Open Collections

UBC Theses and Dissertations

UBC Theses Logo

UBC Theses and Dissertations

The effects of frictional heating on the thermal, hydrologic, and mechanical response of a fault Mase, Charles William 1986

Your browser doesn't seem to have a PDF viewer, please download the PDF to view this item.

Item Metadata

Download

Media
831-UBC_1986_A1 M27_3.pdf [ 10.41MB ]
Metadata
JSON: 831-1.0052651.json
JSON-LD: 831-1.0052651-ld.json
RDF/XML (Pretty): 831-1.0052651-rdf.xml
RDF/JSON: 831-1.0052651-rdf.json
Turtle: 831-1.0052651-turtle.txt
N-Triples: 831-1.0052651-rdf-ntriples.txt
Original Record: 831-1.0052651-source.json
Full Text
831-1.0052651-fulltext.txt
Citation
831-1.0052651.ris

Full Text

THE EFFECTS OF FRICTIONAL HEATING ON THE THERMAL, HYDROLOGIC, AND MECHANICAL RESPONSE OF A FAULT by C h a r l e s W i l l i a m Mase B.Sc. San D i e g o S t a t e U n i v e r s i t y , 1974 M.Sc. The U n i v e r s i t y of U t a h , 1979 A THESIS SUBMITTED IN PARTIAL FULFILLMENT OF THE REQUIREMENT FOR THE DEGREE OF DOCTOR OF PHILOSOPHY i n THE FACULTY OF GRADUATE STUDIES (Dep a r t m e n t o f G e o l o g i c a l S c i e n c e s ) We a c c e p t t h i s t h e s i s a s c o n f o r m i n g t o t h e r e q u i r e d s t a n d a r d THE UNIVERSITY OF BRITISH COLUMBIA September 1986 © C h a r l e s W. Mase, 1986 I n p r e s e n t i n g t h i s t h e s i s i n p a r t i a l f u l f i l m e n t o f t h e r e q u i r e m e n t s f o r an a d v a n c e d d e g r e e a t t h e U n i v e r s i t y o f B r i t i s h C o l u m b i a , I a g r e e t h a t t h e L i b r a r y s h a l l make i t f r e e l y a v a i l a b l e f o r r e f e r e n c e and s t u d y . I f u r t h e r a g r e e t h a t p e r m i s s i o n f o r e x t e n s i v e c o p y i n g o f t h i s t h e s i s f o r s c h o l a r l y p u r p o s e s may be g r a n t e d by t h e h e a d o f my d e p a r t m e n t o r by h i s o r h e r r e p r e s e n t a t i v e s . I t i s u n d e r s t o o d t h a t c o p y i n g o r p u b l i c a t i o n o f t h i s t h e s i s f o r f i n a n c i a l g a i n s h a l l n o t be a l l o w e d w i t h o u t my w r i t t e n p e r m i s s i o n . D e p a r t m e n t o f Geological Sciences The U n i v e r s i t y o f B r i t i s h C o l u m b i a 1956 Main Mall V a n c o u v e r , Canada V6T 1Y3 D a t e 1986 October 03 ABSTRACT The m e c h a n i c a l r e s p o n s e o f a f a u l t zone d u r i n g an e a r t h q u a k e may be c o n t r o l l e d by t h e d i f f u s i o n o f e x c e s s h e a t and f l u i d p r e s s u r e s g e n e r a t e d by f r i c t i o n a l h e a t i n g . In t h i s s t u d y a n u m e r i c a l model i s f o r m u l a t e d w h i c h i n c o r p o r a t e s t h e e f f e c t s o f f r i c t i o n a l h e a t i n g on t h e t h e r m a l , h y d r o l o g i c , and m e c h a n i c a l r e s p o n s e of a s m a l l p a t c h of t h e f a i l u r e s u r f a c e . T h i s model i s u s e d t o examine t h e p a r a m e t e r s t h a t c o n t r o l t h e f a u l t r e s p o n s e , and t o d e t e r m i n e t h e i r c r i t i c a l r a n g e o f v a l u e s where t h e r m a l p r e s s u r i z a t i o n i s s i g n i f i c a n t . The p r o b l e m has two t i m e s c a l e s ; a c h a r a c t e r i s t i c s l i p d u r a t i o n and a c h a r a c t e r i s t i c t i m e f o r t h e r m a l p r e s s u r i z a t i o n . The s l i p d u r a t i o n i s s e t by t h e f a u l t g e o m e t r y . The c h a r a c t e r i s t i c t i m e f o r t h e r m a l p r e s s u r i z a t i o n i s s e t by t h e s l i p r a t e , f r i c t i o n c o e f f i c i e n t , and t h e t h e r m a l and h y d r a u l i c c h a r a c t e r i s t i c s o f t h e medium. R e s u l t s s u g g e s t t h a t t h e f a u l t w i d t h , and h y d r a u l i c c h a r a c t e r i s t i c s o f t h e f a u l t zone and a d j a c e n t medium a r e t h e p r i m a r y p a r a m e t e r s c o n t r o l l i n g t h e m e c h a n i c a l r e s p o n s e . F o r narrow z o n e s w i t h a low p o r o u s medium c o m p r e s s i b i l i t y (<10~ 9 P a " 1 ) and p e r m e a b i l i t y ( < 1 0 ~ 1 8 m 2 ) , f r i c t i o n a l h e a t i n g c a n c a u s e f l u i d p r e s s u r e s t o a p p r o a c h l i t h o s t a t i c v a l u e s and t h e t e m p e r a t u r e r i s e t o s t a b i l i z e a t a maximum v a l u e d e p e n d e n t on t h e p o r e - d i l a t a t i o n a l and t r a n s p o r t p r o p e r t i e s o f t h e p o r o u s medium. M o d e r a t e s l i p e v e n t s where s h e a r s t r a i n s e x c e e d two c a u s e s u b s t a n t i a l s t r a i n - w e a k e n i n g o f t h e f a u l t and, c o n s e q u e n t l y , l a r g e s t r e s s d r o p s , a c c e l e r a t i o n s , and d i s p l a c e m e n t s . B o t h t h e dynamic s t r e s s d r o p i i i and t o t a l d i s p l a c e m e n t d e c r e a s e f o r z o n e s w i t h l a r g e r c o m p r e s s i b i l i t y , p e r m e a b i l i t y or w i d t h . The d i f f u s i o n o f e x c e s s p o r e p r e s s u r e s d u r i n g t h e l a t t e r s t a g e s o f s l i p c a u s e s s t r a i n h a r d e n i n g and a d e c l i n e i n s l i p v e l o c i t y . Whether t h e p a t c h e x p e r i e n c e s s u b s t a n t i a l s t r a i n - w e a k e n i n g o r a c t s as a b a r r i e r d e p e n d s on t h e s h e a r s t r a i n a c r o s s t h e f a u l t . Thus i t i s p o s s i b l e f o r t h e p a t c h t o a c t a s a b a r r i e r f o r s m a l l e a r t h q u a k e s but not f o r l a r g e o n e s . I f t h e c o m p r e s s i b i l i t y o r p e r m e a b i l i t y e x c e e d 10~ B P a " 1 or 1 0 " 1 " m 2, or t h e s h e a r s t r a i n i s l e s s t h a n one, t h e n t h e e f f e c t s of f r i c t i o n a l h e a t i n g may be n e g l i g i b l e and t h e f a u l t w i l l e x h i b i t no s t r a i n - w e a k e n i n g c h a r a c t e r i s t i c s . C o n s e q u e n t l y , t h e p a t c h a c t s as b a r r i e r t h a t h a l t s o r r e s i s t s f u r t h e r f a u l t m o t i o n r e g a r d l e s s o f s h e a r s t r a i n . E x t r a p o l a t i o n o f t h e s e r e s u l t s s u g g e s t s t h a t s p a t i a l v a r i a t i o n s i n f a u l t w i d t h and h y d r a u l i c c h a r a c t e r i s t i c s w i l l c a u s e a h e t e r o g e n e o u s s t r e s s d r o p and f a u l t s l i p o v e r t h e f a i l u r e s u r f a c e , e x p l a i n i n g many o f t h e f e a t u r e s o f a c t i v e f a u l t i n g ( e . g . , b a r r i e r s , non u n i f o r m s l i p , r u p t u r e s t o p p a g e , random g r o u n d a c c e l e r a t i o n s , s t r o n g m o t i o n s , and f r e q u e n c y - m a g n i t u d e r e l a t i o n s ) . i v TABLE OF CONTENTS Page L I S T OF TABLES v i i L I S T OF ILLUSTRATIONS v i i i ACKNOWLEDGEMENTS X 1. OVERVIEW OF THE STUDY 1 2. F I E L D EQUATIONS 21 C o n s e r v a t i o n o f S o l i d Mass 24 C o n s e r v a t i o n o f F l u i d Mass 26 H e a t T r a n s f e r E q u a t i o n 29 E q u a t i o n s o f M o t i o n 37 E u l e r i a n v e r s u s L a g r a n g i a n C o o r d i n a t e s 43 L a g r a n g i a n Form o f t h e F i e l d E q u a t i o n s 46 P r e s s u r e and T e m p e r a t u r e Dependent P a r a m e t e r s 49 Summary 53 A p p e n d i x 2A: E n e r g y E q u a t i o n 55 A p p e n d i x 2B: P r e s s u r e Work 62 N o t a t i o n 65 R e f e r e n c e s 68 T a b l e s 72 F i g u r e s 73 3. PORE-FLUID PRESSURES AND FRICTIONAL HEATING ON A FAULT SURFACE 83 A M a t h e m a t i c a l M o d e l f o r S l i p on Narrow F a u l t 86 Heat T r a n s f e r E q u a t i o n 89 F l u i d and S o l i d Mass C o n s e r v a t i o n E q u a t i o n s 90 E q u i l i b r i u m E q u a t i o n s f o r S t r e s s 91 S o l u t i o n T e c h n i q u e 95 R e s u l t s 97 P r e s e n t a t i o n o f R e s u l t s 97 S o l u t i o n s f o r L i m i t i n g C a s e s 99 F a u l t - S u r f a c e D e p t h of 2 km 101 E f f e c t o f D e p t h 109 D i s c u s s i o n 112 C o n c l u s i o n s 117 A p p e n d i x : N u m e r i c a l S o l u t i o n 120 N o t a t i o n 123 R e f e r e n c e s 125 T a b l e s 127 F i g u r e s 128 v v i TABLE OF CONTENTS ( c o n t i n u e d ) 4. THE EFFECTS OF FRICTIONAL HEATING ON THE THERMAL, HYDROLOGIC, AND MECHANICAL RESPONSE OF A FAULT DURING S L I P 134 A M a t h e m a t i c a l M o d e l f o r S l i p A c r o s s a F a u l t 137 H e a t T r a n s f e r E q u a t i o n 142 F l u i d and S o l i d Mass C o n s e r v a t i o n E q u a t i o n s 143 E q u a t i o n s o f M o t i o n 144 S o l u t i o n T e c h n i q u e 152 R e s u l t s 153 C o n t r o l l i n g P a r a m e t e r s f o r T h e r m a l P r e s s u r i z a t i o n 153 F a i l u r e S u r f a c e 158 1) U n d r a i n e d C o n d i t i o n s 159 2) D r a i n e d C o n d i t i o n s 163 3) T h e r m a l and h y d r o l o g i c f i e l d s 169 E f f e c t s o f F a u l t Zone W i d t h 174 1) U n d r a i n e d c o n d i t i o n s 175 2) D r a i n e d c o n d i t i o n s 179 3) N o n u n i f o r m p r o p e r t i e s 182 Dynamic M o d e l s . .• 185 1) F a i l u r e s u r f a c e 186 2) F a u l t zone 189 D i s c u s s i o n . .. 195 Summary and C o n c l u s i o n s 203 A p p e n d i x : N u m e r i c a l S o l u t i o n 207 N o t a t i o n 210 R e f e r e n c e s 213 T a b l e s 219 F i g u r e s 223 COMPILATION OF REFERENCES 242 LIST OF TABLES T a b l e Page 2.1 P a r a m e t e r V a l u e s f o r P o r o u s Medium and S o l i d P r o p e r t i e s H e l d C o n s t a n t f o r C a l c u l a t i o n o f t h e T h e r m a l P r e s s u r i z a t i o n C o e f f i c i e n t 72 3.1 P a r a m e t e r V a l u e s f o r P o r o u s Medium and S o l i d P r o p e r t i e s H e l d C o n s t a n t f o r N u m e r i c a l S i m u l a t i o n s 127 4.1 P o r o u s Medium C o m p r e s s i b i l i t i e s f o r V a r i o u s Rock T y p e s 220 4.2 P a r a m e t e r V a l u e s f o r P o r o u s Medium and S o l i d P r o p e r t i e s H e l d C o n s t a n t f o r N u m e r i c a l S i m u l a t i o n s 221 4.3 Summary of I n i t i a l C o n d i t i o n s f o r N u m e r i c a l S i m u l a t i o n s 222 v i i L I S T O F I L L U S T R A T I O N S F i g u r e / Page 2.1 L a g r a n g i a n d e s c r i p t i o n o f a f a u l t zone 75 2.2 Thermodynamic p r o p e r t i e s o f w a t e r as a f u n c t i o n of t e m p e r a t u r e f o r s e l e c t e d p r e s s u r e s 76 2.3 P r e s s u r e - w o r k c o e f f i c i e n t a s a f u n c t i o n o f t e m p e r a t u r e f o r s e l e c t e d p r e s s u r e s and p o r o u s medium c o m p r e s s i b i l i t i e s 82 3.1 C o n c e p t u a l model o f a f a u l t zone 130 3.2 T e m p e r a t u r e r i s e d u r i n g d i s p l a c e m e n t on a f a u l t s u r f a c e 131 3.3 Change i n dynamic s h e a r s t r e n g t h w i t h d i s p l a c e m e n t on a f a u l t s u r f a c e 132 3.4 Summary o f c o n s t r a i n t s on p e r m e a b i l i t y and c o m p r e s s i b i l i t y o f t h e p o r o u s medium f o r a s u b s t a n t i a l r e d u c t i o n i n s h e a r s t r e n g t h of t h e f a u l t s u r f a c e 133 4.1 C o n c e p t u a l model f o r f a u l t s l i p 228 4.2 I s o t h e r m a l v o l u m e t r i c c o m p r e s s i b i l i t y and i s o b a r i c t h e r m a l e x p a n s i v i t y o f p u r e w a t e r as a f u n c t i o n o f t e m p e r a t u r e f o r s e l e c t e d p r e s s u r e s 229 4.3 S l i p v e l o c i t y m o d e ls f o r c o n s t a n t f l u i d p r e s s u r e 230 4.4 T h e r m a l p r e s s u r i z a t i o n c o e f f i c i e n t as a f u n c t i o n of t e m p e r a t u r e f o r s e l e c t e d p r e s s u r e s and p o r o u s medium c o m p r e s s i b i l i t i e s 231 4.5 T e m p e r a t u r e r i s e and r e s i s t i v e s t r e s s on a f a i l u r e s u r f a c e f o r u n d r a i n e d c o n d i t i o n s 232 4.6 T e m p e r a t u r e r i s e and r e s i s t i v e s t r e s s d u r i n g d i s p l a c e m e n t a c r o s s a f a i l u r e s u r f a c e w i t h an a v e r a g e s l i p v e l o c i t y 233 4.7 H y d r o l o g i c and t h e r m a l f i e l d s f o r s e l e c t e d d i s p l a c e m e n t s and a s t i f f medium 234 4.8 H y d r o l o g i c and t h e r m a l f i e l d s f o r s e l e c t e d d i s p l a c e m e n t s and a c o m p r e s s i b l e medium 235 4.9 C e n t r a l t e m p e r a t u r e r i s e and r e s i s t i v e s t r e s s w i t h i n a f a u l t zone f o r u n d r a i n e d c o n d i t i o n s .. 236 v i i i i x L I S T OF ILLUSTRATIONS ( c o n t i n u e d ) F i g u r e Page 4.10 D i l a t a t i o n a l s t r a i n r a t e o f t h e p o r e volume w i t h i n a f a u l t zone f o r u n d r a i n e d c o n d i t i o n s .. 237 4.11 C e n t r a l t e m p e r a t u r e r i s e and r e s i s t i v e s t r e s s w i t h i n a f a u l t zone f o r d r a i n e d c o n d i t i o n s .... 238 4.12 T e m p e r a t u r e and p o r e - f l u i d p r e s s u r e f i e l d s f o r s l i p a c r o s s a f a u l t w i t h n o n u n i f o r m p r o p e r t i e s . 239 4.13 A n a l y t i c a l s o l u t i o n s f o r t h e s l i p r a t e f o r u n d r a i n e d c o n d i t i o n s and s e l e c t e d r a t i o s o f t h e c h a r a c t e r i s t i c s l i p d u r a t i o n t o t h e c h a r a c t e r i s t i c t i m e f o r t h e r m a l p r e s s u r i z a t i o n 240 4.14 N u m e r i c a l s o l u t i o n s f o r t h e s l i p r a t e f o r d r a i n e d c o n d i t i o n s and s e l e c t e d r a t i o s of t h e c h a r a c t e r i s t i c s l i p d u r a t i o n t o t h e c h a r a c t e r i s t i c t i m e f o r t h e r m a l p r e s s u r i z a t i o n 241 ACKNOWLEDGMENTS I w i s h t o e x p r e s s my g r a t i t u d e t o my a d v i s o r , L e s l i e S m i t h , f o r h i s en c o u r a g e m e n t , a s s i s t a n c e , and g e n e r o u s s u p p o r t i n t h e r e s e a r c h and p r e p a r a t i o n o f t h i s d i s s e r a t i o n . I am p a r t i c u l a r l y i n d e b t e d t o him f o r t h e d a y - t o - d a y i n t e r a c t i o n s t h a t we have s h a r e d . I am g r a t e f u l t o t h e members o f my c o m m i t t e e , S c o t t Dunbar, A l F r e e z e , and John R o s s , f o r t h e r e v i e w s and c o n s t r u c t i v e c r i t i c i s m s o f t h i s m a n u s c r i p t . S p e c i a l t h a n k s t o L o r i e Cahn, C r a i g F o r s t e r , K e i t h L o a g u e , J o e l Massmann, and A l Woodbury f o r t h e many h o u r s of d i s c u s s i o n s we have s h a r e d . I am a l s o g r a t e f u l f o r t h e s c h o l a r s h i p s u p p o r t p r o v i d e d by t h e U n i v e r s i t y o f B r i t i s h C o l u m b i a t h r o u g h a U n i v e r s i t y G r a d u a t e F e l l o w s h i p . T h i s r e s e a r c h was f u n d e d by a g r a n t t o L e s l i e S m i t h from t h e N a t u r a l S c i e n c e s and E n g i n e e r i n g R e s e a r c h C o u n c i l of Canada (NSERC). C o m p u t a t i o n s were c a r r i e d o ut on an FPS 164 A r r a y P r o c e s s o r s u p p o r t e d by an NSERC M a j o r I n s t a l l a t i o n G r a n t t o t h e U n i v e r s i t y o f B r i t i s h C o l u m b i a . x CHAPTER I OVERVIEW OF THE STUDY Most r o c k s w i t h i n and a d j a c e n t t o f a u l t z o n e s a r e p o r o u s and, under c r u s t a l c o n d i t i o n s t h e p o r e s a r e l i k e l y t o c o n t a i n w a t e r . B e c a u s e t h e p r e s s u r e of p o r e w a t e r s i n f l u e n c e s t h e m e c h a n i c a l p r o p e r t i e s of r o c k , s t r e s s e s and s t r a i n s a r e c o u p l e d t o f l u i d f l o w w i t h i n t h e p o r o u s medium. F u r t h e r m o r e , s h e a r h e a t i n g w i t h i n a f a u l t zone d u r i n g d e f o r m a t i o n c a n l e a d t o t h e r m a l e x p a n s i o n , p r e s s u r i z a t i o n and f l o w o f p o r e f l u i d s , t h e r e b y c o u p l i n g t h e t h e r m a l f i e l d t o t h e f l u i d - p r e s s u r e f i e l d a nd, c o n s e q u e n t l y , t o t h e s t r e s s and s t r a i n f i e l d s . T h i s c o u p l i n g c a n l e a d t o d e c r e a s e s o r i n c r e a s e s i n t h e s t r e n g t h o f a f a u l t a s w e l l a s i n t h e s t r e n g t h o f t h e a d j a c e n t medium. Thus t h e b e h a v i o r of p o r e w a t e r s i s o f c o n s i d e r a b l e i m p o r t a n c e i n t h e m e c h a n i c s o f f a u l t zone p r o c e s s e s . Numerous models have been p r o p o s e d t o e x p l a i n how p o r e f l u i d s m i g h t a f f e c t d e f o r m a t i o n p r o c e s s e s . The m a j o r i t y o f t h e s e models have been c o n c e r n e d w i t h d i l a t a n c y i n t h e p r e s e n c e o f p o r e f l u i d s . In t h i s c o n t e x t , d i l a t a n c y i s t h e p r o c e s s whereby t h e p o r e volume expands b e c a u s e of an a p p l i e d d i f f e r e n t i a l s t r e s s . Nur and Booker (1972) d i s c u s s e d p o s s i b l e c h a n g e s i n f l u i d p r e s s u r e a r i s i n g f r o m e a r t h q u a k e - i n d u c e d s t r e s s d r o p s , and t h e p o t e n t i a l of t h e s e c h a n g e s t o a c t as t r i g g e r i n g mechanisms f o r a f t e r s h o c k s . S c h o l z et al. (1973) s u g g e s t e d d i l a t a n c y c o u l d d e l a y s e i s m i c f a i l u r e by r e d u c i n g 2 f l u i d p r e s s u r e on a f a u l t , and t h e n t r i g g e r f a i l u r e when t h e p o r e p r e s s u r e i s r e c o v e r e d . R i c e and Simons (1976) examined how t h e c o u p l i n g o f d i l a t a n c y w i t h p o r e - p r e s s u r e d i f f u s i o n c o u l d p r o v i d e a mechanism by w h i c h a p r o p a g a t i n g s h e a r f a u l t c o u l d be s t a b i l i z e d a g a i n s t s e i s m i c f a i l u r e . In t h i s c a s e t h e d e c r e a s e i n f l u i d p r e s s u r e c a u s e d by d i l a t a n c y w o u l d t e n d t o i n h i b i t f u r t h e r i n e l a s t i c d e f o r m a t i o n . In a d d i t i o n a l work, R i c e and R u d n i c k i (1979) and R u d n i c k i (1979, 1980) examined t h e p r e c u r s o r y c r e e p b e h a v i o r t h a t s u c h c o u p l i n g c o u l d l e a d t o . Simpson (1976) and Nur and B e l l (1978) s u g g e s t e d t h a t i n c r e a s e s i n f l u i d p r e s s u r e s i n d u c e d by r e s e r v o i r l o a d i n g c o u l d a c t a s a mechanism t r i g g e r i n g i n c r e a s e d s e i s m i c a c t i v i t y . T h e s e s t u d i e s have e x a m i n e d t h e r o l e o f p o r e f l u i d s e i t h e r b e f o r e o r a f t e r s e i s m i c f a i l u r e . M e l o s h (1979) s u g g e s t e d t h a t d u r i n g a s e i s m i c e v e n t a t r a n s i e n t i n c r e a s e i n f l u i d p r e s s u r e c o u l d o c c u r due t o a c o u s t i c f l u i d i z a t i o n . H u b b e r t and Rubey (1959) have d i s c u s s e d t h e i m p o r t a n c e of p o r e - f l u i d p r e s s u r e s i n t h e m e c h a n i c s of s l i p f o r l o w - a n g l e o v e r t h r u s t f a u l t s . They s u g g e s t e d t h a t t h e movement o f a l a r g e t h r u s t s h e e t p o s e d a s e r i o u s m e c h a n i c a l p r o b l e m b e c a u s e f r i c t i o n a l o n g t h e base would seem t o r e q u i r e e i t h e r i m p o s s i b l y h i g h s h e a r s t r e s s e s i n t h e s h e e t o r an u n r e a s o n a b l y s t e e p s l o p e . T h e i r h y p o t h e s i s t h a t h i g h f l u i d p r e s s u r e s c a n r e d u c e t h e f r i c t i o n a l r e s i s t a n c e a l o n g f a u l t s u r f a c e s t o n e a r - z e r o v a l u e s i s a major c o n t r i b u t i o n t o f a u l t m e c h a n i c s . A c c o r d i n g t o t h e H u b b e r t - R u b e y h y p o t h e s i s , t h e f r i c t i o n a l r e s i s t a n c e t o m o t i o n i s g i v e n by a s i m p l e m o d i f i c a t i o n of t h e 3 f r i c t i o n law. F o r t h i s m o d i f i c a t i o n t h e s h e a r s t r e s s r e q u i r e d f o r s l i p i s g i v e n by t h e p r o d u c t of t h e c o e f f i c i e n t of f r i c t i o n and t h e e f f e c t i v e n o r m a l s t r e s s a c t i n g a c r o s s t h e f a u l t s u r f a c e . B e c a u s e t h e c o e f f i c i e n t of f r i c t i o n i s r e a s o n a b l y c o n s t a n t f o r a v a r i e t y of r o c k t y p e s and a wide range o f n o r m a l s t r e s s e s ( B y e r l e e , 1978; Morrow et al. , 1982), t h e r e s i s t i v e s h e a r s t r e s s can be r e d u c e d t o v e r y s m a l l v a l u e s o n l y by l o w e r i n g t h e e f f e c t i v e n o r m a l s t r e s s a c r o s s t h e f a u l t . B e c a u s e t h e e f f e c t i v e s t r e s s i s e q u a l t o t h e t o t a l s t r e s s minus t h e f l u i d p r e s s u r e , a r e q u i r e m e n t f o r low s h e a r s t r e n g t h i s t h a t t h e f l u i d p r e s s u r e s a d j a c e n t t o t h e f a u l t s u r f a c e must be c l o s e t o l i t h o s t a t i c v a l u e s . H u b b e r t and Rubey c o n c l u d e d t h a t h i g h f l u i d p r e s s u r e s p l a y a v i t a l r o l e i n l o w - a n g l e t h r u s t f a u l t i n g . I f o v e r t h r u s t i n g and o t h e r s t y l e s o f f a u l t i n g a r e i n i t i a t e d and s u s t a i n e d by a b n o r m a l l y h i g h f l u i d p r e s s u r e s , t h e n a mechanism f o r g e n e r a t i n g and m a i n t a i n i n g t h a t p r e s s u r e p o s e s a f u n d a m e n t a l p r o b l e m i n f a u l t m e c h a n i c s . One s u c h mechanism, a t r a n s i e n t i n c r e a s e i n f l u i d p r e s s u r e due t o t h e r m a l e x p a n s i o n o f p o r e f l u i d s c a u s e d by f r i c t i o n a l h e a t i n g w i t h i n a f a u l t z o n e , i s t h e s u b j e c t o f t h i s t h e s i s . A s s u m i n g t h a t t h e f a i l u r e s u r f a c e i s e s t a b l i s h e d and t h a t t h e s h e a r s t r e s s r e q u i r e d f o r s l i p i s g i v e n by t h e f r i c t i o n law, many i n v e s t i g a t o r s have shown t h a t s h e a r h e a t i n g c o u l d p l a y an i m p o r t a n t r o l e i n t h e d y n a m i c s o f f a u l t p r o c e s s e s . J a e g e r ( 1 9 4 2 ) , M c K e n z i e and Brune ( 1 9 7 2 ) , R i c h a r d s ( 1 9 7 6 ) , C a r d w e l l et al. ( 1 9 7 8 ) , S c h o l z ( 1 9 8 0 ) , and S i b s o n (1980) s u g g e s t e d f r i c t i o n a l h e a t i n g c o u l d l e a d t o p a r t i a l m e l t i n g on 4 t h e f a u l t s u r f a c e w i t h a s u b s e q u e n t r e d u c t i o n i n dynamic s h e a r s t r e n g t h . T h e s e s t u d i e s have n e g l e c t e d t h e p r e s e n c e and p o s s i b l e e f f e c t o f p o r e w a t e r . I f water i s p r e s e n t , t h e d y n a m i c s a r e more c o m p l i c a t e d . The r e s p o n s e o f f l u i d p r e s s u r e s t o s h e a r h e a t i n g c a n be d e s c r i b e d by t h e f o l l o w i n g two e x t r e m e c a s e s . I f t h e h y d r a u l i c d i f f u s i v i t y i s much g r e a t e r t h a n t h e t h e r m a l d i f f u s i v i t y , t h e n t h e t h e r m a l e x p a n s i o n of p o r e f l u i d s i s a c c o m o d a t e d by f l u i d f l o w f r o m t h e h e a t e d r e g i o n . In t h i s c a s e t h e f l u i d p r e s s u r e and dynamic s h e a r s t r e n g t h r e m a i n u nchanged d u r i n g s l i p . B e c a u s e t h e a d v e c t i o n o f h e a t i s g e n e r a l l y s m a l l , t h e f a u l t i s a l a r g e s o u r c e o f f r i c t i o n a l h e a t and p a r t i a l m e l t i n g may o c c u r . T h i s i s t h e r e s p o n s e e x p e c t e d f o r h i g h - p e r m e a b i l i t y m a t e r i a l . I f t h e h y d r a u l i c d i f f u s i v i t y i s l e s s t h a n t h e t h e r m a l d i f f u s i v i t y a nd i f t h e medium i s r i g i d , t h e n t h e r e i s no a p p r e c i a b l e l o s s o f f l u i d mass w i t h i n t h e h e a t e d r e g i o n due t o t r a n s p o r t f r o m , o r p o r e d i l a t a t i o n w i t h i n , t h a t r e g i o n . I n t h i s c a s e t h e h e a t i n g p r o c e s s t a k e s p l a c e a t c o n s t a n t f l u i d mass a n d s u b s t a n t i a l i n c r e a s e s i n f l u i d p r e s s u r e c a n o c c u r d u r i n g d e f o r m a t i o n . The r e s u l t i n g t h e r m a l p r e s s u r i z a t i o n c a u s e s t h e e f f e c t i v e c o m p r e s s i v e s t r e s s t o d e c r e a s e , p r o m o t i n g i n e l a s t i c d e f o r m a t i o n mechanisms s u c h as f r i c t i o n a l s l i d i n g p a s t g r a i n b o u n d a r i e s and m i c r o c r a c k i n g . I f f l u i d p r e s s u r e s a p p r o a c h l i t h o s t a t i c v a l u e s t h e dynamic s h e a r s t r e n g t h w i l l become s m a l l , and t h e m a t e r i a l w i t h i n t h e f a u l t zone w i l l l o s e c o h e s i o n and d e f o r m as a v i s c o u s f l u i d . T h i s i s t h e r e s p o n s e e x p e c t e d f o r media w i t h low p e r m e a b i l i t y t h a t have u n d e r g o n e 5 an i n i t i a l p h a s e o f c o n s o l i d a t i o n . In a d d i t i o n , d i l a t a n c y r e c o v e r y due t o s h e a r s t r a i n r e l e a s e i n t h e r e g i o n a d j a c e n t t o t h e f a u l t zone c a n f u r t h e r enhance i n c r e a s e s i n f l u i d p r e s s u r e s ( S i b s o n , 1973; S c h o l z et a l . , 1973; R i c e and R u d n i c k i , 1979). S i b s o n (1973; 1977) showed t h a t i f water i s p r e s e n t i n i n t e r c o n n e c t e d p o r e s a d j a c e n t t o a f a u l t s u r f a c e , t h e t e m p e r a t u r e r i s e c a u s e by f r i c t i o n a l h e a t i n g c a n r e s u l t i n a r a p i d i n c r e a s e i n f l u i d p r e s s u r e . The t h e r m a l p r e s s u r i z a t i o n o f p o r e - f l u i d s would c a u s e t h e two s l i d i n g s u r f a c e s t o l o s e c o h e s i o n , and c o n s e q u e n t l y , r e d u c e t h e dynamic s h e a r s t r e n g t h and t h e r a t e of f r i c t i o n a l h e a t i n g t o v i r t u a l l y z e r o . In s u c h a c a s e t h e maximum t e m p e r a t u r e a t t a i n e d on t h e f a u l t s u r f a c e w o u l d be s u b s t a n t i a l l y l e s s t h a n t h a t r e q u i r e d f o r p a r t i a l m e l t i n g . I n a d d i t i o n a l work, S i b s o n (1975) p r e s e n t e d e v i d e n c e f o r f r i c t i o n a l m e l t i n g on t h e o u t e r H e b r i d e s t h r u s t zone and s u g g e s t e d s u c h c o n t r a s t i n b e h a v i o r m i g h t d e p e n d upon whether s l i p o c c u r r e d under "wet" o r " d r y " c o n d i t i o n s . W i t h o u t a t t e m p t i n g t o s o l v e t h e c o u p l e d e q u a t i o n s , L a c h e n b r u c h (1980) w r o t e down t h e g o v e r n i n g e q u a t i o n s f o r h e a t and f l u i d f l o w , and a n a l y z e d f o r s p e c i a l c a s e s t h e i n t e r a c t i o n o f c o n t r o l l i n g p a r a m e t e r s and t h e i r c r i t i c a l r a n g e o f v a l u e s . The c o n c e p t s d i s c u s s e d i n t h i s work f o r m t h e b a s i s and s t a r t i n g p o i n t f o r t h i s s t u d y . F o r h i s a n a l y s i s he assumed t h a t t h e w i d t h and r e l a t i v e s l i p v e l o c i t y a c r o s s t h e f a u l t zone a r e c o n s t a n t d u r i n g d e f o r m a t i o n , t h a t t h e s t r a i n i s 6 i n d e p e n d e n t o f p o s i t i o n i n t h e f a u l t z one, and t h a t t h e s h e a r s t r e s s r e q u i r e d f o r s l i p i s g i v e n by a f r i c t i o n law. L a c h e n b r u c h showed t h a t a r e d u c t i o n i n f a u l t s t r e n g t h due t o t h e r m a l p r e s s u r i z a t i o n r e q u i r e s t h e tandem o p e r a t i o n of t h r e e p r o c e s s e s : s h e a r h e a t i n g must c a u s e a s i g n i f i c a n t t e m p e r a t u r e r i s e , t h e t e m p e r a t u r e r i s e must c a u s e a s i g n i f i c a n t f l u i d - p r e s s u r e i n c r e a s e , and t h e f l u i d - p r e s s u r e i n c r e a s e must c a u s e a s i g n i f i c a n t r e d u c t i o n i n s h e a r s t r e n g t h . F a i l u r e o f any of t h e s e c o n d i t i o n s c a n l e a d t o d e c o u p l i n g of t h e t h e r m a l , p o r e f l u i d p r e s s u r e and s t r e s s f i e l d s , and t h e r e b y a f a i l u r e t o r e d u c e t h e s h e a r s t r e n g t h of a f a u l t . He c o n c l u d e d t h a t i f p e r m e a b i l i t y o r p o r e - d i l a t a t i o n a l r a t e e x c e e d 1 0 " 1 3 m 2 o r 2%, r e s p e c t i v e l y , t h e n c o u p l i n g o f t h e r m a l , h y d r o l o g i c , and m e c h a n i c a l e f f e c t s c o u l d p r o b a b l y be n e g l e c t e d , w i t h f l u i d p r e s s u r e and dynamic s h e a r s t r e n g t h r e m a i n i n g c o n s t a n t d u r i n g s l i p . R a l e i g h and E v e r d e n ( 1 9 8 1 ) , a s s u m i n g no t r a n s p o r t o f f l u i d o r h e a t , c a l c u l a t e d t h e maximum f l u i d p r e s s u r e i n c r e a s e f o r v a r i o u s d i s p l a c e m e n t s , d i s p l a c e m e n t v e l o c i t i e s , and f a u l t zone w i d t h s . They u s e d t h e s e c a l c u l a t i o n s a s e v i d e n c e f o r low a m b i e n t s h e a r s t r e s s e s i n t h e c r u s t . W h i l e t h e s e s t u d i e s have s e r v e d t o i l l u s t r a t e p e r t i n e n t f e a t u r e s o f t h e r e s p o n s e , t h e y have c o n s i d e r e d o n l y a f a u l t zone o f c o n s t a n t w i d t h and f i x e d s t r a i n r a t e , f o r t h e f o l l o w i n g two l i m i t i n g c a s e s : t h o s e c a s e s where t h e f l u i d t r a n s p o r t i s so l a r g e i t n u l l i f i e s t h e r m a l p r e s s u r i z a t i o n , and t h o s e c a s e s where t h e t r a n s p o r t o f h e a t or f l u i d , o r b o t h , a r e so s m a l l t h e y c a n be n e g l e c t e d . In a d d i t i o n , c h a n g e s i n t h e 7 p o r e - d i l a t a t i o n r a t e d u r i n g s l i p have n o t been c o n s i d e r e d . F o r t h e s e c a s e s , i t i s p o s s i b l e t o a n a l y z e t h e s y s t e m u s i n g s i m p l e a n a l y t i c a l m o d e l s . F o r i n t e r m e d i a t e c o n d i t i o n s , t h e s e s t u d i e s do n o t p r o v i d e an a d e q u a t e d e s c r i p t i o n o f t h e t r a n s i e n t i n c r e a s e i n t e m p e r a t u r e w i t h i n a f a u l t zone d u r i n g s l i p , and i t s e f f e c t - on t h e f l u i d p r e s s u r e and s t r e s s f i e l d s . By a s s u m i n g a f r i c t i o n law t o d e s c r i b e t h e s h e a r s t r e s s r e q u i r e d f o r s l i p , i t i s n o t p o s s i b l e t o examine t h e e v o l u t i o n of i n e l a s t i c d e f o r m a t i o n a c r o s s a f a u l t z o n e . S i n c e t h i s law d e s c r i b e s o n l y t h e g r o s s r e s i s t a n c e between two s l i d i n g s u r f a c e s , t h e s h e a r s t r e s s i s o n l y i n f l u e n c e d by t h e e f f e c t t h a t t h e s t r a i n r a t e has on t h e r a t e of h e a t g e n e r a t i o n and, c o n s e q u e n t l y , on t h e f l u i d p r e s s u r e and e f f e c t i v e s t r e s s . T h i s a p p r o a c h d e c o u p l e s t h e e q u a t i o n s d e s c r i b i n g m o t i o n w i t h i n a f a u l t zone from t h e e q u a t i o n s d e s c r i b i n g t h e f l u i d p r e s s u r e and t e m p e r a t u r e . Thus i t i s n e c e s s a r y t o make a priori a s s u m p t i o n s a b o u t t h e w i d t h o f d e f o r m a t i o n and t h e s t r a i n r a t e a c r o s s t h e f a u l t zone t o c a l c u l a t e t h e f l u i d - p r e s s u r e and t e m p e r a t u r e f i e l d s . In o r d e r t o s o l v e f o r d e f o r m a t i o n s a r h e o l o g i c a l law i s n e e d ed t o d e f i n e t h e way i n w h i c h s h e a r s t r e s s i s r e l a t e d t o s t r a i n r a t e , e f f e c t i v e s t r e s s , and t e m p e r a t u r e f o r t h e m a t e r i a l w i t h i n a f a u l t z o n e . By c o n s i d e r i n g t h e r h e o l o g y o f f a u l t - z o n e m a t e r i a l , no a r b i t r a r y a s s u m p t i o n s a r e i n v o k e d w i t h r e s p e c t t o any o f i t s m e c h a n i c a l c h a r a c t e r i s t i c s . 8 F o r t h e p u r p o s e s of t h i s t h e s i s a f a u l t zone i s d e f i n e d as a r e g i o n o f i n t e n s e l y d e f o r m e d m a t e r i a l t h a t i s f l a n k e d on b o t h s i d e s by r e l a t i v e l y u n d e f o r m e d m a t e r i a l . The f a u l t z o n e , p e r h a p s a few c e n t i m e t e r s t o t e n s o f m e t e r s wide, u n d e r g o e s s t r a i n s t h a t a r e f i n i t e and l a r g e l y i r r e c o v a b l e . The s u r r o u n d i n g c r u s t a l r o c k s e x p e r i e n c e i n f i n i t e s i m a l s t r a i n s w h i c h s t o r e t h e e l a s t i c e n e r g y t h a t has r i s e n s l o w l y b e c a u s e o f l o n g - t e r m t e c t o n i c movement. D u r i n g d e f o r m a t i o n t h i s s t r a i n e n e r g y i s p r i m a r i l y r e l e a s e d by t r a n s f e r t o t h e f a u l t zone where i t i s d i s s i p a t e d i n t o h e a t and t h e k i n e t i c e n e r g y o f m o t i o n . B e c a u s e d e f o r m a t i o n may n o t o c c u r a c r o s s t h e e n t i r e f a u l t z one, a d i s t i n c t f a u l t zone b o u n d a r y i s an a r t i f i c e . C o n c e i v a b l y t h e b o u n d a r y w i l l v a r y b o t h i n t i m e and s p a c e . D u r i n g s l i p , d e f o r m a t i o n a c r o s s t h e f a u l t zone r e s e m b l e s t h e f l o w o f a v i s c o u s f l u i d under an a p p l i e d s h e a r s t r e s s . I n t h i s c a s e , i n e l a s t i c s h e a r d e f o r m a t i o n s d o m i n a t e t h e e l a s t i c r e s p o n s e and t h e f a u l t zone c a n be d e s c r i b e d w i t h a r h e o l o g y t h a t i s d e p e n d e n t on t h e e f f e c t i v e s t r e s s and t e m p e r a t u r e . F o r a c o n s t a n t s h e a r s t r e s s , t h i s f o r m u l a t i o n i m p l i e s t h a t f a u l t m a t e r i a l b e h a v e s as a v i s c o - p l a s t i c m a t e r i a l w h i c h a t f a i l u r e y i e l d s and u n d e r g o e s i n e l a s t i c d e f o r m a t i o n . Such f l u i d - m e c h a n i c a l f o r m u l a t i o n s e x i s t f o r n o n - p o r o u s , s i n g l e - c o n s t i t u e n t m a t e r i a l s w i t h a t e m p e r a t u r e - d e p e n d e n t r h e o l o g y . T u r c o t t e and Oxbaugh (1968) modeled t h e d e e p s t r u c t u r e o f d i p - s l i p f a u l t z o n e s u s i n g a f l u i d d y n a m i c a l t h e o r y w h i c h i n c l u d e d s h e a r h e a t i n g and a t e m p e r a t u r e - d e p e n d e n t r h e o l o g y . Sukanek and L a u r e n c e (1974) 9 d i s c u s s e d t h e r a t e o f h e a t d i s s i p a t i o n w i t h i n some s i m p l e s h e a r f l o w s . Yuen et al . (1978) p r e s e n t e d a t i m e - d e p e n d e n t a n a l y t i c a l model o f t e m p e r a t u r e , v e l o c i t y , v i s c o s i t y , and s h e a r s t r e s s i n a f a u l t z o n e . F o r t h e i r a n a l y s i s a k i n e m a t i c model was a d o p t e d where t h e r e l a t i v e s l i p v e l o c i t y a c r o s s t h e zone i s c o n s t a n t . B e c a u s e t h e i r model c o n s i s t e d of t w o - h a l f s p a c e s s l i d i n g p a s t e a c h o t h e r on a t h i n p l a n a r s u r f a c e , i t i s i n d e p e n d e n t o f t h e s t y l e of f a u l t i n g . The model was a p p l i e d t o a h y p o t h e t i c a l f a u l t z o n e , and t o f a u l t z o n e s l o c a t e d a l o n g d e s c e n d i n g o c e a n i c s l a b s and a l o n g m a j o r t r a n s f o r m f a u l t s . They showed t h a t an i n i t i a l l y p l a n a r f a u l t zone w o u l d widen as s l i p p r o g r e s s e s , e v e n t u a l l y s t a b i l i z i n g a t a w i d t h t h a t i s d e p e n d e n t on t h e a m b i e n t t e m p e r a t u r e c o n d i t i o n s . The maximum t e m p e r a t u r e s a s s o c i a t e d w i t h s h e a r h e a t i n g were a l w a y s l e s s t h a n t h o s e r e q u i r e d f o r p a r t i a l m e l t i n g . They c o n c l u d e d t h a t t h e r m o m e c h a n i c a l c o u p l i n g , t h r o u g h s h e a r h e a t i n g , a s t r o n g l y t e m p e r a t u r e - d e p e n d e n t v i s c o s i t y and t h e d i f f u s i o n o f h e a t , a r e t h e p r i n c i p a l f a c t o r s c o n t r o l l i n g f a u l t zone s t r u c t u r e . S i m i l i a r r e s u l t s have been o b t a i n e d by F l e i t o u t and F r o i d e a u x ( 1 9 7 9 ) , L o c k e t t and K u s z n i r ( 1 9 8 2 ) , and Brun and C o b b o l d (1982) . T h e s e s t u d i e s on d e f o r m a t i o n a c r o s s a f a u l t zone have a l s o n e g l e c t e d t h e p r e s e n c e and p o s s i b l e e f f e c t o f p o r e w a t e r s . I f p o r e w a t e r s a r e p r e s e n t , t h e r m a l p r e s s u r i z a t i o n c a n c a u s e t h e p o r o u s medium t o l o o s e c o h e s i o n , p r o m o t i n g a n e t r e d u c t i o n i n t h e s h e a r s t r e n g t h o f t h e r e g i o n a d j a c e n t t o t h e f a i l u r e s u r f a c e . T h i s l o s s of s h e a r s t r e n g t h c o u l d c a u s e an 10 i n i t i a l l y p l a n a r zone t o b r o a d e n as s l i p p r o g e s s e s . C o n v e r s e l y , an i n i t i a l l y b r o a d zone would t e n d t o c o n t r a c t a b o u t t h e r e g i o n where t h e i n i t i a l s t r a i n r a t e and, c o n s e q u e n t l y , f l u i d p r e s s u r e and t e m p e r a t u r e r i s e h appened t o be t h e g r e a t e s t . Whether o r n o t t h e zone w i l l widen ( o r c o n t r a c t ) t o h a l t ( o r e n h a n c e ) t h e t h e r m a l p r e s s u r i z a t i o n p r o c e s s , o r s t a b i l i z e a t a c e r t a i n w i d t h and s h e a r s t r e n g t h , depends upon t h e r h e o l o g i c a l r e l a t i o n w h i c h l i n k s t h e s h e a r s t r e n g t h t o t h e d e f o r m a t i o n r a t e , e f f e c t i v e s t r e s s and t e m p e r a t u r e . C u r r e n t l y , v e r y l i t t l e i s known a b o u t t h e r h e o l o g i c a l b e h a v i o r o f a f a u l t zone a t any d e p t h . F o r d i s a g g r e g a t e d f a u l t gouge i t i s p r o b a b l e t h e r h e o l o g y would f o l l o w a f r i c t i o n law b e h a v i o r ; t h a t i s t h e s h e a r s t r e n g t h a p p r o a c h e s z e r o as t h e f l u i d p r e s s u r e s a p p o a c h l i t h o s t a t i c v a l u e s ( e . g . , H a n d i n et al. , 1963; J a e g e r and Cook, 1969; S a vage, 1977; L a c h e n b r u c h , • 1980; Hanes an d Inman, 1985). I t i s assumed t h a t t h e s h e a r s t r e s s r e q u i r e d f o r s l i p a c r o s s t h e f a u l t i s g i v e n by t h e f r i c t i o n law where r r i s t h e r e s i s t i v e s h e a r s t r e s s , i s t h e dynamic c o e f f i c i e n t o f f r i c t i o n , T r i s t h e t o t a l n o r m a l s t r e s s a c t i n g a c r o s s t h e f a u l t , and P i s t h e p o r e - f l u i d p r e s s u r e . A p r i n c i p a l m o t i v a t i o n f o r u s i n g t h i s law i s i t s w i d e - s p r e a d a p p l i c a b i l i t y i n d e s c r i b i n g t h e r e s u l t s o f l a b o r a t o r y 11 e x p e r i m e n t s f o r a v a r i e t y of r o c k t y p e s . F o r most r o c k s i s i n s e n s i t i v e t o c o m p o s i t i o n and h a r d n e s s , and has v a l u e s between 0.4 and 1.0 ( B y e r l e e , 1 978). F o r s u r f a c e s s e p a r a t e d by a t h i n c l a y - r i c h l a y e r o f f a u l t gouge, Morrow et al . (1982) r e p o r t e d v a l u e s f o r t h a t r a n g e d f r o m 0.2 t o 0.6. In g e n e r a l , t h e c o e f f i c i e n t o f f r i c t i o n i s d e p e n d e n t on t h e e f f e c t i v e n o r m a l s t r e s s and d e f o r m a t i o n h i s t o r y o f t h e f a u l t zone ( e . g . , D i e t r i c h , 1979a, 1979b; R i c e , 1983; R u i n a , 1983, 1984; R i c e and T s e , 1986). B e c a u s e t h i s law d e s c r i b e s t h e g r o s s r e s i s t a n c e between two s l i d i n g b l o c k s , t h e s h e a r s t r e s s i s i n f l u e n c e d o n l y by t h e e f f e c t t h a t f r i c t i o n a l h e a t i n g has on t h e f l u i d p r e s s u r e and s l i p r a t e . T h i s a p p r o a c h d e c o u p l e s t h e e q u a t i o n s d e s c r i b i n g m o t i o n w i t h i n t h e f a u l t zone f r o m t h e e q u a t i o n s d e s c r i b i n g f l u i d p r e s s u r e and t e m p e r a t u r e . Thus i t i s n o t p o s s i b l e t o examine t h e e v o l u t i o n o f i n e l a s t i c d e f o r m a t i o n , and a priori a s s u m p t i o n s a b o u t t h e w i d t h o f d e f o r m a t i o n arid t h e s t r a i n r a t e a c r o s s t h e zone must be made t o c a l c u l a t e t h e f l u i d - p r e s s u r e and t e m p e r a t u r e f i e l d s . W h atever t h e r h e o l o g i c a l r e l a t i o n may be, however, i t i s l i k e l y t h a t i t f o l l o w s a f r i c t i o n law b e h a v i o r ( 1 . 1 ) . I f t h a t were s o , t h e n i n i t i a l l y b r o a d zone w o u l d t e n d t o c o n t r a c t a b o u t t h e p l a n e where t h e f l u i d p r e s s u r e r i s e was t h e g r e a t e s t . W i t h o u t a r h e o l o g i c a l law r e l a t i n g t h e s h e a r s t r e n g t h t o e f f e c t i v e s t r e s s , t e m p e r a t u r e and d e f o r m a t i o n r a t e , i t i s s i m p l y n o t e d when t h e s e c a l c u l a t i o n s i m p l y t h a t d e f o r m a t i o n would expand o r c o n t r a c t a b o u t t h e edges of t h e z o n e . 12 T h e r m a l p r e s s u r i z a t i o n has been c o n s i d e r e d i n s e v e r a l o t h e r g e o l o g i c s i t u a t i o n s . H a b i b ( 1 9 7 6 ) , V o i g h t and F a u s t ( 1 9 8 2 ) , and A n d e r s o n (1980) examined f r i c t i o n a l h e a t g e n e r a t i o n w i t h i n t h e f l u i d - s a t u r a t e d b a s a l z o n e s o f l a r g e l a n d s l i d e s . M o d e l i n g o f t h i s p r o b l e m r e s e m b l e s t h e a n a l y s i s o f of p o r e - p r e s s u r e s c h a n g e s due t o f a u l t g e n e r a t e d f r i c t i o n a l h e a t i n g . B a r k e r (1972) and B r a d l e y (1972) examined t h e r m a l p r e s s u r i z a t i o n w i t h i n an i s o l a t e d volume o f s e d i m e n t s t h a t a r e s u b j e c t e d t o a t e m p e r a t u r e r i s e d u r i n g b u r i a l . Domenico and P a l c i a u s k a s (1979a; 1979b) examined how h i g h g e o t h e r m a l g r a d i e n t s i n c o m b i n a t i o n w i t h a r a p i d r a t e o f s e d i m e n t a t i o n c o u l d l e a d t o e x c e s s p o r e p r e s s u r e s . They showed t h a t t h e r m a l p r e s s u r i z a t i o n o f p o r e f l u i d s c o u l d be of a s u f f i c i e n t m a g n i t u d e t o i n i t i a t e i n e l a s t i c d e f o r m a t i o n , and t h e r e b y , t h e d e v e l o p m e n t o f f r a c t u r e p o r o s i t y i n c o m p a c t i n g b a s i n s . P a l c i a u s k a s and Domenico (1982) examined t h e h y d r o m e c h a n i c a l r e s p o n s e o f c r y s t a l l i n e r o c k t o h e a t i n g , and showed t h a t t h e r e s p o n s e c a n be c h a r a c t e r i z e d by t h e f o u r i s o t h e r m a l e l a s t i c p a r a m e t e r s o f B i o t ( 1 9 4 1 ) , i n c o m b i n a t i o n w i t h n o n i s o t h e r m a l p a r a m e t e r s r e l a t e d t o t h e f l u i d and s o l i d p h a s e s , and t h e t h e r m a l e x p a n s i v i t y of t h e medium. D e l a n e y (1982) c a r r i e d o u t a d e t a i l e d a n a l y s i s of f l u i d f l o w and h e a t t r a n s f e r i n d u c e d by h e a t i n g a l o n g t h e c o n t a c t w i t h a p l a n a r i n t r u s i o n . P a r a m e t e r v a l u e s f o r m a t e r i a l p r o p e r t i e s were i d e n t i f i e d f o r w h i c h s u b s t a n t i a l i n c r e a s e s i n p o r e p r e s s u r e s c o u l d be g e n e r a t e d . The o b j e c t i v e s of t h i s t h e s i s a r e t h r e e f o l d . F i r s t , t h e e q u a t i o n s g o v e r n i n g f l u i d p r e s s u r e , t e m p e r a t u r e , and s t r e s s 13 a r e d e v e l o p e d t o e x p l i c i t l y i n c l u d e e x p a n s i o n o r c o n t r a c t i o n o f t h e f l u i d a nd s o l i d p h a s e s due t o c h a n g e s i n f l u i d p r e s s u r e and t e m p e r a t u r e . T h i s d e v e l o p m e n t i s n e c e s s a r y t o examine t h e p a r a m e t e r s t h a t g o v e r n t h e r a t e o f f l u i d p r e s s u r i z a t i o n and p o r e d i l a t a t i o n due t o an a r b i t r a r y r i s e i n t e m p e r a t u r e , and t o examine t h e i r c r i t i c a l r a n g e o f v a l u e s where t h e r m a l p r e s s u r i z a t i o n i s s i g n i f i c a n t . S e c o n d , u s i n g b o t h a n a l y t i c a l and n u m e r i c a l m o d e l s , an e x a m i n a t i o n was made of how t h e t h e r m a l e x p a n s i o n o f p o r e f l u i d s due t o f r i c t i o n a l h e a t i n g on a f a u l t s u r f a c e a f f e c t s t h e t e m p e r a t u r e and dynamic s h e a r s t r e n g t h of t h e f a u l t d u r i n g s l i p . T h i r d , t h i s model i s expanded t o a c c o u n t f o r f a u l t z o n e s o f f i n i t e w i d t h and a v a r i a b l e r e s i s t i v e s t r e s s . The a i m o f t h i s t h e s i s i s t o examine t h e f u l l n o n l i n e a r b e h a v i o r o f f a u l t m o t i o n , and t o d e t e r m i n e l i m i t s t o f a u l t b e h a v i o r f o r v a r i o u s r a n g e s o f t h e c o n t r o l l i n g p a r a m e t e r s . G e n e r a l i z a t i o n s a r e f o r m e d d e s c r i b i n g t h e i m p o r t a n c e o f t h e r m a l and h y d r o l o g i c e f f e c t s d u r i n g f a u l t m o t i o n , d i m e n s i o n l e s s measures o f t h e i r i m p o r t a n c e , and c h a r a c t e r i s t i c s t i m e s c a l e s f o r t h e r m a l p r e s s u r i z a t i o n . In a d d i t i o n , an e x a m i n a t i o n i s made of how t h e r m a l p r e s s u r i z a t i o n a f f e c t s t h e s h e a r s t r e n g t h o f t h e a d j a c e n t medium and t h e r e b y t h e s t y l e o f d e f o r m a t i o n . The r e s u l t s a r e i n d e p e n d e n t o f t h e s t y l e o f f a u l t i n g and can be a p p l i e d t o s t r i k e - s l i p , t h r u s t and n o r m a l f a u l t z o n e s . The a n a l y s i s p r e s e n t e d h e r e removes some o f t h e l i m i t a t i o n s of p r e v i o u s s t u d i e s , and d e v e l o p s a b e t t e r u n d e r s t a n d i n g o f t h e r o l e o f f r i c t i o n a l h e a t i n g and t h e r m a l p r e s s u r i z a t i o n i n t h e p h y s i c s o f f a u l t zone p r o c e s s e s . 14 The t e x t o f t h i s t h e s i s i s d i v i d e d i n t h r e e main p a r t s . E a c h p a r t c o n s i s t s o f a p a p e r w r i t t e n t o be p u b l i s h e d i n a s c i e n t i f i c j o u r n a l . C o n s e q u e n t l y , e a c h c h a p t e r i s s e l f - c o n t a i n e d , w i t h an i n t r o d u c t i o n , t e x t , a p p e n d i c e s , r e f e r e n c e s , t a b l e s , and f i g u r e s . C h a p t e r I I o u t l i n e s t h e d e r i v a t i o n s o f t h e f i e l d e q u a t i o n s and d i s c u s s e s t h e m a t e r i a l p r o p e r t i e s t h a t a r e n e c e s s a r y f o r a q u a n t a t i t i v e s t u d y o f f a u l t p r o c e s s e s . The t h e o r y i n C h a p t e r I I i s n o t new. The p u r p o s e of t h e d e r i v a t i o n s i s f o u r f o l d . F i r s t , t h e r e q u i r e m e n t f o r c o n s e r v a t i o n o f s o l i d mass i s u s e d t o d e v e l o p a c o m p a t i b i l i t y c o n s t r a i n t f o r p o r o s i t y . T h i s c o n s t r a i n t d e t e r m i n e s t h e p o r e - d i l a t a t i o n r a t e a r i s i n g f r o m d e f o r m a t i o n s c a u s e d by c h a n g e s i n p o r e - f l u i d p r e s s u r e , t e m p e r a t u r e and t o t a l -s t r e s s e s . S e c o n d , t h e f l u i d f l o w e q u a t i o n i s d e v e l o p e d t o e x p l i c i t l y i n c l u d e e x p a n s i o n o r c o n t r a c t i o n o f t h e f l u i d p h a s e due t o c h a n g e s i n f l u i d p r e s s u r e and t e m p e r a t u r e . T h i s d e v e l o p m e n t i s n e c e s s a r y t o examine t h e p a r a m e t e r s t h a t g o v e r n t h e r a t e o f f l u i d p r e s s u r i z a t i o n due t o an a r b i t r a r y r i s e i n t e m p e r a t u r e and examine t h e i r c r i t i c a l r a n g e of v a l u e s where t h e r m a l p r e s s u r i z a t i o n i s s i g n i f i c a n t . T h i r d , p r e v i o u s s t u d i e s f o r p o r o u s media have assumed t h a t t h e r a t e o f h e a t g e n e r a t i o n due t o m e c h a n i c a l work i s n e g l i g i b l e . F o r f a u l t p r o c e s s e s , however, a s i g n i f i c a n t amount of h e a t c a n be g e n e r a t e d by m e c h a n i c a l d e f o r m a t i o n of t h e s o l i d m a t r i x . C o n s e q u e n t l y , m e c h a n i c a l forms o f e n e r g y must be c o n s i d e r e d . F o u r t h , t h e e q u a t i o n s s e t o u t h e r e form t h e f o u n d a t i o n f o r e x a m i n i n g t h e 15 t h e r m a l , h y d r o l o g i c and m e c h a n i c a l r e s p o n s e o f a f a u l t zone d u r i n g d e f o r m a t i o n . T h e s e e q u a t i o n s a r e d e v e l o p e d i n t h r e e d i m e n s i o n s , however, i n C h a p t e r s I I I and IV t h e f a u l t zone i s assumed t o d e f o r m by s i m p l e s h e a r . I n t h i s c a s e , h e a t and f l u i d f l o w o c c u r a t r i g h t a n g l e s t o t h e c e n t e r l i n e of t h e f a i u l t z o n e . Thus o n l y t h e o n e - d i m e n s i o n a l f o r m s o f t h e s e e q u a t i o n s a r e u s e d i n s u b s e q u e n t c h a p t e r s . In C h a p t e r I I I , t h e e f f e c t s of f r i c t i o n a l h e a t i n g and f l u i d f l o w on t h e t h e r m a l , h y r o l o g i c , and m e c h a n i c a l r e s p o n s e o f a f a u l t s u r f a c e a r e e x a m i n e d . The r e s u l t s o f t h i s c h a p t e r i l l u s t r a t e how t h e e f f e c t s o f h e a t t r a n s f e r and f l u i d f l o w i n f l u e n c e t h e t h e r m o h y d r o m e c h a n i c a l r e s p o n s e of a f a u l t s u r f a c e d u r i n g s l i p , and l e a d t o t h e f o l l o w i n g c o n c l u s i o n s : i) F o r r i g i d m e dia w i t h low p e r m e a b i l i t y , o n l y a s m a l l t e m p e r a t u r e i n c r e a s e i s r e q u i r e d f o r t h e t h e r m a l e x p a n s i o n o f p o r e f l u i d s t o p r e s s u r i z e t h e f l u i d s and t o m a i n t a i n t h e f l u i d p r e s s u r e on t h e f a u l t s u r f a c e a t n e a r - l i t h o s t a t i c v a l u e s . T h i s r e s u l t i s i n a g r e e m e n t w i t h t h e e a r l i e r a n a l y s i s by L a c h r n b r u c h ( 1 9 8 0 ) . F o r media w i t h g r e a t e r p e r m e a b i l i t i e s o r p o r o u s medium c o m p r e s s i b i l i t i e s , o r b o t h , l a r g e t e m p e r a t u r e r i s e s a r e r e q u i r e d on t h e f a u l t s u r f a c e f o r t h e t h e r m a l p r e s s u r i z a t i o n o f p o r e f l u i d s t o overcome f l u i d l o s s e s due t o f l u i d f l o w o r f l u i d - v o l u m e c h a n g e s due t o p o r e d i l a t a t i o n , o r b o t h . T e m p e r a t u r e s on t h e f a u l t p l a n e s t a b i l i z e a t t h e p o i n t where t h e r e i s a dynamic b a l a n c e between t h e t e m p e r a t u r e and p r e s s u r e f i e l d s , w i t h t h e i n c r e a s e i n f l u i d volume due t o 16 t h e r m a l e x p a n s i o n e q u a l t o f l u i d l o s s due t o f l o w and f l u i d - v o l u m e c h a n g e s due t o p o r e d i l a t a t i o n . . ii) The dynamic s h e a r s t r e n g t h r e m a i n s c l o s e t o i t s i n i t i a l v a l u e u n t i l t h e f a u l t s u r f a c e i s h e a t e d t o a t e m p e r a t u r e r e q u i r e d f o r t h e r m a l e x p a n s i o n o f p o r e f l u i d s t o e x c e e d s u b s t a n t i a l l y f l u i d l o s s e s due t o f l o w and f l u i d - v o l u m e c h a n g e s due t o p o r e d i l a t a t i o n . Once t h i s c o n d i t i o n i s e s t a b l i s h e d , t h e s h e a r s t r e n g t h d i m i n i s h e s r a p i d l y t o a v a l u e s u f f i c i e n t t o m a i n t a i n t h e t h e r m a l p r e s s u r i z a t i o n p r o c e s s . F o r media w i t h g r e a t e r p e r m e a b i l i t y or c o m p r e s s i b i l i t y , o r b o t h , t h e s h e a r s t r e n g t h w i l l r e m a i n c l o s e t o i t s i n i t i a l v a l u e o v e r g r e a t e r d i s p l a c e m e n t s . I f e i t h e r t h e p e r m e a b i l i t y e x c e e d s 1 0 " 1 5 m 2 o r t h e p o r o u s medium c o m p r e s s i b i l i t y e x c e e d s 10" 8 P a " 1 , t h e n f r i c t i o n a l m e l t i n g may r e d u c e t h e dynamic s h e a r s t r e n g t h b e f o r e t h e e f f e c t s o f t h e r m a l p r e s s u r i z a t i o n become s i g n i f i c a n t . iii) The main e f f e c t o f v a r y i n g t h e d e p t h t o t h e f a u l t s u r f a c e i s t o change t h e i n i t i a l c o n d i t i o n s a t t h e o n s e t o f s l i p . B e c a u s e i n c r e a s e s i n t h e i n i t i a l e f f e c t i v e s t r e s s l e a d t o an i n c r e a s e i n t h e maximum f l u i d p r e s s u r e , t h e t e m p e r a t u r e r e q u i r e d t o s u s t a i n f l u i d p r e s s u r e s a t n e a r - l i t h o s t a t i c v a l u e s depends on t h e i n i t i a l e f f e c t i v e s t r e s s . I f f l u i d p r e s s u r e s a r e i n i t i a l l y h y d r o s t a t i c , t h e n t h e f i n a l t e m p e r a t u r e a t t a i n e d on t h e f a u l t s u r f a c e i n c r e a s e s w i t h d e p t h . However, b e c a u s e t h e t r a n s i e n t r a t e o f d e c r e a s e o f t h e s h e a r s t r e n g t h depends p r i m a r i l y on t h e m a t e r i a l p r o p e r t i e s o f t h e p o r o u s medium, and on t h e c o e f f i c e n t of f r i c t i o n and t h e s l i p v e l o c i t y on t h e 17 f a u l t s u r f a c e , c h a n g e s i n i n i t i a l c o n d i t i o n s do n o t s i g n i f i c a n t l y change- t h e r a t e o f d e c r e a s e i n s h e a r s t r e n g t h . ix) The c o e f f i c i e n t of f r i c t i o n and s l i p v e l o c i t y d e t e r m i n e t h e r a t e a t w h i c h t h e r m a l p r e s s u r i z a t i o n p r o c e e d s , but n o t t h e f i n a l outcome. However, i f t h e c o e f f i c i e n t of f r i c t i o n i s l e s s t h a n 10" 1 and i f t h e s l i p v e l o c i t y i s l e s s t h a n 10" 2 ms" 1, t h e n i t i s d o u b t f u l t h a t e i t h e r t h e r m a l p r e s s u r i z a t i o n o r f r i c t i o n a l m e l t i n g c o u l d r e d u c e t h e dynamic s h e a r s t r e n g t h o f t h e f a u l t s u r f a c e . In t h e s e c o n d i t i o n s f r i c t i o n a l h e a t i n g i s s m a l l , and t h e t e m p e r a t u r e r i s e w o u l d be m i n i m a l f o r an e a r t h q u a k e e v e n t w i t h r e a l i s t i c d i s p l a c e m e n t . C h a p t e r IV e x a mines t h e e f f e c t o f f a u l t w i d t h , t h e d y n a m i c s of a v a r i a b l e r e s i s t i v e s t r e s s , and t h e p h y s i c a l p a r a m e t e r s t h a t c o n t r o l t h e t h e r m a l and h y d r o l o g i c f i e l d s . A o n e - d i m e n s i o n a l model i s f o r m u l a t e d f o r an e a r t h q u a k e w h i c h i n c o r p o r a t e s t h e ' e f f e c t s o f f r i c t i o n a l h e a t i n g on t h e t h e r m a l , h y d r o l o g i c , and m e c h a n i c a l r e s p o n s e o f a f a u l t . T h i s model has been u s e d t o examine t h e p a r a m e t e r s t h a t c o n t r o l t h e f a u l t r e s p o n s e , and t o d e t e r m i n e t h e i r c r i t i c a l r a n g e o f v a l u e s where t h e r m a l p r e s s u r i z a t i o n i s s i g n i f i c a n t . In a d d i t i o n , an i m p o r t a n t p a r a m e t e r , t h e t h e r m a l p r e s s u r i z a t i o n c o e f f i c i e n t , i s d i s c u s s e d . T h i s p a r a m e t e r c o n t r o l s t h e r a t e s o f p o r e d i l a t a t i o n a n d f l u i d p r e s s u r i z a t i o n due t o a t e m p e r a t u r e r i s e . The main c o n c l u s i o n s of t h i s c h a p t e r a r e : i) M o t i o n o f t h e f a u l t b l o c k s can be c h a r a c t e r i z e d by two t i m e s c a l e s , a c h a r a c t e r i s t i c s l i p d u r a t i o n f o r t h e r e l e a s e o f 18 e l a s t i c s t r a i n e n e r g y and a c h a r a c t e r i s t i c t i m e f o r t h e r m a l p r e s s u r i z a t i o n due t o f r i c t i o n a l h e a t i n g . T h e s e t i m e s c a l e s d epend p r i m a r i l y on t h e f a u l t g e o m e t r y , and t h e h y d r a u l i c c h a r a c t e r i s t i c s o f t h e f a u l t zone and a d j a c e n t medium. Because of t h e wide v a r i a t i o n s i n t h e s e p a r a m e t e r s , a wide v a r i e t y of f a u l t b e h a v i o r i s p o s s i b l e . ii) F o r e a r t h q u a k e s o c c u r r i n g a c r o s s narrow z o n e s c o m p r i s e d of s t i f f m a t e r i a l w i t h low p e r m e a b i l i t y ( < 1 0 " 1 8 m 2 ) , t h e c h a r a c t e r i s t i c t i m e f o r t h e r m a l p r e s s u r i z a t i o n i s much l e s s t h a n t h e c h a r a c t e r i s t i c s l i p d u r a t i o n . C o n s e q u e n t l y , d u r i n g s l i p t h e r e s i s t i v e s t r e s s d e c r e a s e s more r a p i d l y t h a n t h e s h e a r s t r e s s a p p l i e d by t h e e l a s t i c r e g i o n , and t h e f a u l t b l o c k s r a p i d l y a c c e l e r a t e . T h i s b e h a v i o r would l e a d t o e a r t h q u a k e s of r e l a t i v e l y s h o r t d u r a t i o n s w i t h l a r g e s t r e s s d r o p s , a c c e l e r a t i o n s and d i s p l a c e m e n t s , and p r o v i d e an e x p l a n a t i o n f o r s t r o n g m o t i o n s . iii) F o r e a r t h q u a k e s o c c u r r i n g a c r o s s z o n e s where s h e a r s t r a i n s a r e l e s s t h a n one, o r t h e p o r o u s medium c o m p r e s s i b i l i t y and p e r m e a b i l i t y e x c e e d s 1 0" 8 P a " 1 and 1 0 " 1 " m 2, t h e c h a r a c t e r i s t i c t i m e f o r t h e r m a l p r e s s u r i z a t i o n i s much g r e a t e r t h a n t h e s l i p d u r a t i o n . B e c a u s e t h e r m a l p r e s s u r i z a t i o n w o u l d be n e g l i g i b l e , t h e f a u l t w ould r e t a i n i t s i n i t i a l s h e a r s t r e n g t h and r e s i s t f u r t h e r m o t i o n . T h i s b e h a v i o r w o u l d l e a d t o e a r t h q u a k e s w i t h r e l a t i v e l y s m a l l s t r e s s d r o p s , a c c e l e r a t i o n s and d i s p l a c e m e n t s , and p r o v i d e an e x p l a n a t i o n f o r t h e p r e s e n c e o f b a r r i e r s a l o n g f a u l t s . 