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Investigation of optical mixing Albach, Gary George 1975

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I N V E S T I G A T I O N O F O P T I C A L M I X I N G by G A R Y G E O R G E A L B A C H B . S c , U n i v e r s i t y o f W a t e r l o o , 1 9 7 0 S c . , T h e U n i v e r s i t y o f B r i t i s h C o l u m b i a , 1 9 7 2 A T H E S I S S U B M I T T E D I N P A R T I A L F U L F I L M E N T O F T H E R E Q U I R E M E N T S F O R T H E D E G R E E O F D O C T O R O F P H I L O S O P H Y i n t h e D e p a r t m e n t o f P H Y S I C S W e a c c e p t t h i s t h e s i s a s c o n f o r m i n g t o t h e r e q u i r e d s t a n d a r d T H E U N I V E R S I T Y O F B R I T I S H C O L U M B I A J u n e , 1 9 7 5 In presenting th i s thes is in pa r t i a l fu l f i lment of the requirements for an advanced degree at the Un ivers i ty of B r i t i s h Columbia, I agree that the L ibrary sha l l make it f ree ly ava i l ab le for reference and study. I fur ther agree that permission for extensive copying of th is thesis for scho lar ly purposes may be granted by the Head of my Department or by his representat ives. It is understood that copying or pub l i ca t ion of th is thes is fo r f i nanc ia l gain sha l l not be allowed without my wr i t ten permission. Depa rtment The Univers i ty of B r i t i s h Columbia 2075 Wesbrook Place Vancouver, Canada V6T 1W5 ABSTRACT T h e e f f e c t o f m i x i n g t w o i n t e n s e r u b y l a s e r b e a m s i n a p l a s m a a n d i n a g a s h a s b e e n i n v e s t i g a t e d b y m e a n s o f l i g h t s c a t t e r i n g . I n b o t h m e d i a , l a r g e d e n s i t y m o d u l a t i o n s a r e s h o w n t o e x i s t i n t h e f i e l d o f t h e t w o m i x e d b e a m s . W i t h p l a s m a , l i g h t s c a t t e r e d c o h e r e n t l y f r o m a t h i r d b e a m h a s b e e n o b s e r v e d w i t h i n t e n s i t i e s o f o v e r 1 0 0 t i m e s t h a t s c a t t e r e d b y i n c o h e r e n t t h e r m a l f l u c t u a t i o n s . S i m i l a r e n h a n c e d s c a t t e r i n g i s o b s e r v e d i n g a s e s o v e r t h e n o r m a l R a y l e i g h v a l u e . A s i n d i c a t e d b y t h e w a v e v e c t o r d i s t r i b u t i o n , t h e m i x e d e l e c t r o m a g n e t i c w a v e s p r o d u c e a s t a t i o n a r y d e n s i t y w a v e i n t h e m e d i u m . F o r g a s e s t h e d e p e n d e n c e o f d e n s i t y a m p l i t u d e o n p o w e r i n t h e m i x e d b e a m s a n d o n t h e g a s p r e s s u r e h a s b e e n i n v e s t i g a t e d a n d t h e r e s u l t s c o m p a r e d t o a s i m p l e t h e o r e t i c a l m o d e l . T h e r e s u l t s i n d i c a t e t h a t t h e m a g n i t u d e o f t h e d e n s i t y m o d u l a t i o n s s a t u r a t e s w i t h b o t h i n c r e a s i n g g a s p r e s s u r e a n d i n c r e a s i n g l a s e r p o w e r . A t h r e s h o l d f o r o b s e r v a t i o n o f t h e d e n s i t y m o d u l a t i o n s w i t h i n c r e a s i n g l a s e r p o w e r i s a l s o n o t e d i n c a r b o n d i o x i d e . TABLE OF CONTENTS P a g e A B S T R A C T . . . . . . . . . . . . i i L I S T O F F I G U R E S . . . . . . . . . . . . v i T A B L E O F S E L E C T E D N O T A T I O N v i i i A C K N O W L E D G M E N T S x i C h a p t e r 1 I N T R O D U C T I O N 1 2 P R I N C I P L E S O F O P T I C A L M I X I N G . . . . . . . . . . . 6 2 . 1 I n t r o d u c t i o n 6 2 . 2 S i n g l e E l e c t r o n i n a W a v e M i x i n g F i e l d . . . . . . 7 2 . 3 V a l i d i t y C o n s i d e r a t i o n . . 1 0 2 . 3 . 1 L i n e a r i z a t i o n P r o c e d u r e s . . . . . . . . . . . 1 0 2 . 3 . 2 B r e a k d o w n o f L i n e a r i z a t i o n . . . . . . . . . 1 2 2 . 3 . 3 E f f e c t s o f C o l l i s i o n s . . . . . 1 4 2 . 4 V l a s o v P l a s m a i n a W a v e M i x i n g F i e l d 1 5 2 . 5 I d e a l G a s i n a W a v e M i x i n g F i e l d 1 9 i i i C h a p t e r P a g e 3 T H E P L A S M A E X P E R I M E N T S 2 4 3 . 1 I n t r o d u c t i o n . . . . 2 4 3 . 2 F e a s i b i l i t y o f M e a s u r i n g I n d u c e d F l u c t u a t i o n s 2 5 3 . 2 . 1 M e t h o d o f D e t e c t i o n . . . . 2 5 3 . 2 . 2 S t r a y L i g h t 2 7 3 . 2 . 3 S c a t t e r i n g F r o m T h e r m a l F l u c t u a t i o n s 2 8 3 . 2 . 4 E n h a n c e d S c a t t e r i n g . . . . 3 0 3 . 3 E x p e r i m e n t a l A p p a r a t u s 3 6 3 . 3 . 1 T h e P l a s m a : 3 6 3 . 3 . 2 T h e O p t i c a l S y s t e m 3 7 3 . 3 . 3 S e c o n d H a r m o n i c G e n e r a t i o n 4 0 3 . 3 . 4 T h e R u b y L a s e r 4 1 3 . 3 . 5 T i m i n g S e q u e n c e 4 5 3 . 4 R e s u l t s 4 8 3 . 5 D i s c u s s i o n 5 1 3 . 6 O t h e r E x p e r i m e n t s 5 3 4 T H E G A S E X P E R I M E N T S 5 5 4 . 1 I n t r o d u c t i o n 5 5 4 . 2 E x p e r i m e n t a l P r o c e d u r e 5 5 4 . 3 R e s u l t s 5 8 4 . 4 D i s c u s s i o n 6 4 5 C O N C L U S I O N . 7 4 i v P a g e R E F E R E N C E S 7 7 A P P E N D I C E S I D e t a i l s o f t h e P l a s m a 8 0 I I P r o o f o f t h e E r g o d i c T h e o r e m . . 9 9 I I I C a l c u l a t i o n o f t h e I n d u c e d D e n s i t y F l u c t u a t i o n s 1 0 4 v LIST OF FIGURES F i g u r e P a g e 1 R e l a t i v e n u m b e r d e n s i t y o f f r e e a n d t r a p p e d p a r t i c l e s v . s . 8 . . . . . . . 2 1 2 M i x i n g f o r c e , p o t e n t i a l , v e l o c i t y s d e n s i t y v . s . p o s i t i o n . , . . . . . . . 2 2 3 W a v e v e c t o r d i a g r a m s f o r m i x i n g a n d s c a t t e r i n g g e o m e t r i e s 2 6 4 S p e c t r u m o f t h e r m a l f l u c t u a t i o n s . . . . . . . . . 3 1 5 S p e c t r u m o f i n d u c e d f l u c t u a t i o n s . . . . . . . . . 3 2 6 O p t i c a l s y s t e m f o r m i x i n g e x p e r i m e n t s . . 3 8 7 O p t i c a l s y s t e m f o r m e a s u r i n g l a s e r l i n e w i d t h . . . . . . . 4 3 8 F a b r y - P e r o t p a t t e r n o f l a s e r o u t p u t . , , 4 4 9 E l e c t r i c a l s y s t e m 4 6 1 0 T i m i n g s e q u e n c e 4 7 1 1 E n h a n c e d s c a t t e r i n g f r o m p l a s m a v . s . m i x i n g b e a m s ' p o w e r . . . . . . . . . . . . . . . . 4 9 1 2 O s c i l l o s c o p e t r a c e o f s c a t t e r e d l i g h t p u l s e a n d l a s e r m o n i t o r s . . . . . . . . . . . . . 5 6 1 3 E n h a n c e m e n t v . s . p r e s s u r e o f h y d r o g e n . . . . . . . 5 9 v i E n h a n c e m e n t v . s . p r e s s u r e o f n i t r o g e n . . . E n h a n c e m e n t v . s . p r e s s u r e o f a r g o n . . . . E n h a n c e m e n t v . s . P r e s s u r e o f c a r b o n d i o x i d e N o r m a l i z e d e n h a n c e m e n t v . s . p r e s s u r e , . . E n h a n c e m e n t v . s . m i x i n g p o w e r f o r 1 0 0 T o r r C 0 2  E n h a n c e m e n t v . s . m i x i n g p o w e r f o r 5 0 a n d 2 5 T o r r H 2 . P l a s m a v e s s e l a s s e m b l y . . . . . . . . . . P l a s m a c u r r e n t p u l s e . . . . . P l a s m a d i s c h a r g e c i r c u i t . . . . . . , . . S t r e a k p h o t o g r a p h o f A r c : H o r i z o n t a l s l i t S t r e a k p h o t o g r a p h o f a r c : V e r t i c a l s l i t P r o f i l e o f H „ l i n e a t t = 2 0 0 y s e c . . . . P O p t i c a l s y s t e m f o r d i a g n o s t i c s c a t t e r i n g M e a s u r e d s p e c t r u m o f s c a t t e r e d l i g h t f i t t e d t o a c o m p u t e d p r o f i l e . . . . . . . . S p e c t r u m o f s c a t t e r e d l i g h t s h o w i n g a n o m a l y a t u ) n  v i i TABLE OF SELECTED NOTATION a p a r t i c l e v e l o c i t y e c h a r g e o n a n e l e c t r o n ( t a k e n p o s i t i v e ) f d i s t r i b u t i o n f u n c t i o n i n p h a s e s p a c e f 0 u n p e r t u r b e d d i s t r i b u t i o n f u n c t i o n f p e r t u r b e d d i s t r i b u t i o n f u n c t i o n i n a t i m e a s y m p t o t i c l i m i t i / = T k w a v e v e c t o r m m a s s o f a n e l e c t r o n n p a r t i c l e d e n s i t y ( e l e c t r o n s o r m o l e c u l e s ) p p o l a r i z a b i 1 i t y o f a m e d i u m ->-r p o s i t i o n v e c t o r t t i m e a s a v a r i a b l e v v e l o c i t y x , y , z p o s i t i o n c o o r d i n a t e s v i i i i c n u d u m j D ( K ) = ( 1 / K 2 ) [ K - E ] EC<»4>) e l l i p t i c i n t e g r a l o f t h e s e c o n d k i n d F ( K , < J > ) e l l i p t i c i n t e g r a l o f t h e f i r s t k i n d F . p l a s m a d i s p e r s i o n f u n c t i o n e , 1 I i n t e n s i t y o f a w a v e K ( K ) c o m p l e t e e l l i p t i c i n t e g r a l o f t h e f i r s t k i n d M m a s s o f a n i o n N n u m b e r o f p a r t i c l e s P p o w e r S ( k , u ) ) T h o m p s o n s c a t t e r i n g f o r m f a c t o r T c h a r a c t e r i s t i c t i m e s c a l e U p o t e n t i a l e n e r g y V v o l u m e W t o t a l e n e r g y o r s u m o f l i n e w i d t h s o f m i x i n g b e a m s a s c a t t e r i n g p a r a m e t e r r a t i o o f p o t e n t i a l e n e r g y o f a w e l l t o t h e t h e r m a l k i n e t i c e n e r g y o f a p a r t i c l e l x 6 D i r a c d e l t a - f u n c t i o n e p e r m i t t i v i t y o f a m e d i u m n i n d e x o f r e f r a c t i o n o r p o s i t i o n t r a n s f o r m 9 m i x i n g a n g l e K v e l o c i t y t r a n s f o r m ^ X w a v e l e n g t h y p e r m e a b i l i t y o f a m e d i u m v f r e q u e n c y £ p o s i t i o n t r a n s f o r m a c o l l i s i o n c r o s s - s e c t i o n to a n g u l a r f r e q u e n c y x ACKNOWLEDGMENTS I w i s h t o e x p r e s s m y s i n c e r e t h a n k s t o D r . J . M e y e r f o r h i s h e l p a n d e n c o u r a g e m e n t t h r o u g h t h e c o u r s e o f t h i s w o r k . I n a d d i t i o n , t h e s u p p o r t a n d s u g g e s t i o n s g i v e n b y D r . R . N o d w e l l d u r i n g D r . M e y e r ' s l e a v e a r e g r a t e f u l l y a p p r e c i a t e d . I w o u l d a l s o l i k e t o a c k n o w l e d g e t h e w o r k o f t h e t e c h n i c a l s t a f f , b o t h p a s t a n d p r e s e n t a n d p a r t i c u l a r l y J a c k B o s m a , D o u g S i e b e r g a n d J i m A a z a m - Z a n g a n e h . W a r m t h a n k s a r e e x t e n d e d t o a l l t h e m e m b e r s o f t h e U B C P l a s m a P h y s i c s g r o u p w h o s e f r i e n d s h i p a n d h e l p w e r e i n v a l u a b l e , i n p a r t i c u l a r M a r k C h u c h l a n d , D a v e C a m m , J o n P r e s t o n , R o b M o r r i s a n d H e c t o r B a l d i s . A n e x c e l l e n t t y p i n g j o b h a s b e e n d o n e b y S h a r o n H a l l e r . F i n a n c i a l a s s i s t a n c e f r o m t h e N a t i o n a l R e s e a r c h C o u n c i l a n d U B C f e l l o w s h i p s h a s b e e n g r a t e f u l l y r e c e i v e d . T h i s w o r k i s s u p p o r t e d b y a g r a n t f r o m t h e A t o m i c E n e r g y C o n t r o l B o a r d o f C a n a d a . x i C h a p t e r 1 INTRODUCTION I n r e c e n t y e a r s t h e q u e s t t o p r o d u c e l a s e r i n i t i a t e d f u s i o n r e a c t i o n s h a s l e d t o i n c r e a s e d a c t i v i t y i n t h e f i e l d o f l a s e r - p l a s m a i n t e r a c t i o n s . B e t t e r u n d e r -s t a n d i n g s o f t h e p r o c e s s e s t h a t o c c u r w h e n i n t e n s e e l e c t r o m a g n e t i c r a d i a t i o n i s i n c i d e n t o n a n o n l i n e a r m e d i u m a r e c o n t i n u a l l y b e i n g d e v e l o p e d a n d e x t e n d e d . B y m i x i n g t w o i n t e n s e l a s e r b e a m s i n a p l a s m a , l a r g e p e r t u r b a t i o n s i n d e n s i t y m a y b e c a u s e d b y t h e l o n g i t u d i n a l f o r c e s a c t i n g o n t h e e l e c t r o n s . F o r a n u m b e r o f y e a r s t h i s e f f e c t h a s b e e n t h e s u b j e c t o f t h e o r e t i c a l i n v e s t i g a t i o n s , p a r t i c u l a r l y a i m e d a t t h e s i t u a t i o n i n w h i c h t h e m i x e d b e a m s e x c i t e a n a t u r a l p l a s m a r e s o n a n c e [ 1 , 2 , 4 - 1 0 ] . O n e e x p e r i m e n t a l v e r i f i c a t i o n h a s b e e n p e r -f o r m e d [ 3 ] : i t s h o w e d t h a t t w o l a s e r b e a m s o f d i f f e r e n t f r e q u e n c i e s , w h e n m i x e d i n a p l a s m a , c a n e n h a n c e t h e d e n s i t y f l u c t u a t i o n i n t e n s i t y i f t h e d i f f e r e n c e f r e q u e n c y c o i n c i d e s w i t h t h e e l e c t r o n p l a s m a r e s o n a n c e f r e q u e n c y . A s i m i l a r e f f e c t m a y b e e x p e c t e d i f t h e d i f f e r e n c e f r e q u e n c y 1 2 c o i n c i d e s w i t h t h e i o n r e s o n a n c e . T h e w o r k t o b e d e s c r i b e d h e r e s h o w s t h a t e v e n f o r z e r o f r e q u e n c y d i f f e r e n c e o f t h e m i x e d l a s e r b e a m s a s t r o n g m o d i f i c a t i o n o f t h e e q u i l i b r i u m d e n s i t y t a k e s p l a c e a n d a s t a t i o n a r y d e n s i t y w a v e i s s e t u p . F r o m c o n s i d e r a t i o n s o f o p t i c a l m i x i n g i n a p l a s m a i t w a s r e c o g n i z e d t h a t l a r g e d e n s i t y f l u c t u a t i o n s c o u l d a l s o b e i n d u c e d i n n e u t r a l g a s e s b y s i m i l a r m e a n s . I n t h i s c a s e t h e e l e c t r o n s u n d e r s t u d y a r e b o u n d t o n u c l e i i . I f t h e m i x i n g f o r c e i s s u i t a b l y t i m e - i n d e p e n d e n t , w h o l e m o l e c u l e s c a n a c h i e v e a p p r e c i a b l e d i s p l a c e m e n t s , d e s p i t e t h e i r l a r g e m a s s e s . P r e v i o u s w o r k o n s t i m u l a t e d R a y l e i g h s c a t t e r i n g i n g a s e s [ 2 2 , 2 3 ] h a s c o n c e n t r a t e d o n a n a l y s i n g t h e b a c k -s c a t t e r e d l i g h t f r o m a s i n g l e l a s e r b e a m . I n t h e e x p e r i -m e n t s t o b e p r e s e n t e d , t w o i n t e n s e l a s e r b e a m s a r e i n c i d e n t o n t h e s a m e v o l u m e o f g a s , o r p l a s m a , a t 1 8 0 ° t o o n e a n o t h e r . A p e r i o d i c d e n s i t y g r a d i e n t i s s h o w n t o b e s e t u p w h i c h c a n i n f l u e n c e t h e l i g h t s c a t t e r i n g p r o p e r t i e s o f t h e m e d i u m . T h e e x p e r i m e n t a l c o n d i t i o n d e s c r i b e d h e r e , i n w h i c h t w o a n t i p a r a l l e l e l e c t r o m a g n e t i c w a v e s i n t e r a c t w i t h f r e e o r b o u n d e l e c t r o n s , i s s e e n t o b e a n e x a c t a n a l o g y o f s e v e r a l i m p o r t a n t s i t u a t i o n s . I n l a s e r f u s i o n e x p e r i -m e n t s , i n c i d e n t s p e c u l a r l y r e f l e c t e d l a s e r w a v e s m i x i n 3 t h e a t m o s p h e r e i n f r o n t o f a t a r g e t [ 2 4 - 2 7 ] , w h e r e c o n d i -t i o n s r a n g e f r o m h i g h l y i o n i z e d p l a s m a t o n e u t r a l g a s . T h e o b s e r v a t i o n s o f C h a p t e r s 3 a n d 4 i n d i c a t e t h a t i n d u c e d d e n s i t y m o d u l a t i o n s m a y s t r o n g l y i n f l u e n c e t h e b a c k -s c a t t e r i n g o f t h e i n c i d e n t l a s e r l i g h t . A s i m i l a r s i t u a -t i o n o c c u r s i n s i d e t h e r e s o n a n t c a v i t i e s o f h i g h p o w e r g a s l a s e r s . A s t h e g a s i s t y p i c a l l y f a r f r o m b e i n g f u l l y i o n i z e d , i n d u c e d d e n s i t y f l u c t u a t i o n s m a y i n f l u e n c e t h e e l e c t r i c a l d i s c h a r g e a n d l i g h t s c a t t e r i n g p r o p e r t i e s o f t h e l a s i n g m e d i u m . T h e m a j o r p o r t i o n o f t h e t e x t h a s b e e n s p l i t i n t o t h r e e c h a p t e r s , d e a l i n g w i t h t h e t h e o r y , t h e p l a s m a e x p e r i m e n t s a n d t h e g a s e x p e r i m e n t s r e s p e c t i v e l y . C h a p t e r 2 , " P r i n c i p l e s o f O p t i c a l M i x i n g , " o u t l i n e s t h e m o d e l s f o r m e d f o r t h e o p t i c a l m i x i n g p r o c e s s . B a s i c a l l y , t w o d i f f e r e n t a p p r o a c h e s a r e u s e d ; o n e t o d e a l w i t h m i x i n g i n a p l a s m a a n d t h e o t h e r f o r a g a s . F o r t h e c a s e o f a p l a s m a t h e s o - c a l l e d " L a n d a u l i n e a r i z a t i o n " o f t h e V l a s o v e q u a t i o n [ 2 8 ] i s s h o w n t o b e a p p l i c a b l e . F o r a g a s t h e " q u a s i 1 i n e a r " t h e o r y o f w a v e - p a r t i c l e i n t e r a c t i o n s [ 1 7 ] i s f o l l o w e d . I n b o t h c a s e s t h e a i m i s t o c a l c u l a t e t h e d e n s i t y f l u c t u a t i o n s i n d u c e d b y t h e m i x e d l a s e r b e a m s . O n l y t h e r e s u l t s o f t h e p l a s m a c a l c u l a t i o n s a r e g i v e n a n d t h e r e a d e r i s r e f e r r e d t o t h e l i t e r a t u r e f o r t h e d e t a i l s . T h e m o d e l u s e d t o d e s c r i b e o p t i c a l m i x i n g i n a 4 g a s h a s b e e n d e v e l o p e d a l m o s t e n t i r e l y b y D r . J . M e y e r a n d i s p r e s e n t e d h e r e w i t h h i s c o n s e n t . T h i s w o r k i n c l u d e s S e c t i o n 2 . 4 a n d A p p e n d i x I I I . C h a p t e r 3 d e s c r i b e s i n d e t a i l t h e e x p e r i m e n t s t h a t w e r e p e r f o r m e d t o i n d u c e a n d d e t e c t a d e n s i t y w a v e i n a p l a s m a . C o n s i d e r a t i o n i s g i v e n t o t h e e x p e r i m e n t a l f e a s i b i l i t y o f s u c h a p r o j e c t a n d t h e n t h e p r o c e d u r e a n d a p p a r a t u s a r e o u t l i n e d . T h e r e s u l t s o f t h e e x p e r i m e n t s a r e p r e s e n t e d i n a s e p a r a t e s e c t i o n , f o l l o w e d b y a d i s c u s s i o n t h a t r e l a t e s t h e m t o t h e m o d e l o f C h a p t e r 2 . T h e e x p e r i m e n t s p e r f o r m e d t o i n d u c e a d e n s i t y w a v e i n a g a s a r e p r e s e n t e d i n C h a p t e r 4 . T h e f o r m a t i s s i m i l a r t o t h a t o f C h a p t e r 3 a n d a g a i n t h e r e s u l t s a r e d i s c u s s e d w i t h r e f e r e n c e t o t h e p r e d i c t i o n s o f t h e m o d e l . T h e f i n a l c h a p t e r p r o v i d e s a s u m m a r y o f t h e w o r k d o n e a n d b r i e f l y r e v i e w s t h e r e s u l t s o f t h e m a j o r e x p e r i m e n t s . A s t h e p l a s m a s o u r c e w a s c o n s t r u c t e d s p e c i f i -c a l l y f o r t h e o p t i c a l m i x i n g e x p e r i m e n t s , d e t a i l s o f i t s d e s i g n a n d o p e r a t i o n a r e g i v e n i n A p p e n d i x I . A l s o i n c l u d e d a r e t h e r e s u l t s o f t h e v a r i o u s d i a g n o s t i c t e s t s t h a t w e r e p e r f o r m e d t o a n a l y s e t h e p l a s m a . F i n a l l y , A p p e n d i c e s I I a n d I I I p r o v i d e d e t a i l s f o r s o m e o f t h e c a l c u l a t i o n s o f C h a p t e r 2 . I n t h e d i a g r a m s o f e x p e r i m e n t a l r e s u l t s , t h e e r r o r b a r s , e x c e p t w h e n n o t e d , r e f e r t o t h e r o o t m e a n 5 s q u a r e o f t h e d e v i a t i o n s f r o m t h e m e a n . T h e o r e t i c a l p r e -d i c t i o n s o r l e a s t s q u a r e s f i t s a r e d r a w n a s s o l i d l i n e s a n d d e s c r i b e d a c c o r d i n g l y . T r e n d s i n e x p e r i m e n t a l r e s u l t s a r e s h o w n a s s o l i d l i n e s i n t e r r u p t e d a t t h e d a t a p o i n t s . C h a p t e r 2 PRINCIPLES OF OPTICAL MIXING 2.1 I n t r o d u c t i o n S i n c e t h e w o r k o f K r o l l , R o n a n d R o s t o k e r [ 1 ] , t h e o p t i c a l m i x i n g o f l a s e r b e a m s h a s b e e n t h e s u b j e c t o f i n t e n s i v e t h e o r e t i c a l i n v e s t i g a t i o n . M u c h o f t h i s e f f o r t h a s c o n c e n t r a t e d o n t h e s p e c i f i c c a s e o f a p l a s m a a s t h e n o n l i n e a r m e d i u m [2-10]. O u t s i d e t h i s , f e w p e o p l e h a v e c o n s i d e r e d t h e p r o b l e m o f m i x i n g i n t e n s e l a s e r b e a m s i n o t h e r m e d i a . I n t h e w o r k p r e s e n t e d h e r e , n e u t r a l g a s e s a r e a l s o c o n s i d e r e d . T h e p u r p o s e o f t h i s c h a p t e r i s t o p r e s e n t t h e t h e o r e t i c a l m o d e l s n e e d e d f o r a n u n d e r s t a n d i n g o f t h e l i g h t m i x i n g p r o c e s s . A t f i r s t a g e n e r a l a p p r o a c h i s t a k e n . T h e e q u a t i o n o f m o t i o n o f a s i n g l e " t e s t " e l e c t r o n i n t h e m i x i n g f i e l d o f t w o l i g h t b e a m s i s f o u n d . T h e p r o b l e m i s t h e n m a d e s p e c i f i c f o r t w o m e d i a . F i r s t , t h e e l e c t r o n i s c o n s i d e r e d p a r t o f a f u l l y i o n i z e d p l a s m a a n d s e c o n d , b o u n d t o a n u c l e u s i n a n i d e a l g a s . I n b o t h 6 7 c a s e s t h e p r o b l e m i s c o n f i n e d t o c a l c u l a t i n g t h e d e n s i t y v a r i a t i o n s c a u s e d b y t h e l i g h t m i x i n g . o f a p l a s m a , s i n c e t h e a n a l y s i s i s w e l l d o c u m e n t e d . F o r a g a s i n a w a v e m i x i n g f i e l d a d i f f e r e n t m o d e l i s u s e d . I t i s p r e s e n t e d i n m o r e d e t a i l a s i t s a p p l i c a t i o n t o t h i s p r o b l e m h a s n o t a s y e t a p p e a r e d i n t h e l i t e r a t u r e . 