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The damping of surface water waves in containers with grooved surfaces 1975

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THE DAMPING OF SURFACE WATER WAVES IN CONTAINERS WITH GROOVED SURFACES by LORNE EDWARD GETTEL B . S c . , The U n i v e r s i t y o f B r i t i s h C o l u m b i a , 197^ A THESIS SUBMITTED IN PARTIAL FULFILMENT OF THE REQUIREMENTS FOR THE DEGREE OF MASTER OF SCIENCE in the Depa r tment of PHYS ICS We a c c e p t t h i s t h e s i s as c o n f o r m i n g to the requ i red s t a n d a r d THE UNIVERSITY OF BRITISH COLUMBIA September 1975 In present ing th is thes is in par t ia l fu l f i lment of the requirements for an advanced degree at the Un ivers i ty of B r i t i s h Columbia, I agree that the L ibrary sha l l make it f ree ly ava i l ab le for reference and study. I fur ther agree that permission for extensive copying of th is thes is for scho la r ly purposes may be granted by the Head of my Department or by h is representa t ives . It is understood that copying or p u b l i c a t i o n of th is thes is for f i n a n c i a l gain sha l l not be allowed without my writ ten pe rm i ss i on . Department of The Un ivers i ty of B r i t i s h Columbia 2075 Wesbrook Place Vancouver, Canada V6T 1W5 ABSTRACT T h e d a m p i n g , o f s u r f a c e w a v e s o n s h a l l o w w a t e r c a n be a f f e c t e d b y t h e r o u g h n e s s o f t h e c o n t a i n e r w a l l s a s w e l l a s b y s u r f a c t a n t l a y e r s p r e s e n t o n t h e a i r - w a t e r i n t e r f a c e . T h e i n c r e a s e i n t h e d a m p i n g c a u s e d b y a g r o o v e d w a v e t a n k b a s e h a s b e e n s t u d i e d b o t h t h e o r e t i c a l l y a n d e x p e r i m e n t a l l y . I n a n y e x p e r i m e n t a l i n v e s t i g a t i o n i n t o t h e e f f e c t o f s u r f a c e r o u g h n e s s on t h e d a m p i n g , s u r f a c t a n t s c a n o b s c u r e t h e e f f e c t s o f w a l l r o u g h n e s s . An e x p e r i m e n t a l t e c h n i q u e i s d e s c r i b e d t o e n a b l e t h e r e l a t i v e i m p o r t a n c e o f t h e s e t w o e f f e c t s t o be d e t e r m i n e d u n a m b i g u o u s l y . I n i t i a l l y e x p e r i m e n t s w e r e c o n d u c t e d w i t h t h e g r o o v e a m p l i t u d e much s m a l l e r t h a n t h e v i s c o u s b o u n d a r y l a y e r t h i c k n e s s . I t was f o u n d t h a t t h e i n c r e a s e i n t h e d a m p i n g c a u s e d b y t h e g r o o v e d b a s e was s m a l l (< 5% i n c r e a s e ) . T h e d a m p i n g h a s a l s o b e e n s t u d i e d f o r l a r g e a m p l i t u d e g r o o v e s on t h e b a s e o f t h e w a v e t a n k ( d i m e n s i o n s much l a r g e r t h a n t h e v i s c o u s b o u n d a r y l a y e r t h i c k n e s s ) . I t i s s h o w n t h e o r e t i c a l l y t h a t , f o r g r o o v e s o f t r i a n g u l a r o r a p p r o x i m a t e l y s i n u s o i d a l c r o s s s e c t i o n , t h e d a m p i n g i s i n c r e a s e d b y a n i i a m o u n t p r o p o r t i o n a l t o t h e t o t a l s u r f a c e a r e a o f t h e g r o o v e d s u r f a c e , a n d i s i n d e p e n d e n t o f t h e d i r e c t i o n o f f l o w w i t h r e s p e c t t o t h e g r o o v e s . T h e t h e o r e t i c a l m o d e l a p p l i e s w hen t h e g r o o v e s p a c i n g a n d a m p l i t u d e a r e s m a l l c o m p a r e d t o t h e f l u i d d e p t h a n d w a v e l e n g t h o f t h e s u r f a c e w a v e s , b u t a r e l a r g e c o m p a r e d t o t h e v i s c o u s b o u n d a r y l a y e r t h i c k n e s s . E x p e r i m e n t s w e r e c o n d u c t e d t o t e s t t h e s e p r e d i c t i o n s . By c a r r y i n g o u t o b s e r v a t i o n s on two s u r f a c e m o d e s , i t i s s h o w n t h a t t h e o b s e r v e d i n c r e a s e d d a m p i n g i s d u e t o t h e g r o o v e d s u r f a c e a l o n e a n d c a n n o t be a t t r i b u t e d t o s p u r i o u s s u r f a c t a n t e f f e c t s . I t was f o u n d e x p e r i m e n t a l l y t h a t t h e d a m p i n g was i n d e p e n d e n t o f f l o w d i r e c t i o n w i t h r e s p e c t t o t h e g r o o v e s , a n d t h e i n c r e a s e i n t h e d a m p i n g was s t r i c t l y p r o p o r t i o n a l t o t h e f r a c t i o n a l i n c r e a s e i n t h e a r e a o f t h e b a s e , i n com- p l e t e a g r e e m e n t w i t h t h e t h e o r e t i c a l p r e d i c t i o n s . i i i TABLE OF CONTENTS P a g e A B S T R A C T i i L I S T OF T A B L E S v i L I S T OF F I G U R E S v i i ACKNOWLEDGMENTS x NOMENCLATURE x i C h a p t e r 1 I N T R O D U C T I O N 1 P A R T A 2 T H E E F F E C T OF SMALL A M P L I T U D E WALL ROUGHNESS ON T H E DAMPING OF S U R F A C E WAVES 4 2.1 I n t r o d u c t i o n 4 2.2 C a l c u l a t i o n o f t h e D a m p i n g F r e q u e n c y f o r a G r o o v e d B a s e 8 3 DAMPING E X P E R I M E N T S FOR SMALL ROUGHNESS A M P L I T U D E 13 3.1 E x p e r i m e n t a l S e t - u p 13 3.2 E x p e r i m e n t a l R e s u l t s 22 i v C h a p t e r P a g e 3.3 D i s c u s s i o n 36 3.4 C o n c l u s i o n s . 4 0 P A R T B 4 THE E F F E C T OF L A R G E GROOVES ON THE DAMPING OF S U R F A C E WAVES 42 4.1 I n t r o d u c t i o n . . . 42 4.2 T h e o r y 45 4.3 C a l c u l a t i o n o f / S d A f o r G r o o v e d S u r f a c e s 50 4.4 C a l c u l a t i o n o f t h e D a m p i n g F r e q u e n c y , 62 5 DAMPING E X P E R I M E N T S FOR L A R G E A M P L I T U D E GROOVES 68 5.1 E x p e r i m e n t a l S y s t e m 68 5.2 E x p e r i m e n t a l R e s u l t s a n d D i s c u s s i o n 7 7 5.3 C o n c l u s i o n s 86 R E F E R E N C E S 87 A P P E N D I C E S A T H E G E N E R A L R E S U L T FOR T H E DAMPING F R E Q U E N C Y 89 v L I S T OF T A B L E S T a b l e P a g e 1 T h e E x p e r i m e n t a l C o n d i t i o n s f o r t h e C i r c u l a r Wave T a n k E x p e r i m e n t s 10 2 T h e E x p e r i m e n t a l C o n d i t i o n s f o r t h e S q u a r e Wave T a n k E x p e r i m e n t s 71 3 V a l u e s o f t h e D a m p i n g F r e q u e n c y 85 v i L I S T OF F I G U R E S F i g u r e P a g e 1 O r i e n t a t i o n o f d r i v e r e l e c t r o d e w i t h r e s p e c t t o t h e g r o o v e d b a s e o f t h e w a v e t a n k 7 2 C r o s s - s e c t i o n o f t h e c i r c u l a r w a v e t a n k 14 3 M o u n t i n g s y s t e m f o r t h e d r i v e r e l e c t r o d e 16 4 P l a n v i e w o f t h e o p t i c a l d e t e c t i o n s y s t e m . . . . . 19 5 P h o t o r e s i s t o r d e t e c t i o n c i r c u i t . 20 6 D a m p i n g r u n s f o r a s m o o t h a l u m i n u m b a s e 24 7 D a m p i n g r u n s f o r a g r o o v e d a l u m i n u m b a s e ( t w o s m o o t h q u a d r a n t s ) 25 8 D a m p i n g r u n s f o r 33 r . p . m . r e c o r d u s e d a s a b a s e ( t w o s m o o t h q u a d r a n t s ) 26 9 D a m p i n g r u n s f o r a g r o o v e d a l u m i n u m b a s e (" d i r t y s u r f a c e " ) 2 7 10 T h e l o g a r i t h m o f w a v e a m p l i t u d e v s t i m e f o r a s m o o t h b a s e . . 28 11 T h e l o g a r i t h m o f w a v e a m p l i t u d e v s t i m e f o r a g r o o v e d a l u m i n u m b a s e 29 v i i F i g u r e P a g e 12 T h e l o g a r i t h m o f w a v e a m p l i t u d e v s t i m e f o r a 33 r . p . m . r e c o r d u s e d a s a b a s e 30 13 T h e l o g a r i t h m o f w a v e a m p l i t u d e v s t i m e f o r a g r o o v e d a l u m i n u m b a s e ( c o n t a m i n a t e d s u r f a c e ) 31 14 D a m p i n g f r e q u e n c y v s 0 ( s m o o t h b a s e ) 32 15 D a m p i n g f r e q u e n c y v s 9 ( g r o o v e d a l u m i n u m b a s e ) . . 33 16 D a m p i n g f r e q u e n c y v s 9 ( 3 3 r . p . m . r e c o r d u s e d a s a b a s e ) 34 17 D a m p i n g f r e q u e n c y v s 9 ( g r o o v e d a l u m i n u m b a s e , c o n t a m i n a t e d s u r f a c e ) 35 18 M a p p i n g o f a p o l y g o n a l r e g i o n i n t o t h e u p p e r h a l f o f t h e w p l a n e 53 19 F e a t u r e s o f g r o o v e g e o m e t r y 55 20 C o o r d i n a t e s y s t e m u s e d f o r t h e c a l c u l a t i o n o f t h e d a m p i n g f r e q u e n c y 63 21 C r o s s - s e c t i o n o f t h e s q u a r e w a v e t a n k . 69 22 H i g h v o l t a g e w a v e f o r m g e n e r a t i o n c i r c u i t 73 23 F u n c t i o n g e n e r a t o r 74 24 T h e c o n s t r u c t i o n o f a n a r b i t r a r y w a v e f o r m u s i n g t h e f u n c t i o n g e n e r a t o r 7 6 25 D a m p i n g r u n s f o r A = 2/3 L 7 9 26 D a m p i n g r u n s f o r A = 2L 80 v i i i F i g u r e P a g e 27 T h e l o g a r i t h m o f w a v e a m p l i t u d e v s t i m e (X = 2/3 L ) 81 28 T h e l o g a r i t h m o f w a v e a m p l i t u d e v s t i m e (X = 2 L ) 82 i x ACKNOWLEDGMENTS I s i n c e r e l y w i s h t o e x p r e s s my t h a n k s t o D r . F . L . C u r z o n f o r h i s e x c e l l e n t s u p e r v i s i o n d u r i n g t h e c o u r s e o f t h i s w o r k . I w o u l d l i k e t o t h a n k R a l p h P u d r i t z f o r h i s h e l p i n c a l c u l a t i n g t h e i n v i s c i d f l o w p o t e n t i a l o v e r g r o o v e d b o u n d a r i e s . T h e a s s i s t a n c e o f J i m A a z a m - Z a n g a n e h i n t h e d e s i g n o f t h e c o u n t i n g l o g i c , a n d P e t e r C h e n who h e l p e d w i t h t h e e a r l y e x p e r i m e n t s , i s g r a t e f u l l y a c k n o w l e d g e d . I w o u l d a l s o l i k e t o t h a n k S h a r o n H a l l e r f o r a n e x c e l l e n t t y p i n g j o b . F i n a n c i a l a s s i s t a n c e f r o m t h e N a t i o n a l R e s e a r c h C o u n c i l h a s b e e n g r a t e f u l l y r e c e i v e d . T h i s w o r k was s u p p o r t e d b y a g r a n t f r o m t h e A t o m i c E n e r g y C o n t r o l B o a r d o f C a n a d a . x NOMENCLATURE a g r o o v e a m p l i t u d e f f r e q u e n c y o f s u r f a c e m o d e s i /=T k s u r f a c e mode w a v e n u m b e r I v i s c o u s b o u n d a r y l a y e r t h i c k n e s s n u n i t v e c t o r n o r m a l t o a s u r f a c e o f t h e w a v e t a n k v f l o w v e l o c i t y v 0 i n v i s c i d f l o w v e l o c i t y w c o m p l e x v a r i a b l e x , y , z p o s i t i o n c o o r d i n a t e s A a m p l i t u d e o f s u r f a c e w a v e s A 1 a r e a r a t i o B B e t a f u n c t i o n H f l u i d d e p t h J B e s s e l F u n c t i o n x i L l e n g t h o f t h e s q u a r e w a v e t a n k P f l u i d p r e s s u r e R r a d i u s o f c i r c u l a r w a v e t a n k S v i s c o u s e n e r g y d i s s i p a t i o n p e r u n i t a r e a n c o o r d i n a t e a l o n g n_ 8 a n g l e b e t w e e n t h e n o d a l l i n e o f t h e s u r f a c e w a v e a n d t h e e d g e o f o n e o f t h e g r o o v e q u a d r a n t s on t h e b a s e o f t h e w a v e t a n k X w a v e l e n g t h o f s u r f a c e mode v k i n e m a t i c v i s c o s i t y £ w a v e l e n g t h o f g r o o v e s p a c i n g p f l u i d d e n s i t y a d a m p i n g f r e q u e n c y <J> i n v i s c i d f l o w v e l o c i t y p o t e n t i a l co a n g u l a r f r e q u e n c y o f s u r f a c e mode x i i C h a p t e r 1 INTRODUCTION T h e d a m p i n g o f s u r f a c e w a v e s o n a f l u i d c a n be a f f e c t e d b y s u r f a c t a n t s on t h e f r e e s u r f a c e o f t h e f l u i d , o r b y t h e r o u g h n e s s o f t h e c o n t a i n e r w a l l s . I n t h e p a s t , w a l l r o u g h n e s s h a s b e e n u s e d , w i t h l i t t l e j u s t i f i c a t i o n , a s a c o n v e n i e n t m e a n s o f e x p l a i n i n g d i s c r e p a n c i e s b e t w e e n t h e o r y a n d e x p e r i m e n t f o r t h e d a m p i n g o f s u r f a c e w a v e s [ C a s e a n d P a r k i n s o n , 1 9 5 7 ] . I n t h i s i n v e s t i g a t i o n t h e e f f e c t o f w a l l r o u g h n e s s o n t h e d a m p i n g o f s t a n d i n g s u r f a c e w a v e s h a s b e e n e x a m i n e d . T h e s u r f a c e w a v e s u s e d i n t h i s w o r k w e r e e x c i t e d b y s p a t i a l l y i n h o m o g e n e o u s , t i m e p e r i o d i c e l e c t r i c f i e l d s a p p l i e d n o r m a l l y t o t h e f r e e f l u i d s u r f a c e . I n a l l o f t h i s , w o r k t h e w a v e a m p l i t u d e o f t h e s u r f a c e w a v e was s u f f i c i e n t l y s m a l l s o t h a t l i n e a r t h e o r y c o u l d be u s e d . T h a t i s , t h e wave a m p l i t u d e was much s m a l l e r t h a n t h e w a v e l e n g t h o f t h e s u r f a c e m o d e . T h e d i m e n s i o n s o f t h e w a l l r o u g h n e s s c a n be d i v i d e d i n t o two r e g i m e s : l a r g e r o r s m a l l e r t h a n t h e v i s c o u s b o u n d a r y l a y e r t h i c k n e s s . I n P a r t A , t h e c a s e w h e r e t h e r o u g h n e s s 1 2 a m p l i t u d e i s s m a l l e r t h a n t h e v i s c o u s b o u n d a r y l a y e r t h i c k n e s s i s e x a m i n e d . I n t h i s i n v e s t i g a t i o n a c y l i n d r i c a l w a v e t a n k i s u s e d . T h e r o u g h n e s s s t r u c t u r e i s c o n t r o l l e d b y i n s e r t i n g g r o o v e d p l a t e s on t h e b a s e o f t h e w a v e t a n k . We r e a l i z e d t h r o u g h t h e c o u r s e o f t h e s e e x p e r i m e n t s t h a t g r o o v e a m p l i t u d e s much s m a l l e r t h a n t h e v i s c o u s b o u n d a r y l a y e r t h i c k n e s s h a d l i t t l e e f f e c t on t h e d a m p i n g , c o n t r a r y t o p r e v i o u s c o n j e c t u r e [ C a s e a n d P a r k i n s o n , 1 9 5 7 ] . T h i s p r o m p t e d us t o e x a m i n e t h e a f f e c t on t h e d a m p i n g c a u s e d b y l a r g e g r o o v e s ( a >> £ ) , w h e r e a i s t h e r o u g h n e s s a m p l i t u d e , a n d I i s t h e v i s c o u s b o u n d a r y l a y e r t h i c k n e s s . I n p a r t B, we e x a m i n e t h i s c a s e b o t h t h e o r e t i c a l l y a n d e x p e r i m e n t a l l y . F o r t h e s e e x p e r i m e n t s a s q u a r e w a v e t a n k i s u s e d t o s i m p l i f y t h e a n a l y s i s . T h e g r o o v e s t r u c t u r e was c o n t r o l l e d i n t h e same m a n n e r a s i n o u r i n i t i a l e x p e r i m e n t ; a g r o o v e d p l a t e was i n s e r t e d on t h e b o t t o m o f t h e w a v e t a n k . P a r t A i s c o m p o s e d o f C h a p t e r 2 a n d 3. C h a p t e r 2 c o n s i s t s o f a n i n t r o d u c t i o n t o t h e e f f e c t s o f s u r f a c e r o u g h n e s s a n d s u r f a c t a n t l a y e r s o n t h e d a m p i n g . I n a d d i t i o n t h e d a m p i n g f r e q u e n c y i s c a l c u l a t e d f o r a w a v e t a n k b a s e w i t h two g r o o v e d q u a d r a n t s . C h a p t e r 3 d e s c r i b e s t h e e x p e r i - m e n t a l s e t u p a n d r e s u l t s f o r s m a l l g r o o v e s i z e ( a < l). P a r t B c o n s i s t s o f C h a p t e r 4 a n d 5. C h a p t e r 4 c o n s i s t s o f a g e n e r a l a p p r o a c h a p p l i c a b l e f o r d e