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Stochastic river modelling to estimate flood probabilities of a tidal river Jamal, Iqbal Badrudin 1980

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831-UBC_1980_A7 J35.pdf [ 8.68MB ]
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c • I STOCHASTIC RIVER MODELLING TO ESTIMATE FLOOD P R O B A B I L I T I E S OF A TIDAL RIVER by IQBAL BADRUDIN^JAMAL B . A . S c , The U n i v e r s i t y o f B r i t i s h C o l u m b i a , 1 9 7 8 A THESIS SUBMITTED IN PARTIAL FULFILMENT OF THE REQUIREMENTS FOR THE DEGREE OF MASTER OF APPLIED SCIENCE i n THE FACULTY OF GRADUATE STUDIES ( D e p a r t m e n t ' o f C i v i l E n g i n e e r i n g ) We a c c e p t t h i s t h e s i s as c o n f o r m i n g t o t h e r e q u i r e d s t a n d a r d THE UNIVERSITY OF B R I T I S H COLUMBIA A p r i l 1980 @ I q b a l B a d r u d i n J a m a l , 1980 In presenting th i s thes is in pa r t i a l fu l f i lment of the requirements for an advanced degree at the Un ivers i ty of B r i t i s h Columbia, I agree that the L ibrary sha l l make it f ree ly ava i l ab le for reference and study. I fur ther agree that permission for extensive copying of th is thesis for scho lar ly purposes may be granted by the Head of my Department or by his representat ives. It is understood that copying or pub l i ca t ion of th is thes is fo r f i nanc ia l gain sha l l not be allowed without my writ ten permission. Department of C i v i l E n g i n e e r i n g The Univers i ty of B r i t i s h Columbia 2075 Wesbrook P l a c e V a n c o u v e r , Canada V6T 1W5 Date 2 4 t h A p r i l 1980 ABSTRACT The o p t i m a l u s e o f r e s o u r c e s i n a f l o o d p l a i n i s i m p o r t a n t e s p e c i a l l y as m a r g i n a l r e t u r n s i n c r e a s e i n v a l u e . F l o o d c o n t r o l m e a s u r e s w h i c h p r o t e c t f l o o d p l a i n d e v e l o p m e n t n e e d t o be c o n s e r v a t i v e t o a l l o w f o r f u t u r e g r o w t h . T h i s t h e s i s p r e s e n t s a m e t h o d o l o g y w h e r e b y t h e l i k e l i h o o d o f f l o o d i n g o f a r i v e r i s d e t e r m i n e d f r o m M o n t e C a r l o s i m u l a t i o n s u s i n g a n u m e r i c a l r i v e r m o d e l . The r i v e r m o d e l i s b a s e d on t h e h y d r o d y n a m i c e q u a t i o n s of m o t i o n and c o n t i n u i t y w h i l e t h e s t o c h a s t i c p a r a m e t e r s o f t h e r i v e r a r e d e t e r m i n e d f r o m r e c o r d e d d i s c h a r g e d a t a f r o m t h e N i c o m e k l R i v e r , S u r r e y B . C . , w h i c h i s u s e d as t h e t e s t c a s e o f t h i s s t u d y . C o m p a r i s o n s a r e made b e t w e e n s i m u l a t e d and r e c o r d e d d a t a w i t h p r e d i c t i o n s o f f l o o d p r o b a b i l i t i e s and c o n c l u s i o n s as t o t h e u s e o f t h e m e t h o d o l o g y . i i i . TABLE OF CONTENTS PAGE A b s t r a c t i i T a b l e o f C o n t e n t s i i i L i s t o f F i g u r e s w L i s t o f S ymbols v i i A c k n o w l e d g e m e n t s v i i i INTRODUCTION 1 2. PHYSICAL BACKGROUND 4 2.1 C l i m a t e 4 2.2 G e o l o g y 6 2.3 T o p o g r a p h y 8 2 . 4 L a n d Use 8 3. LITERATURE REVIEW 16 3 . 1 • ." T i d a l R i v e r s - H i s t o r i c a l R e v i e w 16 3.2 T i d a l R i v e r s - R e c e n t Work 17 3.3 S t o c h a s t i c H y d r o l o g y 18 4. RIVER MODEL DEVELOPMENT 20 4.1 E q u a t i o n s and A s s u m p t i o n s 20 4.2 F i n i t e D i f f e r e n c e F o r m u l a t i o n 23 4.3 B o u n d a r y C o n d i t i o n s 30 4.4 I n i t i a l C o n d i t i o n s 30 4.5 S i m u l a t i o n of t h e T i d a l G ate 30 4.6 C h a n n e l S c h e m a t i z a t i o n 31 4.7 De C h ezy C o e f f i c i e n t 31 4.8 Time S t e p S t a b i l i t y 35 4.9 Computer P r o g r a m 35 4.10 V a l i d a t i o n 35 4.11 C a l i b r a t i o n 38 5. ESTIMATION OF STOCHASTIC PARAMETERS 39 5.1 E s t i m a t e s 40 5. 1 . 1 t ' 40 5.1.2 9 41 5.1.3 Q and <r 41 5.2 T i d a l S i m u l a t i o n 44 5.3 Sample S i m u l a t i o n Run 45 6. MONTE CARLO SIMULATION 50 6.1 S i m u l a t i o n 50 6.2 R e s u l t s 51 6.3 D i s c u s s i o n 61 6.3.1 P r o b a b i l i t y D e n s i t i e s 61 6.3.2 P r o b a b i l i t y D i s t r i b u t i o n s 63 6.3.3 F l o o d P r e d i c t i o n s 67 i v P A G E S 6 . 3 . 4 F u r t h e r C o m m e n t s 7 1 7 . C O N C L U S I O N S 7 2 R E C O M M E N D A T I O N S F O R F U R T H E R W O R K 7 2 R E F E R E N C E S 7 5 V . L I S T O F F I G U R E S F I G U R E P A G E 2 . 1 L o c a t i o n p l a n o f S u r r e y . 5 2 . 2 M a i n g e o l o g i c a l d i v i s i o n s . 9 2 . 3 T o p o g r a p h i c m a p o f S u r r e y . 1 0 2 . 4 E x p e c t e d u l t i m a t e l a n d u s e . 1 1 2 . 5 P h o t o g r a p h o f f l o o d i n g o f t h e N i c o m e k l . 1 3 2 . 6 P l a n o f t h e N i c o m e k l - S e r p e n t i n e f l o o d p 1 a i n . 1 4 2 . 7 P r o f i l e o f t h e N i c o m e k l R i v e r . 1 5 4 . 1 S k e t c h o f n o t a t i o n u s e d . 2 1 4 . 2 C o m p u t a t i o n s c h e m e ; e x p l i c i t s c h e m e . 2 5 4 . 3 a C o m p r e s s e d s c h e m e . 2 7 4 . 3 b M o d i f i e d c o m p u t e r s c h e m e . 2 8 4 . 4 a C r o s s - s e c t i o n a l a r e a v e r s u s r i v e r w a t e r e l e v a t i o n . 3 2 4 . 4 b P e r i m e t e r v e r s u s r i v e r w a t e r e l e v a t i o n . 3 3 4 . 4 c R i v e r t o p - w i d t h v e r s u s d e p t h o f f l o w . 3 4 4 . 5 F l o w c h a r t o f t h e c o m p u t e r p r o g r a m . 3 6 4 . 6 V a l i d a t i o n r u n 3 7 5 . 1 F r e q u e n c y d i s t r i b u t i o n o f n o r m a l i z e d N i c o m e k l d i s c h a r g e s . 4 2 5 . 2 C u m u l a t i v e f r e q u e n c y c u r v e t o g e n e r a t e a r a n d o m v a r i a t e . 4 3 5 . 3 E x a m p l e s o f s i m u l a t e d d i s c h a r g e s . 4 7 5 . 4 a F l o o d h y d r o g r a p h f o r t h e s a m p l e r u n . 4 8 5 . 4 b R i v e r w a t e r r e s p o n s e t o t h e f l o o d h y d r o g r a p h . 4 9 6 . 1 S i m u l a t e d p r o b a b i l i t y d e n s i t i e s . 5 2 6 . 2 T o t a l p r o b a b i l i t y d e n s i t i e s . 5 3 v i . FIGURE PAGE 6.3 Gumbel p l o t s o f t h e s i m u l a t e d d a t a . 54-60 6.4 F i v e random s a m p l e s f r o m a t r i a n g u l a r d i s t r i b u t i o n . 62 6.5 E s t i m a t e d p r o b a b i l i t y d e n s i t y c u r v e s . 64 6.6 D e n s i t y f u n c t i o n o f s y n t h e t i c d i s c h a r g e s g e n e r a t e d d u r i n g Monte C a r l o s i m u l a t i o n s . 65 6.7 P r o b a b i l i t y d e n s i t i e s o f r e c o r d e d and s i m u l a t e d d a t a . 66 6.8 Gumbel p l o t o f e x t r e m e s t a g e d a t a f o r t h e N i c o m e k l . 68 6.9 Gumbel p l o t c o m p a r i s o n o f t h e r e c o r d e d and s i m u l a t e d d a t a . 69 6.10 E s t i m a t e o f f l o o d r e t u r n p e r i o d s f o r t h e N i c o m e k l R i v e r . 70 v i i . S Y M B O L S U S E D 2 A r i v e r c r o s s - s e c t i o n a l a r e a , L A ' t i d a l a m p l i t u d e , L c D e C h e z y c o e f f i c i e n t C c e l e r i t y , L / T d , D d e p t h o f r i v e r w a t e r , L 2 g a c c e l e r a t i o n d u e t o g r a v i t y , L / T h , H r i v e r w a t e r s u r f a c e e l e v a t i o n , L r i v e r b e d e l e v a t i o n , L h ' r i v e r s t a g e , L n M a n n i n g ' s f r i c t i o n c o e f f i c i e n t P w e t t e d p e r i m e t e r , L 3 Q r i v e r d i s c h a r g e , L / T _ 3 Q a v e r a g e r i v e r d i s c h a r g e , L / T R h y d r a u l i c r a d i u s , L t t i m e , T t ' r a n d o m v a r i a t e u r i v e r v e l o c i t y , L / T W r i v e r t o p - w i d t h , L x d i s t a n c e u p s t r e a m , L y m o d i f i e d r a n d o m v a r i a t e & 1 c h a n g e i n . . . ' A t a n d A x t i m e s t e p a n d d i s t a n c e . b e t w e e n c r o s s - s e c t i o n s f o r s i m u l a t i o n ° l a g 1 s e r i a l c o r r e l a t i o n c o e f f i c i e n t 3 CT s t a n d a r d d e v i a t i o n o f Q , L / T * t t i d a l p e r i o d , T TT 3 . 1 4 1 5 . . . v i i i . B i s m i l l a h i r Rahmanir Rahim ACKNOWLEDGEMENTS The author extends h i s deep a p p r e c i a t i o n to Dr. S.O. R u s s e l l f o r h i s s u p e r v i s i o n and guidance throughout t h i s t h e s i s , the engineers i n vari o u s departments i n the three l e v e l s of government f o r t h e i r co-operation and the Department of C i v i l E n gineering f o r f i n a n c i a l a s s i s t a n c e . Thanks always go to Sherabzen Badsha. 1. INTRODUCTION As t h e f l o o d p l a i n s of t h e w o r l d ' s r i v e r s become more i n t e n s i v e l y used the damages due to f l o o d i n g i n c r e a s e r e q u i r i n g more e f f e c t i v e f l o o d c o n t r o l m e a s u r e s . F l o o d s d u r i n g t h e c r o p g r o w i n g s e a s o n a r e more c r i t i c a l to a g r i c u l t u r a l p r o d u c t i o n and d e s e r v e more a t t e n t i o n t o e n s u r e p h y s i c a l and economic s e c u r i t y o f farms on t h e f l o o d p l a i n . In f l o o d p l a i n management good e s t i m a t e s o f t h e l i k e l i h o o d o f f l o o d i n g a r e n e c e s s a r y as p r e r e q u i s i t e s to b e t t e r a g r i c u l t u r a l , economic and e n g i n e e r i n g d e c i s i o n -making . F l o o d s a r e a h y d r a u l i c phenomena r e s u l t i n g from t h e i n t e r a c t i o n of r i v e r s y s tems to u p s t r e a m , m i d s t r e a m and downstream c o n d i t i o n s c a u s i n g r i v e r w a t e r s t o o v e r t o p the b a n k s . These f l o o d s , as e v e n t s , a l s o have s t a t i s t i c a l p r o p e r t i e s when v i e w e d o v e r l o n g time p e r i o d s . T r a d i t i o n -a l l y f l o o d e s t i m a t e s were made from the a n a l y s i s of t i m e r e c o r d s o f r i v e r f l o w s and b a s e d on t h e o v e r a l l s t a t i s t i c a l p r o p e r t i e s o f t h e r i v e r b e i n g s t u d i e d . These a n a l y s e s , however, cannot e f f e c t i v e l y p r e d i c t f l o o d s w h i l e a c c o u n t i n g f o r t h e h y d r a u l i c n a t u r e o f t h e r i v e r s y s t e m and i t s w a t e r s h e d . A method o f p r e d i c t i o n b a s e d on t h e p h y s i c a l n a t u r e o f the r i v e r w h i l e a l s o d e s c r i b i n g i t s s t a t i s t i c a l n a t u r e would be d e s i r e a b l e . T h i s method c o u l d a l s o p r e d i c t f l o o d e v e n t s a f t e r r i v e r works may have changed t h e r i v e r ' s h y d r a u l i c n a t u r e . 