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Commuting operator solutions of algebraic equations. Insley, Robin Bruce 1970

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831-UBC_1970_A6_7 I58.pdf [ 1.3MB ]
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COMMUTING OPERATOR SOLUTIONS OF ALGEBRAIC EQUATIONS b y ROBIN BRUCE I N S L E Y j B . S c . U n i v e r s i t y o f B r i t i s h C o l u m b i a , 1967 A T H E S I S SUBMITTED I N P A R T I A L FULFILMENT OF THE REQUIREMENTS FOR THE DEGREE OF MASTER OF SCIENCE : i n t h e D e p a r t m e n t o f MATHEMATICS We a c c e p t t h i s t h e s i s a s c o n f o r m i n g t o t h e r e q u i r e d s t a n d a r d THE U N I V E R S I T Y OF B R I T I S H COLUMBIA F e b r u a r y , 1970 In presenting this thesis in partial fulfilment of the requirements for an advanced degree at the University of British Columbia;, I agree that the Library shall make i t freely available for reference and study, I further agree that permission-for extensive copying of this thesis for scholarly purposes may be granted by the Head of my Department or by his representatives. It is understood that copying or publication of this thesis for financial gain shall not be allowed without my written permission. Department of The University of British Columbia Vancouver 8, Canada ( i i ) ABSTRACT L e t X b e a f i x e d B a n a c h s p a c e , S a s c a l a r t y p e o p e r a t o r i n B ( X ) , a n d G a c o m p l e x p o l y n o m i a l i n two i n d e t e r m i n a t e s . T h e a i m o f t h i s t h e s i s ' i s t o c h a r a c t e r i z e a l l o p e r a t o r s T e B ( X ) w h i c h commute w i t h S a n d s a t i s f y t h e a l g e b r a i c e q u a t i o n G ( S , T ) = 0 . TABLE OF CONTENTS S e c t i o n 1 : I n t r o d u c t i o n S e c t i o n 2 : F a c t s f r o m f u n c t i o n t h e o r y S e c t i o n 3 : F a c t s f r o m o p e r a t o r t h e o r y S e c t i o n 4 : F a c t s f r o m i d e a l t h e o r y S e c t i o n 5 : P r o o f o f t h e t h e o r e m S e c t i o n 6 : Some g e n e r a l i z a t i o n s o f t h e t h e o r e m A p p e n d i x B i b l i o g r a p h y ( i v ) ACKNOWLEDGMENT I w o u l d l i k e t o t h a n k D r . R . C . R i d d e l l f o r t h e g u i d a n c e a n d p a t i e n c e h e h a s s h o w n t h r o u g h o u t t h e p r e p a r a t i o n o f t h i s t h e s i s . I w o u l d a l s o l i k e t o t h a n k D r . K . Hoechmann who h e l p e d w i t h some o f t h e a l g e b r a i c a r g u m e n t s d u r i n g p r e p a r a t i o n . F i n a l l y , I w i s h t o t h a n k t h e U n i v e r s i t y o f B r i t i s h C o l u m b i a f o r t h e i r f i n a n c i a l s u p p o r t . / \ SECTION 1 INTRODUCTION C o n s i d e r t h e p r o b l e m o f f i n d i n g m a t r i x s o l u t i o n s t o a l g e b r a i c e q u a t i o n s . F o r e x a m p l e , l e t S = 2 2 G ( w , z ) = z - w 0 0 x 2 a n d s e e k 2 x 2 m a t r i c e s T s u c h t h a t G ( S , T ) = 0 . S i n c e G ( S , z ) = ( z - S ) ( z + S ) i t i s o b v i o u s t h a t T j = S a n d T 2 = - S a r e s o l u t i o n s . H o w e v e r , o t h e r s may e x i s t s i n c e t h e r i n g o f m a t r i c e s o v e r (E c o n t a i n s z e r o d i v i s o r s . I n d e e d , t h e m a t r i c e s T ' 1^ 0 - X 2 a n d T » = 0 0 x 2 a l s o s a t i s f y t h e e q u a t i o n . I t s h o u l d b e n o t e d t h a t T ' a g r e e s w i t h o n t h e 1 o n e d i m e n s i o n a l e i g e n s p a c e o f S s p a n n e d b y 0 " d i m e n s i o n a l e i g e n s p a c e o f S s p a n n e d b y (0 a n d w i t h T 2 o n t h e o n e C o n s e q u e n t l y , t h e f a c t o r ( T ' - S) v a n i s h e s o n o n e p a r t o f C w h i l e t h e o t h e r f a c t o r ( T ' + S) v a n i s h e s o n t h e c o m p l e m e n t a r y p a r t o f (E . T h i s w o r k s b e c a u s e o f t h e m a n n e r i n w h i c h S / 2 h a s d e c o m p o s e d £ . T ' a n d T" c a n b e d e s c r i b e d i n a m o r e a l g e b r a i c m a n n e r b y u s i n g t h e e i g e n p r o j e c t i o n s E ( X ! ) -1 0 o ' 6 a n d E(x 2) = 0 0 0 1 a s s o c i a t e d w i t h t h e . e i g e n v a l u e s o f S . - 2 -We h a v e t h a t T ' « x 1 F 1 ' + ' T 2 F 2 w h e r e F x = E C ^ ) , F 2 = E ( X 2 ) a n d T" = T ^ + T 2 F 2 w h e r e F1 = E ( X 2 ) , F 2 = E ( X X ) A r e a l l o f t h e s o l u t i o n s o f t h e a b o v e f o r m ? I f