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Steady and transient aerodynamics of spoilers on airfoils Bernier, Robert 1977

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STEADY AND TRANSIENT AERODYNAMICS OF SPOILERS ON AIRFOILS B.Sc.A. Universite de Sherbrooke, 1975 A THESIS SUBMITTED IN PARTIAL FULFILMENT OF THE REQUIREMENTS 'FOR THE DEGREE OF MASTER OF APPLIED SCIENCE in THE FACULTY OF GRADUATE STUDIES in the Department of Mechanical Engineering We accept this thesis as conforming to the required standard THE UNIVERSITY OF B R I T I S H C O L U M B I A August, 1977 Cc) Robert Bernier, 1977 by ROBERT BERNIER i In presenting this thesis i n p a r t i a l fulfilment of the requirements for an advanced degree at the University of B r i t i s h Columbia, I agree that the Library shall make i t freely available for reference and study. I further agree that permission for extensive copying of this thesis for scholarly purposes may be granted by the Head of my Department or by his representatives. It i s understood that publication, in part or in whole, or the copying of this thesis for financial gain shall not be allowed without my written permission. ROBERT BERNIER Department of Mechanical Engineering The University of B r i t i s h Columbia, Vancouver, Canada V6T 1W5 i i ABSTRACT This thesis is concerned with the extension of a two-dimensional linearized potential flow theory applied to a thin a i r f o i l with spoiler. The extension is first related to the prediction of the pitching moment for an a i r f o i l immersed in a uniform steady state flow. Linear techniques have been used to determine the transient pitching moment due to the erection of an upper surface spoiler. Finally, stability deriva-tives of the transient responses have been calculated. The non-uniform flow created by the steady-state oscillations of a spoiler around its hinge has also been investigated. The determination df the out of phase l i f t , pitching moment and spoiler hinge moment was achieved by integrating the resulting oscillatory pressure loading on the f o i l . TABLE OF CONTENTS i i i Page I INTRODUCTION 1' I I LINEARIZATION OF THE AIRFOIL WITH SPOILER PROBLEM 4 I I I AERODYNAMIC TOOLS 7 IV STEADY STATE SOLUTION 9 4.1. Boundary Conditions 9 4.2. Complex Transform Planes 10 4.3. Complex Acceleration P o t e n t i a l 13 4T4. Steady State L i f t and Pi t c h i n g Moment 13 4.5. Results 16 V STEADY STATE OSCILLATIONS 26 5.1. Boundary Conditions 26 5.2. Non-steady Complex Acceleration P o t e n t i a l 27 5.3. Method of Solution 29 5.4. O s c i l l a t o r y L i f t , P i t c h i n g Moment and Spoil e r Hinge Moment 31 5.5. Results 35 VI TRANSIENT SOLUTIONS 40 6.1. Aerodynamic Transfer Functions 40 6.2. Unit Step Spoiler Actuation 44 iv Page 6.3. Finite Time Spoiler Actuation 48 6.4. Stability Derivatives 54 VII CONCLUSION 5 9 APPENDIX A • • • - 6 1 APPENDIX B 6 3 APPENDIX C 6 4 APPENDIX D 6 8 REFERENCES 69 V L I S T OF FIGURES Page 1 A i r f o i l in the physical plane 4 2 Linearized representation of a i r f o i l with spoiler and flap 6 3 Complex transform planes - 12 4 14% Clark-Y a i r f o i l with spoiler and flap 18 5 14% Clark-Y l i f t and pitching moment 19 6 14% Clark-Y l i f t and pitching moment 20 7 14% Clark-Y l i f t and pitching moment 21 8. 14% Clark-Y l i f t and pitching moment 22 9 14% Clark-Y with flap: l i f t and pitching moment 23 10 Pressure distribution for 14% Clark-Y a i r f o i l with spoiler 24 11 Influence of spoiler inclination 25 12 Flat plate with spoiler in the physical plane 34 13 Steady state oscillations: l i f t and pitching moment (Rotation) ...... 37 14 Steady state oscillations: l i f t and pitching moment (Rotation) 38 15 Steady state oscillations: spoiler hinge moment (Rotation) 39 16 Steady state oscillations: l i f t and pitching moment (Translation) ... 4 5 17 Steady state oscillations: l i f t and pitching moment (Translation) ... 4 6 18 Solutions to unit step spoiler actuation * ^ 19 Superposition of excitation and response functions 52 20 Solutions to finite-time spoiler actuation 53 21 Indicial admittance: l i f t and pitching moment defects 54 22 S t a b i l i t y derivatives 56 23 S t a b i l i t y derivatives 57 REMERCIEMENT Quelque soit l a nature du travail, la stimulation intellectuelle est a l'origine d'un milieu de recherche vivant et dynamique. II ne fait pas de doute que le Dr. G.V. Parkinson appartient a ce milieu privilegie et que le contact de sa personne a ete pour moi une source de stimulation inappreciable. Je l'en remercie. v i i LIST OF MAIN SYMBOLS a n Laurent series coefficients for the mapping function C(z), n = 0,1,2.. .. -> a Acceleration vector A n Laurent series coefficients for the complex acceleration potential b b' F(z), n = 1,2. / s+h ' a y£-(s+h) B 0 Real constant i n F^ (5) c A i r f o i l chord c n Flap chord Co Real constant i n F^ (C) Complex constant of integration c2 t C i Complex constant of integration -Ci/5 or -CVvo c; C 2 / 6 or C 2/v 0 L i f t coefficient c m Pitching moment coefficient ci„ Amplitude of the l i f t coefficient in non-steady theory C Amplitude of the pitching moment i n non-steady theory ° P Pressure coefficient Constants resulting from the integration w.r.t. 0 ( l i f t ) El->5 Constants resulting from the integration w.r.t. 0 (pitching moment) v i i i f ^ D e f e c t o f l i f t i n u n i t s t e p r e s p o n s e f D e f e c t o f p i t c h i n g moment i n u n i t s t e p r e s p o n s e F Co rcp lex a c c e l e r a t i o n p o t e n t i a l R C o m p l e x a c c e l e r a t i o n p o t e n t i a l f o r t h e i n c i d e n c e c a s e F c C o m p l e x a c c e l e r a t i o n p o t e n t i a l f o r t h e camber c a s e F^ C o m p l e x a c c e l e r a t i o n p o t e n t i a l f o r t h e t h i c k n e s s c a s e F C o m p l e x a c c e l e r a t i o n p o t e n t i a l f o r t h e s p o i l e r c a s e s F j , C o m p l e x a c c e l e r a t i o n p o t e n t i a l f o r t h e f l a p c a s e *l>-5 C o n s t a n t r e s u l t i n g f r o m t h e i n t e g r a t i o n w . r . t . 6 ( s p o i l e r h i n g e moment) 2ai 1-b g b+1 1+b h S p o i l e r h e i g h t x ' d x ' H , „ - € o e f f i c i e n t s o f t h e f i n i t e s i n e s e r i e s f o r — r — l->4 c dQ i \f-l i n t h e p h y s i c a l p l a n e I j . I n d i c i a l a d m i t t a n c e f o r t h e l i f t I I n d i c i a l a d m i t t a n c e f o r t h e p i t c h i n g moment j \J-1 i n t h e t i m e and f r e q u e n c y d o m a i n s J F o u r i e r s e r i e s c o e f f i c i e n t s i n t h e s t e a d y - s t a t e o s c i l l a t i o n s s o l u t i o n n = 0,1,2 K C a v i t a t i o n number K n F o u r i e r s e r i e s c o e f f i c i e n t s i n t h e s t e a d y - s t a t e o s c i l l a t i o n s s o l u t i o n n = 0,1,2 I C a v i t y l e n g t h 1 d x ' L , ^ 0 C o e f f i c i e n t s o f t h e f i n i t e s i n e s e r i e s f o r - — ^ 1*2 c ct9 M F o u r i e r s e r i e s c o e f f i c i e n t s f o r t h e camber c a s e , n = 0,1,2... n i x N F o u r i e r s e r i e s c o e f f i c i e n t s f o r t h e t h i c k n e s s c a s e , n = 0.1.2 n p S t a t i c p r e s s u r e i n t h e f l o w f i e l d P c P r e s s u r e i n s i d e t h e c a v i t y P ^ U n d i s t u r b e d f r e e s t r e a m s t a t i c p r e s s u r e q V e l o c i t y v e c t o r Q-, A m p l i t u d e o f t h e o s c i l l a t o r y l i f t s c a l e d b y t h e q u a s i s t e a d y v a l u e Q m A m p l i t u d e o f t h e o s c i l l a t o r y p i t c h i n g moment s c a l e d b y t h e q u a s i mg s t e a d y v a l u e Oj A m p l i t u d e o f t h e o s c i l l a t o r y s p o i l e r h i n g e moment s c a l e d b y t h e mSo q u a s i s t e a d y v a l u e s S p o i l e r c h o r d w i s e p o s i t i o n t T i m e ~ U t t D i m e n s i o n l e s s t i m e — „ c T T i m e o f s p o i l e r e r e c t i o n UT T D i m e n s i o n l e s s t i m e o f s p o i l e r e r e c t i o n — T ^ 4 C o m p l e x i n t e g r a l s u s e d t o d e f i n e C a a n d C 2 u ' P e r t u r b a t i o n v e l o c i t y i n t h e x d i r e c t i o n ( d i m e n s i o n l e s s ) U F r e e s t r e a m v e l o c i t y v ' P e r t u r b a t i o n v e l o c i t y i n t h e y d i r e c t i o n ( d i m e n s i o n l e s s ) W D i m e n s i o n l e s s w o r k W-^  A c t u a t i o n r e s p o n s e f u n c t i o n f o r t h e l i f t W A c t u a t i o n r e s p o n s e f u n c t i o n f o r t h e p i t c h i n g moment m x , y C o o r d i n a t e s y s t e m i n t h e z p l a n e x ' , y ! C o o r d i n a t e s y s t e m i n t h e z ' p l a n e x " x ' / c • z C o m p l e x v a r i a b l e d e s c r i b i n g t h e p l a n e o f t h e a i r f o i l C o m p l e x v a r i a b l e d e s c r i b i n g t h e z ' p l a n e A n g l e o f i n c i d e n c e A n g u l a r a m p l i t u d e o f t h e s p o i l e r m o t i o n i n n o n - s t e a d y t h e o r y S p o i l e r a n g l e o f i n c l i n a t i o n T i m e d e p e n d e n t s p o i l e r a n g l e o f i n c l i n a t i o n C o m p l e x v a r i a b l e d e s c r i b i n g t h e c, p l a n e j ; ( z ) f o r z = F l a p d e f l e c t i o n a n g l e A n g u l a r p o s i t i o n o n t h e u n i t h a l f c i r c l e i n t h e z; p l a n e A n g u l a r p o s i t i o n o f t h e l e a d i n g edge i n t h e 5 p l a n e A n g u l a r p o s i t i o n o f t h e s p o i l e r b a s e i n t h e £ p l a n e A n g u l a r p o s i t i o n o f t h e f l a p h i n g e i n t h e t, p l a n e R e d u c e d f r e q u e n c y ^ F l u i d d e n s i t y A c c e l e r a t i o n p o t e n t i a l A m p l i t u d e o f t h e a c c e l e r a t i o n p o t e n t i a l A c c l e r a t i o n s t r e a m f u n c t i o n A m p l i t u d e o f t h e a c c e l e r a t i o n s t r e a m f u n c t i o n C i r c u l a r f r e q u e n c y 1 I. INTRODUCTION P r i o r t o t h e i n t r o d u c t i o n o f n e w l y d e v e l o p e d t h e o r e t i c a l m o d e l s , t h e p r o b l e m o f p r e d i c t i n g t h e a e r o d y n a m i c p e r f o r m a n c e o f an a i r f o i l w i t h s p o i l e r h a d l e f t d e s i g n e r s n o a l t e r n a t i v e b u t t o c a r r y o u t c o s t l y w i n d t u n n e l t e s t s . A l t h o u g h t h e g u i d a n c e o f f e r e d b y t h o s e m o d e l s r e m a i n s t o some e x t e n t l i m i t e d , t h e i r c a p a b i l i t y t o a c h i e v e g o o d p r e d i c t i o n s h a s p r o v e d t h e v a l i d i t y o f t h e a s s u m p t i o n s o n w h i c h t h e y a r e b a s e d a n d c e r t a i n l y p o i n t s o u t a p r o m i s i n g a r e a t o p u r s u e f u r t h e r i n v e s t i g a t i o n s . T h o