UBC Theses and Dissertations

UBC Theses Logo

UBC Theses and Dissertations

Particle number fluctuations and their relation to geometrical probability Ehlers, Peter Frank 1972

Your browser doesn't seem to have a PDF viewer, please download the PDF to view this item.

Item Metadata

Download

Media
831-UBC_1972_A1 E35.pdf [ 5.43MB ]
Metadata
JSON: 831-1.0084899.json
JSON-LD: 831-1.0084899-ld.json
RDF/XML (Pretty): 831-1.0084899-rdf.xml
RDF/JSON: 831-1.0084899-rdf.json
Turtle: 831-1.0084899-turtle.txt
N-Triples: 831-1.0084899-rdf-ntriples.txt
Original Record: 831-1.0084899-source.json
Full Text
831-1.0084899-fulltext.txt
Citation
831-1.0084899.ris

Full Text

PARTICLE NUMBER FLUCTUATIONS AND THEIR RELATION TO GEOMETRICAL PROBABILITY by PETER FRANK EHLERS B.Sc. (Hon.), U n i v e r s i t y of B r i t i s h Columbia, 1965 A T H E S I S SUBMITTED IN P A R T I A L F U L F I L M E N T OF THE REQUIREMENTS FOR THE DEGREE OF DOCTOR OF PHILOSOPHY i n t h e Department of P H Y S I C S We a c c e p t t h i s t h e s i s as c o n f o r m i n g t o t h e r e q u i r e d s t a n d a r d THE U N I V E R S I T Y OF B R I T I S H COLUMBIA J u l y , 1972 In p r e s e n t i n g t h i s t h e s i s in p a r t i a l f u l f i l m e n t of the requirements f o r an advanced degree at the U n i v e r s i t y of B r i t i s h Columbia, I agree that the L i b r a r y s h a l l make i t f r e e l y a v a i l a b l e fo r re ference and s tudy . I f u r t h e r agree t h a t pe rmiss ion fo r e x t e n s i v e copying o f t h i s t h e s i s f o r s c h o l a r l y purposes may be granted by the Head of my Department or by h i s r e p r e s e n t a t i v e s . I t i s understood that copying or p u b l i c a t i o n o f t h i s t h e s i s f o r f i n a n c i a l ga in s h a l l not be a l lowed without my w r i t t e n p e r m i s s i o n . Department of The U n i v e r s i t y o f B r i t i s h Columbia Vancouver 8 , Canada ABSTRACT F l u c t u a t i o n s i n t h e number o f p a r t i c l e s N w i t h i n a s m a l l s u b v o l u m e o f a s y s t e m o f c l a s s i c a l n o n - i n t e r a c t i n g p a r t i c l e s u n d e r g o i n g f r e e f l i g h t , d i f f u s i o n o r B r o w n i a n m o t i o n a r e s t u d i e d . E m p h a s i s i s on t h e t e m p o r a l c o r r e l a t i o n s and t h e s u b v o l u m e g e o m e t r y . S m o l u c h o w s k i ' s m e t h o d o f p r o b -a b i l i t y a f t e r - e f f e c t s i s u s e d i n c o n j u n c t i o n w i t h an " i n t e r -s e c t i o n v o l u m e " t e c h n i q u e . F r e e - f l i g h t a u t o c o r r e l a t i o n f u n c t i o n s f o r N ( t ) a r e d e r i v e d f o r s e v e r a l v e l o c i t y d i s t r i -b u t i o n s , i n c l u d i n g t h e c l a s s i c a l and r e l a t i v i s t i c M a x w e l l i a n . L o w - f r e q u e n c y n u m b e r s p e c t r a a r e o b t a i n e d f o r t h e c l a s s i c a l i d e a l g a s i n t h e r m a l e q u i l i b r i u m when t h e s u b v o l u m e i s a t h i n s l a b , l o n g c y l i n d e r o r s p h e r e . A new t h e o r e m i n g e o m e t r i c a l p r o b a b i l i t y i s o b t a i n e d by r e l a t i n g t h e a u t o c o r r e l a t i o n s o f N and N. We a l s o g e n e r a l i z e t h e p r o b l e m o f t h e f i r s t p a s s a g e t i m e ( t o t h e s u r f a c e ) o f p a r t i c l e s d i f f u s i n g o u t o f an n -s p h e r e u n d e r a b s o r p t i v e b o u n d a r y c o n d i t i o n s . We a c c o u n t f o r p a r t i c l e d e c a y and r a n d o m i n i t i a l p o s i t i o n . T h e r e s u l t i n g c h a r a c t e r i s t i c f u n c t i o n o f t h e f i r s t p a s s a g e t i m e i s a p p l i e d i i t o t h e p r o b l e m o f p o s i t r o n i u m d i f f u s i o n i n s o l i d p o w d e r s . T h e e x p e r i m e n t a l l y o b s e r v e d d e p e n d e n c e o f p o s i t r o n a n n i h i l a -t i o n s p e c t r a on p o w d e r p a r t i c l e s i z e p e r m i t s one t o c a l c u l a t e t h e d i f f u s i o n c o n s t a n t f o r o - P s a t o m s i n t h e p o w d e r p a r t i c l e s . D i f f u s i o n c o n s t a n t s d e d u c e d by B r a n d t and P a u l i n ( 1 9 6 8 ) f r o m t h e i r e x p e r i m e n t s a r e s h o w n t o be t o o l a r g e by a f a c t o r o f a b o u t 4 . C o r r e c t e d v a l u e s h a v e now b e e n p u b l i s h e d ( B r a n d t and P a u l i n , 1 9 7 2 ) as a r e s u l t o f d i s c u s s i o n w i t h t h e p r e s e n t w r i t e r . TABLE OF CONTENTS P a g e ABSTRACT i i L I S T OF F IGURES v i i i ACKNOWLEDGEMENTS x C h a p t e r 1 INTRODUCTION 1 2 GENERAL F O R M A L I S M . 7 2 . 1 I n t r o d u c t i o n 7 2 . 2 The R e m a i n d e r F u n c t i o n and Number C o r r e l a t i o n s 10 2 . 3 M e t h o d f o r C a l c u l a t i n g R ( t ) 13 2 . 4 The D i s p l a c e m e n t P r o b a b i l i t y D e n s i t y . . . . 16 2 . 5 P r o p e r t i e s o f t h e R e m a i n d e r F u n c t i o n . . . . 17 • 2 . 6 F l u c t u a t i o n s i n d N / d t 3 3 3 F R E E - F L I G H T PROCESSES 36 3 . 1 I n t r o d u c t i o n 36 - 3 . 2 T e m p o r a l C o r r e l a t i o n s o f P a r t i c l e Number . 3 6 a i v C h a p t e r P a g e 3 . 2 . 1 The S i n g l e - S p e e d Gas 3 6 a 3 . 2 . 2 The C l a s s i c a l I d e a l Gas ( M a x w e l l V e l o c i t y D i s t r i b u t i o n ) 46 3 . 2 . 3 R e c t a n g u l a r V e l o c i t y D i s t r i b u t i o n . . 53 3 . 2 . 4 G a u s s i a n D i s t r i b u t i o n w i t h D r i f t . . 56 3 . 2 . 5 R e l a t i v i s t i c M a x w e l l D i s t r i b u t i o n . . 61 3 . 3 Number F l u c t u a t i o n S p e c t r a 65 3 . 3 . 1 I n t r o d u c t o r y N o t e s 6 5 3 . 3 . 2 The S i n g l e - S p e e d Gas 66 3 . 3 . 3 D i s t r i b u t e d S p e e d s 74 4 FLUCTUATIONS IN fl(t) AND A THEOREM IN GEOMETRICAL P R O B A B I L I T Y 78 4 . 1 I n t r o d u c t i o n 78 4 . 2 T h e C o r r e l a t i o n F u n c t i o n o f N ( t ) and T r a n s i t T i m e D i s t r i b u t i o n s . . . . . . . . . 79 4 . 3 A New T h e o r e m i n G e o m e t r i c a l P r o b a b i l i t y 86 4 . 4 The Number F l u c t u a t i o n S p e c t r u m 91 4 . 5 E x a m p l e s 95 5 ' D I F F U S I O N PROCESSES 99 5 . 1 I n t r o d u c t i o n .* 99 5 . 2 P a r t i c l e Number C o r r e l a t i o n s 100 5 . 2 . 1 T e m p o r a l C o r r e l a t i o n s . . . . . . . . 100 5 . 2 . 2 D i f f u s i o n S p e c t r a 106 v C h a p t e r Page 5 . 3 E s c a p e T i m e D i s t r i b u t i o n o f D i f f u s i n g P a r t i c l e s 114 5 . 3 . 1 I n t r o d u c i n g N o t e s 114 5 . 3 . 2 P o p o v ' s R e l e v a n t R e s u l t s 115 5 . 3 . 3 D e c a y i n g P a r t i c l e s 118 5 . 3 . 4 Random I n i t i a l P o s i t i o n 124 5 . 4 P o s i t r o n i u m D i f f u s i o n i n S o l i d s 129 5 . 4 . 1 I n t r o d u c t o r y N o t e s 129 5 . 4 . 2 The L i f e t i m e S p e c t r u m 130 6 RANDOM PATHS THROUGH CONVEX BODIES 136 6 . 1 I n t r o d u c t i o n 136 6 . 2 R e l a t i o n B e t w e e n t h e V o l u m e o f I n t e r s e c t i o n and t h e P r o b a b i l i t y D e n s i t y o f S e c a n t L e n g t h . 138 6 . 3 F u r t h e r R e s u l t s 141 6 . 4 E x a m p l e s 148 6 . 5 S - R a n d o m n e s s 158 7 SUMMARY 161 B I B L I O G R A P H Y 165 A P P E N D I C E S A SOME INTERSECT ION VOLUMES 167 B D I S T R I B U T I O N OF DISTANCE BETWEEN TWO RANDOM POINTS IN AN ARBITRARY R E G I O N . . . . 172 C MOTIVATION FOR SURMISE 3 . 1 174 v i A P P E N D I C E S P a g e D PROOF OF EQ. ( 3 . 4 9 ) 176 E A THEOREM ON N O N - N E G A T I V E RANDOM V A R I A B L E S 178 v i i LIST OF FIGURES F i g u r e P a g e 2 . 1 The i n t e r s e c t i o n v o l u m e 15a 3 . 1 R e m a i n d e r f u n c t i o n R n ( t ) f o r t h e s i n g l e -s p e e d gas when t h e s u b v o l u m e i s an n - s p h e r e (n = 1 , 2 , 3 ) 3 8 a 3 . 2 C o m p a r i s o n o f r e m a i n d e r f u n c t i o n s f o r t h e r e c t a n g l e and t h e d i s c f o r t h e s i n g l e -s p e e d g a s 4 1 a 3 . 3 R e m a i n d e r f u n c t i o n f o r M a x w e l l i a n f r e e f l i g h t t h r o u g h n - s p h e r e s (n = 1 , 2 , 3 ) 4 9 a 3 . 4 O s c i l l a t i o n s i n t h e number f l u c t u a t i o n s p e c t r a o f t h e s i n g l e - s p e e d g a s f o r m o t i o n t h r o u g h n - s p h e r e s (n = 1 , 2 , 3 ) 6 8 a 4 . 1 T r a n s i t t i m e d i s t r i b u t i o n s f o r M a x w e l l i a n f r e e f l i g h t t h r o u g h t h e s p h e r e and t h e l o n g c y l i n d e r 9 8 a 5 . 1 R e m a i n d e r f u n c t i o n f o r o n e - d i m e n s i o n a l ' B r o w n i a n m o t i o n f o r s e v e r a l v a l u e s o f t h e f r i c t i o n c o e f f i c i e n t X 1 0 5 a 5 . 2 I n t e n s i t y B n o f ( d i f f u s i o n - c o n t r o l l e d ) l o n g - l i f e t i m e c o m p o n e n t i n p o s i t r o n a n n i h i l a t i o n s p e c t r a (n = 1 , 2 , 3 ) 1 3 3 a 6 . 1 . a The s e c a n t t h r o u g h P i n t h e d i r e c t i o n 0 has l e n g t h £ ( P , 0 ) 1 3 9 a v i i i F i g u r e P a g e 6 . K b The i n t e r s e c t i o n o f K w i t h K ' . . 1 3 9 a 6 . 2 C o m p a r i s o n o f t h e i n t e r s e c t i o n v o l u m e f o r t h e s p h e r e w i t h t h a t f o r a n o n - s p h e r i c a l c o n v e x d o m a i n 1 4 5 a A . l . a I n t e r s e c t i o n v o l u m e f o r t h e n - s p h e r e 1 6 9 a A . l . b I n t e r s e c t i o n v o l u m e f o r t h e r e c t a n g l e . 1 6 9 a i x ACKNOWLEDGEMENTS I w i s h t o t h a n k my s u p e r v i s o r D r . R . E . B u r g e s s f o r h i s a s s i s t a n c e d u r i n g t h e c o u r s e o f t h i s w o r k and f o r t h e p r o v i s i o n o f r e s e a r c h g r a n t s . I a l s o t h a n k t h e N a t i o n a l R e s e a r c h C o u n c i l o f C a n a d a f o r t h e a w a r d o f a s t u d e n t s h i p . I s h o u l d be r e m i s s i f I d i d n o t e x p r e s s my g r a t i t u d e t o S h a r i who d i d s u c h an e x c e l l e n t j o b o f t y p i n g t h e m a n u s c r i p t . x C h a p t e r 1 INTRODUCTION F l u c t u a t i o n s o f t h e number o f p a r t i c l e s c o n t a i n e d i n a s y s t e m , o r i n a s m a l l p a r t o f a l a r g e r s y s t e m , h a v e l o n g b e e n o f i n t e r e s t ( s e e , e . g . , t h e r e v i e w a r t i c l e s by C h a n d r a s e k h a r ( 1 9 4 3 ) and by v a n V l i e t and F a s s e t t ( 1 9 6 5 ) and r e f e r e n c e s t h e r e i n ) . I f t h e s t o c h a s t i c v a r i a b l e N ( t ) d e n o t e s t h e n u m b e r o f p a r t i c l e s i n a g i v e n r e g i o n o f s p a c e a t t i m e t , t h e n one i s u s u a l l y i n t e r e s t e d i n t h e a u t o c o v a r i a n c e o f N ( t ) o r i t s s p e c t r a l d e n s i t y f u n c t i o n . One m e c h a n i s m w h i c h g i v e s r i s e t o t h e f l u c t u a t i o n s i s t h e m o t i o n o f p a r t i c l e s a c r o s s t h e b o u n d a r y o f t h e r e g i o n b e i n g c o n s i d e r e d . We s h a l l be c o n c e r n e d w i t h t h i s . s o - c a l l e d " t r a n s p o r t n o i s e " f o r t h e c a s e w h e r e N r e f e r s t o t h e n u m b e r o f p a r t i c l e s i n a s u b v o l u m e o f an i n f i n i t e h o m o g e n e o u s d o m a i n . In p r a c t i c e t h e s u b v o l u m e may be a r e s t r i c t e d s a m p l i n g r e g i o n , e . g . t h e f i e l d o f v i e w o f a m i c r o s c o p e . T h i s was t h e c a s e i n t h e e x p e r i m e n t s o f S v e d b e r g and o f 1 2 W e s t g r e n ( s e e C h a n d r a s e k h a r , 1 9 4 3 ) on d i f f u s i n g p a r t i c l e s i n c o l l o i d a l s o l u t i o n s . A l t e r n a t i v e l y , p a r t i c l e s m i g h t be i n j e c t e d r a n d o m l y a t t h e s u r f a c e o f t h e s u b v o l u m e as i n t h e c a s e o f a f i e l d - f r e e d i o d e . T h r o u g h o u t , o n l y c l a s s i c a l n o n - i n t e r a c t i n g p a r t i c l e s a r e c o n s i d e r e d and t h e p r o c e s s e s c a u s i n g t h e f l u c t u a t i o n s a r e a s s u m e d s t a t i o n a r y and m i c r o s c o p i c a l l y r e v e r s i b l e . In a l l s p e c i f i c e x a m p l e s , c o n v e x s u b v o l u m e s a r e a s s u m e d . The a p p r o a c h e m p l o y e d i n c a l c u l a t i n g t h e a u t o c o -v a r i a n c e o f N ( t ) i s S m o l u c h o w s k i 1 s m e t h o d o f p r o b a b i l i t y a f t e r - e f f e c t s ( C h a n d r a s e k h a r , 1 9 4 3 ) . The b a s i c q u a n t i t y i n v o l v e d i s t h e r e m a i n d e r f u n c t i o n ( o r p r o b a b i l i t y a f t e r -e f f e c t f u n c t i o n ) , d e f i n e d as t h e p r o b a b i l i t y t h a t a p a r t i c l e w h i c h i s l o c a t e d i n s i d e t h e g i v e n r e g i o n a t t = 0 w i l l a g a i n be f o u n d i n t h e r e g i o n a t t > 0 . [ The p a r t i c l e may l e a v e a n d r e - e n t e r t h e r e g i o n one o r m o r e t i m e s i n ( 0 , t ) , e . g . i n t h e c a s e o f d i f f u s i o n . ] T h i s p r o b a b i l i t y d e p e n d s on two t h i n g s : ( i ) t h e n a t u r e o f t h e p r o c e s s c a u s i n g t h e t r a n s p o r t o f p a r t i c l e s t h r o u g h t h e r e g i o n b e i n g c o n s i d e r e d , a n d ( i i ) t h e g e o m e t r y o f t h a t r e g i o n : Our m a i n c o n c e r n , e x c e p t i n C h a p t e r 6 , i s t h e r e m a i n d e r f u n c t i o n , w h i c h we c a l c u l a t e by a new " i n t e r -s e c t i o n v o l u m e " t e c h n i q u e . 3 In C h a p t e r 2 we d e v e l o p t h e m e t h o d o f c a l c u l a t i n g t h e r e m a i n d e r f u n c t i o n and d e r i v e some g e n e r a l p r o p e r t i e s o f t h e a u t o c o v a r i a n c e o f N ( t ) and i t s s p e c t r a l d e n s i t y . I n p a r t i c u l a r , t h e s h o r t - and l o n g - t i m e f o r m s o f t h e a u t o -c o v a r i a n c e a r e d i s c u s s e d , e m p h a s i z i n g t h e i n f l u e n c e o f t h e s u b v o l u m e ' s g e o m e t r y . The g e n e r a l h i g h - f r e q u e n c y b e h a v i o u r o f t h e s p e c t r a l d e n s i t y i s s h o w n t o c o n s i s t o f a s t r o n g l y s h a p e - d e p e n d e n t c o n s t a n t and a f r e q u e n c y d e p e n d e n c e w h i c h i s d e t e r m i n e d by t h e t r a n s p o r t p r o c e s s . F o r t h e d i f f u s i o n p r o c e s s t h i s l e a d s t o t h e " I n v e r s e 3 / 2 p o w e r l a w " d i s c u s s e d by v a n V l i e t and F a s s e t t . A l s o c o n s i d e r e d a r e p a r t i c l e s s u b j e c t t o d e c a y and f l u c t u a t i o n s i n d N / d t . C h a p t e r 3 d e a l s w i t h f r e e - f l i g h t p r o c e s s e s . H e r e p a r t i c l e s d e s c r i b e l i n e a r t r a j e c t o r i e s , as f o r e x a m p l e i n t h e c a s e o f m e t e o r s h o w e r s , w h e r e t h e s u b v o l u m e m i g h t be a r e g i o n o f s p a c e i l l u m i n a t e d by a r a d a r b e a m . The f i e l d - f r e e f l o w o f e l e c t r o n s a c r o s s a d i o d e o r i n a c a v i t y p r o v i d e s a n o t h e r e x a m p l e . The f r e e - f l i g h t p r o c e s s i s d e s c r i b e d by a v e l o c i t y d i s t r i b u t i o n . C o n s i d e r e d a r e a n u m b e r o f d i f f e r e n t g e o m e -t r i e s a n d s e v e r a l v e l o c i t y d i s t r i b u t i o n s , i n c l u d i n g t h e M a x w e l l i a n , w h i c h a p p l i e s t o f l u c t u a t i o n s i n i d e a l g a s e s i n t h e r m a l e q u i l i b r i u m . The c a s e o f a d r i f t v e l o c i t y s u p e r -i m p o s e d on t h e r a n d o m m o t i o n o f p a r t i c l e s i s d i s c u s s e d f o r 4 a o n e - d i m e n s i o n a l s y s t e m . P a r t i c l e number f l u c t u a t i o n s p e c t r a a r e a l s o o b t a i n e d and i t i s s u r m i s e d t h a t , o f a l l c o n v e x u n i t s u b v o l u m e s i n n d i m e n s i o n s , t h e n - s p h e r e h a s t h e g r e a t e s t z e r o - f r e q u e n c y l i m i t o f t h e s p e c t r a l d e n s i t y f u n c t i o n . I n C h a p t e r 4 we c o n s i d e r c o r r e l a t i o n s i n d N / d t f o r p a r t i c l e s i n f r e e f l i g h t , d e r i v i n g t h e a u t o c o v a r i a n c e o f d N / d t i n two w a y s : ( i ) d i r e c t l y f r o m t h a t o f N ( t ) , and ( i i ) f r o m t h e d i s t r i b u t i o n o f t r a n s i t t i m e , i . e . t h e t i m e a p a r t i c l e r e q u i r e s t o t r a v e r s e t h e s u b v o l u m e . In t h e f i r s t a p p r o a c h t h e i n f l u e n c e o f t h e g e o m e t r y o f t h e s u b v o l u m e e n t e r s n a t u r a l l y t h r o u g h t h e " i n t e r s e c t i o n v o l u m e " d e f i n e d i n C h a p t e r 2 . B u t i n t h e l a t t e r a p p r o a c h t h e n a t u r a l g e o m e t r i c a l q u a n t i t y i s t h e p r o b a b i l i t y d e n s i t y o f s e c a n t l e n g t h , w h e r e a s e c a n t i s d e f i n e d as t h e i n t e r s e c t i o n o f a p a r t i c l e ' s t r a j e c t o r y w i t h t h e s u b v o l u m e . R e l a t i n g t h e two a p p r o a c h l e a d s t o a new t h e o r e m i n g e o m e t r i c a l p r o b a b i l i t y , c o n n e c t i n g t h e s e c a n t l e n g t h d e n s i t y w i t h t h e i n t e r s e c t i o n v o l u m e . T h i s t h e o r e m and some c o n s e q u e n c e s a r e d i s c u s s e d m o r e e x t e n s i v e l y i n C h a p t e r 6 w h i c h d e a l s w i t h r a n d o m p a t h s t h r o u g h c o n v e x d o m a i n s . In p r a c t i c e , p r o b l e m s i n v o l v i n g r a n d o m p a t h s f i r s t a r o s e i n c o n n e c t i o n w i t h t h e s t u d y o f s o u n d r e v e r b e r a t i o n i n t h e a c o u s t i c a l d e s i g n o f a u d i t o r i a 5 ( s e e , e . g . , K n u d s e n , 1 9 3 2 ) . S e c a n t s t a t i s t i c s h a v e a l s o a r i s e n i n t h e s t u d y o f gamma r a y p a t h s i n n u c l e a r r e a c t o r s ( P r i m a k , 1 9 5 6 ) . We e m p l o y o u r t h e o r e m i n C h a p t e r 6 t o e x t e n d some o f C o l e m a n ' s ( 1 9 6 9 ) w o r k i n t h i s a r e a o f g e o m e t r i c a l p r o b a b i l i t y . C h a p t e r 5 i s c o n c e r n e d w i t h d i f f u s i o n w h i c h has b e e n t h e s u b j e c t o f m o s t o f t h e p u b l i s h e d w o r k on t r a n s p o r t n o i s e . S e c t i o n 5 . 2 i s i n c l u d e d m a i n l y f o r c o m p l e t e n e s s , e x c e p t f o r a d i s c u s s i o n o f B r o w n i a n m o t i o n and a r e s u l t r e g a r d i n g t h e i s o t r o p i c d i f f u s i o n s p e c t r a f o r s p h e r i c a l s u b -v o l u m e s w h i c h h o l d s f o r a r b i t r a r y d i m e n s i o n a l i t y , b r i n g i n g t o g e t h e r r e s u l t s w h i c h h a v e a p p e a r e d s e p a r a t e l y i n t h e l i t e r a t u r e . The r e m a i n d e r o f C h a p t e r 5 i s n o t c o n c e r n e d w i t h p a r t i c l e n u m b e r f l u c t u a t i o n s b u t d e a l s w i t h t h e r o l e o f t h e r e m a i n d e r f u n c t i o n i n a r e l a t e d p r o b l e m , t h a t o f t h e e s c a p e t i m e d i s t r i b u t i o n o f p a r t i c l e s e m a n a t i n g f r o m a g i v e n r e g i o n . T h i s p r o b l e m h a s b e e n t r e a t e d by P o p o v ( 1 9 7 0 ) w h o s e r e s u l t s we e x t e n d t o a c c o m m o d a t e p a r t i c l e a n n i h i l a t i o n and r a n d o m i n i t i a l p o s i t i o n . T h e s e i m p o r t a n t m o d i f i c a t i o n s a l l o w us t o a p p l y o u r r e s u l t s t o t h e d e t e r m i n a t i o n o f t h e d i f f u s i o n c o n s t a n t ( a s s u m e d s p a t i a l l y i n v a r i a n t ) f o r p o s i t r o n i u m d i f -f u s i o n i n s o l i d p o w d e r s . D i f f u s i o n c o n s t a n t s d e d u c e d by B r a n d t a n d P a u l i n ( 1 9 6 8 ) f r o m e x p e r i m e n t a l a n n i h i l a t i o n 6 s p e c t r a o f p o w d e r s o f S i 0 2 , A.l 2 0 3 and MgO a r e f o u n d t o be t o o l a r g e by a f a c t o r o f a b o u t 4 due t o t h e u s e o f i n c o r r e c t b o u n d a r y c o n d i t i o n s i n t h e i r t h e o r y . T h e s e h a v e now b e e n c o r r e c t e d ( B r a n d t and P a u l i n , 1 9 7 2 ) as a r e s u l t o f d i s c u s -s i o n w i t h t h e p r e s e n t w r i t e r . C h a p t e r 2 GENERAL FORMALISM 2 . 1 I n t r o d u c t i on C o n s i d e r a s u b v o l u m e V o f a l a r g e r s y s t e m and l e t V c o n t a i n N ( t ) p a r t i c l e s a t t i m e t . Of p r i m a r y i n t e r e s t t o us w i l l be t h e a u t o c o v a r i a n c e c o e f f i c i e n t f o r p a r t i c l e n u m b e r , d e f i n e d by , m = c o v [ N ( t 0 + t ) , N ( t „ ) 3 / v a r N v The a v e r a g e s i n ( 2 . 1 ) a r e t o be p e r f o r m e d o v e r an e n s e m b l e o f i d e n t i c a l s y s t e m s . The p r o c e s s e s c a u s i n g t h e f l u c t u a -t i o n s a r e a s s u m e d t o be s t a t i o n a r y and m i c r o s c o p i c a l l y r e v e r s i b l e s o t h a t <2>N i s a f u n c t i o n o n l y o f | t | . We s h a l l be c o n c e r n e d m a i n l y w i t h t r a n s p o r t p r o c e s s e s . H e r e t h e f l u c t u a t i o n s a r e due t o b o u n d a r y e f f e c t s , i . e . t h e m o t i o n o f p a r t i c l e s i n t o o r o u t o f t h e s u b v o l u m e V t h r o u g h i t s s u r f a c e . 7 8 The s p e c t r a l d e n s i t y f u n c t i o n o f t h e n u m b e r f l u c -t u a t i o n s may be d e f i n e d as t h e F o u r i e r t r a n s f o r m o f t h e a u t o c o v a r i a n c e c o e f f i c i e n t . Due t o t h e n a t u r e o f t h e t i m e -d e p e n d e n c e o f $ , n o t e d a b o v e , t h e s p e c t r u m may be e x p r e s s e d i n t h e f o r m : S ( w ) E d t e l w t * N ( t ) (2 = 2 Re d t e~±Uit * N ( t ) D e f i n i n g a c o m p l e x s p e c t r a l d e n s i t y f u n c t i o n as t h e L a p l a c e t r a n s f o r m = d t e - i w t * N ( t ) one o b t a i n s t h e r e l a t i o n 9 S ( w ) = 2 Re § ( i w ) . ( 2 . 3 ) The n o r m a l i z a t i o n i s . 0 0 S ( w ) = 1 — oo F o r t h e c a l c u l a t i o n o f t h e a u t o c o v a r i a n c e c o e f f i c i e n t <5 ( t ) we e m p l o y t h e S m o l u c h o w s k i a p p r o a c h i n v o l v i n g p r o b a b i l i t y a f t e r - e f f e c t s ( C h a n d r a s e k h a r , 1 9 4 3 ; van V l i e t and F a s s e t t , 1 9 6 5 ) . T h i s m e t h o d i n v o l v e s u s e o f t h e r e m a i n d e r f u n c t i o n R ( t ) , w h i c h i s d e f i n e d as t h e p r o b a b i l i t y t h a t a p a r t i c l e w h i c h was l o c a t e d i n s i d e V a t t i m e t = 0 w i l l be f o u n d i n V a t a l a t e r t i m e t . ( R ( t ) i s a l s o known as t h e p e r s i s t e n c e f u n c t i o n , t h e p r o b a b i l i t y a f t e r - e f f e c t f u n c t i o n , and t h e p h o t o c o n d u c t i v e d e c a y f u n c t i o n . ) I t i s s h o w n i n t h e n e x t s e c t i o n t h a t $ N ( t ) = R ( | t | ) when V i s a s u b v o l u m e o f an i n f i n i t e d o m a i n . T h i s c o n d i t i o n i s a s s u m e d t o be s a t i s f i e d w h e n e v e r we a r e d e a l i n g w i t h p a r t i c l e n u m b e r c o r r e l a t i o n s . The r e m a i n d e r o f t h e c h a p t e r i s t h e n d e v o t e d t o an i n v e s t i g a -t i o n o f some o f t h e p r o p e r t i e s o f R, and S . 10 The e m p h a s i s on t h e r e m a i n d e r f u n c t i o n i n c a l c u -l a t i n g t h e p a r t i c l e number a u t o c o v a r i a n c e i s d e l i b e r a t e . We f e e l t h a t t h e r e m a i n d e r f u n c t i o n i s o f i n t e r e s t i n i t s own r i g h t , e . g . f o r t h e c a l c u l a t i o n o f t h e moments o f t h e e s c a p e t i m e o f p a r t i c l e s e s c a p i n g f r o m a g i v e n r e g i o n ( C h a p t e r 5 ) . In an i n t e r e s t i n g e a r l y e x p e r i m e n t , F u r t h ( 1 9 1 8 , 1 9 1 9 ) o b t a i n e d t h e r e m a i n d e r f u n c t i o n f o r t h e n u m b e r o f p e d e s t r i a n s i n a c i t y b l o c k . We s h a l l s e e , i n S e c t i o n 2 . 