Xx = X 2 = X , t h e n t h e o n l y e i g e n p r o j e c t i o n o f S i s t h e 2 x 2 i d e n t i t y m a t r i x ; a n d i n t h i s ' s i t u a t i o n i t i s o b v i o u s t h a t t h e s o l u t i o n 1 X ' " = X a 0 - X (a e 0 o f t h i s e q u a t i o n c a n n o t b e w r i t t e n i n t h e d e s i r e d f o r m u s i n g e i g e n p r o j e c t i o n s , H o w e v e r i t c a n b e w r i t t e n i n t h i s f o r m u s i n g t h e p r o j e c t i o n s F l = 1 0 0 a n d Fo = a -"2X (X / 0 ) A l t h o u g h F^  a n d F 2 a r e n o t e i g e n p r o j e c t i o n s o f ; ; S ,, t h e y , a r e i p r o j e c t i o n s w h i c h commute w i t h S , h a v e p r o d u c t z e r o , a n d sum t o t h e i d e n t i t y m a t r i x . T h i s s u g g e s t s t h e f o l l o w i n g c o n j e c t u r e : A n y s o l u t i o n |T may jbe| w r i t t e n a s T ^ F i + T 2 F 2 w i t h F j a n d F 2 h a v i n g t h e a b o v e p r o p e r t i e s . ! I f S i s c h o s e n t o b e t h e m a t r i x S = 1 0 0 - 1 t h i s c o n j e c t u r e l e a d s t o t h e f o l l o w i n g f o u r s o l u t i o n s , T = ± 1 0 0 ± 1 - 3 -a n d no o t h e r s ( s i n c e t h e e i g e n s p a c e a s s o c i a t e d w i t h e a c h e i g e n v a l u e o f S o n e d i m e n s i o n a l a n d t h e o n l y p r o j e c t i o n s w h i c h commute w i t h i t a r e i t s own e i g e n p r o j e c t i o n s ) . U n f o r t u n a t e l y , j : 1 - 1 i s a l s o s a t i s f i e s t h e e q u a t i o n a n d c o n s e q u e n t l y t h e c o n j e c t u r e i s f a l s e a s i t s t a n d s . B u t e a c h o p e r a t o r w h i c h c a n b e w r i t t e n a s T j F i + T2F2 commutes w i t h S ; s o we c o u l d n o t h o p e t o c a t c h a s o l u t i o n l i k e T Q i n t h a t f o r m , s i n c e T 0 S + S T 0 . T h e r e v i s e d c o n j e c t u r e s h o u l d t h u s r e a d : A n y s o l u t i o n T w h i c h commutes w i t h S may b e w r i t t e n a s T JFJ + T 2 F 2 w i t h F j a n d F 2 h a v i n g t h e p r o p e r t i e s d e s c r i b e d e a r l i e r . We s h a l l p r o v e t h a t t h i s c o n j e c t u r e i s i n f a c t t r u e i n t h e m o s t g e n e r a l s i t u a t i o n i n w h i c h i t c a n b e p o s e d , s u b j e c t o n l y t o a r e g u l a r i t y a s s u m p t i o n o n t h e d a t a G a n d S : T h e o r e m . L e t X b e a f i x e d B a n a c h s p a c e , S a s c a l a r o p e r a t o r i n 8 = 8(X) a n d G(w,z) = a (w)z + ... + ai(w)z -f a (w) (a.(w) e (E[w]) , n i 0 1 a p o l y n o m i a l i n two i n d e t e r m i n a t e s . We a s s u m e (A) F o r e a c h X i n t h e s p e c t r u m a o f S , t h e p o l y n o m i a l G ( X , z ) h a s n d i s t i n c t c o m p l e x r o o t s t i ( X ) , t n (x) . - 4 -U n d e r t h i s a s s u m p t i o n t h e r e e x i s t T\ e 8, i = 1, , n , w h i c h commute 1^  w i t h S , s a t i s f y t h e e q u a t i o n G ( S , T ) = 0 , a n d h a v e t h e f o l l o w i n g p r o p e r t y : N T e B. commutes w i t h S a n d s a t i s f i e s t h e e q u a t i o n i f a n d o n l y i f t h e r e e x i s t e 8 , i = 1, • • • , n , s u c h t h a t F . commutes w i t h S , x FT = F . , F . F . = 0 f o r i ^ j , £ . F . = I , x x ' x j J ' x x ' T = X . T . F . x x x T h e d e f i n i t i o n o f a s c a l a r o p e r a t o r w i l l b e g i v e n l ' i ' t e r , b u t i n p a s s i n g we n o t e t h a t a n o r m a l o p e r a t o r o n a H i l b e r t s p a c e i s o f t h i s t y p e . i ' II I . •  To p r o v e t h i s t h e o r e m , we f i r s t c o n s i d e r ' S a s a member o f a 1 c e r t a i n s u b a l g e b r a a o f 8 T h i s s u b a l g e b r a i s i s o m o r p h i c t o a n a l g e b r a R o f f u n c t i o n s d e f i n e d o n t h e s p e c t r u m o f S , v i a t h e u s u a l f u n c t i o n a l c a l c u l u s f o r S . We t h e n c o n s i d e r t h e c o e f f i c i e n t p o l y n o m i a l s a ^ ( w ) t o b e f u n c t i o n s a ^ £ R a n d s t u d y t h e p o l y n o m i a l G ( S , z ) e a[z] b y means o f i t s i s o m o r p h E ^ a ^ z 1 e R [ z ] . We f i r s t i n v e s t i g a t e t h e e q u a t i o n E ^ a ^ t 1 = 0 f o r t i n some e x t e n s i o n T o f R , a n d t h e n c a r r y t h e r e s u l t s o v e r t o t h e o p e r a t o r a l g e b r a s v i a t h e f u n c t i o n a l c a l c u l u s map C . T h i s p r o c e d u r e e n a b l e s u s t o . h a n d l e a