s e m o d e l s h a v e b e e n d e v e l o p e d w i t h i n t h e f r a m e w o r k o f an e x a c t p o t e n t i a l f l o w t h e o r y . A l t h o u g h h i g h l y d i s s i p a t i v e f o r c e s a r e i n -v o l v e d i n t h e s e p a r a t e d r e g i o n b e h i n d t h e s p o i l e r , t h e s h e a r l a y e r s o n t h e b o d y a n d t h e m i x i n g l a y e r s b e t w e e n t h e f r e e s t r e a m a n d t h e wake h a v e b e e n assumed t h i n a n d w e l l - d e f i n e d . W i t h r e s p e c t t o t h o s e a s s u m p t i o n s , J a n d a l i (1) a n d B r o w n ( 2 ) h a v e u s e d a t w o d i m e n s i o n a l i n c o m p r e s s i b l e a n d i r r o t a t i o n a l f l o w t o m o d e l t h e r e g i o n e x t e r i o r t o t h e wake a n d w e r e s u c c e s s f u l i n e s t i -m a t i n g t h e l i f t a n d p r e s s u r e d i s t r i b u t i o n o v e r t h e f o i l c o n t o u r e x c e p t f o r a s e p a r a t i o n b u b b l e i n f r o n t o f t h e s p o i l e r due t o a p o s i t i v e p r e s s u r e g r a d i e n t . H o w e v e r , n o m a t t e r how s o p h i s t i c a t e d a m o d e l o f t h i s c l a s s i s u s e d , i t s g e n e r a l i n a b i l i t y t o p r e d i c t wake p r o p e r t i e s r e q u i r e s t h e i n t r o -d u c t i o n o f some e m p i r i c i s m . U n f o r t u n a t e l y J a n d a l i ' s a n d B r o w n ' s m o d e l s a r e no e x c e p t i o n s t o t h a t r e s t r i c t i o n . L i n e a r i z e d a p p r o a c h e s h a v e b e e n shown many t i m e s t o p r o v i d e a n a t t r a c t i v e c o m p r o m i s e b e t w e e n a c c u r a c y a n d s i m p l i c i t y a s w e l l a s a s t e p p i n g s t o n e i n t h e t r e a t m e n t o f u n s t e a d y f l o w . Due t o t h e e n c o u r a g i n g r e s u l t s 2 p r e v i o u s l y o b t a i n e d w i t h e x a c t m e t h o d s , B rown h a s i n t r o d u c e d a l i n e a r i z e d v e r s i o n o f t h e f l o w m o d e l f o r t h e s t e a d y - s t a t e c a s e a n d h a s e v e n e x t e n d e d h i s t h e o r y t o e s t i m a t e t h e t r a n s i e n t l i f t o n t h e a i r f o i l due t o t h e a c t u a -t i o n o f t h e s p o i l e r . M o r e f l e x i b l e t h a n i t s e x a c t c o u n t e r p a r t , t h e l i n e a r i z e d m o d e l a p p l i e s t o a t h i n a i r f o i l o f a r b i t r a r y i n c i d e n c e , c a m b e r , t h i c k n e s s , f l a p d e f l e c t i o n , a n d s p o i l e r i n c l i n a t i o n . The o n l y e m p i r i c a l i n p u t n e e d e d i s t h e c o n s t a n t b a s e p r e s s u r e i n t h e w a k e . I n t h e i n t e r e s t o f a s e l f - c o n t a i n e d p r e s e n t a t i o n , t h e w o r k d e s c r i b e d h e r e a f t e r , w h i c h c o n s i s t s o f an e x t e n s i o n o f B r o w n ' s l i n e a r i z e d , t h e o r y , i s p r e s e n t e d i n t i m a t e l y m i x e d w i t h B r o w n ' s own w o r k . Any a t t e m p t t o c o m m u n i c a t e t h e r e s u l t o f t h i s r e s e a r c h w o u l d b e m e a n i n g l e s s w i t h o u t t h e i n t r o d u c t i o n o f t h e s t r u c t u r e o n w h i c h h i s t h e o r y i s b u i l t . The e x t e n s i o n c o v e r s f i r s t t h e d e t e r m i n a t i o n o f t h e s t e a d y s t a t e p i t c h i n g moment o f a n a i r f o i l w i t h s p o i l e r u s i n g B l a s i u s ' e q u a t i o n a p p l i e d t o a c o m p l e x f u n c t i o n d e s c r i b i n g u n i q u e l y t h e e n t i r e f l o w f i e l d . T h e t h e o r e t i c a l r e s u l t s a r e c o m p a r e d t o e x p e r i m e n t a l d a t a f o r a 14% t h i c k C l a r k - Y a i r f o i l f o r d i f f e r e n t s p o i l e r c h o r d p o s i t i o n and h e i g h t c o m b i n a t i o n s . U n s t e a d y f l o w s e x c l u s i v e l y due t o t h e m o t i o n o f t h e s p o i l e r h a v e a l s o b e e n r e v i s e d a n d e x t e n d e d . F i r s t , t h e s o l u t i o n t o s t e a d y - s t a t e s p o i l e r o s c i l l a t i o n s a b o u t i t s h i n g e h a s b e e n w o r k e d o u t . T h e r e s u l t i n g f r e q u e n c y d e p e n d e n t p r e s s u r e l o a d i n g h a s b e e n i n t e g r a t e d t o g i v e i m p o r t a n t r e s u l t s c o n c e r n i n g a m p l i t u d e s a n d p h a s e c h a n g e s o f l i f t a n d p i t c h i n g moment c o e f f i c i e n t s a n d t o p r o v i d e i n f o r m a t i o n a b o u t t h e t e n d e n c y o f t h e s p o i l e r t o f l u t t e r . 3 T r a n s l a t o r y s t e a d y s t a t e o s c i l l a t i o n s o f t h e s p o i l e r h a d b e e n u s e d b y B rown a s a means t o e v a l u a t e t h e t r a n s i e n t l i f t r e s p o n s e t o u n i t s t e p a n d f i n i t e t i m e s p o i l e r a c t u a t i o n . A r e v i s e d s o l u t i o n i s u s e d t o c a l c u l a t e t h e t r a n s i e n t l i f t a n d p i t c h i n g moment due t o a u n i t s t e p c h a n g e i n s p o i l e r i n c l i n a t i o n . A l s o , t h e t r a n s i e n t s o l u t i o n t o f i n i t e t i m e s p o i l e r a c t u a t i o n h a s b e e n e x p r e s s e d i n t h e f o r m o f a D u h a m e l ' s i n t e g r a l i n s t e a d o f a f i n i t e sum o f t i n y u n i t s t e p i n c l i n a t i o n s d i s t r i b u t e d o v e r t h e p e r i o d o f a c t u a t i o n . F i n a l l y , D u h a m e l ' s i n t e g r a l i s r e w o r k e d i n a d i f f e r e n t i a l f o r m w h i c h h a s t h e a d v a n t a g e o f d i s p l a y i n g t h e s t a b i l i t y d e r -i v a t i v e s u s e d i n d y n a m i c s t a b i l i t y a n a l y s i s . 4 I I . L INEARIZATION OF THE A I R F O I L WITH SPOILER PROBLEM The u s u a l a s s u m p t i o n s o f t h e g e n e r a l s m a l l p e r t u r b a t i o n t h e o r y -a r e a p p l i e d t o a t h i n a i r f o i l o f c h o r d c , w i t h a s p o i l e r o f h e i g h t h a t c h o r d p o s i t i o n s a n d a f l a p o f c h o r d c . The a i r f o i l l e a d i n g e d g e c o i n c i d e s w i t h t h e o r i g i n o f t h e z p l a n e a s shown i n f i g u r e 1 a n d a c l o s e d c a v i t y o f c o n s t a n t p r e s s u r e p c a n d l e n g t h I e x t e n d s f r o m t h e s p o i l e r t i p a n d f o i l t r a i l i n g e d g e . F i g u r e 1. A i r f o i l i n t h e p h y s i c a l p l a n e . T h e a i r f o i l w i t h s p o i l e r i s i m m e r s e d a t an i n c i d e n c e a n g l e a i n a t w o - d i m e n s i o n a l i n c o m p r e s s i b l e a n d i r r o t a t i o n a l f l o w c h a r a c t e r i z e d b y t h e u n d i s t u r b e d f r e e s t r e a m v e l o c i t y U . A t any p o i n t ( x , y ) i n t h e f l o w a r o u n d t h e a i r f o i l , t h e v e l o c i t y v e c t o r q c a n b e e x p r e s s e d a s q ( x , y , t ) = U ( l + u')£ + U v ' ^ 5 S i n c e t h e d i m e n s i o n l e s s p e r t u r b a t i o n v e l o c i t i e s u ' a n d v ' i n t h e x a n d y d i r e c t i o n c r e a t e d b y t h e p r e s e n c e o f t h e b o d y a r e s m a l l c o m p a r e d t o u n i t y , t h e t a n g e n t f l o w c o n d i t i o n a t t h e f o i l s u r f a c e i s l i n e a r i z e d . The l o c a l s l o p e o f t h e a i r f o i l i s t h e r e f o r e e q u a l t o t h e v e r t i c a l d i m e n s i o n -l e s s d i s t u r b a n c e v e l o c i t y v ' . T h e i n t e r e s t i n g f e a t u r e o f t h i s l i n e a r i z a t i o n l i e s i n t h e f a c t t h a t t h e w h o l e p r o b l e m c a n now b e r e g a r d e d a s t h e s u p e r p o s i t i o n o f t h e d i s t u r b a n c e s a s s o c i a t e d w i t h e a c h g e o m e t r i c a i r f o i l component , : i . e . , a s t h e s u m m a t i o n o f t h e f o l l o w i n g c a s e s shown i n f i g u r e 2 . i ) a f l a t p l a t e a t an a n g l e o f a t t a c k a w i t h a wake o f c o n s t a n t p r e s s u r e i i ) a c a m b e r e d p l a t e a t z e r o i n c i d e n c e w i t h a w a k e o f c o n s t a n t p r e s s u r e i i i ) a s y m m e t r i c a l t h i c k n e s s d i s t r i b u t i o n a t z e r o i n c i d e n c e w i t h a w a k e o f c o n s t a n t p r e s s u r e i v ) a f l a t p l a t e a t z e r o a n g l e o f a t t a c k w i t h a s p o i l e r a t an i n c l i n a t i o n 6 f a n d a w a k e o f c o n s t a n t p r e s s u r e v ) a f l a t p l a t e a t z e r o i n c i d e n c e w i t h a f l a p o f d e f l e c -t i o n n a n d a wake o f c o n s t a n t p r e s s u r e The i m m e r s e d b o d y b e i n g t h i n , t h e l i n e a r i z a t i o n p r o c e s s c a n b e p u r s u e d o n e s t e p f o r w a r d b y a p p l y i n g t h e b o u n d a r y c o n d i t i o n o n t h e r e a l a x i s r a t h e r t h a n on t h e s u r f a c e o f t h e f o i l i t s e l f . S i n c e a l l r e l e v a n t i n f o r m a t i o n c o n c e r n i n g t h e g e o m e t r y h a s b e e n c o d e d i n t h e t a n g e n t f l o w b o u n d a r y c o n d i t i o n , t h e a c t u a l s h a p e o f t h e a i r f o i l w i t h a wake i s n o more s i g n i f i c a n t a n d i s t h e r e f o r e r e p l a c e d b y a s l i t a n d a c a v i t y o n t h e r e a l a x i s . 6 F i g u r e 2. LINEARIZED REPRESENTATION OF A IR?0il WITH SPOILER & FLAP 7 I I I . AERODYNAMIC TOOLS The o r i g i n a l a i r f o i l w i t h s p o i l e r p r o b l e m h a s b e e n r e d u c e d i n t h e p r e v i o u s s e c t i o n t o a m i x e d b o u n d a r y v a l u e p r o b l e m w h e r e t h e c o n s t a n t p r e s s u r e p c i s s p e c i f i e d o n t h e c a v i t y w h i l e o n l y t h e v e r t i c a l p e r t u r b a t i o n v e l o c i t y v ' i s known o n t h e w e t t e d s u r f a c e . The t r e a t m e n t o f t h i s c l a s s o f p r o b l e m s i s s i m p l i f i e d b y i n t r o -d u c i n g t h e a c c e l e r a t i o n p o t e n t i a l <j> a s f i r s t done b y B i o t ( 1 9 4 2 ) a n d d e f i n e d a s t h e n e g a t i v e s t a t i c p r e s s u r e t o d e n s i t y r a t i o . I n a d i m e n s i o n -l e s s f o r m , a n d c h o o s i n g a v a l u e o f cj) e q u a l t o z e r o o n t h e c a v i t y , t h e a c c e l e r a t i o n p o t e n t i a l may b e w r i t t e n a s T h e g r a d i e n t o f t h i s s c a l a r f u n c t i o n i s e q u a l t o t h e a c c e l e r a t i o n v e c t o r a o f a f l u i d p a r t i c l e , a n d i t i s e a s i l y shown t h r o u g h t h e c o n t i n u i t y e q u a t i o n t h a t cj) i s a h a r m o n i c f u n c t i o n whose L a p l a c i a n i s z e r o . T h e i m m e d i a t e c o n s e q u e n c e o f t h i s p r o p e r t y i s t o p e r m i t t h e d e f i n i t i o n o f a c o m p l e x a c c e l -e r a t i o n p o t e n t i a l f u n c t i o n w i t h t h e a c c e l e r a t i o n p o t e n t i a l <j> a s t h e r e a l p a r t , a n d i t s h a r m o n i c c o n j u g a t e ty a s t h e i m a g i n a r y p a r t . I n t h e l i n e a r i z e d p h y s i c a l z p l a n e w h e r e z = x + i y , t h i s a n a l y t i c c o m p l e x f u n c t i o n t a k e s t h e f o r m o f F ( z , t ) = <(>(x,y,t) + HKx , y , t ) T h e l i n e a r i z a t i o n o f E u l e r ' s e q u a t i o n s o f m o t i o n c o m b i n e d w i t h C a u c h y - R i e m a n n e q u a t i o n s p e r m i t s u s t o r e l a t e t h e p e r t u r b a t i o n v e l o c i t i e s u ' a n d v ' t o t h e c o m p l e x a c c e l e r a t i o n p o t e n t i a l b y t h e f o l l o w i n g f i r s t o r d e r 8 d i f f e r e n t i a l e q u a t i o n s 1 3u^ 3u^ d± U 3t 3x .. 