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Representation theory of variety of algebras Lee, Hei-Sook 1974

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REPRESENTATION THEORY OF VARIETY OF ALGEBRAS BY HEI-SOOK LEE B . S c , Ewha Womans Univ e r s i t y , 1 9 7 1 A THESIS SUBMITTED IN PARTIAL FULFILMENT OF THE REQUIREMENTS FOR THE DEGREE OF MASTER OF SCIENCE i n the Department of MATHEMATICS We accept this thesis as conforming to the required standard THE UNIVERSITY OF BRITISH COLUMBIA August, 1 9 7 4 In p r e s e n t i n g t h i s t h e s i s in p a r t i a l f u l f i l m e n t o f the requ i rement s f o r an advanced degree at the U n i v e r s i t y o f B r i t i s h Co lumb ia , I ag ree that the L i b r a r y s h a l l make i t f r e e l y a v a i l a b l e f o r r e f e r e n c e and s tudy . I f u r t h e r agree t h a t p e r m i s s i o n f o r e x t e n s i v e c o p y i n g o f t h i s t h e s i s f o r s c h o l a r l y purposes may be g r a n t e d by the Head o f my Department o r by h i s r e p r e s e n t a t i v e s . It i s u n d e r s t o o d that c o p y i n g o r p u b l i c a t i o n o f t h i s t h e s i s f o r f i n a n c i a l g a i n s h a l l not be a l l o w e d w i thou t my w r i t t e n p e r m i s s i o n . Department o f M A T H 5 M A T I CjS The U n i v e r s i t y o f B r i t i s h Co lumbia Vancouver 8, Canada Date A U G r U S T i q i f r A B S T R A C T W h i l e t h e r e i s c o n s i d e r a b l e l i t e r a t u r e a b o u t a l g e b r a s s a t i s f y i n g a p o l y n o m i a l i d e n t i t y , t h e r e a r e o n l y s c a n t r e s u l t s a b o u t v a r i e t i e s o f a l g e b r a s . F o r s u c h a n a l g e b r a we c a n i n t r o d u c e t h e n o t i o n s o f b i m o d u l e , b i r e p r e s e n t a t i o n a n d u n i v e r s a l e n v e l o p i n g a l g e b r a a s a n e x t e n s i o n o f t h e n o t i o n s o f m o d u l e a n d r e p r e s e n t a t i o n f o r a s s o c i a t i v e a l g e b r a s . M o r e o v e r , i t i s p o s s i b l e t o d e f i n e i n j e c t i v e h u l l s f o r t h e s e r e s t r i c t e d r e p r e s e n t a t i o n s . We d e r i v e a r a t h e r c o n c r e t e s t r u c t u r e t h e o r e m o f I - b i m o d u l e s M f o r a f i n i t e d i m e n s i o n a l a l g e b r a i n a c e r t a i n v a r i e t y b y s t u d y i n g a u n i v e r s a l e n v e l o p i n g a l g e b r a a n d i n j e c t i v e h u l l s . - i i i -ACKNOWLEDGENENT . I w o u l d l i k e to express my gratitude to Dr. C.T. Anderson for s u g g e s t i n g the topic of this thesis and for h i s encouragement and guidance d u r i n g i t s preparation. I w o u l d also l i k e to thank'Dr. H.A. Thurston for reading the t h e s i s . i v -T A B L E OF CONTENTS P a g e C h a p t e r I G e n e r a l F a c t s a b o u t V a r i e t i e s 1 §1 Some D e f i n i t i o n s a n d B a s i c P r o p e r t i e s 1 §2 B i r k h o f f ' s T h e o r e m 4 C h a p t e r I I B i m o d u l e , B i r e p r e s e n t a t i o n a n d U n i v e r s a l E n v e l o p i n g A l g e b r a 1 0 §3 B i m o d u l e s a n d B i r e p r e s e n t a t i o n s 1 1 C h a p t e r I I I I n f e c t i v e I - b i m o d u l e s f o r a n A l g e b r a i n a V a r i e t y V ( I ) 22 § 4 D e f i n i t i o n a n d B a s i c P r o p e r t i e s o f I n j e c t i v e B i m o d u l e s 2 2 §5 I n j e c t i v e I - b i m o d u l e f o r F i n i t e D i m e n s i o n a l A l g e b r a s 2 3 §6 P r o j e c t i v e D i m e n s i o n a n d S e m i - s i m p l i c i t y o f a n A s s o c i a t i v e A l g e b r a 28 B i b l i o g r a p h y 30 C h a p t e r I G e n e r a l F a c t s a b o u t V a r i e t i e s T h r o u g h o u t t h i s c h a p t e r $ x j i l l d e n o t e a f i x e d b u t a r b i t r a r y a s s o c i a t i v e , c o m m u t a t i v e r i n g w i t h u n i t y . A l l a l g e b r a s w i l l b e $ - a l g e b r a s a n d a l l h o m o m o r p h i s m s w i l l b e $ - h o m o m o r p h i s m s u n l e s s e x p l i c i t l y s t a t e d o t h e r w i s e . R e c a l l t h a t a $ - a l g e b r a i s a n o n a s s o c i a t i v e ( n o t n e c e s s a r i l y a s s o c i a t i v e ) r i n g A w h i c h i s a l s o a l e f t u n i t a l ^ - m o d u l e a n d s u c h t h a t r ( a b ) = a ( r b ) = ( r a ) b f o r a l l a , b e A a n d r e $ . §1 Some D e f i n i t i o n s a n d B a s i c P r o p e r t i e s . To m a k e p r e c i s e t h e c o n c e p t s o f a p o l y n o m i a l i d e n t i t y a n d a v a r i e t y , we n e e d t o r e c a l l s o m e f a c t s a b o u t p o l y n o m i a l i d e n t i t i e s . L e t X = { } b e a c o u n t a b l y i n f i n i t e s e t a n d 1 2 n J N{X} d e n o t e t h e s e t o f m o n o m i a l s ( w o r d s ) o f f i n i t e l e n g t h w h i c h c a n b e f o r m e d u s i n g t h e e l e m e n t s o f X a n d u s i n g t h e p a r e n t h e s i s t o s h o w t h e w a y i n w h i c h e a c h m o n o m i a l i s b u i l t up b y a s e q u e n c e o f j u x t a p o s i t i o n s . We d e f i n e t h e d e g r e e o f m o n o m i a l w e N { X } t o b e t h e n u m b e r o f e l e m e n t s o f X u s e d i n t h e m o n o m i a l w a n d t h e d e g r e e o f x . e X i n w i s t h e n u m b e r o f i t i m e s t h a t x . o c c u r s i n t h e m o n o m i a l w . l Now l e t $ { X } '= |][ r i w i 1 Ti E w i £ N^ x^ | °e t h e s e t o f a l l f i n i t e l i n e a r c o m b i n a t i o n s o f e l e m e n t s o f N { X } w i t h c o e f f i c i e n t s f r o m $. _ 2 -T h e n i t i s e a s y t o s h o w t h a t * { X } i s a n o n a s s o c i a t i v e f r e e a l g e b r a , i n a n a t u r a l w a y , d e f i n i n g a d d i t i o n c o m p o n e n t w i s e a n d m u l t i p l i c a t i o n b y (Y r.w.)