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Measurement of the Lamb shift in muonium Fry, Charles Alan 1985

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MEASUREMENT OF THE LAMB SHIFT IN MUONIUM by CHARLES ALAN FRY A THESIS SUBMITTED IN PARTIAL FULFILMENT OF THE REQUIREMENTS FOR THE DEGREE OF DOCTOR OF PHILOSOPHY i THE FACULTY OF Department GRADUATE STUDIES of P h y s i c s We a c c e p t t h i s t h e s i s as con f o r m i n g t o the r e q u i r e d s t a n d a r d THE UNIVERSITY OF BRITISH COLUMBIA August, 1985 © C h a r l e s A l a n F r y , 1985 In presenting t h i s thesis i n p a r t i a l f u l f i l m e n t of the requirements for an advanced degree at the University of B r i t i s h Columbia, I agree that the Library s h a l l make i t f r e e l y available for reference and study. I further agree that permission for extensive copying of t h i s thesis for scholarly purposes may be granted by the head of my department or by h i s or her representatives. I t i s understood that copying or publication of t h i s thesis for f i n a n c i a l gain s h a l l not be allowed without my written permission. Department of The University of B r i t i s h Columbia 1956 Main Mall Vancouver, Canada V6T 1Y3 Date /HI i A b s t r a c t T h i s t h e s i s d e s c r i b e s the f i r s t measurement of the Lamb s h i f t i n n=2 muonium. The muonium atom i s a h y d r o g e n - l i k e bound s t a t e of two l e p t o n s (u+e~), b o t h of which a r e b e l i e v e d t o be p o i n t - l i k e p a r t i c l e s . The p o i n t - l i k e n a t u r e of the c o n s t i t u e n t p a r t i c l e s s i m p l i f i e s and reduces the u n c e r t a i n t y of the a p p l i c a t i o n of quantum e l e c t r o d y n a m i c s (QED) t o the c a l c u l a t i o n of the Lamb s h i f t i n the muonium atom. Measurements of the Lamb s h i f t i n hydrogen d i s a g r e e w i t h the p r e d i c t i o n s of t h e o r y by a few s t a n d a r d d e v i a t i o n s ; however, t h e o r e t i c a l p r e d i c t i o n s a l s o d i s a g r e e w i t h each o t h e r , p a r t l y because of d i f f i c u l t i e s a s s o c i a t e d w i t h the tr e a t m e n t of the p r o t o n s t r u c t u r e . Thus a measurement i n the muonium system of s i m i l a r p r e c i s i o n t o t h o s e a l r e a d y made i n the hydrogen system w i l l be a v a l u a b l e t e s t of QED. The p r e s e n t experiment i s not i n t e n d e d t o t e s t QED. I t i s an i n v e s t i g a t i o n of the methods and t e c h n i q u e s n e c e s s a r y t o i surmount the d i f f i c u l t i e s p r e s e n t e d by the n a t u r e of I muonium. The a v a i l a b l e number of muonium atoms i s about 1 0 + 1° t i m e s l e s s than t h a t of hydrogen used by Lamb i n h i s f i r s t measurement. The v a l u e o b t a i n e d f o r the n=2 muonium Lamb s h i f t 10701If MHz. The u n c e r t a i n t y quoted i s s t a t i s t i c a l a t the 68% c o n f i d e n c e l e v e l . S y s t e m a t i c e f f e c t s were found t o c o n t r i b u t e a f u r t h e r 2 MHz u n c e r t a i n t y . T a b l e o f C o n t e n t s 1 . I n t r o d u c t i o n 1 1.1 T h e M u o n i u m A t o m 1 1 . 2 H i s t o r i c a l P e r s p e c t i v e 3 1 . 2.1 L a m b ' s E x p e r i m e n t s 6 1 . 2 . 2 T h e R a c e b e t w e e n T h e o r y a n d E x p e r i m e n t 8 1 . 3 P r e s e n t S t a t u s o f t h e L a m b S h i f t C a l c u l a t i o n a n d E x p e r i m e n t 9 1 . 4 O u t l i n e o f t h e T h e s i s 1 2 2 . T h e M u o n i u m E n e r g y L e v e l s 1 5 2 . 1 S y m m e t r y 1 5 2 . 2 T h e E i g e n s t a t e s o f F , ny, J, a n d L 1 6 2 . 3 S e p a r a t i o n o f t h e C e n t e r o f M a s s M o t i o n 1 7 2 . 4 N o n - r a d i a t i v e C o r r e c t i o n s 1 9 2 . 4 . 1 C o r r e c t i o n s t o t h e F i n e s t r u c t u r e 1 9 2 . 4 . 2 C o r r e c t i o n s t o t h e H y p e r f i n e s t r u c t u r e . . . . 2 1 2 . 4 . 3 R e c o i l C o r r e c t i o n s 2 2 2 . 5 R a d i a t i v e C o r r e c t i o n s 2 5 2 . 5 . 1 S e l f - e n e r g y 2 5 2 . 5 . 2 M a g n e t i c M o m e n t 2 8 2 . 5 . 3 V a c u u m P o l a r i z a t i o n 2 8 2 . 5 . 4 H i g h e r O r d e r B i n d i n g C o r r e c t i o n s 2 9 2 . 6 S u m m a r y o f t h e L a m b S h i f t C a l c u l a t i o n s 3 2 3 . T h e F o r m a t i o n o f 2 s M u o n i u m 3 5 3.1 G e n e r a l C o n s i d e r a t i o n s 3 5 3 . 2 M e t h o d s o f F o r m i n g M u o n i u m 3 5 3 . 3 T h e B e a m F o i l I n t e r a c t i o n 3 7 3 . 4 S l o w i n g M u o n s 4 0 i i i 3 . 5 T h e S t a t i s t i c a l P r o p e r t i e s o f a D e g r a d e r 5 0 3 . 5 . 1 M o m e n t u m S t r a g g l i n g 5 0 3 . 5 . 2 M u l t i p l e S c a t t e r i n g 5 1 3 . 6 M o n t e C a r l o S i m u l a t i o n o f M o d e r a t i o n o f t h e M u o n B e a m . . . 5 2 3 . 7 S u m m a r y 5 8 4 . R a d i o - f r e q u e n c y E x c i t a t i o n o f t h e L a m b s h i f t T r a n s i t i o n 5 9 4 . 1 T h e T i m e D e p e n d e n t S c h r o d i n g e r E q u a t i o n 5 9 4 . 2 A p p r o x i m a t e S o l u t i o n 6 1 4 . 2 . 1 D C S t a r k e f f e c t 6 4 4 . 2 . 2 A C S t a r k S h i f t 6 4 4 . 2 . 3 E f f e c t o f t h e 2 p 3 / , 2 s t a t e 6 5 5 . D e s c r i p t i o n o f t h e A p p a r a t u s a n d E x p e r i m e n t a l P r o c e d u r e 6 6 5 . 1 V a c u u m S y s t e m 6 6 5 . 2 S c i n t i l l a t i o n C o u n t e r s 6 6 5 . 3 N e u t r a l P r o d u c t i o n F o i l 6 8 5 . 4 R F R e g i o n 7 0 5 . 5 T h e Q u e n c h R e g i o n a n d M i c r o C h a n n e l P l a t e s 7 3 5 . 6 D a t a A c q u i s i t i o n a n d E v e n t T r i g g e r 7 6 5 . 7 B e a m P a r a m e t e r s a n d E x p e r i m e n t a l R a t e s 7 8 6 . D a t a R e d u c t i o n a n d A n a l y s i s 8 2 6 . 1 T i m i n g 8 2 6 . 2 N o r m a l i z a t i o n 9 2 6 . 3 F o r m o f t h e R e s o n a n c e C u r v e 9 2 6 . 4 T h e F i t t i n g P r o c e d u r e 9 5 6 . 5 S y s t e m a t i c U n c e r t a i n t i e s i n t h e L a m b S h i f t M e a s u r e m e n t 9 6 i v 6 . 5 . 1 R F P o w e r U n c e r t a i n t y . . 9 6 6 . 5 . 2 N o n - l i n e a r i t y o f t h e R F P o w e r L e v e l 1 0 3 6 . 5 . 3 A l i g n m e n t o f t h e R F R e g i o n a n d t h e B e a m . . 1 0 3 6 . 5 . 4 V e l o c i t y D i s t r i b u t i o n 1 0 4 6 . 5 . 5 N o r m a l i z a t i o n U n c e r t a i n t y 1 0 4 6 . 6 O t h e r E f f e c t s 1 0 5 6 . 6 . 1 T r a n s v e r s e D o p p l e r S h i f t ( T i m e D i l a t i o n ) . 1 0 5 6 . 6 . 2 R F S t a r k s h i f t 1 0 5 6 . 6 . 3 M a g n e t i c F i e l d s 1 0 6 6 . 7 S u m m a r y o f U n c e r t a i n t i e s a n d S y s t e m a t i c E f f e c t s 1 0 6 7 . C o n c l u s i o n 1 0 8 7 . 1 C o m p a r i s o n w i t h t h e O t h e r L a m b S h i f t M e a s u r e m e n t 1 0 8 7 . 2 L i m i t a t i o n s o f t h e P r e s e n t T e c h n i q u e 1 1 0 7 . 3 N e w M e t h o d s f o r a M u o n i u m L a m b S h i f t M e a s u r e m e n t . . . 1 1 2 7 . 4 P o s s i b l e M e a s u r e m e n t o f t h e n = 2 L a m b S h i f t i n P i o n i urn .• 1 1 5 7 . 5 S u m m a r y o f R e s u l t s 1 1 6 R E F E R E N C E S 1 1 8 A P P E N D I X A : T H E M A X I M U M L I K E L I H O O D T E C H N I Q U E F O R A P O I S S O N P R O C E S S 1 2 3 v L i s t of F i g u r e s page F i g u r e 1.1: Schematic of the Muonium Energy L e v e l s 2 F i g u r e 1.2: Schematic of the a p p a r a t u s used i n Lamb's f i r s t e x p e r i m e n t s 7 F i g u r e 1.3: The Layout of the E x p e r i m e n t a l Areas a t TRIUMF. 13 F i g u r e 2.1: Some Feynman diagrams which c o n t r i b u t e t o the Lamb s h i f t 26 F i g u r e 3.1: The n e u t r a l f r a c t i o n and r e l a t i v e p o p u l a t i o n i n v a r i o u s s t a t e s f o r a beam of p o s i t i v e l y charged p a r t i c l e s emerging from a f o i l as a f u n c t i o n of v e l o c i t y . 38 F i g u r e 3.2: dp/dx f o r aluminum as c a l c u l a t e d u s i n g e q u a t i o n 3.5 43 F i g u r e 3.3: Muon v e l o c i t y as a f u n c t i o n of p a t h l e n g t h i n an aluminum degrader 45 F i g u r e 3.4: P r o t o n v e l o c i t y as a f u n c t i o n of p a t h l e n g t h i n an aluminum d e g r a d e r . 46 F i g u r e 3.5: Number of p a r t i c l e s a v a i l a b l e from the M13 beam l i n e a t TRIUMF as a f u n c t i o n of momentum per uk of p r i m a r y p r o t o n c u r r e n t a t 500 MeV 48 F i g u r e 3.6: Monte C a r l o r e s u l t s f o r the f r a c t i o n of a muon beam s t o p p i n g i n an aluminum degrader and the n e u t r a l f r a c t i o n as a f u n c t i o n of i n c i d e n t momentum 54 F i g u r e 3.7: Monte C a r l o r e s u l t s f o r the f r a c t i o n of the beam emerging from the degrader w i t h momentum l e s s than 2 MeV/c as a f u n c t i o n of the i n c i d e n t muon momentum. ...55 F i g u r e 3.8: Comparison of the Monte C a r l o r e s u l t s w i t h e x p e r i m e n t f o r the number of p a r t i c l e s emerging from the f o i l w i t h momentum l e s s than 2 MeV/c as a f u n c t i o n of i n c i d e n t momentum 57 F i g u r e 5.1: A sc h e m a t i c diagram of the a p p a r a t u s 67 F i g u r e 5.2: The RF t r a n s m i s s i o n l i n e arrangement 71 F i g u r e 5.3: The RF system 72 F i g u r e 5.4: The e l e c t r i c f i e l d i n the quench r e g i o n . View i s from the s i d e a t the v e r t i c a l midplane 74 v i F i g u r e 5.5: E f f i c i e n c y of c h a n n e l e l e c t r o n m u l t i p l i e r s as a f u n c t i o n of wave l e n g t h . 75 F i g u r e 5.6: T y p i c a l c i r c u i t used t o run a m i c r o - c h a n n e l p l a t e . S p e c i f i c v a l u e s of t h e r e s i s t a n c e s and c a p a c i t a n c e s depend on the s i z e and k i n d of m i c r o - c h a n n e l p l a t e s 77 F i g u r e 5.7: S i m p l i f i e d diagram of the e l e c t r o n i c l o g i c f o r d a t a a c q u i s i t i o n 79 F i g u r e 5.8: The M13 beam l i n e a t TRIUMF 80 F i g u r e 6.1: A t y p i c a l t i m e - o f - f l i g h t h i s t o g r a m f o r p a r t i c l e s t r a v e l l i n g between the i n c i d e n t s c i n t i l l a t o r and MCP B. 84 F i g u r e 6.2: Ev e n t s as a f u n c t i o n of t i m e - o f - f l i g h t and time of d e t e c t i o n of a Lyman-a photon. See t e x t f o r meanings of a, b, c 85 F i g u r e 6.3: The t i m i n g c u t s on the e v e n t s of F i g u r e 6.2 (see t e x t ) 86 F i g u r e 6.4: E v e n t s as a f u n c t i o n of 1/0 and time i n the quench r e g i o n ( i . e . time of d e t e c t i o n of the Lyman-a photon l e s s t h e t i m e of e n t r y i n t o the quench r e g i o n ) . 88 F i g u r e 6.5: 2s muonium d e t e c t e d as a f u n c t i o n of v e l o c i t y . The e f f e c t of t i m i n g c r i t e r i a f o r e n t r y i n t o the quench r e g i o n i s i l l u s t r a t e d 89 F i g u r e 6.6: 2s muonium d e t e c t e d as a f u n c t i o n of time from e n t r y i n t o t h e quench r e g i o n t o emit a Lyman-a photon. The e f f e c t of v e l o c i t y r e q u i r e m e n t s i s i l l u s t r a t e d . ..90 F i g u r e 6.7: The d a t a p o i n t s and be s t f i t resonance c u r v e as a f u n c t i o n of a p p l i e d RF power and f r e q u e n c y 97 F i g u r e 6.8: The b e s t f i t resonance c u r v e shown f o r the t h r e e power l e v e l s a t wh i c h d a t a was a c q u i r e d . . The open c i r c l e s a r e an independent t e s t of the n o r m a l i z a t i o n (see t e x t ) 98 F i g u r e 6.9: x 2 c o n t o u r s f o r v a r i a t i o n of t h e Lamb s h i f t S and t h e s i g n a l i n t e n s i t y , a 100 F i g u r e 6.10: x 2 c o n t o u r s f o r v a r i a t i o n of the s i g n a l i n t e n s i t y , a and background i n t e n s i t y , b 101 F i g u r e 7 . 1 : The d a t a o b t a i n e d by B a d e r s t a c h e r et al. f o r t h e Lamb s h i f t t r a n s i t i o n and a s c h e m a t i c of the a p p a r a t u s used 1 09 V I 1 L i s t of T a b l e s page T a b l e 2.1: V a r i o u s c o n t r i b u t i o n s t o the Lamb s h i f t i n hydrogen and muonium 33 Tab l e 2.2: Lamb s h i f t c a l c u l a t i o n r e s u l t s from T a b l e 2.1..34 Tab l e 5.1: Summary of m a t e r i a l s p r e s e n t i n the p a t h of the muon beam 69 Table 6.1: The observed numbers of c o u n t s and n o r m a l i z e d s i g n a l s used t o dete r m i n e the Lamb s h i f t 91 Table 6.2: The r e s u l t s of v a r i o u s f i t s t o t h e resonance d a t a , i n which d i f f e r e n t p arameters have been a l l o w e d t o v a r y . L i n e I I I i s the the quoted r e s u l t f o r the Lamb s h i f t 1 00 Ta b l e 6.3: Summary of t h e v a r i o u s c o n t r i b u t i o n s t o the s y s t e m a t i c u n c e r t a i n t y of the Lamb s h i f t 103 v i i i Acknowledgements This experiment and thesis could not have been successful without the assistance of a great many people. I wish to thank my collaborators who helped provide the manpower necessary to run the experiments over the many weeks of data-taking. I owe many thanks to Rob K i e f l for his care f u l attention to d e t a i l in the f i n a l design of the apparatus. The encouragement and assistance of John Warren, from the very inception of the experimental program to measure the Lamb s h i f t , was in large part reponsible for the success of the experiment. I also learned, received much encouragement, and gained insight from conversations with John Bailey, Gord Gil e s , Glen Marshall, and Art Olin for which I am very g r a t e f u l . Tim Miles deserves thanks for his assistance, above and beyond the c a l l of duty, with the data a c q u i s i t i o n system. I very much appreciate the many corrections and suggestions of Jess Brewer incorporated in the f i n a l draft of the thesis, as well as his generosity, enthusiasm, and e f f o r t over the past few years as one of the co-supervisors of my work. F i n a l l y , I wish to express my most h e a r t f e l t thanks to Chris Oram, with whom I worked most c l o s e l y over the course of the experimental program, for his guidance, assistance, and friendship. ix 1 . INTRODUCTION 1 . 1 T H E MUONIUM ATOM T h e m u o n i u m a t o m i s a b o u n d s y s t e m o f t w o p a r t i c l e s . I t i s v e r y m u c h l i k e t h e h y d r o g e n a t o m i n w h i c h t h e p r o t o n , b e i n g s o m e 1 8 3 6 t i m e s m o r e m a s s i v e t h a n t h e e l e c t r o n , a c t s a s a n a l m o s t s t a t i o n a r y n u c l e u s a r o u n d w h i c h t h e e l e c t r o n o r b i t s . I n t h e c a s e o f m u o n i u m t h e n u c l e u s i s a p o s i t i v e m u o n o f a p p r o x i m a t e l y 2 0 7 t i m e s t h e m a s s o f t h e o r b i t a l e l e c t r o n . S i n c e t h e c h a r g e o f t h e u+ i s i d e n t i c a l t o t h a t o f t h e p r o t o n , t h e a t o m i s e l e c t r o s t a t i c a l l y a l m o s t i d e n t i c a l t o t h e h y d r o g e n a t o m . M o s t o f t h e d i f f e r e n c e s c a n b e e x p l a i n e d a s a r i s i n g f r o m d i f f e r e n c e s i n t h e r e d u c e d m a s s b e t w e e n h y d r o g e n a n d m u o n i u m a n d r e l a t i v e m a g n i t u d e s o f t h e m a g n e t i c m o m e n t s , a p p r o x i m a t e l y a f a c t o r o f t h r e e . F i g u r e 1 . 1 s h o w s t h e e n e r g y l e v e l d i a g r a m f o r t h e g r o u n d a n d f i r s t e x c i t e d s t a t e ( n = 2 ) o f m u o n i u m . T h e e n e r g y d i f f e r e n c e b e t w e e n t h e a v e r a g e e n e r g y o f t h e 2s^^ a n c * t n e a v e r a g e e n e r g y o f t h e 2 p ^ 2 s t a t e s i s c a l l e d t h e L a m b s h i f t . T h e v a l u e o f t h e L a m b s h i f t i s d e n o t e d b y S, f o l l o w i n g L a m b ' s n o t a t i o n . T h e m u o n i s a p o i n t - l i k e p a r t i c l e , u n l i k e t h e p r o t o n , w h i c h i s k n o w n t o b e s p r e a d o u t o v e r a r a d i u s o f a b o u t 1 f m ; t h i s s i m p l i f i e s t h e m a t h e m a t i c a l t r e a t m e n t o f m u o n i u m a n d c i r c u m v e n t s t h e u n k n o w n s o f p r o t o n s t r u c t u r e . O n t h e o t h e r h a n d , b e c a u s e t h e m u o n i s 1 8 3 6 / 2 0 7 t i m e s l e s s m a s s i v e t h a n t h e p r o t o n , m o r e a t t e n t i o n m u s t b e p a i d t o t h e c a l c u l a t i o n o f e f f e c t s o f t h e m o t i o n o f t h e m u o n ( n u c l e u s ) i n a 1 2P 3/2 L 2 74 MHz * — r 1 10,922 MHz I Figure 1.1: Schematic of the Muonium Energy Levels 3 d e s c r i p t i o n o f t h e m u o n i u m a t o m . 1 . 2 H I S T O R I C A L P E R S P E C T I V E I n t h e l a t t e r p a r t o f t h e n i n e t e e n t h c e n t u r y , s p e c t r o s c o p y o f h y d r o g e n a t o m s , b o t h s o l a r a n d i n t h e l a b o r a t o r y , h a d r e v e a l e d t h e B a l m e r s e r i e s . T h e f i r s t s u c c e s s f u l e x p l a n a t i o n o f t h e o b s e r v a t i o n s w a s t h a t o f B o h r ( B o h r , 1 9 1 3 , 1 9 1 4 ) . H e p r o p o s e d t h a t a n e l e c t r o n o r b i t i n g i n a C o u l o m b f i e l d d i d n o t r a d i a t e i f t h e p r o d u c t o f i t s m o m e n t u m a n d t h e l e n g t h o f t h e o r b i t e q u a l e d a n i n t e g r a l n u m b e r t i m e s P l a n c k ' s c o n s t a n t , h. T h e o r b i t s s a t i s f y i n g B o h r ' s c r i t e r i a s h o u l d h a v e e n e r g i e s a n d r a d i i p B o h r ( Z a ) 2 2 E = - m c 2 ; a = — a 0 n 2 n 2 n Z . . . ( 1 . 1 ) r e l a t i v e t o t h e e n e r g y o f a f r e e e l e c t r o n a t r e s t , w h e r e a = 1 / 1 3 7 . 0 3 6 0 4 ( 1 1 ) a n d m = . 5 1 1 0 0 3 4 ( 1 4 ) M e V / c 2 a r e t h e a c c e p t e d v a l u e s o f t h e f i n e s t r u c t u r e c o n s t a n t a n d e l e c t r o n m a s s t o d a y ( P a r t i c l e D a t a G r o u p , 1 9 8 4 ) . T h e n u m b e r n t a k e s o n a l l i n t e g e r v a l u e s g r e a t e r t h a n z e r o , l a b e l l i n g t h e i n f i n i t e l y m a n y B o h r o r b i t s . T a k i n g t h e f r e e e l e c t r o n a t r e s t a s t h e z e r o o f e n e r g y , t h e a b s o l u t e v a l u e o f t h e B o h r e n e r g y f o r n = 1 i s k n o w n a s t h e i n f i n i t e m a s s R y d b e r g o r R 0 , w h e r e t h e s u b s c r i p t z e r o i n d i c a t e s t h a t t h e f r e e e l e c t r o n m a s s , m , i s u s e d r a t h e r t h a n t h e r e d u c e d m a s s 1 . T h e f i r s t B o h r r a d i u s ( n = l ) u s i n g t h e i n f i n i t e m a s s R y d b e r g i s d e n o t e d b y a 0 . I t ' R 0 • e 2 / 2 a 0 h c • a / 4 * a 0 = 1 3 . 6 0 5 8 e V o r 3 . 2 8 9 8 5 - 1 0 9 M H z 4 i s l a r g e compared t o the p r o t o n s i z e , b e i n g of the o r d e r of 50000 fm. The Bohr energy d i f f e r e n c e s were i n agreement w i t h the o b s e r v e d wavelengths of the Balmer s e r i e s t o w i t h i n a few p a r t s i n 10,000. S c h r o d i n g e r ( S c h r o d i n g e r , 1926) next p l a c e d the Bohr energy r e l a t i o n (1.1) on a f i r m e r b a s i s , d e r i v i n g i t from the s o l u t i o n of a d i f f e r e n t i a l e q u a t i o n f o r the motion of the e l e c t r o n i n a Coulomb f i e l d . T h i s n a t u r a l l y l e d t o the assu m p t i o n s t h a t Bohr had made t o " q u a n t i z e " the energy l e v e l s of t h e atom. S c h r o d i n g e r ' s s o l u t i o n a l s o n a t u r a l l y i n c l u d e d t h e t h r e e d i m e n s i o n a l n a t u r e of the r e a l problem and showed t h a t f o r each v a l u e of the p r i n c i p a l quantum number n, t h e r e s h o u l d be n s t a t e s , d i f f e r i n g i n o r b i t a l a n g u l a r momentum where the " o r b i t a l " quantum number / ranges t h r o u g h i n t e g e r s 0,1,2,...(n-1). The e n e r g i e s of the n s t a t e s a s s o c i a t e d w i t h each v a l u e of n s t i l l e x h i b i t e d no dependence on / a l t h o u g h i t was e x p e c t e d t h a t a r e l a t i v i s t i c t r e a t m e n t of t h e problem s h o u l d break the n - f o l d degeneracy. I t was a l s o known by t h i s t i me t h a t the e l e c t r o n p o s s e s s e d " s p i n " and had a magnetic moment a s s o c i a t e d w i t h the s p i n . A t t e m p t s t o f i n d a r e l a t i v i s t i c e q u a t i o n f a i l e d u n t i l D i r a c ( D i r a c , 1927) proposed the famous " D i r a c e q u a t i o n " which e x p l a i n e d t h e presence of t h e s p i n of the e l e c t r o n and s u c c e s s f u l l y p r e d i c t e d the p r e v i o u s l y o b s e r v e d " s p l i t t i n g s " o r " f i n e s t r u c t u r e " of the Balmer s e r i e s as consequences of the e l e c t r o n s p i n magnetic moment and of r e l a t i v i s t i c e f f e c t s . The e l e c t r o n s p i n a n g u l a r momentum stf = K/2 s h o u l d 5 combine with the o r b i t a l angular momentum to give a single t o t a l angular momentum where the allowed values of j are given by |/±s |. One of the most dramatic predictions of the Dirac theory was that the spin magnetic moment has exactly twice the value i t would have i f the charge and mass of the electron were d i s t r i b u t e d i d e n t i c a l l y in a c l a s s i c a l model. This means that angular motion associated with the electron spin i s o r b i t a l in nature and therefore behaves magnetically l i k e o r b i t a l angular momentum with /=1 of the electron as a whole so that the energy of a state with j=\/2 should be i d e n t i c a l for the two cases: y=/+s=0+l/2 for the 25^2 state and y=/-s=1-1/2 for the 2 p ^ 2 state. By the early 1930's atomic spectroscopy was able to measure the fine structure of hydrogen with enough resolution to observe that the intervals were s l i g h t l y less than those predicted by the Dirac equation. Pasternack (Pasternack,1938) proposed that the observations could be explained i f the binding energy of the 25^2 state were reduced by about 10% of the fine structure i n t e r v a l r e l a t i v e to the 2p 1y 2 state. Only in the 25^2 state do the electronic and nuclear wavefunctions have s i g n i f i c a n t overlap; therefore the proposed reduction could occur i f the Coulomb pote n t i a l were modified [reduced] at short distances. Uhling (Uhling, 1 935) had already proposed the p o l a r i z a t i o n of the Dirac vacuum around a charge, but the e f f e c t was of the wrong sign and of too small a magnitude to explain the required s h i f t . In 1947 Lamb (Lamb, 1947) 6 e x p l a i n the r e q u i r e d s h i f t . I n 1947 Lamb (Lamb, 1947) r e p o r t e d h i s o b s e r v a t i o n of an energy d i f f e r e n c e of "about 1000 MHz" u s i n g a microwave t e c h n i q u e . On the way home from the same me e t i n g , Bethe (Bethe, 1947) made the f i r s t s u c c e s s f u l c a l c u l a t i o n of the 2 5 ^ 2 - 2 P i / 2 energy d i f f e r e n c e , o b t a i n i n g a s h i f t of the 2 5 ^ 2 s t a t e of about 1040 MHz due t o the i n t e r a c t i o n of the e l e c t r o n w i t h the vacuum f i e l d . 