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Groundwater contamination from waste-management sites : the interaction between risk-based engineering… Massmann, Joel Warren 1987

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831-UBC_1987_A1 M34_6.pdf [ 13.31MB ]
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GROUNDWATER CONTAMINATION FROM WASTE-MANAGEMENT SITES THE INTERACTION BETWEEN RISK-BASED ENGINEERING DESIGN AND REGULATORY POLICY By JOEL WARREN MAS SMANN B.S.C.E., The Ohio State U n i v e r s i t y , 1980 M.S.C.E., The Ohio State U n i v e r s i t y , 1981 A THESIS SUBMITTED IN PARTIAL FULFILLMENT OF THE REQUIREMENTS FOR THE DEGREE OF DOCTOR OF PHILOSOPHY i n THE FACULTY OF GRADUATE STUDIES Department of G e o l o g i c a l Sciences We accept t h i s t h e s i s as conforming to the r e q u i r e d standard THE UNIVERSITY OF BRITISH COLUMBIA August 1987 J o e l Warren Massmann, 19 87 In presenting this thesis in partial fulfilment of the requirements for an advanced degree at the University of British Columbia, I agree that the Library shall make it freely available for reference and study. I further agree that permission for extensive copying of this thesis for scholarly purposes may be granted by the head of my department or by his or her representatives. It is understood that copying or publication of this thesis for financial gain shall not be allowed without my written permission. Department of G l E Q L O A l c A l . SC-\g_M.Cgi> The University of British Columbia 1956 Main Mall Vancouver, Canada V6T 1Y3 DE-6G/81) ABSTRACT T h i s d i s s e r t a t i o n puts i n p l a c e a r i s k - c o s t - b e n e f i t a n a l y s i s f o r waste management f a c i l i t i e s t h a t e x p l i c i t l y r e c o g n i z e s t h e a d v e r s a r i a l r e l a t i o n s h i p t h a t e x i s t s i n a r e g u l a t e d market economy between t h e o w n e r - o p e r a t o r o f the f a c i l i t y and t h e government r e g u l a t o r y agency under whose terms the f a c i l i t y must be l i c e n s e d . The r i s k - c o s t - b e n e f i t a n a l y s i s i s set up from the p e r s p e c t i v e o f t h e o w n e r - o p e r a t o r . I t can be used d i r e c t l y by the owner-operator to assess a l t e r n a t i v e d e s ign s t r a t e g i e s . I t can a l s o be used by the r e g u l a t o r y agency to assess a l t e r n a t i v e r e g u l a t o r y p o l i c i e s , but o n l y i n an i n d i r e c t manner, by examining the r e s p o n s e o f an o w n e r - o p e r a t o r t o t h e s t i m u l i o f v a r i o u s p o l i c i e s . The o b j e c t i v e f u n c t i o n i s w r i t t e n i n terms o f a d i s c o u n t e d s t r e a m o f b e n e f i t s , c o s t s , and r i s k s o v e r an e n g i n e e r i n g time h o r i z o n . B e n e f i t s are i n terms o f revenues f o r s e r v i c e s p r o v i d e d ; c o s t s are those o f c o n s t r u c t i o n and o p e r a t i o n of the f a c i l i t y . Risk i s d e f i n e d as the expected c o s t a s s o c i a t e d w i t h f a i l u r e , w i t h f a i l u r e d e f i n e d as a groundwater contamination event t h a t v i o l a t e s the l i c e n s i n g requirements s e t f o r t h by the r e g u l a t o r y agency. F a i l u r e r e q u i r e s a breach o f the containment s t r u c t u r e and contaminant m i g r a t i o n through the h y d r o g e o l o g i c a l environment t o a compliance s u r f a c e . R e l i a b i l i t y t heory i s used to estimate the p r o b a b i l i t y of breaching and Monte C a r l o f i n i t e -element s i m u l a t i o n s are used to s i m u l a t e a d v e c t i v e contaminant t r a n s p o r t . The h y d r a u l i c c o n d u c t i v i t y v a l u e s i n t h e h y d r o g e o l o g i c a l e n v i r o n m e n t a r e d e f i n e d s t o c h a s t i c a l l y . The p r o b a b i l i t y o f f a i l u r e i s reduced by the presence o f a monitoring n e t w o r k e s t a b l i s h e d by t h e o w n e r - o p e r a t o r . The l e v e l o f r e d u c t i o n i n t h e p r o b a b i l i t y o f f a i l u r e can be c a l c u l a t e d from the s t o c h a s t i c c o n t a m i n a n t t r a n s p o r t s i m u l a t i o n s . W h i l e t h e framework i s q u i t e g e n e r a l , the development i n t h i s d i s s e r t a t i o n i s s p e c i f i c a l l y s u i t e d f o r a l a n d f i l l i n which the primary design f e a t u r e i s one o r more s y n t h e t i c l i n e r s and i n w h i c h c o n t a m i n a t i o n i s b r o u g h t about by t h e r e l e a s e o f a s i n g l e , n o n r e a c t i v e s p e c i e s i n an a d v e c t i v e , s t e a d y - s t a t e , h o r i z o n t a l f l o w f i e l d . The r i s k c o s t b e n e f i t a n a l y s i s i s a p p l i e d t o 1) an ass e s s m e n t o f t h e r e l a t i v e worth o f a l t e r n a t i v e c o n t a i n m e n t -c o n s t r u c t i o n a c t i v i t i e s , s i t e - i n v e s t i g a t i o n a c t i v i t i e s , and m o n i t o r i n g a c t i v i t i e s a v a i l a b l e t o t h e o w n e r - o p e r a t o r , 2) an assessment o f a l t e r n a t i v e p o l i c y o p t i o n s a v a i l a b l e t o t h e r e g u l a t o r y agency, and 3) two c a s e h i s t o r i e s . S e n s i t i v i t y a n a l y s e s d e s i g n e d t o a d d r e s s t h e f i r s t i s s u e show t h a t t h e a l l o c a t i o n o f res o u r c e s by the owner-operator i s s e n s i t i v e t o the s t o c h a s t i c parameters t h a t d e s c r i b e t h e h y d r a u l i c c o n d u c t i v i t y f i e l d a t a s i t e . F o r the c a s e s a n a l y z e d , t h e i n s t a l l a t i o n o f a dense m o n i t o r i n g network i s o f l e s s v a l u e t o the owner-operator t h a n a more c o n s e r v a t i v e c o n t a i n m e n t d e s i g n . S e n s i t i v i t y a n a l y s e s designed t o address the second i s s u e suggest t h a t from a r e g u l a t o r y p e r s p e c t i v e , d e sign standards should be more e f f e c t i v e t h a n p e r f o r m a n c e s t a n d a r d s i n r e d u c i n g r i s k , and d e s i g n s p e c i f i c a t i o n s on t h e c o n t a i n m e n t s t r u c t u r e s h o u l d be more i i i e f f e c t i v e t h a n t h o s e on t h e m o n i t o r i n g network. Pe r f o r m a n c e bonds p o s t e d b e f o r e c o n s t r u c t i o n h a v e a g r e a t e r p o t e n t i a l t o i n f l u e n c e d e s i g n than p r o s p e c t i v e p e n a l t i e s to be imposed at the time o f f a i l u r e . S i t i n g on l o w - c o n d u c t i v i t y d e p o s i t s i s a more e f f e c t i v e method o f r i s k r e d u c t i o n t h a n any form o f r e g u l a t o r y i n f l u e n c e . R e s u l t s o f t h e c a s e h i s t o r i e s i n d i c a t e t h a t t h e methodology can be s u c c e s s f u l l y a p p l i e d at f i e l d s i t e s , and t h a t the r i s k s a s s o c i a t e d w i t h groundwater contamination may be s m a l l when compared to the owner-operators' b e n e f i t s and c o s t s . Graduate S u p e r v i s o r : R. A l l a n Freeze Department o f G e o l o g i c a l Sciences TABLE OF CONTENTS ABSTRACT i i L I S T OF TABLES i x L I S T OF FIGURES x i i ACKNOWLEDGEMENT x v i 1. INTRODUCTION 1 1.1 E m p h a s i s on D e s i g n R a t h e r t h a n R e m e d i a l I s s u e s 7 1.2 The A d v e r s a r i a l E n v i r o n m e n t 9 1.3 A p p r o a c h e s t o E n g i n e e r i n g D e s i g n 12 2. TECHNIQUES FOR S E L E C T I N G D E S I G N AND REGULATORY STRATEGIES 19 2.1 D e c i s i o n A n a l y s i s 20 2.2 M e a s u r i n g U n c e r t a i n t y 27 2.2.1 P r o b a b i l i t y I n t e r p r e t a t i o n s 28 2.2.2 P r o b a b i l i t y a n d G e o t e c h n i c a l D e c i s i o n A n a l y s i s 28 2.2.3 The B a s i s o f P e r s o n a l i s t i c P r o b a b i l i t y 30 2.2.4 P e r s o n a l i s t i c I n t e r p r e t a t i o n o f t h e Laws o f P r o b a b i l i t y 33 2.2.5 E s t i m a t i n g S u b j e c t i v e P r o b a b i l i t i e s 35 2.2.6 B a y e s T h e o r e m a n d t h e E f f e c t s o f M e a s u r e m e n t s 38 2.3 M e a s u r i n g C o n s e q u e n c e s 42 2.3.1 C o n s e q u e n c e s i n M o n e t a r y U n i t s 43 2.3.2 C o n s e q u e n c e s i n U t i l i t y U n i t s 43 i v 2.4 D e c i s i o n C r i t e r i a 49 2.4.1 M a x i - M i n C r i t e r i o n 49 2.4.2 M i n i - M a x C r i t e r i o n 49 2.4.3 Maximum L i k e l i h o o d C r i t e r i o n 51 2.4.4 Maximum E x p e c t e d U t i l i t y C r i t e r i o n 52 2.5 The E x p e c t e d V a l u e o f I n f o r m a t i o n 53 2.5.1 The E x p e c t e d V a l u e o f P e r f e c t I n f o r m a t i o n 53 2.5.2 T h e E x p e c t e d V a l u e o f I m p e r f e c t I n f o r m a t i o n 57 3. THE RISK-COST-BENEFIT EQUATION 62 3.1 E q u a t i o n Form 63 3.2 V a l u e o f L i f e and H e a l t h 68 3.3 V a l u e o f C l e a n W a t e r 72 3.4 E q u a t i o n Components f o r O w n e r - O p e r a t o r s 76 3.5 E q u a t i o n Components f o r R e g u l a t o r y A g e n c i e s 89 3.6 Summary C o m p a r i s o n 95 3.7 P r o b a b i l i t y o f F a i l u r e 99 4. R E L I A B I L I T Y T H E O R Y AND THE P R O B A B I L I T Y OF CONTAINMENT BREACHES 104 4.1 M o d e l i n g t h e W a s t e Management F a c i l i t y 106 4.2 P r o b a b i l i t y o f B r e a c h i n g : S e n s i t i v i t y S t u d i e s 123 4.3 Summary o f A s s u m p t i o n s and C o n c l u s i o n s 138 5. RANDOM F I E L D S AND P R O B A B I L I S T I C CONTAMINANT TRAVEL TIMES 142 5.1 S o l u t e T r a n s p o r t P r o c e s s e s 143 5.1.1 A d v e c t i o n 143 v 5.1.2 D i f f u s i o n a n d D i s p e r s i o n 145 5.1.3 R e t a r d a t i o n and D e c a y 150 5.1.4 T h e I m p o r t a n c e o f A d v e c t i v e F l o w i n E n g i n e e r i n g D e s i g n 152 5.2 M o d e l l i n g S o l u t e T r a n s p o r t 158 5.2.1 G e n e r a l T r a n s p o r t M o d e l 158 5.2.2 A d v e c t i v e T r a n s p o r t M o d e l 160 5.2.3 S t r e a m F u n c t i o n s 161 5.2.4 F i n i t e E l e m e n t S o l u t i o n s 172 5.3 Q u a n t i f y i n g P a r a m e t e r U n c e r t a i n t y 177 5.3.1 H y d r a u l i c C o n d u c t i v i t y a s a S t o c h a s t i c P r o c e s s 179 5.3.2 C o r r e l a t i o n and C o v a r i a n c e 183 5.3.3 S t a t i o n a r i t y and E r g o d i c i t y 189 5.3.4 E f f e c t s o f Mesh S i z e and G e o m e t r y 191 5.4 Summary 202 6. INCORPORATING HYDRAULIC CONDUCTIVITY MEASUREMENTS AND MONITORING WELLS 204 6.1 E f f e c t s o f M e a s u r e m e n t s o n P a r a m e t e r U n c e r t a i n t y 205 6.1.1 U n c o n d i t i o n a l and C o n d i t i o n a l O p e r a t i o n s 205 6.1.2 M u l t i v a r i a t e N o r m a l D i s t r i b u t i o n 209 6.1.3 The O b s e r v a t i o n a l M o d e l 211 6.1.4 S e n s i t i v i t y S t u d i e s 213 6.1.5 M u l t i v a r i a t e N o r m a l A n a l y s e s and K r i g i n g 216 6.2 I n c o r p o r a t i n g P a r a m e t e r U n c e r t a i n t i e s i n T r a n s p o r t M o d e l s 223 6.2.1 A n a l y t i c a l M e t h o d s 223 6.2.2 T a y l o r - S e r i e s E x p a n s i o n s 225 v i 6.2.3 The M onte C a r l o M e t h o d 227 6.2.4 T r a v e l Time S e n s i t i v i t i e s 231 6.3 M o n i t o r i n g S y s t e m s and t h e P r o b a b i l i t y o f P l u m e D e t e c t i o n 238 6.3.1 O b j e c t i v e s a n d E f f e c t s o f G r o u n d w a t e r M o n i t o r i n g 238 6.3.2 E s t i m a t i n g D e t e c t i o n P r o b a b i l i t i e s 241 6.3.3 D e t e c t i o n S e n s i t i v i t i e s 243 7. RISK-COST-BENEFIT S E N S I T I V I T Y STUDIES 247 7.1 A s s e s s m e n t o f A l t e r n a t i v e D e s i g n S t r a t e g i e s 253 7.1.1 S i t e E x p l o r a t i o n 253 7.1.2 C o n t a i n m e n t D e s i g n 260 7.1.3 M o n i t o r i n g N e t w o r k D e s i g n 262 7.2 A s s e s s m e n t o f A l t e r n a t i v e R e g u l a t o r y P o l i c i e s 265 7.2.1 R e g u l a t o r y O p t i o n s 266 7.2.2 D e s i g n S t a n d a r d s a n d P e r f o r m a n c e S t a n d a r d s 268 7.2.3 D e s i g n S t a n d a r d s and M o n i t o r i n g 271 7.2.4 F i n e s and P e r f o r m a n c e Bonds 272 7.2.5 F a c i l i t y C l o s u r e 276 7.2.6 S i t i n g 276 8. CASE STUDIES 278 8.1 Cape May C o u n t y L a n d f i l l 279 8.1.1 G e n e r a l S i t e D e s c r i p t i o n 279 8.1.2 H y d r o g e o l o g i c E x p l o r a t i o n s 283 8.1.3 F a c i l i t y D e s i g n and O p e r a t i o n 286 v i i 8.1.4 R e s u l t s o f A n a l y s i s 291 8.2 C a r l s o n L a n d f i l l 300 8.2.1 G e n e r a l S i t e D e s c r i p t i o n 301 8.2.2 H y d r o g e o l o g i c E x p l o r a t i o n s 305 8.2.3 F a c i l i t y D e s i g n a nd O p e r a t i o n 308 8.2.4 R e s u l t s o f A n a l y s i s 318 9. REVIEW, SUMMARY AND CONCLUSIONS 320 9.1 R e v i e w and Summary o f D i s s e r t a t i o n 320 9.1.1 R e v i e w a n d S u m m a r y o f C h a p t e r 1 I n t r o d u c t i o n 320 9.1.2 R e v i e w a n d S u m m a r y o f C h a p t e r 2 -T e c h n i q u e s f o r S e l e c t i n g D e s i g n a n d R e g u l a t o r y S t r a t e g i e s 323 9.1.3 R e v i e w a n d Summary o f C h a p t e r 3 - T h e R i s k - C o s t - B e n e f i t E q u a t i o n 324 9.1.4 R e v i e w a n d S u m m a r y o f C h a p t e r 4 -R e l i a b i l i t y T h e o r y a nd t h e P r o b a b i l i t y o f C o n t a i n m e n t B r e a c h e s 327 9.1.5 R e v i e w and Summary o f C h a p t e r 5 - Random F i e l d s a n d P r o b a b i l i s t i c C o n t a m i n a n t T r a v e l T i m e s 329 9.1.6 R e v i e w a n d S u m m a r y o f C h a p t e r 6 -I n c o r p o r a t i n g H y d r a u l i c C o n d u c t i v i t y M e a s u r e m e n t s and M o n i t o r i n g W e l l s 331 9.1.7 R e v i e w a n d Summary o f C h a p t e r 7 - R i s k -C o s t - B e n e f i t S e n s i t i v i t y S t u d i e s 336 9.1.8 R e v i e w a n d Summary o f C h a p t e r 8 - C a s e S t u d i e s 338 9.2 Summary o f P r i n c i p a l A s s u m p t i o n s 341 9.3 Summary o f C o n c l u s i o n s 345 BIBLIOGRAPHY 349 v i i i L i s t o f T a b l e s 2.1 C l a s s i f i c a t i o n s o f P r o b a b i l i t y E n c o d i n g T e c h n i q u e s 39 2.2 E x a m p l e C o m p a r i s o n o f D e c i s i o n C r i t e r i a 50 2.3 E x a m p l e E x p e c t e d V a l u e o f I n f o r m a t i o n 55 3.1 R i s k - C o s t - B e n e f i t A n a l y s i s f o r O w n e r - O p e r a t o r 77 3.2 R i s k - C o s t - B e n e f i t A n a l y s i s f o r R e g u l a t o r y A g e n c y 90 3.3 Summary C o m p a r i s o n o f R i s k - C o s t - B e n e f i t A n a l y s i s f o r O w n e r - O p e r a t o r a n d R e g u l a t o r y A g e n c y 96 3.4.Waste Managment F a c i l i t i e s t h a t R e l e a s e L e a c h a t e t o G r o u n d w a t e r 100 4.1 C a u s e s o f B r e a c h o f C o n t a i n m e n t a t W a s t e Management F a c i l i t i e s U t i l i z i n g S y n t h e t i c L i n e r s 105 4.2 Gamma F u n c t i o n V a l u e s f o r A r g u m e n t s B e t w e e n 1.0 and 2.0 121 4.3 P a r a m e t e r s U s e d t o C h a r a c t e r i z e L i n e r P e r f o r m a n c e 124 5.1 G r o u n d w a t e r C o n t a m i n a t i o n C a s e H i s t o r i e s 155 5.2 F i n i t e E l e m e n t F o r m u l a t i o n M a t r i x and V e c t o r 175 5.3 S c a l e s U s e d t o D e f i n e H y d r a u l i c C o n d u c t i v i t y 181 6.1 S e n s i t i v i t y o f T r a v e l T i m e S t a t i s t i c s t o M e a n H y d r a u l i c C o n d u c t i v i t y 234 6.2 S e n s i t i v i t y o f T r a v e l Time S t a t i s t i c s t o H y d r a u l i c C o n d u c t i v i t y S t a n d a r d D e v i a t i o n 234 6.3 S e n s i t i v i t y o f T r a v e l Time S t a t i s t i c s t o H y d r a u l i c C o n d u c t i v i t y S t a t i s t i c s w i t h C o e f f i c i e n t o f V a r i a t i o n E q u a l t o 1.0. 234 6.4 S e n s i t i v i t y o f T r a v e l Time S t a t i s t i c s t o H y d r a u l i c C o n d u c t i v i t y F l u c t u a t i o n S c a l e s 236 6.5 S e n s i t i v i t y o f T r a v e l Time S t a t i s t i c s t o H y d r a u l i c C o n d u c t i v i t y M e a s u r e m e n t s 236 i x 6.6 E x a m p l e S e n s i t i v i t y f o r t h e P r o b a b i l i t y o f C o n t a m i n a n t Plume D e t e c t i o n 247 7.1 C o m p a r i s o n o f T h r e e S i t e s w i t h D i f f e r e n t M e a n H y d r a u l i c C o n d u c t i v i t y 254 7.2 C o m p a r i s o n o f A l t e r n a t i v e E x p l o r a t i o n S t r a t e g i e s 256 7.3 C o m p a r i s o n o f T h r e e D e s i g n A l t e r n a t i v e s 260 7.4 C o m p a r i s o n o f T h r e e M o n i t o r i n g A l t e r n a t i v e s 262 7.5 C o m p a r i s o n o f T h r e e D e s i g n A l t e r n a t i v e s U n d e r C o n d i t i o n s W h e r e T h e r e A r e L o w e r C o s t s A s s o c i a t e d w i t h F a i l u r e t h a n T h o s e U s e d i n T a b l e 7.3 269 7.6 C o m p a r i s o n o f T h r e e L e v e l s o f R e g u l a t o r y P e n a l t y 271 7.7 C o m p a r i s o n o f t h e I m p a c t o f P e r f o r m a n c e Bond P o s t e d B e f o r e C o n s t r u c t i o n R e l a t i v e t o P r o s p e c t i v e P e n a l t i e s Imposed a t t h e Time o f F a i l u r e 273 8.1 H y d r a u l i c C o n d u c t i v i t i e s E s t i m a t e d f r o m G r a i n S i z e -C u r v e s f o r t h e Cape May C o u n t y L a n d f i l l [ G e r a g h t y and M i l l e r ; 1982, 1 9 8 3 ] . 285 8.2 T y p e s o f W a s t e s T h a t A r e A c c e p t e d and P r o h i b i t e d a t t h e Cape May C o u n t y L a n d f i l l [CMCMUA, 1 9 8 3 ] . 287 8.3 A c t i v e L i f e f o r W a s t e C e l l s A s a F u n c t i o n o f C o m p a c t i o n D e n s i t i e s f o r t h e C a p e M a y C o u n t y L a n d f i l l [CMCMUA, 1 9 8 3 ] 287 8.4 C h e m i c a l P a r a m e t e r s f o r G r o u n d w a t e r Q u a l i t y M o n i t o r i n g a t Cape May C o u n t y L a n d f i l l [ G e r a g h t y & M i l l e r , 1 9 8 3 ] 289 8.5 L a n d f i l l D e v e l o p m e n t , E x p a n s i o n , a n d O p e r a t i n g C o s t s f o r t h e C a p e May C o u n t y L a n d f i l l [CMCMUA, 19 8 3 ] 290 8.6 Summary o f I n p u t V a r i a b l e s f o r t h e Cape May C o u n t y L a n d f i l l 293 8.7 R e s u l t s o f C a p e May L a n d f i l l A n a l y s e s : E f f e c t o f E x p e c t e d L i n e r L i f e 297 8.8 R e s u l t s o f C a p e May L a n d f i l l A n a l y s e s : E f f e c t o f D i s c o u n t R a t e 297 8.9 R e s u l t s o f C a p e May L a n d f i l l A n a l y s e s : E f f e c t o f C o s t o f F a i l u r e 297 x 8.10 L a n d f i l l D e v e l o p m e n t , E x p a n s i o n , a n d O p e r a t i n g C o s t s f o r t h e C a r l s o n L a n d f i l l s i t e [CH2M H i l l , 1 9 8 6 ; H a r t C r o w s e r , 1 9 8 6 ; M a n a g e m e n t A d v i s o r y S e r v i c e s , 1 9 8 6 ] 310 8.11 Summary o f I n p u t V a r i a b l e s f o r C a r l s o n L a n d f i l l 312 8.12 R e s u l t s o f C a r l s o n L a n d f i l l A n a l y s e s : E f f e c t o f E x p e c t e d L i n e r L i f e 317 8.13 R e s u l t s o f C a r l s o n L a n d f i l l A n a l y s e s : E f f e c t o f D i s c o u n t R a t e 317 8.14 R e s u l t s o f C a r l s o n L a n d f i l l A n a l y s e s : E f f e c t o f C o s t o f F a i l u r e 317 x i L i s t o f F i g u r e s 2.1 E x a m p l e D e c i s i o n M a t r i x 22 2.2 E x a m p l e D e c i s i o n T r e e f o r D i s c r e t e V a r i a b l e s 24 2.3 E x a m p l e D e c i s i o n T r e e f o r C o n t i n u o u s V a r i a b l e s 25 2.4 D e c i s i o n T r e e When C o n s e q u e n c e o f One A l t e r n a t i v e i s Known 44 2.5 E x a m p l e U t i l i t y C u r v e 46 2.6 E x a m p l e C o s t a nd V a l u e - o f - I n f o r m a t i o n C u r v e s 61 3.1 U t i l i t y F u n c t i o n s 65 3.2 Framework f o r O w n e r - O p e r a t o r ' s R i s k - C o s t - B e n e f i t A n a l y s i s w i t h R e s p e c t t o a) T i m e , b) P l a n V i e w , and c ) C r o s s - S e c t i o n V i e w 83 4.1 P l a n a n d C r o s s - S e c t i o n V i e w s o f Waste Management F a c i l i t y 107 4.2 E x a m p l e S y s t e m C o n f i g u r a t i o n s 108 4.3 L i n e r M o r t a l i t y C u r v e 113 4.4 E x p o n e n t i a l D i s t r i b u t i o n w i t h D i f f e r e n t R a t e C o n s t a n t s 115 4.5 W e i b u l l D i s t r i b u t i o n w i t h D i f f e r e n t R a t e C o n s t a n t s 117 4.6 W e i b u l l D i s t r i b u t i o n w i t h D i f f e r e n t Shape F a c t o r s 118 4.7 W e i b u l l D i s t r i b u t i o n w i t h D i f f e r e n t C o m b i n a t i o n s o f R a t e C o n s t a n t s a nd Shape F a c t o r s 119 4.8 P r o b a b i l i t y o f B r e a c h f o r D i f f e r e n t N u m ber o f L i n e r s 126 4.9 P r o b a b i l i t y o f B r e a c h f o r D i f f e r e n t N umber o f C e l l s 127 4.10 E f f e c t s o f D i s c o u n t R a t e s o n P r o b a b i l i t y o f B r e a c h i n g 128 4.11 E f f e c t o f R a t e C o n s t a n t o n P r o b a b i l i t y o f B r e a c h i n g A s s u m i n g E x p o n e n t i a l D i s t r i b u t i o n 130 x i i 4.12 E f f e c t o f N u m b e r o f C e l l s o n P r o b a b i l i t y o f B r e a c h i n g A s s u m i n g E x p o n t i a l D i s t r i b u t i o n 131 4.13 E f f e c t s o f t h e Y e a r t h a t S e c o n d C e l l B e g i n s O p e r a t i o n o n P r o b a b i l i t y o f B r e a c h i n g f o r C e l l s w i t h O n e L i n e r 133 4.14 E f f e c t s o f R a t e C o n s t a n t f o r L i n e r i n S e c o n d Waste C e l l o n P r o b a b i l i t y o f B r e a c h i n g 135 4.15 E f f e c t s o f Number o f L i n e r s o n P r o b a b i l i t y o f B r e a c h i n g A s s u m i n g E x p o n e n t i a l D i s t r i b u t i o n 136 4.16 E f f e c t s o f t h e Y e a r T h a t S e c o n d C e l l B e g i n s O p e r a t i o n o n P r o b a b i l i t y o f B r e a c h i n g f o r C e l l s w i t h Two L i n e r s 137 5.1 A d v e c t i v e T r a n s p o r t 144 5.2 E f f e c t s o f D i f f u s i o n and D i s p e r s i o n 146 5.3 A p p a r e n t D i s p e r s i o n a s a R e s u l t o f a) H y d r a u l i c C o n d u c t i v i t y V a r i a t i o n s W i t h i n a G e o l o g i c U n i t , a n d b) D i f f u s i o n I n t o and Out o f Low P e r m e a b i l i t y L a y e r s 149 5.4 G r o u n d w a t e r V e l o c i t y a n d S o l u t e F r o n t V e l o c i t y i f S o l u t e F r o n t i s D e f i n e d b y a) C/Co = 0.5, a n d b) C/Co = 0.01 154 5.5 D e f i n i t i o n o f a S t r e a m l i n e 163 5.6 R e l a t i o n s h i p s B e t w e e n F l u i d P o t e n t i a l s and S t r e a m F u n c t i o n s 165 5.7 D i s c h a r g e B e t w e e n Two S t r e a m l i n e s 167 5.8 S e c o n d T y p e o r Neuman B o u n d a r y C o n d i t i o n s f o r S t r e a m F u n c t i o n s 171 5.9 S t r e a m F u n c t i o n B o u n d a r y C o n d i t i o n s f o r a C r o s s -S e c t i o n a l , S t e a d y - S t a t e F l o w S y s t e m 173 5.10 V a r i a b l e s U s e d t o D e f i n e H y d r a u l i c C o n d u c t i v i t y B l o c k s a n d F l u i d V e l o c i t i e s 176 5.11 E x a m p l e s o f H o r i z o n t a l l y - a n d V e r t i c a l l y -C o r r e l a t e d H y d r a u l i c C o n d u c t i v i t y V a l u e s 185 5.12 E x a m p l e s o f H o r i z o n t a l a n d V e r t i c a l C o r r e l a t i o n F u n c t i o n s f o r t h e H y d r a u l i c C o n d u c t i v i t y V a l u e s x i i i P r e s e n t e d i n F i g u r e 5.11 187 5.13 E x a m p l e C o r r e l a t i o n F u n c t i o n s 188 5.14 S a m p l e F u n c t i o n f o r a) P o i n t V a l u e s o f H y d r a u l i c C o n d u c t i v i t y a n d b) L o c a l l y - A v e r a g e d V a l u e s o f H y d r a u l i c C o n d u c t i v i t y 192 5.15 T r i a n g u l a r a) C o r r e l a t i o n F u n c t i o n and b) V a r i a n c e F u n c t i o n 194 5.16 I n t e r v a l s U s e d t o D e t e r m i n e C o r r e l a t i o n s o f L o c a l A v e r a g e s 196 5.17 L o c a l A v e r a g i n g O v e r a R e c t a n g u l a r A r e a 197 5.18 T w o - D i m e n s i o n a l T r i a n g u l a r C o r r e l a t i o n F u n c t i o n 199 5.19 I n t e r v a l s U s e d t o D e t e r m i n e C o r r e l a t i o n s o f Two-D i m e n s i o n a l L o c a l A v e r a g e s 201 6.1 E x a m p l e S e n s i t i v i t i e s f o r H y d r a u l i c C o n d u c t i v i t y M e a s u r e m e n t s i n a O n e - D i m e n s i o n a l F l o w F i e l d 215 6.2 I m p a c t o f C o r r e l a t i o n S c a l e s o n M e a s u r e m e n t E f f e c t i v e n e s s 217 6.3 L o g H y d r a u l i c C o n d u c t i v i t i e s f o r H y p o t h e t i c a l F l o w F i e l d 219 6.4 E s t i m a t e d H y d r a u l i c C o n d u c t i v i t i e s U s i n g K r i g i n g a n d M u l t i v a r i a t e A n a l y s e s 221 6.5 R o o t M e a n S q u a r e E r r o r f o r P r e d i c t e d a n d A c t u a l L o g H y d r a u l i c C o n d u c t i v i t i e s 222 6.6 F l o w F i e l d U s e d i n S e n s i t i v i t y S t u d i e s 232 6.7 E x a m p l e P r o b a b i l i t i e s o f D e t e c t i o n f o r B a s e C a s e 244 7.1 E x a m p l e B e n e f i t s , C o s t s , a nd R i s k s f o r B a s e C a s e 250 8.1 P l a n V i e w o f Cape May C o u n t y L a n d f i l l P r o p e r t y 282 8.2 G e o l o g i c C r o s s - S e c t i o n f o r C a p e M a y C o u n t y F a c i l i t y 283 8.3 B e n e f i t s , C o s t s , a n d R i s k s f o r C a p e May C o u n t y L a n d f i l l 298 8.4 P l a n V i e w o f C a r l s o n L a n d f i l l P r o p e r t y 302 x i v r 8.5 G e o l o g i c C r o s s - S e c t i o n f o r C a r l s o n F a c i l i t y 303 8.6 B e n e f i t s , C o s t s , and R i s k s f o r C a r l s o n L a n d f i l l 317 xv ACKNOWLE DGEMENT S The a u t h o r w o u l d l i k e t o e x t e n d h i s a p p r e c i a t i o n t o J i m A t w a t e r , B i l l C a s t l e t o n , B i l l M athews, and F r a n k P a t t o n f o r s e r v i n g on t h e t h e s i s c o m m i t t e e . A p p r e c i a t i o n i s a l s o e x t e n d e d t o L e s l i e S m i t h f o r s e r v i n g o n t h e c o m m i t t e e a n d f o r p r o v i d i n g v a l u a b l e d i s c u s s i o n s a n d a d v i c e r e g a r d i n g some o f t h e a n a l y t i c a l t e c h n i q u e s u s e d i n t h e d i s s e r t a t i o n . The U n i v e r s i t y o f B r i t i s h C o l u m b i a a n d t h e C a n a d i a n p e o p l e t h a t i t r e p r e s e n t s a r e t h a n k e d f o r t h e s u p p o r t t h a t t h e y p r o v i d e d i n t h e f o r m o f a U n i v e r s i t y F e l l o w s h i p d u r i n g t h e f i r s t two y e a r s o f t h e a u t h o r ' s d o c t o r a l p r o g r a m . A p p r e c i a t i o n i s a l s o d u e t o t h e p e o p l e who a r e H a r t C r o w s e r , m o s t n o t a b l y M a t t D a l t o n and T e r r y O l m s t e d , f o r p r o v i d i n g b o t h s u p p o r t and f r e e d o m d u r i n g t h e p a s t t w o y e a r s . T h a n k s a r e a l s o e x t e n d e d t o t h e D e p a r t m e n t o f H y d r o l o g y a t t h e U n i v e r s i t y o f A r i z o n a f o r t h e i r h o s p i t a l i t i e s d u r i n g t h e a u t h o r ' s y e a r - l o n g v i s i t . F i n a l l y , v e r y s p e c i a l g r a t i t u d e i s p r e s e n t e d t o A l l a n F r e e z e , who h a s h a d a p r o f o u n d a n d p o s i t i v e i m p a c t o n t h e a u t h o r ' s a c a d e m i c , p r o f e s s i o n a l , a n d p e r s o n a l a t t i t u d e s . xv i 1. INTRODUCTION I n r e c e n t y e a r s , p r o b l e m s a s s o c i a t e d w i t h g r o u n d w a t e r c o n t a m i n a t i o n h a v e r e c e i v e d much a t t e n t i o n f r o m t h e p u b l i c , f r o m t h e m e d i a , a n d f r o m many s e g m e n t s o f o u r l o c a l , s t a t e , a n d f e d e r a l g o v e r n m e n t s . P a r t i c u l a r s c r u t i n y h a s b e e n f o c u s e d o n c o n t a m i n a t i o n f r o m l a n d f i l l s , i m p o u ndments, s t o r a g e t a n k s , and o t h e r w a s t e - m a n a g e m e n t f a c i l i t i e s , i n p a r t b e c a u s e t h e y a r e u s u a l l y l o c a t e d i n u r b a n a r e a s and t h e r e f o r e t h e c o n s e q u e n c e s o f t h e i r c o n t a m i n a t i o n s c a n be e s p e c i a l l y g r i m , and i n p a r t b e c a u s e t h e r e i s o f t e n an i d e n t i f i a b l e p a r t y r e s p o n s i b l e f o r t h e s e t y p e s o f p o i n t s o u r c e s . As a n o u t g r o w t h o f t h e s e a t t e n t i o n s , a f l u r r y o f l e g i s l a t i v e a n d r e g u l a t o r y a c t i v i t i e s d e a l i n g w i t h g r o u n d w a t e r c o n t a m i n a t i o n f r o m w a s t e - m a n a g e m e n t f a c i l i t i e s h a s b e e n u n d e r t a k e n i n t h e p a s t d e c a d e [ O f f i c e o f T e c h n o l o g y A s s e s s m e n t (OTA), 1 9 8 4 ] , Two g e n e r a l a p p r o a c h e s h a v e b e e n a d o p t e d i n d e v e l o p i n g t h e s e r e g u l a t i o n s . The f i r s t a p p r o a c h i s t o d e v e l o p r e g u l a t i o n s b a s e d upon a v a i l a b l e t e c h n o l o g i e s . T h e s e c o n d a p p r o a c h i s t o d e v e l o p r e g u l a t i o n s b a s e d u p o n t h e m a n a g e m e n t o f r i s k s . T h e a p p r o a c h b a s e d u p o n t e c h n o l o g i e s , a l t h o u g h r e l a t i v e l y e a s y t o a d m i n i s t e r , r e s u l t s i n s o m e t i m e s a r b i t r a r y a nd i n f l e x i b l e r e g u l a t i o n s t h a t a r e a l w a y s s u s c e p t i b l e t o o b s o l e s c e n c e b e c a u s e o f r a p i d t e c h n o l o g i c a l d e v e l o p m e n t s . The a p p r o a c h b a s e d upon r i s k management, a l t h o u g h more f l e x i b l e , r e s u l t s i n r e g u l a t i o n s t h a t may be v e r y d i f f i c u l t t o a d m i n i s t e r . W i l l i a m D. R u c k e l s h a u s , who t w i c e s e r v e d a s a d m i n i s t r a t o r f o r t h e U.S. E n v i r o n m e n t a l P r o t e c t i o n A g e n c y , f r o m 1 1 9 7 0 - 7 3 a n d f r o m 1 9 8 3 - 1 9 8 5 , d i s c u s s e s t h e t w o a p p r o a c h e s ( R u c k e l s h a u s , 1 9 8 6 ) : " I t ' s much more d i f f i c u l t t o a d m i n i s t e r a l a w w h i c h m a n d a t e s y o u t o l o o k a t t h e e n v i r o n m e n t a l v a l u e s t h a t y o u ' r e p r o t e c t i n g b a s e d o n t h e a c t i o n t h a t y o u t a k e - a s o p p o s e d t o s a y i n g t h a t i f y o u h a v e t h i s k i n d o f a d i s c h a r g e , y o u m u s t p u t t h i s k i n d o f a t e c h n o l o g y o n t o r e d u c e i t . T h a t ' s a s i m p l e t h i n g t o a d m i n i s t e r . B u t j u s t b e c a u s e i t ' s e a s y d o e s n ' t mean i t ' s g o o d p u b l i c p o l i c y . A n d I t h i n k we s o m e t i m e s s a c r i f i c e , f o r a d m i n i s t r a t i v e e a s e , g o o d s e n s e . J u s t i f y i n g p u b l i c o r p r i v a t e e x p e n d i t u r e s o n t h e b a s i s o f b e n e f i t s r e c e i v e d i s a m u c h t o u g h e r a d m i n i s t r a t i v e a s s i g n m e n t . N e v e r t h e l e s s , t h a t ' s t h e a s s i g n m e n t t h a t we o u g h t t o g i v e t o p e o p l e . " T h e r e ' s a l o t o f u n d e r s t a n d i n g among t h e p e o p l e who h a v e b e e n i n t h i s a r e n a f o r y e a r s o f t h e n e e d f o r a d o p t i n g a n a p p r o a c h t h a t e m p h a s i z e s t h e management o f r i s k s , t h a t d e a l s w i t h t h e m i n t h e i r s c i e n t i f i c r e a l i t y , a n d t h a t d o e s n ' t b e l i e v e t h a t b y s e t t i n g u n r e a l i s t i c g o a l s a n d d e a d l i n e s we're r e a l l y g o i n g t o a c c o m p l i s h v e r y much." I n e i t h e r c a s e , w h e t h e r t e c h n o l o g y - b a s e d o r r i s k - b a s e d , t h e r e s u l t i n g r e g u l a t i o n s h a v e b e c o m e p a r t o f a c o m p l e x , a n d o f t e n c o n t r o v e r s i a l , s y s t e m o f p h y s i c a l , e c o n o m i c , a nd s o c i a l p r o c e s s e s t h a t i n c l u d e e n g i n e e r i n g d e s i g n s , h y d r o g e o l o g i c a l e n v i r o n m e n t s , f r e e - m a r k e t e c o n o m i e s , a nd e t h i c a l a n d p o l i t i c a l d e c i s i o n s . 