l l i p s e ) R e l a t i v e e r r o r = 2 . 7 7 % A . 4 T h e c i r c u l a r t h r e e p o i n t f i t A t a n g e n t t t h a t s a t i s f i e s t h e r e q u i r e d g e o m e t r i c a l r e l a t i o n s g i v e n i n F i g . 4 . 1 i s t = d 2 r 1 / d 1 + d 1 r 2 / d 2 w h e r e d , = | r , | a n d d 2 = | r 2 | T h i s c a n e a s i l y b e v e r i f i e d b y c o m p u t i n g £ , • ( £ , + £ 3 ) t • r 2 c o s 0, = = I l i l l l i + l 2 | | t | | r 2 | T h i s y i e l d s t h e d i r e c t i o n ( n o t t h e m a g n i t u d e ) o f t h e t a n g e n t v e c t o r , i n a f o r m i d e n t i c a l t o t h e B e s s e l i n t e r p o l a t o r s l o p e . 1 4 6 T o a d j u s t t h e m a g n i t u d e o f a c i r c u l a r f i t , t h e h e i g h t h a t t h e m i d p o i n t ( s e e F i g . 4 . 1 ) i s h = 2 | t | s i n e » * i ( V 2 ) = | t | s i n e / 4 [ T h i s i s a n o t h e r r e a s o n w h y F x « d i / 4 i s u s e d a s a n a t u r a l u n i t f o r t h e s l o p e m e a s u r e ] . F r o m c i r c u l a r g e o m e t r y ( F i g . 4 . 1 ) , we h a v e d = 2 p s i n 6 h = p - /> c o s 6 T h u s h = d (1 - c o s e ) = | t | s i n e / 4 2 s i n e a n d | t | = 2 d 1 + c o s e N o w , s i n c e t = F _ i « d i , I F , | -1 + c o s e F i n a l l y , s i n c e t d e p e n d s b o t h o n e, a n d & 2 , we u s e t h e h y b r i d f o r m u l a p r o p o s e d b y M i d g e l e y [ 3 4 ] , 4 2 + c o s e , + c o s e 2 1 4 7 A . 5 T h e p o l y n o m i a l f i t s A s i m p l e e x t e n s i o n t o t h e B e s s e l i n t e r p o l a n t i s p o s s i b l e b y u s i n g a q u a r t i c f i t t h r o u g h 5 p o i n t s t o d e t e r m i n e t h e s l o p e . T h e F u l l Q u a r t i c S o l u t i o n T h e q u a r t i c p o l y n o m i a l p a s s i n g t h r o u g h F{ i s f i ( x ) = Fi + S i ( x - x i ) + C 2 i ( x - x t ) 2 + C 3 i ( x - x i ) 3 + C « i ( x - x i ) u F o r e a s e o f n o t a t i o n , l e t D , = F [ x x , x i + 1 ] D 2 = F t x i , x x + 2 ] D 3 = F [ x i , x i . 1 ] D „ = F [ x t , x 2 ] h , = d i h 2 = d i + d i + , h 3 = " d i . i h« = ] + d i _ 2 ) T h e n , t h e q u a r t i c t h r o u g h t h e 5 p o i n t s s a t i s f i e s 1 h , h 2 h 3 1 h 2 h i h i 1 h 3 h § hi 1 h „ h 2 . hjj S i D , C 2 i = D 2 c 3 i D 3 D , F o r w h i c h t h e s o l u t i o n i s S i 4 E D j = i h j - n ( h j - h k ) k*j 4 E j = 1 h j - n ( h j - h k ) U n i f o r m S p a c i n g 1 4 8 A s s u m e t h a t a l l d i = d . T h e n , i n t h e n o t a t i o n g i v e n a b o v e , h , = d T h e s o l u t i o n o f h , = 2 d h 3 = - d h« = - 2 d 1 1 1 1 S i D , 1 2 4 8 C 2 i / d = D 2 1 -1 1 -1 C 3 i / d 2 D 3 1 - 2 4 - 8 C « i / d 3 i s S i = 2 / 3 { D , + D 3 } + We * D 2 •+ D « } = - V 6 F [ x i . 