1.2.1 LAMB'S EXPERIMENTS B r i e f l y , t h e p r i n c i p l e of the Lamb e x p e r i m e n t s was as f o l l o w s (see F i g u r e 1.2). Hydrogen was p r e p a r e d i n an oven. The hot atoms were a l l o w e d t o escape i n a stream from the oven t h r o u g h a s m a l l h o l e . T r a v e l l i n g w i t h t h e r m a l v e l o c i t i e s on the o r d e r of 10* m/s they were bombarded w i t h a beam of e l e c t r o n s which was a d j u s t e d so as t o maximize the p r o b a b i l i t y of e x c i t i n g atoms from the ground s t a t e t o the f i r s t e x c i t e d s t a t e (n=2). T h i s would p o p u l a t e the 2 s - s t a t e s as w e l l as the 2 p - s t a t e s . The p - s t a t e s however were not s t a b l e as they c o u l d r a p i d l y (T about 1.6 ns) r e t u r n t o the ground s t a t e by e m i s s i o n of a Lyman-a photon (122 nm) v i a an e l e c t r i c d i p o l e t r a n s i t i o n . The 2s s t a t e s , on the o t h e r hand, were m e t a s t a b l e , the dominant d e - e x c i t a t i o n p r o c e s s b e i n g t h e e m i s s i o n of two photons (T about 1/7 of a s e c o n d ) . The stream of atoms passed t h r o u g h a microwave i n t e r a c t i o n r e g i o n and f i n a l l y s t r u c k a d e t e c t o r which r e g i s t e r e d the 7 Figure 1 .2: Schematic of the apparatus used i n Lamb's f i r s t experiments. 8 c u r r e n t of atoms i n e x c i t e d s t a t e s 1 , c o n s i s t i n g m a i n l y of atoms i n the 2s s t a t e . I f the microwaves were of the c o r r e c t f r e q u e n c y t o e x c i t e t r a n s i t i o n s between the 2s^^ and 2-g>^^ l e v e l s , and were of s u f f i c i e n t power d e n s i t y , the m e t a s t a b l e 2s atoms would be t r a n s f e r r e d t o the s h o r t - l i v e d 2 p - l e v e l s and d e - e x c i t e b e f o r e s t r i k i n g the d e t e c t o r . The c u r r e n t r e g i s t e r e d by the d e t e c t o r would be reduced. At t h a t t i m e , g e n e r a t i n g microwaves of the f r e q u e n c y r e q u i r e d ( a p p r o x i m a t e l y 1000 MHz) was not d i f f i c u l t but i t was d i f f i c u l t t o g e n e r a t e a v a r i a b l e f r e q u e n c y w h i l e m a i n t a i n i n g a c o n s t a n t l e v e l of power r e q u i r e d f o r the e x p e r i m e n t . Lamb and h i s co-workers s o l v e d the problem by p l a c i n g the microwave r e g i o n i n a magnetic f i e l d which c o u l d be v a r i e d so as t o sweep the 2 s 1 y 2 ~ 2 P 1 / / 2 e n e r < 3 v d i f f e r e n c e t h r o u g h the a p p l i e d microwave f r e q u e n c y , t h u s o b s e r v i n g a r e d u c t i o n i n the n=2 s i g n a l as a f u n c t i o n of magnetic f i e l d . By p e r f o r m i n g measurements of s e v e r a l resonances a t s e v e r a l f r e q u e n c i e s i t was p o s s i b l e t o e x t r a p o l a t e , u s i n g t h e B r e i t - R a b i r e l a t i o n , t o t h e energy d i f f e r e n c e f o r z e r o - f i e l d . 1.2.2 THE RACE BETWEEN THEORY AND EXPERIMENT At t e m p t s t o employ Bethe's method (Bethe, 1947) t o c a l c u l a t e t h e anomalous e l e c t r o n magnetic moment f a i l e d ( W e l t o n, 1949; Koba, 1949), even y i e l d i n g the wrong s i g n f o r 1The d e t e c t o r was a copper p l a t e . The work f u n c t i o n f o r the e m i s s i o n of e l e c t r o n s from the s u r f a c e was such t h a t o n l y atoms i n e x c i t e d s t a t e s c o u l d cause them t o be e j e c t e d , and hence a c u r r e n t i n an e l e c t r o m e t e r c o n n e c t e d t o t h e p l a t e . 9 g-2. K r o l l and o t h e r s ( K r o l l , 1949) were r e f i n i n g Bethe's p r e l i m i n a r y c a l c u l a t i o n when Lamb r e p o r t e d h i s next d e t e r m i n a t i o n of the Lamb s h i f t S = 1062±5 MHz a t t h e meeting of the American P h y s i c a l S o c i e t y i n 1949 (Lamb, 1949) and s u b s e q u e n t l y i n a s e r i e s of p a p e r s 1 . Lamb's v a l u e was s i g n i f i c a n t l y h i g h e r than the t h e o r e t i c a l v a l u e a t t h a t t i m e , which was about 1052 MHz. T h i s prompted f u r t h e r thought on the p a r t of t h e o r e t i c i a n s t o f i n d and c a l c u l a t e e f f e c t s t o b r i n g t h e i r v a l u e s back i n t o l i n e w i t h e x p e r i m e n t . K a r p l u s , K l e i n and Schwinger ( K a r p l u s , 1951a,b) as w e l l as B a ranger, Bethe, and Feynman (Baranger, 1953) o b t a i n e d a c o r r e c t i o n of about 7 MHz which brought the t h e o r e t i c a l v a l u e back i n t o l i n e w i t h experiment (In 1952 Lamb r e p o r t e d 5 = 1057.77±0.10 MHz [3 s.d.]) and t o w i t h i n a f r a c t i o n of a megahertz of where i t l i e s t o d a y . 1.3 PRESENT STATUS OF THE LAMB SHIFT CALCULATION AND  EXPERIMENT Quantum e l e c t r o d y n a m i c s has been w i t h us f o r more than 30 y e a r s now. A l t h o u g h cumbersome, QED has been an e m i n e n t l y s u c c e s s f u l t h e o r y . S i n c e the f i r s t s u c c e s s f u l Lamb s h i f t c a l c u l a t i o n by Hans Bethe i n 1949, QED has been f o r m u l a t e d i n r e n o r m a l i z a b l e form by Feynman, Schwinger, and many o t h e r s . The p r i n c i p a l s t a t e m e n t s of the t h e o r y have been c l e a r but the a c t u a l c a l c u l a t i o n s were f r a u g h t w i t h numerous 1(Lamb, 1950, 1951, ( T r i e b w a s s e r , 1953) ( D a y h o f f , 1953) 1952) 10 e r r o r s because of t h e sheer c o m p l e x i t y of the method of c a l c u l a t i o n . The c u r r e n t f o r m u l a t i o n of QED does not l e n d i t s e l f w e l l t o c a l c u l a t i o n i n c l o s e d form but demands an approach of s u c c e s s i v e a p p r o x i m a t i o n and e x p a n s i o n . The g r e a t e s t s u c c e s s of the t h e o r y i s u n q u e s t i o n a b l y the p r e d i c t i o n of the e l e c t r o n and muon g - f a c t o r s t o 8 d i g i t p r e c i s i o n i n agreement w i t h e x p e r i m e n t . The g - f a c t o r p r e d i c t i o n s a r e t h e r e s u l t of c a l c u l a t i o n s of the s e l f - e n e r g y p r o c e s s e s f o r a p o i n t - l i k e f e r m i o n i n vacuum. The same terms amount t o o n l y 7% of the Lamb s h i f t i n hydrogen, where o t h e r s e l f - e n e r g y c o n t r i b u t i o n s dominate. The vacuum p o l a r i z a t i o n or "photon s t r u c t u r e " as c a l c u l a t e d from QED i s a l s o s m a l l , r e d u c i n g the Lamb s h i f t by about 3 % i n hydrogen and muonium 1. In the u s u a l t r e a t m e n t of the Lamb s h i f t one uses QED p e r t u r b a t i v e l y , b e g i n i n g w i t h a f r e e e l e c t r o n p l a n e wave. A Coulomb w a v e - f u n c t i o n i s not ever a pla n e wave, not even a s y m p t o t i c a l l y . The i d e a of a p p r o x i m a t i n g the i n t e r a c t i o n of an e l e c t r o n bound i n a Coulomb f i e l d as t h a t of a f r e e e l e c t r o n b e f o r e and a f t e r i n t e r a c t i o n i s i n t u i t i v e l y u n a p p e a l i n g , but n e c e s s a r y from the p o i n t of view of c o m p u t a t i o n . The bound s t a t e s o l u t i o n s of the Coulomb problem must be added from o u t s i d e the QED f o r m a l i s m t o c a l c u l a t e the r a d i a t i v e c o r r e c t i o n s . The Lamb s h i f t , because i t i s i n h e r e n t l y a b o u n d - s t a t e problem, i s a t e s t i n g ground 1 Vacuum p o l a r i z a t i o n i n muonic atoms i s the dominant e f f e c t , where i t i s of s u f f i c i e n t magnitude t o r e v e r s e the s i g n of the Lamb s h i f t . 11 f o r QED, upon which the development of new and more p o w e r f u l methods may be f o r c e d t o o c c u r . C u r r e n t c a l c u l a t i o n s of t h e Lamb s h i f t i n hydrogen a r e s t i l l t he s u b j e c t of some c o n t r o v e r s y . A l t h o u g h few would d i s p u t e the s u c c e s s of QED i n p r e d i c t i n g the e f f e c t , the d i f f i c u l t i e s i n v o l v e d i n the c a l c u l a t i o n of h i g h e r o r d e r QED e f f e c t s a r e enormous. For example, the c a l c u l a t i o n of the s i x t h o r d e r c o r r e c t i o n t o the e l e c t r o n i c g - f a c t o r r e q u i r e d s e v e r a l months of computer time ( B o r i e , 1 9 8 0 ) . The c u r r e n t problems i n the hydrogen Lamb s h i f t c a l c u l a t i o n are d i s c u s s e d i n g r e a t e r d e t a i l i n Chapter 2. B r i e f l y , t h e r e are a t p r e s e n t two c a l c u l a t i o n s which d i s a g r e e s l i g h t l y , but by much more than t h e i r u n c e r t a i n t i e s , i n the e s t i m a t i o n of the h i g h e r o r d e r s e l f energy QED c o r r e c t i o n s f o r the e l e c t r o n (Mohr, 1975; E r i c k s o n , 1 9 7 7 ) . ' N e i t h e r v a l u e a g r e e s w i t h the c u r r e n t e x p e r i m e n t a l v a l u e , b o t h p r e d i c t i n g S g r e a t e r than t h a t of experiment by a few s t a n d a r d d e v i a t i o n s . E d i t h B o r i e ( B o r i e , 1981) has proposed a c o r r e c t i o n t h a t i n c l u d e s the e f f e c t s of the f i n i t e s i z e of the p r o t o n a t the l e v e l of the QED c a l c u l a t i o n s i n s t e a d of as an a d d i t i v e c o r r e c t i o n s e p a r a t e from QED which l e s s e n s t h e disagreement of t h e o r y and e x p e r i m e n t , but as y e t t h i s c o r r e c t i o n i s not w i d e l y a c c e p t e d by the p h y s i c s community (Lepage, 1981) An e x p e r i m e n t a l measurement of t h e Lamb s h i f t i n muonium of s u f f i c i e n t a c c u r a c y would d i f f e r e n t i a t e between the c a l c u l a t i o n s by Mohr and E r i c k s o n w i t h o u t the c o m p l i c a t i n g f a c t o r of the s t r u c t u r e of the p r o t o n . I t would 12 a l s o g i v e a b e t t e r u n d e r s t a n d i n g of the reduced mass e f f e c t s which a r e t o o s m a l l t o be t e s t e d by hydrogen measurements and as y e t are u n t e s t e d i n t h e p o s i t r o n i u m system. 1.4 OUTLINE OF THE THESIS The experiment d e s c r i b e d i n t h i s t h e s i s i s the l a t e s t i n a s e r i e s of e x p e r i m e n t s which began i n l a t e 1980 a t the TRIUMF c y c l o t r o n , s i t u a t e d s o u t h of the U n i v e r s i t y of B r i t i s h Columbia campus. The l a y o u t of t h e e x p e r i m e n t a l a r e a s of TRIUMF i s shown i n F i g u r e 1.2. The e x p e r i m e n t s were performed u s i n g the M13 secondary c h a n n e l . The f i r s t of t h e s e e x p e r i m e n t s c o n f i r m e d the p r o d u c t i o n of n e u t r a l muonium i n the b e a m - f o i l i n t e r a c t i o n (Oram, 1981a). The r e s u l t was s u b s e q u e n t l y c o n f i r m e d by o t h e r s a t the Los Alamos Meson F a c i l i t y ( B o l t o n , 1981). The next s t e p i n the e x p e r i m e n t a l program was t o attempt t o l e a r n more about t u n i n g the M13 secondary c h a n n e l f o r ' s u b - s u r f a c e ' muons and t o produce e p i t h e r m a l muonium i n e x c i t e d s t a t e s . D e t e c t i o n of Lyman-alpha photons from the S t a r k q u e n c h i n g of the n=2 s t a t e of muonium was c o n s i s t e n t w i t h a Lamb s h i f t of about 1000 MHz (Oram, 1981c). The d e s i g n and c o n s t r u c t i o n of the a p p a r a t u s t o measure the Lamb s h i f t t o an a c c u r a c y of a few p e r c e n t was a i d e d by t h e knowledge g a i n e d from t h i s p r e l i m i n a r y work. The a p p a r a t u s d e s c r i b e d i n Chapter 3 was t e s t e d i n a S t a r k c o n f i g u r a t i o n i n the f a l l of 1982; i . e , the RF r e g i o n was r e p l a c e d by a r e g i o n of e l e c t r i c f i e l d . T h i s experiment INTERIM RADIOISOTOPE UBORATORV NEUTRON /-ACTIVATION / ANALYSIS 1 4 ( F r y , 1984) c o n f i r m e d t h a t the b e a m - f o i l i n t e r a c t i o n was s i m i l a r f o r p r o t o n s and muons of the same v e l o c i t y . I t a l s o c o n f i r m e d t h a t m i c r o - c h a n n e l p l a t e s c o u l d be used t o d e t e c t e p i t h e r m a l muonium and t h a t a c o a t i n g of C s l on the f r o n t s u r f a c e of t h e p l a t e s c o u l d i n c r e a s e the e f f i c i e n c y f o r d e t e c t i o n of Lyman-alpha photons t o more than 10%. The experiment d e s c r i b e d i n the f o l l o w i n g c h a p t e r s was performed i n June of 1983. The t h e o r y of the muonium atom energy l e v e l s i s o u t l i n e d i n Chapter 2. Chapter 3 d e s c r i b e s the b e a m - f o i l p r o d u c t i o n of e p i t h e r m a l muonium and the t u n i n g of the secondary c h a n n e l t o o p t i m i z e the p r o d u c t i o n . The b e h a v i o u r of muonium i n e l e c t r i c f i e l d s ( S t a r k e f f e c t ) and the e x c i t a t i o n of the Lamb s h i f t t r a n s i t i o n s a r e examined i n Chapter 4. Chapter 5 d e s c r i b e s the a p p a r a t u s and the e x p e r i m e n t a l p r o c e d u r e used t o a c q u i r e the da t a over a two week p e r i o d . The a n a l y s i s and r e d u c t i o n of the d a t a t o e x t r a c t the e x p e r i m e n t a l v a l u e of the Lamb s h i f t i s d e s c r i b e d i n Chapter 6. F i n a l l y Chapter 7 summarizes the r e s u l t s and s u g g e s t i o n s f o r f u t u r e e x p e r i m e n t s a r e examined. 2 . T H E M U O N I U M E N E R G Y L E V E L S I n t h i s c h a p t e r t h e b a s i c t h e o r y o f t h e e n e r g y l e v e l s o f h y d r o g e n - l i k e a t o m s i s d i s c u s s e d . O f c o u r s e , p a r t i c u l a r e m p h a s i s i s g i v e n t o t h e n = 2 l e v e l a n d t o t h e m u o n i u m a t o m . W h e r e v e r p o s s i b l e , a n i n t u i t i v e u n d e r s t a n d i n g i s p r e f e r r e d t o m o r e r i g o r o u s d e r i v a t i o n . T h e r e a d e r d e s i r i n g t h e l a t t e r i s r e f e r r e d t o t h e e x t e n s i v e l i t e r a t u r e 1 . H i s t o r i c a l l y i t h a s b e e n t h e c a s e t h a t e x p e r i m e n t h a s s h o w n e r r o r s i n t h e a p p l i c a t i o n o f t h e o r y i n t h i s f i e l d . W i t h o u t e x p e r i m e n t a l r e s u l t s t h e t h e o r e t i c a l p r e d i c t i o n s o f t h e L a m b s h i f t a n d o f t h e m u o n g - f a c t o r m i g h t w e l l b e q u i t e d i f f e r e n t ( a n d w r o n g ) . T h e c a r e f u l r e a d e r w i l l r e a l i z e t h a t t h e i n t u i t i v e t r e a t m e n t w h i c h f o l l o w s r e l i e s h e a v i l y o n p r i o r k n o w l e d g e o f t h e c o r r e c t r e s u l t s . T h e a p p r o a c h i s a i m e d a t t h e c a l c u l a t i o n s n e c e s s a r y f o r t h e d e s i g n a n d i n t e r p r e t a t i o n o f a n e x p e r i m e n t t o m e a s u r e t h e n = 2 m u o n i u m a t o m L a m b s h i f t a t t h e f e w p e r c e n t l e v e l o f a c c u r a c y . 2 . 1 S Y M M E T R Y C o n s i d e r a n i s o l a t e d m u o n i u m a t o m . T h e t o t a l a n g u l a r m o m e n t u m F i s t h e s u m o f t h e i n t r i n s i c a n g u l a r m o m e n t u m ( s p i n ) I o f t h e m u o n , t h e s p i n S o f t h e e l e c t r o n a n d t h e o r b i t a l a n g u l a r m o m e n t u m E o f t h e t w o p a r t i c l e s y s t e m . I n t h e r e f e r e n c e f r a m e i n w h i c h t h e a t o m i s a t r e s t , F i s i n d e p e n d e n t o f t h e p o i n t w i t h r e s p e c t t o w h i c h i t i s d e f i n e d a n d i s a c o n s t a n t o f t h e m o t i o n b e c a u s e o f t h e i s o t r o p y o f ' S e e f o r e x a m p l e t h e f o l l o w i n g r e v i e w s : D r a k e , 1 9 8 3 E r i c k s o n , 1 9 7 7 1 5 1 6 s p a c e . T h e r e f o r e t h e e n e r g y l e v e l s c a n n o t d e p e n d u p o n t h e o r i e n t a t i o n o f F. U s i n g t h e c o m m u t a t i o n p r o p e r t i e s o f t h e t o t a l a n g u l a r m o m e n t u m F o n e d e d u c e s t h a t t h e r e a r e 2 F + 1 d i f f e r e n t v a l u e s f o r t h e p r o j e c t i o n o f F a l o n g a p a r t i c u l a r a x i s . T h e s e w i l l b e l a b e l l e d b y n i p . S i n c e t h e e n e r g y m u s t n o t d e p e n d o n t h e o r i e n t a t i o n o f t h e a t o m , t h e r e w i l l b e 2 F + 1 d e g e n e r a t e e i g e n s t a t e s b e l o n g i n g t o t h e e i g e n v a l u e a s s o c i a t e d w i t h e a c h v a l u e o f F . T h i s l i m i t s t h e n u m b e r o f d i s t i n c t e n e r g y l e v e l s f o r t h e n = 2 a t o m , r e d u c i n g t h e s i x t e e n p o s s i b l e e i g e n v a l u e s b e l o n g i n g t o t h e s i x t e e n e i g e n s t a t e s t o a t m o s t s i x d i s t i n c t v a l u e s . T h u s a t m o s t f i v e i n d e p e n d e n t e n e r g y d i f f e r e n c e s o r i n t e r v a l s e x i s t b e t w e e n t h e e i g e n s t a t e s o f t h e n = 2 l e v e l o f a n i s o l a t e d m u o n i u m a t o m . 2 . 2 T H E EIGENSTATES O F F , m?, J , AND L B e f o r e p r o c e e d i n g i t i s p r u d e n t a t t h i s p o i n t t o c o n s t r u c t e i g e n s t a t e s o f F a n d m F a n d a t t h e s a m e t i m e e s t a b l i s h s o m e o f t h e n o t a t i o n . T h e r e a r e s e v e r a l w a y s i n w h i c h o n e m i g h t d o t h i s . O n e m e t h o d i s t o c o m b i n e t h e s p i n s 15 a n d I, u s i n g t h e u s u a l r u l e s f o r c o m b i n i n g a n g u l a r m o m e n t a , t o f o r m t h e v e c t o r K = T+3. N e x t , o n e a d d s t h e o r b i t a l a n g u l a r m o m e n t u m L* f o r m i n g F = E+R. T h e r e s u l t i n g e i g e n s t a t e s , | F , m F , K , L > w o u l d b e a p p r o p r i a t e i n t h e t r e a t m e n t o f p o s i t r o n i u m o r m o r e g e n e r a l l y i n t h e s y s t e m o f t w o p a r t i c l e s o f i d e n t i c a l m a s s a n d s p i n ( O w e n , 1 9 8 4 ) . 17 I n t h e c a s e o f a t o m s i n w h i c h o n e p a r t i c l e i s m u c h m o r e m a s s i v e t h a n t h e o t h e r ( m ^ / m e * 2 0 7 ) t h e h e a v i e r p a r t i c l e b e h a v e s a s t h e ' n u c l e u s ' o f t h e a t o m . I t i s m o r e a p p r o p r i a t e t o c o m b i n e § a n d L t o f o r m 3 « §+L", a n d t h e n t o a d d 3 a n d T t o f o r m F o b t a i n i n g t h e e i g e n s t a t e s | F , m F , J , L > . T h e H a m i l t o n i a n o f t h e i s o l a t e d n = 2 m u o n i u m a t o m i s v e r y n e a r l y d i a g o n a l w i t h r e s p e c t t o t h e 1 6 e i g e n s t a t e s t h u s f o r m e d . 2 . 3 S E P A R A T I O N O F T H E C E N T E R O F M A S S M O T I O N T h e D i r a c a n d K l e i n - G o r d o n e q u a t i o n s c a n b e s o l v e d a n a l y t i c a l l y a n d e x a c t l y f o r t h e m o t i o n o f a p o i n t - l i k e p a r t i c l e i n a f i x e d C o u l o m b f i e l d . B y " f i x e d " o n e m e a n s t h e f i e l d i s i m m o v a b l e , b e i n g p r o d u c e d b y a f i c t i c i o u s i n f i n i t e l y m a s s i v e c h a r g e d p a r t i c l e w i t h z e r o s p i n . T h e e n e r g y l e v e l s E n f o r a n o r b i t i n g p a r t i c l e o f m a s s m a n d o p p o s i t e c h a r g e - e a r e t h e n g i v e n b y : E n = m c 2 { [ 1 + ( 2 a / [ n - e V « y - ( Z a ) J ]) 2 ] " 1 / 2 - 1 } . . . ( 2 . 1 ) w h e r e e = j + 1 / 2 f o r t h e s o l u t i o n o f t h e D i r a c e q u a t i o n , y i e l d i n g E n D , d e s c r i b i n g f o r e x a m p l e t h e m o t i o n o f a n e l e c t r o n , a n d e «= 1 + 1 / 2 f o r t h e s o l u t i o n o f t h e K G K l e i n - G o r d o n e q u a t i o n , y i e l d i n g E n , d e s c r i b i n g t h e m o t i o n o f a s p i n l e s s p a r t i c l e , f o r e x a m p l e t h a t o f a p i o n . T h e e n e r g y l e v e l s g i v e n b y 2 . 1 m u s t b e m o d i f i e d b e c a u s e a r e a l a t o m i s n o t i n f i n i t e l y m a s s i v e n o r i s t h e f i e l d o f t h e n u c l e u s p u r e l y C o u l o m b . T h e n u c l e u s m a y b e a p a r t i c l e o f f i n i t e e x t e n t ( s u c h a s a p r o t o n ) a n d p o s s e s s a m a g n e t i c 18 moment c o n t i b u t i n g a n o n - c e n t r a l component t o the net p o t e n t i a l . The c o r r e c t i o n s f o r f i n i t e mass a r e l a r g e l y a c c o u n t e d f o r by i n t r o d u c t i o n of the reduced mass u i n 2.1. However, t h i s i s a n o n - r e l a t i v i s t i c l i m i t of the r e l a t i v i s t i c d e f i n t i o n s below: In r e l a t i v i s t i c mechanics the p o i n t w i t h r a d i u s v e c t o r ZEr R" = ZE ... (2.2) moves w i t h u n i f o r m v e l o c i t y Zp V = c 2 — ZE ... (2.3) where the summation i s over a l l p a r t i c l e s and f i e l d s , and p and E a r e t h e momentum and energy a t each p o i n t . The n o n - r e l a t i v i s t i c l i m i t g i v e s E mc 2 t h u s 2.2 and 2.3 become Imr Ep R- = ; V = — Lm Zm ...(2.4) The c e n t e r of mass motion i s then s e p a r a t e d , f o r a system of two p a r t i c l e s of mass m and M, by d e f i n i n g mM n = m + M ... (2.5) As a l r e a d y s t a t e d , u s i n g n i n 2.1 t a k e s c a r e of most of the e f f e c t s of f i n i t e n u c l e a r mass, but i t i s not the r e s u l t of 1 9 a n y c o r r e c t o r r e l a t i v i s t i c t r e a t m e n t o f t h e t w o b o d y s y s t e m . I t i s , h o w e v e r , a s t a r t i n g p o i n t a f t e r w h i c h o n e c a n d e r i v e corrections w h i c h w i l l f a l l i n t o t w o c l a s s e s : t h o s e o f r a d i a t i v e o r i g i n a n d t h o s e o f n o n - r a d i a t i v e o r i g i n . 2 . 4 N O N - R A D I A T I V E C O R R E C T I O N S 2 . 4 . 1 C O R R E C T I O N S T O T H E F I N E S T R U C T U R E T h e d i f f e r e n c e s b e t w e e n t h e e n e r g y l e v e l s g i v e n b y 2 . 1 a n d t h o s e p r e d i c t e d b y t h e S c h r o d i n g e r e q u a t i o n f o r t h e m o t i o n o f a n e l e c t r o n a r e k n o w n a s fine structure. T h e N R r e l a t i v i s t i c e n e r g y E n a n d n o n - r e l a t i v i s t i c e n e r g y E n a r e r e l a t e d b y : E n ( Z a ) n . 1 + E -n 3 e 4 N R ( Z a ) + 0 ( ( Z a ) « ) ; E n N R - - m c 2 n 2 n 2 . . . ( 2 . 6 ) Kf* NP T h e d i f f e r e n c e E - E „ s h o w s r e l a t i v i s t i c e f f e c t s w h i l e n n t h e d i f f e r e n c e E - E i s o l a t e s t h e e f f e c t s o f s p i n . O n e n n h a s : (Za)* j - I E D - E K G = 2 m c 2 n n n 3 ( 2 y + D ( 2 / + i ) . . . ( 2 . 7 ) O n e n o t e s t h a t 2 . 1 p r e d i c t s t h a t t h e m u o n i u m e n e r g y l e v e l s d e p e n d o n j a n d n o t o n / a n d h e n c e t h e 2 p ^ j a n ^ 2 s l e v e l s a r e d e g e n e r a t e . T h i s c a n b e i n t e r p r e t e d a s a s t a t e m e n t t h a t t h e e l e c t r o n g - f a c t o r i s e x a c t l y 2 a n d t h e r e f o r e t h a t o r b i t a l a n d s p i n a n g u l a r m o m e n t a a r e 2 0 i n d i s t i n g u i s h a b l e . H o w e v e r , i t i s w e l l k n o w n t h a t t h e e l e c t r o n g - f a c t o r d i f f e r s s l i g h t l y f r o m 2 ( a s c a n b e c a l c u l a t e d e x t r e m e l y a c c u r a t e l y ) a n d h e n c e w e m u s t c o r r e c t 2 . 