2 . The u s e o f t h e M o n t e C a r l o M e t h o d c a n a l l o w t h e r e s e a r c h e r t o m o d e l a r i v e r s y s t e m and i n t r o d u c e r a n d o m e v e n t s i n t h e i m p o r t a n t v a r i a b l e s o f t h e r i v e r . H e n c e by m u l t i p l e s i m u l a t i o n s t h e o v e r a l l s t a t i s t i c a l p r o p e r t i e s c a n be g e n e r a t e d and m a t c h e d w i t h t h o s e d e r i v e d f r o m r e c o r d e d d a t a . The a d d i t i o n a l s t o c h a s t i c n a t u r e o f t h e r i v e r s y s t e m and i t s b o u n d a r y c o n d i t i o n s c a n a l s o be i n c o r p o r a t e d i n t h e s i m u l a t i o n s . The m e t h o d o l o g y d e v e l o p e d i n t h i s t h e s i s i s u s e d t o e s t i m a t e t h e f l o o d p r o b a b i l i t i e s f o r t h e N i c o m e k l R i v e r i n S u r r e y B . C . The N i c o m e k l i s a t i d a l r i v e r . The m e t h o d o l o g y i s as f o l l o w s : -1. F o r m u l a t i o n , c a l i b r a t i o n and v e r i f i c a t i o n o f a r i v e r m o d e l o f t h e N i c o m e k l R i v e r . 2 . E s t i m a t e s o f t h e s t o c h a s t i c p r o p e r t i e s o f t h e r i v e r ' s u p s t r e a m and d o w n s t r e a m b o u n d a r y c o n d i t i o n s . 3 . I n c o r p o r a t i o n o f 2 . i n 1. a b o v e f o r M o n t e C a r l o s i m u l a t i o n s w i t h t h e r i v e r m o d e l t o s y n t h e s i z e s t a t i s t i c a l d i s t r i b u t i o n s o f f l o o d p r o b a b i l i t i e s a l s o f o r v e r i f i c a t i o n . The N i c o m e k l R i v e r was c h o s e n as t h e f o c a l p o i n t o f t h i s s t u d y s i n c e r e c e n t f l o o d p l a i n d e v e l o p m e n t and f u t u r e r i v e r -w o r k s r e q u i r e f l o o d e s t i m a t e s b a s e d on t h e p h y s i c a l n a t u r e o f t h e r i v e r s y s t e m . The e x i s t i n g t i d a l g a t e on t h e r i v e r i s a c c o u n t e d f o r i n t h e r i v e r m o d e l and i n t h e M o n t e C a r l o s i m u l a t i o n s . C h a p t e r 2 o f t h i s t h e s i s d e s c r i b e s t h e p h y s i c a l b a c k g r o u n d o f t h e N i c o m e k l - S e r p e n t i n e f l o o d p l a i n , w h i l e c h a p t e r 3 p r e s e n t s a b r i e f l i t e r a t u r e r e v i e w o f r i v e r and t i d a l a n a l y s i s and t h e a p p l i c a t i o n o f s t o c h a s t i c m o d e l l i n g t o f l u i d s y s t e m s . C h a p t e r s 4 , 5 and 6 c o v e r t h e m e t h o d o l o g y d e s c r i b e d a b o v e i n d e t a i l f o l l o w e d by a n a l y s i s o f t h e r e s u l t s , c o n c l u s i o n s and i d e a s f o r f u t u r e w o r k . 4 . 2 . P H Y S I C A L BACKGROUND T h i s c h a p t e r c o m p r i s e s e x c e r p t s f r o m t h e ' D r a i n a g e R e p o r t o f t h e M u n i c i p a l i t y o f S u r r e y ' , 1 9 6 3 , w h i c h a d e q u a t e l y d e s c r i b e s t h e p h y s i c a l s e t t i n g f o r t h i s s t u d y . A l o c a t i o n map o f S u r r e y i s shown i n F i g u r e 2 . 1 . 2 . 1 C l i m a t e " T h e c l i m a t e o f t h e s o u t h w e s t e r n s e c t i o n o f t h e M u n i c i p a l i t y h a s b e e n d e s c r i b e d as o f t h e ' c o o l M e d i t e r r a n i a n t y p e , c h a r a c t e r i z e d by warm t e m p e r a t e r a i n y w i n t e r s and c o o l d r y s u m m e r s ' . . . ; w h i l e t h e r e m a i n -d e r o f t h e M u n i c i p a l i t y has ' a m a r i n e w e s t - c o a s t c l i m a t e f e a t u r e d by warm t e m p e r a t e r a i n y w i n t e r s and c o o l s u m m e r s ' . S u r r e y i s p r o t e c t e d f r o m t h e d i r e c t o n s l a u g h t o f s t o r m s f r o m e v e r y d i r e c t i o n by v a r i o u s m o u n t a i n r a n g e s . . . . t h e C o a s t Range t o t h e n o r t h and t h e C a s c a d e s t o t h e e a s t . I t i s p r o t e c t e d f r o m . . . . r a i n s t o r m s . . . . f r o m t h e w e s t a n d s o u t h w e s t o v e r t h e P a c i f i c O c e a n by t h e m o u n t a i n s o f V a n c o u v e r I s l a n d and t h e O l y m p i c m o u n t a i n s o f n o r t h w e s t W a s h i n g t o n . The e f f e c t o f s t o r m s . . . . f r o m t h e s o u t h w e s t and w e s t v a r i e s c o n s i d e r a b l y . . . . due t o t h e u p l i f t c a u s e d by t h e C o a s t M o u n t a i n s . . . . c o n s e q u e n t l y t h e t o t a l a n n u a l r a i n f a l l and s n o w f a l l i s much g r e a t e r i n t h e n o r t h - e a s t e r n s e c t i o n o f t h e M u n i c i p a l i t y t h a n i t i s i n t h e s o u t h - w e s t e r n s e c t i o n . F i g u r e 2 . 1 : L o c a t i o n p l a n s h o w i n g S u r r e y i n r e l a t i o n t o t h e G r e a t e r V a n c o u v e r a r e a ( D i s t r i c t o f S u r r e y , 1963) The m in imum t o maximum a v e r a g e a n n u a l t o t a l p r e c i p i t a t i o n i s a p p r o x i m a t e l y 40 i n c h e s ( 1 0 2 0 mm) t o 70 i n c h e s ( 1 7 8 0 mm). " T h e a v e r a g e a n n u a l t e m p e r a t u r e i s f a i r l y c o n s i s t e n t t h r o u g h o u t S u r r e y a t a p p r o x i m a t e l y 50 d e g r e e s F ( 1 1 . 2 5 C) . The a v e r a g e h o u r s o f s u n s h i n e v a r y f r o m 1900 h o u r s i n t h e s o u t h w e s t t o 1500 h o u r s i n t h e n o r t h e a s t s e c t i o n " . " D u r i n g t h e summer m o n t h s o f mos t y e a r s a l l o f t h e M u n i c i p a l i t y r e q u i r e s s u p p l e m e n t a l i r r i g a t i o n , p a r t i c u l a r l y d u r i n g J u l y t o A u g u s t , f o r t h e maximum d e v e l o p m e n t and y i e l d o f c r o p s " . The D e p a r t m e n t o f A g r i c u l t u r e h a s s u g g e s t e d an i r r i g a t i o n d u t y o f 18 i n c h e s (457 mm). " T h e w o r s t d r a i n a g e c o n d i t i o n s o c c u r when t h e r e a r e h i g h r a i n f a l l i n t e n s i t i e s a f t e r a h e a v y f a l l o f we t snow h a s f a l l e n on f r o z e n g r o u n d w h i c h was p r e v i o u s l y s a t u r a t e d by r a i n " . S u c h a r a r e e v e n t was r e c o r d e d i n 1 9 3 5 . " W i n d e f f e c t s a r e n o t s i g n i f i c a n t i n t e r m s o f i n c r e a s i n g e v a p o u r a t i o n f r o m w a t e r s u r f a c e s b u t may c a u s e an e x t e n d e d p e r i o d o f h i g h t i d e c a u s i n g t h e r i v e r t o b a c k u p " . . . more t h a n e x p e c t e d i n c r e a s i n g t h e l i k e l i h o o d o f a f l o o d . 2 . 2 G e o T o g y " S u r r e y i s p a r t o f t h e g e n e r a l a r e a known as t h e F r a s e r L o w l a n d w h i c h l i e s b e t w e e n two m a j o r g e o l o g i c a l f e a t u r e s c a l l e d t h e C o a s t a l M o u n t a i n s and t h e C o a s t a l T r o u g h 7. The S u r r e y p o r t i o n o f t h e F r a s e r L o w l a n d c o n s i s t s o f e x t e n s i v e l o w h i l l s o r u p l a n d s r a n g i n g up t o 400 f e e t (122 m) i n e l e v a t i o n and s e p a r a t e d by t h e f a i r l y w i d e f l a t - b o t t o m e d v a l l e y s o f t h e N i c o m e k l and S e r p e n t i n e R i v e r s and t h e n a r r o w e r v a l l e y o f t h e C a m p b e l l R i v e r . The v a l l e y s o f t h e f o r m e r two r i v e r s w e r e o r i g i n a l l y e n l a r g e m e n t s o f t h e s e a and w e r e n o t c a u s e d by r i v e r e r o s i o n . The u p p e r p a r t o f t h e C a m p b e l l R i v e r V a l l e y was p r o b a b l y c r e a t e d by t h e r i v e r as t h e l a n d r o s e a f t e r b e i n g d e p r e s s e d r e l a t i v e t o t h e s e a by t h e l a s t i c e s h e e t . . . . b e t w e e n 5000 t o 10000 y e a r s a g o . I t was e s t i -m a t e d t h a t t h e maximum t h i c k n e s s o f t h e i c e was 7500 f e e t ( 2 2 8 6 m) c a u s i n g g r e a t p r e s s u r e s w h i c h a c c o u n t f o r t h e v e r y h a r d n a t u r e o f t h e c l a y s and s i l t s w h i c h w e r e l a i d down p r i o r t o t h e i c e f o r m i n g " . " T h e u p l a n d a r e a s i n S u r r e y a r e o f two m a i n t y p e s . The f i r s t c o n s i s t s o f a c o r e o f v a r i o u s t y p e s o f c l a y s , s i l t s , s a n d s and g r a v e l s d e p o s i t e d by g l a c i a l i c e , s t r e a m s , l a k e s , swamps and t h e s e a . T h e s e u p l a n d s a r e u s u a l l y f l a t o r t e r r a c e d w i t h s u r f a c e s o f g l a c i a l o u t -w a s h f o u n d i n t h e C a m p b e l l R i v e r u p l a n d . ( S e e F i g u r e 2 . 2 ) The s e c o n d t y p e o f u p l a n d h a s a s i m i l a r c o r e b u t t h e a r e a s a r e u s u a l l y r o l l i n g and hummocky w i t h s u r f a c e s o f g l a c i a l t i l l and g l a c i o - m a r i n e d e p o s i t s o c c u r r i n g i n t h e N e w t o n , C l a y t o n and S u n n y s i d e U p l a n d s " . " B e d r o c k l i e s s e v e r a l h u n d r e d f e e t b e l o w t h e a b o v e d e p o s i t s and no b e d r o c k i s t o be s e e n a n y w h e r e i n S u r r e y . I n t h e B o u n d a r y Bay a r e a t h e b e d r o c k i s o v e r 8. 2000 f e e t (610 m) d e e p " . " T h e t i l l s , c l a y s a n d s i l t s h a v e l o w p e r m e a -b i l i t i e s d i s c o u r a g i n g h i g h i n f i l t r a t i o n r a t e s . The s a n d and g r a v e l o u t w a s h a l l o w s h i g h e r i n f i l t r a t i o n a n d s u b -s u r f a c e d r a i n a g e " . " T h e N i c o m e k l and S e r p e n t i n e R i v e r V a l l e y s c o n s i s t m a i n l y o f p e a t u n d e r l a i n by i m p e r v i o u s l a y e r s o f c l a y and s i l t d e p o s i t s . The g r o u n d w a t e r b o d y i s l o c a t e d n e a r t h e s u r f a c e and e x c e s s r a i n f a l l c a n n o t be a b s o r b e d " . . . c a u s i n g wha t i s now common ly c a l l e d ' D u n n e r u n o f f ' w h i c h w o u l d i n c r e a s e t h e c h a n c e s o f a f l o o d . 2 . 3 T o p o g r a p h y The t o p o g r a p h y - m a p o f F i g u r e 2 . 3 i d e n t i f i e s t h e b a s i c l a n d f o r m s o f S u r r e y w h i c h as a M u n i c i p a l i t y c o v e r s 355 s q u a r e k i l o m e t r e s . 2 . 4 L a n d U s e F i g u r e 2 . 4 i n d i c a t e s t h e e x p e c t e d u l t i m a t e l a n d u s e as p r o j e c t e d by t h e M u n i c i p a l i t y . " T h e S e r p e n t i n e - N i c o m e k l l o w l a n d s h a v e b e e n r e s e r v e d f o r a g r i c u l t u r e and t h e ( S u r r e y ) C o u n c i l h a s a d o p t e d a p o l i c y a i m e d a t p r o t e c t i n g t h e s e f a r m l a n d s a g a i n s t f r e q u e n t f l o o d i n g . On t h e U p l a n d a r e a s , t h e r u r a l a n d f o r e s t e d l a n d s a r e s t e a d i l y b e i n g o c c u p i e d by h o u s i n g and c o m m e r c i a l d e v e l o p m e n t " . * * S i g m a R e s o u r c e s L t d . , R e p o r t t o t h e M u n i c i p a l i t y o f S u r r e y . 1 9 7 8 . F i g u r e 2 .2 : P l a n o f m a i n g e o l o g i c a l d i v i s i o n s ( D i s t r i c t o f S u r r e y , 1963) rruru or AUHICA F i g u r e 2 . 4 : P l a n s h o w i n g e x p e c t e d u l t i m a t e l a n d u s e ( D i s t r i c t o f S u r r e y , 1963) 1 1 . An e x a m p l e o f t y p i c a l f l o o d c o n d i t i o n s o f t h e N i c o m e k l R i v e r c a n be s e e n i n f i g u r e 2 . 