t e r m i n i n g t h e d a m p i n g e n h a n c e m e n t c a u s e d by g r o o v e d c o n t a i n e r w a l l s . U s i n g t h i s 3 a p p r o a c h t h e d a m p i n g f r e q u e n c y i s d e t e r m i n e d f o r some g i v e n g r o o v e s t r u c t u r e s . C h a p t e r 5 d e s c r i b e s t h e e x p e r i m e n t a l s y s t e m u s e d t o c h e c k t h e p r e d i c t i o n s o f C h a p t e r 4, a n d t h e e x p e r i m e n t a l r e s u l t s a r e c o m p a r e d w i t h t h e s e p r e d i c t i o n s . In a d d i t i o n , C h a p t e r 5 a l s o c o n s i s t s o f a d i s c u s s i o n o f t h e m a j o r c o n c l u s i o n s o f t h e s e i n v e s t i g a t i o n s a n d s u g g e s t i o n s f o r f u t u r e w o r k . P A R T A 4a C h a p t e r 2 THE E F F E C T OF S M A L L A M P L I T U D E WALL ROUGHNESS ON THE DAMPING OF S U R F A C E WAVES 2.1 I n t r o d u c t i o n W a l l r o u g h n e s s h a s b e e n u s e d i n t h e p a s t [ C a s e a n d P a r k i n s o n , 1 9 5 7 ] t o e x p l a i n d i s c r e p a n c i e s b e t w e e n t h e o r y a n d e x p e r i m e n t f o r t h e d a m p i n g o f s u r f a c e w a v e s . C a s e a n d P a r k i n s o n s t u d i e d t h e d a m p i n g o f w a t e r w a v e s i n c y l i n d r i c a l v e s s e l s o f c i r c u l a r c r o s s s e c t i o n a n d f o u n d t h a t , f o r s h a l l o w w a t e r t h e d a m p i n g was a f a c t o r o f t h r e e l a r g e r t h a n t h e i r t h e o r e t i c a l v a l u e . T h e y a t t r i b u t e d t h i s d i s c r e p a n c y t o t h e s u r f a c e r o u g h n e s s o f t h e i r c y l i n d r i c a l v e s s e l s , e v e n t h o u g h t h e a m p l i t u d e ( d e p t h ) a o f t h e r o u g h n e s s s t r u c t u r e o f t h e i r v e s s e l s was s m a l l c o m p a r e d t o t h e v i s c o u s b o u n d a r y l a y e r t h i c k n e s s , I. I t i s d i f f i c u l t , h o w e v e r , t o e n v i s a g e a p h y s i c a l m e c h a n i s m w h i c h c o u l d p r o d u c e a s i g n i f i c a n t i n c r e a s e i n t h e d a m p i n g , i f a << I. E s s e n t i a l l y f o r l a m i n a r f l o w , t h e f l u i d i n c o n t a c t w i t h t h e c o n t a i n e r w a l l s i s a t r e s t i n a l a y e r o f t h i c k n e s s ~ I. F o r a << I no i n f o r m a t i o n a b o u t t h e r o u g h n e s s s t r u c t u r e s h o u l d be p r o p a g a t e d i n t o t h e f l u i d . A s s t a t e d p r e v i o u s l y , s u r f a c t a n t l a y e r s p r e s e n t on t h e a i r - w a t e r i n t e r f a c e c a n s i g n i f i c a n t l y i n c r e a s e t h e 5 d a m p i n g o f s u r f a c e w a v e s [ s e e L e v i c h , 1 9 4 1 , 1 9 6 2 ; D o r r e s t e i n , 1 9 5 1 ; a n d P i k e a n d C u r z o n , 1 9 6 8 ] . S u r f a c t a n t l a y e r s o n t h e f r e e f l u i d s u r f a c e a l t e r t h e l a t e r a l m o b i l i t y o f t h i s s u r f a c e . On s h a l l o w f l u i d s t h e d a m p i n g e s s e n t i a l l y d o u b l e s a s t h e s u r f a c e b e c o m e s l a t e r a l l y i m m o b i l i z e d ( i . e . t h e a i r - w a t e r i n t e r f a c e i s c o m p l e t e l y c o v e r e d by a s u r f a c e f i l m ) [ s e e P i k e a n d C u r z o n , 1 9 6 8 ] . T h e s u r f a c e f i l m c a n e s s e n t i a l l y be v i e w e d a s a t h i n e l a s t i c m e m b r a n e , w h i c h i s s t r e t c h e d o r c o m p r e s s e d b y t h e m o t i o n o f t h e f l u i d . T h i s r e s u l t s i n t h e a p p e a r a n c e o f a d d i t i o n a l f o r c e s a t t h e s u r f a c e w h i c h m u s t be t a k e n i n t o a c c o u n t i n t h e b o u n d a r y c o n d i t i o n s a t t h e f r e e s u r f a c e . S u r f a c t a n t l a y e r s on t h e t o p o f t h e f l u i d c a n a r i s e f r o m s u r f a c t a n t r e s i d u e s l e f t on t h e v e s s e l w a l l s w h i c h t r a v e l u p w a r d s t o t h e f r e e s u r f a c e , a n d t o r e s i d u e s d e p o s i t e d o n t h e s u r f a c e f r o m t h e a i r a b o v e i t . F o r t h e f o r m e r , t h e e f f e c t i s m o r e s e r i o u s f o r s h a l l o w f l u i d s , s i n c e t h e f r e e w a t e r s u r f a c e i s c l o s e r t o t h e c o n t a i n e r b a s e , d e c r e a s i n g t h e t i m e r e q u i r e d f o r s u r f a c t a n t s t o r e a c h t h e a i r w a t e r i n t e r f a c e . H e n c e , t h e e n h a n c e m e n t i n t h e d a m p i n g r e p o r t e d by C a s e a n d P a r k i n s o n c o u l d be d u e t o s u r f a c t a n t l a y e r s p r e s e n t o n t h e a i r - w a t e r i n t e r f a c e o r t o s u r f a c e r o u g h n e s s . I n t h i s i n v e s t i g a t i o n , we s e t o u t t o d e t e r m i n e e x p e r i m e n t a l l y t h e e f f e c t on t h e d a m p i n g o f s u r f a c e w a v e s 6 d u e t o c o n t a i n e r r o u g h n e s s s a t i s f y i n g a < £ . T h i s t a s k i s g r e a t l y c o m p l i c a t e d by t h e p r e s e n c e o f s u r f a c t a n t s , w h i c h c a n o b s c u r e r o u g h n e s s e f f e c t s . T h u s , i t i s e s s e n t i a l t o d e s i g n o u r e x p e r i m e n t s s o t h a t t h e s e two e f f e c t s c a n be s e p a r a t e d . I n t h e e x p e r i m e n t a l i n v e s t i g a t i o n u s e d t o s e p a r a t e t h e s e e f f e c t s , t h e d a m p i n g was s t u d i e d f o r a s l o s h i n g mode • e x c i t e d on s h a l l o w w a t e r i n a v e s s e l w i t h a l t e r n a t e l y r o u g h e n e d q u a d r a n t s o n t h e b a s e ( s e e F i g u r e 1 ) . I f t h e r o u g h e n e d s u r f a c e s o f t h e c o n t a i n e r do c a u s e e n h a n c e d d a m p i n g , t h e n t h e d a m p i n g f r e q u e n c y w i l l v a r y s i n u s o i d a l l y w i t h 9, w h e r e 9 i s t h e a n g l e b e t w e e n t h e n o d a l l i n e o f t h e s u r f a c e w a v e a n d t h e e d g e o f o n e o f t h e g r o o v e d q u a d r a n t s on t h e b a s e o f t h e v e s s e l ( s e e F i g u r e 1 ) . D u r i n g t h e t i m e r e q u i r e d f o r a s e r i e s o f m e a s u r e m e n t s t h e c o n d i t i o n o f t h e a i r - w a t e r i n t e r f a c e c a n c h a n g e d u e t o s u r f a c t a n t s , w h i c h w i l l a l t e r a. T h e s e v a r i a t i o n s i n a , h o w e v e r , w i l l n o t h a v e a n y a n g u l a r d e p e n d e n c e , a n d i f t h e t i m e r e q u i r e d t o m e a s u r e a i s s m a l l , t h e n t h e s e v a r i a t i o n s i n a d u e t o c h a n g e s i n s u r f a c t a n t c o n c e n t r a t i o n s h o u l d be s m a l l . In f a c t , i t was f o u n d t h a t a f o r a g i v e n v a l u e o f 9 c h a n g e s by l e s s t h a n ± 5% d u r i n g t h e t i m e r e q u i r e d t o p e r f o r m a n a n g u l a r s c a n o f o. H e n c e i f r o u g h e n e d s u r f a c e s do i n c r e a s e a by a f a c t o r o f t h r e e [ C a s e a n d P a r k i n s o n ] , t h e n i t s h o u l d be p o s s i b l e t o o b s e r v e a s i n u s o i d a l d e p e n d e n c e o f a o n 9 w h i c h i s n o t o b s c u r e d b y s u r f a c t a n t e f f e c t s . 7 F i g u r e 1. O r i e n t a t i o n o f d r i v e r e l e c t r o d e w i t h t h e g r o o v e d b a s e o f t h e w a v e t a n k . r e s p e c t t o 8 I n t h e n e x t s e c t i o n t h e d a m p i n g f r e q u e n c y i s c a l c u l a t e d f o r t h e g r o o v e d q u a d r a n t b a s e s u s e d i n t h e e x p e r i - m e n t a l s t u d y . 2.2 C a l c u l a t i o n o f t h e D a m p i n g F r e q u e n c y f o r a G r o o v e d B a s e T h e . d a m p i n g f r e q u e n c y w i l l now be c a l c u l a t e d f o r a s l o s h i n g mode f o r a s h a l l o w f l u i d i n a w a v e t a n k w i t h a p a i r o f g r o o v e d q u a d r a n t s o n t h e b a s e . T h e n o d a l l i n e o f t h e s u r f a c e w a v e i s i n c l i n e d a t a n a n g l e 6 t o t h e e d g e o f one o f t h e g r o o v e d q u a d r a n t s . - C a s e a n d P a r k i n s o n s h o w t h a t t h e d a m p i n g f r e q u e n c y c a n be w r i t t e n a s ° = aW + a B + aMS ( 2 > 1 ) w h e r e o~g, a n d a r e t h e c o n t r i b u t i o n s m a d e , r e s p e c t i v e l y b y t h e w a l l s o f t h e w a v e t a n k , t h e b a s e , a n d a t t h e f l u i d s u r f a c e , w h i c h i s a s s u m e d t o be l a t e r a l l y m o b i l e . I n a l l o f o u r e x p e r i m e n t s , h o w e v e r , t h e f l u i d s u r f a c e was l a t e r a l l y i m m o b i l e . T h e t e r m m u s t t h e n be r e p l a c e d by o " j ^ , t h e l a t e r a l l y i m m o b i l e t e r m , w h e r e a T C : = a D C o s h 2 ( k H ) ( 2 . 2 ) k = w a v e n u m b e r o f t h e s u r f a c e mode H = f l u i d d e p t h [ s e e P i k e a n d C u r z o n , 1 9 6 8 ] . 9 F o r t h e c o n d i t i o n s u s e d i n t h e e x p e r i m e n t s kH << 1 ( s e e T a b l e 1 ) , a n d ~ °"g f o r a s m o o t h b a s e . T h e f l u i d i s s h a l l o w s o t h a t a ^ / a j 5 < < c 1 a n d t h e t e r m c a n be n e g l e c t e d . T h e d a m p i n g f r e q u e n c y f o r a s m o o t h b a s e i s t h e n g i v e n by a, = 2 a I S ( 2 . 3 ) T h e d a m p i n g f r e q u e n c y i s i n g e n e r a l d e p e n d e n t u p o n t h e i n v i s c i d f l o w v e l o c i t y on t h e c o n t a i n e r w a l l s ( s e e S e c t i o n 4 . 2 ) a n d A p p e n d i x A ) a a dA ( 2 . 4 ) w h e r e v 0 i s t h e i n v i s c i d f l o w v e l o c i t y t a n g e n t i a l t o a s u r f a c e o f t h e c o n t a i n e r , a n d dA i s a n a r e a e l e m e n t o n t h e s u r f a c e . F o r a r o u g h e n e d s u r f a c e ( 2 . 4 ) i s i n c r e a s e d a c c o r d i n g t o C a s e a n d P a r k i n s o n . I t w i l l be a s s u m e d t h a t t h e r o u g h n e s s s t r u c t u r e f o r a < I d o e s n o t a l t e r t h e i n v i s c i d f l o w v e l o c i t y v . T h e d a m p i n g f r e q u e n c y f o r a r o u g h e n e d s u r f a c e c o u l d t h e n be g i v e n b y o a A' v 0 2 dA ( 2 . 5 ) w h e r e A' i s a c o n s t a n t , A 1 > 1 10 T a b l e 1 E x p e r i m e n t a l C o n d i t i o n s F e a t u r e s o f t h e w a t e r t a n k D e p t h , H R a d i u s , R K i n e m a t i c v i s c o s i t y C h a r a c t e r i s t i c s o f ' s i o s h i n g - m o d e ' D i m e n s i o n l e s s w a v e n u m b e r , kR O s c i l l a t i o n f r e q u e n c y , f D a m p i n g f r e q u e n c y OQ ( s m o o t h b a s e ) B o u n d a r y l a y e r t h i c k n e s s = /v/to ( 4 . 3 3 ± 0.01 ) cm ( 1 5 . 0 ± 0 . 1 ) cm 0.01 c m 2 s e c _ 1 1 .841 2 ( 1 . 2 2 1 ± 0.001 ) Hz ( 0 . 0 4 3 ± . 0 0 6 ) Hz 0.36 mm P r o p e r t i e s o f G r o o v e d Q u a d r a n t s a ) 33 r . p . m . r e c o r d - g r o o v e s p a c i n g b) A l u m i n i u m d i s c s - g r o o v e s p a c i n g = 0 . 0 6 3 mm = 1 mm o r 3.1 mm ( i . e . 1 / 8 " ) 11 T h e d a m p i n g f r e q u e n c y , a2 f o r t h e r o u g h e n e d q u a d r a n t s o n t h e b a s e w i l l now be c a l c u l a t e d u s i n g t h e a p p r o a c h u s e d f o r ( 2 . 5 ) , e+Tr/2 e+TT 1 + ( A 1 v 0 2 ) r d r d<j> + c 2/o- I S 9 + T T / 2 v 0 r d r d(f>- e+TT ( 2 . 6 ) v r d r deb 0 R w h e r e (r,<j>) a r e p o l a r c o - o r d i n a t e s o n t h e b a s e o f t h e w a v e t a n k a n d v 0 i s t h e t a n g e n t i a l • v e l o c i t y f o r a s l o s h i n g mode f o r a n i n v i s c i d f l u i d . F o r a s l o s h i n g mode v 0 = c o n s t a n t J i ( k r ) c o s <J> ( 2 . 7 ) w h e r e ^- J i ( k r ) = 0 a t r = R, t h e o u t e r e d g e o f t h e w a v e t a n k a r [ s e e C a s e a n d P a r k i n s o n ] . Now e l i m i n a t i n g v 0 f r o m e q u a t i o n ( 2 . 6 ) a n d u s i n g e q u a t i o n ( 2 . 3 ) t o e l i m i n a t e y i e l d s a 2 1 = 1/2 + 1 / 4 ( 1 + A ' ) - 1/2 u ( A ' - 1) S i n 20 ( 2 . 8 ) T h u s t h e d a m p i n g f r e q u e n c y s h o u l d v a r y s i n u s o i d a l l y w i t h 6 f o r t h e b a s e c o n s i d e r e d , i f r o u g h n e s s s a t i s f y i n g a < I d o e s e n h a n c e t h e d a m p i n g . 1 2 Th e e x p r e s s i o n s f o r a n d f o r a c y l i n d r i c a l w a v e t a n k w e r e d e r i v e d by C a s e a n d P a r k i n s o n . T h e y a r e k c o s e c h ( 2 k H ) ( 2 . 9 ) 0 3 S U V 2R 1 + ( s / k R ) 2 2kH 1 - ( s / k R ) 2 " s i n h ( 2 k H ) ( 2 . 1 0 ) w h e r e R i s t h e r a d i u s o f t h e wave t a n k , k i s t h e wave n u m b e r o f t h e s u r f a c e mode, H i s t h e f l u i d d e p t h , a n d OJ«~J i s t h e f r e q u e n c y c h a r a c t e r i z i n g t h e s u r f a c e m o d e . T h e w ^ y ' s a r e g i v e n b y oo s u 2 = 9 k $ u t a n h ( k $ u H) ( 2 . 1 1 ) f o r s u r f a c e g r a v i t y w a v e s . * T h e k s u s a t i s f y J s ' ( k s u R) = 0 ( 2 . 1 2 ) F o r t h e s l o s h i n g mode S = U = 1. T h e e x p l i c i t f o r m s f o r a^j a n d Og a r e m e n t i o n e d s i n c e a c o m p a r i s o n b e t w e e n p r e d i c t e d a ( l a t e r a l l y m o b i l e o r i m m o b i l e ) a n d e x p e r i m e n t a l o d e t e r m i n e s t h e c o n d i t i o n o f t h e t o p s u r f a c e o f t h e f l u i d . Note t ha t e q u a t i o n ( 2 . 1 1 ) i s the g e n e r a l d i s p e r s i o n r e l a t i o n f o r g r a v i t y waves . For an unbounded sys tem t h e r e i s o f c o u r s e no r e s t r i c t i o n s on the v a l u e s o f the wave number. C h a p t e r 3 DAMPING E X P E R I M E N T S FOR SMALL ROUGHNESS A M P L I T U D E 3.1 E x p e r i m e n t a l S e t - u p When s t u d y i n g t h e d a m p i n g o f s u r f a c e w a v e s e i t h e r t e m p o r a l o r s p a t i a l d a m p i n g c a n be c o n s i d e r e d . T e m p o r a l d a m p i n g i n v o l v e s t h e u s e o f s t a n d i n g w a v e s , w h i l e t r a v e l l i n g w a v e s a r e u s e d f o r s p a t i a l d a m p i n g . T h r o u g h o u t o u r e x p e r i - m e n t a l i n v e s t i g a t i o n s t e m p o r a l d a m p i n g h a s b e e n c o n s i d e r e d . T h e r e a r e t h r e e m a j o r a d v a n t a g e s t o t h i s a p p r o a c h . When a s t a n d i n g w a v e s y s t e m i s c o n s i d e r e d , i t i s p o s s i b l e t o d r i v e t h e s y s t e m r e s o n a n t l y t o o b t a i n a p u r e s u r f a c e m o d e , w i t h a n a m p l i t u d e t h a t c a n e a s i l y be d e t e c t e d . T h e wave a m p l i t u d e d e t e c t o r f o r s u c h a s y s t e m c a n be a t a f i x e d p o s i t i o n a n d o n l y o n e d e t e c t o r i s r e q u i r e d . S p a t i a l d a m p i n g r e q u i r e s w a v e t a n k d i m e n s i o n s o f a t l e a s t t h e o r d e r o f t h e d a m p i n g l e n g t h , w h i c h i s much l a r g e r t h a n t h e w a v e l e n g t h o f t h e s u r f a c e m o d e . T h i s n e c e s s i t a t e s l a r g e s y s t e m s , w h i c h i s n o t t h e c a s e f o r t e m p o r a l d a m p i n g . T h e g e o m e t r y o f t h e w a v e t a n k i s s h o w n i n F i g u r e 2. T h e t a n k i s made f r o m a s e c t i o n o f a n o l d g l a s s b e l l j a r w i t h 13 14 a x i s ! e l e c t r o d e J w a t e r i— i I F i g u r e 2. C r o s s - s e c t i o n o f t h e c i r c u l a r w a v e t a n k . 