1 f o r t h i s . B a r k e r a n d G l o v e r ( B a r k e r , 1 9 5 5 ) o b t a i n e d c o r r e c t i o n s t o t h e f i n e s t r u c t u r e f r o m r e d u c t i o n o f a r e l a t i v i s t i c t w o - b o d y B r e i t e q u a t i o n . T h e c o r r e c t i o n s a r e D KG p r o p o r t i o n a l t o E „ - E „ n n ( i ) C o r r e c t i o n f o r t h e a n o m a l o u s m o m e n t o f t h e e l e c t r o n g e - 2 (Za ) 2 m c : j - I n ( 2 y + 1 ) ( 2 / + 1 ) 3 - / . . . ( 2 . 8 ) ( i i ) C o r r e c t i o n f o r t h e a n o m a l o u s m o m e n t o f t h e m u o n f o r s - s t a t e s : 9 - 2 (Za) 2 M c : j ~ I n 3 ( 2 y + l ) ( 2 / + l ) 01 . . . ( 2 . 9 ) ( i i ) i s i g n o r e d i n t h e h y d r o g e n L a m b s h i f t c a l c u l a t i o n w h e r e i t w o u l d a m o u n t t o 0 . 0 2 3 M H z i n t h e 2 S s t a t e ( F o l d y , 1 9 5 1 ; S a l p e t e r , 1 9 5 3 ) b e c a u s e i t i s c l a i m e d t h a t p r o t o n s i z e a l r e a d y a c c o u n t s f o r t h i s . ( i i i ) C o r r e c t i o n f o r t h e D i r a c m o m e n t o f t h e m u o n f o r p - s t a t e s : ( Z a ) -2uc j ~ I ( 2 y + 1 ) ( 2 / + 1 ) '1/ . . . ( 2 . 1 0 ) T h i s c o r r e c t i o n , w h i l e v e r y s m a l l i n h y d r o g e n , w h e r e i t d e c r e a s e s t h e L a m b s h i f t b y a b o u t 0 . 0 0 2 M H z , i s p r o p o r t i o n a l 2 1 t o ( m / M ) 2 a n d s o i s a b o u t 1 0 0 t i m e s l a r g e r f o r m u o n i u m , w h e r e i t r e d u c e s t h e L a m b s h i f t b y 0 . 1 7 1 M H z . T h e v a l u e s o f g g a n d g ^ m a y b e i n s e r t e d p h e n o m e n o l o g i c a l l y f r o m e x p e r i m e n t a l r e s u l t s o r f r o m c a l c u l a t i o n . 2 . 4 . 2 C O R R E C T I O N S T O T H E H Y P E R F I N E S T R U C T U R E T h e m u o n i s m u c h l i g h t e r t h a n t h e p r o t o n s o i t s m a g n e t i c m o m e n t i s m u c h l a r g e r t h a n t h a t o f a p r o t o n a n d c o n s e q u e n t l y t h e h y p e r f i n e s t r u c t u r e o f m u o n i u m i s l a r g e r a s w e l l . O n t h e o t h e r h a n d , b y t h e s a m e t o k e n t h e h y p e r f i n e s t r u c t u r e o f m u o n i u m i s m u c h s m a l l e r t h a n t h a t o f p o s i t r o n i u m . T h e m u o n m a g n e t i c m o m e n t i n t r o d u c e s a n o n - c e n t r a l c o m p o n e n t t o t h e n e t p o t e n t i a l . T h e m a g n e t i c m o m e n t i s ~u - g u0m / m T . . . ( 2 . 1 1 ) a n d i n t e r a c t s w i t h t h e s p i n a n d o r b i t a l m a g n e t i c m o m e n t s o f t h e e l e c t r o n , £ g a n d M l , t h u s c o n t r i b u t i n g t o t h e h y p e r f i n e s p l i t t i n g A E H F . . . ( 2 . 1 2 ) W i t h o u t g o i n g i n t o t o o m u c h d e t a i l ( s e e f o r e x a m p l e T i n k h a m ) o n e c a n a p p e a l t o t h e i s o t r o p y o f s p a c e , d e m a n d i n g t h a t A E ^ F b e a s c a l a r t o o b t a i n : A E H p = aJ-J . . . ( 2 . 1 3 ) w h e r e a i s a n / a n d d e p e n d e n t c o n s t a n t . B a r k e r a n d G l o v e r 2 2 ( B a r k e r , 1 9 5 5 ) o b t a i n e d 2 T-J 4 y 3 Z 3 a * 2 9 e m 2 M 9 m M n 3 4 + 2M T-J 4 y 3 Z 3 a * 2 P 3 / 2 T-J 18mMn3 ( 2 . 1 4 ) T h e o p e r a t o r T«J i s t r a c e l e s s a s c a n b e s e e n b y w r i t i n g T-J = 1/ 2 {/(/+1) - -i U + 1 )} . . . ( 2 . 1 5 ) t o e v a l u a t e T«J f o r e a c h o f 1 6 e i g e n s t a t e s o f t h e n = 2 a t o m . n o t s h i f t e d s o t h a t t h e L a m b s h i f t i s u n a f f e c t e d b y A E ^ . i n a n a c t u a l e x p e r i m e n t , h o w e v e r , a k n o w l e d g e o f AJE-HF * S r e q u i r e d i n o r d e r t o e x t r a c t t h e L a m b s h i f t s i n c e , i n p r a c t i c e , o n l y o n e o r t w o e n e r g y d i f f e r e n c e s m a y b e m e a s u r e d . T h e a g r e e m e n t b e t w e e n e x p e r i m e n t a n d t h e o r y f o r A E H F i n t h e g r o u n d s t a t e o f m u o n i u m i s e x c e l l e n t ( C a s p e r s o n , 1 9 7 5 ; C l e l a n d , 1 9 7 2 ; K i n o s h i t a , 1 9 8 4 ) . T h e a c c u r a c y r e q u i r e d i n t h e p r e s e n t e x p e r i m e n t a l l o w s u s t o s c a l e f r o m t h i s r e s u l t b y 1 / n 3 t o p r e d i c t t h e r e s u l t f o r n = 2 , a l t h o u g h t h e r e a r e s m a l l d e v i a t i o n s f r o m 1 / n 3 s c a l i n g n o t i n c l u d e d i n 2 . 1 3 . T h e m e a n e n e r g i e s o f t h e 2 s 2 . 4 . 3 R E C O I L C O R R E C T I O N S R e c o i l c o r r e c t i o n s a r e l a r g e r i n m u o n i u m t h a n i n h y d r o g e n b e c a u s e t h e y a r e p r o p o r t i o n a l t o t h e r a t i o m / M . T h e 2 3 e m i s s i o n a n d a b s o r p t i o n o f p h o t o n s ( a n d t h e r e f o r e r e c o i l ) i s e x t e r n a l t o t h e D i r a c t h e o r y . T h e f o l l o w i n g e x a m p l e i l l u s t r a t e s t h e n a t u r e o f r e c o i l c o r r e c t i o n s . T h e e n e r g y c h a n g e E n f r o m a j u s t u n b o u n d s t a t e t o t h e n t h b o u n d s t a t e i s g i v e n t o s u f f i c i e n t a c c u r a c y b y ( Z a ) 2 IT 2 E = - MC n 2 n 2 . . . ( 2 . 1 6 ) N o w , r e c o m b i n a t i o n p r o c e e d s b y e m i s s i o n o f a p h o t o n o f e n e r g y E n a n d c o n s e q u e n t l y o f m o m e n t u m E n / c . C o n s e r v a t i o n o f m o m e n t u m r e q u i r e s t h a t a n e q u a l a n d o p p o s i t e r e c o i l m o m e n t u m b e i m p a r t e d t o t h e a t o m . T h e k i n e t i c e n e r g y a s s o c i a t e d w i t h t h e r e c o i l i s e a s i l y s e e n t o b e 1 E n N R j (Za)'n 2c 2 A E R 2 ( m + M ) c 2 8 n « ( m + M ) 2 . . . ( 2 . 1 7 ) T h e t o t a l e n e r g y o f t h e t r a n s i t i o n i s i n c r e a s e d b y A E n w h i c h a m o u n t s t o s h i f t i n g a l l t h e n = 2 l e v e l s b y - 1 . 5 M H z , - 1 3 . 3 M H z , a n d - 3 4 2 M H z i n h y d r o g e n , m u o n i u m a n d p o s i t r o n i u m r e s p e c t i v e l y . I n p r i n c i p l e t h i s e f f e c t w o u l d c o n t r i b u t e t o N R t h e L a m b s h i f t ; h o w e v e r S i s a s m a l l f r a c t i o n o f E „ a n d n t h e e f f e c t i s s e e n t o b e n e g l i g i b l e . M e a s u r e m e n t s o f t h e e n e r g y d i f f e r e n c e b e t w e e n t h e g r o u n d a n d f i r s t e x c i t e d s t a t e s i n p o s i t r o n i u m ( C h u , 1 9 8 2 ) a r e n o t y e t o f s u f f i c i e n t a c c u r a c y t o s e e t h i s e f f e c t . ' T h i s r e s u l t w a s f i r s t d e r i v e d b y B a r k e r a n d G l o v e r f r o m t r e a t m e n t o f a r e l a t i v i s t i c t w o - b o d y B r e i t e q u a t i o n , h g w e v e r t h e i r r e s u l t c o n t a i n s a t y p o g r a p h i c a l e r r o r s h o w i n g A E n p r o p o r t i o n a l t o 1 / n 3 i n s t e a d o f 1 / n * . 2 4 T h e d o m i n a n t r e c o i l e f f e c t w h i c h d o e s c o n t r i b u t e t o t h e L a m b s h i f t e n t e r s i n d i r e c t l y f r o m c o n s i d e r a t i o n s o f t h e e f f e c t o f r e c o i l w h e n c a l c u l a t i n g r a d i a t i v e e f f e c t s . T h e m a g n i t u d e o f t h i s e f f e c t c a n b e e s t i m a t e d v e r y r o u g h l y a s f o l l o w s : t h e L a m b s h i f t 5 d e c r e a s e s t h e k i n e t i c e n e r g y o f t h e e l e c t r o n i n t h e 2 5 ^ 2 s t a t e ; t h e r e f o r e t h e m o m e n t u m i s d e c r e a s e d a s w e l l a n d t h e a s s o c i a t e d r e c o i l o f t h e m u o n i s i s a l s o l e s s e n e d s o t h a t t h e b i n d i n g e n e r g y o f t h e 2 s l e v e l i s r e d u c e d b y m S / M . T h e e x a c t r e s u l t i s ( E r i c k s o n , 1 9 7 7 ) u3 4 ( Z a ) 5 c 2 m M 3 i r n 3 2 { [ - 2 1 n ( Z a ) + 1 1 / 2 4 ] 6 ; Q + l n [ K 0 ( n , / ) ] } + n 1 - 6 , - 7 / 2 { [ l n ( n / 2 Z a ) - I i ' 1 + 1 / ( 2 n ) - 1 ] 6 . + ^ } i = 1 l u 21 ( 2/+1 ) ( / + l ) 2 - 7 / 2 Sln + { M 2 l n ( m / M ) - m 2 l n ( M / m ) } 6 . „ 1 0 M 2 - m 2 1 0 . . . ( 2 . 1 8 ) w h e r e t h e B e t h e l o g a r i t h m l n [ £ 0 ( n , / ) ] w i l l b e d e f i n e d l a t e r . T h i s w a s f i r s t o b t a i n e d b y S a l p e t e r ( S a l p e t e r , 1 9 5 2 ) f o r t h e n * 2 l e v e l o f h y d r o g e n - l i k e a t o m s a n d t h e n f o r a r b i t r a r y m a n d M i n t h e n = 2 s t a t e b y F u l t o n a n d M a r t i n ( F u l t o n , 1 9 5 4 ) . E r i c k s o n g e n e r a l i z e d i t t o a r b i t r a r y n ( E r i c k s o n , 1 9 6 5 ) a n d G r o t c h a n d Y e n n i e h a v e v e r i f i e d i t u s i n g a d i f f e r e n t a p p r o a c h ( G r o t c h , 1 9 6 9 ) . T h i s e f f e c t h a s b e e n s e e n i n b o t h t h e 2 s p o s i t r o n i u m ( M i l l s , 1 9 7 5 ) a n d 2 s h y d r o g e n L a m b s h i f t m e a s u r e m e n t s ( L u n d e e n , 1 9 8 1 ; P a l ' c h i k o v , 1 9 8 3 ) . I n m u o n i u m i t a m o u n t s t o 25 3 . 1 9 M H z . 2 . 5 R A D I A T I V E C O R R E C T I O N S 2 . 5 . 1 S E L F - E N E R G Y T h e e l e c t r o n s e l f - e n e r g y o r " e l e c t r o n s t r u c t u r e " i n t h e C o u l o m b f i e l d i s t h e d o m i n a n t r a d i a t i v e c o n t r i b u t i o n t o t h e L a m b s h i f t . F i g u r e 2 . 1 a s h o w s t h e l o w e s t o r d e r F e y n m a n d i a g r a m s c o n t r i b u t i n g t o t h e e l e c t r o n s t r u c t u r e . T h e s e l f - e n e r g y m a i n l y a f f e c t s t h e s - s t a t e s f o r w h i c h t h e e l e c t r o n a n d n u c l e u s a p p r o a c h e a c h o t h e r c l o s e l y . I t c a n b e u n d e r s t o o d q u a l i t a t i v e l y f o l l o w i n g t h e t r e a t m e n t o f W e l t o n ( W e l t o n , 1 9 4 8 ) a s t h e i n t e r a c t i o n o f t h e e l e c t r o n w i t h t h e z e r o p o i n t f l u c t u a t i o n s o f t h e v a c u u m . T h e s e c a n b e s e e n t o c a u s e t h e p o s i t i o n o f t h e e l e c t r o n t o f l u c t u a t e r a p i d l y ( a n e f f e c t c l o s e l y r e l a t e d t o t h e zi11erbewegung). T h e v a r i a n c e ( A r ) 2 o f t h e f l u c t u a t i o n o f t h e s e p a r a t i o n o f t h e e l e c t r o n a n d t h e n u c l e u s i s o f t h e o r d e r o f ( s e e B j o r k e n a n d D r e l l , p . 5 9 ) 2 a 3 a2A . . . ( 2.19) T h e a v e r a g e p o t e n t i a l V s e e n b y t h e e l e c t r o n i s m o d i f i e d s u c h t h a t A V * ( 1 / 6 ) ( A r ) 2 < V 2 V > . . . ( 2 . 2 0 ) N o w , s i n c e v 2 V » 4 i r Z e 2 8 3 ( r ) w e c a n e v a l u a t e t h e e n e r g y s h i f t u s i n g n o n - r e l a t i v i s t i c w a v e f u n c t i o n s f o r w h i c h 2 6 SELF ENERGY MAGNETIC MOMENT VACUUM POLARIZATION Figure 2 . 1 : Some Feynman diagrams which contr ibute to the Lamb s n i f t . 2 7 l * n / < 0 ) | 2 -( 2 . 2 1 ) o b t a i n i n g 4 ( Z o ) « m c 2 l n ( Z a ) - 1 3 f f n 3 ( 2 . 2 2 ) T h e p r e c e d i n g a r g u m e n t s h o w s c l e a r l y t h a t t h e s e l f - e n e r g y T h e s e l f - e n e r g y c o r r e c t i o n ( t o t e r m s o f s e c o n d o r d e r i n Z a ) , i n u n i t s o f [ 4 ( Z a ) * a m c 2 ] / ( 3 7 r n 3 ) , a f f e c t s b o t h p a n d s - s t a t e s { [ l n ( Z a ) - 2 + l n ( m / * i ) + 1 1 / 2 4 3 6 / Q + l n [ K 0 ( n , / ) ]} U / m } 3 . . . ( 2 . 2 3 ) w h e r e l n [ £ 0 ( n , / ) ] i s t h e l o g a r i t h m i c a v e r a g e o f t h e e x c i t a t i o n e n e r g y o f t h e s t a t e t o a l l o t h e r b o u n d a n d c o n t i n u u m s t a t e s . l n [ K 0 ( n , / ) ] , t h e s o c a l l e d Beihe logarithm ( B e t h e , 1 9 4 7 ) , h a s b e e n e v a l u a t e d b y n u m e r o u s a u t h o r s ; t h e v a l u e s f o r t h e 2 5 ^ a n d 2 p ^ 2 s t a t e s a r e + 2 . 9 8 4 1 2 8 5 5 5 9 ( 3 ) a n d + 0 . 0 3 0 0 1 6 7 0 8 9 ( 3 ) r e s p e c t i v e l y ( E r i c k s o n , 1 9 7 7 ) . T h e f o u r t h o r d e r c o r r e c t i o n t o s e l f - e n e r g y i s ( L a u t r u p , 1 9 7 2 ) [ 3 a / » r ] { - 4 8 l 9 / 5 l 8 4 - 4 5 i r 2 / 4 3 2 + U 2 / 2 ) l n 2 - ( 3 / 4 ) $ ( 3 ) } w h i c h a f f e c t s o n l y s - s t a t e s . T h e n e g l e c t o f r e d u c e d m a s s f a c t o r s a t t h i s o r d e r i s t h e r u l e i n t h e l i t e r a t u r e s i n c e n o o n e s e e m s t o k n o w w h a t t h e c o r r e c t o n e s a r e ( E r i c k s o n , 1 9 7 7 ) 1 . H i g h e r o r d e r c o r r e c t i o n s t o t h e s e l f - e n e r g y a r e 1 T h e u s u a l r u l e i s t o u s e t h r e e r e d u c e d m a s s f a c t o r s f o r t e r m s w h i c h d e p e n d o n t h e v o l u m e i n t e g r a l o f t h e w a v e i n t e r a c t i o n s h o u l d r e d u c e t h e b i n d i n g e n e r g y o f s - s t a t e s . . . . ( 2 . 2 4 ) 2 8 d i s c u s s e d l a t e r . 2 . 5 . 2 M A G N E T I C M O M E N T T h e v a l u e o f t h e a n o m a l o u s e l e c t r o n g - f a c t o r c a n b e c a l c u l a t e d w i t h e x t r e m e a c c u r a c y , t h r o u g h t e r m s o f s i x t h o r d e r i n a . T h e r e s u l t i s a / ( 2 f f ) - ( a / i r ) 2 { l 9 7 / 1 4 4 + ff2/l2 - ( 7 r 2 / 2 ) l n 2 + ( 3 / 4 ) $ ( 3 ) } + + ( a / f f ) 3 { 1 . 2 8 5 + 0 . 0 5 7 } . . . ( 2 . 2 5 ) w h e r e $ i s t h e R i e m a n n z e t a f u n c t i o n . I t c o n t a i n s t h e h i g h e s t o r d e r t e r m c a l c u l a t e d i n Q E D t o d a y a n d t e s t e d b y e x p e r i m e n t g g - 2 = 2 • 1 1 5 9 6 5 6 . 7 ( 3 . 5 ) • 1 0 - 9 ( P a r t i c l e D a t a G r o u p , 1 9 8 4 ) . T h e v a l u e s o f g g a n d g ^ c a n b e i n s e r t e d i n e q u a t i o n s 2 . 8 a n d 2 . 9 . H o w e v e r , m a n y a u t h o r s u s e t h e r e d u c e d m a s s f a c t o r s o n l y o n t h e s e c o n d o r d e r c o r r e c t i o n t o g / 2 a n d n o t o n t h e h i g h e r o r d e r t e r m s . 2 . 5 . 3 V A C U U M P O L A R I Z A T I O N V a c u u m p o l a r i z a t i o n o r " p h o t o n s t r u c t u r e " ( s e e F i g u r e 2 . 1 b ) i n c r e a s e s t h e b i n d i n g e n e r g y o f s - s t a t e s . T h e c o u p l i n g c o n s t a n t e i n t h e c o u l o m b p o t e n t i a l e / r c a n b e t h o u g h t o f a s d e p e n d i n g o n r s u c h t h a t a s r d e c r e a s e s ( a t s m a l l v a l u e s o f r ) , c 2 ( r ) i n c r e a s e s . T h e b a r e e l e c t r o n i c c h a r g e i s s c r e e n e d b y p o l a r i z a t i o n o f t h e v a c u u m ( u h l i n g , 1 9 3 5 ) s o t h a t a t l o n g ' ( c o n t ' d ) f u n c t i o n a t t h e o r i g i n a n d t o i g n o r e t h e m e l s e w h e r e . H o w e v e r , a s i s t h e c a s e i n c a l c u l a t i o n s i n v o l v i n g p i o n i c a t o m s , w h e n t h e w a v e f u n c t i o n v a n i s h e s a t t h e o r i g i n t h e n t h e d i v e r g e n c e o f t h e w a v e f u n c t i o n m a y b e s e e n t o c o n t r i b u t e t h u s g i v i n g t w o r e d u c e d m a s s f a c t o r s f o r s o m e i n t e r a c t i o n s i n v o l v i n g p - s t a t e s . 29 d i s t a n c e s t h e o b s e r v e d c h a r g e i s e b u t a t s h o r t d i s t a n c e s t h e a p p a r e n t c h a r g e i n c r e a s e s . T h e e f f e c t o n t h e e n e r g y l e v e l s f r o m t h e l o w e s t o r d e r d i a g r a m s i s , t o t e r m s o f o r d e r ( Z a ) 2 , - l / 5 ( « i / m ) 3 . . . ( 2 . 2 6 ) T h e n e x t o r d e r v a c u u m p o l a r i z a t i o n d i a g r a m s g i v e ( B a r a n g e r , 1 9 5 2 ) - ( a / * ) ( 4 1 / 5 4 ) . . . ( 2 . 2 7 ) P r e s u m a b l y , s i n c e t h i s i s a s h o r t r a n g e i n t e r a c t i o n , t h e r e d u c e d m a s s f a c t o r (v/m) 3 s h o u l d a l s o m u l t i p l y t h i s t e r m ; h o w e v e r , s i n c e t h e e f f e c t i s s m a l l a n d f o r c o n s i s t e n c y w i t h t h e l i t e r a t u r e t h e y a r e i g n o r e d h e r e . V a c u u m p o l a r i z a t i o n d u e t o p r o d u c t i o n o f o t h e r p a i r s o f p a r t i c l e s ( l i k e u* u ) i s n e g l i g i b l e i n t h i s c a s e . 2 . 5 . 4 H I G H E R O R D E R B I N D I N G C O R R E C T I O N S H i s t o r i c a l l y t h e r e w a s a b o u t a 7 M H z d i s c r e p a n c y b e t w e e n c a l c u l a t i o n a n d e x p e r i m e n t w h e n t h e h y d r o g e n L a m b s h i f t w a s f i r s t m e a s u r e d . T h e o r e t i c i a n s r e a c t e d q u i c k l y b y r e a l i z i n g t h e y h a d f o r g o t t e n t o c a l c u l a t e r e l a t i v i s t i c c o r r e c t i o n s t o t h e b i n d i n g o f t h e h y d r o g e n a t o m w h i c h a r i s e a s a r e s u l t o f t h e r a d i a t i v e c o r r e c t i o n s . B a r a n g e r ( B a r a n g e r , 1 9 5 3 ) a n d K a r p l u s ( K a r p l u s , 1 9 5 1 ) b o t h o b t a i n e d , t o s e c o n d o r d e r i n ( Z a ) 3 0 ( Z a ) (3JT) { 1 + 1 1 / 1 2 8 - ( 1 / 2 ) l n 2 + 5 / l 9 2 } . . . ( 2 . 2 8 ) r e s t o r i n g a g r e e m e n t b e t w e e n t h e t h e o r y a n d e x p e r i m e n t . B a r a n g e r u s e s o n e r e d u c e d m a s s f a c t o r i n h i s r e s u l t , c o m m e n t i n g , " A t t h e p r e s e n t t i m e , t h e , m o s t l o g i c a l c o u r s e i s t o u s e [ t h e r e d u c e d m a s s ] i n | i M 0 ) | 2 a n d [ t h e e l e c t r o n m a s s ] e v e r y w h e r e e l s e . " S t i l l h i g h e r o r d e r c o r r e c t i o n s a r e t h e s o u r c e o f d i s c u s s i o n t o d a y ( D r a k e , 1 9 8 3 ) . T h e s e t a k e t h e f o r m o f e x p a n s i o n s . ( H e r e w e t a k e o n l y t h e d i f f e r e n c e c o n t r i b u t i n g t o t h e n = 2 L a m b s h i f t f o r s i m p l i c i t y ) . F o l l o w i n g t h e n o t a t i o n o f M o h r , t h e y a r e : ( Z a ) 2 { G ( z a ) - ( 3 / 4 ) l n 2 - ( 5 5 / 4 8 + 4 1 n 2 ) l n ( Z a ) 2 } . . . ( 2 . 2 9 ) w h e r e G ( Z a ) = G W K + G U + G S E a n d G U = - 0 . 5 5 7 ± 0 . 0 0 3 + 0 . 2 2 1 ( Z a ) l n ( Z a ) " 2 = 0 . 0 4 2 5 1 - 0 . l 0 3 0 5 ( Z a ) + . . . . . . ( 2 . 3 0 ) a r e h i g h e r o r d e r c o r r e c t i o n s t o t h e v a c u u m p o l a r i z a t i o n c a l c u l a t e d b y W i c h m a n n a n d K r o l l ( W K ) ( W i c h m a n , 1 9 5 6 ) . G U h a s b e e n c a l c u l a t e d n u m e r i c a l l y b y M o h r ( M o h r , 1 9 7 5 ) b y f i t t i n g t h e a s s u m e d d e p e n d e n c e o n Z a ( a s i n 2 . 2 6 ) f o r v a r i o u s v a l u e s o f Z a n d e x t r a p o l a t i n g t o Z = 1 . I t i s a n e s t i m a t e o f t h e e f f e c t o f i n c l u d i n g a l l o r d e r s o f Z a i n t h e c a l c u l a t i o n o f t h e d i a g r a m s i n F i g u r e 2 . 1 b . 31 SE T h e l a s t t e r m G i s a p o i n t o f d i s a g r e e m e n t b e t w e e n t h e E r i c k s o n a n d M o h r c a l c u l a t i o n s . I t i s a n e s t i m a t i o n o f t h e h i g h e r o r d e r t e r m s i n Za f o r t h e l o w e s t o r d e r s e l f - e n e r g y d i a g r a m s ( s e e F i g u r e 2 . 1 a ) . M o h r ( M o h r , 1 9 7 5 ) p e r f o r m e d c a l c u l a t i o n s f o r a t o m s o f h i g h e r Z a n d t h e n e x t r a p o l a t e d t o Z = l b y f i t t i n g t h e p a r a m e t r i z a t i o n cp G * a , + a 2 ( Z a ) l n ( Z a ) " 2 + a 3 ( Z a ) . . . ( 2 . 3 1 ) t o h i s n u m e r i c a l r e s u l t s f o r Z = 1 0 , 2 0 , a n d 3 0 , t h u s o b t a i n i n g a , = - 2 4 . 0 6 4 ; a 2 = 7 . 3 0 7 1 ; a 3 = 1 5 . 6 6 0 9 . . . ( 2 . 3 2 ) E r i c k s o n , o n t h e o t h e r h a n d , f i n d s ( E r i c k s o n , 1 9 7 7 ) C P G * - 1 7 . 2 4 6 + l 9 . 7 6 0 ( Z a ) . . . ( 2 . 3 3 ) SE A n o t h e r c a l c u l a t i o n o f G f o r t h e g r o u n d s t a t e o f h y d r o g e n b y S a p i r s t e i n ( S a p i r s t e i n , 1 9 8 1 ) o b t a i n e d - 2 4 . 9 ± 0 . 9 f o r t h e f i r s t t e r m ( Z a = 0 ) w h i c h , s i n c e t h e n d e p e n d e n c e i s s m a l l , s u p p o r t s t h e M o h r r e s u l t . B o r i e ( B o r i e , 1 9 8 1 ) h a s p o i n t e d o u t t h a t t h e i n c l u s i o n o f t h e f i n i t e s i z e o f t h e p r o t o n s e p a r a t e l y f r o m t h e r a d i a t i v e c a l c u l a t i o n s i s i n c o r r e c t b e c a u s e t h e s e l f - e n e r g y c a l c u l a t i o n i s a f f e c t e d b y c o n s i d e r a t i o n o f t h e f i n i t e e x t e n t o f t h e c h a r g e d i s t r i b u t i o n . T h e d o m i n a n t c o n t r i b u t i o n c a n b e s e e n t o e n t e r i n e q u a t i o n 2 . 2 0 , w h e r e V 2V n o l o n g e r c a n b e s i m p l y e v a l u a t e d b y r e p l a c i n g i t w i t h 4 f f Z e « 2 6 3 ( r ) . S h e o b t a i n s a c o r r e c t i o n i n t h e c a s e o f h y d r o g e n w h i c h d e c r e a s e s t h e L a m b s h i f t b y 0 . 0 4 2 M H z ; t h u s t h e t o t a l n e t e f f e c t o f 3 2 t h e f i n i t e s i z e o f t h e p r o t o n f o r / < r p z > = 0 . 8 6 2 ( 1 2 ) f i n ( S i m o n , 1 9 8 0 ) i s t o i n c r e a s e t h e L a m b s h i f t b y 0 . 1 0 2 M H z , a c c o r d i n g t o B o r i e . 2 . 6 S U M M A R Y O F T H E L A M B S H I F T C A L C U L A T I O N S T a b l e 2 . 1 s h o w s v a r i o u s t e r m s c o n t r i b u t i n g t o t h e L a m b s h i f t s i n h y d r o g e n a n d m u o n i u m . T a b l e 2 . 2 s h o w s t h e r e s u l t i n g L a m b s h i f t v a l u e s . T h e c u r r e n t e x p e r i m e n t a l r e s u l t s f o r t h e L a m b s h i f t i n h y d r o g e n a r e i n a g r e e m e n t w i t h e a c h o t h e r . L u n d e e n ( 1 9 8 1 ) o b t a i n s 5 = 1 0 5 7 . 8 4 5 ( 9 ) M H z b y m e a s u r i n g t h e 2 5 ^ F = 0 t o 2 p ^ 2 F = 1 t r a n s i t i o n e n e r g y u s i n g a s e p a r a t e d o s c i l l a t o r y f i e l d t e c h n i q u e f r o m w h i c h h e d e d u c e d t h e v a l u e o f S f r o m t h e a l r e a d y m e a s u r e d v a l u e s o f t h e h y p e r f i n e s p l i t t i n g s . P a l ' c h i k o v ( 1 9 8 3 ) u s e d a m u c h d i f f e r e n t t e c h n i q u e , r e l y i n g o n a t h e o r e t i c a l c a l c u l a t i o n o f t h e l i f e t i m e o f t h e 2 p ^ 2 s t a t e t o o b t a i n S = 1 0 5 7 . 8 5 1 4 ( 1 9 ) M H z . M o h r ' s ( 1 9 7 6 ) r e s u l t f o r h y d r o g e n u s e d a n i n c o r r e c t v a l u e o f t h e r . m . s . c h a r g e r a d i u s o f t h e p r o t o n . C o r r e c t i n g h i s r e s u l t f o r t h e c u r r e n t l y a c c e p t e d v a l u e o f 0 . 8 6 2 ( 9 ) f m o n e o b t a i n s S = 1 0 5 7 . 8 8 ( 1 ) M H z , w h i c h d i s a g r e e s w i t h b o t h o f t h e e x p e r i m e n t a l r e s u l t s b y a f e w s t a n d a r d d e v i a t i o n s . I f w e i n c l u d e B o r i e ' s c o r r e c t i o n , M o h r ' s r e s u l t i s S * 1 0 5 7 . 8 4 ( 1 ) M H z , w h i c h i s i n a g r e e m e n t w i t h e x p e r i m e n t . E r i c k s o n ( 1 9 7 7 ) o b t a i n s S = 1 0 5 7 . 9 3 ( 1 ) M H z , w h i c h d i s a g r e e s w i t h e x p e r i m e n t e v e n m o r e t h a n M o h r ' s c a l c u l a t i o n . I n c l u d i n g B o r i e ' s c o r r e c t i o n h e r e g i v e s S = 1 0 5 7 . 8 9 ( 1 ) M H z , w h i c h i s s t i l l 3 3 E F F E C T H Y D R O G E N M U O N I U M ( M H z ) ( M H z ) S E L F E N E R G Y S e c o n d o r d e r ( 2 . 2 3 ) 1 0 0 9 . 9 2 4 9 9 7.611 F o u r t h o r d e r ( 2 . 2 4 ) 0 . 4 4 4 0 . 4 4 4 g e - 2 ( 2 . 8 ) A N D ( 2 . 2 5 ) S e c o n d o r d e r 6 7 . 7 2 0 6 6 . 9 2 8 F o u r t h o r d e r - 0 . 1 0 3 - 0 . 1 0 3 V A C U U M P O L A R I Z A T I O N S e c o n d o r d e r ( 2 . 