2 I n t h i s d i s s e r t a t i o n , a f r a m e w o r k f o r a s s e s s i n g t h e i n t e r -r e l a t i o n s h i p s among t h e v a r i o u s a s p e c t s o f t h i s s y s t e m i s d e v e l o p e d . T h e f o u n d a t i o n f o r t h i s f r a m e w o r k i s t h e c o n t e n t i o n t h a t g r o u n d w a t e r c o n t a m i n a t i o n f r o m waste-management f a c i l i t i e s t a k e s p l a c e w i t h i n a n a d v e r s a r i a l e n v i r o n m e n t i n w h i c h t h e o b j e c t i v e o f a n o w n e r - o p e r a t o r t o m a i n t a i n p r o f i t a b i l i t y may be i n d i r e c t c o n f l i c t w i t h t h e o b j e c t i v e s o f a r e g u l a t o r y a g e n c y e s t a b l i s h e d t o a d d r e s s t h e s a f e t y and e n v i r o n m e n t a l c o n c e r n s o f s o c i e t y . A l t h o u g h t h e a p p r o a c h u s e d i s g e n e r a l l y a p p l i c a b l e t o a v a r i e t y o f w a s t e m a n a g e m e n t s c e n a r i o s , t h e p r e s e n t s t u d y i s c o n c e r n e d w i t h t h e d e s i g n , o p e r a t i o n , a n d r e g u l a t i o n o f new l a n d f i l l s i n w h i c h t h e p r i m a r y m e c h a n i s m o f f a i l u r e i n v o l v e s a b r e a c h o f c o n t a i n m e n t a c r o s s e n g i n e e r e d b a r r i e r s a n d t h e m i g r a t i o n o f c o n t a m i n a n t s t h r o u g h t h e h y d r o g e o 1 o g i c a 1 e n v i r o n m e n t . I t i s assumed t h a t p r i m a r y method o f c o n t a i n m e n t i s s y n t h e t i c membranes. The e f f e c t s o f l e a c h a t e c o l l e c t i o n s y s t e m s and o t h e r e n g i n e e r i n g a c t i v i t i e s a r e n o t i n c l u d e d i n t h e a n a l y s i s o f t h e c o n t a i n m e n t s t r u c t u r e . The a s s u m p t i o n s a r e made t h a t t h e s i t i n g p r o c e s s h a s b e e n c o m p l e t e d p r i o r t o o u r a n a l y s i s and t h a t t h e f a c i l i t i e s w i l l b e p l a c e d i n u n c o n s o l i d a t e d , p e r m e a b l e d e p o s i t s s o t h a t t h e i n f l u e n c e o f a d v e c t i o n w i l l f a r o u t w e i g h t h a t o f d i s p e r s i o n , d i f f u s i o n , a n d r e t a r d a t i o n . I t i s a l s o a s s u m e d t h a t f l o w o c c u r s i n a s a t u r a t e d , t w o - d i m e n s i o n a l , h o r i z o n t a l a q u i f e r . W i t h t h e s e a s s u m p t i o n s , t h e c o n t a m i n a n t t r a v e l t i m e s c a n b e e s t i m a t e d w i t h some d e g r e e o f c o n f i d e n c e u s i n g c o m p u t e r m o d e l s . Two r i s k - c o s t - b e n e f i t o b j e c t i v e f u n c t i o n s c a n be d e v e l o p e d : one f o r t h e a s s e s s m e n t o f a l t e r n a t i v e e n g i n e e r i n g d e s i g n s b y t h e o w n e r - o p e r a t o r , a n d o n e f o r t h e a s s e s s m e n t o f a l t e r n a t i v e r e g u l a t o r y p o l i c i e s b y t h e r e g u l a t o r y a g e n c y . The g o a l f o r e a c h o f t h e two p a r t i c i p a n t s i s t o m a x i m i z e t h e i r r e s p e c t i v e o b j e c t i v e f u n c t i o n s b y m i n i m i z i n g r i s k s a n d c o s t s w h i l e m a x i m i z i n g b e n e f i t s . The r i s k s f o r b o t h p a r t i e s a r e d e f i n e d a s t h e e x p e c t e d c o s t s o f f a i l u r e , w h e r e f a i l u r e i s d e f i n e d a s t h e e v e n t a p l u m e o f c o n t a m i n a t e d g r o u n d w a t e r r e a c h e s a c o m p l i a n c e p o i n t o r s u r f a c e d u r i n g a c o m p l i a n c e p e r i o d . The c o m p l i a n c e p o i n t s and p e r i o d s a r e a s s u m e d t o b e s p e c i f i e d b y t h e r e g u l a t o r y a g e n c y . T h e c o s t s f o r t h e o w n e r - o p e r a t o r a r e c o n s t r u c t i o n a nd o p e r a t i o n c o s t s a nd t h e b e n e f i t s a r e p r i m a r i l y r e v e n u e s f o r s e r v i c e s p r o v i d e d . The c o s t s f o r t h e r e g u l a t o r y a g e n c y a r e p r i n c i p a l l y a d m i n i s t r a t i v e c o s t s w h i l e t h e b e n e f i t s a r e t h o s e a s s o c i a t e d w i t h t h e p r e s e r v a t i o n o f c l e a n w a t e r . T h e m e r i t s o f a l t e r n a t i v e d e s i g n s t r a t e g i e s c a n b e d i r e c t l y a s s e s s e d b y e x a m i n i n g how t h e o w n e r - o p e r a t o r ' s o b j e c t i v e f u n c t i o n i s i n f l u e n c e d b y v a r i o u s s y s t e m d e s i g n s . The d e s i g n a l t e r n a t i v e s a v a i l a b l e t o t h e o w n e r - o p e r a t o r r e v o l v e a r o u n d t h e p o s s i b l e t r a d e - o f f s b e t w e e n : 1) e x p l o r a t i o n a c t i v i t i e s , 2) d e s i g n f e a t u r e s o f t h e c o n t a i n m e n t s t r u c t u r e , 3) i n s t a l l a t i o n o f m o n i t o r i n g n e t w o r k s , and 4) p o s s i b l e r e m e d i a l a c t i o n s . I n t h e o r y , t h e m e r i t s o f a l t e r n a t i v e r e g u l a t o r y s t r a t e g i e s c a n be a s s e s s e d b y e x a m i n i n g how t h e r e g u l a t o r y a g e n c y ' s o b j e c t i v e f u n c t i o n i s i n f l u e n c e d b y v a r i o u s r e g u l a t o r y p o l i c i e s . I n p r a c t i c e , h o w e v e r , t h e c o s t and b e n e f i t t e r m s i n t h e r e g u l a t o r y a g e n c y ' s o b j e c t i v e f u n c t i o n a r e e x t r e m e l y d i f f i c u l t t o q u a n t i f y i n e c o n o m i c u n i t s . An a l t e r n a t i v e a p p r o a c h f o r a s s e s s i n g r e g u l a t o r y s t r a t e g i e s i s t o u s e t h e o w n e r - o p e r a t o r ' s o b j e c t i v e f u n c t i o n t o e x a m i n e how o w n e r - o p e r a t o r s m i g h t r e s p o n d t o v a r i o u s r e g u l a t o r y s t i m u l i . B y c a r r y i n g o u t s u c h a n e x e r c i s e , a n i n d i r e c t c o m p a r i s o n o f t h e w o r t h o f v a r i o u s r e g u l a t o r y p o l i c y o p t i o n s c a n be p r o v i d e d . The p o l i c y a l t e r n a t i v e s a v a i l a b l e t o t h e r e g u l a t o r y a g e n c y i n c l u d e 1) p e r f o r m a n c e s t a n d a r d s a n d / o r d e s i g n s t a n d a r d s , 2) c o m p l i a n c e l o c a t i o n s a n d m o n i t o r i n g r e q u i r e m e n t s , 3) p e n a l t i e s f o r v i o l a t i o n o f l i c e n s i n g p r o v i s i o n s , 4) l i t i g a t i o n p r o c e d u r e s , and 5) p r o c e d u r e s f o r r e m e d i a l a c t i o n s . T h e d e v e l o p m e n t o f t h e o w n e r - o p e r a t o r ' s o b j e c t i v e f u n c t i o n r e q u i r e s a n e x p l i c i t q u a n t i f i c a t i o n o f b o t h t h e c o n s e q u e n c e s o f f a i l u r e a nd t h e p r o b a b i l i t i e s o f f a i l u r e f o r e a c h o f t h e d e s i g n o r r e g u l a t o r y s t r a t e g i e s u n d e r c o n s i d e r a t i o n . The t e c h n i q u e s t h a t a r e u s e d t o e s t i m a t e t h e f a i l u r e p r o b a b i l i t i e s i n c o r p o r a t e : a) t h e a p p l i c a t i o n o f r e l i a b i l i t y t h e o r y f o r m o d e l i n g t h e p e r f o r m a n c e o f e n g i n e e r e d b a r r i e r s , b) a g e o s t a t i s t i c a 1 d e s c r i p t i o n o f t h e h y d r o g e o l o g i c a l e n v i r o n m e n t , c ) n u m e r i c a l s i m u l a t i o n o f a d v e c t i v e c o n t a m i n a n t m i g r a t i o n p a t h s i n t h e h y d r o g e o l o g i c a l e n v i r o n m e n t , d) a s t o c h a s t i c i n t e r p r e t a t i o n o f p r e d i c t i v e u n c e r t a i n t i e s f r o m t h e n u m e r i c a l s i m u l a t i o n s , and e) a B a y e s i a n a p p r o a c h t o u p d a t i n g e s t i m a t e s o n t h e b a s i s o f a d d i t i o n a l d a t a . 5 The r e m a i n d e r o f t h i s c h a p t e r i s d e v o t e d t o a g e n e r a l d i s c u s s i o n o f t h e a p p r o a c h u s e d t o a s s e s s a l t e r n a t i v e d e s i g n and r e g u l a t o r y s t r a t e g i e s . C h a p t e r 2 d e s c r i b e s t e c h n i q u e s f o r s e l e c t i n g t h e b e s t d e s i g n o r r e g u l a t o r y s t r a t e g y f r o m a g r o u p o f a l t e r n a t i v e s . The d e v e l o p m e n t o f t h e o w n e r - o p e r a t o r ' s and r e g u l a t o r y a g e n c y ' s o b j e c t i v e f u n c t i o n s i s d e s c r i b e d i n C h a p t e r 3. T h e t e c h n i q u e s f o r e s t i m a t i n g f a i l u r e p r o b a b i l i t i e s a r e p r e s e n t e d i n C h a p t e r s 4 t h r o u g h 6. C h a p t e r 7 p r e s e n t s r e s u l t s f r o m s e n s i t i v i t y s t u d i e s f o r a h y p o t h e t i c a l l a n d f i l l a n d C h a p t e r 8 d e s c r i b e s t w o c a s e s t u d i e s . C o n c l u s i o n s a r e s u m m a r i z e d i n C h a p t e r 9. 6 1.1 E m p h a s i s on D e s i g n R a t h e r t h a n R e m e d i a l I s s u e s T h i s d i s s e r t a t i o n d i f f e r s f r o m o t h e r r e c e n t s t u d i e s t h a t h a v e a d d r e s s e d r e g u l a t o r y i s s u e s a s s o c i a t e d w i t h g r o u n d w a t e r c o n t a m i n a t i o n [ R a u c h e r , 1 9 8 3 , 1 9 8 4 ; S h a r e f k i n , S c h e c t e r , a n d K n e e s e , 1 9 8 4 ; S c h e c t e r , 1 9 8 5 ] i n t h a t i t e m p h a s i z e s i s s u e s a s s o c i a t e d w i t h t h e d e s i g n o f new f a c i l i t i e s r a t h e r t h a n t h o s e a s s o c i a t e d w i t h r e m e d i a l a c t i o n s a t f a c i l i t i e s t h a t h a v e a l r e a d y f a i l e d . T h e r e w i l l b e n o l e t u p i n t h e n e e d f o r new f a c i l i t i e s . OTA [ 1 9 8 4 ] r e c e n t l y u p d a t e d t h e 1 9 7 7 EPA e s t i m a t e s o f t h e a n n u a l a m o u n t s o f w a s t e g e n e r a t e d i n t h e U n i t e d S t a t e s a l o n e . T h e y e s t i m a t e d a n i n f l o w o f 0.81 b i l l i o n g a l l o n s p e r y e a r o f i n d u s t r i a l w a s t e t o c h e m i c a l l a n d f i l l s , b e t w e e n 180 a n d 280 m i l l i o n t o n s p e r y e a r o f n o n h a z a r d o u s i n d u s t r i a l a nd m u n i c i p a l w a s t e t o s a n i t a r y l a n d f i l l s , a n d 3.7 m i l l i o n c u b i c y a r d s p e r y e a r o f l o w - l e v e l r a d i o a c t i v e w a s t e . T h e r e i s c o n s i d e r a b l e e v i d e n c e i n t h e l i t e r a t u r e c o n c e r n i n g r e m e d i a l a c t i o n t o s u g g e s t t h a t a q u i f e r r e s t o r a t i o n o r c o n t a m i n a n t c o n t a i n m e n t i s v e r y d i f f i c u l t and e x p e n s i v e . R a u c h e r [ 1 9 8 4 ] c o n c l u d e d t h a t r e s t o r a t i o n w i l l b e s u p p o r t e d b y c o s t / b e n e f i t a n a l y s i s i n v e r y f e w c a s e s , a n d h e p r e s e n t e d t w o c a s e s w h e r e i t was n o t . I n a d d i t i o n , r e s t o r a t i o n i s n o t v e r y s u c c e s s f u l . I n t h e c a s e - h i s t o r y s u r v e y c a r r i e d o u t b y Burman e t a l . [ i n p r e s s ] , c l e a n u p was s u c c e s s f u l i n o n l y 1 6 % o f t h e c a s e s s t u d i e d , and i t was t o t a l l y i n e f f e c t i v e i n 4 6 % o f t h e c a s e s . I n 7 v i e w o f t h e s e l i n e s o f e v i d e n c e , i t a p p e a r s t h a t i m p r o v e d d e s i g n o f f a c i l i t i e s i s p a r t i c u l a r l y i m p o r t a n t . I t i s i n t h e s o c i e t a l i n t e r e s t t o p r e v e n t c o n t a m i n a t i o n e v e n t s r a t h e r t h a n t o t r y t o c o p e w i t h t h e m a f t e r t h e y o c c u r . 8 1.2 The A d v e r s a r i a l E n v i r o n m e n t A s e c o n d d i f f e r e n c e b e t w e e n t h i s a n a l y s i s and o t h e r r e c e n t w ork l i e s i n t h e e x p l i c i t r e c o g n i t i o n o f t h e a d v e r s a r i a l r e l a t i o n s h i p t h a t e x i s t s i n a r e g u l a t e d f r e e - e n t e r p r i s e e c o n o m y b e t w e e n t h e o w n e r - o p e r a t o r o f a w a s t e - m a n a g e m e n t f a c i l i t y a n d t h e g o v e r n m e n t a l r e g u l a t o r y a g e n c y u n d e r w h o s e t e r m s t h e f a c i l i t y m u st be l i c e n s e d . " A d v e r s a r i a l " d o e s n o t n e c e s s a r i l y mean " c o m b a t i v e " b u t s i m p l y t h a t t h e o b j e c t i v e s o f e a c h p a r t y a r e d i f f e r e n t a n d may, i n some s e n s e , b e i n c o n f l i c t . T h e b a s i c a r g u m e n t f o r an a d v e r s a r i a l t r e a t m e n t i s a s f o l l o w s : 1. W a s t e m a n a g e m e n t i n N o r t h A m e r i c a t a k e s p l a c e w i t h i n a m i x e d f r e e - m a r k e t , w e l f a r e - s t a t e economy. 2. W a s t e - m a n a g e m e n t f a c i l i t i e s a r e u s u a l l y o p e r a t e d b y p r i v a t e e n t r e p r e n e u r s a s p a r t o f t h e f r e e - m a r k e t economy. The o b j e c t i v e o f t h e o w n e r - o p e r a t o r o f a waste-management f a c i l i t y i s t o p r o v i d e a n e c e s s a r y s e r v i c e a t a p r o f i t . He n e e d s t o a c h i e v e a n a c c e p t a b l e l o n g - t e r m r a t e o f r e t u r n o n h i s i n v e s t m e n t . 3. T h e h e a l t h a n d s a f e t y a n d t h e a e s t h e t i c d e s i r e s o f t h e p u b l i c a r e p r o t e c t e d b y t h e g o v e r n m e n t a s p a r t o f t h e w e l f a r e e c o n o m y t h r o u g h e s t a b l i s h m e n t o f r e g u l a t o r y a g e n c i e s g o v e r n e d b y l e g i s l a t i o n . T h e o b j e c t i v e o f t h e r e g u l a t o r y a g e n c y i s t o s e t r e g u l a t o r y p o l i c y a n d t o p u t i n p l a c e l i c e n s i n g , m o n i t o r i n g , and e n f o r c e m e n t p r o c e d u r e s t h a t w i l l r e d u c e t h e n u m b e r o f f a i l u r e s o f w a s t e -management f a c i l i t i e s t o a l e v e l a t w h i c h t h e c o n s e q u e n c e s 9 t o s o c i e t y a r e p o l i t i c a l l y a c c e p t a b l e . 4. W a s t e - m a n a g e m e n t f a c i l i t i e s a r e d e s i g n e d b y e n g i n e e r i n g f i r m s h i r e d b y o w n e r - o p e r a t o r s . D e s i g n e n g i n e e r s m u s t d e s i g n t h e f a c i l i t i e s u n d e r t h e d i r e c t i o n o f t h e o w n e r -o p e r a t o r s u c h t h a t (a) t h e o p e r a t i o n o f t h e f a c i l i t y w i l l l e a d t o a n a c c e p t a b l e r a t e o f r e t u r n f o r t h e o w n e r -o p e r a t o r u n d e r c u r r e n t and f u t u r e e c o n o m i c c o n d i t i o n s and (b) t h e f a c i l i t y w i l l m e e t a l l l i c e n s i n g a n d r e g u l a t o r y c r i t e r i a . 5. R e g u l a t o r y p o l i c i e s a r e d e s i g n e d b y g o v e r n m e n t a g e n c i e s e s t a b l i s h e d b y e l e c t e d l e g i s l a t o r s . R e g u l a t o r y o f f i c i a l s m u s t d e s i g n p o l i c i e s u n d e r t h e d i r e c t i o n o f l e g i s l a t o r s s u c h t h a t ( a ) t h e y p r o t e c t t h e h e a l t h a n d s a f e t y o f t h e p u b l i c a n d f u l f i l l i t s a e s t h e t i c d e s i r e s a n d (b) t h e y a l l o w f o r t h e e x i s t e n c e o f a h e a l t h y e c o n o m i c c l i m a t e i n t h e waste-management i n d u s t r y a n d i n t h e i n d u s t r i e s t h a t g e n e r a t e t h e w a s t e . T h e f i r s t o f t h e s e o b j e c t i v e s i s w i d e l y r e c o g n i z e d ; t h e s e c o n d i s o f t e n f o r g o t t e n . A s p o i n t e d o u t b y R o t h e r m a l [ 1 9 8 3 ] , t h e o n l y a l t e r n a t i v e s t o a p r o f i t a b l e waste-management i n d u s t r y a r e (a) c u r t a i l m e n t o f p r o d u c t i o n o f t h e g o o d s t h a t p r o d u c e t h e w a s t e w i t h a t t e n d a n t l o s s o f t h e b e n e f i t s t h a t o c c u r f r o m t h e g o o d s o r (b) i l l e g a l w a s t e d i s p o s a l w i t h i t s g r e a t e r a t t e n d a n t c o s t s t o s o c i e t y . Two p o i n t s s h o u l d be made w i t h r e g a r d t o t h e a r g u m e n t s p r e s e n t e d a b o v e . F i r s t , i t i s r e c o g n i z e d t h a t some w a s t e - m a n a g e m e n t 10 f a c i l i t i e s a r e n o t r u n a s p a r t o f t h e f r e e - m a r k e t e c o n o m y . H o w e v e r , t h e o w n e r s o f t h e s e f a c i l i t i e s a r e u s u a l l y m u n i c i p a l g o v e r n m e n t s , a n d t h e r e g u l a t o r y a g e n c i e s a r e u s u a l l y s e t up b y s t a t e o r f e d e r a l r e g u l a t i o n . F o r s u c h f a c i l i t i e s , t h e same d i c h o t o m y o f o b j e c t i v e s a n d t h e same a d v e r s a r i a l f r a m e w o r k a p p a r e n t l y w i l l e x i s t . E v e n f o r h i g h - l e v e l n u c l e a r w a s t e d i s p o s a l i n t h e U n i t e d S t a t e s , t h e d e v e l o p m e n t o f r e p o s i t o r i e s i s i n t h e h a n d s o f o n e f e d e r a l a g e n c y a n d r e g u l a t i o n i s i n t h e h a n d s o f a n o t h e r . F o r a l l s u c h f a c i l i t i e s , t h e r e seems l i t t l e l o s s i n g e n e r a l i t y i n t r e a t i n g t h e o w n e r - o p e r a t o r s a s f r e e - m a r k e t f i r m s and t h e r e g u l a t o r y b o d i e s a s g o v e r n m e n t a g e n c i e s . The s e c o n d p o i n t c o n c e r n s t h e r o l e o f t h e d e s i g n e n g i n e e r i n p r o t e c t i n g p u b l i c s a f e t y . I n t h e p r e s e n t s t u d y , t h i s e n t i r e r e s p o n s i b i l i t y i s p l a c e d i n t h e h a n d s o f t h e r e g u l a t o r y a g e n c y a n d i t i s a s s u m e d t h a t d e s i g n e n g i n e e r s w i l l n o t c o n c e r n t h e m s e l v e s w i t h t h i s i s s u e i f an a d e q u a t e r e g u l a t o r y s y s t e m i s i n p l a c e . I t i s b e l i e v e d t h a t t h i s i s a n a c c u r a t e r e f l e c t i o n o f e x i t i n g p r a c t i c e , b u t t h i s i s i n no way m e a n t t o d i s p a r a g e t h e s o c i a l c o n s c i e n c e s o f d e s i g n e n g i n e e r s . E n g i n e e r s f u n c t i o n u n d e r a c o d e o f e t h i c s . I n t h e a b s e n c e o f r e g u l a t i o n s , t h e d e s i g n e n g i n e e r w o u l d p r e s u m a b l y p r e p a r e d e s i g n s f o r a waste-management f a c i l i t y t h a t w e r e i n k e e p i n g w i t h h i s i n t e r p r e t a t i o n o f t h e c o d e o f e t h i c s . I n t h e p r e s e n t s t u d y , h o w e v e r , i t i s assumed t h a t t h e r e g u l a t i o n s i n p l a c e a r e c o n s i d e r e d a d e q u a t e and t h a t t h e d e s i g n e n g i n e e r w i l l f e e l he h a s s a t i s f i e d h i s e t h i c a l o b l i g a t i o n s i f he m e e t s t h e r e g u l a t o r y r e q u i r e m e n t s . 11 1.3 A p p r o a c h e s t o E n g i n e e r i n g D e s i g n T h e a p p r o a c h a d o p t e d i n t h i s d i s s e r t a t i o n f o r e x a m i n i n g r e g u l a t o r y a n d d e s i g n s t r a t e g i e s i s t o u s e an o b j e c t i v e f u n c t i o n w h i c h c o m p a r e s t h e n e t p r e s e n t v a l u e o f f u t u r e b e n e f i t s , c o s t s , a n d r i s k s f o r e a c h d e s i g n a n d r e g u l a t o r y s t r a t e g y u n d e r c o n s i d e r a t i o n . I n o r d e r t o c a l c u l a t e t h e r i s k t e r m s i n t h e o b j e c t i v e f u n c t i o n , i t i s n e c e s s a r y t o e s t i m a t e p r o b a b i l i t i e s o f f a i l u r e f o r t h e w a s t e m a n a g e m e n t f a c i l i t i e s . G e o t e c h n i c a l a n d h y d r o g e o l o g i c a l e n g i n e e r s h a v e n o t t r a d i t i o n a l l y u s e d t h i s a p p r o a c h t o d e s i g n . I n t h e p a s t , d e s i g n e n g i n e e r s w o r k i n g o n g e o t e c h n i c a l p r o b l e m s h a v e t e n d e d t o v i e w t h e m s e l v e s f o r e m o s t a s p r o t e c t o r s o f t h e w e l f a r e a n d s a f e t y o f t h e p u b l i c [ B a e c h e r e t a l , 1 9 8 0 ] . E v i d e n c e o f t h i s v i e w p o i n t i n c l u d e s t h e f i r s t i t e m i n t h e l i s t o f " F u n d a m e n t a l C a n o n s " i n t h e A S C E C o d e o f E t h i c s , w h i c h s t a t e s t h a t " E n g i n e e r s s h a l l h o l d p a r a m o u n t t h e s a f e t y , h e a l t h , a n d w e l f a r e o f t h e p u b l i c i n t h e p e r f o r m a n c e o f t h e i r p r o f e s s i o n a l d u t i e s " [ F i r m a g e , 1 9 8 0 ] . W. W. M o o r e , c o - f o u n d e r o f t h e g e o t e c h n i c a l c o n s u l t i n g f i r m o f Dames a n d M o o r e , s u p p o r t s t h i s a p p r o a c h t o d e s i g n when he s t a t e s t h a t " C o n s u l t i n g e n g i n e e r s h a v e t h e r e s p o n s i b i l i t y o f p r o v i d i n g t h e i r c l i e n t s w i t h e n g i n e e r e d p r o d u c t s , w h e t h e r t h e y a r e d e s i g n s a n d p u b l i c a t i o n s o r r e p o r t s c o n t a i n i n g r e c o m m e n d a t i o n s , t h a t w i l l meet t h e c l i e n t s ' n e e d s and p r o t e c t t h e h e a l t h , s a f e t y , a n d w e l f a r e o f t h e g e n e r a l p u b l i c " [ A m e r i c a n C o u n c i l o f E n g i n e e r i n g C o n s u l t a n t s , 1 9 8 2 ] . 12 One o f t h e p r i n c i p a l d e s i g n t o o l s u s e d i n t h i s " p r o t e c t o r - o f - t h e -p u b l i c " a p p r o a c h i s t h e s a f e t y f a c t o r , w h i c h i s u s u a l l y d e f i n e d a s a r a t i o o f some t y p e o f c a p a c i t y o r s t r e n g t h m e a s u r e t o some t y p e o f d e m and o r l o a d m e a s u r e . A p p r o p r i a t e v a l u e s f o r t h e s e s a f e t y f a c t o r s a r e b a s e d u p o n p r e c e d e n c e a n d " a c c e p t e d e n g i n e e r i n g s t a n d a r d s " a s d e s c r i b e d i n t h e ASCE's " G u i d e l i n e s t o P r a c t i c e " [ F i r m a g e , 1 9 8 0 ] , The a c t u a l v a l u e s u s e d d e p e n d upon t h e t y p e o f p r o b l e m b e i n g a n a l y z e d , t h e t y p e o f m a t e r i a l s t h a t a r e u s e d , t h e t y p e o f l o a d i n g s e x p e c t e d , t h e c o n s e q u e n c e s o f u n s a t i s f a c t o r y p e r f o r m a n c e , a n d c o m p a n y o r c o n s u l t i n g f i r m p o l i c i e s . A s e x a m p l e s , a c c e p t a b l e f a c t o r s o f s a f e t y m i g h t r a n g e f r o m 1.3 f o r s l o p e s t a b i l i t y p r o b l e m s t o 3.0 f o r f o u n d a t i o n b e a r i n g c a p a c i t y a n a l y s e s , w i t h f a c t o r s f o r r e t a i n i n g w a l l s s o m e w h e r e b e t w e e n t h e two [ H a r r , 1 9 7 7 ] . A l l t h r e e p r o b l e m s e s s e n t i a l l y r e l y u p o n p r e d i c t i o n s o f s t r e s s e s i n s o i l m a s s e s , y e t t h e s a f e t y f a c t o r s a r e q u i t e d i f f e r e n t . The d e p e n d e n c e o f t h e s a f e t y f a c t o r s o n m a t e r i a l p r o p e r t i e s i s e v i d e n c e d b y t h e p r a c t i c e o f u s i n g s a f e t y f a c t o r s o f 1.1 f o r t h e s l o p e s t a b i l i t y o f r o c k f i l 1 e m b a n k m e n t s a n d 1.5 f o r e a r t h e m b a n k m e n t s [ d e M e l l o , 1 9 7 7 ] . D e p e n d e n c e on t h e c o n s e q u e n c e s o f p o o r p e r f o r m a n c e i s i n d i c a t e d b y t h e d e s i g n o f u p s t r e a m embankment s l o p e s f o r dams w i t h l o w e r f a c t o r s o f s a f e t y t h a n d o w n s t r e a m s l o p e s . Some o f t h e a d v a n t a g e s o f u s i n g s a f e t y f a c t o r s a s a n a p p r o a c h t o d e s i g n a r e t h a t t h e y f i t c o m f o r t a b l y w i t h i n t h e d e t e r m i n i s t i c a n a l y s e s t r a d i t i o n a l l y u s e d b y t h e g e o t e c h n i c a l a n d c i v i l e n g i n e e r i n g p r o f e s s i o n s ; t h e y c a n b e c o m m u n i c a t e d a m o n g e n g i n e e r s r e l a t i v e l y e a s i l y ; a n d t h e y a r e " h a r d " s t a n d a r d s t h a t a d e s i g n e i t h e r m e e t s o r d o e s n o t m e e t . P e r h a p s m o r e i m p o r t a n t l y , h o w e v e r , t h e s a f e t y f a c t o r a p p r o a c h d o e s n o t r e q u i r e t h a t t h e c o n s e q u e n c e s o f f a i l u r e b e e x p l i c i t l y d e f i n e d , q u a n t i f i e d , o r e v e n d i s c u s s e d . The r e l u c t a n c e t o c o n s i d e r f a i l u r e s on t h e p a r t o f t h e d e s i g n e n g i n e e r who v i e w s h i m s e l f a s a p r o t e c t o r o f t h e p u b l i c i s p e r h a p s u n d e r s t a n d a b l e . T h e d a n g e r o f t h i s a p p r o a c h i s t h a t d e s i g n e r s may i n c u r v e r y h i g h e x p e n d i t u r e s i n d e s i g n and c o n s t r u c t i o n t o p r o t e c t p r o j e c t s f r o m u n k n o w n c o n d i t i o n s . T h e s e h i g h e x p e n d i t u r e s c a n c a u s e i n e f f i c i e n c i e s b o t h i n t h e way r e s o u r c e s a r e a l l o c a t e d among p r o j e c t s a n d i n t h e way r e s o u r c e s a r e a l l o c a t e d among a c t i v i t i e s w i t h i n a s i n g l e p r o j e c t . T h e f i r s t c a s e , w h i c h c a n b e t e r m e d a n i n t e r - p r o j e c t i n e f f i c i e n c y , i s d u e t o t h e f i n i t e a m o u n t o f r e s o u r c e t h a t c a n be a l l o c a t e d t o p u b l i c p r o j e c t s . M o n i e s s p e n t on c o n s e r v a t i v e d e s i g n s i n one s e c t o r o f e n g i n e e r i n g a c t i v i t i e s m u s t o u t o f f i n a n c i a l n e c e s s i t y r e s u l t i n l e s s c o n s e r v a t i v e d e s i g n s i n some o t h e r s e c t o r s . P r o j e c t s d e s i g n e d b y g e o t e c h n i c a l a n d s t r u c t u r a l e n g i n e e r s a p p e a r t o b e m o r e c o n s e r v a t i v e t h a n o t h e r e n g i n e e r i n g w o r k s . T h i s c o n s e r v a t i s m i s i n d i c a t e d b y c o m p a r i n g t h e l o w r i s k o f d e a t h d u e t o f a i l u r e s o f c i v i l w o r k s s u c h a s dams, b r i d g e s , o r b u i l d i n g s w i t h t h e much h i g h e r r i s k o f d e a t h s d u e t o f a i l u r e s i n e n g i n e e r i n g d e s i g n s a s s o c i a t e d w i t h a u t o m o b i l e t r a n s p o r t a t i o n o r i n d u s t r i a l m a n u f a c t u r i n g [ B a e c h e r e t a l , 1 9 8 0 ] . T h i s i m b a l a n c e i n c o n s e r v a t i v e n e s s i s e v i d e n c e t h a t 14 i n t e r - p r o j e c t i n e f f i c i e n c i e s e x i s t . T he s e c o n d t y p e o f i n e f f i c i e n c y , w h i c h c a n b e t e r m e d i n t r a -p r o j e c t i n e f f i c i e n c y , i s a l s o d u e t o f i n i t e r e s o u r c e s ; i n t h i s c a s e t h e f i n i t e a m o u n t s p e c i f i e d f o r a g i v e n p r o j e c t . F o r g e o t e c h n i c a l e n g i n e e r i n g p r o j e c t s , t h e r e s o u r c e s m u s t b e a l l o c a t e d among a c t i v i t i e s t h a t c a n g e n e r a l l y be c l a s s i f i e d a s s i t e i n v e s t i g a t i o n , d e s i g n / c o n s t r u c t i o n , m o n i t o r i n g , a nd r e m e d i a l a c t i o n . G e o t e c h n i c a l e n g i n e e r s h a v e t r a d i t i o n a l l y made t h e s e a l l o c a t i o n s i n a d i s c r e t e s e q u e n c e o f e v e n t s . The e n g i n e e r f i r s t d e v e l o p s a s i t e i n v e s t i g a t i o n s t r a t e g y ; n e x t h e d e s i g n s a n d c o n s t r u c t s t h e f a c i l i t y ; h e t h e n p l a n s a m o n i t o r i n g s y s t e m t o c h e c k t h e f a c i l i t y ' s p e r f o r m a n c e ; a n d l a s t l y , h e d e t e r m i n e s r e m e d i a l a c t i o n s t o c o r r e c t u n s a t i s f a c t o r y p e r f o r m a n c e [ P e c k , 1 9 6 9 ] . T r a d e - o f f s e x i s t b e t w e e n t h e l e v e l s o f e f f o r t e x p e n d e d i n e a c h o f t h e s e c a t e g o r i e s . As a n e x t r e m e e x a m p l e , i f a s i t e i n v e s t i g a t i o n i s n o t p e r f o r m e d , t h e e n g i n e e r m u s t a s s u m e t h e m o s t h o s t i l e s i t u a t i o n e x i s t s a n d must d e s i g n a nd c o n s t r u c t t h e f a c i l i t y t o be t o l e r a n t o f t h e s e w o r s t - c a s e c o n d i t i o n s . A l t e r n a t i v e l y , a n e l a b o r a t e s i t e - i n v e s t i g a t i o n p r o g r a m c a n be i m p l e m e n t e d . I f t h i s i n v e s t i g a t i o n i n d i c a t e s c o n d i t i o n s c o n s i d e r a b l y b e t t e r t h a n t h e w o r s t , s a v i n g s c a n b e r e a l i z e d i n t h e d e s i g n a n d c o n s t r u c t i o n s t a g e . H o w e v e r , i f t h e i n v e s t i g a t i o n s h o w s t h a t c o n d i t i o n s a r e s i m i l a r t o t h e m o s t h o s t i l e , t h e e n g i n e e r h a s g a i n e d l i t t l e f r o m t h e s i t e - i n v e s t i g a t i o n p r o g r a m . T r a d e - o f f s a l s o e x i s t b e t w e e n 15 d e s i g n a n d m o n i t o r i n g e f f o r t s . I t c a n b e a r g u e d t h a t a c o n s e r v a t i v e d e s i g n r e q u i r e s l e s s m o n i t o r i n g t h a n a l e s s -c o n s e r v a t i v e d e s i g n t o a c h i e v e t h e same l e v e l o f c o n f i d e n c e i n p e r f o r m a n c e . T h e s i t e i n v e s t i g a t i o n , d e s i g n / c o n s t r u c t i o n , a n d m o n i t o r i n g a c t i v i t i e s s h o u l d a l s o d e p e n d u p o n t h e k i n d s o f r e m e d i a l a c t i o n s t h a t c a n b e t a k e n i n t h e e v e n t t h a t t h e p e r f o r m a n c e o f t h e f a c i l i t y p r o v e s u n s a t i s f a c t o r y . I f a n i m p r o v e m e n t i n p e r f o r m a n c e c a n b e g a i n e d b y s h i f t i n g r e s o u r c e s f r o m one o f t h e s e a c t i v i t i e s t o a n o t h e r , t h e n an i n t r a -p r o j e c t i n e f f i c i e n c y e x i s t s i n t h e c u r r e n t a l l o c a t i o n . T h i s s t u d y w i l l c o n c e n t r a t e o n t h e s e i n t r a - p r o j e c t i n e f f i c i e n c i e s i n t h e c o n t e x t o f t h e d e s i g n o f w a s t e - m a n a g e m e n t f a c i l i t i e s . A n a t t e m p t i s made t o d e t e r m i n e : 1) w h e t h e r s u c h i n e f f i c i e n c i e s e x i s t , 2) i f t h e y d o e x i s t , w h e t h e r t h e y a r e l a r g e e n o u g h t o ' b e i m p o r t a n t , a n d 3) i f t h e y a r e i m p o r t a n t , how t h e y m i g h t b e e l i m i n a t e d . I n o r d e r t o f u l f i l l t h e s e g o a l s , i t i s f i r s t n e c e s s a r y t o r e -e v a l u a t e t h e r o l e o f t h e d e s i g n e n g i n e e r . B a e c h e r e t a l [ 1 9 8 0 ] c o n t e n d t h a t a b e t t e r r o l e t h a n t h a t o f p r o t e c t o r o f t h e p u b l i c s a f e t y w o u l d b e t h a t o f a b a l a n c e r o f r i s k s o f f a i l u r e a g a i n s t t h e c o s t s o f r e d u c i n g t h e s e r i s k s . The r i s k s a r e f u n c t i o n s o f t h e p r o b a b i l i t i e s o f f a i l u r e a n d t h e c o n s e q u e n c e s o f f a i l u r e . The r i s k b a l a n c i n g r o l e t h e r e f o r e r e q u i r e s 1) an e x p l i c i t a c c e p t a n c e o f t h e p o s s i b i l i t y o f f a i l u r e , 2) t h e a d o p t i o n o f p r o b a b i l i s t i c a n a l y s e s i n l i e u o f t h e m o r e t r a d i t i o n a l d e t e r m i n i s t i c a p p r o a c h e s , 3) t h e e x p l i c i t i n c o r p o r a t i o n o f e n g i n e e r i n g 16 e c o n o m i c s i n t o t h e d e s i g n p r o c e s s , 4) an a t t e m p t t o q u a n t i f y t h e u n c e r t a i n t i e s i n h e r e n t i n e n g i n e e r i n g a n a l y s i s , a n d 5) an a t t e m p t t o q u a n t i f y t h e c o n s e q u e n c e s o f f a i l u r e i n t e r m s o f e c o n o m i c a nd l i f e l o s s e s . I t s h o u l d be n o t e d t h a t t h e r e a r e many a p p r o a c h e s t o d e s i g n t h a t c a n be t a k e n b y g e o t e c h n i c a l e n g i n e e r s o t h e r t h a n t h e " p r o t e c t o r -o f - t h e - p u b l i c " a n d t h e " r i s k - b a l a n c e r " p h i l o s o p h i e s p r e s e n t e d a b o v e . Many, p e r h a p s m o s t , a p p r o a c h e s c a n b e s t be d e s c r i b e d a s a h y b r i d o f t h e s a f e t y f a c t o r a n d r i s k b a l a n c i n g t e c h n i q u e s . An e x a m p l e o f s u c h a h y b r i d i s p r e s e n t e d i n t h e U n i f o r m B u i l d i n g C o d e [ 1 9 8 2 ] u s e d b y s t r u c t u r a l e n g i n e e r s . F a c t o r s o f s a f e t y a r e s t i l l u s e d , b u t t h e l o a d s a n d s t r e n g t h s a r e m u l t i p l i e d b y w e i g h t s t h a t d e p e n d upon u n c e r t a i n t i e s a n d c o n s e q u e n c e s o f f a i l u r e . F o r e x a m p l e , i f t h e s t r u c t u r e i s c l a s s i f i e d a s e s s e n t i a l , s u c h a s a h o s p i t a l o r a f i r e s t a t i o n , t h e e x p e c t e d demand l o a d f o r e a r t h q u a k e s i s m u l t i p l i e d b y 1.5 b e f o r e i t i s e n t e r e d i n t o t h e s a f e t y f a c t o r . I f t h e s t r u c t u r e i s n o n - e s s e n t i a l b u t w i l l b e o c c u p i e d b y more t h a n 300 p e o p l e , t h e demand l o a d i s m u l t i p l i e d b y 1.15. F o r a l l o t h e r s t r u c t u r e s , t h e s a f e t y f a c t o r i s d e t e r m i n e d d i r e c t l y f r o m d e m and l o a d s . W i t h t h i s t e c h n i q u e , m e a s u r e s r e l a t e d t o t h e c o n s e q u e n c e s o f f a i l u r e c a n be d i r e c t l y i n c o r p o r a t e d i n t o t h e s a f e t y f a c t o r s . A l t h o u g h t h i s t y p e o f a p p r o a c h c a n b e a p p l i e d i n g e o t e c h n i c a l d e s i g n , i t d o e s n o t a p p e a r t o b e u s e f u l f o r s t u d y i n g t h e p r o b l e m o f i n t r a - p r o j e c t i n e f f i c i e n c i e s . 17 A n o t h e r a p p r o a c h t h a t i s i n c r e a s i n g i n p o p u l a r i t y and t h a t m i g h t be d e s c r i b e d a s h y b r i d v i e w s s a f e t y f a c t o r s a s random v a r i a b l e s r a t h e r t h a n d e t e r m i n i s t i c q u a n t i t i e s . The p r o b a b i l i t y o f f a i l u r e i s s i m p l y d e f i n e d a s t h e p r o b a b i l i t y t h a t t h e s a f e t y f a c t o r i s l e s s t h a n one. The p r o b l e m w i t h t h i s a p p r o a c h i s t h a t t r a d i t i o n a l s a f e t y f a c t o r s a r e n o m i n a l o r c o n d i t i o n a l v a l u e s r a t h e r t h a n a b s o l u t e v a l u e s [ d e M e l l o , 1 9 7 7 ] . T h e y d e p e n d u p o n o r a r e c o n d i t i o n e d b y t h e mode o f f a i l u r e t h a t i s a s s u m e d , t h e m o d e l t h a t i s a p p l i e d , t h e m a t e r i a l p r o p e r t i e s t h a t a r e u s e d , a n d t h e s o l u t i o n t e c h n i q u e e m p l o y e d . The p r o b a b i l i t y t h a t t h e f a c t o r o f s a f e t y i s l e s s t h a n one i s t h e r e f o r e n o t t h e a b s o l u t e p r o b a b i l i t y o f f a i l u r e , b u t i s r a t h e r t h e p r o b a b i l i t y o f f a i l u r e d u e t o t h e m e c h a n i s m t h a t i s m o d e l e d , g i v e n t h a t t h e m a t e r i a l s b e h a v e a s a s s u m e d . M o d e l i n g t h e s a f e t y f a c t o r a s p r o b a b i l i s t i c i s a n i m p r o v e m e n t , b u t some a p p l i c a t i o n s i n t h e p a s t h a v e t e n d e d t o o v e r - s i m p l i f y p r o b l e m s , h a v e a t t a c h e d undue c o n f i d e n c e s t o t h e p r o b a b i l i t i e s , and h a v e a t t e m p t e d t o s o l v e p r o b l e m s n o t a m e n a b l e t o t h i s t y p e o f a n a l y s i s . 18 2. TECHNIQUES FOR SELECTING DESIGN AND REGULATORY STRATEGIES The o v e r a l l o b j e c t i v e s o f t h e a n a l y s e s d e s c r i b e d i n t h i s d i s s e r t a t i o n a r e 1) t o c o m p a r e a l t e r n a t i v e d e s i g n s t r a t e g i e s a v a i l a b l e t o o w n e r s and o p e r a t o r s o f w a s t e management f a c i l i t i e s a n d 2) t o c ompare a l t e r n a t i v e r e g u l a t o r y s t r a t e g i e s a v a i l a b l e t o a g e n c i e s e s t a b l i s h e d t o a d d r e s s s a f e t y and e n v i r o n m e n t a l c o n c e r n s o f s o c i e t y . I n t h i s c h a p t e r , a d e c i s i o n a n a l y s i s f r a m e w o r k i s c o n s t r u c t e d f o r c o m p a r i n g a n d s e l e c t i n g a l t e r n a t i v e s . T h e o v e r a l l d e c i s i o n s t r u c t u r e i s d e v e l o p e d i n S e c t i o n 2.1. T h e v a l u e s u s e d t o m e a s u r e u n c e r t a i n t y and c o n s e q u e n c e s a r e d e s c r i b e d i n S e c t i o n s 2.2 a n d 2.3. V a r i o u s c r i t e r i a f o r m a k i n g d e c i s i o n s a r e p r e s e n t e d i n S e c t i o n 2.4. S e c t i o n 2.5 d e s c r i b e s t e c h n i q u e s t o p r e d i c t t h e v a l u e o f p e r f e c t and i m p e r f e c t i n f o r m a t i o n . 