5 , how h i s r e s u l t may be u s e d t o d e t e r m i n e t h e a v e r a g e s p e e d o f a p e d e s t r i a n . 2 . 2 The R e m a i n d e r F u n c t i o n and Number C o r r e l a t i o n s C o n s i d e r a g a i n a s u b v o l u m e V and l e t N g ( t ) d e n o t e t h e n u m b e r o f p a r t i c l e s g a i n e d by V i n a t i m e i n t e r v a l t ; s i m i l a r l y , l e t N ^ ( t ) b e t n e n u m b e r l o s t . T h e n we h a v e , f o r t h e n u m b e r o f p a r t i c l e s i n V a t t i m e t > 0 , N'(t) = N ( 0 ) - N £ ( t ) + N g ( t ) . ( 2 . 4 ) The c o n d i t i o n a l a v e r a g e o f N ( t ) g i v e n N ( 0 ) a t . t = 0 b e c o m e s 11 < N £ ( t ) N ( 0 ) > = N ( 0 ) [ 1 - R ( t ) ] ( 2 . 5 ) w h e r e R ( t ) i s t h e r e m a i n d e r f u n c t i o n . The a v e r a g e o f ( 2 . 5 ) o v e r a l l v a l u e s o f N ( 0 ) y i e l d s t h e mean n u m b e r o f p a r t i c l e s l o s t i n a t i m e i n t e r v a l t . F o r s t a t i o n a r y p r o c e s s e s we e q u a t e t h i s t o t h e mean number g a i n e d i n t , <N ( t ) > = < N £ ( t ) > = <N>[1 - R ( t ) ] S u b s t i t u t i n g f o r <N ( t ) N ( 0 ) > i n ( 2 . 4 ) , we now h a v e < N ( t ) N ( 0 ) > = N ( 0 ) • R ( t ) + <N ( t ) <N ( t ) > + <N>[1 - R ( t ) ] N ( 0 ) > ( 2 . 6 ) o r < N ( t ) N ( 0 ) > - <N> = [ N ( 0 ) - < N > ] R ( t ) + <N ( t ) N ( 0 ) > - <N ( t ) > 9 9 ( 2 . 7 ) 1 2 M u l t i p l y i n g ( 2 . 7 ) by N ( 0 ) - <N> and a v e r a g i n g o v e r a l l i n i t i a l v a l u e s N ( 0 ) , one o b t a i n s t h e a u t o c o v a r i a n c e f o r p a r t i c l e n u m b e r , c o v N ( t ) , N ( 0 ) v a r R ( t ) + c o v 9 ( t ) , N ( 0 ) (2 When V i s a f i n i t e s u b v o l u m e o f an i n f i n i t e h o m o g e n e o u s d o m a i n , N g ( t ) b e c o m e s i n d e p e n d e n t o f t h e number o f p a r t i c l e s i n V a t t = 0 . In t h a t c a s e t h e s e c o n d t e r m on t h e RHS o f ( 2 . 8 ) v a n i s h e s . We s h a l l c a l l t h i s s i t u a t i o n t h e c a s e o f " m a t h e m a t i c a l " s u r f a c e s . ( L a x and M e n g e r t , 1 9 6 0 , u s e t h e t e r m " f i c t i t i o u s " s u r f a c e s . ) I f V i s p a r t o f a f i n i t e t o t a l v o l u m e V _ , ^ t o t a d d i t i o n a l c o r r e l a t i o n e f f e c t s o c c u r due t o t h e b o u n d a r i e s o f V . A s one m i g h t e x p e c t , t h e s e e f f e c t s a l t e r t h e t O t 3 f 5 l o n g - t i m e ( 1 o w - f r e q u e n c y ) b e h a v i o u r o f t h e f l u c t u a t i o n s , van V l i e t a n d F a s s e t t d e m o n s t r a t e w i t h a s p e c i f i c o n e -d i m e n s i o n a l e x a m p l e how t h e l o w - f r e q u e n c y s p e c t r a l d e n s i t y i s l i m i t e d by t h e b o u n d a r i e s o f V . We do n o t c o n s i d e r J t o t s u c h f i n i t e - d o m a i n e f f e c t s . T h e r e f o r e , f o r t h e p r o b l e m s we w i l l be c o n c e r n e d w i t h , t h e r e l a t i o n (2 13 w i l l be s a t i s f i e d and we s h a l l d i s c u s s t h e f l u c t u a t i o n s i n t e r m s o f R ( t ) and i t s F o u r i e r t r a n s f o r m . 2 . 3 M e t h o d f o r C a l c u l a t i n g R ( t ) The r e m a i n d e r f u n c t i o n R ( t ) i s d e t e r m i n e d by two f a c t o r s : ( i ) t h e n a t u r e o f t h e p r o c e s s c a u s i n g t h e t r a n s p o r t o f p a r t i c l e s t h r o u g h t h e s u b v o l u m e V , and ( i i ) t h e g e o m e t r y o f V . An i n t u i t i ve. i d e a of , t h e g e o m e t r i c a l i n f l u e n c e on t h e f l u c t u a t i o n s i s o b t a i n e d by c o m p a r i n g a s p h e r i c a l u n i t s u b v o l u m e w i t h one i n t h e s h a p e o f a r i g h t p a r a l l e l -e p i p e d h a v i n g one d i m e n s i o n much s m a l l e r t h a n t h e o t h e r two ( i . e . a " s l a b " ) . The l a t t e r e x h i b i t s a f a r g r e a t e r s u r f a c e a r e a - t o - v o l u m e r a t i o t h a n t h e s p h e r e and h e n c e c o n t a i n s , on t h e a v e r a g e , a much l a r g e r n u m b e r o f p a r t i c l e s n e a r t h e s u r f a c e . T h e r e f o r e one e x p e c t s t h e r e m a i n d e r f u n c t i o n t o d e c a y more r a p i d l y f o r t h e " s l a b " c o n f i g u r a t i o n . U s i n g t h e t r a d i t i o n a l S m o l u c h o w s k i a p p r o a c h , we o b t a i n R ( t ) by i n t e g r a t i n g P ( r , t | r 0 ) , t h e c o n d i t i o n a l p r o b a b i l i t y d e n s i t y t h a t a p a r t i c l e i s f o u n d a t f a t t i m e t g i v e n t h a t i t was a t r 0 a t t = 0 , o v e r t h e s u b v o l u m e V , 14 R ( t ) = V " 1 d r 0 d r P ( r , t r 0 ) ( 2 . 1 0 ) V V I n ( 2 . 1 0 ) t h e i n i t i a l p o s i t i o n p r o b a b i l i t y d e n s i t y has b e e n a s s u m e d u n i f o r m . T h i s s i m p l y means t h a t we a s s u m e t h e mean d e n s i t y o f p a r t i c l e s i n V t o be i n d e p e n d e n t o f p o s i t i o n . R a b i n o v i c h ( 1 9 6 8 ) p o i n t s o u t t h a t i n c e r t a i n n o n - e q u i l i b r i u m p r o b l e m s i n v o l v i n g a b s o r b i n g b o u n d a r i e s t h i s a s s u m p t i o n d o e s n o t h o l d . We may a l s o n o t e h e r e t h a t P ( r , t | r 0 ) i s t h e t i m e - d e p e n d e n t G r e e n ' s f u n c t i o n w h o s e L a p l a c e t r a n s f o r m i s t h e k e y q u a n t i t y i n t h e m e t h o d o f van V l i e t and F a s s e t t f o r d e r i v i n g s p e c t r a l d e n s i t y f u n c t i o n s . i s a f u n c t i o n o n l y o f t h e d i f f e r e n c e r - r 0 and h e n c e we may w r i t e w h e r e now P ( p , t ) dp i s t h e d i s p l a c e m e n t p r o b a b i l i t y t h a t a p a r t i c l e w i l l u n d e r g o a d i s p l a c e m e n t p ( t ) i n a t i m e i n t e r v a l t . T h i s f o r m u l a t i o n a l l o w s us t o w r i t e R ( t ) i n t h e f o r m F o r an i n f i n i t e h o m o g e n e o u s s y s t e m P ( r , t | r 0 ) 6 ( r - r o - P ) ( 2 . 1 1 ) 1 5 R ( t ) = V dp P ( p , t ) d r 0 d r 5 ( r - r 0 - p) v v (2 dp p ( P , t ) n ( p ) In o t h e r w o r d s , t h e r e m a i n d e r f u n c t i o n i s o b t a i n e d v i a an a v e r a g e ( o v e r t h e d i s p l a c e m e n t p) o f t h e q u a n t i t y n ( p ) d r 0 d r 6 ( r - r 0 - p) v v Now l e t V ( x ) be t h e v o l u m e V w i t h c e n t r o i d a t x ; t h e n t h i s d o u b l e i n t e g r a l i s e a s i l y r e c o g n i z e d as t h e v o l u m e o f t h e i n t e r s e c t i o n o f V ( x ) and t h e d i s p l a c e d v o l u m e V ( x + p)- ( w h i c h has t h e same o r i e n t a t i o n ) , n o r m a l i z e d t o u n i t y a t p = 0 ( F i g u r e 2 . 1 ) . The d e p e n d e n c e o f t h e  f l u n c t u a t i o n s on t h e s h a p e o f V i s e s s e n t i a l l y c o n t a i n e d  i n t h e i n t e r s e c t i o n v o l u m e fi(p) . Our t r e a t m e n t w i l l be r e s t r i c t e d t o c o n v e x s u b v o l u m e s V s i n c e t h i s i s t h e c a s e o f g r e a t e s t i n t e r e s t and s i n c e t h i s w i l l p e r m i t us t o 15a F I G . 2.1 1 6 e m p l o y some o f t h e i d e a s o f g e o m e t r i c a l p r o b a b i l i t y , p a r -t i c u l a r l y i n C h a p t e r 4 w h e r e we d i s c u s s r a t e f l u c t u a t i o n s , i . e . f l u c t u a t i o n s i n d N / d t , w h e r e N ( t ) i s t h e f l u c t u -a t i n g number o f p a r t i c l e s i n V . The r e s t r i c t i o n t o c o n v e x s u b v o l u m e s i s n e c e s s a r y o n l y i n C h a p t e r s 4 and 6 . 2 . 4 The D i s p l a c e m e n t P r o b a b i l i t y D e n s i t y The d e t e r m i n a t i o n o f fi(p) i s a p u r e l y g e o m e t -r i c a l p r o b l e m . The d i s p l a c e m e n t p r o b a b i l i t y P ( p , t ) i s d e t e r m i n e d by t h e t r a n s p o r t p r o c e s s u n d e r c o n s i d e r a t i o n . L a x ( 1 9 6 6 ) d e r i v e s a f o r m u l a f o r t h e c h a r a c t e r -i s t i c f u n c t i o n o f P ( p , t ) i f t h e v e l o c i t y o f a p a r t i c l e o b e y s a g e n e r a l i z e d L a n g e v i n e q u a t i o n o f m o t i o n , $ +, A ( t ) • v = F ( t ) (2 H e r e A i s a d e c a y m a t r i x d e s c r i b i n g t h e mean e q u a t i o n o f m o t i o n w h i l e F ( t ) d e n o t e s r a n d o m f o r c e s , a s s u m e d t o 17 have^ z e r o c o r r e l a t i o n t i m e ( t h i s m a k e s t h e p r o c e s s M a r k o f f i a n , i . e . e l i m i n a t e s memory e f f e c t s ) . The s t a t i s t i c s o f p ( t ) = v ( s ) d s a r e t h e n d e t e r m i n e d by t h o s e o f t h e •'o r a n d o m f o r c e s and by t h e d i s t r i b u t i o n o f i n i t i a l v e l o c i t y v ( 0 ) . G a u s s i a n f o r c e s d e s c r i b e t h e B r o w n i a n M o t i o n p r o c e s s and r e s u l t i n a G a u s s i a n d i s t r i b u t i o n f o r p ( t ) . T h i s c a s e i n c l u d e s , o f c o u r s e , t h e d i f f u s i o n p r o c e s s . I t i s p o s s i b l e t o o b t a i n t h e r e m a i n d e r f u n c t i o n d i r e c t l y f r o m t h e c h a r a c t e r i s t i c f u n c t i o n o f P ( p , t ) and t h e s p a t i a l F o u r i e r t r a n s f o r m o f ft(p) by p e r f o r m i n g a s p a t i a l F o u r i e r t r a n s f o r m o f ( 2 . 1 2 ) . One c a n t h e n u s e t h e c h a r a c t e r i s t i c f u n c t i o n s g i v e n by L a x . We s h a l l n o t p u r s u e t h i s f u r t h e r b e c a u s e we a r e o n l y c o n c e r n e d w i t h w e l l - k n o w n f o r m s o f P ( p , t ) s u c h as t h o s e f o r t h e f r e e -f l i g h t and d i f f u s i o n p r o c e s s e s . In t h a t c a s e we c a n u s e ( 2 . 1 2 ) d i r e c t l y . 2 . 5 P r o p e r t i e s o f t h e R e m a i n d e r F u n c t i o n B e l o w we g i v e some i m p o r t a n t p r o p e r t i e s o f R ( t ) r e s u l t i n g m a i n l y f r o m p a r t i c u l a r f o r m s o f t h e d i s p l a c e m e n t p r o b a b i l i t y d e n s i t y and o f t h e s u b v o l u m e . 18 Pure d r i f t . A v e r y s i m p l e r e s u l t f o r t h e r e m a i n d e r f u n c t i o n i s o b t a i n e d when P ( p , t ) = < 5 [ p - p 0 ( t ) ] a s , f o r e x a m p l e , i n t h e c a s e o f p u r e d r i f t ( p 0 ( t ) = v d t ) , f o r t h e n we h a v e R ( t ) = dp n ( p ) <5 P - P n ( t ) ( 2 . P o ( t ) Isotropy. I n much o f w h a t f o l l o w s , P ( p , t ) w i l l be a s s u m e d t o h a v e i s o t r o p i c f o r m . In t h a t c a s e t h e v o l u m e o f i n t e r s e c t i o n fi(p) may be a v e r a g e d o v e r d i r e c t i o n and t h e r e m a i n d e r f u n c t i o n b e c o m e s 19 R ( t ) = n C n dp p 1 1 " 1 n ( P ) p ( p , t ) , ( 2 . 1 5 ) o w h e r e t h e b a r i n d i c a t e s an a v e r a g e o v e r t h e ( u n i f o r m l y d i s t r i b u t e d ) n - d i m e n s i o n a l s o l i d a n g l e and t h e s p h e r i c a l c o e f f i c i e n t C i s t h e v o l u m e o f t h e n - d i m e n s i o n a l u n i t n s p h e r e , C i i , r n / 2 / r f i I f , on t h e o t h e r h a n d , t h e s u b v o l u m e V i s i s o -t r o p i c ( i . e . an n - s p h e r e ) , t h e d i s p l a c e m e n t p r o b a b i l i t y d e n s i t y may be d i r e c t i o n - a v e r a g e d , r e s u l t i n g i n R ( t ) n C dp p n _ 1 n ( P ) P ( P , t ) ( 2 . 1 6 ) T h i s f o r m i s u s e f u l f o r p r o b l e m s i n v o l v i n g t h e d r i f t o f p a r t i c l e s t h r o u g h i s o t r o p i c s u b v o l u m e s ( S e c t i o n 3 . 2 . 4 ) . Factorization. I f P ( p , t ) may be f a c t o r i z e d a n d i f a l s o V i s o f " c o m p o u n d " s h a p e , i t b e c o m e s p o s s i b l e t o w r i t e R ( t ) as a p r o d u c t o f more e l e m e n t a r y r e m a i n d e r f u n c t i o n s . F o r e x a m p l e , c o n s i d e r a s u b v o l u m e i n t h e s h a p e 20 o f a r i g h t c i r c u l a r c y l i n d e r o f l e n g t h L and c r o s s - s e c t i o n o A w i t h a x i s a l o n g t h e x - d i r e c t i o n . Then c l e a r l y fi3(p) = PII P-L = ( P j ) ' ^ 2 ( P 2 » P 3 ) w h e r e p M = p1 r e f e r s t o t h e c o m p o n e n t o f p a l o n g t h e a x i s o f t h e c y l i n d e r and p x = P 2 + P 3 r e f e r s t o t h e p e r p e n d i c u l a r c o m p o n e n t . The s u b s c r i p t s on Q, i n d i c a t e d i m e n s i o n a l i t y . I f now t h e n we f i n d P ( P , t ) = n P , ( p , , t ) i = l 1 R 3 ( t ) = R j ( t ) • R 2 ( t ) w h e r e R x ( t ) = d p ! ^ ( p i ) P I ( P ! , t ) 21 and R 2 ( t ) d p 2 d p , ft2(p2,p3) p 2 ( p 2 » t ) P 3 ( p 3 , t ) T h u s R x ( t ) i s t h e r e m a i n d e r f u n c t i o n f o r t h e o n e - d i m e n s i o n a l s u b v o l u m e ( t h e l i n e o f l e n g t h L) , w h i l e R 2 ( t ) i s t h a t f o r t h e d i s c o f a r e a A . C l e a r l y , t h e p r o d u c t r e m a i n d e r f u n c t i o n a l w a y s d e c r e a s e s more r a p i d l y t h a n any o f i t s f a c t o r s , s i n c e R ( t ) < 1 . The b e h a v i o u r i s d o m i n a t e d n by t h e m o s t r a p i d l y d e c r e a s i n g f a c t o r s . Free f l i g h t . We d e f i n e a f r e e - f l i g h t p r o c e s s by t h e r e l a t i o n # - 0 o r p ( t ) = v t . ( 2 . 1 7 ) I t f o l l o w s t h a t t h e d i s p l a c e m e n t d i s t r i b u t i o n i s r e l a t e d t o t h e v e l o c i t y d i s t r i b u t i o n by P ( p , t ) dp = f ( v ) d v 22 o r P ( p , t ) = t -n f ( v ) (2 w h e r e n i s t h e d i m e n s i o n a l i t y o f V . F o r t h i s c a s e we h a v e C h a p t e r 3 d e a l s w i t h f r e e - f l i g h t p r o c e s s e s and i n p a r t i c u -l a r w i t h t h e f o l l o w i n g two c a s e s : (a) the s i n g l e speed gas, i n which a l l p a r t i c l e s move at the same speed; (b) the c l a s s i c a l i d e a l gas, f o r which f ( v ) -is given by the Maxwell d i s t r i b u t i o n . Short-time behaviour. I n t u i t i v e l y , f o r s m a l l t i m e s , one e x p e c t s t h o s e p a r t i c l e s w i t h i n a d i s t a n c e < p 2 ( t ) > 2 o f t h e s u r f a c e o f V t o d e t e r m i n e t h e n u m b e r f l u c t u a t i o n s . I f A i s t h e s u r f a c e a r e a o f t h e s u b v o l u m e , R ( t ) = dv f ( v ) fi(vt) (2 23 t h e e x p e c t e d f r a c t i o n o f s u c h p a r t i c l e s i s — ~ ^ < P 2 > ^ • The s m a l l - t i m e e x p a n s i o n o f R ( t ) i s t h e n e x p e c t e d t o be R ( t ) = 1 - C § <p2(t)>h , w h e r e t h e c o n s t a n t C i s o f o r d e r u n i t y . Now, f o r s u f f i c i e n t l y r e g u l a r s u b v o l u m e s , t h e r e e x i s t s t h e f o l l o w i n g s m a l 1 - d i s p l a c e m e n t e x p a n s i o n f o r t h e i n t e r s e c t i o n v o l u m e , n ( p ) = 1 - p V " 1 Q ( u ) + o ( p 2 ) , ( 2 . 2 0 ) w h e r e u i s t h e u n i t v e c t o r i n t h e d i r e c t i o n o f p P and Q ( u ) i s t h e a r e a o f t h e p r o j e c t i o n o f t h e s u b v o l u m e o n t o a p l a n e n o r m a l t o u . H e n c e R ( t ) = 1 - V dp P ( p , t ) p Q(u ) + o < P 2 ( t ) > ( 2 . 2 1 ) The i n t e g r a t i o n may be t a k e n o v e r a l l p s i n c e P ( p , t ) i s a s h a r p l y p e a k e d f u n c t i o n as t ->-0 . In f a c t , Urn P ( p , t ) = 6 ( p ) t->0 24 F o r an i s o t r o p i c d i s p l a c e m e n t d i s t r i b u t i o n o_r a s p h e r i c a l s u b v o l u m e , t h e r e s u l t b e c o m e s . R ( t ) ~ 1 - V " 1 Q < p ( t ) > ( 2 . 2 2 ) ( H e r e a g a i n t h e b a r r e f e r s t o an a v e r a g e o v e r s o l i d a n g l e . ) I f t h e s u b v o l u m e i s c o n v e x , t h e n , a c c o r d i n g t o a f o r m u l a o f C a u c h y , i t s mean p r o j e c t i o n a r e a Q i s i n c o n s t a n t r a t i o t o i t s s u r f a c e a r e a A , A - 1 Q •= A " 1 Q n-1 sphere n C n w h e r e C n i s a g a i n t h e v o l u m e o f t h e u n i t n - s p h e r e . C o n s e q u e n t l y , t h e f a c t o r V - 1 Q i n ( 2 . 2 2 ) may be r e p l a c e d by [ C n - l / n c n V" 1 A , w h i c h i n d i c a t e s , due t o t h e g e n e r a l i z e d i s o p e r i m e t r i c i n e q u a l i t y , t h a t R ( t ) d e c r e a s e s l e a s t r a p i d l y f o r s p h e r i c a l s u b v o l u m e s . An i s o t r o p i c n - d i m e n s i o n a l G a u s s i a n d i s p l a c e m e n t d e n s i t y o f t h e f o r m 25 P ( p , t ) r— —1 - n / 2 2TT h 2 ( t ) e x p ' p 2 — 2 h 2 ( t ) _ ( 2 . 2 3 ) l e a d s t o n C < p ( t ) > . n h ( t ) c . n n - i a n d t h e r e f o r e , ( 2 . 2 4 ) R ( t ) = 1 - " A H i l ) ( 2 . 2 5 ) F o r d i f f u s i o n ( w i t h d i f f u s i o n c o n s t a n t D ) , h ( t ) s o t h a t / 2 D t Dt 7T N o t e t h a t t h e s e c o n d t e r m d i f f e r s by a f a c t o r 2// T T f r o m t h a t o f L a x a n d M e n g e r t ( t h e i r e q . ( 1 . 1 1 ) w i t h t h e i r Q = \ , as r e q u i r e d f o r m a t h e m a t i c a l s u r f a c e s ) . F o r a f r e e - f l i g h t p r o c e s s w i t h M a x w e l l i a n v e l o c i t y d i s t r i b u t i o n , P ( p , t ) i s G a u s s i a n w i t h h ( t ) T h i s i m p l i e s kT nJ m 26 V >| 2lTm kT t c In f a c t , f o r an a r b i t r a r y f r e e - f l i g h t p r o c e s s , t h e f o r e -g o i n g r e s u l t s l e a d t o When e i t h e r f ( v ) o r t h e s u b v o l u m e p o s s e s s e s s p h e r i c a l s y m m e t r y , we f i n d t h a t The e x p e r i m e n t o f F u ' r t h , m e n t i o n e d e a r l i e r i n t h i s c h a p t e r , i n v o l v e d d e t e r m i n a t i o n o f t h e q u a n t i t y 1 - R ( t ) f o r a o n e - d i m e n s i o n a l s y s t e m o f p e d e s t r i a n s m o v i n g a l o n g a c i t y b l o c k . I t h a s b e e n p o i n t e d o u t by C h a n d r a s e k h a r t h a t F u r t h ' s r e s u l t s may t h u s be u s e d t o e s t i m a t e t h e mean s p e e d o f p e d e s t r i a n s . The a b o v e r e l a t i o n s h o l d f o r s m a l l n o n - n e g a t i v e v a l u e s o f t . S i n c e t h e a u t o c o v a r i a n c e c o e f f i c i e n t R ( t ) = t • V " 1 dv f ( v ) • v • Q ( u v ) + o ( t 2 ) ( 2 . 2 6 ) 1 - RrAt) Z V - 1 Q <v> t ( 2 . 2 7 ) 27 ' <S>n(t) = R 111 i s s y m m e t r i c a b o u t t = 0 , ( 2 . 2 6 ) i m p l i e s v. , t h a t t h e f i r s t d e r i v a t i v e o f $ n ( t ) f o r f r e e - f l i g h t e x h i b i t s a f i n i t e d i s c o n t i n u i t y a t t = 0 f o r a r b i t r a r y g e o m e t r y o f t h e s u b v o l u m e and a r b i t r a r y f ( v ) . The s e c o n d d e r i v a t i v e t h e r e f o r e c o n t a i n s a t e r m p r o p o r t i o n a l t o <5(t) I n C h a p t e r 4 we s h a l l s e e how f l u c t u a t i o n s i n t h e r a t e a t w h i c h p a r t i c l e s e n t e r and l e a v e V g i v e r i s e t o t h i s t e r m . F o r t h e B r o w n i a n M o t i o n p r o c e s s w i t h f r i c t i o n c o e f f i c i e n t X , one has P ( p , t ) G a u s s i a n w i t h A t - 1 + e A t l . T h i s may be s u b s t i t u t e d n 2 ( t ) = 2 k T i n ( 2 . 2 5 ) t o y i e l d t h e s m a l l - t i m e r e m a i n d e r f u n c t i o n . The r e s u l t s f o r t h e d i f f u s i o n and M a x w e l l i a n f r e e - f l i g h t p r o c e s s e s a r e l i m i t i n g f o r m s o f t h e B r o w n i a n M o t i o n p r o c e s s f o r A t >> 1 and A t << 1 , r e s p e c t i v e l y . F i n a l l y , l e t us r e m a r k t h a t t h e a p p e a r a n c e o f t h e s u r f a c e a r e a i n t h e s m a l l - t i m e r e m a i n d e r f u n c t i o n i n d i c a t e s t h a t t h e p a r t i c l e n u m b e r c o r r e l a t i o n s d e p e n d s t r o n g l y on t h e s h a p e o f t h e s u b v o l u m e f o r s m a l l t i m e s . - High-frequency spectrum. C l o s e l y r e l a t e d t o t h e s m a l l - t i m e b e h a v i o u r o f t h e f l u c t u a t i o n s i s t h e a s y m p t o t i c f o r m o f t h e s p e c t r a l d e n s i t y f u n c t i o n S(u>) a t h i g h 28 f r e q u e n c i e s . An a p p l i c a t i o n o f W a t s o n ' s lemma ( W a t s o n , 1 9 4 8 ) t o t h e s m a l l - t i m e e x p a n s i o n R ( t ) z 1 - C t' a r e s u l t s i n S ( i w ) z ( i w ) " 1 - C r ( a + l ) ( i c o ) S ( w ) = 2 Re S ( i c o ) - a - I > ( 2 = 2 C r ( a + l ) s i n ^ a T 0 1 " 1 . (2 I t i s s e e n t h a t , a t h i g h f r e q u e n c i e s , d i f f u s i o n s p e c t r a o b e y an i n v e r s e t h r e e - h a l v e s p o w e r l a w ( v a n V l i e t and F a s s e t ; L a x and M e n g e r t ) , w h i l e f r e e - f l i g h t p r o c e s s e s l e a d t o an i n v e r s e s q u a r e l a w . The d e p e n d e n c e on d i m e n -s i o n a l i t y and g e o m e t r y e n t e r s o n l y t h r o u g h t h e c o n s t a n t C Long-time behaviour. The l o n g - t i m e p r o p e r t i e s o f t h e r e m a i n d e r f u n c t i o n c a n be o b t a i n e d f r o m an 29 e x p a n s i o n o f t h e d i s p l a c e m e n t p r o b a b i l i t y d e n s i t y i n i n -v e r s e p o w e r s o f t . To t h i s e n d we w r i t e R ( t ) = P ( p = 0 , t ) dp fifp) P ( p , t ) P ( p = 0 , t ) and e x p a n d t h e t e r m i n s q u a r e b r a c k e t s . L e t T h e n P ( p , t ) s _ L l L t L P ( p = 0 , t ) p ( p , t ) = i + f 1 9P t —00 = 1 + t " ' b x ( p ) + t~z b 2 ( p ) + ( 2 . 3 0 ) I t f o l l o w s t h a t 30 R ( t ) = P ( p = 0 , t ) • V 1 + Bx t ~ 1 + B 2 1 " 2 + ( 2 . 3 1 ) w h e r e B. E V ' 1 dp b . ( p ) fi(p) and we h a v e u s e d dp n ( p ) = V The c o e f f i c i e n t s B.. d e p e n d on t h e s h a p e o f t h e s u b v o l u m e and on P ( p , t ) , b u t t h e f i r s t t e r m on t h e RHS o f ( 2 . 3 1 ) ' i s i n d e p e n d e n t o f t h e g e o m e t r y . The n - d i m e n s i o n a l d i f f u s i o n p r o c e s s l e a d s t o t h e f o l l o w i n g l o n g - t i m e r e s u l t , R d ( t ) = ( 4 7 r D t ) - n / 2 V 1 + \ d i f f * t _ 1 + ( 2 . 3 2 ) F o r t h e n - d i m e n s i o n a l f r e e - f l i g h t p r o c e s s we f i n d R f f ( t ) = f ( v - 0 ) • t " 1 1 • V 1 + B 1 > f f • t " 1 + • • • ( 2 . 3 3 ) 31 F r e e - f l i g h t r e m a i n d e r f u n c t i o n s a r e s e e n t o d e c a y more r a p i d l y t h a n t h o s e f o r d i f f u s i o n p r o c e s s e s . a s i m p l e e x p l a n a t i o n : o n l y t h o s e p a r t i c l e s w h i c h h a v e u n d e r g o n e a v e r y s m a l l n e t d i s p l a c e m e n t a r e s t i l l t o be f o u n d i n s i d e t h e s u b v o l u m e f o r l a r g e v a l u e s o f t . In t h e c a s e o f f r e e f l i g h t , t h e s e a r e t h e p a r t i c l e s w h i c h h a v e n e a r - z e r o v e l o c i t y ; h e n c e t h e f a c t o r f ( v = 0 ) . The i d e a l gas i n t h r e e d i m e n s i o n s w i t h g e n e r a l r e l a t i v i s t i c M a x w e l l v e l o c i t y d i s t r i b u t i o n h a s The a p p e a r a n c e o f P ( p = 0 , t ) i n ( 2 . 3 1 ) a f f o r d s f ( v - O ) • -4 T T C 2 K 2 ( x ) 1 x e ( 2 . 3 4 ) w h e r e m 0 i s t h e r e s t m a s s , c i s t h e s p e e d o f l i g h t and K 2 i s a m o d i f i e d B e s s e l f u n c t i o n . In t h e c l a s s i c a l l i m i t (x >> 1 ) , i 3 / 2 f c l a s s ( 0 ) = 2ukT V. J w h i l e , i n t h e e x t r e m e r e l a t i v i s t i c l i m i t ( x « 1) , 32 = TT r m 0 cn 2TT k T 3 / 2 f , ( 0 ) c l a s s T h u s , as one w o u l d e x p e c t , t h e r e l a t i v i s t i c r e m a i n d e r f u n c -t i o n d e c a y s much more r a p i d l y t h a n i t s c l a s s i c a l c o u n t e r -p a r t . F i n a l l y , we o b s e r v e t h a t R ( t ) d e c r e a s e s more r a p i d l y f o r h i g h e r d i m e n s i o n a l i t y . S i n c e h i g h e r d i m e n -s i o n a l i t y i m p l i e s more means o f e s c a p e , t h i s t o o i s n o t s u r p r i s i ng . Decaying particles. I f t h e p a r t i c l e s o f o u r s y s t e m a r e s u b j e c t t o a d e c a y p r o c e s s ( w i t h d e c a y c o n s t a n t T ~ 1 ) w h i c h o p e r a t e s i n d e p e n d e n t l y o f t h e t r a n s p o r t p r o c e s s t h e n t h e r e m a i n d e r f u n c t i o n b e c o m e s R ( t , x ) = e ~ t / T R ( t , T = ~) . (2 _ t / T • H e r e e ' i s t h e p r o b a b i l i t y t h a t a p a r t i c l e d o e s n o t d e c a y f o r a t i m e t . 