2 6 ) - 2 7 . 0 8 4 - 2 6 . 7 3 9 i F o u r t h o r d e r ( 2 . 2 7 ) - 0 . 2 3 9 I - 0 . 2 3 9 j R E L A T I V I S T I C E F F E C T S ( 2 . 2 8 ) 7 . 1 4 0 7.140 I i N U C L E U S D I R A C M O M E N T ( 2 . 1 0 ) - 0 . 0 0 2 - 0 . 1 7 1 j i H I G H E R O R D E R E F F E C T S ( 2 . 2 9 ) ( ! 1 E r i c k s o n - 0 . 3 7 2 - 0 . 3 7 2 M o h r - 0 . 4 2 4 - 0 . 4 2 4 R E C O I L ( 2 . 1 8 ) 0 . 3 5 9 3 . 1 8 8 O w e n ( C o u l o m b r e c o i l ) - 0 . 0 7 4 - 0 . 6 5 6 F I N I T E S I Z E 0 . 1 4 5 0 . 0 0 0 B o r i e ( f i n i t e s i z e c o r r e c t i o n ) - 0 . 0 4 2 0.000 T a b l e 2 . 1 : V a r i o u s C o n t r i b u t i o n s t o t h e L a m b S h i f t i n H y d r o g e n a n d M u o n i u m . 3 4 h i g h e r t h a n e x p e r i m e n t b y a c o u p l e o f s t a n d a r d d e v i a t i o n s . O w e n h a s c a l c u l a t e d t h e L a m b s h i f t i n m u o n i u m f r o m f i r s t p r i n c i p l e s , o b t a i n i n g 1 0 4 7 . 0 3 M H z ( O w e n , 1 9 7 3 ) . I n h i s c a l c u l a t i o n , h o w e v e r , h e o b t a i n e d i n c o r r e c t v a l u e s f o r t h e h y p e r f i n e s t r u c t u r e o f t h e m u o n i u m a t o m w h i c h h e l a t e r c o r r e c t e d ( O w e n , 1 9 8 4 ) w i t h o u t a f f e c t i n g t h e L a m b s h i f t r e s u l t . O w e n ' s r e s u l t a p p e a r s t o d i f f e r f r o m t h e v a l u e o n e o b t a i n s f o r t h e m u o n i u m L a m b s h i f t u s i n g t h e E r i c k s o n m e t h o d o f c a l c u l a t i o n b y a s i n g l e t e r m a m o u n t i n g t o - 0 . 6 5 M H z ( w h i c h h e c a l l s " C o u l o m b r e c o i l " ) . I n c l u d i n g t h i s t e r m i n t h e h y d r o g e n L a m b s h i f t c a l c u l a t i o n o f E r i c k s o n r e d u c e s t h e r e s u l t b y 0 . 0 7 4 M H z t o 1 0 5 7 . 8 6 ( 1 ) M H z t h u s g i v i n g g o o d a g r e e m e n t b e t w e e n t h e o r y a n d e x p e r i m e n t . A p p l y i n g M o h r ' s m e t h o d t o t h e L a m b s h i f t i n m u o n i u m g i v e s S • 1 0 4 7 . 6 4 M H z . T h e c o r r e c t i o n f o r t h e a n o m a l o u s m o m e n t o f t h e m u o n ( e q u a t i o n 2 . 9 ) i s s e e n t o b e n e g l i g i b l e . T a b l e 2 . 2 : L a m b s h i f t c a l c u l a t i o n r e s u l t s f r o m T a b l e 2 . 1 T O T A L L A M B S H I F T ( M H z ) H Y D R O G E N M U O N I U M E r i c k s o n 1 0 5 7 . 9 3 1 0 4 7 . 6 9 M o h r 1 0 5 7 . 8 8 1 0 4 7 . 6 4 E r i c k s o n a n d B o r i e 1 0 5 7 . 8 9 1 0 4 7 . 6 9 E r i c k s o n a n d O w e n 1 0 5 7 . 6 6 1 0 4 7 . 0 3 M o h r a n d B o r i e 1 0 5 7 . 8 4 1 0 4 7 . 6 4 3 . T H E F O R M A T I O N O F 2 S M U O N I U M 3 . 1 G E N E R A L C O N S I D E R A T I O N S A L a m b s h i f t m e a s u r e m e n t r e q u i r e s m u o n i u m i n t h e n = 2 e x c i t e d s t a t e ( r e c a l l t h e l e v e l d i a g r a m o f F i g u r e 1 . 1 ) . T h e m e a n l i f e t i m e , 1 . 6 n s , o f t h e 2 p l e v e l c o r r e s p o n d s t o a l e v e l w i d t h o f a b o u t 1 0 0 M H z . I n o r d e r t o d e - e x c i t e t h e n = 2 l e v e l s i t i s t h e r e f o r e n e c e s s a r y t o o b s e r v e t h e n = 2 m u o n i u m f o r t i m e s s i g n i f i c a n t l y l o n g e r t h a n t h e l e v e l l i f e t i m e . T h e n = 2 m u o n i u m m u s t r e m a i n i n t h e a p p a r a t u s a n d b e f r e e o f i n t e r a c t i o n w i t h t h e w a l l s a n d g a s m o l e c u l e s f o r t i m e s a t l e a s t o f t h e o r d e r o f 1 0 n s . H e n c e t h e e x p e r i m e n t m u s t b e p e r f o r m e d i n a v a c u u m s u c h t h a t t h e p r o b a b l i t y o f i n t e r a c t i o n o v e r t h e f l i g h t p a t h o f t h e a t o m i s l o w . T h i s g e n e r a l l y m e a n s v a c u u m s o f b e t t e r t h a n 1 0 * 5 T o r r ; o t h e r w i s e t h e m u o n i u m i s r a p i d l y d e - e x c i t e d b y c o l l i s i o n a l p r o c e s s e s . T h i s i s a l s o t h e c a s e i n t h e p r o d u c t i o n o f m u o n i u m i n p o w d e r s a m p l e s ( s u c h a s S i 0 2 ) w h e r e , a l t h o u g h t h e e n e r g i e s a r e t h e r m a l , t h e m e a n c o l l i s i o n t i m e i s v e r y s h o r t . 3 . 2 M E T H O D S O F F O R M I N G M U O N I U M W e n o w e x a m i n e v a r i o u s m e t h o d s t o f o r m m u o n i u m w i t h a v i e w t o t h e c o n s i d e r a t i o n s d i s c u s s e d a b o v e . T h e m o s t c o p i o u s s o u r c e s o f m u o n s a v a i l a b l e t o d a y a r e t h o s e o f t h e s e c o n d a r y b e a m l i n e s o f t h e m e s o n f a c t o r i e s . T y p i c a l l y 1 0 s v* p e r s e c o n d c a n b e d e l i v e r e d t o a n e x p e r i m e n t b y t h e s e b e a m l i n e s . W i t h i n t h e t i m e s t r u c t u r e o f t h e p r o t o n b e a m w h i c h 35 36 p r o d u c e s t h e m u o n s , i n s t a n t a n e o u s r a t e s m a y b e m u c h g r e a t e r . T h e p o s i t i v e l y c h a r g e d m u o n f l u x d e l i v e r e d m u s t b e c o n v e r t e d t o a n e u t r a l m u o n i u m b e a m . M o s t m e t h o d s o f c o n v e r s i o n w o r k w e l l a t l o w v e l o c i t i e s ( v < c / 1 0 0 ) a n d t h e i r e f f i c i e n c y i s h i g h l y d e p e n d e n t o n t h e v e l o c i t y . T h e y r e q u i r e t h e v e l o c i t y o f t h e c h a r g e d b e a m t o b e " t u n e d " t o o p t i m i z e t h e c o n v e r s i o n . T h i s i s e v e n m o r e c r i t i c a l i f o n e w i s h e s t o p r e f e r e n t i a l l y p o p u l a t e a n e x c i t e d s t a t e . U n f o r t u n a t e l y , t h e a v a i l a b l e u + f l u x f r o m s e c o n d a r y b e a m l i n e s i s o f r a t h e r h i g h v e l o c i t y , v 0 . 3 c . H e n c e , o n e f i n d s t h a t t h e m o r e u s u a l m e t h o d s o f n e u t r a l i z i n g c h a r g e d b e a m s , s u c h a s t h o s e u s e d i n i o n s o u r c e s ( e . g . , c h a r g e e x c h a n g e i n C a e s i u m v a p o u r ) , a r e i n e f f e c t i v e . V a r i o u s a l t e r n a t i v e s h a v e b e e n s u g g e s t e d . N e u t r a l i z a t i o n p r o c e e d i n g b y C o u l o m b r e c o m b i n a t i o n o f t h e m u o n s w i t h a n i n t e n s e e l e c t r o n b e a m h a s b e e n i n v e s t i g a t e d ( M e z z o r a n i , 1 9 8 2 ) a n d c o u l d b e r e l a t i v e l y e f f i c i e n t e v e n a t h i g h e r v e l o c i t i e s , b u t i n o r d e r t o k e e p t h e a p p a r a t u s d o w n t o a r e a s o n a b l e s i z e , t h e m u o n i u m t h u s p r o d u c e d w o u l d s t i l l h a v e t o b e s l o w e d d o w n . P h a s e s p a c e c o m p r e s s i o n m e t h o d s h a v e a l s o b e e n p r o p o s e d ( T a q q u , 1 9 8 4 ) w h i c h p o t e n t i a l l y c o u l d i m p r o v e t h e b r i g h t n e s s a n d d e c r e a s e m o m e n t u m s p r e a d o f l o w m o m e n t u m b e a m s . 3 7 3 . 3 T H E B E A M F O I L I N T E R A C T I O N T h e b e a m - f o i l i n t e r a c t i o n ( n e u t r a l i z a t i o n b y p a s s i n g a c h a r g e d b e a m t h r o u g h a f o i l ) h a s b e e n s t u d i e d b y m a n y a u t h o r s . I t h a s b e e n v e r i f i e d e x p e r i m e n t a l l y t h a t t h e b e h a v i o u r s o f p a n d d ( L e e , 1 9 8 5 ) a n d o f u* ( F r y , 1 9 8 4 ) i n t h e b e a m - f o i l n e u t r a l i z a t i o n p r o c e s s a r e e s s e n t i a l l y t h e s a m e f o r p r o j e c t i l e s o f t h e s a m e v e l o c i t y . T h i s i s a l s o e x p e c t e d f r o m t h e t h e o r i e s o f C o u l o m b r e c o m b i n a t i o n , a n d e n e r g y l o s s i n m a t t e r , a n d e x p e r i m e n t s u s i n g v a r i o u s i o n b e a m s w h i c h m e a s u r e t h e r a n g e a n d e n e r g y l o s s o f i o n s a s f u n c t i o n s o f i n c i d e n t p r o j e c t i l e c h a r g e , m a s s , a n d e n e r g y . H e n c e , o n e e x p e c t s a p o s i t i v e m u o n t o b e h a v e v e r y m u c h a s a p o s i t i v e p r o t o n o f t h e s a m e v e l o c i t y . T h e b e a m - f o i l i n t e r a c t i o n h a s b e e n e m p l o y e d i n r e c e n t m e a s u r e m e n t s o f t h e L a m b s h i f t i n h y d r o g e n u s i n g f a s t p r o t o n b e a m s ( L u n d e e n , 1981). T h e e x p e r i m e n t a l l y m e a s u r e d n e u t r a l f r a c t i o n s e m e r g i n g f r o m v a r i o u s f o i l s a s f u n c t i o n s o f t h e e m e r g i n g p a r t i c l e ' s v e l o c i t y a r e r e v i e w e d b y S . K . A l l i s o n ( A l l i s o n , 1 9 5 8 ) a n d a r e f o u n d t o b e , w i t h i n e x p e r i m e n t a l s y s t e m a t i c u n c e r t a i n t y , i n d e p e n d e n t o f t h e e l e m e n t a l c o m p o s i t i o n f o r m e t a l l i c f o i l s . T h e n e u t r a l f r a c t i o n p r e d i c t e d o n t h i s b a s i s f o r m u o n i u m i s s h o w n i n F i g u r e 3 . 1 . F i g u r e 3 . 1 a l s o s h o w s t h e r e l a t i v e c r o s s s e c t i o n s f o r p o p u l a t i n g e x c i t e d s t a t e s . T h e s e w e r e c a l c u l a t e d u s i n g t h e t h e o r y o f C o u l o m b r e c o m b i n a t i o n f o r a m u o n o f v e l o c i t y v = 0 c i n t e r a c t i n g w i t h a n e l e c t r o n a t r e s t . T h e c r o s s s e c t i o n f o r r e c o m b i n a t i o n i n t o t h e I s s t a t e , o l s » i s g i v e n b y B e t h e 36 F i g u r e 3 . 1 : T h e n e u t r a l f r a c t i o n and f r a c t i o n i n v a r i o u s s t a t e s a f f u n ^ ? S n ° o f P v 0 e S i o c I r y y ' — ' • ' » • 1 ™ » 39 ( B e t h e , 1 9 7 7 ) 2 8Ke 7 e e - 4 7 C O t -1 7 1 s 3m 2 c 3 ( T 2 + 1 ) 2 1 " e " 2 f f 7 ...(3.1) w h i c h i s t h e r e s u l t o f c a l c u l a t i n g t h e m a t r i x e l e m e n t o f r b e t w e e n c o n t i n u u m s t a t e s a n d t h e g r o u n d s t a t e (7 i s d e f i n e d b e l o w ) . M o r e g e n e r a l l y w e m a y c a l c u l a t e a n a l y t i c a l l y t h e r e s u l t f o r a n a r b i t r a r y b o u n d s t a t e ( M i l l e r , 1 9 8 0 ) . T h e r e s u l t d e p e n d s o n l y o n t h e a n g u l a r m o m e n t u m / a n d p r i n c i p a l q u a n t u m n u m b e r n o f t h e f i n a l s t a t e . E x p l i c i t l y , t h e r a t i o F o f t h e e x c i t e d s t a t e c r o s s s e c t i o n t o t h e g r o u n d s t a t e c r o s s s e c t i o n ( 3 . 1 ) i s 1 - B (/»+/)! n,l n2 U - / - 1 ) ! ( 2 / + 1 ) ! 2 • { / J ( / - 1 ) X ( l + l / 7 2 ) 2 ( l + " 2 / 7 2 ) n - 1 - 1 ( 1 + / - / j ) . I - 3 - Q ( / - 1 , j + 3 ) j - 0 j ! ( 2 / + l ) j + ( / + 1 ) J ( / + 1 ) n-l- 1(l+/-n) . Z 1- Q ( / + 1 , j + 1 ) j - 0 j ! ( 2 / + 1 ) j . . . ( 3 . 2 ) w h e r e : E = e n e r g y o f t h e e l e c t r o n i n t h e r e s t f r a m e o f t h e u i n R y d b e r g s . ( a ) j = T ( a + j ) / r ( a ) 7 - 1 / / E X = e x p { - 4 7 [ c o t ' 1 ( 7 / n ) - c o t " 1 7 ] } J ( L ) = { 4 « / ( 1 + n 2 E ) } 2 L n ( 1 + k 2 E ) k = 0 40 Q i s d e f i n e d r e c u r s i v e l y b y Q ( L , M ) = 1 f o r a l l M < 0 ( 1 + / i 2 E ) Q ( L , M ) = 4 ( M + L - n ) Q ( L , M - 1 ) - 4 ( M - 1 ) ( M + 2 L ) Q ( L , M - 2 ) E q u a t i o n 3 . 1 s h o w s t h a t o i s p r o p o r t i o n a l t o v e l o c i t y a t l o w v e l o c i t i e s a n d i n v e r s e l y p r o p o r t i o n a l t o t h e f i f t h p o w e r o f v e l o c i t y a t h i g h e r v e l o c i t i e s . C l e a r l y , o n e r e q u i r e s p r o j e c t i l e v e l o c i t i e s o n t h e o r d e r o f c / 1 0 0 . L o w e r v e l o c i t i e s t e n d t o p o p u l a t e h i g h e r a n g u l a r m o m e n t u m s t a t e s w h i l e h i g h e r v e l o c i t i e s s u f f e r f r o m a r a p i d l y d e c r e a s i n g n e u t r a l c r o s s s e c t i o n , a l t h o u g h t h e r e l a t i v e p r o b a b i l i t y o f p o p u l a t i n g t h e n s s t a t e i s c o n s t a n t . C o h e r e n t s u p e r p o s i t i o n s o f s t a t e s ( f o r e x a m p l e n p a n d n s ) a r e a l s o p o p u l a t e d i n t h e b e a m f o i l i n t e r a c t i o n ; h o w e v e r , a s l o n g a s t h e v e l o c i t y i s n o t t o o l o w t h e s - s t a t e c r o s s s e c t i o n w i l l d o m i n a t e . 3 . 4 S L O W I N G M U O N S T h e r e s u l t s o f t h e p r e v i o u s s e c t i o n r e g a r d i n g t h e b e a m f o i l i n t e r a c t i o n i n d i c a t e t h e n e e d f o r a s l o w m u o n b e a m i f t h e b e a m f o i l i n t e r a c t i o n i s t o b e e m p l o y e d t o c r e a t e 2 s m u o n i u m . M u o n s a r e p r o d u c e d b y t h e d e c a y o f p o s i t i v e p i o n s a t r e s t i n t h e p r o d u c t i o n t a r g e t o f a s e c o n d a r y b e a m l i n e . T h e y a r e a l l b o r n w i t h t h e s a m e m o m e n t u m , 2 9 . 8 6 M e V / c , d i c t a t e d b y t h e k i n e m a t i c s o f t h e p i o n d e c a y . D e p e n d i n g o n w h e r e t h e p i o n i s i n t h e p r o d u c t i o n t a r g e t , t h e m o m e n t a o f m u o n s e m e r g i n g f r o m t h e t a r g e t w i l l r a n g e f r o m 2 9 . 8 6 M e V / c f o r d e c a y s a t t h e s u r f a c e ( s u r f a c e m u o n s ) d o w n t o z e r o f o r 41 d e c a y s a t a d e p t h i n s i d e t h e t a r g e t c o r r e s p o n d i n g t o t h e r a n g e o f a s u r f a c e m u o n . D e p e n d i n g o n t h e m o m e n t u m s e t t i n g o f t h e s e c o n d a r y b e a m l i n e v i e w i n g t h e p r o d u c t i o n t a r g e t , a n y o f t h e s e m u o n s m a y b e c o l l e c t e d a n d d e l i v e r e d t o a n e x p e r i m e n t , h o w e v e r t h e f l u x d e l i v e r e d w i l l b e a f u n c t i o n o f t h e m o m e n t u m . W e e x a m i n e t h e p r o c e s s o f s l o w i n g p r o j e c t i l e s b y p a s s a g e t h r o u g h m a t t e r , c a l l e d d e g r a d a t i o n . F o r s i m p l i c i t y , w e c o n s i d e r t h e p a s s a g e o f m u o n s t h r o u g h a l u m i n u m 1 . T h e d i f f e r e n t i a l e n e r g y l o s s f o r p r o t o n s i n a l u m i n u m , d E / d x , i s a f u n c t i o n o f v e l o c i t y t h a t i s w e l l a p p r o x i m a t e d b y t h e e m p i r i c a l f o r m u l a : T h e t w o b e h a v i o u r s o f d E / d x c a n b e c o m b i n e d a c c o r d i n g t o t h e p r e s c r i p t i o n o f V a r e l a s a n d B i e r s a c k ( V a r e l a s , 1 9 7 0 ) : v ; c / 1 0 0 > > v v " 3 / 2 ; c / 2 > v > c / 5 0 (3.3) ( d E / d x ) ' 1 * ( d E / d x ) ' 1 l o w V ( d E / d x ) - 1 h i g h v ... (3.4) C o n v e r t i n g t o m o m e n t u m o n e h a s 1 P r o p e r t i e s o f o t h e r d e g r a d e r m a t e r i a l s c a n b e o b t a i n e d b y s c a l i n g s i n c e d E / d x i s r o u g h l y p r o p o r t i o n a l t o t h e d e n s i t y o f e l e c t r o n s i n t h e m a t e r i a l . 42 d p a d x ( v / b ) 5 / 2 + 1 . . . ( 3 . 5 ) w h e r e a a n d b a r e c o n s t a n t s t o b e d e t e r m i n e d . T h e d a t a ( A n d e r s o n a n d Z i e g l e r , 1 9 7 7 ) i n d i c a t e t h e v a l u e s a = 6 2 5 0 0 M e V / ( c g / c m 2 ) a n d b = 0 . 0 1 5 8 c f o r a l u m i n u m . F i g u r e 3 . 2 s h o w s d p / d x f o r a l u m i n u m u s i n g t h e s e v a l u e s i n e q u a t i o n 3 . 5 . T h e v a l u e o f b s e e m s t o v a r y s l i g h t l y f o r d i f f e r e n t d e g r a d e r s b u t i s n o t w e l l d e t e r m i n e d b e c a u s e t h e e x p e r i m e n t a l d a t a f o r m a n y m a t e r i a l s a r e s p a r s e . N e v e r t h e l e s s , i n t h e f u t u r e i t m a y b e f o u n d t h a t c a r e f u l c h o i c e o f t h e d e g r a d e r m a t e r i a l c a n b e i m p o r t a n t i f a p a r t i c u l a r v a l u e o f b i s p r e f e r r e d . T h e c o n s t a n t a , o n t h e o t h e r h a n d , e x h i b i t s a s i m p l e d e p e n d e n c e u p o n t h e d e n s i t y o f e l e c t r o n s i n t h e m a t e r i a l ( Z / A ) . T h e f o l l o w i n g l i m i t s a p p l y t o e q u a t i o n 3 . 5 : ( i ) d p / d x * a f o r v < c / 2 0 0 ( i i ) d p / d x * a ( v / b ) " 5 / 2 f o r v > c / 5 0 I n t e g r a t i o n o f e q u a t i o n 3 . 5 g i v e s t h e t r a j e c t o r y o f t h e p r o j e c t i l e ( m a s s M ) i n s i d e t h e d e g r a d e r a s a f u n c t i o n o f i t s v e l o c i t y v : ( M / a ) { [ ( 2 / 7 ) / b 5 / 2 ] [ v 0 7 / 2 - v 7 / 2 ] + [ v 0 - v ] } = x 2 M v 0 7 / 2 r a n g e * x ( v = 0 ) =* cT7T~ 7 a b v * -. . . ( 3 . 6 ) w h e r e v 0 i s t h e v e l o c i t y o f t h e p r o j e c t i l e w h e n i t s t r i k e s 43 D^/DX ] N RLUM1NUM p/mo F i g u r e 3.2: dp/dx f o r aluminum a s c a l c u l a t e d u s i n g e q u a t i o n 3.5. 44 t h e d e g r a d e r ( x s O ) . 1 F i g u r e s 3 . 3 a n d 3 . 4 s h o w t h e " p o s i t i o n s " o f m u o n s a n d p r o t o n s r e s p e c t i v e l y a s a f u n c t i o n s o f v e l o c i t y , f o r v a r i o u s i n i t i a l v e l o c i t i e s . V a r i a t i o n o f e q u a t i o n 3 . 6 f o r a f i x e d d e g r a d e r t h i c k n e s s g i v e s A v 0 ( v / b ) 5 / 2 + 1 A v ( v 0 / b ) 5 / 2 + 1 . . . ( 3 . 7 ) h e n c e f o r v > > b w e h a v e t h e l a w A p 0 / A p * ( p / p 0 ) 5 / 2 . . . ( 3 . 8 ) w h i c h d e t e r m i n e s t h e n u m b e r o f p a r t i c l e s p e r u n i t m o m e n t u m , P x i n t h e d e g r a d e r a s a f u n c t i o n o f t h e n u m b e r o f p a r t i c l e s p e r u n i t i n c i d e n t m o m e n t u m , p 0 . O n e h a s P x ( p ) d p = P o ( P o ) r f P o ( v / b ) 5 / 2 + 1 P v ( v ) = p 0 ( v 0 ) trn— X ( v 0 / b ) 5 / 2 + 1 . . . ( 3 . 9 ) E q u a t i o n 3 . 9 s h o w s t h a t t h e n u m b e r o f p a r t i c l e s p e r u n i t m o m e n t u m f a l l s r a p i d l y a s t h e v e l o c i t y i s r e d u c e d a n d t h a t f o r u n i f o r m p r o d u c t i o n o f p a r t i c l e s t h r o u g h o u t a d e g r a d e r o f m o m e n t u m p 0 , t h e n u m b e r o f p a r t i c l e s e m e r g i n g f r o m t h e d e g r a d e r w i l l h a v e t h e f o l l o w i n g s h a p e : 1 O n e n o t e s t h a t i n g e n e r a l p a t h l e n g t h i s g r e a t e r t h a n t h e l i n e a r d e p t h o f p e n e t r a t i o n b e c a u s e o f m u l t i p l e s c a t t e r i n g . 45 F i g u r e 3 . 3 : Muon v e l o c i t y as a f u n c t i o n of path length i n an aluminum degrader. 46 P R O T O N V E L O C I T Y I N R L U M I N U M D L G R R D E R F i g u r e 3 . 4 : P r o t o n v e l o c i t y a s a f u n c t i o n o f p a t h l e n g t h i n a n a l u m i n u m d e g r a d e r . 4 7 P "* K x ( v / b ) 5 / 2 + 1 ; p < p } 0 ; o t h e r w i s e . . . ( 3 . 1 0 ) T h i s i s j u s t t h e s i t u a t i o n i n t h e p r o d u c t i o n t a r g e t . N u m e r o u s e x p e r i m e n t s h a v e c o n f i r m e d e q u a t i o n 3 . 1 0 . F i g u r e 3 . 5 s h o w s t h e r e s u l t s f o r t h e M 1 3 b e a m l i n e a t T R I U M F ( O r a m , 1 9 8 1 b ) . T h e s e c o n d a r y c h a n n e l v i e w i n g t h e p r o d u c t i o n t a r g e t s e l e c t s a r a n g e o f m o m e n t a s p e c i f i e d b y A p / p w h e r e p i s t h e c h a n n e l m o m e n t u m . C l e a r l y , f o r f i x e d A p / p ( s e e c c e q u a t i o n ( 3 . 8 ) ) t h e n u m b e r o f m u o n s t r a n s p o r t e d w i l l 7 / 2 d e c r e a s e a s p „ . c P a r t i c l e s o f m o m e n t u m p c f r o m a s e c o n d a r y c h a n n e l a r e i n c i d e n t o n a d e g r a d e r o f t h i c k n e s s x . T h e o u t p u t m o m e n t a f a l l i n a r a n g e p x t o p y - A p x ( t h e m a x i m u m m o m e n t u m o u t p u t i s p ) . E v e n a m o n o - e n e r g e t i c b e a m ( i . e . A p = 0 ) w o u l d d e g r a d e t o a n o n - z e r o v a l u e o f A p x w h e n s t r a g g l i n g i s t a k e n i n t o a c c o u n t ? h o w e v e r , a s l o n g a s r a n d o m e f f e c t s l i k e s t r a g g l i n g r e m o v e a n d c o n t r i b u t e e q u a l a m o u n t s t o t h e r a n g e A p x , w e c a n w r i t e * P X A P r 7/2 Px Pc . . . ( 3 . 1 1 ) N o w , s i n c e A p / p i s b y d e f i n t i o n l e s s t h a n u n i t y , w e c a n p r e d i c t t h e r a t i o p _ / p v f o r w h i c h p a r t i c l e s w i l l b e g i n t o s t o p , g i v e n t h e v a l u e o f A p / p . A t t e m p t s t o i n c r e a s e p _ / p v C C C A 48 i — i — i — i — j — i — i i i — | — r f> MeV/c F i g u r e 3 . 5 : N u m b e r o f p a r t i c l e s a v a i l a b l e f r o m t h e M 1 3 b e a m l i n e a t T R I U M F a s a f u n c t i o n o f m o m e n t u m p e r * i A o f p r i m a r y p r o t o n c u r r e n t a t 5 0 0 M e V . 4 9 w i l l r e s u l t i n m o r e p a r t i c l e s s t o p p i n g i n , a n d f e w e r p a r t i c l e s e m e r g i n g f r o m , t h e d e g r a d e r . T h e i n t e n s i t y ( n u m b e r o f p a r t i c l e s ) , I , e m e r g i n g f r o m a d e g r a d e r u n d e r t h e c o n d i t i o n t h a t A p x / p x = 1 i s r e l a t e d t o t h e i n t e n s i t y , I s t r i k i n g t h e d e g r a d e r b y ( 2 / 7 ) v ( v / b ) 5 / 2 + v 1 " A v ( v / b ) 5 / 2 I c C C . . . ( 3 . 1 2 ) S i n c e t h e i n t e n s i t y I c s t r i k i n g t h e d e g r a d e r i s p r o p o r t i o n a l 7 / 2 t o v c A v c / v c , I i s i n d e p e n d e n t o f t h e v a l u e s o f p c a n d A p c / p c . F o r e x a m p l e , i n t h i s e x p e r i m e n t o n e c a l c u l a t e s g i v e n A p c / p c = 7% a n d p c = 1 5 . 4 M e V / c t h a t t h e n u m b e r o f p a r t i c l e s e m e r g i n g w i t h v < c / 5 0 i s 0 . 0 1 2 I c . I t i s e m p h a s i z e d t h a t t h e r e s u l t i s i n d e p e n d e n t o f t h e b e a m l i n e m o m e n t u m i n t e r v a l a n d m o m e n t u m . T h e " e f f i c i e n c y " o f p r o d u c t i o n , o n t h e o t h e r h a n d , i s 0 . 0 1 2 a n d d o e s d e p e n d m a r k e d l y o n t h e b e a m l i n e s e t t i n g s . G i v e n t h e c o n s t r a i n t s o f d e g r a d e r t h i c k n e s s a n d t h a t v x > c / 5 0 a n d i g n o r i n g s t r a g g l i n g o n e w i s h e s t o m i n i m i z e t h e d e n o m i n a t o r o f e q u a t i o n 3 . 1 2 i n o r d e r t o m a x i m i z e t h e e f f i c i e n c y . I t i s i n t e r e s t i n g t o c a l c u l a t e t h e r a t i o P x / P c r o r w h i c h h a l f t h e p a r t i c l e s s t o p i n t h e d e g r a d e r . T h e r e s u l t i s P x / P c * [ ( 7 / 4 ) ( A p c / p c ) ] 2 / 7 . . . ( 3 . 1 3 ) s h o w i n g t h a t h a l f s t o p f o r p v / p _ » 1 / 2 a n d A p / p e q u a l t o A w W W a b o u t 6 % . I f A p c / p c i s z e r o , t h e n i n i t i a l l y m o m e n t u m s t r a g g l i n g w i l l c o n t r i b u t e a n e f f e c t i v e s p r e a d t o t h e 50 m o m e n t u m w h i c h i n t u r n w i l l b e a m p l i f i e d b y t h e p r o c e s s e s d i s c u s s e d i n t h i s s e c t i o n s o t h a t h a l f t h e p a r t i c l e s w i l l h a v e s t o p p e d b e f o r e p i s z e r o . X 3.5 T H E S T A T I S T I C A L P R O P E R T I E S O F A D E G R A D E R T h e r a n d o m n a t u r e o f t h e m o d e r a t i o n p r o c e s s h a s b e e n i g n o r e d t o t h i s p o i n t . M o n t e C a r l o s t u d i e s o f s u c h p r o c e s s e s a r e n u m e r o u s b u t t h e y a r e o n l y a s g o o d a s t h e u n d e r l y i n g a s s u m p t i o n s p u t i n t o t h e m . A n u n d e r s t a n d i n g o f a t l e a s t t h e g e n e r a l f e a t u r e s o f t h e s t a t i s i t i c s m u s t p r e c e d e a n y s i m u l a t i o n u s i n g M o n t e C a r l o m e t h o d s . 