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Experimental investigation of the Rayleigh-Taylor instability 1979

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E X P E R I M E N T A L I N V E S T I G A T I O N OF THE R A Y L E I G H - T A Y L O R I N S T A B I L I T Y by Roman P o p i l B . S c , U n i v e r s i t y o f R e g i n a , ]977 A T H E S I S SUBMITTED I N P A R T I A L . F U L F I L L M E N T OF THE REQUIREMENTS FOR THE DEGREE OF MASTER OF S C I E N C E i n THE FACULTY OF GRADUATE S T U D I E S D e p a r t m e n t o f P h y s i c s We a c c e p t t h i s t h e s i s as c o n f o r m i n g t o t h e r e q u i r e d s t a n d a r d THE U N I V E R S I T Y OF B R I T I S H COLUMBIA A p r i l , ] 9 7 9 @ Roman P o p i l , 1 9 7 9 In presenting th i s thes is in pa r t i a l fu l f i lment of the requirements for an advanced degree at the Univers i ty of B r i t i s h Co 1umbia, I agree that the L ibrary sha l l make it f ree ly ava i l ab le for reference and study. I fur ther agree that permission for extensive copying of th i s thesis for scho lar ly purposes may be granted by the Head of my Department or by his representat ives. It is understood that copying or pub l i ca t ion of th is thes is fo r f inanc ia l gain sha l l not be allowed without my written permission. Department of Pti^SlC 9 The Univers i ty of B r i t i s h Co Iumbia 2075 Wesbrook Place Vancouver, Canada V6T 1WS 5- ABSTRACT The R a y l e i g h - T a y l o r i n s t a b i l i t y o f a w a t e r - a i r i n t e r f a c e was i n v e s t i g a t e d u s i n g e l e c t r i c a l and p h o t o g r a p h i c m e t h o d s . An a p p a r a t u s i s d e s c r i b e d w h i c h a c c e l e r a t e s a r e c t a n g u l a r t a n k o f w a t e r d o w n w a r d s and p r o d u c e s r e p r o d u c i b l e i n s t a b i l i t i e s f r o m a p u r e s i n u s o i d a l s t a n d i n g s u r f a c e w a t e r wave o f known p h a s e a n d a m p l i t u d e . The e l e c t r i c a l m e a s u r e m e n t s r e v e a l e d t h a t i n a d d i t i o n t o t h e b u l k m o t i o n , f i l m s o f w a t e r a r e p r o d u c e d on t h e w a l l s o f t h e w a t e r t a n k . The e x i s t e n c e o f t h e s e and o t h e r f e a t u r e s o f t h e i n s t a b i l i t y a r e s u b s t a n t i a t e d by p h o t o - g r a p h s o f t h e v a r i o u s i n s t a b i l i t i e s t h a t w e r e p r o d u c e d . The e l e c t r i c a l m e a s u r e m e n t s l e d t o a new s c a l i n g l a w f o r t h e phenomenon o f c l i m b i n g f l u i d f i l m s a t a c c e l e r a t i o n s g r e a t e r t h a n g r a v i t y . S e v e r a l l i n e a r d e v i c e s were a l s o d e v e l o p e d f o r m e a s u r i n g t h e a m p l i t u d e s o f s u r f a c e w a t e r w a v e s . i i T A B L E OF CONTENTS 1) INTRODUCTION 1 2) CHAPTER I I E X P E R I M E N T A L APPARATUS A . T a n k a c c e l e r a t i o n s y s t e m 11 B . T a n k and A n a l y z i n g P l a t e s 12 . C . Wave e x c i t a t i o n 16 D . The e l e c t r i c a l s y s t e m . 20 E. The I . C . c a p a c i t a n c e m e a s u r i n g c i r c u i t . . 23 3) CHAPTER I I I E X P E R I M E N T A L R E S U L T S A . C a p a c i t a n c e m e a s u r e m e n t s . . . 26 B . R e s i s t a n c e m e a s u r e m e n t s 33 C . " C a v i t a t i o n " e f f e c t s 37 D . P h o t o g r a p h y o f t h e f l u i d m o t i o n 48 E . E l e c t r i c a l m e a s u r e m e n t s , n a r r o w t a n k . . . 63 F . T e s t f o r t h e a i r f i l m 68 G . C l i m b i n g f i l m s 73 4) CHAPTER I V CONCLUSION 81 5) B I B L I O G R A P H Y 84 6) A P P E N D I C E S A . D e t a i l s o f t h e w a v e f o r m g e n e r a t o r . . . . 85 B . O p t i c a l F o u r i e r a n a l y s i s 91 - i i i - L I S T OF T A B L E S I Wave E x c i t a t i o n E l e c t r o d e s 18 I I R e s i s t a n c e F o u r i e r A n a l y s i s 34 I I I C a v i t a t i o n R a t e and T a n k W i d t h 41 I V E f f e c t o f V i s c o s i t y on C a v i t a t i o n R a t e . . 44 V C l i m b i n g F i l m s R e s u l t s 75 V I D i g i t a l P r o g r a m f o r Wave G e n e r a t o r . . . . 90 - i v - L I S T OF F I G U R E S 1) P h o t o g r a p h o f a R a y l e i g h - T a y l o r I n s t a b i l i t y s h o w i n g t h e s p i k e and t h e b u b b l e . 7 2) S i d e v i e w o f t h e t a n k a c c e l e r a t o r 13 3) F r o n t v i e w o f t h e t a n k a c c e l e r a t o r 1A A) H o r i z o n t a l s e c t i o n o f t h e w a t e r t a n k . . . . 1 5 5) The f o u r t h h a r m o n i c F o u r i e r p l a t e 17 6) Wave g e n e r a t i n g e l e c t r o d e a s s e m b l y . . . . 19 7) B l o c k d i a g r a m o f t h e e l e c t r i c a l s y s t e m . . . 2 2 8) I . C . c a p a c i t a n e m e a s u r i n g c i r c u i t 2A 9) R e s p o n s e o f t h e I . C . t o d e p t h c h a n g e s . . . 25 10) O u t p u t o f t h e i m p e d a n c e b r i d g e 27 11) S p e c t r u m o f t h e s e c o n d h a r m o n i c wave . . . 28 12) R e s u l t s u s i n g t h e w a t e r as t h e d i e l e c t r i c 29 13) B r i d g e o u t p u t v s . t i m e o s c i l l o g r a p h s . . . 31 1A) C a p a c i t a n c e m e a s u r e m e n t s , d e c r e a s e i n mean l e v e l 32 15) R e s i s t a n c e F o u r i e r a n a l y s i s 35 16) L i n e a r d e c r e a s e o f t a n k c a p a c i t a n c e . . . 39 17 ) C a l i b r a t i o n o f t h e i m p e d a n c e b r i d g e . . . AO 18) " C a v i t a t i o n " r a t e , t a n k w i d t h 3 cm . . . . A2 19) C a v i t a t i o n r a t e f o r a 30% s u g a r s o l u t i o n . A5 20) I m p e d a n c e b r i d g e t e s t t o t r a n s i e n t c h a n g e s i n c a p a c i t a n c e A7 21) I n i t i a l u n p e r t u r b e d s u r f a c e p h o t o g r a p h . . A9 22) F i r s t h a r m o n i c wave i n s t a b i l i t y 51 23) F o u r t h h a r m o n i c i n s t a b i l i t y s h o t 53 24) F o u r t h h a r m o n i c i n s t a b i l i t y o f p h a s e 0 . . 55 25) P h o t o g r a p h o f t h e s t a n d i n g wave 56 26) S i d e on f l a s h p h o t o g r a p h s 57 27 ) " W e t t i n g " f l a s h p h o t o g r a p h s 58 28) E i g t h h a r m o n i c f l a s h p h o t o g r a p h 60 29 ) F o u r t h h a r m o n i c wave i n a n a r r o w t a n k . . 62 30) B r i d g e o u t p u t f o r f o u r t h h a r m o n i c . . . . 64 31) R e s i s t a n c e c h e c k o f c h a n g e i n mean l e v e l . 66 32) V a l i d i t y o f g r o w t h d i r e c t i o n t e s t s . . . . 67 33) T e s t f o r p r e s e n c e o f an a i r f i l m 70 34 ) P h o t o t r a n s i s t o r r e s u l t s f o r a i r f i l m . . . 71 35 ) B r i d g e r u n s f o r a p . c . b o a r d c a p a c i t o r p l a t e t a n k 74 36) C l i m b i n g f i l m s b e h a v i o u r , g r a p h . . . . . 76 37) L o g a r i t h m i c p l o t f o r c l i m b i n g f i l m s . . . 77 38) C l i m b i n g f i l m s r e s u l t s s c a l i n g l a w g r a p h . 78 39) S c h e m a t i c o f . t h e d i g i t a l w a v e f o r m g e n e r a t o r 86 40 ) W a v e f o r m g e n e r a t o r memory 87 41) U p / d o w n c o u n t e r a d d r e s s l o g i c 88 42) S e t - u p f o r o p t i c a l F o u r i e r a n a l y s i s . . . 92 - v i - ACKNOWLEDGEMENT T h i s p r o j e c t was c a r r i e d o u t u n d e r t h e a u s p i c e s o f D r . F . L . C u r z o n w h o s e k e e n i n t e r e s t i n my s t u g g l i n g e n d e a v o u r s and e n t h u s i a s m f o r s c i e n c e I f o u n d t o be b o t h e n c o u r a g i n g and i n s p i r i n g . A . C h e u c k ' s t e c h n i c a l a s s i s t a n c e w i t h t h e e l e c t r o n i c s and i n n u m e r a b l e o t h e r t e c h n i c a l i t i e s p r o v e d t o be i n v a l u a b l e . M . H e i n r i c h and G . A u c h i n l e u c k a s s i s t e d w i t h much o f t h e m a c h i n e shop w o r k . - v i i -1- CHAPTER I INTRODUCTION R a y l e i g h - T a y l o r i n s t a b i l i t i e s o c c u r w h e n e v e r t h e r e i s an a c c e l e r a t i o n o f t h e p l a n a r i n t e r f a c e o f two s u p e r i m p o s e d f l u i d s s u c h t h a t t h e a c c e l e r a t i o n i s d i r e c t e d f r o m t h e l e s s d e n s e t o t h e d e n s e r f l u i d . I f t h e b i n a r y f l u i d s y s t e m i s l e f t c o m p l e t e l y u n d i s t u r b e d a c o n d i t i o n o f an u n s t a b l e e q u i l i b r i u m w i l l e x i s t . H o w e v e r , i f t h e i n t e r f a c e i s i n i t i a l l y p e r t u r b e d p r i o r t o a c c e l e r a t i o n , t h e p e r t u r b a t i o n w i l l g row e x p o n e n t i a l l y w i t h t i m e , g i v i n g r i s e t o t h e s o c a l l e d R a y l e i g h - T a y l o r i n s t a b i l i t y . T h i s i n s t a b i l i t y i s a common o c c u r r e n c e i n n a t u r e as i n t h e f o r m a t i o n o f i c i c l e s , and t h e a c c e l e r a t i o n o f s t e l l a r m a t e r i a l on s t e l l a r s u r f a c e s . R a y l e i g h - T a y l o r i n s t a b i l i t i e s a r e o f c u r r e n t i n t e r e s t i n p l a s m a p h y s i c s w h e r e t h e u n s t a b l e s u r f a c e i s t h e p l a s m a vacuum i n t e r f a c e . T h e y o c c u r w h e n e v e r t h e a t t e m p t i s made t o a c c e l e r a t e t h e p l a s m a by a m a g n e t i c f i e l d as i n a z - p i n c h o r a t o k o m a k . P e r h a p s t h e mos t common e x a m p l e c a n be t a k e n t o be t h e c a s e o f a g l a s s o f w a t e r t u r n e d u p s i d e d o w n . H e r e , t h e a c c e l e r a t i o n i s t h a t due t o g r a v i t y and i s d i r e c t e d f r o m t h e w a t e r t o t h e a i r and t h u s t h e a i r - w a t e r i n t e r f a c e i s u n s t a b l e . The w a t e r , i n s t e a d o f m a i n t a i n i n g a n e a r l y p l a n e l o w e r i n t e r f a c e as i t f a l l s , w i l l t e n d t o be d e f o r m e d i n t o l o n g s p i k e s . I t i s t h e f o r m a t i o n and r a t e o f g r o w t h -2- o f t h e s e s p i k e s t h a t h a s b e e n t h e t o p i c o f s e v e r a l e x p e r i m e n t a l and n u m e r o u s t h e o r e t i c a l i n v e s t i g a t i o n s . S h o r t l y a f t e r t h e t h e o r e t i c a l p a p e r by G . I . T a y l o r ( 1 9 5 0 ) , t h e i n s t a b i l i t y was i n v e s t i g a t e d e x p e r i m e n t a l l y by D . J . L e w i s ( 1 9 5 0 ) , who s u b j e c t e d a s h o r t c o l u m n o f w a t e r t o a p r e s s u r e d i f f e r e n c e i n t h e a i r a b o v e and b e l o w t h e w a t e r . Emmons, C h a n g and W a t s o n ( 1 9 5 9 ) c a r r i e d o u t a s i m i l a r e x p e r i m e n t i n w h i c h a r e c t a n g u l a r t a n k o f w a t e r was a c c e l e r a t e d downward by t h e f o r c e o f s t r e t c h e d r u b b e r t u b i n g . A t a c c e l e r a t i o n s g r e a t e r t h a n t h a t o f g r a v i t y , t h e a t m o s p h e r i c p r e s s u r e o f t h e a i r t a k e s t h e r o l e o f t h e l i g h t e r f l u i d b e i n g a c c e l e r a t e d i n t h e d i r e c t i o n o f t h e h e a v i e r o n e . C o l e and T a n k i n ( 1 9 7 2 ) and R a t a f i a ( 1 9 7 3 ) h a v e p e r f o r m e d s i m i l a r e x p e r i m e n t s w h e r e a r e c t a n g u l a r t a n k o f w a t e r was a c c e l e r a t e d downward a t a c c e l e r a t i o n s s e v e r a l t i m e s g r e a t e r t h a n g r a v i t y . The f i r s t o r d e r t h e o r y as o r i g i n a l l y f o r m u l a t e d by G . I . T a y l o r f o l l o w s e a s i l y f r o m t h e c o n v e n t i o n a l h y d r o d y n a m i c s . The f r e e s u r f a c e o f t h e w a t e r i s g i v e n b y : y = n ( x , z , t ) w h e r e y i s t a k e n a l o n g t h e v e r t i c a l a x i s , and x , z a r e r e c t a n g u l a r c o o r d i n a t e s i n t h e h o r i z o n t a l p l a n e . D i f f e r e n - t i a t i n g t h i s e x p r e s s i o n w i t h r e s p e c t t o t i m e t , y i e l d s t h e f r e e s u r f a c e b o u n d a r y c o n d i t i o n : -3- - n t - u n x + v = 0 w h e r e t h e s u b s c r i p t s d e n o t e p a r t i a l d e r i v a t i v e s and u , v a r e t h e h o r i z o n t a l and v e r t i c a l c o m p o n e n t s o f t h e v e l o c i t y . B e r n o u l l i ' s l a w upon n e g l e c t i n g s e c o n d o r d e r t e r m s i n t h e v e l o c i t y g i v e s an e x p r e s s i o n f o r t h e p r e s s u r e : p = p 0 - (g + g x ) p y + P * t w h e r e (g + g^) i s t h e v i r t u a l a c c e l e r a t i o n s e e n by t h e i n t e r f a c e , p i s t h e d e n s i t y o f t h e f l u i d and * i s t h e v e l o c i t y p o t e n t i a l w h i c h s a t i s f i e s L a p l a c e ' s e q u a t i o n : 2 V * = 0 and whose g r a d i e n t g i v e s t h e c o m p o n e n t s o f t h e v e l o c i t y : y_= ( u , v , w ) = V$ The t h e o r y c o n s i d e r s two s u p e r i m p o s e d f l u i d s e a c h w i t h a p r e s s u r e , d e n s i t y and v e l o c i t y p o t e n t i a l . F o r t h e u p p e r f l u i d ( a i r ) , t h e v e l o c i t y p o t e n - t i a l and p r e s s u r e a r e : * . = A e x p { - k y } f ( t ) c o s { k x } P x = P 0 - (g + g i ) P i v + p i ( * i ) t S i m i l a r l y , f o r t h e l o w e r f l u i d t h e c o r r e s p o n d i n g q u a n t i t i e s a r e : * 2 = - A e x p { - k y } f ( t ) c o s { k x > P 2 = P 0 - (g • g ! ) p 2 y + P 2 ( * 2 ) t - 4 - w h e r e k = 2Tr /X i s t h e w a v e n u m b e r , and X i s t h e w a v e l e n g t h o f t h e p e r i o d i c i n s t a b i l i t y . The f o r m a d o p t e d f o r t h e v e l o c i t y p o t e n t i a l s i s t h a t f o r s t a n d i n g w a v e s t h a t s a t i s f y t h e b o u n d a r y c o n d i t i o n s t h a t t h e v e l