19 iv) The s t y l e o f d e f o r m a t i o n a c r o s s a f a u l t zone may be c o n t r o l l e d by t h e h y d r a u l i c c h a r a c t e r i s t i c s o f t h e zone and a d j a c e n t w a l l r o c k . I f t h e h y d r a u l i c d i f f u s i v i t y of t h e w a l l r o c k i s g r e a t e r t h a n t h a t of t h e f a u l t z one, d e f o r m a t i o n would t e n d t o c o n t r a c t a b o u t t h e c e n t r a l r e g i o n where t h e f l u i d p r e s s u r e r i s e and, c o n s e q u e n t l y , t h e d e c l i n e i n s h e a r s t r e n g t h i s g r e a t e s t . In t h i s c a s e i t i s not u n r e a s o n a b l e t o e x p e c t v e r y narrow d e f o r m a t i o n z o n e s f o r l a r g e e a r t h q u a k e s . C o n v e r s e l y , i f t h e h y d r a u l i c d i f f u s i v i t y of t h e w a l l r o c k i s l e s s t h a n t h a t o f t h e zone, t h e w a l l r o c k a c t s t o c o n f i n e t h e e x c e s s f l u i d p r e s s u r e w i t h i n t h e z o n e . In t h i s c a s e t h e d i f f u s i o n o f e x c e s s p o r e p r e s s u r e s from t h e f a u l t c o u l d c a u s e a p r o g r e s s i v e w e a k e n i n g of t h e a d j a c e n t w a l l r o c k , and t h e r e b y a w i d e n i n g o f t h e d e f o r m a t i o n z o n e . v) The s p a t i a l v a r i a t i o n s i n f a u l t w i d t h and h y d r a u l i c c h a r a c t e r i s t i c s c o u l d r e a d i l y e x p l a i n a h e t e r o g e n o u s s t r e s s d r o p , and t h e r e b y an i r r e g u l a r r u p t u r e p r o p a g a t i o n and s l i p r a t e o v e r t h e f a u l t . B e c a u s e t h e s e p a r a m e t e r s c a n e n d u r e t h r o u g h many e a r t h q u a k e c y c l e s , e a r t h q u a k e s r e c u r r e n t on a g i v e n f a u l t may have t h e same s e t o f c h a r a c t e r i s t i c d i s p l a c e m e n t s and m a g n i t u d e s . V a r i a t i o n s w i t h i n t h e s e t would depend on t h e r e l a t i v e m a g n i t u d e s of t h e f a u l t l e n g t h , and t h e c h a r a c t e r i s t i c l e n g t h s c a l e s f o r t h e f a u l t w i d t h and h y d r a u l i c c h a r a c t e r i s t i c s . I f t h e c h a r a c t e r i s t i c l e n g t h s c a l e s f o r t h e s e p a r a m e t e r s a r e much l e s s t h a n t h e f a u l t l e n g t h , t h e n v a r i a t i o n s i n t h e d i s p l a c e m e n t s and m a g n i t u d e s would be l a r g e . I f , however, t h e c h a r a c t e r i s t i c l e n g t h f o r t h e s e p a r a m e t e r s i s 20 on t h e o r d e r of t h e f a u l t l e n g t h , t h e n t h e f a u l t b l o c k model w o u l d a p p l y and t h e v a r i a t i o n s w o u l d be s m a l l . T h i s s c a l e d e p e n d e n c y would c o n f o r m t o t h e f r e q u e n c y - m a g n i t u d e r e l a t i o n s o b s e r v e d f o r many f a u l t s ( e . g . , Nur, 1978; A k i 1984; S t u a r t et a l . , 1985). Thus t h e s p a t i a l d i s t r i b u t i o n of t h e s e p a r a m e t e r s may p l a y an i m p o r t a n t r o l e i n t h e d y n a m i c s and s t a t i s t i c a l c h a r a c t e r i s t i c s o f e a r t h q u a k e s . The r e s u l t s o f t h i s t h e s i s s u g g e s t t h a t t h e n a t u r e o f f a u l t m o t i o n depends c r i t i c a l l y upon t h e c h a r a c t e r i s t i c t i m e s c a l e s f o r t h e r m a l p r e s s u r i z a t i o n and s l i p d u r a t i o n . I n t u r n , t h e s e p a r a m e t e r s depend upon t h e f a u l t g e o m e t r y , and t h e h y d r a u l i c c h a r a c t e r i s t i c s of t h e f a u l t zone and t h e a d j a c e n t medium. Because o f t h e wide v a r i a t i o n s p o s s i b l e i n t h e s e p a r a m e t e r s , a wide v a r i e t y o f f a u l t b e h a v i o r i s p o s s i b l e . Knowledge of t h e s e p a r a m e t e r s a p p e a r s e s s e n t i a l t o u n d e r s t a n d i n g t h e d y n a m i c s o f f a u l t m o t i o n , and t o open t h e p o s s i b i l i t y o f q u a n t i t a t i v e p r e d i c t i o n o f e a r t h q u a k e b e h a v i o r . 21 CHAPTER II FIELD EQUATIONS A q u a n t i t a t i v e framework f o r s t u d y i n g f a u l t p r o c e s s e s can be b u i l t on t h e d i f f e r e n t i a l e q u a t i o n s d e s c r i b i n g c o n s e r v a t i o n of mass, e n e r g y , and momentum. The d e v e l o p m e n t o f t h e s e e q u a t i o n s i n p o r o u s media r e q u i r e s a c o n t i n u u m a p p r o a c h where t h e s o l i d and f l u i d p h a s e s a r e r e g a r d e d as c o e x i s t i n g c o n t i n u a , w i t h t h e f i e l d v a r i a b l e s and medium p a r a m e t e r s r e p r e s e n t i n g a v e r a g e v a l u e s o v e r a r e p r e s e n t a t i v e e l e m e n t a r y volume o f t h e p o r o u s medium. T h i s a p p r o a c h i s j u s t i f i e d p r o v i d e d t h a t t h e p o r e s p a c e s and f r a c t u r e s t h r o u g h w h i c h t h e f l o w t a k e s p l a c e a r e much s m a l l e r t h a n t h e d i s t a n c e o v e r w h i c h t h e r e i s a- r e s o l v a b l e c hange i n f l u i d p r e s s u r e , t e m p e r a t u r e and s t r e s s . The t h e o r y p r e s e n t e d h e r e i s n o t new. The h e a t - t r a n s f e r e q u a t i o n s f o r a f l u i d c o n t i n u u m ( e . g . ; L a n d a u and L i f s h i t z , 1959; S l a t t e r y , 1972; W h i t e , 1974; P l a t t e r n and L e g r o s , 1984) and a t h e r m o e l a s t i c s o l i d c o n t i n u u m ( e . g . ; N o w a c k i , 1975; N o w i n s k i , 1978) a r e w e l l known. F o r p o r o u s media numerous p a p e r s on h e a t and mass t r a n s f e r can be f o u n d i n t h e l i t e r a t u r e ( e . g . ; S t a l l m a n , 1960, 1963; B r o w n e l l et al., 1977; F a u s t and M e r c e r , 1979; O ' N e i l and P i n d e r , 1981; Bear and C o r a p c i o g l u , 1981; S h a r p , 1983). F o r i s o t h e r m a l f l o w B i o t ( 1 9 4 1 ) , C o o p e r , 1966; De W e i s t ( 1 9 6 6 ) , Bear ( 1 9 7 2 ) , and R i c e and C l e a r y (1976) have examine d e f o r m a t i o n of p o r o u s media due 22 t o c h a n g e s i n e f f e c t i v e s t r e s s . D e t a i l e d and e x t e n d e d d i s c u s s i o n s c a n be f o u n d i n t h e work by Bear ( 1 9 7 2 ) . The p u r p o s e of t h e d e r i v a t i o n s p r e s e n t e d h e r e i s f o u r f o l d . F i r s t , we s h a l l use t h e r e q u i r e m e n t f o r c o n s e r v a t i o n o f s o l i d mass t o d e v e l o p a c o m p a t i b i l i t y c o n s t r a i n t f o r p o r o s i t y . T h i s c o n s t r a i n t d e t e r m i n e s t h e p o r e - d i l a t a t i o n r a t e a r i s i n g f r o m d e f o r m a t i o n s c a u s e d by c h a n g e s i n p o r e - f l u i d p r e s s u r e , t e m p e r a t u r e and t o t a l s t r e s s e s . S e c o n d , t h e f l u i d f l o w e q u a t i o n i s d e v e l o p e d t o e x p l i c i t l y i n c l u d e e x p a n s i o n or c o n t r a c t i o n o f t h e f l u i d p hase due t o c h a n g e s i n f l u i d p r e s s u r e and t e m p e r a t u r e . T h i s d e v e l o p m e n t i s n e c e s s a r y t o examine t h e p a r a m e t e r s t h a t g o v e r n t h e r a t e o f f l u i d p r e s s u r i z a t i o n due t o an a r b i t r a r y r i s e i n t e m p e r a t u r e and examine t h e i r c r i t i c a l r a n g e o f v a l u e s where t h e r m a l p r e s s u r i z a t i o n i s s i g n i f i c a n t . T h i r d , p r e v i o u s s t u d i e s f o r p o r o u s media have assumed t h a t t h e r a t e of h e a t g e n e r a t i o n due t o m e c h a n i c a l work i s n e g l i g i b l e . F o r f a u l t p r o c e s s e s , however, a s i g n i f i c a n t amount of h e a t can be g e n e r a t e d by m e c h a n i c a l d e f o r m a t i o n o f t h e s o l i d m a t r i x . C o n s e q u e n t l y , m e c h a n i c a l f o r m s o f e n e r g y must be c o n s i d e r e d . F o u r t h , t h e e q u a t i o n s s e t o u t h e r e form t h e f o u n d a t i o n f o r e x a m i n i n g t h e t h e r m a l , h y d r o l o g i c and m e c h a n i c a l r e s p o n s e o f a f a u l t zone d u r i n g d e f o r m a t i o n . T h e s e e q u a t i o n s a r e d e v e l o p e d i n t h r e e d i m e n s i o n s , however, i n s u b s e q u e n t c h a p t e r s we assume t h a t h e a t and f l u i d f l o w s o n l y a t r i g h t a n g l e s t o t h e f a i l u r e s u r f a c e . Thus o n l y t h e o n e - d i m e n s i o n a l forms o f t h e s e e q u a t i o n s a r e u s e d i n s u b s e q u e n t c h a p t e r s . 23 Two d i f f e r e n t methods a r e w i d e l y u s e d t o d e s c r i b e t h e m e c h a n i c s o f m o t i o n i n a c o n t i n u u m . The f i r s t i s t h e E u l e r i a n a p p r o a c h where m o t i o n i s d e s c r i b e d w i t h r e s p e c t t o a f i x e d s p a t i a l r e f e r e n c e f r a m e . The s e c o n d i s t h e L a g r a n g i a n a p p r o a c h where t h e h i s t o r y of a p a r t i c u l a r p a r t i c l e , o r g r o u p o f p a r t i c l e s , t h a t i s s p e c i f i e d by i t s o r i g i n a l p o s i t i o n a t some r e f e r e n c e t i m e i s f o l l o w e d . B e c a u s e we w i s h t o e x p r e s s f l u i d and h e a t m o t i o n i n terms o f v o l u m e - a v e r a g e d f l u x e s and have l i t t l e i n t e r e s t i n d e s c r i b i n g them as p a r t i c l e d i s p l a c e m e n t f i e l d s , t h e E u l e r i a n a p p r o a c h has t h e a d v a n t a g e o f a l l o w i n g one t o work w i t h i n d e p e n d e n t v a r i a b l e s t h a t a r e n a t u r a l f o r i n t e r p r e t i n g f l u i d and h e a t t r a n s p o r t . F o r t h i s r e a s o n t h e d i f f e r e n t i a l e q u a t i o n s f o r c o n s e r v a t i o n o f mass, e n e r g y , and momentum a r e c o n c e p t u a l l y s i m p l e r t o d e v e l o p u s i n g an E u l e r i a n d e s c r i p t i o n . T h a t i s t h e framework we s h a l l a d o p t f o r t h e i r d e v e l o p m e n t . F o r s o l u t i o n o f t h e f i e l d e q u a t i o n s , however, i t i s m a t h e m a t i c a l l y s i m p l e r t o use a L a g r a n g i a n d e s c r i p t i o n t o c h a r a c t e r i z e t h e d e f o r m a t i o n s of t h e s o l i d m a t r i x . T h a t i s t h e framework we s h a l l a d o p t when s o l v i n g t h e f i e l d e q u a t i o n s . A l l e q u a t i o n s i n t h i s c h a p t e r , and s u b s e q u e n t c h a p t e r s , a r e d e v e l o p e d w i t h r e s p e c t t o a C a r t e s i a n c o o r d i n a t e s y s t e m ( x i , x 2 , x 3 ) . In a d d i t i o n , b o l d f a c e s y m b o l s a r e u s e d t o i n d i c a t e v e c t o r f i e l d s ( e . g . , , v y ) > t h e t i l d e t o d e n o t e t e n s o r f i e l d s ( e . g . , k, r ) , and s u b s c r i p t s t o d e s i g n a t e v e c t o r and t e n s o r components ( e . g . , V , 7 , . ) . The g r a d i e n t o p e r a t o r V i s d e f i n e d a s d/dx-k., where t h e c i r c u m f l e x i s u s e d t o d e n o t e a 24 u n i t v e c t o r . S c a l a r p r o d u c t s a r e g i v e n as V « V y . O v e r d o t s a r e u s e d t o i n d i c a t e t i m e d e r i v a t i v e s ( e . g . , 'e[j~ d s e i j / d t ) . The summation c o n v e n t i o n f o r r e p e a t e d s u b s c r i p t s i s f o l l o w e d t h r o u g h o u t ( e . g . , e ..= e, y+e22+e33), a n d f r e q u e n t use i s made of t h e K r o n e c k e r d e l t a f u n c t i o n 5,,• , where S-,=0 f o r ' J  1 J i*j and 5,. = 1 f o r /=/'. i j J CONSERVATION OF SOLID MASS The E u l e r i a n f o r m of t h e mass b a l a n c e e q u a t i o n f o r t h e s o l i d p hase o f a p o r o u s medium i s g i v e n by V - [ ( l - n ) p p V j + %T[(]-n)pJ = 0 (2.1) s s where i s t h e v e l o c i t y v e c t o r f o r t h e s o l i d m a t r i x w i t h r e s p e c t t o a f i x e d c o o r d i n a t e s y s t e m , p i s t h e d e n s i t y o f t h e s s o l i d p h a s e , a n d n i s p o r o s i t y . E m p l o y i n g t h e E u l e r i a n form o f the> m a t e r i a l d e r i v a t i v e f o r f o l l o w i n g t h e m o t i o n o f t h e s o l i d m a t r i x , d e f i n e d as dt y i e l d s t h e f o l l o w i n g form of t h e c o n t i n u i t y e q u a t i o n : d cl —- (-*• n= V-V c + ( — p_) (2.3) (1 -/2) dt s ps dt S B e c a u s e t h e d e n s i t y o f t h e s o l i d s i s r e l a t e d t o t e m p e r a t u r e 25 and p r e s s u r e we may decompose t h e s e c o n d t e r m on t h e r i g h t h a n d s i d e t o o b t a i n p s dt S p s 97 5 d T dt s — . 1 9 „ 7 + ir -FT f>s _ — T (2.4a) r dt d r d e  P s 7 ~ 7 s T (2.4b) dr dr where /3$ and 7 S r e p r e s e n t t h e c o e f f i c i e n t s o f i s o t h e r m a l v o l u m e t r i c c o m p r e s s i b i l i t y and i s o b a r i c v o l u m e t r i c t h e r m a l e x p a n s i v i t y o f t h e s o l i d p h a s e , r e s p e c t i v e l y , 7 i s t h e a v e r a g e v a l u e o f e f f e c t i v e n o r m a l s t r e s s a c t i n g on t h e s o l i d g r a i n s , and T i s t e m p e r a t u r e . C o m b i n i n g e q u a t i o n s (2.3) and (2.4) y i e l d s t h e f o l l o w i n g c o m p a t i b i l i t y e q u a t i o n f o r p o r o s i t y : - * • # ! « = V - V 5 •+ 0 S - 7 - ys S - T ] (2.5) dr dr dr where V'«V r e p r e s e n t s t h e v o l u m e t r i c d i l a t a t i o n r a t e ( d ^ e / d r ) , w h i c h i s a f u n c t i o n o f t h e e v o l v i n g s t r e s s f i e l d and t h e c o n s t i t u t i v e e q u a t i o n s r e l a t i n g s t r e s s t o s t r a i n r a t e ( B i o t , 1941; De W i e s t , 1966; R i c e and C l e a r y , 1976). E q u a t i o n (2.5) s t a t e s t h a t t h e p o r e - d i l a t a t i o n r a t e (dn/dt) i s g i v e n by t h e r a t e a t w h i c h s o l i d s a r e l e a v i n g a u n i t volume minus t h e r a t e a t w h i c h t h e y a r e e x p a n d i n g due t o d e c r e a s e s i n t h e a v e r a g e e f f e c t i v e n o r m a l s t r e s s o r i n c r e a s e s i n t h e t e m p e r a t u r e w i t h i n t h e volume. E q u a t i o n (2.5) p r o v i d e s an i m p o r t a n t r e l a t i o n s h i p f o r d e t e r m i n i n g t h e change i n p o r o s i t y due t o d e f o r m a t i o n s i n d u c e d by c h a n g e s i n e f f e c t i v e s t r e s s and t e m p e r a t u r e . The i n c l u s i o n o f t h i s p o r o s i t y c o n s t r a i n t i s n e c e s s a r y b e c a u s e a p o r o u s medium i s n o t a s i m p l y c o n n e c t e d body; i t i s a m u l t i p l y c o n n e c t e d body w i t h c a v i t i e s . T h e s e c a v i t i e s r e p r e s e n t p o r o s i t y , and t h e y may e i t h e r i n c r e a s e o r d e c r e a s e i n volume a s d e f o r m a t i o n p r o g r e s s e s . A s s u m i n g t h e p o r e s a r e f u l l y s a t u r a t e d w i t h a s i n g l e p h a s e f l u i d , a nd t h a t t h e s o l i d and f l u i d p h a s e s a r e m e c h a n i c a l l y s e p a r a t e and d i s t i n c t , .the E u l e r i a n f o r m o f t h e f l u i d mass b a l a n c e e q u a t i o n i s where Vy i s t h e p o r e - f l u i d v e l o c i t y w i t h r e s p e c t t o a f i x e d c o o r d i n a t e frame ( E u l e r i a n c o o r d i n a t e s ) , and pw i s t h e d e n s i t y o f w a t e r . B e c a u s e we w i s h t o e x p r e s s f l u i d v e l o c i t y i n t e r m s o f t h e v o l u m e - f l u x d e n s i t y ( D a r c y f l u x ) CONSERVATION OF FLUID MASS (2.6) (2.7) d e f i n e d a s t h e r e l a t i v e f l u x o f p o r e f l u i d s w i t h r e s p e c t t o t h e s o l i d m a t r i x , we r e w r i t e e q u a t i o n (2.6) as 27 V'[n{Vf-V )] + nV-V + S- n + TT PW = 0 (2.8) J s s dt  pw dt  w where ^ = l y + Vf>V (2.9a) dt dt (2.9b) i s t h e E u l e r i a n f o r m o f t h e m a t e r i a l d e r i v a t i v e f o r f o l l o w i n g t h e m o t i o n of t h e p o r e f l u i d . S u b s t i t u t i o n o f t h e p o r e - d i l a t a t i o n r a t e (2.5) i n t o e q u a t i o n (2.8) y i e l d s t h e E u l e r i a n f o r m o f t h e m a s s - b a l a n c e e q u a t i o n V . q . + V V + ( 1 - n ) ( (1 S — ~T — y — T ) + dt dt / ^ 0W - 0 ( 2 - l 0 > B e c a u s e t h e d e n s i t y o f water i s r e l a t e d t o f l u i d p r e s s u r e and t e m p e r a t u r e t h r o u g h e q u a t i o n s o f s t a t e , we may decompose t h e l a s t t e r m of e q u a t i o n (2.10) t o o b t a i n / ^ Pw " n{T~ h Pw ^  P + ^ ™ P.. ^ T) (2.11a) w d i w P dr cl d. = n ( 0 w P - 7 ) V - 1 T) (2.11b) dr dr where Pw and 7 ^ a r e t h e c o e f f i c i e n t s of i s o t h e r m a l v o l u m e t r i c 28 c o m p r e s s i b i l i t y and i s o b a r i c t h e r m a l e x p a n s i v i t y f o r w a t e r , r e s p e c t i v e l y , P i s t h e p o r e - f l u i d p r e s s u r e , and T i s t e m p e r a t u r e . E q u a t i o n (2.11) shows t h a t i n c r e a s e d p o r e p r e s s u r e c o m p r e s s e s f l u i d i n t o t h e p o r e s , w h i l e i n c r e a s e d t e m p e r a t u r e e x p a n d s f l u i d o u t o f t h e p o r e s . C o m b i n i n g e q u a t i o n s (2.10) and ( 2 . 1 1 ) , and e x p a n d i n g t h e m a t e r i a l d e r i v a t i v e w i t h r e s p e c t t o t h e f l u i d , y i e l d s t h e f i n a l form o f t h e c o n t i n u i t y e q u a t i o n f o r f l u i d mass i n E u l e r i a n c o o r d i n a t e s , d e " V - q y " qf-(PwVP " T ^ V D + [nyw + ( 1 - 1 1 ) 7 , ] — T = dt d d V'V5 + [ n0w -± P + ( l - n ) / 3 7 ] (2.12) d t dt The t e r m s on t h e l e f t h a n d s i d e a r e , i n o r d e r , t h e r a t e o f f l u i d t r a n s p o r t , t h e change i n f l u i d mass due t o p r e s s u r e c o n t r a c t i o n o r t h e r m a l e x p a n s i o n o f f l u i d s a l o n g t h e f l o w p a t h , and t h e change i n f l u i d mass due t o t h e d i f f e r e n c e i n t h e r m a l e x p a n s i v i t i e s o f t h e f l u i d and s o l i d p h a s e s . The t e r m s on t h e r i g h t h a n d s i d e a r e t h e change i n f l u i d mass due t o v o l u m e t r i c d i l a t a t i o n of t h e p o r o u s medium, and t h e change i n f l u i d mass due t o t h e d i f f e r e n c e i n t h e c o m p r e s s i b i l i t i e s o f t h e f l u i d and s o l i d p h a s e s o r c h a n g e s i n t o t a l s t r e s s . We c a n see from t h e l a s t t e r m on t h e l e f t h a n d s i d e t h a t c h a n g e s i n t e m p e r a t u r e a c t as a s o u r c e o f f l u i d . In p a r t i c u l a r , i n c r e a s e s i n t e m p e r a t u r e w i l l expand f l u i d o u t of t h e p o r e s and t e n d t o 29 i n c r e a s e f l u i d p r e s s u r e , w h i l e d e c r e a s e s w i l l c o n t r a c t f l u i d i n t o t h e p o r e s and t e n d t o d e c r e a s e f l u i d p r e s s u r e s . Because t h e t h e r m a l e x p a n s i o n o f w a t e r i s l a r g e , a t e m p e r a t u r e i n c r e a s e can c a u s e a s i g n i f i c a n t i n c r e a s e i n f l u i d p r e s s u r e . F o r i s o t h e r m a l c o n d i t i o n s and i n c o m p r e s s i b l e s o l i d g r a i n s , e q u a t i o n (2.12) t a k e s t h e f a m i l i a r f o r m of B i o t ' s (1941) e q u a t i o n . E q u a t i o n (2.12) i s c o m p l e t e d by e x p r e s s i o n o f t h e v o l u m e - f l u x d e n s i t y ( B e a r , 1972) qf = ' Tr ; * ( v / > + ( 2 - 1 3 ) where k i s t h e p e r m e a b i l i t y t e n s o r o f t h e p o r o u s medium, nw i s t h e dynamic v i s c o s i t y o f w a t e r , and g i s t h e g r a v i t a t i o n a l a c c e l e r a t i o n f i e l d . The f o r m of e q u a t i o n (2.13) r e f l e c t s t h e a s s u m p t i o n t h a t t h e r e w i l l be no f l u i d f l o w when t h e p r e s s u r e g r a d i e n t i s h y d r o s t a t i c ( i . e . , W=-p g ) . F o r e q u a t i o n (2.13) t o be v a l i d f l u i d f l o w t h r o u g h t h e p o r e s must be l a m i n a r . . T h i s c o n s t r a i n t i s s a t i s f i e d p r o v i d e d t h a t i n e r t i a l f o r c e s and s l i p phenomena a r e n e g l i g i b l e , and t h e R e y n o l d s number f o r f l u i d f l o w i s s m a l l ( i . e . , Re = dpw\qj-\/nuw«\, where d i s a c h a r a c t e r i s t i c g r a i n d i a m e t e r ) . HEAT TRANSFER EQUATION The E u l e r i a n f o r m o f t h e e n e r g y b a l a n c e e q u a t i o n f o r a s a t u r a t e d p o r o u s medium i s 30 T ' . W 5 + + T-^Py, (2.14) where i s t h e c o n d u c t i v e h e a t - f l u x v e c t o r , ey and e { r e p r e s e n t t h e i n t e r n a l t h e r m a l e n e r g y of t h e f l u i d and s o l i d p h a s e s , r e s p e c t i v e l y , r ' i s t h e t o t a l s t r e s s t e n s o r , and # i s a v i s c o u s d i s s i p a t i o n f u n c t i o n f o r t h e f l u i d . F o r d e t a i l s on t h e d e v e l o p m e n t of e q u a t i o n (2.14) see A p p e n d i x 2A. In e q u a t i o n (2.14) t h e r m a l f o r m s o f e n e r g y a p p e a r on t h e l e f t h a n d s i d e and m e c h a n i c a l forms o f e n e r g y on t h e r i g h t h a n d s i d e . The te r m s on t h e l e f t h a n d s i d e a r e , i n o r d e r , t h e r a t e o f h e a t t r a n s p o r t by c o n d u c t i o n and c o n v e c t i o n o f t h e f l u i d a nd s o l i d p h a s e s , and the. r a t e of i n t e r n a l h e a t s t o r a g e i n t h e f l u i d and s o l i d p h a s e s . The terms on t h e r i g h t h a n d s i d e a r e t h e r a t e o f h e a t g e n e r a t i o n due t o d e f o r m a t i o n o f t h e s o l i d m a t r i x , v i s c o u s h e a t d i s s i p a t i o n w i t h i n t h e p o r e f l u i d s , and t h e r a t e o f h e a t a d d i t i o n due t o p r e s s u r i z a t i o n o f t h e p o r e f l u i d s . A p p l y i n g t h e c h a i n r u l e t o t h e l e f t h a n d s i d e we c a n r e w r i t e e q u a t i o n (2.14) as v-*h + ^ h e f  + v/'Ve/) + ( 1 - " ) p * ( f r e , + V v s > + e / [ V . ( n p w V / ) + fanpj] + { V-[ ( 1 - n) ps V, ] + f - [ ( !-„) p^ ]} = 31 ; - . W , + M W * + ^ ^ Pw (2.15) w dr The l a s t two e x p r e s s i o n s on t h e l e f t h a n d s i d e a r e i d e n t i c a l l y z e r o by t h e c o n s e r v a t i o n e q u a t i o n s f o r f l u i d and s o l i d mass. E x p r e s s i n g t h e s e c o n d and t h i r d t e r m s on t h e l e f t h a n d s i d e i n t e r m s o f t h e i r r e s p e c t i v e m a t e r i a l d e r i v a t i v e s , e q u a t i o n (2.15) can be w r i t t e n as q / l s w Pw dt w npw - L e f + ( l - n ) p ^ es (2.16) dr dr We now r e p l a c e t h e i n t e r n a l t h e r m a l e n e r g y o f t h e f l u i d and s o l i d p h a s e s w i t h t h e e n t h a l p y p e r u n i t mass of f l u i d hj- and s o l i d h , where h f = e f + - ^ - (2.17a) hs - es + (2.17b) U s i n g e q u a t i o n ( 2 . 1 7 ) , t h e r a t e o f change i n i n t e r n a l e n e r g y i s l i e = ^ l h - J - ^ L P + - I . - L ^ l p (2.18a) dr J dr 7 p™ dt pw pw dr T h e s e e q u a t i o n s a r e a c o n v e n i e n t form when s o l v i n g p r o b l e m s t h a t i n v o l v e two p h a s e s ( l i q u i d and steam) o f t h e f l u i d component ( s e e e.g.; F a u s t and M e r c e r , 1979). U s u a l l y , however, we must w r i t e them i n terms o f t e m p e r a t u r e so t h a t b o u n d a r y c o n d i t i o n s g i v e n i n terms o f t e m p e r a t u r e c a n be i n c o r p o r a t e d i n t o t h e s o l u t i o n . F o r a p u r e s u b s t a n c e i n t h e a b s e n c e o f s u r f a c e t e n s i o n s and m o t i o n , t h e r e a r e o n l y two i n d e p e n d e n t p r o p e r t i e s , p r e s s u r e and t e m p e r a t u r e . Hence, dh _ dh ar - TP dP . bh ST TiT dr ar (2.19) S u b s t i t u t i n g t h e s p e c i f i c h e a t a t c o n s t a n t p r e s s u r e , d e f i n e d as dh "57 (2.20) i n t o e q u a t i o n (2.19) y i e l d s dh _ dh cTF " "57 dP + r dT (2.21 ) The f i r s t t e r m on t h e r i g h t h a n d s i d e c a n be e v a l u a t e d by means of t h e thermodynamic r e l a t i o n 33 dh = Tds + j£ (2.22) where s i s e n t r o p y . We can r e w r i t e t h i s r e l a t i o n a s §7 " T + 1 (2.23) We now a p p l y t h i s r e l a t i o n t o a r e p r e s e n t a t i v e e l e m e n t a r y volume a t thermodynamic e q u i l i b r i u m . S i n c e thermodynamic e q u i l i b r i u m i m p l i e s c o n s t a n t t e m p e r a t u r e , e q u a t i o n (2.23) y i e l d s dh IP T bs TP T + (2.24) T • R e c a l l f r o m t h e M a x w e l l r e l a t i o n s o f t h e r m o d y n a m i c s t h a t = = - ? (2.25) 35 "3T where 7 i s t h e t h e r m a l e x p a n s i v i t y o f t h e m a t e r i a l . I n s e r t i o n o f e q u a t i o n (2.25) i n t o (2.21) y i e l d s t h e r e l a t i o n s h i p f o r e n t h a l p y as a f u n c t i o n of p r e s s u r e and t e m p e r a t u r e dh _ dT + ( 1 - T D dP in - C P ar + — p — ar (2 .26) E m p l o y i n g e q u a t i o n (2.26) we c a n r e w r i t e t h e e q u a t i o n s f o r t h e i n t e r n a l t h e r m a l e n e r g y of t h e f l u i d and s o l i d p h a s e s a s a f u n c t i o n o f p r e s s u r e and t e m p e r a t u r e , where (2.27a) s c s d s T - (2.27b) where cs and cw a r e t h e i s o b a r i c s p e c i f i c h e a t o f t h e s o l i d and f l u i d p h a s e s , r e s p e c t i v e l y . T h e s e e q u a t i o n s i n d i c a t e t h a t t h e change i n i n t e r n a l t h e r m a l e n e r g y i s e q u a l t o t h e change i n i n t e r n a l h e a t s t o r a g e p l u s t h e r a t e o f h e a t a d d i t i o n due t o p r e s s u r i z a t i o n o f t h e f l u i d o r s o l i d p h a s e . In e q u a t i o n (2.27) l o c a l t h e r m a l e q u i l i b r i u m between t h e p o r e f l u i d s and t h e s o l i d g r a i n s i s assumed. T h i s a p p r o x i m a t i o n i s s a t i s f i e d i f t h e p o r e s p a c e s and f r a c t u r e s t h r o u g h w h i c h h e a t t r a n s p o r t t a k e s p l a c e a r e much s m a l l e r t h a n t h e d i s t a n c e o v e r w h i c h t h e r e i s a s i g n i f i c a n t t e m p e r a t u r e c h a n g e . A s i g n i f i c a n t t e m p e r a t u r e change may be 10" 1 o r 10 °C d e p e n d i n g on t h e n a t u r e o f t h e p r o b l e m . In a p p l i c a t i o n s t o s o l i d - e a r t h p h y s i c s t h e h e a t a d d i t i o n due t o p r e s s u r i z a t i o n o f t h e s o l i d p h a s e i s l i k e l y t o be u n i m p o r t a n t . W i t h t h a t a s s u m p t i o n , c o m b i n i n g e q u a t i o n s (2.16) and ( 2 . 2 7 ) , and e x p a n d i n g t h e m a t e r i a l d e r i v a t i v e s f o r t h e c o n v e c t i v e t e r m s we c a n r e w r i t e t h e e n e r g y b a l a n c e e q u a t i o n i n terms o f t e m p e r a t u r e a s 35 T'-W, + *w* + nyj P = (PC),/ If ( 2 . 2 8 ) df where ( p c ) , y i s t h e h e a t c a p a c i t y o f t h e s o l i d - f l u i d c o m p o s i t e , d e f i n e d a s (pc)sf = npwcw + ( l - n ) p j C j (.2.29) B e c a u s e we need t o e x p r e s s f l u i d m o t i o n i n t e r m s o f t h e D a r c y f l u x qy we r e w r i t e t h e c o n v e c t i v e t e r m s of e q u a t i o n (2.28) as I""*'*?/ + ^ - » ) p , ^ v a ] - v r = {pwcw[n(Vf-Vs)] + (pc)sfVs}'VT (2.30) R e p l a c i n g t h e c o n v e c t i v e t e r m s o f e q u a t i o n (2.28) w i t h (2.30) and i n s e r t i o n o f t h e D a r c y f l u x y i e l d s " V - q A " pwcwqf-VT + T ' - W + n $ + nywT -± P = dt (2.31 ) E x p a n d i n g t h e m a t e r i a l d e r i v a t i v e u s i n g e q u a t i o n ( 2 . 9 b ) , and n o t i n g t h a t t h e t e r m w i t h i n t h e b r a c k e t s on t h e r i g h t h a n d s i d e c a n be w r i t t e n a s t h e E u l e r i a n f o r m of t h e m a t e r i a l d e r i v a t i v e 36 of t e m p e r a t u r e w i t h r e s p e c t t o t h e s o l i d m a t r i x , y i e l d s t h e f i n a l f o r m o f t h e e q u a t i o n d e s c r i b i n g h e a t t r a n s f e r i n E u l e r i a n c o o r d i n a t e s " V - q A - pwcwqf>VT + « 7 W ( — P  + ^'VP)T + r'-W 5 + M > v * = d t (pc).f T (2.32) S J dt The t e r m s on t h e t h e l e f t h a n d s i d e a r e , i n o r d e r , t h e r a t e of c o n d u c t i v e h e a t t r a n s f e r , t h e r a t e o f c o n v e c t i v e h e a t t r a n s p o r t by t h e f l u i d p h a s e , t h e r a t e of h e a t a d d i t i o n due t o p r e s s u r i z a t i o n of t h e p o r e f l u i d , h e a t g e n e r a t i o n due t o d e f o r m a t i o n o f t h e s o l i d m a t r i x , and v i s c o u s h e a t d i s s i p a t i o n w i t h i n t h e f l u i d . The r i g h t h a n d t e r m r e p r e s e n t s t h e r a t e o f i n t e r n a l h e a t s t o r a g e and t h e r a t e o f c o n v e c t i v e h e a t t r a n s p o r t by t h e s o l i d . F o r g r o u n d w a t e r f l o w p r o b l e m s v i s c o u s h e a t d i s s i p a t i o n w i t h i n t h e f l u i d i s n e g l i g i b l e , p r o v i d e d t h a t t h e c o n d i t i o n s f o r use o f t h e D a r c y f l u x a r e s a t i s f i e d ( e . g . ; G a r g and P r i t c h e t t , 1977; B r o w n e l l et a l . , 1977). Hence, we w i l l n e g l e c t t h a t t e r m i n s u b s e q u e n t use o f t h e h e a t t r a n s f e r e q u a t i o n . In A p p e n d i x 2B, we summarize t h e c o n d i t i o n s where h e a t a d d i t i o n due t o p r e s s u r i z a t i o n of t h e p o r e f l u i d i s n e g l i g i b l e . E q u a t i o n (2.32) i s c o m p l e t e d by e x p r e s s i n g t h e c o n d u c t i v e h e a t f l u x by F o u r i e r ' s law 37 q h = - K 5/"VT (2.33) where K^y i s t h e t h e r m a l - c o n d u c t i v i t y t e n s o r o f t h e s o l i d - f l u i d c o m p o s i t e . THE EQUATIONS OF MOTION D e f o r m a t i o n o f t h e p o r o u s medium i s g o v e r n e d by t h e e f f e c t i v e s t r e s s 7 ^ . ( B i o t , 1941), w h i c h i s d e f i n e d as Uj = - tpbij (2.34) where s t r e s s e s a r e d e f i n e d a s p o s i t i v e when c o m p r e s s i v e , £ i s a p r o p o r t i o n a l i t y c o n s t a n t between p o r e and b u l k volume c h a n g e s , and 6^- . i s t h e K o n e c k e r d e l t a f u n c t i o n . T h i s law s t a t e s t h a t t h e s t r a i n r e s p o n s e o f a s a t u r a t e d medium i s i d e n t i c a l t o t h a t o f a s o l i d c o n t i n u u m i f one u s e s t h e e f f e c t i v e s t r e s s T-T • i n s t e a d o f t h e t o t a l s t r e s s 7^ - -. To a p p l y e q u a t i o n (2.34) t h e e f f e c t i v e s t r e s s i s d e f i n e d as an a v e r a g e o v e r some f i n i t e a r e a t h a t i s s u f f i c i e n t t o c o v e r a number o f g r a i n s and p o r e s . In a d d i t i o n , d e f o r m a t i o n of t h e p o r o u s medium c a n be d e s c r i b e d by t h e s t r a i n o f t h e s o l i d m a t r i x e^.. From s t r e s s - s t r a i n measurements B i o t and W i l l i s ( 1 9 5 7 ) , and Nur and B y e r l e e (1971) have s u g g e s t e d t h a t ^ c f ~~ ^ e i = (2.35) k f sf 38 where ks and ksj- a r e t h e b u l k m o d u l i o f t h e s o l i d g r a i n s and p o r o u s medium, r e s p e c t i v e l y . From e q u a t i o n ( 2 . 3 5 ) , £ i s t h e r a t i o o f f l u i d volume e x p e l l e d t o t h e v o l u m e t r i c d i l a t a t i o n f o r d r a i n e d c o n d i t i o n s a t c o n s t a n t t e m p e r a t u r e . F o r media w i t h a p p r e c i a b l e p o r o s i t y , ks/ksj«\, w i t h if=*1 , and t h e f l u i d volume e x p e l l e d i s -equal t o t h e v o l u m e t r i c d i l a t a t i o n . T h i s i s t h e c o n v e n t i o n a l a s s u m p t i o n i n c o m p a c t i o n t h e o r y . I n t h i s c a s e , e q u a t i o n (2.34) r e d u c e s t o T e r z a g h i ' s s i m p l e e f f e c t i v e s t r e s s law. The components o f t h e t o t a l s t r e s s t e n s o r . a t a p o i n t w i t h i n t h e p o r o u s medium s a t i s f y t h e e q u a t i o n s o f m o t i o n h/tj + ? s f F i • Psf v s f ( 2 ' 3 6 ) where F i s t h e body f o r c e p e r u n i t mass, p,y i s t h e d e n s i t y o f t h e s o l i d - f l u i d c o m p o s i t e , and t h e summation c o n v e n t i o n i s i n v o k e d . E x p r e s s i n g e q u a t i o n (2.36) i n t e r m s o f t h e e f f e c t i v e s t r e s s y i e l d s hjUj + eSfFi + h t i * r ) • p ' f K V ' t  ( 2 , 3 7 ) I f t h e e f f e c t s o f i n e r t i a a r e n e g l e c t e d , t h e n e q u a t i o n (2.37) r e d u c e s t o t h e w e l l - k n o w n s t r e s s e q u l i b r i u m e q u a t i o n s f o r a p o r o u s media ( B i o t , 1941; V e r r u i j t , 1969). E q u a t i o n (2.37) a l o n e i s n o t s u f f i c i e n t t o e s t a b l i s h u n i q u e r e l a t i o n s between s t r e s s , d e f o r m a t i o n r a t e , f l u i d p r e s s u r e , and t e m p e r a t u r e . In a d d i t i o n , some d e s c r i p t i o n o f t h e medium w h i c h d e f i n e s t h e way t h a t s t r e s s i s r e l a t e d t o d e f o r m a t i o n , f l u i d p r e s s u r e , and t e m p e r a t u r e i s e s s e n t i a l . S u ch a r e l a t i o n i s e x p r e s s e d by t h e c o n s t i t u t i v e e q u a t i o n s f o r t h e p o r o u s medium. The weakest l i n k i n t h e a p p l i c a t i o n o f e q u a t i o n (2.37) i s t h e c o n s t i t u t i v e e q u a t i o n s r e l a t i n g s t r e s s t o s t r a i n . The s t r a i n r e s p o n s e o f a p o r o u s medium c o n s i s t s of b o t h e l a s t i c and i n e l a s t i c r e s p o n s e s . F o r example, a f a u l t zone c o n s i s t s o f a r e g i o n of i n t e n s e l y d e f o r m e d m a t e r i a l t h a t i s f l a n k e d on b o t h s i d e s by r e l a t i v e l y u n d e f o r m e d m a t e r i a l . The f a u l t z one, p e r h a p s a few c e n t i m e t e r s t o t e n s of m e t e r s w i d e , u n d e r g o e s s t r a i n s t h a t a r e f i n i t e and l a r g e l y i r r e c o v e r a b l e . D u r i n g d e f o r m a t i o n t h e f a u l t zone b e h a v e s a s a v i s c o - p l a s t i c m a t e r i a l . The s u r r o u n d i n g c r u s t a l r o c k s , however, e x p e r i e n c e i n f i n i t e s i m a l s t r a i n s w h i c h s t o r e t h e e l a s t i c e n e r g y t h a t has r i s e n s l o w l y b e c a u s e o f l o n g - t e r m t e c t o n i c movement. D u r i n g d e f o r m a t i o n t h i s s t r a i n e n e r g y i s p r i m a r i l y r e l e a s e d by t r a n s f e r t o t h e f a u l t zone where i t i s d i s s i p a t e d i n t o h e a t and t h e k i n e t i c e n e r g y of m o t i o n . Thus t h e r e g i o n s u r r o u n d i n g t h e f a u l t zone b e h a v e s as a l i n e a r - e l a s t i c body. B e c a u s e d e f o r m a t i o n may n o t o c c u r a c r o s s t h e e n t i r e f a u l t z one, a d i s t i n c t f a u l t zone b o u n d a r y i s an a r t i f i c e . C o n c e i v a b l y t h e f a u l t - z o n e w i d t h and, c o n s e q u e n t l y , t h e b o u n d a r y between v i s c o - p l a s t i c and e l a s t i c d e f o r m a t i o n w i l l v a r y b o t h i n t i m e and s p a c e . F u r t h e r m o r e , t h e f a u l t - z o n e m a t e r i a l may behave e l a s t i c a l l y i n h y d r o s t a t i c c o m p r e s s i o n and as a v i s c o u s f l u i d i n s h e a r . In s u c h a c a s e , i f t h e s h e a r s t r e s s a c r o s s t h e zone 40 e x c e e d s t h e y i e l d s t r e n g t h , t h e zone w i l l c o n s t a n t l y c r e e p . Changes i n f l u i d p r e s s u r e , however, may c a u s e an e l a s t i c c o n s o l i d a t i o n o r e x t e n s i o n p e r p e n d i c u l a r t o t h e z o n e . F o r a t h e r m o e l a s t i c p o r o u s medium t h e s t r e s s - s t r a i n r e l a t i o n s h i p s a r e Tij  = Cijki eki  + ysfiJ* <2-38> where e^ a r e t h e s t r a i n s of t h e s o l i d m a t r i x , C{ . ^ i s a t e n s o r o f e l a s t i c c o e f f i c i e n t s , y„f a r e t h e t h e r m a l S J i j e x p a n s i o n c o e f f i c i e n t s o f t h e s o l i d - f l u i d m a t r i x , and © i s t h e i n c r e m e n t a l t e m p e r a t u r e i n c r e a s e f r o m t h e i n i t i a l v a l u e . In e m p l o y i n g e q u a t i o n (2.38) we have assumed t h a t t h e s e c o e f f i c i e n t s , w h i c h a r e s t r i c t l y v a l i d f o r a s o l i d c o n t i n u u m , a r e a l s o v a l i d f o r a s a t u r a t e d p o r o u s medium. Thus t h e e l a s t i c c o e f f i c i e n t s r e p r e s e n t c o e f f i c i e n t s o f t h e p o r o u s medium t o be d e t e r m i n e d e x p e r i m e n t a l l y . In g e n e r a l , t h e y a r e d e p e n d e n t on t o t a l s t r e s s e s , f l u i d p r e s s u r e , and t e m p e r a t u r e . F o r a l i n e a r i s o t r o p i c e l a s t i c medium e q u a t i o n (2.38) r e d u c e s t o ( a f t e r B i o t and W i l l i s , 1957) Uj - ~ ^ k k h j  + *Ktj)  + ^ } ysf 0 5 / y ( 2 - 3 9 ) where X and M a r e t h e Lame' c o n s t a n t s , and ysj- i s t h e v o l u m e t r i c t h e r m a l e x p a n s i o n c o e f f i c i e n t of t h e p o r o u s medium. Note t h e s i g n change on t h e s t r a i n t e r m i n e q u a t i o n ( 2 . 3 9 ) . T h i s change a r i s e s b e c a u s e i n e q u a t i o n (2.34) s t r e s s e s were 41 d e f i n e d a s p o s i t i v e when c o m p r e s s i v e , t h a t i s , i n t h e n e g a t i v e d i r e c t i o n s o f t h e a x e s . To have s o l i d - m a t r i x d i s p l a c e m e n t s f o l l o w t h e c o n v e n t i o n t h a t p o s i t i v e d i s p l a c e m e n t s c o r r e s p o n d t o p o s i t i v e s t r e s s e s , d i s p l a c e m e n t s must be p o s i t i v e when i n t h e n e g a t i v e d i r e c t i o n . T h i s i s t h e c o n v e n t i o n a l s i g n n o t a t i o n u s e d i n c o n t i n u u m ( J a e g e r and Cook, 1979, pg. 1 0 ) . In t h e e q u a t i o n s f o r p o r e d i l a t a t i o n , f l u i d f l o w , and h e a t t r a n s f e r , however, d i s p l a c e m e n t s a r e p o s i t i v e i n t h e p o s i t i v e d i r e c t i o n s of t h e a x e s . Thus t o r e t a i n t h a t c o n v e n t i o n t h e s i g n s on t h e s t r a i n t e r m s i n e q u a t i o n (2.38) and t h e i n e r t i a l t e r m s i n e q u a t i o n s (2.36) and (2.37) have t o be c h a n g e d . T h i s c hange o f c o n v e n t i o n l e a v e s a l l f o r m u l a e u n a l t e r e d , b u t when c o m p a r i n g d i s p l a c e m e n t s t o s t r e s s i t s h o u l d be remembered t h a t p o s i t i v e d i s p l a c e m e n t s c o r r e s p o n d t o d e c r e a s e s i n t h e c o m p r e s s i v e s t r e s s . U s i n g t h e r e l a t i o n s h i p between t h e s t r a i n e^. and t h e s o l i d - m a t r i x d i s p l a c e m e n t U , *u - i { h t u s j + §*/V ( 2 , 4 0 e q u a t i o n (2.37) can be s o l v e d i n terms o f t h e s o l i d - m a t r i x d i s p l a c e m e n t s U. ( B i o t , 1941; V e r r u i j t , 1969; R i c e and C l e a r y , 1976). D u r i n g s l i p , d e f o r m a t i o n w i t h i n t h e f a u l t zone r e s e m b l e s t h e f l o w of a v i s c o u s f l u i d u n der an a p p l i e d s h e a r s t r e s s . In t h i s c a s e , i n e l a s t i c s h e a r d e f o r m a t i o n s d o m i n a t e t h e e l a s t i c r e s p o n s e and t h e p o r o u s medium c a n be d e s c r i b e d e f f e c t i v e l y a s a v i s c o u s f l u i d . Thus d e f o r m a t i o n s w i t h i n a f a u l t zone c a n be 42 d e s c r i b e d by a r h e o l o g y t h a t i s d e p e n d e n t on t h e e f f e c t i v e s t r e s s , d e f o r m a t i o n r a t e and h i s t o r y , and t e m p e r a t u r e . F o r c o n s t a n t s h e a r s t r e s s , t h i s f o r m u l a t i o n i m p l i e s t h a t f a u l t m a t e r i a l b e h a v e s as a v i s c o - p l a s t i c m a t e r i a l w h i c h a t f a i l u r e y i e l d s and u n d e r g o e s d e f o r m a t i o n a t a c o n s t a n t r a t e . Such f l u i d - m e c h a n i c a l f o r m u l a t i o n s e x i s t f o r s i n g l e - c o n s t i t u e n t , n o n - p o r o u s m a t e r i a l w i t h a t e m p e r a t u r e d e p e n d e n t r h e o l o g y . F o r i n s t a n c e , t h e r m a l s o f t e n i n g i n d u c t i l e s h e a r z o n e s ( T u r c o t t e and Oxburgh, 1968; Yuen et al. , 1978; F l e i t o u t and F r o i d e v a u x , 1980; L o c k e t t and K u s z n i r , 1980; Brun and C o b b o l d , 1982), and a s t h e n o s p h e r e and m a n t l e c o n v e c t i o n (Weertman and Wertman, 1975; M e l o s h , 1976; M u r r e l l et al. , 1976; Yuen and S c h u b e r t , 1979) have been d e s c r i b e d s u c e s s f u l l y w i t h t h i s f o r m u l a t i o n . T h e s e s t u d i e s s u g g e s t t h a t t h e b e h a v i o r o f p o r o u s media w i t h i n t h e f a u l t zone d u r i n g s l i p u n d e r s h e a r c a n be w r i t t e n i n t e r m s o f a r h e o l o g i c a l law r e l a t i n g t h e d e f o r m a t i o n r a t e t e n s o r 'e^ t o t h e e f f e c t i v e s t r e s s : T i j = " U s / e k k 8 i j + 2 » s f ' e i j ) ( 2 - 4 1 where nsj- and KSJ- a r e t h e dynamic and s e c o n d c o e f f i c i e n t s o f v i s c o s i t y f o r t h e p o r o u s medium, r e s p e c t i v e l y . S i n c e KSJ- i s a s s o c i a t e d o n l y w i t h volume e x p a n s i o n , i t i s c u s t o m a r y t o c a l l i t t h e c o e f f i c i e n t o f b u l k v i s c o s i t y . The terms nsj- and K$J-a r e a n a l o g o u s t o t h e Lame' c o e f f i c i e n t s y and X f o r l i n e a r e l a s t i c i t y . In g e n e r a l , t h e dynamic and b u l k v i s c o s i t i e s a r e n o n - l i n e a r f u n c t i o n s of t h e d e f o r m a t i o n r a t e , e f f e c t i v e 43 s t r e s s , and t e m p e r a t u r e . F o r example, as f l u i d p r e s s u r e s i n c r e a s e t h e e f f e c t i v e s t r e s s d e c r e a s e s - i n c o m p r e s s i o n p r o m o t i n g i n e l a s t i c d e f o r m a t i o n mechanisms s u c h as f r i c t i o n a l s l i d i n g p a s t g r a i n b o u n d a r i e s and m i c r o c r a c k i n g . I f t h e f l u i d p r e s s u r e s a p p r o a c h l i t h o s t a t i c v a l u e s , t h e s o l i d g r a i n s w i l l l o s e f r i c t i o n a l c o h e s i o n and t h e s h e a r s t r e n g t h w i l l d e c r e a s e . T h i s b e h a v i o r would be s i m i l i a r t o t h a t o f a m a t e r i a l w i t h a t e m p e r a t u r e d e p e n d e n t r h e o l o g y ( Weertman and Weertman, 1975; Yuen et al. , 1978). U s i n g e q u a t i o n s (2.40) and (2.41) t h e e q u a t i o n s o f m o t i o n c a n be s o l v e d i n t e r m s o f t h e s o l i d - m a t r i x v e l o c i t i e s V„ . s i EULERIAN VERSUS LAGRANGIAN COORDINATES In t h e p r e v i o u s s e c t i o n s t h e E u l e r i a n a p p r o a c h has been u s e d t o d i s c u s s f i e l d v a r i a b l e s (P, T, r • . , V , and U ) as a t J o S f u n c t i o n o f p o s i t i o n x a n d t i m e t . The d i s p l a c e m e n t U . i s t a k e n t o be t h e d i s p l a c e m e n t of a s o l i d p a r t i c l e a t x and t i m e t from i t s i n i t i a l p o s i t i o n a t x 0 and t i m e tQ, and P, T, r^. and V 5 t o be t h e p o r e - f l u i d p r e s s u r e , t e m p e r a t u r e , e f f e c t i v e s t r e s s and s o l i d - m a t r i x v e l o c i t y a t (x,t). B e c a u s e we w i s h t o e x p r e s s f l u i d and h e a t m o t i o n i n terms o f v o l u m e - a v e r a g e d f l u x e s and have l i t t l e i n t e r e s t i n d e s c r i b i n g them as p a r t i c l e d i s p l a c e m e n t f i e l d s , t h i s a p p r o a c h o f f e r s t h e a d v a n t a g e o f a l l o w i n g one t o work w i t h i n d e p e n d e n t v a r i a b l e s t h a t a r e n a t u r a l f o r i n t e r p r e t i n g f l u i d and h e a t t r a n s p o r t phenomena. T h i s a p p r o a c h , however, has t h e d i s a d v a n t a g e of cumbersome e x p r e s s i o n s f o r t h e r a t e o f change o f m a t e r i a l p r o p e r t i e s w i t h 44 r e s p e c t t o t h e s o l i d m a t r i x . F o r example, t h e s o l i d - m a t r i x v e l o c i t y V a t ( x , r ) i s d i f f i c u l t t o e x p r e s s i n t e r m s of t h e s o l i d - m a t r i x d i s p l a c e m e n t f i e l d U ( x , r ) . C o n s i d e r a t i o n o f t h e d i s t a n c e t r a v e l e d i n t i m e 8t y i e l d s F (x,t) 6t = t/ ( x+V 8t,t+6t) - £/ ( x , f ) (2.42) s i  s i  s s i T a k i n g t h e T a y l o r s e r i e s e x p a n s i o n of t h e f i r s t t e r m on t h e r i g h t h a n d s i d e , d i v i d i n g by 8t , and t a k i n g t h e l i m i t as 6t a p p r o a c h e s z e r o y i e l d s t h e s o l i d - m a t r i x v e l o c i t y X J J i (2.43) w h i c h i s an i m p l i c i t e q u a t i o n t o be s o l v e d f o r V ( x , « ) , where s i components o f a p p e a r on b o t h s i d e s o f t h e e q u a t i o n . One c a n r e a d i l y see t h a t i n s e r t i o n o f e q u a t i o n (2.43) i n t o t h e f i e l d e q u a t i o n s w i l l y i e l d cumbersome e x p r e s s i o n s f o r t h e m a t e r i a l d e r i v a t i v e w i t h r e s p e c t t o t h e s o l i d m a t r i x . F o r n u m e r i c a l s o l u t i o n o f t h e f i e l d e q u a t i o n s , we a d o p t a L a g r a n g i a n d e s c r i p t i o n o f t h e p o r o u s medium, where t h e f e a t u r e s of t h e d e f o r m e d s o l i d m a t r i x a r e d e s c r i b e d w i t h r e s p e c t t o t h e o r i g i n a l u n d e f o r m e d s t a t e . The d i s t i n c t i o n between E u l e r i a n and L a g r a n g i a n a p p r o a c h e s , however, i s n o t n e c e s s a r y i f t h e s p a t i a l v a r i a t i o n s i n t h e p o r e - f l u i d p r e s s u r e , t e m p e r a t u r e , and s t r e s s f i e l d s have l e n g t h s c a l e s much g r e a t e r t h a n t h e m a g n i t u d e o f s o l i d - m a t r i x d i s p l a c e m e n t s . 45 In t h i s c a s e , i t makes no p r a c t i c a l d i f f e r e n c e w h ether a s p a t i a l g r a d i e n t i s e v a l u a t e d a t a f i x e d p o s i t i o n ( E u l e r i a n ) or f o r a s o l i d - p a r t i c l e ( L a g r a n g i a n ) . The L a g r a n g i a n d e s c r i p t i o n i s now a d o p t e d b e c a u s e i t y i e l d s s i m p l e r e l a t i o n s h i p s f o r t h e s o l i d - m a t r i x d i s p l a c e m e n t , t h e m a t e r i a l d e r i v a t i v e w i t h r e s p e c t t o t h e s o l i d m a t r i x , and t h e s o l i d - m a t r i x v e l o c i t y , g i v e n as U (x ,t ) = x A t ) - x c (x) (2.44a) ^ = ^ (2.44b) dt Vs ( * s ' l ) = I T 0 * * * * ' ' ) (2.44c) where x and x a r e t h e p o s i t i o n o f a p a r t i c u l a r s o l i d p a r t i c l e a t t i m e f=0 and t i m e t . N o t e t h a t once t h e p a r t i c l e has been c h o s e n and l a b e l e d , x,, U 5 and V 5 a r e f u n c t i o n s o f t i m e o n l y . Thus i n L a g r a n g i a n c o o r d i n a t e s t h e c o n v e c t i v e t e r m s w i t h r e s p e c t t o t h e s o l i d m a t r i x a r e d r o p p e d from t h e E u l e r i a n f o r m s . F u r t h e r m o r e , t h e L a g r a n g i a n a p p r o a c h has t h e a d v a n t a g e f o r f o l l o w i n g t h e h i s t o r y and p r o c e s s o f d e f o r m a t i o n f r o m t h e u n d e f o r m e d t o t h e d e f o r m e d s t a t e , w hereas t h e E u l e r i a n a p p r o a c h i s most u s e f u l i n r e m o v i n g t h e e f f e c t s of d e f o r m a t i o n p r o c e s s e s . F o r example, i n t h e L a g r a n g i a n a p p r o a c h we a l l o w t h e f a u l t zone t o d e f o r m and t r a c k t h e m o t i o n o f t h e d e f o r m i n g s o l i d - m a t r i x a s i l l u s t r a t e d i n F i g u r e 2.1 f o r a f a u l t zone where t h e d e f o r m a t i o n s a r e d e s c r i b e d by p r o g r e s s i v e s i m p l e 46 s h e a r i n g . F o r t h i s i l l u s t r a t i o n t h e s o l i d - m a t r i x d i s p l a c e m e n t i s measured w i t h r e s p e c t t o t h e c e n t e r l i n e o f t h e f a u l t zone and i s c o n s t a n t f o r any l i n e p a r a l l e l t o t h e c e n t e r l i n e . From F i g u r e 2 . 1 we can see t h a t d e f o r m a t i o n of t h e p o r o u s medium p r o d u c e s a c o n v e c t i o n - l i k e e f f e c t i n t h e f i e l d v a r i a b l e s and medium p r o p e r t i e s , and i n t r o d u c e s movin-g b o u n d a r y c o n d i t i o n s . F o r s i m p l e s h e a r w i t h i n t h e f a u l t z o n e , we assume t h a t h e a t and f l u i d f l o w o c c u r s a t r i g h t a n g l e s t o t h e c e n t e r l i n e o f t h e f a u l t z o n e . Thus i n s u b s e q u e n t c h a p t e r s , we c o n s i d e r t h e o n e - d i m e n s i o n a l p r o b l e m , and model f l u i d and h e a t t r a n s p o r t a l o n g a l i n e p e r p e n d i c u l a r t o t h e c e n t e r l i n e o f t h e f a u l t z o n e . LANGRANGIAN FORM OF THE FIELD EQUATIONS We now summarize t h e L a g r a n g i a n form of t h e f i e l d e q u a t i o n s . T h e s e e q u a t i o n s a r e o u t l i n e d b elow. A l l e q u a t i o n s a r e e x p r e s s e d i n a L a g r a n g i a n r e f e r e n c e frame w i t h r e s p e c t t o t h e s o l i d m a t r i x o f t h e p o r o u s medium. The L a g r a n g i a n form o f t h e h e a t t r a n s f e r e q u a t i o n i s o b t a i n e d from t h e E u l e r i a n f o r m (2.32) by r e p l a c i n g t h e m a t e r i a l d e r i v a t i v e w i t h r e s p e c t t o t h e s o l i d m a t r i x by e q u a t i o n ( 2 . 4 4 b ) . Thus t h e e q u a t i o n d e s c r i b i n g t h e t r a n s i e n t t e m p e r a t u r e d i s t r i b u t i o n i n a s a t u r a t e d p o r o u s medium i s g i v e n by 47 V . « r 5 / v T > - Pwcwqf-VT + i,7w(|f + -fc.vm + r ' - W s - ( p c ) s f % (2.45) The t e r m s on t h e l e f t h a n d s i d e o f (2.45) a r e , i n o r d e r , t h e r a t e o f c o n d u c t i v e h e a t t r a n s p o r t , t h e r a t e o f a d v e c t i v e h e a t t r a n s p o r t , t h e r a t e of h e a t a d d i t i o n due t o p r e s s u r i z a t i o n of t h e f l u i d , a nd t h e r a t e o f s h e a r h e a t i n g w i t h i n t h e f a u l t z o n e . The t e r m on t h e r i g h t h a n d s i d e r e p r e s e n t s t h e r a t e o f i n t e r n a l h e a t s t o r a g e . L o c a l t h e r m a l e q u i l i b r i u m between t h e s o l i d m a t r i x and t h e f l u i d i s assumed. The L a g r a n g i a n f o r m o f t h e f l u i d f l o w e q u a t i o n i s o b t a i n e d f o r m t h e E u l e r i a n f o r m (2.12) by r e p l a c i n g , t h e m a t e r i a l d e r i v a t i v e w i t h r e s p e c t t o t h e s o l i d m a t r i x by e q u a t i o n ( 2 . 4 4 b ) . Thus t h e e q u a t i o n d e s c r i b i n g t h e t r a n s i e n t f l u i d f l o w w i t h i n a s a t u r a t e d p o r o u s medium i s g i v e n by V.[~-V(/» + pwg)) + qf-(PwVP - ywVT) + [ nyw + ( i - „ ) 7 j ] | | : = V ' V , + l»fiw If + (1-">^ If] (2 . 4 6 ) The t e r m s on t h e l e f t h a n d s i d e o f (2.46) a r e , i n o r d e r , t h e r a t e o f f l u i d t r a n s p o r t , t h e change i n f l u i d mass due t o p r e s s u r e c o n t r a c t i o n o r t h e r m a l e x p a n s i o n o f f l u i d s a l o n g t h e f l o w p a t h , and t h e change i n f l u i d mass due t o t h e d i f f e r e n c e i n t h e r m a l e x p a n s i v i t i e s o f t h e f l u i d and s o l i d p h a s e s . The terms on t h e r i g h t h a n d s i d e a r e t h e change i n f l u i d mass due t o v o l u m e t r i c d i l a t a t i o n o f t h e p o r o u s medium and t h e change i n f l u i d mass due t o t h e d i f f e r e n c e i n t h e c o m p r e s s i b i l i t y o f t h e f l u i d a nd s o l i d p h a s e s . F o r water t h e d e n s i t y pw, c o m p r e s s i b i l i t y 0 W , t h e r m a l e x p a n s i v i t y 7 , and dynamic v i s c o s i t y u c o e f f i c i e n t s a r e s t r o n g l y t e m p e r a t u r e d e p e n d e n t . T h i s d e pendence i s shown i n F i g u r e 2.2. The L a g r a n g i a n form of t h e e q u a t i o n s d e s c r i b i n g m o t i o n o f t h e s o i l d m a t r i x i s o b t a i n e d f o r m t h e E u l e r i a n f o r m (2.37) by r e p l a c i n g t h e m a t e r i a l d e r i v a t i v e w i t h r e s p e c t t o t h e s o l i d m a t r i x by e q u a t i o n ( 2 . 4 4 b ) . Thus t h e e q u a t i o n s d e s c r i b i n g m o t i o n of t h e s o l i d m a t r i x a r e g i v e n by where s t r e s s e s a r e d e f i n e d as p o s i t i v e when c o m p r e s s i v e and d i s p l a c e m e n t s a r e d e f i n e d as p o s i t i v e i n t h e p o s i t i v e d i r e c t i o n s o f t h e a x e s . F o r e q u a t i o n ( 2 . 4 7 ) , t h e s o l i d m a t r i x d i s p l a c e m e n t s and v e l o c i t i e s a r e as g i v e n by e q u a t i o n s (2.44a) and ( 2 . 4 4 c ) . Tx.Tij + p fF. + ys f 1 f>sf W V s t (2.47) In a d d i t i o n t h e p o r o s i t y i n e q u a t i o n s (2.45) t h r o u g h (2.47) must s a t i s f y t h e L a g r a n g i a n f o r m o f t h e c o m p a t i b i l i t y e q u a t i o n : 49 3n ~b~T 97 _ 7 ¥ • ] (2.48) F o r t h e s e e q u a t i o n s t h e d e p e n d e n t v a r i a b l e s and media p a r a m e t e r s r e p r e s e n t a v e r a g e v a l u e s o v e r a r e p r e s e n t a t i v e e l e m e n t a r y volume o f t h e p o r o u s medium. As seen f r o m above, t h e f i e l d e q u a t i o n s g o v e r n i n g h e a t t r a n s f e r , f l u i d f l o w , and m o t i o n a r e c o u p l e d t h r o u g h t h e d e p e n d e n t v a r i a b l e s o f t e m p e r a t u r e and f l u i d p r e s s u r e , t h e c o n s t i t u t i v e e q u a t i o n s r e l a t i n g s t r e s s t o s o l i d - m a t r i x d i s p l a c e m e n t ( o r v e l o c i t y ) , t h e c o m p a t i b i l i t y e q u a t i o n f o r p o r o s i t y , and t h e e q u a t i o n s o f s t a t e f o r w a t e r . T h e s e e q u a t i o n s a l o n g w i t h i n i t i a l and b o u n d a r y c o n d i t i o n s p r o v i d e t h e m a t h e m a t i c a l framework f o r s t u d y i n g t h e p h y s i c s o f f a u l t zone p r o c e s s e s . TEMPERATURE AND PRESSURE DEPENDENT PARAMETERS S o l u t i o n of t h e f i e l d e q u a t i o n s r e q u i r e s t h a t t h e d e n s i t y , dynamic v i s c o s i t y , t h e r m a l c o n d u c t i v i t y , and s p e c f i c h e a t o f water be e x p r e s s e d as s t a t e f u n c t i o n s o f p r e s s u r e and t e m p e r a t u r e . T h e s e p r o p e r t i e s a r e i l l u s t r a t e d f o r p u r e water a s a f u n c t i o n of t e m p e r a t u r e f o r s e l e c t e d p r e s s u r e s i n F i g u r e 2.2. F o r t h e d e n s i t y o f l i q u i d w a t e r a t t e m p e r t u r e s l e s s t h a n t h e c r i t i c a l t e m p e r a t u r e (374.15 °C) t h e a n a l y t i c e x p r e s s i o n of Myer et al. (1967) i s u s e d . The d e r i v a t i v e s o f d e n s i t y w i t h r e s p e c t t o t e m p e r a t u r e and p r e s s u r e f o r t h a t r e g i o n a r e o b t a i n e d d i r e c t l y f r o m d i f f e r e n t i a t i o n o f t h e a n a l y t i c e x p r e s s i o n . F o r t e m p e r a t u r e s g r e a t e r t h a n t h e c r i t i c a l 50 t e m p e r a t u r e and f o r t h e steam f i e l d , t h e a n a l y t i c e x p r e s s i o n o f Keenan e t al. ( p . 128, 1978) i s s o l v e d f o r d e n s i t y by means of a Newton-Raphson i t e r a t i v e t e c h n i q u e . The i t e r a t i v e t e c h n i q u e i s emp l o y e d u n t i l t h e n o r m a l i z e d d e n s i t y c hange between s u c e s s i v e i t e r a t i o n s i s l e s s t h a n a s p e c i f i e d t o l e r a n c e ( 1 0 " 7 ) . The c o m p r e s s i b i l i t y and t h e r m a l e x p a n s i v i t y a r e c a l c u l a t e d u s i n g t h e f i n i t e - d i f f e r e n c e a p p r o x i m a t i o n s : w Pw{P+AP,T) - pJP,T) PW(P,T) LP B « 1 JO. » (2.49a) - i Pw^^tT) ~ PW(P,T) lw * • (2.49b) pw(P,T) AT w where LP = 10" 1 MPa, and AT = 10" 2 °C f o r F i g u r e 2. Once t h e . d e n s i t y i s d e t e r m i n e d f o r a s p e c i f i c t e m p e r a t u r e and p r e s s u r e , t h e dynamic v i s c o s i t y , t h e r m a l c o n d u c t i v i t y and s p e c i f i c h e a t a r e c a l c u l a t e d a s s t a t e f u n c t i o n s o f d e n s i t y and t e m p e r a t u r e u s i n g t h e a n a l y t i c e x p r e s s i o n s g i v e n by Keenan et al . ( p . 130, 1978) f o r i s o b a r i c s p e c f i c h e a t , Watson et al: (1981) f o r v i s c o s i t y , and K e s t i n (1978) f o r t h e r m a l c o n d u c t i v i t y . F i g u r e s 2.2a t h r o u g h 2.2f a r e u s e f u l f o r d e t e r m i n i n g when t h e v a r i a t i o n s i n t h e thermodynamic and t r a n s p o r t p r o p e r t i e s o f w a ter a r e an i m p o r t a n t c o n s i d e r a t i o n i n s o l u t i o n o f t h e f i e l d e q u a t i o n s . F o r example, f o r l i q u i d w a ter a t t e m p e r a t u r e s l e s s t h a n 250 °C t h e v a r i a t i o n i n water p r o p e r t i e s w i t h r e s p e c t t o p r e s s u r e i s n e g l i g i b l e . F o r t h a t t e m p e r a t u r e r a n g e we may t r e a t t h e c o m p r e s s i b i l i t y , s p e c f i c h e a t and t h e r m a l 51 c o n d u c t i v i t y a s c o n s t a n t s , and t h e d e n s i t y , t h e r m a l e x p a n s i v i t y and v i s c o s i t y as f u n c t i o n s o f t e m p e r a t u r e o n l y . In s u c h a c a s e t h e s i m p l i f i e d e x p r e s s i o n s of S o r e y (1978) f o r d e n s i t y , and H u y k o r n and P i n d e r (1977) f o r v i s c o s i t y c o u l d be u s e d . In a d d i t i o n , i f t h e change i n t e m p e r a t u r e i s n o t s i g n i f i c a n t (<10%), t h e n i t i s p o s s i b l e t o l i n e a r i z e t h e e q u a t i o n s by a s s u m i n g c o n s t a n t w a t e r p r o p e r t i e s . I f t h e t e m p e r a t u r e s e x c e e d 250 °C, however, we can r e a d i l y see f rom t h e s e f i g u r e s t h a t c o n s i d e r a t i o n o f t h e v a r i a t i o n i n water p r o p e r t i e s w i t h p r e s s u r e and t e m p e r a t u r e i s e s s e n t i a l . F o r example, t h e c o m p r e s s i b i l i t y o f w a t e r can change by a l m o s t two o r d e r s of m a g n i t u d e between 250 °C and 400 °C d e p e n d i n g on p r e s s u r e . W h i l e v a r i a t i o n s i n o t h e r w a t e r p r o p e r t i e s a r e n o t as l a r g e , t h e y a r e s i g n i f i c a n t . F u r t h e r m o r e , t h e i n f l u e n c e of p r e s s u r e on water p r o p e r t i e s i n t h i s t e m p e r a t u r e r a n g e i s q u a n t i t a t i v e l y s m a l l e r t h a n t h a t of t e m p e r a t u r e b u t n o n e t h e l e s s i t i s f a r from n e g l i g i b l e . F o r t e m p e r a t u r e s g r e a t e r t h a n 400 °C t h e i n f l u e n c e o f p r e s s u r e i s more i m p o r t a n t t h a n t h a t o f t e m p e r a t u r e . A f u r t h e r e v a l u a t i o n o f t h e e f f e c t s o f p r e s s u r e - and t e m p e r a t u r e - d e p e n d e n t p r o p e r t i e s o f w a t e r on t h e t h e r m a l c o n v e c t i o n o f water i n p o r o u s media i s d i s c u s s e d by S t r a u s and S c h u b e r t ( 1 9 7 7 ) . Because t h e r a n g e o f v a l u e s f o r t h e d e n s i t y , c o m p r e s s i b i l i t y , e x p a n s i v i t y , t h e r m a l c o n d u c t i v i t y , and s p e c i f i c h e a t o f t h e s o l i d g r a i n s i s c o n s i d e r a b l y s m a l l e r t h a n t h a t of v a r i a t i o n s i n water p r o p e r t i e s and t h e h y d r a u l i c c h a r a c t e r i s t i c s o f p o r o u s media, t h e y a r e a p p r o x i m a t e d as c o n s t a n t s . The t h e r m a l c o n d u c t i v i t y o f t h e s o l i d - f l u i d c o m p o s i t e Ksj- may be a p p r o x i m a t e d by (Woodside and Messmer, 1961; S a s s et al . , 1971) Ksf = ^'"^V ( 2 ' 5 0 ) where K and Kw a r e t h e t h e r m a l c o n d u c t i v i t y o f t h e s o l i d and w a t e r , r e s p e c t i v e l y . In e q u a t i o n ( 2 . 