n a w k w a r d q u e s t i o n o n t h e i n v e r t i b i l i t y o f a c e r t a i n o p e r a t o r b y means o f i d e a l t h e o r y i n p o l y n o m i a l r i n g s . B e f o r e p r o v i n g t h e t h e o r e m i t i s n e c e s s a r y t o a s s e m b l e c e r t a i n r e s u l t s f r o m f u n c t i o n t h e o r y , o p e r a t o r t h e o r y , a n d i d e a l t h e o r y . j - 5 -SECTION 2 F a c t s F r o m F u n c t i o n T h e o r y L e t G ( w , z ) b e a p o l y n o m i a l i n t h e two i n d e t e r m i n a t e s w a n d z w h i c h s a t i s f i e s a s s u m p t i o n A f o r t h e c o m p a c t s e t a . C ' f l ) and" l e t M d e n o t e t h e n o r m e d a l g e b r a o f a l l b o u n d e d B o r e l - m e a s u r a b l e , c o m p l e x - v a l u e d f u n c t i o n s o n a w i t h t h e s u p - n o r m . A l t h o u g h a s s u m p t i o n A d o e s n o t i m p l y t h a t G(w, z ) i s i r r e d u c i b l e , i t d o e s i m p l y t h a t o n l y , f i r s t p o w e r s a p p e a r i n i t s p r i m e d e c o m p o s i t i o n . S i n g u l a r i t i e s o f t h e a l g e b r a i c f u n c t i o n d e t e r m i n e d b y G ( w , z ) c a n a r i s e ' i n a n y o r a l l o f t h e f o l l o w i n g t h r e e w a y s . a ) T h e l e a d i n g c o e f f i c i e n t , a ( w ) , o f G ( w , z ) m a y - v a n i s h . b ) T h e d i s c r i m i n a n t o f a n i r r e d u c i b l e f a c t o r may v a n i s h . c ) T h e r e s u l t a n t o f two i r r e d u c i b l e f a c t o r s o f G ( w h i c h n e c e s s a r i l y * a r e r e l a t i v e l y p r i m e ) may v a n i s h . E a c h o f t h e s e c o n d i t i o n s a m o u n t s t o t h e v a n i s h i n g o f some c o m p l e x p o l y n o m i a l , a n d s o t h e r e a r e a l t o g e t h e r a f i n i t e number k o f s i n g u l a r i t i e s . We w i s h t o p r o v e t h e f o l l o w i n g P r o p o s i t i o n 2 . 1 . T h e r e e x i s t t j , t 2 , r « ' " j t ^ e M s u c h t h a t , f o r e a c h A e a G ( X , z ) = a ( X ) n . ( z - t , ( X ) ) n x i P r o o f . I f t h e s i n g u l a r i t i e s X\ ,^2 » • • • • * » ^ ° f G a r e o r d e r e d l e x i c o g r a p h -i c a l l y ( i . e . p r i m a r i l y b y i n c r e a s i n g r e a l p a r t , s e c o n d a r i l y b y i n c r e a s i n g i m a g i n a r y p a r t ) t h e y c a n b e j o i n e d t o g e t h e r i n o r d e r b y a f i n i t e n u m b e r o f l i n e s e g m e n t s . T h e l a s t p o i n t c a n b e j o i n e d t o i n f i n i t y b y a r a y p a r a l l e l t o t h e - 6 -r e a l a x i s i n t h e p o s i t i v e d i r e c t i o n s o t h a t a c u t i n t h e p l a n e i s c o n s t r u c t e d . D e n o t e t h i s p o i n t s e t b y K . We know ( [ 1 , p . 2 2 5 ] ) t h a t G d e f i n e s e x a c t l y n d i s t i n c t a n a l y t i c f u n c t i o n s t i , •'• • , t i n t h e c u t p l a n e , <£'- K . E a c h o f t h e s e f u n c t i o n s c a n b e e x t e n d e d a n a l y t i c a l l y a c r o s s K e x c e p t a t some o r a l l o f t h e s i n g u l a r p o i n t s o f G , a n d t h i s c o n t i n u a t i o n p r o c e s s m e r e l y p e r m u t e s t h e t_^. F o r e a c h | X £ K - { X j , • • • , X , } we c a n d e f i n e t . ( X ) t o b e t h e v a l u e o b t a i n e d b y c o n t i n -i u i n g t ^ t h r o u g h X f r o m " a b o v e " . Now a s s u m p t i o n A g u a r a n t e e s t h a t a X^} = <(> s o t h a t e a c h t ^ i s d e f i n e d a t . e a c h p o i n t o f a a n d i s ( a t w o r s t ) p i e c e w i s e c o n t i n u o u s o n 'a . I n p a r t i c u l a r e a c h t . i s b o u n d e d a n d B o r e l - m e a s u r a b l e o n a a n d t h e t h e o r e m i s p r o v e d . i - 7 -SECTION 3 F a c t s F r o m O p e r a t o r T h e o r y The f o l l o w i n g comes f r o m D u n f o r d [3]. P r o o f s w h i c h a r e g i v e n i n f u l l t h e r e a r e o m m i t t e d h e r e . L e t X b e a f i x e d c o m p l e x B a n a c h s p a c e . D e f i n i t i o n : A s p e c t r a l m e a s u r e i n X i s a f a m i l y o f b o u n d e d o p e r a t o r s , E ( 6 ) , d e f i n e d f o r a l l B o r e l s u b s e t s o f (C a n d s a t i s f y i n g : a ) E(<J)) = 0 , E((C) = I b ) E(S1nS2) = E ( 6 i ) E ( 6 2 ) c ) E(S1U&2) = E ( 6 L ) + E(<52) - E ( 6 ! ) E ( 6 2 ) • „ d ) . | | E ( 5 ) | | <^  M f o r some c o n s t a n t M . , 1 J The i n t e g r a l , ' o