o c i t i e s be f i n i t e a t y = ± » , t h a t t h e y be e q u a l a t t h e i n t e r f a c e y = 0 and t h a t y_ • n = 0 on t h e t a n k w a l l s w h e r e n_ i s t h e n o r m a l v e c t o r t o a w a l l . The n o n l i n e a r t e r m n x u i n t h e f r e e s u r f a c e c o n d i t i o n i s n e g l e c t e d y i e l d i n g n t - v - ( * . ) y = - k A f ( t ) c o s {kx} w h i c h u p o n i n t e g r a t i o n b e c o m e s : n = - k A ( t / t f ( t ) d t ) c o s { k x } o - A t t h e i n t e r f a c e , t h e p r e s s u r e s P j and p 2 a r e e q u a l . T h i s c o n d i t i o n , when u s e d w i t h t h e e x p r e s s i o n f o r n , l e a d s t o : -Cg + gj) ( P 2 - P x ) k f ( t ) - ( p 2 + P l ) f » ( t ) = 0 The t h e o r y i s c o n s i d e r a b l y s i m p l e r a t t h i s p o i n t , i f t h e r e q u i r e m e n t i s made t h a t a t t = 0 and y = 0 t h e f l u i d v e l o c i t y i s z e r o . T h i s i s s a t i s f i e d i f t h e t i m e d e p e n d e n c e i s f ( t ) = s i n h { n t } w h e r e n i s t h e g r o w t h r a t e o f t h e i n s t a b i l i t y . The c o n d i t i o n f o r e q u a l p r e s s u r e s now g i v e s an e x p l i c i t e x p r e s s i o n f o r t h e g r o w t h r a t e : 2 n = - Cg + g x ) ( P 2 - P j ) l c ( P 2 + P j ) H e n c e , t h e i n t e r f a c e as a f u n c t i o n o f t i m e i s g i v e n by t h e e x p r e s s i o n : n = k A n " * c o s h { n t } c o s {kx} T h e r e f o r e , i f t h e q u a n t i t y (g • g j ) < 0 t h e n t h e g r o w t h r a t e n i s p o s i t i v e and t h e d i s t u r b a n c e g r o w s e x p o n e n t i a l l y . B e l l m a n n and P e n i n i g t o n ( 1 9 5 4 ) c o n s i d e r e d t h e e f f e c t s o f s u r f a c e t e n s i o n and v i s c o s i t y . F o r an a i r - w a t e r i n t e r f a c e , t h e e f f e c t s o f v i s c o s i t y a r e n e g l i g i b l e . S u r f a c e t e n s i o n T , i s i n t r o d u c e d t h r o u g h t h e e q u a l p r e s s u r e s c o n d i t i o n : P 2 " ? ! + T n x x = 0 The r e s u l t i n g e x p r e s s i o n f o r t h e g r o w t h r a t e b e c o m e s : 2 n = - (g + g1)(.P2 - P 2 ) k _ ^ 3 ( p j + P 2 ) (Pj^ + P 2 ) 2 I f n > 0 t h e s u r f a c e i s u n s t a b l e . I t i s e v i d e n t f r o m t h e a b o v e e x p r e s s i o n t h a t t h e s u r f a c e t e n s i o n s t a b i l i z e s modes w i t h a w a v e l e n g t h : X < 2ir, k-Cg • gj) ( P 2 - P j ) - 6 - 2 s i n c e f o r s u c h w a v e l e n g t h s n < 0 . T h u s f o r i n i t i a l d i s t u r b a n c e s whose w a v e l e n g t h s a r e s m a l l e r t h a n t h e a b o v e , t h e r e i s no i n s t a b i l i t y . T h i s e x p l a i n s why s m a l l d r o p l e t s c l i n g t o t h e u n d e r s i d e o f a h o r i z o n t a l s u r f a c e s u c h as a c e i l i n g . F o r w a t e r , u n d e r t h e a c t i o n o f g r a v i t y , t h e c r i t i c a l w a v e l e n g t h i s 1 .73 cm so t h a t d r o p l e t s o f a l a r g e r r a d i u s w i l l t e n d t o d r i p w h i l e s m a l l e r o n e s w i l l h a n g . The f i r s t o r d e r t h e o r y as f o r m u l a t e d b y G . I . T a y l o r d o e s n o t a c c o u n t f o r t h e l a t e r s t a g e s o f t h e i n s t a b i l i t y w h e r e t h e c r e s t s d e v e l o p i n t o l o n g s p i k e s and t h e t r o u g h s i n t o r o u n d e d b u b b l e s ( F i g u r e 1 ) . L e w i s ' s i n v e s t i g a t i o n s l e d t o t h e c o n c l u s i o n t h a t t h e f i r s t o r d e r t h e o r y i s v a l i d o n l y u n t i l t h e a m p l i t u d e o f t h e s p i k e s i s a b o u t 0 . 4 X . By a s s u m i n g t h a t t h e s u r f a c e d i s t u r b a n c e and v e l o c i t y p o t e n t i a l s c a n be e x p a n d e d i n a p o w e r s e r i e s , Emmons e t a l . d e t e r m i n e d how t h e l a t e r s t a g e s o f t h e i n s t a b i l i t y e v o l v e . The h a r m o n i c c o n t e n t o f t h e d i s t o r t e d g r o w i n g d i s t u r b a n c e i s g i v e n by t h e F o u r i e r s e r i e s : OC* n = I . A ( t ) c o s { m x ) m= 1 m The o r i g i n a l p u r p o s e o f t h i s e x p e r i m e n t was t o f o l l o w t h e d e v e l o p m e n t o f t h e F o u r i e r s p e c t r u m o f t h e i n i t i a l p e r t u r b a t i o n w i t h t i m e . To t h i s p u r p o s e , a c a p a c i t a t i v e F o u r i e r a n a l y z i n g t e c h n i q u e as d e v e l o p e d b y C u r z o n and L a n g i l l e ( 1 9 7 2 ) was u s e d . T h i s m e t h o d Figure 1.Photograph of a Ray 1eigh-Tay1or i n s t a b i l i t y a r i s i n g from the fourth harmonic standing wave. The "sp i k e " and "bubble" arc i n d i c a t e d . -8- a n a l y z e s e a c h h a r m o n i c mode s e p a r a t e l y i . e . , i t e s s e n t i a l l y m e a s u r e s A ^ f t ) f o r s e l e c t e d m. The a s s u m p t i o n i s made t h a t t h e v a r i a t i o n i n t h e a r e a o f t h e p l a t e s and d e p t h o f t h e w a t e r i s i n t h e x d i r e c t i o n o n l y so t h a t t h e c a p a c i t a n c e i s c a l c u l a t e d as an i n t e g r a l o v e r t h e x v a r i a b l e . F o r t h e s y s t e m u s e d i n t h e e x p e r i m e n t s , t h e w a t e r , whose c o n d u c t i v i t y i s i n c r e a s e d b y a d d i n g some a c i d f o r m s one p l a t e o f a p a r a l l e l p l a t e c a p a c i t o r . The o t h e r p l a t e , s e p a r a t e d f r o m t h e f i r s t by a t h i n p o l y e t h y l e n e s h e e t f o r m s one w a l l o f t h e w a t e r t a n k . I t c o n s i s t s o f a number o f e q u a l l y s p a c e d v e r t i c a l s t r i p s whose w i d t h W(x) i s a f u n c t i o n o f x and i s g i v e n b y : K ' (x ) = W q(1 - c o s { q i r x / L } ) (1) w h e r e W q = c o n s t a n t , q i s an i n t e g e r e q u a l t o t h e mode number t h a t i s t o be a n a l y z e d and L i s t h e l e n g t h o f t h e t a n k . H e n c e , f o r a s m a l l i n c r e m e n t d x , t h e c a p a c i t a n c e i s g i v e n b y : dC = K E o ( N W ( x ) y ( x ) ) d x (2) d w h e r e K i s t h e d i e l e c t r i c c o n s t a n t , e Q t h e p e r m i t t i v i t y o f f r e e s p a c e , d i s t h e t h i c k n e s s o f t h e d i e l e c t r i c s h e e t and N i s t h e number o f s t r i p s p e r u n i t l e n g t h . The e l e v a t i o n o f t h e w a t e r s u r f a c e c a n g e n e r a l l y be e x p r e s s e d b y a " F o u r i e r s e r i e s e x p a n s i o n : -9- y = y + Z -5 c o s{rTrx / L } f ( t ) J Jo r=0 r r v ' The y Q t e r m i s t h e mean l e v e l o f t h e f l u i d w h i c h i s a s s u m e d t o be c o n s t a n t and i n d e p e n d e n t o f t h e t i m e i f t h e m o t i o n i s p u r e l y two d i m e n s i o n a l . 5^ i s t h e a m p l i t u d e o f t h e r t h h a r m o n i c o f t h e s u r f a c e d i s t u r b a n c e a n d f ( t ) i s t h e t i m e d e p e n d e n c e . T h e r e f o r e , t h e i n c r e m e n t i n c a p a c i t a n c e i s : dC = ( y Q + I = 0 c : r c o s { r T r x / L } f r ( t ) ) X (1 - c o s{qnx / L } ) d x The i n t e g r a t i o n o v e r x l e a d s t o C = A ( y o L - £ L E = 1 c ; r c o s { q i T x / L } x c o s { r i r x / L } f ( t ) d x ) r = M y D L - 5 q L f q ( t ) ) w h e r e t h e o r t h o g o n a l i t y o f t h e c o s i n e s i s u s e d i n t h e l a s t s t e p and A i s a c o n s t a n t . T h u s t h e t i m e d e p e n d e n c e o f t h e c a p a c i t a n c e i s p r o p o r t i o n a l t o t h e t i m e d e p e n d e n c e o f t h e q t h h a r m o n i c o f t h e s u r f a c e d i s t u r b a n c e . The s e n s i t i v i t y o f t h e t e c h n i q u e i s d e t e r m i n e d by n o t i n g t h a t t h e c h a n g e i n c a p a c i t a n c e AC due t o an o v e r a l l i n c r e a s e o f w a t e r d e p t h o f amount h i s t w i c e t h e c h a n g e i n c a p a c i t a n c e due t o a q t h h a r m o n i c wave o f t h e same a m p l i t u d e : AC w a t e r d e p t h = AC h a r m o n i c wave - 1 0 - tce N ~ b" o ( 1 " C O S ^ x / U j h d x < E Q N L / W (1 - c o s { q i r x / L } h c o s { q i r x / L } d x , 0 0 d = 2 A r e s i s t a n c e F o u r i e r a n a l y z i n g t e c h n i q u e w o r k s a l o n g t h e same p r i n c i p l e s . I n t h i s m e t h o d , two F o u r i e r a n a l y z i n g p l a t e s a r e p l a c e d a l o n g two s i d e s o f t h e w a t e r t a n k w i t h t h e c o n d u c t i n g w a t e r b e t w e e n t h e m . T h e n t h e r e s i s t a n c e i s g i v e n b y : R = p 1 A w h e r e p i s t h e r e s i s t i v i t y , 1 t h e d i s t a n c e b e t w e e n t h e two p l a t e s and A i s t h e a r e a g i v e n b y t h e p r o d u c t o f t h e s t r i p w i d t h and d e p t h o f t h e w a t e r as i n e q u a t i o n (2). I n t h e c a p a c i t a n c e m e a s u r i n g t e c h n i q u e , t h e c a p a c i t a n c e i s m e a s u r e d b y t h e o u t p u t s i g n a l o f an i m p e d a n c e b r i d g e w h i l e i n t h e r e s i s t a n c e m e t h o d t h e v o l t a g e a c r o s s t h e t a n k i s o b s e r v e d . D e t a i l s o f t h e e q u i p m e n t r e q u i r e d t o p r o d u c e and m e a s u r e R - T i n s t a b i l i t i e s a r e now p r e s e n t e d i n t h e f o l l o w i n g c h a p t e r . -11- CHAPTER I I E X P E R I M E N T A L A P P A R A T U S A . Tank a c c e l e r a t i o n s y s t e m < The P l e x i g l a s t a n k c o n t a i n i n g t h e w a t e r - a i r i n t e r f a c e i s a c c e l e r a t e d d o w n w a r d by t h e f o r c e s u p p l i e d by a d r i v e n p i s t o n w h i c h i s s u p p l i e d w i t h c o m p r e s s e d a i r f r o m a l a r g e r e s e r v o i r and a i r t a n k . The r e s e r v o i r e n s u r e s t h a t t h e c h a n g e i n p r e s s u r e s u p p l i e d t o t h e p i s t o n i s i n t h e o r d e r o f o n l y a few p e r c e n t d u r i n g t h e l e n g t h o f i t s r u n . The p i s t o n ' s c y l i n d e r i s as l o n g as t h e t a n k ' s l e n g t h o f t r a v e l (450 mm) so t h a t t h e r e i s a n e a r l y c o n s t a n t f o r c e s u p p l i e d t o t h e t a n k t h r o u g h o u t i t s m o t i o n . By u s i n g a l a s e r beam and a p h o t o t r a n s i s t o r t o d e t e r m i n e t i m e s o f t r a v e l u n d e r v a r i o u s a p p l i e d a i r p r e s s u r e s . , t h e a c c e l e r a t i o n was f o u n d t o i n c r e a s e l i n e a r l y w i t h t h e a i r p r e s s u r e . F o r t h e c y l i n d e r o f i n n e r b o r e o f 2 5 . 4 mm t h e i n c r e m e n t was f o u n d t o be O . l g / p . s . i . , g b e i n g t h e a c c e l e r a t i o n i n f r e e f a l l . The maximum p r e s s u r e n o r m a l l y a p l l i e d was 25 p . s . i . so t h a t t h e maximum v i r t u a l a c c e l e r a t i o n ( i . e . , t h e a c c e l e r a t i o n o f t h e t a n k m i n u s t h e a c c e l e r a t i o n o f f r e e f a l l ) was 2 . 5 g . S i n c e any i n i t i a l s u r f a c e p e r t u r b a t i o n w i l l g row e x p o n e n t i a l l y u n d e r s u c h an a p l l i e d a c c e l e r a t i o n , c a r e mus t be t a k e n t o r e l e a s e t h e t a n k a t t = 0 i n s u c h a f a s h i o n t h a t t h e w a t e r i s n o t a p p r e c i a b l y d i s t u r b e d . To t h i s e n d , a t a n k r e l e a s e m e c h a n i s m was d e v i s e d b y - 1 2 - c u t t i n g away p a r t o f t h e w a l l o f a b r a s s t u b e . The r e m a i n i n g p o r t i o n s u b t e n d s an a n g l e o f 90 d e g r e e s a t t h e a x i s and s u p p o r t s a h o r i z o n t a l b r a s s r o d w h i c h f a s t e n s o n t o t h e b a s e o f t h e w a t e r t a n k . The r e l e a s i n g b r a s s t u b e i s i n t u r n m o u n t e d o n t o t h e a l u m i n u m f r a m e o f t h e t a n k a c c e l e r a t o r . To r e l e a s e t h e t a n k , t h e r e l e a s e t u b e i s r o t a t e d b y a s o l e n o i d r e l a y , so t h a t t h e b r a s s r o d i s no l o n g e r s u p p o r t e d b y t h e t u b e . T h e t a n k s l i d e s on two v e r t i c a l s t e e l r a i l s a t e i t h e r s i d e b e f o r e c o m i n g i n t o c o n t a c t w i t h t h e s h o c k a b s o r b e r s a t t h e end o f t h e s h a f t , ( F i g u r e s 2 and 3 ) . The s h o c k a b s o r b e r s a r e s p r i n g l o a d e d p i s t o n s w h i c h a r e c o n n e c t e d t o g e t h e r b y an e x h a u s t a i r v a l v e w h i c h i s a d j u s t e d t o a c h i e v e o p t i m u m s t o p p i n g c o n d i t i o n s . B . Tank and A n a l y z i n g P l a t e s The w a t e r t a n k ' s s i d e s and b a s e a r e c o n s t r u c t e d f r o m h i n c h and 3 / 4 i n c h P l e x i g l a s s h e e t r e s p e c t i v e l y . The l e n g t h , w i d t h and h e i g h t a r e 188 x 107 x 200 mm. When u s e d i n c a p a c i t a n c e m e a s u r e m e n t s t h e w a t e r i n c o n t a c t w i t h t h e l a r g e s t w a l l s o f t h e r e c t a n g u l a r t a n k ( F i g u r e 4 ) f o r m s one p l a t e o f a c a p a c i t o r a n d t h e s e c o n d p l a t e i s a d j a c e n t t o one o f t h e 188 x 107 mm s i d e s . A r u b b e r 0 - r i n g i s f i t t e d a l o n g t h e p e r i m e t e r o f t h i s t o make t h e t a n k l e a k p r o o f . The c a p a c i t o r p l a t e i s i n s u l a t e d f r o m t h e w a t e r by a t h i n p o l y e t h y l e n e s h e e t o f t h i c k n e s s -13- SOLENOID VALVE | TIMING CIRCUIT . T O T C0MRES5ED AIR P I S T O N TANK TANK R E L E A S E MECHANISM SOLENOID RELAY TO | TIMING €> CIRCUIT Figure 2. Side view of the tank accelerator, - 1 4 - -15- THREADED HOLES LUCITE CAPACITOR PLATE POLYETHYLENE SHEET Figure 4a) H o r i z o n t a l s e c t i o n o f t h e w a t e r t a n k . D e t a i l o f one s i d e c o n t a i n i n g t h e c a p a c i t o r and d i e l e c t r i c s h e e t . - 1 6 - 0 . 