1 5 t h e e n d s g r o u n d p a r a l l e l t o e a c h o t h e r . T h e l o w e r e n d o f t h e t a n k i s s e a l e d t o a c o p p e r s h e e t b y a s i l i c o n e a d h e s i v e on t h e o u t s i d e s u r f a c e o f t h e t a n k . T h e c o p p e r s h e e t i s m o u n t e d on a c o n v e n t i o n a l l e v e l l i n g t a b l e f i t t e d w i t h t h r e e a d j u s t a b l e l e g s . T h e d e p t h o f w a t e r i n t h e t a n k c a n be m e a s u r e d a t a n y l o c a t i o n by a m i c r o m e t e r d e p t h g a u g e . T h i s d e v i c e , t o g e t h e r w i t h t h e t h r e e a d j u s t a b l e l e g s , e n a b l e s t h e f r e e s u r f a c e o f t h e f l u i d t o be a l i g n e d p a r a l l e l t o t h e b a s e o f t h e wave t a n k t o a n a c c u r a c y o f a p p r o x i m a t e l y 0.04 cm. T h e w a v e s a r e e x c i t e d b y a h o r i z o n t a l e l e c t r o d e m o u n t e d a b o v e t h e f l u i d s u r f a c e ( F i g u r e 2 ) . T h e e l e c t r o d e i s made f r o m a h e x a g o n a l p i e c e o f p r i n t e d c i r c u i t b o a r d w i t h a 1.4 cm w i d e s t r i p o f c o p p e r r e m o v e d f r o m o n e d i a m e t e r . A v e r t i c a l v a n e i s m o u n t e d b e l o w t h e e l e c t r o d e a l o n g a d i a m e t e r a t r i g h t a n g l e s t o t h e i n s u l a t i n g s t r i p . T h e v a n e s u p p r e s s e s s p u r i o u s s l o s h i n g m o d e s w h i c h c a u s e d some p r o b l e m s i n o u r e a r l y e x p e r i m e n t s ( s e e D i s c u s s i o n ) . T h e e l e c t r o d e j u s t f i t s i n s i d e t h e w a v e t a n k a n d i s s u s p e n d e d f r o m a l u c i t e f r a m e w h i c h i s f i x e d a c r o s s t h e t o p o f t h e t a n k . T h e s u s p e n s i o n s y s t e m c o n s i s t s o f t h r e e s p r i n g l o a d e d m i c r o m e t e r s m o u n t e d a t t h e v e r t i c e s o f a n e q u i l a t e r a l t r i a n g l e ( F i g u r e 3 ) . A f t e r t h e t a n k i s l e v e l , t h r e e i d e n t i c a l g a u g e p i n s a r e p l a c e d on t h e b o t t o m a n d t h e m i c r o m e t e r s a r e a d j u s t e d u n t i l t h e e l e c t r o d e j u s t r e s t s o n t h e p i n s . T h e f r a m e a n d e l e c t r o d e a r e t h e n r e m o v e d s o t h a t 16 r t f J [ * J T - M i c r o m e t e r r ? . \ \ \ \ \ v W W W W M k ] E l e c t r o d e I N . -V X V N Y X X _ .V... -V V V ^ N. X i W a l l F i g u r e 3. M o u n t i n g s y s t e m f o r t h e d r i v e r e l e c t r o d e . ( a ) P l a n v i e w o f m i c r o m e t e r s u p p o r t f r a m e . ( b ) T h e m i c r o m e t e r l e v e l l i n g s y s t e m . 1 7 t h e m e t a l g a u g e p i n s c a n be t a k e n o u t o f t h e t a n k . When t h e e l e c t r o d e a n d h o l d e r a r e r e p l a c e d , c h e c k s w i t h a t r a v e l l i n g m i c r o s c o p e show t h a t t h e e l e c t r o d e a n d w a t e r s u r f a c e a r e s p a c e d by a c o n s t a n t d i s t a n c e o f ~ 1 cm ± 0.1 mm. T h e e l e c t r o d e p l a t e c a n be r o t a t e d a b o u t a v e r t i c a l a x i s , a n d a n g u l a r p o s i t i o n c a n be m e a s u r e d t o a n a c c u r a c y o f ± 1 ° w i t h a p r o t r a c t o r s c a l e f i x e d a r o u n d t h e u p p e r e d g e o f t h e w a v e t a n k . By a p p l y i n g a t i m e d e p e n d e n t h i g h v o l t a g e t o o n e - h a l f o f t h e e l e c t r o d e s l o s h i n g m o d e s c a n be e x c i t e d on t h e w a t e r s u r f a c e . T h e n o d a l l i n e o f t h e w a v e i s a l o n g t h e i n s u l a t e d d i a m e t e r o f t h e e l e c t r o d e , w h i c h c a n be s e t a t a n y c o m p a s s d i r e c t i o n by r o t a t i n g t h e p l a t e a b o u t i t s v e r t i c a l a x i s . T h e f r e q u e n c y o f t h e h i g h v o l t a g e w a v e f o r m i s a d j u s t e d t o r e s o n a t e w i t h t h e s l o s h i n g mode (~ 1.22 Hz i n o u r e x p e r i m e n t ) . T h i s r e s u l t i s a p p r o x i m a t e l y d e t e r m i n e d f r o m e q u a t i o n ( 2 . 1 1 ) , w h e r e k s a t i s f i e s e q u a t i o n ( 2 . 1 2 ) . T h e s l o s h i n g mode c o n s i d e r e d i s t h e f u n d a m e n t a l a n d f o r t h i s kR = 1 . 8 4 . T h e d i s p e r s i o n r e l a t i o n g i v e n by ( 2 . 1 1 ) i s n o t c o m p l e t e l y c o r r e c t when an e l e c t r i c f i e l d i s a p p l i e d n o r m a l l y t o t h e s u r f a c e ; t h e r e i s a s m a l l a d d i t i o n a l t e r m i n t h e d i s p e r s i o n r e l a t i o n p r o p o r t i o n a l t o - E 2 ( w h e r e E = e l e c t r i c f i e l d ) ( s e e I o n i d e s t h e s i s ) . T h i s s h i f t s t h e r e s o n a n t f r e q u e n c y by a s m a l l a m o u n t . O n c e t h e E f i e l d i s s h u t o f f , h o w e v e r , t h e s u r f a c e m o d e s o s c i l l a t e a t t h e n a t u r a l f r e q u e n c y g i v e n by e q u a t i o n ( 2 . 1 1 ) . T h e f o r m o f t h e h i g h v o l t a g e 1 8 w a v e f o r m u s e d i s g i v e n by V = V 0 ( l + c o s o j t ) ^ . T h e H.V. w a v e f o r m g e n e r a t o r e s s e n t i a l l y c o n s i s t s o f a r o t a r y s w i t c h w i t h a p p r o p r i a t e r e s i s t o r n e t w o r k s t o p r o d u c e t h e w a v e f o r m g i v e n a b o v e . C o m p l e t e d e t a i l s o f t h i s g e n e r a t o r a r e g i v e n i n [ I o n i d e s T h e s i s , 1 9 7 2 ] a n d [ P h i l l i p s a n d C u r z o n , 1 9 7 3 ] a n d w i l l n o t be s t a t e d h e r e . The maximum v o l t a g e u s e d i s 5KV, w h i c h p r o d u c e s a w a v e a m p l i t u d e o f ~ 2 mm on t h e w a t e r s u r f a c e . T h e wave a m p l i t u d e i s o b s e r v e d w i t h a m i c r o s c o p e ( m a g n i f i c a t i o n x 3 5 ) f o c u s e d on t h e a i r w a t e r i n t e r f a c e a t a d i s t a n c e o f - 2 cm i n f r o m t h e w a l l o f t h e w a v e t a n k . T h e m i c r o s c o p e c a n be d i s p l a c e d h o r i z o n t a l l y t o e n s u r e t h a t i t i s n e v e r f o c u s e d on t h e w a t e r s u r f a c e a l o n g a n o d a l l i n e . T h e e y e p i e c e o f t h e m i c r o s c o p e i s f i t t e d w i t h a p h o t o r e s i s t o r . A n o t h e r p h o t o r e s i s t o r m o n i t o r s a c o n s t a n t l i g h t s o u r c e b e h i n d t h e w a v e t a n k u s e d t o i l l u m i n a t e t h e t a n k ( s e e F i g u r e 4 ) . A f t e r p r o c e s s i n g o f t h e s e two s i g n a l s ( s e e F i g u r e 5 ) , t h e y a r e a p p l i e d t o a d i f f e r e n t i a l a m p l i f i e r ( T e k t r o n i x s t o r a g e o s c i l l o s c o p e ( 5 4 9 ) e q u i p p e d w i t h a 1A2 d i f f e r e n t i a l a m p l i f i e r ) . T h i s p r o c e d u r e e l i m i n a t e s n o i s e s i g n a l s common t o b o t h i n p u t s . F o r c o m p l e t e d e t a i l s o f t h i s m e a s u r i n g s y s t e m s e e [ I o n i d e s , 1 9 7 2 ; C u r z o n a n d P h i l l i p s , 1 9 7 3 ] . T h e g r o o v e d s u r f a c e on t h e b a s e o f t h e w a v e t a n k i s p r o d u c e d b y i n s e r t i n g s u i t a b l y g r o o v e d d i s c s a n d t a p i n g t h e m down t o t h e b a s e o f t h e t a n k w i t h v i n y l t a p e . T h i s 19 FLUORESCENT LAMP MICROSCOPE AMD PHOTORESISTOR WAVE TANK F i g u r e 4. P l a n v i e w o f t h e o p t i c a l d e t e c t i o n s y s t e m . 120 V 20 + I20_Y PHOTORESISTOR DETECTOR DIFFERENTIAL AMPLIFIER PHOTORESISTOR DETECTOR b F i g u r e 5. P h o t o r e s i s t o r d e t e c t i o n c i r c u i t . ( a ) C i r c u i t o f o n e o f t h e p h o t o r e s i s t o r d e t e c t o r s , ( b ) D i f f e r e n t i a l p h o t o r e s i s t o r n e t w o r k . 21 p r o c e d u r e i s n e c e s s a r y i n o r d e r t o p r e v e n t a n o m a l o u s w a v e d a m p i n g c a u s e d by s e e p a g e o f w a t e r u n d e r t h e g r o o v e d d i s c ( s e e D i s c u s s i o n ) . A n u m b e r o f d i f f e r e n t g r o o v e d d i s c s w e r e u s e d i n t h e s e e x p e r i m e n t s . I n a l l c a s e s t h e g r o o v e a m p l i t u d e was s m a l l e r o r a t l e a s t ~ b o u n d a r y l a y e r t h i c k n e s s I. F o r s m a l l g r o o v e w i d t h s a n d a m p l i t u d e s we u s e d p h o n o g r a p h r e c o r d s ( 3 3 r . p . m . ) . T h e g r o o v e s o f a p a i r o f o p p o s i t e q u a d r a n t s w e r e e l i m i n a t e d by v a r n i s h i n g t h e s e r e g i o n s . F o r g r o o v e w i d t h s l a r g e r t h a n ~ 0.5 mm we c u t c o n c e n t r i c g r o o v e s on a n a l u m i n u m p l a t e (~ 5 mm t h i c k ) , u s i n g a l a t h e . G r o o v e s i n two o p p o s i t e q u a d r a n t s w e r e r e m o v e d , u s i n g a m i l l i n g m a c h i n e . T o p e r f o r m t h e e x p e r i m e n t , s u r f a c e w a v e s w e r e e x c i t e d w i t h t h e w a v e g e n e r a t i o n e l e c t r o d e . O n c e t h e w a v e a m p l i t u d e h a s s t a b i l i z e d , t h e g e n e r a t o r was s w i t c h e d o f f , a n d t h e d e c a y o f w a v e a m p l i t u d e was o b s e r v e d on t h e s t o r a g e o s c i l l o s c o p e . By j u d i c i o u s l y c h a n g i n g t h e g a i n o f t h e o s c i l l o s c o p e a m p l i f i e r d u r i n g t h e c o u r s e o f t h e d e c a y , t h e s i g n a l c o u l d be k e p t l a r g e e n o u g h t o e n s u r e a c c u r a t e m e a s u r e - m e n t . T h e d a m p i n g f r e u q e n c y was d e t e r m i n e d f r o m t h e s l o p e o f t h e l o g a r i t h m i c p l o t o f t h e w a v e a m p l i t u d e a s a f u n c t i o n o f t i m e . 22 3 . 2 E x p e r i m e n t a l R e s u l t s E x p e r i m e n t s w e r e i n i t i a l l y c o n d u c t e d t o d e t e r m i n e t h e d a m p i n g f r e q u e n c y f o r a s l o s h i n g mode w i t h a s m o o t h b a s e . T h i s was d o n e t o d e t e r m i n e t h e c o n d i t i o n o f t h e t o p s u r f a c e o f t h e f l u i d . I t was f o u n d e x p e r i m e n t a l l y t h a t a 0 = 0 . 0 4 3 ± 0 . 0 0 6 s e c " ' 1 , - w h e r e - a o i s t h e d a m p i n g f r e q u e n c y f o r a s m o o t h b a s e . T h e r e was q u i t e a l a r g e v a r i a t i o n i n a f r o m r u n t o r u n , d e p e n d i n g o n t h e c o n d i t i o n o f t h e d i s t i l l e d w a t e r . T h i s r e s u l t c o m p a r e d f a v o u r a b l y w i t h t h e p r e d i c t e d l a t e r a l l y i m m o b i l e r e s u l t f o r a . U s i n g e q u a t i o n s ( 2 . 2 ) , ( 2 . 9 ) , a n d ( 2 . 1 0 ) , t h i s p r e d i c t e d r e s u l t was a = 0 . 0 4 5 6 , f o r t h e e x p e r i m e n t a l c o n d i t i o n s g i v e n i n T a b l e 1. T h u s t h e f l u i d s u r f a c e u s e d i n o u r e x p e r i m e n t s was l a t e r a l l y i m m o b i l e . E x p e r i m e n t s w e r e t h e n c o n d u c t e d t o d e t e r m i n e t h e d a m p i n g f r e q u e n c y f o r a s l o s h i n g mode w i t h a g r o o v e d d i s c , a s d e s c r i b e d i n S e c t i o n ( 3 . 1 ) , s e c u r e d o n t h e b o t t o m o f t h e w a v e t a n k . W i t h s u c h a b a s e , a c c o r d i n g t o o u r c a l - c u l a t i o n i n S e c t i o n ( 2 . 2 ) , t h e d a m p i n g f r e q u e n c y s h o u l d v a r y s i n u s o i d a l l y w i t h 0, w h e r e 0 i s t h e a n g l e b e t w e e n t h e n o d a l l i n e o f t h e s l o s h i n g mode a n d a n e d g e o f t h e g r o o v e d q u a d r a n t ( s e e F i g u r e 1 ) . I n o u r e a r l y e x p e r i m e n t s we o b s e r v e d t h a t a v a r i e d w i t h 0 ( l a r g e v a r i a t i o n s up t o - 2 a 0 ) , a n d t h u s we t h o u g h t we h a d e s t a b l i s h e d a n e f f e c t a t t r i b u t a b l e t o s u r f a c e r o u g h n e s s . T h i s t u r n e d o u t , h o w e v e r , n o t t o be t h e c a s e . T h e v a r i a t i o n 23 i n a w i t h 0 was i n f a c t c a u s e d by e i t h e r w a t e r g e t t i n g u n d e r t h e g r o o v e d b a s e o r t h e e x c i t a t i o n a n d i n t e r a c t i o n o f s p u r i o u s m o d e s . T h e s e e p a g e o f w a t e r u n d e r c e r t a i n p a r t s o f t h e d i s c w o u l d r e s u l t i n e n h a n c e d d a m p i n g when t h e f l o w v e l o c i t y was a t a maximum o v e r t h e s e r e g i o n s . When t h e f l o w a d i r e c t i o n was v a r i e d , t h e e n h a n c e m e n t w o u l d a l s o v a r y , r e s u l t i n g i n a n a n g u l a r v a r i a t i o n i n a. I n o u r e a r l y e x p e r i m e n t s ( w i t h o u t t h e v a n e p r e s e n t ) i t was n o t e d f o r c e r t a i n f l o w d i r e c t i o n s t h a t t h e r e was a n i n c r e a s e i n w a v e a m p l i t u d e a f t e r a n i n i t i a l d e c a y p e r i o d , f o l l o w i n g t h e r e m o v a l o f t h e e l e c t r i c f i e l d . T h i s b e h a v i o u r was d u e t o t h e i n t e r a c t i o n o f s p u r i o u s m o d e s ( s e e D i s c u s s i o n ) . When t h e v a n e , d e s c r i b e d p r e v i o u s l y , was u s e d t h e i n c r e a s e i n t h e a m p l i t u d e o f a n i n i t i a l l y d e c a y i n g w a v e , was e l i m i n a t e d . D a m p i n g r u n s w e r e c o n d u c t e d w i t h d i f f e r e n t g r o o v e d b a s e s a s w e l l a s w i t h a s m o o t h b a s e . T y p i c a l o s c i l l o s c o p e o u t p u t s d i s p l a y i n g w a v e a m p l i t u d e a s a f u n c t i o n o f t i m e a r e s h o w n i n F i g u r e ( 6 - 9 ) . I n F i g u r e s ( 1 0 - 1 3 ) t h e l o g a r i t h m i c p l o t s o f w a v e a m p l i t u d e a s a f u n c t i o n o f t i m e f o r t h e v a r i o u s b a s e s a r e g i v e n . I n F i g u r e ( 1 4 - 1 7 ) t h e d a m p i n g f r e q u e n c y a i s p l o t t e d a s a f u n c t i o n o f 0 f o r e a c h b a s e ( s m o o t h a l u m i n u m b a s e , 33 r . p . m . r e c o r d w i t h two s m o o t h v a r n i s h e d q u a d r a n t s , a n d g r o o v e d a l u m i n u m p l a t e w i t h two s m o o t h q u a d r a n t s ) . T h e r e s u l t s f o r t h e s m o o t h a l u m i n u m b a s e s h o w t h a t t h e w a v e t a n k d o e s n o t p o s s e s s a n y d i r e c t i o n a l d a m p i n g p r o p e r t i e s . We a l s o f i n d no s i n u s o i d a l v a r i a t i o n i n a w i t h 0 24a F i g u r e 6. D a m p i n g r u n s f o r a s m o o t h a l u m i n u m b a s e ( h o r i -z o n t a l s c a l e 5 s e c / d i v ) . ( a ) e = 0 ° ( v e r t . 0 . 2 , 0 . 1 ' a n d 0.05 v / d i v ) ( b ) 6 = 4 5 ° ( v e r t . 0 . 2 , 0.1 a n d 0.05 v / d i v ) ( c ) 0 = 9 0 ° ( v e r t . 0 . 5 , 0.2 a n d 0.1 v / d i v )  2 5a F i g u r e 7. D a m p i n g r u n s f o r a g r o o v e d a l u m i n u m b a s e ( h o r i -z o n t a l 5 s e c / d i v ) . ( a ) 6 = 0 ° ( v e r t . 0 . 5 , 0.2 a n d 0.1 v / d i v ) ( b ) 9 = 4 5 ° ( v e r t . 0 . 5 , 0.2 a n d 0.1 v / d i v ) ( c ) 6 = 9 0 ° ( v e r t . 