v e r t h e c o m p a c t s e t a , o f a f i n i t e l y v a l u e d f u n c t i o n .m f = E i = l a±*s. £ M l w i t h r e s p e c t t o t h e s p e c t r a l m e a s u r e E i s d e f i n e d b y t h e e q u a t i o n J f ( A ) E ( d X ) = Z ° = 1 a^EiS^ . T h i s d e f i n i t i o n i s i n d e p e n d e n t o f t h e r e p r e s e n t a t i o n o f f , a n d t h e i n t e g r a l ) , c a n b e s h o w n t o s a t i s f y | | [ f ( A ) E ( d A ) | | < 4 M | | f ||. J T h u s i f f E M i s t h e l i m i t o f t w o s e q u e n c e s o f f i n i t e l y v a l u e d f u n c t i o n s i n M , s a y f f l a n d g n > t h e n l i m n J f ( A ) E ( d A ) = l i m n n g n ( A ) E ( d A ) - 8 -a n d t h i s l i m i t i s d e f i n e d t o b e t h e v a l u e o f t h e i n t e g r a l f ( X ) E ( d X ) . D e f i n i t i o n : A s p e c t r a l m e a s u r e E i s c a l l e d a r e s o l u t i o n o f t h e i d e n t i t y  f o r S e B i f a ) S E ( 6 ) = E ( 6 ) S f o r e a c h B o r e l s e t <5 •I b ) a ( S | E ( 6 ) X ) C ? f o r e a c h B o r e l s e t 6 c ) E ( ^ " 1 6 _ ^ ) x = E ? _ 1 E ( 6 ^ ) x f o r e a c h x e X w h e n e v e r 6 ^ a r e d i s j o i n t , A n o p e r a t o r S e 8 i s c a l l e d s p e c t r a l i f i t a d m i t s a, r e s o l u t i o n o f t h e i d e n t i t y E , a n d i s o f s c a l a r t y p e i f i n a d d i t i o n i t c a n b e r e c o v e r e d b y l i n t e g r a t i n g t h e i d e n t i t y f u n c t i o n e : X -> X o n o ( S ) a g a i n s t E , [• i . e . S = X E ( d X ) F r o m now o n S w i l l b e u s e d t o d e n o t e a f i x e d s c a l a r o p e r a t o r i n g w i t h s p e c t r u m a. T h e n we h a v e P r o p o s i t i o n 3 . 1 . L e t E b e a r e s o l u t i o n o f t h e i d e n t i t y f o r S , a n d f o r e a c h f e l l l e t f ( S ) = f ( X ) E ( d X ) . T h e n i a ) T h e r e e x i s t s a c o n s t a n t v ( E ) s u c h t h a t | | f ( S ) | | £ v ( E ) | | f | | b ) The map C : f f ( S ) i s a c o n t i n u o u s h o m o m o r p h i s m o f M i n t o - B-The f u l l a l g e b r a g e n e r a t e d b y S , d e n o t e d b y a> i s t h e s m a l l e s t c l o s e d s u b a l g e b r a o f B w h i c h c o n t a i n s S a n d t h e i d e n t i t y o p e r a t o r a n d | c o n t a i n s w i t h e a c h - x A t h e i n v e r s e , A 1 , i f i t e x i s t s i n g . I I f we l e t R d e n o t e t h e c l o s u r e i n M o f t h e s e t o f r a t i o n a l ' f u n c t i o n s w i t h o u t p o l e s i n a, t h e n I - 9 -P r o p o s i t i o n 3.2. T h e f u n c t i o n a l c a l c u l u s d e s c r i b e d i n P r o p o s i t i o n 3.1, when r e s t r i c t e d t o R, i s a t o p o l o g i c a l a n d a l g e b r a i c i s o m o r p h i s m o n t o a. I P r o o f . L e t <$> • : f . - * f ( S ) f o r e a c h f e J? (<j> = C | R) a n d l e t <)>(R) = 1> T h e n P r o p o s i t i o n 3.1 ( b ) i m p l i e s t h a t <j> i s a h o m o m o r p h i s m o f R o n t o I . S i n c e f i s c o n t i n u o u s f ( a ( S ) ) = a ( f ( S ) ) f r o m w h i c h we o b t a i n \ . | | f j | = m a x { | f ( X ) | : X e a ( S ) } = max{|x| : X e a ( f ( S ) ) } = s p e c t r a l r a d i u s o f f ( S ) 1 llf(s)|| . T h i s i n e q u a l i t y i m p l i e s t h a t <J) i s 1-1 a n d i s t h u s a n a l g e b r a i c i s o m o r p h i s m o f R o n t o I. T h e a b o v e i n e q u a l i t y t o g e t h e r w i t h P r o p o s i t i o n 3.1 ( a ) | i g i f v e s i i t h e i n e q u a l i t i e s . ! P i l l HE(S)|| < v ( E ) | | f | | ' j w h i c h i m p l y t h a t R a n d I a r e h o m e o m o r p h i c . To c o m p l e t e t h e p r o o f i t m u s t b e s h o w n t h a t I = a . a ) a. C I . S i n c e <}> i s a h o m e o m o r p h i s m I i s c l o s e d . I e I s i n c e I = E ( a ) = j l . E ( d X ) . f S e I s i n c e S = X E ( d X ) . - 1 0 -I f A e I t h e r e e x i s t s a n f e R s u c h t h a t A = f ( X ) E ( d X ) = f ( S ) , Now i f A 1 e x i s t s i n 8 t h e n 0 i a ( A ) = a ( f ( S ) ) = f ( a ( S ) ) s o t h a t f ( X ) ± 0 f o r a l l X e a ( S ) . T h e r e f o r e j e R a n d A - 1 = So A 1 e l a n d a C I . f ( X ) -E(dX) b ) l e a . L e t V b e a c l o s e d s u b a l g e b r a o f B w h i c h c o n t a i n s I , S a n d t h e i n v e r s e o f a n y e l e m e n t A i n P p r o v i d e d i t e x i s t s i n S« { I , S} C I H D , h e n c e , i f p i s a p o l y n o m i a l , P ( S ) = p ( X ) E ( d