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Inelastic torsional seismic analysis of frame buildings Canisius, Tantirimudalige Don Gerard 1986

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831-UBC_1986_A7 C36.pdf [ 5MB ]
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I N E L A S T I C TORSIONAL SEISMIC ANALYSIS OF FRAME BUILDINGS by TANTIRIMUDALIGE DON GERARD CANISIUS B . S c . E n g . ( H o n s . ) , U n i v e r s i t y o f M o r a t u w a , S r i L a n k a , 1981 A THESIS SUBMITTED I N PARTIAL FULFILLMENT OF THE REQUIREMENTS FOR THE DEGREE OF MASTER OF A P P L I E D SCIENCE i n THE FACULTY OF GRADUATE STUDIES D e p a r t m e n t o f C i v i l E n g i n e e r i n g We a c c e p t t h i s t h e s i s a s c o n f o r m i n g t o t h e r e q u i r e d s t a n d a r d THE UNIVERSITY OF B R I T I S H COLUMBIA J a n u a r y , 1986 © T a n t i r i m u d a l i g e Don G e r a r d C a n i s i u s , 1986 I n p r e s e n t i n g t h i s t h e s i s i n p a r t i a l f u l f i l l m e n t o f t h e r e q u i r e m e n t s f o r an a d v a n c e d d e g r e e a t t h e The U n i v e r s i t y o f B r i t i s h C o l u m b i a , I a g r e e t h a t t h e L i b r a r y s h a l l make i t f r e e l y a v a i l a b l e f o r r e f e r e n c e and s t u d y . I f u r t h e r a g r e e t h a t p e r m i s s i o n f o r e x t e n s i v e c o p y i n g o f t h i s t h e s i s f o r s c h o l a r l y p u r p o s e s may be g r a n t e d by t h e Head o f my D e p a r t m e n t o r by h i s o r h e r r e p r e s e n t a t i v e s . I t i s u n d e r s t o o d t h a t c o p y i n g o r p u b l i c a t i o n o f t h i s t h e s i s f o r f i n a n c i a l g a i n s h a l l n o t be a l l o w e d w i t h o u t my w r i t t e n p e r m i s s i o n . D e p a r t m e n t o f C i v i l E n g i n e e r i n g The U n i v e r s i t y o f B r i t i s h C o l u m b i a 2075 Wesbrook P l a c e V a n c o u v e r , C anada V6T 1W5 D a t e : 31 J a n u a r y , 1986 A b s t r a c t I n t h e r e s p o n s e o f t h r e e d i m e n s i o n a l f r a m e s t r u c t u r e s t o s e i s m i c l o a d i n g , i t h a s b e e n o b s e r v e d t h a t c o l u m n s c o m m o n t o i n t e r s e c t i n g f r a m e s a r e e s p e c i a l l y p r o n e t o d a m a g e . T h i s p r e s u m a b l y r e s u l t s f r o m t h e c o m b i n a t i o n o f f o r c e s f r o m t h e f r a m e s ; t h e a x i a l l o a d s a r e a d d i t i v e , b u t t h e m o m e n t s i n t e r a c t b i a x i a l l y . T w o p r o c e d u r e s f o r a n a l y s i s o f t h r e e d i m e n s i o n a l f r a m e s a r e s t u d i e d : t i m e s t e p a n a l y s i s u n d e r g i v e n s e i s m i c r e c o r d s , u s i n g t h e p r o g r a m m e D R A I N T A B S ; a n d a p s e u d o - n o n l i n e a r m o d a l a n a l y s i s b a s e d o n t h e s u b s t i t u t e s t r u c t u r e m e t h o d o f S h i b a t a a n d S o z e n , u s i n g t h e p r o g r a m m e P I T S A . B o t h t h e s e p r o g r a m m e s a r e e x t e n d e d t o i n c l u d e b i a x i a l r e s p o n s e , w h i c h t h e y h a d n o t p r e v i o u s l y d o n e . T h e e v a l u a t i o n o f d a m a g e i n t h e t w o p r o g r a m m e s w a s f e l t t o b e u n s a t i s f a c t o r y , a n d p r o c e d u r e s a r e d e v e l o p e d t o e s t i m a t e t h e c u r v a t u r e d u c t i l i t y d e m a n d i n e a c h c a s e , w h i c h i s c o n s i d e r e d t o b e t h e b a s i c i n d i c a t o r o f p o t e n t i a l d a m a g e . P I T S A i s b a s e d u p o n a " s u b s t i t u t e d a m p i n g r a t i o " w h i c h i s i n t e n d e d t o r e p r e s e n t t h e l o s s o f e n e r g y d u e t o h y s t e r e s i s . T h e r e l a t i o n s h i p o f t h i s f a c t o r t o t h e s h a p e o f t h e h y s t e r e s i s l o o p i s s t u d i e d . I t w a s h o p e d t h a t t h e t w o p r o g r a m m e s , w h i c h a r e a i m e d a t d i f f e r e n t c l a s s e s o f p r o b l e m s , w o u l d n e v e r t h e l e s s p r o v i d e m u t u a l c o n f i r m a t i o n . U n f o r t u n a t e l y , t h e d e t a i l e d a s s u m p t i o n s i i a r e s u f f i c i e n t l y d i f f e r e n t t o p r e v e n t c l o s e a g r e e m e n t , a n d o n l y g e n e r a l t r e n d s a r e c o n f i r m e d . T h u s i t m a y b e c o n c l u d e d t h a t f u r t h e r w o r k o n t h i s t o p i c i s n e e d e d . T a b l e o f C o n t e n t s A b s t r a c t i i L i s t o f F i g u r e s v i i i DEDICATION x i i ACKNOWLEDGEMENT x i i i 1. INTRODUCTION 1 1.1 C o l u m n s Under B i a x i a l F o r c e s 1 1.2 Sc o p e 4 1.2.1 B i a x i a l B e n d i n g 4 1.2.2 C u r v a t u r e D u c t i l i t y 5 1.2.3 S u b s t i t u t e Damping 5 1.2.4 Programme T e s t i n g 6 2. I D E A L I S A T I O N OF STRUCTURES 7 2.1 G e n e r a l 7 2.2 I d e a l i s a t i o n i n DRAINTABS and DRAINTABS-2 7 2.3 I d e a l i s a t i o n i n PITSA a n d P I T S A - 2 10 3. DRAINTABS COMPUTER PROGRAMME 12 3.1 G e n e r a l 12 3.2 Frame I d e a l i s a t i o n 12 3.3 Frame S t i f f n e s s and Mass M a t r i c e s a n d L o a d V e c t o r 13 3.4 The B u i l d i n g S t i f f n e s s and Mass M a t r i c e s a n d L o a d V e c t o r 15 3.5 S o l u t i o n F o r S t a t i c L o a d s 16 3.6 S t e p - B y - S t e p Dynamic A n a l y s i s 16 3.7 E a r t h q u a k e E x c i t a t i o n 18 3.8 O t h e r S p e c i a l C o n s i d e r a t i o n s 18 3.8.1 G e o m e t r i c S t i f f n e s s 18 3.8.2 Common Columns 19 3.9 The Beam-Column E l e m e n t 20 3.9.1 G e n e r a l 20 3.9.2 E l e m e n t P r o p e r t i e s 21 3.9.3 E l e m e n t D e f o r m a t i o n s 22 3.9.4 I n t e r a c t i o n S u r f a c e 22 3.9.5 O t h e r C o n s i d e r a t i o n s 23 3.9.6 R e s u l t O u t p u t ( f o r t h e e l e m e n t ) 24 4. THE MODIFIED SUBSTITUTE STRUCTURE METHOD 26 4.1 G e n e r a l 26 4.2 D e v e l o p m e n t 26 4.3 B a s i c C o n c e p t s 28 4.3.1 Damage R a t i o 29 4.3.2 S u b s t i t u t e S t i f f n e s s 29 4.3.3 S u b s t i t u t e Damping R a t i o 30 4.3.4 Smeared Damping R a t i o 31 4.3.5 C o n v e r g e n c e C r i t e r i a 32 4.3.5.1 C o n v e r g e n c e i n B e n d i n g Moment 32 4.3.5.2 C o n v e r g e n c e i n Damage R a t i o 33 4.4 The I t e r a t i o n Scheme 33 4.5 The S t r u c t u r a l T h e o r y f o r P I T S A 34 4.5.1 D i a p h r a g m ( G l o b a l ) D e g r e e s o f Freedom 35 4.5.2 Frame O r i e n t a t i o n a nd P o s i t i o n 35 4.5.3 S t r u c t u r e S t i f f n e s s M a t r i x 35 4.5.4 E a r t h q u a k e I n p u t 36 4.5.5 The Dynamic A n a l y s i s 37 5. B I A X I A L BENDING INTERACTION 40 5.1 Y i e l d S u r f a c e U n d e r B i a x i a l B e n d i n g 40 v 5.2 D e s i g n F o r m u l a e 41 5.3 I n c o r p o r a t i o n i n t o T i m e - S t e p A n a l y s i s 44 5.4 U n s u i t a b i l i t y f o r D r a i n t a b s 46 5.5 A p p r o x i m a t e P r o c e d u r e f o r DRAINTABS-2 50 5.6 I n c o r p o r a t i o n i n t o PITSA-2 55 6. DUCTILITY DEMAND 60 6.1 I n t r o d u c t i o n 60 6.2 C u r v a t u r e D u c t i l i t y Demand I n T i m e - S t e p A n a l y s i s 61 6.2.1 G e n e r a l 61 6.2.2 Members I n U n i a x i a l B e n d i n g 62 6.2.3 Common Columns 63 6.3 C u r v a t u r e D u c t i l i t y Demand I n PITSA-2 67 6.3.1 G e n e r a l 67 6.3.2 Members W i t h U n i a x i a l B e n d i n g 67 6.3.3 Common Columns 69 7. SUBSTITUTE DAMPING I N ELASTO-PLASTIC MATERIALS 71 7.1 G e n e r a l 71 7.2 S u b s t i t u t e Damping R a t i o 72 7.3 S u b s t i t u t e Damping R a t i o f r o m I n e l a s t i c Dynamic A n a l y s i s 73 7.4 P r o c e d u r e f o r F i n d i n g Q u a n t i t i e s by a Dynamic A n a l y s i s 77 7.5 The Computer A n a l y s i s 78 7.6 The Range o f S t r u c t u r e s A n a l y s e d 80 7.7 C a l c u l a t i o n o f Damage R a t i o 82 7.8 N a t u r a l F r e q u e n c y o f S u b s t i t u t e S t r u c t u r e 82 7.9 C a l i b r a t i o n 83 8. PROGRAMME TESTING 85 v i 8.1 G e n e r a l 85 8.2 T e s t S t r u c t u r e s 85 8.3 A n a l y s i s w i t h P I T S A - 2 87 8.4 A n a l y s i s w i t h DRAINTABS-2 87 8.5 C o m p a r i s o n o f R e s u l t s 89 9. CONCLUSION } 90 9.1 C o n c l u s i o n s 90 9.2 I m p r o v e m e n t s t o DRAINTABS-2 90 9.3 A r e a s f o r F u t u r e R e s e a r c h 91 REFERENCES 92 APPENDIX A: DERIVATION OF ENERGY EQUATION 147 APPENDIX B: INPUT DATA FOR ELEMENT 7 OF DRAINTABS-2 150 APPENDIX C: INPUT DATA FOR P I T S A - 2 162 v i i L i s t o f F i g u r e s F i g u r e page 3.1 Frame w i t h D e g r e e s o f Freedom (DRAINTABS) 95 3.2 D i a p h r a g m a n d Frame H o r i z o n t a l D i s p l a c e m e n t s (DRAINTABS) 95 3.3 D e c o m p o s i t i o n o f B i l i n e a r R e l a t i o n s h i p i n t o Two Components (DRAINTABS) 96 -3.4 Maximum P l a s t i c H i n g e R o t a t i o n (DRAINTABS) 96 3.5 Y i e l d I n t e r a c t i o n S u r f a c e s (DRAINTABS) 97 3.6 E q u i l i b r i u m C o r r e c t i o n f o r Y i e l d S u r f a c e O v e r s h o o t (DRAINTABS) 98 3.7 E l e m e n t A c t i o n s a n d D e f o r m a t i o n s (DRAINTABS) 98 3.8 End C l a m p i n g a n d I n i t i a l F o r c e s (DRAINTABS) 99 3.9 End E c c e n t r i c i t i e s (DRAINTABS) 99 4.1 D e f i n i t i o n o f Damage R a t i o (M) 100 4.2 C a l c u l a t i o n o f Damage R a t i o D u r i n g I t e r a t i o n s 101 4 . 3 ( a ) G r o s s Frame D e g r e e s o f Freedom 102 4 . 3 ( b ) C o n d e n s e d Frame D e g r e e s o f Freedom 102 4 . 3 ( c ) G r o s s S t r u c t u r e D e g r e e s o f Freedom 103 4 . 3 ( d ) C o n d e n s e d S t r u c t u r e D e g r e e s o f Freedom 103 4.4 P l a n o f n f c ^ F l o o r , w i t h Frame a n d D i a p h r a g m H o r i z o n t a l D i s p l a c e m e n t s a t t h a t L e v e l ( P I T S A ) 104 4.5 G e n e r a l C o n c e p t u a l O u t l i n e o f PITSA 105 v i i i 5.1 Y i e l d I n t e r a c t i o n S u r f a c e f o r R/C Under B i a x i a l B e n d i n g 106 5.2 Y i e l d I n t e r a c t i o n C u r v e f o r R/C Under U n i a x i a l B e n d i n g 107 5.3 B i a x i a l I n t e r a c t i o n D i a g r a m u s e d f o r R/C 107 5.4 S t a t e D e t e r m i n a t i o n i n Common Columns (DRAINTABS) 108 5.5 Y i e l d Moment u n d e r B i a x i a l B e n d i n g , as u s e d i n DRAINTABS-2 109 5.6 A n a l y s i s w i t h DRAINTABS-2 w i t h Frame D i r e c t i o n s C h anged (a) Frame 1 110 (b) Frame 2 111 ( c ) Frame 3 112 (d) Frame 4 113 (e) Frame 5 114 ( f ) Frame 6 115 5.7 V a r i a b l e s T r a n s m i t t e d Between F r a m e s t o C o n s i d e r B i a x i a l B e n d i n g 116 5.8 C a l c u l a t i o n o f Y i e l d Moments Under B i a x i a l B e n d i n g i n PITSA-2 117 5.9 C a l c u l a t i o n o f Damage R a t i o s W i t h New Y i e l d Moments ( 1 s t I t e r a t i o n ) 118 5.10 Change o f Y i e l d Moments D u r i n g I t e r a t i o n s ( a ) C a l c u l a t i o n o f Y i e l d Moments 119 (b) • C a l c u l a t i o n o f Damage R a t i o 120 6.1 C u r v a t u r e D u c t i l i t y Demand 121 i x 6.2 P l a s t i c H i n g e R o t a t i o n s U n d e r B i a x i a l B e n d i n g 122 6.3 C r o s s - S e c t i o n o f R e c t a n g u l a r Member 123 6.4 C a l c u l a t i o n o f E l a s t i c Member End R o t a t i o n s 123 7.1 SDOF S y s t e m t o C a l i b r a t e Damping F o r m u l a 124 7.2 G r a p h t o f i n d C o n s t a n t "C". 125 7.3 Damage R a t i o v s . S u b s t . Damping R a t i o a n d C u r v e w i t h C=0.138 -126 7.4 Damage R a t i o ( < l O ) v s . S u b s t . Damping R a t i o , w i t h F i t t e d C u r v e (s=0.0) 127 7.5 Damage R a t i o ( < 2 0 ) v s . S u b s t . Damping R a t i o , w i t h F i t t e d C u r v e (s=0.0) 128 7.6 Damage R a t i o v s . S u b s t . Damping R a t i o f o r s=0.0 and S=0.015 129 8.1 T e s t S t r u c t u r e s 130 8 . 2 ( a ) Member S t r e n g t h s ( k i n ) f o r Frames 1 a n d 2 o f S t r u c t u r e s 1 a n d 2 131 8.2(b) Member S t r e n g t h s ( k i n ) f o r Frames 3 & 6 o f S t r u c t u r e 1 132 8 . 2 ( c ) Member S t r e n g t h s ( k i n ) f o r Frames 4 & 5 o f S t r u c t u r e 1 133 .8.3 Member S t r e n g t h s ( k i n ) f o r Frames 3 t o 6 o f S t r u c t u r e 2 (a) Frame 3 134 (b) Frame 4 135 ( c ) Frame 5 136 (d) Frame 6 137 x 8.4 A v e r a g e R e s p o n s e s u n d e r DRAINTABS-2 and P I T S A - 2 : S t r u c t u r e 1 (a) Frames 1 a n d 2 138 (b) Frames 3 a n d 6 139 ( c ) F rames 4 and 5 140 8.5 A v e r a g e R e s p o n s e s u n d e r DRAINTABS-2 and P I T S A - 2 : S t r u c t u r e 2 ( a ) Frames 1 and 2 141 (b) Frame 3 142 ( c ) Frame 4 143 (d) Frame 5 144 (e) Frame 6 145 8.6 D i a p h r a g m D i s p l a c e m e n t s u n d e r P I T S A - 2 : S t r u c t u r e 1 146 x i DEDICATED TO THE MEMORY OF MY LATE FATHER, AND TO MY MOTHER, WHO ALWAYS PROVIDED ME WITH THEIR LOVE, HELP AND ENCOURAGEMENT A C K N O W L E D G E M E N T T h e a u t h o r t h a n k s h i s s u p e r v i s o r D r . N . D . N a t h a n , a n d D r s . S . C h e r r y a n d D . L . A n d e r s o n f o r t h e i r e n c o u r a g e m e n t , h e l p f u l a d v i c e a n d i n t e r e s t d u r i n g t h e p r e p a r a t i o n o f t h i s t h e s i s . T h e a u t h o r i s e s p e c i a l l y g r a t e f u l t o D r . N a t h a n f o r h i s m a n y a n d i n v a l u a b l e c o m m e n t s m a d e o n t h e p r e l i m i n a r y d r a f t s o f t h e t h e s i s . T h e a u t h o r a l s o e x p r e s s e s h i s g r a t i t u d e t o T h e U n i v e r s i t y o f B r i t i s h C o l u m b i a f o r t h e a w a r d o f a U n i v e r s i t y G r a d u a t e F e l l o w s h i p , a n d t o t h e N a t i o n a l R e s e a r c h C o u n c i l o f C a n a d a f o r f i n a n c i a l s u p p o r t i n t h e f o r m o f a R e s e a r c h A s s i s t a n t s h i p . T h e a u t h o r a l s o e x p r e s s e s h i s a p p r e c i a t i o n o f t h e e n c o u r a g e m e n t p r o v i d e d t o h i m b y P r o f . B . M a d s e n d u r i n g t h e a u t h o r ' s i n i t i a l m o n t h s a t t h i s u n i v e r s i t y . F i n a l l y , t h e a u t h o r t h a n k s h i s f e l l o w g r a d u a t e s t u d e n t M r . C o n r o y L u m f o r h i s i n v a l u a b l e h e l p , e s p e c i a l l y i n c o m p u t e r p r o g r a m m i n g . x i i i C h a p t e r 1 I N T R O D U C T I O N 1.1 C O L U M N S U N D E R B I A X I A L F O R C E S I t h a s b e e n o b s e r v e d d u r i n g e a r t h q u a k e s t h a t o n e o f t h e c o m m o n f e a t u r e s o f f a i l u r e i s t h e e x c e s s i v e s t r a i n i n g o f m e m b e r s r e s i s t i n g f o r c e s c o m i n g f r o m t w o d i r e c t i o n s , e s p e c i a l l y t h e c o r n e r c o l u m n s . T h e f a i l u r e m a y b e d u e t o e i t h e r a x i a l f o r c e s o r d e f o r m a t i o n s g r e a t e r t h a n a n t i c i p a t e d , o r t o r e d u c t i o n o f y i e l d c a p a c i t y b y b i a x i a l f o r c e i n t e r a c t i o n . T h e b i a x i a l b e n d i n g a n d t h e r e s u l t i n g l a r g e p l a s t i c d e f o r m a t i o n s , i n a c o l u m n m e m b e r a c t e d o n i n t w o p e r p e n d i c u l a r d i r e c t i o n s , c a n r e s u l t f r o m s e v e r a l c a u s e s a s e n u m e r a t e d b e l o w . 1. S i m u l t a n e o u s e x c i t a t i o n o f t h e b u i l d i n g a b o u t b o t h o f i t s p r i n c i p a l a x e s , o r e x c i t a t i o n i n a d i r e c t i o n n o t p a r a l l e l t o a n y p r i n c i p a l a x i s . T h i s c a u s e s c o l u m n s c o m m o n t o i n t e r s e c t i n g f r a m e s t o e x p e r i e n c e h i g h e r r e s u l t a n t s t r e s s e s t h a n a c o l u m n a c t i n g i n s i n g l e d i r e c t i o n . 2. T h e e c c e n t r i c i t y b e t w e e n t h e c e n t r e o f r e s i s t a n c e a n d t h e c e n t r e o f m a s s o f t h e b u i l d i n g . T h i s c a u s e s c o u p l i n g b e t w e e n t h e t r a n s l a t i o n a l a n d t o r s i o n a l m o d e s , a n d t h u s g i v e s r i s e t o b i a x i a l f o r c e s i n c o m m o n c o l u m n s d u e t o t h e t o r s i o n a l m o t i o n o f t h e 1 2 b u i l d i n g . T h i s c a n o c c u r e v e n w i t h u n i a x i a l d y n a m i c e x c i t a t i o n a l o n g t h e p r i n c i p a l a x i s p e r p e n d i c u l a r t o t h e d i r e c t i o n o f t h e e c c e n t r i c i t y . 3. T h e p r e s e n c e o f a r o t a t i o n a l c o m p o n e n t i n t h e e a r t h q u a k e g r o u n d m o t i o n . T h i s w i l l g i v e r i s e t o t o r s i o n a l m o t i o n e v e n i n a s y m m e t r i c a l s t r u c t u r e . 4 . L a c k o f s y m m e t r y i n t h e s t r e n g t h s o f m e m b e r s o f a s t r u c t u r e w h i c h i s n e v e r t h e l e s s s y m m e t r i c a l w i t h r e s p e c t t o e l a s t i c s t i f f n e s s . T h i s c a n c a u s e m e m b e r s o n o n e s i d e o f t h e a x i s o f s y m m e t r y t o y i e l d f i r s t , t h u s c a u s i n g a s h i f t o f t h e c e n t r e o f r e s i s t a n c e w h i c h i n t u r n g i v e s r i s e t o t o r s i o n a l m o t i o n w h i c h t e n d s t o e x a c e r b a t e t h e c o n d i t i o n i n c r e a s i n g t h e f o r c e s i n t h e s i d e t h a t h a s y i e l d e d . T h e s e v e r e s t r e s s i n g o f c o r n e r c o l u m n s d u e t o s u c h c a u s e s , m a k e s i t i m p e r a t i v e t o g i v e s p e c i a l c o n s i d e r a t i o n t o t h e i r d e s i g n . T h e y a r e r e q u i r e d t o b e d e s i g n e d t o h i g h e r s t r e s s l e v e l s t h a n w o u l d b e i n d i c a t e d b y a u n i a x i a l a n a l y s i s . T h e r e f o r e , g u i d a n c e t o t h i s e n d i s g i v e n i n t h e b u i l d i n g c o d e s o f e a r t h q u a k e p r o n e c o u n t r i e s . U s u a l l y t h e s e i s m i c d e s i g n f o r c e s f o r a b u i l d i n g a r e o b t a i n e d b y e i t h e r a n e q u i v a l e n t s t a t i c l o a d a n a l y s i s o r a d y n a m i c m o d a l s p e c t r a l a n a l y s i s a c c o r d i n g t o t h e g u i d e l i n e s g i v e n i n t h e b u i l d i n g c o d e s . O n c e a b u i l d i n g i s d e s i g n e d , i t s a c t u a l b e h a v i o u r ( w i t h i n t h e a c c u r a c y p r o v i d e d b y t h e m a t h e m a t i c a l m o d e l l i n g o f t h e s t r u c t u r e ) u n d e r a n e a r t h q u a k e 3 g r o u n d m o t i o n c a n o n l y b e d e t e r m i n e d b y a p r o p e r d y n a m i c a n a l y s i s t h a t c o n s i d e r s i n e l a s t i c d e f o r m a t i o n s . A l t h o u g h s u c h d y n a m i c a n a l y s e s a r e n o t u s e d t o c h e c k t h e p e r f o r m a n c e o f n o r m a l b u i l d i n g s , i t i s i m p e r a t i v e t o d o s o i n t h e c a s e o f c r i t i c a l s t r u c t u r e s a n d s t r u c t u r e s w i t h u n u s u a l p r o p e r t i e s . I n s u c h a c a s e t h e d e s i g n i s u s u a l l y a n i t e r a t i v e p r o c e s s . T h e d y n a m i c a n a l y s i s u n d e r a n e a r t h q u a k e g r o u n d m o t i o n u s u a l l y t a k e s t h e f o r m o f a t i m e - s e r i e s a n a l y s i s . A n i n e l a s t i c t i m e - s e r i e s a n a l y s i s w o u l d g i v e t h e t r u e b e h a v i o u r o f t h e b u i l d i n g u n d e r t h e g r o u n d m o t i o n ( w i t h i n t h e a b o v e m e n t i o n e d l i m i t i n a c c u r a c y d u e t o m o d e l l i n g ) , w h e r e a s a m o d a l s p e c t r a l a n a l y s i s w o u l d o n l y g i v e t h e m o s t p r o b a b l e m a x i m u m r e s p o n s e s o b t a i n e d b y t h e s u p e r p o s i t i o n o f m o d a l m a x i m a . T h e m a j o r d e f e c t s o f t h e m o d a l s p e c t r a l a n a l y s e s w i t h i n e l a s t i c r e s p o n s e s p e c t r a a r e t h e a s s u m p t i o n o f u n i f o r m d i s t r i b u t i o n o f d u c t i l i t y d e m a n d s i n t h e - y i e l d e d s t r u c t u r e , a n d t h e u s e o f t h e i n i t i a l e l a s t i c p e r i o d s a n d m o d e s h a p e s f o r t h e a n a l y s i s . T h u s t h e s u p e r i o r i t y o f t h e i n e l a s t i c t i m e - s e r i e s a n a l y s i s . A w e l l k n o w n c o m p u t e r p r o g r a m m e f o r t h r e e - d i m e n s i o n a l i n e l a s t i c d y n a m i c a n a l y s i s o f b u i l d i n g s i s D R A I N T A B S 1 , a n d i t i s b r i e f l y d e s c r i b e d i n C h a p t e r 3. I n e l a s t i c t i m e - s e r i e s d y n a m i c a n a l y s e s , t h o u g h r e l i a b l e , a r e e x p e n s i v e t o c a r r y o u t , w h e r e a s m o d a l s p e c t r a l a n a l y s e s a r e c h e a p a n d u n r e l i a b l e . T h e r e f o r e t h e s e m e t h o d s a r e a t t w o e x t r e m e s w i t h b o t h a d v a n t a g e s a n d d i s a d v a n t a g e s . 4 I t i s t h e g a p b e t w e e n t h e s e t w o m e t h o d s t h a t t h e M o d i f i e d S u b s t i t u t e S t r u c t u r e M e t h o d ( w h i c h i s d e s c r i b e d i n C h a p t e r 4) b r i d g e s b y g i v i n g a c o m p a r a t i v e l y c h e a p a n d r e l i a b l e w a y o f a n a l y s i s . T h i s m e t h o d i s b a s e d o n a m o d a l s p e c t r a l a n a l y s i s u s i n g e l a s t i c r e s p o n s e s p e c t r a , w h i l e g i v i n g c o n s i d e r a t i o n t o t h e c h a n g e s i n s t r u c t u r e p r o p e r t i e s d u e t o y i e l d i n g . T h i s i s a n i t e r a t i v e p r o c e d u r e . T h e v e r s i o n P I T S A d e v e l o p e d b y T a r n 2 i s c a p a b l e o f a n a l y s i n g t h r e e - d i m e n s i o n a l b u i l d i n g s b y t h e u s e o f t h i s m e t h o d . 1.2 S C O P E 1 . 2 . 1 B I A X I A L B E N D I N G D R A I N T A B S a n d P I T S A , t h e a b o v e m e n t i o n e d c o m p u t e r p r o g r a m m e s f o r t h r e e - d i m e n s i o n a l i n e l a s t i c d y n a m i c a n a l y s i s , h a v e t h e d e f e c t o f c o n s i d e r i n g t h e c o l u m n m e m b e r s c o m m o n t o t w o i n t e r s e c t i n g f r a m e s a s i n d e p e n d e n t c o l u m n s i n e a c h f r a m e ( e x c e p t t h a t P I T S A e n f o r c e s v e r t i c a l d i s p l a c e m e n t c o m p a t i b i l i t y . S e e C h a p t e r 2 ) . T h u s , t h e y d o n o t c o n s i d e r t h e b i a x i a l b e n d i n g e f f e c t s i n s u c h c o m m o n c o l u m n s , b u t u s e t h e u n i a x i a l y i e l d m o m e n t s i n e a c h p r i n c i p a l a x i s ( i . e . e a c h f r a m e ) d i r e c t i o n f o r t h e c h e c k i n g o f y i e l d i n g . B u t i n t h e r e a l s t r u c t u r e t h e r e w i l l b e a l o w e r i n g o f t h e y i e l d , m o m e n t s d u e t o t h e i n t e r a c t i o n o f b i a x i a l m o m e n t s , a n d t h u s , u n d e r a n e a r t h q u a k e g r o u n d m o t i o n , t h e s t r u c t u r e w i l l d e m a n d a h i g h e r a m o u n t o f d u c t i l i t y t h a n t h e p r o g r a m m e s s u g g e s t . T h e r e f o r e b o t h p r o g r a m m e s w e r e m o d i f i e d t o c o n s i d e r t h e 5 b i a x i a l moment i n t e r a c t i o n . The i n t e r a c t i o n o f b i a x i a l s h e a r f o r c e s i s n o t c o n s i d e r e d . The new v e r s i o n s o f DRAINTABS a n d PITSA w i l l be c a l l e d DRAINTABS-2 and P I T S A - 2 , r e s p e c t i v e l y . The p r o c e d u r e a d o p t e d i s d e s c r i b e d i n C h a p t e r 5. 1.2.2 CURVATURE DUCTILITY The c o m p u t e r programme DRAINTABS o u t p u t s t h e maximum p l a s t i c h i n g e r o t a t i o n s a t member ends a s t h e measure o f i n e l a s t i c d e f o r m a t i o n , w h i l e t h e programme P I T S A o u t p u t s t h e Damage R a t i o , w h i c h i s an a b s t r a c t p a r a m e t e r , a s t h a t m e a s u r e . B o t h programmes were m o d i f i e d t o o u t p u t t h e c u r v a t u r e d u c t i l i t y demands on members. I n c l u d e d i n t h e m o d i f i c a t i o n i s a method o f f i n d i n g t h e c u r v a t u r e d u c t i l i t y demands on members w i t h b i a x i a l b e n d i n g . I n DRAINTABS-2, t h e c u r v a t u r e d u c t i l i t y c a l c u l a t i o n was i n t r o d u c e d o n l y t o t h e new b i a x i a l beam-column e l e m e n t w h i c h c a n a l s o be u s e d f o r b o t h u n i a x i a l c o l u m n members a n d beam members. The t h e o r i e s b e h i n d t h e s e m o d i f i c a t i o n s a r e p r e s e n t e d i n C h a p t e r 6. 1.2.3 SUBSTITUTE DAMPING I n t h e S u b s t i t u t e S t r u c t u r e M e t h o d , h i t h e r t o , i t was assumed t h a t t h e b e n d i n g members a r e o f r e i n f o r c e d c o n c r e t e w i t h h y s t e r e t i c b e h a v i o u r a s d e s c r i b e d by T a k e d a ' s model o f h y s t e r e s i s 3 . T h i s S u b s t i t u t e S t r u c t u r e M e t h o d c o n s i d e r s t h e e x t r a e n e r g y d i s s i p a t e d u n d e r n o n - l i n e a r b e h a v i o u r by d e s c r i b i n g a s u b s t i t u t e d a m p i n g r a t i o , w h i c h d e p e n d s on t h e amount o f y i e l d i n g o f t h e member i n b e n d i n g , a s m e a s u r e d by 6 t h e damage r a t i o . T h e s e v a l u e s o f d a m p i n g h a d been e x p e r i m e n t a l l y d e r i v e d f o r r e i n f o r c e d c o n c r e t e members. But i n t h e i n t r o d u c t i o n o f b i a x i a l b e n d i n g t o t h e two c o m p u t e r programmes i t was assumed t h a t t h e members h a v e h y s t e r e s i s l o o p s o f t h e e l a s t o - p l a s t i c t y p e . T h i s made i t n e c e s s a r y t o have a new f o r m u l a f o r d a m p i n g . T h i s n e w l y d e v e l o p e d f o r m u l a i s p r e s e n t e d i n C h a p t e r 7. 