(Y s . z . ) = 7 r . s . ( w . z . ) . R e c a l l t h a t * { X } i s f r e e a l g e b r a i f e a c h map 9 : X — > A, w h e r e A i s a n a l g e b r a c a n b e e x t e n d e d u n i q u e l y t o a h o m o m o r p h i s m 8 : §{X} — > A . A n a l g e b r a A i s s a i d t o s a t i s f y a p o l y n o m i a l i d e n t i t y f e $ { X } i f f o r a n y h o m o m o r p h i s m <j> : $ { X } — > A , <}>(f) = 0. I f f = f ( x ^ , x^) t h e n f o r a n y a r b i t r a r y e l e m e n t s a ^ , ...» a ^ i n A t h e r e e x i s t s a h o m o m o r p h i s m o f §{X} i n t o A s e n d i n g x ^ — > a ^ , i = 1, 2, n , s i n c e $ { X } i s a f r e e a l g e b r a . H e n c e i f we d e n o t e t h e i m a g e o f f u n d e r t h e h o m o m o r p h i s m b y f ( a ^ , a ) t h e n f ( a ^ , a^) - 0 f o r a l l a ^ e A i f a n d o n l y i f A s a t i s f i e s a p o l y n o m i a l i d e n t i t y f . D e f i n i t i o n 1.1 : L e t I b e a s u b s e t o f $ { X } . T h e n t h e c l a s s V ( l ) o f a l l $ - a l g e b r a s s a t i s f y i n g e v e r y p o l y n o m i a l i d e n t i t y f i n I i s c a l l e d t h e v a r i e t y o f a l g e b r a s d e t e r m i n e d b y t h e s e t I o f i d e n t i t i e s . Now we l o o k a t a f e w i m p o r t a n t e x a m p l e s o f v a r i e t i e s o f a l g e b r a s . ( a ) T h e c l a s s o f a l l a s s o c i a t i v e ^ - a l g e b r a s i s t h e v a r i e t y d e t e r m i n e d b y t h e i d e n t i t y f = ( x ^ ^ J x ^ - x ^ ( x 2 X ^ ) . ( b ) T h e c l a s s o f a l l L i e 4 - a l g e b r a s i s t h e v a r i e t y d e t e r m i n e d b y 2 t h e i d e n t i t i e s f = x., a n d g = ( x 1 x 9 ) x ^ + ( x ? x r ( ) x 1 + ( x ^ x 1 ) x 7 . - 3 -( c ) T h e c l a s s o f a l l J o r d a n ^ - a l g e b r a s i s t h e v a r i e t y d e t e r m i n e d ' 2 2 b y t h e i d e n t i t i e s f = x | , x 2 ~ X ?. X 1 a n c * ^ = ^ X 1 X 2 ^ X 1 ~ X 1 ^ X 2 X 1 ^ * ( d ) T h e c l a s s o f a l l a l t e r n a t i v e $ - a l g e b r a s i s t h e v a r i e t y 2 2 d e t e r m i n e d b y t h e i d e n t i t i e s f = x ^ x ^ - x ^ ( x ^ x ^ ) a n d g = x ^ x ^ - ( x . | j x 2 ) x 2 . ( e ) T h e c l a s s o f a l l M a l c e v ^ - a l g e b r a s i s t h e v a r i e t y d e t e r m i n e d 2 by t h e i d e n t i t i e s f = x ^ a n d g = ( x 1 x 2 ) ( x ^ ) - ( ( x 1 x 2 ) x 3 ) x 1 - ( ( x 2 x 3 ) x 1 ) x 1 - ( ( x 3 x 1 ) x 1 ) x 2 . F o r a n y p o l y n o m i a l i d e n t i t y f = f ( x ^ , X r ) i n $ { X } , a n d a n a l g e b r a A l e t f ^ b e t h e i d e a l o f A g e n e r a t e d b y t h e s e t { f ( a ^ , a n ) | a ^ £ A } . T h e n f ^ i s t h e u n i q u e s m a l l e s t i d e a l o f A s u c h t h a t A / f ^ s a t i s f i e s t h e p o l y n o m i a l i d e n t i t y f . I f J ^ = [ f t h e n J ^ i s a l s o t h e u n i q u e s m a l l e s t i d e a l o f f e l A s u c h t h a t A / J ^ i s c o n t a i n e d i n t h e v a r i e t y > / ( I ) d e t e r m i n e d b y t h e s e t I o f p o l y n o m i a l i d e n t i t i e s . D e f i n i t i o n 1.2 : A n i d e a l I o f $ { X } i s c a l l e d a T - i d e a l i f I i s a f u l l y i n v a r i a n t i d e a l , i . e . a n y a u t o m o r p h i s m o f $ { X } maps I i n t o I i t s e l f . N o t e : C l e a r l y f ^ a n d a r e f u l l y i n v a r i a n t i d e a l s o f A a n d i n p a r t i c u l a r J » i - v - < ^ s a T - i d e a l ; I f i s t h e v a r i e t y o f a l g e b r a s s a t i s f y i n g t h e s e t I o f i d e n t i t i e s t h e n i t may h a p p e n t h a t t h e r e e x i s t s - 4 -f e ${X} s u c h t h a t f i I b u t e a c h A e s a t i s f i e s t h e i d e n t i t y f . E o w e v e r i f I ' i s t h e T - i d e a l o f *{X} g e n e r a t e d b y t h e s e t I t h e n f e I ' . I n o t h e r w o r d s I ' = { f e ${X} | e a c h A e V ( I ) s a t i s f i e s f } . %2 B i r k h o f f ' s T h e o r e m . F r o m t h e d e f i n i t i o n o f a v a r i e t y , i t i s n o t e a s y t o t e l l w h e t h e r a g i v e n c l a s s o f a l g e b r a s f o r m s a v a r i e t y o r n o t . I n t h i s s e c t i o n we c o n s i d e r t h e n e c e s s a r y a n d s u f f i c i e n t c o n d i t i o n s d u e t o B i r k h o f f . B i r k h o f f ' s t h e o r e m w a s t h e f u n d a m e n t a l r e s u l t i n t h e t h e o r y o f u n i v e r s a l a l g e b r a s . D e f i n i t i o n 2.1 : L e t \f b e a v a r i e t y o f <£>-algebras. A $ - a l g e b r a E i s c a l l e d a \ / - f r e e a l g e b r a i f E h a s a g e n e r a t i n g s e t Y and. i f e a c h m a p p i n g a : Y — > A, A e \/ c a n b e e x t e n d e d u n i q u e l y t o a h o m o m o r p h i s m a : E — > A . T h e n e x t p r o p o s i t i o n s h o w s t h a t e v e r y v a r i e t y y* a l w a y s h a s a \ Z " - f r e e a l g e b r a . P r o p o s i t i o n 2.2 : F o r a n y g i v e n , . c a r d i n a l i t y c , e v e r y n o n t r i v i a l v a r i e t y y* ( i . e . V* c o n t a i n s a n o n z e r o a l g e b r a ) h a s a y ' - f r e e a l g e b r a w i t h g e n e r a t i n g s e t o f c a r d i n a l i t y c . M o r e o v e r a n y t w o \ / - f r e e a l g e b r a s i n V w i t h t h e s a m e c a r d i n a l i t y o f g e n e r a t o r s a r e i s o m o r p h i c . P r o o f : L e t S b e t h e s e t o f g i v e n c a r d i n a l i t y c a n d l e t E = $ { S } / J r . , t h e n E e \/(<S>{S}) a n d E i s g e n e r a t e d b y t h e s e t Y - 5 -o f i m a g e s o f e l e m e n t s o f S u n d e r t h e q u o t i e n t m a p p i n g 9 : $ { S } — > E ^ . F o r a n y g i v e n m a p p i n g t|)' : Y — > A o f t h e s e t Y i n t o a n a l g e b r a A i n y', d e f i n e t h e m a p p i n g d>' o n S b y <>' = 4>'9', w h e r e 9 ' = e|s i s t h e r e s t r i c t i o n o f a m a p p i n g 9 t o s e t S. T h e n tf>' c a n b e e x t e n d e d u n i q u e l y t o a h o m o m o r p h i s m § : ${S}. — > A , s i n c e §{S} i s a f r e e a l g e b r a . A s $^{s} ^ S ^ n t n e ^ - e r n e l °f a n Y h o m o m o r p h i s m o f $ { S } i n t o a n a l g e b r a i n V , i n p a r t i c u l a r J k e r <j> . T h e r e f o r e <b i n d u c e s t h e h o m o m o r -p h i s m \\> : E ^ — > A s u c h t h a t = ib' . U n i q u e n e s s o f t h e h o m o m o r p h i s m f o l l o w s f r o m t h e f a c t s t h a t <j> --ibQ a n d t h e u n i q u e n e s s o f t h e h o m o m o r p h i s m <j>. T h i s i m p l i e s t h a t E c i s a \ / - f r e e a l g e b r a . To p r o v e t h a t t h e c a r d i n a l i t y o f Y i s c , a s s u m e t h a t t h e c a r d i n a l i t y o f Y w e r e n o t c . T h e n e i t h e r 0 1 ( x ^ ) = 0 f o r s o m e x ^ e S i f t h e c a r d i n a l i t y o f Y i s g r e a t e r t h a n c o r t h e r e e x i s t x ^ a n d x 2 i n S (x^ ^  x,,) s u c h t h a t 9 ' ( x ^ ) = 0 ' ( x 2 ) i f t h e c a r d i n a l i t y o f Y i s l e s s t h a n c . B u t a s V i s n o n t r i v i a l , t h e r e e x i s t s a n a l g e b r a A i n V c o n t a i n i n g n o n z e r o e l e m e n t s a . T h e n t h e m a p p i n g cj>' : S — > A d e f i n e d b y t h e r u l e <j)'(x^) = a a n d <j>' ( x ) = 0 f o r a l l x i n S d i f f e r e n t f r o m x ^ , c a n b e e x t e n d e d t o a h o m o m o r p h i s m <j> : ${S} — > A a n d a g a i n <j> i n d u c e s a h o m o m o r p h i s m \b : E ^ — > A. T h e n we h a v e t j i(x^) = ^ ^ ' ( x ^ ) =0 i f g'Cx^ =0 o r a = <j>'(x ] L) = i | ; ' 9 , ( x 1 ) = iji'e'Cx^ = ) = 0 i f 9'(x^) = 9 ' ( x 2 ) . B o t h o f t h e s e c o n t r a d i c t t h e d e f i n i t i o n o f <j>. H e n c e t h e c a r d i n a l i t y o f Y o f . E i s c . c To c o m p l e t e t h e p r o o f , l e t E c a n d E ^ b e t w o \/~free a l g e b r a s w i t h g e n e r a t i n g s e t s Y a n d