0 7 7 mm p l a c e d b e t w e e n t h e 0 - r i n g and t h e c a p a c i t o r p l a t e . I n e a r l i e r e x p e r i m e n t s , v a r n i s h and e p o x y r e s i n w e r e u s e d f o r t h e i n s u l a t o r b u t t h e s e m a t e r i a l s p r o v e d t o be i n e f f e c t i v e b e c a u s e o f s m a l l p i n h o l e s w h i c h l e a k e d c u r r e n t . To a n a l y z e t h e w a t e r w a v e s , t h e c a p a c i t o r p l a t e c o n s i s t s o f v e r t i c a l s t r i p s o f c o p p e r w h o s e w i d t h v a r i e s s i n u s o i d a l l y as g i v e n b y e q u a t i o n (1) i n t h e I n t r o d u c t i o n . I n t h e e x p e r i m e n t s , W q was c h o s e n t o be 0 . 5 cm and t h e mode number q was v a r i e d f r o m 1 t o 5 ( F i g u r e 5 ) . The F o u r i e r a n a l y z i n g p l a t e s a r e made f r o m p r i n t e d c i r c u i t b o a r d u s i n g t h e s t a n d a r d p h o t o g r a p h i c e t c h i n g t e c h n i q u e . C . Wave E x c i t a t i o n S t a n d i n g p u r e modes a r e g e n e r a t e d on t h e w a t e r s u r f a c e by a p p l y i n g an a l t e r n a t i n g h i g h v o l t a g e o f t h e f o r m : h V = V Q ( {1 - c o s (cot) } / 2 ) w h e r e V i s c o n s t a n t e q u a l t o 4 . 7 K V , and OJ i s t h e r e s o n a n t o ^ f r e q u e n c y o f t h e d e s i r e d s u r f a c e wave i n t h e w a t e r . The r e s o n a n t f r e q u e n c y i s d e t e r m i n e d t o an e x c e l l e n t a p p r o x i - m a t i o n by t h e d i s p e r s i o n r e l a t i o n f o r s t a n d i n g w a t e r w a v e s w h i c h may be t a k e n t o be : 2 u> = g k t a n h ( k h ) w h e r e h i s t h e d e p t h o f t h e f l u i d i n t h e t a n k . Figure 5. The fourth harmonic (q=4) Fourier analyzing p l a t e . - 1 8 - To e x c i t e t h e w a v e s u s i n g t h e p e r i o d i c h i g h v o l t a g e , h o r i z o n t a l e l e c t r o d e s a r e p o s i t i o n e s o v e r t h e w a t e r s u r f a c e . The d i m e n s i o n s and p o s i t i o n s o f t h e e l e c t r o d e s v a r i e d w i t h t h e mode e x c i t e d and a r e s u m m a r i z e d i n t h e t a b l e b e l o w : T A B L E I : WAVE E X C I T A T I O N ELECTRODES MODE NUMBER NUMBER OF ELECTRODES LENGTH P O S I T I O N * 1 1 L / 2 L / 2 2 1 L / 2 L / 4 4 2 + L / 4 L / 8 8 4 + L / 8 L / 1 6 * D i s t a n c e f r o m r i g h t ' end o f t a n k t o t h e edge o f t h e f i r s t e l e c t r o d e . t E l e c t r o d e s p a c i n g = e l e c t r o d e l e n g t h . The w i d t h o f t h e e l e c t r o d e s a r e a b o u t e q u a l t o t h e w i d t h o f t h e p a r t i c u l a r t a n k u s e d . I n a l l c a s e s , t h e e l e c t r o d e s w e r e p o l i s h e d and t h e e d g e s r o u n d e d t o m i n i m i z e s p a r k i n g t o t h e g r o u n d e d w a t e r . To a d j u s t t h e d i s t a n c e b e t w e e n t h e e l e c t r o d e and t h e w a t e r s u r f a c e , t h e f o r m e r was s u p p o r t e d by a v e r t i c a l t h r e a d e d r o d ( F i g u r e 2 ) . The p l a n e o f t h e e l e c t r o d e c o u l d be a d j u s t e d by l e v e l i n g s c r e w s ( F i g u r e 6 ) . -19- THREADED ROD SUPPORT e TO HV SUPPLY 2 0 M n 3 e ' o / / o 0 ' o o ' o >^ o 1 I I H H k / L ^ LEVELING •SCREWS •BUBBLE •ELECTRODE L / 8 ; L/4 3L/4 WATER SURFACE L / 8 K F i g u r e 6 . The e l e c t r o d e u s e d t o h a r m o n i c s t a n d i n g s u r f a c e wave. g e n e r a t e t h e f o u r t h - 2 0 - The a l t e r n a t i n g h i g h v o l t a g e w a v e f o r m i s p r o d u c e d b y a p r o g r a m m a b l e d i g i t a l w a v e f o r m g e n e r a t o r t h e d e t a i l s o f w h i c h a r e g i v e n i n t h e A p p e n d i x . The w a v e f o r m g e n e r a t o r s t o r e s one h a l f o f t h e d e s i r e d w a v e f o r m w h i c h i s e n t e r e d m a n u a l l y on two s t a n d a r d 4 x 16 RAM memory I . C . c h i p s . An u p / d o w n c o u n t e r t o g e t h e r w i t h a l o g i c c i r c u i t t h a t p e r i o d i c a l l y r e v e r s e s t h e d i r e c t i o n o f t h e c o u n t s w e e p s t h e 16 w o r d s o f t h e m e m o r y . The o u t p u t o f t h e memory i s t h e n c o n v e r t e d t o an a n a l o g s i g n a l w h i c h i s a m p l i f i e d b y an o p e r a t i o n a l a m p l i f i e r ( K e p c o ) t o p r o d u c e a p e r i o d i c h i g h v o l t a g e a t t h e e l e c t r o d e s a b o v e t h e w a t e r . A 20Mfl r e s i s t o r i s u s e d b e t w e e n t h e e l e c t r o d e s and t h e a m p l i f i e r f o r p r o t e c t i o n o f t h e c i r c u i t r y i n t h e e v e n t o f s p a r k i n g . D . T h e E l e c t r i c a l S y s t e m The d i s p l a c e m e n t n o f t h e w a t e r - a i r i n t e r f a c e e x c i t e d by t h e e l e c t r o s t a t i c f i e l d i s o f t h e f o r m : n = A c o s ( u t + o>)cos (kx ) w h e r e $ i s t h e p h a s e o f t h e w a v e . I f a t t h e t i m e o f r e l e a s e o f t h e t a n k ( t = 0) t h e p h a s e i s 0 o r IT so t h a t n i s a t a max imum, t h e n t h e s u b s e q u e n t u n s t a b l e wave g r o w s a t t h e r a t e g i v e n by t h e f i r s t o r d e r t h e o r y - 2 1 - d e s c r i b e d i n t h e I n t r o d u c t i o n . The r e l e a s e o f t h e t a n k a t t h i s f i x e d p h a s e ' has t h e p a r t i c u l a r a d v a n t a g e t h a t t h e r e s u l t i n g i n s t a b i l i t i e s a r e r e p r o d u c i b l e . To r e l e a s e t h e t a n k a t t h e r i g h t i n s t a n t o f t i m e , a c o m p a r a t o r t i m i n g c i r c u i t i s u s e d . The e l e c t r c a l s y s t e m i s shown i n F i g u r e 7 . The t i m i n g c i r c u i t t r i g g e r s on t h e o u t p u t v o l t a g e o f t h e d i g i t a l w a v e f o r m g e n e r a t o r when i t s o u t p u t v o l t a g e m a t c h e s t h a t p r e s e t on t h e c o m p a r a t o r . A t i m e d e l a y i s t h e n a d j u s t e d so t h a t t h e t a n k r e l e a s e p u l s e o p e r a t e s a t t h e i n s t a n t t h e s t a n d i n g wave i s a t maximum a m p l i t u d e . T h i s done by h a v i n g two F o u r i e r a n a l y z i n g p l a t e s i m m e r s e d i n t h e w a t e r a t o p p o s i t e s i d e s o f t h e t a n k . The p l a t e s a r e c o n n e c t e d t o a s e r i e s r e s i s t a n c e o f 2Kft and a 50 V d . c . p o w e r s u p p l y . The v o l t a g e a c r o s s t h e 200 ohms o f a c i d i f i e d w a t e r i s o b s e r v e d on a s t o r a g e o s c i l l o s c o p e . S i n c e t h e r e s i s t a n c e v a r i e s i n v e r s e l y w i t h t h e c r o s s s e c t i o n a l a r e a o f w a t e r b e t w e e n t h e p l a t e s , an i n c r e a s e o f a r e a due t o wave m o t i o n r e s u l t s i n a d e c r e a s e i n v o l t a g e . T h u s , t h e d e l a y on t h e t i m i n g c i r c u i t was a d j u s t e d so t h a t w h e n - e v e r t h e t a n k r e l e a s e p u l s e f i r e d , t h e m i n i m u m o f t h e s i n u s o i d a l s i g n a l was d i s p l a y e d a t t = 0 . The c o m p a r a t o r t i m i n g c i r c u i t p r o d u c e s two s i m u l t a n e o u s p u l s e s , one o f w h i c h i s u s e d t o r e l e a s e t h e t a n k and t h e o t h e r t o o p e n t h e s o l e n o i d v a l v e and CLOCK OSCILLATOR WAVEFORM GENERATOR COMPARATOR TIMING CIRCUIT KEPCO OP AMP TANK RELEASE PULSE 500 msec. TO SCOPE EXTERNAL TRIGGER SOLENOID VALVE PULSE 50-500 msec A C RELAY 5MQ 1 H.V. ELECTRODE RELAY RELEASE MECHANISM SOLENOID AIR VALVE F i g u r e 7. B l o c k d i a g r a m o f t h e e l e c t r i c a l s y s t e m . - 2 3 - and s u p p l y t h e p i s t o n w i t h c o m p r e s s e d a i r . The l a t t e r p u l s e h a s i t s w i d t h a d j u s t a b l e i n t h e r a n g e 50 - 500 msec so t h a t t h e s o l e n o i d v a l v e w i l l be o p e n f o r t h e e n t i r e d u r a t i o n o f t h e m o t i o n o f t h e t a n k . The d i g i t a l p u l s e s a r e u s e d t o s w i t c h t h e m a i n s v o l t a g e t o t h e s o l e n o i d s b y means o f s o l i d s t a t e r e l a y u n i t s . E . The I . C . C a p a c i t a n c e M e a s u r i n g C i r c u i t E e s i d e s u s i n g an i m p e d a n c e b r i d g e t o m e a s u r e c h a n g e s i n c a p a c i t a n c e w i t h t i m e , a s i m p l e c a p a c i t a n c e m e a s u r i n g c i r c u i t was a l s o d e v e l o p e d and u t i l i z e d ( P o p i l and C u r z o n 1979) . The c i r c u i t ( F i g u r e 8) e s s e n t i a l l y c o n s i s t s o f one i n t e g r a t e d c i r c u i t c h i p t h a t d e t e r m i n e s t h e u n k n o w n c a p a c i t a n c e by means o f a f r e q u e n c y t o v o l t a g e c o n v e r s i o n . The b e s t s e n s i t i v i t y o f t h e c i r c u i t was f o u n d t o be a t an i n p u t f r e q u e n c y o f 3kHz ' . F o r g o o d l i n e a r i t y , C^ was s e t a t 1 yF and a t 500 Kfi (10 t u r n H e l i p o t ) . R j was a d j u s t e d s o t h a t t h e o u t p u t was 4 v o l t s when t h e t a n k was f i l l e d t o d e p t h o f 9 cm f r o m t h e b o t t o m . L i n e a r i t y i s a c h i e v e d o n l y i f t h e c o n d u c t i v i t y o f . t h e w a t e r i s i n c r e a s e d by a d d i n g 1 ml o f 18 m o l a r s u l f u r i c a c i d t o 2 l i t e r s o f w a t e r ( F i g u r e 9) . U n d e r t h e s e c o n d i t i o n s , t h e s e n s i t i v i t y o f t h e c i r c u i t i s 38 mV/mm o f w a t e r . The c a l i b r a t i o n was done s i m p l y by n o t i n g t h e o u t p u t v o l t a g e o f t h e c i r c u i t as a f u n c t i o n o f t h e w a t e r d e p t h . 15V 1 UNKNOWN CAPACITY (TO TANK) 14 13 12 11 10 9 8 LM2907N 1 2 3 4 5 6 7 100 K 100K rti Ri 500K 10K 1K5 1K5 OUTPUT •e CA3140 860 Figure 8. The I.C. capacitance measuring c i r c u i t . -25- HEIGHT c.m. Figure 9. Response of the I .e . capacitance measuring c i r c u i t to changes in water depth. - 2 6 - CHAPTER I I I E X P E R I M E N T A L RESULTS A . C a p a c i t a n c e M e a s u r e m e n t s D u p l i c a t i o n o f t h e o r i g i n a l e x p e r i m e n t a l s e t - u p d e v i s e d by L a n g i l l e (1970) y i e l d e d r e s u l t s t h a t a p p e a r e d a t f i r s t i n s p e c t i o n t o be i n a c c o r d a n c e w i t h t h e g e n e r a l t h e o r y . The a r r a n g e m e n t u s e d d i s t i l l e d w t e r as t h e d i e l e c t r i c b e t w e e n two V a r a t h a n e v a r n i s h c o v e r e d F o u r i e r a n a l y z i n g p l a t e s . As shown i n F i g u r e 1 0 , t h e o u t p u t s i g n a l s f r o m t h e i m p e d a n c e b r i d g e a p p e a r t o be e x p o n e n t i a l w i t h t i m e and a r e l a r g e r f o r r u n s w i t h an i n i t i a l l y p e r t u r b e d s u r f a c e t h a n f o r an u n p e r t u r b e d s u r f a c e . B e c a u s e o f s p u r i o u s e l e c t r i c a l n o i s e p r o b l e m s , I r e p l a c e d t h e t h e e l e c t r o s t a t i c wave g e n e r a t o r by a p u l s e d a i r j e t w h i c h e x c i t e d t h e s e c o n d h a r m o n i c (q = 2) wave as t h e i n i t i a l p e r t u r b a t i o n . H o w e v e r , t h i s m e t h o d o f wave e x c i t a t i o n r e s u l t s i n w a v e s w h i c h a r e r a t h e r r i c h i n h a r m o n i c c o n t e n t as F i g u r e 11 s h o w s . P l o t t i n g t h e r e s u l t s f o r e a c h mode v e r s u s c o s h (UK t) w h e r e UK i s t h e a n g u l a r f r e q u e n c y o f t h e p a r t i c u l a r mode a n a l y z e d , y i e l d e d c u r v e s t h a t do n o t d e v i a t e s i g n i f i c a n t l y f r o m s t a i g h t l i n e s a t e a r l y t i m e s ( F i g u r e 12) . To e l i m i n a t e t h e n o i s e p r o b l e m s c a u s e d by t h e e l e c t r i c f i e l d o f t h e wave g e n e r a t o r , I r e b u i l t L a n g i l l e ' s a p p a r a t u s u s i n g t h e w a t e r as a c a p a c i t o r p l a t e and a -27- F i g u r e 10. O u t p u t o f t h e i m p e d a n c e b r i d g e a a f u n c t i o n o f t i n e . a) G r o w t h o f a p e r t u r b e d s u r f a c e . b) G r o w t h o f an u n p e r t u r b e d s u r f a c e G a i n i s 0 . l v / d i v , t i m e b a s e i s 20 m s e c / d i v . HISTOGRAM SHOWING THE AMPLITUDES OF THE FIVE HARMONICS DURING EXCITATION F i g u r e 1 1 . S p e c t r u m o f t h e s e c o n d h a r m o n i c wave g e n e r a t e d by a p u l s e d a i r j ' e t . The h o r i z o n t a l a x i s i s number o f t h e q t h h a r m o n i c o f t h e F o u r i e r a n a l y z i n g p l a t e u s e d t o d e t e c t t h e w a v e s . -29- Figure 12. Results using the water as a d i e l e c t r i c . The output signals obtained by using different harmonic plates are plotted versus coshCuKt) where x ~11•*»5# - 3 0 - 0.077mm t h i c k p o l y e t h y l e n e s h e e t as t h e d i e l e c t r i c as d e s c r i b e d i n C h a p t e r I I p a r t B. I n i t i a l l y , a l l e x p e r i m e n t s w e r e p e r f o r m e d u s i n g t h e f i r s t h a r m o n i c s t a n d i n g w a v e s as t h e i n i t i a l p e r t u r b a t i o n s i n c e t h e a i m o f t h e e x p e r i m e n t was t o f o l l o w t h e d e v e l o p m e n t o f h i g h e r o r d e r modes due t o t h e d i s t o r t i o n o f t h e g r o w t h o f a l o w e r o r d e r mode . The i m p e d a n c e b r i d g e u s e d i n t h e s e e x p e r i m e n t s i s t h e G e n e r a l R a d i o 1 5 0 0 - A . F o r o p t i m u m r e s u l t s , t h e s e n s i t i v i t y c o n t r o l o f t h e b r i d g e was s e t a t h e 9 o ' c l o c k p o s i t i o n , t h e CRL s e l e c t o r s w i t c h was s e t a t " C s " and t h e DQ d i a l i s t y p i c a l l y s e t a t < 0 . 