2 , X i ] + 2 / 3 F [ x i . , , x x ] + 2 / 3 F [ x i , x x + , ] - V 6 F [ x i , x i + 2 ] T h e s a m e m e t h o d a s a b o v e i s u s e d t o d e t e r m i n e h i g h e r o r d e r f i t s o n u n i f o r m s p a c i n g , i . e . S i = V 2 o F [ x i . 3 ,x i ] - 3 / i 0 F [ x i . . 2 , X i ] + 3 / « F [ x i . , , x i ] + 3 / „ F [ x i , x i + , ] - 3 / 1 0 F [ x i , X i + 2 ] + V 2 0 F [ x i , x i + 3 ] ( 6 t h o r d e r ) E n d - p o i n t s T h e s o l u t i o n a t e n d p o i n t s i s o b t a i n e d b y s u i t a b l y d e f i n i n g t h e D i ' s a n d t h e h - i ' s . F o r e x a m p l e , f o r a q u a r t i c f i t l e t 1 4 9 D , = F [ x 1 f x 2 ] h , = d , D 2 = F [ x , , x 3 ] h 2 = d , + d - 2 D 3 = F [ x , , x J h 3 = d , + d 2 + d 3 D „ = F [ x 1 f x 5 ] h „ = d , + d 2 + d 3 + d „ T h e u n i f o r m s p a c i n g s o l u t i o n i s S , = 4 - F [ x , , x 2 ] ~ 6 ' F [ x , , x 3 ] + 4 ' F [ x , , x „ ] - F [ x , , x 5 ] A . 6 T h e s i n e f i l t e r T h e s i m p l e s i n e f i l t e r , a s s u m i n g a u n i f o r m m e s h , x ^ = k i s s i n ir x f ( x ) = s i n e ( x ) = v x w i t h ^ ir c o s v x k c o s k i r ( - 1 ) f ' ( x k ) = = = , k * 0 IT x k k k = 0 , k=0 F o r n o n - u n i f o r m m e s h e s , a p s e u d o - s i n c f u n c t i o n c a n b e c r e a t e d b y e x t e n d i n g t h e d e f i n i t i o n o f t h e d e r i v a t i v e a t t h e c r o s s i n g p o i n t s g w ( x , ) = 6 k i ( -1 ) 1 ' k g ' k ( X l ) = , k * l = 0 , k = l B e t w e e n t h e - x k ' s , t h e f u n c t i o n c o n s i s t s o f c u b i c s e g m e n t s . U s i n g t h i s a s t h e b a s i c i n t e r p o l a t i n g f u n c t i o n , we h a v e 1 5 0 f ( x ) = E F k • g k ( x ) k S t = f ' ( x i ) = E F k • g k ( x { ) T h e f i l t e r a s g i v e n i s a n i n f i n i t e i m p u l s e r e s p o n s e f i l t e r . F o r t h i s r e a s o n , t h e s u m m a t i o n i n d e x h a s b e e n l e f t v a g u e . I f t h e f u n c t i o n g k ( x ) i s m u l t i p l i e d b y a w i n d o w f u n c t i o n w k ( x ) > 0 , we o b t a i n a f i n i t e i m p u l s e r e s p o n s e f i l t e r , f ( x ) = E F k • g k ( x ) • w k ( x ) k S i = f ' ( x i ) = E F k { g k ( x i ) w k ( x i ) + g k ( x i ) w v ; ( x i ) } k = E F k g k ( x i > w k ( x j ) + F i w j U i ) k S e t w - ( x ^ ) = 0 ( s o t h a t i t i s a n e v e n f u n c t i o n ) . N o w , w k ( x i ) c a n b e a c o m p l e x f u n c t i o n i n v o l v i n g X J ' S . F o r s i m p l i c i t y , s e t w k ( x , ) = Wj, j = | i - k | . T h u s S i = E ( -1 ) l " k F k w , i . . , k * 0 — x ; - x . S i n c e we d e s i r e l i n e a r p r e c