33 The e f f e c t on t h e s p e c t r a l d e n s i t y f u n c t i o n i s t h e r e p l a c e m e n t o f S ( i c o ) by S ( i w + T _ 1 ) . A l t h o u g h t h i s l o o k s l i k e a s i m p l e a l t e r a t i o n , t h e e v a l u a t i o n o f t h e r e a l p a r t o f S c a n become c o n s i d e r a b l y more l a b o r i o u s , as has b e e n d e m o n s t r a t e d f o r d i f f u s i o n p r o c e s s e s by v a n V l i e t and F a s s e t . H o w e v e r , we a r e p r i m a r i l y i n t e r e s t e d i n t h e t i m e d o m a i n w h e r e t h e s i m p l e f o r m o f ( 2 . 3 5 ) a l l o w s us t o i g n o r e d e c a y f o r m o s t o f o u r c a l c u l a t i o n s ( s e e , h o w e v e r , S e c t i o n 5 . 3 . 3 ) . 2 . 6 F l u c t u a t i o n s i n d N / d t . The c o r r e l a t i o n f u n c t i o n f o r t h e r a t e a t w h i c h t h e n u m b e r o f p a r t i c l e s i n t h e s u b v o l u m e v a r i e s w i t h t i m e c a n be d e r i v e d f r o m t h e f o l l o w i n g r e l a t i o n f o r c o v a r i a n c e s t a t i o n a r y p r o c e s s e s , c o v N ( t 0 + t ) , N ( t 0 ) d t : c o v N ( t 0 + t ) , N ( t 0 ) (2 w h e r e N = d N / d t and <N> = 0 . N o r m a l i z i n g w i t h t h e v a r i a n c e o f N and d e f i n i n g 34 $ ; T ( t ) = ( v a r N ) - 1 c o v N N ( t 0 + t ) , N ( t 0 ) y i e l d s * . ( t ) = - * ( t ) . (2 N A T N F o r a f r e e - f l i g h t p r o c e s s and c o n v e x s u b v o l u m e $• may a l s o be o t a i n e d w i t h o u t r e f e r e n c e t o $> f r o m N J N t h e t r a n s i t t i m e d i s t r i b u t i o n w h i c h p r o v i d e s t h e s t a t i s t i c s o f t h e t i m e a p a r t i c l e r e q u i r e s t o t r a v e r s e t h e s u b v o l u m e . The d i s t r i b u t i o n o f t r a n s i t t i m e s i n t u r n d e p e n d s on t h e d i s t r i b u t i o n o f v e l o c i t i e s and on t h e r a n d o m s e c a n t d e n s i t y p ( £ ) . The l a t t e r g i v e s t h e p r o b a b i l i t y t h a t t h e i n t e r s e c t i o n o f a p a r t i c l e ' s p a t h w i t h t h e s u b v o l u m e h a s l e n g t h i n I, I +dl. T h i s i s a p u r e l y g e o m e t r i c a l p r o p e r t y o f t h e s u b v o l u m e ( w h i c h d e p e n d s , h o w e v e r , on t h e d e f i n i t i o n o f " r a n d o m n e s s " ) . I t i s d i s c u s s e d e x t e n -s i v e l y i n C h a p t e r 6 . . We h a v e s e e n t h a t t h e a u t o c o v a r i a n c e o f N ( t ) d e p e n d s on t h e i n t e r s e c t i o n v o l u m e ft. In v i e w o f t h e a b o v e d i s c u s s i o n one s u s p e c t s a c o n n e c t i o n b e t w e e n ft and 35 t h e r a n d o m s e c a n t d e n s i t y p ( £ ) . T h i s i s e x p l o r e d i n C h a p t e r s 4 and 6 and l e a d s t o a v e r y s i m p l e , b u t u s e f u l , new t h e o r e m i n g e o m e t r i c a l p r o b a b i l i t y . C h a p t e r 3 FREE-FLIGHT PROCESSES 3 . 1 I n t r o d u c t i o n A f r e e - f l i g h t p r o c e s s has b e e n d e f i n e d by t h e r e l a -t i o n p = v t f o r t h e d i s p l a c e m e n t . T h i s means t h a t p a r -t i c l e s move w i t h c o n s t a n t v e l o c i t y and t h e r e m a i n d e r f u n c t i o n ( a n d t h e r e f o r e t h e p a r t i c l e number a u t o c o v a r i a n c e ) i s d e t e r m i n e d by t h e v e l o c i t y d i s t r i b u t i o n and by t h e g e o m e t r y o f t h e s u b v o l u m e , i . e . R ( t ) dv f ( v ) ft(vt) . ( 3 . 1 ) The p r e s e n t c h a p t e r i s d e v o t e d t o an i n v e s t i g a t i o n o f number f l u c t u a t i o n s i n f r e e - f l i g h t s y s t e m s . T e m p o r a l c o r r e l a t i o n s a r e c o n s i d e r e d i n S e c t i o n 3 . 2 . A f t e r a d i s c u s s i o n o f t h e s i n g l e - s p e e d c a s e ( i n w h i c h a l l p a r t i c l e s move a t t h e same s p e e d ) , t h e t r e a t m e n t i s e x t e n d e d t o some more g e n e r a l v e l o c i t y d i s t r i b u t i o n s . S e c t i o n 3 . 3 i s c o n c e r n e d w i t h t h e f r e q u e n c y d o m a i n . 36 36a F r e q u e n t l y o u r a t t e n t i o n w i l l be f o c u s s e d on t h e o n e - d i m e n s i o n a l c a s e . In a t h r e e - d i m e n s i o n a l p h y s i c a l s y s t e m , t h i s c a s e r e s u l t s when t h e s u b v o l u m e i s a " s l a b " d o m a i n e n c l o s e d b e t w e e n two i n f i n i t e p a r a l l e l p l a n e b o u n d -a r i e s s e p a r a t e d by a d i s t a n c e L . S i m i l a r l y , t h e t w o -d i m e n s i o n a l c a s e r e s u l t s w h e n e v e r one d i m e n s i o n o f t h e s u b v o l u m e i s much l a r g e r t h a n t h e o t h e r t w o , e . g . a c y l i n -d r i c a l d o m a i n o f i n f i n i t e l e n g t h . A s i d e f r o m b e i n g s i m p l e m a t h e m a t i c a l l y , t h e s e c a s e s a r e o f i n t e r e s t w h e n e v e r t h e d i s p l a c e m e n t d i s t r i b u t i o n ( i n t h i s c h a p t e r : t h e v e l o c i t y d i s t r i b u t i o n ) may be d e c o m p o s e d i n t o C a r t e s i a n f a c t o r s and t h e s u b v o l u m e i s o f c o m p o u n d s h a p e . 3 . 2 T e m p o r a l C o r r e l a t i o n s o f P a r t i c l e Number 3 . 2 . 1 The S i n g l e - S p e e d Gas T h i s s y s t e m w i l l be d e f i n e d as a c o l l e c t i o n o f n o n - i n t e r a c t i n g p o i n t p a r t i c l e s w h i c h a l l move a t t h e same s p e e d . The v e l o c i t y d i s t r i b u t i o n f ( v ) i s t h e n p r o p o r t i o n a l t o a d e l t a f u n c t i o n o f v . When t h e s u b v o l u m e u n d e r c o n s i d e r -a t i o n i s n o n - s p h e r i c a l we r e s t r i c t o u r t r e a t m e n t t o i s o t r o p i c v e l o c i t y d i s t r i b u t i o n s , 36b .1-n f n ( v ) n C S ( v - c ) ( 3 . n w h e r e c i s t h e p a r t i c l e s p e e d , n d e n o t e s d i m e n s i o n a l i t y and C n = ir / r C y + l ) . The e f f e c t o f t h e r e s t r i c t i o n t o i s o t r o p i c d i s t r i b u t i o n s i s t o s i m p l i f y t h e d i r e c t i o n a v e r a g e i n ( 3 . 1 ) t o an a v e r a g e o v e r t h e i n t e r s e c t i o n v o l u m e ft a l o n e . F o r s p h e r i c a l s u b v o l u m e s ft i s o f c o u r s e i n d e -p e n d e n t o f d i r e c t i o n . In t h a t c a s e t h e v e l o c i t y d i s t r i b u -t i o n may h a v e a n y a n g u l a r d e p e n d e n c e w h a t e v e r , s i n c e o n l y f ( v ) e n t e r s t h e c a l c u l a t i o n o f R ( t ) . C o n s e q u e n t l y t h e r e s u l t s f o r n - s p h e r e s a p p l y , f o r e x a m p l e , t o t h e " p u r e d r i f t " p r o c e s s , i . e . t o a beam o f p a r t i c l e s m o v i n g w i t h s p e e d c . In any c a s e , t h e r e m a i n d e r f u n c t i o n f o r t h e s i n g l e s p e e d gas now t a k e s t h e f o l l o w i n g p a r t i c u l a r l y s i m p l e f o r m , R ( t ) = ft(ct) . ( 3 . T h u s i t i s s u f f i c i e n t t o d e t e r m i n e t h e d i r e c t i o n - a v e r a g e d n o r m a l i z e d v o l u m e o f i n t e r s e c t i o n , w h i c h i s a p u r e l y g e o -m e t r i c a l p r o b l e m . S e v e r a l s p e c i f i c e x a m p l e s a r e d i s c u s s e d b e l o w . 37 n-Spheres. I f t h e s u b v o l u m e i s an n - d i m e n s i o n a l h y p e r s p h e r e o f r a d i u s a ( f o r n = 1 : l i n e s e g m e n t o f l e n g t h L = 2 a ) , t h e n fin c a n be e x p r e s s e d i n t e r m s o f t h e n o r m a -l i z e d i n c o m p l e t e b e t a f u n c t i o n ( A p p e n d i x A ) , n n ( p ) 2 C n - 1 dy 1 - y : 'n p/2a , ( P i 2a) ( 3 . 4 ) n + 1 1 ; l 4 a 2 (We u s e t h e n o t a t i o n : I ( a , b ; x ) = I ( a , b ) ) . F o r p > 2 a , X Qn v a n i s h e s . A s e r i e s e x p a n s i o n i s « ( p ) 2 C . * r n - 1 Y _ r £ n k=0 r 'n+ll n+1 ( 3 . 5 ) k ( 2 k + l ) [2aJ 2k+l (p < 2a) 38 f r o m w h i c h i t f o l l o w s t h a t , f o r s m a l l v a l u e s o f t , R ( t ) z 1 - ^ , n v ' C a ' ( t << a / c ) n i n a g r e e m e n t w i t h ( 2 . 2 7 ) w h e r e , f o r t h e n - s p h e r e , we u s e Q/V = C _/C a . n - 1 ' n The s p e c i f i c r e m a i n d e r f u n c t i o n s f o r n = 1 , 2 , 3 a r e R , ( t ) = 1 - x ( 0 1 x 1 1 ) ( 3 . 6 a ) M t > COS _ 1 X - X / l _ x 2 ( 0 1 x 1 1 ) , ( 3 . 6 b ) R 3 ( t ) = 1 - \ x + 1 x 3 ( 0 1 x 1 1 ) . . ( 3 . 6 c ) H e r e x E and R n ( t ) = 0 i f x > 1 . E q u a t i o n s ( 3 . 6 ) a r e p r e s e n t e d g r a p h i c a l l y i n F i g u r e 3 . 1 . O b v i o u s l y t h e r e c a n be no c o r r e l a t i o n f o r t i m e s 2a t > T = — , t h e t i m e a p a r t i c l e r e q u i r e s t o t r a v e r s e t h e d i a m e t e r o f V . I t may be a n t i c i p a t e d t h a t t h i s w i l l l e a d t o p e r i o d i c i t y i n t h e s p e c t r a l d e n s i t y f u n c t i o n s . We n o t e a l s o t h a t t h e s l o p e o f R n ( t ) i s f i n i t e a t t = 0 , i n a c c o r d w i t h t h e d i s c u s s i o n p r e s e n t e d i n S e c t i o n 2 . 5 . M o r e o v e r , 3 8 a 0 0.25 0.50 0.75 1.00 V t FIG.3 .1 R n ( t ) f o r t h e s i n g l e - s p e e d g a s when t h e s u b v o l u m e i s an n - s p h e r e (n = 1 , 2 , 3 ) . 39 R ( t ) c l e a r l y d e c r e a s e s more r a p i d l y f o r h i g h e r d i m e n s i o n -a l i t y , as was a l s o p o i n t o u t i n C h a p t e r 2 . Rectangle L\ x £ 2 . o f i n t e r s e c t i o n i s d e r i v e d i n f o l l o w i n g r e m a i n d e r f u n c t i o n : The d i r e c t i o n - a v e r a g e d v o l u m e A p p e n d i x A . I t y i e l d s t h e R 2 ( t ) = \ g ( L x , L 2 ; c t ) + \ g ( L 2 , L i ; c t ) (3 w h e r e g ( a , b ; p ) = u a b ap + bp - \ p : (0 < p < a) ( 3 irab 2 a b s e c_ 1 ( a - 1 p ) - 2ab a - 2 p 2 - l + \ P 2 + ( b - a ) p + a : a<p</a 2 +b 2 R 2 ( t ) v a n i s h e s when c t e x c e e d s / L x 2 + L 2 2 , t h e d i a m e t e r o f V 40 F o r s m a l l t i m e s we h a v e ( e x a c t l y i n t h i s c a s e ) , 0 R 2 ( t ) = 1 c t + ( c t ) 2 7T L x L 2 ( 3 . 8 ) c t < mi n ( L ! , L 2 ) w h i c h i n d i c a t e s t h a t t h e s l o p e a t t = 0 i s s t e e p e r t h a n f o r t h e c o r r e s p o n d i n g d i s c o f a r e a i r a 2 = L i L 2 . T h i s i s j u s t a m a n i f e s t a t i o n o f t h e i s o p e r i m e t r i c i n e q u a l i t y . I n c i d e n t a l l y , e q u a t i o n ( 3 . 8 ) a l s o d e m o n s t r a t e s , i n c o n j u n c -t i o n w i t h ( 2 . 2 7 ) , t h a t t h e mean p r o j e c t i o n o f t h e r e c t a n g l e L i .x L 2 i s w h i c h i s i n a c c o r d w i t h t h e ( t w o - d i m e n s i o n a l ) C a u c h y t h e o r e m r e l a t i n g p r o j e c t i o n and s u r f a c e a r e a s . When L i = L 2 = L ( s q u a r e s u b v o l u m e ) , t h e r e s u l t s i m p l i f i e s t o Q = klx + L 2 ) — x ( p e r i m e t e r ) 41 1 - ^ 4x IT IT (0 < x < 1) R 2 ( t ) ( 3 . 9 ) 1 - 2 7T 2 s e c _ 1 x - 2 / ^ 3 1 + \ x 2 + 1 (1 < x < /2) w h e r e x = c t / L . F i g u r e 3 . 2 c o m p a r e s t h e r e m a i n d e r f u n c -t i o n f o r a r e c t a n g l e w i t h t h a t f o r t h e d i s c o f t h e same a r e a , -rca 2 = L i l.2 . O b v i o u s l y t h e d i a m e t e r o f t h e s q u a r e i s g r e a t e r , s o t h a t c o r r e l a t i o n s p e r s i s t l o n g e r . On . 0 0 t h e o t h e r h a n d , t h e v a l u e o f R 2 ( t ) d t , i . e . t h e 0 z e r o - f r e q u e n c y s p e c t r a l d e n s i t y , i s l a r g e r f o r t h e d i s c . Cube. As t h e f i n a l e x a m p l e o f a c o m p l e t e r e m a i n d e r f u n c t i o n we g i v e R 3 ( t ) f o r t h e u n i t c u b e ( A p p e n d i x A ) : 42 1 - | x + ^ - x 2 - ^ - x 3 2 TT 4TT (0 < x < 1) J _ 4TT (6-TT-I J x "1 - 8T T+6X + 2 X 3 - 8 X - 1 ( 1 + 2 X 2 ) ( X 2 - 1 J* + 24x(()1" (1 < x </2) R 3 ( t ) ( 3 . 1 0 ) J _ 4TT ( 6 T T - 5 ) X_ 1 - 8TT + ( 6 T T - 6 ) X - X 3 + S J C H 1 + x 2 ) ( x 2 - 2 ) : 2 4 x _ 1 (1 + x 2 ) c p 2 + 24 cb3 ( /2 < X < / I ) w h e r e x E c t and 43 <j>i0= s e c _ 1 x ; <j)2 = t a n - 1 / x 2-2 ; <J>3 = t a n " 1 I t i s o b v i o u s t h a t , e v e n f o r a s i m p l e c u b i c a l s u b v o l u m e , t h e c o m p l e t e f u n c t i o n R 3 ( t ) i s f a i r l y c o m p l i c a t e d . How-e v e r , i t i s u s u a l l y n o t d i f f i c u l t t o d e r i v e s m a l l - t i m e r e s u l t s f r o m t h e s m a l 1 - d i s p 1 a c e m e n t v o l u m e o f i n t e r s e c t i o n . T h i s i s d o n e i n t h e f o l l o w i n g two e x a m p l e s . Box L1 x Li x £3 . F o r p < m i n ( L i , L 2 , L 3 ) we h a v e n 3 (p) = n i= l 1 - ^ w h e r e t h e a ' s a r e t h e m a g n i t u d e s o f t h e d i r e c t i o n c o s i n e s o f p . An a v e r a g e o v e r s o l i d a n g l e y i e l d s « 3 ( p ) = 1 - p 5" L ^ a . + \ p 2 Y L ^ L T V a . ' V 1 X . . 1 T 1 1 1 1 , J J J p 3 ( L i L 2 L 3 ) " a ! a 2 a 3 44 H e n c e ( t ) - 1 - * c t I L " 1 + J jp . c2 . t2 I'd.l.)-1 (3 ^ ( L i L 2 L 3 ) ~ 1 c 3 t 3 T h i s r e s u l t i s e x a c t f o r c t < m i n ( L x , L 2 , L 3 ) . As i n t h e c a s e o f t h e r e c t a n g l e , t h e c o m p l e t e r e m a i n d e r f u n c t i o n c a n be w r i t t e n i n t h e f o r m o f a s u m , R ' s ( t ) = | I h ( L , L , L ; c t ) . e y e . H o w e v e r , t h e f u n c t i o n h ( « ) i s r a t h e r c o m p l i c a t e d . Cylinder L x T r a 2 . The s u b v o l u m e i s o f c o m p o u n d s h a p e , i . e . we w r i t e fi3(p) = f t i ( p a x ; L ) • fi2(pa2;a) , 45 w h e r e fix and ft2 r e f e r t o t h e l i n e s e g m e n t o f l e n g t h L and t h e d i s c o f r a d i u s a , r e s p e c t i v e l y , w h i l e pcti and p a 2 a r e t h e ( m a g n i t u d e s o f t h e ) c o m p o n e n t s o f p a l o n g t h e a x i s and p e r p e n d i c u l a r t o t h e a x i s , r e s p e c t i v e l y . M a k i n g u s e o f ( 3 . 5 ) f o r ti2 > we f i n d , f o r p < L and p << 2a , fi3(p) = a. 1 - _2_ ira a2 p _2_ • 3TT f a , 2 a (3 The a v e r a g e o v e r s o l i d a n g l e y i e l d s « 3 ( p ) 2a 8 a 3rrL 2a 1 f 2a (3 and t h e . r e m a i n d e r f u n c t i o n i s R 3 ( t ) = ft3(ct) . The t e r m l i n e a r i n t i s a l w a y s g i v e n by ( 2 . 2 7 ) w h i c h , f o r t h e t h r e e - d i m e n s i o n a l s i n g l e - s p e e d gas , may be w r i t t e n R 3 ( t ) z 1 - 4 c t 46 i . e . k n o w l e d g e o f t h e s u r f a c e a r e a and v o l u m e c o n t e n t s u f f i c e s t o d e t e r m i n e t h e l i n e a r t e r m and t h u s t h e . d e r i v a t i v e o f t h e r e m a i n d e r f u n c t i o n f o r s m a l l t . H a d w i g e r ( 1 9 5 5 ) has t a b u l a t e d f o r m u l a s f o r t h e s u r f a c e a r e a s and v o l u m e s o f a n u m b e r o f t h r e e - d i m e n s i o n a l c o n v e x d o m a i n s n o t c o n s i d e r e d a b o v e , e . g . s p h e r o i d s . T h e s e r e l a t i o n s may be u s e d t o o b t a i n R and d R / d t f o r t << V/Ac . 3 . 2 . 2 The C l a s s i c a l I d e a l Gas ( M a x w e l l V e l o c i t y D i s t r i b u t i o n ) L e t t h e s y s t e m c o n s i s t o f n o n - i n t e r a c t i n g p o i n t p a r t i c l e s w h o s e v e l o c i t i e s o b e y t h e n - d i m e n s i o n a l M a x w e l l d i s t r i b u t i o n w i t h z e r o d r i f t , f n ( v ) d ^ n/2 -bV d ^ b = m 2kT ( 3 . 1 4 ) I t f o l l o w s t h a t t h e d i s p l a c e m e n t a l s o o f G a u s s i a n t y p e : p r o b a b i l i t y d e n s i t y i s 47 P n ( p , t ) dp = t ~ n f j t " 1 p) dp 2rrh -n/2 e x p 2 h 2 dp ( 3 . 1 5 ) w i t h h ( t ) = kT m The r e m a i n d e r f u n c t i o n f o r any s u b v o l u m e i s g i v e n by ( 3 . 1 ) . S i n c e f ( v ) i s i s o t r o p i c , t h i s a m o u n t s t o an a v e r a g e o f t h e r e s u l t s o f t h e p r e v i o u s s e c t i o n ( s i n g l e s p e e d c a s e ) w i t h t h e s p e e d d e n s i t y , i . e . R ( t ) n C n dv v n _ 1 f n ( v ) n n ( v t ) ( 3 . 1 6 ) H o w e v e r , s i n c e f n ( v ) f a c t o r i z e s i n t o C a r t e s i a n f a c t o r s , i t w i l l s o m e t i m e s be f o u n d m o r e c o n v e n i e n t t o a p p l y t h e r e s u l t s o f S e c t i o n 5 o f C h a p t e r 2 t o o b t a i n R ( t ) as a p r o d u c t o f l o w e r - d i m e n s i o n a l r e m a i n d e r f u n c t i o n s . As e x a m p l e s we i n v e s t i g a t e t h e n - s p h e r e (n = 1 , 2 , 3 ) , t h e r e c t a n g l e , and t h e c y l i n d e r . 48 n-Spheres. A p p l y i n g ( 3 . 1 6 ) t o t h e v o l u m e o f i n t e r -s e c t i o n ( e q . ( 3 . 4 ) ) , we f i n d R n ( t ) = n C n f b j IT n/2 2at" n-1 -bv' dv v " " e u v I n + 1 2 + 2 1 v 2 t 4 a 2 ( 3 . 1 7 ) A f t e r an e l e m e n t a r y i n t e g r a t i o n by p a r t s we o b t a i n t h e f o l l o w i n g r e s u l t s ( w i t h u r ~\ m 2kT e a t - 1 ) R x ( t ) - e r f ( u ) - e ^ " * I, r u 2 * e r f ( u ) - TT ^ u' 1 - e -u ( 3 . 1 8 a ) R 2 ( t ) = 1 - e + II 2^ 1 ( 3 . 1 8 b ) R 3 ( t ) = e r f ( u ) - e -hu2 2 1 + I fu2^ ( 3 . 1 8 c ) e r f ( u ) - TT" 3 u - 1 - 2 u - 3 - e 3 _ Q - u u " 1 - 2u" 49 w h e r e I i s a m o d i f i e d B e s s e l f u n c t i o n and e r f ( « ) i s t h e e r r o r i n t e g r a l . F i g u r e 3 . 3 i l l u s t r a t e s t h e b e h a v i o u r o f R p ^ t ) • C l e a r l y , t h e c h a r a c t e r i s t i c r e l a x a t i o n t i m e c o n s t a n t i n v o l v e d i s t h e t h e r m a l t i m e c o n s t a n t 1^  = 2 a ( m / 2 k T ) 2 , i . e . u = T h / t , and we s e e t h a t c o r r e -l a t i o n s i n c r e a s e w i t h t h e s i z e o f t h e s u b v o l u m e ( a ) and w i t h d e c r e a s i n g mean t h e r m a l s p e e d ( T 5 ) . F o r s m a l l t i m e s t << x , ( u >> 1) we h a v e t h e t h f o l l o w i n g e x p a n s i o n s : R i ( t ) ==1 - — u " 1 + o -5 — u u 3 e ( 3 . 1 9 a ) R 2 ( t ) = 1 - ? - M l i + -I_ u - 3 + 0 / ¥ 2 /TT ( 3 . 1 9 b ) R 3 ( t ) = 1 - — u " 1 + u - 3 + o _ q —U ' u 3 e ( 3 . 1 9 c ) The t e r m i n u " 1 i s p r o p o r t i o n a l t o < v > t and c o u l d h a v e b e e n o b t a i n e d f r o m ( 2 . 2 7 ) w h i c h p r e d i c t s : 4 9 a F I G . 3 . 3 R n ( t ) f o r M a x w e l l i a n f r e e f l i g h t t h r o u g h n - s p h e r e s (n = 1 , 2 , 3 ) . 50 R n ( t ) = 1 _n t _ ( 3 . 2 0 ) n C s i n c e <v> d i s t r i b u t i o n C . >, 2TTIT1 n -1 1 kT f o r t h e n - d i m e n s i o n a l M a x w e l l i a n A t t h e o t h e r e x t r e m e , when t >> T h ( u << 1) t h e a s y m p t o t i c e x p a n s i o n s a r e : R i ( t ) = + o ( u 5 ) ( 3 . 2 1 a ) R 2 ( t ) - 1 u 2 - J g - u* + o ( u 6 ) ( 3 . 2 1 b ) R s ( t ) 1 u 3 _ J _ u 5 6 u 20 U + o ( u 7 ) ( 3 . 2 1 c ) In e a c h o f t h e s e e q u a t i o n s t h e f i r s t t e r m on t h e RHS i s f (v = 0 ) • V • t " n ( c f . e q . ( 2 . 3 3 ) ) . T h i s i s t h e c o n t r i -b u t i o n t o R ( t ) o f t h o s e p a r t i c l e s w h i c h h a v e n e a r - z e r o v e l o c i t y , i . e . t h o s e w h i c h " l i n g e r " l o n g e s t i n t h e s u b v o l u m e . 51 Rectangle Lx x £ 2 . i n o r d e r t o d e r i v e R 2 ( t ) f o r a r e c t a n g u l a r ( t w o - d i m e n s i o n a l ) s u b v o l u m e one c o u l d a v e r a g e t h e s i n g l e - s p e e d r e m a i n d e r f u n c t i o n g i v e n by ( 3 . 7 ) ( w i t h c r e p l a c e d by v ) a c c o r d i n g t o ( 3 . 1 6 ) . H o w e v e r , t h i s p r o c e d u r e i s u n n e c e s s a r i l y t e d i o u s , f o r t h e s u b v o l u m e i s o f c o m p o u n d s h a p e and we may t a k e a d v a n t a g e o f t h e f a c t t h a t f 2 ( v ) f a c t o r i z e s . T h u s we w r i t e : R 2 ( t ) = R i t t j L x ) • R ! ( t ; L 2 ) , ( 3 . 2 2 ) w h e r e R i ( t ; L ) i s t h e r e m a i n d e r f u n c t i o n f o r t h e l i n e s e g -ment o f l e n g t h L w h i c h has a l r e a d y b e e n d e r i v e d i n ( 3 . 1 8 a ) . We n e e d o n l y r e p l a c e t h e c o n t e n t o f t h e 1 - s p h e r e , 2 a , by t h e . l e n g t h s I _ i , L 2 . S m a l l - and l a r g e - t i m e p r o p e r t i e s a r e t h e n e a s i l y o b t a i n e d f r o m t h o s e o f R i ( t ) . In t e r m s o f x . 5 L ./m/2kT : i i R 2 ( t ) = 1 — i -/if T i / F T 2 T T T i T 2 ( 3 . 2 3 ) when t << m i n ( T 1 , T 2 ) 52 R 2 ( t ) T j T 2 IT t 2 1 -T i T 2 ( 3 . 2 4 ) when t >> m a x ( x i , T 2 ) E q u a t i o n ( 3 . 2 3 ) i s , o f c o u r s e , j u s t t h e a v e r a g e o v e r s p e e d s o f ( 3 . 8 ) . When L i = L 2 = L ( s q u a r e s u b v o l u m e ) , ( 3 . 2 2 ) r e d u c e s t o R 2 ( t ) R i ( t ; L ) and i n ( 3 . 2 3 ) and ( 3 . 2 4 ) we s e t i i = T 2 . The e x t e n s i o n t o a box s u b v o l u m e ( L i x L 2 x L 3 ) and i t s s p e c i a l c a s e , t h e c u b e , i s o b v i o u s . A g a i n , o n l y R i i s r e q u i r e d . Cylinder L x TT a 2 . As a f u r t h e r e x a m p l e o f t h e u s e o f f a c t o r i z a t i o n , t h i s t i m e i n v o l v i n g t h e t w o - d i m e n s i o n a l r e m a i n d e r f u n c t i o n f o r t h e d i s c , c o n s i d e r a s u b v o l u m e i n t h e s h a p e o f a c y l i n d e r o f l e n g t h L and r a d i u s a . The 53 t h r e e - d i m e n s i o n a l r e m a i n d e r f u n c t i o n f o r t h e c y l i n d e r c a n be w r i t t e n as t h e p r o d u c t R 3 ( t ) = M t - . L ) • R 2 ( t ; a ) w h e r e R x i s a g a i n g i v e n by ( 3 . 1 8 a ) ( w i t h 2a = L ) a n d R 2 i s g i v e n by ( 3 . 1 8 b ) . 3 . 2 . 3 R e c t a n g u l a r V e l o c i t y D i s t r i b u t i o n C o n s i d e r t h e n - d i m e n s i o n a l r e c t a n g u l a r v e l o c i t y d i s t r i b u t i o n d e f i n e d by t h e i s o t r o p i c d e n s i t y f n ( v ) dv = C ; 1 v 0 " n U ( v o - v ) dv , ( 3 . 2 5 ) w h e r e v 0 i s t h e c u t - o f f s p e e d and U ( « ) i s t h e u n i t s t e p f u n c t i o n . In t e r m s o f t h e d i s p l a c e m e n t , p = v t , P n ( p , t ) dp = C - 1 ( v 0 t ) - n U ( v 0 t - p) dp . ( 3 . 2 6 ) 54 An i m m e d i a t e c o n s e q u e n c e o f t h i s t y p e o f d i s p l a c e o ment d e n s i t y i s t h a t , f o r t i m e s s u c h t h a t v Q t i s g r e a t e r t h a n t h e d i a m e t e r o f t h e s u b v o l u m e , we h a v e R n ( t ) - c ; M v 0 t ) - n dp n ( p ) (3 = C n - X V ( v 0 t ) -n w h i c h d o e s n o t d e p e n d on t h e s h a p e o f t h e s u b v o l u m e and s h o w s t h e c h a r a c t e r i s t i c t ~ n l o n g - t i m e b e h a v i o u r . To o b t a i n t h e c o m p l e t e r e m a i n d e r f u n c t i o n i t i s n e c e s s a r y t o a v e r a g e t h e r e s u l t s o f o u r d i s c u s s i o n o f t h e s i n g l e - s p e e d c a s e . E q u a t i o n ( 3 . 2 5 ) c a n n o t be d e c o m p o s e d i n t o C a r t e s i a n f a c t o r s a n d h e n c e t h e r e i s no s i m p l i f i c a t i o n f o r c o m p o u n d - s h a p e d s u b v o l u m e s as was p o s s i b l e w i t h t h e M a x w e l l i a n d i s t r i b u t i o n . The a v e r a g i n g i n t e g r a t i o n s a r e s t r a i g h t f o r w a r d . We g i v e t h e r e s u l t s f o r t h e l i n e s e g m e n t and t h e 3 - s p h e r e . 55 Linear segment (length L) R i ( t ) Vo t * L Vo t (0 < t < L / v o ) ( t > L/Vo) ( 3 . 2 8 ) Sphere (radius a). R 3 ( t ) r vo t i 2a 1 ' v 0 t 2 a 1 8 Vo t 2a (0 < t < 2 a / v Q ) ( t < 2 a / v 0 ) ( 3 . 2 9 ) 56 3 . 2 . 4 G a u s s i a n D i s t r i b u t i o n w i t h D r i f t Up t o t h i s p o i n t we h a v e d i s c u s s e d i s o t r o p i c d i s -p l a c e m e n t d e n s i t i e s w i t h o u t d r i f t . L e t us now r e w r i t e ( 3 . 1 5 ) t o d e s c r i b e t h e M a x w e l l gas w i t h d r i f t v e l o c i t y v^ ( o r , e q u i v a l e n t l y , a s u b v o l u m e m o v i n g a t - v . ) : P ( p , p - , t ) - ( 2 r r h 2 ) ~ n / 2 e x p 2 -»• p - p d 2 h 2 ( 3 . 