X ) e V -1 I f q i s a p o l y n o m i a l w i t h q ( X ) ^ 0 o n a, t h e n [ q ( S ) ] e x i s t s i n 8 -1 a n d t h e r e f o r e b y h y p o t h e s i s [ q ( S ) ] e V T h u s i f B e l a n d B = P . ( X ) E ( d X ) q ( X ) -E(dX) t h e n B e V s i n c e V i s a n a l g e b r a . S i n c e V i s c l o s e d J C V w h i c h i m p l i e s t h a t I C a. T h e r e f o r e I = a a n d t h e p r o p o s i t i o n i s p r o v e d . - 11 -SECTION 4 F a c t s F r o m I d e a l T h e o r y , J u s t a s i n B o n e h a s i n a n y n o r m e d a l g e b r a w i t h i d e n t i t y e t h e • ' . ' \ n o t i o n o f t h e s p e c t r u m o f a n a r b i t r a r y e l e m e n t x e X , n a m e l y \ a ( x ) = {X e (T : x - Xe i s n o t i n v e r t i b l e } . | The f a c t t h a t a ( x ) ^ <J> i s e s t a b l i s h e d b y t h e same L i o u v i l l e a r g u m e n t a s ^ o n e u s e s i n B. T h e f o l l o w i n g f a c t i s d u e t o G e l f a n d a n d M a z u r . i P r o p o s i t i o n 4 . 1 I f C i s a c o m p l e x n o r m e d a l g e b r a w h i c h i s a l s o a d i v i s i o n r i n g , t h e n Q 1 S i s o m e t r i c a l l y i s o m o r p h i c t o (T. | P r o o f L e t x £ C . A s r e m a r k e d a b o v e , a ( x ) i s n o n e m p t y , s o c h o o s e X £ a ( x ) . S i n c e x - Xe i s s i n g u l a r a n d C i s a d i v i s i o n r i n g , we h a v e x - Xe = 0 . , w h i c h i m p l i e s t h a t x = X e . A l s o , || x | | = ||Xe|| = | x | | | e | | =i |X We u s e t h i s t o s t u d y o u r a l g e b r a R ( p . 8 ) . I f p i s a m a x i m a l i d e a l i n R, t h e n t h e d i v i s i o n r i n g R/p i s a B a n a c h a l g e b r a u n d e r t h e nojrm ||x + p | | = i n f { ||x + y | | : y e p } . A p p l y i n g P r o p o s i t i o n . 4 . 1 t o R/p we h a v e 1 P r o p o s i t i o n 4 . 2 R/p i s i s o m e t r i c a l l y i s o m o r p h i c t o (C. We c a n now d e f i n e a h o m o m o r p h i s m IT t a k i n g R o n t o (C a s f o l l o w s : IT: R + R/p -> C - 12 -w h e r e t h e f i r s t a r r o w . j . s c a n o n i c a l a n d t h e s e c o n d a r r o w i s t h e i s o m e t r i c i s o m o r p h i s m o f P r o p o s i t i o n 4 . 2 . P r o p o s i t i o n 4 . 3 T h e r e e x i s t s X q e a s u c h t h a t 7r(r) = r ( X Q ) f o r e a c h ' r e R • P r o o f D e n o t e b y e t h e f u n c t i o n o n a w h i c h t a k e s X •+ X a n d l e t i r ( e ) = X e a . I f n o t , t h e n h = e - X i s i n v e r t i b l e i n R . L e t o o : k = ( e - XQ) 1 , t h e n 1 = T r ( h k ) = 7 r ( h ) 7 r ( k ) = O . i r ( k ) = 0 j ( g ) = g . a o ) T h e r e f o r e X q e a . S i n c e TT i s a r i n g h o m o m o r p h i s m " f o r e a c h r a t i o n a l f u n c t i o n g i n R a n d t h e c o n t i n u i t y o f ir i m p l i e s t h a t T r ( r ) - = r ( X ) f o r ' e a c h r e R. o L e t Q b e a n o v e r r i n g o f t h e r i n g R w i t h i d e n t i t y . A n e l e m e n t x e (I i s i n t e g r a l o v e r R i f i t i s t h e r o o t o f a m o n i c p o l y n o m i a l w i t h c o e f f i c i e n t s i n R a n d Q i s i n t e g r a l o v e r R i f e v e r y e l e m e n t o f Q. 1 S i n t e g r a l o v e r R. I f p i s a p r i m e i d e a l i n R, t h e n t h e i d e a l p ' C Q. l i e s o v e r p i f p ' H R = p . The f o l l o w i n g " g o i n g u p " t h e o r e m i s d u e t o C o h e n a n d S e i d e n b e r g [ 2 ] a n d t h e p r o o f c a n b e f o u n d i n t h e r e f e r e n c e . j P r o p o s i t i o n 4 . 4 L e t Q b e i n t e g r a l o v e r R a n d l e t p ' b e a p r i m e i d e a l i n R c o n t a i n i n g t h e i d e a l p . I f q i s a n i d e a l i n Q l y i n g o v e r p t h e n t h e r e e x i s t s a p r i m e i d e a l q ' . c o n t a i n i n g q a n d l y i n g o v e r p ' . - 13 -P r o p o s i t i o n 4 . 5 I f £ i s i n t e g r a l o v e r R a n d q i s a m a x i m a l i d e a l i n £ t h e n p = q 0 R i s a m a x i m a l i d e a l i n R. P r o o f I f p w e r e n o t m a x i m a l t h e r e w o u l d e x i s t p ' m a x i m a l ( a n d h e n c e p r i m e ) i n R s u c h t h a t > By P r o p o s i t i o n 4 . 4 t h e r e e x i s t s a ( p r i m e ) i d e a l q ' C £ s u c h t h a t p ' = q ' TV a n d c o n t r a d i c t i n g t h e a s s u m e d m a x i m a l i t y o f q . I • . 