Y ' r e s p e c t i v e l y o f same c a r d i n a l i t y c . - 6 -Then, t h e r e i s a o n e t o o n e c o r r e s p o n d e n c e a ' b e t w e e n Y a n d Y 1 a n d t h i s may b e e x t e n d e d t o a h o m o m o r p h i s m a o f E c i n t o '. S i m i l a r l y t h e m a p p i n g 3* = ( a 1 ) ^ o f Y 1 o n t o Y a l s o c a n b e e x t e n d e d t o a h o m o m o r p h i s m 3 o f E^ i n t o . T h e n 3a i s t h e i d e n t i t y m a p p i n g o n E , s i n c e 3a i s a h o m o m o r p h i s m o f E i n t o i t s e l f w h i c h f i x e s a c c g e n e r a t i n g s e t Y. S i m i l a r l y a& = 1 , . H e n c e E i s i s o m o r p h i c t o E" c A c l a s s o f a l g e b r a s i s s a i d t o b e c l o s e d i f i t i s c l o s e d u n d e r t h e o p e r a t i o n s f o r m i n g s u b a l g e b r a s , h o m o m o r p h i c i m a g e s a n d c o m p l e t e d i r e c t s u m s . A n a l g e b r a A i n a c l o s e d c l a s s ' O o f a l g e b r a s i s c a l l e d a g e n e r a t o r o f C i f i s t h e s m a l l e s t c l o s e d a l g e b r a s c o n t a i n i n g A. T h e f o l ^ t f i n g B i r k h o f f ' s t h e o r e m c h a r a c t e r i z e s v a r i e t i e s : T h e o r e m 2.3 : A c l a s s o f $ - a l g e b r a s i s a v a r i e t y i f a n d o n l y i f i t i s a c l o s e d c l a s s o f $ - a l g e b r a s . P r o o f : L e t V ' ( I ) b e a v a r i e t y o f a l g e b r a s d e t e r m i n e d b y a s e t I C $ { X } . I f A ' i s a s u b a l g e b r a o f a n a l g e b r a A i n V7 ( I ) t h e n f o r a n y h o m o m o r -p h i s m a : <${X} — > A', ( i a ) ( I ) = 0, w h e r e i i s a n i n c l u s i o n map o f A ' i n t o A. T h e r e f o r e we h a v e a ( I ) = 0, i . e . A' e \ / ( I ) . To v e r i f y V C l ) i s c l o s e d u n d e r t h e o p e r a t i o n o f f o r m i n g h o m o m o r p h i c i m a g e s , l e t A e V'CD a n d a : A -—> B b e s u r j e c t i v e . F o r a n y h o m o m o r p h i s m <j> : $ { X } — > B, t h e r e i s a h o m o m o r p h i s m <J>' : $ { X } — > ' A s u c h t h a t a<j>' = <j> . B u t <|>'(I) = 0, a n d t h e r e f o r e <j)(I) = 0 . ... 7 For any £ \/(I)> A e A, consider the complete direct.s urn II. A, . and a homomorDhism <j> : $(X> —> II . A, . As TT 4>(I) = 0 for AEA • : AcA A • every projection TT : II A, — > A ' , we also have cf> ( I ) = 0 . Hence we A . . . A A AEA have shown that variety i s a closed class of algebras. To prove the converse, we need the following proposition and lemma. Proposition 2.4 : I f A i s an algebra i n a variety \f such that every polynomial i d e n t i t y s a t i s f i e d by A i s also s a t i s f i e d by every algebra i n \J then A i s a generator of V . In p a r t i c u l a r ${X}/J $^ xj generates \/ Proof : Since every algebra i n V i s a homomorphic image of a \/-free algebra E c for some cardinal number c, we have to show that the closed class of algebras generated by A contains each E^. For a set Y of ca r d i n a l i t y c, consider the set A = {X : Y — > Y | X(y) = 0 for a l l but f i n i t e number of elements y £ Y } and form the complete direct sum B - II A , A = A . ^ * X A XeA For each y E Y, define y* E B by y* = A(y) for a l l X e A, where y* A A denotes the component of y* i n A . Let Y* = {y* | y e Y} and l e t E* • A be a subalgebra of E C generated by Y*. Then the map <j>' : Y — > E* - 8 -g i v e n b y t h e r u l e <J>'(y) = y * c a n b e e x t e n d e d t o a h o m o m o r p h i s m <j> : $ { Y } — > E * a n d <j> i s s u r j e c t i v e , s i n c e Y* g e n e r a t e s E * . We w a n t t o s h o w t h a t a n y p o l y n o m i a l i d e n t i t y f = f ( y ^ , y 2 > y ) i n k e r cj) i s a l s o s a t i s f i e d b y A . I f f ( y ^ , y 2 > •••> y ) i s i n k e r $ • t h e n f o r e a c h A e A, we h a v e o = f C C y - L ^ , • ( y m ) * ) = HHy{). •••» Uy m)) , s i n c e f ( ( y ^ ) * , ..., ( y ) * ) = 0. F o r e v e r y c h o i c e o f a ^ , a m e A t h e r e i s A e A s u c h t h a t A ( y ^ ) = a ^ , 1=1, 2, ..., m. T h e r e f o r e we h a v e f ( a ^ , a^) = 0 f o r a l l a ^ e A. B y h y p o t h e s i s e v e r y p o l y n o m i a l i d e n t i t y s a t i s f i e d b y A i s a l s o s a t i s f i e d b y e v e r y a l g e b r a i n V , f i s c o n t a i n e d i n J - r . T l ' - a n d k e r <b CL J . B u t r„, C k e r <j> , s i n c e $ { Y } $ { Y ) ${Y> E * e V • H e n c e k e r <j> = J A , „ , . T h e r e f o r e E'* = <S>{Y}'/J. , v, = E , i . e . $ { Y 1 <HY) c c l o s e d c l a s s g e n e r a t e d b y A c o n t a i n s f o r e a c h c a r d i n a l i t y c . To c o m p l e t e t h e p r o o f , l e t f b e a p o l y n o m i a l i d e n t i t y w h i c h i s n o t s a t i s f i e d b y some a l g e b r a R i n V • T h e n f i k e r a f o r s o m e a £ Hom(${X}, R ) , s o f i ^ ${x} ' H e n c e e v e r y p o l y n o m i a l i d e n t i t y i n J i r , r V i s s a t i s f i e d b y a l l t h e a l g e b r a s i n V • S i n c e J ^ r ^ T c o n s i s t s <HX> . ° • » $1X> o n l y t h e p o l y n o m i a l i d e n t i t i e s s a t i s f i e d b y ${X}/J^^j > ^ ^ ^ ^ $ { 7 } g e n e r a t e s V" b y t h e f i r s t p a r t o f t h e p r o p o s i t i o n . Lemma 2.5 : I f i s a c l o s e d c l a s s o f a l g e b r a s t h e n t h e r e i s a n a l g e b r a A e s u c h t h a t e a c h i d e n t i t y s a t i s f i e d b y A i s a l s o s a t i s f i e d b y e v e r y a l g e b r a i n . - 9 -P r o o f : L e t I'd $ { X } b e t h e s e t o f i d e n t i t i e s s u c h t h a t f o r e a c h p o l y n o m i a l i d e n t i t y f e I, t h e r e i s a n a l g e b r a A f e w h i c h d o e s n o t s a t i s f y f . T h e n t h e c o m p l e t e d i r e c t s u m A = K A f d o e s n o t s a t i s f y • £ E X a n y i d e n t i t y i n I a n d A i s c o n t a i n e d i n O • H e n c e A i s t h e a l g e b r a i n s u c h t h a t e a c h i d e n t i t y s a t i s f i e d b y A i s a l s o s a t i s f i e d b y a l l a l g e b r a s i n O • Now we c a n c o m p l e t e B i r k h o f f ' s t h e o r e m . I f O i s a c l o s e d c l a s s o f a l g e b r a s t h e n t h e r e e x i s t s a n a l g e b r a A e w h o s e i d e n t i t i e s a r e s a t i s f i e d b y a l l t h e a l g e b r a s i n b y l e m m a 2 . 5 . I f V i s t h e v a r i e t y o f a l g e b r a s d e t e r m i n e d b y t h e s e t o f a l l i d e n t i t i e s s a t i s f i e d b y A t h e n o b v i o u s l y C \f . B u t A g e n e r a t e s V » V - G b y p r o p o s i t i o n 2 . 