3 0 ) w h e r e p d = v d t i s t h e d i s p l a c e m e n t due t o d r i f t and h ( t ) = ( k T / n O ^ t , as b e f o r e . When t h e s u b v o l u m e u n d e r c o n s i d e r a t i o n i s an n> s p h e r e o n l y t h e d i r e c t i o n a v e r a g e o f ( 3 . 3 0 ) i s r e q u i r e d : P n ( p , P d ; t ) = r 2 h : P P , -1 n P P . We s h a l l o n l y t r e a t t h e o n e - d i m e n s i o n a l c a s e w h i c h i s a g a i n o f p a r t i c u l a r i m p o r t a n c e b e c a u s e ( 3 . 3 0 ) f a c t o r i z e s . In t h a t c a s e i t i s c o n v e n i e n t t o w r i t e P i i n t h e f o r m 57 P i ( p , P d ; t ) = \ P + ( p » P d ; t ) + \ P _ ( P , p d ; t ) w i t h P + ( p > P d ; t ) = ( 2 T T h 2 ) _ i 5 exp 2 h 2 U s i n g t h i s f o r m t o a v e r a g e ft(p) f o r t h e l i n e s e g m e n t o f l e n g t h L , we f i n d R i ( t ) = \ R + ( p d , t ) + \ R _ ( p d , t ) , ( 3 . 3 2 ) w h e r e R + ( p d , t ) = e r f [ L + P d ] + e r f — L /2 h /2 h • ( 2 1 P d * •< exp - e x p 2 h 2 2 h 2 and R _ ( P d , t ) = R + ( - p d , t ) 58 The r e s u l t may be w r i t t e n i n t e r m s o f t h e n o - d r i f t r e m a i n d e r f u n c t i o n : w h e r e and 2 R i ( t ) 1 - HI" u F ( u - u d ) 1 + F ( u + u d ) - 2 - f F ( u d ) ( 3 . 3 3 ) u = /2 h m L : 2kT t 2 t h Pd /2 h m vd< 2kT t h  : d r F ( u ) = e r f ( u ) - rr ^ u " 1 1 - e -u i s t h e r e m a i n d e r f u n c t i o n i n t h e a b s e n c e o f d r i f t ( s e e ( 3 . 1 8 a ) ) . I t may be n o t e d t h a t u F ( u ) i s t h e i n t e g r a l o f t h e e r r o r f u n c t i o n , 59 u F ( u ) e r f ( x ) d x The m o s t o b v i o u s f e a t u r e o f ( 3 . 3 3 ) i s t h e a p p e a r a n c e o f an a d d i t i o n a l c h a r a c t e r i s t i c t i m e c o n s t a n t , due t o d r i f t , and d e f i n e d by T d r ~ L / v d • As x d r -> 0 0 , we r e c o v e r t h e n o - d r i f t r e s u l t , e q u a t i o n ( 3 . 1 8 a ) . The l i m i t i n g b e h a v i o u r o f F ( u ) f o r s m a l l and l a r g e v a l u e s o f t h e a r g u m e n t h a s a l r e a d y b e e n g i v e n i n ( 3 . 1 9 a ) and ( 3 . 2 1 a ) . U s i n g ( 3 . 1 9 a ) i n ( 3 . 3 3 ) we o b t a i n , f o r s m a l l t i m e s t << x d r , T T H (u >> 1 , u d ) , R i ( t ) z 1 -T d r •th l T d : dr 'tb_. ( 3 . 3 4 ) w h i c h c o u l d a l s o h a v e b e e n d e r i v e d d i r e c t l y by e v a l u a t i n g < p ( t ) > = <v> t and s u b s t i t u t i n g i n t h e g e n e r a l r e l a t i o n Ct) ; 1 <v> t 60 I f one o f t h e c h a r a c t e r i s t i c t i m e c o n s t a n t s i s much s m a l l e r t h a n t h e o t h e r , e q u a t i o n ( 3 . 3 4 ) may be f u r t h e r s i m p l i f i ed : R i ( - t ) 1 -/rr T 1 + t h t h ( 3 . 3 5 ) ( t .« T , < < T , ) t h dr R i ( t ) z 1 - ( 3 . 3 6 ) dr ( t . « T , . « T , ) dr t h As one w o u l d e x p e c t , t h e d e c a y o f c o r r e l a t i o n s f o r s m a l l t i m e s i s d e t e r m i n e d by t h e s m a l l e r o f t h e two r e l a x a t i o n t i m e c o n s t a n t s . I t i s c l e a r t h a t , i n t h e p r e s e n c e o f d r i f t , c o r r e l a t i o n s d e c a y more r a p i d l y t h a n when t h e r e i s no d r i f t ( c f . e q . ( 3 . 2 0 ) ) . I n t h e l o n g - t i m e l i m i t , when t >> T t { 1 » T ( j r ( u K < 1 > u d ) » an a s y m p t o t i c e x p r e s s i o n f o r R i ( t ) c a n be d e r i v e d f r o m ( 3 . 3 3 ) by e x p a n d i n g t h e f u n c t i o n u F ( u ) i n a T a y l o r s e r i e s . T h i s y i e l d s 61 2 R i ( t ) / F t T t h e x p ( t >> T , , T ) t h d r ( 3 . 3 7 ) C o m p a r i s o n w i t h t h e n o - d r i f t r e s u l t ( 3 . 2 1 a ) s h o w s t h a t , f o r l a r g e t i m e s , t h e e f f e c t o f d r i f t i s a r e d u c t i o n o f c o r r e l a -t i o n s by t h e e x p o n e n t i a l f a c t o r . T h i s " s w e e p - o u t " e f f e c t i n c r e a s e s w i t h an i n c r e a s e i n d r i f t v e l o c i t y f o r b o t h t h e s m a l l - and l a r g e - t i m e l i m i t s . I n d e e d , i t i s a s i m p l e m a t t e r t o show t h a t t h e d e r i v a t i v e o f ( 3 . 3 3 ) w . r . t . u d i s a l w a y s n e g a t i v e . c o u l d now be h a n d l e d by m a k i n g u s e o f f a c t o r i z a t i o n and f o r m i n g t h e p r o d u c t o f t h r e e o n e - d i m e n s i o n a l r e m a i n d e r f u n c t i o n s o f t h e t y p e o f e q u a t i o n ( 3 . 3 3 ) . 3 . 2 . 5 R e l a t i v i s t i c M a x w e l l D i s t r i b u t i o n As a f i n a l e x a m p l e o f f r e e - f l i g h t r e m a i n d e r f u n c -t i o n s c o n s i d e r t h e r e l a t i v i s t i c M a x w e l l gas a t a b s o l u t e t e m p e r a t u r e T , c o n s i s t i n g o f p a r t i c l e s w i t h r e s t mass m 0 . I n one d i m e n s i o n t h e s p e e d d e n s i t y i s ( A r z e l i f e s , 1 9 6 8 ) : A s u b v o l u m e i n t h e s h a p e o f a b o x ( L i x |_2 * L 3 ) f i ( 3 ) d 3 = e ~ X Y Y 3 d B (0 < 3 < 1) ( 3 . 3 8 ) w h e r e 62 and K x i s a m o d i f i e d B e s s e l f u n c t i o n . I f we d e f i n e 3 t E L / c t ; Y t = 0 " 3 t 2 ) " ^ and a v e r a g e t h e s i n g l e - s p e e d r e m a i n d e r f u n c t i o n ( 3 . 6 a ) o v e r s p e e d s , we o b t a i n t h e r e l a t i v i s t i c r e m a i n d e r f u n c t i o n , R i ( t ) = -B t " <3> = 1 <v> t (0 < t < L / c ) ( 3 f i C3)d3 - 3" 1 <3> "l - e - * < Y t - D -( t > L / c ) , w h e r e - x <3> = x K x ( x ) ' and t h e r e m a i n i n g i n t e g r a l i s t h e p r o b a b i l i t y t h a t t h e s p e e d o f a p a r t i c l e i s l e s s t h a n L / t . We n o t e t h a t , when c t < L , t h e b e h a v i o u r i s j u s t as i n t h e s h o r t - t i m e 63 n o n - r e l a t i v i s t i c c a s e e x c e p t t h a t <v> i s much g r e a t e r f o r t h e r e l a t i v i s t i c g a s . The f u l l n o n - r e l a t i v i s t i c r e s u l t , e q u a t i o n ( 3 . 1 8 a ) , f o l l o w s f r o m ( 3 . 3 9 ) i f we l e t c •> °° . F o r a t h r e e - d i m e n s i o n a l s p h e r i c a l s u b v o l u m e o f r a d i u s a we a v e r a g e t h e s i n g l e - s p e e d r e m a i n d e r f u n c t i o n ( 3 . 6 c ) w i t h t h e s p e e d d e n s i t y f 3 ( e ) d 3 = e _ X Y y 5 e 2 de ( 3 . 4 0 ) (o < e < i ) . ( t h e s y m b o l s h a v e t h e same m e a n i n g as i n t h e o n e - d i m e n s i o n a l c a s e . ) The a v e r a g i n g i n t e g r a t i o n i s s t r a i g h t f o r w a r d a n d , w i t h 3fc = 2 a / c t ; Y t M l - 3fc2 ) » y i e l d s R 3 ( t ) = 1 - | 3^<3> + 1 3^ 3<3 3> ( 3 . 4 1 a ) = 1 - f 3^<3> + \ 3" 3|<3>[1 - ^ ( 1 + x p ( l - x ) ] + ( 0 < t < 2 a / c ) 64 and R 3 ( t ) f 3 C e )d3 I B t _ 1 ' < B > + 2- C 1 - y l H x l ^ t l - x ) + ( l + x ) - 1 < 3 > e - x C Y t - 1 ) •L o - 1 1 Q-3 2 B t " 2 B t 1 + x Y t + 4 r y t 2 6 t 2 ( 3 . 4 1 b ) 1 - Y ~ X X 1 , - 3 X 2 + t 3 t K T I x J E i ( - x ) - E i ( - Y t x ) ( t > 2 a / c ) I n t h e a b o v e r e l a t i o n s t h e mean v a l u e o f 3 i s <B> 2 e (1+x ) x* K 2 ( x ) and E i ( - ) i s t h e e x p o n e n t i a l i n t e g r a l . 65 3 . 3 Number F l u c t u a t i o n S p e c t r a 3 . 3 . 1 I n t r o d u c t o r y N o t e s The n o r m a l i z e d s p e c t r a l d e n s i t y o f t h e number f l u c t u a t i o n s was d e f i n e d i n C h a p t e r 2 as t h e F o u r i e r t r a n s -f o r m o f $ n ( t ) , t h e a u t o c o v a r i a n c e c o e f f i c i e n t o f p a r t i c l e n u m b e r . F o r t h e p r o c e s s e s u n d e r c o n s i d e r a t i o n $ n ( t ) i s g i v e n by R ( | t | ) , s o t h a t t h e number f l u c t u a t i o n s p e c t r u m c a n be o b t a i n e d as t w i c e t h e r e a l p a r t o f t h e c o m p l e x L a p l a c e t r a n s f o r m o f R ( t ) ,' S ( w ) = 2 Re S ( i w ) w h e r e S(ioo) d t e - i w t R ( t ) B e l o w , we s h a l l d e r i v e , by t r a n s f o r m i n g R ( t ) , t h e s p e c t r a l d e n s i t i e s f o r some o f t h e a u t o c o r r e l a t i o n s s t u d i e d i n t h e l a s t s e c t i o n . I t s h o u l d be e m p h a s i z e d , h o w e v e r , t h a t t h e s p e c t r u m f o r any p r o c e s s i s o b t a i n e d m o s t d i r e c t l y by t h e ( L a p l a c e - t r a n s f o r m e d ) G r e e n f u n c t i o n m e t h o d o f v a n V l i e t and F a s s e t , w h i c h d o e s n o t r e q u i r e p r i o r e v a l u a t i o n o f t h e r e m a i n d e r f u n c t i o n . 66 F o r s i m p l i c i t y , o u r d i s c u s s i o n w i l l be r e s t r i c t e d t o s u b v o l u m e s i n t h e s h a p e o f an n - s p h e r e , e x c e p t f o r t h e f o l l o w i n g s u r m i s e r e g a r d i n g t h e z e r o - f r e q u e n c y v a l u e s o f t h e s p e c t r a l d e n s i t y f o r an a r b i t r a r i l y s h a p e d c o n v e x s u b v o l u m e . SURMISE 3 . 1 L e t t h e v e l o c i t y d i s t r i b u t i o n f o r a f r e e - f l i g h t s y s t e m o f n o n - d e c a y i n g p a r t i c l e s be i s o t r o p i c . T h e n , o f a l l c o n v e x u n i t s u b v o l u m e s i n n - d i m e n s i o n s , t h e n - s p h e r e h a s t h e g r e a t e s t z e r o - f r e q u e n c y l i m i t o f t h e s p e c t r a l d e n s i t y f u n c t i o n S(co) . A b a s i s t o t h i s s u r m i s e i s p r o v i d e d i n A p p e n d i x ( C ) . I t m a k e s u s e o f t h e t h e o r y o f r a n d o m s e c a n t s t h r o u g h c o n v e x d o m a i n s w h i c h i s t r e a t e d i n C h a p t e r 6 . 3 . 3 . 2 The S i n g l e - S p e e d Gas The t e m p o r a l c o r r e l a t i o n s w e r e f o u n d f r o m R ( t ) = ft(ct) E q u a t i o n ( 3 . 4 ) p r o v i d e s t h e i n t e r s e c t i o n v o l u m e f o r t h e n - s p h e r e . The L a p l a c e t r a n s f o r m i s 67 S n ( i « ) = d t e - i o i t n n ( c t ) 2 c n - l n dx e' •xrix n - l dy ( 3 . 4 2 ) X = x( i r i ) 2 C n - l n •(in) dx e " i n x n - l a f t e r i n t e g r a t i o n by p a r t s . We h a v e u s e d T E 2 a / c and n E COT The r e m a i n i n g i n t e g r a l may be w r i t t e n i n t e r m s o f t h e m o d i f i e d B e s s e l f u n c t i o n I and t h e m o d i f i e d v S t r u v e f u n c t i o n L v The r e s u l t b e c o m e s T - 1 S n ( i u ) - ( i n ) " 1 - + 1 2 - i n 2 I ( - i n ) + L n ( - i n ) n n ( 3 . 4 3 ) 68 In t e r m s o f o r d i n a r y B e s s e l and S t r u v e f u n c t i o n s ( J and H ,° r e s p e c t i v e l y ) , T " 1 S n ( i a J ) = ( i n ) ( 3 . 4 4 ) 2°-l2 r r -\ n + 1 - n 12 i . \ _ i C m ) J Cn) - i H ( n ) n n I n t h e a b s e n c e o f p a r t i c l e d e c a y (n r e a l ) t h e s p e c t r a l d e n s i t y i s t h e r e f o r e e x p r e s s e d as a S t r u v e f u n c t i o n : S n ( u ) = 2 Re S ( i w ) ( 3 . 4 5 ) + 1 n w'1 -1 T h e s e s p e c t r a a r e d e p i c t e d i n F i g u r e 3 . 4 . A p o w e r s e r i e s r e p r e s e n t a t i o n o f ( 3 . 4 5 ) i s 6 8 a 00 X F IG .3 .4 O s c i l l a t i o n s i n t h e number f l u c t u a t i o n s p e c t r a o f t h e s i n g l e - s p e e d g a s f o r m o t i o n t h r o u g h n - s p h e r e s (n = 1 , 2 , 3 ) , a c c o r d i n g t o e q . ( 3 . 4 5 ) . i 69 When n = 1 , 3 t h e s p e c t r a l d e n s i t y may be e x p r e s s e d i n t e r m s o f t r i g o n o m e t r i c f u n c t i o n s and when n = 2 t h e S t r u v e f u n c t i o n H i c a n be w r i t t e n as a f a i r l y r a p i d l y c o n v e r g i n g s e r i e s o f e v e n - o r d e r B e s s e l f u n c t i o n s . F o r n = 1 we t h e n h a v e S i (to) = -^J— (1 - c o s U T ) . ( 3 . 4 7 a ) W2 X 2 T h i s s p e c t r u m i s m e n t i o n e d by v a n V l i e t and F a s s e t i n c o n n e c t i o n w i t h s h o t n o i s e , w h i c h c o r r e s p o n d s t o t h e f r e e f l i g h t o f e l e c t r o n s i n a o n e - d i m e n s i o n a l d i o d e . F o r n = 2 , 3 one f i n d s S 2(u>) 8 T 2 2 IT 10 X 1 - Jo(cox) +2-1 ( 4 k 2 k = l ( 3 . 4 7 b ) S 3 U ) 3x 2 2 CO X Z 2 s i n cox + cox 2 2 CO X (1 - c o s cox) ( 3 . 4 7 c ) 70 T h e s e r i e s r e p r e s e n t a t i o n o f e q u a t i o n ( 3 . 4 6 ) y i e l c f s t h e f o l l o w i n g l o w - f r e q u e n c y b e h a v i o u r when COT << 1 : + o{ukTk) . ( 3 . 4 8 ) C l e a r l y , a t l o w f r e q u e n c i e s , t h e s p e c t r a l d e n s i t i e s a r e l i m i t e d by t h e f i n i t e s i z e o f t h e s u b v o l u m e . T h i s i s a r e f l e c t i o n o f t h e f a c t t h a t t e m p o r a l c o r r e l a t i o n s v a n i s h f o r t i m e s g r e a t e r t h a n T = 2 a / c i n t h e c a s e o f t h e s i n g l e - s p e e d g a s . The h i g h - f r e q u e n c y a s y m p t o t e i s p r o p o r t i o n a l t o w " 2 f o r any d i m e n s i o n a l i t y . T h i s b e h a v i o u r h a s b e e n s h o w n i n C h a p t e r 2 t o be c h a r a c t e r i s t i c o f t h e f r e e - f l i g h t p r o c e s s . H i l l and v a n V l i e t ( 1 9 5 8 ) h a v e p o i n t e d o u t t h e a p p e a r a n c e o f " r e s o n a n c e s " i n t h e o n e - d i m e n s i o n a l s p e c t r u m , e q . ( 3 . 4 7 a ) . S i m i l a r " r e s o n a n c e s " o c c u r i n t h e t w o - d i m e n -s i o n a l c a s e , b u t t h e s e a r e much l e s s p r o n o u n c e d and t h e s p e c t r a l d e n s i t y e x h i b i t s no z e r o s . In t h r e e d i m e n s i o n s t h e r e a r e no l o n g e r a n y p e a k s . I n s t e a d , i t i s s h o w n i n A p p e n d i x ( D ) , S 3 ( c o ) e x h i b i t s a s e r i e s o f p l a t e a u s a t f r e -q u e n c i e s w h i c h s a t i s f y t h e r e l a t i o n 4 C n _ x T S n ( w ) = ( n + O C n 2 _ 2 CO T 3 ( n + 3 ) 71 t a n GOT LOT 2 ( 3 . 4 9 ) Square subdomaln. As an e x a m p l e o f a n o n - s p h e r i c a l s u b v o l u m e l e t us c o n s i d e r t h e t w o - d i m e n s i o n a l s q u a r e s u b -d o m a i n o f s i d e L . The L a p l a c e t r a n s f o r m o f ( 3 . 9 ) y i e l d s c £ / . x 1 4 L  K ' Z TT Z • TT/4 dx c o s x exp (z s e c x) ( 3 . 5 0 ) 77 Z ' 2 e x p ( z ) - e x p ( z /i) - 1 i n w h i c h z = - i t o L / c . E v a l u a t i n g t h e r e a l p a r t we f i n d t h e s p e c t r a l d e n s i t y r • S 2 ( t o ) = —TT" L 77 (p z f ir /4 1 - dx c o s x c o s ( c p s e c x ) ( 3 . 5 1 ) 77 <j) • sin(<p / I ) - 2 s i n cp 72 w h e r e <}> = wL/c . The h i g h - f r e q u e n c y a s y m p t o t e i s c l e a r l y p r o p o r t i o n a l t o c o - 2 . A t l o w f r e q u e n c i e s (<f> << 1) we h a v e 1 - /2 + 3log (1 + /2) ( 3 . 5 2 ) z 0 . 9 4 6 - 0 . 0 8 3 <j)2 . I f we c o m p a r e t h e z e r o - f r e q u e n c y v a l u e f o r t h e u n i t s q u a r e w i t h t h a t f o r t h e d i s c o f u n i t a r e a , we f i n d a s l i g h t l y h i g h e r v a l u e f o r t h e d i s c , i n a g r e e m e n t w i t h S u r m i s e 3 . 1 : = 0 . 9 8 8 . w = 0 L S 2 ( w ) _4_ 3rr 30TT 2 + /2 + 51og (1 + /2) S 2 ( s q u a r e ) S 2 (d i s c ) 73 Effect of decay. I f t h e mean p a r t i c l e l i f e t i m e 0 i s f i n i t e , t h e n t h e i n f i n i t e - l i f e t i m e a u t o c o v a r i a n c e c o e f f i c i e n t m u s t be m u l t i p l i e d by e x p ( - | t | / x ^ ) . The c o r r e s p o n d i n g s p e c t r u m i s t h e n o b t a i n e d by c h a n g i n g t h e a r g u m e n t o f S n f r o m ico t o ico + i'1 and e v a l u a t i n g t h e r e a l p a r t . F o r e x a m p l e , c o n s i d e r t h e o n e - d i m e n s i o n a l c a s e o f ( 3 . 4 3 ) . I f we w r i t e S i ( i co ) i n t h e f o r m S ! ( ico) = ( i c o x ) - 1 + ( icox ) - 2 -xcox - 1 and e v a l u a t e Re S i ( i c o + T£M > we o b t a i n S i ( w ) 1 + (j) 1 -{ e i + e : e x p ( - ( p / 9 ) 1 + 8 2 (1 - 6 2 ) c o s cp - 20 s i n <p (3 w h e r e 6 E W X ^ and tp = cox = 2aco/c ; ( r e c a l l t h a t t h e one d i m e n s i o n a l s u b d o m a i n h a s w i d t h 2a and t h a t p a r t i c l e s 74 move w i t h s p e e d c ) . The a b o v e t y p e o f s p e c t r a l d e n s i t y g o e s °back t o D a v y d o v and G u r e v i c h ( 1 9 4 3 ) w h o s e e r r o n e o u s r e s u l t - h a s b e e n c o r r e c t e d by B u r g e s s ( 1 9 5 5 ) . The g e n e r a l e f f e c t o f f i n i t e l i f e t i m e i s t o s m o o t h t h e o s c i l l a t i o n s o f t h e i n f i n i t e - l i f e t i m e s p e c t r u m . When x ^ << 2 a / c , d e c a y e f f e c t s d o m i n a t e and t h e s p e c t r u m r e d u c e s t o t h e w e l l -known d e c a y f o r m T £ / U + w 2 x ^ 2 ) . I n t h r e e d i m e n s i o n s one c a n a l s o w r i t e t h e i n -f i n i t e - l i f e t i m e s p e c t r a l d e n s i t y i n t e r m s o f e x p o n e n t i a l s a n d p r o c e e d as a b o v e . 3 . 3 . 3 D i s t r i b u t e d S p e e d s I n t h e m o r e g e n e r a l c a s e , when t h e s y s t e m i s s u b j e c t t o an a r b i t r a r y v e l o c i t y d i s t r i b u t i o n , one c a n e i t h e r a v e r a g e t h e r e s u l t s o f t h e p r e v i o u s s e c t i o n w i t h t h e s p e e d d e n s i t y , o r f i n d R ( t ) and p e r f o r m t h e F o u r i e r t r a n s f o r m . I t i s t h e n n o t a l w a y s p o s s i b l e t o o b t a i n t h e s p e c t r a l d e n s i t y i n c l o s e d f o r m . H o w e v e r , we h a v e s e e n t h a t t h e h i g h - f r e q u e n c y s p e c t r u m i s a l w a y s p r o p o r t i o n a l t o co~ 2 f o r f r e e - f l i g h t p r o c e s s e s . P r i m a r y i n t e r e s t r e s t s t h e r e f o r e w i t h d e t e r m i n i n g t h e l o w - f r e q u e n c y b e h a v i o u r . The r e c t a n g u l a r v e l o c i t y d i s t r i b u t i o n and t h e M a x w e l l d i s t r i b u t i o n a r e d i s c u s s e d b e l o w . 75 Rectangular velocity distribution. T h i s d i s t r i b u t i o n i s d e f i n e d i n S e c t i o n 3 . 2 . 3 . I t l e a d s t o t h e f o l l o w i n g l o w - f r e q u e n c y s p e c t r a l d e n s i t i e s f o r n - s p h e r e s o f r a d i u s a : S i ( w ) 2a. v 0 log (J) ( 3 . 5 4 a ) S 2(u>) : | 5 . v 0 16. 3TT TT ( 3 . 5 4 b ) s 3 ( u ) : 2a v 0 8 + 8 *' log ( 3 . 5 4 c ) w h e r e <j) = 2 a | c o | / v 0 and y i s E u l e r ' s c o n s t a n t . E v i -d e n t l y , i n two and t h r e e d i m e n s i o n s t h e s p e c t r u m t e n d s t o a c o n s t a n t a t l o w f r e q u e n c i e s , w h i l e i n t h e o n e - d i m e n -s i o n a l c a s e t h e b e h a v i o u r i s l o g a r i t h m i c . F o r n = 1 , 3 i t i s n o t d i f f i c u l t t o d e r i v e t h e c o m p l e t e s p e c t r u m by F o u r i e r t r a n s f o r m i n g ( 3 . 2 8 ) a n d ( 3 . 2 9 ) . We f i n d , f o r t h e l i n e a r s u b d o m a i n (|_ = 2 a ) , 76 S j c o ) = f - 2 0 - c o s <f> ) + <^~1 s i n <|> - Ci(<jO , ( 3 . 5 5 ) i n w h i c h C i i s t h e c o s i n e i n t e g r a l . F o r t h e t h r e e - d i m e n -s i o n a l S D h e r i c a l s u b v o l u m e a s i m i l a r r e s u l t h o l d s : S 3 ( c o ) = A U ) + B(<|))cos <j> C (c j ) ) s in <f> + D U ) C i (cf>) , w h e r e A , B , C , D a r e p o l y n o m i a l s i n <j). Maxwell velocity distribution. We h a v e n o t o b t a i n e d c l o s e d - f o r m s p e c t r a l d e n s i t i e s f o r t h i s c a s e . A t l o w f r e q u e n c i e s , t h e f o l l o w i n g r e l a t i o n s a r e v a l i d f o r n - s p h e r e s : ( 3 . 5 6 ) S i ( t o ) = TT~ 2 T t h 3 - 3y - 2 log <J) + o(<j>2 log $ ) ( 3 . 5 7 a ) 77 S 2 ( to) = TT~ 2 T 8 3 * + o((|)2) ( 3 . 5 7 b ) S 3 (to) — Tf 2 T t h |- + -g-cp 2 £og cp + o ( (p 2 + <j)'f £og cf>) . ( 3 . 5 7 c ) We h a v e u s e d cp = |to|x = 2a | to| ( m / 2 k T ) ^ ; y i s a g a i n E u l e r ' s c o n s t a n t . E q u a t i o n s ( 3 . 5 7 ) a r e s i m i l a r i n f o r m t o t h e l o w - f r e q u e n c y r e s u l t s f o r t h e r e c t a n g u l a r v e l o c i t y d i s t r i b u t i o n , e q u a t i o n s ( 3 . 5 4 ) . The o n e - d i m e n s i o n a l s p e c t r u m a g a i n e x h i b i t s t h e l o g a r i t h m i c b e h a v i o u r a s to -> 0 . C h a p t e r 4 FLUCTUATIONS IN NCr) AND A THEOREM IN GEOMETRICAL PROBABILITY 4 . 1 I n t r o d u c t i on The a u t o c o r r e l a t i o n f u n c t i o n f o r N E d N / d t may-be o b t a i n e d f r o m t h a t o f N ( t ) by d i f f e r e n t i a t i o n ( s e e S e c t i o n 2 . 6 ) . We r e c a l l t h a t t h e b a s i c g e o m e t r i c a l q u a n t i t y e n t e r i n g t h e c a l c u l a t i o n o f t h e a u t o c o v a r i a n c e c o e f f i c i e n t f o r p a r t i c l e n u m b e r , * N ( t ) , i s t h e v o l u m e o f i n t e r s e c t i o n ft(p). In t h e p r e s e n t c h a p t e r ( S e c t i o n 4 . 2 ) we s h a l l show h o w , f o r p a r t i c l e s i n f r e e f l i g h t , t h e a u t o c o v a r i a n c e o f N ( t ) may a l s o be d e r i v e d i n t e r m s o f t h e d i s t r i b u t i o n o f t r a n s i t t i mes , i . e . t h e d u r a t i o n s o f t i m e w h i c h i n d i v i d u a l p a r t i c l e s r e q u i r e t o t r a v e r s e t h e s u b v o l u m e . A p a r t i c l e ' s t r a n s i t t i m e i s x = £ / v , w h e r e I i s t h e e x t e n t o f t h e i n t e r s e c t i o n o f i t s p a t h w i t h t h e s u b -v o l u m e ( c a l l e d a s e c a n t o f l e n g t h I) and v i s i t s s p e e d . H e n c e t h e t r a n s i t t i m e d e n s i t y W ( T ) may be o b t a i n e d f r o m t h e v e l o c i t y d i s t r i b u t i o n and t h e r a n d o m s e c a n t d e n s i t y p ( l ) . 78 79 I t f o l l o w s t h a t t h e p r o b a b i l i t y d i s t r i b u t i o n o f s e c a n t l e n g t h b e c o m e s t h e b a s i c g e o m e t r i c a l q u a n t i t y i n t h i s a p p r o a c h . O b v i o u s l y t h e n , i n v i e w o f t h e r e l a t i o n b e t w e e n t h e a u t o c o v a r i a n c e s o f N and N , some c o n n e c t i o n b e t w e e n p ( £ ) and t h e v o l u m e o f i n t e r s e c t i o n s h o u l d be e x p e c t e d . A m a j o r p u r p o s e o f t h i s c h a p t e r i s t h e e l u c i d a -t i o n o f t h i s c o n n e c t i o n f r o m a p h y s i c a l p o i n t o f v i e w by c o m p a r i n g t h e two m e t h o d s o f d e r i v i n g t h e c o r r e l a t i o n f u n c t i o n o f N ( S e c t i o n 4 . 3 ) . L a t e r o n , i n C h a p t e r 6 , we s h a l l r e - e s t a b l i s h t h e r e l a t i o n b e t w e e n p ( £ ) and Q f r o m t h e m a t h e m a t i c a l p o i n t o f v i e w w i t h o u t r e f e r e n c e t o p a r t i c l e n u m b e r f l u c t u a t i o n s . In S e c t i o n 4 . 4 we r e l a t e t h e number f l u c t u a t i o n s p e c t r u m t o t h e c h a r a c t e r i s t i c f u n c t i o n s o f W ( T ) and p ( £ ) . Two e x a m p l e s a r e d i s c u s s e d i n S e c t i o n 4 . 5 . • 4 . 2 The C o r r e l a t i o n F u n c t i o n o f N ( t ) and T r a n s i t  T i m e D i s t r i b u t i o n s F l u c t u a t i o n s i n N ( t ) a r e due t o t h e a r r i v a l o f p a r t i c l e s a t t h e s u r f a c e o f V a t r a n d o m t i m e s , and t h e i r e x i t a f t e r a r a n d o m t r a n s i t t i m e x . L e t t h e a r r i v a l t i m e s o c c u r i n a c c o r d w i t h a P o i s s o n p r o c e s s w i t h i n t e n s i t y (mean 80 r a t e o f a r r i v a l s ) e q u a l t o v . Then we c a n r e p r e s e n t t h e r a n d o m v a r i a b l e N ( t ) i n t h e f o r m N ( t ) - I h ]_ = — 0 0 t - t . , T . 1 1 ( 4 . 1 ) w h e r e h ( t - t , x ) i s t h e c o n t r i b u t i o n t o N o f a p a r t i c l e a r r i v i n g a t t h e r a n d o m t i m e t and h a v i n g t r a n s i t t i m e x . The t r a n s i t t i m e s f o r a r r i v i n g p a r t i c l e s a r e i n d e p e n d e n t and i d e n t i c a l l y d i s t r i b u t e d r a n d o m v a r i a b l e s w i t h p r o b a b i l i t y d e n s i t y W A ( " 0 . C a m p b e l l ' s t h e o r e m t h e n p r o v i d e s t h e f o l l o w i n g r e l a t i o n : c o v N ( t 0 ) , N ( t 0 + t ) ( 4 . 2 ) v dx W . ( T ) A o ds h ( s , x ) h ( s + t , x ) F o r p a r t i c l e s i n f r e e f l i g h t , h ( s , x ) c o n s i s t s o f a p a i r o f o p p o s i t e l y d i r e c t e d i m p u l s e s , s e p a r a t e d i n t i m e by t h e t r a n s i t t i m e x , i . e . 81 h ( s , x ) = 6 ( s ) - 6 ( s + T ) U t i l i z i n g t h i s f u n c t i o n i n ( 4 . 