1.2.4 PROGRAMME TESTING Due t o t h e u n a v a i l a b i l i t y o f known r e s u l t s o r an i n d e p e n d e n t s i m i l a r programme, t h e two m o d i f i e d programmes had t o be t e s t e d a g a i n s t e a c h o t h e r . A g r e e m e n t w o u l d p r o v e t h e i r r e l i a b i l i t y w h i l e d i s a g r e e m e n t w o u l d p r e v e n t a c o n c l u s i o n . As p r e s e n t e d i n C h a p t e r 8, t h e l a t t e r o c c u r r e d . A s e p a r a t e t e s t p r e s e n t e d i n C h a p t e r 5 c a s t d o u b t on t h e a c c u r a c y o f DRAINTABS-2 r e s u l t s o b t a i n e d w i t h t h e p r e s e n t m o d i f i c a t i o n s f o r b i a x i a l b e n d i n g i n t e r a c t i o n . T h e r e f o r e , e x c e p t f o r i t s a b i l i t y t o show t h e v a r i a t i o n o f e c c e n t r i c i t y t h a t c a n o c c u r w i t h t h e y i e l d i n g o f members, no o t h e r c o n c l u s i o n was made r e g a r d i n g P I T S A - 2 . C o n c l u s i o n s a n d s u g g e s t i o n s f o r f u t u r e r e s e a r c h a r e p r e s e n t e d i n C h a p t e r 9. C h a p t e r 2 I D E A L I S A T I O N OF S T R U C T U R E S 2 . 1 G E N E R A L I n a n y m a t h e m a t i c a l a n a l y s i s t h e i d e a l i s a t i o n o f t h e s t r u c t u r e p l a y s a v e r y i m p o r t a n t r o l e a s t h e r e s u l t s o b t a i n e d d e p e n d o n t h e m o d e l l i n g e m p l o y e d . P r e s e n t e d b e l o w a r e t h e i d e a l i s a t i o n s u s e d i n t h e t w o p r o g r a m m e s D R A I N T A B S a n d P I T S A , a n d t h e i r r e s p e c t i v e m o d i f i c a t i o n s D R A I N T A B S - 2 a n d P I T S A - 2 . O n l y t h e m o d i f i c a t i o n s t o t h e o r i g i n a l i d e a l i s a t i o n s a r e e x p l a i n e d h e r e . T h e r e a s o n s f o r , a n d j u s t i f i c a t i o n s a n d c o n s e q u e n c e s o f t h e o r i g i n a l i d e a l i s a t i o n s a r e a v a i l a b l e i n R e f . 1 f o r D R A I N T A B S a n d i n R e f . 2 f o r P I T S A . 2 . 2 I D E A L I S A T I O N I N D R A I N T A B S A N D D R A I N T A B S - 2 1. T h e b u i l d i n g i s t o b e s e p a r a t e d i n t o a s e r i e s o f d i s c r e e t p l a n e f r a m e s , c o n n e c t e d t o g e t h e r b y r i g i d h o r i z o n t a l d i a p h r a g m s . E a c h f r a m e i s t o b e i n a v e r t i c a l p l a n e , b u t m a y o t h e r w i s e b e e s s e n t i a l l y a r b i t r a r y . A l s o o n e o f t h e p r i n c i p a l a x e s o f e v e r y m e m b e r c r o s s s e c t i o n s h o u l d b e i n t h e p l a n e o f i t s f r a m e . I n t h e o r i g i n a l v e r s i o n D R A I N T A B S , t h e f r a m e s c o u l d b e a r b i t r a r i l y l o c a t e d i n p l a n . B u t i n t h e m o d i f i e d v e r s i o n D R A I N T A B S - 2 , f r a m e s w i t h c o m m o n c o l u m n s a r e r e q u i r e d t o i n t e r s e c t a t r i g h t a n g l e s . T h i s r e s t r i c t i o n f o l l o w s f r o m t h e i n t r o d u c t i o n o f t h e b i a x i a l b e n d i n g m o m e n t 7 8 i n t e r a c t i o n a s d e s c r i b e d i n C h a p t e r 5. E x c e p t f o r t h e common c o l u m n s d e s c r i b e d l a t e r , t h e o n l y c o n n e c t i o n b e t w e e n f r a m e s i s t h r o u g h t h e d i a p h r a g m s . The d i a p h r a g m s a r e assumed t o be r i g i d i n t h e i r own p l a n e s and h o r i z o n t a l , b u t may o t h e r w i s e be l o c a t e d a r b i t r a r i l y . F o r e x a m p l e , t h e r e may be two o r more i n d e p e n d e n t d i a p h r a g m s a t any l e v e l , o r some f r a m e s may be c o n n e c t e d t o a g i v e n d i a p h r a g m w i t h o t h e r s n o t c o n n e c t e d t o i t . The d i s p l a c e m e n t d e g r e e s o f f r e e d o m f o r any f r a m e a r e o r g a n i s e d i n t o two g r o u p s , n a m e l y , ( a ) i n t e r n a l d e g r e e s o f f r e e d o m a n d (b) c o n n e c t e d ( o r e x t e r n a l ) d e g r e e s o f f r e e d o m . The c o n n e c t e d d e g r e e s o f f r e e d o m a r e t h e h o r i z o n t a l d i s p l a c e m e n t s a t t h o s e j o i n t s t h a t c o n n e c t t o d i a p h r a g m s . A l l o t h e r d i s p l a c e m e n t s a r e i n t e r n a l d e g r e e s o f f r e e d o m . C o m p a t i b i l i t y o f v e r t i c a l a n d r o t a t i o n a l d i s p l a c e m e n t s a t j o i n t s common t o two f r a m e s i s n o t e n f o r c e d . As t h e n o n - c o m p a t i b i l i t y o f v e r t i c a l d i s p l a c e m e n t s r e s u l t s i n d i f f e r e n t a x i a l f o r c e s f o r a s i n g l e c o l u m n common t o two d i f f e r e n t f r a m e s , t h e i n c o n s i s t e n c y i s a v o i d e d by m a k i n g an a p p r o x i m a t e c o r r e c t i o n f o r t h e common c o l u m n e f f e c t a s d e s c r i b e d b e l o w i n ( 5 ) . The n o n - c o m p a t i b i l i t y o f r o t a t i o n a l d i s p l a c e m e n t s now becomes u n i m p o r t a n t i n DRAINTABS-2 due t o t h e new r e s t r i c t i o n o f r i g h t a n g l e d i n t e r s e c t i o n o f f r a m e s ( d e s c r i b e d i n (1) a b o v e , a n d (7) b e l o w ) . 9 5. I t i s a s s u m e d t h a t t h e a x i a l f o r c e s i n c o l u m n s w h i c h a r e c o m m o n t o t w o d i f f e r e n t f r a m e s c a n b e o b t a i n e d b y a d d i n g t o g e t h e r t h e f o r c e s c a l c u l a t e d f o r t h e t w o f r a m e s . I t i s t h i s c o m b i n e d f o r c e w h i c h i s u s e d i n a s s e s s i n g , f o r t h o s e c o l u m n s , t h e i n t e r a c t i o n o f a x i a l f o r c e w i t h t h e y i e l d b e n d i n g m o m e n t s ( P - M i n t e r a c t i o n ) . 6 . I n D R A I N T A B S m e m b e r s ( e l e m e n t s ) c a n b e e i t h e r s t r u t m e m b e r s o r b e n d i n g m e m b e r s w i t h g i v e n p r o p e r t i e s . T h e c o l u m n m e m b e r s may h a v e P - M i n t e r a c t i o n c u r v e s o f p u r e b e a m t y p e ( i . e . n o i n t e r a c t i o n ) , c o n c r e t e c o l u m n t y p e o r s t e e l c o l u m n t y p e . T h e s t e e l c o l u m n t y p e i s n o t a v a i l a b l e w i t h t h e n e w e l e m e n t i n D R A I N T A B S - 2 . C o n c r e t e b e a m m e m b e r s , i f n e e d e d , m a y b e o f d e g r a d i n g s t i f f n e s s t y p e ( E l e m e n t 5 ) . A l s o D R A I N T A B S c a n c o n s i d e r s e m i - r i g i d c o n n e c t i n g e l e m e n t s a n d i n f i l l p a n e l e l e m e n t s . T h e d e t a i l e d m o d e l l i n g o f a l l D R A I N T A B S e l e m e n t s a r e a v a i l a b l e i n R e f . 4 . _ X ) j i e o f t h e m , t h e b e a m - c o l u m n e l e m e n t i s b r i e f l y d e s c r i b e d i n C h a p t e r 3 . 7. T h e t o r s i o n a l s t i f f n e s s e s o f a l l m e m b e r s a r e i g n o r e d . 8 . T h e m e m b e r s c a n h a v e r i g i d e x t e n s i o n s , s o t h a t p l a s t i c h i n g e s m a y b e f o r m e d a t t h e f a c e o f t h e c o n n e c t i o n i n s t e a d o f t h e t h e o r e t i c a l j o i n t c e n t r e l i n e . 9 . A x i a l d e f o r m a t i o n s o f b e a m t y p e m e m b e r s a r e i g n o r e d . 1 0 . P l a s t i c h i n g e s a r e a s s u m e d t o b e o f z e r o l e n g t h . 1 1 . F o r d y n a m i c a n a l y s i s , t h e m a s s o f t h e s t r u c t u r e m a y b e l u m p e d a t t h e j o i n t s o f t h e f r a m e s f o r v e r t i c a l i n e r t i a e f f e c t s , b u t s h o u l d p r e f e r a b l y b e l u m p e d e n t i r e l y i n t h e 10 d i a p h r a g m s f o r h o r i z o n t a l i n e r t i a e f f e c t s . 2.3 IDEALISATION IN P I T S A AND P I T S A - 2 1. I n a manner s i m i l a r t o DRAINTABS, t h e s t r u c t u r e i s c o n s i d e r e d t o be b u i l t up o f a s e r i e s o f p l a n e f r a m e s . The members a r e r e q u i r e d t o ha v e one o f t h e p r i n c i p a l a x e s o f t h e i r c r o s s s e c t i o n s i n t h e p l a n e s o f t h e r e s p e c t i v e f r a m e s . I n t h e o r i g i n a l v e r s i o n P I T S A , t h e f r a m e s may be a r b i t r a r i l y l o c a t e d a n d o r i e n t e d i n p l a n . B u t i n t h e new v e r s i o n P I T S A - 2 , a s i n DRAINTABS-2, due t o t h e c o n s i d e r a t i o n o f b i a x i a l b e n d i n g i n t e r a c t i o n i n common c o l u m n s , t h e f r a m e s a r e r e q u i r e d t o i n t e r s e c t o n l y a t r i g h t a n g l e s . 2. E a c h f r a m e i s t r e a t e d a s an i n d e p e n d e n t s u b s t r u c t u r e , c o n n e c t e d a t e a c h f l o o r by a d i a p h r a g m a n d a t j o i n t s common t o more t h a n one f r a m e . 3. The d i a p h r a g m s s h o u l d be h o r i z o n t a l , a n d a r e assumed t o be r i g i d i n t h e i r own p l a n e s . 4. C o m p a t i b i l i t y o f r o t a t i o n a l d i s p l a c e m e n t s a t j o i n t s common t o two f r a m e s i s n o t e n f o r c e d . B u t , a s d e s c r i b e d f o r DRAINTABS i n 2.2 ( 4 ) a b o v e , t h i s i n c o m p a t i b i l i t y i s made u n i m p o r t a n t i n t h e new v e r s i o n PITSA-2 by t h e r e q u i r e m e n t o f r i g h t a n g l e d i n t e r s e c t i o n o f f r a m e s i n (1) a b o v e , a n d ( 6 ) b e l o w . 5. The c o m p a t i b i l i t y o f v e r t i c a l d i s p l a c e m e n t s o f c o l u m n s common t o two f r a m e s i_s e n f o r c e d . T h u s , a " r e a l " f o r c e common t o b o t h f r a m e s i s o b t a i n e d i m m e d i a t e l y . T h i s i d e a l i s a t i o n o f P I T S A i s s u p e r i o r t o t h e o n e i n D R A I N T A B S . 6 . T h e t o r s i o n a l s t i f f n e s s e s o f a l l m e m b e r s a r e i g n o r e d . 7. T h e a x i a l d e f o r m a t i o n s o f b e a m m e m b e r s a r e a s s u m e d t o b e z e r o . 8. T h e m e m b e r s c a n h a v e r i g i d e x t e n s i o n s . 9. P - M i n t e r a c t i o n h a s n o t b e e n i n t r o d u c e d . 1 0 . I n t h e o r i g i n a l v e r s i o n P I T S A , t h e m e m b e r s a r e a s s u m e d t o b e o f r e i n f o r c e d c o n c r e t e . I n t h e n e w v e r s i o n P I T S A - 2 t h e m e m b e r s c a n b e e i t h e r o f r e i n f o r c e d c o n c r e t e o r o f m a t e r i a l w i t h e l a s t o - p l a s t i c t y p e o f h y s t e r e s i s , b u t a l l m u s t b e o f o n e o r t h e o t h e r . T h i s c a n e a s i l y b e c h a n g e d , i f n e c e s s a r y , t o c o n s i d e r b o t h t y p e s o f m e m b e r s i n t h e s a m e s t r u c t u r e . P I T S A - 2 w i t h o n l y t h e e l a s t o - p l a s t i c t y p e o f m e m b e r s h a s b e e n t e s t e d a g a i n s t D R A I N T A B S - 2 . 1 1 . T h e m a s s e s a r e t o b e l u m p e d a t t h e c e n t r e s o f m a s s o f d i a p h r a g m s a s t r a n s l a t i o n a l m a s s e s a n d r o t a t i o n a l i n e r t i a s . O n l y h o r i z o n t a l i n e r t i a e f f e c t s a r e c o n s i d e r e d . C h a p t e r 3 DRAINTABS COMPUTER PROGRAMME 3.1 GENERAL As m e n t i o n e d i n t h e i n t r o d u c t i o n , DRAINTABS i s a c o m p u t e r programme f o r t h e i n e l a s t i c d y n a m i c a n a l y s i s o f t h r e e - d i m e n s i o n a l b u i l d i n g s u n d e r e a r t h q u a k e e x c i t a t i o n . I t u s e s a s t e p - b y - s t e p i n t e g r a t i o n p r o c e d u r e f o r s o l v i n g t h e e q u a t i o n s o f m o t i o n . G i v e n b e l o w i s a b r i e f d e s c r i p t i o n o f t h e s t r u c t u r a l t h e o r y a n d t h e c o m p u t a t i o n a l p r o c e d u r e i n t h e programme. The d e s c r i p t i o n i s more e l a b o r a t e f o r i t e m s i m p o r t a n t f o r t h e u n d e r s t a n d i n g o f t h e m o d i f i c a t i o n s p r e s e n t e d i n C h a p t e r 5. As t h e d e s c r i p t i o n s a r e i n a d e q u a t e f o r t h e use o f t h e programme, p r o s p e c t i v e u s e r s a r e a d v i s e d t o r e f e r t o R e f e r e n c e s 1 a n d 4 f o r b e t t e r a c q u a i n t a n c e . As m e n t i o n e d i n C h a p t e r 2, s t r u c t u r e s f o r w h i c h t h e programme c a n be u s e d must be composed o f s t r u c t u r a l c o m p o n e n t s t h a t c a n be s e p a r a t e d i n t o a s e r i e s o f v e r t i c a l f r a m e s t h a t s a t i s f y c e r t a i n r e q u i r e m e n t s , and w h i c h a r e t i e d t o g e t h e r by r i g i d d i a p h r a g m s . 3.2 FRAME IDE A L I S A T I O N Shown in F i g . 3.1 is a simple frame. The frames are idealised a s a finite number o f d e f o r m a b l e elementsCor members) c o n n e c t i n g a f i n i t e number o f n o d e s ( o r j o i n t s ) . The n o d e s a r e l o c a t e d i n an H-Z c o o r d i n a t e s y s t e m , where H l i e s 12 13 i n t h e h o r i z o n t a l g l o b a l X-Y p l a n e and Z i s v e r t i c a l . L o a d s may be a p p l i e d t o t h e f r a m e d i r e c t l y a t t h e n o d e s o r t h r o u g h t h e e l e m e n t s . E l e m e n t l o a d s a r e t o be s p e c i f i e d i n t e r m s of e l a s t i c f i x e d - e n d f o r c e s a s s o c i a t e d w i t h e a c h e l e m e n t . Lumped m a s s e s f o r c o n s i d e r a t i o n o f v e r t i c a l a n d r o t a t i o n a l i n e r t i a e f f e c t s may be p l a c e d a t i n d i v i d u a l n o d e s . B u t a s m e n t i o n e d i n C h a p t e r 2, masses f o r c o n s i d e r a t i o n o f h o r i z o n t a l i n e r t i a e f f e c t s a r e , p r e f e r a b l y , t o be lumped i n t o t r a n s l a t i o n a l a n d r o t a t i o n a l i n e r t i a s o f t h e d i a p h r a g m s . F o r any f r a m e , t h e d e g r e e s o f f r e e d o m a r e t y p i c a l l y t h e two t r a n s l a t i o n a l a n d one r o t a t i o n a l d i s p l a c e m e n t a t e a c h n o d e , i n t h e p l a n e o f t h e f r a m e . P r o v i s i o n i s a v a i l a b l e f o r d e g r e e s o f f r e e d o m t o be d e l e t e d ( f o r z e r o d i s p l a c e m e n t ) , c o m b i n e d , o r c o n n e c t e d t o t h e f l o o r d i a p h r a g m s . 3.3 FRAME STIFFNESS AND MASS MATRICES AND LOAD VECTOR I n d i v i d u a l f r a m e s t i f f n e s s m a t r i c e s a r e f o r m e d by a s s e m b l i n g i n d i v i d u a l e l e m e n t s t i f f n e s s m a t r i c e s . S i x t y p e s o f e l e m e n t s , v i z . t r u s s e l e m e n t , beam-column e l e m e n t , i n f i l l p a n e l e l e m e n t , s e m i - r i g i d c o n n e c t i o n e l e m e n t , beam e l e m e n t a n d beam e l e m e n t w i t h d e g r a d i n g s t i f f n e s s , a r e o f f e r e d by t h e programme DRAINTABS. T h i s number i s i n c r e a s e d t o s e v e n i n DRAINTABS-2 w i t h t h e a d d i t i o n o f t h e new e l e m e n t w i t h b i a x i a l b e n d i n g i n t e r a c t i o n . 1 4 T h e m a s s m a t r i x o f a f r a m e i s a s s e m b l e d w i t h t h e m a s s e s l u m p e d a t t h e n o d a l p o i n t s . I t i s t o b e n o t e d a g a i n t h a t m a s s e s f o r h o r i z o n t a l i n e r t i a e f f e c t s a r e t o b e l u m p e d a t t h e d i a p h r a g m c e n t r e s o f m a s s . T h e f r a m e m a s s m a t r i c e s a r e d i a g o n a l . F o r e a c h f r a m e , t h e f r a m e l o a d v e c t o r i s a s s e m b l e d u s i n g t h e l o a d s d i r e c t l y a p p l i e d a t t h e n o d e s a n d t h e l o a d s o r i g i n a t i n g w i t h i n e l e m e n t s a s f i x e d e n d f o r c e s . T h e f r a m e s t i f f n e s s m a t r i c e s a n d l o a d v e c t o r s a r e t h e n c o n d e n s e d t o e l i m i n a t e t h e i n t e r n a l d e g r e e s o f f r e e d o m w h i l e k e e p i n g t h e c o n n e c t e d d e g r e e s o f f r e e d o m . T h e c o n n e c t e d d e g r e e s o f f r e e d o m o f a f r a m e a r e t h e H - d i s p l a c e m e n t s o f a l l n o d e s c o n n e c t e d t o d i a p h r a g m s , a n d t h u s r e l a t e d t o r i g i d b o d y d i s p l a c e m e n t s o f t h e d i a p h r a g m s . T h e r e m a i n i n g d e g r e e s o f f r e e d o m a r e t h e i n t e r n a l d e g r e e s o f f r e e d o m . A s t h e c o m p a t i b i l i t y o f v e r t i c a l d i s p l a c e m e n t s o f j o i n t s c o m m o n t o i n t e r s e c t i n g f r a m e s i s n o t e n f o r c e d , t h o s e d e g r e e s o f f r e e d o m a r e a l s o c o n s i d e r e d a s i n t e r n a l . T h e e q u a t i o n s o f s t a t i c e q u i l i b r i u m f o r a s i n g l e f r a m e c a n b e w r i t t e n a s K K - I I " I E K K - E I " E E r - E > = R - I R "E ( 3 . 1 ) w h e r e r a n d r a r e t h e i n t e r n a l a n d c o n n e c t e d d e g r e e s o f - I - E f r e e d o m o f t h e f r a m e , r e s p e c t i v e l y ; R a n d R a r e t h e l o a d s —I ~ E 15 o n t h e f r a m e c o r r e s p o n d i n g t o r_ a n d r r e s p e c t i v e l y ; a n d I E K , K , K a n d K a r e t h e c o r r e s p o n d i n g f r a m e s t i f f n e s s - I I - I E - E I - E E ^ y s u b - m a t r i c e s . 3 . 4 T H E B U I L D I N G S T I F F N E S S A N D M A S S M A T R I C E S A N D L O A D V E C T O R T h e b u i l d i n g s t i f f n e s s m a t r i x i s o b t a i n e d b y c o m b i n i n g t h e c o n d e n s e d f r a m e s t i f f n e s s m a t r i c e s . B e f o r e t h e c o m b i n a t i o n , t h e f r a m e s t i f f n e s s m a t r i c e s , w h i c h a r e i n t e r m s o f t h e c o n n e c t e d d i s p l a c e m e n t s o f t h e r e s p e c t i v e f r a m e s , a r e t r a n s f o r m e d t o a c o m m o n d i s p l a c e m e n t s y s t e m . T h i s c o m m o n d i s p l a c e m e n t s y s t e m - i . e . t h e s e t o f G l o b a l D e g r e e s o f F r e e d o m - , i s i n t e r m s o f t w o t r a n s l a t i o n s a n d o n e r o t a t i o n o f e a c h d i a p h r a g m a t t h e c e n t r e o f m a s s o f t h e d i a p h r a g m . F i g . 3 . 2 s h o w s t h e q u a n t i t i e s r e q u i r e d t o t r a n s f o r m t h e H - d i s p l a c e m e n t s y s t e m t o t h e g l o b a l c o o r d i n a t e s y s t e m . T h e d i a p h r a g m c e n t r e s o f m a s s n e e d n o t l i e o n t h e s a m e v e r t i c a l l i n e . H o r i z o n t a l i n e r t i a e f f e c t s a t t h e b u i l d i n g l e v e l a r e o b t a i n e d f r o m t h e s p e c i f i e d t r a n s l a t i o n a l a n d r o t a t i o n a l i n e r t i a s o f t h e d i a p h r a g m s . A s t h e g l o b a l d e g r e e s o f f r e e d o m a r e d e f i n e d a t t h e d i a p h r a g m c e n t r e s o f m a s s , t h e d i a p h r a g m m a s s m a t r i x b e c o m e s d i a g o n a l . I n o r d e r t o o b t a i n t h e b u i l d i n g l o a d v e c t o r , t h e i n d i v i d u a l c o n d e n s e d f r a m e l o a d v e c t o r s a r e f i r s t t r a n s f o r m e d t o t h e g l o b a l s y s t e m . T h e n t h e y a r e a d d e d u p , t o g e t h e r w i t h a n y l o a d s d i r e c t l y a p p l i e d t o t h e d i a p h r a g m s . 16 3.5 SOLUTION FOR STATIC LOADS The s t r u c t u r e i s f i r s t s o l v e d u n d e r s t a t i c l o a d i n g t o o b t a i n t h e v e c t o r of d i a p h r a g m d i s p l a c e m e n t s g, f r o m t h e s t a t i c e q u i l i b r i u m e q u a t i o n Q = K g ( 3 . 2 ) where Q i s t h e s t a t i c l o a d v e c t o r o f t h e b u i l d i n g a nd K i s t h e b u i l d i n g s t i f f n e s s m a t r i x . I t i s r e q u i r e d t h a t t h e s t r u c t u r e s h o u l d n o t y i e l d u n d e r s t a t i c l o a d i n g . Then f o r e a c h f r a m e , t h e d i s p l a c e m e n t s i n t h e c o n n e c t e d d e g r e e s o f f r e e d o m (r_ ) a r e c o m p u t e d u s i n g t h e d i a p h r a g m E d i s p l a c e m e n t s . U s i n g t h e s e d i s p l a c e m e n t s i n t h e r e s p e c t i v e c o n n e c t e d d e g r e e s o f f r e e d o m , t h e i n t e r n a l d i s p l a c e m e n t s a r e c a l c u l a t e d f o r e a c h f r a m e . U s i n g t h e s e j o i n t d i s p l a c e m e n t s , t h e e l e m e n t d e f o r m a t i o n s a n d h e n c e , t h e e l e m e n t f o r c e s a r e c a l c u l a t e d . 3.6 STEP-BY-STEP DYNAMIC ANALYSIS The s t e p - b y - s t e p p r o c e d u r e u s e d i s e s s e n t i a l l y i d e n t i c a l t o t h a t u s e d i n t h e DRAIN-2D c o m p u t e r programme", e x c e p t t h a t t h e e q u a t i o n s o l v i n g i s m o d i f i e d t o a c c o u n t f o r s u b - s t r u c t u r i n g . A t t h e f r a m e l e v e l , b e f o r e c o n d e n s a t i o n , e q u a t i o n 3.2 i s m o d i f i e d so t h a t t h e s t i f f n e s s m a t r i x and t h e l o a d v e c t o r i n c l u d e c o n t r i b u t i o n s f r o m t h e f r a m e mass and d a m p i n g m a t r i c e s a n d t h e i n i t i a l c o n d i t i o n s a t t h e b e g i n n i n g o f t h e 17 t i m e s t e p . T h e l o a d v e c t o r a l s o i n c l u d e s t e r m s t o c o r r e c t e q u i l i b r i u m u n b a l a n c e a t t h e e n d o f t h e p r e v i o u s t i m e s t e p . T h e s t i f f n e s s m a t r i x i s t h e t a n g e n t s t i f f n e s s m a t r i x a t t h e b e g i n n i n g o f t h e t i m e s t e p . T h e n t h e c o n d e n s a t i o n o f t h e f r a m e s t i f f n e s s m a t r i x a n d l o a d v e c t o r , a n d t h e t r a n s f o r m a t i o n a n d a d d i t i o n o f t h e c o n d e n s e d m a t r i c e s t o g i v e t h e b u i l d i n g s t i f f n e s s m a t r i x a n d l o a d v e c t o r , a r e c a r r i e d o u t a s m e n t i o n e d e a r l i e r f o r t h e s t a t i c a n a l y s i s . T h e b u i l d i n g s t i f f n e s s m a t r i x a n d l o a d v e c t o r a r e t h e n c o m b i n e d w i t h t e r m s d e p e n d i n g o n t h e d i a p h r a g m m a s s m a t r i x a n d t h e d i a p h r a g m m o t i o n s , a n d t h e e q u i l i b r i u m e q u a t i o n s f o r t h e b u i l d i n g a r e s o l v e d t o g i v e i n c r e m e n t s o f d i a p h r a g m d i s p l a c e m e n t s . T h e r e a f t e r t h e d i a p h r a g m d i s p l a c e m e n t s a r e t r a n s f o r m e d b a c k t o i n d i v i d u a l f r a m e s , a n d t h e s t a t e d e t e r m i n a t i o n i s d o n e a s m e n t i o n e d i n 3.5 a b o v e . T h e d y n a m i c r e s p o n s e i s d e t e r m i n e d b y t h e s t e p - b y - s t e p i n t e g r a t i o n o f t h e e q u a t i o n s o f m o t i o n . T h e m e t h o d o f s t e p - b y - s t e p i n t e g r a t i o n u s e d i s t h e c o n s t a n t a c c e l e r a t i o n m e t h o d w h i c h a s s u m e s a c o n s t a n t a b s o l u t e a c c e l e r a t i o n w i t h i n a t i m e s t e p . T h e t y p e o f v i s c o u s d a m p i n g s p e c i f i e d m a y b e m a s s a n d / o r s t i f f n e s s d e p e n d e n t . A t a n y i n s t a n t o f t i m e , t h e b a s i c e q u a t i o n o f d y n a m i c e q u i l i b r i u m c a n b e w r i t t e n i n i n c r e m e n t a l f o r m a s [ M ] ( A r ) + [ C ] ( A r ) + [ K ] ( A r ) = - [ M ] ( A f ) T T g (3.3) 18 where ( A f ) , ( A r ) a n d ( A r ) a r e t h e i n c r e m e n t s o f a c c e l e r a t i o n , v e l o c i t y a n d d i s p l a c e m e n t , r e s p e c t i v e l y , a t t h e d i a p h r a g m d e g r e e s of f r e e d o m r e l a t i v e t o t h e g r o u n d ; ( A f ) i s t h e i n c r e m e n t i n g r o u n d a c c e l e r a t i o n ; [M] i s t h e b u i l d i n g mass m a t r i x ; a n d [C ] a n d [K ] a r e t h e t a n g e n t v a l u e s o f t h e T T dam p i n g a n d s t i f f n e s s m a t r i c e s f o r t h e b u i l d i n g i n i t s c u r r e n t s t a t e . 3.7 EARTHQUAKE EXCITATION Two i n d e p e n d e n t h o r i z o n t a l g r o u n d m o t i o n s p l u s a v e r t i c a l g r o u n d m o t i o n may be s p e c i f i e d a s t h e e a r t h q u a k e e x c i t a t i o n . A l l s u p p o r t s a r e assumed t o move i d e n t i c a l l y a n d i n p h a s e , t h u s e l i m i n a t i n g t h e p o s s i b i l i t y o f i n p u t t i n g t o r s i o n a l g r o u n d m o t i o n s . I n o r d e r t o o b t a i n t h e r e q u i r e d g r o u n d m o t i o n s , e a r t h q u a k e s may be s c a l e d w i t h r e s p e c t t o b o t h t i m e and g r o u n d a c c e l e r a t i o n . The a n a l y s i s u n d e r s t a t i c l o a d s i s done p r i o r t o t h e s t a r t o f t h e e a r t h q u a k e g r o u n d m o t i o n . 3.8 OTHER S P E C I A L CONSIDERATIONS 3.8.1 GEOMETRIC STIFFNESS G e o m e t r i c s t i f f n e s s o f an e l e m e n t (where c o n s i d e r e d ) i s assumed t o be z e r o f o r t h e s t a t i c a n a l y s i s , a n d t o be c o n s t a n t t h r o u g h o u t t h e d y n a m i c a n a l y s i s . The s i m p l e " t r u s s b a r " g e o m e t r i c s t i f f n e s s i s a s s u m e d , a n d a p p l i e s o n l y t o t r u s s e l e m e n t s a n d beam-column e l e m e n t s ( I n DRAINTABS-2, a l s o t o t h e new e l e m e n t w i t h b i a x i a l b e n d i n g ) . The a x i a l 19 f o r c e u n d e r s t a t i c l o a d i s u s e d f o r t h e c a l c u l a t i o n o f g e o m e t r i c s t i f f n e s s . T h e p r e s e n t m e t h o d o f i n c l u s i o n o f g e o m e t r i c s t i f f n e s s i s o n l y a p p r o x i m a t e ( s e e R e f . 1 ) . 