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Analysis of viscous flow stability by the finite element method Baldwin, John Frederick 1981

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ANALYSIS OF VISCOUS FLOW S T A B I L I T Y BY THE F I N I T E ELEMENT METHOD B . A . S c , The U n i v e r s i t y o f B r i t i s h C o l u m b i a , 1979 A THESIS SUBMITTED I N PARTIAL FULFILLMENT OF THE REQUIREMENTS FOR THE DEGREE OF MASTER OF A P P L I E D SCIENCE THE FACULTY OF GRADUATE STUDIES D e p a r t m e n t o f C i v i l E n g i n e e r i n g We a c c e p t t h i s t h e s i s a s c o n f o r m i n g t o t h e r e q u i r e d s t a n d a r d THE UNIVERSITY OF B R I T I S H COLUMBIA A p r i l 1981 © J o h n F r e d e r i c k B a l d w i n , 1981 JOHN FREDERICK BALDWIN by i n I n p r e s e n t i n g t h i s t h e s i s i n p a r t i a l f u l f i l l m e n t o f t h e r e q u i r e m e n t s f o r an a d v a n c e d d e g r e e a t t h e U n i v e r s i t y o f B r i t i s h C o l u m b i a , I a g r e e t h a t t h e L i b r a r y s h a l l make i t f r e e l y a v a i l a b l e f o r r e f e r e n c e a n d s t u d y . I f u r t h e r a g r e e t h a t p e r m i s s i o n f o r e x t e n s i v e c o p y i n g o f t h i s t h e s i s f o r s c h o l a r l y p u r p o s e s may be g r a n t e d by t h e Head o f my D e p a r t m e n t o r by h i s r e p r e s e n t a t i v e s . I t i s u n d e r s t o o d t h a t c o p y i n g o r p u b l i c a t i o n o f t h i s t h e s i s f o r f i n a n c i a l g a i n s h a l l n o t be a l l o w e d w i t h o u t my w r i t t e n p e r m i s s i o n . J o h n F r e d e r i c k B a l d w i n D e p a r t m e n t o f C i v i l E n g i n e e r i n g The U n i v e r s i t y o f B r i t i s h C o l u m b i a 2075 W e s b r o o k P l a c e V a n c o u v e r , V6T 1W5 Canada D a t e •Afril 2 4 } 1981 ABSTRACT The s t a b i l i t y o f two d i m e n s i o n a l v i s c o u s f l o w i s s t u d i e d b y means o f a F i n i t e E l e m e n t m e t h o d . A s m a l l p e r t u r b a t i o n s t r e a m f u n c t i o n i s a d d e d t o t h e s t r e a m f u n c t i o n f o r m o f t h e N a v i e r - S t o k e s e q u a t i o n s . The l i n e a r i z e d p e r t u r b a t i o n e q u a t i o n i s t h e n r e c a s t as a r e s t r i c t e d v a r i a t i o n a l p r i n c i p l e a n d d i s c r e t i z e d u s i n g f i n i t e e l e m e n t s . The t i m e d e p e n d a n c e o f t h e p e r t u r b a t i o n i s t a k e n as e x p ( - A t ) w h i c h l e a d s t o an e i g e n v a l u e p r o b l e m w h e r e t h e ' r e a l p a r t o f t h e e i g e n v a l u e i n d i c a t e s t h e s t a b i l i t y a n d t h e i m a g i n a r y p a r t i n d i c a t e s t h e t r a n s i e n t n a t u r e o f t h e a s s o c i a t e d mode. The s i m p l i f i c a t i o n t o t h e O r r - S o m m e r f e l d e q u a t i o n i s made, a n d t h i s p r o b l e m i s s o l v e d u s i n g c u b i c f i n i t e e l e m e n t s . The r e s u l t s a r e c o m p a r e d t o t h o s e f r o m o t h e r s o l u t i o n m e t h o d s i n t h e l i t e r a t u r e a n d t h e a g r e e m e n t i s f o u n d t o be e x c e l l e n t . The c o n v e r g e n c e i s s t u d i e d a n d a s o b s e r v e d w i t h o t h e r m e t h o d s a v e r y f i n e g r i d i s n e e d e d t o y i e l d a c c u r a t e r e s u l t s . The b e h a v i o u r o f t h e f i n i t e e l e m e n t m ethod i n t h i s one d i m e n s i o n a l p r o b l e m i s a s s e s s e d t o f o r m a g u i d e l i n e f o r t h e two d i m e n s i o n a l p r o b l e m . The two d i m e n s i o n a l p r o b l e m i s s o l v e d u s i n g 18 d . o . f . C 1 t r i a n g u l a r e l e m e n t s . I t i s f o u n d t h a t t h e J a c o b i a n m a t r i x u s e d i n t h e N e w t o n - R a p h s o n i t e r a t i o n f o r t h e s t e a d y l a m i n a r f l o w s o l u t i o n w i t h t h e a d d i t i o n o f a mass m a t r i x f o r m s t h e b a s i s o f t h e p e r t u r b a t i o n e i g e n v a l u e p r o b l e m . P r e l i m i n a r y r e s u l t s f o r a two d i m e n s i o n a l s o l u t i o n o f t h e P o i s e u i l l e f l o w s t a b i l i t y p r o b l e m a r e p r e s e n t e d . A c o m p a r i s o n t o t h e O r r -S o m m e r f e l d r e s u l t s i s d rawn and i t i s n o t e d t h a t a g r i d much f i n e r t h a n a l l o w e d by p r e s e n t l i m i t a t i o n s i s n e e d e d . The s t a b i l i t y o f r e c i r c u l a t i n g f l o w i n a s q u a r e c a v i t y i s a l s o s t u d i e d . An u n s t a b l e mode i s o b s e r v e d b u t i t s c r i t i c a l R e y n o l d s number v a r i e s w i t h g r i d s i z e , a n d i t i s d o u b t f u l i f t h i s c o r r e s p o n d s t o a p h y s i c a l i n s t a b i l i t y . The c o n t i n u u m p r o b l e m i s r e a l a nd u n s y m m e t r i c , w h i c h s u g g e s t s t h e p o s s i b i l i t y o f c o m p l e x e i g e n v a l u e s . T h i s i s o b s e r v e d i n t h e d i s c r e t e s p e c t r u m . The c o m p l e x e i g e n v a l u e s a r e n o t t h o u g h t t o be s p u r i o u s , h o w e v e r , s i n c e t h e y a r e p r e s e n t a t l o w R e y n o l d s number ( e v e n a t R = 0.001) a n d a r e s e e n t o c o n v e r g e w i t h g r i d r e f i n e m e n t . T h i s i s i n c o n t r a s t t o one d i m e n s i o n a l a d v e c t i o n d i f f u s i o n p r o b l e m s w h e r e s p u r i o u s c o m p l e x e i g e n v a l u e s i n t h e d i s c r e t e p r o b l e m c a n l e a d t o an e x c e s s i v e l y bumpy n u m e r i c a l a p p r o x i m a t i o n . The r e s u l t s i n d i c a t e t h a t t h e m e thod w o r k s w e l l b u t t h a t i t i s v e r y s e n s i t i v e t o g r i d r e f i n e m e n t w h i c h i s l i m i t e d b y t h e p r e s e n t c o m p u t i n g m e t h o d s a n d f a c i l i t i e s . The m a i n l i m i t a t i o n i s t h e m a t r i x e i g e n v a l u e r o u t i n e w h i c h d o e s n o t t a k e a d v a n t a g e o f t h e b a n d e d n a t u r e o f t h e f i n i t e e l e m e n t m a t r i c e s a n d f i n d s a l l o f t h e e i g e n v a l u e s t h o u g h o u r i n t e r e s t l i e s o n l y w i t h t h e f i r s t f e w . i v TABLE OF CONTENTS Page ABSTRACT i i TABLE OF CONTENTS i v L I S T OF TABLES . v i L I S T OF FIGURES v i i ACKNOWLEDGEMENTS i x CHAPTER I INTRODUCTION 1 1.1 B a c k g r o u n d 1 1.2 P u r p o s e a n d S c o p e 3 I I THEORY 5 2.1 I n t r o d u c t i o n 5 2.2 S t e a d y P r o b l e m 5 2.3 E i g e n v a l u e P e r t u r b a t i o n 8 2.4 One D i m e n s i o n a l P r o b l e m 9 2.5 Two D i m e n s i o n a l P r o b l e m 11 I I I F I N I T E ELEMENT REPRESENTATION . . . 14 3.1 I n t r o d u c t i o n 14 3.2 One D i m e n s i o n a l P r o b l e m 14 3.3 S t e a d y F l o w F o r m u l a t i o n . . 19 3.4 S o l u t i o n o f t h e S t e a d y P r o b l e m 23 3.5 Two D i m e n s i o n a l P r o b l e m 24 V Page CHAPTER I V EXAMPLE APPLICATIONS 2 8 4.1 I n t r o d u c t i o n 2 8 4.2 O r r - S o m m e r f e l d E q u a t i o n :r P o i s e u i l l e F l o w 30 4.3 Two D i m e n s i o n a l P o i s e u i l l e F l o w 40 4.4 C i r c u l a t i n g F l o w i n a S q u a r e C a v i t y . . . 58 V CONCLUSIONS 82 REFERENCES 85 APPENDIX A - M a t r i c e s A s s o c i a t e d w i t h t h e One D i m e n s i o n a l P r o b l e m 89 APPENDIX B - M a t r i c e s A s s o c i a t e d w i t h t h e Two D i m e n s i o n a l P r o b l e m 94 v i L I S T OF TABLES T a b l e Page I C o m p a r i s o n o f t h e F i r s t E i g e n v a l u e f o r R = 2 0 , 0 0 0 , a '= 2 38 I I G r i d s U s e d f o r P o i s e u i l l e F l o w 44 I I I E i g e n v a l u e s f o r P o i s e u i l l e F l o w a t R = 12,000 50 I V G r i d s U s e d f o r S q u a r e C a v i t y F l o w 62 V E i g e n v a l u e C o n v e r g e n c e f o r C a v i t y F l o w a t R = 400 a n d 1000 73 V I T r a n s f o r m a t i o n M a t r i x [T] f o r 18 DOF E l e m e n t . . 9 8 v i i L I S T OF FIGURES F i g u r e Page 1 C u b i c Beam E l e m e n t 16 2 The 18 DOF T r u n c a t e d . . Q u i n t i c E l e m e n t 20 3 L o c a l (£,n) C o o r d i n a t e s o f t h e T r i a n g u l a r E l e m e n t 2 0 4 X i v s R w i t h G r i d R e f i n e m e n t 32 5 C o n v e r g e n c e o f X i w i t h N ,. . , . „ 33 6 R a t e o f C o n v e r g e n c e o f X i w i t h N 35 7 F i r s t E i g e n v e c t o r 36 8 P o i s e u i l l e F l o w P r o b l e m C o n f i g u r a t i o n 41 9 F i n i t e E l e m e n t G r i d s f o r P o i s e u i l l e F l o w . . . . 42 10 E i g e n v a l u e s a n d E i g e n v e c t o r s f o r L i n e a r P r o b l e m 48 11 E i g e n v a l u e s and E i g e n v e c t o r s f o r t h e l x l G r i d a t R = 1 0 ~ 5 49 12 F i r s t 11 E i g e n v e c t o r s f r o m t h e 8 x 2 P o i s e u i l l e G r i d a t R = 12,000 52 13 F i r s t 7 E i g e n v e c t o r s f r o m t h e 8 x 4 P o i s e u i l l e G r i d a t R = 12,000 53 14 Re(X) v e r s u s R f o r a £ 2 Mode 56 15 P r o b l e m C o n f i g u r a t i o n f o r C i r c u l a t i n g F l o w i n a S q u a r e C a v i t y 59 16 F i n i t e E l e m e n t G r i d s f o r S q u a r e C a v i t y F l o w . . 61 17 S t e a d y F l o w D e v e l o p m e n t w i t h R 64 18 R e ( X i ) v e r s u s R w i t h G r i d R e f i n e m e n t f o r C a v i t y F l o w 6 8 v i i i F i g u r e Page 19 C o n v e r g e n c e o f A. x f o r C a v i t y P r o b l e m . . . . 69 2 0 D e v e l o p m e n t o f F i r s t Mode w i t h R. 70 21 D e v e l o p m e n t o f S p r e c t r u m w i t h R f o r 6 x 6 G r i d 72 22 E i g e n v e c t o r s f o r 6 x 6 C a v i t y G r i d a t R = 2100 75 23 D e v e l o p m e n t o f S p e c t r u m w i t h R f o r 8 x 8 G r i d 76 24 E i g e n v e c t o r s f o r 8 x 8 C a v i t y G r i d a t R = 2500 78 i x ACKNOWLEDGEMENT S The a u t h o r w o u l d l i k e t o t h a n k h i s a d v i s o r , D r . M.D. O l s o n , f o r s u g g e s t i n g t h e t o p i c a n d f o r h i s i n t e r e s t a n d i n v a l u a b l e a d v i c e d u r i n g t h e r e s e a r c h a n d p r e p a r a t i o n o f t h i s t h e s i s . He w o u l d a l s o l i k e t o t h a n k D r . M. de S t . Q. I s a a c s o n f o r h i s s u g g e s t i o n s and f o r r e v i e w i n g t h i s w o r k . The f i n a n c i a l s u p p o r t o f t h e N a t u r a l S c i e n c e s a n d E n g i n e e r i n g R e s e a r c h C o u n c i l o f Ca n a d a i s g r a t e f u l l y a c k n o w l e d g e d . 1 CHAPTER I INTRODUCTION 1.1 B a c k g r o u n d The t r a n s i t i o n f r o m s t e a d y t o t r a n s i e n t l a m i n a r f l o w w i t h i n c r e a s i n g R e y n o l d s number i s c o n s i d e r e d t o be an i n s t a b i l i t y . I t r e p r e s e n t s a b i f u r c a t i o n o f t h e s o l u t i o n . I n f a c t t h e c o m p l e t e t r a n s i t i o n t o t u r b u l e n t f l o w i s t h o u g h t t o be a s e r i e s o f s u c c e s s i v e b i f u r c a t i o n s . The s t a b i l i t y o f a l a m i n a r f l o w i s o f p r i m e i m p o r t a n c e i n many e n g i n e e r i n g a p p l i c a t i o n s . To u n d e r s t a n d t h e p h y s i c s o f t h e p r o b l e m , i t i s n e c e s s a r y t o know t h e c r i t i c a l R e y n o l d s number, a t w h i c h t h e s t e a d y l a m i n a r f l o w l o s e s i t s s t a b i l i t y , a n d t h e n a t u r e o f t h e i n s t a b i l i t y . T r a d i t i o n a l l y , t h e d e t e r m i n a t i o n o f t h e c r i t i c a l R e y n o l d s number was c a r r i e d o u t e m p i r i c a l l y , a l t h o u g h some s i m p l e r c o n f i g u r a t i o n s h a v e b e e n i n v e s t i g a t e d a n a l y t i c a l l y , e .g. P o i s e u i l l e f l o w . The s t e a d y v i s c o u s i n c o m p r e s s i b l e f l o w p r o b l e m i s g o v e r n e d b y t h e N a v i e r - S t o k e s e q u a t i o n s . The n u m e r i c a l s o l u -t i o n o f t h e s e e q u a t i o n s i s f a i r l y w e l l d e v e l o p e d , a n d t h e r e a r e a v a r i e t y o f n u m e r i c a l m e t h o d s a v a i l a b l e w h i c h a r e c a p a b l e , o f s o l v i n g t h e two a n d t h r e e d i m e n s i o n a l p r o b l e m s . T h e s e i n c l u d e t h e f i n i t e d i f f e r e n c e a n d more r e c e n t l y t h e f i n i t e 2 e l e m e n t m e t h o d s . The r e c i r c u l a t i n g f l o w i n a s q u a r e c a v i t y h a s come t o be a common t e s t p r o b l e m . T u a n n a n d O l s o n [ 1 ] h a v e r e v i e w e d some o f t h e c o m p u t i n g m e t h o d s f o r t h i s p r o b l e m . The a s s o c i a t e d s t a b i l i t y o f t h e s e f l o w s , h o w e v e r , h a s s e e n much l e s s e x p l o r a t i o n . L i n [2] h a s w r i t t e n a monograph d e a l i n g w i t h some o f t h e c o n c e p t s o f s t a b i l i t y . More r e c e n t l y J o s e p h [3] h a s d e a l t w i t h t h e s t a b i l i t y p r o b l e m i n t h e l i g h t o f b i f u r c a t i o n t h e o r y . One o f t h e s i m p l e r s t a b i l i t y p r o b l e m s h a s b e e n p r e t t y w e l l r e s o l v e d . T h i s i s t h e O r r - S o m m e r f e l d e q u a t i o n w h i c h c o r r e s p o n d s t o a l i n e a r p e r t u r b a t i o n o f t h e N a v i e r S t o k e s e q u a t i o n s a n d t h e r e d u c t i o n t o a one d i m e n s i o n a l e i g e n v a l u e p r o b l e m f o r P o i s e u i l l e f l o w . The p r o b l e m was t r e a t e d a p p r o x i m a t e l y by L i n [2] u s i n g a s y m p t o t i c m e t h o d s . Thomas [4] i n an e a r l y n u m e r i c a l a p p r o a c h u s e d f i n i t e d i f f e r e n c e s . G r o s c h a nd S a l w e n [ 5 ] h a v e u s e d an e i g e n f u n c t i o n e x p a n s i o n a nd more r e c e n t l y O r z a g [6] h a s u s e d C h e b y s h e v p o l y n o m i a l s . D o w e l l [7] h a s a l s o s t u d i e d t h e P o i s e u i l l e f l o w p r o b l e m b u t h a s t a k e n t h e s t r e a m w i s e d e p e n d e n c e i n t e r m s o f s i n e and c o s i n e r a t h e r t h a n e x p ( i a x ) , a n d u s e d an e i g e n f u n c t i o n e x p a n s i o n a c r o s s t h e f l o w . A p p a r e n t l y , t h e p r o b l e m h a s n e v e r b e e n s o l v e d u s i n g f i n i t e e l e m e n t s . The O r r - S o m m e r f e l d e q u a t i o n h a s a l s o b e e n a p p l i e d t o t h e b o u n d a r y l a y e r s t a b i l i t y p r o b l e m . G r o s c h a n d S a l w e n [8] e x t e n d e d t h e i r p r e v i o u s w o r k a n d more r e c e n t l y V a n S t i j n a n d Van de V o o r e n [9] h a v e d e a l t w i t h t h e p r o b l e m . F a s e l [10] 3 h a s a l s o s t u d i e d t h e b o u n d a r y l a y e r p r o b l e m b u t by an e n t i r e l y d i f f e r e n t m e t h o d . He s t a r t e d w i t h a f i n i t e d i f f e r e n c e r e p r e s e n t a t i o n o f t h e u n s t e a d y N a v i e r - S t o k e s e q u a t i o n s a n d i n t r o d u c e d a p e r i o d i c d i s t u r b a n c e a n d e x a m i n e d i t ' s b e h a v i o u r by i n t e g r a t i n g i n t i m e . I n a s l i g h t l y d i f f e r e n t p r o b l e m , M o r a n d i C e c c h i a n d M i c h e l e t t i [11] e x a m i n e d t h e s t a b i l i t y o f s u p e r p o s e d f l u i d s u s i n g f i n i t e e l e m e n t s . So f a r a s i s known t o t h e a u t h o r t h e g e n e r a l l i n e a r i z e d two d i m e n s i o n a l p e r t u r b a t i o n o f t h e N a v i e r -S t o k e s e q u a t i o n s h a s n o t b e e n d e a l t w i t h b y any m e t h o d . A s t e a d y l a m i n a r f l o w may become u n s t a b l e a t a c r i t i c a l R e y n o l d s number a n d b i f u r c a t e i n t o a t r a n s i e n t f l o w . The n u m e r i c a l c a l c u l a t i o n o f t r a n s i e n t l a m i n a r f l o w i s f e a s i b l e . I t i s c o m p l e x , h o w e v e r , and q u i c k l y becomes v e r y e x p e n s i v e . I f t h e i n f o r m a t i o n s o u g h t r e g a r d i n g t h e i n s t a b i l i t y i s t h e c r i t i c a l R e y n o l d s number and t h e p e r m a n e n t f o r m o f t h e t r a n s i e n t f l o w , t h e n t h e f u l l t r a n s i e n t c a l c u l a t i o n i s p o s s i b l y n o t n e e d e d . T h i s i n f o r m a t i o n m i g h t be more r e a d i l y c a l c u l a t e d f r o m an e i g e n v a l u e p e r t u r b a t i o n . 1.2 P u r p o s e a nd S c o p e The p u r p o s e o f t h i s t h e s i s i s t o d e v e l o p a f i n i t e e l e m e n t method f o r i n v e s t i g a t i n g t h e s t a b i l i t y o f l a m i n a r f l o w p r o b l e m s . The g e n e r a l e i g e n v a l u e p e r t u r b a t i o n o f t h e N a v i e r -S t o k e s e q u a t i o n s i s t r e a t e d n u m e r i c a l l y u s i n g f i n i t e e l e m e n t s . 