3.5.1 M O M E N T U M S T R A G G L I N G T h e p r i m a r y a g e n t w h i c h s l o w s t h e s u r f a c e u* i s c o l l i s i o n s w i t h e l e c t r o n s i n t h e d e g r a d e r . T h e c h a r a c t e r i s t i c m o m e n t u m c h a n g e i n s u c h a c o l l i s i o n i s A p = - m p / M ... (3.14) w h e r e p i s t h e m o m e n t u m o f t h e p r o j e c t i l e , M i s t h e m a s s o f t h e p r o j e c t i l e a n d m i s t h e e l e c t r o n m a s s . I t f o l l o w s t h a t f o r a m o m e n t u m l o s s dp t h e m e a n n u m b e r u o f s u c h c o l l i s i o n s i s M dp m p ...(3.15) T h e v a r i a n c e o r m e a n s q u a r e d d e v i a t i o n o f t h e m o m e n t u m l o s s 5 1 15 m v a r ( d p ) = j i ( m p / M )2 = - pdp M . . . ( 3 . 1 6 ) w h e r e P o i s s o n s t a t i s t i c s h a v e b e e n a s s u m e d f o r v. I f w e a s s u m e i n d e p e n d e n c e o f e a c h dp a s t h e p a r t i c l e s l o w s d o w n ( t h i s i s o n l y a p p r o x i m a t e l y t r u e ) w e c a n g e t a r o u g h i d e a o f t h e m a g n i t u d e o f t h e s t r a g g l i n g i n v o l v e d i n s l o w i n g a p a r t i c l e o f m o m e n t u m p 0 t o m o m e n t u m p . 1 m v a r ( p 0 - p ) = ( p 0 2 * P 2 ) 2 M . . . ( 3 . 1 7 ) H e n c e , o n e e x p e c t s s t r a g g l i n g o n t h e o r d e r o f / { m / ( 2 M ) j = 5 % f o r s t o p p i n g m u o n s . 3 . 5 . 2 M U L T I P L E S C A T T E R I N G T h e d o m i n a n t s o u r c e o f a n g u l a r d e f l e c t i o n i n d e g r a d i n g s u r f a c e m u o n s i s R u t h e r f o r d s c a t t e r i n g b y t h e c o u l o m b f i e l d s o f t h e d e g r a d e r n u c l e i . T h e m e a n s q u a r e d d e v i a t i o n o f t h e d e f l e c t i o n a n g l e i n a c o l l i s i o n i s ( p r o j e c t e d i n t o a p l a n e ) * * 2 p l a n e " 2 atfcZ P0b . . . ( 3 . 1 8 ) w h e r e a i s t h e f i n e s t r u c t u r e c o n s t a n t a n d Z / b i s t h e e f f e c t i v e v a l u e o f t h e c h a r g e t o i m p a c t p a r a m e t e r r a t i o f o r t h e c o l l i s i o n . T a k i n g t h e e x a m p l e o f a l u m i n u m ( d e n s i t y = 2 . 7 g / c m 3 o r 6•10 2 2 a t o m s / c m 3 ) o n e o b t a i n s t h e a v e r a g e 52 d e f l e c t i o n p e r u n i t d e g r a d e r t h i s k n e s s , d<p2 , v p l a n e <P0) - d x . . . ( 3 . 1 9 ) f o r ( Z / b ) 2 a v e r a g e o f a b o u t 1 « l 0 1 9 c i r r 2 , d x i n g / c m 2 a n d p i n M e V / c . T h e s e r o u g h a r g u m e n t s a n d c a l c u l a t i o n s c o n f i r m t h e a p p r o x i m a t e v a l i d i t y o f t h e m u l t i p l e s c a t t e r i n g f o r m u l a r e c o m m e n d e d f o r c o m m o n u s e b y t h e P a r t i c l e D a t a G r o u p ( P a r t i c l e D a t a G r o u p , 1 9 8 4 ) w h i c h i s : p l a n e 1 4 . 1 P0 ' r a d . 1 / 2 U s i n g t h e r a d i a t i o n l e n g t h f o r a l u m i n u m , x r a ( j e q u a t i o n 3 . 2 0 o n e o b t a i n s : . . . ( 3 . 2 0 ) 2 4 g / c m 2 i n 8 d<p: p l a n e (P /J) dx . . . ( 3 . 2 1 ) w h i c h a g r e e s f a i r l y w e l l w i t h e q u a t i o n 3 . 1 9 , 3 . 6 M O N T E C A R L O S I M U L A T I O N O F M O D E R A T I O N O F T H E M U O N B E A M I n o r d e r t o o b t a i n q u a n t i t a t i v e p r e d i c t i o n s t o c o m p a r e w i t h t h e e x p e r i m e n t t h e a s s u m p t i o n s p r e v i o u s l y o u t l i n e d i n t h i s c h a p t e r w e r e i n c o r p o r a t e d i n t o a M o n t e C a r l o c o m p u t e r p r o g r a m . T h e m o m e n t u m c h a n g e a n d a n g l e o f m u l t i p l e s c a t t e r i n g w e r e c a l c u l a t e d f o r s m a l l s t e p s a s t h e p a r t i c l e t r a v e r s e d t h e f o i l . F o r s i m p l i c i t y i t w a s a s s u m e d t h a t t h e t o t a l d e g r a d e r t h i c k n e s s w a s 0 . 0 1 8 0 g / c m 2 o f a l u m i n u m . T h e 53 c h a n g e i n m o m e n t u m A p ( i n c l u d i n g s t r a g g l i n g ) f o r a s m a l l d i s t a n c e A x i n t h e f o i l i s g i v e n b y A p = A x d p / d x + A S ...(3.22) w h e r e A S i s a r a n d o m v a r i a b l e w i t h a n o r m a l d i s t r i b u t i o n h a v i n g v a r i a n c e s p e c i f i e d b y m dp v a r ( A S ) = A x M d x ...(3.23) T h e a n g u l a r d e f l e c t i o n o f &<t>Space f o r e a c h A x i s a r a n d o m v a r i a b l e h a v i n g a n o r m a l d i s t r i b u t i o n w i t h v a r i a n c e g i v e n b y (14.1 ) 2 A x v a r ( A t f > = ) = 2 R A D ...(3.24) A m u o n i s d e e m e d t o h a v e s t o p p e d i f i t s v e l o c i t y i s l e s s t h a n c / 3 0 0 , w i t h o u t h a v i n g e m e r g e d f r o m t h e f o i l ( b e c a u s e i t i s o f l i t t l e c o n s e q u e n c e i n t h i s e x p e r i m e n t ) . F i g u r e 3 . 6 s h o w s t h e f r a c t i o n o f t h e b e a m w h i c h s t o p s f o r b e a m s o f s m a l l A p / p . I t i s s e e n t h a t t h e M o n t e C a r l o s i m u l a t i o n p r e d i c t s t h a t t h e t r a n s i t i o n f r o m a l l v* s t o p p i n g t o v i r t u a l l y a l l p a s s i n g t h r o u g h t h e f o i l o c c u r s o v e r a s m a l l m o m e n t u m c h a n g e , a p p r o x i m a t e l y 5% o f t h e i n c i d e n t m o m e n t u m . T h u s i f a m o m e n t u m i n t e r v a l A p / p m u c h l e s s t h a n 5% i s u s e d i n a n e x p e r i m e n t w e c a n m i m i c t h e r e s u l t s s h o w n i n F i g u r e 3 . 6 . F i g u r e 3 . 7 s h o w s t h e p r e d i c t e d f r a c t i o n o f t h e b e a m w h i c h e m e r g e s f r o m t h e f o i l w i t h m o m e n t u m l e s s t h a n 2 M e V / c , f o r v a r i o u s b e a m m o m e n t a . T h e r e s u l t c o m p a r e s w e l l 54 100 O STOPPING FRACTION • NEUTRAL FRACTION n 80 60 o 2 CL CL o ¥ 40 to 20 \ \ • \ • D - 1 — U 1.20 .00 0.80 -2 O P .60 < cc 0.40 | 0.20 15.0 15.2 15.4 15.6 15.8 160 pbeom (MeV/t) F i g u r e 3 . 6 : M o n t e C a r l o r e s u l t s f o r t h e f r a c t i o n o f a m u o n b e a m s t o p p i n g i n a n a l u m i n u m d e g r a d e r a n d t h e n e u t r a l f r a c t i o n a s a f u n c t i o n o f i n c i d e n t m o m e n t u m . 55 F i g u r e 3 .7: M o n t e C a r l o r e s u l t s f o r t h e f r a c t i o n o f t h e b e a m e m e r g i n g f r o m t h e d e g r a d e r w i t h m o m e n t u m l e s s t h a n 2 M e V / c a s a f u n c t i o n o f t h e i n c i d e n t m u o n m o m e n t u m . 56 w i t h t h a t o f e q u a t i o n 3 . 1 2 w h i c h p r e d i c t e d f o r a n i n c i d e n t m o m e n t u m o f 1 5 . 4 M e V / c ± 3 . 5 % t h a t 1 . 2 % o f t h e b e a m w o u l d e m e r g e f r o m t h e d e g r a d e r w i t h p < 2 M e V / c . F i g u r e 3 . 8 s h o w s t h e d a t a o f F i g u r e 3 . 7 c o m p a r e d t o e x p e r i m e n t a l r e s u l t s o b t a i n e d w h i l e t u n i n g t h e b e a m l i n e t o f i n d t h e o p t i m a l m o m e n t u m s e t t i n g . ( T h e c o m p a r i s o n i s n o t t h e r e s u l t o f a n y f i t o f t h e d a t a b u t m e r e l y s e r v e s t o i l l u s t r a t e t h e a g r e e m e n t v i s u a l l y . ) F i g u r e 3 . 6 a l s o s h o w s t h e n e u t r a l f r a c t i o n a s a f u n c t i o n o f b e a m m o m e n t u m . T h e n e u t r a l f r a c t i o n p e a k s n e a r 1 5 . 4 M e V / c r e a c h i n g a v a l u e o f a b o u t 1 . 2 % a t t h e m o m e n t u m f o r w h i c h h a l f t h e i n c i d e n t b e a m i s s t o p p e d . T h e M o n t e C a r l o r e s u l t s i n d i c a t e t h a t f o r a r e a l b e a m a t 1 5 . 4 M e V / c + 3 . 5 % o n e e x p e c t s 5 0 % t o s t o p . T h e e x p e c t e d f r a c t i o n o f t h e b e a m w h i c h e m e r g e s f r o m t h e f o i l a s n e u t r a l s i s 0 . 3 4 % . F i n a l l y o n e c a n a t t e m p t t o p r e d i c t t h e n u m b e r o f p a r t i c l e s w h i c h w i l l s t r i k e M C P B ( s e e c h a p t e r 5 ) . T h i s , h o w e v e r i s q u i t e s e n s i t i v e t o t h e m u l t i p l e s c a t t e r i n g a s s u m e d a n d t h e r e f o r e s h o u l d b e c a u t i o u s l y u s e d i n p r e d i c t i n g r a t e s . T h e p r e d i c t e d r a t e s t r i k i n g M C P B i s a b o u t 2 0 % o f t h e i n c i d e n t b e a m . M o s t o f t h e p a r t i c l e s h a v e m o m e n t a n e a r 7 M e V / c . T h e n u m b e r o f n e u t r a l s w h i c h s t r i k e M C P B i s a p p r o x i m a t e l y 0 . 0 6 % o f t h e i n c i d e n t b e a m . O n e c a n s a y s o m e t h i n g a b o u t t h e e f f i c i e n c y o f t h e m i c r o - c h a n n e l p l a t e M C P B t o m u o n s . T h e o b s e r v e d f r a c t i o n o f p a r t i c l e s d e t e c t e d b y M C P B w a s 1 3 % o f t h e i n c i d e n t b e a m ; c o r r e c t i n g f o r t h e 57 O M O N T E C A R L O O E X P E R I M E N T 15.0 15.2 15.4 15.6 15.8 16.0 Pbeom (MeV/c) F i g u r e 3 . B : C o m p a r i s o n o f t h e M o n t e C a r l o r e s u l t s w i t h e x p e r i m e n t f o r t h e n u m b e r o f p a r t i c l e s e m e r g i n g f r o m t h e f o i l w i t h m o m e n t u m l e s s t h a n 2 M e V / c a s a f u n c t i o n o f i n c i d e n t m o m e n t u m . 58 f u n n e l l e d h o l e s w h i c h c o v e r o n l y 7 0 % o f t h e M C P s u r f a c e a r e a , o n e o b t a i n s a n e f f i c i e n c y o f a b o u t 9 0 % f o r m u o n s i n t h e m o m e n t u m r a n g e a b o v e 4 M e V / c . T h e e f f i c i e n c y t o g r o u n d - s t a t e n e u t r a l s i s s e e n t o b e o f t h e o r d e r o f 15% u s i n g t h e o b s e r v e d r a t e o f L y m a n - a d e t e c t i o n i n t h i s e x p e r i m e n t . 3 . 7 SUMMARY T h e p r o d u c t i o n o f e p i t h e r m a l m u o n i u m b y a b e a m f o i l t e c h n i q u e i s f e a s i b l e b u t d i f f i c u l t . T h e m a i n p r o b l e m i s t o d e g r a d e t h e m u o n m o m e n t u m f r o m 2 9 . 8 6 M e V / c ( w i t h w h i c h i t i s b o r n ) t o s o m e t h i n g b e l o w 2 M e V / c . T h e n o n - z e r o m o m e n t u m a c c e p t a n c e o f a s e c o n d a r y c h a n n e l a n d m o m e n t u m s t r a g g l i n g w i l l l i m i t t h e a m o u n t b y w h i c h t h e m u o n b e a m a v e r a g e m o m e n t u m c a n b e u s e f u l l y r e d u c e d . I f t h e b e a m l i n e i s t u n e d s o a s t o s e l e c t a s l o w a m o m e n t u m a s i s p o s s i b l e , g i v e n t h e l i m i t a t i o n s o f d e g r a d e r t h i c k n e s s , t h e n t h e e f f i c i e n c y o f p r o d u c t i o n o f e p i t h e r m a l m u o n i u m i s i n c r e a s e d . I n e f f e c t t h e d e g r a d e r h a s b e e n m o v e d t o t h e p r o d u c t i o n t a r g e t a n d t h e b e a m l i n e s e l e c t s " s u b - s u r f a c e " m u o n s . T h e n u m b e r o f p a r t i c l e s e n t e r i n g t h e e x p e r i m e n t a l a p p a r a t u s i s t h u s r e d u c e d w h i l e t h e n u m b e r o f m u o n i u m a t o m s p r o d u c e d r e m a i n s c o n s t a n t . I t i s o p t i m a l , i n t e r m s o f s i g n a l t o n o i s e , t o h a v e a s l o w a m a s s a s p o s s i b l e i n t h e b e a m a t t h e e x p e r i m e n t a l a r e a . E v e n t u a l l y f u r t h e r r e d u c t i o n o f t h e b e a m l i n e m o m e n t u m w i l l i n t r o d u c e s i g n i f i c a n t l o s s e s d u e t o m u o n d e c a y . 4 . R A D I O - F R E Q U E N C Y E X C I T A T I O N O F T H E L A M B S H I F T T R A N S I T I O N 4 . 1 T H E T I M E D E P E N D E N T S C H R O D I N G E R E Q U A T I O N I n t h i s c h a p t e r a n a l y t i c m e t h o d s , w h i c h a r e o f n e c e s s i t y a p p r o x i m a t i o n s , a r e d e v e l o p e d t o d e a l w i t h t h e e v o l u t i o n o f a m u o n i u m a t o m p r o d u c e d i n a b e a m f o i l i n t e r a c t i o n a n d s u b s e q u e n t l y e n t e r i n g a r e g i o n i n w h i c h t r a n s i t i o n s a r e i n d u c e d b e t w e e n t h e 2 p ^ 2 a n d 2s^^ l e v e l s b y a p p l i c a t i o n o f a n R F f i e l d . T h e e f f e c t o f t h e D C e l e c t r i c q u e n c h f i e l d i s a s p e c i a l c a s e ( z e r o f r e q u e n c y ) o f t h e t r e a t m e n t . W e s t a r t w i t h t h e t i m e d e p e n d e n t S c h r o d i n g e r e q u a t i o n , i t f = H\y)/> at ...(4.1) T h e h a m i l t o n i a n , H, i s a s u m o f t h r e e t e r m s : 1 /, + H. . d e c a y i n t H = H0 + H. . . . ( 4 . 2 ) H0 i s a h e r m i t i a n o p e r a t o r , t h e e i g e n v a l u e s a n d e i g e n s t a t e s o f w h i c h d e s c r i b e t h e f r e e m u o n i u m a t o m . " d e c a y * s a n a n t i - h e r m i t i a n o p e r a t o r w h i c h a c c o u n t s ( p h e n o m e n o l o g i c a l l y ) f o r t h e d e c a y o f t h e e x c i t e d s t a t e s o f t h e a t o m . T h e e i g e n v a l u e s o f H$ecay a r e i # 7 j / 2 , w h e r e i s t h e d e c a y r a t e o r i n v e r s e m e a n l i f e t i m e o f t h e j t - 1 s t a t e . H.. i s t h e i n t i n t e r a c t i o n H a m i l t o n i a n f o r t h e m u o n i u m a t o m i n t h e R F f i e l d . I t c a n b e w r i t t e n i n t h e f o r m ' T h i s a p p r o a c h w a s s u g g e s t e d b y S . R . L u n d e e n 5 9 60 H. . = -eE - r i n t . . . ( 4 . 3 ) w h e r e r i s t h e s e p a r a t i o n o f t h e e l e c t r o n a n d m u o n i n t h e m u o n i u m a t o m a n d E i s t h e t i m e v a r y i n g e l e c t r i c f i e l d v e c t o r o f t h e R F f i e l d w h i c h w e w i l l a s s u m e t o b e i n t h e x d i r e c t i o n a n d t o h a v e a c o s i n e d e p e n d e n c e , i . e . E = E 0 c o s ( o ) t - 6 ) x . . . ( 4 . 4 ) w h e r e 6 r e p r e s e n t s t h e p h a s e o f t h e R F f i e l d . E x p e r i m e n t a n d c a l c u l a t i o n s u g g e s t t h a t t h e b e a m f o i l i n t e r a c t i o n w i l l p r e p a r e m u o n i u m m o s t l y i n n S s t a t e s f o r v e l o c i t i e s g r e a t e r t h a n c / 2 0 0 . T h e a m p l i t u d e f o r p r e p a r a t i o n o f c o h e r e n t m i x t u r e s o f d i f f e r e n t a n g u l a r m o m e n t u m s t a t e s o r o f h i g h e r a n g u l a r m o m e n t u m s t a t e s ( e . g . n p - s t a t e s ) i s m u c h s m a l l e r . T h e s o l u t i o n o f e q u a t i o n 4.1 i s o f t h e f o r m |<Mt)> - U ( t ) |*(0)> . . . ( 4 . 5 ) w h e r e |^(0)> i s t h e s t a t e a t t=0 a n d U ( t ) i s c a l l e d t h e f i n i t e t i m e e v o l u t i o n o p e r a t o r . I n t h e c a s e w h e r e H i s t i m e i n d e p e n d e n t , o r , m o r e g e n e r a l l y , w h e r e / / / ( t j d t a n d Hit) c o m m u t e , t h e s o l u t i o n o f 4.1 c a n b e w r i t t e n d o w n i m m e d i a t e l y a s U ( t ) = e x p { - i J 7 / ( T ) d r / X } . . . ( 4 . 6 ) 61 4 . 2 A P P R O X I M A T E S O L U T I O N O n e n o w m a k e s s o m e a s s u m p t i o n s i n o r d e r t o s i m p l i f y t h e p r o b l e m . W e r e s t r i c t o u r p r o b l e m t o o n e a t l o w RF p o w e r a n d a t RF f r e q u e n c i e s e x p e c t e d t o e x c i t e t h e L a m b s h i f t t r a n s i t i o n s . I n p a r t i c u l a r w e n e g l e c t t h e p r e s e n c e o f t h e n e a r b y 2 p 3 ^ 2 s t a t e a n d d e f e r e s t i m a t e s o f t h e e f f e c t o f i t s p r e s e n c e . T h u s w e h a v e r e s t r i c t e d t h e p r o b l e m t o o n e o v e r t h e s u b s p a c e s p a n n e d b y t h e b a s i s o f t h e 2 s ^ 2 a n a < 2 P i / 2 s t a t e s . T h e c o u p l i n g o f t h e g r o u n d s t a t e t o t h i s s u b s p a c e i s i n c l u d e d p h e n o m e n o l o g i c a l l y t h r o u g h ^ e c a y * A p p r o p r i a t e c h o i c e o f t h e b a s i s f u n c t i o n s f o r t h i s s u b s p a c e a l l o w s u s t o w r i t e # i n t i n s u c h a w a y a s t o f u r t h e r s u b d i v i d e t h e p r o b l e m i n t o o n e i n v o l v i n g o n e h y p e r f i n e l e v e l f r o m e a c h o f t h e p a n d s s t a t e s , s a y | s > a n d | p > . E q u a t i o n 4 . 1 i n m a t r i x f o r m b e c o m e s : 8 ' | s > * " < « B - i 7 s / 2 ) 3 t | P > _ 2 V c o s ( w t - 6 ) , 2 V c o s ( w t - 6 ) " | s > " _ l p > _ ...(4.7) w h e r e V = - e E 0 < p | x | s>/2K a n d | < p | x | s > | 2 = 3 a 2 ( a i s t h e B o h r r a d i u s o f t h e i s s t a t e ) . L e t u s d e f i n e a u n i t a r y t r a n s f o r m a t i o n A , 62 A « e + i " t / 2 , 0 n -i«t/2 w e a l s o d e f i n e ...(4.8) Hk «= A / / A 1 " + iK3A/3t A 1 " ... (4.9) s o t h a t A14/> s a t i s f i e s e q u a t i o n 4.1 w h e n H i s r e p l a c e d by # A . T h e t r a n s f o r m e d H a m i l t o n i a n i s a s u m o f t w o t e r m s : i8 1 L>s-cV2-i7s/2, V e V e i 6 , y u / 2 - i 7 p / 2 V e 0 , V e - i 6t + i fit , 0 ... (4. 10) T h e f i r s t t e r m o f # A i s t i m e i n d e p e n d e n t . I f i t s t r a c e i s s m a l l , i . e . i f u =* <J-U> , t h e n t h e e f f e c t o f t h e o f f s p d i a g o n a l t e r m V e 1 * w i l l b e l a r g e . W e d e f i n e # ' e q u a l t o t h e f i r s t t e r m a n d n e g l e c t f o r t h e t i m e b e i n g t h e r a p i d l y v a r y i n g s e c o n d t e r m . T h i s i s k n o w n a s t h e " r o t a t i n g f i e l d a p p r o x i m a t i o n " . T h e s o l u t i o n f o r t h e t i m e e v o l u t i o n o p e r a t o r i s n o w s i m p l y : U ( t ) «- e x p { - i f f ' t / X ) ...(4.11) C l e a r l y , a t r a n s f o r m a t i o n w h i c h d i a g o n a l i z e s h" w i l l a l s o 6 3 d i a g o n a l i z e U . T h e e i g e n v a l u e s o f H% a r e Kx s = { « B + V i ( V 1 r p , / 2 + + (u -u -u-i 7_/2+ i 7 / 2 ) • 1 + ( 4 V < / ( « -a> i 7-/2 + 1 7 _ / 2 ) } / 2 9 P 3 P 5 P 9 P KX p - { u s + c o p - i < 7 s + 7 p ) / 2 + - ( o > s - a j p - o ) - i 7 s/2+ i 7 p/2 V 1 + ( 4 V V (Ug-u - u - i 7 s / 2 + i 7 p/2 ) 2 } /2 . . . ( 4 . 1 2 ) w h e r e X g c o r r e s p o n d s t o t h e s t a t e w h i c h i s m o s t l y a n s - s t a t e a n d Xp t o t h a t w h i c h i s m o s t l y a p - s t a t e . T h e i m a g i n a r y p a r t o f X i s p r o p o r t i o n a l t o t h e i n v e r s e m e a n l i f e t i m e , 1/T o f t h e s - s t a t e i n t h e R F f i e l d . E x p a n d i n g t h e s q u a r e r o o t o n e o b t a i n s 1 V 2 ( 7 n - 7 _ ) - = - 2 I m X e * 7, + E — — s ( a > s - W p - u ) 2 + ( 7 s - 7 P ) V 4 . . . ( 4 . 1 3 ) W e n o t e t h a t t h e e x p r e s s i o n i s s y m m e t r i c a b o u t u - w s ~ " p a n d t h a t t h e r e i s n o o b s e r v a b l e r e s o n a n c e u n l e s s 7 d i f f e r s f r o m 9 7 . T h e d e c a y r a t e i s a m a x i m u m f o r w = u> - u>^. O f c o u r s e P s p 7 i s s m a l l f o r t h e 2 s s t a t e w h i c h h a s a m e a n l i f e t i m e o f s a b o u t 1 / 7 s e c o n d . W r i t i n g ( 4 . 1 3 ) i n t e r m s o f t h e a v e r a g e p o w e r f l u x o = c E | / 1 6 i r i n s t e a d o f t h e e l e c t r i c f i e l d , n e g l e c t i n g 7 g w e h a v e 1 4 i r e 2 o | < s | x | p > | 2 - = 7 T T P K 2c (u-u -o)) 2 + 7 D 2 / 4 S P P . . . ( 4 . 1 4 ) T h i s i s i d e n t i c a l t o t h e e x p r e s s i o n a p p e a r i n g i n L a m b ' s o r i g i n a l W o r k ( L a m b , 1 9 5 2 ) . 64 4 . 2 . 1 D C S T A R K E F F E C T E q u a t i o n s 4 . 1 2 a l s o g i v e t h e e n e r g y s h i f t a n d l i f e t i m e f o r t h e c a s e o f a D C e l e c t r i c f i e l d . T h e e n e r g y s h i f t s o f t h e " 2 s " a n d " 2 p " s t a t e s a r e e q u a l a n d o p p o s i t e s o a s t o i n c r e a s e t h e i r s e p a r a t i o n . T h e c h a n g e s i n t h e d e c a y r a t e s a r e a l s o e q u a l a n d o p p o s i t e s u c h t h a t t h e l i f e t i m e o f t h e " 2 p " s t a t e i s i n c r e a s e d a n d t h a t o f t h e " 2 s " s t a t e d e c r e a s e d . T h e r e s u l t s f o r t h e q u a d r a t i c S t a r k e f f e c t ( f r o m e q u a t i o n ( 4 . 1 2 ) i n t h e l i m i t o f s m a l l V ) a r e g i v e n b e l o w : V » < 7 - 7 S ) A 7 _ c _ A 7 - * ^ S p V 2 AE = -AE S p S P . . . ( 4 . 1 5 ) T h e v a l u e s g i v e n b y e q u a t i o n 4 . 1 2 f o r t h e D C S t a r k e f f e c t d o n o t i n v o l v e t h e " r o t a t i n g f i e l d a p p r o x i m a t i o n " b u t s t i l l d o n e g l e c t t h e p r e s e n c e o f t h e 2P^/2 s t a t e s « 4 . 2 . 2 A C S T A R K S H I F T T h e s e c o n d t e r m o f # A v a r i e s r a p i d l y . T h e e f f e c t o f t h i s t e r m i s s i m i l a r t o t h e D C S t a r k e f f e c t w h e n a v e r a g e d o v e r a l l v a l u e s o f 6, r e d u c i n g t h e D C r e s u l t b y h a l f . W e c o n s i d e r i t a s a p e r t u r b a t i o n a n d o b t a i n a n e s t i m a t e o f t h e A C S t a r k s h i f t ( f r o m e q u a t i o n 4 . 1 0 ) . AE - -AE =* 65 4 . 2 . 3 E F F E C T O F T H E 2?^/2 S T A T E T h e R F f i e l d a l s o h a s m a t r i x e l e m e n t s b e t w e e n t h e 2 s 1 / / 2 a n d 2 P 3 / 2 s t a t e s w h i c h w e h a v e u n t i l n o w n e g l e c t e d . C o n s i d e r i n g t h e s e a s p e r t u r b a t i o n s a n d s u m m i n g o v e r t h e v a r i o u s m a t r i x e l e m e n t s ( o n e h y p e r f i n e c o m p o n e n t o f t h e 2 5 ^ 2 l e v e l c o n n e c t s t o t w o c o m p o n e n t s o f t h e 2 p 3 ^ 2 l e v e l ) o n e o b t a i n s ( e E 0 ) 2 | < p 3 / 2 | x | s > | 2 A E = - 2 ^ s 2K2 « , / 9 s P 3 / 2 . . . ( 4 . 1 7 ) T h e v a l u e o f | < p 3 y 2 | x | s > | 2 i s 3 a 2 . 5 . D E S C R I P T I O N O F T H E A P P A R A T U S A N D E X P E R I M E N T A L P R O C E D U R E 5 . 1 V A C U U M S Y S T E M T h e a p p a r a t u s s h o w n i n F i g u r e 5 . 1 w a s s e p a r a t e d f r o m t h e b e a m l i n e b y a 5 0 mm m y l a r w i n d o w . T h e o p e r a t i n g p r e s s u r e o f a p p r o x i m a t e l y 1 0 ~ 5 T o r r w a s m a i n t a i n e d b y a 4 i n c h d i f f u s i o n p u m p o p e r a t i n g t h r o u g h a l i q u i d n i t r o g e n c o l d t r a p a n d g a t e v a l v e a s s e m b l y . T h e c o l d t r a p w a s n e c e s s a r y t o m i n i m i z e o i l e n t e r i n g t h e a p p a r a t u s w h i c h w o u l d h a v e h a d d e l e t e r i o u s e f f e c t s o n t h e m i c r o c h a n n e l p l a t e s . T h e g a t e v a l v e w a s c o n t r o l l e d a u t o m a t i c a l l y s o t h a t i f t h e v a c u u m w e r e t o c h a n g e b y a b o u t 1 0 " 5 T o r r i t w o u l d b e c l o s e d t o p r e v e n t n o t o n l y p o s s i b l e d a m a g e t o t h e d i f f u s i o n p u m p b u t m o r e i m p o r t a n t l y , t h e p o s s i b l e f l o w o f o i l p a r t i c l e s i n t o t h e a p p a r a t u s s h o u l d t h e c o l d t r a p b e g i n t o w a r m u p . H a d t h e r e b e e n a n o i l f r e e p u m p i n g s y s t e m a v a i l a b l e ( e . g . , a t u r b o m o l e c u l a r p u m p ) t h e s y s t e m w o u l d h a v e b e e n m u c h s i m p l e r a n d m o r e r e l i a b l e . 