0 . 2 , 0.1 a n d 0.05 v / d i v ) 25b 2 6 a F i g u r e 8. D a m p i n g r u n s f o r 33 r . p . m . r e c o r d u s e d a s a b a s e ( h o r i z o n t a l 5 s e c / d i v ) . ( a ) 8 = 0 ° ( v e r t . 0 . 2 , 0 . 1 , 0.05 v / d i v ) ( b ) 8 = 3 0 ° ( v e r t . 0 . 2 , 0 . 1 , 0.05 v / d i v ) ( c ) 8 = 6 0 ° ( v e r t 0 . 5 , 0 . 2 , 0 . 1 , 0.05 v / d i v ) ( d ) 8 = 9 0 ° ( v e r t . 0 . 2 , 0 . 1 , 0.05 v / d i v )  D a m p i n g r u n s f o r a g r o o v e d a l u m i n u m b a s e ( c o n -t a m i n a t e d s u r f a c e ) . ( v e r t . 0 . 2 , 0 . 1 , a n d 0.05 v / d i v , h o r i z o n t a l 5 s e c / d i v ) . ( a ) 6 = 0 ° ( b ) 9 = 4 5 ° ( c ) 0 = 9 0 ° 27b LN A TIME seconds F i g u r e 1 0 . T h e l o g a r i t h m o f w a v e a m p l i t u d e v s t i m e f o r a s m o o t h b a s e . LN A  LIM A TIME seconds F i g u r e 1 3 . T h e l o g a r i t h m o f w a v e a m p l i t u d e v s t i m e f o r a g r o o v e d a l i m i n u m b a s e ( c o n t a m i n a t e d s u r f a c e ) . sec"1 0.0450 0.0440 0.0430 4 - 0.0420 H-8 e + + CO ro 0 20 40 60 F i g u r e 14. D a m p i n g f r e q u e n c e v s 6 ( s m o o t h b a s e ) . 80 0.044 I 0.043 0.042 ± 0.041 1 0.040 0.039 0.038 sec 0 4 5 90 135 e 180 F i g u r e 1 5 . D a m p i n g f r e q u e n c y v s 0 ( g r o o v e d a l u m i n u m b a s e ) . T ( J sec 0.0440 4» 0.0430 0.0420 0.0410 Hi + 4- + • f + e 20 40 60 80 F i g u r e 1 6 . D a m p i n g f r e q u e n c y v s 0 ( 3 3 r . p . m . r e c o r d u s e d a s a b a s e ) sec 0.0540 0.0530 0.0520 0.0510 + F i g u r e 17 20 40 D a m p i n g f r e q u e n c y vs f M e I I 8 \ • CO 60 80 ( g r o o v e d a l u m i n u m b a s e , c o n t a m i n a t e d s u r f a c e ) . 36 f o r t h e o t h e r two g r o o v e d b a s e s , a s c a n be s e e n f r o m F i g u r e s ( 1 0 - 1 3 ) . F o r b o t h o f t h e s e b a s e s a/i < 1, a n d f o r t h i s r e g i m e we f i n d no s i g n i f i c a n t e n h a n c e m e n t i n t h e d a m p i n g o v e r t h a t f o r a s m o o t h b a s e , a s w e l l a s no v a r i a t i o n i n a w i t h 6. T h e d a m p i n g f r e q u e n c y a s a f u n c t i o n o f 8 f o r a " d i r t y " s u r f a c e u s i n g t h e g r o o v e d a l u m i n u m p l a t e i s s h o w n i n F i g u r e ( 1 7 ) . T h e w a t e r was l e f t i n t h e t a n k f o r a f e w d a y s a n d t h e n t h e s e d a m p i n g r u n s w e r e p e r f o r m e d . T h e m a g n i - t u d e o f t h e d a m p i n g f r e q u e n c y h a s i n c r e a s e d , b u t a g a i n i t e x h i b i t s no a n g u l a r v a r i a t i o n . 3.3 D i s c u s s i o n C a s e a n d P a r k i n s o n ( 1 9 5 7 ) c l a i m t h a t c o n t a i n e r " r o u g h n e s s w h o s e d e p t h was s m a l l c o m p a r e d t o t h e b o u n d a r y l a y e r t h i c k n e s s h a d a r e m a r k a b l y l a r g e e f f e c t " on t h e d a m p i n g o f s u r f a c e w a v e s . T h e y f o u n d e x p e r i m e n t a l l y v a l u e s o f o t h r e e t i m e s l a r g e r t h a n t h a t p r e d i c t e d by t h e o r y f o r a d p e t h t o r a d i u s r a t i o o f < 1 . 5 . C a s e a n d P a r k i n s o n a s s u m e d i n t h e i r t h e o r y a l a t e r a l l y m o b i l e s u r f a c e l a y e r a t t h e a i r - w a t e r i n t e r f a c e . W i t h t h i s a s s u m p t i o n t h e e n e r g y d i s s i p a t i o n i n t h e t o p s u r f a c e i s n e g l i g i b l e c o m p a r e d t o t h a t o f t h e b a s e a n d w a l l s o f t h e t a n k . I n o u r e x p e r i m e n t s w i t h a s m o o t h b a s e we f o u n d g o o d a g r e e m e n t b e t w e e n e x p e r i m e n t a n d t h e o r y , 37 a s s u m i n g a l a t e r a l l y i m m o b i l e t o p s u r f a c e . A l a t e r a l l y i m m o b i l e s u r f a c e e s s e n t i a l l y d o u b l e s t h e d a m p i n g f o r s h a l l o w f l u i d s . T o p r e p a r e a l a t e r a l l y m o b i l e t o p s u r f a c e r e q u i r e s e x t r e m e c a r e a n d i t i s r e a s o n a b l e t o a s s u m e C a s e a n d P a r k i n s o n d i d n o t h a v e s u c h a t o p s u r f a c e . T h i s r e d u c e s t h e i r d i s - c r e p e n c y b e t w e e n e x p e r i m e n t a n d t h e o r y t o a f a c t o r o f 1 . 5 . I n o u r e x p e r i m e n t s we u s e d d e p t h t o r a d i u s r a t i o s o f 0.2 a n d we s h o u l d h a v e c e r t a i n l y s e e n e v e n l a r g e r e f f e c t s ( d i s - c r e p e n c y b e t w e e n t h e o r y a n d e x p e r i m e n t ) , b a s e d o n C a s e a n d P a r k i n s o n ' s c o n j e c t u r e . O u r e x p e r i m e n t a l r e s u l t s do n o t a g r e e w i t h C a s e a n d P a r k i n s o n ' s c o n t e n t i o n t h a t f o r s h a l l o w f l u i d s s u r f a c e r o u g h n e s s ( e v e n w i t h a / £ < 1) c a n d r a s t i c a l l y i n c r e a s e d a m p i n g . We f o u n d f o r t h e g r o o v e d b a s e s c o n s i d e r e d t h a t t h e v a r i a t i o n i n d a m p i n g was o n l y o f t h e o r d e r o f < ± 5% d i f f e r e n t f r o m t h a t f o r a s m o o t h b a s e . I f C a s e a n d P a r k i n s o n ' s c o n - t e n t i o n t h a t s u r f a c e r o u g h n e s s was r e s p o n s i b l e f o r t h e d a m p i n g e n h a n c e m e n t was v a l i d , t h e n f o r o u r m o d e l ( o p p o s i t e l y g r o o v e d q u a d r a n t s ) , A 1 w o u l d be e q u a l t o 3. S u b s t i t u t i n g t h i s i n e q u a t i o n ( 2 . 8 ) r e s u l t s i n a v a r i a t i o n o f 2 0 % i n o 2 / o i , a n d t h i s v a r i a t i o n w o u l d be s i n u s o i d a l i n n a t u r e . T h i s v a r i a t i o n i s much l a r g e r t h a n t h a t f o u n d i n o u r e x p e r i m e n t s ~ < ± 7% d i f f e r e n c e b e t w e e n s m o o t h a n d g r o o v e b a s e r e s u l t s . F o r b o t h t h e 33 r . p . m . r e c o r d a n d t h e g r o o v e d a l u m i n u m p l a t e , a d o e s n o t p o s s e s s 38 a s i n u s o i d a l d e p e n d e n c e on 0 ( s e e F i g u r e s 1 5 - 1 6 ) a s p r e - d i c t e d by e q u a t i o n ( 2 . 8 ) . T h e d a m p i n g f r e q u e n c y i n t h e s e r u n s d o e s p o s s e s s an. a n g u l a r v a r i a t i o n ( n o t s i n u s o i d a l i n n a t u r e ) , b u t t h e s e v a r i a t i o n s (~ ± 8%) a r e much s m a l l e r t h a n t h a t e x p e c t e d d u e t o C a s e a n d P a r k i n s o n ' s c o n j e c t u r e . I t was a l s o d i s c o v e r e d t h a t t h e r e was no s y s t e m a t i c b e h a v i o u r t o t h e s e v a r i a t i o n s . E v e r y a n g u l a r s c a n o f t h e d a m p i n g f r e q u e n c y w o u l d r e s u l t i n a d i f f e r e n t a n g u l a r v a r i a t i o n . T h e s e v a r i a t i o n s i n o w i t h 0 a r e , i n f a c t , d u e t o s u r f a c t a n t s on t h e f r e e f l u i d s u r f a c e . A s m e n t i o n e d p r e v i o u s l y , s u r f a c t a n t s make i t d i f f i c u l t t o e s t a b l i s h t h e e f f e c t on wa v e d a m p i n g c a u s e d by r o u g h e n e d s u r f a c e s . T h e v a l u e o f t h e d a m p i n g f r e q u e n c y was e x t r e m e l y s e n s i t i v e t o t h e c o n d i t i o n s o f t h e d i s t i l l e d w a t e r u s e d i n t h e e x p e r i m e n t s a s w e l l a s t o c o n t a m i n a n t s p r e s e n t on t h e g r o o v e d b a s e . V a r i a t i o n s i n a f r o m d a y t o d a y , d e p e n d i n g on t h e s e c o n d i t i o n s , w e r e a s h i g h a s 3 0 % . W h i l e t h e v a l u e o f t h e d a m p i n g f r e q u e n c y v a r i e d f o r d i f f e r e n t r u n s , t h e d a m p i n g f r e q u e n c y f o r a n y o n e r u n d i d n o t e x h i b i t a n y s i n u s o i d a l a n g u l a r d e p e n d e n c e . T o d e t e r m i n e a a s a f u n c t i o n o f 0 ( 0 ° < 6 < 1 8 0 ° ) t a k e s a b o u t o n e h o u r a n d d u r i n g It w i l l be n o t e d t h a t the l o g a r i t h m i c p l o t s o f wave a m p l i t u d e v e r s u s t ime a r e e x c e l l e n t s t r a i g h t l i n e s (as good as t h o s e o b t a i n e d by l o n i d e s . T h i s i n d i c a t e s we a r e d e a l i n g w i t h a s i n g l e s u r f a c e mode and we a r e o p e r a t i n g in a r e g i m e where l i n e a r t h e o r y i s a p p l i c a b l e . 39 t h i s t i m e f l u c t u a t i o n s i n t h e v a l u e s o f a a t a n y g i v e n v a l u e o f 0 a r e ~ < 5%. T h e d a m p i n g f r e q u e n c y ( d e t e r m i n e d by l e a s t s q u a r e s f i t ) h a s a t y p i c a l e r r o r o f l e s s t h a n 1%, so t h a t t h e s e v a r i a t i o n s c a n n o t be e x p l a i n e d by t h e u n c e r t a i n t y o f o u r e x p e r i m e n t a l r e s u l t s . H e n c e t h e s e v a r i a t i o n s i n a a r e " r e a l " v a r i a t i o n s . S i n c e t h e y p o s s e s s no s y s t e m a t i c a n g u l a r d e p e n d e n c e , t h e y c a n n o t be t h e r e s u l t o f t h e o p p o s i t e l y g r o o v e d q u a d r a n t s o f t h e b a s e . T h e v a r i a t i o n s i n a w i t h 9 s e e n i n F i g u r e ( 1 4 - 1 7 ) , m u s t t h e n be t h e r e s u l t o f s u r f a c t a n t s p r e s e n t on t h e f r e e s u r f a c e o f t h e f l u i d a n d on t h e g r o o v e d b a s e . A s m e n t i o n e d p r e v i o u s l y we o b s e r v e d a s p u r i o u s d e p e n d e n c e o f a o n 9 i n a w a v e t a n k w h e r e t h e e l e c t r o d e h a d no v e r t i c a l v a n e u n d e r i t . F o r c e r t a i n v a l u e s o f 9 t h e w a v e a m p l i t u d e i n c r e a s e d f o r a c e r t a i n t i m e a f t e r i n i t a l l y d e c a y i n g , a n d t h e n f i n a l l y d e c r e a s e d a g a i n t o z e r o . T h i s b e h a v i o u r i s r e m i n i s c e n t o f t h e e n e r g y e x c h a n g e b e t w e e n c o u p l e d o s c i l l a t o r s h a v i n g s l i g h t l y d i f f e r e n t r e s o n a n t f r e q u e n c i e s , w h i c h r e s u l t s i n d a m p e d b e a t s . I n a w a ve t a n k o f c i r c u l a r c r o s s - s e c t i o n a n y s l o s h i n g mode c a n be r e s o l v e d i n t o two d e g e n e r a t e s l o s h i n g m o d e s h a v i n g t h e i r n o d a l l i n e s p e r p e n d i c u l a r t o e a c h o t h e r . H o w e v e r , i f t h e t a n k i s i m p e r f e c t ( s l i g h t l y e l l i p t i c a l , o r w i t h a s l o p i n g b a s e ) , t h e d e g e n e r a c y o f t h e two r e f e r e n c e m o d e s i s r e m o v e d a n d t h e y b e c o m e l i n e a r l y c o u p l e d . 40 D u r i n g t h e d r i v i n g c y c l e , t h e r e f e r e n c e m o d e s a r e c o n s t r a i n e d s u c h t h a t t h e n o d a l l i n e o f t h e f l u i d s u r f a c e i s n e a r t h e c e n t r e s t r i p o f t h e e l e c t o r d e . H o w e v e r , d u r i n g t h e d e c a y p h a s e , e n e r g y c a n be e x c h a n g e d b e t w e e n t h e m o d e s b e c a u s e o f t h e c o u p l i n g . A s a r e s u l t t h e d i s p l a c e m e n t o f t h e f l u i d s u r f a c e e x h i b i t s t h e p h e n o m e n o n o f d a m p e d b e a t s . When t h e d a m p i n g f r e q u e n c y i s h i g h e r t h a n t h e b e a t f r e q u e n c y i t i s e a s y t o o v e r l o o k t h e e x i s t e n c e o f t h e b e a t s a n d d e s c r i b e t h e o b s e r v a t i o n s i n t e r m s o f a d e p e n d e n c e o f a i n 0 i n a p e r i o d i c f a s h i o n . H o w e v e r , we f o u n d t h a t t h e s e d a m p e d b e a t s c o u l d be c o m p l e t e l y e l i m i n a t e d by t h e v e r t i c a l v a n e u n d e r t h e e l e c t r o d e . T h e v a n e c o n s t r a i n s t h e s y s t e m t o o s c i l l a t e s u c h t h a t t h e n o d a l l i n e a l w a y s r e m a i n s a l o n g a d i a m e t e r p e r p e n d i c u l a r t o t h e v a n e . 3.4 C o n c l u s i o n s T h e e x p e r i m e n t a l r e s u l t s f o r t h e d a m p i n g o f s u r f a c e w a v e s i n a c i r c u l a r w a v e t a n k h a v i n g a b a s e w i t h a l t e r n a t e l y g r o o v e d q u a d r a n t s s h o w s t h a t t h e d a m p i n g i s i n d e p e n d e n t o f t h e d i r e c t i o n o f t h e s u r f a c e mode w i t h r e s p e c t t o .the b a s e f o r g r o o v e a m p l i t u d e s s m a l l e r t h a n t h e b o u n d a r y l a y e r t h i c k n e s s . On t h e b a s i s o f C a s e a n d P a r k i n s o n 1 s s u g g e s t i o n , t h e d a m p i n g f r e q u e n c y s h o u l d h a v e p o s s e s s e d a n a n g u l a r v a r i a t i o n i f t h e w a l l r o u g h n e s s d i d i n f a c t g r e a t l y e n h a n c e t h e d a m p i n g . 41 We d i d h o w e v e r o b s e r v e f l u c t u a t i o n s i n t h e d a m p i n g f r e q u e n c y (~ 3 0 % ) f r o m d a y t o d a y , b u t o n a n y r u n t h e r e was no s y s t e - m a t i c a n g u l a r d e p e n d e n c e . T h e s e r e s u l t s s t r o n g l y s u g g e s t t h a t t h i s v a r i a t i o n i n c i s d u e t o s u r f a c t a n t s . T h e r o u g h - n e s s o f t h e c o n t a i n e r w a l l s p l a y s a t b e s t o n l y a m i n o r r o l e i n t h e i n c r e a s e o f a. I n o u r e x p e r i m e n t s we w e r e u n a b l e t o f i n d a n y s y s t e m a t i c i n c r e a s e i n t h e d a m p i n g c a u s e d b y b a s e r o u g h n e s s , w h e r e t h e r o u g h n e s s a m p l i t u d e i s s m a l l e r t h a n t h e v i s c o u s b o u n d a r y l a y e r t h i c k n e s s . R T 42a C h a p t e r 4 4.1 I n t r o d u c t i o n F r o m t h e r e s u l t s o f P a r t A , we f o u n d t h a t w a l l r o u g h - n e s s d o e s n o t s i g n i f i c a n t l y i n c r e a s e t h e d a m p i n g o f s u r f a c e w a v e s , when t h e a m p l i t u d e o f t h e r o u g h n e s s i s s m a l l e r t h a n t h e v i s c o u s b o u n d a r y l a y e r t h i c k n e s s . W a l l r o u g h n e s s o f s m a l l d i m e n s i o n s ( a < Z) h a s i n t h e p a s t b e e n c o n v e n i e n t l y ( b u t e r r o n e o u s l y ) u s e d t o e x p l a i n d i s c r e p a n c i e s b e t w e e n t h e o r y a n d e x p e r i m e n t . I n t h i s s e c t i o n t h e e f f e c t o f l a r g e g r o o v e s ( a >> Z) on t h e d a m p i n g i n a w a v e c h a n n e l i s e x a m i n e d t h e o - r e t i c a l l y a n d e x p e r i m e n t a l l y . T h e e n h a n c e m e n t f a c t o r A 1 u s e d i n S e c t i o n 2.2 i s a n a d - h o c a p p r o a c h t o t h e p r o b l e m o f damp- i n g o v e r r o u g h e n e d s u r f a c e s , a s i t a s s u m e s t h a t t h e f l o w v e l o c i t y i s u n a l t e r e d i n t h e d i s s i p a t i o n i n t e g r a l s . T h i s m i g h t be j u s t i f i e d f o r s m a l l g r o o v e a m p l i t u d e s , b u t n o t f o r l a r g e g r o o v e s . A n y m e a n i n g f u l c a l c u l a t i o n o f t h e d a m p i n g m u s t i n v o l v e c h a n g e s i n t h e f l o w v e l o c i t y o v e r t h e r o u g h n e s s s t r u c t u r e . I n o u r t h e o r e t i c a l s t u d y f o r l a r g e g r o o v e s , t h e 42b 43 c a l c u l a t i o n o f t h e d a m p i n g f r e q u e n c y i s a p p r o a c h e d f r o m t h i s p o i n t o f v i e w . I n d e t e r m i n i n g t h e d a m p i n g o v e r a r o u g h e n e d s u r f a c e , i t i s n e c e s s a r y t o d e t e r m i n e t h e i n v i s c i d v e l o c i t y p o t e n t i a l o v e r t h e r o u g h n e s s s t r u c t u r e ( s e e S e c t i o n 4 . 