4 . T h i s s h o w s t h a t a c l o s e d c l a s s o f a l g e b r a s i s a v a r i e t y o f a l g e b r a s . T h e r e a r e c l a s s e s o f a l g e b r a s t h a t we a r e m o s t i n t e r e s t e d i n s t u d y i n g b u t d o n o t f o r m a v a r i e t y . O b v i o u s e x a m p l e s a r e : ( a ) C l a s s o f a l l s i m p l e a l g e b r a s t h a t b e l o n g t o a p a r t i c u l a r v a r i e t y . ( b ) C l a s s o f a l l s e m i - s i m p l e a l g e b r a s t h a t b e l o n g t o a p a r t i c u l a r v a r i e t y . (c) C l a s s o f a l l f i n i t e d i m e n s i o n a l a l g e b r a s o v e r a f i e l d . - 10 -C h a p t e r I I B i m o d u l e , B l r e p r e s e n t a t i o n a n d U n i v e r s a l E n v e l o p i n g A l g e b r a T h e c o n v e n t i o n s o f C h a p t e r I r e m a i n i n f o r c e i n t h i s C h a p t e r . A g a i n u n l e s s o t h e r w i s e s t a t e d , $ d e n o t e s a n a s s o c i a t i v e c o m m u t a t i v e r i n g . I n e a r l i e r d a y s , i d e m p o t e n t a n d f i n i t e n e s s a s s u m p t i o n w e r e t h e b a s i c t o o l s i n s t u d i n g a s s o c i a t i v e a l g e b r a s . B u t J a c o b c o n p r o v e d a d i r e c t g e n e r a l i z a t i o n o f W e d d e r b u r n ' s t h e o r e m , t h e s o c a l l e d J a c o b s o n D e n s i t y T h e o r e m , b y m e a n s o f i r r e d u c i b l e m o d u l e s a n d r e p r e s e n t a t i o n s . I n t h e s e t e r m s t h e p r o o f i s e s s e n t i a l l y s i m p l e a n d g e o m e t r i c a l , n o i d e m p o t e n t b e i n g r e q u i r e d , a n d n o f i n i t e n e s s a s s u m p t i o n o n t h e a s s o c i a t i v e a l g e b r a . One o f t h e g e n e r a l m e t h o d s a p p l i c a b l e t o a v a r i e t y \/(I) o f a l g e b r a s i s t h e s o c a l l e d I - b i r e p r e s e n t a t i o n , a n e x t e n d e d n o t i o n o f r e p r e -s e n t a t i o n s i n a s s o c i a t i v e a l g e b r a s . F o r a n a s s o c i a t i v e a l g e b r a R, b i r e p r e s e n t a t i o n i s a p a i r c o n s i s t i n g o f a h o m o m o p r h i s m a n d a n a n t i -h o m o m o r p h i s m o f R i n t o t h e r i n g o f a l l e n d o m o r p h i s m s o f a b i m o d u l e M, w h i l e i n a n o n a s s o c i a t i v e c a s e i t i s j u s t a p a i r o f l i n e a r m a p p i n g s a n d m o r e c o m p l i c a t e d . So we d e f i n e t h e e q u i v a l e n t n o t i o n s o f b i m o d u l e a n d b i r e p r e s e n t a t i o n f o r a v a r i e t y V ( I ) o f a l g e b r a s a n d c o n s t r u c t a u n i v e r s a l e n v e l o p i n g a l g e b r a A 6 o f a n a l g e b r a A i n t o g e t a h o m o m o r p h i s m e o f A i n t o t h e r i n g o f a l l e n d o m o r p h i s m s o f b i m o d u l e s M f o r : A. A n d we may f i n d a w a y o f c o n s t r u c t i n g A f r o m t h e a s s o c i a t i v e a l g e b r a A . - 11 -§3 B i m o d u l e s a n d B i r e p r e s e n t a t i o n s . L e t A b e a n o n a s s o c i a t i v e $ - a l g e b r a , l e t M b e a r i g h t u n i t a l $ - m o d u l e a n d l e t ( a , m) — > am, ( a , m) -—> ma b e a p a i r o f b i l i n e a r m a p p i n g s o f A x M i n t o M. T h e n t h e d i r e c t s um A €> M o f t h e a b e l i a n g r o u p s A a n d M i s t u r n e d i n t o a n o n a s s o c i a t i v e a l g e b r a o v e r * b y d e f i n i n g m u l t i p l i c a t i o n o n A © M b y ( a ^ + m ^ ) ( a 2 + m,,) = a ^ a 2 + a i m 2 + m l a 2 f o r a l l a . e A a n d m. e M. T h i s a l g e b r a i s c a l l e d t h e s o l i t n u l l 2 e x t e n s i o n b e c a u s e o f t h e f a c t t h a t M i s a n i d e a l o f A © M a n d M = 0. B e f o r e d e f i n i n g a b i m o d u l e f o r a n a r b i t r a r y a l g e b r a i n a v a r i e t y , r e c a l l t h a t M i s a b i m o d u l e f o r a n a s s o c i a t i v e r i n g R i f ( m a ) b = m ( a b ) , ( a m ) b = a ( m b ) a n d a ( b m ) = ( a b ) m f o r a l l a , b e R a n d m E M. I t may b e s h o w n e a s i l y t h a t t h e a s s o c i a t i v e b i m o d u l e c o n d i t i o n s a r e e q u i v a l e n t t o s h o w i n g t h a t t h e s p l i t n u l l e x t e n s i o n R © M i s a n a s s o c i a t i v e r i n g . T h i s o b s e r v a t i o n i s t h e k e y f o r e x t e n d i n g t h e n o t i o n o f b i m o d u l e t o a r b i t r a r y v a r i e t i e s . T h e f o l l o w i n g d e f i n i t i o n i s d u e t o E i l e n b e r g . D e f i n i t i o n 3.1 : L e t A b e a n a l g e b r a i n t h e v a r i e t y \ / ( I ) o f a l g e b r a s o v e r $ d e t e r m i n e d b y t h e s u b s e t I o f t h e f r e e n o n a s s o c i a t i v e a l g e b r a $ { X } . L e t M b e a r i g h t u n i t a l §-module a n d l e t ( a , m) — > am, ( a , m) -—> ma b e t w o b i l i n e a r m a p p i n g s . T h e n M i s c a l l e d a I - b i m o d u l e f o r A i f t h e s p l i t n u l l e x t e n s i o n A © M i s c o n t a i n e d i n t h e v a r i e t y \ / ( I ) . - 1 2 -To e s t a b l i s h t h e c r i t e r i o n o f a I - b i m o d u l e f o r A i n a v a r i e t y . k , y - ( I ) , we c o n s i d e r t h e f o l l o w i n g o p e r a t o r 6^ . Now l e t f ( x 1 f ..., x ) e l a n d l e t y b e a n e l e m e n t o f X d i f f e r e n t f r o m I n -x ^ , x n > T h e n s u b s t i t u t i n g x ^ + y f o r a n d m u l t i p l y i n g o u t g i v e s 00 (3.1) f ( x 1 , ..., x I _ 1 , ' X i + y , x i + 1 , x n ) . = I f ± k ( x 1 , x n , y ) , k=0 w h e r e f - y ^ 3 ^ ' •••» x n » y ) I s t n e S U C 1 o f a l l t e r m s w h i c h h a v e d e g r e e k w i t h r e s p e c t t o y . T h e sum o f t h e r i g h t h a n d s i d e o f (3.1) e x i s t s , a s f ^ k = 0 i f k i s g r e a t e r t h a n t h e l a r g e s t d e g r e e o f x ^ i n a n y m o n o m i a l o f f ( x ^ , . . . , x ^ , . . . . x ^ ) . L e t t h e o p e r a t o r 6 ^ ( y ) a c t o n f . T h e n f r o m (3.1) we h a v e k (3.2) .; f ( x 1 9 x ± , x n ) < 5 i ( y ) = f i k ( x i » •••» x i > •••» x n > • k I n o t h e r w o r d s t h e o p e r a t o r 6 ( y ) h a s t h e e f f e c t o f r e p l a c i n g e a c h m o n o m i a l t h a t c a n b e o b t a i n e d f r o m i t b y r e p l a c i n g k o f x A b y y . I f k = 0 t h e n t h e r e p l a c i n g o p e r a t o r 5°(y) i s j u s t t h e i d e n t i t y map a n d t h e o p e r a t o r S ^ ( y ) r e p l a c e s e a c h m o n o m i a l i n f b y t h e sum o f t h o s e t h a t c a n b e . . o b t a i n e d , f r o m i t b y r e p l a c i n g o n e o f x^' s l n t n e m o n o m i a l b y y . We h a v e t h e f o l l o w i n g c r i t e r i o n f o r I - b i m o d u l e f o r A i n . T h e o r e m 3.2 : L e t A e V(*)> l e t M. D e a r i g h t u n i t a l ^ - m o d u l e a n d l e t ( a , m) — > ma, ( a , m) — > am b e a p a i r o f b i l i n e a r m a p p i n g s o f A x M i n t o M. T h e n M i s a I - b i m o d u l e f o r A i f a n d o n l y i f f ( a ^ , a n ) 6 ^ ( m ) = 0 i n A © M f o r a l l a ^ e A , m e M a n d f e I . - 13 -P r o o f : I f M i s a n I - b i m o d u l e f o r A i n V ( I ) > t h e n f ( a 1 > . .., a j L _ 1 , •a i+m, a i + 1 > . a ^ ) = 0 f o r a l l a_^ e A, m E M a n d f e I , s i n c e t h e s p l i t n u l l e x t e n s i o n A ® M e V(I) . B u t f ( a 1 , a i _ 1 , a ^ , a±+1, a n ) = J n f i k ( a i ' V •••» V m ) k=0 00 = 1 f 5 ^ ( m ) k=0 — f ( a ^ , a ^ , a^) + f 6 ^ ( m ) , 2 1 s i n c e M = 0 . H e n c e f 6 . (m) = 0 i n A # M f o r a l l a . £ A , m E M a n d l l f e I . C o n v e r s e l y , i f f 6 ^ ( m ) = 0 h o l d s f o r a l l a ^ £ A , m e M a n d f e I t h e n n n f C a ^ + m , , a +m ) = T f<5?