1 / I - 14 -SECTION 5 P r o o f o f t h e T h e o r e m We s t a r t t h e p r o o f b y s t u d y i n g t h e p o l y n o m i a l s F ( z ) = z n + b z 1 1 - 1 + • • • + b n ^ n - l ° (1) \ F ' ( z ) = n z 1 1 " 1 + ... + bi a . (b. = — e R) l a n i n R[z], I f R' d e n o t e s t h e e x t e n s i o n R' = R [ t i , t 2 , ••• t n ] C M , t h e n P r o p o s i t i o n 2 . 1 s a y s t h a t F ( z ) s p l i t s i n R' y i e l d i n g t h e d e c o m p o s i t i o n s ( 2 ) F ( Z ) = n k ( z - t f c ) R e l a t i o n s ( 2 ) w i l l b e u s e d t o r e p r e s e n t t h e r o o t s o f F ( z ) i n a n a r b i t r a r y c o m m u t a t i v e e x t e n s i o n o f R'. I f ( F ( z ) ) d e n o t e s t h e i d e a l g e n e r a t e d i n R ' [ z ] b y F ( z ) t h e n t h e map g -*• g + ( F ( z ) ) i s a r i n g i s o m o r p h i s m o f R' o n t o a s u b r i n g o f J = R ' [ z ] / ( F ( z ) ) , a n d we c a n i d e n t i f y R' w i t h i t s i m a g e , m a k i n g J a n e x t e n s i o n o f R. T h e n T = R ' [ t ] w h e r e t h e e l e m e n t t = z + ( F ( z ) ) a n n u l s t h e m o n i c p o l y n o m i a l F ( z ) £ R [ z ] . I n p a r t i c u l a r , t h e s u b r i n g Q = R [ t ] C T i s an i n t e g r a l e x t e n s i o n x o f R. . 1 We p r o c e e d w i t h a s e r i e s o f l e m m a s . - 15 -Lemma 5 . 1 I f q i s a m a x i m a l i d e a l i n £ = R [ t ] , t h e n Q/q i s r i n g i s o m o r p h i c t o (C, . a n d t h e r e i s a X q e a s u c h t h a t i r i : £ ->• Q/<1 <C t a k e s t h e g e n e r a t o r t e Q. t o o n e ° f t n e r o o t s z±^0^ °^ G ( X Q , Z ) . P r o o f By. P r o p o s i t i o n A . 5 d i a g r a m o f r i n g s : • « R w h e r e t h e v e r t i c a l a r r o w s a r e i n j e c t i o n s a n d t h e h o r i z o n t a l o n e s a r e c a n o n i c a l p r o j e c t i o n s . S i n c e Q i s a l g e b r a i c o v e r R , . t h e f i e l d qjq i s a l g e b r a i c ! o v e r R/ p = (D ( P r o p o s i t i o n 4 . 2 ) a n d h e n c e Q/q = R/ p = J . M o r e o v e r , b y p r o p o s i t i o n 4 . 3 , t h e l o w e r , a r r o w f o l l o w e d b y t h e i s o m o r p h i s m j ^ p j c a r r i e s t h e c o e f f i c i e n t s b i o f F ( z ) t o b±(\Q) f o r some X q e a. T h u s , ' F ( z ) e R [ z ] i s c a r r i e d t o [ a n ( A Q ) ] - 1 G ( X O , z ) e ( E [ z ] . F ( t ) = 0 i m p l i e s t h a t t i s c a r r i e d . • , i t o ~ ~ a ~ r o o t o f t h i s p o l y n o m i a l , n a m e l y o n e o f t h e t. (X ) . j I! ! ' Lemma 5 . 2 F ' ( t ) i s i n v e r t i b l e i n ( J , C T • P r o o f T h e p r o o f w i l l b e d o n e b y s h o w i n g t h a t F ' ( t ) d o e s n o t b e l o n g t o a n y m a x i m a l i d e a l q o f t h e r i n g S u p p o s e F ' ( t ) w e r e i n some m a x i m a l i d e a l q o f Q. . T h e n TT^  o f Lemma 5 . 1 w o u l d c a r r y F ' ( t ) t o ' .0 e { . On t h e o t h e r h a n d , b y Lemma 5 . 1 i r i \ . . . m u s t c a r r y F ' ( t ) t o t h e d e r i v a t i v e [ a N ( X 0 ) ] - 1 G 2 a 0 > t . C X ^ ) " * . ( X 0 e a ) q H R= p i s m a x i m a l i n R, s o we h a v e a c o m m u t a t i v e 2/c -> V p - 16 -a n d s o t h i s i t e m w o u l d b e 0 . B u t t h e n t . ( x ) w o u l d b e a m u l t i p l e r o o t o f 1 0 | •. G ( X , z ) c o n t r a d i c t i n g a s s u m p t i o n A . o Lemma 5 . 3 T h e r e e x i s t f i , f o , • • • f e J s u c h t h a t 1 n ( 3 ) f i = f i ' f i f j = 0 f o r 1 + j ' E i f i ° 1 » t = E . t . f . 1 1 x P r o o f L e t h = [ F ' ( t ) ] _ 1 . S e t ( 4 ) f . = h n ^ . C t - t k ) ( i = 1 , 2 , . . . n ) , t h e n f e T = R t ^ , t 2 , , t , t ] a n d f o r i ^ j f ± f = (h n k f t ± j ( t - t k ) ) F ( t ) = 0 . ( b y ( 2 ) ) Z.f. = h E . n k 3 t . ( t - t k ) = h F f ( t ) = 1 . F o r e a c h i , f . = f . « l = f . Z . f . = E . f . f . = f^ i i X J J j x j x F i n a l l y , f o r e a c h i ( t - t ± ) f ± = ( t - t i ) h n k ^ i ( t - t f c ) = h F ( t ) = 0 , s o t h a t t f . = t . f . . T h e r e f o r e x x x t = tZ . f . = Z . t f . = E . t . f . x x x x x x x w h i c h c o m p l e t e s t h e p r o o f o f Lemma 5 . 