5 . T h i s f l o o d r e s u l t e d f r o m b r e a c h e s i n t h e d y k e s by h i g h r i v e r w a t e r s s w o l l e n w i t h u p l a n d r u n o f f . S t o r m s o c c u r i n g d u r i n g h i g h t i d e s ( w h i c h c a u s e t h e t i d a l g a t e s t o c l o s e ) f l o o d a b o v e a v e r a g e a c r e a g e as was t h e c a s e w i t h t h e 1 9 6 2 / 6 3 w i n t e r s t o r m . F i g u r e 2 . 6 shows a p l a n o f t h e N i c o m e k l -S e r p e n t i n e f l o o d p l a i n w i t h a N i c o m e k l r i v e r p r o f i l e i n f i g u r e 2 . 7 . F i g u r e 2 . 5 : A e r i a l p h o t o g r a p h o f f l o o d i n g o f t h e N i c o m e k l R i v e r s o u t h o f C l o v e r d a l e ( D i s t r i c t o f S u r r e y , 1963) F i g u r e 2 . 6 : P l a n o f t h e N i c o m e k l - S e r p e n t i n e f l o o d p l a i n ' E l e v a t i o n w i t h r e s p e c t to GSC ( f t ) 1 6 . 3 . L I T E R A T U R E R E V I E W T h e i n d e p e n d e n t s t u d i e s o f t h e d y n a m i c n a t u r e o f r i v e r s a n d t i d a l w a t e r s a r e w e l l d o c u m e n t e d i n t h e l i t e r -a t u r e ( C h o w , 1 9 5 9 , H e n d e r s o n , 1 9 6 6 , D r o n k e r s , 1 9 6 4 ) a n d c a n b e t r a c e d b a c k t o t h e 1 9 t h c e n t u r y . H o w e v e r , a n a l y s i s o f t h e i n t e r a c t i o n o f t i d a l a n d r i v e r w a t e r s c o m b i n e d i s m o r e r e c e n t a s a s p e c i a l c a s e i n t i d a l a n d r i v e r h y d r o d y n a m i c s T h e s e s t u d i e s h a v e f o l l o w e d t h e t y p i c a l t r e n d f r o m a n a l y t i c a l f o r m u l a t i o n s a n d s o l u t i o n t o n u m e r i c a l t e c h n i q u e s o f s o l u t i o n . 3 . 1 T i d a l R i v e r s - H i s t o r i c a l R e v i e w I n i t i a l t h e o r e t i c a l a n a l y s i s o f t i d a l m o t i o n i n r i v e r s i n t h e f i r s t h a l f o f t h e 1 9 t h c e n t u r y f o l l o w e d g r o u n d w o r k o n s t e a d y f l o w s i n n o n - t i d a l r i v e r s b y D e C h e z y a n d E y t e l w e i n . T h i s i n i t i a l a n a l y s i s b y A i r y ( 1 8 4 2 ) o n h i g h e r t i d a l h a r m o n i c s a n d D e S a i n t V e n a n t ( 1 8 7 1 ) u s i n g t h e c h a r a c t e r i s t i c t h e o r y w a s f o l l o w e d b y M a s s a u ( 1 9 0 0 ) i n w h i c h a m o r e c o m p l e t e t h e o r y o f c h a r a c t e r i s t i c s w a s u s e d w h i l e s t u d y i n g t i d e s i n s h a l l o w w a t e r s . T h i s w o r k r e c e i v e d f u l l r e c o g n i t i o n a f t e r H o l l s t e r ' s w o r k ( 1 9 4 8 ) o n n u m e r i c a l c o m p u t a t i o n . A d d i t i o n a l w o r k w a s a l s o d o n e b y L o r e n t z ( 1 9 2 6 ) w h o w a s c o n s u l t e d d u r i n g t h e c l o s u r e o f t h e Z u i d e r z e e ( 1 9 3 2 ) a n d M a z u r e ' s ( 1 9 3 7 ) u s e o f F o u r i e r a n d h a r m o n i c a n a l y s i s o n t i d a l r i v e r s . R e c e n t s t u d i e s b y S c h o n f e l d ( 1 9 5 1 ) o n l o n g w a v e s i n s h a l l o w w a t e r s a n d H a n s e n ( 1 9 5 6 ) 1 7 . who u s e d e l e c t r o n i c c o m p u t e r s t o g e n e r a t e s o l u t i o n s t o t i d a l e q u a t i o n s h a s l e d t o much a c t i v i t y i n t h i s f i e l d as e v i d e n t i n H i n w o o d and W a l l i s ' s ( 1 9 7 5 ) r e v i e w . 3 . 2 T i d a l R i v e r s I n t h e a n a l y s i s o f r i v e r s y s t e m s t h e u s e o f f i n i t e d i f f e r e n c e m e t h o d s h a s a f f o r d e d e n g i n e e r s a b e t t e r u n d e r s t a n d i n g o f t h e d y n a m i c s o f s u c h s y s t e m s . A u t h o r s s u c h as A m e i n ( 1 9 6 6 ) , F l e t c h e r e t a l ( 1 9 6 7 ) , L i g g e t e t a l ( 1 9 6 7 ) and E l l i s ( 1 9 7 0 ) h a v e u s e d f i n i t e d i f f e r e n c e m e t h o d s as a s u p p o r t i n g m a t h e m a t i c a l t e c h n i q u e t o t h e c h a r a c t e r i s t i c s m e t h o d w h e r e a s o t h e r s , B r a k e n s i e k ( 1 9 6 7 ) and D r o n k e r s ( 1 9 6 4 ) h a v e u s e d them i n t h e i r own r i g h t as n u m e r i c a l t e c h n i q u e s o f s o l u t i o n . D r o n k e r s ( 1 9 6 4 ) d e v e l o p e d t h e f i n i t e d i f f e r e n c e m e t h o d ( e x p l i c i t f o r m ) f o r t h e a n a l y s i s o f s i m p l i f i e d t i d a l e q u a t i o n s f o r a r i v e r , u n s t e a d y r i v e r f l o w and t w o -d i m e n s i o n a l t i d a l m o t i o n . A f u r t h e r r e v i e w a r t i c l e by t h e same a u t h o r ( 1 9 6 9 ) r e v i e w e d some r e f i n e m e n t s and a p p l i c a t i o n s o f b o t h e x p l i c i t and i m p l i c i t s c h e m e s . F u r t h e r w o r k by R o s s i t e r e t a l ( 1 9 6 5 ) u s e d an e x p l i c i t f i n i t e d i f f e r e n c e m o d e l f o r t h e Thames E s t u a r y whose c o m p l e x i t y c o u l d n o t be d e s c r i b e d by c o n v e n t i o n a l h a r m o n i c m e t h o d s . U p s t r e a m and l a t e r a l d i s c h a r g e s w e r e m o d e l l e d w i t h c o n s i d e r a t i o n s o f s a l i n i t y i n t r u s i o n b a s e d on t h e h y d r o d y n a m i c e q u a t i o n s o f m o t i o n and c o n t i n u i t y i n an o p e n c h a n n e l . S i m i l i a r s t u d i e s by K a m p h u i s ( 1 9 7 0 ) f o r t h e S t . L a w r e n c e R i v e r i n c l u d e d b o t h e x p l i c i t and i m p l i c i t f i n i t e d i f f e r e n c e s c h e m e s w i t h c o m p a r i s o n s . The e x p l i c i t s cheme was d e f i n i t e l y e a s i e r t o p r o g r a m , e s p e c i a l l y f o r c o m p l i c a t e d r i v e r g e o m e t r y , and was l e s s s t a b l e s i n c e i t o p e r a t e s n e a r i t s l i m i t o f s t a b i l i t y . O s c i l l a t i o n s a b o u t t h e t r u e v a l u e o f s o l u t i o n s w e r e a l s o n o t e d . The i m p l i c i t scheme t h o u g h c o m p l i c a t e d t o p r o g r a m was much more s t a b l e and t e n d e d t o s m o o t h o v e r d i s c o n t i n u i t i e s r a t h e r t h a n a c c e n t u a t e them as t h e e x p l i c i t scheme d i d . R i v e r i s l a n d s w e r e a l s o e a s i l y i n c o r p o r a t e d . The a n a l y s i s o f M c D o w e l l e t a l ( 1 9 7 2 ) on t h e R i v e r H o o g h l y a l s o m o d e l l e d t r i b u t a r y s t r e a m s t o t h e m a i n r i v e r , T h e s e a u t h o r s u s e d t h e scheme d e v e l o p e d by R o s s i t e r e t a l (19 6 5 ) . S t u d i e s by A g e s ( 1 9 7 3 ) and A g e s e t a l ( 1 9 7 6 ) u s e d a s i m p l e e x p l i c i t s cheme t o a n a l y s e r e s p o n s e s o f t h e V i c t o r i a H a r b o u r and t h e F r a s e r R i v e r t o p r o p o s e d h y d r a u l i c s t r u c t u r e s . I n v e s t i g a t i o n by C h a t t e r j e e (19.73) on t h e R u p n a r a i n R i v e r i n c o r p o r a t e d w i n d f o r c e s a c t i n g on t h e r i v e r w a t e r s . 3 . 3 S t o c h a s t i c H y d r o l o g y The a n a l y s i s o f t i m e s e r i e s i n h y d r o l o g y h a s a l l o w e d a b e t t e r u n d e r s t a n d i n g o f t h e u n d e r l y i n g s t o c h a s t i c p r o c e s s e s . S u c h a n a l y s i s f r o m t h e p r o b a b i l i s t i c v i e w p o i n t 19 . ( B e n j a m i n and C o r n e l l , 1976 ) and f r o m a s t r i c t l y t i m e -s e r i e s v i e w p o i n t (Box and J e n k i n s , 1976) has i n c r e s e d t h e e f f e c t i v e use o f s t o c h a s t i c methods i n h y d r o l o g y as r e s e a r c h e r s s u c h as Chow ( 1 9 6 4 ) , F i e r i n g and Y e v d j e v i c h d e m o n s t r a t e . E x a m p l e s o f a p p l i c a t i o n o f s t o c h a s t i c methods i n w a t e r r e s o u r c e s r a n g e f r o m s t u d i e s i n g r o u n d w a t e r h y d r o l o g y ( F r e e z e , 1 9 7 7 ) , s y n t h e t i c h y d r o l o g y (Chow and Rameshan, 1 9 6 5 ) , r e s e v o i r s y s t e m o p t i m i z a t i o n ( C r o l e y , 1974 and R u s s e l l e t . a l , 1 9 7 0 ) , h y d r a u l i c p r o c e s s e s ( C h u i e t a l , 1976 and T a y f u n e t a l , 1973 ) and p l a n n i n g ( S m i t h , 1 9 7 0 ) . I n t h e a r e a o f s t o c h a s t i c r i v e r m o d e l l i n g t h e work o f C h u i e t a l d i s c u s s e s t h e use of Monte C a r l o s i m u l a t i o n f o r t h e s t u d y o f t h e t h r e e d i m e n s i o n a l d i s t r i b u -t i o n o f f l o w v e l o c i t i e s , s t e a d y and u n s t e a d y f l o w s i n c h a n n e l s o f i r r e g u l a r g e o m e t r y , d e t e r m i n a t i o n o f r i v e r r e s i s t a n c e c o e f f i c i e n t s , s e c o n d a r y r i v e r c u r r e n t s , u n s t e a d y d i s p e r s i o n and o t h e r t r a n s p o r t p r o c e s s e s . T h e i r a n a l y s i s was s t r i c t l y h y d r a u l i c i n n a t u r e w i t h random components i n t r o d u c e d t o d e t e r m i n e the-i-r e f f e c t on p a r a m e t e r s o f f l o w v e l o c i t y i n an open c h a n n e l . Added t o t h e s e w o r k s i n s y n t h e t i c h y d r o l o g y L i n s l e y e t a l . ( 1 9 7 5 ) d e s c r i b e t h e use o f s t o c h a s t i c a n a l y s i s t o g e n e r a t e s y n t h e t i c d i s c h a r g e s f o r r i v e r s y s t e m s f o r u se i n a h y d r o l o g i c o r h y d r a u l i c s e n s e . 2 0 . 4 . R I V E R MODEL DEVELOPMENT T h i s c h a p t e r d e s c r i b e s t h e d e v e l o p m e n t o f a n u m e r i c a l r i v e r m o d e l u s e d i n t h i s s t u d y . The m o d e l i s b a s e d on t h e h y d r o d y n a m i c e q u a t i o n s o f M o t i o n and C o n t i n u i t y w h i c h c a n be s o l v e d as a b o u n d a r y v a l u e p r o b l e m i f l i n e a r i t y i s m a i n t a i n e d . The m e t h o d o f d e v e l o p m e n t u s e d h e r e f o l l o w s t h o s e s u g g e s t e d by D r o n k e r s ( 1 9 6 4 , 1 9 6 9 ) , R o s s i t e r and L e n n o n ( 1 9 6 5 ) , R a m p h u i s ( 1 9 7 0 ) , A g e s ( 1 9 7 3 ) and A g e s and W o o l a r d ( 19 76) . 4 . 1 E q u a t i o n s and A s s u m p t i o n s A s k e t c h o f n o t a t i o n and v e c t o r d e f i n i t i o n u s e d i n t h e f o l l o w i n g d e v e l o p m e n t i s f o u n d i n F i g u r e 4 . 1 The e q u a t i o n o f c o n t i n u i t y o f v o l u m e f o r a f l u i d o f r e l a t i v e l y c o n s t a n t d e n s i t y i n i t s one d i m e n -s i o n a l f o r m i s £ a + ^ = o ( 4 . D 6 x o t The e q u a t i o n o f m o t i o n i s a s i m p l i f i e d , one d i m e n s i o n a l E u l e r i a n f o r m u l a t i o n f o r s h a l l o w w a t e r and i s e x p r e s s e d as Vu ufru = -gfch _ gu »uI ( 4 . 2 ) b t bx bx 2 c d F i g u r e 4 . 1 : S k e t c h of N o t a t i o n u s e d . S u b s t i t u t i o n i n e q u a t i o n 4 . 2 o f t h e e q u a l i t y Q = A . u y i e l d s bu _ M Q / A) _ i-ba _ d 6t " b t ~ A b t A 2 6 t bu = l - i Q _ Q . b A bx A bx . 2 bx A S i n c e 6Q may be i n a c c u r a t e i n a f i n i t e d i f f e r e n c e scheme bx o f s o l u t i o n o f t h e a b o v e e q u a t i o n s , we c a n r e p l a c e i t w i t h -W&h f r o m t h e e q u a t i o n o f c o n t i n u i t y . "St H e n c e _ C^.C-W.ih _ £ . *A " ) A b t A 2 b t A | A A 2 * > X ) 6 ) = - g b h _ Q 1Q1 g & x .2 2 j A c d ( 4 . 