2 ) y i e l d s c o v The f i r s t t e r m on t h e RHS has b e e n m e n t i o n e d i n S e c t i o n 2 . 5 . I t i s i n d e p e n d e n t o f t h e t r a n s i t t i m e s t a -t i s t i c s a n d , e x c e p t f o r t h e f a c t o r 2 , i s t h e u s u a l r e s u l t f o r P o i s s o n i m p u l s e s . The r e a s o n f o r t h e f a c t o r 2 i s t h a t h ( s , x ) i s a l i n e a r c o m b i n a t i o n o f 2 d e l t a f u n c t i o n s . F o r t f= 0 t h e s e c o n d t e r m on t h e RHS o f ( 4 . 3 ) i n d i c a t e s t h a t t h e t r a n s i t t i m e - d e p e n d e n t c o r r e l a t i o n i s n e g a t i v e . One w o u l d e x p e c t t h i s b e h a v i o u r s i n c e t h e p o s i t i v e c o n t r i b u t i o n t o N o f p a r t i c l e s e n t e r i n g t h e s u b v o l u m e i s f o l l o w e d - by a n e g a t i v e c o n t r i b u t i o n when t h e y e x i t a t a t i m e x l a t e r . I n o r d e r t o d e r i v e W . ( x ) i n t e r m s o f t h e r a n d o m A s e c a n t d i s t r i b u t i o n and t h e v e l o c i t y d i s t r i b u t i o n i t i s c o n v e n i e n t t o d e f i n e f i r s t a n o t h e r t r a n s i t t i m e d e n s i t y , W ] . ( x ) , w h i c h r e f e r s t o t h e d i s t r i b u t i o n o f t r a n s i t t i m e s f o r p a r t i c l e s w h i c h a r e i n s i d e t h e s u b v o l u m e . T h u s W ( x ) d x N ( t 0 ) , N ( t 0 + t ) 2v 6 ( t ) - v W A ( 4 . 3 ) 82 i s t h e p r o b a b i l i t y t h a t a p a r t i c l e , known t o be i n s i d e V , h a s t r a n s i t t i m e i n T , r + dx . W Cx) may be r e l a t e d t o W A ( T ) ( w h i c h r e f e r s t o a r r i v i n g p a r t i c l e s ) as f o l l o w s : f o r n o n - i n t e r a c t i n g p a r -t i c l e s we t a k e W ( x ) d T t o be p r o p o r t i o n a l t o t h e mean n u m b e r o f T - c l a s s p a r t i c l e s i n s i d e V , w h i c h i s e q u a l t o T • vW ( x ) d x , s i n c e v W ( x ) d T i s t h e r a t e o f a r r i v a l o f T - c l a s s p a r t i c l e s . H e n c e W R ( T ) - T W a ( T ) ( 4 . 4 ) and E A ( x ) E J - C T " 1 ) -1 ( 4 . 5 ) w h e r e E A ( x a ) A E . C x 0 1 ) . dx T W a ( T ) , and s i m i l a r l y f o r D i v i d i n g ( 4 . 3 ) by v E ( x ) , t h e mean number o f p a r t i c l e s i n V , and u s i n g ( 4 . 4 ) , we d e f i n e a c o r r e l a t i o n « c o e f f i c i e n t f o r N : 83 = c o v [ N ( t 0 ) , N ( t 0 + t ) ] N ( 4 . 6 ) = 2 E I ( T " 1 ) 6 ( t ) - |t w x ( | t | ) I t r e m a i n s t o d e t e r m i n e W ( T ) . L e t t h e r a n d o m s e c a n t d e n s i t y be d e f i n e d as f o l l o w s : a p a r t i c l e ' s p a t h t h r o u g h t h e s u b v o l u m e i s u n i q u e l y d e f i n e d by a p o i n t i n s i d e t h e s u b v o l u m e and a d i r e c t i o n . L e t t h e p o i n t and d i r e c t i o n be s e l e c t e d f r o m i n d e p e n d e n t u n i f o r m d i s t r i b u t i o n s . The m a g n i t u d e I o f t h e i n t e r s e c t i o n o f t h e p a t h w i t h t h e s u b -v o l u m e i s t h e s e c a n t l e n g t h . T h e n t h e r e s u l t i n g p r o b a b i l i t y d e n s i t y f o r s e c a n t l e n g t h i s d e n o t e d by p^iZ) . T h i s p r o c e d u r e c o r r e s p o n d s t o t h e c h o i c e o f u n i f o r m d i s t r i b u -t i o n o f i n i t i a l p o s i t i o n and i s o t r o p i c d i s p l a c e m e n t d e n s i t y i n t h e r e m a i n d e r f u n c t i o n a p p r o a c h t o p a r t i c l e number c o r r e l a t i o n s . D e n o t i n g t h e s p e e d d e n s i t y by f ( v ) we t h e n h a v e f o r t h e t r a n s i t t i m e d e n s i t y , 84 W-j- ( T } dv f ( v ) d£ p r U ) 6 I T " V ( 4 . 7 ) dv f ( v ) v p I ( v x ) I f d e s i r e d , t h e t r a n s i t t i m e d e n s i t y f o r a r r i v i ng p a r t i c l e s , W ( x ) , may be o b t a i n e d f r o m ( 4 . 4 ) and ( 4 . 7 ) . A H o w e v e r , t h e r e s u l t i n t e r m s o f P I ( ^ ) i s n o t e a s i l y s e e n w i t h o u t u s e o f W ( x ) . I n s t e a d , W ( x ) may be d e r i v e d J_ A d i r e c t l y i n t e r m s o f a r e l a t e d r a n d o m s e c a n t d e n s i t y , d e n o t e d by p ( £ ) , w h i c h i s d e f i n e d as f o l l o w s : a p a r t i c l e ' s p a t h t h r o u g h V i s d e f i n e d by a d i r e c t i o n u and by i t s i n t e r -s e c t i o n w i t h a p l a n e IT t h r o u g h some c h o s e n o r i g i n and n o r m a l t o t h e d i r e c t i o n t i . T h e n P y ( £ ) r e s u l t s i f t h e d i r e c t i o n and p o i n t o f i n t e r s e c t i o n w i t h n a r e s e l e c t e d f r o m i n d e -p e n d e n t u n i f o r m d i s t r i b u t i o n s . The t r a n s i t t i m e d e n s i t y may be e x p r e s s e d as 85 *W ( T ) = < v > _ 1 A = <v> w h e r e <v> i s t h e mean s p e e d and we h a v e u s e d t h e f a c t t h a t v/<v> f ( v ) d v i s t h e p r o b a b i l i t y t h a t an a r r i v i n g p a r t i c l e ' s s p e e d l i e s i n v , v + dv . The d e p e n d e n c e o f t h e f l u c t u a t i o n s o f N on t h e g e o m e t r y o f V t h u s e n t e r s t h r o u g h t h e d e p e n d e n c e o f W C T ) on p , ( £ ) ( o r W ( x ) on p {I)). The d e t e r m i n a -1 J- A \1 t i o n o f PT{1) i s i n i t s e l f an i n t e r e s t i n g p r o b l e m i n g e o m e t r i c a l p r o b a b i l i t y ( c f . B e r t r a n d ' s p a r a d o x ) , w h i c h h a s r e c e n t l y b e e n t h e s u b j e c t o f r e n e w e d i n t e r e s t ( C o l e m a n , 1 9 6 9 ; K i n g m a n , 1 9 6 5 , 1 9 6 9 ) . E x p l i c i t s e c a n t d e n s i t i e s f o r s e v e r a l g e o m e t r i e s h a v e b e e n p u b l i s h e d by C o l e m a n . F u r t h e r r e s u l t s a r e d e r i v e d i n C h a p t e r 6 . B e r t r a n d was c o n c e r n e d w i t h two d i m e n s i o n s . K i n g m a n d e a l s w i t h a r b i t r a r y d i m e n s i o n a l i t y . U n l e s s o t h e r -w i s e s t a t e d , t h i s i s a l s o t r u e f o r o u r w o r k . f dv f ( v ) v dl p y ( £ ) 6 r i) 0 0 ( 4 . 8 ) dv f ( v ) v 2 p ( V T ) 86 4 . 3 A New T h e o r e m i n G e o m e t r i c a l P r o b a b i l i t y We come now t o t h e c o n n e c t i o n b e t w e e n t h e two g e o m e t r i c a l q u a n t i t i e s , t h e r a n d o m s e c a n t d e n s i t y p I and t h e ( n o r m a l i z e d ) v o l u m e o f i n t e r s e c t i o n ft . I n o r d e r t o r e l a t e p and ft we s h a l l make u s e o f t h e r e l a t i o n w h i c h l i n k s t h e a u t o c o v a r i a n c e c o e f f i c i e n t o f N ( t ) w i t h t h a t o f t h e d e r i v a t i v e p r o c e s s N ( t ) . B e f o r e p r o c e e d i n g w i t h t h e d i s c u s s i o n o f g e o -m e t r i c a l q u a n t i t i e s i t i s w o r t h o b s e r v i n g t h a t ( 4 . 9 ) w i t h ( 4 . 6 ) p r o v i d e s a l i n k b e t w e e n t h e r e m a i n d e r f u n c t i o n and t h e t r a n s i t t i m e d e n s i t y . F o r we h a v e $ N ( * ) = R ( | t | ) > and c o m b i n i n g t h i s w i t h ( 4 . 6 ) and ( 4 . 9 ) y i e l d s i x ( t ) _ d 2 R ( t ) ~ d t 2 ( t > 0) (4 o r , i n v i e w o f ( 4 . 4 ) , 87 W ( t ) « d 2 / ( t ) A K L ] d t 2 L e t us now c o n s i d e r t h e i s o t r o p i c s i n g l e - s p e e d g a s ( s p e e d = c ) . In t h a t c a s e , a c c o r d i n g t o ( 4 . 7 ) , W r ( T ) = c P ] . ( C T ) ( 4 . 1 1 ) and , by ( 3 . 3 ) , R ( t ) = fi(ct) C o n s e q u e n t l y , a c c o r d i n g t o ( 4 . 1 0 ) , we m u s t h a v e P _ 1 P x ( P ) - j ^ r ( P > 0) . ( 4 . 1 2 ) E q u a t i o n ( 4 . 1 2 ) i s a r e l a t i o n b e t w e e n g e o m e t r i c a l q u a n t i t i e s o n l y and i s q u i t e i n d e p e n d e n t o f t h e p h y s i c a l a s s u m p t i o n s made i n d e r i v i n g $ „ and 4>. , e x c e p t f o r t h e g e o m e t r i c a l r e s t r i c t i o n t o c o n v e x s u b v o l u m e s . I t i s a v e r y s i m p l e , b u t a p p a r e n t l y n e w , r e s u l t i n t h a t b r a n c h o f g e o m e t r i c a l 88 p r o b a b i l i t y w h i c h i s c o n c e r n e d w i t h r a n d o m p a t h s t h r o u g h c o n v e x d o m a i n s . A d i r e c t m a t h e m a t i c a l d e r i v a t i o n i s p r e -s e n t e d i n C h a p t e r 6 . The p r i n c i p a l u s e f u l n e s s o f t h e l i n k b e t w e e n p and ft , p r o v i d e d by ( 4 . 1 2 ) , w o u l d a p p e a r t o l i e i n t h e c a l c u l a t i o n o f r a n d o m s e c a n t d e n s i t i e s , s i n c e i t i s g e n e r a l l y a f a i r l y s i m p l e m a t t e r t o w r i t e down t h e d i r e c t i o n - d e p e n d e n t v o l u m e o f i n t e r s e c t i o n ft(p) . The m a j o r d i f f i -c u l t y i n d e r i v i n g P 1 ( l ) i s t h e n t h e s o m e t i m e s l a b o r i o u s , b u t u s u a l l y s t r a i g h t f o r w a r d , e v a l u a t i o n o f t h e d i r e c t i o n a v e r a g e . The d e r i v a t i o n o f p ^ l ) f r o m f i r s t p r i n c i p l e s , on t h e o t h e r h a n d , u s u a l l y r e q u i r e s g r e a t e r i n s i g h t and c a r e t h a n t h e a p p r o a c h v i a ft . In a d d i t i o n , a number o f p r o b l e m s i n v o l v i n g p a r e h a n d l e d more e a s i l y by m a k i n g u s e o f t h e p r o p e r t i e s o f ft . An e x a m p l e i s t h e p r o o f o f C r o f t o n ' s s e c o n d t h e o r e m f o r a r b i t r a r y d i m e n s i o n a l i t y w h i c h i s g i v e n i n C h a p t e r 6 . A n o t h e r i n t e r e s t i n g r e s u l t may be d e r i v e d by c o m p a r i n g t h e two t r a n s i t t i m e d e n s i t i e s W and , e q u a t i o n s ( 4 . 7 ) and ( 4 . 8 ) , f o r t h e s i n g l e s p e e d c a s e . U s i n g a l s o ( 4 . 4 ) , one o b t a i n s a r e l a t i o n b e t w e e n t h e s e c a n t d e n s i t i e s p and p , f i r s t d e m o n s t r a t e d by K i n g m a n ( 1 9 6 5 ) , 89 P l U ) cc lp U) ( 4 . 1 3 ) F rom t h i s one may d e d u c e , E U) y E-j- (-^" 1) ( 4 . 1 4 ) w h e r e E ( £ a ) = y dl r p y U ) E x ( £ a ) and s i m i l a r l y f o r A g a i n , t h e r e l a t i o n ( 4 . 1 3 ) and i t s c o n s e q u e n c e s a r e d i s c u s s e d more e x t e n s i v e l y i n C h a p t e r 6 . F o r c o m p l e t e n e s s we a l s o p r e s e n t t h e f o l l o w i n g r e l a t i o n b e t w e e n t h e moments o f t r a n s i t t i m e and t h o s e o f s e c a n t l e n g t h , w h i c h i s e a s i l y d e d u c e d f r o m ( 4 . 7 ) : E ( r a ) 1 _ < v - a > E X Ua) ( 4 . 1 5 ) p r o v i d e d t h e moments e x i s t . 90 F i n a l l y , l e t us c o m p a r e t h e d e l t a f u n c t i o n t e r m o f ( 4 . 6 ) w i t h t h a t o b t a i n e d by d i f f e r e n t i a t i n g $ N ( t ) , m a k i n g u s e o f t h e s m a l l - t i m e e x p a n s i o n o f ft(p) , * N ( t ) : 1 - ^ <v> | t | f o r | t | << V/Q<v> w h e r e we r e c a l l t h a t Q i s t h e mean p r o j e c t i o n a r e a o f t h e s u b v o l u m e . E v a l u a t i n g t h e s e c o n d d e r i v a t i v e o f a n d c o m p a r i n g w i t h ( 4 . 6 ) , we f i n d E ^ T " 1 ) - i -1 E A ( x ) <v> ( 4 . 1 6 ) w h i c h , i n c o n j u n c t i o n w i t h ( 4 . 1 4 ) and ( 4 . 1 5 ) , l e a d s t o t h e p u r e l y g e o m e t r i c a l r e s u l t , E y U ) = V/Q ( 4 . 1 7 ) 91 In t h r e e d i m e n s i o n s t h e mean p r o j e c t i o n o f V i s g i v e n i n t e r m s o f t h e s u r f a c e a r e a A by Q" = %A ( s e e S e c t i o n 2 . 5 ) , and t h u s a q u a n t i t y known i n a c o u s t i c s as t h e " J a ' g e r mean f r e e p a t h . " ( s e e e . g . K i n g m a n , 1 9 6 5 ) 4 . 4 The Number F l u c t u a t i o n S p e c t r u m we h a v e d e f i n e d i t , i s e q u a l t o t h e n e g a t i v e o f t h e s e c o n d d e r i v a t i v e o f $ N ( t ) , i t s F o u r i e r t r a n s f o r m i s w2 S(co) , w h e r e -S(co) i s t h e F o u r i e r t r a n s f o r m o f * C"t) . T h e n , t a k i n g a c c o u n t o f t h e r e s u l t s o f S e c t i o n 4 . 2 , S(to) may be e x p r e s s e d i n t e r m s o f t h e c h a r a c t e r i s t i c f u n c t i o n o f W ( x ) o r W ( x ) . T h u s , d e f i n i n g 4V A S i n c e t h e a u t o c o r r e l a t i o n c o e f f i c i e n t o f N , as .CO C . ( w ) = dx W A ( x ) e X , A A v icox 92 as t h e c h a r a c t e r i s t i c f u n c t i o n o f W , and s i m i l a r l y f o r W^., o n e o b t a i n s f r o m ( 4 . 3 ) and ( 4 . 6 ) , CO S ( w ) 1 - Re C .(u>) T , A ( 4 . 1 8 ) and _d_ .dco CO S ( u ) = 2 Im C T ( w ) T , I ' ( 4 . 1 9 ) I n t e r m s o f t h e c h a r a c t e r i s t i c f u n c t i o n c o r r e s p o n d -i n g t o Pj^il) , t h e r e s u l t i s _d_ dco CO S ( ( » ) 2 Im <C CO ( 4 . 2 0 ) w h e r e t h e a n g u l a r b r a c k e t s s i g n i f y an a v e r a g e o v e r s p e e d d i s t r i b u t i o n . A c a u t i o n a r y n o t e r e g a r d i n g t h e s h o t e f f e c t i n an i n f i n i t e l y l o n g p a r a l l e l p l a t e d i o d e may be a p p r o p r i a t e a t t h i s p o i n t . T h e r e e x i s t s a p l a u s i b l e p i t f a l l i n 93 a t t e m p t i n g t o d e r i v e t h e c u r r e n t f l u c t u a t i o n s p e c t r u m ( a s s u m i n g i n d e p e n d e n t c h a r g e c a r r i e r s ) f r o m t h e f l u c t u a t i o n s i n p a r t i c l e n u m b e r . S u p p o s e one r e a s o n s as f o l l o w s : t h e t o t a l c h a r g e o f t h e p a r t i c l e s i n t h e d i o d e i s Q ( t ) = q N ( t ) , i f q i s t h e c h a r g e o f one p a r t i c l e . T a k i n g t h e c u r r e n t t o be K t ) = Q ( t ) = q N ( t ) o n e w o u l d o b t a i n t h e s p e c t r a l d e n s i t y o f c u r r e n t f r o m t h e a u t o c o v a r i a n c e o f N . U s i n g ( 4 . 3 ) t h i s l e a d s t o a c u r r e n t s p e c t r a l d e n s i t y p r o p o r t i o n a l t o CO' CO dx T H A ( T ) a s co ->- 0 . T h i s c o n c l u s i o n i s , h o w e v e r , n o t c o r r e c t b e c a u s e t h e c u r r e n t i n a d i o d e i s g i v e n by i n d u c t i o n due t o t h e m o t i o n o f t h e c h a r g e s . H e n c e t h e r e l a t i o n I = q N i s n o t v a l i d . I n f a c t , i t i s w e l l - k n o w n t h a t t h e s p e c t r a l d e n s i t y o f t h e d i o d e c u r r e n t t e n d s t o a c o n s t a n t , 94 i n d e p e n d e n t o f t h e t r a n s i t t i m e d i s t r i b u t i o n ( o r t h e v e l o c i t y d i s t r i b u t i o n ) , as to -»• 0 . B e f o r e d i s c u s s i n g some e x a m p l e s , i t may be w o r t h -w h i l e t o d i s p l a y i n f l o w - c h a r t f o r m t h e v a r i o u s r e l a t i o n s d i s c u s s e d i n t h e p r e s e n t c h a p t e r : G E O M E T R I C A L D Y N A M I C A L TEMPORAL AUTOCORRELATION p U ) <r V S P E C T R A L W ( T ) 4 -i * . ( t ) <r to 2 S(to) <r f ( v ) -> n(p) V - > R ( t ) X - > S ( w ) 95 4 . 5 E x a m p 1 e s To i l l u s t r a t e some o f t h e i d e a s , d e v e l o p e d i n t h e p r e c e d i n g s e c t i o n s we s h a l l t r e a t two e x a m p l e s : ( i ) t h e t h r e e - d i m e n s i o n a l c a s e o f a s p h e r i c a l s u b v o l u m e , and ( i i ) t h e t w o - d i m e n s i o n a l c a s e o f a d i s c ( i n f i n i t e l y l o n g c y l i n d e r ) . Sphere. The r a n d o m s e c a n t d e n s i t y f o r a s p h e r e o f r a d i u s a , d e r i v e d i n C h a p t e r 6 , i s O p 2 p l ( £ ) = I f 7 " (0 < £ < 2a ) , w i t h c h a r a c t e r i s t i c f u n c t i o n 2 2 z - 2 + 2 z - 3 - 6 z - 3 w h e r e z = 2iaco . F o r t h e s i n g l e - s p e e d gas ( s p e e d i m m e d i a t e l y t o = c ) t h i s 1 e a d s 96 W T ( T ) 3 c 2 x 2 8a* ^ 0 < X < — — C ( 4 . 2 1 ) w h i l e a M a x w e l l i a n s p e e d d i s t r i b u t i o n r e s u l t s i n W ( T ) = 1 2TT~^ T 1 - e " u (1 + u 2 + h u - ) ( 4 . 2 2 ) w h e r e x t h 2 m a 2 kT and u = x , , / X t h In t h e l a t t e r c a s e t h e a v e r a g e s ^ T ( x ) ^ E-,-(£ ) <v~ > a r e f i n i t e o n l y i f - 3 < a < 3 . The mean t r a n s i t t i m e a c c o r d i n g t o W .^ i s E ^ ( x ) ==(3/2/TT ) x f c h , w h e r e a s E A ( T ) = [ E I ( x - 1 ) ] " 1 = ( / i f / 3 ) T T H . S u b s t i t u t i o n o f I(co) i n t o ( 4 . 2 0 ) y i e l d s f o r t h e s i n g l e - s p e e d n u m b e r s p e c t r u m t h e r e l a t i o n _d_ dco to S 3 ( o ) ) 6 (j) - 3 2 c o s (J) - 2 + 2 cj> s i n cf> - <j)2 c o s ,<j> 97 w h e r e <p = — ^ — . T h i s r e s u l t may be c o m p a r e d w i t h ( 3 . 4 7 ) , o b t a i n e d by t h e i n t e r s e c t i o n - v o l u m e p r o c e d u r e . Disc F o r a d i s c o f r a d i u s a we u s e t h e r a n d o m s e c a n t d e n s i t y ( C h a p t e r 6) 1 - 11 4 a : (0 < I < 2a) C o m b i n i n g t h i s w i t h t h e t w o - d i m e n s i o n a l M a x w e l l i a n s p e e d d i s t r i b u t i o n o n e o b t a i n s u W X ( T ) 2 T t h u e 1 + u 2 2} (4 w h e r e T and u a r e d e f i n e d a s f o r t h e p r e c e d i n g e x a m p l e and I i s t h e m o d i f i e d B e s s e l f u n c t i o n . The moments v E i ( T ( x ) a r e now f i n i t e o n l y i f - 3 < a < 2 . The a v e r a g e Q t r a n s i t t i m e a c c o r d i n g t o W_ i s E t ( T ) = x , , w h i l e - I I 3ir t h E (x) h a s t h e s m a l l e r v a l u e /TT/2 X . . 98 F i g u r e 4 . 1 p r e s e n t s x ^ W ( x ) / x f o r t h e a b o v e e x a m p l e s i n v o l v i n g t h e M a x w e l l d i s t r i b u t i o n . A c c o r d i n g t o ( 4 . 6 ) t h i s q u a n t i t y i s t i m e s t h e a u t o c o r r e l a t i o n c o e f f i c i e n t o f N f o r t ^ 0 . 9 8 a F I G . 4 . 1 T r a n s i t t i m e d i s t r i b u t i o n s f o r M a x w e l l i a n f r e e f l i g h t t h r o u g h t h e s p h e r e ( 1 ) and t h e l o n g c y l i n d e r ( 2 ) . D e p i c t e d i s x* W ( t ) / t . C h a p t e r 5 DIFFUSION PROCESSES 5 . 1 I n t r o d u c t i on M o s t o f t h e l i t e r a t u r e r e g a r d i n g p a r t i c l e number f l u c t u a t i o n s h a s b e e n c o n c e r n e d w i t h p r o b l e m s i n v o l v i n g d i f f u s i o n . T h u s S e c t i o n 5 . 2 i s i n c l u d e d p r i m a r i l y f o r c o m p l e t e n e s s . E x c e p t f o r a s e c t i o n on B r o w n i a n m o t i o n and a g e n e r a l r e s u l t r e g a r d i n g t h e s p e c t r a l d e n s i t y f u n c t i o n f o r d i f f u s i o n i n n - d i m e n s i o n a l s p h e r e s , t h e r e s u l t s a r e n o t n e w . We s t i l l e m p h a s i z e , h o w e v e r , t h e i n t e r s e c t i o n -v o l u m e t e c h n i q u e . In S e c t i o n 5 . 3 we l e a v e o u r s t u d y o f t h e p a r t i c l e n u m b e r c o r r e l a t i o n f u n c t i o n and c o n c e r n o u r s e l v e s w i t h t h e r o l e o f t h e r e m a i n d e r f u n c t i o n i n a r e l a t e d p r o b l e m , t h a t o f t h e e s c a p e t i m e d i s t r i b u t i o n o f p a r t i c l e s e m a n a t i n g f r o m a g i v e n r e g i o n . We g e n e r a l i z e some o f t h e r e s u l t s o f P o p o v ( 1 9 7 0 ) t o i n c l u d e a n n i h i l a t i o n o f p a r t i c l e s i n t h e r e g i o n u n d e r c o n s i d e r a t i o n and t h e n , i n S e c t i o n 5 . 4 , a p p l y o u r r e s u l t s t o t h e p r o b l e m o f p o s i t r o n i u m d i f f u s i o n i n 99 100 s o l i d s . P o s i t r o n i u m d i f f u s i o n c o n s t a n t s d e d u c e d by B r a n d t and P a u l i n ( 1 9 6 8 ) f r o m e x p e r i m e n t a l p o s i t r o n a n n i h i l a t i o n s p e c t r a i n p o w d e r s o f S i 0 2 , A £ 2 0 3 and MgO a r e f o u n d t o be t o o l a r g e due t o t h e u s e o f i n c o r r e c t b o u n d a r y c o n d i t i o n s i n t h e i r t h e o r y . C o r r e c t e d v a l u e s a r e g i v e n i n B r a n d t and P a u l i n ( 1 9 7 2 ) . T h r o u g h o u t t h i s c h a p t e r , t h e d i f f u s i o n c o n s t a n t D i s t a k e n t o be s p a t i a l l y i n v a r i a n t i n s i d e t h e r e g i o n u n d e r c o n s i d e r a t i o n . 5 . 3 P a r t i c l e Number C o r r e l a t i o n s 5 . 2 . 1 T e m p o r a l C o r r e l a t i o n s In t h i s s e c t i o n we f i r s t d i s c u s s i s o t r o p i c d i f f u -s i o n and t h e n b r i e f l y m e n t i o n t h e i n c l u s i o n o f d r i f t and t h e m o r e g e n e r a l c a s e o f B r o w n i a n m o t i o n . C o n s i d e r a s y s t e m o f p a r t i c l e s u n d e r g o i n g i s o t r o p i c d i f f u s i o n t h r o u g h a s u b v o l u m e V o f an i n f i n i t e d o m a i n . I t i s w e l l - k n o w n t h a t t h e d i s p l a c e m e n t p r o b a b i l i t y d e n s i t y i s o f G a u s s i a n t y p e , — — -n / 2 P n ( p , t ) = 2TT h 2 ( t ) e x p - P 2 / 2 h 2 ( t ) ( 5 . 1 ) 101 w h e r e n r e f e r s t o d i m e n s i o n a l i t y a n d , i n t e r m s o f t h e d i f f u s i o n c o n s t a n t D , h 2 ( t ) = 2 D t . A G a u s s i a n d i s p l a c e m e n t d e n s i t y has a l r e a d y b e e n t r e a t e d i n o u r d i s c u s s i o n o f t h e t e m p o r a l c o r r e l a t i o n s f o r t h e f r e e - f l i g h t p r o c e s s w i t h M a x w e l l i a n v e l o c i t y d i s t r i b u -t i o n ( S e c t i o n 3 . 2 . 2 ) . T h e r e P ( p , t ) was i d e n t i c a l t o ( 5 . 1 ) , e x c e p t t h a t we had h 2 ( t ) = ( k T / m ) t 2 . S i n c e t h e r e m a i n d e r f u n c t i o n d e p e n d s i n f o r m o n l y on t h e g e o m e t r y o f t h e s u b v o l u m e and on t h e p - d e p e n d e n c e o f P ( p , t ) , i t i s p o s s i b l e t o a p p l y t h e f r e e - f l i g h t r e s u l t s o f S e c t i o n 3 . 2 . 2 t o t h e p r e s e n t c a s e o f d i f f u s i o n by m a k i n g o n l y t h e s u b s t i t u t i o n kT m ^ 2 Dt (5 i . e . we n e e d o n l y c h a n g e t h e t i m e d e p e n d e n c e o f t h e m e a n -s q u a r e d i s p l a c e m e n t . I n p a r t i c u l a r , f o r n - d i m e n s i o n a l s u b v o l u m e s o f s p h e r i c a l s y m m e t r y ( r a d i u s = a ) , e q u a t i o n s ( 3 . 1 8 ) a p p l y w i t h u = ( a 2 / D t ) J s : R 3 ( t ) = e r f ( u ) - - i - 3 u _ 1 - 2u" -u I T 1 - 2 u - 3 1 0 2 R i ( t ) = e r f ( u ) 1 - e" ( 5 . 3 a ) R 2 ( t ) = 1 - e + I ( 5 . 3 b ) ( 5 . 3 c ) I n t h i s c o n t e x t , ( 5 . 3 a ) was a l r e a d y o b t a i n e d by F u r t h ( 1 9 1 9 ) a n d i s r e p r o d u c e d by C h a n d r a s e k h a r ( 1 9 4 3 ) , who a l s o d e r i v e s ( 5 . 3 b ) f o r t h e t w o - d i m e n s i o n a l c a s e o f a d i s c ( s e e h i s e q . ( 3 9 1 ) ; n o t e t h a t /a s h o u l d r e a d a 2 ). 103 The s m a l l - t i m e and l a r g e - t i m e b e h a v i o u r o f R n ( t ) i s t h u s g i v e n by R ( t ) Z 1 - n n and ( t « T d ) R n(t) -n/2 ( t » T d ) H e r e we h a v e d e f i n e d a d i f f u s i o n t i m e c o n s t a n t , T d = ~7j~ The t i m e d e p e n d e n c e o f R n ( t ) i n t h e s e l i m i t s h a s b e e n d i s c u s s e d i n S e c t i o n 2 . 5 . O t h e r r e s u l t s o f S e c t i o n 3 . 2 . 2 h o l d s i m i l a r l y f o r t h e d i f f u s i o n p r o c e s s , p r o v i d e d we make t h e s u b s t i t u -t i o n ( 5 . 2 ) . A g a i n , due t o t h e p r o p e r t y o f C a r t e s i a n f a c t o r i z a t i o n o f P ( p , t ) , s u b v o l u m e s o f c o m p o u n d s h a p e e x h i b i t a r e m a i n d e r f u n c t i o n w h i c h may be w r i t t e n as a p r o d u c t o f more e l e m e n t a r y r e m a i n d e r f u n c t i o n s . 1 04 Drift. I f , on t h e d i f f u s i v e m o t i o n o f p a r t i c l e s , t h e r e i s s u p e r i m p o s e d a d r i f t m o t i o n w i t h , v e l o c i t y v d r , i t b e c o m e s n e c e s s a r y t o m o d i f y ( 5 . 1 ) , r e p l a c i n g p by ->-->- - * - - > • P - P , , w i t h p, = v , t . F o r t h e o n e - d i m e n s i o n a l f r e e - , dr dr dr f l i g h t p r o c e s s , t h e e f f e c t o f d r i f t has b e e n d i s c u s s e d i n S e c t i o n 3 . 2 . 4 . Once a g a i n , e q u a t i o n ( 3 . 3 3 ) f o r t h e r e -m a i n d e r f u n c t i o n may be t a k e n o v e r d i r e c t l y f o r t h e c a s e o f d i f f u s i o n i f we make t h e s u b s t i t u t i o n h ( t ) / 2 D t ( T h i s c o r r e s p o n d e n c e i s t h e r e a s o n f o r d o i n g m o s t o f t h e a l g e b r a i n S e c t i o n 3 . 