Open Collections

UBC Theses and Dissertations

UBC Theses Logo

UBC Theses and Dissertations

A study of electrically driven standing waves on fluid surfaces Ionides, George Nicos 1972

Your browser doesn't seem to have a PDF viewer, please download the PDF to view this item.

Item Metadata

Download

Media
831-UBC_1972_A1 I55.pdf [ 8MB ]
Metadata
JSON: 831-1.0084840.json
JSON-LD: 831-1.0084840-ld.json
RDF/XML (Pretty): 831-1.0084840-rdf.xml
RDF/JSON: 831-1.0084840-rdf.json
Turtle: 831-1.0084840-turtle.txt
N-Triples: 831-1.0084840-rdf-ntriples.txt
Original Record: 831-1.0084840-source.json
Full Text
831-1.0084840-fulltext.txt
Citation
831-1.0084840.ris

Full Text

A STUDY OF ELECTRICALLY DRIVEN STANDING WAVES ON FLUID SURFACES by GEORGE NICOS ION IDES B . S c , A.R.C.S., U n i v e r s i t y of London, 1968 M.Sc., U n i v e r s i t y of B r i t i s h C o l u m b i a , 1970 A T H E S I S SUBMITTED IN P A R T I A L F U L F I L M E N T OF THE REQUIREMENTS FOR THE DEGREE OF DOCTOR OF PHILOSOPHY i n t h e Department of P H Y S I C S We a c c e p t t h i s t h e s i s as c o n f o r m i n g t o t h e r e q u i r e d s t a n d a r d THE U N I V E R S I T Y OF B R I T I S H COLUMBIA i June 19 7 2 In p r e s e n t i n g t h i s t h e s i s in p a r t i a l f u l f i l m e n t o f the requirements f o r an advanced degree at the U n i v e r s i t y of B r i t i s h Columbia , I agree that the L i b r a r y s h a l l make i t f r e e l y a v a i 1 ab le f o r re ference and study . I f u r t h e r agree t h a t permiss ion fo r e x t e n s i v e copy ing o f t h i s t h e s i s f o r s c h o l a r l y purposes may be granted by the Head o f my Department or by h i s r e p r e s e n t a t i v e s . I t i s understood that copying o r p u b l i c a t i o n o f t h i s t h e s i s f o r f i n a n c i a l ga in s h a l l not be a l lowed wi thout my w r i t t e n p e r m i s s i o n . Department of The U n i v e r s i t y o f B r i t i s h Columbia Vancouver 8 , Canada ABSTRACT The p r o p e r t i e s o f s t a n d i n g s u r f a c e w a v e s on c o n -d u c t i n g l i q u i d s ( m e r c u r y and w a t e r ) h a v e b e e n s t u d i e d i n c o n d i t i o n s w h e r e t h e w a v e s a r e e x c i t e d by e l e c t r i c f i e l d s a p p l i e d n o r m a l l y t o t h e f r e e s u r f a c e o f t h e f l u i d s . The f i e l d s a r e s p a t i a l l y n o n - u n i f o r m , s t a t i c and p e r i o d i c i n t i m e . The a m p l i t u d e s on m e r c u r y w e r e m e a s u r e d by o b s e r v i n g t h e s h i f t o f t h e r e s o n a n t f r e q u e n c y o f a m i c r o w a v e r e s o n a t o r c o n t a i n i n g t h e m e r c u r y ; an o p t i c a l t e c h n i q u e was u s e d f o r w a t e r . B o t h m e t h o d s p e r m i t wave a m p l i t u d e s t o be m e a s u r e d t o an a c c u r a c y o f 5 x 10 c m . The d e c r e a s e o f f r e q u e n c y o f s m a l l a m p l i t u d e ( ^ 0 . 0 0 5 c m ) , l i n e a r i z e d w a v e s has b e e n e x a m i n e d f o r m e r c u r y i n a c y l i n d r i c a l c o n t a i n e r , as a f u n c t i o n o f t h e s t r e n g t h o f an a p p l i e d e l e c t r o s t a t i c f i e l d . The r e s u l t s a r e i n c l o s e a g r e e m e n t w i t h an a p p r o p r i a t e l y m o d i f i e d u n i f o r m f i e l d t h e o r y . O b s e r v a t i o n s on t h e d a m p i n g o f s u r f a c e w a v e s show t h a t s t r o n g e l e c t r o s t a t i c f i e l d s (up t o 55 kV/cm) do n o t a f f e c t t h e b o u n d a r y l a y e r s t r u c t u r e a t t h e f l u i d s u r f a c e . S i n g l e s u r f a c e wave modes- h a v e b e e n e x c i t e d by a p p l y i n g e l e c t r i c s t r e s s e s a t t h e d i s p l a c e m e n t i i a n t i n o d e s o f a d e s i r e d m o d e , and s e t t i n g t h e p e r i o d o f t h e a p p l i e d s t r e s s e q u a l t o t h e n a t u r a l mode p e r i o d . When t h e s u r f a c e mode a m p l i t u d e b e c o m e s c o m p a r a b l e t o t h e mean d i s t a n c e f r o m t h e f i e l d a p p l y i n g e l e c t r o d e t o t h e f l u i d s u r f a c e , t h e d r i v i n g f o r c e d e p e n d s on t h e wave a m p l i t u d e , and i s n o n - l i n e a r . The n o n - l i n e a r i t y p r o d u c e s an o v e r s t a b l e s u r f a c e . New s t a b i l i t y c r i t e r i a a r e f o r m u l a t e d , w h i c h a g r e e w e l l w i t h o b s e r v a t i o n s . N o n - l i n e a r m i x i n g o f s u r f a c e modes on s h a l l o w w a t e r has a l s o b e e n s t u d i e d , and t h e e x -c h a n g e o f e n e r g y among s u r f a c e modes c o n c l u s i v e l y d e m o n -s t r a t e d . V i s c o u s d i s s i p a t i o n was t a k e n as t h e a m p l i t u d e l i m i t i n g f a c t o r , and t h e r e s u l t s a r e i n g o o d a g r e e m e n t w i t h t h e o r y . TABLE OF CONTENTS Page ABSTRACT I i L I S T OF TABLES v i i i L I S T OF FIGURES . i x ACKNOWLEDGEMENTS x i i 1 C h a p t e r 1 INTRODUCTION 1 C h a p t e r 2 EQUIPMENT AND EXPERIMENTAL TECHNIQUES. . . . 8 2.1 M i c r o w a v e E l e c t r o n i c s 9 2.2 M i c r o w a v e C a v i t y and B a s i c A c c e s s o r i e s . 13 2.3 H i g h V o l t a g e Wave G e n e r a t o r 17 •2.4 R e c t a n g u l a r W a t e r Wave Tank 19 2.5 Tim e and Wave A m p l i t u d e R e c o r d i n g S y s t e m s 20 2.5.1 M i c r o w a v e C a v i t y Wave R e c o r d i n g . 20 2.5.2 O p t i c a l W a v e - M o n i t o r i n g T e c h n i q u e 22 C h a p t e r 3 CALIBRATION OF THE MICROWAVE RESONATOR TO ST A T I C SURFACE DEFORMATIONS, AND I N V E S T I -GATION OF EL E C T R O S T A T I C F I E L D E F F E C T S ON LINEAR SURFACE WAVES 27 i v Pag_e 3 . 1 M i c r o w a v e R e s o n a t o r S e n s i t i v i t y t o S t a t i o n a r y D e f o r m a t i o n s o f i t s B o u n d a r i e s 28 3 . 2 . 1 D i s p e r s i o n R e l a t i o n f o r S u r f a c e Waves on a C o n d u c t i n g F i e l d U n d e r t h e A c t i o n o f a N o r m a l E l e c t r o s t a t i c F i e l d - T h e o r y . . . 33 3 . 2 . 2 D i s p e r s i o n R e l a t i o n w i t h a S p a t i a l l y N o n - U n i f o r m F i e l d . . . 42 3 . 2 . 3 E x p e r i m e n t a l R e s u l t s o f S u r f a c e Mode F r e q u e n c y R e d u c t i o n by S p a t i a l l y N o n - U n i f o r m , E l e c t r o -s t a t i c F i e l d s 50 3 . 3 An I n s t a b i l i t y E x p e r i m e n t t h a t d i d n o t S u c c e e d 56 C h a p t e r 4 E X C I T A T I O N OF PURE SURFACE MODES BY S P A T I A L L Y NON-UNIFORM TIME P E R I O D I C E L E C T R I C F I E L D S - SURFACE MODE DAMPING . . . 61 4 . 1 . 1 S u r f a c e Mode E x c i t a t i o n by a S p a t i a l l y N o n - U n i f o r m , T i m e V a r y i n g E l e c t r i c F i e l d - T h e o r y . 62 4 . 1 . 2 S u r f a c e Wave D a m p i n g i n C o n t a i n e r s 70 4 . 2 E x p e r i m e n t a l R e s u l t s - C o m p a r i s o n w i t h T h e o r y 76 4 . 2 . 1 S u r f a c e Mode E x c i t a t i o n by S p a t i a l l y N o n - U n i f o r m , T i m e D e p e n d e n t E l e c t r i c F i e l d s -E x p e r i m e n t a l R e s u l t s 76 4 . 2 . 2 S e l e c t i v e E x c i t a t i o n o f P u r e S u r f a c e Modes by T i m e D e p e n d e n t , S p a t i a l l y N o n - U n i f o r m E l e c t r i c F i e l d s 87 v Page 4.2.3 D e p e n d e n c e o f Damping F r e -q u e n c y o f S u r f a c e Modes on an A p p l i e d E l e c t r o s t a t i c F i e l d . . . 92 C h a p t e r 5 DISCUSSION OF THE IMPORTANCE OF S P A T I A L L Y NON-UNIFORM E L E C T R I C F I E L D S 95 5.1 The I m p o r t a n c e o f N o n - U n i f o r m E l e c t r i c F i e l d s 95 5.2 Damping F r e q u e n c y M e a s u r e m e n t s 101 C h a p t e r 6 NON-LINEAR DRIVING OF SURFACE WAVES BY E L E C T R I C F I E L D S 103 6.1 T h e o r y o f N o n - L i n e a r D r i v i n g o f S u r f a c e Modes by E l e c t r i c F i e l d s . . . . 104 6.2 E x p e r i m e n t a l R e s u l t s - C o m p a r i s o n w i t h T h e o r y 109 6.3 Di s c u s s i on 113 C h a p t e r 7 NON-LINEAR INTERACTION OF WAVES ON SHALLOW WATER 118 7.1 T h e o r y 119 7.2 E x p e r i m e n t a l R e s u l t s 128 • 7.3 C r i t i c a l D i s c u s s i o n o f E x p e r i m e n t a l R e s u l t s o f t h e N o n - L i n e a r I n t e r a c t i o n b e t w e e n S h a l l o w W a t e r S u r f a c e Modes . . 132 C h a p t e r 8 CONCLUSIONS - FUTURE WORK 139 BIBLIOGRAPHY 178 APPENDICES A R a d i a l D i s t r i b u t i o n o f N o n - U n i f o r m E l e c t r i c F i e l d on t h e M e r c u r y S u r f a c e . . . . 182 B E x p e r i m e n t a l D i f f i c u l t i e s and P r e c a u t i o n s i n M e a s u r i n g S u r f a c e Wave Damping 191 v i A p p e n d i c e s P a g e C A d d i t i o n a l C a l c u l a t i o n s on t h e N o n - L i n e a r D r i v i n g o f S u r f a c e Waves by S p a t i a l l y N o n -U n i f o r m P e r i o d i c E l e c t r i c F i e l d s 195 D A d d i t i o n a l E f f e c t s i n S e c o n d O r d e r W a v e -Wave I n t e r a c t i o n 208 E D a m p i n g on End W a l l s o f a R e c t a n g u l a r C o n t a i n e r o f W i d t h S m a l l C o m p a r e d t o i t s L e n g t h 222 F E x c i t a t i o n o f S u r f a c e Modes by S p a c e and T i m e P e r i o d i c F i e l d s 224 G D a m p i n g o f a P r i m a r y Mode by t h e P r e s e n c e o f a S e c o n d a r y Mode - a P o s s i b l e S t a b i l i -z a t i o n T e c h n i q u e 227 v i i LIST OF TABLES T a b l e Page 2.1 Some P a r a m e t e r s o f E x p e r i m e n t a l E q u i p m e n t . . . 15 2.2 Summary o f S y m b o l s F r e q u e n t l y Used i n t h e T h e s i s 25 3.1 P a r a m e t e r s Used i n t h e E x p e r i m e n t s 51 3.2 Z e r o o f D e r i v a t i v e s o f B e s s e l F u n c t i o n s o f t h e F i r s t K i n d 53 3.3 R e s u l t s 57 4.1 E x p e r i m e n t a l P a r a m e t e r s 80 4.2 S u r f a c e Modes E x c i t e d w i t h D i f f e r e n t E l e c t r o d e s . . . 89 4.3 I d e n t i f i c a t i o n o f S u r f a c e Modes by t h e i r Damping F r e q u e n c i e s 91 6.1 E x p e r i m e n t a l P a r a m e t e r s 112 7.1 E x p e r i m e n t a l P a r a m e t e r s 130 7.2 E x p e r i m e n t a l R e s u l t s - C o m p a r i s o n w i t h T h e o r y 133 v i i i LIST OF FIGURES F i g u r e Page 1 E l e c t r o n i c m i c r o w a v e s y s t e m 148 2 D i s p l a y o f m i c r o w a v e r e s o n a n c e on o s c i l l o s c o p e 149 3 M i c r o w a v e c a v i t y and a c c e s s o r i e s 150 4 Gas t i g h t m i c r o w a v e c a v i t y f i l l e d w i t h SFs . . 151 5 S t a t o r o f h i g h v o l t a g e wave g e n e r a t o r 152 6 R o t o r o f h i g h v o l t a g e wave g e n e r a t o r 152 7 O u t p u t o f h i g h v o l t a g e wave g e n e r a t o r 153 8 M o d i f i e d s t a t o r o f h i g h v o l t a g e wave g e n e r a -t o r , p r o d u c i n g " s i n u s o i d a l " t y p e o u t p u t . . . . 154 9 R e c t a n g u l a r w a t e r c o n t a i n e r and wave e x c i t a t i o n e l e c t r o d e 155 10 S u r f a c e wave and t i m e m a r k e r r e c o r d i n g on f i l m 156 11 T i m e m a r k e r p r o d u c t i o n and d i s p l a y 157 12 O p t i c a l wave m o n i t o r i n g method f o r w a t e r waves 158 i x F i g u r e Page 13 P h o t o r e s i s t o r c i r c u i t f o r m o n i t o r i n g s u r f a c e waves on w a t e r 159 14 C a l i b r a t i o n o f p h o t o r e s i s t o r t o y i e l d a b s o l u t e m e a s u r e m e n t s o f s u r f a c e wave a m p l i t u d e 160 15 G r a p h f o r c a l i b r a t i n g t h e s e n s i t i v i t y o f t h e m i c r o w a v e r e s o n a t o r t o s t a t i c b o u n d a r y d e f o r m a t i o n s 161 16 G e o m e t r y o f s u r f a c e wave i n f l u e n c e d by a u n i f o r m , n o r m a l e l e c t r o s t a t i c f i e l d 162 17 G e o m e t r y o f s u r f a c e wave i n f l u e n c e d by a n o n - u n i f o r m e l e c t r o s t a t i c f i e l d 163 18 P l o t o f s q u a r e o f s u r f a c e mode f r e q u e n c y v s . t h e s q u a r e o f t h e v o l t a g e a p p l i e d t o t h e e l e c t r o d e 164 19 H i g h v o l t a g e g e n e r a t o r u s e d f o r a p p l y i n g s u p e r c r i t i c a l f i e l d s t o t h e f l u i d s u r f a c e . . . 165 20 U n s t a b l e s u r f a c e wave and i t s e x p o n e n t i a l g r o w t h 166 21 Power r e s o n a n c e c u r v e f o r ( 0 , 3 ) s u r f a c e mode . 167 22 E s t i m a t i o n o f p h a s e d i f f e r e n c e b e t w e e n t h e d r i v i n g f i e l d and s u r f a c e wave 168 23 S u r f a c e wave a m p l i t u d e as a f u n c t i o n o f t h e - a m p l i t u d e o f t h e e l e c t r o d e v o l t a g e s q u a r e d . . 169 24 D i r e c t m e a s u r e m e n t o f s u r f a c e wave a m p l i t u d e . 170 25 V a r i o u s s h a p e s o f wave e x c i t a t i o n e l e c t r o d e s . 171 x F i g u r e Page 26 M e a s u r e m e n t o f damping f r e q u e n c y o f s u r f a c e modes. 172 27 Damping f r e q u e n c y o f s u r f a c e modes as a f u n c t i o n o f t h e s q u a r e r o o t o f t h e o s c i l l a -t i o n f r e q u e n c y ; t h e l a t t e r i s r e d u c e d by an a p p l i e d e l e c t r o s t a t i c f i e l d 173 28 N o n - l i n e a r l y d r i v e n s u r f a c e wave a m p l i t u d e . . 174 29 C o m p a r i s o n o f p r e d i c t e d n o n - l i n e a r l y d r i v e n a m p l i t u d e w i t h e x p e r i m e n t a l r e s u l t s . . 175 30 S e c o n d a r y mode and d r i v i n g v o l t a g e wave-f o r m i n r e c t a n g u l a r w a t e r c o n t a i n e r 176 31 P r i m a r y and s e c o n d a r y mode a m p l i t u d e s as f u n c t i o n s o f t h e d r i v i n g v o l t a g e 177 A l A n a l o g e x p e r i m e n t f o r o b t a i n i n g r a d i a l p r o f i l e o f a p p l i e d e l e c t r i c f i e l d a t t h e f l u i d s u r f a c e 183 A2 R a d i a l p r o f i l e o f e l e c t r i c f i e l d s q u a r e d . . . 185 A3 G r a p h d e m o n s t r a t i n g f e a s i b i l i t y o f a n a l o g e x p e r i m e n t 186 A4 D e p e n d e n c e o f a t t r a c t i o n f o r c e on v e r t i c a l p o s i t i o n f o r b r a s s p r o b e u s e d i n a n a l o g e x p e r i m e n t 188 CI N o n - l i n e a r l y d r i v e n s u r f a c e wave i n r e c t a n g u l a r c o n t a i n e r 197 D2 N o n - l i n e a r l y d r i v e n s u r f a c e wave a m p l i t u d e i n r e c t a n g u l a r c o n t a i n e r 199 x i F i g u r e P a g e C3 D e p e n d e n c e o f c r i t i c a l v o l t a g e on d i m e n s i o n s o f e l e c t r o d e i n t h e c a s e o f a r e c t a n g u l a r c o n t a i n e r 200 C4 D e p e n d e n c e o f p h a s e d i f f e r e n c e on s u r f a c e wave a m p l i t u d e f o r n o n - l i n e a r l y d r i v e n w a v e s 203 C4 E l e c t r o d e f o r a p p l y i n g b o t h t i m e and s p a c e p e r i o d i c e l e c t r i c f i e l d s . . 226 x i i ACKNOWLEDGEMENTS I w i s h t o t h a n k D r . F.L. C u r z o n f o r h i s e x c e l l e n t s u p e r v i s i o n o f t h i s i n v e s t i g a t i o n . I a l s o w o u l d l i k e t o t h a n k t h e members o f my Ph.D. c o m m i t t e e , Dr. R.A.. N o d w e l l , Dr. R.W. B u r l i n g and Dr. C F . S c h w e r d t f e g e r f o r t h e i r s u g -g e s t i o n s f o r i m p r o v i n g t h e p r e s e n t a t i o n o f t h i s t h e s i s . The a s s i s t a n c e o f Mr. R. H a i n e s i n my e a r l y d a y s i n t h e s t u d e n t w o r k s h o p , and o f Mr. A. F r a s e r and h i s t e c h -n i c a l s t a f f i n t h e c o n s t r u c t i o n o f p a r t s o f t h e a p p a r a t u s i s g r a t e f u l l y a c k n o w l e d g e d . My t h a n k s a r e a l s o due t o Mr. D. S i e b e r g , Mr. J . A . Z a n g a n e h and Mr. R. D a C o s t a f o r t h e i r a s s i s t a n c e i n t h e e l e c t r o n i c s and t h e g e n e r a l m a i n -t e n a n c e o f t h e e q u i p m e n t . I w o u l d l i k e t o e x p r e s s s p e c i a l a p p r e c i a t i o n t o Mr. T. Mathews f o r h i s e x p e r t a s s i s t a n c e i n c o m p u t a t i o n s d u r i n g t h e summers o f 1970 and 1971. I am g r a t e f u l t o t h e g r a d u a t e s c h o o l o f t h e U n i v e r s i t y o f B.C. f o r f i n a n c i a l a s s i s t a n c e t h r o u g h t h e award o f g r a d u a t e f e l l o w s h i p s d u r i n g t h e c o u r s e o f t h i s work. T h i s work was s u p p o r t e d by a g r a n t f r o m t h e A t o m i c E n e r g y C o n t r o l B o a r d o f C a n a d a . x t i i C h a p t e r 1 INTRODUCTION The w o r k r e p o r t e d i n t h i s t h e s i s was c a r r i e d o u t i n t h e P l a s m a P h y s i c s g r o u p a t t h e U n i v e r s i t y o f B . C . , as p a r t o f a p r o g r a m o r i e n t e d t o w a r d s d e v e l o p i n g and a p p l y i n g i n c o m p r e s s i b l e f l u i d a n a l o g u e s t o c e r t a i n d y n a m i c a l p l a s m a s y s t e m s . The t h e o r y o f p l a s m a d y n a m i c s i s a v e r y b r o a d s u b j e c t , w h i c h can be s i m p l i f i e d by one o f t h e t h r e e f o l l o w -i n g a p p r o x i m a t i o n s . a) Transport and kinetics: T h i s i s t h e b r a n c h o f p l a s m a d y n a m i c s i n w h i c h t h e M a x w e l 1 - B o l t z m a n n p a r t i c l e d i s t r i b u t i o n i n v e l o c i t y s p a c e i s u s e d t o d e s c r i b e t h e e v o l u t i o n a n d p r o p e r t i e s o f a p l a s m a u n d e r s t e a d y s t a t e c o n d i t i o n s . The c h a r g e d p a r t i c l e i n t e r a c t i o n s i n t h e p l a s m a a r e a s s u m e d t o be c o l l i s i o n d o m i n a t e d , i n o r d e r t o s i m p l i f y t h e c o m p l e x m a t h e m a t i c s . 1 2 b) Orbit theory: S y s t e m s d e s c r i b a b l e by o r b i t t h e o r y a r e t h o s e i n w h i c h c o l l i s i o n s p l a y a m i n o r r o l e . The d y n a m i c s i n v o l v e p e r t u r b a t i o n s o f " p r e s c r i b e d " e l e c t r i c and m a g n e t i c f i e l d s by t h e p l a s m a p a r t i c l e o r b i t s , s o t h a t t h e m o d e l i s s e l f -c o n s i s t e n t , and t h e o n l y f o r c e on a c h a r g e d p a r t i c l e q i s t h e L o r e n t z f o r c e £ = q(JE + y_ x B_) w h e r e E_,v_ a n d B_ a r e t h e e l e c t r i c f i e l d , t h e p a r t i c l e v e l o c i t y a n d t h e m a g n e t i c i n d u c t i o n r e s p e c t i v e l y . c ) Magnetohydrodynamics: In c o n t r a s t t o t h e p r e v i o u s two d o m a i n s , w h i c h i n v o l v e a m i c r o s c o p i c a p p r o a c h , t h i s m o d e l c o m b i n e s m a c r o -s c o p i c c o n t i n u u m i n t e r a c t i o n s o f m a g n e t i c f i e l d s w i t h c o n -d u c t i n g f l u i d s . The b a s i c e q u a t i o n s a r e M a x w e l l ' s c l a s s i c a l e l e c t r o m a g n e t i c f i e l d e q u a t i o n s t o g e t h e r w i t h t h e N a v i e r -S t o k e s e q u a t i o n s o f f l u i d d y n a m i c s . T h i s m o d e l a p p l i e s i n c a s e s i n w h i c h t h e mean f r e e p a t h o f t h e p l a s m a p a r t i c l e s i s much s m a l l e r t h a n t h e t y p i c a l p h y s i c a l d i m e n s i o n s t h a t e n t e r t h e e q u a t i o n s o f m o t i o n . I t h a s p r o v e d v e r y u s e f u l 3 i n t h e d e s c r i p t i o n o f p i n c h d i s c h a r g e d y n a m i c s , and g e n e r a l c o l l e c t i v e p l a s m a e f f e c t s . E x a c t l y a n a l o g o u s t o m a g n e t o h y d r o d y n a m i c s i s an a r e a o f r e s e a r c h t h a t has r e c e n t l y a c q u i r e d r e n e w e d i m p o r t a n c e b e c a u s e o f t h e m a n / p o s s i b l e a p p l i c a t i o n s i t may h a v e , e . g . i n t h e s t a b i l i z a t i o n o f u n s t a b l e s u r f a c e s , i n a t m o s p h e r i c e l e c t r i c i t y , e t c . T h i s i s " e l e c t r o h y d r o -d y n a m i c s , " w h i c h i n v o l v e s i n t e r a c t i o n s b e t w e e n e l e c t r i c f i e l d s and f l u i d c o n t i n u a . O u r p a r t i c u l a r i n t e r e s t was t h e s t u d y o f t h e d y n a m i c e f f e c t s o f s t a t i c and t i m e d e p e n -d e n t e l e c t r i c f i e l d s on c o n d u c t i n g f l u i d s u r f a c e s , and t o d e m o n s t r a t e some p r a c t i c a l a p p l i c a t i o n s t h a t t h e s e i n t e r -a c t i o n s h a v e . I n s t a b i l i t i e s and t h e way t h e y d e v e l o p a r e o f t h e u t m o s t i m p o r t a n c e i n p l a s m a p h y s i c s , s i n c e t h e y i m p o s e l i m i t s on p l a s m a c o n f i n e m e n t t i m e s . The m o s t t r o u b l e s o m e m a c r o s c o p i c i n s t a b i l i t i e s a r e e x c h a n g e t y p e i n s t a b i l i t i e s , f o r w h i c h t h e d i s p l a c e m e n t p e r t u r b a t i o n f r o m a c e r t a i n e q u i l i b r i u m c o n f i g u r a t i o n i s g o v e r n e d by t h e e q u a t i o n w h e r e _r i s a r a d i u s v e c t o r and t i s t i m e . T h i s i s c o m p l e t e l y a n a l o g o u s t o t h e e q u a t i o n V 4 V ~ 0 f o r i n c o m p r e s s i b l e 4 f l u i d d y n a m i c s [\f_the f l u i d v e l o c i t y ) . B e c a u s e o f t h e e a s y h a n d l i n g , t h e r e a d y a v a i l a b i l i t y o f f l u i d s , and t h e s i m p l i c i t y o f t h e n e c e s s a r y d i a g n o s t i c e q u i p m e n t , i t i s much e a s i e r t o work w i t h f l u i d s r a t h e r t h a n w i t h a c t u a l p l a s m a s . The r e s u l t s can t h e n be g e n e r a l i z e d ( e x e r c i s i n g due c a u t i o n ) t o a n a l o g o u s s i t u a t i o n s i n a p l a s m a . The i n t e r a c t i o n o f f l u i d s u r f a c e waves w i t h s t a t i c and t i m e p e r i o d i c e l e c t r i c f i e l d s a p p l i e d n o r m a l l y t o t h e f r e e f l u i d s u r f a c e has b e e n t h e main o b j e c t o f o u r i n v e s t i g a t i o n s . We o r i g i n a l l y i n t e n d e d s t u d y i n g a s i m p l e u n s t a b l e s y s t e m , i n w h i c h t h e waves were s u f f i c i e n t l y s m a l l , s o t h a t t h e e x p e r i m e n t a l r e s u l t s c o u l d be c o m p a r e d w i t h t h e o r e t i c a l p r e d i c t i o n s g i v e n by a n a l y t i c a l s o l u t i o n o f t h e r e l e v a n t , l i n e a r i z e d e q u a t i o n s . Two n o n - l i n e a r p r o b l e m s a r e a l s o i n v e s t i g a t e d i n t h i s w ork; i n t h e s e , t h e non-l i n e a r i t y i s i n t r o d u c e d i n a c o n t r o l l e d manner, w i t h t h e s p e c i f i c p u r p o s e o f e x t e n d i n g t h e r e s u l t s o f l i n e a r t h e o r y . B e s i d e s a l l o w i n g t h e i n v e s t i g a t i o n o f l i n e a r s u r f a c e w a v e s , o u r e x p e r i m e n t a l s e t - u p , and i t s wave m o n i -t o r i n g and e x c i t a t i o n t e c h n i q u e s , had t h e a d d e d a d v a n t a g e o f r e c o r d i n g s p e c i f i c modal r e s p o n s e s , i . e . £"(CJ,/c) , r a t h e r t h a n £ ( r, Z ) ( w h i c h i s g i v e n by t h e common p h o t o -g r a p h i c and p r o b e d i a g n o s t i c t e c h n i q u e s u s e d i n p l a s m a s ) ; 5 w h e r e (J i s t h e c h a r a c t e r i s t i c a n g u l a r f r e q u e n c y and k_ t h e w a v e v e c t o r a s s o c i a t e d w i t h t h e f l u i d m o t i o n . T h i s means t h a t t h e n o r m a l l a b o u r o f F o u r i e r a n a l y s i s i s r e n d e r e d u n n e c e s s a r y . A m a i n c o n t r i b u t i o n o f t h i s w o r k has b e e n t o s t r e s s t h e o v e r r i d i n g i m p o r t a n c e o f t h e s p a t i a l n o n - u n i f o r m -i t i e s o f an a p p l i e d e l e c t r i c f i e l d on t h e d y n a m i c s and s t a b i l i t y o f i n t e r a c t i n g s u r f a c e w a v e s . The common a p p r o a c h o f u s i n g u n i f o r m f i e l d s f o r t h e s a k e o f s i m p l i c i t y i s much l e s s r e a l i s t i c and i t i s s h o w n t o l e a d t o some m i s l e a d i n g r e s u l t s on s t a b i l i t y c r i t e r i a . We f i r s t e x a m i n e d t h e e f f e c t o f a s t r o n g e l e c t r o -s t a t i c f i e l d on t h e d i s p e r s i o n r e l a t i o n f o r l i n e a r i z e d s u r f a c e w a v e s on a c o n d u c t i n g f l u i d ( m e r c u r y ) by o b s e r v i n g t h e r e d u c t i o n o f t h e s u r f a c e mode f r e q u e n c y . F o r l a r g e e n o u g h f i e l d s t h e s u r f a c e b e c o m e s u n s t a b l e by b e i n g p u l l e d u n c o n t r o l l a b l y u p w a r d s . T h i s i n s t a b i l i t y i s p r o d u c e d much more e a s i l y by t r a n s i e n t s u r f a c e d i s t u r b a n c e s s e t up by t h e e l e c t r i c f i e l d n o n - u n i f o r m i t i e s . We r e a l i s e d t h r o u g h t h e s e i n v e s t i g a t i o n s t h e i m -p o r t a n c e o f s p a t i a l i n h o m o g e n e i t y i n t h e e l e c t r i c f i e l d , a n d p r o c e e d e d t o i n v e s t i g a t e t h e e f f e c t o f t i m e p e r i o d i c n o n - u n i f o r m f i e l d s on a f l u i d s u r f a c e . By p r o p e r t a i l o r i n g o f t h e wave e x c i t a t i o n e l e c t r o d e and s e t t i n g o f t h e a p p l i e d 6 f i e l d f r e q u e n c y , we d e m o n s t r a t e d t h a t v i r t u a l l y any d e s i r e d s u r f a c e mode c a n be e x c i t e d i n d i v i d u a l l y on t h e f l u i d s u r f a c e . T h i s i s a p o w e r f u l e x p e r i m e n t a l t o o l ( s e e b e l o w ) . When t h e a m p l i t u d e o f t h e d r i v e n s u r f a c e waves was i n c r e a s e d , t h i s s o o n b e c a m e c o m p a r a b l e t o t h e d i s t a n c e b e t w e e n t h e e l e c t r o d e and t h e e q u i l i b r i u m f l u i d s u r f a c e . T h i s l e d t o n o n - l i n e a r d r i v i n g o f t h e s u r f a c e w a v e s by t h e n o n - u n i f o r m e l e c t r i c f i e l d , and t o t h e f o r m u l a t i o n o f a new s t a b i l i t y c r i t e r i o n . T h i s t y p e o f i n s t a b i l i t y a r i s e s b e c a u s e o f n o n - l i n e a r e f f e c t s i n t h e d r i v i n g m e c h a n i s m . An i n d e p e n d e n t t y p e o f n o n - l i n e a r i t y a r i s e s when t h e a m p l i t u d e i s i n c r e a s e d , s o t h a t t h e h y d r o d y n a m i c wave s y s t e m b e c o m e s n o n - l i n e a r . The n o n - l i n e a r t e r m s (_y_.gradvj i n t h e N a v i e r - S t o k e s e q u a t i o n , a n d i n t h e b o u n d a r y c o n d i -t i o n s , t h e n l e a d t o f o r c i n g t e r m s i n t h e s p e c t r u m o f f l u i d s u r f a c e m o d e s . T h i s i s an i m p o r t a n t m e c h a n i s m f o r d i s t r i b u t -i n g e n e r g y t h r o u g h t h e wave s p e c t r u m , a n d h a s d i r e c t a p p l i -c a t i o n s i n p l a s m a p h y s i c s , o c e a n o g r a p h y , n o n - l i n e a r o p t i c s , e t c . R e s o n a n t n o n - l i n e a r c o n d i t i o n s a r e met i n t h e s h a l l o w w a t e r s u r f a c e w a v e s i n w h i c h s p a t i a l l y n o n - u n i f o r m , t i m e p e r i o d i c e l e c t r i c f i e l d s w e r e u s e d t o e x c i t e v e r y p u r e modes o f c o n t r o l l e d a m p l i t u d e . C h a p t e r 2 c o n t a i n s a d e s c r i p t i o n o f t h e e x p e r i -m e n t a l e q u i p m e n t and r e l e v a n t t e c h n i q u e s . In C h a p t e r 3 we 7 p r e s e n t t h e o r e t i c a l and e x p e r i m e n t a l r e s u l t s o f t h e e f f e c t s o f s t r o n g , s p a t i a l l y n o n - u n i f o r m e l e c t r o s t a t i c f i e l d s on a m e r c u r y s u r f a c e . C h a p t e r 4 i s an a c c o u n t o f i n v e s t i g a t i o n s o f t h e e f f e c t s o f s p a t i a l l y n o n - u n i f o r m , t i m e p e r i o d i c e l e c t r i c f i e l d s on a f r e e m e r c u r y s u r f a c e . In C h a p t e r 5 we d i s c u s s i n some d e t a i l t h e i m p l i c a t i o n s o f t h e e x p e r i -m e n t a l r e s u l t s o f t h e p r e v i o u s two c h a p t e r s , e s p e c i a l l y i n r e l a t i o n t o t h e d o m i n a n t i n f l u e n c e e x e r t e d on t h e d y n a m i c p r o p e r t i e s by n o n - u n i f o r m i t i e s i n t h e e l e c t r i c f i e l d . C h a p t e r s 6 and 7 a r e d e v o t e d t o t h e two d i s t i n c t n o n - l i n e a r p r o b l e m s . The f o r m e r d e a l s w i t h n o n - l i n e a r d r i v i n g o f s u r f a c e modes o f a m p l i t u d e c o m p a r a b l e t o t h e d i s t a n c e o f t h e d r i v e r e l e c t r o d e f r o m t h e e q u i l i b r i u m f l u i d s u r f a c e , and t h e l a t t e r d e a l s w i t h t h e d y n a m i c i n t e r a c t i o n b e t w e e n s u r f a c e modes on s h a l l o w w a t e r . In C h a p t e r 8 we s u m m a r i z e t h e b a s i c c o n c l u s i o n s , and make s u g g e s t i o n s f o r f u t u r e w o r k . C h a p t e r 2 EQUIPMENT AND EXPERIMENTAL TECHNIQUES In t h i s c h a p t e r we d e s c r i b e t h e e s s e n t i a l t e c h -n i q u e s i n v o l v e d i n o u r e x p e r i m e n t a l w o r k . S i n c e one g o a l was t h e s t u d y o f l i n e a r , s t a n d i n g s u r f a c e w a v e s , t h e wave a m p l i t u d e i n o u r c a s e h a d t o be o f t h e o r d e r o f IO""5 cm, i n o r d e r t o s a t i s f y t h e s t r i n g e n t l i n e a r i z a t i o n c o n d i t i o n $/kZH3« i ( S t o k e s ( 1 8 4 7 ) ) , w h e r e H i s t h e f l u i d d e p t h . S t a n d i n g s u r f a c e waves i n r e s o n a t o r s were u s e d t h r o u g h o u t , and o u r wave e x c i t a t i o n t e c h n i q u e s g u a r a n t e e d e x c i t a t i o n o f s i n g l e p u r e modes a t a t i m e . In t h i s way we o n l y had' t o d e a l w i t h a f i x e d f r e q u e n c y and c o r r e s p o n d -i n g wavenumber a t a t i m e , and p r o b l e m s o f d i s p e r s i o n a s s o c i a t e d w i t h t r a v e l l i n g waves were e l i m i n a t e d . Two w o r k i n g f l u i d s were e m p l o y e d , m e r c u r y and w a t e r ( w a t e r i s d e s i g n a t e d h e r e as a c o n d u c t i n g f l u i d due t o i t s h i g h d i e l e c t r i c c o n s t a n t r e l a t i v e t o a i r ) . A m p l i t u d e and f r e q u e n c y m e a s u r e m e n t s o f waves on m e r c u r y were o b t a i n e d by m o n i t o r i n g t h e r e s o n a n t f r e q u e n c y s h i f t o f a m i c r o w a v e 8 9 r e s o n a t o r c a u s e d by s u r f a c e waves on m e r c u r y f o r m i n g t h e l o w e r b o u n d a r y . C o r r e s p o n d i n g m e a s u r e m e n t s on w a t e r s u r -f a c e s were c a r r i e d o u t by an o p t i c a l t e c h n i q u e e m p l o y i n g a m i c r o s c o p e ( s e e F i g . 1 2 ) . B o t h methods a f f o r d e d a s p a t i a l r e s o l u t i o n o f a b o u t 5 x 1 0 " cm. We s h a l l f i r s t d e s c r i b e t h e e l e c t r o n i c m i c r o w a v e s y s t e m . T h i s i s f o l l o w e d by a d e s c r i p t i o n o f t h e m e r c u r y c o n t a i n e r , and t h e e l e c t r o d e u s e d f o r a p p l y i n g e l e c t r i c f i e l d s t o t h e f r e e s u r f a c e o f t h e f l u i d . A low f r e q u e n c y , h i g h a m p l i t u d e , v o l t a g e g e n e r a t o r , u s e d i n t h e a p p l i c a t i o n o f t i m e d e p e n d e n t f i e l d s t o e x c i t e s u r f a c e w a v e s , i s d e s c r i b e d t h e n , and t h i s c h a p t e r c o n c l u d e s w i t h d e t a i l s o f t h e m i c r o w a v e and o p t i c a l wave m o n i t o r i n g t e c h n i q u e s . 2.1 M i c r o w a v e E l e c t r o n i c s B e f o r e p r o c e e d i n g t o a d e s c r i p t i o n o f t h e e l e c -t r o n i c m i c r o w a v e s y s t e m , we s h a l l g i v e a b r i e f a c c o u n t o f t h e t h e o r y b e h i n d t h e r e s o n a t o r t e c h n i q u e , and t h e c o n d i -t i o n s f o r i t t o be u s e f u l . When t h e b o u n d a r i e s o f a m i c r o w a v e r e s o n a t o r a r e s l i g h t l y d i s t o r t e d , t h e r e s o n a n t f r e q u e n c y F c h a n g e s by ^ F . T h i s f a c t can be u s e d t o d e t e c t s u r f a c e waves on m e r c u r y by m a k i n g t h e f r e e m e r c u r y s u r f a c e one o f t h e 10 r e s o n a t o r b o u n d a r i e s . The t e c h n i q u e i s o n l y u s e f u l when A F c a n be c a l c u l a t e d e x a c t l y as a f u n c t i o n o f t h e s p a t i a l d i s t o r t i o n , and i s s i m p l e s t when A F i s a l i n e a r f u n c t i o n o f t h e p e r t u r b a t i o n a m p l i t u d e . B o t h t h e s e c o n d i t i o n s a r e s a t i s f i e d i f t h e b o u n d a r y p e r t u r b a t i o n a m p l i t u d e i s s m a l l c o m p a r e d w i t h t h e d i m e n s i o n s o f t h e m i c r o w a v e c a v i t y . T h i i s i n a c c o r d a n c e w i t h t h e a s s u m p t i o n s o f p e r t u r b a t i o n t h e o r y w h i c h i s u s e d t o o b t a i n a n a l y t i c e x p r e s s i o n s f o r A F i n t e r m s o f t h e b o u n d a r y d i s t o r t i o n . T h a t i s we s t a r t f r o m an e x a c t s o l u t i o n o f t h e c h a r a c t e r i s t i c e q u a t i o n s g i v i n g F as a f u n c t i o n o f t h e e l e c t r o m a g n e t i c f i e l d s i n t h e c a v i t y , and t h e p e r t u r b a t i o n o f t h e b o u n d a r i e s c a u s e s a s m a l l c h a n g e i n t h e r e s o n a n t e i g e n v a l u e , w i t h o u t d e s t r o y i n g t h e c o r r e s p o n d i n g e i g e n f u n c t i o n ( s e e W a l d r o n ( 1 9 6 9 ) ) . A l l t h e s e c o n d i t i o n s a r e s a t i s f i e d t o a v e r y h i g h d e g r e e i n o u r s y s t e m , s o we a r e j u s t i f i e d i n u s i n g S l a t e r ' s t h e o r e m ( S l a t e r ( 1 9 5 0 ) ) f o r t h e f r a c t i o n a l s h i f t i n F , n a m e l y o (2 w h e r e E M and B M a r e t h e e l e c t r i c and m a g n e t i c f i e l d s , and V£ a n d )fB a r e c o n s t a n t s d e p e n d i n g on t h e r e s o n a t o r and 11 m i c r o w a v e f i e l d s g e o m e t r i e s ( s e e C u r z o n and P i k e ( 1 9 6 8 ) ) . Sc i s t h e volume e l e m e n t " r e m o v e d " f r o m t h e r e s o n a t o r by t h e b o u n d a r y p e r t u r b a t i o n . In o u r c a s e , f o r a p e r t u r b a t i o n o f t h e f o r m o f a n o r m a l f l u i d s u r f a c e mode o f a m p l i t u d e , cTr = i>lf(r,e)] , ( 2 . 2 ) w h e r e f g i v e s t h e r a d i a l ( r ) and a z i m u t h a l {6) d e p e n d e n c e o f t h e s u r f a c e d i s p l a c e m e n t . I n t e g r a t i o n o v e r t h e r e s o n a t o r v o l u m e g i v e s A F <=< 7? ( s e e C u r z o n and P i k e ( 1 9 6 8 ) ) . In o u r e x p e r i m e n t s on s u r f a c e waves on m e r c u r y , a m i c r o w a v e r e s o n a t o r t e c h n i q u e was u s e d b e c a u s e o f i t s many a d v a n t a g e s o v e r c o n v e n t i o n a l wave m o n i t o r i n g t e c h n i q u e s . N a m e l y , t h e f a c t t h a t i t does n o t i n t e r f e r e w i t h t h e w a v e s , i t s s i m p l i c i t y , t h e e a s e o f d a t a a n a l y s i s , i t s F o u r i e r a n a l y z i n g p r o p e r t i e s ( s e e C u r z o n and P i k e ( 1 9 6 8 ) ) , and f i n a l l y b e c a u s e t h e m o n i t o r e d a m p l i t u d e i s e s s e n t i a l l y an a v e r a g e d d i s p l a c e m e n t o v e r t h e e n t i r e f r e e f l u i d s u r f a c e , s o t h a t i t i s r e l a t i v e l y i n s e n s i t i v e t o s m a l l a m p l i t u d e r i p p l e s . The a p p l i c a t i o n s o f t h e r e s o n a t o r a r e h o w e v e r l i m i t e d o n l y t o h i g h l y c o n d u c t i n g f l u i d s ( i . e . l i q u i d m e t a l s ) , o f d i m e n s i o n s d e t e r m i n e d by t h e w a v e l e n g t h o f t h e m i c r o w a v e s . 12 The e l e c t r o n i c m i c r o w a v e s y s t e m i s shown i n F i g . 1 . I t c o n s i s t s o f a s t a n d a r d 7 2 3 A / b ( R a y t h e o n C o r p . ) r e f l e x k l y s t r o n , h e a t s h i e l d e d f o r t h e p u r p o s e o f o u t p u t s t a b i l i t y , and p o w e r e d by two Lambda m o d e l 28 r e g u l a t e d p o w e r s u p p l i e s ( o u t p u t s o f 6 . 