2 . 2 S i n g l e E l e c t r o n i n a W a v e M i x i n g F i e l d We c o n s i d e r a s i n g l e e l e c t r o n o f c h a r g e - e a n d m a s s m b o u n d t o a n u c l e u s o f c h a r g e Z e a n d m a s s M a t x = 0 b y a r e s t o r i n g f o r c e - m w 0 x . A l l r e l a t i v i s t i c e f f e c t s a r e a s s u m e d t o b e n e g l i g i b l e . I n t h e p r e s e n c e o f t w o m o n o -c h r o m a t i c p l a n e e l e c t r o m a g n e t i c w a v e s i t s e q u a t i o n o f m o t i o n b e c o m e s : T o f i r s t o r d e r w e n e g l e c t t h e t e r m v x B . F a r f r o m r e s o n a n c e s u c h t h a t (w02 - w 2) >> 2yw t h e s o l u t i o n i s g i v e n b y : O n l y t h e b r i e f e s t o u t l i n e i s g i v e n f o r t h e c a s e E . c o s ( (JO . t - k . • r ) 8 T h e f i r s t o r d e r v e l o c i t y h a s t h e f o r m x ( 1 ) - vT X - V o 1 ->-- I a^.E. s i r \ { u . t - k . • r ) i = 1 (1) w h e r e aiw) = i s r e c o g n i z e d a s t h e p o l a r i z a b i 1 i t y , T o s e c o n d o r d e r w e c a l c u l a t e . t h e t e r m + (2 m x x ' = - e J 0 ) x I ? l ( t ) K . w h e r e ( t ) = y-p x E. s i n ( a > . t - £ „ . • r ) i F o r m i n g t h e c r o s s - p r o d u c t s g i v e s t h e s e c o n d o r d e r f o r c e ? m x '(2) e v 0 x I B . ( t ) + a s i n 2 (a) j t i t , 1 w 2 r ) s i n ( t o 2 t r ) + a 2 k " 2 E 2 s i n 2 ( w 2 t - t2 • r) (2) T h i s e x p r e s s i o n i s s e e n t o b e e q u i v a l e n t t o t h a t o f M e y e r a n d S t a n s f i e l d [4] f o r a n u n b o u n d p a r t i c l e (w 0 = 0), 9 I n t h e f o l l o w i n g a n a l y s i s o n l y t e r m s i n v o l v i n g t h e d i f f e r e n c e f r e q u e n c y ( u i - O J 2 ) w i l l b e r e t a i n e d s i n c e h i g h e r f r e q u e n c y t e r m s c a n n o t c a u s e a n a p p r e c i a b l e d i s p l a c e -m e n t o f e i t h e r a f r e e e l e c t r o n o r , f o r a g a s , t h e w h o l e m o l e c u l e . U s i n g t h i s s i m p l i f i c a t i o n a n d t r a n s f o r m i n g t o a r e f e r e n c e f r a m e m o v i n g w i t h t h e p h a s e v e l o c i t y o f t h e w a v e , e q u a t i o n (2) c a n b e w r i t t e n a s w h e r e k = k i - k 2 i s t h e w a v e v e c t o r o f t h e i n d u c e d w a v e . I n a l l t h e s e e x p e r i m e n t s t h e t w o m i x i n g b e a m s a r e p r o d u c e d b y t h e s a m e l a s e r . T h i s m e a n s w x ~ c o 2 , t h e b e a t f r e q u e n c y i s z e r o a n d t h e l a b o r a t o r y a n d w a v e r e f e r e n c e f r a m e s c o i n c i d e . U n d e r t h i s c o n d i t i o n e q u a t i o n ( 3 ) b e c o m e s -»• - * m x = - a E l ' E 2 It s i n ( k " • r ) (4) T h i s i s t h e f i n a l r e s u l t f o r a n e l e c t r o n i n a s t a t i o n a r y w a v e m i x i n g f i e l d . I n t h e c a s e o f a g a s t h i s f o r c e a c t s o n a w h o l e m o l e c u l e . D e s p i t e i t s l a r g e m a s s , t h e r e i s t i m e f o r t h e m o l e c u l e t o m o v e a s u b s t a n t i a l a m o u n t s i n c e t h i s f o r c e i s 1 0 t i m e - i n d e p e n d e n t . A s w e a r e i n t e r e s t e d i n s p a t i a l d e n s i t y v a r i a t i o n s w e w i l l u s e e q u a t i o n ( 4 ) t o c a l c u l a t e t h e d i s -p l a c e m e n t o f f r e e e l e c t r o n s i n a p l a s m a a n d m o l e c u l e s i n a g a s . We c a n n o w c o n s i d e r m o r e s p e c i f i c a l l y t h e t w o e x p e r i m e n t a l m e d i a . ( a ) I n a f u l l y i o n i z e d p l a s m a t h e r e s o n a n c e f r e q u e n c y o f t h e e l e c t r o n w 0 = 0 a n d a = — - w h e r e w = w l j 2 m w ^ ( b ) I n a g a s a t o p t i c a l f r e q u e n c i e s c o 0 ~ O J . e 2 1 a n d a = — — . F o r a g a s i t i s c o n v e n i e n t m / 2 2 » 3 ( w 0 - u>L) t o e x p r e s s a i n t e r m s o f t h e i n d e x o f r e f r a c t i o n r\. U s i n g t h e p o l a r i z a t i o n P = N a E , t h e r e l a t i o n e P — = 1 + — r a n d t h e i n d e x o f r e f r a c t i o n i n Co e o t t h e o p t i c a l r e g i o n n . 2 = e/e 0> t n e p o l a r i z a b i 1 i t y i s g i v e n b y a = ^ f ( n 2 - 1 ) 2 . 3 V a l i d i t y C o n s i d e r a t i o n s 2 . 3 . 1 L i n e a r i z a t i o n P r o c e d u r e s We m u s t n o w c o n s i d e r t h e c o n s e q u e n c e s i m p o s e d b y S e c t i o n 2 . 2 i f t h e t e s t p a r t i c l e i s p a r t o f a c l a s s i c a l e n s e m b l e d e s c r i b e d b y a d i s t r i b u t i o n f u n c t i o n f ( r , v , t ) . 1 1 E s s e n t i a l l y t h e v e l o c i t y d i s t r i b u t i o n c a n b e s p l i t i n t o t w o p a r t s ; a m a i n p a r t a n d a r e s o n a n t p a r t s a t i s f y i n g t h e c o n -d i t i o n a) ~ t • v . m a i n p a r t r e s o n a n t r e g i o n S i n c e p a r t i c l e s i n t h e r e s o n a n t r e g i o n m a i n t a i n a c o n s t a n t p h a s e r e l a t i v e t o t h e w a v e , t r a p p i n g c a n o c c u r i n p e r i o d i c p o t e n t i a l w e l l s a s s o c i a t e d w i t h t h e w a v e . T h e o n e - d i m e n s i o n a l r e s p o n s e o f t h e m e d i u m i s d e s c r i b e d b y t h e B o l t z m a n n e q u a t i o n : 3 t V 3 x + a 3 v 3 f 3 t c o l l . T h e n o n l i n e a r t h i r d t e r m c a n b e l i n e a r i z e d i n t w o w a y s : ( a ) H o l d 3 f / 3 v c o n s t a n t . B y c o n s i d e r i n g s m a l l a m p l i t u d e p e r t u r b a t i o n s f r o m e q u i l i b r i u m o n e e x p a n d s f = f 0 + f i ( f i << f o ) a n d r e p l a c e s 3 f 3 f •^7 b y . W i t h s o m e a p p r o p r i a t e s i m p l i f i c t i o n 1 2 o f c o l l i s i o n t e r m o n e c a n t h e n s o l v e t h e e q u a t i o n f o r t h e p e r t u r b a t i o n f i . T h i s t r e a t m e n t r e m a i n s v a l i d a s l o n g a s 3f o 3 f i 9 v a v (b) H o l d " a " c o n s t a n t b y c o n s i d e r i n g t h e w a v e t o h a v e a c o n s t a n t a m p l i t u d e . 2 . 3 . 2 B r e a k d o w n o f L i n e a r i z a t i o n I t i s c o n v e n i e n t a t t h i s p o i n t t o a n a l y s e t h e s i t u a t i o n i n t e r m s o f c h a r a c t e r i s t i c t i m e s c a l e s . I m p o r t a n t a r e t r 2TT k 2 m w h i c h i s t h e o s c i l l a t i o n p e r i o d o f an e l e c t r o n t r a p p e d in a p o t e n t i a l w e l l . T 0 = r e l a x a t i o n t i m e f o r f l u c t u a t i o n s in t h e medium D a v i d s o n [ 1 1 ] s h o w s t h a t 8 f i / 8 v s c a l e s a s t i n t h e m a i n p a r t o f t h e d i s t r i b u t i o n b u t a s t 2 i n t h e r e s o n a n t r e g i o n , w h e r e i t s g r o w t h e v e n t u a l l y d e s t r o y s t h e l i n e a r i -z a t i o n i n ( a ) f o r t > T t r H e s h o w s t h i s l i n e a r i z a t i o n t o b e v a l i d f o r T 0 << T t a n d u s e f u l w h e n t h e a m p l i t u d e o f t h e w a v e i s c h a n g i n g f a s t e r t h a n 3 f / 3 v . H o w e v e r , i f t h e o p p o s i t e i s t r u e t h e s e c o n d p r o c e d u r e c a n b e f o l l o w e d b y p r e s c r i b i n g t h e e x a c t f o r m o f t h e e l e c t r i c f i e l d a n d s o l v i n g d i r e c t l y f o r f . T h e c o h e r e n c e t i m e o f t h e l a s e r s , T c 0 n > b e c o m e s i m p o r t a n t h e r e a n d m u s t b e l a r g e r t h a n T t r t o a s s u r e t h a t t h e p o t e n t i a l w e l l r e m a i n s c o n s t a n t o v e r m a n y t r a p p e d o s c i l l a t i o n s . I f t h i s i s n o t t r u e , p a r t i c l e s a r e n e v e r t r a p p e d a n d t h e p r o b l e m c a n b e h a n d l e d b y t h e L a n d a u 1 i n e a r i z a t i o n . We s e e t h e r e a r e t w o l i m i t i n g c a s e s f o r l i n e a r a n a l y s i s : T° T> T t r K < T c o h T h e s e c o n d i n e q u a l i t y b e i n g t r u e f o r a l l c a s e s . T h e t w o e x p e r i m e n t a l m e d i a ( p l a s m a a n d g a s ) c a n b e s h o w n t o s a t i s f y t h e s e l i m i t s . F o r r u b y l a s e r l i g h t m i x i n g b e a m s o f 1 5 0 MW e a c h , f o c u s s e d t o a 3 0 0 y d i a m e t e r , E ~ 1 0 9 v o l t s / m . 1 4 2 e a n d aE 2 i n " 2 14. 1 0 ^ v o l t s T t r ~ I O " 1 1 s e c T h e l a s e r h a s a l i n e w i d t h o f . 0 3 A a n d t h e r e f o r e a c o h e r e n c e t i m e T . ~ I O - 9 s e c >> T . . c o h t r F o r a p l a s m a w i t h e l e c t r o n d e n s i t y n g = 2 x 1 0 1 6 c m " 3 t h e e l e c t r o n p l a s m a f r e q u e n c y w ~ 8 x 1 0 1 2 r a d / s e c a n d T 0 ~ l / c o ~ 1 0 " 1 3 s e c . T h e c o n d i t i o n T 0 << T t r i s f u l f i l l e d a n d t h e r e f o r e i n t h e n e x t s e c t i o n t h e r e s p o n s e o f a p l a s m a t o a w a v e m i x i n g f i e l d i s c a l c u l a t e d u s i n g t h e s m a l l p e r t u r b a t i o n a p p r o x i m a t i o n i n . t h e c o l 1 i s i o n ! e s s B o l t z m a n n e q u a t i o n . F o r a g a s ( n i t r o g e n ) a t 3 0 0 ° K t h e v e l o c i t y o f s o u n d a ~ 3 5 3 m / s e c a n d T 0 ~ 1 0 " 9 s e c . T h i s i s t h e c o n d i -t i o n T 0 >> T t a n d t h e a n a l y s i s f o r a t e s t e l e c t r o n b o u n d t o a g a s a t o m ( S e c t i o n 2 . 5 ) i s d o n e i n t h e c o n s t a n t a m p l i t u d e a p p r o x i m a t i o n . 2 . 3 . 3 E f f e c t o f C o l l i s i o n s U n l e s s t h e m e a n t i m e b e t w e e n c o l l i s i o n s , T c o ] - | » i s m u c h l o n g e r t h a n t h e o s c i l l a t i o n p e r i o d T ^ , p a r t i c l e s w i l l b e k n o c k e d o u t o f t h e w e l l s a n d t h e a s y m p t o t i c l i m i t f o r t h e d i s t r i b u t i o n f u n c t i o n w i l l n e v e r b e r e a c h e d . 1 5 We c a n e s t i m a t e a t y p i c a l c o l l i s i o n f r e q u e n c y f o r e l e c t r o n - i o n c o l l i s i o n s [ 1 2 ] v e i 1 ' 3 ' i [ Z e 2 ] [ 9 m e o J 3 / 2 m I 2 o " _ 1 IKT) w p G s e c w h e r e t h e G a u n t f a c t o r G ~ 1 . F o r t h e p l a s m a u s e d i n t h e e x p e r i m e n t s ( s e e A p p e n d i x I ) v . ~ 1 0 1 0 s e c " 1 a n d T ~ 1 0 - 1 0 s e c . T h i s i s s e e n t o e i c o l l -b e o n l y o n e o r d e r l a r g e r t h a n T ^ a n d t h u s c o l l i s i o n s a r e e x p e c t e d t o r e d u c e t h e s i z e o f t h e e f f e c t . F o r t h e g a s e s u s e d i n C h a p t e r 5 ( e . g . n i t r o g e n ) a t 3 0 0 ° K a n d 1 0 0 T o r r p r e s s u r e t h e c o l l i s i o n f r e q u e n c y b e t w e e n m o l e c u l e s v = ap f 1 6 K T l * . 1 0 * s e c - [ 1 3 ] Trm T h u s T ^ ~ I O - 9 s e c a n d c o l 1 i s i o n s c a n b e e x p e c t e d t o h a v e l i t t l e e f f e c t o n t h e m i x i n g p r o c e s s . 2 . 4 V l a s o v P l a s m a i n a W a v e M i x i n g F i e l d E q u a t i o n ( 4 ) o f S e c t i o n 2 . 2 d e s c r i b e s t h e l o n g i -t u d i n a l f o r c e o n a s i n g l e e l e c t r o n i n t h e m i x i n g f i e l d o f t w o i d e a l i z e d l a s e r b e a m s . We c o n s i d e r n o w t h e s i t u a t i o n i n w h i c h t h e b e a m s m i x i n a f u l l y i o n i z e d , c o l l i s i o n l e s s p l a s m a ; t h e p r o b l e m c o n s i s t s o f d e t e r m i n i n g t h e p l a s m a r e s p o n s e t o 1 6 t h e l o n g i t u d i n a l m i x i n g f o r c e s . S p e c i f i c a l l y t h i s m e a n s c a l -c u l a t i n g t h e e l e c t r o n d e n s i t y f l u c t u a t i o n s i n d u c e d b y t h e t w o e l e c t r o m a g n e t i c w a v e s . T h e a p p r o a c h u s e d i s t h e L a n d a u l i n e a r i z a t i o n o f t h e c o l 1 i s i o n l e s s B o l t z m a n n e q u a t i o n a s e x p l a i n e d i n t h e p r e v i o u s s e c t i o n . O n l y a b r i e f o u t l i n e i s p r e s e n t e d a s t h e d e t a i l s c a n b e f o u n d e l s e w h e r e [ 2 , 4 ] . T h e m i x i n g f o r c e i s i n t r o d u c e d i n t o t h e V l a s o v e q u a t i o n t o g e t h e r w i t h a n y s e l f - c o n s i s t e n t f i e l d s a r i s i n g f r o m c h a r g e s e p a r a t i o n . W i t h t h e e q u i l i b r i u m d i s t r i b u t i o n f 0 a s s u m e d t o b e M a x w e l l i a n a n d t h e p e r t u r b a t i o n s h a r m o n i c i n s p a c e a n d t i m e , t h e s o l u t i o n f o r f i i s f o u n d f o l l o w i n g t h e t r e a t m e n t o f B e r n s t e i n [ 1 4 ] . U s i n g P o i s s o n ' s e q u a t i o n t o e v a l u a t e t h e s e l f - c o n s i s t e n t e l e c t r i c f i e l d t h e d e n s i t y f l u c t u a t i o n s n ( k , w ) a r e f o u n d b y i n t e g r a t i n g f i o v e r a l l v e l o c i t i e s . T h i s i s t h e q u a n t i t y o f i n t e r e s t . I n p a r t i c u l a r , o n e o b s e r v e s t h e s p e c t r a l d e n s i t y o f t h e s e f l u c t u a t i o n s . S i n c e t h e c o h e r e n t a n d i n c o h e r e n t s c a t t e r i n g s a r e a d d i t i v e [ 1 5 ] o n e c a n w r i t e t h e s p e c t r u m o f t h e d e n s i t y f l u c t u a t i o n s a s : < | n ( k , w ) | 2 > = < | n i n d ( k , c o ) | 2 > + < | n t h ( k , t o ) | 2 > H a g f o r . s [ 1 6 ] h a s s h o w n t h a t t h e t h e r m a l s p e c t r u m f o r a p l a s m a w i t h a M a x w e l l i a n e l e c t r o n v e l o c i t y d i s t r i b u -t i o n f u n c t i o n r e d u c e s t o : 1 7 < l n t h ( k » w ) l > ™ 11 + aHFe + Z F ^ I ' :  7TW (6) w h e r e F e ^ x ^ = ^ ~ " " x e f x + 2 0^ e 1 " d t - i i T 2 x e f o r z e r o m a g n e t i c f i e l d a n d F . ( x ) i s f o u n d f r o m t h i s b y r e p l a c i n g x b y w h e r e x . £ . . 2£l 1 a C o r r e c t i n g f o r t h e f i n i t e d i a m e t e r o f t h e l a s e r b e a m s ( G a u s s i a n p l a n e w a v e a p p r o x i m a t i o n f o r t h e e l e c t r i c f i e l d a m p l i t u d e ) a s w e l l a s t h e r a n d o m t e m p o r a l m o d e b e h a v i o u r a n d n o n - z e r o l i n e w i d t h o f t h e l a s e r e m i s s i o n ( s u m o v e r c l a s s i c a l o s c i l l a t o r s w i t h p a r t i c u l a r f r e q u e n c y p r o b a b i l i t i e s ) , M e y e r [ 2 ] h a s e x t e n d e d t h e r e s u l t s o f p r e v i o u s w o r k [ 4 ] t o s h o w t h a t t h e s p e c t r u m o f t h e i n d u c e d f l u c t u a t i o n s b e c o m e s : 1 8 F e ( l + Z a 2 F . ) 1 + a 2 ( F „ + Z F . ) e 1 w 1 "2T ( i W ) ' + ( a ) - c o 1 0 + t o 2 0 J z — e x p s i n 2 5 / 2 + k ; (7) w h e r e X n = D e b y e l e n g t h I i , 2 = i n c i d e n t p o w e r o f m i x i n g b e a m s ( 1 ) 1 0 , 2 0 = f r e q u e n c y o f m i x i n g b e a m s W = s u m o f l i n e w i d t h s o f m i x i n g b e a m s b = e f f e c t i v e b e a m r a d i u s T h i s i s t h e f i n a l r e s u l t f o r t h e p l a s m a . I t i s u s e d i n C h a p t e r 3 , S e c t i o n 2 w h e r e c a l c u l a t i o n s a r e d o n e t o p r e d i c t t h e s i z e o f t h e i n d u c e d f l u c t u a t i o n s e x p e c t e d i n t h e e x p e r i m e n t . C o m p a r i s o n i s m a d e t o t h e s i z e o f t h e t h e r m a l f l u c t u a t i o n s , e q u a t i o n ( 6 ) , t o p r e d i c t t h e e n h a n c e m e n t e x p e c t e d i n a l i g h t s c a t t e r i n g e x p e r i m e n t . 1 9 2 . 5 I d e a l G a s i n a W a v e M i x i n g F i e l d A s s h o w n i n S e c t i o n 2 . 2 , a n e l e c t r o n i n t h e f i e l d o f t w o e l e c t r o m a g n e t i c w a v e s e x p e r i e n c e s a f o r c e g i v e n b y e q u a t i o n ( 2 ) . U n d e r t h e a s s u m p t i o n t h a t o n l y l o w f r e q u e n c y t e r m s c a n c a u s e a p p r e c i a b l e d i s p l a c e m e n t s o f m o l e c u l e s , t h i s f o r c e r e d u c e s t o t h a t d e s c r i b e d b y e q u a t i o n ( 4 ) . A s w i t h t h e p l a s m a i n t h e p r e c e d i n g s e c t i o n , t h e p r o b l e m c o n s i s t s o f f i n d i n g t h e r e s p o n s e o f t h e g a s t o t h e f o r c e d e s c r i b e d b y e q u a t i o n ( 4 ) . R a t h e r t h a n l i n e a r i z e t h e B o l t z m a n n e q u a t i o n , a s d o n e f o r t h e p l a s m a , t h e m o t i o n o f p a r t i c l e s i n p h a s e s p a c e i s c o n s i d e r e d a n d a n a s y m p t o t i c d i s t r i b u t i o n f u n c t i o n d e r i v e d . F r o m t h i s t h e p e r t u r b a t i o n i n p a r t i c l e d e n s i t y i s f o u n d . T h e d e t a i l e d c a l c u l a t i o n s a p p e a r i n A p p e n d i x I I I a n d w e p r e s e n t h e r e o n l y t h e r e s u l t s o f t h e m o d e l . B y c o n s i d e r i n g t h e i n i t i a l d i s t r i b u t i o n f u n c t i o n t o b e M a x w e l l i a n , t h e a m p l i t u d e o f t h e i n d u c e d d e n s i t y f l u c u a -t i o n s c a n b e c a l c u l a t e d . A f r a c t i o n o f t h e p a r t i c l e s a r e c o n s i d e r e d t o b e " t r a p p e d " i n p e r i o d i c p o t e n t i a l w e l l s c r e a t e d b y t h e m i x i n g b e a m s , w h i l e t h e r e s t o f t h e p a r t i c l e s a r e " f r e e . " A p a r a m e t e r , 6 , i s d e f i n e d a s t h e r a t i o o f t h e p o t e n t i a l e n e r g y o f a w e l l t o t h e k i n e t i c e n e r g y o f a p a r t i c l e a n d t h u s s e r v e s a s a r e l a t i v e m e a s u r e o f t h e l a s e r - p a r t i c l e i n t e r a c t i o n . 2 0 I n F i g u r e 1 t h e a m p l i t u d e o f t h e i n d u c e d f l u c t u a -t i o n s i s p l o t t e d a s a f u n c t i o n o f 3 . T h e c o n t r i b u t i o n s f r o m t h e t r a p p e d a n d u n t r a p p e d p a r t i c l e s ( e q u a t i o n s I I I - 1 2 a a n d I I I - 1 2 b ) a r e s h o w n t o g e t h e r w i t h t h e t o t a l a m p l i t u d e . T h e m o s t a p p a r e n t f e a t u r e i s t h e f a c t t h a t t h e f r e e a n d t r a p p e d p a r t i c l e s a l w a y s c o n t r i b u t e w i t h o p p o s i t e p h a s e s t o t h e a m p l i t u d e o f t h e i n d u c e d w a v e . T h e p h y s i c a l i n t e r p r e t a t i o n o f t h i s f a c t i s e a s i l y u n d e r s t o o d w i t h t h e h e l p o f F i g u r e 2 . T h e f o r c e o n a s i n g l e p a r t i c l e ( e q u a t i o n 4 ) , t h e a s s o c i a t e d p o t e n t i a l U , r e p r e s e n t a t i v e p a r t i c l e v e l o c i t i e s a n d d e n s i t i e s a r e a l l s h o w n i n F i g u r e 2 p l o t t e d a g a i n s t d i s t a n c e i n t h e m i x i n g v o l u m e . A f r e e p a r t i c l e m o v i n g i n t h e x - d i r e c t i o n w i l l e x p e r i e n c e f o r c e F a n d c o n s e q u e n t l y w i l l h a v e m i n i m u m v e l o c i t y i n t h e r e g i o n s x = i r / k , 3 i r / k , e t c . T h e f r e e p a r t i c l e s t h u s c o n t r i b u t e t o t h e d e n s i t y i n t h o s e r e g i o n s s i n c e t h e y s p e n d m o r e t i m e t h e r e t h a n e l s e w h e r e . T h i s i s i n d i c a t e d i n t h e p h a s e s p a c e d i a g r a m b y t h e r e c t a n g l e d r a w n a t x = n / k b e t w e e n t h e t w o " f r e e " t r a j e c t o r i e s . T h e n u m b e r o f p a r t i c l e s b e t w e e n 2 t r a j e c t o r i e s i n t h i s r e g i o n i s s e e n t o b e l a r g e r t h a n e l s e w h e r e . C o n s e q u e n t l y t h e d e n s i t y o f f r e e p a r t i c l e s v a r i e s a s s h o w n i n t h e l o w e r d i a g r a m . T h e c o n t r i b u t i o n o f t r a p p e d p a r t i c l e s , o n t h e o t h e r h a n d , i s u n d e r s t o o d b y c o n s i d e r i n g t h e p e r i o d i c p o t e n t i a l w e l l s . P a r t i c l e s w i t h l i t t l e e n e r g y s p e n d v i r t u a l l y a l l t h e i r t i m e a t t h e b o t t o m o f a w e l l a n d t h u s c o n t r i b u t e F i g u r e 1 : R e l a t i v e n u m b e r d e n s i t y o f f r e e a n d t r a p p e d p a r t i c l e s v . s . 