3 ) T h i s t h e n i s a one d i m e n s i o n a l r e p r e s e n t a t i o n o f t h e e q u a t i o n o f m o t i o n . F o r an e x p l i c i t f i n i t e d i f f e r e n c e scheme e q u a t i o n s 4 . 1 a n d 4 . 3 a r e r e d u c e d by T a y l o r e x p a n s i o n : f ( x ) = f ( a ) + f ' ( a ) ( x - a ) + f " ( a ) ( x - a ) 2 . . . 2 : . . . + f ( n ) ( a ) ( x - a ) n + n i I f ( x - a ) i s s m a l l t h e n t h e h i g h e r o r d e r s o f ( x - a ) c a n be n e g l e c t e d l e a v i n g f ( x ) d f ( a ) + f ' ( a ) ( x - a ) R e a r r a n g e m e n t y i e l d s f ' ( a ) ^ f ( x ) - f ( a ) ( x - a ) 23. I f ( x - a ) = £>x o r a = x-Ax t h e n f ' ( x - A x ) ^ f ( x ) - f ( x - A x ) Ax o r o r n - l m m A x f o r f o r w a r d o r c e n t r a l f i n i t e d i f f e r e n c e schemes. B e f o r e r e d u c i n g e q u a t i o n s 4.1 and 4.3 t o f i n i t e d i f f e r e n c e e q u a t i o n s we s h a l l make some s i m p l i f y i n g a s s u m p t i o n s a b o u t t h e r i v e r / t i d a l s y s t e m . - t h e m a j o r h y d r o d y n a m i c e f f e c t i s v e r t i c a l and one d i m e n s i o n a l - t h e e f f e c t s o f w i n d , b a r o m e t r i c p r e s s u r e and r i v e r b e nds a r e n e g l i g i b l e - t r i b u t a r y i n f l o w t o t h e N i c o m e k l R i v e r i s n e g l i g i b l e - bed l o a d and s e d i m e n t a t i o n e f f e c t s a r e n e g l i g i b l e - s a l i n i t y i n t r u s i o n e f f e c t s a r e n e g l i g i b l e - t h e t i d a l c o n d i t i o n s i n Mud Bay can be r e p r e s e n t e d by t h e Tsawwassen t i d a l s t a t i o n l e v e l s . T h e se a s s u m p t i o n s a l l o w g r e a t e r s i m p l i f i c a t i o n i n t h e m o d e l l i n g o f t h e r i v e r and c a n be e s t i m a t e d d u r i n g t h e model v e r i f i c a t i o n . 4.2 F i n i t e D i f f e r e n c e F o r m u l a t i o n An e x p l i c i t c e n t r a l f i n i t e d i f f e r e n c e scheme was u s e d m a i n l y f o r i t s s i m p l i c i t y o f d e v e l o p m e n t as compared w i t h i m p l i c i t schemes and a l s o as f i n e r e s o l u t i o n o f s o l u t i o n was n o t o f s u c h p r i m e i m p o r t a n c e as was t h e u s a g e o f f i n i t e d i f f e r e n c e s c h e m e s i n t h e o v e r a l l m e t h o d o l o g y . The scheme shown i n f i g u r e 4 . 2 d e v e l o p e d by Ages ( 1 9 7 3 ) was a d a p t e d and u s e d h e r e . B a s e d on t h i s scheme e q u a t i o n s 4 . 1 a n d 4 . 3 become m o d i f i e d t o t h e f o l l o w i n g f i n i t e d i f f e r e n c e e q u a t i o n s : C o n t i n u i t y , x m + l m A x + Ax m m+1 + m+1 k u k 2 H m + l " H m + l = 0 ( 4 . 4 ) 2 A t M o t i o n , m m m 2 A t Q k + 1  m m A k + A k - A k " 2 - A k - 2 m+1 m-1 m+1 m-1 4 A t - W k Q k + 1  m m m Hk + Hk _ H k _ 2 _ H k " 2  m+1 m-1 m+1 m-1 4 A t -Q .k+1 „ k - l m m ( A k ) 3 m m+1 m-1 Ax +Ax , , m m+1 H k + 1 - H k 1 m  m-  A x +Ax m m+1 -gQ k+1 m Q k - 1 m ( c ) 2 ( A k ) 2 D k m m m ( 4 . 5 ) R e f e r r i n g t o f i g u r e 4 . 2 t h i s i s t h e " l e a p f r o g " m e t h o d w h e r e b y d i s c h a r g e s and w a t e r e l e v a t i o n s a r e c o m p u t e d 2 5 . t t • * — A X > m-2 m-1 m m+1 m+2 m+3 x-» > eqn. of motion -> eqn. of continuity 4 . 2 : C o m p u t a t i o n S c h e m e , E x p l i c i t M o d e l ( A g e s , 1973 ) 26 2 a l t e r n a t i v e l y - a f t e r e a c h t i m e s t e p . N o t e t h a t Q i s k+1 k - 1 l i n e a r i z e d by t h e p r o d u c t Q . 0 . I n i t i a l and b o u n - r J r m x m d a r y c o n d i t i o n s a r e e n t e r e d as shown i n t h e s c h e m e . T h i s i s i n k e e p i n g w i t h t h e t r a d i t i o n a l s o l u t i o n o f b o u n d a r y v a l u e p r o b l e m s w h i l e n o t i n g t h a t t h e b o u n d a r y c o n d i t i o n s n e e d t o be d i s c r e t i z e d t o f i t t h e s c h e m e . S i n c e t h i s scheme w o u l d o c c u p y l a r g e c o m p u t e r s t o r a g e a m o d i f i c a t i o n i n n o t a t i o n c a n be made w h e r e b y rows o f c o m p u t e d d i s c h a r g e s c a n be moved f r o m t h e ( k + 2 i + l ) t h row t o t h e ( k + 2 i ) t h r o w . T h i s l e a v e s a l l t h e ( k + 2 i + l ) r o w s emp ty s o t h a t t h e y c a n be r e m o v e d f r o m t h e s c h e m e . N o t e t h a t t h i s i s o n l y a c h a n g e i n n o t a t i o n and d o e s n o t a f f e c t t h e f i n i t e d i f f e r e n c e m e t h o d . T h i s m o d i f i e d scheme i s shown i n f i g u r e 4 . 3 . A d d i t i o n a l l y o n l y c u r r e n t l y c o m p u t e d d i s c h a r g e s and h e i g h t s n e e d be s t o r e d f o r t h e n e x t t i m e s t e p c o m p u t a t i o n r e d u c i n g t h e s t o r a g e r e q u i r e d e v e n m o r e . W i t h t h i s n o t a t i o n c h a n g e e q u a t i o n s 4 . 4 and 4 . 5 b e c o m e : C o n t i n u i t y , A n n n n T j n + 1 u n m+2 m + m+1 m m+1 m+1 = 0 A x +Ax , , 2 2 A t m m+1 o r T T n+ l „ n , A j_ n n „ - Q n Hm+1 = H m+r ' ^ m + 2 ^ Tj n 4-T.T n AX +AX . . W +W T m m+1 m m+1 2 7 . Compress Matrix by moving Q elements down to previous H T O W k+1 k 4 r > <8> f • ® > < > k - 1 > > f m-1 m-1 m m+1 m+2 F i g u r e 4 . 3 a : C o m p r e s s e d Scheme ( A g e s , 1 9 7 3 ) H-TO C l-i fD — i — 3 + Boundary Conditions ( H a t M u d B a y a s r e c o r d e d a t T s a w w a s s e n ) LO cr s o CL H-l-h H-fD CL Co o o a c rt fD H cn O S31 (D 9 fD &5 CL f» >a rt fD CL Hi i-i O 9 > TO fD cn 9 I 3 4 9 + 3 J. 0 . o s s? t> X X 3 o 5* S. I a. 3 a 5* _ J LO Boundary Conditions (Q below Murray Creek at 206th S t.'.Lang ley) '83 29. M o t i o n ^ n + i _n , n-ri n-r± u .u 0 -Q Q «4 A ,,+A .-A .-A 1 xm m m . m+1 m-1 m+1 m-i . n + l ^ . n + l 2At , n+1 n+1. 2 4At A +A .. (A +A 1 ) m m+1 m m+1 - 4Q n+1 m < a : + 1 + 0 2 T T n + l , T T n + l n+1 n+1 n n W +W , , H ,,+H ,-H -i m m+1 . m+1 m-1 m+i m-l 2 4At K+1< n + l _ ^ n + l m+1 m-1 Ax +Ax , . m m+1 n+1 n+1 ~ g - H m + l Hm-1 Ax +Ax , . m m+1 - 4Q n+1 m xm I g / A n + l . . n + l v 2 2, n+1 0* (A +A .) c (H -H ) m m+1 m m m o r n+1 A n + 1 L A n + l A +A -m m+1 ° m+1 m-1 Ax +Ax . m m-1 ^ n + l + ^ n + l _ ^ n _^n m+1 m-1 m+1 m-1 A t , .n+l_,_ .n+K 2 (A +A . ) m m+1 W n + 1 +W nt} H n +J+H n + ; -H n .-H* m m+1. m+1 m-1 m-1 m+1 A t / A n + l . A n + l v 2 (A +A . ) m m+1 8Q n (A n T}-A n +j) • m^ m+1 m-1 ( A n + J + A n + 1 ) 3 ( A x +Ax ..) m+1 m m m+1 , . n+1 , . n + 1 2 2, n+1 (A +A ,.) c (H -H ) m m+1 m m m 30 . 4 . 3 B o u n d a r y C o n d i t i o n s U p s t r e a m b o u n d a r y c o n d i t i o n s w e r e e x p r e s s e d as d i s c h a r g e s d e r i v e d f r o m h o u r l y s t a g e r e c o r d s f r o m a N i c o m e k l R i v e r s t a t i o n b e l o w M u r r a y C r e e k a t 2 0 6 t h S t r e e t i n t h e M u n i c i p a l i t y o f L a n g l e y . T h e s e w e r e c o n v e r t e d t o d i s c h a r g e s v i a a s t a g e - d i s c h a r g e c u r v e d e v e l o p e d by t h e W a t e r S u r v e y o f C a n a d a . A l o g c u r v e f i t t o t h e r e l a t i o n a b o v e was o b t a i n e d as Q = 1 0 ( - 3 . 5 3 + 2 . 1 0 5 1 o g 1 0 h , ) w i t h h* i n h u n d r e d t h s o f f e e t . D o w n s t r e a m t i d a l c o n d i t i o n s w e r e t a k e n f r o m h o u r l y t i d a l r e c o r d s f r o m T s a w w a s s e n w h i c h i s t h e c l o s e s t t i d a l s t a t i o n t o Mud B a y . 4 . 4 I n i t i a l C o n d i t i o n s The r i v e r was t a k e n t o be i n s t e a d y s t a t e a t t = 0 w i t h c o n s t a n t d i s c h a r g e and w a t e r d e p t h s a t c r o s s -s e c t i o n s a l o n g t h e r i v e r . I t was f o u n d t h a t s u c h an i n i t i a l c o n d i t i o n a s s u m p t i o n c a u s e d an i n i t i a l i n s t a b i l i t y i n t h e s o l u t i o n o f t h e f i n i t e d i f f e r e n c e e q u a t i o n s w h i c h r e q u i r e d 100 t o 200 i t e r a t i o n s t o ' s e t t l e d o w n ' . T h i s was l a t e r e x t e n d e d t o 500 i t e r a t i o n s t o e n s u r e s t a b i l i t y . 4 . 5 S i m u l a t i o n o f t h e T i d a l G a t e T h i s was done as f o l l o w s : -- two c r o s s - s e c t i o n s w e r e i n t r o d u c e d a t t h e d o w n s t r e a m . 31 . e n d n e a r t h e t i d a l g a t e . - t h e s e two c r o s s - s e c t i o n s a l l o w f o r a d e c i s i o n p o i n t i n t h e s i m u l a t i o n m o d e l w h e r e b y i f t h e d o w n s t r e a m d i s c h a r g e n e a r t h e t i d a l g a t e b e g i n s t o f l o w u p s t r e a m due t o t h e r i s i n g t i d e , t h a t d i s c h a r g e i s s e t e q u a l t o z e r o w h i c h i s t h e h y d r a u l i c r e s u l t o f t h e g a t e c l o s i n g . The c l o s i n g o f t h e g a t e i s a s s u m e d t o be a l m o s t i n s t a n -t a n e o u s o r t o o c c u r w i t h i n one t i m e s t e p o f t h e m o d e l . I n r e a l i t y a 15 t o 20 m i n u t e c l o s u r e t i m e i s f o u n d a s t h e t i d a l w a t e r s p u s h t h e r i v e r w a t e r s u p s t r e a m . The s i m u l a t i o n o f t h e t i d a l g a t e i s n e c e s s a r y as v a l i -d a t i o n w i t h raw d a t a f r o m t h e N i c o m e k l R i v e r , w i t h i t s t i d a l g a t e , i s r e q u i r e d . 4 . 6 C h a n n e l S c h e m a t i z a t i o n A c t u a l c h a n n e l c r o s s - s e c t i o n s s u r v e y e d i n 1972 by t h e I n l a n d W a t e r s D i r e c t o r a t e D e p a r t m e n t w e r e u s e d t o d e t e r m i n e c h a n n e l c h a r a c t e r i s t i c s . E s t i m a t e s o f c h a n n e l a r e a , p e r i m e t e r and t o p w a t e r w i d t h v e r s u s d e p t h w e r e m a d e . T h e s e e s t i m a t e s a r e shown i n f i g u r e 4 . 4 . 4 . 7 De C h e z y C o e f f i c i e n t T h i s was s i m p l y c o m p u t e d as c = l » 4 9 R l / 6 f r o m H e n d e r s o n ( 1 9 6 6 ) n o r as f o r f i n i t e d i f f e r e n c e c o m p u t a t i o n s . T h i s may i n t r o d u c e some e r r o r b u t i t was f e l t t o be j u s t i f i e d by t h e s i m p l i c i t y o f c o m p u t a t i o n . E l e v a t i o n w i t h r e s p e c t t o GSC ( f t ) F i g u r e 4.4b: G r a p h o f p e r i m e t e r v e r s u s r i v e r w a t e r e l e v a t i o n 34 . 0 10 20 30 D e p t h ( f t ) F i g u r e 4 . 4 c : G r a p h o f r i v e r t o p - w i d t h v e r s u s d e p t h o f f l o w 35 . 4 . 8 T i m e S t e p S t a b i l i t y F o r a one d i m e n s i o n a l e x p l i c i t scheme t h e t i m e s t e p i s common ly e s t i m a t e d by ^ ^ C w h e r e C - Jgr7 w h e r e h' i s t h e g r e a t e s t d e p t h i n t h e r i v e r s y s t e m and A x i s t h e s m a l l e s t d i s t a n c e b e t w e e n c r o s s - s e c t i o n s . F o r t h e N i c o m e k l h' - 1 6 ' ( 4 . 