i s i o n , we w r i t e S { i n t e r m s o f F [ x t , x K 3 S x = - E F [ x i , x k ] • ( -1 ) 1 _ ^ w ^ . k , k * 0 N o w , s i n c e -w j i . k j i s o n l y n o n - z e r o f o r | i - k | < m ( w i n d o w s i z e ) m S i = E { F [ x i , x i + i ] + F [ x i , x i . ; ]} • ( - 1 ) J - 1 w : j = 1 J J T h e w i n d o w c o e f f i c i e n t s Wj a r e c h o s e n f o r l i n e a r p r e c i s i o n s o 151 t h a t m E 2 ( -1 ) > 1 w.- = 1 , w ; > 0 j - 1 A . 7 T h e l e a s t s q u a r e s f i t T o f i t t h e l i n e f ( x ) = F{ + S ( x - x { ) t o t h e d a t a p o i n t s { F j } d e f i n e E = E [ f ( X J ) - F j ] 2 w ( d i j ) ) E { [ S i - U i - X j ) - (F\ - F j ) ] w 1 ' 2 ( d i j ) } 2 w h e r e w ( d t j ) ) a r e t h e w e i g h t i n g f a c t o r s . d E = E w ( d i j ) ( x i - X j ) [ S i - C x t - X j ) - ( F i - F j ) ] = 0 d S { j * i S { = E w ( d i j ) ( X J - x i ) 2 F [ x i ,Xj ] / E w ( d i j ) ( X J - x , ) j * i j * i S o m e o f t h e p o s s i b l e c h o i c e s f o r t h e w e i g h t i n g f u n c t i o n a r e : a ) u n i f o r m , w ( d i j ) = 1 S i = E d ? j F [ x i ,Xj ] / E d ? j j # i j ^ i T h i s m e t h o d i s u n s u i t a b l e , a s i t g i v e s m o r e w e i g h t t o p o i n t s f u r t h e r o u t . b ) i n v e r s e d i s t a n c e s q u a r e d , w ( d x j ) = 6\j 152 S x = E F [ x i f X j ] / N , N = # p o i n t s c o n s i d e r e d T h i s m e t h o d i s u s a b l e , b u t a g r a d u a l w i n d o w i n g w o u l d b e p r e f e r r e d c ) w i n d o w e d i n v e r s e d i s t a n c e s q u a r e d , w ( d x j ) = w ( l . j | / d 2 ^ -m S i = E w; { F [ x i , x i + j ] + F [ x i , X i . . - ]} j = 1 w i t h m E WJ = 1 / 2 j = 1 T h i s i s t h e b e s t o f t h e s i m p l e l e a s t s q u a r e s m e t h o d s . A . 8 E r r o r m e a s u r e a l g o r i t h m t y p e v e c t o r = a r r a y [ 1 . . m a x i n t ] of_ i n t e g e r p r o c e d u r e e r r o r ( x 1 , y1 : v e c t o r ; n1 : i n t e g e r ; x 2 , y 2 : v e c t o r ; n 2 : i n t e g e r ; v a r n s , s u m 2 , m a x d : i n t e g e r ) ; { o r i g i n a l p o i n t s : ( x 1 , y 1 ) d e c o d e d p o i n t s : ( x 2 , y 2 ) e r r o r s t a t i s t i c s : n s , s u m d , m a x d , w i t h r m s e r r o r = s q r t ( s u m 2 / n s ) , m a x e r r o r = m a x d } v a r i 1 , i 2 , e p s , d i , d j , j : i n t e g e r ; f u n c t i o n i m a g ( i x , i y : i n t e g e r ) : i n t e g e r ; b e g i n i m a g := s q r t ( i x * i x + i y * i y ) e n d ; b e g i n i 1 := 1 ; f o r i 2 := 1 t o n 2 d o b e g i n 1 5 3 e p s := i m a g ( x 2 [ i 2 ] - x 2 [ i 2 - l ] , y 2 [ i 2 ] - y 2 [ i 2 - 1 ] ) ; e p s := m a x ( e p s , 1 6 ) ; d i := m a x i