3 . g u r e 2: M i x i n g f o r c e , p o t e n t i a l , v e l o c i t y , a n d d e n s i v . s . p o s i t i o n . 2 3 t o t h e d e n s i t y a t x = 2 T I / k , 4 r r / k , e t c . I n p h a s e s p a c e t h i s i s a g a i n a n t i c i p a t e d b y c o n s i d e r i n g t h e n u m b e r o f p a r t i c l e s b e t w e e n t w o " t r a p p e d " t r a j e c t o r i e s . T h i s i s a m a x i m u m a t t h e c e n t r e o f a n " e y e " w h i c h r e p r e s e n t s t h e p o s i t i o n o f t h e b o t t o m o f a w e l l . T h e c u r v e s r e p r e s e n t i n g d e n s i t y o f p a r t i c l e s i n F i g u r e 2 s h o u l d b e c o n s i d e r e d o n l y a s i l l u -s t r a t i n g a p h y s i c a l s i t u a t i o n a n d n o t a s a n a b s o l u t e m e a s u r e o f a m p l i t u d e s . T h e a m p l i t u d e s a r e f o u n d f r o m F i g u r e 1 . T h i s b r i n g s u s t o t h e s e c o n d p o i n t c o n c e r n i n g F i g u r e 1 . T h e t r a p p e d p a r t i c l e s a p p e a r t o c o n t r i b u t e m u c h m o r e s t r o n g l y t o t h e d e n s i t y w a v e ' s a m p l i t u d e t h a n d o t h e f r e e p a r t i c l e s . I n f a c t , a t 3 = 1 i t w o u l d s e e m t h a t o v e r 5 0 % o f t h e p a r t i c l e s a r e t r a p p e d . T h i s i s n o t r e a l i s t i c a n d i n d i c a t e s t h a t t h e m o d e l h a s a c c o u n t e d f o r t h e t r a p p e d p a r t i c l e s t o o s t r o n g l y . W i t h t h e p i c t u r e o f a p o t e n t i a l w e l l i n m i n d , w e s e e t h a t i n r e a l i t y f e w p a r t i c l e s w i l l a c t u a l l y b e t r a p p e d a t t h e v e r y b o t t o m o f a w e l l . T h o s e w e a k l y t r a p p e d w i l l l i k e l y b e f a r m o r e i m p o r t a n t . F u r t h e r c o m m e n t s o n F i g u r e 1 a r e r e s e r v e d u n t i l a f t e r t h e e x p e r i m e n t a l o b s e r v a t i o n s h a v e b e e n r e p o r t e d . T h i s i s d o n e i n C h a p t e r 4 a n d i n t h e l a s t s e c t i o n ( 4 . 4 -D i s c u s s i o n ) w e r e t u r n t o t h e m o d e l p r e s e n t e d h e r e f o r a c r i t i c a l e v a l u a t i o n i n l i g h t o f t h e e x p e r i m e n t a l r e s u l t s . C h a p t e r 3 THE PLASMA EXPERIMENTS 3 . 1 I n t r o d u c t i o n T h e p r e v i o u s c h a p t e r d e s c r i b e d t h e g e n e r a l t h e o -r e t i c a l p r i n c i p l e s i n v o l v e d i n t h e g e n e r a t i o n o f a l o n g i t u -d i n a l d e n s i t y w a v e b y t h e o p t i c a l m i x i n g o f t w o i n t e n s e l a s e r b e a m s . T w o s p e c i f i c m e d i a , p l a s m a a n d g a s , w e r e c h o s e n a s e x a m p l e s . T h i s c h a p t e r n o w p r e s e n t s t h e e x p e r i m e n t a l i n v e s t i g a t i o n s t h a t w e r e c a r r i e d o u t f o r a p l a s m a . T h e e x p e r i m e n t s w i t h n e u t r a l g a s e s a r e p r e s e n t e d s e p a r a t e l y i n C h a p t e r 4 . A b r i e f o u t l i n e o f e x p e r i m e n t a l f e a s i b i l i t y i s g i v e n f i r s t , f o l l o w e d b y a d e t a i l e d d e s c r i p t i o n o f t h e a p p a r a t u s a n d o p t i c a l s y s t e m . T h e r e s u l t s a r e t h e n d i s -c u s s e d i n l i g h t o f t h e p r e d i c t i o n s o f t h e p r e c e d i n g c h a p t e r . F i n a l l y m e n t i o n i s m a d e o f s e v e r a l e x p e r i m e n t s d o n e t o d e t e c t p o s s i b l e p l a s m a h e a t i n g e f f e c t s a n d p o s s i b l e h a r m o n i c s i n t h e k - s p e c t r u m o f t h e i n d u c e d w a v e . 2 4 2 5 3 . 2 F e a s i b i l i t y o f M e a s u r i n g I n d u c e d F l u c t u a t i o n s 3 . 2 . 1 M e t h o d o f D e t e c t i o n A s s u m i n g t h a t a d e n s i t y w a v e c a n be i n d u c e d i n a p l a s m a ( o r g a s ) , t h e q u e s t i o n a r i s e s a s t o how i t c a n b e d e t e c t e d . T h e m e t h o d c h o s e n i s t h a t o f l i g h t s c a t t e r i n g f r o m t h e p e r i o d i c d e n s i t y m o d u l a t i o n s . T h i s i s e q u i v a l e n t i n p r i n c i p l e t o t h e s t a n d a r d d i a g n o s t i c t e c h n i q u e o f l i g h t s c a t t e r i n g f r o m r a n d o m t h e r m a l f l u c t u a t i o n s [ 1 8 ] , W h e r e a s t h e t h e r m a l f l u c t u a t i o n s may be d e c o m p o s e d i n t o a s p e c t r u m o f w a v e s p r o p a g a t i n g i n a l l d i r e c t i o n s , t h e i n d u c e d w a v e m u s t p r i m a r i l y s a t i s f y t h e r e l a t i o n It = Iti - l t 2 , w h e r e £ i a n d jt 2 r e f e r t o t h e m i x i n g b e a m s . A l s o , i n a l i g h t s c a t t e r i n g e x p e r i m e n t , t h e f u r t h e r r e s t r i c t i o n t h a t It = It. - It m u s t b e m e t , w h e r e it. a n d it r e f e r t o t h e i n c i -i s i s d e n t a n d s c a t t e r e d l i g h t . F i g u r e 3 s h o w s t h e m i x i n g g e o m e t r y a n d t w o p o s s i b l e s c a t t e r i n g c o n f i g u r a t i o n s t o s a t i s f y t h e a b o v e r e q u i r e m e n t s . I n a l l e x p e r i m e n t s p r e s e n t e d h e r e , t w o a n t i p a r a l l e l r u b y l a s e r b e a m s m i x i n t h e p l a s m a o r a g a s t o i n d u c e a d e n s i t y w a v e o f w a v e v e c t o r k A t h i r d , d i a g n o s t i c b e a m , i s s c a t t e r e d o f f t h i s w a v e . I n c a s e ( a ) t i = l t L , i . e . t h e d i a g n o s t i c beam i s e q u i v a l e n t t o o n e o f t h e m i x i n g b e a m s a n d t h u s t h e s c a t t e r e d w a v e v e c t o r m u s t be e x a c t l y 1 8 0 ° b a c k s c a t t e r e d . U n f o r t u n a t e l y w i t h t w o h i g h p o w e r m i x i n g b e a m s d e t e c t i o n o f a s m a l l b a c k -s c a t t e r e d s i g n a l i s i m p o s s i b l e . 26 k1 = kL k2 = - kL k = 2k L F i g u r e 3: W a v e v e c t o r d i a g r a m s g e o m e t r i e s . f o r m i x i n g a n d s c a t t e r i n g 2 7 C a s e ( b ) s h o w s t h e d i a g n o s t i c b e a m w i t h d o u b l e t h e f r e q u e n c y o f t h e m i x i n g b e a m s a n d i n c i d e n t a t 6 0 ° t o t h e w a v e v e c t o r o f t h e i n d u c e d w a v e . S c a t t e r e d l i g h t w i l l t h e n b e o b s e r v e d a t 6 0 ° f r o m t h e i n c i d e n t d i r e c t i o n . T h i s i s t h e g e o m e t r y t h a t w a s a d o p t e d f o r t h e s e e x p e r i m e n t s . B e f o r e d e s c r i b i n g t h e e x p e r i m e n t i n d e t a i l i t i s u s e f u l t o c o n s i d e r t h e a m o u n t o f s c a t t e r e d l i g h t o n e m i g h t e x p e c t t o o b s e r v e . L i g h t s c a t t e r e d i n t o t h e d e t e c t o r w i l l c o m e f r o m o n e o f t h r e e s o u r c e s : ( a ) s t r a y l i g h t r e -f l e c t e d f r o m v a r i o u s s u r f a c e s , ( b ) i n c o h e r e n t s c a t t e r i n g f r o m t h e r m a l f l u c t u a t i o n s , ( c ) c o h e r e n t s c a t t e r i n g f r o m t h e i n d u c e d w a v e . E a c h o f t h e s e i s n o w c o n s i d e r e d i n t u r n . 3 . 2 . 2 S t r a y L i g h t I n t y p i c a l l i g h t s c a t t e r i n g e x p e r i m e n t s p e r f o r m e d t o d e t e r m i n e p l a s m a p a r a m e t e r s , o n e o b s e r v e s t h e r m a l d e n s i t y f l u c t u a t i o n s t h a t u s u a l l y h a v e h i g h p h a s e v e l o c i t i e s . C o n s e q u e n t l y , t h e o b s e r v e d s c a t t e r e d l i g h t i s s h i f t e d b y a s i g n i f i c a n t a m o u n t f r o m t h e i n c i d e n t w a v e l e n g t h . H o w e v e r , i n t h i s w o r k t h e i n d u c e d w a v e h a s z e r o p h a s e v e l o c i t y a n d a s a r e s u l t i n c i d e n t a n d s c a t t e r e d l i g h t h a v e t h e s a m e w a v e -l e n g t h . U n f o r t u n a t e l y , s t r a y l i g h t i s a l s o u n s h i f t e d i n w a v e l e n g t h . A s t h e s c a t t e r i n g c r o s s - s e c t i o n i s v e r y s m a l l ( a p h o t o n c a n t r a v e l o n t h e a v e r a g e 1 6 k m t h r o u g h a p l a s m a o f n = 1 0 1 6 c m - 3 b e f o r e b e i n g s c a t t e r e d ) g r e a t c a r e h a d 2 8 t o b e t a k e n t o v i r t u a l l y e l i m i n a t e a l l s t r a y l i g h t a t t h e d e t e c t o r . T h e p l a c i n g o f b a f f l e s , s t o p s a n d l i g h t d u m p s i s d e s c r i b e d i n t h e s e c t i o n o n a p p a r a t u s , 3 . 2 . 3 S c a t t e r i n g F r o m R a n d o m T h e r m a l F l u c t u a t i o n s S i n c e f e w , i f a n y , e x p e r i m e n t s h a v e b e e n d o n e t o s c a t t e r f r e q u e n c y d o u b l e d r u b y l a s e r l i g h t f r o m a p l a s m a , i t i s u s e f u l t o c a l c u l a t e t h e s i z e o f s i g n a l e x p e c t e d f r o m t h e t h e r m a l f l u c t u a t i o n s a l o n e . I n g e n e r a l f o r a n i n c i d e n t p l a n e w a v e , n e g l e c t i n g r e l a t i v i s t i c e f f e c t s , t h e p o w e r s c a t t e r e d i n t o s o l i d a n g l e d f t i n f r e q u e n c y i n t e r v a l dco w i l l h a v e t h e f o r m : P . . P s = -j- o-TU) V n e S ( k,uO ^ d f i ( 2 0 ) w h e r e Oj = r 0 2 ( l - s i n 2 9 c o s 2 cf>) i s t h e d i f f e r e n t i a l T h o m p s o n c r o s s - s e c t i o n r 2 i s t h e c l a s s i c a l e l e c t r o n r a d i u s 6 i s t h e a n g l e {t., t ) <j> i s t h e a n g l e ( E . , E s ) P ^ / A i s t h e i n c i d e n t i n t e n s i t y V i s t h e s c a t t e r i n g v o l u m e n g i s t h e e l e c t r o n d e n s i t y a n d S ( k , a ) ) i s t h e s p e c t r a l d e n s i t y o f t h e t h e r m a l f l u c t u a t i o n s 29 I f N . i s t h e n u m b e r o f i n c i d e n t / s c a t t e r e d p h o t o n s I , s o f f r e q u e n c y v i n a l a s e r p u l s e o f d u r a t i o n T t h e n P = ^ y ^ -a n d ( 2 0 ) b e c o m e s N s V n e d u N T = ~A~ °J S ( k ' w ) 27 d" T h e s c a t t e r i n g v o l u m e V i s d e f i n e d b y t h e i n t e r -s e c t i n g f o c a l r e g i o n s o f t h e i n d i c e n t l a s e r b e a m a n d t h e d e t e c t i o n o p t i c s . W i t h t h e p a r t i c u l a r o p t i c s u s e d ( s e e S e c t i o n 3 . 3 . 2 ) V ~ 8 x 1 0 " 1 2 m 3 . S p e c i f i c a l l y , f o r t h e e x p e r i m e n t a l p l a s m a ( s e e A p p e n d i x I ) a n d a f o r w a r d s c a t t e r i n g a n g l e o f 6 0 ° , w e f i n d o S - 3 x I O - 1 3 , a v e r a g e d o v e r a 0 . 3 A ( f u l l w i d t h - h a l f t r a n s -o m i s s i o n ) t r i a n g u l a r i n s t r u m e n t p r o f i l e c e n t r e d a t 3 4 7 1 . 5 A . F o r c o l l e c t i o n o p t i c s o f f 2 0 , d f i - 2 x 1 0 - 3 s r . T h e i n s t r u m e n t p r o f i l e c o r r e s p o n d s t o d w - 4 . 7 x 1 0 1 1 s e c - 1 a n d <J> = 0 . W i t h t h e s e c o n d i t i o n s : ^ * 7 x I O " 1 6 T o e s t i m a t e t h e s i g n a l p r o d u c e d f r o m t h i s s c a t t e r -i n g r a t i o c o n s i d e r t h e i n c i d e n t l i g h t t o b e a 4 MW f r e q u e n c y d o u b l e d r u b y l a s e r p u l s e ( 8 0 m j , 2 0 n s e c ) . T h e r e a r e 1 . 4 x 1 0 1 7 i n c i d e n t p h o t o n s a n d t h u s N g - 1 0 0 p h o t o n s . I f 3 0 t h e s e a r e d e t e c t e d b y a p h o t o m u l t i p i i e r o f 2 3 % q u a n t u m e f f i c i e n c y a n d a g a i n o f 5 x 1 0 6 ( t y p i c a l f o r a n E M I 9 5 5 8 Q B p h o t o m u l t i p i i e r a t 1 5 0 0 v o l t s ) w i t h a 50Q. a n o d e l o a d , t h e 2 0 n s e c p u l s e p r o d u c e s a p e a k s i g n a l o f a b o u t 4 0 m v . T o b e o b s e r v a b l e t h i s s i g n a l m u s t b e l a r g e r t h a n t h a t p r o d u c e d b y t h e p l a s m a b a c k g r o u n d r a d i a t i o n . I n t h e a c t u a l e x p e r i m e n t t h e p l a s m a r a d i a t i o n i n ( d w , d f t ) p r o d u c e d a f l u c t u a t i n g b a c k g r o u n d s i g n a l a v e r a g i n g a b o u t 1 5 0 m v a t t h e o s c i l l o s c o p e . T h e r e f o r e , t h e l i g h t s c a t t e r e d f r o m t h e r a n d o m t h e r m a l f l u c t u a t i o n s w a s n o t d e t e c t a b l e . T h i s p r o v e d t o b e o n l y a n i n c o n v e n i e n c e a s t h e l i g h t s c a t t e r e d f r o m t h e e n h a n c e d f l u c t u a t i o n s w a s o b s e r v a b l e a n d t h a t f r o m t h e t h e r m a l f l u c t u a t i o n s w a s c a l c u l a t e d f r o m R a y l e i g h s c a t t e r i n g d a t a ( S e c t i o n 3 . 5 ) . 3 . 2 . 4 E n h a n c e d S c a t t e r i n g T o b e o f a n y i n t e r e s t t h e i n d u c e d d e n s i t y f l u c t u a -t i o n s m u s t b e a t l e a s t a s l a r g e a s t h e t h e r m a l f l u c t u a t i o n s . T h e p r e d i c t e d s p e c t r u m o f e a c h i s g i v e n b y e q u a t i o n s (6) a n d ( 7 ) . F i g u r e s 4 a n d 5 s h o w t h e s e s p e c t r a p l o t t e d f o r t h e e x p e r i m e n t a l c o n d i t i o n s a n d F i g u r e 4 a l s o i n d i c a t e s t h e t r a n s m i s s i o n p r o f i l e o f t h e m o n o c r o m a t o r . T h e s p e c t r u m o f t h e i n d u c e d f l u c t u a t i o n s i s s e e n t o b e m u c h n a r r o w e r t h a n t h e t h e r m a l s p e c t r u m . A t w = 0 t h e i n d u c e d s p e c t r u m i s l a r g e r b y a b o u t 8 x 1 0 7 . 33 T h e e n h a n c e m e n t o f l i g h t s c a t t e r e d o f f t h e s e f l u c -t u a t i o n s ( w h e n c o m p a r e d t o t h e r m a l s c a t t e r i n g ) w i l l n o t a p p e a r t h i s l a r g e b u t w i l l d e p e n d o n t h e b a n d p a s s o f t h e d e t e c t i n g i n s t r u m e n t . R e c o g n i z i n g t h a t t h e d e t e c t o r h a s a b a n d p a s s f o r b o t h OJ a n d k" w e m a y w r i t e t h e observed e n h a n c e -m e n t o f s c a t t e r e d l i g h t i n t h e f o r m <In. ri(k,w)|2> d w ^ g(k) ( 2 1 ) < | n t n ( k , o » ) 12> d w w h e r e t h e i n t e g r a l s a r e o v e r t h e f r e q u e n c y b a n d p a s s o f t h e d e t e c t o r . T h e f a c t o r 2 a r i s e s s i n c e i n t h e s p e c i f i c c a s e t h a t a) = 0 , b o t h i n d u c e d w a v e s i n d i r e c t i o n ±[ti - t2) c o n t r i b u t e . T h e f a c t o r g ( k ) i s l e s s t h a n u n i t y a n d d e s c r i b e s t h e i n f l u e n c e o f t h e k - v e c t o r r e s p o n s e o f t h e d e t e c t i o n s y s t e m o n t h e m e a s u r e m e n t . We n o w c o n s i d e r e a c h d e t e c t o r b a n d p a s s s e p a r a t e l y . Frequency Response of the Detector I n F i g u r e 4 w e s e e t h e f r e q u e n c y r e s p o n s e o f t h e d e t e c t o r a s w e l l a s t h e s p e c t r u m o f t h e t h e r m a l f l u c t u a t i o n s . C o m p a r i n g t h i s t o F i g u r e 5 w e s e e t h a t v i r t u a l l y a l l t h e i n d u c e d s p e c t r u m i s d e t e c t e d b u t t h a t o n l y a p o r t i o n o f t h e t h e r m a l s p e c t r u m i s s e e n . T o a c c o u n t f o r t h i s w e n o t e t h a t t h e r a t i o o f i n t e g r a l s i n e q u a t i o n ( 2 1 ) i s s i m p l y t h e r a t i o o f t h e a r e a u n d e r t h e i n d u c e d s p e c t r u m i n Aw t o t h e 3 4 a r e a u n d e r t h e t h e r m a l s p e c t r u m i n A c o , w h e r e A to i s t h e o o b a n d w i d t h o f t h e m o n o c h r o m a t o r ( - 1 0 A t o + 1 0 A ) . F o r m i n g t h i s r a t i o g i v e s E = 2 ( 3 x 1 0 6 ) g ( k ) . Wavevector Response of the Detector T h e p r e c e d i n g a n a l y s i s w a s m a d e c o n s i d e r a b l y e a s i e r b e c a u s e w e s t a r t e d w i t h k n o w n f u n c t i o n a l f o r m s f o r t h e f r e q u e n c y d e p e n d e n c e o f t h e s c a t t e r e d r a d i a t i o n ( e q u a t i o n s 6 a n d 7 ) . T h e s e f u n c t i o n s w e r e c o m b i n e d w i t h t h e a c t u a l i n s t r u m e n t a l f r e q u e n c y r e s p o n s e t h a t w a s n o t o n l y k n o w n e x a c t l y b u t w a s a l s o m a t h e m a t i c a l l y s i m p l e ( a u n i t s t e p f u n c t i o n ) . U n f o r t u n a t e l y , i n t h e k - s p e c t r u m w e s t a r t w i t h n o n e o f t h e s e a d v a n t a g e s . We m u s t f i r s t c a l c u l a t e t h e w a v e -v e c t o r d i s t r i b u t i o n s o f t h e l i g h t s c a t t e r e d f r o m b o t h t h e c o h e r e n t a n d i n c o h e r e n t f l u c t u a t i o n s . T h e n , a s d o n e f o r f r e q u e n c y , w e m u s t m u l t i p l y t h e s e f u n c t i o n s w i t h t h e a c c e p t a n c e f u n c t i o n o f t h e d e t e c t o r , i n t e g r a t e o v e r a l l p o s s i b l e w a v e v e c t o r s a n d f o r m t h e r a t i o o f t h e r e s u l t t o g e t g ( k ) . T h e w a v e v e c t o r d i s t r i b u t i o n s o f s c a t t e r e d l i g h t w i l l h a v e t h e f o r m l s ( t s ) « d t 1 ^ ) < | n ( k ) | 2 > ( 2 2 ) 35 w h e r e = k g - k , I . j a r e t h e i n c i d e n t a n d s c a t t e r e d p o w e r s r e s p e c t i v e l y a n d t h e d e n s i t y n r e f e r s t o e i t h e r c o h e r e n t o r i n c o h e r e n t f l u c t u a t i o n s . U n d e r t h e a s s u m p t i o n s t h a t t h e i n c i d e n t a n d s c a t t e r e d w a v e s c a n b e d e s c r i b e d b y G a u s s i a n d i s t r i b u t i o n s f o r p o w e r , a n d t h a t t h e p l a s m a w a v e i s d e s c r i b e d b y a s i m i l a r d i s t r i b u t i o n f o r d e n s i t y , o n e c a n e v a l u a t e e x p r e s s i o n s o f t h e f o r m ( 2 2 ) f o r b o t h t h e c o h e r e n t a n d i n c o h e r e n t s c a t t e r e d p o w e r . a c c e p t e d p o w e r , t h e d e t e c t i o n s y s t e m s e e s o n l y a s p a t i a l f r a c t i o n g i v e n b y w h e r e u 0 i s t h e w a i s t o f t h e d e t e c t i o n c o n e a n d t h e d e t e c -t i o n a x i s i s a l o n g Z . M u l t i p l y i n g t h i s b y t h e e x p r e s s i o n s f o r s c a t t e r e d p o w e r a n d i n t e g r a t i n g o v e r a l l p o s s i b l e v a l u e s o f k g i v e s t h e t o t a l p o w e r s c a t t e r e d i n t o t h e d e t e c t o r b y t h e c o h e r e n t a n d i n c o h e r e n t f l u c t u a t i o n s . D e n o t i n g t h e s e p o w e r s b y I C Q h a n d 1^ r e s p e c t i v e l y , M e y e r [ 2 1 ] h a s s h o w n t h e m t o h a v e t h e f o r m s A g a i n , a s s u m i n g a G a u s s i a n d i s t r i b u t i o n f o r T t h " - T I o <M*>r> 3 6 j a 4 r r 2 w 0 a  c 0 h [uoV + w 2 ( 2 u 2 + r 2 ) ] * [ u 2 r 2 + w 2 ( 2 u 2 s i n 2 6 / 2 + r 2 ] * x I 0 n 2 ( k ) w h e r e w 0 , r r e f e r t o t h e w a i s t s o f t h e i n c i d e n t b e a m a n d m i x i n g b e a m s r e s p e c t i v e l y a n d 9 i s t h e d e t e c t i o n a n g l e . S u b s t i t u t i n g t h e e x p e r i m e n t a l v a l u e w 0 = r = 3 u o » a = 1 0 _ 1 , m a n d 9 = 6 0 ° i n t o t h e s e e x p r e s s i o n s a n d f o r m i n g t h e r a t i o o f t h e r e s u l t s g i v e s u s t h e e x p e c t e d e n h a n c e m e n t . F r o m t h e f r e q u e n c y r e s p o n s e w e f o u n d < | n ( k ) | 2 > i n c j / < I n ( k ) | 2 > t n 3 x 1 0 6 a n d t h u s w e p r e d i c t a n o b s e r v e d e n h a n c e m e n t E = Z ^ o i L „ 300 A t h 3 . 