3x 1 3v^ 3yJ_ _ 3^ U 3t 3x 3x w h e r e u ' , v ' a n d <j> a r e d i m e n s i o n l e s s b u t n o t x , y a n d t . 9 IV. STEADY STATE SOLUTION' L i n e a r i z e d E u l e r ' s e q u a t i o n s o f m o t i o n i n t h e i r s t e a d y f o r m c a n now b e i n t e g r a t e d . T h e c o n s t a n t s o f i n t e g r a t i o n a r e d e t e r m i n e d f r o m t h e c o n d i t i o n o f t h e f l o w a t i n f i n i t y w h e r e t h e p e r t u r b a t i o n v e l o c i t i e s v a n i s h . T h e c o m p l e x a c c e l e r a t i o n p o t e n t i a l i s t h e r e f o r e r e l a t e d t o t h e x a n d y d i s t u r b a n c e v e l o c i t i e s b y t h e f o l l o w i n g e q u a t i o n s u ' = (J) + | , v ' = -ty w h e r e K i s t h e c a v i t a t i o n number w h i c h e s t a b l i s h e s t h e r e l a t i o n s h i p b e t w e e n t h e c o n s t a n t c a v i t y p r e s s u r e p c a n d t h e u n d i s t u r b e d s t a t i c p r e s -s u r e p . The c a v i t a t i o n number i s d e f i n e d a s p - p K = 1 2 C F i n a l l y , t h e u s u a l l i n e a r i z e d p r e s s u r e c o e f f i c i e n t i s g i v e n b y C = -2d) - K P 4.1. B o u n d a r y C o n d i t i o n s T h e c o m p l e x a c c e l e r a t i o n p o t e n t i a l h a s t h e i n t e r e s t i n g f e a t u r e o f r e d u c i n g t h e number o f unknowns t o o n e . H o w e v e r , t h e i m a g i n a r y p a r t o f t h i s c o m p l e x f u n c t i o n i s known o n l y o n t h e w e t t e d s u r f a c e o f t h e f o i l t h r o u g h t h e f o i l g e o m e t r y w h i l e t h e r e a l p a r t i s d e f i n e d on t h e c a v i t y o n l y . T h e n e x t move c o n s i s t s t h e r e f o r e i n s e e k i n g a n a l y t i c a l c o m p l e x f u n c t i o n s t h a t w i l l d e s c r i b e a d e q u a t e l y t h e known p a r t s o f t h e c o m p l e x a c c e l e r a t i o n p o t e n t i a l a n d w i l l a l s o s a t i s f y some o t h e r b o u n d a r y c o n d i t i o n s a r i s i n g f r o m 10 t h e b e h a v i o u r o f a l i f t i n g b o d y i m m e r s e d i n a n i n v i s c i d f l o w . T h i s s e t o f b o u n d a r y c o n d i t i o n s e n s u r e s t h e u n i q u e n e s s o f t h e f l o w a n d c a n b e s u m m a r i z e d a s f o l l o w s : i ) (j) = 0 f o r y = 0 + a n d s + h < x < I y = 0~ a n d c < x < I i i ) $ i s f i n i t e a n d c o n t i n u o u s a t t h e a i r f o i l t r a i l i n g e d g e - + x = c , y = 0 a n d s p o i l e r t i p x = s + h , y = 0 ( K u t t a c o n d i t i o n ) i i i ) T a n g e n t f l o w b o u n d a r y c o n d i t i o n a t t h e f o i l s u r f a c e dv + — = v ' a t y = 0_ a n d 0 < x < s + h y = 0 a n d 0 < x < c w h e r e t h e f o i l s u r f a c e i s d e f i n e d b y ( x , y ( x ) ) K i - v ) F ( z ) a t z = °° v ) T h e f o i l p l u s i t s c a v i t y i s a c l o s e d b o d y s u c h t h a t T m Q F ( z ) d z = 0 4 .2 . C o m p l e x T r a n s f o r m P l a n e s T h e l i n e a r i z e d p h y s i c a l p l a n e z i s n o t v e r y a t t r a c t i v e f o r t h e s e a r c h o f a n a l y t i c c o m p l e x f u n c t i o n s c a p a b l e o f s a t i s f y i n g t h e b o u n d a r y c o n d i t i o n s p r e v i o u s l y d e s c r i b e d . A more h a n d y c o n t o u r i s s o u g h t t h r o u g h s u c c e s s i v e c o n f o r m a l t i ' a n s f o r m a t i o n s . T h e c a v i t y l e n g t h £ i s f i r s t e x t e n d e d t o i n f i n i t y a n d t h e n t h e r e a l p o s i t i v e a x i s i s u n f o l d e d s u c h t h a t t h e f l o w f i e l d l i e s i n t h e u p p e r h a l f p l a n e . The f i n a l t r a n s f o r m e d p l a n e i s o b t a i n e d b y u s i n g a J o u k o u s k y t y p e o f t r a n s f o r m a t i o n t h a t maps t h e w e t t e d s u r f a c e o f t h e f o i l o n t o t h e 11 u p p e r h a l f u n i t c i r c l e w h i l e t h e c a v i t y on t h e r e a l a x i s o u t s i d e t h e c i r c l e e x t e n d s t o i n f i n i t y o n b o t h s i d e s . T h i s s e q u e n c e o f t r a n s f o r m a t i o n i s i l l u s t r a t e d i n f i g u r e 3 . T h e m a p p i n g f u n c t i o n r e l a t i n g t h e l i n e a r i z e d p h y s i c a l p l a n e z i s g i v e n b y t h e a n a l y t i c f u n c t i o n z : 1 + ^ [ i ( l + b ) ( l / C + e) - i ( l - b ) ] w h e r e a = £-c , b a s + h" l- - s - h I n p r o c e e d i n g t h r o u g h t h o s e t r a n s f o r m a t i o n s , t h e r e a r e some s i g n i -f i c a n t p o i n t s i n t h e l i n e a r i z e d p h y s i c a l z p l a n e w h i c h r e q u i r e s p e c i a l c a r e i n t h e m o d e l l i n g p r o c e s s a n d must b e i d e n t i f i e d . T h u s , t h e l e a d i n g e d g e i n f i n i t e s u c t i o n p e a k i n h e r e n t i n l i n e a r i z e d a i r f o i l t h e o r y h a s t o b e t a k e n c a r e o f b y t h e i n t r o d u c t i o n o f a s i n g u l a r i t y i n t h e z, p l a n e c o r r e s p o n d i n g t o t h a t p o i n t . I n t h e same w a y , t h e s p o i l e r b a s e and t h e f l a p h i n g e a r e s i g n i -f i c a n t due t o t h e f a c t t h e y mark s t e p c h a n g e s i n t h e t a n g e n t f l o w b o u n d a r y c o n d i t i o n . T h e a n g u l a r p o s i t i o n s o f t h e a i r f o i l l e a d i n g e d g e , s p o i l e r b a s e a n d f l a p h i n g e o n t h e h a l f u n i t c i r c l e i n t h e z, p l a n e a r e d e f i n e d r e s p e c t i v e l y a s 0o = c o s = c o s 0 2 = c o s Ll+bJ i [ 2 a p r [ 1+b V 5. -s - i r 2 a 1 - b 1+b c - c l-b 1+b V£-c+c 1+b w h e r e t h e i n v e r s e c o s i n e i s t a k e n b e t w e e n z e r o and i r . 12 Physical Plane Linearized Physical Plans I © s s+h h s. ^ Extended Cavity h •' , 'n * c © Unfolded Positive Real Axis -1.0 Final Transformed Plane F i g u r e 3 . COMPLEX TRANSFORM PLASMS 13 F i n a l l y , t h e p o i n t a t i n f i n i t y i n t h e z p l a n e a s s u m e s now a f i n i t e v a l u e i n t h e r, p l a n e a n d i s r e q u i r e d t o s a t i s f y b o u n d a r y c o n d i t i o n i v ) . I n v e r t i n g t h e m a p p i n g f u n c t i o n , t h i s p o i n t i s g i v e n b y C r o = a 0 = g + . 2 a i . 1-b ^ g = b+T + i+b 4 . 3 . C o m p l e x A c c e l e r a t i o n P o t e n t i a l The d e c o m p o s i t i o n o f t h e a i r f o i l w i t h s p o i l e r p r o b l e m i n t o i t s g e o m e t r i c a l c o m p o n e n t s i s r e f l e c t e d i n t h e c o m p l e x a c c e l e r a t i o n p o t e n t i a l . . S i n c e e a c h component i s a c o m p l e t e p r o b l e m i n i t s e l f , t h e i n c i d e n c e , c a m b e r , t h i c k n e s s , s p o i l e r a n d f l a p c a s e s a r e i n d i v i d u a l l y d e s c r i b e d b y s u i t a b l e c o m p l e x f u n c t i o n s . T h e c o m p l e t e s o l u t i o n i s t h e r e f o r e g i v e n b y t h e s u m m a t i o n o f t h e s e a n a l y t i c a l c o m p l e x f u n c t i o n s . F ( z ) = F . ( z ) + F c ( z ) + F t ( z ) + F g ( z ) + F f ( z ) T h e s e f u n c t i o n s h a v e b e e n d e s c r i b e d i n B r o w n ' s t h e s i s ( 2 ) a n d i n a t e c h n i c a l c o r r m u n i c a t i o n ( 3 ) . F o r c o n v e n i e n c e t h e y a r e r e p r o d u c e d i n a p p e n d i x A . • 4.4. S t e a d y S t a t e L i f t a n d P i t c h i n g Moment The l i f t a n d p i t c h i n g moment c o e f f i c i e n t s a r e e v a l u a t e d b y u s i n g s t e a d y s t a t e B l a s i u s ' e q u a t i o n s . A l t h o u g h t h i s m e t h o d r e q u i r e s e x t r a a n a l y t i c a l w o r k , t h e e a s y f i n a l c o m p u t a t i o n t h a t f o l l o w s o u t p a c e s t h e more 14 d i r e c t b u t l e n g t h y n u m e r i c a l i n t e g r a t i o n o f t h e p r e s s u r e d i s t r i b u t i o n o v e r t h e a i r f o i l . The c o m p l e x a c c e l e r a t i o n p o t e n t i a l b e i n g known i n t e r m s o f t h e p e r t u r b a t i o n v e l o c i t i e s u ' a n d v ' , t o t h e f i r s t o r d e r , t h e l i f t c o e f f i c i e n t i s f o u n d t o b e C, = - - R e a l 1 c d ) F ( z ) d z w h i l e t h e p i t c h i n g moment a t t h e l e a d i n g edge ( p o s i t i v e c l o c k w i s e ) i s m 2 c ^ R e a l d ) F ( z ) z d z T h e t e c h n i q u e u s e d t o s o l v e t h o s e c o n t o u r i n t e g r a l s c o n s i s t s i n e x p a n d i n g t h e c o m p l e x a c c e l e r a t i o n p o t e n t i a l F ( z ) i n a L a u r e n t s e r i e s i n t h e z p l a n e f o r a c o n t o u r | z | >> & and t h e n i n s o r t i n g o u t t h e r e s i d u e o f e a c h i n t e g r a n d . The m a p p i n g f u n c t i o n i s f i r s t i t s e l f e x p a n d e d i n a L a u r e n t s e r i e s a 2 + w h e r e a o , a i , a 2 a r e c o m p l e x c o n s t a n t s h a v i n g t h e f o l l o w i n g v a l u e s a 0 = g + / g z - 1 a s b e f o r e a i a i : b + l 1 + g 1 5 Then t h e c o m p l e x a c c e l e r a t i o n p o t e n t i a l i s a l s o e x p a n d e d i n a L a u r e n t s e r i e s F ( z ) = " | + ^ + % + 2 z z w h e r e A i , A 2 a r e c o m p l e x c o n s t a n t s . T h e r e s i d u e o f F ( z ) i s e q u a l t o A i a n d h a s a l r e a d y b e e n e v a l u a t e d b y B r o w n t o d e t e r m i n e t h e l i f t c o e f f i c i e n t . H i s r e s u l t i s r e p r o d u c e d h e r e . A i = iBo£ai 1 1 + — V - i a 0 C + 6 i s i n 5 f | ( 6 2 - T r ) n £a, i6r -ie t ( a o e i 0 o - l ) 2 ( a c e - i e ° - I ) 2 i e i - i e i a 0 - e a 0 - e °° nM + i&ai E n .