(m) + Y f 6 . ( m ) 1 1 n n . I , L. x i = l i = l N 1 = f ( a , , ..., a )•+ T f S 7 ( m ) = 0 . 1 n . u. x i = l T h i s s h o w s t h a t f ( b , , b ) = 0 f o r a l l b . e A «• M a n d f e I . So 1 n l A 9 M E Vii) a n d M i s a I - b i m o d u l e f o r A . - 1 4 -We l o o k a t t h e b i m o d u l e c o n d i t i o n s . f o r t h e f o l l o w i n g i m p o r t a n t v a r i e t y o f a l g e b r a s . ( a ) A s t h e v a r i e t y o f L i e a l g e b r a s i s d e t e r m i n e d b y t h e i d e n t i t i e s 2 :£ = x ^ a n d g = . ( x ^ x ^ x ^ + (K^X^)X^ + (x^x^x^, we h a v e f s j ( y ) = yx-j^ + x x y g 6 * ( y ) = ( y x 2 ) x 3 + ( x 2 x 3 ) y + ( x 3 y ) x 2 &^\(y) = ( x - L y ) x 3 + ( y x 3 ) x 1 + ( x 3 x 1 ) y g < 5 3(y) = ( x 1 x 2 ) y + ( x 2 y ) x 1 + ( y x 1 ) x 2 . H e n c e a r i g h t u n i t a l $ - m o d u l e M i s a b i m o d u l e f o r a L i e a l g e b r a A i f a n d o n l y i f am = -ma a n d ( m a ) b + ( b m ) a = ( b a ) m f o r a l l a , b e A a n d m e M . ( b ) A s t h e v a r i e t y o f J o r d a n a l g e b r a s i s d e t e r m i n e d b y t h e 2 2 i d e n t i t i e s f = x ^ x 2 - x 2 x ^ a n d g = ( x ^ x ^ x ^ - x ^ ( x 2 x ^ ) , we h a v e fS^Cy) = y * 2 - x 2 y . f 6 2 ^ = X l y ~ y X l 1 2 g 6 1 ( y ) = ( y x 1 x 2 ) x 1 + ( x 1 y x 2 > x ; L + ( x ^ ^ y - y x ^ x ^ ) 2 - x 1 y ( x 2 x 1 ) - x 1 ( x 2 y ) 1 2 2 g<5 2(y) = ( x 1 y ) x 1 - x ] L ( y x 1 ) . - 1 5 -H e n c e a r i g h t u n i t a l ^ - m o d u l e M i s a b i m o d u l e f o r a J o r d a n a l g e b r a A i f 2 2 a n d o n l y i f am = ma, 2 ( m a b ) a + ( a b ) m = 2 m a ( b a ) + a (bm) a n d 2 2 ( a m ) a = a (ma) f o r a l l a E A, m E M . ( c ) A s t h e v a r i e t y o f a l t e r n a t i v e a l g e b r a s i s d e t e r m i n e d b y t h e 2 2 i d e n t i t i e s f = x ^ x ^ - x ^ C x ^ s ^ ) a n c* ° ~ x i x 2 ~ ^ X 1 X 2 ^ X 2 ' w e ^- a v e f«^(y) = ( x 1 y ) x 2 + ( y x 1 ) x 2 - - y C x - ^ ) - x ^ y x ^ 1 2 f 6 2 ( y ) = x ^ y - x 1 ( x 1 y ) 1 2 g S - ^ y ) = y x j ^ - ( y x 2 ) x 2 1 g 6 2 ( y ) = x 1 ( y x 2 ) + x - ^ x ^ ) - ( x ^ ^ - ( x 1 x 2 ) y . H e n c e a r i g h t u n i t a l $ - m o d u l e M i s a b i m o d u l e f o r a n a l t e r n a t i v e a l g e b r a 2 2 A i f a n d o n l y i f ( a m ) b + ( m a ) b = m ( a b ) + a ( m b ) , a m = a ( a m ) , ma = ( m a ) a a n d a ( m b ) + a ( b m ) = ( a m ) b + ( a b ) m , f o r a l l a , b E A a n d m e M . ( d ) A s t h e v a r i e t y o f M a l c e v a l g e b r a s i s d e t e r m i n e d b y t h e 2 i d e n t i t i e s f = x ^ a n d g = ( x ^ x 2 ) ( x ^ x ^ ) - ( ( x ^ x 2 ) x ^ ) x ^ - ( ( x 2 x 3 ) x ^ ) x ^ - ( ( x 3 x 1 ) x 1 ) x 2 , we h a v e f 6 * ( y ) = x ^ y + y x x «> i g 6 - L ( y ) = ( y x 2 ) ( x 1 x 3 ) + ( x 1 x 2 ) ( y x 3 ) - ( ( y x 2 ) x 3 ) x 1 - ( ( x - j X ^ x ^ y - ( ( x 2 x 3 ) y ) x 1 - ( ( x 2 x 3 ) x 1 ) y - ( ( x ^ x . ^ ^ - {{x^i^y)^^ - 16. -1 g < 5 2(y) = ( x - j y ) ( X J X ) - ( ( x 1 y ) x 3 ) x 1 - ( ( y x - ( ( x ^ ^ x ^ y g <5 3(y) = ( x 1 x 2 ) ( x ^ ) - ( ( x x 2 ) y ) x 1 - ( ( x 2 y ) x 1 ) x 1 - ( ( y x ^ x . ^ ^ . H e n c e a r i g h t u n i t a l $ - m o d u l e M i s a b i m o d u l e f o r a M a l c e v a l g e b r a A i f a n d o n l y i f am + ma = 0, ( m b ) ( a c ) + ( a b ) ( m c ) = ( ( m b ) c ) a + ( ( a b ) c ) m + ( ( b c ) m ) a + ( ( b c ) a ) m a n d ( ( a m ) b ) a + ( ( b a ) a ) m + ( ( a b ) m ) a + ( ( m a ) a ) b = 0 f o r a l l a , b , c e A a n d m e M . D e f i n i t i o n 3.3 : L e t A b e a n a l g e b r a i n a r b i t r a r y v a r i e t y \ / ( I ) o f a l g e b r a s . F o r a g i v e n r i g h t u n i t a l ^ - m o d u l e M, a p a i r ( S , T ) o f l i n e a r m a p p i n g s a — > S a , a — > o f A i n t o Hom^(M, M) i s c a l l e d a I - b i r e p r e s e n t a t i o n o f A i n c a s e , e q u i p p e d w i t h t h e c o m p o s i t i o n s ma = S (m) , 3 . am = T ( m ) , M i s a I - b i m o d u l e f o r A. 3 . F r o m t h e b i m o d u l e c o n d i t i o n s , we may d e r i v e e a s i l y b i r e p r e s e n t a t i o n c o n d i t i o n s f o r t h e f o l l o w i n g v a r i e t i e s . L e t M b e a r i g h t $ - m o d u l e a n d ( S , T) b e a p a i r o f l i n e a r m a p p i n g o f a n a l g e b r a i n t o Hom^(M, M ) . ( a ) F o r a n a s s o c i a t i v e a l g e b r a A , ( S , T) i s a b i r e p r e s e n t a t i o n f o r A i f a n d o n l y i f S = S S , S T = T S a n d I = T 1 , a , b e A. 3 .D D SL D 3 . • 3 . D 3 D 3 D ( b ) F o r a L i e a l g e b r a A , ( S , T) i s a b i r e p r e s e n t a t i o n f o r A i f a n d o n l y i f S = -T a n d S, S - T T, = T, , a , b e A . b a a b b a (c) I f A i s a J o r d a n a l g e b r a t h e n ( S , T) i s a b i r e p r e s e n t a t i o n - 17 -i f a n d o n l y i f T = S, 2S S, S + S „ = 2S, S + S „S,_ and' a D a a2£, b a a a 2 b S „S , a , b e A. a 2 a ( d ) I f A i s a n a l t e r n a t i v e a l g e b r a t h e n ( S , T) i s a b i r e p r e s e n t a t i o n f o r A i f a n d o n l y i f S,T + S,S = S , + I S , , b a b a a b a b T „ = T T , S 0 = S S a n d I S, + T I , = S, I + T , , a , b e A . a z a a a z a a a b a b b a ab ( e ) I f A i s a M a l c e v a l g e b r a t h e n ( S , T) i s a b i r e p r e s e n t a t i o n i f a n d o n l y i f S = -T, S S, - S , S = S S S, - S, , A - S S, -a c b ab c a c b ( a b ) c a b c a n d S S , S + S,, N + S S '+ S, S S = 0 , a , b , c E A . a b a . ( b a ) a a ab b a a C l e a r l y t h e n o t i o n o f I - b i m o d u l e i s e q u i v a l e n t t o t h a t o f I - b i r e p r e s e n t a t i o n . I n g e n e r a l we may s p e a k o f I - b i r e p r e s e n t a t i o n f o r A i n a n y a s s o c i a t i v e a l g e b r a X w i t h u n i t y , s i n c e X i s i s o m o r p h i c t o a s u b a l g e b r a o f H o m ^ ( X , X ) . M o r e p r e c i s e l y , i f \i i s a o n e t o o n e u n i t a l r e p r e s e n t a t i o n o f X i n t o H o m ^ ( X , X) t h e n ( y S , u T ) i s a I - b i r e p r e s e n t a -t i o n f o r A, w h e r e S , T : A — > X i s l i n e a r m a p p i n g s . Now we s h a l l . c o n s i d e r t h e u n i v e r s a l p r o p e r t y o f I - b i r e p r e s e n t a t i o n . D e f i n i t i o n 3.4 : L e t A b e a n a l g e b r a i n t h e v a r i e t y d e f i n e d b y t h e e s e t I o f i d e n t i t i e s . T h e n a n a s s o c i a t i v e a l g e b r a A w i t h u n i t y i s c a l l e d a u n i v e r s a l e n v e l o p i n g a l g e b r a o f A i f A h a s t h e f o l l o w i n g p r o p e r t y : T h e r e i s a c a n o n i c a l I - b i r e p r e s e n t a t i o n a —> S * , a — > T* 3. 