5 0 ) , t h e t h e r m a l c o n d u c t i v i t y o f t h e s o l i d m a t r i x i s assumed t o be i s o t r o p i c . We f i n a l l y need t o d e s c r i b e t h e way i n w h i c h p e r m e a b i l i t y c h a n g e s d u r i n g d e f o r m a t i o n . P e r m e a b i l i t y i s g e n e r a l l y c o n s i d e r e d t o be a f u n c t i o n o f e f f e c t i v e s t r e s s and, t o a l e s s e r e x t e n t , t e m p e r a t u r e . B e c a u s e t h e r e i s no one p e r m e a b i l i t y f o r a g i v e n t e m p e r a t u r e o r e f f e c t i v e s t r e s s , t h e r e e x i s t s no e q u a t i o n o f s t a t e w h i c h r e l a t e s them. I t f o l l o w s t h a t a p a r a m e t e r must be d e t e r m i n e d w h i c h has a o n e - t o - o n e c o r r e s p o n d e n c e w i t h p e r m e a b i l i t y . I t seems r e a s o n a b l e t h a t p e r m e a b i l i t y s h o u l d i n c r e a s e ( o r d e c r e a s e ) as p o r o s i t y i n c r e a s e s ( o r d e c r e a s e s ) . Numerous r e l a t i o n s have been e i t h e r p r o p o s e d o r d e r i v e d ( e . g . ; Snow, 1968; B r a c e , 1977; B e a r , 1979, p. 67; B e r n a b e et al. , 1982) t o e x p l a i n how p o r o s i t y a f f e c t s p e r m e a b i l i t y . One s u c h r e l a t i o n s h i p i s g i v e n by W a l der and Nur ( 1 9 8 4 ) : 53 where k0 i s t h e i n i t i a l v a l u e o f p e r m e a b i l i t y , n0 i s t h e i n i t i a l v a l u e o f p o r o s i t y , nc i s t h e c r i t i c a l p o r o s i t y f o r f l u i d f l o w , and m i s some e x p o n e n t . The a d v a n t a g e o f t h i s f o r m u l a t i o n i s t h a t as p o r o s i t y becomes v a n i s h i n g l y s m a l l so does p e r m e a b i l i t y . W i t h m=3, Nur and Walder p o i n t o u t t h a t e q u a t i o n (2.51) i s s i m i l i a r t o t h e Kozeny-Carmen e q u a t i o n , w h i c h d e s c r i b e s t h e r e l a t i o n s h i p between k and n f o r some p o r o u s m e d i a . In c a s e s where p e r m e a b i l i t y i s a l l o w e d t o v a r y w i t h e f f e c t i v e s t r e s s and t e m p e r a t u r e e q u a t i o n (2.51) i s u s e d . SUMMARY The m a t h e m a t i c a l framework f o r m o d e l l i n g t h e e v o l u t i o n o f t e m p e r a t u r e , f l u i d p r e s s u r e , and d e f o r m a t i o n a c r o s s a f a u l t zone i s c o m p l e t e . The f i e l d e q u a t i o n s o u t l i n e d a b o v e a r e complex and must be s o l v e d n u m e r i c a l l y i n terms o f t h e de p e n d e n t v a r i a b l e s t e m p e r a t u r e , f l u i d p r e s s u r e a n d s o l i d - m a t r i x d i s p l a c e m e n t ( o r v e l o c i t y ) . F o r t h e L a g r a n g i a n a p p r o a c h t h e r e a r e b o t h moving b o u n d a r y c o n d i t i o n s and a d e f o r m i n g g r i d . The n u m e r i c a l a p p r o a c h t o s o l v e t h e f i e l d e q u a t i o n s i s t o use a f i n i t e e l e m e n t g r i d w h i c h d e f o r m s d u r i n g s i m u l a t i o n . The d i s p l a c e m e n t o f any p o i n t i n t h e g r i d i s g o v e r n e d by t h e s i m u l t a n e o u s s o l u t i o n of t h e f i e l d e q u a t i o n s f o r t e m p e r t u r e , p o r o s i t y , f l u i d p r e s s u r e , and m o t i o n . L a r g e d e f o r m a t i o n s and d e f o r m a t i o n r a t e s c a n , t h e r e f o r e , be a c c o m o d a t e d . T h i s s t r a t e g y i s n o t p e r f e c t l y g e n e r a l . T h e r e may be s i m u l a t i o n s w h i c h l e a d t o u n a c c e p t a b l e g r i d d e f o r m a t i o n s , a t w h i c h t i m e r e z o n i n g o f t h e g r i d i s r e q u i r e d . T h i s s o l u t i o n 54 method e n a b l e s t h e s i m u l a t i o n of c o n f i g u r a t i o n s where t h e c h a r a c t e r o f t h e d i s p l a c e m e n t s c a n n o t be s p e c i f i e d c o n v e n i e n t l y b e f o r e h a n d . To model t e m p e r a t u r e , f l u i d p r e s s u r e , and s t r e s s w i t h i n a f a u l t zone d u r i n g s i m p l e s h e a r , we n e g l e c t t h e t h r e e - d i m e n s i o n a l e f f e c t s of i n h o m o g e n e i t i e s and assume t h a t t h e t r a n s f e r o f f l u i d and h e a t o c c u r s a t r i g h t a n g l e s t o t h e f a u l t s u r f a c e . In t h i s framework t h e m a t h e m a t i c a l p r o b l e m i n v o l v e s f i n d i n g s o l u t i o n s t o t h e o n e - d i m e n s i o n a l e q u a t i o n s d e s c r i b i n g h e a t t r a n s f e r , f l u i d f l o w , and s t r e s s . T h i s i s t h e framework a d o p t e d i n s u b s e q u e n t c h a p t e r s . 55 APPENDIX 2A: DERIVATION OF THE EULERIAN FORM OF THE ENERGY EQUATION In t h i s a p p e n d i x we w i l l d e v e l o p t h e d i f f e r e n t i a l e q u a t i o n d e s c r i b i n g h e a t t r a n s f e r i n a d e f o r m i n g p o r o u s medium. We s t a r t f r o m t h e f i r s t law o f t h e r m o d y n a m i c s and p r o c e e d t o d e v e l o p t h e E u l e r i a n f o r m of t h e e n e r g y e q u a t i o n where m e c h a n i c a l forms o f e n e r g y a r e i n c l u d e d . F o r t h i s d e v e l o p m e n t we assume a c o n t i n u u m a p p r o a c h where t h e f l u i d and s o l i d p h a s e s a r e r e g a r d e d a s c o e x i s t i n g c o n t i n u a , w i t h t h e f i e l d v a r i a b l e s and medium p a r a m e t e r s r e p r e s e n t i n g a v e r a g e v a l u e s o v e r a r e p r e s e n t a t i v e e l e m e n t a r y volume o f t h e p o r o u s The d i f f e r e n t i a l e q u a t i o n d e s c r i b i n g e n e r g y t r a n s f e r i n a p o r o u s medium i s a s t a t e m e n t o f t h e f i r s t law o f t h e r m o d y n a m i c s . I t s e x p r e s s i o n c a n be d e r i v e d as soon as a l l forms o f e n e r g y and work a r e l i s t e d . In m a t h e m a t i c a l terms t h e f i r s t law o f t h e r m o d y n a m i c s , e x p r e s s e d a s a t i m e r a t e of c h a n g e , i s g i v e n by where Uj and U^ a r e t h e i n t e r n a l t h e r m a l and k i n e t i c e n e r g y , r e s p e c t i v e l y , Q t h e n e t r a t e o f h e a t t r a n s f e r i n t o a volume, and W t h e r a t e o f work done on t h e volume. No h e a t s o u r c e s due t o r a d i o a c t i v e d e c a y o r c h e m i c a l r e a c t i o n s a r e c o n s i d e r e d , and t h e e n e r g y consumed i n c r e a t i n g new f a i l u r e s u r f a c e s i s medium. (2.A1) 56 assumed t o be n e g l i g i b l e ( s e e e.g.; R i c h a r d s , 1976; L a c h e n b r u c h and S a s s , 1980). B e c a u s e t h e p o t e n t i a l e n e r g y due t o t h e p r e s e n c e o f a body f o r c e ( e . g . g r a v i t y ) i s c o n s i d e r e d t o be t h e r e s u l t o f work done by t h e body f o r c e , i t d o e s n ot ap p e a r e x p l i c i t l y i n e q u a t i o n ( 2 . A 1 ) . In a d d i t i o n , s t o r e d s t r a i n e n e r g y i s i m p l i c i t l y i n c l u d e d i n t h e c o u p l i n g between t h e r a t e o f work done on t h e volume and t h e e q u a t i o n s of m o t i o n . The r a t e a t w h i c h t h e i n t e r n a l t h e r m a l e n e r g y of a f i x e d volume o f p o r o u s medium c h a n g e s c a n be e x p r e s s e d a s dT U T ' W S S S l n p w e f + < 1 - n ) p , e , ( 2 . A 2 ) v where ej- and es a r e t h e i n t e r n a l t h e r m a l e n e r g y p e r u n i t mass of t h e f l u i d and s o l i d p h a s e s , r e s p e c t i v e l y . The r a t e of change i n k i n e t i c e n e r g y w i t h i n t h e volume i s i\uK = § 7 SSSi$Psfvs'Vs + K ( v /" v * , , | v /- v i ) ] ^ ( 2 - A 3 ) where t h e s e c o n d t e r m w i t h i n t h e b r a c k e t s r e p r e s e n t s t h e e x c e s s k i n e t i c e n e r g y o f t h e f l u i d p h a s e w i t h r e s p e c t t o t h e m o t i o n o f t h e s o l i d m a t r i x . The n e t r a t e of h e a t t r a n s f e r i n t o t h e volume i s t h e sum o f t h e c o n d u c t i v e h e a t f l u x t h r o u g h t h e s o l i d - f l u i d c o m p o s i t e p l u s t h e c o n v e c t i v e f l u x of t h e f l u i d and s o l i d p h a s e s . I t can be e x p r e s s e d a s at (2.A4) where n d e n o t e s a u n i t n o r m a l v e c t o r t o t h e s u r f a c e e l e m e n t ds. The d i v e r g e n c e t h e o r e m p e r m i t s t h e s u r f a c e i n t e g r a l t o be c a s t as a volume i n t e g r a l , g i v i n g The s e c o n d t e r m on t h e r i g h t h a n d s i d e o f e q u a t i o n (2.A1) r e p r e s e n t s t h e r a t e a t w h i c h work i s done by s u r f a c e t r a c t i o n s and i n t e r i o r body f o r c e s i n d e f o r m i n g t h e s o l i d - f l u i d c o m p o s i t e and i n moving t h e f l u i d t h r o u g h t h e p o r e s r e l a t i v e t o t h e s o l i d m a t r i x . F o r t h e s o l i d - f l u i d c o m p o s i t e t h e f o r c e a c t i n g on a s u r f a c e e l e m e n t and an i n t e r i o r volume e l e m e n t a r e , r e s p e c t i v e l y , r ' - r i d s (2.A6a) PsfFdv (2.A6b) The r a t e o f work i s g i v e n by v (2.A5) ( r ' - n d s ) . ( f r p x 5 ) (2.A7a) (2.A7b) where i s t h e p o s i t i o n o f a p a r t i c u l a r s o l i d - m a t r i x p a r t i c l e a t t i m e t . Hence, t h e r a t e a t w h i c h work i s done on t h e 58 s o l i d - f l u i d c o m p o s i t e o f t h e volume i s i V  Wsf = SS^r'-Vs)'TidS + SSSPsf*'V5dv (2.A8) S V A p p l y i n g t h e d i v e r g e n c e t h e o r e m t o t h e s u r f a c e i n t e g r a l we o b t a i n %fW5f = /J/[V . (7'.V 5) + PsfF-Vs]dv (2.A9) S i m i l i a r l y , we c a n show t h a t t h e r a t e a t w h i c h work i s done i n moving t h e f l u i d r e l a t i v e t o t h e s o l i d m a t r i x i s {\tWf = / / ; n I V ' ( T y . V r ) + pwF>Vr]dv (2.A10) where T y i s t h e s t r e s s t e n s o r w i t h i n t h e moving f l u i d , and V r = V y - V 5 i s t h e r e l a t i v e v e l o c i t y of t h e f l u i d w i t h r e s p e c t t o t h e s o l i d m a t r i x . C o m b i n i n g e q u a t i o n s ( 2 . A 3 ) , (2.A9) and (2.A10) we o b t a i n t h e r a t e of change o f work done on t h e volume minus t h e r a t e o f c h ange i n k i n e t i c e n e r g y o f t h e volume a f - a r ^ = SSSi v - Cr' - v , ) + PS/F-VS + psf ^  V-^± + v z ~ V • V n [ V . ( r y V r ) + PWF'VR + pw ^ — - ] }dv (2.A11) w h i c h we r e w r i t e as 59 v V S . [ V . ; ' + psfF - p s f | j - V , ] + «Vr.[V.7y + pwF - P w fn- V r ] }rfv (2.A12) The l a s t two t e r m s w i t h i n t h e b r a c k e t s a r e i d e n t i c a l l y z e r o by t h e e q u a t i o n s o f m o t i o n f o r t h e s o l i d - f l u i d c o m p o s i t e and t h e f l u i d w i t h r e s p e c t t o t h e s o l i d m a t r i x . P h y s i c a l l y t h i s means t h a t p a r t o f t h e work done on t h e volume by t r a c t i o n s on t h e s u r f a c e and body f o r c e s i s c o n v e r t e d i n t o k i n e t i c e n e r g y w i t h t h e r e m a i n d e r d i s s i p a t e d i n t o t h e r m a l e n e r g y . Hence, t h e r a t e of e n e r g y a d d i t i o n due t o m e c h a n i c a l work i s ar _ ar UK = fSSi'r'*ws + n f^-wr]dv (2.A13) V S i n c e t h e f i x e d volume i s a r b i t r a r y , t h e r e s u l t a n t i n t e g r a n d o b t a i n e d by s u b s t i t u t i o n o f e q u a t i o n s ( 2 . A 2 ) , (2.A5) and (2.A13) i n t o e q u a t i o n (2.A1) must be e q u a l t o z e r o f o r any p o i n t w i t h i n t h e volume. Thus we o b t a i n t h e d i f f e r e n t i a l e q u a t i o n d e s c r i b i n g e n e r g y t r a n s f e r w i t h i n a p o r o u s medium %T[npwef + < 1 - n ) p 5 e , ] + V - [ q h + n p w V f e f + ( 1 - i i ) p 5 V 5 e , ] = r ' - W j + / i r y W r (2.A14) F o r a N e w t o n i a n f l u i d we can r e w r i t e t h e l a s t t e r m o f e q u a t i o n 60 (2.A14) a s (Landau and L i f s c h i t z , 1959) « r , . V V = na [ |- V (|- V + |- V ) - -^(V-V ) 2 ] / r Mw L aXj r .  vdx . r . ox. r . ' d r'  1 nPV>Vr (2.A15) The f i r s t t e r m of e q u a t i o n (2.A15) i s a l w a y s p o s i t i v e and henc e a l w a y s a c t s a s a t h e r m a l s o u r c e . In c o n t r a s t nPV'Vr r e p r e s e n t s t h e r a t e o f h e a t a d d i t i o n due t o p r e s s u r e work done by e x p a n d i n g , o r c o n t r a c t i n g , t h e f l u i d mass i n s i d e t h e p o r e v o l u m e . From t h e f l u i d c o n t i n u i t y e q u a t i o n (2.8) we may w r i t e d d V V r = V-V s + ±.J-n + - t - L p w (2.A16) dt w dt S u b s t i t u t i o n o f e q u a t i o n (2.A16) i n t o (2.A15) y i e l d s n ^ f ' V r = V * + I T - ^ P w (2.A17) Hw dt where <i> i s d e f i n e d a s —!-(nV-V p + - £ n ) (2 . A 1 8 ) Mw s dt and i s r e f e r r e d t o a s t h e v i s c o u s d i s s i p a t i o n f u n c t i o n f o r t h e f l u i d . T h i s t e r m c h a r a c t e r i z e s t h e i r r e v e r s i b l e c o n v e r s i o n o f m e c h a n i c a l e n e r g y i n t o t h e r m a l e n e r g y as t h e f l u i d f l o w s t h r o u g h t h e p o r e s . I n s e r t i o n of e q u a t i o n (2.A17) i n t o (2.A14) 61 y i e l d s t h e E u l e r i a n f o r m o f t h e e n e r g y b a l a n c e e q u a t i o n f o r a s a t u r a t e d p o r o u s media %i-[npwef + (^-n)pses] + V-[qh + npwVfef + ( l - n J p ^ V ^ ] = d T - ' - W + M W * + ^ pw (2.A19) where t h e r m a l forms of e n e r g y a p p e a r on t h e l e f t h a n d s i d e and m e c h a n i c a l f o r m s on t h e r i g h t h a n d s i d e . T h i s i s e q u a t i o n (2.14) i n C h a p t e r 2. I f m e c h a n i c a l forms o f e n e r g y a r e n e g l i g i b l e , t h e n t h e r i g h t h a n d s i d e o f e q u a t i o n (2A.19) i s z e r o . 62 APPENDIX 2B: CONDITIONS WHERE HEAT ADDITION DUE TO PRESSURIZATION OF WATER ARE SIGNIFICANT To e v a l u a t e t h e r a t e of h e a t a d d i t i o n due t o t h e p r e s s u r i z a t i o n o f p o r e w a t e r , we r e w r i t e i t s c o n t r i b u t i o n t o t h e h e a t t r a n s f e r e q u a t i o n (2.31) as nywT P = nywT(W) ^ T (2.B1) dt dt S i n c e t h e maximum f l u i d - p r e s s u r e i n c r e a s e o c c u r s f o r u n d r a i n e d c o n d i t i o n s (k=0), i f p r e s s u r e work i s n e g l i g i b l e f o r t h o s e c o n d i t i o n s , t h e n i t must a l s o be n e g l i g i b l e f o r d r a i n e d c o n d i t i o n s (k>0). F o r u n d r a i n e d c o n d i t i o n s where t h e r e i s no t r a n s p o r t o f p o r e f l u i d s (k=0) i t c a n be shown f r o m e q u a t i o n (2.46) t h a t BP TjT (2.B2a) *=0 n0w - (1-n)*/3j + fisf = T (2.B2b) where r i s d e f i n e d a s t h e t h e r m a l p r e s s u r i z a t i o n c o e f f i c i e n t o f t h e p o r o u s medium, and j3^y i s t h e c o m p r e s s i b i l i t y o f t h e p o r o u s medium. The t e r m c h a r a c t e r i z e s t h e v o l u m e t r i c d i l a t a t i o n a l s t r a i n t h a t w i l l t a k e p l a c e f o r a u n i t change i n e f f e c t i v e s t r e s s i n a f r e e l y d i l a t a t i n g medium ( e . g . , B i o t , 1941; G a m b o l a t i , 1974). The t e r m Y c h a r a c t e r i z e s t h e i n c r e a s e i n f l u i d p r e s s u r e p e r u n i t change i n t e m p e r a t u r e f o r u n d r a i n e d c o n d i t i o n s . S u b s t i t u t i n g e q u a t i o n s (2.B1) and (2.B2) i n t o 63 e q u a t i o n (2.32) y i e l d s t h e h e a t t r a n s f e r e q u a t i o n f o r u n d r a i n e d c o n d i t i o n s d c V>KsfVT + r ' . W S = ( } - $ w ) ( p C ) s f S- T (2.B3) dt where $ w i s d e f i n e d a s t h e p r e s s u r e - w o r k c o e f f i c i e n t f o r water and i s g i v e n by nywTT $ w = (2.B4) (pc)sf T h i s t e r m c h a r a c t e r i z e s t h e r a t i o o f t h e r a t e of h e a t a d d i t i o n by p r e s s u r i z a t i o n of water t o t h e r a t e o f h e a t s t o r a g e w i t h i n t h e p o r o u s medium. I f $ w « l , t h e n h e a t a d d i t i o n due t o p r e s s u r i z a t i o n o f p o r e w a t e r i s n e g l i g i b l e . F o r t h e p o r o u s medium p r o p e r t i e s l i s t e d i n T a b l e 2.1, F i g u r e 2.3 i l l u s t r a t e s t h e p r e s s u r e - w o r k c o e f f i c i e n t $ w as a f u n c t i o n o f t e m p e r a t u r e f o r s e l e c t e d f l u i d p r e s s u r e s a nd p o r o u s medium c o m p r e s s i b i l i t i e s $sf> T h e s e f i g u r e s show t h a t f o r c o m p r e s s i b i l i t i e s l e s s t h a n 1 0 " 7 P a " 1 h e a t a d d i t i o n due t o p r e s s u r i z a t i o n o f water i s n o t n e g l i g i b l e , i n g e n e r a l . In s u c h a c a s e t h e t e m p e r a t u r e and c o m p r e s s i b i l i t y must be c o n s i d e r e d b e f o r e t h e t h e r m a l e f f e c t s o f p r e s s u r i z a t i o n c a n be n e g l e c t e d . F o r example, i f t e m p e r a t u r e s a r e l e s s t h a n 250 °C o r g r e a t e r t h a n 600 °C, t h e n t h e t h e r m a l e f f e c t s o f p r e s s u r i z a t i o n may be n e g l e c t e d . I f t e m p e r a t u r e s l i e between 250 °C and 600 °C, however, t h e n h e a t a d d i t i o n due t o p r e s s u r i z a t i o n o f wat e r i s not n e g l i g i b l e . In a d d i t i o n , t h e v a r i a t i o n i n $ w w i t h p r e s s u r e 64 and t e m p e r a t u r e must be c o n s i d e r e d . F o r media w i t h c o m p r e s s i b i l i t i e s g r e a t e r t h a n 10" 7 P a " 1 t h e p r e s s u r e - w o r k t e r m can be n e g l e c t e d . F u r t h e r m o r e , i f t h e p e r m e a b i l i t y e x c e e d s 10 " 1 6 m 2, t h e n t h e h y d r a u l i c d i f f u s i v i t y i s much g r e a t e r t h a n t h e t h e r m a l d i f f u s i v i t y and t h e h e a t i n g o f w a t e r i s a c c o m o d a t e d by f l u i d e x p a n s i o n and f l o w i n s t e a d of f l u i d p r e s s u r i z a t i o n . In s u c h a c a s e t h e f l u i d p r e s s u r e r i s e w i t h t e m p e r a t u r e w i l l be s m a l l . Hence, f o r d r a i n e d c o n d i t i o n s w i t h p e r m e a b i l i t i e s g r e a t e r t h a n 1 0 " 1 6 m 2 h e a t a d d i t i o n due t o p r e s s u r i z a t i o n o f w a t e r i s n e g l i g i b l e i r r e g a r d l e s s o f t h e t e m p e r a t u r e and p o r o u s medium c o m p r e s s i b i l i t y . F o r p e r m e a b i l i t i e s l e s s t h a n 1 0 ' 1 6 m 2 t h e n a t u r e of t h e p r o b l e m t o be s o l v e d , and t h e r a n g e i n p e r m e a b i l i t y , c o m p r e s s i b i l i t y , t e m p e r a t u r e and p r e s s u r e must be c o n s i d e r e d b e f o r e d e c i d i n g w hether t h e h e a t a d d i t i o n due t o t h e p r e s s u r i z a t i o n o f w a t e r c a n be n e g l e c t e d . 65 NOTATION C i j kl c o e f f i c i e n t s o f e l a s t i c i t y . cp s p e c i f i c h e a t a t c o n s t a n t p r e s s u r e c $ i s o b a r i c s p e c i f i c h e a t o f t h e s o l i d g r a i n s . cw i s o b a r i c s p e c i f i c h e a t o f w a t e r . e v o l u m e t r i c s t r a i n ( d i l a t a t i o n ) e 1 1 + e 2 2 + « 3 3 ' etj s o l i d m a t r i x s t r a i n . ef. . s o l i d m a t r i x s t r a i n r a t e . / a s a s u b s c r i p t d e n o t e s f l u i d . F body f o r c e a c t i n g on t h e p o r o u s medium. g g r a v i t a t i o n a l a c c e l e r a t i o n . hj f l u i d e n t h a l p y . h s o l i d e n t h a l p y . k p o r o u s medium p e r m e a b i l i t y . k p e r m e a b i l i t y t e n s o r . k0 i n i t i a l p e r m e a b i l i t y . ks b u l k modulus o f t h e s o l i d g r a i n s . ksj- b u l k modulus o f t h e p o r o u s medium. Ks t h e r m a l c o n d u c t i v i t y o f t h e s o l i d g r a i n s . Kw t h e r m a l c o n d u c t i v i t y o f w a t e r . K^y t h e r m a l c o n d u c t i v i t y o f t h e s o l i d - f l u i d c o m p o s i t e . n p o r o s i t y . n0 i n i t i a l p o r o s i t y . n c r i t i c a l p o r o s i t y f o r f l u i d f l o w . p f l u i d p r e s s u r e i n c r e a s e above ambient c o n d i t i o n s . P p o r e f l u i d p r e s s u r e . Q r a t e o f h e a t t r a n s f e r i n t o a r e g i o n . qy f l u i d s p e c i f i c d i s c h a r g e r e l a t i v e t o t h e s o l i d m a t r i x . c o n d u c t i v e h e a t f l u x . s as a s u b s c r i p t d e n o t e s s o l i d . t t i m e . T thermodynamic t e m p e r a t u r e . UK i n t e r n a l k i n e t i c e n e r g y U s o l i d - m a t r i x d i s p l a c e m e n t r e l a t i v e t o a f i x e d c o o r d i n a t e s y s t e m . components of t h e s o l i d - m a t r i x d i s p l a c e m e n t , i n t e r n a l t h e r m a l e n e r g y f l u i d v e l o c i t y r e l a t i v e t o a f i x e d c o o r d i n a t e s y s t e m , components of t h e f l u i d v e l o c i t y . f l u i d v e l o c i t y r e l a t i v e t o t h e s o l i d m a t r i x Vy-V^. components of t h e f l u i d v e l o c i t y r e l a t i v e t o t h e s o l i d m a t r i x . s o l i d - m a t r i x v e l o c i t y w i t h r e s p e c t t o a f i x e d c o o r d i n a t e s y s t e m . as a s u b s c r i p t d e n o t e s w a t e r . r a t e o f work done on a s y s t e m . r a t e o f work done i n m o ving t h e p o r e f l u i d r e l a t i v e t o t h e s o l i d m a t r i x . r a t e o f work done on t h e s o l i d - f l u i d m a t r i x , f i x e d c o o r d i n a t e p o s i t i o n ( x , , x 2 , x 3 ) . s o l i d p a r t i c l e p o s i t i o n w i t h r e s p e c t t o a f i x e d c o o r d i n a t e s y s t e m . t h e r m a l p r e s s u r i z a t i o n c o e f f i c i e n t o f t h e p o r o u s medium. i s o t h e r m a l c o m p r e s s i b i l i t y o f t h e s o l i d g r a i n s , p o r o u s medium c o m p r e s s i b i l i t y , i s o t h e r m a l c o m p r e s s i b i l i t y o f w a t e r , g r a d i e n t o p e r a t o r x^ . d/dxi . K r o n e c k e r d e l t a f u n c t i o n . f l u i d i n t e r n a l t h e r m a l e n e r g y p e r u n i t mass, s o l i d i n t e r n a l t h e r m a l e n e r g y p e r u n i t mass, i s o b a r i c t h e r m a l e x p a n s i v i t y o f t h e s o l i d g r a i n s , l i n e a r t h e r m a l e x p a n s i o n c o e f f i c i e n t o f t h e p o r o u s medium. i s o b a r i c t h e r m a l e x p a n s i v i t y o f w a t e r , b u l k v i s c o s i t y of t h e p o r o u s medium, a Lame' c o n s t a n t , s h e a r m o d u l u s . dynamic v i s c o s i t y of t h e p o r o u s medium, dynamic v i s c o s i t y of w a t e r . v i s c o u s h e a t d i s s i p a t i o n f u n c t i o n f o r t h e f l u i d . d e n s i t y of t h e s o l i d g r a i n s . d e n s i t y of t h e s o l i d - f l u i d c o m p o s i t e . d e n s i t y o f w a t e r . h e a t c a p a c i t y o f w a t e r . h e a t c a p a c i t y o f t h e s o l i d . h e a t c a p a c i t y o f t h e s o l i d - f l u i d c o m p o s i t e . t o t a l s t r e s s t e n s o r . e f f e c t i v e s t r e s s t e n s o r . s t r e s s t e n s o r w i t h i n t h e m o ving f l u i d . a v e r a g e e f f e c t i v e n o r m a l s t r e s s ( r , , + T 2 2 + T 3 3 ) / 3 . c omponents of t h e e f f e c t i v e s t r e s s t e n s o r . components o f t h e t o t a l s t r e s s t e n s o r . t e m p e r a t u r e i n c r e a s e o v e r a m b i e n t c o n d i t i o n s . p r o p o r t i o n a l i t y c o n s t a n t between p o r e and b u l k volume c h a n g e s . p r e s s u r e - w o r k c o e f f i c i e n t f o r w a t e r , o v e r a l e t t e r , d e n o t e s u n i t v e c t o r . between two v e c t o r s o r two t e n s o r s , d e n o t e s s c a l a r d o t p r o d u c t ; between a t e n s o r and a v e c t o r , d e n o t e s v e c t o r d o t p r o d u c t . o v e r a l e t t e r , d e n o t e s t e n s o r q u a n t i t y . REFERENCES B e a r , J . , Hydraulics of Groundwater, M c G r a w - H i l l I n c . , New Y o r k , 1979. B e a r , J . , Dynamics of Fluids in Porous Media, 764 pp., A m e r i c a n E l s e v i e r , New Y o r k , 1972. B e a r , J . , and M.Y. C o r a p c i o g l u , A m a t h e m a t i c a l model f o r c o n s o l i d a t i o n i n a t h e r m o e l a s t i c a q u i f e r due t o t h e h o t water i n j e c t i o n , Water Resour. Res., 1 7 ( 3 ) , 723-736, 1981. B e r n a b e , Y., B. E v a n s , and W.F. B r a c e , P e r m e a b i l i t y , p o r o s i t y , and p o r e g e o m e t r y of h o t p r e s s e d c l a c i t e , Mech. Mater., 1, 173-183, 1982. B i o t , M. A., G e n e r a l t h e o r y o f t h r e e d i m e n s i o n a l c o n s o l i d a t i o n , /. Appl . Phys., 12, 155-164, 1941. B i o t , M. A. and D. G. W i l l i s , The e l a s t i c c o e f f i c i e n t s o f t h e t h e o r y o f c o n s o l i d a t i o n , /. Appl . Mech., 24, 594-601, 1957. B r a c e , W.F., P e r m e a b i l i t y f r o m r e s i s t i v i t y and p o r e shape, /. Geophys. Res. , 82, 3343-3349, 1977. B r o w n e l l , J r . , D.H., S.K. G a r g , and.J.W. P r i t c h e t t , G o v e r n i n g e q u a t i o n s f o r g e o t h e r m a l r e s e r v o i r s , /. Geophys. Res., 6, 929-934, 1977. B r u n , J . P . , and P.R. C o b b o l d , S t r a i n h e a t i n g and t h e r m a l s o f t e n i n g i n c o n t i n e n t a l s h e a r z o n e s : a r e v i e w , /. Struct. Geol. , 2, 149-158, 1980. C o o p e r , H.H., J r . , The e q u a t i o n of g r o u n d w a t e r f l o w i n f i x e d and d e f o r m i n g c o o r d i n a t e s , /. Geophys. Res., 71, 4785-4790, 1966. F a u s t , C.R., a n d J.W. M e r c e r , G e o t h e r m a l r e s e r v o i r s i m u l a t i o n 1. M a t h e m a t i c a l m o d els f o r l i q u i d - and v a p o r d o m i n a t e d h y d r o t h e r m a l s y s t e m s , /. Geophys. Res., 15, 23-30, 1979. F l e i t o u t , L., and C. F r o i d e v a u x , T h e r m a l and m e c h a n i c a l e v o l u t i o n o f s h e a r z o n e s , /. Struct. Geol., 2, 159-164, 1980. G a m b o l a t i , G., S e c o n d - o r d e r t h e o r y o f f l o w i n 3D d e f o r m i n g m e d i a , Water Resour. Res., 1 0 ( 6 ) , 1217-1228, 1974. G a r g , S.K., and J.W. P r i t c h e t t , On p r e s s u r e - w o r k , v i s c o u s d i s s i p a t i o n , and t h e e n e r g y b a l a n c e e q u a t i o n f o r g e o t h e r m a l r e s e r v o i r s , Adv. Water Resources, 1, 41-47, 1977. H u y a k o r n , P.S., and G.F. P e n d e r , A p r e s s u r e - e n t h a l p y f i n i t e e l e m e n t model f o r s i m u l a t i n g h y d r o t h e r m a l r e s e r v o i r s , S e c ond 69 I n t e r n a t i o n a l Symposium on Computer Methods f o r P a r t i a l D i f f e r e n t i a l E q u a t i o n s , L e h i g h U n i v . , B e t h l e h e m , Pa., June 22-24, 1977. Keenan, J.H., F.G. K e y e s , P.G. H i l l , and J.G. Moore, Steam Tab l e s , 162pp., John W i l e y , New Y o r k , 1978. K e s t i n , J . , T h e r m a l c o n d u c t i v i t y o f w a t e r and steam, Mech. Eng., 1 0 0 ( 8 ) , 1255-1258, 1978. L a c h e n b r u c h , A.H., and J.H. S a s s , Heat f l o w and e n e r g e t i c s o f t h e San A n d r e a s f a u l t , /. Geophys. Res., 80, 6185-6221, 1980. Lan d a u , L.D., and E.M. L i f s h i t z , F l u i d Mechanics, Pergamon P r e s s , New Y o r k , 1959. L o c k e t t , J.M., and N.S. K s u z n i r , D u c t i l e s h e a r z o n e s : some a s p e c t s o f c o n s t a n t s l i p v e l o c i t y and c o n s t a n t s h e a r s t r e s s m o d e l s , Geophys. J. R. As t r. Soc, 69, 477-494, 1982. M e l o s h , H.J., P l a t e m o t i o n and t h e r m a l i n s t a b i l i t y i n t h e a s t e n o s p h e r e , Tectonophysi cs , 35, 363-390, 1976. M u r r e l l , S.A.F., D.L. T u r c o t t e , and K.E. T o r r a n c e , S t u d i e s o f f i n i t e a m p l i t u d e non-Newtonian c o n v e c t i o n w i t h a p p l i c a t i o n t o c o n v e c t i o n i n t h e e a r t h ' s m a n t l e , J. Geophys. Res., 81, 1939-1946, 1976. Myer, C.A., R.B. M c C l i n t o c h , G .J. S i l v e s t r i , and R.C. S p e n c e r , ASME Steam Tables - Thermodynamic and Transport P r o p e r t i e s of Steam, ASME, New Y o r k , 1967. No w a c k i , W., Dynamic Problems of T h e r m o e l a s t i c i t y , N o o r d h o f f , L e y d e n , The N e t h e r l a n d s , 1975. N o w i n s k i , J . L . , Theory of T h e r m o e l a s t i c i t y with a p p l i c a t i o n s , S i j t h o f f & N o o r d h o f f , L e y d e n , The N e t h e r l a n d s , 1978. O ' N e i l , K., and G.F. P i n d e r , A d e r i v a t i o n o f t h e e q u a t i o n s f o r t r a n s p o r t o f l i q u i d and h e a t i n t h r e e d i m e n s i o n s i n a f r a c t u r e d medium, Adv. Water Resources, 4, 150-164, 1981. P l a t t e n , J.K., and J.C. L e g r o s , Convection i n L i q u i d s , S p r i n g e r - V e r l a g , New Y o r k , 1984. R i c e , J.R. and M.P. C l e a r y , Some b a s i c s t r e s s d i f f u s i o n s o l u t i o n s f o r f l u i d - s a t u r a t e d e l a s t i c p o r o u s media w i t h c o m p r e s s i b l e c o n s t i t u e n t s , Rev. Geophys. Space Phys., 14, 227-241, 1976. R i c h a r d s , P.G., Dynamic m o t i o n s n e a r an e a r h q u a k e f a u l t : a t h r e e d i m e n s i o n a l s o l u t i o n , Bull. Seis. Soc. Am., 66, 1-32, 1976. 70 S a s s , J.H., A.H. L a c h e n b r u c h , and R . J . Munroe, T h e r m a l c o n d u c t i v i t y o f r o c k s from measurements on f r a g m e n t s and i t s a p p l i c a t i o n t o h e a t - f l o w d e t e r m i n a t i o n s , /. Geophys. Res., 76, 3391-3401, 1971. S h a r p , J.M., J r . , P e r m e a b i l i t y c o n t r o l s on a q u a t h e r m a l p r e s s u r i n g , Am. Assoc. Pet. Geol . Bull., 67, 2057-2061 , 1 983. S l a t t e r y , J . C . , Momentum, Energy, and Mass T r a n s f e r i n Continua, M c G r a w - H i l l , New Y o r k , 1972. Snow, D., F r a c t u r e d e f o r m a t i o n and c h a n g e s o f p e r m e a b i l i t y and s t o r a g e upon c h a n g e s i n f l u i d p r e s s u r e , Colo. Sch. Mines Q., 63, 201-244, 1969. S o r e y , M.L., N u m e r i c a l m o d e l i n g of l i q u i d g e o t h e r m a l s y s t e m s , U.S. Geol. Surv. Prof. Pap., 1044-D, 1978. S t a l l m a n , R.W., N o t e s on t h e use o f t e m p e r a t u r e d a t a f o r c o m p u t i n g v e l o c i t y , p a p e r p r e s e n t e d a t 6 t h A s s e m b l y on H y d r a u l i c s , S o c . H y d r o t e c h . F r a n c e , Nancy, June 28-30, 1960. S t a l l m a n , R.W., C o m p u t a t i o n o f g r o u n d w a t e r v e l o c i t y f r o m t e m p e r a t u r e d a t a , U.S. Geol. Surv. Water Supply Pap. 1544-H, H36-H40, 1963. S t r a u s , J.M., and G. S c h u b e r t , T h e r m a l c o n v e c t i o n of water i n a p o r o u s medium: e f f e c t s of t e m p e r a t u r e - and p r e s s u r e - d e p e n d e n t thermodynamic and t r a n s p o r t p r o p e r t i e s , J. Geophys. Res., 8 2 ( 2 ) , 325-333, 1977. T u r c o t t e , D.L. and E.R. Oxbaugh, A f l u i d t h e o r y f o r t h e deep s t r u c t u r e of d i p - s l i p f a u l t z o n e s , Phys. Earth Planet. Interiors, 1, 381-387, 1968. V e r r u i j t , A., E l a s t i c s t o r a g e o f a q u i f e r s , i n Flow Through Porous Media, e d i t e d by R.J.M D e W e i s t , Academic P r e s s , New Y o r k , 1969. W a l d e r , J . and A. Nur, P o r o s i t y r e d u c t i o n and c r u s t a l p o r e p r e s s u r e , J. Geophys. Res., 89, 11539-11548, 1984. Watson, J.T.R., R.S. Basu, and J.V. S e n g e r s , An i m p r o v e d r e p r e s e n t a t i v e e q u a t i o n f o r t h e dynamic v i s c o s i t y o f w a t e r s u b s t a n c e , /. Phys. Chem. Ref. Data, 9 ( 3 ) , 1255-1279, 1980. Weertman, J . and J.R. Weertman, H i g h t e m p e r a t u r e c r e e p o f r o c k and m a n t l e v i s c o s i t y , Annu. Rev. Earth Planet. Sci., 3, 293-315, 1975. W h i t e , F.M., V i s c o u s F l u i d Flow, M c G r a w - H i l l , New Y o r k , 1974. Woodside, W. and J.H. Messmer, T h e r m a l c o n d u c t i v i t y of p o r o u s m e d i a , /. Appl. Phys., 32, 1688, 1961. 71 Yuen, D.A., L. F l e i t o u t , G. S c h u b e r t , and C. F r o i d e a u x , Shear d e f o r m a t i o n z o n e s a l o n g major t r a n s f o r m f a u l t s and s u b d u c t i n g s l a b s , Geophys. J. R. Astr. Soc, 54, 93-119, 1978. Yuen, D.A. and G. S c h u b e r t , On t h e s t a b i l i t y o f f r i c t i o n a l l y h e a t e d s h e a r f l o w s i n t h e a s t h e n o s p h e r e , Geophys. J. R. Astr. Soc. , 57, 189-207, 1979. 72 TABLE 2.1. P a r a m e t e r V a l u e s f o r P o r o u s Medium P r o p e r t i e s H e l d C o n s t a n t f o r C a l c u l a t i o n o f j; P r o p e r t y V a l u e P o r o s i t y n I T h e r m a l e x p a n s i v i t y of t h e p o r o u s medium ysj D e n s i t y of t h e s o l i d ps S p e c i f i c h e a t o f t h e s o l i d cs T h e r m a l c o n d u c t i v i t y o f t h e s o l i d K C o m p r e s s i b i l t y o f t h e s o l i d p\ T h e r m a l e x p a n s i v i t y o f t h e s o l i d 7 0.20 1 .0 l 0 - 5 o c _ i 2 . 6 X 1 0 3 kg r r r 3 10 3 J k g " 1 ° K " 1 2.5 W m"1 ° K " 1 1 0" 1 1 Pa" 1 2 . 5 X 1 0 " 5 ° C - 1 •73 FIGURE CAPTIONS F i g u r e 2.1. L a g r a n g i a n d e s c r i p t i o n o f a f a u l t zone where t h e d e f o r m a t i o n s a r e d e s c r i b e by p r o g r e s s i v e s i m p l e s h e a r i n g . F o r a homogeneous medium, t h e t r a n s p o r t o f h e a t and f l u i d o c c u r s p e r p e n d i c u l a r t o t h e c e n t e r l i n e o f t h e f a u l t z o n e . Thus i t i s n e c e s s a r y t o c o n s i d e r o n l y t h e o n e - d i m e n s i o n a l p r o b l e m a l o n g a l i n e p e r p e n d i c u l a r t o t h e c e n t e r l i n e o f t h e f a u l t z o n e . F i g u r e 2.2. Thermodynamic p r o p e r t i e s o f p u r e w a t e r as a f u n c t i o n o f t e m p e r a t u r e T f o r s e l e c t e d f l u i d p r e s s u r e s P: (a) d e n s i t y pw b a s e d upon t h e t h e a n a l y t i c e x p r e s s i o n s by Myer et al. ( p . 23, 1967) and Keenan et al . ( p . 128, 1978); (b) i s o t h e r m a l v o l u m e t r i c c o m p r e s s i b i l i t y Pw; ( c ) i s o b a r i c t h e r m a l e x p a n s i v i t y 7,„; (d) dynamic v i s c o s i t y M „ , (Watson et al . , Yv rv 1980); (e) t h e r m a l c o n d u c t i v i t y Kw ( K e s t i n , 1978); and ( f ) i s o b a r i c s p e c i f i c h e a t cw (Keenan et al. , p. 130, 1978). The f l u i d p r e s s u r e i n c r e m e n t between c u r v e s i s 5 MPa f o r 5-20 MPa, 10 MPa f o r 20-40 MPa, and 20 MPa f o r 40-100 MPa. The l i q u i d - s t e a m t r a n s i t i o n i s i n d i c a t e d by t h e d a s h e d l i n e s . F o r f u r t h e r e x p l a n a t i o n see t e x t . F i g u r e 2.3. The p r e s s u r e - w o r k (PW) c o e f f i c i e n t f o r w ater $ w c a l c u l a t e d a s a f u n c t i o n o f t e m p e r a t u r e T f o r s e l e c t e d f l u i d p r e s s u r e s P and p o r o u s medium c o m p r e s s i b i l i t i e s &sj- u s i n g t h e p o r o u s medium p r o p e r t i e s summarized i n T a b l e 2.1. The f l u i d p r e s s u r e i n c r e m e n t between c u r v e s i s 5 MPa f o r 5-20 MPa, 10 74 MPa f o r 20-40 MPa, and 20 MPa f o r 40-100 MPa. The l i q u i d - s t e a m t r a n s i t i o n i s i n d i c a t e d by t h e d a s h e d l i n e s . F o r f u r t h e r e x p l a n a t i o n see t e x t . F i g u r e 2.1 76 77 1000 T e m p e r a t u r e , T (°C) F i g . 2.2b. I s o t h e r m a l c o m p r e s s i b i l i t y . 78 0 200 400 600 800 1000 T e m p e r a t u r e , T (°C) F i g . 2.2c. I s o b a r i c t h e r m a l e x p a n s i v i t y . 79 io H 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ( -0 200 400 600 800 1000 T e m p e r a t u r e , T (°C) F i g . 2.2d. D y n a m i c v i s c o s i t y . 8 0 F i g . 2.2e. T h e r m a l c o n d u c t i v i t y . 81 T e m p e r a t u r e , T (°C) F i g . 2.2f. I s o b a r i c s p e c i f i c h e a t . 3 10" 10- A 0) o ° i o - 2 10" -1 I 1_ _1 I I e,f = 10"7 Pa ~x 200 400 800 800 1000 Temperature, T (°C) F i g . 2.3. P r e s s u r e - w o r k c o e f f i c i e n t f o r w a t e r . 83 C H A P T E R I I I P O R E - F L U I D P R E S S U R E S A N D F R I C T I O N A L H E A T I N G O N A F A U L T S U R F A C E Most r o c k s w i t h i n t h e v i c i n i t y o f s h a l l o w e a r t h q u a k e s a r e p o r o u s and, w i t h i n t h e upper c r u s t , t h e p o r e s a r e l i k e l y t o c o n t a i n w a t e r . B e c a u s e t h e p r e s s u r e of p o r e w a t e r s i n f l u e n c e s t h e m e c h a n i c a l p r o p e r t i e s of r o c k , s t r e s s e s and s t r a i n s a r e c o u p l e d t o f l u i d f l o w w i t h i n t h e p o r o u s medium. T h i s c o u p l i n g c a n d e c r e a s e o r i n c r e a s e t h e s t r e n g t h of a f a u l t a s w e l l a s t h e s t r e n g t h o f t h e a d j a c e n t medium. F u r t h e r m o r e , f r i c t i o n a l h e a t i n g on a f a u l t s u r f a c e c an l e a d t o t h e r m a l e x p a n s i o n , p r e s s u r i z a t i o n , and f l o w of p o r e w a t e r s , c o u p l i n g t h e t h e r m a l f i e l d w i t h t h e s t r e s s , s t r a i n , a nd f l u i d f i e l d s . C o n s e q u e n t l y , t h e b e h a v i o r o f p o r e w a t e r s b e f o r e and d u r i n g s l i p i s o f c o n s i d e r a b l e i m p o r t a n c e i n t h e m e c h a n i c s of e a r t h q u a k e p r o c e s s e s . A s s u m i n g t h e f a u l t s u r f a c e i s e s t a b l i s h e d and t h a t t h e s h e a r s t r e s s r e q u i r e d f o r s l i p i s g i v e n by t h e f r i c t i o n law, many i n v e s t i g a t o r s have shown t h a t f r i c t i o n a l h e a t i n g c o u l d p l a y an i m p o r t a n t r o l e i n t h e d y n a m i c s o f f a u l t p r o c e s s e s . J a e g e r ( 1 9 4 2 ) , M c K e n z i e and Brune ( 1 9 7 2 ) , R i c h a r d s ( 1 9 7 6 ) , C a r d w e l l et al. ( 1 9 7 8 ) , S c h o l z ( 1 9 8 0 ) , and S i b s o n (1980) s u g g e s t e d t h a t s h e a r h e a t i n g c o u l d l e a d t o p a r t i a l m e l t i n g on t h e f a u l t s u r f a c e w i t h a s u b s e q u e n t r e d u c t i o n i n t h e s h e a r s t r e n g t h . T h e s e s t u d i e s have n e g l e c t e d t h e p r e s e n c e and 84 p o s s i b l e e f f e c t of p o r e w a t e r . I f w a t e r i s p r e s e n t , t h e d y n a m i c s a r e more c o m p l i c a t e d . The r e s p o n s e o f f l u i d p r e s s u r e s t o f r i c t i o n a l h e a t i n g c a n be d e s c r i b e d by t h e f o l l o w i n g two extreme c a s e s . I f t h e h y d r a u l i c d i f f u s i v i t y o f t h e a d j a c e n t medium i s much g r e a t e r t h a n t h e t h e r m a l d i f f u s i v i t y , t h e t h e r m a l e x p a n s i o n o f p o r e f l u i d s i s a c c o m o d a t e d by f l u i d f l o w f rom t h e h e a t e d r e g i o n a d j a c e n t t o t h e f a u l t s u r f a c e . In s u c h a c a s e t h e f l u i d p r e s s u r e and dynamic s h e a r s t r e n g t h r e m a i n u nchanged d u r i n g s l i p . C o n s e q u e n t l y , t h e f a u l t s u r f a c e i s a l a r g e s o u r c e of f r i c t i o n a l h e a t and p a r t i a l m e l t i n g may o c c u r . T h i s i s t h e r e s p o n s e we would e x p e c t f o r h i g h - p e r m e a b i l i t y m a t e r i a l . I f t h e h y d r a u l i c d i f f u s i v i t y i s l e s s t h a n t h e t h e r m a l d i f f u s i v i t y and i f t h e medium i s r i g i d , t h e n t h e r e i s no a p p r e c i a b l e f l u i d e x p l u s i o n from t h e h e a t e d r e g i o n d u r i n g s l i p a nd t h e h e a t i n g p r o c e s s t a k e s p l a c e a t c o n s t a n t f l u i d mass. I n t h i s c a s e t h e r e s u l t i n g t h e r m a l p r e s s u r i z a t i o n c a u s e s t h e e f f e c t i v e s t r e s s t o d e c r e a s e , p r o m o t i n g a n e t r e d u c t i o n i n t h e dynamic s h e a r s t r e n g t h o f t h e f a u l t s u r f a c e . I f f l u i d p r e s s u r e s a p p r o a c h l i t h o s t a t i c v a l u e s t h e two s l i d i n g s u r f a c e s w i l l l o o s e c o h e s i o n , and t h e r a t e of f r i c t i o n a l h e a t i n g and t h e dynamic s h e a r s t r e n g t h w i l l a p p r o a c h z e r o ( S i b s o n , 1973; 1977). F o r t h i s c a s e t h e maximum t e m p e r a t u r e a t t a i n e d on t h e f a u l t s u r f a c e would be s u b s t a n t i a l l y l e s s t h a n t h a t r e q u i r e d f o r f r i c t i o n a l m e l t i n g . T h i s i s t h e r e s p o n s e we would e x p e c t f o r media w i t h low p e r m e a b i l i t y t h a t have u n d e r g o n e an i n i t i a l p h a se o f c o n s o l i d a t i o n . 85 W i t h o u t a t t e m p t i n g t o s o l v e t h e c o u p l e d e q u a t i o n s , L a c h e n b r u c h (1980) w r o t e down t h e g o v e r n i n g e q u a t i o n s f o r h e a t and f l u i d f l o w , and a n a l y z e d f o r s p e c i a l c a s e s t h e i n t e r a c t i o n of c o n t r o l l i n g p a r a m e t e r s and t h e i r c r i t i c a l r a n g e of v a l u e s . He c o n c l u d e d t h a t i f p e r m e a b i l i t y e x c e e d s 1 0 " 1 3 m 2 t h e n c o u p l i n g o f t h e r m a l , h y d r o l o g i c , and m e c h a n i c a l - e f f e c t s c o u l d p r o b a b l y be n e g l e c t e d , w i t h f l u i d p r e s s u r e and dynamic s h e a r s t r e n g t h r e m a i n i n g c o n s t a n t d u r i n g s l i p . R a l e i g h and E v e r d e n ( 1 9 8 1 ) , a s s u m i n g no t r a n s p o r t o f f l u i d o r h e a t , c a l c u l a t e d t h e maximum f l u i d p r e s s u r e i n c r e a s e f o r v a r i o u s d i s p l a c e m e n t s , d i s p l a c e m e n t v e l o c i t i e s , and f a u l t zone w i d t h s . W h i l e t h e s e s t u d i e s have s e r v e d t o i l l u s t r a t e p e r t i n e n t f e a t u r e s of t h e r e s p o n s e t h e y have c o n s i d e r e d o n l y two l i m i t i n g c a s e s : t h o s e where f l u i d t r a n s p o r t i s so l a r g e i t n u l l i f i e s t h e r m a l p r e s s u r i z a t i o n , and t h o s e where t h e t r a n s p o r t o f h e a t o r f l u i d , o r b o t h , a r e so s m a l l t h e y c a n be n e g l e c t e d . F o r t h e s e c a s e s , i t i s p o s s i b l e t o a n a l y z e t h e s y s t e m u s i n g a n a l y t i c a l m o d e l s . F o r i n t e r m e d i a t e c o n d i t i o n s , t h e s e s t u d i e s do n o t p r o v i d e an a d e q u a t e d e s c r i p t i o n o f t h e t r a n s i e n t i n c r e a s e i n t e m p e r a t u r e on a f a u l t s u r f a c e d u r i n g s l i p , and i t s e f f e c t on t h e f l u i d p r e s s u r e and s t r e s s f i e l d s . I n a d d i t i o n , c h a n g e s i n t h e p o r e - d i l a t a t i o n r a t e d u r i n g s l i p were n o t c o n s i d e r e d . The p u r p o s e o f t h i s p a p e r i s t o b r i d g e t h a t gap i n e x i s t i n g work. U s i n g a n u m e r i c a l model, we examine how t h e t h e r m a l e x p a n s i o n o f p o r e f l u i d s due t o f r i c t i o n a l h e a t i n g on a f a u l t s u r f a c e a f f e c t s t h e t e m p e r a t u r e and dynamic s h e a r s t r e n g t h o f a f a u l t d u r i n g s l i p . T h i s a p p r o a c h p e r m i t s 86 c o n s i d e r a t i o n o f t h e f u l l y c o u p l e d b e h a v i o r of t h e t h e r m a l , f l u i d p r e s s u r e , and s t r e s s f i e l d s . V a r i a t i o n s i n t h e thermodynamic p r o p e r t i e s o f water and p o r e - d i l a t a t i o n r a t e s a r e i n c o r p o r a t e d i n a s t r a i g h t f o r w a r d manner. The a n a l y s i s p r e s e n t e d h e r e removes some of t h e l i m i t a t i o n s o f p r e v i o u s s t u d i e s , and d e v e l o p s a b e t t e r u n d e r s t a n d i n g of t h e r o l e of f r i c t i o n a l h e a t i n g and t h e r m a l p r e s s u r i z a t i o n i n t h e p h y s i c s o f f a u l t p r o c e s s e s . A MATHEMATICAL MODEL FOR SLIP ON A NARROW FAULT F i g u r e 3.1 shows a s i m p l i f i e d g e o m e t r y f o r a nar r o w f a u l t z o n e . The model c o n s i s t s of two e l a s t i c b l o c k s w h i c h s l i d e p a s t e a c h o t h e r on a p l a n a r s u r f a c e . The .width o f t h e e l a s t i c b l o c k s i s d e t e r m i n e by w i d t h o f t h e t h e r m a l and h y d r o l o g i c f i e l d s c a u s e d by f r i c t i o n a l h e a t i n g d u r i n g s l i p ( o f t h e o r d e r o f a few c e n t i m e t e r s t o s e v e r a l m e t e r s ) . A k i n e m a t i c model i s assumed where t h e s l i p v e l o c i t y a c r o s s t h e f a u l t s u r f a c e r e m a i n s c o n s t a n t w i t h t i m e . T h i s a p p r o a c h has t h e a d v a n t a g e o f a l l o w i n g us t o c h a r a c t e r i z e t h e r e s p o n s e i n t e r m s o f a v e r a g e s l i p v e l o c i t i e s . The f l u i d - p r e s s u r e c h a n g e s t h a t m i g h t a r i s e f r o m e f f e c t s a t t h e p r o p a g a t i n g ends o f t h e f a i l u r e s u r f a c e ( e . g . ; R i c e and Simons, 1976; R i c e a n d R u d n i c k i , 1979) a r e assumed t o be n e g l i g i b l e i n c o m p a r i s o n t o changes i n f l u i d p r e s s u r e a r i s i n g f r o m f r i c t i o n a l h e a t i n g on t h e f a i l u r e s u r f a c e . T h i s a s s u m p t i o n i s r e a s o n a b l e f o r e v e n t s where t h e p r o p a g a t i o n v e l o c i t i e s o f t h e f a u l t t i p s a r e s e v e r a l o r d e r s of m a g n i t u d e g r e a t e r t h a n t h e r e l a t i v e s l i p v e l o c i t i e s a c r o s s t h e 87 f a i l u r e s u r f a c e . The s h e a r s t r e s s r e q u i r e d f o r s l i p on a f a u l t s u r f a c e i s g i v e n by t h e f r i c t i o n law r r = »d(T'n-P) (3.1) where r'n r e p r e s e n t s t h e t o t a l n o r m a l s t r e s s a c t i n g on t h e s l i d i n g s u r f a c e , r r i s t h e r e s i s t i v e s h e a r s t r e s s , nd i s t h e dynamic c o e f f i c i e n t of f r i c t i o n , and P i s t h e p o r e - f l u i d p r e s s u r e . The p r i n c i p a l m o t i v a t i o n f o r u s i n g t h i s law i s i t s wide s p r e a d a p p l i c a b i l i t y i n d e s c r i b i n g t h e r e s u l t s o f l a b o r a t o r y measurments f o r a v a r i e t y of r o c k t y p e s . F o r most r o c k s i s i n s e n s i t i v e t o c o m p o s i t i o n and h a r d n e s s , and has v a l u e s between 0.4 and 1.0 ( B y e r l e e , 1978). A c c o r d i n g t o B y e r l e e , f r i c t i o n a l s l i d i n g i s w e l l d e s c r i b e d by M ^ = 0 . 8 5 f o r e f f e c t i v e n o r m a l s t r e s s e s i n t h e r a n g e 5-200 MPa. F o r s u r f a c e s s e p a r a t e d by a t h i n c l a y - r i c h l a y e r o f f a u l t gouge, Morrow et al. (1982) r e p o r t e d v a l u e s f o r t h a t r a n g e d f r o m 0.2 t o 0.6. From e q u a t i o n (3.1) t h e a v e r a g e r a t e of f r i c t i o n a l h e a t i n g on t h e f a u l t s u r f a c e i s g i v e n by where V i s t h e r e l a t i v e s l i p v e l o c i t y a c r o s s t h e f a u l t . F o r t h e c a s e where p o r e p r e s s u r e r e m a i n s c o n s t a n t , e q u a t i o n (3.2) has been u s e d t o p r e d i c t h i g h t e m p e r a t u r e s d u r i n g s l i p ( M c K e n z i e and B r u n e , 1972; R i c h a r d s , 1976; C a r d w e l l , 1978; 88 L a c h e n b r u c h , 1980). The l a r g e s c a l e m e c h a n i c a l r e s p o n s e o f t h e f a u l t i s d e t e r m i n e d by t h e a v e r a g e t e m p e r a t u r e o v e r t h e f a i l u r e s u r f a c e . P r e s u m a b l y t h e f r i c t i o n a l h e a t r e p r e s e n t e d by e q u a t i o n (3.2) i s n o t g e n e r a t e d u n i f o r m l y o v e r t h e f a u l t s u r f a c e but i s l o c a l i z e d t o a s p e r i t y c o n t a c t s . D u r i n g s t a b l e s l i d i n g e x p e r i m e n t s , a t r a t e s of 10"* ms" 1 and c o n f i n i n g p r e s s u r e s o f 50 MPa, T e u f e l and Logan (1978) and L o g a n ( l 9 7 9 ) m e asured maximum t e m p e r a t u r e s a t a s p e r i t y c o n t a c t s i n e x c e s s o f 1000 °C. However, t h e a v e r a g e s u r f a c e t e m p e r a t u r e d i d not e x c e e d 125 °C. Measurements o f f r i c t i o n a l h e a t i n g i n g r a n i t e by L o c k n e r and Okubo (1983) s u g g e s t t h a t e q u a t i o n (3.2) g i v e s a good r e p r e s e n t a t i o n of t h e a v e r a g e t e m p e r a t u r e g e n e r a t e d on t h e - f a u l t s u r f a c e , b u t y i e l d s l i t t l e i n f o r m a t i o n a b o u t l o c a l maxima a t a s p e r i t y c o n t a c t s . I f t h e s e r e s u l t s c a n be e x t e n d e d t o c r u s t a l c o n d i t i o n s , t h e y s u p p o r t t h e a s s u m p t i o n t h a t a s i g n i f i c a n t amount o f f r i c t i o n a l h e a t s h o u l d be g e n e r a t e d on an a c t i v e f a u l t s u r f a c e and t h a t (3.2) c a n be u s e d t o d e t e r m i n e t h e t h e r m o h y d r o m e c h a n i c a l b e h a v i o r o f t h e f a u l t . To model t h e s y s t e m shown i n F i g u r e 3.1, we n e g l e c t t h e t h r e e - d i m e n s i o n a l e f f e c t s o f i n h o m o g e n e i t i e s and assume t h a t t h e t r a n s f e r o f f l u i d and h e a t o c c u r s a t r i g h t a n g l e s t o t h e f a u l t s u r f a c e . In t h i s framework t h e m a t h e m a t i c a l p r o b l e m i n v o l v e s f i n d i n g s o l u t i o n s t o t h e o n e - d i m e n s i o n a l e q u a t i o n s d e s c r i b i n g h e a t t r a n s f e r , f l u i d f l o w , and s t r e s s . T h e s e e q u a t i o n s a r e o u t l i n e d b elow. A l l e q u a t i o n s a r e e x p r e s s e d i n a 89 L a g r a n g i a n r e f e r e n c e frame w i t h r e s p e c t t o t h e s o l i d m a t r i x o f t h e p o r o u s medium. Heat Transfer Equation The e q u a t i o n o f h e a t t r a n s f e r d e s c r i b i n g t h e t r a n s i e n t t e m p e r a t u r e d i s t r i b u t i o n i n a s a t u r a t e d p o r o u s medium i s g i v e n by l i } " w*<!i> + »yJw + - n ^ ^ T + » d { T ' n - » V s y * < x ) = ( » c ) s f If ( 3 ' 3 ) where T i s t e m p e r a t u r e , Ksj- and ( p c ) 5 y t h e t h e r m a l c o n d u c t i v i t y a n d h e a t c a p a c i t y o f t h e s o l i d - f l u i d c o m p o s i t e , r e s p e c t i v e l y , Pwcw and 7^ t h e h e a t c a p a c i t y and t h e r m a l e x p a n s i v i t y o f w a t e r , r e s p e c t i v e l y , n t h e p o r o s i t y , qx t h e D a r c y f l u x , a nd 6(x) t h e D i r a c d e l t a f u n c t i o n . F o r m a t h e m a t i c a l c o n v e n i e n c e t h e p o s i t i o n o f t h e f a u l t i s f i x e d a t x=0. The t e r m s on t h e l e f t h a n d s i d e a r e , i n o r d e r , t h e r a t e o f c o n d u c t i v e h e a t t r a n s p o r t , t h e r a t e o f c o n v e c t i v e h e a t t r a n s p o r t , t h e r a t e of h e a t i n g a d d i t i o n due t o p r e s s u r i z a t i o n o f t h e f l u i d a nd t h e r a t e of f r i c t i o n a l h e a t i n g on t h e f a u l t s u r f a c e . The t e r m on t h e r i g h t h a n d s i d e r e p r e s e n t s t h e r a t e o f i n t e r n a l h e a t s t o r a g e . No h e a t s o u r c e s o r s i n k s a r e c o n s i d e r e d o t h e r t h a n f r i c t i o n a l h e a t i n g on t h e f a u l t s u r f a c e , and l o c a l t h e r m a l e q u i l i b r i u m between t h e s o l i d m a t r i x and t h e f l u i d i s assumed. The t h e r m a l c o n d u c t i v i t y o f t h e s o l i d g r a i n s i s 90 assumed t o be i n d e p e n d e n t of p r e s s u r e and t e m p e r a t u r e . The t h e r m a l c o n d u c t i v i t y o f t h e s o l i d - f l u i d c o m p o s i t e i s g i v e n by a g e o m e t r i c mean where Ksj- = K^~n^Kw (Woodside and Messmer, 1961) . Fluid and Solid Mass Conservation Equations A s s u m i n g t h e p o r e s a r e f u l l y s a t u r a t e d w i t h w a t e r , and t h a t t h e s o l i d and f l u i d p h a s e s a r e s e p a r a t e and d i s t i n c t , t h e e q u a t i o n f o r c o n s e r v a t i o n of f l u i d mass i s " 9XIPW(^) - 7 „ < | ? > ] + lnyw  + ( l - n ) 7 5 ] | f = If + [»*w If + If] <3'4> where q x i s t h e D a r c y f l u x , n and e t h e p o r o s i t y and v o l u m e t r i c d i l a t a t i o n o f t h e p o r o u s medium, /3„, and 7,,, t h e c o m p r e s s i b i l i t y and t h e r m a l e x p a n s i v i t y o f w a t e r , p and 7 , t h e c o m p r e s s i b i l t y and t h e r m a l e x p a n s i v i t y of t h e s o l i d p h a s e , and 7 t h e a v e r a g e v a l u e o f e f f e c t i v e n o r m a l s t r e s s a c t i n g on t h e s o l i d g r a i n s . The t e r m s on t h e l e f t h a n d s i d e a r e , i n o r d e r , t h e r a t e o f f l u i d t r a n s p o r t , t h e change i n f l u i d mass due t o p r e s s u r e c o n t r a c t i o n o r t h e r m a l e x p a n s i o n o f f l u i d s a l o n g t h e f l o w p a t h , and t h e change i n f l u i d mass due t o t h e d i f f e r e n c e i n t h e r m a l e x p a n s i v i t i e s o f t h e f l u i d and s o l i d p h a s e s . The t e r m s on t h e r i g h t h a n d s i d e a r e t h e change i n f l u i d mass due t o v o l u m e t r i c d i l a t a t i o n of t h e p o r o u s medium and t h e change i n f l u i d mass due t o t h e d i f f e r e n c e i n t h e 91 c o m p r e s s i b i l i t y of t h e f l u i d and s o l i d p h a s e s . E q u a t i o n (3.4) i s c o m p l e t e d by e x p r e s s i o n o f t h e D a r c y f l u x , _ k dP a *\ Qx ~ ~ TT ?x (3'5) where k i s t h e p e r m e a b i l i t y and uw i s t h e dynamic v i s c o s i t y o f w a t e r . In e q u a t i o n (3.5) f l u i d f l o w due t o g r a v i t a t i o n a l f o r c e s i s assumed t o be n e g l i g i b l e o v e r t h e t i m e s c a l e of i n t e r e s t . The c o n d i t i o n f o r c o n s e r v a t i o n o f t h e s o l i d mass r e q u i r e s t h e f o l l o w i n g c o m p a t i b i l i t y c o n s t r a i n t f o r p o r o s i t y : I? = n - » n y v x ) + B s § - ys |i] (3.6) where Vx i s t h e v e l o c i t y o f t h e s o l i d m a t r i x , and dVx/bx r e p r e s e n t s t h e v o l u m e t r i c - d i l a t a t i o n r a t e (de/dt). E q u a t i o n (3.6) s t a t e s t h a t t h e p o r e - d i l a t a t i o n r a t e (dn/dt) i s g i v e n by t h e r a t e a t w h i c h s o l i d s a r e l e a v i n g a u n i t volume minus t h e r a t e a t w h i c h t h e y a r e e x p a n d i n g due t o d e c r e a s e s i n t h e a v e r a g e e f f e c t i v e n o r m a l s t r e s s o r i n c r e a s e s i n t e m p e r a t u r e w i t h i n t h e volume. Equilibrium Equations for Stress D e f o r m a t i o n of t h e p o r o u s medium i s g o v e r n e d by t h e e f f e c t i v e s t r e s s r • . , w h i c h i s d e f i n e d a s 92 rtJ - T',J - i r t u (3.7) where s t r e s s e s a r e d e f i n e d a s p o s i t i v e when c o m p r e s s i v e . T h i s law s t a t e s t h a t t h e s t r a i n r e s p o n s e of a s a t u r a t e d medium i s i d e n t i c a l t o t h a t o f a s o l i d c o n t i n u u m i f one u s e s t h e e f f e c t i v e s t r e s s rtj i n s t e a d o f t h e t o t a l s t r e s s . ( B i o t , 1941). From s t r e s s - s t r a i n measurements B i o t and W i l l i s ( 1 9 5 7 ) , and Nur and B y e r l e e (1971) have s u g g e s t e d t h a t l = 1 - ks/ksf (3.8) where ks and k$j- a r e t h e b u l k m o d u l i o f t h e s o l i d g r a i n s and p o r o u s medium, r e s p e c t i v e l y . Hence, £ i s a p r o p o r t i o n a l i t y c o n s t a n t between p o r e and b u l k volume c h a n g e s f o r d r a i n e d c o n d i t i o n s a t c o n s t a n t t e m p e r a t u r e . I t i s t h e r a t i o o f f l u i d volume e x p e l l e d t o v o l u m e t r i c d i l a t a t i o n . F o r media w i t h a p p r e c i a b l e p o r o s i t y , ks/ksj«\, w i t h £=*1 , and t h e f l u i d volume e x p e l l e d i s e q u a l t o t h e v o l u m e t r i c d i l a t a t i o n . T h i s i s t h e c o n v e n t i o n a l a s s u m p t i o n i n c o m p a c t i o n t h e o r y . In t h i s c a s e , e q u a t i o n (3.7) r e d u c e s t o T e r z a g h i ' s s i m p l e e f f e c t i v e s t r e s s law. W i t h e q u a t i o n (3.7) t h e e q u i l i b r i u m e q u a t i o n s f o r a o n e - d i m e n s i o n a l s y s t e m a r e (3.9b) 93 E q u i l i b r i u m i n t h e a b s e n c e o f body f o r c e s r e q u i r e s t h a t TXY i s i n d e p e n d e n t of x and i s a f u n c t i o n of t i m e o n l y . I f t o t a l s t r e s s e s r e m a i n c o n s t a n t , t h e n c h a n g e s i n f l u i d p r e s s u r e a r e r e s p o n s i b l e f o r a l l d e f o r m a t i o n s of t h e p o r o u s medium. The weakest l i n k i n t h e a p p l i c a t i o n o f e q u a t i o n (3.9) i s t h e s t r e s s - s t r a i n r e l a t i o n s h i p s . The s t r a i n r e s p o n s e o f p o r o u s media c o n s i s t s o f e l a s t i c and i n e l a s t i c r e s p o n s e s w h i c h c a n be d i v i d e d i n t o two components: c o m p a c t i o n o r e x t e n s i o n of t h e medium i n r e s p o n s e t o c h a n g e s i n e f f e c t i v e s t r e s s , and d i l a t a t i o n a r i s i n g f r o m s h e a r d e f o r m a t i o n . B e c a u s e we have assumed a k i n e m a t i c model and have c o n f i n e d s h e a r d e f o r m a t i o n t o t h e f a u l t s u r f a c e , s h e a r d e f o r m a t i o n a d j a c e n t t o t h e f a u l t must be z e r o . C o n s e q u e n t l y , o n l y c o m p a c t i o n o r e x t e n s i o n c a n o c c u r i n t h e a d j a c e n t r e g i o n . Most o f t h e i n e l a s t i c d e f o r m a t i o n p r o b a b l y o c c u r s d u r i n g t h e i n i t i a l s t a g e s o f c o m p a c t i o n . A f t e r t h e i n i t i a l c y c l e of c o m p a c t i o n - e x t e n s i o n , t h e medium f o l l o w s an e l a s t i c h y s t e r e t i c r e s p o n s e (Holcomb, 1977, 1981; J o r g e n s e n , 1981). As most e a r t h q u a k e s o c c u r i n r e g i o n s where o t h e r e a r t h q u a k e s have o c c u r r e d , t h e medium w i l l have been r e p e a t e d l y l o a d e d and u n l o a d e d . We assume t h e r e g i o n s u r r o u n d i n g t h e f a u l t s u r f a c e has u n d e r g o n e an i n i t i a l c o m p a c t i o n c y c l e and t h u s i t s r e s p o n s e t o c h a n g e s i n e f f e c t i v e s t r e s s c a n be a p p r o x i m a t e d as e l a s t i c . F o r a l i n e a r - e l a s t i c p o r o u s medium t h e c o n s t i t u t i v e e q u a t i o n f o r s t r e s s and s t r a i n i s ( a f t e r B i o t and W i l l i s , 1957) 94 T i j ' ~ 2»[TT=krfekk*ij + eij) + y,fiT~T°)*ij ( 3 - 1 0 ) where u i s t h e s h e a r modulus, v P o i s s o n ' s r a t i o , and ysj- t h e l i n e a r t h e r m a l e x p a n s i o n c o e f f i c i e n t o f t h e p o r o u s medium. In e m p l o y i n g a l i n e a r s t r e s s - s t r a i n r e l a t i o n s h i p we have assumed t h a t t h e s e c o e f f i c i e n t s , w h i c h a r e s t r i c t l y v a l i d f o r a s o l i d c o n t i n u u m , a r e a l s o v a l i d f o r a s a t u r a t e d p o r o u s medium. Thus t h e e l a s t i c c o e f f i c i e n t s r e p r e s e n t c o e f f i c i e n t s o f t h e p o r o u s medium t o be d e t e r m i n e d e x p e r i m e n t a l l y . In g e n e r a l , t h e y a r e d e p e n d e n t on t o t a l s t r e s s , f l u i d p r e s s u r e , and t e m p e r a t u r e . S u b s t i t u t i o n o f e q u a t i o n (3.10) i n t o (3.9) and i n t e g r a t i o n o v e r t h e f l o w domain, w i t h t h e p o s i t i o n o f t h e f a u l t f i x e d a t x=0, y i e l d s UAx,t) = Jx [ ( 1 2 v ) Z p(n,t) + y.f © (ri,t) ] dr? (3.11) X 0 2u{\-v) S } where U i s t h e e x t e n s i o n o r c o n s o l i d a t i o n o f t h e r e g i o n e x t e r i o r t o t h e f a u l t , p=(P-P0) i s t h e f l u i d p r e s s u r e i n c r e a s e above t h e i n i t i a l v a l u e PQ, and &=(T-TQ) i s t h e t e m p e r a t u r e i n c r e a s e above t h e i n i t i a l v a l u e T0. The c o r r e s p o n d i n g v o l u m e t r i c - d i l a t a t i o n r a t e i s | i . ^ i i z ^ u , + e j ( 3 . , 2 ) 2u{1-y) B e c a u s e t h e q u a n t i t y i n f r q n t o f t h e p r e s s u r e t e r m has u n i t s o f c o m p r e s s i b i l i t y , i t i s i d e n t i f i e d a s 95 , (AZIJLLI ( 3 . 