3 E x p e r i m e n t a l A p p a r a t u s 3 . 3 . 1 T h e P l a s m a A s d e t a i l e d i n A p p e n d i x I t h e p l a s m a w a s p r o d u c e d b y a p a r t i a l l y w a l l s t a b i l i z e d p u l s e d h y d r o g e n a r c a t a f i l l i n g p r e s s u r e o f 2 0 T o r r . T h e p l a s m a p a r a m e t e r s i n t h e m i x i n g v o l u m e w e r e i n v e s t i g a t e d i n s e p a r a t e e x p e r i m e n t s b y m e a n s o f r u b y l a s e r l i g h t s c a t t e r i n g . T h e r e s u l t s i n d i -c a t e t h a t t h e p l a s m a i s s t a b l e a n d r e p r o d u c i b l e w i t h a n e l e c t r o n t e m p e r a t u r e T g - 4 2 , 0 0 0 ° K , a n e l e c t r o n d e n s i t y n g = 2 x 1 0 1 6 c m " 3 a n d a M a x w e l l i a n e l e c t r o n v e l o c i t y d i s t r i -b u t i o n f u n c t i o n . 3 7 3 . 3 . 2 T h e O p t i c a l S y s t e m F i g u r e 6 s h o w s t h e c o m p l e t e o p t i c a l a r r a n g e m e n t f o r t h e m i x i n g e x p e r i m e n t s . T h e r u b y l a s e r b e a m i s f o c u s s e d i n t o a p i n h o l e b y l e n s L i ( 1 2 7 mm f . L . ) t o r e m o v e s p u r i o u s t r a n s v e r s e m o d e s , a n d t h e n f o c u s s e d t o t h e . c e n t r e o f t h e v a c u u m v e s s e l b y l e n s L.2 ( 8 5 m m ) . L e n s e s L 3 ( 8 5 m m ) a n d L 4 ( - 2 0 0 m m ) c o l l e c t a n d c o l l i m a t e t h e b e a m b e f o r e r e f l e c t i o n b a c k a l o n g i t s o r i g i n a l p a t h b y a d i e l e c t r i c m i r r o r M i . T h i s p r o v i d e s t h e s e c o n d m i x i n g b e a m i n t h e i n t e r a c t i o n v o l u m e . T h e s m a l l a m o u n t o f l i g h t t r a n s m i t t e d t h r o u g h t h e m i r r o r f a l l s o n a c a l i b r a t e d p h o t o d i o d e t o m o n i t o r t h e m i x i n g b e a m s ' p o w e r . R e f l e c t i o n l o s s e s f r o m t h e o p t i c a l c o m p o n e n t s r e d u c e t h e p o w e r i n t h e p l a s m a t o a b o u t 5 0 % t h a t o f t h e l a s e r ( 2 0 0 M W ) . B e c a u s e t h e r u b y l a s e r c o n s i s t s o f a n o s c i l l a t o r -a m p l i f i e r c o m b i n a t i o n , a s a t u r a b l e d y e c e l l ( c r y p t o c y a n i n e d i s s o l v e d i n m e t h a n o l ) i s p l a c e d i n t h e p a t h o f t h e b e a m . T h i s p r e v e n t s f o r m a t i o n o f a n a c t i v e l a s e r c a v i t y c o n s i s t i n g o f m i r r o r M i , t h e a m p l i f i e r r u b y a n d t h e o s c i l l a t o r f r o n t m i r r o r . I n a d d i t i o n , t h e d y e c e l l a l l o w s a c o n t r o l l e d v a r i a t i o n o f l i g h t i n t e n s i t y i n t h e m i x i n g v o l u m e b y s i m p l y c h a n g i n g t h e d y e c o n c e n t r a t i o n . A b e a m s p l i t t e r c o n s i s t i n g o f a t h i n g l a s s p l a t e i s p l a c e d d i r e c t l y a f t e r t h e l a s e r . T h i s r e f l e c t s a p p r o x i -m a t e l y 3 5 % o f t h e l i g h t i n t o a d i a g n o s t i c b e a m . A f t e r r e f l e c t i o n t h r o u g h t w o p r i s m s t h i s b e a m i s p a s s e d t h r o u g h RUBY LASER C O F i g u r e 6. O p t i c a l , s y s t e m f o r m i x i n g e x p e r i m e n t s . 3 9 a n i n v e r t i n g t e l e s c o p e c o n s i s t i n g o f l e n s e s L 5 ( 1 5 0 m m ) a n d L 6 ( 7 5 m m ) t o i n c r e a s e i t s i n t e n s i t y . A c r y s t a l o f r u b i d i u m d i h y d r o g e n p h o s p h a t e ( R D P ) f r e q u e n c y d o u b l e s t h e o l i g h t t o 3 4 7 1 . 5 A . A c e l l c o n t a i n i n g a n a q u e o u s s o l u t i o n o f c o p p e r s u l p h a t e ( 1 4 0 g m / l i t r e ) i s u s e d t o b l o c k t h e f u n d a m e n t a l r u b y l i g h t w h i l e p a s s i n g t h e 4 MW s e c o n d h a r m o n i c . F i f t y m i l l i m e t e r s o f t h i s s o l u t i o n b l o c k e d v i r -t u a l l y a l l t h e r e m n a n t r u b y b e a m w h i l e t r a n s m i t t i n g 8 5 % o f t h e u l t r a v i o l e t l i g h t . T h e u l t r a v i o l e t b e a m i s t h e n f o c u s s e d i n t o t h e m i x i n g v o l u m e b y a s y s t e m o f t w o q u a r t z l e n s e s L 7 ( 1 6 9 mm a d j u s t a b l e + 4 0 0 mm f i x e d ) . A f t e r p a s s i n g t h r o u g h a q u a r t z w i n d o w a n d a s e t o f d e n s e f i l t e r s t h e b e a m i s m o n i t o r e d b y a 1 P 2 8 p h o t o m u l t i p l i e r . T o s a t i s f y t h e w a v e v e c t o r r e l a t i o n s h i p , s c a t t e r e d l i g h t i s c o l l e c t e d a t a n a n g l e o f 6 0 ° w i t h r e s p e c t t o b o t h t h e i n c i d e n t u l t r a v i o l e t b e a m a n d t h e f i r s t m i x i n g b e a m . L e n s e s L 8 ( 3 0 0 m m ) a n d L 9 ( 8 9 m m ) i m a g e t h e m i x i n g v o l u m e o n t o t h e e n t r a n c e s l i t o f a m o n o c h r o m a t o r ( S p e x 1 8 0 0 ) . T h e s l i t w i d t h i s s e t t o 3 0 u a n d m a s k e d t o a h e i g h t o f 4 0 u . S i n c e l e n s e s L s a n d L 9 p r o v i d e a m a g n i f i c a t i o n o f a b o u t 3 . 4 , t h e o b s e r v e d p l a s m a v o l u m e h a s a c r o s s - s e c t i o n o f 1 O O u x 1 4 0 u - T h e c h o i c e o f t h e s e d i m e n s i o n s w a s b a s e d o n t h e n e e d t o k e e p t h e o b s e r v e d v o l u m e a s s m a l l a s p o s s i b l e t o r e d u c e p l a s m a b a c k g r o u n d l i g h t . T h i s f o c a l v o l u m e i n t e r s e c t s t h a t o f t h e t w o m i x i n g b e a m s a n d t h e d i a g n o s t i c b e a m . A l l t h e l a s e r b e a m s a r e f o c u s s e d t o a c r o s s - s e c t i o n a b o u t 0 . 3 mm i n d i a m e t e r . 4 0 T h e m o n o - c h r o m a t o r h a s a 1 2 0 0 l i n e / m m g r a t i n g o b l a z e d a t 3 5 0 0 A w h i c h i s u s e d i n f i r s t o r d e r . W i t h a n e x i t s l i t w i d t h o f 2 mm t h e i n s t r u m e n t t r a n s m i s s i o n p r o f i l e o w a s n e a r l y a p e r f e c t r e c t a n g l e o f 2 0 A f u l l w i d t h . A n E M I 9 5 5 8 Q B p h o t o m u l t i p i i e r o p e r a t e d a t 1 7 0 0 v o l t s w a s u s e d b e h i n d t h e e x i t s l i t t o d e t e c t t h e s c a t t e r e d l i g h t . T u b e s o f b l a c k n y l o n e x t e n d i n t o t h e v a c u u m v e s s e l f r o m e a c h o f t h e w i n d o w s b e i n g u s e d . T h e s e s e r v e t o r e d u c e s t r a y l i g h t a t t h e d e t e c t o r b y e l i m i n a t i n g u n w a n t e d r e f l e c -t i o n s , p a r t i c u l a r l y f r o m t h e g l a s s f u n n e l s t h a t s t a b i l i z e t h e p l a s m a . F u r t h e r r e d u c t i o n i s a c h i e v e d w i t h a R a y l e i g h h o r n a s a v i e w i n g d u m p f o r t h e d e t e c t i o n o p t i c s . A n i r i s b e t w e e n l e n s e s L 8 a n d L 9 m a t c h e s t h e f - n u m b e r o f t h e d e t e c -t i o n o p t i c s t o t h a t o f t h e m o n o c r o m a t o r . 3 . 3 . 3 S e c o n d H a r m o n i c G e n e r a t i o n S e c o n d h a r m o n i c p o w e r i s g e n e r a t e d i n a n a n g l e -t u n e d c r y s t a l o f R D P ( 1 0 mm x 1 0 mm x 1 5 m m ) f o r w h i c h t h e m a n u f a c t u r e r c l a i m s a d a m a g e t h r e s h o l d o f 3 0 0 M W / c m 2 a n d a c o n v e r s i o n e f f i c i e n c y o f 2 5 % . I n F i g u r e 6 t h e b e a m s p l i t t e r r e f l e c t s 7 0 MW i n t o a b e a m o f 0 . 6 c m 2 c r o s s - s e c -t i o n a l a r e a . T h e c o n v e r s i o n e f f i c i e n c y f o r h a r m o n i c g e n e r a t i o n i n a c r y s t a l i n c r e a s e s l i n e a r l y w i t h i n p u t i n t e n s i t y . T h e r e f o r e , t h e f u n d a m e n t a l b e a m i s i n c r e a s e d t o a n i n t e n s i t y o f 4 7 0 M W / c m 2 b y a n i n v e r t i n g t e l e s c o p e . 4 1 T h e a c t u a l i n t e n s i t y a t t h e c r y s t a l i s l e s s t h a n t h i s b y a f a c t o r o f 0 . 7 2 b e c a u s e w e h a v e n e g l e c t e d t h e 4 % r e f l e c -t i o n l o s s e s f r o m e a c h p r i s m a n d l e n s s u r f a c e . T h i s p u t s t h e i n t e n s i t y i n t h e c r y s t a l s l i g h t l y a b o v e t h e r e c o m m e n d e d m a x i m u m b u t c a u s e d n o n o t i c e a b l e d a m a g e . T h e c r y s t a l i s h e l d i n a c e l l f i t t e d w i t h a n t i -r e f l e c t i o n c o a t e d w i n d o w s a n d f i l l e d w i t h a n i n d e x m a t c h i n g l i q u i d . A n g l e t u n i n g ( p h a s e m a t c h i n g ) i s a c c o m p l i s h e d b y m i c r o m e t e r a d j u s t m e n t s w h i c h e f f e c t i v e l y r o t a t e t h e c r y s t a l a b o u t i t s t h r e e a x e s . T u n i n g i s c r i t i c a l a n d m a x i m u m p o w e r r e q u i r e d a n g u l a r a d j u s t m e n t s o f a b o u t 5 x 1 0 _ l t r a d . T h e d e p e n d e n c e o f c o n v e r s i o n e f f i c i e n c y o n i n p u t p o w e r r e s u l t s i n a s e c o n d h a r m o n i c p u l s e t h a t i s s h o r t e r t h a n t h e f u n d a m e n t a l p u l s e . T y p i c a l l y t h e r u b y p u l s e c o n -t a i n e d 1 . 2 j a t t h e c r y s t a l i n a t i m e o f 3 0 n s e c ( 4 0 M W ) . T h e u l t r a v i o l e t p u l s e c o n t a i n e d 6 0 m j i n a t i m e o f 1 5 n s e c ( 4 M W ) f o r a c o n v e r s i o n e f f i c i e n c y o f 1 0 % . 3 . 3 . 4 T h e R u b y L a s e r C h a p t e r 2 , S e c t i o n 2 . 3 s h o w e d t h a t t h e c o h e r e n c e t i m e o f t h e m i x i n g b e a m s m u s t b e a s l o n g a s p o s s i b l e . T h i s r e q u i r e s a l a s e r w i t h a s n a r r o w a s p e c t r a l e m i s s i o n a s p o s s i b l e . H o w e v e r , t h e p o w e r m u s t b e k e p t h i g h t o i n d u c e f l u c t u a t i o n s o f a p p r e c i a b l e a m p l i t u d e . T h i s c o m b i n e d 4 2 r e q u i r e m e n t o f h i g h s p e c t r a l b r i g h t n e s s i s a c h i e v e d b y t h e s t a n d a r d t e c h n i q u e o f c o u p l i n g a l o w p o w e r o s c i l l a t o r t o a n a m p l i f i e r . T h e l a s e r u s e d i s s i m i l a r t o t h a t d e s c r i b e d i n t h e a u t h o r ' s M . S c . t h e s i s [ 1 9 ] . A n o s c i l l a t o r w i t h a 4 i n c h x 1 / 2 i n c h d i a m e t e r r u b y a n d a P o c k e l s C e l l Q - s w i t c h i s f o l l o w e d b y a n a m p l i f i e r w i t h a 6 i n c h x 1 / 2 i n c h d i a m e t e r r o d . T h e c o m b i n a t i o n i s c a p a b l e o f p r o d u c i n g p u l s e s o f 6 j o u l e s i n 3 0 n s e c . A F a b r y - P e r o t e t a l o n o f 6 6 % r e f l e c t i v i t y ( L a s e r O p t i c s " e k a l o n " ) w a s u s e d a s t h e o s c i l l a t o r f r o n t m i r r o r t o p r o v i d e l o n g i t u d i n a l m o d e c o n t r o l . A p e r t u r e s p l a c e d i n t h e c a v i t y r e d u c e d t h e n u m b e r o f t r a n s v e r s e m o d e s . M e a s u r e m e n t s o f t h e l a s e r l i n e w i d t h w e r e d o n e b y r e p l a c i n g m i r r o r M 2 i n F i g u r e 6 b y t h e o p t i c a l a r r a n g e m e n t o f F i g u r e 7. T h i s a l l o w e d t h e l a s e r t o b e m o n i t o r e d u n d e r t h e a c t u a l e x p e r i m e n t a l c o n d i t i o n s . T h e F a b r y - P e r o t e t a l o n o i n F i g u r e 7 h a d p l a t e s o f 9 5 % r e f l e c t i v i t y a t 6 9 4 3 A , s e p a r a t e d b y a p p r o x i m a t e l y 2 6 . 3 8 6 m m . T h i s g a v e a f r e e o s p e c t r a l r a n g e o f 0 . 0 9 5 A a n d a r e s o l v i n g l i m i t o f 1 . 6 x o I O " 3 A a t t h e r u b y w a v e l e n g t h . L i g h t t h r o u g h t h e e t a l o n w a s i m a g e d o n t o t h e p l a n e o f a n e u t r a l d e n s i t y f i l t e r o f 5 0 % t r a n s m i s s i o n w h i c h c o v e r e d h a l f t h e i n t e r f e r e n c e p a t t e r n . T h e p a t t e r n a n d f i l t e r w e r e t h e n p h o t o g r a p h e d o n T R l - x f i l m u s i n g a D i a g n o s t i c b e a m M i x i n g o p t i c s R U B Y L A S E R 1 2 7 m m C a m e r a A l u m i n u m p l a t e G r o u n d E t a l o n g l a s s s c r e e n 3 6 0 m m F i l t e r ; F i l t e r ; d e n s i t y • W r a t t e n 0 . 3 n o - 9 2 F i g u r e 7. O p t i c a l s y s t e m f o r m e a s u r i n g l a s e r l i n e w i d t h . CO 44 # 9 2 W r a t t e n f i l t e r t o r e d u c e u n w a n t e d l i g h t . T h e t e c h n i q u e o f u s i n g a n e u t r a l d e n s i t y f i l t e r g r e a t l y s i m p l i f i e d m e a s u r e -m e n t s o f t h e h a l f - w i d t h s o f t h e r i n g s i n t h e p a t t e r n b e c a u s e n o H - D c u r v e w a s r e q u i r e d f o r t h e f i l m . U s i n g a m i c r o -d e n s i t o m e t e r t h e h a l f - i n t e n s i t y p o i n t s o n a , p a r t i c u l a r r i n g w e r e f o u n d s i m p l y b y c o m p a r i s o n w i t h t h e o t h e r h a l f o f t h e p a t t e r n . T h i s c o n t r i b u t e d t h e m a j o r s o u r c e o f e r r o r a n d t h e r e s u l t s w e r e e s t i m a t e d t o b e a c c u r a t e t o a b o u t 1 5 % . T h e r e s u l t s o f m a n y s h o t s s h o w e d t h e l a s e r b e a m o t o h a v e a s p e c t r a l w i d t h v a r y i n g b e t w e e n . 0 1 a n d . 0 3 A a t f u l l p o w e r o u t p u t o f 2 0 0 M W . V a r i a t i o n s b e t w e e n t h e s e l i m i t s a p p e a r e d t o b e r a n d o m a n d a r e a t t r i b u t e d t o c h a n g e s i n t h e l a s e r m o d e s t r u c t u r e . F i g u r e 8 s h o w s t h e F a b r y -o P e r o t p a t t e r n f o r a s i n g l e s h o t w i t h a l i n e w i d t h o f . 0 2 A . o F i g u r e 8 : F a b r y - P e r o t p a t t e r n o f l a s e r o u t p u t ( A X , = . 0 2 A , p o w e r = 2 0 0 M W ) . i 4 5 A s a n a s i d e , a s e r i e s o f m e a s u r e m e n t s w e r e d o n e t o m e a s u r e t h e l i n e w i d t h o f t h e l a s e r a l o n e , i . e . t h e l a s e r w a s " d e c o u p l e d " f r o m t h e r e s o n a n t o p t i c a l s y s t e m o f F i g u r e o 6 . B y i t s e l f , t h e l a s e r h a d a l i n e w i d t h o f . 0 7 A . T h e n a r r o w e r s p e c t r a l w i d t h f o r t h e m i x i n g c o n f i g u r a t i o n c a n b e q u a l i t a t i v e l y a t t r i b u t e d t o t h e p r e s e n c e o f t h e s a t u r a b l e d y e c e l l i n t h e m i x i n g b e a m s . 3 . 3 . 5 T i m i n g S e q u e n c e F i g u r e 9 o u t l i n e s t h e b a s i c o p e r a t i o n o f t h e e l e c t r i c a l s y s t e m a n d F i g u r e 1 0 s h o w s t h e s h a p e a n d t i m i n g o f t h e m o s t r e l e v a n t p u l s e s . T h e o s c i l l o s c o p e i s a T e k t r o n i x 7 7 0 4 w i t h 7 B 9 0 a n d 7 B 9 1 h o r i z o n t a l p l u g - i n s . H o r i z o n t a l t i m e b a s e A i s t r i g g e r e d e x t e r n a l l y w h e n t h e l a s e r o s c i l l a t o r f l a s h l a m p s f i r e . A t h e n d i s a b l e s t i m e b a s e B f o r 6 5 0 u s e e t o r e j e c t t h e n o i s e g e n e r a t e d b y t h e f l a s h -l a m p s a n d t h e s t a r t o f t h e p l a s m a c u r r e n t p u l s e . A f t e r t h i s t i m e B i s t r i g g e r a b l e . I t i s t r i g g e r e d e x t e r n a l l y b y a p i c k u p f r o m t h e h i g h v o l t a g e p u l s e t o t h e P o c k e l s C e l l a n d d i s p l a y e d a t 1 0 0 n s e c / d i v i s i o n . V e r t i c a l c h a n n e l s L a n d R c o n t a i n p l u g - i n s 7 A 1 6 a n d 7 A 1 2 t o g i v e 3 i n d e p e n d e n t c h a n n e l s w h i c h a r e a d d e d t o g e t h e r t o f o r m o n e t r a c e . S c a t t e r e d l i g h t i n t e n s i t y , m i x i n g b e a m s ' i n t e n s i t y a n d f r e q u e n c y d o u b l e d i n t e n s i t y o a r e d i s p l a y e d s e q u e n t i a l l y o n t h i s t r a c e b y d e l a y i n g o n e a g a i n s t t h e o t h e r t h r o u g h c o a x i a l d e l a y c a b l e s . ! • D i s a b l e o s c . c h a r g i n g u n i t P u l s e G e n e r a t o r L a s e r o s c . f l a s h l a m p s W O P u s n b u t t o n 7 7 0 4 T o F l a s h l a m p s I O O / i s e c p u l s e L a s e r a m p . d e l a y a m p . f l a s h l a m p s p i c k - u p a m 5 0 0 p s e c few d e l a y P l a s m a t r i g g e r t o P o c k e l s C e l l t o P l a s m a b a n k s p a r k g a p F i g u r e 9. E l e c t r i c a l s y s t e r n . 47 A m p l i f i e r P l a s m a c u r r e n t i i I l L i » • i _ 5 0 0 1000 t ( / t M C . , F i g u r e 1 0 : T i m i n g s e q u e n c e . 4 8 3 . 4 R e s u l t s T h e r e s u l t s o f o p t i c a l m i x i n g i n a p l a s m a w h e n t h e b e a t f r e q u e n c y i s z e r o a r e p r e s e n t e d i n F i g u r e 1 1 . E n h a n c e -m e n t i s d e f i n e d a s t h e r a t i o I g - I t h / I t h , w h e r e I s r e p r e -s e n t s t h e t o t a l p o w e r s c a t t e r e d i n t o t h e d e t e c t o r a n d 1 ^ r e p r e s e n t s t h e p o w e r s c a t t e r e d i n t o t h e d e t e c t o r b y t h e t h e r m a l f l u c t u a t i o n s a l o n e . T h i s r a t i o i s p l o t t e d v e r t i -c a l l y a g a i n s t t h e p o w e r i n t h e m i x i n g b e a m s . T h e g r a p h c o n t a i n s c o m b i n e d d a t a t a k e n a t d i f f e r e n t t i m e s . E a c h p o i n t i s t h e a v e r a g e v a l u e o f t h e d a t a i n i t s r e g i o n . T h e h o r i z o n t a l e r r o r b a r s i n d i c a t e t h e a b s o l u t e l i m i t s o f l a s e r p o w e r f o r t h e p o i n t s t h a t w e r e a v e r a g e d . T h e v e r t i c a l e r r o r b a r s i n d i c a t e t h e s t a n d a r d d e v i a t i o n o f t h e p o i n t s f r o m t h e m e a n . T h e p o i n t a t I . = 0 r e q u i r e s s o m e e x p l a n a t i o n . B e c a u s e t h e e x i t s l i t w a s o p e n t o 2 m m , p l a s m a b a c k g r o u n d l i g h t m a d e i t i m p o s s i b l e t o d e t e c t t h e l i g h t s c a t t e r e d f r o m t h e r a n d o m t h e r m a l f l u c t u a t i o n s . C o n s e q u e n t l y , t h i s v a l u e w a s c a l c u l a t e d f r o m R a y l e i g h s c a t t e r i n g d a t a u s i n g 5 0 T o r r H 2 a n d t h e s a m e d e t e c t i o n s y s t e m . F o r e q u a l i n c i d e n t i n t e n s i t i e s a n d c o l l e c t i o n a p e r t u r e s t h e r a t i o o f l i g h t s c a t t e r e d i n t o a d e t e c t o r b y t h e r m a l p l a s m a f l u c t u a t i o n s t o R a y l e i g h g a s s c a t t e r i n g w i l l h a v e t h e f o r m : I p l a s m a " e q T S ( k ) _ r g a s " N ° R 49 ENHANCEMENT 150 100 50 J — O 1! i 0 1 •mix ( M W ) 50 100 F i g u r e 1 1 . E n h a n c e d s c a t t e r i n g f r o m p l a s m a v . s . m i x i n g b e a m s ' p o w e r . 5 0 w h e r e n e a n d N a r e t h e d e n s i t y o f p l a s m a e l e c t r o n s a n d g a s m o l e c u l e s r e s p e c t i v e l y . F i s a f a c t o r d e p e n d e n t o n t h e b a n d w i d t h o f t h e d e t e c t o r . T h e s c a t t e r i n g c r o s s - s e c t i o n f o r t h e p l a s m a i s g i v e n b y a ( k , w ) = Oj S ( k , w ) . T h e f o r m f a c t o r S ( k , o o ) h a s b e e n p l o t t e d i n S e c t i o n 3 . 2 . 4 , F i g u r e 4 , f o r t h e e x p e r i m e n t a l c o n d i t i o n s . F o r a h y d r o g e n p l a s m a w i t h T g = T . . t h e t o t a l s c a t t e r i n g o v e r a l l f r e q u e n c i e s i s f o u n d f r o m s(k) = d w S ( k , a ) ) = - J 1 + + ( 2 3 ) = 0 . 8 f o r a = 0 . 5 7 w h e r e a i s t h e s c a t t e r i n g p a r a m e t e r 1 / k X D T h e r a t i o o f T h o m p s o n t o R a y l e i g h c r o s s - s e c t i o n s i s g i v e n b y r i v Or mC ^ N 2 4 T 2 " ( n - 1 ) F o r h y d r o g e n a t 5 0 T o r r ( n - 1 ) ~ 1 . 3 2 x I O - " , N ~ 1 . 8 x 1 0 1 8 c m - 3 a n d Oj/oR ~ 4 . 4 . T h e f a c t o r F i s f o u n d b y f o r m i n g t h e r a t i o o f t h e l i g h t s c a t t e r e d i n t o t h e b a n d w i d t h o f t h e d e t e c t o r 5 1 t o t h e t o t a l s c a t t e r e d o v e r a l l w a v e l e n g t h s . F o r a n i n s t r u -o m e n t a l w i d t h o f 2 0 A c e n t r e d o n t h e l a s e r l i n e F = + 1 OA dco S(k,co)/S(k) = 0 . 