4 T h i s t r e a t m e n t i s r e s t r i c t e d t o two d i m e n s i o n a l v i s c o u s i n c o m p r e s s i b l e f l o w s . The s t a r t i n g p o i n t i s t h e c l a s s i c a l l i n e a r p e r t u r b a t i o n o f t h e N a v i e r - S t o k e s e q u a t i o n s . O n l y t h e two d i m e n s i o n a l p r o b l e m i s s t u d i e d s o t h e s t r e a m f u n c t i o n f o r m u l a t i o n i s u s e d . T h i s l e a d s t o an e i g e n v a l u e p r o b l e m w h e r e t h e s i g n o f t h e e i g e n v a l u e i n d i c a t e s t h e s t a b i l i t y o f t h e a s s o c i a t e d e i g e n v e c t o r . F i r s t t h e method i s i l l u s t r a t e d by d e v e l o p i n g a m o d e l o f t h e one d i m e n s i o n a l O r r - S o m m e r f e l d e q u a t i o n . The more g e n e r a l two d i m e n s i o n a l p r o b l e m i s t h e n a p p r o a c h e d and a p p l i e d t o t h e s t a b i l i t y o f P o i s e u l l e f l o w a nd r e c i r c u l a t i n g f l o w i n a s q u a r e c a v i t y . Some o f t h e p r o b l e m s o f a c c u r a c y a nd b o u n d a r y c o n d i t i o n s a r e i n v e s t i g a t e d . 5 CHAPTER I I THEORETICAL BACKGROUND 2.1 I n t r o d u c t i o n I n t h i s c h a p t e r t h e e q u a t i o n s o f m o t i o n g o v e r n i n g t h e s t a b i l i t y o f a l a m i n a r f l o w a r e d e r i v e d . The c l a s s i c a l m e t h od o f s m a l l d i s t u r b a n c e s i s u s e d . The s t a b i l i t y o f a g i v e n l a m i n a r f l o w i s s t u d i e d b y e x a m i n i n g l i n e a r p e r t u r b a t i o n s a b o u t t h a t f l o w . Hence t h e s t a r t i n g p o i n t i s t h e d e t e r m i n a t i o n o f t h e s t e a d y l a m i n a r f l o w . T h i s i s w e l l d o c u m e n t e d by O l s o n [ 1 2 ] , b u t i s r e p r o d u c e d h e r e s i n c e i t i s i m p o r t a n t t o t h e s u b s e q u e n t w o r k . The e i g e n v a l u e p e r t u r b a t i o n i s t h e n c o n s i d e r e d f i r s t l y i n t h e one d i m e n s i o n a l c a s e a nd t h e n i n t h e more g e n e r a l two d i m e n s i o n a l p r o b l e m . S i n c e t h e F i n i t e E l e m e n t m e t h o d i s t o be u s e d t o s o l v e a l l t h e e q u a t i o n s n u m e r i c a l l y i t i s c o n v e n i e n t t o r e c a s t t h e d i f f e r e n t i a l e q u a t i o n s a s r e s t r i c t e d v a r i a t i o n a l p r i n c i p l e s . T h i s i s done h e r e a l s o . I t s h o u l d be n o t e d t h a t t h i s i s e x a c t l y e q u i v a l e n t t o t h e G a l e r k i n m e t h o d . 2.2 S t e a d y P r o b l e m T h i s t h e s i s i s l i m i t e d t o t h e t r e a t m e n t o f two d i m e n s i o n a l f l o w o f an i n c o m p r e s s i b l e n e w t o n i a n f l u i d . Hence i t i s 6 c o n v e n i e n t t o u s e t h e s t r e a m f u n c t i o n f o r m o f t h e w e l l known N a v i e r S t o k e s e q u a t i o n s ( S c h l i c h t i n g [ 1 3 ] ) . w h e re t h e s u b s c r i p t s d e n o t e p a r t i a l d e r i v a t i v e s a n d = u , 4>x = - v a r e t h e x , -y v e l o c i t i e s r e s p e c t i v e l y a n d R i s t h e R e y n o l d s number. T h i s l e a d s t o some d e s i r a b l e p r o p e r t i e s o f t h e d i s c r e t i z e d e q u a t i o n s and s a t i s f i e s t h e c o n t i n u i t y " c o n s t r a i n t " a u t o m a t i c a l l y . I t h a s b e e n shown ( F i n l a y s o n [ 1 4 ] ) t h a t no v a r i a t i o n a l p r i n c i p l e c o r r e s p o n d i n g t o t h e N a v i e r S t o k e s e q u a t i o n s e x i s t s due t o t h e non s e l f - a d j o i n t t e r m s . I t i s c o n v e n i e n t , h o w e v e r , t o r e c a s t t h e N a v i e r S t o k e s e q u a t i o n s i n a r e s t r i c t e d v a r i a t i o n a l p r i n c i p l e a s d e r i v e d b y O l s o n [ 1 2 ] 1 T h i s i s i d e n t i c a l t o t h e G a l e r k i n m e t h o d b u t a l l o w s one t o t h i n k i n t h e u s u a l t e r m s o f s e e k i n g a s t a t i o n a r y p o i n t t o some f u n c t i o n a l . B a s i c a l l y i t i s d e r i v e d by m u l t i p l y i n g e q u a t i o n 2.1 by a v i r t u a l " d i s p l a c e m e n t " 8ty, i n t e g r a t i n g b y p a r t s , and t h e n t a k i n g t h e 6 o p e r a t i o n o u t s i d e t h e i n t e g r a l by i n t r o d u c i n g b a r r e d q u a n t i t i e s w h e r e t h e b a r i n d i c a t e s t h a t t h a t t e r m i s h e l d c o n s t a n t w i t h r e s p e c t t o t h e v i r t u a l " d i s p l a c e m e n t " d u r i n g t h e v a r i a t i o n . The r e s t r i c t e d f u n c t i o n a l i s : t R Y y r x r x r y 0 (2.1) A (2.2) 7 w h e r e v i s t h e n o n d i m e n s i o n a l i z e d k i n e m a t i c v i s c o s i t y . N o t i c e t h a t t h e b a r r e d q u a n t i t i e s a r e a s s o c i a t e d w i t h t h e i n e r t i a f o r c e s . The p r i n c i p l e y i e l d s t h e f o l l o w i n g k i n e m a t i c a nd a s s o c i a t e d n a t u r a l b o u n d a r y c o n d i t i o n s : e i t h e r 6IJJ = 0 o r W 2 ^ N - ^ G V 2 ^ - V ^ - n = 0 (2.3) e i t h e r 6ip •== 0 o r V 2 I/j = 0 (2.4) w h e r e s , n, a r e t h e l o c a l t a n g e n t i a l a nd o u t w a r d n o r m a l c o o r d i n a t e s . The n a t u r a l c o n d i t i o n s i n e q u a t i o n s 2.3 and 2.4 h a v e no r e a l p h y s i c a l m e a n i n g . F o r t h e s t e a d y p r o b l e m i t seems more l o g i c a l t o u s e t h e c o n d i t i o n s o f z e r o t r a c t i o n . T h i s i s done b y a d d i n g a b o u n d a r y i n t e g r a l t o e q u a t i o n 2.2. The f o r m u l a t i o n i s t o be u s e d o n l y w i t h a t r i a n g u l a r f i n i t e e l e m e n t s o i t i s c o n v e n i e n t . t o a d d t h e b o u n d a r y i n t e g r a l on one e d g e o f t h e t r i a n g l e . The b o u n d a r y i n t e g r a l i n t e r m s o f l o c a l £fri' c o o r d i n a t e s i s : d? (2.5) -b n = 0 w h e r e t h e g e o m e t r y o f t h e e l e m e n t c a n be s e e n i n F i g u r e 2 . Then i f e q u a t i o n 2.2 a l o n g w i t h t h e b o u n d a r y i n t e g r a l (2.5) i s made s t a t i o n a r y t h i s y i e l d s e q u a t i o n 2.1 a s t h e E u l e r e q u a t i o n a n d t h e f o l l o w i n g k i n e m a t i c b o u n d a r y c o n d i t i o n s : 8 6$ = 0 a n d n 0 (2.6) w i t h t h e a s s o c i a t e d n a t u r a l b o u n d a r y c o n d i t i o n s - ^ o (2.7) and w h e r e p i s t h e p r e s s u r e a n d x i s t h e t a n g e n t i a l s h e a r s t r e s s . P h y s i c a l l y t h e s e a r e e x p e c t e d i n c a s e s o f s t e a d y f l o w . N o t i c e t h i s b o u n d a r y i n t e g r a l i s e x p e c t e d s i n c e t h e s t r i c t G a l e r k i n i n v o l v e s t h e r e s i d u a l i n t h e d o m a i n and on t h e b o u n d a r y (Ames [ 1 5 ] ) • 2 .3 E i g e n v a l u e P e r t u r b a t i o n P h y s i c a l l y t h e s t a b i l i t y o f a l a m i n a r f l o w i s e x a m i n e d by d i s t u r b i n g t h e s t e a d y f l o w a s m a l l amount and s e e i n g i f t h e d i s t u r b e d f l o w r e t u r n s b a c k t o t h e s t e a d y f l o w . M a t h e m a t i c a l l y we c o n s i d e r t o b e a s t e a d y s o l u t i o n t o e q u a t i o n 2 . 1. A s m a l l p e r t u r b a t i o n i s i n t r o d u c e d s o t h e new f l o w becomes \ J j ' ( x , y , t ) = i M x , y ) + e ( x , y , t ) w h e r e e i s t h e p e r t u r b a t i o n s t r e a m f u n c t i o n . S u b s t i t u t i o n i n t o e q u a t i o n 2.1 and r e t a i n i n g o n l y l i n e a r t e r m s i n e g i v e s : 9 t R y x y r x (2.8) N o t e t h a t t h e t i m e d e r i v a t i v e i n e q u a t i o n 2.8 i s s e p a r a b l e . The t i m e d e p e n d a n c e c a n t h e r e f o r e be t a k e n a s e x p [ - X t ] . T h i s l e a d s t o : E q u a t i o n 2.9 t o g e t h e r w i t h a p p r o p r i a t e b o u n d a r y c o n d i -t i o n s now r e p r e s e n t s an e i g e n v a l u e p r o b l e m i n v o l v i n g t h e l i n e a r ( d i f f u s i v e ) a n d " n o n l i n e a r " ( c o n v e c t i v e ) s t i f f n e s s t e r m s ( t h e s e a r e now a l l l i n e a r i n t e r m s o f t h e p e r t u r b a t i o n ) , t h e mass o r i n e r t i a s t i f f n e s s a n d t h e p a r a m e t e r X. The o p e r a t o r s a r e u n s y m m e t r i c s o i n g e n e r a l X w i l l be c o m p l e x . The s i g n o f t h e r e a l p a r t o f X w i l l i n d i c a t e t h e s t a b i l i t y o f t h e a s s o c i a t e d e i g e n v e c t o r . As X becomes n e g a t i v e t h i s w i l l i m p l y e x p o n e n t i a l g r o w t h i n t i m e , i . e . t h e p e r t u r b a t i o n w i l l g row. A t t h e same t i m e t h e a s s o c i a t e d e i g e n v e c t o r s h o u l d f o r e c a s t t h e c h a r a c t e r o f t h e i n s t a b i l i t y . 2.4 One D i m e n s i o n a l P r o b l e m = 0 (2.9) The s t a b i l i t y p r o b l e m i s f i r s t c o n s i d e r e d i n i t s s i m p l e s t f o r m , when t h e s t e a d y f l o w i s a f u n c t i o n o f y o n l y , e .g. P o i s e u i l l e f l o w . U s i n g t h e n o t a t i o n u = \b , u' = ib e t c . , 10 e q u a t i o n 2.9 r e d u c e s t o ^ V ^ e - u V 2 e + u"e + A V 2 e = 0 (2.10) R x x Now t h e c o e f f i c i e n t s a r e n o t f u n c t i o n s o f x a n d h e n c e t h e p e r t u r b a t i o n s t r e a m f u n c t i o n c a n be t a k e n a s £(x,y) = < H y ) e i a x (2.11) E q u a t i o n 2.10 t h e n becomes t h e c l a s s i c a l O r r - S o m m e r f e l d s t a b i l i t y e q u a t i o n ^(<J>" - 2a 2(j) , , + a 1 1*) + ia[u"<j> - u((|>" - a2<j>) ] + X(<J>" - a2<j>) = 0 (2.12) icxx N o t i c e t h a t e s a t i s f i e s t h e b o u n d a r y c o n d i t i o n s t h a t e r e m a i n b o u n d e d as x ±°°. P h y s i c a l l y a r e p r e s e n t s t h e wave number i n t h e x d i r e c t i o n . E q u a t i o n 2.12 c a n t h e n be s o l v e d f o r a g i v e n v a l u e o f a w h i c h may be v a r i e d t o f i n d t h e m o s t u n s t a b l e mode. A g e n e r a l p e r t u r b a t i o n c a n be e x -p r e s s e d a s a c o m b i n a t i o n o f a l l t h e modes o f d i f f e r e n t wave numbers ( t h e i n i t i a l c o n d i t i o n s b e i n g a l l t h a t i s r e q u i r e d t o f i x t h e m o d a l c o n t r i b u t i o n s ) . T h i s i s n o t done h e r e s i n c e i f o n l y one mode becomes u n s t a b l e a g e n e r a l p e r t u r b a t i o n w o u l d t e n d t o w a r d s t h a t mode a s a l l t h e o t h e r modes p a r t i c i -p a t i n g w o u l d be damped o u t ( l i k e e ^ t ) w i t h t i m e . 11 E q u a t i o n 2.12 c a n be r e c a s t i n t h e f o l l o w i n g f u n c t i o n a l f o r m b y m u l t i p l y i n g by a v i r t u a l " d i s p l a c e m e n t " 6<j>, i n t e g r a t i n g o v e r t h e d o m a i n , a n d t h e n i n t e g r a t i n g by p a r t s ( n e g l e c t i n g b o u n d a r y t e r m s s i n c e f o r t h e p r e s e n t a p p l i c a t i o n a l l b o u n d a r y c o n d i t i o n s a r e k i n e m a t i c ) : E q u a t i o n 2.13 i s j u s t t h e G a l e r k i n f o r m . A g a i n i f we i n t r o d u c e b a r r e d q u a n t i t i e s w h i c h a r e n o t v a r i e d d u r i n g t h e v i r t u a l d i s p l a c e m e n t t h i s c a n be e x p r e s s e d as a r e s t r i c t e d v a r i a t i o n a l p r i n c i p l e . + ia[u"cj)c5cj> + u'cJ^Sc})1 + u(<j>'6cj> + a2§6<p)[] (2.13) + i a [ u " ( j > 2 + 2u'c|),cJ) + u(<|> I 2 + a 2cj> 2)] I 2 (2.14) E q u a t i o n 2.14 w i l l be t h e s t a r t i n g p o i n t f o r a p p l y i n g t h e f i n i t e e l e m e n t m e t h o d . 2.5 Two D i m e n s i o n a l P r o b l e m The s t a b i l i t y p r o b l e m i s now t r e a t e d i n i t s g e n e r a l two 12 d i m e n s i o n a l f o r m . The g o v e r n i n g e q u a t i o n 2.9 c a n be r e w r i t t e n i n a d i f f e r e n t f o r m by n o t i n g t h a t : (ijj V 2 e ) = \b V 2 e + \b SJ2e y x r x y r y x -(i |J V 2 e ) = -\b V 2 e - ijj V 2 e x y r x y r x y (2.15) S u b s t i t u t i o n i n t o e q u a t i o n 2.9 y i e l d s : i - V ^ e - (ib V 2 e ) + (ty V 2 e ) - (e V 2 ^ ) + (e V 2 ^ ) R Yy x r x y y y x x r y + X V 2 e = 0 (2.16) w h e r e b o t h \p and e a r e f u n c t i o n s o f x a n d y. E q u a t i o n 2.16 i s r e c a s t i n t h e f o r m o f a r e s t r i c t e d v a r i a t i o n a l p r i n c i p l e b y c o m p a r i s o n t o t h e s t e a d y two d i m e n s i o n a l p r o b l e m : 3 = I f{~ ^ (Ve) 2 + ^ ( V 2 2 £ ) 2 + ( * y V 2 £ ) e x - ( i f ^ V e j E y + ( e y V 2 4 0 e x - ( e x V » e y j d A (2.17) T h i s y i e l d s t h e b o u n d a r y c o n d i t i o n s : e i t h e r Se = 0 o r - v V 2 e + V 2 e + e V 2d» + e ^ = 0 (2.18) n r s s r n t ' e i t h e r 6e = 0 o r V 2 e = 0 n (2.19) 1 3 E q u a t i o n 2 . 1 8 i s s o m e k i n d o f p s e u d o dp/ds a n d e q u a t i o n 2 . 1 9 i s j u s t t h e v o r t i c i t y o f t h e p e r t u r b a t i o n . I n t h e c a s e o f s t e a d y f l o w a b o u n d a r y i n t e g r a l w a s a d d e d t o t h e f u n c t i o n a l t o m o d i f y t h e b o u n d a r y c o n d i t i o n s . T h e f o l l o w i n g b o u n d a r y i n t e g r a l i s a d d e d t o I 3 ( a g a i n o n l y o n o n e e d g e o f t h e t r i a n g u l a r e l e m e n t i f d e s i r e d ) + a a • _ r 2 v e > - r e d £ -- b - b (ll)r£r>- + XLP E R + e r \ i ) r f . + £ Til,. ) £ d £ ( 2 . 2 0 ) T h e f i r s t t e r m i n e q u a t i o n 2 . 2 0 c o m b i n e s w i t h e q u a t i o n 2 . 1 9 t o g i v e x ^ (e) = 0, a n d t h e s e c o n d t e r m c o m b i n e s w i t h e q u a t i o n 2 . 1 8 t o g i v e t h e l i n e a r p a r t o f -^p-(iJ; + £ ) = 0 . T h e p r o b l e m i s , h o w e v e r , t h a t t h e b o u n d a r y c o n d i t i o n s a r e u n k n o w n a n d t h a t t h e b o u n d a r y c o n d i t i o n s d e r i v e d b y p h y s i c a l c o n s i d e r a t i o n s f o r s t e a d y f l o w d o n o t l o g i c a l l y c a r r y o v e r t o a n u n s t e a d y p e r t u r b a t i o n f l o w . A d d i t i o n a l d i f f i c u l t i e s a r i s e b e c a u s e i t i s n e c e s s a r y t o m o d e l o n l y a f i n i t e r e g i o n o f t h e f l o w w h e r e a s t h e m a t h e m a t i c a l p r o b l e m m i g h t b e i d e a l i z e d a s i n f i n i t e . T h i s w i l l b e d i s c u s s e d m o r e i n c h a p t e r 4 . 14 CHAPTER I I I F I N I T E ELEMENT REPRESENTATION 3.1 I n t r o d u c t i o n The e q u a t i o n s g o v e r n i n g t h e s t a b i l i t y o f a l a m i n a r f l o w d e r i v e d i n c h a p t e r two a r e now d i s c r e t i z e d u s i n g t h e f i n i t e e l e m e n t m e t h o d . The s t a r t i n g p o i n t f o r t h i s d i s c r e t i z a t i o n i s t h e f u n c t i o n a l f o r m o f t h e e i g e n v a l u e p e r t u r b a t i o n e q u a t i o n s c o r r e s p o n d i n g t o t h e one and two d i m e n s i o n a l p r o -b l e m s ( e q u a t i o n s 2.14 and 2.17 r e s p e c t i v e l y ) . The one d i m e n s i o n a l p r o b l e m i s t r e a t e d f i r s t . T h e n t h e d i s c r e t i z a t i o n and s o l u t i o n o f t h e s t e a d y two d i m e n s i o n a l f l o w p r o b l e m i s b r i e f l y r e p e a t e d h e r e s i n c e i t w i l l be shown t h a t t h i s i s t h e b a s i s o f t h e two d i m e n s i o n a l e i g e n v a l u e p e r t u r b a t i o n . A l l t h e p r o b l e m s t r e a t e d i n t h i s t h e s i s a r e f o u r t h o r d e r d i f f e r e n t i a l e q u a t i o n s a n d when r e c a s t a s r e s t r i c t e d v a r i -a t i o n a l p r i n c i p l e s t h e f u n c t i o n a l s c o n t a i n p r o d u c t s o f s e c o n d o r d e r d e r i v a t i v e s . Hence f i n i t e e l e m e n t s w i t h C"*" c o n t i n u i t y w i l l be u s e d t o f o r m t h e a p p r o x i m a t i n g f u n c t i o n s . 3.2 One D i m e n s i o n a l P r o b l e m The s t a b i l i t y e q u a t i o n f o r t h e one d i m e n s i o n a l p r o b l e m i s t h e O r r - S o m m e r f e l d e q u a t i o n ( 2 . 1 2 ) . A f u n c t i o n a l 15 r e p r e s e n t a t i o n was d e r i v e d i n e q u a t i o n 2.14. T h i s i s t o be d i s c r e t i z e d b y one d i m e n s i o n a l f i n i t e e l e m e n t s w i t h C"^  c o n t i n u i t y . The w e l l known beam e l e m e n t i s u s e d ( f i g u r e 1 ) . D e t a i l s o f t h i s e l e m e n t a r e a v a i l a b l e i n many s t a n d a r d f i n i t e e l e m e n t r e f e r e n c e s ( Z i e n k i e w i c z [ 1 6 ] ) . B r i e f l y <j> i s r e p r e s e n t e d b y a c u b i c w i t h i n t h e e l e m e n t r e q u i r i n g f o u r d e g r e e s o f f r e e d o m s o t h a t t h e " d e f l e c t i o n " v e c t o r f o r t h e e l e m e n t i s t a k e n a s 6 T = (<j)L, <j^, <bRl <bR)T (3.1) and t h e f o u r c o r r e s p o n d i n g s h a p e f u n c t i o n s a r e N i = 1 - 3 £ 2 + 2£3 N 2 = £ - 242 + (3.2) N 3 = 3 ? 