19 2.1 D e c i s i o n A n a l y s i s F o r m a l d e c i s i o n a n a l y s i s a s a p p l i e d t o e n g i n e e r i n g d e s i g n i s d e f i n e d a s a f r a m e w o r k f o r s e l e c t i n g t h e b e s t a l t e r n a t i v e f r o m a s e t o f a l t e r n a t i v e d e s i g n s f o r a n e n g i n e e r i n g s y s t e m . A l e s s f o r m a l a nd p e r h a p s more d e s c r i p t i v e d e f i n i t i o n i s g i v e n b y K e e n e y [ 1 9 8 4 ] : " d e c i s i o n a n a l y s i s i s a f o r m a l i z a t i o n o f common s e n s e f o r d e c i s i o n p r o b l e m s w h i c h a r e t o o c o m p l e x f o r i n f o r m a l common se n s e . " The i n t e n t o f t h e a p p r o a c h i s t o b r e a k down c o m p l i c a t e d d e c i s i o n p r o b l e m s i n t o s m a l l e r , a nd t h e r e f o r e s i m p l e r p a r t s whose s e p a r a t e a n a l y s e s c a n b e c o m b i n e d t o p r o v i d e a s o l u t i o n t o t h e w h o l e p r o b l e m . T h e m e t h o d o l o g y i s d e s c r i b e d i n many t e x t s , i n c l u d i n g L i n d l e y [ 1 9 7 1 ] , de N e u f v i l l e a n d S t a f f o r d [ 1 9 7 1 ] , a nd R a i f f a a nd S c h l a i f e r [ 1 9 7 0 ] . A d e c i s i o n p r o b l e m e x i s t s w h e n e v e r t h e r e i s a c h o i c e b e t w e e n a t l e a s t two a l t e r n a t i v e c o u r s e s o f a c t i o n t h a t r e s u l t i n d i f f e r e n t c o n s e q u e n c e s . D e c i s i o n s c a n be d e s c r i b e d w i t h f o u r c o m p o n e n t s : d e c i s i o n v a r i a b l e s , s t a t e v a r i a b l e s , c o n s e q u e n c e s , a n d c o n s t r a i n t s . D e c i s i o n v a r i a b l e s d e f i n e t h e l i s t o f p o s s i b l e a l t e r n a t i v e s a v a i l a b l e t o t h e d e c i s i o n maker; c o n s e q u e n c e s a r e t h e f i n a l r e s u l t o f t h e d e c i s i o n . I t i s o f t e n t h e c a s e t h a t a number o f p o s s i b l e c o n s e q u e n c e s may r e s u l t f o r e a c h a l t e r n a t i v e o r d e c i s i o n v a r i a b l e t h a t i s s e l e c t e d , and t h e a c t u a l c o n s e q u e n c e t h a t o c c u r s d e p e n d s u p on v a r i a b l e s t h a t a r e b e y o n d t h e c o n t r o l o f t h e d e c i s i o n maker. T h e s e v a r i a b l e s , w h i c h a r e o f t e n u n c e r t a i n , a r e t e r m e d s t a t e v a r i a b l e s . I n a d d i t i o n , many d e c i s i o n p r o b l e m s a r e c o n s t r a i n e d i n t h a t c e r t a i n a l t e r n a t i v e s a r e u n a c c e p t a b l e 20 s i n c e t h e y may r e s u l t i n c o n s e q u e n c e s t h a t a r e u n a c c e p t a b l e no m a t t e r how u n l i k e l y t h e i r o c c u r r e n c e . The f i r s t s t e p i n a n y d e c i s i o n p r o b l e m i s t o d r a w up l i s t s o f d e c i s i o n v a r i a b l e s a n d s t a t e v a r i a b l e s t h a t a r e e x c l u s i v e a n d e x h a u s t i v e . E x c l u s i v e n e s s demands t h a t o n l y one v a r i a b l e f r o m e a c h l i s t o c c u r . T h i s means t h a t o n l y one d e c i s i o n v a r i a b l e c a n be s e l e c t e d and t h a t t h e v a r i a b l e d e s c r i b i n g t h e s t a t e o f n a t u r e c a n t a k e o n o n l y o n e v a l u e . E x h a u s t i v e n e s s d e m a n d s t h a t a l l p o s s i b l e v a r i a b l e s be i n c l u d e d i n t h e l i s t s . E x c l u s i v e n e s s c a n u s u a l l y be o b t a i n e d b y c a r e f u l l y d e f i n i n g t h e d e c i s i o n and s t a t e v a r i a b l e s . E x h a u s t i v e n e s s , w h i c h i s p e r h a p s t h e m o s t c r u c i a l r e q u i r e m e n t i n t h e e n t i r e d e c i s i o n a n a l y s i s , i s o f t e n i m p o s s i b l e t o i n s u r e . O n c e t h e l i s t s o f v a r i a b l e s h a v e b e e n made, t h e s e c o n d s t e p i n t h e a n a l y s i s i s t o i d e n t i f y t h e c o n s e q u e n c e s a s s o c i a t e d w i t h e a c h p a i r o f d e c i s i o n and s t a t e v a r i a b l e s . T h e s e c o n s e q u e n c e s s h o u l d be e x p r e s s e d i n u n i t s t h a t a r e c o m m e n s u r a b l e w i t h o n e a n o t h e r i n s o f a r a s p r a c t i c a b l e . T h e f i n a l s t e p i n t h e d e c i s i o n i s t o i d e n t i f y a c r i t e r i o n f o r s e l e c t i n g t h e m o s t d e s i r a b l e d e c i s i o n v a r i a b l e f r o m t h e l i s t o f a l t e r n a t i v e s . The r e l a t i o n s h i p s b e t w e e n d e c i s i o n v a r i a b l e s , s t a t e v a r i a b l e s , and c o n s e q u e n c e s c a n be i l l u s t r a t e d u s i n g e i t h e r d e c i s i o n t r e e s o r d e c i s i o n m a t r i c e s . An e x a m p l e d e c i s i o n m a t r i x i s p r e s e n t e d i n F i g u r e 2.1. The d e c i s i o n v a r i a b l e s a r e l i s t e d a l o n g t h e r o w s and t h e s t a t e v a r i a b l e s a r e l i s t e d a l o n g t h e c o l u m n s . T h e Decision Variables State Variables s s s s 1 2 3 4 C l l C12 Cl3 c14 a 2 C 22 c 2 3 c 24 a 3 C31 c 3 3 c 34 F i g u r e 2.1 - E x a m p l e D e c i s i o n M a t r i x 22 c o n s e q u e n c e s a r e l i s t e d a t t h e i n t e r s e c t i o n s . C o n s t r a i n t s c a n be r e p r e s e n t e d b y c r o s s - h a t c h i n g u n a c c e p t a b l e c o n s e q u e n c e s . F o r p r o b l e m s t h a t i n v o l v e s e q u e n t i a l o r m u l t i p l e d e c i s i o n s , d e c i s i o n m a t r i c e s c a n become cumbersome. An a l t e r n a t i v e a p p r o a c h f o r i l l u s t r a t i n g t h e r e l a t i o n s h i p s b e t w e e n d e c i s i o n v a r i a b l e s , s t a t e v a r i a b l e s , a n d c o n s e q u e n c e s i s t o u s e a d e c i s i o n t r e e , a s s h o w n i n F i g u r e 2.2. D e c i s i o n t r e e s g r o w h o r i z o n t a l l y f r o m t h e l e f t t o t h e r i g h t - t h e t r u n k i s t o t h e l e f t a n d t h e b r a n c h e s a r e t o t h e r i g h t . The p o i n t s w h e r e b r a n c h e s s p l i t a r e t e r m e d n o d e s . T h e r e a r e two t y p e s o f n o d e s : d e c i s i o n n o d e s and s t a t e n o d e s . A t d e c i s i o n n o d e s , w h i c h a r e d e n o t e d a s s q u a r e s , t h e a n a l y s t m a k e s t h e c h o i c e . A t s t a t e n o d e s , w h i c h a r e d e n o t e d a s c i r c l e s , n a t u r e m a k e s t h e c h o i c e . F o r s e q u e n t i a l d e c i s i o n s t h e t w o t y p e s o f n o d e s a l t e r n a t e f r o m l e f t t o r i g h t . A t t h e e n d o r t e r m i n a l o f e a c h b r a n c h a r e t h e c o n s e q u e n c e s . A l t h o u g h t h e d e c i s i o n t r e e p r e s e n t e d i n F i g u r e 2.2 i n d i c a t e s t h a t d e c i s i o n v a r i a b l e s , s t a t e v a r i a b l e s , and c o n s e q u e n c e s a r e s e t s o f d i s c r e t e v a l u e s , t h e a p p r o a c h i s n o t l i m i t e d t o t h e s e s i t u a t i o n s . D e c i s i o n p r o b l e m s w i t h v a r i a b l e s a n d c o n s e q u e n c e s t h a t a r e c o n t i n u o u s c a n a l s o b e a s s e s s e d . R a t h e r t h a n b r a n c h e s , t h e s e t o f c o n t i n u o u s p a r a m e t e r s a r e d e n o t e d w i t h f a n s , s h o w n i n F i g u r e 2.3. F o r a n a l y s e s i n w h i c h t h e s t a t e v a r i a b l e s a r e k n o w n w i t h c e r t a i n t y , d e c i s i o n m a k i n g becomes an o p t i m i z a t i o n p r o b l e m , and t e c h n i q u e s s u c h a s m a t h e m a t i c a l p r o g r a m m i n g may be u s e d t o o b t a i n 23 F i g u r e 2.2 - Example D e c i s i o n Tree f o r D i s c r e t e V a r i a b l e s 24 F i g u r e 2.3 - E x a m p l e D e c i s i o n T r e e f o r C o n t i n u o u s V a r i a b l e s 25 a s o l u t i o n [ c f . S t a r k a n d N i c h o l l s , 1 9 7 2 ; B r y s o n a n d Ho, 1 9 7 5 ] . A l t h o u g h s u c h p r o b l e m s may b e q u i t e d i f f i c u l t t o s o l v e , t h e y r e p r e s e n t t h e l i m i t i n g c a s e o f d e c i s i o n s w i t h p e r f e c t i n f o r m a t i o n . O p t i m i z a t i o n , t e c h n i q u e s s u c h a s c h a n c e - c o n s t r a i n e d l i n e a r p r o g r a m m i n g c a n a l s o be u s e d t o a s s e s s d e c i s i o n p r o b l e m s w i t h u n c e r t a i n t i e s , b u t t h e s e t e c h n i q u e s a r e l i m i t e d t o v e r y s p e c i a l i z e d c a s e s . F o r t h e a n a l y s e s o f t h e w a s t e m a n a g e m e n t f a c i l i t y t h a t i s p r e s e n t e d i n t h i s d i s s e r t a t i o n , t h e d e g r e e o f p r e c i s i o n o f f e r e d b y o p t i m i z a t i o n t e c h n i q u e s i s n o t f e l t t o b e w a r r a n t e d , e s p e c i a l l y i n l i g h t o f t h e c o m p l e x i t i e s a n d l i m i t a t i o n s a s s o c i a t e d w i t h t h e s e t e c h n i q u e s . 26 2.2 M e a s u r i n g U n c e r t a i n t y The c o n s e q u e n c e s t h a t r e s u l t when a d e c i s i o n v a r i a b l e i s s e l e c t e d d e p e n d u p o n t h e s t a t e v a r i a b l e s , w h i c h a r e o f t e n u n c e r t a i n . To a s s e s s a l t e r n a t i v e a c t i o n s , i t i s n e c e s s a r y t o q u a n t i f y t h e d e g r e e o f u n c e r t a i n t y a s s o c i a t e d w i t h t h e s e s t a t e v a r i a b l e s b y a s s i g n i n g p r o b a b i l i t i e s t o t h e i r o c c u r r e n c e . T h e s e p r o b a b i l i t i e s , w h i c h a r e g e n e r a l l y s u b j e c t i v e l y d e t e r m i n e d , p r e s e n t one o f t h e m a j o r d i f f i c u l t i e s i n a s s e s s i n g d e c i s i o n s . 2.2.1 P r o b a b i l i t y I n t e r p r e t a t i o n s -"The p r o b a b l e i s w h a t u s u a l l y h a p p e n s " A r i s t o t l e , c . a . 300 B.C. A l m o s t e v e r y o n e i s a g r e e d o n w h a t t h e p u r e l y m a t h e m a t i c a l p r o p e r t i e s o f p r o b a b i l i t y a r e . V i r t u a l l y a l l c o n t r o v e r s y c e n t e r s on q u e s t i o n s o f i n t e r p r e t i n g t h e g e n e r a l l y a c c e p t e d c o n c e p t s o f p r o b a b i l i t y , t h a t i s , o f d e t e r m i n i n g t h e e x t r a - m a t h e m a t i c a l p r o p e r t i e s o f p r o b a b i l i t y . A l t h o u g h t h e r e a p p e a r t o be a s many i n t e r p r e t a t i o n s a s t h e r e a r e i n t e r p r e t e r s , i t i s c o n v e n i e n t , o r a t l e a s t e x p e d i e n t , t o f o l l o w L>. J . S a v a g e ' s [ 1 9 5 4 ] c o n v e n t i o n o f t h r e e v i e w s on t h e i n t e r p r e t a t i o n o f p r o b a b i l i t y : 1. O b j e c t i v i s t i c v i e w H o l d e r s o f t h e o b j e c t i v i s t i c v i e w a s s e r t t h a t p r o b a b i l i t y o n l y h a s m e a n i n g f o r i n d e p e n d e n t l y r e p e a t e d random e v e n t s a nd t h a t t h e m a g n i t u d e o f p r o b a b i l i t y t h a t a p p l i e s c a n b e o b t a i n e d o n l y b y o b s e r v a t i n g r e p e t i t i o n s o f t h e e v e n t . T h i s v i e w was h e l d b y t h e e a r l y d e v e l o p e r s o f p r o b a b i l i t y t h e o r y . I n c l u d e d among t h e s e a r e B e r n o u l l i i n t h e 1 8 t h c e n t u r y , G a u s s a n d V e n n i n t h e 1 9 t h c e n t u r y , a n d F i s h e r a n d v o n M i s e s i n t h e e a r l y p a r t o f t h e 2 0 t h c e n t u r y [ G o o d , 1 9 5 4 ] . 2. N e c e s s a r y V i e w T h o s e who h o l d t h e n e c e s s a r y v i e w c o n t e n d t h a t p r o b a b i l i t y m e a s u r e s t h e e x t e n t t o w h i c h o n e s e t o f p r o p o s i t i o n s , o u t o f l o g i c a l n e c e s s i t y a n d a p a r t f r o m human o p i n i o n , c o n f i r m s t h e t r u t h o f a n o t h e r s e t o f p r o p o s i t i o n s . T h i s v i e w e s s e n t i a l l y h o l d s p r o b a b i l i t y a s an e x t e n s i o n o f l o g i c . T h i s i n t e r p r e t a t i o n h a s b e e n d e v e l o p e d a n d d e f e n d e d b y v K e y n e s [ 1 9 2 1 ] , J e f f r e y s [ 1 9 3 9 ] , a n d C a r n a p [ 1 9 5 0 ] . 3. P e r s o n a l i s t i c V i e w The p e r s o n a l i s t i c i n t e r p r e t a t i o n o f p r o b a b i l i t y i s t h a t i t i s a m e a s u r e o f t h e c o n f i d e n c e t h a t a p a r t i c u l a r i n d i v i d u a l h a s i n t h e t r u t h o f a p a r t i c u l a r p r o p o s i t i o n . T h i s i n t e r p r e t a t i o n d i f f e r s f r o m t h e n e c e s s a r y v i e w i n t h a t i t assumes t h a t two p e o p l e f a c e d w i t h t h e same e v i d e n c e may a s s i g n d i f f e r e n t c o n f i d e n c e l e v e l s t o t h e t r u t h o f t h e same p r o p o s i t i o n , a n d b o t h may b e " r a t i o n a l " , " c o h e r e n t " , o r " r e a s o n a b l e . " Good [ 1 9 5 0 ] , S a v a g e [ 1 9 5 4 ] , a n d de F i n e t t i [ 1 9 7 0 ] a r e d e f e n d e r s o f t h e p e r s o n a l i s t i c i n t e r p r e t a t i o n . 2.2.2 P r o b a b i l i t y a n d G e o t e c h n i c a l D e c i s i o n A n a l y s i s - " I n t h e l o n g r u n we s h a l l a l l be d e a d . " J . M. K e y n e s , 1921 28 A c c o r d i n g t o t h e o b j e c t i v i s t i c o r f r e q u e n t i s t p o i n t o f v i e w , p r o b a b i l i t i e s c a n o n l y be o b t a i n e d b y o b s e r v i n g a " l a r g e number" o f o u t c o m e s o f i n d e p e n d e n t l y r e p e a t e d random t r i a l s . I n a v e r y s t r i c t s e n s e , t h e p l a n e t E a r t h i s t h e o u t c o m e o f a s i n g l e r e p e a t e d t r i a l and a n y a s p e c t o f i t s g e o l o g y c a n t h e r e f o r e n o t be a s s i g n e d a n o b j e c t i v e p r o b a b i l i t y . M o r e g e n e r a l v i e w s a s s e r t t h a t t h e p r o c e s s e s t h a t d e v e l o p e d t h e E a r t h ' s g e o l o g y w e r e random a n d i n d e p e n d e n t a n d t h a t many a s p e c t s o f g e o l o g i c d e p o s i t s a r e t h e r e f o r e i n d e p e n d e n t a n d r e p e a t e d . R e g a r d l e s s o f s u c h p h i l o s o p h i c , a n d p e r h a p s e s o t e r i c , a r g u m e n t s , t h e h o l d e r s o f t h e o b j e c t i v i s t i c v i e w c o n t e n d t h a t i t i s n o t r e a s o n a b l e t o a s s i g n p r o b a b i l i t i e s t o t h e t r u t h o f p r o p o s i t i o n s . T h i s v i e w t h e r e f o r e h a s l i t t l e a p p l i c a b i l i t y f o r d e c i s i o n a n a l y s i s . The n e c e s s a r y a n d p e r s o n a l i s t i c v i e w s a r e v e r y s i m i l a r , t h e o n l y d i f f e r e n c e b e i n g t h e a s s u m p t i o n i n t h e n e c e s s a r y v i e w t h a t t w o i n d i v i d u a l s i n t h e same s i t u a t i o n , h a v i n g t h e same t a s t e s a n d s u p p l i e d w i t h t h e same i n f o r m a t i o n , w i l l a c t i n t h e same way. We w i l l a d o p t t h e more g e n e r a l p e r s o n a l i s t i c v i e w and w i l l assume t h a t two s u c h i n d i v i d u a l s may a c t d i f f e r e n t l y , a n d s t i l l b o t h a c t " r e a s o n a b l y . " T h e p e r s o n a l i s t i c v i e w may a t f i r s t a p p e a r t o b e a v e r y a n a r c h i s t i c , u n d i s c i p l i n e d a p p r o a c h . I f e v e r y o n e i s a l l o w e d t o c h o o s e t h e i r o w n p r o b a b i l i t i e s , w h a t w i l l p r e v e n t t h e s e p r o b a b i l i t i e s f r o m d e g e n e r a t i n g i n t o v e r y q u a l i t a t i v e a n d d e s c r i p t i v e a n i m a l s ? The k e y t o t h e p e r s o n a l i s t i c v i e w i s t h a t i t d e m a n d s t h a t i n d i v i d u a l s b e h a v e r e a s o n a b l y , r a t i o n a l l y , o r c o h e r e n t l y . I n s t e a d o f u s i n g t h e d e s c r i p t o r s r e a s o n a b l e o r r a t i o n a l , w h i c h a r e p l a g u e d w i t h a m u l t i t u d e o f i n t e r p r e t a t i o n s , c o h e r e n c y i s u s e d . C o h e r e n c y w i l l b e g i v e n a v e r y p r e c i s e , m a t h e m a t i c a l d e f i n i t i o n i n t h e n e x t s e c t i o n . L e t i t s u f f i c e t o s a y t h a t c o h e r e n c y , w i t h t h e l a w s o f p r o b a b i l i t y , w i l l t e m p e r t h e s e p o t e n t i a l l y u n r u l y p e r s o n a l p r o b a b i l i t i e s . 2.2.3 The B a s i s o f P e r s o n a l i s t i c P r o b a b i l i t y T h e o r i g i n o f t h e c a l c u l u s o f p r o b a b i l i t y c a n b e t r a c e d t o P a s c a l , who i n t h e 1 7 t h c e n t u r y s o l v e d t h e f i r s t m a t h e m a t i c a l l y n o n - t r i v i a l p r o b l e m s . T h e f i r s t b o o k o n t h e s u b j e c t w a s p u b l i s h e d d u r i n g t h e 1 7 t h c e n t u r y b y H u y g e n s [ G o o d , 1 9 5 9 ] . N e a r l y a l l o f t h e l a w s a n d r e l a t i o n s h i p s d e v e l o p e d d u r i n g t h e f o l l o w i n g t h r e e c e n t u r i e s w e r e b a s e d u p o n t h e o b j e c t i v i s t i c i n t e r p r e t a t i o n o f p r o b a b i l i t y . I t wasn't u n t i l t h e 2 0 t h c e n t u r y t h a t t h e p e r s o n a l i s t i c v i e w b e g a n t o g a i n momentum. The d i l e m m a t h a t f a c e d p r o p o n e n t s o f p e r s o n a l p r o b a b i l i t y was t h a t o f p r o v i n g t h a t t h e l a w s o f p r o b a b i l i t y d e v e l o p e d d u r i n g t h e p r e v i o u s 300 y e a r s a p p l i e d t o t h e i r v i e w p o i n t a s w e l l a s t o t h e o b j e c t i v i s t i c v i e w p o i n t . L a c k o f s u c h p r o o f w o u l d h a v e r e q u i r e d a v i r t u a l r e -i n v e n t i o n o f t h e p r o b a b i l i t y w h e e l . I n 1 9 5 4 , L. J . S a v a g e p u b l i s h e d " F o u n d a t i o n s o f S t a t i s t i c s , " w h i c h h e l p e d t o p r o v i d e t h e n e e d e d p r o o f . S a v a g e d e v e l o p e d and p r o v e d s e v e n t h e o r e m s n e e d e d t o l i n k t h e p e r s o n a l i s t i c i n t e r p r e t a t i o n o f p r o b a b i l i t y t o t h e c a l c u l u s o f p r o b a b i l i t y d e v e l o p e d u n d e r t h e o b j e c t i v i s t i c i n t e r p r e t a t i o n . H i s a r g u m e n t s 30 e s s e n t i a l l y d e f e n d t h e a s s u m p t i o n t h a t t h e r e i s o n l y one f o r m o f u n c e r t a i n t y . Two i m p o r t a n t c o n s e q u e n c e s o f t h i s a s s u m p t i o n a r e c o m p a r a b i l i t y o f e v e n t s and c o h e r e n c y [ L i n d l e y , 1 9 7 1 ] . C o m p a r a b i l i t y o f e v e n t s r e q u i r e s t h a t i f E a n d F a r e a n y t w o u n c e r t a i n e v e n t s , t h e n e i t h e r a) E i s more l i k e l y t h a n F, b) F i s more l i k e l y t h a n E, o r c) E and F a r e e q u a l l y l i k e l y . C o h e r e n c y r e q u i r e s t h a t i f G i s a t h i r d u n c e r t a i n e v e n t , a n d i f E i s m o r e l i k e l y t h a n F, a n d F m o r e l i k e l y t h a n G, t h e n E i s m o r e l i k e l y t h a n G. C o m p a r a b i l i t y and c o h e r e n c y i m p l y a u n i q u e v a l u e f o r t h e u n c e r t a i n t y o f a l l e v e n t s . I n m a t h e m a t i c a l j a r g o n , t h e y g u a r a n t e e t h e " e x i s t e n c e " o f p e r s o n a l p r o b a b i l i t i e s . T h e y a l s o u n l o c k t h e t o o l b o x o f p r o b a b i l i t y c a l c u l u s and a l l o w t h e l a w s o f p r o b a b i l i t y t o be a p p l i e d t o n o n - r e p e a t a b l e , u n c e r t a i n e v e n t s . I t i s v e r y d i f f i c u l t t o p r o v e o r d i s p r o v e c o m p a r a b i l i t y , and t h e n o t i o n i s much d i s c u s s e d i n p h i l o s o p h i c a l c i r c l e s . I t i s o f t e n a r g u e d t h a t some e v e n t s c a n h a v e t h e i r p r o b a b i l i t i e s q u a n t i f i e d n u m e r i c a l l y a n d o t h e r s c a n n o t . T h e f o r m e r g r o u p , t e r m e d s t a t i s t i c a l e v e n t s , a r e e v e n t s c a p a b l e o f i n f i n i t e , o r a t l e a s t e x t e n s i v e , r e p e t i t i o n . The l a t t e r g r o u p , c a l l e d n o n - s t a t i s t i c a l e v e n t s , a r e e s s e n t i a l l y u n i q u e . The d e c i s i o n maker i s m o s t o f t e n c o n c e r n e d w i t h n o n s t a t i s t i c a 1 e v e n t s . A l t h o u g h c o m p a r a b i l i t y c a n n o t b e e x p l i c i t l y p r o v e n , i t i s u s e d i n p r a c t i c e b y s u c h " p r o f e s s i o n s " a s b o o k m a k e r s a n d i n s u r e r s a n d w i l l b e a c c e p t e d w i t h o u t f u r t h e r a r g u m e n t i n t h i s s t u d y . The c o h e r e n c y r e q u i r e m e n t i s much e a s i e r t o p r o v e . The a r g u m e n t i s a s f o l l o w s [ L i n d l e y , 1 9 7 1 ] . A s s u m e a p e r s o n f e e l s E i s m o r e l i k e l y t h a n F, F i s m o r e l i k e l y t h a n G, a n d G i s m o r e l i k e l y t h a n E. T h e p e r s o n i s n o t c o h e r e n t i n t h e m a t h e m a t i c a l s e n s e . F u r t h e r , a s s u m e t h e p e r s o n i s o f f e r e d t w o o f t h e e v e n t s a n d i s a s k e d t o " b u y " t h e e v e n t h e f e e l s i s m o s t l i k e l y t o o c c u r . I f t h e e v e n t h e h a s c h o s e n d o e s i n f a c t o c c u r , t h e p e r s o n i s r e w a r d e d a p r i z e . W i t h s u c h a s y s t e m , t h e p e r s o n w o u l d b u y E i f o f f e r e d E a n d F. I f h e h a s E a n d i s t h e n o f f e r e d G o r E, h e w o u l d b u y G. F i n a l l y , w h en h e h a s G a n d i s o f f e r e d F, h e w o u l d b u y F. To r e p e a t t h e c y c l e , when h e h a s F a n d i s o f f e r e d E, h e w o u l d b u y E. T h i s c y c l e c o u l d b e r e p e a t e d i n d e f i n i t e l y . T h e i n c o h e r e n t p e r s o n i s t h u s a p e r p e t u a l money-making m a c h i n e . S a v a g e ' s w o r k h a s i n n o way q u i e t e d t h e a r g u m e n t s a s t o w h e t h e r t h e r e i s a n y r o o m f o r p e r s o n a l p r o b a b i l i t i e s i n t h e v e r y o b j e c t i v e d i s c i p l i n e s o f m a t h e m a t i c s , s c i e n c e , a n d e n g i n e e r i n g . I t i s o f t e n a r g u e d t h a t " t h e n o t i o n o f p e r s o n a l i s t i c p r o b a b i l i t y b e l o n g s t o t h e f i e l d o f p s y c h o l o g y a n d h a s no p l a c e i n a p p l i e d s t a t i s t i c s " [ J a y n e s , 1 9 6 8 ] . The t r u t h o f t h e s i t u a t i o n , h o w e v e r , i s t h a t i f t h e t e n e t s o f p e r s o n a l p r o b a b i l i t y a r e r e j e c t e d , t h e r e i s s i m p l y n o w a y t o i n c o r p o r a t e p r i o r i n f o r m a t i o n i n t o p r o b a b i l i s t i c a n a l y s e s e x c e p t i n t h e u n i q u e c a s e w h e r e t h e p r i o r i n f o r m a t i o n c o n s i s t s o f f r e q u e n c y d a t a . A t t e m p t s h a v e b e e n made t o i n c l u d e n o n - s t a t i s t i c a l i n f o r m a t i o n i n p r i o r p r o b a b i l i t i e s b y u s i n g p r o b a b i l i t y f u n c t i o n s b a s e d u p o n m a x i m u m e n t r o p y f o r m u l a t i o n s [ T r i b u s , 1970; J a y n e s , 1 9 6 8 ] , b u t t h e s e d e v e l o p m e n t s a r e l i m i t e d t o v e r y s p e c i f i c r a n d o m p r o c e s s e s a n d t o v e r y s p e c i f i c t y p e s o f p r i o r i n f o r m a t i o n . Why t h r o w away i n f o r m a t i o n , s o m e t i m e s t h e o n l y i n f o r m a t i o n a v a i l a b l e , b e c a u s e i t c a n n o t b e e x p r e s s e d i n a p r e c i s e m a t h e m a t i c a l f o r m u l a t i o n ? As p r e v i o u s l y m e n t i o n e d , i f one a c c e p t s t h e a s s u m p t i o n t h a t t h e r e i s o n l y o n e f o r m o f u n c e r t a i n t y a n d a c c e p t s t h e r e s u l t i n g c o n s e q u e n c e s o f c o m p a r a b i l i t y a n d c o h e r e n c y , t h e l a w s a n d c a l c u l u s o f p r o b a b i l i t y c a n b e a p p l i e d t o t h e p e r s o n a l i s t i c v i e w p o i n t o f p r o b a b i l i t y . T h e s e l a w s , t h o u g h f u l l y a p p l i c a b l e , h a v e s o m e w h a t d i f f e r e n t i n t e r p r e t a t i o n s i n t h e p e r s o n a l i s t i c a p p r o a c h t h a n t h e y d o i n t h e o b j e c t i v i s t i c a p p r o a c h . T h e s e d i f f e r e n t i n t e r p r e t a t i o n s a r e b r i e f l y d i s c u s s e d i n t h e f o l l o w i n g s e c t i o n . 2.2.4 P e r s o n a l i s t i c I n t e r p r e t a t i o n s o f t h e Laws o f P r o b a b i l i t y The m o s t f u n d a m e n t a l i n t e r p r e t a t i o n o f p e r s o n a l p r o b a b i l i t i e s i s t h a t t h e y a r e q u a n t i f i c a t i o n s o f d e g r e e s o f b e l i e f . T h e s e p r o b a b i l i t i e s a r e n e c e s s a r i l y c o n d i t i o n a l a n d i n t h e i r m o s t g e n e r a l f o r m s h o u l d be w r i t t e n a s P r ( e / H ) = P r o b a b i l i t y a s s o c i a t e d w i t h (2.1) e v e n t "e" g i v e n a l l c o n d i t i o n s "H" T h e p a r a m e t e r "H" i s t h e s e t o f c o n d i t i o n a l d e s c r i p t o r s . I t i n c l u d e s a l l t h e i n f o r m a t i o n , b i a s e s , and p r e j u d i c e s w h i c h a f f e c t o u r d e g r e e s o f b e l i e f . D i f f e r e n t p e o p l e w i l l h a v e d i f f e r e n t H d e s c r i p t o r s a n d may t h e r e f o r e a s s i g n d i f f e r e n t p r o b a b i l i t i e s t o t h e same e v e n t . T h e p r o b a b i l i t i e s w i l l c h a n g e a s e i t h e r t h e 33 d e s c r i p t i o n o f t h e u n c e r t a i n e v e n t c h a n g e s o r a s t h e c o n d i t i o n s "H" c h a n g e . F o r c o h e r e n t p e o p l e , t h e f o r m o f t h i s c h a n g e i s g o v e r n e d b y t h e l a w s o f p r o b a b i l i t y . T h e c o m p l e t e p r o b a b i l i t y c a l c u l u s h a s a s i t s f o u n d a t i o n t h r e e s i m p l e l a w s : 1) I f e and f a r e e x c l u s i v e , u n c e r t a i n e v e n t s , t h e n : P r ( e o r f ) = P r ( e ) + P r ( f ) ( 2 . 2 ) 2) I f e and f a r e u n c e r t a i n e v e n t s , t h e n : P r ( e a n d f ) = P r ( e ) P r ( f / e ) ( 2 . 3 ) 3) I f e a n d f a r e e x c l u s i v e a n d e x h a u s t i v e e v e n t s , t h e n t h e p r o p a b i l i t y o f a n y u n c e r t a i n e v e n t g i s : P r ( g ) = P r ( g / e ) P r ( e ) + P r ( g / f ) P r ( f ) ( 2 . 4 ) The f i r s t l a w s t a t e s when d e g r e e s o f b e l i e f c a n b e a d d e d , t h e s e c o n d l a w s t a t e s w h en t h e y c a n b e m u l t i p l i e d . T h e t h i r d l a w , w h i c h i s p e r h a p s t h e m o s t w i d e l y u s e d , s t a t e s t h a t d e g r e e s o f b e l i e f c a n be d e t e r m i n e d b y b r e a k i n g an e v e n t down i n t o s m a l l e r p a r t s t h a t may be a n a l y z e d s e p a r a t e l y . T h e s e t h r e e p r o b a b i l i t y l a w s h a v e two p r i n c i p a l a p p l i c a t i o n s i n t h e p e r s o n a l i s t i c i n t e r p r e t a t i o n o f p r o b a b i l i t y . F i r s t l y , t h e y p r o v i d e a m e a n s f o r c h e c k i n g t h e c o h e r e n c y o f p r o b a b i l i t y a s s e s s m e n t s . S e c o n d l y , t h e y c a n b e u s e d t o c a l c u l a t e c o h e r e n t p r o b a b i l i t i e s f r o m t h o s e a l r e a d y a v a i l a b l e . T h e s e l a w s w i l l b e u s e d t h r o u g h o u t t h i s d i s s e r t a t i o n , o f t e n i m p l i c i t l y , t o c a l c u l a t e p r o b a b i l i t i e s o f random v a r i a b l e s o r e v e n t s t h a t a r e d i f f i c u l t t o a s s e s s f r o m r a n d o m v a r i a b l e s o r e v e n t s t h a t a r e m o r e n a t u r a l l y 34 e s t i m a t e d b y e n g i n e e r s o r h y d r o g e o l o g i s t s . 2.2.5 E s t i m a t i n g S u b j e c t i v e P r o b a b i l i t i e s T h e p r e v i o u s s e c t i o n s h a v e d i s c u s s e d h ow t h e s u b j e c t i v e i n t e r p r e t a t i o n o f p r o b a b i l i t y i s t h e o n l y i n t e r p r e t a t i o n t h a t i s m e a n i n g f u l w hen i t c o m e s t o d e c i s i o n m a k i n g . T h e u n d e r l y i n g b a s i s o f t h i s s u b j e c t i v e o r p e r s o n a l i s t i c i n t e r p r e t a t i o n i s t h a t p r o b a b i l i t i e s r e p r e s e n t d e g r e e s o f b e l i e f . I n t h i s s e c t i o n , two a s p e c t s o f t h e s e d e g r e e s o f b e l i e f a r e b r i e f l y d i s c u s s e d . T h e f i r s t p a r t o f t h e d i s c u s s i o n d e s c r i b e s some o f t h e b i a s e s a n d d i f f i c u l t i e s t h a t p e o p l e h a v e i n f o r m u l a t i n g t h e i r own d e g r e e s o f b e l i e f . The s e c o n d p a r t d e s c r i b e s p r o c e d u r e s u s e d t o e x t r a c t o r q u a n t i f y t h e s e d e g r e e s o f b e l i e f o n c e a p e r s o n h a s made them. The p r o c e s s o f f o r m u l a t i n g a n d e x t r a c t i n g i n d i v i d u a l j u d g m e n t a b o u t u n c e r t a i n e v e n t s i s t e r m e d p r o b a b i l i t y e n c o d i n g . A f a i r l y e x t e n s i v e l i t e r a t u r e e x i s t s d e s c r i b i n g b o t h t h e way p e o p l e f o r m u l a t e p r o b a b i l i t i e s a n d t h e b e s t w a y s f o r d e t e r m i n i n g o r e l i c i t i n g t h e s e p r o b a b i l i t i e s . Much o f t h i s l i t e r a t u r e h a s b e e n d e v e l o p e d b y r e s e a r c h e r s w o r k i n g i n t h e a r e a o f c o g n i t i v e p s y c h o l o g y . R e v i e w p a p e r s a r e g i v e n b y H o g a r t h , [ 1 9 7 5 ] a n d b y S p e t z l e r a n d S t a e l v o n H o l s t e i n [ 1 9 7 5 ] . I n g e n e r a l , p e o p l e a p p e a r t o a s s e s s u n c e r t a i n t y i n a m a n n e r a n a l o g o u s t o t h e way t h e y a s s e s s d i s t a n c e [ S p e t z l e r a n d S t a e l v o n H o l s t e i n , 1 9 7 5 ] . J u s t a s w i t h d i s t a n c e s , p e o p l e a r e b e t t e r a t a s s e s s i n g u n c e r t a i n t i e s f o r some t y p e o f v a r i a b l e s t h a n f o r o t h e r s . M o d e l s a r e o f t e n u s e d t o d e t e r m i n e how u n c e r t a i n t i e s i n 35 p a r a m e t e r s t h a t a r e m o r e e a s i l y a s s e s s e d t r a n s l a t e i n t o u n c e r t a i n t i e s i n p a r a m e t e r s t h a t m i g h t b e n e e d e d i n d e c i s i o n s . F o r e x a m p l e , u n c e r t a i n t i e s i n h y d r a u l i c c o n d u c t i v i t i e s a r e g e n e r a l l y e a s i e r t o e s t i m a t e t h a n u n c e r t a i n t i e s i n g r o u n d w a t e r v e l o c i t y . C o m p u t e r m o d e l s a r e u s e d t o t r a n s l a t e t h e h y d r a u l i c c o n d u c t i v i t y u n c e r t a i n t i e s i n t o v e l o c i t y u n c e r t a i n t i e s n e e d e d t o make d e c i s i o n s . T h e r e a r e t w o w a y s o f d e f i n i n g a " g o o d " p r o b a b i l i t y a s s e s s o r . S u b s t a n t i v e g o o d n e s s r e f e r s t o t h e k n o w l e d g e w h i c h t h e a s s e s s o r h a s r e g a r d i n g t h e s u b j e c t m a t t e r o f c o n c e r n . N o r m a t i v e g o o d n e s s r e f e r s t o t h e a b i l i t y o f t h e a s s e s s o r t o e x p r e s s h i s o p i n i o n s i n p r o b a b i l i s t i c f o r m s . F o r e x a m p l e , i n a t a s k i n v o l v i n g p r o p e r t i e s o f g e o l o g i c m a t e r i a l s , a h y d r o g e o l o g i s t c o u l d b e e x p e c t e d t o p o s s e s s s u b s t a n t i v e , b u t n o t n e c e s s a r i l y n o r m a t i v e g o o d n e s s ; f o r s t a t i s t i c i a n s f a c e d w i t h t h e same t a s k , o n e w o u l d e x p e c t t h e c o n t r a r y [ H o g a r t h , 1 9 7 5 ] . The r e l a t i v e i m p o r t a n c e o f t h e t w o t y p e s o f g o o d n e s s h a v e b e e n s t u d i e d i n some d e t a i l i n t h e a r e a s o f m e t e o r o l o g y and s t o c k - m a r k e t f o r e c a s t i n g [ W i n k l e r , 1967; S t a e l v o n H o l s t e i n , 1 9 7 1 ] . The r e s u l t s showed t h a t s u b s t a n t i v e e x p e r t s a c h i e v e d " s c o r e s " o n l y s l i g h t l y h i g h e r t h a n n o r m a t i v e e x p e r t s . T h e a u t h o r s n o t e , h o w e v e r , t h a t t h e e x p e r i m e n t a l c o n d i t i o n s w e r e n o t r e p r e s e n t a t i v e o f " r e a l - w o r l d " c o n d i t i o n s . T h e y a l s o n o t e t h a t t h e a b i l i t i e s o f t h e s u b s t a n t i v e e x p e r t s i m p r o v e d d r a m a t i c a l l y i f t h e y r e c e i v e d f e e d b a c k a s t o t h e a c c u r a c y o f t h e i r j u d g m e n t s . R e g a r d l e s s o f t h e d e g r e e o f s u b s t a n t i v e s k i l l s t h a t a p e r s o n h a s , 36 t h e r e a r e o f t e n c o n s c i o u s o r s u b c o n s c i o u s d i s c r e p a n c i e s b e t w e e n a p e r s o n ' s a s s e s s m e n t o f p r o b a b i l i t i e s and an a c c u r a t e d e s c r i p t i o n o f h i s a c t u a l u n d e r l y i n g j u d g m e n t . T h e s e d i s c r e p a n c i e s a r e t e r m e d b i a s e s . T h e e x i s t a n c e o f b i a s e s h a s b e e n d o c u m e n t e d p r i m a r i l y f r o m l a b o r a t o r y e x p e r i m e n t s . E x a m p l e s a r e l i s t e d b e l o w [ H o g a r t h , 1 9 7 5 ] . * S m a l l p r o b a b i l i t i e s a r e o f t e n o v e r - e s t i m a t e d a n d l a r g e p r o b a b i l i t i e s a r e o f t e n u n d e r e s t i m a t e d . * P e o p l e g e n e r a l l y e s t i m a t e p r o b a b i l i t y d i s t r i b u t i o n s t h a t a r e " t i g h t e r " o r h a v e l e s s v a r i a n c e t h a n a c t u a l d i s t r i b u t i o n s . * P e o p l e o f t e n a s s i g n h i g h e r v a r i a n c e s t o v a r i a b l e s w i t h h i g h e r mean v a l u e s . * R e c e n t l y - o b t a i n e d i n f o r m a t i o n i s g i v e n m o r e w e i g h t t h a n i s w a r r a n t e d o v e r o l d e r i n f o r m a t i o n . * E v e n t s t h a t a r e d e s i r e d a r e g i v e n h i g h e r p r o b a b i l i t i e s o f o c c u r r e n c e t h a n e v e n t s t h a t a r e n o t d e s i r e d . * P e o p l e a r e g e n e r a l l y c o n s e r v a t i v e i n t h a t a d d i t i o n a l i n f o r m a t i o n d o e s n o t c h a n g e p r o b a b i l i t i e s a s much a s i t s h o u l d . * P e o p l e t e n d t o a s s u m e p r o b a b i l i t y d i s t r i b u t i o n s t h a t a r e s h a p e d l i k e t h e n o r m a l d i s t r i b u t i o n . * When a s k e d t o g e n e r a t e random numbers, s u b j e c t s g e n e r a l l y show a t e n d e n c y t o w a r d s t o o f e w r e p e t i t i o n s a n d t o o m a n y a l t e r n a t i o n s . The t e c h n i q u e s u s e d t o e n c o d e o r e l i c i t s u b j e c t i v e p r o b a b i l i t i e s c a n l i m i t t h e s e b i a s e s . T h e c l a s s i f i c a t i o n s o f p r o b a b i l i t y e n c o d i n g t e c h n i q u e s a r e s u m m a r i z e d i n T a b l e 2.1. T h e s e c l a s s i f i c a t i o n s a r e b a s e d u p o n t h e way i n w h i c h q u e s t i o n s a r e a s k e d a n d t h e way i n w h i c h r e s p o n s e s a r e g i v e n . S u b j e c t s c a n be a s k e d t o a s s i g n p r o b a b i l i t i e s when g i v e n v a l u e s , t o a s s i g n v a l u e s w h e n g i v e n p r o b a b i l i t i e s , o r t o a s s i g n b o t h . T h e s u b j e c t c a n r e s p o n d e i t h e r d i r e c t l y b y g i v i n g a n u m b e r o r i n d i r e c t l y b y c h o o s i n g b e t w e e n s i m p l e a l t e r n a t i v e s . I f t h e i n d i r e c t r e s p o n s e a p p r o a c h i s u s e d , t h e a l t e r n a t i v e s c a n b e d e f i n e d i n t w o w a y s . Th e f i r s t way i s w i t h r e s p e c t t o t h e u n c e r t a i n q u a n t i t y a nd a n e x t e r n a l r e f e r e n c e e v e n t . F o r e x a m p l e , t h e s u b j e c t c a n be a s k e d w h i c h he f e e l s i s more l i k e l y : t h a t t h e a v e r a g e h y d r a u l i c c o n d u c t i v i t y i s b e t w e e n 0.01 a n d 0.1 o r t h a t t h r e e f l i p s o f a c o i n w i l l r e s u l t i n t h r e e h e a d s . The s e c o n d way t h a t a l t e r n a t i v e s c a n be d e f i n e d i s w i t h r e s p e c t t o two r a n g e s o f t h e v a l u e s c a l e f o r t h e u n c e r t a i n q u a n t i t y . F o r e x a m p l e , t h e s u b j e c t c a n b e a s k e d w h i c h h e f e e l s i s m o r e l i k e l y : t h a t t h e a v e r a g e h y d r a u l i c c o n d u c t i v i t y i s b e t w e e n 0.01 and 0.1 o r t h a t i t i s b e t w e e n 1.0 and 100.0. T h i s l a t t e r t e c h n i q u e , t h o u g h somewhat e a s i e r t o u s e , o f t e n r e s u l t s i n d i s t r i b u t i o n s t h a t a r e t o o t i g h t . 2.2.6 B a y e s Theorem and t h e E f f e c t s o f M e a s u r e m e n t s An o b v i o u s a p p r o a c h t o s o l v i n g d e c i s i o n p r o b l e m s w i t h u n c e r t a i n t y i s t o a t t e m p t t o r e m o v e t h e u n c e r t a i n t y . U n f o r t u n a t e l y , i t i s v e r y r a r e l y p r a c t i c a b l e t o r e m o v e a l l u n c e r t a i n t y . H o w e v e r , i t i s o f t e n f e a s i b l e t o r e d u c e t h e u n c e r t a i n t y b y o b t a i n i n g i n f o r m a t i o n . T h i s i n f o r m a t i o n i s u s e d t o m o d i f y o r u p d a t e 38 T a b l e 2.1 - C l a s s i f i c a t i o n o f P r o b a b i l i t y E n c o d i n g T e c h n i q u e s R e s p o n s e Mode I n d i r e c t D i r e c t I n q u i r y Mode E x t e r n a l R e f e r e n c e I n t e r n a l R e f e r e n c e A s s i g n p r o b a b i l i t i e s t o f i x e d v a l u e s A s s i g n v a l u e s t o f i x e d p r o b a b i l i t i e s A s s i g n b o t h v a l u e s and p r o b a b i l i t i e s P r o b a b i l i t y C o m p a r i s o n s P r o b a b i l i t y C o m p a r i s o n s R e l a t i v e L i k e l i h o o d s I n t e r v a l T e c h n i q u e C u m u l a t i v e P r o b a b i l i t y F r a c t i l e s G r a p h D r a w i n g 39 s u b j e c t i v e p r o b a b i l i t i e s using Bayes theorem. This theorem, which i s one of the o l d e s t r e s u l t s of p r o b a b i l i t y theory, p r o v i d e s the connection between s u b j e c t i v e p r o b a b i l i t i e s and objective data. In g e n e r a l terms, Bayes theorem i s e x p r e s s e d i n terms of " i n i t i a l " or " p r i o r " p r o b a b i l i t i e s , " f i n a l " or " p o s t e r i o r " p r o b a b i l i t i e s , and " l i k e l i h o o d s . " The p r i o r p r o b a b i l i t y of an h y p o t h e s i s i s i t s p r o b a b i l i t y b e f o r e some experiment i s performed. The p o s t e r i o r p r o b a b i l i t y i s the p r o b a b i l i t y a f t e r the experiment i s performed. These two p r o b a b i l i t i e s are g e n e r a l l y d i f f e r e n t . The l i k e l i h o o d of an hypothesis i s the p r o b a b i l i t y , given that hypothesis, of the actual r e s u l t of the experiment. Assume a d e c i s i o n maker has p r i o r p r o b a b i l i t i e s P r f S J , Pr(S2) ,...Pr(S N) for uncertain events. Let X K denote the outcome of the experiment and l e t Pr ( S - L / x k ) , Pr (S2/X K)...Pr ( S N / X K ) be the r e v i s e d or p o s t e r i o r p r o b a b i l i t i e s . From the second law of p r o b a b i l i t y : Pr(Sj and X k) = Pr(Sj)Pr(X k/Sj) Pr(X k and Sj) = Pr(X k)Pr(Sj/X k) (2.5) (2.6) Combining equations 2.5 and 2.6 gives Bayes theorem: Pr(Sj/X k) = Pr(X k/Sj)Pr(Sj)/Pr(X k) (2.7) where 40 P r ( S j ) = P r i o r p r o b a b i l i t y P r ( S j / x ^ ) = P o s t e r i o r p r o b a b i l i t y P r ( X k / S j ) = L i k e l i h o o d g i v e n S j B a y e s t h e o r e m s t a t e s how we o u g h t t o l e a r n . I t s a y s how o u r b e l i e f s , e x p r e s s e d a s p r i o r p r o b a b i l i t i e s , s h o u l d be m o d i f i e d b y i n f o r m a t i o n d e s c r i b e d b y l i k e l i h o o d s . A s m e n t i o n e d i n t h e p r e v i o u s s e c t i o n , e x p e r i m e n t s h a v e shown t h a t p e o p l e who do n o t u s e B a y e s t h e o r e m o f t e n do n o t c h a n g e t h e i r p r i o r p r o b a b i l i t i e s a s much a s B a y e s t h e o r e m w o u l d recommend. 