2 2 o OA U s i n g t h e s e n u m b e r s t h e s c a t t e r i n g r a t i o b e c o m e s : Scat. / T S c a t . _ n -, .. - , n - 3 I , L - / i — = 8 . 7 x 1 0 plasma gas T h e p o i n t a t I m i - X = 0 c o r r e s p o n d s t o t h i s r a t i o m u l t i p l i e d b y t h e a v e r a g e s i g n a l s c a t t e r e d f r o m 5 0 T o r r H 2 - T h i s i n t e n s i t y i s d e s i g n a t e d b y I ^ a t ' ( i n t e n s i t y s c a t t e r e d f r o m t h e r m a l f l u c t u a t i o n s ) . T h e a c t u a l i n t e n s i t y o b s e r v e d i s d e n o t e d b y I ( t o t a l s c a t t e r e d i n t e n s i t y ) . E n h a n c e m e n t i s d e f i n e d b y t h e r a t i o I g - ^ h ^ t h ' T n i s 1 S t n e q u a n t i t y p l o t t e d i n F i g u r e 1 1 a s a f u n c t i o n o f p o w e r i n t h e m i x i n g b e a m s . T h e e n h a n c e m e n t o f t h e s c a t t e r e d l i g h t i s s e e n t o b e a b o u t t w o o r d e r s o f m a g n i t u d e a t t h e h i g h e s t a v a i l a b l e m i x i n g b e a m p o w e r s . 3 . 5 D i s c u s s i o n T h i s c h a p t e r h a s b e e n d e v o t e d t o t h e e x p e r i m e n t t h a t w a s c o n d u c t e d t o p r o d u c e a n d d e t e c t a p l a s m a d e n s i t y w a v e o f z e r o f r e q u e n c y . 5 2 D i s c u s s i o n s p r i o r t o t h e e x p e r i m e n t a l r e s u l t s c e n t r e d p r i m a r i l y a r o u n d w h e t h e r s u c h a w a v e c o u l d i n d e e d b e e x c i t e d t o a d e t e c t a b l e a m p l i t u d e . O f p r i m a r y c o n c e r n w e r e t h e e f f e c t s o f c o l l i s i o n s o r t h e q u e s t i o n a s t o w h e t h e r o r n o t t h e w a v e s a t i s f i e s t h e p l a s m a d i s p e r s i o n r e l a t i o n . I n a n y c a s e , t h e r e s u l t s s h o w u n a m b i g u o u s l y t h a t s u c h a w a v e c a n b e e x c i t e d . F r o m t h e r e s u l t s s h o w n i n F i g u r e 1 1 s e v e r a l c o n -c l u s i o n s c a n b e d r a w n . F i r s t w e s e e c l e a r l y t h a t t h e a m p l i t u d e o f t h e i n d u c e d w a v e i n c r e a s e s w i t h t h e p o w e r i n t h e m i x i n g b e a m s . T h i s i s t o b e e x p e c t e d f r o m t h e m o d e l o f C h a p t e r 2 . T h i s m o d e l a l s o p r e d i c t s t h a t t h e s p e c t r a l d e n s i t y o f t h e i n d u c e d f l u c t u a t i o n s i n c r e a s e s w i t h t h e s q u a r e o f t h e m i x i n g b e a m s ' p o w e r . T h u s , t h e e n h a n c e m e n t o f F i g u r e 1 1 i s e x p e c t e d t o i n c r e a s e w i t h t h e s q u a r e o f t h e l a s e r p o w e r . D e s p i t e t h e e x p e r i m e n t a l u n c e r t a i n t i e s t h e r e s u l t s o f F i g u r e 1 1 d o n o t c o n t r a d i c t t h i s p r e d i c t i o n : a p a r a b o l i c c u r v e t h r o u g h t h e o r i g i n c a n b e f i t t e d t o t h e d a t a . T h e e n h a n c e m e n t i s s e e n t o b e o v e r 1 0 0 a t p o w e r s o f o v e r 1 0 0 MW p e r m i x i n g b e a m . T h i s i n d i c a t e s t h a t t h e i n d u c e d d e n s i t y w a v e h a s a n a p p r e c i a b l e a m p l i t u d e . T h e s a m e c o n c l u s i o n i s a l s o e v i d e n c e d b y t h e f a c t t h a t , i n t h e p r e s e n c e o f s e v e r e p l a s m a b a c k g r o u n d r a d i a t i o n , l i g h t s c a t t e r e d f r o m t h e i n d u c e d w a v e w a s d i r e c t l y d e t e c t -a b l e w h i l e l i g h t s c a t t e r e d f r o m t h e r a n d o m t h e r m a l f l u c -t u a t i o n s w a s n o t . 5 3 T h e a v e r a g e e n h a n c e m e n t a t t h e h i g h e s t m i x i n g b e a m p o w e r s w a s 1 4 0 , w i t h v a l u e s o f o v e r 1 7 0 b e i n g r e c o r d e d . T h i s a g r e e s w i t h i n a f a c t o r o f 2 w i t h t h e p r e d i c t e d e n h a n c e -m e n t o f 3 0 0 . 3 . 6 O t h e r E x p e r i m e n t s B e f o r e s t a r t i n g t h e p r e v i o u s w o r k a s e r i e s o f e x p e r i m e n t s w e r e d o n e w i t h o u t f r e q u e n c y d o u b l i n g . I g n o r i n g t h e d i a g n o s t i c b e a m i n F i g u r e 6 , w e s e e t h a t t h e d e t e c t o r o b s e r v e s l i g h t s c a t t e r e d s i m u l t a n e o u s l y f r o m o n e b e a m a t 6 0 ° a n d f r o m t h e o t h e r a t 1 2 0 ° , t h e l i g h t o r i g i n a t i n g i n t h e s a m e p l a s m a v o l u m e . I f t h e t w o r u b y l a s e r b e a m s t o g e t h e r s t r o n g l y p e r t u r b t h e p l a s m a , t h e s c a t t e r e d s p e c t r u m s h o u l d b e d i f f e r e n t t h a n t h a t r e s u l t i n g f r o m t h e s i m p l e a d d i t i o n o f t w o s p e c t r a , o n e a t 6 0 ° a n d o n e a t 1 2 0 ° . I n o n e c a s e t h e s p e c t r a l r e g i o n a r o u n d t h e e l e c t r o n f e a t u r e w a s o b s e r v e d . T h e c o m b i n e d s p e c t r u m f o r i n d e p e n d e n t s c a t t e r i n g a t 6 0 ° a n d 1 2 0 ° m a t c h e d c l o s e l y t h e s p e c t r u m o b t a i n e d w i t h b o t h b e a m s s i m u l t a n e o u s l y . T h i s a g r e e m e n t a l s o a p p l i e d t o e x p e r i m e n t s m e a s u r i n g t h e t o t a l l i g h t s c a t t e r e d i n t o t h e i o n p e a k . T h e r e s u l t s p o i n t e d o u t t h a t n o e x t r e m e p e r t u r b a t i o n o f t h e e l e c t r o n d i s t r i b u t i o n f u n c t i o n w a s o b s e r v e d . T h i s i s r e a s s u r i n g s i n c e t h e t r e a t m e n t o f C h a p t e r 2 r e q u i r e s t h a t t h e d i s t r i b u t i o n f u n c t i o n b e w e a k l y p e r t u r b e d . T h e m i x i n g e x p e r i m e n t o f t h e p r e v i o u s s e c t i o n s w a s c o n c e r n e d w i t h d e t e c t i n g a b a s i c a l l y s i n u s o i d a l d e n s i t y 54 w a v e o f h a l f t h e r u b y w a v e l e n g t h . A t h i g h l a s e r p o w e r s t h e r e a p p e a r s t h e p o s s i b i l i t y o f d r i v i n g t h i s w a v e l a r g e e n o u g h t o d e t e c t s u b - h a r m o n i c s i n i t s K - s p e c t r u m . T h a t i s t h e d e n s i t y m a y h a v e t h e f o r m : n ( k ) = n o jl + &i c o s k x + a 2 c o s w h e r e a 2 << a i . k x -f- « • 0 ] T h e t e r m v a r y i n g a s c o s ( k x / 2 ) i s e a s i l y i n v e s t i -g a t e d b y s i m p l y r e m o v i n g t h e f r e q u e n c y d o u b l i n g c o m p o n e n t s i n t h e d i a g n o s t i c b e a m . T h e p r e s e n c e o f t h i s s u b - h a r m o n i c w o u l d t h e n b e d e t e c t e d b y a n e n h a n c e d s c a t t e r e d s i g n a l a t t h e r u b y f r e q u e n c y . U n f o r t u n a t e l y , s c a t t e r i n g a l s o o c c u r s f r o m t h e m i x i n g b e a m s b u t , a s e x p l a i n e d a b o v e , t h i s h a d b e e n s t u d i e d i n d e t a i l . T h e r e s u l t s s h o w e d n o d e t e c t a b l e e n h a n c e m e n t o f a t h i r d r u b y b e a m s c a t t e r e d f r o m t h e m i x i n g v o l u m e ( a s i n F i g u r e 6). We t h e r e f o r e c o n c l u d e t h a t i n t h e p l a s m a t h e i n d u c e d d e n s i t y f l u c t u a t i o n s a r e v i r t u a l l y s i n u s o i d a l f o r t h e m i x i n g p o w e r s u s e d . C h a p t e r 4 THE GAS EXPERIMENTS 4 . 1 I n t r o d u c t i o n C h a p t e r 3 h a s p r e s e n t e d a d e t a i l e d d e s c r i p t i o n o f t h e m e t h o d u s e d t o p r o d u c e a n d d e t e c t a l o n g i t u d i n a l w a v e i n a p l a s m a . T h i s c h a p t e r n o w e x t e n d s t h e p r o c e d u r e t o i n c l u d e o p t i c a l m i x i n g i n v a r i o u s g a s e s . H y d r o g e n , a r g o n , n i t r o g e n a n d c a r b o n d i o x i d e w e r e u s e d a t p r e s s u r e s r a n g i n g u p t o 1 5 0 T o r r . E n h a n c e d s c a t t e r i n g o f a d i a g n o s t i c b e a m w a s s t u d i e d a s a f u n c t i o n o f b o t h g a s p r e s s u r e a n d p o w e r o f t h e m i x i n g b e a m s . T h e e x p e r i m e n t a l t e c h n i q u e s a r e o u t l i n e d f i r s t , f o l l o w e d b y t h e r e s u l t s o b t a i n e d . T h e s e r e s u l t s a r e t h e n d i s c u s s e d i n l i g h t o f t h e t h e o r y o f C h a p t e r 2 . 4 . 2 E x p e r i m e n t a l P r o c e d u r e T h e e x p e r i m e n t s i n v a r i o u s g a s e s w e r e c o n d u c t e d i n a s i m i l a r w a y a s t h o s e a l r e a d y d e s c r i b e d f o r t h e c a s e o f a p l a s m a . T h e o p t i c a l s y s t e m w a s t h e s a m e a s i n F i g u r e 6 w i t h t h e e x c e p t i o n s t h a t l e n s L 8 h a d a f o c a l l e n g t h o f 1 6 9 m m , 5 5 56 t h e m o n o c h r o m a t o r e n t r a n c e s l i t w a s 2 0 0 y w i d e a n d 3 0 0 u h i g h a n d t h e e x i t s l i t w a s 2 0 0 u w i d e . T h e s a m e v a c u u m v e s s e l w a s u s e d , h o w e v e r n o d i s c h a r g e w a s i n i t i a t e d b e t w e e n t h e e l e c t r o d e s . A s b e f o r e , s i g n a l s f r o m t h e m o n i t o r s w e r e d i s p l a y e d s e q u e n t i a l l y o n a s i n g l e o s c i l l o s c o p e t r a c e . H o w e v e r , w i t h n o p l a s m a b a c k g r o u n d r a d i a t i o n p r e s e n t t h e s i g n a l / n o i s e r a t i o w a s e x c e l l e n t . F i g u r e 1 2 s h o w s a t y p i c a l t r a c e w i t h a t i m e b a s e o f 1 0 0 n s e c / d i v i s i o n . T h e f i r s t p u l s e r e p r e s e n t s t h e s c a t t e r e d l i g h t s i g n a l ; t h e s e c o n d a n d t h i r d p u l s e s a r e f r o m t h e u l t r a v i o l e t a n d r u b y b e a m m o n i t o r s r e s p e c t i v e l y . i J - J F i g u r e 1 2 : O s c i l l o s c o p e t r a c e o f s c a t t e r e d l i g h t a n d l a s e r m o n i t o r s ( 1 0 0 n s e c / d i v ) F o r t h e v a r i o u s g a s e s a t d i f f e r e n t p r e s s u r e s t h e s c a t t e r e d l i g h t i n t e n s i t y v a r i e d b y m o r e t h a n f o u r o r d e r s o f m a g n i t u d e . T o p r e s e r v e t h e l i n e a r i t y o f t h e p h o t o m u l t i p i i e r a n a p p r o p r i a t e f i l t e r w a s p l a c e d b e t w e e n l e n s e s L 8 a n d L 9 5 7 i n F i g u r e 6 . T h e d e n s i t y o f t h e s e f i l t e r s h a d p r e v i o u s l y o b e e n c a l i b r a t e d u s i n g a n e o n l i n e a t 3 4 7 2 . 6 A . I n o n e s e t o f e x p e r i m e n t s t h e m i x i n g p o w e r w a s h e l d c o n s t a n t a n d t h e p r e s s u r e o f t h e g a s w a s v a r i e d . W e l e t I j d e n o t e t h e i n t e n s i t y o f l i g h t s c a t t e r e d f r o m t h e d i a g n o s t i c b e a m w h e n t h e m i x i n g b e a m s h a v e f u l l p o w e r a n d 1 ^ d e n o t e t h e i n t e n s i t y s c a t t e r e d w h e n t h e m i x i n g b e a m s a r e b l o c k e d o f f ( R a y l e i g h s c a t t e r i n g ) . T h e e n h a n c e m e n t i s t h e n d e f i n e d b y E = ( I 5 - I R ) / I R . T h i s e n h a n c e m e n t w a s d e t e r m i n e d a t p r e s s u r e s r a n g i n g f r o m 1 0 t o 1 5 0 T o r r i n H 2 , A r , N 2 a n d C 0 2 , u s i n g m e a s u r e m e n t s o f 1 ^ a n d I R i n e a c h c a s e . I n a s e c o n d s e t o f e x p e r i m e n t s t h e e n h a n c e m e n t w a s d e t e r m i n e d a s a f u n c t i o n o f m i x i n g p o w e r a t c o n s t a n t g a s p r e s s u r e . C a r b o n d i o x i d e a t 1 0 0 T o r r a n d h y d r o g e n a t 5 0 a n d 2 5 T o r r w e r e c h o s e n t o a l l o w t h e w i d e s t r a n g e o f m e a s u r e m e n t s t o b e m a d e . P o w e r i n t h e m i x i n g b e a m s w a s v a r i e d b y c h a n g i n g t h e c o n c e n t r a t i o n o f c r y p t o c y a n i n e i n t h e d y e c e l l . I n a l l e x p e r i m e n t s , n o e v i d e n c e o f g a s b r e a k d o w n w a s o b s e r v e d i n t h e m i x i n g v o l u m e . V i s u a l o b s e r v a t i o n s h o w e d n o v i s i b l e l i g h t f r o m t h e v o l u m e , n o c h a r a c t e r i s t i c a c o u s t i c s h o c k w a s h e a r d a n d , i n h y d r o g e n , n o r a d i a t i o n w a s m o n i t o r e d w h e n t h e d e t e c t i o n s y s t e m w a s s e t t o o b s e r v e t h e s p e c t r a l r a n g e a r o u n d t h e . H f t l i n e . 5 8 4 . 3 R e s u l t s F i g u r e s 1 3 - 1 6 s h o w t h e e n h a n c e m e n t o f s c a t t e r e d l i g h t a s a f u n c t i o n o f p r e s s u r e f o r e a c h o f t h e g a s e s u s e d . P o w e r i n t h e m i x i n g b e a m s w a s h e l d c o n s t a n t a t a b o u t 1 0 0 MW e a c h . We s e e t h a t t h e e f f e c t i s w e a k e s t i n h y d r o g e n , i n -c r e a s i n g w i t h a r g o n a n d n i t r o g e n , t o a m a x i m u m w i t h c a r b o n d i o x i d e w h e r e e n h a n c e m e n t s o f o v e r 2 0 0 w e r e c o m m o n l y o b s e r v e d . A s m e n t i o n e d b e f o r e t h e e n h a n c e m e n t o n e o b s e r v e s i n a m i x i n g e x p e r i m e n t i s d e p e n d e n t u p o n t h e c h a r a c t e r i s t i c s o f t h e d e t e c t o r . U n l i k e t h e p l a s m a e x p e r i m e n t s i n w h i c h t h e i n c o h e r e n t t h e r m a l s p e c t r u m w a s w i d e c o m p a r e d t o t h a t o f t h e i n d u c e d s p e c t r u m , i n a g a s t h e t h e r m a l a n d i n d u c e d s p e c t r a a r e c o m p a r a b l y n a r r o w . T h i s m e a n s t h a t t h e f r e q u e n c y r e s p o n s e o f t h e d e t e c t o r i s n o t a m a j o r c o n c e r n , p r o v i d e d t h a t i t i s o f s u f f i c i e n t l y w i d e b a n d w i d t h . H o w e v e r , t h e w a v e v e c t o r r e s p o n s e o f t h e d e t e c t o r i s s t i l l o f p r i m e i m p o r t a n c e . T h i s i s d e m o n s t r a t e d b y a s e r i e s o f e x p e r i m e n t s c o n d u c t e d w i t h t w o d i f f e r e n t d e t e c t i o n o p t i c s , i n 5 0 T o r r h y d r o g e n , a t m i x i n g b e a m p o w e r s o f a b o u t 1 0 0 MW e a c h . I n o n e c a s e t h e o p t i c a l s e t - u p d e s c r i b e d a t t h e b e g i n n i n g o f S e c t i o n 4 . 2 w a s u s e d a n d a n e n h a n c e m e n t o f 5 w a s m e a s u r e d . T h i s i s s h o w n i n F i g u r e 1 3 b y t h e p o i n t a t 5 0 T o r r . B y c h a n g i n g t h e o p t i c s i n F i g u r e 6 t o L 8 = 3 0 0M f o c a l l e n g t h , L g = 8 9 mm f . L . a n d a m o n o c h r o m a t o r e n t r a n c e s l i t 3 0 u w i d e a n d 4 0 u , a n e n h a n c e m e n t o f 2 0 w a s o b t a i n e d ( F i g u r e 1 9 ) . B y e f f e c t i v e l y r e d u c i n g t h e a n g u l a r a c c e p t a n c e 59 10 8 6 4 E = •S-'R I 50 i I l I 100 P0 (Torr) J ~ l L 150 F i g u r e 1 3 . E n h a n c e m e n t v . s . p r e s s u r e o f h y d r o g e n . 100 80h 60 40h 20 5 0 • 50 N' 0 Pn (Torr) i i 100 150 F i g u r e 1 4 . E n h a n c e m e n t v . s . p r e s s u r e o f n i t r o g e n . 6 0 F i g u r e 1 5 . E n h a n c e m e n t v . s . p r e s s u r e o f a r g o n . 61 200 100 ENHANCEMENT L • 1 J la CO, PRESSURE (Torr) i L 50 100 150 F i g u r e 1 6 . E n h a n c e m e n t v . s . p r e s s u r e o f c a r b o n d i o x i d e 6 2 o f t h e d e t e c t o r a n d r e d u c i n g t h e d e t e c t i o n v o l u m e , t h e o b s e r v e d e n h a n c e m e n t i s i n c r e a s e d . T h i s i s u n d e r s t o o d b y c o n s i d e r i n g t h e a n g u l a r d i s t r i b u t i o n o f l i g h t s c a t t e r e d f r o m t h e i n c o h e r e n t w a v e s . O v e r r e l a t i v e l y l a r g e a n g l e s t h e R a y l e i g h s c a t t e r i n g i s c o n s t a n t w h i l e t h e i n d u c e d s c a t t e r i n g i s c o n c e n t r a t e d i n a r e l a t i v e l y n a r r o w c o n e . T h e e n h a n c e m e n t i s o b v i o u s l y t h e n a f u n c t i o n o f t h e s i z e o f t h e d e t e c t i o n a p e r t u r e . I f t h e r e s u l t s s h o w n i n F i g u r e 1 3 - 1 6 w e r e r e f e r r e d t o t h e s e c o n d d e t e c t i o n s y s t e m d e s c r i b e d a b o v e ( a n d u s e d f o r F i g u r e 1 9 ) , a l l t h e v e r t i c a l a x e s w o u l d b e m u l t i p l i e d b y 4 , i n w h i c h c a s e t h e e n h a n c e m e n t a t 1 5 0 T o r r C 0 2 w o u l d b e o v e r 8 0 0 . T h e i m p o r t a n t p h y s i c a l q u a n t i t y r e s p o n s i b l e f o r t h e e n h a n c e m e n t i s t h e f l u c t u a t i o n i n n u m b e r d e n s i t y n i ( x ) t h a t i s p r o d u c e d . I n t h e n e x t s e c t i o n a n a t t e m p t i s m a d e t o d e t e r m i n e t h i s q u a n t i t y f r o m t h e m e a s u r e d e n h a n c e m e n t . I f e a c h o f F i g u r e s 1 3 - 1 6 a r e n o r m a l i z e d t o t h e r e s p e c t i v e p o l a r i z a b i 1 i t y o f t h e g a s u s e d , w e m i g h t e x p e c t t h e n o r m a l i z e d e n h a n c e m e n t s t o b e t h e s a m e , s i n c e n 2 ( k ) <* a 2 . F i g u r e 1 7 s h o w t h i s t o b e t h e c a s e o n l y a t l o w p r e s s u r e s . T h e q u a n t i t y p l o t t e d v e r t i c a l l y i s t h e e n h a n c e m e n t E d i v i d e d b y ( n - I ) 2 x 1 0 8 w h e r e n i s t h e i n d e x o f r e f r a c t i o n o f t h e p a r t i c u l a r g a s . T h e l i n e s a r e b e s t f i t s b y e y e t h r o u g h t h e p o i n t s o f F i g u r e s 1 3 - 1 6 . C a r b o n d i o x i d e a n d n i t r o g e n a r e s e e n t o a g r e e w i t h i n t h e e x p e r i m e n t a l e r r o r s o v e r t h e e n t i r e r a n g e o f p r e s s u r e . I n a l l c a s e s w e s e e e v i d e n c e i n d i c a t i n g s a t u r a t i o n o f t h e i n d u c e d w a v e ' s a m p l i t u d e a n d 63 P r e s s u r e (Torr) F i g u r e 1 7 . E n h a n c e m e n t n o r m a l i z e d t o p o l a r i z a b i 1 i t y v . s . g a s p r e s s u r e . 0 ( i n d e x o f r e f r a c t i o n t a k e n a t 7 0 0 0 A a n d S T P ) 6 4 a n a c t u a l d e c r e a s e b e i n g e v i d e n t i n h y d r o g e n . T h i s p o i n t i s p u r s u e d m o r e f u l l y i n t h e n e x t s e c t i o n . A s e c o n d s e t o f e x p e r i m e n t s w e ' r e p e r f o r m e d t o m e a s u r e t h e e n h a n c e m e n t a s a f u n c t i o n o f m i x i n g p o w e r a t c o n s t a n t g a s p r e s s u r e . F i g u r e s 1 8 a n d 1 9 s h o w t h e t o t a l s c a t t e r e d s i g n a l I m e a s u r e d f o r 1 0 0 T o r r C 0 2 a n d 5 0 T o r r H 2 a t v a r i o u s p o w e r s . T h e p o i n t a t I m ^ x = 0 r e p r e s e n t s t h e s i g n a l f r o m t h e r m a l R a y l e i g h s c a t t e r i n g I R . A t t h e h i g h e s t m i x i n g p o w e r s t h e e n h a n c e m e n t E = ( I g - I R ) / I R i s s e e n t o a g r e e w i t h t h e p r e v i o u s r e s u l t s ( F i g u r e s 1 3 a n d 1 6 ) . T w o f e a t u r e s o f t h e r e s u l t s i n C 0 2 a r e e v i d e n t . F i r s t o n e n o t i c e s t h a t t h e r e i s a p r o n o u n c e d t h r e s h o l d o f t h e e n h a n c e m e n t i n t h e r e g i o n a r o u n d 3 0 MW o f m i x i n g b e a m p o w e r . S e c o n d , t h e e n h a n c e m e n t i s s e e n t o l e v e l o f f a t t h e h i g h e s t l a s e r p o w e r s u s e d . T h i s i n d i c a t e s a s a t u r a t i o n o f t h e i n d u c e d w a v e ' s a m p l i t u d e a n d , t o g e t h e r w i t h t h e t h r e s h o l d e f f e c t , w i l l b e d i s c u s s e d i n t h e n e x t s e c t i o n i n l i g h t o f t h e m o d e l d e v e l o p e d e a r l i e r . 4 . 4 D i s c u s s i o n T h e p r e s e n t e d r e s u l t s s h o w t h a t a s t a t i o n a r y d e n s i t y w a v e c a n b e i n d u c e d i n a g a s , a s i n a p l a s m a , b y t h e m i x i n g o f t w o i n t e n s e l a s e r b e a m s . E n h a n c e m e n t s i n s c a t t e r e d l i g h t i n t e n s i t y o f o v e r t w o o r d e r s o f m a g n i t u d e w e r e m e a s u r e d . T h i s i n d i c a t e s t h a t 1000 65 ' s c a t ( a r b . u n i t s ) F i g u r e 1 8 . E n h a n c e m e n t v . s . m i x i n g p o w e r f o r 1 0 0 T o r r C 0 2 . F i g u r e 1 9 . S c a t t e r e d i n t e n s i t y v . s . m i x i n g p o w e r f o r 5 0 a n d 2 5 T o r r H 2 . 