-, + i£ai E N 1 a 0 0 + 1 1 JHai TT 1 - n i 0 2 - i 8 2 a o - e a 0 ~ e i e t _-i0r a 0 a 0 ei"9~°- l a 0 e i 0 o - i n—1 . i9 n -. \ , —i9n i \ a 0 ( a 0 e - 1 ) ( a 0 e - 1 ) T h e r e s i d u e o f F ( z ) z i s e q u a l t o A 2 a n d i s g i v e n b y t h e f o l l o w i n g c o m p l e x e q u a t i o n 1 A 2 = i B 0 H 2 a 2 i 8 o 1 - ag X i a 0 a 2 2 i 0 o a i e u ( a o e i 0 ° - l ) 2 i ( a 0 e - ° - l ) a 2 f e 0 + s i n 6 f £ 2 a z TT i 6 i - i 0 i a o - e a 0 - e + i Q + 6 i s l n g f { ( 9 2 - T r ) n - 1 TT , - 1 9 o & 2 a 2 ( a 0 e ^ l B ° - l ) 2 [ ( a 0 e ^ ° - l ) a 2 2^ - i 6 o a-i e _ i e , - l a i ' 2 ( a o - e i 0 1 ) 2 a 2 2 ( a 0 - e l 9 l ) 2 a 2 + % £ 2 a 2 ai' a x a o - e a o - e 2 -102 rw 192N2 - i 0 ? N 2 - 2 ( a 0 - e ) a 2 2 ( a 0 - e ) a 2 16 n - i £ 2 a 2 I M n - ! i + T 1 a 0 a i 2 (n+1) a o a 2 - 1 + i £ 2 a 2 I N n \ 0 1 n - 1 i 0 o ^ , - i 6 o ^ n + + ( a 0 - e " u ° ) ( a 0 - e " u ) a 0 a ! 2 ( n - l ) . 1 n a x 2 2 a o a 2 a ! 2 ( n - l )  a 2 ( a 0 - e u ) a 0 ( a 0 - e ) a 2 ( a 0 - e u ) a 0 ( a 0 - e ) + - i 0 o . ' n - 1 " , i 0 o N 2 ( a 0 - e u ) a 0 ( a 0 - e ) a i ( a 0 - e u ) a 2 - 1 1 . 10 o \ n - 1 , - i O o v . 2 ( a 0 - e ° ) a 0 ( a 0 - e ) a i ( a 0 - e ) a 2 a i ' i 0n ^ 2 / -10o>2 I a 2 ( a 0 - e u ) r ( a o - e Jrao - i 6 Q > 2 . . . n -F i n a l l y , t h e l i f t c o e f f i c i e n t assumes t h e v a l u e C l - £ * » [A , ] a n d s i m i l a r l y , t h e p i t c h i n g moment c o e f f i c i e n t a t t h e l e a d i n g e d g e w o u l d b e o f t h e f o r m C = - —r Im in c [ A 2 4 . 5 . R e s u l t s C a l c u l a t i o n s o f t h e p i t c h i n g moment h a v e b e e n made f o r a 14% C l a r k - Y a i r f o i l , shown i n f i g u r e 4 , f o r v a r i o u s s p o i l e r h e i g h t s and c h o r d p o s i t i o n s . I n f i g u r e 5 , 6 , 7 , 8 and 9 , t h e t h e o r e t i c a l r e s u l t s a r e p l o t t e d a s a f u n c t i o n o f t h e i n c i d e n c e a n g l e a a n d a r e c o m p a r e d t o e x p e r i m e n t a l d a t a o f t h e p i t c h i n g moment c o e f f i c i e n t e x c e p t f o r f i g u r e 9 w h e r e no d a t a w e r e a v a i l a b l e . T h e s e 6 s e t s o f measurements made f o r a Re = .3 x 10 h a v e b e e n c o n d u c t e d a t U . B . C . and were: u s e d b y Brown t o c o m p a r e h i s own r e s u l t s . F o r c o n v e n i e n c e , t h e p r e -d i c t e d and m e a s u r e d l i f t a l r e a d y p u b l i s h e d b y Brown h a v e b e e n r e p r o d u c e d on t h e same g r a p h s . The e x p e r i m e n t a l v a l u e s oC t h e c a v i t a t i o n number K u s e d i n t h e t h e o r e t i c a l m o d e l a r c l i s t e d i n a p p e n d i x D. 17 A l t h o u g h t h e q u a n t i t a t i v e p r e d i c t i o n o f t h e p i t c h i n g moment c o -e f f i c i e n t i s n o t a s s p e c t a c u l a r a s f o r t h e l i f t , t h e t h e o r e t i c a l a p p r o a c h n e v e r t h e l e s s shows t h e t r e n d o f t h e e x p e r i m e n t a l v a l u e s . T h e t e n d e n c y t o o v e r e s t i m a t e t h e m e a s u r e d v a l u e s seems t o b e c a u s e d b y a p o s i t i v e p r e s s u r e s i n g u l a r i t y o n t h e u p p e r s u r f a c e a t t h e s p o i l e r b a s e . A t y p i c a l p r e s s u r e d i s t r i b u t i o n f o r t h i s l i n e a r i z e d t h e o r y i s shown o n f i g u r e 1 0 w h e r e t h i s s p o i l e r b a s e s i n g u l a r i t y c a n b e s e e n . E x p e r i m e n t a l p r e s s u r e d i s t r i b u t i o n u s u a l l y shows a z e r o p r e s s u r e c o e f f i c i e n t i n t h a t r e g i o n . F i n a l l y , f i g u r e 11 i s a c r o s s - p l o t f o r a 10% s p o i l e r a t 70% c h o r d p o s i t i o n s h o w i n g t h e d e p e n d e n c e o f t h e l i f t a n d p i t c h i n g moment o n t h e s p o i l e r i n c l i n a t i o n 6^ . U n f o r t u n a t e l y , no e x p e r i m e n t a l r e s u l t s w e r e a v a i l a b l e f o r t h e p i t c h i n g moment a t s p o i l e r i n c l i n a t i o n o t h e r t h a t 90° . F i g u r e 4. 14% CLARK-Y AIRFOIL WITH SPOILER AND FLAP 2 0 l.4r F i g u r e 6. 14% CLARK-Y LIFT AND PITCHING MOMENT F i g u r e 7. U% CLABK-Y LIFT AftD PITCH!M MOMENT 2 2 2 3 F i g u r e 9 . 1 4 % CLABK-Y WITH FLAP: LIFT AMD PITCHING MOMENT I i - 4 . 0 r 25 F i g u r e 11. INFLUENCE OF SPOOLER INCLINATION 2 6 V.. STEADY STATE OSCILLATIONS The p r o c e d u r e f o l l o w e d t o s o l v e t h e s t e a d y s t a t e o s c i l l a t i o n s p r o b l e m o f a s p o i l e r v i b r a t i n g i n r o t a t i o n a b o u t i t s h i n g e h a s b e e n p o i n t e d o u t b y B rown i n h i s B l o w i n g T h e o r y w h e r e i n t h a t c a s e t h e s p o i l e r w a s o s c i l l a t i n g i n t r a n s l a t i o n r e l a t i v e t o a f i x e d a i r f o i l . T h e t r e a t m e n t o f u n s t e a d y f l o w i s s i m p l i f i e d a g r e a t d e a l b y u s i n g t h e l i n e a r i z e d t e c h n i q u e s a l r e a d y o u t l i n e d . F r o m t h a t p o i n t o f v i e w , s i n c e t h e u n s t e a d i n e s s o f t h e f l o w i s due e x c l u s i v e l y t o t h e m o t i o n o f t h e s p o i l e r , o n l y t h e c a s e o f a f l a t p l a t e a t z e r o i n c i d e n c e w i t h a s p o i l e r n e e d s t o b e c o n s i d e r e d . The c o m p l e x a c c e l e r a t i o n p o t e n t i a l w h i c h h a s b e e n o r i g i n a l l y w o r k e d o u t f o r n o n - s t e a d y f l o w i s t h e r e f o r e o n c e a g a i n s u i t a b l e t o h a n d l e t h i s p r o b l e m . 5 . 1 . B o u n d a r y C o n d i t i o n s B o u n d a r y c o n d i t i o n s i ) , i i ) a n d i v ) a p p l i e d p r e v i o u s l y t o t h e s t e a d y s t a t e f l o w a r e s t i l l v a l i d and o n l y c o n d i t i o n s i i i ) a n d v ) o u g h t t o b e n i d i -f i e d t o t a k e c a r e o f t h e t i m e d e p e n d e n t b o d y c o u n t o u r . The s m a l l v e r t i c a l m o t i o n o f a s p o i l e r r o t a t i n g a b o u t i t s h i n g e c a n b e e x p r e s s e d a s y* = 6 ( x * - s ) e ^ w t f o r s < x ' s< s + h w h e r e 5 i s t h e a m p l i t u d e o f o s c i l l a t i o n a n d s i s t h e c h o r d p o s i t i o n o f t h e s p o i l e r i n t h e l i n e a r i z e d p h y s i c a l p l a n e w h i c h c o r r e s p o n d s now t o t h e z ' 2 7 p l a n e s i n c e o n l y t h e c a s e o f z e r o c a v i t a t i o n number i s c o n s i d e r e d h e r e . The p e r t u r b a t i o n v e l o c i t y i n t h e y ' d i r e c t i o n o n t h e f o i l a n d o n t h e s p o i l e r ( b o u n d a r y c o n d i t i o n i i i ) ) becomes V' = 4 0 o n t h e f o i l 1 3 3. U 3 t 3 x ' 6 . ( x ' - s )e^ ° J t o n t h e s p o i l e r w h i l e t h e c o r r e s p o n d i n g a c c e l e r a t i o n e x p r e s s e d a s t h e p a r t i a l d i f f e r e n t i a l o f t h e a c c e l e r a t i o n s t r e a m f u n c t i o n ( b o u n d a r y c o n d i t i o n v ) ) i s g i v e n b y 0 o n t h e f o i l 3 x ' 1 3 3 U 3 t 3 x ' . 6 ( x ' - s ) e j W t o n t h e s p o i l e r J J h e f i r s t s t e p t o w a r d s t h e s o l u t i o n o f t h i s p r o b l e m c o n s i s t s i n i n t e g r a t i n g t h i s l a s t e q u a t i o n t o s i n g l e o u t t h e v a l u e o f t h e a c c e l e r a t i o n s t r e a m f u n c t i o n ty. The c o n s t a n t s o f i n t e g r a t i o n b e i n g a s s u m e d t i m e d e p e n d e n t h a r m o n i c f u n c t i o n s , t h i s i n t e g r a t i o n g i v e s : 1> C 2 e ^ o n t h e f o i l - ( y 2 £ : + 2 j u ) x"6 + ^ - x" 26 + d C e" - *^ o n t h e s p o i l e r w h e r e u i s t h e r e d u c e d f r e q u e n c y — a n d w h e r e x " = — u c. 5 . 2 . Non s t e a d y C o m p l e x A c c e l e r a t i o n p o t e n t i a l The a c c e l e r a t i o n s t r e a m f u n c t i o n f o u n d i n t h e p r e v i o u s s e c t i o n s t r o n g l y s u g g e s t s t h e i n t r o d u c t i o n o f a c o m p l e x a c c e l e r a t i o n p o t e n t i a l w i t h 2 8 a h a r m o n i c t i m e d e p e n d e n c e o f t h e f o r m : F ( z ' , t ) <J>o(x' , y ' ) + ±tyo(x , y ' ) ] A s i n t h e s t e a d y - s t a t e p r o b l e m , c o m p l e x f u n c t i o n s m u s t b e s o u g h t t o s a t i s f y t h e b o u n d a r y c o n d i t i o n s . T h e i m a g i n a r y p a r t o f t h e s e f u n c t i o n s i s known o n t h e f o i l w e t t e d s u r f a c e a n d i s e q u a l t o t h e a m p l i t u d e o f t h e a c c e l e r a t i o n s t r e a m f u n c t i o n ^ 0 t h e r e . ' Once a g a i n t h e u n i t h a l f c i r c l e i n t h e C p l a n e i s u s e d f o r m a t h e -m a t i c a l c o n v e n i e n c e . P o i n t s on t h e a i r f o i l i n t h e z ' p l a n e a r e r e l a t e d t o t h e c o r r e s p o n d i n g p o i n t s on u n i t c i r c l e c o n t o u r b y x " = £ a n d b ' =\J 1+b' c o s 0 - "1-b •' 1+b' f o r 0 < 0 < TT s + h The s t e p c h a n g e i n t h e c o n s t a n t s o f i n t e g r a t i o n e n c o u n t e r e d i n t h e a c c e l e r a t i o n s t r e a m f u n c t i o n a m p l i t u d e tyo i s a d e q u a t e l y t a k e n c a r e o f b y a c o m p l e x f u n c t i o n s i m i l a r t o t h a t u s e d i n t h e s t e a d y s t a t e t h e o r y f o r t h e s p o i l e r c a s e w h e r e a s t h e s t r e a m w i s e v a r i a b l e s x " a n d x " 2 a p p e a r i n g i n t h e a c c e l e r a -t i o n s t r e a m , f u n c t i o n -ty a n d d e f i n e d o n l y on t h e s p o i l e r a r e r e w o r k e d i n e v e n F o u r i e r s e r i e s a s cc x " = 4f + i ^ + I J w c o s n 0 0 < 0 < TT a n d x " 2 = ^ + E K c o s n 9 i , 1 0 < 0 < TT w h e r e n TT x " . c o s n 9 d 8 2 9 a n d K = n 2 TT 2 x " c o s n 6 d 0 a n d 9 i i s t h e a n g u l a r p o s i t i o n o f t h e s p o i l e r b a s e . W h i l e a L a u r e n t s e r i e s i s p e r f e c t l y i n d i c a t e d t o r e p r e s e n t t h e i n f i n l t e r . : ' s u n m a t i o n , t h e c o n s t a n t t e r m o f e a c h s e r i e s n e e d s a s i m i l a r c o m p l e x f u n c t i o n t o t h e i n c i d e n c e c a s e f o u n d i n t h e s t e a d y s t a t e s o l u t i o n . F i n a l l y , t h e a m p l i t u d e o f t h e c o m p l e x a c c e l e r a t i o n p o t e n t i a l i s g i v e n a s F ( C , t ) ftilT = - i ( y 2 ^ + 2 j u ) . 6 -E 1 z -5 + i 5 . ( y 2 f + 2 j u ) . f C e i 9 ° - 1 + C e - i 6 ° - l K _ n n - L r\ *J t~\ ? e i 9 ° - l + TT i 6 i C e i 0 o - 1 + 10, C e ~ i 6 o - l + l n C - e i 0 -? - e - i 0 i + C , i ( 6 i - T T ) + J ( 0 i - T T ) C e i 9 o - l ^ T i 9 o - l + l n C - e i G i C - e - 10 ! E x c e p t f o r b o u n d a r y c o n d i t i o n i i i ) , F ( C , t ) c a n b e e a s i l y shown t o s a t i s f y t h e o t h e r b o u n d a r y c o n d i t i o n s i n c l u d i n g t h e c o n d i t i o n v ) w h i c h h a s b e e n u s e d t o d e t e r m i n e t h e a c c e l e r a t i o n s t r e a m f u n c t i o n ty, 5 . 