n t ; f o r j := i 1 t o n1 d o  b e g i n d j := i m a g ( x l [ j ] - x 2 [ i 2 ] , y l [ j ] - y 2 [ i 2 ] ) ; i f ( d j - d i ) > e p s t h e n b r e a k  i f d j < d i t h e n b e g i n i 1 := j ; d i := d j e n d e n d ; n s := n s + 1 ; s u m 2 := s u m 2 + d i * d i ; m a x d := m a x ( m a x d , d i ) e n d ; e n d ; 1 54 A p p e n d i x B S a m p l e R e s u l t s T h i s f i r s t a p p e n d i x c o n t a i n s s o m e o f t h e r e s u l t s f r o m t h e t e s t r u n s . T h e s e r u n s w e r e m a d e b y u s i n g c o m b i n a t i o n s o f v a r i o u s s e g m e n t a t i o n a n d r e c o n s t r u c t i o n t e c h n i q u e s . T h e a p p e n d i x d o e s n o t c o n t a i n a c o m p l e t e s e t o f r e s u l t s , a s t h e s e w o u l d t a k e u p o v e r 9 0 p a g e s . I n s t e a d , a s u b s e t i s s h o w n t o i l l u s t r a t e t h e p o i n t s m a d e i n C h a p t e r 7 . T h e r e a r e t h r e e t y p e s o f e n t r i e s i n t h i s a p p e n d i x . T h e f i r s t i s a t a b l e i n d i c a t i n g t h e e r r o r m e a s u r e m e n t s o b t a i n e d w i t h v a r i o u s r e c o n s t r u c t i o n t e c h n i q u e s f o r o n e p a r t i c u l a r s e g m e n t a t i o n t e c h n i q u e a n d d e n s i t y . T h e u n d e r l i n e d r e c o n t r u c t i o n t e c h n i q u e i s t h e p r e f e r r e d ( " b e s t " ) o n e . T h e s e c o n d t y p e o f e n t r y i s a p l o t o f t h e r e c o n s t r u c t e d d r a w i n g f o r a g i v e n s e g m e n t a t i o n / r e c o n s t r u c t i o n c o m b i n a t i o n . T h e t h i r d i s a g r a p h o f e r r o r v s . c o m p r e s s i o n , w h e r e c o m p r e s s i o n i s d e f i n e d a s t h e n u m b e r o f i n p u t p o i n t s d i v i d e d b y t h e n u m b e r o f c o d e d p o i n t s ( i . e . t h e a d v a n t a g e g a i n e d b y c o d i n g ) . T h e s e g r a p h s a r e o b t a i n e d b y u s i n g t h e p r e f e r r e d r e c o n s t r u c t i o n t e c h n i q u e f o r a g i v e n s e g m e n t a t i o n t e c h n i q u e , w h e r e t h e s e g m e n t a t i o n d e n s i t y i s v a r i e d . A l l e n t r i e s a r e l a b e l l e d , s h o w i n g t h e s e g m e n t a t i o n a n d r e c o n s t r u c t i o n t e c h n i q u e s u s e d . T h e f o l l o w i n g n a m e s a r e u s e d f o r t h e v a r i o u s r e c o n s t r u c t i o n t e c h n i q u e s : 1 5 5 L i n e a r - s i m p l e l i n e a r i n t e r p o l a n t B e s s e l - s l o p e d e t e r m i n e d b y a p a r a b o l i c f i t t h r o u g h 3 p o i n t s Q u a r t i c - s l o p e d e t e r m i n e d b y a q u a r t i c f i t t h r o u g h 5 p o i n t s U