5 V A C , and ± 200 t o ± 325 V DC w i t h c u r r e n t s f r o m 0 t o 100 mA a v a i l a b l e ) . The o u t p u t f r e q u e n c y F o f t h i s k l y s t r o n , i n t h e r a n g e 8 . 6 t o 9 . 6 k M H z , i s m o d u l a t e d by s w e e p i n g t h e k l y s t r o n r e p e l l e r v o l t a g e w i t h t h e s a w t o o t h o u t p u t o f o u r d i s p l a y o s c i l l o -s c o p e ( T e k t r o n i x t y p e 5 5 1 , d u a l b e a m ) . The s a w t o o t h a l s o d r i v e s t h e o s c i l l o s c o p e t i m e b a s e . In t h i s w a y , t h e k l y s -t r o n o u t p u t p o w e r c a n be d i s p l a y e d on t h e o s c i l l o s c o p e as a f u n c t i o n o f F a t t y p i c a l m o d u l a t i o n r a t e s o f 1 kHz . The m i c r o w a v e s p r o d u c e d by t h e k l y s t r o n a r e t r a n s m i t t e d t o a m i c r o w a v e c a v i t y r e s o n a t o r t h r o u g h a s y s t e m o f w a v e g u i d e s and a c c e s s o r i e s ( s e e F i g . 1 ) . The i s o l a t o r p r e v e n t s s t r a y r e f l e c t i o n s f r o m r e t u r n i n g i n t o t h e k l y s t r o n . The w a v e m e t e r i s b a s i c a l l y a v e r y h i g h Q f a c t o r c a l i b r a t e d c y l i n d r i c a l r e s o n a t o r o p e r a t i n g i n t h e TEon m o d e . I t c a n m e a s u r e m i c r o w a v e f r e q u e n c i e s t o an a c c u r a c y o f 1 M H z . A t t h e m a g i c t e e t h e m i c r o w a v e p o w e r i s s p l i t i n t w o ; h a l f o f i t goes i n t o t h e c a v i t y , and t h e o t h e r h a l f i s d i s s i p a t e d a t t h e m a t c h e d p o w e r t e r m i n a t o r . 13 The power r e f l e c t e d f r o m t h e c a v i t y i s p i c k e d up by a c r y s t a l d e t e c t o r and d i s p l a y e d on t h e o s c i l l o s c o p e as a f u n c t i o n o f m i c r o w a v e f r e q u e n c y ( F i g . 2 ) . A l a s t f e a t u r e i s t h e t u n i n g p o s t . T h i s i s a s m a l l m e t a l p r o b e , m o v e a b l e a l o n g and p e r p e n d i c u l a r t o t h e w a v e g u i d e a x i s , and i t i s u s e d t o e f f e c t t h e most e f f i c i e n t c o u p l i n g o f t h e m i c r o -waves t o t h e r e s o n a t o r . 2.2 M i c r o w a v e C a v i t y and B a s i c A c c e s s o r i e s The m i c r o w a v e c a v i t y i s shown i n d e t a i l i n F i g . 3. I t i s e s s e n t i a l l y a b r a s s c y l i n d e r mounted on a l e v e l l i n g p l a t f o r m t o e n s u r e t h a t t h e b a s e o f t h e c y l i n d e r i s h o r i z o n t a l . The w h o l e a r r a n g e m e n t , i n c l u d i n g m i c r o -wave c o m p o n e n t s , i s mounted on a h e a v y , r i g i d t a b l e t o m i n i m i z e e x t r a n e o u s v i b r a t i o n s . M i c r o w a v e c o u p l i n g t o t h e c a v i t y i s e f f e c t e d t h r o u g h a s m a l l h o l e ( d i a m e t e r R-j/5, w h e r e R-j = 3.64 cm i s t h e c y l i n d e r r a d i u s ) i n t h e c a v i t y l i d ; t h e h o l e i s a t a d i s t a n c e R^/1.5 f r o m t h e a x i s . A f l e x i b l e t u b e ( T y g o n ) c o n n e c t s t h e m i c r o w a v e r e s o n a t o r t o a m e r c u r y r e s e r v o i r t h r o u g h an a d j u s t a b l e f i n e t a p . The c a v i t y and any o t h e r m e t a l a c c e s s o r i e s l i a b l e t o come i n t o c o n t a c t w i t h m e r c u r y a r e n i c k e l p l a t e d w i t h a 0.003 i n t h i c k l a y e r o f n i c k e l i n o r d e r t o a v o i d c o r r o s i o n 14 f r o m m e r c u r y . T a b l e 2.1 g i v e s r e l e v a n t e x p e r i m e n t a l p a r a m e t e r s . A s t r o n g e l e c t r o s t a t i c o r a l t e r n a t i n g f i e l d c o u l d be a p p l i e d t o t h e m e r c u r y s u r f a c e by a d i s c s h a p e d b r a s s e l e c t r o d e m ounted a few m i l l i m e t e r s a b o v e t h e s u r f a c e . The e l e c t r o d e , o f r a d i u s R 2 ( < R - j ) , was v e r y h i g h l y p o l i s h e d , and i t s e d g e s were r o u n d e d t o a c u r v a t u r e o f a b o u t 2 mm t o m i n i m i z e t h e p o s s i b i l i t y o f d i e l e c t r i c b r e a k d o w n a t h i g h f i e l d s . I t was f a s t e n e d t o t h e l o w e r end o f a 5/6 i n c h d i a m e t e r b a k e l i t e r o d . The p r e s e n c e o f t h e e l e c t r o d e and r o d was f o u n d t o h a v e v e r y l i t t l e e f f e c t on t h e q u a l i t y o f t h e m i c r o w a v e r e s o n a n c e s . The r o d was t h r e a d e d (24 t h r e a d s p e r i n c h ) and p a s s e d t h r o u g h a t h r e a d e d h o l e a t t h e c e n t r e o f t h e c a v i t y l i d . A t h i n w i r e , r u n n i n g down a n a r r o w (0.1 cm d i a m e t e r ) h o l e a l o n g t h e b a k e l i t e r o d a x i s c o n n e c t e d t h e e l e c t r o d e t o a r e g u l a t e d s o u r c e o f h i g h p o t e n t i a l ( S . o r e n s e n , DC power s u p p l y , t y p e 1020-30 , maximum o u t p u t v o l t a g e 20 kV, maximum c u r r e n t 30 mA). The m e r c u r y i t s e l f was k e p t a t g r o u n d p o t e n t i a l . The power s u p p l y was e q u i p p e d w i t h a r e g u l a t e d c u r r e n t o v e r l o a d c o n -t r o l t o m i n i m i z e damage t o t h e e l e c t r o d e i n c a s e o f s p a r k i n g f r o m t h e e l e c t r o d e t o t h e m e r c u r y . In t h i s s y s t e m , w h i c h was u s e d i n o u r e a r l y e x p e r i m e n t s , waves were e x c i t e d by b l o w i n g p e r i o d i c a i r p u l s e s t h r o u g h a h o l e i n t h e c e n t r e T a b l e 2.1 SOME PARAMETERS OF EXPERIMENTAL EQUIPMENT •k R.| = M i c r o w a v e r e s o n a t o r r a d i u s = 3.64 cm R 2 = E l e c t r o d e r a d i u s = 2.0 cm L = L e n g t h o f r e c t a n g u l a r w a t e r c o n t a i n e r = 97.8 cm b = W i d t h o f r e c t a n g u l a r w a t e r c o n t a i n e r = 5.0 cm R-| has t o be r e d u c e d t o e f f e c t i v e R-j by s u b -t r a c t i n g ~" 0.2 cm, t h e r a d i u s o f c u r v a t u r e o f t h e r i g i d m e r c u r y m e n i s c u s , when u s e d i n c o n n e c t i o n w i t h s u r f a c e waves on c l e a n m e r c u r y ( s e e P i k e and C u r z o n ( 1 9 6 8 ) ) . 16 o f t h e e l e c t r o d e ( s e e F i g . 3) i n t h e f a s h i o n o f P i k e and C u r z o n ( 1 9 6 8 ) . W i t h t h i s a r r a n g e m e n t f i e l d s up t o 35 kV/cm c o u l d be a p p l i e d t o t h e m e r c u r y s u r f a c e b e f o r e b r e a k -down o c c u r r e d . I n o r d e r t o a t t a i n h i g h e r f i e l d s c e r t a i n m o d i f i -c a t i o n s w e r e made t o t h e c a v i t y , r a i s i n g t h e l i m i t i n g f i e l d s t r e n g t h t o a b o u t 90 k V / c m . The m o d i f i e d s y s t e m i s s h o w n i n F i g . 4 . By e l i m i n a t i n g t h e a i r h o l e i n t h e e l e c t r o d e a n d u s i n g 0 - r i n g s e a l s on t h e r i m and a m y l a r s e a l on t h e m i c r o w a v e c o u p l i n g h o l e i n t h e l i d o f t h e c a v i t y , t h e r e s o n a t o r was made gas t i g h t , s o t h a t i t c o u l d be f l u s h e d and r e f i l l e d w i t h s u l f u r h e x a f l u o r i d e ( S F g ) , one o f t h e b e s t i n s u l a t i n g g a s e s ( s e e G e o r g e and R i c h a r d s ( 1 9 6 9 ) ) . To t h i s e n d , a r o t a r y pump and a b o t t l e o f S F g u n d e r p r e s s u r e w e r e e m p l o y e d . The S F g was p a s s e d o v e r p h o s p h o r o u s p e n t o x i d e ( P g O g ) , a p o w e r f u l d r y i n g a g e n t , t o r e m o v e any t r a c e s o f m o i s t u r e t h a t w o u l d r e d u c e t h e b r e a k d o w n s t r e n g t h o f t h e g a s . I n t h i s s e a l e d s y s t e m , i t was n o t p o s s i b l e t o e x c i t e s u r f a c e w a v e s by b l o w i n g a i r p u l s e s . The f o l l o w i n g a l t e r n a t i v e m e t h o d was e m p l o y e d . P u r e s u r f a c e modes w e r e e x c i t e d on t h e s u r f a c e by a p p l y i n g s t r o n g , p e r i o d i c e l e c t r i c s t r e s s e s o n t o s e l e c t e d r e g i o n s o f t h e f r e e f l u i d s u r f a c e . T h i s was m o s t c o n v e n i e n t l y done by m o d u l a t i n g t h e v o l t a g e 1.7 on a g e o m e t r i c a l l y t a i l o r e d e l e c t r o d e i n s i d e t h e c a v i t y w i t h a s q u a r e wave v o l t a g e o f a m p l i t u d e up t o 4 k V , and v a r i a b l e c o n t r o l l e d f r e q u e n c y i n t h e r a n g e 0 . 3 t o 10 H z . The m o d u l a t i o n was e a s i l y e f f e c t e d w i t h a s q u a r e wave g e n e r a t o r , w h i c h i s d e s c r i b e d i n t h e n e x t s e c t i o n . 2 . 3 H i g h V o l t a g e Wave G e n e r a t o r A d i a g r a m o f t h e g e n e r a t o r i s g i v e n i n F i g . 5 and 6 . In i t s s i m p l e s t f o r m , i t i s a r o t a r y s w i t c h , i n w h i c h t h e r o t a t i n g c o n t a c t i s a l t e r n a t e l y c o n n e c t e d t o t w o v a r i a b l e , h i g h v o l t a g e p o w e r s u p p l i e s t h r o u g h b r a s s p l a t e s on t h e s t a t o r . One p o w e r s u p p l y i s c o n n e c t e d t o p l a t e s 1 , 3 and 5 , and t h e s e c o n d one t o p l a t e s 2 , 4 and 6 - o f t h e s t a t o r . The e d g e s o f a d j a c e n t p l a t e s a r e r o u n d e d , a n d t h e s l o t s c o u l d be f i l l e d w i t h e p o x y r e s i n . T h e s e p r e c a u t i o n s r e d u c e t h e r i s k o f s p a r k i n g b e t w e e n p l a t e s , a n d a l s o e l i m i n a t e c o n t a c t b o u n c e by f a c i l i t a t i n g t h e p a s s a g e o f t h e r o t a t i n g c o n t a c t o v e r t h e m . The r o t a t i n g c o n t a c t c o n s i s t s o f a s p r i n g l o a d e d s t e e l b a l l , m o u n t e d on a b a k e l i t e r o d , w h i c h i s d r i v e n by a 1/20 HP B o d i n e , DC m o t o r , as s h o w n i n F i g . 6 . The b a k e -l i t e s h a f t i n s u l a t e s t h e m o t o r f r o m t h e h i g h v o l t a g e s on t h e s t a t o r . The s t e e l b a l l i s e l e c t r i c l l y c o n n e c t e d t o 18 t h e wave e x c i t a t i o n e l e c t r o d e i n s i d e t h e c a v i t y by means o f a s o f t m e t a l b r u s h and h i g h v o l t a g e c a b l e . A s i m p l e t r a n s i s t o r p o t e n t i o m e t e r i n c o r p o r a t e d i n t o t h e m o t o r c o n -t r o l c i r c u i t e n a b l e s v e r y f i n e a d j u s t m e n t s o f t h e g e n e r a t o r f r e q u e n c y t o be made. The maximum f r e q u e n c y o f t h e g e n e r a t o r was 10 Hz. T h i s can be i n c r e a s e d r e a d i l y by u s i n g a f a s t e r m o t o r and more s e c t i o n s on t h e s t a t o r . A t y p i c a l o u t p u t o f t h e g e n e r a t o r i s shown i n F i g . 7a. In o r d e r t o e x c i t e s u r f a c e modes, s q u a r e waves w i t h a g r o u n d e d b a s e and peak v o l t a g e s up t o 4 kV were u s e d . In a n o t h e r s e t o f e x p e r i m e n t s much h i g h e r peak v o l t a g e s (up t o 20 kV) were u s e d , w i t h t h e b a s e l i n e a few h u n d r e d v o l t s l o w e r . T h i s s u p e r p o s e s a s m a l l a m p l i t u d e s q u a r e wave on a l a r g e s t a t i c f i e l d , s o t h a t waves c a n be e x c i t e d and t h e i r p r o p e r t i e s s t u d i e d i n t h e p r e s e n c e o f l a r g e s t a t i c f i e l d s . In o t h e r a p p l i c a t i o n s i t was c o n v e n i e n t t o use a more c o n t i n u o u s v a r i a t i o n o f v o l t a g e w i t h t i m e . T h i s was a c c o m p l i s h e d by c o n n e c t i n g a s e t o f h i g h v o l t a g e r e -s i s t o r s t o a s t a t o r w i t h e i g h t p l a t e s as shown i n F i g . 8. The v a l u e s o f t h e r e s i s t o r s were c h o s e n t o g i v e a v o l t a g e p r o p o r t i o n a l t o (1 + c o s i i t ) 2 on t h e e l e c t r o d e . T h i s makes t h e e l e c t r i c a l s t r e s s e s p r o p o r t i o n a l t o (1 + c o s J " l t ) a t a f l u i d s u r f a c e ( X L i s t h e r o t o r f r e q u e n c y ) . An RC 19 i n t e g r a t o r r e s u l t e d i n f u r t h e r s m o o t h i n g o f t h e v o l t a g e o u t p u t , a t y p i c a l p i c t u r e o f w h i c h i s shown i n F i g . 7b. I t s h o u l d be n o t e d t h a t i n a l l e x p e r i m e n t s t h e p u l s e g e n e r a t o r was k e p t m e c h a n i c a l l y i s o l a t e d f r o m t h e t a b l e s u p p o r t i n g t h e f l u i d c o n t a i n e r i n o r d e r t o a v o i d any e x t e r n a l v i b r a t i o n n o i s e . 2.4 R e c t a n g u l a r W a t e r Wave Tank S t u d i e s o f n o n - l i n e a r wave-wave i n t e r a c t i o n s o f s u r f a c e waves on s h a l l o w w a t e r were a l s o u n d e r t a k e n . In o r d e r t o s a t i s f y t h e c o n d i t i o n X » H ( w h e r e A i s t h e w a v e l e n g t h ) , and s t i l l h a v e a w o r k a b l e f l u i d d e p t h , t h e d i m e n s i o n s o f t h e f l u i d c o n t a i n e r w e re l a r g e enough ( a b o u t 1 m) t o p r o h i b i t t h e use o f t h e m i c r o w a v e r e s o n a t o r as t h e wave m o n i t o r i n g t e c h n i q u e . A t r a n s p a r e n t w a t e r c o n -t a i n e r , i n c o n j u n c t i o n w i t h an o p t i c a l wave m o n i t o r i n g m e t h o d ( s e e S e c t i o n 2.5.2) were e m p l o y e d i n t h i s c a s e . The r e c t a n g u l a r c o n t a i n e r , o f d i m e n s i o n s 97.8 x 5 x 5 cm, was c o n s t r u c t e d f r o m p l e x i g l a s s and p l a c e d on a l e v e l l i n g p l a t f o r m as shown i n F i g . 9. Waves were e x c i t e d by an e l e c t r o d e on w h i c h a s i n u s o i d a l t y p e o u t p u t v o l t a g e was a p p l i e d . The e l e c t r o d e s h a p e was c h o s e n t o e x c i t e o n l y modes w i t h a d i s p l a c e m e n t a n t i n o d e a t t h e c e n t r e 20 o f t h e t a n k . T h e s e p r e c a u t i o n s e n s u r e m i n i m i z a t i o n o f s u r f a c e t r a n s i e n t s w h i c h w o u l d mask t h e s e c o n d o r d e r e f f e c t s u n d e r i n v e s t i g a t i o n . 2 . 5 T i m e and Wave A m p l i t u d e R e c o r d i n g S y s t e m s T h i s s e c t i o n d e a l s w i t h t h e t e c h n i q u e s i n v o l v e d i n m e a s u r i n g t h e a m p l i t u d e s and p e r i o d s o f s u r f a c e modes on w a t e r and m e r c u r y . 2 . 5 . 1 M i c r o w a v e C a v i t y Wave R e c o r d i n g By a d j u s t i n g t h e l e v e l o f m e r c u r y i n t h e c a v i t y , r e s o n a n c e s i n t h e s w e p t m i c r o w a v e f r e q u e n c y , as s h o w n i n F i g . 2 , w e r e o b t a i n e d on t h e o s c i l l o s c o p e s c r e e n . A p e r -i o d i c s u r f a c e wave on t h e m e r c u r y p e r t u r b s t h e m i c r o w a v e f i e l d s , r e s u l t i n g i n a p e r i o d i c s h i f t o f t h e r e s o n a n t f r e -q u e n c y d i p on t h e o s c i l l o s c o p e s c r e e n . The a m p l i t u d e o f t h e s h i f t i s p r o p o r t i o n a l t o t h e s u r f a c e wave a m p l i t u d e ( s e e C h a p t e r 3 ) . A t i m e r e c o r d o f t h e s u r f a c e wave was made by p u t t i n g a n a r r o w ( 0 . 5 mm) s l i t i n an o p a q u e s c r e e n c o v e r i n g t h e o s c i l l o s c o p e f a c e as s h o w n i n F i g . 1 0 , a n d r u n n i n g a c o n t i n u o u s m o v i e f i l m i n a d i r e c t i o n p e r p e n d i c u l a r t o t h e s l i t . R e l a t i v e a m p l i t u d e m e a s u r e m e n t s c a n be r e a d i l y 21 o b t a i n e d f r o m t h e f i l m r e c o r d , and t h e s u r f a c e wave p e r i o d i s t h e t i m e b e t w e e n c o n s e c u t i v e p e a k s . T y p i c a l p e r i o d s o f f r o m 100 t o 200 ms were u s e d i n t h e e x p e r i m e n t s . In o r d e r t o a v o i d c o u n t i n g d o t s on t h e f i l m ( d o t s a r e p r o d u c e d a t t h e t r i g g e r r a t e o f t h e o s c i l l o s c o p e ) , a s i m p l e and e f f i c i e n t t e c h n i q u e t h a t e n a b l e s t i m i n g wave p e r i o d s t o an a c c u r a c y o f 0.2 ms was d e v i s e d . The t e c h -n i q u e i n v o l v e s d i r e c t r e c o r d i n g o f t i m e m a r k e r s o n t o t h e m o v i e f i l m , and F i g . 1 1 shows t h e e l e c t r o n i c b l o c k d i a g r a m . T h r e e s q u a r e wave p u l s e s a r e a d d e d and f e d i n t o t h e s e c o n d c h a n n e l o f t h e r e c o r d i n g o s c i l l o s c o p e . T h e s e a r e p r o d u c e d a t i n t e r v a l s o f 1, 10 and 100 ms r e s p e c t i v e l y by t r i g g e r i n g t h r e e T e k t r o n i x t y p e 163 p u l s e g e n e r a t o r s w i t h t h e c o r r e -s p o n d i n g p u l s e s f r o m a Dumont t y p e 781A t i m e mark g e n e r a t o r . The 1 ms t i m e m a r k e r i s a l s o u s e d t o t r i g g e r t h e o s c i l l o -s c o p e . A l l t h r e e p u l s e s h a v e t h e same a m p l i t u d e , b u t t h e d u r a t i o n o f t h e 100 ms one i s t w i c e t h e d u r a t i o n o f t h e o t h e r two ( s e e F i g . 1 0 ) . When t h e 1 ms p u l s e a r r i v e s a t t h e s l i t , a h o r i z o n t a l l i n e i s r e c o r d e d on t h e f i l m . When t h e 1 and 10 ms p u l s e s a r r i v e s i m u l t a n e o u s l y , t h e y a r e a d d e d and t h e r e c o r d i s b l a n k e d ; and when a l l t h r e e p u l s e s a r r i v e a t t h e same t i m e , t h e t r a i n o f 1 ms p u l s e s i s d i s -p l a c e d h o r i z o n t a l l y as a r e s u l t o f t h e l o n g e r d u r a t i o n o f t h e 100 ms p u l s e . 22 By r e c o r d i n g a number ( a r o u n d 20) p e r i o d s o n t o t h e f i l m and u s i n g t h e t i m e m a r k e r s , a q u i c k , e a s y and a c c u r a t e m e a s u r e m e n t o f t h e s u r f a c e wave p e r i o d c o u l d be made. R e l a t i v e a m p l i t u d e m e a s u r e m e n t s d i r e c t l y f r o m t h e f i l m c a n r e a d i l y y i e l d i n f o r m a t i o n a b o u t g r o w t h r a t e s o f i n s t a b i l i t i e s , and d a m ping f r e q u e n c i e s . 2.5.2 O p t i c a l W a v e - M o n i t o r i n g T e c h n i q u e T h i s s i m p l e , b u t h i g h l y r e s o l v i n g t e c h n i q u e , was u s e d t o m e a s u r e wave c h a r a c t e r i s t i c s o f s h a l l o w w a t e r waves i n a l o n g ( a b o u t 1 m) r e c t a n g u l a r t a n k ( s e e S e c t i o n 2.4) w h e r e t h e m i c r o w a v e t e c h n i q u e was i n a p p l i c a b l e . I t i s b a s e d on a m o d i f i c a t i o n o f a wave m o n i t o r i n g t e c h n i q u e e m p l o y e d by Z r n i c * and H e n d r i c k s ( 1 9 7 0 ) . A t r a v e l l i n g m i c r o s c o p e was s e t up as shown i n F i g . 12a and f o c u s e d on t h e l o w e s t p o i n t o f t h e m e n i s c u s o f t h e w a t e r s u r f a c e ( m i c r o s c o p e f o c a l l e n g t h 2.6 cm, m a g n i f i c a t i o n 6 0 , d e p t h o f f o c u s 0.09 cm, f i e l d w i d t h 0.25 cm). An o r d i n a r y r e a d i n g lamp was a r r a n g e d on t h e o p p o s i t e s i d e o f t h e t a n k , and t h e r e s u l t i n g p i c t u r e i n t h e f i e l d o f v i e w i s shown i n F i g . 12b. I t i s i n v e r t e d by t h e m i c r o s c o p e , and c o n s i s t s o f a d a r k ( s h a d e d ) and a l i g h t ( u n s h a d e d ) r e g i o n . T h e s e a r e a s c o r r e s p o n d t o l i g h t 23 t o t a l l y i n t e r n a l l y r e f l e c t e d by t h e w a t e r m e n i s c u s on t h e s i d e o f t h e lamp, and t o l i g h t p a s s i n g s t r a i g h t t h r o u g h t h e w a t e r as shown i n F i g . 1 2 c , w h i c h i s a c r o s s - s e c t i o n o f t h e t a n k p e r p e n d i c u l a r t o i t s l e n g t h . The p r e s e n c e o f s m a l l a m p l i t u d e waves on t h e w a t e r s u r f a c e c h a n g e s t h e r e l a t i v e p r o p o r t i o n s o f b r i g h t and d a r k a r e a s l i n e a r l y . T h i s p r o p e r t y was u s e d i n m o n i -t o r i n g wave a m p l i t u d e s down t o 5 x I O - 2 ' cm. A p h o t o r e s i s t o r ( P h i l l i p s 8 7 3 1 0 3 , maximum r e s i s t a n c e i n t h e d a r k 10 M i l , r e s i s t a n c e i n l i g h t 300/1 , power r a t i n g 0.2 W) was mounted j u s t o u t s i d e t h e e y e p i e c e o f t h e m i c r o s c o p e . I t was e n -c l o s e d i n a l i g h t t i g h t j a c k e t t o p r e v e n t s t r a y l i g h t f r o m f a l l i n g on t h e p h o t o r e s i s t o r . The c h a n g e o f v o l t a g e a c r o s s t h e p h o t o r e s i s t o r i n t h e c i r c u i t shown i n F i g . 13a was t h e n p r o p o r t i o n a l t o t h e s u r f a c e wave d i s p l a c e m e n t , and was r e c o r d e d on an o s c i l l o s c o p e . A t y p i c a l p i c t u r e o f a d a m p i n g w a v e f o r m i s shown i n F i g . 13b. The d e v i c e can be e a s i l y and a c c u r a t e l y c a l i b r a t e d t o g i v e a b s o l u t e m e a s u r e -ments o f s u r f a c e wave a m p l i t u d e s by p o u r i n g known amounts o f w a t e r i n t h e t a n k . A c a l i b r a t i o n g r a p h i s shown i n F i g . 14. An a d d e d v o l u m e o f w a t e r AD" p r o d u c e s a c h a n g e o f f l u i d d e p t h A H g i v e n by 24 w h e r e A i s t h e a r e a o f t h e f r e e w a t e r s u r f a c e . T h i s p r o -d u c e s a c o r r e s p o n d i n g c h a n g e A V p r i n t h e v o l t a g e a c r o s s t h e p h o t o r e s i s t o r ( s e e F i g . 1 4 ) . The t i m e r e s o l u t i o n o f t h e s y s t e m i s l i m i t e d b a s i c a l l y by t h e r e s p o n s e t i m e o f t h e p h o t o r e s i s t o r and m o n i t o r i n g c i r c u i t . In o u r c a s e , t h i s was o f t h e o r d e r o f 5 ms . 25 T a b l e 2.2 SUMMARY OF SYMBOLS FREQUENTLY USED IN THE T H E S I S ^ = F l u i d s u r f a c e d i s p l a c e m e n t f r o m e q u i l i b r i u m 7?- A m p l i t u d e o f s u r f a c e wave (S,U) = D e s i g n a t i o n o f a s u r f a c e mode i n a c y l i n d r i c a l c o n t a i n e r ( U t h p o s i t i v e s o l u t i o n o f B e s s e l f u n c t i o n o f o r d e r S - s e e e q u a t i o n ( 3 . 4 0 ) ) J ^ ( k r ) = B e s s e l f u n c t i o n o f t h e f i r s t k i n d o f o r d e r S D = D i s t a n c e o f e l e c t r i c f i e l d a p p l y i n g e l e c t r o d e f r o m e q u i l i b r i u m f l u i d s u r f a c e J = ?/° X = W a v e l e n g t h o f s u r f a c e wave k = 2TT/A. = Wavenumber o f s u r f a c e wave £J = A n g u l a r f r e q u e n c y o f s u r f a c e wave f = ^ / ' 2 J F = F r e q u e n c y o f s u r f a c e wave o s c i l l a t i o n JQ = A n g u l a r f r e q u e n c y o f a p p l i e d , t i m e p e r i o d i c e l e c t r i c f i e l d F = R e s o n a n t f r e q u e n c y o f m i c r o w a v e r e s o n a t o r <5> = Damping f r e q u e n c y o f s u r f a c e modes Q = 0)/2ry = Q u a l i t y f a c t o r o f d r i v e n s u r f a c e modes "° = F l u i d k i n e m a t i c v i s c o s i t y v_ = F l u i d v e l o c i t y <f = F l u i d v e l o c i t y p o t e n t i a l (y_ = g r a d <f) 26 T a b l e 2 . 2 ( C o n t i n u e d ) p = F l u i d d e n s i t y H = F l u i d d e p t h g = A c c e l e r a t i o n o f g r a v i t y T = F l u i d s u r f a c e t e n s i o n tQ = P e r m i t t i v i t y o f f r e e s p a c e V Q = V o l t a g e a p p l i e d t o t h e f i e l d a p p l y i n g e l e c t r o d e E = V /D = E l e c t r i c f i e l d p r o d u c e d by t h e f i e l d a p p l y i n g 0 0 e l e c t r o d e n o r m a l l y t o t h e f r e e f l u i d s u r f a c e y = D i s t u r b a n c e e l e c t r o s t a t i c p o t e n t i a l p r o d u c e d i n E Q by t h e s u r f a c e wave R-j = C y l i n d r i c a l m i c r o w a v e r e s o n a t o r r a d i u s R2 = D i s c s h a p e d e l e c t r o d e r a d i u s L = L e n g t h o f r e c t a n g u l a r w a t e r c o n t a i n e r b = W i d t h o f r e c t a n g u l a r w a t e r c o n t a i n e r C h a p t e r 3 CALIBRATION OF THE MICROWAVE RESONATOR SENSITIVITY TO STATIC SURFACE DEFORMATIONS, AND INVESTIGATION OF ELECTROSTATIC FIELD EFFECTS ON LINEAR SURFACE WAVES We s t a r t t h i s c h a p t e r by d e m o n s t r a t i n g how t h e s e n s i t i v i t y o f a m i c r o w a v e r e s o n a t o r can be c a l i b r a t e d by o b s e r v i n g t h e s t a t i c s u r f a c e d e f o r m a t i o n p r o d u c e d by an e l e c t r o s t a t i c f i e l d on t h e s u r f a c e o f m e r c u r y c o n t a i n e d i n s i d e t h e r e s o n a t o r . T h i s i s f o l l o w e d by t h e r e s u l t s o f e x p e r i m e n t a l and t h e o r e t i c a l i n v e s t i g a t i o n s on t h e e f f e c t o f a s t r o n g , a p p l i e d e l e c t r o s t a t i c f i e l d on t h e d i s p e r s i o n r e l a t i o n o f l i n e a r h y d r o d y n a m i c s u r f a c e w a v e s . The d i s p e r s i o n r e l a t i o n w h i c h c o n n e c t s t h e wave f r e q u e n c y w i t h t h e w a v e v e c t o r k_ c o n t a i n s a l l t h e n e c e s s a r y i n f o r m a t i o n t o d e s c r i b e t h e wave m o t i o n . L i n e a r t h e o r y i s u s e d t h r o u g h -o u t t h i s c h a p t e r . T h i s a l l o w s e x a c t m a n i p u l a t i o n o f t h e e q u a t i o n s by o r d i n a r y a n a l y t i c a l t e c h n i q u e s , and t h e r e s u l t s 27 28 a r e g e n e r a l l y a p p l i c a b l e t o o t h e r s i m i l a r s i t u a t i o n s . N o n - l i n e a r p r o b l e m s c a n o n l y be t a c k l e d i n a few s p e c i a l c a s e s , and u s u a l l y t h e i r s o l u t i o n s a r e a p p l i c a b l e o n l y t o t h e s p e c i f i c p r o b l e m a t h a n d . 3.1 M i c r o w a v e R e s o n a t o r S e n s i t i v i t y t o S t a t i o n a r y  D e f o r m a t i o n s o f i t s B o u n d a r i e s The a r r a n g e m e n t i s shown i n F i g . 3. An e l e c t r o -s t a t i c f i e l d E Q i s a p p l i e d n o r m a l t o t h e f r e e s u r f a c e o f m e r c u r y i n a c y l i n d r i c a l m i c r o w a v e r e s o n a t o r o f r a d i u s R 4 by a d i s c s h a p e d e l e c t r o d e o f r a d i u s R 2 (< R 4 ) . The e l e c t r o d e i s h e l d a t a d i s t a n c e D ( D « R 2 ) a b o v e t h e g r o u n d e d s u r f a c e , and i t i s h e l d a t a p o t e n t i a l V Q . The s u r f a c e d e f o r m a t i o n c a u s e d by t h e e l e c t r o s t a t i c s t r e s s i s r e g i s t e r e d as a s h i f t i n t h e m i c r o w a v e r e s o n a n t f r e q u e n c y on t h e os c i 1 1 o g r a m . W i t h d and h t h e d e p r e s s i o n a n d e l e v a t i o n o f t h e c o r r e s p o n d i n g p a r t s o f t h e m e r c u r y s u r f a c e i n t h e p r e s e n c e o f t h e f i e l d ( s e e F i g . 3 ) , t h e f o l l o w i n g j u s t i f i a b l e c o n -s i d e r a t i o n s a n d a s s u m p t i o n s p e r m i t a d i r e c t c a l c u l a t i o n o f t h e s u r f a c e d e f o r m a t i o n t o be m a d e , and u s e d t o c a l i b r a t e t h e r e s o n a t o r s e n s i t i v i t y . 29 1 . D « R 2 T h i s a l l o w s us t o t r e a t t h e n o r m a l e l e c t r o s t a t i c f i e l d d i s t r i b u t i o n on t h e s u r f a c e as a s t e p f u n c t i o n T h i s i s f u l l y j u s t i f i e d f r o m t h e r a d i a l f i e l d d i s t r i b u t i o n o b t a i n e d i n A p p e n d i x A. 2. The mass o f m e r c u r y i s c o n s e r v e d , and t h e f l u i d i s i n c o m p r e s s i b l e . 3. The e l e c t r o s t a t i c s t r e s s i s b a l a n c e d by t h e h y d r o s t a t i c p r e s s u r e d i f f e r e n c e b e t w e e n t h e e l e v a t e d and d e p r e s s e d m e r c u r y l e v e l s , u n d e r n e a t h t h e e l e c t r o d e and o u t s i d e i t r e s p e c t i v e l y . 4. The d e f o r m a t i o n s a r e s m a l l enough f o r s u r -f a c e t e n s i o n t o be n e g l i g i b l e . . C o n s e r v a t i o n o f mass g i v e s r o < r < R ( 3 . 1 ) 0 < r < R< ( 3 . 2 ) 30 B a l a n c e o f s t r e s s e s 6* V* From e q u a t i o n ( 2 . 1 ) , t h e f r a c t i o n a l f r e q u e n c y s h i f t o f t h e m i c r o w a v e r e s o n a t o r i s o o o (3.4) where r , Q , z a r e c y l i n d r i c a l p o l a r s w i t h o r i g i n a t t h e c e n t r e o f t h e u n d i s t u r b e d f l u i d s u r f a c e , and t h e z a x i s v e r t i c a l l y u p w a r d s . S i n c e B n and En do n o t v a r y s i g n i f i c a n t l y o v e r v a l u e s o f z ~ > ( h , d ) , we can i n t e r g a t e d i r e c t l y o v e r z t o o b t a i n A F - Ah + KcC / - c L (3.5) 31 where X and j*. a r e c o n s t a n t s d e p e n d e n t on t h e g e o m e t r y o f t h e m i c r o w a v e c a v i t y and f i e l d s . E l i m i n a t i n g h f r o m ( 3 . 5 ) by u s i n g ( 3 . 2 ) g i v e s d= / 3 A F where y(3 i s t h e s e n s i t i v i t y c o n s t a n t . S u b s t i t u t i n g f r o m ( 3 . 2 ) i n ( 3 . 3 ) f o r h and r e -( 3 . 6 ) a r r a n g i n g = J)- ( 3 . 7 ) wi t h E l i m i n a t i n g d b e t w e e n ( 3 . 6 ) and ( 3 . 7 ) we o b t a i n ( 3 . 8 ) A F i s a r b i t r a r i l y d e f i n e d f r o m o u r m e a s u r e m e n t t e c h n i q u e as t h e d e f l e c t i o n i n cm o f t h e m i c r o w a v e r e s o n a n t peak on t h e o s c i l l o g r a m . A b s o l u t e v a l u e s o f A F were f o u n d u s i n g t h e c a l i b r a t e d w a v e m e t e r ( s e e F i g . 2) as A F = 1.8 MHz p e r cm s h i f t on t h e o s c i l l o g r a m , 32 From e q u a t i o n ( 3 . 8 ) we s e e t h a t a p l o t o f V Q / i / A F v s . A F s h o u l d be a s t r a i g h t l i n e . S u c h a p l o t i s made i n F i g . 15 where t h e r e s u l t i n g s t r a i g h t l i n e shows t h a t t h e a s s u m p t i o n s made i n t h e d e r i v a t i o n o f ( 3 . 8 ) were j u s t i f i e d i n t h e r a n g e o f f i e l d s u s e d . F o r h i g h e r f i e l d v a l u e s , t h e r e s u l t i n g p o i n t s d e v i a t e d c o n s i d e r a b l y f r o m t h e s t r a i g h t l i n e , i n d i c a t i n g t h a t t h e e x c l u s i o n o f s u r f a c e t e n s i o n f r o m t h e s t r e s s e q u a t i o n i s no l o n g e r v a l i d . From F i g . 15, t h e s l o p e o f t h e s t r a i g h t l i n e 3 -V i s n 5 = 285 x 10 V/m *• , and t h e i n t e r c e p t on t h e A F a x i s i s c * 0.14 m. U s i n g t h e s e , two i n d e p e n d e n t c o n s t a n t s p can be c a l c u l a t e d as and f/3 = 5.35 x 1 0 ~ 3 ^ = 5.31 x 1 0 " 3 ( s e e T a b l e 3.1 f o r v a l u e s o f t h e p a r -a m e t e r s ) The v e r y good a g r e e m e n t o f t h e s e two i n d e p e n d e n t e s t i m a t e s o f t h e s e n s i t i v i t y f u r t h e r c o n f i r m s t h e v a l i d i t y o f t h e c a l c u l a t i o n s . Thus a d e f l e c t i o n o f 1 cm on t h e o s c i l l o g r a m c o r r e s p o n d s t o a d e p r e s s i o n o f a b o u t 5.3 x 10' 33 a t t h e m e r c u r y s u r f a c e . T h i s i s o f t h e o r d e r e x p e c t e d f r o m t h e m i c r o w a v e r e s o n a t o r ( s e e C u r z o n and P i k e ( 1 9 6 8 ) ) . 3.2.1 D i s p e r s i o n R e l a t i o n f o r S u r f a c e Waves on a C o n d u c t i n g F l u i d U n d e r t h e A c t i o n o f a Normal  E l e c t r o s t a t i c F i e l d - T h e o r y When an e l e c t r o s t a t i c f i e l d i s a p p l i e d n o r m a l l y t o t h e o s c i l l a t i n g s u r f a c e o f a c o n d u c t i n g f l u i d , t h e s u r -f a c e waves d i s t o r t t h e f i e l d , and c o n s e q u e n t l y t h e e n e r g y i n i t . S i n c e t h e e l e c t r o s t a t i c f i e l d s u p p l i e s e n e r g y t o t h e w a v e s , t h e d i s p e r s i o n i s a l s o a f u n c t i o n o f t h e f i e l d s t r e n g t h . In o r d e r t o d e r i v e t h e d i s p e r s i o n r e l a t i o n we s h a l l e m p l o y a v a r i a t i o n a l t e c h n i q u e a p p l i e d t o k i n e t i c and p o t e n t i a l e n e r g y c h a n g e s a s s o c i a t e d w i t h v i r t u a l d i s -p l a c e m e n t s o f a m o v i n g s y s t e m . The f o l l o w i n g a s s u m p t i o n s a r e made: 1 . A u n i f o r m e l e c t r o s t a t i c f i e l d E 0 i s a p p l i e d n o r m a l l y t o t h e u n d i s t u r b e d f l u i d s u r f a c e by an e l e c t r o d e c h a r g e d t o a p o t e n t i a l V 0 and h e l d a t a d i s t a n c e D a b o v e t h e u n d i s t u r b e d s u r f a c e , as shown i n F i g . 16. 34 2. The f l u i d i s i n c o m p r e s s i b l e , i n v i s c i d , and t h e m o t i o n i s a s s u m e d t o s t a r t f r o m r e s t w i t h o u t c i r c u l a -t i o n , s o t h a t i t r e m a i n s i r r o t a t i o n a l t h r o u g h o u t . We c a n t h e n w r i t e t h e v e l o c i t y i n t e r m s o f a p o t e n t i a l f u n c t i o n y> as v_= g r a d ^ ? , w h e r e V <f= 0. 3 . S m a l l a m p l i t u d e , l i n e a r i z e d w a v e s a r e c o n -s i d e r e d ( i . e . t h e t e r m , v . g r a d y _ , w h e r e y_ i s t h e f l u i d v e l o c i t y , c a n be n e g l e c t e d ) . 4 . A l a s t a s s u m p t i o n i s t h a t t h e f l u i d i s i n a c o n t a i n e r w i t h r i g i d w a l l s , and t h a t i t i s h e l d a t g r o u n d p o t e n t i a l . A c c o r d i n g t o H a m i l t o n ' s p r i n c i p l e f o r v i r t u a l d i s p l a c e m e n t s t h a t t r a n s f e r a m o v i n g s y s t e m f r o m one f i n a l s t a t e t o a n o t h e r i n a g i v e n t i m e T, ( T L - o ( 3 . 9 ) w h e r e L=jT'{Y-?)dt, ( 3 . 4 0 ) 0 i n w h i c h K a n d P a r e t h e k i n e t i c and p o t e n t i a l e n e r g y o f t h e s y s t e m r e s p e c t i v e l y . 35 E q u a t i o n ( 3 . 9 ) i s t h e v a r i a t i o n a l e q u a t i o n , w h i c h we s h a l l u s e . A r i g h t h a n d e d c a r t e s i a n c o - o r d i n a t e s y s t e m i s u s e d , w i t h t h e xy p l a n e on t h e u n d i s t u r b e d f l u i d s u r -f a c e , and t h e z a x i s v e r t i c a l l y u p w a r d s ( s e e F i g . 1 6 ) . The f l u i d has a f i n i t e d e p t h H . I f p i s t h e f l u i d d e n s i t y , t h e n w h e r e t h e i n t e g r a t i o n i s p e r f o r m e d o v e r t h e f l u i d v o l u m e Vf . T h e n c f K r J L - J [ { IvSvelr] dt ( 3 . 1 2 ) T, Vf w h i c h f o r t h e i r r o t a t i o n a l , i n c o m p r e s s i b l e , l i n e a r i z e d m o t i o n we h a v e a s s u m e d b e c o m e s F rom G r e e n ' s t h e o r e m 36 . tf* ( 3 . 1 4 ) w h e r e i s t h e f r e e f l u i d s u r f a c e , s i n c e on any c o n t a c t s u r f a c e w i t h t h e r i g i d c o n t a i n e r UMZ0 ; *«* ? V = * ( 3 ' 1 5 ) (jX i s t h e u n i t n o r m a l t o t h e c o n t a c t s u r f a c e ) . By u s i n g t h e l i n e a r i z e d k i n e m a t i c b o u n d a r y c o n d i t i o n a t z = 0 V r f L L - V ? r i f - r i J L . ( 3 - 1 6 ) ( w h e r e J d e n o t e s t h e v e r t i c a l d i s p l a c e m e n t o f t h e f l u i d f r o m i t s e q u i l i b r i u m ) we g e t £k=p( (v *S£I1 JI.JJ ( 3 . i 7 ) f j ff 0 s, T h i s , upon i n t e g r a t i o n y i e l d s H ; J J L sicji.ois ( 3 . 1 8 ) 37 The p o t e n t i a l e n e r g y c o n s i s t s o f t h e g r a v i t a -t i o n a l e n e r g y P, , t h e s u r f a c e t e n s i o n e n e r g y P^ and t h e s u r f a c e e l e c t r o s t a t i c e n e r g y P^  . P = P, + Pz + P 3 ( 3 . 1 9 ) We f i r s t d e f i n e t h e s u r f a c e wave d i s p l a c e m e n t as 4 tot w h e r e C| i s t h e wave a m p l i t u d e , ^ t h e a n g u l a r f r e q u e n c y o f t h e w a v e , a n d F 0 ( x , y ) a f u n c t i o n o f t h e s p a c e v a r i a b l e s x and y s u c h t h a t i t s a t i s f i e s L a p l a c e ' s e q u a t i o n + u •• -fr- R* i H> - u ( 3 . 2 0 ) Jx1 }y-i n w h i c h k i s t h e e i g e n v a l u e d e f i n e d by t h e c o n d i t i o n s o f r i g i d i t y and i m p e r m e a b i l i t y a t t h e c o n t a i n e r w a l l s ^ F° — 0 T h e n w i t h g t h e g r a v i t a t i o n a l a c c e l e r a t i o n , ( 3 . 2 1 ) 38 P, = _ f 7 1 ( 3 . 2 2 ) g i ves T "71 ( 3 . 2 3 ) ' $ 0 $ From e q u a t i o n ( 3 . 2 0 ) , i f T i s t h e s u r f a c e t e n s i o n o f t h e f l u i d , sf o ( 3 . 2 4 ) So JC T h u s , ( 3 . 