1 (on t h e " l o w D " s c a l e ) f o r b a l a n c e . When r u n s w e r e made u s i n g t h e i m p e d a n c e b r i d g e , i t was f o u n d t h a t t h e g r o w t h s w e r e no l o n g e r e x p o n e n t i a l a s t h e y w e r e i n L a n g i l l e ' s s e t - u p w h e r e t h e w a t e r was u s e d as t h e d i e l e c t r i c . A l s o , i t was s e e n t h a t t h e e f f e c t o f " p h a s i n g " ( i . e . , r e l e a s i n g t h e t a n k when $ = 0 , IT o r i r / 2 i n n = A c o s (wt • <f>)cos(kx)) , h a s n e g l i g i b l e e f f e c t on t h e s e g r o w t h s as i n F i g u r e 1 3 . T h e s e r e s u l t s w e r e c o n f i r m e d when t h e I . C . c a p a c i t a n c e m e a s u r i n g c i r c u i t was u s e d i n p l a c e o f t h e i m p e d a n c e b r i d g e . T h e s t r i k i n g f e a t u r e o f t h e s e r e s u l t s i s t h e f a c t t h a t t h a t t h e c a p a c i t a n c e d e c r e a s e s i n a n o n - e x p o n e n t i a l f a s h i o n i n a l l c a s e s i r r e s p e c t i v e o f t h e p h a s i n g o f t h e i n i t i a l p e r t u r b a t i o n , ( F i g u r e s 14a> and 14b)) . -31- a) b) c) F i g u r e 1 3 . I n p e d a n c e b r i d g e o u t p u t v e r s u s t i m e s h o w i n g t h a t t h e g r o w t h r a t e o f t h e i n s t a b i l i t y i s i n d e p e n d e n t o f t h e p h a s e , * . a ) P h a s e <I> = 0 b ) * - T T / 2 C) <J> = TT C a i n i s O . l v / d i v T i m e b a s e i s 20 m s e c / d i v . -32- time dec reas ing capac i tance F i g u r e 1 4 . C a p a c i t a n c e m e a s u r e m e n t s s h o w i n g t h e d e c r e a s e i n mean l e v e l c a u s e d b y t h e g r o w t h of i n s t a b i l i t i e s . a ) I . C . c i r c u i t o u t p u t , g a i n i s 0 . 2 v / d i v , t i m e b a s e i s 20 m s e c / d i v . b ) I . C . c i r c u i t o u t p u t , g a i n i s 0 . 5 v / d i v t i m e b a s e i s 0 . 2 s e c / d i v . c ) C a p a c i t a n c e b r i d g e o u t p u t , g a i n i s O . l v / d i v a n d t h e t i m e b a s e i s 2 0 m s e c / d i v . -33- The d i r e c t i o n o f t h e g r o w t h was l a t e r v e r i f i e d u s i n g t h e i m p e d a n c e b r i d g e . T h i s was done by s e t t i n g t h e r e f e r e n c e c a p a c i t a n c e on t h e i m p e d a n c e b r i d g e b e l o w t h a t o f t h e t a n k w i t h t h e u n p e r t u r b e d w a t e r i n i t . T h i s o f c o u r s e , r e s u l t s i n an o u t p u t s i g n a l t h a t i s a p p r e c i a b l y - g r e a t e r t h a n t h e n u l l b a l a n c e s i g n a l . When t h e t a n k was a c c e l e r a t e d d o w n w a r d , t h e o u t p u t i s s e e n t o d e c r e a s e t o t h e n u l l s i g n a l l e v e l o n c e t h e c a p a c i t a n c e o f t h e t a n k ha s d i m i n i s h e d t o t h a t s e t on t h e i m p e d a n c e b r i d g e . A f u r t h e r r e d u c t i o n i n c a p a c i t a n c e t h e n c a u s e s t h e o u t p u t t o g row w i t h t i m e , ( F i g u r e 14c ) ) . The r e s u l t s f r o m t h e i m p e d a n c e b r i d g e and I . C . c i r c u i t s u g g e s t t h a t t h e r e i s a c h a n g e i n t h e mean l e v e l o f t h e c o n t a c t o f t h e w a t e r w i t h t h e w a l l s o f t h e w a t e r t a n k . B e c a u s e t h e c a p a c i t a n c e d e c r e a s e s w i t h t i m e , i t w o u l d t h e n seem t h a t w a t e r i s s e p a r a t i n g f r o m t h e w a l l s and h e n c e t h e mean l e v e l d e c r e a s e s . B. R e s i s t a n c e M e a s u r e m e n t s O b s e r v i n g t h e t v o l t a g e s i g n a l b e t w e e n two F o u r i e r a n a l y z i n g p l a t e s i m m e r s e d i n i o n i z e d w a t e r y i e l d e d r a t h e r s u r p r i s i n g r e s u l t s when t h e t a n k was a c c e l e r a t e d d o w n w a r d . S i n c e t h e a r e a o f c o n t a c t w i t h t h e w a l l s i s e x p e c t e d t o i n c r e a s e due t o t h e g r o w t h o f t h e i n s t a b i l i t y , t h e v o l t a g e b e t w e e n t h e p l a t e s s h o u l d c o r r e s p o n d i n g l y d e c r e a s e s i n c e i t i s i n v e r s e l y p r o p o r t i o n a l t o t h e a r e a . H o w e v e r , - 3 4 - as s e e n i n F i g u r e 1 5 , t h e v o l t a g e i n c r e a s e s i n an e x p o n e n t i a l f a s h i o n . U s i n g t h e 1 s t h a r m o n i c wave as t h e i n i t i a l p e r t u r b a t i o n , s e m i - l o g a r i t h m i c p l o t s o f t h e a m p l i t u d e v e r s u s t i m e y i e l d e d l i n e a r g r a p h s w h o s e s l o p e s t h e n g a v e t h e g r o w t h r a t e . I t was f o u n d t h a t u s i n g t h e v a r i o u s h a r m o n i c p l a t e s p r o d u c e d a p p r o x i m a t e l y t h e same g r o w t h r a t e . The r e s u l t s a r e p r e s e n t e d b e l o w : TABLE III : RESISTANCE FOURIER ANALYSIS HARMONIC NUMBER (q) 1 2 3 4 5 p l a i n c o p p e r s h e e t GROWTH RATE n ( s e c ) 2 3 . 5 ± 13% 2 3 . 4 ± 14% 2 3 . 4 ± 15% 2 5 . 4 ± 17% 1 9 . 8 ± 18% 2 0 . 7 ± 11% The g r o w t h o f t h e v o l t a g e s i g n a l s i n t h e o p p o s i t e d i r e c t i o n o f t h a t e x p e c t e d c a n be e x p l a i n e d b y a s s u m i n g o n c e a g a i n t h a t t h e a r e a o f c o n t a c t o f t h e w a t e r w i t h t h e w a l l s d e c r e a s e s l i n e a r l y w i t h t i m e a s t h e c a p a c i t a n c e o b s e r v a - t i o n s i n d i c a t e . S i n c e t h e i n v e r s e o f a l i n e a r l y d e c r e a s i n g f u n c t i o n i s a r i s i n g h y p e r b o l a , t h e v o l t a g e s i g n a l s w h i c h a r e p r o p o r t i o n a l t o t h e i n v e r s e o f t h e c o n t a c t a r e a t h e n a p p e a r as p o s i t i v e l y g o i n g e x p o n e n t i a l s . - 3 5 - F i g u r e 1 5 . The r e s i s t a n c e F o u r i e r a n a l y s i s . V o l t a g e a c r o s s t h e t a n k as a f u n c t i o n o f t i m e . G a i n i s 0 . 0 5 v / d i v and t h e t i m e b a s e i s 5 0 m s e c / d i v . -36- The v o l t a g e s i g n a l s o b s e r v e d h e r e c a n be u s e d t o i n t e r p r e t t h e e x p o n e n t i a l g r o w t h s t h a t a r e o b s e r v e d when t h e w a t e r i s u s e d as t h e d i e l e c t r i c b e t w e e n two F o u r i e r a n a l y z i n g p l a t e s . I n t h i s c o n f i g u - r a t i o n , ( C u r z o n and L a n g i l l e 1 9 7 2 ) , t h e r e i s c o n s i d e r - a b l e l e a k a g e o f c u r r e n t a c r o s s t h e t a n k s i n c e t h e w a t e r and t h e v a r n i s h on t h e c a p a c i t o r p l a t e s a r e i n e f f e c t i v e as i n s u l a t o r s . T h u s , i t i s t h e r e s i s t a n c e b e t w e e n t h e p l a t e s t h a t i s a c t u a l l y b e i n g m e a s u r e d b y t h e i m p e d a n c e b r i d g e and h e n c e t h e e x p o n e n t i a l g r o w t h s a r e o b t a i n e d . L a n g i l l e (1970) n o t e s t h a t t h e r e i s d i f f i c u l t y i n m a i n t a i n i n g t h e n u l l b a l a n c e s i g n a l c o n s t a n t a n d l o w f r o m one e x p e r i m e n t a l r u n t o t h e n e x t . H o w e v e r , when t h e t a n k i s u s e d as a p r o p e r c a p a c i t o r ( see F i g u r e 4) , t h e r e i s no p r o b l e m t o b a l a n c e t h e b r i d g e t o o b t a i n a n u l l s i g n a l o f l e s s t h a n 1 mV r . m . s . I n s u m m a r y , t h e r e s i s t a n c e and c a p a c i t a n c e m e a s u r e m e n t s y i e l d u n e x p e c t e d r e s u l t s . The f a c t t h a t t h e r e s i s t a n c e i n c r e a s e s and t h e c a p a c i t a n c e d e c r e a s e s as t h e t a n k i s a c c e l e r a t e d i n d i c a t e s t h a t t h e r e i s a c h a n g e i n t h e mean l e v e l o f t h e w a t e r t h a t i s i n c o n t a c t w i t h t h e w a l l s . T h u s , t h e m e a s u r e m e n t s do n o t g i v e an i n d i c a t i o n o f t h e i n s t a b i l i t y b u t d e s c r i b e t h e s i t u a t i o n a t t h e w a l l s o f t h e c o n t a i n e r . « -37- C . " C a v i t a t i o n " E f f e c t s I r r e s p e c t i v e o f t h e mode i n i t i a l l y on t h e s u r f a c e , t h e s i g n a l s f r o m t h e i m p e d a n c e b r i d g e a l w a y s i n d i c a t e a l i n e a r g r o w t h due t o a d e c r e a s e i n c a p a c i t a n c e . S i n c e t h e c a p a c i t a n c e m e a s u r e d i s a v e r a g e d o v e r t h e a r e a o f t h e p l a t e C = / ( e /d ) dA t h e o n l y way t h a t t h e c a p a c i t a n c e c a n d e c r e a s e i s i f d , t h e s e p a r a t i o n b e t w e e n t h e two c a p a c i t o r p l a t e s i n c r e a s e s . T h i s means t h a t i f t h e w a t e r p u l l s away f r o m t h e w a l l s so t h a t a i r g e t s b e t w e e n t h e w a t e r and t h e p o l y e t h y l e n e s h e e t , d w i l l i n c r e a s e and t h e c a p a c i t a n c e w i l l be s e e n t o d e c r e a s e . I f t h e t h i c k n e s s o f t h e a i r f i l m i s l a r g e c o m p a r e d t o t h e t h i c k n e s s o f t h e d i e l e c t r i c s h e e t , t h e n C = / ( e /d ) dA» A ' w h e r e A ' i s t h e a r e a o f t h e w a t e r i n c o n t a c t w i t h t h e d i e l e c t r i c s h e e t . I f t h e o t h e r p l a t e o f t h e c a p a c i t o r i s a m e t a l s h e e t , t h e n t h e a b o v e e x p r e s s i o n i n d i c a t e s t h a t C w i l l be p r o p o r t i o n a l t o t h e a v e r a g e depth~D~ o f t h e w a t e r w h i c h t o u c h e s t h e d i e l e c t r i c o f t h e c a p a c i t o r . F o r g i v e n a p p l i e d v i r t u a l a c c e l e r a t i o n , i t was o b s e r v e d t h a t d C / d t ( i . e . dD"/dt) i s c o n s t a n t . The p o s s i b i l i t y t h a t t h i s phenomenon i s t h e same as t h e f o r m a t i o n o f t h e b u b b l e s o f t h e i n s t a b i l i t y c a n be e l i m i n a t e d s i n c e -38- o t h e r s (Emmons e t a l 1959) , h a v e f o u n d t h a t t h e b u b b l e v e l o c i t y i s p r o p o r t i o n a l t o t h e s q u a r e r o o t o f t h e v i r t u a l a c c e l e r a t i o n . F o r c o n v e n i e n c e , t h i s a p p a r e n t r e p l a c e n e n t o f w a t e r by an a i r f i l m w i l l h e n c e f o r t h be c a l l e d " c a v i t a t i o n " . To d e t e r m i n e how t h e c a v i t a t i o n p h e n o m e n o n i s a f f e c t e d by t h e i n i t i a l s h a p e o f t h e s u r f a c e , e x p e r i - m e n t s w e r e p e r f o r m e d w h e r e an a d j u s t a b l e P l e x i g l a s b a f f l e was p l a c e d i n t h e t a n k . The b a f f l e was v e r t i c a l , w i t h i t s p l a n e p a r a l l e l t o t h e c a p a c i t o r p l a t e . The d i s t a n c e o f t h e w a t e r b e t w e e n t h e c a p a c i t o r p l a t e and t h e b a f f l e was v a r i e d f r o m 0 . 5 cm t o 1 0 . 5 cm. A t 0 . 5 cm t h e r e i s c o n s i d e r a b l e c u r v a t u r e o f t h e w a t e r s u r f a c e due t o t h e m e n i s c u s . I n v e s t i g a t i o n s w e r e p e r f o r m e d w i t h no e x c i t e d w a v e s on t h e i n i t i a l w a t e r s u r f a c e . The c a v i t a t i o n r a t e s w e r e d e t e r m i n e d s i m p l y by m e a s u r i n g t h e s l o p e s o b t a i n e d f r o m t h e b r i d g e s i g n a l s ( F i g u r e 16) . The s e n s i t i v i t y o f t h e c a p a c i t a n c e b r i d g e was e s t a b l i s h e d by s l o w l y f i l l i n g t h e t a n k and o b s e r v i n g t h e o u t p u t v o l t a g e as a f u n c t i o n o f w a t e r d e p t h . The s e n s i t i v i t y was 6 . 6 7 c m / V p — p and was o b s e r v e d t o be l i n e a r t o a n e t c h a n g e o f 9cm o f w a t e r p r o v i d e d t h a t t h e s e n s i t i v i t y c o n t r o l on t h e b r i d g e i s m a i n t a i n e d a t one q u a r t e r o f a t u r n o r l e s s ( F i g u r e 17) . ^ A t y p i c a l g r a p h o f t h e m e a s u r e d c a v i t a t i o n - 3 9 - F i g u r e 16. O s c i l l o g r a p h s h o w i n g t h e l i n e a r d e c r e a s e o f t a n k c a p a c i t a n c e w i t h t i m e . T h e t a n k w i d t h w a s 2 cm i n t h i s i n s t a n c e and t h e v i r t u a l a c c e l e r a t i o n 1 . 0 g ' s . G a i n i s 0 . 2 v / d i v , t i m e b a s e 2 0 m s e c / d i v , T h e c a l i b r a t i o n i s 6.67cm w a t e r / V P"P - 4 0 - F i g u r e 17. C a l i b r a t i o n o f t h e GR b r i d g e . W a t e r h e i g h t i s m e a s u r e d e q u i l i b r i u m l e v e l . -1500A i m p e d a n c e upwards f r o m t h e - 4 1 - v e l o c i t y (dtT/dt) as a f u n c t i o n o f v i r t u a l a c c e l e r a t i o n i s shown i n F i g u r e 1 8 . The e r r o r i n c r e a s e s f o r t h e l a r g e r a c c e l e r a t i o n s b e c a u s e t h e g r o w t h i s o b s e r v e d f o r c o n s i d e r a b l y s h o r t e r t i m e s and t h e r e i s a l s o a n i n c r e a s e i n s p u r i o u s n o i s e s i g n a l s i n t h e e n v e l o p e o f t h e b r i d g e o u t p u t . The r e s u l t s f o r t h e i n v e s t i g a t i o n o f t h e e f f e c t o f t h e t a n k w i d t h a r e p r e s e n t e d b e l o w : T A B L E I I I : C A V I T A T I O N RATE AND TANK WIDTH TANK WIDTH (cm) RATE ( c m / s e c - g ) 0 . 5 37 1 30 2 38 3 32 4 39 6 27 8 34 1 0 . 