n i f o r m - s l o p e d e t e r m i n e d b y a s u m o f v a l u e d i f f e r e n c e s m F V ' d i . , = F V d { = I Wj { F i + j - F i j } j=1 n o t e t h a t t h i s m a k e s t h e d e r i v a t i v e s d i s c o n t i n u o u s N o n u n i f o r m - a s a b o v e , e x c e p t t h a t t h e d e r i v a t i v e i s c o n t i n u o u s - s l o p e d e t e r m i n e d b y a s u m o f d i v i d e d d i f f e r e n c e s F i l t e r m F'v I WJ { F [ x 1 + j , x i ] - F [ x x . j , x { ] } j = 1 i n t h i s c a s e , t h e d e r i v a t i v e i s c o n t i n u o u s S p e c i a l - a n a d a p t a t i o n o f t h e a b o v e f i l t e r w h i c h s e t s F ^ = 0 a t a d o u b l e n o d e . F o r t h e U n i f o r m t h r o u g h S p e c i a l s l o p e f i l t e r s , t h e n u m b e r f o l l o w i n g t h e f i l t e r n a m e i s t h e o r d e r m . N o t e t h a t m i s h a l f t h e w i d t h o f t h e i m p u l s e r e s p o n s e o f t h e f i l t e r . T h e f i r s t t h i n g t h a t i s p r e s e n t e d h e r e a r e t h e o r i g i n a l p i c t u r e s u s e d f o r t h e t e s t r u n s . T h e s e w e r e o b t a i n e d f r o m t h e d a t a t a b l e t u s i n g t h e h a r d w a r e s e t u p d e s c r i b e d p r e v i o u s l y ( C h a p t e r 1 ) . T h e s e a r e f o l l o w e d b y t a b l e s , d r a w i n g s o f r e c o n s t r u c t e d p i c t u r e s a n d g r a p h s , a r r a n g e d b y s e g m e n t a t i o n t e c h n i q u e . O r i g i n a l p i c t u r e no. 1 157 O r i g i n a l p i c t u r e n o . 3 O r i g i n a l p i c t u r e no. 4 1 6 0 E r r o r m e a s u r e m e n t s S e g m e n t a t i o n : S u b s a m p l i n g , r a t e = 12 P i c t u r e n o . : 1 2 3 4 N o . o f p o i n t s : 31 91 1 4 0 1 4 3 D e n s i t y : 8 . 6 3 % 8 . 6 2 % 9 . 1 7 % 1 1 . 2 6 C o m p r e s s i o n : '1 1 . 5 9 1 1 . 6 0 1 0 . 9 1 8 . 8 8 E r r o r s : RMS A b s RMS A b s RMS A b s RMS A b s L i n e a r 3 7 . 5 4 1 0 6 4 . 9 9 1 6 1 8 . 2 5 1 0 8 4 . 8 9 18 B e s s e l 2 6 . 2 6 9 0 4 . 1 2 1 6 1 5 . 4 8 1 07 4 . 8 0 1 6 Q u a r t i c 2 6 . 6 9 8 9 4 . 4 8 16 1 6 . 1 1 1 0 7 4 . 8 7 19 U n i f o r m 2 2 3 . 5 9 81 3 . 5 3 10 1 2 . 4 1 1 0 7 4 . 0 6 1 5 U n i f o r m 3 1 9 . 9 7 7 0 3 . 4 5 9 1 0 . 2 4 94 4 . 0 9 1 2 U n i f o r m 4 1 8 . 7 5 6 5 3 . 4 3 9 9 . 4 4 9 4 4 . 0 9 1 2 F i l t e r 2 2 5 . 6 8 8 6 3 . 8 5 15 1 5 . 0 0 107 4 . 3 7 1 6 F i l t e r 3 2 3 . 3 0 7 7 3 . 8 6 15 1 4 . 5 7 1 0 7 4 . 3 1 1 5 F i l t e r 4 2 2 . 5 7 7 5 3 . 8 5 15 1 4 . 2 1 1 0 8 4 . 2 8 1 5 N o n u n i f o r m 2 2 4 . 8 0 8 2 3 . 6 2 12 1 5 . 0 0 1 0 9 4 . 3 2 1 5 N o n u n i f o r m 3 2 2 . 14 8 4 3 . 5 3 12 1 3 . 1 9 1 1 3 4 . 1 1 15 N o n u n i f o r m 4 2 0 . 