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Economic resource allocation under uncertainty and differential information - a unified game approach… Amershi, Aminmohamed Hassanali 1978

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ECONOMIC RESOURCE ALLOCATION UNDER UNCERTAINTY AND DIFFERENTIAL INFORMATION -A UNIFIED GAME APPROACH WITH AGENCY AND ACCOUNTING A P P L I C A T I O N S by Aminmohamed H a s s a n a l i A m e r s h i A T H E S I S SUBMITTED IN PARTIAL FULFILLMENT OF THE REQUIREMENTS FOR THE DEGREE OF DOCTOR OF PHILOSOPHY i n THE FACULTY OF GRADUATE STUDIES ( F a c u l t y o f Commerce a n d B u s i n e s s A d m i n i s t r a t i o n ) We a c c e p t t h i s t h e s i s as c o n f o r m i n g t o t h e r e q u i r e d s t a n d a r d THE UNIVERSITY OF B R I T I S H COLUMBIA D e c e m b e r , 1978 © A m i n m o h a m e d H a s s a n a l i A m e r s h i , 1978 I n p r e s e n t i n g t h i s t h e s i s i n p a r t i a l f u l f i l m e n t o f t h e r e q u i r e m e n t s f o r a n a d v a n c e d d e g r e e a t t h e U n i v e r s i t y o f B r i t i s h C o l u m b i a , I a g r e e t h a t t h e L i b r a r y s h a l l m a k e i t f r e e l y a v a i l a b l e f o r r e f e r e n c e a n d s t u d y . I f u r t h e r a g r e e t h a t p e r m i s s i o n f o r e x t e n s i v e c o p y i n g o f t h i s t h e s i s f o r s c h o l a r l y p u r p o s e s may b e g r a n t e d b y t h e H e a d o f my D e p a r t m e n t o r by h i s r e p r e s e n t a t i v e s . I t i s u n d e r s t o o d t h a t c o p y i n g o r p u b l i c a t i o n o f t h i s t h e s i s f o r f i n a n c i a l g a i n s h a l l n o t b e a l l o w e d w i t h o u t my w r i t t e n p e r m i s s i o n . D e p a r t m e n t o f \\oj^l^tJc £ q & H 4 ^ faXjj]^ ^ ( W * * ^ T h e U n i v e r s i t y o f B r i t i s h C o l u m b i a 2075 Wesbrook P l a c e Vancouver, Canada V6T 1WS D a t e 1 5 / 4 / 7 9 R e s e a r c h S u p e r v i s o r : P r o f e s s o r W i l l i a m T . Z i • 'idM ~ ECONOMIC RESOURCE ALLOCATION UNDER UNCERTAINTY AND D I F F E R E N T I A L INFORMATION - A U N I F I E D GENERAL GAME APPROACH WITH AGENCY AMD ACCOUNTING IMPLICATIONS Aminmohamed H a s s a n a l i A m e r s h i U n i v e r s i t y o f B r i t i s h C o l u m b i a , 1 9 7 8 The c e n t r a l e c o n o m i c p r o b l e m i s t h e a l l o c a t i o n o f r e s o u r c e s i n g r o u p s i n an e n v i r o n m e n t w i t h u n c e r t a i n t y , e x t e r n a l i t i e s a n d d i f f e r e n t i a l i n f o r m a t i o n . G i v e n t h a t a g r o u p o f i n t e r a c t i n g a g e n t s may h a v e d i f f e r e n t p r e f e r e n c e s a n d b e l i e f s , d i f f e r e n t a b i l i t i e s a n d d e c i s i o n c h o i c e s , a n d d i f f e r e n t i a l i n f o r m a t i o n a b o u t t h e e n v i r o n m e n t , t h e i s s u e i s t h e g r o u p c h o i c e o f c o n t r a c t s w h i c h d e t e r m i n e j o i n t s t r a t e g i e s , i n f o r m a t i o n s y s t e m s a n d r u l e s t o s h a r e j o i n t l y p r o d u c e d w e a l t h . A number o f a c c o u n t i n g p a r a d i g m s s u c h a s t r a n s f e r p r i c i n g , d i v i s i o n a l c o s t a l l o c a t i o n , e q u i t y a c c o u n t i n g , p a r t n e r s h i p a c c o u n t i n g , b u d g e t a r y c o n t r o l m e c h a n i s m s a n d t h e l i k e c a n be c a s t i n t o t h i s f r a m e w o r k . T h i s s t u d y d e v e l o p s a g e n e r a l game ( i . e . , games w i t h o u t s i d e p a y m e n t s ) m o d e l w h i c h p r o v i d e s a u n i f i e d t r e a t m e n t o f t h e r e s o u r c e a l l o c a t i o n p r o b l e m . T h e b a s i c m a t h e m a t i c a l t h e o r y u s e d i s t h e t h e o r y o f g e n e r a l games as d e v e l o p e d b y A u m a n n , P e l e g , B o n d a r e v a , S c a r f a n d S h a p l e y among o t h e r s . The f u n d a m e n t a l r e s u l t u s e d i s an e q u i l i b r i u m e x i s t e n c e r e s u l t f o r weak c o r e s o l u t i o n s o f g e n e r a l games by S c a r f [ 1 9 6 7 ] . We e x t e n d t h e s c o p e o f S c a r f ' s e x i s t e n c e r e s u l t t o g r o u p c h o i c e o f c o n t r a c t s d e t e r m i n i n g t h e c h o i c e o f a c t i o n s t r a t e g i e s , i n f o r m a t i o n s y s t e m s a n d w e a l t h s h a r i n g r u l e s i n an u n c e r t a i n e n v i r o n m e n t w i t h i n f o r m a t i o n a l a s y m m e t r i e s ( d i f f e r e n - t i a l i n f o r m a t i o n ) . A g a i n , t h e e x i s t e n c e r e s u l t s f o r t h e g e n e r a l p r o b l e m a r e u s e d t o d e r i v e a d d i t i o n a l m a r g i n a l i s t i n s i g h t s i n t o t h e a g e n c y p r o b l e m . I n t e r p r e t a t i o n o f t h e g e n e r a l r e s u l t s i n an a c c o u n t i n g i n f o r m a t i o n s y s t e m s f r a m e w o r k p r o v i d e s i n s i g h t s i n t o a c c o u n t i n g i s s u e s . The c o m p l e x i t y o f t h e p r o b l e m n e c e s s i t a t e s t h e u s e o f t e c h n i c a l m a t h e m a t i c a l m a t e r i a l f r o m p r o b a b i l i t y a n d m e a s u r e t h e o r y and m a t h e m a t i c a l p r o g r a m m i n g i n f u n c t i o n s p a c e . The f i r s t c o n c l u s i o n o f t h e s t u d y i s t h a t t h e g e n e r a l game o r n e g o t i a t i o n m e c h a n i s m c a n s u c c e s s f u l l y m o d e l t h e b a r g a i n i n g p r o c e s s by w h i c h g r o u p s a r r i v e a t a g r e e m e n t s on P a r e t o - o p t i m a l c o n t r a c t s w h i c h d e t e r m i n e j o i n t s t r a t e g i e s , i n f o r m a t i o n s y s t e m s ( b o t h f o r s t r a t e g y c h o i c e a n d p e r f o r m a n c e e v a l u a t i o n ) a n d w e a l t h - s h a r i n g r u l e s . T h i s i s p r o v e d by t h e e x i s t e n c e o f a p a r t i c u l a r t y p e o f e q u i l i b r i u m , n a m e l y t h e P a r e t o - o p t i m a l weak c o r e c o n t r a c t s , i n v e r y g e n e r a l s i t u a t i o n s i n v o l v i n g u n c e r t a i n t y and d i f f e r e n t i a l i n f o r m a t i o n . A s e c o n d c o n c l u s i o n i s t h a t t h e f o r m u l a t i o n c a n i n c o r p o r a t e a s s p e c i a l c a s e s - s y n d i c a t e r i s k - s h a r i n g , a g e n c y t h e 6 r y , e t c . - t o be t e r m e d a m e t a m o d e l . U s i n g t h e e x i s t e n c e r e s u l t s , we c o n c l u d e , f o r i n s t a n c e , t h a t t h e p r o b l e m o f a s s i g n i n g w e i g h t s t o t h e u t i l i t i e s o f t h e a g e n t s i n s y n d i c a t e a n d r i s k - s h a r i n g t h e o r y c a n be r e s o l v e d . The t h i r d c o n c l u s i o n i s t h a t t h e n e g o t i a t i o n m e c h a n i s m i s p o s t e r i o r e f f i c i e n t i n t h e s e n s e t h a t n e g o t i a t e d c o n t r a c t s a r e e n f o r c e a b l e by t h e u s e o f p e n a l t y s c h e m e s . S i n c e t h e m e c h a n i s m i s a l s o p r i o r e f f i c i e n t ( i . e . , i t c a n p r o d u c e P a r e t o - o p t i m a l weak c o r e c o n t r a c t s ) , we c o n c l u d e t h a t t h e game m e c h a n i s m i s e f f i c i e n t . S p e c i a l i s i n g t h e g e n e r a l r e s u l t s t o t h e a g e n c y p r o b l e m , we c o n c l u d e t h a t i n an a g e n c y w i t h h o m o g e n e o u s b e l i e f s , t h e a g e n t ' s d e s i r e d wage r a t e i s r e v e a l e d by h i s m a r g i n a l p r o d u c t i v i t y . A l s o , i t i s p o s s i b l e t o d e r i v e g e n e r a l e q u a l i t i e s r e l a t i n g m a r g i n a l u t i l i t i e s o f t h e p r i n c i p a l a n d a g e n t - i v w h i c h , r e s u l t f r o m n e c e s s a r y L a g r a n g e a n c o n d i t i o n s f o r a p r i o r a n d p o s t e r i o r e f f i c i e n t a g e n c y . The i n t e r p r e t a t i o n o f t h e g e n e r a l w e a k - c o r e e x i s t e n c e r e s u l t u n d e r d i f f e r e n t i a l i n f o r m a t i o n a l l o w s us t o c o n c l u d e i n t h e c o n t e x t o f a c c o u n t i n g s y s t e m s t h a t t h e p r i r i c i p i e o f d i s c i b s u r e i s c o n d u c i v e t o t h e p r o p e r f u n c t i o n i n g o f t h e n e g o t i a t i o n m e c h a n i s m . A g a i n , t h e i n t e r p r e t a t i o n o f t h e p o s t e r i o r e f f i c i e n c y r e s u l t s a l l o w s us t o c o n c l u d e t h a t n e g o t i a t e d f e e d b a c k c o n t r o l m e c h a n i s m s s u c h a s b u d g e t a r y c o n t r o l s y s t e m s a r e p o s s i b l e i n f a i r l y g e n e r a l s i t u a t i o n s . ACKNOWLEDGEMENTS I w i s h t o e x p r e s s my v e r y d e e p a p p r e c i a t i o n and g r a t i t u d e t o P r o f e s s o r s J o h n B u t t e r w o r t h , G e r a l d F e l t h a m a n d W i l l i a m Z i e m b a f o r t h e i r c o n t i n u a l g u i d a n c e a n d s u p p o r t t h r o u g h o u t my p r o g r a m o f s t u d y a t t h e U n i v e r s i t y o f B r i t i s h C o l u m b i a . A l s o , t h e y h a v e g i v e n me u n s t i n t i n g l y o f t h e i r t i m e a n d e f f o r t d u r i n g t h e c o u r s e o f t h i s r e s e a r c h . T h e i r d e t a i l e d comments i m p r o v e d t h i s r e s e a r c h c o n s i d e r a b l y . I w o u l d a l s o l i k e t o t h a n k P r o f e s s o r I v a r E k e l a n d o f t h e U n i v e r s i t y o f P a r i s who a g r e e d t o be a member o f my t h e s i s c o m m i t t e e d u r i n g t h e t i m e he was a t t h e U n i v e r s i t y o f B r i t i s h C o l u m b i a . He h a s h e l p e d me t h r o u g h much o f t h e t e c h n i c a l m a t e r i a l t h a t a p p e a r s i n t h e t h e s i s . I am i n d e b t e d t o P r o f e s s o r E r w i n D i e w e r t o f t h e D e p a r t m e n t o f E c o n o m i c s f o r a g r e e i n g t o be on my t h e s i s c o m m i t t e e . I w i s h t o t h a n k t h e F a c u l t y o f Commerce a n d B u s i n e s s A d m i n i s t r a t i o n f o r f i n a n c i a l s u p p o r t d u r i n g my c o u r s e o f s t u d y . M i s s M a b e l C h a n t y p e d a b i g p o r t i o n o f t h e f i n a l d r a f t . To my w i f e , Z a y n u l , I am d e e p l y g r a t e f u l , n o t o n l y f o r h e r m o r a l s u p p o r t t h r o u g h o u t my c o u r s e o f s t u d y , b u t h e r p r o f e s s i o n a l , s e c r e t a r i a l s u p p o r t . W i t h o u t h e r , and my s i s t e r - i n - l a w M i s s Mumtaz H. L a k h a n i , t h i s t h e s i s , n o r t h e f i r s t d r a f t w o u l d h a v e b e e n t y p e d a n d c o r r e c t e d on t i m e . A . A . V a n c o u v e r . B r i t i s h C o l u m b i a N o v e m b e r , 1 9 7 8 L I S T OF S P E I C A L SYMBOLS The f o l l o w i n g l i s t o f s y m b o l s i s n o t e x h a u s t i v e b u t g i v e s t h o s e s y m b o l s w h i c h m i g h t c a u s e c o n f u s i o n . The n o t a t i o n u s e d i n t h e s t u d y i s e x p l a i n e d i n t h e s t u d y . S y m b o l s R t h e r e a l l i n e R q t h e q - d i m e n s t o n a l r e a l s p a c e . When q = k , t h e s p ^ c e d e n o t e s t h e c o m m o d i t y s p a c e | J | n u m b e r o f members i n c o a l i t i o n J r ( B ' ) / p a r t i t i o n on a s e t B o ( B ) a - f i e l d on a s e t B h ( . ) f u n c t i o n h w i t h a r g u m e n t ( . ) . I f h : X Y , w h e r e X a n d Y a r e a n y two s e t s , t h e n we u s e t h e n o t a t i o n h ( . ) o r h i n t e r c h a n g e a b l y . ARRANGEMENT OF SECTION NUMBERING I h a v e f o l l o w e d t h e d e c i m a l n u m b e r i n g s y s t e m u s i n g A r a b i c n u m e r a l s f o r c h a p t e r s a n d s e c t i o n s . F o r e x a m p l e , t h e n u m b e r 3 . 4 . 2 . 1 d e n o t e s C h a p t e r 3 , s e c t i o n 3 . 4 , s u b s e c t i o n 3 . 4 . 2 a n d s u b - s u b - s e c t i o n 3 . 4 . 2 . 1 . A g a i n , 3 . 4 . 2 . 1 2 d e n o t e s C h a p t e r 3 , s e c t i o n 3 . 4 , s u b s e c t i o n 3 . 4 . 2 , s u b -s u b s e c t i o n 3 . 4 . 2 . 1 , a n d e i t h e r a d e f i n i t i o n o r a t h e o r e m 3 . 4 . 2 . 1 2 . A l l m a j o r r e s u l t s a n d d e f i n i t i o n s a r e n u m b e r e d c o n s e c u t i v e l y . M o r e o v e r t h e r e i s no d e c i m a l p o i n t b e t w e e n t h e s e c t i o n number a n d t h e d e f i n i t i o n o r r e s u l t n u m b e r . T h i s makes t h e i d e n t i f i c a t i o n o f t h e s e c t i o n i n w h i c h t h e d e f i n i t i o n o r r e s u l t o c c u r s q u i t e e a s y . - v i i i -TABLE OF CONTENTS P a g e ACKNOWLEDGEMENTS i i ABSTRACT i i i L I S T OF S P E C I A L SYMBOLS . . . . . . . . . . . . ^ V . . . . . . . . . . . . . . v i ARRANGEMENT OF SECTION NUMBERING V i l CHAPTER 1 THE PROBLEM OF RESOURCE A L L O C A T I O N ^ " ' O R G A N I Z A T I O N S A TRANSFER P R I C I N G ILLUSTRATION 1 1 .1 The T r a n s f e r P r i c i n g P r o b l e m 3 1 . 2 The G e n e r a l R e s o u r c e A l l o c a t i o n P r o b l e m and i t s R e l a t i o n t o A c c o u n t i n g I s s u e s 9 1 . 3 O u t l i n e o f t h e D i s s e r t a t i o n 10 CHAPTER 2 TOWARDS A GENERAL THEORY OF ORGANIZATION D E C I S I O N -MAKING IN THE PRESENCE OF UNCERTAINTY 14 2 . 1 The P e r f e c t M a r k e t M e c h a n i s m o f P u r e C o m p e t i t i o n a s a R e s o u r c e A l l o c a t i o n M e c h a n s i m f o r O r g a n i z a t i o n s -A d v a n t a g e s a n d D e f i c i e n c e s 17 2 . 1 . 1 A T w o - P e r s o n E x c h a n g e P a r a d i g m . . . 17 2 . 1 . 2 The M a r k e t M e c h a n i s m f o r a G e n e r a l G r o u p 21 2 . 2 T h e S y s t e m a t i c S t u d y o f R e s o u r c e A l l o c a t i o n M e c h a n i s m s 27 2 . 3 A l t e r n a t i v e M e c h a n i s m s f o r M u l t i p e r s o n C h o i c e 35 2 . 3 . 1 R i s k - s h a r i n g a n d T h e o r y o f S y n d i c a t e s 37 2 . 3 . 2 The T h e o r y o f A g e n c y 50 2 . 3 . 3 Games W i t h o u t S i d e P a y m e n t s - The G e n e r a l Game M e c h a n i s m f o r R e s o u r c e A l l o c a t i o n 51 2 . 4 Summary a n d C o n c l u s i o n s 71 CHAPTER 3 THE EXISTENCE OF CORE CONTRACTS FOR GROUPS WITH LIMITED INFORMATION - THE LOGICAL CONSISTENCY AND PRIOR E F F I C I E N C Y OF THE NEGOTIATION MECHANISM 76 3 . 1 I n t r o d u c t i o n 76 - i x P a g e 3 . 2 M o d e l F o r m u l a t i o n 77 3 . 2 . 1 B a s i c E n t i t i e s 77 3 . 2 . 2 ; C o n t r a c t s 81 3 . 2 . 3 The Game M o d e l a s a M e t a M o d e l 84 3 . 2 . 4 D e v e l o p m e n t o f t h e G e n e r a l . G a m e M o d e l 86 3 . 2 . 5 R e a s o n s f o r I n v o k i n g G e n e r a l Game T h e o r y f o r Our M o d e l 94 3 . 3 The M a i n R e s u l t s 96 3 . 3 . 1 T h e B a s i c A s s u m p t i o n s 96 3 . 3 . 2 T h e R e s u l t s 99 3 . 3 . 3 P a r e t o O p t i m a l (Weak) C o r e C o n t r a c t s 107 3 . 3 . 4 R a i f f a ' s E x t e r n a l P r o b l e m f o r S y n d i c a t e s 110 3 . 3 . 5 M a r g i n a l i s t C o n s i d e r a t i o n s o f C o r e C o n t r a c t s . . 114 3 . 4 T h e A g e n c y P r o b l e m 118 3 . 4 . 1 F o r m u l a t i o n o f t h e A g e n c y P r o b l e m 118 3 . 4 . 2 N e c e s s a r y C o n d i t i o n s f o r a P a r e t o - o p t i m a l C o r e F a m i l y o f C o n t r a c t s 120 3 . 4 . 3 S u f f i c i e n t C o n d i t i o n s f o r a P a r e t o - o p t i m a l C o r e F a m i l y o f C o n t r a c t s 134 3 . 5 G e n e r a l D i s c u s s i o n o f t h e R e s u l t s a n d Summary 135 CHAPTER 4 THE ROLE OF INFORMATION IN GROUP DECISION-MAKING -STEPS TOWARDS AN ANALYTICAL FRAMEWORK 141 4 . 1 I n t r o d u c t i o n 141 4 . 2 M o d e l F o r m u l a t i o n 1 4 3 4 . 2 . 1 T h e T i m e H o r i z o n - A U s e f u l A r t i f i c e 143 4 . 2 . 2 P r i o r I n f o r m a t i o n S t r u c t u r e s 144 4 . 2 . 3 V a r i o u s I n f o r m a t i o n S t r u c t u r e s 146 4 . 2 . 4 S t r a t e g i e s 148 4 . 2 . 5 C o s t s o f I n f o r m a t i o n a n d S t r a t e g i e s 149 4 . 3 N e g o t i a t i o n , C h e a t i n g a n d M i s r e p r e s e n t a t i o n 150 4 . 4 The B a s i c S c e n a r i o • 152 4 . 5 T h e F i r s t V a r i a t i o n - P o o l i n g o f P o t e n t i a l P r i v a t e I n f o r m a t i o n a n d t h e P o s s i b i l i t y o f C h e a t i n g i n S i g n a l l i n g 161 4 . 6 The P o o l i n g o f A l l I n f o r m a t i o n - B o t h C u r r e n t a n d P r i v a t e P o t e n t i a l 171 4 . 7 Summary a n d C o n c l u s i o n s 172 X P a g e CHAPTER 5 THE LOGICAL CONSISTENCY AND E F F I C I E N C Y OF THE NEGOTIATION MECHANISM WITH PRIOR AND POSTERIOR INFORMATION . 177 5 . 1 I n t r o d u c t i o n 177 5 . 2 M o d e l F o r m u l a t i o n 177 5 . 2 . 1 B a s i c E n t i t i e s 178 5 . 3 T h e G e n e r a l Game M o d e l 180 5 . 4 The M a i n R e s u l t s . . . . 181 5 . 4 . 1 The B a s i c A s s u m p t i o n s ' . 181 5 . 4 . 2 The R e s u l t s 188 5 . 4 . 3 A c c o u n t i n g I m p l i c a t i o n s o f t h e T e c h n i c a l A s s u m p t i o n s i n t h e M a i n R e s u l t 194 5 . 4 . 4 P a r e t o - o p t i m a l i t y a n d t h e S o l u t i o n t o R a i f f a ' s E x t e r n a l P r o b l e m 198 5 . 5 Summary a n d C o n c l u s i o n s 198 CHAPTER 6 THE PROBLEM OF CONTROL - P O S S I B I L I T I E S AND CONDITIONS FOR RESOLUTION 202 6 . 1 I n t r o d u c t i o n ^ . 202 6 . 2 C o n t r o l M e c h a n i s m s f o r t h e G e n e r a l Game M e c h a n i s m : P r i o r a n d P o s t e r i o r E f f i c i e n c y 205 6 . 3 E f f i c i e n c y i n t h e S i t u a t i o n o f C h a p t e r 3 : V a r i o u s C a s e s 208 6 . 3 . 1 E f f i c i e n c y When I n d i v i d u a l A c t i o n s a r e O b s e r v a b l e 209 6 . 3 . 2 E f f i c i e n c y When S t a t e s a n d I n d i v i d u a l A c t i o n s a r e O b s e r v a b l e 209 6 . 3 . 3 E f f i c i e n c y When O n l y S t a t e s a r e O b s e r v a b l e 209 6 . 3 . 4 E f f i c i e n c y W i t h O n l y t h e P a y o f f O b s e r a b l e : T h e G e n e r a l C o n s e n s u s C a s e 211 6 . 3 . 5 E f f i c i e n c y W i t h O n l y t h e P a y o f f O b s e r a b l e : T h e P e n a l t y C a s e 214 6 . 3 . 6 The F e a s i b i l i t y o f P e n a l t y S c h e m e s 219 6 . 3 . 7 The Need f o r M o n i t o r i n g T e c h n o l o g i e s . 221 6 . 4 E f f i c i e n c y i n t h e S i t u a t i o n o f C h a p t e r s 4 a n d 5 ( E x A n t e a n d Ex p o s t i n f o r m a t i o n ) - V a r i o u s C a s e s 229 6 . 4 . 1 E f f i c i e n c y When t h e S t a t e a n d A c t i o n a r e O b s e r a b l e 229 6 . 4 . 2 E f f i c i e n c y When t h e S t a t e o r A c t i o n i s N o t O b s e r v a b l e 230 - XI -P a g e 6 . 5 N e c e s s a r y a n d S u f f i c i e n t C o n d i t i o n s f o r P o s t e r i o r E f f i c i e n c y When P e n a l i t i e s a r e I n f e a s i b l e 232 6 . 6 E f f i c i e n c y i n A g e n c y S i t u a t i o n s 239 6 . 6 . 1 A G e n e r a l E f f i c i e n c y R e s u l t i n A g e n c y T h e o r y . . . 2 4 3 6 . 7 Summary 248 CHAPTER 7 CONCLUSION 2 5 3 APPENDIX 1 SOME ADDITIONAL GAME CONCEPTS 269 v o n Neumann M o r g e n s t e r m B a l a n c e S e t s 269 T h e - S h a p l e y V a l u e •; , . . 269 The N u c l e o l u s 270 C o a l i t i o n S t r u c t u r e s and B a r g a i n i n g S o l u t i o n s 271 F u z z y Games — 271 APPENDIX 2 A B R I E F SURVEY OF ESSENTIAL CONCEPTS OF S E T S , MEASURES, PROBABILITY MEASURES AND CONDITIONAL PROBABILITY MEASURES 273 S e t s , F a m i l i e s o f S e t s a n d F u n c t i o n s 2 7 3 M e a s u r e s a n d P r o b a b i l i t y M e a s u r e s 279 E x p e c t a t i o n s 280 P r o p e r t i e s H o l d i n g A l m o s t S u r e l y ( a . s . ) 282 I n t e g r a l on a n E v e n t 2 8 3 S i g n e d M e a s u r e s , A b s o l u t e C o n t i n u i t y , R a d o n - N i k o d y m . . . T h e o r e m 2 8 3 C o n d i t i o n a l P r o b a b i l i t y M e a s u r e s a n d E x p e c t a t i o n s 285 R e g u l a r C o n d i t i o n a l P r o b a b i l i t y M e a s u r e s 291 CHAPTER 1 THE PROBLEM OF RESOURCE ALLOCATION IN ORGANIZATIONS - A TRANSFER P R I C I N G ILLUSTRATION A r e c u r r i n g t o p i c i n m a n a g e r i a l a c c o u n t i n g i s t h a t o f a c c o u n t i n g f o r r e s o u r c e t r a n s f e r s b e t w e e n i n d e p e n d e n t d i v i s i o n s o f a f h u l t i d i v i s . i o n a l o r g a n i z a t i o n . The v o l u m i n o u s l i t e r a t u r e ( s e e , e . g . , A b d e l - K h a l i k a n d L u s k [ 1 9 7 4 ] , H i r s c h l e i f e r [ 1 9 5 6 ] , S o l o m o n s [ 1 9 6 8 ] ) d e m o n s t r a t e s t h e . a b i d i n g i n t e r e s t o f e c o n o m i s t s a n d a c c o u n t a n t s i n t h i s a r e a . T h e r e i s , h o w e v e r , a p r o b l e m : A f u n d a m e n t a l c o n f l i c t e x i s t s b e t w e e n t h e r e s o u r c e t r a n s f e r r u l e s d e r i v e d f r o m n e o - c l a s s i c a l m i c r o - e c o n o m i c s ( s e e H i r s c h l e i f e r [ T 9 5 6 ] f o r a c l a s s i c e x p o s i t i o n ) a n d t h e a s s u m p t i o n s a b o u t i n d i v i d u a l r a -t i o n a l i t y a n d m o t i v a t i o n o f t h e d i v i s i o n a l m a n a g e r s . T h i s p r o b l e m e x i s t s b e c a u s e o f t h e p a r t i c u l a r v i e w o f t h e f i r m h e l d by t r a d i t i o n a l m i c r o -e c o n o m i c s . T r a d i t i o n a l m i c r o - e c o n o m i c t h e o r y t r e a t s a f i r m s i m p l y a s a " b l a c k b o x , " a p r o d u c t i v e m a c h i n e w h o s e v a l u e a d d e d i s s h a r e d o u t among t h e s h a r e h o l d e r s ( s e e , e . g . , D e b r e u [ 1 9 5 9 ] , M a l i n v a u d [ 1 9 7 2 ] . a n d S a m u e l s o n [ 1 9 6 5 ] ) . I t i s p r e s u m e d t h a t t h i s m a c h i n e w i l l p r o d u c e t h e t e c h n o l o g i c a l l y o p t i m a l o u t p u t i n a p a r t i c u l a r s e t o f c i r c u m s t a n c e s . The e c o n o m i c a g e n t s who r u n t h e s e m a c h i n e s a r e n o t r e c o g n i s e d , n o r a r e p r e s u m e d t o i n f l u e n c e t h e f i n a l d e c i s i o n s o f t h e f i r m . To be s u r e , t h i s p a r t i c u l a r d e s c r i p t i o n i s s u i t a b l e f o r s t u d y i n g t h e m a c r o - e c o n o m y , t h e i n t e r a c t i o n s o f a l a r g e number o f f i r m s i n t h e m a r k e t . B u t i n i t s p r e s e n t f o r m u l a t i o n , i t h a s v e r y l i t t l e t o s a y a b o u t why f i r m s f o r m , why t h e m a n a g e r s o f a . f i r m may n o t a l w a y s m a x i m i s e t h e - 2 -n e t p r o f i t s , why d i f f e r e n t f i r m s merge t o f o r m c o n g l o m e r a t e s , e t c . I n s h o r t , t r a d i t i o n a l m i c r o - e c o n o m i c a n a l y s i s h a s l i t t l e t o s a y i n a r e a s o f f u n d a m e n t a l i n t e r e s t t o m a n a g e r i a l a c c o u n t a n t s . I t s h o u l d n o t be c o n s t r u e d t h a t a l l e c o n o m i s t s h a v e t u r n e d a b l i n d e y e t o t h e a b o v e p r o b l e m s . I n f a c t , t h e c o n t r a r y i s t h e c a s e . R e c e n t l y , t h e r e h a s b e e n a s u r g e o f i n t e r e s t by e c o n o m i s t s t o u s e n e w l y f o r g e d t h e o r i e s s u c h a s r i s k - s h a r i n g , a g e n c y t h e o r y a n d s o on t o d e v e l o p a m i c r o - t h e o r y o f t h e f i r m , a n d o r g a n i z a t i o n s i n g e n e r a l . ( S e e , e . g . , A r r o w [ 1 9 7 5 ] , A l c h i a n a n d D e m s e t z [ 1 9 7 2 ] , J e n s e n a n d M e c k l i n g [ 1 9 7 6 ] , S p e n c e [ 1 9 7 4 ] , R o s s ( [ 1 9 7 3 ] , \ [ 1 9 7 4 ] ) , W i l l i a m s o n e t a l . [ 1 9 7 5 ] , a n d W i l s o n [ 1 9 6 8 a ] ) . The p r o b l e m i s r e c o n d i t e . I t h a s a l l t h e p e c u l i a r i t i e s -e x t e r n a l i t i e s , u n c e r t a i n t y , n o n - c o n v e x i t i e s , a n d s o on - t o t a x t h e t o o l s o f t r a d i t i o n a l m a r g i n a l i s t t h e o r y t o t h e l i m i t . T h e r e a r e some l e a d i n g e c o n o m i s t s who b e l i e v e t h a t i t may be p o s s i b l e t o c r e a t e a t h e o r y o f r e s o u r c e a l l o c a t i o n m e c h a n i s m s ( H u r w i c z [ 1 9 7 2 ] , [ 1 9 7 3 ] ) i n w h i c h b o t h t h e m i c r o - t h e o r y o f t h e f i r m a n d t h e m a c r o - t h e o r y o f g e n e r a l e q u i l i b r i u m i n m a r k e t s a r e s p e c i a l c a s e s . So f a r , t h e o n l y c a n d i d a t e f o r a t h e o r y o f r e s o u r c e a l l o c a t i o n , o r more p r e c i s e l y , t h e o n l y m e c h a n i s m o f r e s o u r c e a l l o c a t i o n w h i c h h a s a c h i e v e d a n y s i g n a l s u c c e s s d e p e n d s on t h e t h e o r y o f g e n e r a l games ( i . e . , games w i t h o u t t r a n s f e r a b l e u t i l i t y ) u n d e r u n c e r t a i n t y ( s e e § 2 . 3 . 3 ) . T h i s r e s e a r c h i s g e a r e d t o do p r e c i s e l y t h a t - show t h a t t h e g e n e r a l game m e c h a n i s m i s a p o w e r f u l t o o l f o r a n a l y s i n g r e s o u r c e a l l o c a t i o n i n o r g a n i z a t i o n s . I n t h e n e x t s e c t i o n , t h e t r a n s f e r p r i c i n g p r o b l e m i s u s e d a s a v e h i c l e t o i n t r o d u c e a c c o u n t a n t s t o t h e p o t e n t i a l i t i e s o f a n a l y s i n g t h a t p r o b l e m a s one o f s e v e r a l s u c h r e s o u r c e a l l o c a t i o n i s s u e s w h i c h a r i s e i n - 3 -o r g a n i z a t i o n s . I t i s a l s o a p r e m i s e o f t h i s r e s e a r c h t h a t o n l y w i t h i n a g e n e r a l r e s o u r c e a l l o c a t i o n f r a m e w o r k c a n a c c o u n t i n g i s s u e s be m e a n i n g -f u l l y f o r m u l a t e d t o p r o v i d e p o s i t i v e o r n o r m a t i v e r e s u l t s . 1 .1 T h e T r a n s f e r P r i c i n g P r o b l e m " I f t h e r e i s one p r o b l e m p e c u l i a r t o d i v i s i o n a l i s e d c o m p a n i e s , a n d w h i c h g o e s t o t h e h e a r t o f t h e d i v i s i o n a l i s a t i o n c o n c e p t , i t i s w h a t i s commonly c a l l e d t h e t r a n s f e r p r i c i n g p r o b l e m . " ( S o l o m o n s [ 1 9 7 7 ] , C h . 4 4 : 1 8 ) The t r a n s f e r - p r i c i n g p r o b l e m a r i s e s when r e s o u r c e s f r o m o n e i n d e -p e n d e n t d i v i s i o n a r e t r a n s f e r r e d t o one o r more o t h e r d i v i s i o n s o f t h e f i r m . The p r o b l e m a r i s e s b e c a u s e d i v i s i o n a l p e r f o r m a n c e a n d m a n a g e r i a l p e r f o r m a n c e a r e b a s e d on some f u n c t i o n s o f t h e d i v i s i o n s ' a c c o u n t i n g i n -come a n d i n v e s t m e n t i n a s s e t s ( e . g . , " r e t u r n on i n v e s t m e n t " - R O I ) . The a c c o u n t i n g i n c o m e o f b o t h t h e s u p p l y i n g and r e c e i v i n g d i v i s i o n s a r e d i r e c t l y d e p e n d e n t on t h e " p r i c e s " w h i c h a r e a s s i g n e d t o t h e c o m m o d i t i e s t h a t a r e t r a n s f e r r e d . M o r e o v e r , i f m a n a g e r i a l c o m p e n s a t i o n i s b a s e d on s u c h m e a s u r e s o f . p e r f o r m a n c e , t h e t r a n s f e r p r i c e w i l l be a s o u r c e o f c o n f l i c t b e t w e e n t h e s u p p l y i n g a n d r e c e i v i n g d i v i s i o n s . . , T h e r e i s a v o l u m i n o u s a m o u n t o f l i t e r a t u r e on t h e i s s u e o f t r a n s f e r p r i c i n g . H i r s c h l e i f e r 1 s [ 1 9 5 6 ] s e m i n a l p a p e r on t h e p r o b l e m u n d e r c e r -t a i n t y i s s t i l l a s o u r c e o f many i d e a s . ( S e e A b d e l - K h a l i k a n d L u s k [ 1 9 7 4 ] f o r a s y n t h e s i s o f t h e i d e a s u n d e r c e r t a i n t y . ) H o w e v e r , m a r g i n a l i s t i n s i g h t s i n t o t h e p r o b l e m n o t w i t h s t a n d i n g , t h e c e r t a i n t y a n a l y s i s a s s u m e s away some o f t h e i m p o r t a n t b a s i c c h a r a c t e r i s t i c s o f t h e t r a n s f e r p r i c i n g p r o b l e m . F o r i n s t a n c e , t h e c o n c e p t o f r i s k - s h a r i n g makes s e n s e o n l y u n d e r u n c e r t a i n t y . S i m i l a r l y , c h e a t i n g , d i f f e r e n t i a l i n f o r m a t i o n a n d t h e l i k e become i n t e r e s t i n g i n t h e p r e s e n c e o f u n c e r t a i n t y , e x t e r n a l i t i e s a n d s o o n . - 4 -Very few attempts have been made a t a n a l y s i n g the problem i n the com-p l e x i t y j u s t o u t l i n e d (see , e . g . , B u t t e r w o r t h e t : . a l . [ 1978]) . We now develop a model o f the t r a n s f e r p r i c i n g problem, to i l l u s -t r a t e what i s a t s t a k e . Consider an o r g a n i z a t i o n w i t h a manufactur ing d i v i s i o n "m" and a d i s t r i b u t i n g d i v i s i o n "d ." These are managed by a manager c a l l e d "m" and " d " . There i s another economic agent, c a l l e d the owner o f c a p i t a l , (or e q u i t i e s - .whether as c r e d i t o r or shareholder) denoted by " c " i n " t h e f i r m . Thus, the group G = {m,d,c} of economic agents form the o r g a n i z a t i o n . Suppose the manufacturer produces a commodity which i s s o l d by the d i s t r i b u t i n g d i v i s i o n . The market f o r t h i s commodity i s not p e r f e c t . (See, e . g . , Mal invaud [1972] f o r the d i f f e r e n c e between " p e r f e c t " and " i m p e r f e c t markets. '") Both the manufacturer and d i s t r i b u t o r are u n c e r t a i n about the p r i c e s which w i l l p r e v a i l i n t h e i r r e s p e c t i v e markets (say whole-s a l e and r e t a i l ) . L e t S be a se t o f environmental f a c t o r s (customer p r e f e r e n c e s , p o s s i b i l i t y of s u b s t i t u t e s e t c . ) about which the member o f G are u n c e r t a i n . L e t P m ( - ) and P ^ - ) °e the p r i c e u n c e r t a i n t i e s faced by the manufacturer i n the wholesa le market and the d i s t r i b u t o r i n the r e t a i l market. Then P m ( - ) and P c j(-) depend p a r t l y on s e S. I f the manufacturer s e l l s x u n i t s of product i n the market, and the d i s t r i b u t o r buys y u n i t s o f product from the wholesa le market , then.:-p a l s o depends on x and y . Thus p m ( s , x , y ) i s the p r i c e schedule i n the wholesale market. The manufacturer produces an amount q > x , and trans-r f e r s q-x: ;units to the d i s t r i b u t o r a t a t r a n s f e r p r i c e o f t d o l l a r s per u n i t . I t f o l l o w s t h a t the d i s t r i b u t o r s e l l s q - x + y i n h i s market . The p r i c e i n the r e t a i l market i s g iven by p^(s, q - x + y ) . - 5 -E a c h a g e n t i e G h a s p r o b a b i l i t y b e l i e f s , e n s h r i n e d i n a p r o b a b i l i t y m e a s u r e P ^ ( . ) on some a - f i e l d o f e v e n t s a ( S ) on S . ( S e e A p p e n d i x 2 f o r a r e v i e w o f t h e r e l e v a n t p r o b a b i l i t y c o n c e p t s u s e d h e r e . ) S u p p o s e t h e m a n u -f a c t u r e r d o e s n o t f a c e a n y u n c e r t a i n t y i n t h e f a c t o r i n p u t m a r k e t s , s o t h a t h i s o p t i m a l c o s t f u n c t i o n f o r a g i v e n l e v e l o f o u t p u t q i s g i v e n by C m ( q ) . S i m i l a r l y C d ( r ) i s t h e d i s t r i b u t i o n c o s t f o r s e l l i n g r u n i t s . F o r s i m -p l i c i t y , d e f i n e t h e " i n c o m e " o r " p r o f i t " o f e a c h d i v i s i o n a s t h e g r o s s r e v e n u e l e s s t h a n t h e a t t r i b u t e d c o s t . T h u s , i f t i s t h e " t r a n s f e r p r i c e " c h a r g e d by m t o d f o r t r a n s f e r o f t h e c o m m o d i t y , t h e n t h e d i v i s i o n a l p r o f i t o f e a c h d i v i s i o n i s : (1) M a n u f a c t u r e r ' s p r o f i t : Trm = P m ( s , x , y ) x + t ( q - x ) - C m ( q ) (2) D i s t r i b u t o r ' s p r o f i t : iTd = P d ( s , q - x + y ) ( q - x + y ) - p m ( s , x , y ) y - - ; t ( q - x ) - . C d ( q - x + y ) f o r e a c h s e S . We s h a l l w r i t e TT ( s , x , t , q , y ) a n d T r d ( s , y , q , x , t ) f o r s h o r t . C l e a r l y b o t h t h e m a n u f a c t u r e r a n d d i s t r i b u t o r g e n e r a t e e x t e r n a l i t i e s f o r e a c h o t h e r i n t h a t t h e m a n u f a c t u r e r ' s d e c i s i o n * ( x , t ) a f f e c t t h e d i s -t r i b u t o r ' s i n c o m e a n d , c o n v e r s e l y , t h e d i s t r i b u t o r ' s d e c i s i o n s ( y , q - x ) a f f e c t t h e m a n u f a c t u r e r ' s i n c o m e . The t o t a l p r o f i t f o r t h e f i r m i s TT.p = TT • + TT , w h e r e f d m i r f = P r ( s , q - x + y ) ( q - x + y ) + p w ( s , x , y ) x = P w ( s , x , y ) y - C j q ) - C r f ( q - x + y ) = T T f ( s , x , y , q ) F i g u r e 1 .1 i l l u s t r a t e s t h e s c e n a r i o . C l e a r l y , f r o m t h e o w n e r ' s p o i n t o f v i e w , t h e t r a n s f e r p r i c e i s  i r r e l e v a n t . B u t f r o m t h e v i e w p o i n t o f t h e m a n u f a c t u r e r a n d t h e d i s t r i -b u t o r i t i s i m p o r t a n t b e c a u s e i t a f f e c t s t h e i r r e s p e c t i v e i n c o m e s . - 6 -- M a n u f a c t u r e r Q - x D i s t r i b u t o r W h o l e s a l e m a r k e t q - x + y R e t a i l m a r k e t F i g u r e 1.1 A T r a n s f e r P r i c i n g S c e n a r i o S u p p o s e c o m p e n s a t i o n o f m a n d d d e p e n d s on some p e r f o r m a n c e f u n c -t i o n s g ( . ) a n d g , ( . ) d e f i n e d on t h e n e t i n c o m e s IT a n d IT , , a n d o t h e r m d m d o b s e r v a b l e v a r i a b l e s 6 a n d 9, r e s p e c t i v e l y . T h e n i f Z ( . ) d e t e r m i n e s m d mv ' t h e c o m p e n s a t i o n t o t h e m a n u f a c t u r e r , a n d Z d ( . ) , t h e c o m p e n s a t i o n t o t h e 3 d i s t r i b u t o r , we m u s t h a v e : ( a ) ; Z ( . ) ( b ) Z d ( . ) ( c ) Z c ( . ) n r f v ' 3 m v n r '•> n r 1 • Z d ( i r f ( . ) , g d ( T r d ( . ) j 9 d ) ) . s h a r e o f t h e o w n e r = TT . ^ . ) - Z m ( . ) - Z d ( . ) r e s i d u a l i n c o m e a f t e r a l l o c a t i o n o f s h a r e s , I t i s e v i d e n t t h a t g m ( - ) a n d g d ( . ) a r e g e n e r a l e n o u g h t o i n c l u d e t h e com-m o n l y u s e d p e r f o r m a n c e m e a s u r e s s u c h a s "ROI" (return o n i n v e s t m e n t ) a n d " r e s i d u a l i n c o m e " a s s p e c i a l c a s e s . ^ ( S e e H o r n g r e n [ 1 9 7 7 ] , p p . 7 0 9 - 7 2 7 , S h i l l i n g l a w [ 1 9 7 7 ] , p p . 