5 32 As s e e n f r o m t a b l e I I I , t h e r e i s no o b s e r v a b l e d e p e n d e n c e o f t h e c a v i t a t i o n v e l o c i t y on t h e t a n k w i d t h ; t h e n e t r e s u l t i s t h a t t h e v e l o c i t y o f t h e d e c r e a s i n g mean l e v e l i s r e l a t e d t o t h e v i r t u a l a c c e l e r a t i o n b y : dfT/dt = v = ( 3 4 c m / s e c - s ± 4 c m / s e c - g ) x g w h e r e g i s t h e v i r t u a l a c c e l e r a t i o n o r e x c e s s a c c e l e r a t i o n -42- F i g u r c 18. " C a v i t a t i o n " r a t e f o r a t a n k w i d t h o f 3 c m . - 4 3 - i n t e r m s o f f r e e f a l l a c c e l e r a t i o n i . e . , g = a g Q , 2 g Q = 980 c m / s e c , a > 0 . D i m e n s i o n a l i n s p e c t i o n o f t h e p r o p o r t i o n a l i t y b e t w e e n t h e v e l o c i t y and t h e a p p l i e d a c c e l e r a t i o n l e a d s t o s c a l i n g l a w s , f r o m w h i c h t h e d e p e n d e n c e o f t h e c a v i t a t i o n r a t e on v a r i o u s p h y s i c a l q u a n t i t i e s may be d e d u c e d . I n p a r t i c u l a r , when t h e c o n s t a n t o f p r o p o r t i o n - a l i t y was c o n s i d e r e d as b e i n g a f u n c t i o n o f t h e d e n s i t y and v i s c o s i t y , t h e d i m e n s i o n a l a n a l y s i s y i e l d s t h e p l a u s i b l e r e s u l t t h a t t h e c a v i t a t i o n r a t e s h o u l d be i n v e r s e l y p r o p o r t i o n a l t o t h e v i s c o s i t y : dD~ p g L 2 dT = v = — ° - w h e r e L Q i s a s c a l i n g l e n g t h and n t h e v i s c o s i t y . To c h e c k t h e v i s c o s i t y e f f e c t , a q u e o u s s u g a r s o l u t i o n s we re p r e p a r e d o f d i f f e r e n t c o n c e n t r a t i o n s r a n g i n g f r o m 20 t o 60 p e r c e n t s u g a r by w e i g h t . The v i s c o s i t i e s o f t h e s e s o l u t i o n s a t 25 C i s g i v e n by t h e H a n d b o o k o f C h e m i s t r y and P h y s i c s , 4 3 r d e d i t i o n and a r e l i s t e d i n t a b l e IV t o g e t h e r w i t h t h e e x p e r i m e n t a l r e s u l t s : - 4 4 TABLE IV : EFFECT OF V I SCOS ITY ON THE CAV ITAT ION RATE PERCENT SUGAR (by w e i g h t ) 20 30 40 50 60 V I SCOS ITY ( c P ) 1 .695 2 . 735 5. 164 1 2 . 4 0 4 4 . 0 3 CAV ITAT ION RATE ( c m / s e c - g ) 32 31 4 6 35 77 From t h e t a b l e i t i s i m m e d i a t e l y a p p a r e n t t h a t t h e c a v i t a t i o n r a t e d o e s n o t v a r y i n v e r s e l y w i t h t h e v i s c o s i t y as s u p p o s e d . The r a t e s a b o v e y i e l d a mean v a l u e o f 44 c m / s e c - g w i t h a s t a n d a r d d e v i a t i o n o f 17 c m / s e c - g so t h a t t h e r a t e s o f t h e v i s c o u s s o l u t i o n s a r e c o m p a r a b l e t o t h o s e f o r p u r e w a t e r . The l a r g e s c a t t e r i n t h e d a t a f o r t h e s u g a r s o l u t i o n s i s due t o t h e e r r a t i c i r r e g u l a r i t i e s o f t h e b r i d g e s i g n a l s t h a t a p p e a r a t a c c e l e r a t i o n s g r e a t e r t h a n 1.5 g . The r a t e s we re d e t e r m i n e d by d r a w i n g t h e b e s t f i t l i n e t h r o u g h t h e p o i n t s as i n F i g u r e 19 . T h i s n e c e s s i t a t e d t h e e x c l u s i o n o f t h e o r i g i n a t 0 a c c e l e r a t i o n , N o n e t h e l e s s , e v e n i f t h e o r i g i n i s i n c l u d e d i n t h e d t e r m i n a t i o n o f t h e c a v i t a t i o n r a t e s , t h e c o n c l u s i o n s t i l l r e m a i n s t h a t t h e r e i s no i n v e r s e v a r i a t i o n w i t h v i s c o s i t y . - 4 5 - VIRTUAL ACCERATION (g's) 0.5 1.5 2.5 F i g u r e 19. C a v i t a t i o n r a t e v e r s u s t h e v i r t u a l a c c e l e r a t i o n f o r a 30% s u g a r s o l u t i o n . - 4 6 - Th e r e s p o n s e o f t h e b r i d g e t o t r a n s i e n t c h a n g e s i n c a p a c i t a n c e was c h e c k e d t o e n s u r e t h a t t h e l i n e a r g r o w t h s o b t a i n e d i n t h e r u n s a r e t r u l y r e p r e s e n t a t i v e o f t h e p h y s i c a l s i t u a t i o n and a r e n o t due t o some i n a b i l i t y o f t h e b r i d g e t o f o l l o w f a s t c h a n g e s i n c a p a c i t a n c e . One c a p a c i t o r p l a t e was f i x e d t o t h e t a n k s u p p o r t f r a m e and was h e l d a g a i n s t t h e d i e l e c t r i c s h e e t and t h e o t h e r c a p a c i t o r p l a t e i n t h e w a t e r t a n k . I n t h i s s e t - u p , t h e maximum c a p a c i t a n c e was 320 pF when t h e two c a p a c i t o r p l a t e s f u l l y o v e r l a p p e d one a n o t h e r . By d r o p p i n g t h e t a n k , t h e c a p a c i t a n c e was r e d u c e d t o 250 pF when t h e two p l a t e s no l o n g e r had a common a r e a o f o v e r l a p . C a l i b r a t i o n o f t h e s i g n a l o u t p u t f o r t h i s t e s t gave a c o n v e r s i o n f a c t o r o f 11 mV/cm b e t w e e n t h e o u t p u t a m p l i t u d e and t h e r e l a t i v e v e r t i c a l d i s p l a c e m e n t o f t h e c a p a c i t o r p l a t e s . The t a n k was t h e n a l l o w e d t o f a l l , so t h a t t h e c a p a c i t a n c e o f t h e two p l a t e s c o u l d be o b s e r v e d as a f u n c t i o n o f t i m e . P l o t t i n g t h e a m p l i t u d e a g a i n s t t h e t i m e s q u a r e d y i e l d a s t a i g h t l i n e t o an e x c e l l e n t a p p r o x i m a t i o n ( F i g u r e 2 0 ) . T h e s l o p e y i e l d s 2 t h e v a l u e o f 547 cm/ sec as t h e e f f e c t i v e a c c e l e r a t i o n . T h u s , one may s a f e l y c o n c l u d e t h a t t h e b r i d g e d o e s i n d e e d a c c u r a t e l y f o l l o w a b r u p t c h a n g e s i n c a p a c i t a n c e . I n v i e w o f t h e u n e x p e c t e d r e s u l t s f r o m t h e e l e c t r i c a l m e a s u r e m e n t s , I d e c i d e d t o p h o t o g r a p h t h e -47- F i g u r e 2 0 . T e s t o f t h e i m p e d a n c e b r i d g e to t r a n s i e n t change s i n c a p a c i t a n c e . - 4 8 - f l u i d m o t i o n i n v a r i o u s ways so as t o d i s c o v e r wha t s o r t o f i n s t a b i l i t i e s d i d o c c u r and i f an a i r f i l m e x i s t s b e t w e e n t h e c a p a c i t o r p l a t e s and t h e w a t e r i n t h e t a n k . D. P h o t o g r a p h y o f t h e F l u i d M o t i o n To d e t e r m i n e v i s u a l l y t h e p r e s e n c e o f i n s t a b i l i - t i e s , v a r i o u s modes w e r e e x c i t e d e l e c t r o s t a t i c a l l y on t h e w a t e r s u r f a c e and t h e r e s u l t i n g i n s t a b i l i t y was p h o t o g r a p h e d . A m e c h a n i c a l s w i t c h l o c a t e d a l o n g s i d e one o f t h e r a i l s n e a r t h e end o f t h e t a n k ' s t r a v e r s e , t r i g g e r e d a s t a n d a r d p h o t o g r a p h i c f l a s h g u n a i m e d a t t h e t a n k . The e x p e r i m e n t s we re p e r f o r m e d i n t o t a l d a r k n e s s and t h e c a m e r a s h u t t e r was h e l d o p e n t h r o u g h o u t t h e d u r a t i o n o f t h e r u n (500 msec o r l e s s ) . The i n s t a b i l i t i e s we re a l l p h o t o g r a p h e d i n t h e i r l a t e r s t a g e s o f g r o w t h a t t h e i n s t a n t w h e r e t h e y h a v e r e a c h e d maximum a m p l i t u d e j u s t b e f o r e t h e m o t i o n o f t h e t a n k i s s t o p p e d by t h e s h o c k t a b s o r b e r s . The p h o t o g r a p h s we re a l l t a k e n by a N i k o r m a t EL c a m e r a w i t h a 50 mm f / 2 l e n s u s i n g I l f o r d PANF 50 A .S . A . f i lm . When t h e f i r s t h a r m o n i c wave was e x c i t e d and t h e t a n k a c c e l e r a t e d , i t was f o u n d t h a t t h e r e was n e g l i g i b l e g r o w t h i n t h e v e r t i c a l d i r e c t i o n and i n s t e a d , mos t o f t h e d i s t u r b a n c e a p p e a r e d a c r o s s t h e t a n k ( F i g u r e 22a) ) . The p h o t o g r a p h s do show h o w e v e r , t h a t t h e r e i s a c l i m b i n g F i g u r e 2 1 . The i n i t i a l l u n p e r t u r b e d s u r f a c e a t an a c c e l e r a t i o n o f 1.5 g ' s . - 5 0 - f i l m o f w a t e r t h a t b u l g e s i n t h e f o r m o f d r o p s a t t h e e d g e s . T h i s f i l m e x i s t s on a l l f o u r s i d e s o f t h e o f t h e t a n k b u t i s m o s t l y s e e n on t h e s i d e w a l l s o f t h e t a n k i n t h e p h o t o g r a p h . T h e r e i s a l s o t h e a p p e a r a n c e o f " b u b b l e s " a t t h e c o r n e r s o f t h e t a n k as was f i r s t n o t e d by Emmons e t a l . F i g u r e s 21 and 22a) show t h a t t h e d i s t u r b a n c e o f t h e u n p e r t u r b e d s u r f a c e and t h a t o f t h e f i r s t h a r m o n i c e x c i t e d wave r e s p e c t i v e l y , a r e e s s e n t i a l l y t h e same. T h e r e f o r e , t h e c a p a c i t a n c e and r e s i s t a n c e d a t a o b t a i n e d f o r t h e i n s t a b i l i t y t h o u g h t t o a r i s e f r o m t h e f i r s t h a r m o n i c wave a l s o a p p l y t o t h e i n i t i a l l y u n p e r t u r b e d s u r f a c e as w e l l . P h o t o g r a p h s o f t h e i n s t a b i l i t y e v o l v i n g f r o m t h e s e c o n d h a r m o n i c e x c i t e d wave w h i c h was u s e d by L a n g i l l e (1970) show s i m i l a r r e s u l t s as t h o s e o b t a i n e d f o r t h e f i r s t h a r m o n i c wave ( F i g u r e 22b) ) . T h e r e i s some g r o w t h i n t h e v e r t i c a l d i r e c t i o n , b u t o n c e a g a i n t h e t r a n s v e r s e d i s t u r b a n c e a p p e a r s t o d o m i n a t e . S u c c e s s f u l i n s t a b i l i t i e s we re a c h i e v e d when t h e 4 t h h a r m o n i c wave was e x c i t e d u s i n g t h e e l e c t r o d e shown p r e v i o u s l y i n F i g u r e 5 . U s i n g t h e t i m i n g c i r c u i t d e s c r i b e d i n C h a p t e r I I p a r t D, r e p r o d u c i b l e 4 t h h a r m o n i c i n s t a b i l i t i e s w e r e o b t a i n e d on e a c h r u n ( F i g u r e 23) . The e f f e c t o f p h a s i n g was a l s o s u c c e s s f u l i n t h i s c a s e . The t a n k was a c c e l e r a t e d a t t h e i n s t a n t when t h e e x c i t e d s t a n d i n g wave had a p h a s e o f IT o r 0 and t h e r e s u l t s F i g u r e 22. a) F l a s h p h o t o g r a p h s o f the water s u r f a c e The f i r s t h a r m o n i c e x c i t e d wave at 1.5 g's v i r t u a l a c c e l e r a t i o n . F i g u r e 22. b) T n e second harmonic i n s t a b i l i t y at 1.5 g ' s . - 5 3 - Figure 23. The fourth harmonic i n s t a b i l i t y . The h o r i z o n t a l l i n e in the photographs indicates the i n i t i a l water level.The two consecutive shots indicate the degree of r c p r o d u c i b i l t y of the i n s t a b i l i t y . The i n i t i a l phase for these photographs was *=TT. - 5 4 - a r e as e x p e c t e d ( F i g u r e s 23 and 24) . The p h o t o g r a p h s i n d i c a t e t h a t t h e maximum a m p l i t u d e a t t a i n e d by t h e s p i k e s as m e a s u r e d f r o m t h e i n i t i a l w a t e r l e v e l i s a b o u t 12 cm. I n c o n t r a s t , t h e i n i t i a l p e r t u r b a t i o n h a s an a m p l i t u d e o f t y p i c a l l y 1.5 mm. I n F i g u r e 2 3 , t h e r e i s a l s o s e e n some d i s t u r b a n c e a c r o s s t h e s u r f a c e as w e l l as a c r o s s t h e t o p o f t h e s p i k e s p e r p e n d i c u l a r t o t h e p l a n e o f t h e p h o t o g r a p h . A p h o t o g r a p h o f t h e u n a c c e 1 e r a t e d s u r f a c e w i t h t h e s t a n d i n g wave on i t ( F i g u r e 25) , i n d i c a t e s t h a t a s o u r c e o f t h i s t r a n s v e r s e d i s t u r b a n c e i s due t o some r e s o n a n t e x c i t a t i o n o f a " c r o s s - t a n k " mode a l o n g w i t h t h e d e s i r e d 4 t h h a r m o n i c a l o n g t h e l e n g t h o f t h e t a n k . S i d e - o n p h o t o g r a p h s ( F i g u r e 26 a) and b) ) , i n d i c a t e t h a t t h e r e i s a n e t t e n d e n c y o f t h e w a t e r t o b u l g e o u t w a r d i n t h e m i d d l e o f t h e t a n k w h e r e a s t h e w a t e r t h a t i s i n c o n t a c t w i t h t h e w a l l s i s r e s t r i c t e d i n i t s m o t i o n b e c a u s e o f i t s a d h e s i o n t o t h e w a l l s . F u r t h e r e v i d e n c e t h a t t h e c o n t a c t a r e a o f t h e w a t e r w i t h t h e w a l l s l a g s b e h i n d t h e g r o w t h o f t h e i n s t a b i l i t y i s p r o v i d e d by F i g u r e 2 7 . H e r e , t h e l e f t h a l f o f t h e f r o n t w a l l o f t h e t a n k ha s b e e n f i t t e d w i t h a t h i n s h e e t o f s a n d b l a s t e d P l e x i g l a s . The s a n d - b l a s t e d s u r f a c e i s i n c o n t a c t w i t h t h e w a t e r and becomes d a r k upon b e i n g w e t t e d by t h e c o l o u r e d w a t e r . I n a l l c a s e s , t h e s a n d b l a s t e d s i d e shows t h a t t h e w e t t i n g due Figure 24. The same fourth harmonic i n s t a b i l i t y as in figure 23, except that the tank was released when the phase of the standing wave was <J> = 0 . - 5 6 - F i a u r e 2 5 . F l a s h p h o t o g r a p h o f t h e e x c i t e d f o u r t l h a r m o n i c s t a n d i n g wave a t p h a s e $ = TT i n f r e e f a l l . - 5 7 - Figure 26. Side on f l a s h photographs of the fourth harmonic i n s t a b i l i t y showing the upward bulging of the f l u i d in the transverse d i r e c t i o n across the t ank. -58- Figure 2 7 . The fourth harmonic i n s t a b i l i t y with the l e f t h a l f of the tank showing the wetting of a translucent screen. a) at 1.5 g's a c c e l e r a t i o n b) at 1.0 g's. - 5 9 - t o t h e g r o w t h o f t h e s p i k e i s n a r r o w e r and s m a l l e r t h a n t h e s p i k e w h i c h a p p e a r s on t h e r i g h t h a n d s i d e o f t h e p h o t o g r a p h s . H e n c e , i n t h e t a n k o f w i d t h 1 0 . 