9 8 8 4 3 . 5 2 1 2 1 2 . 9 8 1 1 5 4 . 0 9 1 4 S e g m e n t a t i o n N o . o f p o i n t s D e n s i t y C o m p r e s s i o n R e c o n s t r u c t i o n E r r o r ( R M S / a b s ) P i c t u r e n o . 3 S u b s a m p l i n g , r a t e 1 4 0 9 . 1 7 % 1 0 . 9 1 U n i f o r m 3 1 0 . 2 4 / 94 = 12 1 6 2 CO S e g m e n t a t i o n N o . o f p o i n t s D e n s i t y C o m p r e s s i o n R e c o n s t r u c t i o n E r r o r ( R M S / a b s ) P i c t u r e n o . S u b s a m p l i n g , 107 7 . 1 5 % 1 3 . 9 9 U n i f o r m 3 1 9 . 6 0 / 1 1 3 r a t e = 1 6 1 6 3 6 0 5 0 4 0 R M S E R R 0 R 3 0 2 0 1 0 2 5 2 0 R M S 1 5 E R R O R 1 0 5 1 2 5 2 0 4-R M S 1 5 E R R O R •1 0 5 1 0 1 5 2 0 C O M P R E S S I O N 1 5 R M S 1 0 E R R O R 5 1 0 1 5 2 0 C O M P R E S S I O N H 1 1 1 1 1 \-5 1 0 1 5 2 0 2 5 3 0 3 5 C O M P R E S S I O N 5 1 0 1 5 C O M P R E S S I O N S e g m e n t a t i o n o — S u b s a m p l i n g R e c o n s t r u c t i o n U n i f o r m 3 164 E r r o r m e a s u r e m e n t s S e g m e n t a t i o n : S h a p e d e p e n d e n t , w i t h o u t c o r n e r s , e D = 6 0 ° P i c t u r e n o . : 1 2 3 4 N o . o f p o i n t s : 2 9 41 1 56 7 8 D e n s i t y : 8 . 0 9 % 3 . 9 9 % 10 . 1 5 % 7 . 1 7 C o m p r e s s i o n : 1 2 . 3 6 2 5 . 0 6 9 . 8 5 1 3 . 9 5 E r r o r s : RMS A b s RMS A b s RMS A b s RMS A b s L i n e a r 3 8 . 6 9 1 1 4 1 9 . 4 9 71 1 2 . 4 6 56 1 2 . 0 0 7 2 B e s s e l 3 8 . 7 7 1 7 8 1 4 . 2 7 8 5 1 1 . 0 9 8 5 1 0 . 6 0 7 8 Q u a r t i c 3 7 . 3 2 1 7 8 2 2 . 10 1 7 8 1 1 . 3 8 97 8 . 9 3 5 5 U n i f o r m 2 5 6 . 1 1 1 7 8 1 6 . 2 8 6 9 1 2 . 1 8 6 3 7 . 2 2 5 3 U n i f o r m 3 5 0 . 5 2 1 7 8 1 6 . 0 7 6 7 1 3 . 4 7 6 3 8 . 0 9 5 2 U n i f o r m 4 51 . 7 9 1 7 8 1 6 . 9 8 6 7 1 4 . 0 3 6 3 8 . 4 8 4 8 F i l t e r 2 3 3 . 6 2 1 7 8 1 3 . 8 1 7 7 8 . 9 2 47 7 . 1 2 5 5 F i l t e r 3 2 0 . 4 1 8 8 1 2 . 9 9 7 8 8 . 1 6 41 7 . 2 2 5 3 F i l t e r 4 21 . 2 8 9 4 1 2 . 8 2 7 8 8 . 2 8 4 3 7 . 2 8 5 2 N o n u n i f o r m 2 2 9 . 2 7 1 0 6 1 3 . 9 9 6 8 9 . 5 5 4 9 6 . 8 1 5 2 N o n u n i f o r m 3 2 8 . 5 8 1 0 8 1 3 . 3 2 6 6 8 . 7 8 38 6 . 9 8 5 3 N o n u n i f o r m 4 2 9 . 4 1 1 0 8 1 4 . 5 1 6 4 9 . 1 9 4 0 7 . 2 2 5 3 1 6 5 S e g m e n t a t i o n N o . o f p o i n t s D e n s i t y C o m p r e s s i o n R e c o n s t r u c t i o n E r r o r ( R M S / a b s ) P i c t u r e n o . 4 S h a p e d e p e n d a n t , w i t h o u t c o r n e r s , 9^ = 6 0 ' 7 8 7 . 1 7 % 1 3 . 9 5 F i l t e r 3 7 . 2 2 / 5 3 166 6 0 5 0 4 0 R M S E R R O R 3 0 2 0 1 0 2 5 2 0 R M S 1 5 E R R O R 1 0 2 5 2 0 R M S 1 5 E R R O R 1 0 5 1 0 1 5 2 0 C O M P R E S S I O N 1 5 1 R M S 1 0 E R R O R 5 1 0 1 5 2 0 C O M P R E S S I O N 5 1 0 1 5 . 