3. S o f A i n t o A s u c h t h a t f o r a n y I - b i r e p r e s e n t a t i o n a — > S , a — > T a a o f A i n t o a n a s s o c i a t i v e a l g e b r a X w i t h u n i t y , t h e r e e x i s t s a u n i q u e f o r A S S ._ a a 2 f o r A S ( b c ) a h o m o r a o r p h i s m $ : A. e —> X s u c h t h a t S = <j>S*, T = <j)T*, i . e . t h e f o l l o w i n g d i a g r a m c o m m u t e s : S* S *• A > X > e e O n e o f t h e p r o p e r t i e s o f A we s h a l l n e e d i s t h a t A i s g e n e r a t e d b y t h e e l e m e n t s S*, T* , w h e r e a e A . To v e r i f y t h i s a s w e l l a a e as t h e e x i s t e n c e a n d u n i q u e n e s s o f A , we r e f e r t h e r e a d e r t o J a c o b s o n [5]. B u t as a n e x p l i c i t e x a m p l e , we c o n s t r u c t t h e u n i v e r s a l e n v e l o p i n g a l g e b r a e A o f a n a l g e b r a A s a t i s f y i n g t h e i d e n t i t y ( x y ) z = ( z y ) x . L e t V ( I ) b e a v a r i e t y o f a l g e b r a s d e f i n e d b y t h e i d e n t i t y ( x y ) z = ( z y ) x , t h e n t h e c o n d i t i o n s f o r a b i m o d u l e M f o r A e a r e ( m a ) b = ( b a ) m f o r m E M, a , b e A . ( a m ) b = ( b m ) a A n d t h e b i r e p r e s e n t a t i o n c o n d i t i o n s f o r A a r e S, S = T, b a Da f o r a , b e A . S, T = S T, b a a b To c o n s t r u c t a u n i v e r s a l e n v e l o p i n g a l g e b r a A , l e t A ' b e a r i g h t ^ - m o d u l e i s o m o r p h i c t o A a n d l e t a — > a ' d e n o t e t h e i s o m o r p h i s m A > A'. F o r m t h e d i r e c t sum A © A' ( $ - m o d u l e ) a n d l e t £f(B) b e t h e - 19 -t e n s o r a l g e b r a b a s e d o n B. T h e n (B) h a s t h e f o l l o w i n g p r o p e r t y : A n y l i n e a r m a p p i n g 8 : B —> X , w h e r e X i s a n y a s s o c i a t i v e a l g e b r a , c a n b e e x t e n d e d u n i q u e l y t o a h o m o m o r p h i s m e : ^ ( B ) —> X ; -> X L e t K b e a n i d e a l o f J ( B ) g e n e r a t e d b y b 0 a - ( b a ) 1 a , b e A a n d a ' , b ' e A ' b 8 a* - a 0 b» w h e r e 8 d e n o t e s t h e p r o d u c t i n ^ J ( B ). P u t A e = ^ f ( B ) / K a n d d e f i n e S*. T* : A — > A £ b y S* : a — > K + a T* : a — > K + a ' . T h e n ( S * , T*) i s a b i r e p r e s e n t a t i o n f o r A, s i n c e S * S * - T* = ( K + b ) ( K + a ) - ( K + ( b a ) ') = K + (b 0 a - ( b a ) ') = 0 b a b a S * T * - S*T* = ( K + a ) ( K + b ' ) - ( K + b ) ( K + a') a D b a = ( K + a 0 b *) - ( K + b 0 a') = K + ( a 0 b ' - b 0 a') = 0 e Now we h a v e t o s h o w t h a t A h a s t h e u n i v e r s a l p r o p e r t y . - 20 -L e t S, T : A — > X b e a n y b i r e p r e s e n t a t i o n f o r A a n d d e f i n e a l i n e a r map 0 : B — > X b y t h e r u l e 8 : a + b ' — > + T b . T h e n 6 c a n b e e x t e n d e d t o a h o m o m o p r h i s m 6 : ^ ( B ) — > X, a n d m o r e o v e r ? ( b 0 a - ( b a ) ' ) = ? ( b ) ? ( a ) - ? ( b a ) \ = e ( b ) 0 ( a ) - 9 ( b a ) ' = S, S . - T, = 0 b a b a ? ( b 8 a ' - a 0 b ' ) = ? ( b ) ? ( a ' ) - ? ( a ) ? ( b ' ) = 0 ( b ) 0 ( a ' ) - 0 ( a ) 0 ( b ' ) = S, T - S T = 0 D 3 3. D A s 8 : K — > 0, 8 i n d u c e s a h o m o m o r p h i s m • \\> : C ( B ) / K — > . X . T h e * * e u n i q u e n e s s o f \\i f o l l o w s f r o m t h e f a c t t h a t S a n d T g e n e r a t e s A a a T h e r e f o r e we h a v e s h o w n t h a t A& = l ^ 7 ( B ) / K i s a u n i v e r s a l e n v e l o p i n g a l g e b r a . Q N o t e t h a t a u n i v e r s a l e n v e l o p i n g a l g e b r a A o f A d e p e n d s n o t o n l y o n A b u t a l s o o n t h e v a r i e t y . F o r e x a m p l e l e t A = $ x , 2 x =0 t h e n A i s a L i e a l g e b r a a n d A i s a l s o a n a s s o c i a t i v e a l g e b r a . T h i n k i n g o f A a s a L i e a l g e b r a , A i s t h e a l g e b r a $ [ t ] o f a l l p o l y n o -m i a l s i n t w i t h c o e f f i c i e n t s i n $. a n d c o n s t a n t t e r m e q u a l t o z e r o . e 3 H o w e v e r , t h i n k i n g o f A a s a n a s s o c i a t i v e a l g e b r a , ( A ) = 0 . Now r e c a l l t h a t f o r a n y a s s o c i a t i v e a l g e b r a o v e r a c o m m u t a t i v e a s s o c i a t i v e r i n g $, M i s c a l l e d a r i g h t A - m o d u l e i f M i s a n a b e l i a n g r o u p , M i s a r i g h t $ - m o d u l e a n d M i s a r i g h t A - m o d u l e a s a r i n g s u c h that m ( a a ) = ( m a ) a = ( m a ) a f o r a l l a e $, a e A a n d m e M . - 21 -R e m a r k : L e t A b e a n a l g e b r a i n t h e v a r i e t y o f a l g e b r a s d e t e r m i n e d by t h e s e t I o f i d e n t i t i e s . T h e n a n y I - b i m o d u l e M f o r A c a n b e e e r e g a r d e d a s a r i g h t A - m o d u l e . C o n v e r s e l y a n y r i g h t A - m o d u l e c a n b e c o n s i d e r e d a s a n I - b i m o d u l e f o r A . P r o o f : L e t M b e a n I - b i m o d u l e f o r A a n d l e t ( S * , T*) b e a n e I - b i r e p r e s e n t a t i o n o f A i n t o A . T h e n t h e r e i s a h o m o m o r p h i s m <j» : A — > Horn (M, M) s u c h t h a t t h e f o l l o w i n g d i a g r a m c o m m u t e s S* A > A 6 ~—> S is Horn (M,M) w h e r e ( S , T) i s a b i r e p r e s e n t a t i o n o f A i n M . D e f i n e u ° b = <j>(b)(u) A e e e f o r a l l u £ M, b e A , t h e n t h i s d e f i n e s a r i g h t u n i t a l A - m o d u l e . e s t r u c t u r e o n M, s i n c e A i s g e n e r a t e d b y S * ( A ) a n d T * ( A ) . e C o n v e r s e l y a s s u m e t h a t M i s a r i g h t u n i t a l A - m o d u l e . T h e n we e h a v e a h o m o m o r p h i s m cb : A — > Horn (M, M) s u c h t h a t <b(b) : u — > u 0 b . A e B u t (<bS*, <bT*) i s a n I - b i r e p r e s e n t a t i o n o f A i n Horn (M, M ) , t h e r e f o r e M i s a n I - b i m o d u l e f o r A i n w h i c h a ° u = <iT*(u) a n d u ° a = t j>S A(u) A a A a f o r a l l a e A , u .e M . - 22 -. C h a p t e r I I I . I n j e c t i v e I - b i m o d u l e s f o r a n a l g e b r a i n a v a r i e t y V ( D §4 D e f i n i t i o n a n d b a s i c p r o p e r t i e s o f i n j e c t i v e b i m o d u l e s . T h e n o t i o n o f a n i n j e c t i v e m o d u l e f i r s t c o n s i d e r e d b y B a e r h a s b e e n s t u d i e d o n l y f o r a s s o c i a t i v e a l g e b r a s . I n t