2 - 2£3 N V = V. - K2 w h e r e E, - j- i s t h e n o n d i m e n s i o n a l i z e d e l e m e n t c o o r d i n a t e . N o t i c e i n e q u a t i o n 2.14 t h a t t h e v e l o c i t y p r o f i l e o f t h e s t e a d y s t a t e s o l u t i o n u = f ( y ) . F o r t h e p r e s e n t f o r m u l a t i o n u i s t a k e n a s u = c + d£ + eE,2 (3.3) w, 8, 8 =(w.,0, ,w2,02) FIGURE 1 CUBIC BEAM ELEMENT 17 w i t h i n e a c h e l e m e n t , w h e r e t h e c o n s t a n t s c, d , e a r e f o u n d f r o m t h e s t e a d y s t a t e s o l u t i o n . T h i s l e a d s t o a n e x a c t r e p r e s e n t a t i o n o f u f o r t h e p r e s e n t a p p l i c a t i o n t o P o i s e u i l l e f l o w w h e r e t h e s t e a d y s o l u t i o n u i s q u a d r a t i c i n y . The s h a p e f u n c t i o n s a r e u s e d t o a p p r o x i m a t e cj> a s 4 4> = l N.6. (3.4) i = l w h i c h y i e l d s m a t r i x r e p r e s e n t a t i o n s o f t h e t e r m s i n e q u a t i o n 2.14 e x p r e s s e d f o r e a c h e l e m e n t . T h e s e m a t r i c e s a r e t h e n a s s e m b l e d i n t h e u s u a l manner ( r e f e r e n c e [ 1 6 ] ) t o f o r m t h e " g l o b a l " p r o b l e m , w h i c h i s a d i s c r e t e r e p r e s e n t a t i o n o f e q u a t i o n 2.14. S e t t i n g i t s v a r i a t i o n t o z e r o ( w h i c h i s e q u i v a l e n t t o t h e G a l e r k i n p r o c e d u r e e x p r e s s e d i n e q u a t i o n 2.13) y i e l d s t h e m a t r i x e i g e n v a l u e p r o b l e m [ A j + ±A2]{<t>} = X [ B ] { * } (3.5) w h e r e {<)>} i s t h e d i s c r e t e e i g e n v e c t o r <f> r e p r e s e n t e d by t h e n o d a l v a r i a b l e s i n t h e f i n i t e e l e m e n t g r i d , A i comes f r o m t h e t e r m s a s s o c i a t e d w i t h t h e R e y n o l d s number, A 2 f r o m t h e i m a g i n a r y t e r m s a n d B f r o m t h e t e r m s a s s o c i a t e d w i t h X i n e q u a t i o n 2.14. D e t a i l s o f t h e m a t r i c e s a r e c o n t a i n e d i n a p p e n d i x A, b u t i t i s w o r t h m e n t i o n i n g a few t h i n g s h e r e . S i n c e t h e f i n i t e e l e m e n t m e t h o d i s u s e d a l l t h e m a t r i c e s a r e b a n d e d , u n f o r t u n a t e l y 18 t h i s i s o f no b e n e f i t t o t h e one d i m e n s i o n a l p r o b l e m s i n c e t h e m a t r i x e i g e n v a l u e s o l v e r i s a c o m p l e x v e r s i o n o f t h e QR a l g o r i t h m ( W i l k i n s o n [ 1 7 ] ) w h i c h u s e s f u l l s q u a r e f o r m . The m a t r i c e s A i and B a r e s y m m e t r i c . A 2 i s made up o f t e r m s w h i c h a r e s y m m e t r i c , a n t i s y m m e t r i c a b o u t t h e d i a g o n a l , a n d u n s y m m e t r i c , a nd s o i s u n s y m m e t r i c . The a n t i s y m m e t r i c t e r m s a r i s e f r o m 1 N.'N. d£ (3.6) l j 0 a n d t h e u n s y m m e t r i c t e r m s f r o m 1 •' K N'.N . d£ (3.7) J i j 0 The one d i m e n s i o n a l s t a b i l i t y p r o b l e m i s now r e p r e s e n t e d b y t h e m a t r i x e i g e n v a l u e p r o b l e m 3.5. The p h y s i c s o f t h e s t a b i l i t y p r o b l e m i s m a n i f e s t e d i n s e v e r a l i n t e r e s t i n g w a y s . The r e y n o l d s number o n l y comes i n a s ^ i n A i . N o t i c e t h a t a l l t h e t e r m s a s s o c i a t e d w i t h A j a r e s q u a r e d , i . e . A j i s i n f a c t p o s i t i v e d e f i n i t e ( l i k e w i s e f o r t h e m a t r i x B ) . T h i s means t h a t f o r s m a l l R ( v e r y v i s c o u s f l o w ) A i w i l l d o m i n a t e a n d t h e r e a l p a r t o f t h e e i g e n v a l u e s w i l l be p o s i t i v e . As R i n c r e a s e s , A 2 w i l l become more i m p o r t a n t . A 2 i s u n -s y m m e t r i c a n d i s a s s o c i a t e d w i t h t h e c o m p l e x p a r t o f A s o t h i s w i l l l e a d t o c o m p l e x e i g e n v a l u e s ( i . e . t r a n s i e n t p e r t u r -b a t i o n s ) w i t h t h e p o s s i b i l i t y o f n e g a t i v e r e a l p a r t s ( i . e . 19 u n s t a b l e ) . 3.3 S t e a d y F l o w F o r m u l a t i o n The n u m e r i c a l s o l u t i o n o f t h e s t e a d y f l o w p r o b l e m i s o b t a i n e d by d i s c r e t i z i n g e q u a t i o n 2.2 w i t h f i n i t e e l e m e n t s . An e l e m e n t w i t h C 1 c o n t i n u i t y i s r e q u i r e d b e c a u s e t h e f u n c t i o n a l I i c o n t a i n s p r o d u c t s o f s e c o n d o r d e r d e r i v a t i v e s . E l e m e n t s o f t h i s c l a s s h a v e b e e n d e v e l o p e d f o r s o l v i n g p l a t e p r o b l e m s i n s t r u c t u r a l m e c h a n i c s . One o f t h e most a c c u r a t e and v e r s a t i l e p l a t e e l e m e n t s i s t h e one d e v e l o p e d by Cowper e t a l . [ 1 8 ] . O l s o n [ 1 2 ] t h e n a d a p t e d i t t o t h e s o l u t i o n o f t h e s t e a d y v i s c o u s f l o w p r o b l e m . T h i s m e thod i s f o l l o w e d h e r e . The f i n i t e e l e m e n t i s t h e 18 d e g r e e o f f r e e d o m t r u n c a t e d q u i n t i c , t r i a n g u l a r e l e m e n t shown i n F i g u r e 2 . i s a p p r o x i m a t e d by an i n c o m p l e t e q u i n t i c p o l y n o m i a l w i t h t h e J^n t e r m m i s s i n g (£,n a r e t h e l o c a l e l e m e n t c o o r d i n a t e s shown i n F i g u r e 3 ) , s o t h a t t h e n o r m a l s l o p e i s c u b i c a l o n g t h e edge n = 0. Two a d d i t i o n a l c o n s t r a i n t s a r e a d d e d s o t h a t t h e n o r m a l d e r i v a t i v e v a r i e s a s a c u b i c on t h e o t h e r two e d g e s a s w e l l . T h i s c a n be e x p r e s s e d a s 20 m. n. 4> = I a E, 1 n 1 (3.8) i = l 1 w h e r e t h e a. a r e t h e p o l y n o m i a l c o e f f i c i e n t s , a nd t h e 20 21 m i ' n i a r e i n ^ e 9 e r e x p o n e n t s w h i c h a r e g i v e n i n a p p e n d i x B. The p o l y n o m i a l c o e f f i c i e n t s a r e t r a n s f o r m e d t o t h e 18 n o d a l d e g r e e s o f f r e e d o m i n l o c a l (£,n) c o o r d i n a t e s by { ^ , 0 , 0 } = [T] {Aj (3.9) w h e r e {A} and {^ T} a r e t h e v e c t o r s c o n t a i n i n g t h e p o l y -n o m i a l c o e f f i c i e n t s a nd t h e l o c a l n o d a l v a r i a b l e s r e s p e c t i v e l y , a nd [T] i s t h e t r a n s f o r m a t i o n m a t r i x a l s o g i v e n i n a p p e n d i x B. E q u a t i o n 3.9 i s t h e n i n v e r t e d t o g i v e {A} = [ T ] _ 1 { ^ L , 0 , 0 } T = [T 2i{<J> L} (3.10) The v e c t o r c o n t a i n i n g t h e n o d a l v a r i a b l e s i s t r a n s f o r m e d f r o m l o c a l (£,n) c o o r d i n a t e s t o t h e g l o b a l ( x , y ) s y s t e m by {^L> = [R)W (3.11) w h e r e [R] i s t h e r o t a t i o n m a t r i x ( s e e a p p e n d i x B ) , s o t h a t t h e p o l y n o m i a l c o e f f i c i e n t s a r e r e l a t e d t o 18 n o d a l v a r i a b l e s i n g l o b a l c o o r d i n a t e s t h r o u g h {A} = [ T 2 ] [ R ] { i ( i } = [ S ] { ^ } (3.12) The d i s c r e t i z a t i o n o f e q u a t i o n 2.2 i s done by s u b s t i t u t i n g e q u a t i o n 3.8 a n d c a r r y i n g o u t t h e i n t e g r a t i o n s w h i c h l e a d s t o a 22 m a t r i x r e p r e s e n t a t i o n o f I j a s 20 20 20 20 20 I i (3.13) w h e r e k. ., q.., , m.. a r e t h e l i n e a r s t i f f n e s s m a t r i x , t h e n o n l i n e a r s t i f f n e s s m a t r i x a n d t h e mass m a t r i x f o r one e l e m e n t i n t e r m s o f t h e p o l y n o m i a l c o e f f i c i e n t s ( s e e a p p e n d i x B ) . A g a i n t h e b a r r e d q u a n t i t i e s a r e h e l d c o n s t a n t d u r i n g t h e v a r i -a t i o n . The a ^ r e p r e s e n t s t h e t i m e d e r i v a t i v e w h i c h f o r t h e s t e a d y p r o b l e m i s z e r o s o t h e mass m a t r i x i s n o t i n c l u d e d . T h e s e m a t r i c e s a r e t r a n s f o r m e d t o t h e g l o b a l n o d a l v a r i a b l e s by e q u a t i o n 3.12, and t h e n a s s e m b l e d i n t h e u s u a l manner ( r e f e r e n c e [ 1 6 ] ) t o f o r m t h e g l o b a l d i s c r e t i z e d f u n c t i o n a l f o r t h e f i n i t e e l e m e n t g r i d i , j , k = 1,2,...N w h e r e N i s t h e n e t s i z e o f t h e p r o b l e m w h i c h i n c l u d e s a l l c o n d i t i o n s a r e i n t r o d u c e d d u r i n g t h e a s s e m b l a g e p r o c e s s , a n d {^} i s t h e g l o b a l v e c t o r o f n o d a l v a r i a b l e s . The m a t r i x I i = I K..*.*. + Q i j k ^ k (3.14) n o n z e r o n o d a l v a r i a b l e s , i . e . t h e homogeneous b o u n d a r y K.. i s s y m m e t r i c a nd b a n d e d w h i l e t h e n o n l i n e a r m a t r i x Q.. i s s y m m e t r i c o n l y i n i t s f i r s t t wo s u b s c r i p t s . 23 3.4 S o l u t i o n o f t h e S t e a d y P r o b l e m The e x t r e m u m o f t h e d i s c r e t e f u n c t i o n a l I i i n e q u a t i o n 3.14 i s t h e b e s t f i n i t e e l e m e n t r e p r e s e n t a t i o n o f t h e s o l u t i o n t o t h e s t e a d y N a v i e r - S t o k e s e q u a t i o n s ( e q u a t i o n 2 . 1 ) . T a k i n g t h e v a r i a t i o n o f e q u a t i o n 3.14 w h i l e h o l d i n g b a r r e d q u a n t i t i e s f i x e d g i v e s 5 l i = vK, .ty. +Q..,\b.ib. = 0 (3.15) s i n c e now {\b} = {\b}. E q u a t i o n 3.15 i s a n o n l i n e a r s e t o f a l g e b r a i c e q u a t i o n s w h i c h a r e c o n v e n i e n t l y s o l v e d b y t h e Ne w t o n - R a p h s o n m e t h o d . The same p r o c e d u r e i s u s e d h e r e a s by O l s o n [ ] . D e n o t e t h e k t h e q u a t i o n i n 3.15 by F, . S u p p o s e \b° i s an i n i t i a l g u e s s t o t h e s o l u t i o n o f e q u a t i o n 3.15, t h e Ne w t o n - R a p h s o n method t h e n e x p a n d s F^ i n a t a y l o r s e r i e s k e e p i n g o n l y t h e f i r s t two t e r m s : _ N 3F. , , V * i > = V * ? 1 + ^ A ^ z 0 ( 3- 1 6> w h e r e SF-^/dty^ i s t h e J a c o b i a n o r g r a d i e n t o f F^: 3 F k N VK k i + - I ^ Q i j k + Q j i k ^ ° < 3- 1 7> and &\b i s t h e c o r r e c t i o n t o be a d d e d t o t h e i n i t i a l g u e s s . T h i s i s f o u n d f r o m e q u a t i o n 3.16 a n d t h e n t h e s o l u t i o n v e c t o r i s i m p r o v e d t o 24 ( i = l r • • • N) (3.18) u n t i l a d e s i r e d l e v e l o f a c c u r a c y i s o b t a i n e d . A s i t w i l l t u r n o u t i n t h e n e x t s e c t i o n t h e J a c o b i a n i s v e r y i m p o r t a n t s i n c e i t g o v e r n s t h e s t a b i l i t y o f t h e s o l u t i o n . T h i s t u r n s o u t t o be v e r y e f f i c i e n t c o m p u t a t i o n a l l y s i n c e t h e J a c o b i a n i s n e e d e d t o o b t a i n t h e s t e a d y f l o w s o l u t i o n a n d b o t h o f t h e s e a r e n e e d e d t o s t u d y t h e a s s o c i a t e d e i g e n v a l u e p e r t u r b a t i o n i n t h e g e n e r a l two d i m e n s i o n a l p r o b l e m . 3.5 Two D i m e n s i o n a l P r o b l e m The g e n e r a l two d i m e n s i o n a l l i n e a r i z e d e i g e n v a l u e p e r -t u r b a t i o n o f t h e N a v i e r - S t o k e s e q u a t i o n s i s r e p r e s e n t e d i n f u n c t i o n a l f o r m b y I 3 i n e q u a t i o n 2.17. T h i s i s t o be d i s c r e t i z e d a n d s o l v e d n u m e r i c a l l y u s i n g f i n i t e e l e m e n t s . A g a i n n o t i c e t h a t an e l e m e n t w i t h C 1 c o n t i n u i t y m u s t b e u s e d . The s t e a d y f l o w p r o b l e m h a s a l r e a d y b e e n s o l v e d u s i n g t h e 18 d e g r e e o f f r e e d o m t r i a n g u l a r e l e m e n t , s o t h a t ip i s r e p r e -s e n t e d i n t e r m s o f t h e p o l y n o m i a l c o e f f i c i e n t s a ^ b y e q u a t i o n 3.8. Now u s i n g t h e same f i n i t e e l e m e n t i n t h e same g r i d ( f o r a p a r t i c u l a r p r o b l e m ) e i s a p p r o x i m a t e d b y t h e same i n c o m p l e t e q u i n t i c p o l y n o m i a l a s w h e r e t h e b.^ a r e t h e p o l y n o m i a l c o e f f i c i e n t s f o r e, and t h e . nu ,n.^ a r e t h e i n t e g e r e x p o n e n t s a s b e f o r e . E q u a t i o n s 3.8 and 3.19 a r e t h e n s u b s t i t u t e d i n t o e q u a t i o n 2.17 t o y i e l d 20 m. n. (3.19) 25 a d i s c r e t e r e p r e s e n t a t i o n o f I i n t e r m s o f t h e p o l y n o m i a l c o e f f i c i e n t s f o r one e l e m e n t as 20 20 20 20 1 = ~ J I I m k i b k b i + J I I k k i b k b i 2 k = l j = l X : i K D k = l j = l k J K 3 20 20 20 _ 20 20 20 + 1 1 1 S i i k a i b i b k + I I I < 3 i i k b i a i b k i = l j = l k = l 1 3 K 1 J K i = l j = l k = l 3 1 ^ (3.20) w h e r e t h e b a r i n d i c a t e s t h a t t e r m i s h e l d f i x e d when t h e v a r i a t i o n i n t a k e n , a n d t h e rru . , k, . , q. a r e t h e e l e m e n t s t i f f n e s s m a t r i c e s i n t e r m s o f t h e p o l y n o m i a l c o e f f i c i e n t s , whose e n t r i e s a r e f o u n d b y c a r r y i n g o u t t h e i n t e g r a t i o n s o v e r t h e e l e m e n t a r e a o f t h e p o l y n o m i a l t e r m s . I t i s i m p o r t a n t t o n o t i c e t h a t t h e s e m a t r i c e s a r e i n f a c t i d e n t i c a l t o t h o s e u s e d i n t h e s o l u t i o n o f t h e s t e a d y f l o w p r o b l e m , s i n c e t h e i - t h p o l y n o m i a l t e r m i s t h e same r e g a r d l e s s o f w h e t h e r i t i s a s s o c i a t e d w i t h ifi o r e ( s e e a p p e n d i x B) . The m a t r i c e s i n e q u a t i o n 3.20 a r e a g a i n t r a n s f o r m e d t o g l o b a l n o d a l v a r i a b l e s b y e q u a t i o n 3.12, and a s s e m b l e d i n t h e u s u a l manner t o f o r m t h e g l o b a l d i s c r e t i z e d f u n c t i o n a l I 3 f o r t h e p a r t i c u l a r f i n i t e e l e m e n t g r i d u s e d : 2 K J k j 2 k j k 2 + Q..,UJ.£.£1 + Q..,£.^.£, (3.21) j ,k .= 1, NP. . . i = 1,N w h e r e NP i s a g a i n t h e s i z e o f t h e p e r t u r b a t i o n p r o b l e m w h i c h e q u a l s t h e n e t s i z e l e s s t h e nonhomogeneous b o u n d a r y c o n d i t i o n s , 26 and {\b} a n d {e} a r e t h e g l o b a l v e c t o r s o f n o d a l v a r i a b l e s f o r t h e s t e a d y f l o w s t r e a m f u n c t i o n a n d t h e p e r t u r b a t i o n s t r e a m f u n c t i o n r e s p e c t i v e l y . The s o l u t i o n t o t h e two d i m e n s i o n a l e i g e n v a l u e p e r t u r b a t i o n p r o b l e m i s now o b t a i n e d by f i n d i n g t h e s t a t i o n a r y p o i n t o f I 3 . T a k i n g t h e v a r i a t i o n o f e q u a t i o n 3.21 y i e l d s 6 1 3 = [vK, . + Q. + Q . \b . ]e . - XM, .e . = 0 (3.22) w h i c h c a n be e x p r e s s e d a s t h e e i g e n v a l u e p r o b l e m [ vK. . + Q . .. IJJ . + Q . .. \b . ] e . = XM. . e . (3.23) j , k = 1,NP i = 1,N w h e r e t h e M, . i s t h e r e a l , s y m m e t r i c p o s i t i v e d e f i n i t e mass m a t r i x a n d l e f t h a n d b r a c k e t i s a r e a l u n s y m m e t r i c m a t r i x ( d e n o t e i t by J , . ) , a n d X i s t h e e i g e n v a l u e a s s o c i a t e d w i t h KJ e x p [ - X t ] f o r t h e e i g e n v e c t o r {e} and h e n c e i n d i c a t e s t h e s t a b i l i t y o f { e } . Compare t h e e x p r e s s i o n f o r J ^ ^ i n e q u a t i o n 3.2 3 w i t h t h e e x p r e s s i o n f o r t h e J a c o b i a n m a t r i x i n e q u a t i o n 3.17 a n d n o t i c e t h a t t h e two m a t r i c e s w i l l be i d e n t i c a l i f t h e p e r ^ t u r b a t i o n p r o b l e m i s d i s c r e t i z e d b y e x a c t l y t h e same g r i d a s t h e s t e a d y f l o w p r o b l e m a n d t h e J a c o b i a n i s e v a l u a t e d w i t h 4J? e q u a l t o t h e s t e a d y f l o w s o l u t i o n . The J a c o b i a n f r o m t h e s t e a d y f l o w p r o b l e m may t h e n be c o n d e n s e d f r o m t h e n e t s i z e N t o t h e p e r t u r b a t i o n s i z e NP by d e l e t i n g t h o s e r o w s and c o l u m n s c o r r e s p o n d i n g t o t h e nonhomogeneous b o u n d a r y c o n d i t i o n s , t o g i v e t h e m a t r i x J ^ j • 27 The e i g e n v a l u e p r o b l e m i n e q u a t i o n 3.23 i s s o l v e d u s i n g t h e QR a l g o r i t h m ( W i l k i n s o n [ 1 7 ] ) w h i c h f i n d s a l l o f t h e e i g e n v a l u e s a n d e i g e n v e c t o r s i t d e s i r e d . The m a t r i c e s a r e r e a l a n d u n s y m m e t r i c s o t h e e i g e n v a l u e s w i l l i n g e n e r a l be c o m p l e x . The s i g n o f t h e r e a l p a r t o f t h e e i g e n v a l u e w i l l i n d i c a t e t h e s t a b i l i t y a n d t h e i m a g i n a r y p a r t w i l l i n d i c a t e t h e t r a n s i e n t n a t u r e o f t h e c o r r e s p o n d i n g e i g e n v e c t o r . The p r o b l e m i s i n v e s t i g a t e d f o r d i f f e r e n t R e y n o l d s n u m b e r s . A g a i n a s i n t h e one d i m e n s i o n a l p r o b l e m t h e R e y n o l d s number comes i n a s 1/R i n t h e s y m m e t r i c t e r m . Hence f o r s m a l l R t h e m a t r i x K, . w i l l d o m i n a t e t h e j a c o b i a n i n e q u a t i o n 3.23 and s i n c e K ^ j and M^ . j a r e p o s i t i v e d e f i n i t e t h e e i g e n v a l u e s w i l l be p o s i t i v e ( i . e . s t a b l e ) . 