7 8 8 - 8 0 0 ) . B u t , i t i s n o t s o c l e a r t h a t t h e t r a n s f e r p r i c e " t " s i m p l y d e t e r m i n e s p a r t i c u l a r p e r f o r m a n c e m e a s u r e s g m a n d g d - T h i s i s shown n e x t . - 7 -C o n s i d e r a g e n e r a l " p e r f o r m a n c e f u n c t i o n " ( m o n i t o r i n g t e c h n o l o g y e t c . ) , 2 2 g : A -* R (R = R X R, w h e r e R i s t h e s e t o f r e a l n u m b e r s ) a n d A ' ^ _ R V l a r g e e n o u g h t o i n c l u d e t h e v a l u e s o f TT^ a n d o t h e r o b s e r v a b l e p a r a m e t e r s 0 . D e f i n e g ( f o r a p a r t i c u l a r t r a n s f e r p r i c e " t " ) a s : g ( . , t ) : A - R 2 a n d g ( . , t ) = ( g ^ - . t ) , g 2 ( . , t ) ) , w h e r e , g 1 ( r r f(.),e , t ) = g m ( T r m ( . , t ) , e m ) , g 2 ( T T f ( . ) , e , t ) = g D ( T T d ( . , t ) , e d ) , a n d w h e r e , T r m ( . , t ) = m a n u f a c t u r e r ' s i n c o m e g i v e n t h e t r a n s f e r p r i c e " t , " ' T r d ( . , t ) = d i s t r i b u t o r ' s i n c o m e g i v e n t h e t r a n s f e r p r i c e " t . " . C l e a r l y t a f f e c t s TT ( . , t ) a n d T r d ( . , t ) , w h i c h r e s u l t s i n c h a n g e s i n g m ( . ) , 9 C|(-), Z r n ^ ' ^ a n d Z d ^ ' I n s n o r t ' c h o o s i n g a t r a n s f e r p r i c e " t " d e t e r m i n e s p a r t i c u l a r p e r f o r m a n c e m e a s u r e s g m a n d g d , a n d s h a r e s Z m a n d Z d - The t r a n s f e r p r i c i n g p r o b l e m i s , t h u s , a s p e c i a l c a s e o f c h o o s i n g V Z d ' g m a n d V The i s s u e , t h e r e f o r e , i s n o t t h e c h o i c e o f a t r a n s f e r p r i c e " t "  b u t t h e c h o i c e o f " a p p r o p r i a t e " p e r f o r m a n c e m e a s u r e s a n d s h a r i n g f u n c t i o n s . T h e t r a n s f e r p r i c e scheme i s s i m p l y a s p e c i a l t y p e o f s u c h f u n c t i o n s . B u t w h a t i s " a p p r o p r i a t e " ? T h i s i s t h e c r u x o f t h e m a t t e r . - 8 -C l a s s i c a l m a r g i n a l i s t e c o n o m i c s w o u l d s a y : C h o o s e t h o s e s h a r i n g f u n c t i o n s a n d p e r f o r m a n c e m e a s u r e s w h i c h y i e l d t h e h i g h e s t e x p e c t e d u t i l -i t y t o t h e o w n e r . T h a t i s , s o l v e t h e f o l l o w i n g p r o b l e m f o r t h e o w n e r . Max E c ( u c ( Z c ( . ) ) ) s . t . c h o i c e o f Z m ( . ) , Z d ( . ) , 9 m(-)» a n d g , ( . ) f r o m an a p p r o p r i a t e s e t o f f u n c t i o n s (u i s t h e u t i l i t y o v e r w e a l t h o f t h e o w n e r , a n d E i s t h e e x p e c t e d v a l u e c c w . r . t . P ( . ) . ) T h i s i s n o t s u f f i c i e n t b e c a u s e t h e r e s u l t i n g c h o i c e o f Z m , Z j , g ^ , a n d g ^ may n o t p r o v i d e i n c e n t i v e s t o t h e m a n u f a c t u r e r o r d i s -t r i b u t o r ( o r t h e o w n e r h i m s e l f ) t o f o r m t h e g r o u p . The o n l y l o g i c a l p o s s i b i l i t y i s t h a t t h e t h r e e p a r t i e s g e t t o g e t h e r  a n d n e g o t i a t e among t h e m s e l v e s t o d e t e r m i n e t h e a c c e p t a b l e s h a r i n g r u l e s ,  p e r f o r m a n c e m e a s u r e s a n d d e c i s i o n s ( p r o d u c t i o n a n d d i s t r i b u t i o n ) s o t h a t no c o a l i t i o n w o u l d o p p o s e t h e f i n a l n e g o t i a t e d s o l u t i o n . F o r i n s t a n c e , i f t h e m a n u f a c t u r e r c a n show t h a t he c a n , on h i s o w n , s e c u r e h i m s e l f a u t i l i t y o f u * e l s e w h e r e , t h e n , a t t h e m i n i m u m , t h e c o m -p e n s a t i o n t o m m u s t g u a r a n t e e an e x p e c t e d u t i l i t y o f a t l e a s t u * . The same l o g i c a p p l i e s t o d - u£ a n d c - u * . M o r e o v e r , t h e m a n u f a c t u r e r a n d t h e o w n e r c a n f o r m a c o a l i t i o n , a n d t h e c o m p e n s a t i o n f r o m t h e w h o l e g r o u p m u s t p r o v i d e t h e s e two w i t h s o m e t h i n g t h a t i s a t l e a s t a s g o o d a s t h e y c a n o b t a i n on t h e i r o w n . The same r e a s o n i n g a p p l i e s t o t h e o t h e r c o a l i t i o n s . Can we a r r i v e a t a n e g o t i a t e d s o l u t i o n w h i c h no c o a l i t i o n o p p o s e s ? T h a t i s , c a n we a r r i v e a t a c o r e s o l u t i o n ? I f t h e a n s w e r i s no - t h a t i s , t h e n e g o t i a t i o n m e c h a n i s m i s l o g i c a l l y i n c o n s i s t e n t - t h e n t h e r e i s no p o i n t i n a d v o c a t i n g i t a s a m e c h a n i s m f o r r e s o u r c e t r a n s f e r s . F o r t u n a t e l y , - 9 -h o w e v e r , a s t h i s r e s e a r c h and o t h e r s h a v e shown ( s e e , e . g . , S c a r f [ 1 9 6 7 ] , K o b a y a s h i [ 1 9 7 8 a ] , [ 1 9 7 8 b " ] ) , - t h e g e n e r a l game o r t h e n e g o t i a t i o n m e c h a n i s m , u n d e r p l a u s i b l e c o n d i t i o n s , i s l o g i c a l l y c o n s i s t e n t a n d P a r e t o - o p t i m a l . T h a t i s t h e r e s u l t i n g s o l u t i o n p r o d u c e s an e x p e c t e d u t i l i t y v e c t o r ( t r i p l e i n o u r t r a n s f e r p r i c i n g c a s e ) w h i c h i s P a r e t o - o p t i m a l i n t h e s e t o f e x p e c t e d u t i l i t y v e c t o r s . The a b o v e model c a n be e x t e n d e d by i n c l u d i n g i n f o r m a t i o n s y s t e m n e g o t i a t i o n s - s y s t e m s w h i c h w i l l p r o v i d e i n f o r m a t i o n a b o u t s e S , d i f f e r -e n t i a l i n f o r m a t i o n a b o u t s e S , s i g n a l l i n g , c h e a t i n g , e t c . A g a i n , t h e c o n c l u s i o n i s i d e n t i c a l : The n e g o t i a t i o n m e c h a n i s m w o r k s ! I f t h e p r o b l e m had b e e n p o s e d as a c l a s s i c a l m a t h e m a t i c a l o p t i m i z a t i o n p r o b l e m , i t w o u l d h a v e g e n e r a t e d i n s u r m o u n t a b l e t e c h n i c a l d i f f i c u l t i e s , b o t h f o r a n a l y s i s a n d d e r i v a t i o n o f p o s i t i v e r e s u l t s . I n t e r m s o f a n a l y t i c a l t r a c t a b i l i t y , t h e c a s e f o r t h e A u m a n n - P e l e g - S c a r f - S h a p l e y t h e o r y o f g e n e r a l games ( s e e § 2 . 3 . 3 . 3 ) i s s t r o n g e r . 1 . 2 The G e n e r a l R e s o u r c e A l l o c a t i o n P r o b l e m and I t s R e l a t i o n t o  A c c o u n t i n g I s s u e s The t r a n s f e r p r i c i n g p r o b l e m i s o n l y o n e o f s e v e r a l r e s o u r c e a l l o -c a t i o n p r o b l e m s w h i c h a c c o u n t i n g c o n t i n u a l l y c o n f r o n t s . O t h e r s i n c l u d e d i v i s i o n a l a n d d e p a r t m e n t a l c o s t a l l o c a t i o n , b u d g e t i n g , s t a n d a r d s e t t i n g , p a r t n e r s h i p a c c o u n t i n g , c o n s o l i d a t i o n s , d i v i d e n d s a n d s o o n . Enmeshed w i t h i n t h e s e p r o b l e m s i s . - t h e c h o i c e o f a p p r o p r i a t e i n f o r m a t i o n s y s t e m s f o r p r o v i d i n g i n f o r m a t i o n f o r g o o d d e c i s i o n s a n d i n f o r m a t i o n f o r p e r f o r m a n c e e v a l u a t i o n . A p i e c e m e a l a p p r o a c h t o one s e g m e n t o f t h i s g e n e r a l p r o b l e m , o r c e t e r i s p a r i b u s a n a l y s e s , may r e s u l t i n n o r m a t i v e s t a t e m e n t s whose g e n e r a l v a l i d i t y i s q u e s t i o n a b l e , a n d p o s i t i v e t h e o r y w h i c h may be a v e r y c r u d e - 10 -a p p r o x i m a t i o n t o r e a l i t y . A p a r a l l e l c a n be d r a w n b e t w e e n t h e p r o b l e m o f p a r t i a l a n d g e n e r a l e q u i l i b r i u m i n e c o n o m i c s ( s e e , e . g . , M a l i n v a u d [ 1 9 7 2 ] ) . P a r t i a l e q u i l i b r i u m r e s u l t s may n o t be v a l i d w h e r e a g e n e r a l e q u i l i b r i u m a n a l y s i s i s n e c e s s a r y . I n v i e w o f t h i s , t h i s r e s e a r c h i s n o t a d d r e s s e d t o a n y s p e c i f i c i s s u e i n a c c o u n t i n g , b u t t o t h e b r o a d e r a r e a o f r e s o u r c e a l l o c a t i o n w i t h i n whose f r a m e w o r k one c a n f i t . a l m o s t a l l a c c o u n t i n g i s s u e s . R e s e a r c h d i -r e c t e d t o w a r d s s p e c i f i c a c c o u n t i n g i s s u e s i s i n t e n d e d f o r t h e f u t u r e . H o w e v e r , w h e r e v e r g e n e r a l s t a t e m e n t s a b o u t f i n a n c i a l a c c o u n t i n g ( s e e C h a p t e r 5) a n d m a n a g e r i a l a c c o u n t i n g ( s e e C h a p t e r 6) c a n be m a d e , t h e y a r e made i n s o f a r a s t h i s r e s e a r c h a l l o w s . A r e c e n t a c c o u n t i n g t h e s i s by A t k i n s o n [ 1 9 7 7 ] i s d i r e c t e d t o w a r d s t h e g e n e r a l r e s o u r c e a l l o c a t i o n p r o b l e m i n d e c e n t r a l i z e d o r g a n i z a t i o n s . K o b a y a s h i [ 1 9 7 8 a ] h a s p r o d u c e d a t h e s i s , w h i c h e x p l i c i t l y u s e s S c a r f ' s [ 1 9 6 7 ] r e s u l t s i n a m a r k e t s e t t i n g w i t h d i f f e r e n t i a l i n f o r m a t i o n . T h i s r e s e a r c h i s a l s o c o n c e r n e d w i t h t h e g e n e r a l r e s o u r c e a l l o c a t i o n p r o b l e m . 1 . 3 O u t l i n e o f t h e D i s s e r t a t i o n C h a p t e r 1 i n t r o d u c e d t h e r e s o u r c e a l l o c a t i o n p r o b l e m a s t h e c e n t r a l p r o b l e m i n a c c o u n t i n g . The t r a n s f e r p r i c i n g p r o b l e m i n m a n a g e r i a l a c -c o u n t i n g was u s e d a s a v e h i c l e t o d e m o n s t r a t e t h a t t h i s p r o b l e m i s s i m p l y a s p e c i a l c a s e o f t h e g e n e r a l r e s o u r c e a l l o c a t i o n p r o b l e m . I t a l s o men-t i o n e d t h e g e n e r a l game o r n e g o t i a t i o n m e c h a n i s m a s a t o o l f o r t h e s t u d y o f r e s o u r c e a l l o c a t i o n u n d e r u n c e r t a i n t y i n a m u l t i p e r s o n f r a m e w o r k . C h a p t e r 2 d e a l s w i t h t h e g e n e r a l r e s o u r c e a l l o c a t i o n p r o b l e m . I t s t a r t s o u t w i t h a d i s c u s s i o n o f t h e e f f i c i e n c i e s a n d i n a d e q u a c i e s o f t h e p e r f e c t c o m p e t i t i o n m e c h a n i s m a s a r e s o u r c e m e c h a n i s m i n t h e p r e s e n c e o f - 11 -e x t e r n a l i t i e s , u n c e r t a i n t y , e t c . H u r w i c z ' s ( [ 1 . 9 7 2 ] , [ 1 9 7 3 ] ) a n a l y s i s i s t h e n i n v o k e d t o p r o v i d e a f r a m e w o r k i n w h i c h t o p h r a s e t h e q u e s t i o n o f d e s i r a b l e r e q u i r e m e n t s t o i m p o s e on a n y r e s o u r c e a l l o c a t i o n m e c h a n i s m . I t i s shown t h a t r e q u i r e m e n t s s u c h a s i n f o r m a t i o n a l d e c e n t r a l i z a t i o n ( § 2 . 2 ) a n d P a r e t o - s a t i s f a c t o r i n e s s a r e i n c o m p a t i b l e , e s p e c i a l l y i n e n -v i r o n m e n t s w i t h e x t e r n a l i t i e s . Then t h e c h a p t e r d e l v e s i n t o v a r i o u s a l t e r n a t i v e m e c h a n i s m s w h i c h h a v e b e e n s u g g e s t e d - r i s k - s h a r i n g , s y n d i c a t e t h e o r y , a g e n c y t h e o r y a n d g e n e r a l game t h e o r y . The g e n e r a l game a p p r o a c h i s d e v e l o p e d i n some d e t a i l . I n C h a p t e r 3 , t h e g e n e r a l game a p p r o a c h i s d e v e l o p e d t o s o l v e t h e s h a r i n g r u l e - a c t i o n c h o i c e p r o b l e m i n a m u l t i p e r s o n s e t t i n g u n d e r u n c e r -t a i n t y . I t i s p r o v e d h e r e t h a t t h e g e n e r a l game m e c h a n i s m i s l o g i c a l l y  c o n s i s t e n t , P a r e t o - o p t i m a l ( n o n - w a s t e f u l ) , a n d i t i s c o n j e c t u r e d t h a t i t may be s i n g l e v a l u e d i n t h e l i m i t . H o w e v e r n e i t h e r m o n i t o r i n g n o r c o n t r o l a r e g i v e n a n y a t t e n t i o n h e r e . A l l q u e s t i o n s on e n f o r c e a b i l i t y a r e r e l e -g a t e d t o C h a p t e r 6 . I t i s a l s o shown h e r e t h a t W i l s o n ' s [ 1 9 6 8 a ] t h e o r y o f s y n d i c a t e s c a n be f o r m u l a t e d a n d c o m p l e t e d w i t h t h e g e n e r a l game a p p r o a c h . F i n a l l y , t h e n e c e s s a r y c o n d i t i o n s f o r a P a r e t o - o p t i m a l c o r e s o l u t i o n i n an a g e n c y a r e d e r i v e d a n d d i s c u s s e d . The p r o b l e m o f i n f o r m a t i o n e x c h a n g e i n a m u l t i p e r s o n s e t t i n g i s a n a l y s e d i n C h a p t e r 4 . T h i s p r o v i d e s a b a s i s f o r t h e r e s u l t s o f C h a p t e r s a n d i s a l s o i n t e r e s t i n g i n i t s own r i g h t . I t i s shown h e r e t h a t t h e r e i s one p a r t i c u l a r i n f o r m a t i o n c o n f i g u r a t i o n - t h e b a s i c s c e n a r i o ( § 4 . 3 ) -t h a t i s a g e n e r a l p a r a d i g m i n w h i c h c a n be i n c o r p o r a t e d a l l o t h e r s c e n a r i o s o f i n f o r m a t i o n e x c h a n g e . C h a p t e r 5 d e r i v e s t h e l o g i c a l c o n s i s t e n c y a n d P a r e t o - o p t i m a l i t y o f t h e game m e c h a n i s m i n t h e p r e s e n c e o f i n f o r m a t i o n e x c h a n g e a n d - 12 -p e r f o r m a n c e e v a l u a t i o n . The c o m p l e x i t y o f t h e s i t u a t i o n i m p o s e s c e r t a i n t e c h n i c a l c o n d i t i o n s on t h e r e s u l t s . H o w e v e r , t h e s e t e c h n i c a l c o n d i t i o n s h a v e i n t e r e s t i n g , i n t e r p r e t a t i o n s i n t e r m s o f . : t h e p r i n c i p l e o f d i s c l o s u r e i n a c c o u n t i n g ( § 5 . 4 . 3 ) . I t i s shown t h a t r e l e v a n c e , m a t e r i a l i t y  a n d a d e q u a t e d i s c l o s u r e o f i n f o r m a t i o n a r e d e s i d e r a t a r e q u i r e d t o o p e r a t e t h e n e g o t i a t i o n m e c h a n i s m . F i n a l l y i n C h a p t e r 6 , we d i s c u s s t h e i s s u e o f e n f o r c e a b i l i t y -p o s t e r i o r e f f i c i e n c y . I t i s shown t h a t i n many s i t u a t i o n s t h e r e i s i n t r i n s i c e n f o r c e a b i l i t y . I n o t h e r s , one n e e d s t o d e f i n e a b u d g e t s e t s o t h a t a p e n a l t y scheme c a n b e i m p o s e d f o r d e v i a t i o n s f r o m t h e b u d g e t s e t ( § 6 . 3 . 5 ) . M o n i t o r i n g i s i n t r o d u c e d t o p r o d u c e b u d g e t s e t s w h i c h a r e t r a c t a b l e . I n t h e a b s e n c e o f p e n a l t y s c h e m e s , i t i s shown t h a t e n f o r c e -a b i l i t y demands v e r y s t r i n g e n t c o n d i t i o n s on t h e s h a r i n g r u l e and a c t i o n s . L a s t l y , t h e i s s u e o f e f f i c i e n c y i n a g e n c y s i t u a t i o n s i s a n a l y s e d . A p p e n d i x 1 b r i e f l y o u t l i n e s a f e w i m p o r t a n t game c o n c e p t s e s p e c i a l l y f r o m games w i t h t r a n s f e r a b l e u t i l i t i e s n o t d e v e l o p e d i n t h e m a i n b o d y o f t h e s t u d y . A p p e n d i x 2 g i v e s a s h o r t s u r v e y o f t h e r e l e v a n t f r e q u e n t l y u s e d m a t h e m a t i c a l t o o l s f r o m t h e t h e o r y o f s e t s , m e a s u r e , p r o b a b i 1 i t y a n d c o n d i t i o n a l p r o b a b i l i t y m e a s u r e s . - 13 -F o o t n o t e s t o C h a p t e r 1 1 . I t s h o u l d be n o t e d t h a t t h e m a n u f a c t u r e r ' s a b i l i t y t o d e c i d e t h e t r a n s f e r p r i c e d e p e n d s on t h e d e g r e e o f a u t o n o m y f r o m c e n t r a l m a n a g e -ment he p o s s e s s e s , a n d t h e a b s e n c e o f a p e r f e c t i n t e r m e d i a t e m a r k e t . H o w e v e r , one c a n s t i l l s a y t h a t t h e m a n u f a c t u r e r d e c i d e s t h e t r a n s f e r p r i c e i n a l l c a s e s i f c o n s t r a i n t s a r e a d d e d ( t h e s e may r e s t r a i n h i m t o one d e c i s i o n ) on h i s d e c i s i o n - m a k i n g f r e e d o m a s d i c t a t e d by t h e c e n t r e a n d t h e m a r k e t . 2 . T h i s i s b e c a u s e t h e t r a n s f e r r e d c o m m o d i t y a p p e a r s a s an " i n p u t " a n d " o u t p u t " i n t h e t o t a l i n p u t - o u t p u t p r o d u c t i o n t e c h n o l o g y o f t h e f i r m a s a w h o l e . 3 . Z m ( . ) a n d Z ^ . ) a r e f u n c t i o n s o f TT ^ ( . ) , t h e t o t a l p r o f i t t o t h e f i r m , b e c a u s e t h e c o m p e n s a t i o n t o m a n d d m u s t be p a i d f r o m TT^  as t h i s r e p r e s e n t s t h e w e a l t h a v a i l a b l e f o r s h a r i n g . A l s o , t h e w h o l e o f TT^( . ) m u s t be s h a r e d o u t among m, d a n d c ( a n d t h e r e p r e s e n t a t i v e s o f c who c o n s t i t u t e c e n t r a l m a n a g e m e n t ) ; i . e . , Z m + Z^ + Z c = -n^. 4 . F o r e x a m p l e ROI = i n v ^ ^ e d n ^ t a 1 ( H o r n g r e n [ 1 9 7 7 ] ) . Then 7T TT R 0 1 f o r m = i n v e s t e d ^ p i t a l = - 14 -CHAPTER 2 TOWARDS A GENERAL THEORY OF ORGANIZATIONAL DECISION-MAKING IN THE PRESENCE OF UNCERTAINTY Man h a s a l m o s t c o n s t a n t o c c a s i o n f o r t h e h e l p o f h i s b r e t h r e n , a n d i t i s v a i n f o r h i m t o e x p e c t i t f r o m t h e i r b e n e v o l e n c e o n l y . He w i l l be more l i k e l y p r e v a i l i f he c a n i n t e r e s t t h e i r s e l f - l o v e i n h i s f a v o u r , a n d show t h a t i t i s f o r t h e i r own a d v a n t a g e t o do f o r h i m w h a t he r e q u i r e s o f t h e m . W h o e v e r o f f e r s t o a n o t h e r a b a r g a i n o f a n y k i n d , p r o p o s e s t o t h i s . G i v e me t h a t w h i c h I w a n t , a n d y o u s h a l l h a v e t h i s w h i c h y o u w a n t , i s t h e m e a n i n g o f e v e r y s u c h o f f e r ; and i t i s i n t h i s m a n n e r t h a t we o b t a i n f r o m o n e a n o t h e r t h e f a r g r e a t e r p a r t o f t h o s e good o f f i c e s w h i c h we s t a n d i n n e e d o f . . . Adam S m i t h ' T h e W e a l t h o f N a t i o n s ' , 1 7 7 6 , C a n a n E d i t i o n ( M o d e r n L i b r a r y , New Y o r k , 1 9 3 7 ) p . 1 4 . Samuel s o n [ 1 9 7 5 ] has s u m m a r i z e d t h e p r o b l e m o f e c o n o m i c r e s o u r c e a l l o c a t i o n f a c i n g a n y g r o u p - w h e t h e r i t be a c o m m u n i s t i c s t a t e , a c a p i t a l -i s t i c i n d u s t r i a l n a t i o n , a f i r m o r w h a t e v e r - i n t o t h r e e c o m p o n e n t p a r t s : (1) What c o m m o d i t i e s s h a l l be p r o d u c e d and i n w h a t q u a n t i t i e s ? ( 2 ) How s h a l l g o o d s be p r o d u c e d ? ( 3 ) F o r whom s h a l l t h e g o o d s be p r o d u c e d ? The f i r s t q u e s t i o n a d d r e s s e s t h e p r o b l e m o f t h e o p t i m a l m i x o f t h e p r o d u c e d g o o d s , a n d i s d e p e n d e n t on t h e p r e f e r e n c e s o f t h e u l t i m a t e b e n e -f i c i a r i e s - t h e c o n s u m e r s . The s e c o n d q u e s t i o n a d d r e s s e s t h e p r o b l e m o f t e c h n o l o g y , n a m e l y t h e means a t h a n d t o p r o d u c e t h e g o o d s d e s i r e d . The t h i r d q u e s t i o n a d d r e s s e s t h e p r o b l e m o f d i s t r i b u t i o n o f t h e g o o d s p r o d u c e d , w h i c h i s e s s e n t i a l f o r p r o v i d i n g t h e n e c e s s a r y i n c e n t i v e s f o r t h e g r o u p t o r e m a i n c o h e s i v e . - 15 -I t c a n be s a i d t h a t m o s t d e c i s i o n s i n an e c o n o m i c s e t t i n g c a n be s u m m a r i z e d i n t h e m a n n e r a b o v e . We u s e t h e w o r d s m u l t i p e r s o n ( o r g r o u p ) d e c i s i o n - m a k i n g ( c h o i c e , r e s o u r c e a l l o c a t i o n ) t o d i s t i n g u i s h t h e r e a l w o r l d f r o m t h e f i c t i o n o f a s i n g l e - p e r s o n d e c i s i o n - m a k i n g s i t u a t i o n o f t h e R o b i n s o n - C r u s o e - ( w i t h o u t - F r i d a y ) e c o n o m y . T h i s i s b e c a u s e w h e n e v e r a g r o u p o f p e o p l e m e e t t o b a r g a i n f o r a " p i e c e o f t h e c a k e * " s o t o s p e a k , t h e a c t i o n s o f o n e member i m p i n g e on t h e o t h e r s e i t h e r d i r e c t l y o r i n -d i r e c t l y . We s h a l l c a l l a n y g r o u p w i t h d e f i n i t e a n d w e l l u n d e r s t o o d r u l e s o f d e c i s i o n - m a k i n g an o r g a n i z a t i o n . ^ The p u r p o s e o f t h i s r e s e a r c h i s n o t t o d o c u m e n t t h e b e h a v i o u r o f t h e members o f v a r i o u s o r g a n i z a t i o n s , n o r t o i s o l a t e t h e f a c t o r s a f f e c t i n g t h i s b e h a v i o u r ; t h a t i s t h e d o m a i n o f t h e s c i e n c e o f o r g a n i z a t i o n a l b e h a v -i o u r . R a t h e r , i t i s t o p r e s u m e t h a t t h e b e h a v i o u r o f t h e i n d i v i d u a l s i s a f f e c t e d by t h e q u a n t i t i e s a n d t y p e s o f c o m m o d i t i e s t h e y c a n c o n s u m e , a n d t h e t y p e s a n d q u a n t i t i e s o f l a b o u r t h e y n e e d t o e x p e n d a s members o f a n o r g a n i z a t i o n . H e n c e , i t i s an e c o n o m i c t h e o r y o f o r g a n i z a t i o n s a s c o n -t r a s t e d w i t h a b e h a v i o u r a l t h e o r y . T h e s e two t h e o r i e s a r e n o t c o n t r a -d i c t o r y , b u t c o m p l e m e n t a r y . M e a s u r a b l e a n d i d e n t i f i a b l e a s p e c t s o f a c o m m o d i t y o r s i t u a t i o n w h i c h a f f e c t s human b e h a v i o u r c a n u s u a l l y be i n c o r p o r a t e d i n p r i n c i p l e i n t o an e x p a n d e d m a t h e m a t i c a l t h e o r y o f human b e h a v i o u r t h r o u g h t h e u t i l i t y f u n c t i o n ( o r p r e f e r e n c e r e l a t i o n ) . S u c h a t t e m p t s a r e a l r e a d y u n d e r w a y , one o f w h i c h i s t h e s i g n i f i c a n t a n d c o m p r e h e n s i v e r e c e n t w o r k o f L e s o u r n e [ 1 9 7 7 ] . A g a i n , t h e p u r p o s e o f t h i s r e s e a r c h i s n o t t o make a c o m p r e h e n s i v e s u r v e y o f t h e p r o s a n d c o n s o f t h e v a r i o u s a l t e r n a t i v e t h e o r i e s o f m u l t i -p e r s o n c h o i c e - f r o m t e a m t h e o r y ( M a r s c h a k and R a d n e r [ 1 9 7 2 ] ) t o s o c i a l - 16 -c h o i c e ( s e e , e . g . , S e n [ 1 9 7 7 ] f o r a c o m p r e h e n s i v e s u r v e y ) a n d game t h e o r y ( s e e , e . g . , L u c e a n d R a i f f a [ 1 9 5 7 ] f o r a l u c i d d e v e l o p m e n t ) . R a t h e r , t h e p u r p o s e i s t o p r o p o s e a g e n e r a l m e c h a n i s m ( s e e § 2 . 3 ) , n a m e l y t h a t o f g e n e r a l game t h e o r y , a s a c o n v e n i e n t a n d f r u i t f u l t o o l f o r t h e . i n v e s t i g a -t i o n o f o r g a n i z a t i o n a l d e c i s i o n - m a k i n g . T h i s c h a p t e r p r e s e n t s a n a r g u m e n t f o r t h e j u s t i f i c a t i o n o f t h i s r e s e a r c h . The a p p r o a c h u s e d g o e s f r o m t h e s i m p l e s t , m o s t w e l 1 - d o c u m e n t e d , m o s t c o m p l e t e p a r a d i g m o f m u l t i p e r s o n d e c i s i o n - m a k i n g , n a m e l y t h e c o m p e -t i t i v e m a r k e t m e c h a n i s m i n i t s p u r e s t f o r m , t o t h e g e n e r a l game model w i t h o u t t r a n s f e r a b l e u t i l i t i e s a s p r o p o s e d by Aumann a n d P e l e g [ 1 9 6 0 ] , S c a r f [ 1 9 6 7 ] , a n d S h a p l e y [ 1 9 7 2 ] . T h i s r o u t e h a s t h e m e r i t o f s h o w i n g t h a t t h e m a r k e t m e c h a n i s m , when i t w o r k s p e r f e c t l y , i s a r e s o u r c e a l l o c a -t i o n m e c h a n i s m p a r e x c e l l e n c e . I t a l s o shows t h a t t h e m e c h a n i s m i s i n e f f i c i e n t i n " n o n - c l a s s i c a l e n v i r o n m e n t s " ( H u r w i c z [ 1 9 7 2 ] ) , t h a t i s , e x t e r n a l i t i e s , n o n - c o n v e x i t i e s , i n c o m p l e t e m a r k e t s , a n d t h e l i k e ( A r r o w [ 1 9 7 1 ] ) . We t h e n a r g u e t h a t i n a n a l y s i n g a m o d e r n f i r m o r an o r g a n i z a t i o n , r e c o u r s e m u s t be had t o a more g e n e r a l model o f w h i c h t h e c l a s s i c a l m a r k e t m e c h a n i s m o f p u r e c o m p e t i t i o n i s an e x t r e m e s p e c i a l c a s e . The r e a s o n i s t h a t , m a n a g e r s , m a n a g e r i a l a c c o u n t a n t s a n d o t h e r s , who m u s t c o n f r o n t t h e p r o b l e m s o f r u n n i n g a f i r m , c a n n o t a f f o r d t o t r e a t i t as a g o o d s - p r o d u c i n g , i m p e r s o n a l m a c h i n e i n t h e t r a d i t i o n o f c l a s s i c a l m a r k e t - o r i e n t e d e c o n o m i c s . O n l y when a more d e t a i l e d a n d p l a u s i b l e m o d e l o f i n t e r a c t i o n s i n an o r g a n i -z a t i o n has b e e n d e v e l o p e d c a n we e x p e c t t o d e r i v e o p e r a t i o n a l r e s u l t s a n d t e s t a b l e p r o p o s i t i o n s by p o s i n g q u e s t i o n s i n t h e f r a m e w o r k o f t h e m o d e l . S e c t i o n 2 . 1 d e v e l o p s t h e theme t h a t t h e p u r e c o m p e t i t i o n m e c h a n i s m ( o r t h e " f r e e m a r k e t " m e c h a n i s m a s i t has o f t e n b e e n c a l l e d ) i s n o t s u i t a b l e f o r d e a l i n g w i t h s i t u a t i o n s i n v o l v i n g e x t e r n a l i t i e s , d i f f e r e n t i a l i n f o r m a t i o n , f e w a g e n t s e t c . S e c t i o n 2 . 2 a n a l y z e s t h e p o s s i b i l i t i e s o f d e v e l o p i n g a l t e r n a t i v e m e c h a n i s m s o f m u l t i p e r s o n r e s o u r c e a l l o c a t i o n , e s p e c i a l l y t h o s e w h i c h a r e a s " i n f o r m a t i o n a l ^ d e c e n t r a l i z e d " a s t h e p u r e c o m p e t i t i o n m e c h a n i s m . H u r w i c z ' s s e m i n a l w o r k i s f o l l o w e d h e r e . I n S e c -t i o n 2 . 3 we d i s c u s s s e v e r a l m e c h a n i s m s w h i c h h a v e b e e n p r o p o s e d . S e c t i o n 2 . 3 . 1 i s d e v o t e d t o t h e s y s t e m a t i c d e v e l o p m e n t o f r i s k - s h a r i n g , s y n d i c a t e t h e o r y a n d a g e n c y t h e o r y , a n d d i s c u s s e s t h e l i m i t a t i o n s o f a l l t h e s e . S e c t i o n 2 . 3 . 3 d e v e l o p s t h e g e n e r a l game model i n d e t a i l a n d shows t h a t i t i s a p o w e r f u l t h e o r y f o r g e n e r a t i n g m e c h a n i s m s f o r m u l t i p e r s o n d e c i s i o n -m a k i n g . I n p a r t i c u l a r , we go t h r o u g h R a d n e r ' s g e n e r a l f o r m u l a t i o n , t h e d i f f e r e n c e b e t w e e n games w i t h s i d e p a y m e n t s ( t h e von N e u m a n n - M o r g e n s t e r n a p p r o a c h ) a n d games w i t h o u t s i d e p a y m e n t s ( g e n e r a l games - A u m a n n - P e l e g -B o n d a r e v a - S c a r f - S h a p l e y a p p r o a c h ) . H e r e , i t i s a l s o shown why t h i s r e s e a r c h i s l i m i t e d t o t h e " c o r e " s o l u t i o n m e c h a n i s m o f g e n e r a l g a m e s . The f i n a l s e c t i o n s u m m a r i z e s t h e d e v e l o p m e n t . 2 . 1 The P e r f e c t M a r k e t s ' M e c h a n i s m o f P u r e C o m p e t i t i o n a s a R e s o u r c e  A l l o c a t i o n M e c h a n i s m f o r O r g a n i z a t i o n s - A d v a n t a g e s a n d  D e f i c i e n c i e s A t w o - p e r s o n c o m m o d i t y e x c h a n g e s i t u a t i o n u n d e r c e r t a i n t y i s u s e d a s a v e h i c l e t o show t h e a d v a n t a g e s a n d l i m i t a t i o n s o f t h e p e r f e c t c o m -p e t i t i o n m a r k e t m e c h a n i s m . The f a m i l i a r E d g e w o r t h box d i a g r a m i s e m p l o y e d f o r v i s u a l d e s c r i p t i o n o f t h e p r o b l e m . 2 . 1 . 1 A T w o - P e r s o n E x c h a n g e P a r a d i g m C o n s i d e r two e c o n o m i c a g e n t s , A a n d B , who a r e endowed w i t h 2 c o m m o d i t i e s ( s e e D e b r e u [ 1 9 5 9 ] p p . 2 9 - 3 6 f o r a p r e c i s e d e f i n i t i o n o f a " c o m m o d i t y " ) , x a n d y . B o t h A a n d B h a v e p r e f e r e n c e s o v e r v a r i o u s q u a n t i t y - 18 -c o m b i n a t i o n s o f t h e s e c o m m o d i t i e s . They have no means o f p r o d u c t i o n o f t h e s e c o m m o d i t i e s . From a m u l t i p e r s o n d e c i s i o n - m a k i n g p e r s p e c t i v e , t h i s i s t h e s i m p l e s t d e c i s i o n - m a k i n g s i t u a t i o n . A l l t h a t t h e a g e n t s h a v e t o d o ' i s t o p o o l t h e i r i n i t i a l endowments a n d r e a l l o c a t e them i n s u c h a way t h a t t h e r e a l l o c a t i o n d o e s n o t d e c r e a s e t h e s a t i s f a c t i o n t h e y a l r e a d y h a v e w i t h t h e i r p r e s e n t p o s i t i o n . I n s h o r t , t h e r e i s no p r o d u c t i o n d e c i s i o n i n v o l v e d ; o n l y a d i s t r i b u t i o n d e c i s i o n i s n e c e s s a r y . S u p p o s e we make t h e f o l l o w i n g a s s u m p t i o n s : ( 1 ) No e x t e r n a l i t i e s : e a c h a g e n t ' s p r e f e r e n c e s a r e u n a f f e c t e d by t h e o t h e r ' s c o n s u m p t i o n . ( 2 ) C o n v e x p r e f e r e n c e s : e a c h a g e n t ' s i n d i f f e r e n c e s e t s ( s e t s o f c o n s u m p t i o n s among w h i c h he i s i n d i f f e r e n t ) a r e c o n v e x t o t h e o r i g i n o f h i s c o m m o d i t y s p a c e . We p r e s u m e f o r s i m p l i c i t y t h a t t h e s e p r e f e r e n c e s a r e r e p r e s e n t e d by c o n c a v e u t i l i t y f u n c t i o n s o v e r t h e c o m m o d i t y s p a c e . ( 3 ) - N o n - s a t i a t i o n : e a c h a g e n t p r e f e r s more o f e a c h c o m m o d i t y t o l e s s . I f t h e u t i l i t y f u n c t i o n s a r e d i f f e r e n t i a t e , t h i s means t h a t t h e m a r g i n a l utU-i t i e s 3 u . j / 8 x > 0 , 3 u . j / 8 y > 0 f o r e a c h a g e n t ' s u t i l i t y f u n c t i o n u i , w h e r e u . j ( x , y ) i s t h e u t i l i t y o f i = A o r B f r o m t h e c o n s u m p t i o n b u n d l e ( x , y ) . ( 4 ) . P e r f e c t d i v i s i b i l i t y o f t h e c o m m o d i t i e s : t h e c o m -m o d i t i e s a r e p e r f e c t l y d i v i s i b l e . - 19 -The a b o v e s i t u a t i o n i s p o r t r a y e d i n t h e E d g e w o r t h box d i a g r a m ( F i g . 2 . 1 ) . A ' s c o m m o d i t y s p a c e i s t o t h e n o r t h - e a s t o f t h e o r i g i n a n d B ' s i s t o t h e s o u t h - w e s t . The s i d e s o f t h e box r e p r e s e n t t h e t o t a l r e s o u r c e s . The i n d i f f e r e n c e c u r v e s f o r A a r e c o n c a v e u p w a r d s a n d i n -c r e a s i n g i n t h e n o r t h - e a s t e r l y d i r e c t i o n . C o n v e r s e l y , t h e i n d i f f e r e n c e c u r v e s o f B a r e c o n c a v e downwards a n d i n c r e a s i n g i n t h e s o u t h - w e s t e r l y c c d i r e c t i o n . The p r e s e n t p o s i t i o n o f t h e two a g e n t s i s ( x , y ) . The c u r v e r u n n i n g f r o m t h e c o r n e r o f A t o t h e c o r n e r o f B a r e t h e p o i n t s o f t a n g e n c y 2 o f t h e i n d i f f e r e n c e c u r v e s . T h e s e a r e t h e P a r e t o - o p t i m a l p o i n t s b e c a u s e a s h i f t a l o n g t h i s c u r v e r e d u c e s . t h e s a t i s f a c t i o n o f o n e a g e n t a n d i n -c r e a s e s t h a t o f t h e o t h e r . F o r a n y o t h e r p o i n t , s u c h a s 0 , t h e r e i s a l w a y s a r e a l l o c a t i o n on t h e P a r e t o - o p t i m a l c u r v e ( a l s o c a l l e d t h e " c o n t r a c t c u r v e " ) w h i c h i s P a r e t o - s u p e r i o r o r P a r e t o - i n d i f f e r e n t t o 0 . The s e g m e n t o f t h e c o n t r a c t c u r v e m a r k e d (a,3 ) i s c a l l e d t h e c o n t r a c t  c o r e b e c a u s e a n y p o i n t h e r e i s P a r e t o - s u p e r i o r o r i n d i f f e r e n t t o t h e a g e n t s ' c u r r e n t p o s i t i o n . I f t h e a g e n t s a r e l e f t t o b a r g a i n among t h e m s e l v e s , t h e y c a n a r r i v e a t a n y p o i n t i n ( a , 3 ) . H o w e v e r , c o n s i d e r t h e p o i n t ( x , y ) . The — c c l i n e j o i n i n g t h e p o i n t ( x , y ) t o t h e c u r r e n t p o s i t i o n , p o i n t ( x , y ) , h a s s p e c i a l s i g n i f i c a n c e i n t h e p e r f e c t c o m p e t i t i o n m e c h a n i s m . The m a g n i t u d e o f t h e s l o p e o f t h i s l i n e g i v e s t h e e x c h a n g e r a t i o , o r t h e p r i c e r a t i o o f t h e two c o m m o d i t i e s b e c a u s e t h e l i n e i s t a n g e n t i a l t o t h e two i n d i f f e r e n c e c u r v e s o f t h e two a g e n t s . The m e a n i n g o f t h e p r i c e r a t i o i s t h a t i f we a s s i g n two numbers t o t h e c o m m o d i t i e s x and y i n t h e g i v e n r a t i o , a n d c a l l t h e s e t h e d o l l a r p r i c e s o f t h e c o m m o d i t i e s p e r u n i t , t h e n t h e c u r r e n t p o s i t i o n c r e a t e s a - 20 -F i g u r e 2 . 1 C o m p e t i t i v e E x c h a n g e E q u i l i b r i u m d o l l a r w e a l t h p o s i t i o n f o r t h e i n d i v i d u a l s . We t h e n t e l l . t h e i n d i v i d u a l s t h a t t h e y c a n buy a n d s e l l t h e two c o m m o d i t i e s among t h e m s e l v e s u n t i l t h e y r e a c h t h e i r own m a x i m a l s a t i s f a c t i o n s , g i v e n t h e i r p r e s e n t w e a l t h . I f t h e a g e n t s a c c e p t t h e p r i c e s a s g i v e n a n d s o l v e t h e i r own o p t i m a l c o n s u m p t i o n p r o b l e m s g i v e n t h e i r w e a l t h l i m i t a t i o n s a s shown b e l o w : Max u A ( x A , y A ) s . t . p x x A + p y y A - P x x A + p y y A x A > 0 , y A ^ 0 Max u B ( x B , y B ) s . t . P x x B + P y y B K= p x x B + P y y B XB ^ 0 , y B i 0 - 21 -t h e n t h e y w i l l be a t ( x , y ) . No f u r t h e r e x c h a n g e s w i l l t h e n t a k e p l a c e . T h i s p o i n t i s - . ' - c a l 1 e d • t h e c o m p e t i t i v e e q u i 1 i b r i u r n p o i n t a s t h e a g e n t s b e h a v e a s " p r i c e - t a k e r s . " A v e r y i n t e r e s t i n g t h i n g has h a p p e n e d . I n s t e a d o f e a c h a g e n t t r y i n g t o d e t e r m i n e t h e o t h e r ' s p r e f e r e n c e s , a n d t h e n b a r g a i n i n g b e t w e e n t h e m s e l v e s t o r e a c h some p o i n t i n ( a , 3 ) , t h e a g e n t s s i m p l y c o n f r o n t e a c h o t h e r w i t h t h e i r d o l l a r w e a l t h s a n d e x c h a n g e t h e c o m m o d i t i e s a t t h e g i v e n p r i c e s . E a c h a g e n t o n l y n e e d s t o know t h e p r i c e s a n d t h e n t r a d e o n t h e " m a r k e t " w h i c h c r e a t e s t h e s e p r i c e s . H e n c e t h e d e c i s i o n - m a k i n g o f t h i s t w o - p e r s o n g r o u p i s c o m p l e t e l y d e c e n t r a l i z e d , a n d e a c h b e h a v e s a s i f he i s d e a l i n g w i t h some i m p e r s o n a l b e i n g ( t h e m a r k e t ) a t t h e g i v e n p r i c e s . I n s h o r t , f r o m t h e n e c e s s i t y o f j o i n t a c t i o n by n e g o t i a t i o n , t h e a g e n t s c a n t a k e i n d i v i d u a l a c t i o n a n d s t i l l do " s o c i a l g o o d " ( t h a t i s r e a c h a p o i n t i n ( a , 3 ) ) . 2 . 1 . 2 The M a r k e t M e c h a n i s m f o r a G e n e r a l G r o u p I f we e x p a n d t h e g r o u p G o f e c o n o m i c a g e n t s t o a n y a r b i t r a r y number N , a l l e n g a g e d i n e x c h a n g e s o f c o m m o d i t i e s o n l y , t h e n u n d e r a s s u m p t i o n s s i m i l a r t o ( i ) - ( i v ) on p a g e T'8 t h e r e e x i s t s a p r i c e v e c t o r w h i c h c a n e f f e c -t i v e l y d e c e n t r a l i z e t h e d e c i s i o n - m a k i n g a c t i v i t y ( s e e , e . g . , A r r o w a n d Hahn [ 1 9 7 1 ] ; D e b r e u [ 1 9 5 9 ] ; Q u i r k a n d S a p o s n i k [ 1 9 6 8 ] ) . M o r e o v e r , t h e e q u i l i b r i u m a l l o c a t i o n a r r i v e d a t i s P a r e t o - o p t i m a l a n d no c o a l i t i o n ( s u b -g r o u p ) a c t i n g on t h e i r o w n , a n d r e d i s t r i b u t i n g a f t e r t h e e q u i l i b r i u m h a s been r e a c h e d , c a n i m p r o v e t h e i r l o t ( c f . M a l i n v a u d [ 1 9 7 2 ] P r o p o s i t i o n s 1 a n d 2 , p . 1 5 8 ) . T h u s , n o t o n l y i s t h e e q u i l i b r i u m p o i n t e f f i c i e n t ( i * . e . , P a r e t o - o p t i m a l ) , b u t i t i s a l s o e f f e c t i v e i n c o n t r o l l i n g t h e a c t i o n s o f  t h e a g e n t s b e c a u s e t h e a g e n t s c a n n o t c h e a t o r r e n e g e on t h e i r c o n t r a c t s - 22 -a f t e r t h e f a c t , a s l o n g a s t h e p r i c e s h o l d . T h i s means t h a t t h e p r i c e v e c t o r p o l i c e s t h e m a r k e t . I f p r o d u c t i o n i s a d d e d t o t h e a b o v e s e c n a r i o , t h e n u n d e r a p p r o p r i a t e a s s u m p t i o n s , t h e d e c e n t r a l i z e d d e c i s i o n - m a k i n g o f t h e c o n s u m e r s a n d t h e p r o d u c e r s (who m a x i m i s e t h e i r p r o f i t s ) r e s u l t s i n an e q u i 1 i b r i u r n w h i c h i s e f f i c i e n t i n a l l o c a t i o n a n d e f f e c t i v e i n c o n t r o l l i n g a c t i o n s . A r r o w ( [ 1 9 7 1 ] , p . 6 ) h a s s u m m a r i z e d t h e s e r e s u l t s i n f o u r b a s i c p r o p o s i t i o n s o f P a r e t o - e f f i c i e n c y a n d c o m p e t i t i v e e q u i l i b r i a . U n d e r t h e a s s u m p t i o n s o f c o n v e x i t y (C) o f c o n s u m e r ( o r h o u s e h o l d ) i n d i f f e r e n c e maps a n d f i r m p r o d u c t i o n p o s s i b i l i t y s e t s , a n d u n i v e r s a l i t y o f m a r k e t s (M) ( t h a t i s , a l l d e f i n e d c o m m o d i t i e s h a v e a m a r k e t i n w h i c h t h e y c a n be t r a d e d c o m p e t i t i v e l y ) , t h e f o l l o w i n g two r e s u l t s ( a l s o known a s t h e two " f u n d a m e n t a l t h e o r e m s o f w e l f a r e e c o n o m i c s " - H u r w i c z [ 1 9 7 3 ] ) h o l d : 4 G i v e n t h a t t h e r e a r e no e x t e r n a l i t i e s i n c o n s u m p t i o n a n d p r o d u c -5 6 t i o n , no c o n s u m e r i s s a t i a t e d , a n d e a c h a g e n t b e h a v e s a s a p r i c e - t a k e r , t h e n : (1) I f (M) h o l d s , a c o m p e t i t i v e e q u i 1 i b r i u n 7 . i s P a r e t o - e f f i c i e n t n T h i s t h e o r e m i s t r u e e v e n i f ( C ) d o e s n o t h o l d . ( 2 ) I f (C) a n d (M) h o l d , t h e n a n y P a r e t o - e f f i c i e n t  a l l o c a t i o n c a n be a c h i e v e d a s a c o m p e t i t i v e e q u i l i b - r i u m by a s u i t a b l e r e a l l o c a t i o n o f i n i t i a l r e s o u r c e s . H u r w i c z [ 1 9 7 2 ] c a l l s t h e m a r k e t m e c h a n i s m o f p e r f e c t c o m p e t i t i o n n o n - w a s t e f u l ( b e c a u s e o f ( 1 ) ) a n d u n b i a s e d ( b e c a u s e o f ( 2 ) ) . H o w e v e r , t h e p r o b l e m o f l o g i c a l c o n s i s t e n c y o f t h e c o m p e t i t i v e model a r i s e s . As Q u i r k a n d S a p o s n i k ( [ 1 9 6 8 ] , p . 