3 . M e t h o d o f S o l u t i o n A l t h o u g h t h e f o r m i s k n o w n , t h e c o m p l e x a c c e l e r a t i o n p o t e n t i a l w i l l b e e n t i r e l y d e f i n e d o n l y when t h e c o n s t a n t s C i a n d C 2 a r e e v a l u a t e d . 30 To t h a t p u r p o s e , b o u n d a r y c o n d i t i o n i i i ) c a n b e u s e d b y f i r s t w r i t i n g t h e p e r t u r b a t i o n v e l o c i t y i n t h e y ' d i r e c t i o n a s v ' = v 0 e° s u c h t h a t t h e E u l e r ' s e q u a t i o n o f m o t i o n may b e w r i t t e n a s % = j u V o + o r _ * 8x d x ' 3x" - j u x " d ( v 0 e j y x ; d x " A s i m p l e m a n i p u l a t i o n o f t h i s l a s t e q u a t i o n y i e l d s t h e e x p r e s s i o n o f t h e p e r t u r b a t i o n v e l o c i t y a m p l i t u d e v 0 a s an i n t e g r a l o f t h e a c c e l e r a t i o n s t r e a m f u n c t i o n a m p l i t u d e ^ 0 a l o n g t h e r e a l a x i s x ' . v 0 = x ' + j u e - j y x ' x 1 w h e r e x ' i s a p o i n t on t h e a i r f o i l o r s p o i l e r w h i l e £ i s t h e s t r e a m w i . s e v a r i a b l e o f i n t e g r a t i o n . S i n c e v 0 = 0 on t h e f o i l a n d v 0 a s s u m e s a f i n i t e v a l u e on t h e s p o i l e r , c o n s i d e r a t i o n o f t h o s e two p o i n t s r e s u l t s i n t w o s i m u l t a n e o u s e q u a t i o n s t o s o l v e f o r two unknowns C i a n d C 2 . C, = -5 2 2 v s y 1 • j y _ i y x " e J T s d x " - u 0 + j y ( y 2 - ^ + 2JU)TV c --jyx" e J T 2 d x " j y ( y 2 § + 2 j y > ^ e J y X l \ d x " 0 1 + j u e J M X " T..clx" 31 a n d + poo • y 3 e - t y x " J T i d x n , . y3 K 0 € - j y X ' ' ' T . d x " 0 \ 0 "* CO 1 + j y e J T 4 d x " 0 J C 2 = 6 1 + C L + 2_ 1 6 I P ( y f + 2ju)| The i n t e g r a l s i n v o l v e d i n t h e c o m p u t a t i o n o f C i ; m u s t b e d e t e r m i n e d n u m e r i c a l l y . T h e i n t e g r a n d s T i , T 2 , T 3 a n d d e s c r i b e d i n a p p e n d i x B a r e s l o w l y c o n v e r g i n g t o z e r o a f t e r a f e w c h o r d s a n d a n u m e r i c a l i n t e g r a t i o n t r u n c a t e d a t t h e e n d o f a f u l l c y c l e g i v e s e x c e l l e n t r e s u l t s . T h e t r u n c a t e d i n t e r v a l o f i n t e g r a t i o n i s t h u s a d e q u a t e l y d e f i n e d b y a number o f c y c l e s : r a t h e r t h a n a l e n g t h . A min imum o f 10 c y c l e s i s s u g g e s t e d t o a c h i e v e a g o o d c o n v e r g e n c e o f t h o s e i n t e g r a l s . A l s o , b e f o r e a t t e m p t i n g n u m e r i c a l c o m p u t a t i o n , i t i s u s e f u l t o remove t h e s i n g u l a r i t y o f t h e i n t e g r a n d s T 3 a n d T^ a t t h e i r l o w e r l i m i t . The r e p l a c e m e n t o f x ' b y a t r i g o n o m e t r i c f u n c t i o n i s s u i t a b l e . 5 . 4 . O s c i l l a t o r y ; L i f t , - P i t c h i n g Moment a n d S p o i l e r H i n g e Moment The t i m e d e p e n d e n t d i s t u r b a n c e p r e s s u r e i n t h e e n t i r e f l o w f i e l d i s r e p r e s e n t e d b y t h e r e a l p a r t o f t h e c o m p l e x a c c e l e r a t i o n p o t e n t i a l a s i n t h e s t e a d y s t a t e s o l u t i o n . E v a l u a t e d o n t h e f o i l c o n t o u r , t h e o s c i l l a t o r y p r e s s u r e l o a d i n g a m p l i t u d e i s f o u n d t o b e : 3 2 -2 - S -+ - ^ - - 5 - E % - s i n n e + + "ci •6. l n y j_ Kg_ s i n 8 2 2 ' c o s e 0 - c o s 6 s i n ( ( e - 8 i ) / 2 ) s i n ( ( 0 + 6 i ) / 2 ) L IT 1 D 1 + % O r - * ) . 6 . -s i n 0 c o s 8 o - c o s B a n d C i = - a n d C 2 = %-0 0 T h e a m p l i t u d e o f t h e l i f t a n d p i t c h i n g moment c o e f f i c i e n t s a r e e a s i l y c a l c u l a t e d b y t h e f o l l o w i n g t w o i n t e g r a l s Cfrio 2 c 4>o§ de 2 c^ , d x ' 4>o x d9 A l t h o u g h C i a n d C 2 a r e known o n l y n u m e r i c a l l y , t h e i n t e g r a t i o n w i t h r e s p e c t t o 6 'can b e w o r k e d o u t a n a l y t i c a l l y , a v o i d i n g t h e n u m e r i c a l c o m p u t a -t i o n o f i n t e g r a l s w i t h s i n g u l a r i t i e s a t t h e s p o i l e r b a s e a n d a i r f o i l l e a d i n g -edge . Once i n t e g r a t e d , t h e . o s c i l l a t o r y l i f t becomes 6 e' ,' D2. D i , s C i + C 2 ^ - T r ( y ^ + 2ju) D_3_ D i Jp_ D5 2 D i + [Di 2 D i j 3 3 w h i l e t h e . o s c i l l a t o r y p i t c h i n g moment a t t h e l e a d i n g edge ( p o s i t i v e , c l o c k w i s e ) i s g i v e n b y C m ^ & e ' j u t E i C{ + C l J | -Tr(y2§ • + 2 jW) Jo . Es 2 E i 2 y TT fit -| _E i Kg_ E_5_ 2 E i I n t h e a b o v e e x p r e s s i o n s , t h e a m p l i t u d e o f t h e q u a s i s t e a d y l i f t a n d p i t c h i n g moment c o e f f i c i e n t s h a v e b e e n f a c t o r e d o u t . I n s t e a d y s t a t e o s c i l l a t i o n s t h e o r i e s , t h e s e q u a s i s t e a d y q u a n t i t i e s a r e d e f i n e d a s t h e v a l u e o f t h e l i f t a n d p i t c h i n g moment f o r a r e d u c e d f r e q u e n c y y a p p r o a c h i n g z e r o . S i n c e 1 a n d C 2 = 0 f o r y ->- 0 t h e a m p l i t u d e o f t h e q u a s i s t e a d y l i f t a n d p i t c h i n g moment c o e f f i c i e n t s a r e e a s i l y shown t o b e r e s p e c t i v e l y 7 j p a n d '"-^r I n t h e e q u a t i o n s o f t h e l i f t a n d p i t c h i n g moment c o e f f i c i e n t s t h e D ' s a n d E ' s a r e r e l a t e d t o t h e p h y s i c a l s e t - u p o f t h e s p o i l e r o n t h e f l a t p l a t e a n d a r e t h e r e f o r e c o n s t a n t f o r a p a r t i c u l a r s p o i l e r h e i g h t a n d c h o r d -w i s e p o s i t i o n ' . T h e s e c o e f f i c i e n t s a r e d e s c r i b e d i n a p p e n d i x C . The e v a l u a t i o n o f t h e s p o i l e r h i n g e moment c o e f f i c i e n t f o l l o w s a s i m i l a r p r o c e d u r e t o t h a t u s e d f o r t h e p i t c h i n g moment, and i t s a m p l i t u d e i s g i v e n ' b y t h e f o l l o w i n g i n t e g r a l . m s 0 2 Oi 0 ( x ' - s ) d x ' de d9 f o r s < x ' < s + h 34 T h e moment i s p o s i t i v e c l o c k w i s e a s shown i n f i g u r e 1 2 . iv (r) P C , - s F i g u r e 1 2 . F l a t p l a t e w i t h s p o i l e r i n t h e p h y s i c a l p l a n e . ; A l t h o u g h no a n a l y t i c a l c l o s e d f o r m c a n b e w o r k e d o u t a s f o r t h e l i f t a n d p i t c h i n g moment, a n u m e r i c a l i n t e g r a t i o n i s e a s i l y done s i n c e t h e l o g a r i t h m i c t y p e s i n g u l a r i t y o f t h e p r e s s u r e d i s t r i b u t i o n a t t h e s p o i l e r b a s e grows" s l o w e r t h a n t h e r a t e a t w h i c h t h e moment arm ( x ' - s ) a p p r o a c h e s z e r o . F i n a l l y , i n a f o r m a t s i m i l a r t o t h e l i f t a n d p i t c h i n g moment, t h e o s c i l l a t o r y s p o i l e r h i n g e moment c o e f f i c i e n t i s e x p r e s s e d a s : C . = 6 e j w t ^ -ms TT C i + C 2 I2- -• T T ( U 2 ! + 2 j u ) 1' 1 c F i 2 F v 5 i _ Ip_ F 5 F i 2 F , w h e r e t h e F ' s a r e o n c e a g a i n r e l a t e d t o t h e s p o i l e r h e i g h t a n d c h o r d p o s i t i o n . T h e s e c o e f f i c i e n t s a r e a l s o d e s c r i b e d i n a p p e n d i x C . 35 5 . 5 R e s u l t s A l l t h e u s e f u l i n f o r m a t i o n c o n c e r n i n g t h e r o t a t i o n a l s t e a d y - s t a t e o s c i l l a t i o n s o f t h e s p o i l e r a b o u t i t s h i n g e a r e a d e q u a t e l y s u m m a r i z e d i n v e c t o r d i a g r a m s a s f i r s t i n t r o d u c e d b y V o n Karman a n d S e a r s ( 4 ) w h e r e t h e c o m p l e x a m p l i t u d e s o f t h e a e r o d y n a m i c f o r c e s a r e p l o t t e d f o r v a r i o u s r e -d u c e d f r e q u e n c i e s y . P r e s e n t a t i o n o f t h o s e r e s u l t s i s made s i m p l e r b y s c a l i n g t h e a c t u a l v a l u e o f t h e l i f t , p i t c h i n g moment a n d s p o i l e r h i n g e moment b y t h e i r q u a s i - s t e a d y v a l u e . T h e f u n c t i o n s p r e s e n t e d h e r e a f t e r i n t h e v e c t o r d i a g r a m s a r e t h e r e f o r e d e f i n e d b y : C l ( y ) (X ( y ) - — T ~ + - f o r t h e l i f t , TT C y m Qw, ( u ) = — - 7 7 F ^ o r the p i t c h i n g moment ~ m ° 6 e 3 E j_ TT , , C m s ( ^ a n d Q ( y ) = — — T T - f o r t h e s p o i l e r h i n g e moment TT A l t h o u g h t h e m e t h o d o f s o l u t i o n h a s b e e n p r e s e n t e d w i t h a r e d u c e d f r e q u e n c y y = b a s e d o n t h e a i r f o i l c h o r d more c o h e r e n c e c o n c e r n i n g t h e r e s u l t s i s a c h i e v e d b y i n t r o d u c i n g a r e d u c e d f r e q u e n c y b a s e d on t h e s p o i l e r h e i g h t a n d d e f i n e d a s y = ^j-. The c o n v e r s i o n f r o m one d e f i n i t i o n t o t h e o t h e r i s d i r e c t a n d r e q u i r e s no e x t r a c a l c u l a t i o n . O t h e r t h a n c l e a r l y d i s p l a y i n g t h e p h a s e a n g l e w i t h r e s p e c t t o t h e m o t i o n a n d t h e m a g n i t u d e o f t h e q u a n t i t i e s i n v o l v e d , t h e v e c t o r d i a g r a m i s v e r y u s e f u l i n t h e d i s c u s s i o n o f f l u t t e r p r o b l e m s . B o t h e l a s t i c a n d i n e r t i a 36 f o r c e s may b e i n t r o d u c e d i n t h e s e d i a g r a m s p r o v i d i n g t h a t way an i n t e r e s t i n g i n s i g h t o f t h e s t a b i l i t y o f t h e s y s t e m . H o w e v e r , t h e r e s u l t s o b t a i n e d i n f i g u r e s 13 a n d 14 f o r t h e l i f t a n d p i t c h i n g moment a r e due t o t h e m o t i o n o f t h e s p o i l e r a l o n e a n d c a n n o t c o n s e q u e n t l y b e u s e d o t h e r t h a n w i t h i n t h e a n a l y s i s o f a c o u p l e d m o t i o n b e t w e e n t h e s p o i l e r a n d t h e w h o l e a i r f o i l . F r o m a l i n e a r i z e d a p p r o a c h , , t h e c o m p l e x l i f t a n d p i t c h i n g moment due t o t h e v i b r a t i n g s p o i l e r w o u l d b e s u p e r i m p o s e d t o t h e o u t o f p h a s e a e r o d y n a m i c f o r c e s r e s u l t i n g f r o m t h e m o t i o n o f t h e a i r f o i l i t s e l f . F i g u r e 15 w h i c h shows t h e v e c t o r d i a g r a m f o r t h e s p o i l e r h i n g e moment o f f e r s a m o r e i n t e r e s t i n g d i s c u s s i o n a b o u t t h e t e n d e n c y o f t h e s p o i l e r t o f l u t t e r . F o r t h e s i n g l e d e g r e e o f f r e e d o m o f a s p o i l e r v i b r a t i n g a b o u t i t s h i n g e , - i t c a n b e shown t h a t t h e d i m e n s i o n l e s s w o r k done o n t h e s y s t e m i s W = -6TT • Im 0 £ L H-rtS0 77 j F , > 0 S i n c e a n e g a t i v e v a l u e f o r t h e w o r k means t h a t e n e r g y i s r e m o v e d f r o m t h e s y s t e m , a s t a b l e s i t u a t i o n o c c u r s f o r any p o s i t i v e v a l u e o f Im JQRISO ~-w h i l e f o r a n e g a t i v e v a l u e , t h e s t a b i l i t y o f t h e s p o i l e r d e p e n d s o n t h e d a m p i n g f o r c e s p r e s e n t i n t h e s y s t e m . T h e s p o i l e r h i n g e moment shows an a l m o s t i m p e r c e p t i b l e t e n d e n c y t o f l u t t e r . T h i s v e r y weak n e g a t i v e i m a g i n a r y p a r t i s e x p e c t e d t o b e e a s i l y damped b y t h e i n t e r n a l f r i c t i o n o f t h e s y s t e m . 