2 5 ) F i n a l l y , 3 9 i f cy~ i s t h e s u r f a c e c h a r g e b a n c e e l e c t r o s t a t i c p o t e n t i a l w o r k i n g i n t h e MKSQ s y s t e m o f d e n s i t y and t h e d i s t u r -(due t o t h e s u r f a c e w a v e ) , u n i t s we have ^er c - E . £ a ) ^±.U\E.V4J Z-kj^-Y.Jj = - ^ ^ J s ( 3 . 2 6 ) s( sf - sf w h e r e E i s t h e p e r t u r b a t i o n f i e l d a t t h e s u r f a c e ; E = - g r a d y = ~ ~J~^—~~~^~z~ * ^ n e x P r e s s i o n ^ o r Y t h a t s a t i s f i e s L a p l a c e ' s e q u a t i o n and t h e b o u n d a r y c o n d i t i o n s i s w h e r e A i s a c o n s t a n t . A can be d e t e r m i n e d f r o m t h e b o u n d a r y c o n d i t i o n V ( T) + y = 0 ( 3 . 2 8 ) a t i n t h e g r o u n d e d f l u i d s u r f a c e , a T a y l o r s e r i e s E x p a n d i n g t o f i r s t o r d e r 40 vm = v ( o ) * r l ^ l : o j i.e. V(O) = - T E 0 w h i c h i n ( 3 . 2 2 ) g i v e s , a t z = 0; A -y^Eo COi*ck(Kt>) ( 3 . 2 9 ) S u b s t i t u t i n g f r o m ( 3 . 2 7 ) and ( 3 . 2 9 ) i n e q u a t i o n ( 3 . 2 6 ) we h a v e P, = - - £ s L f KEo2C0tU(KD) T%oU ( 3 . 3 0 ) and c o n s e q u e n t l y <fP3 --NICE'S cotUktij J rSTJsofi ( 3 . 3 1 ) S u b s t i t u t i n g - f o r K, P, , P^ , P ? f r o m ( 3 . 1 8 ) , ( 3 . 1 9 ) , ( 3 . 2 3 ) , ( 3 . 2 5 ) and ( 3 . 3 1 ) i n t h e v a r i a t i o n a l e q u a t i o n ( 3 . 9 ) we g e t '?j^^pUTKrT'-iofiCcoiL(KP)TjiT^dit = o ( 3 . 3 2 ) 41 S i n c e t h e v a r i a t i o n i s a r b i t r a r y , t h e i n t e g r a n d can be i d e n t i c a l l y s e t e q u a l t o z e r o , i . e . pi£ + eqX + T^T-M E^CotU (KD)T = 0 ( 3 . 3 3 ) A g a i n , an e x p r e s s i o n f o r Cf t h a t s a t i s f i e s L a p l a c e ' s e q u a t i o n and t h e b o u n d a r y c o n d i t i o n s i s y - Bcoslo k (? + H) Kfay) ( 3 . 3 4 ) U s i n g t h i s and t h e e x p r e s s i o n f o r 7 i n t h e k i n e m a t i c b o u n d a r y c o n d i t i o n ( 3.16) we o b t a i n B - l U / J ; > J ^ ~ ~ ^ 1 L coiU(Url) ( 3 . 3 5 ) S u b s t i t u t i n g i n e q u a t i o n ( 3 . 3 3 ) r e s u l t s , upon s i m p l i f i c a -t i o n and r e a r r a n g e m e n t , i n f X K £0 E?cotk(Kt» ( 3 . 3 6 ) 42 T h i s i s t h e f i n a l v e r s i o n o f t h e d i s p e r s i o n r e l a t i o n . I t was f i r s t d e r i v e d by L a r m o r ( 1 8 9 0 ) f o r an i n f i n i t e l y deep f l u i d , and more r e c e n t l y by M e l c h e r ( 1 9 6 3 ) , T a y l o r and McEwan ( 1 9 6 5 ) and M i c h a e l ( 1 9 6 8 ) . We s e e t h a t t h e a p p l i c a t i o n o f E G r e d u c e s t h e p h a s e v e l o c i t y <<t/k and t h e f r e q u e n c y f = CA//2TT o f t h e w a v e s , u n t i l , f o r h i g h enough v a l u e s o f t h e f i e l d , t h e r i g h t h a n d s i d e o f e q u a t i o n ( 3 . 3 6 ) becomes n e g a t i v e . T h i s g i v e s i m a g i n a r y v a l u e s t o t h e p h a s e v e l o c i t y , and we now have u n s t a b 1e w a v e s . In p r a c t i c e i t i s v i r t u a l l y i m p o s s i b l e t o h a v e c o n d i t i o n s o f c o m p l e t e u n i f o r m i t y o f t h e e l e c t r o s t a t i c f i e l d , s o t h a t t h e d i s p e r s i o n e q u a t i o n ( 3 . 3 6 ) w i l l h a v e t o be m o d i f i e d . The m o d i f i c a t i o n wi11 d e p e n d on t h e p a r t i c u l a r e l e c t r o d e g e o m e t r y , and i n t h e n e x t s e c t i o n we d e r i v e t h e c h a n g e s b r o u g h t a b o u t by t h e e x p e r i m e n t a l c o n d i t i o n s i n o u r a r r a n g e m e n t . 3.2.2 D i s p e r s i o n R e l a t i o n w i t h a S p a t i a l l y N o n - U n i f o r m F i e l d In g e n e r a l , i n o r d e r t o m o d i f y e q u a t i o n ( 3 . 3 6 ) f o r t h e c a s e o f a n o n - u n i f o r m a p p l i e d f i e l d , we s i m p l y m u l t i p l y t h e e l e c t r o s t a t i c f i e l d t e r m i n t h e e q u a t i o n by a c o n s t a n t d e f i n e d by 43 ( 3 . 3 7 ) i n w h i c h ( ? 3 ) 0 and (||) | a r e t h e p e r t u r b a t i o n s i n e l e c t r o -s t a t i c e n e r g y p r o d u c e d by t h e s u r f a c e w a v e s f o r a u n i f o r m and a n o n - u n i f o r m a p p l i e d f i e l d r e s p e c t i v e l y . We c a l c u l a t e d f o r o u r p a r t i c u l a r a r r a n g e m e n t w h i c h has t h e f l u i d i n a c y l i n d r i c a l c o n t a i n e r o f r a d i u s Rj ( F i g . 3 and 1 7 ) . The f i e l d i s a p p l i e d by a d i s c s h a p e d e l e c t r o d e o f r a d i u s R ^ ( R a < R , ) d i s t a n t D f r o m t h e s u r f a c e . The v e r t i c a l d i s -p l a c e m e n t f r o m t h e e q u i l i b r i u m f o r t h e f l u i d s u r f a c e i s g i v e n by o r d e r S ) i n a c y l i n d r i c a l p o l a r c o - o r d i n a t e s y s t e m ( r , $ , z ) w i t h t h e o r i g i n a t t h e u n d i s t u r b e d f l u i d s u r f a c e , and t h e z a x i s v e r t i c a l l y u p w a r d s . The s i n g l e mode w i l l be d e s i g n a t e d t h e ( S , U ) m o d e ; t h e n o m e n c l a t u r e i s e x p l a i n e d b e l o w . The wave n u m b e r k i s d e f i n e d by t h e b o u n d a r y c o n -d i t i o n v ^ = 0 a t r = R, , w h e r e v^ i s t h e r a d i a l v e l o c i t y o f f l u i d p a r t i c l e s . T h e r e f o r e , t ( 3 . 3 8 ) ( w h e r e J}- i s t h e B e s s e l f u n c t i o n o f t h e f i r s t k i n d o f 44 ( — ) 0 (3.39) w h i c h g i v e s KR, = j ' (3.40) i s t h e U th p o s i t i v e r o o t o f J5 i)sv) ~ ® ' d e n o t e s d i f f e r e n t i a t i o n o f t h e B e s s e l f u n c t i o n w i t h r e s p e c t t o i t s a r g u m e n t . U s i n g s u b s c r i p t s 0 and 1 t o r e f e r t o t h e u n i f o r m and n o n - u n i f o r m f i e l d c a s e s r e s p e c t i v e l y , t h e p e r t u r b a t i o n e l e c t r i c f i e l d s ( ? 0 , c a n be e x p r e s s e d i n t e r m s o f p o t e n -t i a l s w h e r e , s i n c e t h e r e a r e no f r e e c h a r g e s i n t h e c a v i t y , (3.41) and t h e d i s t u r b a n c e e l e c t r o s t a t i c p o t e n t i a l s a t i s f i e s V* V|/ = 0 (l = O or 1) (3.42) T h e l a t t e r e q u a t i o n , i . e . L a p l a c e , s , g i v e s ' \ j > | w h e n s o l v e d s u b j e c t t o t h e a p p r o p r i a t e b o u n d a r y c o n d i t i o n s t h a t a l l 45 s o l i d m e t a l s u r f a c e s i n t h e i n t e r i o r o f t h e c a v i t y a r e e q u i p o t e n t i a l s . A t t h e f l u i d s u r f a c e , u s i n g e q u a t i o n s ( 3 . 2 8 ) , ( 3 . 2 9 ) y r-TE; ((: o „ l ) ( 3 . 4 3 ) w h e r e i s t h e a p p l i e d e l e c t r o s t a t i c f i e l d a t t h e f l u i d s u r f a c e . F r o m t h e d e f i n i t i o n o f <=< and ( 3 . 4 1 ) we h a v e w h i c h by G r e e n ' s t h e o r e m , ( 3 . 4 1 ) a n d ( 3 . 4 3 ) b e c o m e s fy'&E.T^rJt, 1, O •» n •» ( 3 . 4 4 ) ( 3 . 4 5 ) F o r t h e e v a l u a t i o n o f I 0 and lx we a s s u m e , t o a f i r s t a p p r o x i m a t i o n , t h a t t h e d i s t o r t i o n o f t h e f l u i d s u r f a c e by t h e n o n - u n i f o r m a p p l i e d f i e l d E^  l e a v e s t h e 46 s u r f a c e mode e i g e n f u n c t i o n s u n a f f e c t e d , e x c e p t f o r t h e r e d u c t i o n o f t h e o s c i l l a t i o n f r e q u e n c y f . A g a i n , a s o l u t i o n f o r t h a t s a t i s f i e s L a p l a c e ' s e q u a t i o n and t h e b o u n d a r y c o n d i t i o n s i s Eo n($.\J)Ts(^)cos(S8)si*Ufrlz-8»] S im U (f (3.46) w h e r e E 0 = V 0 / D . S u b s t i t u t i n g f o r and T i n I Q g i v e s I0 = J L C o t t ( K W ViS^Vof fR> j / ( K * O r e / r (3.47) D To e v a l u a t e 1( we n o t e t h a t d 2 (3.48) w h e r e F 0 ( r , 9 ) i s a f u n c t i o n t h a t c a n be e v a l u a t e d by i n -c o r p o r a t i n g t h e a p p r o p r i a t e b o u n d a r y c o n d i t i o n s i n t o t h e 47 s o l u t i o n o f L a p l a c e ' s e q u a t i o n . I t i s c l e a r h o w e v e r t h a t t h e r a d i a l f i e l d d i s t r i b u t i o n ( s e e F i g . A2 , A p p e n d i x A) E ( r ) i s , t o a v e r y g o o d a p p r o x i m a t i o n , u n i f o r m f o r r < s o t h a t i n t h i s r e g i o n Jto „ M ^ ^ (;. e. FQ(r) = 1) ( 3 . 4 9 ) 7 7 " ' T T ° ^ F o r R^ < r < R, , we a s s u m e t h a t t h e f r a c t i o n a l c h a n g e i n E , c a u s e d by t h e s u r f a c e wave i s l e s s t h a n t h e c o r r e s p o n d -i n g q u a n t i t y f o r a u n i f o r m f i e l d , i . e . > _ ( 3 . 5 0 ) E 0 ^ E, * T h e n , f r o m e q u a t i o n s ( 3 . 4 5 ) , ( 3 . 4 6 ) , ( 3 . 4 9 ) a n d ( 3 . 5 0 ) , < — — ^ ( 3 . 5 1 ) w h e r e q = kR, and q = kR,^ 48 S i n c e E ( / E 0 i s v e r y s m a l l f o r < r < R, ( s e e F i g . A2) (3 . 5 1 ) can be w r i t t e n as ^ M d l ) ( 3 . 5 2 ) where The i n t e g r a l s can be e v a l u a t e d a n a l y t i c a l l y by u s i n g e q u a t i o n s 11.3.33 and 11.3.34, p. 484, and e q u a t i o n 9.1.28, p. 361 o f A b r a m o w i t z and S t e g u n ( 1 9 6 5 ) . The e x p r e s s i o n s f o r M a r e : F o r S od d : M^J = -~ [ Jo* (l>+J,*«0] - <J J> (<\) I, (<{) ( 3 . 5 3 ) and f o r S e v e n M t y r i f a ^ + J . V ] - ^ (1) ( 3 . 5 4 ) 49 T h e s e h o l d f o r a l l S e x c e p t S = 0 and S = 1, i n w h i c h c a s e s t h e e x p r e s s i o n s a r e s i m p l y M(?) r-1- p o ^ C ^ ) + ^ ( ^ y i l ^ ^ T j ^ ) {Sz\) ( 3 . 5 6 ) I ? was a l s o e v a l u a t e d more e x a c t l y by u s i n g t h e a c t u a l v a l u e s o f E ( / E 0 f r o m F i g . A2, i n s t e a d o f a s s u m i n g t h a t E f = 0 f o r < r < R, . E q u a t i o n ( 3 . 5 1 ) was u s e d , and v a l u e s o f E ( / E 0 were f e d i n t o a n u m e r i c a l i n t e g r a t i o n p r o g r a m u s i n g t h e U n i v e r s i t y o f B.C.'s IBM 360/67 c o m p u t e r . From t h i s e x a m i n a t i o n we s e e t h a t t h e f o r m o f t h e c h a r a c t e r i s t i c e q u a t i o n ( 3 . 3 6 ) i s u n a l t e r e d , s o t h e s q u a r e o f t h e s u r f a c e mode f r e q u e n c y i s s t i l l p r o p o r t i o n a l t o t h e s q u a r e o f t h e e l e c t r i c f i e l d . Our a i m was t o c h e c k t h i s e x p e r i m e n t a l l y , and t o s e e what a d d i t i o n a l e f f e c t s m i g h t be i n t r o d u c e d by t h e s t a t i c s u r f a c e d e f o r m a t i o n due t o t h e n o n - u n i f o r m f i e l d . 50 3 . 2 . 3 E x p e r i m e n t a l R e s u l t s o f S u r f a c e Mode F r e q u e n c y R e d u c t i o n by S p a t i a l l y N o n - U n i f o r m , E l e c t r o s t a t i c  F i e l d s We s t a r t t h i s s e c t i o n by s h o w i n g how i n d i v i d u a l s u r f a c e modes w e r e i d e n t i f i e d f r o m an a c c u r a t e m e a s u r e m e n t o f t h e i r o s c i l l a t i o n f r e q u e n c i e s . T h e n we p r e s e n t r e s u l t s o f t h e r e d u c t i o n o f s u r f a c e mode f r e q u e n c y by a p p l i e d , s p a t i a l l y n o n - u n i f o r m e l e c t r o s t a t i c f i e l d s , and we c o m p a r e t h e s e w i t h t h e p r e d i c t i o n s o f S e c t i o n 3 . 2 . 2 . I d e n t i f i c a t i o n of Surface Modes I n t h e s e e x p e r i m e n t s , p u r e s u r f a c e modes w e r e e x c i t e d i n d i v i d u a l l y on t h e s u r f a c e o f m e r c u r y i n t h e c y l i n d r i c a l m i c r o w a v e r e s o n a t o r by e i t h e r b l o w i n g p e r i o d i c a i r p u l s e s o n t o t h e s u r f a c e ( e a r l i e r e x p e r i m e n t s ) , o r u s i n g s p a t i a l l y n o n - u n i f o r m , t i m e p e r i o d i c e l e c t r i c f i e l d s . By s e t t i n g t h e d r i v i n g f r e q u e n c y e q u a l t o t h e n a t u r a l mode f r e q u e n c y i n b o t h c a s e s , t h e modes e x c i t e d w e r e v e r y p u r e s i n c e t h e i r q u a l i t y f a c t o r s w e r e q u i t e h i g h ( a b o u t 150 -s e e S e c t i o n 4 . 2 ) . F o r a l l w a v e s t a n h ( k H ) c o u l d be s e t e q u a l t o 1 ( t h e i n f i n i t e l y d e e p f l u i d a p p r o x i m a t i o n ) s i n c e t h e f l u i d d e p t h was a b o u t 10 cm ( s e e T a b l e 3 . 1 f o r e x p e r i -m e n t a l p a r a m e t e r s ) . In t h e f i r s t i n s t a n c e , t h e e l e c t r o s t a t i c 5 1 T a b l e 3 . 1 P A R A M E T E R S U S E D I N T H E E X P E R I M E N T S R.J = R a d i u s o f m i c r o w a v e r e s o n a t o r = 3 . 6 4 cm R 2 = E l e c t r o d e r a d i u s = 2 . 0 cm E l e c t r o d e t h i c k n e s s = 0 . 5 8 cm T = S u r f a c e t e n s i o n o f m e r c u r y = 4 7 0 dyne.cm" f H = Dept h o f m e r c u r y = 8 t o 1 2 cm p = D e n s i t y o f m e r c u r y = 1 3 . 6 g.cm~* g = A c c e l e r a t i o n o f g r a v i t y = 9 8 1 c r n . s " 2 EM mode r e s o n a n t f r e q u e n c y = 8 7 1 8 MHz y = ( R , / R A ) % - 1 = 2 . 3 1 £ o = P e r m i t t i v i t y o f f r e e s p a c e = 8 . 8 5 x 1 0 F.m 52 f i e l d was s e t e q u a l t o z e r o ( i . e . V 0 = 0 ) , and t h e d i s p e r -s i o n r e l a t i on c v * = 5- H + I * 3 f was s o l v e d f o r k , h a v i n g s u b s t i t u t e d t h e m e a s u r e d v a l u e o f c*j , by u s i n g t h e N e w t o n - R a p h s o n i t e r a t i o n t e c h n i q u e i n an a p p r o p r i a t e c o m p u t e r p rog ram.*/was m e a s u r e d t o an a c c u r a c y o f 0 . 2 % by u s i n g t h e t i m e m a r k e r s c h e m e d e s c r i b e d i n S e c t i o n 2 . 5 . 1 . V a l u e s o f g and T g i v e n i n T a b l e 3 . 1 w e r e u s e d . The s u r f a c e modes c o u l d t h e n be i d e n t i f i e d by c o m p a r i n g \' = K R I ( s e e e q u a t i o n ( 3 . 4 0 ) ) w i t h t a b u -l a t e d v a l u e s t o g e t S a n d U. The t a b l e f r o m A b r a m o w i t z and S t e g u n ( 1 9 6 5 ) , p . 411 was u s e d , and i t i s p a r t l y r e -p r o d u c e d as T a b l e 3 . 2 h e r e . The s u r f a c e t e n s i o n was n o t a c c u r a t e l y known t o s t a r t w i t h s i n c e no s p e c i a l p r e c a u t i o n s w e r e t a k e n a g a i n s t s l i g h t c o n t a m i n a t i o n f r o m t r a c e s o f d e t e r g e n t and s o l v e n t s u s e d t o c l e a n t h e c a v i t y p e r i o d i c a l l y M i n u t e t r a c e s o f c o n t a m i n a n t s t e n d t o r e d u c e T by as much as 20% ( s e e B u r d o n ( 1 9 4 9 ) ) . T h e r e f o r e , a f t e r S and U w e r e i d e n t i f i e d , s m a l l a d j u s t m e n t s t o T made t h e c o m p u t e d v a l u e s o f k s a t i s f y t h e d i s p e r s i o n r e l a t i o n e x a c t l y . T h i s s e t t h e v a l u e o f T t o t h e v a l u e g i v e n i n T a b l e 3 . 1 . F o r t h e modes i n v e s t i g a t e d e x p e r i m e n t a l l y t h e c h a n g e i n k f o r t h e 53 T a b l e 3.2 ZEROS OF D E R I V A T I V E S OF BESS-EL FUNCTIONS OF THE F I R S T K I N D u J 4 , « 1 0.00 1 .84 3.05 4.20 5.32 2 3.83 5.33 6.71 1 8.02 9 .28 3 7.02 8.54 9.97 11 .35 12.68 4 10.17 11.71 13.17 14.59 15.96 5 13.32 14.86 16.35 17.79 19 .20 6 16.47 18.02 19.51 20.97 22.40 54 l a r g e s t r e a s o n a b l e c h a n g e i n T i s a b o u t 1 % , n o t l a r g e e n o u g h t o p r o d u c e a m b i g u o u s i d e n t i f i c a t i o n o f t h e m o d e s . Decrease of Surface Mode Frequency by Application  of a Normal E l e c t r o s t a t i c F i e l d T h r e e modes w e r e i n v e s t i g a t e d e x p e r i m e n t a l l y , w i t h ( S , U ) = ( 4 , 2 ) , ( 2 , 2 ) a n d ( 0 , 3 ) . In a l l t h r e e c a s e s t h e f i e l d was a p p l i e d by a d i s c s h a p e d e l e c t r o d e i n t h e c o n f i g u r a t i o n o f F i g s . 3 and 4 , and was v a r i e d by a l t e r i n g t h e v o l t a g e VQ a p p l i e d t o t h e e l e c t r o d e . The d i s t a n c e o f t h e e l e c t r o d e f r o m t h e s u r f a c e was a b o u t 2 mm, and was m e a s u r e d t o an a c c u r a c y o f 0 . 0 5 mm by m e a s u r i n g t h e d e p t h s o f t h e e l e c t r o d e and m e r c u r y s u r f a c e f r o m t h e u p p e r r i m o f t h e c a v i t y u s i n g a t r a v e l l i n g m i c r o s c o p e . W i t h t h e S o r e n s e n h i g h v o l t a g e p o w e r s u p p l y u s e d , V 0 c o u l d be r e a d t o an a c c u r a c y o f a b o u t 50 V i n t h e r a n g e s e m p l o y e d . In t h e f i r s t i n s t a n c e , V 0 / D was k e p t b e l o w t h e l i m i t ( a b o u t 25 kV/cm) a t w h i c h t h e e q u i l i b r i u m d i s t o r t i o n o f t h e m e r c u r y s u r f a c e e x c e e d s a b o u t 0 . 1 mm, i n o r d e r t o s a t i s f y t h e t h e o r y o f s e c t i o n 3 . 2 . 2 ( a s s u m p t i o n s b e l o w e q u a t i o n ( 3 . 4 5 ) ) . The f r e q u e n c y f o f t h e s u r f a c e modes was m e a s u r e d t o an a c c u r a c y o f 0 . 2 % . F i g . 18 s h o w s p l o t s o f f v s . V„ f o r t h e t h r e e modes e m p l o y e d ; i t v e r i f i e s s 55 t h e c o n c l u s i o n s o f S e c t i o n s 3.2.1 and 3.2.2, s i n c e i t shows t h a t f i s p r o p o r t i o n a l t o t h e s q u a r e o f t h e a p p l i e d e l e c t r o s t a t i c f i e l d ( p r o p o r t i o n a l t o V Q ) , e x a c t l y as p r e d i c t e d f r o m e q u a t i o n ( 3 . 3 6 ) lhTTx m o d i f i e d by e q u a t i o n ( 3 . 5 1 ) w h i c h a c c o u n t s f o r t h e s p a t i a l n o n - u n i f o r m i t y o f t h e f i e l d . The c u r v e d p a r t o f g r a p h 18b c o r r e s p o n d s t o h i g h e r e l e c t r o s t a t i c f i e l d s t r e n g t h s t h a n t h e v a l u e s u s e d f o r t h e r e s t o f t h e g r a p h s . T h i s g r a p h shows t h a t t h e s t a t i o n a r y s u r f a c e d e f o r m a t i o n t e n d s t o a c c e l e r a t e t h e r a t e o f r e d u c t i o n o f f a , h e n c e i t w i l l l e a d t o a s u r f a c e i n s t a b i l i t y f o r s m a l l e r f i e l d v a l u e s t h a n e x p e c t e d f r o m t h e t h e o r y o f S e c t i o n 3.2.2. H o w e v e r , p u r e modes were n o t r e a d i l y e x c i t a b l e on t h e s u r f a c e f o r f i e l d v a l u e s g r e a t e r t h a n a b o u t 50 t o 55 kV/cm, p r e s u m a b l y due t o t h e l a r g e s u r f a c e d e f o r m a t i o n a t t h e s e h i g h e r f i e l d s . Wave c h a r a c t e r i s t i c s i n t h i s r e g i o n were n o t p u r s u e d any f u r t h e r , s i n c e i t was n o t o u r p u r p o s e t o i n v e s t i g a t e i n d e t a i l t h e e f f e c t o f s u r f a c e t e n s i o n on t h e s t a t i o n a r y s u r f a c e d e f o r m a t i o n , n o r t h e mode s t r u c t u r e on t h e d i s t o r t e d f l u i d s u r f a c e when t h e mode e i g e n f u n c t i o n s a r e m o d i f i e d . 56 F o r t h e l i n e a r p a r t s o f t h e g r a p h s i n F i g . 18 t h e d i s p e r s i o n r e l a t i o n q u o t e d a b o v e , m o d i f i e d f o r t h e f i e l d n o n - u n i f o r m i t y p r e d i c t t h e s l o p e f D a A l l t h e v a r i a b l e s i n t h i s e x p r e s s i o n a r e known, o r m e a s u r e -a b l e d i r e c t l y , e x c e p t cC , so we can use t h i s e x p r e s s i o n and t h e s l o p e s e s t i m a t e d f r o m F i g . 18 t o g i v e v a l u e s f o r . T h e s e a r e c o m p a r e d i n T a b l e 3.3 w i t h t h e v a l u e s p r e -d i c t e d by e q u a t i o n s ( 3 . 5 2 ) t o ( 3 . 5 4 ) , and e q u a t i o n ( 3 . 5 1 ) i n t h e m o d i f i e d e l e c t r o s t a t i c f i e l d t h e o r y o f S e c t i o n ( 3 . 2 . 2 ) . The v e r y good a g r e e m e n t b e t w e e n e x p e r i m e n t a l r e s u l t s and t h e o r e t i c a l p r e d i c t i o n s shows t h a t t h e assump-t i o n s ( l i n e a r i z a t i o n , e i g e n f u n c t i o n i n v a r i a n c e , e t c . ) made i n t h e m o d i f i c a t i o n o f t h e d i s p e r s i o n r e l a t i o n f o r non-u n i f o r m f i e l d s a r e v a l i d . 3.3 An I n s t a b i l i t y E x p e r i m e n t t h a t d i d n o t S u c c e e d One o f o u r o r i g i n a l r e s e a r c h g o a l s , b e s i d e s s t u d y -i n g t h e e f f e c t o f s t r o n g e l e c t r o s t a t i c f i e l d s on t h e d i s -p e r s i o n e q u a t i o n ( 3 . 3 6 ) , was t o i n v e s t i g a t e f u l l y t h e e n s u i n g i n s t a b i l i t y when t h e r i g h t h a n d s i d e o f t h e T a b l e 3.3 RESULTS k (cm"' ) a a a Mode (S,U) D (cm) kPq ( A n a l y t i c ) ( N u m e r i c a l ) O b s e r v e d ( e q . ( 3 . 5 4 ) ( e q . ( 3 . 5 1 ) ( 4 , 2 ) 0.285 2.55 9 .29 0.378 0 . 385 0.396 ( 0 , 3 ) 0.220 1.93 7.02 0.553 0.557 0 .576 ( 0 , 3 ) 0.166 1 .93 7.02 0.553 0.557 0.555 ( 2 , 2 ) 0.T70 1 .85 6.73 0.528 0.533 0.524 58 d i s p e r s i o n e q u a t i o n + — Kx f K f becomes n e g a t i v e ; i n p a r t i c u l a r , we w a n t e d t o m e a s u r e t h e g r o w t h r a t e o f t h i s i n s t a b i l i t y . T h i s g r o w t h r a t e i s e x p e c t e d t o be f c p k l , w here c p i s t h e i m a g i n a r y p h a s e v e l o c i t y CJ/H g i v e n by t h e d i s p e r s i o n e q u a t i o n i n t h e un-s t a b l e r e g i m e . H a v i n g o b t a i n e d t h e abov e r e s u l t s , we p r o -c e e d e d t o a p p l y l a r g e r e l e c t r i c f i e l d s ( b e t w e e n 70 and 90 kV/cm) t o make t h e s u r f a c e u n s t a b l e . A n o n - d e s t r u c t i v e t e c h n i q u e was d e v i s e d t o a v o i d d a m a g i n g t h e h i g h l y p o l i s h e d e l e c t r o d e and a l s o p r e v e n t t h e f o r m a t i o n o f o x i d e s a t t h e m e r c u r y s u r f a c e by s p a r k i n g . An e l e c t r i c f i e l d o f l a r g e a m p l i t u d e ( a b o u t 80 kV/cm) and s h o r t d u r a t i o n ( a b o u t 10 ms) was a p p l i e d t o t h e m e r c u r y s u r f a c e . The s u r f a c e was i n i t i a l l y d r i v e n t o o s c i l l a t e w i t h a s m a l l a m p l i t u d e . The f i e l d c a u s e d t h e s u r f a c e t o become u n s t a b l e , and p e r m i t t e d o b s e r v a t i o n o f t h e g r o w t h r a t e . H o w e v e r , t h e s h o r t d u r a t i o n o f t h e f i e l d p r e v e n t e d t h e u n s t a b l e wave f r o m c o m i n g c l o s e enough t o t h e e l e c t r o d e t o c a u s e d i e l e c t r i c b r e a k d o w n i n t h e SFg a t m o s p h e r e o f t h e c a v i t y . The e x p e r i m e n t a l a r r a n g e m e n t was as f o l l o w s . 59 A s e c o n d s p r i n g l o a d e d c o n t a c t was m ounted on t h e r o t o r ( s e e F i g . 1 9 ) , and a s m a l l a d d i t i o n a l b r a s s s e c t i o n c o r r e s p o n d i n g t o i t was f i x e d on t h e s t a t o r o f t h e h i g h v o l t a g e g e n e r a t o r o f F i g . 6. T h i s s e c t i o n was h e l d a t a p o t e n t i a l w h i c h was h i g h enough t o a p p l y a s u p e r c r i t i c a l e l e c t r i c f i e l d ( w h e r e s u p e r c r i t i c a l means s t r o n g enough t o c a u s e i n s t a b i l i t y ) . A f a s t , two-way r e l a y s w i t c h ( F i g . 19) c o u l d be u s e d t o t r a n s f e r c o n t a c t t o t h e e l e c t r o d e i n s i d e t h e c a v i t y f r o m t h e f i r s t t o t h e s e c o n d r o t o r c o n t a c t . When t h e s w i t c h was a c t i v a t e d , and a s u p e r c r i t i c a l v o l t a g e a p p l i e d t o t h e e l e c t r o d e , a m i c r o s w i t c h a u t o m a t i c a l l y c u t t h e power t o t h e r o t o r . Hence a s e c o n d a p p l i c a t i o n o f a s u p e r c r i t i c a l v o l t a g e i n t h e n e x t r e v o l u t i o n , t h a t w o u l d now c a u s e s p a r k i n g f r o m t h e e l e c t r o d e t o t h e s u r f a c e , was a v o i d e d . Two modes were s t u d i e d , t h e ( 0 , 2 ) and t h e ( 0 , 3 ) . F i g . 20d shows a s c h e m a t i c d i a g r a m o f a r e s u l t i n g f i l m , w i t h t h e s u r f a c e i n s t a b i l i t y c l e a r l y d e p i c t e d . The d o t s , o c c u r r i n g a t t h e t r i g g e r r a t e o f t h e o s c i l l o s c o p e , t y p i c a l l y 0.5 ms, s e r v e d as t i m e m a r k e r s i n t h i s c a s e . By p l o t t i n g t h e l o g a r i t h m o f t h e wave a m p l i t u d e f r o m t h e f i l m , we o b t a i n e d v e r y good s t r a i g h t l i n e s . A t y p i c a l p l o t i s shown i n F i g . 20b, and t h e e x p o n e n t i a l g r o w t h o f t h e i n s t a b i l i t y i s c l e a r l y d e m o n s t r a t e d . H o w e v e r , t h e r e s u l t i n g e - f o l d i n g 60 t i m e s d i f f e r e d by as much as 30% u n d e r a p p a r e n t l y i d e n t i c a l o p e r a t i n g c o n d i t i o n s , and i n a d d i t i o n w e r e much s h o r t e r 5 ms) t h a n e x p e c t e d f r o m S e c t i o n 3 . 2 . 1 . F u r t h e r m o r e , t h e i n i t i a t i o n o f t h e i n s t a b i l i t y s e e m e d t o o c c u r e v e n f o r t h e o r e t i c a l l y s u b c r i t i c a l f i e l d v a l u e s . I n s t a b i l i t y w i t h s u b c r i t i c a l f i e l d s o c c u r r e d e v e n f o r an i n i t i a l l y s t a t i c s u r f a c e . A t t h i s s t a g e , a l i t t l e t h o u g h t s h o w e d t h a t , e s p e c i a l l y i n t h e c a s e o f s p a t i a l l y n o n - u n i f o r m f i e l d s , w h a t we w e r e d e a l i n g w i t h was a d i f f i c u l t i n i t i a l and b o u n d a r y v a l u e p r o b l e m , and t h a t e l e c t r i c f i e l d n o n -u n i f o r m i t i e s p l a y e d a d o m i n a n t r o l e i n d r i v i n g t h e s u r f a c e u n s t a b l e . A f u l l d i s c u s s i o n o f t h i s i s d e f e r r e d u n t i l C h a p t e r 5 , a f t e r p r e s e n t a t i o n o f some more e v i d e n c e o f t h e i m p o r t a n c e o f s p a t i a l n o n - u n i f o r m i t i e s when t h e a p p l i e d f i e l d s h a v e a t i m e v a r y i n g c o m p o n e n t . C h a p t e r 4 EXCITATION OF PURE SURFACE MODES BY SPATIALLY NON-UNIFORM TIME PERIODIC ELECTRIC FIELDS - SURFACE MODE DAMPING I n t h i s c h a p t e r we p r e s e n t t h e r e s u l t s o f i n v e s -t i g a t i o n s o f t h e e f f e c t s o f s p a t i a l l y n o n - u n i f o r m , t i m e p e r i o d i c e l e c t r i c f i e l d s on t h e s u r f a c e o f m e r c u r y i n a c o n t a i n e r . L i n e a r t h e o r y i s a g a i n u s e d t h r o u g h o u t , and t h e e x p e r i m e n t a l a r r a n g e m e n t i s e x a c t l y as t h e one u s e d i n t h e p r e v i o u s c h a p t e r , w i t h a m i c r o w a v e r e s o n a t o r b e i n g u s e d as t h e d i a g n o s t i c t o o l . S i n c e t h e s u r f a c e i s shown t o b e h a v e as a r e s o n a n t l y d r i v e n s y s t e m , i n w h i c h t h e d a m p i n g p l a y s a c r u c i a l r o l e , an o u t l i n e o f t h e t h e o r y o f v i s c o u s d i s s i p a t i o n o f s u r f a c e wave e n e r g y i s a l s o i n -c l u d e d i n t h e t h e o r y . The r a t e o f e n e r g y d i s s i p a t i o n by v i s c o s i t y ( i . e . t h e d a m p i n g f r e q u e n c y ) i n t h e p r e s e n c e o f l a r g e e l e c t r o s t a t i c f i e l d s i s a l s o e x a m i n e d . S i n c e v i s c o u s d i s s i p a t i o n o f e n e r g y o c c u r s i n t h e b o u n d a r y l a y e r ( s e e t h e o r y ) a t t h e f l u i d s u r f a c e s , a s t r o n g e l e c t r o s t a t i c f i e l d 61 62 m i g h t a f f e c t t h e p h y s i c a l p r o c e s s e s i n v o l v e d by m o d i f y i n g t h e b o u n d a r y l a y e r s . 4 . 1 . 1 S u r f a c e Mode E x c i t a t i o n by a S p a t i a l l y N o n - U n i f o r m ,  Time V a r y i n g E l e c t r i c F i e l d - T h e o r y When a p e r i o d i c e l e c t r i c s t r e s s i s a p p l i e d n o r -m a l l y t o a f r e e f l u i d s u r f a c e , t h e r e s p o n s e o f t h e s u r f a c e w i l l r e s u l t i n t h e s e t t i n g up o f s u r f a c e w a v e s , i n a s i m i l a r manner t o any o t h e r d r i v e n h a r m o n i c s y s t e m . I f t h e d r i v e n s y s t e m has a d i s c r e t e s e t o f modes i n i t s f r e -q u e n c y s p e c t r u m ( a s i n o u r c a s e o f s t a n d i n g waves on a f l u i d i n a c o n t a i n e r ) , t h e s e l e c t i v e r e s p o n s e o f t h e s y s t e m t o p a r t i c u l a r s p a t i a l and t e m p o r a l F o u r i e r c o m p o n e n t s o f t h e d r i v i n g m e c h a n i s m can be u s e d t o e x c i t e p u r e , p r e d e -t e r m i n e d modes. T h i s i s a g r e a t e x p e r i m e n t a l c o n v e n i e n c e , s i n c e i t e l i m i n a t e s t h e n e e d o f F o u r i e r a n a l y s i s o f a r b i t r a r y d i s t u r b a n c e s , by v i r t u e o f t h e f a c t t h a t t h e t h e o r y o f f r e e o s c i l l a t i o n s g i v e s t h e f r e q u e n c y OJ as a f u n c t i o n o f t h e wavenumber k. In t h i s s e c t i o n , s t a r t i n g by t h e i n c l u s i o n o f a t i m e v a r y i n g e l e c t r i c s t r e s s i n t h e e q u a t i o n o f m o t i o n o f a f l u i d s u r f a c e , we d e r i v e t h e n e c e s s a r y c o n d i t i o n s f o r t h e 63 d r i v i n g o f p u r e s u r f a c e modes on a f l u i d s u r f a c e i n a c o n -t a i n e r . We s h a l l use t h e same g e o m e t r y as t h e one e m p l o y e d i n t h e p r e v i o u s s e c t i o n ( i . e . F i g s . 3, 1 7 ) , w i t h t h e e x c e p -t i o n t h a t we a r e now d e a l i n g w i t h a g e n e r a l e l e c t r o d e s h a p e We a g a i n use l i n e a r t h e o r y . The v e r t i c a l d i s p l a c e m e n t J o f an i n v i s c i d f l u i d s u r f a c e i n t h e a b s e n c e o f an e l e c t r i c f i e l d s a t i s f i e s t h e e q u a t i on ( 4 . 1 ) w h e r e a l l t h e s y m b o l s have b e e n d e f i n e d i n S e c t i o n 3.2.1. T h i s i s s i m p l y t h e l i n e a r i z e d f o r m o f B e r n o u l l i ' s e q u a t i o n , t o g e t h e r w i t h t h e c o n d i t i o n t h a t t h e f l u i d p a r t i c l e s on t h e s u r f a c e r e m a i n on t h e s u r f a c e t h r o u g h o u t . I t e x p r e s s e s t h e c o n s e r v a t i o n o f s t r e s s a c r o s s t h e s u r f a c e . I n ' o r d e r t o keep t h e a l g e b r a s i m p l e we s h a l l assume a t t h e o u t s e t t h a t we a r e d e a l i n g w i t h an i n f i n i t e l y d e ep f l u i d ( i . e . t a n h ( k H ) s 1, w h i c h was a c t u a l l y t h e c a s e i n t h e e x p e r i m e n t s ) . T h e n we can w r i t e (J> as ( s e e e q u a t i o n ( 3 . 3 4 ) ) r . r » ( j > w : i f V K ^ K ^ W ^ ( 4 . 2 ) 64 w h e r e y i s g i v e n i n g e n e r a l as t h e sum o f n o r m a l modes ( S , U ) ; t h e n o t a t i o n ( S , U ) i s d e f i n e d i n e x a c t l y t h e same m a n n e r as f o r t h e d i s p l a c e m e n t a s s o c i a t e d w i t h a n o r m a l mode ( e q u a t i o n ( 3 . 4 0 ) ) . F o r b r e v i t y we s h a l l h e n c e f o r t h o f t e n o m i t ( S . U ) , when t h i s d o e s n o t g i v e r i s e t o any c o n -f u s i o n . U s i n g t h e l i n e a r i z e d k i n e m a t i c b o u n d a r y c o n d i t i o n a t t h e s u r f a c e ( e q u a t i o n ( 3 . 1 6 ) ) i n ( 4 . 1 ) t o e l i m i n a t e we g e t w i t h ( 4 . 3 ) F rom t h e o r t h o g o n a l i t y o f t h e m o d e s , t h e l a s t two e q u a t i o n s g i v e t h e d i s p e r s i o n r e l a t i o n ( c f . e q u a t i o n ( 3 . 3 6 ) ) . In t h e c a s e o f a v i s c o u s f l u i d , t h e v o r t i c i t y w i l l s t i l l v a n i s h e v e r y w h e r e i n t h e b o d y o f t h e f l u i d , e x c e p t i n t h e v i c i n i t y o f t h e b o u n d a r i e s , s p e c i f i c a l l y t h e b o u n d a r y l a y e r s o f t h i c k n e s s s e e C a s e and P a r k i n s o n ( 1 9 5 7 ) ) , w h e r e V i s t h e k i n e m a t i c v i s c o s i t y o f 65 t h e f l u i d . In o u r c a s e , t h e s e v i s c o u s e f f e c t s w i l l i n t r o -d u c e a d d i t i o n a l t e r m s o f o r d e r ^/R t i n t o t h e e q u a t i o n o f m o t i o n ( 4 . 1 ) ; k i s a l s o m o d i f i e d by a s i m i l a r c o r r e c t i o n f a c t o r . T h e s e c o r r e c t i o n s a r i s e b e c a u s e t h e d i s p e r s i o n e q u a t i o n w i l l i n v o l v e t h e non v a n i s h i n g component o f t h e v o r t i c i t y \/~ . Hence we can now w r i t e e q u a t i o n ( 4 . 3 ) i n t h e f o r m _i L.£l'- xfff + T/f'1) T' (4.5) K' ie -where t h e p r i m e s i n d i c a t e t h a t c o r r e c t i o n s o f o r d e r ^/R, ( i . e . a b o u t 1 0 ~ * * i n o u r s y s t e m ) must be made t o t h e a p p r o -p r i a t e p a r a m e t e r s . In o r d e r t o f i n d t h e e f f e c t o f a p e r i o d i c e l e c t r i c f i e l d o f f r e q u e n c y j f l on t h e s u r f a c e , we add an e x t r a s t r e s s t e r m t o t h e e q u a t i o n o f m o t i o n , t o o b t a i n ( 4 . 6 ) w h e r e E 0 i s a t i m e i n d e p e n d e n t f i e l d , and E 0 and E, h a v e 66 t h e same s p a t i a l d e p e n d e n c e ( i ^ B ) . The f o l l o w i n g assump-t i o n s a r e made: 1 } E, I E . 6 1 <4-7> as i s t h e a c t u a l c a s e a t h a n d , and t o r e d u c e t h e p o s s i b i l i t y o f s e c o n d h a r m o n i c g e n e r a t i o n . 2) f, » F o — r < < D ( 4- 8) T h e s e e x p r e s s t h e f a c t t h a t , t o a f i r s t a p p r o x i m a t i o n , c h a n g e s i n t h e e l e c t r i c f i e l d c a u s e d by t h e s u r f a c e waves can be n e g l e c t e d . 3) The l a s t c o n d i t i o n t h a t has t o be s a t i s i f e d f o r t h e e x c i t a t i o n o f p u r e modes i s t h a t t h e g r a d i e n t o f t h e n o r m a l f i e l d a n y w h e r e on t h e f l u i d s u r f a c e be much s m a l l e r t h a n E t / D , i . e . ( w h e r e V i s t h e t w o - d i m e n s i o n a l o p e r a t o r ~ + ~ ""^Q"^ * and i and j a r e u n i t v e c t o r s i n t h e r and 9 d i r e c t i o n 67 r e s p e c t i v e l y ) . The r e a s o n f o r t h i s i s t h a t i f 7£T, , i s c o m p a r a b l e t o E , / D ( t h i s h a p p e n s n e a r e l e c t r o d e e d g e s n o t s u f f i c i e n t l y r o u n d e d ) , l a r g e t r a v e l l i n g d i s t u r b a n c e s ( t r a n s i e n t s ) a r e s e t up on t h e s u r f a c e when a t i m e p e r i o d i c e l e c t r i c f i e l d i s a p p l i e d . T h e s e m i x w i t h t h e b a s i c p u r e modes and c o n t a m i n a t e t h e m . U s i n g e q u a t i o n ( 4 . 7 ) we c a n l i n e a r i z e t h e e x p r e s -s i o n f o r t h e d r i v i n g f i e l d E x p a n d i n g E i n t e r m s o f o r t h o n o r m a l modes i n t h e s p a c e v a r i a b l e s , and e q u a t i n g t e r m s w i t h t h e same S and U, and JTL we o b t a i n f r o m e q u a t i o n ( 4 . 6 ) by o r t h o n o r m a l i z a t i on ( 4 . 1 0 ) v No ( 4 . 1 1 ) ti - J l * No 68 where ( 4 . 1 2 ) ( Cu^u i n e q u a t i o n ( 4 . 1 1 ) i s c o m p l e x , and i t i n c l u d e s t h e d a m p i n g f r e q u e n c y c~su o f t h e w a v e s , i . e . CJ^ - + i ^  ^ ' V|' (o) and ( . f l ) a r e r e s p e c t i v e l y t h e s t a t i c s u r f a c e d e f o r m a t i o n c a u s e d by E 0 , and t h e a m p l i t u d e o f t h e (S,U) mode e x c i t e d a t f r e q u e n c y . I t i s now o b v i o u s f r o m e q u a t i o n s ( 4 . 1 1 ) and ( 4 . 1 2 ) t h a t i f t h e g e o m e t r y o f E i s c h o s e n s u c h t h a t = + C a J ^ l K ( G { > Cr^yTj e ( 4 . 1 3 ) where G, and G ^ a r e i n t e g e r s and C, and C a c o n s t a n t s , t h e n b o t h ^ ^ ( o ) and ^ ^ ( X l ) w i l l be z e r o u n l e s s S = G, and U = G^ , C, and ha v e t o s a t i s f y t h e c o n d i t i o n t h a t E p» 0, s i n c e E i s a l w a y s r e a l . We t h e r e f o r e a r r i v e a t t h e i m p o r t a n t r e s u l t t h a t , by t a i l o r i n g t h e g e o m e t r y o f t h e d r i v i n g f i e l d , s e l e c t e d , 69 p u r e s u r f a c e modes c a n be p r e f e r e n t i a l l y e x c i t e d i n d i v i d -u a l l y . The a m p l i t u d e o f t h e e x c i t e d wave i s m a x i m i z e d when t h e d r i v i n g f r e q u e n c y i s as c l o s e as p o s s i b l e t o ( * J S x ) i . e . a t r e s o n a n c e . T h e n , f r o m e q u a t i o n ( 4 . 1 1 ) , t h e wave a m p l i t u d e i s f 1 E:0/ liojyfi A/e ( 4 . 