5 . 2 S C I N T I L L A T I O N C O U N T E R S T h e i n c i d e n t s c i n t i l l a t o r ( X ) a n d c o l l i m a t i n g s c i n t i l l a t o r w e r e m o u n t e d o n s l i d i n g f l a n g e s t o p e r m i t a c c e s s t o t h e f o i l a n d R F r e g i o n s . T h e f r o n t o f t h e b o x s c i n t i l l a t o r ( B O X ) c o n s i s t e d o f t w o s c i n t i l l a t o r s w h i c h e n t e r e d f r o m o p p o s i t e s i d e s o f t h e a p p a r a t u s a n d m e s h e d t o g e t h e r t o f o r m a 3 . 8 c m x 1 . 3 c m s l i t a t t h e e n t r a n c e t o t h e q u e n c h r e g i o n . T h e r e m a i n i n g f i v e s c i n t i l l a t o r s w h i c h f o r m e d t h e t o p , b o t t o m , 6 6 67 F i g u r e 5.1: A s c h e m a t i c d i a g r a m o f t h e a p p a r a t u s . 6 8 s i d e s a n d r e a r o f t h e b o x s c i n t i l l a t o r w e r e m o u n t e d o n f i v e l i g h t g u i d e s e n t e r i n g f r o m t h e r e a r o f t h e a p p a r a t u s . T h e w r a p p i n g o f t h e s c i n t i l l a t o r s w a s n o t c o m p l e t e l y l i g h t t i g h t s o a l o w l e v e l o f " c r o s s t a l k " w a s o b s e r v e d i n t h e v a r i o u s s c i n t i l l a t o r s o f t h e b o x . T h e i n c i d e n t c o u n t e r w a s a 2 . 5 c m d i a m e t e r d i s k , 6 3 Mm t h i c k . L i g h t c o l l e c t i o n w a s f r o m t w o o p p o s i t e l i g h t g u i d e s a n d f a c i l i t a t e d b y a t h i n 0 . 7 5 urn a l u m i n u m w r a p p i n g . T h e v o l t a g e s o n t h e p h o t o m u l t i p l i e r s f o r e a c h s c i n t i l l a t o r w e r e i n t e r l o c k e d i n t h e s a m e w a y a s t h e g a t e v a l v e ( i n s e c t i o n 5 . 1 ) s o t h a t t h e p h o t o m u l t i p l i e r s w o u l d b e t u r n e d o f f s h o u l d t h e a p p a r a t u s b e l e t u p t o a t m o s p h e r i c p r e s s u r e a n d ( p o s s i b l y ) o p e n e d , a d m i t t i n g l i g h t t o t h e s c i n t i l l a t o r s . T h e b o x s c i n t i l l a t o r w a s u s e d t o v e t o c o p i o u s b e a m p o s i t r o n s ( s e e F i g u r e 3 . 5 ) , w h i c h p a s s e d t h r o u g h t h e a p p a r a t u s , a n d d e c a y p o s i t r o n s ( o n e f o r e v e r y M + ! ) w h i c h e x i t e d t h e b o x t r i g g e r i n g o n e o f t h e m i c r o c h a n n e l p l a t e s . T h e i n c i d e n t c o u n t e r c o u l d a l s o b e r e p l a c e d b y a v e r y t h i n ( 7 . 5 /xm) s c i n t i l l a t o r w h i c h p e r m i t t e d s i m u l a t i o n o f t h e m u o n 2 4 1 b e a m u s i n g a n A m a l p h a s o u r c e . 5 . 3 N E U T R A L P R O D U C T I O N F O I L T h e 0 . 7 5 Mm A l f o i l u s e d t o p r o d u c e n e u t r a l s w a s m o u n t e d o n t h e R F t r a n s m i s s i o n l i n e a s s e m b l y s h o w n i n F i g u r e 5 . 2 . T a b l e 5 . 1 s u m m a r i z e s t h e v a r i o u s m a s s e s i n t h e b e a m . 69 T a b l e 5.1 M a s s e s i n t h e B e a m M a t e r i a 1 t ( « x m ) p ( g / c m 2 ) M a s s ( m g / c m 2 ) E q u i v a l e n t M a s s A l ( m g / c m 2 ) M y l a r B e a m P i p e W i n d o w , ( C 5 H , 0 2 ) 51 1 . 3 9 7 . 0 6 7 . 6 5 S c i n t i l l a t o r ( X ) ( C H ) k 6 3 1 . 0 3 6 . 5 4 7 . 3 2 S c i n t i l l a t o r W r a p p i n g ( A l ) 1 . 5 0 2 . 7 0 0 . 4 0 0 . 4 0 F o i l ( A l ) 0 . 7 5 2 . 7 0 0 . 2 0 0 . 2 0 T o t a l E q u i v a l e n t M a s s ( A l ) 1 6 . 6 T a b l e 5 . 1 : S u m m a r y of m a t e r i a l s p r e s e n t i n the p a t h of t h e m u o n b e a m . 70 5.4 RF REGION The RF r e g i o n was a r a d i o f r e q u e n c y t r a n s m i s s i o n l i n e shown i n F i g u r e 5.2. I t was based on a d e s i g n by F.M. P i p k i n ( P i p k i n , 1982). A s i m p l e c a l c u l a t i o n u s i n g the d i m e n s i o n s g i v e n i n F i g u r e 5.2 shows t h a t the impedance a t the c e n t r e of the l i n e i s about 50 ohms. Measurement of the impedance c h a r a c t e r i s t i c s of the RF t r a n s m i s s i o n l i n e c o n f i r m e d the c a l c u l a t i o n . I f P i s the power t r a n s m i t t e d i n w a t t s , the average (rms) v o l t a g e d i f f e r e n c e between the c e n t r a l c o n d u c t o r and the grounded o u t e r c o n d u c t o r i s : V r m c = /50~P [ v o l t ] rms ...(5.1) The power d e n s i t y i n the upper p a r t of the t r a n s m i s s i o n l i n e i s : 0.04 P [w/cm 2] ...(5.2) The power through the t r a n s m i s s i o n l i n e was m o n i t o r e d and c o n t i n u o u s l y r e g u l a t e d u s i n g the c i r c u i t shown i n F i g u r e 5.3. The frequ e n c y of the RF s o u r c e was r e m o t e l y s e t by the da t a a c q u i s i t i o n computer, which s w i t c h e d t o a d i f f e r e n t f r e q u e n c y e v e r y few m i n u t e s . In a d d i t i o n , the a c t u a l f r e q u e n c y t r a n s m i t t e d was read by a frequency c o u n t e r and sent back t o the computer t o be r e c o r d e d w i t h o t h e r d a t a . An improvement f o r a subsequent experiment would be the a d d i t i o n of computer c o n t r o l l e d s w i t c h i n g and read back of the power l e v e l . Figure 5.2: The R F transmission l i n e arrangement 72 SET POWER LEVEL RF POWER METER VARIABLE FREQUENCY SOURCE COMPUTER SELECTED FREQUENCY from CAMAC 25 WATT POWER AMPLIFIER I RF TRANSMISSION LINE I ATTENUATOR -30 dB SPLITTER -10 dB I FREQUENCY READ METER Figure 5.3: The RF system. 7 3 5 . 5 T H E Q U E N C H R E G I O N A N D M I C R O C H A N N E L P L A T E S F i g u r e 5 . 4 s h o w s t h e p o t e n t i a l m a p o f t h e e l e c t r i c f i e l d i n t h e q u e n c h r e g i o n a s v i e w e d f r o m t h e s i d e a t t h e m i d p l a n e o f t h e a p p a r a t u s ( c o m p u t e d n u m e r i c a l l y ) . T h e e q u i p o t e n t i a l s ( 3 0 e q u a l i n c r e m e n t s ) s h o w t h a t t h e e l e c t r i c f i e l d m a i n t a i n e d b e t w e e n t h e f r o n t f a c e s o f t h e t h r e e c h a n n e l p l a t e s a n d t h e g r i d a t t h e e n t r a n c e s l i t w a s a p p r o x i m a t e l y p a r a l l e l t o t h e b e a m d i r e c t i o n , s t r o n g e s t a t t h e e n t r a n c e ( a b o u t 5 0 0 V / c m ) , a n d d e c r e a s e d l i n e a r l y t o a b o u t 2 0 0 V / c m a t t h e m i c r o c h a n n e l p l a t e l a b e l l e d M C P B . T h e q u e n c h r e g i o n e l e c t r i c f i e l d a l s o s e r v e d t o p r e v e n t e l e c t r o n s e j e c t e d f r o m t h e f o i l f r o m r e a c h i n g t h e m i c r o c h a n n e l p l a t e s . S i t u a t e d i n s i d e t h e b o x s c i n t i l l a t o r a b o v e a n d b e l o w t h e q u e n c h r e g i o n w e r e t w o 4 0 mm d i a m e t e r m i c r o c h a n n e l p l a t e s ( M C P 1 a n d M C P 2 ) 1 . T h e s e w e r e u s e d t o d e t e c t L y m a n - a p h o t o n s ( 1 2 2 n m ) f r o m t h e s t a r k q u e n c h i n g o f a n y e x c i t e d s t a t e s w h i c h e n t e r e d t h e q u e n c h r e g i o n . A l a r g e r r e c t a n g u l a r ( 9 2 mm x 7 5 m m ) m i c r o c h a n n e l p l a t e ( M C P B ) w a s u s e d t o s t o p t h e m u o n i u m a t o m s , d e t e r m i n i n g t h e t i m e o f f l i g h t f r o m t h e i n c i d e n t c o u n t e r ( X ) o v e r a m i n i m u m e f f e c t i v e p a t h l e n g t h f r o m t h e f o i l o f 1 1 . 4 c m . A l l t h r e e m i c r o c h a n n e l p l a t e s w e r e " f u n n e l e d " t o i n c r e a s e t h e i r s e n s i t i v e a r e a t o 6 8 % f r o m t h e v a l u e o f 5 5 % f o r u n f u n n e l e d t y p e s . T h e f r o n t f a c e s w e r e c o a t e d ( a t t h e f a c t o r y ) w i t h a l a y e r o f C s l t o e n h a n c e t h e i r e f f i c i e n c y t o L y m a n a p h o t o n s b y a f a c t o r o f t e n ( s e e F i g u r e 5 . 5 ) . T h e 1 T h e t h r e e m i c r o c h a n n e l p l a t e s u s e d i n t h i s e x p e r i m e n t w e r e m a n u f a c t u r e d b y G a l i l e o C o r p o r a t i o n , M a s s . , U S A . F i g u r e 5 . 4 : The e l e c t r i c f i e l d i n the quench r e g i o n . View i s from the s i d e at the v e r t i c a l midplane. 75 F i g u r e 5.5: E f f i c i e n c y of channel e l e c t r o n m u l t i p l i e r s as a f u n c t i o n of wave l e n g t h . 76 e n h a n c e m e n t i s , h o w e v e r , d i f f i c u l t t o m a i n t i a n b e c a u s e C s l i s h y d r o s c o p i c . E v e n a f e w m i n u t e s o f e x p o s u r e t o r o o m a i r w a s o b s e r v e d t o g r e a t l y d e c r e a s e t h e i r e f f i c i e n c y . I n o r d e r t o r e j u v e n a t e t h e M C P ' s C s l c o a t i n g , t w o q u a r t z h a l o g e n 5 5 W b u l b s 1 w e r e i n s t a l l e d t o l e f t a n d r i g h t o f t h e e n t r a n c e s l i t o f t h e q u e n c h r e g i o n . I t w a s t h e n p o s s i b l e t o r a p i d l y h e a t t h e f r o n t s u r f a c e s o f t h e M C P ' s u s i n g t h e s e b u l b s i n t h e v a c u u m , c a u s i n g t h e d e s o r p t i o n o f w a t e r f r o m t h e C s l c o a t i n g . I t w a s a l s o p o s s i b l e t o o b s e r v e t h e r e s p o n s e o f t h e M C P ' s t o p h o t o n s s i n c e a t e v e n l o n g e r w a v e l e n g t h s t h e r e i s s o m e s m a l l p r o b a b i l i t y o f d e t e c t i o n . F i g u r e 5 . 6 s h o w s t h e c i r c u i t r y u s e d t o r u n e a c h m i c r o c h a n n e l p l a t e . T y p i c a l l y t h e f r o n t s u r f a c e o f e a c h M C P w a s m a i n t a i n e d a t - 2 0 0 0 V , w h i c h w a s r e s p o n s i b l e f o r m a i n t a i n i n g t h e q u e n c h r e g i o n f i e l d d e s c r i b e d a b o v e . T h e h i g h v o l t a g e s s u p p l i e d t o t h e M C P ' s b y t h r e e i n d e p e n d e n t HV p o w e r s u p p l i e s w e r e e a c h i n t e r l o c k e d t o t h e s y s t e m t h a t c o n t r o l l e d t h e g a t e v a l v e a n d p h o t o m u l t i p l i e r v o l t a g e s . A s a s a f e t y m e a s u r e , e a c h s u p p l y w a s s e t s o t h a t a n i n c r e a s e i n c u r r e n t b y a b o u t 5 0 % w o u l d c a u s e i t t o s h u t o f f . 5 . 6 D A T A A C Q U I S I T I O N A N D E V E N T T R I G G E R A D i g i t a l E q u i p m e n t C o r p o r a t i o n P D P - 1 1 / 3 4 c o m p u t e r r u n n i n g t h e p r o g r a m M U L T I ( T . M i l e s , 1 9 8 3 ) a n d u s i n g s t a n d a r d C A M A C ( C A M A C , 1 9 8 2 ) w a s u s e d t o c o n t r o l v a r i o u s e x p e r i m e n t a l p a r a m e t e r s a n d t o a c q u i r e a n d r e c o r d d a t a . A s i m p l i f i e d 1 C h o s e n f o r t h e i r s m a l l s i z e . 77 CHEVRON MICRO-CHANNEL PLATE CONFIGURATION CHARGE COLLECTION PLATE JT INSIDE VACUUM TANK OUTSIDE VACUUM TANK 0 fl COAXIAL CABLE r m ! 1 rh m FERRITE BEADS MONITOR OUTPUT ( m u t t b « v t r y high i m p « d o n c « ) MV - 2 0 0 0 V SIGNAL Figure 5 . 6 : T y p i c a l c i r c u i t used t o run a micro-channel p l a t e . S p e c i f i c values of the r e s i s t a n c e s and capacitances depend on the s i z e and kin d of micro-channel p l a t e s . 7 8 l o g i c s c h e m a t i c i s s h o w n i n F i g u r e 5 . 7 . T h e e v e n t t r i g g e r h a d t h r e e r e q u i r e m e n t s ( s e e F i g u r e 5 . 7 ) . A m u o n d e t e c t e d b y t h e i n c i d e n t s c i n t i l l a t o r ( X ) s t a r t e d t h e C A M A C T D C ' s a s w e l l a s a 5 0 0 n s g a t e ( W I D E X ) d u r i n g w h i c h a p u l s e f r o m M C P B a n d f r o m o n e o r o t h e r o f M C P 1 o r M C P 2 m u s t h a v e b e e n d e t e c t e d . T h i s e v e n t t r i g g e r o b v i o u s l y a c c e p t e d m a n y m o r e e v e n t s u n l i k e l y t o b e d u e t o 2 s m u o n i u m q u e n c h i n g t h a n t h o s e l i k e l y t o b e d u e t o i t . H o w e v e r , i t w a s p o s s i b l e t o s e l e c t t h e i n t e r e s t i n g e v e n t s o f f - l i n e s i n c e t h e t i m e s o f a l l p u l s e s o n t h e M C P ' s w e r e r e c o r d e d . E a c h e v e n t r e c o r d e d ( o n m a g n e t i c t a p e ) h a d s e v e r a l a d d i t i o n a l p i e c e s o f i n f o r m a t i o n n o t m e n t i o n e d a b o v e . T h e p u l s e h e i g h t s o f t h e f o u r i n c i d e n t s c i n t i l l a t o r s a n d t h r e e M C P ' s w e r e r e c o r d e d . T h e R F f r e q u e n c y w a s m o n i t o r e d a n d r e c o r d e d a s w e r e t h e t i m e s ( r e l a t i v e t o t h e t i m e o f a p u l s e o n t h e i n c i d e n t s c i n t i l l a t o r ) o f p u l s e s o n e a c h o f t h e s c i n t i l l a t o r s o f t h e B O X a n d t h e c o l l i m a t i n g s c i n t i l l a t o r , a s w e l l a s t h e t i m e s o f t h e p r e v i o u s a n d n e x t p u l s e s i n t h e i n c i d e n t s c i n t i l l a t o r . 5 . 7 B E A M P A R A M E T E R S A N D E X P E R I M E N T A L R A T E S T h e e x p e r i m e n t w a s p e r f o r m e d a t t h e f i r s t d o u b l y a c h r o m a t i c f o c u s o f t h e s e c o n d a r y c h a n n e l M 1 3 a t T R I U M F ( O r a m , 1 9 8 l b ) . F i g u r e 5 . 8 i s a d i a g r a m o f t h e b e a m l i n e c o n f i g u r a t i o n . T h e b e a m l i n e m o m e n t u m w a s a d j u s t e d u s i n g a r e l a t i v e l y s m a l l A p / p o f 0 . 5 % i n o r d e r t o f i n d t h e p o i n t o f m a x i m u m 79 F i g u r e 5.7: S i m p l i f i e d diagram of the e l e c t r o n i c l o g i c f o r d a t a a c q u i s i t i o n . horizontal B vertical jaws beamline IA 4 target ^ IATI rvocuum valve beom blocker diagnostics^/ vertical tlit horizontal tlit-X F 3 final focus •colt 0 I 2 3fttt CD O 81 p r o d u c t i o n o f p a r t i c l e s w i t h v e l o c i t i e s b e t w e e n c / 5 0 a n d c / 1 0 0 ( s e e F i g u r e 3 . 8 ) ; i . e . p a r t i c l e s l i k e l y t o b e n e u t r a l . O n c e t h e o p t i m u m m o m e n t u m o f 1 5.4 M e V / c w a s f o u n d , t h e c h a n n e l m o m e n t u m a c c e p t a n c e w a s i n c r e a s e d t o a A p / p o f 7 % . T h e a v a i l a b l e m u o n f l u x a s a f u n c t i o n o f m o m e n t u m i s s h o w n i n F i g u r e 3 . 5 . A t 1 5.4 M e V / c t h e i n c i d e n t s c i n t i l l a t o r d e t e c t e d a p p r o x i m a t e l y 3 6 , 0 0 0 m u o n s p e r s e c o n d f o r a p r i m a r y p r o t o n c u r r e n t o f 1 0 0 * i A a t 5 0 0 M e V s t r i k i n g a 1 0 mm g r a p h i t e t a r g e t . T h e l o g i c o f F i g u r e 5 . 7 a c c e p t e d a b o u t 3 2 , 0 0 0 H z ( i . e . t h e r e w e r e 3 2 K H z W I D E X ) . B e a m p o s i t r o n s a t t h i s m o m e n t u m w e r e m u c h m o r e n u m e r o u s t h a n t h e m u o n s b u t w e r e v e t o e d b y t h e b o x s c i n t i l l a t o r s , t h e c o l l i m a t i n g s c i n t i l l a t o r , a n d t h e l o w p u l s e h e i g h t p u l s e s f r o m t h e i n c i d e n t s c i n t i l l a t o r . T h e r a w r a t e o n M C P B u n d e r t h e s e c o n d i t i o n s a v e r a g e d a b o u t 8 0 K H z a n d w a s l a r g e l y b e a m p o s i t r o n s w h i c h e n t e r e d t h e a p p a r a t u s a t a r a t e o f a b o u t 1 2 0 K H z . T h e B O X v e t o s y s t e m r e d u c e d t h i s r a t e t o j u s t 8 . 9 K H z . A b o u t h a l f o f t h i s r a t e , 4 . 2 K H z , w a s c o r r e l a t e d ( w i t h i n t h e 5 0 0 n s g a t e ) w i t h a n i n c i d e n t u*. T h i s c o r r e s p o n d e d t o 1 3 . 1 % o f t h e m u o n s i n c i d e n t o n ( X ) b e i n g d e t e c t e d b y M C P B . T h e a d d i t i o n a l t r i g g e r r e q u i r e m e n t t h a t a p u l s e b e p r e s e n t f r o m e i t h e r M C P 1 o r M C P 2 w i t h i n t h e s a m e 5 0 0 n s g a t e r e d u c e d t h e t r i g g e r r a t e t o a b o u t 1 5 H z . L a t e r a n a l y s i s s h o w e d t h a t t h e r a t e o f d e t e c t i o n o f L y m a n - a e v e n t s w a s a b o u t 8 p e r h o u r , u n d e r t h e s e c o n d i t i o n s . 6 . D A T A R E D U C T I O N A N D A N A L Y S I S 6 . 1 T I M I N G D a t a r e d u c t i o n s t a r t e d w i t h s c a n n i n g o f a l l t h e d a t a o n t a p e a n d g e n e r a t i o n o f h i s t o g r a m s o f t h e t i m i n g o f e a c h M C P a n d s c i n t i l l a t o r . P o s i t r o n s i n t h e b e a m p r o v i d e d a d e f i n i t i v e s i g n a t u r e w h i c h d e t e r m i n e d t h e r e l a t i v e t i m i n g o f a l l t h e d e t e c t o r s a n d a s s o c i a t e d e l e c t r o n i c s . I n a l l c a s e s , t i m i n g c o u l d b e d e t e r m i n e d t o b e t t e r t h a n 2 n s r e s o l u t i o n . F i g u r e 6 . 1 s h o w s a t y p i c a l t i m e - o f - f l i g h t ( t ) h i s t o g r a m f o r p a r t i c l e s b e t w e e n t h e i n c i d e n t c o u n t e r a n d M C P B . F i g u r e 6 . 2 s h o w s a t w o d i m e n s i o n a l p l o t o f t h e t i m e ( r e l a t i v e t o t h e t i m e o f d e t e c t i o n o f t h e i n c i d e n t m u o n ) o f p u t a t i v e p h o t o n d e t e c t i o n i n t h e L y m a n - a d e t e c t o r s , t ( r e l a t i v e t o t h e i n c i d e n t c o u n t e r ) , a g a i n s t t h e o v e r a l l t i m e - o f - f l i g h t f r o m t h e i n c i d e n t c o u n t e r X t o t h e b a c k c h a n n e l p l a t e M C P B , t ( a g a i n f o r a t y p i c a l r u n ) . T h e m a j o r i t y o f t h e e v e n t s i n F i g u r e 6 . 2 a r e c o n s i s t e n t w i t h t h e r a t e s e x p e c t e d f o r t h r e e r a n d o m b a c k g r o u n d s . T h e d i a g o n a l e n h a n c e m e n t l a b e l l e d ( a ) c o r r e s p o n d s t o n e a r s i m u l t a n e o u s e v e n t s o n M C P B a n d o n e o f t h e L y m a n - a d e t e c t o r s ( t f l = t ) . T h e s m a l l e r e n h a n c e m e n t l a b e l l e d ( b ) r e s u l t e d f r o m r a n d o m p u l s e s o n M C P B a n d a r e a l c o i n c i d e n c e b e t w e e n X a n d a L y m a n - a d e t e c t o r . T h a t i s , X d o e s n ' t t r i g g e r o n a l l o f t h e b e a m p o s i t r o n s a n d t h e r e f o r e n o t a l l o f t h e p o s i t r o n s w h i c h s t r i k e M C P B a r e v e t o e d b y X . O c c a s i o n a l l y o n e w i l l m a n a g e t o t r i g g e r M C P B w i t h o u t p e n e t r a t i n g t h e s c i n t i l l a t o r b o x . T h i s h a p p e n s a t r a n d o m 8 2 83 t i m e s r e l a t i v e t o muons t r i g g e r i n g X. F i n a l l y the t h i r d enhancement l a b e l l e d (c) i s the r e s u l t of random p u l s e s on the Lyman-a d e t e c t o r s i n c o i n c i d e n c e w i t h a r e a l c o i n c i d e n c e of MCPB and X. I t r e s u l t e d from decay p o s i t r o n s which stopped i n the Lyman-a d e t e c t o r s randomly i n c o i n c i d e n c e w i t h the passage of a muon between X and MCPB. The t o t a l t i m e - o f - f l i g h t t was used t o c a l c u l a t e (on the b a s i s of geometry) the f r a c t i o n of time ( t r ^ = 0.289 t ) spent i n t r a v e r s a l of the RF t r a n s m i s s i o n l i n e as w e l l as the amount of time e l a p s e d b e f o r e the p a r t i c l e e n t e r e d the quench r e g i o n . T h i s p e r m i t t e d c a l c u l a t i o n of the amount of time spent by the p a r t i c l e i n the quench r e g i o n b e f o r e i t s d e - e x c i t a t i o n photon was d e t e c t e d , t g = t f l - 0.404 t . On the b a s i s of t i m i n g , the e v e n t s c o u l d be c l a s s i f i e d and the number of e v e n t s worthy of f u r t h e r c o n s i d e r a t i o n as p o s s s i b l e 2s muonium g r e a t l y reduced. The f o l l o w i n g t i m i n g c r i t e r i a a r e i l l u s t r a t e d by F i g u r e s 6.2 and 6.3: ( i ) The t i m e - o f - f l i g h t t between X and MCPB was r e q u i r e d t o c o r r e s p o n d t o a p a r t i c l e w i t h v e l o c i t y between c/55 and c/200; i . e . , 21 ns < t < 76 ns [see F i g u r e 6.3, l a b e l ( i ) ] . ( i i ) The i n t e r v a l t ^ between e n t r y i n t o the quench r e g i o n and d e t e c t i o n of a Lyman-a photon was r e q u i r e d t o be such t h a t the p a r t i c l e had e n t e r e d the r e g i o n but had spent l e s s than 20 ns i n i t ; i . e . , 0 ns < L < 20 ns o r t - 20 ns < 0.404 t < t Q a a [see F i g u r e 6.3, l a b e l ( i i ) ] . 64 58 n i* *» r ft en « c n o-p» p> in p> e> » n n 9> p> »-pi * O n r e "b ri c % — • <-« c f te -8S » « f> - ri • C n o «»*>•-• K K o " b x: • PJ c »— i » n i • 85! -I » M PJ • -r* - r» O et n tr. 5 ig8888888S88888g88888888888888! > I S * (_ . " • c a n > r> p> f« Pi f i & m m t * m i 888888888' • » * p» p« — — f t * « } * » - z u e s i i i g u r e 6 . 1 : A t y p i c a l t i m e - o f - f l i g h t h i s t o g r a m f o r p a r t i c l e s r a v e l l i n g b e t w e e n t h e i n c i d e n t s c i n t i l l a t o r a n d M C P B . 8 5 d l ? e r t i n ;2< ; fE V ern t S " 8 * u n c t i o n o f t i n e - o f - f l i g h t a n d t i m e o f d e t e c t i o n o f a L y m a n - a p h o t o n . S e e t e x t f o r m e a n i n g s o f a , b , c 6 6 teSt)? 6 ' 3 : ^ t i m i n 9 C U t S °n t h C e v e n t s o f g^ure 6.2 (see 87 ( i i i ) The time t of d e t e c t i o n of a Lyman-a photon was r e q u i r e d t o be more than 5 ns p r i o r t o the time t t h a t the p a r t i c l e s t r u c k MCPB; i . e . , t < t - 5 ns [see F i g u r e 6.3, l a b e l ( i i i ) ] . ( i v ) No second muon a r r i v e d i n X, nor p o s i t r o n i n any of the s c i n t i l l a t o r s , b e f o r e the muon was d e t e c t e d by MCPB. F i g u r e 6.4 shows the r e s u l t of a p p l y i n g t i m i n g c r i t e r i a somewhat l o o s e r than t h o s e l i s t e d above: -10 ns < t ^ < 35 ns and 19 ns < t < 95 ns. The d a t a t o be a n a l y z e d were f i r s t r educed w i t h l o o s e t i m i n g and then the t i m i n g was " f i n e - t u n e d " t o t h a t l i s t e d above, removing 99.98% of the raw e v e n t s . F i g u r e s 6.5 and 6.6 show the e f f e c t s of the v e l o c i t y c r i t e r i a ( i ) and the t i m i n g c r i t e r i a ( i i ) and ( i i i ) . L oose r e q u i r e m e n t s on the p u l s e h e i g h t s from the i n c i d e n t s c i n t i l l a t o r X and the t h r e e MCP's s e r v e d t o reduce the background due t o p o s i t r o n s but e l i m i n a t e d o n l y a f u r t h e r 20% of the e v e n t s . V a r i a t i o n of the t i m i n g c u t s and of t h e p u l s e h e i g h t c u t s w i t h i n r e a s o n a b l e l i m i t s ( i . e . ±2 ns i n t i m e ) produced d a t a which when f i t t e d gave a Lamb s h i f t v a l u e t h a t i n no i n s t a n c e d i f f e r e d by more than 1 MHz from t h e quoted v a l u e . The numbers of events which s a t i s f i e d the above c r i t e r i a f o r each f r e q u e n c y and power l e v e l a r e l i s t e d i n T a b l e 6.1 . BB c o 3 CO C\} c * 9—4, O C o F i g u r e 6 . 4 : Events as a f u n c t i o n of 1/0 and time i n the quench region ( i . e . time of d e t e c t i o n of the Lyman-a photon l e s s the time of entry i n t o the quench r e g i o n ) . 