41 2.3 M e a s u r i n g C o n s e q u e n c e s 2.3.1 C o n s e q u e n c e s i n M o n e t a r y U n i t s I n c o m p a r i n g a l t e r n a t i v e s , i t i s n e c e s s a r y t o e x p r e s s t h e c o n s e q u e n c e s o f t h e a l t e r n a t i v e s i n n u m b e r s t h a t a r e c o m m e n s u r a b l e w i t h o n e a n o t h e r i n s o f a r a s p r a c t i c a b l e . F o r many e n g i n e e r i n g d e c i s i o n s , m o n e t a r y u n i t s a r e t h e o n l y u n i t s t h a t m e e t t h i s r e q u i r e m e n t [ G r a n t , I r e s o n , a n d L e a v e n w o r t h , 1 9 8 2 ] . One o f t h e e a r l i e s t a p p l i c a t i o n s o f e c o n o m i c a n a l y s e s t o e n g i n e e r i n g p r o j e c t s i n v o l v e d s e l e c t i n g l o c a t i o n s f o r r a i l w a y s [ W e l l i n g t o n , 1 8 7 7 ] . E n g i n e e r i n g e c o n o m i c s was p o p u l a r i z e d d u r i n g t h e 1930's and 1940's when b e n e f i t - c o s t r a t i o s w e r e f i r s t u s e d on a w i d e s c a l e b a s i s t o e v a l u a t e f l o o d c o n t r o l p r o j e c t s . The F l o o d C o n t r o l A c t o f J u n e 2 2 , 1 9 3 6 i n t r o d u c e d t h e a p p r o a c h [ G r a n t , I r e s o n , and L e a v e n w o r t h , 1 9 8 2 ] : " I t i s h e r e b y r e c o g n i z e d t h a t . . . t h e F e d e r a l G o v e r n m e n t s h o u l d i m p r o v e o r p a r t i c i p a t e i n t h e i m p r o v e m e n t o f n a v i g a b l e w a t e r s o r t h e i r t r i b u t a r i e s , i n c l u d i n g w a t e r s h e d s t h e r e o f , f o r f l o o d -c o n t r o l p u r p o s e s i f t h e b e n e f i t s t o w h omsoever t h e y may a c c r u e a r e i n e x c e s s o f t h e e s t i m a t e d c o s t s , a n d i f t h e l i v e s a n d s o c i a l s e c u r i t y o f p e o p l e a r e o t h e r w i s e a d v e r s e l y a f f e c t e d . " E c o n o m i c e v a l u a t i o n s o f b e n e f i t s a n d c o s t s w e r e l a t e r u s e d t o j u s t i f y h i g h w a y s a n d f r e e w a y s d u r i n g t h e 1 9 5 0 ' s a n d 1 9 6 0 ' s a n d n u c l e a r power p l a n t s d u r i n g t h e 1960's and 1970's. D u r i n g t h e s e 42 t i m e s t h e a p p r o a c h a l s o g a i n e d p o p u l a r i t y i n s t a t e , l o c a l , a n d e v e n p r i v a t e p r o j e c t s . A s s i g n i n g e c o n o m i c v a l u e s t o c o n s e q u e n c e s i s b y no m e a n s a t r i v i a l t a s k . Many c o n s e q u e n c e s may h a v e a e s t h e t i c , e m o t i o n a l , o r o t h e r n o n - e c o n o m i c c o m p o n e n t s t h a t a r e v e r y d i f f i c u l t t o a s s i g n m o n e t a r y v a l u e s . T h e s e n o n - e c o n o m i c c o m p o n e n t s a r e o f t e n i g n o r e d b e c a u s e o f t h e s e d i f f i c u l t i e s . 2.3.2 C o n s e q u e n c e s i n U t i l i t y U n i t s O n c e t h e c o n s e q u e n c e s o f a l t e r n a t i v e a c t i o n s o r d e c i s i o n s a r e e x p r e s s e d i n m o n e t a r y u n i t s , i t w o u l d seem a t r i v i a l m a t t e r t o s i m p l y s e l e c t t h e a l t e r n a t i v e whose c o n s e q u e n c e h a s t h e maximum e c o n o m i c v a l u e . T h i s w o u l d b e t h e c a s e i f t h e o u t c o m e o f e a c h a l t e r n a t i v e i s k n o w n w i t h c e r t a i n t y . H o w e v e r , b e c a u s e o f t h e u n c e r t a i n t y i n s t a t e v a r i a b l e s d i s c u s s e d i n t h e p r e v i o u s s e c t i o n , t h e o u t c o m e o f a g i v e n a c t i o n i s n o t c o m p l e t e l y k n o w n a n d t h e d e c i s i o n p r o c e s s i s n o t a s s t r a i g h t - f o r w a r d o r s i m p l e a s i t f i r s t a p p e a r s . As a n e x a m p l e , c o n s i d e r t h e s i m p l e d e c i s i o n t r e e shown on F i g u r e 2.4. I f a l t e r n a t i v e A i s s e l e c t e d , t h e d e c i s i o n m a k e r i s g u a r a n t e e d $ 1 , 0 0 0 . I f a l t e r n a t i v e B i s s e l e c t e d , t h e d e c i s i o n m aker h a s a p r o b a b i l i t y p o f r e c e i v i n g $10,000 and a p r o b a b i l i t y 1-p o f l o s i n g $ 5 , 0 0 0 . T h e a l t e r n a t i v e t h a t t h e d e c i s i o n m a k e r s e l e c t s d e p e n d s u p on t h e v a l u e o f p. I f t h e d e c i s i o n maker u s e s w h a t i s t e r m e d an " e x p e c t e d v a l u e " a p p r o a c h , he w i l l s e l e c t t h e s u r e $ 1 0 0 0 i f p i s l e s s t h a n 0.4. I f p i s e q u a l t o 0.4, t h e 43 F i g u r e 2.4 - D e c i s i o n T r e e When C o n s e q u e n c e o f One A l t e r n a t i v e i s Known 44 l o t t e r y i s " f a i r " i n t h a t t h e e x p e c t e d w i n n i n g s e q u a l t h e i n v e s t m e n t : $1000 = p ( $ 1 0 , 0 0 0 ) + ( 1 - p ) ( - $ 5 0 0 0 ) ( 2 . 8 ) p = 0.4 When r e l a t i v e l y l a r g e sums o f money a r e i n v o l v e d , m o s t i n d i v i d u a l w i l l c h o o s e t h e s u r e g a i n a n d s h y a w a y f r o m t h e l o t t e r y , u n l e s s t h e c h a n c e s o f w i n n i n g a r e h i g h e r t h a n t h e p r o b a b i l t y t h a t makes t h e l o t t e r y f a i r . T h i s b e h a v i o u r i s t e r m e d r i s k a v e r s e n e s s . U t i l i t y f u n c t i o n s a r e u s e d t o q u a n t i f y t h e d e g r e e o f r i s k a v e r s e n e s s t h a t a n i n d i v i d u a l e x h i b i t s . T h e s e f u n c t i o n c u r v e s c a n be g e n e r a t e d b y a s s i g n i n g a u t i l i t y f u n c t i o n v a l u e o f 1.0 t o t h e m o s t d e s i r a b l e c o n s e q u e n c e a n d a v a l u e o f 0.0 t o t h e l e a s t d e s i r a b l e c o n s e q u e n c e . A l l o t h e r c o n s e q u e n c e s w i l l t h e n h a v e u t i l i t y f u n c t i o n v a l u e s i n t h e r a n g e b e t w e e n 0.0 a n d 1.0. The u t i l i t y f u n c t i o n v a l u e s o f t h e o t h e r c o n s e q u e n c e s a r e d e t e r m i n e d b y f i n d i n g v a l u e s o f p f o r w h i c h t h e d e c i s i o n m a k e r v i e w s t h e l o t t e r y a nd t h e s u r e g a i n a s e q u a l l y a t t r a c t i v e . F o r e x a m p l e , t h e d e c i s i o n m a k e r may s e l e c t t h e s u r e $ 1 0 0 0 i f p i s l e s s t h a n 0.5. I f p i s g r e a t e r t h a n 0.5, h e w i l l c h o o s e t h e l o t t e r y . T h e $1000 i s a s s i g n e d a u t i l i t y f u n c t i o n v a l u e o f 0.5. T h i s p r o c e s s c a n be r e p e a t e d f o r a number o f d i f f e r e n t c o n s e q u e n c e s b e t w e e n -$ 5 , 0 0 0 a n d $ 1 0 , 0 0 0 . The r e s u l t i n g c u r v e i s t e r m e d t h e u t i l i t y f u n c t i o n . An e x a m p l e u t i l i t y f u n c t i o n i s shown i n F i g u r e 2.5. The s i g m o i d 45 Monetary Value in Dollars, C Figure 2.5 - Example U t i l i t y Curve 46 shape shown on t h i s f i g u r e i s t y p i c a l of u t i l i t y f u n c t i o n . The concave p o r t i o n of the curve to the l e f t i n d i c a t e s that people are g e n e r a l l y w i l l i n g to make s m a l l investments i n " u n f a i r " l o t t e r i e s . Evidence of t h i s behaviour includes the popularity of government-sponsored l o t t e r i e s i n which a one- or t w o - d o l l a r t i c k e t may win a s e v e r a l m i l l i o n d o l l a r payoff. People are w i l l i n g to play these l o t t e r i e s even though they are unfair since the expected winnings are less than the investments. The l i n e a r middle p o r t i o n of the curve i n d i c a t e s an expected value or non-risk-averse behaviour. In t h i s range of investment, people are w i l l i n g to play f a i r l o t t e r i e s i n which the expected winnings are equal to the investment. This type of behaviour i s t y p i c a l of companies or i n d i v i d u a l s whose net worth i s large when compared to the gains or losses of the d i f f e r e n t consequences. The convex p o r t i o n of the curve on the r i g h t i n d i c a t e s r i s k -averse behaviour. In t h i s range of investment, people w i l l play l o t t e r i e s o n l y i f the expected winnings are greater than the investment. The n e a r l y - h o r i z o n t a l asymptote shows that the attractiveness of incremental gains decreases as an individual's c a p i t a l increases. The two u t i l i t y functions presented on Figure 2.5 can be used to define a normalized u t i l i t y function: ^ ( C ) = u i ( C ) / u 0 ( C ) (2.9) where u^ = UQ f o r the expected v a l u e approach, and u^ = ui f o r 47 t h e r i s k - a v e r s e a p p r o a c h . F o r e x p e c t e d v a l u e b e h a v i o u r , t h e n o r m a l i z e d u t i l i t y f u n c t i o n e q u a l s 1 f o r a l l m o n e t a r y v a l u e s ; f o r r i s k a v e r s e b e h a v i o u r i t i s g r e a t e r t h a n 1 f o r a l l m o n e t a r y v a l u e s . The a d v a n t a g e o f t h e n o r m a l i z e d u t i l i t y f u n c t i o n i s t h a t r i s k a v e r s e n e s s c a n b e i n c o r p o r a t e d i n t o d e c i s i o n s b y s i m p l y m u l t i p l y i n g t h e c o n s e q u e n c e i n t e r m s o f d o l l a r s b y t h e n o r m a l i z e d u t i l i t y f u n c t i o n : U i j = ^ ( C i j ) C i j ( 2 . 1 0 ) The v a l u e U i j i s t e r m e d t h e u t i l i t y a s s o c i a t e d w i t h c o n s e q u e n c e 4 8 2.4 D e c i s i o n C r i t e r i a The f i n a l s t e p i n a d e c i s i o n a n a l y s i s i s t o i d e n t i f y a c r i t e r i o n f o r s e l e c t i n g t h e m o s t d e s i r a b l e d e c i s i o n v a r i a b l e f r o m t h e l i s t o f a l t e r n a t i v e s . A n u m b e r o f d i f f e r e n t c r i t e r i a w i t h v a r y i n g d e g r e e s o f c o m p l e x i t y a n d c o n s e r v a t i s m h a v e b e e n s u g g e s t e d [ L i n d l e y , 1 9 7 1 ; H a r r , 1 9 7 7 ] . S e v e r a l o f t h e m o r e p o p u l a r c r i t e r i a a r e l i s t e d b e l o w . 2.4.1 M a x i - M i n C r i t e r i o n T h e m a x i - m i n c r i t e r i o n i s b a s e d o n a p e s s i m i s t i c o u t l o o k t h a t f o c u s e s a t t e n t i o n o n t h e l e a s t d e s i r a b l e s t a t e v a r i a b l e . T h e c o n s e q u e n c e w i t h t h e s m a l l e s t u t i l i t y o r m o n e t a r y v a l u e i s i d e n t i f i e d f o r e a c h a l t e r n a t i v e d e c i s i o n v a r i a b l e . The d e c i s i o n v a r i a b l e w i t h t h e l a r g e s t minimum c o n s e q u e n c e i s t h e n s e l e c t e d . F o r t h e e x a m p l e shown i n T a b l e 2.2a, t h e m a x i m i n c r i t e r i o n w o u l d recommend a l t e r n a t i v e A 3 , s i n c e i t s minimum c o n s e q u e n c e o f $1500 i s t h e l a r g e s t o f a l l t h e minimum c o n s e q u e n c e s . T h e a d v a n t a g e o f t h i s p r o c e d u r e i s i t s s i m p l i c i t y i n t h a t p r o b a b i l i t y a s s i g n m e n t s a r e n o t r e q u i r e d . T h e d i s a d v a n t a g e i s t h a t i t i s v e r y c o n s e r v a t i v e and d o e s n o t c o n s i d e r a l l p o s s i b l e c o n s e q u e n c e s . 2.4.2 M i n i - M a x C r i t e r i o n T h e m i n i - m a x c r i t e r i o n i s b a s e d u p o n l o s s e s o r r e g r e t . T h e r e g r e t a s s o c i a t e d w i t h a d e c i s i o n v a r i a b l e i s d e f i n e d a s t h e d i f f e r e n c e b e t w e e n t h e m o s t d e s i r a b l e c o n s e q u e n c e f o r e a c h s t a t e 49 Table 2.2 - Example Comparison o f D e c i s i o n C r i t e r i a S t a t e V a r i a b l e s S 2 S 3 Minimum Expected D e c i s i o n Consequence Consequence V a r i a b l e s A]_ 0 8,000 10,000 0 7,800 A 2 2,000 6,000 1,000 1,000 4,100 A 3 10,000 7,000, 1,500 1,500 5,650 P r o b a b i l i t y : 0.1 0.6 0.3 Table 2.2a - Mat r i x o f Consequences State V a r i a b l e s S 2 S 3 Maximum D e c i s i o n Regret V a r i a b l e s A]_ 10,000 0 0 10,000 A 2 8,000 2,000 9,000 9,000 A 3 0 1,000 8,500 8,500 Table 2.2b - Matrix o f Regrets 50 o f n a t u r e a n d t h e c o n s e q u e n c e t h a t w o u l d r e s u l t i f t h e d e c i s i o n v a r i a b l e h a d b e e n c h o s e n . F o r e x a m p l e , s u p p o s e s t a t e v a r i a b l e S i i n T a b l e 2.2a o c c u r s . T h e l a r g e s t p a y o f f f o r S-^  i s $ 1 0 0 0 0 . I f S i o c c u r r e d a n d d e c i s i o n v a r i a b l e A 3 h a d b e e n s e l e c t e d , t h e d e c i s i o n m a k e r w o u l d h a v e z e r o r e g r e t . On t h e o t h e r h a n d , i f d e c i s i o n v a r i a b l e A 2 ^ a c l b e e n s e l e c t e d , he w o u l d h a v e a r e g r e t o f $10000 - $2000 = $8000. T a b l e 2.2b s u m m a r i z e s r e g r e t s f o r e a c h c o m b i n a t i o n o f d e c i s i o n v a r i a b l e a n d s t a t e v a r i a b l e . The p r o c e d u r e u s e d w i t h t h e m i n i -max c r i t e r i o n i s t o s e l e c t t h e d e c i s i o n v a r i a b l e w h o s e maximum r e g r e t i s a m i n i m u m . F o r t h e e x a m p l e s h o w n i n T a b l e 2.2b, d e c i s i o n v a r i a b l e A 3 w o u l d be s e l e c t e d on t h e b a s i s o f t h e m i n i -max c r i t e r i o n . T h i s p r o c e d u r e i s l e s s c o n s e r v a t i v e t h a n t h e m a x i - m i n p r o c e d u r e d e s c r i b e d e a r l i e r . P r o b a b i l i t y a s s e s s m e n t s a r e n o t r e q u i r e d a n d a l l c o n s e q u e n c e s a r e c o n s i d e r e d . 2.4.3 Maximum L i k e l i h o o d C r i t e r i o n T h e m a x i m u m l i k e l i h o o d c r i t e r i o n o n l y c o n s i d e r s t h o s e c o n s e q u e n c e s a s s o c i a t e d w i t h t h e most l i k e l y s t a t e v a r i a b l e . The d e c i s i o n v a r i a b l e i s c h o s e n w h i c h g i v e s t h e m o s t d e s i r a b l e c o n s e q u e n c e f o r t h e most l i k e l y s t a t e v a r i a b l e . F o r t h e e x a m p l e g i v e n i n T a b l e 2.2a, t h e maximum l i k e l i h o o d c r i t e r i o n w o u l d i d e n t i f y d e c i s i o n v a r i a b l e A i * A l t h o u g h t h i s p r o c e d u r e d o e s n o t r e q u i r e n u m e r i c a l v a l u e s f o r p r o b a b i l i t i e s o r u t i l i t i e s , i s d o e s c o n s i d e r u n c e r t a i n t i e s i n a n o n - q u a n t i t a t i v e m a n n e r . T h e d i s a d v a n t a g e i s t h a t i t d o e s n o t c o n s i d e r c o n s e q u e n c e s a s s o c i a t e d w i t h a n y s t a t e v a r i a b l e s o t h e r t h a n t h e m o s t l i k e l y . 2.4.4 Maximum E x p e c t e d U t i l i t y C r i t e r i o n N o n e o f t h e c r i t e r i a d i s c u s s e d a b o v e m a k e s c o m p l e t e u s e o f a l l t h e i n f o r m a t i o n t h a t i s i n c l u d e d i n t h e p r o b a b i l i t i e s a n d c o n s e q u e n c e s . The m a x i - m i n c r i t e r i o n c o n s i d e r s o n l y t h e minimum c o n s e q u e n c e a nd none o f t h e p r o b a b i l i t i e s ; t h e m i n i - m a x c r i t e r i o n c o n s i d e r s a l l t h e c o n s e q u e n c e s b u t none o f t h e p r o b a b i l i t i e s ; and t h e m a x i m u m - l i k e l i h o o d c r i t e r i o n c o n s i d e r s o n l y t h e c o n s e q u e n c e s a s s o c i a t e d w i t h t h e m o s t - l i k e l y s t a t e v a r i a b l e . T h e p r o c e d u r e f o r u s i n g t h e maximum e x p e c t e d u t i l i t y c r i t e r i o n i n v o l v e s s e l e c t i n g t h e a l t e r n a t i v e w h o s e s u m m a t i o n o f c o n s e q u e n c e s t i m e s p r o b a b i l i t i e s i s a m a x i m u m . F o r t h e p r o b a b i l i t i e s l i s t e d f o r t h e e x a m p l e g i v e n i n T a b l e 2.2a, t h i s c r i t e r i o n w o u l d i d e n t i f y Ax a s t h e p r e f e r r e d a l t e r n a t i v e . The maximum e x p e c t e d u t i l i t y c r i t e r i o n u s e s a l l t h e p r o b a b i l i t i e s a n d a l l t h e c o n s e q u e n c e s t o a r r i v e a t a d e c i s i o n . R i g o r o u s t h e o r e t i c a l d e v e l o p m e n t s show t h a t t h e c r i t e r i o n i s u n b i a s e d and r e s u l t s i n " c o h e r e n t " d e c i s i o n s [ L i n d l e y , 1 9 7 1 ] , T h e maximum e x p e c t e d u t i l i t y c r i t e r i o n w i l l be u s e d f o r t h e d e c i s i o n a n a l y s e s t h a t w i l l b e i n c l u d e d i n t h i s s t u d y . 52 2.5 The E x p e c t e d V a l u e o f I n f o r m a t i o n B a y e s t h e o r e m , a s d i s c u s s e d i n S e c t i o n 2.2.6, p r o v i d e s a m e c h a n i s m f o r u s i n g a d d i t i o n a l i n f o r m a t i o n o r d a t a t o m o d i f y o r u p d a t e s u b j e c t i v e p r i o r p r o b a b i l i t i e s . A l t h o u g h a d d i t i o n a l i n f o r m a t i o n c a n be e i t h e r p l e a s i n g o r d i s p l e a s i n g i n t e r m s o f i t s a t t r a c t i v e n e s s t o d e c i s i o n m a k e r s , a d d i t i o n a l i n f o r m a t i o n a l w a y s h a s some v a l u e . T h e d e s i r a b i l i t y o f c o l l e c t i n g i n f o r m a t i o n d e p e n d s o n t h e r e l a t i o n s h i p b e t w e e n t h e e x p e c t e d v a l u e o f t h e i n f o r m a t i o n a n d t h e c o s t s t h a t w o u l d b e i n c u r r e d i n c o l l e c t i n g i t . T h e t e c h n i q u e s t h a t c a n b e u s e d t o q u a n t i f y i n f o r m a t i o n v a l u e w i l l be d i s c u s s e d i n t h i s s e c t i o n . 2.5.1 The E x p e c t e d V a l u e o f P e r f e c t I n f o r m a t i o n I n t h e a b s e n c e o f a d d i t i o n a l i n f o r m a t i o n , t h e d e c i s i o n v a r i a b l e t h a t w i l l b e s e l e c t e d i s t h e o n e w i t h t h e maximum e x p e c t e d u t i l i t y . The e x p e c t e d u t i l i t y o f d e c i s i o n v a r i a b l e A i i s g i v e n b y : N w h e r e u i = 2 U i j P r ( S j ) ( 2 . 1 1 ) j = l u i = E x p e c t e d u t i l i t y o f d e c i s i o n v a r i a b l e A i U i j = U t i l i t y o f c o n s e q u e n c e C i j P r ( S j ) = P r o b a b i l i t y o f s t a t e v a r i a b l e S j I f we h a d p e r f e c t i n f o r m a t i o n , we w o u l d s e l e c t t h e d e c i s i o n v a r i a b l e t h a t h a s t h e maximum u t i l i t y f o r t h e s t a t e v a r i a b l e t h a t 53 o c c u r s . T h e e x p e c t e d u t i l i t y f o r d e c i s i o n v a r i a b l e A^ w i t h p e r f e c t i n f o r m a t i o n i s g i v e n b y : N Umax = ( m a X u i j ) p r ( s j ) ( 2 . 1 2 ) j = l w h e r e ^max = E x p e c t e d u t i l i t y w i t h p e r f e c t i n f o r m a t i o n max U i j = Maximum u t i l i t y f o r s t a t e v a r i a b l e S j The e x p e c t e d v a l u e o f p e r f e c t i n f o r m a t i o n i s t h e d i f f e r e n c e b e t w e e n t h e e x p e c t e d u t i l i t y w i t h p e r f e c t i n f o r m a t i o n a n d t h e e x p e c t e d u t i l i t y w i t h no a d d i t i o n a l i n f o r m a t i o n : v m a x = umax ~ Maximum o f Uj[ ( 2 . 1 3 ) w h e r e \ a x = E x p e c t e d v a l u e o f p e r f e c t i n f o r m a t i o n As an e x a m p l e , c o n s i d e r t h e s i m p l e d e c i s i o n m a t r i x shown i n T a b l e 2.3a. W i t h o u t a d d i t i o n a l i n f o r m a t i o n , t h e d e c i s i o n maker w o u l d c h o o s e d e c i s i o n v a r i a b l e A i s i n c e i t h a s t h e maximum e x p e c t e d u t i l i t y : U]_ = ($5200).5 + ($4900).5 = $5050 (2.14a) U 2 = ( $ 5 0 0 0 ) . 5 + ( $ 5 0 0 0 ) . 5 = $5000 ( 2 . 1 4 b ) I f we h a d p e r f e c t i n f o r m a t i o n , we w o u l d c h o o s e i f s t a t e v a r i a b l e S i o c c u r s a n d we w o u l d c h o o s e U"2 i f s t a t e v a r i a b l e S 2 o c c u r s . The e x p e c t e d u t i l i t y w i t h p e r f e c t i n f o r m a t i o n i s g i v e n b y : 54 T a b l e 2.3 - E x a m p l e E x p e c t e d V a l u e o f I n f o r m a t i o n D e c i s i o n V a r i a b l e s S t a t e V a r i a b l e s E x p e c t e d V a l u e S l S2 A l $5200 $4900 $5050 A 2 $5000 $5000 $5000 P r i o r P r o b a b i l i t y : 0.5 0.5 T a b l e 2 .3a - C o n s e q u e n c e M a t r i x D e c i s i o n V a r i a b l e s S t a t e V a r i a b l e s S l s 2 E x p e c t e d R e g r e t A l $0 $100 $50 A 2 $200 $0 $100 P r i o r P r o b a b i l i t y : 0.5 0.5 T a b l e 2.3b - R e g r e t M a t r i x S t a t e Outcome o f E x p i r e m e n t V a r i a b l e X l x 2 5 1 .75 .25 5 2 .25 .75 T a b l e 2.3c - L i k e l i h o o d s f o r Outcomes o f E x p e r i m e n t 55 V x = ( $ 5 2 0 0 ) . 5 + ( $ 5 0 0 0 ) . 5 = $5100. ( 2 . 1 5 ) The e x p e c t e d v a l u e o f p e r f e c t i n f o r m a t i o n f o r t h i s s i m p l e d e c i s i o n i s g i v e n b y : Vmax = $5100 - $5050 = $50 ( 2 . 1 6 ) A s e c o n d w a y o f l o o k i n g a t t h e e x p e c t e d v a l u e o f p e r f e c t i n f o r m a t i o n i s b y u s i n g r e g r e t s , w h i c h w e r e d i s c u s s e d i n S e c t i o n 2.4.2. The r e g r e t a s s o c i a t e d w i t h c o n s e q u e n c e C i j 1 S d e f i n e d a s t h e d i f f e r e n c e b e t w e e n t h e m o s t d e s i r a b l e c o n s e q u e n c e f o r e a c h s t a t e o f n a t u r e a n d t h e c o n s e q u e n c e t h a t w o u l d r e s u l t i f t h e d e c i s i o n v a r i a b l e h a d b e e n c h o s e n a n d t h e s t a t e v a r i a b l e h a d o c c u r r e d . R e g r e t s f o r t h e e x a m p l e d e c i s i o n m a t r i x g i v e n i n T a b l e 2.3a a r e s u m m a r i z e d i n T a b l e 2.3b. E q u a t i o n 2 . 1 0 , w h i c h g i v e s t h e e x p e c t e d v a l u e o f p e r f e c t i n f o r m a t i o n , c a n be r e w r i t t e n a s : U i j ) P r ( S j ) ( 2 . 1 7 ) N Vmax = M i n ( m a x U max ~ l'1J-" / V i n a * uXj j = l w h e r e max U ^ j = Maximum u t i l i t y f o r s t a t e v a r i a b l e S j The v a l u e i n t h e p a r e n t h e s e s i n E q u a t i o n (2.17) i s t h e r e g r e t i n c h o o s i n g d e c i s i o n v a r i a b l e i f s t a t e v a r i a b l e S j o c c u r s : R i j = (max U i j - U i j ) ( 2 . 1 8 ) 56 The e x p e c t e d r e g r e t f o r d e c i s i o n v a r i a b l e A i i-s g i v e n b y : N R i = R i j P r ( S j ) ( 2 . 1 9 ) j = l C o m b i n i n g E q u a t i o n s (2.17) a n d (2.18) s h o w s t h a t t h e e x p e c t e d v a l u e o f p e r f e c t i n f o r m a t i o n i s e q u a l t o minimum e x p e c t e d r e g r e t : N Vmax = M i n ^ R i j P r ( S j ) = M i n R i ( 2 . 2 0 ) j = l F o r t h e e x a m p l e g i v e n i n T a b l e 2.3b, t h e e x p e c t e d r e g r e t s a r e : R-L = ( $ 0 ) . 5 + ( $ 1 0 0 ) . 5 = $ 50. ( 2 . 2 1 a ) R 2 = ( $ 2 0 0 ) . 5 + ( $ 0 ) . 5 = $ 1 0 0 . ( 2 . 2 1 b ) The m i n i m u m e x p e c t e d r e g r e t a n d t h e e x p e c t e d v a l u e o f p e r f e c t i n f o r m a t i o n i s e q u a l t o $ 5 0 , w h i c h i s t h e same a s t h e r e s u l t d e t e r m i n e d e a r l i e r . 2.5.2 The V a l u e o f I m p e r f e c t I n f o r m a t i o n W i t h p e r f e c t i n f o r m a t i o n , t h e p r o b a b i l i t i e s a s s o c i a t e d w i t h d i f f e r e n t s t a t e v a r i a b l e s a f t e r i n f o r m a t i o n h a s b e e n g a t h e r e d a r e e i t h e r 0 o r 1. U n f o r t u n a t e l y , i n f o r m a t i o n i n r e a l - w o r l d s i t u a t i o n s i s s e l d o m p e r f e c t . The p r o b a b i l i t i e s a s s o c i a t e d w i t h d i f f e r e n t s t a t e v a r i a b l e s a r e m o d i f i e d b y t h e a d d i t i o n a l i n f o r m a t i o n , b u t t h e y do n o t become e i t h e r 0 o r 1. B a y e s t h e o r e m g i v e n b y E q u a t i o n 2.7 s p e c i f i e s how t h e p r i o r p r o b a b i l i t i e s should be modi f i e d : where P r ( S j / X k ) = P r ( X k / S j ) P r ( S j ) / P r ( X k ) (2.22) P r ( S j ) P r ( s j / X k ) = P r o b a b i l i t y a s s o c i a t e d w i t h s t a t e v a r i a b l e Sj b e f o r e a d d i t i o n a l i n f o r m a t i o n P r o b a b i l i t y a s s o c i a t e d w i t h s t a t e v a r i a b l e S j a f t e r i n f o r m a t i o n X k 1 S gathered P r ( X k / s j ) = L i k e l i h o o d o f g a t h e r i n g i n f o r m a t i o n X k g i v e n s t a t e v a r i a b l e S j * A f t e r a d d i t i o n a l i n f o r m a t i o n has been c o l l e c t e d , t h e d e c i s i o n maker w i l l s e l e c t t h e d e c i s i o n v a r i a b l e t h a t maximizes t h e expected u t i l i t i e s c a l c u l a t e d u s i n g the p o s t e r i o r p r o b a b i l i t i e s . The expected u t i l i t y without a d d i t i o n a l i n f o r m a t i o n i s g i v e n by: N P r ( S j ) (2.23) j = l The expected u t i l i t y w ith a d d i t i o n a l i n f o r m a t i o n X^ i s g i v e n by: N U i ' = u i j P r ( S j / X k ) j= l (2.24) The d e c i s i o n maker knows what t o do i f he o b t a i n s d a t a X-^ , namely, t o s e l e c t t h e maximum e x p e c t e d u t i l i t y , max Ui'« What he does not know, however, i s which i n f o r m a t i o n w i l l a r i s e . The 58 b e s t h e c a n d o i s c a l c u l a t e a n e x p e c t e d , e x p e c t e d u t i l i t y . T h e f i r s t e x p e c t a t i o n i s w i t h r e s p e c t t o p r o b a b i l i t i e s a s s o c i a t e d w i t h s t a t e v a r i a b l e s and t h e s e c o n d e x p e c t a t i o n i s w i t h r e s p e c t t o p r o b a b i l i t i e s a s s o c i a t e d w i t h o b t a i n i n g a d d i t i o n a l d a t a . The f i r s t e x p e c t a t i o n i s g i v e n b y : N u i k ' = u i j P r < s j / x k > ( 2 . 2 5 ) j = l The s e c o n d e x p e c t a t i o n i s g i v e n b y : U i ' = U i k ' P r ( X k ) ( 2 . 2 6 ) The e x p e c t e d v a l u e o f p a r t i a l i n f o r m a t i o n i s g i v e n b y t h e d i f f e r e n c e b e t w e e n t h e maximum e x p e c t e d u t i l i t y a f t e r a d d i t i o n a l i n f o r m a t i o n h a s b e e n o b t a i n e d a n d t h e e x p e c t e d u t i l i t y b e f o r e a d d i t i o n a l i n f o r m a t i o n i s o b t a i n e d : M ) max U-; v ' ) -v m a x = ( 2 m a x U i k ' ) " M a x u i ( 2 . 2 7 ) k = l As an e x a m p l e , c o n s i d e r t h e d e c i s i o n m a t r i x shown i n T a b l e 2.3a. A s s u m e t h a t a n e x p e r i m e n t c a n b e p e r f o r m e d t h a t r e s u l t s i n o n e o f two o u t c o m e s and t h a t t h e l i k e l i h o o d s o f e a c h o u t c o m e a r e e q u a l t o t h o s e g i v e n i n T a b l e 2.3c. The f i r s t s e t o f e x p e c t a t i o n s w i t h r e s p e c t t o t h e unknown s t a t e v a r i a b l e s i s g i v e n b y : U 1 X ' = ( $ 5 2 0 0 ) ( . 7 5 ) + ( $ 4 9 0 0 ) ( . 2 5 ) = $5125 ( 2 . 2 8 a ) U 1 2 ' = ( $ 5 2 0 0 ) ( . 2 5 ) + ( $ 4 9 0 0 ) ( . 7 5 ) = $ 4 9 7 5 ( 2 . 2 8 b ) u 2 l ' = ( $ 5 0 0 0 ) ( . 7 5 ) + ( $ 5 0 0 0 ) ( . 2 5 ) = $ 5 0 0 0 ( 2 . 2 8 c ) U 2 2 ' = ( $ 5 0 0 0 ) ( . 2 5 ) + ( $ 5 0 0 0 ) ( . 7 5 ) = $5000 ( 2 . 2 8 d ) The s e c o n d s e t o f e x p e c t a t i o n s w i t h r e s p e c t t o t h e ou t c o m e o f t h e e x p e r i m e n t i s g i v e n b y : " l l " = ( $ 5 1 2 5 ) ( 0 . 5 ) = $ 2 5 6 2 . 5 0 (2.29a) = 1 2 ' = ( $ 4 9 7 5 ) ( 0 . 5 ) = $2487.50 ( 2 . 2 9 b ) U 2 1 ' = ($5000)(0.5) = $2500 (2.29c) U 2 2 ' = ($5000)(0.5) = $2500 (2.29d) The v a l u e o f p a r t i a l i n f o r m a t i o n i s g i v e n b y : Vmax = ( $ 2 5 6 2 . 5 0 + $2500) - $5050 = $12.50 ( 2 . 3 0 ) As a f i n a l n o t e , a d d i t i o n a l i n f o r m a t i o n o f t e n e x h i b i t s d e c r e a s i n g m a r g i n a l v a l u e w i t h i n c r e a s i n g s a m p l e s i z e , a s shown i n F i g u r e 2.6. I f t h e s a m p l e c o s t i s a l i n e a r f u n c t i o n o f s a m p l e s i z e , a s s h o w n o n F i g u r e 2.6, t h e m a x i m u m w a r r a n t e d s a m p l e i s t h e i n t e r s e c t i o n o f t h e t w o c u r v e s . A s s h o w n o n F i g u r e 2.6, t h e o p t i m a l s a m p l e s i z e i n t e r m s o f a n e x p e c t e d b e n e f i t t o c o s t r a t i o , i s u s u a l l y much s m a l l e r . 60 A "Optimal* Size Size of Sample F i g u r e 2.6 - E x a m p l e C o s t a n d V a 1 u e - o f - I n f o r m a t i o n C u r v e s 61 3. THE RISK-COST-BENEFIT EQUATION The d e c i s i o n a n a l y s i s d e s c r i b e d i n C h a p t e r 2 p r o v i d e s a f r a m e w o r k f o r s e l e c t i n g a c o u r s e o f a c t i o n f r o m a g r o u p o f a l t e r n a t i v e s . T h e p r e f e r r e d a c t i o n i s t h e o n e w h o s e c o n s e q u e n c e h a s maximum e x p e c t e d u t i l i t y . F o r d e c i s i o n s r e l a t e d t o g r o u n d w a t e r c o n t a m i n a t i o n f r o m w a s t e m a n a g e m e m e n t f a c i l i t i e s , t h e c o n s e q u e n c e s c o n s i s t o f b e n e f i t s , c o s t s , a n d r i s k s . I n t h i s c h a p t e r , an o b j e c t i v e f u n c t i o n c o m p a r i n g t h e s e b e n e f i t s , c o s t s , a n d r i s k s i s d e v e l o p e d f o r b o t h o w n e r - o p e r a t o r s a n d r e g u l a t o r y a g e n c i e s . A d e s c r i p t i o n o f t h e s p e c i f i c t e r m s i n c l u d e d i n t h e o b j e c t i v e f u n c t i o n a n d t h e e f f e c t s o f t h e t i m e v a l u e o f money a r e a l s o p r e s e n t e d . The a p p r o a c h u s e d t o q u a n t i f y r i s k s i s d i s c u s s e d i n some d e t a i l . 62 3.1 E q u a t i o n Form One o f t h e m o r e g e n e r a l f o r m s o f a n o b j e c t i v e f u n c t i o n f o r u s e i n a r i s k - c o s t - b e n e f i t a n a l y s i s t r e a t s t h e s t r e a m o f f u t u r e b e n e f i t s , c o s t s , a n d r i s k s i n a n e t p r e s e n t v a l u e c a l c u l a t i o n [ C r o u c h a nd W i l s o n , 1982; M i s h a n , 1 9 7 6 ] : i.y t=0 [ B ( t ) - C ( t ) - R ( t ) ] / ( l + i ) t ( 3 . 1 ) w h e r e ^ = o b j e c t i v e f u n c t i o n [ U S $ ] , t = t i m e [ y r ] , T = t i m e h o r i z o n [ y r ] , i = d i s c o u n t r a t e [ d e c i m a l f r a c t i o n ] , B ( t ) = b e n e f i t s i n y e a r t [ U S $ ] , C ( t ) = c o s t s i n y e a r t [ U S $ ] , and R ( t ) = r i s k s i n y e a r t [ U S $ ] . The r i s k , R ( t ) , i n E q u a t i o n (3.1) i s d e f i n e d a s t h e e x p e c t e d c o s t a s s o c i a t e d w i t h t h e p r o b a b i l i t y o f f a i l u r e : R ( t ) = P f ( t ) C F ( t ) X ( C F ) ( 3 . 2 ) p r o b a b i l i t y o f f a i l u r e i n y e a r t [ d e c i m a l f r a c t i o n ] , c o s t s t h a t w o u l d a r i s e due t o t h e where: p f ( t ) C F ( t ) 63 c o n s e q u e n c e s o f a f a i l u r e i n y e a r t [ U S $ ] and X(CF) = n o r m a l i z e d u t i l i t y f u n c t i o n [ d e c i m a l f r a c t i o n ] T h e u t i l i t y f u n c t i o n a l l o w s o n e t o t a k e i n t o a c c o u n t t h e p o s s i b l e r i s k - a v e r s e t e n d e n c i e s o f some d e c i s i o n m a k e r s . F i g u r e 3.1 s h o w s a u t i l i t y f u n c t i o n , U n ( C F ) , t h a t r e p r e s e n t s t h e " e x p e c t e d - v a l u e " a p p r o a c h , a n d a n o t h e r , U n ( C F ) , t h a t r e p r e s e n t s r i s k - a v e r s e b e h a v i o r . The n o r m a l i z e d u t i l i t y f u n c t i o n u s e d i n e q u a t i o n 3.2 i s d e f i n e d a s : ^ ( C F ) = U 1 ( C F ) / U 0 ( C F ) ( 3 . 3 ) F o r t h e e x p e c t e d - v a l u e a p p r o a c h , IS = 1 f o r a l l v a l u e s o f t h e c o s t o f f a i l u r e , CF; f o r t h e r i s k - a v e r s e b e h a v i o r , ^ > 1 f o r a l l CF. S m a l l o w n e r - o p e r a t o r s who do n o t h a v e a l a r g e n e t w o r t h a r e t h e m o s t l i k e l y t o u s e a r i s k - a v e r s e u t i l i t y f u n c t i o n . L a r g e r c o m p a n i e s a r e m o r e l i k e l y t o t a k e a n e x p e c t e d v a l u e a p p r o a c h . R i s k a v e r s i o n i s a l s o i n f l u e n c e d b y t h e a v a i l a b i l i t y o f l i a b i l i t y i n s u r a n c e and t h e p e r c e p t i o n o f t h e o w n e r - o p e r a t o r a s t o t h e l i k e l i h o o d o f a g o v e r n m e n t b a i l o u t i n t h e e v e n t o f f a i l u r e . F o r s o c i a l d e c i s i o n s s u c h a s t h o s e i n t h e h a n d s o f r e g u l a t o r y a g e n c i e s , t h e r e a r e many a r g u m e n t s i n t h e l i t e r a t u r e [ A r r o w a n d L i n d , 1 9 7 0 ; F i s c h o f f e t a l . , 1 9 8 1 ; B a e c h e r e t a l , 1 9 8 0 ] t o s u g g e s t t h a t t h e r e s h o u l d be no r i s k a v e r s i o n . 64 Maker F i g u r e 3.1 - U t i l i t y F u n c t i o n s 65 R e l a t e d t o r i s k a v e r s i o n i s t h e p h e n o m e n o n o f r i s k p e r c e p t i o n . T h e r i s k a n a l y s i s l i t e r a t u r e a b o u n d s w i t h a r t i c l e s a b o u t r i s k p e r c e p t i o n [ c f . C r o u c h a n d W i l s o n , 1 9 8 2 ; F i s c h o f f e t a l . , 1 9 8 1 ; K e e n e y , 1 9 8 4 ] . P e o p l e o f t e n do n o t h a v e a r e a l i s t i c e s t i m a t e o f t h e i r r i s k due t o a c t u a l o r p e r c e i v e d t h r e a t s . From t h e p o i n t o f v i e w o f a n o w n e r - o p e r a t o r o f a w a s t e m a n a g e m e n t f a c i l i t y , h i s p e r c e i v e d r i s k i s t h e o n e h e s h o u l d a p p l y ; h e i s a n i n d i v i d u a l a n d h e h a s t h e r i g h t t o d o s o . T h e r e i s a q u e s t i o n , h o w e v e r , i n s o c i a l d e c i s i o n s w h e t h e r a r e g u l a t o r y a g e n c y s h o u l d u s e i t s p e r c e p t i o n s o f r i s k o r a c t a s a c o n d u i t f o r p u b l i c p e r c e p t i o n s . The o b j e c t i v e f u n c t i o n g i v e n b y E q u a t i o n 3.1 c a n b e u s e d b y e i t h e r t h e o w n e r - o p e r a t o r o r t h e r e g u l a t o r y a g e n c y a s l o n g a s t h e v a r i a b l e s u s e d a r e t h e o n e s p e r t i n e n t f o r t h e p o i n t o f v i e w b e i n g t a k e n and t h e p r o b l e m a t h a n d . F o r a s s e s s i n g a l t e r n a t i v e s b y t h e o w n e r - o p e r a t o r , t h e c o s t s a r e t h e c a p i t a l c o s t s a n d o p e r a t i o n a l c o s t s o f c o n s t r u c t i n g a n d o p e r a t i n g a w a s t e - m a n a g e m e n t f a c i l i t y . T h e b e n e f i t s a r e p r i m a r i l y i n t h e f o r m o f r e v e n u e s f o r s e r v i c e s p r o v i d e d . The c o s t s a s s o c i a t e d w i t h t h e p r o b a b i l i t y o f f a i l u r e a r e t h o s e t h a t a f f e c t h i s p r o f i t a b i l i t y : f i n e s , t a x e s , o r c h a r g e s l e v i e d b y t h e r e g u l a t o r y a g e n c y ; c o s t s o f l i t i g a t i o n ; c o s t s o f r e m e d i a l a c t i o n ; and t h e v a l u e o f a n y r e v e n u e s f o r g o n e i f o p e r a t i o n s must be c u r t a i l e d o r s t o p p e d . F o r a s s e s s i n g a l t e r n a t i v e s b y t h e r e g u l a t o r y a g e n c y , t h e c o s t s a r e t h e a d m i n i s t r a t i v e c o s t s o f m a i n t a i n i n g t h e r e g u l a t o r y a g e n c y 66 a t a l e v e l s u i t a b l e t o t h e p a r t i c u l a r s e t o f r e g u l a t i o n s . T h e b e n e f i t s t o s o c i e t y a r e p r i m a r i l y t h o s e a s s o c i a t e d w i t h t h e p r e s e r v a t i o n o f c l e a n w a t e r . The c o s t s a s s o c i a t e d w i t h t h e r i s k o f f a i l u r e a r e t h e c o s t s o f r e m e d i a l a c t i o n w h e r e t h e s e a r e n o t b o r n e b y t h e o w n e r - o p e r a t o r , t h e v a l u e o f t h e b e n e f i t s undone b y t h e c o n t a m i n a t i o n i n c i d e n t ( i n t h e f o r m o f r e d u c e d g r o u n d w a t e r q u a l i t y ) , a n d t h e s o c i e t a l c o s t s a s s o c i a t e d w i t h t h e i m p a i r m e n t o f human h e a l t h o r t h e l o s s o f human l i v e s . The o b j e c t i v e f u n c t i o n c o m p o n e n t s f o r b o t h t h e o w n e r - o p e r a t o r a nd t h e r e g u l a t o r y a g e n c y w i l l b e d e s c r i b e d i n m o r e d e t a i l i n S e c t i o n s 3.4 a n d 3.5. H o w e v e r , b e f o r e p r e s e n t i n g t h e s e m a t e r i a l s , i t i s n e c e s s a r y t o d i s c u s s t h e v a l u e o f human l i f e and h e a l t h and t h e v a l u e o f c l e a n w a t e r . 