6 4 ) s t a t e : . . . G i v e n t h e c o m p e t i t i v e m o d e l , we a r e c o n c e r n e d w i t h t h e l o g i c a l c o n s i s t e n c y w i t h i n t h e m o d e l o f t h e n o t i o n o f c o m p e t i t i v e e q u i l i b r i u m . T h e r e w o u l d , a f t e r a l l , be - 23 -v e r y l i t t l e m e r i t i n w o r r y i n g a b o u t t h e e m p i r i c a l v a l i d i t y o f t h e n o t i o n o f c o m p e t i t i v e e q u i l i b r i u m i f t h e n o t i o n , by i t s v e r y d e f i n i t i o n , c a r r i e d w i t h i n i t s e l f c o n t r a d i c t i o n s o r i n c o n s i s t e n c i e s s o a s t o r e n d e r t h e c l a s s o f o b j e c t s w h i c h i t i s s u p -p o s e d t o i d e n t i f y empty on p u r e l y l o g i c a l ( d e d u c t i v e ) g r o u n d s . F o r t u n a t e l y , t h e model i s l o g i c a l l y c o n s i s t e n t . A r r o w ( [ 1 9 7 1 ] , p . 6 ) g i v e s t h e f o l l o w i n g e x i s t e n c e r e s u l t : (3) I f (C) h o l d s , t h e n t h e r e e x i s t s a c o m p e t i t i v e e q u i l i b - r i u r n . T h i s t h e o r e m i s t r u e e v e n i f (M) d o e s n o t h o l d . F i n a l l y , c a n we r e l a x t h e a s s u m p t i o n o f c o n v e x i t y ( C ) ? A r r o w ( [ 1 9 7 1 ] , p . 6 ) m a i n t a i n s t h a t we c a n . He p u t s f o r w a r d t h e f o l l o w i n g p r o -p o s i t i o n ( w h i c h he a t t r i b u t e s t o s e v e r a l r e s e a r c h e r s ) , n a m e l y t h a t u n d e r t h e w e a k e n e d h y p o t h e s i s (C, ) ( w h i c h means t h a t " t h e r e a r e no i n d i v i s i b i -l i t i e s l a r g e r e l a t i v e t o t h e e c o n o m y " ) t h a t : ( 4 ) P r o p o s i t i o n s (2) a n d (3) r e m a i n a p p r o x i m a t e l y t r u e i f  (G) i s r e p l a c e d by ( c l ) . I t i s a p p a r e n t why t h e m a r k e t m e c h a n i s m i s s u c h an a t t r a c t i v e r e -s o u r c e a l l o c a t i o n m e c h a n i s m , a n d why a number o f e c o n o m i s t s (Adam S m i t h a n d , i n r e c e n t t i m e s , e s p e c i a l l y t h e C h i c a g o S c h o o l ) h a v e b e e n e n a m o u r e d o f i t . What more c o u l d be a s k e d o f a m e c h a n i s m ? The i n f o r m a t i o n r e q u i r e -m e n t s b o i l down t o t h e p r o p a g a t i o n o f p r i c e s ; p u r e s e l f i n t e r e s t r e s u l t s i n an e f f i c i e n t a l l o c a t i o n ; a n d t h e " i n v i s i b l e h a n d " d e t e r s a l l d e v i a n t s f r o m t h e a g r e e d e q u i l i b r i u m e x c h a n g e . The w o r l d , h o w e v e r , i s n o t s o s i m p l e . S a m u e l s o n ( [ 1 9 7 1 ] , p . 4 4 4 ) a r g u e s t h a t o n l y t h e m a r k e t s f o r " p o t a t o e s , t o b a c c o , w h e a t a n d c o t t o n come w i t h i n o u r s t r i c t d e f i n i t i o n o f p e r f e c t c o m p e t i t i o n ' . ! 1 I n m o s t o t h e r a r e a s o f human e c o n o m i c e n d e a v o u r , t h e p r i c e m e c h a n i s m w o r k s i m p e r f e c t l y o r f a i l s t o f u n c t i o n a t a l l . As A r r o w ( [ 1 9 7 4 b ] , p .22) s a y s : " I n f a c t , i n - 24 -a s t r i c t l y t e c h n i c a l a n d o b j e c t i v e s e n s e , t h e p r i c e s y s t e m d o e s n o t a l w a y s w o r k . You c a n n o t s i m p l y p r i c e c e r t a i n t h i n g s . " He g o e s o n t o c i t e e x a m p l e s o f e x t e r n a l i t i e s ( s u c h a s a i r p o l l u t i o n ) , and n o n - m a r k e t a b l e c o m -m o d i t i e s ( s u c h as " t r u s t among p e o p l e " ) . E l s e w h e r e ( A r r o w [ 1 9 7 1 ] , [ 1 9 7 5 ] ) he c i t e s " v e r t i c a l i n t e g r a t i o n " ( t h a t i s , f i r m s m e r g i n g i n t o c o n g l o m e r a t e s ) a n d i n f o r m a t i o n a s y m m e t r i e s ( " m o r a l h a z a r d " a n d " d i f f e r e n t i a l i n f o r m a t i o n " ) . One m a j o r c a u s e o f t h e f a i l u r e o f p e r f e c t c o m p e t i t i o n i s t h e o " a t o m i c i t y " o f t h e i n d i v i d u a l a g e n t s . T h i s means t h a t t h e a g e n t s h a v e r e s o u r c e s l a r g e e n o u g h r e l a t i v e t o t h e w h o l e s y s t e m n o t t o be p r i c e -t a k e r s b u t " p r i c e - s e t t e r s . " A s M a l i n v a u d ( [ 1 9 7 2 ] f o o t n o t e , p . 1 0 6 ) s t a t e s : T h i s [ t h e one w h i c h we made a b o v e , n a m e l y t h a t e v e r y a g e n t i s a p r i c e t a k e r ] d e f i n i t i o n o f p e r f e c t c o m p e t i t i o n i s s u f f i c i e n t f o r t h e t h e o -r e t i c a l m o d e l t o be d i s c u s s e d , b u t n o t f o r a  t y p o l o g y o f r e a l s i t u a t i o n s [ u n d e r l i n i n g i s o u r s ] , s i n c e i t d o e s n o t d e f i n e t h e r e q u i r e d c o n d i t i o n s  f o r a c o m p e t i t i v e e q u i l i b r i u m t o t e n d n a t u r a l l y  t o be r e a l i z e d . . . H i l d e n b r a n d a n d K i r m a n ( [ 1 9 7 6 ] , p . 13) a r e e v e n more e x p l i c i t : . . . Now as we h a v e s a i d , t h i s ( i . e . p r i c e - t a k i n g b e h a v i o u r a s s u m e d by t h e c o m p e t i t i v e m o d e l ) makes no s e n s e f o r two p e o p l e s i n c e e a c h o f them knows t h a t he o r s h e c a n a f f e c t t h e o u t c o m e o f t h e t r a d e a n d h e n c e a f f e c t t h e t e r m s on w h i c h g o o d s a r e e x c h a n g e d . The " t r a n s f e r p r i c i n g " p r o b l e m ( § 1 . 1 . \ ) i n a f i r m o c c u r s i n t h e a b s e n c e o f a p e r f e c t i n t e r m e d i a t e g o o d s m a r k e t when t h e f e w m a n a g e r s h a v e t o c o n f r o n t e a c h o t h e r d i r e c t l y r a t h e r t h a n t h r o u g h t h e m a r k e t . H e n c e , t h e a b o v e p r o b l e m o f a t o m i c i t y i s i m p o r t a n t , e s p e c i a l l y i n i n t e r f i r m t r a n s f e r s . H i l d e n b r a n d and K i r m a n ( [ 1 9 7 6 ] , E x a m p l e t . l , p . 13) g i v e a g r a p h i c e x a m p l e i n w h i c h two a g e n t s , s t a r t i n g w i t h two c o m m o d i t i e s (A - 25 -h a s 4 u n i t s o f x a n d , B h a s 3 u n i t s o f y ) a r r i v e a t a c o m p e t i t i v e e q u i l i b r i u m ( F i g . 2 . 2 ) . The e q u i l i b r i u m a l l o c a t i o n i s ( x ^ , y ^ ) = ( 1 , 1 . 5 ) , a n d t h e e q u i l i b -r i u m p r i c e v e c t o r i s ( 1 . 5 , 1 ) . H o w e v e r , A upon r e a l i z i n g t h i s , t h r o w s away 1 u n i t o f x a n d a new e q u i l i b r i u m ( F i g . 2 . 3 ) o b t a i n s , n a m e l y ( x ^ , y ^ ) = ( 1 . 5 , 1 . 5 ) w i t h a p r i c e v e c t o r ( 1 , 1 ) . I n o t h e r w o r d s , A ' s " b i z z a r r e c o u r s e o f a c t i o n has i n f l u e n c e d t h e s i t u a t i o n " ( i b i d . ) i n h i s f a v o u r . 0 ' B ( S o u r c e : H i l d e n b r a n d a n d K i r m a n [ 1 9 7 6 ] , p . 14) F i g u r e 2 . 2 O l d C o m p e t i t i v e E x c h a n g e E q u i l i b r i u m - 26 -( S o u r c e : Hi 1 d e n b r a n d and K i r m a n [ 1 9 7 6 ] , p.. 14) F i g u r e 2 . 3 New C o m p e t i t i v e E x c h a n g e E q u i l i b r i u m To s u m m a r i z e , we l i s t t h e m a j o r c a u s e s o f t h e f a i l u r e o f t h e m a r k e t m e c h a n i s m : (1) Few o r l a r g e p a r t i c i p a n t s . T h a t i s , t h e e x i s t e n c e o f p r i c e - s e t t e r s i n s t e a d o f p r i c e - t a k e r s . ( 2 ) E x t e r n a l i t i e s . T h a t i s , t h e e f f e c t o f o n e ' s c o n s u m p t i o n o r p r o d u c t i o n on o t h e r s i s n o t n e g l i g i b l e . ( 3 ) M a r k e t f a i l u r e due t o u n c e r t a i n t y a n d d i f f e r e n t i a l  i n f o r m a t i o n . T h a t i s , m a r k e t s ( e v e n f o r " c o n t i n g e n t  c o m m o d i t i e s " p D e b r e u [ 1 9 5 9 ] ) do n o t m a t e r i a l i z e . b e c a u s e o f one a g e n t h a v i n g i n f o r m a t i o n a b o u t a s t a t e o f t h e w o r l d w h i c h a n o t h e r a g e n t d o e s n o t . - 27 -( 4 ) L a r g e n o n - c o n v e x i t i e s . F o r e x a m p l e , t h e r e a r e g " i n c r e a s i n g r e t u r n s t o s c a l e . " A n o t h e r e x a m p l e o f n o n - c o n v e x i t i e s i s t h e e x p e n d i t u r e o f p r o d u c t i v e r e -s o u r c e s t o s e a r c h f o r i n f o r m a t i o n ( s e e , e . g . , R a d n e r [ 1 9 6 8 ] , W i l s o n [ 1 9 7 5 ] ) . ( 5 ) S a t i a t i o n . T h a t i s , some c o n s u m e r s a r e s a t i s f i e d w i t h a c e r t a i n amount o f a c o m m o d i t y , a n d s a t i s f a c t i o n d e -c r e a s e s a s t h e amount o f c o m m o d i t y c o n s u m p t i o n i s i n c r e a s e d . The f a i l u r e o f t h e m a r k e t m e c h a n i s m i n v a r i o u s s e t t i n g s has g i v e n . r i s e t o t h e u s e o f n o n - m a r k e t m e c h a n i s m s f o r t h e p r o b l e m o f m u l t i p e r s o n c h o i c e . A r r o w ( [ 1 9 7 4 b ] , p . 2 5 ) c i t e s t h e e x a m p l e o f g o v e r n m e n t s a n d f i r m s " w i t h i n w h i c h p r i c e r e l a t i o n s a r e h e l d i n p a r t i a l a b e y a n c e . " I n d e e d , many o r g a n i z a t i o n s , " w h e t h e r p o l i t i c a l p a r t y , o r r e v o l u t i o n a r y m o v e m e n t , u n i v e r -s i t y o r c h u r c h , s h a r e t h e common c h a r a c t e r i s t i c s o f t h e n e e d f o r c o l l e c t i v e a c t i o n a n d t h e a l l o c a t i o n o f r e s o u r c e s t h r o u g h n o n m a r k e t m e t h o d s . " ( I b i d . , p . 26) 2 . 2 The S y s t e m a t i c S t u d y o f R e s o u r c e : : : A l l o c a t i o n M e c h a n i s m s H a v i n g b e e n d r i v e n t o t h e c o n c l u s i o n t h a t i n t e r a c t i o n s w i t h i n o r g a n i z a t i o n s , s u c h as b u s i n e s s f i r m s , a r e m o s t l y o f t h e n o n - m a r k e t , t y p e . , o n e i s c o m p e l l e d t o s t u d y a l t e r n a t i v e m e c h a n i s m s f o r r e s o u r c e a l l o c a t i o n . H u r w i c z ( [ 1 9 7 2 ] , [ 1 9 7 3 ] ) ( s e e a l s o A r r o w a n d H u r w i c z [ 1 9 7 7 ] ) h a s made s u c h s y s t e m a t i c s t u d i e s , a n d we f o l l o w h i s a p p r o a c h i n t h i s s e c t i o n . He s t a t e s ( [ . 1 9 7 2 ] , p . 2 9 7 ) : - 28 -. . . The s t u d y o f e c o n o m i c s y s t e m s c a n be a p p r o a c h e d i n t h e s p i r i t o f " p o s i t i v e " s c i e n c e ( " w h a t i s " ) o r " n o r m a t i v e " s c i e n c e ( " w h a t s h o u l d b e " ) . I n e i t h e r c a s e , i f t h e a p p r o a c h i s a n a l y t i c a l , [ u n d e r l i n i n g i s o u r s ] , t h e e s s e n t i a l f i r s t s t e p i s a f o r m a l i z a -t i o n o f t h e c o n c e p t o f an e c o n o m i c s y s t e m . H u r w i c z ( [ 1 9 7 2 ] , p p . 2 9 7 - 2 9 8 ) u s e s t h e f o l l o w i n g t e r m i n o l o g y : ( 1 ) E n v i r o n m e n t ( e ) o f an e c o n o m i c s y s t e m - t h e t o t a l i t y o f t h e " g i v e n s " o f a p a r t i c u l a r e c o n o m i c s y s t e m . ( I n o u r s i t u a t i o n , t h e w o r d s " e c o n o m i c s y s t e m " c o r r e s p o n d t o " m u l t i p e r s o n d e c i s i o n - m a k i n g s y s t e m " ) . The g i v e n s i n c l u d e t h e i n i t i a l r e s o u r c e e n d o w m e n t s , i n d i v i d u a l p r e f e r e n c e s , a n d t h e t e c h n o l o g y ( a n y p r o d u c t i o n , m o n i t o r i n g o r o t h e r s y s t e m ) . ( 2 ) S t a t e ^ , ( s ) o f an e c o n o m i c s y s t e m - t h e s i t u a t i o n i n t e r m s o f i t s " r e a l " a c t i v i t i e s , s u c h a s c o n s u m i n g , p r o -d u c i n g , s t o r i n g , a n d a l s o i t s " i n f o r m a t i o n a l " a c t i v i t i e s , s u c h a s m a k i n g b i d s , p r e s e n t i n g e c o n o m i c p l a n s , p e r f o r m i n g c a l c u l a t i o n s e t c . , t h a t t h e economy f i n d s i t s e l f a t a n y p a r t i c u l a r t i m e . ( 3 ) M e c h a n i s m o f an e c o n o m i c s y s t e m - t h e t o t a l i t y o f a l l t h e b e h a v i o u r p a t t e r n s o f t h e a g e n t s ( s u c h a s p r i c e -t a k i n g , m i s r e p r e s e n t a t i o n o f i n f o r m a t i o n e t c . ) i n t h e economy by w h i c h t h e economy moves f r o m s t a t e t o s t a t e g i v e n an e n v i r o n m e n t . The s t u d y o f a l t e r n a t i v e e c o n o m i c m e c h a n i s m s ( o f r e s o u r c e a l l o c a t i o n ) c a n t h e n p r o c e e d g i v e n t h e a b o v e s p e c i f i c d e f i n i t i o n s . "An e c o n o m i c m e c h -a n i s m c a n be s t u d i e d w i t h r e g a r d s t o i t s p e r f o r m a n c e i n t e r m s o f some - 29 -w e l f a r e c r i t e r i o n ( e . g . P a r e t o - o p t i m a l i t y o r some s o c i a l w e l f a r e f u n c t i o n ) i n r e l a t i o n t o t h e e n v i r o n m e n t s i n w h i c h t h e m e c h a n i s m o p e r a t e s " ( H u r w i c z [ 1 9 7 2 ] , p . 2 9 8 ) . I n o r d e r t o d e t e r m i n e w h e t h e r a m e c h a n i s m i s w o r t h y o f s e r i o u s s t u d y one m u s t e x a m i n e i t s i n f o r m a t i o n a l a n d i n c e n t i v a l f e a s i b i l i t y . "On t h e i n f o r m a t i o n a l s i d e , t h e q u e s t i o n i s w h e t h e r t h e m e c h a n i s m a l l o w s f o r t h e d i s p e r s i o n o f i n f o r m a t i o n a n d l i m i t a t i o n s on t h e c a p a c i t y o f v a r i o u s u n i t s t o p r o c e s s i n f o r m a t i o n . On t h e i n c e n t i v a l s i d e , t h e r e i s t h e p r o b l e m w h e t h e r t h e r u l e s p r e s c r i b e d by t h e m e c h a n i s m a r e c o m p a t i b l e w i t h e i t h e r i n d i v i d u a l o r g r o u p i n c e n t i v e s . " ( H u r w i c z [ 1 9 7 2 ] , p . 2 9 9 . ) S i n c e e v e r y m e c h a n i s m u s e s r e s o u r c e s i n i t s o r g a n i z a t i o n a l a c t i v i -t i e s , a n d i t s s u b s t a n t i v e ( r e s o u r c e p r o d u c t i o n o r a l l o c a t i o n ) a c t i v i t i e s , i t f o l l o w s t h a t t h e i s s u e o f i t s e f f i c i e n c y a l s o a r i s e s . The r e a s o n i s t h a t t h e r e s o u r c e s u s e d i n o r g a n i z a t i o n o f t h e a c t i v i t i e s ( s u c h as t r a n s -m i s s i o n o f p r i c e s i n t h e p e r f e c t m a r k e t m e c h a n i s m ) c a n n o t be u s e d f o r t h e s u b s t a n t i v e a c t i v i t i e s . T h i s i s e x p r e s s e d by H u r w i c z ( [ 1 9 7 2 ] , p . 2 9 9 ) i n t h e f o r m o f a f u n c t i o n , s = h ( x , q | e ) , w h i c h a s s o c i a t e s a s t a t e s w i t h r e s o u r c e s x u s e d f o r s u b s t a n t i v e p u r p o s e s when m e c h a n i s m q p r e v a i l s , g i v e n t h e e n v i r o n m e n t e . H o w e v e r , i f W d e n o t e s t h e t o t a l i t y o f i n i t i a l r e s o u r c e s e J i n t h e e n v i r o n m e n t e , t h e n x = Wg - b ( q | e ) , w h e r e b ( q | e ) i s t h e o r g a n i z a -t i o n a l r e s o u r c e u s e f u n c t i o n o f t h e m e c h a n i s m q i n t h e e n v i r o n m e n t e . The w e l f a r e ^ ( p o s s i b l y a v e c t o r i a l m e a s u r e ) g e n e r a t e d by t h e t r i p l e ( q , e , s ) i s g i v e n b y : •W = W ( s ) = W(h(We - b ( q f e ) , q | e ) ) ( 1 ) - 30 -The f e a s i b i l i t y o f a m e c h a n i s m c a n n o t be d e t e r m i n e d i n d e p e n d e n t l y o f i t s e n v i r o n m e n t . E a c h m e c h a n i s m ( b e c a u s e o f i t s r e s o u r c e r e q u i r e m e n t s ) c a n o n l y o p e r a t e m e a n i n g f u l l y i n a p a r t i c u l a r c l a s s o f e n v i r o n m e n t s . C o n -v e r s e l y , w i t h e a c h e n v i r o n m e n t e i s a s s o c i a t e d a c l a s s Q ( e ) o f f e a s i b l e m e c h a n i s m s , g i v e n e . F o r m u l a (1) a b o v e i s m e a n i n g f u l o n l y f o r a m e c h a n i s m q b e l o n g i n g t o t h e c l a s s Q ( e ) . The p r o b l e m f a c i n g t h e d e s i g n e r o r e v a l u a t o r o f a l t e r n a t i v e m e c h -a n i s m s i s t o c o n s i d e r a c l a s s o f p o s s i b l e e n v i r o n m e n t s , s a y A , and t o c h o o s e a m e c h a n i s m f r o m t h e s e t , Q(A ) = P> Q ( e ) e e A Q o f f e a s i b l e m e c h a n i s m s f o r A .. The c h o i c e i s made by t h e m a x i m i z a t i o n o f t h e w e l f a r e f u n c t i o n g ( q , e ) = W(h(W^ - b ( q | e ) , q j e ) ) o v e r Q(A Q) . " I f a p r o b a b i l i t y m e a s u r e on A - w e r e a v a i l a b l e t o t h e o r g a n i z e r , he m i g h t m a x i -m i s e w i t h r e s p e c t t o q t h e c o r r e s p o n d i n g e x p e c t e d v a l u e E ( g ( q , e ) ) = G ( q ) ( w h e r e E g d e n o t e s t h e m a t h e m a t i c a l e x p e c t a t i o n w i t h r e s p e c t t o t h e p r o b -a b i l i t y m e a s u r e ) . " ( H u r w i c z [ 1 9 7 2 ] , p . 3 0 0 . ) H o w e v e r , he c o n t i n u e s " i t i s n o t y e t p r a c t i c a l t o c a r r y o u t a c o m -p l e t e a n a l y s i s a l o n g t h e a b o v e l i n e s , a l t h o u g h t h e f o r m a l i z a t i o n g i v e n may be h e l p f u l i n c l a r i f y i n g v a r i o u s i n f o r m a l a r g u m e n t s c o n c e r n i n g t h e c o m -p a r a t i v e m e r i t s o f a l t e r n a t i v e e c o n o m i c s y s t e m s . " As a f i r s t s t e p , H u r w i c z s t a r t s w i t h a p a r t i c u l a r t y p e o f m e c h a n i s m , c a l l e d an a d j u s t m e n t p r o c e s s , w h i c h c o n s i s t s o f a g i v e n l a n g u a g e X » a s e t o f r e s p o n s e r u l e s f , a n d an o u t c o m e r u l e (j). - 31 -The l a n g u a g e <£ i s t h e " t o t a l i t y o f m e s s a g e s p e r m i s s i b l e u n d e r a g i v e n m e c h a n i s m . " "The n a t u r e a n d c o n t e n t s o f t h e m e s s a g e s v a r y f r o m m e c h a n i s m t o m e c h a n i s m . T h e y may be p r o p o s a l s o f a c t i o n s , b i d s , o f f e r s , p l a n s o f r e s o u r c e f l o w f o r t h e w h o l e e c o n o m y , o r t h e y may c o n t a i n i n f o r -m a t i o n a b o u t t h e e n v i r o n m e n t ( p r e f e r e n c e s , t e c h n o l o g y , r e s o u r c e e n d o w -m e n t s . " ( H u r w i c z [ 1 9 7 3 ] , p . 1 7 ) . The r e s p o n s e r u l e s f a r e d e v i c e s by w h i c h e a c h a g e n t p r o c e s s e s t h e i n f o r m a t i o n he r e c e i v e s t o g e n e r a t e m e s s a g e s t o s e n d o u t . The o u t c o m e r u l e t h e n s p e c i f i e s t h e a c t i o n s a n d d e c i s i o n s t o be u n d e r t a k e n g i v e n t h e c o n t e n t o f t h e m e s s a g e s r e c e i v e d s o f a r . E x a m p l e s o f a d j u s t m e n t p r o c e s s e s a r e t h e W a l r a s i a n t a t d n n m e n t p r o c e s s a n d a c e n t r a l p l a n n i n g b o a r d ( s e e , e . g . , M a l i n v a u d [ 1 9 7 2 ] , p p . 1 3 8 - 1 4 3 , and 1 8 4 - 1 8 9 ) . The l a n g u a g e s o f . t h e two s y s t e m s a r e d i f f e r e n t . I n t h e f i r s t , t h e m e s s a g e s a r e t h e p r o p o s e d p r i c e s , c o n s u m p t i o n a n d p r o -d u c t i o n b u n d l e s . I n t h e s e c o n d , m e s s a g e s "may c o n t a i n t h e d e s c r i p t i o n o f a p r o d u c t i o n f u n c t i o n o r o f a p r e f e r e n c e map ( i . e . , a u t i l i t y f u n c t i o n ) . " ( H u r w i c z [ 1 9 7 3 ] , p . 1 7 ) . What a r e t h e d e s i r a b l e c r i t e r i a t o l o o k f o r i n a d j u s t m e n t p r o c e s s e s ? The f i r s t i s o b v i o u s l y f e a s i b i l i t y o f t h e o u t c o m e s a s m e n t i o n e d a b o v e ( p . V 2 9 ) . H o w e v e r , e v e n more c r u c i a l i s t o l o o k f o r p r o c e s s e s w h i c h a r e P a r e t o - s a t i s f a c t o r y ( H u r w i c z [ 1 9 7 3 ] , p.. 1 9 ) . T h a t i s : (1) The o u t c o m e s o f t h e m e c h a n i s m o v e r a g i v e n c l a s s o f e n v i r o n m e n t s m u s t be P a r e t o - o p t i m a l - a p r o p e r t y he d u b s " n o n w a s t e f u l n e s s . " ( 2 ) The m e c h a n i s m m u s t be u n b i a s e d i n t h e s e n s e t h a t g i v e n a n y P a r e t o - o p t i m a l p o s i t i o n o f t h e e c o n o m y , by a - 32 -r e d i s t r i b u t i o n o f t h e i n i t i a l r e s o u r c e endowments a n d c l a i m s , t h e p o s i t i o n c a n be a r r i v e d a t by t h e m e c h a n i s m o v e r t h e new e c o n o m i c e n v i r o n m e n t c r e a t e d by t h e r e d i s t r i b u t i o n . ( 3 ) The o u t c o m e s m u s t be e s s e n t i a l l y s i n g l e - v a l u e d ; t h a t i s , e v e n i f t h e r e e x i s t m u l t i p l e e q u i l i b r i u m r e s o u r c e a l l o c a t i o n s by t h e m e c h a n i s m , t h e a g e n t s d e r i v e t h e same u t i l i t y f r o m t h e s e a l l o c a t i o n s . I t i s n o t s u r p r i s i n g t o f i n d t h a t i n a c l a s s o f e c o n o m i c e n v i r o n -m e n t s , w h i c h H u r w i c z ( [ 1 9 7 3 ] , p . 19) c a l l s c l a s s i c a l e n v i r o n m e n t s , t h e p e r f e c t m a r k e t m e c h a n i s m i s P a r e t o - s a t i s f a c t o r y . The c l a s s i c a l e n v i r o n -m e n t s a r e t h o s e w h i c h a r e f r e e f r o m e x t e r n a l i t i e s , l a r g e n o n - c o n v e x i t i e s o r i n d i v i s i b i l i t i e s , a t o m i s t i c p a r t i c i p a n t s , n o n - s t r i c t l y c o n v e x p r e f e r -e n c e s e t c . The q u e s t i o n s w h i c h t h e a b o v e d e v e l o p m e n t p r o v o k e a r e : "What a b o u t n o n c l a s s i c a l e n v i r o n m e n t s ? Can we f i n d P a r e t o - s a t i s f a c t o r y m e c h a n i s m s f o r them t o o ? F o r a l l e n v i r o n m e n t s , o r j u s t s o m e ? " ( H u r w i c z [ 1 9 7 3 ] , p . 19) H o w e v e r , a s H u r w i c z c o n t i n u e s , t h e s e q u e s t i o n s w o u l d be m e a n i n g l e s s i f some r e s t r i c t i o n s and r e q u i r e m e n t s w e r e n o t i m p o s e d on t h e i n f o r m a t i o n 12 o r i n c e n t i v e s t r u c t u r e o f t h e p r o c e s s e s t o be c o n s i d e r e d . The t o t a l i t y o f r e s t r i c t i o n s a n d r e q u i r e m e n t s on i n f o r m a t i o n l e a d s t o i n f o r m a t i o n  d e c e n t r a l i z a t i o n . "The i n t e n t [ i s ] t o i s o l a t e t h o s e p r o c e s s e s w h o s e i n f o r m a t i o n a l r e q u i r e m e n t s [ a r e ] no g r e a t e r , a n d i f a n y t h i n g l e s s , t h a n t h o s e o f t h e p e r f e c t l y c o m p e t i t i v e p r o c e s s , r e g a r d l e s s o f t h e b e h a v i o u r a l n a t u r e o f t h e s e p r o c e s s e s . " ( H u r w i c z [ 1 9 7 2 ] , p . 3 0 1 ) - 33 -I n i n f o r m a t i o n a l l y d e c e n t r a l i z e d p r o c e s s e s , e a c h a g e n t i knows o n l y h i s • c o m p o n e n t e 1 o f t h e t o t a l e n v i r o n m e n t . T h i s ; H u r w i c z t e r m s i n i t i a l d i s p e r s i o n o f i n f o r m a t i o n . A l s o , " i t i s i m p o s s i b l e t o t r a n s f e r t h i s i n f o r m a t i o n t o o t h e r u n i t s ( a g e n t s ) i n s u c h a way t h a t a t some s t a g e some o n e u n i t w o u l d b e , t h r o u g h m e s s a g e s r e c e i v e d f r o m o t h e r s , i n p o s s e s -s i o n o f c o m p l e t e i n f o r m a t i o n c o n c e r n i n g e o r c o n c e r n i n g t h e p r o p o s e d a c t i o n s o f a l l o t h e r u n i t s . . . " ( H u r w i c z [ 1 9 7 2 ] , p . 301) T h i s i s t e r m e d l i m i t e d c o m m u n i c a t i o n . C o m i n g t o t h e q u e s t i o n o f i n c e n t i v a l f e a s i b i l i t y , " i f a p r o c e s s w i t h t h e d e s i r e d p r o p e r t i e s ( f r o m t h e d e c e n t r a l i z e d i n f o r m a t i o n a l a n d P a r e t o - s a t i s f a c t o r y s t a n d p o i n t ) i s f o u n d , t h e q u e s t i o n a r i s e s w h e t h e r one c o u l d e x p e c t t h e p a r t i c i p a n t s t o f o l l o w t h e r u l e s , s i n c e t h e r e i s a p o s -s i b i l i t y o f c o l l u s i o n o r i n d i v i d u a l d e p a r t u r e s f r o m p r e s c r i b e d n o r m s . " ( H u r w i c z [ 1 9 7 3 ] , p . 2 3 ) - H u r w i c z c a l l s b e h a v i o u r p a t t e r n s c o n s t i t u t i n g a Nash e q u i l i b r i u m ( s e e § 2 . 3 . 3 . 2 ) a s i n d i v i d u a l l y r > i n c e n t i v e - c o m p a t i b l e . " S u c h a c o n f i g u r a t i o n i s p r e s e n t i f no p a r t i c i p a n t f i n d s i t a d v a n t a g e s t o d e p a r t f r o m h i s b e h a v i o u r p a t t e r n . " A u g m e n t i n g H u r w i c z ' s w o r k , we c a l l a b e h a v i o u r p a t t e r n c o n s t i t u t i n g a s t r o n g e q u i l i b r i u m ( s e e § 2 . 3 . 3 . 2 ) as c o a l i t i o n a l l y - i n c e n t i v e - c o m p a t i b l e . I n s u c h a c o n f i g u r a t i o n , no c o a l i t i o n d e p a r t s f r o m i t s b e h a v i o u r p a t t e r n s a s l o n g a s o t h e r s do n o t . W i t h a l l t h e e l a b o r a t e m a c h i n e r y a b o v e , t h e q u e s t i o n t h a t r e m a i n s i s : A r e t h e r e m e c h a n i s m s w h i c h a r e i n f o r m a t i o n a l l y d e c e n t r a l i z e d , P a r e t o -s a t i s f a c t o r y a n d i n c e n t i v e - c o m p a t i b l e ( i n d i v i d u a l l y o r c o a l i t i o n a l l y ) ? I f s o , o v e r w h a t c l a s s o f e n v i r o n m e n t s ? The r e s u l t s s o f a r a r e n e g a t i v e , a n d H u r w i c z c o n j e c t u r e s ( [ 1 9 7 2 ] , p . 3 2 6 ) t h a t t h e s e t h r e e d e s i d e r a t a may be i n c o m p a t i b l e w i t h e a c h o t h e r - 34 -l e a d i n g t o an i m p o s s i b i l i t y r e s u l t . He p r o v i d e s s e v e r a l e x a m p l e s ( [ 1 9 7 2 ] , p p . 3 0 9 = 3 3 4 , [ 1 9 7 3 ] , p p . 2 4 - 2 6 ) t o show c o n c l u s i v e l y 1 3 t h a t : ( 1 ) I n f o r m a t i o n d e c e n t r a l i z a t i o n a n d P a r e t o -s a t i s f a c t o r i n e s s a r e i n c o m p a t i b l e w i t h e v e n i n d i v i d u a l i n c e n t i v e - c o m p a t i b i 1 i t y i n c o m p e t i -t i v e e x c h a n g e s i t u a t i o n s , c l a s s i c a l e n v i r o n m e n t s , b u t w i t h a t o m i c p a r t i c i p a n t s . ( 2 ) I n t h e p r e s e n c e o f n o n - c l a s s i c a l e n v i r o n m e n t s , e s p e c i a l l y e x t e r n a l i t i e s ( w h i c h he c a l l s n o n -d e c o m p o s a b l e e n v i r o n m e n t s ) , one c a n n o t f i n d ( n o r p e r h a p s d e f i n e ) i n f o r m a t i o n a l l y d e c e n t r a l i z e d p r o c e s s e s c o m p a t i b l e w i t h P a r e t o - s a t i s f a c t o r i n e s s . I t i s t h e r e f o r e c l e a r t h a t when we a r e d e s i g n i n g o r a n a l y s i n g m e c h -a n i s m s f o r r e s o u r c e a l l o c a t i o n i n g r o u p s , t h a t e x c e s s i v e g e n e r a l i t y s h o u l d n o t be s o u g h t , i n t h e s e n s e t h a t t h e m a g n i f i c e n t p e r f o r m a n c e o f t h e p u r e c o m p e t i t i v e m o d e l i n p e r f e c t c l a s s i c a l e n v i r o n m e n t s ( w h i c h r a r e l y e x i s t , i f a t a l l ) s h o u l d n o t be t h e g o a l o f t h e d e s i g n o r i n v e s t i g a t i o n . T h i s  i s e s p e c i a l l y t r u e o f t h e p r o b l e m o f t r a n s f e r p r i c i n g w i t h i n f i r m s . I n C h a p t e r s 3 - 5 , we d e v e l o p t h e g e n e r a l game m e c h a n i s m a n d show t h a t i t i s n o n - w a s t e f u l , p o s s i b l y s i n g l e - v a l u e d a n d we c o n j e c t u r e t h a t i t i s n o n - . b i a s e d . M o r e o v e r , t h e demands on i n f o r m a t i o n a r e h i g h e r t h a n i n f o r m a -t i o n a l l y d e c e n t r a l i z e d s y s t e m s . F i n a l l y t h e i s s u e s o f i n c e n t i v e -c o m p a t i b i l i t y a r e t a k e n up i n C h a p t e r 6 a s a s e p a r a t e i s s u e f r o m t h a t o f l o g i c a l c o n s i s t e n c y . F u r t h e r e l a b o r a t i o n i s made i n § 2 . 3 b e l o w . To c o n c l u d e t h i s s e c t i o n , a n d g i v e a j u s t i f i c a t i o n f o r t h e a b o v e s k e t c h o f t h i s r e s e a r c h , we q u o t e H u r w i c z ( [ 1 9 7 3 ] p . 2 4 ) : - 35 -T h e s e ( n e g a t i v e ) r e s u l t s show t h a t t h e d i f f i c u l t y i s n o t due t o o u r l a c k o f i n v e n t i v e n e s s , b u t t o a f u n d a m e n t a l c o n f l i c t among s u c h m e c h a n i s m a t t r i b u t e s a s t h e o p t i m a l i t y o f e q u i l i b r i a , i n c e n t i v e c o m p a t i -b i l i t y o f t h e r u l e s , a n d r e q u i r e m e n t s o f i n f o r m a t i o n d e c e n t r a l i z a t i o n . C o n c e s s i o n s m u s t be made i n a t  l e a s t one o f t h e s e d i r e c t i o n s [ u n d e r l i n i n g i s o u r s ] . 2 . 4 A l t e r n a t i v e M e c h a n i s m s f o r M u l t i p e r s o n C h o i c e I f we w e r e t o d e s c r i b e t h e d o m i n a n t t r e n d s i n t h e s e a r c h f o r m u l t i -p e r s o n c h o i c e , t h i s s e c t i o n c o u l d e x p a n d i n t o a t o m e . T h i s i s n o t o u r i n t e n t i o n . H o w e v e r , m e n t i o n m u s t be made o f f o u r s e e m i n g l y d i f f e r e n t ( t h o u g h t h e y h a v e a l o t i n common) l i n e s o f a t t a c k on a l t e r n a t i v e m e c h -a n i s m s ( b o t h " n o r m a t i v e " a n d " p o s i t i v e " ) o f m u l t i p e r s o n d e c i s i o n - m a k i n g . The f i r s t , a n d p o s s i b l y t h e o l d e s t , i s t h e t h e o r y o f s o c i a l c h o i c e ( s e e , e . g . , F i s h b u r n [ 1 9 7 3 ] , S e n [ 1 9 7 0 ] ; Sen [ 1 9 7 7 ] g i v e s a c o m p r e h e n s i v e s u r v e y ) . T h e r e i s a w i d e s p r e a d m i s c o n c e p t i o n t h a t A r r o w ' s [ 1 9 5 1 ] s e m i n a l 14 c o n t r i b u t i o n - The A r r o w P o s s i b i l i t y T h e o r e m - p u t t h e l i d on f u r t h e r w o r k i n s o c i a l c h o i c e . (By s o c i a l c h o i c e i s m e a n t t h a t a c o l l e c t i v e c h o i c e i s made o v e r a l t e r n a t i v e s w i t h due r e g a r d t o t h e d i f f e r e n t i n d i v i d u a l s ' p r e f e r e n c e s . ) S a m u e l s o n , i n h i s f o r w o r d t o G r a a f ' s book ( [ 1 9 6 7 ] / p . v i i ) , a l l u d e s t o t h e same m i s c o n c e p t i o n a n d w a r n s a g a i n s t a m i s i n t e r p r e t a t i o n o f A r r o w ' s r e s u l t . Sen ( [ 1 9 7 7 ] , p . 81) g o e s e v e n f u r t h e r a n d shows i n w h i c h a r e a s o f s o c i a l c h o i c e r e s e a r c h , t h e g l o o m o f A r r o w ' s r e s u l t i s p e r v a s i v e , a n d i n w h i c h a r e a s , t h e s u n i s s t i l l s h i n i n g . T h i s n o t w i t h s t a n d i n g , i n t h e a r e a o f s o c i a l c h o i c e u n d e r u n c e r t a i n t y , we h a v e f e w s i g n i f i c a n t ( i f a n y ) r e f s u i t s w h i c h c a n be a p p l i e d t o t h e p r e s e n t r e s e a r c h . H e n c e , t h e s o c i a l -c h o i c e - t h e o r y r o u t e w i l l n o t be p u r s u e d h e r e . The f u t u r e m a y , h o w e v e r , open up i m p o r t a n t a r e a s f o r g r o u p c h o i c e by t h i s m e t h o d . - 36 -The s e c o n d , a n d o n e w h i c h h a s i n c r e a s i n g l y r e c e i v e d a t t e n t i o n f r o m d e c i s i o n t h e o r i s t s , i s t h e a r e a o f m u l t i o b j e c t i v e d e c i s i o n m a k i n g . ( S e e , e . g . , C o c h r a n e a n d Z e l e n y [ 1 9 7 3 ] , K e e n e y a n d R a i f f a [ 1 9 7 6 ] ) . MacCrimmon [ 1 9 7 3 ] d i s t i n g u i s h e s b e t w e e n m u l t i a t t r i b u t e , m u l t i o b j e c t i v e a n d m u l t i - c r i t e r i a d e c i s i o n - m a k i n g a s t h r e e i n c r e a s i n g l e v e l s o f g e n e r a l i t y f o r t h e same f i e l d . I n m u l t i c r i t e r i a s i t u a t i o n s , t h e i d e a i s t o c o n s i d e r a v e c t o r o f p o s s i b l y i n c o m m e n s u r a b l e c r i t e r i a f o r c h o i c e among a l t e r n a t i v e s . T h i s f i e l d c a n be a p p l i e d t o a g r o u p by t a k i n g t h e v e c t o r o f t h e i r u t i l i t y f u n c t i o n a l s a s t h e m u l t i o b j e c t i v e f u n c t i o n . H o w e v e r , a p a r t f r o m P a r e t o -o p t i m a l i t y , w h e t h e r t h i s a p p r o a c h c a n r e c o n c i l e i n t e r - c o a l i t i o n c o n f l i c t i s n o t c l e a r . A l s o , t h e w e i g h t i n g s c h e m e , w h i c h i s commonly u s e d t o c o n -v e r t t h e m u l t i o b j e c t i v e f u n c t i o n i n t o a r e a l - v a l u e d f u n c t i o n a l ( M a c C r i m m o n [ 1 9 7 3 ] ) , may n o t b e a p p l i c a b l e t o g r o u p c h o i c e s i n c e t h e w e i g h t i n g may r e q u i r e b a r g a i n i n g . And b a r g a i n i n g n e c e s s i t a t e s game t h e o r y f o r i t s a n a l y s i s . We s h a l l , t h e r e f o r e , n o t t a k e t h i s a p p r o a c h i n t h i s d i s s e r t a t i o n . M e n t i o n s h o u l d be made o f t e a m t h e o r y ( M a r s c h a k a n d R a d n e r [ 1 9 7 2 ] ) . B u t t h i s t h e o r y i s i n r e a l i t y no d i f f e r e n t f r o m s i n g l e p e r s o n c h o i c e , a p a r t f r o m t h e f a c t t h a t t h e a g e n t s may h a v e d i f f e r e n t a c t i o n a n d i n f o r m a -t i o n s e t s , b e c a u s e t h e p r e f e r e n c e s a n d b e l i e f s o f t h e i n d i v i d u a l s a r e i d e n t i c a l . S i n c e t h i s i s a s p e c i a l i s e d v e r s i o n o f s i n g l e - p e r s o n c h o i c e , i t i s i n a p p r o p r i a t e f o r t h e p r o b l e m i n v e s t i g a t e d i n t h i s r e s e a r c h . The t h i r d a p p r o a c h i s t h e r i s k - s h a r i n g o r t h e o r y o f s y n d i c a t e s a p p r o a c h o f R a i f f a [ 1 9 6 8 ] a n d W i l s o n [ 1 9 6 8 a ] . S i n c e t h i s a p p r o a c h i s d e p e n d e n t on t h e g e n e r a l game a p p r o a c h i n t h i s r e s e a r c h f o r l o g i c a l c o m -p l e t e n e s s ( a s we w i l l show l a t e r i n § 2 . 3 . 1 . 2 ) , a n d , i n many w a y s , a s p e c i a l c a s e o f t h e g e n e r a l f r a m e w o r k , we d e v e l o p t h i s i n some d e t a i l i n § 2 . 3 . 1 . - 37 -I n t h e p a r t i c u l a r c a s e o f a t w o - p e r s o n g r o u p , t h e r e h a s e m e r g e d , b e c a u s e o f t h e s p e c i a l s t r u c t u r e , a t h e o r y c a l l e d t h e t h e o r y o f a g e n c y ( s e e , e . g . , Demski a n d F e l t h a m [ 1 9 7 8 ] r i H a r r i s a n d R a v i v [ 1 9 7 8 J , J e n s e n and M e c k l i n g [ 1 9 7 6 ] ) . The t h e o r y o f a g e n c y i s , i n a w a y , a s p e c i a l c a s e o f s y n d i c a t e t h e o r y , a n d , i n a n o t h e r w a y , an e x t e n s i o n b e c a u s e t h e s p e c i a l s t r u c t u r e a l l o w s c e r t a i n m a n i p u l a t i o n s n o t p o s s i b l e i n t h e l a t t e r . I t i s a l s o a s p e c i a l c a s e o f t h e g e n e r a l game a p p r o a c h u n d e r c e r t a i n a s s u m p t i o n s . We s h a l l d e v e l o p t h i s theme i n § 2 . 3 . 2 . The f o u r t h a p p r o a c h i s t h a t o f game t h e o r y . The t h e o r y o f games g a i n e d p r o m i n e n c e w i t h t h e p a t h b r e a k i n g w o r k o f von Neumann a n d M o r g e n s t e r n [ 1 9 4 7 ] . A l t h o u g h t h i s i s s t i l l a b a s i c r e f e r e n c e , o t h e r u s e f u l r e f e r e n c e s a r e , i n c h r o n o l o g i c a l o r d e r , L u c e a n d R a i f f a [ 1 9 5 7 ] , Owen [ 1 9 6 8 ] , E k e l a n d [ 1 9 7 4 ] , G r a n o t [ 1 9 7 4 ] a n d H a r s a n y i [ 1 9 7 7 ] . H o w e v e r , f o r games w i t h o u t  t r a n s f e r a b l e u t i l i t i e s ( w i t h o u t s i d e p a y m e n t s ) , w h i c h i s t h e more r e a l i s t i c t h e o r y ( s e e § 2 . 3 . 3 ) , a n d i t s a p p l i c a t i o n t o e c o n o m i c p r o b l e m s , t h e s t a n d a r d r e f e r e n c e s a r e , i n c h r o n o l o g i c a l o r d e r , Aumann [ 1 9 6 1 ] , S c a r f [ 1 9 6 7 ] , S h a p l . e y [ 1 9 7 2 ] , S c a r f a n d - H a n s e n [ 1 9 7 3 ] , H i l d e n b r a n d [ 1 9 7 4 ] , a n d H i l d e n b r a n d a n d K i r m a n [ 1 9 7 6 ] . T h i s r e s e a r c h i s b a s e d on t h e p r e m i s e t h a t game t h e o r y  w i t h o u t s i d e p a y m e n t s i s a f r u i t f u l a p p r o a c h t o t h e s e a r c h f o r a l t e r n a t i v e  m e c h a n i s m s t o d e s c r i b e m u l t i p e r s o n d e c i s i o n - m a k i n g . T h i s theme i s d e v e l o p e d i n § 2 . 3 . 3 . 2 . 3 . 1 R i s k - s h a r i n g a n d T h e o r y o f S y n d i c a t e s A number o f r e s e a r c h e r s h a v e made c o n t r i b u t i o n s t o t h e a r e a o f r i s k - s h a r i n g . Among t h e s e i s B o r c h ' s [ 1 9 6 2 ] s e m i n a l w o r k on r e i n s u r a n c e m a r k e t s . R a i f f a ( [ 1 9 6 8 ] p p . 