3.8.2 COMMON COLUMNS A s p r e v i o u s l y m e n t i o n e d , t h e p r o g r a m m e d o e s n o t e n f o r c e c o m p a t i b i l i t y b e t w e e n t h e v e r t i c a l d i s p l a c e m e n t s o f j o i n t s c o m m o n t o i n t e r s e c t i n g f r a m e s . T h i s g i v e s r i s e t o d i f f e r e n t a x i a l f o r c e s i n t h e s a m e c o l u m n . I n o r d e r t o e l i m i n a t e t h i s i n c o n s i s t e n c y , t h e p r o g r a m m e c o m p u t e s t h e a x i a l f o r c e i n a c o m m o n c o l u m n a s t h e s u m o f t h e f o r c e s i n t h e c o r r e s p o n d i n g e l e m e n t s i n t h e i n t e r s e c t i n g f r a m e s . ( T h i s p r o c e d u r e r e m a i n s u n c h a n g e d i n t h e n e w v e r s i o n . ) T h u s , i n e a c h f r a m e a n a l y s i s t h e a x i a l d e f o r m a t i o n o f t h e c o l u m n i s u n d e r e s t i m a t e d , a n d i n c o n s e q u e n c e t h e b e a m f o r c e s a r e p r o b a b l y u n d e r e s t i m a t e d a n d c o l u m n f o r c e s o v e r e s t i m a t e d . F o r t h e s t a t i c a n a l y s i s a n d e a c h s t e p o f t h e d y n a m i c a n a l y s i s , i n c r e m e n t s o f a x i a l f o r c e s a r e c o m p u t e d a n d a d d e d t o t h e e x i s t i n g f o r c e s t o g i v e u p d a t e d v a l u e s . W h e n t h e y i e l d c r i t e r i o n i s e v a l u a t e d f o r a b e a m - c o l u m n e l e m e n t , t h e a x i a l f o r c e w h i c h i s u s e d i s t h e v a l u e i n c l u d i n g t h e i n c r e m e n t f o r t h a t e l e m e n t a n d t i m e s t e p . I n t h e c o m p u t e r p r o g r a m m e , o n c e t h e d i a p h r a g m d i s p l a c e m e n t s a r e f o u n d , t h e n e x t s t e p i s t o c o n s i d e r e a c h f r a m e s e p a r a t e l y u n t i l a w h o l e s e r i e s o f c a l c u l a t i o n s i s d o n e f o r e a c h o n e o f t h e m . T h i s s e r i e s o f o p e r a t i o n s f o r e a c h f r a m e i n c l u d e s t h e d e t e r m i n a t i o n o f d i s p l a c e m e n t s a t t h e c o n n e c t e d a n d i n t e r n a l 20 d e g r e e s o f f r e e d o m , t h e m e m b e r d e f o r m a t i o n s , m e m b e r f o r c e s a n d m e m b e r s t a t e s , p l a s t i c h i n g e r o t a t i o n s , u n b a l a n c e d l o a d s d u e t o y i e l d i n g , a n d y i e l d c r i t e r i a f o r t h e n e x t s t e p . N o w , i f t h e c o m m o n c o l u m n e l e m e n t m e n t i o n e d a b o v e i s t h e f i r s t o f t w o c o r r e s p o n d i n g c o m m o n e l e m e n t s o f i n t e r s e c t i n g f r a m e s , t h e n d u e t o t h e a b o v e m e n t i o n e d p r o c e d u r e , t h e a x i a l f o r c e f o r t h i s e l e m e n t w i l l n o t i n c l u d e i n c r e m e n t s f r o m t h e s e c o n d c o m m o n e l e m e n t , a n d h e n c e w i l l b e o u t o f d a t e b y a p o r t i o n o f t h e s t e p . B e c a u s e t h e f o r c e i n c r e m e n t s w i t h i n a t i m e s t e p s h o u l d b e s m a l l , t h i s i s n o t b e l i e v e d t o b e a s e r i o u s e r r o r . T h e s a m e p r o b l e m o c c u r s i n t h e n e w v e r s i o n D R A I N T A B S - 2 , a n d a l s o w i t h r e g a r d t o t h e m o m e n t i n c r e m e n t s w h e n b i a x i a l b e n d i n g i n t e r a c t i o n i s c o n s i d e r e d . T h i s i s f u r t h e r d e s c r i b e d i n C h a p t e r 5 . 3.9 T H E B E A M - C O L U M N E L E M E N T 3.9.1 G E N E R A L A s m e n t i o n e d p r e v i o u s l y , t h e b e a m - c o l u m n e l e m e n t ( E l e m e n t N o . 2) i s o n e o f t h e e l e m e n t s u s e d i n t h e D R A I N T A B S c o m p u t e r p r o g r a m m e . I n D R A I N T A B S - 2 t h e new e l e m e n t ( E l e m e n t N o . 7) w h i c h c o n s i d e r s b i a x i a l b e n d i n g i n t e r a c t i o n h a s b e e n i n t r o d u c e d b y m o d i f y i n g t h e o r i g i n a l E l e m e n t N o . 2 . T h e r e f o r e a b r i e f d e s c r i p t i o n o f t h e l a t t e r i s g i v e n b e l o w . 21 3.9.2 ELEMENT PROPERTIES The e l e m e n t p o s s e s s e s f l e x u r a l a nd a x i a l s t i f f n e s s , a n d e l e m e n t s o f v a r i a b l e c r o s s - s e c t i o n c a n be c o n s i d e r e d by s p e c i f y i n g a p p r o p r i a t e f l e x u r a l s t i f f n e s s c o e f f i c i e n t s . A l s o f l e x u r a l s h e a r d e f o r m a t i o n s and t h e e f f e c t s o f e c c e n t r i c e nd c o n n e c t i o n s c a n be t a k e n i n t o a c c o u n t . Y i e l d i n g c a n t a k e p l a c e o n l y i n c o n c e n t r a t e d p l a s t i c h i n g e s a t e l e m e n t e n d s . S t r a i n - h a r d e n i n g i s a p p r o x i m a t e d by a s s u m i n g t h e e l e m e n t t o c o n s i s t o f e l a s t i c a n d e l a s t o - p l a s t i c c o m p o n e n t s i n p a r a l l e l ( F i g . 3 . 3 ) . The h i n g e s i n t h e e l a s t o - p l a s t i c component y i e l d u n d e r c o n s t a n t moment, b u t t h e moment i n t h e e l a s t i c component may c o n t i n u e t o i n c r e a s e . The f l e x u r a l s t i f f n e s s e s a r e s p e c i f i e d i n t e r m s o f m o m e n t - r o t a t i o n r e l a t i o n s h i p s . The y i e l d moments may be s p e c i f i e d t o be d i f f e r e n t a t t h e two e n d s , and f o r p o s i t i v e a nd n e g a t i v e b e n d i n g . ( I n t h e new e l e m e n t o f DRAINTABS-2, t h e p o s i t i v e a n d n e g a t i v e y i e l d moments a t e a c h end a r e r e q u i r e d t o be t h e same - s e e Ch. 5 ) . The i n t e r a c t i o n b e t w e e n a x i a l f o r c e and moment i n p r o d u c i n g y i e l d may be t a k e n i n t o a c c o u n t i n an a p p r o x i m a t e way. S t a t i c l o a d s a p p l i e d a l o n g any e l e m e n t l e n g t h may be t a k e n i n t o a c c o u n t by s p e c i f y i n g f i x e d e nd f o r c e v a l u e s . The r e s u l t s o f s e p a r a t e s t a t i c l o a d a n a l y s e s c a n be i n c o r p o r a t e d by s p e c i f y i n g i n i t i a l f o r c e v a l u e s . L a r g e d i s p l a c e m e n t e f f e c t s may be a p p r o x i m a t e d i n t h e d y n a m i c a n a l y s i s by i n c l u d i n g s i m p l e g e o m e t r i c s t i f f n e s s , a s 22 m e n t i o n e d i n 3.8 a b o v e . 3.9.3 ELEMENT DEFORMATIONS A beam-column e l e m e n t h a s t h r e e modes o f d e f o r m a t i o n : t h e a x i a l e x t e n s i o n a n d t h e f l e x u r a l r o t a t i o n s a t t h e two e n d s . A p l a s t i c h i n g e i s f o r m e d when t h e moment i n t h e e l a s t o - p l a s t i c c omponent o f t h e e l e m e n t r e a c h e s i t s y i e l d moment. A h i n g e i s t h e n i n t r o d u c e d i n t o t h i s c o m p o n e n t , w h i l e t h e e l a s t i c component i s k e p t u n c h a n g e d . The f l e x u r a l p l a s t i c d e f o r m a t i o n i s m e a s u r e d by t h e p l a s t i c h i n g e r o t a t i o n . B e c a u s e o f t h e d i f f i c u l t y o f c o n s i d e r i n g t h e i n t e r a c t i o n b e t w e e n a x i a l a n d f l e x u r a l d e f o r m a t i o n s a f t e r y i e l d , i n e l a s t i c a x i a l d e f o r m a t i o n s a r e assumed n o t t o o c c u r i n beam-column e l e m e n t s . Hence o n l y an a p p r o x i m a t e p r o c e d u r e f o r c o n s i d e r i n g t h e i n t e r a c t i o n e f f e c t i s i n c l u d e d . 3.9.4 INTERACTION SURFACE Y i e l d i n t e r a c t i o n s u r f a c e s c a n be o f t h r e e t y p e s . (1) Beam t y p e : To be s p e c i f i e d where a x i a l f o r c e s a r e s m a l l o r a r e t o be i g n o r e d . Y i e l d i n g a f f e c t e d o n l y by t h e b e n d i n g moment. ( F i g . 3 . 5 ( a ) ) (2) S t e e l c o l u m n t y p e ( F i g . 3 . 5 ( b ) ) ( T h i s h a s been e l i m i n a t e d f r o m t h e new e l e m e n t i n DAINTABS-2 . ) , a n d (3) C o n c r e t e c o l u m n t y p e ( F i g . 3 . 5 ( c ) ) . 23 F o r any c o m b i n a t i o n o f a x i a l f o r c e a n d b e n d i n g moment f a l l i n g w i t h i n a y i e l d s u r f a c e , t h e c r o s s s e c t i o n i s assumed t o be e l a s t i c . I f t h e f o r c e - m o m e n t c o m b i n a t i o n l i e s on o r o u t s i d e t h e s u r f a c e , a p l a s t i c h i n g e i s i n t r o d u c e d . ( I n DRAINTABS-2 where t h e i n t e r a c t i o n o f t h e b e n d i n g moment i n t h e n o r m a l d i r e c t i o n a l s o i s c o n s i d e r e d , t h i s p r o c e d u r e r e m a i n s u n c h a n g e d . ) The p r o c e d u r e o f i n t r o d u c i n g a p l a s t i c h i n g e o n l y a g a i n s t f l e x u r e i s n o t s t r i c t l y c o r r e c t b e c a u s e o f t h e i n t e r a c t i o n o f a x i a l a n d f l e x u r a l d e f o r m a t i o n s a f t e r y i e l d , w h i c h a l s o c h a n g e s t h e a x i a l s t i f f n e s s . B u t i t i s assumed t h a t t h e e r r o r i s n e g l i g i b l e i n t h e p r a c t i c a l a n a l y s i s o f b u i l d i n g s " . I f a f o r c e - m o m e n t c o m b i n a t i o n g o e s f r o m t h e e l a s t i c r a n g e t o b e y o n d t h e y i e l d s u r f a c e i n any t i m e s t e p , an e q u i l i b r i u m c o r r e c t i o n i s made by a p p l y i n g c o r r e c t i v e moments a s shown i n F i g . 3 . 6 ( a ) . A l s o , b e c a u s e t h e a x i a l s t i f f n e s s i s assumed t o be c o n s t a n t , t h e f o r c e moment c o m b i n a t i o n a t a p l a s t i c h i n g e w i l l o f t e n move away f r o m t h e y i e l d s u r f a c e w i t h i n a n y t i m e s t e p , a s shown i n F i g . 3 . 6 ( b ) . I n s u c h i n s t a n c e s a l s o , an e q u i l i b r i u m c o r r e c t i o n i s made i n t h e s u c c e e d i n g t i m e s t e p . 3.9.5 OTHER CONSIDERATIONS The e l e m e n t s t i f f n e s s i s f o u n d by a d d i n g t h e c o n t r i b u t i o n s o f t h e e l a s t i c a n d i n e l a s t i c c o m p o n e n t s . A x i a l s t i f f n e s s i s c o n s i d e r e d t o r e m a i n c o n s t a n t . E l e m e n t a c t i o n s a n d d e f o r m a t i o n s a r e a s shown i n F i g . 3.7 . 24 S t a t i c l o a d s a p p l i e d a l o n g t h e l e n g t h s o f beam-column e l e m e n t s may be t a k e n i n t o a c c o u n t by s p e c i f y i n g end c l a m p i n g f o r c e s a s shown i n F i g . 3.8 . A l s o i n i t i a l e l e m e n t f o r c e s may be s p e c i f i e d i n a d d i t i o n t o s t a t i c n o d a l l o a d s a n d e l e m e n t end c l a m p i n g f o r c e s . S h e a r d e f o r m a t i o n s c a n be c o n s i d e r e d by s p e c i f y i n g e f f e c t i v e f l e x u r a l s h e a r a r e a s . The f l e x u r a l s t i f f n e s s i s t h e n m o d i f i e d by t h e programme t o a c c o u n t f o r t h e a d d i t i o n a l s h e a r d e f o r m a t i o n . I n t h i s c a s e , f i x e d end f o r c e s t o be s p e c i f i e d s h o u l d be f o u n d by t a k i n g t h e s h e a r d e f o r m a t i o n s i n t o a c c o u n t . P l a s t i c h i n g e s i n f r a m e s a n d c o u p l e d f r a m e - s h e a r w a l l s t r u c t u r e s w i l l f o r m n e a r t h e f a c e o f t h e c o n n e c t i o n r a t h e r t h a n a t t h e t h e o r e t i c a l j o i n t c e n t r e - l i n e . T h i s e f f e c t c a n be a p p r o x i m a t e d by p o s t u l a t i n g r i g i d e n d s a s shown i n F i g . 3.9 . 3.9.6 RESULT OUTPUT (FOR THE ELEMENT) F o r beam-column e l e m e n t s , t h e f o l l o w i n g r e s u l t s a r e p r i n t e d f o r t h e s t a t i c l o a d i n g c o n d i t i o n ( a l l e l e m e n t s ) a nd a t e a c h o u t p u t t i m e ( s p e c i f i e d e l e m e n t s o n l y ) i f a t i m e h i s t o r y i s r e q u e s t e d . 1. Y i e l d c o d e a t e a c h e nd o f t h e e l e m e n t : "0" i n d i c a t e s t h e e l e m e n t end i s e l a s t i c , a n d " 1 " t h a t a p l a s t i c h i n g e h a s f o r m e d . 2. A x i a l f o r c e , b e n d i n g moment a n d s h e a r f o r c e a c t i n g on e a c h e n d , w i t h t h e s i g n c o n v e n t i o n shown i n F i g . 3 . 8 ( a ) . 25 3. C u r r e n t p l a s t i c h i n g e r o t a t i o n a t e a c h e n d . 4. A c c u m u l a t e d p o s i t i v e a n d n e g a t i v e p l a s t i c h i n g e r o t a t i o n s u p t o t h e c u r r e n t t i m e . T h e m a x i m u m p o s i t i v e a n d n e g a t i v e v a l u e s o f a x i a l f o r c e , b e n d i n g m o m e n t , s h e a r f o r c e a n d p l a s t i c h i n g e r o t a t i o n ( F i g . 3 . 4 ) , w i t h t h e i r t i m e s o f o c c u r r e n c e , a r e p r i n t e d a t t h e t i m e i n t e r v a l s r e q u e s t e d f o r e n v e l o p e s . C h a p t e r 4 THE MODIFIED SUBSTITUTE STRUCTURE METHOD 4.1 GENERAL As d e s c r i b e d i n C h a p t e r 1, t h e M o d i f i e d S u b s t i t u t e S t r u c t u r e M e t h o d i s a p s e u d o - i n e l a s t i c s e i s m i c a n a l y s i s p r o c e d u r e f o r b u i l d i n g s . T h a t i s , i t i s a method o f c a r r y i n g o u t a d y n a m i c a n a l y s i s e l a s t i c a l l y , w h i l e g i v i n g c o n s i d e r a t i o n t o t h e i n e l a s t i c e f f e c t s . I n t h e f o l l o w i n g p r e s e n t a t i o n o f t h e method, o n l y b r i e f d e s c r i p t i o n s a r e g i v e n when t h e m a t e r i a l i s a v a i l a b l e i n o t h e r p u b l i c a t i o n s . 4.2 DEVELOPMENT A method o f f i n d i n g t h e d e s i g n b a s e s h e a r f o r a s e i s m i c d e s i g n o f s i n g l e d e g r e e o f f r e e d o m (SDOF) s y s t e m s , u s i n g a l i n e a r r e s p o n s e s p e c t r u m , w h i l e a l s o c o n s i d e r i n g t h e i n e l a s t i c e f f e c t s , was p r e s e n t e d by __Gulkan and S o z e n 3 i n 1974. The p r o c e d u r e was t o u s e , i n t h e a n a l y s i s , a f i c t i t i o u s l i n e a r s t r u c t u r e whose s t i f f n e s s a n d d a m p i n g c h a r a c t e r i s t i c s were t o be d e t e r m i n e d a s a f u n c t i o n o f t h e assumed o r known maximum d i s p l a c e m e n t o f t h e r e a l s t r u c t u r e . The new s t i f f n e s s was t o t a k e a c c o u n t o f t h e r e d u c t i o n i n s t i f f n e s s due t o y i e l d i n g a n d t h e new e q u i v a l e n t v i s c o u s d a m p i n g r a t i o was t o t a k e a c c o u n t o f t h e a d d i t i o n a l e n e r g y d i s s i p a t e d by h y s t e r e s i s . The method was t o be a p p l i e d o n l y t o t h e d e s i g n o f r e i n f o r c e d c o n c r e t e s t r u c t u r e s . T h i s was b e c a u s e t h e d a m p i n g c h a r a c t e r i s t i c s u s e d were d e t e r m i n e d 26 27 o n l y f o r r e i n f o r c e d c o n c r e t e m e m b e r s . T h e m e t h o d w a s l a t e r e x t e n d e d t o m u l t i - d e g r e e o f f r e e d o m ( M D O F ) r e i n f o r c e d c o n c r e t e s y s t e m s b y S h i b a t a a n d S o z e n 5 a n d w a s c a l l e d " T h e S u b s t i t u t e S t r u c t u r e M e t h o d " . F o r t h e m e t h o d t o b e a p p l i c a b l e , t h e s t r u c t u r e s t o b e d e s i g n e d w e r e r e q u i r e d t o s a t i s f y c e r t a i n r e q u i r e m e n t s . A d d i t i o n a l l y , t h e m e t h o d c o u l d b e u s e d o n l y w i t h s t r u c t u r e s t h a t c o u l d b e a n a l y s e d a s t w o - d i m e n s i o n a l s t r u c t u r e s . T h e o b j e c t i v e o f t h e m e t h o d w a s t o e s t a b l i s h t h e m i n i m u m s t r e n g t h s r e q u i r e d o f s t r u c t u r a l c o m p o n e n t s , s o t h a t t o l e r a b l e r e s p o n s e d i s p l a c e m e n t s w e r e n o t l i k e l y t o b e e x c e e d e d . T h e m a i n c h a r a c t e r i s t i c s o f t h e S u b s t i t u t e S t r u c t u r e M e t h o d c a n b e s u m m a r i s e d a s , 1. t h e d e f i n i t i o n o f a s u b s t i t u t e f r a m e , w i t h i t s s t i f f n e s s a n d d a m p i n g p r o p e r t i e s r e l a t e d t o , b u t d i f f e r e n t f r o m , t h e a c t u a l f r a m e , a n d 2 . c a l c u l a t i o n o f d e s i g n f o r c e s f r o m a m o d a l s p e c t r a l a n a l y s i s o f t h e s u b s t i t u t e f r a m e u s i n g a l i n e a r r e s p o n s e s p e c t r u m . T h e n t h i s p r o c e d u r e w a s e x t e n d e d t o w a r d s t h e a n a l y s i s o f e x i s t i n g r e i n f o r c e d c o n c r e t e b u i l d i n g s b y Y o s h i d a 6 . I n m a k i n g i t s o , t h e p r o c e d u r e w a s m a d e i t e r a t i v e , a n d t h e m e t h o d w a s c a l l e d " T h e M o d i f i e d S u b s t i t u t e S t r u c t u r e M e t h o d " . T h i s w a s l a t e r r e f i n e d a n d e x t e n d e d , b y M e t t e n 7 , t o t h e a n a l y s i s o f s e i s m i c r e s i s t a n t c o u p l e d s t r u c t u r a l w a l l s . T h e m e t h o d w a s f u r t h e r a d v a n c e d b y H u i 8 w h o d e v e l o p e d a 28 member m o d e l t h a t c o u l d c o n s i d e r d i f f e r i n g damage r a t i o s a t t h e two ends o f a member. T h i s e l i m i n a t e d t h e n e c e s s i t y f o r t h e o r i g i n a l a s s u m p t i o n o f e q u a l y i e l d d e f o r m a t i o n s a t t h e two en d s o f a member. A l l t h e a b o v e p r o c e d u r e s r e m a i n e d c a p a b l e o f c a r r y i n g o u t t w o - d i m e n s i o n a l a n a l y s e s o n l y . The e x t e n s i o n o f t h e M o d i f i e d S u b s t i t u t e S t r u c t u r e M e t h o d t o t h r e e - d i m e n s i o n a l s t r u c t u r e s was l a t e r c a r r i e d o u t by Tarn 2, a n d t h e c o m p u t e r programme was c a l l e d " P I T S A". A l s o i n c o r p o r a t e d i n t o t h i s programme was t h e a b o v e m e n t i o n e d new member m o d e l o f H u i . D u r i n g t h e p r e s e n t s t u d y t h e c o m p u t e r programme PI T S A was e x t e n d e d t o c o n s i d e r t h e i n t e r a c t i o n o f b i a x i a l b e n d i n g moments i n c o l u m n s . F u r t h e r a d v a n c e s made i n c l u d e t h e c a p a b i l i t y o f c o n s i d e r i n g d i f f e r e n t b e n d i n g moment c a p a c i t i e s a t member e n d s ( w h i l e s t i l l k e e p i n g t h e r e q u i r e m e n t o f e q u a l p o s i t i v e a n d n e g a t i v e moment c a p a c i t i e s a t an end) and t h e c h a n g e i n t h e p r o c e d u r e f o r c h e c k i n g o f c o n v e r g e n c e i n b e n d i n g moment. A l s o i n c l u d e d a r e t h e d e t e r m i n a t i o n o f p l a s t i c h i n g e r o t a t i o n s a n d c u r v a t u r e d u c t i l i t y demands o f y i e l d e d members, and a new s u b s t i t u t e d a m p i n g f o r m u l a t o c o n s i d e r members w i t h e l a s t o - p l a s t i c h y s t e r e s i s l o o p s . 4.3 BASIC CONCEPTS 29 4.3.1 DAMAGE RATIO Shown i n F i g 4 . 1 ( a ) i s a u n i f o r m member AB o f l e n g t h L and f l e x u r a l r i g i d i t y E I , w i t h e n d B c l a m p e d . A moment M i s a p p l i e d a t end A, a s shown. The m o m e n t - r o t a t i o n d i a g r a m f o r end A i s shown i n F i g . 4 . 1 ( b ) . I n t h e d i a g r a m , s i s t h e s t r a i n - h a r d e n i n g r a t i o d e f i n e d a s t h e r a t i o o f i n e l a s t i c s t i f f n e s s ( K g ) t o e l a s t i c s t i f f n e s s ( K ) . Then t h e damage r a t i o (ix) i s d e f i n e d a s t h e r a t i o b etween t h e e l a s t i c s t i f f n e s s (K) and t h e s e c a n t s t i f f n e s s ( K S U D ) a t t h a t b e n d i n g moment M. K i . e . M = ( 4 . 1 ) •K , sub where K = 4 E I / L . The damage r a t i o a t e a c h member end i s c a l c u l a t e d by a p p l y i n g t h e o b t a i n e d b e n d i n g moment t o t h e model shown i n F i g . 4 . 1 ( a ) . The moments u s e d f o r t h e c a l c u l a t i o n a r e t h e v a l u e s o b t a i n e d by s u p e r p o s i n g t h e c o n t r i b u t i o n s o f d i f f e r e n t modes d u r i n g t h e d y n a m i c m o d a l a n a l y s i s . 4.3.2 SUBSTITUTE STIFFNESS The s u b s t i t u t e s t i f f n e s s i s t h e new s t i f f n e s s t o be u s e d a t a member e n d , i n t h e i t e r a t i v e a n a l y s i s , t o a c c o u n t f o r t h e v a r i a t i o n i n e f f e c t i v e s t i f f n e s s due t o t h e y i e l d i n g o f t h e member. T h i s g i v e s r i s e t o " s u b s t i t u t e members" and a " s u b s t i t u t e s t r u c t u r e " t o be a n a l y s e d i n t h e n e x t i t e r a t i o n . 30 Once t h e damage r a t i o i s known, t h e s u b s t i t u t e s t i f f n e s s a t a member end i s f o u n d by r e - a r r a n g i n g e q u a t i o n 4.1 . I t i s t o be n o t e d , t h a t t h o u g h t h i s e q u a t i o n d e f i n e s t h e damage r a t i o , i t i s n o t u s e d t o c a l c u l a t e i t i n t h e programme. D u r i n g an i t e r a t i o n , t h e damage r a t i o a n d s u b s t i t u t e s t i f f n e s s a r e f o u n d a s shown by F i g . 4.2. I n t h e f i g u r e M n i s t h e member end moment o b t a i n e d by e l a s t i c a n a l y s i s o f t h e p r e v i o u s s u b s t i t u t e s t r u c t u r e , w i t h member end s t i f f n e s s K n« t i l I f t h i s was t h e n i t e r a t i o n , t h e n t h e new damage r a t i o i s g i v e n by M u M n + 1 = B_n ( > 1 } (4.2) n + 1 M Y ( l - s ) + s ^ n M n The new s u b s t i t u t e s t i f f n e s s ( K n + 1 ) i s g i v e n by K K . . = ( 4 . 3 ) n+1 Mn+1 T h e s e new v a l u e s o f damage r a t i o s a n d s u b s t i t u t e s t i f f n e s s e s a r e u s e d t o f i n d t h e s u b s t i t u t e members o f t h e s u b s t i t u t e s t r u c t u r e f o r t h e n e x t i t e r a t i o n . 4.3.3 SUBSTITUTE DAMPING RATIO D e p e n d i n g on t h e amount o f y i e l d i n g i n t h e member, a s u b s t i t u t e d a m p i n g r a t i o i s c a l c u l a t e d f o r e a c h member o f t h e s t r u c t u r e , u s i n g t h e a v e r a g e o f t h e damage r a t i o s a t t h e two e n d s . The new d a m p i n g v a l u e s a r e t o a c c o u n t f o r t h e 31 i n c r e a s e d e n e r g y d i s s i p a t e d i n t h e i n e l a s t i c r a n g e by h y s t e r e s i s . I n t h e programmes d e v e l o p e d h i t h e r t o , t h e f o r m u l a o b t a i n e d f o r r e i n f o r c e d c o n c r e t e members by G u l k a n an d S o z e n 3 was u s e d t o c a l c u l a t e t h e s u b s t i t u t e damping r a t i o . P r e s e n t e d l a t e r i n t h e t h e s i s i n C h a p t e r 6 i s a f o r m u l a d e v e l o p e d f o r members w i t h e l a s t o - p l a s t i c h y s t e r e s i s l o o p s . I n t h e f o r m u l a e , t h e s u b s t i t u t e d a m ping r a t i o i s g i v e n a s a f u n c t i o n o f t h e damage r a t i o . 4.3.4 SMEARED DAMPING RATIO F o r t h e p u r p o s e o f d y n a m i c m o d a l a n a l y s i s u s e d i n t h e M o d i f i e d S u b s t i t u t e S t r u c t u r e M e t h o d , what i s r e q u i r e d i s n o t t h e i n d i v i d u a l s u b s t i t u t e d a m p i n g r a t i o s o f members, b u t t h e d a m p i n g r a t i o s i n i n d i v i d u a l modes. The new modal d a m p i n g r a t i o s o b t a i n a b l e f r o m t h e s u b s t i t u t e d a m ping r a t i o s a r e c a l l e d t h e "smear e d damping r a t i o s " . F o r e a c h mode t h i s i s o b t a i n e d a s t h e w e i g h t e d sum o f t h e s u b s t i t u t e d amping r a t i o s o f i n d i v i d u a l members, w i t h t h e f l e x u r a l s t r a i n e n e r g y i n e a c h member i n t h e p a r t i c u l a r mode b e i n g u s e d a s t h e w e i g h t i n g f a c t o r . i . e . ( 4 . 4 ) w here = s m e a r e d damping r a t i o i n mode "m", = f l e x u r a l s t r a i n e n e r g y i n member " i II i n mode "m", f o u n d by c o n s i d e r i n g t h e s u b s t i t u t e s t i f f n e s s m a t r i x , and 32 = s u b s t i t u t e damping r a t i o i n. member " i " . A s h o r t c o m i n g i n t h e c a l c u l a t i o n o f s m e a r e d damping a t p r e s e n t i s t h a t s e p a r a t e s u b s t i t u t e d a m p i n g r a t i o s a r e c a l c u l a t e d i n t h e two d i r e c t i o n s o f common c o l u m n s and t h e n summed up w i t h t h o s e f r o m o t h e r members w i t h no c o n s i d e r a t i o n b e i n g g i v e n t o t h e f a c t t h a t t h e y a r e o f t h e same c o l u m n a n d t h u s s h o u l d be r e l a t e d . H o wever, t h e r e s u l t s s h o u l d be i n s e n s i t i v e t o t h i s . 4.3.5 CONVERGENCE CRITERIA The M o d i f i e d S u b s t i t u t e S t r u c t u r e M e t h o d u s e s two c r i t e r i a , - t h e c o n v e r g e n c e i n b e n d i n g moment and t h e c o n v e r g e n c e i n damage r a t i o - t o t e r m i n a t e t h e i t e r a t i v e a n a l y s i s p r o c e s s a f t e r a c h i e v i n g a r e q u i r e d l e v e l o f a c c u r a c y . 4.3.5.1 C o n v e r g e n c e i n B e n d i n g Moment When t h e damage r a t i o a t a member end i s g r e a t e r t h a n u n i t y t h e f o l l o w i n g r e q u i r e m e n t i s t o be s a t i s f i e d . M_ - M„ a„ ~S < 0.05 f o r u > 1 ( 4 . 5 ) M c a p member end moment f r o m c u r r e n t i t e r a t i o n , a n d moment c a p a c i t y a t member e n d , a t a r o t a t i o n # N = M N/K N i n t h e m o m e n t - r o t a t i o n d i a g r a m u s e d t o d e f i n e t h e damage r a t i o ( F i g . 4 . 2 ) . where M n M c a p 33 I t i s t o be n o t e d t h a t t h i s w i l l o n l y c o n s i d e r members w i t h M > M c a p 4.3.5.2 C o n v e r g e n c e i n Damage R a t i o When t h e damage r a t i o a t a member end i s g r e a t e r t h a n u n i t y , w h i c h e v e r i s a p p l i c a b l e o f t h e f o l l o w i n g r e q u i r e m e n t s i s t o be s a t i s f i e d . Mn+1 " "n "n-H ' M n ln+1 < 0.1 < 0.01 f o r 1 < M < 5 f o r n £ 5 (4. 6 ) where u 'n+1 damage r a t i o a t member e n d , o b t a i n e d d u r i n g t h e p r e v i o u s i t e r a t i o n , a n d damage r a t i o a t member e n d , o b t a i n e d a t t h e end o f t h e c u r r e n t i t e r a t i o n . (See F i g . 4.2) 4.4 THE ITERATION SCHEME The f o l l o w i n g g i v e s a b r i e f d e s c r i p t i o n o f t h e i t e r a t i o n p r o c e d u r e u s e d . 1. A m o d a l s p e c t r a l a n a l y s i s o f t h e s t r u c t u r e i s c a r r i e d o u t e l a s t i c a l l y . The m o d a l d a m p i n g r a t i o s t o be u s e d i n a l l modes f o r t h i s f i r s t a n a l y s i s i s i n p u t , a n d s h o u l d be e q u a l t o t h e c o n s t a n t t e r m i n t h e s u b s t i t u t e d a m p i n g f o r m u l a . 