5 cm i t ha s b e e n s e e n t h a t a l t h o u g h t h e i n s t a b i l i t i e s r e a c h h i g h a m p l i t u d e s t h e w a t e r t h a t i s i n c o n t a c t w i t h t h e w a l l s doe s n o t f o l l o w t h e d e v e l o p m e n t o f t h e i n s t a b i l i t y . The t e n d e n c y o f t h e w a t e r s u r f a c e t o b u l g e u p w a r d mus t t h e n n e c e s s a r i l y p u l l i n w a t e r away f r o m t h e w a l l s as t h e i n s t a b i l i t y g r o w s . S i n c e t h e e l e c t r i c a l m e a s u r e - men t s e m p l o y e d o n l y m e a s u r e t h e c o n t a c t a r e a o f t h e w a t e r w i t h a w a l l , t h e y do n o t t r u l y r e p r e s e n t t h e g r o w t h o f t h e i n s t a b i l i t y , b u t i n s t e a d i n d i c a t e t h e a p p a r e n t l y l i n e a r d e c r e a s e o f t h e c o n t a c t a r e a w i t h t i m e . L a s t l y , t h e 8 t h h a r m o n i c mode was e x c i t e d and t h e r e s u l t a n t i n s t a b i l i t y o b s e r v e d . The m o t i v a t i o n f o r e x c i t i n g t h i s h i g h mode i s t h a t i t s w a v e l e n g t h a p p r o a c h e s t h a t u s e d by t h e o t h e r i n v e s t i g a t o r s m e n t i o n e d p r e v i o u s l y . I t was f o u n d t h a t t h e i n s t a b i l i t y i n t h i s c a s e doe s r e a c h an a p p r e c i a b l e a m p l i t u d e ( F i g u r e 28) , h o w e v e r t h e maximum a m p l i t u d e a c h i e v e d i s a b o u t h a l f t h a t a c h i e v e d by t h e 4 t h h a r m o n i c w a v e . I n v i e w o f t h e c o m p l e x s t r u c t u r e and n a t u r e o f t h e f l u i d s u r f a c e f o r t h i s p a r t i c u l a r mode, i t was c o n s i d e r e d u n p r o f i t a b l e t o do f u r t h e r s t u d i e s o f i t . F i g u r e 28. The e i g h t h h a r m o n i c i n s t a b i l i t y w i t h t h e i n i t i a l p h a s e * = i r . - 6 1 - I n o r d e r t o s u p p r e s s t h e mode a c r o s s t h e n a r r o w e s t d i m e n s i o n o f t h e w a t e r s u r f a c e a n o t h e r t a n k was c o n s t r u c t e d s u c h t h a t i t s w i d t h was l e s s t h a n t h e c u t - o f f w a v e l e n g t h f o r t h i s mode: X c = 2u <J/gp)h F o r w a t e r t h e s u r f a c e t e n s i o n T i s 75 d y n e s / c m 3 and t h e d e n s i t y p i s 1 g/cm so t h a t f o r a t y p i c a l a c c e l e r a t i o n o f 1.5 g t h e c u t - o f f w a v e l e n g t h i s a b o u t 14 mm. Becau se o f t h e l a r g e d a m p i n g due t o t h e r e d u c e d c r o s s s e c t i o n a l a r e a o f t h e n a r r o w t a n k , t h e a m p l i t u d e s o f t h e e l e c t r i c a l l y d r i v e n wave s a r e much l e s s t h a n t h e 1.5 mm o b t a i n e d p r e v i o u s l y i n t h e w i d e r t a n k . N e v e r t h e l e s s , t h e f i n a l a m p l i t u d e o f t h e i n s t a b i l i t y was o b s e r v e d t o be a b o u t t h e same as i n t h e w i d e t a n k a b o u t 9 cm i n t h i s c a s e . The p h o t o g r a p h s o f t h e q=4 mode i n s t a b i l i t y i n t h e n a r r o w t a n k ( F i g u r e 2 9 ) , show t h a t t h e r e s u l t i n g m o t i o n i s much more two d i m e n s i o n a l . H o w e v e r , due t o t h e s m a l l e r w i d t h , t h e m e n i s c u s f o r m s a c o n s i d e r a b l e p a r t o f t h e i n i t i a l u n a c c e 1 e r a t e d s u r f a c e . When t h e t a n k i s a c c e l e r a t e d t h i s f i l m i s s e e n t o c l i m b up t h e w a l l s o f t h e t a n k . I n t h e w i d e (10 .5 cm) t a n k , t h e f i l m ' s a m p l i t u d e i s a b o u t h a l f t h a t o f t h e i n s t a b i l i t y . I n t h e n a r r o w t a n k , t h e f i l m now r e a c h e s t h e same h e i g h t as t h e s p i k e s . T h e f i l m a p p e a r s t o be o f u n i f o r m t h i c k n e s s t h r o u g h o u t e x c e p t n e a r i t s edge Figure 29. The fourth harmonic i n s t a b i l i t y in the narrow tank of 1.5cm. Here the motion appears to be two dimensional. - 6 3 - w h e r e i t b u l g e s . To e s t i m a t e how much f l u i d i s i n t h e f i l m , t h e w e i g h t s o f v a r i o u s r e g i o n s o f t h e p h o t o g r a p h w e r e c o m p a r e d ( F i g u r e 29) . I t was f o u n d t h a t t h e w e i g h t s o f t h e s p i k e s above t h e i n t i a l l e v e l and t h e t r o u g h s (or b u b b l e s ) b e l o w i t b a l a n c e d t o an a c c u r a c y o f 10% . E. E l e c t r i c a l M e a s u r e m e n t s u s i n g t h e N a r r o w Tank A l t h o u g h t h e 4 t h h a r m o n i c i n s t a b i l i t y i n t h e n a r r o w t a n k a p p e a r s t o be two d i m e n s i o n a l , t h e c a p a c i t a n c e b r i d g e m e a s u r e m e n t s i n d i c a t e t h e c o n t r a r y . By s e t t i n g t h e b r i d g e c a p a c i t a n c e t o a v a l u e l o w e r t h a n t h a t o f t h e u n a c c e l e r a t e d t a n k , t h e r e s u l t i n g s i g n a l s f r o m t h e b r i d g e a r e o b s e r v e d t o go t h r o u g h z e r o as shown b e f o r e i n f i g u r e 14c) . T h i s i n d i c a t e s o n c e a g a i n t h a t t h e c a p a c i t a n c e and h e n c e t h e mean l e v e l d e c r e a s e w i t h t i m e . As i n t h e c a s e o f o t h e r m o d e s , t h e s i g n a l g r o w t h s a p p e a r t o c h a n g e l i n e a r l y w i t h t i m e . Runs w e r e done a t v a r i o u s a c c e l e r a t i o n s up t o 3 .0 g , y e t t h e r e a p p e a r s t o be no d i f f e r e n c e b e t w e e n t h e r u n s w h i c h had t h e i n i t i a l s u r f a c e e x c i t e d and t h o s e w h i c h had t h e i n i t i a l s u r f a c e u n p e r t u r b e d ( F i g u r e 30) . The s a t u r a t i o n o f t h e s i g n a l g r o w t h s i s a c h a r a c t e r i s t i c f e a t u r e common t o a l l r u n s done by u s i n g t h e c a p a c i t a n c e b r i d g e . The l e v e l a t w h i c h t h e s a t u r a t i o n -64- Figure 30. Capacitance bridge signals versus time for the fourth harmonic i n s t a b i l i t y in the narrow tank. Cain is 0.2v/div,time base i s 20 msec/div. a) unperturbed surface b) excited wave surface Acceleration for both runs was 1.5 g's. - 6 5 - o f t h e g r o w t h o c c u r s i n d i c a t e s t h a t t h e r e i s a c h a n g e i n c a p a c i t a n c e c o r r e s p o n d i n g t o a c h a n g e i n d e p t h o f 5-6 cm. T h i s i s n o t an e f f e c t due t o t h e b r i d g e c h a r a c - t e r i c t i c s as t h e b r i d g e c a l i b r a t i o n was v e r i f i e d t o be l i n e a r up t o a d e p t h c h a n g e o f 11 cm p r i o r t o o b t a i n i n g t h e o s c i l l o g r a p h s i n F i g u r e 3 0 . S i n c e i t i s e s t a b l i s h e d t h a t t h e c a p a c i t a n c e d e c r e a s e s as a f u n c t i o n o f t i m e , t h e r e s u l t s i m p l y t h a t t h e t h e r e i s an a i r f i l m b e t w e e n t h e w a t e r and t h e w a l l s u c h t h a t t h e c o n t a c t a r e a i s d i m i n i s h e d t o a d e p t h o f s e v e r a l c e n t i m e t e r s . The d e c r e a s e i n t h e mean l e v e l was c h e c k e d a g a i n u s i n g t h e r e s i s t a n c e m e t h o d . Two p l a i n c o p p e r p l a t e s we re p l a c e d on t h e i n n e r s i d e s o f t h e l a r g e r w a l l s o f t h e n a r r o w t a n k . Upon a c c e l e r a t i n g t h e t a n k a t 2 .0 g v i r t u a l a c c e l e r a t i o n , a r i s e i n t h e v o l t a g e d r o p a c r o s s t h e t a n k was o b s e r v e d ( F i g u r e 31) . I n t h i s c a s e , t h e o s c i l l o g r a p h r e p r e s e n t s t h e d . c . s i g n a l a c r o s s t h e t a n k and h e n c e shows t h e b i a s v o l t a g e d r o p o f a b o u t 5 v o l t s . S i n c e t h e r e i s a p o s i t i v e i n c r e a s e i n t h e b i a s v o l t a g e , t h i s c o n f i r m s t h e c a p a c i t a n c e b r i d g e t e s t t h a t t h e mean l e v e l doe s d e c r e a s e w i t h t i m e . To v e r i f y t h a t v o l t a g e a c r o s s t h e t a n k doe s i n d e e d i n c r e a s e as t h e w a t e r l e v e l f a l l s , t h e t a n k was d r a i n e d w i t h a s i p h o n and t h e o u t p u t v o l t a g e was d i s p l a y e d on a s t o r a g e o s c i l l o s c o p e . I n F i g u r e 32 a) , t h e i n i t i a l w a t e r l e v e l was 22 cm m e a s u r e d f r o m t h e -66 - Figure 31. C h e c k o f c h a n g e o f mean l e v e l u s i n g t h e r e s i s t a n c e m e t h o d . F i r s t l i n e i n t h e o s c i 1 1 o g r a n h i s the d . c . v o l t a g e a c r o s s t h e t a n k d u r i n g a r u n a t 2 . 0 g*s a c c e l e r a t i o n . T h i r d l i n e i s the g r o u n d r e f e r e n c e . G a i n i s 2 v / d i v a n d t h e t i m e base i s 50 m s e c / d i v . -67- a) b) F i ! ; u r e 32. a) b) C h e c k o f v a l i d i t y o f g r o w t h d i r e c t i o n t e s t s . R e s i s t a n c e m e t h o d . V o l t a g e a c r o s s the tank a s w a t e r i s d r a i n e d t h r o u g h a s i p h o n . C a i n 2 v / d i v , t i m e 5 s e c / d i v . C a p a c i t a n c e b r i d g e . T h e w a t e r a p p r o a c h e s the b a l a n c e l e v e l a n d r e c e d e s b e y o n d i t , t h u s the " p i n c h i n g " o f t h e e n v e l o p e o c c u r s a t the b a l a n c e l e v e l . C a i n O . l v / d i v , t i m e 5 s e c / d i v . - 6 8 - b o t t o m c o r r e s p o n d i n g t o a b i a s v o l t a g e o f a b o u t 2 v o l t s and was d r a i n e d t o a l e v e l o f 3 cm r e s u l t i n g i n a v o l t a g e d r o p o f a b o u t 6 v o l t s . The same s o r t o f c h e c k was p e r f o r m e d u s i n g t h e c a p a c i t a n c e b r i d g e shown i n F i g u r e 32 b ) . H e r e , t h e w a t e r l e v e l was i n i t i a l l y 1 cm a b o v e t h e " b a l a n c e " o r n u l l s i g n a l l e v e l and i t was a l l o w e d t o d e c r e a s e t o 3 cm b e l o w t h i s l e v e l . The o s c i l l o g r a p h s i n f i g u r e 31 v e r i f y t h a t when t h e mean w a t e r l e v e l d e c r e a s e s l i n e a r l y , t h e v o l t a g e i n t h e r e s i s t a n c e method i n c r e a s e s i n a h y p e r b o l i c f a s h i o n and t h e c a p a c i t a n c e b r i d g e o u t p u t d e c r e a s e s as t h e w a t e r l e v e l a p p r o a c h e s t h e b a l a n c e l e v e l . T h e r e f o r e , a l t h o u g h p h o t o g r a p h s o f t h e 4 t h h a r m o n i c i n s t a b i l i t y show an a p p a r e n t l y two d i m e n s i o n a l w a v e f o r m , t h e e l e c t r i c a l m e a s u r e m e n t s d e s c r i b e d w o u l d seem t o i n d i c a t e t h a t t h e r e i s a d e c r e a s e i n t h e mean l e v e l as t h e t a n k i s a c c e l e r a t e d and t h u s t h e f e a s i b i l i t y o f d o i n g a F o u r i e r a n a l y s i s u s i n g t h e g i v e n t e c h n i q u e s i s n u l l i f i e d . F. T e s t f o r t h e A i r F i l m S i n c e t h e c a p a c i t a n c e b r i d g e s i g n a l s ( F i g u r e 30) s u g g e s t t h a t an a i r f i l m mus t g e t b e t w e e n t h e w a t e r and t h e w a l l s o f t h e w a t e r t a n k , a t e s t f o r t h e p r e s e n c e o f - 6 9 - t h i s f i l m was d e v i s e d . The b a s i c p r i n c i p l e was t o u s e a h e l i u m - n e o n l a s e r beam t o r e f l e c t o f f t h e P l e x i g l a s - a i r o r w a t e r - a i r i n t e r f a c e . S i m p l e c a l c u l a t i o n s u s i n g S n e l l ' s l a w show t h a t t h e c r i t i c a l a n g l e f o r t o t a l i n t e r n a l r e f l e c t i o n i s t h e same f o r t h e two i n t e r f a c e s and i s a b o u t 4 2 ° . To o b t a i n t h e p r o p e r g e o m e t r y f o r t o t a l i n t e r n a l r e f l e c t i o n a P l e x i g l a s p r i s m 20 cm l o n g and 2 cm w i d e was made and g l u e d o n t o t h e f a c e o f t h e n a r r o w t a n k ( F i g u r e 33) . A l e n s was p l a c e d i n f r o n t o f t h e l a s e r t o s p r e a d t h e beam t o a d i a m e t e r o f a b o u t 1.5 cm. The beam was i n c i d e n t o n t o t h e 5 0 ° f a c e o f t h e p r i s m ( F i g u r e 33) , and i t s a n g l e o f i n c i d e n c e a d j u s t e d so t h a t t h e t o t a l i n t e r n a l r e f l e c t i o n o c c u r r e d w h e n e v e r t h e r e was a i r on t h e o t h e r s i d e o f t h e P l e x i g l a s w a l l c o n t a i n i n g t h e p r i s m . The r e f l e c t e d l i g h t was d e t e c t e d by a p h o t o t r a n s i s t o r whose o u t p u t was m o n i t o r e d on a s t o r a g e o s c i l l o s c o p e . To d e t e c t t h e a i r f i l m t h a t e x i s t b e l o w t h e i n i t i a l w a t e r l e v e l , t h e p r i s m above t h i s l e v e l was masked o f f . The r e s u l t s a r e shown i n F i g u r e 3 4 . I n 34 a ) , t h e p u l s e s a r e s o l e l y due t o s t r a y r e f l e c t i o n s f r o m t h e p r i s m and t a n k as i t was a c c e l e r a t e d p a s t t h e p h o t o t r a n s i s t o r . I n 34 b) , a s h a r p p u l s e due t o i n t e r n a l r e f l e c t i o n o c c u r s . H o w e v e r , t h e d u r a t i o n o f t h i s p u l s e ( abou t 0 . 004 sec) a p p e a r s t o be much s h o r t e r t h a n e x p e c t e d F i g u r e 33. S c h e m a t i c o f the t e s t f o r the p r e s e n c e o f an a i r f i l m u s i n g t o t a l i n t e r n a l r e f l e c t i o n f rom a P l e x i g l a s - a i r i n t e r f a c e . -71- F i g u r e 34. T e s t f o r t h e p r e s e n c e o f a n a i r f i l m . Output from the p h o t o t r a n s i s t o r . a) P u l s e s d u e t o s t r a y r e f l e c t i o n o f f the t a n k a c c e l e r a t e d a t 2 . 