1 8 8 - 2 3 8 ) p r o v i d e s a v e r y c l e a r a n d i n t u i t i v e d e v e l o p m e n t o f t h e r i s k - s h a r i n g a n d s y n d i c a t e m e c h a n i s m s f o r g r o u p c h o i c e - 38 -i n an u n c e r t a i n e n v i r o n m e n t . W i l s o n ' s [ 1 9 6 8 a ] w o r k i s b a s e d on t h a t o f B o r c h a n d R a i f f a , a n d c u l m i n a t e s i n n e c e s s a r y a n d s u f f i c i e n t c o n d i t i o n s f o r t h e e x i s t e n c e o f g r o u p u t i l i t y a n d p r o b a b i l i t y a s s e s s m e n t s u n d e r v a r i o u s a s s u m p t i o n s . R o s i n g [ 1 9 7 0 ] p u r s u e s t h i s f u r t h e r t o d e t e r m i n e when a c o h e s i v e g r o u p , t o w h i c h t h e c h o i c e o f d e c i s i o n c a n be g i v e n , c a n e x i s t . L a V a l l e ' s [ 1 9 7 8 ] r e c e n t w o r k p r o v i d e s a l u c i d s y n t h e s i s o f t h e r e s u l t s o f R a i f f a , W i l s o n a n d R o s i n g . I n t h e f o l l o w i n g s e c t i o n , we f o l l o w L a V a l l e ' s e x c e l l e n t e x p o s i t i o n ( w i t h r e f e r e n c e s t o R a i f f a , W i l s o n a n d R o s i n g a s a p p r o p r i a t e ) . The t e r m i -n o l o g y e s t a b l i s h e d h e r e a n t i c i p a t e s t h e s y s t e m a t i c d e v e l o p m e n t i n C h a p t e r 3 . 2 . 3 . 1 . 1 R i s k - s h a r i n g I t i s b e s t t o i n t r o d u c e r i s k - s h a r i n g i n a 2 - p e r s o n c o n t e x t t o h i g h l i g h t t h e i s s u e s . M o r e o v e r , p i c t o r i a l r e p r e s e n t a t i o n s a r e p o s s i b l e 2 i n t h i s c a s e i n R . C o n s i d e r a p r o s p e c t a ( o p t i o n , l o t t e r y , g a m b l e , e t c . ) a v a i l a b l e t o two e c o n o m i c a g e n t s , A a n d B . F o r e x a m p l e , a c o u l d be a n i n v e s t m e n t p r o s -p e c t , a l o t t e r y t i c k e t , a new v e n t u r e , o r w h a t e v e r . S u p p o s e t h e o u t c o m e ( i n d o l l a r s f o r s i m p l i c i t y ) o f t h i s p r o s p e c t i s u n c e r t a i n b e c a u s e o f t h e e n v i r o n m e n t i n w h i c h t h e p r o s p e c t o p e r a t e s . T h i s u n c e r t a i n t y i s e m b o d i e d i n a s t a t e s p a c e S , w h i c h i s t h e t o t a l i t y o f a l l p o s s i b l e s t a t e s s e S a f f e c t i n g t h e o u t c o m e w ( s , a ) f r o m a . A a n d B h a v e t h e i r own von Neumann-15 M o r g e n s t e r n u t i l i t y f u n c t i o n s o v e r d o l l a r w e a l t h s by w h i c h t h e y c a n c h o o s e a m o n g s t l o t t e r i e s . The r i s k - s h a r i n g p r o b l e m i s t h a t o f s h a r i n g t h e r i s k y p a y o f f w ( s , a ) b e t w e e n A a n d B s o t h a t t h e e x p e c t e d u t i l i t i e s d e r i v e d by A a n d B m o t i v a t e them t o f o r m a g r o u p w i t h a c o n t r a c t t o s h a r e t h e p a y o f f . The - 39 -q u e s t i o n i s : How c a n t h e y s h a r e t h i s p a y o f f ? The a n s w e r t o t h i s q u e s t i o n d e c i d e s t h e t y p e o f w e l f a r e c r i t e r i o n t o e m p l o y i n d e c i d i n g w h i c h s h a r i n g  r u l e ( i . e . , a f u n c t i o n w h i c h s h a r e s t h e p a y o f f ) t o c h o o s e among a number o f p o s s i b l e c a n d i d a t e s . C l e a r l y , Z i s a f u n c t i o n s u c h t h a t : ( 1 ) Z : R -* R 2 ; a n d ( 2 ) Z A ( w ( s , a ) ) + Z B ( w ( s , a ) ) = w ( s , a ) , w h e r e Z^ and Z g d e n o t e t h e s h a r e s o f A a n d B r e s p e c t i v e l y . I n t h i s c a s e t h e e x p e c t e d u t i l i t i e s a c c r u i n g t o A a n d B a r e : E ^ ( u ^ ( Z A ( w ( s , a ) ) ) ) a n d E g ( u g ( Z g ( w ( s , a ) ) ) ) , w h e r e t h e e x p e c t a t i o n s a r e t a k e n w i t h r e s p e c t t o t h e p r o b a b i l i t y b e l i e f s o f A a n d B ( n a m e l y P^ and Pg) on S , r e s p e c t i v e l y . D e n o t i n g by u ^ ( Z ) a n d U g ( Z ) , t h e e x p e c t e d u t i l i t i e s f r o m t h e s h a r i n g r u l e - - 2 Z , i t i s s e e n t h a t . t o e a c h Z t h e r e c o r r e s p o n d s a p a i r ( u ^ ( Z ) , u g ( Z ) ) i n R w h i c h d e n o t e s t h e s a t i s f a c t i o n l e v e l s o f A a n d B d e r i v e d f r o m Z . The i m a g e - 2 s e t o f t h e f u n c t i o n , ( u ^ ( . ) , U g ( . ) ) » f r o m t h e s e t o f s h a r i n g r u l e s t o R i s shown i n F i g . 2 . 4 . C l e a r l y , ( A , B ) s h o u l d c h o o s e p o i n t 0-j o v e r 0 , , . How-e v e r , t h e y c a n n o t c h o o s e b e t w e e n 0^ a n d 0 ^ b e c a u s e t h e i r i n t e r e s t s a r e o p p o s e d . H e n c e , a commonly u s e d w e l f a r e c r i t e r i o n i s t h e P a r e t o c r i t e r i o n w h i c h c h o o s e s a P a r e t o - o p t i m a l p o i n t . W h i c h P a r e t o - o p t i m a l p o i n t ( c o r -r e s p o n d i n g , o b v i o u s l y , t o a P a r e t o - o p t i m a l s h a r i n g r u l e ) among a c o l l e c t i o n o f P a r e t o - o p t i m a l p o i n t s i s c h o s e n i s l e f t u n a n s w e r e d by t h i s c r i t e r i o n . A v e r y i n t e r e s t i n g r e s u l t o b t a i n s i n t h e s p e c i a l c a s e when t h e a g e n t s h a v e c o n c a v e , e x p o n e n t i a l u t i l i t y f u n c t i o n s o f t h e t y p e : u ( x ) = b - e x p ( - x / c ) - 40 -( u A ( . ) , a B l . ) ) ^ Y— \ * ° >v P a r e t o - o p t i m a l f r o n t i e r k c o r r e s p o n d i n g t o P a r e t o - , . >! . . y ^ o p t i m a l s h a r i n g r u l e s . S e t o f e x p e c t e d u t . i l i t . i ' p q f r o m -"^k^ d i f f e r e n t s h a r -) • * ' i \ ••• ^ 1 . i n g r u l e s i n t h e \ u t i l i t y s p a c e . I - ' j \ ('''•/ \ \ 4 i ' J \ % <* -S e t o f s h a r i n g r u l e s ^ Z i n some f u n c t i o n s p a c e . F i g u r e 2 . 4 S e t o f E x p e c t e d U t i l i t i e s f r o m S h a r i n g R u l e s I n t h i s c a s e , t h e s h a r i n g r u l e i s 1 i n e a r i n t h e p a y o f f a n d o f a p a r t i c u l a r f o r m . F o l l o w i n g L a V a l l e ( [ 1 9 7 8 ] , p . 5 0 2 ) we p r e s e n t t h e f o l l o w i n g r e s u l t ( i n t h e g e n e r a l c a s e o f a g r o u p o f N m e m b e r s ) . T h e o r e m 2 . 3 . 1 . 1 1 ( L a V a l l e [ 1 9 7 8 ] , p . 5 0 2 , T h e o r e m 1 1 . 2 . 3 ( A ) ) I f a n y c o n c e i v a b l e s h a r i n g r u l e may be c h o s e n by t h e g r o u p G = { 1 , N), i f S i s f i n i t e a n d S = { s ] , . . . . . s m } , i f P ^ s j ) > 0 f o r a l l i = 1 , . . . , N a n d j = 1 , m, a n d i f i e G h a s a u t i l i t y f u n c t i o n o f t h e f o r m u . ( x ) = b i - e x p ( - x 1 . / c i ) f o r e a c h x e R, w h e r e bn- a n d c- a r e c o n s t a n t s s u c h t h a t c - > 0 , t h e n : - 41 -Z i s a P a r e t o - o p t i m a l s h a r i n g r u l e i f , a n d o n l y i f , t h e r e e x i s t numbers x - j , x^ s u c h t h a t : N ( i ) I T . = 0 i = l 1 ( i i ) Z i ( w ( s k , a ) ) = p i • w ( s K , a ) + $ i k + x. f o r a l l i , k . w h e r e N p . = c . / I c . i s a n u m b e r , a n d 1 1 i = l 1 3 i k - P i ' j c . l o g ( ^ ( s ^ / P j C s ^ ) . The numbers p . d e n o t e t h e p r o p o r t i o n s o f t h e p a y o f f a c c r u i n g t o i e G. B i k h a v e t h e f o r m o f s i d e b e t s on t h e s t a t e s s ^ . S i n c e t h e s e two a r e i n d e p e n d e n t o f t h e s h a r i n g r u l e , i t f o l l o w s t h a t two P a r e t o - o p t i m a l s h a r i n g r u l e s d i f f e r o n l y i n t h e s i d e p a y m e n t s T . . The s h a r i n g r u l e i s l i n e a r ( a f f i n e ) . The i n t e r e s t i n g p o i n t i n t h e a b o v e r e s u l t i s t h a t t h e a g e n t s ' s h a r e s , d e p e n d on t h e i r r i s k - a v e r s i o n p a r a m e t e r s ^ c^ a n d t h e i r b e l i e f s P ^ s ^ ) . T h e f i n i t e n e s s o f S i s n o t c r u c i a l i n t h e a b o v e r e s u l t . W i l s o n [ 1 9 6 8 a ] h a s g e n e r a l i s e d t h i s t o t h e c a s e when S i s i n f i n i t e a n d members h a v e p o s i t i v e p r o b a b i l i t y d e n s i t y f u n c t i o n s on S . From t h e a b o v e , i t f o l l o w s t h a t o n c e t h e s i d e p a y m e n t s a r e d e c i d e d u p o n , t h e f o r m o f t h e P a r e t o - o p t i m a l s h a r i n g r u l e i s e a s i l y d e t e r m i n e d . How do t h e s e come a b o u t ? R e f e r r i n g t o F i g . 2 . 4 , i n t e r m s o f A a n d B , x n a n d T d a r e s i m p l y t h e s i d e p a y m e n t s f o r t h e d i f f e r e n t P a r e t o - o p t i m a l A D s h a r i n g r u l e s ( c f . R a i f f a [ 1 9 6 8 ] , p . 2 0 2 ) . H e n c e a c h o i c e o f a n d T G - 42 -( o r T• i n t h e a b o v e t h e o r e m ) i s t a n t a m o u n t t o a c h o i c e o f a p a r t i c u l a r P a r e t o - o p t i m a l s h a r i n g r u l e . I n s h o r t , t h e members c a n d e c i d e upon t h e i r p r o p o r t i o n s a n d t h e i r s i d e b e t s , b u t t o d e t e r m i n e t h e s i d e - p a y m e n t s ( o r  e q u i v a l e n t l y , t h e P a r e t o - o p t i m a l s h a r i n g r u l e ) r e q u i r e s an a n a l y s i s a n d  a m e c h a n i s m b e y o n d mere r i s k - s h a r i n g : I t i n v o l v e s some f o r m o f b a r g a i n i n g  o r g a m e - t h e o r e t i c p r o c e d u r e ( R a i f f a [ 1 9 6 8 ] , p . 2 0 4 ) . Thus t o c o m p l e t e t h e  m e c h a n i s m o f r i s k - s h a r i n g , a g a m e - t h e o r e t i c m e c h a n i s m m u s t be a d j o i n e d . 2 . 3 . 1 . 2 The T h e o r y o f S y n d i c a t e s L e t us g e n e r a l i s e t h e a b o v e p r o b l e m o f r i s k - s h a r i n g i n o n e p r o s p e c t , a , t o r i s k - s h a r i n g o f a number o f j o i n t p r o s p e c t s a , , a . T h a t i s , we h a v e s e v e r a l p a y o f f l o t t e r i e s , w ( s , a ^ ) . d e p e n d i n g on w h i c h p r o s p e c t a ^ o p e r a t e s . A g a i n , f o r i n t u i t i v e c l a r i t y , we b e g i n w i t h two a g e n t s , A a n d B , a s i n § 2 . 3 . 1 . 1 . S u p p o s e , a l s o , t h e s e a g e n t s h a v e o n l y two p r o s p e c t s a-j a n d a ^ . I f we d e f i n e Z(a-j) a n d Z ( a 2 ) as i n § 2 . 3 . 1 . 1 , t h e n p o s s i b l e u t i l i t y 2 i m a g e s o f t h e f u n c t i o n ( i n R ) _ u B ( . ) _ f r o m t h e s e t s o f s h a r i n g r u l e s Z(a-j) and Z ( a 2 ) a r e shown i n F i g . 2 . 5 . The P a r e t o - o p t i m a l f r o n t i e r s f o r e a c h p r o s p e c t ( n a m e l y t h e s h a r i n g r u l e s w h i c h a r e P a r e t o - o p t i m a l w i t h r e s p e c t t o t h a t p r o s p e c t ) a r e shown t o " c r i s s -c r o s s . l! F i g . 2 . 6 shows t h e o t h e r p o s s i b i l i t i e s ( R a i f f a [ 1 9 6 8 ] , p . 2 0 7 ) . The p r o b l e m now i s more c o m p l i c a t e d t h a n i n § 2 . 3 . 1 . 1 . The p r o b l e m f a c i n g A and B i s t o d e t e r m i n e a s o l u t i o n t o t h e i r e x t e r n a l p r o b l e m ( n a m e l y t h e c h o i c e o f a p r o s p e c t a n o r a ? ) , a n d t h e n t o d e t e r m i n e a s o l u t i o n t o - 43 -V . V > Z ( a 2 ) u t i l i t y s e t ^ V - > c u s p \ > . 9 l z ( a - | ) u t i l i t y s e t \ X A ( S o u r c e : R a i f f a [ 1 9 6 8 ] , p . 207) F i g u r e 2 . 5 C r i s s - C r o s s i n g P a r e t o - O p t i m a l F r o n t i e r s ( S o u r c e : R a i f f a [ 1 9 6 8 ] , p . 207) F i g u r e 2 . 6 O t h e r P o s s i b l e U t i l i t y F r o n t i e r s - 44 -t h e i r i n t e r n a l p r o b l e m ( n a m e l y t h e c h o i c e o f a s h a r i n g r u l e , g i v e n a c h o i c e o f a p r o s p e c t ) . W i t h a r e s o l u t i o n o f t h e e x t e r n a l p r o b l e m , t h e y c a n c o n -f r o n t t h e e x t e r n a l w o r l d , a n d w i t h a r e s o l u t i o n o f t h e i r i n t e r n a l p r o b l e m , t h e y c a n r e m a i n a s a c o h e s i v e g r o u p . S u p p o s e now t h e r e e x i s t s a n e n t i t y c a l l e d t h e " g r o u p " ( o r " s y n - d i c a t e " ) w h i c h h a s a u t i l i t y f u n c t i o n o v e r d o l l a r c o n s e q u e n c e s a n d p r o b -a b i l i t y b e l i e f s o v e r s t a t e s s u c h t h a t i t c a n r a n k a - | , a n d a ^ b y t h e u s e o f t h e e x p e c t e d u t i l i t y h y p o t h e s i s . M o r e o v e r , s u p p o s e t h e r a n k i n g a r r i v e d a t by t h e " g r o u p " i s a c c e p t e d by A a n d B , i n d e p e n d e n t l y o f t h e s h a r i n g r u l e s , a s r e f l e c t i n g t h e i r own p r e f e r e n c e s . Then t h e r e s o l u t i o n o f t h e e x t e r n a l p r o b l e m c a n be d e l e g a t e d t o t h i s " g r o u p , " a n d A a n d B c a n c o n c e n -t r a t e on t h e r e s o l u t i o n o f t h e i r i n t e r n a l p r o b l e m . I f t h i s c o u l d be d o n e , i t w o u l d be a b o o n f o r a n y g r o u p b e c a u s e , when f a c i n g t h e e x t e r n a l w o r l d , t h e y c a n show a u n i t e d f r o n t i n t h e f o r m o f t h e s y n d i c a t e , a n d l i m i t t h e i r d i s a g r e e m e n t s t o who s h a l l g e t w h a t f r o m t h e p a y o f f . Can t h i s be d o n e ? T h a t i s , c a n s u c h a s y n d i c a t e e x i s t ? A p r i o r i , when t h e P a r e t o - f r o n t i e r s c r i s s - c r o s s a s i n F i g . 2 . 5 , i t seems u n l i k e l y t h a t t h e r e c o u l d e v e r e x i s t a s y n d i c a t e w i t h an e v a l u a t i o n m e a s u r e o v e r t h e p r o s p e c t s w h i c h c a n r a n k p r o s p e c t s i n d e p e n d e n t l y o f t h e s h a r i n g r u l e s . F o r e x a m p l e , c o n s i d e r p o i n t s 0-j a n d 6^  i n F i g . 2 . 5 . C l e a r l y , A g a i n s i n 8-| a n d B g a i n s i n e^. I f t h e s y n d i c a t e c h o o s e s a - j , A w i l l g a i n more t h a n B f r o m a.| P a r e t o - o p t i m a l s h a r i n g r u l e s , a n d i f i t c h o o s e s a ^ , B w i l l g a i n more t h a n A f r o m a,-, P a r e t o - o p t i m a l s h a r i n g r u l e s . Thus A a n d B may be u n w i l l i n g t o g i v e a u t h o r i t y t o a s y n d i c a t e t o c h o o s e f o r t h e m . B u t c o n s i d e r a n a g r e e m e n t b e t w e e n A a n d B s u c h t h a t 0-| o r 0^  w i l l be c h o s e n by t h e f l i p o f a b i a s e d c o i n w i t h p r o b a b i l i t i e s X^ a n d X^ ( f o r - 45 -h e a d s a n d t a i l s r e s p e c t i v e l y ) . T h e n , t h e p o i n t By w h i c h o c c u r s on t h e l i n e s e g m e n t j o i n i n g 9^  a n d 9^ a t + A^g,,, g i v e s t h e c o r r e s p o n d i n g e x p e c t e d u t i l i t i e s t o A a n d B . C l e a r l y , a l l p o i n t s o n t h e l i n e s e g m e n t j o i n i n g 9-j a n d d o m i n a t e s t h e p o i n t s i n t h e c u s p (Q^^^B^)' H e n c e , s i n c e A a n d B a r e r a t i o n a l , t h e y w o u l d c h o o s e a p o i n t on t h e l i n e s e g m e n t 9^  t o 92 by t h e f l i p o f a p p r o p r i a t e l y b i a s e d c o i n s t h a n c h o o s e a n y p o i n t b e l o w . I t c a n b e s e e n t h a t t h e a b o v e r a n d o m i z a t i o n r e n d e r s t h e e x p e c t e d u t i l i t y i m a g e s p a c e c o n v e x a s shown i n F i g . 2.7. F i g u r e 2.7 R a n d o m i z a t i o n Makes t h e S e t o f U t i l i t i e s C o n v e x - 46 -F o l l o w i n g R a i f f a , t h i s r a n d o m i z a t i o n i s t h e s o l v i n g o f t h e e x t e r n a l p r o b l e m by m a k i n g c o n v e x t h e image s p a c e o f t h e f u n c t i o n ( u ^ , U g ) on t h e s p a c e o f a l 1 Z(a-|) a n d Z ( a 2 ) . H a v i n g " c o n v e x i f i e d " t h e i m a g e s p a c e , i s i t p o s s i b l e now f o r a s y n d i c a t e t o ' ' ' f o r m ? The a n s w e r i s y e s , b u t o n l y i n v e r y s p e c i a l c a s e s . The s e m i n a l w o r k i n t h i s a r e a i s by W i l s o n [ 1 9 6 8 a ] , who c a l l s t h e s y n d i c a t e u t i l i t y a n d p r o b a b i l i t y f u n c t i o n s " s u r r o g a t e . " H o w e v e r , t h e r e s u l t we g i v e b e l o w i s due t o W a l l a c e [ 1 9 7 4 ] , a s r e p o r t e d i n L a V a l l e ( [ 1 9 7 8 ] p . 5 0 3 ) , who h a s s y n t h e s i s e d a n d g e n e r a l i s e d t h e w o r k o f W i l s o n a n d R o s i n g . W a l l a c e [ 1 9 7 4 ] shows t h e f o l l o w i n g ( c f . L a V a l l e [ 1 9 7 8 ] , p . 5 0 4 ) : U n d e r t h e a s s u m p t i o n s t h a t a l l p o s s i b l e s h a r i n g r u l e s a r e a v a i l a b l e f o r c h o i c e by t h e g r o u p , a n d t h a t e v e r y member o f t h e g r o u p i s r i s k a v e r s e and i s c o n c e r n e d w i t h o n l y h i s own r e t u r n , t h e f o l l o w i n g r e s u l t s h o l d : (1) T h a t u n i f o r m d e c i s i v e n e s s , n a m e l y t h e p r o p e r t y t h a t t h e c r i s s - c r o s s i n g o f t h e g r o u p e v a l u a t i o n s o f t h e P a r e t o - o p t i m a l f r o n t i e r s ( s e e F i g . 2 . 5 ) i s i m p o s s i b l e , o c c u r s i f , a n d o n l y i f t h e r e e x i s t s . s u r r o g a t e s y n -d i c a t e u t i l i t y a n d p r o b a b i l i t y f u n c t i o n s . ( 2 ) I f - t h e members o f t h e g r o u p d i s a g r e e on t h e i r p r o b -a b i l i t y b e l i e f s , t h e n s u r r o g a t e s y n d i c a t e u t i l i t y a n d p r o b a b i l i t y f u n c t i o n s e x i s t o n l y i n t h e c a s e o f t h e  e x p o n e n t i a l u t i l i t y f u n c t i o n o f t h e t y p e i n T h e o r e m 2 . 3 . 1 . 1 1 . ( 3 ) I f t h e r e i s a g r e e m e n t on t h e p r i o r p r o b a b i l i t y m e a s -u r e s ( b e l i e f s ) , t h e n t h e s y n d i c a t e p r o b a b i l i t y m e a s u r e i s t h e a g r e e d upon p r o b a b i l i t y m e a s u r e . H o w e v e r , s u r r o g a t e s y n d i c a t e u t i l i t y f u n c t i o n s w i l l e x i s t - 47 -o n l y i n t h e c a s e o f t h e f o l l o w i n g t y p e s u t i l i t y f u n c t i o n s : ( a ) ( e x p o n e n t i a l ) u ^ ( x ) = - e x p ( - x / c ) , c . > 0 ; ( b ) ( l o g ) U i ( x ) = l o g ( x - c ^ , x > 1' k ( c ) ( p o w e r ) u ^ ( x ) = - ( c i - x ) , c . > x , a n d (1 - k ) > 1 ; ( d ) ( p o w e r ) u^.(x) = - ( x - c ^ 1 " ^ , x > c^ a n d (1 - k) < 0 ; a n d ( e ) ( p o w e r ) u . ( x ) = + ( x - c . ) 1 _ k , x > c , a n d 0 < (1 - k) <; 1 W i l s o n [ 1 9 6 8 a ] a l s o d e r i v e s t h e n a t u r e a n d f o r m o f t h e s u r r o g a t e -f u n c t i o n s , a n d t h e i r r i s k a v e r s i o n p r o p e r t i e s . The a b o v e d e v e l o p m e n t shows t h a t d e f e r r i n g t h e e x t e r n a l p r o b l e m t o a s y n d i c a t e o c c u r s o n l y i n s p e c i a l c a s e s . M o r e o v e r , t h e s o l u t i o n o f t h e i n t e r n a l p r o b l e m i s s t i l l a game p r o b l e m . A s W i l s o n [ 1 9 6 8 b ] s t a t e s : I n i t s p r a c t i c a l " a p p l i c a t i o n , t h e c o o p e r a t i v e s h a r i n g  t h e o r y t a k e s t h e o u t c o m e o f t h e b a r g a i n i n g p r o c e s s a s  a d a t u m , g i v e n i n t h e f o r m o f a P a r e t o - o p t i m a l s h a r i n g  r u l e . H e n c e t h e c o m p l e t i o n o f t h e t h e o r y u l t i m a t e l y  r e q u i r e s an i n v e s t i g a t i o n o f t h e n o n - c o o p e r a t i v e b a r - g a i n i n g p r o c e s s [ u n d e r l i n i n g o u r s ] . H o w e v e r , t h e e m p h a s i s on " n o n c o o p e r a t i v e " i n t h e b a r g a i n i n g p r o c e s s i s n o t n e c e s s a r y a s we s h a l l show i n t h i s r e s e a r c h . I n f a c t , as we s h a l l d e m o n s t r a t e i n t h i s r e s e a r c h , t h a t a c o o p e r a t i v e t h e o r y o f games i s n e e d e d t o g e n e r a l i s e a n d c o m p l e t e W i l s o n ' s [ 1 9 6 8 a ] a n a l y s i s . 2 . 3 . 1 . 3 T h e o r y o f S y n d i c a t e s When I n d i v i d u a l A c t i o n S p a c e s ,  a r e A v a i l a b l e R o s i n g [ 1 9 7 0 ] , h a s a d d e d a n o t h e r d i m e n s i o n t o t h e t h e o r y o f s y n d i -c a t e s , by c o n s i d e r i n g t h e a v a i l a b i l i t y o f i n d i v i d u a l a c t i o n s e t s t o t h e a g e n t s . He p o s t u l a t e s t h a t members o f a g r o u p G = { 1 , . . . , N } h a v e t h e i r - 48 -own a c t i o n s p a c e s , f r o m w h i c h t h e y c h o o s e t h e i r a c t i o n s , s a y a . , a n d t h e p r o b l e m f a c i n g t h e g r o u p i s t h e c h o i c e o f a j o i n t a c t i o n a = ( a - j , a n ) a n d a s h a r i n g r u l e . T h i s f o r m u l a t i o n i s d i f f e r e n t f r o m t h a t o f t h e p r e c e d i n g s e c t i o n i n t h a t j o i n t p r o s p e c t s a a r e n o t t h e c h o i c e p r o b l e m , b u t c o - o r d i n a t e d j o i n t a c t i o n s a = ( a - j , a n ) i s t h e e x t e r n a l c h o i c e p r o b l e m . E a c h i n d i v i d u a l h a s h i s own p a y o f f f u n c t i o n w . ( s , a . ) d e f i n e d on t h e s t a t e s p a c e S and an a c t i o n s p a c e D . . The g r o u p h a s a p a y o f f w ( s , a ) i f i t t a k e s a c o - o r d i n a t e d a c t i o n a . F i g u r e s 2 . 8 a n d 2 . 9 , a d a p t e d f r o m R o s i n g ( [ 1 9 7 0 ] , p . 4 3 2 ) , show t h e c a s e o f no c o o p e r a t i o n a n d c o o p e r a t i o n . R o s i n g [ 1 9 7 0 ] h a s s t u d i e d t h e c o n d i t i o n s u n d e r w h i c h a s y n d i c a t e w o u l d f o r m i n t h i s c o n t e x t . U n d e r t h e s e c o n d i t i o n s t h e s y n d i c a t e w o u l d s o l v e t h e e x t e r n a l , o r j o i n t a c t i o n c h o i c e p r o b l e m , i n d e p e n d e n t l y o f t h e s h a r i n g r u l e s , a n d t h e n t h e g r o u p w o u l d b a r g a i n f o r a s h a r i n g r u l e . R o s i n g ( [ 1 9 7 0 ] , p . 4 3 4 ) shows t h a t a n e c e s s a r y c o n d i t i o n f o r t h e  f o r m a t i o n o f a s y n d i c a t e i s t h a t t h e r e do n o t e x i s t c r i s s - c r o s s i n g P a r e t o - o p t i m a l f r o n t i e r s . H o w e v e r , a s u f f i c i e n t c o n d i t i o n f o r t h e f o r m a t i o n o f a s y n d i c a t e i s t h a t t h e b a r g a i n i n g model e m p l o y e d t o d e t e r m i n e t h e s h a r i n g r u l e s a t i s f i e s c e r t a i n c o n d i t i o n s ( i b i d . , p . 4 4 4 ) . F o r e x a m p l e i f t h e b a r g a i n i n g m o d e l ( a n e x a m p l e i s t h e N a s h Z e u t h e n - H a r s a n y i s c h e m e - c f . H a r s a n y i [ 1 9 7 7 ] ) i s s u c h t h a t t h e b a r g a i n i n g t h r o u g h o u t o c c u r s b e t w e e n two o p p o s i n g c o a l i t i o n s , w i t h p a r t i c u l a r t y p e s o f t h r e a t s t r a t e g i e s , t h e n t h e s y n d i c a t e w i t h t h e r e q u i r e d s u r r o g a t e f u n c t i o n s e x i s t s ( i b i d . , p . 4 4 7 ) . H o w e v e r , " i f t h e p a r t i e s do n o t a l w a y s d i v i d e i n t o two o p p o s i n g c o a l i t i o n s , a s o l u t i o n t o t h e n - p e r s o n c o o p e r a t i v e game (n > 2) w i t h g i v e n c o o p e r a t i v e d e c i s i o n i s n e e d e d . " ( I b i d . ) - 49 -A g e n t 1 A c t i o n a-, 1 b S y s t e m P a y o f f r ^ P a y o f f I A g e n t 2 A c t i o n a 9 * .^ Random S t a t e s -> w-| ( s , ( a ] , a 2 ) ) w 2 ( s , ( a 1 , a 2 ) ) F i g u r e 2 . 8 No C o o p e r a t i o n ( A d a p t e d f r o m R o s i n g [ 1 9 7 0 ] ) A g e n t 1 A c t i o n a A g e n t 2 A c t i o n a Random S t a t e s S y s t e m w 1 ( s , ( a ] , a 2 ) ) B a r g a i n i n g M o d e l S h a r e o f 1 w ( s , ( a 1 , a 2 ) ) S h a r e o f 2 w 2 ( s , ( a 1 , a 2 ) ) F i g u r e 2 . 9 C o o p e r a t i o n ( A d a p t e d f r o m R o s i n g [ 1 9 7 0 ] ) - 50 -2 . 3 . 2 The T h e o r y o f A g e n c y C o n s i d e r t h e s p e c i a l c a s e o f R o s i n g ' s o r W i l s o n ' s s y n d i c a t e m o d e l i n w h i c h t h e r e a r e two a g e n t s , b u t o n e a g e n t c o n t r o l s t h e a c t i o n s ( f o r e x a m p l e a w o r k e r w i t h h i s l a b o u r i n p u t s ) , a n d t h e o t h e r a g e n t c o n t r o l s t h e p r o d u c t i o n t e c h n o l o g y a n d t h e c a p i t a l n e c e s s a r y t o e n a b l e t h e t e c h n o l o g y t o w o r k . C a l l t h e s e two a g e n t s , t h e p r i n c i p a l ( a g e n t 1) a n d t h e a g e n t ( a g e n t 2 ) . A number o f e c o n o m i c p r o b l e m s c a n be r e d u c e d t o t h i s f o r m . An i n s i g h t f u l s u r v e y , w i t h a number o f h e u r i s t i c s , i s g i v e n by J e n s e n a n d M e c k l i n g [ 1 9 7 6 ] . A n a l y t i c a l s t u d i e s h a v e b e e n made by R o s s ( [ 1 9 7 3 ] , [ 1 9 7 4 ] ) , H a r r i s a n d R a v i v [ 1 9 7 8 ] , a n d Demski a n d F e l t h a m [ 1 9 7 8 ] . B e c a u s e o f t h e s p e c i a l s t r u c t u r e o f t h e p r o b l e m , some more e l e m e n t s c a n be a d d e d t o t h e m o d e l w h i c h c o u l d n o t be c o n s i d e r e d i n t h e s y n d i c a t e m o d e l . T h e s e a r e : (1) C o s t s o f c o n t r o l l i n g t h e a c t i o n s o f t h e a g e n t . ( 2 ) M o t i v a t i o n o f t h e a g e n t by a p p r o p r i a t e i n c e n t i v e s . ( 3 ) The a g e n t s s u f f e r s a ' d i s u t i l i t y ' b e c a u s e o f t h e e f f o r t he p u t s i n t o a p a r t i c u l a r a c t i o n . The f i r s t c a t e g o r y p e r t a i n s t o s u c h c o s t s a s m o n i t o r i n g a n d b o n d i n g t h e a g e n t ' s a c t i o n s , b e c a u s e t h e s e may b e , i n g e n e r a l , n o t be c o s t l e s s l y o b s e r v a b l e by t h e p r i n c i p a l . Thus some c o n t r o l f u n c t i o n a n d t h e c o s t o f t h e c o n t r o l t e c h n o l o g y n e e d s t o be a g r e e d upon by t h e p a r t i e s . The s e c o n d c a t e g o r y i n v o l v e s a p p r o p r i a t e i n c e n t i v e s c h e m e s w h e r e b y t h e p r i n c i p a l e n s u r e s t h a t t h e a g e n t i s m o t i v a t e d t o a b i d e b y h i s s i d e o f t h e c o n t r a c t . O b v i o u s l y , t h e b e t t e r t h e m o t i v a t i o n s c h e m e s , t h e l e s s e r t h e c o n t r o l c o s t s a n d v i c e v e r s a . A p o w e r f u l m o t i v a t o r i s t h a t t h e p r i n -c i p a l d e f i n e a s h a r i n g r u l e by w h i c h t h e a g e n t w i l l , s e r v i n g o n l y h i s s e l f - i n t e r e s t , a l s o s e r v e t h e i n t e r e s t s o f t h e p r i n c i p a l . - 51 -The t h i r d c a t e g o r y i s i n t e r e s t i n g b e c a u s e t h e m o n e t a r y g a i n s by t h e a g e n t may be o f f s e t by t h e d i s u t i l i t y he s u f f e r s i n t h e l a b o u r e f f o r t . Thus t h e a g e n t ' s u t i l i t y f u n c t i o n i s now u : A x D. -> R w h e r e A i s some s u b s e t o f R i n w h i c h t h e a g e n t ' s m o n e t a r y r e w a r d s w i l l f a l l , a n d i s t h e a g e n t ' s a c t i o n s e t . P a r e n t h e t i c a l l y , i t s h o u l d be n o t e d t h a t t h e d i s u t i l i t y - o f - e f f o r t t y p e o f a n a l y s i s i s f o u n d i n H a r r i s and R a v i v [ 1 9 7 8 ] , a n d Demski a n d F e l t h a m [ 1 9 7 8 ] , b u t n o t i n R o s s ( [ 1 9 7 3 ] , [19741): . Demski a n d F e l t h a m [ 1 9 7 8 ] i n c l u d e t h e c o s t s o f m o n i t o r i n g , w h i c h H a r r i s a n d R a v i v [ 1 9 7 8 ] do n o t . H o w e v e r , Demski a n d F e l t h a m a d d r e s s t h e q u e s t i o n o f i n c e n t i v e s i n t h e f r a m e w o r k o f n o n - a t o m i s t i c ( a t o m l e s s ) e c o -n o m i e s i n w h i c h t h e r e a r e a l a r g e number o f o w n e r s o f c a p i t a l a n d a l a r g e number o f w o r k e r s o f v a r i o u s s k i l l t y p e s . On t h e o t h e r h a n d , H a r r i s a n d R a v i v [ 1 9 7 8 ] e x p l o r e t h e q u e s t i o n o f i n c e n t i v e s i n a t w o - p e r s o n d e c i s i o n f r a m e w o r k . A g e n c y t h e o r y i s , p e r h a p s , t h e m o s t t r a c t a b l e a r e a o f m u l t i p e r s o n d e c i s i o n - m a k i n g , a n d s h o u l d y i e l d a c o m p l e t e t h e o r y u n d e r v a r i o u s s p e c i f i c s i t u a t i o n s . I n t h i s r e s e a r c h , we a l s o a d d r e s s t o t h e a g e n c y p r o b l e m w i t h i n t h e f r a m e w o r k o f t h e g e n e r a l game a p p r o a c h . 2 . 3 . 3 Games W i t h o u t S i d e P a y m e n t s - The G e n e r a l Game M e c h a n i s m  f o r R e s o u r c e A l l o c a t i o n J o h n M c D o n a l d , a l e a d i n g b u s i n e s s w r i t e r w i t h F o r t u n e f o r n e a r l y 1 g t h i r t y y e a r s , i n h i s r e c e n t m o n u m e n t a l w o r k [ 1 9 7 7 ] w h i c h d o c u m e n t s i n d e t a i l r e a l l i f e game s i t u a t i o n s i n t h e w o r l d o f b u s i n e s s , s t a t e s : - 52 -A game i s more t h a n a s p o r t , p a s s t i m e and a m u s e -m e n t . I t i s a l s o a m o d e l o f t h e r e a l w o r l d . F o r t h e a n c i e n t G r e e k s a game p r o v i d e d a l i b e r a l e d u c a -t i o n i n r e l i g i o n and l o v e . F o r t h e p l a y e r s a n d s p e c t a t o r s o f t h e M i d d l e A g e s i n E u r o p e i t t a u g h t t h e m a i n e l e m e n t s o f a new c i v i l i z a t i o n , c h i v a l a r y a n d l e a r n i n g , w h i c h we now c a l l f a i r p l a y a n d s k i l l . . . . A game was a l s o , on a n o t h e r l e v e l - , a way o f a c t i o n by p o l i c y a h i n t o f a l a t e r d e v e l o p m e n t . . . T h u s t h e i d e a o f r e a l - l i f e games - t h e s u b j e c t o f t h i s bo ok - i s a s o l d a s t h e h i l l s . What i s new i n o u r t i m e i s game t h e o r y . I t s i n s i g h t s i n t o games o f s t r a t e g y i l l u m i n a t e s t i l l a n o t h e r a s p e c t o f t h e r e a l w o r l d : t h e f r e e human i n t e r a c t i o n s t h a t a r e b e y o n d p r o b a b i l i t y . The m a i n u n s e t t l e d  q u e s t i o n i n e c o n o m i c t h o u g h t - t o w h i c h game t h e o r y  i s d i r e c t e d - i s how t o u n d e r s t a n d t h e i n d e f i n i t e o u t c o m e o f i n t e r a c t i o n s among p e o p l e who c a n , i w i t h i n l i m i t s , make f r e e c h o i c e s [ u n d e r l i n i n g i s o u r s ] . The s t a n d a r d d o c t r i n e o f f r e e e n t e r p r i s e , f o r e x a m p l e , h o l d s t h a t t h e p a r t i e s t o i t do n o t i n f l u e n c e one a n o t h e r s d e c i s i o n s , t h o u g h i n f a c t ; o n n u m e r o u s o c c a s i o n s t h e y d o , know t h e y d o , a n d p l a y t h e game a c c o r d i n g l y . Game t h e o r y , u n f i n i s h e d  a s i t i s , r e p r e s e n t s t h e r e a l s i t u a t i o n : a game  o f two o r more p l a y e r s i s a model o f f r e e human  i n t e r a c t i o n s , e i t h e r i n c o n f l i c t o r i n c o - o p e r a t i o n ,  a s o u r c e o f l e a r n i n g a b o u t t h e m [ u n d e r l i n i n g i s o u r s ] . M c D o n a l d h a s s u c c i n t l y s t a t e d t h e v a l u e o f game t h e o r y a s a means o f p r o v i d i n g n o r m a t i v e a n d d e s c r i p t i v e m e c h a n i s m s o f m u l t i p e r s o n r e s o u r c e a l l o c a t i o n . T h i s was e x a c t l y t h e o r i g i n a l i n t e n t i o n o f von Neumann a n d M o r g e n s t e r n [ 1 9 4 7 ] . T h i s s e c t i o n d e v e l o p s t h e g e n e r a l game model f o r m u l t i p e r s o n c h o i c e . We do n o t c l a i m a n y o r i g i n a l i t y f o r c o n c e p t s h e r e . The d e v e l o p m e n t i s a s y n t h e s i s o f t h e m a i n i d e a s r e l e v a n t t o t h i s r e s e a r c h f r o m t h e s o u r c e s m e n t i o n e d b e f o r e . O u r i n t e r e s t l i e s i n d e v e l o p i n g t h e m a i n i d e a s a n d n o t i n m a t h e -m a t i c a l r i g o u r . H e n c e , many o f t h e t e c h n i c a l a s p e c t s a r e n o t r i g o r o u s l y d e v e l o p e d , b u t a r e c l e a r l y m e n t i o n e d w h e r e v e r a p p l i c a b l e . The o u t l i n e h e r e p r o c e e d s f r o m t h e g e n e r a l model d e v e l o p e d by R a d n e r [ 1 9 7 2 ] a n d - 53 -s y n t h e s i z e s t h e v a r i o u s a s p e c t s o f c o o p e r a t i v e a n d n o n - c o o p e r a t i v e games u n d e r t h i s f r a m e w o r k . The p r i n c i p a l a d v a n t a g e o f t h i s a p p r o a c h i s t h a t i t c o n s o l i d a t e s t h e m o d e l s d e v e l o p e d i n t h i s c h a p t e r w i t h i n a g e n e r a l f r a m e w o r k . ' (The n o t a t i o n u s e d h e r e i s i n k e e p i n g w i t h t h e r e s t o f t h i s r e s e a r c h a n d , t h u s , may n o t f o l l o w t h a t o f t h e s o u r c e s c i t e d a b o v e . ) 2 . 3 . 3 . 1 The G e n e r a l Framework i n N o r m a l Form F o l l o w i n g R a d n e r [ 1 9 7 2 ] , l e t , S = s e t o f a l t e r n a t i v e s t a t e s o f n a t u r e ( d e s c r i p t i o n s o f t h e e n v i r o n m e n t on w h i c h t h e a g e n t s h a v e p r o f e s s e d u n c e r t a i n t y , a n d w h i c h t h e y c a n n o t i n f l u e n c e ) ; A = t h e s e t o f a l t e r n a t i v e c o n s e q u e n c e s ( u s u a l l y some s u b s e t o f R k , t h e s p a c e o f c o m m o d i t i e s , f r o m w h i c h t h e a g e n t s d e r i v e s a t i s f a c t i o n ) ; D = t h e s e t o f a l t e r n a t i v e a c t i o n s a v a i l a b l e t o t h e o r g a n i z a t i o n ; a n d G = { 1 , N } , t h e s e t o f i n d i v i d u a l a g e n t s i n t h e o r g a n i z a t i o n E v e r y a c t i o n a e D i s a f u n c t i o n w ( . , a ) . f r o m S t o A . The t o t a l i t y o f a l l 19 s u c h f u n c t i o n s f r o m S t o A i s d e n o t e d b y w : S , x D -> A . A c t i o n s a r e g e n e r a t e d by i n d i v i d u a l ( o r j o i n t ) s t r a t e g i e s a : S -»• D. U s u a l l y a(.) i s some f u n c t i o n c o n s i s t e n t w i t h t h e i n f o r m a t i o n s t r u c t u r e 20 o f t h e p a r t i c u l a r o r g a n i z a t i o n a n d , h e n c e , m e a s u r a b i 1 i t y c o n d i t i o n s 20 20 c o n s i s t e n t w i t h t h e i n f o r m a t i o n p a r t i t i o n a n d e v e n t c o n f i g u r a t i o n s ( a - f i e l d s ) m u s t be s a t i s f i e d . S u p p o s e a( •) = (cx-| (.),..., a N(.)) - 54 -d e n o t e s t h e g r o u p s t r a t e g y , t h e n f o r an i n d i v i d u a l i e G, a. : S -* D. "> "i w h e r e i s t h e s e t o f a c t i o n s o p e n t o i e G. ( N o t e t h a t D = D^x . . . x D ^ . ) " T h e g e n e r a t i o n o f s t r a t e g i e s i s s u p p o s e d t o t a k e p l a c e by means o f a s y s t e m o f o b s e r v a t i o n , c o m m u n i c a t i o n , c o m p u t a t i o n a n d a c t i o n . " ( R a d n e r [ 1 9 7 2 ] , p . 1 7 8 ) . H o w e v e r , t h e c h o i c e f r o m a s e t o f s e v e r a l s t r a t e g i e s d e -p e n d s o n some p r e f e r e n c e o r d e r on t h e s e t o f c o n s e q u e n c e s . T h e r e f o r e , we p r e s u m e t h a t e a c h i e G h a s a p r e f e r e n c e o r d e r on t h e s e t o f c o n s e q u e n c e s , , and i n d i v i d u a l l y he f o l l o w s t h e e x p e c t e d u t i l i t y r a t i o n a l i t y c r i t e r i a a n d g e n e r a t e s a u t i l i t y f u n c t i o n o v e r t h e c o n s e q u e n c e s s u c h t h a t he c a n o r d e r t h e j o i n t a c t s o f t h e o r g a n i z a t i o n a c c o r d i n g t o t h e p a y o f f he r e c e i v e s . S u p p o s e f . . ( w ( . , a ) ) i s t h e o u t c o m e a c c r u i n g t o i e G , a n d u^ i s h i s u t i l i t y f u n c t i o n , t h e n he c a n o r d e r t o t a l l y , a l l a e D b y , E i ( u i ( f i ( w ( . , a ) ) ) ) w h e r e E. i s t h e e x p e c t a t i o n w i t h r e s p e c t t o h i s p r o b a b i l i t y b e l i e f s on S . 1 2 We d e n o t e t h e o r d e r on D by i , a s > . . Thus a > . a i f , a n d o n l y i f , t h e 1 2 e x p e c t e d u t i l i t y f r o m a i s g r e a t e r t h a n o r e q u a l t o t h a t f r o m a . S i m i -1 2 1 2 2 1 1 2 l a r l y a -r a i f , a n d o n l y i f , a > . a a n d a >. a . F i n a l l y , a > a i ^ i 1 2 • 2 1 i f , a n d o n l y i f , a >:>. a b u t n o t a > • a . ^ I ^ i W i t h t h i s o r d e r i n g , e a c h i n d i v i d u a l c a n o r d e r h i s s t r a t e g i e s t o o , a n d , h e n c e , c h o o s e b e t w e e n t h e m . L e t D. . be t h e s e t o f a l t e r n a t i v e mes-i s a g e s f r o m a g e n t i t o a g e n t j . I f we d e f i n e D Q j a s t h e s e t o f m e s s a g e s ( i n t h i s c a s e , s t a t e s i g n a l s ) f r o m n a t u r e t o j , a n d D\jQ a s t h e s e t o f " m e s s a g e s " f r o m j t o n a t u r e ( i . e . , p r o d u c t i v e a c t i o n s ) , t h e n a s t r a t e g y a n - ( . ) i s e s s e n t i a l l y a f u n c t i o n f r o m 55 -X D t o X D = D k=0 K 1 k=0 1 K 1 The n o r m a l f o r m o f t h e a b o v e game i s t h e n ( G ; a-j ( . ) , . . . , : a ^ ( . ) ; > . . . , > ) . I t s p e c i f i e s w h a t e a c h p l a y e r w i l l do i n e a c h p o s s i b l e c i r -c u m s t a n c e ( s e e L u c e a n d R a i f f a [ 1 9 5 7 ] , p p . 