2. M o d a l r e s p o n s e s a r e s u p e r p o s e d t o o b t a i n r e q u i r e d r e s p o n s e s , i n c l u d i n g member f o r c e s . 3. Damage r a t i o s a t member ends a r e c a l c u l a t e d . 34 4. B a s e d on t h e new d e f o r m a t i o n s , s u b s t i t u t e d a m p i n g r a t i o s a r e c a l c u l a t e d f o r a l l members. 5. U s i n g t h e damage r a t i o s , new member s t i f f n e s s e s a r e d e f i n e d a n d new s t i f f n e s s m a t r i c e s f o u n d . 6. A m o d a l s p e c t r a l a n a l y s i s i s c a r r i e d o u t u s i n g t h e new s t i f f n e s s e s a n d t h e smeared d a m p i n g v a l u e s f r o m t h e p r e v i o u s i t e r a t i o n . 7. U s i n g t h e s t r a i n e n e r g y o f members i n e a c h mode and t h e s u b s t i t u t e d a m p i n g v a l u e s c a l c u l a t e d d u r i n g t h e p r e v i o u s i t e r a t i o n , new s m e a r e d d a m p i n g r a t i o s a r e f o u n d f o r a l l modes. 8. The m o d a l a n a l y s i s i s r e p e a t e d w i t h t h e new smeared d a m p i n g r a t i o s . 9. U s i n g s u p e r p o s e d r e s p o n s e s damage r a t i o s a r e f o u n d . 10. C o n v e r g e n c e i s c h e c k e d . 11. U s i n g new damage r a t i o s , new s u b s t i t u t e d a m p i n g r a t i o s a r e c a l c u l a t e d f o r a l l members. 12. I f c o n v e r g e n c e i s a c h i e v e d s t e p s 5 t o 9 a r e r e p e a t e d and c a l c u l a t i o n s t e r m i n a t e d . O t h e r w i s e s t e p s 5 t o 11 a r e r e p e a t e d u n t i l c o n v e r g e n c e i s a c h i e v e d . 4.5 THE STRUCTURAL THEORY FOR PI T S A The f o l l o w i n g i s a b r i e f d e s c r i p t i o n o f t h e s t r u c t u r a l t h e o r y u s e d i n t h e m o d a l a n a l y s i s . The i d e a l i s a t i o n i s a s p r e s e n t e d i n C h a p t e r 2. 35 4.5.1 DIAPHRAGM (GLOBAL) DEGREES OF FREEDOM L e t Q a n d R (X and Y, r e s p e c t i v e l y , i n n o r m a l u s a g e ) be t h e r e c t a n g u l a r c o o r d i n a t e s y s t e m i n p l a n o f t h e s t r u c t u r e . Then t h e l a t e r a l d i s p l a c e m e n t s q and r i n t h e Q and R d i r e c t i o n s r e s p e c t i v e l y and t h e r o t a t i o n 6 a b o u t a v e r t i c a l a x i s , a l l m e a s u r e d a t t h e c e n t r e s o f mass o f i n d i v i d u a l d i a p h r a g m s , a r e t h e d i a p h r a g m ( g l o b a l ) d e g r e e s o f f r e e d o m ( F i g . 4 . 3 ( d ) ) . The d i a p h r a g m c e n t r e s o f mass a r e n o t r e q u i r e d t o l i e i n t h e same v e r t i c a l l i n e . 4.5.2 FRAME ORIENTATION AND POSITION The o r i e n t a t i o n o f a f r a m e i s d e f i n e d by I and I , t h e q r d i r e c t i o n c o s i n e s o f t h e f r a m e i n t h e Q a n d R d i r e c t i o n s , r e s p e c t i v e l y . The f r a m e p o s i t i o n i s d e f i n e d by t h e p e r p e n d i c u l a r d i s t a n c e s t o t h e f r a m e f r o m t h e c e n t r e s o f mass o f a l l d i a p h r a g m s ( I ). E a c h I v a l u e i s c o n s i d e r e d 6 8 p o s i t i v e o r n e g a t i v e d e p e n d i n g on w h e t h e r t h e f r a m e m o v i n g i n i t s p o s i t i v e d i r e c t i o n g i v e s r i s e t o an a n t i - c l o c k w i s e o r c l o c k w i s e movement, r e s p e c t i v e l y , a b o u t t h e p a r t i c u l a r d i a p h r a g m c e n t r e o f mass ( F i g . 4 . 4 ) . I t i s t o be n o t e d t h a t when t h e d i a p h r a g m c e n t r e s o f mass do n o t l i e i n a s i n g l e v e r t i c a l l i n e , t h e I v a l u e s w i l l n o t be t h e same a t a l l 6 f l o o r s f o r a n y f r a m e . 4.5.3 STRUCTURE STIFFNESS MATRIX E a c h f r a m e i n t h e s t r u c t u r e i s c o n s i d e r e d a s a s u b s t r u c t u r e , a n d t h e f r a m e s t i f f n e s s m a t r i c e s a r e a s s e m b l e d 36 u s i n g t h e i n d i v i d u a l member s t i f f n e s s e s . I n t h e c a s e o f members t h a t have y i e l d e d , t h e l a t t e r w i l l be t h e s u b s t i t u t e s t i f f n e s s e s . The f r a m e s t i f f n e s s m a t r i c e s a r e t h e n c o n d e n s e d t o k e e p o n l y t h e " a d d i t i o n a l d e g r e e s o f f r e e d o m " ( x ) and t h e h o r i z o n t a l d e g r e e s o f f r e e d o m (h) a s s o c i a t e d w i t h t h e d i a p h r a g m s ( F i g . 4.3 (a) & ( b ) ) . The a d d i t i o n a l d e g r e e s o f f r e e d o m a r e t h e d e g r e e s o f f r e e d o m c o r r e s p o n d i n g t o t h e v e r t i c a l d i s p l a c e m e n t s o f j o i n t s common t o i n t e r s e c t i n g f r a m e s . T h e r e a f t e r t h e c o n d e n s e d f r a m e s t i f f n e s s m a t r i c e s a r e t r a n s f o r m e d by e x p r e s s i n g t h e h o r i z o n t a l j o i n t d i s p l a c e m e n t s (h) i n t e r m s o f t h e g l o b a l d e g r e e s o f f r e e d o m ( q , r , 0 ) o f t h e s t r u c t u r e . Then a l l t h e f r a m e s t i f f n e s s m a t r i c e s a r e summed up t o o b t a i n t h e s t r u c t u r e s t i f f n e s s m a t r i x ( F i g . 4 . 3 ( c ) ) . F i n a l l y t h e a d d i t i o n a l d e g r e e s o f f r e e d o m a r e e l i m i n a t e d f r o m t h e s t r u c t u r e s t i f f n e s s m a t r i x - h y _ _ I u r t h e r s t a t i c c o n d e n s a t i o n ( F i g . 4 . 3 ( d ) ) . T h u s , f i n a l l y t h e c o n d e n s e d s t r u c t u r e s t i f f n e s s m a t r i x i s a v a i l a b l e i n t e r m s o f o n l y t h e h o r i z o n t a l d e g r e e s o f f r e e d o m a t c e n t r e s o f mass o f d i a p h r a g m s . 4.5.4 EARTHQUAKE INPUT The two h o r i z o n t a l c o m p o n e n t s a nd t h e r o t a t i o n a l component a b o u t a v e r t i c a l a x i s , o f t h e g r o u n d m o t i o n , c a n be i n p u t i n t e r m s o f r e s p o n s e s p e c t r a , f o r e i t h e r i n d i v i d u a l o r s i m u l t a n e o u s e x c i t a t i o n . The e a r t h q u a k e s p e c t r a u s e d c a n be any o f s e v e r a l t y p e s , a n d c a n be s c a l e d t o o b t a i n a 37 r e q u i r e d m a x i m u m g r o u n d a c c e l e r a t i o n . V e r t i c a l b a s e a c c e l e r a t i o n s a r e n e g l e c t e d . 4.5.5 T H E D Y N A M I C A N A L Y S I S T h e d y n a m i c a n a l y s i s c a r r i e d o u t d u r i n g t h e i t e r a t i o n s i s a m o d a l s p e c t r a l a n a l y s i s . T h e b a s i c d i f f e r e n t i a l e q u a t i o n o f m o t i o n o f t h e t h r e e - d i m e n s i o n a l s t r u c t u r e u n d e r a b a s e e x c i t a t i o n , w r i t t e n i n d i s c r e t i s e d f o r m i n g l o b a l d e g r e e s o f f r e e d o m i s [ M ] ( u ) + [ C ] ( u ) + t K ] ( u ) = ~ [ M ] ( u g ) ( 4 . 7 ) w h e r e [ M ] [ C ] [ K ] ( u ) = 3n X 3n m a s s m a t r i x = 3n X 3n d a m p i n g m a t r i x = 3n X 3n s t i f f n e s s m a t r i x = 3n X 1 v e c t o r o f r e l a t i v e d i s p l a c e m e n t s , a n d = 3n X 1 v e c t o r o f a c c e l e r a t i o n s "ii ( I ) u (I) l g e J w i t h i i = g r o u n d a c c e l e r a t i o n i n " x " d i r e c t i o n , x c a n b e " x e q u a l t o q o r r o r 6. I n t h e a b o v e , n i s t h e n u m b e r o f s t o r i e s i n t h e s t r u c t u r e , a n d ( I ) i s a n n X 1 v e c t o r o f 1. T h e e q u a t i o n s a r e s o l v e d b y u n c o u p l i n g t h e m i n t o t h e d i f f e r e n t m o d e s , b y e x p r e s s i n g t h e m i n t e r m s o f n o r m a l c o o r d i n a t e s . T h e n o r m a l c o o r d i n a t e v e c t o r (</>) i s g i v e n b y 38 (u) = [ A ] ( c 6 ) ( 4 . 8 ) where [ A ] i s t h e m o d a l m a t r i x c o n s i s t i n g o f mode s h a p e s . S i n c e t h e s m e a r e d damping i s o b t a i n e d f o r e a c h mode s e p a r a t e l y , i t i s u n n e c e s s a r y f o r t h e p u r p o s e o f u n c o u p l i n g t h e e q u a t i o n s , t o h a v e t h e d a m p i n g m a t r i x p r o p o r t i o n a l t o t h e mass m a t r i x a n d / o r s t i f f n e s s m a t r i x . A t y p i c a l m o d a l e q u a t i o n o f m o t i o n i s <6i + 20.c o . c i . + aiU. = a. u ( t ) + a, u ( t ) q 9 q r 9 r + a. u ( t ) ( 4 . 9 ) where co^ = undamped n a t u r a l f r e q u e n c y i n i mode, = m o d a l d a m p i n g r a t i o i n i * " * 1 mode,and = m o d a l p a r t i c i p a t i o n f a c t o r f o r t h e i * " * 1 mode, i n x x d i r e c t i o n (x = q o r r o r 6). As t h e a n a l y s i s i s a s p e c t r a l a n a l y s i s where g r o u n d m o t i o n s a r e n o t i n p u t a s f u n c t i o n s o f t i m e , t h e u n c o u p l e d e q u a t i o n s a r e s o l v e d f o r maximum r e s p o n s e s by c o n s i d e r i n g e a c h g r o u n d m o t i o n component s e p a r a t e l y . F i r s t t h e maximum m o d a l r e s p o n s e s , u n d e r e a c h g r o u n d m o t i o n c o m p o n e n t , a r e s u p e r p o s e d u s i n g t h e C o m p l e t e Q u a d r a t i c C o m b i n a t i o n (CQC) m e t h o d 2 t o o b t a i n t h e most p r o b a b l e maximum r e s p o n s e s u n d e r e a c h c o m p o n e n t . T h i s c o m b i n a t i o n o f m o d al maxima i s done a c c o r d i n g t o t h e f o l l o w i n g e q u a t i o n , 39 Q = (I 2 p.. Q.Q. .)'/* ( 4 . 1 0 ) i j J J i n w h i c h 8 (00.) 1 2 (p\+r/3.)r3/2 c J p.. = t j ( l _ r 2 ) 2 + 4/3. ^ . r ( i + r z ) + 4 ( p 2 + ^ . 2 ) r 2 <- J fc J maximum c o n t r i b u t i o n o f t h e i mode t o t h e r e s p o n s e o f i n t e r e s t , c r o s s - m o d a l c o e f f i c i e n t s , d a m p i n g r a t i o i n t h e i f c ^ mode, a nd r a t i o o f m o d a l p e r i o d s , T ^ / T j * Then t h e s e r e s p o n s e s u n d e r s e p a r a t e g r o u n d m o t i o n c o m p o n e n t s a r e s u p e r p o s e d u s i n g t h e Root Sum S q u a r e d (RSS) method t o f i n d t h e maximum p r o b a b l e r e s p o n s e s u n d e r s i m u l t a n e o u s a c t i o n o f a l l t h e c o m p o n e n t s . The l a t t e r i s done a s s u m i n g a l l c o m p o n e n t s o f g r o u n d m o t i o n a r e c o m p l e t e l y u n c o r r e l a t e d G a u s s i a n p r o c e s s e s . The a b o v e s u p e r p o s i n g o f m o d a l c o n t r i b u t i o n s by t h e CQC method i s s u p e r i o r t o t h a t by t h e use o f t h e RSS method, when t h e r e a r e v e r y c l o s e m o d a l f r e q u e n c i e s a s may o c c u r i n t h r e e - d i m e n s i o n a l a n a l y s i s o f b u i l d i n g s . The f o r m e r w i l l d e g e n e r a t e t o t h e l a t t e r when t h e mod a l f r e q u e n c i e s a r e w e l l s e p a r a t e d . where " i j C h a p t e r 5 B I A X I A L B E N D I N G I N T E R A C T I O N 5.1 Y I E L D S U R F A C E U N D E R B I A X I A L B E N D I N G C o l u m n s w h i c h a r e c o m m o n t o t w o i n t e r s e c t i n g f r a m e s w i l l , i n a d d i t i o n t o t h e a x i a l f o r c e , g e n e r a l l y h a v e b e n d i n g m o m e n t s i n t h e t w o f r a m e d i r e c t i o n s ( a s s u m i n g f r a m e s t o i n t e r s e c t a t r i g h t a n g l e s ) . T h e n t h e y i e l d b e n d i n g m o m e n t i n o n e d i r e c t i o n w i l l d e p e n d n o t o n l y o n t h e a x i a l f o r c e , b u t a l s o o n t h e b e n d i n g m o m e n t i n t h e p e r p e n d i c u l a r d i r e c t i o n . T h i s m o m e n t i n t e r a c t i o n w i l l a l w a y s b r i n g t h e y i e l d m o m e n t c a p a c i t i e s i n t h e t w o d i r e c t i o n s d o w n . T h e y i e l d s u r f a c e o f s u c h a c o m m o n c o l u m n o f r e i n f o r c e d c o n c r e t e i s a t h r e e - d i m e n s i o n a l s u r f a c e i n a s p a c e d e f i n e d b y t h e a x i a l f o r c e a n d t h e b e n d i n g m o m e n t c o m p o n e n t s a b o u t t h e t w o p r i n c i p a l a x e s o f t h e s e c t i o n a s t h e t h r e e a x e s o f t h e r i g h t a n g l e d c o o r d i n a t e s y s t e m . S h o w n i n F i g . 5 . 1 ( b ) i s a v i e w o f t h e s u r f a c e i n o n e q u a d r a n t o f m o m e n t s . I f t h e m o m e n t i n o n e d i r e c t i o n o f t h e m e m b e r i s z e r o , t h e n t h e i n t e r a c t i o n s u r f a c e b e c o m e s t h e P - M i n t e r a c t i o n d i a g r a m f o r u n i a x i a l c o l u m n s ( F i g . 5 . 2 ) . I f t h e m o m e n t a c t s a t a n a n g l e a f r o m a a p r i n c i p a l a x i s , t h e n t h e y i e l d i n t e r a c t i o n d i a g r a m f o r t h a t d i r e c t i o n i s t h e t r a c e o n t h e v e r t i c a l p l a n e o f t h e i n t e r a c t i o n s u r f a c e , a t a n a n g l e o f a f r o m t h e d i r e c t i o n . o f t h e r e s p e c t i v e p r i n c i p a l a x i s ( F i g . 5 . 1 ) . 40 41 5.2 DESIGN FORMULAE The e x a c t s h a p e o f t h e y i e l d s u r f a c e o f a r e i n f o r c e d c o n c r e t e c o l u m n d e p e n d s upon many v a r i a b l e s , t h u s m a k i n g i t c o m p l i c a t e d t o d e f i n e e x a c t l y . T h e r e f o r e s i m p l e d e s i g n f o r m u l a e h a v e been d e v e l o p e d t o i n c o r p o r a t e t h e b i a x i a l b e n d i n g i n t e r a c t i o n . G i v e n b e l o w i n e q u a t i o n s 5 . 1 and 5.2 a r e t h e two f o r m u l a e p r e s e n t e d by B r e s s l e r 9 . The f i r s t f o r m u l a , w h i c h h a s been v e r i f i e d b o t h a n a l y t i c a l l y a n d e x p e r i m e n t a l l y , w i t h i n r e a s o n a b l e l i m i t s , i s 1 1 1 1 — = — + — - — ( 5 . 1 ) P. P P P r t I x - y 0 where P Q = l o a d c a r r y i n g c a p a c i t y o f t h e c o l u m n u n d e r p u r e a x i a l c o m p r e s s i o n , P x = l o a d c a r r y i n g c a p a c i t y o f t h e c o l u m n w i t h u n i a x i a l e c c e n t r i c i t y " x " , Py = l o a d c a r r y i n g c a p a c i t y o f t h e c o l u m n w i t h u n i a x i a l e c c e n t r i c i t y " y " , and P^ = maximum l o a d c a r r y i n g c a p a c i t y o f t h e c o l u m n u n d e r e c c e n t r i c i t i e s x and y. H e r e x a n d y a r e t h e d i r e c t i o n s o f t h e p r i n c i p a l a x e s o f t h e c r o s s - s e c t i o n . The s e c o n d f o r m u l a o f B r e s s l e r , w h i c h h a s been v e r i f i e d a n a l y t i c a l l y , i s 42 ( 5 . 2 ) where M x a p p l i e d moment i n t h e X d i r e c t i o n , Mv = a p p l i e d moment i n t h e Y d i r e c t i o n , M^Q = u n i a x i a l moment c a p a c i t y i n t h e X d i r e c t i o n , u n d e r t h e g i v e n a x i a l l o a d , a n d M y O = t i n i a x i a l moment c a p a c i t y i n t h e Y d i r e c t i o n , u n d e r t h e g i v e n a x i a l l o a d . The e x p o n e n t s a and 0 d e p e n d on a number o f c o l u m n p r o p e r t i e s . E q u a t i o n 5.2 was p r e s e n t e d i n a d i f f e r e n t f o r m by Parme, N i e v e s a n d G o u w e n s 1 0 by t a k i n g a t o be e q u a l t o 0 ( E q u a t i o n 5 . 3 ) . where K = l o g ( 0 . 5 ) / l o g ( B b ) . H e r e d e p e n d s upon c o l u m n p r o p e r t i e s . C P 1 1 0 : 1 9 7 2 , t h e B r i t i s h c o d e o f p r a c t i c e f o r r e i n f o r c e d c o n c r e t e d e s i g n 1 1 u s e s a s i m p l i f i e d f o r m o f e q u a t i o n 5.2, w i t h a t a k e n a s e q u a l t o 0 a s i n e q u a t i o n 5.3. The v a l u e o f a i s f o u n d a s a f u n c t i o n o f t h e r a t i o b e t w e e n t h e a p p l i e d a x i a l f o r c e a n d t h e a x i a l f o r c e c a p a c i t y o f t h e c o l u m n u n d e r p u r e c o m p r e s s i o n . The v a l u e o f a i s t a k e n a s u n i t y f o r s m a l l a x i a l l o a d s a n d a s 2 f o r a x i a l l o a d s a p p r o a c h i n g t h e p u r e c o m p r e s s i o n s t r e n g t h . F o r v a l u e s i n b e t w e e n t h e a b o v e l i m i t s ( 5 . 3 ) 4 3 a i s f o u n d b y l i n e a r i n t e r p o l a t i o n . T h u s , i n e a c h q u a d r a n t , t h e s h a p e o f t h e i n t e r a c t i o n d i a g r a m a t c o n s t a n t a x i a l l o a d v a r i e s f r o m a s t r a i g h t l i n e a t l o w a x i a l l o a d s t o a n e l l i p s e a t h i g h a x i a l l o a d s ( F i g . 5 . 1 ( d ) a n d ( e ) ) . T h i s i s s a i d t o b e a g o o d a p p r o x i m a t i o n f o r d e s i g n p u r p o s e s 1 2 . T h e a b o v e e q u a t i o n u s e d b y C P 1 1 0 : 1 9 7 2 , w h i c h i s t h e e a s i e s t t o u s e i n a t i m e - s t e p a n a l y s i s , w a s c h o s e n f o r t h e t w o c o m p u t e r p r o g r a m m e s . A f u r t h e r s i m p l i f i c a t i o n w a s m a d e b y a s s u m i n g t h e i n t e r a c t i o n d i a g r a m i n e a c h q u a d r a n t t o b e e l l i p t i c a l ( a = 2 ) a t a l l a x i a l l o a d s . T h u s t h e i n t e r a c t i o n f o r m u l a , a t c o n s t a n t a x i a l f o r c e , a s u s e d i n t h e c o m p u t e r p r o g r a m m e i s w h e r e t h e q u a n t i t i e s a r e a s d e f i n e d p r e v i o u s l y . I n t h e p r o g r a m m e s , t h e u n i a x i a l b e n d i n g m o m e n t c a p a c i t i e s M X Q a n d a r e t o b e f o u n d f r o m t h e P - M i n t e r a c t i o n r e l a t i o n s h i p f o r t h e m e m b e r , i f s p e c i f i e d . O t h e r w i s e t h e s p e c i f i e d c a p a c i t i e s a r e t o b e u s e d , a s s u m i n g n o i n t e r a c t i o n w i t h t h e a x i a l f o r c e . A t p r e s e n t b o t h p r o g r a m m e s a r e r e s t r i c t e d t o t h e c o m m o n c a s e o f c o l u m n s w i t h d o u b l y s y m m e t r i c c r o s s - s e c t i o n s , s o t h a t i t i s n e c e s s a r y t o c o n s i d e r o n l y o n e q u a d r a n t o f t h e i n t e r a c t i o n d i a g r a m d e f i n e d b y e q u a t i o n 5 . 4 . S h o w n i n F i g . 5 . 3 i s t h e i n t e r a c t i o n d i a g r a m a t c o n s t a n t a x i a l f o r c e f o r s u c h a m e m b e r . ( 5 . 4 ) 44 5.3 INCORPORATION INTO TIME-STEP ANALYSIS I f t h e a x i a l f o r c e a t t h e s t a r t o f a t i m e s t e p i s P, t h e n t h e u n i a x i a l b e n d i n g moment c a p a c i t i e s M ^ Q a n d M ^ Q c a n be c a l c u l a t e d u s i n g t h e u n i a x i a l P-M i n t e r a c t i o n d i a g r a m s ( F i g . 5.2) . The r e l a t i o n s h i p , on t h e i n t e r a c t i o n s u r f a c e , b e t w e e n t h e moments M x and M^, f o l l o w s f r o m e q u a t i o n 5.4 . C o n s i d e r an i n s t a n t when t h e s t r u c t u r e i s i n t h e e l a s t i c s t a t e . L e t t h e v a l u e s o f t h e b e n d i n g moments i n t h e X and Y d i r e c t i o n s a t t h e s t a r t o f t h e t i m e s t e p be M x and My r e s p e c t i v e l y . A l s o l e t t h e b e n d i n g moment i n c r e a s e s be AM and AM i n t h e r e s p e c t i v e d i r e c t i o n s a n d t h e a x i a l f o r c e x y i n c r e a s e be AP d u r i n g t h e t i m e s t e p , u n d e r e l a s t i c c o n d i t i o n s . I f t h e i n c r e a s e s i n t h e u n i a x i a l b e n d i n g moment c a p a c i t i e s due t o AP d u r i n g t h e t i m e s t e p a r e A M X Q and A M ^ Q , t h e n c r o s s i n g o f t h e y i e l d s u r f a c e f r o m t h e e l a s t i c t o y i e l d r e g i o n c a n be c h e c k e d , u s i n g e q u a t i o n 5.4, f r o m M + M A M x x M N + M A M N xO xO M + M A M — y y_ M y 0 + M A M y O ( 5 . 5 ) where t h e v a l u e o f u i s t o be d e t e r m i n e d . I n e q u a t i o n 5.5 i t i s a s s u m e d t h a t a l l q u a n t i t i e s i n c r e a s e p r o p o r t i o n a t e l y . The v a l u e o f u t h a t s a t i s f i e s t h e e q u a t o n c a n be f o u n d , and d e p e n d i n g on t h e f o l l o w i n g r e l a t i o n s h i p s , t h e s t a t e o f t h e member a t t h e end o f t h e t i m e s t e p c a n be d e t e r m i n e d . 45 I f : n < 1 T h e y i e l d s u r f a c e i s c r o s s e d a n d t h e m e m b e r y i e l d s . M = 1 T h e y i e l d s u r f a c e i s j u s t r e a c h e d a n d t h e m e m b e r y i e l d s . M > 1 Y i e l d s u r f a c e n o t c r o s s e d . M e m b e r r e m a i n s e l a s t i c . B u t d u r i n g a t i m e s t e p , t h e i n c r e a s e o f a x i a l f o r c e , a n d h e n c e o f t h e y i e l d m o m e n t s , i s u s u a l l y s m a l l , s o e q u a t i o n 5 . 5 c a n b e s i m p l i f i e d w i t h n o a p p r e c i a b l e e r r o r t o w h e r e t h e u n i a x i a l y i e l d m o m e n t s a t t h e s t a r t o f t h e t i m e s t e p a r e u s e d . B u t w i t h t h i s , t h e m e m b e r s t a t e h a s t o b e c h e c k e d a g a i n u n i a x i a l y i e l d m o m e n t s t h a t o c c u r w i t h t h e c h a n g e i n a x i a l f o r c e . T h u s , f o r t h e m e m b e r e n d t o b e e l a s t i c a t t h e e n d o f t h e t i m e s t e p ( 5 . 6 ) a t t h e e n d o f t h e t i m e s t e p b e c a u s e o f t h e c h a n g e s i n t h e < ( 5 . 7 ) 46 w h e r e t h e M v a l u e i s a s d e t e r m i n e d f r o m e q u a t i o n 5 . 6 . I f t h e c h e c k i s n o t s a t i s f i e d a p l a s t i c h i n g e w i l l r e m a i n p l a s t i c w h i l e a n e l a s t i c e n d w i l l b e c o m e p l a s t i c . 5 . 4 U N S U I T A B I L I T Y F O R D R A I N T A B S T h e a r r a n g e m e n t o f t h e D R A I N T A B S c o m p u t e r p r o g r a m m e p r e v e n t s t h e c h e c k i n g f o r y i e l d i n t h e a b o v e d e s c r i b e d m a n n e r . I n i t t h e c o n s i d e r a t i o n o f c o m m o n c o l u m n s i s c a r r i e d o u t a s f o l l o w s . F o r b r e v i t y , t h e p r o c e d u r e f o r o n l y a s i n g l e c o m m o n c o l u m n i s s h o w n , a n d t h e n o n l y t h e s t e p s r e q u i r e d f o r t h e u n d e r s t a n d i n g o f t h e p r o c e d u r e a r e g i v e n . T h e d e s c r i p t i o n g i v e n i s f o r a m e m b e r w h i c h i s a s s u m e d t o b e e l a s t i c a t t h e s t a r t o f t h e t i m e s t e p ( n + 1 ) . I t i s a s s u m e d t h a t f r a m e A i s i n d i r e c t i o n 1 a n d f r a m e B i s i n d i r e c t i o n 2 , w h e r e d i r e c t i o n s 1 a n d 2 i n d i c a t e t h e d i r e c t i o n s o f t h e f r a m e s t h a t w i l l b e c o n s i d e r e d f i r s t a n d s e c o n d ( a s a r e s u l t o f t h e w a y t h e y a r e n u m b e r e d i n t h e i n p u t ) . T h e f r a m e s i n t h e X - d i r e c t i o n m a y b e c o n s i d e r e d t o b e i n d i r e c t i o n 1 a n d f r a m e s i n t h e Y d i r e c t i o n t o b e i n d i r e c t i o n 2 , p r o v i d e d a l l f r a m e s i n t h e X d i r e c t i o n a r e n u m b e r e d f i r s t . ( T h i s i s a c o n c e p t t h a t w a s i n t r o d u c e d i n t o D R A I N T A B S - 2 , f o r t h e p u r p o s e o f i n t r o d u c i n g b i a x i a l b e n d i n g . ) I n t h e f o l l o w i n g , a l l s u b s c r i p t s , e x c e p t ' y ' , r e f e r t o t h e t i m e - s t e p , a n d t h e s u p e r s c r i p t s r e f e r t o t h e f r a m e . T h e i n t e r p r e t a t i o n o f t h e p r o c e d u r e c a n b e m a d e e a s i e r b y r e f e r r i n g t o F i g . 5 . 4 . 47 1. L e t t h e f o l l o w i n g q u a n t i t i e s a p p l y a t t h e e n d o f n t i m e - s t e p . t h A x i a l f o r c e = P. B e n d i n g m o m e n t i n F r a m e A = M B e n d i n g m o m e n t i n F r a m e B = M U n i a x i a l y i e l d m o m e n t i n F r a m e A = M U n i a x i a l y i e l d m o m e n t i n F r a m e B = M B N o t e T h e a x i a l f o r c e s f o r a m e m b e r i n F r a m e A a n d F r a m e B w i l l n o t b e t h e s a m e , s i n c e t h e y w i l l b e " o u t - o f - s t e p " . B u t f o r s i m p l i c i t y t h e y a r e c o n s i d e r e d t o b e e q u a l i n t h e a b o v e . 2 . T h e t i m e - s t e p (n+1) i s a p p l i e d t o F r a m e A . A x i a l f o r c e c h a n g e s f r o m P N t o P A = P + AP A . n+1 n n+1 B e n d i n g m o m e n t c h a n g e s f r o m M* t o MV, = + AM? 3 3 n n+1 n n +1 T h e p l a s t i c h i n g e r o t a t i o n , i f a n y , i s c a l c u l a t e d a t t h i s s t a g e o n t h e b a s i s o f M* . 48 A A T h e n , M i s c a l c u l a t e d o n t h e b a s i s o f P n + 1 Y n + 1 T h e s t a t e o f t h e m e m b e r i s n o w c a t e g o r i s e d , a s e l a s t i c a o r n o t , o n t h e b a s i s o f M , b u t t h e h i n g e r o t a t i o n i s y n + 1 n o t r e c a l c u l a t e d . N o t e T h e c a l c u l a t i o n o f h i n g e r o t a t i o n i s i n c o r r e c t l y b a s e d o n t h e r e l a t i o n s h i p b e t w e e n p o i n t " c " a n d ( F i g . . n 5 . 4 ( a ) ) , a n d t h e m e m b e r i s c a t e g o r i s e d o n t h e b a s i s o f p o i n t " a " , w h e n b o t h c a l c u l a t i o n s s h o u l d a c c u r a t e l y r e f l e c t p o i n t " b " . I n f a c t , e v e n p o i n t " b " i s i n c o r r e c t s i n c e i t d o e s n o t s h o w t h e i n f l u e n c e . o n P o f F r a m e B . 