28 CHAPTER I V EXAMPLE APPLICATIONS 4.1 I n t r o d u c t i o n The f i n i t e e l e m e n t f o r m u l a t i o n s d e r i v e d i n C h a p t e r 3 a r e now a p p l i e d t o s e v e r a l e x a m p l e p r o b l e m s . The P o i s e u i l l e f l o w i n a u n i t c h a n n e l i s f i r s t t r e a t e d by t h e one d i m e n s i o n a l f o r m u l a t i o n o f t h e O r r - S o m m e r f e l d e q u a t i o n . T h i s p r o b l e m h a s b e e n w e l l s t u d i e d by s e v e r a l o t h e r m ethods b u t n o t by f i n i t e . e l e m e n t s . The b e h a v i o u r o f t h e f i n i t e e l e m e n t f o r m u -l a t i o n i n t h e one d i m e n s i o n a l p r o b l e m c a n be e v a l u a t e d . The m o t i v a t i o n b e i n g t h a t t h i s i n f o r m a t i o n c a n t h e n be u s e d t o some a d v a n t a g e i n s o l v i n g t h e more g e n e r a l two d i m e n s i o n a l p r o b l e m s . The g e n e r a l two d i m e n s i o n a l f l o w s t a b i l i t y p r o b l e m h a s r e c e i v e d v e r y l i t t l e a t t e n t i o n . T h e r e a r e no known r e s u l t s w i t h w h i c h t o c o m p a r e t h e p e r t u r b a t i o n e i g e n v e c t o r s . Some c h a r a c t e r i s t i c s o f t h e p e r t u r b a t i o n s may be c o m p a r e d e i t h e r t o e x p e r i m e n t a l r e s u l t s o r i n some c a s e s t o a l t e r n a t e a n a l y t i -c a l s o l u t i o n s o f t h e same p h y s i c a l p r o b l e m . The two d i m e n s i o n a l f o r m u l a t i o n i s u s e d t o s o l v e two e x a m p l e p r o b l e m s . The f i r s t i s a two d i m e n s i o n a l r e p r e s e n t a t i o n o f t h e s t a b i l i t y o f P o i s e u i l l e f l o w i n a u n i t c h a n n e l . I t i s f e l t t h a t t h i s i s a g o o d t e s t p r o b l e m f o r s e v e r a l r e a s o n s . I t i s known t h a t t h e s t e a d y l a m i n a r f l o w b i f u r c a t e s i n t o a t r a n s i e n t l a m i n a r f l o w a t h i g h e r R e y n o l d s n u m b e r s . T h i s h a s 29 b e e n o b s e r v e d e x p e r i m e n t a l l y and i s one o f t h e c l a s s i c f l o w i n s t a b i l i t i e s i n f l u i d d y n a m i c s . A n a l y t i c a l l y i t r e p r e s e n t s one o f t h e s i m p l e s t s t a b i l i t y p r o b l e m s and a c o m p a r i s o n t o t h e known s o l u t i o n o f t h e O r r - S o m m e r f e l d e q u a t i o n i s a v a i l a b l e . The s t e a d y l a m i n a r f l o w i s a l s o s i m p l e w i t h t h e c l a s s i c p a r a b o l i c v e l o c i t y p r o f i l e , h e n c e t h e n u m e r i c a l l i m i t a t i o n s s h o u l d o n l y a r i s e f r o m t h e r e p r e s e n t a t i o n o f t h e p e r t u r b a t i o n . The p r o b l e m i s a l s o o f i n t e r e s t b e c a u s e i t r e q u i r e s t h e m o d e l l i n g o f an i n f i n i t e d o m a i n b y a f i n i t e one w h i c h i n t r o d u c e s a r t i -f i c i a l b o u n d a r i e s a n d a s s o c i a t e d b o u n d a r y c o n d i t i o n s . The s e c o n d p r o b l e m i s t h e s t a b i l i t y o f c i r c u l a t i n g f l o w i n a s q u a r e c a v i t y d r i v e n by t h e m o t i o n o f t h e t o p w a l l . T h i s c a v i t y f l o w i s a s i m p l i f i e d m o d e l o f t h e f l o w w i t h i n c l o s e d s t r e a m l i n e s , w h i c h i s i m p o r t a n t i n f l o w s i n v o l v i n g s e p a r a t i o n . The s t a b i l i t y o f t h i s f l o w i s p o o r l y u n d e r s t o o d e i t h e r e x p e r i -m e n t a l l y o r a n a l y t i c a l l y a n d no known c o m p a r i s o n s o l u t i o n s e x i s t . The s t e a d y s o l u t i o n , h o w e v e r , i s r e a s o n a b l y w e l l d o c u m e n t e d : f o r e x a m p l e O l s o n , & Tuann [19] h a v e s t u d i e d t h e d e v e l o p m e n t o f f l o w w i t h R e y n o l d s number. T h e r e a p p e a r e d t o be i n s t a b i l i t i e s d e v e l o p i n g b u t u n f o r t u n a t e l y t h e s e w e r e d e p e n d a n t on g r i d s i z e . The s t a b i l i t y o f t h e s e f l o w s w h e t h e r p h y s i c a l o r n u m e r i c a l i s t h u s an i n t e r e s t i n g phenomena. M o s t i m p o r t a n t , h o w e v e r , i s t h e f a c t t h a t t h i s e x a m p l e i s a common t e s t p r o b l e m i n n u m e r i c a l f l u i d d y n a m i c s a n d t h a t t h e b o u n d a r y c o n d i t i o n s a r e e n t i r e l y k i n e m a t i c . 30 A l l c o m p u t e r c a l c u l a t i o n s w e r e done on an Amdahl 470 V/8 u n d e r a M i c h i g a n T e r m i n a l S y s t e m . D o u b l e p r e c i s i o n a r i t h m e t i c was u s e d t h r o u g h o u t t o r e d u c e t h e e f f e c t s o f r o u n d o f f e r r o r s . 4.2 O r r - S o m m e r f e l d E q u a t i o n : P o i s e u i l l e F l o w The f i n i t e e l e m e n t r e p r e s e n t a t i o n o f e q u a t i o n 2.12 was a p p l i e d t o t h e s t a b i l i t y o f P o i s e u i l l e f l o w i n a c h a n n e l o f u n i t w i d t h . The o r i g i n f o r t h e y a x i s i s t a k e n a t t h e b o t t o m w a l l . The w e l l known s t e a d y l a m i n a r f l o w s o l u t i o n i s t h e n u ( y ) = 4 y ( l - y ) (4.1) ( S c h l i c h t i n g [ 1 3 ] ) . The maximum v e l o c i t y i s 1 a t t h e c h a n n e l c e n t r e l i n e , a n d h e n c e t h e R e y n o l d s number b a s e d on t h e maximum v e l o c i t y a n d c h a n n e l w i d t h i s R = 1/v w h e r e y i s t h e k i n e m a t i c v i s c o s i t y . The b o u n d a r y c o n d i t i o n s a r e (j) = (j)i = o a t y = 0 a n d y = 1 w h i c h c o r r e s p o n d t o z e r o n o r m a l a n d t a n g e n t i a l v e l o c i t y a t t h e w a l l . The u n i t c h a n n e l was d i v i d e d i n t o N e q u a l e l e m e n t s . G r o s c h a n d S a l w e n [ 5 ] h a v e s t u d i e d t h i s p r o b l e m q u i t e t h o r o u g h l y . The l e a s t s t a b l e wave number a was known t o be a b o u t 2 2tr ( n o t e a = w h e r e L = w a v e l e n g t h o f t h e d i s t u r b a n c e ) . Li Hence t o a l l o w c o m p a r i s o n o f t h e r e s u l t s a was t a k e n a s 2 f o r a l l c a l c u l a t i o n s . The e i g e n v a l u e s w e r e o r d e r e d a c c o r d i n g t o t h e i r r e a l p a r t s . The r e a l a n d i m a g i n a r y p a r t s o f t h e f i r s t e i g e n v a l u e , 31 i . e . , t h e one w i t h l o w e s t r e a l p a r t , a r e shown p l o t t e d i n F i g u r e 4 v e r s u s R e y n o l d s number, f o r d i f f e r e n t v a l u e s o f N. A s e x p e c t e d t h e r e a l p a r t d e c r e a s e s w i t h i n c r e a s i n g R e y n o l d s number, i . e . becomes l e s s s t a b l e . The c o a r s e g r i d s o f N = 4, 6 c o m p l e t e l y f a i l e d t o p i c k up t h e i n s t a b i l i t y . The N = 10 g r i d e x h i b i t s t h e i n s t a b i l i t y a s t h e r e a l p a r t o f A x c h a n g e s s i g n and t h a t mode becomes u n s t a b l e ( l i k e [ e x p - A t ] ,-where A i s now n e g a t i v e ) . I t o c c u r s , h o w e v e r , a t . a l o w R e y n o l d s number. F i n a l l y w i t h N = 32 t h e c o r r e c t b e h a v i o u r i s o b s e r v e d . T h i s t r e n d i s r e f l e c t e d i n t h e i m a g i n a r y p a r t o f Xi as w e l l . The c o a r s e g r i d s show l i t t l e o r no c h a n g e i n t h e i m a g i n a r y p a r t o f Xi w i t h i n c r e a s i n g R, w h e r e a s t h e f i n e g r i d s e x h i b i t . a d e c r e a s e i n t h e i m a g i n a r y p a r t o f Xx w i t h i n c r e a s i n g R. I t i s w o r t h m e n t i o n i n g t h a t a p r e l i m i n a r y f o r m u l a t i o n o f t h i s p r o b l e m was t r i e d m o d e l l i n g t h e s t e a d y v e l o c i t y u a s a c o n s t a n t w i t h i n e a c h e l e m e n t . T h i s f a i l e d e n t i r e l y t o p i c k up t h e i n s t a b i l i t y . T h i s s e n s i t i v i t y t o N i s shown more c l e a r l y i n F i g u r e 5. The r e a l a n d i m a g i n a r y p a r t s o f A i a r e p l o t t e d v e r s u s N f o r R = 1 2000. The p r o b l e m i s n o t s e l f a d j o i n t s o m o n o t o n i c c o n v e r g e n c e c a n n o t be e x p e c t e d . T h i s i s e x h i b i t e d b y t h e r e a l p a r t o f A. i . I t i s n o t u n t i l N = 10 t h a t f i n a l mono-t o n i c c o n v e r g e n c e i s o b s e r v e d . I t i s i n t e r e s t i n g t o n o t e t h a t F i g u r e 5 i s v e r y much l i k e D o w e l l ' s F i g u r e s 3 and 4 [7] e v e n t h o u g h D o w e l l u s e d an e i g e n f u n c t i o n e x p a n s i o n . Im(X,) 1.00 11 0.75 0.50 0.25 0.00 -0.25 h-4000 8000 12000 \ 16000 FIGURE 4 A , VERSUS R WITH GRID REFINEMENT FOR <X=2 33 34 The O r r - S o m m e r f e l d e q u a t i o n i s a f o u r t h o r d e r p r o b l e m a n d t h e p r e s e n t f i n i t e e l e m e n t r e p r e s e n t a t i o n i s i n t e r m s o f c u b i c beam e l e m e n t s . I t c a n be shown i n t h e beam p r o b l e m ( a l s o f o u r t h o r d e r - b u t s e l f a d j o i n t ) t h a t t h e e r r o r i n t h e s t r a i n e n e r g y i s Oth 1*] w h e r e h i s a t y p i c a l e l e m e n t s i z e . Hence f o r e q u a l l e n g t h e l e m e n t s h = c h a n n e l w i d t h / N — h and s o t h e c o n v e r g e n c e g o e s a s N . By c o m p a r i s o n A s h o u l d e x h i b i t t h i s k i n d o f c o n v e r g e n c e . T h i s i s shown i n F i g u r e 6, an d i t c a n be s e e n t h a t t h i s k i n d o f c o n v e r g e n c e i s o b s e r v e d . The " e x a c t " s o l u t i o n was n o t a v a i l a b l e b u t t h e e r r o r was c a l c u l a t e d b y t a k i n g t h e e x a c t r e a l p a r t o f A x t o be 0.00066. T h i s e s t i m a t e was o b t a i n e d b y c o m p a r i n g t h e b e s t r e s u l t s o b t a i n e d h e r e t o o t h e r s i n t h e l i t e r a t u r e [ 6 ] . The e i g e n v e c t o r s c o r r e s p o n d i n g t o t h e u n s t a b l e mode Aj a r e shown i n F i g u r e 7. A c o m p a r i s o n e i g e n v e c t o r f r o m G r o s c h and S a l w e n [5] i s a l s o shown. The a g r e e m e n t i s v e r y g o o d . The u n s t a b l e e i g e n v e c t o r s a r e s y m m e t r i c ( i n s t r e a m f u n c t i o n ) a b o u t t h e c e n t r e l i n e s o o n l y h a l f o f t h e e i g e n v e c t o r i s p l o t t e d . The n o r m a l i z a t i o n a d o p t e d i s t h e same a s t h a t u s e d by G r o s c h a nd S a l w e n ; t h e m a g n i t u d e a t t h e c e n t r e l i n e i s t a k e n a s 1 + O i . The f o r m o f t h e e i g e n v e c t o r e x h i b i t s some r a t h e r i n t e r e s t i n g p r o p e r t i e s . The r e l a t i v e m a g n i t u d e o f t h e i m a g i n a r y p a r t i s o n l y a b o u t 2% o f t h e r e a l p a r t . The sh a p e o f t h e r e a l p a r t c h a n g e s v e r y l i t t l e w i t h R e y n o l d s number ( n o t s h o w n ) . The i m a g i n a r y p a r t i s c o n c e n t r a t e d i n a v e r y n a r r o w m a r g i n n e a r t o t h e w a l l , a n d i t s s h a p e i s v e r y s e n s i t i v e t o R e y n o l d s number. R e c a l l t h a t t h e i m a g i n a r y p a r t ERROR IN Re (X,) 10 20 30 40 50 Log N FIGURE 6 RATE OF CONVERGENCE OF h WITH N PRESENT RESULTS GROSCH + SALWEN \ = 0.000037 + 0.52266 i X - 0. 0000 4 + 0.5226i FIGURE 7 FIRS T EIGENVECTOR FOR R=11600 *=2 .0 37 i s a s s o c i a t e d w i t h t h e u n s y m m e t r i c t e r m s w h i c h a r i s e f r o m t h e i n e r t i a t e r m s i n t h e O r r - S o m m e r f e l d e q u a t i o n ( e q u a t i o n 2 . 1 2 ) , and t h a t i t i s t h i s a s y m m e t r y t h a t c a u s e s t h e c h a n g e i n s i g n o f X. T h i s h e l p s t o e x p l a i n t h e s e n s i t i v i t y t o g r i d s i z e N. The a b i l i t y o f t h e g r i d t o a c c u r a t e l y r e p r e s e n t t h e i m a g i n a r y p a r t o f t h e e i g e n v e c t o r n e a r t o t h e w a l l i n f l u e n c e s t h e a c c u r a c y o f t h e e i g e n v a l u e s p r e d i c t e d by t h a t g r i d . P h y s i c a l l y t h i s i s b e c a u s e t h e i n s t a b i l i t y i s t h o u g h t t o be c a u s e d b y t h e s t e e p v e l o c i t y g r a d i e n t s n e a r t h e w a l l . T h i s c h a r a c t e r o f t h e e i g e n v e c t o r i m m e d i a t e l y s u g g e s t s t h e u s e o f s t a g g e r e d g r i d s , w i t h a f i n e g r i d w o r k n e a r t h e w a l l g r a d e d t o c o a r s e r a t t h e c e n t r e l i n e . The b e s t r e s u l t s f r o m t h e p r e s e n t m e t h o d w e r e o b t a i n e d u s i n g a s t a g g e r e d g r i d o f 40 e l e m e n t s a c r o s s t h e u n i t c h a n n e l . The e l e m e n t s i z e was g r a d e d f r o m 0.0125 a t t h e w a l l t o 0.05 a t t h e c e n t r e l i n e . The f i r s t e i g e n v a l u e i s c o m p a r e d t o o t h e r p r e d i c t i o n s f r o m t h e l i t e r a t u r e i n T a b l e 1. The r e s u l t s b y O r z a g a p p e a r t o be t h e most a c c u r a t e . The f i g u r e s shown i n T a b l e 1 f r o m O r z a g ' s p r e d i c t i o n s a r e a l l s i g n i f i c a n t . The p r e s e n t f i n i t e e l e m e n t m e t h o d g i v e s 0.27% e r r o r i n t h e r e a l p a r t o f X i and 0.02% e r r o r i n t h e i m a g i n a r y p a r t u s i n g t h e s t a g g e r e d g r i d o f 40 e l e m e n t s . By e x a m i n i n g F i g u r e 6 i t c a n be s e e n t h a t t h i s s t a g g e r e d g r i d o f 40 e l e m e n t s g i v e s a b o u t t h e same o r d e r o f e r r o r a s w o u l d a g r i d o f 7 0 o r 80 u n i f o r m e l e m e n t s . The c r i t i c a l R e y n o l d s number ( a t w h i c h t h e r e a l p a r t o f X i c h a n g e s s i g n ) was f o u n d t o be 11,620 u s i n g t h e s t a g g e r e d TABLE I COMPARISON OF THE FIRST EIGENVALUE FOR R = 20,000 a = 2 Re ( X i) I m (X ! ) ORZAG [6] - u s i n g 50 -0.00747934 0.47505298 C h e b y s h e v p o l y n o m i a l s THOMAS [4] - e x t r a p o l a t e d -0.0074808 0.4750518 f r o m 100 f i n i t e d i f f e r e n c e p o i n t s ( 4 t h o r d e r scheme) GARY & HELGASON [20] - -0.00747938 0.47505300 100 f i n i t e d i f f e r e n c e p o i n t s ( 6 t h o r d e r scheme) GROSCH & SALWEN [5] - up -0.007362 0.474826 t o 50 e i g e n f u n c t i o n s PRESENT - u s i n g 40 s t a g g e r e d -0.00749926 0.474973 e l e m e n t s 39 40 e l e m e n t g r i d f o r a = 2. T h i s c o m p a r e s w e l l t o t h e v a l u e o f 11,600 p r e d i c t e d b y G r o s c h and S a l w e n [5] f o r a - 2. I t s h o u l d be m e n t i o n e d t h a t f o r t h e e n t i r e r a n g e o f R e y n o l d s numbers i n v e s t i g a t e d (1000 t o 20000) t h e same e i g e n v e c t o r was a s s o c i a t e d w i t h t h e l o w e s t e i g e n v a l u e . The p r o b l e m i s s y m m e t r i c a b o u t t h e c e n t r e l i n e . T h i s w o u l d i m p l y a t r e m e n d o u s s a y i n g b y o n l y m o d e l l i n g h a l f o f t h e p r o b l e m w i t h cf>' = 0 a t t h e c e n t r e l i n e y = 0.5. The s e c o n d b o u n d a r y c o n d i t i o n , h o w e v e r , i s unknown. I n a v a r i a t i o n a l s e n s e t h i s i s t h e n a t u r a l b o u n d a r y c o n d i t i o n a s s o c i a t e d w i t h 6(f). D e s p i t e t h i s a m o d e l o f t h e h a l f p r o b l e m was t r i e d . I t was f o u n d t h a t t h i s m o d e l g a v e r e a s o n a b l e r e s u l t s a n d i n d i c a t e d t h e c o r r e c t i n s t a b i l i t y b u t i t a p p e a r s t h a t t h e c o n v e r g e n c e i s a f f e c t e d b y t h e i n c o r r e c t b o u n d a r y c o n d i t i o n , i f i t e v e n c o n v e r g e s t o t h e t r u e s o l u t i o n . The s o l u t i o n w i t h N = 40 r e q u i r e d 14 s e c o n d s o f C.P.U. t i m e o n t h e A m d a h l 470 V/8 c o m p u t e r . I n summary: The f i n i t e e l e m e n t m e t h o d a p p l i e d t o t h e s o l u t i o n o f t h e O r r - S o m m e r f e l d e q u a t i o n y i e l d s good r e s u l t s w h i c h compare v e r y w e l l t o o t h e r m e t h o d s d e s c r i b e d i n t h e l i t e r a t u r e . U n f o r t u n a t e l y f o r t h i s p r o b l e m t h e b a n d e d n a t u r e o f t h e f i n i t e e l e m e n t m a t r i c e s i s n o t an a d v a n t a g e s i n c e t h e c o m p l e x e i g e n v a l u e s o l v e r a v a i l a b l e r e q u i r e s f u l l s q u a r e f o r m . The p r o b l e m i s v e r y s e n s i t i v e t o g r i d s i z e . I t a p p e a r s t h a t t h e a s y m m e t r y , w h i c h a r i s e s f r o m t h e i n e r t i a t e r m s ( w h i c h c a u s e t h e i n s t a b i l i t y ) , i s r e s p o n s i b l e f o r t h i s . F o r t h i s 40 problem the asymmetry was a s s o c i a t e d w i t h the imaginary terms i n the d i s c r e t e o p e r a t o r , and i t was found t h a t an improved r e p r e s e n t a t i o n o f the imaginary p a r t of the e i g e n v e c t o r ( i . e . a r e f i n e d g r i d near the wall) improved the accuracy a g r e a t d e a l . I t should a l s o be noted t h a t the Orr-Sommerfeld equation r e q u i r e s a s u r p r i s i n g number of elements t o y i e l d reasonable r e s u l t s , p a r t i c u l a r l y i n c o n t r a s t to beam problems i n s t r u c t u r a l mechanics. T h i s was a l s o observed with other methods i n the l i t e r a t u r e . 