3 9 - 5 3 ) . T h e r e i s a c o r r e s p o n d -i n g d e s c r i p t i o n i n e x t e n s i v e f o r m ( ^ h i c h s p e c i f i e s t h e a c t u a l a c t i o n s t h a t 21 w i l l be t a k e n by t h e a g e n t s ) i n t h e f o r m o f a t o p o l o g i c a l game t r e e . We w i l l w o r k e x c l u s i v e l y w i t h t h e n o r m a l f o r m . 2 . 3 . 3 . 2 O p t i m a l i t y , E q u i l i b r i u m a n d V i a b i l i t y I n g e n e r a l , t h e p r e f e r e n c e s >^  w i l l n o t be i d e n t i c a l . I f t h e y a r e , t h e game d e g e n e r a t e s i n t o a t e a m p r o b l e m ( M a r s c h a k a n d R a d n e r [ 1 9 7 2 ] ) . S u p p o s e t h e s e a r e n o t i d e n t i c a l . T h e n t h e p r o b l e m o f c h o i c e o f a j o i n t s t r a t e g y a r i s e s . L e t J _ c ^ G be any c o a l i t i o n ( n o n - e m p t y s u b s e t o f G ) . Then o t j ( . ) = s t r a t e g y made up o f t h e c o m p o n e n t s o f a ( . ) b e l o n g i n g t o J . We have t h e f o l l o w i n g c o a l i t i o n p r e f e r e n c e s : a V ) > j 2 ( - ) i f . a n d o n l y i f , 1 2 a.{.) >. a.{.) i e J ; i . e . , aj(.) > a*(.) 1 2 We c a n t h u s d e f i n e i n d i f f e r e n c e ( o i j ( . ) ~ c i j ( . ) ) a n d s t r i c t p r e f e r e n c e 1 2 ( o u ( . ) > a , ( . ) ) . i n a m a n n e r i d e n t i c a l t o t h e i n d i v i d u a l c a s e . D e f i n i t i o n 2 . 3 . 3 . 2 1 : A s t r a t e g y a ( . ) i s : (1) P a r e t o - o p t i m a l i f , a n d o n l y i f , t h e r e d o e s n o t e x i s t a n o t h e r s t r a t e g y 5(.) s u c h t h a t , a ( . ) > a ( . ) a n d a ^ ( - ) > cu ( . ) f o r a t l e a s t one i e G . - 56 -( 2 ) W e a k l y P a r e t o - o p t i m a l i f , a n d o n l y i f , t h e r e d o e s n o t e x i s t a n o t h e r s t r a t e g y 5( . ) s u c h t h a t > J a - ( . ) f o r a l l i e G B e c a u s e o f known p a r a d o x e s i n g r o u p p r e f e r e n c e o r d e r i n g s ( A r r o w [ 1 9 6 3 ] ) , 1 4 P a r e t o w e l f a r e c r i t e r i a h a v e come t o d o m i n a t e modern w e l f a r e e c o n o m i c s . T h u s , f o r a g r o u p , i t i s d i f f i c u l t t o e n v i s a g e t h e g r o u p s u p -p o r t i n g a s t r a t e g y w h i c h i s w e a k l y P a r e t o - i n f e r i o r t o a n o t h e r . " F r o m t h e p o i n t o f v i e w o f o v e r a l l o r g a n i z a t i o n a l e f f i c i e n c y , P a r e t o - o p t i m a l i t y i s a m i n i m a l r e q u i r e m e n t . " ( R a d n e r [ 1 9 7 2 ] , p . 182) Why? B e c a u s e a ( . ) may be ( w e a k l y ) P a r e t o - o p t i m a l , b u t f r o m t h e p e r s p e c -t i v e o f some c o a l i t i o n 0 c G , i t i s n o t a s g o o d a s a n o t h e r a ( . ) whose a n ( . ) f a v o u r s J more t h a n a,{.). M o r e o v e r , i f members o f J c a n u u d e v i a t e f r o m a ( . ) , t h e r e i s no i n c e n t i v e f o r J t o s t i c k t o a ( . ) . I n v i e w o f t h i s , a c o n c e p t much more i m p o r t a n t f o r an o r g a n i z a t i o n i s t h a t o f v i a b i 1 i t y o f a s t r a t e g y . T h i s i s a s o r t o f a n " e q u i l i b r i u m " c o n c e p t ; we s h a l l d e v e l o p i t b e l o w . " R o u g h l y s p e a k i n g , " t h o u g h , " a n a c t i s a n e q u i l i b r i u m [ v i a b l e ] i f no o n e o f some s p e c i f i e d c l a s s o f g r o u p s o f i n d i v i d u a l ' [ c o a l i t i o n s ] w o u l d h a v e b o t h t h e i n c e n t i v e a n d t h e a b i l i t y t o c h a n g e t h e a c t by means o f a c h a n g e i n t h e i r own j o i n t s t r a t e g i e s . " ( R a d n e r [ 1 9 7 2 ] , p . 180) D e f i n i t i o n 2 . 3 . 3 . 2 2 : A c o a l i t i o n J £ G d e v i a t e s ( o r u p s e t s ) a s t r a t e g y a ( . ) i f , a c t i n g on i t s own and p r e s u m i n g t h a t G-J w i l l r e t a i n O I Q _ J ( . ) , J c a n r e s o r t t o a s t r a t e g y S j ( . ) w h i c h c o m b i n e s w i t h j ( . ) t o p r o d u c e a ( . ) s u c h t h a t J p r e f e r s a ( . ) t o a ( . ) . D e f i n i t i o n 2 . 3 . 3 . 2 3 : A c o a l i t i o n J £ G b l o c k s ( o p p o s e s ) a s t r a t e g y a ( . ) i f , a c t i n g on i t s own and d e s p i t e a l l s t r a t e g i c o p p o s i t i o n by G - J , i t c a n - 57 -i m p l e m e n t a s t r a t e g y S j ( . ) s u c h t h a t t h e e x p e c t e d u t i l i t y f r o m a j ( . ) ' s i m p l e m e n t a t i o n i s g r e a t e r t h a n o r e q u a l t o t h a t f r o m a ( . ) f o r a l l i e J . The c o a l i t i o n s t r i c t l y b l o c k s , i f t h e a b o v e h o l d s a n d t h e e x p e c t e d u t i l i t y f r o m S j ( - ) i s s t r i c t l y g r e a t e r t h a n t h a t o f a ( . ) f o r e a c h i e J . T h e d i f f e r e n c e b e t w e e n a d e v i a t i o n a n d b l o c k i n g i s t h a t J u s u a l l y d e v i a t e s w i t h o u t G - J k n o w i n g a b o u t i t , b u t i t b l o c k s d e s p i t e t h e known „• o p p o s i t i o n o f G - J . I t f o l l o w s t h a t a c o a l i t i o n may n o t be a b l e t o b l o c k , b u t c a n d e v i a t e . F o r e x a m p l e , a w o r k e r may n o t be a b l e t o demand e x t r a t i m e f o r l u n c h , b u t he c a n , m o s t p r o b a b l y , g e t t h i s e x t r a t i m e u n n o t i c e d . T h r e e c o n c e p t s o f s p e c i a l i m p o r t a n c e a r e t h o s e o f t h e Nash e q u i l i b - r i u m ( N a s h [ 1 9 5 0 ] ) , s t r o n g e q u i l i b r i u m ( F a r q u h a r s o n [ 1 9 5 5 ] , Aumann [ 1 9 5 9 ] ) , a n d t h e c o r e (Aumann [ 1 9 6 1 ] ) . D e f i n i t i o n 2 . 3 . 3 . 2 4 : A s t r a t e g y a ( . ) i s c a l l e d : (1) A Nash e q u i l i b r i u m ( o r i n d i v i d u a l l y i n c e n t i v e - c o m p a t i b l e s t r a t e g y ) i f no i n d i v i d u a l d e v i a t e s f r o m i t ; a n d ( 2 ) A s t r o n g e q u i l i b r i u m ( c o a l i t i o n a l l y i n c e n t i v e - c o m p a t i b l e s t r a t e g y ) , i f no c o a l i t i o n d e v i a t e s f r o m i t . D e f i n i t i o n 2 . 3 . 3 . 2 5 : A s t r a t e g y a ( . ) i s c a l l e d : (1) A c o r e s t r a t e g y i f no c o a l i t i o n b l o c k s i t ; a n d ( 2 ) A weak c o r e s t r a t e g y i f no c o a l i t i o n s t r o n g l y b l o c k s i t . I f W ( G ) d e n o t e s t h e Nash e q u i l i b r i u m s t r a t e g i e s i n t h e g a m e , .A ( G ) t h e s t r o n g e q u i l i b r i u m s t r a t e g i e s , C t h e c o r e s t r a t e g i e s , a n d C(G) t h e weak c o r e s t r a t e g i e s t h e n t h e f o l l o w i n g o b v i o u s r e l a t i o n s h i p s h o l d : - 58 -( 1 ) ,A(V C ^ f ( G ) . ( 2 ) A ( G ) C C . ( 3 ) C C C ( G ) . R a d n e r ( [ 1 9 7 2 ] , p . 1 8 0 ) f i r s t p r o v i d e s an h e u r i s t i c d e f i n i t i o n o f v i a b i l i t y a n d t h e n d e f i n e s i t s i m p l y a s t h o s e s t r a t e g i e s w h i c h a r e n o t b l o c k e d by a n y c o a l i t i o n . H o w e v e r , t h e s e n s e o f t h e h e u r i s t i c s t a t e m e n t , r e p o r t e d a b o v e , i s t h a t v i a b i l i t y demands b o t h an i n a b i l i t y t o b l o c k a n d . d e v i a t e . I n v i e w o f t h i s , we p u t f o r w a r d o u r n o t i o n o f v i a b i l i t y . D e f i n i t i o n 2 . 3 . 3 . 2 4 : L e t 5 be a n y c o l l e c t i o n o f c o a l i t i o n s o f G. Then a s t r a t e g y a(.) w i l l be c a l l e d v i a b l e w i t h r e s p e c t t o 5 i f t h e r e i s no c o a l i t i o n i n 5 w h i c h c a n d e v i a t e f r o m o r b l o c k t h e s t r a t e g y . T h r e e s p e c i a l c a s e s o f H g i v e d i f f e r e n t m e a n i n g s t o t h e t e r m v i a b i l i t y . (1) When H = { G } , v i a b i l i t y d e g e n e r a t e s i n t o P a r e t o -o p t i m a l i t y . ( 2 ) When H = { { i } | i e G J, t h e n a v i a b l e s t r a t e g y i s a Nash e q u i l i b r i u m . ( 3 ) When 5 = a l l t h e p o s s i b l e c o a l i t i o n s , t h e n a v i a b l e s t r a t e g y i s a c o a l i t i o n a l l y r a t i o n a l s t r a t e g y ( o r s t r o n g e q u i l i b r i u m ) . The t h i r d c a s e d e s e r v e s s p e c i a l a t t e n t i o n . I t has t h e c l e a r e s t c l a i m t o be c a l l e d a v i a b l e s o l u t i o n c o n c e p t f o r t h e o r g a n i z a t i o n b e c a u s e i t c a n n o t be b l o c k e d , n o r d o e s a n y c o a l i t i o n h a v e an i n c e n t i v e t o d e v i a t e f r o m i t . We c a l l a game i n w h i c h t h e weak c o r e i s n o n - e m p t y , a n d p o s s e s s e s P a r e t o - o p t i m a l s o l u t i o n s , as p r i o r e f f i c i e n t . I f t h e r e e x i s t s a s t r o n g - 59 -e q u i l i b r i u m i n t h e weak c o r e , t h e n t h e game i s c a l l e d p o s t e r i o r e f f i c i e n t . ( S e e C h a t p e r 6 f o r f u r t h e r d e t a i l s ^ . I t s h o u l d be n o t e d t h a t a l l t h e a b o v e i d e a s c a n be e x t e n d e d t o t h e m i x e d e x t e n s i o n o f a game. I n t h e m i x e d e x t e n s i o n o f a game ( G ; a^(.), a^(.); > , a g e n t s a n d c o a l i t i o n s r a n d o m i z e t h e i r c h o i c e s o v e r t h e p u r e s t r a t e g i e s a^(.), a^(.). F o r i n s t a n c e , i f X - j , X^ d e n o t e t h e s t r a t e g y s e t s o f t h e i n d i v i d u a l s , t h e n o n e c a n d e f i n e an a p p r o p r i a t e a - f i e l d ( s e e A p p e n d i x 2) on t h e p r o d u c t X , = n X . , a n d d e f i n e a p r o b -J i E J 1 a b i l i t y m e a s u r e on t h i s a - f i e l d , s a y P j ( - ) - The game i n m i x e d e x t e n s i o n n o r m a l f o r m i s t h e n p l a y e d a s ( G ; P , , J c G ; > , > ,) ( s e e Y a n o v s k a y a [ 1 9 7 2 ] , p . 2 1 0 ) . The e x i s t e n c e o f t h e a b o v e e n t i t i e s s u c h a s t h e c o r e a n d Nash e q u i l i b r i u m i s d e a l t w i t h i n a l a t e r s e c t i o n . 2 . 3 . 3 . 3 Games i n C h a r a c t e r i s t i c F u n c t i o n Form The p r e c e d i n g n o r m a l f o r m d e s c r i p t i o n o f t h e game c o n c e n t r a t e s o n t h e s t r a t e g i e s , a n d u s e s t h e p a y o f f s s i m p l y a s a means t o o r d e r t h e s t r a -t e g i e s . T h e r e i s a n o t h e r d e s c r i p t i o n w h i c h c o n c e n t r a t e s on t h e p a y o f f s a n d u s e s t h e s t r a t e g i e s a s a means t o g e t h i g h e r p a y o f f s . I t i s c a l l e d t h e d e s c r i p t i o n o f a game i n c h a r a c t e r i s t i c f u n c t i o n f o r m . T e c h n i c a l l y , b o t h a r e e q u i v a l e n t . H o w e v e r , t h e c h a r a c t e r i s t i c f u n c t i o n f o r m h a s t h e a d v a n t a g e o f s t a r t i n g f r o m a r b i t r a r y s e t s o f p o s -s i b l e p a y o f f s f o r t h e v a r i o u s c o a l i t i o n s , w i t h o u t r e g a r d t o t h e s t r a t e g i e s w h i c h g e n e r a t e d t h e m , a n d d e t e r m i n e s w h a t c o n f i g u r a t i o n o f p a y o f f s w i l l a r i s e . T h i s t r a d i t i o n h a s a h i s t o r y g o i n g b a c k t o von Neumann a n d M o r g e n s t e r n (N-M) [ 1 9 4 7 ] , who i n t r o d u c e d t h e t e r m i n o l o g y . - 60 -I n t h e N-M f o r m u l a t i o n , a game i n c h a r a c t e r i s t i c f u n c t i o n f o r m ( G ; v ( . ) ) i s s i m p l y t h e two e n t i t i e s : G a n d a f u n c t i o n v f r o m a l 1 s u b -s e t s o f G t o R s u c h t h a t : ( 1 ) v ( 0 ) = 0 ; a n d ( 2 ) v ( j ) + v ( K ) < v ( J ^ K ) , f o r a l l s u b s e t s J , K i n G s u c h t h a t J n K = 0 . P r o p e r t y ( 2 ) i s t e r m e d s u p e r a d d i t i v i t y o r s y n e r g y . We h a v e a b s t r a c t e d away f r o m a l l s t r a t e g i c p r o p e r t i e s d e v e l o p e d i n t h e p r e c e d i n g s e c t i o n . H o w e v e r , t h e i n t e n t i o n i s n o t t o make t h e game f o r m u l a t i o n i n t o an e l e g a n t , b u t u s e l e s s m a t h e m a t i c a l a b s t r a c t i o n ; r a t h e r , i t i s t o c o n -c e n t r a t e on t h e f u n c t i o n v ( c a l l e d t h e c h a r a c t e r i s t i c f u n c t i o n ) , w h i l e r e c o g n i z i n g t h a t t h e f u n c t i o n v m u s t have a r i s e n f r o m some game i n n o r m a l f o r m . I n d e e d , a l l n o r m a l f o r m games c a n be r e d u c e d t o t h e c h a r a c t e r i s t i c f u n c t i o n f o r m i f u t i l i t i e s a r e t r a n s f e r a b l e b e t w e e n t h e a g e n t s . T h a t i s , i f s i d e p a y m e n t s a r e a l l o w e d , t h e n f r o m a game i n n o r m a l f o r m ( G ; a-j ( . ) , . . . , ^ ( . ) j - , > ^ , . . . , > ) one c a n c o n s t r u c t ( s e e G r a n o t [ 1 9 7 4 ] , p . 12) t h e c h a r a c t e r i s t i c f u n c t i o n a s v ( J ) = Sup I n f I E i ( u i ( f . ( w ( . , a ( . ) ) ) ) ) a,(.) a( . ) i e J J G - J : T h i s i s t h e m a x i m i n " v a l u e " a c o a l i t i o n J c a n a t t a i n d e s p i t e a l l o p p o s i t i o n f r o m G - J . I n t e r e s t i n g l y , " t h e r e i s an i n v e r s e t h e o r e m w h i c h s t a t e s t h a t i f t h e r e i s a r e a l v a l u e d f u n c t i o n , d e f i n e d o v e r a l l s u b s e t s o f N [ o u r G ] , w h i c h s a t i s f i e s p r o p e r t i e s ( 1 ) a n d ( 2 ) , t h e n t h e r e e x i s t s an n - p e r s o n game r w i t h t h e same c h a r a c t e r i s t i c f u n c t i o n . " ( G r a n o t [ 1 9 7 4 ] , p . 1 2 ) . - 61 -W i t h t h i s f o r m u l a t i o n , , N-M b u i l d up a t h e o r y a n d a s o l u t i o n c o n -c e p t c a l l e d t h e N-M s o l u t i o n c o n c e p t ( s e e A p p e n d i x 1 ) . T h i s , a n d t h e " c o r e " c o n c e p t r e l y o n t h e c o n c e p t o f a n i m p u t a t i o n . D e f i n i t i o n 2 . 3 . 3 . 3 : L e t ( G ; v ( . ) ) be a game i n c h a r a c t e r i s t i c f u n c t i o n f o r m . Then an i m p u t a t i o n x e RN i s a n y s h a r i n g o f v ( G ) s u c h t h a t : ( 1 ) x . ^ v ( { i } ) f o r a l l i E G ( i n d i v i d u a l r a t i o n a l i t y ) . ( 2 ) I x . = v ( G ) ( c o m p l e t e s h a r i n g ) , i e G A game i s c a l l e d e s s e n t i a l i f i t h a s m o r e t t h a n one i m p u t a t i o n ; o t h e r w i s e i t i s c a l l e d i n e s s e n t i a l ( G r a n o t [ 1 9 7 4 ] , p . 1 4 ) . An i m p u t a t i o n i s e s s e n t i a l l y a s h a r i n g o f t h e t o t a l u t i l i t y p a y o f f . H e n c e , a n o t h e r name f o r t h e game ( G ; v ( . ) ) i s a game w i t h s i d e p a y m e n t s b e c a u s e u t i l i t i e s c a n be f r e e l y t r a n s f e r r e d f r o m o n e a g e n t t o a n o t h e r . The s e a r c h i s f o r an i m p u t a t i o n w h i c h no c o a l i t i o n o p p o s e s ; t h a t i s , a " c o r e " i m p u t a t i o n . D e f i n i t i o n 2 . 3 . 3 . 4 : The c o r e C o f a game ( G ; v ( . ) ) w i t h s i d e p a y m e n t s i s t h e s e t o f a l l i m p u t a t i o n s w h i c h a r e n o t o p p o s e d by a n y c o a l i t i o n . Then f o r e a c h x e C t h e r e d o e s n o t e x i s t an Xj s u c h t h a t l e J a n d x i 0 > x . O r , e q u i v a l e n t l y a s u t i l i t i e s a r e t r a n s f e r a b l e , v ( J ) > I x , i e J - 62 -The N-M c o r e n o t i o n s u f f e r s f r o m a number o f d r a w b a c k s , n o t l e a s t o f w h i c h i s t h e f a c t t h a t t h e c o r e d o e s n o t e x i s t i n a number o f c a s e s ( s e e , e . g . , Owen [ 1 9 6 8 ] , C h a p t e r V I I I ) . M o r e o v e r , t h e r e i s no g e n e r a l e x i s t e n c e r e s u l t f o r t h e c o r e . B u t by f a r t h e m o s t s e v e r e c r i t i c i s m l e v e l l e d by e c o n o m i s t s i s a t 14 t h e n o t i o n o f t r a n s f e r a b l e u t i l i t i e s . Due t o A r r o w s P o s s i b i l i t y T h e o r e m w e l f a r e e c o n o m i s t s w e r e n o t e n t h u s i a s t i c a b o u t t h e N-M t h e o r y . The w h o l e o f modern e c o n o m i c t h e o r y i s b u i l t a r o u n d t h e c o n c e p t o f i n c o m m e n s u r a b l e u t i l i t i e s , a n d t h e N-M t h e o r y d o e s j u s t t h e o p p o s i t e . U n t i l 1 9 6 0 , t h e N-M t h e o r y p l a y e d a m i n o r r o l e i n m a i n s t r e a m e c o -n o m i c s . Then Aumann a n d P e l e g [ 1 9 6 0 ] ( A - P ) p u t game t h e o r y b a c k i n t o t h e m a i n s t r e a m o f e c o n o m i c s by p r o p o s i n g t h a t t h e c h a r a c t e r i s t i c f u n c t i o n v ( . ) be a c o r r e s p o n d e n c e ( s e e , e . g . , H i l d e n b r a n d [ 1 9 7 4 ] ) ; t h a t i s , i n s t e a d o f v ( J ) b e i n g a number i n R, l e t i t be a s e t i n R^. T h i s s o l v e d t h e p r o b l e m o f t r a n s f e r a b l e u t i l i t i e s . T h u s , now we h a v e a game ( G ; v ( . ) ) w h e r e v ( . ) i s some a r b i t r a r y s e t - p r o d u c i n g f u n c t i o n d e f i n e d on t h e s u b s e t s o f G. A game s u c h a s t h i s i s c a l l e d , . . a g e n e r a l g a m e , o r a game w i t h o u t  s i d e p a y m e n t s . A g a i n , t h i s c o u l d be d e f i n e d f r o m a game i n n o r m a l f o r m a s f o l l o w s : (1) F ( J ) = f X j e R | J | ( 2 ) V ( J ) = { y 0 £ R s u c h t h a t t h e r e e x i s t s a s t r a t e g y « , ( . ) " by w h i c h J c a n a c h i e v e Xj d e s p i t e a l l o p p o s i t i o n f r o m G - J t h e r e e x i s t s an x ] i n F ( J ) s u c h t h a t x i J * y i J P a r e n t h e t i c a l l y , i t s h o u l d be n o t e d t h a t ( G ; v ( . ) ) i s a l s o c a l l e d a ( g e n e r a l ) game i n c h a r a c t e r i s t i c f u n c t i o n f o r m . H e r e we w r i t e ( G , V ( J ) , N F ( J ) ) , w h e r e V ( J ) a r e s u c h t h a t t h e y a r e s u b s e t s o f R , a n d t h e i r r 63 -p r o j e c t i o n s on R'l I r e s u l t i n V ( J ) . T h i s n o t a t i o n r e m i n d s us 22 t h a t F ( J ) i s t h e d e f i n i n g s e t i n t h e b a c k g r o u n d n o r m a l - f o r m game. The e c o n o m i s t s ' e n t h u s i a s m f o r t h e A - P c o n c e p t stemmed f r o m t h e f a c t t h a t i n p u r e e x c h a n g e e c o n o m i e s , t h e " g e n e r a l i s e d " c o r e c o i n c i d e d w i t h t h e c o n t r a c t c o r e , o f E d g e w o r t h " ( F i g . 2 : 1 ) ' . , I n 1 9 6 3 , D e b r e u a n d S c a r f [ 1 9 6 3 ] a c h i e v e d a t o u r de f o r c e , as K o o p m a n ' s [ 1 9 7 4 ] : c a l l s i t . . T h e y p r o v e d t h a t t h e s h r i n k i n g o f t h e g a m e - t h e o r e t i c c o r e o f a n e x c h a n g e e c o -nomy ( i . e . , t h e E d g e w o r t h c o r e ) when t h e number o f a g e n t s i n t h e economy i n c r e a s e d t o i n f i n i t y c o i n c i d e d w i t h t h e W a l r a s e q u i l i b r i u m ( i . e . , t h e c o m -p e t i t i v e e q u i l i b r i u m i n an e x c h a n g e economy when t h e m a r k e t s c l e a r -H i l d e n b r a n d a n d K i r m a n [ 1 9 7 6 ] , p p . 9 7 - 9 8 ) . T h i s r e s u l t h a s a l s o b e e n e x t e n d e d t o e c o n o m i e s w i t h p r o d u c t i o n . ( C f . H i l d e n b r a n d [ 1 9 7 4 ] f o r a c o m p r e h e n s i v e t r e a t m e n t . ) T h i s s h o w e d t h a t t h e c o r e c o n c e p t was an i m p o r t a n t c o n c e p t i n a n a l y s i n g t r a d i t i o n a l e c o n o m i c p a r a d i g m s , a n d i n m a k i n g p r e c i s e s u c h c o n c e p t s a s t h e " p r i c e - t a k i n g b e h a v i o u r " o f a g e n t s 8 ( t h a t i s , a g e n t s i n " a t o m l e s s " e c o n o m i e s ) . S t i l l , t h e q u e s t i o n r e m a i n e d w h e t h e r i n o t h e r e n v i r o n m e n t s f o r m u l t i p e r s o n c h o i c e , t h e g e n e r a l game c o n c e p t o f t h e c o r e was l o g i c a l l y c o n s i s t e n t ; t h a t i s d i d t h e c o r e e x i s t ? The a n s w e r t o t h i s was p r o v i d e d by S c a r f [ 1 9 6 7 ] i n a f u n d a m e n t a l p a p e r , w h i c h f o r m s t h e c o r n e r - s t o n e o f t h e t h e o r y o f c o o p e r a t i v e games w i t h o u t s i d e p a y m e n t s . S c a r f [ 1 9 6 7 ] , b u i l d i n g on t h e n o t i o n s o f " b a l a n c e d games" o f B o n d a r e v a [ 1 9 6 2 ] , p r o v e d t h a t t h e weak c o r e o f a n y b a l a n c e d game i s n o n -e m p t y . The m a i n i d e a s b e h i n d t h e S c a r f b a l a n c e d game r e s u l t a r e p r e - ; s e n t e d n e x t . ( S e e a l s o § 3 . 2 . 5 . 1 . ) C o n s i d e r a g r o u p 6 = { 1 , . . . , N } . S u p p o s e we a s s o c i a t e w i t h e a c h J e ; G a s e t F ( J ) , w h i c h i s c l o s e d i n t h e | J | d i m e n s i o n a l - r e a l - s p a c e - 64 -p J 1 ^ , which we denote as the set of a t t a i n a b l e u t i l i t i e s . (The. se t F ( J ) may be the u t i l i t i e s a t t a i n a b l e by the c o a l i t i o n J i n a game i n normal form.) A l s o a s s o c i a t e d w i t h J i s a subset V(J) i n R^, w h i c h " i n -cludes" F ( J ) , and which i s c l o s e d and comprehensive; t h a t i s , i f x e V ( J ) , N and there i s a y e R such t h a t each y- i s l e s s than o r equal to x^, then y e V ( J ) . ( U s u a l l y V(J) i s d e r i v e d from V ( J ) . V(J) i s d e r i v e d from F(J) by a d j o i n i n g to the l a t t e r a l l vectors whose components are l e s s than or equal to v e c t o r s i n i t . ) The general game (G, V ( J ) , F ( J ) ) i s the o b j e c t o f i n v e s t i g a t i o n . The idea i s to determine a subset o f F(G) t h a t c o r -responds to the c o r e . C l e a r l y , t h i s i s C = {x e F(G)|x t V ( J ) , J c G, J f G, and x i s P a r e t o - o p t i m a l } Thus any x e C cannot be opposed by any c o a l i t i o n J because i t cannot be achieved by J on i t s own us ing V ( J ) . U n f o r t u n a t e l y , t h i s concept o f the core was found to be too s t r o n g f o r a general r e s u l t on l o g i c a l c o n s i s t e n c y . Instead of demanding t h a t the core c o n t a i n u t i l i t y v e c t o r s not opposed by a l l c o a l i t i o n s , i t i s r e -q u i r e d t h a t i t c o n t a i n a l l v e c t o r s not s t r o n g l y opposed by any c o a l i t i o n . This means t h a t a l 1 members i n a J should oppose some x e F(G) whenever J opposes x . Thus J must demonstrate some y e V(J) which s t r i c t l y dominates x ( i . e . , y.j > x.j f o r a l l i e J ) . I n t u i t i v e l y , s t r o n g o p p o s i t i o n makes more sense than o r d i n a r y oppo-s i t i o n because some members i n J may not be i n c l i n e d to oppose an x e F ( G ) , i f there i s no y e V(J) whose components corresponding to these members do not dominate t h e i r components i n x . In the m i l d e r k i n d of o p p o s i t i o n , a l l members o f J oppose an x so long as some members o f J gain by i t even i f the other members' p o s i t i o n s remain unchanged. I m p l i c i t i n t h i s i s a - 65 -c o n c e p t o f s o l i d a r i t y w h i c h i s i n c o n f l i c t w i t h s t r i c t s e l f - i n t e r e s t ( R a d n e r [ 1 9 7 2 ] , p . 1 8 2 ) . I n v i e w o f t h e s t r o n g f o r m o f o p p o s i t i o n , we h a v e a new f o r m o f c o r e , c a l l e d t h e ( w e a k ) c o r e , w h i c h i s d e f i n e d a s , C ( G ) = F ( G ) - u i n t V ( J ) J c G w h e r e i n t V ( J ) = i n t e r i o r ^ 3 o f V ( J ) i n R^. W i t h t h i s n o t i o n o f t h e c o r e , a g e n e r a l e x i s t e n c e r e s u l t c a n be p r o v e d u s i n g t h e c o n c e p t o f b a l a n c e d n e s s . U s i n g t h e c o n c e p t o f b a l a n c e d n e s s , S c a r f [ 1 9 6 7 ] r e p l a c e d t h e i n v e s -t i g a t i o n o f F ( G ) - u i n t V ( 0 ) by t h a t o f d e t e r m i n i n g w h e t h e r t h e r e J c G e x i s t s x e V ( G ) w h i c h c a n c o u n t e r a p r o p o s a l y by a b a l a n c e d f a m i l y o f c o a l i t i o n s . T h i s i s a d e c i s i v e r e s u l t w h i c h c o n s i d e r a b l y s i m p l i f i e s t h e s e a r c h f o r games w i t h n o n - e m p t y weak c o r e s . W h a t , t h e n , i s a b a l a n c e d f a m i l y o f c o a l i t i o n s ? A b a l a n c e d f a m i l y  o f c o a l i t i o n s 3 = { J - j , J } i n G i s s u c h t h a t t h e r e e x i s t a s e t o f n o n - n e g a t i v e w e i g h t s Y j > J £ 3 , s u c h t h a t , J e 3 ( i ) J w h e r e 3(i.)_ = ( J e 3 | i e J ) f o r e a c h i e G. H i l d e n b r a n d a n d K i r m a n ( [ 1 9 7 6 ] , p . 70) s t a t e t h a t " t h e r e i s no r e a d y i n t u i t i v e means o f r e c o g n i z i n g a b a l a n c e d f a m i l y o f s e t s . " Two e x a m p l e s o f b a l a n c e d f a m i l i e s a r e : ( i ) 3 = { { 1 } , {N}} w i t h w e i g h t s { Y J > = 0 . 1 } . ( G = D , N } ) ; a n d ( i i ) 3 = { { 1 , 2 } , { 2 , 3 } , { 1 , 3 } } w i t h w e i g h t s { Y j } = { 1 / 2 , 1 / 2 , 1 / 2 } (G = { 1 , 2 , 3 } ) An e x a m p l e o f an i m b a l a n c e d f a m i l y i s 3 = { { 1 } , { 1 , 2 } , { 1 , 3 } } (G = { 1 , 2 , 3 } ) . - 66 A game ( G , V ( J ) , F ( J ) ) i s c a l l e d a b a l a n c e d game i f , f o r a n y b a l a n c e d f a m i l y 3, t h e f o l l o w i n g r e l a t i o n s h i p h o l d s : n V ( J ) c V ( G ) S c a r f ' s [ 1 9 6 7 ] f u n d a m e n t a l c o n t r i b u t i o n was t h a t a l l b a l a n c e d games h a v e  n o n - e m p t y weak c o r e s ( s e e n e x t s e c t i o n ) . I t i s r e a d i l y p r o v e d t h a t p u r e e x c h a n g e games a r e b a l a n c e d ( s e e , e . g . , H i l d e n b r a n d a n d K i r m a n [ 1 9 6 7 ] , p p . 8 6 - 9 2 ; , E k e l a n d [ 1 9 7 4 ] , p p . 7 9 - 8 0 ) . By t h e v e r y g e n e r a l i t y o f ( G , V ( J ) , F ( J ) ) , e v e n m a r k e t s w i t h i n d i v i s i b i -l i t i e s c a n be p r o v e d t o h a v e n o n - e m p t y weak c o r e s i n some c a s e s . ( S c a r f a n d S h a p l e y [ 1 9 7 4 ] ) . E c o n o m i e s w i t h p r o d u c t i o n c a n a l s o be b r o u g h t w i t h i n t h i s f r a m e w o r k ( c f . H i l d e n b r a n d [ 1 9 7 4 ] ) . S c a r f a n d H a n s e n [ 1 9 7 3 ] a n d Z a n g w i l l [ 1 9 7 7 ] h a v e shown how t o c o m p u t e n u m e r i c a l l y p o i n t s i n t h e weak c o r e . Our i n t e r e s t i n t h e g e n e r a l game f r a m e w o r k ( G , V ( J ) , F ( J ) ) l i e s i n  t h e f a c t t h a t t h e S c a r f r e s u l t i s n o t c o n c e r n e d w i t h how t h e V ( J ) a n d F ( J )  come a b o u t i n a n y m u l t i p e r s o n d e c i s i o n f r a m e w o r k . R a t h e r , i t i s t o d e t e r - m i n e w h e t h e r , upon a p p r o p r i a t e l y d e f i n i n g V ( J ) a n d F ( J ) , o n e c a n s t a t e  c a t e g o r i c a l l y w h e t h e r t h e u n r e s t r i c t e d b a r g a i n i n g o r n e g o t i a t i o n m e c h a n i s m  w h i c h p r o d u c e d t h e V ( J ) a n d , F ( J ) i s L o g i c a l l y ' c o n s i s t e n t ; . .tha.t i s . w h e t h e r  t h e weak c o r e i n t h e game d e f i n e d i s n o n - e m p t y . T h u s , i n s t e a d o f i n v e s -t i g a t i n g r e s o u r c e a l l o c a t i o n u n d e r u n c e r t a i n t y , w i t h a n d w i t h o u t i n f o r m a -t i o n u s i n g s y n d i c a t e o r a g e n c y t h e o r y ( w h i c h i n t h e i r p r e s e n t f o r m u l a t i o n may e n t a i l h o r r e n d o u s a n a l y t i c a l d i f f i c u l t i e s ) , we i n v e s t i g a t e t h e s e i n t h e f r a m e w o r k o f g e n e r a l games w i t h o u t t r a n s f e r a b l e u t i l i t i e s . I t i s shown i n § 3 . 2 . 3 , t h a t t h e s y n d i c a t e and a g e n c y m e c h a n i s m s c a n be c o n s i d e r e d a s s p e c i a l c a s e s o f t h e g e n e r a l game m e c h a n i s m . - 67 -I n A p p e n d i x 1 , we d e f i n e s e v e r a l o t h e r s o l u t i o n c o n c e p t s w h i c h h a v e b e e n s u g g e s t e d by game t h e o r e t i c i a n s . I n t h i s r e s e a r c h , h o w e v e r , we  r e s t r i c t o u r a t t e n t i o n t o t h e weak c o r e , one o f t h e " t w o g a m e - t h e o r e t i c  c o n c e p t s o f g r e a t e s t a p p l i c a b i l i t y t o e c o n o m i c s " ( S c a r f [ 1 9 7 1 ] , p . 1 6 9 ) . The o t h e r c o n c e p t o f i m p o r t a n c e , e s p e c i a l l y i n t h e e n f o r c e a b i l i t y a s p e c t  o f t h e game ( s e e C h a p t e r 6 ) , i s t h a t o f t h e s t r o n g e q u i l i b r i u m ( s e e p . o 5 7 ) . 2 . 3 . 3 . 4 The E x i s t e n c e o f S o l u t i o n s L o g i c a l c o n s i s t e n c y i s an i m p o r t a n t a s p e c t o f a n y t h e o r y . F o r  e x a m p l e , a s o l u t i o n c o n c e p t d e f i n e d i s v a c u o u s u n l e s s i t c a n be shown  t h a t t h e r e a r e s i t u a t i o n s w h e r e t h e s o l u t i o n e x i s t s . The more g e n e r a l  t h e e x i s t e n c e r e s u l t , t h e more p o w e r f u l t h e t h e o r y . A c a s e i n p o i n t i s t h e g e n e r a l e x i s t e n c e r e s u l t f o r m a r k e t e q u i l i b r i u m i n e c o n o m i c s . I n games w i t h o u t s i d e p a y m e n t s , t h e e x i s t e n c e r e s u l t s d i v i d e i n t o two p a r t s - t h o s e p e r t a i n i n g t o n o n - c o o p e r a t i v e games a n d t h o s e t o o c o o p e r a t i v e g a m e s . N o n - c o o p e r a t i v e games a r e c o n c e r n e d w i t h d e v i a t i o n s ( s e e p . 5 6 ) b e c a u s e t h e r e i s no p r i o r n e g o t i a t i o n o r c o o p e r a t i o n t o a r r i v e a t some a c c e p t a b l e u n o p p o s e d s o l u t i o n . C o o p e r a t i v e games a r e m a i n l y c o n -c e r n e d w i t h t h e d e t e r m i n a t i o n o f s o l u t i o n s w h i c h w i l l n o t be o p p o s e d , u n d e r t h e a s s u m p t i o n t h a t a g e n t s w i l l n o t d e v i a t e f r o m t h a t w h i c h t h e y h a v e n o t o p e n l y b l o c k e d . B o t h t h e s e t h e o r i e s a r e r e a l l y two s i d e s o f t h e same c o i n , a n d , i n p r a c t i c e , we m u s t be c o n c e r n e d w i t h b o t h t h e p r i o r e f f i c i e n c y ( s e e p . 58) o f c o o p e r a t i v e s o l u t i o n s , a n d p o s t e r i o r e f f i c i e n c y ( p . 59) o f n o n - c o o p e r a t i v e s o l u t i o n s b e c a u s e t h e l a t t e r p r o v i d e t h e n e e d e d e n f o r c e -a b i l i t y . (One c a n c o n s i d e r n o n - c o o p e r a t i v e games a s t h e g e n e r a l c a s e a n d c o o p e r a t i v e games a s a s p e c i a l c a s e - Y a n o v s k a y a [ 1 9 7 2 ] , p . 2 0 9 . ) - 68 -The e x i s t e n c e r e s u l t s r e p o r t e d h e r e a r e t h e N a s h - G l i c k s b e r g r e s u l t , t h e Aumann r e s u l t on s t r o n g e q u i l i b r i u m p o i n t s a n d s u p e r g a m e s , a n d t h e S c a r f r e s u l t . T h e o r e m ( N a s h [ 1 9 5 0 ] , G l i c k s b e r g [ 1 9 5 2 ] ) : L e t ( G ; P..(.), i e G;> . ; i e G) be a m i x e d e x t e n s i o n game i n n o r m a l f o r m ( o r a game (G; cu(.); . ; i e G) i n p u r e s t r a t e g y f o r m ) . I f t h e s e t o f a d m i s s i b l e m e a s u r e s P . ( . ) ( o r s t r a -t e g i e s a. ( . ) ) f o r m a c o m p a c t c o n v e x s u b s e t o f a H a u s d o r f f l i n e a r t o p o l o g i c a l 24 s p a c e , t h e n t h e r e e x i s t s a Nash e q u i l i b r i u m s t r a t e g y P ( . ) = P - | ( . ) x . . . x P N ( . ) ( o r o ( . ) = ( a ^ . ) , a N ( . ) ) . P r o o f : Nash [ 1 9 5 0 ] f o r t h e e l e m e n t a r y c a s e , a n d G l i c k s b e r g [ 1 9 5 2 ] f o r t h e g e n e r a l c a s e . T h e s e c o n d r e s u l t p e r t a i n s t o s t r o n g e q u i l i b r i a . I t i s w e l l known ( Y a n o v s k a y a [ 1 9 7 2 ] , p . 2 0 9 ) t h a t s t r o n g e q u i l i b r i a o b t a i n o n l y i n s p e c i a l c a s e s . B u t i n t h e e v e n t t h e y d o , Aumann [ 1 9 5 9 ] h a s p r o v e d t h a t t h e s e t o f s t r o n g e q u i l i b r i a o f a s u p e r game ( s e e b e l o w ) c o i n c i d e w i t h t h e n o t i o n o f t h e a - c o r e o f t h e b a s e game. I n o r d e r t o a p p r e c i a t e t h i s , we m u s t d i s -t i n g u i s h b e t w e e n t h e a- a n d t h e 3 - c o r e s , a n d t h i s i n t u r n d e p e n d on t h e n o t i o n s o f a - e f f e c t i v e n e s s a n d 3 - e f f e c t i v e n e s s . (One i m p o r t a n t p o i n t m u s t be b o r n e i n m i n d : t h e ( s t r a t e g i c ) c o r e i s t h e s e t o f s t r a t e g i e s i n t h e c o r e . T h e u t i l i t y c o r e i s t h e s e t o f e x p e c t e d u t i l i t y v e c t o r s c o r r e s p o n d i n g t o t h e s e t o f s t r a t e g i e s i n t h e c o r e . ) T h e a - c o r e o f a g e n e r a l game i s s i m p l y t h e c o r e o f a game as we h a v e d e f i n e d i t a b o v e . Aumann [ 1 9 6 1 ] ( p . 120) g i v e s t h e f o l l o w i n g d e f i n i t i o n s o f a - e f f e c t i v e n e s s a n d 3 - e f f e c t i v e n e s s : D e f i n i t i o n 2 . 3 . 3 . 4 1 : A c o a l i t i o n J c G i s a - e f f e c t i v e f o r a v e c t o r x e V ( G ) , i f t h e r e i s a s t r a t e g y by J w h i c h r e s u l t s i n some y e F ( J ) s u c h t h a t y. > x- f o r a l l i £ J . - 69 -D e f i n i t i o n 2 . 3 . 3 . 4 2 : A c o a l i t i o n J . c G i s 3 - e f f e c t i v e f o r a v e c t o r x e V ( G ) , i f f o r e a c h s t r a t e g y p r o p o s e d by G - J , t h e r e i s a c o u n t e r s t r a -t e g y p r o p o s e d by J , s u c h t h a t t h e u t i l i t y p a y o f f y r e s u l t i n g f r o m t h i s c o m b i n a t i o n o f s t r a t e g i e s i s s u c h t h a t y . . > x^ f o r e a c h i e J . d - e f f e c t i v e n e s s makes t h e o p p o s i t i o n o f J t o an x v e r y s t r o n g . 3 - e f f e c t i v e n e s s , on t h e o t h e r h a n d , s a y s t h a t i f x i s p r o p o s e d by G, t h e n J c a n a l w a y s a c h i e v e a u t i l i t y p a y o f f h i g h e r t h a n t h a t f r o m x by u s i n g a c o u n t e r s t r a t e g y t o a s t r a t e g y u s e d by G - J . O b v i o u s l y , t h e p o s s i b i l i t i e s o f b l o c k i n g ( o r o p p o s i t i o n ) i n t h e 3 - e f f e c t i v e n e s s c a s e a r e g r e a t e r t h a n i n t h e a - e f f e c t i v e n e s s c a s e . H e n c e ; t h e a - c o r e i s l a r g e r (more i n d e t e r -m i n a t e ) t h a n t h e 3 - c o r e ( t h a t i s , t h e s e t o f u t i l i t y v e c t o r s a g a i n s t w h i c h no c o a l i t i o n i s 3 - e f f e c t i v e ) . H o w e v e r , no s i g n i f i c a n t e x i s t e n c e r e s u l t s a r e a v a i l a b l e f o r t h e 3 - c o r e . S c a r f ( [ 1 9 7 1 ] p . 1 8 0 ) g i v e s a v i v i d c o u n t e r e x a m p l e i n w h i c h t h e a - c o r e i s n o n - e m p t y , b u t t h e 3 - c o r e i s . N e v e r t h e l e s s , t h e s i g n i f i c a n c e o f t h e a - c o r e l i e s i n a s u r p r i s i n g r e s u l t , f i r s t shown by Aumann [ 1 9 5 9 ] . Aumann shows t h a t f o r t h e s u p e r game ( n a m e l y t h e i n f i n i t e r e p e t i t i o n s o f t h e game w i t h s t r a t e g i e s d e f i n e d f o r t h e s e i n f i n i t e r e p e t i t i o n s ) o f a game  o f a p a r t i c u l a r t y p e , t h e s e t o f s t r o n g e q u i l i b r i u m p o i n t s c o i n c i d e s w i t h t h e 3 B c o r e i n t h e game. A g a i n , due t o t h e s p a r s i t y o f r e s u l t s i n t h e 3 - e f f e c t i v e n e s s a r e a , we w i l l n o t u s e t h i s c o n c e p t i n t h i s r e s e a r c h . T h e o r e m (Aumann [ 1 9 5 9 ] ) : The 3 - u t i l i t y c o r e o f a f i n i t e game ( o n e w i t h a f i n i t e number o f s t r a t e g i e s ) w i t h o u t s i d e p a y m e n t s c o i n c i d e s w i t h t h e e x -p e c t e d u t i l i t y v e c t o r s r e s u l t i n g f r o m t h e s t r o n g e q u i l i b r i u m p o i n t s i n t h e s u p e r game. - 70 -I n t u i t i v e l y , t h e a b o v e s a y s t h a t i f a f i n i t e game w e r e t o be p l a y e d r e p e a t e d l y f o r an i n f i n i t e n u m b e r , , 6 f , t i m e s , b e c a u s e o f a g e n t s r e m e m b e r i n g p a s t d e v i a t i o n s o f o t h e r a g e n t s , t h e u t i l i t i e s e x p e c t e d f r o m t h e s t r o n g e q u i l i b r i u m p o i n t s o f t h e s u p e r game a r e t h e same a s t h a t f r o m t h e u t i l i t y 3 - c o r e o f t h e f i n i t e . b a s e game. T h e f i n a l r e s u l t p e r t a i n s t o t h e weak c o r e . T h e o r e m ( S c a r f [ 1 9 6 7 ] ) : T h e weak u t i l i t y c o r e o f a game i n c h a r a c t e r i s t i c f u n c t i o n f o r m ( G , V ( J ) , F ( J ) ) i s n o n - e m p t y i f t h e game i s b a l a n c e d , F ( J ) i s c l o s e d , a n d V ( J ) i s n o n - e m p t y , c o m p r e h e n s i v e , a n d c l o s e d . „ . . , S c a r f h a s p r o v e d t h a t a number o f e c o n o m i c games a r e b a l a n c e d ( s e e S c a r f a n d H a n s e n [ 1 9 7 3 ] ) . The c e n t r a l t e c h n i q u e i s t o c o n v e r t a n y m u l t i -p e r s o n d e c i s i o n s i t u a t i o n i n t o a game s u c h a s ( G , V ( J ) , F ( J ) ) , a s s o c i a t e F ( J ) w i t h t h e s t r a t e g i e s o f t h e g r o u p , a n d p r o v e t h e n o n - e m p t i n e s s o f t h e 25 weak c o r e . ( S e e a l s o H i l d e n b r a n d a n d K i r m a n [ 1 9 7 6 ] ; ) I n t h i s r e s e a r c h we u s e t h i s t e c h n i q u e t o e x t e n d t h e s c o p e o f t h e m u l t i p e r s o n game s i t u a t i o n s w h i c h c a n be p r o v e d t o h a v e a n o n - e m p t y weak co r e . . . 