8 8 m ) and A x - 8 0 0 ' ( 2 4 4 m ) . T h u s ^ 800 ^ Q 1 A t < t - 31 s e c . >J32.2(16)' A t i m e s t e p A t = 30 s e c . was c h o s e n f o r t h e m o d e l . 4 . 9 C o m p u t e r P r o g r a m The f l o w c h a r t o f t h e c o m p u t e r p r o g r a m d e v e -l o p e d i n j t h i s s t u d y i s shown i n f i g u r e 4 . 5 w i t h d e t a i l s o f t h e m e t h o d o f c o m p u t a t i o n and t h e v a r i o u s d e c i s i o n p o i n t s . 4 . 1 0 V a l i d a t i o n R e c o r d s f r o m an i n t e r m e d i a t e r i v e r s t a t i o n a t 192nd S t r e e t i n S u r r e y w e r e u s e d f o r v a l i d a t i o n o f t h e m o d e l . The v a l i d a t i o n c o m p u t e r r u n i s shown i n f i g u r e 4 . 6 . I t s h o u l d be n o t e d t h a t t h e f i r s t 5 0 0 i t e r a t i o n s a r e t o a l l o w s t a b i l i t y i n t h e s o l u t i o n . G i v e n t h e v a r i o u s a s s u m p t i o n s and s i m p l i f i c a t i o n s made d u r i n g t h e d e v e l o p m e n t o f t h e r i v e r m o d e l , i t was f e l t t h a t f i g u r e 4 . 6 r e p r e s e n t e d a d e q u a t e s i m u l a t i o n o f 36 . f START } \READ INITIAL AND HEIGHT BOUNDARY CONDITIONS. \ READ CHANNEL DATA I INCREMENT N FROM 2 TO 18000 I INCREMENT M FROM 3 TO 11 BY 2 < I FROM EQUATION OF CONTINUITY COMPUTE HEIGHT AT SECTION m i > COMPUTE AVERAGE CHANNEL PARAMETERS I INCREMENT M FROM 2 TO 1 0 BY 2 K < I FROM EQUATION OF MOTION COMPUTE DISCHARGE AT SECTION m PLOT GRAPHS OF DISCHARGE AND HEIGHTS (AT ALL CROSS-SECTIONS) VERSUS TIME STOP ") F i g u r e 4.5: F l o w C h a r t o f t h e Computer P r o g r a m 3 7 . F i g u r e 4 . 6 : V a l i d a t i o n r u n f r o m A p r i l 1 s t 1972 f o r 150 h o u r s t h e r i v e r s y s t e m f o r u s e i n t h i s s t u d y . 4 . 1 1 C a l i b r a t i o n C a l i b r a t i o n was done by m o d i f y i n g t h e M a n n i n g ' n ' v a l u e o f t h e r i v e r . T h i s d i r e c t l y c h a n g e d t h e C h e z y c o e f f i c i e n t u s e d i n t h e c o m p u t a t i o n s . A M a n n i n g ' s ' n ' o f 0 . 0 6 was f o u n d t o g i v e t h e b e s t v a l i d a t i o n f i t as i n f i g u r e 4 . 6 . T h i s v a l u e i s a ' l u m p e d ' p a r a m e t e r w h i c h a c c o u n t s f o r e r r o r s due t o t h e s i m p l i f y i n g a s s u m p t i o n s made w h i l e a l s o r e p r e s e n t i n g t h e f r i c t i o n i n t h e r i v e r . 39 5 . EST IMAT ION OF STOCHASTIC PARAMETERS " I n s t a t i s t i c s t h e w o r d s t o c h a s t i c i s s y n o n -ymous w i t h r a n d o m , b u t i n h y d r o l o g y i t h a s b e e n u s e d i n a s p e c i a l way t o r e f e r t o a t i m e s e r i e s w h i c h i s p a r t i a l l y r a n d o m . S t o c h a s t i c h y d r o l o g y f i l l s t h e gap b e t w e e n d e t e r m i n i s t i c m o d e l s and p r o b a b a l i s t i c h y d r o l o g y . I n d e t e r m i n i s t i c h y d r o l o g y t h e t i m e v a r i a b i l i t y i s a s s u m e d t o be t o t a l l y e x p l a i n e d by o t h e r v a r i a b l e s as p r o c e s s e d t h r o u g h an a p p r o p r i a t e m o d e l . I n p r o b a b a l i s t i c h y d r o l o g y we a r e n o t c o n c e r n e d w i t h t i m e s e q u e n c e b u t o n l y w i t h t h e p r o b a b i l i t y , o r c h a n c e , t h a t an e v e n t w i l l be e q u a l e d o r e x c e e d e d . I n s t o c h a s t i c h y d r o l o g y , t h e t i m e s e q u e n c e i s a l l - i m p o r t a n t . " - L i n s l e y , K o h l e r and P a u l h u s ( 1 9 7 5 ) . The a b o v e a u t h o r s s u g g e s t t h a t f o r s y n t h e s i z i n g d i s c h a r g e r e c o r d s f o r a r i v e r w h i l e a c c o u n t i n g f o r i t s r a n d o m n a t u r e , t h a t a s i m p l e M a r k o v g e n e r a t i n g f u n c t i o n be u s e d t o s i m u l a t e a n n u a l f l o w v o l u m e as Q ± = Q + ? ( Q i _ i - 3 > + t!.er|i-92' ( 5 . 1 ) d e t e r m i n i s t i c r a n d o m F o r s e a s o n a l o r m o n t h l y f l o w v o l u m e s a g e n e r a t i n g f u n c t i o n as d e t e r m i n i s t i c r a n d o m i s s u g g e s t e d . F o r t h i s s t u d y e q u a t i o n 5 . 1 was u s e d t o s i m u l a t e d i s c h a r g e s o v e r 6 t i d a l c y c l e s o r 150 h o u r s , w h i c h w o u l d r e p r e s e n t p o s s i b l e d i s c h a r g e r e c o r d s e x p e r i e n c e d d u r i n g t h e m o n t h s o f A p r i l t o S e p t e m b e r f o r t h e N i c o m e k l R i v e r . E q u a t i o n 5 . 2 w o u l d h a v e b e e n u s e d h a d c o m p u t e r f a c i l i t i e s b e e n a v a i l a b l e t o s i m u l a t e a w h o l e s e a s o n ' s r e c o r d . F rom e q u a t i o n 5 . 1 e s t i m a t e s o f C;, a n d CS mus t be made as w e l l as a s s u m p t i o n s o f t h e s t a t i s t i c a l d i s t r i b u t i o n o f t h e r a n d o m v a r i a t e , t'. . D a t a u s e d f o r t h e s e e s t i m a t e s l was t a k e n f r o m t h e 1972 s t a g e r e c o r d o f t h e N i c o m e k l R i v e r b e l o w M u r r a y C r e e k . S i n c e 1972 was a y e a r o f h i g h d i s c h a r g t h e e s t i m a t e s made h e r e , e s p e c i a l l y Q , a r e t h o u g h t t o be c o n s e r v a t i v e . 5 . 1 E s t i m a t e s 5 . 1. 1 t'. l The s t a t i s t i c a l d i s t r i b u t i o n o f t h e r a n d o m v a r i a t e t'. was e s t i m a t e d f r o m t h e d a t a r e c o r d m e n t i o n e d I a b o v e f o r t h e summer m o n t h s o f A p r i l t o S e p t e m b e r . The s t a g e - d i s c h a r g e r e l a t i o n d e v e l o p e d e a r l i e r was u s e d t o c o n v e r t t h e s t a g e r e a d i n g s . A f r e q u e n c y a n a l y s i s o f t h e d a t a n o r m a l i z e d t o t h e a v e r a g e d i s c h a r g e and s t a n d a r d i z e d by s e t t i n g t h e a v e r a g e d i s c h a r g e to z e r o i s shown i n f i g u r e 5 . 1 . An e y e -f i t t e d c u r v e was t a k e n as t h e b e s t f i t . To g e n e r a t e r a n d o m v a r i a t e s t o f i t t h i s d i s t r i -b u t i o n a u n i f o r m r a n d o m v a r i a t e was u s e d and m o d i f i e d a c c o r d i n g l y . T h i s was done by m a t c h i n g t h e u n i f o r m . 41 . d i s t r i b u t i o n w i t h t h e c u m u l a t i v e d i s t r i b u t i o n o f f i g u r e 5 . 1 u s i n g e q u a t i o n s o f p i e c e w i s e l i n e a r e s t i m a t e s o f t h e c u m u l a t i v e c u r v e . T h i s i s s e e n i n f i g u r e 5 . 2 , so t h a t now we h a v e y . = F ( t ' . ) w h e r e y . f i t s t h e d i s t r i b u t i o n i n J 1 x 1 f i g u r e 5 . 1 and t^ i s u n i f o r m l y d i s t r i b u t e d b e t w e e n 0 and 1 . 5 . 1 . 2 % To e s t i m a t e a r e g r e s s i o n was r u n on a p l o t o f Q. , v e r s u s Q. f o r t h e r e c o r d m e n t i o n e d a b o v e . T h i s l - l l r e g r e s s i o n a s s u m e s t h a t a M a r k o v p r o c e s s o f l a g one (one t i m e p e r i o d ) b e s t a p p r o x i m a t e s t h e r e a l d i s c h a r g e r e c o r d . The r e g r e s s i o n y i e l d e d a J o f 0 . 9 9 7 7 5 . I t mus t be n o t e d t h a t e q u a t i o n 5 . 1 s i m p l i f i e s a s i m u l a t e d d i s c h a r g e as Q^= f ( Q - £ _ i ) a s s u m i n g a l a g o f one t i m e p e r i o d . C a s e s o f l o n g e r t i m e l a g d e p e n d e n c i e s h a v e b e e n n o t e d as i n t h e H u r s t Phenomenom r e p o r t e d by L i n s l e y , K o h l e r and P a u l h u s ( 1 9 7 5 ) . 5 . 1 . 3 Q andCT To e s t i m a t e Q and <T t h e r e c o r d a b o v e was s p l i t i n t o p e r i o d s o f 150 h o u r s (6 t i d a l c y c l e s ) . T h i s was t h e l e n g t h o f r e c o r d t o be s i m u l a t e d so as t o d i s p l a y t h e i n t e r a c t i o n s o f r i v e r a n d t i d a l w a t e r s . F o r e a c h s h o r t r e c o r d t h e a v e r a g e , Q , and s t a n d a r d d e v i a t i o n , O" , w e r e - c a l c u l a t e d . S u b s e q u e n t s i m u l a t i o n s u s i n g e q u a t i o n 5 . 1 u s i n g d i f f e r e n t p a i r s o f Q and C a l l o w e d a c h o i c e as t o w h i c h p a i r s i m u l a t e d d i s c h a r g e r e c o r d s i 1 1 1 r F i g u r e 5 . 1 : F r e q u e n c y d i s t r i b u t i o n o f n o r m a l i z e d N i c o m e k l d i s c h a r g e s b e l o w M u r r a y C r e e k y ( m o d i f i e d random v a r i a t e ) T J O H- • IW o C H fD U l M n C o 0 3 • CL C ho o I—4 3 Co r t < H-P> <! t-i fD H-Co CL r t r t H-fD cn r t /—\ r t i-i e o H* o C f H- • r t C tt i -p-c r r t O fD H - I-i O 3 CL 0 H> H cn O Co r t H i 3 i-i CL H> T i O cr 1 H- 3 C 0Q r t c < H- t i Co o O fD I-i • H-fu • r t s fD \# c H- cn 00 fD c CL H fD r t O U i • O o r—* O • 0 oo 4 4 . w h i c h b e s t r e s e m b l e d a c t u a l d a t a and w h i c h made ' h y d r a u l i c s e n s e ' w i t h no u n e x p l a i n e d d i s c o n t i n u i t i e s r e s u l t i n g f r o m u n r e a s o n a b l e c h o i c e s . A Q o f 1 2 5 . 4 c f s ( 3 . 5 5 cms) and a C T o f 4 9 . 3 c f s ( 1 . 4 0 cms) w e r e f o u n d to be t h e b e s t e s t i m a t e s w h i c h r e s u l t e d i n a r e a l i s t i c s y n t h e t i c r e c o r d . E x a m p l e s o f s i m u l a t e d d i s c h a r g e s a r e shown i n f i g u r e 5 . 3 s h o w i n g a ' h i g h ' and a " ' l o w ' r e c o r d . E a c h r e c o r d o f Q. s t a r t s a t a r a n d o m i n i t i a l I v a l u e w h i c h mus t a l s o f i t t h e d i s t r i b u t i o n o f f i g u r e 5 . 1 s i n c e t h a t d i s t r i b u t i o n i n d i c a t e s t h e c h a n c e s o f f i n d i n g a c e r t a i n n o r m a l i z e d d i s c h a r g e a t t h e b e g i n n i n g , t h e m i d d l e o r t h e e n d o f t h e d i s c h a r g e r e c o r d . H e n c e = 4 . 1 + 2 9 5 . 9 y ^ ( c f s ) was u s e d as t h e i n i t i a l d i s c h a r g e v a l u e s i n c e a maximum o f 300 c f s and a m in imum o f 4 . 1 c f s h a d b e e n r e c o r d e d . was g e n e r a t e d as Q. = 1 2 5 . 4 + 0 . 9 9 7 7 5 ( Q . , - 1 2 5 . 4 ) + 4 9 . 3 y . x x x i - l J l and y . = f ( t ' . ) w h e r e t'. i s a u n i f o r m r a n d o m v a r i a t e . 1 l x 1 - 0 . 9 9 7 7 5 2? 5 . 2 T i d a l S i m u l a t i o n Due t o t h e v a r i o u s h a r m o n i c s o f t h e t i d a l r e c o r d u s e d , a s i m p l e s i n u s o i d a l e s t i m a t e o f t h e t i d e was m a d e . T h i s s i m p l i f i e d s i m u l a t i o n o f t h e t i d e and e a s e d t h e a n a l y s i s o f t h e e f f e c t o f t h e t i d e and t h e t i d a l g a t e on t h e r i v e r w a t e r s d u r i n g t h e M o n t e C a r l o s i m u l a t i o n s . H e n c e a f u n c t i o n as H = A* s i n l t t was u s e d , The a c t u a l d a t a r e c o r d i n d i c a t e d c o n s e r v a t i v e v a l u e s o f A' a n d 't. t o be 8 f t ( 2 . 