67 3.2 V a l u e o f L i f e a n d H e a l t h The f a i l u r e o f a waste-management f a c i l i t y may l e a d t o i m p a i r e d h e a l t h a nd t h e p o s s i b l e l o s s o f l i v e s . I n t h a t t h e p r o b a b i l i t y o f f a i l u r e c a n n o t b e r e d u c e d t o z e r o , i t i s i m p o s s i b l e i n a s s e s s i n g t h e c o s t s a s s o c i a t e d w i t h t h e p r o b a b i l i t y o f f a i l u r e t o a v o i d c o n s i d e r a t i o n o f t h e v a l u e o f human l i f e a n d h e a l t h . I n t h i s d i s s e r t a t i o n , i t i s assumed t h a t t h e r e g u l a t o r y a g e n c y i s r e s p o n s i b l e f o r p r o t e c t i n g p u b l i c s a f e t y a n d t h a t d e s i g n e n g i n e e r s w i l l n o t c o n c e r n t h e m s e l v e s w i t h t h i s i s s u e i f a n a d e q u a t e r e g u l a t o r y s y s t e m i s i n p l a c e . T h e r e i s a v e r y l a r g e l i t e r a t u r e o n t h e d o l l a r v a l u e o f l i f e [ c f . S t a r r e t a l . , 1 9 7 6 ; J o n e s - L e e , 1 9 7 6 ; F i s c h o f f e t a l . , 1 9 8 3 ; L a n d e s f e l d a n d S e s k i n , 1 9 8 2 ] . T h e p a p e r b y F i s c h o f f e t a l . [ 1 9 8 1 ] p r o v i d e s a g e n e r a l summary o f t h e m e t h o d s t h a t h a v e b e e n p r o p o s e d t o d e t e r m i n e t h e v a l u e o f a " s t a t i s t i c a l " l i f e , and t h e one b y S h a r e f k i n e t a l . [ 1 9 8 4 ] p r o v i d e s a d i s c u s s i o n o f t h e i s s u e w i t h p a r t i c u l a r r e f e r e n c e t o g r o u n d w a t e r c o n t a m i n a t i o n i n c i d e n t s . M o s t m e t h o d s f a l l i n t o one o f t h e f o l l o w i n g c l a s s e s : 1. T h e human p r o d u c t i v i t y a p p r o a c h , b a s e d o n t h e p r e s e n t w o r t h o f f u t u r e l o s t e a r n i n g s . 2. The l e g a l a p p r o a c h , b a s e d on c o u r t a w a r d s f o r l i v e s l o s t . 3. The i n s u r a n c e p r i n c i p l e , b a s e d on t h e p r e m i u m s p e o p l e a r e w i l l i n g t o p a y t o a v o i d i n c r e a s e d r i s k . 4. I m p l i c i t v a l u a t i o n b a s e d o n o b s e r v a b l e r e s p o n s e s t o t h e r i s k a s s o c i a t e d w i t h g o o d s and s e r v i c e s whose m a r k e t s a r e 68 r e a s o n a b l y w e l l d e v e l o p e d . 5. De f a c t o v a l u a t i o n a s embedded i n g o v e r n m e n t r e g u l a t i o n s a l r e a d y e n a c t e d . I n my o p i n i o n , t h e f i r s t t w o o f t h e s e m e t h o d s a r e e t h i c a l l y u n s a t i s f a c t o r y , and q u a n t i t a t i v e e s t i m a t e s b a s e d on t h e i m p l i c i t v a l u a t i o n s i n h e r e n t i n t h e o t h e r t h r e e m e t h o d s a r e v e r y d i f f i c u l t t o u n c o v e r . I t s e e m s t h a t d e c i s i o n s o n t h e v a l u e o f l i f e a r e somehow o u t s i d e t h e b o u n d s o f e c o n o m i c a n a l y s i s a n d a r e b e t t e r d e c i d e d i n t h e p o l i t i c a l a r e n a v i a t h e d e m o c r a t i c p r o c e s s . The a p p r o a c h e s p o u s e d b y B a e c h e r e t a l . [ 1 9 8 0 ] a n d V a n m a r c k e a n d B o h e n b l u s t [ 1 9 8 2 ] f o r r i s k - b a s e d d e c i s i o n a n a l y s i s o f dam s a f e t y i s p r e f e r r e d . T h e y recommend a v o i d i n g t h e q u a g m i r e o f a t t e m p t i n g t o e s t i m a t e d o l l a r v a l u e s f o r s t a t i s t i c a l l i v e s b y m a i n t a i n i n g s e p a r a t e a c c o u n t s f o r l i v e s a nd d o l l a r s . W i t h t h i s a p p r o a c h , t h e c o s t o f human l i f e i s n o t i n c l u d e d i n t h e r i s k t e r m u s e d i n t h e r i s k - c o s t - b e n e f i t a n a l y s i s o f p u b l i c p o l i c y a l t e r n a t i v e s . F o r any g i v e n a l t e r n a t i v e t h e e c o n o m i c c o s t s and b e n e f i t s a r e k e p t i n o n e a c c o u n t a n d t h e l i v e s s a v e d o r l i v e s e x p o s e d i n a s e p a r a t e a c c o u n t . T h i s p h i l o s o p h y c a n be i n c o r p o r a t e d b y m a x i m i z i n g t h e o b j e c t i v e f u n c t i o n f o r t h e r e g u l a t o r y a g e n c y s u b j e c t t o a c o n s t r a i n t o f t h e f o r m : I P f L < L p a (3.4) = t o t a l p r o b a b i l i t y o f f a i l u r e o v e r t h e p e r i o d , 0 < t < T 69 L b e s t e s t i m a t e o f l i v e s l o s t o r e x p o s e d b y t h e a l t e r n a t i v e u n d e r a s s e s s m e n t , and L p a p o l i t i c a l l y a c c e p t a b l e l i m i t o f s t a t i s t i c a l l i v e s a t r i s k . I f L i s t h e same f o r e a c h a l t e r n a t i v e i n a s e t o f a l t e r n a t i v e s , a s i t w o u l d b e i n a s s e s s i n g a l t e r n a t i v e p o l i c i e s f o r a g i v e n s i t e , t h e c o n s t r a i n t c a n be s i m p l i f i e d t o : I t i s o b v i o u s t h a t t h e p o l i t i c a l l y a c c e p t a b l e p r o b a b i l i t y o f f a i l u r e o r t h e p o l i t i c a l l y a c c e p t a b l e l i v e s a t r i s k c a n n o t be c o n s i d e r e d a s f i x e d known q u a n t i t i e s . T hey a r e d e t e r m i n e d i n t h e c r u c i b l e o f t h e d e m o c r a t i c p r o c e s s t h r o u g h e l e c t i o n s , r e f e r e n d u m s , a n d p u b l i c h e a r i n g s , a n d u n d e r t h e i n f l u e n c e o f a d v e r s a r i a l l o b b i e s . T h i s a p p r o a c h o f m e e t i n g a n a c c e p t a b l e s o c i e t a l s t a n d a r d w i t h r e s p e c t t o t h e p o s s i b l e l o s s o f l i f e i s a k i n t o t h e c o n c e p t o f " a c c e p t a b l e r i s k , " a b o u t w h i c h t h e r e i s c o n s i d e r a b l e c o n t r o v e r s y i n t h e d e c i s i o n - a n a l y s i s l i t e r a t u r e . I t i s c l e a r [ F i s c h o f f e t a l . , 1 9 8 1 ] t h a t a c c e p t a b l e r i s k i s d e p e n d e n t o n v a l u e s a n d b e l i e f ; i t i s d e f i n a b l e o n l y f o r a w e l l - d e f i n e d c o n s t i t u e n c y . I n p r a c t i c e , a c c e p t a b l e r i s k i s t h e r i s k a s s o c i a t e d w i t h t h e m o s t Z P f < ( i P f ) p a (3.5) w h e r e p o l i t i c a l l y a c c e p t a b l e p r o b a b i l i t y o f f a i l u r e . 70 a c c e p t a b l e d e c i s i o n ; i t i s n o t a c c e p t a b l e i n a n y a b s o l u t e s e n s e . I f o n e a c c e p t s t h e s e i d e a s , i t i s c l e a r t h a t a c c e p t a b l e r i s k i s d e c i d e d i n t h e p o l i t i c a l a r e n a and t h a t " a c c e p t a b l e " r i s k r e a l l y means " p o l i t i c a l l y a c c e p t a b l e " r i s k a s we h a v e u s e d i t a b o v e . 71 3.3 V a l u e o f C l e a n W a t e r One o f t h e b e n e f i t s t o s o c i e t y o f a p r o p e r l y e n g i n e e r e d w a s t e -m a n a g e m e n t f a c i l i t y i s t h e p r e s e r v a t i o n o f t h e q u a l i t y o f t h e g r o u n d w a t e r i n t h e a q u i f e r u n d e r l y i n g t h e s i t e . One o f t h e c o s t s t o s o c i e t y o f t h e f a i l u r e o f a waste-management f a c i l i t y i s t h e l o s s o f t h e s e b e n e f i t s . T h e r e i s c o n s i d e r a b l e l i t e r a t u r e on t h e b e n e f i t s o f c l e a n w a t e r i n t h e c o n t e x t o f s u r f a c e w a t e r b u t a l m o s t n o n e i n t h e c o n t e x t o f g r o u n d w a t e r . I n t h i s s e c t i o n a n a t t e m p t i s made t o p l a c e i n a g r o u n d w a t e r p e r s p e c t i v e some o f t h e i d e a s d e v e l o p e d f o r s u r f a c e -w a t e r r e s o u r c e s b y K n e e s e and Bower [ 1 9 8 6 ] and Howe [ 1 9 7 9 ] . Some b e g i n n i n g s i n t h i s d i r e c t i o n h a v e a l s o b e e n made i n r e c e n t p a p e r s b y R a u c h e r [ 1 9 8 4 ] a nd S h a r e f k i n [ 1 9 8 4 ] . I t a p p e a r s t h a t t h e r e a r e t w o s e n s e s i n w h i c h c l e a n g r o u n d w a t e r h a s v a l u e . I t h a s v a l u e i n u s e a s a r e s o u r c e f o r t h e c u r r e n t g e n e r a t i o n , a n d i t h a s v a l u e i n s t o r a g e f o r f u t u r e g e n e r a t i o n s . The f i r s t o f t h e s e b e n e f i t s c a n be e v a l u a t e d w i t h t h e c o n c e p t o f s c a r c i t y r e n t , a n d t h e s e c o n d i n t e r m s o f p r e s e r v a t i o n b e n e f i t s . E c o n o m i s t s d e f i n e r e n t [ M i s h a n , 1 9 7 6 ] a s t h e d i f f e r e n c e b e t w e e n t h e b e n e f i t s g e n e r a t e d b y a r e s o u r c e i n i t s c u r r e n t u s e a n d t h e m i n i m u m sum t h e r e s o u r c e o w n e r i s w i l l i n g t o a c c e p t t o k e e p t h e r e s o u r c e i n i t s c u r r e n t u s e r a t h e r t h a n d i v e r t i t t o a n a l t e r n a t i v e u s e . The s c a r c i t y r e n t [Howe, 1 9 7 9 ] o f a r e n e w a b l e b u t d e p l e t a b l e r e s o u r c e i s d e f i n e d a s t h e p r e s e n t v a l u e o f a l l f u t u r e s a c r i f i c e s a s s o c i a t e d w i t h t h e u s e o f a m a r g i n a l u n i t o f a n i n s i t u r e s o u r c e . U n d e r a p p r o p r i a t e m a r k e t c o n d i t i o n s , t h e s c a r c i t y r e n t i s e q u a l t o t h e m a r k e t v a l u e o f t h e s e i n s i t u r e s o u r c e s . I f a n a q u i f e r o r a p o r t i o n o f i t h a s a n a n n u a l o p t i m a l y i e l d , Q ( t ) , a n d i f B s r i s t h e u n i t s c a r c i t y r e n t , . t h e a n n u a l b e n e f i t s o f h a v i n g t h e w a t e r i n p l a c e f o r u s e b y t h e c u r r e n t g e n e r a t i o n i s B s r t i m e s Q ( t ) . I t i s t h i s b e n e f i t t h a t i s f o r e g o n e i n t h e e v e n t o f a f a i l u r e o f a waste-management f a c i l i t y t h a t p o l l u t e s t h e a q u i f e r ( o r t h a t p o r t i o n o f i t t h a t c o u l d p r o d u c e an a n n u a l o p t i m a l y i e l d , Q ( t ) . ) The c o n c e p t o f p r e s e r v a t i o n b e n e f i t s f o r s u r f a c e w a t e r h a s b e e n d e s c r i b e d b y K n e e s e a n d B o w e r [ 1 9 6 8 ] . T h e y n o t e d t h a t t h e n e e d t o p r e s e r v e p o t a b l e w a t e r c a n n o t j u s t i f y p a r t i c u l a r l y h i g h s t a n d a r d s o f w a t e r q u a l i t y i n w a t e r c o u r s e s b e c a u s e t r e a t m e n t a t t h e p o i n t o f i n t a k e f r o m s t r e a m s p r i o r t o d e l i v e r y t o i n d u s t r i a l o r m u n i c i p a l w a t e r s y s t e m s i s a n e c o n o m i c a l l y v i a b l e a p p r o a c h . They, c o n c l u d e t h a t h i g h e r w a t e r q u a l i t y must be j u s t i f i e d on t h e g r o u n d s o f r e c r e a t i o n a l and p r e s e r v a t i o n b e n e f i t s , t h e s o - c a l l e d " i n t r i n s i c " b e n e f i t s o f c l e a n w a t e r . F o r g r o u n d w a t e r , i t i s h a r d t o a r g u e o n b e h a l f o f r e c r e a t i o n a l b e n e f i t s , b u t t h e r e i s e v i d e n c e t h a t s o c i e t y a s c r i b e s l a r g e p r e s e r v a t i o n v a l u e t o g r o u n d w a t e r . I n f a c t , a s w i t h s u r f a c e w a t e r , i t i s l i k e l y t h a t t h e i n t r i n s i c b e n e f i t s o f g r o u n d w a t e r - q u a l i t y p r o t e c t i o n o u t w e i g h t h e d i r e c t b e n e f i t s , w h i c h a t c u r r e n t m a r k e t r a t e s f o r w a t e r a r e n o t p a r t i c u l a r l y l a r g e . F o r e x a m p l e , R a u c h e r [ 1 9 8 4 ] c a r r i e d o u t an e c o n o m i c a n a l y s i s o f a l t e r n a t i v e r e m e d i a l a c t i o n s a s s o c i a t e d w i t h t w o c o n t a m i n a t i o n i n c i d e n t s . He c o n c l u d e d t h a t n o f o r m o f d i r e c t r e m e d i a l a c t i o n c o u l d b e e c o n o m i c a l l y j u s t i f i e d ; t h e r e c o m m e n d e d c o u r s e o f a c t i o n i n v o l v e d l o c a t i n g a n a l t e r n a t i v e s o u r c e o f s u p p l y . He d i d n o t i n c l u d e i n t r i n s i c b e n e f i t s i n h i s c o s t - b e n e f i t a n a l y s i s , b u t he d i d b a c k - c a l c u l a t e t h e v a l u e t h a t t h e y w o u l d h a v e t o a t t a i n t o j u s t i f y d i r e c t r e m e d i a l a c t i o n . The numbers he o b t a i n e d s t r u c k h i m a s u n r e a s o n a b l y l a r g e . H owever, i t m u s t b e n o t e d t h a t s u c h l a r g e n u m b e r s may b e r e p r e s e n t a t i v e . T h e p u b l i c d e m and f o r g r o u n d w a t e r c l e a n u p i n s u c h c a s e s ( a s e v i d e n c e d p o l i t i c a l l y b y t h e p a s s a g e o f t h e C E R C L A , o r " S u p e r f u n d " l e g i s l a t i o n ) i m p l i e s a l a r g e i n t r i n s i c v a l u e . T h i s p u b l i c demand may be t a k e n a s a s t r o n g p o l i t i c a l s t a t e m e n t o f t h e p r e s e r v a t i o n v a l u e o f c l e a n a q u i f e r s . G r e e n l e y e t a l . [ 1 9 8 2 ] i d e n t i f i e d t h r e e m o r e - o r - l e s s s e p a r a b l e c o m p o n e n t s o f v a l u e t h a t c a n be a s c r i b e d t o t h e p r e s e r v a t i o n o f c l e a n w a t e r . 1. O p t i o n v a l u e -- t h e p r o t e c t i o n o f f u t u r e o p t i o n s f o r c o m p e t i n g u s a g e . 2. E x i s t e n c e v a l u e — a w i l l i n g n e s s on t h e p a r t o f s o c i e t y t o p a y f o r t h e s i m p l e k n o w l e d g e o f t h e e x i s t e n c e o f c l e a n w a t e r . 3. B e q u e s t v a l u e -- t h e s a t i s f a c t i o n s o c i e t y g a i n s f r o m b e q u e a t h i n g a c l e a n n a t u r a l e n v i r o n m e n t t o f u t u r e g e n e r a t i o n s . T h ey e v e n p r e s e n t e d d a t a on t h e v a l u e o f e a c h o f t h e s e c o m p o n e n t s f o r s u r f a c e w a t e r , b a s e d on q u e s t i o n n a i r e s c o m p l e t e d b y a random 74 s a m p l i n g o f t h e p u b l i c . I t i s n o t c l e a r how t h e s e v a l u e s t r a n s l a t e t o g r o u n d w a t e r . T h e y a r e f a r l e s s t h a n t h o s e i m p l i e d b y R a u c h e r ' s b a c k - c a l c u l a t i o n . G o r e l i c k [ 1 9 8 2 ] a n d G o r e l i c k a n d Remson [ 1 9 8 2 ] p r e s e n t e d a n a l t e r n a t i v e way o f l o o k i n g a t t h e v a l u e o f a n a q u i f e r a s a r e s o u r c e . T h e y n o t e d t h a t a n a q u i f e r h a s v a l u e t o s o c i e t y b o t h a s a s o u r c e o f g r o u n d w a t e r a n d a s a r e c e p t o r o f l e a c h a t e s f r o m w a s t e - m a n a g e m e n t s i t e s . T h e y d e v e l o p e d t e c h n i q u e s f o r t h e o p t i m a l l o c a t i o n a n d management o f l e a c h a t e s o u r c e s i n an a q u i f e r t h a t i s a l s o t a p p e d b y w e l l s . 75 3.4 E q u a t i o n Components f o r O w n e r - O p e r a t o r s The o b j e c t i v e f u n c t i o n f o r a s s e s s i n g a l t e r n a t i v e s a v a i l a b l e t o t h e o w n e r - o p e r a t o r i s o u t l i n e d i n T a b l e 3.1. I n T a b l e 3.1a, t h e e q u a t i o n s f o r t h e m a j o r c o m p o n e n t s o f t h e o b j e c t i v e f u n c t i o n a r e d e s c r i b e d i n some d e t a i l . The p a r a m e t e r s u s e d i n t h e s e e q u a t i o n s a r e d e f i n e d i n T a b l e 3.1b. T y p i c a l v a l u e s f o r t h e p a r a m e t e r s a r e a l s o p r e s e n t e d i n T a b l e 3.1b. The v a l u e s u s e d f o r t h e s e n s i t i v i t y s t u d i e s t h a t a r e d e s c r i b e d i n C h a p t e r 7 a r e a l s o i n c l u d e d i n T a b l e 3.1b. F i g u r e 3.2 c l a r i f i e s t h e t i m e a n d s p a c e f r a m e w o r k f o r t h e o w n e r -o p e r a t o r ' s r i s k - c o s t - b e n e f i t a n a l y s i s , a n d s u m m a r i z e s t h e p a r a m e t e r s d i s c u s s e d b e l o w . F i g u r e 3.2a s h o w s t h e t i m e s c a l e s u s e d . A t t i m e t = 0 a s i t e e x p l o r a t i o n a n d f a c i l i t y d e s i g n p h a s e i s b e g u n . T h i s i s f o l l o w e d a t t i m e t = t c o n b y a c o n s t r u c t i o n p h a s e . The c o n s t r u c t i o n p h a s e i s i n t u r n f o l l o w e d a t t i m e t = t o p b y t h e a c t u a l o p e r a t i o n o f t h e f a c i l i t y . F i n a l l y , a t t i m e t = T 0 / t h e f a c i l i t y i s d e c o m m i s s i o n e d . F i g u r e s 3.2b a n d 3.2c i l l u s t r a t e t h e s p a t i a l f r a m e w o r k a s s u m e d f o r t h e w a s t e management. A b r e a c h o f t h e c o n t a i n m e n t s t r u c t u r e r e s u l t s i n a p l u m e t h a t m i g r a t e s t o w a r d a r e g u l a t o r y c o m p l i a n c e s u r f a c e . A m o n i t o r i n g n e t w o r k may b e i n s t a l l e d b y t h e o w n e r -o p e r a t o r b e t w e e n t h e f a c i l i t y a n d t h e c o m p l i a n c e s u r f a c e . T h e c o n c e n t r a t i o n p r o f i l e a t t h e c o m p l i a n c e p o i n t i s a l s o s h o w n o n F i g u r e 3.2. A t t i m e t * * , t h e c o n c e n t r a t i o n a t t h e c o m p l i a n c e s u r f a c e i n c r e a s e s a s a s t e p f u n c t i o n . 76 T a b l e 3.1 - R i s k - C o s t - B e n e f i t A n a l y s i s f o r O w n e r - O p e r a t o r A. E q u a t i o n s O b j e c t i v e F u n c t i o n T o $ o = ^ L"B 0(t) - C 0 ( t ) - R 0 ( t ) ] / ( l + i m ) t (T3.1.1) t=0 B e n e f i t s B o ( t ) = 0 0 < t < t o p = B j t o p < t < T 0 = B I + B n t = T 0 B I = B R V + B p r i V ( T 3 . 1 . 2 ) To B I I = ( C L A + C B p ) ( l + i m ) ( T 3 . 1 . 3 ) V = Z / ( T Q - t o p ) ( T 3 . 1 . 4 ) C o s t s : A f t e r Tax C Q ( t ) = C 0 ' ( t ) + C 0 " ( t ) ( T 3 . 1 . 5 ) C 0 ' ( t ) = b e f o r e - t a x c o s t s i n y e a r t C Q'' ( t ) = i n c o m e t a x e s i n y e a r t = f C B 0 ( t ) - C 0 ' ( t ) ] i f [ ] > 0 i f [ ] < 0 C o s t s : B e f o r e Tax C Q ' ( t ) = C c a p ( * t ) + C o p ( t ) ( T 3 . 1 . 6 ) C c a p ( t ) = c a p i t a l c o s t s i n y e a r t ^ o p ( t ) = o p e r a t i n g c o s t s i n y e a r t 77 T a b l e 3.1 - c o n t i n u e d C o s t s : C a p i t a l C c a p ( t ) = C T ; t = 0 = C n t = t C o n = C j + e n + C m t = t o p = 0 a l l o t h e r t C j = C L A + C S A + C B p (T3 . 1 . 7 ) C l I = (Cy + C N n ) Y X ( T 3 . 1 . 8 ) C I I I = m C A A ( T 3 . 1 . 9 ) Civ = (Cy + C V I ) Y m ( T 3 . 1 . 1 0 ) C V = CQV ( T 3 . 1 . 1 1 ) C o s t s : O p e r a t i n g c o p ( t ) = C v i 0 < t < t o p = C v n + Cvin t 0 p < t < T 0 C V I = [ 0 . 1 4 ( C c a p ( t ' ) ) ] / t o p ( T 3 . 1 . 1 2 ) C V I I = C U V + C E E V + C T V + 2 . 0 8 C B L V + C W r 2 v + 0 . 1 0 B 2 r i V ( T 3 . 1 . 1 3 ) C V I I I = C C l Y M k ( T 3 . 1 . 1 4 ) C I X = CnA ( T 3 . 1 . 1 5 ) 78 T a b l e 3.1 - c o n t i n u e d R i s k s : G e n e r a l - R o ( t ) \= R c o m p ( t ) + Rmon(t) ( T 3 . 1 . 1 6 ) R c o m p ( Ri mon ( t ) = c o s t s a s s o c i a t e d w i t h r i s k o f p l ume a r r i v a l a t c o m p l i a n c e s u r f a c e i n y e a r t ( f a i l u r e ) c o s t s a s s o c i a t e d w i t h r i s k o f p l ume a r r i v a l a t m o n i t o r i n g n e t w o r k i n y e a r t ( d e t e c t i o n ) R i s k s : F a i l u r e R c o m p ( t ) = P f ( t ) C P 0 ( t ) ( C F 0 ) P f ' ( t ) = P f ( t ) ( 1 - P d ) Cp + C j + C R + C G ( t ) To B I I + \ (1 + r 3 ) [ B I - C 0 p ( t ) ] ^ . +• f = t C F Q ( t ) C G ( t ) ( l - i m ) 7 0 ^ (1 + i m ) t ' - t R i s k s : D e t e c t i o n R m o n ( t ) = P p ' ( t ) C D 0 > r 5 ' ( C D 0 ) P p ' ( t ) = P p ( t ) P d CD, w h e r e a = Xj^/Xg E c o n o m i e s o f S c a l e " [ c o , ( t ) ] A J C C Q ' ( t ) ] B J L Z B ] ( T 3 . 1 . 1 7 ) ( T 3 . 1 . 1 8 ) ( T 3 . 1 . 1 9 ) ( T 3 . 1 . 2 0 ) ( T 3 . 1 . 2 1 ) ( T 3 . 1 . 2 2 ) ( T 3 . 1 . 2 2 ) (T3.1.23) 79 Table 3.1 - continued B. D e f i n i t i o n s o f Parameters 1. Parameters used d i r e c t l y i n equations Parameter D e f i n i t i o n Unit Range Base Case T o Owner-operator's time horizon yr 10-50 46 t c o n Time at which construction begins yr 1-5 3 'op Time at which operation begins yr 2-10 6 *« I n f l a t i o n - f r e e , constant-dollar, market discount rate decimal f r a c t i o n 0.05-0.20 0.10 Z Capacity of l a n d f i l l ton 10 5-10 7 4.5xl0 5 A Area of l a n d f i l l m2 lO^-lO 6 3.0X101* BR Charge for waste handled US$/ton 10-100 90 B P Price obtained from recovered products US$/ton 0-100 50 r l R atio: Recovered products/waste handled decimal f r a c t i o n 0-0.10 0.05 f Income tax rate decimal f r a c t i o n 0.48 0.48 Y X T o t a l depth of exploratory d r i l l i n g m 0-1,000 90 n Number of measurements of hydraulic conductivity i n exploration program per m d r i l l e d m"1 0.1-1.0 0.1 YM T o t a l depth of d r i l l i n g f or i n s t a l l a t i o n of monitoring network m 0-1,000 90 SL Number of monitoring points in monitoring network per m d r i l l e d m 0.1-1.0 0.1 k Number of samples c o l l e c t e d at each monitoring point per year y r " 1 0-52 4 m Design v a r i a b l e ; number of l i n e r s i n p a r a l l e l Integer 0-4 1 E Energy requirements of f a c i l i t y MJ/ton 100-200 140 L Labor requirements of f a c i l i t y man-h/ton 0.1-0.2 0.1 80 Table 3.1 - continued Base Parameter Definition Unit Range Case r2 Ratio: residual waste/waste handled decimal fraction 0-0.05 0.01 ©0 Ratio: postfailure net benefits/ prefailure net benefits decimal fraction 0-1.0 0.0 XM Distance from edge of l a n d f i l l to compliance surface m 100-10,000 1000 a Ratio: distance from center of l a n d f i l l to monitoring network/ distance to compliance surface decimal fraction 0-1.0 0.25 C L Cost of land US$/m2 0.1-1.0 0.2 CS Cost of services US$/m2 ~0.5CL 0.1 CBP Performance bond posted US$ 0-107 0.0 C y Cost of d r i l l i n g and casing US$/m 50-150 100 CN Cost per in situ hydraulic conductivity measurement us$/ meas. 200-2,000 1000 CA Cost of synthetic liner US$/m2 2-10 8.0 c v Cost of point installation of monitoring us$/ mon-point 50-500 400 CQ Cost of equipment US$/ton 5-10 7.5 c u Cost of maintenance and supplies US$/ton 0.1-1.0 0.5 C E Cost of energy US$/MJ 0.002-0.01 0.004 c T Cost of preemplacement treatment US$/ton 0-100 0.0 CB Cost of labor US$/man-h 10-20 15 Cost of disposal of residual waste US$/ton 50-150 100 c c Cost of chemical analysis of one sample collected from monitoring point us$/ sample 50-1,500 300 Cost of restoration of l a n d f i l l and decommissioning of f a c i l i t y US$/m2 1-2 1.5 81 Table 3.1 - continued C p Cost of regulatory fine in event of US$ 0-107 5xl0 6. failure Cj Cost of li t i g a t i o n and damages US$ 0-107 5xlOe assessed in case of failure C R Cost of remedial action in event US$ 0-107 5.75xl06 of failure e Scale factor for economies of scale decimal 0.8 0.8 fraction 2. Parameters used in determination of P^(t), P p ( t ) , and P^ Base Parameter Definition Unit Range Case t* Mean breach of time of a single liner yr 0-100 14 m Number of liners in parallel integer 0-4 1 H Head drop between l a n d f i l l and m 0-100 8.2 compliance surface p Porosity of aquifer decimal 0.1-0.5 0.2 fraction K Mean hydraulic conductivity m/yr 1-10,000 1500 a R Standard deviation for hydraulic m/yr 100-5000 1500 conductivity a x, a y Correlation scales for hydraulic m 10-1000 300 conductivity Lg Length of breach in containment structure m 1-100 20 82 T I M E Exploration and Construction Design I 1 h Operation Decommission 0 (a) t t„ Time, yrs P L A N Plume • Containment Structure (b) - Monitoring Network Compliance Surface O _ l _ Distance, m Containment structure: capacity. Z; area. A; throughput, V; mean breach time, f; number of liners, m. Hydrogeological environment: mean hydraulic conductivity, K; porosity, p; head drop, H; number of K-measurements, n; total depth of exploratory dril l ing, Y „ . Monitoring ne work: number of measurement points, i , per metre; frequency of measurements, k, per year; total depth, Y . Breakthrough curve at x c o - C. c O C C n o o O 0 -t ' Time C R O S S - S E C T I O N Containment Structure (c) Plume Monitoring Network Compliance Surface F i g u r e 3.2 - Framework f o r Owner-Operator's R i s k - C o s t - B e n e f i t A n a l y s i s w i t h R e s p e c t t o a) Time, b) P l a n View, and c) C r o s s - S e c t i o n View 83 T h e e v a l u a t i o n o f e c o n o m i c d e c i s i o n s i n t e r m s o f n e t p r e s e n t v a l u e r e q u i r e s t h e s p e c i f i c a t i o n o f a d i s c o u n t r a t e . F o r t h e o w n e r - o p e r a t o r , e s p e c i a l l y i n t h e c a s e w h e r e a l l o r m o s t o f h i s c a p i t a l i n v e s t m e n t t a k e s p l a c e a t o r n e a r t i m e z e r o , i t i s p r o p e r t o s e t t h e d i s c o u n t r a t e e q u a l t o t h e c u r r e n t m a r k e t r a t e o n p r i v a t e b o r r o w i n g , i b * B e c a u s e t h e i n t e r e s t r a t e c a n n o t be known w i t h c e r t a i n t y f o r t h e f u t u r e a n d i n v e s t m e n t d e c i s i o n s a r e s t r o n g l y s e n s i t i v e t o d i s c o u n t r a t e s , i t i s common t o c a r r y o u t a s e n s i t i v i t y a n a l y s i s on i f e d u r i n g t h e d e c i s i o n p r o c e s s . N e t - p r e s e n t - v a l u e c a l c u l a t i o n s m ust a l s o t a k e i n t o a c c o u n t t h e i n f l u e n c e o f t h e i n f l a t i o n r a t e , d. T h e r e a r e t w o a p p r o a c h e s : (1) t h e " c u r r e n t - d o l l a r " a p p r o a c h , w h i c h r e q u i r e s t h e d i r e c t i n c l u s i o n o f t h e i n f l a t i o n r a t e i n t h e d i s c o u n t f a c t o r o f t h e r i s k - c o s t - b e n e f i t a n a l y s i s , a n d t h e u s e o f a d i s c o u n t r a t e , i = i;b (2) a n d t h e " c o n s t a n t - d o l l a r " a p p r o a c h i n w h i c h d d o e s n o t e x p l i c i t l y a p p e a r a n d t h e d i s c o u n t r a t e i s i m , w h e r e i m = ife ~& [ G r a n t e t a l . , 1 9 8 2 ] . N o t e t h a t t h e c o n s t a n t - d o l l a r d i s c o u n t r a t e , i m / d o e s n o t i n c l u d e t h e i n f l a t i o n a r y c o m p o n e n t , s o i n a n i n f l a t i o n a r y p e r i o d i m w m be l o w e r t h a n t h e a c t u a l m a r k e t r a t e . I n t h i s s t u d y we h a v e u s e d t h e c o n s t a n t - d o l l a r a p p r o a c h , w i t h o u t e x p l i c i t i n c l u s i o n o f d, a n d w i t h i b a n d i m i n t h e v i c i n i t y o f 0.10 and 0.05, r e s p e c t i v e l y . A l l c o s t s , b e n e f i t s , and r i s k s a r e c a l c u l a t e d i n 1980 U.S. d o l l a r s , and w h e r e t h e d a t a a v a i l a b l e t o u s a r e f r o m a d a t e o t h e r t h a n 1 9 8 0 , t h e y h a v e b e e n c o n v e r t e d i n t o 1980 U.S. d o l l a r s b y u s i n g t h e c o n s u m e r p r i c e i n d e x . 84 I n v e s t m e n t d e c i s i o n s may be v e r y s e n s i t i v e t o t h e t i m e h o r i z o n , T Q o v e r w h i c h c a l c u l a t i o n s a r e made. F o r m o s t r e p r e s e n t a t i v e d i s c o u n t r a t e s , b e n e f i t s t h a t o c c u r b e y o n d a b o u t 2 0 y e a r s i n t o t h e f u t u r e h a v e an i n c r e a s i n g l y n e g l i g i b l e c o n t r i b u t i o n t o t h e n e t p r e s e n t v a l u e o f a p r o j e c t . W i l s o n [ 1 9 8 1 ] s u g g e s t e d a t i m e h o r i z o n o f 1 0 - 2 5 y e a r s f o r w a s t e - m a n a g e m e n t f a c i l i t i e s . A f e w a u t h o r s h a v e s u g g e s t e d h o r i z o n s a s l o n g a s 5 0 y e a r s . B e n e f i t s a r e d e r i v e d p r i m a r i l y f r o m t h e f i r s t t e r m o f B T i n T a b l e 3 . 1 A w h i c h i s t h e r e v e n u e r e c e i v e d f o r w a s t e h a n d l e d ; t h e p a r a m e t e r , V, i s t h e a n n u a l t h r o u g h p u t ( t o n s / y r ) . T h e s e c o n d t e r m i s t h e r e v e n u e r e c e i v e d f o r r e c o v e r e d p r o d u c t s . The t e r m , B J I r e p r e s e n t s t h e r e t u r n o f i n v e s t m e n t w i t h i n t e r e s t a t t = T Q o f m o n i e s p u t down a t t = 0 f o r l a n d p u r c h a s e a n d t h e p o s t i n g o f a r e g u l a t o r y b o n d . I t i s a s s u m e d t h a t i n v e s t m e n t i n l a n d b e a r s i n t e r e s t a t t h e same r a t e a s i n v e s t m e n t i n t h e m a r k e t . T h e b e n e f i t s B T a n d B T I A R E the b e n e f i t s f o r e g o n e i n t h e e v e n t o f f a i l u r e . C o s t s i n c l u d e b o t h c a p i t a l a n d o p e r a t i n g c o s t s , a s w e l l a s t h e i m p a c t o f t h e i n c o m e - t a x r a t e , f . T h e t e r m Cj u n d e r c a p i t a l c o s t s r e p r e s e n t s t h e c o s t o f l a n d , s e r v i c e s a n d p o s t i n g a r e g u l a t o r y b ond. The t e r m , C n - i s t h e c o s t o f e x p l o r a t i o n . The t e r m , CJJJ, i s t h e c o s t o f t h e c o n t a i n m e n t s t r u c t u r e . ( N o t e t h a t i f t h e u n i t c o s t o f o n e s y n t h e t i c l i n e r i s C A » T H E C O S T O F M i d e n t i c a l l i n e r s i s mC A). T h e t e r m , C I V , r e p r e s e n t s t h e c a p i t a l c o s t s o f i n s t a l l i n g a m o n i t o r i n g n e t w o r k . T h e t e r m , C y ' 1 S t * i e c o s t o f c a p i t a l e q u i p m e n t . 8 5 T h e o p e r a t i n g - c o s t e x p r e s s i o n s , C V I a n d C V I I , a r e b a s e d o n W i l s o n ' s [ 1 9 8 1 ] work. Cvi r e f l e c t s t h e f a c t t h a t o p e r a t i n g c o s t s d u r i n g e x p l o r a t i o n and c o n s t r u c t i o n a r e t a k e n a s a p e r c e n t a g e o f t h e a v e r a g e c a p i t a l c o s t s d u r i n g t h i s p e r i o d . The t e r m s o f C y i i ' t a k e n i n o r d e r , r e p r e s e n t t h e c o s t o f (1) m a i n t e n a n c e , m a t e r i a l s , a n d s u p p l i e s ; (2) e n e r g y ; (3) w a s t e t r e a t m e n t ; (4) l a b o r ; (5) d i s p o s a l o f r e s i d u a l w a s t e ; a n d (6) m a r k e t i n g o f r e c o v e r e d p r o d u c t s . T h e t e r m , C V I I I < i s t h e c o s t o f c o l l e c t i o n a n d a n a l y s i s o f s a m p l e s f r o m t h e m o n i t o r i n g n e t w o r k . The t e r m , C j X , i s t h e c o s t o f d e c o m m i s s i o n i n g a n d / o r r e s t o r i n g t h e f a c i l i t y a t t = T o-W i l s o n [ 1 9 8 1 ] s u g g e s t e d t h a t t h e r e a r e e c o n o m i e s o f s c a l e a s s o c i a t e d w i t h t h e c o s t s o f w a s t e - m a n a g e m e n t f a c i l i t i e s . I f t h e s e a r e t o b e t a k e n i n t o a c c o u n t , t h e r i g h t - h a n d s i d e o f e q u a t i o n (T3.1.6) s h o u l d b e m u l t i p l i e d b y a s c a l e f a c t o r s u c h t h a t t h e b e f o r e - t a x c o s t s , [ C Q ' ( t ) ] A a n d [ C 0 ' ( t ) ] B , f o r t w o f a c i l i t i e s A and B a r e r e l a t e d t o t h e i r c a p a c i t i e s , Z A and Z B ' ^ y e q u a t i o n ( T 3 . 1 . 2 4 ) . W i l s o n s u g g e s t e d a v a l u e f o r t h e s c a l e f a c t o r o f 0.8. T a x e s a r e a n a d d i t i o n a l c o s t i t e m t o t h e o w n e r - o p e r a t o r . T h e r e a r e t h r e e m a j o r t y p e s o f t a x a t i o n -- p r o p e r t y t a x e s , e x c i s e t a x e s , a n d i n c o m e t a x e s -- a n d t h e l a s t m u s t b e p a i d o n b o t h c a p i t a l g a i n s and c o r p o r a t e p r o f i t s . F o r most d e c i s i o n a n a l y s e s , t h e r e l a t i v e v a l u e s o f t h e s e t a x e s a r e s u c h t h a t t h e p r o p e r t y t a x e s , e x c i s e t a x e s , a n d c a p i t a l g a i n s t a x e s c a n b e i g n o r e d a n d 86 t h e t a x r a t e , f , c a n be t a k e n a s t h e i n c o m e - t a x r a t e on c o r p o r a t e p r o f i t s [ D i e t e r , 1 9 8 3 ] . I n N o r t h A m e r i c a , f i s a p p r o x i m a t e l y 0.5. D e p r e c i a t i o n o f c a p i t a l e q u i p m e n t c a n p r o d u c e t a x a d v a n t a g e s t o t h e o w n e r - o p e r a t o r . H o w e v e r , i n o u r s t u d y , no a p p r e c i a b l e a s s e t s a r e assumed. I n a waste-management f a c i l i t y w h e r e t h e p r i n c i p a l d e s i g n f e a t u r e i n v o l v e s s y n t h e t i c l i n e r s , d e p r e c i a b l e e q u i p m e n t i s a m i n o r c o m p o n e n t o f t o t a l c a p i t a l c o s t , s o t h e b e n e f i t s o f d e p r e c i a t i o n on t a x e s c a n be i g n o r e d . R i s k s r e f l e c t b o t h t h e c o s t s t h a t w o u l d a r i s e i n r e s p o n s e t o p l u m e d e t e c t i o n a t t h e m o n i t o r i n g n e t w o r k , CD 0» a n & a t t n e c o m p l i a n c e s u r f a c e , C F D ( t ) . T h e f o u r c o m p o n e n t s o f t h e C F D ( t ) t e r m g i v e n b y e q u a t i o n (T3.1.19) a r e r e g u l a t o r y p e n a l t i e s , Cp' l i t i g a t i o n c o s t s , C j , r e m e d i a l c o s t s , CR, a n d n e t b e n e f i t s r e d u c e d (0 < r 3 < 1) o r f o r e g o n e ( r 3 = 0 ) . The C D Q t e r m g i v e n b y e q u a t i o n (T3.1.23) r e f l e c t s t h e c o s t o f r e m e d i a l a c t i o n s d u e t o f a i l u r e , CR» r e d u c e d b y a f a c t o r , a, t h a t d e p e n d s on t h e g e o m e t r y o f t h e s y s t e m . F o r l o n g , n a r r o w p l u m e s , a = X M / x g ( F i g u r e 3.2b). The t e r m s i n e q u a t i o n s (T3.1.17) a n d (T3.1.21) r e p r e s e n t n o r m a l i z e d u t i l i t y f u n c t i o n s o f t h e t y p e i l l u s t r a t e d i n F i g u r e 3.1; t h e y a l l o w f o r r i s k a v e r s i o n o n t h e p a r t o f t h e o w n e r -o p e r a t o r . S m a l l o w n e r - o p e r a t o r s who do n o t h a v e a l a r g e n e t w o r t h a r e t h e m o s t l i k e l y t o u s e a r i s k - a v e r s e u t i l i t y f u n c t i o n . L a r g e r c o m p a n i e s a r e more l i k e l y t o t a k e an e x p e c t e d - v a l u e a p p r o a c h . 87 T a b l e 3.IB l i s t s e a c h o f t h e p a r a m e t e r s a p p e a r i n g i n e q u a t i o n s (T3.1.1) t h r o u g h (T3.1.24) w i t h d e f i n i t i o n s a n d u n i t s . T h e r a n g e s o f v a l u e s h a v e b e e n g a r n e r e d f r o m a w i d e v a r i e t y o f e c o n o m i c a n d t e c h n i c a l s o u r c e s . Among t h e most v a l u a b l e s o u r c e s o f c o s t d a t a a r e W i l s o n [ 1 9 8 1 ] a n d R i s h e l e t a l . [ 1 9 8 4 ] f o r c o n s t r u c t i o n c o s t s ; W i l s o n [ 1 9 8 1 ] f o r o p e r a t i n g c o s t s ; E v e r e t t [ 1 9 8 0 ] a n d t h e O f f i c e o f T e c h n o l o g y A s s e s s m e n t [ 1 9 8 4 ] f o r m o n i t o r i n g , s a m p l i n g , a n d a n a l y s i s c o s t s ; a n d R i c h e l e t a l . [ 1 9 8 4 ] , R a u c h e r [ 1 9 8 4 ] a n d S h a r e f k i n e t a l . [ 1 9 8 4 ] f o r c o s t s o f r e m e d i a l a l t e r n a t i v e s . Wood [ 1 9 8 4 ] s u m m a r i z e d t h e c u r r e n t r a n g e o f r a t e s c h a r g e d f o r w a s t e h a n d l e d . The s e t o f v a l u e s i n d i c a t e d b y t h e b a s e c a s e i n t h e r i g h t - h a n d c o l u m n o f T a b l e 3.IB i s u s e d i n t h e s e n s i t i v i t y a n a l y s e s r e p o r t e d l a t e r i n t h e d i s s e r t a t i o n . 