2 . 3 . 3 . 5 The M a i n R e s u l t s o f T h i s R e s e a r c h The m a i n r e s u l t s o f t h i s r e s e a r c h c a n be s u m m a r i z e d a s f o l l o w s : ( 1 ) A v e r y g e n e r a l game o f s t r a t e g y c h o i c e and s h a r i n g r u l e c h o i c e ( w h i c h i n c l u d e s r i s k - s h a r i n g a s a s p e c i a l c a s e ) . w i t h a n d w i t h o u t p r i o r a n d p o s t e r i o r i n f o r m a t i o n h a s a n o n - e m p t y weak c o r e u n d e r a p p r o p r i a t e s y n e r g i s t i c a s s u m p t i o n s ( C h a p t e r s : 3 , 4 a n d 5 ) . ( 2 ) The weak c o r e c o n t a i n s P a r e t o - o p t i m a l s o l u t i o n s . Thus (1) a n d ( 2 ) t o g e t h e r p r o v e p r i o r e f f i c i e n c y . - 71 -( 3 ) U n d e r a p p r o p r i a t e p e n a l t y s c h e m e s , t h e c o r e s t r a -t e g i e s become s t r o n g e q u i l i b r i u m p o i n t s . H e n c e , t h e y a r e e n f o r c e a b l e ( C h a p t e r 6 ) . ( 4 ) A p p l i c a t i o n o f t h e a b o v e t o r i s k - s h a r i n g , s y n d i c a t e t h e o r y a n d a g e n c y t h e o r y . S i n c e t h e s e r e s u l t s a r e a p p l i c a b l e t o a w i d e v a r i e t y o f s i t u a t i o n s , i t f o l l o w s t h a t t h e r e s u l t s c o n t r i b u t e s i g n i f i c a n t l y t o t h e g r o w i n g l i t e r a -t u r e w h i c h f o r m u l a t e s g e n e r a l m u l t i p e r s o n d e c i s i o n s i t u a t i o n s a s g e n e r a l games a n d a p p l i e s S c a r f ' s r e s u l t . A d i r e c t i o n f o r f u t u r e r e s e a r c h i s t o c o n v e r t t h i s i n t o a m u l t i p e r i o d f r a m e w o r k s o t h a t t h e t h e o r y o f t e m p o r a r y g e n e r a l e q u i l i b r i u m ( s e e G r a n d m o n t [ 1 9 7 7 ] f o r a s u r v e y ) may be b r o u g h t u n d e r i t s a e g i s . W i t h l i m i t i n g c o r e r e s u l t s ( D e b r e u - S c a r f [ 1 9 6 3 ] , H i l d e n b r a n d [ 1 9 7 4 ] ) , t h e p o w e r o f t h i s f o r m u l a t i o n w i l l be u n s u r p a s s e d by a n y o t h e r m e c h a n i s m . 2 . 4 Summary a n d C o n c l u s i o n s I n t h i s c h a p t e r , we h a v e shown t h e n e c e s s i t y o f s y s t e m a t i c a l l y i n v e s t i g a t i n g r e s o u r c e a l l o c a t i o n m e c h a n i s m s i n t h e f r a m e w o r k o f m u l t i -p e r s o n d e c i s i o n t h e o r y f o r t h e d e r i v a t i o n o f m e a n i n g f u l o p e r a t i o n a l r e s u l t s a n d t e s t a b l e h y p o t h e s e s . S t a r t i n g f r o m t h e p u r e c o m p e t i t i o n m e c h a n i s m i n an e x c h a n g e s i t u a t i o n , we h a v e shown i t s d e f i c i e n c i e s i n r e s o u r c e a l l o c a t i o n when t h e e n v i r o n m e n t c o n t a i n s u n c e r t a i n t i e s , e x t e r -n a l i t i e s , s i g n i f i c a n t a g e n t s e t c . ( § 2 . 2 ) . We t h e n p r o c e e d e d t o d e v e l o p a s y s t e m a t i c s t u d y o f m e c h a n i s m s , f o l l o w i n g H u r w i c z ( [ 1 9 7 2 ] , [ 1 9 7 3 ] ) , t o show w h a t was a t s t a k e . The c e n t r a l i s s u e s o f i m p o r t a n c e w e r e P a r e t o - s a t i s f a c t o r i n e s s , i n f o r m a t i o n d e c e n t r a l i z a t i o n a n d i n c e n t i v e - c o m p a t i b i l i t y . I t was shown t h a t i t may 1 - 72 -be i m p o s s i b l e t o c o n s t r u c t m e c h a n i s m s p o s s e s s i n g a l l t h e s e q u a l i t i e s ( § 2 . 2 ) . 2 6 I n S e c t i o n 2 . 3 , we i n s t i t u t e d a s t u d y o f a n u m b e r o f m e c h a n i s m s t h a t h a v e b e e n p r o p o s e d i n t h e l i t e r a t u r e , a n d w h i c h a r e o f i n t e r e s t t o u s : r i s k s h a r i n g , s y n d i c a t e a n d a g e n c y t h e o r y . F i n a l l y , we d e v e l o p e d t h e h e u r i s t i c s p e r t a i n i n g t o t h e g e n e r a l game m e c h a n i s m , w h i c h we u s e i n t h i s r e s e a r c h , t o show t h e v i a b i l i t y o f t h e c o r e c o n c e p t a s a means o f i n v e s -t i g a t i n g m u l t i p e r s o n c h o i c e . T h i s m e c h a n i s m g e n e r a l i s e s t h e r i s k - s h a r i n g a n d s y n d i c a t e t h e o r i e s , a n d i s n e e d e d f o r t h e i r c o m p l e t i o n a s p o i n t e d o u t by W i l s o n [ 1 9 6 8 b ] . K o b a y a s h i ( [ 1 9 7 8 a ] , [ 1 9 7 8 b ] ) - a n . d Wi 1 s o n [ 1 9 7 8 ] h a v e r e c e n t l y a p p l i e d t h e S c a r f r e s u l t t o t h e i n v e s t i g a t i o n o f r i s k - s h a r i n g i n a m a r k e t s i t u a t i o n i n t h e p r e s e n c e o f d i f f e r e n t i a l i n f o r m a t i o n . Our r e s u l t s a r e a g e n e r a l i s a t i o n o f t h e K o b a y a s h i r e s u l t s i n t h e c o n t e x t o f r i s k - s h a r i n g i n a m a r k e t a n d n o n - m a r k e t c o n t e x t , w i t h " d i s -u t i l i t y " o f e f f o r t - . A l s o , we i n c l u d e a s y s t e m a t i c . i n v e s t i g a t i o n o f t h e i n f o r m a t i o n i s s u e s ( C h a p t e r 4) a n d c o n t r o l i n t h e p r e s e n c e o f m o n i t o r i n g i n f o r m a t i o n ( C h a p t e r 6 ) . I n c o n c l u s i o n , . i t c a n be a r g u e d t h a t t h e g e n e r a l game f o r m u l a t i o n u s i n g S c a r f ' s r e s u l t , a s shown by K o b a y a s h i [ 1 9 7 8 a ] a n d t h i s r e s e a r c h , i s a p o w e r f u l t o o l f o r d e v e l o p i n g a n d a n a l y s i n g m u l t i p e r s o n d e c i s i o n - t h e o r e t i c p a r a d i g m s . - 73 -F o o t n o t e s t o C h a p t e r 2 1 . M a r s c h a k d i s t i n g u i s h e s b e t w e e n s e v e r a l o r g a n i z a t i o n a l f o r m s s u c h a s " c o a l i t i o n s " , " f o u n d a t i o n " a n d " t e a m " ( s e e [ 1 2 7 ] , p . 2 9 ) . H i s " g r o u p " c o r r e s p o n d s t o o u r " o r g a n i z a t i o n . " N 2 . L e t X c R be a n y s u b s e t . The P a r e t o - o r d e r i n g o f v e c t o r s i n X i s a s f o l l o w s : (1) x i s P a r e t o - s u p e r i o r t o y i f > y-, a n d f o r a t l e a s t o n e i , x^ > y ^ , i = 1 , N . (y i s c a l l e d P a r e t o - i n f e r i o r t o x ) . ( 2 ) x i s c a l l e d P a r e t o - o p t i m a l i n X i f t h e r e i s no y e;X P a r e t o - s u p e r i o r t o x . ( 3 ) x i s c a l l e d P a r e t o - i n d i f f e r e n t t o y i f n e i t h e r i s P a r e t o - s u p e r i o r t o t h e o t h e r . 3 . See D e b r e u [ 1 9 5 9 ] f o r a p r e c i s e d e v e l o p m e n t o f p r o d u c t i o n p o s s i b i l i t y s e t s . E s s e n t i a l l y , a p r o d u c t i o n p o s s i b i l i t y s e t i s t h e s e t o f i n p u t -o u t p u t v e c t o r s c h e d u l e s o f c o m m o d i t i e s r e q u i r e d f o r p r o d u c t i o n , a n d c o m m o d i t i e s b e i n g p r o d u c e d . F o r e x a m p l e , i f i t t a k e s one p o u n d o f f l o u r t o p r o d u c e two l o a v e s o f b r e a d , t h e n ( - 1 , 2 ) i s a p r o d u c t i o n p o s s i b i l i t y v e c t o r . 4 . An e x t e r n a l i t y , o r an e x t e r n a l e f f e c t means t h a t o n e a g e n t ' s c o n s u m p -t i o n ( o r p r o d u c t i o n ) i n an economy d i r e c t l y ( n o t t h r o u g h t h e p r i c e s i n t h e m a r k e t ) " a f f e c t s a n o t h e r ' s c o n s u m p t i o n ( o r p r o d u c t i o n ) . ( f . M a l i n v a u d [ 1 9 7 2 ] , C h . 9 ) . 5 . S a t i a t i o n ( o r b l i s s p o i n t ) means t h a t a c o n s u m e r a c h i e v e s a maximum s a t i s f a c t i o n i n h i s c o n s u m p t i o n p o s s i b i l i t y s e t . I n m a r g i n a l i s t t e r m s , i t means t h a t 3 u / 3 x , f o r a l l c o m m o d i t i e s x , i s z e r o i n t h e i n t e r i o r . ( S e e , e . g . , Q u i r k a n d ' S a p o ' s n t k [ 1 9 6 8 ' ] , p p . 1 29-1 3 2 ) . 6 . P r i c e - t a k e r means t h a t t h e a g e n t a c c e p t s t h e p r i c e s p r e v a i l i n g i n t h e m a r k e t a s e x o g e n o u s t o h i s d o m a i n o f c o n t r o l . 7 . A c o m p e t i t i v e e q u i l i b r i u m ( s e e , e . g . , D e b r e u [ 1 9 5 9 ] , M a l i n v a u d [ 1 9 7 2 ] , -H i l d e n b r a n d a n d K i r m a n [ 1 9 7 6 ] ) o r a W a l r a s e q u i l i b r i u m means t h a t g i v e n t h e p r i c e s , t h e i r i n i t i a l e n d o w m e n t s , a n d t h e i r s o u r c e s o f i n c o m e , c o n s u m e r s m a x i m i s e t h e i r s a t i s f a c t i o n g i v e n t h e i r b u d g e t c o n s t r a i n t s , p r o d u c e r s , m a x i m i s e t h e i r p r o f i t s g i v e n t h e i r p r o d u c t i o n p o s s i b i l i t y s e t s , a n d m a r k e t s i n a l l c o m m o d i t i e s c l e a r ( i . e . , s u p p l y e q u a l s d e -m a n d ) . C a r e m u s t be t a k e n t o d i s t i n g u i s h b e t w e e n c o m p e t i t i v e e q u i 1 i b - r i urn a n d m a r k e t c l e a r i n g b e c a u s e t h i s c o u l d a l s o be a c h i e v e d by i m p e r f e c t c o m p e t i t i o n . ( D e b r e u [ 1 9 5 9 ] , p . 76 c a l l s m a r k e t c l e a r i n g " m a r k e t e q u i l i b r i u m " , w h e r e a s i n M a l i n v a u d [ 1 9 7 2 ] , p p . 7 8 - 7 9 , i t means " c o m p e t i t i v e e q u i l i b r i u m " a s we h a v e d e f i n e d i t . ) - 74 -8 . A t o m i c i t y h e r e means t h a t t h e a g e n t c a n i n f l u e n c e t h e b e h a v i o u r o f t h e p r i c e s - he i s n o t a p r i c e t a k e r . The w o r d s " a t o m ! e s s e c o n o m i e s " ( H i l d e n b r a n d [ 1 9 7 4 ] ) m e a n , i n m o d e r n e c o n o m i c s , t h a t t h e r e a r e no " a t o m s " i n t h e e c o n o m y ; t h a t i s , t h e r e a r e no s i g n i f i c a n t , p r i c e i n f l u e n c i n g a g e n t s . Thus an a t o m o r an a t o m i c a g e n t i s one who c a n n o t be a member o f a p r i c e - t a k i n g g r o u p o f members i n an e c o n o m y . I n c l a s s i c a l t e r m i n o l o g y , t h e r e v e r s e m e a n i n g a p p l i e d . 9 . S e e D e b r e u ( [ 1 9 5 9 ] , p . 4 0 ) . E s s e n t i a l l y , t h i s means t h a t w i t h an i n c r e a s e i n i n p u t s , t h e r e i s more t h a n a p r o p o r t i o n a t e i n c r e a s e i n o u t p u t . 1 0 . H e r e " s t a t e " i s u s e d by H u r w i c z i n a d i f f e r e n t s e n s e t o t h a t u s e d i n d e c i s i o n - m a k i n g u n d e r u n c e r t a i n t y . 1 1 . Wei f a r e h e r e means a g e n t s a t i s f a c t i o n . 1 2 . By i n f o r m a t i o n s t r u c t u r e he means t h e r i c h n e s s o f t h e l a n g u a g e a n d t h e a b i l i t y o f t h e p r o c e s s o r s t o p r o c e s s m e s s a g e s . 1 3 . I n [ 1 9 7 2 ] ( p p . 3 2 4 - 3 2 6 ) H u r w i c z g o e s t h r o u g h an e x a m p l e t o s h o w , u s i n g an E d g e w o r t h box d i a g r a m , t h a t t h e c o m p e t i t i v e m e c h a n i s m may be i n d i v i d u a l l y i n c e n t i v e - i n c o m p a t i b l e when a t o m i c (he u s e s " n o t - a t o m i s t i c , " w h i c h i s t h e c l a s s i c a l u s a g e f o r " a t o m i c " i n m o d e r n e c o n o m i c s ) p a r t i c i p a n t s a r e i n v o l v e d . On p p . 3 0 9 - 3 1 3 he g o e s t h r o u g h an e x t e r n a l i t i e s e x a m p l e t o show t h a t i n f o r m a t i o n d e c e n -t r a l i z a t i o n maybe i n c o m p a t i b l e w i t h P a r e t o - s a t i s f a c t o r i n e s s . 1 4 . The A r r o w , P o s s i b i l i t y , T h e o r e m ( A r r o w [ 1 9 5 1 ] ) : i t i s i m p o s s i b l e t o a g g r e g a t e i n d i v i d u a l p r e f e r e n c e o r d e r i n g s i n t o a g r o u p p r e f e r e n c e o r d e r i n g t h a t s a t i s f i e s f o u r i n n o c u o u s r e q u i r e m e n t s . 1 5 . A von N e u m a n n - M o r g e n s t e r n t y p e u t i l i t y f u n c t i o n i s a c a r d i n a l u t i l i t y f u n c t i o n e s s e n t i a l t o r a t i o n a l d e c i s i o n - m a k i n g u n d e r u n c e r t a i n t y . ( C f . D e G r o o t [ 1 9 7 0 ] ; F i s h b u r n [ 1 9 7 0 ] ; S a v a g e [ 1 9 5 4 ] ) 1 6 . Any s t a n d a r d t e x t b o o k i n f u n c t i o n a l a n a l y s i s ( e . g . , K e l l y a n d N a m i o k a [ 1 9 7 6 ] ) w i l l p r o v i d e t h e d e f i n i t i o n o f a l i n e a r ( a f f i n e ) f u n c t i o n . 1 7 . R i s k - a v e r s i o n i n t h e s e n s e o f A r r o w and P r a t t ( s e e , e . g . , A r r o w [ 1 9 6 5 ] , o r M a l i n v a u d [ 1 9 7 2 ] , p p . 2 9 0 - 2 9 2 , f o r a good g e n e r a l e x p o s i -t i o n ) i s d e f i n e d a s a p r o p e r t y o f t h e u t i l i t y f u n c t i o n . I n t u i t i v e l y , r i s k - a v e r s i o n m e a s u r e s an a g e n t s l o c a l d i s t a s t e f o r r i s k a s r e v e a l e d i n h i s u t i l i t y f u n c t i o n . 1 8 . The b ook by M c D o n a l d [ 1 9 7 7 ] , w i l l go a l o n g way t o w a r d s c o n v i n c i n g b o t h t h e a c a d e m i c a n d t h e b u s i n e s s w o r l d t h a t game t h e o r y i s a n a p p r o p r i a t e t h e o r y t o a n a l y z e t h e m u l t i f a r i o u s i n t e r a c t i o n s i n t h e r e a l w o r l d o f c o m m e r c e . N o t o n l y h a s he w o r k e d c l o s e l y w i t h s u c h l e a d i n g game t h e o r i s t s a s von N e u m a n n , M o r g e n s t e r n , S h u b i k , S h a p l e y , D r e s h e r , H a r s a n y i , a n d o t h e r s , b u t he h a s c o m b i n e d e x t e n s i v e r e a d i n g - 75 -i n t h e t h e o r e t i c a l a r e a w i t h s e v e r a l i n - d e p t h i l l u s t r a t i o n s d r a w n f r o m t h e c o r p o r a t e w o r l d . P e r h a p s O s k a r M o r g e n s t e r n s u m m a r i z e s t h e book b e s t when he s a y s : " T h e a u t h o r c o m b i n e s g r e a t i n s i g h t i n t o t h e t h e o r y o f games w i t h t h e g i f t o f i l l u m i n a t i n g i t s f i n d -i n g s w i t h e x c e l l e n t , h i g h l y i n s t r u c t i v e i l l u s t r a -t i o n s f r o m A m e r i c a n b u s i n e s s . " 1 9 . S e e S a v a g e [ 1 9 5 4 ] f o r an e x p l a n a t i o n o f how an a c t i o n i s a f u n c t i o n f r o m t h e s e t o f s t a t e s t o t h e s e t o f c o n s e q u e n c e s . 2 0 . S e e A p p e n d i x 2 f o r a r i g o r o u s d e v e l o p m e n t o f m e a s u r a b i 1 i t y c o n c e p t s , a n d C h a p t e r 4 f o r a p r e c i s e f o r m u l a t i o n o f a s t r a t e g y d e p e n d e n t on t h e i n f o r m a t i o n s t r u c t u r e . 2 1 . A t o p o l o g i c a l game t r e e i s s i m p l y t h e f a m i l i a r d e c i s i o n t r e e ( s e e R a i f f a [ 1 9 6 8 ] ) . 2 2 . An i n t u i t i v e a n d p i c t o r i a l d e v e l o p m e n t o f t h e s e c o n c e p t s i s g i v e n i n § 3 . 2 . 4 . 1 . 2 3 . A l l t o p o l o g i c a l n o t i o n s i n t h i s r e s e a r c h c a n be f o u n d i n a n y s t a n d a r d t e x t b o o k on t o p o l o g y ( s e e , e . g . , D u g u n d j i [ 1 9 6 6 ] ) . 2 4 . See K e l l e y - - a n d - , N ami o k a [1 9 7 7 ] f o r a l l c o n c e p t s a n d r e s u l t s f r o m , f u n c t i o n a l a n a l y s i s . 2 5 . S c a r f a n d H a n s e n [ 1 9 7 3 ] show how t h e u s u a l e c o n o m i c games c a n be m o d e l l e d a s b a l a n c e d g a m e s . E v e n A r r o w ' s P o s s i b i l i t y T h e o r e m t u r n s o u t t o be t h e r e s u l t o f an i m b a l a n c e d game ( p . 2 0 4 ) . 2 6 . I t s h o u l d be m e n t i o n e d t h a t G r o v e s a n d L e d y a r d [ 1 9 7 7 ] h a v e r e c e n t l y p r o p o s e d a m e c h a n i s m by w h i c h a p u b l i c g o o d i s a l l o c a t e d t o a g r o u p . T h e y c l a i m t h a t t h i s s o l v e s t h e " F r e e R i d e r P r o b l e m " i n t h e t h e o r y o f p u b l i c g o o d s . M o r e o v e r i t i s c l a i m e d t h a t t h e m e c h a n i s m i s : . n o n w a s t e f u l , u n b i a s e d a n d i n d i v i d u a l 1 y i n c e n t i v e - c o m p a t i b l e . How-e v e r , t h e m e c h a n i s m may be l o g i c a l l y i n c o n s i s t e n t i n t h e s e n s e t h a t t h e e q u i l i b r i u m may n o t e x i s t ( i b i d . , p . 8 0 4 ) . As t h e y s t a t e : " I t i s , h o w e v e r , n o t s o e a s y t o s p e c i f y p r i o r c o n d i t i o n s on an economy s u f f i c i e n t t o i n s u r e t h a t an e q u i l i b r i u m e x i s t s . " ( I b i d . , p . 8 0 5 . ) I n v i e w o f t h i s , a n d t h e d i f f i c u l t i e s t h e y e n c o u n t e r , H u r w i c z ! s i m p o s s i b i l i t y c o n j e c t u r e may s t i l l h o l d . M o u n t a n d R e i t e r [ 1 9 7 7 ] h a v e r e c e n t l y g i v e n n e c e s s a r y a n d s u f f i c i e n t c o n d i t i o n s on t h e e c o n o m i c e n v i r o n m e n t s w h i c h a d m i t P a r e t o - s a t i s f a c t o r y m e c h a n i s m s . - 76 -CHAPTER 3 THE EXISTENCE OF PARETO-OPTIMAL CORE CONTRACTS FOR GROUPS  WITH LIMITED INFORMATION - THE LOGICAL CONSISTENCY AND  PRIOR E F F I C I E N C Y OF THE NEGOTIATION MECHANISM 3 . 1 , I n t r o d u c t i o n T h i s c h a p t e r d e v e l o p s t h e c o m p l e t e model o f t h e n e g o t i a t i o n m e c h a n i s m b a s e d on t h e c o n c e p t s o f a g e n e r a l game w i t h o u t t r a n s f e r a b l e u t i l i t i e s . The m a j o r t h r u s t o f t h e a n a l y t i c a l r e s u l t s i s t o e s t a b l i s h t h e l o g i c a l c o n s i s t e n c y ( e x i s t e n c e o f c o r e c o n t r a c t s ) o f t h e n e g o t i a t i o n m e c h a n i s m a n d i t s p r i o r e f f i c i e n c y ( P a r e t o - o p t i m a l i t y o f c o r e c o n t r a c t s ) . I t i s a l s o shown t h a t t h e n e g o t i a t i o n m e c h a n i s m e s t a b l i s h e s t h e w e i g h t s a s s i g n e d t o e a c h a g e n t ' s u t i l i t i e s a n d h e n c e e s t a b l i s h e s t h e l o g i c a l c o n s i s t e n c y o f W i l s o n ' s [ 1 9 6 8 a ] s y n d i c a t e a n a l y s i s . The c e n t r a l e n t i t i e s o f t h e b a s i c model d e v e l o p e d h e r e a r e : t h e g r o u p G , t h e c o a l i t i o n s , t h e s e t o f u n c e r t a i n s t a t e s S , t h e p r o d u c t i o n f u n c t i o n w ( . ) , t h e a c t i o n s e t s D . , t h e s h a r i n g r u l e s , t h e c o n t r a c t c o r e a n d t h e u t i l i t y c o r e . T h e s e c o n c e p t s r e c u r c o n t i n u a l l y i n s u b s e q u e n t c h a p t e r s , h e n c e i t i s e s s e n t i a l t h a t an u n d e r s t a n d i n g o f t h e s e c o n c e p t s be a c q u i r e d a t an e a r l y s t a g e . D i a g r a m s a r e d r a w n w h e r e v e r a p p r o p r i a t e as a v i s u a l a i d t o c o m p r e h e n s i o n o f t h e t e c h n i c a l i n t r i c a c i e s . S e c t i o n 3 . 2 d e v e l o p s t h e model o f t h i s c h a p t e r . The b a s i c e n t i t i e s u s e d a r e d e f i n e d a n d e x p l a i n e d h e r e . R e l a t i o n s t o r i s k - s h a r i n g , a g e n c y t h e o r y , e t c . a r e a l s o i n d i c a t e d . I n ' ; § 3 . 3 , t h e m a i n - r e s u l t s a r e . d e v e l o p e d a l o n g w i t h t h e c r u c i a l a s s u m p t i o n s n e e d e d f o r t h e s e r e s u l t s . - 77 -I n t h i s s e c t i o n , t h e l o g i c a l c o n s i s t e n c y o f t h e g e n e r a l game m e c h a n i s m i s e s t a b l i s h e d . A l s o , t h e p r i o r e f f i c i e n c y o f t h e m e c h a n i s m i s e s t a b -l i s h e d by t h e d e m o n s t r a t i o n o f t h e e x i s t e n c e o f a P a r e t o - o p t i m a l c o r e c o n t r a c t . F i n a l l y , t h e l o g i c a l c o m p l e t i o n o f R a i f f a " s r i s k - s h a r i n g a n d W i l s o n ' s s y n d i c a t e t h e o r y i s e s t a b l i s h e d i n § 3 . 3 . 4 . S e c t i o n 3 . 4 i s d e v o t e d t o t h e a g e n c y p r o b l e m a s v i e w e d f r o m t h e g e n e r a l game m o d e l . D i f f e r e n c e s a n d s i m i l a r i t i e s w i t h p r e v i o u s w o r k a r e d i s c u s s e d h e r e . F i n a l l y , S e c t i o n 3 . 5 s u m m a r i z e s t h e r e s u l t s o f t h i s c h a p t e r . 3 . 2 M o d e l F o r m u l a t i o n The g e n e r a l model i s d e v e l o p e d i n t h i s s e c t i o n . 3 . 2 . 1 B a s i c E n t i t i e s 3 . 2 . 1 . 1 The S t a t e S p a c e The t o t a l i t y o f t h e u n c o n t r o l l a b l e e n v i r o n m e n t a b o u t w h i c h t h e g r o u p members a r e u n c e r t a i n i s c o l l e c t e d i n a w e l l - d e f i n e d n o n - e m p t y s e t S c a l l e d t h e " s t a t e s e t " o r t h e " s e t o f s t a t e s o f t h e w o r l d . " A g e n e r i c e l e m e n t i n S i s d e n o t e d , by s e S . A w e l l d e f i n e d a - a l g e b r a a ( S ) known t o a l l p a r t i e s c o n s t i t u t e s t h e s e t o f e v e n t s J 3 . 2 . 1 . 2 The G r o u p o f A g e n t s The g r o u p o f a g e n t s i s t h e f i n i t e s u b s e t G = { 1 , N} o f t h e s e t o f p o s i t i v e i n t e g e r s . Members o f G a r e t h e e c o n o m i c a g e n t s ( o r s i m p l y a g e n t s ) . The f o l l o w i n g o b j e c t s a r e a s s o c i a t e d w i t h e a c h i e G: 3 ( l ) A w e l l d e f i n e d s e t o f ( p u r e ) a c t i o n s , D . . E a c h D^  i s a 3 s u b s e t o f some w e l l d e f i n e d t o p o l o g i c a l l i n e a r s p a c e . ( C o n d i t i o n s w i l l be i m p o s e d on D- a s t h e n e e d a r i s e s . ) a ( D - ) d e n o t e s t h e a - a l g e b r a o f B o r e l s e t s ^ on w h i c h t h e - 78 -o a g e n t c a n d e f i n e h i s m i x e d o r ( r a n d o m ) s t r a t e g i e s i f t h e n e e d a r i s e s . A g e n e r i c e l e m e n t o f i s d e n o t e d by a^ e D. a n d i s c a l l e d a ( p u r e ) a c t i o n ( o r s i m p l y an a c t ) . We p r e s u m e t h a t e a c h s i n g l e t o n s u b s e t {a^} o f D. i s a member o f a(D n -)-( 2 ) A c a r d i n a l von N e u m a n n - M o r g e n s t e r n u t i l i t y m e a s u r e . u i : A x D i -»• R w h e r e A i s some l a r g e e n o u g h s u b s e t o f R , a n d k i s f i n i t e a n d a r b i t r a r y . The f u n c t i o n u . i s b o u n d e d a b o v e a n d i t i s n o n - d e c r e a s i n g w i t h r e s p e c t t o ( w . r . t . ) t h e p a r t i a l 4 o r d e r on A . T h a t i s , f o r a n y f i x e d a^ e D . , u - j U ^ ) i u ^ y . a ^ i f x > y F i n a l l y , u^ i s B o r e l m e a s u r a b l e w . r . t . t h e p r o d u c t a - f i e l d 1 o f B o r e l s e t s o n A x D. a n d t h e B o r e l s e t s 1 i n R. 3 . 2 . 1 . 3 C o a l i t i o n s a n d A s s o c i a t e d O b j e c t s A s s o c i a t e d w i t h c o a l i t i o n J c - G a r e t h e f o l l o w i n g o b j e c t s : ( 1 ) A s e t D , = D . , x D . „ x . . . x D . , w h e r e 0 = { j - , , j } . ( T h e s u b s c r i p t J w i l l be o m i t t e d f o r a l l o b j e c t s w h e n e v e r J = G, u n l e s s i t i s n e c e s s a r y f o r c l a r i t y . S i m i l a r l y , f o r s i n g l e t o n c o a l i t i o n s J = { i } , i e G , t h e s u b s c r i p t { i } w i l l be r e p l a c e d by i on a l l o b j e c t s . ) ( 2 ) A s e t D , o f j o i n t a c t i o n s w h i c h c a n o n l y be u n d e r t a k e n j j o i n t l y by t h e c o n s e n t o f a l l members o f J . The m e a n i n g o f D j i s t h a t i t d e f i n e s t h o s e a c t i o n s w h i c h c a n o n l y come i n t o e x i s t e n c e i f J f o r m s . T h u s J c a n u s e - 79 -t h e s e a c t i o n s f o r n e g o t i a t i o n s , b u t no i n d i v i d u a l o r s u b c o a l i t i o n c a n u s e t h e m . (3) A p a y o f f ( o r p r o d u c t i o n ) f u n c t i o n , Wj : S x D j x D j -> R k w h e r e R i s t h e c o m m o d i t y s p a c e . ( C f . D e b r e u [ 1 9 5 9 1 ) The p a y o f f W j ( s , a j , i j ) f o r a n y s e S , a j e D j , i j e D j , d e f i n e s t h e n e t p r o d u c t i o n o f " w e a l t h " i n t e r m s o f t h e c o m m o d i t i e s p r o d u c e d by an o r g a n i z a t i o n i n s t a t e s f o r j o i n t a c t i o n s a , and a . . Thus p o s i t i v e e l e m e n t s i n t h e v e c t o r w ( s , a , a ) d e n o t e t h e o u t p u t s a n d n e g a t i v e e l e m e n t s d e n o t e t h e i n p u t s . I f t h e p r o d u c t a n d f a c t o r m a r k e t s a r e p e r f e c t a n d c o m p l e t e i n e v e r y 5 s t a t e , t h e n t h e r e i s a p r i c e s c h e d u l e f o r c o n t i n g e n t c l a i m s w h i c h d e t e r m i n e s t h e v a l u e o f t h e g r o u p ' s p r o d u c t i n t e r m s o f some n u m e r a i r e c o m m o d i t y w h i c h we c a l l " c a s h . " S e v e r a l e x a m p l e s o f t h e v e r s a t i l e n a t u r e o f W j ( s , a j , a j ) w i l l c l a r i f y t h e r o l e o f t h e p a y o f f f u n c t i o n i n m o d e l l i n g v a r i o u s s i t u a t i o n s o f i n t e r e s t . C o n s i d e r N e c o n o m i c a g e n t s who j o i n t l y own a p r o d u c t i o n t e c h n o l o g y s p e c i f i e d by a f u n c t i o n f ( s , X p x^ ) , p r o d u c i n g a s i n g l e p r o d u c t f r o m N i n p u t s x - | , x ^ . S u p p o s e t h e p r o d u c t m a r k e t i s p e r f e c t i n e v e r y s t a t e s o t h a t t h e r e i s a p r i c e s c h e d u l e p ( s ) f o r t h e p r o d u c t . I f t h e s h a r e o f o w n e r s h i p o f t h e f i r m o f a g e n t i e G i s 6., t h e w o r s t " i n c o m e " d e r i v e d by J c G f r o m t h e f i r m i s , I n f f ( s , X J , X G _ J ) , x p ( s ) x ( I Q.) - 80 -f o r a n y f i x e d Xj = (XJ-J, x j q ) ) > a n d x g j i s t h e v e c t o r o f i n p u t s x i f Xj i s r e m o v e d f r o m x . C l e a r l y , t h e w e a l t h Wj ( s , a j ) p r o d u c e d by J c G i s t h e a b o v e i n f i m u m i n c o m e w h e r e a j = X j . C o n s i d e r a g a i n a g r o u p G a s a b o v e . S u p p o s e now e a c h J c G h a s a t i t s d i s p o s a l a p r o d u c t i o n t e c h n o l o g y s p e c i f i e d by t h e f u n c t i o n f j ( s , X j , X G J ^ X ; R ' w n e r e x j a r e t h e f a c t o r i n p u t s o f J , b u t x ^ _ j ( t h e f a c t o r i n -p u t s o f G - J i n t h e i r own t e c h n o l o g y ) a r e t h e e x t e r n a l i t i e s . T h e n , W J ( S , X J ) E i n f f j ( s , X j , x G _ j , ) . X G - J i s t h e p a y o f f f u n c t i o n f o r J c G w i t h a j i d e n t i f i e d a s Xj. ( S e e S c a r f a n d (Hansen [ 1 9 7 3 ] f o r a j u s t i f i c a t i o n o f t h i s c o n s e r v a t i v e a t t i t u d e . ) C o n s i d e r t h e c a s e o f a S t a c k l e b e r g a n a l y s i s o f d u o p o l y ( s e e , e . g . , I n t r i l l i g a t o r [ 1 9 7 1 ] ) u n d e r u n c e r t a i n t y . I n t h i s s i t u a t i o n , t h e r e a r e two c o m p e t i t o r s who p r o d u c e o u t p u t s o f a s i n g l e p r o d u c t u s i n g p r o d u c t i o n f u n c t i o n s : f - ^ s . a ^ f 2 ( s , a 2 ) w h e r e f n - ( . ) i s t h e o u t p u t o f a g e n t i , i = l , 2 , a - i s t h e f a c t o r i n p u t v e c t o r a n d f.. i s t h e o u t p u t f u n c t i o n . We p r e s u m e t h a t t h e f a c t o r m a r k e t s a r e p e r f e c t i n e v e r y s t a t e b u t t h e p r o d u c t m a r k e t i s n o t . H o w e v e r , e a c h i n d i v i d u a l f e e l s t h a t t h e p r i c e i n t h e p r o d u c t m a r k e t i n e a c h s t a t e d e -pends on t h e o u t p u t s i n e a c h s t a t e a n d i s g i v e n b y , p ( f ] ( s , a 1 ) , f 2 ( s , a 2 ) ) The S t a c k l e b e r g a s s u m p t i o n ( s e e , e . g . , I n t r i l l i g a t o r [ 1 9 7 1 ] , p . 2 0 9 ) i s t h a t e a c h o f t h e c o m p e t i t o r s b e l i e v e s t h a t he c a n p r e d i c t t h e r e a c t i o n - 81 -o f t h e o p p o s i t e p a r t y g i v e n h i s o u t p u t . Hence t h i s a s s u m p t i o n i s e m b o d i e d i n t h e c o n j e c t u r a l v a r i a t i o n s : q ^ ( s , a - | ) = h ( f - j (s , a - | ) ) , t h e v a r i a t i o n h e l d by 1 a b o u t 2 , q 2 ( s , a 2 ) = k ( f 2 ( s , a 2 ) ) , t h e v a r i a t i o n h e l d by 2 a b o u t 1 . T h u s a g e n t l ' s p a y o f f f u n c t i o n i s : w ^ s . a ^ = • p ( f 1 ( s , a | ) , q - ^ s ^ a - j ) ) • f ^ s . a - j ) - p ( s ) a ] w h e r e p ( s ) i s t h e p r i c e s c h e d u l e o f t h e f a c t o r i n p u t s i n s t a t e s . w 2 ( s , a 2 ) c a n be s i m i l a r l y d e f i n e d . F i n a l l y c o n s i d e r t h e p u r e r i s k - s h a r i n g s i t u a t i o n ( s e e , e . g . , R a i f f a [ 1 9 6 8 ] , o r § 2 . 3 . 1 ) w h e r e a s y n d i c a t e G f a c e s a number o f p r o s p e c t s D. Then w ( s , a ) i s a w e l l d e f i n e d p a y o f f . 3 . 2 . 1 . 3 P r i o r P r o b a b i l i t y M e a s u r e s E a c h a g e n t h a s a p r i o r p r o b a b i l i t y m e a s u r e o v e r t h e s e t o f e v e n t s : Pi : a ( S ) - [ 0 , 1 ] w h e r e [ 0 , 1 ] i s t h e u n i t i n t e r v a l i n R. 3 . 2 . 2 C o n t r a c t s A c o n t r a c t i s s i m p l y a n e g o t i a t e d a g r e e m e n t by t h e members o f a c o a l i t i o n J c G who u n d e r t a k e t o i m p l e m e n t j o i n t a c t i o n s a j e D j a n d and 5 j e D j , a n d a p r o c e d u r e f o r d i v i d i n g t h e p a y o f f W j ( s , a j , a j ) c a l l e d a s h a r i n g r u l e . Thus a c o n t r a c t i s a t r i p l e U j > a j » a j ) > w h e r e 1, : { S e t o f a l l o b s e r v a b l e p a r a m e t e r s T } •> R ^ ^ - 82 -w h e r e | J | d e n o t e s t h e number o f e l e m e n t s i n J and R ^ l k d e n o t e s t h e | J | x k d i m e n s i o n a l r e a l s p a c e d By d e f i n i t i o n I Z 1 j ( T ) = Wj ( s , a , a ) v s e S . i e J t h w h e r e Z . , ( T ) d e n o t e s t h e i m e m b e r ' s s h a r e o f t h e p a y o f f a s d e t e r m i n e d b y I d ' Z j g i v e n t h e o b s e r v a b l e p a r a m e t e r T . 3 . 2 . 2 . 1 The I s s u e o f E n f o r c e a b i l i t y o f C o n t r a c t s We m u s t c l e a r l y d i s t i n g u i s h b e t w e e n t h e t e r m " c o n t r a c t " as u s e d i n l e g a l t r a n s a c t i o n s a n d t h e w o r d " c o n t r a c t " as we h a v e u s e d i t i n § 3 . 2 . 2 . Smyth a n d S o b e r m a n [ 1 9 7 6 ] s t a t e ( p . 9 3 ) t h e l e g a l p o s i t i o n t h u s : A l l c o n t r a c t s b e g i n w i t h a p r o m i s e , b u t n o t a l l p r o m i s e s become c o n t r a c t s . A l t h o u g h t h e r e may be a m o r a l o b l i g a t i o n t o k e e p a l l p r o m i s e s s e r i o u s l y m a d e , i t d o e s n o t f o l l o w t h a t t h e r e w i l l be a n y l e g a l o b l i g a t i o n . C o n t r a c t l a w i s c o n c e r n e d w i t h l e g a l l y b i n d i n g p r o m i s e s . I n v i e w o f t h i s , t h e t e r m " c o n t r a c t " t h a t we s h a l l u s e i n t h i s r e s e a r c h w i l l mean an a g r e e m e n t by a l l p a r t i e s t o u n d e r t a k e a p a r t i c u l a r c o u r s e o f a c t i o n and t o s h a r e t h e p r o c e e d s t h e r e o f i n t h e i m a n n e r s t i p u l a t e d . C l e a r l y , t h e s h a r i n g r u l e u s u a l l y i s l e g a l l y e n f o r c e a b l e , b u t t h e a c t i o n s o f t h e p a r t i e s , d e p e n d i n g on t h e i n f o r m a t i o n a v a i l a b l e , may o r may n o t b e . The e n f o r c e a b i l i t y o f t h e c o n t r a c t d e p e n d s c r i t i c a l l y on t h e i n f o r -m a t i o n s t r u c t u r e a v a i l a b l e t o t h e g r o u p . T h i s i s i n i t s e l f a d i f f i c u l t p r o b l e m , a n d we s h a l l c o n s i d e r t h i s i s s u e i n d e t a i l i n C h a p t e r 6 when we d e a l w i t h t h e c o n c e p t o f p o s t e r i o r e f f i c i e n c y . S i n c e t h i s c h a p t e r i s m e r e l y c o n c e r n e d w i t h t h e l o g i c a l c o n s i s t e n c y o f t h e n e g o t i a t i o n m e c h -a n i s m and w i t h p r i o r e f f i c i e n c y , t h e i s s u e o f e n f o r c e a b i l i t y o f c o n t r a c t s w i l l n o t be r a i s e d a g a i n . - 8 3 -The i n f o r m a t i o n a l a s s u m p t i o n s o f t h e model i n t h e p r e s e n t c h a p t e r a r e o u t l i n e d n e x t s o t h a t l a t e r d i s c u s s i o n s on e n f o r c e a b i l i t y c a n p i n p o i n t t h o s e a s p e c t s o f t h e i n f o r m a t i o n s t r u c t u r e t h a t a r e - c o n d u c i v e t o e n f o r c e -a b i l i t y . 3 . 2 . 2 . 2 The I n f o r m a t i o n A s s u m p t i o n s The s h a r i n g r u l e Z j f o r a n y c o a l i t i o n J c G d e p e n d s c r i t i c a l l y on t h e e x p o s t o b s e r v a b i l i t y o f t h e p a r a m e t e r s . F o r t h e p r e s e n t c h a p t e r , t h e f o l l o w i n g s i t u a t i o n s a r e d i s t i n g u i s h e d u n d e r t h e c e n t r a l a s s u m p t i o n : C e n t r a l A s s u m p t i o n : F o r e a c h J c G , W j ( s , a j , 5 j ) i s c o s t l e s s l y o b s e r v a b l e ^ bx/i e a c h member i e J . C a s e ( i ) : O n l y Wj ( s , a j , a " j ) i s c o s t l e s s l y o b s e r v a b l e . C a s e ( i i ) : The s t a t e s i s a l s o c o s t l e s s l y o b s e r v a b l e . C a s e ( i i i ) : The a c t i o n a j i s a l s o c o s t l e s s l y o b s e r v a b l e . I n C a s e ( i ) , Z j d e p e n d s o n l y on Wj ( s , a j,eij); i n C a s e ( i i ) , Z j d e p e n d s on b o t h s a n d W j ( s , a j , a j ) ; a n d i n C a s e ( i i i ) , Z j d e p e n d s o n a j a n d W j ( s , a j , a " j ) . I t i s a l s o a s s u m e d i n t h i s c h a p t e r t h a t t h e g r o u p d o e s n o t e x p e n d a n y r e s o u r c e s i n a c q u i r i n g i n f o r m a t i o n , e i t h e r f o r s t r a t e g i c p u r p o s e s o r f o r c o n t r o l p u r p o s e s . T h i s a s s u m p t i o n i s r e l a x e d i n t h e s u b s e q u e n t c h a p t e r s . 3 . 2 . 2 . 3 T r a n s a c t i o n s C o s t s As A r r o w [ 1 9 7 1 ] m a i n t a i n s , t h e e x i s t e n c e o f t r a n s a c t i o n s c o s t s i s t h e c h i e f r e a s o n f o r t h e f a i l u r e o f m a r k e t s t o f o r m . H o w e v e r , p r i c e t h e o r y - t h a t i s , t h e t h e o r y o f g e n e r a l e q u i l i b r i u m b a s e d on p r i c e - t a k i n g b e h a v i o u r - p r e s u m e s t h a t t h e t r a n s a c t i o n s c o s t s o f p r i c e i n f o r m a t i o n - 84 -d i s s e m i n a t i o n a n d e n f o r c e m e n t o f c o n t r a c t s i s z e r o , o r n e g l i g i b l e c o m -p a r e d t o t h e t o t a l a c t i v i t y . I n t h i s r e s e a r c h we t a k e t h e o t h e r r o u t e and p r e s u m e t h a t t h e c o s t o f b a r g a i n i n g b e t w e e n t h e p a r t i e s i s z e r o o r n e g l i g i b l e i n r e l a t i o n t o t h e t o t a l a c t i v i t y . A r r o w ( [ 1 9 7 1 ] p . 9) c a l l s t h i s t h e game t h e o r y a p p r o a c h , a d e s c r i p t i o n a p p r o p r i a t e t o t h e p r e s e n t r e s e a r c h . 3 . 2 . 3 The Game M o d e l as a M e t a M o d e l The model d e s c r i b e d s o f a r , and t h e p r o b l e m o f c o n t r a c t s i t r e -s o l v e s , c a n be c o n s i d e r e d as a m e t a . model i n t h e s e n s e t h a t v a r i o u s o t h e r s i t u a t i o n s s u c h a s s y n d i c a t e r i s k - s h a r i n g ( § 2 . 3 . 1 ) , t h e t h e o r y o f a g e n c y ( § 2 . 3 . 2 ) , o r t h e c o n t r a c t u a l t h e o r y o f t h e f i r m ( J e n s e n a n d M e c k l i n g [ 1 9 7 6 ] ) c a n be c o n s i d e r e d a s s p e c i a l c a s e s o f t h e m e t a m o d e l . F u r t h e r -m o r e , t h e m a r k e t m e c h a n i s m i t s e l f i s a s p e c i a l c a s e o f t h e m e t a m o d e l . ( S e e , e . g . , H i l d e n b r a n d a n d K i r m a n [ 1 9 7 6 ] , o r S c a r f a n d H a n s e n [ 1 9 7 3 ] ) . I n t h i s s e c t i o n we v a l i d a t e t h e a b o v e c l a i m , a n d a l s o show t h a t t h e o t h e r m o d e l s l a c k l o g i c a l c o n s i s t e n c y o f t h e i r o w n , a n d m u s t a p p e a l t o t h e m e t a ' ; m o d e l t o p r o v i d e t h e l o g i c a l c o n s i s t e n c y . 3 . 2 . 3 . 