h i s s e c t i o n we i n t r o d u c e t h e n o t i o n o f i n j e c t i v e I - b i m o d u l e f o r a n a l g e b r a i n a n y v a r i e t y . D e f i n i t i o n 4 .1 : L e t A b e a n a l g e b r a i n t h e v a r i e t y \ / ( I ) o f a l g e b r a s d e t e r m i n e d b y a s e t I o f i d e n t i t i e s . T h e n a n I - b i m o d u l e E f o r A i s c a l l e d i n j e c t i v e i f g i v e n a n y m o n o m o r p h i s m f : M — > N o f I - b i m o d u l e s f o r A , a n d a n y h o m o m o r p h i s m g : M—> E , t h e r e e x i s t s a h o m o m o r p h i s m h : N — > E s u c h t h a t h f = g . P r o p o s i t i o n 4.2 : ( C h a r a c t e r i z a t i o n o f a n i n j e c t i v e I - b i m o d u l e f o r A i n V(D ) I f A i s a n a l g e b r a i n a v a r i e t y t h e n t h e f o l l o w i n g c o n d i t i o n s a r e e q u i v a l e n t : ( 1 ) E i s a n i n j e c t i v e I - b i m o d u l e f o r A . (2) E v e r y e x a c t s e q u e n c e 0 — > E —> M — > L — > 0 o f I - b i m o d u l e s f o r A s p l i t s . (3) E i s t h e d i r e c t summand o f I - b i m o d u l e f o r A w h i c h c o n t a i n s i t . - 23 -T h e e q u i v a l e n c e o f ( 1 ) , ( 2 ) a n d ( 3 ) i s w e l l k n o w n f o r r i g h t R - m o d u l e s i f R i s a s s o c i a t i v e . So t h e p r o p o s i t i o n s i m p l y f o l l o x ^ s f r o m t h e f a c t t h a t t h e n o t i o n o f I - b i m o d u l e f o r A i s e q u i v a l e n t t o t h a t o f r i g h t A - m o d u l e . T h e f o l l o w i n g t h e o r e m s a y s t h a t t h e r e a r e e n o u g h i n j e c t i v e I - b i m o d u l e s f o r a n y a l g e b r a i n a v a r i e t y \ / ( I ) . T h e p r o o f f o l l o w s f r o m t h e p r o o f i n S h a r p e [8] t o g e t h e r w i t h t h e r e m a r k i n t h e p r e v i o u s s e c t i o n . T h e o r e m 4 . 3 : E v e r y I - b i m o d u l e f o r A c a n b e e m b e d d e d i n a n i n j e c t i v e I - b i m o d u l e f o r A. R e c a l l t h a t f o r a n y a s s o c i a t i v e a l g e b r a R, a n i n j e c t i v e h u l l o f a r i g h t R - m o d u l e M i s a n i n j e c t i v e R - m o d u l e N s u c h t h a t i f M Q N' C I N a n d N' i s i n j e c t i v e t h e n N' = N. We d e n o t e a n i n j e c t i v e h u l l o f M b y E ( M ) . S i n c e a n R - m o d u l e c a n b e e m b e d d e d u n i q u e l y i n a n i n j e c t i v e h u l l , we may s a y t h a t e v e r y I - b i m o d u l e f o r A i n a v a r i e t y a l s o h a s a n i n j e c t i v e h u l l E * ( M ) w h i c h i s d e f i n e d b y E * ( M ) = E ( M ) . A A A ^ §5 I n j e c t i v e I - b i m o d u l e f o r f i n i t e d i m e n s i o n a l a l g e b r a s . I n t h i s s e c t i o n we w i l l d e d u c e t h e c o n c r e t e s t r u c t u r e o f a n i n j e c t i v e I - b i m o d u l e f o r f i n i t e d i m e n s i o n a l a l g e b r a s i n c e r t a i n v a r i e t i e s . E a c h a l g e b r a c o n s i d e r e d i n t h i s s e c t i o n i s a s s u m e d t o b e a n a l g e b r a o v e r a f i e l d . A n a l g e b r a o v e r a f i e l d $ i s c a l l e d f i n i t e d i m e n s i o n a l i f t h e - 24 -v e c t o r s p a c e d i m e n s i o n ( A : $) i s f i n i t e . A n a l g e b r a A i s n i l p o t e n t i f t h e r e e x i s t s a n i n t e g e r n s u c h t h a t a l l p o s s i b l e p r o d u c t s o f n e l e m e n t s i n A e q u a l z e r o . We c a n a l s o d e s c r i b e t h e n i l p o t e n c e o f a n a l g e b r a A i n t e r m s o f i t s r i g h t a n d l e f t m u l t i p l i c a t i o n R a n d L a a r e s p e c t i v e l y , w h e r e R : x — > x a a n d L : x — > a x f o r x , a e A. a a B y i n d u c t i o n i t may b e s h o w n t h a t a n y p r o d u c t o f 2 e l e m e n t s o f A c a n b e w r i t t e n i n t h e f o r m Y Y ...Y Y ( x ) f o r s o m e x , a , , a e A, a a , a„ a . 1 r r r - l 2 1 w h e r e Y d e n o t e s a m b i g u o u s l y e i t h e r R o r L T h u s A i s n i l p o t e n t a,. a . a. • i i i i f a n d o n l y i f t h e r e e x i s t s a n i n t e g e r r s u c h t h a t Y Y ..-Y Y = 0 a a <• a<-> a^ r r - l 2 1 f o r a l l a , , ..., a e A 1 r T h e o r e m 5.1 : S u p p o s e a v a r i e t y o f a l g e b r a s o v e r a f i e l d $ s a t i s -f i e s t h e f o l l o w i n g c o n d i t i o n : ( 5 . 1 ) F o r a n y a l g e b r a A i n \ / ( I ) o f t h e f o r m A = $ x ^ + ... + $ x n 2 e w i t h A = 0, t h e u n i v e r s a l e n v e l o p i n g a l g e b r a A i s n i l p o t e n t . T h e n f o r a n y f i n i t e d i m e n s i o n a l a l g e b r a B i n \ / ( I ) , t h e u n i v e r s a l e e n v e l o p i n g a l g e b r a B i s a l s o f i n i t e d i m e n s i o n a l . P r o o f : L e t F b e \ / - f r e e a l g e b r a g e n e r a t e d b y t h e s e t { y , u ^ , u n ) 2 2 2 t h e n F / F i s a l s o f i n i t e l y g e n e r a t e d a n d ( F / F ) = 0 . C l e a r l y 2 j 2 e F / F e y ( I ) b y B i r k h o f f ' s t h e o r e m , a n d ( F / F ) i s n i l p o t e n t b y c o n d i t i o n 2 2 2 ( 5 . 1 ) . I f T i s a n i d e a l o f F g e n e r a t e d b y F F , t h e n F /T i s a 2 2 2 I - b i m o d u l e f o r F / F . F o r F i s a I - b i m o d u l e f o r F , a s F i s a n 2 2 2 i d e a l o f F . T h e r e f o r e F /T i s a I - b i m o d u l e f o r F . B u t ( F / T ) F = 0 F 2 ( F 2 / T ) , a s F 2 F 2 C T . H e n c e F 2 / T i s a I - b i m o d u l e f o r F / F 2 . 2 2 Now f o r t h e I - b i r e p r e s e n t a t i o n ( A , y ) o f A i n Horn ( F /T, F /T) a n d — — 2 2 e f o r c a n o n i c a l I - b i r e p r e s e n t a t i o n ( A , \i) o f F / F i n ( F / F ) , we h a v e 2 e 2 2 a h o m o m o r p h i s m IJJ : ( F / F ) — > Horn ( F /T, F /T) s u c h t h a t t h e f o l l o w i n g d i a g r a m c o m m u t e s ( F / F 2 ) ' y A F / F 2 * Horn ( F 2 / T , F 2 / T ) y 2 B u t A a n d u a r e l e f t a n d r i g h t m u l t i p l i c a t i o n i n F /T, a n d f r o m t h e 2 e f a c t t h a t ( F / F ) i s n i l p o t e n t , we c o n c l u d e t h a t t h e r e e x i s t s a n i n t e g e r 2 k s u c h t h a t Y . . .Y ( F ) <C- T f o r a l l a , , a, e F , w h e r e Y i s \ a l 1 K R o r L . So i n p a r t i c u l a r , Y Y ( y ) C. T f o r e v e r y { a , .. ., .a,} Q. {u^ , a . a 1 o E v i d e n t l y t h e n (5.2) Y a , " ' V a ^ = I + ^ ( S t ) P i K 1 O 2 w h e r e s ' , t ! , s , t a r e i n F a n d P . ' s a r e p r o d u c t s o f Y , w h e r e 1 U j » i u. . a r e i n { u , , u } . T h e n t h e d e g r e e o f y i n t h e l e f t h a n d s i d ~ 26 -of ( 5 . 2 ) i s 1 a n d s o i s t h e r i g h t h a n d s i d e . T h i s m e a n s t h a t Y ...Y Y ( y ) i s t h e l i n e a r c o m b i n a t i o n o f t e r m s o f t h e t y p e \ a l a o Y ...Y Y ( y ) , w h e r e c , , .... c ^ a r e m o n o m i a l s i n u , , ..., u a n d C t C 2 c l - ' ' n d e g r e e c . > 2 i n u . f o r some i . So we h a v e l — l ( 5 . 