4 4 m ) and 25 h o u r s r e s p e c t i v e l y . *X i s t h e c r i t i c a l p a r a m e t e r h e r e s i n c e l o n g e r ' t ' s c a u s e t h e t i d a l g a t e t o be c l o s e d l o n g e r i n c r e a s i n g s t o r a g e and b a c k w a t e r p r o f i l e s . S i n c e t h e d i s c h a r g e r e c o r d r e p r e s e n t e d - t h e r a n d o m n a t u r e o f t h e s y s t e m t h e r e was no n e e d t o i n t r o -d u c e a r a n d o m e l e m e n t i n t h e t i d a l r e c o r d s i m u l a t e d . F o r more d e t a i l e d s t u d i e s , e s t i m a t e s o f t h e n a t u r e o f t h e h i g h e r a n d more c r i t i c a l h a r m o n i c s o f t h e t i d e s h o u l d be m a d e . The two s i m u l a t e d r e c o r d s d e v e l o p e d h e r e ( d i s c h a r g e and t i d e ) a r e u s e d as b o u n d a r y c o n d i t i o n s i n t h e M o n t e C a r l o a n a l y s i s o f c h a p t e r 6 . 5 . 3 S a m p l e S i m u l a t i o n Run U s i n g t h e s i m p l i f i e d t i d a l m o d e l a maximum h y d r o g r a p h f r o m t h e 1972 d i s c h a r g e d a t a was u s e d to d e t e r m i n e i t s e f f e c t on s t o r a g e and f l o o d i n g b e h i n d t h e c l o s e d t i d a l g a t e . The d i s c h a r g e h y d r o g r a p h i s shown i n f i g u r e 5 . 4 a ) w i t h t h e r i v e r w a t e r h e i g h t r e s p o n s e i n f i g u r e 5 . 4 b ) . N o t e s h o u l d be made o f t h e h i g h r i v e r w a t e r e l e v a t i o n s d u r i n g t h e s e c o n d t i d a l c y c l e . The e f f e c t s o f t h e h i g h d i s c h a r g e , n e a r t h e h y d r o g r a p h p e a k , on w a t e r s t o r a g e b e h i n d t h e g a t e c a n be s e e n b e t w e e n t h e f i r s t and s e c o n d c y c l e s w h e r e w a t e r l e v e l s i n c r e a s e e v e n t h o u g h t h e g a t e i s open. The open g a t e i s ' f e l t ' j u s t as the ga t e c l o s e s a g a i n c a u s i n g even h i g h e r w a t e r e l e v a t i o n s due t o s t o r e d w a t e r s . T h i s d i s c h a r g e h y d r o g r a p h a p p e a r s t o be t h e minimum wave w h i c h c o u l d c a u s e f l o o d i n g s i n c e t h e w a t e r e l e v a t i o n s i n t h e se c o n d c y c l e j u s t about b r e a c h t h e dyke h e i g h t s a l o n g t h a t s e c t i o n of t h e r i v e r . W h i l e t h e peak v a l u e o f t h e h y d r o g r a p h i s i m p o r t a n t so i s i t s t i m e l e n g t h so t h a t t h e l a r g e r the a r e a u n d e r t h e h y d r o g r a p h t h e more c r i t i c a l i t i s w i t h r e s p e c t t o f l o o d i n g . H i g h wind e v e n t s , w h i c h f o r c e t i d a l w a t e r s to c l o s e t h e t i d a l g a t e f o r a l o n g e r t i m e , i n c o n j u n c t i o n w i t h a 'minimum' h y d r o g r a p h o f f i g u r e 5 . 4 a ) c o u l d c a u s e g r e a t e r f l o o d i n g . _ l . | 1 1 i r r < • 1 1 0.0 15.0 30.0 o 45.0 60.0 75.0 80.0 105.0 120.0 135.0 150.0 HOURS F i g u r e 5.3: Examples of s i m u l a t e d d i s c h a r g e s F i g u r e 5 . 4 a : F l o o d H y d r o g r a p h u s e d i n ' S a m p l e R u n ' 20.0 40.0 60.0 80.0 100.0 ,120.0 ITERATIONS [XlO2 3 140.0 160.0 iao.0 ( 1 h o u r = 1 2 0 i t e r a t i o n s ) F i g u r e 5 . 4 b : R i v e r w a t e r r e s p o n s e t o the h y d r o g r a p h i n F i g u r e 5 . 4 a 50 6 . MONTE CARLO S IMULATION 6• 1 S i m u l a t i o n " T h e M o n t e C a r l o A p p r o a c h c o n s i s t s o f p l a y i n g a game o f c h a n c e i n a c c o r d a n c e w i t h a s e t o f r u l e s t h a t s a t i s f a c t o r i l y i m i t a t e t h e d e t e r m i n i s t i c and r a n d o m c h a r a c t e r i s t i c s o f a p h y s i c a l p r o c e s s " - T a y f u n and Wang ( 1 9 7 3 ) . The A p p r o a c h r e q u i r e s m u l t i p l e s i m u l a t i o n s e a c h one r e f l e c t i n g t h e r a n d o m n a t u r e o f t h e s y s t e m w h i l e m o d e l -l i n g t h e d e t e r m i n i s t i c c h a r a c t e r i s t i c s . A n a l y s i s o f t h e r e s u l t s i s t h e n r e q u i r e d t o d e t e r m i n e t h e s t a t i s t i c a l ' p r o p e r t i e s o f t h e i m p o r t a n t p a r a m e t e r s s i m u l a t e d by t h e m o d e l . T h e s e s t a t i s t i c a l p r o p e r t i e s a r e t h e n c o m p a r e d w i t h a c t u a l s t a t i s t i c s f o r v a l i d a t i o n t h e r e b y a l l o w i n g t h e s i m u l a t e d r e s u l t s t o be u s e d f o r f u r t h e r i n t e r p r e t a t i o n o r p r e d i c t i o n as r e q u i r e d . F o r t h e M o n t e C a r l o m e t h o d t h e r i v e r m o d e l d e v e l o p e d i n c h a p t e r 4 and t h e b o u n d a r y c o n d i t i o n r e l a t i o n s o f c h a p t e r 5 ( u p s t r e a m d i s c h a r g e and d o w n s t r e a m t i d e ) w e r e u s e d . T h i r t y s i m u l a t i o n s o f 6 t i d a l c y c l e s (150 h o u r s ) w e r e r u n so as t o y i e l d p r e l i m i n a r y r e s u l t s f o r t h e s t a t i s t i c a l a n a l y s i s and t o i n d i c a t e t h e u s e f u l n e s s o f t h e m e t h o d o l o g y d e v e l o p e d i n t h i s t h e s i s . I n p r o b a b i l i t y t e r m s e a c h s i m u l a t i o n was as a s a m p l e o f 5 t i d a l c y c l e s , t h e s i x t h t o a l l o w t h e 5 1 s o l u t i o n t o s t a b i l i z e , i n a s e a s o n a l r e c o r d o f a b o u t 3 5 0 t i d a l c y c l e s . S i n c e f l o o d c o n d i t i o n s o c c u r w h e n r i v e r w a t e r s o v e r t o p t h e d y k e s t h e s i m u l a t e d e x t r e m e w a t e r h e i g h t f o r e a c h t i d a l c y c l e w a s i m p o r t a n t f o r a l l c r o s s - s e c t i o n s a l o n g t h e r i v e r . 6 . 2 R e s u l t s R e s u l t s f r o m t h e M o n t e C a r l o s i m u l a t i o n s a r e s h o w n i n f i g u r e 6 . 1 i n t h e f o r m o f p r o b a b i l i t y d e n s i t y f u n c t i o n s f o r t h e f i v e ' s a m p l e d ' t i d a l c y c l e s f o r v a r i o u s c r o s s - s e c t i o n s a l o n g t h e r i v e r . T o t a l d e n s i t y h i s t o g r a m s ( s u m m e d o v e r t h e f i v e t i d a l c y c l e s ) a r e s h o w n i n f i g u r e 6 . 2 . S i n c e t h e r e s u l t o f i n t e r e s t i s o f . a n e x t r e m a l n a t u r e - t h e h i g h e s t r i v e r w a t e r e l e v a t i o n p e r t i d a l c y c l e - t h e h i s t o g r a m s o f f i g u r e 6 . 1 w e r e f i t t e d t o a T y p e I ( G u m b e l ) p r o b a b i l i t y p a p e r a s c u m u l a t i v e c u r v e s . T h e s e a r e s h o w n i n f i g u r e 6 . 3 w i t h e a c h o f t h e f i v e t i d a l c y c l e s s h o w n s e p a r a t e l y s i n c e t h e s i m u l a t e d h e i g h t s o f e a c h t i d a l c y c l e w e r e d e p e n d e n t , d u e t o t h e s t o c h a s t i c f o r m u l a t i o n , o n t h e h e i g h t s o f t h e p r e v i o u s t i d a l c y c l e . T h e s e r e s u l t s a r e d i s c u s s e d i n t h e n e x t s e c t i o n . 52 F i g u r e 6 . 1 : S i m u l a t e d p r o b a b i l i t y d e n s i t i e s f o r v a r i o u s c r o s s - s e c t i o n s TIDAL CYCLE 3 CROSS-SECTION 10 0 10 0 10 o u c 10 oi u => o o o 5 O 0 % io B 3 a 0 10 .nJ\ M -4 -r 2 0 2 ft -4" -2 0 2 - 4 - 2 0 2 .(WS . - 4 -2 0 2 - 4 - 2 0 2 -5 - 3 - 1 1 A -5 - 3 -1 1 -5 -3 -1 L -5 - 3 -1 ] 1 -5 -3 -1 1 1 3 - 1 1 T fl^" r -5 -3 -1 1 [HA -5 -3 -1 L -5 -3 -1 L -5 - 3 -1 1 -J -"K 4 - 2 0 -6 -4 - 2 .0 \ -6 -4 -2 3 -6 -4 -2 3 -6 -4 -2 C ATL __I 1 i i -6 - 4 -2 0 -6 -4 -2 C -6 -4 -2 0 -6 -4 -2 0 -6 -4 -2 C -6 --4 -2 C -6 -4 - 2 ( ) -6 -4 -2 0 -6 -4 -2 0 -6 -4 -2 ( 11 ( g ) 10 ( f ) ( e ) (d) ( c ) (b) 5 , 4 , 3 53 . F i g u r e 6 . 2 : T o t a l p r o b a b i l i t y d e n s i t i e s f o r v a r i o u s c r o s s - s e c t i o n s E l e v a t i o n w i t h r e s p e c t t o GSC ( f t ) i ON I 4> I ho ho oo hO Ul hO o o 4" •» * • O H M • • » » • 0 * 0 ' e *** O * CI. CL CL •<! V! V! 7? 7? fD fD fD o o o Ti T3 T3 CO CO Co 0« M • * • 4 * OXp «' \ « •« • • 0»O4 • OHM \ \ ho O o \ CL O Co O o o \ \ \ \ \ Ui 4^  U> X ho o o fD o o o \ \ 00 00 Ui hh Mi rt rt Hi • • \ \ \ \ \ \ \ \ O 1 pi \ \ O O o o o o \ \ \ -AX \ \ \ \ 55 . F i g u r e 6.3b: G u m b e l p l o t o f s i m u l a t e d d a t a - C r o s s - s e c t i o n 6 4-1 4-1 U CO o o 4-1 o Q) ft CD CU • H o > cu i-H w 6 r~ 4 k -2 -4 -6 1.01 1.25 2.00 10 20 50 100 400 1000 4000 10000 R e t u r n p e r i o d ( numbe r o f t i d a l c y c l e s ) E l e v a t i o n w i t h r e s p e c t t o GSC ( f t ) i i i NO o o CL, fD o CO \ \ \ \ ho O Ln O O O O O O O O O O O O o o o \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ X • « © -P- LO N3 |_. O O \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ i \ \ \ AL 5 7 . F i g u r e 6 . 3 d : G u m b e l p l o t o f s i m u l a t e d d a t a - C r o s s - s e c t i o n 1 1 I— d y k e t o p a t 9 f t T T T T T i s / / / / / / / • 3>/ • x 11 5 ° X X X A. cy c i e o 1 r 2 A 3 * 4 • 5 X _L 1.01 1 .25 2 . 0 0 5 10 20 50 100 400 1000 R e t u r n p e r i o d (number o f t i d a l c y c l e s ) 4000 10000 E l e v a t i o n w i t h r e s p e c t t o GSC ( f t ) i i i cr\ j> ro o r o . p - o-> co T T K3 N3 o o ro rt c I-i a ro H H-O Cu 0 e B cr fD o *<! O r-1 fD CO \ \ o Ul o o o •P-o o o o o OK * * \ 0** • \ \ \ ro rt o XS CM P> C rt i-i fD i—• h-1 ON e-h CO rt fD O c 3 cr* ro \ \ \ a \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ o • « • X © ^ ui -P* co ro H-" ro \ \ J \ \ \ \ \ \ \ O O O o o o o \ \ \ \ \ \ id M O cn ro Cu Cu rt »3 I O i-i o CD CO I CO ro o rt H-O 0 Ul CO E l e v a t i o n w i t h r e s p e c t t o GSC ( f t ) i i i to Cn N3 O O ro o U i o o o o o o o o -p-o o o o o o o 99 c l-s Co I-h O C s ro i—1 o rt O i-h cn H« S c ro Pu Pu o i i O CO CD I CO ro o rt H-o U l >J3 I 4> E l e v a t i o n w i t h r e s p e c t t o GSC ( f t ) i r o o N> j > < o ' pa ro rt c l-{ 0 ro H-o CL 0 c cf ro K o l-h CL OJ M o o ro CD o o •X M • •x» 4 • •X • 4 • * *, » 4 • • >*» 4 • CL ro o W 4 °*»4« » > * 4 « \ \ K3 o U l o o o 6 * 4* \ \ \ \ \ \ V c \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 4> O O O O o 4] • X © O V! o \fi \ \ U l 4>- OJ N3 i—i \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ O O o o o o o \ V \ j L - 1 61 . 6 . 3 D i s c u s s i o n 6 . 3 . 1 P r o b a b i l i t y D e n s i t i e s The s i m u l a t e d p r o b a b i l i t y d e n s i t i e s o f f i g u r e s 6 . 1 and 6 . 2 h a v e a s t r o n g b i m o d a l t e n d e n c y s u p e r i m p o s e d on p e r h a p s gamma o r n o r m a l d i s t r i b u t i o n s . H o w e v e r i t i s e v i d e n t t h a t more s i m u l a t e d d a t a i s r e q u i r e d f o r a more r i g o u r o u s s t a t i s t i c a l a n a l y s i s . The b i m o d a l t e n d e n c y c o u l d i n d i c a t e an i n h e r e n t ' d u a l ' q u a l i t y i n t h e r i v e r s y s t e m ( a s r e p r e s e n -t e d by t h e r i v e r m o d e l ) o r t h a t t o o few s i m u l a t i o n s h a v e c a u s e d a m i s r e p r e s e n t a t i o n o f an a c t u a l u n i m o d a l d e n s i t y f u n c t i o n - o r b o t h . The d u a l q u a l i t y i s r e a s o n a b l e f r o m a h y d r a u l i c v i e w p o i n t . As t h e t i d a l g a t e c l o s e s a t t h e d o w n s t r e a m end a h y d r a u l i c d i s c o n t i n u i t y i n t h e f o r m o f a w a v e f r o n t , c o u l d be g e n e r a t e d . T h i s u p s t r e a m m o v i n g s u r g e a p p e a r s t o r a n g e f r o m 0 . 