4.3 Two Dimensional P o i s e u i l l e Flow The f i n i t e element r e p r e s e n t a t i o n of equation 2.16 was a p p l i e d to the two dimensional s t a b i l i t y of P o i s e u i l l e flow i n a channel of u n i t width. The problem c o n f i g u r a t i o n i s shown i n F i g u r e 8. The continuum problem f o r steady flow (equation 2.1) i s re p r e s e n t e d by an i n f i n i t e domain between the two w a l l s , w i t h the boundary c o n d i t i o n s Sty - 6iJ/ = 0 at the w a l l s and ^ f(x) f o r the f u l l y developed flow. The w e l l known steady laminar s o l u t i o n to t h i s problem w i t h the c l a s s i c p a r a b o l i c v e l o c i t y p r o f i l e i s ijj(x,y) - 2y 2 - - j y 3 . The maximum v e l o c i t y i s then 1 so t h a t the Reynolds number based on channel width and maximum v e l o c i t y i s R = — where v i s the kinema t i c v i s c o s i t y . The f i n i t e element g r i d s used to s o l v e the p e r t u r b a t i o n problem are shown i n F i g u r e 9. A l s o used were 10 x2 and 10 x4 g r i d s which are not shown but were refi n e m e n t s . o f the FIGURE 8 P O I S E U I L L E FLOW PROBLEM CONFIGURATION 42 1.6 3.2 X y 8 X 4 1.6 3.2 4.8 6.2 * F I G U R E 9 F I N I T E ELEMENT GRIDS FOR P O I S E U I L L E FLOW 43 8 x 2 a n d 8 x 4 g r i d s . The number o f e l e m e n t s NE, t h e number o f n o d e s NN, t h e h a l f b a n d w i d t h L B , and t h e p r o b l e m s i z e s N and NP f o r e a c h o f t h e s e g r i d s a r e l i s t e d i n T a b l e I I . The c o n t i n u u m p r o b l e m was i d e a l i z e d a s i n f i n i t e b u t f o r n u m e r i c a l c o m p u t a t i o n s i t i s n e c e s s a r y t o m o d e l a f i n i t e d o m a i n . T h i s r e q u i r e s t h e i n t r o d u c t i o n o f a r t i f i c i a l b o u n d a r i e s b o t h u p s t r e a m a n d d o w n s t r e a m . I t i s known t h a t t h e u n s t a b l e mode f o r P o i s e u i l l e f l o w o c c u r s w i t h a = 2 w h i c h i m p l i e s a h a l f w a v e l e n g t h o f 1.6. T h i s i s t h e m o t i v a t i o n f o r t h e g r i d d i m e n s i o n s i n t h e x d i r e c t i o n s i n c e t h e i n c o m p l e t e q u i n t i c t r i a n g u l a r e l e m e n t c a n m o d e l a h a l f s i n e wave a c c u r a t e l y w i t h i n one e l e m e n t . R e c a l l f r o m e q u a t i o n 3.2 3 t h a t t h e p e r t u r b a t i o n e i g e n -v a l u e p r o b l e m i n v o l v e s t h e J a c o b i a n e v a l u a t e d a t t h e c u r r e n t s t e a d y s o l u t i o n . Hence a l t h o u g h t h e s t e a d y s o l u t i o n i s known i t i s n e c e s s a r y t o h a v e t h i s d i s c r e t i z e d i n t e r m s o f t h e f i n i t e e l e m e n t g r i d . The e a s i e s t way t o do t h i s i s t o s i m p l y s o l v e t h e s t e a d y s o l u t i o n f i r s t . T h i s was f i r s t done w i t h f i n i t e e l e m e n t s by O l s o n [ 2 1 ] . The b o u n d a r y c o n d i t i o n s i m p o s e d t o s o l v e t h e s t e a d y s o l u t i o n a r e : (a) on t h e u p s t r e a m b o u n d a r y o 4 Q ip = 2y - oY i s c o n s t r a i n e d a n d ip = 0 , (b) o n t h e down-s t r e a m b o u n d a r y ijj = 0 , (c) on t h e b o t t o m w a l l \b = 0, i|> = 0, a n d \p i s c o n s t r a i n e d t o be z e r o , (d) on t h e t o p w a l l \b = \b = 0 and \b i s c o n s t r a i n e d t o be 1, and t h e r x r y r ' m i n i m i z a t i o n o f t h e f u n c t i o n a l i n e q u a t i o n 3.14 p r o d u c e s t h e b e s t a p p r o x i m a t i o n t o = 0 on t h e d o w n s t r e a m b o u n d a r y . TABLE I I G r i d s U s e d f o r P o i s e u i l l e F l o w G r i d No. o f e l e m e n t s No. o f n o d e s H a l f b a n d w i d t h * P r o b l e m s i z e £ NE NN LB N NP . 1 x 1 4 5 11 12 12 4 x 2 16 15 30 63 49 4 x 4 32 25 42 105 89 8 x 2 32 27 30 135 109 8 x 4 64 45 42 225 197 10 x 2 40 33 30 171 139 10 x 4 80 55 42 285 251 * d i a g o n a l e x c l u d e d . 45 F r o m t h i s s t e a d y s o l u t i o n t h e J a c o b i a n a nd mass m a t r i c e s a r e known. As e x p l a i n e d i n C h a p t e r I I I t h e same g r i d u s e d t o s o l v e t h e s t e a d y p r o b l e m i s t h e n u s e d t o s o l v e t h e p e r t u r b a t i o n p r o b l e m . The b o u n d a r y c o n d i t i o n s i m p o s e d a r e : (a) e - 0 on t h e u p s t r e a m b o u n d a r y , (b) e = 0 , e. = 0 on t h e t o p and b o t t o m w a l l s , (c) t h e a p p r o x i m a t i o n s t o t h e n a t u r a l c o n d i t i o n s o f = 0 dy and V 2 e = 0 on t h e d o w n s t r e a m b o u n d a r y a nd V 2 e = 0 on t h e u p s t r e a m b o u n d a r y . I n t e r m s o f t h e f i n i t e e l e m e n t d e g r e e s o f f r e e d o m t h i s c o r r e s p o n d s t o e = e = e = 0 on t h e u p s t r e a m y y y edge a n d e - e = e = e ' = e ' = 0 on t h e w a l l s . P h y s i c a l l y x y x x x y t h i s means t h a t an u n s t a b l e p e r t u r b a t i o n w o u l d b e z e r o on t h e u p s t r e a m b o u n d a r y a nd d e v e l o p w i t h x i n t h e d o w n s t r e a m d i r e c t i o n . The t r u e c o n t i n u u m b o u n d a r y c o n d i t i o n s f o r t h e d o w n s t r e a m b o u n d a r y a r e somewhat d e b a t a b l e b e c a u s e t h i s b o u n d a r y h a s b e e n i n t r o d u c e d a r t i f i c i a l l y t o f a c i l i t a t e n u m e r i c a l c o m p u t a t i o n . F rom o t h e r w o r k i n t h e l i t e r a t u r e on t r a n s i e n t f l o w b y F a s e l [ 2 2 ] , G r e s h o [ 2 3 ] , i t a p p e a r s t h a t a l t h o u g h t h e c o n d i t i o n s o f z e r o t r a c t i o n a r e n o t l o g i c a l i n t h e p h y s i c a l c o n t e x t t h e y a r e " s o f t " i n t e r m s o f t h e n u m e r i c a l p r o c e d u r e a nd t e n d t o o n l y i n f l u e n c e t h e s o l u t i o n i n a s m a l l r e g i o n n e a r t h e b o u n d a r y . The s o l u t i o n o f t h e p e r t u r b a t i o n e i g e n v a l u e p r o b l e m t h e n p r o c e e d s b y c o n d e n s i n g t h e J a c o b i a n ( o f e q u a t i o n 3.17) and mass m a t r i x f r o m t h e s t e a d y p r o b l e m s i z e N t o t h e p e r t u r b a t i o n p r o b l e m s i z e NP. T h i s c o r r e s p o n d s t o d e l e t i n g t h o s e v a r i a b l e s a s s o c i a t e d w i t h t h e nonhomogeneous b o u n d a r y c o n d i t i o n s i n t h e s t e a d y p r o b l e m . E q u a t i o n 3.23 i s t h e n s o l v e d f o r t h e p e r t u r b a t i o n 46 e i g e n v a l u e s a n d e i g e n v e c t o r s w h i c h i n d i c a t e t h e s t a b i l i t y . The p e r t u r b a t i o n p r o b l e m i s g o v e r n e d b y e q u a t i o n 2.9, w h i c h i s l i n e a r i n e w i t h n o n c o n s t a n t c o e f f i c i e n t s i n v o l v i n g \b. F o r t h e a p p l i c a t i o n t o P o i s e u i l l e f l o w t h e a n a l y t i c a l s o l u t i o n f o r \b i s a c u b i c i n y. The t r i a n g u l a r f i n i t e e l e m e n t s r e p r e s e n t ib b y an i n c o m p l e t e q ^ u i n t i c p o l y n o m i a l w i t h C 1 c o n t i n u i t y . Hence \b i s d i s c r e t i z e d e x a c t l y s o t h a t t h e non c o n s t a n t c o e f f i c i e n t s a r e a l s o d i s c r e t i z e d e x a c t l y . T h i s means t h a t f o r P o i s e u i l l e f l o w t h e p e r t u r b a t i o n p r o b l e m w i l l o n l y be l i m i t e d by t h e a b i l i t y o f t h e g r i d t o m o d e l e a c c u r a t e l y a n d w i l l n o t be a f f e c t e d b y t h e d i s c r e t i z a t i o n o f \b s i n c e t h i s i s e x a c t . T h i s i s i l l u s t r a t e d c l e a r l y b y t h e a b i l i t y o f t h e s i m p l e l x l , G r i d t o a c c u r a t e l y r e p r o d u c e t h e e x a c t s o l u -t i o n . U n l i k e t h e one d i m e n s i o n a l p r o b l e m w h e r e t h e symmetry and h a n d e d n e s s o f t h e f i n i t e e l e m e n t s t i f f n e s s m a t r i c e s w e r e n o t an a d v a n t a g e , t h e s e p r o p e r t i e s a r e u s e d f o r c o n s i d e r a b l e s a v i n g ( e s p e c i a l l y i n memory) i n t h e s o l u t i o n o f t h e s t e a d y p r o b l e m . U n f o r t u n a t e l y t h e a v a i l a b l e e i g e n v a l u e s o l v e r was n o t a b l e t o t a k e f u r t h e r a d v a n t a g e o f t h e s e p r o p e r t i e s . T h i s t u r n s o u t t o be a f a i r l y s t r i n g e n t l i m i t a t i o n . The f i r s t e x a m p l e s o l v e d i s a s i m p l e c o m p a r i s o n p r o b l e m . S a v o r [24] h a s s o l v e d t h e l i n e a r e i g e n v a l u e p r o b l e m f o r P o i s e u i l l e f l o w u s i n g t h e l x l g r i d , i . e . : (4.1) 47 T h i s f o r m e d t h e b a s i s f o r h i s m o d a l e x p a n s i o n o f t h e s t e a d y l a m i n a r f l o w p r o b l e m . D i v i d i n g t h e p e r t u r b a t i o n e i g e n v a l u e p r o b l e m ( e q u a t i o n 3.23) by v - g i v e s : [K, • + - ( Q . ., TJJ. + Q. i p . ) ] e . = -M. . e . (4.2) F o r t h e l i m i t i n g c a s e o f l a r g e v , t h e s o l u t i o n o f e q u a t i o n 4.2 w i t h t h e .1 ><'1 g r i d r e p r e s e n t s t h e same l i n e a r p r o b l e m s o l v e d by S a v o r . The 12 e i g e n v e c t o r s and e i g e n v a l u e s f o u n d by S a v o r a n d t h e i r a s s o c i a t e d e i g e n v a l u e s B a r e shown i n F i g u r e 10. The e i g e n v e c t o r s o f e q u a t i o n 4.2 w i t h R = 10 5 ( r e c a l l R = —) and t h e a s s o c i a t e d v a l u e s o f — a r e shown v v i n F i g u r e 1 1 . The a g r e e m e n t i s e x c e l l e n t e s p e c i a l l y s i n c e e q u a t i o n 4.2 s t i l l c o n t a i n s a f i n i t e amount o f v i s c o s i t y . H e n c e , t h i s c o n f i r m s t h a t t h e d i s c r e t i z a t i o n a nd n u m e r i c a l p r o c e d u r e h a v e b e e n i m p l e m e n t e d c o r r e c t l y . A summary o f t h e r e s u l t s f o r t h e s t a b i l i t y p r o b l e m o b -t a i n e d w i t h t h e 6 g r i d s a t R = 12000 i s shown i n T a b l e I I I . The s y mmetry o f t h e a s s o c i a t e d e i g e n v e c t o r s i s i n d i c a t e d by S ( s y m m e t r i c ) o r A ( ( a n t i s y m m e t r i c ) and an e s t i m a t i o n o f t h e p e r t u r b a t i o n wave number a f r o m t h e e i g e n v e c t o r p l o t s i s a l s o shown. R e c a l l t h a t a n e g a t i v e r e a l p a r t o f X i n d i c a t e s i n s t a b i l i t y , a n d a c o m p l e x p a r t i n d i c a t e s t h e mode i s o s c i l l a t o r y . The f i r s t t h i n g t o n o t i c e i s t h e p r e s e n c e o f n e g a t i v e e i g e n v a l u e s " . i t i s f e l t t h a t t h e s e modes a r e s p u r i o u s a n d a r e due t o t h e b o u n d a r y c o n d i t i o n s i m p o s e d on t h e a r t i f i c i a l EV = 9.8747 15.727 48 40.953 44.572 62.425 98.010 114.70 126.74 126.92 172.99 204.43 247.22 FIGURE 10 EIGENVALUES AND EIGENVECTORS FROM l x l GRID FOR LINEAR PROBLEM FROM REFERENCE [24} X R 9.8747 15.727 40.953 44.572 624248 98.009 172.991 204.426 - 247.221 FIGURE 11 EIGENVALUES AND EIGENVECTORS FROM l x l GRID AT R=0.00001 50 TABLE I I I EIGENVALUES FOR P O I S E U I L L E FLOW AT R = 12000 GRID 4 X 2 a 4 X 4 a -1.498 S -1.477 S -0.476 S -0.502 S 0.141 + 0 . 0 6 3 i S 1 0.834 + 0 . 0 4 8 i S 0.75 0.146 + 3 . 0 8 i S * 0.122 + 3 , 1 9 i S 4 * .0.182 + 0 . 4 7 7 i A * 0.126 + 0 . 5 2 0 i S 1.5 0.194 + 1 . 1 7 i S 2.2 0.141 + 1. 4 4 i A 0.148 + , 1 . 0 8 6 i S 2 GRID 8 X 2 a 8 X 4 a +1.467 S -1.465 S 0.096 + 0 . 0 7 4 i S 1.6 0.105 S 0.293 + 1 . 4 2 i A 0.128 + 0 . 1 1 9 i S 1 0.294 + 1 . 8 4 i S 3 0.140 S 0.294 + 0 . 9 4 6 i A 0.244 + 0 . 6 2 7 i S .2 0.353 + 0 . 5 6 4 i S 2 0.245 + 1 . 9 1 i S 3 GRID 10 X 2 a 10 X 4 a -1.396 S -1.395 S 0.141 + 0 . 0 5 2 i S 1 0.0911 S 0.377 + 0 . 7 4 2 i A 0.151 S 0.405 + 1 . 6 1 i S 3 0.178 + 0 . 1 5 0 i S 1.2 0. 406 + 1 . 7 9 i A 0.313 + 0 . 3 6 4 i S 1.8 0.437 + 0 . 7 3 0 i S 2.2 0.333 + 1 . 9 0 i A 3 NOTE: S = S y m m e t r i c a = wave number A = A n t i s y m m e t r i c * = G r i d o r i e n t e d e s t i m a t e d f r o m e i g e n v e c t o r p l o t s 51 b o u n d a r i e s i n t r o d u c e d t o a l l o w n u m e r i c a l c o m p u t a t i o n . T h i s c a n be s e e n i f we l o o k a t t h e e i g e n v e c t o r s shown i n F i g u r e s 12 a n d 1 3 , f o r t h e 8 x 2 a n d 8 x 4 g r i d s . The c o n t o u r s r e p r e s e n t s t r e a m l i n e s o f t h e p e r t u r b a t i o n s t r e a m f u n c t i o n i n e q u a l i n c r e m e n t s t o t h e maximum h e i g h t (MAX). The v a l u e s o f MAX a r e o n l y o f i n t e r e s t t o show t h e r e l a t i v e m a g n i t u d e s o f t h e r e a l a n d i m a g i n a r y p a r t s o f t h e e i g e n v e c t o r s c o r r e s p o n d -i n g t o c o m p l e x c o n j u g a t e e i g e n v a l u e s s i n c e an e i g e n v e c t o r h a s no a b s o l u t e s c a l e . Where an e i g e n v a l u e i s r e a l , o n l y t h e r e a l p a r t o f t h e e i g e n v e c t o r i s p l o t t e d , and w h e r e i t i s a c o m p l e x c o n j u g a t e o n l y one o f t h e c o n j u g a t e s i s p l o t t e d . The mode numbers a r e shown i n b r a c k e t s b e s i d e t h e c o r r e s p o n d i n g e i g e n v e c t o r ( n o t e t h a t a c o m p l e x c o n j u g a t e p a i r r e p r e s e n t s two m o d e s ) . An e s t i m a t i o n o f a, t h e d i s t u r b a n c e wave number, i s a l s o shown b e s i d e some o f t h e modes. C o n s i d e r t h e f i r s t two modes f o r t h e 8 x 4 g r i d w i t h X = -1.465 and X = 0.105. B o t h a r e o n l y r e a l a nd h e n c e t h e modes r e p r e s e n t s t a n d i n g w a v e s . The f i r s t i s u n s t a b l e and i s o b v i o u s l y a s s o c i a t e d w i t h t h e u p s t r e a m n a t u r a l b o u n d a r y c o n d i t i o n . N o t i c e t h a t t h e r e i s no c h a n g e i n t h i s mode when a l o n g e r ( 8 x 4 ) g r i d i s u s e d t h a n f r o m t h e s h o r t e r ( 8 x 2 ) g r i d . The s e c o n d mode seems t o be a s i m i l a r phenomena a s s o c i a t e d , h o w e v e r , w i t h t h e d o w n s t r e a m b o u n d a r y . The n u m e r i c a l p r o b l e m b e i n g s o l v e d i m p o s e s a z e r o p e r t u r -b a t i o n o n t h e u p s t r e a m b o u n d a r y ( b u t n o t z e r o s l o p e ) . The s o l u t i o n e x p e c t e d b a s e d on p h y s i c a l i n t u i t i o n a nd i g n o r i n g X R • -1.467 MAX 0.029 (2,3) a=1.6 X R 0.096 MHX 0.005 X i 0.074 MAX 0.010 (4,5) X R 0.292 MAX 0.003 X i 1.419 MAX 0.003 (6,7) a =3.0 X R 0.293' MAX 0.006 X i -1.843 MAX 0.006 (8,9) X R 0.294 MAX 0.001 X I -0.946 MAX 0.001 (10,11) a =2.0 X R 0.353 MAX 0.011 X i -0.564 MAX 0.004 FIGURE 12 F I R S T 11 EIGENVECTORS FROM 8x2 GRID FOR P O I S E U I L L E FLOW AT R=12000 a =wave number i n x d i r e c t i o n ( ) = e i g e n v e c t o r number X R • -1.465 X R 0.128 MAX •0.008 X I 0.119 MRX 0.005 X I -0.626 MAX 0.014 FIGURE 13 F I R S T 7 EIGENVECTORS FROM 8x4 GRID FOR P O I S E U I L L E FLOW AT R=12 000 a=wave number i n x d i r e c t i o n ( ) = e i g e n v e c t o r number 54 any q u e s t i o n s a b o u t t h e n a t u r a l b o u n d a r y c o n d i t i o n s i s a t r a v e l l i n g wave g r o w i n g i n a m p l i t u d e i n t h e s t r e a m w i s e . d i r e c t i o n . C o n s i d e r t h e mode f o r X = 0.244 ± 0 . 