1 4 ) in'1 f\/o it) w h e r e Q s i s t h e q u a l i t y f a c t o r ( Q I ( / = ) o f t h e d r i v e n m o d e . F u r t h e r m o r e , a t r e s o n a n c e , t h e r e i s a f r/2 p h a s e d i f f e r e n c e b e t w e e n t h e d r i v i n g f o r c e ( e l e c t r i c s t r e s s ) a n d t h e d r i v e n w a v e . In o u r e x p e r i m e n t s a s q u a r e wave v o l t a g e was a p p l i e d t o t h e wave e x c i t a t i o n e l e c t r o d e . T h e n , by F o u r i e r a n a l y s i s o f a s q u a r e wave i n t i m e , we can g e t t h e a p p r o -p r i a t e c o e f f i c i e n t s E 0 a n d E, as r I r . F - 1 Ed ( 4 . 1 5 ) t o - — f e , » . ' - rr 7 = w h e r e E^ i s t h e a m p l i t u d e o f t h e a p p l i e d s q u a r e wave f i e l d . 70 4 . 1 . 2 S u r f a c e Have D a m p i n g i n C o n t a i n e r s F rom t h e r e s u l t s o f S e c t i o n 4 . 1 . 1 we s e e t h a t t h e s u r f a c e wave a m p l i t u d e o f a d r i v e n mode i s i n v e r s e l y p r o -p o r t i o n a l t o t h e d a m p i n g f r e q u e n c y . A l s o t h e d a m p -i n g f r e q u e n c y m i g h t be a f f e c t e d by a m o d i f i c a t i o n o f t h e p h y s i c a l p r o c e s s e s i n t h e s u r f a c e by t h e a p p l i e d e l e c t r i c f i e l d . In o r d e r t o c o m p l e t e t h e t h e o r e t i c a l d i s c u s s i o n we now s u m m a r i z e t h e p r e d i c t i o n s o f t h e l i n e a r t h e o r y o f d a m p i n g i n c y l i n d r i c a l and r e c t a n g u l a r c o n t a i n e r s . S u r f a c e wave d a m p i n g i s c a u s e d by e n e r g y d i s s i -p a t i o n i n v i s c o u s b o u n d a r y l a y e r s o f t h i c k n e s s f~ (y/cv),/x a t t h e f l u i d s u r f a c e s . * I f t h e wave a m p l i t u d e a n d t h e t h i c k -n e s s o f t h e b o u n d a r y l a y e r s a r e b o t h s m a l l c o m p a r e d t o t h e f l u i d d e p t h , w a v e l e n g t h o f o s c i l l a t i o n , and t h e c o n -t a i n e r d i m e n s i o n s , t h e n a l i n e a r i z e d t h e o r y c a n be u s e d , and t h e d a m p i n g f r e q u e n c y cr c a n be c a l c u l a t e d u s i n g t h e g e n e r a l f o r m u l a ( L a n d a u and L i f s h i t z ( 1 9 5 9 ) ) • • » w h e r e E - j - i s t h e t o t a l e n e r g y s t o r e d i n t h e w a v e s , and E $ , E g and Eyvu a r e t h e r a t e s o f e n e r g y d i s s i p a t i o n i n t h e v i s c o u s b o u n d a r y l a y e r s on t h e f l u i d s u r f a c e , t h e «1 + WL ( 4 . 1 6 ) 71 c o n t a i n e r b a s e and t h e s i d e w a l l s r e s p e c t i v e l y ; OJ , a n d cr^u a r e t h e c o r r e s p o n d i n g d a m p i n g f r e q u e n c i e s r e s p e c -t i v e l y . In o u r c a s e t h e r a t i o o f t h e b o u n d a r y l a y e r t h i c k -n e s s and s u r f a c e wave a m p l i t u d e t o any o t h e r t y p i c a l l e n g t h e n t e r i n g t h e e q u a t i o n s was a b o u t 1 0 " ^ " , s o t h e l i n e a r a p p r o x i m a t i o n s w e r e t r u l y v a l i d ( s e e C a s e and P a r k i n s o n ( 1 9 5 7 ) ) . E x p r e s s i o n s f o r E j - , E g and E^t, f o r r e c t a n g u l a r c o n t a i n e r s h a v e b e e n g i v e n by H u n t ( 1 9 5 2 ) , and f o r c y l i n -d r i c a l c o n t a i n e r s by C a s e a n d P a r k i n s o n ( 1 9 5 7 ) . T h e s e e x p r e s s i o n s a r e d e r i v e d w i t h t h e a s s u m p t i o n t h a t t h e f r e e f l u i d s u r f a c e i s l a t e r a l l y m o b i l e . In o r d e r t o a c c o u n t f o r d i s c r e p a n c i e s b e t w e e n t h i s t h e o r y and p r e c i s e e x p e r i m e n t a l r e s u l t s , P i k e and C u r z o n ( 1 9 6 8 ) m o d i f i e d t h i s t h e o r y by a s s u m i n g t h a t a t h i n , r i g i d , s u r f a c e f i l m r e n d e r s t h e s u r f a c e l a t e r a l l y i m m o b i l e . T h i s r e p l a c e s t h e o~} t e r m i n e q u a t i o n ( 4 . 1 6 ) by i t s c o u n t e r p a r t ojs i n t h e l a t e r a l l y i m m o b i l e s u r f a c e m o d e l o f d a m p i n g . F o r a c y l i n d r i c a l c o n t a i n e r , P i k e and C u r z o n ' s r e s u l t s ( c o r r e c t e d f o r t y p o g r a p h i c a l e r r o r s d u r i n g t h e t r a n s c r i p t i o n f r o m P i k e ' s P h . D . d i s s e r t a t i o n ( 1 9 6 7 ) t o t h e p u b l i c a t i o n i n 1 9 6 8 ) a r e 72 The o n l y e f f e c t o f an e l e c t r o s t a t i c f i e l d i s t o r e d u c e t h e f r e q u e n c y C v » s u o f t h e w a v e s , so t h a t t h e o n l y e f f e c t on w o u l d be a r e d u c t i o n , p r o p o r t i o n a l t o ('Vrv) T h i s w i l l be t r u e as l o n g as t h e i m m o b i l e s u r f a c e f i l m i s n o t d i s r u p t e d by t h e e l e c t r o s t a t i c f i e l d , and as l o n g as t h e d i s t o r t i o n o f t h e f l u i d s u r f a c e by t h e s p a t i a l l y non-u n i f o r m f i e l d does n o t i n t r o d u c e e x t r a d i s s i p a t i o n . F o r a r e c t a n g u l a r c o n t a i n e r , e q u a t i o n ( 4 . 1 6 ) becomes ( i n t h e l a t e r a l l y i m m o b i l e s u r f a c e t h e o r y ) CT - a £ - E + +EB + Eir ^ ( 4 . 1 8 ) T where Ew and Ep- a r e t h e r a t e s o f e n e r g y d i s s i p a t i o n a t e a c h s i d e w a l l and end w a l l o f t h e c o n t a i n e r . The t o t a l e n e r g y i n t h e waves e q u a l s t h e maximum k i n e t i c e n e r g y o f t h e f l u i d , i . e . 73 i n t h e u s u a l n o t a t i o n . By u s i n g G r e e n ' s t h e o r e m . ( 4 . 1 9 ) ( 4 . 2 0 ) A s s u m i n g t h e waves a r e p r o p a g a t i n g a l o n g t h e l e n g t h o f t h e c o n t a i n e r ( s e e F i g . 9 f o r g e o m e t r y ) whose w i d t h i s b , t h e e n e r g y can be c a l c u l a t e d f r o m a v e l o c i t y p o t e n t i a l o f t h e f o r m ( 4 . 2 1 ) ( 4 . 2 2 ) Cf = Cj3 C O f Ii (Kz) C Of (Hie) rof [Ujt) t o g i v e ( s e t t i n g t = 0 t o m a x i m i z e t h e k i n e t i c e n e r g y ) - ? <o% b cosk(kH) S^liKH). (HL) where L i s t h e l e n g t h o f t h e t a n k . I f L > ^ b ( a s was a c t u a l l y t h e c a s e , and s i n c e no g e n e r a l i t y i s l o s t ) t h e n i s n e g l i g i b l e ( s e e A p p e n d i x E f o r j u s t i f i c a t i o n ) . H u n t ' s » * e x p r e s s i o n s f o r t h e d i s s i p a t i o n t e r m s IP EI^J(A^ and ItlE^/w 74 a r e d e r i v e d by a s s u m i n g a t r a v e l l i n g wave d e s c r i b e d by a v e l o c i t y p o t e n t i a l o f t h e f o r m cp = <? c*s (cut - Kx) cosk (hrzj ( 4 . 2 3 ) In o u r c a s e , w i t h a p o t e n t i a l o f t h e f o r m o f e q u a t i o n ( 4 . 2 1 ) , H u n t ' s c a l c u l a t i o n s a r e a p p l i c a b l e p r o v i d e d we r e p l a c e <f by i n t h e f i n a l e x p r e s s i o n s . The r e s u l t s a r e ( H u n t , e q u a t i o n ( 1 9 ) ) — { ^ ) Ojl\(<f^ i0ihU(H H) ( 4 . 2 4 ) ( H u n t , e q u a t i o n ( 1 3 ) ) Ep - 1 (JL )'\yL b (KO> ) 2 — -And f r o m P i k e a n d C u r z o n ( 1 9 6 8 ) E I ; r Eg co/^UW) ( 4 . 2 5 ) S u b s t i t u t i n g f r o m e q u a t i o n s ( 4 . 2 2 ) , ( 4 . 2 4 ) and ( 4 . 2 5 ) f o r 75 E T , Ew , £g and E, is i n e q u a t i o n ( 4 . 1 8 ) we o b t a i n t h e f i n a l e x p r e s s i o n s f o r GT , <TL and (TT X X w — Cost»*(kH)n'hU{KM ( 4 . 2 6 ) F rom t h e e x p r e s s i o n s f o r t h e d a m p i n g f r e q u e n c i e s i n c y l i n d r i c a l and r e c t a n g u l a r c o n t a i n e r s ( e q u a t i o n s ( 4 . 1 7 ) and ( 4 . 2 6 ) r e s p e c t i v e l y ) t h e c o r r e s p o n d i n g q u a l i t y f a c t o r s f o r d r i v e n s u r f a c e modes c a n be c a l c u l a t e d f r o m t h e g e n e r a l e q u a t i o n We s h a l l g i v e h e r e t h e e x p r e s s i o n s i n t h e d e e p f l u i d a p p r o x i -m a t i o n ( k H » 1) and w i t h S = 0 f o r t h e c y l i n d r i c a l ^ and i n t h e s h a l l o w f l u i d a p p r o x i m a t i o n (kH « 1 ) f o r t h e r e c t a n g u l a r c o n t a i n e r , s i n c e t h e s e w e r e t h e c a s e s i n v e s t i g a t e d i n e x -p e r i m e n t s ( s e e C h a p t e r 7 f o r t h e r e c t a n g u l a r c o n t a i n e r ) . We t h e n h a v e : ( 4 . 2 7 ) ( 4 . 2 8 ) 76 ( f o r a c y l i n d r i c a l c o n t a i n e r ) ( f o r a r e c t a n g u l a r c o n t a i n e r ) . 4 . 2 E x p e r i m e n t a l R e s u l t s - C o m p a r i s o n w i t h T h e o r y In t h i s s e c t i o n we s h a l l p r e s e n t t h e e x p e r i m e n t a l r e s u l t s o f i n v e s t i g a t i o n s on t h e c h a r a c t e r i s t i c s o f s u r f a c e modes d r i v e n by s p a t i a l l y n o n - u n i f o r m , t i m e p e r i o d i c e l e c t r i c f i e l d s , a n d t h e a p p l i c a t i o n o f t h i s m e t h o d o f e x c i t a t i o n t o g e n e r a t i o n o f p u r e s u r f a c e modes on t h e f l u i d s u r f a c e . An e x p e r i m e n t a l i n v e s t i g a t i o n o f t h e e f f e c t o f s t r o n g e l e c t r o s t a t i c f i e l d s on t h e d a m p i n g o f s u r f a c e modes o f m e r c u r y i s a l s o d e s c r i b e d . 4 . 2.1 S u r f a c e Mode E x c i t a t i o n by S p a t i a l l y N o n - U n i f o r m , T i m e D e p e n d e n t E l e c t r i c F i e l d s - E x p e r i m e n t a l R e s u l t s In o r d e r t o s t u d y t h e e f f e c t o f f i e l d s s t r o n g e r t h a n 30 kV/cm on s u r f a c e wave p a r a m e t e r s i n m e r c u r y , t h e m i c r o w a v e r e s o n a t o r was made gas t i g h t , and f i l l e d w i t h s u l f u r h e x a f l u o r i d e a t a t m o s p h e r i c p r e s s u r e , and t h e a i r h o l e 77 i n t h e e l e c t r o d e e l i m i n a t e d as shown i n F i g . 4 . A new t e c h n i q u e f o r s u r f a c e wave e x c i t a t i o n was t h e n d e v e l o p e d , w h i c h l e d t o t h e i n v e s t i g a t i o n o f t h e e f f e c t o f t i m e v a r y -i n g , s p a t i a l l y n o n - u n i f o r m e l e c t r i c f i e l d s on t h e m e r c u r y s u r f a c e . The e x c i t a t i o n o f p u r e s u r f a c e modes i s e f f e c t e d by t a i l o r i n g t h e g e o m e t r y o f a p e r i o d i c e l e c t r i c s t r e s s a p p l i e d t o t h e s u r f a c e , s o t h a t t h e s t r e s s i s m a x i m i z e d a t t h e d i s p l a c e m e n t a n t i n o d e s o f a d e s i r e d s u r f a c e m o d e ; t h e f r e q u e n c y o f t h e a p p l i e d f i e l d was s e t as c l o s e as p o s s i b l e t o t h e r e s o n a n t f r e q u e n c y o f t h e p a r t i c u l a r m o d e . T h i s i s m o s t c o n v e n i e n t l y d o n e by m o d u l a t i n g t h e v o l t a g e on t h e wave e x c i t a t i o n e l e c t r o d e w i t h a p e r i o d i c ( s q u a r e wave i n t i m e ) v o l t a g e , and t a i l o r i n g t h e e l e c t r o d e s h a p e t o m a x i m i z e t h e s t r e s s a t t h e s u r f a c e mode d i s p l a c e m e n t a n t i n o d e s . The v o l t a g e m o d u l a t i o n i s done by a p p l y i n g t h e o u t p u t o f t h e h i g h v o l t a g e , l o w f r e q u e n c y g e n e r a t o r d e s c r i b e d i n S e c t i o n 2 . 3 , and t h e f r e q u e n c y i s v a r i e d by c h a n g i n g t h e r o t o r s p e e d ( s e e F i g . 6 ) . The m i c r o w a v e r e s o n a t o r f r e q u e n c y s h i f t was a g a i n e m p l o y e d as a s u r f a c e wave a m p l i t u d e and f r e q u e n c y m o n i t o r . By u s i n g t h i s wave e x c i t a t i o n m e t h o d , t h e m i c r o w a v e r e s o n a t o r c o u l d be c a l i b r a t e d f o r s e n s i t i v i t y t o d y n a m i c s u r f a c e d i s t u r b a n c e s . The c a l i b r a t i o n f o r s t a -t i o n a r y d e f o r m a t i o n was d i s c u s s e d i n S e c t i o n 3 . 1 . 78 Dr-tven Surface Mode C h a r a c t e r i s t i c s B e f o r e s t a r t i n g t h i s s e c t i o n , w h i c h d e a l s w i t h m e a s u r e m e n t s i n v o l v i n g t h e d a m p i n g f r e q u e n c y o f t h e s u r f a c e m o d e s , we m u s t p o i n t o u t t h a t two d i s t i n c t t y p e s o f s u r -f a c e s w e r e i n v e s t i g a t e d i n t h i s r e s p e c t . T h e s e a r e a " f r e s h " and an " o l d " s u r f a c e . A f r e s h m e r c u r y s u r f a c e was o b t a i n e d by d r a i n i n g t h e m e r c u r y f r o m t h e r e s o n a t o r i n t o t h e r e s e r v o i r ( s e e F i g . 3 ) , and t h e n l e t t i n g i t r u s h b a c k i n t o t h e r e s o n a t o r v e r y r a p i d l y f r o m a h o l e i n t h e c e n t r e o f t h e b a s e o f t h e r e s o n a t o r . The r a p i d f l u i d f l o w p u s h e d a d s o r b e d d u s t p a r t i c l e s and o t h e r i m p u r i t i e s t o w a r d s t h e w a l l s o f t h e c a v i t y , t h u s p r o d u c i n g a " f r e s h " c l e a n s u r f a c e . T h i s s u r f a c e l a s t e d f o r a b o u t t h r e e m i n u t e s . A f t e r t h a t , t h e d i f f u s i o n o f c o n t a m i n a n t s t o t h e s u r f a c e c h a n g e d t h e s u r f a c e t o an " o l d " s u r f a c e by c h a n g i n g t h e s u r f a c e v i s c o -e l a s t i c p r o p e r t i e s ( s e e A p p e n d i x B f o r a f u l l d i s c u s s i o n a n d p o s s i b l e i m p l i c a t i o n s ) . The " o l d " s u r f a c e d a m p i n g f r e q u e n c y i s c o n s i d e r a b l y h i g h e r t h a n t h e " f r e s h " s u r f a c e o n e , s o i t i s e s s e n t i a l , i n a l l e x p e r i m e n t s i n v o l v i n g e i t h e r d i r e c t l y o r i n d i r e c t l y t h e d a m p i n g f r e q u e n c y o f s u r f a c e m o d e s , t o know w i t h w h a t t y p e o f s u r f a c e we a r e d e a l i n g . 79 ( a ) Quality factor of driven modes. F o r t h i s e x p e r i m e n t , t h e a m p l i t u d e o f t h e d r i v i n g e l e c t r i c f i e l d was s e t c o n t a n t , w i t h t h e a m p l i t u d e o f t h e v o l t a g e s q u a r e wave s e t e q u a l t o 2 kV and t h e b a s e l i n e g r o u n d e d . T h e n t h e d r i v i n g f r e q u e n c y was a l t e r e d i n f i n e s t e p s by u s i n g t h e m o t o r c o n t r o l c i r c u i t o f F i g . 6 , and t h e a m p l i t u d e r e s p o n s e o f t h e s u r f a c e was m e a s u r e d as t h e m i c r o w a v e r e s o n a n t f r e q u e n c y s h i f t on t h e o s c i l l o g r a m . A d i s c s h a p e d e l e c t r o d e i d e n t i c a l t o t h e one u s e d i n t h e p r e v i o u s s e c t i o n was e m p l o y e d , and t h e r e s o n a n t f r e q u e n c y f = 7 . 8 2 s " ' c o r r e s p o n d e d t o t h e ( 0 , 3 ) mode i n t h e c y l i n -d r i c a l c a v i t y . The d r i v i n g f r e q u e n c y was f o u n d by t i m i n g a b o u t 50 r e v o l u t i o n s o f t h e r o t o r w i t h a s t o p w a t c h r e a d i n g t o an a c c u r a c y o f 1/4 s. E x p e r i m e n t a l p a r a m e t e r s a r e g i v e n i n T a b l e 4 . 1 . F i g . 21 i s a p l o t o f ( ^ ^ v s . f f o r t h e ( 0 , 3 ) m o d e . F rom t h i s p o w e r r e s o n a n c e p l o t , t h e q u a l i t y f a c t o r Q o f t h e ( 0 , 3 ) mode c a n be o b t a i n e d as {*l 'I h a l f - p o w e r Q jo _ | a • , ( 4 < 3 0 ) b a n d w i d t h ) ^ The t h e o r y o f a d r i v e n , damped h a r m o n i c o s c i l l a t o r ( e q u a t i o n ( 4 . 2 7 ) g i v e s 80 T a b l e 4.1 E X P E R I M E N T A L PARAMETERS = R e s o n a t o r r a d i u s = 3.42 cm ( c o r r e c t e d f o r s u r f a c e t e n s i o n ) Rx = E l e c t r o d e r a d i u s = 2.0 cm H = De p t h o f m e r c u r y = 10 cm D = D i s t a n c e o f e l e c t r o d e f r o m f l u i d s u r f a c e = 0.39 cm EM mode r e s o n a n t f r e q u e n c y = 8718 MHz f = D e n s i t y o f m e r c u r y = 13.6 g.cm"^ y = K i n e m a t i c v i s c o s i t y o f m e r c u r y = 0.11 c P . c m 3 .g"' 81 ^ 0 3 ~ ( 4 . 3 1 ) F o r t h e ( 0 , 3 ) mode, t h e v a l u e s o f t h e o s c i l l a t i o n f r e q u e n c y 6^03 and d a m p i n g f r e q u e n c y <ro3 ( u s i n g t h e i m m o b i l e s u r -f a c e t h e o r y m o d e l , i . e . e q u a t i o n ( 4 . 2 8 ) i n t h e deep f l u i d a p p r o x i m a t i o n ) a r e c a l c u l a t e d t o be <^o 3 = 48.98 s - ' and < £ 3 = 0.19 s " ' , w h i c h g i v e t h e t h e o r e t i c a l v a l u e o f Q as Q 0 3 = 129 <T0^ w a s . a l s o m e a s u r e d e x p e r i m e n t a l l y ( s e e S e c t i o n 4.2.2) f o r a " f r e s h " m e r c u r y s u r f a c e as = 0.195 s ~ ' . The two v a l u e s a r e s e e n t o be i n e x c e l l e n t a g r e e -m ent. T h i s l e n d s e x p e r i m e n t a l s u p p o r t t o t h e v a l i d i t y o f t h e damped, d r i v e n , h a r m o n i c o s c i l l a t o r model t h a t we have u s e d . 82 (b) Phase between d r i v i n g f i e l d and surface mode  at resonance. A s e c o n d i m p o r t a n t c h a r a c t e r i s t i c o f t h e d r i v e n modes i s t h e p h a s e d i f f e r e n c e b e t w e e n t h e d r i v i n g f o r c e and t h e s u r f a c e mode d i s p l a c e m e n t . A g a i n f r o m t h e d r i v e n o s c i l l a t o r t h e o r y , t h i s p h a s e d i f f e r e n c e s h o u l d be rr/2 a t r e s o n a n c e . T h i s was v e r i f i e d f o r t h e ( 0 , 2 ) and ( 0 , 3 ) modes as f o l l o w s . One c h a n n e l o f o u r d u a l beam o s c i l l o s c o p e m o n i -t o r e d t h e s u r f a c e wave i n t h e u s u a l m i c r o w a v e r e s o n a n t f r e q u e n c y s h i f t m e t h o d , as shown i n F i g . 22. The s e c o n d c h a n n e l m o n i t o r e d t h e v o l t a g e V ( t ) on t h e wave e x c i t a t i o n e l e c t r o d e , r e d u c e d by a h i g h v o l t a g e p o t e n t i a l d i v i d e r ( T e k t r o n i x P6013) w h i c h p r o d u c e s a 1000:1 r e d u c t i o n . T h e g r o u n d e d b a s e l i n e o f V ( t ) was b r o u g h t i n t o c o i n c i d e n c e w i t h t h e v i e w i n g s l i t i n t h e o s c i l l o s c o p e s c r e e n ( s e e F i g . 2 2 ) . The o s c i l l o s c o p e was t r i g g e r e d e v e r y 5 ms. F i g . 22 a l s o shows s c h e m a t i c a l l y a r e s u l t i n g f i l m . The d o t t e d s i n u s o i d a l t r a c e c o r r e s p o n d s t o t h e s u r f a c e mode, w i t h t h e d o t r e p e t i t i o n r a t e e q u a l t o 200 H z . The c l o s e l y s p a c e d h o r i z o n t a l l i n e s on t h e f i l m c o r r e s p o n d t o t h e b a s e l i n e o f t h e e x c i t a t i o n v o l t a g e , and t h e b l a n k r e g i o n s b e t w e e n s e t s o f t h e s e l i n e s c o r e s p o n d t o t h e d u r a t i o n o f V 0 , t h e a m p l i -t u d e o f t h e s q u a r e wave. From t h e f i l m we r e a d i l y v e r i f i e d 83 t h a t t h e p h a s e d i f f e r e n c e b e t w e e n t h e two wave f o r m s was i n d e e d T T / 2 . S m a l l random d e v i a t i o n s o f t h e p h a s e a n g l e f r o m r r / 2 a r e due t o t h e f a c t t h a t t h i s r e l a t i v e l y h i g h q u a l i t y f a c t o r ( s e e p r e v i o u s s e c t i o n ) m e c h a n i c a l s y s t e m d r i f t s i n and o u t o f r e s o n a n c e , b e c a u s e o u r d r i v i n g m e c h a n i s m i s n o t s u f f i c i e n t l y s t a b l e . S o , a g a i n we h a v e a g r e e m e n t b e t w e e n o u r s i m p l e t h e o r e t i c a l model and e x p e r i -m e n t a l r e s u l t s . ( c ) Dependence of driven surface mode amplitude  on the d r i v i n g f i e l d strength. A f i n a l i m p o r t a n t c h a r a c t e r i s t i c o f d r i v e n , damped h a r m o n i c o s c i l l a t o r s i s t h e d e p e n d e n c e o f t h e a m p l i t u d e on t h e d r i v i n g f o r c e . A g a i n t h e h a r m o n i c o s c i l l a t o r t h e o r y p r e d i c t s t h a t t h e a m p l i t u d e s h o u l d be d i r e c t l y p r o p o r t i o n a l t o t h e f o r c e . In o u r c a s e , t h e d r i v e n s u r f a c e mode a m p l i -t u d e s h o u l d be p r o p o r t i o n a l t o t h e s q u a r e o f t h e d r i v i n g e l e c t r i c f i e l d , i . e . p r o p o r t i o n a l t o t h e s q u a r e o f t h e a m p l i t u d e o f t h e v o l t a g e p u l s e s a p p l i e d t o t h e wave e x c i -t a t i o n e l e c t r o d e . Once more we u s e d t h e same d i s c s h a p e d e l e c t r o d e ( s e e F i g . 3) and two modes were i n v e s t i g a t e d ; t h e ( 0 , 2 ) and t h e ( 0 , 3 ) mode. The s u r f a c e mode a m p l i t u d e was m e a s u r e d i n a r b i t r a r y u n i t s as t h e s h i f t o f t h e m i c r o w a v e r e s o n a n c e on 84 t h e o s c i l l o g r a m . D was 0 . 3 9 c m . A t t h e h i g h e r f i e l d s , a s m a l l r e d u c t i o n i n t h e n a t u r a l f r e q u e n c y o f o s c i l l a t i o n o f t h e s u r f a c e modes by t h e a v e r a g e s t a t i c e l e c t r i c f i e l d on t h e s u r f a c e was c o m p e n s a t e d by a s l i g h t r e d u c t i o n i n t h e d r i v i n g f r e q u e n c y t o e n s u r e r e s o n a n t c o n d i t i o n s t h r o u g h -o u t . A " f r e s h " m e r c u r y s u r f a c e was a g a i n u s e d . The r e s u l t s o f p l o t t i n g t h e o b s e r v e d a m p l i t u d e s o on t h e o s c i l l o s c o p e v s . V 0 f o r e a c h o f t h e two modes a r e shown i n F i g . 2 3 . A g a i n we s e e t h a t t h e p r e d i c t i o n s o f t h e t h e o r e t i c a l m o d e l a r e i n e x c e l l e n t a g r e e m e n t w i t h e x -p e r i m e n t a l r e s u l t s . ( d ) C a l i b r a t i o n of microwave resonator s e n s i t i v i t y  to dynamic boundary deformations. In S e c t i o n 3 . 1 we d e m o n s t r a t e d t h e s e n s i t i v i t y c a l i b r a t i o n o f t h e m i c r o w a v e r e s o n a t o r t o s t a t i o n a r y d e f o r -m a t i o n s o f i t s b o u n d a r i e s , by u s i n g t h e s t a t i c d i s t o r t i o n o f t h e m e r c u r y s u r f a c e w i t h an a p p l i e d e l e c t r o s t a t i c f i e l d . In t h i s s e c t i o n , by u s i n g t h e r e s u l t s o f t h e p r e d i c t e d and o b s e r v e d s u r f a c e wave a m p l i t u d e o f a d r i v e n m o d e , we s h a l l c a l i b r a t e t h e r e s o n a t o r s e n s i t i v i t y t o d y n a m i c s u r f a c e d e f o r m a t i o n s . T h i s i s a v e r y u s e f u l o p t i o n , s i n c e t h e p r e s e n c e o f t h e d r i v e r e l e c t r o d e i n s i d e t h e m i c r o w a v e 85 c a v i t y d i s t o r t s t h e e l e c t r o m a g n e t i c f i e l d s so t h a t c a l c u -l a t i o n s o f t h e t y p e g i v e n by C u r z o n and P i k e (1968) a r e no l o n g e r p o s s i b l e . From t h e t h e o r y o f S e c t i o n ( 4 . 1 . 1 ) , t h e c a l c u l a t e d a m p l i t u d e o f a s u r f a c e wave d r i v e n by a s p a t i a l l y n o n - u n i f o r m , s q u a r e wave f i e l d o f a m p l i t u d e E^ i n a c y l i n d r i c a l r e s o n a t o r o f r a d i u s R j i s g i v e n by The (0,2) mode was i n v e s t i g a t e d e x p e r i m e n t a l l y , and a g a i n , s i n c e D « R ^ » t h e e l e c t r o d e r a d i u s , we c a n a p p r o x i m a t e t h e n o r m a l f i e l d o v e r t h e f l u i d s u r f a c e by t h e s t e p f u n c t i o n E = E A r < R x ( s e e A p p e n d i x A) = 0 R a < r < R, T h e n t h e i n t e g r a l i n e q u a t i o n (4.32) c a n be p e r f o r m e d a n a l y -t i c a l l y by u s i n g e q u a t i o n 11.3.20, p . 484 o f A b r a m o w i t z and S t e g u n ( 1 9 6 5 ) , t o g e t h e r w i t h o u r e q u a t i o n ( 3 . 5 5 ) , i . e . 86 H e n c e , by c a l c u l a t i n g \qj w i t h t h i s m e t h o d , and o b s e r v i n g t h e f r e q u e n c y s h i f t 4 F on t h e o s c i l l o g r a m f o r a c e r t a i n v a l u e o f V e , t h e p r e d i c t e d s e n s i t i v i t y c a n be o b t a i n e d In o r d e r t o v e r i f y t h e v a l i d i t y o f t h e c a l i b r a -t i o n , t h e e x p e r i m e n t was r e p e a t e d u n d e r i d e n t i c a l c o n d i -t i o n s , and t h e a b s o l u t e v a l u e o f \n' was f o u n d by d i r e c t m e a s u r e m e n t . T h i s was done f o r t h e ( 0 , 2 ) mode as f o l l o w s . A v e r t i c a l n e e d l e was m o u n t e d on t h e c a r r i a g e o f a t r a v e l l i n g m i c r o s c o p e ( s e e F i g . 2 4 ) . The n e e d l e was i n t r o d u c e d i n t o t h e m i c r o w a v e c a v i t y t h r o u g h a s m a l l h o l e i n t h e l i d o f t h e c a v i t y a t a r a d i a l d i s t a n c e o f 3 cm f r o m t h e r e s o n a t o r a x i s . W i t h t h e e l e c t r o d e a t a d i s t a n c e D = 0.39 cm f r o m t h e m e r c u r y s u r f a c e , and u s i n g a " f r e s h " s u r f a c e , a s u r f a c e wave was e x c i t e d by u s i n g 1.5 kV a m p l i -t u d e s q u a r e wave v o l t a g e p u l s e s . The n e e d l e was g r a d u a l l y l o w e r e d t o j u s t t o u c h t h e o s c i l l a t i n g s u r f a c e . The e x c i -t a t i o n was t h e n r e m o v e d , and a f t e r t h e s u r f a c e damped o u t t h e n e e d l e was l o w e r e d t o r e e s t a b l i s h c o n t a c t w i t h t h e e q u i l i b r i u m s u r f a c e . The e x a c t moment o f c o n t a c t was i n -d i c a t e d by a lamp s h o w i n g c o m p l e t i o n o f t h e s i m p l e c i r c u i t o f F i g . 24. The d i s t a n c e b e t w e e n t h e two v e r t i c a l p o s i t i o n s o f t h e m i c r o s c o p e c a r r i a g e g i v e s t h e a m p l i t u d e o f t h e s u r f a c e mode a t r = 3 cm. T h i s d i s t a n c e was 0.2 ± 0.02 mm. T h e r e f o r e 87 0 . 2 ± 0 . 0 2 mm, w h i c h g i v e s V\' = 0 . 6 3 ± 0 . 0 6 mm a t t h e c e n t r e ( r = 0) The t h e o r e t i c a l l y p r e d i c t e d v a l u e o f t ^ ^ ( e q u a t i o n ( 4 . 3 2 ) ) was = 0 . 6 6 mm, i n f u l l a g r e e m e n t w i t h t h e d i r e c t l y m e a s u r e d a m p l i t u d e , w i t h i n e r r o r b o u n d s . T h i s d e m o n s t r a t e s t h a t t h e a s s u m p t i o n s made i n t h e s e n s i -t i v i t y c a l i b r a t i o n a r e c o r r e c t . The m e t h o d c a n be u s e d t o c a l i b r a t e a r e s o n a t o r f o r a r b i t r a r y g e o m e t r i e s o f t h e e l e c t r o m a g n e t i c f i e l d s ( a s l o n g as t h e r e s o n a t o r r e s p o n s e i s l i n e a r l y d e p e n d e n t on t h e a m p l i t u d e o f a b o u n d a r y p e r -t u r b a t i o n ( s e e S e c t i o n 2 . 1 ) ) . The o b s e r v e d s h i f t o f t h e m i c r o w a v e r e s o n a n t f r e -q u e n c y i n t h e a b o v e e x p e r i m e n t was 16 mm, w h i c h g i v e s f o r t h e s e n s i t i v i t y c o n s t a n t J3 B " O O Ut ^mm o f w a v e a m p l i t u d e p e r H> "~ ' ^ mm s h i f t on o s c i l l o s c o p e s c r e e n ) 4 . 2 . 2 S e l e c t i v e E x c i t a t i o n o f P u r e S u r f a c e Modes by T i m e  D e p e n d e n t , S p a t i a l l y N o n - U n i f o r m E l e c t r i c F i e l d s We s h a l l now d e s c r i b e h o w , by t a i l o r i n g t h e s h a p e o f t h e wave e x c i t a t i o n e l e c t r o d e , p u r e s u r f a c e modes o f 88 c o n t r o l l e d a m p l i t u d e c a n be e x c i t e d on a c o n d u c t i n g f l u i d s u r f a c e . A g a i n t h e a r r a n g e m e n t o f F i g . 3 was u s e d , and t h e m i c r o w a v e r e s o n a t o r f r e q u e n c y s h i f t was e m p l o y e d as a d i a g n o s t i c . S q u a r e wave v o l t a g e p u l s e s w e r e a p p l i e d t o t h e e l e c t r o d e i n o r d e r t o e x c i t e t h e s u r f a c e m o d e s . E l e c t r o d e s o f t h e s h a p e s shown i n F i g . 25 w e r e u s e d , and a l l e d g e s w e r e c a r e f u l l y r o u n d e d t o a v o i d t h e s e t t i n g up o f h i g h f r e q u e n c y t r a n s i e n t d i s t u r b a n c e s o r s u r f a c e s h o c k w a v e s . The i d e n t i f i c a t i o n o f s u r f a c e modes was a g a i n b a s i c a l l y e f f e c t e d by f i n d i n g t h e n a t u r a l f r e -q u e n c y o f a p a r t i c u l a r mode and s o l v i n g t h e d i s p e r s i o n e q u a t i o n f o r k , as a l r e a d y d i s c u s s e d i n S e c t i o n 3 . 2 . 3 . F o r t h e f i e l d s u s e d i n t h e s e e x p e r i m e n t s ( a f e w h u n d r e d v o l t s a m p l i t u d e o f t h e v o l t a g e g e n e r a t o r , w i t h a g r o u n d e d b a s e -l i n e ) , t h e r e d u c t i o n i n f by t h e s m a l l a v e r a g e s t a t i c f i e l d was n e g l i g i b l e . A d i f f e r e n t mode i d e n t i f i c a t i o n s c h e m e was e m p l o y e d t o d i s t i n g u i s h modes w h i c h a r e d e g e n e r a t e i n f r e q u e n c y . T h i s s c h e m e i s d i s c u s s e d f u r t h e r b e l o w . A c i r c u l a r e l e c t r o d e ( F i g . 2 5 a ) e x c i t e d t h e r o t a -t i o n a l l y s y m m e t r i c modes ( 0 , 2 ) t o ( 0 , 5 ) . ( 0 , U ) modes w i t h U 2> 6 h a v e r e s o n a n t f r e q u e n c i e s b e y o n d t h e r a n g e o f o u r g e n e r a t o r . S i m i l a r l y , by u s i n g t h e s e m i c i r c u l a r e l e c t r o d e ( F i g . 2 5 b ) and t h e b u t t e r f l y s h a p e d e l e c t r o d e ( F i g . 2 5 c ) , t h e ( 1 , U ) and ( 2 , U ) modes i n o u r f r e q u e n c y r a n g e w e r e e x c i t e d r e s p e c t i v e l y . F u l l r e s u l t s a r e g i v e n i n T a b l e 4 . 2 . 89 T a b l e 4.2 S U R F A C E MODES E X C I T E D WITH D I F F E R E N T ELECTRODES f ( H z) k (cm"') Mode (S,U) E l e c t r o d e 5.35 7.82 9.63 12.18* 1.11 2.06 2.96 3.88 ( 0 , 2 ) ( 0 , 3 ) ( 0 , 4 ) ( 0 , 5 ) F i g . 25a 3.44 6.46 8.70 0.507 1 .55 2. 50 ( 1 , 1 ) (1 ,2) (1 ,3) F i g . 25b 4.76 . 7.44 9.50 0.89 1 .96 2.91 ( 2 , 1 ) ( 2 , 2 ) ( 2 , 3 ) F i g . 25c 6.46 1 .55 ( 4 , 1 ) F i g . 25d T h i s mode e x c i t e d w i t h e i g h t p l a t e s on t h e s t a t o r ( s e e F i g . 8 ) . 90 T h e s e r e s u l t s s h o w e d t h a t by s u i t a b l y t a i l o r i n g t h e s h a p e o f t h e wave e x c i t a t i o n e l e c t r o d e , any d e s i r e d mode o f c o n t r o l l e d a m p l i t u d e ( p r o p o r t i o n a l t o V 0 - s e e S e c t i o n 4 . 2 . 1 ( c ) ) c o u l d i n p r i n c i p l e be e x c i t e d . H o w e v e r , t h e t r u e t e s t o f t h e w o r t h i n e s s o f t h i s wave e x c i t a t i o n t e c h n i q u e l a y i n i t s a b i l i t y t o e x c i t e h i g h l y d e g e n e r a t e modes i n d i v i d u a l l y . T h i s was d e m o n s t r a t e d as f o l l o w s . Two modes w h o s e w a v e n u m b e r s k d i f f e r e d by l e s s t h a n 1 p a r t i n 500 w e r e s e l e c t e d i n o u r f r e q u e n c y r a n g e f r o m T a b l e 3 . 2 . C o n v e n i e n t o n e s a r e t h e ( 1 , 2 ) and t h e ( 4 , 1 ) , w i t h k R , e q u a l t o 5 . 3 3 and 5 . 3 2 r e s p e c t i v e l y . In o r d e r t o e x c i t e t h e ( 1 , 2 ) m o d e , a s e m i c i r c u l a r e l e c t r o d e was u s e d . F o r t h e ( 4 , 1 ) m o d e , w h i c h i s l a r g e s t n e a r t h e c o n t a i n e r w a l l s , an e l e c t r o d e c o n s i s t i n g o f t h e h e a d s o f f o u r b r a s s s c r e w s m o u n t e d on a p l e x i g l a s s c r o s s as shown i n F i g . 25d was u s e d . P u r e modes o f t h e same f r e q u e n c y w e r e e x c i t e d i n b o t h c a s e s . S i n c e t h e q u a l i t y f a c t o r s o f t h e modes a r e t y p i c a l l y i n t h e r a n g e 100 t o 200 ( s e e S e c t i o n 4 . 2 . 1 ( a ) ) , t h e i r e x c i t a t i o n b a n d w i d t h s o v e r l a p . T h i s , c o u p l e d w i t h t h e f a c t t h a t o u r t i m i n g m e t h o d i s n o t p r e c i s e t o s u c h a h i g h l e v e l , r e q u i r e d a new t y p e o f i d e n t i f i c a t i o n t e c h n i q u e . T h i s i s t h e f o l l o w i n g . The d a m p i n g f r e q u e n c i e s o f s u r f a c e modes i n a c y l i n d r i c a l c o n t a i n e r d e p e n d b o t h on t h e w a v e n u m b e r k , and on t h e a z i m u t h a l c o n f i g u r a t i o n o f t h e modes t h r o u g h t h e 91 i n t e g e r S ( s e e S e c t i o n 4 . 1 . 2 ) . T h e r e f o r e , t h e d a m ping f r e -q u e n c i e s o f t h e modes e x c i t e d a t t h e same r e s o n a n t f r e q u e n c y by e l e c t r o d e s 25b and 25d were m e a s u r e d by r e m o v i n g t h e e x c i t a t i o n m e c h a n i s m , and r e c o r d i n g a b o u t 50 o s c i l l a t i o n s o f t h e d a m p i n g o s c i l l a t i o n as d i s c u s s e d i n S e c t i o n 2.5.1. From t h e p l o t s o f 1og(amp 1 i t u d e ) v s . t i m e f o r e a c h o f t h e two modes ( s e e F i g . 26) t h e d a m p i n g f r e q u e n c i e s w e re f o u n d , and c o m p a r e d w i t h t h e t h e o r e t i c a l v a l u e s , i n o r d e r t o i d e n t i f y e a c h mode. The r e s u l t s a r e shown i n T a b l e 4.3. T a b l e 4.3 I D E N T I F I C A T I O N OF SU R F A C E MODES BY T H E I R DAMPING F R E Q U E N C I E S E l e c t r o d e Mode (S,U) (s- 1) Immobi1e s u r f a c e t h e o r y E x p e r i m e n t F i g . 25b F i g . 25d ( 1 , 2 ) ( 4 , 1 ) 0.146 0.195 0.143 0.198 The d a m p i n g f r e q u e n c y was c a l c u l a t e d f r o m t h e i m m o b i l e s u r f a c e t h e o r y model o f t h e d a m p i n g ( s e e S e c t i o n 4 . 1 . 2 ) , and t h e c l o s e 92 a g r e e m e n t o f t h e e x p e r i m e n t a l r e s u l t s l e n d s s u b s t a n t i a l s u p p o r t t o t h i s t h e o r y . The ( 0 , 4 ) and ( 2 , 3 ) modes ( s e e T a b l e 4 . 2 ) a r e a l s o d e g e n e r a t e i n f r e q u e n c y , b u t t h e i r s e p a r a t i o n i s s u f f i c i e n t t o e n a b l e i d e n t i f i c a t i o n by o u r t i m i n g m e t h o d . We h a v e now s e e n t h a t t h i s wave e x c i t a t i o n m e t h o d i s s i m p l e , c h e a p , v e r s a t i l e and c a p a b l e o f e x c i t i n g any p u r e mode on a f l u i d s u r f a c e . I t has t h e a d d e d a d v a n t a g e t h a t t h e a m p l i t u d e o f t h e d r i v e n wave i s d i r e c t l y p r o p o r -t i o n a l t o an e a s i l y and a c c u r a t e l y c o n t r o l l e d p a r a m e t e r , i . e - . t h e v o l t a g e a m p l i t u d e s q u a r e d o f t h e p u l s e g e n e r a t o r . F u r t h e r m o r e , i t c a n be u s e d t o e x c i t e w a v e s a t t h e i n t e r -f a c e b e t w e e n two l i q u i d s , as l o n g as one o f t h e m i s an i n s u l a t o r . I f b o t h h a p p e n t o be i n s u l a t o r s , t h e n i t i s n e c e s s a r y t h a t t h e y h a v e d i f f e r e n t d i e l e c t r i c p e r m i t t i v i t i e s . 4 . 2 . 3 D e p e n d e n c e o f D a m p i n g F r e q u e n c y o f S u r f a c e Modes  on an A p p l i e d E l e c t r o s t a t i c F i e l d F rom t h e t h e o r y o f S e c t i o n 4 . 1 . 2 i t i s o b v i o u s t h a t t h e d a m p i n g f r e q u e n c y <r i s a f u n c t i o n o f t h e b o u n d a r y c o n -d i t i o n s . H e n c e an a p p l i e d e l e c t r o s t a t i c f i e l d m i g h t a f f e c t t h e d a m p i n g f r e q u e n c y , and e x p e r i m e n t s w e r e u n d e r t a k e n t o i n v e s t i g a t e t h i s . 93 The ( 0 , 2 ) and ( 0 , 3 ) modes w e r e e m p l o y e d , s i n c e t h e y c o u l d be e x c i t e d w i t h a d i s c s h a p e d e l e c t r o d e , w h i c h i s a l s o u s e d t o p r o d u c e t h e s t r o n g e l e c t r o s t a t i c f i e l d . A t y p i c a l r u n c o n s i s t e d o f s e t t i n g t h e b a s e l i n e o f t h e s q u a r e wave v o l t a g e e q u a l t o s e v e r a l t h o u s a n d v o l t s , and h a v i n g t h e a m p l i t u d e a t a b o u t 300 V . T h i s i s e a s i l y d o n e by a p p r o p r i a t e s e t t i n g o f t h e p o w e r s u p p l i e s (HV1) and (HV2) o f F i g . 5 . A f t e r a s u r f a c e wave was e x c i t e d on t h e m e r c u r y , t h e r o t o r was s t o p p e d , and t h e wave a l l o w e d t o damp u n d e r t h e i n f l u e n c e o f a s t r o n g e l e c t r o s t a t i c f i e l d . The f r e q u e n c y s h i f t o f t h e m i c r o w a v e r e s o n a t o r was u s e d t o m e a s u r e t h e s u r f a c e mode f r e q u e n c y , f , and d a m p i n g f r e -q u e n c y , c r , as shown i n F i g . 1 0 . (T was o b t a i n e d f r o m a l o g ( a m p l i t u d e ) v s . t i m e ( s e e F i g . 