6 7 a p p r e c i a b l e f l u c t u a t i o n s i n d e n s i t y c a n b e p r o d u c e d b y t h e m i x i n g p r o c e s s . A s s t a t e d e a r l i e r , t h e o b s e r v e d e n h a n c e m e n t d e p e n d s o n t h e p r o p e r t i e s o f t h e d e t e c t o r : f o r t h e g a s e x p e r i m e n t s t h i s m e a n s i n p a r t i c u l a r t h e k - v e c t o r a c c e p t a n c e o f t h e d e t e c t i o n o p t i c s . T h e e x a m p l e i n t h e p r e v i o u s s e c t i o n s h o w e d t h a t a s t h e a c c e p t a n c e a n g l e o f t h e d e t e c t o r w a s n a r r o w e d , t h e o b s e r v e d e n h a n c e m e n t i n c r e a s e d . T h i s i s d i r e c t e v i d e n c e f o r t h e s t a t e m e n t t h a t t h e k - s p e c t r u m o f t h e l i g h t s c a t t e r e d f r o m t h e c o h e r e n t f l u c t u a t i o n s i s r e l a -t i v e l y n a r r o w , i n c o n t r a s t t o t h e w i d e s p e c t r u m s c a t t e r e d f r o m t h e i n c o h e r e n t f l u c t u a t i o n s . F i g u r e 1 7 o f t h e p r e v i o u s s e c t i o n i n d i c a t e s t h a t t h e a m p l i t u d e o f t h e i n d u c e d w a v e s a t u r a t e s w i t h i n c r e a s i n g g a s p r e s s u r e a n d , i n t h e c a s e o f h y d r o g e n , a c t u a l l y s t a r t s d e c r e a s i n g a t h i g h e r p r e s s u r e s . C o l l i s i o n s p r o b a b l y i n f 1 u e n c e t h i s e f f e c t . B y k n o c k i n g p a r t i c l e s o u t o f p o t e n t i a l w e l l s , t h e y c a n i n h i b i t d e v e l o p m e n t o f t h e t i m e a s y m p t o t i c d i s t r i b u t i o n f u n c t i o n c o n s i d e r e d i n C h a p t e r 2 . A s a n e x a m p l e w e c h o o s e t h e h y d r o g e n c u r v e o f F i g u r e 1 7 . H a v i n g t h e l o w e s t a t o m i c w e i g h t , h y d r o g e n h a s t h e h i g h e s t m o l e c u l a r c o l l i s i o n f r e q u e n c y a t a g i v e n p r e s s u r e . T h e s a t u r a t i o n e f f e c t i s t h e n s e e n a t a l o w e r p r e s s u r e t h a n f o r t h e o t h e r g a s e s . S a t u r a t i o n o f t h e w a v e a m p l i t u d e o c c u r s a t p r e s s u r e s o f a b o u t 4 0 T o r r H 2 . A t 4 0 T o r r a n d 2 7 3 ° K t h e a v e r a g e t i m e b e t w e e n m o l e c u l a r c o l l i s i o n s i s 6 8 a b o u t 8 x 1 0 " 1 0 s e c [ 2 0 ] . T h i s m u s t b e c o m p a r e d t o t h e c h a r a c t e r i s t i c p e r i o d o f o s c i l l a t i o n f o r a p a r t i c l e i n a p o t e n t i a l w e l l T t p = (2ir/k E 0 ) ( 2 m / a ) 2 " , ( C h a p t e r 2 , S e c t i o n 2 . 3 ) , w h e r e t h e p o l a r i z a b i 1 i t y a = 2 e 0 ( n - l ) / p . F o r t h e c o n d i t i o n s 1 1 b e i n g c o n s i d e r e d T " t r ~ 2 x 1 0 " s e c . We s e e t h a t , a t t h e b o t t o m o f a w e l l , a t r a p p e d p a r t i c l e c a n m a k e a b o u t 4 0 o s c i l l a t i o n s b e t w e e n c o l l i s i o n s . I n C h a p t e r 2 , S e c t i o n 2 . 5 . 2 , w e e x p l a i n e d t h a t u n l e s s o s c i l l a t i o n s o f t h i s n u m b e r w e r e c o m p l e t e d , t h e a s y m p t o t i c l i m i t w o u l d n e v e r b e r e a c h e d , A t p r e s s u r e s o f o v e r 4 0 T o r r i n h y d r o g e n t h e c o l l i s i o n f r e -q u e n c y h a s i n c r e a s e d t o t h e p o i n t w h e r e , i n d e e d , f o r m a t i o n o f t h e a s y m p t o t i c d i s t r i b u t i o n i s b e i n g i n h i b i t e d . T h e w a v e a m p l i t u d e t h u s d e c r e a s e s a c c o r d i n g l y . W i t h t h e e x c e p t i o n o f a r g o n , t h e g a s e s o f F i g u r e 1 7 s h o w c o n s i s t e n t b e h a v i o u r w i t h i n t h e l i m i t s o f e x p e r i m e n t a l e r r o r . A t l o w p r e s s u r e s , t h e n o r m a l i z e d e n h a n c e m e n t s a r e v i r t u a l l y t h e s a m e . A t i n c r e a s e d p r e s s u r e s , t h e w a v e a m -p l i t u d e s a t u r a t e s f i r s t i n h y d r o g e n b e c a u s e o f i t s l o w e s t a t o m i c w e i g h t . O n e w o u l d e x p e c t t o o b s e r v e t h e s a m e d e c r e a s e i n a m p l i t u d e i n t h e o t h e r g a s e s i f t h e p r e s s u r e w e r e r a i s e d s u f f i c i e n t l y h i g h . I n a r g o n , t h e w a v e a m p l i t u d e s a t u r a t e s w i t h i n -c r e a s i n g p r e s s u r e b u t d o e s n o t a p p e a r t o f o l l o w t h e s a m e d e p e n d e n c e o n p o l a r i z a b i 1 i t y a s d o t h e o t h e r g a s e s . N o e x p l a n a t i o n f o r t h i s e f f e c t i s o f f e r e d e x c e p t t o n o t e t h e o b v i o u s d i s t i n c t i o n t h a t a r g o n i s t h e o n l y n o n - m o l e c u l a r g a s u s e d . 6 9 F r o m t h e r e s u l t s i n C 0 2 o f e n h a n c e m e n t v e r s u s m i x i n g p o w e r w e s a w t h a t s a t u r a t i o n o f t h e i n d u c e d w a v e ' s a m p l i t u d e a l s o o c c u r s w i t h i n c r e a s i n g p o w e r , I n a d d i t i o n , t h e r e w a s a t h r e s h o l d i n p o w e r b e n e a t h w h i c h n o e n h a n c e -m e n t w a s o b s e r v e d , A p o s s i b l e e x p l a n a t i o n f o r t h e s e o b s e r v a t i o n s r e q u i r e s a n e v a l u a t i o n o f t h e v a l i d i t y o f t h e t h e o r e t i c a l m o d e l . R e t u r n i n g t o F i g u r e 1 o f C h a p t e r 2 , r e c a l l t h a t t h e a m p l i t u d e o f t h e i n d u c e d w a v e i s c o m p o s e d o f c o n -t r i b u t i o n s f r o m f r e e a n d t r a p p e d p a r t i c l e s a n d t h a t t h e s e c o n t r i b u t i o n s a r e 1 8 0 ° o u t o f p h a s e . I f t h e r o l e o f t h e t r a p p e d p a r t i c l e s h a s b e e n o v e r e m p h a s i z e d t h e a m p l i t u d e o f t h e w a v e , r e p r e s e n t e d b y t h e s o l i d l i n e , c o u l d h a v e t h e f o r m o b s e r v e d i n F i g u r e 1 8 . E x p e r i m e n t a l l y , t h e t h r e s h o l d f o r t h e c r e a t i o n o f a n o b s e r v a b l e d e n s i t y w a v e i n 1 0 0 T o r r C 0 2 i s s e e n f r o m F i g u r e 1 8 t o b e a b o u t 3 0 M W . W i t h t h e o p t i c s u s e d t h i s c o r r e s p o n d s t o a n e l e c t r i c f i e l d s t r e n g t h o f 4 x 1 0 8 v o l t s / m i n t h e m i x i n g v o l u m e a n d a p o t e n t i a l a E 2 / 2 ~ 1 0 " 3 e v . S i n c e 3 m e a s u r e s t h e r a t i o o f t h e p o t e n t i a l e n e r g y o f a w e l l t o t h e t h e r m a l e n e r g y o f a p a r t i c l e , a t 2 7 3 ° K w e f i n d 3 - . 0 4 a t t h e t h r e s h o l d ; ( a t m a x i m u m m i x i n g p o w e r 3 ~ 0 . 1 6 ) . T h u s w e f o r m t h e c o n c l u s i o n t h a t i n a d i a g r a m s u c h a s F i g u r e 1 , t h e n u m b e r o f f r e e a n d t r a p p e d p a r t i c l e s m u s t b e n e a r l y e q u a l f o r v a l u e s o f 3 l e s s t h a n . 0 4 . A s 3 i n c r e a s e s , m o r e p a r t i c l e s a r e t r a p p e d a n d t h e i r c o n t r i b u t i o n t o t h e w a v e a m p l i t u d e d o m i n a t e s . 7 0 O n e e n t i r e l y d i f f e r e n t p o s s i b i l i t y a r i s e s b y n e g l e c t i n g t h e t r a p p e d p a r t i c l e s e n t i r e l y . We s e e f r o m F i g u r e 1 t h a t t h e f r e e p a r t i c l e s a l o n e s h o w a s a t u r a t i o n i n a m p l i t u d e w i t h i n c r e a s i n g p o w e r . H o w e v e r , b y t h e m s e l v e s t h e f r e e p a r t i c l e s s h o w n o i n d i c a t i o n o f t h e o b s e r v e d t h r e s h o l d a t @ = . 0 4 . f u n c t i o n o f m i x i n g p o w e r f o r b o t h 5 0 a n d 2 5 T o r r H 2 . U n l i k e c a r b o n d i o x i d e , n o s a t u r a t i o n o f t h e w a v e ' s a m p l i t u d e i s a p p a r e n t . A t 2 5 T o r r t h e r e i s a p o s s i b l e i n d i c a t i o n o f a t h r e s h o l d w i t h p o w e r b u t n o t h i n g i s e v i d e n t a t 5 0 T o r r . I n a l l c a s e s , w i t h t h e p o s s i b l e e x c e p t i o n o f 2 5 T o r r H 2 } w e o b s e r v e d e p a r t u r e s f r o m t h e p r e d i c t e d d e p e n d e n c e E a I 2 ^ v . p h y s i c a l q u a n t i t y r e s p o n s i b l e f o r t h e e n h a n c e m e n t i s t h e f l u c t u a t i o n i n n u m b e r d e n s i t y t h a t i s p r o d u c e d . A n e s t i m a t e o f t h i s q u a n t i t y , n i , c a n n o w b e c a l c u l a t e d f r o m t h e o b s e r v e d e n h a n c e m e n t . I n S e c t i o n 3 . 2 . 4 w e p r e s e n t e d e x p r e s -s i o n s f o r t h e t o t a l p o w e r s c a t t e r e d i n t o t h e e x p e r i m e n t a l d e t e c t o r b y t h e c o h e r e n t a n d i n c o h e r e n t f 1 u c u t a t i o n s . F o r m i n g t h e r a t i o o f t h e s e p o w e r s g i v e s t h e e n h a n c e m e n t F i g u r e 1 9 h a s s h o w n t h e s c a t t e r e d i n t e n s i t y a s a m i x A s m e n t i o n e d i n p r e v i o u s s e c t i o n s , t h e i m p o r t a n t I c o h E = = 2 i r a ( . 1 8 ) t h t h w h e r e a - 1 0 _ 1 * m a n d t h e f a c t o r ( . 1 8 ) a r i s e s f r o m t h e t e r m i n v o l v i n g t h e w a i s t s o f t h e m i x i n g b e a m s , i n c i d e n t b e a m a n d 7 1 d e t e c t i o n o p t i c s . We c a n w r i t e t h e f r e q u e n c y i n t e g r a t e d t h e r m a l s p e c t r u m a s < | n ( k ) | 2 > t ^ = n 0 V g , w h e r e n 0 r e p r e -s e n t s t h e e q u i l i b r i u m d e n s i t y , V i s t h e e x p e r i m e n t a l v o l u m e a n d t h e f a c t o r 1 f o r a n e u t r a l g a s S ( k , t o ) da) f o r a p l a s m a ( s ee e q u a t i o n 2 3 ) B y a s s u m i n g a G a u s s i a n d i s t r i b u t i o n f o r d e n s i t y o f t h e f o r m n ( f ) = n 0 + n i o e x p [ - l / r 2 ( x 2 + y 2 ) ] c o s k z ( 2 4 ) p e r f o r m i n g a F o u r i e r t r a n s f o r m i n s p a c e a n d t h e n e v a l u a t i n g t h e q u a n t i t y < | n ( k ) 1 2 > c o n ° n e c a n s h o w t h a t t h e i n d u c e d w a v e ' s s p e c t r a l a m p l i t u d e n 0 ( k ) h a s t h e f o r m : n „ ( k ) = TT3 r * a n\0 ( 2 5 ) w h e r e r i s t h e d i a m e t e r a t t h e w a i s t o f t h e m i x i n g b e a m s , a i s t h e w i d t h o f t h e d e t e c t i o n v o l u m e a n d n i 0 i s g i v e n b y ( 2 4 ) . W i t h t h e s e s u b s t i t u t i o n s , t h e e n h a n c e m e n t b e c o m e s E = . 1 8  2lik r " f . 2 n * ° - 3 6 ^ J J L ( 2 6 ) n o * n o u s i n g V = i r r 2 a . 7 2 A s a n a s i d e , t h i s i s s e e n t o h a v e t h e p r o p e r f o r m b y c o n s i d e r i n g t h e r a t i o ^ o f / 1 ^ * U s i n g t h e r e l a t i o n s t h a t 2 I c o n <* n ? 0 V 2 a n d I t h <* n „ V fi/4ir w e e x p e c t E n * ° ] ^ . R e t u r n i n g t o e q u a t i o n ( 2 6 ) , f o r a n e x p e r i m e n t a l v o l u m e V - 3 x 1 0 " 1 1 m 3 t h e i n d u c e d c h a n g e i n d e n s i t y i s g i v e n b y ^ = 3 x 1 0 * n o E L n o j w h e r e n 0 i s i n m - 3 A s a n e x a m p l e c o n s i d e r t h e r e s u l t s f o r 1 5 0 T o r r C 0 2 . T h e d e n s i t y n 0 - 3 x I O 2 1 * m - 3 a n d w i t h t h e d e t e c t i o n s y s t e m c o n s i d e r e d , E = 8 0 0 . T h i s g i v e s ( n 1 0 / n 0 ) ~ 5 x I O - 7 a s t h e r a t i o o f p e r t u r b e d t o e q u i l i b r i u m d e n s i t y a n d n i o ~ 1 . 5 x 1 0 1 8 m - 3 a s t h e f l u c t u a t i o n i n n u m b e r d e n s i t y p r o d u c e d b y t h e m i x i n g p r o c e s s . We c a n a l s o e s t i m a t e t h e s i z e o f t h e f l u c t u a t i o n s p r o d u c e d i n t h e p l a s m a e x p e r i m e n t s . S e t t i n g t h e f a c t o r g = 0 . 8 , n 0 = 2 x 1 0 2 2 m " 3 a n d E = 1 0 0 g i v e s ( m o / n 0 ) ~ 2 x 1 0 " 6 a n d m 0 - 4 x 1 0 1 6 n r 3 . C h a p t e r 5 CONCLUSION T h e p r e v i o u s t h r e e c h a p t e r s h a v e d e s c r i b e d t h e m o d e l t h a t w a s d e v e l o p e d a n d t h e e x p e r i m e n t s t h a t w e r e p e r f o r m e d t o s t u d y t h e o p t i c a l m i x i n g o f t w o i n t e n s e l a s e r b e a m s , I n p a r t i c u l a r i t h a s b e e n s h o w n t h a t s t r o n g , s t a t i o n a r y f l u c t u a -t i o n s o f p a r t i c l e d e n s i t y c a n b e i n d u c e d b y t h e m i x i n g p r o c e s s i n b o t h p l a s m a a n d n e u t r a l g a s e s . E x p e r i m e n t s c o n d u c t e d i n a f u l l y i o n i z e d p l a s m a s h o w t h a t a s t a t i o n a r y d e n s i t y w a v e w a s p r o d u c e d w i t h a n a m p l i t u d e o f a b o u t 2 x 1 0 " 6 t i m e s t h e e q u i l i b r i u m e l e c t r o n d e n s i t y . T h i s w a v e w a s d e t e c t e d b y t h e l i g h t s c a t t e r e d f r o m a t h i r d , d i a g n o s t i c l a s e r b e a m f o r w h i c h e n h a n c e m e n t s i n s c a t t e r e d i n t e n s i t y o f o v e r 1 0 0 w e r e m e a s u r e d i n c o m p a r i s o n t o s c a t t e r i n g f r o m r a n d o m t h e r m a l f l u c t u a t i o n s , A g r e e m e n t w i t h i n a f a c t o r o f t w o w a s f o u n d b e t w e e n t h e e x p e r i m e n t a l l y m e a s u r e d e n h a n c e m e n t s a n d t h o s e p r e d i c t e d b y t h e t h e o r e t i c a l m o d e l . F u r t h e r e x p e r i m e n t s t o i n v e s t i g a t e p o s s i b l e s u b -h a r m o n i c s i n t h e k - s p e c t r u m o f t h e i n d u c e d w a v e s h o w e d t h e w a v e t o b e v i r t u a l l y s i n u s o i d a l f o r t h e m i x i n g p o w e r s u s e d . 73 74 A p p r e c i a b l e f l u c t u a t i o n s i n t h e d e n s i t y o f n e u t r a l g a s a t o m s w e r e a l s o i n d u c e d b y o p t i c a l m i x i n g . A g a i n , a s t a t i o n a r y d e n s i t y w a v e c a n b e p r o d u c e d b y t w o i n t e n s e l a s e r b e a m s o f t h e s a m e f r e q u e n c y a n d d e t e c t e d b y l i g h t s c a t t e r i n g f r o m a t h i r d b e a m . E n h a n c e m e n t s i n s c a t t e r e d l i g h t i n t e n s i t y o f o v e r t w o o r d e r s o f m a g n i t u d e w e r e o b s e r v e d . T h e r o l e t h e d e t e c t o r p l a y s i n d e t e r m i n i n g t h e a p p a r e n t e n h a n c e m e n t h a s b e e n p u r s u e d a n d i t i s s h o w n t h a t u s i n g t h e o p t i c a l s y s t e m o f t h e p l a s m a e x p e r i m e n t s , e n h a n c e m e n t s i n s c a t t e r e d l i g h t i n t e n s i t y o f n e a r l y 1 0 0 0 c o u l d b e e x p e c t e d f r o m t h e g a s e x p e r i m e n t s . T h e g a s e x p e r i m e n t s i n d i c a t e t h a t t h e a m p l i t u d e o f t h e i n d u c e d w a v e s a t u r a t e s w i t h i n c r e a s i n g g a s p r e s s u r e a n d , f o r h y d r o g e n , a c t u a l l y d e c r e a s e s w i t h i n t h e e x p e r i m e n t a l r a n g e . E v i d e n c e h a s b e e n p r e s e n t e d t o s h o w t h a t c o l l i s i o n s a r e p r o b a b l y c a u s i n g t h i s b e h a v i o u r . I n e x p e r i m e n t s w i t h c a r b o n d i o x i d e s a s a t u r a t i o n o f w a v e a m p l i t u d e w a s a l s o o b s e r v e d w i t h i n c r e a s -i n g m i x i n g b e a m s ' p o w e r a n d , i n a d d i t i o n , t h e r e w a s a d e f i n i t e t h r e s h o l d i n p o w e r r e q u i r e d t o i n d u c e a w a v e o f d e t e c t a b l e a m p l i t u d e . E x a m i n a t i o n o f t h e t h e o r e t i c a l m o d e l h a s p r o v i d e d p o s s i b l e e x p l a n a t i o n s f o r b o t h t h e s e e f f e c t s . I n m o s t e x -p e r i m e n t s , d e p a r t u r e s w e r e n o t e d f r o m t h e s i m p l e p r e d i c t i o n s o f a q u a d r a t i c d e p e n d e n c e o f e n h a n c e m e n t o n m i x i n g p o w e r . W i t h t h e s e e x p e r i m e n t s i n m i n d o n e c a n n o t h e l p b u t s u g g e s t f u t u r e w o r k t o b e d o n e . W i t h p l a s m a t h e m o s t o b v i o u s d i r e c t i o n i s t o h i g h e r p o w e r l a s e r s . B y d r i v i n g t h e 75 d e n s i t y w a v e t o l a r g e r a m p l i t u d e s , i t b e c o m e s f e a s i b l e t o e x p l o r e a w h o l e f i e l d o f n o n l i n e a r w a v e - w a v e a n d w a v e - p a r t i c l e i n t e r a c t i o n s i n t h e s o - c a l l e d " s t r o n g t u r b u l e n c e " r e g i m e . P o s s i b l e p l a s m a h e a t i n g e f f e c t s a l s o f a l l i n t o t h i s r e a l m . T h e f r e q u e n c y d e p e n d e n c e o f t h e m i x i n g p r o c e s s s u g g e s t s n o t o n l y a h i g h e r p o w e r b u t a l s o a l o n g e r w a v e - l e n g t h f o r t h e m i x i n g b e a m s . T h i s a p p e a r s t o b e a n i d e a l s i t u a t i o n f o r t h e u s e o f a c a r b o n d i o x i d e l a s e r . E x t r a p o l a t i n g f u r t h e r o n e c a n e n v i s i o n m i x i n g e x p e r i m e n t s d o n e w i t h e v e n l o n g e r w a v e -l e n g t h l a s e r s ( e . g . H C N ) i n l o w d e n s i t y p l a s m a s , w i t h t h e a i m o f a b e t t e r u n d e r s t a n d i n g o f t h e b a s i c p r o c e s s e s i n v o l v e d i n f u s i o n m a c h i n e s . O p t i c a l m i x i n g i n p l a s m a s h a s b e e n e x p e r i m e n t a l l y v e r i f i e d i n t h e r e g i o n o f t h e e l e c t r o n p l a s m a r e s o n a n c e ( h i g h p h a s e v e l o c i t y ) [ 3 ] , a n d n o w i n t h e r e g i o n o f z e r o f r e q u e n c y . T h e l a s t i n t e r e s t i n g r e g i o n i s t h a t o f t h e i o n r e s o n a n c e , w h i c h w o u l d r e q u i r e m i x i n g b e a m s o f s l i g h t l y d i f f e r e n c e f r e -q u e n c y . E x p e r i m e n t s h a v e b e e n p o s t u l a t e d b u t t o d a t e n o r e s u l t s h a v e b e e n p u b l i s h e d . F o r t h e e x p e r i m e n t s c o n c e r n e d w i t h o p t i c a l m i x i n g i n g a s e s , i n c r e a s i n g t h e l a s e r p o w e r t o i n d u c e l a r g e a m p l i t u d e w a v e s l e a d s t o t h e e v e r i n c r e a s i n g p r o b l e m o f g a s b r e a k d o w n i n t h e f o c a l v o l u m e . H o w e v e r , f u r t h e r e x p e r i m e n t s c a n b e c o n t i n u e d t o d e t e c t p o s s i b l e s u b - h a r m o n i c s i n t h e k - s p e c t r u m o f t h e i n d u c e d w a v e . REFERENCES 1 . K r o l l , N . M . , A . R o n a n d N . R o s t o k e r , P h y s . R e v . L e t t e r s 1 _ 3 , 8 3 ( 1 9 6 4 ) . 2 . M e y e r , J . , P h y s . R e v . A . 6_, 2 2 9 1 ( 1 9 7 2 ) . 3 . S t a n s f i e l d , B . , R . N o d w e l l a n d J . M e y e r , P h y s . R e v . L e t t e r s 2 6 , 1 2 9 1 ( 1 9 7 1 ) . 4 . M e y e r , J . a n d B . S t a n s f i e l d , C a n . J . P h y s . 4 9 _ , 2 1 8 7 ( 1 9 7 1 ) 5 . S c h m i d t , G . , P h y s . F l u i d s 16, 1 6 7 6 ( 1 9 7 3 ) . 6 . C o h e n , B . I . , A . N . K a u f m a n a n d K . M . W a t s o n , P h y s . R e v . L e t t e r s 2 9 , 5 8 1 ( 1 9 7 2 ) . 7 . B o y d , T . J . M . a n d J . G . T u r n e r , J . P h y s . A : G e n . P h y s . 5 , 1 3 2 ( 1 9 7 2 ) . 8 . W e y l , G . , P h y s . F l u i d s 1 _ 3 , 1 8 0 2 ( 1 9 7 0 ) . 9 . R o s e n b l u t h , M . a n d C . S . L i u , P h y s . R e v . L e t t e r s 2 9 ^ u o l ( 1 9 7 2 ) . 1 0 . B e a u d r y , G . a n d J . M a r t i n e a u , P h y s . L e t t e r s 4 3 A , 3 3 1 ( 1 9 7 3 ) . 1 1 . D a v i d s o n , R . C . , " M e t h o d s i n N o n l i n e a r P l a s m a T h e o r y , " A P ( 1 9 7 2 ) . 1 2 . B e k e f i , G . , " R a d i a t i o n P r o c e s s e s i n P l a s m a s , " W i l e y ( 1 9 6 6 ) 1 3 . A n d r e w s , F . C . , " E q u i l i b r i u m S t a t i s t i c a l M e c h a n i c s , " W i l e y ( 1 9 6 3 ) . 7 6 7 7 1 4 . B e r n s t e i n , I . B . , J . M . G r e e n a n d M . D . K r u s k a l , P h y s . R e v . 1 _ 0 8 , 5 4 6 ( 1 9 5 7 ) . 1 5 . W e i n s t o c k , J . , P h y s i F l u i d s 1 _ 0 , 2 0 6 5 ( 1 9 6 7 ) . 1 6 . H a g f o r s , T . s J . G e o p h y s . R e s . 66_, 1 6 9 9 ( 1 9 6 1 ) . 1 7 . O ' N e i l , T . , P h y s . F l u i d s 8 , 2 2 5 5 ( 1 9 6 5 ) . 1 8 . E v a n s , D . E . a n d J . K a t z e n s t e i n , R e p . P r o g . P h y s . 