2 . 4 i n t e r m s o f h ( t ) . ) Brownian Motion. The d i s p l a c e m e n t p r o b a b i l i t y d e n s i t i e s f o r b o t h t h e M a x w e l l i a n f r e e - f l i g h t p r o c e s s and t h e d i f f u s i o n p r o c e s s may be c o n s i d e r e d as l i m i t i n g f o r m s o f t h e d i s p l a c e m e n t d e n s i t y f o r t h e more g e n e r a l B r o w n i a n m o t i o n p r o c e s s , f o r w h i c h ( 5 . 1 ) h o l d s w i t h h 2 / t N _ 2kT A t - 1 + e -Xt ( 5 . 4 ) H e r e X i s t h e L a n g e v i n f r i c t i o n c o e f f i c i e n t . [We m i g h t o b s e r v e h e r e t h a t in general h 2 ( t ) i s r e l a t e d t o t h e v e l o c i t y a u t o c o r r e l a t i o n o f t h e p a r t i c l e s by 105 d 2 h 2 = 2 < V i ( o ) V i ( t ) > o r ft h 2 ( t ) = 2 d t ' ( t - t « ) < V i ( o ) V i ( t ' ) > w h e r e V i r e f e r s t o one c o m p o n e n t o f v e l o c i t y . ] A g a i n , t h e r e m a i n d e r f u n c t i o n s f o r M a x w e l l i a n f r e e f l i g h t ( S e c t i o n 3 . 2 . 2 ) a p p l y t o B r o w n i a n m o t i o n i f we u s e h 2 ( t ) as g i v e n by ( 5 . 4 ) t o r e p l a c e ( k T / m ) t 2 w h i c h i s t h e A = 0 l i m i t o f ( 5 . 4 ) . As A i n c r e a s e s we p a s s t h r o u g h a c o n t i n u u m o f s i t u a t i o n s f r o m t h e c a s e o f f r e e f l i g h t t o B r o w n i a n m o t i o n t o d i f f u s i o n , w h i c h i s r e a c h e d when A t >> 1 f o r a l l t i m e s o f i n t e r e s t . S i n c e h 2 ( t ) g i v e s t h e m e a n - s q u a r e d i s p l a c e m e n t i n a t i m e i n t e r v a l t and s i n c e t h i s i n c r e a s e s w i t h t h e m o b i l i t y u = 1/mA , t h e r e m a i n d e r f u n c t i o n d e c a y s l e s s r a p i d l y f o r d i f f u s i o n t h a n i t d o e s f o r p a r t i c l e s i n f r e e f l i g h t . We i l l u s t r a t e t h i s b e h a v i o u r i n F i g u r e 5 . 1 w h e r e t h e B r o w n i a n m o t i o n r e m a i n d e r f u n c t i o n has b e e n p l o t t e d f o r a o n e - d i m e n s i o n a l s u b v o l u m e f o r s e v e r a l v a l u e s o f A . 2.5 5.0 7.5 10.0 FIG. 5.1 R e m a i n d e r f u n c t i o n f o r o n e - d i m e n s i o n a l B r o w n i a n m o t i o n f o r s e v e r a l v a l u e s o f a = A x + ^ • t h 1 0 6 5 . 2 . 2 D i f f u s i o n S p e c t r a T h i s s e c t i o n i s d e v o t e d t o t h e d e r i v a t i o n o f t h e s p e c t r a l d e n s i t y f u n c t i o n w h i c h r e s u l t s when t h e s u b v o l u m e p o s s e s s e s s p h e r i c a l s y m m e t r y . Our r e s u l t w i l l h o l d f o r a r b i t r a r y d i m e n s i o n a l i t y and t h u s b r i n g s t o g e t h e r r e s u l t s w h i c h h a v e a p p e a r e d s e p a r a t e l y i n t h e l i t e r a t u r e . As i n S e c t i o n 3 . 3 , we b e g i n w i t h t h e r e l a t i o n S (u ) = 2 Re n d t e -i a 3 t R ( t ) n o (5 2 Re d t e -icot dp J}(p) P n ( p , t ) I f we p e r f o r m f i r s t t h e t i m e i n t e g r a t i o n we o b t a i n t h e L a p l a c e - t r a n s f o r m e d G r e e n f u n c t i o n e m p l o y e d by v a n V l i e t and F a s s e t t and w h i c h we s h a l l d e n o t e by P n (p , to ) . We t h e n i n t e g r a t e ft(p) P n (p , to ) o v e r a l l p . T h u s we f i nd 107 2 Re P (p ,«o) = 2 Re d t e' n - i tot 4TT Dt -n/2 e x p p 2 / 4 D t n 2 4TTD Re dx x n e x p 4D x 1 U X ' n - 1 = TT - n/2 Re z_ p K ^-1 2 (2zp) (5 w h e r e z = and K i s t h e m o d i f i e d B e s s e l f u n c t i o n 10) o f t h e s e c o n d k i n d . The s p e c t r a l d e n s i t y f u n c t i o n f o r a n y p a r t i c u l a r g e o m e t r y may t h e n be o b t a i n e d f r o m S ( u ) = 2 Re n dp ftfp) P n ( p , w ) L e t us c o n s i d e r t h e n - d i m e n s i o n a l s u b v o l u m e o f s p h e r i c a l s y m m e t r y . The n o r m a l i z e d v o l u m e o f i n t e r s e c t i o n 1 08 2C n n ( P ) - ^ n-1 n dx 1 - x : % ( n - l ) p / 2 a w h e r e we r e c a l l t h a t C = T r n / 2 / r ( ? j - + 1) . M a k i n g u s e o f n ' L • J t h i s and ( 5 . 6 ) i n ( 5 . 7 ) we f i n d , a f t e r an i n t e g r a t i o n by p a r t s , S (w) n n C n-1 -1 ii IT2 Da Re z' 2 a dx 4 a 2 hirx-1) n d? ? K ( 2 z ? ) - - 1 2 ( 5 . 8 ) The i n t e g r a t i o n o v e r £ i s e a s i l y p e r f o r m e d i f we r e c o g -n i z e t h a t K ( t ) 1 0 9 T h u s we a r e l e d t o ( 2 z C ) _ T ( n / 2 ) n + 1 2z n_ ,2 K ( 2 z x ) n. (5 4 r and h e n c e n C . S ( w ) = ^ Re z " 2 •2a % ( n - 1) n dx 4 a : 2-rr2 Da (5 n 2 Z X K ( 2 z x ) n T h e f i r s t t e r m i n t h e s q u a r e b r a c k e t d o e s n o t c o n t r i b u t e s i n c e z 2 i s i m a g i n a r y . ( N o t i c e t h a t t h i s t e r m w i 1 1 c o n -t r i b u t e i f we i n c l u d e p a r t i c l e d e c a y . ) The s e c o n d t e r m may be i n t e g r a t e d , y i e l d i n g n o S (co) = - 2 n V Re a " 2 I ( a ) K ( a ) » ( 5 . 1 1 ) 6 n U n. n T "2 w h e r e a = ( i c o a 2 / D ) 2 . T h i s f o r m o f t h e s p e c t r a l d e n s i t y f u n c t i o n c o m b i n e s r e s u l t s w h i c h h a v e a p p e a r e d i n t h e l i t e r a -t u r e s e p a r a t e l y f o r n = 1 , 2 , 3 . F o r n = 2 , ( 5 . 1 1 ) has b e e n r e p o r t e d i n e s s e n t i a l l y t h e a b o v e f o r m by v a n V l i e t and C h e n e t t e ( 1 9 6 5 ) . I n t h i s c a s e t h e s p e c t r u m c a n be w r i t t e n i n t e r m s o f K e l v i n f u n c t i o n s : S 2 ( w ) = -8 a D0 c,2 b e r i G//2 k e i G//2 ( 5 . 1 2 ) + b e i i Q//2 k e r G//2 w h e r e 0 E 2 toa 2 /D . T h i s r e s u l t was f i r s t d e r i v e d by B u r g e s s ( 1 9 5 3 ) . When n = 1 , 3 t h e m o d i f i e d s p h e r i c a l B e s s e l f u n c t i o n s w h i c h o c c u r i n ( 5 . 1 1 ) may be w r i t t e n i n t e r m s o f h y p e r b o l i c and e x p o n e n t i a l f u n c t i o n s . T h e n one o b t a i n s 111 S i ( w ) = 2 a 2 D 0 3 1 - e_ 0 ( c o s 0 + s i n © ) ( 5 . 1 3 ) and S 3 ( c o ) 6 a : D O 5 IB2 - 2 + e' 0 2 ( c o s 0 + s i n 0 ) ( 5 . 1 4 ) + 4 0 c o s 0 + 2 ( c o s O - s i n O ) Si (a)) was a l s o f i r s t o b t a i n e d by B u r g e s s i n t h e p a p e r q u o t e d a b o v e . S 3(co) h a s b e e n g i v e n by Van V l i e t and F a s s e t t . The l o w - and h i g h - f r e q u e n c y b e h a v i o u r o f t h e s p e c t r a l d e n s i t y f u n c t i o n s i s m o s t e a s i l y d i s c u s s e d i n t e r m s o f ( 5 . 1 1 ) . F o r l o w f r e q u e n c i e s (|a|<<! ) we c a n e x p a n d t h e p r o d u c t o f m o d i f i e d B e s s e l F u n c t i o n s as f o l l o w s : 1 1 2 I, (a) Kj (a) = 1 - a + 4 a 2 + o ( a 3 ) I i ( a ) K i ( a ) = \ + 1 a 2 £ o g | + 4 16 a2 + o ( a ^ o g a) I3/ ( a ) K 3 / (a) = j - ^ a 2 + o ( a 3 ) Cy i s E u l e r ' s c o n s t a n t ) . T h u s one o b t a i n s t h e f o l l o w i n g b e h a v i o u r when w a 2 / D . <•< 1 : 2 a 2 2 a : D0 D ( 5 . 1 5 a ) S 2 ( w ) = - ^ - £og 0 Y - ^ - 2" £og 2 ( 5 . 1 5 b ) S 3 ( w ) 4 a 2 a 2 0 5D " 3D ( 5 . 1 5 c ) 113 E v i d e n t l y o n l y S 3 i s f i n i t e as to -»• 0 . S i v a r i e s as to 2 and S 2 e x h i b i t s t h e same k i n d o f l o g a r i t h m i c s i n g u -l a r i t y w h i c h was f o u n d i n C h a p t e r 3 f o r t h e s p e c t r a l d e n s i t y f u n c t i o n o f t h e o n e - d i m e n s i o n a l M a x w e l l i a n f r e e - f l i g h t p r o c e s s . The r e a s o n f o r t h i s s i m i l a r i t y l i e s i n t h e l o n g -t i m e a s y m p t o t e o f $ n ( t ) , w h i c h i s p r o p o r t i o n a l t o t " 1 i n b o t h c a s e s . The h i g h - f r e q u e n c y a s y m p t o t e o f S n f o l l o w s e a s i l y f r o m t h e e x p a n s i o n I ( a ) K ( a ) = sr— 1 -n v ' n • 2 a ( n 2 - 1) 8 a 2 f r o m w h i c h we d e d u c e c i \ 2 n a 2 ( n 2 - 1) 4 0 2 ( toa 2 /D » .1) . ( 5 . 1 6 ) I n e a c h c a s e S n « to~ 3 / ' 2 , as was a l r e a d y p o i n t e d o u t i n C h a p t e r 2 . 114 F u r t h e r r e s u l t s on d i f f u s i o n s p e c t r a may be f o u n d 6 i n t h e a r t i c l e by v a n V l i e t and F a s s e t t w h i c h a l s o c o n t a i n s an e x t e n s i v e b i b l i o g r a p h y . 5 . 3 . E s c a p e T i m e D i s t r i b u t i o n o f D i f f u s i n g P a r t i c l e s 5 . 3 . 1 I n t r o d u c t o r y N o t e s A r e c e n t p u b l i c a t i o n by P o p o v ( 1 9 7 0 ) t r e a t s t h e p r o b l e m o f d e t e r m i n i n g t h e mean t i m e f o r e s c a p e f r o m a g i v e n r e g i o n o f p a r t i c l e s u n d e r g o i n g d i f f u s i o n . H e r e we s h a l l e x t e n d some o f P o p o v ' s r e s u l t s t o i n c l u d e t h e c a s e o f d e c a y i n g p a r t i c l e s . In a d d i t i o n we s h a l l a l l o w f o r r a n d o m s t a r t i n g p o s i t i o n . T h e s e c o n d i t i o n s a r i s e i n t h e p h e n o m e n o n o f p o s i t r o n i u m d i f f u s i o n i n s o l i d s , t o w h i c h we a p p l y o u r r e s u l t s i n S e c t i o n 5 . 4 . S i n c e p a r t i c l e s w h i c h l e a v e t h e r e g i o n u n d e r c o n -s i d e r a t i o n a r e a s s u m e d n o t t o r e t u r n , t h e s u r f a c e a c t s as an a b s o r b i n g b o u n d a r y . ( I n t h e l a n g u a g e o f p r o b a b i l i t y t h e o r y , we a r e d e a l i n g w i t h a " f i r s t p a s s a g e " p r o b l e m . ) In t h a t c a s e t h e d i s p l a c e m e n t p r o b a b i l i t y d e n s i t y f o r d i f -f u s i o n no l o n g e r has t h e s i m p l e G a u s s i a n f o r m u s e d i n t h e p r e v i o u s s e c t i o n . H o w e v e r , we s h a l l r e q u i r e e x p l i c i t k n o w -l e d g e o n l y o f t h e moment g e n e r a t i n g f u n c t i o n f o r t h e e s c a p e t i m e , and t h i s may be o b t a i n e d f r o m t h e L a p l a c e - t r a n s f o r m e d 11 5 d i f f u s i o n e q u a t i o n , t a k i n g a c c o u n t o f t h e a b s o r p t i o n b o u n d a r y c o n d i t i o n . F o r t h e r e m a i n d e r o f t h i s c h a p t e r f u n c t i o n s w i t h t h e s u b s c r i p t z e r o w i l l r e f e r t o p a r t i c l e s w i t h i n -f i n i t e l i f e t i m e , , i . e . n o n - d e c a y i n g p a r t i c l e s . 5 . 3 . 2 P o p o v ' s R e l e v a n t R e s u l t s C o n s i d e r t h e p r o b a b i l i t y t h a t a n o n - d e c a y i n g p a r t i c l e , w h i c h i s i n i t i a l l y a t r i n s i d e a r e g i o n V , w i l l be s o m e w h e r e i n s i d e V a t a t i m e t l a t e r . T h i s i s t h e c o n d i t i o n a l r e m a i n d e r f u n c t i o n R o ( t , r ± ) = d r P 0 ( r , t ; r ± ) ( 5 . 1 7 ) w h e r e P 0 i s t h e c o n d i t i o n a l p r o b a b i l i t y d e n s i t y t h a t t h e p a r t i c l e moves f r o m r i t o r i n t i m e t . F o r d i f f u s i n g p a r t i c l e s P 0 i s t h e G r e e n f u n c t i o n o f t h e d i f f u s i o n e q u a t i o n r- = D V 2 P 0 116 When V i s b o u n d e d by an a b s o r b i n g s u r f a c e R 0 ( t , r ) b e c o m e s t h e p r o b a b i l i t y t h a t t h e p a r t i c l e has n o t e s c a p e d f r o m V i n a t i m e i n t e r v a l t . L e t T d e n o t e e s c a p e t i m e . T h e n t h e c o n d i t i o n a l e s c a p e t i m e d e n s i t y , q 0 CT , r ) , i s g i v e n by q o ( x , r ) dx = R 0 ( x , r ) - R 0 ( x + d x , r ) ( 5 . 1 8 ) = - R o ( T , r ) d x , w h i c h i s t h e p r o b a b i l i t y t h a t t h e p a r t i c l e e s c a p e s i n x , x + dx . I f we now d e f i n e t h e moment g e n e r a t i n g f u n c t i o n f o r e s c a p e t i m e as t h e L a p l a c e t r a n s f o r m o f q 0 > g o ( s , r ) d t q 0 ( t , r ) e _ s t , ( 5 . 1 9 ) t h e n i t f o l l o w s t h a t g 0 s a t i s f i e s t h e d i f f e r e n t i a l e q u a t i o n D V 2 g 0 = s g 0 ( 5 . 2 0 ) \ 117 w i t h b o u n d a r y c o n d i t i o n g 0 ( s , r ) = 1 f o r r i n t h e s u r f a c e o f V . When V i s t h e n - s p h e r e o f r a d i u s a , ( 5 . 2 0 ) may be t r a n s f o r m e d t o B e s s e l ' s e q u a t i o n w i t h s o l u t i o n g o ( s , r ) a_ r v I (KIT) V _ ' I (ica) ( 5 . 2 1 ) w i t h v = n/2 - 1 and K = / s / D The moments o f t h e e s c a p e t i m e may be o b t a i n e d f r o m ( 5 . 2 1 ) by d i f f e r e n t i a t i o n . The mean and v a r i a n c e , g i v e n by P o p o v , a r e e a s i l y d e t e r m i n e d : T . ( r ± ) r . 1 - - i 2 1 ( 5 . 2 2 a ) v a r T Q ( r ) 2 n 2 ( n + 2) -1 ( 5 . 2 2 b ) w h e r e t h e d i f f u s i o n t i m e s i s r d = a 2 / D ,• and t h e s u b -s c r i p t z e r o i s u s e d t o d e n o t e n o n - d e c a y i n g p a r t i c l e s . 118 5 . 3 . 3 D e c a y i n g P a r t i c l e s We s h a l l now i n v e s t i g a t e w h a t m o d i f i c a t i o n w i l l h a v e t o be made t o t h e t r e a t m e n t o f t h e p r e c e d i n g s e c t i o n -when t h e d i f f u s i n g p a r t i c l e h a s a n o n - z e r o p r o b a b i l i t y o f d e c a y i n g . L e t t h e p r o b a b i l i t y o f d e c a y i n a t i m e i n t e r v a l d t be y d t , w i t h c o n s t a n t r a t e y • By " e s c a p e " f r o m V we s h a l l mean c r o s s i n g t h e b o u n d a r y o f V . T h u s r e m o v a l by d e c a y i s n o t c o n s i d e r e d as e s c a p e . T h e n t h e p r o b a b i l i t y t h a t a p a r t i c l e , i n i t i a l l y a t r i n V , e s c a p e s i n t , t + d t i s q ( t , r ) d t = e " Y t q 0 ( t , r ) d t . ( 5 . 2 3 ) A s i m i l a r r e l a t i o n h o l d s f o r t h e c o n d i t i o n a l r e m a i n d e r f u n c -t i o n . T h e s e r e l a t i o n s a r e c o n s i s t e n t w i t h R ( t + d t , r ) + q ( t , r ) d t = R ( t , r ) - [ l - y d t ] . ( 5 . 2 4 ) C l e a r l y q ( t , r ) d o e s n o t i n t e g r a t e t o u n i t y s i n c e t h e r e i s a f i n i t e p r o b a b i l i t y t h a t t h e p a r t i c l e w i l l d e c a y i n s i d e V , i . e . w i l l n o t e s c a p e a t a l l . I n f a c t , 119 P e ( r ) d t q ( t , r ) = . g 0 ( s = y , r ) ( 5 . 2 5 ) i s t h e e s c a p e p r o b a b i l i t y i n t h e p r e s e n c e o f d e c a y . F o r a p a r t i c l e w h i c h d o e s e s c a p e one c a n d e f i n e t h e ( p r o p e r l y n o r m a l i z e d ) e s c a p e t i m e d e n s i t y as q e ( x , r ) = q ( x , r ) / P £ ( r ) . ( 5 . 2 6 ) A n a l o g o u s t o g o ( s , r ) , one c a n d e f i n e t h e moment g e n e r -a t i n g f u n c t i o n g e c o r r e s p o n d i n g t o q e . T h i s r e s u l t s i n 9 e ( s , r ) = g 0 ( s + Y » r ) / g 0 . ( Y » r ) • ( 5 . 2 7 ) T h e mean e s c a p e t i m e i n t h e p r e s e n c e o f d e c a y i s 120 x ( r ± ) = dx q e ( x , r ) • V ds log g (s , r . ) -s = 0 Of log g 0 ( Y , r ± ) ( 5 . 2 8 ) S i m i l a r l y , t h e v a r i a n c e o f e s c a p e t i m e i s v a r x ( r ± ) = ^ log g 0 ( Y , r ± ) ( 5 . 2 9 ) When t h e r e g i o n u n d e r c o n s i d e r a t i o n i s an n -s p h e r e , g 0 i s g i v e n by ( 5 . 2 1 ) . P e r f o r m i n g t h e i n d i c a t e d d i f f e r e n t i a t i o n s one r e a d i l y o b t a i n s T ( r ± ) = 2 7 e a F (e a ) - e r . F (e r . ) n i n i ( 5 . 3 0 a ) and 121 v a r T ( r . ) -1 6 ( e a ) - G (sr.) n. n x ( 5 . 3 0 b ) w h e r e e = /yTD , and F ( x ) = I ( x ) / I ( x ) n B. EL 2 2 G ( x ) = X F ( x ) n n d 2 F ( x ) 2 n d x 2 I t i s c l e a r t h a t t h e s e e x p r e s s i o n s a r e c o n s i d e r a b l y m o r e c o m p l i c a t e d t h a n t h e i r c o u n t e r p a r t s f o r n o n - d e c a y i n g p a r -t i c l e s , e q u a t i o n s ( 5 . 2 2 ) , w h i c h a r e r e c o v e r e d f r o m t h e a b o v e when y "*• 0 . I n t h e o n e - and t h r e e - d i m e n s i o n a l c a s e s , F n i s a r a t i o o f m o d i f i e d s p h e r i c a l B e s s e l f u n c t i o n s w h i c h c a n be w r i t t e n i n t e r m s o f t h e more f a m i l i a r h y p e r b o l i c f u n c t i o n s : F i ( x ) = t a n h x and F 3 ( x ) = c o t h x - x _ 1 [ F 3 i s t h e L a n g e v i n f u n c t i o n ] . 1 22 F o r a p a r t i c l e s t a r t i n g a t t h e c e n t r e o f t h e n -s p h e r e t h e mean e s c a p e t i m e s i m p l i f i e s t o x ( r . = 0) = ea I n ( e a ) / I 2 f " 1 ( e a ) ( 5 . 3 1 ) L e t us i n t r o d u c e t h e mean p a r t i c l e l i f e t i m e , x ^ = y - 1 » and t h e d i f f u s i o n t i m e x d = a 2 / D . T h e n ea = / T . / T „ . H e n c e f o r s h o r t l i f e t i m e s ( x » << x , ) t h e d I JC d mean e s c a p e t i m e f r o m t h e c e n t r e o f t h e n - s p h e r e i s ( 5 . 3 2 ) I n t h i s l i m i t 7 ( 0 ) i s i n d e p e n d e n t o f d i m e n s i o n and s m a l l e r t h a n t h e l o n g - l i f e t i m e v a l u e ( 2 n ) - 1 x d o f ( 5 . 2 2 a ) by a f a c t o r o f o r d e r / x ^ / x d . T h i s b e h a v i o u r i s e a s i l y i n t e r p r e t e d : i n t h e p r e s e n c e o f s t r o n g d e c a y t h e m a j o r c o n t r i b u t i o n t o t h e mean e s c a p e t i m e comes f r o m p a r t i c l e s w h i c h e s c a p e q u i c k l y , w h i l e t h o s e w h o s e e s c a p e t i m e i n t h e a b s e n c e o f d e c a y w o u l d be l o n g , h a v e now a h i g h p r o b a b i l i t y o f d e c a y i n g i n s t e a d . The v a r i a n c e o f e s c a p e t i m e f o r p a r t i c l e s s t a r t i n g a t t h e c e n t r e o f an n - s p h e r e i s ' ( 0 ) T £ T d 123 e a I. 2 I v + 1 ea v - 1 v + 1 v a r T ( 0 ) = 1 - ( 5 . 3 3 ) 2 Y 2 I v H e r e v = n/2 - 1 and t h e a r g u m e n t o f a l l B e s s e l f u n c t i o n s i s ea = /x^ IT ^ F o r s h o r t l i f e t i m e s w h i c h i s a g a i n i n d e p e n d e n t o f d i m e n s i o n and much s m a l l e r t h a n t h e v a l u e o f ( 5 . 2 2 b ) . t i o n , l e t us c o n s i d e r a b r i e f d i g r e s s i o n . In t h e a b o v e t r e a t m e n t we w e r e c o n c e r n e d w i t h t h e e s c a p e t i m e , e s c a p e b e i n g d e f i n e d as m o t i o n a c r o s s t h e b o u n d a r y o f V . One c a n a l s o d e f i n e a p e r s i s t e n c e t i m e as t h e t i m e a p a r t i c l e s p e n d s i n s i d e V u n t i l i t i s r e m o v e d , e i t h e r by d e c a y o r by e s c a p e . I n . t e r m s o f t h e c o n d i t i o n a l r e m a i n d e r f u n c t i o n , t h e p e r s i s t e n c e t i m e p r o b a b i l i t y i s v a r x ( 0 ) ~ \ % £ T d / T B e f o r e d i s c u s s i n g t h e c a s e o f r a n d o m i n i t i a l p o s i -( 5 . 3 4 ) 1 24 f r o m w h i c h (5.18) i s r e c o v e r e d i f y = 0 . The a v e r a g e o p e r s i s t e n c e t i m e i s e a s i l y shown t o be 7 = P 7 + (1 - P ) T „ (5.35) p e e l w h e r e T" i s t h e mean e s c a p e t i m e and P £ i s t h e e s c a p e p r o b a b i l i t y g i v e n by (5.25). A l l q u a n t i t i e s i n (5.35) e x c e p t d e p e n d on t h e i n i t i a l p o s i t i o n . 5.3.4 Random I n i t i a l P o s i t i o n I f t h e i n i t i a l p o s i t i o n o f a p a r t i c l e i s u n i f o r m l y d i s t r i b u t e d o v e r V t h e f o r e g o i n g r e s u l t s m u s t be a v e r a g e d o v e r r± . B e l o w we d i s c u s s t h e r e s u l t i n g m o d i f i c a t i o n s w h e n : ( i ) y = 0 and ( i i ) y i= 0 . y = 0 . F o r n o n - d e c a y i n g p a r t i c l e s , t h e a v e r a g e d e s c a p e t i m e d e n s i t y b e c o m e s qo(x) = - Ro(x) (5.36) ( c . f . ( 5 . 1 8 ) ) , w h e r e R 0 ( t ) i s t h e u s u a l r e m a i n d e r f u n c t i o n , d e f i n e d i n C h a p t e r 2, 125 R o U ) = V " 1 d r , d r P • r r• » t ; r ± V V S i m i l a r l y , 9 o ( s ) = V d r ± g 0 , r . (5 P e r f o r m i n g t h i s i n t e g r a t i o n on ( 5 . 2 1 ) , we o b t a i n f o r t h e n - s p h e r e o f r a d i u s a : r a n g o ( s ) = n a -n -1 d r r n-1 a r I. J I ( K - r ) / I (ica-) —-1 — -1 •2 2 n I n ( < a ) / K a I n ( « a ) (5 2 2 ~1 w h e r e k = ( s / D ) ^ . As b e f o r e , t h e moments o f t h e e s c a p e 1 26 t i m e may be o b t a i n e d by d i f f e r e n t i a t i n g g 0 ( s ) . F o r t h e mean and v a r i a n c e one f i n d s T ° " n ( n ] + 2 ) T d ( 5 - 3 9 a ) v a r TO = 3 N * 4 T 2 . ( 5 . 3 9 b ) n 2 ( n + 2 ) 2 (n + 4) d ( The s u b s c r i p t z e r o r e f e r s t o y = 0 . ) I t i s i n t e r e s t i n g t o n o t e t h a t e q u a t i o n s ( 5 . 3 9 ) a l s o h o l d when V i s an n -d i m e n s i o n a l e l l i p s o i d w i t h s e m i - a x e s a k ( k = 1 , ••• , n ) , i f we l e t a 2 e q u a l t h e h a r m o n i c mean o f t h e a k 2 , i . e . a 2 = n / £ a ~ 2 . Y =h 0 • E q u a t i o n ( 5 . 3 0 a ) g i v e s t h e i n i t i a l p o s i -t i o n - d e p e n d e n t mean e s c a p e t i m e f o r d e c a y i n g p a r t i c l e s u n d e r g o i n g d i f f u s i o n i n an n - s p h e r e . . When "r i s u n i f o r m l y d i s t r i b u t e d t h e a v e r a g e e s c a p e t i m e b e c o m e s 1 27 x = J - ea F ( e a ) 2y n ne 2 y a n d r rn F ( e r ) ( 5 . 4 0 ) ea 2 Y I ( e a ) / I n ' 2 2-1 2 (ea-) 2 Y ( e a ) - n ea dx X1 I ( x ) / I ( x ) -1 w h e r e e = /y/D . The i n t e g r a l c a n n o t be e v a l u a t e d i n c l o s e d f o r m . H o w e v e r , f o r weak d e c a y , e x p a n s i o n s a r e r e a d i l y o b t a i n e d . H e n c e , when ea << 1 ( i . e . x d « T ^ ) , we f i n d t o f i r s t o r d e r i n T , / T „ : n ( n + 2) 2 x J x l n ( n + 4) ( 5 . 4 1 ) As m e n t i o n e d e a r l i e r , t h e p r e s e n c e o f d e c a y p u t s g r e a t e r e m p h a s i s on p a r t i c l e s w i t h s m a l l e s c a p e t i m e , t h u s r e d u c i n g t h e a v e r a g e e s c a p e t i m e . 128 A n o t h e r q u a n t i t y o f i n t e r e s t i s t h e p r o b a b i l i t y t h a t a p a r t i c l e w i l l n o t e s c a p e f r o m V , b u t r a t h e r w i l l a n n i h i l a t e i n s i d e V . F o r g i v e n i n i t i a l p o s i t i o n t h i s i s P a ( r ) - 1 - P e ( r ) - 1 - . g 0 ( Y > r ) . ( 5 . 4 2 ) F o r r a n d o m i n i t i a l p o s i t i o n a n d V t h e n - s p h e r e , we t h e n h a v e P . == V d r P a ( r ) v = 1 ~. 9 O ( Y ) ( 5 . 4 3 ) 1 - - i T e a I ( e a ) / I ( e a ) 2 2 T h i s p r o b a b i l i t y i s o f i n t e r e s t i n t h e t h e o r y o f p o s i t r o n i u m d i f f u s i o n i n s o l i d s , as we s h a l l s e e i n t h e n e x t s e c t i o n . 1 29 5 . 4 P o s i t r o n i u m D i f f u s i o n i n S o l i d s 5 . 4 . 1 I n t r o d u c t o r y N o t e s The p r e c e d i n g t h e o r y r e g a r d i n g t h e e s c a p e o f p a r t i c l e s f r o m some r e g i o n u n d e r c o n s i d e r a t i o n f i n d s a p p l i c a -t i o n i n t h e t h e o r y o f p o s i t r o n i u m ( P s ) d i f f u s i o n i n s o l i d g r a i n s o f p o w d e r e d s u b s t a n c e s s u c h as S i 0 2 ( B r a n d t and P a u l i n , 1 9 5 8 , 1 9 7 2 ) . P o s i t r o n s i n j e c t e d i n t o s u c h p o w d e r s f o r m p a r a -and o r t h o - P s and e x h i b i t a n n i h i l a t i o n s p e c t r a w i t h t h r e e d i s t i n c t l i f e t i m e c o m p o n e n t s ( x i < x 2 < x 3 ) . As t h e g r a i n s i z e i s v a r i e d , i t i s o b s e r v e d t h a t t h e r e l a t i v e i n t e n s i t y o f t h e c o m p o n e n t w i t h s h o r t e s t l i f e t i m e r e m a i n s a p p r o x i m a t e l y c o n s t a n t w h i l e t h e i n t e n s i t i e s o f t h e o t h e r two c o m p o n e n t s d e p e n d s t r o n g l y on g r a i n s i z e . W i t h d e c r e a s i n g g r a i n s i z e , t h e i n t e n s i t y I 3 o f t h e x 3 - c o m p o n e n t ( l o n g e s t l i f e t i m e ) i n c r e a s e s a t t h e e x p e n s e o f t h e i n t e n s i t y I 2 o f t h e x 2 - c o m -p o n e n t ( i n t e r m e d i a t e l i f e t i m e ) . B r a n d t and P a u l i n a t t r i b u t e t h i s d e p e n d e n c e on g r a i n s i z e t o t h e d i f f u s i o n o f o - P s a t o m s f r o m t h e s o l i d g r a i n s i n t o t h e v o i d b e t w e e n g r a i n s . The x 2 - c o m p o n e n t i s a t t r i b u t e d t o e l e c t r o n p i c k o f f a n n i h i l a t i o n o f o - P s i n s i d e t h e g r a i n w i t h d e c a y c o n s t a n t y s = T J 1 . T h e y a t t r i b u t e t h e x 3 - c o m p o n e n t t o o - P s a t o m s w h i c h h a v e 1 30 h a v e d i f f u s e d i n t o t h e v o i d s , w h e r e t h e y d e c a y by s e l f -a n n i h i l a t i o n a t a r a t e Y = T T 1 < Y v 6 1 S I f t h e l i f e t i m e s T 2 , T 3 and t h e g e o m e t r i c a l p a r -a m e t e r s o f t h e g r a i n a r e k n o w n , one c a n d e t e r m i n e t h e d i f f u s i o n c o n s t a n t f o r o - P s a t o m s f r o m m e a s u r e m e n t s o f t h e i n t e n s i t i e s 1 2 , 1 3 . F o r S i 0 2 p o w d e r s , t y p i c a l l i f e t i m e s f o r t h e t h r e e c o m p o n e n t s a r e t i - 0 . 