2 6 ) p l o t . F i e l d s as h i g h as 55 kV/cm w e r e e m p l o y e d . F o r h i g h e r f i e l d s , t h e s t a t i c s u r f a c e d e f o r m a t i o n c a u s e d by t h e n o n - u n i f o r m e l e c t r o -s t a t i c f i e l d , r e s u l t e d i n a l o s s o f t h e s u r f a c e mode p u r i t y , and m e a s u r e m e n t s w e r e no l o n g e r p o s s i b l e . F i g . 2 7 , t o g e t h e r w i t h t h e t h e o r e t i c a l l i n e s p r e d i c t e d by t h e e q u a t i o n ( s e e S e c t i o n 4 . 1 . 2 ) The r e s u l t s o f p l o t t i n g |cr| v s . t/T a r e s h o w n i n 94 T h i s i s the e x p r e s s i o n f o r the damping f r e q u e n c y o""Ju f o r a (0,U) mode i n the i n f i n i t e l y deep f l u i d a p p r o x i m a t i o n . From the p l o t we see t h a t the immobile s u r f a c e t h e o r y i s i n e x c e l l e n t agreement w i t h e x p e r i m e n t a l o b s e r v a t i o n s . S i n c e cr depends on the a p p l i e d e l e c t r i c f i e l d s o l e l y t h r o u g h the change i n f , i t i s c l e a r t h a t the p h y s i c a l mechanism of wave damping i s not a f f e c t e d by the presence of the e l e c t r o s t a t i c f i e l d , t h a t i s the l a t e r a l l y immobile s u r f a c e f i l m i s not d i s r u p t e d by the e l e c t r o s t a t i c s t r e s s . C h a p t e r 5 DISCUSSION OF THE IMPORTANCE OF SPATIALLY NON-UNIFORM ELECTRIC FIELDS B e f o r e p r o c e e d i n g t o r e p o r t on r e s u l t s o f i n v e s -t i g a t i o n s o f two d i s t i n c t n o n - l i n e a r s i t u a t i o n s i n C h a p t e r s 6 a n d 7 , we s h a l l d i s c u s s i n some d e t a i l t h e b a s i c i m p l i -c a t i o n s o f t h e e x p e r i m e n t a l r e s u l t s o f t h e l a s t two c h a p t e r s . In p a r t i c u l a r we s h a l l c o n c e n t r a t e on t h e e f f e c t s o f s p a t i a l l y n o n - u n i f o r m e l e c t r i c f i e l d s on t h e e x c i t a t i o n , o s c i l l a t i o n and d a m p i n g f r e q u e n c i e s , a n d t h e s t a b i l i t y o f s u r f a c e m o d e s . 5 . 1 The I m p o r t a n c e o f N o n - U n i f o r m E l e c t r i c F i e l d s I t i s a c u s t o m and a n e c e s s i t y i n s c i e n t i f i c r e -s e a r c h t o a t t a c k new p r o b l e m s u s i n g m o d e l s t h a t c o m b i n e m a t h e m a t i c a l s i m p l i c i t y w i t h as f a i t h f u l as p o s s i b l e d e s c r i p -t i o n o f t h e p h y s i c a l p r o c e s s e s i n v o l v e d . S o m e t i m e s c o m p l e t e 95 96 s a t i s f a c t i o n o f t h e l a t t e r r e n d e r s t h e p r o b l e m i m p o s s i b l e t o s o l v e w i t h known a n a l y t i c a l t e c h n i q u e s . In t h e c a s e o f e l e c t r o h y d r o d y n a m i c s u r f a c e i n t e r -a c t i o n s , p r a c t i c a l l y a l l p a s t r e s e a r c h , b o t h t h e o r e t i c a l and e x p e r i m e n t a l , h a s b e e n c a r r i e d o u t w i t h t h e a s s u m p t i o n o f c o m p l e t e e l e c t r i c f i e l d u n i f o r m i t y . Two n o t a b l e e x c e p -t i o n s a r e t h e w o r k o f M e l c h e r and W a r r e n ( 1 9 6 6 ) , who u s e d n o n - u n i f o r m f i e l d s f o r t h e f e e d b a c k s t a b i l i z a t i o n o f s u r f a c e i n s t a b i l i t i e s , a n d C r o w l e y ( 1 9 6 5 , 1 9 6 7 ) who s t u d i e d t h e . e f f e c t o f s p a t i a l l y n o n - u n i f o r m f i e l d s on t h e e x c i t a t i o n o f w a v e s on t h e s u r f a c e o f an i n c o m p r e s s i b l e f l u i d j e t , and u s e d n o n - u n i f o r m f i e l d s f o r s t a b i l i z i n g t h e j e t by f e e d b a c k . In p r a c t i c e , t h e c o n d i t i o n o f c o m p l e t e f i e l d u n i f o r m i t y c a n n o t be s a t i s f i e d . A f i n i t e f l u i d i n a c o n -t a i n e r w i l l a l w a y s h a v e n o n - u n i f o r m a p p l i e d e l e c t r i c f i e l d s , e s p e c i a l l y n e a r t h e d i s c o n t i n u i t y a t t h e common i n t e r f a c e w i t h t h e c o n t a i n e r w a l l s . We h a v e s e e n t h a t t h e r e d u c t i o n o f t h e o s c i l l a -t i o n f r e q u e n c y o f s u r f a c e modes by s p a t i a l l y n o n - u n i f o r m , e l e c t r o s t a t i c f i e l d s i s w e l l r e p r e s e n t e d by a s m a l l m o d i f i -c a t i o n ( S e c t i o n 3 . 2 . 2 ) o f t h e l i n e a r , u n i f o r m f i e l d t h e o r y . T h i s m o d e l i s s u f f i c i e n t l y a c c u r a t e u n t i l t h e s t a t i c s u r f a c e d e f o r m a t i o n i s l a r g e e n o u g h t o b r i n g i n a d d i t i o n a l l i n e a r ( a n d maybe n o n - l i n e a r ) e f f e c t s ( S e c t i o n 3 . 2 . 3 ) . B e y o n d t h i s 97 p o i n t , t h e c o n c e p t o f a s i n g l e , p u r e s u r f a c e m o d e , i n t h e c o n t e x t u s e d so f a r , b r e a k s d o w n . I t was n o t o u r p u r p o s e t o p u r s u e t h i s p r o b l e m f u r t h e r , b u t i t c e r t a i n l y m e r i t s more a t t e n t i o n . A n o t h e r i m p o r t a n t o b s e r v a t i o n i s t h a t a p p l i e d , s p a t i a l l y n o n - u n i f o r m e l e c t r i c f i e l d s t e n d t o d r i v e t h e s u r f a c e u n s t a b l e much more r e a d i l y t h a n p r e d i c t e d by t h e l i n e a r , m o d i f i e d t h e o r y ( s e e S e c t i o n 3 . 3 ) . T h i s i s a t t r i -b u t e d t o t h e g e n e r a t i o n o f l a r g e a m p l i t u d e , t r a v e l l i n g d i s -t u r b a n c e s ( o f a t r a n s i e n t n a t u r e ) by d i s c o n t i n u i t i e s i n t h e s t r e s s p r o f i l e u n d e r t h e e l e c t r o d e e d g e s . T h e s e d i s t u r -b a n c e s h a v e a much s m a l l e r w a v e l e n g t h t h a n t h e n o r m a l s u r f a c e m o d e , and c a u s e t h e s u r f a c e t o become u n s t a b l e when t h e y t r a v e l t o t h e r e g i o n u n d e r t h e f i e l d a p p l y i n g e l e c t r o d e . T h i s a l s o e x p l a i n s why t h e e - f o l d i n g t i m e s o f t h e u n s t a b l e w a v e s a r e s m a l l e r t h a n e x p e c t e d . The s h o r t e r t h e w a v e l e n g t h , t h e l a r g e r t h e w a v e n u m b e r k , h e n c e t h e s h o r t e r t h e e - f o l d i n g t i m e ( s e e e q u a t i o n ( 3 . 3 6 ) ) . S i m i l a r o b s e r v a t i o n s w e r e made f o r t h e c a s e o f a t i m e p e r i o d i c e l e c t r i c f i e l d . An i n s t a b i l i t y m e c h a n i s m a s s u m i n g a p e r f e c t l y u n i f o r m a l t e r n a t i n g f i e l d has b e e n d i s c u s s e d t h e o r e t i c a l l y by Y i h ( 1 9 6 8 ) . T h i s t a k e s i n t o a c c o u n t t h e e n e r g y s u p p l i e d t o an o s c i 11 a t i n g s u r f a c e by t h e e l e c t r i c f i e l d d i s t o r t i o n s due t o t h e w a v e . T h i s i s p r e c i s e l y t h e m e c h a n i s m we a s s u m e u n i m p o r t a n t i n o u r t r e a t m e n t o f t h e 98 a n a l o g o u s p r o b l e m w i t h a s p a t i a l l y n o n - u n i f o r m f i e l d ( C h a p t e r 6 ) , a n d A p p e n d i x C j u s t i f i e s o u r a s s u m p t i o n s . Y i h ' s c a l -c u l a t i o n s l e a d t o a M a t h i e u e q u a t i o n i n s t a b i l i t y d i a g r a m . T h i s e l e c t r o h y d r o d y n a m i c i n s t a b i l i t y i s a n a l o g o u s t o t h e g r a v i t a t i o n a l i n s t a b i l i t y t h a t d e v e l o p s on an i n c o m p r e s s i b l e f l u i d s u r f a c e when t h e f l u i d c o n t a i n e r i s o s c i l l a t e d p e r i o d -i c a l l y i n t h e v e r t i c a l d i r e c t i o n ( s e e B e n j a m i n and U r s e l l ( 1 9 5 4 ) ) , and t o t h e e l e c t r o h y d r o d y n a m i c i n s t a b i l i t y o f an i n c o m p r e s s i b l e f l u i d j e t s t r e s s e d by a r a d i a l , a p p l i e d a l t e r n a t i n g e l e c t r i c f i e l d ( s e e R e y n o l d s ( 1 9 6 5 ) ) . In t h e c a s e o f t h e g r a v i t a t i o n a l p a r a m e t e r i c i n -s t a b i l i t y o f B e n j a m i n and U r s e l l , t h e r e i s no d i f f i c u l t y i n o b s e r v i n g t h e M a t h i e u t y p e i n s t a b i l i t y , w h i c h h a d b e e n o b s e r v e d by s e v e r a l e x p e r i m e n t a l i s t s i n t h e 1 9 t h a n d 2 0 t h c e n t u r y ( s e e B e n j a m i n and U r s e l l ( 1 9 5 4 ) ) . I t has r e c e n t l y b e e n u s e d by W o l f ( 1 9 6 9 ) t o s t a b i l i z e d y n a m i c a l l y t h e R a y ! e i g h - T a y 1 o r i n s t a b i l i t y , s i n c e t h e g r a v i t a t i o n a l f i e l d i s p e r f e c t l y u n i f o r m . A s i m i l a r m e t h o d was u s e d by Z r n i c and H e n d r i c k s ( 1 9 7 0 ) t o s t a b i l i z e t h e R a y l e i g h - T a y 1 o r i n -s t a b i l i t y by m a g n e t i c f e e d b a c k . - H o w e v e r , p e r f e c t e l e c t r i c f i e l d u n i f o r m i t y i s v i r t u a l l y i m p o s s i b l e t o a c h i e v e on a b o u n d e d , f r e e f l u i d s u r f a c e . A s u r f a c e i n s t a b i l i t y i s t h e n much m o r e l i k e l y t o d e v e l o p i n t h e f a s h i o n d i s c u s s e d i n C h a p t e r 6 by n o n - l i n e a r 99 d r i v i n g o f t h e s u r f a c e by t h e e l e c t r i c f i e l d n o n - u n i f o r m i -t i e s , r a t h e r t h a n p a r a m e t r i c a l l y as d i s c u s s e d by Y i h . F rom t h e f o r e g o i n g d i s c u s s i o n o f t h e i m p o r t a n c e o f s p a t i a l l y n o n - u n i f o r m f i e l d s we c a n d r a w a r o u g h c r i -t e r i o n f o r a c o n d i t i o n t h a t has t o h o l d i f an i n s t a b i l i t y p r e d i c t e d by t h e u n i f o r m f i e l d a p p r o x i m a t i o n i s g o i n g t o be c l e a r l y o b s e r v a b l e . T h i s i s t h a t t h e e - f o l d i n g t i m e ( A J " 1 o f an i n s t a b i l i t y m u s t be v e r y much s m a l l e r t h a n t h e t i m e t a k e n f o r s u r f a c e t r a n s i e n t s s e t up by t h e e l e c t r i c f i e l d n o n - u n i f o r m i t i e s t o t r a v e l t o t h e u n s t a b l e wave u n d e r t h e e l e c t r o d e , i . e . « ( V L ) " w h e r e L i s a t y p i c a l l e n g t h i n t h e e x p e r i m e n t a l a r r a n g e m e n t ( e . g . r a d i u s o f a c o n t a i n e r ) and V£ i s t h e p h a s e v e l o c i t y o f t h e t r a n s i e n t d i s t u r b a n c e s . The non s a t i s f a c t i o n o f t h i s c o n d i t i o n c a u s e d t h e f a i l u r e o f o u r a t t e m p t t o o b s e r v e t h e g r o w t h r a t e s o f u n s t a b l e w a v e s i n S e c t i o n 3 . 3 . Application of Non-uniform^ Periodic E l e c t r i c Fields O u r i n v e s t i g a t i o n s on t h e e f f e c t o f s p a t i a l l y n o n -u n i f o r m , t i m e p e r i o d i c e l e c t r i c f i e l d s ( S e c t i o n 4 . 2 ) l e d t o t h e d e v e l o p m e n t o f a t e c h n i q u e f o r e x c i t i n g p u r e s u r f a c e modes i n d i v i d u a l l y on a f l u i d s u r f a c e . T h i s m e t h o d h a s 100 s e v e r a l a d v a n t a g e s o v e r c o n v e n t i o n a l m e t h o d s . Common methods f o r e x c i t a t i o n o f s t a n d i n g s u r f a c e waves i n c o n t a i n e r s have been t h e p e r i o d i c v e r t i c a l v i b r a -t i o n o f t h e f l u i d c o n t a i n e r , o r t h e r o c k i n g o f t h e c o n t a i n e r s u p p o r t . T h e s e methods a r e f u l l y d i s c u s s e d i n A b ramson ( 1 9 6 6 ) . H o w e v e r , due t o t h e d i f f i c u l t y i n d e c o u p l i n g t h e i n e r t i a l d r i v i n g m e c h a n i s m , l a r g e t r a n s i e n t s w e re s e t up when t h e d r i v e r was s w i t c h e d o f f , u n l e s s e x p e n s i v e p r e -c a u t i o n s were t a k e n t o p r e v e n t t h i s . A l s o t h e wave a m p l i -t u d e i s d i f f i c u l t t o c o n t r o l , and f i n a l l y , h i g h e r o r d e r modes c a n n o t be o b t a i n e d w i t h o u t mode m i x i n g . The l a s t r e a s o n i s t h e m a i n c a u s e f o r t h e f a c t t h a t p r a c t i c a l l y a l l e x p e r i m e n t a l work on g r a v i t a t i o n a l s u r f a c e waves on a f l u i d i n a c o n t a i n e r has b e e n p e r f o r m e d on t h e f i r s t two o r t h r e e s t a n d i n g wave modes. T h e s e modes a r e t h e o n l y o n e s o b t a i n -a b l e w i t h o u t m i x i n g by u s i n g i n e r t i a l d r i v i n g s y s t e m s . The p r o b l e m o f l a r g e t r a n s i e n t s was e l i m i n a t e d by P i k e and C u r z o n ( 1 9 6 8 ) by b l o w i n g p e r i o d i c a i r p u l s e s o n t o t h e f r e e f l u i d s u r f a c e a t t h e r e s o n a n t f r e q u e n c y o f a d e s i r e d mode. T h i s i s a method we h a v e a l s o u s e d i n o u r e a r l y e x p e r i m e n t s . I t g i v e s p u r e modes o f s m a l l a m p l i t u d e . H o w e v e r , t h e mode a m p l i t u d e i s n o t e a s i l y c o n t r o l l a b l e , and o n l y f a i r l y low o r d e r modes ca n be e x c i t e d . 101 By u s i n g s p a t i a l l y n o n - u n i f o r m , p e r i o d i c e l e c t r i c f i e l d s , we h a v e b e e n a b l e t o e x c i t e s u r f a c e modes o f h i g h p u r i t y and c o n t r o l l e d a m p l i t u d e i r r e s p e c t i v e o f o r d e r . The m e t h o d c a n be u s e d t o e x c i t e s u r f a c e w a v e s a t t h e i n t e r f a c e b e t w e e n two f l u i d s , i t c a n be u s e d i n a s e a l e d s y s t e m , and by v i r t u e o f t h e f a c t t h a t i t e x c i t e s s i n g l e m o d e s , i t r e m o v e s t h e n e c e s s i t y o f F o u r i e r a n a l y s i s o f t h e r e s u l t s , ( s i n c e t h e t h e o r y o f n o r m a l s u r f a c e modes g i v e s r e s u l t s f o r a s p e c t r u m o f s i n g l e m o d e s ) . In A p p e n d i x F we d e m o n s t r a t e t h e f e a s i b i l i t y o f e x c i t i n g s u r f a c e modes w h i c h a r e e x t r e m e l y p u r e , e v e n i n t h e c a s e o f l o w q u a l i t y f a c t o r s u r f a c e modes on s h a l l o w f l u i d s , by a p p l y i n g b o t h t i m e and s p a c e p e r i o d i c f i e l d s o n t o t h e f l u i d s u r f a c e . 5 . 2 D a m p i n g F r e q u e n c y M e a s u r e m e n t s The d a m p i n g f r e q u e n c y m e a s u r e m e n t s on t h e s u r f a c e o f m e r c u r y i n a c y l i n d r i c a l c o n t a i n e r , w i t h t h e s u r f a c e s t r e s s e d by e l e c t r o s t a t i c f i e l d s up t o 55 kV/cm w e r e r a t h e r s u r p r i s i n g , i n t h a t t h e e l e c t r i c f i e l d had no e f f e c t on t h e s u r f a c e v i s c o s i t y , i . e . i t had no e f f e c t on t h e p h y s i c a l p r o p e r t i e s o f t h e s u r f a c e . The r e s u l t s w e r e i n c l o s e a g r e e -m e n t w i t h a m o d e l a s s u m i n g l a t e r a l i m m o b i l i t y o f t h e s u r f a c e E v e n f i e l d s as h i g h as 55 kV/cm s e e m e d t o h a v e no e f f e c t i n 1 0 2 r e m o v i n g t h e l a t e r a l s u r f a c e i m m o b i l i t y , b u t no m e a s u r e m e n t s g i v i n g r e s u l t s i n a g r e e m e n t w i t h t h e c l e a n , m o b i l e s u r f a c e m o d e l o f d a m p i n g c o u l d be t a k e n . In A p p e n d i x B we d i s c u s s t h e e f f e c t o f i m p u r i t i e s on a f l u i d s u r f a c e , and p o s s i b l e a p p l i c a t i o n s o f e l e c t r i c f i e l d s i n p a r t i a l r e m o v a l o f s u r f a c e c o n t a m i n a n t s . C h a p t e r 6 NON-LINEAR DRIVING OF SURFACE WAVES BY ELECTRIC FIELDS In C h a p t e r 4 we c o n s i d e r e d t h e e x c i t a t i o n o f p u r e s u r f a c e modes on m e r c u r y i n a c y l i n d r i c a l c o n t a i n e r by u s i n g s p a t i a l l y n o n - u n i f o r m , t i m e p e r i o d i c e l e c t r i c f i e l d s . The s u r f a c e wave a m p l i t u d e ^ was much s m a l l e r t h a n t h e d i s t a n c e D o f t h e wave e x c i t a t i o n e l e c t r o d e f r o m t h e e q u i -l i b r i u m f l u i d s u r f a c e . T h e n t h e s u r f a c e c o u l d be t r e a t e d as a damped, h a r m o n i c o s c i l l a t o r , d r i v e n by a c o n s t a n t a m p l i t u d e (V0/D) ( where V0 i s t h e a m p l i t u d e o f t h e v o l t a g e a p p l i e d t o t h e e l e c t r o d e ) f o r c e . The a n a l o g o u s p r o b l e m f o r a f l u i d j e t has been i n v e s t i g a t e d by C r o w l e y (1965). In t h i s c h a p t e r we i n v e s t i g a t e t h e d r i v i n g o f s u r f a c e waves by p e r i o d i c e l e c t r i c f i e l d s when t h e a m p l i t u d e Vji o f t h e d r i v e n s u r f a c e mode becomes c o m p a r a b l e t o D. T h i s m o d i f i e s t h e d r i v i n g f o r c e a m p l i t u d e t o (^/(D-^)) , i . e . t h e f o r c e d e p e n d s n o n - l i n e a r l y on t h e s u r f a c e d i s p l a c e -ment T . The n o n - l i n e a r d r i v i n g l e a d s , f o r l a r g e e n ough 103 104 a m p l i t u d e s o f t h e s u r f a c e d i s p l a c e m e n t , t o a new t y p e o f i n s t a b i l i t y , w h i c h i s n o t p r e d i c t a b l e by u n i f o r m f i e l d t h e o r y ( s e e Y i h ( 1 9 6 8 ) ) . A s i m i l a r t r e a t m e n t can be g i v e n i n t h e c a s e o f two n e i g h b o u r i n g d r o p s . A c k e r b e r g ( 1 9 6 9 ) has a l r e a d y d i s c u s s e d n o n - l i n e a r e f f e c t s c o n c e r n i n g two n e i g h b o u r i n g d r o p s h e l d a t d i f f e r e n t e l e c t r o s t a t i c p o t e n t i a l s . We f i r s t g i v e t h e r e l e v a n t t h e o r y , and f o l l o w i t up w i t h p r e s e n t a t i o n o f e x p e r i m e n t a l r e s u l t s , and a f u l l d i s c u s s i o n . 6.1 T h e o r y o f N o n - L i n e a r D r i v i n g o f S u r f a c e Modes by  E l e c t r i c F i e l d s We a g a i n t r e a t t h e s p e c i f i c p r o b l e m i n v e s t i g a t e d e x p e r i m e n t a l l y ; t h i s i s e f f e c t i v e l y an i n f i n i t e l y deep f l u i d o c c u p y i n g t h e r e g i o n r < R , , z < 0 o f a c y l i n d r i c a l p o l a r c o - o r d i n a t e s y s t e m ( s e e F i g . 1 7 ) . A x i s y m m e t r i c s u r f a c e waves a r e e x c i t e d by a p p l y i n g p e r i o d i c s t r e s s e s o f f r e q u e n c y X L t o t h e s u r f a c e . The v e r t i c a l d i s p l a c e m e n t o f t h e f l u i d i s t h e n ( *),u °U J 105 w h e r e a l l t h e s y m b o l s h a v e b e e n d e f i n e d i n t h e p r e v i o u s s e c t i o n s , and n i s an i n t e g e r . The c o n d i t i o n o f c o n s e r v a -t i o n o f n o r m a l s t r e s s a t t h e f l u i d s u r f a c e ( e q u a t i o n (4.6)) c a n be now w r i t t e n (6.2) w h e r e E ( r , _ n . , t,J ) i s t h e e l e c t r i c f i e l d a p p l i e d t o t h e s u r f a c e . E ( r , - f l , t , J ) c a n be w r i t t e n as $(i)h(T) Vo% (6.3) w h e r e ( s e e F i g . 17) f ( r ) = 0 r< R * ( i ' e " a s S U m e D K < R*> g ( t ) = i <rtT/a = 0 TT/1 < \ n.-t \ < ir h(D = p a ^ ' , x/P)x ^ f r o m e q u a t i o n ( 6 - 1 ^ T h e s e a s s u m p t i o n s f o r t h e f o r m o f E ( r , I ^ , t , ) a r e j u s t i -f i e d i n A p p e n d i x C. 106 The s o l u t i o n o f e q u a t i o n ( 6 . 2 ) i s g r e a t l y f a c i l i -t a t e d f o r r e s o n a n t l y d r i v e n m o d e s , s i n c e T i n h(J") i s t h e n r e p l a c e d by J o f K r ) t h e d i s p l a c e m e n t o f t h e r e s o n a n t m o d e . To j u s t i f y t h i s we n o t e t h a t t h e U t h mode ( f r e q u e n c y OJGV) i s r e s o n a n t l y d r i v e n i f i t s f r e q u e n c y e q u a l s t h e f r e q u e n c y o f t h e a p p l i e d f i e l d , i . e . O t h e r modes c o u l d be d r i v e n by s t r e s s e s o s c i l l a t i n g a t h a r m o n i c s o f SL . H o w e v e r , t h e f r e q u e n c y s p e c t r u m f o r t h e s u r f a c e modes e n s u r e s t h a t o n l y one r e s o n a n t mode i s d r i v e n a t a t i m e ; i . e . i t i s n o t p o s s i b l e t o f i n d an i n t e g e r n > 1 s u c h t h a t ( Q o y ~ 150 s e e C h a p t e r 4) \ ) n S l ~ % v \ < J ^ L ( 6 . 5 ) w h e r e Q o i , i s t h e q u a l i t y f a c t o r o f a mode o f e i g e n f r e q u e n c y Cu>0y . T h e n , e v e n i f n o n - l i n e a r s t r e s s e s a r e l a r g e , m i s -m a t c h e s i n t h e d r i v i n g f r e q u e n c i e s w i l l r e s u l t i n n e g l i g i b l y s m a l l a m p l i t u d e s f o r a l l modes e x c e p t t h e r e s o n a n t o n e . F o r t h e r e s o n a n t mode J l 1 - ( ^ V l j f ' ) r 1 i 0J0iJ <r~ou ( 6 . 6 ) 107 w h e r e e x p r e s s i o n s f o r t h e d a m p i n g f r e q u e n c y 0~"0{J a r e d e -r i v e d i n S e c t i o n 4 . 1 . 2 . M u l t i p l y i n g e q u a t i o n ( 6 . 2 ) by J 0 ( k r ) , and u s i n g t h e a b o v e a s s u m p t i o n s l e a d s t o t h e f o l l o w i n g e x p r e s s i o n f o r v\0(j and Cf> , t h e p h a s e b e t w e e n t h e d r i v i n g f i e l d and t h e s u r f a c e m o d e . ( 6 . 7 ) The n o n - r e s o n a n t t e r m s , and t i m e d e p e n d e n c e a r e t h e n r e -moved by i n t e g r a t i n g o v e r t h e f l u i d s u r f a c e , a n d , m u l t i -p l y i n g by s i n e u t and c o s o ^ t and i n t e g r a t i n g o v e r t h e wave p e r i o d , i n e x a c t l y t h e same m a n n e r as i n t h e p r e v i o u s s e c t i o n . The i n t e g r a l o v e r t h e s u r f a c e i s g i v e n by A b r a m o w i t z and S t e g u n ( 1 9 6 5 ) , p . 4 8 4 , e q u a t i o n 1 1 . 3 . 3 4 . The f i n a l r e s u l t s a r e IT 0,<r 7 <os<f z» • J,V,)] M £ ( f l 2 J ' f c » ' ; » » ' * ^ 6 . 8 a ) 1 0 8 J 0 (z,)+J, TT ( 6 . 8 b ) -77 ° where I ^ f l U / 0 ; Z , = KR,;, Z ^ r : KK*, 0 ~ ^ t ( 6 . 8 c ) and t h e s u f f i c e s on w and <r a r e now o m i t t e d f o r t h e s a k e o f b r e v i t y . In o r d e r t o s i m p l i f y t h e a p p r o a c h , we n o t e t h a t , t o a f i r s t a p p r o x i m a t i o n , we c a n s e t ip-ft/i i n e q u a t i o n s ( 6 . 8 a ) and ( 6 . 8 b ) ( s e e A p p e n d i x C ) . T h e n we can p e r f o r m t h e i n t e g r a l o v e r B i n ( 6 . 8 b ) t o o b t a i n Y / I ( T ) ~ _ C ^ ° ( 6 . 9 ) where C = k i < I(T) - f^* J o ( z ) Z o f z 109 E q u a t i o n ( 6 . 9 ) c o n n e c t s t h e d i m e n s i o n l e s s a m p l i t u d e T w i t h V 0 , t h e a m p l i t u d e o f t h e v o l t a g e a p p l i e d t o t h e e l e c t r o d e . 1 ( 7 ) can be e v a l u a t e d f o r v a r i o u s v a l u e s o f J by a numer-i c a l i n t e g r a t i o n t e c h n i q u e . In A p p e n d i x C we c o n s i d e r f r o m t h e t h e o r e t i c a l p o i n t o f v i e w n o n - l i n e a r wave e x c i -t a t i o n i n r e c t a n g u l a r c o n t a i n e r s , where i t i s shown t h a t t h e i n t e g r a l c o r r e s p o n d i n g t o I ( T ) can be p e r f o r m e d a n a l y t i c a l l y . 6.2 E x p e r i m e n t a l R e s u 1 t s - C o m p a r i s o n w i t h T h e o r y We s h a l l now a n a l y z e t h e p r e d i c t i o n s o f t h e t h e o r y o f t h e p r e v i o u s s e c t i o n , and compare them w i t h e x p e r i m e n t a l r e s u l t s f o r a s p e c i f i c s u r f a c e mode. The ( 0 , 2 ) mode i n t h e c y l i n d r i c a l m i c r o w a v e r e s o n a t o r was i n v e s t i g a t e d e x -p e r i m e n t a l l y . I t was e x c i t e d by a p p l y i n g s q u a r e wave v o l t a g e p u l s e s t o a d i s c s h a p e d e l e c t r o d e , e x a c t l y as shown i n F i g . 17. The s h i f t o f t h e m i c r o w a v e r e s o n a n t f r e q u e n c y d i p on t h e o s c i l l o g r a m was a g a i n u s e d as a m o n i t o r o f wave a m p l i t u d e on t h e m e r c u r y s u r f a c e . We f i r s t v e r i f i e d t h a t o u r a s s u m p t i o n , t h a t t h e p h a s e d i f f e r e n c e b e t w e e n t h e d r i v i n g e l e c t r i c f i e l d and t h e r e s o n a n t l y d r i v e n s u r f a c e wave was a p p r o x i m a t e l y f / 2 i n t h e n o n - l i n e a r r e g i o n , was v a l i d . T h i s was done i n e x a c t l y t h e same manner as f o r t h e l i n e a r c a s e . The n o t e c h n i q u e i s f u l l y d e s c r i b e d i n S e c t i o n 4 . 2 . 1 . S e v e r a l f i l m s o f t h e t y p e d e p i c t e d i n F i g . 22 w e r e t a k e n b o t h i n t h e l i n e a r r e g i m e ( i . e . 7 — ^ 0 , w h e r e T =Y\/D i s t h e r a t i o o f t h e wave a m p l i t u d e t o t h e d i s t a n c e o f t h e e l e c t r o d e f r o m t h e e q u i l i b r i u m s u r f a c e ) and i n t h e n o n - l i n e a r r e g i m e ( J - » - ' 0 . 5 ) . No s y s t e m a t i c m e a s u r a b l e d e v i a t i o n o f t h e p h a s e a n g l e <f f r o m rr/2 was f o u n d i n t h e l a t t e r c a s e . Any s u c h d e v i a t i o n was m a s k e d by t h e r a n d o m p h a s e s due t o d r i f t -i n g i n and o u t o f r e s o n a n c e . T h i s was due t o t h e f a c t t h a t o u r v o l t a g e g e n e r a t o r c o u l d n o t k e e p a s t a b l e e n o u g h f r e -q u e n c y f o r l o n g p e r i o d o f t i m e . T h e s e r e s u l t s c o n f i r m e d t h e v a l i d i t y o f o u r a s s u m p t i o n o f s e t t i n g <f = rr/Z i n e v a l u -a t i n g t h e t i m e i n t e g r a l s i n e q u a t i o n ( 6 . 8 ) . The p r e d i c t e d d e p e n d e n c e o f T on V 0 was o b -t a i n e d f r o m e q u a t i o n ( 6 . 9 ) J . C v? The i n t e g r a l l [ J ) was e v a l u a t e d by n u m e r i c a l i n t e g r a t i o n on t h e IBM 360 c o m p u t e r f o r T f r o m 0 . 1 t o 0 . 9 i n s t e p s o f 0 . 1 . T h e n 7 /I ( J ) ( i . e . £ V<? / D 3 ) was p l o t t e d vs . 7 i n F i g . 2 8 . We s e e t h a t f o r 7 up t o 0 . 3 t h e d e p e n d e n c e i s l i n e a r . F o r h i g h e r v a l u e s o f J we o b s e r v e a n o n - l i n e a r i n c r e a s e i n 7 . F u r t h e r m o r e , i t i s o b v i o u s f r o m t h e g r a p h i n t h a t t h e r e a r e two v a l u e s o f J f o r e a c h v a l u e o f Vo . A t T ^ 0.7 t h e two v a l u e s come t o g e t h e r a t t h e maximum on t h e c u r v e . A t any h i g h e r v o l t a g e s t h e r e a r e no r e a l s o l u -t i o n s , i . e . t h e waves a r e now u n s t a b l e . The c h a r a c t e r i s t i c f e a t u r e s o f g r a p h 28 a r e f u l l y d i s c u s s e d b e l o w . By g i v i n g v a l u e s t o V 0 and f i n d i n g t h e c o r r e s p o n d i n g a m p l i t u d e s f r o m t h i s g r a p h we p l o t t e d t h e t h e o r e t i c a l l y p r e d i c t e d J v s . V 0 o f F i g . 29. The c u r v e i n F i g . 29a c o r r e s p o n d s t o a " f r e s h , " and t h a t i n F i g . 29b t o an " o l d " m e r c u r y s u r f a c e ( s e e S e c t i o n 4.2.1 f o r d e f i n i t i o n s ) . The d e p e n d e n c e o f ? on V a a was f o u n d e x p e r i m e n -t a l l y by m e a s u r i n g T i n a r b i t r a r y u n i t s o f t h e s h i f t A F o f t h e m i c r o w a v e r e s o n a n t f r e q u e n c y on t h e o s c i l l o g r a m . T h e s e m e a s u r e m e n t s were t h e n m u l t i p l i e d by a s c a l e f a c t o r , so. as t o b r i n g t h e l i n e a r p a r t o f t h e e x p e r i m e n t a l c u r v e i n t o c o i n c i d e n c e w i t h t h e t h e o r e t i c a l l y p r e d i c t e d l i n e ( s e e F i g . 29) and t h e n p l o t t e d i n F i g . 29 f o r d i r e c t c o m p a r i s o n w i t h t h e o r y i n t h e n o n - l i n e a r r e g i o n . A g a i n two s e t s o f r e s u l t s were t a k e n , f o r a " f r e s h " and f o r an " o l d " s u r f a c e . E x p e r i m e n t a l p a r a m e t e r s a r e g i v e n i n T a b l e 6.1. S i n c e J v a r i e s i n v e r s e l y w i t h cr ( s e e e q u a t i o n ( 6 . 9 ) ) , t h e a m p l i t u d e s f o r t h e " o l d " s u r f a c e a r e b e l o w t h o s e f o r t h e new o n e . The r a t i o o f t h e s e s l o p e s was u s e d t o c a l c u l a t e t h e d a m p i n g f r e q u e n c y f o r t h e " o l d " s u r f a c e ; f o r a f r e s h s u r f a c e was m e a s u r e d i n S e c t i o n 4.2.1 as <T = 0.095 s " ' . 112 T a b l e 6.1 EX P E R I M E N T A L PARAMETERS p = D e n s i t y o f m e r c u r y = 13.6 g.cm" T = S u r f a c e t e n s i o n o f m e r c u r y = 470 d y n e . c m - ' g = A c c e l e r a t i o n o f g r a v i t y = 981 cm.s R, = R a d i u s o f m i c r o w a v e c a v i t y ( c o r r e c t e d f o r s u r f a c e t e n s i o n ) = 3.42 cm R^ = E l e c t r o d e r a d i u s = 2.0 cm D = D i s t a n c e o f e l e c t r o d e f r o m e q u i l i b r i u m s u r f a c e = 0.172 cm °~ = Damping f r e q u e n c y o f ( 0 , 2 ) mode = 0.095 s - ' ( " f r e s h " s u r f a c e ) = 0.136 s - ' ( " o l d " s u r f a c e ) k = Wavenumber o f ( 0 , 2 ) mode = 1.11 cm" 1 ^ = A n g u l a r f r e q u e n c y o f s u r f a c e mode = 33.62 s " ' . Q = Q u a l i t y f a c t o r o f ( 0 , 2 ) mode = 177 ( " f r e s h " s u r f a c e ) = 124 ( " o l d " s u r f a c e ) k D = 0.19 C = 3.07 x IO- 1 5" nT 3. V7, ( " f r e s h " m e r c u r y ) = 2.14 x 10"' 5" m -2.V X ( " o l d " m e r c u r y ) 113 S i n c e t h e v i s c o s i t y c o u l d n o t be c o m p l e t e l y c o n -t r o l l e d and k e p t c o n s t a n t i n e i t h e r s e t ( a ) o r s e t (b) o f t h e r e s u l t s , and f u r t h e r m o r e , s i n c e i t was n o t a l w a y s p o s -s i b l e t o p i n p o i n t t h e s u r f a c e r e s o n a n c e e x a c t l y , a s e r i e s o f 10 m e a s u r e m e n t s was t a k e n f o r e a c h o f t h e d a t a p o i n t s o f F i g . 29. T h e s e were t h e n a v e r a g e d t o g i v e t h e p l o t t e d p o i n t s . From F i g . 29 we c a n s e e t h a t t h e e x p e r i m e n t a l p o i n t s a g r e e w e l l w i t h t h e t h e o r e t i c a l l y p r e d i c t e d v a l u e s , i n d i c a t i n g t h a t o u r a s s u m p t i o n s f o r t h e a n a l y t i c a l e s t i m a -t i o n o f F were w e l l f o u n d e d . E x p e r i m e n t a l p o i n t s b e y o n d T ~ 0.6 were n o t r e a d i l y o b t a i n a b l e , s i n c e s p a r k i n g o c c u r r e d f r o m t h e e l e c t r o d e t o t h e s u r f a c e when t h e d r i v i n g v o l t a g e was i n c r e a s e d f r o m t h e F ~ 0.6 v a l u e . T h i s i s a t t r i b u t e d t o t h e s u r f a c e b e c o m i n g o v e r s t a b l e , and i s f u l l y d i s c u s s e d b e l o w . 6.3 Di s c u s s i on The most i n t e r e s t i n g f e a t u r e o f t h e r e s u l t s o f t h e t h e o r y and e x p e r i m e n t s i n t h i s c h a p t e r i s t h e e x i s t e n c e o f two v a l u e s o f t h e wave a m p l i t u d e ^ ( o r J = |7/D) f o r a g i v e n a m p l i t u d e V Q o f t h e d r i v i n g v o l t a g e , as shown i n F i g . 28. U n f o r t u n a t e l y i t i s n o t e a s y t o o b s e r v e t h e s o l u t i o n s 114 f o r 7 ^ 0.7. We s h a l l now show by an e n e r g y a r g u m e n t t h a t t h e s e s o l u t i o n s a r e u n s t a b l e . S u p p o s e we s e t t h e s u r f a c e i n t o o s c i l l a t i o n w i t h a m p l i t u d e ^ ( , w i t h t h e e l e c t r o d e a t a p o t e n t i a l V, , and d i s t a n t D, f r o m t h e s u r f a c e , s u c h t h a t tyf /0, = F, < 0.7 ( p o i n t P, i n F i g . 2 8 ) . When t h e v o l t a g e on t h e e l e c t r o d e i s z e r o , and t h e s u r f a c e t e m p o r a r i l y f l a t , we c h a n g e t h e a m p l i t u d e o f t h e s q u a r e wave g e n e r a t o r t o , and t h e d i s t a n c e t o D% , s u c h t h a t v£ /D| = V j ^ / D f and c o r r e s p o n d t o t h e p o i n t P^ ( F i g . 2 8 ) . S u p p o s e now t h a t an e r r o r has b e e n made i n V z so t h a t we a r r i v e i n s t e a d a t P 3 , where Vy > . The q u e s t i o n t h e n a r i s e s w h e t h e r o r n o t t h e o s c i l l a t i o n s o f i n i t i a l a m p l i t u d e F a w i l l d e c a y t o t h e s t e a d y s t a t e p o i n t P^ - . The a m p l i t u d e o f t h e s u r f a c e o s c i l l a t i o n s i s d e -t e r m i n e d when t h e work done p e r c y c l e by t h e a p p l i e d e l e c t r i c f i e l d c o m p e n s a t e s t h e e n e r g y l o s s p e r c y c l e c a u s e d by v i s c o u s d i s s i p a t i o n . F o r a wave o f a m p l i t u d e t h i s o c c u r s f o r V 0 = . B u t V 3 ( a t P 3 ) i s g r e a t e r t h a n . T h e r e f o r e more work i s b e i n g done on t h e s u r f a c e t h a n c a n be d i s s i p a t e d by a wave o f a m p l i t u d e J%. Hence a t P 3 t h e wave a m p l i t u d e i n c r e a s e s , i n o r d e r t o i n c r e a s e d i s s i p a t i o n , i . e . t h e wave i s u n s t a b l e . T h i s a r g u m e n t h o l d s f o r a l l p o i n t s a b o v e t h e s u r v e ( F i g . 28) and t o t h e r i g h t o f ? ^ 0.7. S i m i l a r l y , i f we a r r i v e a t P ^ i n s t e a d o f P z ( \ < \ ) * t h e 115 v o l t a g e i s t o o s m a l l t o do t h e work n e c e s s a r y t o m a i n t a i n t h e v a l u e o f 7 = 7% , h e n c e 7 d e c r e a s e s . H o wever, e v e n l a r g e r v o l t a g e s a r e n e e d e d t o m a i n t a i n waves w i t h a m p l i t u d e s ^6 ^ ^ ^ ^"i * T n u s > p o i n t s b e l o w t h e c u r v e ( F i g . 28) move t o t h e l e f t u n t i l t h e y end up on t h e c u r v e a t some p o i n t w i t h F< 0.7. S i m i l a r a r g u m e n t s show t h a t p o i n t s w i t h J < 0.7 and abo v e t h e c u r v e , move o n t o i t , i . e . t h e o s c i l l a t i o n s a r e s t a b l e , i n a g r e e m e n t w i t h t h e o b s e r v a -t i o n s . F i n a l l y , i f ? / I ( y ) > 0.43, t h e waves a r e a l s o u n s t a b l e . T h i s o c c u r s b e c a u s e t h e maximum v i s c o u s e n e r g y t h a t c a n be d i s s i p a t e d p e r c y c l e o c c u r s f o r waves w i t h 7 = 1 ( i . e . when t h e f l u i d s u r f a c e t o u c h e s t h e e l e c t r o d e ) . I f more e l e c t r i c a l e n e r g y i s pumped i n p e r c y c l e t h a n t h i s l i m i t , t h e n c l e a r l y t h e wave a m p l i t u d e w i l l grow u n t i l t h e waves t o u c h t h e e l e c t r o d e ( o r , i n p r a c t i c e , u n t i l s p a r k i n g o c c u r s ) . A l t h o u g h t h e t h e o r e t i c a l i n s t a b i l i t y r e g i o n i s d e l i n e a t e d as T/I( T ) > 0.43, "Y > 0.7 and abo v e t h e c u r v e ( F i g . 2 8 ) , we s h o u l d p o i n t o u t t h a t i t i s v e r y d i f f i c u l t t o o b s e r v e s t a b l e waves n e a r t h e peak o f t h e c u r v e i n F i g . 28. S i n c e t h e peak i s f a i r l y f l a t , e v e n s m a l l s p o r a d i c f l u c t u a t i o n s i n V 0 c a n k i c k t h e o p e r a t i n g p o i n t i n t o t h e u n s t a b l e r e g i o n , w h i c h e x p l a i n s o u r i n a b i l i t y t o o b s e r v e p o i n t s f o r w h i c h J was g r e a t e r t h a n a b o u t 0.6. The i n -s t a b i l i t y w o u l d a l s o d e v e l o p q u i c k e r due t o t h e p r e s e n c e o f 116 s h o r t w a v e l e n g t h t r a n s i e n t s o r s m a l l h i g h e r o r d e r modes t h a t a r e n o n - r e s o n a n t l y e x c i t e d , and r i d e on t h e r e s o n a n t mode. In o u r e x p e r i m e n t s we u s e d t h e o c c u r r e n c e o f s p a r k i n g as a c r i t e r i o n f o r t h e e x i s t e n c e o f u n s t a b l e w a v e s . I n s t a b i l i t y s e t s i n when t h e e l e c t r o d e t o m e r c u r y s u r f a c e gap l e n g t h i s r e d u c e d t o a b o u t 0.35D by s u r f a c e w a v e s . S i n c e V o / ( 0 . 