88 3.5 E q u a t i o n Components f o r R e g u l a t o r y A g e n c i e s The o b j e c t i v e f u n c t i o n f o r a s s e s s i n g a l t e r n a t i v e s a v a i l a b l e t o t h e r e g u l a t o r y a g e n c y i s o u t l i n e d i n T a b l e 3.2, w i t h t h e e q u a t i o n s p r e s e n t e d i n T a b l e 3.2A a n d t h e p a r a m e t e r s d e f i n e d i n T a b l e 3.2B. T h e f u n c t i o n h a s t h e same t e r m s a s t h e o w n e r -o p e r a t o r ' s f u n c t i o n , b u t t h e t e r m s h a v e d i f f e r e n t i n t e r p r e t a t i o n s and v a l u e s . T u r n i n g f i r s t t o T a b l e 3.2A, i t c a n b e s e e n t h a t t h e o b j e c t i v e f u n c t i o n f o r t h e r e g u l a t o r y a g e n c y i s w r i t t e n i n t e r m s o f t h e s o c i a l d i s c o u n t r a t e , i g f and t h e r e g u l a t o r y t i m e h o r i z o n , T r. T h e s e l e c t i o n o f a d i s c o u n t r a t e f o r d e c i s i o n s i n t h e p u b l i c s e c t o r i s m o r e c o n t r o v e r s i a l t h a n t h a t f o r d e c i s i o n s i n t h e p r i v a t e s e c t o r . A s a l o w e r b o u n d , i t i s r e c o g n i z e d t h a t t h e s o c i a l d i s c o u n t r a t e , i s , s h o u l d b e a t l e a s t a s l a r g e a s t h e r i s k - f r e e , c o n s t a n t - d o l l a r i n t e r e s t r a t e s , i g / p a i d on l o n g - t e r m g o v e r n m e n t b o n d s . F o l l o w i n g A r r o w [ 1 9 6 5 ] and M c D o n a l d [ 1 9 8 1 ] , i t i s now g e n e r a l l y a c c e p t e d t h a t t h e s o c i a l d i s c o u n t r a t e s h o u l d be a w e i g h t e d a v e r a g e o f i ^ and i g : i s = i b P + i g (1 - p) ( 3 . 6 ) w h e r e p r e p r e s e n t s t h e f r a c t i o n o f t h e c o s t o f t h e p u b l i c p r o j e c t t h a t comes a t t h e e x p e n s e o f p r i v a t e i n v e s t m e n t ( u s u a l l y t a k e n i n t h e r a n g e 0.10—0.20) and (1 - p) r e p r e s e n t s t h e f r a c t i o n o f c o s t s t h a t come a t t h e e x p e n s e o f p r i v a t e c o n s u m p t i o n . 89 T a b l e 3.2 - R i s k - C o s t - B e n e f i t A n a l y s i s f o r R e g u l a t o r y A g e n c y A. E q u a t i o n s O b j e c t i v e F u n c t i o n T, _r r = CB r(t) - C r ( t ) - ^ ( t J H / d + i s J t (T3.2.1) t=0 C o n s t r a i n t IPf' < ( IPf) p a ( T 3 . 2 . 2 ) T r w h e r e _ t=0 x r iPf' =YLPf,(t) B e n e f i t s B r ( t ) = B i t = 0 = B 2 0 < t < T r B l = B b p ( T 3 . 2 . 3 ) B 2 = ( B s r + B o p + B e x + B b e ) Q ( t ) ( T 3 . 2 . 4 ) C o s t s C r ( t ) = C i 0 < t < T r = C i + C 2 t = T 0 C1 = ca ( T 3 . 2 . 5 ) C 2 = B b p ( l + i m ) T o ( T 3 . 2 . 6 ) 90 T a b l e 3.2 - c o n t i n u e d R i s k s R r ( t ) = P f 1 ( t ) C F r ( t ) P f ' ( t ) = P f ( t ) ( 1 - P d ) C F r ( t ) = P 0 ( t ) C r + C j + C g ( t ) - Bp - B j T r (1 ~ r 3 ) [ B r ( t ) - C r ( t ) ] t ' = t t ' - t (1 + i s * p o ( t ) = P 0 0 < t < T 0 = 1 t 0 < t < T r B. D e f i n i t i o n o f P a r a m e t e r s ( T 3 . 2 . 7 ) ( T 3 . 2 . 8 ) ( T 3 . 2 . 9 ) ( T 3 . 2 . 1 0 ) ( T 3 . 2 . 1 1 ) P a r a m e t e r D e f i n i t i o n U n i t r To i ( Z P f ) p a Bbp B s r B op B e x Bbe R e g u l a t o r y t i m e h o r i z o n O w n e r - o p e r a t o r t i m e h o r i z o n S o c i a l d i s c o u n t r a t e P o l i t i c a l l y a c c e p t a b l e p r o b a b i l i t y o f f a i l u r e o v e r T r R e g u l a t o r y b o n d p o s t e d b y owner S c a r c i t y r e n t o f g r o u n d w a t e r O p t i o n v a l u e o f g r o u n d w a t e r E x i s t e n c e v a l u e o f g r o u n d w a t e r B e q u e s t v a l u e o f g r o u n d w a t e r y r y r d e c i m a l d e c i m a l US$ US$/L US$/L US$/L US$/L 91 T a b l e 3.2 c o n t i n u e d Q ( t ) r 3 P f ( t ) P f ' ( t ) P d Po O p t i m a l y i e l d o f a q u i f e r o r p o r t i o n o f a q u i f e r l i a b l e t o c o n t a m i n a t i o n f r o m waste-management f a c i l i t y L / y r A n n u a l a d m i n i s t r a t i v e c o s t o f o p e r a t i n g f a c i l i t y US? C o s t o f r e m e d i a l a c t i o n s b o r n e b y r e g u l a t o r y a g e n c y US$ L i t i g a t i o n c o s t s i n e v e n t o f f a i l u r e US$ P e n a l t i e s r e c e i v e d f r o m o w n e r - o p e r a t o r i n e v e n t o f f a i l u r e US$ R a t i o o f p o s t - f a i l u r e t o p r e - f a i l u r e n e t b e n e f i t s t o s o c i e t y d e c i m a l P r o b a b i l i t y o f f a i l u r e o f w a s t e management f a c i l i t y i n a b s e n c e o f m o n i t o r i n g n e t w o r k d e c i m a l P r o b a b i l i t y o f f a i l u r e o f w a s t e management f a c i l i t y w i t h m o n i t o r i n g n e t w o r k i n p l a c e d e c i m a l P r o b a b i l i t y o f d e t e c t i o n d e c i m a l P r o b a b i l i t y t h a t o w n e r - o p e r a t o r c a n n o t b e a r r e m e d i a l c o s t s f o l l o w i n g a f a i l u r e d e c i m a l 92 The r e g u l a t o r y a g e n c y ' s t i m e h o r i z o n i s l i k e l y much l o n g e r t h a n t h e 1 0 - 5 0 y e a r s u s e d b y o w n e r - o p e r a t o r s . The c o n s i d e r a t i o n o f i n t e r - g e n e r a t i o n a l b e q u e s t v a l u e , w h i c h was d i s c u s s e d i n s e c t i o n 3.3, d e m a n d s a t i m e h o r i z o n o n t h e o r d e r o f a t l e a s t 100 t o 200 y e a r s . T h i s i n c o m p a t i b i l i t y o f t h e t i m e h o r i z o n s b e t w e e n t h e o w n e r - o p e r a t o r a nd t h e r e g u l a t o r y a g e n c y i s one o f t h e s t u m b l i n g b l o c k s p r e v e n t i n g t h e d e v e l o p m e n t o f e f f e c t i v e r e g u l a t o r y p o l i c i e s . T h e c o n s t r a i n t o n t h e t o t a l p r o b a b i l i t y o f f a i l u r e i s u s e d t o i n c o r p o r a t e a l i m i t o n t h e s t a t i s t i c a l l i v e s a t r i s k f r o m t h e w a s t e - m a n a g e m e n t f a c i l i t y . T h e b a s i s f o r t h i s c o n s t r a i n t i s d i s c u s s e d i n S e c t i o n 3.2. The t e r m , B L F d e f i n e d i n e q u a t i o n ( T 3 . 2 . 3 ) , i s t h e r e v e n u e , B Dp, r e c e i v e d f r o m a r e g u l a t o r y b o n d p o s t e d b y t h e o w n e r - o p e r a t o r a t t = 0. T h e t e r m , B B P, i s e q u a l t o t h e t e r m , CBP# i n t h e c a p i t a l c o s t s l i s t e d i n T a b l e 3.1.2A f o r t h e o w n e r - o p e r a t o r . T h e f i r s t t e r m o f B 2 i s t h e s c a r c i t y r e n t o f t h e a n n u a l y i e l d , Q ( t ) . T h e r e m a i n i n g t e r m s c o l l e c t i v e l y r e p r e s e n t t h e p r e s e r v a t i o n b e n e f i t s . T h e t e r m , C ^ , d e f i n e d i n e q u a t i o n ( T 3 . 2 . 5 ) i s t h e a n n u a l a d m i n i s t r a t i v e c o s t , C A * o f o p e r a t i n g t h e r e g u l a t o r y a g e n c y . The t e r m , C 2 , d e f i n e d i n e q u a t i o n (T3.2.6) r e p r e s e n t s t h e r e t u r n t o t h e o w n e r - o p e r a t o r a t t = T Q o f t h e r e g u l a t o r y b o n d p o s t e d a t t = 0, w i t h i n t e r e s t b o r n e a t t h e m a r k e t r a t e . The r i s k s d e f i n e d i n e q u a t i o n (T3.2.7) f o l l o w an e x p e c t e d - v a l u e a p p r o a c h w i t h o u t r i s k a v e r s i o n . T h e p r o b a b i l i t y o f f a i l u r e i n 93 t h e r i s k t e r m t a k e s i n t o a c c o u n t i m p r o v e m e n t s a f f o r d e d b y t h e d e t e c t i o n c a p a b i l i t i e s o f t h e o w n e r - o p e r a t o r ' s m o n i t o r i n g n e t w o r k . T h e c o s t s t o s o c i e t y o f a f a i l u r e i n y e a r t , a s i n d i c a t e d i n e q u a t i o n ( T 3 . 2 . 9 ) , i n c l u d e r e m e d i a l c o s t s , C r/ l i t i g a t i o n c o s t s , C j , a n d b e n e f i t s f o r e g o n e , C g ( t ) , b u t n o t t h e i m p a c t o n human h e a l t h , w h i c h i s t r e a t e d a s a s e p a r a t e a c c o u n t a n d c o v e r e d b y t h e c o n s t r a i n t . T h e t w o n e g a t i v e c o m p o n e n t s i n e q u a t i o n (T3.2.9) a r e t h e p e n a l t i e s r e c e i v e d , B p/ a n d t h e damages c o l l e c t e d t h r o u g h l i t i g a t i o n , B j . F o r e a s e o f p r e s e n t a t i o n , t h e s t r u c t u r e i s p r e s e n t e d a s i f o n l y a s i n g l e w a s t e - m a n a g e m e n t f a c i l i t y w e r e i n v o l v e d . M o r e r e a l i s t i c a l l y , t h e o b j e c t i v e f u n c t i o n f o r t h e r e g u l a t o r y a g e n c y w o u l d i n v o l v e t h e sum o f t h e i n d i v i d u a l o b j e c t i v e f u n c t i o n s f o r a l l t h e f a c i l i t i e s u n d e r i t s j u r i s d i c t i o n . T a b l e 3.2B p r o v i d e s a s u mmary o f t h e p a r a m e t e r s t h a t a p p e a r i n t h e e q u a t i o n s p r e s e n t e d i n T a b l e 3.2A. 94 3.6 Summary C o m p a r i s o n T a b l e 3.3 p r o v i d e s a summary c o m p a r i s o n o f t h e r i s k - c o s t - b e n e f i t a n a l y s e s d e v e l o p e d f o r t h e o w n e r - o p e r a t o r a n d t h e r e g u l a t o r y a g e n c y . O f t h e t w o , t h e f r a m e w o r k d e v e l o p e d f o r t h e o w n e r -o p e r a t o r i s b y f a r t h e mos t v a l u a b l e . A n a l y s e s c a r r i e d o u t f o r t h e r e g u l a t o r y f r a m e w o r k a r e u s e f u l f o r m a k i n g b a c k - c a l c u l a t i o n s o f t h e a p p a r e n t v a l u e p l a c e d o n c l e a n w a t e r b y s o c i e t y o r a s s e s s i n g t h e i m p a c t o f b a n k r u p t c i e s o n r e g u l a t o r y c l e a n u p c o s t s , b u t n o t f o r d i r e c t a p p l i c a t i o n t o q u e s t i o n s o f a l t e r n a t i v e p o l i c y b e c a u s e o f t h e s p a r s e n e s s and u n c e r t a i n t y o f t h e a v a i l a b l e d a t a . A l m o s t a l l t h e i m p o r t a n t f a c t o r s s u f f e r f r o m t h i s w e a k n e s s . Howe [ 1 9 7 9 ] n o t e d t h a t d a t a on i n - s i t u s c a r c i t y r e n t s a r e b o t h h a r d t o f i n d a n d d i f f i c u l t t o i n t e r p r e t . G r e e n l e y e t a l . ' s [ 1 9 8 2 ] v a l u e s f o r p r e s e r v a t i o n b e n e f i t s may h a v e n o a p p l i c a b i l i t y t o g r o u n d w a t e r . E v e n a q u i f e r y i e l d s p o s e a k n o t t y p r o b l e m [ F r e e z e a n d C h e r r y , 1 9 7 9 ] . I t i s b e l i e v e d t h a t t h e d e v e l o p m e n t o f t h e r e g u l a t o r y r i s k - c o s t - b e n e f i t f r a m e w o r k p r e s e n t e d i n T a b l e 3.2 i s a n e c e s s a r y c o u n t e r p o i n t t o t h e f r a m e w o r k p r e s e n t e d f o r t h e o w n e r - o p e r a t o r i n T a b l e 3.1, b u t i t i s now c l e a r t h a t i t i s v e r y d i f f i c u l t t o w o r k w i t h . I n l i g h t o f t h e s e l i m i t a t i o n s , o n l y t h e o w n e r - o p e r a t o r ' s r i s k -c o s t - b e n e f i t a n a l y s i s i s u s e d . T h e f o r m u l a t i o n i s much m o r e s p e c i f i c , a n d r e a s o n a b l e e s t i m a t e s a r e a v a i l a b l e f o r t h e i n p u t p a r a m e t e r s . By s e l e c t i n g t h e a p p r o p r i a t e v a r i a b l e f o r a n a l y s i s , i t i s p o s s i b l e t o c a r r y o u t s e n s i t i v i t y a n a l y s e s f o r a w i d e v a r i e t y o f i n f l u e n c e s on t h e s y s t e m . R e f e r r i n g t o t h e v a r i a b l e s 95 T a b l e 3 . 3 - Summary C o m p a r i s o n o f R i s k - C o s t - B e n e f i t A n a l y s i s f o r O w n e r - O p e r a t o r and R e g u l a t o r y Agency Item Owner-Operator Regulatory Agency Objective function, $ Discount rate, 1 Time horizon, T Benefits, B(t) Costs, C(t) Risks, R(t) = costs associated with proability of failure Probability of failure, P f(t) U t i l i t y Risk perception Value of l i f e Acceptable risk Monitoring t-0 (l+i n) - C Q(t) - R 0(t)] Market discount rate, i m * m Engineering time horizon, T Q = 10-50 yr Revenues for service provided Construction and operation of waste-management f a c i l i t y Regulatory penalties, cost of l i t i g a t i o n , remedial action, benefits foregone (reduced revenues) Probability of groundwater contamination incident that violates performance standards at compliance surface Risk averse Perception of owner-operator Not included in owner-operator's analysis * r = £ r — 1 [B_(t) r t-0. (l+ig) 6 r -C r(t) - R r(t)] Social discount rate, i £ Social time horizon, T r = 100-200 yr Preservation of clean water Administration of regulatory agency Impairment of human health or loss of human lives, cost of l i t i g a t i o n remedial action, benefits foregone (reduced water quality Same as for owner-operator Expected value Perception of public or of regulatory agency Must be included in some manner in regulatory analysis Risk associated with Societal acceptable risk; alternative that defined p o l i t i c a l l y maximizes u t i l i t y function Warning of potential failure; network located near source Enforcement of performance standards; network located at compliance surface 96 Table 3 . 3 - continued Item Owner-Operator Regulatory Agency Remedial action Avoid further regulatory penalties or li t i g a t i o n and/or bring f a c i l i t y back on-line Ensure health and safety of public; protect water quality Decision variables 1. Exploration: number, 1. location, and depth of d r i l l holes; parameters to be measured; number and depth of measurements Location of compliance surface Containment: number, 2. thickness, and permeability of synthetic liners Design standards: number, type, values Monitoring: number, 2 location, and depth of measurement points; frequency of measurements; species to be analyzed. Performance standards: species, values 4. Remedial: containment method: excavation and reburial, grout curtain or slurry trench, hydraulic control; location, design. Monitoring require-ments by owner-operator &/or agency: number, location, and depth of measurement points; frequency of measurements; species to be analyzed. Penalties for violations: fines, bonds posted. Remedial: do nothing, restoration, containment, avoidance Note: For ease of presentation, the structure is presented as i f only a single waste-management f a c i l i t y were involved. More r e a l i s t i c a l l y , the objective function for the regulatory agency would involve the sum of the individual objective functions for a l l the f a c i l i t i e s under its jurisdiction. 97 d e f i n e d i n T a b l e 3.IB, one c a n l o o k a t s e n s i t i v i t y t o : 1. S i z e : Z, A, V 2. E c o n o m i c f a c t o r s : T 0 , i m , BR/ 3. H y d r o g e o l o g y : K, V K 4. E x p l o r a t i o n p r o g r a m : Y x / n 5. D e s i g n : m 6. M o n i t o r i n g n e t w o r k : Y m # a , 1, k 7. R e m e d i a l a c t i o n : CR 8. R e g u l a t o r y p o l i c y : C P , CBP, T h e s e n s i t i v i t y a n a l y s e s c a n b e i n t e r p r e t e d d i r e c t l y f r o m t h e p o i n t o f v i e w o f an o w n e r - o p e r a t o r , b u t t h e y a l s o h a v e v a l u e f r o m t h e p o i n t o f v i e w o f a r e g u l a t o r y a g e n c y . B y o b s e r v i n g t h e r e s p o n s e o f a n o w n e r - o p e r a t o r t o d i f f e r e n t r e g u l a t o r y s t i m u l i , a n a s s e s s m e n t o f t h e w o r t h o f a l t e r n a t i v e r e g u l a t o r y p o l i c i e s i n m e e t i n g s o c i e t a l o b j e c t i v e s c a n be made. 98 3.7 P r o b a b i l i t y o f F a i l u r e F o r r e a s o n s p r e s c r i b e d i n t h e p r e v i o u s s e c t i o n , t h e r e m a i n d e r o f t h i s d i s s e r t a t i o n i s c o n c e r n e d p r i m a r i l y w i t h t h e o w n e r -o p e r a t o r ' s o b j e c t i v e f u n c t i o n . T h e b e n e f i t a n d c o s t t e r m s o f t h i s f u n c t i o n c a n be d e t e r m i n e d i n a r e l a t i v e l y s t r a i g h t - f o r w a r d manner. The p r o b l e m l i e s i n t h e r i s k s , R ( t ) ; and t h e c r u x o f t h e r i s k p r o b l e m i s t o d e t e r m i n e how a g i v e n d e s i g n a l l o c a t i o n a f f e c t s t h e p r o b a b i l i t y o f f a i l u r e , P£(t). The f a i l u r e o f a w a s t e - m a n a g e m e n t f a c i l i t y , v i e w e d e i t h e r f r o m t h e p o i n t o f v i e w o f t h e o w n e r - o p e r a t o r o r r e g u l a t o r y a g e n c y , i n v o l v e s t h e r e l e a s e t o t h e e n v i r o n m e n t o f t o x i c , r a d i o a c t i v e , o r o t h e r w i s e h a z a r d o u s c h e m i c a l s p e c i e s . S u c h a r e l e a s e c o u l d be t o t h e a t m o s p h e r e , t o s u r f a c e w a t e r , o r t o g r o u n d w a t e r . T h i s d i s s e r t a t i o n i s c o n c e r n e d o n l y w i t h waste-management f a c i l i t i e s t h a t r e l e a s e h a z a r d o u s l e a c h a t e s t o g r o u n d w a t e r . M o s t w a s t e - m a n a g e m e n t f a c i l i t i e s w i t h t h i s p o t e n t i a l t a k e t h e f o r m o f l a n d f i l l s , p o n d s , o r s u b s u r f a c e e m p l a c e m e n t s . The l e f t -h a n d c o l u m n o f T a b l e 3.4 l i s t s t h e m o s t common t y p e s o f f a c i l i t i e s . L a n d f i l l s a n d w a s t e p o n d s l e a d t o p o i n t s o u r c e s a t t h e s u r f a c e ; s u b s u r f a c e e m p l a c e m e n t s l e a d t o p o i n t s o u r c e s a t d e p t h . A s s u m m a r i z e d i n T a b l e 3.4, c o n t a i n m e n t o f c o n t a m i n a n t s o u r c e s c a n b e a t t e m p t e d i n a v a r i e t y o f w a y s [ C a r t w r i g h t e t a l , 1 9 8 1 ; F o l k e s , 1 9 8 2 ; B a r b e r a n d M a r i s , 1 9 8 3 ; C o s i e r a n d Snow, 1 9 8 4 ; A n d e r s o n e t a l . , 1 9 8 4 ] . The most common method s i n v o l v e n a t u r a l 99 T a b l e 3.4 - Waste Management F a c i l i t i e s T h a t R e l e a s e L e a c h a t e G r o u n d w a t e r Liner or buffer of natural materials Leachate control system; drains, Synthetic well, liner pumps Landfills Sanitary l a n d f i l l s for solid, nonhazardous municipal waste Chemical l a n d f i l l s for solid and liquid hazardous industrial waste Waste Ponds Sewage lagoons for liquid municipal waste X X X Tailings ponds for slurried mining wastes X X X Brine ponds from petroleum recovery and Salt and potash mining X X X Subsurface Emplacements Near-surface buried tanks for liquid industrial and low-level radioactive waste X Deep repositories for solid high-level radioactive waste X Deep-well injection of hazardous liquid industrial waste X 100 b u f f e r s , s y n t h e t i c l i n e r s , l e a c h a t e c o n t r o l s y s t e m s , a nd t a n k s o r c a n i s t e r s . T h e v a r i o u s d e s i g n f e a t u r e s a r e o f t e n c o u p l e d i n p a r a l l e l t o p r o v i d e a " m u l t i p l e - b a r r i e r " s y s t e m . I t i s b e l i e v e d t h a t t h e m e t h o d s d e v e l o p e d i n t h i s s t u d y a r e g e n e r a l enough t o be a p p l i e d t o a n y o f t h e c o m b i n a t i o n s t h a t a p p e a r i n T a b l e 3.4. H o w e v e r , t o a v o i d a c o n s t a n t s t r e a m o f c a v e a t s a n d a s i d e s , t h e m a t e r i a l w i l l be p r e s e n t e d i n t h e c o n t e x t o f a l a n d f i l l i n w h i c h c o n t a i n m e n t i s a t t e m p t e d w i t h o n e o r m o r e s y n t h e t i c l i n e r s i n p a r a l l e l . F i g u r e 3.2 i l l u s t r a t e s t h e t y p e o f p h y s i c a l s y s t e m we e n v i s a g e . " F a i l u r e " i s d e f i n e d a s a g r o u n d w a t e r c o n t a m i n a t i o n i n c i d e n t t h a t v i o l a t e s a p e r f o r m a n c e s t a n d a r d e s t a b l i s h e d f o r t h e f a c i l i t y u n d e r e x i s t i n g r e g u l a t o r y p o l i c i e s . P r e s u m a b l y a f a i l u r e w i l l be i d e n t i f i e d b y t h e e x c e e d i n g o f a m a x i m u m p e r m i s s i b l e c o n c e n t r a t i o n f o r a p a r t i c u l a r c h e m i c a l s p e c i e s i n a r e g u l a t o r y m o n i t o r i n g w e l l l o c a t e d a t a c o m p l i a n c e p o i n t o r on a c o m p l i a n c e s u r f a c e . Among t h e p o s s i b l e c o m p l i a n c e s u r f a c e s [ D o m e n i c o a n d P a l c i a u s k a s , 1982; L e G r a n d , 1 9 8 1 ] a r e : (1) t h e o u t s i d e b o u n d a r y o f t h e l a n d f i l l , i m p o u n d m e n t , o r c o n t a i n e r ; ( 2 ) t h e b o u n d a r y o f t h e p h y s i c a l p l a n t o f t h e w a s t e - m a n a g e m e n t f a c i l i t y ; (3) t h e p r o p e r t y b o u n d a r y ; o r (4) a d o w n s t r e a m a q u i f e r , w e l l f i e l d , s t r e a m , o r l a k e . T h i s s t u d y assumes a c o m p l i a n c e s u r f a c e o f t y p e (3) o r (4) a t a d i s t a n c e , x S / f r o m t h e e d g e o f t h e l a n d f i l l , w h e r e x s ^ s c o n s i d e r a b l y g r e a t e r t h a n t h e d i m e n s i o n s o f t h e l a n d f i l l i t s e l f . 101 F a i l u r e r e q u i r e s t h r e e c o n d i t i o n s . F i r s t , t h e c o n t a i n m e n t s t r u c t u r e m u s t b e b r e a c h e d . N e x t , t h e c o n t a m i n a n t p l u m e r e s u l t i n g f r o m t h e b r e a c h must m i g r a t e t o t h e c o m p l i a n c e s u r f a c e . F i n a l l y , t h e p l u m e must e s c a p e d e t e c t i o n b y a n y m o n i t o r i n g s y s t e m t h e o w n e r - o p e r a t o r h a s i n s t a l l e d . F o r r e a s o n s t h a t w i l l b e c o m e c l e a r i n C h a p t e r 5, i t i s a s s u m e d t h a t t h i s m i g r a t i o n w i l l t a k e p l a c e i n t h e f o r m o f a c o n t a m i n a n t p l u m e w i t h a s t e e p c o n c e n t r a t i o n g r a d i e n t a t i t s f r o n t ; t h a t i s , a p l u g f l o w w i t h C = C Q a h e a d o f t h e f r o n t a n d C = C i b e h i n d , C 0 b e i n g t h e a m b i e n t c o n c e n t r a t i o n o f t h e p a r t i c u l a r c o n t a m i n a n t s p e c i e s a n d C i i t s c o n c e n t r a t i o n i n t h e p l u m e . I f t h e p e r f o r m a n c e s t a n d a r d f o r t h i s s p e c i e s l i e s b e t w e e n C Q and C i , one c a n d e f i n e t h e p r o b a b i l i t y o f f a i l u r e i n t e r m s o f t h e t r a v e l t i m e o f t h e c o n t a m i n a n t f r o m w i t h i n t h e c o n t a i n m e n t s t r u c t u r e t o t h e c o m p l i a n c e s u r f a c e . I n f a c t , t h e p r o b a b i l i t y o f f a i l u r e i n y e a r t ' p f ( t ) , i s s i m p l y t h e p r o b a b i l i t y t h a t t h e t i m e u n t i l b r e a c h o f c o n t a i n m e n t p l u s t h e t r a v e l t i m e o f t h e p l u m e t h r o u g h t h e h y d r o g e o l o g i c a l e n v i r o n m e n t l i e s b e t w e e n t and t - 1 . I f t = 0 i s d e f i n e d a s t h e y e a r i n w h i c h t h e r i s k - c o s t - b e n e f i t a n a l y s i s i s c a r r i e d o u t a n d t = t o p a s t h e y e a r i n w h i c h t h e f a c i l i t y i s p u t i n t o o p e r a t i o n , t h e n : P f ( t ) = 0 f o r (0 < t < t 0 p ) P f ( t ) = P r [ ( t ' - 1) < t * + t * * < t ' ] ( l - P d ) f o r ^ o p < t < T 0 ) (3.7) 102 w h e r e : f t ~ t o p ' t i m e u n t i l b r e a c h o f c o n t a i n m e n t [ y r ] , and t * t ** t r a v e l t i m e o f p l u m e t h r o u g h h y d r o g e o l o g i c a l e n v i r o n m e n t t o c o m p l i a n c e s u r f a c e [ y r ] Pd p r o b a b i l i t y o f d e t e c t i o n I f we a s s u m e t h a t t h e t i m e u n t i l b r e a c h o f c o n t a i n m e n t a n d t h e t r a v e l t i m e o f t h e p l u m e a r e i n d e p e n d e n t , t h e r i g h t s i d e o f E q u a t i o n 3.7 c a n be r e w r i t t e n a s t h e p r o d u c t o f t h r e e t e r m s : T h e a s s u m p t i o n o f i n d e p e n d e n c e i s v a l i d s o l o n g a s t h e b r e a c h e v e n t d o e s n o t s i g n i f i c a n t l y a f f e c t t h e g r o u n d w a t e r f l o w s y s t e m . T h i s a s s u m p t i o n i s a p p r o p r i a t e f o r r e l a t i v e l y s l o w , l o w - v o l u m e l e a k s . The t h r e e t e r m s o n t h e r i g h t s i d e o f E q u a t i o n 3.8 a r e a f f e c t e d b y s i t e - e x p l o r a t i o n a c t i v i t i e s , c o n t a i n m e n t - c o n s t r u c t i o n a c t i v i t i e s , a n d m o n i t o r i n g a c t i v i t i e s . C o n t a i n m e n t - c o n s t r u c t i o n a c t i v i t i e s a f f e c t t h e p r o b a b i l i t y a s s o c i a t e d w i t h b r e a c h i n g , P r ( t * = t ' ) , s i t e - e x p l o r a t i o n a c t i v i t i e s a f f e c t t h e p r o b a b i l i t y a s s o c i a t e d w i t h p l u m e m i g r a t i o n , P r ( t * * = t - t o p - t ' ) , a n d m o n i t o r i n g a c t i v i t i e s a f f e c t t h e p r o b a b i l i t y o f p l u m e d e t e c t i o n , P^. I n C h a p t e r s 4, 5, a n d 6, t h e t e c h n i q u e s u s e d t o e s t i m a t e e a c h o f t h e s e t h r e e p r o b a b i l i t y t e r m s a r e d e v e l o p e d . ( 3 . 8 ) t ' - l 103 4. R E L I A B I L I T Y THEORY AND THE PROBABILITY OF CONTAINMENT BREACHES The f i r s t e v e n t t h a t m u s t o c c u r i n t h e s e q u e n c e l e a d i n g t o f a i l u r e o f a w a s t e m a n a g e m e n t f a c i l i t y i s a b r e a c h i n g o f t h e c o n t a i n m e n t s t r u c t u r e . B r e a c h i n g c a n b e c a u s e d b y many c o m p l e x a n d i n t e r a c t i n g p r o c e s s e s . T h e c a u s e s o f b r e a c h i n g , w h i c h a r e s u m m a r i z e d i n T a b l e 4.1, i n c l u d e f a i l u r e s i n d e s i g n , c o n s t r u c t i o n , o p e r a t i o n , a n d a d m i n i s t r a t i o n . A m o r e d e t a i l e d d i s c u s s i o n o f b r e a c h i n g m e c h a n i s m s f o r c o n t a i n m e n t s t r u c t u r e s c o n s i s t i n g o f s y n t h e t i c l i n e r s i s p r e s e n t e d i n F o l k e s [ 1 9 8 2 ] and t h e U.S. E P A [ 1 9 8 3 ] . T h e c o m p l e x i t y o f b r e a c h i n g m e c h a n i s m s p r e c l u d e s u s i n g p h y s i c a l l y - b a s e d a p p r o a c h e s f o r c a l c u l a t i n g t h e p r o b a b i l i t i e s o f i n d i v i d u a l b r e a c h i n g m odes. B e c a u s e o f t h i s , a n e m p i r i c a l a p p r o a c h u s i n g t i m e - d e p e n d e n t r e l i a b i l i t y t h e o r y i s u s e d t o e s t i m a t e b r e a c h i n g p r o b a b i l i t i e s . T h i s a p p r o a c h d o e s n o t a t t e m p t t o d i s t i n g u i s h t h e m e c h a n i s m o f b r e a c h ; i t s i m p l y t r e a t s t h e t i m e t o t h e i n i t i a t i o n o f a c o n t a m i n a n t s o u r c e a s a r a n d o m v a r i a b l e . P h y s i c a l a t t r i b u t e s o f t h e c o n t a i n m e n t s t r u c t u r e a r e i n c l u d e d i n t h e a n a l y s i s , b u t t h e a c t u a l p h y s i c a l m e c h a n i s m s o f b r e a c h i n g a r e n o t c o n s i d e r e d . T h e r e l i a b i l i t y e q u a t i o n s u s e d t o d e s c r i b e t h e c o n t a i n m e n t s t r u c t u r e a r e d e v e l o p e d i n S e c t i o n 4.1. T h e s e n s i t i v i t i e s o f t h e s e e q u a t i o n s t o v a r i o u s i n p u t p a r a m e t e r s a r e s t u d i e d i n S e c t i o n 4.2. S e c t i o n 4.3 p r e s e n t s a summary o f a s s u m p t i o n s a n d c o n c l u s i o n s . 104 T a b l e 4.1 - C a u s e s o f B r e a c h o f C o n t a i n m e n t a t Waste-management F a c i l i t i e s U t i l i z i n g S y n t h e t i c L i n e r s D e s i g n 1. S y n t h e t i c l i n e r s o f i n s u f f i c i e n t F a i l u r e s p e r m e a b i l i t y o r t h i c k n e s s . 2. L i n e r f a i l u r e d u e t o u n e x p e c t e d s e v e r i t y o f s t r e s s - s t r a i n , f r e e z e -thaw, o r w e t - d r y c y c l e s . 3. L i n e r f a i l u r e d u e t o u n e x p e c t e d c h e m i c a l i n t e r a c t i o n s b e t w e e n l i n e r , w a s t e , a nd g r o u n d w a t e r . C o n s t r u c t i o n F a i l u r e s O p e r a t i o n F a i l u r e s 1. L i n e r p u n c t u r e d , r i p p e d o r o t h e r w i s e damaged d u r i n g i n s t a l l a t i o n . 2. F a i l u r e o f l i n e r c o n s t r u c t i o n t o meet d e s i g n s p e c i f i c a t i o n s . 1. L i n e r damage d u r i n g o p e r a t i o n due t o c o m p a c t i o n , r o o t s , a n i m a l s , e t c . 2. F a i l u r e o f l e a c h a t e c o n t r o l s y s t e m s d u e t o e q u i p m e n t b r e a k d o w n o r p o w e r f a i l u r e . A d m i n i s t r a t i v e 1. L a c k o f manpower o r c a p i t a l t o c a r r y o u t c o n s t r u c t i o n and o p e r a t i o n . 2. F a i l u r e o f q u a l i t y - c o n t r o l p r o g r a m s . 3. L o s s o f a d m i n i s t r a t i v e c o n t r o l due t o b a n k r u p t c y . 105 4.1 M o d e l i n g t h e W a s t e Management F a c i l i t y T he w a s t e m a n a g e m e n t f a c i l i t y m o d e l e d i n t h e p r e s e n t s t u d y i s i l l u s t r a t e d i n F i g u r e 4.1. T h e s y s t e m c o n s i s t s o f o n e o r m o r e u n i t s o r c e l l s . T h e w a s t e s i n e a c h c e l l a r e c o n t a i n e d b y o n e o r m o r e s y n t h e t i c l i n e r s . E a c h c e l l w i l l f u n c t i o n s o l o n g a s a t l e a s t o n e l i n e r i s f u n c t i o n i n g a n d t h e c o m p l e t e s y s t e m w i l l f u n c t i o n s o l o n g a s a l l c e l l s a r e f u n c t i o n i n g . R e l i a b i l i t y t h e o r i e s p r o v i d e a m e t h o d f o r p r e d i c t i n g s y s t e m p e r f o r m a n c e a s a f u n c t i o n o f component p e r f o r m a n c e [ R o s s , 1 9 8 0 ] . C o n s i d e r a s y s t e m o f n c o m p o n e n t s and l e t : x ^ = l i f component i i s f u n c t i o n i n g ( 4 . 1 ) x i = 0 i f component i h a s f a i l e d . The s y s t e m c a n be d e f i n e d w i t h a s t a t e v e c t o r : x ' = ( x l , x 2 x n ) . ( 4 . 2 ) T h e p e r f o r m a n c e o f t h e s y s t e m c a n b e d e s c r i b e d w i t h a s t r u c t u r e f u n c t i o n : S ( x ' ) = l i f s y s t e m i s f u n c t i o n i n g ( 4 . 3 ) S ( x ' ) = 0 i f s y s t e m h a s f a i l e d . T h e s t r u c t u r e f u n c t i o n r e f l e c t s t h e w a y c o m p o n e n t s a r e c o n f i g u r e d . The s i m p l e s t c o n f i g u r a t i o n s a r e t h e s e r i e s s t r u c t u r e and t h e p a r a l l e l s t r u c t u r e . F o r t h e s e r i e s s t r u c t u r e , w h i c h i s d i a g r a m e d i n F i g u r e 4.2a, t h e s y s t e m w i l l p e r f o r m o n l y i f a l l c o m p o n e n t s p e r f o r m . T h e s t r u c t u r e f u n c t i o n f o r t h e s e r i e s 106 7T\ a ) P l a n v i e w b ) C r o s s - s e c t i o n v i e w F i g u r e 4.1 - P l a n a n d C r o s s - S e c t i o n V i e w s o f W a s t e M a n a g e m e n t F a c i l i t y 107 n-1 C) \ \ r\ / n-1 / U n 1 0 — 1 a) S e r i e s b) P a r a l l e l c) Genera l F i g u r e 4.2 - Example System C o n f i g u r a t i o n s 108 c o n f i g u r a t i o n i s : S ( x ' ) = M i n ( x 1 / X 2 » x n ) (4.4) The s y s t e m w i l l h a v e f a i l e d i f x i - 0 f o r a n Y i * F o r t h e p a r a l l e l s t r u c t u r e , d i a g r a m e d i n F i g u r e 4.2b, t h e s y s t e m w i l l p e r f o r m i f a n y o f t h e c o m p o n e n t s p e r f o r m . T h e s t r u c t u r e f u n c t i o n f o r t h e p a r a l l e l c o n f i g u r a t i o n i s : The s y s t e m w i l l f u n c t i o n i f x ^ = i f o r a n y i . T h e m o r e g e n e r a l c o m p o n e n t c o n f i g u r a t i o n , d i a g r a m e d i n F i g u r e 4 . 2 c , c o n s i s t s o f a c o m b i n a t i o n o f s e r i e s a n d p a r a l l e l s t r u c t u r e s . S t r u c t u r e f u n c t i o n s , t h o u g h s o m e w h a t m o r e c o m p l e x , c a n b e d e v e l o p e d f o r t h e s e m o r e g e n e r a l c o n f i g u r a t i o n s . F o r e x a m p l e , t h e s t r u c t u r e f u n c t i o n f o r t h e c o n f i g u r a t i o n s h o w n i n F i g u r e 4.2c i s T h e r e l i a b i l i t y o f a s y s t e m i s d e f i n e d a s t h e p r o b a b i l i t y t h a t t h e s y s t e m p e r f o r m s : S ( x ' ) = M a x ( x i , X 2 , (4.5) S ( x ' ) -x-^j^Max ( X3 , X4) . ( 4 . 6 ) r = P r [ S ( x ' ) = 1 ] . (4.7) I f we d e f i n e p i a s t h e p r o b a b i l i t y t h a t c o m p o n e n t i p e r f o r m s , t h e n P i = P r [ x i = l ] = l - P r [ x i = 0 ] ( 4 . 8 ) 109 R e l i a b i l i t y t h e o r i e s o f f e r t e c h n i q u e s f o r d e t e r m i n i n g t h e r e l i a b i l i t y o f a s y s t e m , r , a s a f u n c t i o n o f i n d i v i d u a l component p r o b a b i l i t i e s , p ^ . T h e s e f u n c t i o n a l r e l a t i o n s h i p s a r e p r o h i b i t i v e l y c o m p l e x , e v e n f o r r e l a t i v e l y s i m p l e s y s t e m s , u n l e s s one a s sumes c o m p o n e n t s p e r f o r m i n d e p e n d e n t l y . The i m p l i c a t i o n s o f a s s u m i n g i n d e p e n d e n c e f o r t h e c o m p o n e n t s o f t h e w a s t e management f a c i l i t y a r e d i s c u s s e d i n S e c t i o n 4.3. The r e l i a b i l i t y f u n c t i o n f o r n i n d e p e n d e n t c o m p o n e n t s i n a s e r i e s c o n f i g u r a t i o n i s g i v e n b y : n r ( p ' ) = P r [ x i = l f o r a l l i ] = T\ P i ( 4 . 9 ) i = l F o r a p a r a l l e l c o n f i g u r a t i o n , t h e r e l i a b i l i t y f u n c t i o n i s g i v e n b y : n r ( p ' ) = 1 - P r [ x i = 0 f o r a l l i ] = 1 - T\ p i ( 4 . 1 0 ) i = l I n t h e g e n e r a l c a s e , t h e p r o b a b i l i t y t h a t a c o m p o n e n t i s f u n c t i o n i n g w i l l be t i m e d e p e n d e n t . I f we assume t h a t i n d i v i d u a l c o m p o n e n t s f u n c t i o n f o r a r a n d o m l e n g t h o f t i m e a n d t h e n p e r m a n e n t l y f a i l , t h i s t i m e - d e p e n d e n t r e l i a b i l i t y i s : I f t h e c u m u l a t i v e d i s t r i b u t i o n f u n c t i o n f o r t h e l i f e o f component i i s d e n o t e d b y F i ( t ) , t h e n : P i J ( t ) = P r [ c o m p o n e n t i i s f u n c t i o n i n g a t t i m e t ] = P r [ l i f e t i m e o f i > t ] ( 4 . 1 1 ) P i ( t ) = 1 - F i ( t ) = F i ( t ) ( 4 . 1 2 ) 110 The term F j L ( t ) i s d e f i n e d as the r e l i a b i l i t y f u n c t i o n o f component i . The r e l i a b i l i t y of a system of n components i n a series configuration i s obtained by combining equations (4.9) and (4.12): Fs ( t ) = Pr[system l i f e t i m e > t ] = 1 - F s ( t ) n = F i ( t ) (4.13) i=l For a p a r a l l e l c o n f i g u r a t i o n , the r e l i a b i l i t y f u n c t i o n i s obtained by combining equations (4.10) and (4.12): n F s ( t ) = 1 - T \ (1 - ? i ( t ) ) (4.14) i=l For the waste management f a c i l i t y comprised of waste c e l l s and s y n t h e t i c l i n e r s , the d i s t r i b u t i o n f u n c t i o n f o r the complete system can be developed from equations (4.13) and (4.14). To begin, we assume that i f a waste c e l l has more than one l i n e r , these l i n e r s are configured i n an independent p a r a l l e l structure, so that the c e l l w i l l f u n c t i o n so long as at l e a s t one l i n e r functions. The p r o b a b i l i t y that c e l l i functions longer than time t i s given by: m i F i ( t ) = 1 - "H F-ji(t) (4.15) i=l where y F i ( t ) = p r o b a b i l i t y the l i f e of c e l l i i s greater than t, m ^ = number of synthetic l i n e r s i n waste c e l l i , and F j i ( t ) = p r o b a b i l i t y the l i f e of l i n e r j i n c e l l i i s 111 l e s s t h a n t . N e x t , we assume t h e c e l l s a r e c o n f i g u r e d i n an i n d e p e n d e n t s e r i e s s t r u c t u r e s o t h a t t h e c o m p l e t e l a n d f i l l s y s t e m w i l l f u n c t i o n s o l o n g a s a l l c e l l s f u n c t i o n . T h e p r o b a b i l i t y t h a t t h e s y s t e m f u n c t i o n s l o n g e r t h a n t i m e t i s g i v e n b y : n F s ( t ) = 1\ F i ( t ) ( 4 . 