89 F i g u r e 6.5: 2s muonium d e t e c t e d as a f u n c t i o n o f v e l o c i t y . The e f f e c t of t i m i n g c r i t e r i a f o r e n t r y i n t o the quench r e g i o n i s i l l u s t r a t e d . 9 0 oasu j»d rjunoo F i g u r e 6.6: 2s muonium d e t e c t e d as a f u n c t i o n of time from e n t r y i n t o the quench r e g i o n t o em i t a Lyman-a photon. The e f f e c t of v e l o c i t y r e q u i r e m e n t s i s i l l u s t r a t e d . 91 2 W A T T D A T A S U M M A R Y v ( M H z ) 9 0 0 1 0 6 6 1 1 4 1 1 2 2 1 1 3 6 0 1 6 0 1 C O U N T S 1 9 1 8 2 6 2 0 11 1 6 S I G N A L 5 6 . 6 5 3 . 2 7 8 . 7 5 8 . 4 5 6 . 8 4 6 . 5 1 2 . 5 W A T T D A T A S U M M A R Y v ( M H z ) 9 0 0 1 0 6 6 1 1 4 1 1 2 2 1 1 3 6 0 1 6 0 1 C O U N T S 7 8 7 4 5 4 6 7 2 9 7 2 S I G N A L 5 7 . 7 5 5 . 1 4 0 . 3 5 0 . 2 4 0 . 7 5 3 . 3 2 5 W A T T D A T A S U M M A R Y v ( M H z ) 9 0 0 1 0 6 6 1 1 4 1 1 2 2 1 1 3 6 0 1 6 0 1 C O U N T S 8 6 8 2 4 8 6 7 2 3 9 2 S I G N A L 5 8 . 7 5 2 . 7 3 1 . 9 4 2 . 4 3 6 . 7 6 0 . 3 Table 6.1: The observed numbers of counts and normalized s i g n a l s used to determine the Lamb s h i f t . 92 6 . 2 N O R M A L I Z A T I O N T h e a m o u n t o f t i m e s p e n t a c q u i r i n g d a t a a t e a c h o f t h e 1 8 p o i n t s v a r i e d b e c a u s e i t w a s d e s i r a b l e t o h a v e b e t t e r s t a t i s t i c s a t s o m e p o i n t s t h a n a t o t h e r s . F o r i n s t a n c e , t h e s i x p o i n t s f o r a n R F p o w e r o f 2 w a t t s c o n t a i n l i t t l e i n f o r m a t i o n t o d o w i t h f r e q u e n c y a n d c o u l d b e c o n s i d e r e d a s a s i n g l e d e t e r m i n a t i o n o f t h e o f f r e s o n a n c e s i g n a l w i t h s i x t i m e s t h e s t a t i s t i c s . T o c o m p a r e t h e d a t a w i t h t h e e x p e c t e d r e s o n a n c e c u r v e o n e m u s t h a v e a m e a n s o f n o r m a l i z a t i o n . T o t a l l i v e t i m e a t e a c h p o i n t w a s n o t u s e f u l a s t h e b e a m c u r r e n t c o u l d c h a n g e g r e a t l y o v e r t h e c o u r s e o f e a c h r u n a n d o f t h e e x p e r i m e n t . T h e n u m b e r o f i n c i d e n t m u o n s d e t e c t e d b y t h e i n c i d e n t s c i n t i l l a t o r a n d t h e n u m b e r o f e v e n t s r e c o r d e d o n t a p e w e r e f o u n d t o v a r y c o n s i s t e n t l y ( i . e . , t h e r a t i o w a s c o n s t a n t ) . T h e n u m b e r o f e v e n t s a t e a c h f r e q u e n c y a n d p o w e r w a s u s e d t o n o r m a l i z e t h e 2 s m u o n i u m s i g n a l o b s e r v e d . T h e r a t i o o f t h i s n o r m a l i z a t i o n t o t h e n u m b e r o f i n c i d e n t m u o n s v a r i e d b y l e s s t h a n 2 % b e t w e e n d a t a p o i n t s . T h e r e s u l t s o f a p p l y i n g t h i s n o r m a l i z a t i o n t o t h e o b s e r v e d n u m b e r o f e v e n t s t o o b t a i n t h e n o r m a l i z e d s i g n a l a r e l i s t e d i n T a b l e 6 . 1 . 6 . 3 F O R M O F T H E R E S O N A N C E C U R V E T h e n u m b e r o f 2 s m u o n i u m o b s e r v e d a t e a c h o f t h e e i g h t e e n f r e q u e n c y a n d p o w e r p a i r s , N., w a s f i t t e d t o t h e p r e d i c t e d n u m b e r F - g i v e n b y : 9 3 4 F . = b + o . a Z J d v w . f , c ( v ) [ l - R . ( v ) ] 1 1 J £.5 1 J ...(6.1) w h e r e : i s a n o r m a l i z a t i o n c o n s t a n t d e t e r m i n e d e x p e r i m e n t a l l y a s p r e v i o u s l y d i s c u s s e d i n s e c t i o n 6 . 2 f o r e a c h o f t h e e i g h t e e n d a t a p o i n t s . w . i s t h e r e l a t i v e p r o b a b l i l i t y o f p o p u l a t i n g e a c h o f J 4 t h e f o u r h y p e r f i n e s t a t e s o f t h e 2 s l e v e l . ( Z w . = 1) f 2 s i s t h e e x p e c t e d p r o b a b l i t y o f f o r m a t i o n o f 2 s m u o n i u m p e r u n i t v e l o c i t y , v s u c h t h a t / d v f 2 S ^ v ^ = 1 » a i s t h e i n t e n s i t y o f t h e 2 s s i g n a l t o b e d e t e r m i n e d b y t h e f i t t i n g p r o c e s s . b i s a f l a t ( f r e q u e n c y - a n d p o w e r - i n d e p e n d e n t b a c k g r o u n d a l s o t o b e d e t e r m i n e d b y t h e f i t t i n g p r o c e s s . R — ( v ) i s t h e f r a c t i o n o f t h e 2 s h y p e r f i n e s t a t e l a b e l l e d j w h i c h q u e n c h e s i n t h e R F r e g i o n . R i j ( v ) «= e x p [ -7. j t ( v ) ] . . . ( 6 . 2 ) T ( V ) i s t h e t i m e s p e n t i n t h e R F r e g i o n b y t h e a t o m . 7— i s t h e t o t a l t r a n s i t i o n r a t e i n d u c e d b y m i c r o w a v e s o f f r e q u e n c y a n d p o w e r f r o m t h e 2 S j ^ 2 h y p e r f i n e l e v e l j . I t i s t h e s u m o f t h e i n d i v i d u a l r a t e s f r o m s t a t e j t o e a c h o f t h e f o u r 2 p ^ 2 h y p e r f i n e l e v e l s l a b e l l e d k : 7 i j B \ s ] c i S i { { v i - v n ) 2 + r' ' 4 } " ' . . . ( 6 . 3 ) w h e r e : 94 c j k =4"1 !< kl?lJ>l2 c K r th i s t h e p o w e r d e n s i t y f o r t h e i p o i n t T = w i d t h o f t h e 2 p 1 ^ / 2 l e v e l i n " j k M H z . = e n e r g y d i f f e r e n c e o f t h e s t a t e s j a n d k ( M H z ) . T h e f r e q u e n c i e s d e p e n d o n t h e L a m b s h i f t S a n d t h e h y p e r f i n e s p l i t t i n g s o f t h e p a n d s s t a t e s h 2 p a n d h 2 g . I f w e a s s i g n a n e n e r g y v a l u e o f z e r o t o t h e 2 p ^ 2 l e v e l t h e n t h e e n e r g y l e v e l s b e c o m e : H y p e r f i n e l e v e l E n e r g y 2 3 s , / 2 I F = 1 ) 5 • h 2 s / 4 2 ' s , / 2 ( F = 0 ) S - 3 h 2 s / 4 2 3 P 1 / 2 ( F = 1 ) * h 2 p / 4 2 ' P , / 2 ( F = 0 ) - 3 h 2 p / 4 T h e t r a n s i t i o n s d r i v e n b y t h e m i c r o w a v e s f a l l i n t o t w o c a t e g o r i e s d e p e n d i n g o n t h e r e l a t i v e o r i e n t a t i o n o f t h e m u o n b e a m a n d t h e RF t r a n s m i s s i o n l i n e : ( i ) RF p o l a r i z e d p a r a l l e l t o t h e b e a m ( A n y » 0 ) T r a n s i t i o n N o m i n a l e n e r g y ( M H z ) | S , F « 1 , m F « - M > - H P f F « 1 f m F - 1 > 1 1 4 0 | S , F = 1 , m F = - 1 > - H P , F = 1 , m F = - 1 > 1 1 4 0 | S , F = 1 r m F = 0 > - * - | P , F = 0 , m F = 0 > 1 3 2 7 | S , F « = 0 , m F = 0 > - » - | P , F = 1 , m F = 0 > 5 8 1 T h e f o u r t r a n s i t i o n s a b o v e e a c h h a v e | < P | 2 | S > | 2 « 3 a 2 , . 9 5 ( i i ) R F p o l a r i z e d p e r p e n d i c u l a r t o t h e b e a m d i r e c t i o n ( A m _ = F ± 1 ) . T r a n s i t i o n N o m i n a l E n e r g y ( M H z ) | S , F = 1 , m F = + 1 > - * P , F = 1 , m F = 0 > 1 1 4 0 | S , F = 1 , m p = + l > - » * P , F = 0 , m F = 0 > 1 3 2 7 | S , F = 1 , m p = - 1 > - * • P , F = 1 , m p = 0 > 1 1 4 0 | S , F = 1 , m F = - 1 > - ^ P , F = 0 , m F = 0 > 1 3 2 7 | S , F = 1 , m F = 0 > - » - P , F = 1 , m p = 1> 1 1 4 0 | S , F = 1 , m p = 0 > - * P , F = 1 , m p = - 1 > 1 1 4 0 | S , F = 0 , m p = 0>-*- P , F = 1 , m p = 1> 5 8 1 | S , F = 0 , m p = 0 > - * - P , F > = 1 r m p = - 1 > 5 8 1 T h e e i g h t t r a n s i t i o n s a b o v e h a v e | < P | X | S > | 2 = 3 a 2 , / 2 . E q u a t i o n 6 . 1 c o u l d b e s i m p l i f i e d b y a s s u m i n g t h e v e l o c i t y d i s t r i b u t i o n t o b e a d e l t a f u n c t i o n c e n t e r e d a t a n a v e r a g e v , t h u s e l i m i n a t i n g t h e i n t e g r a l o v e r t h e d i s t r i b u t i o n o f v e l o c i t i e s i n t h e b e a m . 6 . 4 T H E F I T T I N G P R O C E D U R E T h e n u m b e r o f c o u n t s F ^ g i v e n b y 6 . 1 w a s a d j u s t e d b y v a r i a t i o n o f t h e t h r e e p a r a m e t e r s a , b , a n d S . T h e g o o d n e s s o f f i t c r i t e r i o n w a s t h a t o f m a x i m u m l i k e l i h o o d ( A p p e n d i x A ) . T h e f i t w a s f o u n d t o b e i n s e n s i t i v e t o t h e e x a c t f o r m o f t h e v e l o c i t y d i s t r i b u t i o n s o t h e v e l o c i t y d e p e n d e n c e w a s s u p p r e s s e d b y a s s u m i n g a n a v e r a g e v e l o c i t y o f c / 7 0 . F i g u r e 9 6 6 . 7 s h o w s t h e t h r e e d i m e n s i o n a l n a t u r e o f t h e r e s u l t i n g r e s o n a n c e c u r v e a s a f u n c t i o n o f R F f r e q u e n c y a n d p o w e r . F i g u r e 6 . 8 s h o w s m o r e q u a n t i t a t i v e l y t h e b e s t f i t r e s o n a n c e c u r v e . T h e o p e n d c i r c l e s s h o w t h e q u a l i t y o f t h e n o r m a l i z a t i o n ( s e e s e c t i o n 6 . 2 ) . T h e t y p i c a l n u m b e r o f c o u n t s N ^ w a s o f t h e o r d e r o f 5 0 a t e a c h d a t a p o i n t s o t h a t t h e c r i t e r i a o f m a x i m u m l i k e l i h o o d o r o f m i n i m u m x 2 w e r e i n d i s t i n g u i s h a b l e . T a b l e 6 . 2 s u m m a r i z e s , i n t e r m s o f x 2 » t h e r e s u l t s o f a v a r i e t y o f f i t s i n w h i c h d i f f e r e n t p a r a m e t e r s w e r e a l l o w e d t o v a r y f r o m t h e i r n o m i n a l v a l u e s . F i g u r e s 6 . 9 a n d 6 . 1 0 s h o w x 2 c o n t o u r s f o r v a r i a t i o n o f v a r i o u s p a r a m e t e r s i n t h e f i t t i n g f u n c t i o n . T h a t i s , X 2 = 1 c o n t o u r e n c l o s e s 6 8 % o f a l l t h e l i k e l i h o o d , x 2 = 4 e n c l o s e s 9 0 % , a n d s o o n . 6 . 5 S Y S T E M A T I C U N C E R T A I N T I E S I N T H E L A M B S H I F T M E A S U R E M E N T A l t h o u g h s y s t e m a t i c u n c e r t a i n t i e s t o t a l l e d l e s s t h a n t h e s t a t i s t i c a l u n c e r t a i n t y o f t h e L a m b s h i f t t h e y w e r e s i g n i f i c a n t . I n a f u t u r e e x p e r i m e n t o f g r e a t e r s t a t i s t i c a l a c c u r a c y t h e y w o u l d r a p i d l y d o m i n a t e . T a b l e 6 . 3 s u m m a r i z e s t h e s y s t e m a t i c u n c e r t a i n t i e s . 6 . 5 . 1 R F P O W E R U N C E R T A I N T Y T h e p o w e r t r a n s m i t t e d b y t h e R F t r a n s m i s s i o n l i n e w a s m o n i t o r e d u s i n g a H e w l e t t P a c k a r d m e t e r ( M o d e l 4 3 2 A ) . C o m p a r i s o n o f t h e r e a d i n g s o b t a i n e d b y t h i s m e t e r w i t h t h o s e F i g u r e 6.7: T h e d a t a p o i n t s a n d b e s t f i t r e s o n a n c e c u r v e a s a f u n c t i o n o f a p p l i e d R F p o w e r a n d f r e q u e n c y . 9 8 80 60 40 tn 2 20 20 1 2 WATTS o o { 60 40 20 O CO 12.5 WATTS S> o o o o o cc 800 1100 1400 FREQUENCY (MHz) 1700 F i g u r e 6 . 8 : T h e b e s t f i t r e s o n a n c e c u r v e s h o w n f o r t h e t h r e e p o w e r l e v e l s a t w h i c h d a t a w a s a c q u i r e d . T h e o p e n c i r c l e s a r e a n i n d e p e n d e n t t e s t o f t h e n o r m a l i z a t i o n ( s e e t e x t ) . rt « H 3* 3* o> n M« cr rt rr « 3* It QI9I lO H i N C •• o to <» 3* a 3 u ( I T ) ( I (A D* VI C -I C ft g rt to tn M » r t O H O M 1 H i OT r t < zr 3*01 to o i H r» o w c 3 cm cr a> to r-f« ( I 3 M . 3* rt-M . o> tn O o * (» rt to rt O »1 «• < VI tt o tf 3 »< a> • 3 o f to 3 CL ro oi rt Signal Background Laab Hyperfine apllttlng 2?U2 Mean Contrlbutlona to x2 Nuaber of degreee of Pit aaplltude aaplltude ahlft (MH«) 2 Pl/2 level (HHE) l i f e (na) 2 W 12.5 W 25 U freedoa t fi*ed 0 51.111.7 - - - 5.8 6.3 20.0 17 II 40.718.1 19.816.0 1047.0* 187b l . 6 c 4.5 2.3 3.0 16 III 43.318.3 17.216.3 1069.8 113.3 187b 1.6C 4.4 1.3 2.7 15 IV 43.718.3 17.216.3 1068.0 113.6 205 135 l . 6 c 4.4 1.2 1.6 14 V 41.2111.6 19.4110.1 1069.6 113.6 203 136 1.8 10.8 4.5 1.1 1.4 13 'Theoretical Laab ahlft of auonlua. ^Theoretical hyperfloe apllttlng of the 2P, / 2 level. cThoorotlcal 2P} / 2 aean l i f e . in 100 F i g u r e 6 . 9 : x 2 contours fo r v a r i a t i o n of the L a m b s h i f t S and the s i g n a l i n t e n s i t y , a . 101 11**1* L * 1 0 : * 2. c o n t oV r s f o r v a r i a t i o n of t h e s i g n a l i n t e n s i t y , a and background i n t e n s i t y , b. 1 0 2 S o u r c e o f s y s t e m a t i c u n c e r t a i n t y R e s u l t i n g u n c e r t a i n t y ( M H z ) 2 5 % u n c e r t a i n t y i n R F p o w e r 1 . 4 1% R F p o w e r v a r i a t i o n s p e r 1 0 0 M H z 0 . 3 f o r d a t a a t t h e s a m e n o m i n a l p o w e r 5 ° u n c e r t a i n t y i n a l i g n m e n t o f n* 1 . 3 b e a m U n c e r t a i n t y i n v e l o c i t y d i s t r i b u t i o n 0 . 1 1 G u n c e r t a i n t y i n m a g n e t i c f i e l d 0 . 1 2 % n o n l i n e a r i t y i n t h e n o r m a l i z a t i o n 1 . 0 T a b l e 6 . 3 : S u m m a r y o f t h e v a r i o u s c o n t r i b u t i o n s t o t h e s y s t e m a t i c u n c e r t a i n t y o f t h e L a m b s h i f t . 1 0 3 o b t a i n e d b y t w o o t h e r s i m i l a r m e t e r s s h o w e d t h a t t h e f a c t o r y c a l i b r a t i o n s w e r e i d e n t i c a l . A d d i t i o n a l l y t h e r e w e r e s m a l l g e o m e t r i c a l u n c e r t a i n t i e s i n t h e t o l e r a n c e s o f t h e R F r e g i o n i t s e l f . T h e p o w e r r e f l e c t e d b y t h e t r a n s m i s s i o n l i n e w a s n e g l i g i b l e . W e t h e r f o r e a s s i g n e d , v e r y c o n s e r v a t i v e l y , a n u n c e r t a i n t y o f 2 5 % t o t h e R F p o w e r d e n s i t y s e e n b y t h e m u o n i u m a s i t t r a v e r s e s t h e R F r e g i o n . 6 . 5 . 2 N O N - L I N E A R I T Y O F T H E R F P O W E R L E V E L T h e s y s t e m w h i c h m a i n t a i n e d t h e R F p o w e r a t a c o n s t a n t l e v e l t h r o u g h o u t t h e e x p e r i m e n t h a d s m a l l v a r i a t i o n s i n f r e q u e n c y r e s p o n s e . A c c o r d i n g t o t h e m a n u f a c t u r e r ' s s p e c i f i c a t i o n t h e s e n o n - l i n e a r i t i e s w e r e l e s s t h a n 0 . 1 % p e r 1 0 0 M H z . W e p e s s i m i s t i c a l l y a s s u m e d 1% p e r 1 0 0 M H z . A d d i n g d e v i a t i o n s o f t h i s m a g n i t u d e r a n d o m l y t o t h e d a t a p r o d u c e d a m a x i m u m c h a n g e o f 0 . 3 M H z i n t h e f i t t e d v a l u e o f t h e L a m b s h i f t . 6 . 5 . 3 A L I G N M E N T O F T H E R F R E G I O N A N D T H E B E A M T h e a l i g n m e n t o f t h e R F r e g i o n s o t h a t i t w a s p e r p e n d i c u l a r t o t h e m e a n b e a m d i r e c t i o n w a s c r i t i c a l . A n y m i s a l i g n m e n t b y , s a y , a n a n g l e 6, c o u l d l e a d t o a l o n g i t u d i n a l d o p p l e r shift Lv o f t h e f r e q u e n c y s e e n b y t h e m u o n i u m : Lv B v&sinQ . . . ( 6 . 4 ) 1 0 4 I n a d d i t i o n , a n y l e f t t o r i g h t a n i s o t r o p y ( i . e . , i n t h e d i r e c t i o n o f t h e R F t r a n s m i s i o n l i n e ) o f t h e e f f i c i e n c y o f d e t e c t i o n o f 2 s m u o n i u m c o u l d l e a d t o a s h i f t a s i n 6 . 4 . T h e d i v e r g e n c e o f t h e m u o n i u m e n t e r i n g t h e d e t e c t i o n r e g i o n w a s a s g r e a t a s ± 2 2 d e g r e e s . F o r t h i s r e a s o n t h e h o l e s o f M C P B w e r e a n g l e d u p w a r d ( n e i t h e r t o t h e l e f t n o r t o t h e r i g h t ) a n d t h e L y m a n - a d e t e c t o r s p l a c e d a b o v e a n d b e l o w t h e b e a m ( s o t h a t t h e r e w o u l d n o t b e a n y s y s t e m a t i c e f f i c i e n c y v a r i a t i o n w i t h 6). T h e s i m p l e p r e c a u t i o n o f r e v e r s i n g t h e R F t r a n s m i s s i o n l i n e p e r i o d i c a l l y w o u l d h a v e r e d u c e d a n y s u c h s y s t e m a t i c e f f e c t . T h e a l i g n m e n t o f t h e b e a m , t h e R F r e g i o n , a n d t h e L y m a n - a d e t e c t i o n s y s t e m w a s c a r r i e d o u t t o a n a c c u r a c y o f ± 5 d e g r e e s , t h u s c o n t r i b u t i n g 1 . 3 M H z u n c e r t a i n t y t o t h e e x p e r i m e n t a l v a l u e o f 5 f o r t h e m e a n v a l u e o f ^ = 1 / 7 0 6 . 5 . 4 V E L O C I T Y D I S T R I B U T I O N T h e s i m p l i f y i n g a s s u m p t i o n o f a s i n g l e v e l o c i t y v o f c / 7 0 c o n t r i b u t e d o n l y ± 0 . 1 M H z s y s t e m a t i c u n c e r t a i n t y . T h e e f f e c t i s s i m i l a r t o a n u n c e r t a i n t y i n t h e p o w e r l e v e l s i n c e e q u a t i o n s 6 . 1 , 6 . 2 a n d 6 . 3 s h o w t h a t t h e s i g n a l d e p e n d s o n t h e p r o d u c t o f p o w e r P ^ a n d t i m e i n t h e R F r e g i o n , T ( V ) . 6 . 5 . 5 N O R M A L I Z A T I O N U N C E R T A I N T Y T h e o p e n c i r l c e s s h o w n i n F i g u r e 6 . 8 a r e a n i n d e p e n d e n t t e s t o f t h e n o r m a l i z a t i o n . V a r i a t i o n s w e r e l e s s t h a n 2 % b e t w e e n p o i n t s . V a r i a t i o n s o f t h i s m a g n i t u d e i n t r o d u c e d 105 r a n d o m l y i n t o t h e d a t a w e r e f o u n d t o c a u s e a s h i f t i n t h e f i t t e d L a m b s h i f t v a l u e o f a t m o s t 1 M H z . T h i s c o u l d h a v e b e e n r e d u c e d b y s p l i t t i n g t h e a n a l y s i s i n t o s e v e r a l p a r t s , a s t h e l e n g t h o f t i m e s p e n t a c q u i r i n g d a t a a t c e r t a i n f r e q u e n c i e s w a s c h a n g e d o v e r t h e c o u r s e o f t h e e x p e r i m e n t a n d h e n c e t h e r e l a t i v e n o r m a l i z a t i o n o f d i f f e r e n t f r e q u e n c i e s p o s s i b l y a f f e c t e d . 6 . 6 O T H E R E F F E C T S 6 . 6 . 1 T R A N S V E R S E D O P P L E R S H I F T ( T I M E D I L A T I O N ) T i m e d i l a t i o n f o r p a r t i c l e s t r a v e l i n g a t c / 7 0 c a u s e s t h e m u o n i u m t o s e e a s l i g h t l y h i g h e r f r e q u e n c y t h a n t h e l a b o r a t o r y v a l u e . ' a t o m - " l a b " * 1 " ' * > . . . ( 6 . 5 ) T h i s a m o u n t s t o d e c r e a s i n g t h e m e a s u r e d L a m b s h i f t b y 0 . 2 M H z f o r 0 - 1 / 5 0 , w h i c h i s a n o v e r e s t i m a t e s i n c e t h e f a s t e s t p a r t i c l e s a c c e p t e d i n t h e a n a l y s i s h a d 0 • 1 / 5 5 . 6 . 6 . 2 R F S T A R K S H I F T T h e m u o n i u m a t o m s e x p e r i e n c e a n e l e c t r i c f i e l d a s t h e y t r a v e r s e t h e R F r e g i o n . T h e a v e r a g e f i e l d ( r . m . s . ) w a s ^ 5 0 P / 2 . 0 [ V / c m ] . . . ( 6 . 6 ) w h e r e P i s t h e p o w e r l e v e l t h r o u g h t h e t r a n s m i s s i o n l i n e . T h u s a t a p o w e r l e v e l o f 2 5 w a t t s t h e a v e r a g e e l e c t r i c f i e l d 1 0 6 was 1 8 V/cm v e r t i c a l l y i n the transmission l i n e . The change i n the energy i n t e r v a l i s seen to be (see equation 4 . 1 6 ) |2fa>,2 | 2 / l 6 i r S . . . ( 6 . 7 ) where 5 i s the Lamb s h i f t i n MHz and «ia - ~ e E 0 < 2 S l / 2 | Z | 2 P 1 / 2 > . . . ( 6 . 8 ) At 2 5 watts t h i s e f f e c t s h i f t s the measured energy d i f f e r e n c e upward by 0 . 5 MHz. The e f f e c t i s p r o p o r t i o n a l to the power l e v e l . 6 . 6 . 3 MAGNETIC FIELDS The c y c l o t r o n magnet at TRIUMF caused a v e r t i c a l f i e l d of approximately 1 G measured i n the RF region. A f i e l d of t h i s magnitude s h i f t s the resonance frequencies by l e s s than 0 . 1 MHz. The motional e l e c t r i c f i e l d seen by muonium moving at c / 7 0 i n t h i s f i e l d i s n e g l i g i b l e : 0 B «= 1 / 7 0 - 1 G = 0 . 0 1 4 V/cm . . . ( 6 . 9 ) 6 . 7 SUMMARY OF UNCERTAINTIES AND SYSTEMATIC EFFECTS The RF Stark s h i f t and time d i l a t i o n e f f e c t s s h i f t the observed resonance frequency upward by 0 . 3 MHz which i s th e r e f o r e subtracted from the f i t t e d value. The systematic u n c e r t a i n t i e s are b e l i e v e d to be uncor r e l a t e d . Therefore they were added i n quadrature, t o t a l l i n g 2 MHz. The s t a t i s t i c a l u n c e r t a i n t i e s , as given by the x 2contours of F i g u r e s 6 . 9 a n d 6 . 1 0 , s h o w t h a t t h e L a m b s h i f t , S, m a x i m u m l i k e l i h o o d d e t e r m i n e d i n t h i s e x p e r i m e n t i s 1 0 7 0 M H z w i t h 6 8 % c o n f i d e n c e a n d 1 0 7 0 : § • § M H z w i t h c o n f i d e n c e . 7 . C O N C L U S I O N 7 . 1 C O M P A R I S O N W I T H T H E O T H E R L A M B S H I F T M E A S U R E M E N T R e c e n t l y , a g r o u p a t L A M P F ( B a d e r s t a c h e r , 1 9 8 4 ) h a s r e p o r t e d t h e i r m e a s u r e m e n t o f t h e m u o n i u m L a m b s h i f t . U s i n g a v e r y s i m i l a r t e c h n i q u e a n d a m o r e i n t e n s e m u o n b e a m t h a n c a n b e e x t r a c t e d a t T R I U M F t h e y o b t a i n e d 5 = 1 0 5 7 1 1 g M H z w h e r e t h e u n c e r t a i n t i e s c o r r e s p o n d t o o n e s t a n d a r d d e v i a t i o n ( s e e F i g u r e 7 . 1 ) . T h e i r m u o n i u m p r o d u c t i o n r a t e s , w h e n c o r r e c t e d f o r d i f f e r e n c e s i n b e a m l i n e p a r a m e t e r s , a g r e e w i t h t h o s e o b t a i n e d h e r e . T h e m a i n d i f f e r e n c e b e t w e e n t h e t w o e x p e r i m e n t s i s i n t h e s o l i d a n g l e a c c e p t e d f r o m t h e f o i l i n t o t h e e x p e r i m e n t , w h i c h w a s m u c h h i g h e r i n t h e T R I U M F e x p e r i m e n t . T h e L A M P F r e s u l t u t i l i z e d a s m a l l e r f r a c t i o n o f t h e m u o n i u m p r o d u c e d i n t h e b e a m - f o i l i n t e r a c t i o n . O n t h e o t h e r h a n d , t h e i r L y m a n - a d e t e c t i o n s y s t e m , u s i n g p h o t o m u l t i p l i e r s i n s t e a d o f M C P ' s , c o v e r e d a l a r g e r s o l i d a n g l e ( a b o u t 3 0 % , t h r e e t i m e s g r e a t e r ) . T h e t r a n s m i s s i o n o f t h e i r M g F 2 w i n d o w a n d t h e q u a n t u m e f f i c i e n c y o f t h e p h o t o c a t h o d e i n t h e p h o t o m u l t i p l i e r s c o m b i n e d t o p r o d u c e a n a r r o w w i n d o w o f s e n s i t i v i t y a t t h e L y m a n - a w a v e l e n g t h , w i t h g o o d e f f i c i e n c y ( 1 0 % ) , a t t h e s a m e t i m e r e d u c i n g s o m e o f t h e b a c k g r o u n d s i g n a l 1 . T h e L o s A l a m o s e x p e r i m e n t m e a s u r e d , a t e a c h f r e q u e n c y , t h e d i f f e r e n c e i n t h e L y m a n - a d e t e c t i o n r a t e b e t w e e n R F ' P h o t o m u l t i p l i e r s w i t h l a r g e p h o t c a t h o d e s a n d g o o d e f f i c i e n c y i n t h e L y m a n - a r e g i o n o f t h e s p e c t r u m h a v e o n l y r e c e n t l y b e c o m e a v a i l a b l e . T h e y u s e d H a m a m a t s u t y p e R 2 0 5 0 . 1 0 8 109 F i g u r e 7 . 