2 ) . T h e s t r u c t u r e o f t h e b o u n d a r y l a y e r ( w h e r e e s s e n t i a l l y a l l e n e r g y d i s s i p a t i o n o c c u r s ) i s t h e n d e t e r m i n e d by s o l v i n g t h e b o u n d a r y l a y e r e q u a t i o n s u b j e c t t o t h e b o u n d a r y c o n d i t i o n s t h a t t h e f l u i d i n c o n t a c t w i t h t h e c o n t a i n e r be a t r e s t . R o u g h e n e d c o n t a i n e r w a l l s c h a n g e t h e v e l o c i t y p o t e n t i a l f r o m a v a l u e <J>o ( t h e v a l u e w i t h s m o o t h w a l l s ) t o some v a l u e <\> a n d t h e y c h a n g e t h e e f f e c t i v e s u r f a c e a r e a o f t h e b o u n d a r y l a y e r . T h e r e a r e two a p p r o a c h e s t o d e t e r m i n e t h e i n v i s c i d v e l o c i t y p o t e n t i a l o v e r a r o u g h e n e d s u r f a c e . A l i n e a r p e r t u r b a t i o n s c h e m e i s t h e m o s t g e n e r a l a p p r o a c h , s t a r t i n g f r o m t h e s m o o t h w a l l p o t e n t i a l d>0. To do t h i s , t h e r o u g h n e s s s t r u c t u r e i s d e c o m p o s e d i n t o F o u r i e r c o m p o n e n t s . T h e c o m p o n e n t s f o r w h i c h a ( £ ) / ? > 1» w h e r e a ( ? ) i s t h e a m p l i - t u d e o f a F o u r i e r c o m p o n e n t o f w a v e l e n g t h £ w i l l h a v e t h e g r e a t e s t e f f e c t i n c h a n g i n g <t>0. T h e t e r m a ( ? ) / £ i s u s e d a s an e x p a n s i o n p a r a m e t e r . F o r t h e F o u r i e r t e r m s h a v i n g t h e g r e a t e s t e f f e c t o n c h a n g i n g t h e p o t e n t i a l t}>o, t h e t e r m a ( £ ) / 5 i s n o t a n a p p r o p r i a t e e x p a n s i o n p a r a m e t e r . T h e p e r t u r b a t i o n s c h e m e . 1 i n k i ng <j> t o <t>0 f o r t h e s e m o d e s w i l l c e r t a i n l y be n o n - l i n e a r i n t h e e x p a n s i o n p a r a m e t e r a . ( 5 ) / S i f a / £ - 0 ( 1 ) - S i n c e 44 we a r e i n t e r e s t e d i n l a r g e a m p l i t u d e r o u g h n e s s , a p e r t u r b a t i o n a p p r o a c h i s i n a p p r o p r i a t e . An a l t e r n a t i v e a p p r o a c h i s t o l o o k f o r e x a c t s o l u - t i o n s t o L a p l a c e ' s e q u a t i o n w h i c h s a t i s f y t h e i n v i s c i d f l o w b o u n d a r y c o n d i t i o n n_ • V<f> = 0 o n n o n - f l a t b o u n d a r i e s f o r w h i c h a ( ? ) / 5 = 0 ( 1 ) . F o r t h i s a p p r o a c h i t i s n e c e s s a r y t o know t h e r o u g h n e s s s t r u c t u r e a ( £ ) a n d f o r a n y c a l c u l a t i o n a c e r t a i n s t r u c t u r e i s a s s u m e d . I f t h e r e a r e many g r o o v e s ( s p a c i n g £ ) p e r w a v e l e n g t h o f t h e s u r f a c e mode ( i . e . k£ << 1 w h e r e k i s t h e w a v e n u m b e r o f t h e s u r f a c e m o d e ) ; t h e n d) 0 s h o u l d e s s e n - t i a l l y be a c o n s t a n t o v e r l i n e a r d i m e n s i o n s o f o r d e r £ . A b o v e t h e r o u g h n e s s s t r u c t u r e , dp - dp0 s h o u l d d e c a y t o z e r o o v e r v e r t i c a l l e n g t h s c a l e s o f ~ n £ ( n > 1 ) , a n d t h e p a r t i c u l a r s o l u t i o n o v e r t h e g r o o v e d s t r u c t u r e m u s t i n c o r p o r a t e t h i s f e a t u r e . T h e t e r m k£ c a n t h e n e f f e c t i v e l y be v i e w e d a s a n e x p a n s i o n p a r a m e t e r r e p l a c i n g a / ? . T h e r o u g h n e s s s t r u c t u r e c o n s i d e r e d i n o u r i n v e s t i g a t i o n c o n s i s t s o f a s u r f a c e w i t h i d e n t i c a l p a r a l l e l g r o o v e s h a v i n g a c r o s s s e c t i o n i n t h e s h a p e o f an i s o s c e l e s t r i a n g l e . An e x a c t s o l u t i o n f o r t h e i n v i s c i d v e l o c i t y p o t e n t i a l <b f o r t h i s s t r u c t u r e was d e t e r m i n e d w h i c h i s v a l i d e v e n i f a ( £ ) / S > 1, p r o v i d e d t h a t k£ << 1. T h e d a m p i n g was t h e n c a l c u l a t e d u s i n g <J>. T h e r e s u l t s o f t h i s c a l c u l a t i o n show t h a t t h e e n e r g y d i s s i p a t i o n i n t h e b o u n d a r y l a y e r i s p r o p o r t i o n a l 45 t o t h e s u r f a c e a r e a o f t h e g r o o v e d s u r f a c e , a n d i n d e p e n d e n t o f t h e o r i e n t a t i o n o f t h e i n v i s c i d * f l o w w i t h r e s p e c t t o t h e d i r e c t i o n o f t h e g r o o v e s . 4.2 T h e o r y T h e m o t i o n o f a v i s c o u s f l u i d i s d e t e r m i n e d f r o m t h e N a v i e r - S t o k e s e q u a t i o n . I t i s a s s u m e d i n a l l o f o u r c a l c u l a - t i o n s t h a t t h e f l u i d we a r e d e a l i n g w i t h i s i n c o m p r e s s i b l e , i . e . V • v_ = 0, w h e r e _v i s t h e f l u i d v e l o c i t y . F o r t h e f l u i d u s e d i n a l l o f o u r e x p e r i m e n t s ( w a t e r ) t h i s i s c e r t a i n l y a p p r o p r i a t e . I n t h e c a l c u l a t i o n t o f o l l o w a r i g h t h a n d e d c a r t e s i a n c o - o r d i n a t e s y s t e m i s u s e d w i t h t h e x y p l a n e o n t h e u n d i s t u r b e d f l u i d s u r f a c e , a n d t h e z a x i s v e r t i c a l l y u p w a r d s . T h e l i n e a r i z e d N a v i e r - S t o k e s e q u a t i o n f o r a n i n c o m p r e s s i b l e f l u i d i s + v V 2 v ( 4 . 1 ) w h e r e P = p r e s s u r e , p = d e n s i t y , a n d v i s t h e k i n e m a t i c v i s c o s i t y . T h e b o u n d a r y c o n d i t i o n f o r t h i s f l o w i s t h a t In t h i s c a s e the i n v i s c i d f l o w r e f e r r e d to is m e a s u r e d a t s e v e r a l b o u n d a r y l a y e r s a b o v e the g r o o v e d s u r f a c e . It i s t h e r e f o r e the f l o w w h i c h w o u l d r e m a i n i f the g r o o v e a m p l i t u d e a i s d e c r e a s e d to z e r o . + P PJ 46 v = 0 ( 4 . 2 ) on f i x e d b o u n d a r i e s . V i s c o u s f l o w c r e a t e s t h e a d d i t i o n a l c o n s t r a i n t t h a t t h e t a n g e n t i a l v e l o c i t y a t f i x e d b o u n d a r i e s i s z e r o . T h e d e c r e a s e o f t h e v e l o c i t y t o z e r o o c c u r s a l m o s t e x c l u s i v e l y i n a t h i n l a y e r n e x t t o t h e s o l i d w a l l . T h i s l a y e r i s c a l l e d t h e b o u n d a r y l a y e r a n d i s c h a r a c t e r i z e d b y t h e p r e s e n c e i n i t o f c o n s i d e r a b l e v e l o c i t y g r a d i e n t s . F o r i n v i s c i d f l o w t h e o n l y c o n s t r a i n t a t f i x e d b o u n d a r i e s i s t h a t t h e n o r m a l c o m p o n e n t o f t h e v e l o c i t y be z e r o . F o r v i s c o u s f l o w t h e v e l o c i t y c a n be w r i t t e n i n t h e f o r m w h e r e y_i_ c a n be w r i t t e n i n t e r m s o f a v e c t o r p o t e n t i a l A, i . e . T h e f i r s t t e r m V<b i s t h e p o t e n t i a l f l o w t e r m , , w h i l e t h e s e c o n d t e r m y_i_ i s t h e r o t a t i o n a l f l o w t e r m . S i n c e t h e f l o w i s i n c o m p r e s s i b l e (V • y_ = 0) t h e n i t f o l l o w s t h a t v = Vd) + V i ( 4 . 3 ) = V x A ( 4 . 4 ) V 2(b = -0 ( 4 . 5 ) 47 S u b s t i t u t i n g t h e e x p r e s s i o n f o r y_ i n t o t h e Na v i e r - S t o k e s e q u a t i o n g i v e s £ (V6) + £ (V,) - -V PJ + v V 2 (Vcj) + v i ) ( 4 . 6 ) T h i s e q u a t i o n ( 4 . 6 ) i s b r o k e n down i n t o two e q u a t i o n s , o n e f o r t h e v i s c o u s f l o w a n d o n e f o r i n v i s c i d f l o w . I n t h e l i m i t o f z e r o v i s c o s i t y v , V i 0. E q u a t i o n ( 4 . 6 ) t h e n i n t e g r a t e s d i r e c t l y t o y i e l d — + g z =-|-f- + c o n s t ( 4 . 7 ) T h e a b o v e s o l u t i o n ( 4 . 7 ) i s a l s o v a l i d f o r t h e v i s c o u s c a s e i f ^ ( V i ) = v V 2 Vj. ( 4 . 8 ) E q u a t i o n s ( 4 . 5 ) a n d ( 4 . 8 ) a r e s o l v e d s u b j e c t t o t h e c o n s t r a i n t t h a t t h e f l u i d be a t r e s t a t r i g i d b o u n d a r i e s . E x p r e s s e d m a t h e m a t i c a l l y t h e s e c o n d i t i o n s a r e n • V(J> = 0 ( 4 . 9 ) (n x V<}>) + n_ x (V x A ) = 0 ( 4 . 1 0 ) 48 w h e r e n_ i s a u n i t n o r m a l d i r e c t e d i n w a r d s f r o m t h e s o l i d b o u n d a r y t o t h e f l u i d . A t a n y r i g i d b o u n d a r y t h e v e l o c i t y v a r i e s r a p i d l y i n t h e d i r e c t i o n o f n_. A l l o f t h e o t h e r s p a t i a l d e r i v a t i v e s o f t h e v e l o c i t y a r e s m a l l c o m p a r e d w i t h v a r i a t i o n s i n t h e d i r e c t i o n . E q u a t i o n ( 4 . 8 ) c a n t h u s be s i m p l i f i e d t o S t (vi) .= v an' V i ( 4 . 1 1 ) T h e t i m e v a r i a t i o n o f Vj_ w i l l b e a s s u m e d t o be a s i m p l e h a r m o n i c t i m e d e p e n d e n c e v 2 ~ e 1 w t w h e r e <j i s t h e f r e q u e n c y o f t h e s u r f a c e w a v e s . F r o m ( 4 . 1 1 ) t h e s o l u t i o n f o r V i w i l l b e o f t h e f o r m V i ~ exp n (1 + i ) /1 /2 ( 4 . 1 2 ) w h e r e I i s t h e v i s c o u s b o u n d a r y l a y e r t h i c k n e s s I = a n d q i s t h e c o - o r d i n a t e a l o n g n_. T o s a t i s f y t h e b o u n d a r y c o n d i t i o n s a t t h e w a l l V i m u s t i n c l u d e t h e t e r m Vcb ( N b . t h a t V<t> i n _v_j d o e s n o t a l t e r t h e s o l u t i o n o f ( 4 . 1 1 ) s i n c e V2<j) = 0 ) . T h e c o m p l e t e s o l u t i o n f o r V i i s v x = n x (n x v<|>) exp - Jn ( l + i ) / * - / ? j ( 4 . 1 3 ) 49 w h e r e Vd> i s e v a l u a t e d a t n = 0. T h e v i s c o u s e n e r g y d i s s i p a - t i o n p e r u n i t a r e a o f t h e c o n t a i n e r w a l l s i s d e p e n d e n t u p o n V i , a n d i s g i v e n by [ s e e C a s e a n d P a r k i n s o n ] S = - v 3n •v n=0 3V j " v f T J Vcp n = 0 / 1 /2 ( 4 . 1 4 ) I t was r e m a r k e d e a r l i e r t h a t t h e e n e r g y d i s s i p a t i o n i s o n l y d e p e n d e n t o n t h e i n v i s c i d v e l o c i t y p o t e n t i a l , a n d t h i s c a n be s e e n t o be t h e c a s e f r o m ( 4 . 1 4 ) . To d e t e r m i n e t h e d a m p i n g i t i s n e c e s s a r y t o i n t e g r a t e S o v e r t h e c o n t a i n e r s u r f a c e s ; t h e d a m p i n g f r e q u e n c y i s t h e n p r o p o r t i o n a l t o Sd A . H e n c e t h e e f f e c t s o f a r o u g h e n e d s u r f a c e on t h e d a m p i n g c a n be d e t e r m i n e d b y c a l c u l a t i n g SdA To do t h i s i t i s n e c e s s a r y t o e v a l u a t e t h e i n v i s c i d v e l o c i t y p o t e n t i a l o v e r t h e r o u g h - n e s s s t r u c t u r e ( g r o o v e d s t r u c t u r e ) . T h e i n v i s c i d p o t e n t i a l f o r two g r o o v e c r o s s s e c t i o n s ( t r i a n g u l a r a n d a p p r o x i m a t e l y s i n u s o i d a l ) a s w e l l a s t h e d i s s i p a t i o n i n t e g r a l s f o r e a c h , a r e now c a l c u l a t e d . I n t h e f o l l o w i n g c a l c u l a t i o n s i t i s a s s u m e d t h a t t h e b o u n d a r y l a y e r t h i c k n e s s I i s much s m a l l e r t h a n a n y o t h e r s c a l e l e n g t h s o f t h e p r o b l e m a n d t h e r e a r e many g r o o v e s ( s p a c i n g £ ) p e r w a v e l e n g t h o f t h e w a v e s ( X ) . F o r a f l a t s u r f a c e t h e e n e r g y d i s s i p a t i o n S = S 0 w h e r e S 0 = v v 0 2 / £ V2 ( 4 . 1 5 ) 50 a n d v 0 i s t h e i n v i s c i d f l o w v e l o c i t y p a r a l l e l t o t h e s u r f a c e . I f f l u i d f l o w s p a r a l l e l t o t h e g r o o v e s , v 0 i s u n a l t e r e d by t h e g r o o v e s b u t t h e b o u n d a r y l a y e r s p r e a d s o v e r t h e g r o o v e d s u r f a c e ( s e e F i g u r e 1 9 ( b ) ) i n c r e a s i n g t h e d i s s i p a t i o n a r e a f r o m d A 0 t o dA ( d A 0 i s an e l e m e n t o f a r e a o n t h e f l a t s u r f a c e , dA i s o v e r t h e g r o o v e d s u r f a c e . H e n c e f o r f l o w p a r a l l e l t o t h e g r o o v e s t h e d i s s i p a t i o n i s i n c r e a s e d i n t h e r a t i o d A / d A 0 . F o r f l o w t r a n s v e r s e t o t h e g r o o v e s , v i s c h a n g e d . A t t h e t o p o f t h e g r o o v e s v > v 0 a n d a t t h e b o t t o m v < v 0 w h e r e i n t h i s c a s e v 0 i s t h e i n v i s c i d v e l o c i t y some d i s t a n c e a b o v e t h e g r o o v e s . H e n c e i t i s n o t c l e a r w h a t r e l a t i o n SdA b e a r s t o S 0 d A 0 a s t h e g r o o v e d e p t h i s c h a n g e d . 4 . 3 C a l c u l a t i o n o f / S d A f o r G r o o v e d S u r f a c e s When d e t e r m i n i n g t h e v e l o c i t y p o t e n t i a l o v e r a g r o o v e d s u r f a c e i t i s c o n v e n i e n t t o c o n s i d e r a c o m p l e x v e l o c i t y p o t e n t i a l . T h e m o d u l u s a n d a r g u m e n t o f a c o m p l e x p o t e n t i a l w i l l g i v e t h e m a g n i t u d e o f t h e v e l o c i t y a n d t h e a n g l e b e t w e e n t h e f l o w d i r e c t i o n a n d i n o u r c a s e t h e x y p l a n e . F o r i n v i s c i d f l o w p a s t a s o l i d s u r f a c e , t h e v e l o c i t y m u s t be a l o n g t h e t a n g e n t t o t h e s u r f a c e . H e n c e t h e p r o f i l e o f t h e s u r f a c e m u s t be t h e p r o f i l e o f a s t r e a m l i n e . F o r t h e g r o o v e d s t r u c - t u r e s c o n s i d e r e d a s t r e a m l i n e f o l l o w s t h e g r o o v e s t r u c t u r e , w h i c h m a k e s i t d i f f i c u l t t o d e t e r m i n e t h e p o t e n t i a l . F o r a l l 51 o f o u r c a l c u l a t i o n s t h e g r o o v e s t r u c t u r e i s c o n s i d e r e d t o be i n t h e c o m p l e x z - p l a n e . I f i t i s p o s s i b l e t o d e t e r m i n e a t r a n s f o r m a t i o n w h i c h maps t h e g r o o v e s t r u c t u r e i n t h e z - p l a n e o n t o t h e r e a l a x i s o f t h e w - p l a n e , t h e n t h e p r o b l e m i s g r e a t l y s i m p l i f i e d . T h e s t r e a m l i n e s o f t h e f l o w i n t h e w - p l a n e w i l l t h u s b e s t r a i g h t l i n e s p a r a l l e l t o t h e r e a l a x i s . T h e p r o b l e m o f f l o w p a s t a g i v e n c o n t o u r t h e n r e d u c e s t o t h e d e t e r m i n a t i o n o f an a n a l y t i c f u n c t i o n w ( z ) w h i c h t a k e s r e a l v a l u e s o n t h e c o n t o u r . W i t h t h i s a p p r o a c h i t i s p o s s i b l e t o d e t e r m i n e t h e p o t e n t i a l o v e r t h e g r o o v e d s t r u c t u r e a n d t h u s t h e d i s s i p a t i o n i n t e g r a l s c a n be s o l v e d . C o n s i d e r <f> = w = f ( z ) t o b e t h e c o m p l e x v e l o c i t y p o t e n t i a l t r a n s v e r s e t o t h e g r o o v e s . T h e m a g n i t u d e o f t h e s p e e d u a t t h e g r o o v e d s u r f a c e i s t h e n g i v e n by u = y |V<i | = u T h i s v e l o c i t y p o t e n t i a l m u s t h a v e t h e p r o p e r t y t h a t f a r a b o v e t h e g r o o v e s t r u c t u r e , t h e i r e f f e c t i s n e g l i g i b l e , i . e . u -> v 0 a s I m ( z ) -* °°. T h e c o n s t a n t y i s c h o s e n s o t h a t t h i s i s t h e c a s e . U s i n g ( 4 . 