1 3 ) J 2n(\-v) where p^y i s t h e c o m p r e s s i b i l i t y of t h e p o r o u s medium. T h i s p a r a m e t e r m easures t h e r e l a t i v e v o l u m e t r i c r e d u c t i o n t h a t w i l l t a k e p l a c e a s t h e medium i s c o m p r e s s e d and t h e f l u i d a l l o w e d t o d r a i n . B e c a u s e n, v, £, p, ysj- , and © a r e n o n l i n e a r f u n c t i o n s o f Ux and e, e q u a t i o n s (3.11) and (3.12) r e p r e s e n t i m p l i c i t e q u a t i o n s f o r Ux and e. Solution Technique S u b s t i t u t i n g t h e D a r c y f l u x and t h e v o l u m e t r i c s t r a i n r a t e i n t o e q u a t i o n s (3.3) and ( 3 . 4 ) , and a s s u m i n g t h a t t h e t o t a l s t r e s s e s r e m a i n c o n s t a n t d u r i n g s l i p y i e l d s t h e f i n a l f o r m o f t h e e q u a t i o n s g o v e r n i n g t h e t e m p e r a t u r e i n c r e a s e , y * s f H> + < V „ T4)(^){H) + n ^ ! f - 7 f ^ ( | | ) 2 H 0 + r o ) + »d{Tn-r*-P)Vsy*{x) ' <"C>,/ H ( 3 ' 1 4 ) and t h e p r e s s u r e i n c r e a s e , In a d d i t i o n , t h e p o r o s i t y i n e q u a t i o n s (3.14) and (3.15) must 96 s a t i s f y t h e c o m p a t i b i l i t y e q u a t i o n : E q u a t i o n (3.14) t o (3.16) c a n be s o l v e d by a G a l e r k i n f i n i t e - e l e m e n t t e c h n i q u e t o g i v e an a p p r o x i m a t e s o l u t i o n t o t h i s c o u p l e d s y s t e m of e q u a t i o n s . D e t a i l s of t h e a p p r o a c h a r e summarized i n t h e A p p e n d i x . F o r a l l s i m u l a t i o n s , we assume a u n i f o r m t e m p e r a t u r e T0 and f l u i d p r e s s u r e P0 f o r t h e i n i t i a l c o n d i t i o n s , and t h a t t h e s o l u t i o n s r e m a i n bounded a s |x| a p p r o a c h e s i n f i n i t y . The l a t t e r c o n d i t i o n i s s a t i s f i e d by p l a c i n g t h e b o u n d a r i e s of t h e f i n i t e e l e m e n t mesh f a r enough f r o m t h e f a u l t s u r f a c e so t h a t t h e y e x p e r i e n c e no t e m p e r a t u r e o r f l u i d p r e s s u r e p e r t u r b a t i o n s . F o r a l l s i m u l a t i o n s o f t h e f a u l t p l a n e m o d el, t h e p e r m e a b i l i t y and p o r o u s medium c o m p r e s s i b i l i t y a r e assumed t o be i n d e p e n d e n t o f c h a n g e s i n f l u i d p r e s s u r e and t e m p e r a t u r e , and t o be u n i f o r m and e q u a l on b o t h s i d e s o f t h e f a u l t . A l t h o u g h t h e s e a s s u m p t i o n s may be r e l a x e d e a s i l y , t h e y a r e r e t a i n e d i n o r d e r t o c l a r i f y t h e i r s e p a r a t e e f f e c t s i n t h e t h e r m a l - p r e s s u r i z a t i o n p r o c e s s . 97 RESULTS Presentation of Results In g e n e r a l , i t i s c o n v e n i e n t t o s o l v e a p r o b l e m and p r e s e n t i t s r e s u l t s i n t e r m s o f d i m e n s i o n l e s s p a r a m e t e r s and v a r i a b l e s ; but b e c a u s e o f t h e s t r o n g c r o s s - c o u p l i n g and n o n l i n e a r i t y o f t h e e q u a t i o n s , and b e c a u s e t h e p a r a m e t e r s a r e s o l u t i o n d e p e n d e n t , s u p e r p o s i t i o n i s n o t a p p l i c a b l e i n t h i s t h e r m a l p r e s s u r i z a t i o n p r o b l e m . In a d d i t i o n , any a t t e m p t t o l i n e a r i z e o r s c a l e t h e e q u a t i o n s w i t h p a r a m e t e r s t a k e n a t some i n i t i a l v a l u e , o r i n t e r m e d i a t e f l u i d p r e s s u r e and t e m p e r a t u r e v a l u e s , w i l l f a i l b e c a u s e of p r o d u c t t e r m s . T h i s b e h a v i o r p o s e s a dilemma f o r p r e s e n t i n g r e s u l t s i n a manner t h a t c a n be r e a d i l y g e n e r a l i z e d f o r a v a r i e t y of p a r a m e t e r s and i n i t i a l c o n d i t i o n s . T h i s s i t u a t i o n i s e x e m p l i f i e d by means of t h e f l u i d - f l o w e q u a t i o n ( 3 . 1 5 ) . From t h a t e q u a t i o n , t h e f l u i d p r e s s u r e i n c r e a s e i s g o v e r n e d by a d i f f u s i o n e q u a t i o n where t h e b a l a n c e between p r e s s u r i z a t i o n and f l o w i s d e t e r m i n e d by t h e h y d r a u l i c d i f f u s i v i t y , a h = (3.17) When t h e p o r o u s medium i s homogenous, t h e s o l u t i o n c a n be e x p r e s s e d i n t e r m s of a c h a r a c t e r i s t i c d i f f u s i o n l e n g t h r\=x/y/Ta~7t ( L a c h e n b r u c h et al . , 1976; L a c h e n b r u c h , 1 980; 98 D e l a n e y , 1982). E x p r e s s i n g t h e s o l u t i o n i n t e r m s o f rj g e n e r a l i z e s t h e r e s u l t s f o r t h e f u l l r a nge o f p o s s i b l e v a l u e s o f a^. F o r f r i c t i o n a l h e a t i n g , however, t h e t h e r m a l p r e s s u r i z a t i o n and f l o w o f p o r e f l u i d s a r e d r i v e n by t h e t e r m nyu. + (1-/2)7. " 7c/ -T = -2 i£ - ± L ( 3 . 1 8 ) where T i s d e f i n e d as t h e c o e f f i c i e n t of t h e r m a l p r e s s u r i z a t i o n f o r t h e p o r o u s medium. T h i s t e r m c h a r a c t e r i z e s t h e i n c r e a s e i n f l u i d p r e s s u r e p e r u n i t change i n t e m p e r a t u r e f o r u n d r a i n e d c o n d i t i o n s . The n u m e r a t o r and d e n o m i n a t o r r e p r e s e n t t h e r a t e o f f l u i d volume e x p a n s i o n due t o c h a n g e s i n t e m p e r a t u r e and f l u i d p r e s s u r e , r e s p e c t i v e l y . From e q u a t i o n s (3.17) and ( 3 . 1 8 ) , i t i s a p p a r e n t t h a t an i n c r e a s e i n 0 5 y w i l l c a u s e a d e c r e a s e i n b o t h and T. The d e c r e a s e i n T r e s u l t s i n a d e c r e a s e i n t h e r a t e o f t h e r m a l p r e s s u r i z a t i o n , and t h e r e b y a r e d u c t i o n i n t h e r a t e o f f l u i d - p r e s s u r e i n c r e a s e . The d e c r e a s e i n a^, however, s u g g e s t s an enhancement i n t h e r a t e a t w h i c h t h e r m a l p r e s s u r i z a t i o n o c c u r s . F u r t h e r m o r e , i f we i n c r e a s e Psf, i t i s p o s s i b l e t o m a n i p u l a t e k s u c h t h a t ah r e m a i n s c o n s t a n t as T d e c r e a s e s , o r i n c r e a s e s . T h i s b e h a v i o r i m p l i e s t h a t f o r a f i x e d v a l u e o f t h e r e i s a r a n g e o f p o s s i b l e r e s p o n s e s i n t h e f l u i d p r e s s u r e , and t h a t a^, by i t s e l f , i s i n s u f f i c i e n t t o c h a r a c t e r i z e them. The c o m p e t i n g e f f e c t s between t h e r a t e o f t h e r m a l p r e s s u r i z a t i o n and t h e b a l a n c e between p r e s s u r i z a t i o n and f l o w make i t i s n e c e s s a r y t o s p e c i f y e x p l i c i t l y t h e p e r m e a b i l i t y , c o m p r e s s i b i l i t y , and 99 e x p a n s i v i t y o f t h e p o r o u s medium, t o c h a r a c t e r i z e f u l l y t h e f l u i d - p r e s s u r e r e s p o n s e . B e c a u s e of t h i s b e h a v i o r we must examine t h e i n f l u e n c e of porous-medium p r o p e r t i e s f o r a s e t of i n i t i a l c o n d i t i o n s r e p r e s e n t a t i v e o f a g i v e n d e p t h . Solutions for Limiting Cases The n u m e r i c a l s o l u t i o n s have been compared w i t h a n a l y t i c a l s o l u t i o n s f o r two l i m i t i n g c a s e s . F i r s t , f o r l a r g e p e r m e a b i l i t i e s o r c o m p r e s s i b i l i t i e s t h e r m a l p r e s s u r i z a t i o n i s n u l l i f i e d by t h e t r a n s p o r t of p o r e f l u i d s o r by p o r e d i l a t a t i o n , r e s p e c t i v e l y . In t h i s c a s e , t h e f l u i d p r e s s u r e and s h e a r s t r e n g t h r e m a i n unchanged d u r i n g s l i p , and t h e t e m p e r a t u r e i n c r e a s e i s as g i v e n by ( M c K e n z i e and B r u n e , 1972) 6 ( x , r ) = [ — - e x p ( ^ — - ) -| x | e r f c ( - L s J - ) ] (3.19) / 4 a r t where at=K$y/(pc)sy i s t h e t h e r m a l d i f f u s i v i t y . S e c o n d , f o r p e r m e a b i l i t i e s l e s s t h a n 1 0 " 2 0 m 2 t h e r e i s no a p p r e c i a b l e t r a n s p o r t of p o r e f l u i d s and t h e f l u i d p r e s s u r e i n c r e a s e i s p(x,t ) = r e(x,t ) (3.20) The t e m p e r a t u r e i n c r e a s e 0 i s o b t a i n e d by c o n s i d e r i n g t h e e q u i v a l e n t h a l f - s p a c e p r o b l e m and by a s s u m i n g t h a t h e a t i n g due t o p r e s s u r i z a t i o n o f t h e f l u i d i s n e g l i g i b l e . In t h i s c a s e , 100 t h e r a t e o f f r i c t i o n a l h e a t i n g e n t e r s t h e s o l u t i o n by t h e bo u n d a r y c o n d i t i o n , "*j/H = 7 {T'n-po) - r&]Vsv a t x=0 (3.21) w h i c h can be r e g a r d e d a s a b o u n d a r y w i t h l i n e a r h e a t t r a n s f e r i n t o a medium a t t e m p e r a t u r e { T ' - P 0 ) / T . The s o l u t i o n i s g i v e n by ( a f t e r C a r s l a w and J a e g e r , 1959, p. 72) ( T - P 0 ) &(x,t) = — - [ e r f c ( — S — ) -r v ' i a t t exp{<px + <t>2att) e r f c ( — - — + ] (3.22) v/4a ? t where M r f V s v <b = — — T (3.23) 2 K s f The dynamic s h e a r s t r e n g t h o f t h e f a u l t s u r f a c e i s g i v e n by rr(d) = TrQ exp(<t>2atd/Vsv) ettciWa^/V^) (3.24) where r_ i s t h e i n i t i a l s h e a r s t r e n g t h and d i s t h e ' o d i s p l a c e m e n t a c r o s s t h e f a u l t s u r f a c e . F o r i n t e r v e n i n g v a l u e s o f p e r m e a b i l i t y , t h e n u m e r i c a l s o l u t i o n s w i l l l i e between t h e s e two l i m i t s . I f t h e c o m p r e s s i b i l i t y e x c e e d s 10~ 9 P a - 1 , however, t h e n t h e t h e r m a l p r e s s u r i z a t i o n c o e f f i c i e n t i s 101 p r o p o r t i o n a l t o t h e r a t i o of t h e t h e r m a l e x p a n s i v i t y o f water t o t h e c o m p r e s s i b i l i t y of t h e medium. In t h i s c a s e l a r g e t e m p e r a t u r e i n c r e a s e s c a u s e l a r g e i n c r e a s e s i n t h e t h e r m a l p r e s s u r i z a t i o n c o e f f i c i e n t ( s e e F i g u r e 3 . 2 ) , and e q u a t i o n (3.22) w i l l o v e r e s t i m a t e t h e maximum t e m p e r a t u r e o b t a i n e d on t h e f a u l t s u r f a c e and e q u a t i o n (3.24) w i l l u n d e r e s t i m a t e t h e r a t e o f r e d u c t i o n i n s h e a r s t r e n g t h . F u r t h e r m o r e , t h e r a t e o f h e a t a d d i t i o n due t o p r e s s u r i z a t i o n o f p o r e w a t e r s c a n s i g n i f i c a n t l y e nhance t h e r a t e of t h e r m a l p r e s s u r i z a t i o n ( s e e A p p e n d i x 2B and F i g u r e 2 . 3 ) . Fault S u r f a c e D e p t h of 2 km To i l l u s t r a t e s e v e r a l b a s i c e f f e c t s a t t r i b u t a b l e t o t h e r m a l p r e s s u r i z a t i o n , we f i r s t c o n s i d e r f r i c t i o n a l h e a t i n g on a f a u l t s u r f a c e a t a d e p t h of 2 km. F o r t h i s example we have assumed t h e f o l l o w i n g p a r a m e t e r v a l u e s : a dynamic c o e f f i c i e n t o f f r i c t i o n , u^, o f 0.6, a s l i p v e l o c i t y V y of 1 m s - 1 , a p o r o s i t y n o f 0.2, and a i n i t i a l t e m p e r a t u r e T0 of 80 °C. The t o t a l n o r m a l s t r e s s r'n a c t i n g on t h e f a u l t s u r f a c e i s 45 MPa, due s o l e l y t o t h e l i t h o s t a t i c p r e s s u r e f o r a r o c k c olumn w i t h a s p e c i f i c b u l k d e n s i t y o f 2.3. The a m b i e n t f l u i d p r e s s u r e P0 i s 19 MPa, e q u a l t o t h e h y d r o s t a t i c h e a d . F o r t h e s e c o n d i t i o n s , t h e i n i t i a l e f f e c t i v e n o r m a l s t r e s s T'n~Po a c t i n g on t h e f a u l t i s 26 MPa, and t h e i n i t i a l r e s i s t i v e s h e a r s t r e n g t h T o f t h e f a u l t s u r f a c e i s 15.6 MPa. F i g u r e 3.2 shows t h e t r a n s i e n t i n c r e a s e i n t e m p e r a t u r e on t h e f a u l t s u r f a c e as a f u n c t i o n o f d i s p l a c e m e n t f o r media w i t h v a r i o u s p e r m e a b i l i t i e s . E a c h o f t h e f o u r d i a g r a m s c o r r e s p o n d s t o a d i f f e r e n t v a l u e of p o r o u s medium c o m p r e s s i b i l i t y . I f t h e c o m p r e s s i b i l i t y i s l e s s t h a n 1 0 " 1 1 P a " 1 , t h e medium i s e s s e n t i a l l y r i g i d (j3 sy=0) and f l u i d f l o w i s t h e o n l y mechanism f o r a c c o m o d a t i n g t h e t h e r m a l e x p a n s i o n of p o r e f l u i d s . F o r p e r m e a b i l i t i e s l e s s t h a n 1 0 " 2 ° m2 t h e r e i s e s s e n t i a l l y no t r a n s p o r t o f f l u i d d u r i n g t h e s l i p e v e n t , and t h e r e s p o n s e o c c u r s a t c o n s t a n t f l u i d mass. In t h i s c a s e t h e c o e f f i c i e n t o f t h e r m a l p r e s s u r i z a t i o n i s a p p r o x i m a t e d by t h e r a t i o of t h e t h e r m a l e x p a n s i v i t y t o t h e c o m p r e s s i b i l i t y o f w a t e r . B e c a u s e t h e r a t e a t w h i c h water p r e s s u r i z e s i s l a r g e (yw/Pw~l-6 MPa ° C " 1 ) , o n l y a s m a l l t e m p e r a t u r e i n c r e a s e i s r e q u i r e d f o r t h e t h e r m a l e x p a n s i o n of p o r e f l u i d s t o p r e s s u r i z e t h e f l u i d s and t o m a i n t a i n t h e f l u i d p r e s s u r e on t h e f a u l t s u r f a c e a t n e a r - l i t h o s t a t i c v a l u e s . F o r media w i t h g r e a t e r p e r m e a b i l i t y , t h e r e i s an i n c r e a s e i n t h e r a t e o f f l u i d l o s s due t o t r a n s p o r t . I f t h e f l u i d s a r e t o p r e s s u r i z e , t h e r e must be an i n c r e a s e i n t h e f l u i d - e x p a n s i o n r a t e i n t h e p o r o u s medium a d j a c e n t t o t h e f a u l t s u r f a c e . F o r t h i s t o o c c u r , t h e r e must be a g r e a t e r t e m p e r a t u r e i n c r e a s e on t h e f a u l t s u r f a c e . I f p e r m e a b i l i t i e s e x c e e d 10" 1 5 m 2, however, t h e h y d r a u l i c d i f f u s i v i t y g r e a t l y e x c e e d s t h e t h e r m a l d i f f u s i v i t y and t h e movement o f f l u i d away f r o m t h e f a u l t s u r f a c e c a n n u l l i f y t h e r m a l p r e s s u r i z a t i o n o f t h e f l u i d s . In s u c h c a s e t h e s l i p e v e n t o c c u r s a t c o n s t a n t f l u i d p r e s s u r e and t h e l a r g e t e m p e r a t u r e r i s e r e f l e c t s f r i c t i o n a l h e a t i n g due t o t h e l a r g e r e s i s t i v e s h e a r s t r e n g t h . 1 03 S i m i l a r l y , i f t h e medium i s c o m p r e s s i b l e , t h e r m a l p r e s s u r i z a t i o n w i l l i n i t i a t e a p o r e - v o l u m e e x p a n s i o n , p r o v i d i n g a s e c o n d mechanism f o r a c c o m o d a t i n g t h e t h e r m a l e x p a n s i o n of p o r e f l u i d s . The g r e a t e r t h e c o m p r e s s i b i l i t y of t h e p o r o u s medium, t h e l a r g e r t h e t e m p e r a t u r e r i s e t h a t i s r e q u i r e d f o r t h e t h e r m a l e x p a n s i o n o f p o r e f l u i d s t o e x c e e d s u b s t a n t i a l l y f l u i d volume c h a n g e s due t o p o r e d i l a t a t i o n , and t h u s p r e s s u r i z e t h e f l u i d . As shown i n F i g u r e 3.3, when t h e r e i s no t r a n s p o r t o f f l u i d {k=0), a l a r g e r t e m p e r a t u r e r i s e o c c u r s w i t h a g i v e n d i s p l a c e m e n t i n a medium w h i c h i s more c o m p r e s s i b l e . F o r l a r g e r p e r m e a b i l i t y v a l u e s even g r e a t e r t e m p e r a t u r e i n c r e a s e s a r e r e q u i r e d t o overcome f l u i d l o s s e s due t o f l o w and p o r e - v o l u m e c h a n g e s due t o d i l a t a t i o n . The r e s p o n s e shown i n F i g u r e 3.2 i n d i c a t e s t h e f a u l t s u r f a c e s t a b i l i z e s a t a c o n s t a n t t e m p e r a t u r e t h a t i s d e p e n d e n t on t h e t r a n s p o r t and p o r e - d i l a t a t i o n c h a r a c t e r i s t i c s of t h e p o r o u s medium. T h i s b e h a v i o r c a n be e x p l a i n e d by e x a m i n i n g t h e r a t e of f r i c t i o n a l h e a t i n g and i t s r e l a t i o n t o f l u i d p r e s s u r i z a t i o n . A t t h e i n i t i a t i o n o f s l i p t h e f a u l t s u r f a c e i s a s t r o n g f r i c t i o n a l h e a t s o u r c e ; t h i s l e a d s t o a r a p i d i n c r e a s e i n t e m p e r a t u r e . As s l i p p r o g r e s s e s , t h e r e g i o n a d j a c e n t t o t h e f a u l t s u r f a c e i s h e a t e d u n t i l t h e r a t e o f t h e r m a l e x p a n s i o n o f p o r e f l u i d s s u b s t a n t i a l l y e x c e e d s t h e l o s s o f t h e f l u i d due t o t r a n s p o r t and volume c h a n g e s due t o p o r e d i l a t a t i o n . Once t h i s c o n d i t i o n i s a c h i e v e d , t h e p o r e f l u i d s s t a r t t o p r e s s u r i z e , c a u s i n g t h e s h e a r s t r e n g t h and f r i c t i o n a l h e a t i n g t o d i m i n i s h r a p i d l y and t h e f a u l t s u r f a c e t o s t a b i l i z e a t a c o n s t a n t t e m p e r a t u r e . A t t h i s p o i n t t h e r e i s a dynamic b a l a n c e between t h e t e m p e r a t u r e and p r e s s u r e f i e l d s , where t h e r a t e o f f l u i d - v o l u m e i n c r e a s e due t o t h e r m a l e x p a n s i o n e q u a l s t h e l o s s o f f l u i d s due t o t r a n s p o r t and f l u i d - v o l u m e c h a n g e s due t o p o r e d i l a t a t i o n . The t e m p e r a t u r e i n c r e a s e n e c e s s a r y t o s u s t a i n f l u i d p r e s s u r e s a t n e a r - l i t h o s t a t i c v a l u e s and t o m a i n t a i n t h i s b a l a n c e i s d e p e n d e n t p r i m a r i l y on t h e f l u i d and t h e r m a l t r a n s p o r t p r o p e r t i e s and t h e p o r e - d i l a t a t i o n c h a r a c t e r i s t i c s of t h e a d j a c e n t medium. F i g u r e 3.3 shows t h e s h e a r s t r e n g t h o f t h e f a u l t s u r f a c e a s a f u n c t i o n of d i s p l a c e m e n t . Note t h a t t h e s h e a r s t r e n g t h has been n o r m a l i z e d by i t s i n i t i a l v a l u e ( r /T ) and t h a t r 0 e a c h of t h e f o u r f i g u r e s c o r r e s p o n d t o t h e same v a l u e s o f p o r o u s medium c o m p r e s s i b i l i t y as i n F i g u r e 3.3. The 1000 °C i s o t h e r m i s shown i n F i g u r e 3.4 t o d e l i n e a t e t h e r e g i o n where p a r t i a l m e l t i n g may o c c u r . I f t h e medium i s r i g i d ( /3 5y<l0~ 1 1 P a ' 1 ) , t h e n f o r p e r m e a b i l i t i e s l e s s t h a n 1 0 " 2 0 m 2 t h e t o t a l d i s p l a c e m e n t n e e ded t o c a u s e a s i g n i f i c a n t r e d u c t i o n i n s h e a r s t r e n g t h i s s m a l l (<10~ 3 m) . T h i s b e h a v i o r can be e x p l a i n e d i n t e r m s o f t h e f r i c t i o n a l h e a t s o u r c e a c t i n g on t h e f a u l t s u r f a c e . From e q u a t i o n ( 3 . 2 ) , f r i c t i o n a l h e a t i s d i r e c t l y p r o p o r t i o n a l t o t h e s h e a r s t r e n g t h of t h e f a u l t s u r f a c e . L a r g e r e d u c t i o n s i n s h e a r s t r e n g t h c o i n c i d e w i t h l a r g e r e d u c t i o n s i n f r i c t i o n a l h e a t i n g . F o r low p e r m e a b i l i t i e s t h e s t r o n g i n i t i a l s o u r c e i s m a i n t a i n e d o n l y f o r a s h o r t d i s p l a c e m e n t b e f o r e t h e t h e r m a l e x p a n s i o n of p o r e f l u i d s s u b s t a n t i a l l y e x c e e d s f l u i d 105 l o s s due t o t r a n s p o r t and p r e s s u r i z e s t h e f l u i d s . Once t h e r m a l p r e s s u r i z a t i o n o f p o r e f l u i d s t a r t s , t h e f a u l t s u r f a c e s t a b i l i z e s a t a c o n s t a n t t e m p e r a t u r e and t h e s h e a r s t r e n g t h d i m i n i s h e s r a p i d l y t o a l e v e l t h a t i s n e c e s s a r y o n l y t o m a i n t a i n t h e t e m p e r a t u r e r e q u i r e d t o s u s t a i n t h e r m a l p r e s s u r i z a t i o n o f p o r e f l u i d s a t n e a r - l i t h o s t a t i c v a l u e s . F o r h i g h e r p e r m e a b i l i t i e s , t h e t e m p e r a t u r e r i s e n e e d e d t o overcome t h e l o s s o f p o r e f l u i d s due t o t r a n s p o r t i n c r e a s e s . The s h e a r s t r e n g t h w i l l r e m a i n a t i t s i n i t i a l v a l u e , c r e a t i n g a s t r o n g f r i c t i o n a l h e a t s o u r c e u n t i l t h e t h e r m a l e x p a n s i o n o f f l u i d s s u b s t a n t i a l l y e x c e e d s t h e l o s s o f f l u i d s due t o t r a n s p o r t . I f t h e p e r m e a b i l i t y e x c e e d s 10" 1 5 m 2, t h e n f r i c t i o n a l m e l t i n g on t h e f a u l t s u r f a c e may r e d u c e t h e dynamic s h e a r s t r e n g t h b e f o r e t h e e f f e c t s o f t h e r m a l p r e s s u r i z a t i o n become s i g n i f i c a n t ( M c K e n z i e and Bru n e , 1972). S i m i l a r l y , f o r t h e c a s e where t h e r e i s no t r a n s p o r t o f f l u i d s , i n c r e a s e s i n p o r o u s medium c o m p r e s s i b i l i t y r e q u i r e t h e i n i t i a l s h e a r s t r e n g t h t o be m a i n t a i n e d o v e r a g r e a t e r t o t a l d i s p l a c e m e n t . Once t h e f a u l t s u r f a c e i s h e a t e d t o t h e t e m p e r a t u r e r e q u i r e d f o r t h e t h e r m a l e x p a n s i o n o f p o r e f l u i d s t o e x c e e d s u b s t a n t i a l l y t h e p o r e d i l a t a t i o n r a t e , t h e s h e a r s t r e n g t h d i m i n i s h e s r a p i d l y . As t h e c o m p r e s s i b i l i t y i n c r e a s e s , t h e r a t e a t w h i c h t h e s h e a r s t r e n g t h d e c r e a s e s i s e n h a n c e d . T h i s b e h a v i o r o c c u r s b e c a u s e f o r c o m p r e s s i b i l i t i e s t h a t e x c e e d 1 0 - 9 P a - 1 , t h e c o e f f i c i e n t o f t h e r m a l p r e s s u r i z a t i o n i s g i v e n a p p r o x i m a t e l y by T^ny / j 3 „ f . I f t h e p o r o u s medium yy & j c o m p r e s s i b i l i t y i s i n d e p e n d e n t of c h a n g e s i n f l u i d p r e s s u r e , 1 06 t h e n l a r g e t e m p e r a t u r e i n c r e a s e s l e a d t o l a r g e i n c r e a s e s i n t h e t h e r m a l e x p a n s i v i t y of water and t h e r e b y l a r g e i n c r e a s e s i n t h e t h e r m a l p r e s s u r i z a t i o n c o e f f i c i e n t . Thus, f o r l a r g e c o m p r e s s i b i l i t i e s when t h e t e m p e r a t u r e r i s e s r a p i d l y , t h e t h e r m a l p r e s s u r i z a t i o n c o e f f i c i e n t w i l l a l s o r i s e r a p i d l y . The r e s u l t s f r o m F i g u r e s 3.2 and 3.3 i n d i c a t e t h a t i f t h e p e r m e a b i l i t y e x c e e d s 10" 1 5 m 2, t h e n , r e g a r d l e s s o f t h e p o r o u s medium c o m p r e s s i b i l i t y , t h e r m a l e x p a n s i o n o f p o r e f l u i d s i s a c c o m o d a t e d by t h e t r a n s p o r t of f l u i d s f r o m t h e h e a t e d r e g i o n a d j a c e n t t o t h e f a u l t s u r f a c e . C o n v e r s e l y , i f t h e p o r o u s medium c o m p r e s s i b i l i t y e x c e e d s 1-0"8 P a - 1 , .then, r e g a r d l e s s o f t h e p e r m e a b i l i t y , p o r e d i l a t a t i o n a c c o m o d a t e s t h e t h e r m a l e x p a n s i o n o f p o r e f l u i d s . In b o t h c a s e s t h e p o r e f l u i d s expand a t c o n s t a n t p r e s s u r e . Hence, t h e r e i s no f e e d b a c k o f f l u i d p r e s s u r e i n t o t h e r e d u c t i o n of s h e a r s t r e n g t h , and t h e f a u l t a c t s a s a s t r o n g s o u r c e of f r i c t i o n a l h e a t . F o r u n d r a i n e d c o n d i t i o n s ( & < 1 0 ~ 2 ° m 2) t h e t e m p e r a t u r e i n c r e a s e on t h e f a u l t s u r f a c e i s o b t a i n e d by s e t t i n g x=0 i n e q u a t i o n (3.22) and i s g i v e n as a f u n c t i o n o f d i s p l a c e m e n t by 0yU) = [ 1 -r exp(<l>2atd/Vsv) ertc((t>\/atd/ysv) ] (3.25) F o r l a r g e d i s p l a c e m e n t s t h e s e c o n d t e r m w i t h i n t h e b r a c k e t s v a n i s h e s and t h e maximum t e m p e r a t u r e r i s e i s as g i v e n by t h e 107 r a t i o of t h e i n i t i a l e f f e c t i v e s t r e s s t o t h e t h e r m a l p r e s s u r i z a t i o n . Thus t h e maximum t e m p e r a t u r e r i s e needed t o s u s t a i n f l u i d p r e s s u r e s a t n e a r - l i t h o s t a t i c v a l u e s i s i n d e p e n d e n t o f t h e c o e f f i c i e n t o f f r i c t i o n , u^, and t h e s l i p v e l o c i t y v s v , and t h e r e b y i n d e p e n d e n t of t h e r a t e of f r i c t i o n a l h e a t i n g on t h e f a u l t s u r f a c e . T h i s b e h a v i o r i m p l i e s t h a t t h e c o e f f i c i e n t of f r i c t i o n and s l i p v e l o c i t y d e t e r m i n e o n l y t h e r a t e a t w h i c h t h e r m a l p r e s s u r i z a t i o n p r o c e e d s , but n o t t h e f i n a l outcome. I f e i t h e r o r Vsv d e c r e a s e , t h e n t h e t o t a l d i s p l a c e m e n t r e q u i r e d f o r an e q u i v a l e n t r e d u c t i o n i n s h e a r s t r e n g t h i s i n c r e a s e d . F u r t h e r m o r e , i f e i t h e r t h e c o e f f i c i e n t o f f r i c t i o n o r t h e s l i p v e l o c i t y d e v i a t e s from i t s i n i t i a l v a l u e d u r i n g s l i p and s u c h d e v i a t i o n i s s m a l l i n c o m p a r s i o n w i t h t h e a v e r a g e v a l u e o v e r t h e s l i p e v e n t , t h e n t h e r a t e o f t h e r m a l p r e s s u r i z a t i o n w i l l n o t be a l t e r e d s i g n i f i c a n t l y . I t i s p o s s i b l e t o e x t e n d t h i s argument t o d r a i n e d c o n d i t i o n s (A:> 1 0 ~ 2 0 m 2 ) . To b a l a n c e f l u i d - v o l u m e l o s s due t o p r e s s u r i z a t i o n and f l o w by t h e t h e r m a l e x p a n s i o n o f p o r e f l u i d s , t h e r e must be an a d d i t i o n a l t e m p e r a t u r e r i s e on t h e f a u l t s u r f a c e . The m a g n i t u d e o f t h e t e m p e r a t u r e r i s e w i l l d e pend on t h e f l u i d and t h e r m a l t r a n s p o r t p r o p e r t i e s o f t h e p o r o u s medium, but n o t on t h e r a t e a t w h i c h t h i s t e m p e r a t u r e i n c r e a s e i s a c h i e v e d . T h i s b e h a v i o r w i l l be d i s c u s s e d i n f u r t h e r d e t a i l i n C h a p t e r 4. S u f f i c e i t t o say h e r e t h a t u nder t h e c o n d i t i o n s j u s t d i s c u s s e d as f l u i d p r e s s u r e s a p p r o a c h l i t h o s t a t i c v a l u e s t h e f a u l t s u r f a c e s t a b l i z e s a t a 108 n e a r - c o n s t a n t t e m p e r a t u r e . Once t h e t e m p e r a t u r e has s t a b i l i z e d , f l u i d p r e s s u r e s a r e m a i n t a i n e d a t l i t h o s t a t i c v a l u e s by t h e d i f f u s i o n of h e a t f r o m a c o n s t a n t t e m p e r a t u r e f a u l t s u r f a c e i n t o t h e a d j a c e n t medium. Thus t h e maximum t e m p e r a t u r e f o r d r a i n e d c o n d i t i o n s i s a l s o i n d e p e n d e n t of t h e c o e f f i c i e n t of f r i c t i o n and t h e s l i p v e l o c i t y . On t h e o t h e r hand, t h e r a t e o f t e m p e r a t u r e i n c r e a s e and t h e r a t e o f s h e a r s t r e n g t h r e d u c t i o n , a r e d e p e n d e n t on o r Vsy. The r e s u l t s of F i g u r e s 3.2 and 3.3 c a n be g e n e r a l i z e f o r o t h e r v a l u e s o f and V , p r o v i d e d we m a i n t a i n t h e same i n i t i a l p o r o s i t y and t h e r m a l p r o p e r t i e s o f t h e s o l i d s . F o r o t h e r v a l u e s o f and Vsv, t h e d i s p l a c e m e n t s c a l e s i n F i g u r e s 3.2 and 3.3 c a n be a d j u s t e d by m u l t i p l y i n g by ^ tn * a s v where t h e p r i m e d v a l u e s d e n o t e t h e new v a l u e s , and t h e u n p r i m e d v a l u e s r e p r e s e n t t h e r e f e r e n c e v a l u e s u^=0.6 and Vsv =1 ms~ 1. F o r example, c o n s i d e r an e v e n t w i t h 1 m d i s p l a c e m e n t i n a r i g i d medium. F o r u^=0.6 and v s v = ^ ms" 1 p e r m e a b i l i t i e s l e s s t h a n 1 0 " 1 5 m 2 a r e r e q u i r e d f o r a s i g n i f i c a n t r e d u c t i o n i n s h e a r s t r e n g t h , b u t f o r M ^ = 0 . 1 9 and K =10~ 1 ms" 1 t h e d i s p l a c e m e n t s c a l e s a r e be m u l t i p l i e d by 100, and p e r m e a b i l i t i e s l e s s t h a n 10" 1 7 m 2 a r e r e q u i r e d f o r an e q u i v a l e n t r e d u c t i o n i n s h e a r s t r e n g t h t o o c c u r . F u r t h e r m o r e , i f nd i s much s m a l l e r t h a n 10" 1 o r ^ 5 V i s much l e s s t h a n 10~ 2 ms" 1, t h e n i t i s d o u b t f u l t h e r m a l p r e s s u r i z a t i o n c o u l d r e d u c e 109 s i g n i f i c a n t l y t h e dynamic s h e a r s t r e n g t h o f a f a u l t d u r i n g an e a r t h q u a k e e v e n t u n l e s s t h e p o r o u s medium were r i g i d . Effect of Depth The r e s u l t s p r e s e n t e d i n t h e p r e v i o u s s e c t i o n a p p l y f o r a f a u l t s u r f a c e a t a d e p t h of 2 km. The e f f e c t of l o c a t i n g t h e f a u l t a t any o t h e r d e p t h w i l l be t o change t h e i n i t i a l c o n d i t i o n s on t h e f a u l t ( i . e . , t o t a l n o r m a l s t r e s s , a m b ient f l u i d p r e s s u r e , and b a c k g r o u n d t e m p e r a t u r e ) . I f t h e i n i t i a l f l u i d p r e s s u r e s a r e h y d r o s t a t i c , t h e n a s t h e d e p t h o f t h e f a u l t s u r f a c e i s i n c r e a s e d t h e i n i t i a l e f f e c t i v e s t r e s s T'n~Po on t h e f a u l t s u r f a c e w i l l i n c r e a s e . An i n c r e a s e i n e f f e c t i v e s t r e s s l e a d s t o a c o r r e s p o n d i n g i n c r e a s e i n t h e maximum p o s s i b l e f l u i d p r e s s u r e , and t h e r e b y , an i n c r e a s e i n t h e t e m p e r a t u r e n e e d e d t o s u s t a i n f l u i d p r e s s u r e s a t n e a r - l i t h o s t a t i c v a l u e s . F o r u n d r a i n e d c o n d i t i o n s , e q u a t i o n (3.25) shows t h a t t h e r e i s a l i n e a r r e l a t i o n s h i p between t h e maximum t e m p e r a t u r e r i s e and t h e i n i t i a l e f f e c t i v e s t r e s s . The r a t e a t w h i c h t h e maximum t e m p e r a t u r e i s a c h i e v e d i s i n d e p e n d e n t o f t h e i n i t i a l e f f e c t i v e s t r e s s and depends o n l y on t h e c o e f f i c i e n t o f f r i c t i o n , s l i p v e l o c i t y , t h e r m a l p r e s s u r i z a t i o n c o e f f i c i e n t and t h e r m a l t r a n s p o r t p r o p e r t i e s . I f t h e s e v a l u e s r e m a i n f i x e d , t h e n we c a n s c a l e t h e t e m p e r a t u r e i n F i g u r e 3.2 by t h e r a t i o of t h e new v a l u e f o r i n i t i a l e f f e c t i v e s t r e s s t o t h e r e f e r e n c e v a l u e (24 MPa). F o r example, i f t h e i n i t i a l e f f e c t i v e s t r e s s i s 12 MPa and t h e f l u i d p r e s s u r e i s 1 10 h y d r o s t a t i c , t h e n t h e t e m p e r a t u r e s c a l e would be h a l v e d . F o r d r a i n e d c o n d i t i o n s and c o m p r e s s i b i l i t i e s t h a t e x c e e d 1 0 ' 1 0 P a - 1 , t h i s s c a l i n g f a c t o r h o l d s p r o v i d e d t h e i n i t i a l v a l u e of t h e t h e r m a l p r e s s u r i z a t i o n c o e f f i c i e n t T i s e q u a l t o t h e v a l u e f o r t h e f i g u r e . When t h i s i s not t h e c a s e , t h i s s c a l i n g f a c t o r c a n n o t be u s e d . A l t h o u g h e q u a t i o n (3.25) s u g g e s t s we c o u l d s c a l e l i n e a r l y w i t h r e s p e c t t o t h e t h e r m a l p r e s s u r i z a t i o n c o e f f i c i e n t , t h i s i s n o t t h e c a s e , b e c a u s e o f t h e t e m p e r a t u r e and p r e s s u r e d e p e n d e n c y o f t h e t h e r m a l e x p a n s i v i t y and c o m p r e s s i b i l i t y o f w a t e r . S i m i l a r l y , e q u a t i o n (3.24) shows t h a t f o r u n d r a i n e d c o n d i t i o n s t h e t r a n s i e n t d e c r e a s e i n t h e n o r m a l i z e d s h e a r s t r e n g t h ( r /T ) i s i n d e p e n d e n t o f t h e i n i t i a l e f f e c t i v e s t r e s s . Thus F i g u r e 3.3 i s r e p r e s e n t a t i v e of t h e t r a n s i e n t d e c r e a s e i n s h e a r s t r e n g t h f o r any g i v e n d e p t h . F o r d r a i n e d c o n d i t i o n s and c o m p r e s s i b i l i t i e s t h a t e x c e e d 1 0 ' 1 0 P a " 1 , t h i s b e h a v i o r h o l d s p r o v i d e d t h e i n i t i a l t h e r m a l p r e s s u r i z a t i o n c o e f f i c i e n t i s e q u a l t o t h e v a l u e f o r t h e f i g u r e . The p o s i t i o n of t h e 1000 °C i s o t h e r m i s , however, d e p e n d e n t on t h e i n i t i a l e f f e c t i v e s t r e s s . I f t h e i n i t i a l e f f e c t i v e s t r e s s i s i n c r e a s e d ( o r d e c r e a s e d ) , t h e n t h e i s o t h e r m w i l l s h i f t t o w a r d s d e c r e a s e d ( o r i n c r e a s e d ) d i s p l a c e m e n t s . F o r a f u r t h e r i l l u s t r a t i o n o f s u c h r e s u l t s , c o n s i d e r t h e t e m p e r a t u r e r i s e and r e d u c t i o n i n s h e a r s t r e n g t h f o r a f a u l t a t a d e p t h o f 1 km. I n t h i s c a s e t h e t o t a l s t r e s s and i n i t i a l h y d r o s t a t i c f l u i d p r e s s u r e a r e h a l v e d , and t h e t e m p e r a t u r e 111 s c a l e i n F i g u r e 3.2 i s m u l t i p l i e d by 0.5. F o r a 10" 1 m d i s p l a c e m e n t e v e n t , o c c u r r i n g i n a medium w i t h a p e r m e a b i l i t y of 10" 1 7 m 2 a n d a c o m p r e s s i b i l i t y of 10" 1 0 P a " 1 , t h e t e m p e r a t u r e r i s e i s a p p r o x i m a t e l y 150 °C and t h e f i n a l n o r m a l i z e d s h e a r s t r e n g t h i s a p p r o x i m a t e l y 0.20. R e c a l l t h a t t h e d i s p l a c e m e n t s c a l e s i n F i g u r e s 3.2 and 3.3 c a n be a d j u s t e d f o r o t h e r v a l u e s of t h e c o e f f i c i e n t o f f r i c t i o n and s l i p v e l o c i t y by u s i n g e q u a t i o n ( 3 . 2 6 ) . I f we change t h e c o e f f i c i e n t of f r i c t i o n ud, and s l i p v e l o c i t y V s y from t h e i r r e f e r e n c e v a l u e s , 0.6 and 1 m s - 1 , t o 0.19 and 10" 1 ms" 1, r e s p e c t i v e l y , t h e n t h e d i s p l a c e m e n t s c a l e s i n F i g u r e s 3.3 and 3.3 a r e m u l t i p l i e d by 100. F o r t h e new v a l u e s t h e same e v e n t a t a d e p t h o f 1 km would have a t e m p e r a t u r e r i s e o f 50 °C and a f i n a l n o r m a l i z e d s h e a r s t r e n g t h of 0.80. B e c a u s e t h e t r a n s i e n t d e c r e a s e i n s h e a r s t r e n g t h depends on t h e m a t e r i a l p r o p e r t i e s o f t h e p o r o u s medium and on t h e c o e f f i c i e n t o f f r i c t i o n a nd s l i p v e l o c i t y on t h e f a u l t s u r f a c e , c h a n g e s i n t h e i n i t i a l c o n d i t i o n s do n o t change t h e r a t e o f d e c r e a s e i n s h e a r s t r e n g t h . The t e m p e r a t u r e r e q u i r e d t o s u s t a i n f l u i d p r e s s u r e s a t n e a r - l i t h o s t a t i c v a l u e s , however, i s d e p e n d e n t on t h e i n i t i a l c o n d i t i o n s b e c a u s e c h a n g e s i n t h e i n i t i a l e f f e c t i v e s t r e s s l e a d t o c h a n g e s i n t h e maximum f l u i d p r e s s u r e . Thus t h e p r i m a r y e f f e c t of c h a n g e s i n d e p t h i s t o i n c r e a s e ( o r d e c r e a s e ) t h e f i n a l t e m p e r a t u r e o b t a i n e d on t h e f a u l t s u r f a c e . 1 1 2 DISCUSSION T h e s e r e s u l t s s u g g e s t t h a t t h e p e r m e a b i l i t y and c o m p r e s s i b i l i t y o f t h e p o r o u s medium a r e t h e most i m p o r t a n t p a r a m e t e r s c o n t r o l l i n g t h e t h e r m o h y d r o m e c h a n i c a l r e s p o n s e o f t h e f a u l t . T h i s r e s u l t i s i n a greement w i t h t h e e a r l i e r a n a l y s i s by L a c h e n b r u c h (1980) and i s c o m p a r a b l e w i t h t h e r e s u l t s o b t a i n e d by D e l a n e y ( 1 9 8 2 ) . I f t h e v a l u e s o f t h e s e p a r a m e t e r s a r e s m a l l , t h e n t h e t h e r m a l e x p a n s i o n o f p o r e f l u i d s c a u s e d by f r i c t i o n a l h e a t i n g d u r i n g an e a r t h q u a k e e v e n t c a n r e s u l t i n t h e r m a l p r e s s u r i z a t i o n and a s u b s e q u e n t d e c r e a s e i n t h e dynamic s h e a r s t r e n g t h o f t h e f a u l t s u r f a c e . In F i g u r e 3.4 we summarize t h e c o n d i t i o n s of p e r m e a b i l i t y and c o m p r e s s i b i l i t y w h i c h l e a d t o a s u b s t a n t i a l r e d u c t i o n i n t h e s h e a r s t r e n g t h o f t h e f a u l t s u r f a c e . The s h a d e d r e g i o n of F i g u r e 3.4 r e p r e s e n t s t h e r e g i o n where l a r g e r e d u c t i o n s w i l l o c c u r f o r e v e n t s w i t h a t o t a l d i s p l a c e m e n t g r e a t e r t h a n 10" 1 m, a s l i p v e l o c i t y Vsy of 1 m s - 1 , and a c o e f f i c i e n t o f f r i c t i o n , \x^, o f 0.6. F o r p e r m e a b i l i t y and c o m p r e s s i b i l i t y v a l u e s l y i n g o u t s i d e t h e s haded r e g i o n t h e t h e r m a l e x p a n s i o n o f p o r e f l u i d s i s n o t e f f e c t i v e i n r e d u c i n g t h e s h e a r s t r e n g t h o f t h e f a u l t s u r f a c e . F o r K =10" 1 m s - 1 , o r M ^ = 0 . 2 , t h e b o u n d a r y o f t h e s h a d e d r e g i o n moves i n w a r d t o c u r v e (/); f o r P / 5 V=10" 1 ms' 1 and ju^=0.2 t o ( / / ) . F i g u r e 3.4 shows t h a t t h e u p p e r l i m i t of p e r m e a b i l i t y r e q u i r e d f o r a s u b s t a n t i a l r e d u c t i o n i n s h e a r s t r e n g t h i s l o w e r t h a n t h e v a l u e o f 1 0 " 1 3 m 2 s u g g e s t e d by L a c h e n b r u c h 1 13 ( 1 9 8 0 ) . The r e s u l t s p r e s e n t e d h e r e i n d i c a t e t h a t 1 0 ' 1 5 m 2 i s a b e t t e r e s t i m a t e of t h e u p p e r l i m i t f o r a r i g i d medium. I f t h e medium i s c o m p r e s s i b l e , t h e n t h i s l i m i t must be l o w e r e d even f u r t h e r . T h i s d i s c r e p e n c y c a n be e x p l a i n e d by c o n s i d e r i n g t h e v a r i o u s a s s u m p t i o n s on w h i c h t h e s e two a n a l y s e s a r e b a s e d . In o b t a i n i n g a f i r s t e s t i m a t e o f t h e upper p e r m e a b i l i t y l i m i t , L a c h e n b r u c h n e g l e c t e d t h e e f f e c t o f an i n c r e a s e i n f l u i d p r e s s u r e on t h e r e d u c t i o n o f s h e a r s t r e n g t h and, c o n s e q u e n t l y , on t h e f r i c t i o n a l h e a t s o u r c e . F u r t h e r m o r e , he assumed a f a u l t zone o f f i n i t e w i d t h , so t h a t t h e r m a l t r a n s p o r t c o u l d be n e g l e c t e d . W i t h t h e s e a s s u m p t i o n s , f l u i d - v o l u m e i n c r e a s e s due t o t h e r m a l e x p a n s i o n r e m a i n c o n s t a n t d u r i n g s l i p , c r e a t i n g a f a v o r a b l e e n v i r o n m e n t f o r a l a r g e i n c r e a s e i n t e m p e r a t u r e and f l u i d p r e s s u r e . T h i s n u m e r i c a l a n a l y s i s i n c o r p o r a t e s b o t h t h e r m a l t r a n s p o r t ( c o n d u c t i v e and c o n v e c t i v e ) and t h e f e e d b a c k o f p o r e p r e s s u r e s i n t h e r e d u c t i o n o f s h e a r s t r e n g t h and f r i c t i o n a l h e a t i n g . I f p o r e p r e s s u r e s i n c r e a s e , t h e r a t e o f f r i c t i o n a l h e a t i n g d e c r e a s e s , and t h e f l u i d volume i n c r e a s e due t o t h e r m a l e x p a n s i o n d e c r e a s e s . T h i s b e h a v i o r r e q u i r e s a l o w e r p e r m e a b i l i t y t o l i m i t f l u i d f l o w and t o s u s t a i n p r e s s u r i z a t i o n o f t h e p o r e f l u i d s . In a d d i t i o n , i n e s t i m a t i n g an u p p e r l i m i t f o r t h e p e r m e a b i l i t y , L a c h e n b r u c h a l l o w e d t h e c e n t r a l t e m p e r a t u r e i n t h e f a u l t zone t o i n c r e a s e l i n e a r l y w i t h d i s p l a c e m e n t . T h i s a n a l y s i s shows t h a t t h e f a u l t would s t a b i l i z e a t a c o n s t a n t t e m p e r a t u r e , w i t h t h e r a t e o f f l u i d - v o l u m e e x p a n s i o n d e c r e a s i n g t o n e a r - z e r o v a l u e s . A t t h i s p o i n t t h e r m a l p r e s s u r i z a t i o n i s m a i n t a i n e d by d i f f u s i o n of h e a t f rom t h e c o n s t a n t t e m p e r a t u r e f a u l t s u r f a c e i n t o t h e s u r r o u n d i n g medium. F o u r major a s s u m p t i o n s may l i m i t t h e g e n e r a l i t y o f t h e s e r e s u l t s . F i r s t , we have s i m p l i f i e d t h e p h y s i c a l s i t u a t i o n by a s s u m i n g t h e t r a n s f e r of f l u i d a nd h e a t o c c u r s a t r i g h t a n g l e s t o t h e f a u l t s u r f a c e . T h i s a p p r o a c h r e q u i r e s u n i f o r m i t y of m a t e r i a l p r o p e r t i e s a l o n g t h e f a u l t and l e a d s t o a t e m p e r a t u r e i n c r e a s e and r e d u c t i o n i n s h e a r s t r e n g t h t h a t i s u n i f o r m o v e r t h e f a u l t s u r f a c e ; b u t i f t h e r e a r e l a t e r a l v a r i a t i o n s i n m a t e r i a l p r o p e r t i e s , e s p e c i a l l y t h o s e of p e r m e a b i l i t y and p o r o u s medium c o m p r e s s i b i l i t y , t h e n t h e t e m p e r a t u r e i n c r e a s e and r e d u c t i o n i n s h e a r s t r e n g t h w i l l n o t be u n i f o r m o v e r t h e f a u l t s u r f a c e . I n s u c h c a s e t h e s l i p v e l o c i t y w i l l n o t be u n i f o r m i n t i m e o r s p a c e and w i l l l e a d t o o s c i l l a t o r y s l i p b e h a v i o r ( e . g . ; N u r , l 9 7 8 ) . The i n f l u e n c e o f s p a t i a l v a r i a t i o n s i n m a t e r i a l p r o p e r t i e s w i l l p r o b a b l y be of s e c o n d o r d e r , and t h e v e l o c i t i e s u s e d e a r l i e r r e p r e s e n t t h e a v e r a g e o f t h e o s c i l l a t o r y s l i p v e l o c i t y . In a d d i t i o n , b e c a u s e g e o l o g i c f o r m a t i o n s a r e n o n - u n i f o r m , i t i s d o u b t f u l t h a t a c o m p l e t e r e d u c t i o n i n s h e a r s t r e n g t h , a s s u g g e s t e d by F i g u r e 3.4, c o u l d o c c u r . S econd, a k i n e m a t i c d e s c r i p t i o n i s i n c o m p l e t e i f a r a p i d d e c r e a s e i n s h e a r s t r e n g t h o c c u r s . The o n s e t o f s u c h a r e d u c t i o n w i l l a c t as a mechanism t r i g g e r i n g t h e r e l e a s e of s t r a i n e n e r g y s t o r e d i n t h e r e g i o n e x t e r i o r t o t h e f a u l t , c a u s i n g t h e s l i p v e l o c i t y t o i n c r e a s e . I n t h i s c a s e i n e r t i a l t e rms i n t h e s t r e s s e q u a t i o n s c a n n o t be n e g l e c t e d . The dynamic p r o b l e m must be c o n s i d e r e d t o u n d e r s t a n d how s l i p a c r o s s t h e f a u l t r e l i e v e s s t r a i n e n e r g y t h a t has r i s e n s l o w l y b e c a u s e o f l o n g - t e r m t e c t o n i c movement. In a d d i t i o n , t h e r e c o v e r y o f d i l a t a n c y a c c o m p a n y i n g t h e r e l e a s e o f s h e a r s t r a i n c a n c a u s e a ne t d e c r e a s e i n p o r e volume i n t h e a d j a c e n t medium and i n h i b i t t h e m i g r a t i o n o f f l u i d f r o m t h e f a u l t ( S c h o l z et al . , 1973; S i b s o n , 1973; L a c h e n b r u c h , 1980). The c o m b i n a t i o n o f t h e s e two e f f e c t s would c a u s e a f u r t h e r enhancement i n t h e r a t e o f t h e r m a l p r e s s u r i z a t i o n . T h i r d , d e f o r m a t i o n has been c o n f i n e d t o a p l a n a r s u r f a c e , so t h a t t h e f r i c t i o n law c a n be u s e d t o d e s c r i b e f r i c t i o n a l h e a t g e n e r a t i o n . In f a c t , as t h e t h e r m a l p r e s s u r i z a t i o n o f t h e a d j a c e n t r e g i o n p r o g r e s s e s , t h e e f f e c t i v e s t r e s s w i l l d e c r e a s e i n c o m p r e s s i o n and t h e r e b y promote i n e l a s t i c - d e f o r m a t i o n mechanisms s u c h as f r i c t i o n a l s l i d i n g p a s t g r a i n b o u n d a r i e s and m i c r o f r a c t u r i n g . As m i c r o f r a c t u r i n g g e n e r a l l y o c c u r s a t f l u i d p r e s s u r e s below t h e minimum p r i n c i p l e s t r e s s , some s o r t of i n e l a s t i c r e s p o n s e would o c c u r p r i o r t o a c o m p l e t e r e d u c t i o n i n s h e a r s t r e n g t h . T h i s b e h a v i o r w i l l c a u s e a l o s s of c o h e s i o n and a n e t r e d u c t i o n i n t h e s h e a r s t r e n g t h o f t h e p o r o u s medium a d j a c e n t t o t h e f a u l t s u r f a c e . The l o s s o f c o h e s i o n c o u l d c a u s e an i n i t i a l l y p l a n a r zone t o b r o a d e n as s l i p p r o g r e s s e s . F o u r t h , we have assumed t h a t f l u i d p r e s s u r e s c o u l d a p p r o a c h l i t h o s t a t i c v a l u e s . However, i f t h e l e a s t p r i n c i p l e s t r e s s i s l e s s t h a n t h e l i t h o s t a t i c s t r e s s , t h e n h y d r o f r a c t u r i n g may i n t e r v e n e and a c t t o s t a b i l i z e t h e f l u i d p r e s s u r e a t t h e v a l u e of t h e l e a s t p r i n c i p l e s t r e s s . I n s u c h c a s e , t h e s h e a r s t r e n g t h o f t h e f a u l t s u r f a c e w i l l n o t be r e d u c e d t o n e a r - z e r o v a l u e s but w i l l a s y m p t o t i c a l l y a p p r o a c h t h e v a l u e tf/r^-ra) (3.27) where T'3 i s t h e l e a s t p r i n c i p l e s t r e s s . The t e m p e r a t u r e r i s e w i l l no l o n g e r a p p r o a c h a maximum v a l u e but w i l l c o n t i n u e t o r i s e a t a r e d u c e d r a t e d e t e r m i n e by e q u a t i o n ( 3 . 2 7 ) . T h i s b e h a v i o r c o u l d l e a d t o e x t e n s i v e f r a c t u r i n g of t h e r e g i o n a d j a c e n t t o t h e f a u l t s u r f a c e . I t i s n o t c l e a r , however, whether s u c h h y d r o f r a c t u r i n g c o u l d be i m p o r t a n t on t h e t i m e s c a l e of an e a r t h q u a k e e v e n t ( L a c h e n b r u c h , 1980). In any c a s e , t h e i n f l u e n c e o f m i c r o f r a c t u r i n g w i l l p r o b a b l y n o t change t h e c o n d i t i o n s r e q u i r e d f o r t h e r m a l p r e s s u r i z a t i o n t o r e d u c e t h e i n i t i a l s h e a r s t r e n g t h . The t h i r d and f o u r t h a s s u m p t i o n s pose t h e g r e a t e s t l i m i t on u s i n g t h e r e s u l t s p r e s e n t e d h e r e . F o r low v a l u e s of p e r m e a b i l i t y ( < 1 0 - 1 9 m 2) h i g h p o r e p r e s s u r e s w i l l be c o n f i n e d t o a narrow z o n e . F o r h i g h v a l u e s o f p e r m e a b i l i t i e s ( > 1 0 - 1 5 m 2 ) , t h e p o r e p r e s s u r e r i s e w i l l be i n s u f f i c i e n t t o a f f e c t t h e s t r e n g t h of t h e a d j a c e n t medium. Th u s , f o r t h e s e two e x t r e m e s t h e a p p r o x i m a t i o n o f a p l a n a r f a u l t s u r f a c e s h o u l d h o l d , p r o v i d e d t h a t t h e s u r f a c e was i n i t i a l l y p l a n a r . F o r i n t e r m e d i a t e p e r m e a b i l i t i e s , however, t h e m i g r a t i o n o f p o r e f l u i d s w i l l c a u s e a p r o g r e s s i v e w e a k e n i n g of t h e r e g i o n a d j a c e n t t o t h e f a u l t s u r f a c e and a w i d e n i n g o f t h e zone of d e f o r m a t i o n . L a c h e n b r u c h (1980) showed t h a t i f t h e f a u l t zone w i d t h i s g r e a t e r t h a n t h e d i s p l a c e m e n t , o r i f t h e p o r e - d i l a t a t i o n s t r a i n e x c e e d s 2 o r 3% o f t h e s h e a r i n g s t r a i n , t h e n c o u p l i n g of t h e r m a l , h y d r o l o g i c , a n d m e c h a n i c a l e f f e c t s i s u n i m p o r t a n t . Whether o r not t h e zone w i l l widen s u f f i c i e n t l y t o h a l t t h e t h e r m a l p r e s s u r i z a t i o n p r o c e s s , o r t o s t a b i l i z e a t a c e r t a i n w i d t h and s h e a r s t r e n g t h , d e p e n d s upon t h e c o n s t i t u t i v e r e l a t i o n between s h e a r s t r e n g t h and e f f e c t i v e s t r e s s . F u r t h e r m o r e , . t h e f o r m a t i o n o f new m i c r o f r a c t u r e s and i m p r o v e d i n t e r c o n n e c t i v i t y o f t h e s e f r a c t u r e s can l e a d t o a s u b s t a n t i a l i n c r e a s e i n p e r m e a b i l i t y . T h i s b e h a v i o r l e a d s t o e n h a n c e d f l u i d f l o w , w h i c h may a r r e s t t h e t h e r m a l p r e s s u r i z a t i o n p r o c e s s and c a u s e a r e s t o r a t i o n o f t h e s h e a r s t r e n g t h . CONCLUSIONS T h i s p a p e r i l l u s t r a t e s how t h e e f f e c t s of h e a t t r a n s f e r and f l u i d f l o w i n f l u e n c e t h e t h e r m o h y d r o m e c h a n i c a l r e s p o n s e o f a f a u l t s u r f a c e d u r i n g s l i p . The a n a l y s i s l e a d s t o t h e f o l l o w i n g c o n c l u s i o n s : 1. F o r r i g i d media w i t h low p e r m e a b i l i t y , o n l y a s m a l l 118 t e m p e r a t u r e i n c r e a s e i s r e q u i r e d f o r t h e t h e r m a l e x p a n s i o n o f p o r e f l u i d s t o p r e s s u r i z e t h e f l u i d s and t o m a i n t a i n t h e f l u i d p r e s s u r e on t h e f a u l t s u r f a c e a t n e a r - l i t h o s t a t i c v a l u e s . T h i s r e s u l t i s i n agreement w i t h t h e e a r l i e r a n a l y s i s by L a c h r n b r u c h ( 1 9 8 0 ) . F o r media w i t h g r e a t e r p e r m e a b i l i t i e s o r p o r o u s medium c o m p r e s s i b i l i t i e s , o r b o t h , l a r g e t e m p e r a t u r e r i s e s a r e r e q u i r e d on t h e f a u l t s u r f a c e f o r t h e t h e r m a l p r e s s u r i z a t i o n o f p o r e f l u i d s t o overcome f l u i d l o s s e s due t o f l u i d f l o w o r f l u i d - v o l u m e c h a n g e s due t o p o r e d i l a t a t i o n , o r b o t h . T e m p e r a t u r e s on t h e f a u l t p l a n e s t a b i l i z e a t t h e p o i n t where t h e r e i s a dynamic b a l a n c e between t h e t e m p e r a t u r e and p r e s s u r e f i e l d s , w i t h t h e i n c r e a s e i n f l u i d volume due t o t h e r m a l e x p a n s i o n e q u a l t o f l u i d l o s s due t o f l o w and f l u i d - v o l u m e c h a n g e s due t o p o r e d i l a t a t i o n . 2. The dynamic s h e a r s t r e n g t h r e m a i n s c l o s e t o i t s i n i t i a l v a l u e u n t i l t h e f a u l t s u r f a c e i s h e a t e d t o a t e m p e r a t u r e r e q u i r e d f o r t h e r m a l e x p a n s i o n o f p o r e f l u i d s t o e x c e e d s u b s t a n t i a l l y f l u i d l o s s e s due t o f l o w and f l u i d - v o l u m e c h a n g e s due t o p o r e d i l a t a t i o n . Once t h i s c o n d i t i o n i s e s t a b l i s h e d , t h e s h e a r s t r e n g t h d i m i n i s h e s r a p i d l y t o a v a l u e s u f f i c i e n t t o m a i n t a i n t h e t h e r m a l p r e s s u r i z a t i o n p r o c e s s . F o r m edia w i t h g r e a t e r p e r m e a b i l i t y o r c o m p r e s s i b i l i t y , o r b o t h , t h e s h e a r s t r e n g t h w i l l r e m a i n c l o s e t o i t s i n i t i a l v a l u e o v e r g r e a t e r d i s p l a c e m e n t s . I f e i t h e r t h e p e r m e a b i l i t y e x c e e d s 1 0 " 1 5 m 2 o r t h e p o r o u s medium c o m p r e s s i b i l i t y e x c e e d s 10" 8 P a " 1 , t h e n f r i c t i o n a l m e l t i n g may r e d u c e t h e dynamic s h e a r s t r e n g t h b e f o r e t h e e f f e c t s of t h e r m a l p r e s s u r i z a t i o n become 119 s i g n i f i c a n t . 3. The main e f f e c t o f v a r y i n g t h e d e p t h t o t h e f a u l t s u r f a c e i s t o change t h e i n i t i a l c o n d i t i o n s a t t h e o n s e t o f s l i p . B e c a u s e i n c r e a s e s i n t h e i n i t i a l e f f e c t i v e s t r e s s l e a d t o an i n c r e a s e i n t h e maximum f l u i d p r e s s u r e , t h e t e m p e r a t u r e r e q u i r e d t o s u s t a i n f l u i d p r e s s u r e s a t n e a r - l i t h o s t a t i c v a l u e s depends on t h e i n i t i a l e f f e c t i v e s t r e s s . I f f l u i d p r e s s u r e s a r e i n i t i a l l y h y d r o s t a t i c , t h e n t h e f i n a l t e m p e r a t u r e a t t a i n e d on t h e f a u l t s u r f a c e i n c r e a s e s w i t h d e p t h . However, b e c a u s e t h e t r a n s i e n t r a t e o f d e c r e a s e of t h e s h e a r s t r e n g t h depends p r i m a r i l y on t h e m a t e r i a l p r o p e r t i e s o f t h e p o r o u s medium, and on t h e c o e f f i c e n t o f f r i c t i o n and t h e s l i p v e l o c i t y on t h e f a u l t s u r f a c e , c h a n g e s i n i n i t i a l c o n d i t i o n s do n o t s i g n i f i c a n t l y change t h e r a t e o f d e c r e a s e i n s h e a r s t r e n g t h . 4. The c o e f f i c i e n t o f f r i c t i o n and s l i p v e l o c i t y d e t e r m i n e t h e r a t e a t w h i c h t h e r m a l p r e s s u r i z a t i o n p r o c e e d s , b u t n o t t h e f i n a l outcome. However, i f t h e c o e f f i c i e n t o f f r i c t i o n i s l e s s t h a n 10" 1 and i f t h e s l i p v e l o c i t y i s l e s s t h a n 10" 2 ms" 1, t h e n i t i s d o u b t f u l t h a t e i t h e r t h e r m a l p r e s s u r i z a t i o n o r f r i c t i o n a l m e l t i n g c o u l d r e d u c e t h e dynamic s h e a r s t r e n g t h o f t h e f a u l t s u r f a c e . In t h e s e c o n d i t i o n s f r i c t i o n a l h e a t i n g i s s m a l l , and t h e t e m p e r a t u r e r i s e w o u l d be m i n i m a l f o r an e a r t h q u a k e e v e n t w i t h r e a l i s t i c d i s p l a c e m e n t . 