3 2 , 2 0 7 ( 1 9 6 9 ) . ~ ~ 1 9 . A l b a c h , G . G . , M . S c . T h e s i s , U n i v e r s i t y o f B r i t i s h C o l u m b i a ( 1 9 7 2 ) . 2 0 . M a s s e y , H . S . W . , E . H . S . B u r h o p a n d H . B . G i l b o d y , " E l e c t r o n i c a n d I o n i c I m p a c t P h e n o m e n a , " V o l . I l l , O x f o r d ( 1 9 7 1 ) . 2 1 . M e y e r , J . , p r i v a t e c o m m u n i c a t i o n ( t o b e p u b l i s h e d ) . 2 2 . G r a y , M . A . a n d R . M . H e r m a n , P h y s . R e v . 1J31_, 3 7 4 ( 1 9 6 9 ) . 2 3 . W i g g e n s , T . A . , C . W . C h o , D . R . D i e t z a n d N . D . F o l t z , P h y s . R e v . L e t t e r s 2 0 , 8 3 1 ( 1 9 6 8 ) . 2 4 . A n d e r s o n D . a n d H . W i 1 h e l m s s o n , N u c l . F u s i o n 1 4 , 5 3 7 ( 1 9 7 4 ) . ~ ~ 2 5 . L i u , C . S . , M . N . R o s e n b l u t h a n d R . B . W h i t e , P h y s , R e v . L e t t e r s 3 1 _ , 6 9 7 ( 1 9 7 3 ) . 2 6 . G a l e e v , A . A . , G . L a v a l , T . M . O ' N e i l , M . N . R o s e n b l u t h a n d R . Z . S a g d e e v , J E T P L e t t e r s ( U S A ) 1 7 , 3 5 ( 1 9 7 3 ) . — 2 7 . G o l d m a n , L . M . , J . S o u r e s a n d M . J . L u b i n , P h y s . R e v . L e t t e r s 3 J _ , 1 1 8 4 ( 1 9 7 3 ) . 2 8 . S a g d e e v , R . Z . a n d A . A . G a l e e v , " N o n l i n e a r P l a s m a T h e o r y , " W . A . B e n j a m i n ( 1 9 6 9 ) . 2 9 . W u l f f , H . , Z . P h y s . 1 _ 5 0 , 6 1 4 ( 1 9 5 8 ) . 7 8 3 0 . H u d d l e s t o n e , R . H . a n d S . L . L e o n a r d , " P l a s m a D i a g n o s t i c T e c h n i q u e s , " A P ( 1 9 6 5 ) . 3 1 . S a l p e t e r , E . E . , P h y s . R e v . 1 2 0 , 1 5 2 8 ( 1 9 6 0 ) . 3 2 . C h u r c h l a n d , M . T . a n d R . A . N o d w e l l , C a n . J . P h y s . 5 2 , 6 5 5 ( 1 9 7 4 ) . 3 3 . B y r d , P . F . a n d M . D . F r i e d m a n , " H a n d b o o k o f E l l i p t i c I n t e g r a l s , " L a n g e , M a x w e l l a n d S p r i n g e r L t d . ( 1 9 5 4 ) . i 79 A P P E N D I X I DETAILS OF THE PLASMA 1 . 1 D e s i g n C o n s i d e r a t i o n s W h e n t h e e x p e r i m e n t t o s t u d y h i g h p o w e r o p t i c a l m i x i n g w a s f i r s t p r o p o s e d , c e r t a i n r e s t r i c t i o n s w e r e p l a c e d o n t h e c h a r a c t e r i s t i c s o f t h e p l a s m a . I d e a l l y t h e p l a s m a s o u r c e s h o u l d ( I ) ( i i ) ( i i i ) ( i v ) (v) ( v i ) have as h igh an e l e c t r o n d e n s i t y as p o s s i b l e ( > I 0 1 6 c m - 3 ) in o r d e r t o max imize the number of e l e c t r o n s i n t e r a c t i n g w i t h the l a s e r beams; be f u l l y i o n i z e d in o r d e r t h a t t he e f f e c t of n e u t r a l s c o u l d be d i s -r ega rded ; have a M a x w e l l i a n v e I o c i t y d i s t r i -b u t t o n f o r t he i ons and e l e c t r o n s in o r d e r t o s i m p l i f y t he c a l c u l a t i o n s of the wave m i x i n g t h e o r y ; r a d i a t e a minimum amount of background l i g h t from f r e e - f r e e and f r e e - b o u n d t r a n s i t i o n s i n o r d e r t o a l l o w o b s e r -v a t i o n s of low i n t e n s i t y s c a t t e r e d l i g h t ; have r e p r o d u c i b l e c h a r a c t e r i s t i c s ; p r o v i d e c o n v e n i e n t a c c e s s from many d i r e c t i o n s f o r the v a r i o u s o p t i c a l pa th s r e q u i r e d in the e x p e r i m e n t . 80 A s n o p l a s m a w a s r e a d i l y a v a i l a b l e w h i c h s a t i s i f e d a l l t h e s e c o n d i t i o n s i t w a s d e c i d e d t o d e s i g n a n d b u i l d a n e w p l a s m a s o u r c e s p e c i f i c a l l y f o r t h e w a v e m i x i n g e x p e r i -m e n t s . A p u l s e d a r c w a s c h o s e n b e c a u s e o f t h e r e a s o n a b l y h i g h e l e c t r o n t e m p e r a t u r e s a n d d e n s i t i e s t h a t c a n b e a c h i e v e d w i t h a m i n i m u m a m o u n t o f e q u i p m e n t . O p e r a t i o n i n h y d r o g e n o r h e l i u m w a s c h o s e n t o k e e p t h e v i s i b l e p l a s m a r a d i a t i o n t o a m i n i m u m . P l a s m a c o n f i n e m e n t a n d s t a b i l i z a t i o n a r e i m p o r t a n t c o n s i d e r a t i o n s i f a p u l s e d a r c i s t o b e h o t a n d r e p r o d u c e -a b l e . M a g n e t i c s t a b i l i z a t i o n w a s c o n s i d e r e d f o r t h i s d e s i g n b u t r e j e c t e d b e c a u s e o f i t s t e c h n i c a l c o m p l e x i t y a n d t h e l i m i t a t i o n s i t i m p o s e s o n o p t i c a l a c c e s s t o t h e p l a s m a . A s d e t a i l e d i n t h e n e x t s e c t i o n , t h e f i n a l d e s i g n w a s a p a r t i a l l y w a l l s t a b i l i z e d a r c . U s i n g h y d r o g e n g a s i t s a t i s f i e d a l l t h e c r i t e r i a o u t l i n e d a b o v e a n d i n a d d i t i o n t h e v a c u u m v e s s e l p r o v e d t o h a v e e x c e l l e n t s t r a y l i g h t c h a r a c t e r ! " s t i c s . I . 2 C o n s t r u c t i o n a n d O p e r a t i o n 1 . 2 . 1 C o n s t r u c t i o n o f t h e P l a s m a V e s s e l F i g u r e 1 - 1 d e t a i l s t h e c o n s t r u c t i o n o f t h e p l a s m a v e s s e l . T h e e l e c t r o d e s a r e s h o r t a l u m i n u m c y l i n d e r s i n s i d e a g l a s s t u b e w h i c h s e r v e s t o c o n f i n e t h e p l a s m a . U n l i k e t h e s i m i l a r " E i e r u h r " t y p e o f d e v i c e [ 2 9 ] , a 3 c m s e c t i o n i s c o p p e r b a l l a n o d e a s s e m b l y 3 g l a s s t u b e w i n d o w a s s e m b l y i n s u l a t o r | j* A A- ' V y v , * r : r J c a t h o d e a s s e m b l y i "Li J ' 'g' ^= 5 : : 5 s' g r o u n d t o v a c u u m s y s t e m F i g u r e 1 - 1 . P l a s m a V e s s e l A s s e m b l y ( a p p r o x . 1 / 3 s c a l e ) . 8 1 r e m o v e d f r o m t h e w a i s t o f t h e t u b e , f o r m i n g t w o g l a s s " f u n n e l s . " T h i s w a s d o n e t o a l l o w d i r e c t a c c e s s t o t h e p l a s m a f o r t h e l a s e r b e a m s a n d d e t e c t i o n o p t i c s . T o m a i n t a i n a v a c u u m t h e f u n n e l s a r e e n c l o s e d i n a s p h e r i c a l c o p p e r c h a m b e r 20 c m i n d i a m e t e r . T h e " b a l l " i s m e t a l t o r e d u c e t h e s t r a y l i g h t p r o b l e m s i n h e r e n t i n a g l a s s v e s s e l a n d c o p p e r w a s c h o s e n i n p a r t i c u l a r b e c a u s e i t w a s t h e l e a s t d i f f i c u l t t o h a v e s p u n i n t o t w o h e m i s p h e r e s , T h e e x p e r i m e n t a l v o l u m e o f p l a s m a i s l o c a t e d m i d w a y b e t w e e n t h e g l a s s f u n n e l s a n d i n t h e c e n t r e o f t h e b a l l . E i g h t e e n o b s e r v a t i o n p o r t s a r e m a c h i n e d i n t h e b a l l ; s i x s p a c e d e v e n l y a r o u n d t h e e q u a t o r i n t h e h o r i z o n t a l p l a n e a n d t h e o t h e r s i n c l i n e d a t 45° a b o v e a n d b e l o w e a c h o f t h e s e . I n o p e r a t i o n t h e p o r t s a r e c o v e r e d b y w i n d o w s , l e n s e s o r l i g h t d u m p s a n d s e a l e d b y 0 - r i n g s , A s s h o w n i n F i g u r e 1 - 1 , b l a c k n y l o n t u b e s e x t e n d i n w a r d f r o m v a r i o u s w i n d o w s t o w i t h i n 3 c m o f t h e p l a s m a . T h e s e s e r v e a s l i g h t b a f f l e s t o p r e v e n t r e f l e c t i o n s f r o m e n t e r i n g t h e d e t e c t i o n s y s t e m . E l e c t r i c a l l y t h e b a l l i s i n s u l a t e d n o t o n l y f r o m t h e u p p e r h i g h v o l t a g e e l e c t r o d e ( a n o d e ) b u t a l s o f r o m t h e l o w e r e l e c t r o d e ( c a t h o d e ) w h i c h i s a t g r o u n d p o t e n t i a l . T h i s w a s d o n e t o p r e v e n t t h e d i s c h a r g e f r o m a t t a c h i n g t o t h e i n s i d e o f t h e b a l l i n s t e a d o f t o t h e c a t h o d e . 8 2 1 . 2 . 2 O p e r a t i o n o f t h e D i s c h a r g e C i r c u i t T h e p l a s m a i s p r o d u c e d b y a 6 k A c u r r e n t p u l s e a p p r o x i m a t e l y 3 0 0 y s e c l o n g . T h e c u r r e n t w a v e f o r m , a s m e a s u r e d b y a R o g o w s k i c o i l a n d i n t e g r a t o r , i s s h o w n i n F i g u r e 1 - 2 a n d i s p r o d u c e d b y t h e d i s c h a r g e c i r c u i t o f F i g u r e 1 - 3 . B a s i c a l l y a d e l a y l i n e , t h e c a p a c i t o r b a n k o f F i g u r e 1 - 3 s t o r e s a m a x i m u m e n e r g y o f 2 0 k j a t 2 0 k v . T h e d i s c h a r g e i s i n i t i a t e d b y a s t a n d a r d t h r e e - e l e c t r o d e s p a r k g a p t r i g g e r e d b y a h i g h v o l t a g e p u l s e t r a n s f o r m e r . T o e l i m i n a t e a n y t i m e l a g i n t h e f o r m a t i o n o f t h e a r c , p r e -i o n i z a t i o n o f t h e p l a s m a i s a c c o m p l i s h e d b y a c o n t i n u o u s g l o w d i s c h a r g e . A s s h o w n i n t h e c i r c u i t o f F i g u r e 1 - 3 a s e p a r a t e p o w e r s u p p l y i n s e r i e s w i t h a 4 0 0 k f i w i r e - w o u n d r e s i s t o r a n d a f e r r i t e i n d u c t o r i s c o n n e c t e d a c r o s s t h e p l a s m a e l e c t r o d e s t o p r o d u c e t h e g l o w . T h e r e s i s t o r s e r v e s a s a b a l l a s t a n d t h e c o m b i n e d i n d u c t a n c e i n t h e c i r c u i t p r o t e c t s t h e p o w e r s u p p l y f r o m t h e c u r r e n t p u l s e o f t h e m a i n d i s c h a r g e . I . 3 M e a s u r e m e n t s o f P e r f o r m a n c e A f t e r c o n s t r u c t i o n a n d i n i t i a l t e s t i n g w a s c o m p l e t e , a s e r i e s o f e x p e r i m e n t s w a s d o n e t o d e t e r m i n e t h e p l a s m a ' s c h a r a c t e r i s t i c s . P l a s m a c u r r e n t p u l s e ( V e r t : 2 k a . / d i v . S p e e d : 5 0 u s e c / d i v . + 8 k v t o t r i g g e r u n i t 9 o p u l s e k j U U L r x f m r r = r T m 2 L I T T P — w \ — D ' o-6 P l a s m a o 4 0 0 k f e r r i t e L = 2 2 u H = 1 0 UF/: 2 0 k v d c ! 0 s e c t i o n s F i g u r e 1 - 3 . P l a s m a d i s c h a r g e c i r c u i t . CO 8 5 P l a s m a s t a b i l i t y a n d c o n f i n e m e n t w e r e m e a s u r e d b y s t r e a k p h o t o g r a p h y ; e l e c t r o n d e n s i t y w a s m e a s u r e d b y S t a r k b r o a d e n i n g o f h y d r o g e n l i n e s ; p l a s m a r e p r o d u c i b i l i t y , e l e c t r o n t e m p e r a t u r e , d e n s i t y a n d e l e c t r o n v e l o c i t y d i s t r i -b u t i o n w e r e m e a s u r e d b y l a s e r l i g h t s c a t t e r i n g . E a c h o f t h e s e p a r t i c u l a r t e c h n i q u e s i s p r e s e n t e d i n t h e f o l l o w i n g s e c t i o n s , t o g e t h e r w i t h t h e i n f o r m a t i o n g a t h e r e d i n e a c h c a s e . 1 . 3 . 1 S t r e a k P h o t o g r a p h y S t a b i l i t y o f t h e p l a s m a w a s d e t e r m i n e d b y s t r e a k p h o t o g r a p h s t a k e n o n a r o t a t i n g m i r r o r s m e a r c a m e r a . T h e v e r t i c a l a r c c o l u m n b e t w e e n t h e g l a s s f u n n e l s w a s i m a g e d o n t o t h e e n t r a n c e s l i t o f t h e c a m e r a w i t h a m a g n i f i c a t i o n o f 0 . 5 . A s l i t w i d t h o f 0 . 5 mm t h e n d e f i n e d a 1 mm h i g h h o r i z o n t a l s l i c e o f p l a s m a t o b e o b s e r v e d . T h e o p t i c a l s y s t e m a l l o w e d o b s e r v a t i o n o v e r a w i d t h l a r g e r t h a n t h e f u n n e l o p e n i n g s . F o r s o m e m e a s u r e m e n t s a d o v e p r i s m w a s i n s e r t e d i n t o t h e o p t i c a l s y s t e m t o r o t a t e t h e p l a s m a i m a g e b y 9 0 ° . T h e c a m e r a s l i t t h e n d e f i n e d a v e r t i c a l s l i c e o f p l a s m a b e t w e e n t h e f u n n e l s . T h i s w a s d o n e t o m e a s u r e t h e a x i a l u n i f o r m i t y o f t h e a r c . M e a s u r e m e n t s w e r e m a d e o n d i s c h a r g e s i n h y d r o g e n a n d h e l i u m a t f i l l i n g p r e s s u r e s f r o m 1 t o 1 0 0 T o r r a n d 8 6 c u r r e n t s f r o m 3 t o 6 k i l o a m p s . S t a b l e , r e p r o d u c i b l e d i s -c h a r g e s w e r e p r o d u c e d i n h y d r o g e n a t t h e h i g h e r p r e s s u r e s a n d c u r r e n t s . F i g u r e 1 - 4 s h o w s a p h o t o g r a p h o f t h e a r c u s i n g a h o r i z o n t a l s l i t i m a g e . T h e f i l l i n g p r e s s u r e i s 2 5 T o r r H 2 a n d t h e c u r r e n t p u l s e i s 6 k A . T h e s e a r e t h e s a m e c o n d i t i o n s u s e d i n a l l s u b s e q u e n t l a s e r - p l a s m a e x p e r i m e n t s , S t r e a k s p e e d i s 4 5 . 6 y s e c / c m o n t h e f i l m a n d t i m e f l o w s u p w a r d i n t h e f i g u r e . T h e e n t i r e l u m i n o u s s e c t i o n c o r r e s p o n d s t o t h e t o t a l l e n g t h o f t h e c u r r e n t p u l s e , a b o u t 3 5 0 y s e c . S e v e r a l i n t e r e s t i n g f e a t u r e s a r e s e e n i n t h i s p h o t o g r a p h . T h e l o w e r p o r t i o n s h o w s t h a t w h e n c u r r e n t f i r s t s t a r t s t o f l o w t h e a r c i s v e r y u n s t a b l e a n d e x t e n d s t o a d i a m e t e r o f m o r e t h a n 3 c m ( t h e a p e r t u r e o n t h e p h o t o g r a p h ) . H o w e v e r , a f t e r a b o u t 1 6 0 p s e c t h e a r c c o n s t r i c t s t o t h e d i a m e t e r o f t h e f u n n e l s a n d b u r n s s t a b i l y u n t i l t h e c u r r e n t s t o p s . T h e e a r l y u n s t a b i l i z e d b e h a v i o u r i s t o b e e x p e c t e d . I n s i d e t h e g l a s s f u n n e l s t h e p l a s m a i s w a l l - s t a b i 1 i z e d b u t i n t h e g a p b e t w e e n t h e m o n e w o u l d e x p e c t t h e p l a s m a t o e x p a n d . T h e a c t u a l r e a s o n t h a t t h e a r c c o n s t r i c t s a f t e r s o m e t i m e i s s t i l l n o t k n o w n . O n e l i k e l y e x p l a n a t i o n o f f e r e d b y D r . B . A h l b o r n a n d D r . J . U h l e n b u s c h i s t h e p r o c e s s o f f l o w s t a b i l i z a t i o n d u e t o m a s s t r a n s p o r t r a d i a l l y f r o m t h e c o o l e r o u t e r s e c t i o n s o f t h e c o l u m n . L i t t l e i n v e s t i g a t i o n F i g u r e 1-4. S t r e a k p h o t o g r a p h o f a r c H o r i z o n t a l s l i t . F i g u r e 1 - 5 . S t r e a k p h o t o g r a p h o f a r c V e r t i c a l s l i t . 8 8 w a s d o n e i n t h i s a r e a b e c a u s e o f i t s s e c o n d a r y n a t u r e t o t h e d i r e c t i o n o f t h e p r o j e c t . F i g u r e 1 - 5 s h o w s t h e p l a s m a u n d e r t h e s a m e c o n d i -t i o n s a s i n F i g u r e 1 - 4 b u t n o w w i t h a v e r t i c a l s l i t i m a g e c e n t r e d o n t h e a x i s o f t h e f u n n e l s . A g a i n t h e p l a s m a i s s e e n t o b e u n s t a b l e i n i t s e a r l y s t a g e s a n d t o h a v e i n c r e a s e d v i s i b l e r a d i a t i o n a f t e r i t s c o n s t r i c t i o n . 1 . 3 . 2 S t a r k B r o a d e n i n g o f t h e L i n e T o p r o v i d e s o m e i n d i c a t i o n o f t h e e l e c t r o n d e n s i t y i n t h e p l a s m a a s e r i e s o f e x p e r i m e n t s w e r e d o n e t o m e a s u r e t h e S t a r k b r o a d e n i n g o f t h e l i n e . I n i t i a l l y r a d i a l m e a s u r e m e n t s w e r e a t t e m p t e d b u t s o o n a b a n d o n e d d u e t o t h e n e c e s s i t y o f u n f o l d i n g t h e r e s u l t s t h r o u g h a n A b e l i n v e r s i o n [ 3 0 ] . A x i a l m e a s u r e m e n t s t h r o u g h t h e a r c c o l u m n p r o v e d s i m p l e r a n d w e r e a c c o m p l i s h e d b y f a b r i c a t i n g a n e w u p p e r e l e c t r o d e a s s e m b l y w i t h a h o l e t h r o u g h i t s c e n t r e . A s e r i e s o f l e n s e s a n d p r i s m s i m a g e d t h e p l a s m a t h r o u g h t h e h o l e i n t h e e l e c t r o d e o n t o t h e e n t r a n c e s l i t o f a S p e x 1 7 0 0 m o n o -c r o m a t o r . T h i s w a s u s e d w i t h a 1 2 0 0 l i n e / m m g r a t i n g i n 1 s t o r d e r , e n t r a n c e a n d e x i t s l i t s b o t h s e t a t 5 0 u a n d a n E M I 9 5 5 8 p h o t o m u l t i p i i e r . D a t a w a s t a k e n s h o t - b y - s h o t a t o i n t e r v a l s o f 5 A a r o u n d t h e l i n e c e n t r e . P l o t t e d i n F i g u r e 1 - 6 i s t h e m e a s u r e d p r o f i l e o f t h e H a l i n e a t a t i m e 2 0 0 y s e c a f t e r t h e s t a r t o f t h e 4 8 1 6 4 8 4 6 4 8 7 6 4 9 0 6 WAVELENGTH (X) CO F i g u r e I - 6 . P r o f i l e o f H Q l i n e a t t = 2 ' 0 0 y s e c . 9 0 d i s c h a r g e . T h e e r r o r b a r s r e p r e s e n t t h e s t a n d a r d d e v i a t i o n o f t h e p o i n t s a b o u t t h e m e a n . T h e s o l i d l i n e i s a b e s t f i t c u r v e b y e y e t o t h e d a t a . A s s u m i n g t h e b e s t f i t i s a L o r e n t z i a n p r o f i l e a n d f o l l o w i n g t h e s i m p l e t r e a t m e n t i n H u d d l e s t o n e a n d L e o n a r d [ 3 0 ] o n e c a n e s t i m a t e t h e e l e c t r o n d e n s i t y f r o m t h e h a l f o r q u a r t e r w i d t h s o f t h e c u r v e . F o r t h e d a t a o f F i g u r e 1 - 6 o t h e f u l l w i d t h a t h a l f m a x i m u m i s a b o u t 1 6 A , c o r r e s p o n d i n g t o a n e l e c t r o n d e n s i t y o f n g ~ 2 x 1 0 1 6 c m - 3 . A f u l l w i d t h o a t q u a r t e r m a x i m u m o f 2 7 A c o r r e s p o n d s t o n g ~ 2.5 x 1 0 1 6 c m - 3 , i n d i c a t i n g t h a t t h e c u r v e i s n o t t r u l y L o r e n t z i a n . D e s p i t e t h e s i m p l e d a t a h a n d l i n g a n d t h e f a c t t h a t t h i s i s a n a v e r a g e d e n s i t y a l o n g t h e l i n e o f s i g h t , t h e s e n u m b e r s a g r e e s u p r i s i n g l y w e l l w i t h t h e m o r e a c c u r a t e m e a s u r e -m e n t s o f t h e n e x t s e c t i o n . 1.3.3 L a s e r L i g h t S c a t t e r i n g B e c a u s e o f t h e n a t u r e o f t h e o p t i c a l m i x i n g e x p e r i -m e n t s , a n a l y s i s o f t h e p l a s m a b y r u b y l a s e r l i g h t s c a t t e r i n g w a s a n o b v i o u s c h o i c e . T h i s n o w - s t a n d a r d t e c h n i q u e o f d e t e r m i n i n g p l a s m a p a r a m e t e r s [ 1 8 ] w a s u s e d t o m e a s u r e t h e e l e c t r o n t e m p e r a t u r e a n d d e n s i t y i n t h e e x p e r i m e n t a l p l a s m a v o l u m e a n d a l s o t o p r o v i d e a n i n d i c a t i o n o f t h e e l e c t r o n v e l o c i t y d i s t r i b u t i o n f u n c t i o n . 9 1 R e f e r r i n g t o F i g u r e 6 o f C h a p t e r 3 o n e s e e s t h a t t h e o p t i c a l s y s t e m f o r t h e w a v e m i x i n g e x p e r i m e n t s i s d e r i v e d f r o m t h e b a s i c a r r a n g e m e n t o f F i g u r e 1 - 7 . F o r t h e s i m p l e d i a g n o s t i c s c a t t e r i n g s h o w n h e r e t h e r u b y l a s e r w a s o p e r a t e d a t 1 0 0 MW a n d f o c u s e d i n t o a p i n h o l e t o r e m o v e s p u r i o u s t r a n s v e r s e m o d e s f r o m t h e b e a m . T h e p i n h o l e w a s t h e n i m a g e d i n t o t h e p l a s m a a n d s c a t t e r e d l i g h t d e t e c t e d a t 6 0 ° f r o m t h e f o r w a r d d i r e c t i o n b y a S p e x 1 7 0 0 m o n o c h r o m a t o r w i t h a 1 2 0 0 o l i n e / m m g r a t i n g b l a z e d a t 7 0 0 0 A a n d a n R C A C 3 1 0 3 4 p h o t o -m u l t i p l i e r . E n t r a n c e a n d e x i t s l i t s w e r e b o t h s e t a t 3 0 0 u o w i d t h s t o g i v e a t r i a n g u l a r i n s t r u m e n t p r o f i l e o f 3 A f u l l w i d t h a t h a l f t r a n s m i s s i o n . I n a d d i t i o n t h e e n t r a n c e s l i t w a s m a s k e d t o a h e i g h t o f 4 0 0 y . S t r a y l i g h t a t t h e d e t e c t o r w a s n e g l i g i b l e . F i g u r e 1 - 8 a n d 1 - 9 s h o w t w o t y p i c a l s p e c t r a o f t h e s c a t t e r e d r u b y l i g h t . B o t h w e r e t a k e n a t 2 5 0 y s e c a f t e r t h e s t a r t o f t h e p l a s m a c u r r e n t p u l s e , t h e s a m e t i m e t h a t a l l o p t i c a l m i x i n g e x p e r i m e n t s w e r e p e r f o r m e d . T h e e r r o r b a r s i n d i c a t e t h e s t a n d a r d d e v i a t i o n o f t h e o f t h e m e a n . T h e s o l i d c u r v e i s a l e a s t s q u a r e s f i t t o t h e d a t a u s i n g S a l p e t e r ' s t h e o r y [ 3 1 ] a n d t h e p a r a -m e t e r s s h o w n i n t h e d i a g r a m s . S e v e r a l f e a t u r e s s h o u l d b e n o t e d . F i r s t a t h e t w o p l o t s s h o w s l i g h t l y d i f f e r e n t t e m p e r a t u r e s a n d d e n s i t i e s . T h i s i s d u e l a r g e l y t o t h e p r o b l e m o f a l i g n i n g t h e f o c i i o f t h e l e n s e s e x a c t l y o n t h e p l a s m a a x i s . B e c a u s e t h e p h o t o m u l t i p l i e r ^ / ' 127 m m R u b y l a s e r 1 6 6 m m p i n h o l e H e - N e l a s e r w i n d o w ^ ^ ^ 127 m m 8 5 m m l i g h t d u m p a l i g n m e n t m i r r o r s F i g u r e 1-7. O p t i c a l s y s t e m f o r d i a a n o s t i c s c a t t e r i n g 93 F i g u r e 1-8. M e a s u r e d s p e c t r u m o f s c a t t e r e d l i g h t f i t t e d t o a c o m p u t e d p r o f i l e . 