6 2 7 i f r o m t h e 8 x 4 g r i d . The e i g e n v e c t o r i s w a v e l i k e w i t h a h a l f wave l e n g t h o f a b o u t 1.6 and h e n c e a wave number o f a ~ 2, w h i c h f r o m t h e O r r - S o m m e r f e l d r e s u l t s i s known t o be t h e most u n s t a b l e mode. N o t i c e t h a t w i t h a p r o p e r c h o i c e o f o r i g i n t h e r e a l p a r t o f t h e e i g e n v e c t o r e, l o o k s l i k e c o s a x , a n d t h e i m a g i n a r y p a r t l i k e i s i n a x . T h e s e c o m b i n e t o r e p r e s e n t a t r a n s i e n t s o l u t i o n t h a t l o o k s r o u g h l y l i k e a t r a v e l l i n g w ave. U n f o r t u n a t e l y t h e m a g n i t u d e s o f t h e r e a l a n d i m a g i n a r y i cxx p a r t s a r e n o t e q u a l a n d s o w i l l n o t g i v e e x a c t l y e w h i c h was t h e x d e p e n d a n c e t a k e n i n t h e O r r - S o m m e r f e l d e q u a t i o n . The s h a p e o f t h e e i g e n v e c t o r <J>(y) f r o m t h e O r r - S o m m e r f e l d e q u a t i o n was shown i n F i g u r e 7. N o t i c e t h a t t h e Re(e) h a s t h i s s h a p e i n t h e y d i r e c t i o n , b u t t h a t t h e i m a g i n a r y p a r t d o e s n o t . I t was o b s e r v e d i n t h e O r r - S o m m e r f e l d p r o b l e m t h a t X was v e r y s e n s i t i v e t o t h e a b i l i t y o f t h e g r i d t o m o d e l Im(4>) . I t a p p e a r s t h a t t h e same t h i n g i s a l s o h a p p e n i n g h e r e . The two d i m e n s i o n a l f o r m u l a t i o n i n v o l v e s o n l y r e a l u n s y m m e t r i c m a t r i c e s w h i c h means t h a t a l l c o m p l e x e i g e n v a l u e s w i l l e x i s t i n c o n j u g a t e p a i r s . A wave t r a v e l l i n g e i t h e r u p s t r e a m o r d o w n s t r e a m i s l i k e e x p [ i a x ± A-j-t]. P h y s i c a l l y t h e p e r t u r b a t i o n d i s t u r b a n c e s o n l y t r a v e l d o w n s t r e a m . T h i s a p p a r e n t d i s c r e p a n c y c a n be e x p l a i n e d b y t h e f a c t t h a t t h e i m a g i n a r y p a r t . o f t h e e i g e n v e c t o r ( l i k e - i s i n a x ) a s s o c i a t e d 55 w i t h +X i s o f t h e o p p o s i t e s i g n t o t h e i m a g i n a r y p a r t o f t h e e i g e n v e c t o r ( l i k e i s i n c t x ) a s s o c i a t e d w i t h a n < ^ h e n c e o n l y a d o w n s t r e a m t r a v e l l i n g wave i s r e p r e s e n t e d . I n F i g u r e 14 t h e Re (A.) f o r t h e a ~ 2 mode i s p l o t t e d v e r s u s R f o r t h e 8 x 2 and 8 x 4 g r i d s . T h i s mode shows no s i g n s o f g o i n g u n s t a b l e a n d l o o k s v e r y much l i k e 1/R. I n t h e a b s e n c e o f t h e n o n l i n e a r t e r m s Q.., t h e 1/R d e p e n d a n c e comes d i r e c t l y f r o m t h e f o r m o f t h e e i g e n v a l u e p r o b l e m i n e q u a t i o n 3 . 23 . E q u a t i o n 4.2 w i t h o u t t h e n o n l i n e a r t e r m s becomes K. . e . = RAM, . e . = yM, .£• (4.3) k ] j k ] j 1 k j j T h i s i s now a n e i g e n v a l u e p r o b l e m w h e r e t h e e i g e n v a l u e s y - RX ^ f(R) s i n c e K a n d M do n o t d e p e n d on R. Hence X = -L. T h i s phenomena was a l s o o b s e r v e d w i t h t h e c r u d e g r i d s o f N = 4 and 6 i n t h e O r r - S o m m e r f e l d r e s u l t s ( F i g u r e 4 ) . The e i g e n v a l u e r e s u l t s i n T a b l e I I I show t h a t X i n c r e a s e s w i t h a n i n c r e a s e i n t h e number o f e l e m e n t s a c r o s s t h e c h a n n e l . I n t h a t s e n s e t h e y a r e s t i l l c o n v e r g i n g . I t was o b s e r v e d i n t h e O r r - S o m m e r f e l d r e s u l t s ( F i g u r e 5) t h a t A_ R a l s o i n c r e a s e d w i t h g r i d r e f i n e m e n t a c r o s s t h e c h a n n e l f o r t h e c r u d e g r i d s . Hence f r o m o u r e x p e r i e n c e t h e r e i t w o u l d a p p e a r t h a t t h e 4 x 4 , 8 x 4 , and 10 x4 g r i d s u s e d f o r t h e two d i m e n s i o n a l P o i s e u i l l e p r o b l e m a r e s t i l l v e r y c r u d e . The g e n e r a l f o r m u l a t i o n i s two d i m e n s i o n a l a n d t h u s 57 c o n v e r g e n c e o c c u r s i n b o t h d i r e c t i o n s . The c o n v e r g e n c e a c r o s s t h e c h a n n e l by a n a l o g y s h o u l d be much l i k e t h a t o b s e r v e d i n O r r - S o m m e r f e l d p r o b l e m . The f i n i t e e l e m e n t s u s e d f o r t h e two d i m e n s i o n a l p r o b l e m a r e h i g h e r o r d e r ( i n c o m p l e t e q u i n t i c ) t h a n t h o s e u s e d f o r t h e one d i m e n s i o n a l p r o b l e m ( c u b i c ) s o t h a t f e w e r e l e m e n t s s h o u l d be n e e d e d t o c a p t u r e t h e same a c c u r a c y , a l t h o u g h how many f e w e r i s n o t known. I t was s e e n i n t h e one d i m e n s i o n a l p r o b l e m t h a t t h e u s e o f a s t a g g e r e d g r i d i m p r o v e d t h e a c c u r a c y b u t o n l y i f t h e c e n t r e p a r t o f t h e g r i d was s u f f i c i e n t l y r e f i n e d t o a c c u r a t e l y r e p r e s e n t t h e s o l u t i o n n e a r t h e m i d d l e o f t h e c h a n n e l . A s t a g g e r e d 8 x 4 g r i d was t r i e d ( n o t shown) b u t d i d n o t l e a d t o i m p r o v e d r e s u l t s , p r e s u m a b l y b e c a u s e o f t h i s v e r y p r o b l e m . The c o n v e r g e n c e i n t h e s t r e a m w i s e d i r e c t i o n i s c o m p l i c a t e d b y t h e f a c t t h a t t h e p r o b l e m d o m a i n c a n be v a r i e d a s w e l l . The i n i t i a l m o t i v a t i o n f o r g r i d s i z e i n t h e x d i r e c t i o n was t h e a b i l i t y o f a q u i n t i c t o a c c u r a t e l y r e p r e s e n t a h a l f s i n e wave. The r e s u l t s i n T a b l e I I I t e n d t o i n d i c a t e t h a t b o t h a l a r g e r d o m a i n a n d a more r e f i n e d g r i d a r e n e e d e d i n t h e x . . d i r e c t i o n . The c h a n g e f r o m t h e 2 e l e m e n t (3.2 u n i t d o main) t o t h e 4 e l e m e n t ( 6 . 4 u n i t domain) d i d r e s u l t i n a d e c r e a s e i n X and a l s o c a u s e d t h e o r d e r o f t h e modes t o s h i f t s o t h a t t h e a ~ 2 mode became t h e s i x t h mode i n s t e a d o f t h e t e n t h mode. One w o u l d e x p e c t t h a t f o r a f i n e e n o u g h g r i d t h i s w o u l d b e t h e f i r s t n o n s p u r i o u s mode. I n summary, i t a p p e a r s t h a t t h e O r r - S o m m e r f e l d r e s u l t s 58 p r o v i d e a u s e f u l c o m p a r i s o n f o r t h e two d i m e n s i o n a l P o i s e u i l l e f l o w s t a b i l i t y p r o b l e m . I t i s n e c e s s a r y f o r t h e g r i d t o b e s u f f i c i e n t l y r e f i n e d e n o u g h t o a c c u r a t e l y r e p r e s e n t t h e y d e p e n d a n c e o f t h e e i g e n v e c t o r . The g r i d must a l s o be l o n g e n o u g h i n t h e x d i r e c t i o n t o a l l o w t h e p e r t u r b a t i o n "wave" t o d e v e l o p w i t h t h e p r o p e r w a v e l e n g t h . I t i s m o s t l i k e l y t h a t t h e n a t u r a l b o u n d a r y c o n d i t i o n s i n t r o d u c e d b y t h e a r t i -f i c i a l b o u n d a r i e s f u r t h e r s l o w c o n v e r g e n c e . The amount o f g r i d r e f i n e m e n t r e q u i r e d t o show c o n v e r g e n c e and i n v e s t i g a t e t h e e f f e c t o f b o u n d a r y c o n d i t i o n s i s b e y o n d t h e p r e s e n t c a p a b i l i t i e s o f t h e p r o g r a m u s e d . One o f t h e m a i n l i m i t a t i o n s i s t h e e i g e n v a l u e r o u t i n e w h i c h r e q u i r e s t h e two m a t r i c e s o f t h e e i g e n v a l u e p r o b l e m t o be i n f u l l s q u a r e f o r m and a t h i r d m a t r i x o f t h e same s i z e w h i c h i s u s e d f o r s t o r a g e a n d e i g e n v e c t o r c a l c u l a t i o n s . F u r t h e r t h e r o u t i n e c a l c u l a t e s a l l t h e e i g e n v a l u e s ( w h i c h becomes e x p e n s i v e ) , w h e r e a s o n l y t h e f i r s t f e w a r e o f i n t e r e s t . 4.4 C i r c u l a t i n g F l o w i n a S q u a r e C a v i t y The s e c o n d e x a m p l e p r o b l e m c o n s i d e r e d i s t h e s t a b i l i t y ( i n two d i m e n s i o n s ) o f c i r c u l a t i n g f l o w in...a s q u a r e c a v i t y b o u n d e d by t h r e e f i x e d w a l l s a n d a f o u r t h m o v i n g w i t h c o n s t a n t v e l o c i t y . The p r o b l e m c o n f i g u r a t i o n i f shown i n F i g u r e 15. The c a v i t y d i m e n s i o n a n d t h e v e l o c i t y o f t h e t o p w a l l a r e b o t h t a k e n a s u n i t y s o t h a t t h e R e y n o l d s number b a s e d on t h e s e u = -1 FIGURE 15 PROBLEM CONFIGURATION FOR CIRCULATING FLOW I N A SQUARE CAVITY 60 i s R = — w h e r e v i s t h e k i n e m a t i c v i s c o s i t y . The b o u n d a r y c o n d i t i o n s f o r t h e p r o b l e m a r e a l l k i n e m a t i c . F o r t h e s t e a d y p r o b l e m t h e s e a r e (a) \b = ib^ = 0 on t h e f i x e d w a l l s . , and (b) = 0 f \b = -1 on t h e t o p m o v i n g w a l l . The p e r t u r b a t i o n b o u n d a r y c o n d i t i o n s a r e e = e n = 0 on a l l f o u r w a l l s . The f i n i t e e l e m e n t g r i d s u s e d t o s o l v e b o t h t h e s t e a d y and p e r t u r b a t i o n p r o b l e m s a r e shown i n ; F i g u r e 16. The number o f e l e m e n t s NE, t h e number o f n o d e s NN, t h e h a l f b a n d w i d t h LB and t h e p r o b l e m s i z e s N and NP r e s p e c t i v e l y a r e l i s t e d i n T a b l e I V f o r e a c h o f t h e f o u r g r i d s . I n o r d e r t o be c o n s i s t e n t w i t h p r e v i o u s w ork t h e s e g r i d s a r e t h e same a s u s e d by O l s o n a n d Tuann [ 1 9 ] . The s t e a d y l a m i n a r f l o w s o l u t i o n f o r t h i s p r o b l e m i s n o t known a n a l y t i c a l l y a nd must be s o l v e d n u m e r i c a l l y . T h i s i s done u s i n g t h e f o r m u l a t i o n p r e s e n t e d i n C h a p t e r I I I a n d f o r m s t h e b a s i s f o r t h e e i g e n v a l u e p e r t u r b a t i o n . R e c a l l t h a t t h e N e w t o n - R a p h s o n J a c o b i a n a n d t h e mass m a t r i x f o r m t h e p e r t u r -b a t i o n e i g e n v a l u e p r o b l e m a f t e r c o n d e n s a t i o n . M a t h e m a t i c a l l y t h e r e a r e two s i n g u l a r i t i e s i n t h i s p r o b l e m a t t h e l e f t a n d r i g h t u p p e r c o r n e r s w h e r e a f l u i d p a r t i c l e o n t h e one h a n d moves w i t h t h e u n i t v e l o c i t y o f t h e t o p w a l l and on t h e o t h e r moves w i t h z e r o v e l o c i t y n o r m a l t o t h e s i d e w a l l s . N u m e r i c a l l y t h i s i s h a n d l e d i n t h e f i n i t e e l e m e n t method by i n t r o d u c i n g t h e e x t r a e l e m e n t s a t t h e s e two c o r n e r s . The a b i l i t y o f t h e same f i n i t e ; : , e l e m e n t g r i d s shown i n . F i g u r e 16 61 in b o CO y 2X 2 O.I 2 at 0.5 4 X 4 FIGURE 16 F I N I T E ELEMENT GRIDS FOR SQUARE CAVITY FLOW TABLE I V G r i d s U s e d f o r t h e S q u a r e C a v i t y G r i d No. o f e l e m e n t s No. o f n o d e s H a l f b a n d w i d t h * P r o b l e m s i z e i> e NE NN LB N NP 2 x 2 12 13 15 17 14 4 x 4 36 29 32 75 70 6 x 6 76 53 44 181 174 8 x 8 132 85 56 335 326 * d i a g o n a l e x c l u d e d . 63 t o m o d e l t h e s t e a d y l a m i n a r f l o w i s w e l l d o c u m e n t e d by O l s o n a n d Tuann [ 1 9 ] a n d h a s a l s o b e e n c o m p a r e d t o o t h e r n u m e r i c a l r e s u l t s f o r t h e same p r o b l e m . The e i g e n v a l u e p e r t u r b a t i o n i n d i c a t e s t h e s t a b i l i t y o f t h e s t e a d y l a m i n a r f l o w , and h e n c e i t i s f i r s t d e s i r a b l e t o u n d e r s t a n d t h e d e v e l o p m e n t o f t h a t f l o w w i t h R e y n o l d s number. T h i s h a s b e e n s t u d i e d by T u a n n and O l s o n [25] and i s shown i n F i g u r e 1 7 , w h i c h i s r e p r o d u c e d f r o m t h e i r r e s u l t s ( o b t a i n e d w i t h t h e 8 x 8 g r i d ) . The c o n t o u r s r e p r e s e n t s t r e a m l i n e s o f c o n s t a n t s t r e a m f u n c t i o n . The w a l l s r e p r e s e n t a z e r o s t r e a m f u n c t i o n c o n t o u r : . The v a l u e s o f t h e s t r e a m f u n c t i o n a t t h e p r i m a r y ( c e n t r e ) and s e c o n d a r y ( l o w e r l e f t ) v o r t i c e s a r e shown w i t h t h e f i g u r e s . A t R = 0.0001 t h e f l o w i s e s s e n t i a l l y S t o k e s f l o w . I t c o n s i s t s o f a m a i n c o r e v o r t e x a n d two s m a l l v o r t i c e s i n t h e l o w e r . c o r n e r s w h i c h f o r m a s t h e m a i n f l o w s e p a r a t e s f r o m t h e f i x e d w a l l due t o a d v e r s e p r e s s u r e g r a d i e n t s . The f l o w i s s y m m e t r i c a b o u t t h e c a v i t y c e n t r e l i n e s i n c e t h e r e a r e no i n e r t i a f o r c e s a t l o w R e y n o l d s n u m b e r s . A t R = 200 t h e i n e r t i a i s s i g n i f i c a n t w h i c h i s r e f l e c t e d i n t h e i n c r e a s i n g a s y m m e t r y o f t h e f l o w w h i c h h a s c a u s e d t h e c e n t r e v o r t e x t o s h i f t . A t R = 1500 t h e c o r e v o r t e x c o n t i n u e s t o grow i n s t r e n g t h a n d d e c r e a s e i n s i z e . An a d d i t i o n a l v o r t e x f o r m s j u s t a h e a d o f t h e u p p e r r i g h t c o r n e r . VALUE 6 1 VC= 0.100 VALUE e ] VC= 0.109 VALUE 6 2 VC= -0.000 VALUE e 2 VC= -0.000 64 R = 1500 R=2500 VALUE e 1 VC= 0.231 VALUE e 2 VC= -0.014 FIGURE 17 DEVELOPMENT OF THE R=3A50 I ' 10 • 0.1800 65 A t R = 2500 t h i s t h i r d v o r t e x h a s grown c o n s i d e r a b l y a nd i s l a r g e r t h a n t h e o t h e r s e c o n d a r y v o r t i c e s . The m a i n v o r t e x c e n t r e h a s s h i f t e d b a c k t o w a r d s t h e g e o m e t r i c c e n t r e o f t h e c a v i t y . A s R i n c r e a s e s t o 3450 t h e l o w e r v o r t i c e s i n c r e a s e i n s i z e a n d t e n d t o u n i t e a l o n g t h e b o t t o m w a l l . A b o v e t h i s t h e n u m e r i c a l s o l u t i o n d i d n o t c o n v e r g e . I n s h o r t , w i t h i n c r e a s i n g R , more i n e r t i a i s f e d i n t o t h e m a i n c o r e t h r o u g h c o n v e c t i o n t h a n t h r o u g h momentum d i f f u s i o n . T h i s c o m p l i c a t e s t h e f l o w a t h i g h e r R e y n o l d s number r e q u i r i n g t h e u s e o f f i n e r g r i d s . The 2 x 2 g r i d g i v e s r e a s o n a b l e r e s u l t s up t o R = 100, a n d t h e 4 x 4 , up t o 400. The 6 x 6 g r i d a p p e a r s t o be f a i r l y a c c u r a t e up t o R = 2000 a t w h i c h p o i n t t h e same phenomena o c c u r r e d a s f o r t h e 8 x 8 g r i d . The l o w e r v o r t i c e s g rew a n d t e n d e d t o u n i t e , u n t i l a t R = 2350 t h e n u m e r i c a l i t e r a t i o n u s i n g t h e Newton R a p h s o n m e t h o d f a i l e d t o c o n v e r g e . I t i s i n t e r e s t i n g t o n o t e t h a t i t seemed t o b e t h e same phenomena t h a t e v e n t u a l l y p r e v e n t e d b o t h t h e 6 x 6 and 8 x 8 g r i d s f r o m c o n v e r g i n g . O l s o n a n d Tuann [26] e x t e n d e d t h e s q u a r e c a v i t y r e s u l t s b y t h e f u r t h e r r e f i n e m e n t t o 10 x10 a n d 12 x12 g r i d s . The maximum R e y n o l d s numbers o b t a i n e d w i t h t h e s e g r i d s w e r e 4000 a n d 7000 r e s p e c t i v e l y , a t w h i c h p o i n t e i t h e r one o r b o t h o f t h e l o w e r v o r t i c e s h a d b r o k e n down a n d become g r i d o r i e n t e d . I t was a l s o o b s e r v e d t h a t t h e a p p a r e n t a c c u r a c y o f t h e s t e a d y s o l u t i o n was p o o r ; f o r e x a m p l e , i t was f e l t t h a t t h e 8 x 8 g r i d 66 was r e a s o n a b l y a c c u r a t e o n l y up t o a b o u t R = 2000. S l o w c o n v e r g e n c e i n p r o b l e m s w i t h s i n g u l a r i t i e s i s w e l l known and seems t o be t h e s o u r c e o f t r o u b l e h e r e . K n o w i n g t h e s t e a d y f l o w s o l u t i o n , t h e p e r t u r b a t i o n p r o b l e m i s t h e n . s o l v e d by f o r m i n g t h e e i g e n v a l u e p r o b l e m o f e q u a t i o n 3.23. T h e s e m a t r i c e s h a v