120 APPENDIX: NUMERICAL SOLUTION OF EQUATIONS E q u a t i o n s (3.14) and (3.15) a r e s o l v e d n u m e r i c a l l y u s i n g a G a l e r k i n f i n i t e - e l e m e n t t e c h n i q u e w i t h l i n e a r b a s i s f u n c t i o n s and d e f o r m i n g c o o r d i n a t e s . T e m p e r a t u r e , f l u i d p r e s s u r e , and m a t e r i a l and f l u i d p r o p e r t i e s v a r y l i n e a r l y a c r o s s e a c h o f t h e e l e m e n t s . Time d e r i v a t i v e s a r e a p p r o x i m a t e d by a f u l l y i m p l i c i t b ackward d i f f e r e n c e scheme. The thermodynamic p r o p e r t i e s o f w ater a r e i n c o r p o r a t e d as s t a t e f u n c t i o n s o f f l u i d p r e s s u r e and t e m p e r a t u r e u s i n g r e l a t i o n s g i v e n by Keenan et al. (1978) f o r d e n s i t y and s p e c i f i c h e a t , Watson et al. (1981) f o r dynamic v i s c o s i t y , and K e s t i n (1978) f o r t h e r m a l c o n d u c t i v i t y . The h e a t f l u x from t h e f a u l t s u r f a c e c a n be c o n s i d e r e d as a s u r f a c e d i s c o n t i n u i t y i n t h e h e a t f l u x a c r o s s t h e r e g i o n , g i v i n g r i s e t o a D i r a c d e l t a f u n c t i o n . Thus f r i c t i o n a l h e a t i n g on a f a u l t s u r f a c e a t an a r b i t r a r y l o c a t i o n *y c a n be d e s c r i b e d as T h i s e q u a t i o n i s h a n d l e d e a s i l y u s i n g f i n i t e e l e m e n t t e c h n i q u e s . B e c a u s e o f t h e p r o p e r t i e s o f t h e D i r a c d e l t a f u n c t i o n , t h e f r i c t i o n a l h e a t f l u x i s s i m p l y added t o t h e r i g h t h a n d s i d e o f t h e f i n i t e - e l e m e n t e q u a t i o n f o r node *y. T h i s a p p r o a c h has t h e a d v a n t a g e o f a l l o w i n g n o n - u n i f o r m m a t e r i a l p r o p e r t i e s on e i t h e r s i d e of t h e f a u l t s u r f a c e o r 121 m u l t i p l e f a u l t s w i t h v a r y i n g c o e f f i c i e n t s of f r i c t i o n and s l i p v e l o c i t i e s , o r b o t h . F o r a l l s i m u l a t i o n s t h e g r i d s p a c i n g i n c r e a s e s w i t h d i s t a n c e from t h e f a u l t s u r f a c e , w i t h t h e s m a l l e s t g r i d s p a c i n g a d j a c e n t t o t h e f a u l t . F o r p r o b l e m s t h a t a r e symmetric a b o u t t h e f a u l t s u r f a c e , t h e e q u i v a l e n t h a l f - s p a c e p r o b l e m i s m o d e l e d . The d i s c r e t i z a t i o n e r r o r c a u s e d by l u m p i n g t h e f r i c t i o n a l h e a t f l u x , e q u a t i o n ( 3 . A 1 ) , i n t o a s i n g l e node was m i n i m i z e d by r u n n i n g s e v e r a l s i m u l a t i o n s o f t h e same p r o b l e m , r e d u c i n g t h e g r i d s p a c i n g u n t i l i d e n t i c a l r e s u l t s were o b t a i n e d f o r two s u c c e s s i v e r u n s . The minimum g r i d s p a c i n g r e q u i r e d t o i n s u r e n u m e r i c a l s t a b i l i t y was 10" 5 m and 10"" m f o r s l i p v e l o c i t i e s o f 1 ms~ 1 and 10" 1 ms" 1, r e s p e c t i v e l y . A s o l u t i o n p r o c e d u r e i s employed where t h e h e a t - t r a n s f e r and f l u i d - f l o w e q u a t i o n s a r e s o l v e d s e q u e n t i a l l y f o r a g i v e n t i m e s t e p . An i t e r a t i v e t e c h n i q u e i s u s e d t o c o u p l e t h e h e a t - t r a n s f e r and f l u i d - f l o w e q u a t i o n s . The s i z e o f t h e t i m e s t e p i s a d j u s t e d a u t o m a t i c a l l y f o l l o w i n g a p r o c e d u r e t h a t l i m i t s t h e m a g n i t u d e o f c h a n g e s i n p r e s s u r e and t e m p e r a t u r e t o some s p e c i f i e d v a l u e w h i c h w i l l i n s u r e r a p i d c o n v e r g e n c e . I n i t i a l t i m e s t e p s were on t h e o r d e r o f 10" 6 s. The f i r s t s t e p i n t h e p r o c e d u r e i s t o s o l v e f o r t h e t e m p e r a t u r e f i e l d u s i n g t h e f l u i d p r e s s u r e , and m a t e r i a l and f l u i d p r o p e r t i e s from t h e p r e v i o u s t i m e s t e p . The f l u i d - f l o w e q u a t i o n i s t h e n s o l v e d u s i n g t h e newly c a l c u l a t e d t e m p e r a t u r e f i e l d t o e s t i m a t e t h e f l u i d - v o l u m e c h a n g e s due t o t h e r m a l e x p a n s i o n . P o r o s i t y i s u p d a t e d by u s i n g t h e a n a l y t i c a l s o l u t i o n of e q u a t i o n (3.16) o v e r t h e t i m e s t e p n = 1 - (1 - n t-At )exp[ - l p ' s f - T p r s ) ( p t - P t - t o ) ~ ( v r 7 * ) ( e » ~ e t - A t ) ] (3.A2) where t h e p o r o s i t y i s assumed t o be l i n e a r l y i n d e p e n d e n t o f 0 and p, and t h e b a r d e n o t e s t h e a v e r a g e v a l u e o f t h e v a r i a b l e o v e r t h e t i m e s t e p . The f l u i d and m a t e r i a l p r o p e r t i e s a r e t h e n u p d a t e d u s i n g t h e new e s t i m a t e o f t h e t e m p e r a t u r e , f l u i d p r e s s u r e and p o r o s i t y f i e l d s , and e q u a t i o n (3.11) i s i n t e g r a t e d o v e r t h e f l o w domain t o o b t a i n t h e d i s p l a c e m e n t o f t h e nodes f r o m t h e i r p o s i t i o n a t t h e p r e v i o u s t i m e s t e p . An i t e r a t i v e s e q u e n c e i s t h e n employed u n t i l t h e maximum p r e s s u r e and t e m p e r a t u r e change between s u c c e s s i v e i t e r a t i o n s i s l e s s t h a n a s p e c i f i e d t o l e r a n c e ( 1 0 - 2 MPa and 10' 2 °C, r e s p e c t i v e l y ) . Once t h i s c r i t e r i o n i s met, t h e model p r o c e e d s t o t h e n e x t t i m e s t e p . NOTATION i s o b a r i c s p e c i f i c h e a t of w a t e r . v o l u m e t r i c s t r a i n ( d i l a t a t i o n ) e 1 1 + e 2 2 + ^ 3 3 > s o l i d m a t r i x s t r a i n . as a s u b s c r i p t d e n o t e s f l u i d . p o r o u s medium p e r m e a b i l i t y . b u l k modulus o f t h e s o l i d g r a i n s . b u l k modulus o f t h e p o r o u s medium. t h e r m a l c o n d u c t i v i t y of t h e s o l i d g r a i n s . t h e r m a l c o n d u c t i v i t y of w a t e r . t h e r m a l c o n d u c t i v i t y of t h e s o l i d - f l u i d c o m p o s i t e , p o r o s i t y . f l u i d p r e s s u r e i n c r e a s e above ambient c o n d i t i o n s , p o r e f l u i d p r e s s u r e , i n i t i a l f l u i d p r e s s u r e . f l u i d s p e c i f i c d i s c h a r g e r e l a t i v e t o t h e s o l i d m a t r i x , as a s u b s c r i p t d e n o t e s s o l i d , t i m e . t e m p e r a t u r e . i n i t i a l t e m p e r a t u r e . d i s p l a c e m e n t o f t h e s o l i d m a t r i x from i t s i n i t i a l p o s i t i o n . s o l i d - m a t r i x v e l o c i t y w i t h r e s p e c t t o a f i x e d c o o r d i n a t e s y s t e m . r e l a t i v e s l i p v e l o c i t y a c r o s s t h e f a u l t s u r f a c e . as a s u b s c r i p t d e n o t e s w a t e r . h y d r a u l i c d i f f u s i v i t y . t h e r m a l d i f f u s i v i t y . t h e r m a l p r e s s u r i z a t i o n c o e f f i c i e n t . i s o t h e r m a l c o m p r e s s i b i l i t y o f t h e s o l i d g r a i n s . p o r o u s medium c o m p r e s s i b i l i t y . i s o t h e r m a l c o m p r e s s i b i l i t y o f w a t e r . K r o n e c k e r d e l t a f u n c t i o n . c h a r a c t e r i s t i c d i f f u s i o n l e n g t h . i s o b a r i c t h e r m a l e x p a n s i v i t y o f t h e s o i l d g r a i n s , l i n e a r t h e r m a l e x p a n s i o n c o e f f i c i e n t o f t h e p o r o u s medium. i s o b a r i c t h e r m a l e x p a n s i v i t y o f w a t e r , s h e a r modulus. dynamic c o e f f i c i e n t of f r i c t i o n on t h e f a u l t s u r f a c e dynamic v i s c o s i t y o f w a t e r . P o i s s o n ' s r a t i o d e n s i t y o f t h e s o l i d g r a i n s . d e n s i t y of w a t e r . h e a t c a p a c i t y of t h e s o i l d - f l u i d c o m p o s i t e , a v e r a g e e f f e c t i v e n o r m a l s t r e s s ( T , i + r 2 2 + ' ' 3 3 ) / 3 . components of t h e e f f e c t i v e s t r e s s t e n s o r , components o f t h e t o t a l s t r e s s t e n s o r , e f f e c t i v e n o r m a l s t r e s s a c t i n g on t h e f a u l t s u r f a c e , t o t a l n o r m a l s t r e s s a c t i n g on t h e f a u l t s u r f a c e , r e s i s t i v e s h e a r s t r e n g t h of t h e f a u l t s u r f a c e , i n i t i a l r e s i s t i v e s h e a r s t r e n g t h o f t h e f a u l t s u r f a c e , t e m p e r a t u r e i n c r e a s e o v e r a m b i e n t c o n d i t i o n s , p r o p o r t i o n a l i t y c o n s t a n t between p o r e and b u l k volume c h a n g e s . REFERENCES B i o t , M. A., G e n e r a l t h e o r y of t h r e e d i m e n s i o n a l c o n s o l i d a t i o n , /. Appl. Phys., 12, 155-164, 1941. B i o t , M. A. and D. G. W i l l i s , The e l a s t i c c o e f f i c i e n t s o f t h e t h e o r y of c o n s o l i d a t i o n , J. Appl. Mech., 24, 594-601, 1957. B y e r l e e , J . D., F r i c t i o n of r o c k s , Pure and Appl. Geophys., 116, 615-626, 1978. C a r d w e l l , R. K., D. S. C h i n n , G. F. Moore, and D. L. T u r c o t t e , F r i c t i o n a l h e a t i n g on a f a u l t o f f i n i t e t h i c k n e s s , Geophys. J. Roy. Astron. Soc, 52, 525-530, 1978. C a r s l a w , H.C., and J . C . J a e g e r , C o n d u c t i o n o f H e a t i n S o l i d s , 386pp., O x f o r d U n i v e r s i t y P r e s s , New Y o r k , 1959. Holcomb, D . J . , A q u a n t i t a t i v e model o f d i l a t a n c y i n d r y r o c k and i t s a p p l i c a t i o n t o W e s t e r l y g r a n i t e , /. Geophys. Res. , 8 3 ( B 1 0 ) , 4941-4950, 1978. Holcomb, D . J . , Memory, r e l a x a t i o n , and m i c r o f r a c t u r i n g i n d i l a t a n t r o c k , /. Geophys. Res., 8 6 ( B 7 ) , 6235-6248, 1981. J a e g a r , J . C , M o v i n g s o u r c e s o f h e a t and t e m p e r a t u r e a t s l i d i n g c o n t a c t s , J. Proc. R. Soc N.S.W., 76, 203-224, 1942. J o r g e n s e n , D.G., R e l a t i o n s h i p s between b a s i c s o i l s - e n g i n e e r i n g e q u a t i o n s and b a s i c g r o u n d - w a t e r f l o w e q u a t i o n s , U.S. Geol. Survey Water-Suppl y Paper, 2064, 46pp., 1981. Keenan, J.H., F.G. K e y e s , P.G. H i l l , and J.G. Moore, Steam T a b l e s , 162pp., J o h n W i l e y , New Y o r k , 1978. K e s t i n , J . , T h e r m a l c o n d u c t i v i t y o f w a t e r and steam, Mech. Eng., 1 0 0 ( 8 ) , 1255-1258, 1978. L a c h e n b r u c h , A. H., F r i c t i o n a l h e a t i n g , f l u i d p r e s s u r e , and t h e r e s i s t a n c e t o f a u l t m o t i o n , /. Geophys. Res., 8 5 ( B 1 1 ) , 6097-6112, 1980. L a c h e n b r u c h , A.H., J.H. S a s s , R . J . Munroe, and T.H. M o s e s , J r . , G e o t h e r m a l s e t t i n g and s i m p l e h e a t c o n d u c t i o n m o d e ls f o r t h e Long V a l l e y C a l d e r a , /. Geophys. Res., 81, 769-784, 1976. L o c k n e r , D.A., and P.G. Okubo, Measurements o f f r i c t i o n a l h e a t i n g i n g r a n i t e , /. Geophys. Res., 8 8 ( B 5 ) , 4313-4320, 1983. Logan, J.M., B r i t t l e phenomena, Rev. Geophys. Space Phys., 17, 1121-1132, 1979. M c K e n z i e , D. P. and J . N. B r u n e , M e l t i n g of f a u l t p l a n e s 126 d u r i n g l a r g e e a r t h q u a k e s , Geophys. J. Roy. Astron. Soc, 29, 65-78, 1972. Morrow, C.A., L.Q. S h i , and J.D. B y e r l e e , S t r a i n h a r d e n i n g and s t r e n g t h o f c l a y - r i c h f a u l t gouges, J. Geophys. Res. , 87, 6771-6780, 1982. Nur, A. and J . D. B y e r l e e , An e x a c t e f f e c t i v e s t r e s s law f o r e l a s t i c d e f o r m a t i o n o f r o c k w i t h f l u i d s , /. Geophys. Res. , 76, 6414-6419,1971. R a l e i g h , B., and J . E v e r d e n , Case f o r low d e v i a t o r i c s t r e s s i n t h e l i t h o s p h e r e , i n The Mechanical Behavior of Crustal Rocks, Geophys. Monogr. Ser., v o l . 24, e d i t e d by N.L. C a r t e r , M. F r i e d m a n , J.M. Logan, and D.W. S t e a r n s , pp. 173-186, AGU, W a s h i n g t o n , D . C , 1981. R i c e , J.R. and J.W. R u d n i c k i , E a r t h q u a k e p r e c u r s o r y e f f e c t s due t o p o r e f l u i d s t a b i l i z a t i o n of a w e a k e n i n g f a u l t z one, /. Geophys. Res., 8 4 ( B 5 ) , 2177-2193, 1979. R i c e , J.R. and D.A. Simons, The s t a b i l i z a t i o n of s p r e a d i n g s h e a r f a u l t s by c o u p l e d d e f o r m a t i o n - d i f f u s i o n e f f e c t s i n f l u i d - i n f i l t r a t e d p o r o u s media, /. Geophys. Res., 81, 5322-5334, 1976. R i c h a r d s , P.G., Dynamic m o t i o n s n e a r an e a r h q u a k e f a u l t : a t h r e e d i m e n s i o n a l s o l u t i o n , Bull. Seis. Soc. Am., 66, 1-32, 1 976. S c h o l z , C.H., Shear h e a t i n g and t h e s t a t e of s t r e s s on f a u l t s , /. Geophys. Res., 8 5 ( B 1 1 ) , 6174-6184, 1980. T e u f e l , L.W., and J.M. L o g a n , E f f e c t o f d i s p l a c e m e n t r a t e on t h e r e a l a r e a of c o n t a c t and t e m p e r a t u r e s g e n e r a t e d d u r i n g f r i c t i o n a l s l i d i n g o f T e n n e s s e e s a n d s t o n e , Pure and Appl. Geophys., 116, 840-865, 1979. Watson, J.T.R., R.S. Basu, and J.V. S e n g e r s , An i m p r o v e d r e p r e s e n t a t i v e e q u a t i o n f o r t h e dynamic v i s c o s i t y o f w a t e r s u b s t a n c e , /. Phys. Chem. Ref. Data, 9 ( 3 ) , 1255-1279, 1980. Woodside, W. and J.H. Messmer, T h e r m a l c o n d u c t i v i t y o f p o r o u s media, /. Appl. Phys., 32, 1688, 1961. 1 27 TABLE 3.1. P a r a m e t e r V a l u e s f o r P o r o u s Medium and S o l i d P r o p e r t i e s C o n s t a n t f o r A l l S i m u l a t i o n s . P r o p e r t y V a l u e P o r o s i t y n i T h e r m a l e x p a n s i v i t y of t h e p o r o u s medium ysj-C o m p r e s s i b i l t y o f t h e s o l i d 0„ D e n s i t y o f t h e s o l i d ps S p e c i f i c h e a t o f t h e s o l i d cs T h e r m a l c o n d u c t i v i t y of t h e s o l i d K C o m p r e s s i b i l t y o f t h e s o l i d Ps T h e r m a l e x p a n s i v i t y of t h e s o l i d 7 0.20 1 .0 10~ 5 ° C " 1 1 0 - 1 1 P a " 1 2.6x10 3 kg m"3 10 3 J k g - 1 °K"1 2.5 W m"1 °R-1 1 0 - 1 1 Pa" 1 2 . 5 X 1 0 " 5 ° C " 1 1 28 FIGURE CAPTIONS F i g u r e 3.1. C o n c e p t u a l model of p l a n a r f a u l t z o n e . F i g u r e 3.2. T e m p e r a t u r e r i s e d u r i n g d i s p l a c e m e n t on a f a u l t s u r f a c e w i t h a u n i f o r m c o e f f i c i e n t o f f r i c t i o n u^=0.6, c o n s t a n t - s l i p v e l o c i t y F ^ V = 1 0 " 1 ms" 1, and i n i t i a l e f f e c t i v e s t r e s s Tn=24 MPa a c t i n g on t h e f a u l t s u r f a c e . The k (m 2) and 05y ( P a " 1 ) a r e t h e p e r m e a b i l i t y and c o m p r e s s i b i l i t y o f t h e s u r r o u n d i n g p o r o u s medium. The i n i t i a l t h e r m a l p r e s s u r i z a t i o n c o e f f i c i e n t i s : (a) T=1.4X10 6 Pa ° C " 1 ; (b) T=6.6X10 5 Pa ° C " 1 ; (c) T=1.1x10 5 Pa ° C " 1 ; (d) T=1.1x10" Pa ° C " 1 . F i g u r e 3.3. Change i n t h e dynamic s h e a r s t r e n g t h rr w i t h d i s p l a c e m e n t on a f a u l t s u r f a c e w i t h a u n i f o r m c o e f f i c i e n t o f f r i c t i o n M ^ = 0 . 6 , c o n s t a n t - s l i p v e l o c i t y v s v = ^ ' ^ ms" 1, and i n i t i a l e f f e c t i v e s t r e s s T / 2=24 MPa a c t i n g on t h e f a u l t s u r f a c e . The k (m 2) and p^y ( P a " 1 ) a r e t h e p e r m e a b i l i t y and c o m p r e s s i b i l i t y o f t h e s u r r o u n d i n g p o r o u s medium. The i n i t i a l t h e r m a l p r e s s u r i z a t i o n c o e f f i c i e n t i s : (a) r = 1 . 4 x l 0 6 Pa ° C " 1 ; (b) T=6.6X10 5 Pa ° C " 1 ; ( c ) T=1.1X10 5 Pa ° C " 1 ; (d) T=1.1x10" Pa ° C " 1 . F i g u r e 3.4. Summary o f c o n s t r a i n t s on p e r m e a b i l i t y and c o m p r e s s i b i l i t y o f t h e p o r o u s medium f o r a s u b s t a n t i a l r e d u c t i o n i n s h e a r s t r e n g t h t o o c c u r . R e g i o n where l a r g e r e d u c t i o n s w i l l o c c u r f o r e a r t h q u a k e e v e n t s w i t h a t o t a l d i s p l a c e m e n t g r e a t e r t h a n 10' 1 m, a s l i p v e l o c i t y F j v of 1 ms~ 1, and a c o e f f i c i e n t of f r i c t i o n , nd, of 0.6. F o r p e r m e a b i l i t y and c o m p r e s s i b i l i t y v a l u e s l y i n g o u t s i d e t h e sha d e d r e g i o n t h e t h e r m a l e x p a n s i o n o f p o r e f l u i d s i s not e f f e c t i v e i n r e d u c i n g t h e s h e a r s t r e n g t h o f t h e f a u l t s u r f a c e F o r F 5 V = 1 0 _ 1 m s - 1 , o r nd=0.2, t h e b o u n d a r y o f t h e sh a d e d r e g i o n moves i n w a r d t o c u r v e ( / ) ; f o r J', v= 1 0~ 1 m s - 1 and M ^ = 0 . t o ( / / ) . F i g u r e Temperature, 0 (°C) Temperature, 0 (°C) (a) /J„ = 0 Pa-1 (b) /J„ - 1 0 " 1 0 P a - i Displacement, d (m) Displacement, d (m) F i g u r e 3.3 COMPRESSIBILITY ( P a - 1 ) 134 CHAPTER IV THE EFFECTS OF FRICTIONAL HEATING ON THE THERMAL, HYDROLOGIC, AND MECHANICAL RESPONSE OF A FAULT DURING SLIP H u b b e r t and Rubey (1959) were t h e f i r s t t o s u g g e s t t h a t t h e movement o f a l a r g e t h r u s t s h e e t r e q u i r e s a low f r i c t i o n a l r e s i s t a n c e t o m o t i o n a l o n g i t s b a s e . G i v e n t h a t t h e c o e f f i c i e n t o f f r i c t i o n i s r e a s o n a b l y u n i f o r m f o r a v a r i e t y of r o c k t y p e s and a wide r a n g e o f n o r m a l s t r e s s e s , i f t h e r e s i s t i v e s h e a r s t r e s s i s s m a l l , t h e n h i g h f l u i d p r e s s u r e s a r e f u n d a m e n t a l t o t h e H u b b e r t - R u b e y t h e o r y of t h r u s t f a u l t i n g . I f t h r u s t i n g and o t h e r forms of f a u l t i n g a r e i n i t i a t e d and s u s t a i n e d by a b n o r m a l l y h i g h f l u i d p r e s s u r e s , t h e n mechanisms f o r g e n e r a t i n g and m a i n t a i n i n g t h a t p r e s s u r e p o s e a f u n d a m e n t a l p r o b l e m i n f a u l t m e c h a n i c s . One s u c h mechanism, a t r a n s i e n t i n c r e a s e i n f l u i d p r e s s u r e due t o t h e r m a l e x p a n s i o n of p o r e f l u i d s c a u s e d by f r i c t i o n a l h e a t i n g w i t h i n a f a u l t z o n e , i s t h e s u b j e c t o f t h i s p a p e r . A s s u m i n g t h e f a i l u r e s u r f a c e i s e s t a b l i s h e d , many i n v e s t i g a t o r s have shown t h a t f r i c t i o n a l h e a t i n g c o u l d p l a y an i m p o r t a n t r o l e i n t h e d y n a m i c s o f f a u l t p r o c e s s e s . J a e g e r ( 1 9 4 2 ) , M c K e n z i e and Brune ( 1 9 7 2 ) , R i c h a r d s ( 1 9 7 6 ) , C a r d w e l l et al. ( 1 9 7 8 ) , S c h o l z ( 1 9 8 0 ) , and S i b s o n (1980) s u g g e s t e d f r i c t i o n a l h e a t i n g c o u l d l e a d t o p a r t i a l m e l t i n g on t h e f a u l t s u r f a c e w i t h a s u b s e q u e n t r e d u c t i o n i n dynamic s h e a r s t r e n g t h . T h e s e s t u d i e s have n e g l e c t e d t h e p r e s e n c e and p o s s i b l e e f f e c t of p o r e w a t e r . I f water i s p r e s e n t , t h e d y n a m i c s a r e more c o m p l i c a t e d . S i b s o n (1973) showed t h a t f o r an impermeable medium f r i c t i o n a l h e a t i n g c o u l d r e s u l t i n l i t h o s t a t i c f l u i d p r e s s u r e s c a u s i n g t h e dynamic s h e a r s t r e n g t h t o a p p r o a c h n e a r - z e r o v a l u e s . L a c h e n b r u c h (1980) d i s c u s s e d t h e g o v e r n i n g e q u a t i o n s f o r h e a t and f l u i d f l o w , and a n a l y z e d f o r s p e c i a l c a s e s t h e i n t e r a c t i o n of p a r a m e t e r s c o n t r o l l i n g t h e r m a l p r e s s u r i z a t i o n and t h e i r c r i t i c a l r a n g e of v a l u e s . The c o n c e p t s d i s c u s s e d i n t h i s work form t h e b a s i s f o r our a n a l y s e s . L a c h e n b r u c h c o n c l u d e d t h a t i f p e r m e a b i l i t y o r p o r e - d i l a t a t i o n r a t e e x c e e d 10" 1 3 m 2 o r 2%, r e s p e c t i v e l y , t h e n c o u p l i n g of t h e r m a l , h y d r o l o g i c , and m e c h a n i c a l e f f e c t s c o u l d p r o b a b l y be n e g l e c t e d , w i t h f l u i d p r e s s u r e and dynamic s h e a r s t r e n g t h r e m a i n i n g c o n s t a n t d u r i n g s l i p . R a l e i g h and E v e r d e n ( 1 9 8 1 ) , a s s u m i n g no t r a n s p o r t o f f l u i d o r h e a t , c a l c u l a t e d t h e maximum f l u i d p r e s s u r e i n c r e a s e f o r v a r i o u s d i s p l a c e m e n t s , s l i p v e l o c i t i e s , and f a u l t w i d t h s . W h i l e t h e s e s t u d i e s have i l l u s t r a t e d t h e b a s i c f e a t u r e s o f t h e r e s p o n s e , t h e y have c o n s i d e r e d o n l y a f a u l t zone o f c o n s t a n t w i d t h and f i x e d s t r a i n r a t e , f o r t h e f o l l o w i n g two l i m i t i n g c a s e s : t h o s e c a s e s where f l u i d t r a n s p o r t i s so l a r g e i t n u l l i f i e s t h e r m a l p r e s s u r i z a t i o n , and t h o s e c a s e s where t r a n s p o r t of h e a t o r f l u i d , o r b o t h , a r e so s m a l l t h e y can be n e g l e c t e d . F o r i n t e r m e d i a t e c o n d i t i o n s , t h e s e s t u d i e s do n o t p r o v i d e an a d e q u a t e d e s c r i p t i o n of t h e t r a n s i e n t i n c r e a s e i n t e m p e r a t u r e w i t h i n a f a u l t zone d u r i n g s l i p , and i t s e f f e c t on t h e f l u i d p r e s s u r e and s t r e s s f i e l d s . 136 In a p r e v i o u s p a p e r (Mase and S m i t h , 1985), we examined t h e s e i n t e r m e d i a t e c o n d i t i o n s u s i n g n u m e r i c a l m o d e l i n g t e c h n i q u e s , and d i s c u s s e d t h e t e m p e r a t u r e and f l u i d p r e s s u r e r i s e on a f a u l t s u r f a c e f o r a s i m p l e k i n e m a t i c model of s l i p . I t was shown t h a t t h e r e s p o n s e of f l u i d p r e s s u r e s t o f r i c t i o n a l h e a t i n g c o u l d be d e s c r i b e d by t h e f o l l o w i n g two l i m i t i n g c a s e s . I f t h e p e r m e a b i l i t y o r c o m p r e s s i b i l i t y o f t h e p o r o u s medium a r e g r e a t e r t h a n 1 0 " 1 5 m 2 o r 10' 8 P a - 1 , t h e n t h e t h e r m a l e x p a n s i o n o f p o r e f l u i d s i s a c c o m o d a t e d by f l u i d f l o w from o r p o r e d i l a t a t i o n w i t h i n t h e h e a t e d r e g i o n a d j a c e n t t o t h e f a u l t s u r f a c e . In t h i s c a s e t h e f l u i d p r e s s u r e and dynamic s h e a r s t r e n g t h r e m a i n unchanged d u r i n g s l i p . C o n s e q u e n t l y , t h e f a u l t i s a l a r g e s o u r c e o f f r i c t i o n a l h e a t and p a r t i a l m e l t i n g may o c c u r . T h i s u p p e r l i m i t f o r p e r m e a b i l i t y i s l o w e r t h a n t h e 1 0 ' 1 3 m 2 l i m i t of L a c h e n b r u c h b e c a u s e o f c o u p l e d t h e r m a l and h y d r o l o g i c e f f e c t s , and our a s s u m p t i o n o f a p l a n a r f a u l t . I f t h e p e r m e a b i l i t y and c o m p r e s s i b i l i t y o f t h e p o r o u s medium a r e l e s s t h a n 1 0 " 1 9 m 2 and 1 0 - 1 1 P a " 1 , t h e n t h e h e a t i n g p r o c e s s t a k e s p l a c e a t c o n s t a n t f l u i d mass and s u b s t a n t i a l i n c r e a s e s i n f l u i d p r e s s u r e c a n o c c u r . I f f l u i d p r e s s u r e s a p p r o a c h l i t h o s t a t i c v a l u e s , t h e s l i d i n g s u r f a c e s w i l l l o s e c o h e s i o n and t h e r a t e of f r i c t i o n a l h e a t i n g a n d t h e dynamic s h e a r s t r e n g t h w i l l a p p r o a c h z e r o . In t h i s c a s e t h e maximum t e m p e r a t u r e a t t a i n e d on t h e f a u l t s u r f a c e i s s u b s t a n t i a l l y l e s s t h a n t h a t r e q u i r e d f o r f r i c t i o n a l m e l t i n g . In t h i s s t u d y we expand t h i s model t o a c c o u n t f o r b o t h f a u l t z o n e s of f i n i t e w i d t h and f o r t h e d y n a m i c s o f a v a r i a b l e 137 • r e s i s t i v e s t r e s s . We examine t h e p h y s i c a l p a r a m e t e r s t h a t c o n t r o l t h e t h e r m a l and h y d r o l o g i c f i e l d s , and d i s c u s s an i m p o r t a n t p a r a m e t e r , t h e t h e r m a l p r e s s u r i z a t i o n c o e f f i c i e n t . T h i s p a r a m e t e r c o n t r o l s t h e r a t e s of p o r e d i l a t a t i o n and f l u i d p r e s s u r i z a t i o n due t o a t e m p e r a t u r e r i s e . We d e s c r i b e t h e t h e r m a l and h y d r o l o g i c e f f e c t s d u r i n g f a u l t m o t i o n , d i m e n s i o n l e s s measures of t h e i r i m p o r t a n c e , and c h a r a c t e r i s t i c t i m e s c a l e s f o r t h e r m a l p r e s s u r i z a t i o n . The aim o f t h i s p a p e r i s t o examine t h e f u l l n o n l i n e a r b e h a v i o r o f f a u l t m o t i o n , and t o d e t e r m i n e l i m i t s t o f a u l t b e h a v i o r f o r v a r i o u s r a n g e s o f t h e c o n t r o l l i n g p a r a m e t e r s . A l i s t o f m a t h e m a t i c a l symbols i s g i v e n i n t h e n o t a t i o n l i s t a t t h e end of t h e p a p e r . A MATHEMATICAL MODEL FOR SLIP ACROSS A FAULT ZONE Most m o d e l s c o n c e r n i n g e a r t h q u a k e s a r e b a s e d on e l a s t i c r e b o u n d t h e o r y ( e . g . , R e i d , 1910, 1911; Mavko, 1981). I n t h i s t h e o r y e l a s t i c s t r a i n e n e r g y a r i s i n g f r o m l o n g - t e r m t e c t o n i c movement i s a b r u p t l y r e l e a s e d d u r i n g e a r t h q u a k e s . T h i s p r o c e s s of s t r a i n b u i l d u p and r e l e a s e r e p e a t s i t s e l f i n a r o u g h l y c y c l i c f a s h i o n , and i s commonly r e f e r r e d t o as s t i c k - s l i p b e h a v i o r ( e . g . , B r a c e and B y e r l e e , 1966; W a l s h , 1968; D i e t r i c h , 1974, 1979a, 1979b). F i g u r e 4.1a shows a s c h e m a t i c model of t h i s b e h a v i o r f o r a s t r i k e - s l i p f a u l t . The f a u l t i s r e p r e s e n t e d by a v e r t i c a l zone of f i n i t e w i d t h t h a t i s c o m p r i s e d o f p a t c h e s o f r e l a t i v e l y h i g h s t r e n g t h r o c k ( b a r r i e r s ) s u r r o u n d e d by weaker i n t e r v e n i n g a r e a s . T h i s zone a c c o m o d a t e s t h e r e l a t i v e m o t i o n between t h e two f a u l t b l o c k s . 1 38 L o n g - t e r m t e c t o n i c m o t i o n c a u s e s t h e a d j a c e n t e l a s t i c r e g i o n t o d e f o r m and t h e s t r e s s a t t h e b a r r i e r s t o i n c r e a s e . At t h e i n s t a n t o f f a i l u r e a b a r r i e r r u p t u r e s and s l i p s p r e a d s t h r o u g h t h e l o c k e d p o r t i o n of t h e f a u l t u n t i l f a u l t m o t i o n i s h a l t e d by a b a r r i e r ( e . g . , Das and A k i , 1977; Mikumo and M i y a t a k e , 1978; A k i , 1979, 1984; McGarr, 1981; Das and S c h o l z , 1981; P a p a g e o r g i o u and A k i , 1983a, 1983b; R u n d l e et al. , 1984; S t u a r t et al. , 1985). We do n o t p r o p o s e t o s o l v e f o r t h e t e m p e r a t u r e , f l u i d p r e s s u r e , s l i p d i s t r i b u t i o n , and s t r e s s d r o p o v e r t h e e n t i r e f a u l t . R a t h e r , we examine o n l y t h e t h e r m a l , h y d r o l o g i c and m e c h a n i c a l r e s p o n s e of a s m a l l p a t c h o f t h e f a u l t t h a t i s a r b i t a r i l y l o c a t e d on t h e f a i l u r e s u r f a c e , and c o n s i d e r t h e p h y s i c a l p a r a m e t e r s t h a t c o n t r o l i t s r e s p o n s e . We w i l l assume t h e i n i t i a l m a t e r i a l p r o p e r t i e s w i t h i n and a d j a c e n t t o t h e p a t c h a r e u n i f o r m . I n a l a t e r s e c t i o n we r e t u r n t o t h e t o p i c o f s p a t i a l h e t e r o g e n e i t i e s , and d i s c u s s t h e i r e f f e c t s on t h e s p a t i a l v a r i a b i l i t y o f t h e s t r e s s d r o p , s l i p r a t e , and d i s p l a c e m e n t o v e r t h e f a u l t . F i g u r e 4.1b shows a s i m p l i f i e d g e o m e t r y f o r s u c h a p a t c h . The p a t c h c o n s i s t s o f two e l a s t i c b l o c k s w h i c h s l i d e p a s t e a c h o t h e r on a narrow p l a n a r z o n e . The w i d t h of t h e e l a s t i c b l o c k s i s d e f i n e d by t h e c h a r a c t e r i s t i c l e n g t h between b a r r i e r s . T h i s l e n g t h may be on t h e o r d e r o f h u n d r e d s o f m e t e r s t o t e n s o f k i l o m e t e r s , whereas t h e w i d t h o f t h e f a u l t zone i s on t h e o r d e r o f h u n d r e t h s o f m e t e r s t o s e v e r a l m e t e r s . The f a u l t zone d e f o r m s by s i m p l e s h e a r i n t h e p r e s e n c e o f u n i a x i a l c o m p r e s s i o n n o r m a l t o t h e f a u l t , and u n d e r g o e s s t r a i n s t h a t a r e f i n i t e and i r r e c o v e r a b l e . P r i o r t o s l i p q u a s i - s t a t i c s t r e s s c o n d i t i o n s a p p l y w i t h i n t h e b l o c k s , w i t h t h e s h e a r s t r e s s a t t h e i n i t i a t i o n o f s l i p g i v e n by t h e s t a t i c s h e a r s t r e n g t h o f t h e f a u l t . We assume t h a t f a u l t r u p t u r e s t a r t s s u d d e n l y w i t h a u n i f o r m s t r e s s d r o p and s l i p v e l o c i t y o v e r t h e e n t i r e p a t c h . The f a i l u r e s u r f a c e may be a p r e e x i s t i n g f a u l t zone o r a new f r a c t u r e c a u s e d by f a i l u r e . E n e r g y consumed i n b r e a k i n g c o h e s i v e bonds o r c r e a t i n g new f r a c t u r e s u r f a c e s i s assumed t o be n e g l i g i b l e ( e . g . , R i c h a r d s , 1976; L a c h e n b r u c h and S a s s , 1980). In a d d i t i o n , f l u i d - p r e s s u r e c h a n g e s t h a t m i ght a r i s e f r o m e f f e c t s a t t h e p r o p a g a t i n g ends o f t h e f a i l u r e s u r f a c e ( e . g . ; R i c e and Simons, 1976; R i c e and R u d n i c k i , 1979) a r e assumed t o be s m a l l i n c o m p a r i s o n t o c h a n g e s i n f l u i d p r e s s u r e a r i s i n g f r o m f r i c t i o n a l h e a t i n g . T h e s e a s s u m p t i o n s a r e r e a s o n a b l e f o r e a r t h q u a k e s where t h e p r o p a g a t i o n v e l o c i t i e s o f t h e f a u l t t i p s a r e s e v e r a l o r d e r s o f m a g n i t u d e g r e a t e r t h a n t h e r e l a t i v e s l i p v e l o c i t y a c r o s s t h e f a i l u r e s u r f a c e . D u r i n g s l i p t h e w i d t h o f t h e t h e r m a l and h y d r o l o g i c f i e l d s c a u s e d by f r i c t i o n a l h e a t i n g i s n e g l i g i b l e i n c o m p a r i s o n t o t h e w i d t h o f t h e e l a s t i c b l o c k s . C o n s e q u e n t l y , t h e e f f e c t s o f t h e r m a l p r e s s u r i z a t i o n c a n be r e g a r d e d as a t r a n s i e n t d r o p i n s t r e s s on t h e b o u n d a r i e s o f t h e e l a s t i c b l o c k s . In t h i s c a s e t h e s l i p v e l o c i t y o f t h e b l o c k s i s d e t e r m i n e d by t h e d e c r e a s e i n t h e s h e a r s t r e n g t h of t h e f a u l t p a t c h . U s i n g t h i s a p p r o a c h , i t i s p o s s i b l e t o c h a r a c t e r i z e how t h e d e c r e a s e i n s h e a r s t r e n g t h d u r i n g s l i p r e l i e v e s t h e e l a s t i c s t r a i n e n e r g y t h a t has r i s e n s l o w l y 1 40 b e c a u s e o f l o n g - t e r m t e c t o n i c movement. Any c a l c u l a t i o n of t h e t h e r m a l and h y d r o l o g i c f i e l d s d e pends upon t h e r h e o l o g i c a l r e l a t i o n w h i c h l i n k s t h e s h e a r s t r e n g t h t o d e f o r m a t i o n r a t e , f l u i d p r e s s u r e , and t e m p e r a t u r e . C u r r e n t l y , l i t t l e i s known a b o u t t h e r h e o l o g i c a l b e h a v i o r o f a f a u l t zone a t any d e p t h . F o r d i s a g g r e g a t e d f a u l t gouge i t i s p r o b a b l e t h e r h e o l o g y would f o l l o w a f r i c t i o n law b e h a v i o r ; t h a t i s t h e s h e a r s t r e n g t h a p p r o a c h e s z e r o as t h e f l u i d p r e s s u r e s a p p o a c h l i t h o s t a t i c v a l u e s ( e . g . , H a n d i n et al . , 1963; J a e g e r and Cook, 1969; S a vage, 1977; L a c h e n b r u c h , 1980). We assume t h a t t h e s h e a r s t r e s s r e q u i r e d f o r s l i p a c r o s s t h e f a u l t i s g i v e n by t h e f r i c t i o n law T r " »d{TfTr) (4'1) where r r i s t h e r e s i s t i v e s h e a r s t r e s s , ud i s t h e dynamic c o e f f i c i e n t o f f r i c t i o n , r R i s t h e t o t a l n o r m a l s t r e s s a c t i n g a c r o s s t h e f a u l t , and P i s t h e p o r e - f l u i d p r e s s u r e . A p r i n c i p a l m o t i v a t i o n f o r u s i n g t h i s law i s i t s w i d e - s p r e a d a p p l i c a b i l i t y i n d e s c r i b i n g t h e r e s u l t s of l a b o r a t o r y e x p e r i m e n t s f o r a v a r i e t y o f r o c k t y p e s . F o r most r o c k s ju^ i s i n s e n s i t i v e t o c o m p o s i t i o n and h a r d n e s s , and has v a l u e s between 0.4 and 1.0 ( B y e r l e e , 1978). F o r s u r f a c e s s e p a r a t e d by a t h i n c l a y - r i c h l a y e r of f a u l t gouge, Morrow et al. (1982) r e p o r t e d v a l u e s f o r ud t h a t r a n g e d f r o m 0.2 t o 0.6. In g e n e r a l , t h e c o e f f i c i e n t o f f r i c t i o n i s d e p e n d e n t on t h e e f f e c t i v e n o r m a l s t r e s s and d e f o r m a t i o n h i s t o r y o f t h e f a u l t 141 zone ( e . g . , D i e t r i c h , 1979a, 1979b; R i c e , 1983; R u i n a , 1983, 1984). B e c a u s e t h i s law d e s c r i b e s t h e g r o s s r e s i s t a n c e between two s l i d i n g b l o c k s , t h e s h e a r s t r e s s i s i n f l u e n c e d o n l y by t h e e f f e c t t h a t f r i c t i o n a l h e a t i n g has on t h e f l u i d p r e s s u r e and s l i p r a t e . T h i s a p p r o a c h d e c o u p l e s t h e e q u a t i o n s d e s c r i b i n g m o t i o n w i t h i n t h e f a u l t zone from t h e e q u a t i o n s d e s c r i b i n g f l u i d p r e s s u r e and t e m p e r a t u r e . Thus i t i s n o t p o s s i b l e t o examine t h e e v o l u t i o n o f i n e l a s t i c d e f o r m a t i o n , and a priori a s s u m p t i o n s a b o u t t h e w i d t h o f d e f o r m a t i o n and t h e s t r a i n r a t e a c r o s s t h e zone must be made t o c a l c u l a t e t h e f l u i d - p r e s s u r e and t e m p e r a t u r e f i e l d s . W i t h o u t a r h e o l o g i c a l law r e l a t i n g t h e s h e a r s t r e n g t h t o f l u i d p r e s s u r e and d e f o r m a t i o n r a t e s , we s i m p l y n o t e when t h e s e c a l c u l a t i o n s i m p l y t h a t d e f o r m a t i o n w o u l d expand or c o n t r a c t a b o u t t h e e d g e s of t h e z o n e . I f we assume a w i d t h 2w f o r t h e f a u l t z one, t h e n t h e r a t e o f s h e a r h e a t i n g w i t h i n t h e zone i s g i v e n by Hd(rn-P) • V-L (4.2) w where 2V i s t h e r e l a t i v e s l i p v e l o c i t y o f t h e e l a s t i c b l o c k s . T h i s r e l a t i o n s h i p assumes t h a t d e f o r m a t i o n i s n o t c o n t i n u o u s a c r o s s t h e zone, but i s c o m p r i s e d o f a number of s l i p p l a n e s w i t h a s p a c i n g s u c h t h a t f r i c t i o n a l h e a t g e n e r a t e d on t h e p l a n e s a c t s as a d i s t r i b u t e d h e a t s o u r c e f o r t h e t i m e s c a l e of i n t e r e s t . Measurements o f f r i c t i o n a l h e a t i n g i n g r a n i t e and s a n d s t o n e s u g g e s t t h a t (4.2) g i v e s a good r e p r e s e n t a t i o n of t h e a v e r a g e t e m p e r a t u r e g e n e r a t e d on t h e f a u l t s u r f a c e , but 142 y i e l d s l i t t l e i n f o r m a t i o n a b o u t l o c a l maxima a t a s p e r i t y c o n t a c t s ( T e u f e l and Logan, 1978; Logan, 1979; L o c k n e r and Okubo, 1983). F o r t h e c a s e where f l u i d p r e s s u r e s r e m a i n c o n s t a n t , e q u a t i o n (4.2) has been u s e d t o p r e d i c t h i g h t e m p e r a t u r e s d u r i n g s l i p ( M c K e n z i e and B r u n e , 1972; R i c h a r d s , 1976; C a r d w e l l , 1978; L a c h e n b r u c h , 1980). In t h i s framework t h e t r a n s f e r o f f l u i d and h e a t o c c u r s a t r i g h t a n g l e s t o t h e f a u l t , and t h e m a t h e m a t i c a l p r o b l e m i n v o l v e s f i n d i n g s o l u t i o n s t o t h e o n e - d i m e n s i o n a l e q u a t i o n s d e s c r i b i n g h e a t t r a n s f e r , f l u i d f l o w , and s t r e s s . T h e s e e q u a t i o n s a r e o u t l i n e d below. A l l e q u a t i o n s a r e e x p r e s s e d i n a L a g r a n g i a n r e f e r e n c e frame w i t h r e s p e c t t o t h e s o l i d m a t r i x o f t h e p o r o u s medium. Heat Transfer Equation The e q u a t i o n o f h e a t t r a n s f e r d e s c r i b i n g t h e t e m p e r a t u r e d i s t r i b u t i o n i n a s a t u r a t e d p o r o u s medium i s g i v e n by Tx-{Ksf Ti* Pw cw«x{Tx' + n^w[Tf + —{Tx-)]T + Ud(rn-P) [H(x+w)-H(x-W)] = ( p c ) s f | f (4.3) w where m a t h e m a t i c a l symbols a r e d e f i n e d s e p a r a t e l y i n t h e n o t a t i o n l i s t . F o r m a t h e m a t i c a l c o n v e n i e n c e t h e c e n t e r l i n e of t h e f a u l t i s f i x e d a t x=0. The terms on t h e l e f t h a n d s i d e a r e , i n o r d e r , t h e r a t e of c o n d u c t i v e h e a t t r a n s p o r t , t h e r a t e of 143 a d v e c t i v e h e a t t r a n s p o r t , t h e r a t e of h e a t a d d i t i o n due t o p r e s s u r i z a t i o n o f t h e f l u i d , and t h e r a t e of f r i c t i o n a l h e a t i n g w i t h i n t h e f a u l t z o n e . The t e r m on t h e r i g h t h a n d s i d e r e p r e s e n t s t h e r a t e of i n t e r n a l h e a t s t o r a g e . L o c a l t h e r m a l e q u i l i b r i u m between t h e s o l i d m a t r i x and t h e f l u i d i s assumed. The t h e r m a l c o n d u c t i v i t y of t h e s o l i d - f l u i d c o m p o s i t e i s g i v e n by Ksj- = K^'^K^ (Woodside and Messmer, 1961). Fluid and Solid Mass Conservation Equations A s s u m i n g t h e p o r e s a r e s a t u r a t e d w i t h w a t e r , and t h a t t h e s o l i d and f l u i d p h a s e s a r e m e c h a n i c a l l y d i s t i n c t , t h e e q u a t i o n f o r c o n s e r v a t i o n o f f l u i d mass i s " **rpVl?> - ?*<!?>] + f " ^ + ^ - " ^ S ^ T T -If + i»K If + <i-«>*, If] ( 4 - 4 a ) q * |Z (4.4b x nw ox \*.*« where qx i s t h e D a r c y f l u x . The t e r m s on t h e l e f t h a n d s i d e o f (4.4a) a r e , i n o r d e r , t h e r a t e o f f l u i d t r a n s p o r t , t h e change i n f l u i d mass due t o p r e s s u r e c o n t r a c t i o n o r t h e r m a l e x p a n s i o n o f f l u i d s a l o n g t h e f l o w p a t h , and t h e change i n f l u i d mass due t o t h e d i f f e r e n c e i n t h e r m a l e x p a n s i v i t i e s of t h e f l u i d and s o l i d p h a s e s . The t e r m s on t h e r i g h t h a n d s i d e a r e t h e change i n f l u i d mass due t o v o l u m e t r i c d i l a t a t i o n o f t h e 1 44 p o r o u s medium and t h e change i n f l u i d mass due t o t h e d i f f e r e n c e i n t h e c o m p r e s s i b i l i t y o f t h e f l u i d and s o l i d p h a s e s . In e q u a t i o n (4.4b) f l u i d f l o w due t o g r a v i t a t i o n a l f o r c e s i s assumed t o be n e g l i g i b l e f o r t h e t i m e s c a l e of i n t e r e s t . F o r w a t e r t h e c o m p r e s s i b i l i t y |3 and t h e r m a l e x p a n s i v i t y yw c o e f f i c i e n t s a r e s t r o n g l y t e m p e r a t u r e d e p e n d e n t . T h i s dependence i s shown i n F i g u r e 4.2. The c o n d i t i o n f o r c o n s e r v a t i o n o f t h e s o l i d mass r e q u i r e s t h e f o l l o w i n g c o m p a t i b i l i t y c o n s t r a i n t f o r p o r o s i t y : where e i s t h e v o l u m e t r i c - d i l a t a t i o n . E q u a t i o n (4.5) s t a t e s t h a t t h e p o r e - d i l a t a t i o n r a t e (dn/dt) i s g i v e n by t h e r a t e a t w h i c h s o l i d s a r e l e a v i n g a u n i t volume minus t h e r a t e a t w h i c h t h e y a r e e x p a n d i n g due t o d e c r e a s e s i n t h e a v e r a g e e f f e c t i v e n o r m a l s t r e s s o r i n c r e a s e s i n t e m p e r a t u r e w i t h i n t h e volume. Equations of Motion D e f o r m a t i o n o f t h e p o r o u s medium i s g o v e r n e d by t h e e f f e c t i v e s t r e s s Ti . w h i c h i s d e f i n e d a s dn _ ( . . u S e . n br _ 9r - i (4.5) T • T ; (4.6) where s t r e s s e s a r e d e f i n e d a s p o s i t i v e when c o m p r e s s i v e , • i s t h e t o t a l s t r e s s , and £ i s t h e r a t i o of f l u i d volume 1 45 e x p e l l e d t o t h e v o l u m e t r i c d i l a t a t i o n f o r d r a i n e d c o n d i t i o n s . From s t r e s s - s t r a i n measurements B i o t and W i l l i s . ( 1 9 5 7 ) , and Nur and B y e r l e e (1971) have s u g g e s t e d t h a t a = ( 4 . 7 ) where ks and ksj- a r e t h e b u l k m o d u l i o f t h e s o l i d g r a i n s and p o r o u s medium, r e s p e c t i v e l y . F o r media w i t h a p p r e c i a b l e p o r o s i t y , ks/ksj-«] , w i t h £=0, and t h e f l u i d volume e x p e l l e d i s e q u a l t o t h e v o l u m e t r i c d i l a t a t i o n . W i t h e q u a t i o n ( 4 . 6 ) t h e e q u a t i o n s o f m o t i o n f o r t h e b l o c k a r e I*  rxx + y * p ) + <V I T V X - 0 < 4 - 8 A > Tx 7xy + PSf Tt Vy ' 0 <4'8b> F o r a l i n e a r - e l a s t i c p o r o u s medium t h e c o n s t i t u t i v e e q u a t i o n s f o r s t r e s s and s t r a i n a r e ( a f t e r B i o t a nd W i l l i s , 1957) • = _ 2 m [ P — e k k b n •+ etf] + 2 ^ ( l ~ y ) 7 , / ( r - r 0 ) 8 / / (4.9) where s o l i d - m a t r i x s t r a i n s and d i s p l a c e m e n t s a r e p o s i t i v e i n e x t e n s i o n . S u b s t i t u t i o n o f (4.9) i n t o ( 4 . 8 ) , and w r i t i n g t h e s t r a i n s and v e l o c i t i e s i n terms o f s o l i d - m a t r i x d i s p l a c e m e n t s y i e l d s 3 ^ 2 M ( W ) ( | ^ ry - 7 0) - ip] = p , l i [ f (4.10a) d (1-2*) 7 7 9 « 2 I x ^ l i V = p * f J ^ u y ( 4 * 1 0 b ) where p=(P-P0) i s t h e f l u i d p r e s s u r e i n c r e a s e above t h e i n i t i a l v a l u e P0l and ®={T-T0) i s t h e t e m p e r a t u r e i n c r e a s e above t h e i n i t i a l v a l u e T0. E q u a t i o n (4.10a) d e t e r m i n e s t h e v o l u m e t r i c - d i l a t a t i o n r a t e , and (4.10b) d e t e r m i n e s t h e r e l a t i v e d i s p l a c e m e n t and s l i p v e l o c i t y a c r o s s t h e f a u l t . The t e n d e n c y of t h e p o r e - v o l u m e t o d i l a t a t e w i t h i n c r e a s i n g f l u i d p r e s s u r e p r o v i d e s a mechanism t o a c c o m o d a t e t h e t h e r m a l e x p a n s i o n of p o r e w a t e r s . As we a r e i n t e r e s t e d p r i m a r i l y i n c o n d i t i o n s t h a t c a n a r r e s t t h e r a t e o f p r e s s u r i z a t i o n , we c o n s i d e r o n l y e x t e n s i o n w i t h i n t h e t h e r m a l and f l u i d p r e s s u r e f i e l d s c a u s e d by f r i c t i o n a l h e a t i n g . In t h i s c a s e , b e c a u s e t h e r a t e a t w h i c h h e a t and f l u i d p r e s s u r e d i f f u s e i s s i g n i f i c a n t l y l e s s t h a n t h e c o m p r e s s i o n a l wave v e l o c i t y , we c a n n e g l e c t t h e i n e r t i a l t e r m o f ( 4 . 1 0 a ) . I n t e g r a t i o n o f (4.10a) o v e r t h e t h e r m a l and f l u i d p r e s s u r e f i e l d s , w i t h t h e c e n t e r l i n e o f t h e f a u l t f i x e d a t x=0, y i e l d s UAx.t) = Jx [ ( l ~ 2 y ) * p(v,t) + j , f e(7?,f) ] dr? (4.11) where U r e p r e s e n t s t h e s o l i d m a t r i x d i s p l a c e m e n t from i t s i n i t i a l p o s i t i o n . The c o r r e s p o n d i n g v o l u m e t r i c - s t r a i n and p o r e - v o l u m e - d i l a t a t i o n r a t e s a r e , r e s p e c t i v e l y , 147 If - fa^&li P + i,t e> « - ' 2 a > If = I r " 1 1 ^ + < V , > e l ( 4 - 1 2 b ) 2jx( 1 -v) The q u a n t i t y i n f r o n t o f t h e p r e s s u r e t e r m i n e q u a t i o n (4.12a) i s t h e c o m p r e s s i b i l i t y o f t h e p o r o u s medium, $sf, where: a = LAzlill (4.13) J 2 M ( 1 " ^ ) T h i s p a r a m e t e r c h a r a c t e r i z e s t h e v o l u m e t r i c d i l a t a t i o n t h a t w i l l t a k e p l a c e f o r a u n i t change i n e f f e c t i v e s t r e s s . T a b l e 4.1 summarizes t h e r a n g e of c o m p r e s s i b i l i t i e s t h a t have been s u g g e s t e d f o r v a r i o u s r o c k t y p e s . B e c a u s e p, 0, Psf, y s f u ' v, and £ a r e n o n l i n e a r f u n c t i o n s o f U , e and n, e q u a t i o n s (4.11) and (4.12) r e p r e s e n t i m p l i c i t e q u a t i o n s f o r U , e and n. F o r c a l c u l a t i o n o f t h e t h e r m a l and f l u i d p r e s s u r e f i e l d s we need t o s o l v e (4.10b) o n l y f o r t h e r e l a t i v e s l i p v e l o c i t y a c r o s s t h e f a u l t . The i n i t i a l s h e a r s t r e s s w i t h i n t h e e l a s t i c b l o c k s i s g i v e n by t h e s t a t i c s h e a r s t r e n g t h of t h e f a u l t r x y = M 5 ( r n - P 0 ) a t t=0 (4.14) where i s t h e s t a t i c c o e f f i c i e n t o f f r i c t i o n ( M 5 > M ^ ) « Once s l i p i s i n i t i a t e d , t h e f r i c t i o n a l r e s i s t a n c e d r o p s t o t h e dynamic v a l u e w i t h t h e s h e a r s t r e s s on t h e s u r f a c e o f t h e 1 48 e l a s t i c b l o c k d e s c r i b e d by t h e b o u n d a r y c o n d i t i o n M Ix Uy = Vd[(Tn-P0)-p(x,t)] at x=0 (4.15) where a i s t h e s h e a r modulus o f t h e e l a s t i c b l o c k . S o l v i n g e q u a t i o n (4.10b) f o r t h e s l i p v e l o c i t y , g i v e n t h e i n i t i a l c o n d i t i o n ( 4 . 1 4 ) , t h e b o u n d a r y c o n d i t i o n (4.15) and t h e p o s i t i o n o f t h e b l o c k f i x e d a t x=wgl y i e l d s vAt) = — i - { (us-ud)Un-P0)H(ts-t) + b  1 ud fj- J p ( t - T ) [ H ( r ) - H ( T - t 5 ) ] d r } a t x=0 (4.16a) 2we ts - — (4.16b) where i s i s a c h a r a c t e r i s t i c s l i p d u r a t i o n , w£ i s t h e w i d t h of t h e e l a s t i c r e g i o n , and v i s t h e s h e a r wave v e l o c i t y . F o r an i n s t a n t a n e o u s d r o p i n s h e a r s t r e n g t h a c r o s s t h e f a u l t , t i s t h e c h a r a c t e r i s t i c ( o r r e l a x a t i o n ) t i m e f o r t h e r e l e a s e o f s t r a i n e n e r g y w i t h i n t h e e l a s t i c b l o c k s . E q u a t i o n (4.16) i s r e f e r r e d t o as t h e e l a s t i c - b l o c k (EB) model f o r s l i p v e l o c i t y . We now m o d i f y t h i s s o l u t i o n : f i r s t , t o a c c o u n t f o r edge e f f e c t s due t o f a u l t p r o p a g a t i o n ; and, s e c o n d , t o c o n s i d e r o n l y t h e a v e r a g e v e l o c i t y o f t h e e l a s t i c b l o c k . I f f l u i d p r e s s u r e r e m a i n s c o n s t a n t , e q u a t i o n (4.16) r e d u c e s t o t h e s l i p model s u g g e s t e d by Brune ( 1 9 7 0 ) . H i s model 1 49 c o n s i s t e d o f a t a n g e n t i a l s t r e s s p u l s e a p p l i e d u n i f o r m l y and i n s t a n t a n e o u s l y o v e r one f a u l t b l o c k , w i t h an e q u a l p u l s e a p p l i e d i n t h e o p p o s i t e d i r e c t i o n t o t h e o t h e r b l o c k . T h i s model assumes t h a t f o r d i s t a n c e s l e s s t h a n t h e b l o c k w i d t h t h e s h e a r s t r e s s i s u n i f o r m and n o n - z e r o , whereas f o r d i s t a n c e s g r e a t e r t h a n t h e b l o c k w i d t h t h e s t r e s s i s z e r o . T h u s , t h e s l i p v e l o c i t y i s c o n s t a n t f o r d u r a t i o n s l e s s t h a n t , and a b r u p t l y f a l l s t o z e r o f o r g r e a t e r d u r a t i o n s . In a c t u a l i t y , t h e s t r e s s w o u l d peak a t t h e f a u l t and d e c l i n e w i t h d i s t a n c e . C o n s e q u e n t l y , t h e d e c a y i n s l i p v e l o c i t y would r e f l e c t t h e d e c l i n e i n s h e a r s t r e s s w i t h d i s t a n c e . To a c c o u n t f o r t h i s e f f e c t , and t h e e f f e c t s of f a u l t p r o p a g a t i o n , B rune s u g g e s t e d r e p l a c i n g t h e c o n s t a n t s l i p v e l o c i t y w i t h ry(t) = — — e x p ( - -J- ) (4.17) where a i s t h e i n i t i a l d r o p i n s h e a r s t r e s s a c r o s s t h e f a u l t s u r f a c e , and t r i s a r e l a x a t i o n t i m e c o n s t a n t . To use t h i s r e l a t i o n s h i p , we assume th e i n i t i a l s t r e s s d r o p i s g i v e n by t h e d i f f e r e n c e i n t h e s t a t i c and dynamic s h e a r s t r e n g t h s of t h e f a u l t s u r f a c e . B e c a u se t h e s t r e s s d r o p and s l i p v e l o c i t y a r e a f f e c t e d by c h a n g e s i n t h e r e s i s t i v e s t r e s s , e q u a t i o n (4.17) i s m o d i f i e d t o a c c o u n t f o r c h a n g e s i n f l u i d p r e s s u r e : 150 V ° = 7 = = t (ns-nd)(rn-P0)exp(- jl- ) + l y ; o p ( t - r ) e x p ( - -f- )//(r) } a t x=0 (4.18) I f f l u i d p r e s s u r e s r e m a i n c o n s t a n t and t r = t , t h e n b o t h m o d els y i e l d t h e same d i s p l a c e m e n t and maximum s l i p v e l o c i t y . E q u a t i o n (4.18) i s r e f e r r e d t o as t h e e d g e - e f f e c t s (EE) model f o r s l i p v e l o c i t y . A t h i r d model f o r s l i p i s t h e spri ng-ri der model where o n l y t h e a v e r a g e d i s p l a c e m e n t and v e l o c i t y o f t h e e l a s t i c b l o c k s a r e c o n s i d e r e d ( e . g . ; B u r r i d g e and K n o p o f f , 1967; J a e g e r and Cook, 1969, p. 61; Nur, 1978; I s r a e l and Nur, 1979). F o r t h i s model e q u a t i o n (4.10b) - i s i n t e g r a t e d w i t h r e s p e c t t o x o v e r t h e w i d t h o f t h e e l a s t i c b l o c k and i s r e w r i t t e n as Ot  e where U i s t h e a v e r a g e d i s p l a c e m e n t o f t h e b l o c k from i t s i n i t i a l p o s i t i o n and t h e i n i t i a l c o n d i t i o n s a r e U (0)<=dU (0)/bt =0. The t e r m s on t h e l e f t h a n d s i d e a r e , r e s p e c t i v e l y , t h e i n e r t i a l f o r c e of moving t h e b l o c k and t h e r e s t o r i n g f o r c e e x e r t e d by t h e b l o c k once m o t i o n b e g i n s . The t e r m on t h e r i g h t h a n d s i d e i s t h e f o r c e a v a i l a b l e t o a c c e l e r a t e t h e b l o c k due t o a d r o p i n t h e r e s i s t i v e s t r e s s a c r o s s t h e f a u l t . S o l v i n g e q u a t i o n (4.19) f o r t h e a v e r a g e 151 v e l o c i t y of t h e b l o c k y i e l d s Vy(t) = Ud | y / p(t-T)sin(%±)[H(T)-H(T-$t s)]dT } (4.20) T h i s model i s r e f e r r e d t o a s t h e s p r i n g - r i d e r (SR) model f o r s l i p v e l o c i t y . T h e s e t h r e e models a r e v a l i d w h i l e t h e s l i p v e l o c i t y i s g r e a t e r t h a n z e r o . When t h e s l i p v e l o c i t y e q u a l s z e r o , we assume t h a t s t a t i c f r i c t i o n i s s u f f i c i e n t t o p r e v e n t b a c k s l i d i n g and s l i p c e a s e s . F i g u r e 4.3 shows t h e v e l o c i t y a s a f u n c t i o n o f t i m e f o r e a c h m o d e l . I n t h i s f i g u r e , t h e v e l o c i t y i s n o r m a l i z e d by i t s i n i t i a l v a l u e and t h e f l u i d p r e s s u r e i s c o n s t a n t . B o t h t h e amount and d u r a t i o n of s l i p a r e d e p e n d e n t on t h e c o e f f i c i e n t s and w i d t h o f t h e e l a s t i c r e g i o n , t h e d i f f e r e n c e between t h e dynamic and s t a t i c c o e f f i c i e n t s of f r i c t i o n , and t h e f l u i d p r e s s u r e on t h e f a u l t s u r f a c e . F o r e a c h model t h e maximum v e l o c i t y and f i n a l d i s p l a c e m e n t a r e t h e same. I f f l u i d p r e s s u r e s i n c r e a s e d u r i n g s l i p , however, t h i s may n o t be t h e c a s e , and e x a c t s o l u t i o n s f o r t h e d i s p l a c e m e n t and s l i p v e l o c i t y must be o b t a i n e d by s o l u t i o n o f t h e c o u p l e d e q u a t i o n s . 152 Solution Technique S u b s t i t u t i n g t h e D a r c y f l u x and t h e v o l u m e t r i c s t r a i n r a t e i n t o e q u a t i o n s (4.3) and ( 4 . 4 ) , and a s s u m i n g t h a t t h e t o t a l n o r m a l s t r e s s e s r e m a i n c o n s t a n t d u r i n g s l i p y i e l d s t h e f i n a l f o r m o f t h e e q u a t i o n s g o v e r n i n g t h e t e m p e r a t u r e i n c r e a s e , y*sf H> + I'*'* ; r > <£?><!!> + » V l f - n F - ^ H e + r o ) + W w »d(rn-P0-p) [H(x+w)-H(x-w)] = (pc)sf |f (4.21) w and t h e p r e s s u r e i n c r e a s e , i*ew-ii-")ws+Psfi%f ( 4 - 2 2 ) E q u a t i o n (4.21) and (4.22) c a n be s o l v e d by a G a l e r k i n f i n i t e - e l e m e n t t e c h n i q u e t o g i v e an a p p r o x i m a t e s o l u t i o n t o t h i s c o u p l e d s y s t e m o f e q u a t i o n s . In a d d i t i o n , p o r o s i t y i s d e t e r m i n e d by t h e c o m p a t i b i l i t y e q u a t i o n (4.12) and s l i p v e l o c i t y i s g i v e n by e q u a t i o n s ( 4 . 1 6 ) , (4.18) o r ( 4 . 2 0 ) . D e t a i l s o f t h e a p p r o a c h a r e summarized i n t h e A p p e n d i x . F o r a l l s i m u l a t i o n s , we assume a u n i f o r m t e m p e r a t u r e T0 and f l u i d p r e s s u r e P0 as i n i t i a l c o n d i t i o n s , and t h a t t h e s o l u t i o n s r e m a i n bounded as | x | a p p r o a c h e s i n f i n i t y . The l a t t e r c o n d i t i o n i s s a t i s f i e d by moving t h e b o u n d a r i e s of t h e f i n i t e e l e m e n t mesh f a r enough f r o m t h e f a u l t s u r f a c e so t h a t t h e y e x p e r i e n c e no t e m p e r a t u r e o r f l u i d p r e s s u r e p e r t u r b a t i o n s . Thus t h e w i d t h o f t h e f i n i t e e l e m e n t g r i d i s d e t e r m i n e d by t h e s i z e of t h e t h e r m a l and h y d r o l o g i c f i e l d s c a u s e d by f r i c t i o n a l h e a t i n g . The s i z e of t h e s e f i e l d s a r e n e g l i g i b l e i n c o m p a r i s o n t o t h e w i d t h o f t h e e l a s t i c b l o c k s . C o n s e q u e n t l y , t h e e f f e c t o f t h e r m a l p r e s s u r i z a t i o n i s r e g a r d e d a s a t r a n s i e n t s t r e s s d r o p on t h e b o u n d a r y o f t h e e l a s t i c b l o c k and m o t i o n o f t h e e l a s t i c b l o c k i s d e t e r m i n e by n u m e r i c a l i n t e g r a t i o n o f t h e e q u a t i o n s of m o t i o n . In a d d i t i o n , t h e p e r m e a b i l i t y and p o r o u s medium c o m p r e s s i b i l i t y a r e assumed t o be i n d e p e n d e n t of c h a n g e s i n f l u i d p r e s s u r e and t e m p e r a t u r e , and t o be u n i f o r m and e q u a l on b o t h s i d e s o f t h e f a u l t . A l t h o u g h t h e s e a s s u m p t i o n s may be r e l a x e d e a s i l y , t h e y a r e r e t a i n e d i n o r d e r t o c l a r i f y t h e i r s e p a r a t e e f f e c t s i n t h e t h e r m a l - p r e s s u r i z a t i o n p r o c e s s . RESULTS Controlling Parameters for Thermal Pressurization From e q u a t i o n (4.22) i t c a n be shown t h a t t h e r m a l p r e s s u r i z a t i o n and f l o w of p o r e f l u i d s a r e d e t e r m i n e d by t h e p a r a m e t e r 1 54 T = - - ^ - (4.23a) = - (4.23b) 0 where T i s d e f i n e d a s t h e t h e r m a l p r e s s u r i z a t i o n c o e f f i c i e n t f o r t h e p o r o u s medium, and y and 0 r e p r e s e n t t h e f l u i d volume' e x p a n s i o n due t o a u n i t i n c r e a s e i n t e m p e r a t u r e and a u n i t d e c r e a s e i n f l u i d p r e s s u r e , r e s p e c t i v e l y . The t h e r m a l p r e s s u r i z a t i o n c o e f f i c i e n t c h a r a c t e r i z e s t h e i n c r e a s e i n f l u i d p r e s s u r e p e r u n i t change i n t e m p e r a t u r e f o r u n d r a i n e d c o n d i t i o n s . Hence, i t i s a measure o f t h e b a l a n c e between p r e s s u r i z a t i o n and p o r e d i l a t a t i o n . F i g u r e 4.4 shows t h a t t h e t h e r m a l p r e s s u r i z a t i o n c o e f f i c i e n t T i s s t r o n g l y d e p e n d e n t on t e m p e r a t u r e and p o r o u s medium c o m p r e s s i b i l i t y . V a l u e s a s s i g n e d t o t h e s o l i d p r o p e r t i e s a r e summarized i n T a b l e 4.2. Whether p r e s s u r i z a t i o n o r p o r e - d i l a t a t i o n a r e d o m i n a n t i n r e s p o n s e t o a t e m p e r a t u r e r i s e w i l l depend on t h e r e l a t i v e m a g n i t u d e s o f t h e c o m p r e s s i b i l i t i e s f o r t h e p o r e w a t e r Pw and t h e p o r o u s medium $sf- F o r p o r o u s medium c o m p r e s s i b i l i t i e s l e s s t h a n 10" 1 1 P a - 1 , t h e t h e r m a l p r e s s u r i z a t i o n c o e f f i c i e n t c an be a p p r o x i m a t e d by r cr 2JS. B « p (4.24) J3 sj W In t h i s c a s e t h e p o r o u s medium i s s t i f f , and p r e s s u r i z a t i o n and f l u i d f l o w a r e t h e o n l y mechanisms f o r a c c o m o d a t i n g t h e 155 h e a t i n g o f p o r e w a t e r s . B e c a u s e t h e r a t e a t w h i c h water p r e s s u r i z e s i s l a r g e , a t e m p e r a t u r e r i s e o f o n l y a few d e g r e e s c o u l d c a u s e f l u i d p r e s s u r e s t o a p p r o a c h l i t h o s t a t i c v a l u e s . F o r c o m p r e s s i b i l i t i e s g r e a t e r t h a n 10" 9 P a " 1 , t h e p o r o u s medium i s more c o m p r e s s i b l e t h a n t h e p o r e water and t h e t h e r m a l p r e s s u r i z a t i o n c o e f f i c i e n t c a n be a p p r o x i m a t e d by r - — • P s f » Pw (4.25) In t h i s c a s e t h e r m a l e x p a n s i o n and p r e s s u r i z a t i o n of p o r e w a t e r s i n i t i a t e s a p o r e - v o l u m e e x p a n s i o n . C o n s e q u e n t l y , t h e h e a t i n g o f p o r e w a t e r s i s a c c o m o d a t e d p r i m a r i l y by p o r e - d i l a t a t i o n and f l u i d f l o w . I f t h e p o r o u s medium c o m p r e s s i b i l i t y e x c e e d s 10" 8 P a - 1 , t h e n l a r g e t e m p e r a t u r e i n c r e a s e s (>100 °C p e r MPa i n c r e a s e i n f l u i d p r e s s u r e ) a r e r e q u i r e d t o p r e s s u r i z e t h e f l u i d . The h y d r a u l i c d i f f u s i v i t y c h a r a c t e r i z e s t h e r a t e a t w h i c h t h e d i s t u r b a n c e i n f l u i d p r e s s u r e p r o p a g a t e s from t h e t h e r m a l s o u r c e . From e q u a t i o n (4.22) t h e h y d r a u l i c d i f f u s i v i t y i s g i v e n by a. = - (4.26a) »wint5w - i^-n)^Bs + (5sf) F o r a s t i f f p o r o u s medium t h e h y d r a u l i c d i f f u s i v i t y c a n be a p p r o x i m a t e d by a nB 156 Bsf  K < $w (4.26b) In t h i s c a s e t h e h y d r a u l i c d i f f u s i v i t y c h a r a c t e r i z e s t h e b a l a n c e between p r e s s u r i z a t i o n and f l u i d f l o w . F o r a c o m p r e s s i b l e medium an - — L - B s f » Bw (4.26c) and t h e h y d r a u l i c d i f f u s i v i t y c h a r a c t e r i z e s t h e b a l a n c e between p r e s s u r i z a t i o n , p o r e - d i l a t a t i o n and f l u i d f l o w . The t h e r m a l d i f f u s i v i t y Ksf at = 5-L- (4.27) ( p c ) s f c h a r a c t e r i z e s t h e r a t e a t w h i c h a t e m p e r a t u r e p e r t u r b a t i o n p r o p a g a t e s from i t s h e a t s o u r c e . To compare t h e w i d t h s o f t h e h y d r a u l i c and t h e r m a l f i e l d s i t i s c o n v e n i e n t t o d e f i n e a c h a r a c t e r i s t i c l e n g t h f o r e a c h f i e l d ( e . g . , L a c h e n b r u c h , 1980; D e l a n e y , 1982). The h y d r a u l i c d i f f u s i o n l e n g t h , d e f i n e d as / h = \/4aht (4.28a) r e f l e c t s t h e d i s t a n c e a f l u i d p r e s s u r e p e r t u r b a t i o n w i l l p r o p a g a t e from i t s t h e r m a l s o u r c e i n t i m e t . The t h e r m a l c o n d u c t i o n l e n g t h l t = ^ ^ T 7 (4.28b) r e f l e c t s t h e d i s t a n c e a t e m p e r a t u r e p e r t u r b a t i o n w i l l p r o p a g a t e by t h e r m a l c o n d u c t i o n from i t s h e a t s o u r c e i n t i m e t. I f t h e h y d r a u l i c d i f f u s i v i t y i s much g r e a t e r t h a n t h e t h e r m a l d i f f u s i v i t y , t h e n t h e w i d t h of t h e h y d r a u l i c f i e l d i s much g r e a t e r t h a n t h e w i d t h o f t h e t h e r m a l f i e l d ( / h » l t ) . C o n s e q u e n t l y , t h e h e a t i n g o f p o r e w a t e r s i s r e a d i l y a c c o m o d a t e d by f l u i d e x p a n s i o n and f l o w from t h e t h e r m a l f i e l d . In s u c h a c a s e t h e f l u i d p r e s s u r e r i s e i s d i s t r i b u t e d o v e r a b r o a d r e g i o n and has a r e l a t i v e l y s m a l l peak v a l u e . The c o m p e t i n g e f f e c t s between t h e r m a l p r e s s u r i z a t i o n , p o r e d i l a t a t i o n and f l u i d f l o w make i t n e c e s s a r y t o s p e c i f y e x p l i c i t l y t h e t h e r m a l p r e s s u r i z a t i o n c o e f f i c i e n t and t h e h y d r a u l i c d i f f u s i v i t y t o c h a r a c t e r i z e f u l l y t h e f l u i d - p r e s s u r e r e s p o n s e due t o i n c r e a s e s i n t e m p e r a t u r e . However, b o t h p a r a m e t e r s a r e dep e n d e n t on t h e t h e t h e r m a l e x p a n s i v i t y , c o m p r e s s i b i l i t y , and v i s c o s i t y o f t h e p o r e w a t e r s . T h i s d ependence means i t i s not p o s s i b l e t o s p e c i f y u n i q u e v a l u e s f o r t h e s e p a r a m e t e r s when t h e r e a r e l a r g e t e m p e r a t u r e v a r i a t i o n s . The p o r o u s medium c o m p r e s s i b i l i t y and p e r m e a b i l i t y , however, a r e n o t d e p e n d e n t on f l u i d p r o p e r t i e s . Hence, f o r n u m e r i c a l s o l u t i o n s t h e f l u i d p r e s s u r e r e s p o n s e w i l l be e x p r e s s e d i n terms o f t h e s e two p a r a m e t e r s . B e c a u s e t h e r a n g e o f v a l u e s f o r s o l i d p r o p e r t i e s i s c o n s i d e r a b l y s m a l l e r t h a n t h a t o f v a r i a t i o n s i n t h e h y d r a u l i c c h a r a c t e r i s t i c s o f p o r o u s m e d i a , a s u b s e t of s o l i d p r o p e r t i e s 158 i s n o t v a r i e d i n s u b s e q u e n t examples ( T a b l e 4 . 