3 ) V V * = 1 ^ W"Y ^ ( Y ) ' K i O °t C l i w h e r e £. e. $, c ^ ^ a r e m o n o m i a l s i n u , , .... u a n d f o r e a c h i a t i 2 1' ' n l e a s t o n e o f t h e c ^ ^ . i s o f d e g r e e a t l e a s t 2 i n u . ' s a n d J 3 { a Q , a^} C l { u ^ , u n ) A s F i s \ / - f r e e a l g e b r a , t h e c o n d i t i o n ( 5 . 3 ) h o l d s f o r a l l A i n \ / ( I ) . L e t B b e a n a l g e b r a i n \ / ( I ) o f f i n i t e d i m e n s i o n a l w i t h a b a s i s { x ^ , x n > a n d l e t M b e a I - b i m o d u l e f o r B a s s o c i a t e d w i t h c a n o n i c a l I - b i r e p r e s e n t a t i o n ( S * , T*) : B — > B e . T h e n B e i s g e n e r a t e d b y 1 , Y , Y , w h e r e Y = S* o r T* . T h a t i s e v e r y e l e m e n t i n B 6 1 n i s a l i n e a r c o m b i n a t i o n o f t h e m o n o m i a l s i n Y , Y . A l s o B ® M x . x 1 n s a t i s f i e s ( 5 . 3 ) , a s B « M E . I n ( 5 . 3 ) t a k e y e M, { a , ...» a, } { x . , x } . T h e n e v e r y m o n o m i a l Y ...Y Y i k 1 o s a l i n e a r c o m b i n a t i o n o f p r o d u c t s Y . ...Y , w h e r e c . ( j = 1 , 2, t ) c t C l 2 i s a m o n o m i a l i n x , , x a n d t h e d e g r e e c . > 2 . i n x . f o r s o m e i . 1' ' n 6 j — x B u t u s i n g t h e f a c t t h a t { x , , .... x } i s a b a s i s , Y i s a l i n e a r " I n c . J c o m b i n a t i o n o f Y ' s . Now we h a v e e v e r y m o n o m i a l Y ...Y Y , w h e r e \ \ a l a o { a Q , a^,} CL { x ^ , x n } i s a l i n e a r c o m b i n a t i o n o f m o n o m i a l s o f - 27 -smaller degree i n Y's. i . e . Every monomial i n Y , Y i s a x l n l i n e a r combination of monomials of degree less than or equal to n. Hence Q the monomials of degree less than or equal to n span B . Therefore we e have proved that dim B < °° . Note : Jordan algebras and a l t e r n a t i v e algebras s a t i s f y the condition (5.1) but L i e algebras do not. I t i s one of the well-known properties that i f an a s s o c i a t i v e r i n g R with unity i s a r t i n i a n then a r i g h t R-module R can be w r i t t e n as a d i r e c t sum R = R^ ® ... ® R^ uniquely up to isomorphism, where each R^ i s a nonzero indecomposable submodule of R and the submodule R^ i s c a l l e d the p r i n c i p a l indecomposable submodule of R. Also r e c a l l that f or any a s s o c i a t i v e algebra over a f i e l d $ , $-dual space of r i g h t R-module N, Horn (N, $) = N* i s a l e f t R-module by de f i n i n g (r°<j))(x) = cb(xr), <J> E N*, r E R, x E N . Theorem 5.2 : Let \/(I) be a v a r i e t y of algebras over a f i e l d s a t i s f y i n g condition (5.1). Then an I-bimodule M for an algebra A i n \/(I) of f i n i t e dimension i s i n j e c t i v e i f and only i f M i s a d i r e c t sum of $-duals of p r i n c i p a l indecomposable l e f t A -modules. Proof follows by Nagao and Nakayama (see Tsai [9]) together with e the fact, that an I-bimodule•for A and a r i g h t A -module are equivalent and theorem 5.1. - 28 -§6 Projective dimension and semi-simplicity of an associative algebra. Throughout this section we r e s t r i c t ourselves to the variety of associative algebras. Recall the following d e f i n i t i o n s . In a category Yj? of right A-modules, where A i s an associative ring with unity, a (chain) complex C = (C 6 ) i s a sequence {C } „ of A-modules together with n n n neZ the family of A-homomorphisms {5 : C —> C ,} such that 6 6 = 0 : n n n-1 n n+1 6 n+1 5 n C * • • • ^ C , ————> Q > C -———-> « ». n+1 n n-1 and a positive chain complex i s a chain complex of the form 6 C : ... —> C _,, > C —> . . . —> C. —> C —> 0 n+1 n 1 o with C =0 for a l l n < 0 . n A resolution of a A-module M i s a pos i t i v e chain complex C 6 , such that C : ... —>'C ,,— > C -—> ... —> C, —> C —> M —> 0 n+1 n 1 o i s an exact sequence. A resolution . . —> C ,, —> C —> .. . —> C, —> C —> M —> 0 n+1 n 1 o of A-module M i s cal l e d projective resolution i f i s projective A-module for n >_ 0. Right A-module M has projective dimension <_ n i f M has a projective resolution C s a t i s f y i n g = 0 for k > n . The least such integer n i s called the projective dimension of M and denoted by Proj. dim^M . I f no such integer e x i s t s , then the projective - 29 -dimension i s defined to be «. A A-module M i s c a l l e d semi-simple i f M has a family of simple submodules whose d i r e c t sum i s M i t s e l f . A r i n g A i s s a i d to be semi-simple i f i t i s semi-simple as a r i g h t module over i t s e l f . An A-module M i s c y c l i c i f there i s an element e M such that every m e M i s of the form m = m r f o r some r e A . o We write the p r o j e c t i v e dimension i n terms of bimodules i n the following theorem. Theorem 6.1 : Let K be a semi-simple commutative r i n g with unity and A be an a s s o c i a t i v e K-algebra. Then the following conditions are equivalent : (1) P r o j . dim A = 0 . A e e (2) A i s semi-simple. (3) Every bimodule for A i s semi-simple. (4) Every bimodule for A i s i n j e c t i v e . e (5) Every r i g h t i d e a l of A i s i n j e c t i v e . (6) Every c y c l i c bimodule f o r A i s i n j e c t i v e . The equivalence of (1) and (2) i s to be found i n Cartan [2] and the remainder i n Tsai [9]. B i b l i o g r a p h y -A n d e r s o n , C T . : T h e L e v i t z k i R a d i c a l i n V a r i e t i e s o f A l g e b r a s . M a t h . A n n . 1 9 4 , S p r i n g e r - V e r l a g , 1 9 7 1 . C a r t a n , H. & E i l e n b e r g , S . : H o m o l o g i c a l A l g e b r a . P r i n c e t o n U n i v e r s i t y P r e s s , 1 9 5 6 . C o h n , P.M. : U n i v e r s a l A l g e b r a . H a r p e r & Row P u b . , 1 9 6 5 . E i l e n b e r g , S. : E x t e n s i o n s o f G e n e r a l A l g e b r a s . A n n . S o c i . P o l o n . M a t h . . 2 1 , 1 9 4 8 . J a c o b s o n , N. : S t r u c t u r e a n d R e p r e s e n t a t i o n o f J o r d a n A l g e b r a s . A m e r . M a t h . S o c . C o l l o q . P u b l . 3 4 , P r o v i d e n c e , 1 9 6 9 . O s b o r n , J.M. : V a r i e t y o f A l g e b r a s . A d v a n c e s i n M a t h e m a t i c s . A c a d e m i c P r e s s , 1 9 7 2 . S c h a f e r , R.D. : I n t r o d u c t i o n t o N o n a s s o c i a t i v e A l g e b r a s . A c a d e m i c P r e s s , 1 9 6 6 . S h a r p e , D.W. & V a m o s , P. : I n j e c t i v e M o d u l e s . C a m b r i d g e U n i v e r s i t y P r e s s , 1 9 7 2 . T s a i , C T . : R e p o r t s o n I n j e c t i v e M o d u l e s . Q u e e n ' s U n i v e r s i t y , 1 9 6 5 . 

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