37 F i g u r e 1 3 . STEADY STATE OSCILLATIONS Rotation 3 8 F i g u r e M . STEADY STATE OSCIt.LATlCSfJS Rota tion 39 SPOILER HINGE MOMENT •02 F i g u r e 1 5 . STEADY STATE OSCILLATIONS B o t a t i c n 4 0 VI. TRANSIENT SOLUTIONS S o l u t i o n s t o s t e a d y s t a t e o s c i l l a t i o n s o b t a i n e d w i t h i n t h e f r a m e -w o r k o f a l i n e a r f l o w m o d e l may b e u s e d t o e s t i m a t e t r a n s i e n t phenomena . T h e c o m p l e x a e r o d y n a m i c l i f t a n d moment a r e e x p r e s s e d i n an a l r e a d y u s e a b l e f a s h i o n a n d a r e e a s i l y i d e n t i f i e d w i t h t r a n s f e r f u n c t i o n s . T h e i r a m p l i t u d e w h i c h i s d e p e n d e n t on t h e r e d u c e d f r e q u e n c y y , shows a d i r e c t s i m i l i t u d e t o F o u r i e r i n t e g r a l t r a n s f o r m s . T h e s e i n t u r n c a n b e w o r k e d o u t i n t h e t i m e d o m a i n when c o n s i d e r e d a l o n g w i t h t h e e x c i t a t i o n f u n c t i o n . C a l c u l a t i o n s f o r t h e t r a n s i e n t l i f t r e s u l t i n g f r o m a u n i t s t e p a n d a f i n i t e t i m e s p o i l e r a c t u a t i o n h a v e b e e n f i r s t done b y B r o w n . F o l l o w i n g h i s o r i g i n a l i d e a a n d i n t r o d u c i n g a s l i g h t m o d i f i c a t i o n t o t h e c o m p l e x a c c e l e r a t i o n p o t e n t i a l , new c a l c u l a t i o n s a r e p r e s e n t e d f o r t h e p r e d i c t i o n o f t h e t r a n s i e n t l i f t . T h e s e c a l c u l a t i o n s h a v e a l s o b e e n e x t e n d e d t o i n c l u d e t h e t r a n s i e n t p i t c h i n g moment a n d t h e s t a b i l i t y d e r i v a t i v e s o f a t w o -d i m e n s i o n a l s p o i l e r e d w i n g . 6 .1. A e r o d y n a m i c T r a n s f e r F u n c t i o n s The a e r o d y n a m i c t r a n s f e r f u n c t i o n s h a v e b e e n o b t a i n e d b y s o l v i n g t h e p r o b l e m o f t h e t r a n s l a t o r y s t e a d y s t a t e o s c i l l a t i o n s o f a s p o i l e r r e l a t i v e t o a f i x e d a i r f o i l . T h e l e n g t h o f t h e wake g e n e r a t e d b y t h e s p o i l e r i s o n c e a g a i n c o n s i d e r e d i n f i n i t e s u c h t h a t t h e p r e s s u r e i n t h e c a v i t y assumes t h e v a l u e o f t h e u n d i s t u r b e d f r e e s t r e a m s t a t i c p r e s s u r e p^ . H i e s o l u t i o n i n v o l v e s t h e same t e c h n i q u e s o u t l i n e d i n t h e p r e v i o u s s e c t i o n . O n l y b o u n d a r y c o n d i t i o n s i i i ) a n d v ) a c q u i r e a new f o r m due t o t h e 4 1 t r a n s l a t o r y m o t i o n o f t h e s p o i l e r . B o u n d a r y c o n d i t i o n i i i ) h a s t h e f o r m v' i 0 o n t h e f o i l V o e ^ ^ o n t h e s p o i l e r w h e r e vo i s t h e c o n s t a n t a m p l i t u d e o f t h e o s c i l l a t o r y p e r t u r b a t i o n v e l o c i t y o n t h e s p o i l e r . I n t h e same manner , t h e a c c e l e r a t i o n i n t h e y ' d i r e c t i o n becomes r = 0 on t h e f o i l dx 1 J L + J L U " 3t 3x' v o e0 0 ^ o n t h e s p o i l e r T h o s e two new b o u n d a r y c o n d i t i o n s y i e l d a c o m p l e x a c c e l e r a t i o n p o t e n t i a l w h i c h a s s u m e s t h e f o l l o w i n g f o r m i n t h e C p l a n e : 0 0 J F ( C , t ) = e^ cot • J-l , • J O j y - V o - i - S — + j y - - ^ - • v o - i -+ C i .vo 1 C 1 6 ! C e l 0 o - 1 + 1 + 19, 100 i - J - U n -. - 1 c e - 1 -i6n + l n < - e -190 n C e -1 i 6 x - i 0 x i C 2 + — -VO' i (6 i - TT ) + j ( 6 1 —TT ) r , e i e ° - l C e - i e ° - l + l n i0i C - e - i 9 l w h e r e y, J , 9 i , 9 0 r e t a i n t h e i r d e f i n i t i o n f r o m t h e p r e v i o u s s e c t i o n . O n l y c o n s t a n t CJ a n d C 2 ' n e e d t o b e c a l c u l a t e d a g a i n f o r t h i s c a s e b y t h e f o l l o w i n g two e q u a t i o n s . (jye~ D j y e~J]ix T 3 d x " - TT Jo e j y X T 2 d x " ' JO + y V f - j u x " T 4 d x " 0 C i 4 2 1 + j u e " J y X T„dx" 0 C2 = 1 - C| - J U : | T h e i n t e g r a n d s T 2 , T 3 , T 4 a r e i d e n t i c a l t o t h e o n e s a l r e a d y d e -s c r i b e d i n a p p e n d i x B a n d u s e d i n t h e s o l u t i o n f o r r o t a t i o n a l v i b r a t i o n s o f t h e s p o i l e r . T h e r e a l p a r t o f t h e c o m p l e x a c c e l e r a t i o n (J>0 e v a l u a t e d o n t h e c o n t o u r o f t h e u n i t h a l f c i r c l e s t i l l r e p r e s e n t s t h e a i r f o i l w i t h s p o i l e r p r e s s u r e l o a d i n g a m p l i t u d e w h i c h o n c e i n t e g r a t e d g i v e s t h e a m p l i t u d e s o f t h e l i f t a n d p i t c h i n g moment a t t h e l e a d i n g e d g e . 'TT 9 I 2 c , d x ' , n *° d9 d Q m 0 C 0 0 4>o x ' g ' d9 T h o s e l a s t t w o i n t e g r a l s h a v e a n a l y t i c a l s o l u t i o n s v e r y s i m i l a r t o w h a t h a v e b e e n f o u n d i n t h e p r e v i o u s s e c t i o n c o n c e r n i n g t h e r o t a t i o n a l s t e a d y -s t a t e o s c i l l a t i o n s . F a c t o r i n g o u t t h e q u a s i - s t e a d y v a l u e , e a c h a e r o d y n a m i c c o e f f i c i e n t b e c o m e s : 4 3 w h e r e t h e D ' s a n d E ' s a r e l i n k e d t o t h e i n t e g r a . t i o n w i t h r e s p e c t t o 6 a n d a r e a l s o d e f i n e d b y t h e e q u a t i o n s g i v e n i n a p p e n d i x C . The a m p l i t u d e s o f t h e l i f t a n d p i t c h i n g moment c a n b e c a l c u l a t e d f o r d i f f e r e n t r e d u c e d f r e q u e n c y u . The r e s u l t i n g f r e q u e n c y d e p e n d e n t f u n c t i o n s , when d i v i d e d b y t h e e x c i t a t i o n f u n c t i o n vo a r e d e f i n e d a s a e r c * -d y n a m i c t r a n s f e r f u n c t i o n s . F i g u r e s 16 a n d 17 a r e v e c t o r d i a g r a m s s h o w i n g t h e s e a e r o d y n a m i c t r a n s f e r f u n c t i o n s f o r d i f f e r e n t s p o i l e r h e i g h t s a n d c h o r d w i s e p o s i t i o n s . The f u n c t i o n s p l o t t e d on t h e s e g r a p h s h a v e b e e n s c a l e d b y t h e i r q u a s i s t e a d y v a l u e a n d a r e d e f i n e d b y t h e f o l l o w i n g two r e l a t i o n s h i p s : C l Q 1 0 o ^ v o D , C e ^ v o E i TT Once a g a i n , r e s u l t s a r e p r e s e n t e d w i t h a r e d u c e d f r e q u e n c y b a s e d o n t h e s p o i l e r h e i g h t h . T h e i n t e r e s t i n g f e a t u r e i n p r e s e n t i n g t h e r e s u l t s t h i s way i s t o show t h e i n f l u e n c e o f t h e wake made o f c o n t i n u o u s d i s t r i b u t e d v o r t e x l i n e s i n d u c e d b y t h e c o n s t a n t r e a d j u s t m e n t o f t h e c i r c u l a t i o n a r o u n d t h e a i r f o i l . T h e e f f e c t o f t h e s p o i l e r h e i g h t on t h e a p p a r e n t mass t e r m s i n t h e l i f t a n d p i t c h i n g moment w h i c h a r e p r o p o r t i o n a l t o t h e a c c e l e r a t i o n a n d c o n s e q u e n t l y l e a d t h e ^ q u a s i . s t e a d y v a l u e s b y 90° , a r e s o r t o f e q u a l i z e d b y u s i n g t h i s d e f i n i t i o n o f t h e r e d u c e d f r e q u e n c y . 44 A s c a n b e s e e n o n t h e f o l l o w i n g g r a p h s t h e e f f e c t o f t h e d i s t r i -b u t e d v o r t e x l i n e s i s more s e n s i t i v e t o t h e s p o i l e r b a s e p o s i t i o n w h i c h s u g g e s t s i n t u r n t h a t t h e a d j u s t i n g c i r c u l a t i o n f o l l o w s q u i t e a n i d e n t i c a l t i m e h i s t o r y f o r s p o i l e r s a t t h e same c h o r d p o s i t i o n b u t w i t h d i f f e r e n t s p o i l e r h e i g h t s . H o w e v e r , t h e s e r e s u l t s r e g a r d e d a s a e r o d y n a m i c t r a n s f e r f u n c t i o n s d i s p l a y t h e i m p o r t a n t c h a r a c t e r i s t i c , a s w i l l b e e m p h a s i z e d l a t e r , o f a f a s t a s y m p t o t i c c o n v e r g e n c e o f t h e r e a l p a r t t o a c o n s t a n t v a l u e . 6 . 2 . U n i t S t e p S p o i l e r A c t u a t i o n T h e r i g h t h a n d s i d e o f t h e e q u a t i o n s g i v i n g t h e o s c i l l a t o r y l i f t a n d p i t c h i n g moment c o e f f i c i e n t s and C m r e p r e s e n t s t h e t r a n s i e n t r e s -p o n s e s o f t h e s e a e r o d y n a m i c q u a n t i t i e s i n t h e f r e q u e n c y d o m a i n . H o w e v e r , t h e e v a l u a t i o n o f t h e t r a n s i e n t r e s p o n s e i n t h e t i m e domain c a n ' t t a k e p l a c e u n l e s s t h e n a t u r e o f t h e e x c i t a t i o n f u n c t i o n i s s p e c i f i e d . F o r a u n i t s t e p e x c i t a t i o n v 0 = K t ) 6 f w h e r e l ( t ) i s t h e H e a v i s i d e i n t e g r a l a n d 6^ t h e f i n a l v a l u e o f t h e s p o i l e r i n c l i n c a t i o n , t h e c o r r e s p o n d i n g F o u r i e r i n t e g r a l t r a n s f o r m w o u l d b e a n d t h e t r a n s i e n t r e s p o n s e s i n t h e f r e q u e n c y doma in become e n t i r e l y d e f i n e d a s : 4 5 1.8 lmCQ| 0,Qm o3 1.6 14 LIFT km PITCHING MOMENT S/c = 0.7 s/c = 0.5 o + h/c=0.05 h/c=0.05 Pitching Moment, Q m Q 1.2 -0.2 1.0 0.8 0.6 L 0.4 0.2 2-0» 1-5 1.0 2.0 H-5 .6.) . 5 i •j-2.0 •S-1.5 + 1.5 2-0 1.0 •M.o - . 8 i1.0 -.6 .8 - . 