2 ) . Changes i n t h e s e p r o p e r t i e s w i l l not s i g n i f i c a n t l y a l t e r t h e r e s u l t s t o f o l l o w . To i n c l u d e t h e t e m p e r a t u r e - d e p e n d e n t p r o p e r t i e s of w a t e r f o r c o n d i t i o n s where t h e r e a r e l a r g e t e m p e r a t u r e i n c r e a s e s , we examine t h e i n f l u e n c e of porous-medium p r o p e r t i e s f o r a s e t o f i n i t i a l c o n d i t i o n s r e p r e s e n t a t i v e o f a p a r t i c u l a r d e p t h . F o r a l l n u m e r i c a l s o l u t i o n s , f l u i d p r e s s u r e s a r e i n i t i a l l y h y d r o s t a t i c and t h e f a u l t s u r f a c e i s l o c a t e d a t a d e p t h of 2 km. T a b l e 4.3 summarizes t h e i n i t i a l c o n d i t i o n s f o r t h i s d e p t h . U n l e s s s t a t e d o t h e r w i s e , we have c h o s e n t h e dynamic c o e f f i c i e n t o f f r i c t i o n and r e l a t i v e s l i p v e l o c i t y t o be 0.6 and 10" 1 m s - 1 f o r a l l n u m e r i c a l c o m p u t a t i o n s . Fai I ure Surface In t h i s s e c t i o n we examine t h e u n d r a i n e d and d r a i n e d r e s p o n s e o f a f a i l u r e s u r f a c e f o r a g i v e n a v e r a g e s l i p v e l o c i t y . F o r a f a i l u r e s u r f a c e , t h e r a t e of f r i c t i o n a l h e a t i n g e n t e r s t h e e q u a t i o n f o r t h e t e m p e r a t u r e r i s e (4.21) by t h e b o u n d a r y c o n d i t i o n . A n a l y t i c a l s o l u t i o n s f o r t e m p e r a t u r e , f l u i d p r e s s u r e , r e s i s t i v e s t r e s s , and p o r o s i t y assume c o n s t a n t c o e f f i c i e n t s f o r t h e f l u i d p r o p e r t i e s and t h a t a l l n o n l i n e a r e f f e c t s a r e s m a l l . N u m e r i c a l s o l u t i o n s a r e u s e d t o examine n o n l i n e a r e f f e c t s , and t o e x t e n d t h e a n a l y t i c a l s o l u t i o n s . 159 I) Undrained conditions — Effects of pore dilatation. I f t h e h y d r a u l i c d i f f u s i v i t y i s l e s s t h a n t h e t h e r m a l d i f f u s i v i t y , t h e r e i s no a p p r e c i a b l e t r a n s p o r t of f l u i d mass from t h e h e a t e d r e g i o n and t h e p o r e w a t e r r e s p o n d s under u n d r a i n e d c o n d i t i o n s ( i . e . , n e g l i g i b l e t r a n s p o r t o f f l u i d o v e r t h e t i m e s c a l e of an e a r t h q u a k e ) . In t h i s c a s e p r e s s u r i z a t i o n and p o r e d i l a t a t i o n a r e t h e o n l y mechanisms f o r a c c o m o d a t i n g t h e h e a t i n g o f p o r e w a t e r s . F o r u n d r a i n e d c o n d i t i o n s , t h e f l u i d p r e s s u r e r i s e i s r e l a t e d t o t h e t e m p e r a t u r e r i s e by p(x,t ) « T S(x,t ) (4.29) and t h e r a t e o f f r i c t i o n a l h e a t i n g i s d e t e r m i n e d by t h e b o u n d a r y c o n d i t i o n " Ksf H = ^d[(Tn~Po] ~ F 0 ] ^ a t x = 0 (4.30) where Vy and r e p r e s e n t t h e a v e r a g e s l i p v e l o c i t y and c o e f f i c i e n t o f f r i c t i o n o v e r t h e e v e n t . The s o l u t i o n f o r t h e t e m p e r a t u r e r i s e i s g i v e n by ( a f t e r C a r s l a w and J a e g e r , 1959, p. 72) ( T -P0) Q(x,t) = — - [ e r f c ( — * — ) -r i/4a ? t e x p ( — + —L ) e r f c ( — + y/T7Vo~) ] (4.31) Vi>oat 4/0 v/4a, t 160 The p a r a m e t e r i / / 0 , d e f i n e d by to = s f (4.32) i s t h e c h a r a c t e r i s t i c t i m e f o r t h e r m a l p r e s s u r i z a t i o n of t h e f a u l t s u r f a c e . The r e s i s t i v e s t r e s s on t h e f a u l t s u r f a c e i s g i v e n by F o r s l i p e v e n t s w i t h a d u r a t i o n e q u a l t o ty0, t h e r e s i s t i v e s t r e s s d e c l i n e s t o a p p r o x i m a t e l y h a l f i t s i n i t i a l v a l u e . F i g u r e 4.5a shows t h e t e m p e r a t u r e and r e s i s t i v e s t r e s s g i v e n by e q u a t i o n s (4.31) and (4.33) as a f u n c t i o n of n o n d i m e n s i o n a l s l i p d u r a t i o n t/\jj0. F o r e v e n t s w i t h a s l i p d u r a t i o n much l e s s t h a n t h e c h a r a c t e r i s t i c t i m e , t h e e f f e c t s o f t h e r m a l p r e s s u r i z a t i o n a r e n e g l i g i b l e and t h e d r o p i n r e s i s t i v e s t r e s s i s s m a l l . As t h e p o r e f l u i d s s t a r t t o p r e s s u r i z e , t h e r e s i s t i v e s t r e s s and f r i c t i o n a l h e a t g e n e r a t i o n d i m i n i s h , and t h e t e m p e r a t u r e on t h e f a u l t s u r f a c e s t a b i l i z e s . I f t h e s l i p d u r a t i o n i s much g r e a t e r t h a n \jj0, t h e r e s i s t i v e s t r e s s a p p r o a c h e s z e r o and t h e t e m p e r a t u r e on t h e f a i l u r e s u r f a c e i s a p p r o x i m a t e d by rAt) = M ^ T ^ - P o ) exp(t/<// 0) eticWTJJZ) (4.33) 161 (rn-P0) @max * " <4'34> Thus t h e maximum t e m p e r a t u r e r i s e i s d e p e n d e n t o n l y on t h e i n i t i a l e f f e c t i v e s t r e s s and t h e p o r e - d i l a t a t i o n a l c h a r a c t e r i s t i c s of t h e a d j a c e n t medium. T h i s r e s p o n s e o c c u r s b e c a u s e f r i c t i o n a l h e a t i n g v a n i s h e s as t h e f l u i d p r e s s u r e a p p r o a c h e s t h e v a l u e o f t o t a l n o r m a l s t r e s s a c t i n g on t h e f a i l u r e s u r f a c e . C o n s e q u e n t l y , t h e r i s e i n f l u i d p r e s s u r e and t e m p e r a t u r e i s l i m i t e d by t h e i n i t i a l e f f e c t i v e s t r e s s a c t i n g on t h e f a i l u r e s u r f a c e . F o r s l i p d u r a t i o n s g r e a t e r t h a n 102\//0, t h e t h e r m a l and h y d r o l o g i c f i e l d s a r e no l o n g e r d e p e n d e n t on t h e c h a r a c t e r i s t i c t i m e . ^ 0 , and t h e r e b y t h e s e f i e l d s a r e no l o n g e r i n f l u e n c e d by t h e s l i p v e l o c i t y and f r i c t i o n c o e f f i c i e n t . Thus t h e s l i p v e l o c i t y and f r i c t i o n c o e f f i c i e n t a c t t o d e t e r m i n e o n l y t h e r a t e a t w h i c h t h e r m a l p r e s s u r i z a t i o n p r o c e e d s . F o r d e c r e a s e s i n V o r 11,, t h e d i s p l a c e m e n t r e q u i r e d f o r an e q u i v a l e n t r e d u c t i o n i n r e s i s t i v e s t r e s s i s i n c r e a s e d . I f e i t h e r t h e s l i p v e l o c i t y o r f r i c t i o n c o e f f i c i e n t d e v i a t e s f r o m i t s a v e r a g e v a l u e d u r i n g s l i p and t h a t d e v i a t i o n i s s m a l l , t h e n t h e c h a r a c t e r i s t i c t i m e i//0 and t h e r a t e o f t h e r m a l p r e s s u r i z a t i o n w i l l n o t be a l t e r e d s i g n i f i c a n t l y . In s u c h a c a s e t h e r a t e o f t h e r m a l p r e s s u r i z a t i o n w i l l depend p r i m a r i l y on v a r i a t i o n s i n t h e i n i t i a l e f f e c t i v e s t r e s s and p o r o u s medium c o m p r e s s i b i l i t y . F o r p o r o u s medium c o m p r e s s i b i l i t i e s l e s s t h a n t h a t o f w a t e r , p o r e d i l a t a t i o n i s n e g l i g i b l e and t h e 162 h e a t i n g o f p o r e w a t e r s c a u s e s r a p i d p r e s s u r i z a t i o n . I f t h e c o m p r e s s i b i l i t y i s g r e a t e r t h a n t h a t of w a t e r , t h e r m a l p r e s s u r i z a t i o n i n i t i a t e s a p o r e - v o l u m e e x p a n s i o n . T h i s e x p a n s i o n must be a c c o m p a n i e d by an i n c r e a s e i n t h e t h e r m a l e x p a n s i o n r a t e o f t h e p o r e w a t e r s b e f o r e p r e s s u r i z a t i o n c an o c c u r . C o n s e q u e n t l y , t h e r e s i s t i v e s t r e s s r e m a i n s a t i t s i n i t i a l v a l u e f o r a l o n g e r d u r a t i o n c r e a t i n g a l a r g e r t e m p e r a t u r e r i s e . Thus f o r s l i p e v e n t s w i t h t h e same d i s p l a c e m e n t , t h e t e m p e r a t u r e r i s e i s g r e a t e r and t h e r e d u c t i o n i n r e s i s t i v e s t r e s s i s s m a l l e r f o r media w i t h l a r g e r c o m p r e s s i b i l i t i e s . T h e s e r e s u l t s c an be u s e d t o e s t i m a t e t h e minimum d i s p l a c e m e n t r e q u i r e d f o r a s i g n i f i c a n t r e d u c t i o n i n r e s i s t i v e s t r e s s . As an example, f o r a c o e f f i c i e n t o f f r i c t i o n o f 0 . 6 and r e l a t i v e s l i p v e l o c i t y 2V o f 1 0 _ 1 m s - 1 , T a b l e 4 . 3 shows t h e v a l u e o f \p0 f o r s e l e c t e d p o r o u s medium c o m p r e s s i b i l i t i e s . F o r a s t i f f medium, I / / o - 1 0 - 3 s, and e v e n t s w i t h a d u r a t i o n g r e a t e r t h a n 1 0 " 3 s ( o r , e q u i v a l e n t l y , d i s p l a c e m e n t s g r e a t e r t h a n 1 0 - " m) wo u l d c a u s e t h e r e s i s t i v e s t r e s s t o d e c r e a s e t o l e s s t h a n h a l f i t s i n i t i a l v a l u e . I f t h e p o r o u s medium c o m p r e s s i b i l i t y i s 1 0 " 9 P a - 1 , t h e t e m p e r a t u r e r i s e i n c r e a s e s more t h a n t e n f o l d . In t h i s c a s e , i // o -0.4 s and d i s p l a c e m e n t s g r e a t e r t h a n 0 . 0 4 m a r e r e q u i r e d f o r t h e same r e d u c t i o n i n r e s i s t i v e s t r e s s . I f t h e c o e f f i c i e n t of f r i c t i o n and s l i p v e l o c i t y a r e r e d u c e d t o "H,= 0.2 and 2V = 1 0 - 2 m s - 1 , t h e n i// o=400 u y s and d i s p l a c e m e n t s g r e a t e r t h a n 4 m a r e r e q u i r e d . F o r p o r o u s medium c o m p r e s s i b i l i t i e s g r e a t e r t h a n 1 0 " 1 0 P a - 1 , t h e i n c r e a s e i n t h e t h e r m a l p r e s s u r i z a t i o n c o e f f i c i e n t w i t h t e m p e r a t u r e w i l l l i m i t t h e v a l i d i t y o f t h e a n a l y t i c a l s o l u t i o n s , e q u a t i o n s (4.31) and ( 4 . 3 3 ) . F i g u r e 4.5b shows a c o m p a r i s o n o f a n a l y t i c a l and n u m e r i c a l s o l u t i o n s f o r s e l e c t e d p o r o u s medium c o m p r e s s i b i l i t i e s , and t h e i n i t i a l c o n d i t i o n s o f T a b l e 4.3. A l t h o u g h t h e t e m p e r a t u r e r i s e i n c r e a s e s w i t h c o m p r e s s i b i l i t y , t h e a n a l y t i c a l s o l u t i o n i n c r e a s i n g l y o v e r p r e d i c t s t h e m a g n i t u d e of t h a t t e m p e r a t u r e r i s e . The l a r g e r t h e t e m p e r a t u r e r i s e , t h e p o o r e r t h e agreement between t h e a n a l y t i c a l and n u m e r i c a l s o l u t i o n s . F o r c o m p r e s s i b i l i t i e s l e s s t h a n 10" 9 P a " 1 , t h e t e m p e r a t u r e r i s e i s s m a l l and t h e a n a l y t i c a l s o l u t i o n s p r o v i d e good a p p r o x i m a t i o n s f o r t h e t e m p e r a t u r e r i s e and r e s i s t i v e s t r e s s . I f t h e c o m p r e s s i b i l i t y e x c e e d s 10" 9 P a " 1 , t h e t e m p e r a t u r e r i s e i s l a r g e ( > 1 0 0 ° C ) . In t h i s c a s e t h e i n c r e a s e i n t h e t h e r m a l p r e s s u r i z a t i o n c o e f f i c i e n t i s l a r g e , and t h e a n a l y t i c a l s o l u t i o n s a r e p o o r a p p r o x i m a t i o n s . 2) Drained conditions — Effects of fluid transport. F o r most p o r o u s m edia, p o r e w a t e r s d i f f u s e more r e a d i l y t h a n h e a t . In s u c h c a s e s t h e movement o f p o r e f l u i d s f r o m t h e t h e r m a l f i e l d c a n r e s t r i c t t h e a p p l i c a b i l i t y of t h e u n d r a i n e d m o d e l . To examine t h e e f f e c t s o f f l u i d t r a n s p o r t , we f i r s t c o n s i d e r t h e t h e r m a l and h y d r o l o g i c f i e l d s f o r l a r g e s l i p d u r a t i o n s when t h e f l u i d p r e s s u r e on t h e f a i l u r e s u r f a c e i s a p p r o x i m a t e l y l i t h o s t a t i c . As t h e f l u i d p r e s s u r e s a p p r o a c h 1 64 l i t h o s t a t i c v a l u e s , f r i c t i o n a l h e a t i n g v a n i s h e s and t h e t e m p e r a t u r e on t h e f a i l u r e s u r f a c e s t a b i l i z e s . Thus f o r l a r g e s l i p d u r a t i o n s t h e t h e r m a l f i e l d c a n be a p p r o x i m a t e d by t h e d i f f u s i o n o f h e a t from a c o n s t a n t t e m p e r a t u r e s u r f a c e ( e . g . , C a r s l a w and J a e g e r , 1959): 0 / U ' ? ) *  @ n a x e r £ c (  X ) (4.35) where ® m a x r e p r e s e n t s t h e t e m p e r a t u r e r i s e on t h e f a i l u r e s u r f a c e needed t o s u s t a i n f l u i d p r e s s u r e s a t l i t h o s t a t i c v a l u e s . B e c a u s e t h e a d v e c t i o n o f h e a t i s g e n e r a l l y s m a l l , e q u a t i o n (4.35) p r o v i d e s a good a p p r o x i m a t i o n o f t h e t e m p e r a t u r e d i s t r i b u t i o n f o r l a r g e t i m e s . The c o r r e s p o n d i n g f l u i d p r e s s u r e r i s e i s ( s e e a l s o D e l a n e y , 1980) are Pl(x,t) - — [ e r f c ( — Z - ) - g . e r f c ( — - ) ] (4.36a) ( 1 - a 2 ) V^aht \/4att where , a ( l 1/2 ( ~ ) 7 (4.36b) a h B e c a u s e t h e f l u i d p r e s s u r e r i s e i s l i m i t e d t o t h e i n i t i a l e f f e c t i v e s t r e s s , e q u a t i o n (4.36) c a n be u s e d t o e s t i m a t e t h e maximum t e m p e r a t u r e r i s e . S e t t i n g x=0 and e q u a t i n g t h e f l u i d p r e s s u r e r i s e t o t h e i n i t i a l e f f e c t i v e s t r e s s y i e l d s 1 65 r - P 0 max v ft • J / / where r f = — 2 i - (4.38) 7 (1+O) i s t h e r i s e i n f l u i d p r e s s u r e p e r u n i t r i s e i n t e m p e r a t u r e on t h e f a i l u r e s u r f a c e . Note t h a t Ty i s v a l i d o n l y f o r t h e f a i l u r e s u r f a c e . S u b s t i t u t i o n of e q u a t i o n (4.37) i n t o (4.36) y i e l d s t h e f l u i d p r e s s u r e d i s t r i b u t i o n f o r l a r g e s l i p d u r a t i o n s Tn~po P t ( x , t ) « [ e r f c ( — * — ) - g - e r f c ( — * — ) ] (4.39) 1-a v/4a^f  y/^att F o r an»at most of t h e h y d r a u l i c r e g i o n i s i s o t h e r m a l and e q u a t i o n (4.39) p r o v i d e s an e x c e l l e n t a p p r o x i m a t i o n o f t h e f l u i d p r e s s u r e d i s t r i b u t i o n f o r l a r g e t i m e s . The c o e f f i c i e n t Ty c a n be u s e d t o e s t i m a t e t h e t e m p e r a t u r e and r e s i s t i v e s t r e s s a s a f u n c t i o n o f s l i p d u r a t i o n . F o r d r a i n e d c o n d i t i o n s t h e r a t e o f f r i c t i o n a l h e a t i n g on t h e f a i l u r e s u r f a c e i s d e t e r m i n e d by t h e b o u n d a r y c o n d i t i o n ( 4 . 3 0 ) , where t h e t h e r m a l p r e s s u r i z a t i o n c o e f f i c i e n t T i s r e p l a c e d by Ty. The t e m p e r a t u r e r i s e i s o b t a i n e d from e q u a t i o n (4.31) by r e p l a c i n g T w i t h Ty, and t h e c h a r a c t e r i s t i c t i m e w i t h 166 (y+a)2KsApc) sf (4.40) (aD 2 where \jj0 now r e p r e s e n t s t h e c h a r a c t e r i s t i c t i m e o f t h e r m a l p r e s s u r i z a t i o n f o r d r a i n e d c o n d i t i o n s . W i t h t h e s e c h a n g e s e q u a t i o n s (4.31) and ( 4 . 3 3 ) , and F i g u r e 4.5a d e s c r i b e t h e t e m p e r a t u r e r i s e and r e s i s t i v e s t r e s s on a f a i l u r e s u r f a c e f o r d r a i n e d c o n d i t i o n s . F o r s l i p d u r a t i o n s much g r e a t e r t h a n i / / 0 , t h e t e m p e r a t u r e and f l u i d p r e s s u r e f i e l d s a r e a p p r o x i m a t e d by t h e l a r g e t i m e s o l u t i o n s . The t e m p e r a t u r e r i s e n e c e s s a r y t o s u s t a i n f l u i d p r e s s u r e s a t l i t h o s t a t i c v a l u e s depends p r i m a r i l y on t h e i n i t i a l e f f e c t i v e s t r e s s on t h e f a u l t s u r f a c e , and t h e f l u i d and t h e r m a l t r a n s p o r t p r o p e r t i e s and p o r e - d i l a t a t i o n c h a r a c t e r i s t i c s o f t h e a d j a c e n t medium. I f t h e t e m p e r a t u r e r i s e i s l a r g e ( > 1 0 0 ° C ) , t h e s e s o l u t i o n s o v e r e s t i m a t e t h e t e m p e r a t u r e r i s e and r e s i s t i v e s t r e s s . T h i s e f f e c t i s due p r i m a r i l y t o t h e i n c r e a s e i n t h e t h e r m a l p r e s s u r i z a t i o n c o e f f i c i e n t w i t h t e m p e r a t u r e and, t o a l e s s e r e x t e n t , t h e c o n t r a c t i o n o f p o r e f l u i d s a s t h e y f l o w from t h e t h e r m a l f i e l d . E q u a t i o n s (4.31) and ( 4 . 3 3 ) , however, p r o v i d e upper l i m i t s f o r t h e t e m p e r a t u r e r i s e and r e s i s t i v e s t r e s s . N u m e r i c a l s o l u t i o n s f o r t h e t e m p e r a t u r e and r e s i s t i v e s t r e s s on t h e f a i l u r e s u r f a c e a r e shown i n F i g u r e 4.6 t o i l l u s t r a t e t h e v a r i e t y o f f a u l t b e h a v i o r s p o s s i b l e f o r v a r i a t i o n s i n t h e p o r o u s medium c o m p r e s s i b i l i t y and p e r m e a b i l i t y . An a v e r a g e s l i p v e l o c i t y of 2 F ^ = 1 0 _ 1 m s - 1 i s assumed, and t h e i n i t i a l c o n d i t i o n s a r e summarized i n T a b l e 167 4.3. The 1000 °C i s o t h e r m i s shown t o d e l i n e a t e t h e c o n d i t i o n s where p a r t i a l m e l t i n g may o c c u r . When t h e p e r m e a b i l i t y i s l e s s t h a n 1 0 " 1 9 m 2 t h e r e s p o n s e i s t h e same a s i n t h e l i m i t f o r z e r o p e r m e a b i l i t y and t h e p o r e w a t e r s r e s p o n d under u n d r a i n e d c o n d i t i o n s . F o r p e r m e a b i l i t i e s g r e a t e r t h a n 1 0 " 1 5 m 2, t h e r m a l p r e s s u r i z a t i o n i s n u l l i f i e d by t h e t r a n s p o r t o f p o r e f l u i d s , and t h e f l u i d p r e s s u r e and r e s i s t i v e s t r e s s r e m a i n unchanged d u r i n g s l i p . T h i s p r o b l e m has been d i s c u s s e d by M c K e n z i e and Brune ( 1 9 7 2 ) . The t e m p e r a t u r e r i s e i s g i v e n by ( C a r s l a w and J a e g e r , 1959, p. 262) eu,t) = J—l 1 { — L _ e x p ( ^ i ) K$f H - t xlerfc(-U-l-) ] (4.41) / 4 a ? t I n t h i s c a s e t h e t e m p e r a t u r e on t h e f a u l t s u r f a c e c o n t i n u e s t o r i s e w i t h d i s p l a c e m e n t and p a r t i a l m e l t i n g may o c c u r b e f o r e t h e e f f e c t s o f t h e r m a l p r e s s u r i z a t i o n become s i g n i f i c a n t . The l o w e r f i g u r e s i n F i g u r e 4.6 show t h e r e s i s t i v e s t r e s s a s a f u n c t i o n o f d i s p l a c e m e n t . As t h e r e s i s t i v e s t r e s s d e c r e a s e s t h e r a t e o f t e m p e r a t u r e r i s e d i m i n i s h e s . L a r g e r e d u c t i o n s i n r e s i s t i v e s t r e s s c o i n c i d e w i t h l a r g e r e d u c t i o n s i n f r i c t i o n a l h e a t i n g and, c o n s e q u e n t l y , s t a b i l i z a t i o n of t h e t e m p e r a t u r e r i s e on t h e f a u l t . F o r s t i f f p o r o u s media w i t h p e r m e a b i l i t i e s l e s s t h a n 1 0 " 1 9 m 2, f l u i d f l o w f rom t h e t h e r m a l 168 f i e l d i s n e g l i g i b l e . In s u c h a c a s e t h e i n i t i a l r e s i s t i v e s t r e s s i s m a i n t a i n e d o n l y f o r a s h o r t d i s p l a c e m e n t (<10" 3 m) b e f o r e f r i c t i o n a l h e a t i n g c a u s e s t h e f l u i d s t o p r e s s u r i z e w i t h i n t h e t h e r m a l f i e l d . C o n s e q u e n t l y , t h e t e m p e r a t u r e r i s e i s s m a l l . F o r media w i t h l a r g e r p e r m e a b i l i t i e s , h e a t i n g o f p o r e w a t e r s c a n be a c c o m o d a t e d by t h e t h e r m a l e x p a n s i o n and f l o w o f f l u i d s from t h e t h e r m a l f i e l d . B e c a u s e of t h i s f l u i d volume l o s s , t h e r e s i s t i v e s t r e s s r e m a i n s a t i t s i n i t i a l v a l u e and t h e t e m p e r a t u r e c o n t i n u e s t o r i s e u n t i l t h e t h e r m a l e x p a n s i o n o f f l u i d s e x c e e d s t h e l o s s o f f l u i d s due t o t r a n s p o r t . Once t h i s c o n d i t i o n i s e s t a b l i s h e d , t h e p o r e f l u i d s w i t h i n t h e t h e r m a l f i e l d s t a r t t o p r e s s u r i z e c a u s i n g f r i c t i o n a l h e a t g e n e r a t i o n t o d i m i n i s h r a p i d l y , and t h e t e m p e r a t u r e on t h e f a u l t s u r f a c e t o s t a b i l i z e . Hence, f o r a g i v e n d i s p l a c e m e n t , t h e m a g n i t u d e o f t h e t e m p e r a t u r e r i s e i n c r e a s e s w i t h p e r m e a b i l i t y . S i m i l i a r l y , i f t h e medium i s a l s o c o m p r e s s i b l e , t h e r m a l p r e s s u r i z a t i o n w i l l i n i t i a t e a p o r e - v o l u m e e x p a n s i o n p r o v i d i n g a t h i r d mechanism f o r a c c o m o d a t i n g t h e h e a t i n g o f p o r e w a t e r s . In t h i s c a s e t h e i n i t i a l r e s i s t i v e s t r e s s i s m a i n t a i n e d o v e r an even g r e a t e r d i s p l a c e m e n t b e f o r e t h e t h e r m a l e x p a n s i o n o f p o r e w a t e r s e x c e e d s t h e p o r e d i l a t a t i o n and f l o w r a t e s , and p r e s s u r i z e s t h e f l u i d s . Thus t h e t e m p e r a t u r e r i s e i n c r e a s e s w i t h c o m p r e s s i b i l i t y . In a d d i t i o n , t h e r a t e of r e d u c t i o n i n r e s i s t i v e s t r e s s i s e n h a n c e d by t h e i n c r e a s e i n t h e t h e r m a l p r e s s u r i z a t i o n c o e f f i c i e n t w i t h t e m p e r a t u r e . 169 F i g u r e 4.6 c a n be s c a l e d f o r o t h e r v a l u e s o f i n i t i a l e f f e c t i v e s t r e s s , a v e r a g e s l i p v e l o c i t y , and f r i c t i o n c o e f f i c i e n t . F o r c h a n g e s i n t h e i n i t i a l e f f e c t i v e s t r e s s , t h e t e m p e r a t u r e i n F i g u r e 4.6 i s m u l t i p l i e d by t h e r a t i o of t h e new v a l u e f o r i n i t i a l e f f e c t i v e s t r e s s t o t h e r e f e r e n c e v a l u e (24 MPa). F o r c h a n g e s i n t h e s l i p v e l o c i t y and f r i c t i o n c o e f f i c i e n t t h e d i s p l a c e m e n t s c a l e s a r e m u l t i p l i e d by (4.42) where t h e p r i m e d v a l u e s d e n o t e t h e new v a l u e s , and t h e u n p r i m e d v a l u e s r e p r e s e n t t h e r e f e r e n c e v a l u e s 71^=0.6 and 2F^=10" 1 ms"'. T h e s e s c a l i n g f a c t o r s h o l d p r o v i d e d t h e change i n e f f e c t i v e s t r e s s does n o t y i e l d a t e m p e r a t u r e r i s e c o n s i d e r a b l y l a r g e r t h a n t h a t of t h e u n s e a l e d t e m p e r a t u r e r i s e . I f t h i s i s n o t t h e c a s e , t h e n t h e l a r g e r t e m p e r a t u r e r i s e w o u l d l e a d t o a l a r g e i n c r e a s e i n t h e t h e r m a l p r e s s u r i z a t i o n c o e f f i c i e n t , and t h e r e b y a d e c r e a s e i n t h e maximum t e m p e r a t u r e and an i n c r e a s e i n t h e r a t e o f s t r e s s r e d u c t i o n . R e s u l t s would have t o be o b t a i n e d by n u m e r i c a l s o l u t i o n . T hese s c a l i n g f a c t o r s , however, p r o v i d e u p p e r l i m i t s f o r t h e t e m p e r a t u r e r i s e and s t r e s s r e d u c t i o n . 3) Thermal and hydrologic fields. To i l l u s t r a t e how t h e d i f f u s i o n o f f r i c t i o n a l h e a t s t a b i l i z e s t h e t e m p e r a t u r e r i s e on t h e f a i l u r e s u r f a c e , 170 s e l e c t e d r e s u l t s f o r t h e t h e r m a l and h y d r o l o g i c f i e l d s w i t h i n t h e a d j a c e n t p o r o u s medium a r e shown i n F i g u r e s 4.7 and 4.8. These r e s u l t s c o r r e s p o n d t o t h e e q u i v a l e n t c u r v e s shown i n F i g u r e 4.6 f o r t h e t e m p e r a t u r e and r e s i s t i v e s t r e s s on t h e f a i l u r e s u r f a c e . F o r a s t i f f medium ( R f < R ) w i t h a p e r m e a b i l i t y o f 10" 1 7 m 2, F i g u r e 4.7 shows t h e t h e r m a l and h y d r a u l i c f i e l d s a s a f u n c t i o n o f d i s t a n c e from t h e f a i l u r e s u r f a c e f o r s e l e c t e d t i m e s . The d i s t a n c e f r o m t h e f a u l t i s n o n - d i m e n s i o n a l i z e d by t h e t h e r m a l c o n d u c t i o n l e n g t h . F o r a s l i p d u r a t i o n o f 10 s (c?=1 m), t h e w i d t h of t h e t h e r m a l and f l u i d - p r e s s u r e f i e l d s a r e 0.02 m and 0.5 m (21 { and 21{/a, r e s p e c t i v e l y ) . F i g u r e 4.7a shows t h e t e m p e r a t u r e and f l u i d - p r e s s u r e f i e l d s . The l a r g e - t i m e s o l u t i o n s a p p l y f o r t i m e s g r e a t e r t h a n 10 s. D u r i n g s l i p t h e f l u i d p r e s s u r e f r o n t e x t e n d s w e l l beyond t h e t h e r m a l f r o n t , w i t h t h e f l u i d p r e s s u r e s r i s i n g u n i f o r m l y w i t h i n t h e t h e r m a l f i e l d . N o te t h a t i n t h i s f i g u r e , t h e t e m p e r a t u r e i s n o r m a l i z e d by t h e maximum t e m p e r a t u r e p r e d i c t e d by e q u a t i o n ( 4 . 3 7 ) , and n o t by t h e maximum v a l u e c a l c u l a t e d i n t h e n u m e r i c a l m o d e l . The maximum t e m p e r a t u r e r i s e (260 °C) i s l e s s t h a n t h e t e m p e r a t u r e (370 °C) p r e d i c t e d by e q u a t i o n (4.37) due t o t h e i n c r e a s e i n t h e t h e r m a l e x p a n s i v i t y o f w a t e r w i t h t e m p e r a t u r e . F i g u r e 4.7b shows t h e t h e r m a l e x p a n s i o n and p r e s s u r e c o n t r a c t i o n r a t e s of t h e f l u i d volume. Note t h a t t h e v e r t i c a l s c a l e s a r e n o r m a l i z e d by t i m e so t h a t t h e l a r g e t i m e s o l u t i o n s p l o t a s f i x e d c u r v e s . B o t h t h e t h e r m a l e x p a n s i o n and p r e s s u r e c o n t r a c t i o n r a t e s a r e s t r o n g l y d e p e n d e n t on t h e s l i p d u r a t i o n , 171 i n i t i a l e f f e c t i v e s t r e s s , and t h e h y d r a u l i c c h a r a c t e r i s t i c s o f t h e a d j a c e n t medium. The p e a k e d p r o f i l e s a r i s e b e c a u s e of t h e tandem o p e r a t i o n o f t h r e e p r o c e s s e s . F i r s t , f r i c t i o n a l h e a t i n g c a u s e s p r e s s u r i z a t i o n w i t h i n t h e t h e r m a l f i e l d . S e c o n d , b e c a u s e t h e p o r o u s medium i s p e r m e a b l e , p r e s s u r i z a t i o n w i t h i n t h e t h e r m a l f i e l d c a u s e s p r e s s u r i z a t i o n and c o n t r a c t i o n of t h e f l u i d s w i t h i n t h e a d j a c e n t r e g i o n . T h i r d , t h e c o n t r a c t i o n of f l u i d s w i t h i n t h e a d j a c e n t r e g i o n c a u s e s t h e r m a l e x p a n s i o n and f l o w o f f l u i d s f r o m t h e l e a d i n g edge of t h e t h e r m a l f i e l d . F o r s m a l l d u r a t i o n s (<1 s) t h e t h e r m a l e x p a n s i o n and p r e s s u r e c o n t r a c t i o n r a t e s a r e g r e a t e s t on t h e f a u l t s u r f a c e where t h e r a t e o f t h e t e m p e r a t u r e and f l u i d p r e s s u r e r i s e i s g r e a t e s t . The l a r g e i n c r e a s e i n t h e p r e s s u r e c o n t r a c t i o n r a t e w i t h i n t h e t h e r m a l f i e l d o c c u r s b e c a u s e t h e i n c r e a s e i n w a t e r c o m p r e s s i b i l i t y w i t h t e m p e r a t u r e i s f a s t e r t h a n t h e d e c l i n e i n t h e r a t e of f l u i d p r e s s u r e r i s e . Once t h e f l u i d p r e s s u r e and t e m p e r a t u r e on t h e f a u l t s t a b i l i z e s , t h e t h e r m a l e x p a n s i o n and f l u i d c o n t r a c t i o n r a t e s a p p r o a c h z e r o n e a r t h e f a u l t . F o r l a r g e s l i p d u r a t i o n s (>10 s ) , a dynamic b a l a n c e i s e s t a b l i s h e d between t h e f l u i d p r e s s u r e and t e m p e r a t u r e f i e l d s where t h e d e c r e a s e i n r e s i s t i v e s t r e s s i s j u s t s u f f i c i e n t f o r f r i c t i o n a l h e a t i n g t o m a i n t a i n t h e t e m p e r a t u r e a t t h e l e v e l r e q u i r e d f o r t h e r m a l p r e s s u r i z a t i o n of t h e p o r e w a t e r s a t n e a r - l i t h o s t a t i c v a l u e s . At t h i s s t a g e f l u i d e x p a n s i o n w i t h i n t h e t h e r m a l f i e l d i s a c c o m o d a t e d by p r e s s u r i z a t i o n , f l o w and c o n t r a c t i o n w i t h i n t h e a d j a c e n t r e g i o n , and t h e t h e r m a l f r o n t d r i v e s a f l u i d p r e s s u r e f r o n t t h a t e x t e n d s i n c r e a s i n g l y beyond i t . C o n s e q u e n t l y , f o r l a r g e s l i p d u r a t i o n s , t h e maximum t h e r m a l e x p a n s i o n and p r e s s u r e c o n t r a c t i o n r a t e s o c c u r a l o n g t h e l e a d i n g e dges of t h e f r o n t s where t h e r a t e s of t e m p e r a t u r e and f l u i d p r e s s u r e r i s e a r e t h e g r e a t e s t . F i g u r e 4.7c shows t h e f l u i d f l u x . The f l o w f i e l d i s c h a r a c t e r i z e d by t h e r e d i s t r i b u t i o n of f l u i d mass from t h e h e a t e d r e g i o n t o t h e a d j a c e n t c o o l e r r e g i o n . Hence t h e maximum f l u i d f l u x o c c u r s midway between t h e t h e r m a l and f l u i d p r e s s u r e f r o n t s . F i g u r e 4.8 shows t h e h y d r a u l i c and t h e r m a l f i e l d s f o r a p o r o u s medium w i t h a c o m p r e s s i b i l i t y o f 10" 9 P a " 1 and a p e r m e a b i l i t y o f 1 0 " 1 7 m 2. F o r t h i s c a s e p o r e d i l a t a t i o n and f l u i d f l o w a r e t h e p r i m a r y means f o r a c c o m o d a t i n g t h e h e a t i n g of p o r e w a t e r s . Compared t o t h e p r e v i o u s example, t h e i n c r e a s e i n c o m p r e s s i b i l i t y r e s u l t s i n a d e c r e a s e i n t h e h y d r a u l i c d i f f u s i v i t y and, c o n s e q u e n t l y , t h e h y d r o l o g i c f i e l d i s c o n s i d e r a b l y s m a l l e r t h a n t h e f i e l d f o r a s t i f f medium. F o r a s l i p d u r a t i o n o f 1 0 s , t h e w i d t h o f t h e p r e s s u r e f i e l d i s now 0.12 m ( a " 1 = 6 ) . F i g u r e 4.8a shows t h e t e m p e r a t u r e and f l u i d p r e s s u r e r i s e . W i t h a h i g h e r c o m p r e s s i b i l i t y , l a r g e r t e m p e r a t u r e r i s e s and g r e a t e r d i s p l a c e m e n t s a r e r e q u i r e d f o r an e q u i v a l e n t r i s e i n f l u i d p r e s s u r e . Hence, t h e l a r g e - t i m e s o l u t i o n s now a p p l y f o r s l i p d u r a t i o n s g r e a t e r t h a n 1 0 2 s. The maximum t e m p e r a t u r e (700 °C) i s a p p r o x i m a t e l y h a l f t h e v a l u e p r e d i c t e d by t h e a n a l y t i c a l s o l u t i o n , e q u a t i o n ( 4 . 3 7 ) . F i g u r e 4.8b shows t h e t h e r m a l e x p a n s i o n and p o r e d i l a t a t i o n r a t e s . The t h e r m a l e x p a n s i o n r a t e of t h e f l u i d volume shows a p e a k e d v a l u e whose l o c a t i o n c o i n c i d e s w i t h t h e t e m p e r a t u r e f o r t h e 1 73 p e a k e d v a l u e o f t h e t h e r m a l p r e s s u r i z a t i o n c o e f f i c i e n t i n F i g u r e 4.4b. The n e g a t i v e p o r e - d i l a t a t i o n r a t e c o r r e s p o n d s t o e x p a n s i o n of t h e s o l i d g r a i n s a l o n g t h e l e a d i n g edge of t h e t h e r m a l f r o n t . As i n t h e c a s e f o r a s t i f f medium, t h e s p a t i a l c o n f i g u r a t i o n o f t h e s e r a t e s depends upon t h e tandem o p e r a t i o n o f t h r e e p r o c e s s e s ; t h e g e n e r a t i o n of f r i c t i o n a l h e a t , p r e s s u r i z a t i o n and p o r e - v o l u m e e x p a n s i o n w i t h i n t h e t h e r m a l f i e l d and a d j a c e n t r e g i o n , and t h e t h e r m a l e x p a n s i o n and f l o w o f f l u i d s f r o m t h e edge o f t h e t h e r m a l f r o n t . S i n c e t h e p o r o u s medium c o m p r e s s i b i l i t y i s g r e a t e r t h a n t h e c o m p r e s s i b i l i t y o f w a t e r , t h e t h e r m a l e x p a n s i o n of t h e p o r e w a t e r s i s a c c o m o d a t e d by p o r e d i l a t a t i o n w i t h i n a n a r r o w e r r e g i o n a d j a c e n t t o t h e t h e r m a l f r o n t . B e c a u s e t h e p r e s s u r e f r o n t i s n a r r o w e r , t h e f l u i d f l u x shown i n F i g u r e 8c i s g r e a t e r t h a n t h e f l u x f o r a s t i f f medium. The f i n a l s t r a i n o f t h e p o r e volume can be e s t i m a t e d from t h e s o l u t i o n t o t h e c o m p a t i b i l i t y c o n s t r a i n t f o r p o r o s i t y ( 4 . 1 2 b ) . F o r an a r b i t r a r y r i s e i n f l u i d p r e s s u r e and t e m p e r a t u r e , t h e s o l u t i o n f o r p o r o s i t y i s a p p r o x i m a t e d by n(x,t) « 1 - ( i - # j 0 ) e x p [ - (0sf-tPs)p(x,t) -(ysf-7s)®(x,t)] (4.43) The f i n a l s t r a i n o f t h e p o r e volume i s g i v e n by 174 An ( l - n 0 ) — = d - e x p [ -\(TN-P0)]} (4.44) n0 «o where X - (esf-ies) + ( T , y - 7 5 ) ^ - (4.45a) ar * P s f B s f * 10" 9 P a " 1 (4.45b) r e f l e c t s t h e change i n s o l i d volume p e r u n i t volume o f p o r o u s media p e r u n i t i n c r e a s e i n f l u i d p r e s s u r e . B e c a u s e t h e d e c r e a s e i n p o r o s i t y due t o t h e r m a l e x p a n s i o n of t h e s o l i d m a t r i x i s g e n e r a l l y s m a l l , e q u a t i o n s (4.43) and (4.44) p r o v i d e good a p p r o x i m a t i o n s f o r t h e change i n p o r o s i t y . F o r p o r o u s medium c o m p r e s s i b i l i t i e s g r e a t e r t h a n 10~ 9 P a " 1 , t h e r a t e o f p o r e - v o l u m e e x p a n s i o n i s l a r g e . In t h i s c a s e i t i s u n l i k e l y t h a t d e f o r m a t i o n would r e m a i n c o n f i n e d t o t h e f a i l u r e s u r f a c e . F o r example, t h e i n c r e a s e i n p o r o s i t y i s a l m o s t t w o f o l d f o r a medium w i t h a c o m p r e s s i b i l i t y o f 10" 8 P a - 1 and t h e i n i t i a l c o n d i t i o n s o f T a b l e 4.3. T h i s i n c r e a s e would s u g g e s t a l o s s o f c o h e s i o n and s h e a r s t r e n g t h w i t h i n t h e medium a d j a c e n t t o t h e f a u l t , and t h e r e b y a w i d e n i n g o f t h e zone of d e f o r m a t i o n . Effects of Fault Zone Width In t h e p r e v i o u s s e c t i o n , d e f o r m a t i o n was c o n f i n e d t o a f a i l u r e s u r f a c e . We now examine t h e e f f e c t s of f a u l t w i d t h . I f t h e f a u l t w i d t h i s l e s s t h a n t h e t h e r m a l c o n d u c t i o n l e n g t h 175 (w<l ) , t h e n t h e w i d t h of t h e f a u l t zone i s n e g l i g i b l e i n c o m p a r i s o n t o t h e s i z e of t h e t h e r m a l f i e l d . I n t h i s c a s e t h e f a u l t zone c a n be a p p r o x i m a t e d by a f a i l u r e s u r f a c e and t h e p r e v i o u s r e s u l t s w ould a p p l y . I f , however, d e f o r m a t i o n o c c u r s o v e r a f a u l t zone a few c e n t i m e t e r s i n w i d t h , t h e n t h e r a t e of t h e t e m p e r a t u r e r i s e w ould be l o w e r and, c o n s e q u e n t l y , t h e t h e r m a l and f l u i d p r e s s u r e e f f e c t s may d i f f e r c o n s i d e r a b l y from t h a t o f a f a i l u r e s u r f a c e . 1) Undrained conditions ~ no transport of heat. To examine t h e e f f e c t s of f a u l t w i d t h , we f i r s t c o n s i d e r t h e r e s p o n s e o f a f a u l t zone f o r u n d r a i n e d c o n d i t i o n s and n e g l i g i b l e t r a n s p o r t of h e a t . F o r t h e s e c o n d i t i o n s , . L a c h e n b r u c h (1980) d i s c u s s e d t h e t e m p e r a t u r e r i s e and r e d u c t i o n i n r e s i s t i v e s t r e s s f o r a c o n s t a n t d i l a t a t i o n a l s t r a i n - r a t e o f t h e p o r e volume (n~ 1 dn/dt = c o n s t . and r =7 w,// 3 M,) • When ch a n g e s i n p o r o s i t y o c c u r due t o f l u i d p r e s s u r e and t e m p e r a t u r e i n c r e a s e s w i t h i n a c o m p r e s s i b l e p o r o u s medium, t h e t e m p e r a t u r e r i s e w i t h i n t h e f a u l t zone i s g i v e n by @(t) = [ 1 - exp(-t/\p) ] (4.46) r The p a r a m e t e r \p, d e f i n e d by ( p c ) sf w (4.47) »d r V y 176 i s t h e c h a r a c t e r i s t i c t i m e f o r t h e r m a l p r e s s u r i z a t i o n o f t h e f a u l t z o n e . The r e s i s t i v e s t r e s s o f t h e f a u l t zone i s g i v e n by Tr(t) = Hd(Tn-P0)exp(-t (4.48) F o r t h e s e s o l u t i o n s , t h e c o n d i t i o n s f o r n e g l i g i b l e f l u i d and h e a t l o s s a r e s a t i s f i e d i f t h e h y d r a u l i c d i f f u s i o n and t h e r m a l c o n d u c t i o n l e n g t h s c a l c u l a t e d f o r t h e c h a r a c t e r i s t i c t i m e of t h e r m a l p r e s s u r i z a t i o n a r e l e s s t h a n t h e f a u l t w i d t h (a^<w2 and at\p<w2). F o r s l i p e v e n t s w i t h a d u r a t i o n much g r e a t e r t h a n t h e c h a r a c t e r i s t i c t i m e 4/, t h e r e s i s t i v e s t r e s s a p p r o a c h e s z e r o and t h e t e m p e r a t u r e w i t h i n t h e zone s t a b i l i z e s . F o r n e g l i g i b l e l o s s of h e a t and f l u i d f r o m t h e zo n e , we can w r i t e t h e e q u a t i o n s f o r t e m p e r a t u r e and r e s i s t i v e s t r e s s i n t e r m s of t h e s h e a r s t r a i n a c r o s s t h e f a u l t ( s e e a l s o L a c h e n b r u c h , 1980): @(d) = [ 1 - e x p ( - ^ / e 1 ^|) ] (4.49) rAd) = M r f ( r n - J P 0 ) e x p ( - ^ ; 1 ^ ) (4.50) where d/2w i s t h e s h e a r s t r a i n a c r o s s t h e zo n e . The p a r a m e t e r d e f i n e d by ( p c ) f * e = J (4.51) »d c o n t r o l s t h e r a t e o f i n c r e a s e i n t e m p e r a t u r e and d e c r e a s e i n r e s i s t i v e s t r e s s p e r u n i t s t r a i n a c r o s s t h e f a u l t . I n t h i s c a s e t h e s l i p r a t e may v a r y w i t h d i s p l a c e m e n t , and e q u a t i o n (4.51) c a n be u s e d t o c a l c u l a t e t h e s h e a r s t r a i n r e q u i r e d f o r a s i g n i f i c a n t d r o p i n r e s i s t i v e s t r e s s . As an example, f r o m e q u a t i o n (4.50) t h e r e s i s t i v e s t r e s s d e c r e a s e s by a f a c t o r o f e" 1 f o r s h e a r s t r a i n s t h a t e x c e e d i/^. F o r a s t i f f medium, \jjE^3.0 and t h e r e s i s t i v e s t r e s s would d e c r e a s e t o a p p r o x i m a t e l y one t h i r d of i t s i n i t i a l v a l u e when t h e d i s p l a c e m e n t e x c e e d e d t h e f a u l t w i d t h by a f a c t o r of t h r e e . I f t h e c o m p r e s s i b i l i t y of t h e p o r o u s medium i s 10" 8 P a " 1 , however, ^e=*40 and t h e d i s p l a c e m e n t would have t o e x c e e d t h e f a u l t w i d t h by a f a c t o r o f f o r t y f o r an e q u i v a l e n t r e d u c t i o n . The c u r v e s l a b e l e d A i n F i g u r e 4.9 show t h e t e m p e r a t u r e and r e s i s t i v e s t r e s s g i v e n by e q u a t i o n s (4.46) t h r o u g h (4.51) as a f u n c t i o n o f s l i p d u r a t i o n t/\p o r s h e a r s t r a i n d/2w\f/e. In a d d i t i o n , n u m e r i c a l s o l u t i o n s a r e shown f o r s e l e c t e d p o r o u s medium c o m p r e s s i b i l i t i e s , and t h e i n i t i a l c o n d i t i o n s o f T a b l e 4.3. F o r p o r o u s medium c o m p r e s s i b i l i t i e s g r e a t e r t h a n 10" 9 P a " 1 , t h e i n c r e a s e i n t h e t h e r m a l p r e s s u r i z a t i o n c o e f f i c i e n t w i t h t e m p e r a t u r e e n h a n c e s t h e r a t e o f d e c r e a s e i n r e s i s t i v e s t r e s s . C o n s e q u e n t l y , t h e a n a l y t i c a l s o l u t i o n s o v e r e s t i m a t e t h e t e m p e r a t u r e r i s e and r e s i s t i v e s t r e s s . As w i t h t h e f a u l t s u r f a c e model f o r u n d r a i n e d c o n d i t i o n s ( F i g u r e 4.5), t h e maximum t e m p e r a t u r e r i s e i s d e p e n d e n t s o l e l y on t h e i n i t i a l v a l u e of t h e e f f e c t i v e s t r e s s and t h e r m a l p r e s s u r i z a t i o n c o e f f i c i e n t . The f a u l t zone w i d t h , a l o n g w i t h t h e s l i p r a t e 1 78 and f r i c t i o n c o e f f i c i e n t d e t e r m i n e o n l y t h e r a t e a t w h i c h t h e r m a l p r e s s u r i z a t i o n p r o c e e d s . I f t h e w i d t h i s i n c r e a s e d , t h e n t h e d i s p l a c e m e n t r e q u i r e d f o r an e q u i v a l e n t i n c r e a s e i n t e m p e r a t u r e and p o r e p r e s s u r e a l s o i n c r e a s e s . Once p r e s s u r i z a t i o n b e g i n s t h e r e l a t i v e r a t e of s t r e s s r e d u c t i o n would be g r e a t e r f o r a b r o a d zone (w>lt) t h a n f o r a narrow zone (w<lt ). The change i n p o r o s i t y w i t h i n t h e f a u l t zone i s g i v e n by e q u a t i o n ( 4 . 4 3 ) , where t h e t e m p e r a t u r e and f l u i d p r e s s u r e a r e g i v e n by (4.46) and ( 4 . 2 9 ) , r e s p e c t i v e l y . F i g u r e 4.10 shows t h e d i l a t a t i o n a l s t r a i n r a t e o f t h e p o r e volume. The a n a l y t i c a l s o l u t i o n i s i n d i c a t e d by t h e d a s h e d l i n e . N u m e r i c a l s o l u t i o n s ( s o l i d l i n e s ) a r e shown f o r t h e p o r o u s medium c o m p r e s s i b i l i t i e s o f F i g u r e 4.9, and t h e i n i t i a l c o n d i t i o n s of T a b l e 4.3. F o r s l i p d u r a t i o n s l e s s t h a n t h e c h a r a c t e r i s t i c t i m e ii, t h e t e m p e r a t u r e r i s e s l i n e a r l y w i t h d i s p l a c e m e n t and t h e p o r e - d i l a t a t i o n r a t e i s a p p r o x i m a t e d by J_ dn n 7JT X ( r n - J P 0 ) ( 1-n 0) V y (4.52a) n04>e w - 7 w d - « o ) Hd(Tn-P0 >10" 9 Pa - 1 (4.52b) w Thus t h e p o r e - d i l a t a t i o n r a t e i s most s t r o n g l y a f f e c t e d by t h e s h e a r s t r a i n r a t e , t h e i n f l u e n c e of t h e p o r o u s medium c o m p r e s s i b i l i t y on t h e c o e f f i c i e n t s \fre and X, and t h e i n i t i a l 179 e f f e c t i v e s t r e s s . Once t h e p o r e f l u i d s t a r t s t o p r e s s u r i z e , t h e p o r e - d i l a t a t i o n r a t e a p p r o a c h e s z e r o and t h e f i n a l s t r a i n o f t h e p o r e volume i s g i v e n by e q u a t i o n ( 4 . 4 4 ) . F o r c o m p r e s s i b i l i t i e s g r e a t e r t h a n 10" 9 P a " 1 , t h e p o r e - d i l a t a t i o n r a t e i s p r o p o r t i o n a l t o t h e t h e r m a l e x p a n s i v i t y o f water and r e l a t i v e l y i n s e n s i t i v e t o c h a n g e s i n t h e c o m p r e s s i b i l i t y . Thus l a r g e i n c r e a s e s i n t h e p o r e d i l a t a t i o n r a t e r e f l e c t t h e l a r g e i n c r e a s e i n t h e t h e r m a l e x p a n s i v i t y o f water w i t h t e m p e r a t u r e . In s u c h c a s e s t h e t h e r m a l e x p a n s i o n o f f l u i d volume i s m a tched by p o r e d i l a t a t i o n , and t h e p o r e volume u n d e r g o e s a l a r g e volume i n c r e a s e a s t h e t e m p e r a t u r e r i s e s . T h i s b e h a v i o r c o u l d l e a d t o e x t e n s i v e m i c r o f r a c t u r i n g of t h e f a u l t zone and a d j a c e n t medium. The i m p r o v e d i n t e r c o n n e c t i v i t y o f p o r e s p a c e s c a u s e d by t h e s e f r a c t u r e s c o u l d l e a d t o s u b s t a n t i a l i n c r e a s e s i n p e r m e a b i l i t y and e n h a n c e d f l u i d f l o w , w h i c h may a r r e s t t h e t h e r m a l p r e s s u r i z a t i o n p r o c e s s and c a u s e a r e s t o r a t i o n o f t h e s h e a r s t r e n g t h . F o r c o m p r e s s i b i l i t i e s g r e a t e r t h a n 10" 8 P a " 1 , p r e s s u r i z a t i o n i s n u l l i f i e d by p o r e d i l a t a t i o n and t h e r e s i s t i v e s t r e s s would r e m a i n unchanged f o r e a r t h q u a k e s w i t h r e a l i s t i c d i s p l a c e m e n t s . In t h i s c a s e , however, e x t e n s i v e m i c r o f r a c t u r i n g c o u l d c a u s e s t r a i n s o f t e n i n g t h r o u g h n o n l i n e a r m a t e r i a l p r o p e r i t i e s ( e . g . , R u d n i c k i , 1977). 2) Drained conditions - Fluid and heat transport. I f t h e h y d r a u l i c d i f f u s i o n l e n g t h c a l c u l a t e d f o r t h e c h a r a c t e r i s t i c t i m e \p i s g r e a t e r t h a n t h e f a u l t w i d t h 180 (a^>w2), t h e t h e r m a l e x p a n s i o n and f l o w of f l u i d s f r o m t h e f a u l t zone can r e s t r i c t t h e a p p l i c a b i l i t y of t h e u n d r a i n e d m o d e l . F o r example, F i g u r e 4.11 shows t h e t e m p e r a t u r e r i s e and r e s i s t i v e s t r e s s a t t h e c e n t e r o f a f a u l t zone whose w i d t h 2w and a v e r a g e s l i p r a t e 2V a r e 10" 1 m and 10" 1 ms" 1, r e s p e c t i v e l y . The c u r v e s a r e p l o t t e d as a f u n c t i o n o f s h e a r s t r a i n f o r t h e i n i t i a l c o n d i t i o n s o f T a b l e 4.3. F o r p e r m e a b i l i t i e s l e s s t h a n 1 0 " 1 7 m 2, f l u i d f l o w f r o m t h e zone i s n e g l i g i b l e and t h e f a u l t r e s p o n d s u n d e r u n d r a i n e d c o n d i t i o n s . I f t h e p e r m e a b i l i t y e x c e e d s 1 0 " 1 " m 2, t h e t h e r m a l e x p a n s i o n and f l o w o f f l u i d s f r o m t h e f a u l t zone n u l l i f i e s t h e r m a l p r e s s u r i z a t i o n . In t h i s c a s e t h e s h e a r s t r e n g t h r e m a i n s c o n s t a n t and t h e t e m p e r a t u r e c o n t i n u e s t o r i s e w i t h d i s p l a c e m e n t . T h i s p r o b l e m has been d i s c u s s e d by C a r d w e l l et al . (1978) and L a c h e n b r u c h ( 1 9 8 0 ) , a n d t h e r i s e i n c e n t r a l t e m p e r a t u r e i s g i v e n by ( C a r s l a w and J a e g e r , 1959, p.80) uAr-P0)Vv @(t) = — — - 1 [t - 4 i 2 e r f c ( — 3 a t x=0 (4.53) ( pc ) s y w \/4at t I f c o n d u c t i v e h e a t l o s s f r o m t h e zone i s n e g l i g i b l e , t h e t e m p e r a t u r e r i s e s l i n e a r l y w i t h d i s p l a c e m e n t and s h e a r s t r a i n s g r e a t e r t h a n 10 2 c o u l d c a u s e m e l t i n g . F o r p e r m e a b i l i t i e s between t h e s e two l i m i t s , t h e r a t e o f t h e t e m p e r a t u r e r i s e d e c r e a s e s w i t h i n c r e a s i n g d i s p l a c e m e n t and t h e t e m p e r a t u r e s t a r t s t o s t a b i l i z e a t t h e maximum v a l u e f o r t h e d r a i n e d r e s p o n s e o f a f a i l u r e s u r f a c e . The i n c r e a s e i n s h e a r s t r e n g t h 181 f o r s t r a i n s g r e a t e r t h a n 1 0 2 r e f l e c t s t h e d e c r e a s e i n t h e t h e r m a l p r e s s u r i z a t i o n c o e f f i c i e n t f o r t e m p e r a t u r e s g r e a t e r t h a n t h e c r i t i c a l t e m p e r a t u r e o f w a t e r . F o r p o r o u s medium c o m p r e s s i b i l i t i e s g r e a t e r t h a n 10~ 9 P a - 1 , i t i s d o u b t f u l t h a t t h e r m a l p r e s s u r i z a t i o n c o u l d r e d u c e t h e s h e a r s t r e n g t h e x c e p t f o r l a r g e e v e n t s . R e g a r d l e s s of t h e h y d r a u l i c c h a r a c t e r i s t i c s , however, t h e r m a l p r e s s u r i z a t i o n i s n e g l i g i b l e i f t h e d i s p l a c e m e n t i s l e s s t h a n t h e f a u l t w i d t h . The r e s u l t s of F i g u r e 4.11 a r e v a l i d f o r a f a u l t w i d t h and s l i p v e l o c i t y o f 10~ 1 m and 10" 1 ms"'. I f e i t h e r t h e f a u l t w i d t h and s l i p v e l o c i t y a r e v a r i e d , and i f t h e combined v a r i a t i o n s a r e l e s s t h a n a f a c t o r of t e n , t h e n F i g u r e 4.11 would s t i l l p r o v i d e a good a p p r o x i m a t i o n of t h e t e m p e r a t u r e r i s e and s h e a r s t r e n g t h v e r s u s s h e a r s t r a i n . F o r g r e a t e r v a r i a t i o n s i n ~Hd and V , l i m i t s t o f a u l t b e h a v i o r c a n be e s t i m a t e d f r o m t h e c o n t r o l l i n g p a r a m e t e r s . I f t h e h y d r a u l i c d i f f u s i o n l e n g t h i s l e s s t h a n o r e q u a l t o t h e f a u l t w i d t h (ah4)~w2) , t h e n t h e t e m p e r a t u r e and r e s i s t i v e s t r e s s a r e a p p r o x i m a t e d by t h e u n d r a i n e d r e s p o n s e . I f , however, t h e h y d r a u l i c d i f f u s i o n l e n g t h i s g r e a t e r t h a n t h e f a u l t w i d t h and t h e s l i p d u r a t i o n e x c e e d s *// , t h e n t h e t e m p e r a t u r e r i s e and r e s i s t i v e s t r e s s a r e a p p r o x i m a t e l y t h e same as t h a t f o r a f a i l u r e s u r f a c e . T h i s s i m i l i a r i t y o c c u r s b e c a u s e t h e maximum t e m p e r a t u r e r i s e i s d e t e r m i n e d by t h e i n i t i a l e f f e c t i v e s t r e s s and h y d r a u l i c c h a r a c t e r i s t i c s of t h e p o r o u s medium, whereas t h e f a u l t w i d t h d e t e r m i n e s o n l y t h e i n i t i a l r a t e o f t h e t e m p e r a t u r e r i s e w i t h i n t h e z o n e . Once t h e s l i p d u r a t i o n 182 e x c e e d s i / / , t h e r m a l p r e s s u r i z a t i o n becomes s i g n i f i c a n t and t h e d e c l i n e i n t h e r e s i s t i v e s t r e s s and r a t e of t h e t e m p e r a t u r e r i s e i s d e t e r m i n e d by t h e d i f f u s i o n of e x c e s s p o r e p r e s s u r e s i n t o t h e a d j a c e n t medium. Hence t h e e f f e c t s o f t h e r m a l p r e s s u r i z a t i o n c a n be r e g a r d e d as a f l u i d p r e s s u r e p u l s e a t t h e m i d p o i n t of t h e zone, and t h e t e m p e r a t u r e -and r e s i s t i v e s t r e s s a r e g i v e n t o a f i r s t a p p r o x i m a t i o n by t h e s o l u t i o n s f o r a f a i l u r e s u r f a c e . In e i t h e r c a s e s o l u t i o n s w o u l d have t o be o b t a i n e d by n u m e r i c a l methods. The above a p p r o x i m a t i o n s , however, p r o v i d e l i m i t s t o f a u l t b e h a v i o r f o r v a r i o u s r a n g e s o f t h e c o n t r o l l i n g p a r a m e t e r s . 3) Nonuniform hydraulic properties. Thus f a r we have c o n s i d e r e d a f a u l t zone w i t h h y d r a u l i c p r o p e r t i e s e q u a l t o t h o s e of t h e a d j a c e n t w a l l r o c k . W i t h a c o n t r a s t i n h y d r a u l i c p r o p e r t i e s , t h e f a u l t b e h a v i o r can be a p p r o x i m a t e d by e x a m i n i n g r e l a t i v e r a t i o s o f t h e f a u l t w i d t h t o t h e t h e r m a l c o n d u c t i o n and h y d r a u l i c d i f f u s i o n l e n g t h s . I f t h e f a u l t w i d t h i s s m a l l i n c o m p a r i s o n t o t h e t h e r m a l f i e l d ( t v < / o r w2<at\p) , t h e n r e g a r d l e s s o f t h e f a u l t zone p r o p e r t i e s , t h e r e s p o n s e i s d e t e r m i n e d by t h e p r o p e r t i e s o f t h e a d j a c e n t r o c k and t h e f a u l t zone can be a p p r o x i m a t e d as a f a i l u r e s u r f a c e . F o r n e g l i g i b l e h e a t l o s s f r o m t h e zone (w>l t o r w2>atii) , t h e r a t i o of t h e f a u l t w i d t h t o t h e h y d r a u l i c d i f f u s i o n l e n g t h o f t h e f a u l t zone m a t e r i a l w i l l d e t e r m i n e w hether t h e h y d r a u l i c c h a r a c t e r i s t i c s of t h e z o n e , o r t h e w a l l r o c k , w i l l c o n t r o l t h e r e s p o n s e o f t h e f a u l t . 183 I f t h e f a u l t w i d t h i s l e s s t h a n t h e h y d r a u l i c d i f f u s i o n l e n g t h c a l c u l a t e d f o r t h e f a u l t zone m a t e r i a l and c h a r a c t e r i s t i c t i m e o f t h e r m a l p r e s s u r i z a t i o n (w2<a^j) , t h e d i f f u s i o n o f e x c e s s f l u i d p r e s s u r e i n t o t h e w a l l r o c k c o n t r o l s t h e r e s p o n s e o f t h e f a u l t . In s u c h a c a s e t h e r e s p o n s e c a n be a p p r o x i m a t e d by a s s u m i n g a u n i f o r m medium whose c o m p r e s s i b i l i t y and p e r m e a b i l i t y a r e g i v e n by t h o s e o f t h e a d j a c e n t w a l l r o c k . F i g u r e 4.12a shows t h e t e m p e r a t u r e and f l u i d p r e s s u r e f i e l d s f o r p e r m e a b i l i t i e s of 1 0 " 1 3 and 1 0 " 1 8 m 2 f o r t h e f a u l t zone and a d j a c e n t r o c k , r e s p e c t i v e l y . F o r t h i s f i g u r e t h e f a u l t w i d t h and r e l a t i v e s l i p v e l o c i t y a r e 10" 1 m and 10~ 1 ms" 1. B o t h t h e f a u l t zone and a d j a c e n t w a l l r o c k a r e s t i f f , and t h e i n i t i a l c o n d i t i o n s of T a b l e 4.3 a r e assumed. As shown i n F i g u r e 4.12a, t h e a d j a c e n t w a l l r o c k a c t s t o c o n f i n e t h e e x c e s s f l u i d p r e s s u r e s w i t h i n t h e f a u l t z o n e . C o n s e q u e n t l y , t h e r i s e i n f l u i d p r e s s u r e i s u n i f o r m a c r o s s t h e zone and t h e f a u l t r e s p o n s e i s c o n t r o l l e d by t h e d i f f u s i o n o f e x c e s s f l u i d p r e s s u r e i n t o t h e w a l l r o c k . The r i s e i n c e n t r a l t e m p e r a t u r e and d e c l i n e i n s h e a r s t r e n g t h a r e g i v e n t o a good a p p r o x i m a t i o n by t h e e q u i v a l e n t c u r v e s f o r a s t i f f medium w i t h a u n i f o r m p e r m e a b i l i t y of 1 0 " 1 8 m 2 ( s e e F i g u r e 4 . 1 1 ). The d i f f u s i o n o f e x c e s s f l u i d p r e s s u r e s from t h e f a u l t c o u l d c a u s e a p r o g r e s s i v e w e a k e n i n g of t h e a d j a c e n t w a l l r o c k . F o r t h e s e c o n d i t i o n s i t i s n o t u n r e a s o n a b l e t o e x p e c t t h e zone o f d e f o r m a t i o n t o i n c r e a s e as s l i p p r o g r e s s e s . Whether o r n o t t h e zone w i l l widen s u f f i c i e n t l y t o h a l t t h e r m a l p r e s s u r i z a t i o n , or s t a b i l i z e a t a c e r t a i n w i d t h and s h e a r s t r e n g t h , d e pends 184 upon t h e T h e o l o g i c a l r e l a t i o n between s h e a r s t r e n g t h and e f f e c t i v e s t r e s s f o r t h e w a l l r o c k . The o p p o s i t e s i t u a t i o n ' o c c u r s when t h e f a u l t w i d t h i s g r e a t e r t h a n t h e h y d r a u l i c d i f f u s i o n l e n g t h {w2>a^). F o r t h i s c o n d i t i o n f l u i d l o s s from t h e zone i s n e g l i g i b l e and t h e r e s p o n s e i s d e t e r m i n e d p r i m a r i l y by t h e c o m p r e s s i b i l i t y o f t h e f a u l t zone m a t e r i a l . In s u c h a c a s e , however, t h e d i f f u s i o n of e x c e s s f l u i d p r e s s u r e i n t o t h e a d j a c e n t r o c k c a u s e s t h e s h e a r s t r e n g t h and, c o n s e q u e n t l y , t h e t e m p e r a t u r e r i s e t o be g r e a t e r a l o n g t h e edges o f t h e zone t h a n a t t h e c e n t e r . T h i s i n t u r n c o u l d c a u s e f l u i d p r e s s u r e s w i t h i n t h e c e n t r a l r e g i o n t o e x c e e d l i t h o s t a t i c v a l u e s . I f t h e h y d r a u l i c d i f f u s i v i t y of t h e w a l l r o c k i s l e s s t h a n t h a t o f t h e f a u l t zone m a t e r i a l , t h e i n c r e a s e i n t e m p e r a t u r e i s m i n i m a l and t h e s h e a r s t r e n g t h d e c l i n e s u n i f o r m l y a c r o s s t h e z o n e . C o n v e r s e l y , i f t h e d i f f u s i v i t y o f t h e w a l l r o c k i s g r e a t e r , t h e s h e a r s t r e n g t h a l o n g t h e e dges w i l l r e m a i n c l o s e t o i t s i n i t i a l v a l u e and t h e t e m p e r a t u r e r i s e w i l l be l a r g e . F o r example, F i g u r e 4.12b shows t h e t e m p e r a t u r e and f l u i d p r e s s u r e f i e l d s f o r p e r m e a b i l i t i e s o f 1 0 " 1 8 and 10" 1 3 m 2 f o r t h e f a u l t zone and w a l l r o c k , r e s p e c t i v e l y . - T h i s i s t h e o p p o s i t e p e r m e a b i l i t y c o n f i g u r a t i o n t o t h a t u s e d i n F i g u r e 4.12a. As shown i n F i g u r e 4.12b, t h e f l u i d p r e s s u r e w i t h i n t h e w a l l r o c k r e m a i n s n e a r i t s i n i t i a l v a l u e . C o n s e q u e n t l y , t h e r e i s l i t t l e l o s s o f s h e a r s t r e n g t h a l o n g t h e edges of t h e zone and t h e t e m p e r a t u r e r i s e t h e r e i s l a r g e . The s h e a r s t r e n g t h a t t h e c e n t e r o f t h e f a u l t , however, i s g i v e n t o a good a p p r o x i m a t i o n by t h e u n d r a i n e d 1 85 r e s p o n s e ( e q u a t i o n (4.50) and F i g u r e 4 . 9 ) . F o r t h e s e c o n d i t i o n s one would e x p e c t d e f o r m a t i o n t o c o n t r a c t a b o u t t h e c e n t r a l r e g i o n where t h e i n i t i a l f l u i d p r e s s u r e r i s e and, c o n s e q u e n t l y , t h e d e c l i n e i n s h e a r s t r e n g t h i s g r e a t e s t . Thus f o r l a r g e s h e a r s t r a i n s i t would n o t be u n r e a s o n a b l e t o e x p e c t t h e d e v e l o p m e n t o f a v e r y narrow d e f o r m a t i o n zone w i t h i n t h e c e n t r a l r e g i o n o f t h e f a u l t z o n e . The w i d t h o f t h i s zone would depend on t h e r h e o l o g i c a l r e l a t i o n between s h e a r s t r e n g t h , e f f e c t i v e s t r e s s , and d e f o r m a t i o n r a t e f o r t h e f a u l t m a t e r i a l . F o r d i s a g g r e g a t e d f a u l t gouge i t i s l i k e l y s u c h a r e l a t i o n would f o l l o w a f r i c t i o n law b e h a v i o r . I f t h a t were s o , t h e d e c l i n e i n s h e a r s t r e n g t h a t t h e c e n t e r o f t h e zone would be a p p r o x i m a t e d by t h e u n d r a i n e d r e s p o n s e ( F i g u r e 4 . 9 ) , and t h e t e m p e r a t u r e r i s e a l o n g t h e edges o f t h e d e f o r m a t i o n zone would s t a b i l i z e a t t h e maximum, t e m p e r a t u r e (4.37) f o r t h e p e r m e a b i l i t y and c o m p r e s s i b i l i t y o f t h e f a u l t m a t e r i a l . Dynamic Models - Effects of Variable Resistive Stress The p r i m a r y m e c h a n i c a l e f f e c t o f t h e r m a l p r e s s u r i z a t i o n i s t o i n d u c e a l o s s of s h e a r s t r e n g t h d u r i n g s l i p and t h e r e b y i n c r e a s e t h e s t r e s s a v a i l a b l e t o a c c e l e r a t e t h e f a u l t b l o c k s . F o r f a u l t z o n e s c o m p r i s e d o f s t i f f media w i t h low p e r m e a b i l i t y l o s s o f s h e a r s t r e n g t h c a n o c c u r r a p i d l y . In s u c h c a s e s e v e n t s where s h e a r s t r a i n s e x c e e d \f/ would c a u s e s u b s t a n t i a l s t r a i n - w e a k e n i n g of t h e f a u l t and, c o n s e q u e n t l y , l a r g e s t r e s s d r o p s , a c c e l e r a t i o n s , s l i p v e l o c i t i e s , and d i s p l a c e m e n t s . In a d d i t i o n t h e r e s u l t a n t i n c r e a s e i n s l i p v e l o c i t y w o u l d f u r t h e r 186 enhance t h e r a t e o f t h e r m a l p r e s s u r i z a t i o n and t h e r e b y t h e d e c r e a s e i n s h e a r s t r e n g t h . 