3 . The p r o o f o f t h e T h e o r e m i s c o m p l e t e d b y a p p l y i n g t h e f u n c t i o n a l c a l c u l u s e x h i b i t e d i n s e c t i o n 3 . F o r e a c h i = 1 , n , s e t ; T . = (jS) e 8 t h i s x • ; a l g e b r a i c r e l a t i o n o v e r t o E x p r e s s i o n ( 2 ) s h o w s t h a t F ( t ^ ) = 0 i n T a n d t h e c a l c u l u s map c a r r i e s ( 5 ) T n + [ a ( S ) ] - 1 ^ . ( S ) T ^ 1 + • • • + a ( S ) ] = 0 x n n-1 x . o i n B i . e . G ( S , T . ) = 0 i n 8 . E a c h T . commutes w i t h S s i n c e t . x x x commutes w i t h e e M- Now, t h e " i f " p o r t i o n o f t h e T h e o r e m i s t r i v i a l : g i v e n t h e c o m m u t i n g i d e m p o t e n t s F^ i t i s e a s y t o s e e t h a t T = E j T . J F ^ commutes w i t h S a n d t h a t G ( S , T ) F i = G ( S , T i ) F ± = 0 f o r e a c h i s o t h a t G ( S , T ) '= 0 b y summing o v e r i . C o n v e r s e l y , g i v e n a n y T e B w h i c h commutes w i t h S a n d s a t i s f i e s G ( S , T ) = 0 , we f i r s t f o r m t h e e x t e n s i o n s I a' = a [ T x , • • , T j C a ' L T ] c B N o t e t h a t a ' [ T ] i s a c o m m u t a t i v e a l g e b r a s i n c e i f T commutes w i t h S i t a l s o commutes w i t h t h e r e s o l u t i o n o f t h e i d e n t i t y E f o r S [ 3 , p a g e 3 2 9 ] , a n d h e n c e w i t h e a c h T^. We t h e n h a v e t h e f o l l o w i n g d i a g r a m o f c o m m u t a t i v e r i n g s . / R' [ z ] T-R' [t] ->a' [ z ] s a' [T] i n w h i c h C ' i s t h e e x t e n s i o n o f c [ R' b y z; ->• z , TT i s t h e c a n o n i c a l p r o j e c t i o n z •> t , a n d s i s t h e " s p e c i a l i z a t i o n " o r " e v a l u a t i o n " map z •> T . - 18 -• I " Lemma 5 . 3 e s s e n t i a l l y s o l v e s t h e " o n l y i f " p o r t i o n o f t h e T h e o r e m a l g e b r a i c a l l y i n T . A l l t h a t r e m a i n s t o do i s t o e x t e n d t h e f u n c t i o n a l c a l c u l u s map C ' t o a r i n g h o m o m o r p h i s m o f J i n t o a . ' [T] a n d c a r r y t h e a l g e b r a i c r e s u l t s o v e r t o * . t h e same r e s u l t s i n o p e r a t o r t h e o r y . We p r o c e e d t o make t h i s e x t e n s i o n . S i n c e T s a t i s f i e s ( 5 ) i n p l a c e o f T ^ , t h e map s « C ' a n n i h i l a t e s t h e k e r n e l ( F ( z ) ) o f TT a n d s o t ->• T e x t e n d s t o a r i n g h o m o m o r p h i s m D: R ' [ t ] •> <x[T] o v e r c| R f. R e c a l l i n g Lemma 5 . 3 , we s e t F . = D ( f . ) i = 1 , • • • , n . T h e n e a c h F . commutes w i t h S a n d Lemma 5 . 3 i i i i m p l i e s t h e " o n l y i f " p a r t o f t h e T h e o r e m , w h i c h c o n c l u d e s t h e p r o o f . / - 19 -SECTION 6 S o m e - G e n e r a l i z a t i o n s o f t h e T h e o r e m To g e t t h e ' d e s i r e d r e p r e s e n t a t i o n o f P r o p o s i t i o n 2 . 1 i t i s s u f f i c i e n t t o know t h a t t h e c o e f f i c i e n t s a_^  a r e h o l o m o r p h i c i n a n e i g h b o u r h o o d o f a J The p r o o f t h a t t h e f u n c t i o n s t\, t 2 , • • • » t a r e a c t u a l l y a n a l y t i c i n a - t h e . c u t K , u n d e r t h i s r e l a x e d c o n d i t i o n , i s s e e n b y n o t i n g t h a t t h e p r o o f o f Lemma 1 o f [ 1 , p . 2 2 5 ] r e q u i r e s o n l y t h e a n a l y t i c i t y o f t h e c o e f f i c i e n t s . I t i s a l s o n e c e s s a r y i n Lemma 5 . 1 t h a t e a c h a ^ • b e l o n g t o R a n d s o b y R u n g e ' s t h e o r e m [ 5 , p . l 5 l ] , t h e T h e o r e m w i l l s t i l l h o l d t r u e p r o v i d e d t h e f u n c t i o n s a ^ 1 a r e h o l o m o r p h i c i n a n e i g h b o u r h o o d o f 0 . M o r e g e n e r a l l y , t h e a_^ may b e a n y f u n c t i o n s f o r w h i c h P r o p o s i t i o n 2 . 1 c a n b e e s t a b l i s h e d a n d w h i c h b e l o n g t o some B a n a c h a l g e b r a R j G M f o r w h i c h P r o p o s i t i o n 4 . 3 , h o l d s . I Ii: ! I f a c r i t i c a l p o i n t , X . , o f G ( w , z ) i s a n i s o l a t e d p o i n t of! b, • •! t h e n we c a n s t i l l d e s c r i b e t h e s o l u t i o n s T . I n t h i s c a s e t h e T h e o r e m may b e a p p l i e d , a s i t s t a n d s , t o t h e p a r t o f S o n t h e s u b s p a c e E ( a - {X_^})X. The c o m p l e m e n t a r y p a r t o f S o n E ( { X ^ } ) X i s j u s t a m u l t i p l e o f t h e i d e n t i t y o p e r a t o r a n d t h e s o l u t i o n s o n t h i s s u b s p a c e h a v e t h e s i m p l e f o r m d e s c r i b e d i n [ 4 , p . 2 0 0 ] . N o t e t h a t i f X_^  i s n o t i s o l a t e d , a s s u m p t i o n A d o e s n o t h o l d f o r t h e r e d u c e d o p e r a t o r s i n c e t h e s p e c t r u m o f t h i s r e d u c e d o p e r a t o r i s t h e c l o s u r e o f t h e s e t , a - { X . } , w h i c h i s a . x \ A p p e n d i x I t h a s b e e n p o i n t e d o u t t h a t t h e p r o o f o f t h e i n v e r t i b i l i t y o f p > G 2 ( S , T ) (Lemma 5 . 