0 g ' s . T h e w a t e r l e v e l was 3cm a b o v e t h e m a s k e d p o r t i o n o f the P l e x i g l a s p r i s m . b ) P u l s e s d u e t o s t r a y r e f l e c t i o n s p l u s a s h a r p l a r g e p e a k d u e t o i n t e r n a l r e f l e c t i o n s d u e t o t h e p r e s e n c e o f a n a i r f i l m . T h e w a t e r l e v e l wa s 3mm a b o v e t h e m a s k e d h a l f o f t h e p r i s m . G a i n f o r b o t h o s c i l l o g r a p h s i s 2 m V / d i v , t i m e 2 0 m s e c / d i v . - 7 2 - i f an a i r f i l m p e n e t r a t e s a d i s t a n c e o f s e v e r a l c e n t i m e t e r s b e l o w t h e i n i t i a l w a t e r l e v e l . A n o t h e r i n d i c a t i o n t h a t t h e a i r f i l m a m p l i t u d e i s c o n s i d e r a b l y l e s s t h an , e x p e c t e d i s t h e f a c t t h a t t h e s h a r p p u l s e d i s a p p e a r e d when t h e i n i t i a l w a t e r l e v e l was s e t a t 7 mm a b o v e t h e masked o f f p o r i o n o f t h e p r i s m ; t h e i n t e r n a l r e l e c t i o n r e o c c u r r e d when t h e i n i t i a l l e v e l was l o w e r e d t o 5 mm. T h i s shows t h a t t h e a m p l i t u d e o f t h e a i r f i l m i s n o t g r e a t e r t h a n 7 mm. The l ow f i g u r e f o r t h e a m p l i t u d e o f t h e a i r f i l m i s now more c o n s i s t e n t w i t h t h e r e s u l t o b t a i n e d u s i n g t h e r e s i s t a n c e t e c h n i q u e ( F i g u r e 31) . T h e r e , t h e c h a n g e i n d . c . v o l t a g e c o r r e s p o n d s t o a c h a n g e i n mean l e v e l o f l e s s t h a n 2 cm, c o n s i d e r a b l y l e s s t h a n t h e 6 o r 7 c e n t i m e t e r s s u g g e s t e d by t h e c a p a c i t a n c e b r i d g e r u n s . The r e s i s t a n c e and i n t e r n a l r e f l e c t i o n r e s u l t s i m p l y t h a t t h e r e i s some o t h e r e f f e c t t h a t i s c a u s i n g t h e l a r g e s i g n a l s f r o m t h e i m p e d a n c e b r i d g e . S i n c e t h e w a t e r u n d e r a c c e l e r a t i o n i s u n d e r c o n s i d e r a b l e t e n s i o n , i t was s u s p e c t e d t h a t t h e w a t e r ' s a d h e s i o n t o t h e d i e l e c t r i c s h e e t c a u s e s t h e l a t t e r t o be p u l l e d away f r o m t h e c a p a c i t o r p l a t e c r e a t i n g an a i r s p a c e b e t w e e n t h e d i e l e c t r i c p o l y e t h y l e n e s h e e t and t h e c a p a c i t o r p l a t e . T h i s p r o c e s s i n c r e a s e s t h e t h i c k n e s s o f t h e e f f e c t i v e d i e l e c t r i c r e s u l t i n g i n a d e c r e a s e d c a p a c i t a n c e . The p r o b l e m o f t h e a i r f i l m was f i n a l l y r e s o l v e d - 7 3 - when a new c a p a c i t o r p l a t e was f a s h i o n e d f r o m a p r i n t e d c i r c u i t b o a r d s h e e t w h i c h now p r o v i d e d b o t h t h e d i e l e c t r i c l a y e r and t h e c o n d u c t i n g p l a t e . The p l a t e d s i d e o f t h e b o a r d f o r m e d t h e o u t s i d e w a l l o f t h e t a n k . Due t o t h e c o m p a r a t i v e t h i c k n e s s o f t h e f i b e r b o a r d d i e l e c t r i c , t h e t a n k ' s c a p a c i t a n c e when h a l f - f i l l e d w i t h w a t e r was now 885 pF i n s t e a d o f t h e 2 , 2 0 0 pF o b t a i n e d w i t h t h e p o l y - e t h y l e n e s h e e t d i e l e c t r i c . N o n e t h e l e s s , u p o n e x c e s s a c c e l e r a t i o n o f 1.5 g t h e c a p a c i t a n c e b r i d g e o u t p u t now s h o w e d a s t r i k i n g l y s m o o t h g r o w t h e n v e l o p e t h a t w a s n o t l i n e a r ( F i g u r e 35) . S i m i l a r t e s t s t o t h o s e d e s c r i b e d i n C h a p t e r 3 p a r t A , show t h a t t h e c a p a c i t a n c e i n c r e a s e s w i t h t i m e , a r e s u l t c o n s i s t e n t w i t h t h e movement o f w a t e r l a y e r s up t h e w a l l s o f t h e a c c e l e r a t e d t a n k . G . C l i m b i n g F i l m s P l o t s o f t h e s q u a r e r o o t o f t h e c h a n g e i n c a p a c i t a n c e v e r s u s t i m e y i e l d e d s t r a i g h t l i n e s ( F i g u r e 36) . T h i s i n d i c a t e s t h a t t h e edge o f t h e w a t e r f i l m moves up t h e t a n k w a l l a t a c o n s t a n t a c c e l e r a t i o n . A s i m i l a r o b s e r v a t i o n was made b y Emmons e t a l u s i n g p h o t o g r a p h i c o b s e r v a t i o n s . S e v e r a l r u n s w e r e made v a r y i n g t h e v i r t u a l a c c e l e r a t i o n f r o m 1.7 t o 4 . 7 g . P l o t s o f t h e s q u a r e r o o t Figure 35. Capacitance bridge runs usinp, a printed c i r c u i t board as the d i e l e c t r i c and capacitor plate. a) A run with the bridge i n i t i a l l y balanced at the water level capacitance. b) Here the bridge was balanced below the i n i t i a l water level . c) In this run the bridge was balanced above the i n i t i a l level capacitance. Gain for a l l shots is 0.2v/div,time is 20nsec/div. - 7 5 - o f t h e a m p l i t u d e s o f t h e f i l m v e r s u s t h e t i m e t i n d i c a t e t h a t t h e a c c e l e r a t i o n o f t h e f i l m i s l e s s t h a n t h e v i r t u a l a c c e l e r a t i o n ( F i g u r e 36) . The r a t i o o f t h e f i l m a c c e l e r a t i o n t o t h e v i r t u a l a c c e l e r a t i o n v a r i e d f r o m a b o u t 0 .3 a t 1.7 g t o 0 .6 a t 4 . 7 g . When t h e s l o p e s o f t h e /s v e r s u s t g r a p h s we re p l o t t e d a g a i n s t t h e a p p l i e d v i r t u a l a c c e l e r a t i o n s s t r a i g h t l i n e s p a s s i n g t h r o u g h t h e o r i g i n w e r e o b t a i n e d ( F i g u r e 38) . Runs we re made u s i n g an a q u e o u s s o a p s o l u t i o n as w e l l as a 40% s u g a r s o l u t i o n t o d e t e r m i n e i f s u r f a c e t e n s i o n o r v i s c o s i t y ha s an e f f e c t . I n a l l c a s e s t h e r e s u l t s a r e a b o u t t h e same as t h a t f o r o r d i n a r y w a t e r and a r e p r e s e n t e d i n t a b l e V . TABLE V : CL IMB ING F ILMS RESULTS FLU ID S LOPE INTERCEPT CORRELATION • -% . . h -U COEFF IC I ENT (cm sec ) (cm ' ' s ec ) Water • _ j ( v i s c o s i t y 1 c P , s u r f a c e t e n s i o n 75 d y n e s cm" ) 0 . 0 0 7 9 2 1.526 0 . 9 9 2 9 S oap s o l u t i o n _ j ( v i s c o s i t y 1 c P , s u r f a c e t e n s i o n ~ 35 d y n e s cm ) 0 . 0 0 8 2 0 2 . 398 0 . 9 8 6 6 40% S u g a r s o l u t i o n ( v i s c o s i t y 5 .164 cP) 0 . 0 0 7 4 0 0 . 5 69 0 . 9 9 7 6 TIME (msec) _i i i ' •—»- 20 60 100 Figure 36. The climbing film, signal amplitude of figure 3 5 of time. The square root of a) is plotted as a the function -77- F i g u r e 37. The c l i m b i n g f i l m . The l o g a r i t h m o f t h e s i g n a l a m p l i t u d e o f f i g u r e 35 a) i s p l o t t e d a g a i n s t t he t i m e . The g r a p h above i n d i c a t e s t h e the s i g n a l g rowth i s no t due t o an i n s t a b i l i t y . F i g u r e 3 S . The c l i m b i n g f i l m s r e s u l t s . The s q u a r e r o o t o f t he a c c e l e r a t i o n o f the f i l m i s p l o t t e d v e r s u s t h e a p p l i e d v i r t u a l a c c e l e r a t i o n . The r e s u l t s f o r d i f f e r e n t f l u i d s a re shown. -79- T h u s , f r o m t a b l e V , t h e s c a l i n g l a w f o r t h e b e h a v i o u r o f t h e c l i m b i n g f i l m s w i t h a p p l i e d a c c e l e r a t i o n i s g . . . = 1.25 x 1 0 " 4 c m " 1 s e c 2 (g . „ .) 2  B f i l m ^ v i r t u a r U s i n g t h e p r i n t e d c i r c u i t b o a r d as t h e d i e l e c t r i c and c a p a c i t o r p l a t e shows c o n c l u s i v e l y t h a t t h e p r e v i o u s c a p a c i t a n c e b r i d g e s i g n a l s we re c a u s e d by t h e w a t e r p u l l i n g t h e d i e l e c t r i c s h e e t away f r o m t h e w a l l . S i n c e t h e t e n s i o n on t h e w a t e r i s p r o p o r t i o n a l t o t h e a c c e l e r a t i o n , t h e amount o f a i r t h a t g e t s i n b e t w e e n t h e d i e l e c t r i c s h e e t and t h e c a p a c i t o r p l a t e c an be e x p e c t e d t o be p r o p o r t i o n a l t o t h e a p p l i e d a c c e l e r a t i o n as w e l l . I n d e e d , t h e r a t e o f d e c r e a s e o f c a p a c i t a n c e was s e e n t o be p r o p o r t i o n a l t h e t h e v i r t u a l a c c e l e r a t i o n . T h i s a l s o e x p l a i n s why t h e e a r l i e r c a p a c i t a n c e b r i d g e s i g n a l s a r e s e e n t o s a t u r a t e so q u i c k l y . The d i e l e c t r i c s h e e t s i m p l y becomes p u l l e d away f r o m t h e w a l l t o i t s l i m i t and s t a y s t h e r e . H o w e v e r , F o u r i e r a n a l y s i s u s i n g t h e c a p a c i t a n c e b r i d g e s t i l l c a n n o t be done b e c a u s e o f t h e p r e s e n c e o f c l i m b i n g w a t e r f i l m s . T h i s i s p a r t i c u l a r l y t h e c a s e i n t h e n a r r o w t a n k w h e r e t h e f i l m s a r e q u i t e p r e d o m i n a n t and a c t u a l l y h a v e t h e same a m p l i t u d e as t h e i n s t a b i l i t y . I n t h e w i d e t a n k , t h e f i l m s a r e s e e n t o l a g somewhat b e h i n d t h e i n s t a b i l i t y and as F i g u r e 23 s h o w s , a t h i n f i l m c a n be s e e n t o r e a c h a b o u t h a l f t h e a m p l i t u d e o f -80- t h e s p i k e . I n t h i s c a s e , t h e f i l m s a r e much t h i c k e r i n t h e r o u n d e d b u b b l e s , and t h u s t h e r e may be some p o s s i b i l i t y o f d i s t i n g u i s h i n g b e t w e e n c a p a c i t a n c e b r i d g e s i g n a l s f o r r u n s w i t h e x c i t e d and u n e x c i t e d i n i t i a l s u r f a c e s . The p r o b l e m o f t h e c l i m b i n g w a t e r f i l m s c an be e l i m i n a t e d a l t o g e t h e r i f an o p t i c a l F o u r i e r a n a l y z e r t e c h n i q u e we re t o be u s e d . S i n c e t h e a b s o r p t i o n o f l i g h t v a r i e s as t h e e x p o n e n t i a l o f t h e t h i c k n e s s o f t h e a b s o r b i n g med i um, t h e f i l m s o f w a t e r t h a t a p p e a r a l o n g w i t h t h e i n s t a b i l i t y s h o u l d t h e n n o t be n o t i c e a b l e i n d a r k e n e d w a t e r . T h i s t e c h n i q u e w o u l d c o n s i s t o f r e p l a c i n g t h e a n a l y z i n g c a p a c i t o r p l a t e w i t h a p h o t o g r a p h i c n e g a t i v e o f t h e same. P a r a l l e l l i g h t i s i n c i d e n t on one f a c e o f t h e n a r r o w t a n k and a p h o t o d e t e c t o r i s on t h e o t h e r s i d e o f t h e F o u r i e r p l a t e n e g a t i v e . The p h o t o d e t e c t o r s h o u l d be s a t u r a b l e s u c h t h a t i t s o u t p u t i s p r o p o r t i o n a l t o t h e amount o f a r e a e x p o s e d t o l i g h t and i s l a r g e l y i n d e p e n d e n t o f t h e l i g h t i n t e n s i t y . The s i g n a l o u t p u t f r o m t h e p h o t o d e t e c t o r s h o u l d t h e n g i v e t h e d e v e l o p m e n t o f t h e i n s t a b i l i t y . D e t a i l s o f t h e t e c h n i q u e a r e d i s c u s s e d i n t h e A p p e n d i x . - 8 1 - CHAPTER IV CONCLUSION I n t h e c o u r s e o f my e x p e r i m e n t s , I h a v e d e v e l o p e d an a p p a r a t u s w h i c h p r o d u c e s l a r g e a m p l i t u d e r e p r o d u c i b l e R a y l e i g h - T a y l o r i n s t a b i l i t i e s f r o m a p u r e s i n u s o i d a l s t a n d i n g w a v e . T i m i n g c i r c u i t r y was d e v e l o p e d s u c h t h a t t h e p h a s e o f t h e s t a n d i n g wave and t h u s t h e s h a p e o f t h e r e s u l t i n g i n s t a b i l i t y c o u l d be s e t e x a c t l y . T h i s a l l o w s t h e m e a s u r e m e n t o f t h e a m p l i t u d e v a r i a t i o n o f t h e i n s t a b i l i t i e s as a f u n c t i o n o f t i m e t o be c o m p a r e d d i r e c t l y w i t h t h e o r y . T h i s i s i n c o n t r a s t t o a l l o t h e r p r e v i o u s e x p e r i m e n t s w h e r e t h e i n i t i a l p e r t u r b a t i o n , p h a s e and r e s u l t i n g i n s t a b i l i t y w e r e l a r g e l y l e f t t o c h a n c e . I d e v e l o p e d t h r e e n o v e l e l e c t r i c a l m e a s u r e m e n t t e c h n i q u e s f o r t h e d e t e c t i o n o f s t a n d i n g w a t e r w a v e s . The s i m p l e s t i s t h e r e s i s t a n c e m e t h o d w h e r e t h e v o l t a g e a c r o s s t h e t a n k i s m e a s u r e d u s i n g F o u r i e r a n a l y z i n g p l a t e s as t h e e l e c t r i c a l c o n t a c t s . A n o t h e r m e t h o d u s e s a s i m p l e f r e q u e n c y t o v o l t a g e c o n v e r t e r t o m e a s u r e t h e c a p a c i t a n c e o f t h e w a t e r t a n k . The t h i r d m e t h o d u s e s s o l a r c e l l s t o m e a s u r e t h e l i g h t t r a n s m i t t e d t h r o u g h a t r a n s p a r e n c y o f t h e F o u r i e r a n a l y z i n g p l a t e . A l l t h e s e m e t h o d s h a v e s u f f i c i e n t s e n s i t i v i t y t h a t s m a l l s t a n d i n g waves o f a m p l i t u d e s o f a b o u t 1 mm o r l e s s a r e r e a d i l y d e t e c t e d . -82- The e l e c t r i c a l m e a s u r e m e n t s I u s e d t o o b s e r v e R a y l e i g h - T a y l o r i n s t a b i l i t i e s r e v e a l e d f e a t u r e s o f t h e i n s t a b i l i t y t h a t we re n o t c o n s i d e r e d p r i o r t o t h e c o u r s e o f t h e e x p e r i m e n t s . N a m e l y , t h e e l e c t r i c a l m e a s u r e m e n t s i n d i c a t e d a c o n v e x b u l g i n g o f t h e w a t e r s u r f a c e a c r o s s t h e w i d t h o f t h e t a n k . T h i s r e s u l t s i n a d e c r e a s e i n t h e mean l e v e l o f c o n t a c t o f t h e w a t e r w i t h t h e w a l l s . P h o t o g r a p h s o f t h e i n s t a b i l i t i e s c o n f i r m t h i s b u l g i n g o f t h e w a t e r s u r f a c e , as w e l l as t h e p r e s e n c e o f c l i m b i n g w a