5 .6 1 •.4 .5 - 3 43 1.3 1 1 j.2 -Reduced Frequency ^ - -ReaKQ|0,Qmol 1.0 F i g u r e 1 6 . "STEADY STATE OSCILLATIONS 46 1.8 1.6 1.4 LIFT AND PITCHING MOMENT s/c=0.7 S/c=0.5 h/c=0.1 h/c = 0.1 • L i f t , Q,0 + P i t c h i n g M o m e n t , Q m o Reduced Frequences R 8alC0i o,0m o5 1.0 -0.2 I F i g u r e 17. STEADY STATE OSCILLATIONS Transition 47 T h e t r a n s i e n t r e p o n s e s a r e t h e n e v a l u a t e d i n t h e t i m e d o m a i n by-u s i n g t h e i n v e r s e F o u r i e r i n t e g r a l t r a n s f o r m . T h e t e c h n i q u e t o s o l v e t h o s e i n t e g r a l s i s g i v e n i n d e t a i l b y B i s p l i n g h o f f e t a l . (5) a n d t h e t r a n s i e n t r e s p o n s e s o f t h e l i f t a n d p i t c h i n g moment t o u n i t s t e p s p o i l e r a c t u a t i o n become D l 6 f 2 C T ( t ) = - — -l v / TT IT cat) ^ mv ' f]- TT 0 0 Real fa (u) lo s i n ^ t ) y w h e r e t i s t h e d i m e n s i o n l e s s t i m e t U t c S i n c e C i a n d Cz a r e known o n l y n u m e r i c a l l y , c o m p u t a t i o n o f t h e s e r e s p o n s e s r e q u i r e s a l s o a n u m e r i c a l s o l u t i o n w h i c h e x i s t s f o r c o n v e r g e n t i n t e g r a n d s o n l y . I n t h e h i g h f r e q u e n c y r a n g e , b o t h R e a l (Q-, ( y ) ) a n d R e a l ( Q n i o ( y ) ) h a v e b e e n shown t o a p p r o a c h a f i n i t e c o n s t a n t v a l u e s o t h a t t h e i n t e g r a n d i n t h a t r e g i o n b e h a v e s a s s i n ^ w h i c h i n t u r n h a s a f i n i t e . x i n t e g r a l o v e r a s e m i - i n f i n i t e r a n g e . T h e s e i n t e g r a l s h a v e t h e r e f o r e f i n i t e v a l u e s a l t h o u g h a n u m e r i c a l s o l u t i o n w i l l c a l l f o r some m o d i f i c a t i o n o f t h e i n t e r v a l o f i n t e g r a t i o n . The s e m i - i n f i n i t e r a n g e i s r e l a x e d b y t e r m i n a t i n g t h e i n t e g r a t i o n a t t h e e n d o f a f u l l c y c l e , i . e . , a t a p o i n t w h e r e y t i s a n e v e n m u l t i p l e o f 2TT. H e r e a g a i n t h e c o n v e r g e n c e o f t h e i n t e g r a l i s more 4 8 s e n s i t i v e t o t h e number o f c y c l e s t h a n t o t h e l e n g t h o f a t r u n c a t e d i n t e r v a l . A min imum o f t e n c y c l e s h a s • shown t o g i v e g o o d r e s u l t s . R e s u l t s a r e p r e s e n t e d o n f i g u r e 18 a s t h e r a t i o o f t h e i n s t a n t a n e o u s t o t h e f i n a l v a l u e w h i c h n o t s u r p r i s i n g l y i s t h e s t e a d y s t a t e v a l u e . T h i s r a t i o i s c a l l e d t h e i n d i c i a l a d m i t t a n c e and i s g i v e n b y : , C ( t ) TT C ( t ) - irr: . TT 6 . 3 . F i n i t e T i m e S p o i l e r A c t u a t i o n I n p r a c t i c a l a p p l i c a t i o n s , t h e a c t u a t i o n o f t h e s p o i l e r t a k e s a f i n i t e p e r i o d o f t i m e . T h i s c a s e c a n b e r e p r e s e n t e d b y a l i n e a r t i m e v a r i a t i o n o f t h e s p o i l e r i n c l i n a t i o n o f t h e t y p e 6 = l ( t ) - £ -T w h e r e <5 i s t h e i n s t a n t a n e o u s v a l u e o f t h e s p o i l e r i n c l i n a t i o n w h i l e 6^ i s UT t h e f i n a l v a l u e a n d T t h e d i m e n s i o n l e s s t i m e o f e r e c t i o n T = — . c A s f o r t h e u n i t s t e p c a s e , t h e e x c i t a t i o n f u n c t i o n vo i s e q u a l t o t h e a n g u l a r p o s i t i o n o f t h e s p o i l e r . E x p r e s s e d i n t h e f r e q u e n c y d o m a i n , t h e e x c i t a t i o n vo becomes _ 6 f 1 v° OTO2" 5 0 The n e x t s t e p c o n s i s t s i n i n t r o d u c i n g t h e known f o r m o f t h e e x c i -t a t i o n f u n c t i o n vo i n t h e e q u a t i o n s g i v i n g t h e t r a n s i e n t r e s p o n s e s o f t h e l i f t and p i t c h i n g moment i n t h e f r e q u e n c y d o m a i n : n r,,\ = H i . _ i i f l .. . r, 5+- Q (y) TT - (jUJ2" E a c h o f t h e s e t w o e q u a t i o n s c a n b e l o o k e d a t a s b e i n g t h e p r o d u c t o f t h e i n d i c i a l a d m i t t a n c e a n d a u n i t s t e p e x c i t a t i o n f u n c t i o n b o t h d e f i n e d i n t h e f r e q u e n c y d o m a i n . T h e t h e o r e m o f c o n v o l u t i o n l e a d s t o t h e u s e o f a D u h a m e l ' s i n t e g r a l t o f i n a l l y g e t t h e e x p r e s s i o n s o f t h e t r a n s i e n t r e s p o n s e s t o f i n i t e t i m e s p o i l e r a c t u a t i o n a s C l ( t ) " TT £ u n f L ; TT -r-jiCt - x)dx I m ( t - T)dT w h e r e x i s a durrmy v a r i a b l e o f i n t e g r a t i o n . H o w e v e r , t h e s p o i l e r assumes a f i n a l and c o n s t a n t v a l u e 6^ a f t e r a t i m e t = T . T h e c o m p l e t e s o l u t i o n must t h e r e f o r e i n c l u d e some m e c h a n i s m t o t a k e c a r e o f t h e s p o i l e r f i n i t e m o t i o n . The n e e d e d m o d i f i c a t i o n i s p r o v i d e d b y t h e s u p e r p o s i t i o n o f a s e c o n d e x c i t a t i o n f u n c t i o n i d e n t i c a l , t o t h e f i r s t one b u t d e l a y e d b y a t i m e t - T a n d w i t h a n e g a t i v e s i g n . T h e c o m p l e t e e x c i t a t i o n f u n c t i o n i s t h e n : 51 vo = l ( t ) . 6 - l ( t - T)-5 - ( t ^ T ) w i t h l ( x ) = 0 f o r x < 0 l ( x ) = 1 f o r x > 0 T h e l i n e a r i t y o f t h e s y s t e m e n a b l e s u s t o p e r f o r m a s i m i l a r d e l a y e d s u p e r p o s i t i o n o f t h e r e s p o n s e s . T h e f i n a l s o l u t i o n s t o f i n i t e t i m e s p o i l e r a c t u a t i o n a r e w r i t t e n a s : " t «. f t - T ~ D i ^ f C - . ( t ) = l ( t ) ^ — em(t) = Kt) T T I,(t-T)dT - l(t-T) ^  — 1 TT -J m ( t - x ) d x - l ( t - T ) ^ - | I 1 ( ( t - T ) - x ) d T 0 t - T 0 I (t-T)-T dx m T h i s p r o c e s s o f s u p e r i m p o s e d e x c i t a t i o n a n d r e s p o n s e s i s i l l u s t r a t e d i n f i g u r e 1 9 . F i g u r e 2 0 shows t h e t r a n s i e n t s o l u t i o n s f o r t h e l i f t a n d p i t c h i n g moment t o v a r i o u s f i n i t e t i m e s p o i l e r a c t u a t i o n s . The r e s u l t s a s f o r t h e c a s e o f t h e u n i t s t e p a r e shown a s t h e r a t i o o f t h e i n s t a n t a n e o u s t o t h e f i n a l v a l u e f o r b o t h a e r o d y n a m i c c o m p o n e n t s . T h e s e s c a l e d f u n c t i o n s a r e : w1(t) W ( t ) m a, (t) C m ( t ) E i 5 f 5 2 Excitation Functions Response Functions 4& t C, Pi Quasi-Stsady Response Transient Response Figure 19. SUPERPOSITION OF EXCITATION & RESPONSE FUNCTIONS F i g u r e 2 0 . SOLUTIONS TO FINITE TIME SPOILER ACTUATION 54 6 . 4 . S t a b i l i t y D e r i v a t i v e s S t a b i l i t y d e r i v a t i v e s p l a y an i m p o r t a n t r o l e i n t h e d y n a m i c s t a b i l i t y a n a l y s i s o f a r i g i d b o d y s u b j e c t e d t o a e r o d y n a m i c f o r c e s . T h e s o l u t i o n t o f i n i t e t i m e s p o i l e r a c t u a t i o n b y D u h a m e l ' s i n t e g r a l h a s t h e a d v a n t a g e o f b e i n g e a s i l y r e w o r k e d i n t o a d i f f e r e n t i a l f o r m h a v i n g ; i t s p a r t i a l d i f f e r e n t i a l s i d e n t i f i e d t o t h e s e s t a b i l i t y d e r i v a t i v e s . F i r s t , t h e i n d i c i a l a d m i t t a n c e may b e c o n s i d e r e d a s t h e d i f f e r e n c e b e t w e e n t h e f i n a l s t e a d y s t a t e v a l u e a n d t h e i n s t a n t a n e o u s d e f e c t o f l i f t a n d p i t c h i n g moment a t any t i m e t > 0 . T h i s i d e a i s d e p i c t e d i n f i g u r e 2 1 . 1.0 F i g u r e 21. I n d i c i a l a d m i t t a n c e : l i f t a n d p i t c h i n g moment d e f e c t s . Now, i f f - ^ ( t ) a n d f ( t ) a r e t h e f u n c t i o n s d e s c r i b i n g t h e s e d e f e c t s , t h e i n d i c i a l a d m i t t a n c e s may b e w r i t t e n a s : I - ^ t ) = 1 - f ^ t ) I ( t ) = 1 - f ( t ) m m R e p l a c i n g t h e i n d i c i a l a d m i t t a n c e s b y t h e i r e q u i v a l e n t , t h e e q u a t i o n s d e s c r i b i n g t h e t r a n s i e n t l i f t a n d p i t c h i n g moment f o r f i n i t e t i m e s p o i l e r a c t u a t i o n b e c o m e : r rZ^ - P_i_ „ t _ A , D, ( t - T ) • K t ) ~ ~ D, ^ f f' ( t - T ) d l + l ( t - T ) .1. 11 rp t - T f 1 ( ( t - T ) - T ) d x 5 5 C ( t ) n r J - l ( t ) E i 6 f 0 T f ( t - x ) d x + l ( t - T ) ^ t - T 0 f ( ( t - T ) - T ) d T m The t r a n s i e n t r e s p o n s e s may a l s o b e e x p r e s s e d i n t h e i r d i f f e r e n t i a l f o r m a s 3C arc . C m ( t ) " "36 6 + 3-6 C o m p a r i n g t h e l a s t two s e t s o f e q u a t i o n s , t h e v a l u e s f o r t h e s t a b i l i t y d e r i v a t i v e s a r e e a s i l y f o u n d t o b e : 36 TT 3C 36 m _ - E j _ TT 3 C 3-6 1 _ P i TT - K t ) Pt 0 r t - T f ( t - T ) d x + l ( t - T ) f x ( ( t - T ) - x ) d X 3C m 3*6 E l TT -K t ) f ( t - x ) d x + l ( t - T ) . m 0 t - T 0 f m ( ( t - T ) - x ) d x The s t a b i l i t y d e r i v a t i v e s o f t h e l i f t a n d p i t c h i n g moment d i v i d e d r e -s p e c t i v e l y b y ^p- a n d a r e shown i n f i g u r e s 21 a n d 22 f o r t w o d i f f e r e n t s p o i l e r e r e c t i o n t i n e s . The p a r t i a l d e r i v a t i v e s w i t h r e s p e c t t o 6 a r e c o n s t a n t F i g u r e 2 2 . STABILITY DERIVATIVES 58 f o r any t i m e a n d r e p r e s e n t t h e l i f t a n d p i t c h i n g moment curve s l o p e s f o r a q u a s i s t e a d y f l o w w h e r e t h e r e s p o n s e t o any e x c i t a t i o n i s i n s t a n t a n e o u s . T h e p a r t i a l d e r i v a t i v e s w i t h r e s p e c t t o '6 a r e due t o t h e p r e s e n c e o f t h e wake g e n e r a t e d b y t h e r e a d j u s t m e n t o f t h e c i r c u l a t i o n a r o u n d t h e a i r f o i l a n d a r e shown t o a p p r o a c h a s y m p t o t i c a l l y a z e r o v a l u e a f t e r t h e c o m p l e t i o n o f t h e s p o i l e r m o t i o n . However t h e s e p a r t i a l d i f f e r e n t i a l s , w i t h r e s p e c t to '6 do n o t s a t i s f y t h e e x a c t d e f i n i t i o n o f a s t a b i l i t y d e r i v a t i v e w h i c h m u s t b e i n d e p e n d e n t o f t h e t i m e . I n s u c h c a s e s , E t k i n ( 6 ) h a s s u g g e s t e d t o t a k e t h e a s y m p t o t i c v a l u e w h i c h c o r r e s p o n d s t o z e r o f o r a t w o d i m e n s i o n a l s p o i l e r e d w i n g . 