3 5 D ) was i n a l l e x p e r i m e n t s w e l l b e l o w t h e d i e l e c t r i c b r e a k d o w n s t r e n g t h o f t h e S F g gas i n t h e m i c r o w a v e c a v i t y , t h e s p a r k -i n g we o b s e r v e d i n o u r e x p e r i m e n t s was n o t s p u r i o u s , b u t r e s u l t e d f r o m t h e g r o w t h o f u n s t a b l e w a v e s . E n h a n c e m e n t o f t h e d r i v i n g f o r c e by t h e e l e c t r i c f i e l d d i s t o r t i o n has been n e g l e c t e d i n t h e t h e o r y . I t i s shown i n A p p e n d i x C t h a t f o r t h e mode we i n v e s t i g a t e d , f o r c i n g t e r m s d e p e n d i n g on t h e c u r v a t u r e and s l o p e o f t h e s u r f a c e a r e n e g l i g i b l y s m a l l c o m p a r e d w i t h t h e d o m i n a n t e l e c t r i c f i e l d f o r c e u s e d i n S e c t i o n 6.1. In o r d e r t o s t u d y t h e e f f e c t o f t h e s e t e r m s on t h e s u r f a c e wave a m p l i t u d e , s u r f a c e modes w i t h much s m a l l e r w a v e l e n g t h s h a v e t o be e m p l o y e d . The t h r e s h o l d f o r i n s t a b i l i t y i n t e r m s o f V 0 and T i s , i n g e n e r a l , e x p e c t e d t o be r e d u c e d , s i n c e t h e s e e f f e c t s s u p p l y a d d i t i o n a l e l e c t r i c f i e l d e n e r g y t o t h e s u r f a c e w a v e s . An e f f e c t t h a t c e r t a i n l y n e e d s f u r t h e r i n v e s t i g a -t i o n i s t h e p h a s e d i f f e r e n c e b e t w e e n t h e d r i v i n g f i e l d and 117 t h e s u r f a c e d i s p l a c e m e n t . In o u r c a s e i t was s u f f i c i e n t l y a c c u r a t e t o s e t t h i s p h a s e , y> , as <jf> = r r/2, and t h e c a l c u l a t i o n s o f A p p e n d i x C c o u l d n o t be c h e c k e d i n o u r s y s t e m due t o t h e h i g h Q - f a c t o r ( a b o u t 150) o f t h e s u r f a c e mode i n v e s t i g a t e d , and t h e i n a b i l i t y o f o u r s i m p l e d r i v e r t o keep a c o n s t a n t f r e q u e n c y o v e r s u f f i c i e n t l y l o n g p e r i o d s o f t i m e . S u g g e s t i o n s f o r i n v e s t i g a t i n g t h e p h a s e and a s s o c i a t e d e f f e c t s ( e . g . t h e f r e q u e n c y r e s p o n s e o f t h e s u r f a c e mode i n t h e n o n - l i n e a r r e g i m e ) a r e g i v e n i n C h a p t e r 8. E x p e r i m e n t s on d i f f e r e n t g e o m e t r i e s , e s p e c i a l l y t h e c a s e o f r e c t a n g u l a r g e o m e t r y , a r e v e r y d e s i r a b l e a l s o . T he r e a s o n i s t h a t t h e r e s u l t s c a n be c h e c k e d a g a i n s t a n a -l y t i c a l e x p r e s s i o n s ( s e e A p p e n d i x C f o r r e l e v a n t c a l c u l a -t i o n s ) a n d , i n a d d i t i o n , t h e r e s u l t s a r e a p p l i c a b l e t o t h e a n a l o g o u s c a s e o f a l i q u i d j e t . A g a i n s u g g e s t i o n s a r e g i v e n i n C h a p t e r 8. C h a p t e r 7 NON-LINEAR INTERACTION OF WAVES ON SHALLOW WATER A v e r y i m p o r t a n t n o n - l i n e a r p r o b l e m i s c o n s i d e r e d i n t h i s c h a p t e r . T h e r e has been a t r e n d i n r e c e n t y e a r s ( K a d o m t s e v and Karpman (1971)) t o w a r d s i n v e s t i g a t i n g e n t i r e c l a s s e s o f n o n - l i n e a r p r o b l e m s , r a t h e r t h a n t o w a r d s a t t e m p t -i n g t o s o l v e i n d i v i d u a l p r o b l e m s , p a r t i c u l a r t o a c e r t a i n s y s t e m . An i m p o r t a n t c l a s s , w i t h w i d e a p p l i c a t i o n s i n a v a r i e t y o f f i e l d s , on w h i c h i n t e n s e e m p h a s i s has been p l a c e d i n t h e l a s t few y e a r s , i s t h e n o n - l i n e a r , d y n a m i c i n t e r -a c t i o n b e t w e e n modes o f o s c i l l a t i o n i n a n o r m a l f r e q u e n c y s p e c t r u m . T h i s t y p e o f i n t e r a c t i o n i s c a p a b l e o f p r o d u c i n g a m u t u a l e x c h a n g e o f e n e r g y among t h e e i g e n m o d e s , and i t has v e r y i m p o r t a n t a p p l i c a t i o n s i n f i e l d s s u c h as p l a s m a p h y s i c s ( T s y t o v i c h ( 1 9 7 0 ) ) , n o n - l i n e a r o p t i c s ( B l o e m b e r g e n ( 1 9 6 5 ) ) and o c e a n o g r a p h y ( P h i l l i p s ( I 9 6 0 ) ) . E x p e r i m e n t a l i n v e s t i g a t i o n o f t h i s i n t e r a c t i o n was made p o s s i b l e by t h e f l e x i b i l i t y a f f o r d e d us by t h e e x c i t a t i o n o f p u r e s u r f a c e modes by s p a t i a l l y n o n - u n i f o r m , t i m e p e r i o d i c a p p l i e d 118 119 e l e c t r i c s t r e s s e s ( s e e C h a p t e r 4 ) . T h i s t y p e o f n o n - l i n e a r i t y h o w e v e r i s c l e a r l y a c h a r a c t e r i s t i c f e a t u r e o f a m o v i n g f l u i d , a n d , u n l i k e t h e n o n - l i n e a r s i t u a t i o n i n v e s t i g a t e d i n C h a p t e r 6, has n o t h i n g t o do w i t h t h e d r i v i n g m e c h a n i s m ( i . e . t h e e l e c t r i c s t r e s s e s ) . 7.1 T h e o r y In l i n e a r s y s t e m s t h e r e s p o n s e t o an a r b i t r a r y s t i m u l u s c a n be e x p r e s s e d as a l i n e a r s u p e r p o s i t i o n o f waves o f t h e f o r m (7.1) where A^ i s t h e a m p l i t u d e , k_ t h e w a v e - v e c t o r and UJ^ t h e a n g u l a r f r e q u e n c y o f t h e k mode. I f t h e d y n a m i c e q u a t i o n s g o v e r n i n g t h e s y s t e m a r e w e a k l y n o n - l i n e a r , t h e n o n - l i n e a r t e r m s w i l l g e n e r a t e q u a d r a t i c t e r m s o f t h e f o r m A_K,A,_e i n t h e e q u a t i o n s o f m o t i o n . T h e s e a r e due t o t h e d y n a m i c i n t e r a c t i o n o f modes k, and k a . The n o n - l i n e a r i t y t h u s i n t r o d u c e s a f o r c e on t h e s y s t e m o f f r e q u e n c y a/,t(V^ and 1 2 0 w a v e - v e c t o r k^ + k_ ^  . I f i n t h e f r e q u e n c y s p e c t r u m o f t h e o s c i l l a t i n g s y s t e m t h e r e e x i s t s a t h i r d mode k_^ , s u c h t h a t ( 7 . 3 ) and i n a d d i t i o n i f A^t i s n o t p e r p e n d i c u l a r t o > t h e n t h i s t h i r d mode w i l l be r e s o n a n t l y d r i v e n by t h e d y n a m i c i n t e r a c t i o n o f t h e o t h e r two. L i n e a r i z e d s h a l l o w w a t e r s u r f a c e w a v e s , p r o p a g a t -i n g i n one d i r e c t i o n , s a t i s f y a l l c o n d i t i o n s f o r r e s o n a n c e . We s h a l l now d e v e l o p t h e n e c e s s a r y t h e o r y f o r t h e n o n -l i n e a r i n t e r a c t i o n o f s t a n d i n g s u r f a c e waves on s h a l l o w w a t e r . S i n c e i n o u r e x p e r i m e n t s we s t u d i e d t h e s i m p l e s t c a s e o f t h e s e l f i n t e r a c t i o n o f a wave t o g e n e r a t e a wave o f d o u b l e t h e f r e q u e n c y and w a v e - v e c t o r ( s e e e q u a t i o n ( 7 . 3 ) ) , i n o r d e r t o s i m p l i f y t h e e x p o s i t i o n , we s h a l l t r e a t t h i s s p e c i f i c p r o b l e m . The n o m e n c l a t u r e p r i m a r y and s e c o n d a r y mode w i l l be e m p l o y e d t o r e f e r t o t h e mode w h i c h s e l f i n t e r a c t s and t o t h e mode d r i v e n by t h i s s e l f i n t e r a c t i o n r e s p e c t i v e l y . The p r i m a r y mode was e x c i t e d by a p p l y i n g s p a t i a l l y n o n - u n i f o r m , p e r i o d i c e l e c t r i c s t r e s s e s o n t o t h e f r e e s u r f a c e o f w a t e r i n a r e c t a n g u l a r c o n t a i n e r o f l e n g t h L ( s e e F i g . 9 ) . The p r i m a r y mode has a w a v e l e n g t h L and t h e s e c o n d a r y mode L / 2 . 1 21 We s h a l l u s e a p e r t u r b a t i o n m e t h o d , w i t h an 1 3 e x p a n s i o n p a r a m e t e r f = A,/k, H ( s e e S t o k e s ( 1 8 4 7 ) ) where A, i s t h e a m p l i t u d e o f t h e p r i m a r y mode. The f l u i d d i s p l a c e m e n t and v e l o c i t y p o t e n t i a l c a n t h e n be w r i t t e n as l-.if\et X) ; c ^ e y ^ V 0 (7'4) where t h e s u p e r s c r i p t s on J and d e n o t e t h e o r d e r o f t h e t e r m s . N e g l e c t i n g s u r f a c e t e n s i o n ( s e e A p p e n d i x D) we c a n w r i t e t h e e q u a t i o n o f s t r e s s c o n s e r v a t i o n a t t h e s u r f a c e as w h e r e C , ( t ) i s an a r b i t r a r y c o n s t a n t o f i n t e g r a t i o n , f ( x , t ) i s a f u n c t i o n t h a t d e s c r i b e s t h e s p a t i a l and t e m p o r a l v a r i -a t i o n o f t h e a p p l i e d e l e c t r i c f i e l d ( f ( x , t ) i s c h o s e n s o t h a t o n l y t h e p r i m a r y mode i s r e s o n a n t l y e x c i t e d - s e e A p p e n d i x D) , and D i s t h e minimum d i s t a n c e o f t h e e l e c t r o d e f r o m t h e e q u i l i b r i u m f l u i d s u r f a c e ( s e e F i g . 9 ) . S u f f i c e s on ¥ w i l l be u s e d t o d e n o t e t h e c o m p o n e n t s o f d i s p l a c e m e n t 122 i n t h e c a r t e s i a n c o - o r d i n a t e s y s t e m shown i n F i g . 9, and s u f f i c e s on t h e p a r t i a l d i f f e r e n t i a l c o e f f i c i e n t s w i l l d e n o t e t h e p o i n t a t w h i c h t h e c o e f f i c i e n t s a r e t o be e v a l u a t e d . The k i n e m a t i c b o u n d a r y c o n d i t i o n a t t h e s u r f a c e i s (Moiseev ( 1 9 5 8 ) , p . 861) i £ + iJL . Uk - (v(f) ( 7 . 6 ) We s u b s t i t u t e f r o m e q u a t i o n ( 7 . 4 ) i n t o e q u a t i o n s ( 7 . 5 ) and ( 7 . 6 ) and e x p a n d a p p r o p r i a t e t e r m s i n a T a y l o r s e r i e s a b o u t z = H t o g e t : ( 7 . 7 ) H J  ( f r o m e q u a t i o n ( 7 . 5 ) ) w here a l l t h e p a r t i a l c o e f f i c i e n t s a r e f r o m now on e v a l u a t e d a t z = H. irn) )r f* } ; r 0 > )rco ( 7 . 8 ) - c i t - + e » r z -Lz~ +tr i f 1 23 ( f r o m e q u a t i on ( 7 . 6 ) ) . C o l l e c t i n g f i r s t and s e c o n d o r d e r t e r m s s e p a r a t e l y we o b t a i n t h e f o l l o w i n g e q u a t i o n s o f m o t i o n and b o u n d a r y c o n d i t i o n s ; J9"> j"> U V, fM) ( 7 . 9 ) ~7T~  5 z ' v > 1 ( f i r s t o r d e r e q u a t i o n o f m o t i o n ) ; ( 7 . 1 0 ) ( s e c o n d o r d e r e q u a t i o n o f m o t i o n ) w h e r e we h a v e n e g l e c t e d f o r t h e t i m e b e i n g s e c o n d o r d e r t e r m s i n t h e s u r f a c e s t r e s s ( s e e A p p e n d i x D) ; ( f i r s t o r d e r k i n e m a t i c b o u n d a r y c o n d i t i o n ) ; tl£} 11*11 * 7 * - J * ^ V " , > * M ( 7 . 1 2 ) 124 ( s e c o n d o r d e r k i n e m a t i c b o u n d a r y c o n d i t i o n ) . T h e s e f o u r e q u a t i o n s a r e t o be s o l v e d s u b j e c t t o t h e b o u n d a r y c o n d i t i o n = 0, w h ere TH i s t h e f l u i d d i s p l a c e m e n t n o r m a l t o t h e s u r f a c e o f t h e c o n t a i n i n g v e s s e l The s o l u t i o n s o f e q u a t i o n s ( 7 . 9 ) and ( 7 . 1 1 ) a r e Co10 - UJ> A> coth(H,T) cot(k,x) ct>i(c^,i) T-J° ^ Ai cos(k,\) sin (UJ, t) ( 7 . 1 3 ) T X U ) ~ -/), caikiK.U) S>'*(t«,t) S<h(K,*) where /!, i s p r o p o r t i o n a l t o V e ( s e e S e c t i o n ( 4 . 2 . 1 ) ) , k, = 2 T / L, and co, , t h e r e s o n a n t f r e q u e n c y o f t h e p r i m a r y mode ( f r o m t h e d i s p e r s i o n r e l a t i o n ( 3 . 3 6 ) f o r t h e s h a l l o w f l u i d a p p r o x i m a t i o n ( i . e . t a n h ( k H ) = k H ) , n e g l e c t i n g s u r f a c e t e n s i o n and t h e n e g l i g i b l e e f f e c t o f t h e s m a l l s t a t i c com-p o n e n t o f t h e e l e c t r i c f i e l d ) i s g i v e n by * L M V l ( 7 . 1 4 ) We c a n s u b s t i t u t e t h e s e e x p r e s s i o n s i n t o t h e e q u a t i o n s o f t h e s e c o n d o r d e r m o t i o n ( 7 . 1 0 ) and ( 7 . 1 2 ) , — (1.) w h i c h c a n t h e n be s o l v e d f o r Cf and J 2 . E l i m i n a t i n g 125 C f r o m e q u a t i o n (7.10) u s i n g e q u a t i o n ( 7 . 1 2 ) l e a d s t o an e q u a t i o n c o n t a i n i n g p r o d u c t s o f t h e t e r m s a t o e b e l o w : The p r o d u c t s a e , a f g i v e r i s e t o s m a l l s t a t i c d e f o r m a t i o n s o f t h e s u r f a c e , and s i n c e t h e s e a r e n o n - r e s o n a n t t h e y a r e s m a l l enough t o be n e g l i g i b l e ( s e e A p p e n d i x D ) . The p r o -d u c t s b d , c d c o n t r i b u t e o n l y t i m e ( b u t n o t s p a c e ) d e p e n d e n t t e r m s and c a n be c a n c e l l e d by p r o p e r c h o i c e o f t h e a r b i t r a r y c o n s t a n t C ( t ) i n e q u a t i o n ( 7 . 1 0 ) . The o n l y r e m a i n i n g t e r m s a r e c r o s s p r o d u c t s o f b and c w i t h e o r f , and t h e y g i v e r i s e t o r e s o n a n t e x c i t a t i o n o f modes w i t h a) b) c) K-x - 2- K{ ( 7 . 1 5 ) The r e s u l t a n t e q u a t i o n f o r Cp i s 0 ( 7 . 1 6 ) 1 26 (%) S i n c e ^ i s a s o l u t i o n o f L a p l a c e ' s e q u a t i o n w i t h k a z 2k, , Co%= 2.<*s, , we can w r i t e i t i n t h e f o r m ( X ) = 0L«COsl>(K<>7i) cos ( K*X) tw(bs% t) ( 7 . 1 7 ) w h e r e t h e a m p l i t u d e a ^ can be f o u n d f r o m e q u a t i o n ( 7 . 1 6 ) U s i n g e q u a t i o n ( 7 . 1 7 ) t o e l i m i n a t e ^ y ' ^ / d z f r o m e q u a t i o n ( 7 . 1 6 ) l e a d s t o (7 . 1 8 ) - - 2 . o u a ( A i ^  coi( Kryk) s>* ju>% t) £l - ( Ki H)*] w h i c h f o r s h a l l o w f l u i d s (k^H « 1 ) becomes (Jl + ti)<f(%)--IwJ^Apo^x) s»(u*0[HKH)*j ( 7 . 1 9 ) S i n c e OJ^ r J K% H f ° r s h a l l o w f l u i d s , t h i s e q u a t i o n d e s c r i b e s r e s o n a n t d r i v i n g o f t h e s e c o n d a r y mode. A t r e s o n a n c e , t h e l e f t hand s i d e o f e u q a t i o n ( 7 . 1 9 ) c a n be r e p l a c e d by t h e u s u a l e x p r e s s i o n i n v o l v i n g t h e d a m p i n g 127 f r e q u e n c y 0\ o f t h e s e c o n d a r y mode ( s e e S e c t i o n 4 . 1 . 1 ) _ J a>(V i . e . CVJ_ — . W i t h t h i s s u b s t i t u t i o n we o b t a i n cot(^£)cosl(KiV r (ft tf)]'** ( 7 , 2 ° ) S u b s t i t u t i n g now t h i s e x p r e s s i o n f o r Cf>^ i n t o t h e s e c o n d o r d e r k i n e m a t i c b o u n d a r y c o n d i t i o n ( 7 . 1 2 ) and i n t e g r a t i n g w i t h r e s p e c t t o t i m e l e a d s t o t h e f i n a l r e s u l t f o r Sx , V = ^ C 0 S (^,x)[(l^iHf)sin(2O,t)+i(l-C0i(iu),fc)) ~ * h w h e r e A ^ i s t h e a m p l i t u d e o f t h e s e c o n d a r y m o d e , a n d Q a =&i/'kc\ ( c f . e q u a t i o n ( 4 . 2 7 ) ) i s t h e q u a l i t y f a c t o r o f t h e s e c o n d a r y m o d e , e x p r e s s i o n s f o r w h i c h h a v e b e e n d e r i v e d i n S e c t i o n 4 . 1 . 2 . T h u s t h e s e l f i n t e r a c t i o n o f a s u r f a c e mode on s h a l l o w w a t e r w i l l g e n e r a t e a s e c o n d o r d e r mode o f a m p l i t u d e "5 A 1 2 8 The t h e o r y a l s o p o i n t s o u t t h a t t h e S t o k e s ' o r d e r p a r a m e t e r £ f o r t r a v e l l i n g waves ( S t o k e s ( 1 8 4 7 ) ) , s h o u l d be r e p l a c e d by t h e p a r a m e t e r £, - Q<iA,Itt f o r r e s o n a n t l y d r i v e n s t a n d i n g waves i n o r d e r f o r t h e p e r t u r b a t i o n e x p a n s i o n s t o be c o n -v e r g e n t . Our e x p e r i m e n t a l c o n d i t i o n s were s u c h t h a t b o t h £ and £, were a b o u t 0.2, i . e . o u r p e r t u r b a t i o n e x p a n s i o n s were c o n v e r g e n t ( s e e f o l l o w i n g s e c t i o n on e x p e r i m e n t a l r e s u 1 t s ) . F i n a l l y , e v e n t h o u g h we t r e a t e d t h e p a r t i c u l a r c a s e o f t h e s e l f i n t e r a c t i o n o f a mode, an e x a c t l y a n a l o g o u s t r e a t m e n t c a n be e m p l o y e d when d e a l i n g w i t h t h e i n t e r a c t i o n o f more t h a n one mode. 7 . 2 E x p e r i m e n t a l R e s u l t s A r e c t a n g u l a r w a t e r c o n t a i n e r o f l e n g t h L was u s e d . The e x p e r i m e n t a l a r r a n g e m e n t i s shown i n F i g . 9. The p r i m a r y mode ( w a v e l e n g t h L) was e x c i t e d by a p p l y i n g a s i n u -s o i d a l t y p e v o l t a g e ( s e e F i g . 7b) t o t h e e l e c t r o d e E. The wave a m p l i t u d e s o f b o t h t h e p r i m a r y and t h e s e c o n d a r y mode were m e a s u r e d w i t h t h e o p t i c a l method u s i n g a m i c r o s c o p e i n c o n j u n c t i o n w i t h a p h o t o r e s i s t o r as d e s c r i b e d i n S e c t i o n 2.5.2. We f i r s t show t h a t A, ( t h e p r i m a r y mode a m p l i t u d e ) i s p r o p o r t i o n a l t o V© 1 , and A a ( t h e s e c o n d a r y mode a m p l i t u d e ) 129 i s p r o p o r t i o n a l t o V 0 . We t h e n d e r i v e a v a l u e f o r t h e q u a l i t y f a c t o r Q a o f t h e s e c o n d a r y mode, and use i t t o show t h a t , t o a good a p p r o x i m a t i o n , = (3/8)Q^(A, / H ) , as p r e d i c t e d by e q u a t i o n ( 7 . 2 1 ) . E x p e r i m e n t a l p a r a m e t e r s a r e g i v e n i n T a b l e 7.1. A t y p i c a l p i c t u r e o f t h e o u t p u t a t x = L/4 ( s e e F i g . 9) w h i c h i s a node f o r t h e p r i m a r y and an a n t i n o d e f o r t h e s e c o n d a r y mode i s shown i n F i g . 30. T h i s was t a k e n by e x c i t i n g t h e p r i m a r y mode a t a b o u t i t s r e s o n a n t f r e q u e n c y , and t h e n c a r e f u l l y t u n i n g t h e r o t o r f r e q u e n c y t o g e t t h e maximum a m p l i t u d e o f t h e s e c o n d a r y mode. I t i s e v i d e n t t h a t t h e wave c a n be r e p r e s e n t e d by t h e e x p r e s s i o n f a ) h ... R / . . . a I ( 7 . 2 2 ) where t h e o r i g i n o f t h e c o m p o n e n t o f f r e q u e n c y and a m p l i t u d e B i s e x p l a i n e d i n A p p e n d i x D and d i s c u s s e d i n S e c t i o n 7.3. The s e c o n d a r y mode a m p l i t u d e A ^ c a n be o b t a i n e d f r o m A , = [ ( V ( p ) - V ( q ) ) + ( V ( p ) - V ( r ) ) ] / 4 w here V ( j ) d e n o t e s t h e p h o t o r e s i s t o r v o l t a g e a t t h e p o i n t j , 130 T a b l e 7.1 E X P E R I M E N T A L P A R A M E T E R S H = Wat e r d e p t h = 2.96 cm L = L e n g t h o f t a n k = 97.8 cm D = Minimum d i s t a n c e o f e l e c t r o d e f r o m e q u i l i b r i u m s u r f a c e = 0.76 cm g = A c c e l e r a t i o n o f g r a v i t y = 981 c m . s e c " * j 3 = D e n s i t y o f w a t e r = 1.0 g . c m - 3 T = S u r f a c e t e n s i o n o f w a t e r = 73.0 dyne.cm"' y = K i n e m a t i c v i s c o s i t y o f w a t e r = 0.01 P o i s e , c m .g b = W i d t h o f t a n k = 5.0 cm 131 and t h e p o i n t s p , q and r a r e d e f i n e d i n F i g . 30. A ^ was m e a s u r e d f o r v a r i o u s v a l u e s o f V . o The a m p l i t u d e o f t h e p r i m a r y mode, A, , was a l s o m e a s u r e d as a f u n c t i o n o f V 0 a t two p o s i t i o n s a l o n g t h e t a n k ; a t x = L/8 ( n o d e o f s e c o n d a r y mode) as A ( / |/~2, and a l s o as A, a t x = 0 ( a n t i n o d e f o r b o t h m o d e s ) . S l i g h t a s y m m e t r i e s i n t h e s i n u s o i d a l w a v e f o r m a t t h e l a t t e r p o i n t w e re c a u s e d by t h e p r e s e n c e o f t h e s e c o n d a r y mode ( o f a m p l i t u d e a b o u t 10% t h a t o f t h e p r i m a r y mode a m p l i t u d e ) . V 0 m e a s u r e d t o an a c c u r a c y o f 2% by m o n i t o r i n g i t on t h e o s c i l l o s c o p e w i t h a h i g h v o l t a g e p r o b e ( T e k t r o n i x P6013) s e e F i g . 30. A b s o l u t e v a l u e s o f A, and A 2 were o b t a i n e d by c a l i b r a t i n g t h e p h o t o r e s i s t o r o u t p u t ( s e e F i g . 1 4 ) , by v a r y i n g t h e w a t e r l e v e l i n t h e t a n k . The r e s u l t s a r e shown i n F i g . 31. The p r i m a r y mode a m p l i t u d e A, i s p r o p o r t i o n a l t o \l0°" and t h e s e c o n d a r y u mode a m p l i t u d e A a p r o p o r t i o n a l t o V 0 , i n a g r e e m e n t w i t h t h e o r e t i c a l p r e d i c t i o n s ( e q u a t i o n . ( 7 . 2 1 ) ) . The p r i m a r y mode was a l s o e x c i t e d , and t h e d r i v i n g v o l t a g e s w i t c h e d o f f , t o o b t a i n a d a m p i n g w a v e f o r m o f t h e p r i m a r y mode ( s e e F i g . 1 3 b ) . From t h i s p h o t o g r a p h l o g A , v s . t was p l o t t e d t o g i v e t h e d a m p i n g f r e q u e n c y o f t h e mode. T h e n t h e q u a l i t y f a c t o r o f t h e p r i m a r y mode was o b t a i n e d f r o m Q, = «*>, /2 ay . F r o m t n i s > b^ u s i n g Q /Q, = (°\/OJ , )V*= fl , 132 f o r t h e s h a l l o w f l u i d modes we e m p l o y e d i n t h i s s t u d y , a v a l u e o f c o u l d be o b t a i n e d . c o u l d n o t be m e a s u r e d d i r e c t l y due t o t h e p r e s e n c e o f t h e component o s c i l l a t i n g a t f r e q u e n c y cv, ( s e e e q u a t i o n ( 7 . 2 2 ) ) . T a b l e 7.2 shows t h e s l o p e s o f t h e g r a p h s i n F i g . 21 t o g e t h e r w i t h t h e s l o p e p r e d i c t e d f o r g r a p h " 3 1 b by e q u a t i o n ( 7 . 2 1 ) , i . e . j o . , Y"*,,- , where m i s t h e s l o p e o f t h e A j v s . V 0 g r a p h ( F i g . 3 1 a ) . The t a b l e a l s o p r e s e n t s a c o m p a r i s o n b e t w e e n t h e e x p e r i m e n t a l l y o b t a i n e d v a l u e s f o r Q ( and Q % w i t h t h e v a l u e s p r e d i c t e d by e q u a t i o n ( 4 . 2 9 ) i . e . Hb 1 H + b J and t h e f a c t t h a t = Q}^2~- The a g r e e m e n t b e t w e e n t h e o r y and e x p e r i m e n t i s s e e n t o be q u i t e s a t i s f a c t o r y c o n s i d e r i n g t h e e r r o r s i n t r o d u c e d by t h e m e a s u r e m e n t o f \IQ and Q ( , and t h e a d d i t i o n a l c o m p l i c a t i o n s d i s c u s s e d i n A p p e n d i x D and S e c t i o n 7.3. 7.3. C r i t i c a l D i s c u s s i o n o f E x p e r i m e n t a l R e s u l t s o f t h e Non- L i n e a r I n t e r a c t i o n B e t w e e n S h a l l o w W a t e r S u r f a c e Modes We s t a r t t h i s s e c t i o n by c o n s i d e r i n g how w e l l t h e e x p e r i m e n t a l r e s u l t s o f t h e n o n - l i n e a r i n t e r a c t i o n o f s h a l l o w T a b l e 7.2 E X P E R I M E N T A L RESULTS - COMPARISON WITH THEORY ^ = p r i m a r y mode f r e q u e n c y = 3.48 s e c " ' = s e c o n d a r y mode f r e q u e n c y = 6.96 s e c " ' k, = p r i m a r y mode wavenumber = 0.064 cm" 1 k ^ = s e c o n d a r y mode wavenumber = 0.128 cm" 1 m, = s l o p e o f A, v s . V© g r a p h ( F i g . 31a) = 0.163 mm/(kV) = s l o p e o f A ^ v s . Vp g r a p h ( F i g . 31b) THEORY EXPERIMENT 0.071 s e c " ' ( e q u a t i o n ( 2 6 ) ) 0.078 ± 0.004 s e c - 1 Q 24.4 ( e q u a t i o n ( 2 6 ) ) 22.1 ± 1 . 0 34.5 1 ( e q u a t i o n ( 2 6 ) ) 31.3 ± 1.4 ( u s i n g Q^= fz Q, and Q ( ) m 0.0105 + 0.005 mm/(kV)** a ( e q u a t i o n ( 7 . 2 1 ) , m, and Q*) 0.0118 ± 0.0006 mm/UV)4* * The e x p e r i m e n t a l v a l u e o f Q n i s u s e d h e r e . 134 w a t e r s u r f a c e modes a r e d e s c r i b e d by t h e o r y , and t h e n we compare and c o n t r a s t o u r r e s u l t s w i t h s i m i l a r i n v e s t i g a t i o n s o f o t h e r w o r k e r s . Experimental Results As S t o k e s p o i n t o u t ( 1 8 4 7 ) f o r t r a v e l l i n g w a v e s , t h e l i n e a r i z a t i o n p a r a m e t e r f o r s h a l l o w w a t e r waves i s A /k H , where A i s t h e s u r f a c e wave a m p l i t u d e , k i t s wavenumber, and H t h e f l u i d d e p t h . F o r d r i v e n , s t a n d i n g s u r f a c e w a v e s , r e s o n a n t e f f e c t s a r e i m p o r t a n t , and t h e p a r a m e t e r becomes Q^A,/ H. In o u r e x p e r i m e n t s t h i s p a r -a m e t e r was .— 0.2, and i s t h e r e f o r e s m a l l e n ough f o r t h e c a l c u l a t i o n s t o be v a l i d . S i n c e A l i s p r o p o r t i o n a l t o A, i t i s c l e a r ( f i g . 31b) t h a t t h e s e c o n d a r y wave i s i n d e e d r e s o n a n t l y d r i v e n by m i x i n g o f p r i m a r y modes. However, A ^ i s l a r g e r t h a n t h e t h e o r e t i c a l l y p r e d i c t e d v a l u e o f ( 3 / 8 ) 0 ^ , /H g i v e n by e q u a t i o n ( 7 . 2 1 ) . T h i s d i s c r e p a n c y (—> 12%) i s s l i g h t l y l a r g e r t h a n t h e e s t i m a t e d m e a s u r i n g e r r o r s ( s e e T a b l e 7 . 2 ) . A l s o A«j_ c o n t a i n s a c o m p o n e n t w h i c h o s c i l l a t e s a t f r e q u e n c y Cu{ . In A p p e n d i x D.VI we show t h a t t h e p r i m a r y mode d i s t o r t s t h e a p p l i e d e l e c t r i c f i e l d , so as t o d r i v e a c o m p o n e n t o f t h e s e c o n d a r y mode J {2,2,2) ( T"(2,2,2) i s t h e 135 c o n v e n t i o n a l s e c o n d a r y m ode). The two c o m p o n e n t s d i f f e r i n A p h a s e by TT/2 u n d e r i d e a l c o n d i t i o n s , and 7(2,2,2) i s a b o u t 20% o f 1 ( 2 , 2 , 2 ) . I f t h e p h a s e d i f f e r e n c e i s f T / 2 , t h e m a g n i t u d e o f t h e s e c o n d a r y c o m p o n e n t s i s w h i c h i s o n l y 2% l a r g e r t h a n 17(2,2,2 )1 due t o mode m i x i n g . T h i s i s n o t l a r g e enough t o e x p l a i n t h e 12% d i s -c r e p a n c y c i t e d a b o v e . However, i n r e s o n a n t s y s t e m s , s m a l l s h i f t s i n f r e q u e n c y ( l e s s t h a n <~7Q) p r o d u c e c o m p a r a t i v e l y l a r g e p h a s e s h i f t s w i t h s m a l l c h a n g e s i n a m p l i t u d e . A p h a s e d i f f e r e n c e o f TT/3, i n s t e a d o f tr/2 c o u l d e a s i l y a c c o u n t f o r a 10% i n c r e a s e i n t h e c o m p u t e d a m p l i t u d e o f t h e s e c o n d a r y mode. The c o m p o n e n t a t f r e q u e n c y <v, ( a m p l i t u d e A 5 s a y ) can be d r i v e n i n two w ays. The f i r s t o f t h e s e i n v o l v e s m i x i n g o f a s t a t i c s u r f a c e d e f o r m a t i o n w i t h t h e p r i m a r y s u r f a c e wave ( A p p e n d i x D.V). T h i s m e c h a n i s m g e n e r a t e s a c o m p o n e n t whose a m p l i t u d e i s 0 . 0 2 ( A ^ ) . H o w e v e r , t h e e x p e r i -ments show t h a t A 3 / A ^ i s t y p i c a l l y b e t w e e n 5 and 15%, and d e c r e a s e s as A ^ i s i n c r e a s e d . Hence t h e n o n - l i n e a r d r i v i n g m e c h a n i s m does n o t a c c o u n t f o r A 3 A n o t h e r m e c h a n i s m f o r d r i v i n g A j i s s i m p l y d i r e c t d r i v i n g by t h e a p p l i e d e l e c t r i c f i e l d ( A p p e n d i x D . V I I ) . T h i s g i v e s an a m p l i t u d e w h i c h i s p r o p o r t i o n a l t o A| ( w i t h c o n s t a n t o f p r o p o r t i o n a l i t y l e s s t h a n 0 . 0 3 ) . E v e n a s m a l l 136 d r i v i n g s t r e s s w i l l t h e r e f o r e g i v e an A ? w h i c h may be a s i g n i f i c a n t f r a c t i o n o f A a . F u r t h e r m o r e , A ^ / A ^ d e c r e a s e s as A a i s i n c r e a s e d s i n c e A 3 / A ^ i s p r o p o r t i o n a l t o H/A, . A t v e r y s m a l l a m p l i t u d e s o f t h e p r i m a r y mode t h e component A ^ i s t h e m a i n o b s e r v a b l e f e a t u r e o f t h e s e c o n d a r y mode. Hence t h e e x p e r i m e n t a l r e s u l t s c o n f i r m t h a t t h e co m p o n e n t o f f r e q u e n c y &4 i n I i s d r i v e n d i r e c t l y by t h e a p p l i e d f i e l d . F o r t u n a t e l y t h e p r e s e n c e o f t h i s c o m ponent d o e s n o t i n f l u e n c e t h e m e a s u r e m e n t o f A ^ . I f d e s i r e d , A ^ c a n be g r e a t l y r e d u c e d by a d j u s t i n g t h e g e o m e t r y o f t h e d r i v i n g e l e c t r o d e . A p p e n d i x F d e m o n s t r a t e s t h e f e a s i b i l i t y o f d r i v i n g a p u r e s u r f a c e mode by a s p a t i a l l y and t e m p o r a l l y p e r i o d i c f i e l d . Other works The p r o b l e m o f wave-wave i n t e r a c t i o n i n w a t e r waves i s t r e a t e d f r o m two p o i n t s o f v i e w i n t h e l i t e r a t u r e . One g r o u p o f a u t h o r s ( P h i l l i p s ( 1 9 6 0 , 1 9 6 7 ) , L o n g u e t - H i g g i n s ( 1 9 6 2 ) and t h e i r c o - w o r k e r s ( M c G o l d r i c k et al. ( 1 9 6 6 ) , L o n g u e t -H i g g i n s and S m i t h ( 1 9 6 6 ) ) d i s c u s s e d t h e t r a n s f e r o f e n e r g y by t h i r d o r d e r n o n - l i n e a r m i x i n g o f t r a v e l l i n g waves on deep w a t e r ( k H » 1 ) . A l a r g e t a n k ( a b o u t 10 f t . l o n g and o f c o m p a r a b l e w i d t h ) w i t h s h e l v e d e d g e s t o p r e v e n t r e f l e c t i o n o f waves was u s e d i n t h e i r e x p e r i m e n t s , and t h e y m e a s u r e d t h e 1 3 7 s p a t i a l g r o w t h r a t e o f t h e n o n - l i n e a r l y d r i v e n wave f r o m t h e b o u n d a r i e s . A l t h o u g h P h i l l i p s ( 1 9 6 0 ) s u g g e s t e d i n v e s -t i g a t i n g t h e s e c o n d o r d e r m i x i n g p r o c e s s f o r s h a l l o w w a t e r w a v e s , we have n o t been a b l e t o f i n d any p u b l i s h e d e x p e r i -m e n t a l r e s u l t s . The o t h e r g r o u p o f a u t h o r s has s t u d i e d waves o f f i n i t e a m p l i t u d e on f l u i d s i n c o n t a i n e r s . A u s e f u l s u r v e y i s g i v e n by A b r a m s o n , Chu and Dodge ( A b r a m s o n ( 1 9 6 6 ) ) , who c i t e i n v e s t i g a t i o n s by P e n ney and P r i c e ( 1 9 5 2 ) , T a y l o r ( 1 9 5 3 ) and M o i s e e v ( 1 9 5 8 ) . More r e c e n t l y , C h e s t e r , and C h e s t e r and Bones ( 1 9 6 8 ) have p r e s e n t e d r e s u l t s on waves o f l a r g e a m p l i t u d e e x c i t e d on a s h a l l o w f l u i d i n a r e c t a n -g u l a r c o n t a i n e r . P h i l l i p s , L o n g u e t - H i g g i n s and t h e i r c o - w o r k e r s do n o t i n c l u d e v i s c o u s d i s s i p a t i o n e f f e c t s i n t h e i r work b e c a u s e t h e y e x a m i n e a m p l i t u d e g r o w t h i n r e g i o n s where i t i s n o t l i m i t e d by d i s s i p a t i o n . The s e c o n d g r o u p o f a u t h o r s work i n a r e g i m e w h e r e A, /H i s l a r g e ( i . e . Q ( A ( / H » 1 ) . Hence t h e r e s o n a n t f r e q u e n c i e s d e p e n d on t h e wave a m p l i t u d e , s o t h a t n o n - l i n e a r i n t e r a c t i o n s o f t h e t y p e we h a v e c o n s i d e r e d become n o n - r e s o n a n t . In t h i s c a s e , t h e n o n - l i n e a r l y d r i v e n wave has f i n i t e a m p l i t u d e b e c a u s e t h e d r i v i n g f r e q u e n c y i s d i f f e r e n t f r o m t h e r e s o n a n t f r e q u e n c y o f t h e mode, i . e . t h e a m p l i t u d e i s n o t l i m i t e d by v i s c o u s d i s s i p a t i o n . V i s c o u s 138 d a m p i n g e f f e c t s a r e o n l y t a k e n i n t o a c c o u n t by C h e s t e r , and C h e s t e r and B o n e s ( 1 9 6 8 ) . In t h e i r e x p e r i m e n t s t h e y e x c i t e g r a v i t y w a v e s by h o r i z o n t a l s l o s h i n g o f t h e c o n t a i n e r , w h i c h l e a d s t o w a v e s p r o p a g a t i n g t o and f r o a l o n g t h e c h a n n e l . The m a i n d i f f e r e n c e b e t w e e n o u r w o r k and e a r l i e r w o r k i s f i r s t o f a l l t h a t we h a v e s t u d i e d s e c o n d o r d e r m i x i n g o f w a v e s , and s e c o n d l y we u s e d w a v e s o f s u c h s m a l l a m p l i t u d e t h a t i t i s e s s e n t i a l t o t a k e a c c o u n t o f v i s c o u s d i s s i p a t i o n i n t h e a n a l y s i s o f t h e e x c i t a t i o n m e c h a n i s m s . F i n a l l y , b e c a u s e A , / H i s l e s s t h a n 2 % , d e t u n i n g o f t h e r e s o n a n t i n t e r a c t i o n by a m p l i t u d e d i s p e r s i o n d o e s n o t o c c u r . C h a p t e r 8 CONCLUSIONS - FUTURE WORK Conclusions In t h i s c h a p t e r we s h a l l f i r s t g i v e a summary o f t h e b a s i c c o n c l u s i o n s drawn f r o m o u r w o r k , and t h e n make s u g g e s t i o n s f o r e x t e n d i n g t h e s e i n v e s t i g a t i o n s i n t h e f u t u r e . T h e s e s u g g e s t i o n s a r e made i n a s e r i o u s s p i r i t , and i t i s o u r b e l i e f t h a t t h e p r o j e c t s w o u l d l e a d t o f r u i t f u l and i n t e r e s t i n g r e s u l t s , w h i c h have a p p l i c a t i o n s i n a v a r i e t y o f f i e l d s . The r e s u l t s ( C h a p t e r 3) o f t h e l i n e a r d e c r e a s e i n t h e s q u a r e o f t h e o s c i l l a t i o n f r e q u e n c y f w i t h t h e s q u a r e o f t h e a p p l i e d e l e c t r o s t a t i c f i e l d s t r e n g t h , ( V 0 / D ) , hav e d e m o n s t r a t e d t h a t a l i n e a r t h e o r e t i c a l model g i v e s an e x c e l l e n t d e s c r i p t i o n o f t h e p h y s i c a l p r o c e s s e s i n v o l v e d when t h e wave a m p l i t u d e o v e r t h e w a v e l e n g t h i s Q~ ~ IO"**. The c o r r e c t i o n f o r t h e s p a t i a l n o n - u n i f o r m i t y o f t h e a p p l i e d e l e c t r i c s t r e s s a g r e e s w e l l w i t h e x p e r i m e n t , as l o n g as t h e s u r f a c e mode 139 140 e i g e n f u n c t i o n s a r e n o t m o d i f i e d by t h e e q u i l i b r i u m d i s t o r -t i o n o f t h e f l u i d s u r f a c e c a u s e d by t h e n o n - u n i f o r m f i e l d . The e q u i l i b r i u m d i s t o r t i o n o f t h e s u r f a c e c an be u s e d t o c a l i b r a t e t h e m i c r o w a v e r e s o n a t o r m o n i t o r i n g t h e s u r f a c e w a v e s . A g a i n t h e r e s u l t s a r e w e l l d e s c r i b e d by l i n e a r t h e o r y n e g l e c t i n g s u r f a c e t e n s i o n , up t o t h e p o i n t when t h e s u r f a c e d i s t o r t i o n i s l a r g e e n o ugh ( l a r g e r t h a n ^ 0.1 mm) t o c a u s e s u r f a c e t e n s i o n e f f e c t s t o become i m p o r t a n t . We have shown ( C h a p t e r 4) t h a t s p a t i a l l y n o n -u n i f o r m , t i m e p e r i o d i c e l e c t r i c f i e l d s e n a b l e e x c i t a t i o n o f v i r t u a l l y any p u r e s t a n d i n g s u r f a c e mode on a f l u i d i n a c o n t a i n e r . The mode a m p l i t u d e i s d i r e c t l y p r o p o r t i o n a l t o t h e s q u a r e o f t h e a p p l i e d e l e c t r i c , f i e l d , and h e n c e c a n be e a s i l y and a c c u r a t e l y c o n t r o l l e d . The s p a t i a l l y n o n -u n i f o r m e l e c t r i c s t r e s s e s a r e a p p l i e d t o t h e f l u i d s u r f a c e so as t o m a x i m i z e t h e s t r e s s a t t h e d i s p l a c e m e n t a n t i n o d e s o f a d e s i r e d s u r f a c e mode. The f r e q u e n c y o f t h e a p p l i e d s t r e s s e s i s s e t e q u a l t o t h e n a t u r a l mode f r e q u e n c y , and t h e s u r f a c e b e h a v e s as a damped, d r i v e n h a r m o n i c o s c i l l a t o r , as l o n g as t h e s u r f a c e wave a m p l i t u d e i s s m a l l c o m p a r e d t o t h e d i s t a n c e o f t h e f i e l d a p p l y i n g e l e c t r o d e f r o m t h e e q u i l i b r i u m s u r f a c e ( d i s t a n c e D) , and wave-wave i n t e r a c t i o n s r e m a i n s m a l 1 . 