1 S y n d i c a t e T h e o r y o f R i s k - S h a r i n g The r i s k - s h a r i n g m o d e l s a r e e a s i l y a c c o m m o d a t e d by o u r m e t a model by s u p p r e s s i n g t h e i n d i v i d u a l a c t i o n s p a c e s and e m p h a s i s i n g t h e j o i n t a c t i o n s p a c e s D j . I t s h o u l d be n o t e d t h a t b o t h R a i f f a [ 1 9 6 8 ] a n d W i l s o n [ 1 9 6 8 a ] a r e c o n c e r n e d o n l y w i t h D g , w h e r e a s o u r model i s c a p a b l e o f a l l o w i n g n o n - e m p t y D j a s w e l l . R a i f f a a n d W i l s o n p r e s u m e t h a t t h e w e i g h t i n g o f e a c h members u t i l -i t y f u n c t i o n i n r e l a t i o n t o t h e g r o u p i s an e x o g e n o u s p a r a m e t e r , a n d d e r i v e t h e ' n e c e s s a r y c o n d i t i o n s , u s i n g a m a r g i n a l i s t a p p r o a c h , f o r a - 85 -P a r e t o - o p t i m a l c o n t r a c t . We c o m p l e t e ( § 2 . 4 . 1 . 2 ) W i l s o n ' s model by p r o -v i n g p r e c i s e l y t h i s p o i n t : t h a t t h e game a p p r o a c h p r o v i d e s a b a r g a i n e d s o l u t i o n t o t h e w e i g h t i n g p r o b l e m . M o r e o v e r , we d e r i v e c o r e - P a r e t o - o p t i m a l c o n t r a c t s w h i c h a r e much more v i a b l e t h a n s i m p l e P a r e t o - o p t i m a l c o n t r a c t s s i n c e no c o a l i t i o n o p p o s e s t h e m . 3 . 2 . 3 . 2 A g e n c y T h e o r y The t h e o r y o f a g e n c y i s c o n c e r n e d w i t h t h e p o s s i b l e c o n t r a c t s w h i c h w i l l r e s u l t f r o m n e g o t i a t i o n s b e t w e e n a p r i n c i p a l a n d an a g e n t ( § 2 . 3 . 2 ) . D e f i n e t h e p r i n c i p a l ' s a c t i o n a s t h e amount o f c a p i t a l i n p u t , a n d t h e a g e n t ' s a c t i o n as t h e amount o f l a b o u r i n p u t . I t i s e v i d e n t t h a t o u r meta model c a n a c c o m m o d a t e t h i s t w o - p e r s o n game q u i t e e a s i l y . The s p e c i a l 2 - p e r s o n n a t u r e o f t h e a g e n c y p r o b l e m a d m i t s a much more d e t a i l e d a n a l y s i s w h i c h i s p r e s e n t e d i n § 3 . 4 . 2 . 3 . 2 . 3 . 3 A C o n t r a c t u a l . T h e o r y o f t h e F i r m I n t h e model o f t h e f i r m p r o p o s e d by J e n s e n a n d M e c k l i n g [ 1 9 7 6 ] , i t i s p r e s u m e d t h a t t h e f i r m c a n be d i v i d e d i n t o t h r e e m a j o r c l a s s e s ( w i t h p o s s i b l e s u b c l a s s e s ) o f e c o n o m i c a g e n t s : t h e o w n e r s o f t h e p r o d u c -t i o n t e c h n o l o g y a n d c a p i t a l r e s o u r c e s , t h e m a n a g e r s who own s k i l l e d l a b o u r , a n d t h e w o r k e r s . I t i s t o be d e t e r m i n e d u n d e r w h a t c o n d i t i o n s s u c h a g r o u p W i l l a c t c o h e s i v e l y a s a f i r m . I n t h e s i m p l e s t c a s e w i t h r e p r e s e n t a t i v e i n d i v i d u a l s f r o m e a c h c l a s s o f p a r t i c i p a n t s w i t h t h e i r c l a s s o f a g g r e g a t e r e s o u r c e s , t h e w h o l e model c a n be r e d u c e d t o a t h r e e - p e r s o n game. T h i s model o f t h e f i r m c a n t h u s be a c c o m m o d a t e d by o u r m e t a m o d e l , . a n d we c a n t e s t f o r i t s l o g i c a l c o n s i s -t e n c y a n d o t h e r p r o p e r t i e s . - 86 -3 . 2 . 4 D e v e l o p m e n t o f t h e G e n e r a l Game M o d e l T h i s s e c t i o n d e v e l o p s t h e g e n e r a l game model o f t h i s c h a p t e r . 3 . 2 . 4 . 1 C o a l i t i o n S e t s o f A t t a i n a b l e , I m p r o v a b l e a n d F e a s i b l e  U t i l i t i e s F o r a c o a l i t i o n J c G , l e t ( Z j , a j , I j ) be a n e g o t i a t e d c o n t r a c t . Then e a c h a g e n t i e J w i l l r e c e i v e a s h a r e o f t h e f i n a l p a y o f f i n e v e r y s t a t e s e S . H e n c e , we c a n a s s o c i a t e an e x p e c t e d u t i l i t y w i t h a g e n t i w i t h r e s p e c t t o t h i s c o n t r a c t . I f we c o n s i d e r a m a p p i n g f r o m t h e s e t o f c o n t r a c t s t o R ^ , t h e n t h e s e t o f f e a s i b l e e x p e c t e d u t i l i t i e s f o r m s t h e i m a g e s e t u n d e r t h i s m a p p i n g o f t h e s e t o f f e a s i b l e c o n t r a c t s . D e f i n i t i o n 3 . 2 . 4 . 1 1 : F o r a n y c o a l i t i o n , . J , t h e f e a s i b l e s e t o f e x p e c t e d  u t i l i t i e s F ( J ) i s t h a t s u b s e t o f R ^ w h i c h i s made up o f v e c t o r s o f e x -p e c t e d u t i l i t i e s o f t h e members o f J f r o m c o n t r a c t s ( Z , a j , i j ) . F o r a n y u e F ( J ) , t h e s e t ( w h i c h i s an i n f i n i t e c o n e f r o m u i n t o t h e n e g a t i v e q u a d r a n t ) o f a l l x e R ^ l s u c h t h a t e a c h c o m p o n e n t o f x i s n o t more t h a n t h e c o r r e s p o n d i n g c o m p o n e n t o f u i s c a l l e d an a t t a i n a b l e v e c t o r . D e f i n i t i o n 3 . 2 . 4 . 1 2 : The s e t , V ( J ) = {x e R ' J ' |3 ye F ( J ) s u c h t h a t x i < u ^ \/ i e J } i s c a l l e d t h e s e t o f a t t a i n a b l e v e c t o r s f o r c o a l i t i o n , J . C o n s i d e r a n y e l e m e n t i n t h e t o l o l o g i c a l i n t e r i o r o f V ( J ) , s a y x . I t f o l l o w s f r o m t h e p r o p e r t i e s o f o p e n s e t s t h a t t h e r e e x i s t s a n c > 0 a n d a y e R ^ s u c h t h a t y . - x^ = e f o r e a c h i e J s u c h t h a t y e V ( J ) . T h u s , t h e c o a l i t i o n J c a n ( s t r i c t l y ) i m p r o v e upon t h e v e c t o r x . D e f i n i t i o n 3 . 2 . 4 . 1 3 : The i n t e r i o r o f V ( J ) , d e n o t e d by i n t V ( J ) c a l l e d t h e s e t o f ( s t r i c t l y ) i m p r o v a b l e v e c t o r s f o r c o a l i t i o n J . 87 -The t h e o r y a c t u a l l y n e e d s o b j e c t s a s s o c i a t e d w i t h V ( J ) , a n d ~ / \ • - N i n t V ( J ) i n R . T h u s we d e f i n e : Ml V ( J ) = V ( J ) x R' i n t . V ( J ) = i n t V ( J ) x R1 N - l - J 3 . 2 . 4 . 1 4 3 . 2 . 4 . 1 5 We u s e t h e same t e r m i n o l o g y f o r V ( J ) a s we d i d f o r V ( J ) , t h e m e a n i n g b e i n g c l e a r f r o m t h e c o n t e x t . D i a g r a m a t i c r e p r e s e n t a t i o n s ( F i g s . 3 . 1 a n d 3 . 2 ) o f V ( J ) , V ( J ) , i n t V ( J ) , i n t V ( J ) , a n d F ( J ) when N = 3 i l l u s t r a t e t h e s e o b j e c t s . V ( { : ; 1 , 3 } ) F ( { 1 , 3 } ) ^ F ( { 2 , 3 } ) d e f i n e s t h e u p p e r b o u n -d a r y o f V ( { 2 , 3 } ) w h i c h c o n t i n u e s i n t o t h e p l a n e o f 2 a n d 3 a s shown by — The i n t V ( { 2 , 3 } ) i s t h e s e t e x c l u -d i n g t h e b o u n d a r y . 1 F ( { 1 , 2 . } ) V ( { 1 , 2 } ) ( w h o l e s e t i n c l u d i n g t h e b o u n d a r y ) F i g u r e 3 . 1 V ( J ) , F ( J ) , i n t V ( J ) f o r J = { 1 , 2 } , { 2 , 3 } a n d { 1 , 3 } - 88 -F i g u r e 3 . 2 V ( J ) d e r i v e d f r o m V ( J ) f o r J = { 2 , 3 } 3 . 2 . 4 . 2 I n d i v i d u a l l y R a t i o n a l . S e t s T h e s e t o f V ( J ) o f a t t a i n a b l e v e c t o r s c o n t a i n s t h e . s u b s e t Q ( J ) 5 {x e V ( J ) | x t i n t V ( { i } ) , V i e J } E V ( J ) - U i n t V ( { i } ) 3 . 2 . 4 . 2 1 i e J E s e t o f a l l x e V ( J ) w h i c h c a n n o t be i n d i -v i d u a l l y i m p r o v e d upon 3 . 2 . 4 . 3 B l o c k i n g The m e c h a n i s m o f u n r e s t r i c t e d b a r g a i n i n g , w h i c h we u s e f o r o u r m o d e l s , r e q u i r e s t h a t e a c h c o a l i t i o n J o b j e c t t o a n y c o n t r a c t w h i c h - 89 -y i e l d s e x p e c t e d u t i l i t i e s t o i t s members s u c h t h a t t h e y c a n be i m p r o v e d upon by t h e c o a l i t i o n . T h i s o b j e c t i o n i s t e r m e d b l o c k i n g . T h e r e a r e two c o n c e p t s o f b l o c k i n g i n t h e t e c h n i c a l s e n s e ( s e e § 2 . 3 . 3 ) e a c h y i e l d i n g a p a r t i c u l a r c o n c e p t o f t h e c o r e ( w h i c h w i l l be d e f i n e d b e l o w ) . The m a j o r r e s u l t , n a m e l y a t h e o r e m o f S c a r f [ 1 9 6 7 ] on w h i c h o u r r e s u l t s r e s t i s d e r i v e d f r o m one o f t h e s e c o n c e p t s o f b l o c k i n g . D e f i n i t i o n 3 . 2 . 4 . 3 1 : J c G b l o c k s a p r o p o s e d c o n t r a c t ( Z , a , a ) i f t h e a c h i e v a b l e e x p e c t e d u t i l i t i e s Uj f r o m ( Z , a , a ) a r e i n V ( J ) , a n d t h e r e i s some x e V ( J ) w i t h a t l e a s t one c o m p o n e n t ( i . e . , f o r a t l e a s t one member i n J ) s t r i c t l y g r e a t e r t h a n t h a t c o m p o n e n t i n Uj. D e f i n i t i o n 3 . 2 . 4 . 3 2 : J c G s t r o n g l y b l o c k s ( Z , a , a ) i f Uj i s i n c l u d e d i n i n t V ( J ) . From t h e v i e w p o i n t o f m o t i v a t i o n t o b l o c k , s t r o n g b l o c k i n g makes more s e n s e s i n c e i t r e f l e c t s a u n i f i e d o b j e c t i o n by J . B l o c k i n g d o e s n o t p r o v i d e s u f f i c i e n t i n c e n t i v e s f o r a l l members i n J t o o b j e c t s i m u l t a n e o u s l y . I t s h o u l d be n o t e d , t h o u g h , t h a t s t r o n g b l o c k i n g g i v e s r i s e t o t h e n o t i o n g o f weak P a r e t o - o p t i m a l i t y i n t h e s e n s e t h a t p o i n t s o n t h e b o u n d a r y o f V ( J ) ( o r V ( J ) ) may n o t be s t r o n g l y b l o c k e d e v e n t h o u g h t h e y may n o t be on t h e P a r e t o ( o r e f f i c i e n t ) b o u n d a r y . I n t h e c a s e o f s t r i c t l y c o n v e x s e t s V ( J ) ( s e e § 3 . 3 . 3 ) , b o t h n o t i o n s o f P a r e t o - o p t i m a l i t y c o i n c i d e . I n t h i s r e s e a r c h we s h a l l be c o n c e r n e d w i t h t h e c o n c e p t o f s t r o n g b l o c k i n g o n l y , a n d t a k e t h a t t o be a s t a n d a r d o f b e h a v i o u r i n t h e b a r -g a i n i n g p r o c e s s . 3 . 2 . 4 . 4 C o n t r a c t C o r e s a n d U t i l i t y C o r e s The ( w e a k ) u t i l i t y c o r e U(G) i s d e f i n e d a s t h e s u b s e t o f f e a s i b l e e x p e c t e d u t i l i t y v e c t o r s f o r G w h i c h a r e n o t s t r o n g l y b l o c k e d by a n y - 90 -c o a l i t i o n . H e n c e : U(G) = F - u i n t V ( J ) J c G 3 . 2 . 4 . 4 1 w h e r e F = F ( G ) . The ( w e a k ) c o n t r a c t c o r e i s t h e s e t o f a l l c o n t r a c t s ( Z , a , a ) w h i c h y i e l d p o i n t s i n U ( G ) . T h i s i s d e f i n e d a s : The a d j e c t i v e " w e a k " w i l l be o m i t t e d h e n c e f o r t h i n t h i s r e s e a r c h u n l e s s t h e o c c a s i o n a r i s e s f o r d i s t i n c t i o n b e t w e e n t h e two c o n c e p t s . S i m i l a r l y , we s h a l l u s e " b l o c k " t o m e a n . " s t r o n g l y b l o c k . " 3 . 2 . 4 . 5 The A i m o f t h e T h e o r y The p u r p o s e o f t h e t h e o r y i n t h i s c h a p t e r i s t o d e t e r m i n e t h e c o n d i -t i o n s u n d e r w h i c h U(G) ( o r e q u i v a l e n t l y C ( G ) ) w i l l be n o n - e m p t y w i t h some P a r e t o - o p t i m a l p o i n t s . We h a v e , t h e n , p r i o r e f f i c i e n c y ( s e e C h . 2 , p . 5 0 ) , and h e n c e t h e n e c e s s a r y c o n d i t i o n s f o r c o h e s i v e b e h a v i o u r by a g r o u p . 3 . 2 . 4 . 6 . The G e n e r a l Game F o r m u l a t i o n The e n t i t i e s V ( J ) , F ( J ) , Q ( J ) e t c . , w h i c h h a v e b e e n d e f i n e d i n t h e p r e c e d i n g s e c t i o n s , c o n s t i t u t e a g e n e r a l c o o p e r a t i v e game ( G , V ( J ) , F ( J ) ) ( s e e , e . g . , E k e l a n d [ 1 9 7 4 ] , H i l d e n b r a n d a n d K i r m a n [ 1 9 7 6 ] , S c a r f [ 1 9 6 7 ] ) . i f , a n d o n l y i f : C ( G ) = { ( Z , a , a ) | ( Z , a , a ) a c h i e v e s a p o i n t i n U(G)} 3 . 2 . 4 . 4 2 ( i ) V ( J ) f 0 ( i i ) V ( J ) i s c l o s e d . 8 ( i i i ) V ( J ) i s c o m p r e h e n s i v e ; i . e . , i f x e V ( J ) a n d y e R | I S I s u c h t h a t y . g V i e J , t h e n y e V ( J ) . - 91 -( i v ) Q ( 0 ) i s n o n - e m p t y a n d u n i f o r m l y b o u n d e d V i e J ; i . e . , t h e r e e x i s t s M e R s u c h t h a t f o r a l l x e Q ( J ) , M 2 x^ f o r e a c h i e J . ( v ) F f J3, c l o s e d a n d r e l a t e d t o V ( G ) a s f o l l o w s : f o r e a c h y e V ( G ) , 3 x e F s u c h t h a t x ^ y . I t i s o b v i o u s t h a t t h e way we h a v e d e f i n e d V ( J ) , ( i ) a n d ( i i i ) a r e s a t i s f i e d . I n o r d e r t h a t ( i v ) be s a t i s f i e d , we n e e d o n l y i m p o s e an u p p e r - . b o u n d e d n e s s c o n d i t i o n on V ( J ) , w h i c h i n t u r n c a n be d e r i v e d f r o m a b o u n d e d n e s s c o n d i t i o n on F ( J ) . Thus we make t h e f o l l o w i n g a s s u m p t i o n s , w h i c h w i l l h o l d t h r o u g h o u t : A s s u m p t i o n AO ^ ( L i m i t e d L i a b i l i t y ) : The f u n c t i o n , Wj(.) i s b o u n d e d on S x D j x D j f o r e a c h J . M o r e o v e r , f o r e a c h i e ' J , Z . J J ( . ) , t h e i m e m b e r ' s s h a r e , i s b o u n d e d a b o v e i n e a c h c o m p o n e n t . A s s u m p t i o n AO i m p l i e s t h a t ( i v ) i s s a t i s f i e d . The o n l y c o n d i t i o n s l e f t a r e ( i i ) a n d ( v ) , t h e c l o s e d n e s s o f V ( J ) arid F . I n t h e c a s e o f games o f c o m m o d i t y e x c h a n g e , i t i s r e l a t i v e l y e a s y t o show t h a t V ( J ) i s c l o s e d ( s e e , - e . g . , H i l d e n b r a n d a n d K i r m a n [ 1 9 7 6 ] ) . H o w e v e r , f o r t h e game d e f i n e d a b o v e , w h e r e t h e s e t s D. a r e q u i t e g e n e r a l , a n d w h e r e t h e s h a r i n g r u l e s Z j a r e f u n c t i o n s , r a t h e r t h a n p r o p o r t i o n s , t h e s i t u a t i o n i s more c o m p l i c a t e d . We c a n p r e s u m e t h a t V ( J ) ; a r e c l o s e d . H o w e v e r , t h e s u f f i c i e n t c o n -d i t i o n s e n s u r i n g t h i s a r e t e c h n i c a l l y e x t r e m e l y c o m p l i c a t e d . ^ B e c a u s e o f t h i s c o m p l e x i t y , i t i s d i f f i c u l t t o e n s u r e t h a t t h e c o u n t e r c o n t r a c t p r o -p o s e d by G t o a n y b a l a n c e d f a m i l y ( s e e § 3 . 2 . 5 . 1 f o r a d e f i n i t i o n ) w i l l be - 92 -a l e g i t i m a t e f u n c t i o n o f t h e c l a s s w h i c h e n s u r e s t h e c l o s e d n e s s o f V ( G ) . A l t h o u g h t h i s i s a t e c h n i c a l d i f f i c u l t y , i g n o r i n g i t r e s u l t s i n s t a t e m e n t s whose v a l i d i t y i s q u e s t i o n a b l e . I n v i e w o f t h i s , we make t h e f o l l o w i n g b e h a v i o u r a l a s s u m p t i o n a n d g i v e a j u s t i f i c a t i o n f o r i t . Q A s s u m p t i o n A l : E a c h c o a l i t i o n J c o n s i d e r s t h e c l o s u r e o f F ( J ) , n a m e l y c l F ( J ) , a s i t s s e t o f f e a s i b l e u t i l i t i e s . H e n c e i t b a r g a i n s w i t h c l V ( J ) , t h e c l o s u r e o f V ( J ) , r a t h e r t h a n V ( J ) ( o r e q u i v a l e n t l y , w i t h c l V ( J ) i n s t e a d o f V ( J ) ) . I n v i e w o f A s s u m p t i o n A l , o u r c o n t r a c t game t h e n becomes ( G , c l V ( J ) , c l F ( J ) ) w h e r e t h e map c l V ( . ) t a k e s e a c h J t o c l V ( J ) . C l e a r l y t h i s new game s a t i s f i e s c o n d i t i o n s ( i ) t o ( v ) . The j u s t i f i c a t i o n o f a s s u m p t i o n A l w i l l be f a c i l i t a t e d by t h e f o l l o w i n g d i a g r a m s f o r J = { 1 , 2 } i n G = { 1 , 2 , 3 } : » 1 F i g u r e 3 . 3 The O r i g i n a l S e t s F ( J ) a n d V ( J ) - 93 -F i g u r e 3 . 4 The C l o s u r e s c l F ( J ) a n d c l V ( J ) o f t h e O r i g i n a l S e t s From F i g u r e s 3 . 3 a n d 3 . 4 i t i s s e e n t h a t c l V ( J ) i s d e r i v e d f r o m V ( J ) by i n c l u d i n g t h e b o u n d a r y . M a t h e m a t i c a l l y , t h e p o i n t s on t h e b o u n d -a r y o f V ( J ) a r e a r b i t r a r i l y c l o s e t o V ( J ) i n t h e s e n s e t h a t g i v e n a n y p o i n t on t h e b o u n d a r y , a n d a p o s i t i v e e > 0 , one c a n f i n d a p o i n t i n V ( J ) c l o s e r t o t h e b o u n d a r y p o i n t t h a n e > 0 . ^ The a s s u m p t i o n e s s e n t i a l l y s a y s t h a t e a c h c o a l i t i o n J c a n n o t i n r e a l i t y d i s t i n g u i s h p o i n t s i n V ( J ) f r o m c l V ( J ) b e c a u s e o f t h e l i m i t s i n • • o u r m e a s u r e m e n t a b i l i t i e s . I n o t h e r w o r d s , f r o m a p r a c t i c a l s t a n d p o i n t , i t w o u l d be i m p o s s i b l e f o r a n y member i e J t o d i s t i n g u i s h u t i l i t y d i f f e r -e n t i a l s w h i c h a r e n n u m e r i c a l l y , s a y , e = 1 0 ~ ^ a p a r t ! F o r a l l p r a c t i c a l p u r p o s e s , G c a n n o t c o n v i n c e J t h a t some p o i n t s i n c l V ( J ) may n o t be a t t a i n a b l e ! - 94 -T h e r e i s , h o w e v e r , one p r o b l e m , n a m e l y t h a t t h e r e may n o t e x i s t c o n t r a c t s ( Z , a , a ) f o r p o i n t s on t h e b o u n d a r y o f c l V ( G ) ( s e e F i g . 3 . 4 ) . I n o t h e r w o r d s , s i n c e t h e b e h a v i o u r a l a s s u m p t i o n p o s t u l a t e s t h a t G d o e s n o t d i s t i n g u i s h b e t w e e n V ( G ) a n d ; c T V , ( G ) . , i t may h a p p e n t h a t some u e c l V ( G ) b e l o n g s t o t h e u t i l i t y c o r e ( h e n c e i t i s on t h e b o u n d a r y - o f c l V ( G ) ) , b u t t h e r e d o e s n o t e x i s f a n y c o n t r a c t ( Z , a , a ) w h i c h m a t h e -m a t i c a l l y r e s u l t s i n an e x p e c t e d u t i l i t y v e c t o r u . T h i s i s e a s i l y r e m e d i e d by o u r b e h a v i o u r a l a s s u m p t i o n i n t h a t by r e m o v i n g a n y d e s i r a b l e i n f i n i t e s i m a l a m o u n t E > 0 f r o m e a c h c o m p o n e n t o f u , we g e t u^ - £ a n d t h e v e c t o r (u-| - £ , . . . , u^ - E ) i s a c h i e v e d by some c o n t r a c t ( Z , a , a ) . H e n c e , when we s a y t h a t C ( G ) i s t h e c o r e o f c o n t r a c t s a s s o c i a t e d w i t h U ( G ) , we mean t h e c o n t r a c t s w h o s e e x p e c t e d u t i l i t y v e c -t o r s a r e an i n f i n i t e s i m a l d i s t a n c e ( d e t e r m i n e d by p r a c t i c a l m e a s u r e m e n t l i m i t a t i o n s ) away f r o m U ( G ) . W i t h t h i s b e h a v i o u r a l a s s u m p t i o n ( a c t u a l l y i t i s a p h y s i c a l a s s u m p -t i o n b e c a u s e we do n o t h a v e t h e p h y s i c a l c a p a c i t y t o m e a s u r e i n f i n i t e -s i m a l l y s m a l l d i f f e r e n c e s ) we h a v e f o r m u l a t e d a g e n e r a l c o - o p e r a t i v e game ( G , c l V ( J ) , . c l F ( J ) ) . -3 . 2 . 5 [ R e a s o n s f o r I n v o k i n g G e n e r a l Game T h e o r y f o r o u r M o d e l The m a i n r e a s o n f o r i n v o k i n g g e n e r a l game t h e o r y i s a r e s u l t due t o S c a r f [ 1 9 6 7 ] ( s e e b e l o w ) w h i c h s t a t e s t h e c o n d i t i o n s u n d e r w h i c h t h e c o r e o f an a r b i t r a r y game i s n o n - e m p t y . T h u s , t h e t h r u s t o f o u r r e s e a r c h w i l l be t o make a s s u m p t i o n s a b o u t o u r game i n o r d e r t o a p p l y S c a r f ' s r e e s u i t . I t s h o u l d be made c l e a r t h a t t h e a i m o f o u r r e s u l t s i s t o p r o v e t h e e x i s t e n c e o f t h e c o r e a n d n o t t o d e t e r m i n e i t s f o r m . The c h a r a c t e r - i s t i c s o f t h e c o r e a r e s i t u a t i o n s p e c i f i c ; o u r r e s u l t s s i m p l y d i s t i n g u i s h - 95 -t h o s e games i n w h i c h c o r e s , a r e n o n - e m p t y f r o m t h o s e w h i c h h a v e p o s s i b l y empty c o r e s . S i n c e o u r c o n d i t i o n s ( l i k e S c a r f ' s ) a r e s u f f i c i e n t b u t n o t n e c e s s a r y , t h e p o s s i b i l i t y i s o p e n t h a t t h e c o r e may be n o n - e m p t y e v e n t h o u g h t h e s u f f i c i e n t c o n d i t i o n s a r e n o t s a t i s f i e d . F o r m a r k e t e x c h a n g e g a m e s , h o w e v e r , S c a r f ' s r e s u l t s a r e b o t h n e c e s s a r y a n d s u f f i c i e n t ( E k e l a n d [ 1 9 7 4 ] , H i l d e n b r a n d a n d K i r m a n [ 1 9 7 6 ] ) . 3 . 2 . 5 . 1 B a l a n c e d F a m i l i e s and Games a n d S c a r f ' s T h e o r e m D e f i n i t i o n 3 . 2 . 5 . 1 1 : A f a m i l y 3 o f n o n - e m p t y c o a l i t i o n s i n G, a n d c o v -12 e r i n g G , i s c a l l e d b a l a n c e d , , i f , a n d o n l y i f , t h e r e e x i s t n o n - n e g a t i v e w e i g h t s j j > 0, J e $ s u c h t h a t f o r e a c h i e G , I Y i = 1 for e a c h 3 ( i ) c 3 J e 3 ( D J w h e r e 3 ( i ) i s t h e s u b f a m i l y i n 3 made up o f t h o s e J o f w h i c h i i s a member. D e f i n t i o n 3 . 2 . 5 . 1 2 ( B a l a n c e d G a m e ) : A g e n e r a l game ( G , V , F ) i s c a l l e d b a l a n c e d i f , a n d o n l y i f f o r e v e r y b a l a n c e d f a m i l y 3 , t h e f o l l o w i n g h o l d s : n V ( J ) c V ( G ) • • J e 3 T h e f o l l o w i n g r e s u l t due t o S c a r f [ 1 9 7 6 ] i s t h e k e y t o o u r f o r m u l a t i o n : T h e o r e m 3 . 2 . 5 . 1 3 ( S c a r f [ 1 9 6 7 ] ) : The weak c o r e o f e v e r y b a l a n c e d game i s n o n - e m p t y . E s s e n t i a l l y , we c a n i n t e r p r e t S c a r f ' s r e s u l t a s r e p l a c i n g t h e b a r -g a i n i n g b e t w e e n G a n d i n d i v i d u a l c o a l i t i o n s , w i t h t h e b a r g a i n i n g b e t w e e n G a n d b a l a n c e d f a m i l i e s 3. T h u s i f a , b a l a n c e d f a m i l y 3 comes up w i t h a . p r o p o s a l x £ j £ g V ( J ) , ' t h e n G m u s t come up w i t h a c o u n t e r p r o p o s a l w h i c h w i l l - 96 -s a t i s f y a l l members i e G who d e r i v e u t i l i t i e s o f a t l e a s t f o r b e i n g members o f c o a l i t i o n s i n 3. T h i s i n t e r p r e t a t i o n i s h e l p f u l i n c l a r i f y i n g t h e j u s t i f i c a t i o n s f o r t h e v a r i o u s a s s u m p t i o n s t o f o l l o w . A b r i e f h i s t o r y o f t h e w o r k l e a d i n g t o S c a r f ' s f u n d a m e n t a l r e s u l t i s g i v e n i n § 2 . 3 . 3 . 3 w h e r e t h e c o r e s o l u t i o n c o n c e p t s a r e c o m p a r e d w i t h t h e o t h e r s . I t s h o u l d be m e n t i o n e d h e r e , t h o u g h , t h a t t h e c o r e c o n c e p t i s w i d e l y u s e d i n t h e e c o n o m i c s l i t e r a t u r e f o r s e v e r a l r e a s o n s , s u c h a s : ( 1 ) I t d o e s n o t v i o l a t e e c o n o m i c i n t u i t i o n . ( 2 ) I n m a r k e t e x c h a n g e g a m e s , t h e c o r e c o i n c i d e s w i t h t h e E d g e w o r t h c o r e ( s e e , e . g . , H i l d e n b r a n d a n d K i r m a n [ 1 9 7 6 ] ) . ( 3 ) I n t h e l i m i t , when N ° ° , t h e c o r e s h r i n k s t o t h e s e t o f c o m p e t i t i v e e q u i l i b r i a ( H i l d e n b r a n d [ 1 9 7 4 ] ) . H e n c e i t i s v a l i d f o r b o t h l a r g e a n d s m a l l m a r k e t p h e n o m e n a . C o m p a r a b l e r e s u l t s f o r t h e o t h e r s o l u t i o n c o n c e p t s ( s e e A p p e n d i x 1) a r e l a c k i n g o r n o t y e t g e n e r a l l y a v a i l a b l e . 3 . 3 The M a i n R e s u l t s The m a i n r e s u l t s o f t h i s c h a p t e r show t h a t , u n d e r t h e a s s u m p t i o n s l i s t e d b e l o w a n d AO a n d A l ( § 3 . 2 . 4 . 6 ) , e a c h game i n C a s e s ( i ) , ( i i ) a n d ( i i i ) o n p a g e 8 3 i s b a l a n c e d . 3 . 3 . 1 The B a s i c A s s u m p t i o n s AO a n d A l ( § 3 . 2 . 4 . 6 ) h o l d . A s s u m p t i o n A 2 : E a c h i s a c o n v e x s u b s e t o f some l o c a l l y c o n v e x t o p o -3 l o g i c a l l i n e a r s p a c e . T h i s a s s u m p t i o n e n s u r e s t h a t G c a n r e c o m b i n e t h e a c t i v i t i e s o f e a c h i e G , w h i c h he c o n t r i b u t e s t o t h e c o a l i t i o n s o f w h i c h he i s a member i n a n y b a l a n c e d f a m i l y , t o p r o d u c e a l e g i t i m a t e a c t i v i t y i n D . . - 97 -A s s u m p t i o n A 3 : E a c h D j i s some s u b s e t o f a l o c a l l y c o n v e x t o p o l o g i c a l l i n e a r s p a c e s u c h t h a t , g i v e n a n y b a l a n c e d f a m i l y 3 o f c o a l i t i o n s w i t h c o a l i t i o n w e i g h t s y j , J e 3 A s s u m p t i o n A3 i s d i f f e r e n t f r o m A2 i n t h a t i t s a y s t h a t t h e w e i g h t e d sum o f p r o s p e c t s a v a i l a b l e t o a b a l a n c e d f a m i l y i s a l s o a v a i l a b l e t o t h e e n t i r e g r o u p . N o t e t h a t no c o n v e x i t y a s s u m p t i o n s a r e i m p o s e d o n t h e D j a n d D; h e n c e , t h e p o w e r o f t h e r e s u l t s b e l o w i s e n h a n c e d . A s s u m p t i o n A4 ( R i s k A v e r s i o n ) : The f u n c t i o n u . i s a c o n c a v e i n i t s a r g u -i / m e n t s x e R a n d a . e . T h a t i s , r e a c h i n d i v i d u a l i s r i s k a v e r s e a n d • c o n c a v e i n a c t i o n . A s s u m p t i o n A4 i s i n v o k e d t o e n s u r e t h a t a c o n v e x r e c o m b i n a t i o n by G o f t h e a c t i v i t y c o n t r i b u t i o n s o f i t o t h e c o a l i t i o n s J e 3 ( i ) o f w h i c h he i s a member p r o d u c e s e n o u g h i n c e n t i v e f o r h i m t o j o i n G. A s s u m p t i o n A5 ( S y n e r g y ) : F o r e a c h b a l a n c e d f a m i l y 3, w i t h b a l a n c i n g w e i g h t s y j , w ( s , a , a ) i I Y j w j ( s ' a j ' 3 j ) J . £ 3 f o r a l l a e D, a £ D s u c h t h a t , a n d , " 1 = 0 I 8 ( 1 ) Y J ^ • ' • < « 1 - - - 4 N » , 1 « Y j J £ 3 A s s u m p t i o n A5 s t a t e s t h a t t h e g r o u p G , a c t i n g c o h e s i v e l y , c a n p r o -d u c e a s much w e a l t h a s t h e c o a l i t i o n s o f a n y b a l a n c e d f a m i l y s e p a r a t e l y . - 98 -N o t e t h a t f o r a b a l a n c e d f a m i l y o f t h e t y p e 3 =' { J , , . . . , J } , w h e r e 3 f o r m s a p a r t i t i o n o f G , t h e a b o v e a s s u m p t i o n becomes t h e s t a n d a r d a s s u m p -t i o n i n game t h e o r y ( s e e , e . g . , L u c e and R a i f f a [ 1 9 5 7 ] , p . 183) r e g a r d i n g t h e s y n e r g i s t i c e f f e c t s o f a c o m b i n a t i o n o f d i s j o i n t c o a l i t i o n s . E s s e n t i a l l y , t h e d e v i c e f o r s h o w i n g b a l a n c e d n e s s o f o u r game i s t o d e m o n s t r a t e t h a t f o r a n y g i v e n b a l a n c e d f a m i l y 3 w i t h c o n t r a c t s ( Z j , a j , 5 j ) , J e j 3 , t h e r e e x i s t s a c o n t r a c t f o r G , ( Z , a , a ) , w h i c h i s a s g o o d i n t e r m s o f t h e e x p e c t e d u t i l i t i e s a c c u r i n g t o t h e members o f G. The p r o o f s o f t h e r e s u l t s s p l i t i n t o two p a r t s : ( i ) T h e f i r s t p a r t , w h i c h i s s t a t e d a s Lemma 3 . 3 . 2 1 s h o w s t h a t i f t h e r e e x i s t s a s e q u e n c e o f c o n t r a c t s < ( Z n , a " , a"j)>>> n = 1 , 2 , f o r e a c h c o a l i t i o n J e 3 i n a b a l a n c e d f a m i l y , w h o s e e x p e c t e d u t i l i t y v e c t o r s s a y t " c o n v e r g e t o some x £ n c l V ( J ) , a n d i f t h e r e e x i s t f o r e a c h n = 1 , 2 , J e 3 :  a c o n t r a c t ( Z n , a n , a n ) f o r G s u c h t h a t t h e e x p e c t e d u t i l i t y v e c t o r s t n d e r i v e d f r o m t h e s e c o n t r a c t s a r e c o m p o n e n t - w i s e a s shown b e l o w : t h e n , x £ c l V ( G ) T h i s i m p l i e s t h a t t h e game o f c l o s u r e s i s b a l a n c e d . I t w i l l be a p p a r e n t f r o m t h e p r o o f o f t h e Lemma t h a t o n c e t h e c r u c i a l a s s u m p t i o n t h a t t h e r e e x i s t s a c o n t r a c t ( Z n , a n , a n ) , a s shown a b o v e , i s m a d e , t h e n t h e r e s t o f t h e p r o o f i s an e x e r c i s e i n c o n v e r g e n c e o f s e q u e n c e s a n d c l o s u r e s o f s e t s . H e n c e , t h e c r i t i c a l p a r t i s t o show - 99 -t h a t t h e a s s u m p t i o n i s w e l l - f o u n d e d : i n t h e s e n s e t h a t t h e r e r e a l l y e x i s t s u c h c o n t r a c t s . T h i s i s t h e e s s e n c e o f t h e s e c o n d p a r t b e l o w . ( i i ) T h e s e c o n d p a r t , w h i c h i s t h e c r u x o f t h e p r o b l e m , i s t o d e m o n s t r a t e t h e e x i s t e n c e o f a ( Z n , a n , a n ) f o r e a c h n a s s t a t e d i n ( i ) a b o v e . 3 . 3 . 2 The R e s u l t s  Lemma 3 . 3 . 2 1 : L e t ( G , V ( J ) , F ( J ) ) be t h e o r i g i n a l c o n t r a c t game a n d ( G , c l V ( J ) , c l F ( J ) ) be t h e d e r i v e d c l o s u r e s c o n t r a c t game. L e t r8 be a n y b a l a n c e d f a m i l y o f G. S u p p o s e t h a t f o r e v e r y c o l l e c t i o n o f c o n t r a c t s ( Z j , a j , a j ) , J e 3, f o r a n y b a l a n c e d f a m i l y 3, t h e r e e x i s t s a c o n t r a c t ( Z , a , a ) s u c h t h a t , i f t j i s t h e e x p e c t e d u t i l i t y v e c t o r i n F ( J ) f r o m ( Z j , a j , a j ) , a n d t i s t h a t i n F f r o m ( Z , a , a ) , a n d t - l I Y i t n V i e G , 1 J e 3 ( i ) ° J t h e n t h e game ( G , c l V ( J ) , c l F ( J ) ) i s b a l a n c e d . T h a t i s , t h e c o r e o f t h e c l o s u r e s game i s n o n - e m p t y . P r o o f : To show t h a t t h e game i s b a l a n c e d , we n e e d t o show t h a t o c l V ( J ) c c l V ( G ) J*' e^B t h a t i s , f o r a n y x e n c l V ( J ) , x e c l V ( G ) . J e B L e t x e n c l V ( J ) w h i c h " i m p l i e s t h a t x e c l V ( J ) f o r a l l J e 3. J e 3 n By p r o p e r t i e s o f c l o s u r e s i n m e t r i c s p a c e s , 3 a s e q u e n c e o f v e c t o r s i n V ( J ) , s a y x " , c o n v e r g i n g t o x . B u t by d e f i n i t i o n o f V ( J ) , f o r e a c h x " e V ( J ) , 3 a t j e F ( J ) , d e r i v e d f r o m some c o n t r a c t ( Z j , a " , a j ) ; s u c h t h a t tn.j z x n j V i e J . - 100 -C o n s i d e r t h e s u m s , . I y , x n ; . n = 1 , 2 , . . . 0 e 3 ( i ) J 1 J C l e a r l y , l i m I Y n x 1 ? , = x . Mi e G. H e n c e , t h e v e c t o r o f t h e s e sums N ^ J c 3 ( i ) d 1 J 1 i n R c o n v e r g e s t o x . B u t , by d e f i n i t i o n , I Y n t n , > - I Y n x n v J e 3 ( i ) J l J " J £ 3 ( i ) J l J By h y p o t h e s i s , t h e r e i s a ( Z n , a n , a n ) a n d a t n e F r e s u l t i n g f r o m i t s u c h t h a t , t j ^ I Y , t n ' V n = 1 , 2 , . . . 1 J e B ( i ) J 1 J H e n c e t n ^ I y, x n n . T h i s i m p l i e s t h a t t h e v e c t o r y 1 1 e R N s u c h t h a t 1 " J e 3 ( i ^ J ' l J y ? = T Y i x n , ; i s i n V ( G ) , a n d h e n c e i n c l V ( G ) f o r e a c h n = 1 , 2 , . . . 1 * J 'e 3 ( i ) ' J l J . B u t we s h o w e d a b o v e t h a t l i m y = x . S i n c e c l V ( G ) i s a c l o s e d s e t , i t n-*x> f o l l o w s t h a t x e c l V ( G ) a n d t h e lemma i s p r o v e d . Q . E . D . of We now d e m o n s t r a t e t h e e x i s t e n c e ^ c o n t r a c t ( Z , a , a ) a s p r e s u m e d i n t h e a b o v e l e m m a . T h e c a s e c o n s i d e r e d f i r s t i s t h e e a s i e s t one i s t o p r o v e , n a m e l y C a s e ( i i ) on p a g e 8 3 , w h e r e t h e p a y o f f w ( s , a , a ) a n d t h e s t a t e s a r e o b s e r v a b l e . T h e o r e m 3 . 3 . 2 2 : U n d e r A s s u m p t i o n s A O , A l , A 2 , A 3 , a n d A4 a n d A 5 , t h e game o f C a s e ( i i ) , w h e r e b o t h t h e p a y o f f w ( s , a , a ) a n d t h e s t a t e s a r e o b s e r v a b l e ( § 3 . 2 . 2 . 2 , p,. 8 3 ) , i s b a l a n c e d . P r o o f : I n v i e w o f Lemma 3 . 3 . 2 . 1 , a l l we n e e d t o show i s t h a t f o r any b a l a n c e d f a m i l y 3 a n d a s s o c i a t e d c o n t r a c t s { ( Z j , a j , a " j ) | J e 3 ) , t h e r e - 101 -e x i s t s a c o n t r a c t f o r G , ( Z , a , a ) , w h i c h a c h i e v e s f o r i e G a s much a s he c a n f r o m m e m b e r s h i p i n c o a l i t i o n s i n 3 ( i ) . L e t { ( Z j , a j , a j ) | J e 3} be g i v e n . C o n s i d e r an a a n d a f o r m e d a s i n A s s u m p t i o n A 5 . C o n s i d e r a s h a r i n g r u l e Z = ( Z - j , . . . , Z^) d e f i n e d a s f o l l o w s : Z . ( w ( s , a , a ) , s ) = I y , Z , ^ w ^ s . a ^ L j . s ) 1 J e 3 ( i ) J l J J J J + 1 [ ( w ( s , a , a ) - I Y j W j j s . a j . a j ) ] J £ 3 S i n c e u^ i s n o n - d e c r e a s i n g i n i t s f i r s t a r g u m e n t , i t f o l l o w s t h a t , E i ( u i ( Z i ( w ( . , a , a ) , s ) , a i ) ) " E i ( U i ( i 1 « m y J I ^ J { " a r ~ a j ) ' s ) ' ^ „ / • \ ^  a i J } ) J £ 3 ( 1 ) J £ 3 ( 1 ) w h e r e i s t h e e x p e c t a t i o n w i t h r e s p e c t t o P ^ , t h e p r o b a b i l i t y m e a s u r e o f i . By t h e c o n c a v i t y o f u^ i n b o t h a r g u m e n t s , E , ( u - ( I Y i Z . . ( w , ( v , a 1 , a 1 ) s ) , I Y , a . J ) , . . J £ 3 ( 1 ) J l J J J E 3 ( i ) J l J = 1 Y J E i ( u i ( Z i J ( w , ( . , a J , 5 J ) , s ) , a i J ) ) J £ 3 ( l ) H e n c e , ( Z , a , a ) a c h i e v e s a s much as { ( Z j , a j , i j ) | J £ 3} f o r e a c h i £ G , a n d t h e game i s b a l a n c e d . Q . E . D . I n t h e a b o v e t h e o r e m , i t i s t r i v i a l t o show t h a t ( Z , a , a ) i s a l e g i t i m a t e c o n t r a c t . M o r e o v e r , t h e way we h a v e d e f i n e d Z makes i t a l e g i t i m a t e f u n c t i o n a n d n o t a m u l t i v a l u e d r e l a t i o n b e c a u s e b o t h Z^  a n d Z j v a r y o n l y a s o f t e n as s s i n c e t h i s i s a d e f i n i n g a r g u m e n t i n e a c h . - 102 -The s i t u a t i o n f o r C a s e s ( i ) a n d ( i i i ) ( § 3 . 2 . 2 . 2 , p . 8 3 ) i s n o t s o s i m p l e . S i n c e o b s e r v a b i l i t y o f s i s a b s e n t i n t h e s e c a s e s , d e f i n i n g a s h a r i n g r u l e Z a s we d i d i n t h e p r e c e d i n g t h e o r e m , i . e . a s , Z . ( w ( s , a , a ) ) = I Y i Z n ( w 1 ( s , a 1 , a 1 ) ) + I [ . . . ] ( a ) 1 J e 3 ( i ) J J N i s n o t a l w a y s p o s s i b l e b e c a u s e f o r two d i f f e r e n t s , s a y s - j , s ^ , i t may h a p p e n t h a t w ( s ^ , a , a ) = w ( s 2 , a , a ) w h i c h n e c e s s i t a t e s ( w ( s ^ , a , a ) ) = Z.j ( w ( s 2 , a , a ) ) . H o w e v e r , t h e r i g h t h a n d s i d e o f ( a ) a b o v e may n o t be t h e same f o r s-j a n d s^. T h i s s e e m i n g l y s i m p l e p r o b l e m ( n a m e l y t h a t o f d e f i n i n g a l e g i t i m a t e f u n c t i o n Z f r o m a k n o w l e d g e o f o n l y Z j , J £ ^ B ) r e q u i r e s a t e c h n i c a l l y c o m -p l e x p r o c e d u r e f o r r e s o l u t i o n . T h i s p r o c e d u r e i s d e v e l o p e d n e x t . S t e p 1 ( P o o l i n g o f b e l i e f s ) : E a c h P^ i s d e f i n e d a s a m e a s u r e on a ( S ) . C o n s i d e r a n y m e a s u r e P on a ( S ) w h i c h d o m i n a t e s e a c h P . , i n t h e s e n s e t h a t P- i s a b s o l u t e l y c o n t i n u o u s 1 4 w . r . t . P . S u c h d o m i n a t i n g m e a s u r e s a l w a y s e x i s t b e c a u s e N i s f i n i t e . One N 1 s u c h m e a j - s u r e i s P = £ „ P r i = l N 1 S t e p 2 ( D e f i n i n g Z ) : I n C a s e s ( i ) a n d ( i i ) , Z n e e d s t o be d e f i n e d on t h e s e t o f a l l p o s s i b l e v a l u e s o f w ( s , a , a ) , f o r e a c h s £ S . I f we t a k e A a s d e f i n e d on p a g e 78 t o be a n y o p e n s e t w h i c h i n c l u d e s a l l t h e p o s s i b l e v a l u e s o f w ( s , a , a ) , f o r a l l p o s s i b l e a c t i o n s a and a , t h e n i f we d e f i n e k 2. a s a f u n c t i o n f r o m A t o R f o r a n y f i x e d a and a , i t f o l l o w s t h a t Z i ( w ( s , a , a ) ) ( o r Z ^ ( w ( s , a , a ) , a ) ) i s w e l l d e f i n e d . To t h i s e n d we p r o c e e d . F o r C a s e ( i ) , p a g e 8 3 , f o r a n y b a l a n c e d f a m i l y 3 a n d c o n t r a c t s { ( Z , , a , , a , ) I J E 3 } , Y y , Z . , i s a B o r e l m e a s u r a b l e f u n c t i o n f r o m J J J J e 3 ( i ) J k 1 0 t h e B o r e l s p a c e ( A , a ( A ) ) t o R , a n d - 103 -j I B ( i ) Y J Z i J ( w J ( V ' a J ' 5 J ) ) + r j t w ( . ; , a , a ) - ^ | ^ Y j W j U a ^ ) ] i s a r a n d o m v e c t o r f r o m S t o R f o r e a c h i e G. F o r n o t a t i o n a l c o n v e n i e n c e we d e n o t e t h e a b o v e r a n d o m v e c t o r a s S i n c e w ( . , a , a ) i s a r a n d o m v e c t o r on S t o A , i t f o l l o w s t h a t we c a n c o n d i t i o n ^ H ^ ( . ) by w ( . , a , a ) w . r . t . t h e d o m i n a t i n g m e a s u r e P t o g e t t h e r a n d o m v e c t o r E [ H . ( . ) | w ( . , a , a ) ] . The a s s o c i a t e d B o r e l m e a s u r a b l e f u n c t i o n E f H ^ J l y ] f r o m A t o R k i s t h e n a w e l l d e f i n e d f u n c t i o n f r o m A t o R . We d e f i n e f o r C a s e ( i ) , p a g e 8 3 , Z.J ( w ( s , a , a ) ) = v a l u e o f E [Hn- ( . );|;y] a t w ( s , a , a ) . = E [ H ( . ) | w ( s , a , a ) ] . 