2 ) c a n b e s i m p l i f i e d c o n s i d e r a b l y . I f we d e n o t e b y a ' t h e i f u l l a l g e b r a g e n e r a t e d b y T a n d t h e s p e c t r a l m e a s u r e E , t h e n a ' i s a i c o m m u t a t i v e [ 3 , p . 3 2 9 ] B a n a c h a l g e b r a w i t h i d e n t i t y . We c a n p r o v e t h a t G 2 ( S , T ) i s i n v e r t i b l e i n a ' C 8 b y s h o w i n g t h a t IT 1 ( G 2 (S , T ) ) ^ 0 f o r e a c h a l g e b r a • i h o m o m o r p h i s m TT ' o f a ' o n t o (C . By G e l f a n d ' s t h e o r e m t h i s i s e q u i v a l e n t t o s h o w i n g t h a t G 2 ( S , T ) d o e s n o t b e l o n g t o a n y m a x i m a l i d e a l o f a1 . L e t IT' b e a f i x e d a l g e b r a h o m o m o r p h i s m o f a ' o n t o (E . We t h e n h a v e t h a t \': i : ( 6 ) 0 = i r ' ( G ( S , T ) ) = G (TT ' ( S) , TT ' ( T ) ) a n d • .!; ( 7 ) T T ' ( G 2 ( S , T ) ) = G 2 ( 7 r ' ( S ) , TT ' ( T) ) I f . we knew t h a t A 0 = i r ' ( S ) e o ( S ) we c o u l d u s e t h e a b o v e e q u a t i o n s t o d e d u c e t h a t IT ' ( G 2 (S , T ) ) 5^  0 . To show t h a t i r 1 ( S ) e a ( S ) i t s u f f i c e s t o p r o v e t h a t IT = TT ' | a i s o n t o £ , f o r we c o u l d t h e n a p p l y t h e a r g u m e n t s o f Lemma 4 . 3 t o show t h a t TT(S) e a ( S ) . To h e l p p r o v e t h a t TT i s o n t o (E , t h e C o h e n - S e i d e n b e r g t h e o r e m a n d r e l a t e d i n t e g r a l e x t e n s i o n t h e o r y w e r e i n t r o d u c e d i n s e c t i o n 3 . H o w e v e r , t h e s i m p l e o b s e r v a t i o n t h a t £ C a . ' makes t h i s t h e o r y u n n e c e s s a r y . The f a c t t h a t <C C a' i m p l i e s t h a t TT'|C i s o n t o (E . H e n c e , TT i s . a l s o o n t o (E s i n c e (E C a . Lemma 4 . 3 - n o w i m p l i e s t h a t TT ' (S) e a ( S ) . - 21 -E q u a t i o n ( 6 ) c a n now b e w r i t t e n a s 0 = G ( A Q , 7 r ' ( T ) ) a n d P r o p o s i t i o n 2 . 1 i m p l i e s t h a t TT 1 (T) = t±(\Q) f o r some i . S u b s t i t u t i n g i r ' ( S ) = A Q a n d i r ' (T) = t ^ ( A 0 ) i n t o e q u a t i o n ( 7 ) we g e t t h e d e s i r e d r e s u l t t h a t T T ' ( G 2 ( S , T ) ) = G 2 ( A Q , t . ( A 0 ) ) ^ 0 ( b y a s s u m p t i o n A ) T . = i The b a s i c s o l u t i o n s o f t h e T h e o r e m a r e t h e n o b t a i n e d b y s e t t i n g t i ( A ) E ( d A ) . P r o p o s i t i o n 2 . 1 s h o w s t h a t F ( t i > = 0 i n ,.M a n d t h e f u n c t i o n a l c a l c u l u s c a r r i e s t h i s o v e r t o T i + v ^ X - i ^ r 1 + + a Q ( S ) ) = 0 i n 8 , i . e . G ( S , T i ) = 0 .. T h e " i f " p o r t i o n o f t h e T h e o r e m r e m a i n s u n c h a n g e d a n d t h e " o n l y i f " / p o r t i o n i s e s t a b l i s h e d b y d e f i n i n g t h e i d e m p o t e n t s a s F . = [ 6 , ( S , T ) ] " 1 n (T - T, ) ( i = 1 , 1 , n ) a n d s h o w i n g a s i n Lemma 5 . 3 t h a t t h e y h a v e t h e p r o p e r t i e s d e s c r i b e d i n t h e T h e o r e m . \ - 22 -T h i s a p p r o a c h e l i m i n a t e s t h e n e e d f o r P r o p o s i t i o n 3 . 2 a n d t h e e n t i r e t y o f s e c t i o n 3 w i t h t h e e x c e p t i o n o f P r o p o s i t i o n 4 . 3 . - 2 3 -BIBLIOGRAPHY 1 . A h l f o r s , L . V . , C o m p l e x A n a l y s i s , M c G r a w - H i l l , 1 9 6 6 . 2 . - - C o h e n , I . S . , a n d S e i d e n b e r g , A . , P r i m e I d e a l s A n d I n t e g r a l D e p e n d e n c e , B u l l . - o f t h e - A - . M . S . 5 2 , ( 1 9 4 6 ) , 252 - 2 6 1 . . - . . ' . . •. ,, 3 . D u n f o r d , N . , S p e c t r a l O p e r a t o r s , P a c i f i c J . M a t h . 4 ( 1 9 5 4 ) , I 3 2 1 - 354 4 . F o g u e l , S . R . , A l g e b r a i c F u n c t i o n s o f N o r m a l O p e r a t o r s , I s r a e l J . M a t h 199 - 2 0 1 . . 6 ( 1 9 6 8 ) , 5 . H e i n s , M . , S e l e c t e d T o p i c s i n t h e C l a s s i c a l T h e o r y o f F u n c t i o n s o f a  C o m p l e x V a r i a b l e ; H o l t , R i n e h a r t a n d W i n s t o n , New Y o r k , 1 9 6 2 . 6 . R u d i n , W . , R e a l a n d C o m p l e x A n a l y s i s , M c G r a w - H i l l , New Y o r k , 1 9 6 6 . Y 

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