141 When t h e s u r f a c e wave a m p l i t u d e becomes c o m p a r a b l e t o D, n o n - l i n e a r d r i v i n g r e s u l t s ( C h a p t e r 6 ) . A model i n w h i c h t h e d o m i n a n t n o n - l i n e a r d r i v i n g f o r c e i s due t o t h e s p a t i a l n o n - u n i f o r m i t y o f t h e a p p l i e d e l e c t r i c f i e l d g i v e s q u i t e good a g r e e m e n t w i t h e x p e r i m e n t a l r e s u l t s . T he r e s u l t s a l s o p o i n t o u t a new i n s t a b i l i t y c r i t e r i o n f o r p e r i o d i c , a p p l i e d e l e c t r i c f i e l d s , w h i c h i s n o t p r e d i c t e d by u n i f o r m f i e l d t h e o r y . The c r i t e r i o n i s t h a t t h e d r i v e n s u r f a c e mode a m p l i t u d e becomes s u f f i c i e n t l y l a r g e f o r o v e r s t a b i 1 i t y t o r e s u l t , due t o t h e f a c t t h a t more e l e c t r i c a l e n e r g y i s s u p p l i e d by t h e e l e c t r i c f i e l d t h a n c an be d i s s i p a t e d by v i s c o u s e f f e c t s i n t h e f l u i d wave. We h a v e o b s e r v e d ( S e c t i o n 4.2.3) t h a t t h e d a m p i n g f r e q u e n c y o f s u r f a c e modes i n t h e p r e s e n c e o f s t r o n g , s p a t i a l l y n o n - u n i f o r m e l e c t r o s t a t i c f i e l d s i s s o l e l y d e -t e r m i n e d by t h e r e d u c t i o n i n t h e s u r f a c e mode f r e q u e n c y f , i . e . t h e n o n - u n i f o r m f i e l d has no s i g n i f i c a n t e f f e c t on t h e b o u n d a r y l a y e r s t r u c t u r e . The r e s u l t s o f a l l d a m p i n g f r e -q u e n c y m e a s u r e m e n t s a r e i n v e r y good a g r e e m e n t w i t h a t h e o r y t h a t a ssumes an i m m o b i l e s u r f a c e f i l m on t h e f r e e f l u i d s u r f a c e , and t h i s f i l m i s n o t d i s r u p t e d by e l e c t r o s t a t i c f i e l d s o f s t r e n g t h up t o 55 kV/cm. The g r o w t h r a t e s o f t h e i n s t a b i l i t y c a u s e d when a s t r o n g e l e c t r o s t a t i c f i e l d i s a p p l i e d t o an o s c i l l a t i n g f l u i d 142 s u r f a c e ( C h a p t e r 3) a r e n o t c o n s i s t e n t w i t h t h e o r i g i n a l L a r m o r t h e o r y , a p p r o p r i a t e l y m o d i f i e d t o a c c o u n t f o r non-u n i f o r m i t i e s i n t h e a p p l i e d e l e c t r i c f i e l d . The r e a s o n i s t h a t t h e m o d i f i c a t i o n i g n o r e s t h e e x c i t a t i o n o f s h o r t wave-l e n g t h i n s t a b i l i t i e s i n r e g i o n s where t h e s u r f a c e s t r e s s e s c h a n g e r a p i d l y w i t h r a d i u s ( i n t h e c a s e o f a c y l i n d r i c a l c o n t a i n e r ) . A g a i n we s e e t h e d o m i n a n t r o l e p l a y e d by t h e e l e c t r i c f i e l d n o n - u n i f o r m i t i e s on t h e s u r f a c e s t a b i l i t y . By e x p e r i m e n t s on s t a n d i n g s u r f a c e waves on s h a l l o w w a t e r ( C h a p t e r 7 ) , we have been a b l e t o show q u i t e c o n c l u s i v e l y t h a t s e c o n d o r d e r n o n - l i n e a r e f f e c t s i n t h e d y n a m i c e q u a t i o n s and t h e s u r f a c e b o u n d a r y c o n d i t i o n s i n a f l u i d g e n e r a t e s e c o n d a r y modes w h i c h a r e r e s o n a n t l y d r i v e n by t h e m i x i n g o f f i r s t o r d e r modes. The a d v a n t a g e s o f u s i n g s t a n d i n g waves a r e t h a t we a r e d e a l i n g w i t h a f i x e d w a v e n u m b e r ' f o r a c e r t a i n f r e q u e n c y ( e f f e c t s o f d i s p e r s i o n a s s o c i a t e d w i t h t r a v e l l i n g w a v e s , i n w h i c h t h e wavenumber i s f r e e t o c h a n g e , a r e a v o i d e d ) , and t h a t much more c o m p a c t and s i m p l e s y s t e m s may be u s e d i n t h e e x p e r i m e n t s ; a l s o t h e g e o m e t r y o f t h e p r i m a r y and s e c o n d a r y modes c a n be c h o s e n t o o p t i m i z e t h e o b s e r v a t i o n s , by a r r a n g i n g t h e s e c o n d a r y mode d i s p l a c e m e n t a n t i n o d e t o c o i n c i d e w i t h t h e d i s p l a c e m e n t node o f t h e p r i m a r y mode. By u s i n g s p a t i a l l y n o n - u n i f o r m e l e c t r i c f i e l d s f o r t h e s u r f a c e mode e x c i t a t i o n , 143 v e r y p u r e modes c o u l d be e x c i t e d . T h i s i s n o t e a s y when v i b r a t o r s o r " s l o s h i n g " o f t h e f l u i d c o n t a i n e r a r e u s e d . In a d d i t i o n , t h e use o f s t a n d i n g s u r f a c e waves o f s u f f i c i e n t l y s m a l l a m p l i t u d e n e c e s s i t a t e s t a k i n g v i s c o u s d i s s i p a t i o n o f wave e n e r g y i n t o a c c o u n t i n t h e t h e o r y , s i n c e d e t u n i n g by a m p l i t u d e d i s p e r s i o n i s a v o i d e d . The use o f an o p t i c a l wave m o n i t o r i n g t e c h n i q u e , w i t h a s p a t i a l r e s o l u t i o n o f ^ 5 x IO"**" cm e l i m i n a t e s p r o b l e m s a s s o c i a t e d w i t h i m -m e r s i o n p r o b e s ( s e e f o r e x a m p l e d i f f i c u l t i e s e n c o u n t e r e d by C h e s t e r and Bones ( 1 9 6 8 ) ) . Future Work F u t u r e i n v e s t i g a t i o n s o f t h e e f f e c t s o f s p a t i a l l y n o . n - u n i f o r m , e l e c t r o s t a t i c f i e l d s on f l u i d s u r f a c e s s h o u l d c o n c e n t r a t e on t h e s t a t i c s u r f a c e d e f o r m a t i o n f o r f i e l d s l a r g e e n o u g h t o d i s t o r t t h e s u r f a c e s u f f i c i e n t l y f o r s u r f a c e t e n s i o n e f f e c t s t o become s i g n i f i c a n t . O p t i c a l and m i c r o -wave t e c h n i q u e s , w i t h t h e i r h i g h s p a t i a l r e s o l u t i o n s , a r e i d e a l l y s u i t e d f o r t h i s . A l s o t h e e f f e c t o f t h e s u r f a c e d i s t o r t i o n on t h e p u r i t y o f t h e s u r f a c e modes s h o u l d be l o o k e d a t . In any f u t u r e work on a l t e r n a t i n g a p p l i e d e l e c t r i c f i e l d s t o e x c i t e s u r f a c e modes, a d r i v e r t h a t s u p p l i e s 144 p e r i o d i c v o l t a g e s o f c o n s t a n t p e r i o d o v e r l o n g i n t e r v a l s o f t i m e ( a b o u t 100 wave o s c i l l a t i o n s ) c o u l d u s e f u l l y be e m p l o y e d . T h i s means a d r i v e r t h a t c an keep a c o n s t a n t p e r i o d t o b e t t e r t h a n 1 p a r t i n 1000. Such a d r i v e r w i l l o p en up t h e r o a d t o i m p o r t a n t i n v e s t i g a t i o n s on t h e n o n -l i n e a r d r i v i n g o f s u r f a c e modes by p e r i o d i c f i e l d s , n a m e l y t h e q u e s t i o n o f p h a s e d i f f e r e n c e b e t w e e n t h e d r i v i n g e l e c t r i c f i e l d and t h e s u r f a c e wave a t r e s o n a n c e . By e m p l o y i n g a s h a l l o w f l u i d , w i t h c o m p a r a t i v e l y b r o a d e r r e s o n a n c e c u r v e s ( i . e . s m a l l e r Q - f a c t o r s ) , and a c o n s t a n t p e r i o d m o t o r , r e l a t i v e l y a c c u r a t e m e a s u r e m e n t s o f t h e p h a s e d i f f e r e n c e c a n be made. N o n - l i n e a r d r i v i n g by p e r i o d i c e l e c t r i c f i e l d s s h o u l d a l s o be i n v e s t i g a t e d i n r e c t a n g u l a r v e s s e l s . T he r e l e v a n t i n t e g r a l s i n t h i s c a s e c a n be e x p r e s s e d by a n a l y -t i c a l e x p r e s s i o n s , and t h e y a l s o a p p l y t o t h e c a s e o f i n c o m -p r e s s i b l e f l u i d j e t s . The e x p e r i m e n t s i n v e s s e l s a r e p r e f e r a b l e ( t o t h o s e on j e t s ) b e c a u s e t h e f l u i d i s i n i t i a l l y a t r e s t , and s e c o n d l y , i t i s e a s i e r t o keep t h e wave a m p l i -t u d e s m a l l e n o ugh f o r t h e d y n a m i c s o f t h e f l u i d i t s e l f t o r e m a i n l i n e a r ( i . e . o n l y t h e d r i v i n g m e c h a n i s m i s n o n - l i n e a r ) . I t i s a l s o d i f f i c u l t t o make q u i e s c e n t j e t s whose r a d i i e x c e e d a few m i l l i m e t e r s . W i t h wave a m p l i t u d e s o f c o m p a r a b l e 145 m a g n i t u d e , t h e l i n e a r i z e d f o r m o f t h e N a v i e r - S t o k e s e q u a t i o n w i l l n o t p r o v i d e a good d e s c r i p t i o n o f j e t d y n a m i c s . A n o t h e r i m p o r t a n t a s p e c t o f t h e n o n - l i n e a r l y d r i v e n waves i s t h e u n s t a b l e r e g i o n ( F i g . 2 8 ) . The i n s t a b i l i t y and i t s g r o w t h r a t e r e q u i r e d e t a i l e d i n v e s t i g a t i o n t o s u p p l y a d d i t i o n a l i n f o r m a t i o n o f t h e d o m i n a n t d y n a m i c a l p r o c e s s e s . In c o n n e c t i o n w i t h t h i s , u s i n g a d r i v i n g f i e l d o f c o n s t a n t p e r i o d , t h e f r e q u e n c y and a m p l i t u d e r e s p o n s e o f t h e n o n -l i n e a r l y d r i v e n s u r f a c e s h o u l d be i n v e s t i g a t e d . In t h i s way, i t s h o u l d be p o s s i b l e t o o b s e r v e "jump phenomena," a common n o n - l i n e a r phenomenon i n a n a l o g o u s m e c h a n i c a l p r o b l e m s . In f u t u r e work on t h e n o n - l i n e a r i n t e r a c t i o n o f s u r f a c e modes c a r e s h o u l d be t a k e n t o e l i m i n a t e t h e n o n -r e s o n a n t l y d r i v e n s e c o n d a r y modes by m i x i n g o f a f i r s t o r d e r mode w i t h t h e d r i v i n g e l e c t r i c s t r e s s . T h i s c a n be a c c o m p l i s h e d w i t h an e l e c t r o d e s u c h as t h e one d e s c r i b e d i n A p p e n d i x F. By g r a d u a l l y i n c r e a s i n g t h e r a t i o o f t h e p r i m a r y mode a m p l i t u d e t o t h e d e p t h , s u r f a c e waves - i n t h e r e g i m e w h e r e a m p l i t u d e d i s p e r s i o n i s s i g n i f i c a n t c a n be s t u d i e d . A t t h e same t i m e , by i n c r e a s i n g D, a d d i t i o n a l n o n - l i n e a r e f f e c t s c a u s e d by t h e a p p l i e d e l e c t r i c f i e l d c a n be made n e g l i g i b l y s m a l 1 . 146 A g a i n by e m p l o y i n g a d r i v e r w h i c h c a n m a i n t a i n a c o n s t a n t f r e q u e n c y o v e r l o n g p e r i o d s o f t i m e , m e a s u r e m e n t s o f t h e p h a s e s o f t h e p r i m a r y and t h e s e c o n d a r y mode w i t h r e s p e c t t o t h e d r i v e r can be o b t a i n e d , t o g e t h e r w i t h t h e f r e q u e n c y r e s p o n s e o f b o t h d r i v e n modes. T h e s e m e a s u r e m e n t s a r e i m p o r t a n t i n u n d e r s t a n d i n g d r i v e n s y s t e m s . M o r e o v e r , i t i s p r o b a b l e t h a t by d i r e c t l y d r i v i n g two modes, b o t h s e c o n d and t h i r d o r d e r wave-wave i n t e r a c t i o n s c o u l d be s t u d i e d . L a s t l y , a n o t h e r p r o b l e m t h a t c e r t a i n l y m e r i t s f u r t h e r i n v e s t i g a t i o n i s t h e d a m p i n g o f s u r f a c e w a v e s . In a l l o u r i n v e s t i g a t i o n s a g r e e m e n t o f e x p e r i m e n t a l r e s u l t s w i t h a t h e o r y t h a t assumes a r i g i d , l a t e r a l l y i m m o b i l e s u r f a c e f i l m was e x c e l l e n t . In o r d e r t o u n d e r s t a n d t h e p h y s i c a l p r o c e s s e s t h a t c a u s e d a m p i n g i t w o u l d be v e r y d e s i r a b l e t o s t a r t w i t h a p e r f e c t l y c l e a n f l u i d s u r f a c e . An a p p a r a t u s l i k e t h e one u s e d by K e m b a l l ( 1 9 5 0 ) , i n w h i c h a c l e a n s u r -f a c e c a n be c r e a t e d a t w i l l i n a s e a l e d c o n t a i n e r w o u l d be v e r y u s e f u l . I t can be e n c l o s e d i n s i d e a m i c r o w a v e r e s o n -a t o r and s p a t i a l l y n o n - u n i f o r m , t i m e p e r i o d i c s t r e s s e s c a n be e m p l o y e d f o r s u r f a c e wave e x c i t a t i o n . T h e s e s t r e s s e s l e a v e t h e p h y s i c a l p r o p e r t i e s o f t h e s u r f a c e c o m p l e t e l y u n a f f e c t e d . An a l t e r n a t i v e m e t h o d i s t o u s e t h e o p t i c a l t e c h n i q u e as a d i a g n o s t i c . A n o t h e r a d v a n t a g e o f u s i n g 1 4 7 K e m b a l l ' s a r r a n g e m e n t i s t h a t s u r f a c e c o n t a m i n a t i o n c a n be i n t r o d u c e d g r a d u a l l y i n a c o n t r o l l e d m a n n e r , and t h e e f f e c t o f s t r o n g e l e c t r i c f i e l d s i n r e m o v i n g c o n t a m i n a n t s f r o m t h e s u r f a c e i n v e s t i g a t e d ( s e e A p p e n d i x B ) . T h e s e i n v e s t i -g a t i o n s may l e a d t o some u s e f u l a p p l i c a t i o n s s u c h as t h o s e m e n t i o n e d i n A p p e n d i x B. F i q 1. E l e c t r o n i c microwave system; arrows show the d i r e c t i o n o f microwave power flow. A=Lambda power s u p p l i e s ; K=klystron; I = i s o l a t o r ; WM=wavemeter; PT=power t e r m i n a t o r ; CD=crvstal d e t e c t o r ; MT=magic tee; TP=tuning post; MCR=microwave c a v i t y r e s o n a t o r ; O = o s c i l l o s c o p e ; SO=sawtooth output; D = r e c t i f v i n q diode. 149 F i g 2. Microwave c a v i t y power o u t p u t P c v s . f r e q u e n c y F a t resonance. Bandwidth i n (a) i s 8703 t o 8733 MHz, w i t h the r e s o n a n t oeak a t 8718 MHz. (b) shows t h e same r e s o n a n -ce w i t h the f r e a u e n c y a x i s m a g n i f i e d f i v e t i m e s , our u s u a l o p e r a t i n g c o n d i t i o n . P i g 3. M i c r o w a v e c a v i t y and b a s i c a c c e s s o r i e s . WG=waveguide; B R = b a k e l i t e r o d ; B E = b r a s s e l e c t r o d e ; BC=brass c y l i n d e r ; L P = l e v e l l i n g p l a t f o r m ; F T = f i n e t a p ; R=mercury r e s e r v o i r ; HV=high v o l t a g e s o u r c e f A H = a i r h o l e . 151 F i g 4. M o d i f i e d , gas t i g h t microwave c a v i t y , now f i l l e d w i t h s u l f u r h e x a f l u o r i d e (SFg)' t o i n c r e a s e t h e d i e l e c t r i c breakdown s t r e n g t h i n the c a v i t y t o about 90 kV/cm. BAKELITE F i g 6. R o t o r and motor c o n t r o l c i r c u i t o f h i g h v o l t a g e square wave g e n e r a t o r . VOLTAGE *• TIMS F i a 7. V o l t a g e o u t n u t o f the square wave g e n e r a t o r ( a ) , and s i n u s o i d a l t y pe o u t n u t from m o d i f i e d g e n e r a t o r ( b ) . I n ( a ) , 50 ms n e r cm on time a x i s , and 1 kV n e r cm on v o l t a g e a x i s . I n ( b ) , 0.2 s per cm on time a x i s , and 0.5 kV/cm on v o l t a g e a x i s . F i g 8. S t a t o r m o d i f i e d f o r p r o d u c t i o n o f " s i n u s o i d a l " t y p e o u t -p u t . I n s e r t shows i n t e g r a t i n g c i r c u i t f o r smoothing t h e o u t p u t . T V/ - r l , J ) and e l e c t r o d e (E) i n r e c t a n g u l a r c o n t a i n e r o f l e n g t h L=97.8 cm. V ( t ) = s i n u s o i d a l t y p e h i g h v o l t a g e ; L P = l e v e l l i n g p l a t f o r m ; V ' and JC^' are the p r i m a r y and secondary s u r f a c e modes r e s n e c t i v e l y (see c h a p t e r 7). 1 56 F i g 10. S u r f a c e wave r e c o r d i n g d i r e c t l y on movie f i l m , t o g e t h e r w i t h time m arkers. 1 5 7 F i g 11. Time m a r k e r p r o d u c t i o n , and d i s p l a y on o s c i l l o -s c o p e . TMG=time mark g e n e r a t o r ; PO=pulse g e n e r a t o r s ; DBO=dual beam o s c i l l o s c o p e . (c) F i g 12. O p t i c a l wave m o n i t o r i n g method f o r w a t e r waves. L = r e a d i n g lamp; M=microsoDe; WT=water t a n k , ( a ) : a r r a n g e -ment f o r wave d e t e c t i o n ; ( b ) : Meniscus a p p e a r a n c e i n e v e -p i e c e ; (c) P a t h s o f some l i g h t r a y s i n t o t h e m i c r o s c o p e . 159 10 V F i g 13. P h o t o r e s i s t o r c i r c u i t f o r m o n i t o r i n a s u r f a c e wa-ves on water i n a r e c t a n c m l a r t a n k , ( a ) , and t y p i c a l o u t -p u t o f a damping wave, (b). P R = n h o t o r e s i s t o r ; OS=oseilJo-scone; 8 2 0 i l r e s i s t o r f o r p r o t e c t i o n , and 10 kj2 p o t e n t i o -meter f o r g a i n a d j u s t m e n t . I n (b), I s per cm on h o r i z o n -t a l , and 2 0 mV p e r cm on v e r t i c a l ; 10 mV»2xl9"3 cm wave a m p l i t u d e . 160 in f F i g 14. Change o f v o l t a g e a c r o s s t h e p h o t o r e s i s t o r (Av ) w i t h volume o f w a t e r added t o t h e c o n t a i n e r (A v ) . T h i s g r a p h c a n be u s e d f o r t h e c a l i b r a t i o n o f t h e p h o t o r e s i s t o r o u t p u t t o g i v e a b s o l u t e measurements o f s u r f a c e wave a m n l i -t u d e . .1 c c o f w a t e r e q u i v a l e n t t o 2 x l 0 " 3 cm change i n w a t e r •depth. 1 61 " kV ' 4 -3-5 2 3 AF [cm] -> F i g 15. P l o t o f V„ /I/SF" V S . A F f o r microwave resonance s h i f t A F caused by a s t a t i o n a r y f l u i d s u r f a c e d e f o r m a t i o n . The de-f o r m a t i o n r e s u l t s from the a p p l i c a t i o n o f a s p a t i a l l y non u n i -form, e l e c t r o s t a t i c f i e l d normal to the f r e e f l u i d s u r f a c e . 1 62 F i g 16. A l i n e a r i z e d s u r f a c e wave on a conducting f l u i d s u r -face s t r e s s e d by a uniform e l e c t r o s t a t i c f i e l d normal to the s u r f a c e . H = f l u i d depth; D=electrode d i s t a n c e from u n d i s t u r b e d s u r f a c e ; V a =voltage a p p l i e d to e l e c t r o d e by h i g h v o l t a g e source HV, w i t h the f l u i d grounded. I Ri 163 D R, %s//s //ss/ / y y //l M E R C U R Y g(t) CO t -T f 0 TT 0 Rx R, F i g 17- Geometry o f e l e c t r o d e o f r a d i u s (R?) and s u r f a c e wave i n a c y l i n d r i c a l c o n t a i n e r o f r a d i u s (R]_) , and s p a t i a l ( f ( r ) ) and t e m p o r a l ( g ( t ) ) components o f t h e a p p l i e d e l e c t r i c f i e l d . Ri=3.42 cm ( c o r r e c t e d f o r s u r f a c e t e n s i o n - s e e t a b l e 2 .1); R 2=2.0 cm. , 6 5 • 6 0 -F i q 18. P l o t s o f square o f s u r f a c e mode f r e q u e n c i e s v s . t h e square o f t h e v o l t a g e a o p l i e d t o t h e e l e c t r o d e (V?) d i s t a n t D above t h e f l u i d s u r f a c e , ( a ) : (2,2) mode, D=0.170 cm; ( b ) : (0,3) mode, D=0.166 cm; ( c ) : (0,3) mode, D=0.220 cm; (4,2) mode; D=0.285 cm. 165 F i g 19. M o d i f i e d h i g h v o l t a g e wave generator used i n a p p l y i n g s u p e r c r i t i c a l e l e c t r i c f i e l d s to the mercury s u r f a c e . I-IVE: sur-face wave e x c i t a t i o n v o l t a g e ; HVC: s u p e r c r i t i c a l v o l t a g e ; C l and C2 are the two s p r i n g loaded r o t o r c o n t a c t s , and FRS i s the f a s t r e l a y s w i t c h . (a) SURFACE INSTABILITY F i g 20. F i l m r e c o r d o f u n s t a b l e s u r f a c e ( a ) , w i t h t h e d o t s o c -c u r r i n g a t t h e o s c i l l o s c o p e t r i g g e r i n g r a t e s e r v i n g as t i m e m a r k e r s ; (b) i s a l o g ( a m p l i t u d e ) v s . t i m e p l o t f o r t h e u n s t a b l wave d e m o n s t r a t i n g t h e e x p o n e n t i a l g r o w t h . 167 F i g 21. A m p l i t u d e squared ( V(03 ) v s . d r i v i n g f r e q u e n c y f , power resonance c u r v e f o r t h e (0,3) mode a t c o n s t a n t d r i -v i n g a m p l i t u d e o f t h e e l e c t r i c f i e l d ; f Q i s t h e r e s o n a n t f r e q u e n c y . F i g 22. Method o f r e c o r d i n g s o u a r e wave, d r i v i n g v o l t a g e V ( t ) s i m u l t a n e o u s l y w i t h s i n u s o i d a l , s u r f a c e wave m o t i o n on f i l m F. DBOS=dual beam o s c i l l o s c o p e s c r e e n ; UT=upper t r a c e (microwave r e s o n a n c e p e a k ) ; LT]_ and LT2 a r e t h e two lov;er t r a c e p o s i t i o n s , c o r r e s p o n d i n g t o t h e t o p and t h e b a s e l i n e o f t h e a p p l i e d v o l t a g e . 1 6 9 0 2 4 6 ( k V ) x F i g 23. Dependence o f d r i v e n s u r f a c e mode a m p l i t u d e ( a r b i t r a -r i l y r e c o r d e d on the o s c i l l o g r a m ) on t h e square o f t h e a m p l i -tude o f t h e v o l t a g e a p p l i e d t o the d r i v i n g e l e c t r o d e , (a) f o r t h e (0,2) and (b) f o r (0,3) mode r e s p e c t i v e l y . 1 7 0 F i g 24. D i r e c t measurement o f s u r f a c e wave a m p l i t u d e . N=needle; T M O t r a v e l l i n g m i c r o s c o p e c a r r i a g e ; L=lamp t o i n d i c a t e e x a c t moment o f c o n t a c t o f t h e n e e d l e t o t h e mercury s u r f a c e . (a) (b) F i g 25. V a r i o u s e l e c t r o d e shapes used f o r p r e f e r e n t i a l s u r -f a c e mode e x c i t a t i o n on a c y l i n d r i c a l mercury s u r f a c e , (a) e x c i t e s (0,U) modes, (b) e x c i t e s (1,U) modes, (c) i s used f o r t h e e x c i t a t i o n o f (2,U) modes, and (d) was used i n t h e e x c i t a t i o n of t h e (4,1) mode. 0 10T , 20T 30T 40T 50T 60T F i g 26. L o g ( a m p l i t u d e ) v s . t i m e f o r (1,2) and (4,1) modes ob-t a i n e d by u s i n g e l e c t r o d e s 25b and 25d r e s p e c t i v e l y . P l o t s g i v e damping f r e q u e n c i e s f o r the two modes; damping f r e q u e n c y used t o d i f f e r e n t i a t e between t h e s e d e g e n e r a t e modes. Wave p e r i o d T=155 ms. 1 7 2 F i g 27. Damping f r e q u e n c y , c r , v s . square r o o t o f s u r f a c e mode frequency, f.t/x. The decrease i n f i s caused by a s t r o n a e l e c t r o -s t a t i c f i e l d a p p l i e d normally t o the o s c i l l a t i n g f l u i d s u r f a c e , (a ) : (0,2) mode', wit h kR-^3/83; (b) : (0,3) mode,' wit h kR 1=7.02. Rl=container radius=3.42 cm ( c o r r e c t e d f o r s u r f a c e t e n s i o n - s e e t a b l e 2.1). In the deep f l u i d approximation, c r y q i v e n by where V =kinematic v i s c o s i t y o f mercury=0.11 cP.cm3.g"'. F i g 29. Comparison o f e x p e r i m e n t a l r e s u l t s and t h e o r e t i c a l p r e d i c t i o n s f o r t h e dependence o f 7 = 'Iffi/D o n t h e v o l t a g e V Q a p p l i e d t o t h e d r i v i n g e l e c t r o d e , (a) f o r a " f r e s h ' : r and (b) f o r an " o l d " mercury s u r f a c e . - P S . 17 5 F i g 30. V o l t a g e a p p l i e d t o the wave e x c i t a t i o n e l e c t r o -de (upper t r a c e ) , and t y p i c a l secondary mode waveform a t x=L/4. 0.5 kV/cm v e r t i c a l l y f o r upper t r a c e , and 0.05 V/cm f o r lower t r a c e (0.1 V e q u i v a l e n t t o 7.6xl0** ? cm d i s p l a c e m e n t a t the f l u i d s u r f a c e ) ; 0.5 s/cm on h o r i z o n t a l a x i s . F i g 3 1 ( a ) . Dependence o f p r i m a r y mode (wavelength=97.8 cm) a m p l i -t u d e , A ] , on a m p l i t u d e o f v o l t a g e a p p l i e d t o e x c i t a t i o n e l e c t r o d e , V Q . ( o ) : measurements a t x=L/8; (+): measurements a t x=0. B I B L I O G R A P H Y A b r a m o w i t z , M. and I.A. S t e g u n , 1965. Handbook o f mathe-m a t i c a l f u n c t i o n s ( D o v e r P u b l i c a t i o n s , I n c . , N.Y. ) . A b r a m s o n , H.N. ( E d i t o r ) , 1966. The d y n a m i c b e h a v i o r o f l i q u i d s i n m o v i n g c o n t a i n e r s . NASA SP-106 ( S c i e n t i f i c and T e c h n i c a l D i v i s i o n , NASA, Washi n g t o n , D . C . ) . A c k e r b e r g , R.C., 1 9 6 9 . P r o c . Roy. S o c . A, 3 J _ 2 , 1 2 9 . B e n j a m i n , T.B. and F. U r s e l l , 1 954. P r o c . Roy. S o c . A, 225, 505. B l o e m b e r g e n , N. , 1965. N o n l i n e a r o p t i c s (W.A. B e n j a m i n , I n c . , New Y o r k , A m s t e r d a m ) . B u r d o n , R.S., 1949. S u r f a c e T e n s i o n and t h e S p r e a d i n g o f L i q u i d s ( C a m b r i d g e U n i v e r s i t y P r e s s ) . C a s e , K.M. and W.C. P a r k i n s o n , 1957. J . F l u i d Mech., 2, 172. C h e s t e r , W. , 1968. P r o c . Roy. S o c . A, 306 , 5. C h e s t e r , W. and J.A. B o n e s , 1968. P r o c . Roy. S o c . A, 306 , 23. C r o w l e y , ' J . M . , 1 965. P h y s . F l u i d s , 8, 1 668. , 1967 . P h y s . F l u i d s , 1_0, 1170. 178 179 C u r z o n , F . L . and R. Howard, 1961. Can. J . P h y s . , 39, 1901. C u r z o n , F . L . and G.N. I o n i d e s , 1 9 71. Can. J . P h y s . , 49_, 458. , 1 972. Can. J . P h y s . , IN PRESS. C u r z o n , F . L . and R.L. P i k e , 1968. Can. J . P h y s . , 46, 2001. : , 1969. Can. J . P h y s . , 47 , 1051. F o r s y t h e , G.E. and W.R. Wasow, 1960. F i n i t e d i f f e r e n c e m e t h o d s f o r p a r t i a l d i f f e r e n t i a l e q u a t i o n s ( W i l e y , N. Y.) . G e o r g e , D.W. and P.H. R i c h a r d s , 1969. B i t . J . A p p l . P h y s . , 2, 1470. Handbook o f C h e m i s t r y and P h y s i c s , 1 9 6 5 - 1 9 6 6 . 4 6 t h E d i t i o n ( T he C h e m i c a l R u b b e r Co., C l e v e l a n d ) . H u n t , J . N . , 1952. La H o u i l l e Blanche, 7_, 836. I o n i d e s , G.N. and F . L . C u r z o n , 1971. Can. J . P h y s . , 49_, 2733. K a d o m t s e v , B.B. and V . I . Karpman, 1971. S o v i e t P h y s . U s p e k h i , V4, 40. K e m b a l l , C. , 1950. P r o c . Roy. S o c . A, 201_, 377 . K i n s m a n , B., 1965. Wind waves ( P r e n t i c e H a l l , I n c . , New J e r s e y ) . Lamb, H., 1945. H y d r o d y n a m i c s ( D o v e r P u b l i c a t i o n s , I n c . , New Y o r k ) . L a n d a u , L.D. and E.M. L i f s h i t z , 1959. F l u i d M e c h a n i c s ( P e r g a m o n P r e s s , L o n d o n , New Y o r k ) . 180 L a n g m u i r , I . , 1 9 6 1 . The c o l l e c t e d w o r k s , V o l . 9, S u r f a c e phenomena ( P e r g a m o n P r e s s , L t d . , N.Y., O x f o r d , L o n d o n , P a r i s ) . L a r m o r , J . , 1 8 9 0 . P r o c . C a m b r i d g e P h i l . S o c , 7_, 6 9 . L o n g u e t - H i g g i n s , M.S., 1 9 6 2 . J . F l u i d Mech., 1_2, 3 2 1 . L o n g u e t - H i g g i n s , M.S. and O.M. P h i l l i p s , 1 9 6 2 . J . F l u i d Mech. , 1_2, 3 3 3 . L o n g u e t - H i g g i n s , M.S. and N.D. S m i t h , 1 9 6 6 . J . F l u i d Mech., 25_, 4 1 7 . M c G o l d r i c k , L . F . , 1 9 6 5 . J . F l u i d Mech., 2J_, 3 0 5 . M c G o l d r i c k , L . F . , O.M. P h i l l i p s , N.E. Huang, and T.H. H o d g s o n , 1 9 6 6 . J . F l u i d Mech., 2J5_, 4 3 7 . M e l c h e r , J.R., 1 9 6 3 . F i e l d - c o u p l e d s u r f a c e waves ( M . I . T . P r e s s , C a m b r i d g e , M a s s a c h u s e t t s ) . M e l c h e r , J.R. and E.P. W a r r e n , 1 9 6 6 . P h y s . F l u i d s , 9_, 2 0 8 5 . M i c h a e l , D.H., 1 9 6 8 . P r o c . C a m b r i d g e P h i l . S o c , 6_4 , 5 2 7 . M o i s e e v , N.N., 1 9 5 8 . J . A p p l . Math, and Mech., 22^, 8 6 0 . P e n n e y , W.G. and A.T. P r i c e , 1 9 5 2 . P h i l . T r a n s . Roy. S o c . A, 2 4 4 , 2 5 4 . P h i l l i p s , O.M., 1 9 6 0 . J . F l u i d Mech., 9, 1 9 3 . , 1 9 6 7 . P r o c . Roy. S o c . A, 299_, 1 0 4 . P i k e , R.L. and F . L . C u r z o n , 1 9 6 8 . Can. J . P h y s . , 46 , 2 0 0 1 . P i k e , R.L., 1 9 6 7 . Ph.D. d i s s e r t a t i o n ( U n i v e r s i t y o f B . C . ) . R e y n o l d s , J.M., 1 9 6 5 . P h y s . F l u i d s , 8, 1 6 1 . 181 S l a t e r , J . C , 1950. M i c r o w a v e e l e c t r o n i c s (Van N o s t r a n d Co.) . S t o k e r , J . J . , 1957. W a t e r waves ( I n t e r s c i e n c e P u b l i s h e r s , I n c . , New Y o r k ) . S t o k e s , G.N., 1847. T r a n s . C a m b r i d g e P h i l . S o c , 8, 441. T a y l o r , G . I . , 1953. P r o c . Roy. S o c . A, Z]_8, 44. T a y l o r , G . I . and A.D. McEwan, 1965. J . F l u i d Mech. 22, 1. T h o m s o n , W. ( L o r d K e l v i n ) , 1872. R e p r i n t o f p a p e r s on e l e c t r o s t a t i c s and m a g n e t i s m ( M c M i l l a n and Co., L o n d o n ) . T s y t o v i c h , N., 1970. N o n l i n e a r e f f e c t s i n p l a s m a ( P l e n u m P r e s s , New Y o r k , L o n d o n ) . W a l d r o n , R.A., 1969. The t h e o r y o f w a v e g u i d e s and c a v i t i e s ( G o r d o n and B r e a c h S c i e n c e P u b l i s h e r s , New Y o r k ) . W o l f , G.H., 1969. Z. P h y s i k . , 227_, 291. Y i h , C-S., 1968. P h y s . F l u i d s , 1J_, 1447. Z i m o n , A.D., 1969. A d h e s i o n o f d u s t and power ( P l e n u m P r e s s , New Y o r k , L o n d o n ) . Z r n i c , D.S. and C D . H e n d r i c k s , 1970. P h y s . F l u i d s , 1_3, 618. A P P E N D I X A RADIAL DISTRIBUTION OF NON-UNIFORM ELECTRIC FIELD ON THE MERCURY SURFACE The most c o n v e n i e n t way o f m e a s u r i n g t h e r a d i a l f i e l d d i s t r i b u t i o n on t h e m e r c u r y s u r f a c e was t o a d a p t L o r d K e l v i n ' s ( 1 8 7 2 ) a t t r a c t e d d i s c e l e c t r o m e t e r i n an a n a l o g s y s t e m . T h i s e l e c t r o m e t e r u s e s t h e f o r c e o f a t t r a c -t i o n b e t w e e n two p l a t e s h e l d a t d i f f e r e n t p o t e n t i a l s t o o b t a i n an e s t i m a t e o f t h e p o t e n t i a l d i f f e r e n c e b e t w e e n them, and h e n c e i t i s i d e a l f o r o u r p u r p o s e s , s i n c e i t g i v e s d i r e c t m e a s u r e m e n t s o f t h e e l e c t r o s t a t i c s t r e s s a t ea c h c h a r g e d s u r f a c e , -in c o n t r a s t t o t h e more c o n v e n t i o n a l ( b u t i n t h i s c a s e i n d i r e c t ) method o f u s i n g an e l e c t r o l y t i c t a n k . The a r r a n g e m e n t i s shown i n F i g . A l . An a n a l o g o f t h e e l e c t r o d e and m i c r o w a v e c a v i t y a r e made o u t o f b r a s s , and p l a c e d " u p s i d e down" u n d e r a smooth b r a s s p l a t e w h i c h s i m u l a t e s t h e m e r c u r y s u r f a c e . A s m a l l , d i s c s h a p e d b r a s s w e i g h t o f d i a m e t e r 0.6 cm p a s s e s t h r o u g h a h o l e o f s l i g h t l y l a r g e r d i a m e t e r i n t h i s p l a t e . The w e i g h t i s s u s p e n d e d 182 LEVELLING SCREW GRADUATED ROD ©P CAVITY ELECTRODE A N A L O G FLUID SURFACE "ANALOG I D L Z c F i g A l . A n a l o g experiment f o r o b t a i n i n g t h e e l e c t r o s t a t i c f i e l d normal t o t h e mercury s u r f a c e . J CO CO 184 f r o m one arm o f a c o n v e n t i o n a l m i c r o b a l a n c e , c a p a b l e o f r e a d i n g t o an a c c u r a c y o f 0.1 mg. A s i m p l e a r r a n g e m e n t o f l e v e l l i n g s c r e w s ( s e e F i g . A l ) e n a b l e s us t o r a i s e t h e t o p p l a t e and move t h e b r a s s r i n g s i m u l a t i n g t h e c a v i t y w a l l s , so t h a t t h e s m a l l w e i g h t c o u l d e s s e n t i a l l y be made t o t r a v e r s e r a d i a l l y a c r o s s t h e c a v i t y . In t h i s way, by t r a v e r s i n g a d i a m e t e r o f t h e c a v i t y i n s t e p t s o f 1 mm, and m e a s u r i n g t h e e x c e s s w e i g h t A w o f t h e b r a s s w e i g h t c a u s e d by t h e e l e c t r o s t a t i c a t t r a c t i o n o f t h e w e i g h t by t h e e l e c -t r o d e , a d i r e c t m e a s u r e m e n t o f t h e r a d i a l p r o f i l e o f t h e s q u a r e o f t h e e l e c t r o s t a t i c f i e l d was made. T h i s i s shown n o r m a l i z e d t o t h e u n i f o r m f i e l d t h a t w o u l d e x i s t b e t w e e n two s m o oth e l e c t r o d e s a d i s t a n c e D a p a r t f o r D — 2 . 5 mm i n F i g . A 2 . The f e a s i b i l i t y o f t h e t e c h n i q u e was f i r s t demon- , s t r a t e d by m e a s u r i n g A w as a f u n c t i o n o f t h e s q u a r e o f t h e v o l t a g e V 0 a p p l i e d t o t h e e l e c t r o d e a t a f i x e d r a d i a l p o s i t i o n o f t h e b r a s s w e i g h t . F i g . A 3 shows t h a t A w i s p r o p o r t i o n a l t o V 0 , as e x p e c t e d . The d i f f i c u l t y w i t h t h e t e c h n i q u e d e s c r i b e d a b o v e l i e s i n t h e f a c t t h a t t h e w e i g h t i s i n u n s t a b l e e q u i l i b r i u m , w h i c h makes f i n d i n g A w a r a t h e r d i f f i c u l t t a s k . L o r d K e l v i n e l i m i n a t e d t h i s d i f f i c u l t y by u s i n g s o f t l i g h t s p r i n g s t o s u s p e n d t h e w e i g h t f r o m . We u s e d a s l i g h t l y d i f f e r e n t . ANALOG EXPERIMENT E ® COMPUTATION F i g A2. R a d i a l p r o f i l e o f t h e s q u a r e o f t h e e l e c t r o s t a t i c f i e l d at t h e m e r c u r y s u r f a c e ? f i e l d , a p p l i e d by an e l e c t r o d e o f r a d i u s 2.0 cm, d i s t a n t <~ 0.2 cm f r o m s u r f a c e ! The d i s t r i b u t i o n i s n o r m a l i z e d t o t h e u n i f o r m f i e l d b etween -two smooth p l a t e s - - ' 0.2 cm a p a r t . 187 a p p r o a c h , w h i c h a l s o s p e e d s up t h e m e a s u r e m e n t s c o n s i d e r -a b l y . A s m a l l peg P ( F i g . A l ) was f i x e d t o t h e f r a m e o f t h e b a l a n c e so as t o p r e v e n t t h e l e f t hand arm f r o m m o v i n g b e y o n d a p o i n t j u s t b e l o w t h e p o s i t i o n o f u n s t a b l e e q u i l -i b r i u m . The e x c e s s w e i g h t on t h e o p p o s i t e arm was g r a d u a l l y i n c r e a s e d , t i l l t h e v e r y p o i n t a t w h i c h t h e b a l a n c e s t a r t e d s w i n g i n g t o t h e o p p o s i t e s i d e . The e x c e s s w e i g h t Aw was t h e n r e c o r d e d as p r o p o r t i o n a l t o t h e s q u a r e o f t h e e l e c t r i c f i e l d . The s l i g h t s y s t e m a t i c i n c r e a s e i n Aw r e s u l t i n g f r o m t h i s method was n e g l i g i b l e , e s p e c i a l l y i n t h e c r u c i a l r e g i o n o f h i g h e l e c t r i c f i e l d . T h e m e t h o d has t h e a d v a n t a g e t h a t t h e w e i g h t i s a l w a y s s u s p e n d e d a t e x a c t l y t h e same v e r t i c a l p o s i t i o n w i t h r e s p e c t t o t h e p l a t e s i m u l a t i n g t h e m e r c u r y s u r f a c e . T h i s i s n e c e s s a r y , s i n c e t h e e l e c t r o s t a t i c f o r c e on t h e b r a s s w e i g h t v a r i e s w i t h i t s v e r t i c a l p o s i t i o n w i t h r e s p e c t t o t h e p l a t e i n t h e manner shown i n F i g . A 4 ; i n t h i s we have p l o t t e d Aw v s . v e r t i c a l p o s i t i o n o f t h e w e i g h t r e l a t i v e t o t h e p l a t e , a t a f i x e d r a d i a l p o s i t i o n and f i x e d v o l t a g e . The t h i c k n e s s o f t h e t o p p l a t e was 2 mm, and t h e v e r t i c a l p o s i t i o n o f t h e b r a s s w e i g h t was m e a s u r e d r e l a t i v e t o an a r b i t r a r y p o s i t i o n on t h e s c a l e o f a t r a v e l l i n g m i c r o s c o p e c a p a b l e o f r e a d i n g t o an a c c u r a c y o f 0 . 0 0 1 cm. 188 m m F i g A4. P l o t o f Aw v s . v e r t i c a l p o s i t i o n o f b r a s s w e i g h t w i t h r e s p e c t t o t h e p l a t e s i m u l a t i n g t h e mercury s u r f a c e . Regions ( a ) , (b) and (c) c o r r e s p o n d t o the bottom o f t h e w e i g h t b e i n g above, i n s i d e and under t h i s p l a t e r e s p e c t i v e l y . 189 The m e a s u r e m e n t s were a l s o c o n f i r m e d by a compu-t a t i o n a l m e t h o d . L a p l a c e ' s e q u a t i o n f o r t h e e l e c t r o s t a t i c p o t e n t i a l i n t h e c a v i t y was s o l v e d by u s i n g a r e l a x a t i o n m e thod ( F o r s y t h e and Wasow ( I 9 6 0 ) ) , f o r s o l v i n g p a r t i a l d i f f e r e n t i a l e q u a t i o n s by t h e method o f d i f f e r e n c e s . I f V i s t h e e l e c t r o s t a t i c p o t e n t i a l i n t h e c y l i n d r i c a l c a v i t y , i n t h e d i a m e t r i c a l p l a n e o f F i g . 17, t h e n a t u r a l a p p r o x i -m a t i o n s a t a p o i n t ( r , z ) where h i s a s m a l l f i n i t e l e n g t h , l e a d t o t h e d i f f e r e n c e e q u a t i o n ( A . l ) (A.2) when s u b s t i t u t e d i n L a p l a c e ' s e q u a t i on r 0 (A.3) 190 By m a k i n g h t h e u n i t s i d e o f a s q u a r e mesh i n t h e r - z p l a n e , e q u a t i o n ( A . 2) can be p u t i n t h e i t e r a t i o n f o r m V[(^h)h] - ~ f \ / [ ( ( ^ - h } + V(((^<• Oj K)h] ^ ( A . 