2 0 2 5 3 0 3 5 C O M P R E S S I O N • 5 1 0 1 5 C O M P R E S S I O N n — S e g m e n t a t i o n S h a p e d e p e n d a n t ( n o c o r n e r d e t e c t i o n ) R e c o n s t r u c t i o n F i l t e r 3 1 6 7 E r r o r m e a s u r e m e n t s S e g m e n t a t i o n : S h a p e d e p e n d e n t , w i t h c o r n e r s , e D = 6 0 ° P i c t u r e n o . : 1 2 3 4 N o . o f p o i n t s : - 3 3 31 1 6 5 81 D e n s i t y : 9 . 16 % 3 . 0 6 % 10 . 7 0 % 7 . 3 6 C o m p r e s s i o n : 1 0 . 9 2 3 2 . 6 8 9 . 3 5 1 3 . 5 9 E r r o r s : RMS A b s RMS A b s RMS A b s RMS A b s L i n e a r 60 . 7 0 1 7 8 2 3 . 7 4 9 5 1 6 . 1 5 6 8 1 1 . 7 8 7 2 B e s s e l 51 . 7 2 1 7 8 18 . 9 4 6 9 1 2 . 5 9 8 7 1 0 . 5 5 7 8 Q u a r t i c 74 . 0 9 1 7 8 2 2 . 1 0 1 0 9 1 4 . 5 4 7 8 8 . 8 8 5 5 U n i f o r m 2 101 . 9 9 1 7 8 21 . 0 0 8 2 1 5 . 1 5 7 0 7 . 1 7 5 3 U n i f o r m 3 1 0 3 . 6 0 1 7 8 2 2 . 6 8 8 3 1 7 . 0 9 7 8 8 . 27 52 U n i f o r m 4 1 04 . 9 8 1 7 8 24 . 1 9 8 3 1 8 . 2 0 9 3 8 . 7 0 48 S p e c i a l 2 6 3 . 1 2 1 7 8 18 . 1 8 7 6 1 0 . 9 3 6 4 6 . 9 3 5 5 S p e c i a l 3 62 . 9 9 1 7 8 1 7 . 8 2 7 5 1 0 . 8 3 6 4 7 . 0 6 5 3 S p e c i a l 4 62 . 9 4 1 7 8 18 . 0 6 7 6 1 0 . 7 2 6 4 7 . 1 0 52 F i l t e r 2 64 . 8 5 1 7 8 18 . 2 1 7 6 1 0 . 01 5 2 6 . 94 5 5 F i l t e r 3 61 . 1 6 1 7 8 1 7 . 7 5 7 5 1 0 . 3 2 4 8 7 . 0 5 5 3 F i l t e r 4 5 9 . 9 5 1 7 8 1 7 . 9 9 7 6 1 0 . 01 4 8 7 . 0 9 5 2 N o n u n i f o r m 2 8 9 . 2 8 1 7 8 19 . 7 8 7 7 1 4 . 0 7 6 2 6 . 6 0 52 N o n u n i f o r m 3 90 . 4 7 1 7 8 2 0 . 2 1 7 5 1 4 . 81 7 0 6 . 97 5 3 N o n u n i f o r m 4 92 . 7 4 1 7 8 2 3 . 0 9 7 7 1 5 . 4 9 8 5 8 . 02 5 3 cc S e g m e n t a t i o n N o . o f p o i n t s D e n s i t y C o m p r e s s i o n R e c o n s t r u c t i o n E r r o r ( R M S / a b s ) P i c t u r e n o . 4 S h a p e d e p e n d a n t , w i t h c o r n e r s , 6 = 6 0 ' 81 7 . 3 6 % 1 3 . 5 9 S p e c i a l 3 7 . 0 6 / 5 3 169 6 0 5 0 4 0 E R R 0 R 3 0 2 0 1 0 R M S 2 5 2 0 R M S 1 5 E R R O R 1 0 b J 2 5 2 0 R M S 1 5 E R R O R 1 0 5 1 0 1 5 2 0 C O M P R E S S I O N 1 5 R M S 1 0 E R R O R 5 1 0 1 5 2 0 C O M P R E S S I O N -i 1 1 1 1 1 1-5 1 0 1 5 2 0 2 5 3 0 3 5 C O M P R E S S I O N 5 . 1 0 . 1 5 C O M P R E S S I O N A -S e g m e n t a t i o n S h a p e d e p e n d a n t ( w i t h c o r n e r d e t e c t i o n ) R e c o n s t r u c t i o n S p e c i a l 3 170 E r r o r m e a s u r e m e n t s S e g m e n t a t i o n ; A u t o m a t e d f i t , e> = 90° P i c t u r e n o . N o . o f p o i n t s D e n s i t y C o m p r e s s i o n 1 30 16.31 6.13 2 39 7.33 % 1 3.65 3 1 15 20.53 % 4.87 4 1 16 16.66 6.00 E r r o r s : RMS A b s RMS A b s RMS A b s RMS A b s T w o p o i n t F o u r p o i n t 50.89 178 46.10 178 7.41 38 8.59 51 7.06 8.23 52 67 3.93 4.02 j_9 16 171 S e g m e n t a t i o n N o . o f p o i n t s D e n s i t y C o m p r e s s i o n R e c o n s t r u c t i o n E r r o r ( R M S / a b s ) P i c t u r e n o . 