1 : The d a t a o b t a i n e d by B a d e r s t a c h e r et al. f o r the Lamb s h i f t t r a n s i t i o n and a s c h e m a t i c of the a p p a r a t u s used. no p o w e r o n a n d R F p o w e r o f f . T h i s r e d u c e d t h e r a t e a t w h i c h t h e y c o u l d a c q u i r e u s e f u l d a t a b y a f a c t o r o f t w o . T h e p o i n t i s t h a t t h e r e r e a l l y i s n o r e a s o n a priori t h a t R F p o w e r o f f i s a t r u e i n d i c a t i o n o f t h e l e v e l o f b a c k g r o u n d a n y m o r e t h a n s i m p l y a n o f f r e s o n a n c e f r e q u e n c y . I n f a c t i t m a y b e a w o r s e i n d i c a t i o n s i n c e t h e L y m a n - a d e t e c t i o n s y s t e m a s w e l l a s t h e e p i t h e r m a l m u o n i u m d e t e c t o r ( M C P B ) m a y b e s e n s i t i v e t o t h e R F p o w e r a n d o p e r a t e d i f f e r e n t l y a t d i f f e r e n t p o w e r l e v e l s , i n t r o d u c i n g R F f r e q u e n c y a n d p o w e r d e p e n d e n t e f f e c t s i n t o t h e d a t a . O f c o u r s e , i t i s i m p o r t a n t t o s a m p l e t h e " o f f " s t a t e , w h a t e v e r i t m a y b e , f r e q u e n t l y o v e r t h e c o u r s e o f t h e m e a s u r e m e n t t o r e d u c e s y s t e m a t i c e f f e c t s . T h e r e i s n o f r e q u e n c y d e p e n d e n t i n f o r m a t i o n i n s i m p l y t u r n i n g t h e R F p o w e r d o w n o r o f f , t h e r e f o r e t h e t o t a l a m o u n t o f t i m e s p e n t i n t h i s s t a t e s h o u l d n o t m u c h e x c e e d t h e a m o u n t o f t i m e s p e n t i n a c q u i r i n g d a t a a t a n y s i n g l e f r e q u e n c y w i t h p o w e r o n , i f o n e w i s h e s t o o p t i m i z e t h e u s e o f t h e m u o n b e a m . 7 . 2 L I M I T A T I O N S O F T H E P R E S E N T T E C H N I Q U E T h e p r e s e n t e x p e r i m e n t s c a n b e i m p r o v e d b y q u i t e s i m p l e ( b u t o f c o u r s e e x p e n s i v e ) m o d i f i c a t i o n s . T h e f i r s t o f t h e s e w o u l d i n v o l v e i n c r e a s i n g t h e s o l i d a n g l e a c c e p t a n c e o f t h e L y m a n - a d e t e c t o r s . I n p r i n c i p l e t h e R F r e g i o n c o u l d b e m a d e t r a n s p a r e n t a n d b e m o v e d i n s i d e t h e B O X s c i n t i l l a t o r . A s s u m i n g t h a t t h e b a c k c h a n n e l p l a t e c o u l d b e u s e d t o d e t e c t p h o t o n s a s w e l l , t h i s w o u l d g i v e a f a c t o r o f t e n i n c r e a s e i n t h e d e t e c t i o n e f f i c i e n c y o f L y m a n - a f r o m t h e d e - e x c i t a t i o n 111 o f t h e n=2 m u o n i u m . T h e d e t e c t i o n o f d e - e x c i t a t i o n p h o t o n s i n t h e R F r e g i o n w o u l d g i v e a n o t h e r f a c t o r o f t w o . T h e p o s s i b l e i n c r e a s e i n s o l i d a n g l e f o r c o l l e c t i o n o f m u o n i u m f r o m t h e f o i l h a s n o t b e e n c o n s i d e r e d . A s e c o n d m o d i f i c a t i o n i s r e q u i r e d i n o r d e r t o u s e t h e b a c k m i c r o - c h a n n e l p l a t e f o r d e t e c t i o n o f L y m a n - a p h o t o n s a n d , a t a l m o s t t h e s a m e t i m e , t o d e t e c t e p i t h e r m a l m u o n i u m s t r i k i n g i t . T h e c h a n n e l p l a t e s m u s t b e s e g m e n t e d s o t h a t p u l s e s f r o m d i f f e r e n t p a r t s c a n b e d i s t i n g u i s h e d . T h i s i s n o t s u c h a d i f f i c u l t t h i n g t o d o . O n l y t h e c o l l e c t i o n s h e e t b e h i n d t h e M C P n e e d b e s e g m e n t e d a n d t h e a p p r o p r i a t e m u l t i p l i c a t i o n o f t h e e l e c t r o n i c s f o r p u l s e p r o c e s s i n g i n s t a l l e d . S e g m e n t a t i o n o f t h e B O X s c i n t i l l a t o r i n a s i m i l a r p a t t e r n w o u l d a l s o b e v a l u a b l e s o t h a t d e c a y p o s i t r o n s n e e d n o t a l w a y s v e t o e v e n t s . I n f a c t , u n d e r t h e s e c i r c u m s t a n c e s i t b e c o m e s p o s s i b l e w i t h a s m a l l m o d i f i c a t i o n o f t h e B O X s c i n t i l l a t o r , o r b y u s i n g s o m e t h i n g l i k e d r i f t c h a m b e r s , t o t r a c k t h e d e c a y p o s i t r o n f r o m a m u o n s t r i k i n g a p a r t i c u l a r s e g m e n t o f M C P B a n d r e q u i r e i t s p r e s e n c e a s a f u r t h e r c r i t e r i o n i n t h e e v e n t d e f i n i t i o n , w i t h a c o r r e s p o n d i n g r e d u c t i o n i n t h e l e v e l o f b a c k g r o u n d e v e n t s . I n a l l , i t w o u l d b e p o s s i b l e w i t h l i t t l e e f f o r t t o i n c r e a s e t h e s e n s i t i v i t y o f t h e p r e s e n t e x p e r i m e n t b y a f a c t o r o f r o u g h l y 20. I f t h e a p p a r a t u s w e r e m o v e d t o a h i g h e r i n t e n s i t y m u o n b e a m a f u r t h e r f a c t o r o f f i v e i n t h e m u o n i u m p r o d u c t i o n r a t e c o u l d b e a c h i e v e d . T h u s f o r a s i m i l a r a m o u n t o f r u n n i n g t i m e o n e c o u l d e x p e c t t o m e a s u r e 1 12 t h e L a m b s h i f t t o a n a c c u r a c y o f j u s t u n d e r a m e g a h e r t z ( o n e a s s u m e s t h a t m o r e a t t e n t i o n w i l l h a v e b e e n p a i d t o s y s t e m a t i c e f f e c t s s o t h a t t h e y w i l l n o t c o n t r i b u t e t o t h e u n c e r t a i n t y t o o m u c h ) . U s i n g t h e s a m e a p p a r a t u s a n d b e a m l i n e a d j u s t e d f o r p r o t o n s o f e q u i v a l e n t r a n g e w o u l d s e r v e a s a v a l u a b l e t e s t o f s y s t e m a t i c e f f e c t s . A m e a s u r e m e n t a t t h i s l e v e l w o u l d t e s t t h e r e c o i l t e r m s i n t h e L a m b s h i f t , p e r h a p s d i s t i n g u i s h i n g t h e c a l c u l a t i o n b y O w e n f r o m t h a t y i e l d e d b y s t r a i g h t f o r w a r d a p p l i c a t i o n o f E r i c k s o n ' s m e t h o d ( s e e T a b l e 2 . 2 ) . T h e r e c o i l t e r m s a r e a b o u t 3 M H z ; i n h y d r o g e n t h e y a r e a l r e a d y t e s t e d t o g r e a t e r a c c u r a c y w h e r e t h e y a m o u n t t o a b o u t 0.4 M H z o r a b o u t 5 0 t i m e s g r e a t e r t h a n t h e s t a n d a r d d e v i a t i o n o f t h e e x p e r i m e n t a l r e s u l t s . F u r t h e r e x p e r i m e n t s o f t h i s k i n d s h o u l d b e a t t e m p t e d b u t i t m u s t b e r e c o g n i z e d t h a t t h e y a r e n o t l i k e l y t o g i v e r e s u l t s w h i c h c a n t e s t t h e c u r r e n t t h e o r y . T h e y w i l l a i d i n t h e d e s i g n a n d d e v e l o p m e n t o f n e w a n d b e t t e r t e c h n i q u e s w h i c h h o p e f u l l y w i l l e v e n t u a l l y p e r m i t a m e a s u r e m e n t t o a n a c c u r a c y c o m p a r a b l e w i t h t h e h y d r o g e n m e a s u r e m e n t s . 7 . 3 N E W M E T H O D S F O R A M U O N I U M L A M B S H I F T M E A S U R E M E N T I n o r d e r t o i n c r e a s e t h e a c c u r a c y o f a n e w L a m b s h i f t m e a s u r e m e n t t o a l e v e l w h e r e Q E D c a n b e r e a l l y t e s t e d , n e w i d e a s a r e n e e d e d . T h e r e h a s b e e n m u c h d i s c u s s i o n a l o n g t h e s e l i n e s . T h r e e a v e n u e s o f a t t a c k s u g g e s t t h e m s e l v e s . 1 1 3 T h e f i r s t i s t o l o o k f o r a n a l t e r n a t i v e m e t h o d o f m e a s u r e m e n t w h i c h w o u l d y i e l d a b e t t e r r e s u l t w i t h o u t r e q u i r i n g t h e r a t h e r d i f f i c u l t c r i t e r i a t h a t t h e R F t e c h n i q u e d o e s o f t h e m u o n i u m b e a m . V a r i o u s L a m b s h i f t m e a s u r e m e n t s h a v e b e e n m a d e u s i n g n o n - R F t e c h n i q u e s . N o t a b l e i s t h e e x p e r i m e n t o f P a l ' c h i k o v a n d S o l o k o v w h o p r o d u c e d h y d r o g e n i n t h e 2 S s t a t e a n d o b s e r v e d t h e i n t e r f e r e n c e p a t t e r n o f t h e L y m a n - a r a d i a t i o n a s i t p a s s e d t h r o u g h t w o s e p a r a t e r e g i o n s o f e l e c t r i c f i e l d . T h e e x p e r i m e n t , h o w e v e r , r e q u i r e d a w e l l c o l l i m a t e d a n d m o n o - e n e r g e t i c b e a m . S i m i l a r c o m m e n t s a p p l y t o m e t h o d s e m p l o y i n g S t a r k b e a t s ( A n d r a , 1 9 7 4 ) a n d m e t h o d s w h i c h m e a s u r e t h e a n i s o t r o p y o f t h e L y m a n - a r a d i a t i o n e m i t t e d i n a w e l l k n o w n q u e n c h i n g e l e c t r i c f i e l d ( D r a k e , 1 9 7 5 ) , d e d u c i n g t h e L a m b s h i f t f r o m t h e i m p l i e d m i x i n g o f t h e s t a t e a n d t h e a s s u m e d v a l u e o f t h e 2 P 3 / 2 ~ 2 p l / 2 e n e r 9 v d i f f e r e n c e . T h e s e c o n d a v e n u e i s t o t r y t o i m p r o v e t h e m u o n b e a m s a v a i l a b l e . T o t h i s e n d t h e r e h a v e b e e n m a n y s u g g e s t i o n s , s o m e o f w h i c h w i l l b e i n v e s t i g a t e d i n t h e n e a r f u t u r e . M o s t o f t h e s e c a n b e l o o s e l y d e s c r i b e d a s f o l l o w s . O n e p r o d u c e s u+ i n a s o l i d , a s n e a r a s p o s s i b l e t o t h e s u r f a c e . W h e t h e r t h e p r o d u c t i o n i s b y i n j e c t i o n o f h i g h e n e r g y p r o t o n s t o p r o d u c e v+ a n d t h e n , o r b y i n j e c t i o n o f » + , o r b y i n j e c t i o n o f * i + n e e d n o t c o n c e r n u s h e r e . O n e h o p e s t h a t t h e m u o n i u m c a n b e i n d u c e d t o d i f f u s e t o t h e s u r f a c e o f t h e s o l i d . P o s s i b l e m e t h o d s o f i n c r e a s i n g t h e n u m b e r o f m u o n s w h i c h r e a c h t h e s u r f a c e a r e : 114 ( i ) To heat the m a t e r i a l , t h u s i n c r e a s i n g the d i f f u s i o n r a t e . , ( i i ) To use s e m i c o n d u c t o r s w i t h a b i a s v o l t a g e a p p l i e d t o f a v o u r m i g r a t i o n of p o s i t i v e c h arges t o the s u r f a c e . ( i i i ) To use m a t e r i a l s i n which the d i f f u s i o n r a t e of hydrogen or muonium i s know t o be h i g h , such as Vanadium ( S u z u k i , 1 9 8 3 ) . The muons which r e a c h the s u r f a c e may be bound t o the s u r f a c e i n the form of muonium. However, c a r e f u l c h o i c e of the m a t e r i a l may p e r m i t the muon t o be e j e c t e d and s u b s e q u e n t l y a c c e l e r a t e d by a system of e l e c t r o s t a t i c l e n s e s where, s i n c e the i n i t i a l energy was t h e r m a l , a beam of e x c e p t i o n a l l y w e l l d e f i n e d energy, s p a t i a l e x t e n t and d i v e r g e n c e can be d e l i v e r e d t o an e x p e r i m e n t . M o d u l a t i o n of the a c c e l e r a t i n g f i e l d can even d e f i n e the t i m i n g of beam p u l s e s . The c r u x of the m a t t e r i s t o get the muons o f f the s u r f a c e . M i l l s has suggested t h a t L i F may have a f a v o u r a b l e s u r f a c e b i n d i n g p o t e n t i a l f o r muonium ( M i l l s , 1984). Other i d e a s a r e t o f l a s h t h e s u r f a c e w i t h a l a s e r tuned t o remove the muons or j u s t t o r a i s e the temperature t o encourage t h e r m a l p r o c e s s e s t o do the j o b . E s t i m a t e s of t h e p o s s i b l e e f f i c i e n c y of such schemes v a r y w i d e l y . The t h i r d a l t e r n a t i v e i s perhaps the most d i r e c t . The g r e a t e s t l o s s of e f f i c i e n c y i s i n the u t i l i z a t i o n of the muons produced from p i o n decay. S l o w i n g them down from a k i n e t i c energy of about 4.1 MeV u s i n g a degrader i s 1 1 5 i n e f f i c i e n t . U s i n g a d e g r a d e r o n e w i l l l o s e a f a c t o r o f 7 /2 { ( c / 5 0 ) / ( c / 3 ) } ' o r a b o u t 2 0 0 0 0 , i n e s c a p a b l y . S c h e m e s h a v e b e e n p r o p o s e d w h i c h c o u l d , i n p r i n c i p l e , c i r c u m v e n t t h i s l o s s . O n e e n v i s a g e s s o m e f o r m o f t i m e d e p e n d e n t e l e c t r i c f i e l d ( f o r e x a m p l e a n R F f i e l d ) , t o a c c o m p l i s h t h e d e c e l e r a t i o n o f a 4 . 1 M e V s u r f a c e m u o n b e a m . U t i l i z i n g t h e t i m e - o f - f l i g h t s p r e a d o f a b u n c h o f m u o n s , w h i c h i n c r e a s e s a s t h e y a r e t r a n s p o r t e d d o w n a b e a m l i n e , i t w o u l d b e p o s s i b l e t o s e l e c t i v e l y d e c e l e r a t e t h e f a s t e s t u+ t h e m o s t a n d a c h i e v e s o m e p h a s e s p a c e c o m p r e s s i o n . A s e c o n d m e t h o d e n v i s a g e s t h e u s e o f a s y s t e m o f m a g n e t s t o c a u s e t h e m u o n s t o u n d e r g o r e p e a t e d i n t e r a c t i o n w i t h a v e r y t h i n f o i l , s i t u a t e d i n a f i e l d f r e e r e g i o n b e t w e e n t h e m s o t h a t m o s t o f t h e m u o n s w i l l a t s o m e t i m e f o r m m u o n i u m a t t h e f o i l , w h e r e t h e m e a s u r e m e n t c a n b e p e r f o r m e d o n t h e n e u t r a l a t o m b e f o r e i t e x i t s t h e s y s t e m . S c h e m e s s u c h a s t h e s e , i f p e s s i m i s t i c a l l y e s t i m a t e d t o i n c r e a s e t h e 2 s m u o n i u m f l u x b y a f a c t o r o f 1 0 0 0 0 , w i l l i n c r e a s e t h e s t a t i s t i c a l a c c u r a c y o f t h e e x p e r i m e n t b y a f a c t o r o f 1 0 0 o v e r t h e p r e s e n t a c c u r a c y . 7 . 4 P O S S I B L E M E A S U R E M E N T O F T H E N = 2 L A M B S H I F T I N P I O K I U M R e c e n t l y , B o l t o n et al. h a v e r e p o r t e d t h e o b s e r v a t i o n o f t h e n e u t r a l a t o m » + e _ c a l l e d p i o n i u m , f o r m e d i n a b e a m - f o i l i n t e r a c t i o n a n a l g o u s w i t h t h a t e m p l o y e d i n t h i s e x p e r i m e n t . T h e p i o n , h o w e v e r , i s s h o r t l i v e d c o m p a r e d t o t h e m u o n , d e c a y i n g w i t h a m e a n l i f e t i m e o f a b o u t 2 6 n s . A l s o , t h e 1 1 6 m e c h a n i c s o f p i o n p r o d u c t i o n p r e c l u d e a n y t h i n g l i k e a s u r f a c e m u o n b e a m . I t m a y b e p o s s i b l e , h o w e v e r , t o m e a s u r e t h e L a m b s h i f t i n t h i s s y s t e m b e c a u s e t h e r e a r e f a c t o r s w h i c h m a k e t h e m e a s u r e m e n t e a s i e r . O n e f a c t o r i s t h a t t h e p i o n i s s p i n l e s s , a n d t h e r e f o r e t h e r e i s n o h y p e r f i n e s t r u c t u r e t o d e a l w i t h s o t h a t t h e r e s o n a n c e c u r v e w o u l d b e a s i n g l e r e s o n a n c e o f f u l l i n t e n s i t y . T h e o t h e r i s t h a t t h e p i o n d e c a y i n t o a l o w e n e r g y m u o n a n d a s u b s e q u e n t p o s i t r o n i s a d i s t i n c t i v e s i g n a t u r e w h i c h c a n b e e m p l o y e d e x p e r i m e n t a l l y . T h e s e s h o u l d c o m p e n s a t e f o r t h e l o s s o f f l u x d u e t o t h e s h o r t p i o n l i f e t i m e a n d t h e i n c r e a s e d b a c k g r o u n d p r o b l e m s d u e t o n e c e s s i t y o f u t i l i z i n g a h i g h e r m o m e n t u m p i o n b e a m t o g e t s u f f i c i e n t f l u x . 7 . 5 S U M M A R Y O F R E S U L T S T h e L a m b s h i f t d e t e r m i n e d b y t h i s e x p e r i m e n t w a s S = 1 0 7 0 M H z . T h e s t a t i s t i c a l u n c e r t a i n t y o f t h i s r e s u l t w a s a s y m m e t r i c : + 1 2 / - 1 5 M H z a t t h e 6 8 % c o n f i d e n c e l e v e l a n d + 2 5 / - 3 0 M H z a t t h e 9 0 % c o n f i d e n c e l e v e l . T h e t o t a l s y s t e m a t i c u n c e r t a i n t y w a s 2 M H z . T h i s r e s u l t j u s t b a r e l y a g r e e s w i t h t h e c u r r e n t l y a c c e p t e d t h e o r e t i c a l v a l u e f o r S o f 1 0 4 7 . 0 3 M H z ( O w e n 1 9 7 3 ) . T h e p r o b a b i l i t y o f t h e s a m e e x p e r i m e n t y i e l d i n g a r e s u l t d e v i a t i n g f u r t h e r ( t h a n t h e o n e o b t a i n e d ) f r o m O w e n ' s v a l u e f o r S i s a b o u t 1 4 % . I t h a s b e e n s h o w n t h a t t h e p r e s e n t t e c h n i q u e c o u l d b e u s e d t o m e a s u r e t h e n = 2 L a m b s h i f t i n m u o n i u m t o a b o u t t h e 1 M H z l e v e l . T h e p r e s e n t r e s u l t , w h i l e i t c a n p e r h a p s b e s a i d t o t e s t t h e 1 1 7 c o r r e c t n e s s o f t h e L a m b s h i f t c a l c u l a t i o n , i s o f i n s u f f i c i e n t a c c u r a c y t o t e s t t h e v a l i d i t y o f t h e QED p r e s c r i p t i o n s f o r t h e L a m b s h i f t c a l c u l a t i o n i n h y d r o g e n - l i k e s y s t e m s . S u c h t e s t s r e q u i r e m e a s u r e m e n t a t b e t t e r t h a n t h e 1 0 0 p p m l e v e l ( i . e . , t o b e t t e r t h a n 0 . 1 M H z ) . T h e p r e s e n t m e a s u r e m e n t h a s s h o w n h o w o n e m u s t p r o c e e d i n o r d e r t o a c h i e v e t h i s g o a l . I t h a s r e v e a l e d s o m e o f t h e s y s t e m a t i c e f f e c t s w h i c h m u s t b e d e a l t w i t h i n a n y m o r e a c c u r a t e m e a s u r e m e n t . F i n a l l y , i t h a s d e m o n s t r a t e d t h a t w h a t w o u l d h a v e b e e n c o n s i d e r e d i m p o s s i b l e a d e c a d e a g o h a s b e e n a c h i e v e d b e c a u s e o f t e c h n o l o g i c a l r e f i n e m e n t ; e v e n w i t h a b e a m o f 1 0 * 1 0 t i m e s l o w e r i n t e n s i t y a n d o f 1 0 * t i m e s h i g h e r v e l o c i t y a n d a 2 s d e t e c t i o n s y s t e m o f 1 0 0 t i m e s l e s s e f f i c i e n c y t h a n t h a t u s e d b y L a m b , a L a m b s h i f t m e a s u r e m e n t i n m u o n i u m i s p o s s i b l e . R E F E R E N C E S S . K . A l l i s o n , R e v . M o d . P h y s . 3 0 , ( 1 9 5 B ) 1 1 3 7 . H . H . A n d e r s o n a n d J . F . Z i e g l e r , 7 ~ / i g Stopping Powers and  Ranges of Ions in Matter, Volume 3: Hydrogen Stopping  Powers and Ranges in All Elements. ( N e w Y o r k : P e r g a m o n , 1 9 7 7 ) . ~ ~ H . A n d r a , P h y s i c a S c r i p t s 9 , ( 1 9 7 4 ) 2 5 7 . A . B a d e r s t a c h e r , V . W . H u g h e s , D . C . L u , M . W . R i t t e r , K . A . W o o d l e , M . G l a d i s c h , H . O r t h , G . z u P u t l i t z , M . E c k h a u s e , J . K a n e , a n d F . G . M a r i a m , " T h e L a m b S h i f t i n M u o n i u m " i n ATOMIC PHYSICS 9, e d i t o r s : R . S . V a n D y c k , J r . a n d E . N o r v a l F o r t s o n , ( " S i n g a p o r e : W o r l d S c i e n t i f i c P u b . C o . , 1 9 8 4 ) . A . B a d e r s t a c h e r , S . D h a w a n , P . O . E g a n , V . W . H u g h e s , D . C . L u , M . W . R i t t e r , K . A . W o o d l e , M . G l a d i s c h , H . O r t h , G . z u P u t l i t z , M . E c k h a u s e , J . K a n e , F . G . M a r i a m , a n d J . R e i d y , P h y s . R e v . L e t t . 5 2 , ( 1 9 8 4 ) 9 1 4 . J . B a i l e y , K . B o r e r , F . C o m b l e y , H . D r u m m , F . J . M . F a r l e y , J . H . F i e l d , W . F l e g e l , P . M . H a t t e r s l e y , F . K r i e n e n , F . L a n g e , E . P i c a s s o a n d W . v o n R i i d e n , P h y s . L e t t . 6 8 B , ( 1 9 7 7 ) 1 9 1 . M . B a r a n g e r , F . J . D y s o n , a n d E . E . S a l p e t e r , P h y s . R e v . 8 8 , ( 1 9 5 2 ) 6 8 0 . M . B a r a n g e r , H . A . B e t h e , a n d R . P . F e y n m a n , P h y s . R e v . 9 2 , ( 1 9 5 3 ) 4 8 2 . W . A . B a r k e r a n d F . N . G l o v e r , P h y s . R e v . 9 9 , ( 1 9 5 5 ) 3 1 7 . H . A . B e t h e , P h y s . R e v . 7 2 , ( 1 9 4 7 ) 3 3 9 . H . A . B e t h e a n d E . E . S a l p e t e r , The Quant urn Mechanics of One- and Two-Electron Atoms ( N e w Y o r k : P l e n u m , 1 9 7 7 ) . J . D . B j o r k e n a n d S . D . D r e l l , Re I ati v / s t i c Quantum Mechani cs, ( N e w Y o r k : M c G r a w H i l l , 1 9 6 4 ) . N . B o h r , P h i l . M a g . 2 6 , ( 1 9 1 3 ) 1 . N . B o h r , P h i l . M a g . 2 7 , ( 1 9 1 4 ) , 5 0 6 . P . R . B o l t o n , A . B a d e r t s c h e r , P . O . E g a n , C . J . G a r d n e r , M . G l a d i s c h , V . W . H u g h e s , D . C . L u , M . R i t t e r , a n d P . A . S o u d e r , P h y s . R e v . L e t t . , 4 7 ( 1 9 8 1 ) 1 4 4 1 . P . R . B o l t o n et a l . , u n p u b l i s h e d p r o c e e d i n g s o f t h e N i n t h I n t e r n a t i o n a l C o n f e r e n c e o n A t o m i c P h y s i c s , ( 1 9 8 4 ) . 1 1 8 119 E. B o r i e , "The Anomalous Magnetic Moment of the Leptons: Theory and S t a t u s " i n Proceedings Present Status and  Aims of Quantum Electrodynamics. (Mainz: 1 980) E. 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Tinkham, Group Theory and Quantum Mechanics, (New York: McGraw H i l l , 1964) S.Triebwasser, E. S. Dayhoff and W. E. Lamb J r . , Phys. Rev. 122 89, (1953) 98. E.A. U h l i n g , Phys. Rev. 48, (1935) 55. C. V a r e l a s and J . B i e r s a c k , N u c l . I n s t r . and Meth. 79, (1970) 213. T. A. Welton, Phys. Rev. 74, (1948) 1157. E.H. Wichmann and N.M. K r o l l , Phys. Rev. 101, (1956) 843. APPENDIX A: THE MAXIMUM LIKELIHOOD TECHNIQUE FOR A POISSON PROCESS The counts observed at each data point follow a p r o b a b i l i t y law. Let P^[x] be the pr o b a b i l i t y of observing x counts at t h the i point. If the process obeys Poisson s t a t i s t i c s P^x] = ( M X / x ! ) e " M ...(A.1) where u i s the mean number of counts observed, c a l l e d the intensity of the process. If we have n datapoints, then the t o t a l p r o b a b i l i t y of the experimental results i s n P = n U x i / x . ! )e M i i = 1 1 ...(A.2) where may vary from point to point. One parameterizes the according to some theory to predict the values for each i as a function of the independent variables of the experiment. One varies the parameters u n t i l the set of values which maximizes the t o t a l p r o b a b i l i t y P in equation A.2 i s found. It i s convenient for numerical reasons to minimize the quantity n x. -InP = -I {x.lny.-I 1 Ink - u.} i-1 1 1 k=1 ...(A.3) A change in -InP of 0.5 from i t s minimum value by var i a t i o n of the parameters corresponds to one standard deviation i f one has an approximately Gaussian p r o b a b i l i t y law, i . e . i f the number of counts observed i s greater than about 7 or 8 at each data point. More generally in t h i s s i t u a t i o n one has the r e l a t i o n that 1 23 InP = x 2 + constant 124 ...(A.4) PUBLICATIONS C.A. Fry, R.F. Kiefl, J.B.T Warren, G.A. Ludgate, C.J. Oram, P.W. Schmor, G.M. Marshall and A. Olin, The Muonium Lamb Shift Experiment, presented at the Canadian Association of Physicists Congress, Victoria, (1983). C.J. Oram, J.M. Bailey, P.W. Schmor, C.A. Fry, R.F. Kiefl, J.B. Warren, B.M. Marshall and A. Olin, Measurement of the Lamb Shift in Muonium, Physical Review Letters, 52 (1983) 910. C.J. Oram et a l . , Measurement of the Lamb Shift in Muonium, published in the proceedings of PANIC (Particles and Nuclei-Tenth International Conference), Heidelberg, July 30-August 3, (1984). C.A. Fry, G.A. Beer, G.R. Mason, R.M. Pearce, P.R. Poffenberger, and C.I. Sayre, Pionic X-rays from 1 2 , 1 3 c , Nuclear Physics, A375 (1982) 325. A. 011n et al . , Strong Interaction Shifts and Widths in Pionic lOfl^B and l*,13r,f Proceedings of the 8th ICOHEPANS, Vancouver, August 1979. B. H. Olaniyi, G.A. Beer, C.A. Fry, J.A. MacDonald, G.R. Mason, A. Olin, R.M. Pearce and P.R. Poffenberger, Pionic Kax-ray Energy and Linewidth 1n 20Ne and 22Ne, Nuclear Physics, A384 (1982) 345. C. J . Oram, C.A. Fry, J.B. Warren, R.F. Kiefl and J.H. Brewer, Observation of the 2S State of Muonium in a Vacuum, Journal of Physics B: Atomic and Molecular Physics, 14 (1981) L789. C.A. Fry, J.B. Warren, R.F. Kiefl, C.J. Oram, G.A. Ludgate, P.W. Schmor A. Olin, G.M. Marshall, B. Erickson and G. Morris, Observation of Epithermal 2S Muonium, Hyperfine Interactions, 17-19 (1984) 691. 

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