4 n s e c , T 2 - 2 n s e c , x 3 - 140 n s e c . 5 . 4 . 2 The L i f e t i m e S p e c t r u m L e t us a p p l y t h e t h e o r y o f S e c t i o n 5 . 3 t o c a l c u l a t e t h e p r o b a b i l i t y t h a t an o - P s a t o m , w h i c h i s p r o d u c e d s o m e -w h e r e i n s i d e a s o l i d r e g i o n a t t == 0 , w i l l n o t h a v e d e c a y e d a t a t i m e t > 0 . We a s s u m e u n i f o r m l y d i s t r i b u t e d i n i t i a l p o s i t r o n . I f P a ( t ) d e n o t e s t h e p r o b a b i l i t y t h a t t h e a t o m has d e c a y e d , t h e n t h e r e q u i r e d p r o b a b i l i t y i s f t 1 - P ( t ) = R ( t ) + a - Y (t - t ' ) d t ' q ( t ' ) e v ( 5 . 4 4 ) - v H e r e t h e r e m a i n d e r f u n c t i o n R ( t ) = R 0 ( t ) e ° i s t h e p r o b a b i l i t y t h a t t h e a t o m has n o t d e c a y e d and has n o t e s c a p e d i n t o t h e v o i d . The s e c o n d t e r m on t h e RHS i s t h e 131 p r o b a b i l i t y t h a t t h e a t o m has e s c a p e d i n t o t h e v o i d b u t has n o t d e c a y e d . A b s o r p t i o n b o u n d a r y c o n d i t i o n s a r e a p p r o p r i a t e f o r t h e r e m a i n d e r f u n c t i o n b e c a u s e t h e e x p e r i m e n t a l s i t u a -t i o n ( f l u f f y p o w d e r s ) i s s u c h t h a t a Ps a t o m w h i c h has d i f f u s e d i n t o t h e v o i d b e t w e e n t h e g r a i n s has a n e g l i g i b l e p r o b a b i l i t y o f e n t e r i n g a n o t h e r g r a i n b e f o r e i t d e c a y s by s e l f - a n n i h i l a t i o n . We r e c a l l t h a t q ( t ) d t , t h e p r o b a b i l i t y o f e s c a p e i n d t , i s g i v e n by o q ( t ' ) = q 0 ( t ) e w h e r e q 0 r e f e r s t o n o n - d e c a y i n g p a r t i c l e s . H e n c e 1 - P a ( t ) - R 0 ( t ) ( 5 . 4 5 ) + e -Y t 1 v d t ' q ( f )e - ( Y - Y )t ' 1 s 1 v o 1 32 w h i c h i s known as t h e l i f e t i m e s p e c t r u m o f o - P s a t o m s and c a n be w r i t t e n i n t h e f o r m - y t - y t 1 - P a ( t ) = A ( t ) e s + B e v ( 5 . 4 6 ) d w h e r e t h e t i m e - i n d e p e n d e n t c o e f f i c i e n t B i s t h e r e l a t i v e i n t e n s i t y o f t h e l o n g - l i f e t i m e c o m p o n e n t , w h i c h c a n be d e t e r m i n e d e x p e r i m e n t a l l y . S i n c e Y V < Y » t h i s c o e f f i c -i e n t i s g i v e n by B = Ijbn P a ( t ) Y t . v ( 5 . 4 7 ) - ( Y _ - Y v ) t ' d t ' q Q ( t ' ) e s v B u t t h i s l a s t f o r m i s j u s t 9 O ( Y S - Y V ) > w h e r e g 0 i s t h e moment g e n e r a t i n g f u n c t i o n o f e s c a p e t i m e f o r n o n - d e c a y i n g p a r t i c l e s , d i s c u s s e d i n S e c t i o n 5 . 3 . F o r r e g i o n s i n t h e s h a p e o f an n - s p h e r e g 0 i s g i v e n by ( 5 . 3 8 ) . T h u s when o - P s i s f o r m e d i n r e g i o n s w h i c h 133 h a v e t h e g e o m e t r y o f a t h i n " s l a b " o f w i d t h 2a (n = 1) , a l o n g c y l i n d e r o f r a d i u s a (n = 2) , o r a s p h e r e o f r a d i u s a (n = 3) , we f i nd ( 5 . 4 8 ) w h e r e we h a v e d e f i n e d B 2 = D / y g a 2 = T 2 / T D and 1 - n 2 E Y V / Y S = T 2 / T 3 • F i g u r e 5 . 2 d i s p l a y s B n f o r n = 1 , 2 , 3 . C l e a r l y , i f T 2 , T 3 and a a r e k n o w n , m e a s u r e -m e n t s o f B y i e l d t h e d i f f u s i o n c o n s t a n t D . F o r e x a m p l e , f o r p o w d e r e d S i 0 2 , c o n s i s t i n g o f s p h e r i c a l g r a i n s (n = 3 ) , B r a n d t and P a u l i n ( 1 9 7 2 ) c a l c u l a t e D = ( 1 . 4 5 ± 0 . 1 5 ) x 1 0 ~ 5 c m 2 / s e c . I n t h e i r e a r l i e r p a p e r , t h e y n e g l e c t e d t o i m p o s e t h e a b s o r p t i o n b o u n d a r y c o n d i t i o n i n t h e i r d e r i -v a t i o n . I n t e r m s o f o u r t r e a t m e n t t h i s means t h a t p a r t i c l e p a t h s w h i c h l e a v e t h e s o l i d g r a i n , but return, a r e n o t e x c l u d e d i n t h e c a l c u l a t i o n o f t h e r e m a i n d e r f u n c t i o n . One t h e n o b t a i n s t h e r e m a i n d e r f u n c t i o n s o f S e c t i o n 5 . 2 , e q u a t i o n s ( 5 . 3 ) . T h e s e l e a d t o t h e i n c o r r e c t r e s u l t I n ( r i / 3 ) / I n ( n / B ) 2 2 ' 1 1 3 3 a - 1 0 0 |— • — 0 0,5 1,0 1 5 FIG.5 .2 I n t e n s i t y o f ( d i f f u s i o n - c o n t r o l l e d ) l o n g - l i f e t i m e c o m p o n e n t i n p o s i t r o n a n n i h i l a t i o n s p e c t r a (n = 1 , 2 , 3 ) . 1 34 B n = n I n ( n / e ) K n ( n / 3 ) ( I N C O R R E C T ) , (5 i n s t e a d o f t h e c o r r e c t r e l a t i o n ( 5 . 4 8 ) . The v a l u e s o f D r e s u l t i n g f r o m ( 5 . 4 9 ) a r e t o o l a r g e by a f a c t o r o f a b o u t 4 , e . g . f o r S i 0 2 B r a n d t and P a u l i n ( 1 9 6 8 ) d e d u c e d D z 5 . 8 x 1 0 - 5 c m 2 / s e c f r o m t h e i r e x p e r i m e n t s . I t i s i n s t r u c t i v e t o l o o k a t t h e l i m i t i n g v a l u e s o f ( 5 . 4 8 ) and ( 5 . 4 9 ) f o r l a r g e g r a i n s , i . e . when t h e l i f e -t i m e i n s i d e t h e g r a i n s ( T 2 ) i s much s m a l l e r t h a n t h e d i f f u s i o n t i m e ( x d 5 a 2 / D ) . [ F o r s i m p l i c i t y we t a k e n = 1 . ] T h e n ( 5 . 4 8 ) y i e l d s B n n 3 (3 . « 1 ) w h i l e , f r o m ( 5 . 4 9 ) B -*• \ n 3 (3 << 1 ) n The f a c t o r \ i s t h e p r o b a b i l i t y t h a t a Ps a t o m w h i c h h a s r e a c h e d t h e s u r f a c e o f t h e g r a i n i n w h i c h i t was f o r m e d w i l l e s c a p e t o d e c a y i n t h e v o i d , i . e . t h e r e i s a p r o b -a b i l i t y \ t h a t i t w i l l r e t u r n t o be a n n i h i l a t e d i n s i d e 135 t h e g r a i n . C l e a r l y t h i s s h o u l d n o t be t h e c a s e when t h e r e g i o n b e t w e e n t h e s o l i d g r a i n s i s e m p t y s p a c e , as i s a s s u m e d h e r e . F o r v e r y s m a l l g r a i n s ( a 2 / D << t 2 ) we f i n d f r o m ( 5 . 4 8 ) R . 1 3 2 n t o % 1 " n ( n + 2) _ 1 " 7 7 w h e r e 7 0 i s t h e mean e s c a p e t i m e o f ( 5 . 3 9 a ) . c C h a p t e r 6 RANDOM PATHS THROUGH CONVEX BODIES 6 . 1 I n t r o d u c t i o n The p r e s e n t c h a p t e r i s c o n c e r n e d w i t h t h e p r o b l e m o f r a n d o m p a t h s t h r o u g h c o n v e x d o m a i n s . S e v e r a l new r e s u l t s i n t h i s a r e a o f g e o m e t r i c a l p r o b a b i l i t y a r e p r e s e n t e d . S i n c e some o f t h e s e r e s u l t s h a v e b e e n d r a w n upon e a r l i e r i n t h i s t h e s i s , t h i s c h a p t e r may be r e g a r d e d i n p a r t as a r e s o u r c e c h a p t e r . f o r t h e p r e c e d i n g w o r k . C o n s i d e r a r a n d o m p a t h t h r o u g h a c o n v e x b o d y K. I t s i n t e r s e c t i o n w i t h K w i l l be c a l l e d a r a n d o m s e c a n t o f K. We a r e i n t e r e s t e d i n t h e p r o b a b i l i t y d i s t r i b u t i o n , d e -n o t e d by p{l) , o f t h e l e n g t h s o f s u c h r a n d o m s e c a n t s . As i s f r e q u e n t l y t h e c a s e i n g e o m e t r i c a l p r o b a b i l i t y t h e r e a r e many d i f f e r e n t p r o b a b i l i t y m e a s u r e s w h i c h may be u s e d t o d e f i n e t h e r a n d o m n e s s ( c f . t h e d i s c u s s i o n o f B e r t r a n d ' s " p a r a d o x , " K e n d a l l and M o r a n ( 1 9 6 3 ) , C h a p t e r 1 ) . F o u r t y p e s o f r a n d o m n e s s a r e c o n s i d e r e d by C o l e m a n ( 1 9 6 9 ) . In 1 36 . 137 h i s n o t a t i o n t h e c o r r e s p o n d i n g p r o b a b i l i t y d e n s i t i e s o f s e c a n t l e n g t h a r e d e n o t e d by p g , p T , p y and p ± v . S i n c e K i n g m a n ( 1 9 6 5 , 1 9 6 9 ) h a s shown t h a t p T . ( £ ) « I p ( £ ) « £ ~ n p . ( £ ) I y i v (n = d i m e n s i o n a l i t y o f K) , w i t h t h e c o n s t a n t s o f p r o p o r t i o n -a l i t y d e p e n d i n g o n l y on t h e s h a p e o f K , i t w i l l s u f f i c e f o r o u r p u r p o s e s t o c o n s i d e r o n l y p and p and t o m e n t i o n J- D o c c a s i o n a l l y p y . [ I n C h a p t e r 4 p I and p y w e r e f o u n d u s e f u l i n d e r i v i n g t r a n s i t t i m e d i s t r i b u t i o n s f o r p a r t i c l e s i n f r e e f l i g h t . ] L e t us d e f i n e t h e s e t y p e s o f r a n d o m n e s s . I-randomness. A r a n d o m s e c a n t i s d e f i n e d by a p o i n t i n t h e i n t e r i o r o f t h e c o n v e x b o d y K and by a d i r e c t i o n . The p o i n t and d i r e c t i o n a r e s e l e c t e d f r o m i n d e p e n d e n t u n i f o r m d i s t r i b u t i o n s . y -randomness . A s e c a n t i s d e f i n e d by a d i r e c t i o n u and by i t s i n t e r s e c t i o n P w i t h a p l a n e t h r o u g h some c h o s e n o r i g i n and n o r m a l t o t h e d i r e c t i o n u . The p o i n t P and t h e d i r e c t i o n a r e s e l e c t e d f r o m i n d e p e n d e n t u n i f o r m d i s t r i b u t i o n s . S-randomness. A s e c a n t i s d e f i n e d by a p o i n t P i n t h e s u r f a c e o f K, and a d i r e c t i o n u , e a c h s e l e c t e d f r o m i n d e p e n d e n t u n i f o r m d i s t r i b u t i o n s . 1 38 The p r i n c i p a l c o n c e r n o f t h i s c h a p t e r i s I - r a n d o m -n e s s . S - r a n d o m n e s s i s d i s c u s s e d b r i e f l y i n S e c t i o n 6 . 5 . In S e c t i o n 6 . 2 ( T h e o r e m 6 . 1 ) we d e r i v e , f o r an a r b i t r a r y c o n v e x d o m a i n K, a r e l a t i o n b e t w e e n p and t h e v o l u m e o f t h e i n t e r s e c t i o n K ( 0 ) n K ( p ) . T h i s r e l a t i o n was e s t a b l i s h e d i n C h a p t e r 4 ( e q . ( 4 . 1 2 ) ) v i a t h e c o n n e c t i o n b e t w e e n p a r t i c l e n u m b e r f l u c t u a t i o n s and f l u c t u a t i o n s i n d N / d t . The p r e s e n t d e r i v a t i o n m a k e s no r e f e r e n c e t o p a r t i c l e s . In S e c t i o n 6 . 3 we d e d u c e some r e s u l t s w h i c h f o l l o w f r o m T h e o r e m 6 . 1 , and S e c t i o n 6 . 4 i s d e v o t e d t o e x a m p l e s . 6 . 2 R e l a t i o n B e t w e e n t h e V o l u m e o f I n t e r s e c t i o n and  t h e P r o b a b i l i t y D e n s i t y o f S e c a n t L e n g t h The f o l l o w i n g t h e o r e m w i l l be p r o v e d f o r t h e 2 -d i m e n s i o n a l c a s e . I t s e x t e n s i o n t o h i g h e r d i m e n s i o n a l i t y i s s t r a i g h t f o r w a r d . THEOREM 6 . 1 . C o n s i d e r a 2 - d i m e n s i o n a l c o n v e x d o m a i n K. and d e n o t e by K ' ( p , 0 ) t h e r e g i o n o b t a i n e d by t r a n s l a t i o n o f e a c h p o i n t i n K by a d i s t a n c e p i n t h e d i r e c t i o n 0 . F u r t h e r l e t ft(p,0) be t h e a r e a o f t h e i n t e r s e c t i o n o f K w i t h K ' , n o r m a l i z e d t o u n i t y a t p = 0 . T h e n we h a v e 1 39 P l ( p ) = p d 2 d p ^ P ) (P > 0) . ( 6 . 1 ) H e r e t h e b a r r e f e r s t o an a v e r a g e o v e r t h e ( u n i f o r m l y d i s t r i b u t e d ) d i r e c t i o n 6 . Proof. S u p p o s e t h a t , f o r a g i v e n d i r e c t i o n 0 , we f i x a p e r p e n d i c u l a r l i n e L ( 0 ) ( F i g u r e 6 . 1 a ) . T h e n a s e c a n t o f K. i n t h e d i r e c t i o n 0 may be s p e c i f i e d by i t s p o i n t o f i n t e r s e c t i o n P w i t h L ( 0 ) . D e n o t e t h e l e n g t h o f t h i s s e c a n t by £ ( P , 0 ) . U n d e r I - r a n d o m n e s s t h e p r o b a b i l i t y d e n s i t y o f s e c a n t l e n g t h , g i v e n t h e d i r e c t i o n 0 , i s t h e n P I ( £ | 0 ) = A " 1 dL £ ( P , 0 ) 6 £ - £ ( P , 0 ) ( 6 . 2 ) L ( 0 ) w h e r e A i s t h e a r e a o f K , dL i s an e l e m e n t o f L ( 0 ) and 6 ( o ) d e n o t e s t h e d e l t a f u n c t i o n . Now c o n s i d e r t h e r e g i o n o f i n t e r s e c t i o n o f t h e two c o n v e x d o m a i n s K and K 1 . The n o r m a l i z e d a r e a m e a s u r e o f t h i s i n t e r s e c t i o n i s ( F i g u r e 6 . 1 b ) 1 3 9 a FIG.6.1.B The s h a d e d r e g i o n i n d i c a t e s t h e i n t e r -s e c t i o n o f K w i t h K ' . 140 l R ( p , 0 ) = A " 1 dL £ ( P , 0 ) - P £ ( P , 0 ) - P (6 L ( 0 ) w h e r e t h e u n i t s t e p f u n c t i o n U ( « ) e n s u r e s t h a t i n t e g r a -t i o n i s r e s t r i c t e d t o t h a t p o r t i o n o f L ( 0 ) f o r w h i c h £ ( P , 0 ) > p . D i f f e r e n t i a t i n g ( 6 . 3 ) t w i c e w . r . t . p , u s i n g d x : x U ( x ) = 5 ( x ) and c o m p a r i n g w i t h ( 6 . 2 ) , we o b t a i n P jpr n ( p , o ) = P J C P I 0 ) (6 An a v e r a g e o v e r t h e d i r e c t i o n 0 now e s t a b l i s h e s ( 6 . 1 ) . E q u a t i o n ( 6 . 1 ) h o l d s f o r a r b i t r a r y d i m e n s i o n a l i t y I t c a n be w r i t t e n i n t h e f o l l o w i n g i n t e g r a l f o r m : 141 n ( p ) dl p z { l ) (1 - £ " 1 p ) . ( 6 . 5 ) The u s e f u l n e s s o f t h e a b o v e t h e o r e m l i e s i n t h e f a c t t h a t i t p r o v i d e s a p r e s c r i p t i o n f o r c a l c u l a t i n g s e c a n t l e n g t h d i s t r i b u t i o n s w h i c h may be s i m p l e r t h a n a d i r e c t a p p r o a c h b e c a u s e i t i s f r e q u e n t l y n o t d i f f i c u l t t o w r i t e d o w n , a t l e a s t i n i n t e g r a l f o r m , an e x p r e s s i o n f o r sT(p) . The m a i n d i f f i c u l t y t h e n i s t h e e v a l u a t i o n o f t h e d i r e c t i o n a v e r a g e w h i c h may i n v o l v e a w k w a r d i n t e g r a t i o n s . 6 . 3 F u r t h e r R e s u l t s ( i ) In C h a p t e r 4 ( e q . ( 4 . 1 7 ) ) we s h o w e d t h a t t h e mean s e c a n t l e n g t h u n d e r y - r a n d o m n e s s f o r a c o n v e x b o d y K. i s E y U ) =• V/Q . ( 6 . 6 ) By C a u c h y ' s f o r m u l a , Q may be r e p l a c e d by c n _ i ^ / ^ n » w h e r e A i s t h e s u r f a c e a r e a o f K and C 5 T T m / 2 / r ( m / 2 + 1) m E q u a t i o n ( 6 . 6 ) a l s o f o l l o w s r e a d i l y f r o m t h e i n t e g r a l f o r m o f T h e o r e m 6 . 1 and t h e s m a l l - d i s p l a c e m e n t e x p a n s i o n o f ft, 1 4 2 « ( P ) = 1 - \ P + o ( P 2 ) ( 6 . 7 ) F rom p T ( £ ) <* £ p {I) and ( 6 . 5 ) we f i n d - i -1 dfi dp ( 6 . 8 ) p = 0 H e n c e ( 6 . 6 ) f o l l o w s . Due t o t h e i s o p e r i m e t r i c i n e q u a l i t y , e q . ( 6 . 6 ) i m p l i e s t h a t , o f a l l n - d i m e n s i o n a l c o n v e x b o d i e s o f v o l u m e V , t h e n - s p h e r e has t h e g r e a t e s t mean s e c a n t l e n g t h u n d e r y - r a n d o m n e s s . T h e o r e m 6 . 3 w i l l show t h a t t h i s i s a l s o t r u e f o r I - r a n d o m n e s s . ( i i ) I t i s o b v i o u s f r o m T h e o r e m 6 . 1 t h a t t h e moments o f s e c a n t l e n g t h may be w r i t t e n as i n t e g r a l s i n v o l v i n g ft(p) o r ft(p) . We h a v e t h e f o l l o w i n g t h e o r e m . THEOREM 6 . 2 . F o r I - r a n d o m s e c a n t s o f a c o n v e x d o m a i n K i n n d i m e n s i o n s t h e k t h moment o f s e c a n t l e n g t h (k > 0) i s 143 = k ( k + 1) dp p k _ 1 ft (p) ( 6 . 9 ) k (k + 1) n C. n dp p k n ft(p) T h e p r o o f c o n s i s t s o f t w i c e i n t e g r a t i n g t h e RHS by p a r t s a n d m a k i n g u s e o f ( 6 . 1 ) . Two u s e f u l p a r t i c u l a r c a s e s o f T h e o r e m 6 . 2 a r e and E I ( £ ) = 2 dp ft(p) ( 6 . 1 0 ) E j U 1 1 ) - n ( n + 1 ) dp p n 1 ft(p) o ( 6 . 1 1 ) n + 1 dp ft(p) 'n 144 S i nee dp n ( p ) i s j u s t t h e v o l u m e o f i ( , we f i n d E T ( £ n ) = (n + 1) C " 1 V n (6 T h u s t h e n moment i s s e e n t o be i n d e p e n d e n t o f t h e s h a p e  o f K. I n t e r m s o f y - r a n d o m n e s s ( 6 . 1 2 ) b e c o m e s E > + 1 " • n + 1 C. Q y I J * 'J I n J n ( n + 1) J x i - 1 - 1 I n two d i m e n s i o n s t h i s i s C r o f t o n ' s s e c o n d t h e o r e m . F o r g e n e r a l n t h e r e s u l t was p r o v e d by H a d w i g e r ( 1 9 5 0 ) and a l s o K i n g m a n ( 1 9 6 9 ) . In t h r e e d i m e n s i o n s , f o r e x a m p l e , one o b t a i n s E = 12 . V 2 / T T A . ( i i i ) E q u a t i o n s ( 6 . 1 0 ) and ( 6 . 1 1 ) may be u s e d t o p r o v e t h e f o l l o w i n g t h e o r e m w h i c h we h a v e u s e d i n t h e s t a t e m e n t o f S u r m i s e 3 . 1 r e l a t i n g t o t h e z e r o - f r e q u e n c y l i m i t o f t h e s p e c t r a l d e n s i t y f u n c t i o n S(co) f o r a f r e e - f l i g h t p r o c e s s 145 THEOREM 6 . 3 . L e t t h e r a n d o m s e c a n t s be d i s t r i b u t e d a c c o r d -i n g t o I - r a n d o m n e s s . T h e n , o f a l l n - d i m e n s i o n a l c o n v e x b o d i e s o f v o l u m e V , t h e s p h e r e h a s t h e g r e a t e s t mean s e c a n t l e n g t h E ^ Z ) , i . e . f o r any n - d i m e n s i o n a l c o n v e x body K and t h e n - s p h e r e B , V ( K ) -1- 1/n E j - U j K ) < V ( B ) -1/n E j U i B ) (6 4 7T ^ + 1 2 1 1-1/n fn + 3 p r o v i d e d K o b e y s t h e r e s t r i c t i o n s t a t e d i n t h e p r o o f . Proof. H e r e we p r o v e t h e i n e q u a l i t y . The mean s e c a n t l e n g t h f o r t h e n - s p h e r e i s d e r i v e d i n t h e n e x t s e c t i o n . We c o m p a r e t h e n - s p h e r e o f v o l u m e V w i t h an a r b i t r a r y non-s p h e r i c a l c o n v e x b o d y K o f e q u a l v o l u m e and show t h a t C l e a r l y t h e d i a m e t e r s s a t i s f y d ( B ) < d ( K ) . Now d e f i n e E J . U J B ) > E r ( £ ; K ) A f t U ) E ft(£;K) - ftU;B) I f t h e r e i s e x a c t l y one p o i n t ( l 0 , s a y ) i n ( 0 , d ( K ) ) a t  w h i c h A IT v a n i s h e s ( F i g u r e 6 . 2 ) , t h e n b e c a u s e 145A F IG .6 .2 1 46 ft i s a c o n v e x f u n c t i o n and ft'(O) = - E ( £ ) i m p l i e s ft'(0;K) < ft'(0;B) , a c c o r d i n g t o ( 6 . 6 ) , f r o m ( 6 . 1 1 ) and ( 6 . 1 2 ) we h a v e . 0 0 d£ £ n - 1 A f t ( £ ) = 0 b e c a u s e V ( K ) = V ( B ) . S i n c e Aft < 0 i n ( 0 , £ 0 ] and Aft > 0 i n [ £ 0 ,<*>) we h a v e t h e f o l l o w i n g i n e q u a l i t i e s £ n-1 £ o d£ A f t ( £ ) < d£ £ n 1 A f t ( £ ) a n d £ n-1 d£ A f t ( £ ) < It d£ £ n _ 1 A f t ( £ ) £( T h e r e f o r e £„ n-1 d£ A ft(£) < d£ £ n _ 1 A ft(£) = 0 147 W i t h ( 6 . 1 0 ) t h i s c o m p l e t e s t h e p r o o f . [ T h e o r e m 6 . 3 i s i n f a c t a s p e c i a l c a s e o f a more g e n e r a l t h e o r e m r e g a r d i n g m o m e n t s o f n o n - n e g a t i v e r a n d o m v a r i a b l e s w h i c h i s p r o v e d i n A p p e n d i x ( E ) . ] ( i v ) As a f u r t h e r a p p l i c a t i o n o f T h e o r e m 6 . 2 c o n s i d e r t h e d i s t a n c e r b e t w e e n two p o i n t s c h o s e n a t r a n d o m i n K. I t i s s h o w n i n A p p e n d i x ( B ) t h a t t h e p r o b a b i l i t y d e n s i t y o f r i s f ( r ) « r fi(r) . C o n s e q u e n t l y t h e moments o f r a r e r e l a t e d t o t h o s e o f s e c a n t l e n g t h by d r r 1 1 - 1 Q{r) 0 ' 0 E ( r k ) E d r r n+k- 1 ff(r)/ n ( n + l ) E ^ l ) (n + k ) ( n + k + 1 ) E I ( £ n ) nC E T ( £ n + k ) i i I  (n + k) (n + k + 1) • V ( 6 . o r , i n t e r m s o f u - r a n d o m n e s s , 1 48 , n C Q E U n + k + 1 ) E ( r k ) = y . ( 6 (n + k) (n + k + 1) V 2 The l a t t e r r e l a t i o n h a s b e e n d e r i v e d by K i n g m a n ( 1 9 6 9 ) i n a d i f f e r e n t m a n n e r . F o r t h e n - d i m e n s i o n a l u n i t s p h e r e , t h e moments o f s e c a n t 1 e n g t h , d e r i v e d i n t h e n e x t s e c t i o n , l e a d t o t h e f o l l o w i n g r e s u l t , f o u n d a l s o i n K e n d a l l and M o r a n ( p . 5 5 ) E ( r k ) 2 k n r n + 1 r fn + k + 11 n + k n •+ 1 (6 n + 1 + ~ 6 . 4 E x a m p l e s The f o l l o w i n g e x a m p l e s w i l l i l l u s t r a t e t h e u s e o f t h e i n t e r s e c t i o n v o l u m e ft i n d e r i v i n g p . n-Sphere. F o r t h e n - s p h e r e o f r a d i u s a t h e n o r m a l i z e d i n t e r s e c t i o n v o l u m e i s 149 n ( p ) 2 C n - l n dx % ( n - l ) (0 < p < 2 a ) p / 2 a T h i s i s i n d e p e n d e n t o f d i r e c t i o n and t h e r e f o r e n f \ d 2 f t ( P ) P 1 ( P ) = P — d ^ -n - 1 n - l 2 ~T~ C ~ a ^ p n 1 -\H ( n - 3 ) 4 a : ( 6 . 1 7 ) (0 < p. < 2a) The mean s e c a n t l e n g t h i s E ( £ ) = ^- r 1 / 7 + 1 /r fn + 3} ( 6 . 1 8 ) v. j t- Ti and t h e k moment i s 1 50 E ( £ k ) r 2 1 r f k + 3] 2 r n t k + 1 ^ - ( 2 a ) k ( 6 . 1 9 ) T h i s r e l a t i o n h a s b e e n u s e d i n S e c t i o n 6 . 3 . When n = 2 , we r e c o v e r t h e r e s u l t o f C o l e m a n f o r t h e d i s c P X U ) _ L H 2TT a 3 4 a : (0 < I < 2a ) ( 6 . 2 0 ) w i t h E _ ( £ ) = 16a/3Tr . I n t h r e e d i m e n s i o n s 3 £ 2 / 8 a : (0 < £ < 2a) ( 6 . 2 1 ) and E ( £ ) = a . ( T h i s v a l u e i s i n c o r r e c t l y g i v e n by K i n g m a n ( 1 9 6 5 ) as 1 . 4 3 a . ) The a b o v e r e s u l t s w e r e u s e d i n C h a p t e r 4 t o o b t a i n t r a n s i t t i m e d e n s i t i e s f o r p a r t i c l e s i n f r e e - f l i g h t s y s t e m s . 151 Spheroid. The c a s e o f a s p h e r e (n = 3) i s e a s i l y g e n e r a l i z e d t o t h a t o f a s p h e r o i d g e n e r a t e d by r o t a t i n g an e l l i p s e a b o u t i t s m a j o r o r m i n o r a x i s . We p r e s e n t t h e c a l c u l a t i o n o f p f o r t h i s c a s e b e c a u s e i t p a r t i c u l a r l y i l l u s t r a t e s t h e u s e f u l n e s s o f t h e i n t e r s e c t i o n v o l u m e a p p r o a c h . C o n s i d e r a p r o l a t e s p h e r o i d w i t h s e m i - a x e s a , b , c s u c h t h a t a > b = c . L e t t h e m a j o r a x i s l i e a l o n g t h e x - a x i s o f o u r c o - o r d i n a t e s y s t e m . F o r a g i v e n d i s p l a c e m e n t p t h e i n t e r s e c t i o n v o l u m e may be e x p r e s s e d i n t e r m s o f t h e m a g n i t u d e p and t h e d i r e c t i o n c o s i n e s on , a 2 , a 3 o f p . The n o r m a l i z e d i n t e r s e c t i o n v o l u m e ft(p) i s i n v a r i a n t u n d e r a m a p p i n g o f t h e s p h e r o i d i n t o t h e u n i t s p h e r e v i a t h e t r a n s f o r m a t i o n x ' = |- , e t c . The m a g n i t u d e o f t h e d i s p l a c e m e n t t r a n s f o r m s as f o l l o w s , P ' = P q , w h e r e q 5 a " 2 a i 2 + b " 2 a 2 + c ~ 2 a 3 2 b " 1 1 - (1 - X 2 ) a 2 s i n c e b == c and £ a k 2 == 1 . H e r e X = - < 1 a 1 52 The i n t e r s e c t i o n v o l u m e f o r t h e s p h e r e ( f t g ) i s e a s i l y f o u n d . T h u s we f i n d f o r t h e s p h e r o i d , ( 6 . 2 2 ) and (0 < p l = pq < 2) •d 2R(p,) = 3 d p 2 8 P2 q 3 ( 6 . 2 3 ) (0 < pq < 2) A v e r a g i n g ( 6 . 2 3 ) w . r . t . d i r e c t i o n , t a k i n g a c c o u n t o f t h e r e s t r i c t i o n pq < 2 , y i e l d s t h e d e s i r e d r e s u l t : b 3 £ - 2 P l U ) -g ( l -A 2) (0 < I < 2b) ( 6 . 2 4 ) 9(1 - A 2) 1 - 4 b 2 I 2 0 - 2 1 1 - A 2 g ( l - 4 b 2 £ - 2 ) (2b < I < 2a ) 1 53 w h e r e g ( x 2 ) = d a 1 - x 2 a 2 3/2 'o 1 - x ; 3/2 1 - X : + -g- x - 1 s i n _ 1 x F o r I < 2b t h e s e c a n t l e n g t h d e n s i t y i s s i m i l a r t o t h a t f o r t h e s p h e r e , e x c e p t f o r t h e a d d i t i o n a l c o n s t a n t f a c t o r g ( i - A 2 ) . T h e c a s e o f t h e o b l a t e s p h e r o i d ( a < b = c ) l e a d s t o v e r y s i m i l a r r e s u l t s . Rectangle Li * L 2 . F o r a g i v e n d i s p l a c e m e n t v e c t o r p ( l y i n g i n t h e f i r s t q u a d r a n t ) , n(p) - 1 -SULfi . 