5 t o 2 . 0 f e e t h i g h f r o m f i g u r e 6 . 3 . R o u g h c a l c u l a t i o n s u s i n g r a p i d l y v a r i e d u n s t e a d y f l o w e q u a t i o n s o f Chow ( 1 9 5 9 ) i n d i c a t e a t h e o r e t i c a l w a v e f r o n t o f 0 . 9 t o 1 .3 f e e t . T h i s wave w o u l d t a k e a c a l c u l a t e d 0 . 7 8 h o u r s t o r e a c h u p s t r e a m a t 2 0 6 t h S t r e e t . A c t u a l w a v e s o f 0 . 2 5 t o 0 . 4 f e e t h a v e b e e n o b s e r v e d on t h e r i v e r t r a v e l l i n g u p s t r e a m i n a b o u t one h o u r . A c t u a l w a v e f r o n t s w o u l d be q u i c k l y a t t e n u a t e d by b a n k , r i v e r b e n d s , w i n d a n d v i s c o u s f r i c t i o n . I n s u f f i c i e n t d a t a w o u l d a f f e c t t h e i n t e p r e t a t i o n o f t h e a c t u a l p r o b a b i l i t y d i s t r i b u t i o n s i n v o l v e d h e r e . An e x a m p l e by B e n j a m i n and C o r n e l l ( 1 9 7 0 ) d e m o n s t r a t e s t h i s w e l l ( s e e f i g u r e 6 . 4 ) . H e r e v a r y i n g i n t e r p r e t a t i o n s w e r e F i g u r e 6 . 4 : F i v e r a n d o m s a m p l e s f r o m a t r i a n g u l a r I d i s t r i b u t i o n on t r u e p r o b a b i l i t y p a p e r , ( a ) S a m p l e a ; (b ) s a m p l e b ; ( c ) s a m p l e c ; (d) s a m p l e d ; (e ) s a m p l e ( f ) t r u e " C D F and p o o l e d s a m p l e . ( B e n j a m i n and C o r n e l l 19 70) . Used w i t h the pe rm iss ion of McGraw-H i l l Book Comapny. NOTE : ( a ) , ( b ) & ( e ) i n d i c a t e t r i a n g u l a r d i s t r i b u t i o n s ( c ) i n d i c a t e s a b e l l - s h a p e d d i s t r i b u t i o n (d) i n d i c a t e s a c o n v e x d i s t r i b u t i o n 63 . made o f a d i s t r i b u t i o n w h i c h was a c t u a l l y t r i a n g u l a r b u t a p p e a r e d ' b e l l s h a p e d ' and ' c o n v e x ' as w e l l . H o w e v e r , t h i s may n o t be t h e c a s e s i n c e t h e h i s t o g r a m s o f f i g u r e 6 . 2 a r e b i m o d a l and h a v e f a i r l y w e l l d e f i n e d s h a p e s o f p e r h a p s gamma o r n o r m a l d i s t r i b u t i o n s ( s e e f i g u r e 6 . 5 ) . The a p p l i c a -t i o n o f r i g o u r o u s b i m o d a l s t a t i s t i c a l t e s t s a r e l e f t f o r f u r t h e r r e s e a r c h . H e n c e t h e b i m o d a l i t y a p p e a r s t o be g e n e r a t e d l a r g e l y by t h e h y d r o d y n a m i c e q u a t i o n s o f t h e r i v e r m o d e l r a t h e r t h a n f r o m any o f i t s b o u n d a r y c o n d i t i o n s as t h e p r o b a b i l i t y d e n s i t y h i s to. g rams of s y n t h e t i c d i s c h a r g e s i n f i g u r e 6 . 6 i n d i c a t e s . T h e l a c k o f b i m o d a l i t y i n t h e r e c o r d e d d a t a i n f i g u r e 6 . 7 c o u l d be e x p l a i n e d by t h e a t t e n t u a t i o n by f r i c t i o n f o r c e s m e n t i o n e d e a r l i e r . H e n c e i t a p p e a r s t h a t b o t h c a u s e s a r e l i k e l y w i t h t h e f o r m e r ( h y d r a u l i c d i s c o n t i n u i t y ) t h e more i m p o r t a n t , 6 . 3 . 2 P r o b a b i l i t y D i s t r i b u t i o n s I n s e l e c t i n g p r o b a b i l i t y d i s t r i b u t i o n s t o f i t t h e r e s u l t s o f t h e M o n t e C a r l o s i m u l a t i o n s , p l o t s w e r e made on b o t h Type I ( G u m b e l ) and Type I I I ( P e a r s o n ) p r o b a b i l i t y p a p e r . The f o r m e r was b e t t e r i n t h a t t h e d a t a l i n e d up w e l l e n o u g h t o make p r e d i c t i o n s by e x t r a p o l a t i o n . T h i s was c o n t r a r y t o t h e e x p e c t e d r e s u l t s i n c e T y p e I I I d i s t r i b u t i o n s r e s u l t f r o m t r u n c a t e d p r o b a b i l i t y d e n s i t y f u n c t i o n s as was u s e d f o r t h e s i m u l a t e d d i s c h a r g e s - s e e f i g u r e 5 . 1 . E i t h e r t h e t r u n c a t e d t a i l o f f i g u r e 5 . 1 was n o t s i g n i f i c a n t e n o u g h t o f i t t o a T y p e I I I d i s t r i b u t i o n o r t h e r i v e r m o d e l 6 4 . F i g u r e 6 . 5 : E s t i m a t e d p r o b a b i l i t y d e n s i t y c u r v e s f o r f i g u r e 6 . 2 65 . 30 2 5 CD <u 20 15 10 X X -L 40 80 120 160 D i s c h a r g e ( c f s ) 200 240 F i g u r e 6 .6, : D e n s i t y f u n c t i o n s o f s y n t h e t i c d i s c h a r g e s g e n e r a t e d d u r i n g M o n t e C a r l o s i m u l a t i o n s 66 . - 6 - 4 - 2 0 2 4 6 8 E l e v a t i o n w i t h r e s p e c t t o GSC ( f t ) F i g u r e 6 .7 : P r o b a b i l i t y d e n s i t i e s and s i m u l a t e d d a t a f o r r e c o r d e d 67 . s i g n i f i c a n t l y m o d i f i e d t h e i n i t i a l d i s t r i b u t i o n s o a s t o c h a n g e i t s b a s i c n a t u r e . T h e l a t t e r i s m o r e l i k e l y . 6 . 3 . 3 F l o o d P r e d i c t i o n F r o m t h e G u m b e l p l o t s i n f i g u r e 6 . 3 f l o o d p r e -d i c t i o n s c a n b e m a d e . A n e x a m p l e o f a p r e d i c t i o n i s s h o w n i n f i g u r e 6 . 8 w h e r e e x t r e m e h e i g h t d a t a f r o m s u m m e r 1 9 7 2 s t a g e r e c o r d s a t 1 9 2 n d S t r e e t w a s f i t t e d t o a G u m b e l d i s -t r i b u t i o n . S t r a i g h t l i n e e x t r a p o l a t i o n s w e r e m a d e f o r -' h i g h ' , ' a v e r a g e ' a n d ' l o w ' r e t u r n p e r i o d s . T h e d y k e h e i g h t s u s e d w e r e t h e 1 9 7 2 s u r v e y e d h e i g h t s f r o m t h e I n l a n d W a t e r s D i r e c t o r a t e . T h e r e t u r n p e r i o d t o t h e n e x t e v e n t w h e r e t h e r i v e r w a t e r s r e a c h t h e d y k e t o p w a s i d e n t i f i e d . T h i s a c t u a l r e c o r d w a s a l s o c o m p a r e d w i t h t h e c l o s e s t s i m u l a t e d r e c o r d o f c r o s s - s e c t i o n e l e v e n o f t h e r i v e r m o d e l a s s h o w n i n f i g u r e s 6 . 7 a n d 6 . 9 . S i m i l i a r p r o j e c t i o n s a s i n f i g u r e 6 . 8 w e r e d o n e i n f i g u r e 6 . 3 . D u e t o t h e u n c e r t a i n s t a t i s -t i c a l p r o p e r t i e s o f t h e s i m u l a t e d r e s u l t s m o r e c o n s e r v a t i v e e x t r a p o l a t i o n s w e r e m a d e b a s e d o n t h e t o t a l s i m u l a t e d r e c o r d a s s h o w n . T h e s e a l l o w e d p r e d i c t i o n s o f t h e r e t u r n p e r i o d o f d y k e b r e a c h i n g i n t i m e u n i t s o f ' t i d a l c y c l e s ' . T h e s e w e r e c o n v e r t e d t o y e a r s a s s u m i n g 2 5 h o u r s t o t h e t i d a l c y c l e . T h e r e s u l t i n g p r e d i c t i o n s f o r v a r i o u s c r o s s - s e c t i o n s a r e s h o w n i n f i g u r e 6 . 1 0 w i t h a c o m p a r i s o n w i t h p r e d i c t i o n s f r o m r e c o r d e d d a t a . T h e c o n s e r v a t i v e ' l o w ' p r e d i c t i o n s a r e i n t u i t i v e l y r e a s o n a b l e w h i l e a l s o b e i n g i n t h e ' b a l l p a r k ' * f i g u r e o f t w o t o f i v e y e a r r e t u r n p e r i o d a s e s t i m a t e d E l e v a t i o n w i t h r e s p e c t t o GSC ( f t ) i to o to -P- o> oo CL c f fD H-era c f •89 ' 6 9 **f- f r o m r e c o r d e d d a t a ¥ A HI X -or \ / ^ , ' AVERAGE A / + AV^ >e LOW: / V + LO 192nd S t . X -X i — r ~ T ~ © © © © © 0 i r © © 10 (6^ s e c ? s s -10ns 20 r © 30 40 50 D i s t a n c e u p s t r e a m f r o m t i d a l g a t e ( x l O ) ( f t ) F i g u r e 6 . 1 0 : E s t i m a t e o f . r e t u r n p e r i o d f o r c r o s s - s e c t i o n s a l o n g t h e N i c o m e k l 71 . by e n g i n e e r s and f a r m e r s i n S u r r e y . 6 . 3 . 4 F u r t h e r Comments A r i v e r f e a t u r e t h a t i s n o t w e l l d e s c r i b e d by t h e u p s t r e a m s y n t h e t i c d i s c h a r g e m o d e l i s t h a t o f a h y d r o -g r a p h o f t h e t y p e i n f i g u r e 5 . 4 a . T h i s b o u n d a r y c o n d i t i o n f o r m u l a t i o n d o e s n o t a l l o w s i m u l a t i o n o f a f u l l h y d r o g r a p h b u t r a t h e r t h e s i m u l a t i o n o f " ' b a c k g r o u n d 1 d i s c h a r g e . A h y d r o g r a p h r a n d o m i n t e r m s o f t i m e o f e v e n t , p e a k d i s c h a r g e and l e n g t h c o u l d be i n c o r p o r a t e d i n e q u a t i o n 5 . 1 f o r b e t t e r m o d e l l i n g o f u p s t r e a m c o n d i t i o n s . The f l o o d p r e d i c t i o n s o f s e c t i o n 6 . 3 . 3 c o m b i n e d w i t h f l o o d damage e s t i m a t e s on a g r i c u l t u r a l c r o p s c o u l d be u s e d t o d e t e r m i n e c o s t b e n e f i t r a t i o s f o r f l o o d c o n t r o l p r o j e c t s ( s u c h as d y k e i m p r o v e m e n t ) f o r t h e f a r m l a n d s . M e t h o d s o f s u c h a n a l y s i s p r e s e n t e d by B o i s v e r t ( 1 9 7 5 ) , James e t a l ( 1 9 7 1 ) and S i n g h ( 1 9 7 6 ) a r e s u g g e s t e d . 72 . 7 . CONCLUSIONS W i t h t h e f i n i t e d i f f e r e n c e r i v e r m o d e l d e v e l o p e d i n t h i s t h e s i s , r e c o r d e d h e i g h t s r e s u l t i n g f r o m r i v e r w a t e r and t i d a l i n t e r a c t i o n w e r e f a i r l y w e l l p r e d i c t e d . S u c h a m o d e l c o u l d e f f e c t i v e l y p r e d i c t t h e e f f e c t s o f f u t u r e c h a n g e s i n r i v e r m o r p h o -l o g y by n a t u r a l o r m a n - i n s p i r e d p r o c e s s e s . The s t o c h a s t i c e s t i m a t e o f u p s t r e a m d i s c h a r g e a c c o u n t s more f o r ' b a c k g r o u n d ' d i s c h a r g e s w h i l e f l o o d h y d r o g r a p h s a l s o n e e d t o be a c c o u n t e d f o r . H e n c e f l o o d e v e n t s due t o l a r g e r f l o o d w a v e s c o u l d be s i m u l a t e d . The b i m o d a l i t y o f t h e r e s u l t s r e f l e c t e d t h e t i d a l g a t e g e n e r a t e d u p s t r e a m m o v i n g s u r g e s w h i c h w e r e n o t s i g n i f i c a n t l y a t t e n u a t e d by r i v e r f r i c t i o n i n t h e m o d e l as t h e y moved u p s t r e a m . M o r e s i m u l a t i o n s i n t h e M o n t e C a r l o m e t h o d w e r e n e e d e d t o b e t t e r d e f i n e t h e p r o b a b i l i t y d i s t r i b u t i o n s . F r o m t h i s t h e s i s a c o n s e r v a t i v e e s t i m a t e o f t h e r e t u r n p e r i o d o f t i d a l g a t e g e n e r a t e d f l o o d s r a n g e s f r o m one t o t e n y e a r s . T h i s was c o m p a r a b l e w i t h t h e ' b a l l p a r k ' f i e l d e s t i m a t e o f two t o f i v e y e a r r e t u r n p e r i o d . The o v e r a l l m e t h o d o l o g y d e v e l o p e d i n t h i s t h e s i s e f f e c t -i v e l y a l l o w s t h e r e s e a r c h e r and t h e d e s i g n e n g i n e e r t h e u s e o f s y n t h e t i c h y d r o l o g y and b a s i c h y d r a u l i c s f o r o p t i m a l f l o o d p l a i n p l a n n i n g . 