94 F i g u r e 1 - 9 . S p e c t r u m o f s c a t t e r e d l i n h t s h o w i n n a n o m a l y a t w . 9 5 g l a s s f u n n e l s a r e n o t m a d e t o c l o s e t o l e r a n c e s t h e a c t u a l p o s i t i o n o f t h e a x i s i s i n d o u b t t o a b o u t a m i l l i m e t e r . A l l e x p e r i m e n t s w e r e p e r f o r m e d i n t h i s a x i a l r e g i o n a n d e a c h t i m e t h e y w e r e m e a s u r e d t h e p l a s m a p a r a m e t e r s f e l l , w i t h i n e x p e r i m e n t a l e r r o r , b e t w e e n t h e v a l u e s p l o t t e d i n t h e s e f i g u r e s . T h i s i n f o r m a t i o n , t o g e t h e r w i t h t h e r e a s o n a b l e s i z e o f t h e e r r o r b a r s , l e a d s t o t h e c o n c l u s i o n t h a t t h e p l a s m a i s s u i t a b l y r e p r o d u c e a b l e . T h e s e c o n d p o i n t t o b e n o t e d f r o m F i g u r e s 1 - 8 a n d 1 - 9 i s t h a t , b y w a y o f c o m p a r i s o n , t h e e l e c t r o n d e n s i t i e s a g r e e w e l l w i t h t h e v a l u e o b t a i n e d f r o m t h e S t a r k b r o a d e n i n g m e a s u r e m e n t s o f H 0 . P T h e t h i r d p o i n t c o n c e r n s t h e f a c t t h a t t h e s o l i d c u r v e s i n t h e d i a g r m s a r e d e r i v e d u n d e r t h e a s s u m p t i o n t h a t t h e e l e c t r o n v e l o c i t y d i s t r i b u t i o n i s a M a x w e l l i a n , N o o t h e r d i s t r i b u t i o n f u n c t i o n c a n d u p l i c a t e t h e s e c u r v e s , T h e e x p e r i m e n t a l d a t a f i t s t h e c u r v e s s o w e l l t h a t t h e c o n c l u s i o n i s m a d e t h a t t h e p l a s m a u n d e r s t u d y h a s a M a x w e l l i a n e l e c t r o n v e l o c i t y d i s t r i b u t i o n f u n c t i o n . T h e f i n a l f e a t u r e i s t h e o n e d a t a p o i n t i n F i g u r e 1 - 9 t h a t i s m o r e t h a n o n e s t a n d a r d d e v i a t i o n a w a y f r o m t h e c u r v e . S t a t i s t i c a l l y t h i s m i g h t b e e x p e c t e d ; h o w e v e r t h e f a c t t h a t t h i s p a r t i c u l a r p o i n t i s above t h e c u r v e a n d l i e s a t a w a v e l e n g t h s h i f t c o r r e s p o n d i n g t o t h e p l a s m a f r e q u e n c y t e n d s t o s u p p o r t t h e f i n d i n g s o f C h u r c h l a n d a n d 9 6 N o d w e l l [ 3 2 ] w i t h r e s p e c t t o a n o m o l o u s s c a t t e r i n g p r o f i l e s . N o f u r t h e r i n v e s t i g a t i o n o f t h i s a n o m a l y w a s d o n e a s i t h a d n o e f f e c t o n f u r t h e r e x p e r i m e n t s a n d i t i s m e n t i o n e d h e r e o n l y i n p a s s i n g . 1 . 4 S u m m a r y T h e p r e c e d i n g s e c t i o n s h a v e o u t l i n e d t h e c o n s t r u c -t i o n a n d o p e r a t i o n o f t h e p l a s m a s o u r c e , t h e t e c h n i q u e s u s e d t o m e a s u r e t h e p l a s m a p a r a m e t e r s a n d t h e r e s u l t s o b t a i n e d I n b r i e f , t h e p l a s m a i s a p a r t i a l l y w a l l - s t a b i 1 i z e d p u l s e d h y d r o g e n a r c w i t h t h e f o l l o w i n g c h a r a c t e r i s t i c s : ( i ) a r e p r o d u c e a b I e e l e c t r o n d e n s i t y o f 2 . 0 ± 0 . 3 x I O 1 6 c m " 3 ; ( i i ) a r e p r o d u c e a b I e e l e c t r o n t e m p e r a t u r e o f 4 3 , 0 0 0 ± 4 0 0 0 ° K ; ( i i i ) a M a x w e l l i a n e l e c t r o n v e l o c i t y d i s t r i b u t i o n f u n c t i o n ; ( i v ) b a c k g r o u n d r a d i a t i o g i n t h e s p e c t r a l r e g i o n a r o u n d 7 0 0 0 A s m a I I e n o u g h t o p e r m i t d e t e c t i o n o f l o w I e v e i s c a t t e r e d r u b y l a s e r l i g h t . T h e s e f e a t u r e s , t o g e t h e r w i t h t h e c o n v e n i e n t o p t i c a l a c c e s s a l l o w e d b y t h e v a c u u m v e s s e l a r e s e e n t o m e e t a l l t h e d e s i g n c o n s i d e r a t i o n s o f S e c t i o n 1 . A P P E N D I X I I PROOF OF THE ERGODIC THEOREM A p p e n d i x I I I m a k e s u s e of a n Ergodio Theorem: I n t h e a s y m p t o t i c t e m p o r a l l i m i t t h e p h a s e s p a c e d e n s i t y a l o n g a p a r t i c l e t r a j e c t o r y i s c o n s t a n t . Proof: F o l l o w i n g O ' N e i l [ 1 7 ] c o n s i d e r a n i n i t i a l d i s t r i -b u t i o n o f p a r t i c l e s i n a s m a l l p h a s e s p a c e r e g i o n b e t w e e n 2 t r a j e c t o r i e s W a n d W + A W . P a r t i c l e s w i t h e n e r g y W h a v e s h o r t e r p e r i o d s t h a n t h o s e o f e n e r g y W + A W , w h i c h i s a l w a y s t h e c a s e f o r o s c i l l a t i o n i n a s i n u s o i d a l p o t e n t i a l w e l l A s t i m e p r o g r e s s e s i n i t i a l p a t c h o f p a r t i c l e s w i l l d e -f o r m i n t o a s p i r a l , a n d e v e n t u a l l y t h e s p i r a l w i l l f i l l t h e r e g i o n b e t w e e n t h e t w o t r a j e c t o r i e s 9 7 98 D e f i n e : f = " c o a r s e g r a i n " d i s t r i b u t i o n = a v e r a g e v a l u e o f t h e a c t u a l d i s t r i b u t i o n o v e r l a r g e p h a s e s p a c e a r e a s ( i . e . l a r g e e n o u g h t o c o n t a i n m a n y s t r a n d s o f t h e s p i r a l ) . B y t h e L i o u v i l l e T h e o r e m , t h e c o n s e r v a t i o n o f p h a s e s p a c e d e n s i t y r e q u i r e s t h a t , i n t h e a s y m p t o t i c l i m i t : r a t e o f f l o w o f p h a s e d e n s i t y p a s t p o s i t i o n 1 = r a t e o f f l o w p a s t p o s i t i o n 2 We n o w c o n s i d e r t h e p h a s e s p a c e f l o w . I n g e n e r a l n o . o f p a r t i c l e s = ; Hr——: C I r a t e o f f l o w  - — ' • — r " 7 ~ '—— c r o s s i n g a r e a S u n i t 11m e 3 = ( p a r t i c l e d e n s i t y ) ( p a r t i c l e v e l o c i t y ) ( S ) = f v s F o r t h e c a s e o f 2 - d i m e n s i o n a l p h a s e s p a c e a s u s e d h e r e : A x / A v ' p a r t i c l e s f l o w a c r o s s l i n e S w i t h v e l o c i t y v S = ( A x 2 + A v 2 ) 99 V e l o c i t y v i s r e s o l v e d i n t o t w o c o m p o n e n t s ; c o n s t a n t v e l o c i t y v p l u s t h e c h a n g e i n v e l o c i t y v ( i . e . t o m o v e f r o m p o i n t t o p o i n t o n t h e p h a s e s p a c e d i a g r a m a l o n g a n y t h i n g b u t a h o r i z o n t a l l i n e r e q u i r e s a n a c c e l e r a t i o n ) T h e r e f o r e v = ( y 2 + v 2 ) R e t u r n i n g t o t h e i n i t i a l p a r t i c l e t r a j e c t o r i e s , w h e r e p o s i t i o n 1 i s c h o s e n s u c h t h a t v x = A x = 0 : r a t e o f f l o w p a s t 1 = f j V i A v i r a t e o f f l o w p a s t 2 = f 2 ( v 2 + v 2z)* ( A x 2 + A v 2 ; ) * e q u a t i n g t h e s e g i v e s : f i V ! A V l = f 2 ( v 2 + v 2 ) * ( A x 2 + A v 2 ) * ( 1 ) N o w , c o n s i d e r i n g t h e e n e r g i e s o f t h e t r a j e c t o r i e s a t e a c h p o i n t : p o s i t i o n 1 AW = 3W 3 v A V ; p o s i t i o n 2 AW = 3W 3 x A x 2 + 3W 3V A V ; U s i n g t h e L a g r a n g e f o r m a l i s m j ^ -9 W / 9 v = m v 9 W / 9 x = - m v a n d e q u a t i n g AW a t t h e t w o p o s i t i o n s g i v e s : V i A v i = - v 2 A x 2 + v 2 A v 2 B e d e f i n i t i o n , v e l o c i t y v i s p e r p e n d i c u l a r t o l i n e S ; t h a t i s , i n t h e d i a g r a m , v e c t o r ( v , v ) J - ( A x , A v ) . F o r m i n g t h e c r o s s p r o d u c t ( v 2 , v 2 ) * ( A x 2 , A v 2 ) g i v e s - v 2 A x 2 + v 2 A v 2 = ( v * + v 2 ) * ( A x 2 + A v 2 ) * C o m b i n i n g ( 1 ) , ( 2 ) , ( 3 ) g i v e s f i = ft a n d s i n c e p o s i t i o n 2 w a s a n y a r b i t r a r y p o i n t a l o n g t h e As t r a j e c t o r y t h e d i s t r i b u t i o n f u n c t i o n f i s s h o w n t o b e c o n -s t a n t a l o n g t h e p h a s e s p a c e t r a j e c t o r y . aw = aw 9 v 1 9 x A P P E N D I X I I I CALCULATION OF THE INDUCED DENSITY FLUCTUATIONS F o r a m o r e c o m p l e t e d e s c r i p t i o n o f t h e e l l i p t i c f u n c t i o n s u s e d i n t h i s a p p e n d i x a n d t h r o u g h o u t t h e t e x t , t h e r e a d e r i s r e f e r r e d t o r e f e r e n c e [ 3 3 ] . I I I . l M o t i o n i n P h a s e S p a c e U s i n g e q u a t i o n ( 4 ) a n d s e t t i n g E i * E 2 = E a n d t h e x - a x i s a l o n g It t h e e q u a t i o n o f m o t i o n f o r a m o l e c u l e o f p o l a r i z a b i 1 i t y a i n a n o p t i c a l w a v e m i x i n g f i e l d b e c o m e s at m x = - k s i n k x ( I I I - l ) T o s o l v e m u l t i p l y b o t h s i d e s b y x a n d i n t e g r a t e u s i n g x x = 2 d t ( x ) — (x)2~1 = - ^ - f e l i c o s k x d t|2 K ' J d11_ 2 _ 1 0 1 1 0 2 H e n c e 1 • F 2 m x 2 - c o s k x = W ( 1 1 1 - 2 ) w h e r e W i s t h e t o t a l e n e r g y a n d t h e v e l o c i t y x = W a E : c o s k x + W ( 1 1 1 - 3 ) N o w , t o d i s t i n g u i s h b e t w e e n f r e e a n d t r a p p e d p a r t i c l e s w e d e f i n e , _ 2 g E 2 a E 2 + 2W I n a p o t e n t i a l w e l l of a E 2 d e p t h -j- t h e p a r t i c l e h a s t o t a l e n e r g y W T w o c a s e s a r e p o s s i b l e ; K * 1 p a r t i c l e i s u n t r a p p e d K > 1 p a r t i c l e i s t r a p p e d i n w e l l N e x t , t o t r a n s f o r m e q u a t i o n ( 1 1 1 - 3 ) i n t o t h e f o r m o f a n e l l i p t i c V y i n t e g r a l s e t K = ^ . 1 0 3 S u b s t i t u t i n g i n t o ( 1 1 1 - 3 ) g i v e s C = K < 1 ( u n t r a p p e d ) ( I I I - 4 a ) s i n c e £ i s a l w a y s r e a l , m a k e t h e t r a n s f o r m a t i o n K z s i n 2 E, = s i n 2 n f o r K > n = k K > 1 ( t r a p p e d ) ( I I I - 4 b ) E q u a t i o n s ( 1 1 1 - 4 ) d e s c r i b e t h e m o t i o n o f a t e s t p a r t i c l e i n p h a s e s p a c e . K < 1 T h e o r b i t s a p p e a r a s s h o w n f o r t h e t r a p p e d a n d u n t r a p p e d p a r t i c l e s . E q u a t i o n s ( 1 1 1 - 4 ) c a n b e i n t e g r a t e d u s i n g t h e e l l i p t i c i n t e g r a l s o f t h e f i r s t k i n d : F U , K ) = I d t ( 1 - K 2 s i n 2 t ) I n t e r m s o f F t h e s o l u t i o n s a r e : 1 0 4 a E : 2 1 i 2 m F ( H , 1 / K 2 ) - F ( n o , 1 / K 2 ) = k ^ ] * * K < 1 K > 1 ( 1 1 1 - 5 a ) C 1 1 1 - 5 b ) I I I . 2 T h e D i s t r i b u t i o n F u n c t i o n T h e e q u a t i o n s o f m o t i o n f o r a p a r t i c l e i n p h a s e s p a c e a r e g i v e n b y e q u a t i o n s ( I I I - 4 ) . T o c a l c u l a t e t h e c i i s t r i b u t i o n f u n c t i o n u s e i s m a d e o f a n Ergodio Theorem. I n t h e a s y m p t o t i c t e m p o r a l l i m i t t h e p h a s e s p a c e d e n s i t y a l o n g a p a r t i c l e t r a j e c t o r y i s c o n s t a n t ( p r o v e d i n A p p e n d i x l l ) T h i s m e a n s t h a t t h e t r a j e c t o r i e s d r a w n i n t h e p r e v i o u s p h a s e s p a c e d i a g r a m c a n b e i n t e r p r e t e d a s l i n e s o f c o n s t a n t d e n s i t y ( c o n s t a n t f ) . A s s u m i n g a E 2 i s c o n s t a n t , t h e a s y m p t o t i c d i s t r i b u t i o n f u n c t i o n f o r t h e p a r t i c l e s , f , c a n b e f o u n d b y a v e r a g i n g t h e i n i t i a l d i s t r i b u t i o n o v e r t h e p a r t i c l e t r a j e c t o r i e s i n p h a s e s p a c e [ 1 7 ] , F o r m i n g t h e a v e r a g e o f f 0 o v e r a l l t r a j e c t o r i e s tir/2 ' f 0 A v d £ o f = TnTz A v d £ K A v = d i s t a n c e b e t w e e n t w o p h a s e s p a c e t r a j e c t o r i e s e v a l u a t e t h i s d i s t r i b u t i o n t w o s t e p s a r e t a k e n : We e v a l u a t e A v b y u s i n g e q u a t i o n ( 1 1 1 - 2 ) t o e x p r e s s t h e p a r t i c l e t r a j e c t o r y a s m v 2 , r 2 • „ 2 c at2 + a E z s i n ^ £ = - p -1 0 5 ( I I I - 6 ) s i n m E K A v = ( 1 K 2 s i n 2 5) 2 a m -T- A ( l 2 K s i n2 5 ) < 1 E x p r e s s i n g f 0 a s a f u n c t i o n o f K r a t h e r t h a n v t h e a s y m p t o t i c d i s t r i b u t i o n b e c o m e s 1 0 6 K < 1 r T T/2 d £ f „ ( K , g ) ( 1 - K 2 s i n 2 £ ) u n t r a p p e d ( 1 1 1 - 7 a ) 1 K > 1 K ( 1 / K ) TT/2 d n f°lK>") . t r a p p e d ( I I I - 7 b ) s i n 2 n i * 1 -TT/2 w h e r e K ( < ) = F ( K , T T / 2 ) = d C J ( 1 - K 2 s i n 2 £ ) * i s t h e c o m p l e t e e l l i p t i c i n t e g r a l o f t h e f i r s t k i n d T h i s i s t h e d i s t r i b u t i o n f u n c t i o n a f t e r s o m e t i m e f o r t h e p a r t i c l e s u n d e r t h e i n f l u e n c e o f t h e m i x e d l a s e r b e a m s . T h e c o m p l e t e f u n c t i o n f i s s i m p l y t h e s u m o f ( I I I - 7 a ) a n d ( I I I - 7 b ) w h i c h i s t h e s u m o v e r a l l p a r t i c l e s . fo Maxwellian We n o w e v a l u a t e t h e a s y m p t o t i c d i s t r i b u t i o n f u n c t i o n f o r t h e p a r t i c u l a r c a s e t h a t f 0 i s a M a x w e l l i a n d i s t r i b u t i o n . T h e p r o c e d u r e c o n s i s t s o f e x p r e s s i n g f 0 i n t e r m s o f K r a t h e r t h a n v f o r b o t h K < 1 a n d K > 1 a n d t h e n s u b s t i t u t i n g f o ( K > 5 ) i n ( 1 4 ) . We c a n d e f i n e a p a r a m e t e r 3 = a E 2 / m a 2 w h i c h m e a s u r e s t h e r a t i o o f p o t e n t i a l e n e r g y o f a w e l l t o t h e k i n e t i c e n e r g y o f a m o l e c u l e . H e r e , a i s t h e t h e r m a l v e l o c i t y o f a m o l e c u l e . 1 0 7 I n o r d e r t o e x p r e s s f 0 i n t e r m s o f K w e w r i t e e q u a t i o n ( I I I - 2 ) V 2 = J j * + O i l k ) ( m m S i n c e W = aE ; - 1 w e f i n d 2 = 2 3 a 2 s 1 n 2 ( I I I - 8 ) T h i s e x p r e s s i o n w e s u b s t i t u t e i n t o t h e M a x w e l l i a n d i s t r i b u t i o n f 0 = — — e x p a /TT a F o r K > 1 w e t r a n s f o r m K 2 s i n 2 K = s i n 2 n . . T h u s w e m a y w r i t e f o r t h e i n i t i a l d i s t r i b u t i o n , d i s t i n g u i s h i n g b e t w e e n t r a p p e d a n d f r e e p a r t i c l e s : 0 - ~ Z e x p | - |4 ( 1 - K 2 s i n 2 5)} ic < 1 ( I l l - 9 a ) ) + - • 2 - | - C O S 2 T T " — — e x p - r - l - i - c o s 2 a / ? K > 1 ( I I I - 9 b ) S u b s t i t u t i n g t h e s e e x p r e s s i o n s f o r f 0 i n t o e q u a t i o n s ( 1 1 1 - 7 ) g i v e s t h e a s y m p t o t i c d i s t r i b u t i o n f o r : 1 0 8 Untrapped particles K < 1 e x p ( - 2 8 / K 2 ) a / ? K ( K ) TT/2 e x p ( 2 B s i n 2 g ) ( 1 K 2 s i n 2 E,) d £ ( I I I - 1 0 a ) Trapped particles a / T ? K ( S ) J TT/2 e x p ( - 2 g S 2 c o s 2 n ) ( 1 - S 2 s i n 2 n ) * - d n ( 1 1 1 - 1 O b ) w h e r e S = 1 / K I I I . 3 I n d u c e d S p a t i a l D e n s i t y V a r i a t i o n s T h e m i x e d l a s e r b e a m s w i l l i n d u c e a p e r t u r b a t i o n i n d e n s i t y g i v e n b y n i ( x ) = n + 0 0 (f - f 0 ) d v w h e r e n 0 i s t h e a v e r a g e u n p e r t u r b e d p a r t i c l e d e n s i t y a n d fK>r We a r e i n t e r e s t e d i n t h e F o u r i e r c o m p o n e n t f = f +  • K< 1 K>1 n ( k ) = J n 0 7T 1 0 9 H - 1 d £ c o s 2 £ f d v ( I I I - l l ) o ' o k f 2 7 T / k w h e r e t h e c o s i n e t r a n s f o r m n ( k ) = — n ( x ) c o s k x d x w i t h K x = 2 £ / k i s u s e d s i n c e f i s e v e n . U s i n g t h e a s y m p t o t i c d i s t r i b u t i o n ^ o f t h e p r e v i o u s s e c t i o n ( I I I - l l ) c a n b e i n t e g r a t e d . A s s h o w n n e x t t h e r e s u l t s a r e n K < I ( k ) dK K Z K<1 ( K ) [ K ( K ) - 2 D ( K ) J ( 1 1 1 - 1 2 a ) \>,<k> = ^ a n 0 ( 3 ) * S d s f K > ] ( S ) K ( S ) - 2 S : D ( s ) ] ( 1 1 1 - 1 2 b ) H e r e : 1 ( K - E ) a n d E i s t h e c o m p l e t e e l l i p t i c i n t e g r a l o f t h e s e c o n d k i n d E q u a t i o n s ( 1 1 1 - 1 2 ) a r e t h e f i n a l f o r m f o r t h e s p a t i a l v a r i t i o n o f t h e i n d u c e d d e n s i t y f l u c t u a t i o n s . F o r t h e p a r t i c u l a r c a s e t h a t t h e i n i t i a l d i s t r i b u t i o n f u n c t i o n i s M a x w e l l i a n , t h e s e e u q a t i o n s c a n b e e v a l u a t e d u s i n g t h e a s y m p t o t i c d i s t r i b u t i o n f g i v e n b y e q u a t i o n s ( 1 1 1 - 1 0 ) . U s i n g e q u a t i o n ( I I I - 8 ) , e q u a t i o n ( I I I - l l ) b e c o m e s no n ( k ) = a n 0 ( e ) * TT f .'I d £ c o s 2 ? die T « 1  * * " (1 - K 2 s i n 2 ? ) * l / s i n £ d < O l K (1 - K 2 s i n 2 ? ) ( 1 1 1 - 1 3 ) U s i n g t h e d e f i n i t i o n D ( K ) = \ [ K ( K ) - E ( K ) ] t h e i n t e g r a l o v e r f K < 1 i s s t r a i g h t f o r w a r d \ < i < k > • 3£ a n o ( B ) 1 die K<1 J K ( K ) - 2 D(<jJ ( 1 1 1 - 1 4 ) T h i s s t i l l l e a v e s f o r t h e t r a p p e d p a r t i c l e s T h e r e a r e t w o p o s s i b l e o r d e r s f o r t h e i n t e g r a t i o n 1 1 1 e i t h e r fir 1 / s i n K d K . oo •TT o r e l s e d < d £ + d £ 1 i 4> w h e r e c() = a r c s i n 1 / K C h o o s i n g t h e s e c o n d f o r m g i v e s \ > l < k > 4/2 a n 0 ( 3 ) ' dK 1 K 2 T K > 1 d g c o s 2 g ( 1 - K 2 s i n 2 £ ) TT d e c o s 2 6 ( 1 - K 2 s i n 2 O w h e r e e = TT-C S i n c e w e c a n w r i t e 'TT »(J) d ? + d(J> = d £ - d £ = 2 < IT -<J> w e f i n d 1 1 2 a r e s i n — K ~rP d £ c o s 2 g ( 1 - K 2 s i n 2 £ ) We n o w c h a n g e c o o r d i n a t e s , , K s i n % = s i n n a n d s u b s t i t u t e d 5 = 1 d n ( 1 . J - s i n 2 n ) * c o s 2 ? = 1 - - 4 - s i n 2 n t o g e t 8/2 7T a n 0 (3)' dK f I K> 1 rTT/2 w h e r e d n 1 2 • 2 s m ^ n ( 1 - ~r s i n 2 n ) * S e t t i n g S = 1 / K w e e x p r e s s I I = t o g e t t h e f i n a l f o r m f o r t h e i n t e r m s o f e l l i p t i c i n t e g r a l s : K ( S ) - 2 S 2 D ( S ) t r a p p e d p a r t i c l e s 1 1 3 r S d s f K > ] ( S ) ^ K ( S ) - 2 S 2 D ( S ) ( 1 1 1 - 1 5 ) F o r t h e p a r t i c u l a r c a s e t h a t t h e i n i t i a l d i s t r i b u -t i o n i s M a x w e l l i a n , f i s g i v e n b y e q u a t i o n s ( 1 1 1 - 1 0 ) . U s i n g t h e e x p a n s i o n m i y J - x m 1 m! x m=0 a n d t h e d e f i n i t i o n C m m, c o s "X d g ( 1 - K 2 s i n 2 £ ) * t h e s e a s y m p t o t i c d i s t r i b u t i o n s b e c o m e s 1 « 1 a / ? K ( K ) e x p - 2 $ - 1 I JJJT ( - 2 e ) m C ? m ( I H - 1 6 a ) m ml 2  « 1 1 a / ? K ( S ) I S T ( - 2 6 S 2 ) m C 2 m ( 1 1 1 - 1 6 b ) S u b s t i t u t i n g i n t o e q u a t i o n s ( 1 1 1 - 1 4 ) a n d ( 1 1 1 - 1 5 ) g i v e s t h e p a r t i c u l a r f o r m f o r t h e i n d u c e d d e n s i t y f l u c t u a t i o n s : 1 1 4 \ < l ( k > 7T d j c K ( K ) - 2 D ( K T < T e x p - 2 6 r-L - i 2 1 4 M ! C m m ! " 2 m ( 1 1 1 - 1 7 a ) \ < l < k > -!T7T a n 0 ( 3 ) 2 S d s K ( S ) - 2 S 2 D ( s ) KTS7 ( - 2 6 S 2 ) m m m l " 2 m ( 1 1 1 - 1 7 b ) w i t h D ( K ) = ^ [ K ( K ) - E(<r| C o = K (K ) C 2 = ± [ E ( K ) - ( 1 - i c 2 ) K ( i c j ] 2 m ( 2 < 2 - 1 ) C 2 m + ( 2 m - 1 ) ( 1 - K 2 ) C 2 m _ 2  C 2 m + 2 = 2 ( 2 m + 1 ) K 2 ' E q u a t i o n s ( 1 1 1 - 1 7 ) w e r e e v a l u a t e d o n a c o m p u t e r f o r 0 . 1 5 3 < 2 a n d ni = 5 . m a x 

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