e a l r e a d y b e e n c a l c u l a t e d i n o r d e r t o s o l v e t h e s t e a d y s o l u t i o n ( t h e mass m a t r i x i s s e t u p a l o n g w i t h t h e o t h e r m a t r i c e s f o r t h e s t e a d y p r o b l e m a l t h o u g h i t i s n o t u s e d t h e r e ) . The r ows and c o l u m n s a s s o c i -a t e d w i t h t h e v a r i a b l e s c o r r e s p o n d i n g t o t h e nonhomogeneous b o u n d a r y c o n d i t i o n s ( i . e . , t h e c o n s t r a i n e d v a l u e s o f ip = -1 on t h e t o p w a l l ) a r e d e l e t e d , and t h e e i g e n v a l u e p r o b l e m s o l v e d . U n l i k e t h e P o i s e u i l l e f l o w problem,„the a c c u r a c y o f t h e s t e a d y s o l u t i o n i s i m p o r t a n t s i n c e t h e f i n i t e e l e m e n t r e p r e -s e n t a t i o n o f ip i s now n o t e x a c t and t h e non c o n s t a n t c o e f f i c i e n t s i n t h e p e r t u r b a t i o n e q u a t i o n ( e q u a t i o n 2.9) w i l l be a f f e c t e d b y t h i s a c c u r a c y , a n d h e n c e i n f l u e n c e t h e n u m e r i c a l r e p r e s e n t a t i o n o f t h e p e r t u r b a t i o n s o l u t i o n . S a v o r [2.4] h a s a l s o s o l v e d t h e l i n e a r ( S t o k e s f l o w ) e i g e n v a l u e p r o b l e m ( e q u a t i o n 4.1) f o r t h e s q u a r e c a v i t y . The same c o m p a r i s o n a s made f o r t h e P o i s e u i l l e f l o w p r o b l e m was made f o r t h e c a v i t y . The r e s u l t s a r e n o t shown b u t t h e a g r e e m e n t was a g a i n e x c e l l e n t . A p h y s i c a l i n s t a b i l i t y was n o t e x p e c t e d i n t h e r a n g e o f R e y n o l d s numbers i n v e s t i g a t e d s i n c e t h e e x p e r i m e n t a l r e s u l t s 67 o f Pan and A c r i v o s [27] show a s t e a d y s o l u t i o n i n t h i s r a n g e . The r e a l p a r t o f t h e most u n s t a b l e mode i s shown p l o t t e d v e r s u s R i n F i g u r e 18. C l e a r l y t h e r e a l p a r t o f A i i s d e c r e a s i n g w i t h i n c r e a s i n g R and t h i s means t h a t t h i s mode i s b e c o m i n g l e s s s t a b l e w i t h i n c r e a s i n g R. F u r t h e r i t i s s e e n t h a t t h e a c c u r a c y o f a p a r t i c u l a r g r i d d i m i n i s h e s w i t h i n c r e a s i n g R a n d h e n c e p r o g r e s s i v e l y f i n e r g r i d s a r e n e e d e d a t h i g h e r R e y n o l d s n u m b e r s . T h i s i s p a r t i c u l a r l y s t r i k i n g f o r t h e 2 x 2 g r i d r e s u l t s w h i c h show t h e e i g e n v a l u e v e e r i n g away f r o m " c o r r e c t " s o l u t i o n w i t h i n c r e a s i n g R. ( A t t h e h i g h e s t R e y n o l d s number shown f o r t h e 6 x 6 and 8 x 8 g r i d s , t h e l o w e s t e i g e n v a l u e w h i c h c o r r e s p o n d e d t o a d i f f e r e n t mode i s n o t s h o w n ) . The c o n v e r g e n c e o f t h i s e i g e n v a l u e i s shown i n F i g u r e 19. A t l o w R e y n o l d s number t h e c o n v e r g e n c e i s e x c e l l e n t . F o r h i g h e r R e y n o l d s numbers t h e c o n v e r g e n c e i s s l o w e r - b u t s t i l l i s s u r p r i s i n g l y g o o d e s p e c i a l l y s i n c e t h e s t e a d y s o l u t i o n f o r t h e c r u d e g r i d s i s o n l y q u a l i t a t i v e a t t h e h i g h e r R e y n o l d s n u m b ers. The e i g e n v e c t o r c o r r e s p o n d i n g t o t h i s e i g e n v a l u e i s shown i n F i g u r e 20 f o r a s e q u e n c e o f i n c r e a s i n g R. A g a i n t h e p l o t s r e p r e s e n t e q u a l s t e p c o n t o u r s b e t w e e n t h e minimum and maximum e . The f i r s t t h i n g t o n o t e i s t h a t t h e mode i s q u i t e s i m p l e a n d c a n be e a s i l y r e p r e s e n t e d b y a l l t h e g r i d s . T h i s mode most r e s e m b l e s t h e b a s i c f l o w , m o r e o v e r i t p h y s i c a l l y r e s e m b l e s . w h a t one w o u l d i n t u i t i v e l y a s s o c i a t e w i t h t h e s t e a d y f l o w a t h i g h e r R e y n o l d s n u m b ers. 1000 2000 3000 FIGURE 18 Re(X,) VERSUS R WITH GRID REFINEMENT (CAVITY FLOW) ^ oo Re(X.) I 0.2 R = 400 +-FIGURE 19 CONVERGENCE OF X FOR CAVITY PROBLEM X R 52.391 MAX 0.040 R = l (4) X R 0.355 MAX 0.017 R=200 (6) X R 0.066 MAX 0.019 R=1000 (6) X R 0.034 I MAX 0.019 R=2000 (6) X R 0.542 MAX 0.024 R=100 (6) X R 0. 198 MAX 0.014 R=400 (6) " X R ! 0.043 MAX 0.019 R=1500 (6) X R 0.026 MAX 0.017 R=2500 (8) FIGURE 2 0 DEVELOPMENT OF FIRS T MODE WITH R ( )=nxn g r i d s i z e 71 The f i r s t s e v e r a l e i g e n v a l u e s a r e l i s t e d i n T a b l e V f o r R = 400 and 1000 t o show t h e i r c o n v e r g e n c e w i t h g r i d r e f i n e m e n t . The f i r s t t h i n g t o n o t i c e i s t h e p r e s e n c e o f c o m p l e x e i g e n v a l u e s . I t c a n be shown i n many s i m p l e a d v e c t i o n -d i f f u s i o n p r o b l e m s t h a t d i s c r e t i z a t i o n o f t h e c o n t i n u u m o p e r a t o r i n t r o d u c e s s p u r i o u s c o m p l e x e i g e n v a l u e s i n t o t h e d i s -c r e t e s p e c t r u m w h i c h a r e n o t p r e s e n t i n t h e c o n t i n u u m s p e c t r u m . T h i s shows up i n t h e n u m e r i c a l s o l u t i o n a s an e x c e s s i v e l y bumpy a p p r o x i m a t i o n . The q u e s t i o n t h e n a r i s e s a s t o w h e t h e r o r n o t t h e c o m p l e x p e r t u r b a t i o n e i g e n v a l u e s a r e s p u r i o u s o r n o t . I t i s f e l t , h o w e v e r , t h a t h e r e t h e y a r e n o t s p u r i o u s s i n c e c o n v e r g e n c e w i t h g r i d r e f i n e m e n t c a n be s e e n . M o r e o v e r c o m p l e x e i g e n v a l u e s w e r e o b t a i n e d e v e n f o r v e r y l o w R e y n o l d s numbers ( e . g . a t R = 0.0001 w i t h t h e 8 x 8 g r i d X i = 0.523 x l O 6 and X 2 / 3 = 0.921 x l 0 6 - ± 0 . 3 6 0 i ) . The c o n v e r g e n c e o f t h e h i g h e r e i g e n v a l u e s (shown i n T a b l e V) was much s l o w e r w i t h g r i d r e f i n e m e n t . T h e s e modes t e n d t o be much more c o m p l i c a t e d and i f t h e g r i d i s n o t f i n e e n o u g h a r e e x c e s s i v e l y g r i d o r i e n t e d . I t i s i n t e r e s t i n g t o n o t e t h a t S a v o r [ 2 4 ] , w h i l e s o l v i n g t h e s t e a d y p r o b l e m b y a m o d a l e x p a n s i o n , n o t i c e d t h a t e v e n f o r m o d e r a t e R e y n o l d s number t h e h i g h e r modes w e r e i m p o r t a n t and a r e a l i s t i c s t e a d y s o l u t i o n c o u l d n o t be o b t a i n e d w i t h o u t i n c l u d i n g some o f t h e s e i n t h e m o d a l e x p a n s i o n . The d e v e l o p m e n t o f t h e s p e c t r u m w i t h R e y n o l d s number i s shown i n F i g u r e 21 f o r t h e 6 x 6 g r i d . O n l y t h e r e a l p a r t o f Re(X) THE SQUARE CAVITY WITH THE 6x6 GRID TABLE V EIGENVALUE CONVERGENCE AT R = 400 and 1000 FOR CAVITY FLOW R GRID 400 4 x 4 6 x 6 8 x 8 0.200 0..'19 8 0.202 0.300 0.295 0.280 0.450 ± 1 . 2 5 i 0.398 + l . l O i * 0.399 + 1 . 0 5 i 0.589 ± 0 . 3 8 0 i 0.674 + 2 . 2 3 i 0.676 + 2 . 1 5 i 0.683 ± 2 . 4 2 i 0.814 0.764 0.788 ± 1 . 3 2 i 0.845 + 0 . 3 3 8 i * 0.884 + 1 . 0 6 5 i * 0.918 + 1 . 0 7 i 0.890 + 0 . 3 3 0 i 1000 4 x 4 6 X 6 8 X 8 0.0715 0.0668 0.0679 0.192 0.131 + 1 . 1 9 i * 0.140 + 1 . 0 8 i 0.259 ± 0 . 5 3 2 i 0.197 0.194 0.325 ± 2 . 2 3 i 0.231 + 2 . 5 8 i 0.238 + 2 , 2 0 i 0.328 ± 1 . 4 3 i 0.307 0.299 0.442 ± 3 . 4 6 i 0. 352 + 3 . 9 0 i 0. 329 + 1 . 0 6 i * 0.362 + 1 . 1 3 i 0.338 + 3 . 3 1 i * N o t e some modes cha n g e o r d e r w i t h g r i d r e f i n e m e n t . 74 t h e e i g e n v a l u e s a r e p l o t t e d . A c r o s s o v e r d o e s n o t i m p l y a c o a l e s c e n c e s i n c e t h e e i g e n v a l u e s a r e c o m p l e x and t h e i m a g i n a r y p a r t s a t a l l c o r s s o v e r s a r e d i s t i n c t . I t c a n be s e e n t h a t t h e s e h i g h e r modes w h i c h a r e s e n s i t i v e t o g r i d r e f i n e m e n t b e c a u s e o f t h e i r r e l a t i v e l y c o m p l e x s h a p e l o s e s t a b i l i t y w i t h R e y n o l d s number and become u n s t a b l e a t a b o u t R = 2100. R e c a l l t h a t f o r t h i s R e y n o l d s number t h e c o n v e r g e n c e o f t h e 6 x 6 g r i d was s e v e r l y r e d u c e d ( a l t h o u g h i t d i d c o n v e r g e t o R = 2150 a n d t h e n 2200 b u t o n l y w i t h s m a l l s t e p s i n R) and t h e a c c u r a c y o f t h e s t e a d y s o l u t i o n h a d a l r e a d y d e g e n e r -a t e d . F i n a l l y a t R =..2200 t h e s t e a d y s o l u t i o n d i v e r g e d . R e c a l l ( f r o m C h a p t e r I I I ) t h e i t e r a t i o n i s a N e w t o n - R a p h s o n m e t h o d w h i c h u s e s t h e same J a c o b i a n a s t h e p e r t u r b a t i o n e i g e n v a l u e p r o b l e m . The mode s h a p e s f o r t h e s e e i g e n v a l u e s a t R = 2100 a r e shown i n F i g u r e 22. The s h a p e o f t h e f i r s t mode ( u n s t a b l e ) i s q u i t e c o m p l i c a t e d i n d e t a i l w i t h r e s p e c t t o t h e r e s o l u t i o n o f t h e 6 x 6 g r i d . I t i s i n t e r e s t i n g t o n o t i c e t h a t t h e l o b e s o f t h e e i g e n v e c t o r a r e n e a r t o t h e w a l l s w h e r e t h e v e l o c i t y g r a d i e n t s o f t h e s t e a d y s o l u t i o n a r e v e r y s t e e p . The b a s i c c i r c u l a t o r y mode i s s t i l l p r e s e n t a nd i s s t a b l e . The r e f i n e m e n t t o t h e 8 x 8 g r i d s t i l l p r o d u c e d t h e same phenomena. The d e v e l o p m e n t o f t h e s p e c t r u m i s shown f o r t h e , 8 x 8 g r i d i n F i g u r e 2 3 . T h i s p l o t was d e r i v e d b y f o l l o w -i n g t h e I m a g i n a r y p a r t o f t h e e i g e n v a l u e s . I t was n o t p o s s i b l e (1,2) X R -0.004 MAX 0.001 X l -2.459 MAX 0.00] (3,4) XR 0.032 MAX 0.003 X I -1.571 MAX 0.003 X R 0.051 MAX 0.002 X i -4.005 MAX 0.002 FIGURE 22 F I R S T 7 EIGENVECTORS AT R=2100 CAVITY FLOW 6x6 GRID ( ) = e i g e n v e c t o r number Re(X) I FIGURE 23 CHANGE IN THE DISCRETE SPECTRUM WITH R FOR THE SQUARE CAVITY WITH THE 8x8 GRID 77 t o a c t u a l l y f o l l o w t h e mode s h a p e s s i n c e a f u l l s e r i e s o f e i g e n v e c t o r p l o t s w o u l d h a v e b e e n t o o e x p e n s i v e . The mode s h a p e s a r e shown f o r R = 2500 i n F i g u r e 24. The e v e n t u a l d i v e r g e n c e o f t h e s t e a d y s o l u t i o n t e c h n i q u e was p r o b a b l y a g a i n due t o t h e s e h i g h e r modes l o s i n g s t a b i l i t y a n d e v e n t u a l l y g o i n g u n s t a b l e . I t seems most l i k e l y t h a t t h e s e n e g a t i v e e i g e n v a l u e s a r e due t o t h e n u m e r i c a l r e p r e s e n t a t i o n o f t h e h i g h e r modes and t h a t p e r h a p s f i n e r g r i d w o u l d show t h e same mode as b e i n g s t a b l e a t t h e same R e y n o l d s number. One m i g h t t h e n c o n c l u d e t h a t t h e m a g n i t u d e o f t h e n e g a t i v e e i g e n v a l u e s i s n o t s u f f i c i e n t l y l a r g e f o r t h e phenomena t o be s i g n i f i c a n t . H o w e v e r , t h e r e l a t i v e i m p o r t a n c e o f A t o A K I f o r . t h e s e n e g a t i v e modes i s o f the; same o r d e r a s t h e u n s t a b l e mode i n t h e O r r - S o m m e r f e l d r e s u l t s , a n d h e n c e t h e mode c a n n o t be r u l e d o u t o n t h i s b a s i s . I t i s s u r p r i s i n g t o n o t e t h a t i t i s t h e same mode f o r b o t h t h e 6 x 6 a n d 8 x 8 g r i d s t h a t becomes t h e most u n s t a b l e . The mode c o r r e s p o n d s t o A = 0.352 ± 3 . 9 Q i f r o m t h e 6 x 6 g r i d a nd A = 0.338 ± 3 . 3 1 i f r o m t h e 8 x 8 g r i d a t R = 1000 (shown i n T a b l e V ) . T h i s w o u l d i m p l y t h a t t h e r e m i g h t be a p h y s i c a l i n s t a b i l i t y , b u t i t i s d i s -c o n c e r t i n g t o s e e t h e c r i t i c a l R e y n o l d s number i n c r e a s e w i t h g r i d r e f i n e m e n t . The r e s u l t s f r o m t h e O r r - S o m m e r f e l d e q u a t i o n , h o w e v e r , o b s e r v e d j u s t t h i s phenomena„(see F i g u r e 4) w h e r e t h e c r i t i c a l R e y n o l d s number was 7000 w i t h N = 10 and c o n v e r g e d t o a b o u t 11600 w i t h r e f i n e d N. T u a n n . a n d O l s o n [25] i n t h e i r s q u a r e c a v i t y r e s u l t s a l s o n o t e d t h a t " a p p a r e n t l y c o a r s e r 78 X R 0.026 MAX 0.017 | X R 0.047 MAX 0.001 X i 2.944 MAX 0.001 (1) (2,3) X R 0.054 MAX 0.002 X i 1.370 MAX 0.002 (4,5) X R 0.071 MAX 0.001 X i -4 .495 MAX 0.001 \ R 0.093 MAX 0.004 (6,7) X R 0.128 MAX 0.002 X l 5.994 MAX 0.002 (9,10) ( ) = e i g e n v e c t o r # X R 0.148 MAX 0.001 X I -2 .048 MAX 0.00! (11,12) FIGURE 24 F I R S T 12 EIGENVECTORS AT R=2500 8x8 CAVITY GRID 79 g r i d s t e n d t o a c c e l e r a t e t h e f l o w d e v e l o p m e n t w i t h R e y n o l d s number". T h i s o b s e r v a t i o n seems t o be a l s o t r u e f o r t h e p e r t u r b a t i o n modes. T h i s c a n be s e e n i n F i g u r e 20. The mode a t R = 1500 was c o m p u t e d w i t h t h e 6 x 6 g r i d , a n d d e v e l o p s a s e p a r a t e v o r t e x b e l o w t h e m a i n one a t R = 2000. The mode a t R = 2500, h o w e v e r , was c o m p u t e d w i t h t h e 8 x 8 g r i d a n d r e s e m b l e s t h e mode f o r R = 1500 f r o m t h e ..'6 x 6 g r i d , a n d d o e s n o t a p p e a r t o be a f u r t h e r d e v e l o p m e n t w i t h R f r o m t h e 6 x 6 R = 2000 mode. R a t h e r i t w o u l d a p p e a r t h a t t h e f i n e r 8 x 8 g r i d e x h i b i t s t h e same l e v e l o f d e v e l o p m e n t a t R = 2500 a s d o e s t h e 6 x 6 g r i d a t R = 1500. The R e y n o l d s number d e p e n d a n c e o f t h e e n t i r e e i g e n v a l u e s p e c t r u m a p p e a r s t o be l i k e 1/R. T h i s was o b s e r v e d f o r P o i s e u i l l e f l o w a s w e l l . The s p e c t r u m ( r e a l p a r t s o n l y ) f r o m t h e 8 x 8 g r i d h a d a r a n g e o f 0.202 < X_ < 132 a t R = 400 a n d 0.026 < A_ <c 20 a t R = 2500 w h i c h i s v e r y c l o s e t o a 1/R d e p e n d a n c e . T h i s i s e x p e c t e d f r o m t h e n a t u r e o f t h e e i g e n v a l u e p r o b l e m w i t h t h e l i n e a r t e r m i n v o l v i n g K. The n o n l i n e a r m a t r i x Q w h i c h i s u n s y m m e t r i c i n t r o d u c e s i n c r e a s i n g a s y m m e t r y i n t o t h e modes w i t h i n c r e a s i n g R. I t i s somewhat s u r p r i s i n g , h o w e v e r t h a t t h i s t e r m d o e s n o t a f f e c t t h e 1/R d e c r e a s e i n t h e s p e c t r u m . T h i s i s i n c o n t r a s t t o t h e O r r -S o m m e r f e l d r e s u l t s w h e r e t h e a s y m m e t r y was i n t r o d u c e d i n t h e c o m p l e x p a r t o f t h e m a t r i c e s and d i d r e s u l t i n a f a s t e r l o s s i n s t a b i l i t y t h a n 1/R. 80 I t i s a l s o i n t e r e s t i n g t o n o t e t h a t a l t h o u g h t h e 8 x 8 g r i d s o l u t i o n a t R = 3000 shows n e g a t i v e e i g e n v a l u e s w h i c h i n d i c a t e s an u n s t a b l e s t e a d y f l o w ( f o r t h e n u m e r i c a l r e p r e -s e n t a t i o n ) t h e s t e a d y s o l u t i o n . . " m e t h o d , d i d n o t a c t u a l l y d i v e r g e u n t i l R = 3450. S p e c u l a t i o n w o u l d s u g g e s t t h e n t h a t v e r y l i t t l e o f t h e u n s t a b l e modes a t R = 3000 i s p r e s e n t i n t h e s t e a d y s o l u t i o n a nd i t i s n o t u n t i l t h e h i g h e r R e y n o l d s number t h a t t h e s e modes a r e s u f f i c i e n t l y embedded i n t h e s t e a d y s o l u t i o n t o p r e v e n t c o n v e r g e n c e . The c o m p u t a t i o n s f o r t h e 8 x 8 g r i d w e r e b e c o m i n g v e r y t i m e c o n s u m i n g . On t h e A mdahl 470 V / 8 t h e i n i t i a l c a l c u l a t i o n o f t h e m a t r i c e s K, Q, M ( w h i c h w e r e s a v e d o n t a p e ) t o o k a b o u t 50 s e c o n d s o f CPU t i m e . Then a b o u t 18 s e c o n d s w e r e n e e d e d f o r e a c h i t e r a t i o n o f t h e s t e a d y s o l u t i o n . The R = 3000 s o l u t i o n r e q u i r e d i n t o t a l 56 i t e r a t i o n s o v e r a s e r i e s o f R e y n o l d s n u m b e r s . The d e t e r m i n a t i o n o f t h e p e r t u r b a t i o n e i g e n v a l u e s a t one R e y n o l d s number u s e d a b o u t 450 s e c o n d s C.P.U. t i m e , a n d i f t h e e i g e n v e c t o r s w e r e r e q u i r e d i t t o o k 390 a d d i t i o n a l s e c o n d s o f C.P.U. t i m e . The s t o r a g e r e q u i r e d f o r t h e 8 x 8 g r i d s o l u t i o n was n e a r t h e c o r e c a p a c i t y . I n summary: An i n s t a b i l i t y f o r t h e c a v i t y f l o w was o b s e r v e d . I t was, h o w e v e r , g r i d s e n s i t i v e a n d seemed t o be a n u m e r i c a l i n s t a b i l i t y , as i t c o i n c i d e d w i t h t h e d i v e r g e n c e o f t h e s t e a d y s o l u t i o n m e t h o d , r a t h e r t h a n a p h y s i c a l o n e . The a s y m m e t r y o f t h e p r o b l e m l e d t o c o m p l e x e i g e n v a l u e s i n t h e p e r t u r b a t i o n s p e c t r u m w h i c h w e r e n o t t h o u g h t t o be s p u r i o u s 81 b e c a u s e o f t h e i r c o n v e r g e n c e a n d e x i s t e n c e a t l o w R e y n o l d s n u m b e r s . A m a j o r l i m i t a t i o n was s i z e o f g r i d n e e d e d f o r e v e n r e a s o n a b l e r e s u l t s , a n d t h e a s s o c i a t e d p r o b l e m o f an e i g e n -v a l u e r o u t i n e w h i c h d i d n o t t a k e a d v a n t a g e o f t h e b a n d e d p r o p e r t i e s o f t h e m a t r i c e s . 