1 6 ) i = l C o m b i n i n g e q u a t i o n s ( 4 . 1 5 ) and ( 4 . 1 6 ) g i v e s : n m i F s ( t ) = -TC [ 1 - "U F j i ( t ) ] ( 4 . 1 7 ) i = l j = l J E q u a t i o n (4.17) a l l o w s t h e r e l i a b i l i t y f u n c t i o n f o r t h e w a s t e m a n a g e m e n t s y s t e m t o b e d e t e r m i n e d f r o m t h e p r o b a b i l i t y d i s t r i b u t i o n f u n c t i o n s f o r t h e i n d i v i d u a l l i n e r s . H o w e v e r , e s t i m a t i n g t h e s e l i n e r d i s t r i b u t i o n f u n c t i o n s c a n be p r o b l e m a t i c . A l a r g e n u m b e r o f d i s t r i b u t i o n f o r m s h a v e b e e n p r o p o s e d f o r l i n e r - t y p e c o m p o n e n t s . One o f t h e m o r e g e n e r a l f o r m s , i l l u s t r a t e d i n F i g u r e 4.3, i s t h e "human m o r t a l i t y " c u r v e [ S t a r k a n d N i c h o l l s , 1 9 7 2 ) . The f i r s t p a r t o f t h e c u r v e r e p r e s e n t s e a r l y f a i l u r e s w h i c h may r e s u l t f r o m c o n s t r u c t i o n a n d i n s t a l l a t i o n i n a d e q u a c i e s . T h i s i n i t i a l m o r t a l i t y i s f o l l o w e d b y a p e r i o d i n w h i c h f a i l u r e s a r e d u e p r i m a r i l y t o e v e n t s t h a t h a v e a n e q u a l c h a n c e o f o c c u r r i n g i n a n y g i v e n y e a r . E v e n t u a l l y , f a i l u r e w i l l o c c u r a s a r e s u l t o f " o l d - a g e " o r w e a r , r e p r e s e n t e d b y t h e b e l l -s h a p e d p o r t i o n o f t h e c u r v e . T h e f u n c t i o n a l f o r m o f t h e p r o b a b i l i t y d i s t r i b u t i o n s h o w n i n 0.12 UNER MORTALITY CURVE YEARS F i g u r e 4.3 - L i n e r M o r t a l i t y C u r v e 113 F i g u r e 4.3 i s [ C h u e t a l , 1 9 8 3 ] : f ( t ) = a £(t) + bAe- ct*f( < x t ) ? - l e ( - 0 < - t r ( 4 . 1 8 ) w h e r e S ( t ) = D i r a c d e l t a f u n c t i o n , X = r a t e c o n s t a n t f o r e a r l y b r e a c h e s , ^ = r a t e c o n s t a n t f o r l a t e b r e a c h e s , $ = s h a p e f a c t o r f o r l a t e b r e a c h e s , t = t i m e , and a,b,c = w e i g h t i n g c o e f f i c i e n t s . To b e a p r o p e r p r o b a b i l i t y d e n s i t y f u n c t i o n , t h e i n t e g r a l o f e q u a t i o n (4.18) f r o m t i m e z e r o t o i n f i n i t y must e q u a l one. T h i s c o n d i t i o n i s g u a r a n t e e d i f t h e sum o f t h e w e i g h t i n g c o e f f i c i e n t s e q u a l s one [ C h u e t a l , 1 9 8 3 ] : a + b + c = 1.0 ( 4 . 1 9 ) The f i r s t t e r m o n t h e r i g h t s i d e o f e q u a t i o n (4.18) r e p r e s e n t s b r e a c h e s d u e t o m a n u f a c t u r i n g a n d i n s t a l l a t i o n f a i l u r e s . T h e s e c o n d t e r m o n t h e r i g h t s i d e o f e q u a t i o n ( 4 . 1 8 ) , w h i c h r e p r e s e n t s b r e a c h i n g d u e t o e v e n t s t h a t h a v e a n e q u a l a n n u a l p r o b a b i l i t y o f o c c u r r e n c e , i s t h e e x p o n e n t i a l d i s t r i b u t i o n . E x a m p l e s h a p e s f o r d i f f e r e n t v a l u e s o f A a r e i l l u s t r a t e d i n F i g u r e 4.4. The t h i r d t e r m on t h e r i g h t s i d e o f e q u a t i o n (4.18), w h i c h r e p r e s e n t s b r e a c h e s d u e t o w e a r , i s t h e W e i b u l l d i s t r i b u t i o n . E x a m p l e s h a p e s f o r d i f f e r e n t v a l u e s o f a n d 114 EXPONENTIAL RATE CONSTANT 0.07 -i 0.00 • 1 1 1 1 r-0 10 20 30 40 50 YEARS • A= 1/15 A 'X= 1/30 O A = 1/50 X A= 1/100 Figure 4 .4 - E x p o n e n t i a l D i s t r i b u t i o n w i t h D i f f e r e n t Rate Constants 1 1 5 ^ a r e s h o w n i n F i g u r e 4.5. T h e r e l i a b i l i t y o f a l i n e r w i t h a p r o b a b i l i t y d e n s i t y f u n c t i o n g i v e n b y e q u a t i o n (4.18) i s : F j i ( t ) = 1 - F j i ( t ) = 1 - J ^ f ( t ) d t ( 4 . 2 0 ) F j i ( t ) = b j i e x p C - A j i ( t - t i ' ) ] + c j i e x p C - ^ j i t t - t i ' ) ? 3 i ] f o r t > t i ' F j i ( t ) = 1 - a j i f o r t = t i ' w h e r e _ F j i ( t ) = r e l i a b i l i t y o f l i n e r j i n w a s t e c e l l i , t i 1 = y e a r c e l l i b e g i n s o p e r a t i o n , ^ j i = e x p o n e n t i a l r a t e c o n s t a n t f o r l i n e r j i n c e l l i , o < j i = W e i b u l l r a t e c o n s t a n t f o r l i n e r j i n c e l l i , ? j i = W e i b u l l s h a p e f a c t o r f o r l i n e r j i n c e l l i , and a j i , b j i , c j i = w e i g h t i n g c o e f f i c i e n t s f o r l i n e r j i n c e l l i . T h e m e a n o r e x p e c t e d v a l u e f o r a r a n d o m v a r i a b l e w i t h a p r o b a b i l i t y d e n s i t y f u n c t i o n g i v e n b y f i j ^ ) l s d e f i n e d a s • M j i = / t f j i ( t ) d t ( 4 . 2 1 ) The e x p e c t e d l i f e o f a s y n t h e t i c l i n e r w i t h a p r o b a b i l i t y d e n s i t y f u n c t i o n g i v e n b y e q u a t i o n (4.18) i s o b t a i n e d b y c o m b i n i n g e q u a t i o n s ( 4 . 1 8 ) a n d ( 4 . 2 1 ) . T h e r e s u l t o f t h e i n t e g r a t i o n i s g i v e n b y t h e f o l l o w i n g e x p r e s s i o n [ S t a r k and N i c h o l l s , 1 9 7 2 ] : 116 WEIBULL RATE CONSTANT 0.18 -| YEARS • CK= 1/5 A 0<= 1/10 0 0<= 1/20 F i g u r e 4.5 - W e i b u l l D i s t r i b u t i o n w i t h D i f f e r e n t R a t e C o n s t a n t s 117 WEIBULL SHAPE PARAMETER F i g u r e 4.6 - W e i b u l l D i s t r i b u t i o n w i t h D i f f e r e n t Shape F a c t o r s 118 WEIBULL COMBINATIONS 0.18 "i YEARS • <X = l/5;^=2 A o< =1/20; ^=9 O CX=1/40; £ =18 F i g u r e 4.7 - W e i b u l l D i s t r i b u t i o n w i t h D i f f e r e n t C o m b i n a t i o n s o f Rat e C o n s t a n t s and Shape F a c t o r s 119 ^ j i = ( b j i / A j i ) + C j i ( T(l+1/ P ij)/° <ij) ( 4 . 2 2 ) w h e r e Y*{ ) = gamma f u n c t i o n . T a b l e s g i v i n g v a l u e s o f t h e gamma f u n c t i o n c a n be f o u n d i n most m a t h e m a t i c a l h a n d b o o k s . F o r a p p l i c a t i o n s i n t h i s d i s s e r t a t i o n , t h e v a l u e o f 1 + 1/ w i l l r a n g e b e t w e e n 1 a n d 2. T a b l e 4.2 p r e s e n t s gamma f u n c t i o n v a l u e s w i t h i n t h i s r a n g e . C o m b i n i n g e q u a t i o n s ( 4 . 2 0 ) a n d (4.17) g i v e s t h e r e l i a b i l i t y f u n c t i o n f o r t h e c o m p l e t e w a s t e management s y s t e m : n mi Fs(t) = TV C l - " f t (1 - b j i e x p C - * j i ( t - t i ' ) ] -i = l j = l c j i e x p [ - ( e * j i ( t - t i ' ) ^ ^ i ] t > 0 ( 4 . 2 3 ) n mi ^s(t) = H Cl - H ajO t = 0 i = l j = l E q u a t i o n ( 4 . 2 3 ) s i m p l i f i e s t o t h e f o l l o w i n g e x p r e s s i o n i f e a c h l i n e r and c e l l a r e assumed t o b e h a v e i d e n t i c a l l y : F s ( t ) = [ 1 - ( l - b e - ^ - c e - ( < ? < t ) ^ ) m ] n t > 0 ( 4 . 2 4 ) 120 T a b l e 4.2 - Gamma F u n c t i o n V a l u e s f o r A r g u m e n t s b e t w e e n 1.0 and 2.0 [ a f t e r K r e y s i g , 1 9 8 3 ] . a ( a ) a ( a ) 1.00 1.0000 1.60 0.8935 1.10 0.9514 1.70 0.9086 1.20 0.9182 1.80 0.9314 1.30 0.8975 1.90 0.9618 1.40 0.8873 2.00 1.0000 1.50 0.8862 121 F s ( t ) = (1 - a m ) n t = 0 T h e o b j e c t i v e f u n c t i o n d e v e l o p e d i n C h a p t e r 2 i s i n t e r m s o f a n n u a l b e n e f i t s , c o s t s , and r i s k s . To c a l c u l a t e a n n u a l r i s k s , t h e a n n u a l p r o b a b i l i t y o f b r e a c h i n g f o r t h e w a s t e management s y s t e m m u s t be e s t i m a t e d . T h i s p r o b a b i l i t y i s g i v e n b y : P r ( t * = t ) = F s ( t ) - F s ( t - 1 ) = " F g ( t - l ) _ ? s ( t ) ( 4 . 2 5 ) 122 4.2 P r o b a b i l i t y o f B r e a c h i n g : S e n s i t i v i t y S t u d i e s T he p a r a m e t e r s u s e d i n e q u a t i o n ( 4 . 2 3 ) t o d e s c r i b e t h e w a s t e m a n a g e m e n t s y s t e m a r e 1) t h e n u m b e r o f w a s t e c e l l s , n; 2) t h e y e a r w a s t e c e l l i b e g i n s o p e r a t i o n , t^>7 3 ) t h e n u m b e r o f s y n t h e t i c l i n e r s i n e a c h w a s t e c e l l , m^> a n d 4) p a r a m e t e r s d e f i n i n g t h e p r o b a b i l i t y - d i s t r i b u t i o n f u n c t i o n s f o r t h e l i f e t i m e s f o r e a c h s y n t h e t i c l i n e r . T h e f i r s t t h r e e i t e m s a r e d i r e c t l y s p e c i f i e d b y t h e o w n e r - o p e r a t o r . I t e m 4 ) , h o w e v e r , r e q u i r e s some i n t e r p r e t a t i o n . The p e r f o r m a n c e o f e a c h s y n t h e t i c l i n e r c a n be c h a r a c t e r i z e d w i t h t h e s i x p a r a m e t e r s p r e s e n t e d i n T a b l e 4.3. C h o o s i n g a c t u a l v a l u e s f o r t h e s e p a r a m e t e r s i s n e c e s s a r i l y s u b j e c t i v e , e s p e c i a l l y c o n s i d e r i n g t h a t m o s t l i n e r m a t e r i a l s u s e d f o r h a z a r d o u s w a s t e c o n t a i n m e n t h a v e b e e n c o m m e r c i a l l y a v a i l a b l e f o r l e s s t h a n 15 y e a r s . I n a r e p o r t p r e p a r e d b y t h e U.S. EPA [ 1 9 8 3 ] , an a v e r a g e s e r v i c e l i f e f o r s y n t h e t i c l i n e r s i n h a z a r d o u s w a s t e a p p l i c a t i o n s was e s t i m a t e d t o r a n g e f r o m 5 t o 45 y e a r s , d e p e n d i n g o n t h e t y p e o f l i n e r u s e d a n d t h e t y p e o f w a s t e c o n t a i n e d . A c a s e s t u d y i n v o l v i n g 27 f a i l u r e s i n 3 8 4 y e a r s o f o p e r a t i o n a t 39 s i t e s [ B u r m a n e t a l , i n p r e s s ] i n d i c a t e d t h e a v e r a g e l i f e o f a l a n d f i l l b e f o r e a b r e a c h o f c o n t a i n m e n t o c c u r r e d was 14 y e a r s . O v e r a l l , a n a v e r a g e s e r v i c e l i f e o f 15 y e a r s a p p e a r s t o b e a r e a s o n a b l e e s t i m a t e . F o r t h e b a s e c a s e d e s c r i b e d i n T a b l e 4.3, t h e v a l u e s o f t h e 123 T a b l e 4.3 - P a r a m e t e r s U s e d t o C h a r a c t e r i z e L i n e r P e r f o r m a n c e P a r a m e t e r a U n i t s Range none none none y r -none 1.0 0 - 1.0 0 - 1.0 0.01 1 - 5 0 I n t e r p r e t a t i o n B a s e C a s e P r o b a b i l i t y t h e l i n e r h a s 0.05 f a i l e d p r i o r t o o p e r a t i o n a s a r e s u l t o f m a n u f a c t u r e o r i n s t a l l a t i o n i n a d e q u a c i e s . P r o b a b i l i t y l i n e r f a i l s a s a 0.65 r e s u l t o f e v e n t s t h a t h a v e an e q u a l c h a n c e o f o c c u r r i n g i n a n y y e a r . P r o b a b i l i t y l i n e r f a i l s a s a 0.3 r e s u l t o f " o l d age" o r w e a r . 1 A n n u a l p r o b a b i l i t y t h a t a n 0.2 e v e n t o c c u r s w h i c h w i l l c a u s e t h e l i n e r t o f a i l p r e m a t u r e l y . S h a p e p a r a m e t e r f o r c u r v e 18 r e p r e s e n t i n g f a i l u r e due t o w e a r . T h e s p r e a d o f t h e c u r v e w i l l d e c r e a s e a s i n c r e a s e s . y r -1 ,01 - .05 M e a s u r e o f t h e e x p e c t e d l i f e o f l i n e r s t h a t f a i l d u e t o w e a r . 0.025 124 p a r a m e t e r s a r e a s f o l l o w s : a=.05, b=.65, c = .30, A =.20 ( l / y r ) , |3 =18, and c< =.025 ( l / y r ) . F o r t h e s e v a l u e s , t h e e x p e c t e d l i f e i s l i f e g i v e n b y : A j i = . 6 5 ( 5 ) + 0 . 3 ( 4 0 ) ( 1 . 0 5 6 ) = . 6 5 ( 5 ) + 0 . 3 ( 4 0 ) . 9 6 9 = 14.9 y e a r s ( 4 . 2 6 ) I n F i g u r e 4.8, t h e p r o b a b i l i t i e s o f b r e a c h f o r a s i n g l e w a s t e c e l l w i t h o ne, two, and t h r e e s y n t h e t i c l i n e r s a r e c o m p a r e d . The a t t r i b u t e s o f e a c h l i n e r a r e d e s c r i b e d b y t h e b a s e c a s e i n p r e s e n t e d i n T a b l e 4.3. T h e e f f e c t o f a d d i t i o n a l l i n e r s i s t o r e d u c e t h e number o f e a r l y b r e a c h e s due t o e v e n t s t h a t h a v e e q u a l a n n u a l p r o b a b i l i t i e s o f o c c u r r e n c e . A n i n e s c a p a b l e f a c t , h o w e v e r , i s t h a t r e d u c i n g t h e p r o b a b i l i t y o f e a r l y b r e a c h e s i n c r e a s e s t h e p r o b a b i l i t y o f l a t e b r e a c h e s . The t o t a l p r o b a b i l i t y o f b r e a c h o v e r a n i n f i n i t e t i m e p e r i o d must e q u a l 1.0. T h i s v e r y f u n d a m e n t a l p r i n c i p a l s e e m s t o b e o f t e n o v e r l o o k e d i n many a n a l y s e s . F i g u r e 4.9 c o m p a r e s b r e a c h i n g p r o b a b i l i t i e s f o r o n e , t w o , a n d t h r e e w a s t e c e l l s e a c h l i n e d w i t h a s i n g l e s y n t h e t i c m embrane. The e f f e c t o f a d d i t i o n a l c e l l s i s t o i n c r e a s e t h e number o f e a r l y b r e a c h e s w h i l e d e c r e a s i n g t h e number o f l a t e b r e a c h e s . F r o m a n o w n e r - o p e r a t o r ' s p o i n t o f v i e w , l a t e b r e a c h e s a r e much p r e f e r r e d t o e a r l y b r e a c h e s b e c a u s e o f t h e e f f e c t s o f d i s c o u n t i n g d e s c r i b e d i n C h a p t e r 3. F u t u r e r i s k s a r e l e s s s i g n i f i c a n t t o t h e o w n e r - o p e r a t o r t h a n p r e s e n t r i s k s . F i g u r e 4.10 i l l u s t r a t e s how 125 NUMBER OF LINERS 0.12 -I —— _ YEARS • 1 LINER A 2 LINERS 0 3 LINERS F i g u r e 4.8 - P r o b a b i l i t y o f B r e a c h f o r D i f f e r e n t Number o f L i n e r s 126 F i g u r e 4.9 - P r o b a b i l i t y o f B r e a c h f o r D i f f e r e n t Number o f C e l l s 127 0.12 YEARS • 0* A 5 * O 10x F i g u r e 4.10 - E f f e c t s o f D i s c o u n t R a t e s o n P r o b a b i l i t y o f B r e a c h i n g 128 t h e r i s k s o f f u t u r e b r e a c h e s a r e a f f e c t e d b y v a r i o u s d i s c o u n t r a t e s . W i t h a d i s c o u n t r a t e o f 10 p e r c e n t , b r e a c h e s d u e t o d e g r a d a t i o n o r w e a r a r e n e a r l y i n s i g n i f i c a n t . F r o m s o c i e t y ' s p o i n t - o f - v i e w , h o w e v e r , l a t e f a i l u r e s may b e a s u n d e s i r a b l e a s e a r l y f a i l u r e s . I n f a c t , e a r l y f a i l u r e s may b e p r e f e r r e d s i n c e t h e r e s p o n s i b l e p a r t i e s c a n b e m o r e e a s i l y i d e n t i f i e d . S i n c e b r e a c h e s d u e t o w e a r o r d e g r a d a t i o n h a v e l i m i t e d e f f e c t s u pon an o w n e r - o p e r a t o r ' s d e c i s i o n p r o c e s s , t h e r e m a i n i n g e x a m p l e s i n t h i s s e c t i o n i n v e s t i g a t e e a r l y b r e a c h e s whose p r o b a b i l i t i e s a r e g o v e r n e d b y t h e e x p o n e n t i a l d i s t r i b u t i o n . The p e r f o r m a n c e o f e a c h l i n e r c a n b e d e s c r i b e d w i t h a s i n g l e p a r a m e t e r : t h e e x p o n e n t i a l r a t e c o n s t a n t . R e c a l l t h a t t h i s c o n s t a n t c a n b e c o n s i d e r e d a s t h e a n n u a l p r o b a b i l i t y t h a t an e v e n t o c c u r s w h i c h w i l l c a u s e t h e l i n e r t o f a i l p r e m a t u r e l y . A n o t h e r c h a n g e t h a t w i l l be made i n t h e r e m a i n i n g e x a m p l e s i s t h e w a y i n w h i c h r e s u l t s a r e p r e s e n t e d . T h e l o g a r i t h m o f t h e p r o b a b i l i t y o f b r e a c h w i l l b e p l o t t e d a s a f u n c t i o n o f t i m e i n t h e r e m a i n i n g f i g u r e s . W i t h t h i s f o r m a t , t h e p l o t s w i l l be l i n e a r f o r a l l s i n g l e - l i n e r s y s t e m s . F i g u r e 4.11 c o m p a r e s t h e e f f e c t s o f e x p o n e n t i a l r a t e c o n s t a n t s . T h e s l o p e o f t h e f u n c t i o n i s d i r e c t l y p r o p o r t i o n a l t o t h e m a g n i t u d e o f t h e r a t e c o n s t a n t . A s t h e p r o b a b i l i t y o f a n e v e n t w h i c h c a u s e s b r e a c h i n g i n c r e a s e s , t h e s l o p e o f t h e p l o t s t e e p e n s . 129 2E o o • o -0.50 -1.00 A -1.50 4 -2.00 J -2.50 H -3.00 H -3.50 -4.00 A -4.50 J -5.00 SENSITIVITY TO RATE CONSTANT • 1/5 A A = 1/15 O 30 1/50 X A« 1/100 F i g u r e 4.11 - E f f e c t o f R a t e C o n s t a n t on P r o b a b i l i t y o f B r e a c h i n g A s s u m i n g E x p o n e n t i a l D i s t r i b u t i o n 130 F i g u r e 4.12 - E f f e c t o f N u m b e r o f C e l l s o n P r o b a b i l i t y o f B r e a c h i n g A s s u m i n g E x p o n t i a l D i s t r i b u t i o n 131 I n F i g u r e 4.12, t h e e f f e c t s o f t h e n u m b e r o f w a s t e c e l l s a r e c o m p a r e d . I n c r e a s i n g t h e number o f c e l l s c a u s e s t h e s l o p e o f t h e p l o t t o s t e e p e n i n a m a n n e r s i m i l a r t o t h e e f f e c t s o f t h e r a t e c o n s t a n t . I n f a c t , t w o c e l l s , e a c h w i t h a r a t e c o n s t a n t o f .03 ( l / y r ) w i l l p e r f o r m i d e n t i c a l l y t o a s i n g l e c e l l w i t h a r a t e c o n s t a n t o f .06 ( l / y r ) . I f we a s s u m e t h e r a t e c o n s t a n t i s p r o p o r t i o n a l t o t h e a r e a o f t h e w a s t e c e l l s , t h e n we a r e i m p l i c i t l y a s s u m i n g t h a t e v e n t s w h i c h c a u s e e a r l y f a i l u r e s t e n d t o b e a r e a l l y d i s t r i b u t e d o n a l o c a l s c a l e . T h i s may b e a v a l i d a s s u m p t i o n f o r b r e a c h e s d u e t o s u c h t h i n g s a s f l a w s i n l i n e r m a n u f a c t u r e o r i n s t a l l a t i o n , d i f f e r e n t i a l s e t t l e m e n t s , o r b u r r o w i n g a n i m a l s o r r o o t s . I t i s n o t v a l i d f o r b r e a c h e s d u e t o e v e n t s w h i c h d o n o t d e p e n d u p o n a r e a , s u c h a s e a r t h q u a k e s o r a d m i n i s t r a t i v e f a i l u r e s . F i g u r e 4.13 i l l u s t r a t e s how t h e p r o b a b i l i t y o f b r e a c h i s a f f e c t e d b y t h e y e a r i n w h i c h a s e c o n d w a s t e c e l l b e g i n s o p e r a t i o n . A s e c o n d c e l l h a s t w o e f f e c t s u p o n t h e b r e a c h c u r v e : 1) a d i s c o n t i n u i t y i n w h i c h t h e p r o b a b i l i t y o f b r e a c h jumps up i n t h e y e a r t h e s e c o n d c e l l i s i n s t a l l e d , a n d 2) a n i n c r e a s e i n t h e s l o p e . I t i s i n t e r e s t i n g t o n o t e t h a t t h e s i z e o f t h e d i s c o n t i n u i t y i s t h e same f o r e a c h c a s e . F o r t h e c e l l b e g i n n i n g o p e r a t i o n i n y e a r 5, t h e l o g a r i t h m o f p r o b a b i l i t y j u m p s f r o m -1.28 t o -1.02 w h i l e f o r t h e c e l l b e g i n n i n g i n y e a r 20 t h e j u mp i s f r o m -1.71 t o -1.45. I n t e r m s o f a c t u a l p r o b a b i l i t y , h o w e v e r , t h e j u m p a t f i v e y e a r s r e p r e s e n t s a n i n c r e a s e f r o m 0.05 t o 0.09 a n d t h e j u mp a t 20 y e a r s r e p r e s e n t s a n i n c r e a s e f r o m 0.02 t o 132 n e n TWO CELL SYSTEMS - 0 . 5 0 - i YEARS • OPENS IN YEAR 1 A OPENS IN YEAR 5 O OPENS IN YEAR 20 F i g u r e 4.13 - E f f e c t s o f t h e Y e a r t h a t S e c o n d C e l l B e g i n O p e r a t i o n o n P r o b a b i l i t y o f B r e a c h i n g f o r C e l l w i t h One L i n e r 133 0.04. C e l l s i n s t a l l e d a t l a t e r t i m e s h a v e l e s s e f f e c t o n t h e o v e r a l l s y s t e m p e r f o r m a n c e , e v e n w i t h o u t c o n s i d e r i n g t h e e f f e c t s o f d i s c o u n t i n g . I t i s assumed i n F i g u r e 4.13 t h a t t h e r a t e c o n s t a n t f o r t h e l i n e r i n t h e s e c o n d c e l l i s t h e same a s t h a t f o r t h e f i r s t c e l l . F i g u r e 4.14 shows t h e e f f e c t s o f d i f f e r e n t r a t e c o n s t a n t s f o r t h e l i n e r i n t h e s e c o n d c e l l . T h i s s e c o n d c e l l i s a s s u m e d t o b e g i n o p e r a t i o n i n y e a r 10. As t h e r a t e c o n s t a n t i n c r e a s e s , t h e s i z e o f t h e d i s c o n t i n u i t y i n c r e a s e s a n d t h e s l o p e s t e e p e n s . F o r m u l t i p l e l i n e r s y s t e m s , t h e p r o b a b i l i t y o f b r e a c h i s n o l o n g e r a l i n e a r f u n c t i o n o f t i m e , a s s h o w n i n F i g u r e 4.15. A d d i t i o n a l l i n e r s r e d u c e t h e p r o b a b i l i t y o f e a r l y b r e a c h e s a nd i n c r e a s e t h e p r o b a b i l i t y o f l a t e b r e a c h e s . F r o m a n o w n e r -o p e r a t o r ' s p o i n t o f v i e w t h e y i m p r o v e f a c i l i t y p e r f o r m a n c e b y s h i f t i n g b r e a c h e s i n t o t h e f u t u r e . S i m i l a r b e h a v i o r was n o t e d e a r l i e r when t h e c o m p l e t e m o r t a l i t y c u r v e was c o n s i d e r e d . F i n a l l y , F i g u r e 4.16 i l l u s t r a t e s t h e e f f e c t o f t h e y e a r i n w h i c h a s e c o n d w a s t e c e l l b e g i n s o p e r a t i o n . The s e c o n d c e l l c a u s e s t h e c u r v e t o s t e e p e n a nd s h i f t s t h e p e a k o f t h e c u r v e t o t h e r i g h t . 134 F i g u r e 4.14 - E f f e c t s o f Rate C o n s t a n t f o r L i n e r i n Second Waste C e l l on P r o b a b i l i t y o f B r e a c h i n g 135 -0.80 SENSITIVITY TO UNER NO. -1.20 A -1.60 A 2 o rP -2.00 A s -2.40 A 1 O OH -2.80 H -3.20 ^ -3.60 • 1 UNER T r 20 25 YEARS A 2 LINERS 0 3 UNERS F i g u r e 4.15 - E f f e c t s o f Number o f L i n e r s o n P r o b a b i l i t y o f B r e a c h i n g A s s u m i n g E x p o n e n t i a l D i s t r i b u t i o n 136 TWO CELL SYSTEMS -1.20 T -YEARS • OPENS YEAR 1 A OPENS YEAR 5 O OPENS YEAR 20 F i g u r e 4.16 - E f f e c t s o f t h e Y e a r T h a t S e c o n d C e l l B e g i n s O p e r a t i o n o n P r o b a b i l i t y o f B r e a c h i n g f o r C e l l s w i t h Two L i n e r s 137 4.3 Summary o f A s s u m p t i o n s and C o n c l u s i o n s To m o d e l t h e w a s t e m a n a g e m e n t f a c i l i t y u s i n g r e l i a b i l i t y a n a l y s i s , a n u m b e r o f a s s u m p t i o n s m u s t be made. O n c e t h e s e a s s u m p t i o n s h a v e b e e n a c c e p t e d , c o n c l u s i o n s c a n b e d r a w n p e r t a i n i n g t o t h e d e s i g n o f c o n t a i n m e n t s t r u c t u r e s . T h e s e a s s u m p t i o n s and c o n c l u s i o n s a r e s u m m a r i z e d i n t h i s s e c t i o n . The p r i n c i p a l a s s u m p t i o n s a r e : 1) C o n t a i n m e n t i s a c h i e v e d p r i m a r i l y b y s y n t h e t i c l i n e r s . 2) M e c h a n i s m s o f b r e a c h a r e t o o many and t o o c o m p l e x t o m o d e l u s i n g p h y s i c a l l y - b a s e d a p p r o a c h e s . 3) I n d i v i d u a l l i n e r s a n d i n d i v i d u a l w a s t e c e l l s f u n c t i o n i n d e p e n d e n t l y . 4) The p e r f o r m a n c e o f i n d i v i d u a l l i n e r s c a n be m o d e l e d u s i n g t h e m o r t a l i t y c u r v e shown i n F i g u r e 4.3. O f t h e s e a s s u m p t i o n s , t h e f i r s t a n d t h i r d a r e t h e m o s t t r o u b l e s o m e . F i r s t l y , s y n t h e t i c l i n e r s a r e n o t t h e s o l e c o n t a i n m e n t m e c h a n i s m a t m o s t w a s t e m a n a g e m e n t f a c i l i t i e s . A d d i t i o n a l c o n t a i n m e n t f e a t u r e s i n c l u d e l o w p e r m e a b i l i t y c o v e r s , l e a c h a t e c o l l e c t o r s , a n d l e a k d e t e c t i o n s y s t e m s . W a s t e c e l l s w h i c h i n c o r p o r a t e t h e s e f e a t u r e s c o u l d b e m o d e l l e d u s i n g r e l i a b i l i t y t h e o r i e s , b u t t h e c o n f i g u r a t i o n w o u l d no l o n g e r be a s i m p l e p a r a l l e l s t r u c t u r e a n d t h e s t r u c t u r e f u n c t i o n w o u l d b e somewhat more c o m p l e x . T h e r e i s no t h e o r e t i c a l o r c o m p u t a t i o n a l r o a d b l o c k w h i c h p r e v e n t s i n c o r p o r a t i n g t h e s e a d d i t i o n a l f e a t u r e s i n t o t h e a n a l y s i s ; i t w o u l d s i m p l y r e q u i r e more e f f o r t . 138 The t h i r d a s s u m p t i o n , h o w e v e r , i s o f a m o r e f u n d a m e n t a l n a t u r e . A l t h o u g h i n d i v i d u a l w a s t e c e l l s may f u n c t i o n i n d e p e n d e n t l y , i n d i v i d u a l l i n e r s c l e a r l y d o n o t . F o r e x a m p l e , i f t h e u p p e r l i n e r o f a t w o - l i n e r s y s t e m w e r e t o f a i l b e c a u s e o f r e a c t i o n s w i t h t h e l e a c h a t e , t h e p r o b a b i l i t y o f b r e a c h i n g f o r t h e s e c o n d l i n e r , g i v e n t h a t t h e f i r s t l i n e r f a i l e d , w o u l d c e r t a i n l y b e g r e a t e r t h a n t h e p r o b a b i l i t y o f b r e a c h i n g b e f o r e t h e f i r s t l i n e r f a i l e d . We c a n c o m p e n s a t e f o r t h e s e e f f e c t s t o some e x t e n t b y a s s i g n i n g h i g h e r r a t e c o n s t a n t s t o u p p e r l i n e r s , b u t t h e m o d e l w o u l d s t i l l b e h a v e a s a n i n d e p e n d e n t s y s t e m . On t h e o t h e r h a n d , m o d e l i n g t h e i n t e r a c t i o n s among t h e d i f f e r e n t c o m p o n e n t s w o u l d r e q u i r e a v e r y c o m p l e x s e t o f c o n d i t i o n a l p r o b a b i l i t i e s a n d w o u l d d e m a n d v e r y d i f f i c u l t , i f n o t i m p o s s i b l e i n t e g r a t i o n s . C o n s i d e r i n g t h e s c a r c i t y o f d a t a p e r t a i n i n g t o t h e p e r f o r m a n c e o f c o n t a i n m e n t c o m p o n e n t s , s u c h a n a n a l y s i s i s p r o b a b l y n o t j u s t i f i e d . The c o n c l u s i o n s t h a t c a n be d r a w n f r o m t h e a n a l y s e s d e s c r i b e d i n t h i s c h a p t e r a r e a s f o l l o w s . 1) W a s t e m a n a g e m e n t s y s t e m s c a n b e m o d e l l e d a s a s y s t e m o f w a s t e c e l l s c o n f i g u r e d i n a s e r i e s s t r u c t u r e . 2) W a s t e c e l l s c a n b e m o d e l l e d a s a s y s t e m s o f s y n t h e t i c l i n e r s c o n f i g u r e d i n a p a r a l l e l s t r u c t u r e . 3) T h e p r o b a b i l i t y o f b r e a c h e s d u e t o a) m a n u f a c t u r e a n d i n s t a l l a t i o n f a i l u r e s , b) e x t e r n a l e v e n t s w h i c h h a v e e q u a l 139 a n n u a l p r o b a b i l i t i e s o f o c c u r r e n c e , a n d c ) l i n e r d e g r a d a t i o n and w e a r c a n be s e p a r a t e l y i d e n t i f i e d i f t h e m o r t a l i t y c u r v e shown i n F i g u r e 4.3 i s u s e d t o m o d e l l i n e r p e r f o r m a n c e . A d d i t i o n a l l i n e r s r e d u c e t h e number o f e a r l y b r e a c h e s due t o e x t e r n a l e v e n t s a n d i n c r e a s e t h e n u m b e r o f l a t e b r e a c h e s due t o d e g r a d a t i o n o r wear. A d d i t i o n a l c e l l s i n c r e a s e t h e number o f e a r l y b r e a c h e s due t o e x t e r n a l e v e n t s a n d d e c r e a s e t h e n u m b e r o f l a t e b r e a c h e s due t o d e g r a d a t i o n and wear. B e c a u s e o f t h e e f f e c t s o f d i s c o u n t i n g f u t u r e l o s s e s , b r e a c h e s due t o d e g r a d a t i o n o r w e a r do n o t s i g n i f i c a n t l y a f f e c t o w n e r - o p e r a t o r s . F r o m a n o w n e r - o p e r a t o r ' s p o i n t -o f - v i e w , t h e n , t h e p e r f o r m a n c e o f l i n e r s c a n b e e f f e c t i v e l y m o d e l e d u s i n g t h e e x p o n e n t i a l p r o b a b i l i t y d i s t r i b u t i o n , w h i c h m o d e l s b r e a c h e s due t o e x t e r n a l e v e n t s w i t h e q u a l a n n u a l p r o b a b i l i t i e s o f o c c u r r e n c e . I f l a t e b r e a c h e s a r e n e g l e c t e d , t h e l o g a r i t h m o f t h e p r o b a b i l i t y o f b r e a c h f o r s i n g l e - l i n e r s y s t e m s i s l i n e a r . T h e s l o p e s t e e p e n s a s t h e e x p o n e n t i a l r a t e c o n s t a n t i n c r e a s e s and a s t h e number o f w a s t e c e l l s i n c r e a s e s . I f t h e p r i m a r y c a u s e o f e a r l y b r e a c h e s i s a s s u m e d t o b e due t o e v e n t s t h a t o c c u r a t p o i n t s l o c a l l y d i s t r i b u t e d on a s i t e s c a l e , t h e n t h e e x p o n e n t i a l r a t e c o n s t a n t s h o u l d be 140 d i r e c t l y p r o p o r t i o n a l t o t h e a r e a o f t h e w a s t e c e l l s . W a s t e c e l l s w h i c h b e g i n o p e r a t i o n l a t e r i n t h e s y s t e m l i f e p l a y a r e l a t i v e l y m i n o r r o l e i n t h e o v e r a l l p e r f o r m a n c e o f t h e w a s t e m a n a g e m e n t s y s t e m , e v e n w i t h o u t t h e e f f e c t s o f d i s c o u n t i n g . R e l i a b i l i t y a n a l y s e s p r o v i d e a v a l u a b l e f r a m e w o r k f o r s t u d y i n g w a s t e management s y s t e m s a nd f o r q u a n t i f y i n g t h e e f f e c t s o f d e s i g n p a r a m e t e r s . 141 5. RANDOM F I E L D S AND P R O B A B I L I S T I C CONTAMINANT TRAVEL TIMES I n a d d i t i o n t o a b r e a c h o f t h e c o n t a i n m e n t s t r u c t u r e , a s e c o n d e v e n t m u s t o c c u r b e f o r e t h e w a s t e m a n a g e m e n t s y s t e m c a n b e s a i d t o h a v e f a i l e d : t h e c o n t a m i n a n t p l u m e m u s t m i g r a t e t h r o u g h t h e h y d r o g e o l o g i c e n v i r o n m e n t t o t h e c o m p l i a n c e s u r f a c e . The way i n w h i c h f a i l u r e was d e f i n e d r e q u i r e s t h i s t o o c c u r d u r i n g t h e f a c i l i t y ' s c o m p l i a n c e p e r i o d i f t h e o w n e r - o p e r a t o r i s t o be h e l d r e s p o n s i b l e . T h e v a r i a b l e o f i n t e r e s t i n d e t e r m i n i n g t h e p r o b a b i l i t y o f f a i l u r e i s t h e c o n t a m i n a n t t r a v e l t i m e . The t r a v e l t i m e i s u n c e r t a i n b e c a u s e o f u n c e r t a i n t i e s a s s o c i a t e d w i t h 1) t h e p h y s i c a l a n d c h e m i c a l p r o c e s s e s w h i c h g o v e r n c o n t a m i n a n t t r a n s p o r t , 2) p h y s i c a l a n d c h e m i c a l p a r a m e t e r s d e s c r i b i n g t h e g e o l o g i c m a t e r i a l s , a nd 3) p h y s i c a l a nd c h e m i c a l p a r a m e t e r s d e s c r i b i n g t h e g r o u n d w a t e r . T h e s e u n c e r t a i n t i e s c a n b e q u a n t i f i e d b y t r e a t i n g t h e t r a v e l t i m e a s a r a n d o m v a r i a b l e w i t h some s p e c i f i e d p r o b a b i l i t y d i s t r i b u t i o n f u n c t i o n . T h i s d i s s e r t a t i o n c o n s i d e r s s i n g l e , i n o r g a n i c , n o n - r a d i o a c t i v e c o n t a m i n a n t s p e c i e s i n a s t e a d y - s t a t e , s a t u r a t e d f l o w s y s t e m i n a h i g h - p e r m e a b i l i t y s a n d a n d g r a v e l f o r m a t i o n . W i t h t h e s e r e s t r i c t i o n s , t h e p l u m e m i g r a t i o n c a n b e m o d e l e d w i t h t h e a d v e c t i v e t r a n s p o r t e q u a t i o n and t h e p r o b a b i l i t y d i s t r i b u t i o n f o r c o n t a m i n a n t t r a v e l t i m e c a n be e s t i m a t e d u s i n g c o m p u t e r m o d e l s . T h e g e n e r a l d e v e l o p m e n t o f t h e s e c o m p u t e r m o d e l s w i l l b e p r e s e n t e d i n t h i s c h a p t e r . 142 5.1 S o l u t e T r a n s p o r t P r o c e s s e s T h e r e a r e f i v e g e n e r a l m e c h a n i s m s i n v o l v e d i n s o l u t e t r a n s p o r t i n s a t u r a t e d g r o u n d w a t e r f l o w s y s t e m s ( G i l l h a m a n d C h e r r y , 1 9 8 2 ) . T h e s e a r e a d v e c t i o n , d i f f u s i o n , d i s p e r s i o n , r e t a r d a t i o n , a n d d e c a y . A d v e c t i o n , d i f f u s i o n , a n d d i s p e r s i o n a r e p r i n c i p a l l y p h y s i c a l m e c h a n i s m s w h i l e r e t a r d a t i o n and d e c a y a r e p r i n c i p a l l y c h e m i c a l a nd b i o l o g i c a l m e c h a n i s m s . The r e l a t i v e i m p o r t a n c e o f e a c h m e c h a n i s m d e p e n d s u p o n g e o l o g y , h y d r a u l i c g r a d i e n t s , g r o u n d w a t e r c h e m i s t r y , a nd t h e s p a t i a l a n d t e m p o r a l s c a l e s o f t h e p a r t i c u l a r p r o b l e m t h a t i s b e i n g a s s e s s e d . 5.1.1 A d v e c t i o n A d v e c t i v e t r a n s p o r t , i l l u s t r a t e d i n F i g u r e 5.1, i n v o l v e s t h e m o v e m e n t o f s o l u t e a t t h e a v e r a g e l i n e a r v e l o c i t y o f t h e g r o u n d w a t e r . I n o n e - d i m e n s i o n a l f l o w f i e l d s , a d v e c t i v e t r a n s p o r t i s synonamous w i t h p l u g f l o w . I n t w o - and t h r e e - d i m e n s i o n a l f l o w f i e l d s , a d v e c t i v e t r a n s p o r t c a n r e s u l t i n i r r e g u l a r l y s h a p e d p l u m e s c a u s e d b y f i n g e r i n g a n d b i f u r c a t i o n s , b u t t h e c o n c e n t r a t i o n w i t h i n t h e p l u m e i s t h e same a t a l l p o i n t s a n d i s e q u a l t o t h e c o n c e n t r a t i o n a t t h e s o u r c e . T h e c o n c e n t r a t i o n a s a f u n c t i o n o f d i s t a n c e f r o m t h e s o u r c e a t some f i x e d t i m e i s a s t e p f u n c t i o n , a s s h o w n i n F i g u r e 5.1b. S i m i l a r i l y , t h e c o n c e n t r a t i o n a s a f u n c t i o n o f t i m e a t some f i x e d l o c a t i o n i s a l s o a s t e p f u n c t i o n , a s shown i n F i g u r e 5.1c. F o r a d v e c t i v e f l o w , t h e mass f l u x o f s o l u t e i s d e p e n d e n t upon t h e h y d r a u l i c c o n d u c t i v i t y , t h e c o n c e n t r a t i o n , a n d t h e h y d r a u l i c 143 F i g u r e 5.1 - A d v e c t i v e Transport 144 g r a d i e n t : J a = - K ( d h / d x ) C ( 5 . 1 ) w h e r e Ja = s o l u t e f l u x due t o a d v e c t i o n ( M / L 2 / T ) K = s a t u r a t e d h y d r a u l i c c o n d u c t i v i t y ( L / T ) d h / d x = h y d r a u l i c h e a d g r a d i e n t C = c o n c e n t r a t i o n o f s o l u t e i n g r o u n d w a t e r (M/L.3) 5.1.2 D i f f u s i o n a nd D i s p e r s i o n F i e l d a n d l a b o r a t o r y o b s e r v a t i o n s i n d i c a t e t h a t s o l u t e c o n c e n t r a t i o n s a r e n o t c o n s t a n t t h r o u g h o u t p l u m e s and t h a t some d e g r e e o f m i x i n g t a k e s p l a c e a t t h e p l u m e e d g e s , a s s h o w n i n F i g u r e 5.2. T h e c o n c e n t r a t i o n a s a f u n c t i o n o f d i s t a n c e f r o m t h e s o u r c e a t some f i x e d t i m e , i l l u s t r a t e d i n F i g u r e 5.2b, a n d t h e c o n c e n t r a t i o n a s a f u n c t i o n o f t i m e a t some f i x e d l o c a t i o n , i l l u s t r a t e d i n F i g u r e 5.2c, s h o w m i x i n g o r s p r e a d i n g . T h i s m i x i n g i s g e n e r a l l y a t t r i b u t e d t o m o l e c u l a r d i f f u s i o n a n d t o m e c h a n i c a l d i s p e r s i o n . The f i r s t o f t h e s e , m o l e c u l a r d i f f u s i o n , i s g o v e r n e d b y F i c k ' s Law: w h e r e J m = - n D m ( d C / d x ) (5.2) Jm = s o l u t e f l u x due t o m o l e c u l a r d i f f u s i o n ( M / L 2 / T ) n = p o r o s i t y Dm = m o l e c u l a r d i f f u s i o n c o e f f i c i e n t f o r t h e s o l u t e i n t h e p o r o u s m e d i a ( L ^ / T ) 145 t F i g u r e 5.2 - E f f e c t s o f D i f f u s i o n and D i s p e r s i o n 146 d c / d x = c o n c e n t r a t i o n g r a d i e n t ( M/L4) The m o l e c u l a r d i f f u s i o n c o e f f i c i e n t f o r s o l u t e i n p o r o u s m e d i a r a n g e s f r o m 1 0 - 5 t o 10~6 cm2/sec. The v a l u e s a r e g e n e r a l l y l e s s t h a n t h e d i f f u s i o n c o e f f i c i e n t i n f r e e s o l u t i o n , i n p a r t b e c a u s e t h e s o l u t e f l o w p a t h s a r e more t o r t u o u s i n p o r o u s m e d i a t h a n i n f r e e s o l u t i o n . The s e c o n d m i x i n g p r o c e s s , m e c h a n i c a l d i s p e r s i o n , i s g e n e r a l l y a t t r i b u t e d t o v e l o c i t y v a r i a t i o n s w i t h i n t h e p o r o u s m e d i um. T h e s e v a r i a t i o n s o c c u r w i t h i n i n d i v i d u a l s o i l p o r e s o n a m i c r o s c o p i c s c a l e and w i t h i n s o i l l a y e r s b e c a u s e o f p e r m e a b i l i t y v a r i a t i o n s o n a l a r g e r s c a l e . M e c h a n i c a l d i s p e r s i o n i s g e n e r a l l y r e p r e s e n t e d b y a n e q u a t i o n w i t h t h e s a m e f o r m a s F i c k i a n d i f f u s i o n : J d = - n D d ( d C / d x ) ( 5 . 