3 . T h e (n+1)*** 1 t i m e - s t e p i s t h e n a p p l i e d t o F r a m e B . A x i a l f o r c e P c h a n g e s f r o m P n t o P n + 1 = P n + ^ P n + 1 , B + A P n + 1 B B B B B e n d i n g m o m e n t M c h a n g e s f r o m M n t o M n + i = M n T h e p l a s t i c h i n g e r o t a t i o n , i f a n y , i s c a l c u l a t e d o n t h e b a s i s o f . y n T h e n , y i e l d m o m e n t M i s c a l c u l a t e d o n t h e b a s i s o f y n + 1 pB n + 1 ' 4 9 T h e r e a f t e r , t h e s t a t u s o f t h e m e m b e r e n d i s c a t e g o r i s e d o n t h e b a s i s o f M . y n + 1 4 . T h e n t h e ( n + 2 ) t h t i m e - s t e p i s e x e c u t e d . I n t h e a b o v e i t s h o u l d b e n o t e d , t h a t i n F r a m e A , t h e u n i a x i a l y i e l d m o m e n t a t t h e e n d o f t h e s t e p i s o u t - o f - s t e p b y a p o r t i o n o f t h e t i m e - s t e p , a s i t h a s b e e n c a l c u l a t e d w i t h o u t c o n s i d e r i n g A P n + 1 . A s e v i d e n t ' f r o m t h e a b o v e , a l l t h e y i e l d c a l c u l a t i o n s f o r a m e m b e r a r e c a r r i e d o u t a t o n c e , w h i l e n o t c o n s i d e r i n g , i n t h e c a s e o f a c o m m o n c o l u m n , t h e i n t e r a c t i o n w i t h m o m e n t s i n t h e n o r m a l f r a m e . B u t i n c l u s i o n o f b i a x i a l b e n d i n g b y c o n s i d e r i n g b o t h c o m p o n e n t s o f m o m e n t s i n e a c h m e m b e r ( i . e . t h e m o m e n t s a r i s i n g f r o m b o t h i n t e r s e c t i n g f r a m e s ) r e q u i r e s a c h a n g e i n t h e _ s t x u c t u r e o f t h e c o m p u t e r p r o g r a m m e . T h i s c h a n g e w o u l d b e a m a j o r t a s k , a n d s o t h e i n t e r a c t i o n w a s i n t r o d u c e d u n d e r t h e e x i s t i n g f r a m e w o r k , b y t h e u s e o f a n a p p r o x i m a t e p r o c e d u r e . I t i s t o b e n o t e d t h a t u n d e r t h e o r i g i n a l v e r s i o n o f D R A I N T A B S , a c o l u m n m a y h a v e y i e l d e d i n o n e d i r e c t i o n , w h i l e s t i l l b e i n g e l a s t i c i n t h e n o r m a l d i r e c t i o n . 50 5.5 APPROXIMATE PROCEDURE FOR DRAINTABS-2 The a p p r o x i m a t e p r o c e d u r e was d e r i v e d by m o d i f y i n g e q u a t i o n 5.4 t o work w i t h i n t h e e x i s t i n g s t r u c t u r e o f t h e c o m p u t e r programme. I t was assumed t h a t when t h e b e n d i n g moment i n one d i r e c t i o n i s v a r y i n g , i t r e m a i n s u n c h a n g e d i n t h e d i r e c t i o n n o r m a l t o t h i s on t h e member c r o s s s e c t i o n . A l t e r n a t i v e r e a r r a n g m e n t s o f e q u a t i o n 5.4 g i v e , M = M xO M \2. 1 -M 5 . 8 ( a ) yO a n d , M__ = M. yO \ 1 - M M \ 2 . x ' xO 5.8(b) E q u a t i o n 5 . 8 ( a ) ( o r 5.8 ( b ) ) g i v e s t h e y i e l d moment M x ( o r My) i n t h e p r i n c i p a l a x i s d i r e c t i o n x ( o r y ) , i f t h e b e n d i n g moment i n t h e p e r p e n d i c u l a r d i r e c t i o n M ( o r M ) a n d y x t h e two u n i a x i a l y i e l d moments M ^ Q and M ^ Q ( f u n c t i o n s o f t h e a x i a l f o r c e ) r e m a i n c o n s t a n t ( F i g . 5 . 5 ) . As DRAINTABS c o n s i d e r s common c o l u m n member s t a t e s i n e a c h f r a m e i n d e p e n d e n t l y , w i t h no c o n s i d e r a t i o n g i v e n t o t h e moment v a r i a t i o n i n t h e common c o l u m n members o f t h e i n t e r s e c t i n g f r a m e , t h e y i e l d moments a s g i v e n i n e q u a t i o n 5.8 c a n be u s e d t o c h e c k y i e l d i n g w i t h t h e i n t r o d u c t i o n o f b i a x i a l 51 b e n d i n g . I n t h e c o n s i d e r a t i o n o f b i a x i a l b e n d i n g , t h e g e n e r a l p r o c e d u r e w i l l be t h e same. But t h e f o l l o w i n g c h a n g e s w i l l h a v e t o be n o t e d ( w i t h o n l y t h e c h a n g e s b e i n g d e s c r i b e d b e l o w ) . 1. A t t h e end o f t h e n f c ^ t i m e - s t e p : U n i a x i a l y i e l d moment i n d i r U n i a x i a l y i e l d moment d i e c t i o n o f Frame A = . v 0 n i n d i r e c t i o n o f Frame B = M N . y n A B N o t e H e r e M ^ Q a n d M ^ Q c o r r e s p o n d t o M X Q and Myg» r e s p e c t i v e l y , o f e q u a t i o n 5.8. 2. On t h e a p p l i c a t i o n o f t i m e - s t e p (n+1) t o Frame A: A f t e r t h e c a l c u l a t i o n o f p l a s t i c h i n g e r o t a t i o n , i f a n y , A A M Q i s c a l c u l a t e d on t h e b a s i s o f P N + 1 . ^ n+1 i s c a l c u l a t e d on t h e b a s i s o f M . M . . ^ a n d y n + i n y°n y°n+i T h e n , a s p r e v i o u s l y , member s t a t e i s c a t e g o r i s e d on t h e b a s i s o f yn+1 3. The t i m e - s t e p (n+1) i s a p p l i e d t o Frame B. 52 A f t e r c a l c u l a t i n g p l a s t i c h i n g e r o t a t i o n , i f a n y , t h e B u n i a x i a l y i e l d m o m e n t M Q i s c a l c u l a t e d o n t h e b a s i s R y u n + 1 y n + 1 U s i n g M n + 1 ( w h i c h may b e e i t h e r + A M n + i o r y i d e p e n d i n g o n t h e m e m b e r s t a t e a t t h e e n d o f t h e p r e v i o u s A B c a l c u l a t i o n ( 2 ) ) , a n d a l s o M n a n d M n , t h e y i e l d m o m e n t M i s c a l c u l a t e d , a n d t h e m e m b e r s t a t e i s y n + 1 c a t e g o r i s e d . 4 . T i m e - s t e p ( n + 2 ) i s now e x e c u t e d . T h e f o l l o w i n g s h o r t c o m i n g s s h o u l d b e n o t e d i n t h e a b o v e a p p r o x i m a t e p r o c e d u r e . 1 . A m e m b e r m a y t e m p o r a r i l y b e u n y i e l d e d i n o n e d i r e c t i o n w h i l e y i e l d e d i n t h e n o r m a l d i r e c t i o n . 2 . I n a d d i t i o n t o t h e a x i a l f o r c e , t h e u n i a x i a l y i e l d m o m e n t s a r e o u t - o f - s t e p f o r F r a m e A . B u t t h e e f f e c t o f t h i s s h o u l d b e n e g l i g i b l e a s t h e v a r i a t i o n o f a x i a l f o r c e w i t h i n a t i m e s t e p s h o u l d b e s m a l l . A s m e n t i o n e d , t h e f o r m u l a f i t s t h e e x i s t i n g D R A I N T A B S p r o c e d u r e b e c a u s e t h e v a r i a t i o n o f b e n d i n g m o m e n t i n t h e p e r p e n d i c u l a r d i r e c t i o n i s n e g l e c t e d . T h i s a p p r o x i m a t i o n w i l l b e j u s t i f i a b l e i f t h e l i n e a r b e n d i n g m o m e n t i n c r e m e n t s d u r i n g t i m e s t e p s a r e s m a l l . B u t , a t r i a l r u n s h o w e d t h a t i t i s n o t s o u n l e s s t h e t i m e s t e p s i z e i s r e d u c e d c o n s i d e r a b l y . 5 3 T h u s a s a t p r e s e n t t h e r e o c c u r s a n u n k n o w n e r r o r d u e t o t h i s o u t - o f - s t e p o f m o m e n t s . T h i s e r r o r c a n b e m a d e n e g l i g i b l e b y c o n s i d e r i n g v e r y s m a l l t i m e s t e p s , w h i c h w i l l r e q u i r e t h e c o m p u t e r p r o g r a m m e t o b e c o n v e r t e d t o d o u b l e p r e c i s i o n . I t i s t o b e n o t e d t h a t t h e c o n s i d e r a t i o n o f v e r y s m a l l t i m e s t e p s w i l l c o n s i d e r a b l y i n c r e a s e t h e c o s t o f c o m p u t i n g , t h u s i n d i c a t i n g a c h a n g e o f t h e s t r u c t u r e o f t h e p r o g r a m m e t o s u i t e q u a t i o n 5 . 6 i s t h e b e s t p r o c e d u r e t o a d o p t . T h e f a c t t h a t t h e u n i a x i a l y i e l d m o m e n t s a r e o u t - o f - s t e p , a s n o t e d a b o v e , t o g e t h e r w i t h t h e i n d e p e n d e n t c o n s i d e r a t i o n o f e a c h f r a m e , m a y g i v e r i s e t o d i r e c t i o n a l e f f e c t s i n t h e a n a l y s i s . T h u s i n o r d e r t o i n v e s t i g a t e t h i s a n e c c e n t r i c s t r u c t u r e , s i m i l a r t o S t r u c t u r e N o . 2 o f F i g u r e 8 . 1 , w a s e x c i t e d b i - d i r e c t i o n a l l y i n t o t h e n o n - l i n e a r r a n g e , u s i n g t h e T a f t e a r t h q u a k e a c c e l e r o g r a m s . T h e s t r u c t u r e w a s a n a l y s e d t w i c e , f i r s t w i t h t h e f r a m e s i n t h e X - d i r e c t i o n b e i n g c o n s i d e r e d t o b e i n D i r e c t i o n 1 ( i . e . a n a l y s e d f i r s t ) , a n d t h e n w i t h t h o s e i n t h e Y - d i r e c t i o n b e i n g c o n s i d e r e d t o b e i n D i r e c t i o n 1 . I f t h e a b o v e a p p r o x i m a t e p r o c e d u r e i s r e l i a b l e t h e r e s p o n s e s f r o m t h e t w o a n a l y s e s s h o u l d h a v e m a t c h e d . F r o m t h e r e s u l t s p r e s e n t e d i n F i g . 5 . 6 i t c a n b e s e e n t h a t t h e r e s p o n s e s a g r e e f a i r l y w e l l , e x c e p t i n t h e c a s e o f a s i n g l e c o m m o n c o l u m n . A l t h o u g h t h e r e s u l t s w e r e g e n e r a l l y g o o d , i t i s s t i l l n o t p o s s i b l e t o h a v e c o m p l e t e c o n f i d e n c e i n t h e m , a l t h o u g h i t m a y b e f a i r t o a s s u m e t h a t t h e r e a l r e s p o n s e s l i e b e t w e e n t h e v a l u e s o b t a i n e d . F o r b e t t e r a c c u r a c y i n t h e p r o g r a m m e i t m a y b e n e c e s s a r y t o 54 c a r r y o u t t h e s u g g e s t i o n s made i n C h a p t e r 9. As m e n t i o n e d i n C h a p t e r 2, t h e i n c o r p o r a t i o n o f b i a x i a l b e n d i n g i n t e r a c t i o n a s a b o v e , r e q u i r e d t h a t t h e b u i l d i n g s t o be a n a l y s e d s h o u l d have f r a m e s i n t e r s e c t i n g a t r i g h t a n g l e s t o e a c h o t h e r . T h i s i s b e c a u s e t h e f o r m u l a u s e d f o r i n t e r a c t i o n ( e q u a t i o n 5.4) assumes t h e moments t o be a b o u t t h e p r i n c i p a l a x e s w h i c h a r e a t r i g h t a n g l e s t o e a c h o t h e r . The f o l l o w i n g s u b r o u t i n e s were i n t r o d u c e d i n t o t h e c o m p u t e r programme DRAINTABS-2 i n o r d e r t o i n c o r p o r a t e b i a x i a l b e n d i n g i n t e r a c t i o n by t h e u s e o f t h e new e l e m e n t w h i c h w i l l be c a l l e d E l e m e n t 7. 1. YM0M1 - To c a l c u l a t e y i e l d moments, c o n s i d e r i n g b i a x i a l b e n d i n g i n t e r a c t i o n . ( o b t a i n e d by m o d i f y i n g s u b r o u t i n e YMOM) 2. INEL7 - To i n p u t d a t a on t h e new b i a x i a l beam-column e l e m e n t , a n d a l s o c o n s i d e r b i a x i a l moment i n t e r a c t i o n u n d e r i n i t i a l f o r c e s . ( o b t a i n e d by m o d i f y i n g s u b r o u t i n e I NEL2) 3. S T I F 7 - F o r s t i f f n e s s f o r m u l a t i o n i n new e l e m e n t s , ( o b t a i n e d by m o d i f y i n g s u b r o u t i n e S T I F 2 . O n l y m i n o r m o d i f i c a t i o n s : m a i n l y i n s t o r a g e . ) 4. RESP7 - F o r t h e s t a t e d e t e r m i n a t i o n o f t h e new e l e m e n t , ( o b t a i n e d by m o d i f y i n g s u b r o u t i n e RESP2) 5. OUT7 - To o u t p u t f i n a l e n v e l o p e v a l u e s f o r new e l e m e n t . ( O b t a i n e d by m o d i f y i n g s u b r o u t i n e 0UT2. M i n o r m o d i f i c a t i o n s o n l y . ) 6. THPR7 - To o u t p u t r e o r g a n i s e d t i m e h i s t o r i e s o f new 55 e l e m e n t s . ( O b t a i n e d b y m o d i f y i n g s u b r o u t i n e T H P R 2 . M i n o r m o d i f i c a t i o n s o n l y . ) T h e m a j o r c h a n g e i n t h e m a i n p r o g r a m m e i s t h e c h a n g e o f t h e v a l u e o f t h e c o n t r o l v a r i a b l e N F O R T f r o m 2 t o 1 0 . N F O R T s t a n d s f o r t h e n u m b e r o f f o r c e s t o b e t r a n s m i t t e d b e t w e e n f r a m e s p e r c o m m o n c o l u m n ( F i g 5 . 7 ) . A s m e n t i o n e d p r e v i o u s l y n o c h a n g e t o t h e s t r u c t u r e o f t h e o r i g i n a l p r o g r a m m e w a s m a d e . T h e c o m m e n t s i n c l u d e d i n t h e n e w s u b r o u t i n e s a n d i n t h e m a i n p r o g r a m m e , w h e r e v e r c h a n g e s w e r e m a d e a n d n e w t h i n g s i n t r o d u c e d , w o u l d g i v e a n a d e q u a t e d e s c r i p t i o n o f t h e p r o g r a m m i n g t o t h e i n t e r e s t e d r e a d e r . I n D R A I N T A B S - 2 i t i s n o t n e c e s s a r y t o u s e E l e m e n t 2 , a s i n t h e a b s e n c e o f b i a x i a l b e n d i n g , t h e c a l c u l a t i o n s i n E l e m e n t 7 w i l l d e f a u l t t o t h a t o f t h e f o r m e r . 5 . 6 I N C O R P O R A T I O N I N T O P I T S A - 2 A s m e n t i o n e d p r e v i o u s l y , t h e b i a x i a l b e n d i n g i n t e r a c t i o n i n c o l u m n s c o m m o n t o i n t e r s e c t i n g f r a m e s i s n o t t a k e n i n t o a c c o u n t b y t h e c o m p u t e r p r o g r a m m e P I T S A , w h i c h i s b a s e d o n t h e M o d i f i e d S u b s t i t u t e S t r u c t u r e M e t h o d . A s i n D R A I N T A B S - 2 , t h e i n c o r p o r a t i o n o f b i a x i a l b e n d i n g m o m e n t i n t e r a c t i o n w o u l d r e q u i r e t h a t t h e s t r u c t u r e s t o b e a n a l y s e d h a v e f r a m e s t h a t i n t e r s e c t o n l y a t r i g h t a n g l e s t o e a c h o t h e r . T h e s a m e i n t e r a c t i o n f o r m u l a ( E q n . 5 . 4 ) a s w a s u s e d w i t h D R A I N T A B S - 2 , w a s u s e d h e r e . B u t t h e e f f e c t o f a x i a l 56 f o r c e o n t h e u n i a x i a l b e n d i n g m o m e n t c a p a c i t y w a s n o t c o n s i d e r e d , t h u s k e e p i n g t h e u n i a x i a l y i e l d m o m e n t s c o n s t a n t . I f d e s i r e d , t h e P - M i n t e r a c t i o n c a n b e i n t r o d u c e d a t a l a t e r t i m e . G i v e n b e l o w i s a p a r t o f t h e p r o c e d u r e o f a n i t e r a t i o n i n t h e o r i g i n a l v e r s i o n P I T S A . O n l y t h e r e l e v e n t s t e p s a r e g i v e n . T h e g i v e n s t e p s o c c u r u n d e r s u b r o u t i n e F O R S P . A s i n t h e d e s c r i p t i o n f o r D R A I N T A B S - 2 , F r a m e A a n d F r a m e B a r e t w o i n t e r s e c t i n g f r a m e s w i t h t h e f o r m e r i n d i r e c t i o n 1 a n d t h e l a t t e r i n d i r e c t i o n 2 . (1 . ) l t e r a t i o n n F r a m e A 1. F i n d C Q C f o r c e s i n e a c h m e m b e r . 2 . C a l c u l a t e d a m a g e r a t i o s a t m e m b e r e n d s u s i n g u n i a x i a l y i e l d m o m e n t s . 3. C h e c k f o r c o n v e r g e n c e . 4 . C a l c u l a t e s u b s t i t u t e d a m p i n g r a t i o s o f m e m b e r s . (2 . ) I t e r a t i o n n F r a m e B C a r r y o u t t h e s t e p s g i v e n u n d e r F r a m e A , a b o v e . N O T E T h e b e n d i n g m o m e n t c a p a c i t i e s a t t h e t w o e n d s o f a m e m b e r h a v e t o b e t h e s a m e i n t h e c a s e o f P I T S A . I n o r d e r t o a c c o m m o d a t e t h e b i a x i a l b e n d i n g i n t e r a c t i o n i n P I T S A - 2 , t h e a b o v e p r o c e d u r e w a s m o d i f i e d a s f o l l o w s . 57 L e t t h e e l a s t i c CQC moments r e a c h e d d u r i n g an i t e r a t i o n i n a common c o l u m n member i n f r a m e s A a n d B be a n d M _ . i n A B t h e r e s p e c t i v e f r a m e d i r e c t i o n s . A l s o l e t t h e r e s p e c t i v e u n i a x i a l b e n d i n g moment c a p a c i t i e s be M A Q and M g n . T h e n , a s s u m i n g t h e moments t o i n c r e a s e u n i f o r m l y f r o m z e r o , t h e p o i n t o f c r o s s i n g o f t h e i n t e r a c t i o n s u r f a c e c a n be f o u n d f r o m where a n d a r e t h e r e s p e c t i v e c o o r d i n a t e s o f t h e p o i n t s o f c r o s s i n g o f t h e y i e l d s u r f a c e ( F i g . 5 . 8 ) . T h e r e f o r e , "I ( 5 . 9 ) M . M . ( 5 . 1 0 ) Then f r o m e q u a t i o n s 5.4 and 5.10, ( 5 . 1 1 ) T h e r e f o r e , M B M A 0 M B 0 ( 5 . 1 2 ) T h e r e f o r e f r o m e q u a t i o n s 5.10 a n d 5.12 t h e y i e l d moment v a l u e s i n t h e two d i r e c t i o n s u n d e r b i a x i a l b e n d i n g a r e a v a i l a b l e , a n d c a n be u s e d t o c h e c k t h e y i e l d i n g w i t h t h e 58 a c t u a l e l a s t i c moments M^ and Mg. I f M A < M y t h e n t h e end i s e l a s t i c i n b o t h d i r e c t i o n s w i t h Mfi < M y. The damage r a t i o s a r e c a l c u l a t e d w i t h r e s p e c t t o t h e s e new y i e l d moments ( F i g . 5 . 9 ) . The a d o p t i o n o f t h e ab o v e i n t o t h e programme was done a s f o l l o w s . I t e r a t i o n n 1. C a l c u l a t e CQC f o r c e s f o r a l l members i n a l l f r a m e s . S u b r o u t i n e FORSP1 t o be u s e d . 2. U s i n g t h e CQC f o r c e s c a l c u l a t e y i e l d moments M y and M y f o r a l l common c o l u m n s . S u b r o u t i n e BMYCAL t o be u s e d . 3. C a l c u l a t e damage r a t i o s a n d c h e c k c o n v e r g e n c e c r i t e r i a a t e a c h y i e l d e d e n d o f e v e r y member. A l s o c a l c u l a t e member s u b s t i t u t e d a m p i n g r a t i o s . S u b r o u t i n e DRATIO t o be u s e d . N o t e I n P I T S A t h e c o n v e r g e n c e i n b e n d i n g moment was c h e c k e d o n l y a t t h e end w i t h t h e h i g h e r damage r a t i o . I n t h e p r o c e d u r e o f PI T S A , a s t h e r e was no i n t e r a c t i o n o f b i a x i a l moments, i t was p o s s i b l e t o a n a l y s e e a c h f r a m e s e p a r a t e l y f o r i t s f o r c e s a n d damage r a t i o s a t o n c e w i t h i n t h e s u b r o u t i n e FORSP, w i t h no c o n s i d e r a t i o n b e i n g g i v e n t o t h e f o r c e s i n t h e i n t e r s e c t i n g f r a m e members. B u t i n t h e new v e r s i o n P I T S A - 2 , i t i s no l o n g e r p o s s i b l e t o do s o , a s , i n common c o l u m n members, t h e y i e l d moments i n one d i r e c t i o n 59 w i l l 'depend on t h e b e n d i n g moment i n t h e p e r p e n d i c u l a r d i r e c t i o n . Hence t h e n e c e s s i t y f o r t h e new p r o c e d u r e . I t i s t o be n o t e d t h a t d u r i n g i t e r a t i o n s i n PITSA, t h e s t i f f n e s s e s o f members a r e c h a n g e d ( t o s u b s t i t u t e s t i f f n e s s e s ) w h i l e t h e s t r e n g t h s a r e k e p t c o n s t a n t . B u t , i n t h e new p r o c e d u r e u s e d i n P I T S A - 2 , d u r i n g i t e r a t i o n s t h e y i e l d c a p a c i t i e s u n d e r b i a x i a l b e n d i n g i n t h e p r i n c i p a l a x i s d i r e c t i o n s ( M y a n d M y ) , may k e e p on c h a n g i n g ( F i g . 5.10) u n t i l c o n v e r g e n c e i s a c h i e v e d . B u t t h e f o r m u l a u s e d t o c a l c u l a t e damage r a t i o s ( e q . 4.2) s t i l l h o l d s u n d e r t h i s v a r i a t i o n . As m e n t i o n e d a b o v e , w i t h t h e i n c o r p o r a t i o n o f b i a x i a l b e n d i n g , t h e c o n v e r g e n c e c h e c k i n b e n d i n g moment on a member i s done a t b o t h o f i t s e n d s ( p r o v i d e d b o t h e n d s h a v e y i e l d e d ) . I n PI T S A c o n v e r g e n c e i n b e n d i n g moment was c h e c k e d o n l y a t t h e e n d w i t h t h e h i g h e r b e n d i n g moment; c h e c k i n g a t b o t h e n d s was u n i m p o r t a n t due t o t h e s p e c i f i c a t i o n o f e q u a l b e n d i n g moment c a p a c i t i e s a t t h e two e n d s a nd v e r y l o w s t r a i n - h a r d e n i n g r a t i o s . B u t i n PI T S A - 2 t h e y i e l d moments a t member e n d s c a n be d i f f e r e n t e i t h e r due t o s p e c i f i c a t i o n , o r , i n common c o l u m n s , e v e n when e q u a l c a p a c i t i e s a r e s p e c i f i e d , due t o t h e l o w e r i n g o f y i e l d moments by b i a x i a l i n t e r a c t i o n . T h u s , i t becomes i m p o r t a n t t o c h e c k c o n v e r g e n c e i n b e n d i n g moment a t b o t h e n d s o f t h e member. C h a p t e r 6 D U CTILITY DEMAND 6.1 INTRODUCTION I t i s r a r e l y t h a t e x t r e m e g r o u n d m o t i o n s o c c u r a t a g i v e n s i t e . T h e r e f o r e most s t r u c t u r e s a r e a b l e t o c o m p l e t e t h e i r u s e f u l l i v e s w i t h o u t e x p e r i e n c i n g t h e h i g h g r o u n d m o t i o n s s p e c i f i e d . T h i s makes i t u n r e a l i s t i c a l l y c o n s e r v a t i v e and e x p e n s i v e t o d e s i g n s t r u c t u r e s t o behave w i t h i n t h e e l a s t i c r a n g e u n d e r s u c h h i g h g r o u n d s h a k i n g . T h e r e f o r e t h e y a r e d e s i g n e d t o make them behave i n a d u c t i l e manner u n d e r t h e s t r o n g s h a k i n g . H e r e s t r u c t u r a l members a r e a l l o w e d t o y i e l d a n d make s i g n i f i c a n t e x c u r s i o n s b e y o n d t h e e l a s t i c r a n g e , b u t t h e s t r u c t u r a l damage i s c o n t r o l l e d and t h e s t r u c t u r a l i n t e g r i t y p r e s e r v e d , s o t h a t t h e s t r u c t u r e d o e s n o t p o s e an undue h a z a r d t o humans. The b u i l d i n g c o d e s i m p l y t h e amounts of d u c t i l i t y t o be made a v a i l a b l e i n d i f f e r e n t t y p e s o f s t r u c t u r e s . D u c t i l i t y i s n o r m a l l y m e a s u r e d by t h e r a t i o o f t h e o v e r a l l d i s p l a c e m e n t o f t h e s t r u c t u r e t o t h a t a t t h e e l a s t i c l i m i t . T h i s i s t h e d e f i n i t i o n u s e d i n t h e d e s i g n p r o c e d u r e o f t h e N a t i o n a l B u i l d i n g Code o f C a n a d a 1 3 . T h i s i s n o t a p r e c i s e d e f i n i t i o n a s t h e d e f o r m a t i o n p a t t e r n o f a c o m p l e x s t r u c t u r e may be d i f f e r e n t i n t h e two c a s e s . The a d d i t i o n a l c o n c e p t o f member o r l o c a l d u c t i l i t y i s a l s o u s e d , and t h e n e e d f o r t h i s c o n c e p t a r i s e s b e c a u s e o f t h e d i f f e r e n c e i n t h e d u c t i l i t y r e q u i r e m e n t s o f d i f f e r e n t members f o r a g i v e n 60 61 v a l u e o f s t r u c t u r e d u c t i l i t y . The member d u c t i l i t y c a n be m e a s u r e d by t h e c u r v a t u r e d u c t i l i t y (u^ ) w h i c h i s d e f i n e d a s ^ t o t a l ^ p l a s t = = 1 + ( 6 . 1 ) ^ e l a s t " ^ e l a s t where ^ t o t a l = t o t a-'- c u r v a t u r e a t member e n d , ^ e l a s t = e l a s t ^ c c u r v a t u r e a t member e n d , and ^ p l a s t = P ^ - a s t ^ c c u r v a t u r e a t member end ( F i g . 6 . 1 ) . As t h e two c o m p u t e r programmes DRAINTABS-2 and P I T S A - 2 a r e a n a l y t i c a l t o o l s , t h e i r u s e f u l n e s s a l s o l i e s i n t h e a b i l i t y t o o u t p u t t h e i n d i v i d u a l member d u c t i l i t y demands u n d e r a g i v e n e a r t h q u a k e e x c i t a t i o n . T h e r e f o r e b o t h programmes were made c a p a b l e o f o u t p u t t i n g t h e c u r v a t u r e d u c t i l i t y demands o f a l l members. The t i m e s t e p a t maximum c u r v a t u r e d u c t i l i t y i s a l s o p r i n t e d o u t i n t h e c a s e o f DRAINTABS-2. A b r i e f d e s c r i p t i o n o f t h e p r o c e d u r e i n v o l v e d i s g i v e n i n t h e f o l l o w i n g s e c t i o n s . 6.2 CURVATURE D U C T I L I T Y DEMAND I N TIME-STEP ANALYSIS 6.2.1 GENERAL As d e s c r i b e d i n C h a p t e r 3, t h e c o m p u t e r programme DRAINTABS o u t p u t s t h e maximum p l a s t i c h i n g e r o t a t i o n s o f a l l member ends a c c o r d i n g t o F i g . 3.4. I n t h e new v e r s i o n DRAINTABS-2, w h i c h c o n s i d e r s b i a x i a l b e n d i n g i n t e r a c t i o n i n common c o l u m n s , b e c a u s e o f t h e v a r i a t i o n o f y i e l d moment i n 62 t h e p r i n c i p a l a x i s ( f r a m e ) d i r e c t i o n , t h e c a l c u l a t i o n o f p l a s t i c h i n g e r o t a t i o n s f o r common c o l u m n s w i l l o c c u r a s shown i n F i g . 6.2. A t p r e s e n t t h e c u r v a t u r e d u c t i l i t y c a l c u l a t i o n i s i n c l u d e d o n l y f o r E l e m e n t 7. 6.2.2 MEMBERS I N UNIAXIAL BENDING The c a l c u l a t i o n o f c u r v a t u r e d u c t i l i t y demand r e q u i r e s t h e maximum p l a s t i c c u r v a t u r e (^p]_aSj-)» w h i c h c o r r e s p o n d s t o t h e maximum p l a s t i c h i n g e r o t a t i o n ^ p i a s t ^ ' a n o - t * i e v a l u e o f c u r v a t u r e a t y i e l d ^ e ] _ a s t ^ * A s s u m i n g r o t a t i o n s t o be s m a l l , t h e c u r v a t u r e a t y i e l d c a n be c a l c u l a t e d f r o m * e l a s t " n ( 6 - 2 ) where M v i s t h e y i e l d moment a n d EI i s t h e ( c r a c k e d ) f l e x u r a l r i g i d i t y a t t h e member e n d . I f t h e p l a s t i c h i n g e l e n g t h i s L p t h e n t h e maximum c u r v a t u r e c h a n g e due t o p l a s t i c h i n g e r o t a t i o n (^p^ggf.) c a n be c a l c u l a t e d f r o m , a p l a s t ^ , 4. = — (6.3) P l a s t L p I t i s t o be n o t e d t h a t t h e a b o v e a s s u m p t i o n o f a f i n i t e p l a s t i c h i n g e l e n g t h c o n t r a d i c t s t h e o r i g i n a l a s s u m p t i o n o f z e r o h i n g e l e n g t h , u s e d i n t h e d y n a m i c a n a l y s i s . As t h e f i n i t e l e n g t h i s assumed o n l y f o r t h e c u r v a t u r e c a l c u l a t i o n s , a n d d o e s n o t a f f e c t t h e d y n a m i c a n a l y s i s , t h e 63 c o n t r a d i c t i o n i s a c c e p t e d . The p l a s t i c h i n g e l e n g t h t o be u s e d f o r e a c h member may be i n p u t u n d e r member i n f o r m a t i o n , a n d a v a l u e o f o n e - h a l f of t h e e f f e c t i v e d e p t h i s s a i d t o be r e a s o n a b l e 1 " . I f n o t i n p u t , a d e f a u l t v a l u e o f o n e - t w e n t i e t h t h e member l e n g t h i s u s e d by t h e programme. The same p r o c e d u r e i s a d o p t e d f o r p l a s t i c h i n g e l e n g t h s i n t h e programme P I T S A - 2 . I n t h e c a s e o f c o l u m n s i t i s a d v i s a b l e t o a l w a y s i n p u t t h e p l a s t i c h i n g e l e n g t h , a s t h e d e f a u l t v a l u e w i l l be t o o l o w f o r them. T h u s , k n o w i n g t h e maximum c u r v a t u r e u n d e r p l a s t i c r o t a t i o n a n d t h e c u r v a t u r e a t t h e e l a s t i c l i m i t , t h e c u r v a t u r e d u c t i l i t y demand c a n be c a l c u l a t e d f o r a l l member e n d s , u s i n g e q u a t i o n 6.1. I n a d d i t i o n t o t h e c u r v a t u r e d u c t i l i t y demand, t h e programme w i l l o u t p u t t h e t i m e o f o c c u r r e n c e o f t h e maximum demand a t e a c h member e n d , w h i c h i s t h e same a s t h a t a t maximum p l a s t i c h i n g e r o t a t i o n . I t i s t o be n o t e d t h a t a s l i g h t e r r o r w i l l o c c u r i n DRAINTABS-2 i n t h e p r e s e n c e o f s t r a i n h a r d e n i n g , due t o t h e u s e , i n t h e s e c a l c u l a t i o n s , o f o n l y t h e e l a s t o - p l a s t i c component o f t h e member. T h e r e f o r e t h e p r e s e n t p r o c e d u r e w o r k s o n l y i f t h e s p e c i f i e d s t r a i n - h a r d e n i n g i s s m a l l . 