1) Failure surface - Narrow zones. F o r a nar r o w zone w i t h s i g n i f i c a n t h e a t l o s s (w<l o r w 2<at$), we c a n e x p r e s s t h e c o n d i t i o n r e q u i r e d f o r ' a r a p i d l o s s i n s h e a r s t r e n g t h by c o m p a r i n g t h e t e m p e r a t u r e r i s e f o r a f a i l u r e s u r f a c e w i t h c o n s t a n t s h e a r s t r e n g t h (4.41) t o t h e t e m p e r a t u r e r i s e r e q u i r e d f o r p r e s s u r i z a t i o n of p o r e w a t e r s a t l i t h o s t a t i c v a l u e s ( 4 . 3 7 ) . Thus l a r g e d e c r e a s e s i n s h e a r s t r e n g t h o c c u r when Ksf r where V r e p r e s e n t s t h e a v e r a g e s l i p v e l o c i t y f o r t h e i n i t i a l d r o p from t h e s t a t i c t o t h e dynamic f r i c t i o n c o e f f i c i e n t s a t c o n s t a n t f l u i d p r e s s u r e ( s e e F i g u r e 4 . 3 ) . E x p r e s s i n g t h i s c o n d i t i o n i n t e r m s o f d i s p l a c e m e n t we o b t a i n d > KJLL- . i_L±oll . U- (4.55) at (aD2 Hd2 V From t h i s e x p r e s s i o n , t h e d i s p l a c e m e n t r e q u i r e d f o r a l a r g e r e d u c t i o n i n s h e a r s t r e n g t h i s d e p e n d e n t p r i m a r i l y on t h e h y d r a u l i c c h a r a c t e r i s t i c s o f t h e medium, t h e dynamic c o e f f i c i e n t o f f r i c t i o n , a nd t h e a v e r a g e s l i p v e l o c i t y f o r 187 c o n s t a n t f l u i d p r e s s u r e . I f t h e p o r o u s medium c o m p r e s s i b i l i t y or p e r m e a b i l i t y a r e i n c r e a s e d , o r i f t h e a v e r a g e s l i p r a t e and f r i c t i o n c o e f f i c i e n t a r e d e c r e a s e d , t h e n a g r e a t e r d i s p l a c e m e n t w i l l be needed f o r l a r g e r e d u c t i o n s i n s h e a r s t r e n g t h . F o r example, f o r a s t i f f medium w i t h u n d r a i n e d c o n d i t i o n s , e q u a t i o n (4.55) i s a p p r o x i m a t e d by d (4.56) In s u c h a c a s e a few m i l l i m e t e r s o f d i s p l a c e m e n t w o u l d c a u s e a c o m p l e t e l o s s o f s h e a r s t r e n g t h f o r e a r t h q u a k e e v e n t s . C o n s e q u e n t l y , we c o u l d a p p r o x i m a t e t h e e f f e c t s of t h e r m a l p r e s s u r i z a t i o n on t h e s l i p v e l o c i t y by a s s u m i n g t h a t t h e s h e a r s t r e n g t h d u r i n g s l i p i s z e r o ( o r , e q u i v a l e n t l y , t h a t t h e dynamic f r i c t i o n c o e f f i c i e n t i s z e r o ) . I f t h e c o m p r e s s i b i l i t y and p e r m e a b i l i t y a r e 10" 9 P a " 1 and 10" 1 6 m 2, however, t h e n (4.55) i s a p p r o x i m a t e d by d (4.57) and d i s p l a c e m e n t s g r e a t e r t h a n 2 m a r e r e q u i r e d f o r l a r g e r e d u c t i o n s i n s h e a r s t r e n g t h f o r M ^ = 0 . 6 and 2K^=10" 1 ms" 1. Hence t h e r m a l p r e s s u r i z a t i o n may be n e g l i g i b l e and t h e dynamic s l i p v e l o c i t y c o u l d be c a l c u l a t e d by a s s u m i n g a c o n s t a n t dynamic s h e a r s t r e n g t h d u r i n g s l i p . F o r t h e l a t t e r c a s e , however, f r i c t i o n a l m e l t i n g may o c c u r on t h e f a i l u r e s u r f a c e . The o n s e t of f r i c t i o n a l m e l t i n g 188 c a n be e s t i m a t e d by (4.58) where Ts i s t h e s o l i d u s t e m p e r a t u r e f o r t h e f a u l t zone m a t e r i a l . F o r a s o l i d u s t e m p e r a t u r e o f 10 3 and t h e i n i t i a l c o n d i t i o n s o f T a b l e 4.3, e q u a t i o n (4.58) i s a p p r o x i m a t e d by Hence f o r t h e p r e v i o u s example, f r i c t i o n a l m e l t i n g would o c c u r b e f o r e t h e e f f e c t s of t h e r m a l p r e s s u r i z a t i o n become s i g n i f i c a n t . I n t h i s c a s e t h e p r e s e n c e o f a p a r t i a l m e l t d i s t r i b u t e d a l o n g g r a i n b o u n d a r i e s m i g h t a c t a s a f l u i d p h a s e under p r e s s u r e and t h e r e b y r e d u c e t h e s h e a r s t r e n g t h o f t h e f a u l t ( M c K e n z i e and B r u n e , 1972; C a r d w e l l et al. , 1978; S i b s o n , 1980). Thus f o r an e a r t h q u a k e e v e n t w i t h m oderate d i s p l a c e m e n t (~1 m) o c c u r r i n g a c r o s s a narrow zone (~1 cm) w i t h f r i c t i o n c o e f f i c i e n t s g r e a t e r t h a n 0.2 and s l i p v e l o c i t i e s i n t h e r a n g e 0.1 t o 1 ms" 1 ( B r u n e , 1970), a l a r g e r e d u c t i o n i n s h e a r s t r e n g t h s h o u l d o c c u r e i t h e r by t h e r m a l p r e s s u r i z a t i o n o r f r i c t i o n a l m e l t i n g . In t h i s c a s e t h e r e w o u l d be a c o m p l e t e r e l e a s e of e l a s t i c s t r a i n e n e r g y w i t h i n t h e b l o c k s , and t h e s l i p v e l o c i t y c o u l d be a p p r o x i m a t e d by a s s u m i n g t h e s h e a r s t r e n g t h a t t h e i n i t i a t i o n o f s l i p i s z e r o . I f , however, t h e c o e f f i c i e n t of f r i c t i o n and s l i p v e l o c i t y a r e l e s s t h a n 10" 1 and 10" 1 ms" 1, t h e n i t i s d o u b t f u l whether d > TO" 2 (4.59) 189 t h e r m a l p r e s s u r i z a t i o n o r f r i c t i o n a l m e l t i n g c o u l d r e d u c e t h e dynamic s h e a r s t r e n g t h d u r i n g an e a r t h q u a k e . In t h e s e c o n d i t i o n s f r i c t i o n a l h e a t i n g i s s m a l l and t h e t e m p e r a t u r e r i s e w ould be m i n i m a l . 2) Fault zone - Effects of fault width. F o r d e f o r m a t i o n o c c u r r i n g o v e r a f a u l t zone a few c e n t i m e t e r s i n w i d t h , t h e r a t e o f t h e t e m p e r a t u r e r i s e i s l o w e r and, c o n s e q u e n t l y , t h e d i s p l a c e m e n t r e q u i r e d f o r l a r g e r e d u c t i o n s i n s h e a r s t r e n g t h i s g r e a t e r . T h i s b e h a v i o r c o u l d l i m i t t h e s t r e s s a v a i l a b l e t o a c c e l e r a t e t h e b l o c k s and change t h e dynamic c h a r a c t e r i s t i c s of t h e s l i p v e l o c i t y . To i l l u s t r a t e t h e e f f e c t s o f t h e r m a l p r e s s u r i z a t i o n on t h e s l i p r a t e , we f i r s t c o n s i d e r an a p p r o x i m a t e s o l u t i o n t o t h e f u l l y - c o u p l e d e q u a t i o n s . F o r t h i s a p p r o x i m a t i o n we assume n e g l i g i b l e f l u i d l o s s f r o m t h e z o n e , and t h a t t h e s h e a r s t r e n g t h i s g i v e n by e q u a t i o n (4.48) where t h e c h a r a c t e r i s t i c t i m e f o r t h e r m a l p r e s s u r i z a t i o n \p i s d e t e r m i n e d by t h e maximum s l i p v e l o c i t y f o r t h e i n i t i a l d r o p i n s h e a r s t r e n g t h a t c o n s t a n t f l u i d p r e s s u r e . W i t h t h e s e a s s u m p t i o n s t h e s l i p v e l o c i t y i s r e a d i l y c a l c u l a t e d f o r e a c h v e l o c i t y m o d e l . F o r example, f o r an i n i t i a l d r o p o f 3% i n t h e s h e a r s t r e n g t h , F i g u r e 4.13 shows t h e s l i p v e l o c i t y f o r e a c h o f t h e t h r e e v e l o c i t y m o d e l s . In t h i s f i g u r e t i m e i s n o r m a l i z e d by t h e c h a r a c t e r i s t i c s l i p d u r a t i o n t (4.16b) f o r t h e r e l e a s e o f s t r a i n e n e r g y w i t h i n t h e e l a s t i c b l o c k s due t o a i n s t a n t a n e o u s d r o p i n s h e a r s t r e n g t h a c r o s s t h e f a u l t . The s l i p v e l o c i t y i s 190 n o r m a l i z e d by t h e maximum v e l o c i t y f o r a c o m p l e t e l o s s o f s h e a r s t r e n g t h a t t h e i n i t i a t i o n of s l i p . The c u r v e s a r e l a b e l e d i n v a l u e s of t , w h i c h i s t h e r a t i o o f t h e c h a r a c t e r i s t i c s l i p d u r a t i o n t o t h e c h a r a c t e r i s t i c t i m e f o r t h e r m a l p r e s s u r i z a t i o n . As se e n from F i g u r e 4.13, b o t h t h e s l i p r a t e and d u r a t i o n a r e s t r o n g l y d e p e n d e n t on t h e c h a r a c t e r i s t i c t i m e f o r p r e s s u r i z a t i o n . B e c a u s e t h e v a l u e o f \p i s p r o p o r t i o n a l t o t h e f a u l t w i d t h and c o m p r e s s i b i l i t y , t h e s l i p r a t e and d i s p l a c e m e n t d e c r e a s e w i t h i n c r e a s i n g w i d t h and c ompr e s s i b i 1 i t y. S i n c e t h e c h a r a c t e r i s t i c s l i p d u r a t i o n t s depends p r i m a r i l y on t h e geometry o f t h e f a u l t b l o c k s , t h e r a t i o ts/$ i s a measure o f t h e i m p o r t a n c e o f t h e r m a l p r e s s u r i z a t i o n d u r i n g s l i p . I f t h e c h a r a c t e r i s t i c s l i p d u r a t i o n i s much g r e a t e r t h a n t h e c h a r a c t e r i s t i c t i m e f o r t h e r m a l p r e s s u r i z a t i o n (* >10^), t h e n t h e r m a l p r e s s u r i z a t i o n d o m i n a t e s t h e c h a r a c t e r o f f a u l t m o t i o n and a r a p i d l o s s o f s h e a r s t r e n g t h a c c o m p a n i e s s l i p m o t i o n . In s u c h a c a s e t h e s h e a r s t r e n g t h d e c r e a s e s w i t h s l i p f a s t e r t h a n t h e r e l e a s e o f s t r a i n e n e r g y f r o m t h e a d j a c e n t b l o c k s , and t h e e x c e s s s t r e s s a c c e l e r a t e s t h e b l o c k t o h i g h e r s l i p r a t e s . Thus t h e s l i p r a t e c o u l d be r e a d i l y a p p r o x i m a t e d by a s s u m i n g a c o m p l e t e l o s s o f s h e a r s t r e n g t h a t t h e i n i t i a t i o n of s l i p , and c h a n g e s i n t h e f r i c t i o n c o e f f i c i e n t have l i t t l e a f f e c t on t h e c h a r a c t e r o f f a u l t m o t i o n once t h a t m o t i o n b e g i n s . F a u l t m o t i o n i s a r r e s t e d when t h e b l o c k d y n a m i c a l l y o v e r s h o o t s t h e e q u i l i b r i u m p o s i t i o n , d e f i n e d as t h e s t a t e of z e r o s t r e s s w i t h i n t h e 191 b l o c k . A t t h i s p o i n t t h e r e i s a b u i l d u p of s h e a r s t r e s s t h a t r e s i s t s t h e c o n t i n u e d m o t i o n o f t h e b l o c k and d e c e l e r a t i o n o c c u r s . Such b e h a v i o r would l e a d t o e a r t h q u a k e s o f r e l a t i v e l y s h o r t d u r a t i o n w i t h l a r g e s t r e s s d r o p s , a c c e l e r a t i o n s and d i s p l a c e m e n t s . C o n v e r s e l y , i f t h e c h a r a c t e r i s t i c t i m e f o r t h e r m a l p r e s s u r i z a t i o n i s much g r e a t e r t h a n t h e c h a r a c t e r i s t i c s l i p d u r a t i o n (\//>lOr ), t h e n t h e e f f e c t s o f t h e r m a l p r e s s u r i z a t i o n a r e n e g l i g i b l e a n d t h e s l i p v e l o c i t y i s d e t e r m i n e d by t h e i n i t i a l d r o p i n t h e s t a t i c s h e a r s t r e n g t h . In t h i s c a s e t h e c o n s t i t u t i v e r e l a t i o n t h a t l i n k s t h e f r i c t i o n c o e f f i c i e n t t o s l i p r a t e and s l i p r a t e h i s t o r y w i l l d o m i n a t e t h e c h a r a c t e r o f f a u l t m o t i o n ( e . g . , D i e t r i c h , 1979a, 1979b; R i c e and R u i n a , 1983; R u i n a , 1983; Okubo and D i e t r i c h , 1984; Weeks and T u l l i s , 1985; R i c e and T s e , 1986). F o r s u c h b e h a v i o r t h e s l i p d u r a t i o n i s a p p r o x i m a t e l y t h e same a s t h a t f o r a c o m p l e t e d r o p i n s h e a r s t r e n g t h , however, d i s p l a c e m e n t s and p a r t i c l e v e l o c i t i e s a r e r e l a t i v e l y s m a l l . F o r ^=*10« S, t h e r a t e o f d e c l i n e i n s h e a r s t r e n g t h a p p r o x i m a t e l y e q u a l s t h e r a t e o f r e l e a s e i n e l a s t i c s t r a i n e n e r g y . C o n s e q u e n t l y , q u a s i - s t a t i c s t r e s s c o n d i t i o n s e x i s t and t h e f a u l t c o n t i n u e s t o s l i p under n e a r l y s t e a d y s t a t e c o n d i t i o n s u n t i l t h e s h e a r s t r e s s w i t h i n t h e b l o c k s i s z e r o . T h i s b e h a v i o r w o u l d l e a d t o e a r t h q u a k e s w i t h r e l a t i v e l y l a r g e s l i p d u r a t i o n s and d i s p l a c e m e n t s , b u t low p a r t i c l e v e l o c i t i e s and a c c e l e r a t i o n s . The a n a l y t i c a l s o l u t i o n s shown i n F i g u r e 4.13 u n d e r e s t i m a t e t h e s l i p r a t e f o r two r e a s o n s . F i r s t , t h e a n a l y s i s f a i l s t o i n c o r p o r a t e t h e enhancement i n t h e r a t e of 192 d e c l i n e i n s h e a r s t r e n g t h due t o i n c r e a s e s i n t h e s l i p r a t e . S e c o n d , as s l i p p r o g e s s e s t h e t e m p e r a t u r e r i s e c a u s e s an-i n c r e a s e i n t h e t h e r m a l p r e s s u r i z a t i o n c o e f f i c i e n t and t h e r e b y a d e c r e a s e i n t h e c h a r a c t e r i s t i c t i m e f o r t h e r m a l p r e s s u r i z a t i o n . In e i t h e r c a s e , t h e c h a r a c t e r i s t i c t i m e f o r t h e r m a l p r e s s u r i z a t i o n 1// w i l l d e c r e a s e and t h e r a t i o t /\p w i l l i n c r e a s e once s l i p b e g i n s . F i g u r e 4.13, however, p r o v i d e s a good a p p r o x i m a t i o n of t h e f a u l t r e s p o n s e f o r c o n d i t i o n s where t s»\IJ or t s«\p. F o r ts»\p, t h e c h a r a c t e r i s t i c t i m e f o r t h e r m a l p r e s s u r i z a t i o n i s l a r g e and, c o n s e q u e n t l y , any i n c r e a s e i n t h e r a t i o t s/\jj c a u s e d by i n c r e a s e s i n t h e s l i p r a t e o r t e m p e r a t u r e r e s u l t s i n o n l y a s m a l l s h i f t o f t h e c u r v e . F o r t .«<//, t h e s l i p r a t e r e m a i n s n e a r i t s i n i t i a l v a l u e and t h e change i n t h e r a t i o t s/ii w i t h s l i p r a t e i s s m a l l . I f , however, ty^t , F i g u r e 4.13 p r o v i d e s o n l y a q u a l i t a t i v e d e s c r i p t i o n of t h e s l i p r a t e and e x a c t r e s u l t s w ould have t o be o b t a i n e d by n u m e r i c a l s o l u t i o n o f t h e c o u p l e d e q u a t i o n s . The r e s t r i c t i o n of n e g l i g i b l e f l u i d l o s s from t h e f a u l t zone imposes a more s e v e r e c o n s t r a i n t on t h e r e s u l t s o f F i g u r e 4.13. T h i s c o n s t r a i n t i s s a t i s f i e d i f t h e f a u l t w i d t h i s g r e a t e r t h a n t h e h y d r a u l i c d i f f u s i o n l e n g t h c a l c u l a t e d f o r t h e f a u l t m a t e r i a l and c h a r a c t e r i s t i c s l i p d u r a t i o n (w2~a^t ). F o r a h y d r a u l i c d i f f u s i o n l e n g t h t h a t i s much g r e a t e r t h a n t h e f a u l t w i d t h (a-nt s > > w 2 o r a ^ \ / » > w 2 ) , t h e f l u i d p r e s s u r e r i s e i s m i n i m a l and t h e s l i p v e l o c i t y i s g i v e n by i n i t i a l d r o p i n s t a t i c s h e a r s t r e n g t h ( s e e F i g u r e 4 . 3 ) . F o r i n t e r m e d i a t e c o n d i t i o n s t h e d i f f u s i o n o f e x c e s s f l u i d p r e s s u r e s c a u s e s a 193 l o w e r r a t e o f s h e a r s t r e n g t h d e c l i n e t h a n t h e r a t e p r e d i c t e d by (4.48) and F i g u r e 4.13 w i l l o v e r e s t i m a t e t h e i n c r e a s e i n t h e s l i p r a t e . F o r an i n i t i a l 3% d r o p i n t h e s h e a r s t r e n g t h , F i g u r e 4.14 shows t h e s l i p r a t e and s h e a r s t r e n g t h a c r o s s a f a u l t zone as a f u n c t i o n of t i m e . The c u r v e s a r e l a b e l e d i n t e r m s o f p e r m e a b i l i t y , and a l l c a l c u l a t i o n s a r e f o r a f a u l t w i d t h o f 10" 1 m, a p o r o u s medium c o m p r e s s i b i l i t y o f 10" 9 P a " 1 , a n d t h e i n i t i a l c o n d i t i o n s of T a b l e 4.3. F o r t h e s e c o n d i t i o n s i n i t i a l and maximum s l i p r a t e s (2V ) a r e 0.1 and 3.5 ms" 1, t h e i n i t i a l c h a r a c t e r i s t i c t i m e f o r t h e r m a l p r e s s u r i z a t i o n \p i s a p p r o x i m a t e l y 20 s, and t h e i n i t i a l r a t i o of t h e c h a r a c t e r i s t i c s l i p d u r a t i o n t o t h e r m a l p r e s s u r i z a t i o n t i m e t s/\p i s a p p r o x i m a t e l y 0.3. As shown i n F i g u r e 4.14 t h e c o n s t r a i n t f o r n e g l i g i b l e f l u i d l o s s i s s a t i s f i e d f o r p e r m e a b i l i t i e s l e s s t h a n 10" 1 6 m 2. I f t h e p e r m e a b i l i t y i s g r e a t e r t h a n o r e q u a l t o 10" 1 4 m 2, t h e n t h e r m a l p r e s s u r i z a t i o n i s n e g l i g i b l e a n d t h e s l i p r a t e i s d e t e r m i n e by t h e i n i t i a l d r o p i n t h e s t a t i c s h e a r s t r e n g t h . F o r i n t e r m e d i a t e v a l u e s o f p e r m e a b i l i t y , t h e s h e a r s t r e n g t h c o n t i n u e s t o d e c l i n e w h i l e t h e s l i p r a t e i s i n c r e a s i n g . Once t h e s l i p r a t e s t a r t s t o d e c r e a s e , t h e d i f f u s i o n o f e x c e s s f l u i d p r e s s u r e s from t h e f a u l t c a u s e s a r e s t o r a t i o n of s h e a r s t r e n g t h , and t h e r e b y a f u r t h e r r e d u c t i o n i n t h e s l i p r a t e . F o r t h e s p r i n g - r i d e r model w i t h a p e r m e a b i l i t y of 1 0 " 1 " * 5 m 2, t h e s l i p r a t e s t a b i l i z e s a nd t h e n s t a r t s t o r a p i d l y i n c r e a s e due t o t h e i n c r e a s e i n t h e t h e r m a l p r e s s u r i z a t i o n c o e f f i c i e n t w i t h t e m p e r a t u r e . The d a s h e d segments o f t h e c u r v e show t h e r e s t o r a t i o n o f s h e a r s t r e n g t h a f t e r t h e c e s s a t i o n o f s l i p . B e c a u s e t h e s h e a r s t r e n g t h i s low a t t h i s s t a g e , t h e s h e a r s t r e s s b u i l t up w i t h i n t h e b l o c k s d u r i n g d e c e l e r a t i o n may e x c e e d t h e s t a t i c s h e a r s t r e n g t h of t h e f a u l t . I f t h i s were t h e c a s e , t h e b l o c k w ould b e g i n b a c k s l i d i n g and e x p e r i e n c e a damped o s c i l l a t i o n a b o u t t h e e q u i l i b r i u m p o s i t i o n . However, dynamic o v e r s h o o t and p o t e n t i a l b a c k s l i d i n g a r e e x p e c t e d t o be l e s s p r o n o u n c e d i n a c o n t i n u o u s s y s t e m . As shown i n F i g u r e s 4.13 and 4.14, t h e f a u l t e x h i b i t s a complex r h e o l o g y t h a t i s c h a r a c t e r i z e d by s t r a i n - w e a k e n i n g d u r i n g a c c e l e r a t i o n and s t r a i n - h a r d e n i n g d u r i n g d e c e l e r a t i o n of t h e f a u l t b l o c k s . The e x a c t n a t u r e o f t h e r e l a t i o n between s h e a r s t r e n g t h and d e f o r m a t i o n r a t e i s s t r o n g l y d e p e n d e n t on t h e w i d t h and h y d r a u l i c c h a r a c t e r i s t i c s o f t h e f a u l t z o n e . In a d d i t i o n , i f t h e f r i c t i o n c o e f f i c i e n t v a r i e s due t o t h e b r e a k i n g and f o r m a t i o n o f new b a r r i e r s a l o n g t h e s l i p p l a n e s , t h e n t h e a c c e l e r a t i o n and s l i p r a t e s w o u l d be v e r y e r r a t i c . In s u c h a c a s e F i g u r e s 4.13 and 4.14 w o u l d e x h i b i t a h i g h f r e q u e n c y o s c i l l a t i o n s u p e r i m p o s e d on t h e s l i p r a t e p r o f i l e s ( e . g . , Nur, 1978). The m a g n i t u d e and f r e q u e n c y o f t h e s e o s c i l l a t i o n s w o u l d depend on t h e c o n s t i t u t i v e r e l a t i o n l i n k i n g t h e f r i c t i o n c o e f f i c i e n t t o t h e s l i p r a t e and d i s p l a c e m e n t h i s t o r y . T h e s e o s c i l l a t i o n s , however, w o u l d be g r e a t e s t d u r i n g t h e e a r l y s t a g e s o f s l i p , and g r a d u a l l y d e c l i n e as t h e t e m p e r a t u r e r i s e s and t h e f a u l t zone p r e s s u r i z e s . Once t h e f l u i d p r e s s u r e s a p p r o a c h n e a r - l i t h o s t a t i c v a l u e s , s u b s e q u e n t c h a n g e s i n t h e f r i c t i o n c o e f f i c i e n t w i l l have l i t t l e e f f e c t on 195 t h e s h e a r s t r e n g t h , a c c e l e r a t i o n and s l i p r a t e . We do n o t s u g g e s t t h a t t h e s i m p l e f a u l t b l o c k models of F i g u r e s 4.13 and 4.14 can be made t o c o r r e s p o n d c l o s e l y t o an a c t u a l f a u l t . R a t h e r t h e a n a l y s i s i s i n t e n d e d t o p r o v i d e an u n d e r s t a n d i n g o f how t h e r m a l p r e s s u r i z a t i o n i n f l u e n c e s t h e c h a r a c t e r of f a u l t m o t i o n when v a r i a b l e r e s i s t i v e s t r e s s and i n e r t i a l f o r c e s a r e d o m i n a n t . DISCUSSION Our r e s u l t s s u g g e s t t h a t t h e n a t u r e of f a u l t m o t i o n d e p ends c r i t i c a l l y upon t h e c h a r a c t e r i s t i c t i m e s c a l e s f o r t h e r m a l p r e s s u r i z a t i o n and s l i p d u r a t i o n . In t u r n , t h e s e p a r a m e t e r s depend, upon t h e f a u l t g e o m e t r y , and t h e h y d r a u l i c c h a r a c t e r i s t i c s o f t h e f a u l t zone and t h e a d j a c e n t medium. B e c a u s e of t h e wide v a r i a t i o n s p o s s i b l e i n t h e s e p a r a m e t e r s , a wide v a r i e t y of f a u l t b e h a v i o r i s p o s s i b l e . Knowledge of t h e s e p a r a m e t e r s a p p e a r s e s s e n t i a l i n u n d e r s t a n d i n g t h e d y n a m i c s o f f a u l t m o t i o n . The w i d t h o f a f a u l t zone i s p r o b a b l y t h e l e a s t - w e l l known p a r a m e t e r . F i e l d e v i d e n c e from exhumed f a u l t s s u g g e s t s t h a t w i t h i n t h e b r i t t l e r e g i m e o f t h e c r u s t , f a u l t s l i p may be c o n f i n e d t o z o n e s a few c e n t i m e t e r s o r l e s s i n w i d t h ( e . g . , W i l s o n , 1970; F l i n n , 1977, 1979; S i b s o n , 1977, 1979; S i e h , 1978; B u s t i n , 1983). I f t h e f a u l t w i d t h i s l e s s t h a n a few c e n t i m e t e r s , t h e n f o r l a r g e e a r t h q u a k e s a s u b s t a n t i a l r e d u c t i o n i n s h e a r s t r e n g t h s h o u l d o c c u r e i t h e r by t h e r m a l 196 p r e s s u r i z a t i o n o r f r i c t i o n a l m e l t i n g . I f t h e f a u l t w i d t h e x c e e d s a few c e n t i m e t e r s , t h e n t h e r a t e o f t h e f r i c t i o n a l h e a t i n g i s t o o s m a l l t o c a u s e m e l t i n g w i t h i n t h e zone d u r i n g an e a r t h q u a k e . However, t h e r m a l p r e s s u r i z a t i o n c o u l d s t i l l a c t t o r e d u c e t h e s h e a r s t r e n g t h . In t h i s c a s e , i f t h e d i s p l a c e m e n t e x c e e d s t h e f a u l t w i d t h , t h e n t h e r e s p o n s e of t h e f a u l t zone w i l l d epend p r i m a r i l y upon t h e h y d r a u l i c c h a r a c t e r i s t i c s o f t h e f a u l t zone and a d j a c e n t w a l l r o c k . E x t e n s i v e f r a c t u r i n g o f t h e w a l l r o c k c o u l d l e a d t o r e l a t i v e l y h i g h p e r m e a b i l i t i e s a d j a c e n t t o a f a u l t z o n e . W i t h i n t h e f a u l t z one, however, t h e p r e s e n c e o f a f i n e c a t a c l a s t i c gouge w i t h a p o s s i b l e h i g h c l a y c o n t e n t would s u g g e s t low p e r m e a b i l i t i e s . Morrow et al. (1981, 1984) m e asured t h e p e r m e a b i l i t y o f b o t h n o n - c l a y and- c l a y - r i c h f a u l t gouges a t v a r i o u s c o n f i n i n g p r e s s u r e s and s h e a r s t r a i n s . P e r m e a b i l i t i e s r a n g e d from 1 0 " 2 2 t o 1 0 " 1 8 m 2. The low p e r m e a b i l i t y o f t h e s e f a u l t gouges i n d i c a t e s t h a t f l u i d l o s s f r o m a f a u l t zone may be n e g l i g i b l e o v e r t h e t i m e s c a l e o f an e a r t h q u a k e . In t h i s c a s e t h e c o m p r e s s i b i l i t y o f f a u l t zone m a t e r i a l i s p r o b a b l y t h e most i m p o r t a n t p a r a m e t e r c o n t r o l l i n g f a u l t m o t i o n . L i t t l e i s known a b o u t t h e c o m p r e s s i b i l i t y o f f a u l t gouge a t d e p t h . The f i n e g r a i n s i z e and low p e r m e a b i l i t y of f a u l t gouge s u g g e s t c o m p r e s s i b i l i t i e s s i m i l i a r t o c o m p a c t e d a r g i l l a c e o u s s e d i m e n t s . Such c o m p r e s s i b i l i t i e s t y p i c a l l y r ange from 1 0 " 1 0 t o 5 X 1 0 " 8 P a " 1 (Domenico and M i f f l i n , 1965; S m i t h , 1973; R i e k e and C h i l i n g a r i a n , 1974; T o u l o u k i n , 1981). T h i s r a n g e i s n o t u n r e a s o n a b l e f o r f a u l t gouge d e r i v e d f r o m low 197 c o m p r e s s i b i l i t y r o c k s a t t h e c o n f i n i n g p r e s s u r e s e x p e c t e d a t d e p t h s i n e x c e s s o f one k i l o m e t e r . Nor i s t h i s r a n g e u n r e a s o n a b l e f o r f a u l t gouge where r e p e a t e d t h e r m a l p r e s s u r i z a t i o n and f l u i d e x p l u s i o n o v e r s u c c e s s i v e e a r t h q u a k e s would t e n d t o compact t h e gouge m a t e r i a l . R a l e i g h (1977) showed t h a t a t r a n s i e n t r i s e i n t e m p e r a t u r e c o u l d c a u s e d e h y d r a t i o n o f c l a y s , and t h e r e b y c o m p a c t i o n o f t h e f a u l t gouge. I f narrow z o n e s w i t h gouge o f low p e r m e a b i l i t y and c o m p r e s s i b i l i t y a r e t y p i c a l , t h e n t h e r m a l p r e s s u r i z a t i o n i s p r o b a b l y an i m p o r t a n t p r o c e s s i n t h e d y n a m i c s o f f a u l t m o t i o n . V a r i o u s l i n e s of e v i d e n c e s u p p o r t t h e argument t h a t s h e a r s t r e n g t h and f r i c t i o n a l h e a t g e n e r a t i o n c o u l d be g r e a t l y r e d u c e d by t h e r m a l p r e s s u r i z a t i o n . L a c h e n b r u c h and S a s s ( 1 9 8 0 ) , and L a c h e n b r u c h (1980) s u g g e s t e d t h a t t h e l a c k o f an anomaly i n s u r f a c e h e a t f l o w a c r o s s t h e San A n d r e a s f a u l t c o u l d r e s u l t f r o m a low dynamic f r i c t i o n c a u s e d by t h e r m a l p r e s s u r i z a t i o n . Measurements o f t h e l e v e l s o f o r g a n i c m a t u r a t i o n w i t h i n arid a d j a c e n t t o t h r u s t z o n e s by B u s t i n (1983) r e v e a l e d no d e t e c t a b l e t h e r m a l metamorphism a t t r i b u t a b l e t o f r i c t i o n a l l y g e n e r a t e d h e a t , w i t h t h e e x c e p t i o n o f n a r r o w f i l m s o f h i g h v i t r i n i t e r e f l e c t a n c e i m m e d i a t e l y a d j a c e n t t o and w i t h i n t h e z o n e s . T h e s e f i l m s s u g g e s t t h a t t e m p e r a t u r e s on t h e o r d e r of 3 0 0 - 6 5 0 ° C were g e n e r a t e d d u r i n g t h r u s t i n g and i n d i c a t e d t h a t t h e e l e v a t e d t e m p e r a t u r e s were v e r y s h o r t l i v e d . Such h i g h t e m p e r a t u r e s a l o n g t h e e d g e s o f t h r u s t z o n e s c o u l d be g e n e r a t e d r e a d i l y i f s l i p was p r i m a r i l y c o n f i n e d t o t h e b o u n d a r y between t h e zone 198 and w a l l r o c k , or i f t h e p e r m e a b i l i t y o f t h e a d j a c e n t r o c k e x c e e d s t h a t o f t h e t h r u s t z o n e . W i l s o n ( 1 9 7 0 ) , and B r o c k and E n g e l d e r (1977) have d e s c r i b e d a number o f l a r g e f r a c t u r e s a d j a c e n t t o t h r u s t z o n e s t h a t have been i n t r u d e d by s h a l e d i k e s . I f t h e r m a l p r e s s u r i z a t i o n c a u s e s f l u i d p r e s s u r e s t o a p p r o a c h l i t h o s t a t i c v a l u e s , f l u i d i z a t i o n of t h e f a u l t gouge c o u l d o c c u r . Such b e h a v i o r c o u l d l e a d t o h y d r o f r a c t u r i n g and t h e i n j e c t i o n o f gouge d i k e s i n t o t h e a d j a c e n t w a l l r o c k . The s u b s e q u e n t r e d u c t i o n i n f l u i d p r e s s u r e w i t h i n t h e zone would c a u s e a r e s t o r a t i o n o f s h e a r s t r e n g t h , and t h e r e b y i n h i b i t f u r t h e r f a u l t m o t i o n . H y d r o f r a c t u r i n g d u r i n g t h e l a t t e r s t a g e s of s l i p , however, w o u l d n o t a l t e r t h e c o n d i t i o n s r e q u i r e d f o r t h e r m a l p r e s s u r i z a t i o n t o r e d u c e t h e dynamic s h e a r s t r e n g t h . In a d d i t i o n , d i l a t a n c y r e c o v e r y a c c o m p a n y i n g t h e r e l e a s e of s h e a r s t r a i n d u r i n g f a u l t i n g c o u l d , c a u s e a n e g a t i v e p o r e d i l a t a t i o n and t h e r e b y a f u r t h e r enhancement i n t h e r a t e of t h e r m a l p r e s s u r i z a t i o n ( e . g . , Nur 1972; S c h o l z et al. , 1973; S i b s o n , 1973; L a c h e n b r u c h , 1980; H o lcomb,1981). I f t h a t were t h e c a s e , t h e n t h e c a l c u l a t i o n s o f t h e f l u i d p r e s s u r e r i s e f o r a s t i f f medium would be on t h e c o n s e r v a t i v e s i d e . The e m p h a s i s i n t h i s s t u d y has been on a f a u l t b l o c k model w i t h u n i f o r m s t r e s s and m a t e r i a l p r o p e r t i e s o v e r t h e r u p t u r e s u r f a c e . I t i s i m p o r t a n t , however, t o c o n s i d e r t h e r o l e t h a t h e t e r o g e n e i t i e s c o u l d p l a y i n t h e d y n a m i c s o f f a u l t m o t i o n . F a u l t m o d e l s w i t h u n i f o r m p r o p e r t i e s a r e u s e f u l f o r u n d e r s t a n d i n g s l i p when t h e l e n g t h s c a l e s o v e r w h i c h t h e r e a r e s i g n i f i c a n t c h a n g e s i n m a t e r i a l p r o p e r t i e s a r e much g r e a t e r 199 t h a n t h e f a u l t r u p t u r e l e n g t h . Such m odels c h a r a c t e r i z e t h e l o w - f r e q u e n c y r e s p o n s e of a f a u l t . To e x p l a i n h i g h f r e q u e n c y s e i s m i c r a d i a t i o n and t h e s t r o n g g r o u n d m o t i o n s o b s e r v e d f o r l a r g e e a r t h q u a k e s , a h e t e r o g e n e o u s s t r e s s d r o p and an i r r e g u l a r r u p t u r e p r o p a g a t i o n and s l i p r a t e a r e r e q u i r e d . T h i s i n t u r n r e q u i r e s t h a t h e t e r o g e n e i t i e s i n m a t e r i a l p r o p e r t i e s have l e n g t h s c a l e s much s m a l l e r t h a n t h e r u p t u r e l e n g t h . In a d d i t i o n , a mechanism i s r e q u i r e d t o m a i n t a i n t h a t h e t e r o g e n e i t y between s u c c e s s i v e e a r t h q u a k e c y c l e s . Many models p r o p o s i n g how h e t e r o g e n e i t i e s a f f e c t t h e e a r t h q u a k e c y c l e have been d i s c u s s e d ( e . g . , Das and A k i , 1977; Kanamori and S t e w a r t , 1978; Mikumo and M i y a t a k e , 1978; A k i , 1979, 1 984; Mahrer and Nur, 1979; M a d a r i a g a , 1979; Das and S c h o l z , 1981; L i n d h and B o o r e , 1981; M c G a r r , 1981; R u d n i c k i and K a n a m o r i , 1981; P a p a g e o r g i o u and A k i , 1983a, 1983b; R u n d l e et al . , 1984; S t u a r t et al. , 1985). T h e s e m odels a r e o f two p r i m a r y t y p e s . The f i r s t c o n s i s t s o f a f a u l t w i t h u n i f o r m p r o p e r t i e s b u t ah i r r e g u l a r g e o m e t r y , whereas t h e s e c o n d assumes a s i m p l e g e o m e t r y but a r u p t u r e p r o c e s s t h a t p r o c e e d s i n t h e p r e s e n c e o f o b s t a c l e s , o r b a r r i e r s o f v a r i o u s s t r e n g t h s . B o t h m o dels y i e l d a h e t e r o g e n e o u s s t r e s s d r o p , and t h e r e b y an i r r e g u l a r r u p t u r e p r o p a g a t i o n and f a u l t s l i p . We s h a l l examine o n l y b a r r i e r models h e r e , and c o n s i d e r t h e m a t e r i a l p r o p e r t i e s t h a t may form them. The t e r m b a r r i e r a p p l i e s t o s t r o n g p a t c h e s of t h e f a u l t t h a t a r e r e s i s t i v e t o s l i p ( e . g . , Das and A k i , 1977; A k i , 1979, 1984). Hence a b a r r i e r i s c h a r a c t e r i z e d by t h e m a t e r i a l 200 p r o p e r t i e s t h a t c o n t r o l i t s s t r e n g t h , and i t s a r e a l e x t e n t . B a r r i e r s can i n i t i a t e f a i l u r e when t h e t e c t o n i c s t r e s s e x c e e d s t h e s t r e n g t h o f t h e b a r r i e r , o r slow down and h a l t t h e r u p t u r e f r o n t as i t p r o p a g a t e s t h r o u g h t h e b a r r i e r . I t c a n a l s o c o n t r i b u t e t o an i r r e g u l a r f a u l t m o t i o n by r e m a i n i n g u n b r o k e n a t t h e i n i t i a l p a s s a g e o f t h e r u p t u r e f r o n t , b ut t h e n b r e a k s u b s e q u e n t l y b e c a u s e o f i n c r e a s e d s t r e s s a r o u n d i t s b o u n d a r i e s . W h i l e much c o n s i d e r a t i o n has been g i v e n t o t h e m e c h a n i c s of b a r r i e r s , l i t t l e work has been done t o c h a r a c t e r i z e t h e c o n d i t i o n s and m a t e r i a l p r o p e r t i e s t h a t form a b a r r i e r . M o d e l s o f b a r r i e r s f a l l i n t o two main t y p e s . The f i r s t t y p e a r e d e s c r i b e d by t h e s p a t i a l v a r i a b i l i t y i n t h e f r i c t i o n c o e f f i c i e n t ( e . g . , B u r r i d g e and K n o p o f f , 1968; Mikumo and M i y a t a k e , 1978; I s r a e l and Nur, 1978). A l i m i t a t i o n of t h e s e models i s t h a t l o n g - t e r m s l i p w o u l d t e n d t o smooth out v a r i a t i o n s i n t h e f r i c t i o n c o e f f i c i e n t . C o n s e q u e n t l y , t h e r e s i s t i v e s t r e s s would t e n d t o become u n i f o r m w i t h s u c c e s s i v e e a r t h q u a k e s u n t i l a l l e v e n t s r u p t u r e t h e e n t i r e f a u l t l e n g t h and h e t e r o g e n e o u s p r o c e s s e s c e a s e t o become i m p o r t a n t (Nur, 1978). The s e c o n d t y p e o f model employs a p e a k - s t r e s s c o n s t i t u t i v e law t o d e s c r i b e b a r r i e r s t r e n g t h v e r s u s f a u l t s l i p ( e g . , R u d n i c k i , 1977; S t u a r t 1979; S t u a r t and Mavko, 1979; L i and R i c e , 1983; S t u a r t et al. , 1985). H e r e t h e s h e a r s t r e n g t h i s assumed t o i n i t i a l l y i n c r e a s e w i t h f a u l t s l i p ( s t r a i n h a r d e n i n g ) up t o a peak s t r e s s , and t h e n t o d e c r e a s e w i t h c o n t i n u e d s l i p ( s t r a i n w e a k e n i n g ) . W h i l e s u c h a law p r e d i c t s e a r t h q u a k e s , i t s form and t h e s p a t i a l v a r i a b i l i t y of 201 c o e f f i c i e n t v a l u e s a r e p o o r l y known. The r e s u l t s p r e s e n t e d i n t h i s s t u d y s u g g e s t t h a t t h e s p a t i a l v a r i a t i o n s i n t h e w i d t h o f t h e f a u l t z o n e , and i n t h e h y d r a u l i c c h a r a c t e r i s t i c s o f t h e f a u l t zone and a d j a c e n t medium c o u l d r e a d i l y e x p l a i n b o t h t h e p r e s e n c e o f b a r r i e r s a l o n g f a u l t s and t h e s t r o n g m o t i o n o b s e r v e d i n s e i s m i c r e c o r d s . P a t c h e s of t h e f a u l t t h a t a c t a s b a r r i e r s may be c h a r a c t e r i z e d by r e l a t i v e l y b r o a d z o n e s of d e f o r m a t i o n w i t h h i g h p o r o u s medium c o m p r e s s i b i l i t y and p e r m e a b i l i t y . B e c a u s e t h e r m a l p r e s s u r i z a t i o n w o u l d be n e g l i g i b l e f o r s u c h p a t c h e s , t h e y would r e t a i n t h e i r , i n i t i a l s h e a r s t r e n g t h and r e s i s t f a u l t m o t i o n . C o n v e r s e l y , p a t c h e s c h a r a c t e r i z e d by narrow z o n e s o f d e f o r m a t i o n and s t i f f m a t e r i a l w i t h low p e r m e a b i l i t y would e x p e r i e n c e a r a p i d d e c r e a s e i n s h e a r s t r e n g t h . In t h i s c a s e t h e r e s i s t i v e s t r e s s o f t h e p a t c h d e c r e a s e s more r a p i d l y t h a n t h e s h e a r s t r e s s a p p l i e d by t h e e l a s t i c r e g i o n , and t h e s l i p v e l o c i t y r a p i d l y a c c e l e r a t e s . B e c a u s e t h e s t r e s s d r o p and a c c e l e r a t i o n s would be h i g h a c r o s s s u c h p a t c h e s , i t i s p o s s i b l e f o r an e a r t h q u a k e w i t h a low a v e r a g e s t r e s s d r o p t o g e n e r a t e h i g h f r e q u e n c y waves. T h i s b e h a v i o r p r o v i d e s an e x p l a n a t i o n o f t h e s t r o n g m o t i o n s o b s e r v e d n e a r t h e e p i c e n t e r of e a r t h q u a k e s . Of c o u r s e , a wide v a r i e t y o f t r a n s i t i o n b e h a v i o r s e x i s t between t h e s e two l i m i t s . F o r s m a l l e a r t h q u a k e s t h e r m a l p r e s s u r i z a t i o n may be n e g l i g i b l e and t h e p a t c h may a c t as a b a r r i e r , whereas f o r l a r g e e a r t h q u a k e s t h e s h e a r s t r e n g t h may be r e d u c e d t o n e a r - z e r o v a l u e s . T h i s r e s p o n s e w o u l d depend on t h e r e l a t i v e m a g n i t u d e s o f t h e 202 c h a r a c t e r i s t i c t i m e s c a l e f o r t h e r m a l p r e s s u r i z a t i o n o f t h e p a t c h and t h e s l i p d u r a t i o n of t h e e a r t h q u a k e . The f a u l t p a t c h may a l s o e x h i b i t a complex r h e o l o g y t h a t c o u l d be c h a r a c t e r i z e d by s t r a i n w e a k e n i n g d u r i n g t h e e a r l y s t a g e s of s l i p when f l u i d l o s s f r o m t h e zone i s n e g l i g i b l e , and s t r a i n h a r d e n i n g d u r i n g t h e l a t t e r s t a g e s when f l u i d l o s s may be s u b s t a n t i a l . T h i s b e h a v i o r depends n o t o n l y on t h e c h a r a c t e r i s t i c t i m e s c a l e s , but a l s o on t h e r e l a t i v e m a g n i t u d e s of t h e h y d r a u l i c d i f f u s i o n l e n g t h and t h e f a u l t w i d t h t h r o u g h o u t t h e d u r a t i o n of s l i p . A f a u l t p a t c h m i g h t a l s o e x h i b i t a b i m o d a l b e h a v i o r o v e r an e a r t h q u a k e c y c l e . F o r example, p r i o r t o an e a r t h q u a k e a p a t c h c o m p r i s e d o f a wide zone o f i n e l a s t i c a l l y d e f o r m i n g r o c k may be d r i v e n p a s t a peak s t r e n g t h and i n t o a s t r a i n - s o f t e n i n g r egime by f a r f i e l d t e c t o n i c s t r a i n s . When t h e s h e a r s t r e n g t h of t h e p a t c h d e c r e a s e s more r a p i d l y t h a n t h e t e c t o n i c s h e a r s t r e s s , s t a t i c e q u l i b r i u m c a n n o t be m a i n t a i n e d and an e a r t h q u a k e o c c u r s ( e . g . , R u d n i c k i , 1977; R i c e and R u d n i c k i , 1979; S t u a r t et al. , 1985). Once f a i l u r e b e g i n s , a d j a c e n t s t r o n g e r p a t c h e s w i t h narrow z o n e s o f d e f o r m a t i o n may e x p e r i e n c e a r a p i d d e c l i n e i n s h e a r s t r e n g t h due t o t h e r m a l p r e s s u r i z a t i o n . The wide p a t c h , however, may t e n d t o r e m a i n n e a r i t s i n i t i a l f a i l u r e s t r e n g t h b e c a u s e h e a t i n g i s d i s t r i b u t e d o v e r a b r o a d r e g i o n and i s i n s u f f i c i e n t t o c a u s e t h e r m a l p r e s s u r i z a t i o n . Thus a p a t c h w i t h a b r o a d zone o f d e f o r m a t i o n may i n i t i a t e f a u l t s l i p , b u t t h e n a c t t o r e s i s t s l i p once f a u l t m o t i o n b e g i n s . 203 T h e s e r e s u l t s s u g g e s t t h a t s p a t i a l v a r i a t i o n s i n f a u l t w i d t h and h y d r a u l i c c h a r a c t e r i s t i c s p l a y an i m p o r t a n t r o l e i n t h e d y n a m i c s and s t a t i s t i c a l c h a r a c t e r i s t i c s of e a r t h q u a k e p r o c e s s e s . B e c a u s e t h e s p a t i a l d i s t r i b u t i o n o f t h e s e p a r a m e t e r s c a n e n d u r e t h r o u g h many e a r t h q u a k e s c y c l e s , e a r t h q u a k e s r e c u r r e n t on a g i v e n f a u l t may have t h e same s e t of c h a r a c t e r i s t i c d i s p l a c e m e n t s and m a g n i t u d e s . V a r i a t i o n s w i t h i n t h e s e t would depend on t h e r e l a t i v e m a g n i t u d e s of t h e f a u l t l e n g t h , and t h e c h a r a c t e r i s t i c l e n g t h s c a l e s f o r t h e f a u l t w i d t h and h y d r a u l i c c h a r a c t e r i s t i c s . I f t h e c h a r a c t e r i s t i c l e n g t h s c a l e s f o r t h e s e p a r a m e t e r s a r e much l e s s t h a n t h e f a u l t l e n g t h , t h e n v a r i a t i o n s i n t h e d i s p l a c e m e n t s and m a g n i t u d e s would be l a r g e . I f , however, t h e c h a r a c t e r i s t i c l e n g t h f o r t h e s e p a r a m e t e r s i s on t h e o r d e r o f t h e f a u l t l e n g t h , t h e n t h e f a u l t b l o c k model wo u l d a p p l y and t h e v a r i a t i o n s would be s m a l l . T h i s s c a l e d e p e n d e n c y would c o n f o r m t o t h e f r e q u e n c y - m a g n i t u d e r e l a t i o n s o b s e r v e d f o r many f a u l t s ( e . g . , Nur, 1978; A k i 1984; S t u a r t et al . , 1985). Thus i t may be p o s s i b l e t o d e t e r m i n e c h a r a c t e r i s t i c l e n g t h s c a l e s f o r t h e s e p a r a m e t e r s from t h e s t a t i s t i c s of f r e q u e n c y - m a g n i t u d e r e l a t i o n s , and open t h e p o s s i b i l i t y o f q u a n t i t a t i v e p r e d i c t i o n o f e a r t h q u a k e b e h a v i o r . SUMMARY AND CONCLUSIONS We have f o r m u l a t e d a s i m p l e model f o r an e a r t h q u a k e w h i c h i n c o r p o r a t e s t h e e f f e c t s o f f r i c t i o n a l h e a t i n g on t h e t h e r m a l , h y d r o l o g i c , and m e c h a n i c a l r e s p o n s e o f a f a u l t . T h i s model has 204 been u s e d t o examine t h e p a r a m e t e r s t h a t c o n t r o l t h e f a u l t r e s p o n s e , and t o d e t e r m i n e t h e i r c r i t i c a l r a n g e o f v a l u e s where t h e r m a l p r e s s u r i z a t i o n i s s i g n i f i c a n t . The main c o n c l u s i o n s o f t h i s a n a l y s i s a r e : 1. M o t i o n o f t h e f a u l t b l o c k s c a n be c h a r a c t e r i z e d by two t i m e s c a l e s , a c h a r a c t e r i s t i c s l i p d u r a t i o n f o r t h e r e l e a s e o f e l a s t i c s t r a i n e n e r g y and a c h a r a c t e r i s t i c t i m e f o r t h e r m a l p r e s s u r i z a t i o n due t o f r i c t i o n a l h e a t i n g . T h e s e t i m e s c a l e s d e p e n d p r i m a r i l y on t h e f a u l t g e o m e t r y , and t h e h y d r a u l i c c h a r a c t e r i s t i c s o f t h e f a u l t zone and a d j a c e n t medium. B e c a u s e of t h e wide v a r i a t i o n s i n t h e s e p a r a m e t e r s , a wide v a r i e t y of f a u l t b e h a v i o r i s p o s s i b l e . 2. F o r e a r t h q u a k e s o c c u r r i n g a c r o s s narrow z o n e s c o m p r i s e d of s t i f f m a t e r i a l w i t h low p e r m e a b i l i t y ( < 1 0 " 1 8 m 2 ) , t h e c h a r a c t e r i s t i c t i m e f o r t h e r m a l p r e s s u r i z a t i o n i s much l e s s t h a n t h e c h a r a c t e r i s t i c s l i p d u r a t i o n . C o n s e q u e n t l y , d u r i n g s l i p t h e r e s i s t i v e s t r e s s d e c r e a s e s more r a p i d l y t h a n t h e s h e a r s t r e s s a p p l i e d by t h e e l a s t i c r e g i o n , and t h e f a u l t b l o c k s r a p i d l y a c c e l e r a t e . T h i s b e h a v i o r would l e a d t o e a r t h q u a k e s o f r e l a t i v e l y s h o r t d u r a t i o n s w i t h l a r g e s t r e s s d r o p s , a c c e l e r a t i o n s and d i s p l a c e m e n t s , and p r o v i d e an e x p l a n a t i o n f o r s t r o n g m o t i o n s . 3. F o r e a r t h q u a k e s o c c u r r i n g a c r o s s z o n e s where s h e a r s t r a i n s a r e l e s s t h a n one, o r t h e p o r o u s medium c o m p r e s s i b i l i t y and p e r m e a b i l i t y e x c e e d s 10" 8 P a - 1 and 1 0 " 1 4 m 2, t h e c h a r a c t e r i s t i c t i m e f o r t h e r m a l p r e s s u r i z a t i o n i s much g r e a t e r t h a n t h e s l i p d u r a t i o n . B e c a u s e t h e r m a l p r e s s u r i z a t i o n 205 would be n e g l i g i b l e , t h e f a u l t w ould r e t a i n i t s i n i t i a l s h e a r s t r e n g t h and r e s i s t f u r t h e r m o t i o n . T h i s b e h a v i o r w o u l d l e a d t o e a r t h q u a k e s w i t h r e l a t i v e l y s m a l l s t r e s s d r o p s , a c c e l e r a t i o n s and d i s p l a c e m e n t s , and p r o v i d e an e x p l a n a t i o n f o r t h e p r e s e n c e o f b a r r i e r s a l o n g f a u l t s . 4. The s t y l e o f d e f o r m a t i o n a c r o s s a f a u l t zone may be c o n t r o l l e d by t h e h y d r a u l i c c h a r a c t e r i s t i c s o f t h e zone and a d j a c e n t w a l l r o c k . I f t h e h y d r a u l i c d i f f u s i v i t y of t h e w a l l r o c k i s g r e a t e r t h a n t h a t o f t h e f a u l t z one, d e f o r m a t i o n would t e n d t o c o n t r a c t a b o u t t h e c e n t r a l r e g i o n where t h e f l u i d p r e s s u r e r i s e and, c o n s e q u e n t l y , t h e d e c l i n e i n s h e a r s t r e n g t h i s g r e a t e s t . I n t h i s c a s e i t i s not u n r e a s o n a b l e t o e x p e c t v e r y n a r r o w d e f o r m a t i o n z o n e s f o r l a r g e e a r t h q u a k e s . C o n v e r s e l y , i f t h e h y d r a u l i c d i f f u s i v i t y o f t h e w a l l r o c k i s l e s s t h a n t h a t o f t h e zo n e , t h e w a l l r o c k a c t s t o c o n f i n e t h e e x c e s s f l u i d p r e s s u r e w i t h i n t h e z o n e . I n t h i s c a s e t h e d i f f u s i o n o f e x c e s s p o r e p r e s s u r e s f r o m t h e f a u l t c o u l d c a u s e a p r o g r e s s i v e w e a k e n i n g o f t h e a d j a c e n t w a l l r o c k , and t h e r e b y a w i d e n i n g o f t h e d e f o r m a t i o n z one. 5. The s p a t i a l v a r i a t i o n s i n f a u l t w i d t h and h y d r a u l i c c h a r a c t e r i s t i c s c o u l d r e a d i l y e x p l a i n a h e t e r o g e n o u s s t r e s s d r o p , a n d t h e r e b y an i r r e g u l a r r u p t u r e p r o p a g a t i o n and s l i p r a t e o v e r t h e f a u l t . B e c a u s e t h e s e p a r a m e t e r s c a n e n d u r e t h r o u g h many e a r t h q u a k e c y c l e s , e a r t h q u a k e s r e c u r r e n t on a g i v e n f a u l t may have t h e same s e t o f c h a r a c t e r i s t i c d i s p l a c e m e n t s and m a g n i t u d e s . Thus t h e s p a t i a l d i s t r i b u t i o n of t h e s e p a r a m e t e r s may p l a y an i m p o r t a n t r o l e i n t h e d y n a m i c s and s t a t i s t i c a l c h a r a c t e r i s t i c s of e a r t h q u a k e s . 207 APPENDIX: NUMERICAL SOLUTION OF EQUATIONS E q u a t i o n s (4.21) and (4.22) a r e s o l v e d n u m e r i c a l l y u s i n g a G a l e r k i n f i n i t e - e l e m e n t t e c h n i q u e w i t h l i n e a r b a s i s f u n c t i o n s and d e f o r m i n g c o o r d i n a t e s . T e m p e r a t u r e , f l u i d p r e s s u r e , and m a t e r i a l and f l u i d p r o p e r t i e s v a r y l i n e a r l y a c r o s s e a c h e l e m e n t . Time d e r i v a t i v e s a r e a p p r o x i m a t e d by a f u l l y i m p l i c i t backward d i f f e r e n c e scheme. The thermodynamic p r o p e r t i e s o f water a r e i n c o r p o r a t e d a s s t a t e f u n c t i o n s o f f l u i d p r e s s u r e and t e m p e r a t u r e u s i n g r e l a t i o n s g i v e n by Keenan et al. (1978) f o r d e n s i t y and s p e c i f i c h e a t , Watson et al. (1981) f o r dynamic v i s c o s i t y , and K e s t i n (1978) f o r t h e r m a l c o n d u c t i v i t y . F o r a l l s i m u l a t i o n s t h e g r i d s p a c i n g i n c r e a s e s w i t h d i s t a n c e f r o m t h e f a u l t s u r f a c e , w i t h t h e s m a l l e s t g r i d s p a c i n g a d j a c e n t t o t h e f a u l t . F o r p r o b l e m s t h a t a r e sy m m e t r i c a b o u t t h e f a u l t , t h e e q u i v a l e n t h a l f - s p a c e p r o b l e m i s mo d e l e d . D i s c r e t i z a t i o n e r r o r was m i n i m i z e d by r u n n i n g s e v e r a l s i m u l a t i o n s o f t h e same p r o b l e m , r e d u c i n g t h e g r i d s p a c i n g u n t i l i d e n t i c a l r e s u l t s were o b t a i n e d f o r two s u c c e s s i v e r u n s . A s o l u t i o n p r o c e d u r e i s employed where t h e h e a t - t r a n s f e r and f l u i d - f l o w e q u a t i o n s a r e s o l v e d s e q u e n t i a l l y f o r a g i v e n t i m e s t e p . The s i z e of t h e t i m e s t e p i s a d j u s t e d a u t o m a t i c a l l y f o l l o w i n g a p r o c e d u r e t h a t l i m i t s t h e m a g n i t u d e o f c h a n g e s i n p r e s s u r e and t e m p e r a t u r e t o some s p e c i f i e d v a l u e w h i c h w i l l i n s u r e r a p i d c o n v e r g e n c e . I n i t i a l t i m e s t e p s were on t h e o r d e r of 1 0" 5 s. An i t e r a t i v e t e c h n i q u e i s u s e d t o c o u p l e t h e h e a t - t r a n s f e r and f l u i d - f l o w e q u a t i o n s . The f i r s t s t e p i n t h e 208 p r o c e d u r e i s t o s o l v e f o r t h e t e m p e r a t u r e f i e l d u s i n g t h e f l u i d p r e s s u r e , s l i p v e l o c i t y , and m a t e r i a l and f l u i d p r o p e r t i e s f r o m t h e p r e v i o u s t i m e s t e p . The f l u i d - f l o w e q u a t i o n i s t h e n s o l v e d u s i n g t h e newly c a l c u l a t e d t e m p e r a t u r e f i e l d t o e s t i m a t e t h e f l u i d - v o l u m e c h a n g e s due t o t h e r m a l e x p a n s i o n . P o r o s i t y i s u p d a t e d by u s i n g t h e a n a l y t i c a l s o l u t i o n o f e q u a t i o n (4.12b) o v e r t h e t i m e s t e p where t h e p o r o s i t y i s assumed t o be l i n e a r l y i n d e p e n d e n t o f © and p, and t h e b a r d e n o t e s t h e a v e r a g e v a l u e o f t h e v a r i a b l e o v e r t h e t i m e s t e p . The f l u i d and m a t e r i a l p r o p e r t i e s a r e t h e n u p d a t e d u s i n g t h e new e s t i m a t e o f t h e t e m p e r a t u r e , f l u i d p r e s s u r e and p o r o s i t y f i e l d s , and e q u a t i o n (4.9) i s i n t e g r a t e d o v e r t h e f l o w domain t o o b t a i n t h e d i s p l a c e m e n t o f t h e nodes from t h e i r p o s i t i o n a t t h e p r e v i o u s t i m e s t e p . The s l i p v e l o c i t y i s computed by n u m e r i c a l l y i n t e g r a t i n g e q u a t i o n ( 4 . 1 6 ) , ( 4 . 1 8 ) , o r ( 4 . 2 0 ) , r e s p e c t i v e l y , n = 1 - ( 1 - n t - A t ) e x P [ - ^ s f ~ ' ^ s ) { P t - P t - L t ) ~ <7,/-^ ) ( er e»-Ar> ] (4.A1) \/psfu [ ( M S - M r f ) ( T n - P 0 n a d L * P i H ( t t + t s - t a ] / = 7 (4.A2a) 209 V y U n ) = T= { (M 5 -^)(T B-i»o)exp(- i i ) + r MJ I An.expf- - ] } (4.A2b) a i=l lr - - = i ( M 5 - M r f ) ( r B - P 0 ) s i n ( ^ ( f t , - t | I ) + Hd Z A P / s i n [ ] / f ( ' / + S'*"'/i } (4.A2c) / = 1 e where Apt = p(x,tt ) - p(x,t/_7) a t x=0 (4.A3) i s t h e f l u i d p r e s s u r e i n c r e a s e on t h e f a u l t s u r f a c e between s u c c e s s i v e t i m e s t e p s , t . i s t h e t i m e f o r t h e / t h t i m e s t e p , and t n i s t h e t i m e f o r t h e c u r r e n t t i m e s t e p . An i t e r a t i v e s e q u e n c e i s t h e n e m p l o y e d u n t i l t h e maximum p r e s s u r e and t e m p e r a t u r e change between s u c c e s s i v e i t e r a t i o n s i s l e s s t h a n a s p e c i f i e d t o l e r a n c e ( 1 0 2 Pa and 10~ 3 °C, r e s p e c t i v e l y ) . Once t h i s c r i t e r i o n i s met, t h e model p r o c e e d s t o t h e n e x t t i m e s t e p . 210 NOTATION cw i s o b a r i c s p e c i f i c h e a t o f w a t e r . e v o l u m e t r i c s t r a i n ( d i l a t a t i o n ) e , , + e 2 3 3 . s o l i d m a t r i x s t r a i n . / a s a s u b s c r i p t d e n o t e s f l u i d . Hit) H e a v i s i d e u n i t s t e p f u n c t i o n k p o r o u s medium p e r m e a b i l i t y . ks b u l k modulus of t h e s o l i d g r a i n s . k$j- b u l k modulus of t h e p o r o u s medium. Ks t h e r m a l c o n d u c t i v i t y of t h e s o l i d g r a i n s . Kw t h e r m a l c o n d u c t i v i t y o f w a t e r . Ksj- t h e r m a l c o n d u c t i v i t y o f t h e s o l i d - f l u i d c o m p o s i t e . n p o r o s i t y . n0 i n i t i a l p o r o s i t y p f l u i d p r e s s u r e i n c r e a s e above a m b i e n t c o n d i t i o n s . P p o r e f l u i d p r e s s u r e . P0 i n i t i a l f l u i d p r e s s u r e . qx f l u i d s p e c i f i c d i s c h a r g e r e l a t i v e t o t h e s o l i d m a t r i x . s as a s u b s c r i p t d e n o t e s s o l i d . sf as a s u b s c r i p t d e n o t e s s o l i d - f l u i d c o m p o s i t e . t t i m e . T t e m p e r a t u r e . T0 i n i t i a l t e m p e r a t u r e . UxUy s o l i d m a t r i x d i s p l a c e m e n t s . 2V r e l a t i v e s l i p v e l o c i t y a c r o s s t h e f a u l t . 2V a v e r a g e s l i p v e l o c i t y o f t h e e v e n t . 2w f a u l t zone w i d t h . w as a s u b s c r i p t d e n o t e s w a t e r . a s q u a r e r o o t of t h e r a t i o o f t h e t h e r m a l t o t h e h y d r a u l i c d i f f u s i v i t i e s . cifr h y d r a u l i c d i f f u s i v i t y . at t h e r m a l d i f f u s i v i t y . /3 f l u i d volume e x p a n s i o n due t o a u n i t d e c r e a s e i n f l u i d p r e s s u r e . i s o t h e r m a l c o m p r e s s i b i l i t y o f t h e s o l i d g r a i n s . p o r o u s medium c o m p r e s s i b i l i t y . i s o t h e r m a l c o m p r e s s i b i l i t y o f w a t e r . maximum change i n p o r o s i t y . K r o n e c k e r d e l t a f u n c t i o n . t h e r m a l p r e s s u r i z a t i o n c o e f f i c i e n t . f l u i d volume e x p a n s i o n due t o a u n i t i n c r e a s e t e m p e r a t u r e . i s o b a r i c t h e r m a l e x p a n s i v i t y o f t h e s o i l d g r a i n s , v o l u m e t r i c t h e r m a l e x p a n s i o n c o e f f i c i e n t o f t h e p o r o u s medium. i s o b a r i c t h e r m a l e x p a n s i v i t y of w a t e r , maximum change i n s o l i d volume p e r u n i t volume o f p o r o u s media p e r u n i t i n c r e a s e i n t e m p e r a t u r e f o r d r a i n e d c o n d i t i o n s . t i m e c o n s t a n t f o r t h e r m a l p r e s s u r i z a t i o n o f a f a u l t s u r f a c e f o r d r a i n e d c o n d i t i o n s . t i m e c o n s t a n t f o r t h e r m a l p r e s s u r i z a t i o n o f a f a u l t zone f o r u n d r a i n e d c o n d i t i o n s , s h e a r m o d u l u s . dynamic c o e f f i c i e n t o f f r i c t i o n . a v e r a g e dynamic c o e f f i c i e n t o f f r i c t i o n o v e r t h e s l i p e v e n t . s t a t i c c o e f f i c i e n t of f r i c t i o n , d ynamic v i s c o s i t y of w a t e r . P o i s s o n ' s r a t i o d e n s i t y o f t h e s o l i d g r a i n s , d e n s i t y o f w a t e r . h e a t c a p a c i t y of t h e s o i l d - f l u i d c o m p o s i t e , a v e r a g e e f f e c t i v e n o r m a l s t r e s s ( T , , +T2 2 + 3 )/3 . components of t h e e f f e c t i v e s t r e s s t e n s o r , components o f t h e t o t a l s t r e s s t e n s o r , t o t a l n o r m a l s t r e s s a c t i n g on t h e f a u l t s u r f a c e , r e s i s t i v e s h e a r s t r e n g t h o f t h e f a u l t , i n i t i a l r e s i s t i v e s h e a r s t r e n g t h o f t h e f a u l t , t e m p e r a t u r e i n c r e a s e o v e r a m b i e n t c o n d i t i o n s . t e m p e r a t u r e r i s e n e e d e d t o s u s t a i n p o r e - f l u i d p r e s s u r e s a t l i t h o s t a t i c v a l u e s . p r o p o r t i o n a l i t y c o n s t a n t between p o r e and b u l k volume c h a n g e s . 213 REFERENCES A k i , K., C h a r a c t e r i z a t i o n o f b a r r i e r s on an e a r t h q u a k e s , /. Geophys. Res., 84, 6140-6148, 1979. A k i , K., A s p e r i t i e s , b a r r i e r s , c h a r a c t e r i s t i c e a r t h q u a k e s and s t r o n g m o t i o n p r e d i c t i o n , /. Geophys. Res., 89, 5867-5872, 1984. B i o t , M. A. and D. G. W i l l i s , The e l a s t i c c o e f f i c i e n t s - o f t h e t h e o r y of c o n s o l i d a t i o n , J. Appl. Mech., 24, 594-601, 1957. B r a c e , W.F., and J.D. B y e r l e e , S t i c k - s l i p a s a mechanism f o r e a r t h q u a k e s , Science, 1 5 3 ( 3 7 3 9 ) , 990, 1966. B r o c k , W.G., and T. E n g e l d e r , D e f o r m a t i o n a s s o c i a t e d w i t h t h e movement o f t h e Muddy M o u n t a i n O v e r t h r u s t i n t h e B u f f i n g t o n window, s o u t h e a s t e r n Nevada, Bull. Geol. Soc. Am. , 88, 1667-1677, 1977. B r u n e , J.N., T e c t o n i c s t r e s s and t h e s p e c t r a o f s e i s m i c s h e a r waves from e a r t h q u a k e s , /. Geophys. Res., 75, 4995-5009, 1970. B u r r i d g e , R., and L. K n o p o f f , M o d e l and t h e o r e t i c a l s e i s m i c i t y , Bull. Seis. Soc. Am., 57, 341-371, 1967. B u s t i n , R.M., H e a t i n g d u r i n g t h r u s t f a u l t i n g i n t h e Rocky M o u n t a i n s : f r i c t i o n o r f i c t i o n ? , Tect onophysi cs , 95, 309-328, 1 983. B y e r l e e , J . D., F r i c t i o n o f r o c k s , Pure and Appl. Geophys., 116, 615-626, 1978. B y e r l e e , J.D., The m e c h a n i c s of s t i c k - s l i p , Tect onophysi cs , 9 475, 1970. C a r d w e l l , R. K., D. S. C h i n n , G. F. Moore, and D. L. T u r c o t t e , F r i c t i o n a l h e a t i n g on a f a u l t of f i n i t e t h i c k n e s s , Geophys. J. Roy. Astron. Soc, 52, 525-530, 1978. C a r s l a w , H.C., and J . C . J a e g e r , C o n d u c t i o n o f Heat i n S o l i d s , 386pp., O x f o r d U n i v e r s i t y P r e s s , New Y o r k , 1959. Das, S., and K. A k i , F a u l t p l a n e w i t h b a r r i e r s : A v e r s a t i l e e a r t h q u a k e m o del, /. Geophys. Res., 5658-5670, 1977. Das, S., and C H . S c h o l z , T h e o r y o f t i m e - d e p e n d e n t r u p t u r e i n t h e e a r t h , /. Geophys. Res., 6039-6051, 1981. D e l a n e y , P.T., R a p i d i n t r u s i o n o f magma i n t o wet r o c k : G r o u n d w a t e r f l o w due t o p o r e p r e s s u r e i n c r e a s e s , J. Geophys. Res. , 87, 7739-7756, 1982. 