1 6 ) i n t h e d i s s i p a t i o n i n t e g r a l r e s u l t s i n dw d z (4 52 SdA L/2 V dw dz d z | j dL ( 4 . 1 7 ) w h e r e dL i s a l e n g t h e l e m e n t o n a g r o o v e o v e r t h e a r e a b e i n g c o n s i d e r e d . T h e i n t e g r a l o v e r d z i s a l o n g t h e g r o o v e s t r u c - t u r e . As s t a t e d p r e v i o u s l y , t h e e v a l u a t i o n o f t h i s i n t e g r a l i s s i m p l i f i e d i f t h e g r o o v e s t r u c t u r e i s m a p p e d i n t o t h e r e a l a x i s o f t h e w - p l a n e . T h e n t h e l i n e i n t e g r a l o v e r d z t r a n s f o r m s t o a l i n e i n t e g r a l o v e r dw. F o r t h i s ( 4 . 1 7 ) c a n be w r i t t e n i n a m o r e c o n v e n i e n t f o r m . SdA = u : V dw • / I V dz dw ( 4 . 1 8 ) T h e c a s e o f g r o o v e s w i t h a c r o s s s e c t i o n i n t h e f o r m o f an i s o s c e l e s t r i a n g l e i s f i r s t c o n s i d e r e d ( s e e F i g u r e 1 9 a ) . T o d e t e r m i n e t h e p o t e n t i a l a n d d i s s i p a t i o n i n t e g r a l f o r t h i s c a s e , a t r a n s f o r m a t i o n m a p p i n g t h e g r o o v e s t r u c t u r e i n t o t h e r e a l a x i s o f t h e w - p l a n e i s r e q u i r e d . I t i s w e l l known t h a t t h e i n t e r i o r o f a n y p o l y g o n D i n t h e z - p l a n e c a n be m a p p e d i n t o t h e u p p e r h a l f D 1 o f t h e w - p l a n e by a S c h w a r t z - C h r i s t o f f e l t r a n s f o r m a t i o n ( s e e F i g u r e 1 8 a ) . T h e m o s t g e n e r a l f o r m o f t h e S c h w a r t z - C h r i s t o f f e l t r a n s f o r m a t i o n i s ^ = A ( w - w 1 ) ^ / 7 r - 1 ( w - w 2 ) a 2 / 7 r - ] ... ( w - w ^ n / * - 1 ( 4 . 1 9 ) 53 F i g u r e 1 8 . M a p p i n g o f a p o l y g o n a l r e g i o n i n t o t h e u p p e r h a l f o f t h e w - p l a n e . ( a ) A r b i t r a r y p o l y g o n a l r e g i o n . ( b ) R e g i o n b o u n d e d by a t r i a n g u l a r g r o o v e s t r u c t u r e . 54 a n d t h i s c a n be u s e d f o r p o l y g o n a l r e g i o n s w i t h v e r t i c e s a t 00. T h u s i t i s p o s s i b l e t o map r e g i o n S b o u n d e d by a g r o o v e d s t r u c t u r e i n t o t h e u p p e r h a l f p l a n e S' ( F i g u r e 1 8 b ) . T h e g r o o v e s t r u c t u r e t h a t h a s b e e n c o n s i d e r e d c a n be v i e w e d a s a s u p e r p o s i t i o n o f i n d i v i d u a l t r i a n g l e s . T h e S c h w a r t z - C h r i s t o f f e l t r a n s f o r m a t i o n f o r a s i n g l e t r i a n g l e i s f i r s t c a l c u l a t e d . T h e p o i n t s z = - b , a i , +b a r e m a p p e d i n t o t h e p o i n t s w = - 1 , 0, + 1 r e s p e c t i v e l y i n t h e w p l a n e ( F i g u r e 1 9 a ) . T h e n /Tr+2g .j s A ( w + l ) 7 r - a / 7 T - 1 w * ( w - l ) ^ - 0 1 ^ - 1 = A ( w 2 - 1 ) ( 7 r _ a / 7 T ) " 1 w ( 7 T + 2 a / T r ) ~ 1 A w 2 a / 7 T _ K w 2 a / T r ( 4 ( w 2 - l ) a / 7 r ' ( l - w 2 ) a / ^ T h e c o n s t a n t K i s c h o s e n t o f i x t h e l e n g t h o f o n e s i d e o f t h e i s o s c e l e s t r i a n g l e . I n t e g r a t i n g ( 4 . 1 9 ) y i e l d s 55 a F i g u r e 1 9 : F e a t u r e s o f t h e g r o o v e g e o m e t r y . ( a ) M a p p i n g c o n t o u r s f o r t h e v e l o c i t y p o t e n t i a l . ( b ) F l o w o f w a t e r a l o n g t h e g r o o v e s . ( c ) G e o m e t r y o f g r o o v e d a r e a dA, w i t h p g r o o v e s p e r u n i t l e n g t h (p = 3 i n F i g u r e 1 9 c ) . 55b 56 K w ,2 air ^ duV + B ( 4 . 2 1 ) (1 - i j , 2 ) a / T r F o r w = 0, z = a i a n d f o r w = 1, z = b . U s i n g t h i s , K i s g i v e n by • .,.UaL <4-2> (1 - a / i t T h e S-C T r a n s f o r m a t i o n f o r t h e c o m p l e t e g r o o v e s t r u c t u r e i s c a l c u l a t e d i n a s i m i l a r m a n n e r t o t h a t f o r a s i n g l e t r i a n g l e . T h e t r a n s f o r m a t i o n i s c a l c u l a t e d s o t h a t i t maps v e r t i c e s a t h e i g h t a i i n t o 0, ± 2 ( ^ - ) , ± 4 ( ^ - ) , ••• a n d maps v e r t i c e s on t h e r e a l a x i s i n t o ± ± — , ••• ( s e e F i g u r e 1 9 a ) w h e r e TT - 26 i s t h e a p e x a n g l e o f t h e g r o o v e s T h e SC t r a n s f o r m a t i o n f o r t h i s i s t h e i n f i n i t e p r o d u c t dw 5? TT+29 T TT-29 , 0 n ^ - A ... (w-rr) (W-TT/2) w29/T T { ^ , ) A w 29/TT 2 6 / i r w 4 [p W ' 16(f) 2 w 36(f) 2 n 2 0 / T T w 2 - ( f ) 2 w 2 - 9( f ) 2 w 25(f) 2 0 0 w n n = l 29/TT 1 - —2—T n IF n n=l 1 - 4w 2 ( 2 n - l 29/TT (4.23 H e r e K i s a c o n s t a n t , K = A c o n s t . = A C . T h e c o n s t a n t C r e s u l t s f r o m t h e f a c t o r i n g o f t h e b r a c k e t e d t e r m s i n t h e s e c o n d f o r m o f ( 4 . 2 3 ) w h i c h e n a b l e s t h e S . C . t r a n s f o r m a t i o n t o be e x p r e s s e d i n t h e f i n a l s i m p l e f o r m . Now s i n w a n d c o s w h a v e t h e f o l l o w i n g i n f i n i t e p r o d u c t r e p r e s e n t a t i o n s [ s e e A b r a m s w i t z a n d S t e g u n ] . s l n w = w n n = w' —2—2" n TT COS w CO n n= 1 4 w 2 ( 2 n - l ) 2 T T (4 .24) 58 T h u s ( 4 . 2 3 ) b e c o m e s dw K ( t a n w ) 2 0 / 7 r ( 4 . 2 5 ) T h e c o n s t a n t K i s d e t e r m i n e d i n t h e same way a s f o r t h e s i n g l e t r i a n g l e c a s e d o n e p r e v i o u s l y . I n t e g r a t i n g ( 4 . 2 5 ) r e s u l t s i n z = W ( t a n x ) 2 9 / 7 r d X + B ( 4 . 2 6 ) F o r W = 0, z = a i s o t h a t B = a i , a n d f o r W = IT/2, Z = b . T h u s K i s g i v e n b y b - a i TT/2 ( 4 . 2 7 ) ( t a n w ) 2 6 / 7 T dw T h e c o n s t a n t y ( e q u a t i o n ( 4 . 1 6 ) c a n now be d e t e r m i n e d u s i n g t h e c o n d i t i o n u -* v 0 a s I m ( z ) -* °°. T h i s r e q u i r e s t h a t 1 i m y 1 (Im z-*°°) K ( t a n w) 2 0 / TT = V ( 4 . 2 8 ) a n d c l e a r l y y = K v 0 . Now t h e d i s s i p a t i o n i n t e g r a l c a n be c a l c u l a t e d . T h i s i n t e g r a l i s c a l c u l a t e d o v e r t h e l e n g t h o f o n e s i d e o f 59 an i s o s c e l e s t r i a n g l e . Due t o t h e s y m m e t r y o f t h e g r o o v e s t r u c t u r e , t h e d i s s i p a t i o n o v e r a n y o n e s i d e i s e q u i v a l e n t t o a n y o t h e r . T h e t o t a l d i s s i p a t i o n i n l e n g t h dx w i l l t h e n be 2p t i m e s t h e d i s s i p a t i o n f o r a s i n g l e s i d e o f t h e i s o s c e l e s t r i a n g l e , w h e r e p i s t h e n u m b e r o f g r o o v e s t r a v e r s e d i n a d i s t a n c e dx a c r o s s t h e g r o o v e s ( s e e F i g u r e 1 9 c ) I n t h e w - p l a n e i n t e g r a t i n g o v e r o n e s i d e o f a g r o o v e i s e q u i - v a l e n t t o i n t e g r a t i n g o v e r t h e r a n g e ( 0 - T T/2). NOW s u b - s t i t u t i n g ( 4 . 2 5 ) , ( 4 . 2 7 ) , a n d ( 4 . 2 8 ) i n t o ( 4 . 1 8 ) r e s u l t s i n 2p v /z a SdA = TT/2 v 0 2 c dl_ ( c o t w ) 2 9 / T r dw TT/2 ( t a n w ) 2 9 / l T dw ( 4 . 2 9 ) w h e r e c = ( a 2 + b 2 ) . Now t h e g e n e r a l f o r m f o r a B e t a F u n c t i o n [ A b r a m o w i t z a n d S t e g u n , 1 9 6 5 ] i s B ( m , n ) = 2 TT/2 jo < s i n t ) 2 " " 1 ( c o s t ) 2 " " 1 d t ( 4 . 3 0 ) H e n c e TT/2 ( c o t w ) 2 6 / T r dw 2 IT ' 2 TT TT/2 ( t a n w ) 2 0 / l T dw n +1 i 2 TT' 2 60 T h e b e t a - f u n c t i o n i s s y m m e t r i c i n i t s a r g u m e n t , [ B ( m , n ) B ( n , m ) ] s o t h a t ( 4 . 2 9 ) r e d u c e s t o SdA = f/2 v 0 2 p c d L = 2 S 0 p c d L ( 4 . 3 1 ) B u t 2 p c dL = dA ( s e e F i g u r e 1 9 c ) . H e n c e f o r f l o w t r a n s v e r s e t o t h e g r o o v e s . SdA = S n d A i d A d A ( 4 . 3 2 ) T h e d i s s i p a t i o n i s t h u s i n c r e a s e d i n t h e r a t i o d A / d A o c o m p a r e d t o t h e d i s s i p a t i o n e x p e c t e d f o r a f l a t s u r f a c e T h i s r e s u l t i s t h e same a s f o r f l o w p a r a l l e l t o t h e g r o o v e s a s was d i s c u s s e d p r e v i o u s l y . H e n c e f o r a r o u g h e n e d s u r f a c e w i t h g r o o v e s c o n s i s t i n g o f i d e n t i c a l i s o s c e l e s t r i a n g l e s t h e f dA 1 d A d A, d i s s i p a t i o n i s p r o p o r t i o n a l t o t h e e x p r e s s i o n S 0 i r r e s p e c t i v e o f t h e d i r e c t i o n o f t h e f l o w w i t h r e s p e c t t o t h e g r o o v e s . T h e s t r e a m l i n e s a b o v e t h e t r i a n g u l a r g r o o v e s t r u c - t u r e h a v e a n a p p r o x i m a t e l y s i n u s o i d a l s h a p e . F o r a g r o o v e s t r u c t u r e o f t h i s f o r m , t h e s t r e a m l i n e a t t h e g r o o v e s u r f a c e w o u l d o f c o u r s e be s i n u s o i d a l . U s i n g t h e t r a n s f o r m a t i o n ( 4 . 2 5 ) a l o n g t h e l i n e Im(w) = Y g e n e r a t e s a g r o o v e s t r u c t u r e i n t h e z - p l a n e w i t h a n a p p r o x i m a t e l y s i n u s o i d a l c r o s s s e c t i o n F o r t h i s t y p e o f s t r u c t u r e t h e d i s s i p a t i o n i n t e g r a l b e c o m e s 61 SdA = (f) v 0 2 p K dL c o t ( x + i y ) | 2 6 / l T dx ( 4 . 3 3 ) w h e r e w = x + i y . T h e i n t e g r a l i n ( 4 . 3 3 ) c a n be w r i t t e n i n t h e f o r m I T / 2 29 I = c o t ( x + i y ) | 2 9 / 7 T + | c o t ( x + i y ) | 71 dx ( 4 . 3 4 ) u s i n g t h e i d e n t i t y c o t ( x + TJO = - t a n x ( 4 . 3 5 ) T h e a r c l e n g t h f o r s u c h a g r o o v e s t r u c t u r e i s g i v e n by • d z J dw TT dw = K | c o t ( x + i y ) \ ~ 2 Q ^ d x ( 4 . 3 6 ) T h e i n t e g r a l i n ( 4 . 3 6 ) , h o w e v e r , i s t h e same a s ( 4 . 3 4 ) , w h i c h c a n be s e e n u s i n g ( 4 . 3 5 ) . T h u s e q u a t i o n ( 4 . 3 6 ) r e d u c e s t o c 1 = KI ( 4 . 3 7 ) T h e d i s s i p a t i o n i n t e g r a l i s t h e n • SdA = V L/2 I- v o 2 p d L c Sn dA S 0 d A 0 f d A l d A, ( 4 . 3 8 ) 62 H e n c e f o r a g r o o v e s t r u c t u r e o f a p p r o x i m a t e l y s i n u s o i d a l c r o s s - s e c t i o n t h e d a m p i n g i s e n h a n c e d i n t h e r a t i o d A j ft1' w i t h r e s p e c t t o a f l a t s u r f a c e ; a n d t h e d a m p i n g e n h a n c e - m e n t i s i n d e p e n d e n t o f f l o w d i r e c t i o n w i t h r e s p e c t t o t h e g r o o v e s . 4.4 C a l c u l a t i o n o f t h e D a m p i n g F r e q u e n c y o I t h a s b e e n s h o w n p r e v i o u s l y t h a t t h e d a m p i n g ( a n d h e n c e t h e d a m p i n g f r e q u e n c y ) f o r s u r f a c e w a v e s i s p r o p o r t i o n a l t o SdA i n t e g r a t e d o v e r t h e c o n t a i n e r s u r f a c e s . T h e c o m p l e t e e x p r e s s i o n f o r t h e d a m p i n g f r e q u e n c y a i s g i v e n b y 1 ° = 2 i f/(v<i>)2 T dA / ( V c f ) ) z d r + (SF) ( 4 . 3 9 ) w h e r e (V<i>) Tis t h e t a n g e n t i a l i n v i s c i d v e l o c i t y , dA i s a n e l e m e n t o f a r e a on t h e i n t e r f a c e b e t w e e n t h e w a t e r a n d t h e w a v e t a n k , d x i s a v o l u m e e l e m e n t i n t h e f l u i d a n d Sp a l l o w s f o r e n e r g y d i s s i p a t i o n a t t h e a i r - w a t e r i n t e r f a c e . ( T h i s r e s u l t i s d e r i v e d i n A p p e n d i x A ) . U s i n g ( 4 . 3 9 ) t h e d a m p i n g f r e q u e n c y f o r a s q u a r e w a v e t a n k o f l e n g t h L a n d d e p t h H w i t h a g r o o v e d b a s e i s now c a l c u l a t e d . T h e b o t t o m o f t h e t a n k i s a t z = -H w h i l e t h e e q u i l i b r i u m f l u i d s u r f a c e i s a t z = 0 ( s e e F i g u r e 2 0 ) . T h e i n v i s c i d v e l o c i t y p o t e n t i a l f o r f l o w p a r a l l e l t o a p a i r o f v e r t i c a l w a l l s i n t h e w a v e t a n k i s [ s e e L a n d a u a n d L i f t s h i t z ] . * X F i g u r e 2 0 . C o o r d i n a t e s y s t e m u s e d f o r t h e c a l c u l a t i o n o f t h e d a m p i n g f r e q u e n c y . 64 <f> = A c o s h k ( z + H) c o s kx c o s wt ( 4 . 4 0 ) a n d 3d) A v x  = 3x" = " Y S1'n k x c o s h k ( z + H) c o s wt 3 (b A v z = 8z = k~ s i n n k ( z + H ) c o s k x c o s A / k = A i ( 4 . 4 1 ) U s i n g t h e s e r e s u l t s t h e i n t e g r a l s i n ( 4 . 3 9 ) c a n now be c a l c u l a t e d , w h e r e t h e i n t e g r a l s a r e a v e r a g e d o v e r o n e o s c i l l a t i o n p e r i o d o f t h e w a t e r w a v e . Now (V<t>)2 dx = 1 2 4 A i 2 | c o s h 2 k ( z + H) d z , L 2 A i 2 4 s i n h 2 k ( z + H) d z L 2 A x 2 c o s h 2 k ( z + H) k L A i 2 s i n h 2kH 2k ( 4 . 4 2 ) 65 T h e b a s e t e r m f o r ( V c j ) ) 2 d A i s ( ( V d p ) 2 d A ) g = A i 2 c o s 2 cot s i n 2 kx c o s h 2 k ( z + H) H dx d y 4 L (4.4. T h e e n d w a l l t e r m s a r e A r s i n h 2 k ( z + H) d y d z L A x c o s h 2 k ( z + H) - 1 d z (4 .44) T h e s i d e w a l l t e r m s a r e A i c o s 2 kx s i n h 2 k ( z + H) dx d z s i n 2 kx c o s h 2 k ( z + H) dx d z L Ax c o s h 2 k ( z + H) d z (4.45) C o m b i n i n g t h e c o n t r i b u t i o n s t o s i d e w a l l s a n d e n d w a l l s y i e l d s ( V c b ) T dA f r o m t h e 66 L A : 2 c o s h 2 k ( z + H) - 1 d z L A s i n h 2kH ( 4 . 4 6 ) by F o r a l a t e r a l l y m o b i l e a i r - w a t e r s u r f a c e Sp i s g i v e n 2 v k : ( 4 . 4 7 ) a n d f o r a l a t e r a l l y i m m o b i l e s u r f a c e Sp = o-g c o s h 2 ( k H ) ( 4 . 4 8 ) w h e r e = d a m p i n g f r e q u e n c y d u e t o t h e b a s e [ P i k e a n d C u r z o n , 1 9 6 8 ] . T h e r e s u l t s c a l c u l a t e d a b o v e a r e o f c o u r s e f o r s m o o t h s u r f a c e s . I t h a s b e e n s h o w n t h a t t h e e n h a n c e m e n t i n t h e d a m p i n g d u e t o a g r o o v e s t r u c t u r e w i t h an i s o s c e l e s t r i a n g u l a r o r a p p r o x i m a t e l y s i n u s o i d a l c r o s s s e c t i o n i s d i r e c t l y p r o - p o r t i o n a l t o t h e a r e a r a t i o d A / d A 0 . T h u s f o r a g r o o v e d b a s e , t h e b a s e t e r m ( 4 . 4 3 ) b e c o m e s A' L 2 ( 4 . 4 9 ) W h e r e A' = a r e a r a t i o . 67 U s i n g ( 4 . 4 2 ) , (4 . 4 4 ) - ( 4 . 4 7 ) a n d ( 4 . 4 9 ) , a f o r a l a t e r a l l y m o b i l e a i r - w a t e r i n t e r f a c e i s g i v e n by cov s i n h kH A' + 2H s i n h 2kH kH - 1 + 2 v k 2 ( 4 . 5 0 ) F o r a l a t e r a l l y i m m o b i l e s u r f a c e cov 1 s i n h kH A' + c o s h 2 ( k H ) + 2H s i n h 2kH kH ( 4 . 