t e r f i l m s t h a t k e e p p a c e w i t h t h e i n s t a b i l i t y . T h e s e w a t e r f i l m s u n f o r t u n a t e l y i n d i c a t e t h a t a c a p a c t a t i v e F o u r i e r a n a l y s i s w i l l n o t wo rk as t h e m e t h o d i s u n a b l e t o d i s t i n g u i s h t h e w a t e r f i l m s f r o m t h e i n s t a b i l i t y . H o w e v e r , t h e c a p a c i t a t i v e t r a n s d u c e r c a n now be e a s i l y u s e d t o do s t u d i e s o f t h e c l i m b i n g w a t e r f i l m s as a f u n c t i o n o f t h e a p p l i e d e x c e s s a c c e l e r a t i o n . O b s e r v a t i o n s o f t h e c a p a c i t a n c e b r i d g e s i g n a l s v s . t i m e i n d i c a t e t h a t t h e edge o f t h e w a t e r f i l m moves a t a c o n s t a n t a c c e l e r a t i o n w h i c h i s a f r a c t i o n o f t h e downward a c c e l e r a t i o n o f t h e . w a t e r t a n k . P l o t s o f t h e s q u a r e r o o t o f t h e f i l m a c c e l e - r a t i o n v e r s u s t h e a p p l i e d a c c e l e r a t i o n y i e l d e d s t r a i g h t l i n e s p a s s i n g t h r o u g h t h e o r i g i n . The s c a l i n g l aw f o r t h i s b e h a v i o u r h a s b e e n d e t e r m i n e d t o b e : g f i l m m J - 2 5 x 1 0 - 4 s e c 2 c m - 1 • ( * v i r t U B l ) * -83- and was f o u n d t o be i n d e p e n d e n t o f t h e s u r f a c e t e n s i o n and t h e v i s c o s i t y o f t h e f l u i d . A t t e m p t s t o e l i m i n a t e t h e c o n v e x b u l g i n g o f t h e f l u i d by d e c r e a s i n g t h e w i d t h o f t h e t a n k t o 1.5 cm ( l e s s t h a n t h e l e n g t h o f t h e c r i t i c a l w a v e l e n g t h a t m o d e s t a c c e l e r a t i o n s ) h a v e b e e n s u c c e s s f u l . P h o t o g r a p h s o f t h e i n s t a b i l i t y show t h a t i t i s much more two d i m e n s i o n a l t h a n t h e same i n s t a b i l i t y i n a t a n k t h a t i s s e v e r a l c e n t i m e t e r s w i d e . The same p h o t o g r a p h s a l s o i n d i c a t e t h a t t h e c l i m b i n g w a t e r f i l m s a r e o f u n i f o r m t h i c k n e s s and a r e r e l a t i v e l y t r a n s p a r e n t c o m p a r e d t o t h e b u l k o f t h e d y e d w a t e r i n t h e r e s t o f t h e t a n k . T h i s r e s u l t s u g g e s t s t h a t F o u r i e r a n a l y s i s i s f e a s i b l e i f an o p t i c a l t e c h n i q u e i s u s e d i n s t e a d . T h i s t e c h n i q u e w o r k s on t h e same p r i n c i p l e s as t h e c a p a c i t a t i v e and r e s i s t i v e m e t h o d s , t h e m a j o r d i f f e r e n c e b e i n g t h a t s i n c e a b s o r t i o n o f l i g h t i s t h e m a j o r f a c t o r , t h e c o m p a r a t i v e l y t h i n w a t e r f i l m s s h o u l d n o t now be d e t e c t a b l e . - 8 4 - BI BLIOGRAPHY B e l l m a n n R . , P e n n i n g t o n R . H . , Q u a r t . J . A p p l . M a t h . 12_, 151 (19 5 4) C o l e R . L . , T a n k i n R .S . , P h y s . F l u i d s 16_, 1810 (1972) C u r z o n F . L . , L a n g i l l e B. L . , C a n . J . P h y s . 50_, 73 (1972) Emmons H . W. , Chang C . T . , and Watson B . C . , J . F l u i d M e c h . 1_, 177 (1960) L a n g i l l e B . L . , M . S c T h e s i s , U n i v e r s i t y o f B r i t i s h C o l u m b i a (19 70) L e w i s D . J . , P r o c . R o y . S o c . A 2 0 2 , 81 (1950) P o p i l R . , C u r z o n F . L . , R e v . S c i . I n s . 50_. 70 (1979) R a t a f i a M . , P h y s . F l u i d s 16_, 1207 (1973) S t o k e r J . J . , Wate r Waves ; The M a t h e m a t i c a l T h e o r y w i t h A p p 1 i c a t i o n s , I n t e r s c i e n c e P u b l i s h e r s (1957) T a y l o r G . I . , P r o c . R o y . S o c . A 2 0 1 , 192 (1950) - 8 5 - APPENDIX A : D e t a i l s o f t h e Waveform G e n e r a t o r To p r o d u c e p u r e mode s t a n d i n g waves on t h e w a t e r s u r f a c e , an e l e c t r i c f i e l d o f t h e f o r m V = V q ({1 - c o s (u)t)}/2) i s u s e d . I n i t i a l l y , a d i g i t a l w a v e f o r m g e n e r a t o r i s u s e d t o p r o d u c e a 5 v o l t p e a k t o p e a k s i g n a l w h i c h i s t h e n a m p l i f i e d by an i n v e r t i n g a m p l i f i e r w i t h a g a i n o f 1 0 0 0 . The s c h e m a t i c d i a g r a m s o f t h e g e n e r a t o r a r e p r e s e n t e d a l o n g w i t h an e x p l a n a t i o n o f i t s o p e r a t i o n . T h e r e a r e t h r e e m a i n s e c t i o n s t o t h e g e n e r a t o r ( F i g u r e 39 a)) . An o s c i l l a t o r p r o v i d e s p u l s e s w h i c h a d v a n c e t h e a d d r e s s on an up/down c o u n t e r t h a t s c a n s t h e 16 w o r d s o f t h e two 4 - b i t m e m o r i e s (RAM) . The o u t p u t o f e a c h w o r d f r o m t h e memory i s c o n v e r t e d t o an a n a l o g s i g n a l w h i c h i s c o n s e q u e n t l y a m p l i f i e d and u s e d t o e x c i t e s t a n d i n g w a v e s . S q u a r e wave p u l s e s f r o m a s e t o f f r e q u e n c y d i v i d e r s a r e e n t e r e d i n t o t h e c i r c u i t t h r o u g h t h e i n p u t l a b e l l e d t h e "CLOCK I N P U T " . The c l o c k p u l s e s e n t e r t h e up/down c o u n t e r t h r o u g h t h e OR g a t e s o f 3 0 0 3 . To c o u n t u p w a r d s f r o m 0 t o 1 5 , t h e up/down c o u n t e r r e q u i r e s t h e C i n p u t t o be p u l s e d and t h e 0 ^ o w n i n p u t t o be h i g h . T h i s c o n d i t i o n i s p r o v i d e d by t h e Q and Q o u t p u t s o f t h e JK f l i p - f l o p 3062 w h i c h a r e s e t h i g h -86- OSCILLATOR UP/DOWN COUNTER ADDRESS LOGIC MEMORY 2(4x16) RAM DAC _0 OUTPUT b) 10 13 11 DIGITAL OUTPUT FROM RAMs v y w * * iL B DAC 02 17 15 H 16 12 14 10 K (GAIN) 68K +15V -I5V 100K 47„f Figure 39. Schematic of the d i g i t a l waveform generator, a) Block diagran b) The d i g i t a l to analog converter and output stage. 87- FROM ADDRESS LOGIC 4064 DPST DEPOSIT SWITCH DEBOUNCE 11 3 0 0 2 A B C ADDRESS 220fi DISPLAY DRIVER MEM OUT DATA IN A B C D _,_ A B C D TO DISPLAY 4_ 330 n 13 f WE 4064 IS 14 13 A B ( : [ D _ADDRESS. MEM OUTiDATA IN E F G H i E : F G H 11 9 rti DATA ENTRY SWITCHES TO 4 LED * ,16 :32 330 n DISPLAY ^ J 4 -128 A B C D wx_ { 1 E F G H TO DA CONVERTER F i g u r e 4 0 . The w a v e f o r m g e n e r a t o r : memory and d i s p l a y s e c t i o n . -88- ADRS 3002 TO RAM A B C D F i g u r e 4 1 . D e t a i l o f t h e u p / d o w n c o u n t e r a d d r e s s l o g i c . -89- a n d l o w r e s p e c t i v e l y f o r t h e c o u n t u p w a r d s . When t h e o u t p u t o f t h e u p / d o w n c o u n t e r i s 0 0 0 0 , t h e a s y n c h r o n o u s S ET i n p u t o f t h e J K f l i p - f l o p r e c e i v e s a LO i n p u t t h a t s e t s t h e f l i p - f l o p f o r t h e c o u n t u p w a r d s . M i e n t h e c o u n t u p w a r d t e r m i n a t e s a t 1 1 1 1 , t h e f l i p - f l o p i s t r i g g e r e d by t h e LO s i g n a l a p p l i e d t o t h e c l o c k p u l s e i n p u t C P , w h i c h now r e v e r s e s i t s s t a t e t o Q = 0 and Cf = 1. The c l o c k p u l s e s w i l l now make t h e c o u n t e r c o u n t b a c k w a r d s t o 0000 and t h e a b o v e o p e r a t i o n s a u t o m a t i c a l l y r e p e a t s i t s e l f . T h u s , t h e u p / d o w n c o u n t e r p r o d u c e s a 4 - b i t w o r d w h i c h i s i n c r e m e n t e d a t e v e r y c l o c k p u l s e . T h i s a d d r e s s w o r d r e a c h e s t h e two RAM m e m o r i e s w h i c h t h e n o u t p u t a c o r r e s p o n d i n g 8 b i t w o r d s t o r e d a t t h a t p a r t i c u l a r a d d r e s s . T h i s 8 b i t w o r d i s f i n a l l y c o n v e r t e d t o an a n a l o g s i g n a l by t h e d i g i t a l t o a n a l o g c o n v e r t e r ( I . C . DAC 02) , so t h a t any w a v e f o r m e n t e r e d i n t o t h e memory w i l l be p e r i o d i c a l l y g e n e r a t e d . To e n t e r a p e r i o d i c f u n c t i o n i n t o t h e w a v e f o r m g e n e r a t o r ' s m e m o r y , t h e c l o c k o s c i l l a t o r i s d i s c o n n e c t e d and t h e a d d r e s s i s r e s e t t o z e r o b y a p u s h b u t t o n r e s e t s w i t c h t h a t s i m u l t a n e o u s l y s e t s t h e f l i p - f l o p t o t h e c o u n t - u p p o s i t i o n and s e t s t h e f l i p - f l o p t o t h e c o u n t - u p p o s i t i o n and s e t s t h e u p / d o w n c o u n t e r t o 0000 by means o f a l o w p u l s e s e n t t o t h e P L i n p u t . One h a l f o f t h e d e s i r e d f u n c t i o n i s a p p r o x i m a t e d by 16 s t e p s i n d i g i t a l - 9 0 - f o r m and a r e e n t e r e d m a n u a l l y on t h e d a t a e n t r y s w i t c h e s . To d e p o s i t a w o r d i n t o t h e memory by t h e s w i t c h e s , t h e w r i t e e n a b l e (WE) i n p u t i s a c t i v a t e d b y t h e d e p o s i t s w i t c h and t h e w o r d i s e n t e r e d i n t o t h e memory a t t h e a d d r e s s l o c a t i o n d i s p l a y e d . The a d d r e s s i s t h e n i n c r e m e n t e d m a n u a l l y t o t h e n e x t s e q u e n t i a l a d d r e s s and t h e p r o c e d u r e i s r e p e a t e d u n t i l a l l 16 a d d r e s s e s h a v e b e e n f i l l e d . The p r o g r a m f o r t h e p r o g r a m u s e d t o e x c i t e s t a n d i n g w a v e s i s i n c l u d e d i n t a b l e V I . T A B L E V I : D I G I T A L PROGRAM FOR WAVE GENERATOR ADDRESS WORD (ENTERED ON SWITCHES) 0 0 0 0 1 0 0 0 1 1 0 1 0 0 0 1 1 0 0 0 1 1 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 1 0 0 1 0 0 1 1 1 0 0 0 0 1 1 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 1 0 1 1 1 1 0 1 0 0 1 1 0 0 1 1 1 0 0 1 0 0 1 1 1 0 1 1 0 1 0 0 1 1 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 1 1 0 0 1 0 1 0 1 0 0 0 1 1 0 1 0 0 1 0 0 1 0 1 1 1 0 1 1 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 0 1 0 0 1 1 0 1 0 0 1 0 1 0 1 0 1 1 1 0 0 0 1 0 0 0 0 1 1 1 1 1 0 0 0 1 1 1 1 0 - 9 1 - APPENDIX B : OPT ICAL FOURIER ANALYS IS The e x p e r i m e n t a l s e t - u p f o r t h e F o u r i e r a n a l y s i s by an o p t i c a l t e c h n i q u e i s shown i n F i g u r e 4 1 . The s u g g e s t e d c o n f i g u r a t i o n r e q u i r e s v e r y l i t t l e c o n - s t r u c t i o n o f any a p p a r a t u s and i s d e s i g n e d t o w i t h s t a n d a c c e l e r a t i o n s o f s e v e r a l g . A p a n e l o f s o l a r c e l l s a r e r i g o r o u s l y m o u n t e d t o t h e o u t s i d e f a c e o f t h e s i d e o f t h e t a n k c o n t a i n i n g a p h o t o g r a p h i c n e g a t i v e o f t h e F o u r i e r a n a l y z i n g p l a t e . Because o f t h e i r v o l t a g e - c u r r e n t c h a r a c t e r i s t i c s , t h e o u t p u t t e r m i n a l s o f t h e s o l a r c e l l s mus t be k e p t a t g r o u n d v o l t a g e i n o r d e r t o a c h i e v e l i n e a r i t y b e t w e e n l i g h t i n t e n s i t y and t h e c u r r e n t o u t p u t . To t h i s e n d , t h e p o s i t i v e t e r m i n a l o f t h e s o l a r c e l l s i s c o n n e c t e d t o a v i r t u a l g r o u n d , c u r r e n t t o v o l t a g e c o n v e r t e r as i s shown i n t h e f i g u r e . To o b s e r v e c h a n g e s i n t h e o u t p u t v o l t a g e due t o s u r f a c e wave s o r i n s t a b i l i t i e s , t h e d . c . b i a s v o l t a g e c a n be e l i m i n a t e d by u s i n g a d i f f e r e n t i a l a m p l i f i e r anda v a r i a b l e d . c . v o l t a g e s o u r c e . To o b t a i n u n i f o r m p a r a l l e l i n c i d e n t l i g h t , t h e e a s i e s t s o l u t i o n i s t o h a v e a p o i n t l i g h t s o u r c e s u c h as a d . c . a r c , p l a c e d a s u i t a b l e d i s t a n c e away f r o m t h e f r o n t f a c e o f t h e w a t e r t a n k . T h u s , t h e r e i s no n e e d o f m o u n t i n g o p t i c a l c o m p o n e n t s o n t o t h e t a n k . A b o u t 5 c c o f w a t e r s o l u b l e i n k m i x e d i n t o two l i t e r s o f w a t e r a d e q u a t e l y d a r k e n s t h e w a t e r . The r e s u l t i n g POINT LIGHT SOURCE DARKENED WATER FOURIER ANALYZER SCREEN SOLAR CELLS i ID I + V . i— LM 308H PLUG-IN UNIT SCOPE F i g u r e 42 . E x p e r i m e n t a l s e t - u p f o r t he o p t i c a l F o u r i e r a n a l y s i s o f R-T i n s t a b i l i t i e s . The f i g u r e a l s o shows t l i e c u r r e n t to v o l t a g e c o n v e r t e r . -93- f i l m s o f w a t e r w h i c h a p p e a r a t t h e s i d e s o f t h e t a n k upon i t s a c c e l e r a t i o n s h o u l d n o t now i n t e r f e r e w i t h t h e d e t e c t i o n o f t h e i n s t a b i l i t y . The c u r r e n t t o v o l t a g e c o n v e r t e r ha s b e e n made and t e s t e d u s i n g t h e s o l a r c e l l s . The 50 ft r e s i s t o r i s a d j u s t e d t o a v a l u e s u c h t h a t t h e s a t u r a t i o n o f t h e op amp i s a v o i d e d u n d e r t h e e x p e r i m e n t a l c o n d i t i o n s . The t e n t a t i v e t e s t s show t h a t t h e a r r a n g e m e n t i s l i n e a r w i t h r e s p e c t t o t h e a r e a e x p o s e d t o l i g h t . F o r t h e 1.5 mm 4 t h h a r m o n i c s t a n d i n g wave s a s i n u s o i d a l s i g n a l o f a m p l i t u d e 60 v was o b t a i n e d i n d i c a t i n g t h a t t h i s * p - p m e t h o d o f wave d e t e c t i o n i s as s e n s i t i v e as t h e I .C . c i r c u i t d e s c r i b e d i n c h a p t e r I I p a r t E. On t h e b a s i s o f t h e a b o v e o b s e r v a t i o n s , t h e F o u r i e r a n a l y z i n g t e c h n i q u e u s i n g t h e s o l a r c e l l s a p p e a r s t o be q u i t e p r o m i s i n g on t h e w h o l e .

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