82 CHAPTER V CONCLUSIONS A f i n i t e e l e m e n t m ethod f o r a n a l y s i n g t h e s t a b i l i t y o f v i s c o u s f l o w h a s b e e n p r e s e n t e d . F o r m u l a t i o n s f o r one and two d i m e n s i o n a l p r o b l e m s w e r e d e r i v e d a n d a p p l i e d t o s e v e r a l e x a m p l e p r o b l e m s . The s i m p l i f i c a t i o n t o t h e o n e - d i m e n s i o n a l p r o b l e m c o r r e s -p o n d s t o t h e w e l l known O r r - S o m m e r f e l d e q u a t i o n . T h i s was s o l v e d f o r t h e P o i s e u i l l e f l o w p r o b l e m u s i n g c u b i c f i n i t e e l e m e n t s a n d e x c e l l e n t a g r e e m e n t w i t h o t h e r s o l u t i o n s i n t h e l i t e r a t u r e was o b t a i n e d . The p e r f o r m a n c e o f t h e f i n i t e e l e m e n t f o r m u l a t i o n w i t h i n t h e c o n f i n e s o f t h i s w e l l u n d e r s t o o d p r o b l e m was a s s e s s e d t o f o r m a g u i d e l i n e f o r t h e two d i m e n s i o n a l f o r m u l a t i o n w h i c h h a s a p p a r e n t l y n o t b e e n s o l v e d b e f o r e . The two d i m e n s i o n a l f o r m u l a t i o n was f i r s t a p p l i e d t o a two d i m e n s i o n a l r e p r e s e n t a t i o n o f P o i s e u i l l e f l o w , t o a l l o w some c o m p a r i s o n o f t h e s o l u t i o n a n d c o n v e r g e n c e w i t h t h e O r r -Sommerf e l d r e s u l t s . No i n s t a b i l i t y was f o u n d f o r t h i s p r o b l e m e v e n t h o u g h t h e w e l l known t r a n s i e n t wave was e x p e c t e d . A c o m p l e x e i g e n v e c t o r r e p r e s e n t i n g a t r a n s i e n t p e r t u r b a t i o n wave o f a p p r o x i m a t e l y t h e r i g h t s h a p e ( b u t s t a b l e ) was o b s e r v e d . I t was c o n c l u d e d t h a t t h e c o n v e r g e n c e w i t h g r i d r e f i n e m e n t was s l o w r e l a t i v e t o t h e O r r - S o m m e r f e l d r e s u l t s a n d t h a t a much f i n e r g r i d w o u l d be n e e d e d t o p r e d i c t t h e i n s t a b i l i t y . 83 A m a j o r p r o b l e m was f o u n d t o be t h e unknown b o u n d a r y c o n d i t i o n s u s e d on t h e a r t i f i c i a l b o u n d a r i e s i n t r o d u c e d t o a l l o w n u m e r i c a l c o m p u t a t i o n i n a f i n i t e d o m a i n r a t h e r t h a n i n t h e i n f i n i t e c o n t i n u u m d o m a i n . The two d i m e n s i o n a l f o r m u l a t i o n was a l s o a p p l i e d t o t h e s t a b i l i t y o f c i r c u l a t i n g f l o w i n a s q u a r e c a v i t y . T h i s i s a common t e s t p r o b l e m f o r s t e a d y v i s c o u s f l o w and h a s t h e a d v a n t a g e t h a t t h e b o u n d a r y c o n d i t i o n s a r e k i n e m a t i c . No p h y s i c a l i n s t a b i l i t i e s w e r e e x p e c t e d f o r t h e r a n g e o f R e y n o l d s numbers i n v e s t i g a t e d . A n e g a t i v e e i g e n v a l u e ( u n s t a b l e m o d e ) , h o w e v e r , was o b t a i n e d . The c r i t i c a l R e y n o l d s number f o r t h i s phenomena was f o u n d t o i n c r e a s e s i g n i f i c a n t l y w i t h g r i d r e f i n e m e n t . T h i s t i e d i n v e r y w e l l w i t h t h e s o l u t i o n o f t h e s t e a d y f l o w p r o b l e m w h i c h d i d n o t c o n v e r g e much a b o v e t h i s c r i t i c a l R e y n o l d s number ( f o r t h e p a r t i c u l a r g r i d b e i n g u s e d ) . I t was i n t e r e s t i n g t o n o t e t h a t i t was t h e same t r a n s i e n t mode t h a t w e n t u n s t a b l e f o r b o t h o f t h e f i n e s t g r i d s u s e d t o s o l v e t h i s p r o b l e m . T h i s s u g g e s t s t h e p o s s i b i l i t y t h a t t h e mode d o e s c o r r e s p o n d t o a p h y s i c a l i n s t a b i l i t y , a l t h o u g h t h i s i s somewhat q u e s t i o n a b l e . I t was a l s o s e e n t h a t t h e h i g h e r modes w i t h more c o m p l i c a t e d e i g e n v e c t o r s a r e s e n s i t i v e t o g r i d r e f i n e m e n t . I n one d i m e n s i o n a l a d v e c t i o n d i f f u s i o n p r o b l e m s s p u r i o u s c o m p l e x e i g e n v a l u e s a r e s o m e t i m e s o b s e r v e d i n t h e d i s c r e t e o p e r a t o r . T h e s e a r e r e f l e c t e d b y a n e x c e s s i v e l y bumpy 84 n u m e r i c a l s o l u t i o n . They do n o t , h o w e v e r , e x i s t f o r t h e c o n t i n u u m o p e r a t o r i n t h a t p r o b l e m . The c o n t i n u u m o p e r a t o r i n t h i s p e r t u r b a t i o n p r o b l e m , h o w e v e r , i s u n s y m m e t r i c . T h i s i m m e d i a t e l y s u g g e s t e d t h e p o s s i b i l i t y o f c o m p l e x eigenvalues„ i n t h e c o n t i n u u m p r o b l e m . C o m p l e x e i g e n v a l u e s w e r e o b s e r v e d i n t h e d i s c r e t e s p e c t r u m , and w e r e n o t t h o u g h t t o be s p u r i o u s . T h e y w e r e p r e s e n t a t l o w R e y n o l d s numbers ( e v e n a t R = 0.0001 f o r t h e 8 x 8 g r i d ) a nd w e r e o b s e r v e d t o c o n v e r g e w i t h g r i d r e f i n e m e n t . S t a b i l i t y n e c e s s a r i l y i n v o l v e s t h e c a l c u l a t i o n o f l a m i n a r f l o w s a t " h i g h e r " R e y n o l d s n u m b e r s . T h i s r e q u i r e s t h e u s e o f f a i r l y a c c u r a t e s o l u t i o n t e c h n i q u e s . The m ethod p r e s e n t e d h e r e a p p e a r s t o y i e l d c o r r e c t s o l u t i o n s t o t h e s t a b i l i t y p r o b l e m b u t b e c a u s e o f t h e s e r e s t r i c t i o n s c o m p u t a t i o n a l l i m i t a t i o n s w e r e v e r y r e a l a n d p r e v e n t e d a s o l u t i o n w i t h t h e v e r y f i n e g r i d s n e e d e d t o o b s e r v e c o n v e r g e n c e . The o t h e r s e r i o u s p r o b l e m e n c o u n t e r e d and s t i l l u n r e s o l v e d i s t h a t o f t h e b o u n d a r y c o n d i t i o n s t o be u s e d on an a r t i f i c i a l b o u n d a r y i n t r o d u c e d t o f a c i l i t a t e n u m e r i c a l c a l c u l a t i o n o f t h e s o l u t i o n . I t a p p e a r s t h a t a t e s t p r o b l e m w i t h a known i n s t a b i l i t y a t a l o w R e y n o l d s number a n d p r e f e r a b l y w i t h k i n e m a t i c b o u n d a r y c o n d i t i o n s i s n e e d e d . 85 REFERENCES T u a n n , S.Y. a n d O l s o n , M.D., " R e v i e w o f C o m p u t i n g M e t h o d s f o r R e c i r c u l a t i n g F l o w s " , J . C o m p u t a t i o n a l P h y s i c s , V o l . 2 9 , No. 1, O c t o b e r 1978. L i n , C.C., The T h e o r y o f H y d r o d y n a m i c S t a b i l i t y , C a m b r i d g e U n i v e r s i t y P r e s s , L o n d o n , 1 9 5 5 . J o s e p h , D.D., S t a b i l i t y o f F l u i d M o t i o n s I , S p r i n g e r - V e r l a g , New Y o r k , 1976. Thomas, L.H., "The S t a b i l i t y o f P l a n e P o i s e u i l l e F l o w " , P h y s . R e v . , V o l . 9 1 , 1 9 5 3 , p p . 7 8 0 - 7 8 3 . 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The c o e f f i c i e n t s u i n e q u a t i o n 2.14 a r e f u n c t i o n s o f y and i n e q u a t i o n 3.3 u was t a k e n a s u = c + d£ + e£ : s o du d 2_£ dy Z i ^ d 2 u 2e d y 2 £ 2 ( A - 1 } w h e r e £ i s t h e l e n g t h o f t h e e l e m e n t , and c, d, e a r e d e t e r m i n e d f r o m t h e e x a c t s o l u t i o n u t o t h e s t e a d y p r o b l e m . The e l e m e n t m a t r i c e s a r e o b t a i n e d by s u b s t i t u t i n g t h e a p p r o x i m a t i o n o f <b as e q u a t i o n 3.4, w h e r e t h e N i s h a p e f u n c t i o n s a r e g i v e n b y e q u a t i o n 3.2, i n t o e q u a t i o n 2.14: 90 1 2 f i f N i " N j " N .1 N .' + 2 a 2 - i - i -1 D i + i a f — N . N . + 2 — N . ' L i 2 1 J e 1 N . + — E, N . ' N . 3 p 3 i D + — N . 1 N .' + N . 1 N . 1 + ^ 1 N . ' N . ' £ 2 i D ^ 2 i D % 1 i 3 + a 2 ( c N . N . + d ^ N . N . + e £ 2 N . N . ) i j i D l ] N." N.* X — 3 _ + a 2 N . N . V £ dE 02 l D ' s ( A . 2 ) Now make t h e f o l l o w i n g d e f i n i t i o n s K ID -1 N . " N ." d £ 0 1 1 ID 1 N . 1 N .' d £ 0 1 1 M . . ID N . N . £ d £ 1 D u. ID ID 1 £ N . ' N . d r 0 1 ^ ^ •1 r N . ' N . d r 0 ^ ^ •1 E N . ' N . ' d r H ID 1 £ J r2N.' n .' d r 1 D ^ L . . ID S N . N . £ d £ 0 1 3 c o n t ' d , 91 N. . ID r l £ 2N.N. jld£ 0 1 ^ (A.3) R e c o g n i z e t h a t some o f t h e s e m a t r i c e s a r e i d e n t i c a l t o t h o s e a s s o c i a t e d w i t h beam f i n i t e e l e m e n t p r o b l e m s . I n f a c t K.. iD i s t h e l i n e a r s t i f f n e s s m a t r i x , G.. i s t h e q e o m e t r i c ID y s t i f f n e s s m a t r i x a n d M.. i s t h e mass m a t r i x ( s e e r e f e r e n c e ID [ 1 6 ] ) . Q^ _. i s t h e a e r o d y n a m i c s t i f f n e s s m a t r i x ( s e e r e f e r e n c e [ 2 8 ] ) . The r e s t h a v e b e e n d e r i v e d h e r e . A l l t h e m a t r i c e s a r e p r e s e n t e d b e l o w ( n o t i c e a l l a r e s y m m e t r i c e x c e p t Q w h i c h i s a n t i s y m m e t r i c a b o u t t h e d i a g o n a l a n d V^_. w h i c h i s u n s y m m e t r i c ) ; K. ID ID M. . ID _1_ £ 3 30£ 420 12 6 -12 6 4 - 6 2 12 -6 s y m m e t r i c 4 36 3 -36 3 4 - 3 -1 36 -3 s y m m e t r i c 4 156 22 54 -13 4 13 - 3 156 -22 s y m m e t r i c 4 c o n t ' d . 92 Q ID U. ID ID H ID _1_ 60 420 60£ 2101 ID 840 -30 -6£ -30 6£ 6£ 0 -6£ £ 2 • 30 6£ 30 -6£ -61 £ 2 6£ 0 -78 -18£ -132 24£ -4£ - 2 £ 2 -31£ 5 £ 2 78 18£ 132 -24£ -11£ ; - 2 £ 2 46£ - 2 £ 2 36 6£ 36 0 2 £ 2 -6£ - £ 2 36 0 6 £ 2 72 15£ -72 -6£ 4 £ 2 -15£ - 3 £ 2 72 6£ 18£ 2 72 14£ 54 -12£ 3 £ 2 14£ - 3 £ 2 240 -30£ s y m m e t r i c 5£ : c o n t 1 d , 93 N. ID 2520 76 111 Al2 92 25£ 580 symmetric -19£ -5£ 2 -65£ 10£ 2 (A.4) Taking the v a r i a t i o n of A.2 and s e t t i n g i t equal to zero y i e l d s the eige n v a l u e problem i n equation 3.5. The ma t r i c e s A i , A 2 and B are expressed i n terms of the m a t r i c e s i n A . 4 by [A?] R ( K i j + 2 a 2 G i j + [ A ! ] r2e a t — M. . + c G. . + d F. . + e H. . A 2 ID ID ID ID + I Q i j + 1 T U i j + « 2 ( C M . . + d L . . + eN..)] [B S] G i j + a2M, ID ( A .5) where the e denotes element matrix. These are then assembled i n the u s u a l f i n i t e element manner to form the g l o b a l m a t r i c e s [ A j ] , [A 2] and [B] i n equation 3.5. APPENDIX B M a t r i c e s A s s o c i a t e d w i t h t h e Two D i m e n s i o n a l P r o b l e m The e l e m e n t m a t r i c e s d e s c r i b e d i n s e c t i o n s 3.3 and 3.5 w h i c h a r e u s e d i n e q u a t i o n s 3.13 a n d 3.2 0 a r e p r e s e n t e d h e r e . A d e t a i l e d d e s c r i p t i o n o f t h e f o r m u l a t i o n o f t h e 18 d e g r e e o f f r e e d o m e l e m e n t c a n be f o u n d i n r e f e r e n c e [ 1 8 ] . D e r i v a t i o n s o f t h e m a t r i c e s k.. and q . c a n be f o u n d i n r e f e r e n c e [ 1 2 ] , a n d a d e r i v a t i o n o f t h e m a t r i x m.. c a n be f o u n d i n r e f e r e n c e [ 2 4 ] , The g e o m e t r y a n d c o o r d i n a t e s y s t e m s u s e d f o r t h i s e l e m e n t a r e shown i n f i g u r e 2. The n o d a l v a r i a b l e s a r e T x ' r y ' r x x ' r x y ' r y y The i n t e g e r e x p o n e n t s o f t h e i n c o m p l e t e q u i n t i z p o l y n o m i a l u s e d t o a p p r o x i m a t e t h e s t r e a m f u n c t i o n i n e q u a t i o n s 3.8 an d 3.19 a r e m ± = 0, 1, 0, 2, 1, 0, 3, 2, 1, 0, 4, 3, 2, 1, 0, 5, 3, 2, 1, 0. n ± = 0, 0, 1, 0, 1, 2, 0, 1, 2, 3, 0, 1, 2, 3, 4, 0, 2, 3, 4, 5. ( B . l ) 95 The c o m p o n e n t s o f t h e l i n e a r s t i f f n e s s m a t r i x k.., ID t h e n o n l i n e a r s t i f f n e s s m a t r i x q.. , and t h e mass m a t r i x I3K m i j ''"n t e r m s o f t n e g e n e r a l i z e d c o o r d i n a t e s a r e k.. = m . m . ( m . - l ) ( m . - l ) F(m.+m.-4,n.+n.) + n . n . ( n . - l ) ( n . - l ) * I D . i D i D 1 D 1 D 1 D i D F(m i+m ;. ,n i+n =.-4) + [ir^n.. ( m i - l ) (n_.-l) + m.^ ( I T K-1) (n.. -1) ] F(m.+m.-2,n.+n.-2) + [m.n.(m.-l) + m . n . ( m . - l ) ] -i 3 l j 1 3 1 D i J G(m.+m.-2,n.+n.-1) 1 U ' l D (B.2) * i j k . = [ ( n ^ - m ^ J m ^ m . - l ) + (n jn^-m^n^) m. (m.-l) ] • F (m. +m . +m, -3 ,n. +n . +n, -1) /2 + [ (n . m. -m. n. ) n . (n .-1) i 3 k ' i 3 k 1 I k l k 3 3 + ( n ^ n ^ - n u n ^ n.j^ ( n i ~ l ) ] F ( n u + m j + n ^ - 1 + n k ~ 3 ) /2 - m.m. (m.+m .-2) G (m..+m .+m, -3,n.+n.+n, )/2 1 3 1 3 1 3 k ' 1 3 k ' -,_.n . n . (m. +m .) G(m. +m .+m, -1 ,n . +n .+n. -2) /2 (B . 3) 1 3 1 3 1 3 k ' 1 3 k ' m.. = m.m.F(m.+m.-2,n.+n.) + n.n.F(m.+m.,n.+n.-2) (B.4) 13 1 3 ^ 1 3 ' 1 3 1 D 1 D 1 D w h e r e t h e f u n c t i o n s F and G a r e t h e e x p r e s s i o n s o b t a i n e d b y i n t e g r a t i n g a g e n e r a l t e r m £ m n n o v e r t h e a r e a o f t h e t r i a n g l e a n d a l o n g t h e edge n = 0 r e s p e c t i v e l y , 96 F(m,n) = c n + 1 a m + 1 - ( - b ) m + 1 m i n i (B.5) (m+n+2) !. G(m,n) = _ 1 _ a m + 1 - ( - b ) m + 1 i f n=0 G(m,n) = 0 i f n ^ 0 (B.6) an d a,, b , c , d e s c r i b e t h e g e o m e t r y o f t h e e l e m e n t shown i n f i g u r e 3. The t e r m s i n v o l v i n g t h e f u n c t i o n G a r e a s s o c i a t e d w i t h t h e b o u n d a r y i n t e g r a l i n e q u a t i o n 2.5. The e l e m e n t m a t r i c e s a r e e x p r e s s e d i n t e r m s o f t h e g l o b a l n o d a l d e g r e e s o f f r e e d o m b y u s i n g t h e t r a n s f o r m a t i o n o f e q u a t i o n 3.12: 20 20 K i j = r l = 1 s l = 1 S r i S s j k r s (B. 7) 20 20 M i j = r l ± s l ± S r i S s j m r s (B.8) Q 20 20 20 i j k = ^ J 1 J 1 S r i ^ j S t k ^ r s t ( B- 9> w h e r e [S] = [T 1 ] [ R ] (B.10) [R] i s t h e r o t a t i o n m a t r i x w h i c h c a n be w r i t t e n i n t e r m s o f t h e s u b m a t r i x [R1] a s : 97 [R] w h e r e [ R i ] = R i 0 0 0 R i 0 0 0 R i ( B . l l ) 1 0 0 0 0 0 0 COS0 s i n 6 0 0 0 0 - s i n 6 COS0 0 0 0 0 0 0 c o s 2 0 2 s i n 0 c o s 8 s i n 2 0 0 0 0 - s i n 8 c o s 0 c o s 2 0 - s i n 2 0 s i n 6 c o s 0 0 0 0 s i n 2 0 - 2 s i n 8 c o s 0 c o s 2 0 (B.12) The t r a n s f o r m a t i o n m a t r i x [T] i s shown i n t a b l e 6. I t i s i n v e r t e d n u m e r i c a l l y f o r e a c h e l e m e n t t o y i e l d [ T - 1 ] . T A B L E V I TRANSFORMATION MATRIX [T] 1 -b 0 b 2 0 0 - b 3 0 0 0 b 4 0 0 0 0 - b 5 0 0 0 0 0 1 0 -2b 0 0 3b2 0 0 0 -4b 3 0 0 0 0 5b4 0 0 0 0 0 0 1 0 -b 0 0 b 2 0 0 0 - b 3 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2 0 0 -6b 0 0 0 12b2 0 0 0 0 -20b3 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 -2b 0 0 0 3b2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2 0 0 -2b 0 0 0 2b2 0 0 0 -2b 3 0 0 0 1 a 0 2 a 0 0 3 a 0 0 0 4 a 0 0 0 0 5 a 0 0 0 0 0 1 0 2a 0 0 3a2 0 0 0 4a 3 0 0 0 0 5a 4 0 0 0 0 0 0 1 0 a 0 0 2 a 0 0 0 3 a 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2 0 0 6a 0 0 0 12a2 0 0 0 0 20a3 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 2a 0 0 0 3a2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2 0 0 2a 0 0 0 2a2 0 0 0 2a 3 0 0 0 1 0 c 0 0 2 c 0 0 0 3 c 0 0 0 0 4 c 0 0 0 0 5 c 0 1 0 0 c 0 0 0 2 c 0 0 0 0 3 c 0 0 0 0 4 c 0 0 0 1 0 0 2c 0 0 0 3c2 0 0 0 0 4c 3 0 0 0 0 5c 4 0 0 0 2 0 0 0 2c 0 0 0 0 2c 2 0 0 0 0 2c 3 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 2c 0 0 0 0 3c2 0 0 0 0 4c 3 0 0 0 0 0 0 2 0 0 0 6c 0 0 0 0 12C2 0 0 0 0 20c3 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 5a4c , 2 3 . 4 3a c -2a c ^ 4 , 3 2 -2ac -3a c 5 , 2 3 c -4a c 5ac4 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 4 5b c ,,2 3 4 3b c -2b c 2bc 4 -3b 3 c 2 c -4b c 4 -5bc CO 

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