214 D i e t r i c h , J.H., E a r t h q u a k e mechanisms and m o d e l i n g , Ann. Rev. Earth Planet. Sci., 2, 275-302, 1974. D i e t r i c h , J.H., M o d e l i n g o f r o c k f r i c t i o n : 1. E x p e r i m e n t a l r e s u l t s and c o n s t i t u t i v e e q u a t i o n s , /. Geophys. Res., 84, 2161-2168, 1979a. D i e t r i c h , J.H., M o d e l i n g o f r o c k f r i c t i o n : 2. S i m u l a t i o n of p r e s e i s m i c s l i p , /. Geophys. Res., 84, 2161-2168, 1979b. Domenico, P.A. and M.D. M i f f l i n , Water from l o w - p e r m e a b i l i t y s e d i m e n t s and and l a n d s u b s i d e n c e , Water Resour. Res., 1, 563-576, 1965. F l i n n , D., T r a n s c u r r e n t f a u l t s and a s s o c i a t e d c a t a c l a s i s i n S h e t l a n d , /. Geol. Soc. London, 133, 231-248, 1977. F l i n n , D., The W a l l s Boundary F a u l t , S h e t l a n d , B r i t i s h I s l e s , A n a l y s i s of A c t u a l f a u l t s i n B e d r o c k , U.S. Geol. Surv. Open File Rep., 79-1239, 181-200, 1979. H a n d i n , J . , R.V. Hager J r . , M. F r i e d m a n , and J.N. F e a t h e r , E x p e r i m e n t a l d e f o r m a t i o n o f s e d i m e n t a r y r o c k s under c o n f i n i n g p r e s s u r e : p o r e p r e s s u r e t e s t s , Bull. Am. Assoc. Petrol. Geol., 47, 717-755, 1963. Holcomb, D.J., Memory, r e l a x a t i o n , and m i c r o f r a c t u r i n g i n d i l a t a n t r o c k , /. Geophys. Res., 8 6 ( B 7 ) , 6235-6248, 1981. H u b b e r t , M.K. and W.W. K i n g , R o l e of f l u i d p r e s s u r e i n m e c h a n i c s o f o v e r t h r u s t f a u l t i n g . I . M e c h a n i c s of f l u i d - f i l l e d p o r o u s s o l i d s and i t s a p p l i c a t i o n t o o v e r t h r u s t f a u l t i n g , Bull. Geol. Soc. Am., 70, 115-166, 1959. I s r a e l , M., and A. Nur, A c o m p l e t e s o l u t i o n o f a o n e - d i m e n s i o n a l p r o p a g a t i n g f a u l t w i t h n o n u n i f o r m s t r e s s and s t r e n g t h , /. Geophys. Res., 8 4 ( B 5 ) , 2223-2234, 1979. J a e g a r , J.C., M o v i n g s o u r c e s o f h e a t a n d t e m p e r a t u r e a t s l i d i n g c o n t a c t s , /. Proc. R. Soc. N.S.W., 76, 203-224, 1942. J a e g e r , K.C., and N.G.W. Cook, F u n d a m e n t a l s o f Rock M e c h a n i c s . , Methuen and Co., L t d . , London, 513p., 1979. J o h n s o n , A . I . , R.P. M o s t o n , and D.A. M o r r i s , P h y s i c a l and h y d r o l o g i c p r o p e r t i e s of w a t e r - b e a r i n g d e p o s i t s i n s u b s i d i n g a r e a s i n c e n t r a l C a l i f o r n i a , U.S. Geol. Surv. Prof. Paper 497A, 1968. J o r g e n s e n , D.G., R e l a t i o n s h i p s between b a s i c s o i l s - e n g i n e e r i n g e q u a t i o n s and b a s i c g r o u n d - w a t e r f l o w e q u a t i o n s , U.S. Geol. Survey Wat er-Suppl y Paper , 2064, 46pp., 1981. K a n a m o r i , H., and G.S. S t e w a r t , S e i s m o l o g i c a l a s p e c t s o f t h e 215 G u a t e m a l a e a r t h q u a k e o f F e b r u a r y , 4, 1976, /. Geophys. Res., 83, 3427-3434, 1978. Keenan, J.H., F.G. Ke y e s , P.G. H i l l , and J.G. Moore, Steam T a b l e s , 162pp., John W i l e y , New Y o r k , 1978. K e s t i n , J . , T h e r m a l c o n d u c t i v i t y o f water and steam, Mech. Eng., 1 0 0 ( 8 ) , 1255-1258, 1978. K n o p o f f , L., J.O. Mouton, and R. B u r r i d g e , The d y n a m i c s o f a o n e - d i m e n s i o n a l f a u l t i n t h e p r e s e n c e o f f r i c t i o n , Geophys. J. R. Astr. Soc, 35, 168-184, 1973. L a c h e n b r u c h , A.H., F r i c t i o n a l h e a t i n g , f l u i d p r e s s u r e , and t h e r e s i s t a n c e t o f a u l t m o t i o n , /. Geophys. Res., 8 5 ( B 1 1 ) , 6097-6112, 1980. L a c h e n b r u c h , A.H., and J.H. S a s s , Heat f l o w and e n e r g e t i c s o f t h e San A n d r e a s F a u l t zone, /. Geophys. Res. , 85, 6185-6207, 1980. L i , V . C , and J.R. R i c e , P r e s e i s m i c r u p t u r e p r o g r e s s i o n and g r e a t e a r t h q u a k e i n s t a b i l i t i e s a t p l a t e b o u n d a r i e s , /. Geophys. Res. , 88, 4231-4246, 1983. L i n d h , A.G., and D.M. B o o r e , C o n t r o l o f r u p t u r e by f a u l t g e o m e t r y d u r i n g t h e 1966 P a r k f i e l d e a r t h q u a k e , Bull. Seis. Soc. Am. , 71, 95-116, 1981. L o c k n e r , D.A., and P.G. Okubo, Measurements o f f r i c t i o n a l h e a t i n g i n g r a n i t e , /. Geophys. Res., 8 8 ( B 5 ) , 4313-4320, 1983. L o g a n , J.M., B r i t t l e phenomena, Rev. Geophys. Space Phys., 17, 1121-1132, 1979. Mc G a r r , A., A n a l y s i s of peak g r o u n d m o t i o n i n t e r m s o f a model of inhomogeneous f a u l t i n g , J. Geophys. Res., 3901-3912, 1981. M c K e n z i e , D. P. and J . N. B r u n e , M e l t i n g o f f a u l t p l a n e s d u r i n g l a r g e e a r t h q u a k e s , Geophys. J. R. Astr. Soc. , 29, 65-78, 1972. M a d a r i a g a , R., On t h e r e l a t i o n between s e i s m i c moment and s t r e s s d r o p i n t h e p r e s e n c e o f s t r e s s and s t r e n g t h h e t r o g e n e i t y , /. Geophys. Res., 84, 2243-2250, 1979. M a h r e r , K.D., and A. Nur, S t r i k e s l i p f a u l t i n g i n a downward v a r y i n g c r u s t , /. Geophys. Res., 84, 2296-2302, 1979. Mase, C.W. and L. S m i t h , P o r e - f l u i d p r e s s u r e s and f r i c t i o n a l h e a t i n g on a f a u l t s u r f a c e , Pure and Appl. Geophys. , 122, 583-607, 1985. Mavko, G.M., M e c h a n i c s o f m o t i o n on major f a u l t s , Ann. Rev. 216 Earth Planet. Sci., 9, 81-111, 1981. Mikumo, T., and T. M i y a t a k e , D y n a m i c a l r u p t u r e p r o c e s s on a t h r e e - d i m e n s i o n a l f a u l t w i t h n o n - u n i f o r m f r i c t i o n and n e a r - f i e l d s e i s m i c waves, Geophys. J. R. Astr. Soc, 54, 417-438, 1978. Morrow, C.A., L.Q. S h i , and J.D. B y e r l e e , P e r m e a b i l i t y and s t r e n g t h o f San A n d r e a s f a u l t gouge under h i g h p r e s s u r e , Gephys. Res. Let., 8, 325-328, 1981. Morrow, C.A., L.Q. S h i , and J.D. B y e r l e e , S t r a i n h a r d e n i n g and s t r e n g t h of c l a y - r i c h f a u l t g ouges, /. Geophys. Res. , 87, 6771-6780, 1982. Morrow, C.A., L.Q. S h i , and J.D. B y e r l e e , P e r m e a b i l i t y of f a u l t gouge under c o n f i n i n g p r e s s u r e and s h e a r s t r e s s , /. Geophys. Res., 89, 3193-3200, 1984. Nur, A., D i l a t a n c y , p o r e f l u i d s , and p r e m o n i t o r y v a r i a t i o n s o f ts/t t r a v e l t i m e s , Bull. Seis. Soc. Am., 62, 1217-1222, 1972. Nur, A., N o n u n i f o r m f r i c t i o n a s a p h y s i c a l b a s i s f o r e a r t h q u a k e m e c h a n i c s , Pure and Appl. Geophys., 116, 964-988, 1 978. Nur, A., a n d J . D. B y e r l e e , An e x a c t e f f e c t i v e s t r e s s law f o r e l a s t i c d e f o r m a t i o n o f r o c k w i t h f l u i d s , J. Geophys. Res. , 76, 6414-6419,1971. Okubo, P.G., and J.H. D i e t r i c h , E f f e c t s of p h y s i c a l f a u l t p r o p e r t i e s on f r i c t i o n a l i n s t a b i l i t i e s p r o d u c e d on s i m u l a t e d f a u l t s , J. Geophys. Res., 89, 5817-5827, 1984. P a p a g e o r g i o u , A.S., and K. A k i , A s p e c i f i c b a r r i e r model f o r t h e q u a n t i t a t i v e d e s c r i p t i o n on inhomogeneous f a u l t i n g and p r e d i c t i o n o f s t r o n g g r o u n d m o t i o n . P a r t I . D e s c r i p t i o n o f t h e model, Bull. Seis. Soc. Am., 73, 693-723, 1983a. P a p a g e o r g i o u , A.S., and K. A k i , A s p e c i f i c b a r r i e r model f o r t h e q u a n t i t a t i v e d e s c r i p t i o n on inhomogeneous f a u l t i n g and p r e d i c t i o n o f s t r o n g g r o u n d m o t i o n . P a r t I . A p p l i c a t i o n s o f t h e m o d el, Bull. Seis. Soc. Am., 73, 953-987, 1983b. R a l e i g h , C.B., F r i c t i o n a l h e a t i n g , d e h y d r a t i o n and e a r t h q u a k e s t r e s s d r o p s , i n Proceedings of Conference II Experimental Studies of Rock Friction with Application to Earthquake Prediction, pp 291-304, U.S. G e o l o g i c a l S u r v e y , Menlo P a r k , CA, 1977. R a l e i g h , C.B., and J . E v e r d e n , Case f o r low d e v i a t o r i c s t r e s s i n t h e l i t h o s p h e r e , i n The Mechanical Behavior of Crust al Rocks, Geophys. Monogr. Ser., v o l . 24, e d i t e d by N.L. C a r t e r , M. F r i e d m a n , J.M. Logan, and D.W. S t e a r n s , pp. 173-186, AGU, 217 W a s h i n g t o n , D . C , 1981. R e i d , H.F., The mechanisms o f t h e e a r t h q u a k e , i n The California Earthquake of April 18, 1906, Rep. S t a t e E a r t h q u a k e I n v e s t i g a t i o n Comm., C a r n e i g e I n s t . , W a s h i n g t o n , D . C , 1910. R e i d , H.F., The e l a s t i c r e b o u n d t h e o r y of e a r t h q u a k e s , Univ. Calif. Publ . Geol., 6 41 3-444, 191 1 . R i c e , J.R., C o n s t i t u t i v e r e l a t i o n s f o r f a u l t s l i p and e a r t h q u a k e i n s t a b i l i t i e s , Pure and Appl. Geophys., 121, 443-475, 1983. R i c e , J.R. and J.W. R u d n i c k i , E a r t h q u a k e p r e c u r s o r y e f f e c t s due t o p o r e f l u i d s t a b i l i z a t i o n o f a weakening f a u l t z one, /. Geophys. Res., 8 4 ( B 5 ) , 2177-2193, 1979. R i c e , J.R. and D.A. Simons, The s t a b i l i z a t i o n o f s p r e a d i n g s h e a r f a u l t s by c o u p l e d d e f o r m a t i o n - d i f f u s i o n e f f e c t s i n f l u i d - i n f i l t r a t e d p o r o u s media, /. Geophys. Res., 81, 5322-5334, 1976. R i c e , J.R., and A.L. R u i n a , S t a b i l i t y o f s t e a d y f r i c t i o n a l s l i p p i n g , /. Appl . Mech., 50, 343-349, 1983-. R i c e , J.R., and S.T. T s e , Dynamic m o t i o n o f a s i n g l e d e g r e e o f f r e e d o m s y s t e m f o l l o w i n g a r a t e and s t a t e d e p e n d e n t f r i c t i o n law, /. Geophys. Res., 91,521-530,1986. R i c h a r d s , P.G., Dynamic m o t i o n s n e a r an e a r t h q u a k e f a u l t : a t h r e e d i m e n s i o n a l s o l u t i o n , Bull. Seis. Soc. Am., 66, 1-32, 1976. R i e k e , H.H., and G.V. C h i l i n g a r i a n , Compaction of argillaceous sediments, 424 pp., E l s e v i e r , New Y o r k , 1974. R u d n i c k i , J.W., The i n c e p t i o n of f a u l t i n g i n a r o c k mass w i t h a weakened z o n e , /. Geophys. Res., 82, 844-854, 1977. R u d n i c k i , J.W., and H. K a n a m o r i , E f f e c t s of f a u l t i n t e r a c t i o n on moment, s t r e s s d r o p , and s t r a i n e n e r g y r e l e a s e , J. Geophys. Res. , 86, 1785-1793, 1981. R u i n a , A.L., S l i p i n s t a b i l i t i e s and s t a t e f r i c t i o n l a w s , /. Geophys. Res., 88, 10359-10370, 1983. R u i n a , A.L., C o n s t i t u t i v e r e l a t i o n s f o r f r i c t i o n a l s l i p , i n Mechanics of Geomaterials, e d i t e d by Z.P. B r a n t , John W i l e y , New Y o r k , 1984. R u n d l e , J.B., H. K a n a m o r i , and K . C M c N a l l y , An inhomogeneous f a u l t model f o r g a p s , a s p e r i t i e s , b a r r i e r s and s e i s m i c i t y m i g r a t i o n , /. Geophys. Res., 89, 10219-10231, 1984. 218 Savage, S.B., G r a v i t y f l o w of c o h e s i o n l e s s g r a n u l a r m a t e r i a l s i n c h u t e s and c h a n n e l s , /. Fluid. Mech., 92, 53-96, 1979. S c h o l z , C.H., S h e a r h e a t i n g and t h e s t a t e of s t r e s s on f a u l t s , J. Geophys. Res., 85(B11), 6174-6184, 1980. S c h o l z , C.H., L.R. S y k e s , and Y.P. A g g a r w a l , E a r t h q u a k e p r e d i c t i o n - a p h y s i c a l b a s i s , Science, 181, 803-810, 1973. S i b s o n , R.H., I n t e r a c t i o n s between t e m p e r a t u r e and f l u i d p r e s s u r e d u r i n g e a r t h q u a k e f a u l t i n g - A mechanism f o r p a r t i a l o r t o t a l s t r e s s r e l i e f , Nature, 243, 66-68, 1973. S i b s o n , R.H., K i n e t i c s h e a r r e s i s t a n c e , f l u i d p r e s s u r e s , and r a d i a t i o n e f f i c i e n c y d u r i n g s e i s m i c f a u l t i n g , Pure and Appl. Geophys., 115, 387-400, 1977. S i b s o n , R.H., Power d i s s i p a t i o n and s t r e s s l e v e l s on f a u l t s i n t h e u p p e r c r u s t , /. Geophys. Res., 85, 6239-6247, 1980. S i e h , K.E., P r e h i s t o r i c l a r g e e a r t h q u a k e s p r o d u c e d by s l i p on t h e San A n d r e a s f a u l t a t P a l l e t C r e e k , C a l i f o r n i a , /. Geophys. Res. , 83, 3907-3939, 1978. S m i t h , J . E . , S h a l e c o m p a c t i o n , Soc. Pet. Eng. J., 13, 12-22, 1973. S t u a r t , W.D., S t r a i n - s o f t e n i n g i n s t a b i l i t y model f o r t h e San F e r n a n d o e a r t h q u a k e , Science, 203, 907-910, 1979. S t u a r t , W.D., R . J . A r c h u l e t a , and A.G. L i n d h , F o r e c a s t model f o r m o d e r a t e e a r t h q u a k e s n e a r P a r k f i e l d , C a l i f o r n i a , /. Geophys. Res. , 592-604, 1985. S t u a r t , W.D., and G.M. Mavko, E a r t h q u a k e i n s t a b i l i t y on a s t r i k e - s l i p f a u l t , /. Geophys. Res., 84, 2153-2160, 1979. T e u f e l , L.W., and J.M. L o g a n , E f f e c t o f d i s p l a c e m e n t r a t e on t h e r e a l a r e a of c o n t a c t and t e m p e r a t u r e s g e n e r a t e d d u r i n g f r i c t i o n a l s l i d i n g o f T e n n e s s e e s a n d s t o n e , Pure and Appl. Geophys., 116, 840-865, 1979. T o u l o u k i a n , Y.S., W.R. J u d d , and R.F. Roy, Physical Properties of Rocks and Minerals, v o l . I I - 2 , M c G r a w - H i l l , New Y o r k , 1981. W a l a s h , J.B., M e c h a n i c s o f s t r i k e - s l i p f a u l t i n g w i t h f r i c t i o n , J. Geophys. Res. , 73, 761-776, 1968. Watson, J.T.R., R.S. Basu, and J.V. S e n g e r s , An i m p r o v e d r e p r e s e n t a t i v e e q u a t i o n f o r t h e dynamic v i s c o s i t y o f water s u b s t a n c e , /. Phys. Chem. Ref. Data, 9 ( 3 ) , 1255-1279, 1980. Weeks, J.D., and T.E. T u l l i s , F r i c t i o n a l s l i d i n g on d o l o m i t e : A v a r i a t i o n i n c o n s t i t u t i v e b e h a v i o r , /. Geophys. Res., 90, 219 7821-7826, 1985. W i l s o n , C.R., J r . , The mechanical properties of the shear zone of the Lewis overt hrust , Glacier National Park, Montana, Ph.D. D i s s e r t i o n , T e x a s A&M U n i v e r s i t y , T e x a s , 1970. Woodside, W. and J.H. Messmer, T h e r m a l c o n d u c t i v i t y of p o r o u s media, /. Appl. Phys., 32, 1688, 1961. TABLE 4.1. P o r o u s Medium C o m p r e s s i b i l i t i e s f o r v a r i o u s r o c k t y p e s (Domenico and M i f f l i n , 1965; J o h n s o n , 1968; S m i t h , 1973; R e i k e and C h i l i n g a r i a n , 1974; T o u l o u k i n , 1981). Rock Type P s f (Pa- 1 ) U n c o n s o l i d a t e d c l a y s 1 o - 6 -1 o -8 U n c o n s o l i d a t e d s a n d s l 0 - 7 - 1 0 - 9 U n c o n s o l i d a t e d g r a v e l i o - 8 - i o - 1 0 Compacted s e d i m e n t s 1o - 9 -1o - 1 1 I g n e o u s and m e t a m o r p h i c s r o c k s 1o - 9 -1o - 1 1 Water ( a t 80 °C and 19 MPa) 4.2x10" 1 0 221 TABLE 4.2. P a r a m e t e r V a l u e s f o r P o r o u s Medium and S o l i d P r o p e r t i e s H e l d C o n s t a n t f o r A l l S i m u l a t i o n s . P r o p e r t y V a l u e I n i t i a l p o r o s i t y n0 0.1 I 1 . S o l i d d e n s i t y ps 2 . 6 x 1 0 s kg m" S o l i d s p e c i f i c h e a t cs 10 3 J kg- 1 o R . S o l i d t h e r m a l c o n d u c t i v i t y Ks 2.5 W nr 1 o K . S o l i d c o m p r e s s i b i l t y Ps 1 0 - 1 1 Pa-S o l i d t h e r m a l e x p a n s i v i t y 7 2.0x10" is o c -P o r o u s medium t h e r m a l e x p a n s i v i t y 7 s y 10" 5 o c . P o r o u s medium t h e r m a l c o n d u c t i v i t y K f 1 sfo 2.5 W m" 1 o K . P o r o u s medium t h e r m a l d i f f u s i v i t y a, 1 0 6.65x10" 7 m 2s' Water c o m p r e s s i b i l i t y $ 4.2x10" 1 0 Pa-Water t h e r m a l e x p a n s i v i t y yw^ 6.24x10-222 TABLE 4.3. Summary o f i n i t i a l p a r a m e t e r v a l u e s f o r a f a u l t s u r f a c e a t a d e p t h of 2 km. r rn-P0 r ^0 X ( r / I - J P 0 ) An "o (Pa" 1) ( M P a ° C - 1 ) (°c) ( s ) 10- 1 1 1 .687 1 5 0.002 0.000 0.00 10- 1 0 0.747 35 0.01 1 0.002 0.01 10" 9 0. 1 25 208 0.400 0.023 0.20 10" 8 0.013 1945 35.00 0.231 1 .90 * P a r a m e t e r s h e l d c o n s t a n t 2V y =10" 1 ms - 0. 6 M 5=0.6175 Po = 19 MPa T o = 80 °C n o = 0. 10 Tn= 45 MPa Tn~ Po =26 MPa r r=15.6 MPa we = 10 km v = 3 .3 km s" 1 t s = 6.0 s 223 FIGURE CAPTIONS F i g u r e 4.1. (a) C o n c e p t u a l model f o r f a u l t s l i p . The f a u l t i s r e p r e s e n t e d by a v e r t i c a l zone t h a t i s c o m p r i s e d o f p a t c h e s of r e l a t i v e l y h i g h s t r e n g t h r o c k (shaded) s u r r o u n d e d by weaker i n t e r v e n i n g a r e a s . A t t h e i n s t a n t o f f a i l u r e a b a r r i e r r u p t u r e s and s l i p ( s t i p p l e d a r e a ) s p r e a d s t h r o u g h t h e l o c k e d p o r t i o n u n t i l i t i s h a l t e d by a n o t h e r b a r r i e r , (b) U n i f o r m s t r a i n r a t e model f o r a s m a l l p a t c h of t h e f a i l u r e s u r f a c e . The a r r o w s d e n o t e t h e d i s p l a c e m e n t f i e l d . F i g u r e 4.2. I s o t h e r m a l v o l u m e t r i c c o m p r e s s i b i l i t y Bw and i s o b a r i c t h e r m a l e x p a n s i v i t y yw of p u r e water a s a f u n c t i o n o f t e m p e r a t u r e T f o r s e l e c t e d f l u i d p r e s s u r e s P. C u r v e s a r e b a s e d on t h e a n a l y t i c e x p r e s s i o n by Keenan et al . (p.128, 1978). The f l u i d p r e s s u r e i n c r e m e n t between c u r v e s i s 5 MPa f o r 5-20 MPa, 10 MPa f o r 20-40 MPa, and 20 MPa f o r 40-100 MPa. The l i q u i d - s t e a m t r a n s i t i o n i s i n d i c a t e d by d a s h e d l i n e s . F i g u r e 4.3. S l i p v e l o c i t y models f o r c o n s t a n t f l u i d p r e s s u r e : EB, e l a s t i c - b l o c k model; EE, e d g e - e f f e c t s m odel; and SR, s p r i n g - r i d e r m o d e l . F i g u r e 4.4. The t h e r m a l p r e s s u r i z a t i o n c o e f f i c i e n t T c a l c u l a t e d as a f u n c t i o n o f t e m p e r a t u r e T f o r s e l e c t e d f l u i d p r e s s u r e s P and p o r o u s medium c o m p r e s s i b i l i t i e s /3^y u s i n g t h e s o l i d p r o p e r t i e s summarized i n T a b l e 2. The f l u i d p r e s s u r e 224 i n c r e m e n t between c u r v e s i s 5 MPa f o r 5-20 MPa, 10 MPa f o r 20-40 MPa, and 20 MPa f o r 40-100 MPa. The l i q u i d - s t e a m t r a n s i t i o n i s i n d i c a t e d by d a s h e d l i n e s . F i g u r e 4.5. T e m p e r a t u r e r i s e ( s o l i d ) and r e s i s t i v e s t r e s s ( d a s h e d ) on a f a i l u r e s u r f a c e a s a f u n c t i o n of s l i p d u r a t i o n . An a v e r a g e s l i p v e l o c i t y and f r i c t i o n c o e f f i c i e n t a r e assumed, (a) T e m p e r a t u r e and r e s i s t i v e s t r e s s as g i v e n by t h e a n a l y t i c a l s o l u t i o n s , (b) C o m p a r i s o n of t h e a n a l y t i c a l and n u m e r i c a l s o l u t i o n s f o r s e l e c t e d p o r o u s medium c o m p r e s s i b i l i t i e s , u n d r a i n e d c o n d i t i o n s , and t h e i n i t i a l c o n d i t i o n s o f T a b l e 4.3. F i g u r e 4.6. T e m p e r a t u r e r i s e and r e s i s t i v e s t r e s s d u r i n g d i s p l a c e m e n t a c r o s s a f a u l t s u r f a c e w i t h an a v e r a g e s l i p v e l o c i t y 2V =10~ 1 m s - 1 , f r i c t i o n c o e f f i c i e n t j i .= 0.6, and i n i t i a l e f f e c t i v e s t r e s s r n=24 MPa. The i n i t i a l c o n d i t i o n s a r e summarized i n T a b l e 4.3. The Bsj- ( P a - 1 ) and k (m 2) a r e t h e c o m p r e s s i b i l i t y a n d p e r m e a b i l i t y o f t h e a d j a c e n t p o r o u s medium. Numbers on c u r v e s r e p r e s e n t v a l u e s o f p e r m e a b i l i t y . S c a l e s a r e a d j u s t a b l e f o r o t h e r v a l u e o f Hj, rn, and 2V ( s e e t e x t ) . F i g u r e 4.7. The h y d r o l o g i c and t h e r m a l f i e l d s a s a f u n c t i o n of d i s t a n c e f r o m t h e f a u l t s u r f a c e f o r s e l e c t e d d i s p l a c e m e n t s . C a l c u l a t i o n s a r e f o r a s t i f f medium w i t h a p e r m e a b i l i t y of 1 0 " 1 7 m 2, and t h e i n i t i a l c o n d i t i o n s of T a b l e 4.3. D i a g r a m (a) 225 shows t h e t e m p e r a t u r e ( s o l i d ) and p o r e p r e s s u r e r i s e ( d a s h e d ) ; (b) t h e t h e r m a l e x p a n s i o n ( s o l i d ) and p r e s s u r e c o n t r a c t i o n ( d a shed) r a t e s of t h e f l u i d volume; and ( c ) t h e D a r c y f l u x . F i g u r e 4.8. The h y d r o l o g i c and t h e r m a l f i e l d s as a f u n c t i o n of d i s t a n c e f r o m t h e f a u l t s u r f a c e f o r s e l e c t e d d i s p l a c e m e n t s . C a l c u l a t i o n s a r e f o r a p o r o u s medium w i t h a c o m p r e s s i b i l i t y o f 10" 9 P a " 1 , a p e r m e a b i l i t y of 1 0 " 1 7 m 2, and t h e i n i t i a l c o n d i t i o n s on T a b l e 4.3. D i a g r a m (a) shows t h e t e m p e r a t u r e ( s o l i d ) and p o r e p r e s s u r e r i s e ( d a s h e d ) ; (b) t h e r m a l e x p a n s i o n r a t e of t h e f l u i d volume ( s o l i d ) and d i l a t a t i o n a l s t r a i n r a t e of t h e p o r e volume ( d a s h e d ) ; and ( c ) t h e D a r c y f l u x . The p a r a m e t e r X i s g i v e n by X ( T / J - P 0 ) . F i g u r e 4.9. T e m p e r a t u r e ( s o l i d ) and r e s i s t i v e s t r e s s ( d a s h e d ) w i t h i n a f a u l t zone a s a f u n c t i o n o f s l i p d u r a t i o n t /i// o r s h e a r s t r a i n d/2w\pe f o r s e l e c t e d p o r o u s medium c o m p r e s s i b i l i t i e s . U n d r a i n e d c o n d i t i o n s and n e g l i g i b l e l o s s o f h e a t from t h e zone a r e assumed. A n a l y t i c a l s o l u t i o n s a r e l a b e l e d by A. F i g u r e 4.10. The d i l a t a t i o n a l s t r a i n r a t e o f t h e p o r e volume w i t h i n a f a u l t zone as a f u n c t i o n of s l i p d u r a t i o n t o r s h e a r s t r a i n d/2w\p f o r s e l e c t e d p o r o u s medium c o m p r e s s i b i l i t i e s . U n d r a i n e d c o n d i t i o n s and n e g l i g i b l e l o s s of h e a t f r o m t h e zone a r e assumed. A n a l y t i c a l s o l u t i o n i s i n d i c a t e d by t h e d a s h e d l i n e . 226 F i g u r e 4.11. T e m p e r a t u r e r i s e and r e s i s t i v e s t r e s s a t t h e c e n t e r of a f a u l t zone whose w i d t h 2w and a v e r a g e s l i p v e l o c i t y a r e 10" 1 m and 10" 1 ms" 1, r e s p e c t i v e l y . The i n i t i a l c o n d i t i o n s a r e summarized i n T a b l e 4.3. The Bsj- ( P a " 1 ) and k (m 2) a r e t h e c o m p r e s s i b i l i t y and p e r m e a b i l i t y o f t h e p o r o u s medium. Number on c u r v e s r e p r e s e n t v a l u e s o f p e r m e a b i l i t y . F i g u r e 4.12. T e m p e r a t u r e ( s o l i d ) and p o r e - f l u i d p r e s s u r e r i s e ( d a s h e d ) as a f u n c t i o n o f d i s t a n c e f o r s l i p a c r o s s a f a u l t zone w i t h a w i d t h o f 10" 1 m and a r e l a t i v e s l i p r a t e of 2V =10" 1 ms" 1. C a l c u l a t i o n s a r e f o r a s t i f f medium and t h e i n i t i a l c o n d i t i o n s of T a b l e 4.3. The p e r m e a b i l i t y of t h e f a u l t and a d j a c e n t w a l l r o c k a r e : (a) 1 0 " 1 3 and 10" 1 8 m 2; and (b) 10" 1 8 and 10" 1 3 m 2. Numbers on c u r v e s r e p r e s e n t v a l u e s o f d i s p l a c e m e n t . F i g u r e 4.13. A n a l y t i c a l s o l u t i o n s f o r t h e s l i p r a t e a s a f u n c t i o n o f t i m e f o r s e l e c t e d r a t i o s o f t h e c h a r a c t e r i s t i c s l i p d u r a t i o n t s t o t h e c h a r a c t e r i s t i c t i m e f o r t h e r m a l p r e s s u r i z a t i o n <//. F a u l t m o t i o n i s i n i t i a t e d by a 3% d r o p i n t h e s t a t i c s h e a r s t r e n g t h . The s l i p r a t e i s n o r m a l i z e d by t h e maximum r a t e f o r a c o m p l e t e l o s s o f s h e a r s t r e n g t h a t t h e i n i t i a t i o n o f s l i p . U n d r a i n e d c o n d i t i o n s and n e g l i g i b l e l o s s o f h e a t f r o m t h e zone a r e assumed. F i g u r e 4.14. N u m e r i c a l s o l u t i o n s f o r t h e s l i p r a t e and 227 r e s i s t i v e s t r e s s a s a f u n c t i o n of t i m e f o r s l i p a c r o s s a f a u l t zone w i t h a w i d t h o f 10" 1 m. F a u l t s l i p i s i n i t i a t e d by a 3% d r o p i n t h e s t a t i c s h e a r s t r e n g t h . Numbers on c u r v e s r e p r e s e n t v a l u e s of p e r m e a b i l i t y . C a l c u l a t i o n s a r e f o r a p o r o u s medium c o m p r e s s i b i l i t y of 1 0 - 9 P a - 1 , and t h e i n i t i a l c o n d i t i o n s of T a b l e 4.3. Dashed l i n e s show t h e r e s t o r a t i o n of s h e a r s t r e n g t h a f t e r t h e c e s s a t i o n of s l i p . 229 1000 Temperature, T (°C) Figure 4.2 Figure 4.4 Figure 4.5 233 (0„) e 'ajn^ejaduiaj, 234 Figure 4.8 235 Figure 4.8 Figure 4.9 Figure 4.10 Pef = 1(T9 Pa"1 /S8/ = 10-fl Pa"1 239 Figure 4.12 I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I ' l I I l' I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I J 1—1 I l—l—l I I—I 1—1 I I I I I I I I I I I L Time, — Figure 4.13 COMPILATION OF REFERENCES 243 A k i , K., C h a r a c t e r i z a t i o n of b a r r i e r s on an e a r t h q u a k e s , /. Geophys. Res., 84, 6140-6148, 1979. A k i , K., A s p e r i t i e s , b a r r i e r s , c h a r a c t e r i s t i c e a r t h q u a k e s and s t r o n g m o t i o n p r e d i c t i o n , /. Geophys. Res., 89, 5867-5872, 1 984. A n d e r s o n , D.L., An e a r t h q u a k e i n d u c e d h e a t mechanism t o e x p l a i n t h e l o s s of s t r e n g t h of l a r g e r o c k o r e a r t h s l i d e s , I n t ' l . C o n f e r e n c e on E n g i n e e r i n g f o r P r o t e c t i o n f r o m N a t u r a l D i s a s t e r s , Bangkok, 1980. B a r k e r , C , A q u a t h e r m a l p r e s s u r i n g : r o l e of t e m p e r a t u r e i n d e v e l o p m e n t o f a b n o r m a l p r e s s u r e z o n e s , Am. Assoc. Pet. Geol. Bull. , 56, 2068-2071, 1972. B a r k e r , C , and B. H o r s f i e l d , M e c h a n i c a l v e r s u s t h e r m a l c a u s e of a b n o r m a l h i g h p o r e p r e s s u r e s i n s h a l e s : d i s c u s s i o n , Am. Assoc. Pel. Geol. Bull., 66, 99-100, 1982. B e a r , J . , Hydraulics of Groundwater, M c G r a w - H i l l I n c . , New Y o r k , 1979. B e a r , J . , Dynamics of Fluids in Porous Media, 764 pp., A m e r i c a n E l s e v i e r , New Y o r k , 1972. B e a r , J . , and M.Y. C o r a p c i o g l u , A m a t h e m a t i c a l model f o r c o n s o l i d a t i o n i n a t h e r m o e l a s t i c a q u i f e r due t o t h e h o t water i n j e c t i o n , Water Resour. Res., 1 7 ( 3 ) , 723-736, 1981. B e l l , M.L. and A. Nur, S t r e n g t h c h a n g e s due t o r e s e r v o i r - i n d u c e d p o r e p r e s s u r e and s t r e s s e s and a p p l i c a t i o n t o L a k e O r v i l l e , J. Geophys. Res., 83, 4469-4483, 1978. B e r n a b e , Y., B. E v a n s , and W.F. B r a c e , P e r m e a b i l i t y , p o r o s i t y , and p o r e geometry o f h o t p r e s s e d c l a c i t e , Mech. Mater., 1, 173-183, 1982. B i o t , M. A., G e n e r a l t h e o r y o f t h r e e d i m e n s i o n a l c o n s o l i d a t i o n , /. Appl. Phys., 12, 155-164, 1941. B i o t , M. A. and D. G. W i l l i s , The e l a s t i c c o e f f i c i e n t s o f t h e t h e o r y o f c o n s o l i d a t i o n , /. Appl. Mech., 24, 594-601, 1957. B r a c e , W.F., P e r m e a b i l i t y from r e s i s t i v i t y and p o r e shape, /. Geophys. Res. , 82, 3343-3349, 1977. B r a c e , W.F., and J.D. B y e r l e e , S t i c k - s l i p a s a mechanism f o r e a r t h q u a k e s , Science, 1 5 3 ( 3 7 3 9 ) , 990, 1966. B r a d l e y , J . S . , Abnormal f o r m a t i o n p r e s s u r e , Am. Assoc. Pet. Geol. Bull., 59, 957-973, 1975. B r o c k , W.G., and T. E n g e l d e r , D e f o r m a t i o n a s s o c i a t e d w i t h t h e 244 movement o f t h e Muddy M o u n t a i n O v e r t h r u s t i n t h e B u f f i n g t o n window, s o u t h e a s t e r n Nevada, Bull. Geol. Soc. Am., 88, 1667-1677, 1977. B r o w n e l l , J r . , D.H., S.K. G a r g , and J.W. P r i t c h e t t , G o v e r n i n g e q u a t i o n s f o r g e o t h e r m a l r e s e r v o i r s , /. Geophys. Res., 6, 929-934, 1977. B r u n , J . P . and P.R. C o b b o l d , S t r a i n h e a t i n g and t h e r m a l s o f t e n i n g i n c o n t i n e n t a l s h e a r z o n e s : a r e v i e w , /. Struct. Geol. , 2, 149-158, 1980. B r u n e , J.N., T e c t o n i c s t r e s s and t h e s p e c t r a o f s e i s m i c s h e a r waves from e a r t h q u a k e s , /. Geophys. Res., 75, 4995-5009, 1970. B u r r i d g e , R., and L. K n o p o f f , M odel and t h e o r e t i c a l s e i s m i c i t y , Bull. Seis. Soc. Am., 57, 341-371, 1967. B u s t i n , R.M., H e a t i n g d u r i n g t h r u s t f a u l t i n g i n t h e Rocky M o u n t a i n s : f r i c t i o n or f i c t i o n ? , Tect onophysi cs, 95, 309-328, 1983. B y e r l e e , J.D., The m e c h a n i c s o f s t i c k - s l i p , Tectonophysi cs, 9 475, 1970. B y e r l e e , J . D., F r i c t i o n o f r o c k s , Pure and Appl. Geophys. , 116, 615-626, 1978. C a r d w e l l , R. K., D. S. C h i n n , G. F. Moore, and D. L. T u r c o t t e , F r i c t i o n a l h e a t i n g on a f a u l t o f f i n i t e t h i c k n e s s , Geophys. J. Roy. Astron. Soc, 52, 525-530, 1978. C a r s l a w , H.C., and J . C . J a e g e r , C o n d u c t i o n o f Heat i n S o l i d s , 386pp., O x f o r d U n i v e r s i t y P r e s s , New Y o r k , 1959. Chapman, R.E., M e c h a n i c a l v e r s u s t h e r m a l c a u s e of a b n o r m a l h i g h p o r e p r e s s u r e i n s h a l e s , Am. Assoc. Pet. Geol. Bull., 64, 2179-2183, 1980. C o o p e r , H.H., J r . , The e q u a t i o n o f g r o u n d w a t e r f l o w i n f i x e d and d e f o r m i n g c o o r d i n a t e s , /. Geophys. Res., 71, 4785-4790, 1966. D a i n e s , S., A q u a t h e r m a l p r e s s u r i n g and g e o p r e s s u r e e v a l u a t i o n , Am. Assoc. Pet. Geol. Bull., 66, 931-939, 1982. Das, S., and K. A k i , F a u l t p l a n e w i t h b a r r i e r s : A v e r s a t i l e e a r t h q u a k e m o d e l , /. Geophys. Res., 5658-5670, 1977. Das, S., and C H . S c h o l z , T h e o r y o f t i m e - d e p e n d e n t r u p t u r e i n t h e e a r t h , J. Geophys. Res., 6039-6051, 1981. D e l a n e y , P.T., R a p i d i n t r u s i o n of magma i n t o wet r o c k : G r o u n d w a t e r f l o w due t o p o r e p r e s s u r e i n c r e a s e s , J. Geophys. Res. , 87, 7739-7756, 1982. D i c k e y , P.A., Abnormal f o r m a t i o n p r e s s u r e : d i s c u s s i o n , Am. Assoc. Pet. Geol. Bull., 60,1124-1128, 1975. D i e t r i c h , J.H., E a r t h q u a k e mechanisms and m o d e l i n g , Ann. Rev. Earth Planet. Sci., 2, 275-302, 1974. D i e t r i c h , J.H., M o d e l i n g of r o c k f r i c t i o n : 1. E x p e r i m e n t a l r e s u l t s and c o n s t i t u t i v e e q u a t i o n s , /. Geophys. Res., 84, 2161-2168, 1979a. D i e t r i c h , J.H., M o d e l i n g of r o c k f r i c t i o n : 2. S i m u l a t i o n of p r e s e i s m i c s l i p , /. Geophys. Res., 84, 2161-2168, 1979b. Domenico, P.A. and M.D. M i f f l i n , Water from l o w - p e r m e a b i l i t y s e d i m e n t s and and l a n d s u b s i d e n c e , Water Resour. Res., 1, 563-576, 1965. Domenico, P.A., and V.V. P a l c i a u s k a s , T h e r m a l e x p a n s i o n of f l u i d s and f r a c t u r e i n i t i a t i o n i n c o m p a c t i n g s e d i m e n t s , I , Bull. Geol. Soc. Am., 90, 953-979, 1979a. Domenico, P.A., and V.V. P a l c i a u s k a s , T h e r m a l e x p a n s i o n o f f l u i d s and f r a c t u r e i n i t i a t i o n i n c o m p a c t i n g s e d i m e n t s , I I , Bull. Geol. Soc. Am., 90, 953-979, 1979b. F a u s t , C.R., and J.W. M e r c e r , G e o t h e r m a l r e s e r v o i r s i m u l a t i o n 1. M a t h e m a t i c a l models f o r l i q u i d - and v a p o r d o m i n a t e d h y d r o t h e r m a l s y s t e m s , /. Geophys. Res., 15, 23-30, 1979. F l e i t o u t , L . and C. F r o i d e v a u x , T h e r m a l and m e c h a n i c a l e v o l u t i o n o f s h e a r z o n e s , /. Struct. Geol., 2, 159-164, 1980. F l i n n , D., T r a n s c u r r e n t f a u l t s and a s s o c i a t e d c a t a c l a s i s i n S h e t l a n d , /. Geol. Soc. London, 133, 231-248, 1977. F l i n n , D., The W a l l s Boundary F a u l t , S h e t l a n d , B r i t i s h I s l e s , A n a l y s i s of A c t u a l f a u l t s i n B e d r o c k , U.S. Geol. Surv. Open File Rep. , 79-1239, 181-200, 1979. G a m b o l a t i , G., S e c o n d - o r d e r t h e o r y o f f l o w i n 3D d e f o r m i n g m e d i a , Water Resour. Res., 1 0 ( 6 ) , 1217-1228, 1974. G a r g , S.K., and J.W. P r i t c h e t t , On p r e s s u r e - w o r k , v i s c o u s d i s s i p a t i o n , and t h e e n e r g y b a l a n c e e q u a t i o n f o r g e o t h e r m a l r e s e r v o i r s , Adv. Water Resources, 1, 41-47, 1977. H a b i b , P r o d u c t i o n o f g a s e o u s p o r e p r e s s d u r i n g r o c k s l i d e s , / Rock Mech. , 7, 193-197, 1975. H a n d i n , J . , R.V. Hager J r . , M. F r i e d m a n , and J.N. F e a t h e r , E x p e r i m e n t a l d e f o r m a t i o n of s e d i m e n t a r y r o c k s under c o n f i n i n g p r e s s u r e : p o r e p r e s s u r e t e s t s , Bull. Am. Assoc. Petrol. Geol. 246 47, 717-755, 1963. Holcomb, D . J . , A q u a n t i t a t i v e model o f d i l a t a n c y i n d r y r o c k and i t s a p p l i c a t i o n t o W e s t e r l y g r a n i t e , /. Geophys. Res. , 8 3 ( B 1 0 ) , 4941-4950, 1978. Holcomb, D . J . , Memory, r e l a x a t i o n , and m i c r o f r a c t u r i n g i n d i l a t a n t r o c k , /. Geophys. Res., 8 6 ( B 7 ) , 6235-6248, 1981. H u b b e r t , M.K. and W.W. K i n g , R o l e o f f l u i d p r e s s u r e i n m e c h a n i c s o f o v e r t h r u s t f a u l t i n g . I . M e c h a n i c s o f f l u i d - f i l l e d p o r o u s s o l i d s and i t s a p p l i c a t i o n t o o v e r t h r u s t f a u l t i n g , Bull. Geol. Soc. Am., 70, 115-166, 1959. H u y a k o r n , P.S., and G.F. P e n d e r , A p r e s s u r e - e n t h a l p y f i n i t e e l e m e n t model f o r s i m u l a t i n g h y d r o t h e r m a l r e s e r v o i r s , S e c o n d I n t e r n a t i o n a l Symposium on Computer Methods f o r P a r t i a l D i f f e r e n t i a l E q u a t i o n s , L e h i g h U n i v . , B e t h l e h e m , Pa., J une 22-24, 1977. I s r a e l , M., and A. Nur, A c o m p l e t e s o l u t i o n o f a o n e - d i m e n s i o n a l p r o p a g a t i n g f a u l t w i t h n o n u n i f o r m s t r e s s and s t r e n g t h , /. Geophys. Res., 8 4 ( B 5 ) , 2223-2234, 1979. J a e g a r , J . C , M o v i n g s o u r c e s o f h e a t and t e m p e r a t u r e a t s l i d i n g c o n t a c t s , J. Proc. R. Soc. N.S.W., 76, 203-224, 1942. J a e g e r , K.C., and N.G.W. Cook, F u n d a m e n t a l s o f Rock M e c h a n i c s . , Methuen and Co., L t d . , London, 513p., 1979. J o h n s o n , A . I . , R.P. M o s t o n , and D.A. M o r r i s , P h y s i c a l and h y d r o l o g i c p r o p e r t i e s o f w a t e r - b e a r i n g d e p o s i t s i n s u b s i d i n g a r e a s i n c e n t r a l C a l i f o r n i a , U.S. Geol. Surv. Prof. Paper 497A, 1968. J o r g e n s e n , D.G., R e l a t i o n s h i p s between b a s i c s o i l s - e n g i n e e r i n g e q u a t i o n s a n d b a s i c g r o u n d - w a t e r f l o w e q u a t i o n s , U.S. Geol. Survey Water-Supply Paper, 2064, 46pp., 1981. K a n a m o r i , H., and G.S. S t e w a r t , S e i s m o l o g i c a l a s p e c t s o f t h e G u a t e m a l a e a r t h q u a k e o f F e b r u a r y , 4, 1976, J. Geophys. Res., 83, 3427-3434, 1978. Keenan, J.H., F.G. K e y e s , P.G. H i l l , and J.G. Moore, Steam T a b l e s , 162pp., John W i l e y , New Y o r k , 1978. K e s t i n , J . , T h e r m a l c o n d u c t i v i t y of w ater and steam, Mech. Eng., 1 0 0 ( 8 ) , 1255-1258, 1978. K n o p o f f , L., J.O. Mouton, and R. B u r r i d g e , The d y n a m i c s o f a o n e - d i m e n s i o n a l f a u l t i n t h e p r e s e n c e of f r i c t i o n , Geophys. J. R. Astr. Soc, 35, 168-184, 1973. L a c h e n b r u c h , A.H., F r i c t i o n a l h e a t i n g , f l u i d p r e s s u r e , and t h e 247 r e s i s t a n c e t o f a u l t m o t i o n , /. Geophys. Res., 8 5 ( B 1 1 ) , 6097-6112, 1980. L a c h e n b r u c h , A.H., and J.H. S a s s , Heat f l o w and e n e r g e t i c s o f t h e San A n d r e a s F a u l t zone, /. Geophys. Res., 85, 6185-6207, 1980. L a n d a u , L.D., and E.M. L i f s h i t z , F l u i d M e c h a n i c s , Pergamon P r e s s , New Y o r k , 1959. L i , V.C., and J.R. R i c e , P r e s e i s m i c r u p t u r e p r o g r e s s i o n and g r e a t e a r t h q u a k e i n s t a b i l i t i e s a t p l a t e b o u n d a r i e s , /. Geophys. Res., 88, 4231-4246, 1983. L i n d h , A.G., and D.M. B o o r e , C o n t r o l o f r u p t u r e by f a u l t g e ometry d u r i n g t h e 1966 P a r k f i e l d e a r t h q u a k e , Bull. Seis. Soc. Am. , 71, 95-116, 1981. L o c k e t t , J.M. and N.S. K s u z n i r , D u c t i l e s h e a r z o n e s : some a s p e c t s o f c o n s t a n t s l i p v e l o c i t y and c o n s t a n t s h e a r s t r e s s m o d e l s , Geophys. J. R. Astr. Soc, 69, 477-494, 1982. L o c k n e r , D.A., and P.G. Okubo, Measurements of f r i c t i o n a l h e a t i n g i n g r a n i t e , /. Geophys. Res., 8 8 ( B 5 ) , 4313-4320, 1983. Logan, J.M., B r i t t l e phenomena, Rev. Geophys. Space Phys., 17, 1121-1132, 1979. M c G a r r , A., A n a l y s i s of peak g r o u n d m o t i o n i n t e r m s o f a model of inhomogeneous f a u l t i n g , J. Geophys. Res., 3901-3912, 1981. M c K e n z i e , D. P. a n d J . N. B r u n e , M e l t i n g o f f a u l t p l a n e s d u r i n g l a r g e e a r t h q u a k e s , Geophys. J. R. Astr. Soc, 29, 65-78, 1972. M a d a r i a g a , R., On t h e r e l a t i o n between s e i s m i c moment and s t r e s s d r o p i n t h e p r e s e n c e o f s t r e s s and s t r e n g t h h e t r o g e n e i t y , /. Geophys. Res., 84, 2243-2250, 1979. M a h r e r , K.D., and A. Nur, S t r i k e s l i p f a u l t i n g i n a downward v a r y i n g c r u s t , /. Geophys. Res., 84, 2296-2302, 1979. Mase, C.W. and L. S m i t h , P o r e - f l u i d p r e s s u r e s and f r i c t i o n a l h e a t i n g on a f a u l t s u r f a c e , Pure and Appl. Geophys. , 122, 583-607, 1985. Mavko, G.M., M e c h a n i c s of m o t i o n on major f a u l t s , Ann. Rev. Earth Planet. Sci., 9, 81-111, 1981. M e l o s h , H.J., P l a t e m o t i o n and t h e r m a l i n s t a b i l i t y i n t h e a s t e n o s p h e r e , Tect onophysics , 35, 363-390, 1976. M e l o s h , H.J., A c o u s t i c f l u i d i z a t i o n : A new g e o l o g i c p r o c e s s ? , /. Geophys. Res., 84, 7513-7520, 1979. 248 Mikumo, T., and T. M i y a t a k e , D y n a m i c a l r u p t u r e p r o c e s s on a t h r e e - d i m e n s i o n a l f a u l t w i t h n o n - u n i f o r m f r i c t i o n and n e a r - f i e l d s e i s m i c waves, Geophys. J. R. Astr. Soc, 54, 417-438, 1978. Morrow, C.A., L.Q. S h i , and J.D. B y e r l e e , P e r m e a b i l i t y a n d s t r e n g t h o f San A n d r e a s f a u l t gouge under h i g h p r e s s u r e , Gephys. Res. Let., 8, 325-328, 1981. Morrow, C.A., L.Q. S h i , and J.D. B y e r l e e , S t r a i n h a r d e n i n g and s t r e n g t h of c l a y - r i c h f a u l t g o u g es, /. Geophys. Res., 87, 6771-6780, 1982. Morrow, C.A., L.Q. S h i , and J.D. B y e r l e e , P e r m e a b i l i t y o f f a u l t gouge under c o n f i n i n g p r e s s u r e and s h e a r s t r e s s , /. Geophys. Res., 89, 3193-3200, 1984. M u r r e l l , S.A.F., D.L. T u r c o t t e , and K.E. T o r r a n c e , S t u d i e s o f f i n i t e a m p l i t u d e non-Newtonian c o n v e c t i o n w i t h a p p l i c a t i o n t o c o n v e c t i o n i n t h e e a r t h ' s m a n t l e , /. Geophys. Res., 81, 1939-1946, 1976. Myer, C.A., R.B. M c C l i n t o c h , G . J . S i l v e s t r i , and R.C. S p e n c e r , ASME Steam Tables - Thermodynamic and Transport P r o p e r t i e s of Steam, ASME, New Y o r k , 1967. N o w a c k i , W. , Dynamic Problems of T h e r m o e l a s t i c i t y , N o o r d h o f f , L e y d e n , The N e t h e r l a n d s , 1975. N o w i n s k i , J . L . , Theory of T h e r m o e l a s t i c i t y with a p p l i c a t i o n s , S i j t h o f f & N o o r d h o f f , L e y d e n , The N e t h e r l a n d s , 1978. Nur, A., D i l a t a n c y , p o r e f l u i d s , and p r e m o n i t o r y v a r i a t i o n s o f ts/t t r a v e l t i m e s , Bull. Seis. Soc Am., 62, 1217-1222, 1972. Nur, A., N o n u n i f o r m f r i c t i o n a s a p h y s i c a l b a s i s f o r e a r t h q u a k e m e c h a n i c s , Pure and Appl. Geophys., 116, 964-988, 1978. Nur, A. and J.R. B o o k e r , A f t e r s h o c k s c a u s e d by p o r e f l u i d f l o w , Science, 146, 1003-1010, 1972. Nur, A., and J . D. B y e r l e e , An e x a c t e f f e c t i v e s t r e s s law f o r e l a s t i c d e f o r m a t i o n of r o c k w i t h f l u i d s , /. Geophys. Res. , 76, 6414-6419,1971. Okubo, P.G., and J.H. D i e t r i c h , E f f e c t s o f p h y s i c a l f a u l t p r o p e r t i e s on f r i c t i o n a l i n s t a b i l i t i e s p r o d u c e d on s i m u l a t e d f a u l t s , /. Geophys. Res., 89, 5817-5827, 1984. O ' N e i l , K., and G.F. P i n d e r , A d e r i v a t i o n o f t h e e q u a t i o n s f o r t r a n s p o r t o f l i q u i d and h e a t i n t h r e e d i m e n s i o n s i n a f r a c t u r e d medium, Adv. Water Resources, 4, 150-164, 1981. 249 P a l c i a u s k a s , V.V., and P.A. Domenico, C h a r a c t e r i z a t i o n o f t h e r m a l l y l o a d e d r e p o s i t o r y r o c k s , Water Resour. Res., 18, 281-290, 1982. P a p a g e o r g i o u , A.S., and K. A k i , A s p e c i f i c b a r r i e r model f o r t h e q u a n t i t a t i v e d e s c r i p t i o n on inhomogeneous f a u l t i n g and p r e d i c t i o n o f s t r o n g g r o u n d m o t i o n . P a r t I . D e s c r i p t i o n of t h e m o d el, Bull. Seis. Soc. Am., 73, 693-723, 1983a. P a p a g e o r g i o u , A.S., and K. A k i , A s p e c i f i c b a r r i e r model f o r t h e q u a n t i t a t i v e d e s c r i p t i o n on inhomogeneous f a u l t i n g and p r e d i c t i o n o f s t r o n g g r o u n d m o t i o n . P a r t I . A p p l i c a t i o n s o f t h e m o del, Bull. Seis. Soc. Am., 73, 953-987, 1983b. P l a t t e n , J.K., and J.C. L e g r o s , C o n v e c t i o n i n L i q u i d s , S p r i n g e r - V e r l a g , New Y o r k , 1984. P l u m l e y , W.J., A b n o r m a l l y h i g h f l u i d p r e s s u r e : s u r v e y o f some b a s i c p r i n c i p l e s , Am. Assoc. Pet. Geol. Bull., 64, 414-430, 1980. R a l e i g h , C.B., F r i c t i o n a l h e a t i n g , d e h y d r a t i o n and e a r t h q u a k e s t r e s s d r o p s , i n Proceedings of Conference II Experimental Studies of Rock Friction with Application to Earthquake Prediction, pp 291-304, U.S. G e o l o g i c a l S u r v e y , M e n l o P a r k , CA, 1977. R a l e i g h , B., and J . E v e r d e n , C a s e f o r low d e v i a t o r i c s t r e s s i n t h e l i t h o s p h e r e , i n The Mechanical Behavior of Crustal Rocks, Geophys. Monogr. Ser., v o l . 24, e d i t e d by N.L. C a r t e r , M. F r i e d m a n , J.M. L o g a n , and D.W. S t e a r n s , pp. 173-186, AGU, W a s h i n g t o n , D . C , 1981. R e i d , H.F., The mechanisms o f t h e e a r t h q u a k e , i n The California Earthquake of April 18, 1906, Rep. S t a t e E a r t h q u a k e I n v e s t i g a t i o n Comm., C a r n e i g e I n s t . , W a s h i n g t o n , D . C , 1910. R e i d , H.F., The e l a s t i c r e b o u n d t h e o r y of e a r t h q u a k e s , Univ. Calif. Publ. Geol., 6 413-444, 1911. R i c e , J.R., C o n s t i t u t i v e r e l a t i o n s f o r f a u l t s l i p and e a r t h q u a k e i n s t a b i l i t i e s , Pure and Appl. Geophys., 121, 443-475, 1983. R i c e , J.R. and M.P. C l e a r y , Some b a s i c s t r e s s d i f f u s i o n s o l u t i o n s f o r f l u i d - s a t u r a t e d e l a s t i c p o r o u s media w i t h c o m p r e s s i b l e c o n s t i t u e n t s , Rev. Geophys. Space Phys., 14, 227-241, 1976. R i c e , J.R. and J.W. R u d n i c k i , E a r t h q u a k e p r e c u r s o r y e f f e c t s due t o p o r e f l u i d s t a b i l i z a t i o n of a w e a k e n i n g f a u l t zone, /. Geophys. Res., 8 4 ( B 5 ) , 2177-2193, 1979. R i c e , J.R., and A.L. R u i n a , S t a b i l i t y of s t e a d y f r i c t i o n a l 250 s l i p p i n g , /. Appl. Mech., 50, 343-349, 1983. R i c e , J.R. and D.A. Simons, The s t a b i l i z a t i o n of s p r e a d i n g s h e a r f a u l t s by c o u p l e d d e f o r m a t i o n - d i f f u s i o n e f f e c t s i n f l u i d - i n f i l t r a t e d p o r o u s media, /. Geophys. Res., 81, 5322-5334, 1976. R i c e , J.R., and S.T. T s e , Dynamic m o t i o n of a s i n g l e d e g r e e o f fr e e d o m s y s t e m f o l l o w i n g a r a t e and s t a t e d e p e n d e n t f r i c t i o n law, /. Geophys. Res., 91,521-530,1986. R i c h a r d s , P.G., Dynamic m o t i o n s n e a r an e a r t h q u a k e f a u l t : a t h r e e d i m e n s i o n a l s o l u t i o n , Bull. Seis. Soc. Am., 66, 1-32, 1976. R i e k e , H.H., and G.V. C h i 1 i n g a r i a n , Compact i on of argillaceous sediments, 424 pp., E l s e v i e r , New Y o r k , 1974. R u d n i c k i , J.W., The i n c e p t i o n of f a u l t i n g i n a r o c k mass w i t h a weakened z o n e , /. Geophys. Res., 82, 844-854, 1977. R u d n i c k i , J.W., The s t a b i l i z a t i o n o f s l i p on a narrow w e a k e n i n g f a u l t zone by c o u p l e d d e f o r m a t i o n - p o r e f l u i d d i f f u s i o n , Bull. Seis. Soc. Am., 69, 1011-1026, 1979. R u d n i c k i , J.W., F r a c t u r e m e c h a n i c s a p p l i e d t o t h e e a r t h c r u s t ' s , i n Ann. Rev. E a r t h P l a n e t . S c i . , V o l . 8 ( E d . F.A. D o n a t h ) , A n n u a l R e v i e w s I n c . , P a l o A l t o , CA, 489-525, "1 980. R u d n i c k i , J.W., and H. K a n a m o r i , E f f e c t s o f f a u l t i n t e r a c t i o n on moment, s t r e s s d r o p , and s t r a i n e n e r g y r e l e a s e , /. Geophys. Res. , 86, 1785-1793, 1981. R u i n a , A.L., S l i p i n s t a b i l i t i e s and s t a t e f r i c t i o n l a w s , /. Geophys. Res., 88, 10359-10370, 1983. R u i n a , A.L., C o n s t i t u t i v e r e l a t i o n s f o r f r i c t i o n a l s l i p , i n Mechanics of Geomat er i als, e d i t e d by Z.P. B r a n t , J o hn W i l e y , New Y o r k , 1984. Rundle.. J.B., H. K a n a m o r i , and K.C. M c N a l l y , An inhomogeneous f a u l t model f o r gaps, a s p e r i t i e s , b a r r i e r s and s e i s m i c i t y m i g r a t i o n , /. Geophys. Res., 89, 10219-10231, 1984. S a s s , J.H., A.H. L a c h e n b r u c h , and R . J . Munroe, T h e r m a l c o n d u c t i v i t y of r o c k s f r o m measurements on f r a g m e n t s and i t s a p p l i c a t i o n t o h e a t - f l o w d e t e r m i n a t i o n s , /. Geophys. Res. , 76, 3391-3401, 1971. Savage, S.B., G r a v i t y f l o w of c o h e s i o n l e s s g r a n u l a r m a t e r i a l s i n c h u t e s and c h a n n e l s , J. Fluid. Mech. , 92, 53-96, 1979. S c h o l z , C.H., S h e a r h e a t i n g and t h e s t a t e of s t r e s s on f a u l t s , /. Geophys. Res., 8 5 ( B 1 1 ) , 6174-6184, 1980. 251 S c h o l z , C.H., L.R. S y k e s , and Y.P. Aggarwal> E a r t h q u a k e p r e d i c t i o n - a p h y s i c a l b a s i s , Science, 181, 803-810, 1973. S h a r p , J.M., J r . , P e r m e a b i l i t y c o n t r o l s on a q u a t h e r m a l p r e s s u r i n g , Am. Assoc. Pet. Geol. Bull., 67, 2057-2061, 1983. S i b s o n , R.H., I n t e r a c t i o n s between t e m p e r a t u r e and f l u i d p r e s s u r e d u r i n g e a r t h q u a k e f a u l t i n g - A mechanism f o r p a r t i a l o r t o t a l s t r e s s r e l i e f , Nature, 243, 66-68, 1973. S i b s o n , R.H., K i n e t i c s h e a r r e s i s t a n c e , f l u i d p r e s s u r e s , and r a d i a t i o n e f f i c i e n c y d u r i n g s e i s m i c f a u l t i n g , Pure and Appl. Geophys., 115, 387-400, 1977. S i b s o n , R.H., Power d i s s i p a t i o n and s t r e s s l e v e l s on f a u l t s i n t h e upper c r u s t , /. Geophys. Res., 85, 6239-6247, 1980. S i e h , K.E., P r e h i s t o r i c l a r g e e a r t h q u a k e s p r o d u c e d by s l i p on t h e San A n d r e a s f a u l t a t P a l l e t C r e e k , C a l i f o r n i a , /. Geophys. Res. , 83, 3907-3939, 1978. Simpson, D.W., S e i s m i c i t y c h a n g e s a s s o c i a t e d w i t h r e s e r v o i r l o a d i n g , Eng. Geol., 10, 123-150, 1976. S l a t t e r y , J . C , Momentum, E n e r g y , and Mass T r a n s f e r i n C o n t i n u a , M c G r a w - H i l l , New Y o r k , 1972. S m i t h , J . E . , S h a l e c o m p a c t i o n , Soc. Pet. Eng. J. , 13, 12-22, 1973. Snow, D., F r a c t u r e d e f o r m a t i o n and c h a n g e s o f p e r m e a b i l i t y and s t o r a g e upon c h a n g e s i n f l u i d p r e s s u r e , C o l o . S c h . M i n e s Q., 63, 201-244, 1969. S o r e y , M.L., N u m e r i c a l m o d e l i n g o f l i q u i d g e o t h e r m a l s y s t e m s , U.S. Geol. Surv. Prof. Pap., 1044-D, 1978. S t a l l m a n , R.W., N o t e s on t h e use o f t e m p e r a t u r e d a t a f o r c o m p u t i n g v e l o c i t y , p a p e r p r e s e n t e d a t 6 t h A s s e m b l y on H y d r a u l i c s , S o c . H y d r o t e c h . F r a n c e , Nancy, June 28-30, 1960. S t a l l m a n , R.W., C o m p u t a t i o n o f g r o u n d w a t e r v e l o c i t y from t e m p e r a t u r e d a t a , U.S. Geol. Surv. Water Supply Pap. 1544-H, H36-H40, 1963. S t r a u s , J.M., and G. S c h u b e r t , T h e r m a l c o n v e c t i o n o f water i n a p o r o u s medium: e f f e c t s of t e m p e r a t u r e - and p r e s s u r e - d e p e n d e n t thermodynamic and t r a n s p o r t p r o p e r t i e s , J. Geophys. Res., 8 2 ( 2 ) , 325-333, 1977. S t u a r t , W.D., S t r a i n - s o f t e n i n g i n s t a b i l i t y model f o r t h e San F e r n a n d o e a r t h q u a k e , Science, 203, 907-910, 1979. S t u a r t , W.D., R . J . A r c h u l e t a , and A.G. L i n d h , F o r e c a s t model f o r m o d erate e a r t h q u a k e s n e a r P a r k f i e l d , C a l i f o r n i a , J. 252 Geophys. Res., 592-604, 1985. S t u a r t , W.D., and G.M. Mavko, E a r t h q u a k e i n s t a b i l i t y on a s t r i k e - s l i p f a u l t , /. Geophys. Res., 84, 2153-2160, 1979. Sukanek, P.C. and R.L. L a u r e n c e , An e x p e r i m e n t a l i n v e s t i g a t i o n o f v i s c o u s h e a t i n g i n some s i m p l e s h e a r f l o w s , Am. I. Chem. Eng. J. , 20, 474-484, 1974. T e u f e l , L.W., and J.M. L o g a n , E f f e c t of d i s p l a c e m e n t r a t e on t h e r e a l a r e a of c o n t a c t and t e m p e r a t u r e s g e n e r a t e d d u r i n g f r i c t i o n a l s l i d i n g o f T e n n e s s e e s a n d s t o n e , Pure and Appl. Geophys., 116, 840-865, 1979. T o u l o u k i a n , Y.S., W.R. J u d d , and R.F. Roy, Physical Properties of Rocks and Minerals, v o l . I I - 2 , M c G r a w - H i l l , New Y o r k , 1981. T u r c o t t e , D.L. and E.R. Oxbaugh, A f l u i d t h e o r y f o r t h e deep s t r u c t u r e o f d i p - s l i p f a u l t z o n e s , Phys. Earth Planet. Interiors, 1, 381-387, 1968. V e r r u i j t , A., E l a s t i c s t o r a g e o f a q u i f e r s , i n F l o w T h r o u g h P o r o u s M e d i a , e d i t e d by R.J.M D e W e i s t , Academic P r e s s , New Y o r k , 1969. V o i g h t , B., and C. F a u s t , F r i c t i o n a l h e a t and s t r e n g t h l o s s i n some r a p i d l a n d s l i d e s , Geot echni que, 3 2 ( 1 ) , 43-54, 1982. W a l a s h , J.B., M e c h a n i c s o f s t r i k e - s l i p f a u l t i n g w i t h f r i c t i o n , /. Geophys. Res., 73, 761-776, 1968. W a l d e r , J . a n d A. Nur, P o r o s i t y r e d u c t i o n and c r u s t a l p o r e p r e s s u r e , J. Geophys. Res., 89, 11539-11548, 1984. Watson, J.T.R., R.S. Basu, and J.V. S e n g e r s , An i m p r o v e d r e p r e s e n t a t i v e e q u a t i o n f o r t h e dynamic v i s c o s i t y o f water s u b s t a n c e , /. Phys. Chem. Ref. Data, 9 ( 3 ) , 1255-1279, 1980. Weeks, J.D., and T.E. T u l l i s , F r i c t i o n a l s l i d i n g on d o l o m i t e : A v a r i a t i o n i n c o n s t i t u t i v e b e h a v i o r , /. Geophys. Res., 90, 7821-7826, 1985. Weertman, J . and J.R. Weertman, H i g h t e m p e r a t u r e c r e e p o f r o c k and m a n t l e v i s c o s i t y , Annu. Rev. Earth Planet. Sci. , 3, 293-315, 1975. W h i t e , F.M., V i s c o u s F l u i d F l o w , M c G r a w - H i l l , New Y o r k , 1974. W i l s o n , C.R., J r . , The mechanical properties of the shear zone of the Lewis overthrust, Glacier National Park, Montana, Ph.D. D i s s e r t i o n , T e x a s A&M U n i v e r s i t y , T e x a s , 1970. W o o d s i d e , W. and J.H. Messmer, T h e r m a l c o n d u c t i v i t y of p o r o u s m e d i a , /. Appl. Phys., 32, 1688, 1961. Yuen, D.A., L. F l e i t o u t , G. S c h u b e r t , and C. F r o i d e a u x , Shear d e f o r m a t i o n z o n e s a l o n g major t r a n s f o r m f a u l t s and s u b d u c t i n g s l a b s , Geophys. J. R. Astr. Soc, 54, 93-1 1 9, 1978. Yuen, D.A. and G. S c h u b e r t , On t h e s t a b i l i t y of f r i c t i o n a l l y h e a t e d s h e a r f l o w s i n t h e a s t h e n o s p h e r e , Geophys. J. R. Astr. Soc , 57, 189-207, 1979. PUBLICATIONS Abstracts of Oral Presentations Mase , C.W. and L. S m i t h , The effects of frictional heating on the thermal, hydrologic, and mechanical response of a fault zone during an earthquake, EOS (T ransac t ions , A m e r i c a n Geophys ica l Un ion) , 67, 242, 1986. Mase , C.W. and L. S m i t h , Transient temperature and fluid pressure effects within a fault zone during slip, EOS (Transac t ions , A m e r i c a n Geophys ica l Union) , 65, 1114, 1984. Mase, C.W. and L. S m i t h , The role of shear-strain heating and pore-fluid pressures in the dynamics of fault zone processes, EOS (Transac t ions , A m e r i c a n Geophys ica l Un ion) , 64, 8 5 1 , 1983. Mase, C.W., J.H. Sass, and A.H. Lachenbruch, Preliminary heat-flow investigations of the California Cascades, EOS (Transac t ions , A m e r i c a n Geophys ica l Un ion) , 6 1 , 1150, 1980. Sass, J.H., and C.W. Mase, The downhole heat-flow probe as a geophysical exploration tool, Soc . Explor . G e o p h y s i c i s t s Annual M e e t i n g , H o u s t o n , Texas , Oc tober 1980, Program A b s t r a c t s , p. 112, 1980. Mase, C.W., and D.S. Chapman, Geophysical study of the Monroe Utah, geothermal system, Rocky M o u n t a i n Sec t ion o f GSA Annual mee t ing P r o v o , Utah, A p r i l 1978. Chapman, D.S., K.T. K i l t y , and C.W. Mase , Characteristics of fault-controlled geothermal systems, EOS (Transac t ions , A m e r i c a n Geophys ica l Un ion) , 59, p. 1201, 1978. Published Papers and Reports Mase , C.W. and L. S m i t h , The effects of frictional heating on the thermal, hydrologic, and mechanical response of a fault, ( submi t ted t o J. Geophys. Res.). S m i t h , L., C.W. Mase , and F.W. Schar tz , A stochastic model for transport in networks of planar fractures, In t l . A s s o c . Hydrau l . Res., S y m . on the S tochas t ic A p p r o a c h t o Subsur face F low , Par is, June 1985. Mase, C.W., and L. S m i t h , Pore-fluid pressures and frictional heating on a fault surface. Pure and A p p l . Geophy. , 122, 5 8 3 - 6 0 7 , 1985. S m i t h , L., C.W. Mase , F.W. Schar tz , and D. Chor ley, A numerical model for transport in networks of planar fractures. Proceedings Confe rence on H y d r o g e o l o g y o f Rocks o f L o w Pe rmeab i l i t y , In t l . A s s o c . o f H y d r o l o g i s t s , 17th In t l . Con fe rence , 6 6 6 - 6 7 5 , 1985. Mase , C.W., J.H. Sass , A.H. Lachenbruch, and R.J. Munroe , Preliminary heat-flow investigations of the California Cascades, U.S. Geo l . Survey Open File Rept. 8 2 - 1 5 0 , 240p., 1982. Brook , CA., and C.W. Mase , The hydrothermal system at the East Brawley KGRA, Imperial Valley, California, Geothermal Resources Counci l T ransac t ions , 5, 157-163 , 1981. Mase , C.W., J.H. Sass , C A . B rook , and R.J. M o n r o e , Shallow hydrothermal regime of the East Brawley and Glamis KGRA's, Sa/ton Trough, California, U.S. Geo l . Survey Open File Rept. 8 1 - 8 3 4 , 57p., 1981. •Chapman, D.S., M.D. C lemen t , and C.W. M a s e , Thermal regime of the Escalante Desert, Utah, with an analysis of the Newcastle geothermal system, J . Geophys . Res., 86(B12), 11735-11746, 1981. Mase, C.W., and J.H. Sass , Heat flow from the western arm of the Black Rock Desert, Nevada, U.S. Geo l . Survey Open File Rept. 8 0 - 1 2 3 8 , 38p., 1980. Mase , C.W., J.H. Sass , and A.H. Lachenbruch, Near-surface hydrothermal regime of the Lassen KGRA, California, U.S. Geo l . Survey Open File Rept. 8 0 - 1 2 3 0 , 31p., 1980. . Sass, J.H., AJH. Lachenbruch, and C.W. Mase, Analysis of thermal data from drill holes UE25a-3 3 and UE25a-1, Calico Hills and Yucca Mountain, Nevada Test Site, U.S. Geo l . Survey Open File Rept. 8 0 - 8 2 6 , 25p., 1980^ Mase, C.W., S.P. Galan is , and R.J. M o n r o e , Near-surface heat flow in Saline Valley, California, U.S. Geol Survey Open File Rept. 7 9 - 1 1 3 6 , 52p., 1979. Ki l t y , K.T., D.S. Chapman, and C.W. Mase, Forced convective heat transfer in the Monroe hot springs geothermal system, J . V o l c a n o l o g y and Geothermal Res., 6, 2 5 7 - 2 7 7 , 1979. Mase, C.W., D.S. Chapman, and S.H. W a r d , Geophysical study of the Monroe-Red Hill geothermal system, U.S. Dept . o f Energy, Rept. No. E Y - 7 6 - S - 0 7 - 1 6 0 1 , Univ . o f Utah, 89p., 1979. Ki l t y , K.T., D.S. Chapman, and C.W. Mase , Aspects of forced convective heat transfer in geothermal systems, U.S. Dept . o f Energy, Rept. E G - 7 8 - C - 0 7 - 1 7 0 1 , Univ . o f U tah , 62p., 1978. Chapman, D.S., K.T. K i l t y , and C.W. Mase, Temperature and their dependence on groundwater flow in shallow geothermal systems, Geothermal Resource Counci l Transac t i ons , 2, 134-137 , 1978. McEuen, R.B., C.W. Mase, and W.E. L o o m i s , Geothermal tectonics of the Imperial Valley as deduced from earthquake occurence, Geothermal Resource Counci l Transac t ions , 1, 2 1 1 - 2 1 5 , 1977. 

Cite

Citation Scheme:

        

Citations by CSL (citeproc-js)

Usage Statistics

Share

Embed

Customize your widget with the following options, then copy and paste the code below into the HTML of your page to embed this item in your website.
                        
                            <div id="ubcOpenCollectionsWidgetDisplay">
                            <script id="ubcOpenCollectionsWidget"
                            src="{[{embed.src}]}"
                            data-item="{[{embed.item}]}"
                            data-collection="{[{embed.collection}]}"
                            data-metadata="{[{embed.showMetadata}]}"
                            data-width="{[{embed.width}]}"
                            async >
                            </script>
                            </div>
                        
                    
IIIF logo Our image viewer uses the IIIF 2.0 standard. To load this item in other compatible viewers, use this url:
https://iiif.library.ubc.ca/presentation/dsp.831.1-0052651/manifest

Comment

Related Items