1 - C t 2 P ( 6 . 2 5 ) ( a i p < L x a 2 p < L 2 ) I n t h e c a l c u l a t i o n o f t h e d i r e c t i o n a v e r a g e t h e r e s t r i c t i o n s on p a r e b e s t h a n d l e d w i t h s t e p f u n c t i o n s and we w r i t e 1 54 n(p) P ) = 1 Li 1 a 2 P 1 - U ( a l P - L x ) - U ( a 2 p - L 2 ) P < 5 — p L i + L 2 ( 6 . 2 6 ) The d i r e c t i o n a v e r a g e i s fi(p) = k F ( p ; L x , L 2 ) + \ F ( p ; L 2 , L x ) ( 6 . 2 7 ) w h e r e F C P ; L X , L 2 ) - la ( -*5 f . 1 1 - a 2 L x - ap I J L 2 - ^ 1 - a 2 p ( 6 . 2 8 ) 1 - 2U(ap - L x ) p < ^ 2 2' L i 2 + L 2 1. H e n c e t h e d e n s i t y o f s e c a n t l e n g t h i s P T U ) = k P I ( £ ; L x , L 2 ) + \ P l ( £ ; L 2 5 L x ) ( 6 . 2 9 ) 1 55 w h e r e I (0 < £ < L i ) ( 6 . 3 0 ) 2Li L 2 £ - 1 £2 - L? L i < £ < 2 ? T h i s r e s u l t h a s b e e n o b t a i n e d by C o l e m a n . U s i n g o u r a p p r o a c h t h e e x t e n s i o n t o h i g h e r d i m e n s i o n a l i t y i s s t r a i g h t f o r w a r d b u t t h e i n t e g r a t i o n s become r a t h e r t e d i o u s . The c a l c u l a -t i o n s a r e s o m e w h a t s i m p l e r f o r t h e n - d i m e n s i o n a l u n i t c u b e . n-dimensional Unit Cube. The i n t e r s e c t i o n v o l u m e i s ( b y s y m m e t r y , o n l y d i s p l a c e m e n t s w i t h n o n - n e g a t i v e d i r e c t i o n c o s i n e s n e e d be c o n s i d e r e d ) , 1 56 n fi(p) = n (1 - a . p ) • U ( l - a . p ) i = l 1 1 ( 6 . 3 1 ) f 1 f 2 * ' * * f n i - y u . + y u . u . w h e r e f . = 1 - a .p "and U. = U ( a . p - 1) . T h e n 1 1 X X n (p) = 2 n " 1 i f n / 2 r d a i • • • da . a - ' n-1 n n n f . i = i ] ( 6 . 3 2 ) "] _ n U l + n C r P - l ) U i U 2 _ . . . " The i n t e g r a t i o n i s r e s t r i c t e d t o n o n - n e g a t i v e a. and n 1 . [ F o r n = 3 t h e i n t e g r a l i s e v a l u a t e d e x p l i c i t l y i = l i n A p p e n d i x ( A ) . ] The f i r s t t e r m i n t h e s q u a r e b r a c k e t c o n t r i b u t e s f o r a l l p < Vn , t h e s e c o n d o n l y i f 1 < p < /n and t h e t h i r d o n l y i f /2 < p < Sri , e t c . E q u a t i o n ( 6 . 3 2 ) may be d i f f e r e n t i a t e d t w i c e t o o b t a i n P r ( £ ) . F o r n = 3 one e a s i l y r e c o v e r s t h e r e s u l t o f C o l e m a n : 1 57 2 T T £ 2 P I ( £ ) = -8l3 - 31' (0 < I < 1) 6 ^ - 1 + 6lk - 8 ( 2 £ 2 + 1 ) ( £ 2 - 1 ) 2 (1 < I < / 2 ) 6TT - 5 - 31* + 8 ( £ 2 + 1 ) U 2 - i f - 2 4 t a n _ 1 ( £ 2 - 2)"2' (/2 < I < /3) ( 6 . 3 3 ) In C h a p t e r 3 we g a v e t h e s m a l l - d i s p l a c e m e n t i n t e r -s e c t i o n v o l u m e s f o r t h e b o x and f o r t h e c y l i n d e r ( e q u a t i o n s ( 3 . 1 1 ) and ( 3 . 1 3 ) ) . F rom t h e s e one o b t a i n s t h e f o l l o w i n g p r o b a b i l i t y d e n s i t i e s o f s e c a n t l e n g t h when I i s s m a l l . ( a ) Box L i x |_2 x L 3 : PTU) 3TT L. L. _3_ 2TT L i L 2 L 3 I'' ( 6 . 3 4 ) when I < m i n ( L i , L 2 , L 3 ) 1 58 ( b ) C y l i n d e r L x u a 2 : ( £ < L and £ « 2a ) I t may be n o t e d t h a t i t f o l l o w s f r o m T h e o r e m 6 . 1 t h a t p U ) « £ k (k > 1) as £ + 0 . 6 . 5 S - R a n d o m n e s s In S e c t i o n 6 . 1 i t was i n d i c a t e d t h a t a n u m b e r o f d e f i n i t i o n s o f r a n d o m n e s s a r e p o s s i b l e . In some c a s e s t h e r e s u l t i n g s e c a n t l e n g t h d e n s i t y i s s i m p l y r e l a t e d t o P I ( £ ) , as f o r e x a m p l e i n t h e c a s e o f y - r a n d o m n e s s . When t h i s i s n o t s o , t h e a p p r o a c h v i a ft(p) i s no l o n g e r u s e f u l . An e x a m p l e i s t h e S - m e a s u r e o f r a n d o m n e s s d e f i n e d i n t e r m s o f a p o i n t P and a d i r e c t i o n u i n S e c t i o n 6 . 1 . C o l e m a n d e r i v e s p c ( . £ ) f o r s e v e r a l g e o m e t r i e s . We s h a l l i l l u s t r a t e t h i s t y p e o f r a n d o m n e s s by g e n e r a l i z i n g t o a r b i t r a r y d i m e n s i o n a l i t y h i s r e s u l t f o r t h e u n i t d i s c . The l e n g t h o f a s e c a n t o f t h e n - s p h e r e c l e a r l y i s i n d e p e n d e n t o f t h e p o i n t P and d e p e n d s on o n l y one o f t h e 1 59 n d i r e c t i o n c o s i n e s , n a m e l y t h a t (cti , s a y ) w h i c h g i v e s t h e a n g l e b e t w e e n t h e s e c a n t and t h e n o r m a l t o t h e s u r f a c e a t P . The l e n g t h i s t h e n I = Zai and t h e ( n - d i m e n s i o n a l ) e l e m e n t o f s o l i d a n g l e , a - 1 dcti • ° • d a may be i n t e -g r a t e d o v e r a 2 , d e n s i t y f o r a i , a n - l n * n - l ' t o o b t a i n t h e p r o b a b i l i t y P (ot j ) d a 2 • • * d a R n - l 1 2 2 1 - a i - a 2 - - a n - l (6 w h e r e R r n - l i I V 2 T 2 i a . : i a . < 1 - a i I 1 i= 2 1 J T h u s p U i ) r 1*2 (n-3) 1 - a x 2 I d3 2••• 3 R' n - l 1-fc2 - 3 n - l (6 1 - a a 2 h(n-3) n - l s i n c e R' = ' { $ . : I 3.2 < 1} i s i n d e p e n d e n t o f a i 1 i= 2 1 1 60 C o n s e q u e n t l y , P S U ) - l - V £ 2 4 \h ( n - 3 ) (0 < £ < 2) (6 C o m p a r i s o n w i t h ( 6 . 1 7 ) s h o w s t h a t , f o r t h e n - s p h e r e , p _ ( £ ) « £ - 2 p ( £ ) , w h i c h i n d i c a t e s t h a t E ( £ ) < E ( £ ) . o JL o J-The r a t i o o f t h e k t h moments i s e a s i l y f o u n d t o be E s ^ > n * k C u r i o u s l y , i n two d i m e n s i o n s , t h i s same r a t i o i s t r u e f o r t h e s q u a r e , a l t h o u g h i n t h a t c a s e t h e r e l a t i o n b e t w e e n p and p ' i s n o t s i m p l e . C h a p t e r 7 SUMMARY F l u c t u a t i o n s o f t h e n u m b e r o f p a r t i c l e s w i t h i n a s m a l l s u b v o l u m e o f a s y s t e m o f c l a s s i c a l n o n - i n t e r a c t i n g p a r t i c l e s h a v e b e e n s t u d i e d , w i t h e m p h a s i s on t h e t e m p o r a l c o r r e l a t i o n s and t h e e f f e c t s o f s u b v o l u m e g e o m e t r y . We h a v e d e v e l o p e d a new way o f w r i t i n g t h e r e m a i n d e r f u n c t i o n R ( t ) and h e n c e t h e a u t o c o v a r i a n c e f o r N ( t ) as a s i n g l e i n t e g r a l o v e r d i s p l a c e m e n t s ( e q . 2 . 1 2 ) ) . The i n t e g r a n d c o n s i s t s o f t w o f a c t o r s : ( i ) t h e d i s p l a c e m e n t p r o b a b i l i t y d e n s i t y d e t e r -m i n e d by t h e t r a n s p o r t p r o c e s s , and ( i i ) t h e i n t e r s e c t i o n v o l u m e g i v e n by t h e g e o m e t r y o f t h e s u b v o l u m e . T h i s f o r m u -l a t i o n m a k e s i t s i m p l e f o r a g i v e n s h a p e o f s u b v o l u m e t o c o n s i d e r v a r i o u s t r a n s p o r t p r o c e s s e s . F o r i n s t a n c e f r o m o u r new r e s u l t f o r t h e r e m a i n d e r f u n c t i o n f o r M a x w e l l i a n f r e e f l i g h t t h r o u g h n - s p h e r e s ( S e c . 3 . 2 . 2 ) we h a v e o b t a i n e d R ( t ) f o r B r o w n i a n m o t i o n a t a n y v a l u e o f t h e f r i c t i o n c o e f f i c i e n t by a s i m p l e c h a n g e o f t i m e v a r i a t i o n ( S e c . 5 . 2 . 1 ) . The i n t e r s e c t i o n v o l u m e p o i n t o f v i e w was a l s o f o u n d u s e f u l i n d e r i v i n g r i g o r o u s l y t h e s m a l l - t i m e r e m a i n d e r 161 162 f u n c t i o n f o r any d i s p l a c e m e n t p r o b a b i l i t y d e n s i t y P ( p , t ) , ( e q . ( 2 . 2 1 ) ) . Once a g a i n i t was t h e u s e o f t h e i n t e r s e c t i o n v o l u m e w h i c h l e d t o a u n i f y i n g r e s u l t , t r u e f o r a r b i t r a r y d i m e n s i o n a l i t y , f o r t h e s p e c t r a l d e n s i t y i n t h e c a s e o f i s o t r o p i c d i f f u s i o n t h r o u g h n - s p h e r e s ( e q . ( 5 . 1 1 ) ) . F u r t h e r new r e s u l t s a r e t h e l o w - f r e q u e n c y s p e c t r a l d e n s i t i e s f o r t h e c l a s s i c a l i d e a l gas i n t h e r m a l e q u i l i b r i u m when t h e s u b -v o l u m e i s a t h i n s l a b , a l o n g c y l i n d e r o r a s p h e r e ( e q s . ( 3 . 5 7 ) ) . M o r e o v e r i t was o u r f o r m u l a t i o n o f t h e f r e e - f l i g h t number c o r r e l a t i o n s i n t e r m s o f ft and o f t h e c o r r e l a t i o n s i n d N / d t i n t e r m s o f t r a n s i t t i m e s ( a n d t h e r e f o r e p a t h l e n g t h s ) w h i c h l e d t o t h e new g e o m e t r i c a l t h e o r e m c o n n e c t i n g s e c a n t s t a t i s t i c s and i n t e r s e c t i o n v o l u m e f o r r a n d o m s e c a n t s o f c o n v e x b o d i e s ( C h a p . 4 ; a l s o T h e o r e m 6 . 1 ) . T h i s t h e o r e m was e m p l o y e d i n C h a p t e r 6 t o w r i t e t h e moments o f s e c a n t l e n g t h i n t e r m s o f t h e i n t e r s e c t i o n v o l u m e ( e q . ( 6 . 9 ) ) and i n p a r t i c u l a r t o d e r i v e t h e n - d i m e n s i o n a l g e n e r a l i z a t i o n o f C r o f t o n ' s s e c o n d t h e o r e m ( e q . (6 .1*2) ) i n a p a r t i c u l a r l y s i m p l e m a n n e r . F i n a l l y we h a v e d i s c u s s e d t h e p r o b l e m o f p a r t i c l e s d i f f u s i n g o u t o f t h e n - s p h e r e u n d e r a b s o r p t i v e b o u n d a r y c o n d i t i o n s a t t h e s u r f a c e . H e r e o u r c o n t r i b u t i o n h a s b e e n 163 t o g e n e r a l i z e t h e p r o b l e m o f t h e f i r s t p a s s a g e t i m e t o t h e s u r f a c e t o i n c l u d e p a r t i c l e d e c a y and r a n d o m i n i t i a l p o s i t i o n ( S e c . 5 . 3 ) . T h e r e l a t e d c h a r a c t e r i s t i c f u n c t i o n t h u s o b t a i n e d was s h o w n t o be t h e k e y q u a n t i t y r e q u i r e d i n t h e i n t e r p r e t a -t i o n o f t h e e x p e r i m e n t s o f B r a n d t and P a u l i n on p o s i t r o n i u m d i f f u s i o n i n s o l i d s . T h e s e e x p e r i m e n t s w e r e a i m e d a t m e a s u r -i n g d i f f u s i o n c o n s t a n t s f o r p o s i t r o n i u m a t o m s g e n e r a t e d i n s o l i d p o w d e r s ( e . g . S i 0 2 ) by p o s i t r o n i n j e c t i o n . B r a n d t and P a u l i n ' s o r i g i n a l w o r k d i d n o t t a k e a c c o u n t o f t h e a b s o r p -t i v e b o u n d a r y c o n d i t i o n s . Our c a l c u l a t i o n s , now a c c e p t e d by B r a n d t and P a u l i n , show t h a t t h e r e s u l t i n g v a l u e s f o r t h e d i f f u s i o n c o n s t a n t a r e t o o l a r g e by a f a c t o r o f a b o u t 4 ( S e c . 5 . 4 ) . F u r t h e r w o r k on p a r t i c l e number f l u c t u a t i o n s s h o u l d c o n s i d e r t h e c a s e o f i n h o m o g e n e o u s m e d i a and o f v a r i o u s p h y s i c a l l y r e a l i s t i c s u r f a c e s ( e . g . p a r t i a l l y r e f l e c t i n g s u r f a c e s ) p a r t i c u l a r l y f o r t h e c a s e o f f r e e f l i g h t . A n o t h e r e x t e n s i o n w o u l d be t o t r e a t i n t e r a c t i n g p a r t i c l e s and t h e e f f e c t o f q u a n t u m s t a t i s t i c s on t h e n'umber f l u c t u a t i o n s i n o r d e r t o d i s c u s s f o r i n s t a n c e f l u c t u a t i o n s o f e l e c t r o n s i n m e t a l s . An i m p o r t a n t a r e a f o r f u r t h e r i n v e s t i g a t i o n i s t h e s t u d y o f t h e d y n a m i c s o f p o s i t r o n i u m a t o m s i n s o l i d s 164 i n o r d e r t o e x p l a i n t h e f a i r l y l a r g e v a r i a t i o n s i n e x p e r i -m e n t a l l y d e t e r m i n e d d i f f u s i o n c o n s t a n t s f o r d i f f e r e n t m a t e r i a l s . M o r e e x p e r i m e n t a l i n f o r m a t i o n i s r e q u i r e d r e g a r d i n g s u r f a c e e f f e c t s . We h a v e a s s u m e d t h e p o i n t o f f o r m a t i o n o f an o - P s a t o m t o be u n i f o r m l y d i s t r i b u t e d i n t h e p o w d e r g r a i n . M o r e r e a l i s t i c d i s t r i b u t i o n s m i g h t be s u g g e s t e d by f u r t h e r e x p e r i -m e n t s . M o r e o v e r , b e c a u s e o f t h e s m a l l g r a i n s i z e and f a i r l y l a r g e s i z e o f t h e o - P s a t o m q u a n t u m e f f e c t s may n o t be n e g l i g i b l e . I t m i g h t a l s o be f r u i t f u l t o s e a r c h f o r an a l t e r n a t e , i n d e p e n d e n t m e t h o d o f m e a s u r i n g t h e d i f f u s i o n c o n s t a n t . BIBLIOGRAPHY A r z e l i e s , H. 1 9 6 8 . T h e r m o d y n a m i q u e R e l a t i v i s t e e t Q u a n t i q u e , C h a p t e r 3 , G a u t h i e r - V i 1 1 a r s , P a r i s . B r a n d t , W . , P a u l i n , R. 1 9 6 8 . P h y s . R e v . L e t t e r s 2J_, 1 9 3 . . 1 9 7 2 . P h y s . R e v . B ^ , 2 4 3 0 . B u r g e s s , R . E . 1 9 5 3 . P r o c . P h y s . S o c . B66_, 3 3 4 . . 1 9 5 5 . B r i t . J . A p p l . P h y s . (5, 1 8 5 . C h a n d r a s e k h a r , S . 1 9 4 3 . R e v . M o d . P h y s . 1_5, 1 . C o l e m a n , R. 1 9 6 9 . J . A p p l . P r o b . 6_, 4 3 0 . D a v y d o v , B . , G u r e v i c h , B. 1 9 4 3 . J . P h y s . USSR 7_, 1 3 8 . F l u g g e , S . , Z i m e n s , K . E . 1 9 3 9 . Z . P h y s i k . C h e m . B_42 , 1 79 . F u r t h , R. 1 9 1 8 . P h y s i k . Z e i t s c h r . 1_9, 4 2 1 . . 1 9 1 9 . P h y s i k . Z e i t s c h r . 2j0, 2 1 . H a d w i g e r , H. 1 9 5 0 . A c t a . S c i . M a t h . 21 , 2 5 2 . . 19 5 5 . A l t e s und N e u e s i i b e r k o n v e x e K o r p e r , C h a p t e r 3 , B i r k h a u s e r , B a s e l . H i l l , J . E . , v a n V l i e t , K . M . 1 9 5 8 . P h y s i c a 2 4 , 7 0 9 . 1 6 5 166 • K e n d a l l , M . G . , M o r a n , P . A . P . 1 9 6 3 . G e o m e t r i c a l P r o b a b i l i t y , G r i f f i n , L o n d o n . K i n g m a n , J . F . C . 1 9 6 5 . J . A p p l . P r o b . 2_, 1 6 2 . . 1 9 6 9 . J . A p p l . P r o b . 6 , 6 6 0 . K n u d s e n , V . O . 1 9 3 2 . A r c h i t e c t u r a l A c o u s t i c s , s e c t i o n 5 , W i l e y and S o n s , New Y o r k . L a x , M. , M e n g e r t , P . 1 9 6 0 . J . P h y s . C h e m . S o l . 1_4, 2 4 8 . L a x , M. 1 9 6 6 . R e v . M o d . P h y s . 3 8 ^ 5 4 1 . P o p o v , V . S . 1 9 7 0 . S o v . P h y s . J E T P 3J_, 7 5 0 . P r i m a k , W. 1 9 5 6 . J . A p p l . P h y s . 2_7, 5 6 . R a b i n o v i c h , A . I . 1 9 6 8 . S o v . P h y s . J E T P 2 7 , 1 2 8 . v a n V l i e t , K . M . , C . h e n e t t e , E . R . 1 9 6 5 . P h y s i c a 3J_, 9 8 5 . v a n V l i e t , K . M . , F a s s e t t , J . R . 1 9 6 5 . F l u c t u a t i o n P h e n o m e n a  i n S o l i d s , p . 2 6 8 , B u r g e s s , R . E . E d . , A c a d e m i c P r e s s , New Y o r k . W a t s o n , G . N . 1 9 4 8 . T h e o r y o f B e s s e l F u n c t i o n s ( 2 n d . e d . ) , p . 2 3 6 , C a m b r i d g e U n i v e r s i t y P r e s s . A P P E N D I X A SOME INTERSECTION VOLUMES n - S p h e r e C o n s i d e r two n - d i m e n s i o n a l h y p e r s p h e r e s o f r a d i u s a s e p a r a t e d by a d i s t a n c e p < 2a . As s e e n f r o m F i g u r e A . l a , t h e d e s i r e d v o l u m e i s t w i c e t h e s h a d e d r e g i o n b e t w e e n x = p/2 and x = a . The c r o s s - s e c t i o n o f t h e n - s p h e r e a t x i s e q u a l t o t h e c o n t e n t o f t h e ( n - 1 ) - d i m e n s i o n a l h (n-1) s p h e r e o f r a d i u s / a 2 - x 2 , v i z . C n-1 a 2 - x 2 T h e r e f o r e « n ( p ) " C a n n n-1 dx a2 - x 2 h (n-1) P/2 2 C n-1 d t 1 - t : J* (n-1) p/2a 167 1 6 8 w h i c h i s n o r m a l i z e d t o u n i t y a t p = 0 and may be w r i t t e n ( p ) = I 2 1 ) 2 w h e r e y = 1 - p 2 / 4 a 2 a n d I ( a , b ) i s t h e i n c o m p l e t e b e t a f u n c t i o n . O b v i o u s l y t h e r e i s no d e p e n d e n c e on t h e d i r e c t i o n o f d i s p l a c e m e n t i n t h i s c a s e . R e c t a n g l e l_i * L 2 C o n s i d e r two i d e n t i c a l r e c t a n g l e s d i s p l a c e d by t h e v e c t o r p = ( p x , p ) , F i g u r e A . l b . The n o r m a l i z e d i n t e r s e c -t i o n v o l u m e i s L i U L i - | P V I L 2 -I n o r d e r t o a v e r a g e b u t i o n ) we. i n t r o d u c e fi(p) o v e r d i r e c t i o n ( u n i f o r m d i s t r i -t h e d i r e c t i o n c o s i n e s on == p /p , 1 69 a 2 = P /p • By s y m m e t r y i t s u f f i c e s t o c o n s i d e r o n l y t h e f i r s t q u a d r a n t . The r e s t r i c t i o n s on p a r e b e s t h a n d l e d w i t h u n i t s t e p f u n c t i o n s : fiz(p) = 1 2LLP_ Q t 2 p L 2 U ( L i - a i p ) U ( L 2 - a 2 p ) a x p ' L i a z P 1 - U ( a l P - U ) - U ( a 2 p - L 2 ) ( P 2 < L 2 + l\) The d i r e c t i o n a v e r a g e i s « 2 ( p ) TT d a , 1 - a ; n(p) "5 F ( p ; L i , L 2 ) + \ F ( p ; L 2 , L a ) w h e r e 169a F I G . A .1 .a Wllllllllllli •<j L. *** F I G . A .1 .b 1 70 j F ( p ; L i , L 2 ) , 1 -h r \ s da 1 - a 2 2 , ap I " L i J A - / r L 2 • 1 - 2 U(ap - L J H 2 P i - P 2 + \ P l P 2 0 1 p - L; £• - Z s e c - ^ x - 2 / p ^ - 1 + ^ P l 2 + 1 L i < P < /LTTL?] w h e r e p k = p / l _ k . U n i t Cube P r o c e e d i n g as i n t h e c a s e o f t h e r e c t a n g l e we c a n w r i t e t h e n o r m a l i z e d i n t e r s e c t i o n v o l u m e ( f o r d i s p l a c e m e n t v e c t o r s i n t h e f i r s t o c t a n t ) as 171 fis(p) = (1 - o ^ p K l - a 2 p ) ( l - a 3 p ) 1 - 3 U ( a l P - 1) + + 3 U ( a l P - 1) U ( a 2 p - 1), (p < • a i " M p ) TT d a . d a 2 1 a , - a . n3(p) a n d t h u s 4TTft 3 (p) 4TT - 6TT p + 8 p 2 - p 3 (0. < p < ( 6 T T - 1 ) P _ 1 - 8 T T + 6p + 2 p 3 - 8 P " 1 ( l + 2 p 2 ) ( p 2 - l ) h + 24 p<h (1 < p < / ( 6 T T - 5 ) P _ 1 - 8TT + ( 6 T T - 6 ) P - p 3 + 8p-1[l+p.z) ( p 2 - 2 ) ^ - 24 p _ 1 ( l + P 2 ) * 2 + 24 <J>3 (/2 < p < / w h e r e ch = s e c " 1 p , $2 = t a r T ' / p * - 2 , <f>3 = t a n " 1 ( p ^ p 2 - 2 A P P E N D I X B DISTRIBUTION OF DISTANCE BETWEEN TOO RANDOM POINTS IN AN ARBITRARY REGION K e n d a l l and M o r a n ( 1 9 6 3 , p . 53) d e r i v e t h e p r o b -a b i l i t y d e n s i t y o f t h e d i s t a n c e b e t w e e n two p o i n t s t a k e n a t r a n d o m ( i . e . f r o m i n d e p e n d e n t u n i f o r m d i s t r i b u t i o n s ) i n s i d e t h e n - d i m e n s i o n a l h y p e r s p h e r e . H e r e we s h a l l c o n -s i d e r t h e more g e n e r a l c a s e o f two p o i n t s i n s i d e an a r b i t r a r y c l o s e d n - d i m e n s i o n a l r e g i o n and show how t h e d i s t r i b u t i o n o f d i s t a n c e may be w r i t t e n i n t e r m s o f t h e i n t e r s e c t i o n v o l u m e d e f i n e d i n C h a p t e r 2 . C o n s i d e r a c l o s e d r e g i o n R o f v o l u m e V . D e n o t e two r a n d o m l y s e l e c t e d p o i n t s i n R by f i , r 2 and t h e i r v e c t o r s e p a r a t i o n by r = rz - r i . L e t P ( r ) d e n o t e t h e p r o b a b i l i t y d e n s i t y o f r . The c o n d i t i o n a l d e n s i t y o f r , g i v e n n , r 2 i s j u s t t h e d e l t a f u n c t i o n 5 ( r 2 - r i - r ) . H e n c e 172 173 P ( r ) = V - 2 r i - r ) R = ft(r)/V w h e r e ft i s t h e n o r m a l i z e d i n t e r s e c t i o n v o l u m e f o r t h e r e g i o n R. To o b t a i n t h e d i s t a n c e d i s t r i b u t i o n we a v e r a g e o v e r ( u n i f o r m l y d i s t r i b u t e d ) s o l i d a n g l e . T h u s t h e p r o b -a b i l i t y t h a t t h e d i s t a n c e b e t w e e n two r a n d o m l y s e l e c t e d p o i n t s i n s i d e R l i e s i n r , r + d r i s The r e s u l t o f K e n d a l l and M o r a n f o r t h e n - s p h e r e f o l l o w s e a s i l y f r o m t h e i n t e r s e c t i o n v o l u m e g i v e n i n A p p e n d i x ( A ) . P ( r ) d r = n C n V " 1 ft(r) d r w i t h n / 2 A P P E N D I X C MOTIVATION FOR SURMISE 3.1 F o r n o n - d e c a y i n g p a r t i c l e s i n f r e e f l i g h t w i t h an i s o t r o p i c v e l o c i t y d i s t r i b u t i o n t h e z e r o - f r e q u e n c y s p e c t r a l d e n s i t y i s S (w = 0) = 2 d t R ( t ) d t < f i ( v t ) > 2 < v _ 1 > dp fi(p) w h e r e t h e a n g u l a r b r a c k e t s d e n o t e an a v e r a g e o v e r t h e s p e e d v . B u t by T h e o r e m 6 . 2 we h a v e 174 175 dp fi(p) = E I ( £ ) w h e r e E ( £ ) i s t h e mean s e c a n t l e n g t h ( I - r a n d o m n e s s ) f o r t h e r e g i o n u n d e r c o n s i d e r a t i o n . A c c o r d i n g t o T h e o r e m 6 . 3 , o f a l l n - d i m e n s i o n a l c o n v e x r e g i o n s o f g i v e n v o l u m e , w h i c h o b e y t h e r e s t r i c t i o n o f t h a t t h e o r e m , t h e n - s p h e r e h a s t h e g r e a t e s t . v a l u e o f E ( £ ) , and h e n c e a l s o o f S (w = 0) . A P P E N D I X D PROOF OF EQ. (3,49) E q . ( 3 . 4 7 c ) g i v e s t h e s i n g l e s p e e d f r e e - f l i g h t s p e c t r a l d e n s i t y when t h e s u b v o l u m e i s a s p h e r e . In o r d e r t o show t h a t t h i s i s . a m o n o t o n e n o n - i n c r e a s i n g f u n c t i o n o f f r e q u e n c y w i t h p l a t e a u s a t COT/2 = t a n - 1 i o T / 2 we w r i t e S 3 ( w ) i n t h e f o r m S 3 ( c o ) = 3 T F (COT) w h e r e F(e ) - 29 s i n e + 2 ( 1 - c o s 0 ) W r i t i n g F i n t e r m s o f t h e h a l f - a n g l e <j> E 6 / 2 , we o b t a i n 1 4 ^ 20 sin<j)Cos<J) + s in 2 c j ) 17.6 177 a n d d_F d<|> . - 5 s i n<j) i COS" w h i c h s h o w s t h a t S 3 i s m o n o t o n e n o n - i n c r e a s i n g w i t h v a n i s h -i n g d e r i v a t i v e a t f r e q u e n c i e s w h i c h s a t i s f y A P P E N D I X E A THEOREM ON NON-NEGATIVE RANDOM VARIABLES THEOREM. L e t X i , X 2 be n o n - n e g a t i v e r a n d o m v a r i a b l e s w i t h c o n t i n u o u s d i s t r i b u t i o n f u n c t i o n s F X , F 2 , r e s p e c t i v e l y . T h e n a a+1 ,a+l > ( a + l ) x Q E | X ? - X (a > 0 ) p r o v i d e d t h a t : ( i ) x 0 i s t h e o n l y p o i n t F 2 ( X 0 ) < 1 (0. < X „ < eo) ; ( i i ) F i ( x ) - F 2 ( x ) > 0 < 0 s u c h t h a t 0 < F ^ X Q ) = (0 < x < x Q ) ( x 0 < x. < » ) 178 179 ( i i i ) .a+1 F i ( x ) - F 2 ( x ) ( i v ) E-| X a+1 'k < 00 C o n d i t i o n s ( i ) and ( i i i ) e n s u r e t h a t t h e c u r v e s F i ( x ) , F 2 ( x ) c r o s s e x a c t l y o n c e , a t x 0 . Proof. H x H x k dF = x k F ( x ) o x k _ 1 F ( x ) dx —' o C o n s i d e r t h e s e c o n d i n t e g r a l on t h e RHS . C l e a r l y 0 < ' 0 x a ( F x - F 2 ) dx < x, x a 1 (Fx - F 2 ) dx 0 and 1 80 0 < x, x ^ 1 ( F 2 - F J dx _ ,a ( F 2 - Fx) dx x, x, and i t f o l l o w s t h a t x a ( F i - F2) dx < x ( o x ' a _ 1 (Fx - F 2 ) dx T h i s i n e q u a l i t y e s t a b l i s h e s t h e t h e o r e m . The f o l l o w i n g i n e q u a l i t i e s may a l s o be e s t a b l i s h e d u s i n g t h e t h e o r e m : E- X x - X 2 - > n x 0 ( yx - y 2 ) w h e r e y k = E ( X k ) Mx(t) - M 2 ( t ) > ( yx - y 2 ) t e t x ° w h e r e M, ( t ) = E f t x , ) e fch i s t h e moment g e n e r a t i n g f u n c t i o n 

Cite

Citation Scheme:

        

Citations by CSL (citeproc-js)

Usage Statistics

Share

Embed

Customize your widget with the following options, then copy and paste the code below into the HTML of your page to embed this item in your website.
                        
                            <div id="ubcOpenCollectionsWidgetDisplay">
                            <script id="ubcOpenCollectionsWidget"
                            src="{[{embed.src}]}"
                            data-item="{[{embed.item}]}"
                            data-collection="{[{embed.collection}]}"
                            data-metadata="{[{embed.showMetadata}]}"
                            data-width="{[{embed.width}]}"
                            async >
                            </script>
                            </div>
                        
                    
IIIF logo Our image viewer uses the IIIF 2.0 standard. To load this item in other compatible viewers, use this url:
http://iiif.library.ubc.ca/presentation/dsp.831.1-0084899/manifest

Comment

Related Items