4 ) (w h e r e t h e i n t e g e r s m and n r e f e r t o t h e (m,n) c o r n e r i n t h e s q u a r e m e s h ) . T h i s c a n be s o l v e d on t h e c o m p u t e r w i t h a s t a n d a r d p r o g r a m by i n c o r p o r a t i n g t h e b o u n d a r y c o n d i t i o n s V = .0 on t h e m e r c u r y s u r f a c e and r e s o n a t o r w a l l s , and V = V e on t h e c h a r g e d e l e c t r o d e . T h e n t h e v e r t i c a l g r a d i e n t o f V can be t a k e n a t t h e m e r c u r y s u r f a c e t o g i v e t h e a p p l i e d e l e c t r i c f i e l d s t r e n g t h . T h i s was done i n o u r c a s e by u s i n g a s q u a r e mesh o f u n i t s i d e h = 0.1 cm i n t h e c a v i t y o f d i a m e t e r ^ 7 .3 cm. The c o m p u t e d a p p l i e d e l e c t r i c f i e l d s t r e n g t h was t h e n s q u a r e d and p l o t t e d as t h e d o t t e d l i n e i n F i g . A2 (no h o l e i n t h e e l e c t r o d e ) . I t i s s e e n t h a t t h e c o m p u t e d and m e a s u r e d r a d i a l p r o f i l e s o f t h e e l e c t r o s t a t i c s t r e s s a r e i n v e r y good a g r e e m e n t . APPENDIX B E X P E R I M E N T A L D I F F I C U L T I E S AND PR E C A U T I O N S IN MEASURING S U R F A C E WAVE DAMPING In S e c t i o n 4.2.1 we p o i n t e d o u t t h e two t y p e s o f m e r c u r y s u r f a c e s ( i . e . a " f r e s h " and an " o l d " s u r f a c e ) u s e d i n m e a s u r e m e n t s i n v o l v i n g t h e damping f r e q u e n c y o f s u r f a c e modes. In t h i s a p p e n d i x we d i s c u s s i n a q u a l i t a t i v e manner t h e p h y s i c a l c h a r a c t e r i s t i c s o f f l u i d s u r f a c e s t h a t g i v e r i s e t o t h e v e r y i n c o n s i s t e n t and u n p r e d i c t a b l e b e h a v i o u r o f t h e i r v i s c o e l a s t i c p r o p e r t i e s i n e x p e r i m e n t s . Our own e x p e r i e n c e has been w i t h m e r c u r y , w h i c h i s an e s p e c i a l l y d i f f i c u l t l i q u i d t o work w i t h ( b e s i d e s i t s e m i s s i o n o f p o i s o n o u s f u m e s ) i n t h i s r e s p e c t , b u t most o f o u r c o n c l u s i o n s a r e a p p l i c a b l e t o low v i s c o s i t y f l u i d s i n g e n e r a l . I t i s a w e l l known f a c t t h a t m e a s u r e m e n t s o f l i q u i d v i s c o s i t y by o b s e r v i n g t h e d a m p i n g c o e f f i c i e n t o f s u r f a c e waves a r e b o t h v e r y e r r a t i c and u n r e l i a b l e , and c o n s i s t e n t l y h i g h e r t h a n v i s c o s i t y m e a s u r e m e n t s made i n t h e b u l k o f t h e 191 192 f l u i d by o t h e r m e t h o d s . The r e a s o n f o r t h i s i s t h a t t h e m e c h a n i c a l p r o p e r t i e s o f a f r e e f l u i d s u r f a c e ( b a s i c a l l y v i s c o s i t y and s u r f a c e t e n s i o n ) a r e v e r y s u s c e p t i b l e t o e v e n m i n u t e t r a c e s o f c o n t a m i n a n t s w h i c h i n e v i t a b l y f i n d t h e i r way t o t h e s u r f a c e ( s e e B u r d o n ( 1 9 4 9 ) , Zimon ( 1 9 6 9 ) and L a n g m u i r ( 1 9 6 1 ) ) . V i s c o s i t y and s u r f a c e t e n s i o n o f a f r e e f l u i d s u r f a c e may c h a n g e by as much as 2 0 % , o r e v e n more, due t o t h e p r e s e n c e o f v e r y t h i n a d s o r b e d f i l m s o f o i l , d e t e r g e n t o r o t h e r c o n t a m i n a n t s ; e v e n a f i l m o f m o n o m o l e c u ! a r t h i c k n e s s ( a m o n o l a y e r ) may h a v e v e r y a d v e r s e e f f e c t s . The p r e s e n c e o f d u s t and s m a l l amounts o f m a t e r i a l s o l u b l e i n t h e l i q u i d f u r t h e r w o r s e n s t h e s i t u a t i o n . The e x a c t p h y s i c a l p r o c e s s e s i n v o l v e d a r e s t i l l n o t f u l l y u n d e r s t o o d . In o u r c a s e , when m e r c u r y was l e f t s t a n d i n g i n t h e m i c r o w a v e c a v i t y f o r s e v e r a l d a y s d u r i n g t h e c o u r s e o f e x p e r i m e n t s , t h e s i m p l e s t m ethod f o r o b t a i n i n g a " f r e s h " s u r f a c e was t h e one d e s c r i b e d i n S e c t i o n 4.2.1. The t i m e t a k e n f o r t h e t r a n s i t i o n f r o m t h e " f r e s h " t o t h e " o l d " s u r -f a c e ( a r o u n d 3 m i n u t e s ) v a r i e d f r o m m e a s u r e m e n t t o m e a s u r e -ment, and t h e d a m p i n g f r e q u e n c i e s f o r b o t h t h e " f r e s h " and t h e " o l d " m e r c u r y s u r f a c e s were s c a t t e r e d a b o u t t h e c o r r e -s p o n d i n g v a l u e s g i v e n i n T a b l e 6.1. The s c a t t e r was a b o u t 5% o f t h e v a l u e o f t h e a v e r a g e d a m p i n g f r e q u e n c y q u o t e d i n t h e t a b l e . 193 An o b s e r v e d e f f e c t o f some i m p o r t a n c e was t h a t t h e a p p l i c a t i o n o f e l e c t r o s t a t i c f i e l d s o f a b o u t 20 kV/cm, f o r a p e r i o d o f a few s e c o n d s , t o an " o l d " m e r c u r y s u r f a c e r e s u l t e d i n a r e d u c t i o n o f t h e d a m p i n g f r e q u e n c y j u s t a f t e r r e m o v a l o f t h e f i e l d ; t h e d a m p i n g f r e q u e n c y t e n d e d t o w a r d s t h e v a l u e f o r a " f r e s h " s u r f a c e . The m e c h a n i s m and l i m i -t a t i o n s o f t h e r e m o v a l o f s u r f a c e c o n t a m i n a n t s i n t h e f o r m o f s m a l l p a r t i c l e s o f d i a m e t e r a few m i c r o n s have been i n v e s t i g a t e d b o t h t h e o r e t i c a l l y and e x p e r i m e n t a l l y by Zimon ( 1 9 6 9 ) , and a r e r e p o r t e d i n a f a s c i n a t i n g C h a p t e r X i n t h i s r e f e r e n c e . The b a s i c model f o r r e m o v a l o f p a r t i c l e s f r o m a s u r f a c e by a s t r o n g e l e c t r o s t a t i c f i e l d i s one i n w h i c h p o l a r i z a t i o n o f t h e p a r t i c l e s i n t h e f i e l d , t o g e t h e r w i t h s o r p t i o n o f i o n s on t h e p a r t i c l e s u r f a c e become s t r o n g enough t o d e t a c h some p a r t i c l e s f r o m t h e s u r f a c e . A s p a t i a l f i e l d n o n - u n i f o r m i t y t e n d s t o make c l e a n i n g more e f f e c t i v e by a d d i n g t a n g e n t i a l d e t a c h i n g f o r c e s . I t i s shown by Z i m o n t h a t most e f f i c i e n t c l e a n i n g o c c u r s f o r p a r t i c l e s a r o u n d 60 m i c r o n s i n d i a m e t e r . E x p e r i m e n t s on c l e a n i n g t h e s u r f a c e by a l t e r n a t i n g f i e l d s a r e a l s o r e p o r t e d . T h i s i s a method u s e d f o r c l e a n i n g r a i l l i n e s a h e a d o f a t r a i n ( a t l e a s t i n t h e S o v i e t U n i o n i t i s ) . We f e e l t h a t q u a n t i t a t i v e 194 i n v e s t i g a t i o n s i n t h i s a r e a w i l l t h r o w more l i g h t i n t o t h e a c t u a l p h y s i c a l p r o c e s s e s i n v o l v e d ( s e e f o r e x a m p l e s u g g e s -t i o n s i n C h a p t e r 8 ) , and may l e a d t o some v e r y u s e f u l i n d u s t r i a l a p p l i c a t i o n s ( e l e c t r o p h o t o g r a p h y , r e m o v a l o f d i r t f r o m t h e s u r f a c e s o f m o l t e n p l a s t i c s , e t c . ) . A P P E N D I X C A D D I T I O N A L C A L C U L A T I O N S ON THE NON-LINEAR D R I V I N G OF S U R F A C E WAVES BY S P A T I A L L Y NON-UNIFORM P E R I O D I C E L E C T R I C F I E L D S In t h i s a p p e n d i x we e x t e n d t h e c a l c u l a t i o n s o f C h a p t e r 6 o f t h e c h a r a c t e r i s t i c s o f s u r f a c e waves n o n - l i n e a r l y d r i v e n by e l e c t r i c f i e l d s . We s t a r t by p r e s e n t i n g c a l c u -l a t i o n s on t h e n o n - l i n e a r d r i v i n g o f waves i n a r e c t a n g u l a r c o n t a i n e r . T h e n we d e r i v e an e x p r e s s i o n f o r t h e p h a s e a n g l e <j> b e t w e e n t h e e l e c t r i c f i e l d and t h e s u r f a c e wave f o r t h e (0,2) mode i n a c y l i n d r i c a l c o n t a i n e r . We c o n c l u d e w i t h c a l c u l a t i o n s t o a s s e s s t h e v a l i d i t y o f o u r a s s u m p t i o n s o f i g n o r i n g t h e c o n t r i b u t i o n s t o t h e d r i v i n g e l e c t r i c s t r e s s r e s u l t i n g f r o m t h e c u r v a t u r e and s l o p e o f t h e s u r f a c e . C . I . N o n - L i n e a r D r i v i n g o f Waves i n a R e c t a n g u l a r C o n t a i n e r T h i s p a r t i c u l a r g e o m e t r y o f s u r f a c e wave e x c i t a -t i o n i s o f s p e c i a l i n t e r e s t s i n c e t h e r e l e v a n t i n t e g r a l s 195 196 c a n be p e r f o r m e d a n a l y t i c a l l y , and s i n c e t h e r e s u l t s a r e a p p l i c a b l e t o t h e same p r o b l e m on t h e s u r f a c e o f an i n c o m -p r e s s i b l e f l u i d j e t . y z p l a n e o f a c a r t e s i a n c o - o r d i n a t e s y s t e m , and p r o p a g a t e a l o n g t h e x a x i s , as shown i n F i g . C I . We s u p p o s e t h e r e a r e m h a l f w a v e l e n g t h s a l o n g t h e c h a n n e l o f l e n g t h L, " i n f i n i t e " d e p t h and w i d t h b. E a c h e l e c t r o d e o c c u p i e s t h e f u l l w i d t h o f t h e c h a n n e l , and has l e n g t h 2a ( a < L/2m, so as t o a v o i d o v e r l a p o f t h e e l e c t r o d e s ) . We t h e n have f o r t h e v e r t i c a l d i s p l a c e m e n t o f t h e f l u i d s u r f a c e f r o m e q u i 1 i b r i urn w here k = (m TT) /L . F o l l o w i n g e x a c t l y t h e same p r o c e d u r e as i n S e c t i o n 6.1, we s u b s t i t u t e t h i s e x p r e s s i o n i n t o t h e e q u a t i o n s o f m o t i o n , i n c l u d e a t i m e p e r i o d i c e l e c t r i c f i e l d p r o d u c e d by a p p l y i n g a s q u a r e wave v o l t a g e on t h e e l e c t r o d e s , and i n t e g r a t e t o o b t a i n We assume t h a t t h e w a v e f r o n t s a r e p a r a l l e l t o t h e (CI) J ( C 2 ) him) 1 97 Z F i g C l . Geometry o f s u r f a c e wave e x c i t a t i o n i n r e c t a n g u l a r c o n t a i n e r o f l e n g t h L. End e l e c t r o d e s s u c h as e ( l e n g t h a) a r e w e i g h t e d by .a f a c t o r o f 1/2 r e l a t i v e t o e l e c t r o d e s o f l e n g t h 2a. 198 where 1(1) - ( C o s ( K x ) o l ( H x ) ( c > 3 ) T h i s i n t e g r a l can be e x p r e s s e d a n a l y t i c a l l y as KT) = TO-P)"* o JL 5 mvroi l o t f t f « H - — • - $m ( C 4 ) S u b s t i t u t i n g t h i s i n t h e r i g h t hand s i d e o f e q u a t i o n (C.2) we p l o t F/X(Tj f o r v a r i o u s v a l u e s o f ma/L as shown i n F i g . C2. F i g . C3, w h i c h i s d e r i v e d f r o m F i g . C2, g i v e s t h e r e l a t i o n b e t w e e n and ma/L, w h e r e V c i s t h e v o l t a g e w h i c h i n d u c e s t h e s u r f a c e t o become u n s t a b l e ( i . e . when T =" 0. 6 ) . The a b o v e c a l c u l a t i o n s show t h a t t h e c a s e o f r e c t a n g u l a r g e o m e t r y has e s s e n t i a l l y t h e same f e a t u r e s as t h a t o f c y l i n d r i c a l g e o m e t r y . C . I I . N o n - L i n e a r P h a s e S h i f t In S e c t i o n 6.1, i n o r d e r t o s i m p l i f y t h e c a l c u l a -t i o n s , we assumed t h a t t h e p h a s e d i f f e r e n c e (j> b e t w e e n t h e 199 F i g C2. "J/Kf) dependence on J f o r r e c t a n g u l a r geometry, a: ma/L= 0.25; b: ma/L=0.167 o r 0.333; c: ma/L=0.12 5 o r 0.375; d: ma/L= 0.083 o r 0.417. 1 / 1 ( 7 ) F i g C3. 7/1(7) dependence on ma/L at J =0.6 (onset of i n s t a b i l i t y ) . T h i s graph can be used to give the voltage necessary to induce i n s t a b i l i t y . 7/1(7) (and hence the c r i t i c a l voltage) tends to i n f i n i t y f o r a=0 and ma/L=0.5; i n the l a t t e r case the e l e c t r i c f i e l d i s uniform, and our theory breaks down. 201 d r i v i n g e l e c t r i c f i e l d and t h e s u r f a c e wave was 7T/2 a t r e s o n a n c e , e v e n i n t h e n o n - l i n e a r r e g i m e . T h i s was j u s t i f i e d as a f i r s t a p p r o x i m a t i o n by e x p e r i m e n t . In t h i s a p p e n d i x we s h a l l c a l c u l a t e a v a l u e f o r cp . We w r i t e <f — JT +• c f , assume t h a t S i s s m a l l , and e x p a n d e q u a t i o n ( 6 . 8 a ) o f S e c t i o n 6.1, i . e . 6 C V o X k ft 70Msi*>9zcixot9 ( C ' 5 ) t o o b t a i n f_ C V o f ( J0(zUi»9zJ*JB ( C . 6 ) We e x p a n d t h e d e n o m i n a t o r o f t h e i n t e g r a l , t o o b t a i n 202 i n t e g r a t e t e r m by t e r m and sum t h e f i n a l s e r i e s ( u s i n g f o r m u l a 5 15, p. A 1 7 1 , o f "The Handbook o f C h e m i s t r y and P h y s i c s " ( 1 9 6 5 ) J . The r e s u l t i s £ „ TrC VoAf C~*% J p V W z [c 8 ) 1 ^ J [ i-T*J>)] v* E l i m i n a t i n g t h e c o e f f i c i e n t o f t h e i n t e g r a n d by u s i n g JL - -^Jl. ( e q u a t i o n ( 6 . 9 ) ) we c a n e x p r e s s / as a f u n c t i o n o f J and t h e e l e c t r o d e g e o m e t r y K D * L J T h i s f u n c t i o n i s p l o t t e d i n F i g . C4 f o r o u r e x p e r i m e n t a l c o n d i t i o n s . I t i s a v e r y i m p o r t a n t e x p e r i m e n t a l p a r a m e t e r , and s u g g e s t i o n s f o r i t s m e a s u r e m e n t a r e g i v e n i n C h a p t e r 8. 203 F i g C 4 . Dependence of ^ on f f o r the ( 0 , 2 ) mode i n a c y l i n d r i -c a l c o n t a i n e r . Phase between d r i v i n g e l e c t r i c s t r e s s and surface mode =<f = cf . 204 C . I I I . D i s t o r t i o n o f E l e c t r i c F i e l d by S u r f a c e Waves The p u r p o s e o f t h i s c a l c u l a t i o n i s t o d e m o n s t r a t e t h e v a l i d i t y o f o u r a s s u m p t i o n s o f S e c t i o n 6.1 f o r t h e f o r m o f t h e e l e c t r i c f i e l d a t t h e f l u i d s u r f a c e . A l t h o u g h t h e e x p r e s s i o n f o r t h e e l e c t r i c p o t e n t i a l u s e d i n t h e c a l c u l a t i o n s does s a t i s f y t h e b o u n d a r y c o n d i -t i o n s (V = V Q on t h e e l e c t r o d e , z = D; V = 0 on t h e f l u i d s u r f a c e z = 3* , as shown i n F i g . 1 7 ) , i t does n o t s a t i s f y L a p l a c e ' s e q u a t i o n . F o r a x i s y m m e t r i c s u r f a c e w a v e s , a s o l u t i o n o f L a p l a c e ' s e q u a t i o n w h i c h s a t i s f i e s t h e b o u n d a r y c o n d i t i o n s i s w h e r e O i s t h e o p e r a t o r J L i L tr * and £ i s a f u n c t i o n o f r w h i c h i s i n c l u d e d so t h a t V = 0 a t z = T , t h e wave s u r f a c e . ' The s o l u t i o n ( C . 9 ) w i l l n o t p r o v i d e a good a p p r o x i -m a t i o n t o V i n t h e r e g i o n u n d e r t h e edge o f t h e d r i v e r e l e c t r o d e ( R ^ + D > r > - D ) . H o w e v e r , i n o u r e x p e r i -ments J i s p r a c t i c a l l y z e r o i n t h i s r e g i o n . Hence q u i t e 205 l a r g e e r r o r s i n V w i l l n o t a f f e c t t h e compute d s t r e s s , s i n c e v e r y l i t t l e e l e c t r i c a l e n e r g y i s f e d i n t o t h e s u r f a c e wave n e a r t h e d i s p l a c e m e n t n o d e s . To d e t e r m i n e £ we r e t a i n t h e f i r s t t h r e e t e r m s i n e q u a t i o n ( C . 9 ) , l i n e a r i z e w i t h r e s p e c t t o £ and s e t z = T so t h a t V = 0. T h i s p r o c e d u r e g i v e s 0 = vo[_dL + (£^2 Jo (P-rr'] (c-,0) The e l e c t r i c f i e l d a t t h e s u r f a c e i s o b t a i n e d by d i f f e r e n t i -a t i o n o f (C . 9 ) w i t h r e s p e c t t o z, and a g a i n s e t t i n g z = T . The r e s u l t , l i n e a r i z e d w i t h r e s p e c t t o £ , i s +<7r» -x-f o-naoo>-r;-'] ( c l 1 ) From t h i s , by u s i n g e q u a t i o n ( C . 1 0 ) t o e l i m i n a t e £ we g e t £ = V o [ — - - i ^ ^ O i D - T ) " ] ( c.i2) Now, 206 0(D-rrWo-7r\L i . r 2L i K o - n ^ g ) 2 (c.,2) and f o r r o t a t i o n - a l l y s y m m e t r i c modes 7 = y\oXJ J 0 ( K r j ( C . 1 4 ) W i t h t h e s e r e s u l t s , e q u a t i o n ( C . 1 2 ) r e d u c e s t o The l a r g e s t v a l u e o f t h e c o r r e c t i o n f a c t o r s c o n t a i n i n g k o c c u r s when = - D ( IT"! c a n n o t e x c e e d D ) . Hence t h e l a r g e s t v a l u e o f t h e c o r r e c t i o n f a c t o r i s 3 ( f o r r = 0 ) . T h e r e f o r e , t h e c o r r e c t i o n £ Vo t>-r ( C . 1 6 ) i s 207 F o r o u r e x p e r i m e n t a l r e s u l t s ( s e e T a b l e 6 . 1 ) , ( k D ) = 3.6%, so t h a t t h e maximum p e r c e n t a g e e r r o r i n t h e s t r e s s c o m p u t e d i n S e c t i o n 6 .1 i s l e s s t h a n 5.8%. APPENDIX D A D D I T I O N A L E F F E C T S I N S E C O N D O R D E R W A V E - W A V E I N T E R A C T I O N The p u r p o s e o f C h a p t e r 7 was t o i n v e s t i g a t e t h e o -r e t i c a l l y and e x p e r i m e n t a l l y s e c o n d o r d e r i n t e r a c t i o n s on s h a l l o w w a t e r . In t h i s a p p e n d i x we l i s t o t h e r s e c o n d o r d e r e f f e c t s t h a t so f a r h a v e been n e g l e c t e d f o r t h e s a k e o f s i m p l i f i c a t i o n , i n o r d e r n o t t o b u r y t h e d o m i n a n t e f f e c t s i n a p r o l i f e r a t i o n o f a l g e r b r a i c e q u a t i o n s . In g e n e r a l , we s h a l l show by o r d e r o f m a g n i t u d e c a l c u l a t i o n s t h a t t h e s e e f f e c t s a r e n e g l i g i b l e . D . I . E f f e c t o f S u r f a c e T e n s i o n The s u r f a c e t e n s i o n T w i l l c o n t r i b u t e t e r m s t o t h e s t r e s s c o n s e r v a t i o n e q u a t i o n (7.5) 208 209 z a t t h e f l u i d s u r f a c e . T h e s e t e r m s a r e a f a c t o r Tk s m a l l e r t h a n t h e d o m i n a n t s t r e s s t e r m s o f t h e f i r s t and s e c o n d o r d e r e q u a t i o n s o f m o t i o n ( s e e e q u a t i o n s ( 7 . 9 ) and ( 7 . 1 0 ) ) . Hence t h e i r c o n t r i b u t i o n ( s e e T a b l e 7.1) i s o n l y a b o u t 0.1%, i . e . n e g l i g i b l e . The c o r r e s p o n d i n g s h i f t a l s o o f t h e same o r d e r f o r t h e modes e m p l o y e d . D . I I . E f f e c t o f W a t e r D e p t h The w a t e r d e p t h u s e d i n t h e e x p e r i m e n t s ( s e e S e c t i o n 7.2) was -^ 3 cm. T h i s p r o d u c e s a f r a c t i o n a l s e p a r a -t i o n o f 2CJ, and g i v e n by ( T K * /f ) i n t h e f r e q u e n c y OJ^ o f t h e s u r f a c e modes i s w h i c h i s w e l l w i t h i n t h e f r e q u e n c y t o l e r a n c e f o r e f f e c t i n g n o n - l i n e a r r e s o n a n t d r i v i n g f o r t h e two modes e m p l o y e d . 210 D . I I I . S h i f t o f t h e N o d a l P o i n t o f t h e P r i m a r y Mode Our m e t h o d f o r m o n i t o r i n g t h e wave a m p l i t u d e o f t h e s e c o n d a r y mode i n v o l v e s o b s e r v a t i o n s t a k e n a t a f i x e d p o i n t (x = L / 4 , s e e F i g . 12) o f t h e c o n t a i n e r . T h i s i n t r o -d u c e s a s m a l l v e r t i c a l p e r i o d i c s h i f t i n t h e o b s e r v e d wave due t o t h e c o r r e s p o n d i n g h o r i z o n t a l s h i f t o f t h e n o d a l p o i n t . T h e v e r t i c a l d i s p l a c e m e n t i s g i v e n by t h e s e c o n d o r d e r t e r m ^cos(2k,)c)^-cos(au,b)j ( s ee e q u a t i o n 7-2{) I g n o r i n g t h e s t a t i c t e r m , we hav e an a d d i t i o n a l c o n t r i b u t i o n o f a m p l i t u d e A,2" /4-H i n t h e s e c o n d a r y wave d i s p l a c e m e n t . T h i s t e r m i s 77/2 o f p h a s e w i t h t h e r e s o n a n t l y d r i v e n s e c o n d a r y c o m p o n e n t g i v e n by e q u a t i o n ( 7 . 2 1 ) , i . e . 2 . H The a m p l i t u d e o f t h i s t e r m i s o n l y 2 / ( 3 Q < x ) , i . e . a b o u t Q% o f t h e s e c o n d a r y mode a m p l i t u d e A<^ , s o i t c a n be n e g l e c t e d . D.IV. N o n - L i n e a r M i x i n g o f D i s t u r b a n c e s o f W a v e l e n g t h L In t h i s s e c t i o n we s h a l l u s e t h e n o t a t i o n J ( p , q , r ) S ( p , q , r ) t o d e n o t e t h e s u r f a c e d i s p l a c e m e n t and s t r e s s r e s p e c t i v e l y , w h e r e we d e f i n e 211 J o r S = £ c o s (qo/ , t ) c o s ( r k , x ) and p , q and r a r e i n t e g e r s . To o r d e r £ ^ , t h e s o l u t i o n f o r J" w i l l c o n t a i n t h e t e r m s 5(1,1,0) 1 (1 ,0 ,1) 1(1 ,1 ,1) 7 ( 1 , 2 , 1 ) = 0 7 . 7 ( 1 , 0 , 2 ) J ( l , l , 2 ) 1 ( 1 , 2 , 2 ) = 0 j o r d e r t 7 ( 2 , 0 , 1 ) 7 ( 2 , 1 , 1 ) 7 ( 2 , 2 , 1 ) 7 . 7 ( 2 , 0 , 2 ) T ( 2 , l , 2 ) 7 ( 2 , 2 , 2 ) J o r d e r t The f i r s t o r d e r t e r m s J^(l , 2 , 1 ) and J ( l , 2 , 2 ) v a n i s h b e c a u s e t h e d r i v i n g s t r e s s h a s no c o m p o n e n t s o f f r e q u e n c y 2 OJ, . S e c o n d o r d e r t e r m s a r e g e n e r a t e d by p a i r w i s e p r o d u c t s o f t h e f i r s t o r d e r t e r m s , t o g e t h e r w i t h S ( 1 , 1 , 0 ) . The l a t t e r t e r m a r i s e s f r o m t h e t i m e d e p e n d e n t p a r t o f t h e s u r f a c e s t r e s s w h i c h i s c o n s t a n t i n s p a c e . T i m e i n d e p e n d e n t t e r m s ( f i r s t c o l u m n o f m a t r i x ) do n o t a f f e c t t h e o b s e r v a t i o n s . H o w e v e r , i t i s n e c e s s a r y t o c a l c u l a t e t h e a m p l i t u d e o f 7 ( 1 , 0 , 1 ) ( a n d p e r h a p s J * ( l > 0 , 2 ) ) , s i n c e t h e s e a r e i n v o l v e d i n t h e n o n - l i n e a r t e r m s . The" s e c o n d o r d e r t e r m s 7 ( 2 , 1 , 1 ) a n d 7 ( 2 , 2 , 1 ) c a n be n e g l e c t e d , b e c a u s e b o t h o f t h e s e h a v e n o d e s a t t h e o b s e r v a t i o n p o i n t ( x ; L/4). H e n c e t h e y o n l y c a u s e v e r t i c a l o s c i l l a t i o n s w h i c h 21 2 a r e a f a c t o r £ s m a l l e r t h a n t h e c o n t r i b u t i o n s o f t h e J ( 1 , 1 , 1 ) mode. As i s shown a b o v e , J ( 1 , 1 , 1 ) c o n t r i b u t e s l e s s t h a n 4% t o t h e o b s e r v e d d i s p l a c e m e n t a t x = L / 4 . I f t h e d r i v i n g e l e c t r o d e i s v e r y c a r e f u l l y d e -s i g n e d , t h e n JT(1 ,0,2) and .7(1,1,2) s h o u l d be v e r y s m a l l i n d e e d , b e c a u s e t h e g e o m e t r y o f t h e e l e c t r i c f i e l d and s u r f a c e mode a r e m i s m a t c h e d . We s h a l l t h e r e f o r e assume i n i t i a l l y t h a t 7(1,0,2) = J ( l , l , 2 ) = 0. T h i s l e a v e s o n l y J ( 2 , 1 , 2 ) as t h e r e m a i n i n g s e c o n d o r d e r c o r r e c t i o n ; i t i s g e n e r a t e d by t h e m i x i n g o f 7(1,0,1) and J ( 1 , 1 , 1 ) . D.V. M i x i n g o f Modes o f Z e r o F r e q u e n c y and F r e q u e n c y ojt The f i r s t s t a g e i n t h e c a l c u l a t i o n i s t o d e t e r m i n e t h e f i r s t o r d e r s t a t i c d e f o r m a t i o n . T h i s i s r e a d i l y s e e n ( f r o m e q u a t i o n ( 4 . 1 1 ) g i v i n g t h e s t a t i c d e f o r m a t i o n ) t o be ( D . l ) r,(1 ,0,1) ~ A COU(K,H) where A, i s t h e a m p l i t u d e o f t h e r e s o n a n t l y d r i v e n mode X ( l , 1 , 1 ) and Q i s t h e q u a l i t y f a c t o r o f t h e same mode 213 To compute J ( 2 , l , 2 ) , t h e s e c o n d o r d e r e q u a t i o n o f m o t i o n and k i n e m a t i c b o u n d a r y c o n d i t i o n ( e q u a t i o n s ( 7 . 1 0 ) and ( 7 . 1 2 ) ) h a v e t o be m o d i f i e d t o i n c l u d e n o n - l i n e a r t e r m s c o n t a i n i n g t h e s t a t i c mode 1 ( 1 , 0 , 1 ) . F o r c o m p l e t e n e s s we a l s o assume t h a t t h e s u r f a c e s t r e s s S i s a f f e c t e d by t h e s u r f a c e w a v e s , and w r i t e w here i f f t>% ( 3 . 2 ) and f ( x ) = 1, j x - || < \ = 0, * - k \ > k The f a c t o r c o n t a i n i n g J^/D i s i n t r o d u c e d b e c a u s e t h e e l e c -t r i c a l s t r e s s v a r i e s i n v e r s e l y as t h e s q u a r e o f t h e d i s t a n c e b e t w e e n t h e d r i v i n g e l e c t r o d e and t h e f l u i d s u r f a c e ( s e e S e c t i o n 6 . 1 ) . The f a c t o r f assumes t h a t t h e e l e c t r i c a l s t r e s s v a n i s h e s e x c e p t u n d e r t h e e x c i t a t i o n e l e c t r o d e . 214 The e q u a t i o n s f o r t h e s e c o n d o r d e r v e l o c i t y p o t e n ^ t i a l (f^K and v e r t i c a l d i s p l a c e m e n t T-z become 0 <f> + 5' (D.3) n H I J M dz* dz (D.4) wh.ere C ~ ( t ) i s a g a i n an i n t e g r a t i o n f u n c t i o n . We now e l i m i n a t e BT^/dt f r o m e q u a t i o n (D.3) and w r i t e (plV = Cf ( 2 , 2 , 2 ) + cp (2,1 ,2) T h i s l e a d s t o t h e f o l l o w i n g e q u a t i o n f o r Co (2,1 ,2) , 215 (D.5) S u b s t i t u t i n g f o r 7(1,0,1), i . e . f r o m e q u a t i o n ( D . l ) and ^ 9 ' = k,f/U(K,H) f r o m e q u a t i o n ( 7 . 1 3 ) shows t h a t <*rz(w>fJL = . H i — I . -LJ—. cos ( i v , t; The t e r m T( 1 ,0 ,1) jL / i l t - i ) becomes 2 dz^ & ~k ' 216 (D.6) A g a i n t h e t i m e d e p e n d e n t t e r m s p a r t i a l l y c a n c e l C ^ ( t ) . The r i g h t h a n d s i d e o f e q u a t i o n (D.5) b e c o m e s , a f t e r s i m p l i f i c a -+ ( t e r m s o f o r d e r 1/Q, s m a l l e r ) S 0 c a n be e x p r e s s e d i n t e r m s o f A ( by s o l v i n g t h e f i r s t o r d e r e q u a t i o n o f m o t i o n and k i n e m a t i c b o u n d a r y c o n d i t i o n , i . e . e q u a t i o n s ( 7 . 9 ) and ( 7 . 1 1 ) i n t h e same way we s o l v e d t h e s e c o n d o r d e r e q u a t i o n s , t o g e t t i o n and c o l l e c t i o n o f t e r m s o f f r e q u e n c y OJf (D.7) A (D.8) ( c f . a l s o e q u a t i o n ( 4 . 1 1 ) ) . 217 S u b s t i t u t i n g t h e s e e x p r e s s i o n s i n t o e q u a t i o n (D.5) and n e g l e c t i n g c o r r e c t i o n s o f o r d e r 1/Q, and (k,H) g i v e s t h e f i n a l e q u a t i o n f o r <jp(2,l,2) ( D . 9 ) 1Q, (K,H)1 where we assume t h a t ( j p ( 2 , l , 2 ) i s o f t h e f o r m y(2,1,2) = ( c o n s t a n t ) e ^ ^ c o s h ( 2 k , z ) c o s ( 2 k , x) A t e r m c o n t a i n i n g cos(26u»,t) i s n o t i n c l u d e d i n t h i s e x p r e s -s i o n b u t i s d i s c u s s e d b e l o w , where we c o n s i d e r m o d i f i c a t i o n s t o t h e (^(2,2,2) mode c a u s e d by n o n - l i n e a r d r i v i n g p r o d u c e d by t h e e l e c t r i c f i e l d . M u l t i p l y i n g b o t h s i d e s by c o s ( 2 k , x ) and i n t e g r a t i n g f r o m 0 t o L g i v e s CP{1,U2) =: c o i h K X k o d 1 2 ? ] (D.10) 218 S u b s t i t u t i n g b a c k i n t o e q u a t i o n (D.4) g i v e s 9 QJ H L znaj ( D . n ) where we ha v e o m i t t e d a v e r y s m a l l s p a c e i n d e p e n d e n t t e r m w h i c h i s 1/Qj t i m e s s m a l l e r t h a n t h e c o r r e s p o n d i n g t e r m i n e q u a t i o n ( 7 . 2 1 ) , w h i c h g i v e s t h e a m p l i t u d e o f t h e s e c o n d a r y mode as /), - 3 Q* A"1 ( d - 1 2 ) The r a t i o o f t h e a m p l i t u d e s o f t h e r e s o n a n t l y d r i v e n mode ( e q u a t i o n ( D . 1 2 ) ) and t h e n o n - r e s o n a n t l y d r i v e n mode o f e q u a t i on (D.11) i s 12 Q,Qxl ~f<> ( D . 1 3 ) it H T h e r e f o r e , s e c o n d o r d e r modes w h i c h a r e n o n - r e s o n a n t l y d r i v e n h a v e n e g l i g i b l e a m p l i t u d e s , as we assumed i n t h e t h e o r y o f C h a p t e r 7. 219 D.VI. R e s o n a n t D r i v i n g o f S e c o n d O r d e r Modes by E l e c t r i c  F i e l d E f f e c t s The e q u a t i o n w h i c h d e s c r i b e s t h e c o r r e c t i o n t o Cjp ( 2 , 2 , 2 ) i s o b t a i n e d f r o m (D.3) and (D.4) i n t h e same way t h a t we o b t a i n e d t h e e x p r e s s i o n f o r <^>(2,1,2). S i n c e t h e mode i s r e s o n a n t l y d r i v e n , t h e r e s u l t i s - j ^ * C o t ( l u s , i ) cot (iK,X) (D.14) A where (^(2,2,2) d e n o t e s t h e c o r r e c t i o n t o t ^ ( 2 , 2 , 2 ) p r o d u c e d by n o n - l i n e a r d r i v i n g s t r e s s e s . M u l t i p l y i n g b o t h s i d e s o f t h e e q u a t i o n by c o s ( 2 k , x ) and i n t e g r a t i n g o v e r t h e l e n g t h o f t h e t a n k ( L ) , and u s i n g e q u a t i o n (D.4) g i v e s T(ljljl) - 5l (OS [lus.e) toi(lK,X) ~ O.Z J (D.15) 1 Q , p T h i s d i s p l a c e m e n t i s i d e a l l y TT/2 o u t o f p h a s e w i t h t h e domi 7 ( i ) n a n t t e r m J , and i t s e f f e c t i s f u l l y d e a l t w i t h i n t h e d i s c u s s i o n i n S e c t i o n 7.3. 220 D . V I I . N o n - R e s o n a n t D r i v i n g o f t h e F i r s t O r d e r Mode 7(1,1,2) F o r i d e a l e l e c t r o d e g e o m e t r y t h e o n l y mode t o be e x c i t e d i n t h e l i n e a r a p p r o x i m a t i o n i s J ( i . e . 1 ( 1 , 1 , 1 ) ) . H o w e v e r , t h e e l e c t r o d e g e o m e t r y i s n o t i d e a l , and t o c o m p l e t e t h e a p p e n d i x we now e s t i m a t e t h e l i n e a r e x c i t a t i o n o f t h e 7 ( 1 , 1 , 2 ) mode. The e q u a t i o n f o r & ( ! , ! , 2 ) i s ( f r o m a b o v e ) (D.16) l . e M u l t i p l y i n g b o t h s i d e s by c o s ( 2 k j x) and i n t e g r a t i n g o v e r t h e l e n g t h o f t h e t a n k e n a b l e s us t o d e t e r m i n e t h e a m p l i t u d e o f ( ^ ( 1 , 1 , 2 ) . U s i n g t h e f i r s t o r d e r b o u n d a r y c o n d i t i o n r e s u l t s i n t h e r e q u i r e d e x p r e s s i o n f o r 7*0,1,2) coi(ojtt)cos(%k,x) 3 0 J 3 Q, ( Q . 1 7 ) 221 ( t h e i n e q u a l i t y f o l l o w s b e c a u s e t h e e l e c t r o d e l e n g t h i s l e s s t h a n L / 2 and f ( x ) £ 1 ) . Non-Linear Mixing of A r b i t r a r y F i r s t Order Modes In A p p e n d i x D.V we showed t h a t t h e n o n - r e s o n a n t d r i v i n g o f t h e 7 ( 2 , 2 , 2 ) mode by m i x i n g J ( l , l , l ) and "7 (1 ,0 ,1) i s n e g l i g i b l y s m a l l . In t h i s c a s e t h e d r i v i n g s t r e s s i s p r o p o r t i o n a l t o A j ^ / Q j . I f 7 ( 1 , 1 , 1 ) i s n o t i n c l u d e d i n t h e m i x e d modes, t h e d r i v i n g s t r e s s i s r e d u c e d t o ( A , / Q ; ) . T h e r e i s t h e r e f o r e no need t o do d e t a i l e d c a l c u l a t i o n s f o r o t h e r modes, b e c a u s e t h e y w i l l make c o r -r e c t i o n s w h i c h a r e 1/Q ( t i m e s m a l l e r t h a n t h e 7 ( 1 , 0 , 1 ) and 7 ( 1 » 1 » 1 ) c o r r e c t i o n s . A P P E N D I X E DAMPING ON END WALLS OF A RECTANGULAR CONTAINER OF WIDTH SM A L L COMPARED TO ITS LENGTH In S e c t i o n (4.12) we n e g l e c t e d t h e d a m p i n g a t t h e end w a l l s o f a r e c t a n g u l a r c o n t a i n e r whose w i d t h was much s m a l l e r t h a n i t s l e n g t h . In t h i s a p p e n d i x we j u s t i f y t h i s f o r t h e c a s e u s e d i n o u r e x p e r i m e n t s on s h a l l o w w a t e r w a v e s . The v i s c o u s d i s s i p a t i o n a t a w a l l i s p r o p o r t i o n a l t o i t s a r e a , and t h e s q u a r e o f the. t a n g e n t i a l f l u i d v e l o c i t y . H e n c e , i n t h e n o t a t i o n o f S e c t i o n (4.12) E_E & Hb ^ K a H x b E S T* HL L T h u s , when t h e w i d t h b o f t h e c o n t a i n e r i s much s m a l l e r t h a n i t s l e n g t h L, and e s p e c i a l l y i n t h e c a s e o f s h a l l o w w a t e r waves where (kH) « 1, t h e d i s s i p a t i o n a t t h e end w a l l s 222 223 i s n e g l i g i b l e . In o u r c a s e o f waves o f w a v e l e n g t h a b o u t •a 100 em on w a t e r o f d e p t h 3 cm, t h e r a t i o i s 2 x 1 0 " J . APPENDIX F EX C I T A T I O N OF SURFACE MODES BY SPACE AND T I M E PE R I O D I C F I E L D S The p u r p o s e o f t h i s a p p e n d i x i s t o d e m o n s t r a t e a f u r t h e r i m p r o v e m e n t o f t h e wave e x c i t a t i o n t e c h n i q u e by s p a t i a l l y n o n - u n i f o r m e l e c t r i c f i e l d s . In o u r e x p e r i m e n t s i n S e c t i o n s 4.2 and 7.2, t h e e l e c t r o d e s h a p e s were t h e s i m p l e s t p o s s i b l e f o r r e s o n a n t e x c i t a t i o n o f s u r f a c e modes. T h i s r e s u l t e d i n some m i n o r d i f f i c u l t i e s i n t r y i n g t o l o o k a t s e c o n d o r d e r e f f e c t s on s h a l l o w w a t e r ; s p e c i f i c a l l y , d r i v i n g o f s e c o n d a r y modes by m i x i n g o f s p u r i o u s l y e x c i t e d p r i m a r y modes ( s e e S e c t i o n 7.3 and A p p e n d i x D f o r d e t a i l s ) . T h i s c a n be a v o i d e d by d e s i g n i n g t h e e l e c t r o d e so as t o c a r r y a s p a t i a l l y d e p e n d e n t v o l t a g e p r o p o r t i o n a l t o (1 + cos ( k x ) )' / x- w h e r e k i s t h e wavenumber o f t h e d e s i r e d mode. Thus t h e s u r f a c e s t r e s s w i l l be p r o p o r t i o n a l t o 1 + c o s ( k x ) , and t h e o r t h o g o n a l i t y o f t h e modes i n t h i s s u r f a c e wave s p e c t r u m g u a r a n t e e s t h e e x c i t a t i o n o f t h e mode w i t h wavenumber k o n l y . The f e a s i b i l i t y o f t h i s i n p r a c t i c e 224 225 was d e m o n s t r a t e d as f o l l o w s , u s i n g t h e r e c t a n g u l a r w a t e r c o n t a i n e r o f F i g . 9. The wave e x c i t a t i o n e l e c t r o d e o f F i g . 9 was r e -p l a c e d by an e l e c t r o d e made up o f f i f t y c o p p e r s t r i p s o f w i d t h 1.6 cm, s e p a r a t e d by a b o u t 0.3 crn on a 97.8 cm ( t h e l e n g t h o f t h e t a n k ) l o n g , 5 cm ( t h e w i d t h o f t h e t a n k ) w i d e p l e x i g l a s s b a r as shown i n F i g . F l . R e s i s t o r s were c o n -n e c t e d b e t w e e n a d j a c e n t c o p p e r s t r i p s , and t h e r e s i s t o r v a l u e s c h o s e n t o g i v e a v o l t a g e d i s t r i b u t i o n p r o p o r t i o n a l t o (1 + c o s ( k x ) ) ' ^ a l o n g t h e l e n g t h o f t h e e l e c t r o d e . When t h e f r e q u e n c y o f t h e e l e c t r i c f i e l d was s e t e q u a l t o t h e n a t u r a l f r e q u e n c y o f t h e mode o f wavenumber k, t h e mode was e x c i t e d on t h e f l u i d s u r f a c e . 226 F i g F l . S e c t i o n o f a s p a t i a l l y F o u r i e r a n a l y z i n g wave e x c i t a t i o n ' e l e c t r o d e . CS=Copper s t r i p s . P,^=nth r e s i s t a n c e i n t h e r e s i s t o r c h a i n . R e s i s t a n c e s c h o s e n so t h a t t h e v o l t a g e d e p e n d e n c e a l o n g t h e e l e c t r o d e i s p r o p o r t i o n a l t o (1+cos(kx) j ' ^ , where k i s t h e wavenumber o f t h e d e s i r e d s u r f a c e mode. •3 A P P E N D I X G DAMPING OF A PRIMARY MODE BY THE PRESENCE OF A SECONDARY MODE - A P O S S I B L E S T A B I L I Z A T I O N TECHNIQUE S t u d i e s o f n o n - l i n e a r wave-wave i n t e r a c t i o n on s h a l l o w w a t e r ( S e c t i o n s 7.1 and 7.2) ha v e d e m o n s t r a t e d t h a t e x c i t a t i o n o f a s e c o n d a r y mode by s e l f i n t e r a c t i o n o f t h e p r i m a r y one i s p o s s i b l e . In t h i s way, e n e r g y i s f e d f r o m t h e p r i m a r y t o t h e s e c o n d a r y mode. I f t h e d a m p i n g i n t r o -d u c e d by t h i s e f f e c t i s s u f f i c i e n t l y l a r g e , t h e n t h i s w o u l d be a good way o f s t a b i l i z i n g t h e p r i m a r y mode, s h o u l d i t become u n s t a b l e due t o a m e c h a n i s m t h a t f e e d s e n e r g y i n t o t h e p r i m a r y mode a l o n e . In t h i s a p p e n d i x we c a l c u l a t e t h e da m p i n g o f t h e p r i m a r y mode by t h e s e c o n d a r y . From e q u a t i o n ( 4 . 2 2 ) , i n t h e s h a l l o w f l u i d a p p r o x i -m a t i o n , t h e e n e r g y i n t h e s t a n d i n g waves i s E=JLbHL(KcO* = - £ - b H L ( ^ f (3.1) 227 228 S i n c e f o r s h a l l o w modes OJ/K = c o n s t a n t , t h e p r i m a r y and s e c o n d a r y mode e n e r g i e s a r e Ef - CA? ; E a =: Cfi£ (G.2) where C i s a c o n s t a n t o f p r o p o r t i o n a l i t y . A s s u m i n g a l l t h e e l e c t r i c a l e n e r g y i s s u p p l i e d t o t h e waves t h r o u g h t h e p r i -mary mode, we ca n w r i t e t h e e q u a t i o n o f c o n s e r v a t i o n o f e n e r g y as B V 0 A l = ^ C A . + ^ - C A i ( G - 3 ) where B i s a l s o a p r o p o r t i o n a l i t y c o n s t a n t . T h i s c a n be s i m p l i f i e d t o A, 1 V /q< J (G.4) where m i s a n o t h e r c o n s t a n t o f p r o p o r t i o n a l i t y (m has a v e r y weak d e p e n d e n c e on t h e e l e c t r i c f i e l d s t r e n g t h t h r o u g h a s l i g h t c h a n g e i n t h e s u r f a c e mode f r e q u e n c y c a u s e d by t h e a v e r a g e s t a t i c f i e l d - s e e S e c t i o n 3.2.3). In o u r c a s e , w i t h A^/A, .—- 10%, t h e d a m p i n g i s t o o s m a l l t o a f f e c t 229 a p p r e c i a b l y an i n s t a b i l i t y . T h i s n e e d n o t be s o i n o t h e r a n a l o g o u s s i t u a t i o n s h o w e v e r , and t h i s m e t h o d o f s t a b i l i z a -t i o n by e x t r a c t i n g e n e r g y f r o m t h e p r i m a r y mode i s w e l l w o r t h l o o k i n g i n t o . 

Cite

Citation Scheme:

        

Citations by CSL (citeproc-js)

Usage Statistics

Share

Embed

Customize your widget with the following options, then copy and paste the code below into the HTML of your page to embed this item in your website.
                        
                            <div id="ubcOpenCollectionsWidgetDisplay">
                            <script id="ubcOpenCollectionsWidget"
                            src="{[{embed.src}]}"
                            data-item="{[{embed.item}]}"
                            data-collection="{[{embed.collection}]}"
                            data-metadata="{[{embed.showMetadata}]}"
                            data-width="{[{embed.width}]}"
                            async >
                            </script>
                            </div>
                        
                    
IIIF logo Our image viewer uses the IIIF 2.0 standard. To load this item in other compatible viewers, use this url:
http://iiif.library.ubc.ca/presentation/dsp.831.1-0084840/manifest

Comment

Related Items