3 . 3 . 2 4 F o r C a s e ( i i i ) , p a g e 8 3 , we c a n s i m i l a r l y d e f i n e Z- a s t h e c o n d i t i o n e d r a n d o m v e c t o r , Z i ( w ( s , a , a ) , a ) = E [ H . ( . , a ) | w ( s , a , a ) ] 3 . 3 . 2 4 b e c a u s e , n o w , Z a l s o d e p e n d s on a . We show t h a t Z a s d e f i n e d a b o v e i s a l e g i t i m a t e s h a r i n g r u l e . Lemma 3 . 3 . 2 5 : The f u n c t i o n s 1- d e f i n e d i n S t e p 2 a b o v e a r e l e g i t i m a t e s h a r i n g r u l e s ( e x c e p t on a s e t o f P - m e a s u r e z e r o i n S ) f o r b o t h C a s e ( i ) - 104 -a n d C a s e ( i i i ) o n p a g e 8 3 . T h a t i s , f o r t h e p a r t i c u l a r a a n d a , I Z . ( w ( s , a , a ) ) = w ( s , a , a ) a . s . . . . C a s e ( i ) i = l 1 I 1.(w,(s,a,a),a) = w ( s , a , a ) a . s . . . . C a s e ( i i i ) i = l 1 P r o o f : ( F o r C a s e ( i ) o n l y . C a s e ( i i i ) i s s i m i l a r ) I Z . ( w ( s , a , i ) ) = I E [ H . ( . ) | w ( s , a , I ) ] i e G i e G 1 = I E [ I _ Y J Z i J ( w J ( . , a J , a J ) ) + : - J - ( w ( . , a , a ) - I Y J W J ( . , a j , a j ) ) | w ( s , a , i £ G j £ 3 ( i ) J e 3 = E [ J I Y J Z 1 J w J ( . , a J , a J ) + l ( w ( . , a , 5 ) - I Y J w J ( . , a J , a J ) ) | w ( s , a , a 1 Eli, J £ p p J J£p B u t I J Y 1 Z . 1 ( w , ( . , a , a ) ) = I Y i W ^ . ^ . a ) i E G J £ 3 ( i ) J £ 3 J J H e n c e t h e a b o v e e x p e c t a t i o n r e d u c e s t o , E [ w ( . , a , a ) | w ( s , a , a ) ] a . s . B u t t h i s ( s e e A p p e n d i x 2) i s s i m p l y w ( s , a , a ) a . s . Q . E . D . The f o l l o w i n g t h e o r e m e s t a b l i s h e s t h e l o g i c a l c o n s i s t e n c y o f C a s e s ( i ) a n d ( i i i ) on page 8 3 . T h e o r e m 3 . 3 . 2 6 : U n d e r A s s u m p t i o n s ' % 0 - A 5 , t h e games o f C a s e s ( i ) a n d ( i i i ) w h e r e w ( s , a , a ) i s o b s e r v a b l e b u t s i s n o t ( § 3 . 2 . 2 . 2 ) , a r e b a l a n c e d . T h a t i s , t h e g r o u p G c a n a r r i v e a t a c o r e c o n t r a c t ' ( Z , a , a ) i n t h e s i t u a t i o n o f C a s e s ( i ) a n d ( i i i ) by a p r o c e s s o f n e g o t i a t i o n . P r o o f : ( S i n c e t h e p r o o f C a s e ( i i i ) i s s i m i l a r t o t h a t o f C a s e ( i ) , o n l y t h e l a t t e r p r o o f i s g i v e n h e r e ) . - 105 -I n v i e w o f Lemma 3 . 3 . 2 1 , we n e e d o n l y show t h a t f o r e a c h b a l a n c e d f a m i l y 8 w i t h c o n t r a c t s { ( Z j , a j , a j ) | J e 3) t h e r e e x i s t s a c o n t r a c t ( Z , a , a ) f o r G , d e p e n d i n g on t h e p a r t i c u l a r 3 a n d ( Z J 5 a j , a j ) , w h i c h g i v e s e a c h i e G a s much e x p e c t e d u t i l i t y a s h i s m e m b e r s h i p i n t h e c o a l i t i o n s J e 8 ( i ) . H e n c e , c o n s i d e r any 3 a n d an a s s o c i a t e d s e t o f c o n t r a c t s { ( Z j , a j , a j ) | J . e 3 ) . D e f i n e f o r G , a a n d a f r o m a j a n d a j a s i n A s s u m p t i o n A 5 . D e f i n e Z f o r G a s s p e c i f i e d i n t h e p r o c e d u r e i n S t e p s 1 and 2 . a b o v e , g i v e n a a n d a . We c l a i m t h a t ( Z , a , a ) i s t h e r e q u i r e d c o n t r a c t . To t h i s e n d we p r o c e e d . E i C u . ( Z i ( w ( . . , a , 5 ) ) , a 1 ) ] = E ^ u ^ E f I yl fa(. , a i ) ) J e 3 ( i ) + l ( w ( . , a J , a ) - I Y j W j ^ . a j . i j ) ) J £ 3 M . ^ a ) ] ^ . ) ) (1) w h e r e E. i s w . r . t . P.. a n d E i s w . r . t . a n y d o m i n a t i n g m e a s u r e P . S i n c e by A s s u m p t i o n A 5 , w ( s , a , a ) > T y , w . t s . a ^ a . ) a n d u . i s ~ J £ 3 ° J 1 n o n - d e c r e a s i n g i n w e a l t h , i t f o l l o w s t h a t (1) a b o v e ' r e d u c e s t o t h e i n e q u a l i t y E ^ u ^ Z - l w C ^ . a ) ) ^ . ) ] * E . [ u . { E [ I Y j Z . j ( w j ( . . a ^ i j ) ) j £ " 3 ( l ) | w ( . , a , a ) ] , I • Y n a - J ] ( 2 ) S i n c e u^ i s c o n c a v e i n b o t h " i t s ' a r g u m e n t s a n d E a n d E^  a r e l i n e a r w . r . t . s u m s , we h a v e t h a t ( 2 ) a b o v e i s = I Y J E i [ u i { E [ Z i J ( w J ( . , a J , a J ) ) | w ( . , a , a ) ] , a i J } ] ( 3 ) ' J £ 3 ( i ) - 106 -Now a., i s f i x e d a n d u - i s c o n c a v e i n i t s w e a l t h c o m p o n e n t . H e n c e , Id 1 by t h e c o n d i t i o n a l J e n s e n ' s i n e q u a l i t y ( s e e A p p e n d i x 2 f o r a l l t h e o r e m s and r e s u l t s c i t e d h e r e ) we h a v e t h a t ( 3 ) a b o v e i s => I Y J E i [ E [ u i { Z i J ( w J ( . , a J , a - J ) ) , a i J } | w ( . , a , a - ) ] ] ( 4 ) J e B ( i ) t h e f u n c t i o n E [ u n . { Z . j ( w j ( . , a j , i j ) ) , a . j } | w ( . , a , a ) ] i s B o r e l m e a s u r -a b l e f r o m t h e m e a s u r a b l e s p a c e ( S,a ( w ( . , a , a ) ) ) t o t h e B o r e l s p a c e 1 4 ( R,a ( R ) ) . M o r e o v e r , b o t h a n d P a c t i n g o n ; t h e a - f i e l d a ( w ( . , a , i ) ) a r e w e l l d e f i n e d a n d a g a i n P . i s a b s o l u t e l y c o n t i n u o u s w . r . t . P t h e r e . H e n c e by t h e R a d o n - N i k o d y m T h e o r e m we h a v e t h a t E i [ E [ u i { Z i J ( w J ( . , a J , a J ) ) , a i J } | w ( . , a , a ) ] ] = E [ g ( . ) E [ u i { Z i J ( w J ( . , a J , 5 J ) ) , a i J } | w J ( . , a , 5 ) ] ] ( 5 ) w h e r e g ( . ) i s t h e R a d o n - N i k o d y m d e r i v a t i v e o f P . w . r . t . P a n d g ( . ) i s a ( w ( . , a , a ) ) t o a ( R ) m e a s u r a b l e . By t h e s m o o t h i n g p r o p e r t i e s o f c o n d i t i o n a l e x p e c t a t i o n s , a s g ( . ) i s ( w ( . , a , a ) ) m e a s u r a b l e , t h e e x p r e s s i o n on t h e r i g h t h a n d s i d e i n ( 5 ) a b o v e becomes E [ E [ g ( . ) u . { Z . J ( w J ( . , a , a ) ) , a i J } | w ( . , a , a ) ] ] ( 6 ) B u t t h i s i s s i m p l y c o n d i t i o n i n g a n d d e c o n d i t i o n i n g w . r . t . P . H e n c e , t h e e x p r e s s i o n i n ( 6 ) r e d u c e s t o E [ g ( . ) u i { Z i J ( w J ( . , a J , a J ) } , a i J ) ] ( 7 ) - 107 -B u t ( 7 ) becomes by t h e Radon N i k o d y m T h e o r e m E ^ u ^ Z ^ W j U a j . a j ^ a . j } ] (8) R e t r a c i n g : o u r s t e p s b a c k t o ( 2 ) we g e t E , [ u . { Z . ( w ( . , a , 5 ) ) , a , } ] I Y J E i [ u i { Z i J ( w J ( - ' a J ' i J ) ) ' a i J } ] J e 3 ( i ) w h i c h i s w h a t was r e q u i r e d t o s a t i s f y t h e c o n d i t i o n s o f Lemma 3 . 3 . 2 1 . 3 . 3 . 3 P a r e t o - O p t i m a l (Weak) C o r e C o n t r a c t s I t i s c l e a r by t h e d e f i n i t i o n o f t h e ( w e a k ) u t i l i t y a n d c o n t r a c t c o r e s ( § 3 . 2 . 4 . 4 ) t h a t t h e y a r e made up o f weak P a r e t o - o p t i m a l p o i n t s , t h a t i s , t h e g r a n d c o a l i t i o n G d o e s n o t s t r i c t l y o p p o s e them i n t h e s e n s e t h a t t h e r e do n o t e x i s t two c o r e p o i n t s s u c h t h a t o n e p r o v i d e s e a c h a g e n t i e G an e x p e c t e d u t i l i t y w h i c h i s s t r i c t l y g r e a t e r t h a n t h a t i n t h e o t h e r p o i n t . H o w e v e r , i t may h a p p e n t h a t one c o r e p o i n t may p r o v i d e some a g e n t s i n G s t r i c t l y l a r g e r e x p e c t e d u t i l i t i e s t h a n a n o t h e r c o r e p o i n t w i t h o u t a f f e c t i n g t h e u t i l i t y l e v e l s o f t h e o t h e r p l a y e r s . I n o t h e r - w o r d s , one c o r e p o i n t may be P a r e t o - s u p e r i o r t o a n o t h e r . The d i f f e r e n c e b e t w e e n ( w e a k ) P a r e t o - o p t i m a l c o r e p o i n t s a n d P a r e t o - o p t i m a l c o r e p o i n t s i s shown i n F i g . 3 . 5 . From t h e v i e w p o i n t o f e c o n o m i c r a t i o n a l i t y , t h e g r o u p s h o u l d c h o o s e a i . P a r e t o - o p t i m a l ( w e a k ) c o r e p o i n t . The q u e s t i o n , t h e r e f o r e , a r i s e s w h e t h e r a P a r e t o - o p t i m a l ( w e a k ) c o r e p o i n t e x i s t s . T h i s i s a n s w e r e d i n t h e a f f i r -m a t i v e i n t h e n e x t p r o p o s i t i o n , t h u s p r o v i d i n g a p r o o f o f t h e p r i o r  e f f i c i e n c y o f t h e n e g o t i a t i o n m e c h a n i s m . P r o p o s i t i o n 3 . 3 . 3 1 : F o r a n y n o n - e m p t y ( w e a k ) c o r e o f c o n t r a c t s , t h e r e e x i s t s a t l e a s t one P a r e t o - o p t i m a l w e a k - c o r e c o n t r a c t . Q . ' E . D . - 108 -F i g u r e 3.5 P a r e t o - O p t i m a l i t y a n d Weak P a r e t o - O p t i m a l i t y P r o o f : By A s s u m p t i o n A O , c l V ( G ) i s b o u n d e d a b o v e i n R'\ S i n c e i t i s a l s o c l o s e d , i t h a s P a r e t o - o p t i m a l p o i n t s . C o n s i d e r t h e ( w e a k ) u t i l i t y c o r e U ( G ) . S u p p o s e U(G) d o e s n o t c o n -t a i n a P a r e t o - o p t i m a l p o i n t . S i n c e c l V ( G ) d o e s , i t f o l l o w s t h a t t h e r e e x i s t s a p o i n t u e c l V ( G ) w h i c h i s P a r e t o - s u p e r i o r t o p o i n t s i n U(G) a n d u i- U ( G ) . B u t t h i s i m p l i e s t h a t u c a n n o t be o b j e c t e d t o by a n y c o a l i t i o n i n G b e c a u s e t h e r e e x i s t s some u e U(G) s u c h t h a t u ^ u , a n d s i n c e u i s n o t i n t h e i n t e r i o r o f c l V ( J ) , J c G , t h e n u i s a l s o n o t i n t h e i n t e r i o r o f c l V ( J ) f o r a l l J c G. H e n c e , u e U ( G ) . B u t t h i s i s a c o n t r a d i c t i o n s i n c e we p r e s u m e d u 4 U ( G ) . I t f o l l o w s t h a t U(G) c o n t a i n s a t l e a s t one P a r e t o - o p t i m a l p o i n t , a n d h e n c e , t h e r e e x i s t s a t l e a s t one P a r e t o - o p t i m a l c o n t r a c t . Q . E . D . - 109 -I n v i e w o f t h i s r e s u l t , i t w o u l d be e c o n o m i c a l l y r a t i o n a l f o r t h e g r o u p G t o r e s t r i c t t h e m s e l v e s t o t h e e f f i c i e n t ( P a r e t o - o p t i m a l ) c o r e  c o n t r a c t s . When do t h e \weak P a r e t O r o p t i m a l p o i n t s a n d P a r e t o - o p t i m a l p o i n t s c o i n c i d e ? F i g . 3 . 6 shows t h e i n t u i t i v e c o n t e n t o f t h e n e x t p r o p o s i t i o n a n d s h o w s t h e s i t u a t i o n s when weak P a r e t o - o p t i m a l p o i n t s a n d P a r e t o -o p t i m a l p o i n t s a r e i d e n t i c a l . F i g u r e 3 . 6 S t r i c t l y C o n v e x C l o s u r e c l V ( G ) P r o p o s i t i o n 3 . 3 . 3 2 : I f c l V ( G ) i s a s t r i c t l y c o n v e x s e t , t h e n t h e weak c o r e i s a l s o t h e c o r e , n a m e l y t h a t e a c h w e a k - c o r e e l e m e n t i s a l s o P a r e t o -o p t i m a l . P r o o f : S t r a i g h t f o r w a r d . - no -3 . 3 . 4 R a i f f a ' s E x t e r n a l P r o b l e m f o r S y n d i c a t e s C o n s i d e r t h e c a s e o f G = { 1 , 2 } . S u p p o s e c l V ( G ) a n d t h e c o r e a r e as shown i n F i g . 3 . 7 . F i g u r e 3 . 7 M a k i n g t h e S e t c l V ( G ) C o n v e x by R a n d o m i z a t i o n C o n s i d e r t h e p o i n t s p^, p 2 a n d p^ a s shown i n F i g . 3 . 7 . The c o n v e x c o m b i n a t i o n o f p-| a n d p^ c o m p l e t e l y swamps p 2 ! F o r r a t i o n a l a g e n t s , who b e l i e v e i n e x p e c t e d u t i l i t y m a x i m i s a t i o n , a n y p o i n t on t h e l i n e s e g m e n t j o i n i n g p-| a n d p^ i s p r e f e r a b l e : ' t o p 2 - I t f o l l o w s t h a t h a v i n g e s t a b l i s h e d t h e c o r e , t h e g r o u p G c a n c h o o s e b e t w e e n p-j a n d p ^ ^ a n d t h e i r a s s o c i a t e d c o n t r a c t s ) by t o s s i n g a c o i n w i t h p r o b a b i l i t y \ o f h e a d s , y i e l d i n g p-j a n d p^ f o r t a i l s . The e x p e c t e d u t i l i t y f o r e a c h p l a y e r i n t h e g r o u p G f r o m ; t h i s r a n d o m i z i n g p r o c e d u r e i s t h a t p r o v i d e d by a p o i n t xp-| + (1 - A ) P g on t h e l i n e s e g m e n t j o i n i n g p-j a n d p 3 . A n d t h i s i s b e t t e r t h a n p 2 > - I l l -Thus a g r o u p o f r a t i o n a l p l a y e r s w o u l d , by u s i n g a p p r o p r i a t e r a n d o m i z i n g d e v i c e s , make c l V ( G ) c o n v e x by t a k i n g c o n v e x c o m b i n a t i o n s o f p o i n t s i n c l V ( G ) a n d t h e n t a k e t h e u p p e r b o u n d a r y o f t h i s c o n v e x s e t . R a i f f a [ 1 9 6 8 ] h a s c o i n e d t h e t e r m t h e " e x t e r n a l p r o b l e m " ( o f a s y n d i c a t e ) f o r t h i s p r o c e d u r e . I n o u r c a s e i t means t h a t f i r s t t h e a g e n t s i n J s o l v e t h e i r i n t e r n a l p r o b l e m b y d e t e r m i n i n g t h e c l o s u r e o f F ( J ) , n a m e l y c l F ( J ) . The a g e n t s t h e n s o l v e t h e i r e x t e r n a l p r o b l e m by t a k i n g c o n v e x c o m b i n a t i o n s 15 o f p o i n t s i n c l F ( J ) ; t h a t i s , t h e y t a k e t h e c o n v e x h u l l o f c l F ( J ) -c o ( c l F ( J ) ) - a s t h e i r b a r g a i n i n g s e t . The c o m p r e h e n s i v e s e t ( n a m e l y t h e s e t i n R ^ s u c h t h a t e a c h p o i n t i n t h i s s e t i s v e c t o r i a l l y d o m i n a t e d by a p o i n t i n c o ( c l F ( J ) ) ) g e n e r a t e d by c o ( c l F ( J ) ) i s s i m p l y c o ( c l V ( J ) ) . H e n c e , t h e a g e n t s b a r g a i n w i t h c o ( c ! V ( J ) ) r a t h e r t h a n c l V ( J ) . P a r e n t h e t i c a l l y , i t s h o u l d be n o t e d t h a t t h e a g e n t s i n J do n o t c r e a t e new c o n t r a c t s by t a k i n g c o ( c l V ( J ) ) ; t h e y s i m p l y c h o o s e a t r a n d o m f r o m a s e t o f c o n t r a c t s . F o r e x a m p l e , a c o n v e x c o m b i n a t i o n o f t h e e x -k k - k p e c t e d u t i l i t i e s f r o m a s e t o f c o n t r a c t s { ( Z j , a j , a j ) | k = 1 , 2 , m} d o e s n o t c r e a t e a new c o n t r a c t ; i t s i m p l y i m p l i e s a r a n d o m p r o c e d u r e f o r c h o o s i n g f r o m t h i s s e t . I t i s a moot p o i n t w h e t h e r i n r e a l l i f e g r o u p s c h o o s e t h e i r u l t i m a t e d e s t i n i e s i n a j o i n t p r o j e c t by t h e means o f a r a n d o m d e v i c e . H o w e v e r , a s m e n t i o n e d a b o v e , f r o m t h e p o i n t o f v i e w o f e x p e c t e d u t i l i t y m a x i m i s a t i o n , t h e y s h o u l d . The i s s u e w h i c h r e m a i n s i s w h e t h e r t h e new g a m e , (G-; c o ( c l V ( J ) ) , c o ( c l F ( J ) ) ) i s b a l a n c e d ; t h a t i s , w h e h t e r i t a d m i t s a c o r e c o n t r a c t , t h e n e x t r e s u l t g i v e s a n a f f i r m a t i v e a n s w e r w i t h o u t r e q u i r i n g a n y a d d i t i o n a l a s s u m p t i o n . T h e o r e m 3 . 3 . 4 1 : U n d e r A s s u m p t i o n s A 0 T A 5 , t h e game ( G , c o ( c l V ( J ) ) , cb(clF(0)')••) h a s a n o n - e m p t y ( w e a k ) c o r e o f c o n t r a c t s i n C a s e s ( i ) , ( i i ) - 112 -a n d ( i i i ) ( p . 8 3 ) . Thus i f u i s an e x p e c t e d u t i l i t y v e c t o r i n t h e u t i l i t y c o r e U(G) o f t h e new g a m e , t h e n t h e r e e x i s t n o n - n e g a t i v e numbers X ^ , . . . , X m summing t o o n e , a n d s e t o f c o n t r a c t s { ( Z k , a k , a k ) | k = 1 , , m} w i t h e x -p e c t e d u t i l i t i e s u k , k = 1 , . . . . , m s u c h t h a t , m k=l K k M o r e o v e r u^ e c l F ( G ) , a n d m i s a t m o s t N + 1 . P r o o f : ( F o r C a s e ( i ) o n l y . The o t h e r s a r e e a s i e r and t h e m e t h o d i s s i m i l a r . ) S i n c e c o ( c l V ( J ) ) , c o ( c l F ( J ) ) a r e c l o s e d u n d e r A s s u m p t i o n s AO and A l , i t f o l l o w s t h a t Lemma 3 . 3 . 2 1 a p p l i e s t o t h e new game t o o . H e n c e , we n e e d o n l y show t h a t g i v e n a n y b a l a n c e d f a m i l y 6 a n d , f o r e a c h J e g , a k k - k i s e t { ( Z j , a j , a j ) j k = 1 , nij} o f c o n t r a c t s w i t h c o n v e x c o m b i n a t i o n k i k k - k i w e i g h t s -C A j | k = 1 , i r i j } , t h e r e e x i s t s a s e t o f c o n t r a c t s { ( Z , a , a ) | k = 1 , m} a n d w e i g h t s { X k | k = 1 , m> s u c h t h a t t h e c o n v e x c o m b i n a t i o n o f t h e e x p e c t e d u t i l i t y v e c t o r s f r o m t h i s s e t o f c o n t r a c t s p r o v i d e s a s much e x p e c t e d u t i l i t y t o e a c h i e G a s he g e t s , f r o m m e m b e r s h i p i n J c g ( i ) . k k - k i C o n s i d e r t h e f a m i l i e s { ( Z J 5 a J 5 a j ) | k = 1 , rrij} f o r e a c h J e g . C h o o s e one c o n t r a c t f r o m e a c h f a m i l y f o r e a c h J e g t o c r e a t e f o r g t h e . m x . . . x m , f a m i l i e s i n d e x e d by v ( s e e ( i ) b e l o w ) <f>(v) = • ' J l J q a , 1 , a , 1 ) , ( Z ^ , a V I ^ ) } w h e r e g = { J , , J } . L e t k k t h e a s s o c i a t e d w e i g h t s be t h e s e t { X , , , X n . } -J l J q M ,_V V -V\ From t h e s e f a m i l i e s , f o r e a c h f a m i l y , d e f i n e a c o n t r a c t (Z , a , a J f o r G a s f o l l o w s : ( i ) v = ( k - , , . . . , k ) i s an i n d e x f o r t h e c o n t r a c t f r o m e a c h f a m i l y <f>(v). - 113 k ( n ) a , = I T ^ , , a = ( a , , . . . , a . . ) . 1 J e 3 ( i ) J 1 J 1 N . . . . . - v v - 0 ( m ) a = ), Y i a . . J e 6 ( i v ) zY ( w ( s , a v , i v ) ) = E [ H V ( . ) + K V ( . ) | w ( s , a \ i v ) ] V s w h e r e H j ( . ) - I Y a Z k (W](.,a^ip) 1 j £ e(i) . K V ( . ) = 1 [ w ( . , a v , a v ) - I Y j W j ( . , a J , a J ) ] J £ 3 a n d E i s w . r . t . a n y d o m i n a t i n g m e a s u r e P . From t h e p r o o f o f T h e o r e m 3 . 3 . 2 6 i t f o l l o w s t h a t ( Z v , a v , a v ) y i e l d s a s much e x p e c t e d u t i l i t y t o e a c h i £ G a s t h e f a m i l y cf>(v). A s s o c i a t e t h e w e i g h t : k k , v , .1 • , q X = X T • • • A q J l J q w i t h t h e c o n t r a c t ( Z v , a v , a v ) . We c l a i m t h a t t h e s e t { ( Z v , a v , a v ) , A V | v = ( k ^ k q ) > i s t h e r e q u i r e d s e t . F i r s t o f a l l , 17-1 -:• I = 1 ( 1 ) S e c o n d , by t h e m e t h o d o f p r o o f i n T h e o r e m 3 . 3 . 2 6 we h a v e , M^v) 5 E.[u.{;zY(w(.,av,iv)),a][}] > I Y . r f € . [ u . . a 3 ( w 1 ( . , a ^ , a l ! J 5 ) , a ^ . } . ] = Q,(v) ( 2 ) - 114: -H e n c e , I X V M . ( v ) * I X v Q ( v ) ( 3 ) v v B u t by ( 1 ) a b o v e , ( 3 ) b e c o m e s : I X V VlAv) a I • • • I A . . . A" Q , ( k , , k ) ( 4 ) v 1 k 1 k q J l J q 1 q S u p p o s e B ( i ) = { J - | , J r > w i t h o u t l o s s o f g e n e r a l i t y . Then ( 4 ) a b o v e b e c o m e s , k k k I X V M , ( v ) > I X , 1 - X . 2 • • • X r Q ( k , , k j w h e r e v ~ T 1 2 r 1 1 r ' T = { ( k r k r ) | J r J r e e 3 m J k k k k k = I Y . I X J E . [ u . ( Z ^ ( W j ( . , a j J , i j J ) ) , a . ^ ) ] J e B ( i ) 0 k j = l J J 1 0 w h i c h i s t h e r e q u i r e d r e s u l t . The s t a t e m e n t t h a t m <; N + 1 f o l l o w s f r o m 15 C a r a t h e o d o r y ' s T h e o r e m . Q . E . D . C o r o l l a r y 3 . 3 . 4 2 : I f t h e ( w e a k ) c o r e o f ( G , c o ( c l V ( J ) ) , c o ( c l F ( J ) ) ) i s n o n - e m p t y , t h e n t h e r e e x i s t s a P a r e t o - o p t i m a l c o n v e x c o m b i n a t i o n o f c o n -t r a c t s i n t h e weak c o r e . P r o o f : S i m i l a r t o P r o p o s i t i o n 3 . 3 . 3 1 . 3 . 3 . 5 M a r g i n a l i s t C o n s i d e r a t i o n s o f C o r e C o n t r a c t s From t h e d e v e l o p m e n t i n § 3 . 3 . 4 we c a n d e r i v e n e c e s s a r y a n d s u f f i -c i e n t c o n d i t i o n s f o r a p o i n t u e c o ( c l V ( G ) ) t o be a P a r e t o - o p t i m a l c o r e p o i n t ( a n d i t s a s s o c i a t e d f a m i l y o f c o n t r a c t s ' t o be a P a r e t o - o p t i m a l c o r e p o i n t ) by t h e u s e o f m a t h e m a t i c a l p r o g r a m s . The d e v e l o p m e n t d e p e n d s on - 115 -15 t h e s u p p o r t i n g h y p e r p l a n e t h e o r y o f c o n v e x s e t s . H o w e v e r , i t w i l l become c l e a r i n due c o u r s e t h a t t h e n e c e s s a r y c o n d i t i o n s do n o t p e r t a i n o n l y t o P a r e t o - o p t i m a l c o r e p o i n t s , b u t t o a n y P a r e t o - o p t i m a l p o i n t . H e n c e , t h e n e c e s s a r y c o n d i t i o n s t h r o w v e r y l i t t l e l i g h t on t h e p r o p e r t i e s o f P a r e t o - o p t i m a l c o r e p o i n t s . On t h e o t h e r h a n d , t h e s u f f i c i e n t c o n d i -t i o n s p e r t a i n o n l y t o P a r e t o - o p t i m a l c o r e p o i n t s . The m a i n r e a s o n why we h a v e i n c l u d e d t h i s d e v e l o p m e n t i n t h e C h a p t e r i s t o h i g h l i g h t t h e d i f f e r e n c e s i n t h e r e s u l t s when o n l y P a r e t o - o p t i m a l i t y i s a s s u m e d ( a s i n W i l s o n [ 1 9 6 8 a ] ) , a n d when t h e a d d i t i o n a l c o r e r e q u i r e m e n t i s i m p o s e d as i n o u r c a s e . P r o p o s i t i o n 3 . 3 . 5 1 : ( i ) L e t u e c o ( c l V ( G ) ) . A n e c e s s a r y c o n d i t i o n f o r u t o be a P a r e t o - o p t i m a l p o i n t i n t h e u t i l i t y c o r e U(G) ( o f t h e game ( G , c o ( c l V ( J ) ) , c o ( c l F ( J ) ) ) i s t h a t t h e r e e x i s t N n o n - n e g a t i v e n u m b e r s . , 0.. s u c h t h a t : ( a ) I 6.. = 1 i = l ( b ) u i s a s o l u t i o n t o t h e m a t h e m a t i c a l p r o g r a m Max 6 1 x 1 + . . . + 0 N x N s . t . x e c o ( c l V ( G ) ) (1) ( i i ) A n e c e s s a r y c o n d i t i o n t h a t a c o n v e x c o m b i n a t i o n o f a f a m i l y o f c o n -t r a c t s { • ( Z * , * * ! ^ * 1 ) . ( Z * q , a * q , a * q ) } w i t h c o n v e x w e i g h t s {X-,, X } r e p r e s e n t s a P a r e t o - o p t i m a l c o r e c o n t r a c t i n C ( G ) f o r t h e c o n v e x game ( G , c o ( c l V ( J ) ) , c o ( c l F ( J ) ) ) i s t h a t t h e r e e x i s t n o n - n e g a t i v e n u m b e r s 9-|, . . . , 0^ s u c h t h a t : 116 -( a ) I 6. = 1 i = l ( b ) Some i n f i n i t e s i m a l a m o u n t s , s a y £\> 0 , a d d e d t o t h e v e c t o r u i n e a c h c o m p o n e n t u ^ , w h e r e u. = E i [ u i ( Z * k ( w ( . , a * k , i * k ) ) , a * k ) ] s o l v e s t h e m a t h e m a t i c a l p r o g r a m Sup s . t . ' l x l + • • • 6 N X N N+1 x . = I u . E. [u • {Z1.1 ( w ( . , a " , a " ) ) , a ' . ' } ] h=l 1 .h - h v , h . N+1 h i 1 y h - 1 ' u h I" 0(z'1,a'1,a'1) i s a f e a s i b l e c o n t r a c t (2) P r o o f : ( i ) I f u i s P a r e t o - o p t i m a l , i t i s on t h e b o u n d a r y o f c o ( c l V ( G ) ) . S i n c e c o ( c l V ( G ) i s c o n v e x a n d c l o s e d , i t f o l l o w s f r o m t h e s e p a r a t i n g h y p e r -p l a n e t h e o r e m 1 ^ t h a t 3 n o n - n e g a t i v e numbers e-|> •••> Q^ s u c h t h a t I = 1. a n d N N y e . x . = y e-u. i=l 1 1 i-v 1 1 c o n s t i t u t e s a s u p p o r t i n g h y p e r p l a n e a t u . H e n c e u s a t i s f i e s t h e m a t h e -m a t i c a l p r o g r a m ( 1 ) . ( i i ) Some f a m i l y i n C ( G ) i s P a r e t o - o p t i m a l i f i t c a n be a s s o c i a t e d w i t h some e l e m e n t i n U(G) by a d d i n g an i n f i n i t e s i m a l amount ( s e e A s s u m p t i o n A l and t h e d i s c u s s i o n on page 9 4 ) . The p r o o f t h e n f o l l o w s f r o m ( i ) . The 117 r e a s o n t h a t t h e h i n t h e y h a r e l e s s t h a n o r e q u a l t o N + 1 ( h e n c e 15 q g N + 1) f o l l o w s f r o m C a r a t h e o d o r y ' s T h e o r e m . Q . E . D . P r o p o s i t i o n 3 . 3 . 5 2 : S u f f i c i e n t c o n d i t i o n s f o r a f a m i l y o f c o n t r a c t s { ( Z , a , a ) , (Z , a , a M ) } (q g N + 1 ) , w i t h n o n - n e g a t i v e c o n v e x w e i g h t s { A , , A } , t o be a P a r e t o - o p t i m a l c o r e f a m i l y i n t h e game ( G , c o ( c l V ( J ) ) , c o ( c l F ( J ) ' ) ' ) . a r e t h a t : w i t h I e. = i N k=l K ( a ) T h e r e e x i s t p o s i t i v e ; n u m b e r s 0 ^ , . . . ( b ) W i t h t h e a d d i t i o n o f an i n f i n i t e s i m a l amount e^> 0 t o e a c h c o m p o n e n t u . o f t h e v e c t o r u , w h e r e = I K E , [ u . { Z * k ( w ( . , a * k , a * k ) ) , a , k } ] t h e v e c t o r I k=l K _ (u-j + e-j . . . , u^ + e^l s o l v e s t h e m a t h e m a t i c a l p r o g r a m Sup 5 1 X 1 + • • • + 9 N X N N+l s . t . : x . = I u h E ^ . ^ w U a " , ^ ) ) ^ ) ] k 1 N+l h=l 2 0 - ( x . + E J ] I y ( J ) f o r e a c h J c G, J = 0 J O w h e r e : y ( J ) = Sup I Q.y. j E J s . t . y = ( y r y N ) e c o ( c l V ( J ) ) and ( Z h , a h , a n ) i s a f e a s i b l e c o n t r a c t . - 118 " P r o o f : I f { ( u . j + e ^ ) | i = 1, N} s o l v e s t h e m a t h e m a t i c a l p r o g r a m , t h e n i t i s a P a r e t o - o p t i m a l p o i n t i n t h e u t i l i t y c o r e U(G). T h i s i s b e c a u s e , i f n o t , t h e n some J £ G, s a y J^,, b l o c k s t h i s p o i n t . H e n c e , J - h a s i n CO(C1V(JQ ) ) a p o i n t y^ s u c h t h a t •OJ J 3 • 0 H e n c e , I 0 . y . > I 0 . ( u . + e O . B u t t h i s i m p l i e s t h a t y ( 0 ^ ) > I e j ( u + e j ) w h i c h i s a c o n t r a d i c t i o n o f one o f t h e c o n s t r a i n t s w h i c h u^ s a t i s f i e s . Q . E . D . The a g e n c y p r o b l e m a f f o r d s us d e e p e r i n s i g h t i n t o t h e m a r g i n a l i s t c o n d i t i o n s o f t h e c o r e . 3.4 The A g e n c y P r o b l e m H e r e t h e a g e n c y p r o b l e m ( s e e §2.3.2) i s t a k e n a s t h e p r o b l e m o f r i s k - s h a r i n g b e t w e e n two p a r t i e s , o n e o f w h i c h h a s t h e c a p i t a l a n d p r o d u c -t i o n t e c h n o l o g y , a n d t h e o t h e r t h e i n p u t s o f l a b o u r t o r u n t h e f i r m . Of c o u r s e , t h i s i s n o t t h e m o s t g e n e r a l a g e n c y p r o b l e m i n w h i c h b o t h p a r t i e s c a n c o n t r i b u t e v a r i o u s c a p i t a l a n d l a b o u r i n p u t s a s w e l l a s d i f f e r e n t t e c h -n o l o g i e s . The model o f t h i s c h a p t e r i s c a p a b l e o f h a n d l i n g t h i s g e n e r a l p r o b l e m a l s o . H o w e v e r , f o r t h e p u r p o s e o f e c o n o m i c i n s i g h t we r e s t r i c t o u r s e l v e s t o t h e a n a l y s i s o f t h e a g e n c y p r o b l e m a s d e s c r i b e d a b o v e . 3.4.1 The F o r m u l a t i o n o f t h e A g e n c y P r o b l e m The two p a r t i e s i n t h e a g e n c y p r o b l e m a r e t h e " p r i n c i p a l " ( 1 ) , who c o n t r i b u t e s c a p i t a l a n d t e c h n o l o g y , a n d t h e " a g e n t " ( 2 ) , who c o n t r i b u t e s - 119 -t h e l a b o u r ( o f v a r i o u s s k i l l t y p e s ) i n p u t s . The p r i n c i p a l d o e s n o t h a v e any d i r e c t p r e f e r e n c e s f o r t h e v a r i o u s t y p e s o r q u a n t i t i e s o f l a b o u r i n -p u t s i n t h a t h i s u t i l i t y f u n c t i o n i s n o t a f f e c t e d by t h e l a b o u r i n p u t s o f t h e a g e n t . On t h e o t h e r h a n d , t h e a g e n t h a s p r e f e r e n c e s o v e r t h e d i f f e r e n t t y p e s o f l a b o u r ( w h i c h i n a r e s t r i c t e d c a s e c a n be c a l l e d " d i s u t i l i t y " o f e f f o r t ) . On h i s o w n , t h e p r i n c i p a l c a n i n v e s t h i s c a p i t a l i n s e c u r i t i e s t o g e t a r e t u r n o f w - | ( s ) ( i n d e p e n d e n t l y o f t h e a c t i o n s o f t h e a g e n t ) i n e v e r y s t a t e s e S . S i m i l a r l y , t h e a g e n t h a s t h e o p p o r t u n i t y f o r o t h e r e m p l o y -ment o f h i s l a b o u r t o e a r n a r e t u r n o f W2 ( s , a ) , w h e r e a e D, t h e d e c i s i o n s p a c e o f l a b o u r i n p u t s o f t h e a g e n t . B o t h t h e s e a r e b o u n d e d f u n c t i o n s ( A s s u m p t i o n A O ) . T o g e t h e r t h e y h a v e a p a y o f f p o s s i b i l i t y o f w ( s , a ) . T h e r e a r e no j o i n t p r o s p e c t s D ( A s s u m p t i o n A 3 d o e s n o t a p p l y ) , a n d t h e a c t i o n s o f t h e a g e n t a r e u n o b s e r v a b l e . C l e a r l y t h i s i s a g e n e r a l game a s m o d e l l e d i n t h i s c h a p t e r w i t h G = { 1 , 2 } . F o r t h e p u r p o s e o f m a t h e m a t i c a l s i m p l i c i t y , a n d t o a v o i d t h e e > 0 a r g u m e n t s o f § 3 . 3 . 5 , we make t h e f o l l o w i n g a s s u m p t i o n : A s s u m p t i o n A 6 : F o r t h e a g e n c y p r o b l e m , t h e s e t s F ( l ) , F ( 2 ) a n d F ( { 1 , 2 } ) o f e x p e c t e d u t i l i t i e s a r e c l o s e d . The a g e n c y p r o b l e m a f f o r d s us an i n t u i t i v e r e i n f o r c e m e n t o f A s s u m p t i o n s A O , A 2 , A 4 , A5 a n d A 6 . AO s a y s t h a t n e i t h e r p r i n c i p a l n o r a g e n t c a n o b t a i n u n b o u n d e d p a y o f f s , a l o n e o r w o r k i n g t o g e t h e r . By A 2 , we a r e a s s u r e d t h a t t h e a g e n t c a n make a r b i t r a r y c o n v e x c o m b i n a t i o n s o f l a b o u r ( a c t i o n ) i n p u t s t o o b t a i n a f e a s i b l e l a b o u r i n p u t . A4 s t a t e s t h a t t h e p r i n c i p a l i s r i s k - a v e r s e a n d t h e a g e n t i s b o t h r i s k - a v e r s e i n t h e m o n e t a r y p a y o f f s he g e t s a n d c o n c a v e i n t h e l a b o u r e f f o r t . A 5 , t h e m o s t i m p o r t a n t a s s u m p t i o n , s t a t e s t h a t t o g e t h e r t h e p r i n c i p a l a n d a g e n t c a n p r o d u c e a - 120 " l a r g e r r e t u r n t h a n a l o n e ' . T h i s may be b e c a u s e t h e p r i n c i p a l , e v e n t h o u g h he owns t h e t e c h n o l o g y , may n o t be a b l e o r i n c l i n e d t o o p e r a t e i t a n d t h u s w i l l be r e s t r i c t e d t o i n v e s t m e n t i n s e c u r i t i e s o f h i s l i q u i d c a p i t a l r e -s o u r c e s . S i m i l a r l y , t h e a g e n t o n h i s own may o n l y be a b l e t o s e l l h i s . l a b o u r i n a l a r g e l a b o u r m a r k e t , b u t i n p a r t n e r s h i p o r i n c o r p o r a t i o n w i t h t h e p r i n c i p a l be a b l e t o a c h i e v e a l a r g e r p a y o f f . F i n a l l y , A6 i s s i m p l y a t e c h n i c a l a s s u m p t i o n made t o i m p r o v e t h e m a t h e m a t i c a l t r a c t a b i l i t y o f t h e p r o b l e m . P r o p o s i t i o n 3 . 4 . 1 1 : U n d e r A s s u m p t i o n s A O , A 2 , A 4 - A 6 , t h e a g e n c y game ( { 1 , 2 } , c o V ( J ) , c o F ( J ) ) h a s a n o n - e m p t y u t i l i t y c o r e U ( { 1 , 2 } ) a n d a n o n -empty c o n t r a c t c o r e G ( { 1 , 2 } ) . M o r e o v e r , t o e a c h u e u ( { l , 2 } ) , t h e r e c o r -1 1 2 2 r e s p o n d s a f a m i l y o f a t m o s t 2 c o n t r a c t s { ( Z , a ) , (Z , a ) } , w h o s e c o n v e x c o m b i n a t i o n o f e x p e c t e d u t i l i t i e s y i e l d u . P r o o f : The p r o o f f o l l o w s f r o m t h e g e n e r a l r e s u l t T h e o r e m 3 . 3 . 4 1 . M o r e -o v e r , s i n c e V ( J ) ( J c G = { 1 , 2 } ) a r e c l o s e d by A s s u m p t i o n A 6 , t h e s t a t e m e n t a b o u t t h e c o n t r a c t c o r e C ( { 1 , 2 } ) i s t r u e w i t h o u t a n y £ a r g u m e n t s . F i n a l l y t h e " a t m o s t 2 c o n t r a c t s . . . " s t a t e m e n t f o l l o w s f r o m C a r a t h e o d o r y ' s  T h e o r e m 1 5 and t h e f a c t t h a t u l i e s on t h e b o u n d a r y o f coVCGO. Q . E . D . I n v i e w o f t h e p r e c e d i n g r e s u l t , we c a n r e s t r i c t o u r a t t e n t i o n t o t h e n e c e s s a r y c o n d i t i o n s f o r a P a r e t o - o p t i m a l c o r e f a m i l y b e c a u s e t h e e x i s t e n c e o f t h i s i s g u a r a n t e e d by C o r o l l a r y 3 . 3 . 4 2 . 3 . 4 . 2 N e c e s s a r y C o n d i t i o n s f o r a P a r e t o - o p t i m a l C o r e F a m i l y  o f C o n t r a c t s L e t u * = E-| [u-j (w-j ( . ) ) ] , n a m e l y t h e e x p e c t e d u t i l i t y t h e p r i n c i p a l c a n g e t on h i s o w n , a n d l e t u 2 = Sup { x | x = E 2 [ ( u 2 ( w 2 ( . , a ) , a ) ) ] , a e D} . w h a t , _ t h e n , c o n s t i t u t e s t h e u t i l i t y c o r e i n c o V ( G ) ? T h i s i s shown i n F i g . 3 . 8 . - 12T -2, P a r e t o - o p t i m a l p o i n t n o t i n J>7 t h e c o r e . 1 U t i l i t y c o r e o f an - > a g e n c y . , 1 1 1 1 — — — > III* 1 ' • 1 1" ^1 F i g u r e 3 . 8 D i s t i n c t i o n B e t w e e n C o r e P o i n t s a n d P a r e t o - O p t i m a l P o i n t s I n t h e a g e n c y s i t u a t i o n , a c o n t r a c t s h a r i n g r u l e Z c a n be d e f i n e d s i m p l y a s t h e s h a r e o f t h e a g e n t b e c a u s e t h e r e m a i n d e r a u t o m a t i c a l l y g o e s t o t h e p r i n c i p a l . H e n c e , i n s t e a d o f Z = {l^,!^) i n t h e u s u a l s e n s e o f t h i s c h a p t e r , by an a g e n c y c o n t r a c t s h a r i n g r u l e , we s i m p l y mean t h e s h a r e o f t h e a g e n t , n a m e l y 1^. T h u s , i n t h i s s e c t i o n , Z = 1^. The f o l l o w i n g r e s u l t d e r i v e s i t s i n t u i t i v e c o n t e n t f r o m t h e d i a g r a m i n F i g . 3 . 8 . P r o p o s i t i o n 3 . 4 . 2 1 : U n d e r A s s u m p t i o n s A O , A 2 , A 4 - A 6 , t h e n e c e s s a r y c o n d i -t i o n s f o r a f a m i l y o f c o n t r a c t s { ( Z , a ) , (Z , a )} w i t h c o n v e x w e i g h t s { A*,A£ } t o be a P a r e t o - o p t i m a l c o r e f a m i l y y i e l d i n g a P a r e t o - o p t i m a l v e c t o r u e U ( { 1 , 2 } ) a r e : - 122 -( i ) T h e r e e x i s t n o n - n e g a t i v e numbers 6-j a n d s u c h t h a t 0-, + 0 2 = 1 • ( i i ) The f a m i l y o f c o n t r a c t s s o l v e t h e f o l l o w i n g m a t h e m a t i c a l p r o g r a m m i n g p r o b l e m : 2 M a x 6 n ( I K E 1 [ u 1 ( w ( . - , a k ) - Z k ( w ( . , a k ) ) ) ] ) k=l 1 + 8 2 ( I Xk E 2 [ u 2 ( Z k ( w ( . , a k ) ) , a k ) ] ) k 1 2 s . t . 1 X. E 1 [ u 1 ( w ( . , a k ) - Z k ( w ( . , a k ) ) ) ] > u * k=l ( 1 ) I \ E 2 [ u 2 ( Z k ( w ( . , a k ) ) , a k ) ] z u*2 k—1 ( 2 ) l \ = V,, x >=0 k=l k k k k Z i s an a r b i t r a r y m e a s u r a b l e f u n c t i o n , a e D i P r o o f : ( i ) The e x i s t e n c e o f 0 - j , 0 2 f o l l o w s f r o m t h e g e n e r a l s u p p o r t i n g h y p e r p l a n e t h e o r e m g i v e n t h a t t h e p o i n t i s on t h e b o u n d a r y o f c o ( V ( G ) ) ( s e e P r o p o s i t i o n 3 . 3 . 3 1 ) . ( i i ) T h i s a g a i n f o l l o w s f r o m t h e P a r e t o - o p t i m a l i t y and c o r e n a t u r e o f t h e s o l u t i o n . B o t h t h e c o n s t r a i n t s (1) a n d ( 2 ) a r e n e c e s s a r y b e c a u s e , i n t h e a b s e n c e o f e i t h e r o r b o t h , o n l y t h e n e c e s s a r y c o n d i t i o n s f o r  P a r e t o - o p t i m a l i t y a r e s a t i s f i e d b u t n o t t h o s e o f t h e c o r e . Q . E . D . T h e - a b o v e p r o p o s i t i o n s h o u l ' d p a v e t h e way f o r a m a r g i n a l i s t a n a l y s i s » a n d a d e d i c a t e d m a r g i n a l i s t w o u l d p l u n g e a h e a d , d i f f e r e n t i a t i n g - 123 -e v e r y f u n c t i o n i n s i g h t t o g e n e r a t e m a r g i n a l i s t e c o n o m i c p r o p o s i t i o n s . H o w e v e r , t h e d e r i v a t i o n o f L a g r a n g e a n t y p e o f r e s u l t s r e q u i r e s i n , many m a t h e m a t i c a l p r o g r a m m i n g p r o b l e m s , an e l a b o r a t e a n d p a i n s t a k i n g j u s t i f i c a -t i o n ( s e e , e . g . , E k e l a n d a n d Temam [ 1 9 7 6 ] , L u e n b e r g e r [ 1 9 6 9 ] , R o c k a f e l l a r [ 1 9 7 4 ] ) . O t h e r w i s e , t h e r e s u l t s a r e v a c u o u s b e c a u s e t h e y a r e i n t r i n s i c a l l y f a l s e . T h i s i s n o t t o d e c r y t h e s i g n a l c o n t r i b u t i o n s o f m a r g i n a l a n a l y s i s . R a t h e r , i t i s m e a n t a s a c a u t i o n b e c a u s e i f t h e d a n g e r o f p r o d u c i n g m a t h e -m a t i c a l l y f a l s e r e s u l t s i n f i n i t e - d i m e n s i o n a l s p a c e s i s g r e a t , t h a t d a n g e r i s e v e n g r e a t e r when one d e a l s w i t h i n f i n i t e - d i m e n s i o n a l s p a c e s s u c h a s f u n c t i o n s p a c e s . And f u n c t i o n s p a c e s a r e a n i n d i s p e n s a b l e o b j e c t ( b e c a u s e  o f t h e c h o i c e o f s h a r i n g r u l e s ) i n r i s k - s h a r i n g , s y n d i c a t e a n d a g e n c y t y p e  o f p r o b l e m s . I n v i e w o f t h e a b o v e , we s h a l l i n d i c a t e w h e r e t h e r e s u l t s r e s t on f i r m m a t h e m a t i c a l g r o u n d s , a n d w h e r e t h e r e a s o n i n g n e e d s a s s u m p t i o n s w h i c h m u s t be t e s t e d t o d e t e r m i n e t h e n o n - v a c u i t y o f t h e r e s u l t s . C o n s i d e r , t h e n , P