5 9 V I I . CONCLUSION L i n e a r i z e d t h i n a i r f o i l t h e o r i e s a r e known t o g i v e p o o r p r e d i c t i o n o f t h e p r e s s u r e d i s t r i b u t i o n . B r o w n ' s t h e o r y i s no e x c e p t i o n t o t h a t r u l e a n d t h e e s t i m a t i o n o f t h e p i t c h i n g moment s u f f e r s f r o m t h a t l a c u n a . H o w e v e r , t h e o r e t i c a l r e s u l t s a r e s t i l l a c c e p t a b l e i n t h e p e r s p e c t i v e o f a t h e o r y c r e a t e d f o r p r e l i m i n a r y d e s i g n p u r p o s e s . The c a p a b i l i t y t o i s o l a t e t h e e f f e c t o f e a c h g e o m e t r i c a l component o f t h e a i r f o i l makes o f t h i s t h e o r y a n i n v a l u a b l e t o o l t o d e s i g n e r s . The m e r i t o f t h e l i n e a r i z e d a p p r o a c h d w e l l s i n t h e p o s s i b i l i t y t o w o r k o u t s o l u t i o n s f o r u n s t e a d y f l o w w i t h r e l a t i v e e a s e . T h e s t e a d y - s t a t e o s c i l l a t i o n s s o l u t i o n f o r a s p o i l e r v i b r a t i n g a r o u n d i t s h i n g e b r i n g s up a n i m p o r t a n t i n s i g h t o n t h e o u t o f p h a s e o s c i l l a t o r y a e r o d y n a m i c c o m p o n e n t s a c t i n g o n t h e f o i l . A l t h o u g h t h e m o d e l c o u l d b e c o n s i d e r e d a s a n o v e r s i m p l i -f i e d r e p r e s e n t a t i o n o f t h e p h y s i c a l phenomenon, i t n e v e r t h e l e s s g i v e s t o r e s e a r c h e r s s o m e t h i n g t o s t a r t w i t h i n a n a t t e m p t t o p r e d i c t t h e i n f l u e n c e o f t h e s p o i l e r o n t h e f l u t t e r c h a r a c t e r i s t i c s o f a w i n g . A n i m p r o v e d v e r s i o n o f t h e m o d e l w o u l d a l l o w f o r a n o u t o f p h a s e f l u c t u a t i n g c a v i t y p r e s s u r e d u e t o t h e r o l l i n g s h e a r l a y e r s a t s e p a r a t i o n p o i n t s . U n f o r t u n a t e l y , s u c h a n i m -p r o v e m e n t w o u l d c a l l f o r t h e i n t r o d u c t i o n o f more e m p i r i c a l i n p u t s t o t h e m o d e l u n t i l more i s known c o n c e r n i n g t h e p r o c e s s o f v o r t e x g e n e r a t i o n . B e s i d e s c o m p l e t i n g t h e d e s c r i p t i o n o f t h e a e r o d y n a m i c e f f e c t s d u e t o t h e s p o i l e r e r e c t i o n , s o l u t i o n o f t h e t r a n s i e n t p i t c h i n g moment i s i m p o r t a n t b e c a u s e i t p r o v i d e s t h e p a r a m e t e r n e c e s s a r y t o e s t i m a t e t h e t r a n s i e n t d i s -p l a c e m e n t o f t h e p r e s s u r e c e n t e r w h i c h m i g h t c a u s e a s h i f t i n a i r c r a f t 60 a t t i t u d e i f n o t h a m p e r e d . On t h e o t h e r s i d e , t h e s t a b i l i t y d e r i v a t i v e s r e l a t e d t o t h e t r a n s i e n t f l o w h a v e b e e n shown o f l i t t l e i m p o r t a n c e s i n c e t h e i r a s y m p t o t i c v a l u e i s z e r o . I t s h o u l d b e p o i n t e d o u t t h a t t h e s e s t a b i l i t y d e r i v a t i v e s e v e n t h o u g h t h e y a r e n o t s i g n i f i c a n t f o r a t w o - d i m e n s i o n a l w i n g , m i g h t assume a n o n - z e r o a s y m p t o t i c v a l u e f o r a t h r e e - d i m e n s i o n a l s p o i l e r e d w i n g . 61 APPENDIX A S t e a d y S t a t e Cbnrplex A c c e l e r a t i o n _ P o t e n t i a l 1 ) I n c i d e n c e c a s e F ± ( C ) = i Cc i 0 ° _ l - i G o _ l + 1 + i Br + i ( a - | ) M w h e r e C o , B 0 a r e r e a l c o n s t a n t s , a i s t h e a n g l e o f a t t a c k a n d ~ i s t h e f i r s t c o e f f i c i e n t o f t h e e v e n F o u r i e r s e r i e s f o r t h e s l o p e o f t h e c a m b e r l i n e a s d e f i n e d i n t h e camber c a s e . 2 ) Camber c a s e .E. ( c ) = - i • E — w h e r e M - 2  c ^ 1 C n ' n IT 0 ? ) . c o s n e d e , n d x c 0 , 1 , 2 . 0 -dy> a n d (~r-) i s t h e s l o p e o f t h e camber l i n e . v d x c ^ 3) T h i c k n e s s F t ( C ) = N . £ _ n ( C - e i e ° ) ( c - e - i e o ) 0 ? n a n d N n TT ( c o s 6 0 - c o s e ) c o s n 0 d 9 , n > 1 N N = 2 TT ( ^ ) ( c o s 0 o - c o s 0 ) d 8 w h e r e (4^ ), i s t h e s l o p e o f t h e t h i c k n e s s d i s t r i b u t i o n f u n c t i o n , d x t 6 2 4 ) S p o i l e r F s U ) s i n 6 . TT 18-1 6 o_! Ce Ce -16 + l n ?-e" i e x 5) F l a p F f ( C ) n TT i ( 6 2 - TT) ( C e i 0 ° - 1 ) + 1 ( 6 , - TT) Ce - i8o_l + l n C - e i 9 2 T h o s e f u n c t i o n s s a t i s f y b o u n d a r y c o n d i t i o n s i ) , i i ) , i i i ) . T h e c o n s t a n t s B o , Co a r e d e t e r m i n e d b y u s i n g b o u n d a r y c o n d i t i o n . i v ) . The r e a l a n d i m a g i n a r y p a r t s o f t h e c o m p l e x a c c e l e r a t i o n p o t e n t i a l e v a l u a t e d a t i n f i n i t y g i v e two e q u a t i o n s t o s o l v e f o r t h e t w o unknowns Bo a n d C o -H o w e v e r , t h e c a v i t a t i o n number K a n d t h e c a v i t y l e n g t h I t h a t i s n e e d e d i n t h e m a p p i n g f u n c t i o n a r e s t i l l unknown . B o u n d a r y c o n d i t i o n v ) c a n b e u s e d t o f i n d a r e l a t i o n o f t h e t y p e K = f U ) b y w o r k i n g o u t t h e r e s i d u e o f t h e c o n t o u r i n t e g r a l Im ( } F ( z ) d z = 0. S i n c e t h i s r e l a t i o n c a n n o t b e i n v e r t e d , an i t e r a t i v e p r o c e s s must b e s o u g h t t o d e t e r m i n e t h e c o r r e c t l e n g t h o f t h e c a v i t y c o r r e s p o n d i n g t o t h e c a v i t a t i o n number w h i c h i s t h e o n l y e m p i r i c a l i n p u t n e e d e d . 6 3 APPENDIX B T h e i n t e g r a n d s T i , T 2 , T 3 , T 4 u s e d t o d e t e r m i n e C i a n d s u b s e q u e n t l y C 2 a r e T i = R e a l K E 1 n T 2 = R e a l 1 COS0O + 2 i b'+l + (cos.e.o + u n T , (01-TT) R e a l - 1 2 i b'+l + a r g c o s 0 o + ^ y f ' + V ( C ° S 9 ° + b^PL i6] 1 - e -ie-R e a l ( c o s 0 o + b'+l 2 i /x' v b'+l vc ; APPENDIX C On t h e a i r f o i l and s p o i l e r , t h e a m p l i t u d e o f t h e o s c i l l a t o r y p r e : s u r e d i s t r i b u t i o n i s g i v e n b y cb. . o cb0 = - ( u 2 § + 2 i u ) . 6 . Z J n s i n n G + ( u 2 | + 2 j u ) . 5 - f • C Q S ^ o s e + ^ - 5 - E K. s i n n 8 2 ^ n s i n 0 V l i . 6 . K o _ 2 2 c o s 9 o - c o s 9 + + TT + C 2 TT 6 - I n C i6 i + C 2 ( 8 1 — T T ) TT TT s i n g e - e x ) / 2 ) s i n ( (9+6 0 / 2 ) 5 s i n 9 ' c o s 6 0 - c o s 9 The a m p l i t u d e o f t h e o s c i l l a t o r y l i f t a n d p i t c h i n g moment a r e TT J - 0 C • d x ' , Q ^ - d T ' d e o F i r s t , - -m 0 c 1 _ d x ' c " a e ' " c b 0 . x ' . ^ -de 0 and ^r-^— a r e e x p r e s s e d i n f i n i t e s i n e s e r i e s c d9 1 dx" c ' d 8 L i s i n 8 + L 2 s i n 2 6 -2-4#' = H i s i n S + H , s i n 2 6 + H 3 s i n 3 9 + H l t s i n 4 8 c de 65 H3 3 8 ri+b' 1 fb* = _ 4 • -2 +1" d - b ' 2 ) Now, t h e f o l l o w i n g f o u r i n t e g r a l s c a n b e e v a l u a t e d e x a c t l y : TT I n Jo s l n ( ( 9 - e Q / 2 ) s l n ( ( 6 + 6 i ) / 2 ) £ G s i n n 9 d0 = -TT E G h s i i m 9 i 1 n 1 s i n 8 n n COS0O-COS0 E s i n n 0 d 0 = TT £ CR c o s n 0 o 1 1 0 n X J s i n n 0 1 TT n £ G : n s i n n 6 d 6 = -x I ^rfia 1 1 E K s i n n 0 - E G s i n n 9 d 8 1 1 n n | ^ K G 2 ^ n n n R e p l a c i n g t h e G n b y 1^' a s p r e v i o u s l y d e f i n e d w i t h n = 1 , 2 , t h e c o e f f i c i e n t s o f i n t e g r a t i o n f o r t h e l i f t a r e : D i = 2TT- \ L n s i n n 0 i _ + ^ . 2 1 n 1 D, = 2TT. _ \ L n s l n n e x + ( Q i _ T r ) \ L n C o s n 0 o . 1 n 1 D, ' = TT • I J L n n D, = TT • E K L n n D 5 = 2TT. E L^cos.nO, I n t h e same manner , t h e c o e f f i c i e n t s f o r t h e p i t c h i n g moment a r e o b t a i n e d b y s u b s t i t u t i n g G" b y II w i t h n = 1 , 2 , 3 , 4 . to n n 66 4 E i = 2TT- - E 1 4 E 2 = 2TT • - E 1. 4 E 3 = TT-S 1 4 E 4 1 4 E 5 = 2TT • E H s I ^ s i m e i . + e j. H 0 o n n  H n S i n n 9 1 + OI-TT) • E H n c o s n 0 c  n 1 U n f o r t u n a t e l y , t h e a m p l i t u d e o f t h e s p o i l e r h i n g e moment w h i c h i s r e c a l l e d t o b e : C. m s 0 c )o(x»-s)--^—d9 f o r s ^  x' v< s + h d o • do c a n n o t b e s o l v e d a n a t i c a l l y a s f o r t h e l i f t a n d p i t c h i n g moment. T h e i n t e g r a l w i t h r e s p e c t t o 0 m u s t b e s o l v e d n u m e r i c a l l y and t h e c o e f f i c i e n t s E i t o E 5 a p p e a r i n g i n t h e f i n a l s o l u t i o n a r e d e f i n e d a s : F i - I i + 8 i l 2 F 2 = I i + (0I-TT )I 2 F 3 - I s F i , - 11, F 5 = 67 w h e r e I i = 2 l n sin((9+6i)/2) ( x ^ s ) . f , . d O I 2 = s i n G _ x , d x ' . d 6 c o s 9 o - c o s 9 d9 10 I3=p- (J. J n s i n n e ) . ( x * - s ) . ^ ' d e 0 1 Iu = 0 (E 7 ^ s i n n 9 ) . ( x i - s > ^ ' d 9 68 APPENDIX D E x p e r i m e n t a l v a l u e s o f t h e c a v i t a t i o n number K u s e d i n f i g u r e s 5 , 6 , 7 , 8 a n d 9 . a(°) C a v i t a t i o n Number K , 5 = 90° s / c = . 5 h / c = . 0 5 s / c = . 5 h/cF.l s / c - . 7 h / c - . 0 5 S/CF.7 h / c = . I s/c=.7 n / c = . l c ^ / c ^ . 3 2 5 e . 501 . 5 8 5 . 434 . 6 1 3 . 7 4 2 4 . 4 7 4 . 570 . 422 . 5 8 8 . 6 9 3 8 • . . 4 4 7 . 5 5 5 . 410 . 5 6 3 . 6 4 4 12 . 4 2 0 . 5 4 0 . 3 9 8 . 5 3 8 . 5 9 5 16 . 3 9 3 . 5 2 5 .386 . 5 1 3 . 5 4 6 E x p e r i m e n t a l v a l u e s o f K u s e d i n f i g u r e 1 1 . C a v i t a t i o n Number K a ( ° ) \ 15 30 4 5 60 75 9 0 6 . 2 9 0 . 3 3 8 . 420 . 5 0 3 . 550 . 5 7 6 69 REFERENCES 1 ) J a n d a l i , T . , 1 9 7 0 . " A P o t e n t i a l F l o w T h e o r y f o r A i r f o i l S p o i l e r s " , P h . D . T h e s i s , U n i v e r s i t y o f B r i t i s h C o l u m b i a . 2 ) B r o w n , G . P . , 1 9 7 1 . " S t e a d y a n d N o n s t e a d y P o t e n t i a l F l o w M e t h o d s f o r A i r f o i l s w i t h S p o i l e r s " . P h . D . T h e s i s , U n i v e r s i t y o f B r i t i s h C o l u m b i a . 3 ) B r o w n , G . P . a n d P a r k i n s o n , G . V . , 1 9 7 3 . " A L i n e a r i z e d P o t e n t i a l F l o w T h e o r y f o r A i r f o i l s w i t h S p o i l e r s " . J . F l u i d M e c h . , V o l . 5 7 , p a r t 4 , p p . 6 9 5 - 7 1 9 . 4 ) V o n K a r m a n , H i . a n d S e a r s , W.R. , 1 9 3 8 . " A i r f o i l T h e o r y f o r N o n -U n i f o r m M o t i o n " , J . o f A e r o . S c . , V o l . 5 , No . 1 0 , p p . 3 7 9 - 3 9 0 . 5 ) B i s p l i n g h o f f , R . L . , A s h l e y , H . a n d H a l f m a n , R . L . , 1 9 5 5 . " A e r o -e l a s t i c i t y " . A d d i s o n - W e s l e y P u b l i s h i n g C o . , p p . 2 8 4 - 2 8 5 . 6 ) E t k i n , B . , 1 9 5 6 . " A e r o d y n a m i c T r a n s f e r F u n c t i o n s : A n Improvment on S t a b i l i t y D e r i v a t i v e s f o r U n s t e a d y F l i g h t " . U T I A R e p . N o . 4 2 . 

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