6.2.3 COMMON COLUMNS Common c o l u m n s g e n e r a l l y b e nd a b o u t b o t h p r i n c i p a l a x e s , a n d t h e r e f o r e s e p a r a t e c u r v a t u r e d u c t i l i t y demands a b o u t t h e two p r i n c i p a l a x e s w i l l g e n e r a l l y n o t i n d i c a t e t h e r e a l demands. Thus a p r o c e d u r e t h a t a p p r o x i m a t e l y t a k e s t h e 6 4 d i r e c t i o n o f b e n d i n g i n t o a c c o u n t w a s d e v e l o p e d . I n t h i s m e t h o d t h e y i e l d c u r v a t u r e a b o u t t h e b e n d i n g m o m e n t a x i s i s f o u n d , a n d t h e r e s u l t a n t p l a s t i c h i n g e r o t a t i o n i s u s e d t o f i n d t h e p l a s t i c c u r v a t u r e . T h e a x i s o f t h e m o m e n t , i n s t e a d o f t h e r e a l a x i s o f r o t a t i o n ( t h e s e g e n e r a l l y b e i n g d i f f e r e n t ) , i s u s e d b e c a u s e o f t h e c o m p l i c a t i o n s i n t h e c a l c u l a t i o n o f t h e l a t t e r f o r a c r a c k e d r e i n f o r c e d c o n c r e t e s e c t i o n . A n a l t e r n a t i v e p r o c e d u r e w o u l d b e t o c o m p u t e a n a x i s o f r o t a t i o n a s s u m i n g a h o m o g e n e o u s u n c r a c k e d s e c t i o n . H o w e v e r , t r i a l h a n d c a l c u l a t i o n s i n d i c a t e d t h a t t h e m o m e n t a x i s w a s c l o s e r t o t h e t r u t h . I t i s t o b e n o t e d t h a t t h e v e c t o r a d d i t i o n o f t h e c u r v a t u r e d u c t i l i t i e s i n t h e p r i n c i p a l a x i s d i r e c t i o n s w o u l d g e n e r a l l y n o t g i v e e i t h e r t h e s a m e r e s u l t a s w o u l d b e g i v e n b y t h e a p p r o x i m a t e p r o c e d u r e , o r t h e t r u e c u r v a t u r e d u c t i l i t y . A s t h e r o t a t i o n s a r e a s s u m e d t o b e s m a l l , t h e r e s u l t a n t p l a s t i c h i n g e r o t a t i o n s a t a m e m b e r e n d c a n b e f o u n d b y t h e v e c t o r a d d i t i o n o f t h e r o t a t i o n s i n t h e t w o p r i n c i p a l a x i s d i r e c t i o n s . T h a t i s , " p l a s t - i f <>| x * * | y < « . « > w h e r e c ? p x a n d t ? p y a r e t h e p l a s t i c h i n g e r o t a t i o n s a b o u t t h e p r i n c i p a l a x e s X a n d Y , r e s p e c t i v e l y . T h e n t h e c u r v a t u r e c h a n g e u n d e r p l a s t i c h i n g e r o t a t i o n C^p]_ a s t) c a n D e f o u n d f r o m e q u a t i o n 6 . 3 . 65 The e l a s t i c c u r v a t u r e i s a p p r o x i m a t e l y c a l c u l a t e d as f o l l o w s . Shown i n F i g . 6.3 i s a r e c t a n g u l a r member s e c t i o n . The moments o f i n e r t i a o f t h e u n c r a c k e d s e c t i o n a b o u t t h e p r i n c i p a l a x e s X a n d Y a r e I x and I y , r e s p e c t i v e l y . I f i t i s assumed t h a t t h e c r a c k e d moment o f i n e r t i a a b o u t any a x i s i s a c o n s t a n t p r o p o r t i o n " a " o f t h e u n c r a c k e d v a l u e a b o u t t h e same a x i s , w i t h a i n d e p e n d e n t o f t h e o r i e n t a t i o n o f t h e a x i s , t h e n ( a ) I c r (b) ( 6 . 5 ) Y I c r a l ( c ) e e Now, f o r t h e u n c r a c k e d s t a t e 1 8 16 = I x C o s 2 0 + I v S i n 2 0 ( 6 . 6 ) T h e r e f o r e f r o m e q u a t i o n s 6.5 a n d 6.6, c r l£ C o s 2 t ? + I y S i n 2 t ? ( 6 . 7 ) T h e r e f o r e t h e c r a c k e d s e c o n d moments o f a r e a a b o u t any a x i s c a n be c a l c u l a t e d u s i n g t h o s e a b o u t t h e two p r i n c i p a l a x e s . Then t h e c u r v a t u r e a t t h e e l a s t i c l i m i t i s g i v e n b y , 66 M * e l a s t ' — ( 6 - 8 ) where M, t h e r e s u l t a n t m o ment,is g i v e n b y , M = ^ M x 2 + M y 2 (6.9) w i t h M x a n d M v b e i n g t h e moments a b o u t t h e r e s p e c t i v e p r i n c i p a l a x i s d i r e c t i o n s . Now t h e d i r e c t i o n o f t h e moment a x i s , 6, i s g i v e n by M t a n 6 = — (6.10) M x Then e q u a t i o n s 6.7 t o 6.10, i n c l u s i v e , g i v e ( M 2 + M 2)"^ ^ e l a s t = h Y c r ( 6 ' 1 1 ) e i a S t E ( M 2 I c r + M 2 I C r ) x x y y T h e r e f o r e c u r v a t u r e d u c t i l i t y c a n be c a l c u l a t e d u s i n g e q u a t i o n s 6.1, 6.3, 6.4 and 6.11. I n t h e programme t h e c u r v a t u r e d u c t i l i t y a t e a c h member end i s c a l c u l a t e d a t e a c h t i m e s t e p ( p r o v i d e d t h e member i s y i e l d e d ) , a n d t h e maximum v a l u e i s o u t p u t a s t h e c u r v a t u r e d u c t i l i t y demand. T h i s , i n s t e a d o f t h e c a l c u l a t i o n o f d u c t i l i t y demand u s i n g t h e maximum p l a s t i c h i n g e r o t a t i o n , i s n e c e s s a r y b e c a u s e o f t h e v a r i a t i o n o f t h e c u r v a t u r e a t y i e l d , d e p e n d i n g on t h e d i r e c t i o n o f t h e r e s u l t a n t moment a t e a c h i n s t a n t . 67 6.3 CURVATURE DUCTILITY DEMAND IN PI T S A - 2 6.3.1 GENERAL As d e s c r i b e d p r e v i o u s l y , t h e c o m p u t e r programme PITSA o u t p u t s , among o t h e r d a t a , t h e f i n a l CQC d i s p l a c e m e n t s a t t h e j o i n t s a n d t h e CQC f o r c e s a n d damage r a t i o s a t member e n d s . A l t h o u g h t h e damage r a t i o i s an i n d i c a t o r o f t h e amount o f y i e l d i n g , i t i s , i n g e n e r a l , an a b s t r a c t q u a n t i t y d e f i n e d w i t h t h e f a r end f i x e d . T h e r e f o r e i t c a n n o t n o r m a l l y be u s e d t o f i n d t h e r e a l d u c t i l i t y demand a t a member end i n t h e s t r u c t u r e . T h u s , t h e f o l l o w i n g p r o c e d u r e was d e v e l o p e d , u s i n g t h e f i n a l CQC f o r c e s a n d t h e member end r o t a t i o n s , t o f i n d c u r v a t u r e d u c t i l i t y demands. I n t h e programme, t h e d u c t i l i t y c a l c u l a t i o n s a r e done o n l y d u r i n g t h e f i n a l i t e r a t i o n . 6.3.2 MEMBERS WITH U N I A X I A L BENDING The c u r v a t u r e a t y i e l d ^ e l a s t ^ c a n " 3 e ^ o u n o - ^ r o m e q u a t i o n 6.2. The c u r v a t u r e i n c r e a s e due t o p l a s t i c h i n g e r o t a t i o n c a n be f o u n d f r o m e q u a t i o n 6.3. As w i t h DRAINTABS-2, e i t h e r t h e p l a s t i c h i n g e l e n g t h c a n be i n p u t ( o n e - h a l f o f t h e e f f e c t i v e d e p t h ) o r i t c a n be a w a r d e d t h e d e f a u l t v a l u e o f o n e - t w e n t i e t h o f t h e member l e n g t h . The p l a s t i c h i n g e r o t a t i o n ( 0 p ) i s f o u n d a s f o l l o w s . L e t t ? T be t h e CQC'd sum o f t h e member end r o t a t i o n s f r o m e a c h mode u n d e r e a c h e a r t h q u a k e c o m p o n e n t . The i n d i v i d u a l m odal v a l u e s a r e c a l c u l a t e d f r o m t h e c o r r e s p o n d i n g j o i n t 68 d i s p l a c e m e n t s , a n d i n c l u d e t h e e f f e c t o f member end t r a n s l a t i o n s . T h i s r o t a t i o n t ? T b e i n g t h e t o t a l member end r o t a t i o n , t h e p l a s t i c h i n g e r o t a t i o n a t t h e member end i s g i v e n by where t9 E i s t h e e l a s t i c member end r o t a t i o n . Then k n o w i n g 0 p and t h u s , t h e c u r v a t u r e d u c t i l i t y demand c a n be c a l c u l a t e d u s i n g e q u a t i o n s 6.1, 6.2 and 6.3. The e l a s t i c member end r o t a t i o n t?„ c a n be c a l c u l a t e d a s E f o l l o w s . L e t t h e CQC'd moments a t t h e ends 1 a n d 2 o f t h e u n i f o r m y i e l d e d member shown i n F i g . 6.4 be M, a n d M 2 r e s p e c t i v e l y . K n o w i n g t h e s e moments i t i s p o s s i b l e t o f i n d t h e e l a s t i c member e n d r o t a t i o n s 0, E and 0 2 E u n d e r t h e moments, u s i n g t h e e l a s t i c member s t i f f n e s s m a t r i x 2 0 . I t i s t o be n o t e d t h a t t h e s e r o t a t i o n s i n c l u d e t h e e f f e c t o f member e n d t r a n s l a t i o n s . F o r t h e moments shown i n F i g . 6.4, t h e e l a s t i c r o t a t i o n s a r e g i v e n b y , (6.1 2 ) - K M a (a) e a n d , ( 6 . 1 3 ) K bM, - K a M 2 e (b) 69 where K a K b (4+g) EI (1+g) L (2-g) E l (1+g) L 12 EI g = A G L 2 v G = s h e a r m o d u l u s , a n d A y = e f f e c t i v e s h e a r a r e a . I t i s t o be n o t e d t h a t t h e CQC moments M, a n d M 2 o b t a i n e d f r o m t h e a n a l y s i s w i l l be d e v o i d o f s i g n s , w h e r e a s t h e r o t a t i o n s o f e q u a t i o n 6.13 d e p e n d on t h e s i g n s o f t h e moments, i . e . on w h e t h e r t h e member i s i n s i n g l e o r d o u b l e c u r v a t u r e . T h e r e f o r e t h e b e n d i n g p a t t e r n u n d e r CQC moments i s assumed t o be s i m i l a r t o t h a t o f t h e d o m i n a n t mode, a n d t h e a p p r o p r i a t e s i g n s a r e e m p l o y e d b e f o r e u s i n g i n e q u a t i o n 6.13. I n t h e c o m p u t e r programme t h e b e n d i n g p a t t e r n i n e a c h member i s r e c o r d e d by t h e v a r i a b l e KODE. As t h e t o t a l r o t a t i o n o b t a i n e d i n t h e m o d a l a n a l y s i s w i l l a l s o be d e v o i d o f a s i g n , i t t o o w i l l be g i v e n a s i g n c o n s i s t e n t w i t h t h e b e n d i n g p a t t e r n , b e f o r e u s e i n e q u a t i o n 6.12. The same r e s u l t s c o u l d h a v e been a c h i e v e d by u s i n g t h e m o d u l u s v a l u e s o f 6m a n d 9„ i n e q u a t i o n 6.12. 1 Cl 6.3.3 COMMON COLUMNS The t h e o r y u s e d f o r t h e c a l c u l a t i o n o f t h e c u r v a t u r e d u c t i l i t y demands i n common c o l u m n s i n PITSA-2 i s e s s e n t i a l l y t h e same a s t h a t u s e d i n DRAINTABS-2. The 70 e l a s t i c c u r v a t u r e ^ e ] _ a s t ^ * s r o u n d u s i n g t h e f i n a l CQC moments i n t h e two p r i n c i p a l a x i s d i r e c t i o n s i n e q u a t i o n 6.11. The c u r v a t u r e c h a n g e due t o p l a s t i c h i n g e r o t a t i o n i s f o u n d u s i n g t h e v e c t o r sum o f t h e p l a s t i c h i n g e r o t a t i o n s i n t h e two p r i n c i p a l a x i s d i r e c t i o n s ( e q u a t i o n s 6.3, 6.4 a n d 6 . 1 2 ) . Then t h e c u r v a t u r e d u c t i l i t y demand i s c a l c u l a t e d w i t h e q u a t i o n 6.1. C h a p t e r 7 S U B S T I T U T E D A M P I N G I N E L A S T O - P L A S T I C M A T E R I A L S 7 .1 G E N E R A L O n e o f t h e m o s t d i f f i c u l t d e c i s i o n s t o m a k e b e f o r e a n y d y n a m i c a n a l y s i s o f a s t r u c t u r e i s u n d e r t a k e n , i s t h e s e l e c t i o n o f a n a p p r o p r i a t e a m o u n t o f d a m p i n g . T h i s i s s o a s " e f f o r t s t o c a l c u l a t e d a m p i n g a r e s t i l l i n t h e v e r y e a r l y s t a g e s a n d v a l u e s f o r d e s i g n a r e u s u a l l y d e t e r m i n e d f r o m 1 5 e x p e r i e n c e " I n a m o d a l a n a l y s i s i t i s u s u a l t o a s s u m e a m o u n t s o f e q u i v a l e n t v i s c o u s d a m p i n g f o r t h e d i f f e r e n t m o d e s . I n t i m e s e r i e s a n a l y s i s a v i s c o u s d a m p i n g m a t r i x p r o p o r t i o n a l t o t h e m a s s m a t r i x a n d / o r s t i f f n e s s m a t r i x c a n b e a s s u m e d , a n d t h e p r o p o r t i o n a l i t y c o n s t a n t s c a n b e f o u n d i f t h e a m o u n t s o f e q u i v a l e n t v i s c o u s d a m p i n g i n m o d e s a r e k n o w n . I n t h e m o d i f i e d s u b s t i t u t e s t r u c t u r e m e t h o d , w h i c h i s a m o d a l a n a l y s i s , d a m p i n g h a s t o b e s p e c i f i e d f o r t h e m o d e s . B u t i n o r d e r t o a c c o u n t f o r t h e h i g h e r e n e r g y d i s s i p a t i o n d u r i n g v i b r a t i o n s i n t h e i n e l a s t i c r a n g e , t h e a m o u n t o f m o d a l d a m p i n g u s e d h a s t o b e c h a n g e d a s i t e r a t i o n p r o c e e d s . A t p r e s e n t t h e m e m b e r d a m p i n g r a t i o s i n e a c h m o d e a r e r e l a t e d t o t h e d a m a g e r a t i o i n a m a n n e r d e v e l o p e d b y G u l k a n a n d S o z e n 3 f o r m a t e r i a l h a v i n g t h e T a k e d a m o d e l o f h y s t e r e s i s l o o p . B u t t h i s r e l a t i o n s h i p c o m e s i n t o q u e s t i o n w h e n m a t e r i a l s w i t h o t h e r t y p e s o f h y s t e r e s i s l o o p a r e u s e d , s i n c e e n e r g y d i s s i p a t e d i n e l a s t i c a l l y d e p e n d s o n t h e t y p e o f 71 72 h y s t e r e s i s l o o p . 7.2 SUBSTITUTE DAMPING RATIO The r e p r e s e n t a t i o n o f e n e r g y d i s s i p a t e d by h y s t e r e s i s by e q u i v a l e n t v i s c o u s d a m p i n g c a n be a c h i e v e d by means o f t h e m o d e l d e v e l o p e d by J a c o b s e n ' 6 ( w h i c h was i n f a c t , u s e d by G u l k e n a nd S o z e n ) . I t c a n be p r o v e d t h a t t h e r e l a t i o n s h i p b e t w e e n damage r a t i o a n d s u b s t i t u t e d a m p i n g r a t i o f o r b i - l i n e a r m a t e r i a l , a c c o r d i n g t o t h i s m o d e l , i s g i v e n by 2 ( 1 -M S ) ( M - 1 ) where /3G = s u b s t i t u t e d a m p i n g r a t i o , |3Q = damping r a t i o d u r i n g t h e e l a s t i c s t a g e , u = damage r a t i o , a n d s = s t r a i n - h a r d e n i n g r a t i o . F o - r _ t h e e l a s t o - p l a s t i c c a s e s = 0 a n d e q u a t i o n 7.1 becomes ( 7 . 2 ) As t h e v a l u e s o f /3G f r o m e q u a t i o n s 7.1 a n d 7.2 seemed t o be on t h e h i g h s i d e , i t was d e c i d e d t o c h e c k t h e f o r m u l a by a d y n a m i c a n a l y s i s , a n d c a l i b r a t e i f n e c e s s a r y , a s was done e x p e r i m e n t a l l y by G u l k e n a n d S o z e n 3 on t h e i r f o r m u l a . T h e i r c a l i b r a t i o n p r o v i d e d a v a l u e o f 0.2, i n s t e a d o f \/-n a s o b t a i n e d by t h e o r e t i c a l c a l c u l a t i o n , f o r t h e c o n s t a n t C i n t h e e q u a t i o n 7 3 + ( 7 . 3 ) w i t h / 3 Q = 0 . 0 2 . E q u a t i o n 7 . 3 i s f o r r e i n f o r c e d c o n c r e t e h a v i n g t h e T a k e d a m o d e l o f h y s t e r e s i s l o o p . T h u s , i n t h e f o l l o w i n g c a l i b r a t i o n , a n a t t e m p t w a s m a d e t o o b t a i n a b e t t e r v a l u e " C " , i n s t e a d o f 2 / 7 r i n e q u a t i o n 7 . 1 , b y t h e u s e o f a n i n e l a s t i c d y n a m i c a n a l y s i s c o m p u t e r p r o g r a m m e . 7 . 3 S U B S T I T U T E D A M P I N G R A T I O F R O M I N E L A S T I C D Y N A M I C A N A L Y S I S S h o w n i n F i g . 7 . 1 i s a s i n g l e d e g r e e o f f r e e d o m ( S D O F ) s y s t e m w i t h a m a s s m a n d a r e s i s t i n g f o r c e F = F ( x ) w h e r e x i s t h e ( r e l a t i v e ) d i s p l a c e m e n t c o o r d i n a t e . T h e e q u i v a l e n t v i s c o u s d a m p i n g r a t i o i n t h e i n i t i a l e l a s t i c s t a g e i s a s s u m e d t o b e 0 . 0 2 . T h i s i n i t i a l d a m p i n g r a t i o i s i m p o r t a n t a s t h e r e s u l t s o b t a i n e d w i l l d e p e n d o n i t , t h u s m a k i n g a n y r e l a t i o n s h i p o b t a i n e d t r u e o n l y f o r c a s e s w i t h s i m i l a r i n i t i a l d a m p i n g v a l u e s . T h e e q u a t i o n o f m o t i o n o f t h e s t r u c t u r e u n d e r a b a s e e x c i t a t i o n c a n b e w r i t t e n a s w h e r e x = r e l a t i v e d i s p l a c e m e n t b e t w e e n t h e b a s e a n d t h e m a s s , Xg = b a s e d i s p l a c e m e n t , a n d c = e q u i v a l e n t v i s c o u s d a m p i n g f a c t o r . mx + c x + F ( x ) = - m x g ( 7 . 4 ) 74 M a n i p u l a t i o n o f e q u a t i o n 7 . 4 , a s c a r r i e d o u t i n A p p e n d i x A , r e s u l t s i n t h e f o l l o w i n g e q u a t i o n ( e q u a t i o n A . 4 o f A p p e n d i x A ) . m i a b s ( V ?* ft + c j x 2 d t + j F ( x ) d x = m ( x a b s x g d t ( 7 . 5 ) w h e r e x a b s = a b s o l u t e d i s p l a c e m e n t (= ( x + x ^ ) ) , T Q = i n i t i a l t i m e w h e n e v e r y t h i n g i s a t r e s t , a n d = f i n a l t i m e . I n e q u a t i o n 7 . 5 , e a c h t e r m r e p r e s e n t s a c o m p o n e n t o f e n e r g y a s f o l l o w s . ^ a b s ^ f ) = K i n e t i c e n e r g y o f t h e m a s s a t t i m e c j x 2 d t = T o t a l e n e r g y d i s s i p a t e d b y d a m p i n g , To / F ( x ) d x = Sum o f s t o r e d e n e r g y a n d e n e r g y d i s s i p a t e d b y h y s t e r e s i s . m j x a j 3 S X g d t = E n e r g y i n p u t b y t h e b a s e e x c i t a t i o n . Tb F u r t h e r m a n i p u l a t i o n o f e q u a t i o n 7 . 5 w o u l d g i v e ( e q u a t i o n A . 5 o f A p p e n d i x A ) , m x 2 ( T f ) z * 5 " ^ / T f + c / x 2 d t + (F (x )dx = - m i x x d t ( 7 . 6 ) 2 X J J 9 t=Te T„ I n e q u a t i o n 7 . 6 t h e f i r s t t e r m o n l e f t h a n d s i d e a n d t h e 75 t e r m o n t h e r i g h t h a n d s i d e d o n o t r e p r e s e n t p h y s i c a l q u a n t i t i e s , b u t t h e r e m a i n i n g t w o t e r m s r e p r e s e n t t h e s a m e e n e r g i e s a s d e s c r i b e d f o r e q u a t i o n 7 . 5 . E q u a t i o n 7 . 6 i s e a s i e r t o u s e w i t h t h e a v a i l a b l e c o m p u t e r p r o g r a m m e D R A I N - 2 D , a s t h e v e l o c i t i e s a n d a c c e l e r a t i o n s i n t h i s e q u a t i o n a r e d i r e c t l y a v a i l a b l e i n t h e p r o g r a m m e , w h e r e a s t h e q u a n t i t i e s r e q u i r e d f o r e q u a t i o n 7 . 5 c a n n o t b e i m m e d i a t e l y a c q u i r e d . T h u s e q u a t i o n 7 . 6 w a s u s e d a s t h e " e n e r g y " e q u a t i o n i n f i n d i n g t h e s u b s t i t u t e d a m p i n g r a t i o s ( / 3 ) . s I f T Q i s z e r o a n d T ^ i s t h e t i m e w h e n t h e s y s t e m h a s r e t u r n e d t o s t a t i c e q u i l i b r i u m , e q u a t i o n 7 . 6 b e c o m e s cjx2at + J?(x)dx. = - n / x g x d t ( 7 . 7 ) o „ o w h e r e F ( x ) d x n o w r e p r e s e n t s o n l y t h e e n e r g y d i s s i p a t e c L b y h y s t e r e s i s . Now t h e s u b s t i t u t e s t r u c t u r e f o r t h e a b o v e s y s t e m c a n b e d e f i n e d a s a n e l a s t i c s t r u c t u r e w i t h s t i f f n e s s K ' , w i t h F m a x K ' = ( 7 . 8 ) x m a x w h e r e F _ _ „ a n d x m ^ v r e p r e s e n t t h e a b s o l u t e v a l u e s o f m a x i m u m s h e a r f o r c e a n d m a x i m u m r e l a t i v e d i s p l a c e m e n t e x p e r i e n c e d b y t h e r e a l s t r u c t u r e . N o w , s u p p o s e i t i s a s s u m e d ( t h o u g h i t w i l l n o t g e n e r a l l y b e t r u e ) t h a t t h e r e a l a n d s u b s t i t u t e 76 s t r u c t u r e s go t h r o u g h t h e same v e l o c i t y h i s t o r y u n d e r a g i v e n e x c i t a t i o n . F o r t h e s u b s t i t u t e s t r u c t u r e , i n w h i c h no e n e r g y i s d i s s i p a t e d by h y s t e r e s i s , e q u a t i o n 7.7 c a n be w r i t t e n a s (7.9 ) T h e n , ( 7 . 1 0 ) Due t o t h e a s s u m p t i o n on v e l o c i t y h i s t o r y , t h e t e r m s on t h e r i g h t h a n d s i d e o f e q u a t i o n 7.10 c a n be o b t a i n e d f r o m an a n a l y s i s o f t h e r e a l s t r u c t u r e . A l s o , a s c s = ^s 2 m a ) ' ( 7 . 1 1 ) where c g = e q u i v a l e n t v i s c o u s d a m p i n g f a c t o r f o r t h e s u b s t i t u t e s t r u c t u r e , CJ' = undamped n a t u r a l f r e q u e n c y o f t h e s u b s t i t u t e s t r u c t u r e = \J&' /m , a n d 0 S = s u b s t i t u t e d a mping r a t i o , 7 7 f r o m e q u a t i o n 7 . 1 0 o n e c a n w r i t e o ( 7 . 1 2 ) T h i s ($ s g i v e s t h e r e q u i r e d v a l u e o f e q u i v a l e n t v i s c o u s d a m p i n g r a t i o , a s i t i s a s s u m e d i n t h e a n a l y s i s t h a t t h e s u b s t i t u t e s t r u c t u r e i s t o d i s s i p a t e t h e r e a l h y s t e r e s i s e n e r g y i n t h e f o r m o f v i s c o u s d a m p i n g . I t i s t o b e n o t e d t h e a m o u n t o f n o n - l i n e a r d e f o r m a t i o n u n d e r g o n e b y t h e r e a l s t r u c t u r e a n d t h e t y p e o f e x c i t a t i o n . 7 . 4 P R O C E D U R E F O R F I N D I N G Q U A N T I T I E S B Y A D Y N A M I C A N A L Y S I S e q u a t i o n 7 . 1 2 , b y t h e a n a l y s i s o f t h e r e a l s t r u c t u r e , i t i s r e q u i r e d t o w a i t t i l l t h e w h o l e s y s t e m r e a c h e s s t a t i c e q u i l i b r i u m . B u t i t m a y o n l y b e r e a c h e d a l o n g t i m e a f t e r t h e e n d o f t h e e x c i t a t i o n , d u e t o t h e l o w v a l u e o f d a m p i n g u s e d f o r t h e v i b r a t i o n s i n t h e e l a s t i c s t a g e . T h u s i t m a k e s i t n e c e s s a r y t o u s e a v e r y l a r g e n u m b e r o f t i m e s t e p s d u r i n g a t i m e s e r i e s a n a l y s i s . I n o r d e r t o r e d u c e t h e c o s t o f a n a l y s i s , t h e r e q u i r e d q u a n t i t i e s w e r e i n d i r e c t l y o b t a i n e d j u s t a f t e r t h e e n d o f t h e e x c i t a t i o n a s d e s c r i b e d b e l o w . I f T g r e p r e s e n t s a t i m e i n t h e p o s t - e x c i t a t i o n p e r i o d a t w h i c h t h e f o r c e o n t h e s t r u c t u r e i s z e r o , t h e n t h e t e r m t h a t f o r t h e g i v e n s t r u c t u r e t h i s v a l u e o f B w i l l d e p e n d o n I n o r d e r t o o b t a i n t h e 78 J F ( x ) d x r e p r e s e n t s o n l y t h e e n e r g y d i s s i p a t e d by o h y s t e r e s i s , w h i c h r e m a i n s c o n s t a n t d u r i n g t h e s u b s e q u e n t v i b r a t i o n s a l t h o u g h t h e p o t e n t i a l e n e r g y w i l l o s c i l l a t e a b o u t z e r o . A l s o t h e q u a n t i t y J x ^ x d t w i l l r e m a i n c o n s t a n t d u r i n g t h e w h o l e p o s t - e x c i t a t i o n p e r i o d a s x r e m a i n s z e r o y d u r i n g t h a t t i m e . H e n c e , i f e q u a t i o n 7.6 i s w r i t t e n f o r t i m e T and c o m p a r e d w i t h e q u a t i o n 7.7, fT* T £ m x 2 ( T E ) c | x 2 d t = c / x 2 d t + o T h e r e f o r e , , T f T £ m x 2 ( T E ) | x 2 d t = f x 2 d t + i . e . 2c / T i - , T£ m x 2 ( T E ) x 2 d t = | x 2 d t + ( 7 . 1 3 ) where co n = undamped n a t u r a l f r e q u e n c y o f t h e s t r u c t u r e . Thus a l l t h e r e q u i r e d q u a n t i t i e s c a n be o b t a i n e d s o o n a f t e r t h e e nd o f t h e e a r t h q u a k e e x c i t a t i o n . 7.5 THE COMPUTER ANALYSIS The c o m p u t e r programme DRAIN-2D" was u s e d f o r t h e n o n - l i n e a r t i m e - s e r i e s a n a l y s i s t o f i n d t h e s u b s t i t u t e d a m p i n g f a c t o r s f o r t h e c a l i b r a t i o n . T h i s programme u s e s t h e " C o n s t a n t A c c e l e r a t i o n M e t h o d " f o r t h e i n t e g r a t i o n o f t h e e q u a t i o n s o f m o t i o n . 79 F o r t h e p u r p o s e o f u s i n g t h e t i m e - s e r i e s a n a l y s i s , t h e r e q u i r e d i n t e g r a l s were w r i t t e n i n i n c r e m e n t a l f o r m u s i n g t h e a v e r a g e v a l u e s o f v a r i a b l e s d u r i n g e a c h t i m e s t e p . Ten t i m e s t e p s a f t e r t h e e x c i t a t i o n c e a s e d , t h e n e x t i n s t a n t o f z e r o e l a s t i c f o r c e was s e a r c h e d f o r . I f t h e r e was a c h a n g e of s i g n o f t h e f o r c e d u r i n g a t i m e s t e p , t h e n a l l t h e v a r i a b l e s were assumed t o v a r y l i n e a r l y w i t h i n t h e t i m e s t e p a nd t h e r e q u i r e d q u a n t i t i e s were c a l c u l a t e d up t o t h e t i m e o f z e r o e l a s t i c f o r c e . Once t h e p o i n t o f z e r o e l a s t i c f o r c e was r e a c h e d , t h e a n a l y s i s was t e r m i n a t e d . A t t h e end o f e a c h a n a l y s i s a c h e c k on t h e a c c u r a c y was done by c h e c k i n g t h e " e n e r g y " b a l a n c e u s i n g e q u a t i o n 7.6, w i t h T, = T„ . f E The e r r o r i n " e n e r g y " (ER%) was c a l c u l a t e d u s i n g t h e f o l l o w i n g e q u a t i o n , w h i c h was d e r i v e d f r o m e q u a t i o n 7.6 A - B ER X 100 % ( 7 . 1 4 ) B where A = c / x F ( x ) d x + mx 2 a n d B = -m x x d t o 80 7.6 THE RANGE OF STRUCTURES ANALYSED I n o r d e r t o c a l i b r a t e t h e d a m p i n g f o r m u l a , a r a n g e o f SDOF p o r t a l f r a m e s , w i t h p r o p e r t i e s a s g i v e n i n F i g . 7.1, were a n a l y s e d u n d e r d i f f e r e n t e a r t h q u a k e e x c i t a t i o n s , w i t h a c c e l e r a t i o n s a p p r o p r i a t e l y s c a l e d . The e x c i t a t i o n s u s e d were 1. E l C e n t r o 1940 E a r t h q u a k e NS c o m p o n e n t , 2. E l C e n t r o 1940 E a r t h q u a k e EW c o m p o n e n t , 3. T a f t 1952 E a r t h q u a k e N21E c o m p o n e n t , a n d 4. T a f t 1952 E a r t h q u a k e S69E c o m p o n e n t , w h i c h a r e e a r t h q u a k e s u s e d i n t h e f o r m u l a t i o n o f r e s p o n s e s p e c t r u m A by S h i b a t a a nd S o z e n 5 ; t h i s s p e c t r u m was u s e d i n t h e programme t e s t i n g g i v e n i n a s u b s e q u e n t c h a p t e r . The s t r u c t u r e s u s e d c o n s i s t e d o f f i v e s e t s , w i t h n a t u r a l p e r i o d s o f 0.2, 0.5, 1.0, 1.5 a n d 2.0 s e c o n d s . S i n c e i t was d e s i r e d t o o b t a i n a r a n g e o f damage r a t i o s f o r e a c h o f t h e a b o v e s e t s , u n d e r e a c h e a r t h q u a k e , a r a n g e of Y i e l d S t r e n g t h R a t i o s was u s e d . The Y i e l d S t r e n g t h R a t i o (YSR) was d e f i n e d by M c K e v i t t 1 7 a s t h e r a t i o b e t w e e n t h e h o r i z o n t a l a c c e l e r a t i o n r e q u i r e d t o p r o d u c e y i e l d i n g i n e r t i a f o r c e ( A ) a n d t h e maximum g r o u n d a c c e l e r a t i o n ( B ) . A i . e . YSR = - ( 7 . 