73 . R E C O M M E N D A T I O N S F O R F U R T H E R W O R K 1. D e t a i l e d a n a l y s i s i n t h e d e v e l o p m e n t o f t h e r i v e r / f l o o d -p l a i n m o d e l i s s u g g e s t e d b y : a ) T h e u s e o f i m p l i c i t v e r s u s e x p l i c i t f i n i t e d i f f e r e n c e s c h e m e s . b ) R e d u c t i o n o f t h e a s s u m p t i o n s m a d e b y m o r e s o p h i s t i c a t e d m o d e l l i n g . c ) D e v e l o p m e n t o f a t w o - d i m e n s i o n a l r i v e r m o d e l t o a c c o u n t f o r b e n d s a n d f r i c t i o n e f f e c t s . d ) D e v e l o p m e n t o f a t w o - d i m e n s i o n a l o v e r l a n d f l o o d w a t e r f l o w i n t o t h e r i v e r . 2. S t o r m s u r g e e f f e c t s o n M u d B a y . A t w o - d i m e n s i o n a l m o d e l o f M u d B a y c o u l d b e d e v e l o p e d a n d ' c o n n e c t e d ' t o t h e o n e - d i m e n s i o n a l r i v e r m o d e l s o f t h e N i c o m e k l a n d S e r p e n t i n e . V a r i o u s s t o r m a n d w i n d e v e n t s c o u l d b e s i m u l a t e d t o d e t e r m i n e t h e i r e f f e c t s o n t h e r i v e r s a n d t h e f l o o d p l a i n s . 3. H y d r o l o g y m o d e l l i n g o f t h e U p l a n d w a t e r s h e d . S u c h a m o d e l o f t h e U p l a n d a r e a s c o u l d b e u s e d t o e s t i -m a t e r u n o f f d u e t o s t o r m e v e n t s w h i c h e v e n t u a l l y ' f e e d s ' t h e r i v e r m o d e l a t v a r i o u s n o d e s . 4 . G r o u n d w a t e r m o d e l l i n g A r e g i o n a l g r o u n d w a t e r m o d e l c o u l d b e ' c o n n e c t e d ' t o t h e r i v e r m o d e l a n d t h e U p l a n d m o d e l s o a s t o e s t i m a t e t h e c h a n g e i n t h e w a t e r s h e d w a t e r b a l a n c e d u e t o d e v e l o p m e n t . 5 P o l l u t i o n m o d e l l i n g A g r o u n d w a t e r , r i v e r , U p l a n d a n d B a y m o d e l c o u l d b e u s e d 7 4 . t o t r a c e p o i n t and n o n - p o i n t p o l l u t i o n f r o m a g r i c u l t u r e , c o m m e r c i a l and r e s i d e n t i a l s o u r c e s i n t h e w a t e r s h e d . 6 . S e d i m e n t m o d e l l i n g S e d i m e n t t r a n s p o r t i n t h e r i v e r c o u l d be m o d e l l e d and t r a c e d d o w n s t r e a m i n t o t h e Bay w h i l e t h e e f f e c t o f s t o r m e v e n t s on s e d i m e n t d i s c h a r g e c a n be e s t i m a t e d . 7 . M o d e l l i n g r i v e r and w a t e r s h e d w o r k s . The e f f e c t o f e n g i n e e r i n g w o r k s , - s u c h as u p l a n d r e t e n -t i o n b a s i n s and r i v e r t r a i n i n g o r c r o s s i n g s t r u c t u r e s , c o u l d be m o d e l l e d to p r e d i c t s h o r t and l o n g t e r m e f f e c t s . 75 . REFERENCES A g e s , A . A N u m e r i c a l M o d e l o f V i c t o r i a H a r b o u r t o p r e d i c t  T i d a l R e s p o n s e s t o p r o p o s e d H y d r a u l i c S t r u c t u r e s . P a c i f i c M a r i n e S c i e n c e R e p o r t N o . 7 3 - 3 , M a r i n e S c i e n c e s B r a n c h , E n v i r o n m e n t C a n a d a , M a r c h 1 9 7 3 . A g e s , A . and W o o l l a r d , A . The T i d e s i n t h e F r a s e r E s t u a r y . U n p u b l i s h e d m a n u s c r i p t , I n s t i t u t e o f O c e a n S c i e n c e s , V i c t o r i a , B . C . , J a n u a r y 1 9 7 6 . A g i n a h , B . A . D e c i s i o n A n a l y s i s a p p l i e d t o G r o u n d w a t e r  E x p l o r a t i o n . U n p u b l i s h e d M . A . S c . T h e s i s , D e p t . o f C i v i l E n g i n e e r i n g , U n i v e r s i t y o f B r i t i s h C o l u m b i a , J a n u a r y 19 7 9 . A m e i n , M. S t r e a m f l o w R o u t i n g on c o m p u t e r by C h a r a c t e r i s t i c s . W a t e r R e s o u r c e s R e s e a r c h , V o l . 2 , N o . l , 1 9 6 6 , p p . 1 2 3 - 1 3 0 . B e n j a m i n and C o r n e l l . P r o b a b i l i t y , S t a t i s t i c s and D e c i s i o n  f o r C i v i l E n g i n e e r s . McGraw H i l l Book C o . I n c . , New Y o r k , N . Y . , 1 9 7 0 . B o i s v e r t , R . N . I m p a c t o f F l o o d s and F l o o d Managemen t P o l i c y on A r e a E c o n o m i c D e v e l o p m e n t and R e c o v e r y . D e p a r t m e n t o f A g r i c u l t u r a l E c o n o m i c s P a p e r A . E . R e s . 7 5 - 3 1 , C o r n e l l U n i v e r s i t y , I t h a c a , New Y o r k , D e c . 1 9 7 5 . B o x , G . E . P . and J e n k i n s , G . M . T ime S e r i e s A n a l y s i s -F o r e c a s t i n g and C o n t r o l . H o l d e n - D a y I n c . , San F r a n s i s c o , 19 76 . B r a k e n s i e k , D . L . K i n e m a t i c F l o o d R o u t i n g . T r a n s a c t i o n s o f t h e A S A E , V o l . 1 0 , N o . 3 , 1967 , p p . 3 4 0 - 3 4 3 . C a p p e l a e r e , B . R . M o d e l l i n g S u b s u r f a c e Movement o f M a n u r i a l N i t r o g e n i n a S h a l l o w U n c o n f i n e d A q u i f e r . U n p u b l i s h e d M . A . S c . T h e s i s , D e p t . o f B i o - R e s o u r c e E n g i n e e r i n g , U n i v e r s i t y o f B r i t i s h C o l u m b i a , J u n e 1 9 7 8 . C h a t t e r j e e , A . K . M a t h e m a t i c a l I n v e s t i g a t i o n o f a T i d a l  R i v e r . I n t e r n a t i o n a l S y m p o s i u m on R i v e r M e c h a n i c s s p o n s o r e d by t h e I n t e r n a t i o n a l A s s o c i a t i o n f o r H y d r a u l i c R e s e a r c h , B a n g k o k , T h a i l a n d , J a n . 9 - 1 2 , 1 9 7 3 , p p . 3 1 5 - 3 2 6 . C h i u , C . and L i n , H . S i m u l a t i o n o f H y d r a u l i c l P r o c e s s e s i n Open C h a n n e l s . J o u r n a l o f t h e H y d r a u l i c s D i v i s i o n , A S C E , V o l . 1 0 2 , N o . H Y 2 , F e b r u a r y 1 9 7 6 , p p . 1 8 5 - 2 0 6 . C h o w , V . T . H a n d b o o k o f A p p l i e d H y d r o l o g y . McGraw H i l l Book C o . I n c . , 1 9 6 4 . Chow, V . T . Open C h a n n e l H y d r a u l i c s . McGraw H i l l B o o k C o . I n c . , 1 9 5 9 . 76 . C r o l e y , T.E. S e q u e n t i a l S t o c h a s t i c O p t i m i z a t i o n f o r R e s e v o i r S y s t e m . J o u r n a l o f t h e H y d r a u l i c s D i v i s i o n , ASAE, V o l . 1 0 0 , N o . 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J o u r n a l o f t h e H y d r a u l i c s D i v i s i o n , A S C E , V o l . 9 6 , N o . H Y 3 , M a r c h 1 9 7 0 , p p . 6 4 3 - 6 6 4 . L i g g e t , J . A . a n d W o o l h i s e r , D . A . D i f f e r e n c e S o l u t i o n s o f  t h e S h a l l o w - W a t e r E q u a t i o n . J o u r n a l o f E n g i n e e r i n g M e c h a n i c D i v i s i o n s , A S C E , V o l . 9 3 , N o . E M 2 , A p r i l 1 9 6 7 , p p . 3 9 - 7 1 . L i n s l e y , R . K . a n d F r a n z i n i , J . B . W a t e r R e s o u r c e s E n g i n e e r i n g M c G r a w H i l l B o o k C o . I n c . , 1 9 7 2 . L i n s l e y , R . K . , K o h l e r , M . A . a n d P a u l h u s , J . L . H y d r o l o g y  f o r E n g i n e e r s . M c G r a w H i l l B o o k C o . I n c . , 1 9 7 5 . M c D o w e l l , D . M . a n d P r a n d l e , D . M a t h e m a t i c a l M o d e l o f  R i v e r H o o g h l y . J o u r n a l o f W a t e r w a y s a n d H a r b o u r s D i v i s i o n , A S C E , V o l . 9 8 , N o . W W 2 , M a y 1 9 7 2 , p p . 2 2 5 - 2 4 2 . N y u m b u , I . L . T h e E f f e c t o f U n c e r t a i n i t y o n I r r i g a t i o n  D e v e l o p m e n t . U n p u b l i s h e d M . A . S c . T h e s i s , D e p t . o f C i v i l E n g i n e e r i n g , U n i v e r s i t y o f B r i t i s h C o l u m b i a , M a r c h 1 9 7 6 . O f f i c e r , C . B . P h y s i c a l O c e a n o g r a p h y o f E s t u a r i e s . W i l e y a n d S o n s , 1 9 7 5 . P e t e r s , N . J . F l o o d C o n t r o l a n d t h e P i n k a n d C h u m S a l m o n o f t h e V e d d e r R i v e r , B . C . U n p u b l i s h e d M . A . S c . T h e s i s , D e p t . o f C i v i l E n g i n e e r i n g , U n i v e r s i t y o f B r i t i s h C o l u m b i a , A p r i l 1 9 7 8 . R o s s i t e r , J . R . a n d L e n n o n , G . W . C o m p u t a t i o n o f t h e T i d a l  C o n d i t i o n s i n t h e T h a m e s E s t u a r y b y t h e I n i t i a l V a l u e  M e t h o d . T h e I n s t i t u t i o n o f C i v i l E n g i n e e r s , P r o c e e d i n g s , V o l . 3 1 , M a y 1 9 6 5 , p p . 2 5 - 5 6 . R u s s e l l , S . O . a n d C a s e l t o n , W . F . R e s e v o i r O p e r a t i o n w i t h  I m p e r f e c t F l o w F o r e c a s t s . J o u r n a l o f t h e H y d r a u l i c s D i v i s i o n , A S C E , V o l . 9 7 , N o . H Y 2 , F e b r u a r y 19 7 0 , p p . ; . 3 2 3 - 3 3 1 S c h w a b , G . O . , F r e v e r t , R . K . , E d m i n i s t e r , T . W . a n d B a r n e s , K . K . S o i l a n d W a t e r C o n s e r v a t i o n E n g i n e e r i n g . W i l e y a n d S o n s , - 1 9 6 6 . S i g m a R e s o u r c e C o n s u l t a n t s L t d . S u r r e y D i s t r i c t M u n i c i p a l i t y  M a s t e r D r a i n a g e P r o g r a m - S u m m a r y R e p o r t . U n p u b l i s h e d R e p o r t , A p r i l 1 9 7 9 . S i n g h , K . P . A g r i c u l t u r a l B e n e f i t A s s e s s m e n t f r o m F l o o d C o n t r o l . P r o c e e d i n g s o f a s p e c i a l t y c o n f e r e n c e o n t h e E n v i r o m e n t a l A s p e c t s o f I r r i g a t i o n a n d D r a i n a g e s p o n s o r e d b y t h e A S A E , J u l y 2 1 - 2 3 , 1 9 7 6 , O t t a w a , p p . 2 6 4 - 2 7 7 . S m i t h , D . V . S t o c h a s t i c I r r i g a t i o n P l a n n i n g M o d e l s . C e n t r e f o r P o p u l a t i o n S t u d i e s , H a r v a r d U n i v e r s i t y , J a n u a r y 19 7 0 . T a y f u n , M . A . a n d W a n g , H . M o n t e C a r l o S i m u l a t i o n o f O i l S l i c k M o v e m e n t s . J o u r n a l o f t h e W a t e r w a y , H a r b o u r a n d C o a s t a l E n g i n e e r i n g D i v i s i o n , A S A E , V o l . 9 9 , N o . W W 3 , A u g u s t 1 9 7 3 , p p . 3 0 9 - 3 2 4 . d e r M a d e , J . W . A s s e s s m e n t o f a D e s i g n D i s c h a r g e o f  a R i v e r . P r o c e e d i n g s o f t h e L e n i n g r a d S y m p o s i u m o n F l o o d s a n d t h e i r C o m p u t a t i o n s p o n s o r e d b y I A S H -U N E S C O - W M O , V o l . 1 , A u g u s t 1 9 6 7 . d e r M a d e , J . W . D e s i g n L e v e l s i n t h e T r a n s i t i o n Z o n e  B e t w e e n t h e T i d a l R e a c h a n d t h e R i v e r R e g i m e R e a c h . P r o c e e d i n g s o f t h e B u c h a r e s t s y m p o s i u m o n t h e H y d r o l o g y o f D e l t a s s p o n s o r e d b y I A S H - U N E S C O , M a y 6 - 1 4 , 1 9 6 9 , V o l . 2 , p p . 2 5 7 - 2 7 2 . W i i t a l a , S . W . J e t t e r , K . R . a n d S o m m e r v i l l e , A . J . H y d r a u l i c a n d H y d r o l o g i c A s p e c t s o f F l o o d P l a i n  P l a n n i n g . G e o l o g i c a l S u r v e y W a t e r - S u p p l y P a p e r 1 5 2 6 , U n i t e d S t a t e s D e p a r t m e n t o f t h e I n t e r i o r , 1 9 6 1 . 

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