3 A u t o m a t e d c u r v e f i t , 9 ^ = 9 0 ' 1 2 2 7 . 6 5 % 6 . 5 4 Two p o i n t f i t 9 . 9 4 / 71 1 7 2 S e g m e n t a t i o n N o . o f p o i n t s D e n s i t y C o m p r e s s i o n R e c o n s t r u c t i o n E r r o r ( R M S / a b s ) P i c t u r e n o . 4 A u t o m a t e d c u r v e f i t , e D = 9 0 ° 1 0 3 7 . 6 9 % 6 . 5 0 T w o p o i n t f i t 4 . 1 0 / 19 173 G O 5 0 4 0 RMS E R R 0 R 3 0 2 0 1 0 2 5 2 0 R M S 1 5 E R R O R 1 0 2 5 2 0 R M S 1 5 E R R O R 1 0 5 1 0 1 5 2 0 C O M P R E S S I O N 1 5 R M S 1 0 E R R O R 5 1 0 1 5 2 0 C O M P R E S S I O N 5 1 0 1 5 2 0 2 5 3 0 3 5 C O M P R E S S I O N 5 1 0 1 5 C O M P R E S S I O N Segmentat ion o — Automated curve f i t R e c o n s t r u c t i o n 2 p o i n t f i t 174 6 0 5 0 H O R M S E R R 0 R 3 0 2 0 ] 0 2 5 2.0 R M S 1 5 E R R O R 1.0 2 5 2 0 R M S 1 5 E R R O R 1 0 ^ 1 1 h-5 1 0 1 5 2 0 C O M P R E S S I O N o 1 5 R M S 1 0 E R R O R o D 5 1 0 1 5 2 0 C O M P R E S S I O N 5 1 0 1 5 2 0 2 5 3 0 3 5 C O M P R E S S I O N o 5 1 0 1 5 C 0 M P R E S S I O N Segmentat ion o — Subsampl ing n — Shape dependant (no c o r n e r d e t e c t i o n ) A — Shape dependant (with c o r n e r d e t e c t i o n ) • — Automated curve f i t R e c o n s t r u c t i o n Uni form 3 F i l t e r 3 S p e c i a l 3 2 p o i n t f i t 1 7 5 E r r o r m e a s u r e m e n t s S e g m e n t a t i o n : C h a i n e n c o d i n g , l i n e a r i n t e r p o l a t i o n P i c t u r e n o . N o . o f p o i n t s D e n s i t y C o m p r e s s i o n 1 1 5 9 4 3 . 13 % 2 . 3 2 2 1 18 1 1 . 0 7 9 . 0 3 3 2 8 5 1 7 . 7 5 % 5 . 6 3 4 2 0 9 1 4 . 2 7 % 7 . 0 1 E r r o r s : R M S / a b s 1 3 . 0 1 32 7 . 6 5 2 2 1 2 . 0 9 1 0 8 9 . 0 6 3 2 P i c t u r e n o . N o . o f p o i n t s D e n s i t y C o m p r e s s i o n 1 2 1 6 5 8 . 3 5 1 . 7 1 E r r o r s : R M S / a b s 1 1 . 8 5 32 2 1 5 8 1 4 . 7 8 5 6 . 7 7 6 . 2 7 2 0 3 3 9 4 2 4 . 3 9 I 4 . 1 0 8 . 2 1 3 6 4 2 7 9 1 8 . 6 8 % 5 . 3 5 7 . 3 2 16 P i c t u r e n o . N o . o f p o i n t s D e n s i t y C o m p r e s s i o n 1 3 2 6 8 8 . 0 1 1 . 1 4 2 2 3 6 2 2 . 0 1 4 . 5 4 3 5 9 5 3 6 . 7 0 2 . 7 2 4 4 1 9 2 7 . 5 1 3 . 6 3 E r r o r s : R M S / a b s 1 1 . 2 6 44 4 . 8 9 16 6 . 7 8 3 2 5 . 7 2 16 1 7 6 S e g m e n t a t i o n N o . o f p o i n t s D e n s i t y C o m p r e s s i o n R e c o n s t r u c t i o n E r r o r ( R M S / a b s ) P i c t u r e n o . 3 C h a i n e n c o d i n g 5 9 5 3 6 . 7 0 % 2 . 7 2 L i n e a r 6 . 7 8 / 3 2 

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