1 5 ) B w i t h A a n d B a s d e f i n e d a b o v e . By m u l t i p l y i n g b o t h t h e d e n o m i n a t o r and t h e n u m e r a t o r o f e q u a t i o n 7.15 by t h e mass 81 of t h e s t r u c t u r e , L a t e r a l y i e l d s t r e n g t h (F ) . YSR = ( 7 . 1 6 ) Mass X Max. g r o u n d a c c e l e r a t i o n T h u s , d i f f e r e n t YSR v a l u e s c o u l d be o b t a i n e d by v a r y i n g e i t h e r t h e maximum g r o u n d a c c e l e r a t i o n o r t h e l a t e r a l y i e l d s t r e n g t h o f t h e s t r u c t u r e . E i g h t v a l u e s o f YSR were u s e d f o r e a c h o f t h e f i v e s e t s o f s t r u c t u r e s . The YSR v a l u e s were 0.1, 0.3, 0.5, 0.75, 1.0, 1.3, 1.7 a n d 3.0. An i n i t i a l e l a s t i c m o d a l d a m p i n g r a t i o o f 0.02 was assumed f o r a l l t h e s t r u c t u r e s a n d t h i s was i n p u t t o t h e c o m p u t e r programme a s mass d e p e n d e n t d a m p i n g . Mass d e p e n d e n t v i s c o u s d a m p i n g i s p r o v i d e d by a v i s c o u s d a m p i n g m a t r i x o f t h e f o r m [ C ] = a[M] ( 7 . 1 7 ) where a i s a c o n s t a n t " . F o r t h e SDOF s y s t e m , a = 2 $to ( 7 . 1 8 ) where $ = 0.02 ( a s c h o s e n ) , a n d to = undamped n a t u r a l f r e q u e n c y o f t h e SDOF s y s t e m . Mass d e p e n d e n t d a m p i n g was u s e d i n s t e a d o f s t i f f n e s s d e p e n d e n t d a m p i n g b e c a u s e t h e f o r m e r k e e p s t h e d a m p i n g m a t r i x u n c h a n g e d , t h u s m a k i n g i t p o s s i b l e t o u s e a c o n s t a n t 82 v a l u e f o r t h e damping f a c t o r c i n e q u a t i o n s s u c h a s e q . 7.6. 7.7 CALCULATION OF DAMAGE RATIO Damage r a t i o (J I) a c h i e v e d u n d e r e a c h a n a l y s i s was f o u n d u s i n g t h e f o l l o w i n g d e f i n i t i o n . K ( 7 . 1 9 ) where K = i n i t i a l l a t e r a l s t i f f n e s s o f t h e s t r u c t u r e = 666.67 K / i n f o r a l l s t r u c t u r e s , K' = s t i f f n e s s o f t h e s u b s t i t u t e s t r u c t u r e , = F /x , where max max' maximum l a t e r a l ( e l a s t i c ) f o r c e , a n d maximum l a t e r a l r e l a t i v e n o d a l d i s p l a c e m e n t , w i t h 4 M m a x / H e i g h t o f s t r u c t u r e , i n w h i c h max max max M max Maximum member b e n d i n g moment. The a b s o l u t e v a l u e s o f a l l q u a n t i t i e s were u s e d i n t h e a b o v e c a l c u l a t i o n s . 7.8 NATURAL FREQUENCY OF SUBSTITUTE STRUCTURE The undamped n a t u r a l f r e q u e n c y (a)' ) o f t h e s u b s t i t u t e s t r u c t u r e was c a l c u l a t e d u s i n g t h e e q u a t i o n ( 7 . 2 0 ) where K' i s t h e s t i f f n e s s o f t h e s u b s t i t u t e s t r u c t u r e a n d m i s t h e mass o f t h e s t r u c t u r e . 83 7.9 CALIBRATION I f 2 / 7 r o f e q u a t i o n 7.1 i s r e p l a c e d by a c o n s t a n t C w h i c h i s t o be f o u n d by c a l i b r a t i o n , ( 1 - M S ) U - 1 ) (B - 0.02) = C ( 7 . 2 1 ) s ( 1 - s ) M y = m x as 0Q i s e q u a l t o 0.02. T h e r e f o r e i f e q u a t i o n 7.21 i s t r u e , a g r a p h o f y = ( 0 S - 0.02) a g a i n s t x = ( 1 - y s ) (ju-1 )/( 1-S ) M w i l l be a s t r a i g h t l i n e o f s l o p e C. Then by p l o t t i n g t h e g r a p h u s i n g p°s a n d n v a l u e s o b t a i n e d by d y n a m i c a n a l y s i s i t s h o u l d be p o s s i b l e t o f i n d a r e a s o n a b l e v a l u e f o r t h e c o n s t a n t C. F o r t h e e l a s t o - p l a s t i c c a s e w here " s " i s z e r o , y = ( 0 S - 0.02) and . ( 7 . 2 2 ) But t h e p l o t o f x v s . y, w i t h 0 S f r o m e q u a t i o n 7.12 a n d n f r o m e q u a t i o n 7.19, was n o t a s t r a i g h t l i n e ( F i g . 7 . 2 ) . The p o i n t s f o r damage r a t i o s up t o 10 o n l y a r e p r e s e n t e d a s i t i s t h e r a n g e o f p r a c t i c a l i n t e r e s t . An a p p r o x i m a t e s t r a i g h t l i n e was f i t t e d a s shown, o b t a i n i n g a v a l u e o f 0.138 f o r t h e c o n s t a n t C. 84 F i g . 7.3 shows a p l o t o f damage r a t i o v s . s u b s t i t u t e d a m ping r a t i o ( f o r u < 10) f o r s = 0. A l s o shown i s t h e c u r v e f r o m e q u a t i o n 7.1 w i t h C e q u a l t o t h e v a l u e o f 0.138 a s f o u n d a b o v e . As c a n be s e e n t h e c u r v e d o e s n o t r e p r e s e n t t h e r e a l s u b s t i t u t e d a m p i n g f a c t o r s . The same c o n c l u s i o n was a r r i v e d a t , u s i n g o t h e r v a l u e s o f t h e c o n s t a n t C, and a l s o when s i m i l a r g r a p h s were p l o t t e d f o r t h e c a s e o f s = 0.015. Thus i t was d e c i d e d t o f i t an e m p i r i c a l c u r v e t o t h e d a t a p o i n t s o b t a i n e d . F i g . 7.4 shows a p l o t o f damage r a t i o v s . s u b s t i t u t e d a m p i n g r a t i o ( f o r u ^ 10) f o r s = 0, t o g e t h e r w i t h t h e c u r v e f i t t e d t o t h e d a t a . I t was f o u n d t h a t , t h e e q u a t i o n 0 S = 0.02 + 0 . 0 5 U - D 0 - 8 5 ( 7 . 2 3 ) f i t s t h e d a t a w e l l a s shown i n t h e f i g u r e . The f i t t i n g o f t h e c u r v e was done by e y e e s t i m a t i o n . Due t o t h e o t h e r a p p r o x i m a t i o n s made i n t h e t h e o r y , a p r e c i s e f i t was c o n s i d e r e d t o be u n n e c e s s a r y . F i g . 7.5 shows t h a t e q u a t i o n 7.23 f i t s t h e d a t a w e l l e v e n up t o a damage r a t i o o f t w e n t y . F i g . 7.6 shows a p l o t o f damage r a t i o v s . s u b s t i t u t e d a m p i n g f a c t o r f o r t h e c a s e s o f s = 0.0 a n d s = 0.015. As c a n be s e e n t h e p o i n t s f o r s = 0.0 g e n e r a l l y f a l l s j u s t b e l o w t h o s e f o r s = 0.015. T h i s i n d i c a t e s t h a t t h e c u r v e o f e q u a t i o n 7.23 c a n be u s e d f o r s = 0.015 a l s o , m a k i n g t h e u s e of i t c o n s e r v a t i v e f o r c a s e s w i t h v e r y s m a l l s t r a i n - h a r d e n i n g r a t i o s ( £ 0 . 0 1 5 ) . C h a p t e r 8 PROGRAMME TESTING 8.1 GENERAL Any c o m p u t e r programme, i f i t i s t o be u s e d w i t h c o n f i d e n c e , s h o u l d be c h e c k e d a g a i n s t known s o l u t i o n s o r p r o c e d u r e s known t o g i v e c o r r e c t r e s u l t s f o r t h e t e s t c a s e s . T h e s e c a n be e i t h e r e x p e r i m e n t a l r e s u l t s o r t h e r e s u l t s o b t a i n a b l e f r o m an e s t a b l i s h e d c o m p u t e r programme. The p r e s e n t l y m o d i f i e d programmes, u n f o r t u n a t e l y , h ad t o be c h e c k e d a g a i n s t e a c h o t h e r due t o t h e u n a v a i l a b i l i t y o f any c o r r e c t s o l u t i o n . The a g r e e m e n t o f r e s u l t s f r o m t h e two programmes w o u l d c o n f i r m them b o t h , w h i l e d i s a g r e e m e n t w o u l d open t h e d o o r t o s p e c u l a t i o n . As w i l l be e v i d e n t l a t e r , t h e l a t t e r o c c u r r e d i n t h i s i n s t a n c e . The programmes were m o d i f i e d o n l y w i t h r e g a r d t o b i a x i a l b e n d i n g , . s o _ _ i i _ was n o t n e c e s s a r y t o t e s t them u n d e r e l a s t i c r e s p o n s e ; o n l y i n e l a s t i c r e s p o n s e c o m p a r i s o n s were c a r r i e d o u t . 8.2 TEST STRUCTURES Two t e s t s t r u c t u r e s ( F i g . 8 . 1 ) , b o t h 2 b a y s X 3 b a y s a n d 3 s t o r i e s i n h e i g h t , were u s e d i n t h e t e s t i n g o f t h e programmes. The s t r u c t u r e s were c o d e d a s " S t r u c t u r e 1" a n d " S t r u c t u r e 2", f o r t h e p u r p o s e o f i d e n t i f i c a t i o n . The two s t r u c t u r e s were g e o m e t r i c a l l y i d e n t i c a l . The e l a s t i c p r o p e r t i e s were made s y m m e t r i c a l a b o u t t h e g e o m e t r i c c e n t r e 85 86 l i n e s , so t h a t t h e c e n t r e s of r e s i s t a n c e c o i n c i d e d w i t h t h e g e o m e t r i c c e n t r e s . I n S t r u c t u r e 1, w h i c h was s y m m e t r i c a l w i t h r e s p e c t t o mass p r o p e r t i e s , t h e c e n t r e s o f mass and r e s i s t a n c e c o i n c i d e d , w h i l e t h e r e was an e c c e n t r i c i t y o f 54 i n c h e s i n t h e X - d i r e c t i o n i n S t r u c t u r e 2. The c e n t r e s o f mass and r e s i s t a n c e a t a l l f l o o r s were a s s u m e d t o l i e i n v e r t i c a l s t r a i g h t l i n e s . The s e c o n d moment o f a r e a o f a l l beams was t a k e n a s 44921 i n " , w h i l e f o r c o l u m n s i t was t a k e n a s 27648 i n " . E a c h d i a p h r a g m was c o n s i d e r e d t o h a v e a w e i g h t o f 350 K and a moment o f i n e r t i a o f 2 . 5 6 2 X 1 0 7 K i n 2 a b o u t t h e c e n t r e o f mass. The member s t r e n g t h c a p a c i t i e s were d e t e r m i n e d by s i z i n g them a p p r o x i m a t e l y by t h e NBC c o d e 1 3 u n d e r a maximum g r o u n d a c c e l e r a t i o n o f 0.3 t i m e s t h e a c c e l e r a t i o n due t o g r a v i t y . T h u s , t h e member s t r e n g t h s o f t h e two s t r u c t u r e s a r e n o t t h e same. I n p a r t i c u l a r , t h e member s t r e n g t h s o f S t r u c t u r e 2 a r e n o t s y m m e t r i c a l a b o u t an a x i s t h r o u g h t h e g e o m e t r i c c e n t r e o f t h e s t r u c t u r e , p a r a l l e l t o t h e Y - a x i s . The member s t r e n g t h s u n d e r p o s i t i v e and n e g a t i v e b e n d i n g were t a k e n t o be t h e same. Member s t r e n g t h s o f t h e two s t r u c t u r e s a r e g i v e n i n F i g s . 8.2 a n d 8.3. The s t r a i n - h a r d e n i n g r a t i o o f a l l members was t a k e n a s 0.015, w h i l e a Young's M o d u l u s o f 3000 K s i was u s e d . I n t h e a n a l y s i s w i t h P I T S A - 2 , an e l a s t i c m o d a l d a m p i n g r a t i o o f 0.02 ( o f t h e c r i t i c a l ) was a ssumed f o r a l l t h e modes. T h i s v a l u e o f d a m p i n g r a t i o was n e c e s s i t a t e d by t h e r e s t r i c t i o n a r i s i n g f r o m t h e use o f t h e s u b s t i t u t e d a m p i n g f o r m u l a . I t 87 i s b e l i e v e d t o be a r e a s o n a b l e v a l u e f o r d a m p i n g i n a c o n c r e t e s t r u c t u r e i n t h e e l a s t i c r a n g e . I n DRAINTABS-2 t h e d a m p i n g was c o n s i d e r e d t o be mass p r o p o r t i o n a l , and t h e p r o p o r t i o n a l i t y c o n s t a n t a was c a l c u l a t e d u s i n g t h e f i r s t mode damping r a t i o and f r e q u e n c y . I t f o l l o w s t h a t , t h e m o d a l d a m p i n g r a t i o s i n o t h e r modes were n o t e q u a l t o 0.02 a s a ssumed f o r P I T S A - 2 , b u t t h e r e s u l t i n g e r r o r i s c o n s i d e r e d t o be n e g l i g i b l e due t o t h e d o m i n a n c e o f e n e r g y d i s s i p a t e d by h y s t e r e s i s . No s h e a r d e f o r m a t i o n o r load/moment i n t e r a c t i o n was c o n s i d e r e d . 8.3 ANALYSIS WITH PITSA-2 The a n a l y s i s w i t h P I TSA-2 was done u s i n g R e s p o n s e S p e c t r u m A o f S h i b a t a a n d S o z e n 5 . The s t r u c t u r e s were e x c i t e d i n b o t h X and Y d i r e c t i o n s , s i m u l t a n e o u s l y , w i t h a maximum g r o u n d a c c e l e r a t i o n o f 0.3 t i m e s t h e a c c e l e r a t i o n due t o g r a v i t y . The d i r e c t i o n s o f f o r c e a p p l i c a t i o n were c h a n g e d t o o b t a i n r e s p o n s e s u n d e r a l l p o s s i b l e c o m b i n a t i o n s o f d i r e c t i o n s . T h i s meant f o u r p o s s i b l e c a s e s f o r e a c h s t r u c t u r e , a l t h o u g h n o t a l l a n a l y s e s were c a r r i e d o u t due t o t h e e x i s t e n c e o f s ymmetry. 8.4 ANALYSIS WITH DRAINTABS-2 The t i m e s e r i e s a n a l y s i s w i t h DRAINTABS-2 was c a r r i e d o u t u n d e r t h e e x c i t a t i o n o f E l C e n t r o a n d T a f t e a r t h q u a k e r e c o r d s , w i t h b o t h c o m p o n e n t s o f e a c h r e c o r d b e i n g a p p l i e d s i m u l t a n e o u s l y . T h e s e e a r t h q u a k e s were c h o s e n b e c a u s e t h e y 88 a r e two o f t h e t h r e e e a r t h q u a k e s u s e d i n t h e d e r i v a t i o n o f t h e a b o v e m e n t i o n e d r e s p o n s e s p e c t r u m . The e a r t h q u a k e r e c o r d s were s c a l e d t o o b t a i n a maximum g r o u n d a c c e l e r a t i o n , i n t h e h i g h e r component o f g r o u n d m o t i o n , o f 0.3 t i m e s t h e a c c e l e r a t i o n due t o g r a v i t y . The two c o m p o n e n t s were a p p l i e d ' p a r a l l e l t o t h e X and Y a x e s o f t h e s t r u c t u r e s , w h i l e c o n s i d e r i n g a l l t h e p o s s i b l e d i r e c t i o n a l c o m b i n a t i o n s i n w h i c h t h e y c o u l d o c c u r . T h i s meant e i g h t a n a l y s e s u n d e r e a c h e a r t h q u a k e , b u t t h e e x i s t e n c e o f symmetry made i t u n n e c e s s a r y t o a n a l y s e a l l t h e c a s e s . A l t o g e t h e r e a c h s t r u c t u r e h a d s i x t e e n s e p e r a t e a n a l y s e s u n d e r b o t h e a r t h q u a k e s . A t i m e s t e p o f 0.004 s e c o n d s , w h i c h was a p p r o x i m a t e l y o n e - t e n t h o f t h e l e a s t n a t u r a l p e r i o d s o f t h e s t r u c t u r e s , was u s e d i n t h e a n a l y s e s . An a t t e m p t t o u s e a t i m e s t e p o f 0.001 s e c o n d was u n s u c c e s s f u l due t o a c c u m u l a t i o n o f n u m e r i c a l e r r o r s . The a n a l y s e s were c a r r i e d o u t f o r d u r a t i o n s o f 35.000 and 40.000 s e c o n d s u n d e r E l C e n t r o a n d T a f t r e c o r d s , r e s p e c t i v e l y . T h i s l o n g d u r a t i o n a n a l y s i s was r e q u i r e d due t o t h e p o s s i b l e p r e s e n c e o f t h e " b e a t i n g " phenomenon, a n d a l s o t h e s i m u l t a n e o u s b i a x i a l e x c i t a t i o n . The p r e s e n c e o f b e a t i n g , where two modes r e a c h t h e i r maximum r e s p o n s e s s i m u l t a n e o u s l y , c o u l d g i v e r i s e t o maximum s t r u c t u r e r e s p o n s e s l o n g a f t e r t h e o c c u r r e n c e o f maximum g r o u n d a c c e l e r a t i o n . T h i s l o n g d u r a t i o n a n a l y s i s was j u s t i f i e d by t h e f a c t t h a t i n c e r t a i n c a s e s maximum r e s p o n s e u n d e r E l C e n t r o o c c u r r e d a r o u n d 25 s e c o n d s , w h i l e u n d e r T a f t 89 t h e r e were maximum r e s p o n s e s e v e n a t 35 s e c o n d s . 8.5 COMPARISON OF RESULTS P r e s e n t e d a n d c o m p a r e d i n F i g . 8.4 a r e t h e a v e r a g e r e s u l t s o b t a i n e d f o r S t r u c t u r e 1 u n d e r P I T S A - 2 and DRAINTABS-2 c o m p u t e r programmes. The c o r r e s p o n d i n g q u a n t i t i e s f o r S t r u c t u r e 2 a r e p r e s e n t e d i n F i g . 8.5. As c a n be s e e n , t h e a g r e e m e n t i s p o o r f o r b o t h s t r u c t u r e s , t h u s p r e v e n t i n g a d e f i n i t e c o n c l u s i o n . B u t a s m e n t i o n e d i n C h a p t e r 5, t h e r e i s some d o u b t a b o u t a c c u r a c y o f t h e DRAINTABS-2 programme a s p r e s e n t l y m o d i f i e d . I t was n o t p o s s i b l e t o come t o a p r o p e r c o n c l u s i o n r e g a r d i n g P I T S A - 2 . N e v e r t h e l e s s , t h e r e i s a f a v o u r a b l e i n d i c a t i o n . P r e s e n t e d i n F i g . 8.6 a r e t h e d i a p h r a g m d i s p l a c e m e n t s o b t a i n e d f o r S t r u c t u r e 1, a n a l y s e d u n d e r b i a x i a l e x c i t a t i o n by P I T S A - 2 . The r e s u l t s show t o r s i o n a l d i s p l a c e m e n t s c a u s e d by t h e i n t r o d u c t i o n o f an e c c e n t r i c i t y , w i t h t h e y i e l d i n g o f members, a n d t h u s , i n d i c a t e t h e a b i l i t y o f P I T S A - 2 t o h a n d l e t h e c a s e . C h a p t e r 9 CONCLUSION 9.1 CONCLUSIONS As m e n t i o n e d i n C h a p t e r 8, i t i s n o t p o s s i b l e t o come t o a d e f i n i t e c o n c l u s i o n r e g a r d i n g P I T S A - 2 , due t o t h e u n r e l i a b i l i t y o f DRAINTABS-2 w i t h r e g a r d t o b i a x i a l b e n d i n g i n t e r a c t i o n . T h e r e f o r e no d e f i n i t e c o n c l u s i o n i s p r e s e n t e d i n t h i s t h e s i s , b u t p o s s i b l e f u r t h e r m o d i f i c a t i o n s t o i m p r o v e DRAINTABS-2 a r e g i v e n , w h i l e a r e a s f o r f u t u r e r e s e a r c h a r e m e n t i o n e d . 9.2 IMPROVEMENTS TO DRAINTABS-2 I n o r d e r t o o b t a i n a h i g h e r a c c u r a c y f r o m DRAINTABS-2, e i t h e r one o r b o t h o f t h e f o l l o w i n g c a n be c a r r i e d o u t . 1. C o n v e r s i o n o f t h e c o m p u t e r programme f r o m s i n g l e t o d o u b l e p r e c i s i o n . T h i s w i l l make i t p o s s i b l e t o use v e r y s m a l l t i m e s t e p s , c o n s e q u e n t l y m a k i n g t h e l i n e a r b e n d i n g moment i n c r e m e n t s d u r i n g t i m e s t e p s s m a l l e r a n d h e n c e r e d u c i n g t h e d i r e c t i o n a l i t y e f f e c t due t o y i e l d i n g . B u t t h e u s e o f s m a l l e r t i m e s t e p s w i l l i n c r e a s e t h e c o s t o f r u n n i n g t h e programme. 2. M o d i f i c a t i o n o f t h e s t r u c t u r e o f t h e c o m p u t e r programme, so t h a t y i e l d i n g c a n be c o n s i d e r e d by s i m u l t a n e o u s l y c o n s i d e r i n g t h e b e n d i n g moment i n c r e m e n t s f r o m b o t h f r a m e s . 90 91 3 A R E A S F O R F U T U R E R E S E A R C H A s m e n t i o n e d i n C h a p t e r 5 , d u r i n g t h e c a l c u l a t i o n o f c u r v a t u r e d u c t i l i t y d e m a n d , t h e a x i s o f p l a s t i c h i n g e r o t a t i o n a n d t h e a x i s o f m e m b e r e n d r o t a t i o n a t t h e e l a s t i c l i m i t , w o u l d g e n e r a l l y n o t b e t h e s a m e w h e n b i a x i a l b e n d i n g i s p r e s e n t . B u t t h e d e f i n i t i o n o f c u r v a t u r e d u c t i l i t y d e m a n d a s s u m e s t h e a b o v e a x e s t o c o i n c i d e . T h e r e f o r e i t i s n e c e s s a r y t o k n o w t h e e f f e c t o f t h i s d i s c r e p a n c y . I n t h e c o n s i d e r a t i o n o f b i a x i a l b e n d i n g , i n t h e c a s e o f P I T S A - 2 i t i s a s s u m e d t h a t t h e b e n d i n g m o m e n t c o m p o n e n t s i n c r e a s e u n i f o r m l y t o w a r d s t h e y i e l d s u r f a c e , t a k i n g a s t r a i g h t - l i n e p a t h o n t h e y i e l d i n t e r a c t i o n d i a g r a m . B u t i n D R A I N T A B S - 2 , t h e p a t h f o l l o w e d i s a r b i t r a r y a n d d e p e n d s o n e a c h i n d i v i d u a l p r o b l e m . T h e e f f e c t o f t h i s o n t h e c o m p a r i s o n o f c u r v a t u r e d u c t i l i t y d e m a n d s , i s u n k n o w n a n d w i l l w a r r a n t i n v e s t i g a t i o n . I n P I T S A - 2 , t h e s u b s t i t u t e d a m p i n g r a t i o s a r e c a l c u l a t e d i n c o m m o n c o l u m n s b y c o n s i d e r i n g t h e m a s s e p a r a t e m e m b e r s i n s e p a r a t e f r a m e s , w h e r e a s t h e y a r e i n f a c t a s i n g l e m e m b e r . T h u s , a b e t t e r w a y o f f i n d i n g s u b s t i t u t e d a m p i n g i n b i a x i a l m e m b e r s i s d e s i r a b l e . REFERENCES G u e n d e l m a n - I s r a e l , R., and P o w e l l , G. H., "DRAIN-TABS: A Computer P r o g r a m f o r I n e l a s t i c E a r t h q u a k e R e s p o n s e o f T h r e e D i m e n s i o n a l B u i l d i n g s " , R e p o r t No. EERC 77-08, U n i v e r s i t y o f C a l i f o r n i a B e r k e l e y , M a r c h 1977. Tarn, K. S. 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H u i , L., " P s e u d o N o n - l i n e a r S e i s m i c A n a l y s i s " , M a s t e r ' s t h e s i s , U n i v e r s i t y o f B r i t i s h C o l u m b i a , V a n c o u v e r , O c t o b e r 1984. 9. B r e s s l e r , B., " D e s i g n C r i t e r i a f o r R e i n f o r c e d Columns u n d e r A x i a l L o a d a n d B i a x i a l B e n d i n g " , J o u r n a l o f The A m e r i c a n C o n c r e t e I n s t i t u t e , November 1960, pp 481-490. 10. Parme, A. L., N i e v e s , J . M., and Gouwens, A. , " C a p a c i t y o f R e i n f o r c e d R e c t a n g u l a r Columns S u b j e c t t o B i a x i a l B e n d i n g " , J o u r n a l o f The A m e r i c a n C o n c r e t e I n s t i t u t e , S e p t e m b e r 1966, pp. 9 1 1 -923. 11. "CP110:1972 Code o f P r a c t i c e f o r t h e S t r u c t u r a l Use o f C o n c r e t e " , B r i t i s h S t a n d a r d s I n s t i t u t i o n , E n g l a n d , November 1972. 12. Kong, F. K., a n d E v a n s , R. 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B h a t t , P., " P r o b l e m s i n S t r u c t u r a l A n a l y s i s by M a t r i x M e t h o d s " , The C o n s t r u c t i o n P r e s s , E n g l a n d , 1981. i q . 3.1 FRAME WITH DEGREES OF FREEDOM (DRAINTABS) I X Adapted from Ref. 1 F i g . 3.2 DIAPHRAGM AND FRAME HORIZONTAL DISPLACEMENTS (DRAINTABS) M o m e n t B o t h C o m p o n e n t s / / \ , E l a s t o - P l a s t i c C o m p o n e n t E l a s t i c C o m p o n e n t R o t a t i o n Adapted from Ref. 19 96 F i g . 3.3 D E C O M P O S I T I O N O F B I L I N E A R R E L A T I O N S H I P I N T O TWO C O M P O N E N T S ( D R A I N T A B S ) M o m e n t M a x . P l a s t i c H i n g e R o t a t i o n M a x . P o s i t i v e R o t a t i o n R o t a t i o n Adapted from Ref. 19 Fig.' 3.4 MAXIMUM PLASTIC HINGE ROTATION (DRAINTABS) p 9 7 ( a ) B e a m T y p e B / P Pyc M y - V / M y * * D c (-) Pyt ( b ) S t e e l C o l u m n T y p e - P . Pyc B / M ( c ) C o n c r e t e C o l u m n T y p e Adapted from Ref. 19 F i g . 3.5 Y I E L D I N T E R A C T I O N S U R F A C E S ( D R A I N T A B S ) 98 E q u i l i b r i u m E q u i l i b r i u m p U n b a l a n c e U n b a l a n c e 1 i g . 3.6 E Q U I L I B R I U M C O R R E C T I O N F O R Y I E L D S U R F A C E O V E R S H O O T ( D R A I N T A B S ) g . 3.7 E L E M E N T A C T I O N S A N D D E F O R M A T I O N S ( D R A I N T A B S ) ( a ) C o d e = 0 ( b ) C o d e = 1 Adapted from Ref. 19 N o t e C o d e r e f e r s t o i n p u t c o o r d i n a t e s y s t e m c h o s e n F i g . 3 . 8 E N D C L A M P I N G A N D I N I T I A L F O R C E S ( D R A I N T A B S ) F i g . 3 . 9 E N D E C C E N T R I C I T I E S ( D R A I N T A B S ) 100 F i g . 4.1 D E F I N I T I O N OF DAMAGE RATIO U ) 101 4 . 2 C A L C U L A T I O N OF DAMAGE RATIO DURING I T E R A T I O N S 102 COMMON COLUMN 7777 7777 7777 F i g . 4.3(a) GROSS FRAME DEGREES OF FREEDOM COMMON COLUMN 7777" 7 7 7 7 7777 F i g . 4.3(b) CONDENSED FRAME DEGREES OF FREEDOM F i g . 4.4 PLAN OF n FLOOR, WITH FRAME AND DIAPHRAGM HORIZONTAL DISPLACEMENTS AT THAT LEVEL (PITSA) PITSA 105 Read i n d a t a - s t r u c t u r e , e a r t h q u a k e B u i l d s [ K ], [ M ] C a l c u l a t e p e r i o d s , mode shapes S u b s t i t u t e S t r u c t u r e Method C a l c u l a t e smeared damping r a t i o P e r f o r m spectrum a n a l y s i s E v a l u a t e f o r c e l e v e l s M o d i f y damage r a t i o s M o d i f y E I , member damping Check f o r convergence — YES F i g . 4 . 5 GENERAL CONCEPTUAL OUTLINE OF PITSA F i g . 5.1 YIELD INTERACTION SURFACE FOR R/C UNDER BIAXIAL BENDING 1 0 7 F i g . 5.3 BIAXIAL INTERACTION DIAGRAM USED FOR R/C 108 P (a) Frame A p4 (b) Frame B 5.4 STATE DETERMINATION IN COMMON COLUMNS (DRAINTABS) 109 M n ""I / l / 1 / ( 1 . M . y r -1 1 1 l \ i V 1 V M X X / Mx0 Y i e l d M o m e n t i n X - d i r e c t i o n , i f o n l y M v a r i e s 14.1 13.2 11.8 10.7 16.5 15. 1 16.4 15.2 11.7 10.8 14.1 13.2 8.0 7T3 6.3 8.3 7.8 8.3 7.7 6.3 5.8 8.0 7.3 6.5 4.0 4.5 3.9 3.2 2.6 2.5 5.9 5.1 4.2 4.5 5.8 2.8 2.9 3.7 3.2 6.5 5.7 3.9 . 4 TA TT 4.6 4.9 5.5 6. 1 r m T\ ( R e s p o n s e i n t e r m s o f c u r v a t u r e d u c t i l i t y d e m a n d ) A N A L Y S I S 1 A N A L Y S I S 2 ( a ) F r a m e 1 F i g . 5 . 6 A N A L Y S I S W I T H D R A I N T A B S - 2 W I T H F R A M E D I R E C T I O N S C H A N G E D 15-8 14.1 19.4 19.4 14.1 15 .8 ' 4 . 7 12.9 17.9 17 .9 12 .9 14 .7 9 9 7 .5 9 .8 9 .8 7 . 5 9 . 9 9. 3 7 .0 9 .2 7 .0 9 .3 4 . 5 5. 1 5.1 4 . 7 8 3 5 .4 2 .8 9 Q 7 .5 3 .0 7 .8 5 .3 8 .3 7 .6 771 c. * J 7.1 ^ 2 7.1 4 . 8 7 .7 4 .8 7 .4 8 .4 7 .8 9 .4 6.4 8 .0 7 .4 \ \ \ \ I V I \ \ \ V \ \ ANALYSIS 1 ( R e s p o n s e i n t e r m s o f c u r v a t u r e d u c t i l i t y d e m a n d ) ANALYSIS 2 ( b ) F r a m e 2 F i a . 5.6 ANALYSIS WITH DRAINTABS-2 WITH FRAME DIRECTIONS CHANGED ANALYSIS 1 T t T 23.9 24.0 12.5 12.5 9.5 9.6 20.8 21.0 20.8 21.0 11.3 11.2 11.3 11.2 7.4 7.5 1 .5 1 .5 1 .7 1 .6 7.4 7.5 3.3 3.5 TT 24. 1 24 . 1 12.6 12.6 9.3 9.4 ANALYSIS 2 4.8 9.4 r (Response i n terms o f c u r v a t u r e d u c t i l i t y demand) (c) Frame 3 F i g . 5.6 ANALYSIS WITH DRAINTABS-2 WITH FRAME DIRECTIONS CHANGED -24.5 24.2 22.3 22.8 23.3 22.8 25.6 25.4 ANALYSIS 1 ANALYSIS 2 ( R e s p o n s e i n t e r m s o f c u r v a t u r e d u c t i l i t y demand) (d) Frame 4 F i g . 