5 1 ) I f t h e s u r f a c e i s o n l y p a r t l y c o v e r e d , t h e f a c t o r c o s h 2 kH i s c o r r e s p o n d i n g l y d e c r e a s e d , i . e . a t e r m e c o s h 2 kH a n d (1 - e ) 2 v k 2 w i l l be i n c o r p o r a t e d , w h e r e 0 < e < 1 ) . C h a p t e r 5 DAMPING E X P E R I M E N T S FOR LARGE A M P L I T U D E GROOVES 5.1 E x p e r i m e n t a l S y s t e m I n t h i s e x p e r i m e n t a l i n v e s t i g a t i o n , t h e c a s e o f l a r g e g r o o v e d i m e n s i o n s i s c o n s i d e r e d a >> I. T h e same a p p r o a c h t o t h e s t u d y o f wave d a m p i n g a s g i v e n i n S e c t i o n 3.1 h a s b e e n u s e d ( i . e . t e m p o r a l d a m p i n g i s u s e d t h r o u g h o u t ) . A s h a s b e e n r e m a r k e d p r e v i o u s l y , c o n t a m i n a n t s ( m o n o - 1 a y e r s ) p r e s e n t on t h e f r e e s u r f a c e c a n s i g n i f i c a n t l y a l t e r t h e d a m p i n g o f s u r f a c e w a v e s , c a u s i n g p r o b l e m s i n t h e e x p e r i m e n t a l i n v e s t i g a t i o n o f t h e e f f e c t o f w a l l r o u g h n e s s o n t h e d a m p i n g . When two d i f f e r e n t s u r f a c e m o d e s a r e c o n - s i d e r e d , h o w e v e r , i t i s p o s s i b l e t o s e p a r a t e t h e c o n t r i b u t i o n s t o t h e d a m p i n g f r o m t h e f r e e s u r f a c e a n d t h e b a s e ( s e e S e c t i o n 5 . 2 ) . I n a l l o f o u r e x p e r i m e n t a l w o r k ( f o r a >> l), two s u r f a c e m o d e s h a v e b e e n u s e d , w h e r e o n e s a t i s f i e s t h e s h a l l o w f l u i d c a s e ( k H << 1) a n d t h e o t h e r s a t i s f i e s t h e d e e p f l u i d c a s e kH > 1 . T h e g e o m e t r y o f t h e s q u a r e l u c i t e w a v e t a n k u s e d i n t h i s e x p e r i m e n t a l i n v e s t i g a t i o n i s s h o w n i n F i g u r e 2 1 . 68 e l e c t r o d e w a t e g u r e 2 1 . C r o s s - s e c t i o n o f t h e s q u a r e w a v e t a n k . 70 E s s e n t i a l l y , t h e same e x p e r i m e n t a l p r o c e d u r e , d e s c r i b e d i n S e c t i o n 3.1 h a s b e e n u s e d . A g r o o v e d a l u m i n u m p l a t e c o u l d be m o u n t e d on t h e b o t t o m o f t h e t a n k a n d was s e c u r e d on i t w i t h a s i l i c o n e a d h e s i v e ( G e n e r a l E l e c t r i c R T V ) . T h i s p r o c e d u r e was n e c e s s a r y i n o r d e r t o p r e v e n t a n o m a l o u s l y l a r g e w a v e d a m p i n g c a u s e d by s e e p a g e o f t h e w a t e r u n d e r t h e g r o o v e d p l a t e . T h e g r o o v e s on t h e p l a t e w e r e i d e n t i c a l a n d p a r a l l e l t o o n e a n o t h e r , h a v i n g a c r o s s s e c t i o n i n t h e f o r m o f a n i s o s c e l e s t r i a n g l e ( t h e g r o o v e d i m e n s i o n s a r e g i v e n i n T a b l e 2) . T h e w a v e s a r e a g a i n e x c i t e d b y a h o r i z o n t a l e l e c t r o d e m o u n t e d a b o v e t h e f l u i d s u r f a c e ; t h e same e l e c t r o d e d e s c r i b e d p r e v i o u s l y i s u s e d . T h e e l e c t r o d e i s s u s p e n d e d f r o m a l u c i t e c r o s s f i x e d a c r o s s t h e t o p o f t h e t a n k . T h e h e i g h t o f t h e e l e c t r o d e a b o v e t h e f l u i d s u r f a c e i s a d j u s t e d b y f o u r l e v e l l i n g s c r e w s a t t h e e n d s o f t h e c r o s s . I n t h i s s e r i e s o f e x p e r i m e n t s t h e e l e c t r o d e a n d w a t e r s u r f a c e w e r e s e p a r a t e d by a c o n s t a n t d i s t a n c e o f ( 1 . 9 ± 0 . 1 ) cm. T h e h i g h v o l t a g e w a v e g e n e r a t o r u s e d f o r t h i s e x p e r i m e n t was c o m p l e t e l y d i f f e r e n t f r o m t h a t u s e d p r e v i o u s l y . T h e g e n e r a t o r i n c o r p o r a t e s two n o v e l f e a t u r e s . A l l o f g e n e r a t o r t i m i n g i s d e t e r m i n e d b y a c r y s t a l c o n t r o l l e d m a s t e r c l o c k . T h e o u t p u t w a v e f o r m o f t h e g e n e r a t o r i s c o n s t r u c t e d by s e q u e n t i a l s c a n n i n g ( w i t h p u l s e s f r o m t h e m a s t e r c l o c k ) , o f a s e r i e s o f v o l t a g e r e g i s t e r s . 71 T a b l e 2 E x p e r i m e n t a l C o n d i t i o n s F e a t u r e s o f t h e W a t e r T a n k D e p t h L e n g t h , L K i n e m a t i c v i s c o s i t y P r o p e r t i e s o f G r o o v e d B a s e G r o o v e S p a c i n g A p e x A n g l e A 1 ( A r e a R a t i o ) C h a r a c t e r i s t i c s o f M o d e s Mode 1 ( S l o s h i n g M o d e ) Wave n u m b e r , k O s c i l l a t i o n F r e q u e n c y , f B o u n d a r y L a y e r T h i c k n e s s = / v / 2 i r f Mode 2 Wave n u m b e r , k O s c i l l a t i o n F r e q u e n c y , f B o u n d a r y L a y e r T h i c k n e s s ( 3 . 0 1 ± 0 . 0 1 ) cm ( 2 6 . 7 ± 0 . 1 ) cm 0.01 c m 2 s e c - 1 ( 3 . 2 ± 0 . 1 ) mm 9 0 ° /2 0 . 1 1 7 8 c m " 1 ( 1 . 0 2 0 ± 0.001 ) Hz 0.40 mm 0 . 3 5 3 3 c m - 1 ( 2 . 6 3 0 ± 0.001 ) Hz 0.25 mm 72 A s c h e m a t i c d i a g r a m o f t h e h i g h v o l t a g e w a v e f o r m g e n e r a t i o n c i r c u i t i s s h o w n i n F i g u r e 2 2 . T h e p u l s e s f r o m t h e o s c i l l a t o r ( c r y s t a l c o n t r o l l e d ) a r e d i v i d e d by 10 a n d 8 0 0 i n s t a g e s B a n d C r e s p e c t i v e l y . T h e o u t p u t f r o m C i s d e l a y e d by D ( v a r i a b l e d e l a y 0.5 - 2.5 m s e c ) . T h e o u t p u t p u l s e f r o m D o c c u r s i n c o i n c i d e n c e w i t h o n e o f t h e p u l s e s f r o m B, a n d a l s o r e s e t s B a n d C. S i n c e t h e j i t t e r i n t h e d e l a y u n i t o u t p u t p u l s e i s l e s s t h a n t h e i n t e r v a l b e t w e e n p u l s e s c o m i n g f r o m B, t h e t i m i n g a c c u r a c y i s c o n t r o l l e d by t h e j i t t e r o f t h e p u l s e s c o m i n g f r o m B. T h i s j i t t e r i s l e s s t h a n 0.5 u s e e . T h i s u n i t ( B , C, a n d D) p l u s t h e o s c i l l a t o r p r o d u c e s h i g h s t a b i l i t y v a r i a b l e f r e q u e n c y o u t p u t p u l s e s . T h e o u t p u t p u l s e s f r o m E ( p r o g r a m m a b l e d i v i d e r N a t i o n a l S e m i - C o n d u c t o r DM 7 5 2 0 ) c o n s t i t u t e t h e c l o c k p u l s e s w h i c h d e t e r m i n e t h e r a t e a t w h i c h t h e v o l t a g e r e g i s t e r s c o n t a i n e d i n t h e f u n c t i o n g e n e r a t o r , a r e s c a n n e d . A s c h e m a t i c d i a g r a m o f t h e f u n c t i o n g e n e r a t o r i s s h o w n i n F i g u r e 2 3 . T h e m e m o r y c o n s i s t s o f 16 s t o r a g e r e g i s t e r s . E a c h r e g i s t e r h a s 128 l e v e l s , w i t h l e v e l 1 2 8 c o r r e s p o n d i n g t o 5 v o l t s a n d l e v e l z e r o t o 0 v o l t s . T h u s e a c h r e g i s t e r c a n be p r o g r a m m e d t o a n y DC l e v e l f r o m 0 t o 5 v o l t s . To c o n s t r u c t a n y p e r i o d i c p o s i t i v e w a v e f o r m , o n e - h a l f o f t h e w a v e f o r m i s c o n s i d e r e d . T h i s h a l f w a v e f o r m i s t h e n d i v i d e d i n t o 16 e q u a l s e c t i o n s . T h e d e s i r e d v a l u e o f t h e w a v e f o r m i s t h e n d e p o s i t e d by t h e u s e o f t h e m a n u a l a d d r e s s i n a s u c c e s s i v e s t o r a g e r e g i s t e r . To i 1 1 u s t r a t e t h i s I MHZ OSCILLATOR DIVIDE BY IO B DIVIDE BY 800 COINCIDENCE CIRCUIT RESET PROGRAMMABLE FUNCTION GENERATOR F PROGRAMMABLE 1 DIVIDER IE POWER SUPPLY FREQUENCY COUNTER H F i g u r e 22. H i g h v o l t a g e w a v e f o r rn g e n e r a t i o n c i r c u i t INPUT ADDRESS COUNTER LOGIC L T count U P count down, U D COUNTER MEMORY DIGITAL TO ANALOGUE CONVERTER INTEGRATOR MANUAL ADDRESS DATA ENTRY F i g u r e 2 3 . F u n c t i o n g e n e r a t o r . 75 p r o c e d u r e , t h e p r o g r a m m e d v o l t a g e l e v e l s o f t h e r e g i s t e r s t o p r o d u c e a s i m p l e o u t p u t p u l s e ( s e e F i g u r e 2 4 c ) a r e s h o w n i n F i g u r e 2 4 a . T h e o u t p u t o f t h e f u n c t i o n g e n e r a t o r i s d e r i v e d f r o m t h e s t o r a g e r e g i s t e r s . When a c l o c k p u l s e o f f r e q u e n c y to ( t h i s f r e q u e n c y b e i n g c o n t r o l l e d b y t h e o u t p u t p u l s e s f r o m E ) i s a p p l i e d t o t h e i n p u t a d d r e s s , a n o u t p u t s i g n a l o f to/32 i s p r o d u c e d b y s w e e p i n g up a n d down t h r o u g h t h e 16 s u c c e s s i v e r e g i s t e r s o f t h e m e m o r y . T h e c o u n t e r l o g i c a n d t h e UP/DOWN C o u n t e r c o n t r o l t h i s s w e e p i n g t h r o u g h t h e r e g i s t e r s . T h e s c a n n i n g c y c l e f o r t h i s i s s h o w n s c h e m a t i c a l l y i n F i g u r e 2 4 b . T h e o u t p u t f r o m t h e m e m o r y ( s t o r a g e r e g i s t e r s ) i s a d i g i t a l s i g n a l a n d t h i s i s c o n v e r t e d t o an a n a l o g u e r e s u l t i n t h e D/A c o n v e r t e r . T h e b u f f e r a n d i n t e g r a t o r a r e u s e d t o s m o o t h o u t t h e r e s u l t i n g w a v e f o r m . F o r t h e r e g i s t e r l e v e l s g i v e n i n F i g u r e 2 4 a , t h e r e s u l t a n t o u t p u t o f t h e f u n c t i o n g e n e r a t o r w o u l d be a s i n F i g u r e 2 4 c , w i t h t h e f r e q u e n c y o f t h i s o u t p u t p u l s e b e i n g c o n t r o l l e d by t h e p u l s e s f r o m E . T h e o u t p u t o f t h e f u n c t i o n g e n e r a t o r i s a p p l i e d t o a KEPCO p r o g r a m m a b l e h i g h v o l t a g e p o w e r s u p p l y . T h i s u n i t o p e r a t i n g i n t h e p r o g r a m m a b l e mode a c t s a s a l o w f r e q u e n c y a m p l i f i e r w i t h a g a i n o f 1 0 0 0 . T h e o u t p u t o f t h e K e p c o u n i t i s a p p l i e d d i r e c t l y t o t h e e l e c t r o d e . 7 6 a F i g u r e 2 4 . T h e c o n s t r u c t i o n o f a n a r b i t r a r y w a v e f o r m u s i n g t h e f u n c t i o n g e n e r a t o r . ( a ) R e g i s t e r v o l t a g e ( d e p o s i t e d by m a n u a l a d d r e s s s y s t e m ) v s r e g i s t e r n u m b e r ( b ) S c a n n i n g c y c l e ( d e t e r m i n e d b y c l o c k p u l s e s f r o m E ( F i g u r e 2 2 ) a n d s w i t c h i n g l o g i c o f u p - d o w n c o u n t e r ( c ) R e s u l t a n t w a v e f o r m 76b 77 5.2 E x p e r i m e n t a l R e s u l t s a n d D i s c u s s i o n E x p e r i m e n t s w e r e c o n d u c t e d t o d e t e r m i n e t h e d a m p i n g f r e q u e n c y f o r b o t h a s m o o t h l u c i t e b a s e a n d a g r o o v e d b a s e p r e s e n t i n t h e w a v e t a n k . T h e e x p e r i m e n t s p e r f o r m e d i n t h i s i n v e s t i g a t i o n w e r e p e r f o r m e d i n a n i d e n t i c a l m a n n e r t o t h o s e d e s c r i b e d i n S e c t i o n 3 . 1 . As was r e m a r k e d p r e v i o u s l y , two s u r f a c e m o d e s w e r e c o n s i d e r e d i n t h i s i n v e s t i g a t i o n . By a p p l y i n g t h e h i g h v o l t a g e w a v e f o r m t o o n e - h a l f o f t h e e l e c t r o d e s u r f a c e m o d e s o f w a v e l e n g t h ( A ) , 2L a n d ( 2 / 3 ) L c a n be e x c i t e d , w h e r e L i s t h e l e n g t h o f t h e w a v e t a n k . T h e f r e q u e n c y o f t h e h i g h v o l t a g e w a v e f o r m i s a d j u s t e d t o r e s o n a t e w i t h t h e mode c o n s i d e r e d ( 1 . 0 2 Hz f o r 2L a n d 2 . 6 3 f o r ( 2 / 3 ) L ) . I n i t i a l l y t h e d a m p i n g f r e q u e n c y f o r t h e s m o o t h b a s e was d e t e r m i n e d f o r two f l o w d i r e c t i o n s ( s e p a r a t e d by 9 0 ° ) . T h i s was d o n e t o e n s u r e t h a t t h e w a v e t a n k d i d n o t p o s s e s s a n y d i r e c t i o n a l d a m p i n g p r o p e r t i e s . I f t h i s h a d n o t b e e n c h e c k e d , a n y d i r e c t i o n a l d a m p i n g e f f e c t s w i t h t h e g r o o v e d b a s e p r e s e n t m i g h t e r r o n e o u s l y h a v e b e e n a t t r i b u t e d t o t h e g r o o v e s . F o r t h e s m o o t h b a s e we f o u n d no d i r e c t i o n a l d a m p i n g p r o p e r t i e s . W i t h t h e g r o o v e d b a s e p r e s e n t , d a m p i n g r u n s w e r e c o n d u c t e d f o r f l o w p a r a l l e l a s w e l l a s t r a n s v e r s e t o t h e g r o o v e s , f o r b o t h m o d e s . I n o u r i n i t i a l r u n s , we t h o u g h t we h a d d i s c o v e r e d a d i r e c t i o n a l d a m p i n g e f f e c t w i t h t h e g r o o v e d b a s e p r e s e n t . T h e d a m p i n g f o r f l o w p a r a l l e l t o t h e g r o o v e s 78 was c o n s i s t e n t l y l a r g e r t h a n f o r f l o w t r a n s v e r s e t o t h e g r o o v e s . T h i s r e s u l t was r e p r o d u c i b l e ; t h e v a l u e o f t h e d a m p i n g f r e q u e n c y was n o t . On c l o s e e x a m i n a t i o n o f t h e s i l i c o n e a d h e s i v e , w h i c h s e c u r e s t h e g r o o v e d b a s e t o t h e b o t t o m o f t h e t a n k , we f o u n d s m a l l c r a c k s i n t h e s e a l e r w h i c h a l l o w e d w a t e r t o g e t u n d e r t h e b a s e . T h e s e c r a c k s w e r e l o c a t e d m i d - w a y a l o n g o n e w a l l , w h e r e t h e p l a n e o f t h i s w a l l was t r a n s v e r s e t o t h e g r o o v e s . T h i s a c c o u n t e d f o r t h e d i r e c t i o n a l d a m p i n g e f f e c t s . F o r f l o w a l o n g t h e g r o o v e s t h e v e l o c i t y a t t h e c r a c k s i n t h e s e a l e r w o u l d be l a r g e , a n d t h e r e w o u l d be e n h a n c e m e n t o f t h e d a m p i n g d u e t o f l o w i n t o t h e s e c r a c k s . F o r f l o w t r a n s v e r s e t o t h e g r o o v e s , t h e c r a c k s a r e e s s e n t i a l l y o n t h e n o d a l l i n e w h e r e t h e f l o w v e l o c i t y i s a m i n i m u m . T h e e n h a n c e m e n t i n t h e d a m p i n g c a u s e d b y t h e c r a c k s i n t h e s i l i c o n e s e a l e r w o u l d t h u s be s m a l l e r f o r t h i s c a s e ( f l o w t r a n s v e r s e t o g r o o v e s ) t h a n f o r f l o w p a r a l l e l t o t h e g r o o v e s . A f t e r t h e s e c r a c k s w e r e p r o p e r l y s e a l e d , no d i r e c t i o n a l d a m p i n g e f f e c t was o b s e r v e d . T y p i c a l d a m p i n g r u n s a r e s h own i n F i g u r e 2 7 - 2 8 . T h e s t r a i g h t l i n e s a r e d e t e r m i n e d by a l e a s t s q u a r e s f i t t o t h e d a t a p o i n t s . T h e o s c i l l o s c o p e t r a c e s f r o m w h i c h t h e s e g r a p h s a r e d e r i v e d ( F i g u r e 2 7 - 2 8 ) a r e s h o w n i n F i g u r e 2 5 - 2 6 . I t w i l l be n o t e d t h a t t h e a m p l i t u d e s f o r F i g u r e s 2 5 a , 2 5 b a n d 2 6 a , 2 6 b a r e d i f f e r e n t . T h i s i s d u e t o t h e p o s i t i o n o f t h e d e t e c t o r a n d t h e t i m e a f t e r s w i t c h - o f f o f t h e f i e l d a t w h i c h t h e r e c o r d i n g 79a F i g u r e 2 5 . D a m p i n g r u n s f o r X = -| L ( h o r i z o n t a l s c a l e 0.05 v / d i v , v e r t i c a l s c a l e 2 s e c / d i v ) . ( a ) s m o o t h b a s e ( b ) s m o o t h b a s e w i t h f l o w d i r e c t i o n r o t a t e d 9 0 ° w i t h r e s p e c t t o ( a ) ( c ) g r o o v e d b a s e w i t h f l o w p a r a l l e l t o t h e g r o o v e s (d) g r o o v e d b a s e t h e g r o o v e s w i t h f l o w t r a n s v e r s e t o 79b 80 a F i g u r e 2 6 . D a m p i n g r u n s f o r A = 2L ( h o r i z o n t a l s c a l e 5 s e c / d i v ) . ( a ) s m o o t h b a s e ( v e r t . 