5.6 ANALYSIS WITH DRAINTABS-2 WITH FRAME DIRECTIONS CHANGED ANALYSIS 1 4.2 4.5 2.8 2.9 5^1 6.1 23.7 23.3 12.3 12.8 9.9 9.9 21.0 20.8 21.0 20.8 10.5 10.4 2.5 2.7 7.8 7.8 3.9 4.0 10.5 10.4 2.0 1.9 7.8 7.8 24.7 24.5 12.8 13.0 9.0 9.7 5. 1 4.7 3.0 4.2 8.4 8.0 ANALYSIS 2 ( R e s p o n s e i n t e r m s o f c u r v a t u r e d u c t i l i t y demand) (e) Frame 5 F i g . 5.6 ANALYSIS WITH DRAINTABS-2 WITH FRAME DIRECTIONS CHANGED Z it* ANALYSIS 1 20.5 20.9 18.5 18.4 18.5 18.4 20.5 20.9 ANALYSIS 2 (Response i n terms of c u r v a t u r e d u c t i l i t y demand) ( f ) Frame 6 F i g . 5.6 ANALYSIS WITH DRAINTABS-2 WITH FRAME DIRECTIONS CHANGED F i g . 5.7 VARIABLES TRANSMITTED BETWEEN FRAMES TO CONSIDER BIAXIAL BENDING 1 1 7 F i g . 5.8 CALCULATION OF YIELD MOMENTS UNDER BIAXIAL BENDING IN PITSA-2 A , B = p r i n c i p a l a x i s d i r e c t i o n s 5.9 C A L C U L A T I O N O F D A M A G E R A T I O S W I T H NEW Y I E L D M O M E N T S ( 1 S I T E R A T I O N ) 1 19 M B 0 ' I t e r a t i o n 1 | ^ * ^ ^ \ \ 1 / I t e r a t i o n 2 ' ' \ MA MA MA M A ^ / M A 0 (a) C a l c u l a t i o n o f y i e l d moments F i g . 5.10 CHANGE OF YIELD MOMENTS DURING ITERATIONS 120 ( b ) C a l c u l a t i o n o f d a m a g e r a t i o F i g . 5.10 CHANGE OF YIELD MOMENTS DURING ITERATIONS 121 F i g . 6.1 CURVATURE DUCTILITY DEMAND 122 F i g . 6.2 PLASTIC HINGE ROTATIONS UNDER BIAXIAL BENDING i g . 6.4 CALCULATION OF ELASTIC MEMBER END ROTATIONS F ( x ) 124 F i g . 7.1 SDOF SYSTEM TO CALIBRATE DAMPING FORMULA F i g . 7.2 GRAPH TO FIND CONSTANT "C" 0.42-1 in o 0.32 « cn c • i H a 6 (0 P in x i to 0.22H 0.12 H 0.02 S = 0.0 + ++ + -b + 4+ + + + + + + + + + + . + + + 4-+ + 4-4-+ 4-4-4-4-G u l k e n a n d S o z e n _ -A — C = 0.138 7 Damage R a t i o (y) 10 F i g . 7.3 DAMAGE RATIO VS. SUBST. DAMPING RATIO AND CURVE WITH C=0.138 K) S u b s t . D a m p i n g R a t i o (B ) R Frames 1 & 2 M ] h F r o n t E l e v a t i o n 3@20' Frames 3,4,5,6 R , M in CN tn CN CM @ S i d e E l e v a t i o n R = Ce n t r e of r e s i s t a n c e M = C e n t r e o f mass S t r u c t u r e N o . 1 e = 0 S t r u c t u r e N o . 2 e = 54 i n c h e s I, = 44921 i n " beam I . = 27648 i n " c o l . P l a n F i g . 8 . 1 TEST STRUCTURES o s y m . 1300 1025 2900 2780 2900 2: 300 3400 3550 3400 2 ' 700 4350 4-1 vv 4350 v \ \ \ F i g 8 . 2 ( a ) MEMBER STRENGTHS ( K i n ) FOR FRAMES 1 & 2 OF STRUCTURES 1 & s y m . 1000 2475 2475 2000 2500 2500 2450 3550 3550 T t T T T T - r r F i g . 8 . 2 ( b ) MEMBER STRENGTHS ( K i n ) FOR FRAMES 3 & 6 OF STRUCTURE 1 to 940 s y m . I 2475 2475 1900 2500 2500 2320 3550 3550 T T T t T F i g . 8 . 2 ( c ) MEMBER STRENGTHS ( K i n ) FOR FRAMES 4 & 5 OF STRUCTURE 1 CO CO sym. a) Frame 3 8.3 MEMBER STRENGTHS (Kin) FOR FRAMES T\T~ - 6 OF STRUCTURE 2 CO sym. 925 I 2915 1860 2915 2975 2270 2975 —<— 4235 - r - "V 4235 , V b ) Frame 4 Fig. 8.3 MEMBER STRENGTHS (Kin) FOR FRAMES 3 T \ T 6 OF STRUCTURE 2 to tn sym. 1 OOP [_ 291 5 2025 2915 2975 2475 2975 4235 —t— 4235 — r _ A c ) Frame 5 3 MEMBER STRENGTHS (Kin) FOR FRAMES 3 - 6 OF STRUCTURE s y m . 1 180 I 2915 2335 2 9 1 5 2975 2920 2975 4235 4235 V \ \ \ \ d ) Frame 6 .3 MEMBER STRENGTHS ( K i n ) FOR FRAMES 3 - 6 OF STRUCTURE s y m . 6.9 9~79 5.7 T71 6.4 7.4 9.1 11.0 PI T S A - 2 DRAINTABS-2 2.7 4.3 3.8 5~9 13.5 6.0 13.5 4.3 10.1 3.7 2.7 2?9 14.2 5.7 6.4 WWW 1 .2 14.8 7.4 W W W ( R e s p o n s e i n t e r m s o f c u r v a t u r e d u c t i l i t y demand) (a) Frames 1 & 2 8.4 AVERAGE RESPONSES UNDER DRAINTABS-2 & PITSA-2 STRUCTURE 1 10.8 1 .6 11.0 6.4 YTTTX 15.9 14.3 9.2 8.5 12.8 8.3 PITSA-2 DRAINTABS-2 13.6 12.6 7.5 5.7 10.9 6.0 s y m , YT 7.9 5.2 1 .7 3.2 4.2 5.7 1 39 (ResDonse i n t e r m s o f c u r v a t u r e d u c t i l i t y demand) (b) Frames 3 & 6 F i g . 8.4 AVERAGE RESPONSES UNDER DRAINTABS-2 E, P I T S A - 2 STRUCTURE 1 s y m . 17.7 14.8 15.9 13.5 PITSA-2 DRAINTABS-2 9.4 8.4 8.6 6.8 13.5 7.5 4.3 4.9 2.7 2?9 12.9 12.1 1 .2 2.7 8.9 7.2 1 .3' 15.3 4.5 7.4 5.6 \ \ \ ( R e s p o n s e i n t e r m s o f c u r v a t u r e d u c t i l i t y demand) ( c ) Frames 4 & 5 8.4 AVERAGE RESPONSES UNDER DRAINTABS-2 & PITSA STRUCTURE 1 3 16.0 15.8 21.0 21.3 16.1 17.1 9.5 7.7 11.1 11.1 7.7 9.6 10.8 7.1 9.2 8.8 6.8 9.6 6.2 4.2 5.7 5.7 4.2 6.2 !.5 7.8 4.0 1 . 1 1 .4 8.7 4.4 7. 1 1.6 13.3 10.9 172 15.2 14.8 2.4 10.6 12.8 6.7 4.4 6.6 6.6 4.8 6.6 PITSA - 2 .3 10.8 DRAINTABS- 2 12.4 11.1 .9 5.2 5.8 r—r- 5.9 VT T"\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (Response i n terms o f c u r v a t u r e d u c t i l i t y demand) (a) Frames 1 & 2 F i g . 8 . 5 AVERAGE RESPONSES UNDER DRAINTABS -2 & PITSA - 2 : STRUCTURE 2 s y m . 142 10.5 11.5 6.0 5.8 PITSA-2 DRAINTABS-2 7.2 974 5.3 4.6 3.5 6.1 5.1 5.3 3.9 1.2 6.3 179 YT 2.0 1 .4 • n ( R e s p o n s e i n t e r m s of c u r v a t u r e d u c t i l i t y demand) (b) Frame 3 F i g . 8.5 AVERAGE RESPONSES UNDER DRAINTABS-2 & PITSA-2 STRUCTURE 2 s y m . 15.0 10.7 13.9 1°-8 7.8 4.0 1 . 1 1 .2 10.8 PITSA-2 DRAINTABS-2 7.5 8.0 eJTi 5.9 8.7 8.2 6.2 5.1 1 .2 3.6 1 .6 \ \ \ 5.2 ( R e s p o n s e i n t e r m s o f c u r v a t u r e d u c t i l i t y demand) ( c ) Frame 4 8.5 AVERAGE RESPONSES UNDER DRAINTABS-2 I PITSA-STRUCTURE 2 1 44 i sym. 18.2 14.7 14.6 11.5 PITSA-2 DRAINTABS-2 9.6 9.2 7.4 6.2 8.7 3.3 4.4 2.2 1 .4 11.4 10.7 1 .2 2.4 6.8 5.4 12.4 6.2 5.8 2.6 \ \ \ ( R e s p o n s e i n t e r m s o f c u r v a t u r e d u c t i l i t y demand) (d) Frame 5 F i g . B.5 AVERAGE RESPONSES UNDER DRAINTABS-2 S. P I T S A - 2 STRUCTURE 2 I s y m . 19.4 17.4 12.6 11.2 7.1 1 .6 11.1 PITSA-2 DRAINTABS-2 11.0 9-0 7.8 5 - 3 13.1 .11.4 7.0 4.6 6.6 4.2 1 .2 2.2 9.5 4.2 5.9 V \ ( R e s p o n s e i n t e r m s o f c u r v a t u r e d u c t i l i t y demand) (e) Frame 6 8.5 AVERAGE RESPONSES UNDER DRAINTABS-2 S, PITSA-2 STRUCTURE 2 1 46 0. 129840 0. 100014 0.046630 0.0000030 0.141869 0.0000022 0.121489 D l A P H . 2 0.0000010 0.059731 DIAPH. 1 R o t a t i o n s i n r a d i a n s D i s p l a c e m e n t s i n f e e t F i g . 8.6 DIAPHRAGM DISPLACEMENTS UNDER PITSA-2 : STRUCTURE 1 1 4 7 A P P E N D I X A : D E R I V A T I O N O F E N E R G Y E Q U A T I O N T h e e q u a t i o n o f m o t i o n o f t h e s t r u c t u r e i n F i g . 7 . 1 , u n d e r a b a s e e x c i t a t i o n c a n b e w r i t t e n a s mx + c x + F ( x ) = - m x A . 1 9 w h e r e x = r e l a t i v e d i s p l a c e m e n t b e t w e e n t h e b a s e a n d t h e ma s s , Xg = b a s e d i s p l a c e m e n t , c = e q u i v a l e n t v i s o u s d a m p i n g f a c t o r , m = m a s s o f t h e s t r u c t u r e , a n d F ( x ) = r e s i s t i v e f o r c e , a s a f u n c t i o n o f x . O n m u l t i p l y i n g e q u a t i o n A . 1 b y d x , m x d x + c x d x + F ( x ) d x = - m x d x g m x x d t + c x x d t + F ( x ) d x = - m x x d t y m ( x + x ) x d t + c x 2 d t + F ( x ) d x = 0 g m x a b s ^ x a b s ~ x g ^ d t + c x 2 < 3 t + F ^ x ) d x = 0 A « 2 w h e r e x , = x + x a b s g O n i n t e g r a t i n g e q u a t i o n A . 2 f r o m t i m e T - t o t i m e T ^ w h e r e s u b s c r i p t s i a n d f s t a n d s f o r i n i t i a l a n d f i n a l t i m e s , J m i a b s U a b s - i g ) d t + c i M t + F ( x ) d x = 0 m * a b s * a b s d t + JC*2dt + J F ( x ) d x 1 mx , x d t a b s g r+. d m ' * a b s ^ U a b s ) d t m a b s + / c x 2 d t + / F ( x ) d x = m / x a b s x ( \ 4. TV j T , a 5 C d t c x 2 d t + / F ( x ) d x = m , x d t a b s g A. 3 L e t t i n g T V = T Q , t h e i n i t i a l t i m e when e v e r y t h i n g i s a t r e s t , a n d t h e d a m p i n g f a c t o r c t o be c o n s t a n t , e q u a t i o n A.3 becomes * l b s ( T f > m T f t « T f T-f. + c Jk2dt + J F ( x ) d x = m j x a b s x .dt A.4 where x a c , s = a b s o l u t e d i s p l a c e m e n t o f mass k i n e t i c e n e r g y of s t r u c t u r e a t t = i a b s ( T f ) m a n d 2 c / x 2 d t = t o t a l e n e r g y d i s s i p a t e d by d a m p i n g To / F ( x ) d x = sum o f s t o r e d e n e r g y and e n e r g y d i s s i p a t e d by teT 0 h y s t e r e s i s m I x a b g X g d t = e n e r g y i n p u t by t h e b a s e e x c i t a t i o n , R e - a r r a n g i n g e q u a t i o n A . 4 , x 2 ( T , ) m ^ - + c J x2dt + J F ( x ) d x = T~ "UT„ m x , x d t / a b s g T 0 r-+ m x 2 ( T f ) x 2 , ( T , a b s f T+ c a b s " g v Ti '+ / " d U ) f' 4" d x a b s = m f x u _ x _ d t + m | x d t - m x . d t d t J a b s d t T0 T© i c ( a s e v e r y t h i n g i s a t r e s t a t t = = m/ x , x d t + m/ x x d t - m x L x L d t J a b s g J J  T 0 "To ' T e = m l x a b s ( x g ~ x a b s ) d t + mJ xxdt L a b s a b s = -m J'i x _ , _ _ x d t + m I x x d t aj x x i . e . = -m J(x+x^)xdt + mJ xxdt "To x x d t g T 0 T, x 2 ( T ) £ - + c | x 2 d t + | F ( x ) d x = -my X g X d t A P P E N D I X B : I N P U T D A T A F O R E L E M E N T 7 O F D R A I N T A B S - 2  E 7 . B E A M - C O L U M N E L E M E N T W I T H B I A X I A L B E N D I N G I N T E R A C T I O N D I S C L A I M E R T h e C i v i l E n g i n e e r i n g D e p a r t m e n t , F a c u l t y , S t a f f a n d t h e a u t h o r d o n o t g u a r a n t e e n o r i m p l y t h e a c c u r a c y o r r e l i a b i l i t y o f t h i s p r o g r a m m e o r r e l a t e d d o c u m e n t a t i o n . A s s u c h , t h e y c a n n o t b e h e l d r e s p o n s i b l e f o r i n c o r r e c t r e s u l t s o r d a m a g e s r e s u l t i n g f r o m t h e u s e o f t h e p r o g r a m m e D R A I N T A B S - 2 . I t i s t h e r e s p o n s i b i l i t y o f t h e u s e r t o d e t e r m i n e t h e u s e f u l n e s s a n d t e c h n i c a l a c c u r a c y o f t h i s p r o g r a m m e i n h i s o r h e r o w n e n v i r o n m e n t . T h i s p r o g r a m m e m a y n o t b e s o l d t o a t h i r d p a r t y . 150 151 NOTE 1 I n o r d e r t o u s e t h i s e l e m e n t , f r a m e s s h o u l d i n t e r s e c t o n l y a t r i g h t a n g l e s . E 7 ( a ) CONTROL INFORMATION FOR GROUP (715) - ONE CARD C o l s . 5: P u n c h 7 t o i n d i c a t e t h a t g r o u p c o n s i s t s o f beam-column e l e m e n t s w i t h b i a x i a l b e n d i n g i n t e r a c t i o n . 6 - 10: Number o f e l e m e n t s i n g r o u p . 11 - 15: Number o f d i f f e r e n t e l e m e n t s t i f f n e s s t y p e s (max. 4 0 ) . See S e c t i o n E 7 ( b ) . 16 - 20: Number o f d i f f e r e n t e n d e c c e n t r i c i t y t y p e s (max. 1 5 ) . See S e c t i o n E 7 ( c ) . 21 - 25: Number o f d i f f e r e n t y i e l d i n t e r a c t i o n s u r f a c e s f o r c r o s s s e c t i o n s (max. 4 0 ) . See S e c t i o n E 7 ( d ) . 26 - 30: Number o f d i f f e r e n t f i x e d e n d f o r c e p a t t e r n s (max. 3 5 ) . See S e c t i o n E 7 ( e ) . 31 - 35: Number o f d i f f e r e n t i n i t i a l e l e m e n t 152 f o r c e p a t t e r n s (max. 3 0 ) . See S e c t i o n E 7 ( f ) . E 7 ( b ) STIFFNESS TYPES ( I 5 , 4 F 1 0 . 0 , 3 F 5 . 0 , 2 F 1 0 . 0 ) - ONE CARD FOR EACH STIFFNESS TYPE. C o l s . 1 - 5: S t i f f n e s s t y p e number, i n s e q u e n c e b e g i n i n g w i t h 1. 6 - 1 5 : Young's m o d u l u s o f e l a s t i c i t y . 16 - 25: S t r a i n h a r d e n i n g m o d u l u s , a s a p r o p o r t i o n o f Young's m o d u l u s . 26 - 35: A v e r a g e c r o s s s e c t i o n a l a r e a . 36 - 45: R e f e r e n c e moment o f i n e r t i a . 46 - 50: F l e x u r a l s t i f f n e s s f a c t o r k.^. 51 - 55: F l e x u r a l s t i f f n e s s f a c t o r k j j . 56 - 60: F l e x u r a l s t i f f n e s s f a c t o r k^... 61 - 70: E f f e c t i v e s h e a r a r e a . L e a v e b l a n k o r p u n c h z e r o i f s h e a r d e f o r m a t i o n s a r e 1 53 t o be i g n o r e d , o r i f s h e a r d e f o r m a t i o n s h a v e a l r e a d y been t a k e n i n t o a c c o u n t i n c o m p u t i n g t h e f l e x u r a l s t i f f n e s s f a c t o r s . 71 - 80: P o i s s o n ' s r a t i o ( u s e d f o r c o m p u t i n g s h e a r m o d u l u s , and r e q u i r e d o n l y i f s h e a r d e f o r m a t i o n s a r e t o be c o n s i d e r e d ) . E 7 ( c ) END E C C E N T R I C I T I E S ( I 5 , 4 F 1 0 . 0 ) - ONE CARD FOR EACH END ECCENTRICITY TYPE. Omit i f t h e r e a r e no end e c c e n t r i c i t i e s . See F i g . 3.9 f o r e x p l a n a t i o n . A l l e c c e n t r i c i t i e s a r e m e a s u r e d f r o m t h e n o d e _ t o _ t h e e l e m e n t e n d . C o l s . 1 - 5: End e c c e n t r i c i t y t y p e number, i n s e q u e n c e b e g i n n i n g w i t h 1. 6 - 15: H^ = H e c c e n t r i c i t y a t end i . 16 - 25: H- = H e c c e n t r i c i t y a t end j . 26 - 35: Z. l = Z e c c e n t r i c i t y a t end i . 1 54 36 - 45: Z. = Z e c c e n t r i c i t y a t end j . . E 7 ( d ) CROSS SECTION Y I E L D INTERACTION SURFACES ( 2 I 5 , 4 F 1 0 . 0 , 4 F 5 . 0 ) - ONE CARD FOR EACH Y I E L D SURFACE. See F i g . 3.5 f o r e x p l a n a t i o n . C o l s . 1 - 5: Y i e l d s u r f a c e number, i n s e q u e n c e b e g i n n i n g w i t h 1. 10: Y i e l d s u r f a c e shape c o d e , a s f o l l o w s , P u n c h 1: Beam t y p e , w i t h o u t P-M i n t e r a c t i o n . P u n c h 2: R e i n f o r c e d c o n c r e t e c o l u m n t y p e . 11 - 20: P o s i t i v e ( s a g g i n g ) y i e l d moment, M v + < 21 - 30: N e g a t i v e ( h o g g i n g ) y i e l d moment, M^_ 31 - 40: C o m p r e s s i o n L e a v e b l a n k y i e l d f o r c e , P y c i f shape c o d e = 1. 155 41 - 50: T e n s i o n y i e l d f o r c e , p y t » L e a v e b l a n k i f sh a p e code = 1. 51 - 55: M c o o r d i n a t e o f b a l a n c e p o i n t A, a s a p r o p o t i o n o f M v + « L e a v e b l a n k i f shape c o d e = 1. 56 - 60: P c o o r d i n a t e o f b a l a n c e p o i n t A, a s a p r o p o r t i o n o f P y C « L e a v e b l a n k i f shape c o d e = 1. 61 - 65: M c o o r d i n a t e o f b a l a n c e p o i n t B, a s a p r o p o r t i o n o f (To be same a s f o r p o i n t A ) . L e a v e b l a n k i f shape c o d e = 1. 66 - 70: P c o o r d i n a t e o f b a l a n c e p o i n t B, a s a p r o p o r t i o n o f P (To be same a s y c f o r p o i n t A ) . L e a v e b l a n k i f shape c o d e = 1. E 7 ( e ) F I X E D END FORCE PATTERNS ( 2 I 5 , 7 F 1 0 . 0 ) - ONE CARD FOR EACH F I X E D END FORCE PATTERN. Omit i f t h e r e a r e no f i x e d e n d f o r c e s . 156 C o l s . 1 - 5: P a t t e r n number, i n s e q u e n c e b e g i n n i n g w i t h 1 . 10: A x i s c o d e , a s f o l l o w s . Code = 0: F o r c e s a r e i n t h e e l e m e n t c o o r d i n a t e s y s t e m , a s i n F i g . 3 . 8 ( a ) . Code = 1: F o r c e s a r e i n t h e g l o b a l c o o r d i n a t e s y s t e m , a s i n F i g . 3 . 8 ( b ) . C o l s . 11 - 20: C l a m p i n g f o r c e , F^. 21 - 30: C l a m p i n g f o r c e , V i . 31 - 40: C l a m p i n g moment, . 41 - 50: C l a m p i n g f o r c e , Fy 51 - 60: C l a m p i n g f o r c e , V_.. 61 - 70: C l a m p i n g moment, 71 - 80: L i v e l o a d r e d u c t i o n f a c t o r , f o r c o m p u t a t i o n o f l i v e l o a d f o r c e s "1 57 t o be a p p l i e d t o n o d e s . See S e c t i o n B 2.5, R e f e r e n c e 19 f o r e x p l a n a t i o n . E 7 ( f ) I N I T I A L ELEMENT FORCE PATTERNS ( I 5,6F10.0) -ONE CARD FOR EACH I N I T I A L FORCE PATTERN Omit i f t h e r e a r e no i n i t i a l f o r c e s . See F i g . 3 . 8 ( a ) . C o l s . 1 - 5: P a t t e r n number, i n s e q u e n c e b e g i n n i n g w i t h 1. 6 - 15: I n i t i a l a x i a l f o r c e , F^. 16 --251: I n i t i a l s h e a r f o r c e , . 26 - 35: I n i t i a l moment, M^. 36 - 45: I n i t i a l a x i a l f o r c e , F j . 46 - 55: I n i t i a l s h e a r f o r c e , . 56 - 65: I n i t i a l moment, M •. 1 58 E 7 ( g ) ELEMENT PLANE FOR B I A X I A L BENDING (11) - ONE CARD E 7 ( h ) ELEMENT GENERATION COMMANDS ( 8 1 5 , 2 ( 1 3 , 1 2 ) , 2 1 5 , 2 F 5 . 0 , 1 5 , F 5 . 0 , F 1 0 . 0 ) - ONE CARD FOR EACH GENERATION COMMAND. E l e m e n t s must be s p e c i f i e d i n i n c r e a s i n g n u m e r i c a l o r d e r . C a r d s f o r t h e f i r s t a n d l a s t e l e m e n t s must be i n c l u d e d . See NOTE 7 o f R e f e r e n c e 1 f o r e x p l a n a t i o n o f g e n e r a t i o n p r o c e d u r e . C o l s . 1 - 5: E l e m e n t number, o r number o f f i r s t C o l . 2: V a r i a b l e I PLANE. D e p e n d i n g on fra m e d i r e c t i o n , p u n c h 1 o r 2. (See S e c t i o n 5.4) e l e m e n t i n a s e q u e n t i a l l y numbered s e r i e s o f e l e m e n t s t o be g e n e r a t e d by t h i s command. 6 - 1 0 : Node number a t e l e m e n t e n d i . 11 - 1 5 : Node number a t e l e m e n t e n d j . 16 - 20: Node number i n c r e m e n t f o r e l e m e n t g e n e r a t i o n . I f z e r o o r b l a n k , 159 assumed t o be e q u a l t o 1. 21 - 25: S t i f f n e s s t y p e number. 26 - 30: End e c c e n t r i c i t y t y p e number. L e a v e b l a n k o r p u n c h z e r o i f t h e r e i s no e nd e c c e n t r i c i t y . 31 - 35: Y i e l d s u r f a c e number f o r e l e m e n t end i . 36 - 40: Y i e l d s u r f a c e number f o r e l e m e n t end j . 42 - 4 3 : Number o f common c o l u m n l i n e f o r t h i s e l e m e n t . L e a v e b l a n k f o r no common c o l u m n e f f e c t . See NOTE 9 and NOTE 7 of R e f e r e n c e 1. 44 - 4 5 : Number o f c o l u m n i n c o l u m n l i n e . L e a v e b l a n k f o r no common co l u m n e f f e c t . 48: Code f o r i n c l u d i n g g e o m e t r i c s t i f f n e s s . P u n c h 1 i f g e o m e t r i c s t i f f n e s s i s t o be i n c l u d e d . L e a v e b l a n k o r p u n c h z e r o i f 160 g e o m e t r i c s t i f f f n e s s i s t o be i g n o r e d . 50: Time h i s t o r y o u t p u t c o d e . I f a t i m e h i s t o r y o f e l e m e n t r e s u l t s i s n o t r e q u i r e d f o r t h e e l e m e n t c o v e r e d by t h i s command, p u n c h z e r o o r l e a v e b l a n k . I f a t i m e h i s t o r y p r i n t o u t , a t t h e i n t e r v a l s s p e c i f i e d on c a r d B4.1 o f R e f e r e n c e 1, i s r e q u i r e d , p u n c h 1. 51 - 55: F i x e d end f o r c e p a t t e r n number f o r s t a t i c d e a d l o a d s on e l e m e n t . L e a v e b l a n k o r p u n c h z e r o i f t h e r e a r e no d e a d l o a d s . See N o t e b e l o w . 56 - 60: F i x e d end f o r c e p a t t e r n f o r s t a t i c l i v e l o a d on e l e m e n t . L e a v e b l a n k o r p u n c h z e r o i f t h e r e a r e no l i v e l o a d s . 61 - 65: S c a l e f a c t o r t o be a p p l i e d t o f i x e d end f o r c e s due t o s t a t i c d e a d l o a d s . 66 - 70: S c a l e f a c t o r t o be a p p l i e d t o f i x e d 161 end f o r c e s due t o s t a t i c l i v e l o a d s . 71 - 75: I n i t i a l f o r c e p a t t e r n number. L e a v e b l a n k o r p u n c h z e r o i f t h e r e a r e no i n i t i a l f o r c e s . 76 - 80: S c a l e f a c t o r t o be a p p l i e d t o i n i t i a l e l e m e n t f o r c e s . 81 - 90: P l a s t i c h i n g e l e n g t h f o r t h i s e l e m e n t . N o t e : I f t h e s t a t i c l o a d c o d e , C a r d B1 o f R e f e r e n c e 1, i s z e r o b u t f i x e d end f o r c e s a r e s t i l l s p e c i f i e d f o r some e l e m e n t s , an i n c o n s i s t e n c y r e s u l t s . I n e f f e c t , any s u c h f i x e d end f o r c e s w i l l be t r e a t e d a s i n i t i a l e l e m e n t f o r c e s . APPENDIX C: INPUT DATA FOR PITSA-2 DISCLAIMER The C i v i l E n g i n e e r i n g D e p a r t m e n t , F a c u l t y , S t a f f a n d t h e a u t h o r do n o t g u a r a n t e e n o r i m p l y t h e a c c u r a c y o r r e l i a b i l i t y o f t h i s programme o r r e l a t e d d o c u m e n t a t i o n . As s u c h , t h e y c a n n o t be h e l d r e s p o n s i b l e f o r i n c o r r e c t r e s u l t s o r damages r e s u l t i n g f r o m t h e use o f t h e programme P I T S A - 2 . I t i s t h e r e s p o n s i b i l i t y o f t h e u s e r to. d e t e r m i n e t h e u s e f u l n e s s a n d t e c h n i c a l a c c u r a c y o f t h i s programme i n h i s o r h e r own e n v i r o n m e n t . T h i s programme may n o t be s o l d t o a t h i r d p a r t y . 162 163 NOTE I n o r d e r t o u s e t h i s programme, f r a m e s s h o u l d i n t e r s e c t o n l y a t r i g h t a n g l e s . 1 . CONTROL INFORMATION a. STRUCTURE CONTROL CARD >NOFR,NSTOR,NOCOR,NDISPL,NFORCE,MASSVT,INELAS,I SPEC, AMAX,DAMPIN,STRHRD,NHYST ( 8 1 4 , 3 F 8 . 4 , 1 4 ) NOFR = number o f f r a m e s NSTOR = number o f s t o r i e s NOCOR = number o f a d d i t i o n a l d e g r e e s o f f r e e d o m i n s t r u c t u r e p e r f l o o r . NDISPL = number o f modes o f d i s p l a c e m e n t s t o be p r i n t e d NFORCE = number o f modes o f f o r c e s t o be p r i n t e d MASSVT = 0 i f c e n t r e s o f mass do n o t l i e i n a v e r t i c a l s t r a i g h t l i n e . 1 i f c e n t r e s o f mass do l i e i n a v e r t i c a l s t r a i g h t l i n e . INELAS = 0 i f e l a s t i c a n a l y s i s i s t o be r e q u e s t e d 1 o r g r e a t e r i f i n e l a s t i c a n a l y s i s i s t o be r e q u e s t e d . INELAS i s t h e maximum number o f i n e l a s t i c i t e r a t i o n s t o be p e r f o r m e d b e f o r e t h e programme 164 s t o p s . A v a l u e o f 25 i s s u g g e s t e d . I SPEC = t y p e o f s p e c t r u m t o be u s e d = 1 s p e c t r u m 'A' ( S h i b a t a a n d S o z e n ) 2 s p e c t r u m 'B' ( Y o s h i d a ) 3 s p e c t r u m ' C ( Y o s h i d a ) 4 N a t i o n a l B u i l d i n g Code s p e c t r u m 5 Newmark t y p e s p e c t r u m AMAX = maximum g r o u n d a c c e l e r a t i o n a s a a f r a c t i o n o f g r a v i t y DAMPIN = d a m p i n g r a t i o t o be u s e d i n t h e e l a s t i c a n a l y s i s o r i n t h e f i r s t i t e r a t i o n o f t h e i n e l a s t i c a n a l y s i s STRHRD = s t r a i n - h a r d e n i n g r a t i o NHYST = t y p e o f h y s t e r e s i s l o o p t o be u s e d 1 f o r T a k e d a m o d e l ( G u l k e n & S o z e n ) 2 f o r e l a s t o - p l a s t i c t y p e b. T I T L E CARD > d e s c r i p t i v e t i t l e (20A4) 2. FRAME DATA - One s e t o f d a t a must be e n t e r e d f o r e a c h f r a m e a . FRAME CONTROL CARD 165 >NFR,NDF,INPUT,I P L A N E , I Q , I R , I O ( J ) , J = 1 ,NSTOR ( 4 I 4 , 2 2 F 8 . 0 ) f o r MASSVT = 0 >NFR,IQ,IR,10,NDF,INPUT,I PLANE ( 1 4 , 3 E 8 . 0 , 3 1 4 ) f o r MASSVT = 1 NFR = f r a m e number NDF = number o f a d d i t i o n a l d e g r e e s o f f r e e d o m i n f r a m e p e r f l o o r INPUT = p u n c h 0 IQ = d i r e c t i o n c o s i n e i n Q d i r e c t i o n I R = d i r e c t i o n c o s i n e i n R d i r e c t i o n IO = p e r p e n d i c u l a r d i s t a n c e f r o m f r a m e t o c e n t r e o f mass ( f t . ) NSTOR = number o f s t o r i e s b. MEMBER DATA CARDS >NRJ,NRM,E,G ( 2 I 4 , 2 F 8 . 0 ) NRJ = number o f j o i n t s NRM = number o f members E = m o d u l u s o f e l a s t i c i t y , k s i G = s h e a r m o d u l u s , k s i >JN,X,Y,ND(1),ND(2),ND(3) ( I 4,2F8.0,314) 1 66 one c a r d f o r e a c h j o i n t J N j o i n t number X X - c o o r d i n a t e , f t . Y Y - c o o r d i n a t e , f t . ND(1) = f i x i t y c o d e i n X - d i r e c t i o n = 0 i f t h e node i s f i x e d 1 i f t h e node i s f r e e +N i f t h e node i s t o have t h e same m o t i o n a s node N -M i f t h e node i s t o have an a d d i t i o n a l d e g r e e o f f r e e d o m ; M i s a t t a c h e d t o NDF, n o t NCOR ND(2) = f i x i t y c o d e f o r Y - d i r e c t i o n ND(3) = f i x i t y c o d e f o r r o t a t i o n NCOR(I)= g l o b a l a d d i t i o n a l d e g r e e o f f r e e d o m number i n f r a m e , up t o s i x p e r f r a m e >MN,JNL,JNG,KL,KG,AREA,AI,AV,BMCAP(1),BMCAP(2), EXTL,EXTG,NCOLL,NSCL,HLNGTH ( 5 1 4 , 7 F 1 2 . 0 , 2 1 4 , F 1 2 . 0 ) one c a r d f o r e a c h member >NCOR(I) (61 4 ) MN = member number 1 67 JNL JNG KL KG AREA A l AV BMCAP(1) = BMCAP(2) = EXTL EXTG NCOLL = NSCL HLNGTH = l e s s e r j o i n t number g r e a t e r j o i n t number f i x i t y c o d e o f member a t l e s s e r j o i n t 0 i f p i n n e d 1 i f f i x e d f i x i t y c o d e o f member a t g r e a t e r j o i n t c r o s s s e c t i o n a l a r e a o f member, i n 2 c r a c k e d moment o f i n e r t i a o f member, i n " s h e a r a r e a , i n 2 b e n d i n g moment c a p a c i t y a t l e s s e r e n d , k f t b e n d i n g moment c a p a c i t y a t g r e a t e r e n d , k f t r i g i d e x t e n s i o n o f member a t l e s s e r j o i n t , f t . r i g i d e x t e n s i o n o f member a t g r e a t e r j o i n t , f t . a d d i t i o n a l d e g r e e o f f r e e d o m o f c o l u m n l i n e ; p u n c h 0 i f n o t a common c o l u m n s t o r e y number o f c o l u m n , s t a r t i n g f r o m b o t t o m ; p u n c h 0 i f NCOLL = 0 p l a s t i c h i n g e l e n g t h , f t . 3. NUMBER OF MODES 1 68 >MM (14) one c a r d r e q u i r e d MM = number o f modes t o be c o n s i d e r e d 4. MASS CARDS - one c a r d p e r s t o r e y >NF,FQ,FR,FO ( 1 4 , 2 F 8 . 0 , F 1 0 . 0 ) NF = s t o r e y number FQ = w e i g h t i n Q - d i r e c t i o n , k i p s FR = w e i g h t i n R - d i r e c t i o n , k i p s FO = r o t a t i o n a l i n e r t i a , k i p - f t 2 5. EARTHQUAKE SPECTRUM a. NEWMARK TYPE SPECTRUM CARDS - f o r ISPEC = 4 o r 5 o n l y >AFAC,VFAC,DFAC ( 3 F 1 2 . 6 ) 3 c a r d s r e q u i r e d , one f o r e a c h o f Q,R,0 d i r e c t i o n s AFAC = g r o u n d a c c e l e r a t i o n l i m i t , g ; g / f t VFAC = g r o u n d v e l o c i t y l i m i t , g - s e c ; g - s e c / f t 169 DFAC = g r o u n d d i s p l a c e m e n t l i m i t , g - s e c / f t ; g - s e c 2 / f t b. ACCELERATION SPECTRUM CARDS - f o r ISPEC = 1 o r 2 o r 3 o n l y > A M A X F ( I ) , I = 1,3 ( 3 F 1 2 . 6 ) 1 c a r d r e q u i r e d , one v a l u e f o r e a c h o f Q,R,0 d i r e c t i o n s A M A XF(I) = m a g n i f i c a t i o n f a c t o r f o r maximum a c c e l e r a t i o n , AMAX, d e f i n e d i n s e c t i o n 1.a 

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