0.05 v / d i v ) ( b ) s m o o t h b a s e w i t h f l o w d i r e c t i o n r o t a t e d 9 0 ° w i t h r e s p e c t t o ( a ) ( v e r t . 0.1 v / d i v a n d 0 . 0 5 v / d i v ) ( c ) g r o o v e d b a s e w i t h f l o w p a r a l l e l t o t h e g r o o v e s ( v e r t . 0.1 v / d i v a n d 0.05 v / d i v ) ( d ) g r o o v e d b a s e w i t h f l o w t r a n s v e r s e t o t h e g r o o v e s ( v e r t . 0 . 2 , 0.1 a n d 0 . 0 5 v / d i v )  81 a F i g u r e 2 7 . T h e l o g a r i t h m o f w a v e a m p l i t u d e v s t i m e U - f L ) . ( a ) s m o o t h b a s e ( b ) s m o o t h b a s e w i t h f l o w d i r e c t i o n r o t a t e d 9 0 ° w i t h r e s p e c t t o ( a ) ( c ) g r o o v e d b a s e w i t h f l o w p a r a l l e l t o g r o o v e s ( d ) g r o o v e d b a s e w i t h f l o w t r a n s v e r s e t o g r o o v e s  8 2 a F i g u r e 2 8 . T h e l o g a r i t h m o f w a v e a m p l i t u d e v s t i m e (X = 2 L ) ( a ) s m o o t h b a s e ( b ) s m o o t h b a s e w i t h f l o w d i r e c t i o n r o t a t e d by 9 0 ° w i t h r e s p e c t t o ( a ) ( c ) g r o o v e d b a s e w i t h f l o w p a r a l l e l t o g r o o v e s ( d ) g r o o v e d b a s e w i t h f l o w t r a n s v e r s e t o g r o o v e s LN A 0 5 10 15 20 25 30 35 a? TIME seconds 83 o f t h e a m p l i t u d e s t a r t e d . F r o m t h e s e g r a p h s , i t c a n be s e e n t h a t t h e d a m p i n g f r e q u e n c y i s i n d e p e n d e n t o f t h e d i r e c t i o n o f t h e f l o w v e l o c i t y w i t h r e s p e c t t o t h e g r o o v e s , f o r b o t h m o d e s c o n s i d e r e d . In o u r e a r l i e r e x p e r i m e n t s r e p r o d u c i b i l i t y h a d b e e n a p r o b l e m . I n t h e s e r u n s d i s t i l l e d w a t e r f r o m a c o p p e r d i s t i l l a t i o n s y s t e m h a d b e e n u s e d . I n o u r l a t e r r u n s l o w c o n d u c t i v i t y d i s t i l l e d w a t e r f r o m a g l a s s s y s t e m was u s e d . B e f o r e a s e r i e s o f r u n s , t h e w a v e t a n k was r i n s e d o u t w i t h t h i s d i s t i l l e d w a t e r b e f o r e f i l l i n g t h e t a n k . W i t h t h e s e p r e c a u t i o n s , r e p r o d u c i b l e r e s u l t s w e r e o b t a i n e d f o r t h e d a m p i n g f r e q u e n c y . A c c o r d i n g t o t h e t h e o r e t i c a l m o d e l d e v e l o p e d i n S e c t i o n 4 . 2 , t h e d a m p i n g o v e r g r o o v e d s u r f a c e s s h o u l d be i n d e p e n d e n t o f t h e f l o w d i r e c t i o n , a n d t h e e n h a n c e m e n t i n t h e d a m p i n g s h o u l d be p r o p o r t i o n a l t o t h e f r a c t i o n a l a r e a i n c r e a s e o f t h e s u r f a c e . When c o m p a r i n g o u r e x p e r i m e n t a l r e s u l t s w i t h t h i s t h e o r y , i t i s e s s e n t i a l t o c o n s i d e r how w e l l t h e e x p e r i m e n t a l c o n d i t i o n s a p p r o x i m a t e t h e t h e o r e t i c a l m o d e l . T h e g r o o v e d a l u m i n u m b a s e u s e d i n t h e s e e x p e r i m e n t s s a t i s f i e s a l l o f t h e a s s u m p t i o n s u s e d i n t h e t h e o r e t i c a l m o d e l . T h e s h o r t e s t w a v e l e n g t h s u r f a c e mode h a s a l e n g t h o f ~ 18 cm, w h i c h i s much l a r g e r t h a n t h e g r o o v e s p a c i n g (~ 0.3 c m ) . T h e g r o o v e d e p t h i s a l s o much s m a l l e r t h a n t h e f l u i d d e p t h (~ 3 c m ) . F i n a l l y t h e t h i c k e s t b o u n d a r y l a y e r 84 u s e d ( f o r t h e l o w e s t f r e q u e n c y m o d e ) i s ~ 1 0 % o f t h e g r o o v e s p a c i n g ( s e e T a b l e 3 ) . A n o t h e r e f f e c t w h i c h c o u l d c a u s e a d i s c r e p e n c y b e t w e e n t h e e x p e r i m e n t a l c o n d i t i o n s a n d t h a t o f t h e t h e o r y , i s t h e c o n d i t i o n o f t h e a i r - w a t e r i n t e r f a c e . In S e c t i o n 4.3 t h e d a m p i n g f r e q u e n c y i s c a l c u l a t e d f o r a l a t e r a l l y m o b i l e a n d l a t e r a l l y i m m o b i l e s u r f a c e . T h e c o n d i t i o n o f t h e a i r - w a t e r i n t e r f a c e may, h o w e v e r , be n e i t h e r o f t h e a b o v e ; a s u r f a c t a n t m o n o l a y e r m i g h t c o v e r o n l y a p a r t o f t h i s s u r f a c e . I n T a b l e I I I t h e p r e d i c t i o n s o f e q u a t i o n ( 4 . 5 0 ) f o r t h e d a m p i n g f r e q u e n c y f o r a l a t e r a l l y m o b i l e s u r f a c e a n d e q u a t i o n ( 4 . 5 1 ) f o r a l a t e r a l l y i m m o b i l e s u r f a c e a r e g i v e n f o r b o t h m o d e s . T h e e x p e r i m e n t a l a f r o m F i g u r e 2 7 - 2 8 a r e a l s o t a b u l a t e d . T h e u n c e r t a i n t y i n a i s ~ 1%. A s T a b l e 3 s h o w s , f o r b o t h m o d e s t h e e x p e r i m e n t a l r e s u l t s a r e w e l l d e s c r i b e d by t h e p r e d i c t i o n s o f e q u a t i o n ( 4 . 5 0 ) ( t h e l a t e r a l l y m o b i l e s u r f a c e l a y e r t h o e r y ) . F r o m T a b l e 3, i t c a n be s e e n t h a t t h e t h e o r e t i c a l v a l u e s f o r a l a t e r a l l y i m m o b i l e s u r f a c e a r e t o o l a r g e t o a c c o u n t f o r t h e o b s e r v e d v a l u e s o f a. I f a m o n o l a y e r w e r e p r e s e n t o n o n l y a p a r t o f t h e s u r f a c e a w o u l d be l a r g e r t h a n t h e l a t e r a l l y m o b i l e v a l u e s . T h e r e w o u l d n o t be g o o d a g r e e m e n t b e t w e e n t h e o r y a n d e x p e r i m e n t f o r t h i s c a s e . H e n c e , we a r e d e a l i n g w i t h a l a t e r a l l y m o b i l e s u r f a c e l a y e r i n t h e s e e x p e r i m e n t s . T h e g o o d a g r e e m e n t b e t w e e n o u r e x p e r i m e n t a l r e s u l t s a n d t h e r e s u l t s . Mode 1 ( w a v e l e n g t h = 2 L ) s m o o t h b a s e g r o o v e d b a s e Mode 2 ( w a v e l e n g t h = 2 L / 3 ) s m o o t h b a s e g r o o v e d b a s e T a b l e 3 V a l u e s o f t h e D a m p i n g F r e q u e n c y , a ( s e c - 1 ) E x p e r i m e n t a l (± V/o) T h e o r y ( L a t e r a l l y m o b i 1 e a i r - w a t e r i n t e r f a c e ) T h e o r y ( L a t e r a l l y i m m o b i l e a i r - w a t e r i n t e r f a c e ) 0 . 0 3 5 0. 0 4 5 0. 0 3 4 0. 0 4 5 0 . 0 6 4 0 . 0 7 5 0 . 0 3 9 0 . 0 5 0 0.041 0. 052 0 . 1 0 5 0 . 1 1 5 CO 86 p r e d i c t e d by e q u a t i o n ( 4 . 5 0 ) c o n f i r m t h a t t h e e n h a n c e m e n t i n t h e d a m p i n g c a u s e d by a g r o o v e d b a s e i s p r o p o r t i o n a l t o t h e f r a c t i o n a l a r e a i n c r e a s e o f t h e b a s e . 5.3 C o n c l u s i o n s T h e r e a r e two s i g n i f i c a n t ( a n d s u r p r i s i n g ) r e s u l t s w h i c h h a v e b e e n e s t a b l i s h e d i n P a r t B. I t was s h o w n b o t h t h e o r e t i c a l l y a n d e x p e r i m e n t a l l y ( f o r a s q u a r e w a v e t a n k w i t h a g r o o v e d b a s e s a t i s f y i n g a >> l), t h a t t h e d a m p i n g i s i n d e p e n d e n t o f t h e f l o w d i r e c t i o n w i t h r e s p e c t t o t h e g r o o v e s ; a n d t h e d a m p i n g i s i n c r e a s e d a t a r a t e p r o p o r t i o n a l t o t h e a r e a i n c r e a s e o f t h e b a s e ( f o r t r i a n g u l a r a n d a p p r o x i m a t e l y s i n u s o i d a l g r o o v e c r o s s s e c t i o n s ) . T h e f o r m e r r e s u l t i s t h e m o r e s u r p r i s i n g , s i n c e i n t u i t i v e l y i t w o u l d s e e m t h a t t h e d a m p i n g f o r a g r o o v e d b a s e s h o u l d be d e p e n d e n t o n f l o w d i r e c t i o n . T h i s s i m p l e i n t u i t i v e p r e d i c t i o n h a s b e e n s h o w n i n P a r t B n o t t o be v a l i d . I t h a s b e e n e s t a b l i s h e d i n P a r t A f o r a < % t h a t t h e v a r i a b i l i t y i n t h e d a m p i n g i s d u e t o s u r f a c t a n t s . O b s e r - v a t i o n s o f d a m p i n g t h e n ( p a r t i c u l a r l y i n s p a c e , r a t h e r t h a n i n t i m e ) s h o u l d p r o v i d e a v e r y c o n v e n i e n t m e t h o d o f s t u d y i n g t h e d y n a m i c p r o p e r t i e s o f t w o - d i m e n s i o n a l p h y s i c a l s y s t e m s . N o n - u n i f o r m s u r f a c e f i l m s c o u l d be s t u d i e d by a p p l y i n g a h i g h f r e q u e n c y e l e c t r i c f i e l d t o t h e w a t e r s u r f a c e . R e g i o n s o f h i g h d a m p i n g ( l a r g e c o n c e n t r a t i o n o f s u r f a c t a n t s ) w o u l d t h e n be l o w a m p l i t u d e r e g i o n s . R E F E R E N C E S A b r a m o w i t z a n d I . A . S t e g u n ( 1 9 6 5 ) . H a n d b o o k o f m a t h e m a t i c a l f u n c t i o n s ( D o v e r P u b l i c a t i o n s , I n c New Y o r k . K.M. C a s e a n d W.C. P a r k i n s o n , J . F l u i d M e c h . , 2, 172 ( 1 9 5 7 ) . F . L . C u r z o n a n d R . L . P i k e , C a n . J . P h y s . , '46, 2001 ( 1 9 6 8 ) . F . L . C u r z o n a n d M.G.R. P h i l l i p s , C a n . J . P h y s . , 5 1 , 21 75 ( 1 9 7 3 ) . • — R. D o r r e s t e i n , P r o c . K o n i n k l . N e d . A k a d . W e t e n s c h a p , BB4 , 260 a n d 350 ( 1 951 ) . G.N. I o n i d e s a n d F . L . C u r z o n , C a n . J . P h y s . , 4 9 , 2 7 3 3 ( 1 9 7 1 ) . — G.N. I o n i d e s a n d F . L . C u r z o n , C a n . J . P h y s . , 5 0 , 2 6 9 8 ( 1 9 7 2 ) . — G.N. I o n i d e s ( 1 9 7 2 ) . P h . D . d i s s e r t a t i o n ( U n i v e r s i t y o f B r i t i s h C o l u m b i a ) . L . D . L a n d a u a n d E.M. L i f s h i t s - ( 1 9 5 9 ) . F l u i d M e c h a n i c s ( P e r g a m o n P r e s s , L o n d , New Y o r k ) . V . G . L e v i c h , A c t a . P h y s i c o c h i m. , U . S . S . R . , 1_4, 307 a n d 321 ( 1 9 4 1 ) . V . G . L e v i c h , P h y s i o c h e m i c a l H y d r o d y n a i m c s , C h a p t e r 11 ( P r e n t i c e H a l 1 , N . J . , 1 9 6 8 ) . 87 88 1 2 . N. L e v i n s o n a n d R.M. R e d h e f f e r ( 1 9 7 0 ) . C o m p l e x V a r i a b l e s ( H o l d e n - D a y I n c . , S a n F r a n c i s c o , L o n d o n ) . 1 3 . R . L . P i k e a n d F . L . C u r z o n , C a n . J . P h y s . , 4 6 , 2 0 0 9 ( 1 9 6 8 ) . 1 4 . R . L . P i k e ( 1 9 6 7 ) . P h . D . d i s s e r t a t i o n ( U n i v e r s i t y o f B r i t i s h C o l u m b i a . 1 5 . M.R. S p i e g e l . C o m p l e x V a r i a b l e s ( S c h a u m P u b l i s h i n g C o . , N . Y . ) . A P P E N D I X A THE GENERAL RESULT FOR THE DAMPING FREQUENCY D e r i v a t i o n o f a = C o n s i d e r a wave t a n k g e o m e t r y a s g i v e n b y F i g u r e 2 0 . T h e d a m p i n g f r e q u e n c y d u e t o t h e w a l l s o f t h e w a v e t a n k w i l l now be c a l c u l a t e d . W i t h o u t l o s s o f g e n e r a l i t y , a d u e t o o n e s u r f a c e w i l l be d e t e r m i n e d a n d t h e f o r m o f t h i s r e s u l t w i l l be a p p l i e d t o t h e o t h e r s u r f a c e s . I n p a r t i c u l a r , t h i s w i l l be d o n e f o r t h e b o t t o m s u r f a c e o f t h e w a v e t a n k . T h e e q u a t i o n o f m o t i o n f o r a v i s c o u s f l u i d , g i v e n p r e v i o u s l y i s 3v p Jt = " V P " p g + v P y 2 1 (A w h e r e 1 = 1A. + v_i_; y_o_ = Vd> (A E q u a t i o n ( A . l ) i s now m u l t i p l i e d b y y_ a n d t h e e q u a t i o n i s i n t e g r a t e d o v e r t h e f l u i d v o l u m e . cov 7 ( V < b ) f dA / ( V c b ) z dx 89 90 a f v 2 l 3t ,P "2". + v • (VP + pg) dx = V V V 2 v dx ( A . 3 ) I i i t h e a b s e n c e o f v i s c o s i t y t h e RHS o f ( A . 3 ) i s z e r o . T h e t e r m _y_ • (VP + P g ) m u s t t h e n be t h e r a t e o f c h a n g e o f t h e p o t e n t i a l e n e r g y , i . e . y_ • (V P + pg) = —• ( P . E . ) . T h e LHS o f ( A . 3 ) i s t h e n t h e t i m e r a t e o f c h a n g e o f t h e t o t a l e n e r g y E T _3_ 3 t E T dx Pv v • V v dx ( A . 4 ) S i n c e a c a u s e d by t h e b o t t o m s u r f a c e i s t o be c a l c u l a t e d V i w i l l h a v e t h e f o r m v 1 V<j)(t) t e x p - z ( l + i ) Y + i o ) t ( A . 5 ) w h e r e y = /Z I Now i n e q u a t i o n ( A . 4 ) t h e q u a n t i t i e s we a r e i n t e r e s t e d i n a r e t h e r e a l p a r t s o f t h e v e l o c i t y t e r m s , i . e . (Re v) • ( R e V 2 v x ) dx (Re v 0) ( R e V 2 v i ) dx + (Re v ! ) ( R e V 2 v , ) dx t . Note t h a t Vcj) i s e v a l u a t e d on the b o u n d a r y , i . e b o t t o m s u r f a c e o f the t a n k . ( A . 6 ) 91 Now f o r v i i n t h e f o r m g i v e n by ( A . 5 ) "(Re V i M R e V z V l ) = R e ( v x ( V 2 v , ) * ) ( A . 7 ) w h e r e t h e b a r a b o v e t h e e x p r e s s i o n s o n t h e LHS i n d i c a t e s a t i m e a v e r a g e o v e r many o s c i l l a t i o n s o f t h e s u r f a c e . T h e s e c o n d t e r m o f ( A . 6 ) i s t h e n r R e H v T U e V " v j dx = Re v ! (1 + i ) 2 Y 2 v 2 * dx Re V i 2 2 i V 2 dx ( A . 8 ) T h e f i r s t t e r m o f ( A . 6 ) i s Re v 0 V 2 v 2 * dx = Re ( v 0 ) 8v 8Z dA ( A . 9 ) w h e r e dA i s a s u r f a c e e l e m e n t o n t h e b o t t o m o f t h e t a n k . T h e b o u n d a r y c o n d i t i o n s on t h e s u r f a c e s o f t h e t a n k a r e t h a t y_ = 0. E q u a t i o n ( A . 9 ) t h e n b e c o m e s Re - Y ( 1 + 1 ) V * ( t ) dA V4>(t) ^ 2 dA ( A . 1 0 ) T h e t o t a l e n e r g y i s g i v e n by 92 VcD(t) E q u a t i o n ( A . 4 ) i s t h e n g i v e n by _8_ at V ( j ) ( t ) d T = -v y P V<j>(t) dA ( A . n ) F o r c o n v e n i e n c e V<j>(t) c a n be b r o k e n i n t o a s p a t i a l p a r t a n d a t i m e d e p e n d e n t p a r t Vd>( t ) Vcj) f(t) ( A . 1 2 ) w h e r e ^r-r 9_ at Vcj) = 0. F o r a l i n e a r v i s c o u s f l u i d w h i c h i s d a m p i n g ( i . e . d r i v i n g m e c h a n i s m h a s b e e n t u r n e d o f f ) t h e i n v i s c i d v e l o c i t y w i l l d e c a y e x p o n e n t i a l l y w i t h t i m e . H e n c e f ( t ) i s g i v e n b y f ( t ) ~ e - a t ( A . 1 3 ) w h e r e a i s t h e d a m p i n g f r e q u e n c y . E q u a t i o n ( A . 1 1 ) t h e n b e c o m e s 93 _9_ 3 t f ( t ) V<J) - v Y f ( t ) Vcb dA mil - - v Y f ( t ) / ( V ^ S d A a t 2 7 ( v c b ) z dx ( A . 1 4 ) i / ( V ( b ) 2 dA 7 ( V ( b ) z d r ( A . 1 5 ) T h e r e s u l t ( A . 1 5 ) i s c o m p l e t e l y g e n e r a l a n d c a n be a p p l i e d t o a n y s u r f a c e o f t h e t a n k , t h e s u r f a c e i n t e g r a t i o n b e i n g o v e r t h e s u r f a c e c o n s i d e r e d . T h e t o t a l a i s t h e n t h e sum o f a f r o m a l l o f t h e s u r f a c e s o f t h e w a v e t a n k .

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