3 ) w h e r e Jd = s o l u t e f l u x due t o m e c h a n i c a l d i s p e r s i o n ( M / L 2 / T ) D d = m e c h a n i c a l d i s p e r s i o n c o e f f i c i e n t ( L ^ / T ) The d i s p e r s i o n c o e f f i c i e n t i s o f t e n c a l c u l a t e d a s a p r o d u c t o f t h e a v e r a g e g r o u n d w a t e r v e l o c i t y and a p a r a m e t e r d e f i n e d a s t h e d i s p e r s i v i t y : D d = C K v ( 5 . 4 ) w h e r e cK = d i s p e r s i v i t y ( L ) v = a v e r a g e l i n e a r g r o u n d w a t e r v e l o c i t y ( L / T ) 147 D i s p e r s i v i t i e s a r e a s s i g n e d d i f f e r e n t v a l u e s f o r d i r e c t i o n s p e r p e n d i c u l a r a n d p a r a l l e l t o t h e a v e r a g e d i r e c t i o n o f g r o u n d w a t e r f l o w . L a b o r a t o r y e x p e r i m e n t s i n d i c a t e t h a t l o n g i t u d i n a l d i s p e r s i v i t i e s t y p i c a l l y e x c e e d t r a n s v e r s e d i s p e r s i v i t i e s b y a f a c t o r o f 10 t o 20 ( P i c k e n s , 1 9 7 8 ) . The a s s u m p t i o n t h a t m e c h a n i c a l d i s p e r s i o n c a n be m o d e l e d w i t h a d i f f u s i o n t y p e o f e q u a t i o n i s m o r e a r e s u l t o f c o m p u t a t i o n a l c o n v e n i e n c e t h a n p h y s i c a l e v i d e n c e . The a s s u m p t i o n a l l o w s t h e e f f e c t s o f d i f f u s i o n a n d d i s p e r s i o n t o b e c o m b i n e d i n a s i n g l e p a r a m e t e r d e f i n e d a s t h e h y d r o d y n a m i c d i s p e r s i o n : D = Dd + D m ( 5 . 5 ) = o<v + D m ( 5 . 6 ) R e c e n t s t u d i e s h a v e a t t e m p t e d t o a d d r e s s t h e e f f e c t s o f d i s p e r s i o n u s i n g c o n c e p t u a l m o d e l s t h a t a r e m o r e p h y s i c a l l y r e a l i s t i c t h a n t h e c l a s s i c a l h y d r o d y n a m i c d i s p e r s i o n m o d e l . Two o f t h e m o r e p o p u l a r m o d e l s a r e s h o w n o n F i g u r e 5.3. F i g u r e 5.3a i l l u s t r a t e s t h a t h y d r a u l i c c o n d u c t i v i t y s t r a t i f i c a t i o n s c a n r e s u l t i n c o n c e n t r a t i o n p r o f i l e s i n m o n i t o r i n g w e l l s s i m i l a r t o w h a t i s p r e d i c t e d u s i n g t h e h y d r o d y n a m i c d i s p e r s i o n m o d e l s [ c f . G u v e n e t a l . , 1 9 8 4 ; M o l z e t a l . , 1 9 8 6 ] . T h e s e t y p e s o f h y d r a u l i c c o n d u c t i v i t y s t r a t i f i c a t i o n s c a n be t h e r e s u l t o f v e r y s u b t l e t e x t u r a l c h a n g e s i n g e o l o g i c m a t e r i a l s t h a t may n o t b e v i s u a l l y a p p a r e n t . 148 Observat ion Well Diffusion Out Time F i g u r e 5.3 - A p p a r e n t D i s p e r s i o n a s a R e s u l t o f a) H y d r a u l i c C o n d u c t i v i t y V a r i a t i o n s W i t h i n a G e o l o g i c U n i t , and b) D i f f u s i o n I n t o and Out o f Low P e r m e a b i l i t y L a y e r s 149 A s e c o n d m o d e l t h a t h a s r e c e n t l y b e e n p r o p o s e d i s t h e a d v e c t i o n -d i f f u s i o n m o d e l , i l l u s t r a t e d i n F i g u r e 5.3b. S o l u t e w h i c h i s t r a n s p o r t e d a d v e c t i v e l y t h r o u g h h i g h e r c o n d u c t i v i t y l a y e r s may d i f f u s e i n t o a n d o u t o f l o w e r c o n d u c t i v i t y l a y e r s [ G i l l h a m e t a l . , 1 9 8 4 ] . T h e r e s u l t o f t h i s r e v e r s i b l e d i f f u s i o n i s a g a i n a c o n c e n t r a t i o n p r o f i l e s i m i l a r t o w h a t i s p r e d i c t e d u s i n g h y d r o d y n a m i c d i s p e r s i o n m o d e l s . 5.1.3 R e t a r d a t i o n and D e c a y A d v e c t i o n , d i f f u s i o n , a n d d i s p e r s i o n a r e t h e p r e d o m i n a n t t r a n s p o r t p r o c e s s e s f o r n o n r e a c t i v e o r c o n s e r v a t i v e s o l u t e s . F o r r e a c t i v e o r n o n c o n s e r v a t i v e s o l u t e s , c o n c e n t r a t i o n s a l s o d e p e n d upon c h e m i c a l and b i o c h e m i c a l p r o c e s s e s . T h e s e p r o c e s s e s c a n be d i v i d e d i n t o t w o g e n e r a l c a t e r g o r i e s : r e t a r d a t i o n p r o c e s s e s and d e c a y p r o c e s s e s . The p r i m a r y d i f f e r e n c e b e t w e e n r e t a r d a t i o n and d e c a y i s t h a t r e t a r d a t i o n p r o c e s s e s a r e g e n e r a l l y r e v e r s i b l e w h i l e d e c a y p r o c e s s e s a r e g e n e r a l l y i r r e v e r s i b l e . R e t a r d a t i o n i s t h e p r o c e s s b y w h i c h s o l u t e i s t r a n s f e r r e d b e t w e e n t h e l i q u i d a n d s o l i d p h a s e s b e c a u s e o f a d s o r p t i o n - d e s o r p t i o n r e a c t i o n s , o x i d a t i o n - r e d u c t i o n r e a c t i o n s , a n d p r e c i p i t a t i o n -d i s s o l u t i o n r e a c t i o n s . T h e o v e r a l l e f f e c t o f r e t a r d a t i o n i s t o p a r t i t i o n c h e m i c a l c o n s t i t u e n t s b e t w e e n t h e s o l i d a n d l i q u i d p h a s e s . F o r m o s t g r o u n d w a t e r a p p l i c a t i o n s , b o t h r e t a r d a t i o n and d e c a y a r e a s s u m e d t o b e v e r y r a p i d r e l a t i v e t o n a t u r a l g r o u n d w a t e r f l o w s o t h a t l o c a l , s t e a d y - s t a t e e q u i l i b r i u m i s m a i n t a i n e d . 150 R e t a r d a t i o n p r o c e s s e s c a n b e q u a n t i f i e d u s i n g l a b o r a t o r y e x p e r i m m e n t s i n w h i c h t h e s o l i d c o n c e n t r a t i o n i s m e a s u r e d a s a f u n c t i o n o f t h e d i s s o l v e d c o n c e n t r a t i o n . T h e r e l a t i o n s h i p b e t w e e n t h e s o l i d a n d d i s s o l v e d c o n c e n t r a t i o n i s t y p i c a l l y e x p r e s s e d b y u s i n g a d i s t r i b u t i o n c o e f f i c i e n t , K^/ d e f i n e d a s : w h e r e K d = S M / C B ( 5 . 7 ) K<j = d i s t r i b u t i o n c o e f f i c i e n t S m = mass o f s o l u t e a d s o r b e d p e r u n i t b u l k d r y mass o f t h e p o r o u s medium ( M / M ) C = c o n c e n t r a t i o n i n l i q u i d p h a s e (M/L3) b = e m p i r i c a l c o e f f i c i e n t F o r m o s t a p p l i c a t i o n s , b i s a s s u m e d t o b e 1.0 s o t h a t t h e c o n c e n t r a t i o n i n t h e s o l i d p h a s e i s a l i n e a r f u n c t i o n o f t h e c o n c e n t r a t i o n i n t h e l i q u i d p h a s e . R e t a r d a t i o n c a u s e s t h e a v e r a g e l i n e a r v e l o c i t y o f t h e s o l u t e f r o n t t o b e l e s s t h a n t h e a v e r a g e l i n e a r v e l o c i t y o f t h e g r o u n d w a t e r . I f d i s t r i b u t i o n c o e f f i c i e n t s a r e u s e d t o m o d e l r e t a r d a t i o n , t h e r e l a t i o n s h i p b e t w e e n t h e v e l o c i t y o f t h e s o l u t e f r o n t and t h e a v e r a g e l i n e a r g r o u n d w a t e r v e l o c i t y i s g i v e n b y : v / v s = 1. + K d ( p b / n ) ( 5 ' 8 ) V S = v e l o c i t y o f s o l u t e f r o n t ( L / T ) P b = mass d e n s i t y o f s o l i d s (M/L.3) n = p o r o s i t y 151 T h e r a t i o o f t h e a v e r a g e l i n e a r v e l o c i t y o f t h e g r o u n d w a t e r t o t h e v e l o c i t y o f t h e s o l u t e f r o n t i s t e r m e d t h e r e t a r d a t i o n f a c t o r a n d i s g i v e n b y t e r m s o n t h e r i g h t s i d e o f E q u a t i o n 5.8. R e t a r d a t i o n f a c t o r s may r a n g e f r o m 1 t o o v e r 1 0 , 0 0 0 , d e p e n d i n g upon t h e s o l u t e and t h e g e o l o g i c m e d i a [ M i l l e r a n d B e n s o n , 1 9 8 3 ] , As i s t h e c a s e w i t h t h e e q u a t i o n f o r h y d r o d y n a m i c d i s p e r s i o n , t h e m a i n a p p e a l o f t h e r e t a r d a t i o n f a c t o r a p p r o a c h i s m a t h e m a t i c a l c o n v e n i e n c e [ R u b i n , 1 9 8 3 ] . The a p p r o a c h h a s l i m i t e d o r u n p r o v e n p r e d i c t i v e c a p a b i l i t i e s i n f i e l d o r e v e n l a b o r a t o r y a p p l i c a t i o n s [ G i l l h a m a nd C h e r r y , 1 9 8 2 ] . The s e c o n d s e t o f c h e m i c a l and b i o l o g i c a l m e c h a n i s m s t h a t a f f e c t n o n c o n s e r v a t i v e s o l u t e s i n g r o u n d w a t e r a r e i r r e v e r s i b l e d e c a y p r o c e s s e s . S o l u t e d e c a y i s a r e s u l t o f p r o c e s s e s s u c h a s o x i d a t i o n a nd r e d u c t i o n , m i c r o b i a l c o n v e r s i o n s , t h e f o r m a t i o n o f c o m p l e x i o n s , a n d r a d i o a c t i v e d e c a y . A s i n k / s o u r c e t e r m t h a t r e p r e s e n t s t h e r a t e a t w h i c h t h e d i s s o l v e d s p e c i e s i s r e m o v e d f r o m s o l u t i o n i s u s u a l l y u s e d t o q u a n t i f y t h e e f f e c t s o f d e c a y . The d e c a y t e r m i s g i v e n b y : SC = S o l u t e d e c a y ( 5 . 9 ) w h e r e S = d e c a y c o n s t a n t ( l / T ) C = s o l u t e c o n c e n t r a t i o n (M / lP) 5.1.4 The I m p o r t a n c e o f A d v e c t i v e F l o w i n E n g i n e e r i n g D e s i g n The r e l a t i v e i m p o r t a n c e o f t h e f i v e t r a n s p o r t p r o c e s s e s d e s c r i b e d 152 i n t h e p r e v i o u s s e c t i o n d e p e n d s o n t h e s p a t i a l a n d t e m p o r a l s c a l e s o f t h e p r o b l e m t h a t i s b e i n g a s s e s s e d . The i m p o r t a n c e o f d i s p e r s i o n a n d d i f f u s i o n c a n b e i l l u s t r a t e d b y c o m p a r i n g t h e a v e r a g e l i n e a r g r o u n d w a t e r v e l o c i t y w i t h t h e r a t e a t w h i c h a s o l u t e f r o n t a d v a n c e s a l o n g a f l o w p a t h . F o r a d v e c t i v e t r a n s p o r t , a s i l l u s t r a t e d i n F i g u r e 5.1, t h e s e two q u a n t i t i e s a r e i d e n t i c a l . When d i s p e r s i o n a n d d i f f u s i o n a r e i n c l u d e d , t h e r e l a t i o n s h i p b e t w e e n t h e v e l o c i t y o f t h e g r o u n d w a t e r a n d t h e v e l o c i t y o f t h e s o l u t e f r o n t d e p e n d s u p o n t h e m a g n i t u d e o f t h e g r o u n d w a t e r v e l o c i t y a n d t h e way i n w h i c h t h e s o l u t e f r o n t i s d e f i n e d , a s shown i n F i g u r e 5.4. F i g u r e 5.4a c o m p a r e s g r o u n d w a t e r v e l o c i t y a n d s o l u t e f r o n t v e l o c i t y when t h e s o l u t e f r o n t i s d e f i n e d b y C/C Q = 0.5, where C Q i s t h e s o u r c e c o n c e n t r a t i o n . W i t h t h i s d e f i n i t i o n , a d v e c t i o n i s t h e d o m i n a n t t r a n s p o r t p r o c e s s i f t h e a v e r a g e l i n e a r g r o u n d w a t e r v e l o c i t y i s g r e a t e r t h a n a b o u t 0.5 c m / y r . When t h e s o l u t e f r o n t i s d e f i n e d b y C / C Q = 0.01, a d v e c t i o n d o m i n a t e s i f t h e a v e r a g e g r o u n d w a t e r v e l o c i t y i s g r e a t e r t h a n a b o u t 100 cm/yr, a s shown o n F i g u r e 5.4b. The r e l a t i v e i m p o r t a n c e o f t h e v a r i o u s t r a n s p o r t m e c h a n i s m s c a n a l s o b e i l l u s t r a t e d b y s t u d y i n g c a s e h i s t o r i e s w h i c h p r e s e n t s h a p e s a n d s i z e s o f c o n t a m i n a n t p l u m e s . T a b l e 5.1 s u m m a r i z e s t h e r e s u l t s o f 10 c a s e h i s t o r i e s o f c o n t a m i n a n t p l u m e s i n u n c o n s o l i d a t e d g e o l o g i c m e d i a [ F r e e z e , p e r s o n a l c o m m u n i c a t i o n , 1 9 8 6 ] . T h e s e c a s e h i s t o r i e s g e n e r a l l y c o n f i r m t h a t t h e 153 c o u_ O CO 2 E o o 5 CD O) CO i_ CD > < 1.0 0.1 -0.01 Transport Dominated by Molecular Diffusion 6 cff> 2/! Transport Dominated t>y Advection 1/ 4" 0.01 0.1 1.0 Average Linear Groundwater Velocity Ccm/yr] c o CD +-» O CO w >> .~ E o o o ^ CD > CD OJ CO k. CD > < 100.0 10.0 Transport Dominated by molecular diffusion Transport dominated by Advection 0.1 1.0 10 100 1000 Average Linear Groundwater Velocity (cm/yr) F i g u r e 5.4 - Groundwater V e l o c i t y and S o l u t e Front V e l o c i t y S o l u t e F r o n t i s D e f i n e d by a) C/Co = 0.5, a n d C/Co = 0.01 154 T a b l e 5.1 - G r o u n d w a t e r C o n t a m i n a t i o n C a s e H i s t o r i e s ( f r o m R. A. F r e e z e , 1986) L o c a t i o n H y d r a u l i c P o r o s i t y H y d r a u l i c A v e r a g e C o n d u c t i v i t y G r a d i e n t V e l o c i t y (m/s x 1 0 + 4 ) (m/s x 1 0 + 6 ) 1 10.0 0.40 0.0025 6.2 2 0.4 0.38 0.0090 1.0 3 7.5 0.35 0.0025 5.4 4 8.0 0.35 0.0017 3.8 5 6.0 0.38 0.0050 7.8 6 10.0 0.25 0.0030 12.0 7 1.1 0.35 0.0077 2.4 8 0.4 0.35 0.0030 0.3 9 2.5 0.40 0.0019 1.0 1Q 12.0 0.30 0.0090 36.0 L o c a t i o n P lume Plume Plume Plume w i d t h / L e n g t h W i d t h T h i c k n e s s S o u r c e w i d t h ( m e t e r s ) ( m e t e r s ) ( m e t e r s ) 1 820 300 10 1.0 2 300 30 5 1.0 3 1300 300 20 4.2 4 3200 700 25 1.2 5 700 90 25 1.1 6 3100 580 23 1.2 7 400 150 20 1.9 8 700 600 20 2.2 9 6700 1100 25 1.1 10 8800 1200 18 2.0 L o c a t i o n E s t i m a t e d Age Plume A v e r a g e V e l o c i t y / S p e c i e s o f Plume V e l o c i t y Plume V e l o c i t y ( y e a r s ) (m/yr) 1 na na na TCE 2 22 14 2.5 S t r o n t i u m 90 3 12 118 1.4 Chromium +6 4 42 76 1.6 B o r o n 5 16 44 5.6 S t r o n t i u m 90 6 27 113 3.3 C h l o r i d e 7 13 31 2.4 C h l o r i d e 8 39 18 0.6 C h l o r i d e 9 34 200 0.2 TDS 10 19 460 2.4 C h l o r i d e 1 = S o u t h B r u n s w i c k , N J 6 = B a b y l o n , NY 2 = C h a l k R i v e r , O n t a r i o 7 = G l o u c e s t e r , O n t a r i o 3 = N a s s a u C o u n t y , NY . 8 = B o r d e n , O n t a r i o 4 = Cape Cod, MA 9 = B a r s t o w , CA 5 = Wood R i v e r J u n c t i n , R l 10 = D e n v e r , CO 155 p r e d o m i n a n t t r a n s p o r t m e c h a n i s m i s a d v e c t i o n i f t h e a v e r a g e l i n e a r g r o u n d w a t e r v e l o c i t y i s g r e a t e r t h a n s e v e r a l m e t e r s p e r y e a r . F o r g r o u n d w a t e r c o n t a m i n a t i o n f r o m w a s t e management f a c i l i t i e s , s p a t i a l s c a l e s a r e t y p i c a l l y on t h e o r d e r o f t e n s o r h u n d r e d s o f m e t e r s a n d t e m p o r a l s c a l e s a r e o n t h e o r d e r o f t e n s o f y e a r s . S o l u t e f r o n t v e l o c i t i e s o n t h e o r d e r o f m e t e r s o r t e n s o f m e t e r s p e r y e a r a r e r e q u i r e d f o r g r o u n d w a t e r c o n t a m i n a t i o n t o b e i m p o r t a n t w i t h i n t h e s e t i m e and s p a c e s c a l e s . C o n t a m i n a n t p l u m e s t h a t d e v e l o p a t a s l o w e r r a t e w i l l n o t h a v e a s i g n i f i c a n t i m p a c t o n o w n e r - o p e r a t o r s ' d e c i s i o n s b e c a u s e o f t h e e f f e c t s o f d i s c o u n t i n g f u t u r e r i s k s t o p r e s e n t v a l u e . C l e a n - u p c o s t s t h a t w i l l b e i n c u r r e d f a r i n t h e f u t u r e f o r s l o w - m o v i n g p l u m e s w i l l be n e g a t e d b y d i s c o u n t i n g . I n s ummary, t h e f o l l o w i n g c o n c l u s i o n s c a n b e d r a w n r e g a r d i n g c o n t a m i n a n t t r a n p o r t m e c h a n i s m s : 1) O f t h e many s o l u t e s p e c i e s t h a t w o u l d l i k e l y be p r e s e n t i n l a n d f i l l l e a c h a t e , t h o s e t h a t m o v e m o s t q u i c k l y a r e t h e m o s t i m p o r t a n t w i t h r e g a r d t o t h e r i s k s a s s o c i a t e d w i t h g r o u n d w a t e r c o n t a m i n a t i o n . T h e s p e c i e s t h a t m ove m o s t q u i c k l y a r e t h o s e t h a t do n o t d e c a y , r e a c t , o r a b s o r b . 2) W i t h t h e d e f i n i t i o n o f f a i l u r e t h a t h a s b e e n a d o p t e d i n t h i s s t u d y , c o n t a m i n a n t p l u m e s must g e n e r a l l y move m e t e r s p e r y e a r f o r t h e r i s k s a s s o c i a t e d w i t h g r o u n d w a t e r c o n t a m i n a t i o n t o i m p a c t a n o w n e r - o p e r a t o r ' s o b j e c t i v e 156 f u n c t i o n . A d v e c t i o n i s t h e d o m i n a n t t r a n s p o r t m e c h a n i s m u n d e r t h e s e c o n d i t i o n s . 3) H y d r a u l i c c o n d u c t i v i t i e s on t h e o r d e r o f 0.01 t o 0.001 cm/s a r e n e e d e d t o a h a v e g r o u n d w a t e r v e l o c i t i e s on t h e o r d e r o f m e t e r s p e r y e a r . S a n ds and g r a v e l s g e n e r a l l y r e p r e s e n t t h e o n l y t y p e s o f u n c o n s o l i d a t e d d e p o s i t s i n w h i c h t h e s e m a g n i t u d e s o f h y d r a u l i c c o n d u c t i v i t i e s a r e o b s e r v e d . P l u m e s t h a t move m e t e r s p e r y e a r c a n n o t g e n e r a l l y o c c u r i n m e d i a o f l o w e r c o n d u c t i v i t y . 157 5.2 M o d e l l i n g S o l u t e T r a n s p o r t 5.2.1 G e n e r a l T r a n s p o r t M o d e l T h e c o m b i n e d e f f e c t s o f a d v e c t i o n , d i s p e r s i o n , d i f f u s i o n , r e t a r d a t i o n , a n d d e c a y c a n b e m o d e l e d w i t h a d i f f e r e n t i a l e q u a t i o n t h a t i s g e n e r a l l y t e r m e d t h e a d v e c t i o n - d i s p e r s i o n e q u a t i o n . The e q u a t i o n c a n be d e v e l o p e d b y c o n s i d e r i n g t h e f l u x i n t o a n d o u t o f a f i x e d e l e m e n t a l v o l u m e . F o r a n o n r e a c t i v e s o l u t e , t h e f l u x w i l l be a s u m m a t i o n o f t h e a d v e c t i v e f l u x , g i v e n b y E q u a t i o n 5.1, d i f f u s i v e f l u x , g i v e n b y E q u a t i o n 5.2, a n d d i s p e r s i v e f l u x , g i v e n b y E q u a t i o n 5.3. T h e e f f e c t s o f r e t a r d a t i o n a r e g e n e r a l l y i n c o r p o r a t e d u s i n g a r e t a r d a t i o n f a c t o r a n d d e c a y i s i n c o r p o r a t e d w i t h a s i n k / s o u r c e t e r m . T h e t h r e e -d i m e n s i o n a l f o r m o f t h e a d v e c t i o n - d i s p e r s i o n e q u a t i o n i s [ J a v a n d e l e t a l , 1 9 8 4 ] A . D i j h£ - j L _ ( c v i ) ~ S C R ( 5 . 1 0 ) c^xi i x j 5 x i = s o l u t e c o n c e n t r a t i o n [ M / L ^ ] = d i s p e r s i o n c o e f f i c i e n t t e n s o r [ L ^ / T ] = p o r o s i t y = s e e p a g e v e l o c i t y i n d i r e c t i o n x^ [ L / T ] = r e t a r d a t i o n f a c t o r = d e c a y c o n s t a n t [ 1 / T ] = C a r t e s i a n c o o r d i n a t e [ L ] R &C = ht w h e r e C D i j n v i R S x i 158 The s e e p a g e v e l o c i t i e s , v±> a r e d e t e r m i n e d f r o m D a r c y ' s Law: V i = - K i j f d h / a x j ) ( 5 . 1 1 ) w h e r e = h y d r a u l i c c o n d u c t i v i t y t e n s o r [ L / T ] n = e f f e c t i v e p o r o s i t y h = h y d r a u l i c h e a d [ L ] T h e d i s t r i b u t i o n o f h y d r a u l i c h e a d v a l u e s i s d e t e r m i n e d b y s o l v i n g t h e g r o u n d w a t e r f l o w e q u a t i o n : w h e r e S s i s t h e s p e c i f i c s t o r a g e [ l / L ] . T h e a d v e c t i o n d i s p e r s i o n e q u a t i o n g i v e n b y E q u a t i o n (5.10) c a n , i n t h e o r y , be s o l v e d f o r a s p e c i f i e d s e t o f b o u n d a r y and i n i t i a l c o n d i t i o n s t o o b t a i n s o l u t e c o n c e n t r a t i o n a s a f u n c t i o n o f t i m e a n d l o c a t i o n i n t h e f l o w f i e l d . I n p r a c t i c e , h o w e v e r , t h e m o d e l i n g p r o c e s s i s r i f e w i t h d i f f i c u l t i e s and c o m p l i c a t i o n s . The p r o b l e m s g e n e r a l l y f a l l i n t o t h e f o l l o w i n g c a t e g o r i e s : 1) T h e e q u a t i o n s u s e d t o d e s c r i b e d i s p e r s i o n , r e t a r d a t i o n , a n d d e c a y r e p r e s e n t g r o s s s i m p l i f i c a t i o n s o f a c t u a l p h y s i c a l p r o c e s s e s . 2) The i n p u t p a r a m e t e r s f o r t h e e q u a t i o n , w h i c h a r e t y p i c a l l y ( 5 . 1 2 ) 159 h e t e r o g e n e o u s and a n i s o t r o p i c , a r e d i f f i c u l t t o m e a s u r e o r e v e n e s t i m a t e . 3) B o u n d a r y a n d i n i t i a l c o n d i t i o n s a r e o f t e n u n k n o w n a n d d i f f i c u l t t o d e t e r m i n e . 4) I n i t s m o s t g e n e r a l f o r m , t h e a d v e c t i o n - d i s p e r s i o n e q u a t i o n c a n n o t b e s o l v e d u s i n g c l o s e d - f o r m a n a l y t i c a l t e c h n i q u e s . N u m e r i c a l t e c h n i q u e s , w h i c h may r e q u i r e l a r g e c o m p u t a t i o n a l e f f o r t s , c a n be i n a c c u r a t e . A l t h o u g h t h e s e d i f f i c u l t i e s a p p l y t o a l l f i v e o f t h e t r a n s p o r t m e c h a n i s m s d e s c r i b e d i n t h e p r e v i o u s s e c t i o n , some m e c h a n i s m s a r e b e t t e r u n d e r s t o o d a n d m o r e e a s i l y m o d e l e d t h a n o t h e r s . I n g e n e r a l t e r m s , a d v e c t i o n and d i f f u s i o n p r o c e s s e s c a n be m o d e l e d w i t h some d e g r e e o f c o n f i d e n c e w h i l e d i s p e r s i o n , r e t a r d a t i o n , and d e c a y p r o c e s s e s o f t e n c a n n o t . 5.2.2 A d v e c t i v e T r a n s p o r t M o d e l F o r t h e r e a s o n s d i s c u s s e d i n S e c t i o n 5.1.4, t h e c o n t a m i n a n t f r o n t m u s t m o v e o n t h e o r d e r o f m e t e r s o r t e n s o f m e t e r s p e r y e a r f o r g r o u n d w a t e r c o n t a m i n a t i o n t o be an i m p o r t a n t f a c t o r i n t h e o w n e r -o p e r t o r ' s r i s k - c o s t - b e n e f i t e q u a t i o n . D i s p e r s i o n a n d d i f f u s i o n a r e d o m i n a t e d b y a d v e c t i v e t r a n s p o r t when t h e g r o u n d w a t e r v e l o c i t i e s a r e o n t h e o r d e r o f m e t e r s p e r y e a r . D i s p e r s i o n a n d d i f f u s i o n w i l l t h e r e f o r e b e n e g l e c t e d i n t h i s s t u d y . The e f f e c t s o f r e t a r d a t i o n and d e c a y w i l l a l s o be n e g l e c t e d f o r 160 t h e a n a l y s e s p r e s e n t e d i n t h i s d i s s e r t a t i o n . M o s t w a s t e management f a c i l i t i e s w i l l r e c e i v e a v a r i e t y o f d i f f e r e n t w a s t e s and w i l l t h e r e f o r e g e n e r a t e a v a r i e t y o f c o n t a m i n a n t s . Some o f t h e s e c o n t a m i n a n t s w i l l l i k e l y be r e t a r d e d o r w i l l d e c a y and some w i l l l i k e l y n o t . N e g l e c t i n g t h e e f f e c t s o f r e t a r d a t i o n a n d d e c a y h a s t h e same e f f e c t a s c o n s i d e r i n g o n l y t h e f a s t e s t - m o v i n g c o n t a m i n a n t . By c o n s i d e r i n g o n l y a d v e c t i v e s o l u t e t r a n s p o r t , t h e s o l u t e f r o n t w i l l m o v e a t t h e a v e r a g e l i n e a r g r o u n d w a t e r v e l o c i t y . T h e c o n c e n t r a t i o n a t a n y p o i n t w i l l b e z e r o i f t h e p l u m e h a s n o t a r r i v e d a n d w i l l b e C Q i f i t h a s , w h e r e C Q i s t h e s o u r c e c o n c e n t r a t i o n . T h e t i m e r e q u i r e d f o r t h e p l u m e t o t r a v e l f r o m p o i n t s i t o p o i n t s 2 i s g i v e n b y : 5.2.3 S t r e a m F u n c t i o n s The t r a d i t i o n a l a p p r o a c h f o r d e t e r m i n i n g g r o u n d w a t e r t r a v e l t i m e s i s t o 1) d e t e r m i n e t h e s p a t i a l d i s t r i b u t i o n o f h y d r a u l i c h e a d s ( o r f l u i d p o t e n t i a l s ) b y s o l v i n g E q u a t i o n ( 5 . 1 2 ) , 2) d e t e r m i n e t h e s p a t i a l d i s t r i b u t i o n o f v e l o c i t i e s b y s o l v i n g E q u a t i o n ( 5 . 1 1 ) , a n d 3) d e t e r m i n e t r a v e l t i m e s b e t w e e n t w o p o i n t s b y s o l v i n g ( 5 . 1 3 ) . H o w e v e r , f o r s t e a d y s t a t e f l o w s y s t e m s , a m o r e e f f i c i e n t a n d o f t e n t i m e s m o r e a c c u r a t e a p p r o a c h i s t o ( 5 . 1 3 ) 161 r e f o r m u l a t e t h e g r o u n d w a t e r f l o w e q u a t i o n i n t e r m s o f s t r e a m f u n c t i o n s r a t h e r t h a n f l u i d p o t e n t i a l s o r h y d r a u l i c h e a d s [ F r i n d a n d M a t a n g a , 1985; B e a r , 1 9 7 9 ] . By d e f i n i t i o n , a s t r e a m l i n e , s, i s a c u r v e t h a t i s e v e r y w h e r e t a n g e n t t o t h e v e l o c i t y v e c t o r , a s i l l u s t r a t e d i n F i g u r e 5.5 f o r a t w o d i m e n s i o n a l f l o w f i e l d . T h e s l o p e o f t h e s t r e a m l i n e e q u a l s t h e s l o p e o f t h e v e l o c i t y v e c t o r a t a l l p o i n t s i n t h e f l o w f i e l d : d x 2 / d x i = q 2 / q i ( 5 . 1 4 ) w h e r e d x 2 / <j x^ = s l o p e o f s t r e a m l i n e 32 / 9.1 = s l ° P e °f v e l o c i t y v e c t o r A s t r e a m f u n c t i o n , H / ( x 1 , X 2 ) , i s d e f i n e d a s a f u n c t i o n t h a t i s c o n s t a n t a l o n g a s t r e a m l i n e , s. T h e d e r i v a t i v e o f t h e s t r e a m f u n c t i o n w i t h r e s p e c t t o x± a n d x 2 i s t h e r e f o r e z e r o a l o n g s. U s i n g t h e t o t a l d e r i v a t i v e : ^ H ; ( x 1 , x 2 ) = j^Vdx! + JWdx2 = 0 ( 5 . 1 5 a ) i x i bx2 d x 2 / d X l = - aH 1/ A X l ( 5 . 1 5 b ) V t 7 * x 2 C o m b i n i n g E q u a t i o n s ( 5 . 1 4 ) and ( 5 . 1 5 ) g i v e s : q 2 / q i = -*>HV oxi ( 5 . 1 6 ) y V / o x 2 162 x 2 1 F i g u r e 5.5 - D e f i n i t i o n o f a S t r e a m l i n e 163 From E q u a t i o n ( 5 . 1 6 ) q 2 = - 2> X 1 q i = W / & x 2 ( 5 . 1 7 a ) ( 5 . 1 7 b ) C o m b i n i n g E q u a t i o n s ( 5 . 1 7 ) w i t h t h e t w o - d i m e n s i o n a l f o r m o f D a r c y ' s Law g i v e s : *1 *2 K l l K21 K l 2 K22 bu)/ }x 2 *x 2 ( 5 . 1 8 ) The m a t h e m a t i c a l r e l a t i o n s h i p s b e t w e e n f l u i d p o t e n t i a l s a n d s t r e a m f u n c t i o n s t h a t i s g i v e n b y E q u a t i o n (5.18) a r e t e r m e d t h e C a u c h y - R i e m a n n c o n d i t i o n s . T h e y a r e i l l u s t r a t e d o n F i g u r e 5.6. E q u a t i o n (5.18) c a n be s o l v e d f o r f l u i d p o t e n t i a l s b y i n v e r t i n g t h e h y d r a u l i c c o n d u c t i v i t y t e n s o r : -K -1 a x 2 w h e r e -K -1 <5l q2 ( 5 . 1 9 ) _K 1 = i n v e r s e o f h y d r a u l i c c o n d u c t i v i t y t e n s o r I t c a n b e s h o w n [ c f . F r i n d a n d M a t a n g a , 1 9 8 5 ; B e a r , 1 9 7 9 ] t h a t i n a s t e a d y s t a t e f l o w f i e l d t h e c o n s e r v a t i o n o f f o r c e s r e q u i r e s : V X ( K - 1 q) = 0 ( 5 . 2 0 ) 164 F i g u r e 5.6 - R e l a t i o n s h i p s B e t w e e n F l u i d P o t e n t i a l s and S t r e a m F u n c t i o n s 165 w h e r e X d e n o t e s a v e c t o r c r o s s p r o d u c t . C o m b i n i n g E q u a t i o n s ( 5 . 1 9 ) a n d (5.20) g i v e s t h e s t e a d y - s t a t e g r o u n d w a t e r f l o w e q u a t i o n i n t e r m s o f s t r e a m v a l u e s : V j ^ K V I ' = 0 (5 . 2 1 ) w h e r e lK| = d e t e r m i n a n t o f h y d r a u l i c c o n d u c t i v i t y t e n s o r T h e d i s c h a r g e b e t w e e n t w o s t r e a m l i n e s , s h o w n i n F i g u r e 5.7, i s g i v e n b y : ?2 P2 dQ = J q P dp = J" q 1 d x 2 - q 2 d x i ( 5 . 2 2 ) P I P I C o m b i n i n g E q u a t i o n s (5.18) a n d (5.22) ;P2 r P 2 ^ _ d x 2 + ^ _ d x i = J dS J (x 1 , x 2 ) ( 5 . 2 3 ) P I ^x2 bx± ' pi dQ = H*(P2) - ^ ( P l ) ( 5 . 2 4 ) E q u a t i o n ( 5 . 2 4 ) s h o w s t h a t t h e v a l u e o f a s t r e a m f u n c t i o n a t p o i n t p j e q u a l s t h e v a l u e o f a r e f e r e n c e s t r e a m f u n c t i o n a t p o i n t pi p l u s t h e d i s c h a r g e b e t w e e n p ^ a n d p 2 ' The f l u i d v e l o c i t y i n t h e s t r e a m t u b e o f w i d t h d p i s : v = dQ/dpn = dHVdpn ( 5 . 2 5 ) 166 F i g u r e 5.7 - Discharge Between Two S t r e a m l i n e s 167 w h e r e n = e f f e c t i v e p o r o s i t y The d i s t a n c e t r a v e l e d a l o n g a s t r e a m l i n e d u r i n g t i m e i n t e r v a l d t i s : d s = v d t = d f d t ( 5 . 2 6 ) d p ( s ) n w h e r e d p ( s ) = w i d t h o f s t r e a m t u b e a t p o s i t i o n s Th e t r a v e l t i m e b e t w e e n p o i n t s s i a n d s 2 c a n b e d e t e r m i n e d b y i n t e g r a t i n g E q u a t i o n ( 5 . 2 6 ) : t 2 s 2 t2 ~ t i = d t =_n_ f d p ( s ) d s ( 5 . 2 7 ) J d^ V J t i s i E q u a t i o n ( 5 . 2 7 ) i s t h e s t r e a m f u n c t i o n a l t e r n a t i v e t o E q u a t i o n (5.13). One o f t h e a d v a n t a g e s o f t h e s t r e a m f u n c t i o n f o r m u l a t i o n i s t h a t c o m p u t e r m o d e l s t h a t s o l v e f o r s t r e a m v a l u e s a r e m o r e a c c u r a t e t h a n c o m p u t e r m o d e l s t h a t s o l v e f o r f l u i d p o t e n t i a l s , e s p e c i a l l y f o r u n c o n f i n e d f l o w i n r e l a t i v e l y l o n g a n d s h a l l o w a q u i f e r s . T h i s w i l l b e d i s c u s s e d i n m o r e d e t a i l i n S e c t i o n 5.2.4. A s e c o n d a d v a n t a g e o f t h e s t r e a m f u n c t i o n f o r m u l a t i o n i s t h a t t h e t r a v e l t i m e s c a n b e d e t e r m i n e d i n f e w e r s t e p s . W i t h t h e 168 h y d r a u l i c h e a d f o r m u l a t i o n , t h e t r a v e l t i m e s a r e d e t e r m i n e d i n a t h r e e s t e p p r o c e d u r e : 1) t h e g r o u n d w a t e r f l o w e q u a t i o n ( E q u a t i o n 5.12) i s s o l v e d t o d e t e r m i n e h y d r a u l i c h e a d s , 2) D a r c y ' s l a w ( E q u a t i o n 5.11) i s s o l v e d t o d e t e r m i n e v e l o c i t i e s , a n d 3) t h e v e l o c i t i e s a r e u s e d i n E q u a t i o n (5.13) t o d e t e r m i n e t r a v e l t i m e s . W i t h t h e s t r e a m f u n c t i o n f o r m u l a t i o n , t h e t r a v e l t i m e s a r e d e t e r m i n e d i n a t w o s t e p p r o c e d u r e : 1) t h e g r o u n d w a t e r f l o w e q u a t i o n ( E q u a t i o n 5.21) i s s o l v e d t o d e t e r m i n e s t r e a m v a l u e s , and 2) t h e s t r e a m v a l u e s a r e u s e d i n E q u a t i o n (5.27) t o d e t e r m i n e t r a v e l t i m e s . B e f o r e t h e s t r e a m f u n c t i o n f o r m u l a t i o n o f t h e g r o u n d w a t e r f l o w e q u a t i o n c a n b e s o l v e d , i t i s n e c e s s a r y t o s p e c i f y b o u n d a r y c o n d i t i o n s i n t e r m s o f s t r e a m v a l u e s . T h e r e a r e t w o g e n e r a l t y p e s o f b o u n d a r y c o n d i t i o n s f o r s t e a d y - s t a t e f l o w f i e l d s . The F i r s t T y p e o r D i r i c h l e t b o u n d a r y c o n d i t i o n i s a b o u n d a r y a l o n g w h i c h t h e s t r e a m f u n c t i o n i s known: The D i r i c h l e t b o u n d a r y c o n d i t i o n c a n be r e w r i t t e n u s i n g E q u a t i o n s ( 5 . 2 3 ) and ( 5 . 2 4 ) : vy = Vis) ( 5 . 2 8 ) ( 5 . 2 9 ) w h e r e H*(sc) = r e f e r e n c e s t r e a m v a l u e q = s p e c i f i e d f l u x a t b o u n d a r y n = n o r m a l v e c t o r t o b o u n d a r y 169 T h e D i r i c h l p r e s c r i b e d f u n c t i o n i s e t b o u n d a r y i s u s e d t o i n c o r p o r a t e b o u n d a r i e s w i t h f l o w s . F o r i m p e r m e a b l e b o u n d a r i e s , t h e s t r e a m a c o n s t a n t . T he S e c o n d T y p e o r Neuman b o u n d a r y c o n d i t i o n c o r r e s p o n d s t o b o u n d a r i e s w i t h a k n o w n g r a d i e n t f o r t h e s t r e a m f u n c t i o n , a s shown o n F i g u r e 5.8. The s t r e a m f u n c t i o n g r a d i e n t c a n be r e l a t e d t o f l u i d p o t e n t i a l g r a d i e n t s b y r e w r i t i n g E q u a t i o n ( 5 . 1 9 ) : 9 l w h e r e -J 1 K = \K\ -bMf/ b x i W bx2 ^ x 2 - % £ x i ( 5 . 3 0 ) 9"i = s t r e a m f u n c t i o n g r a d i e n t i n t h e x ^ - d i r e c t i o n g 2 = s t r e a m f u n c t i o n g r a d i e n t i n t h e x 2 - d i r e c t i o n The s t r e a m f u n c t i o n g r a d i e n t s n o r m a l t o t h e b o u n d a r y a r e g i v e n b y t h e d o t p r o d u c t o f t h e g r a d i e n t s a n d t h e n o r m a l v e c t o r f o r t h e b o u n d a r y : jg-n = - n ? ( 5 . 3 1 ) w h e r e n-^ a n d n 2 a r e t h e d i r e c t i o n c o s i n e s f o r t h e u n i t n o r m a l v e c t o r . E q u a t i o n ( 5 . 3 1 ) c a n b e r e w r i t t e n i n t e r m s o f t h e v e c t o r t a n g e n t t o t h e b o u n d a r y , a s shown o n F i g u r e 5.8: ( 5 . 3 2 ) _g-n = -_hkrl ~ bfc r ? ^ x i ^ x 2 w h e r e 2 = " n l "2 170 Figure 5.8 - Second Type or Neuman Boundary Conditions f o r Stream Functions 171 E q u a t i o n ( 5 . 3 2 ) s h o w s t h a t t h e Neuman b o u n d a r y c o n d i t i o n o n t h e s t r e a m f u n c t i o n e q u a t i o n c o r r e s p o n d s t o a b o u n d a r y w i t h a s p e c i f i e d f l u i d p o t e n t i a l . F i g u r e (5.9) i l l u s t r a t e s s t r e a m f u n c t i o n b o u n d a r y c o n d i t i o n s f o r a t y p i c a l c r o s s - s e c t i o n a l , s t e a d y - s t a t e f l o w s y s t e m . The l e f t b o u n d a r y i s a p r e s c r i b e d f l u x b o u n d a r y , t h e l o w e r a n d r i g h t b o u n d a r i e s a r e i m p e r m e a b l e b o u n d a r i e s , and t h e u p p e r b o u n d a r y i s a p r e s c r i b e d h e a d b o u n d a r y . 5.2.4 F i n i t e E l e m e n t S o l u t i o n s T h e g r o u n d w a t e r f l o w e q u a t i o n w r i t t e n i n t e r m s o f s t r e a m f u n c t i o n s , E q u a t i o n (5.22), c a n be s o l v e d a n a l y t i c a l l y f o r f l o w f i e l d s w i t h r e l a t i v e l y s i m p l e g e o m e t r i e s , b o u n d a r y c o n d i t i o n s , a n d m a t e r i a l p r o p e r t i e s . F o r more c o m p l e x f l o w f i e l d s , n u m e r i c a l s o l u t i o n s i n t h e f o r m o f f i n i t e - d i f f e r e n c e o r f i n i t e - e l e m e n t c o m p u t e r m o d e l s a r e r e q u i r e d . The f i n i t e e l e m e n t m ethod i s u s e d i n t h e p r e s e n t s t u d y . I n g e n e r a l t e r m s , t h e f i n i t e e l e m e n t p r o c e d u r e i n v o l v e s d i s c r e t i z i n g t h e f l o w f i e l d i n t o a l a r g e n u m b e r o f e l e m e n t s . E a c h e l e m e n t c a n h a v e i t s own s e t o f b o u n d a r y c o n d i t i o n s a n d p h y s i c a l p a r a m e t e r s . T h e d i f f e r e n t i a l e q u a t i o n d e s c r i b i n g g r o u n d w a t e r f l o w i s a p p r o x i m a t e d w i t h a ( l a r g e ) s e t o f a l g e b r a i c e q u a t i o n s . T h e r e i s u s u a l l y o n e a l g e b r a i c e q u a t i o n f o r e a c h e l e m e n t . The c o m p l e t e s e t o f a l g e b r a i c e q u a t i o n s c a n be s o l v e d b y c o m p u t e r p r o g r a m s t o o b t a i n s t r e a m v a l u e s a t t h e n o d e s o f t h e 172 F i g u r e 5.9 - S t r e a m F u n c t i o n B o u n d a r y C o n d i t i o n s f o r a C r o s s -S e c t i o n a l , S t e a d y - S t a t e F l o w S y s t e m 173 mesh u s e d t o d i s c r e t i z e t h e f l o w f i e l d . S o l v i n g t h e g r o u n d w a t e r f l o w e q u a t i o n w i t h t h e f i n i t e e l e m e n t method h a s become a r e l a t i v e l y s t a n d a r d p r o c e d u r e i n h y d r o g e o l o g y d u r i n g t h e l a s t d e c a d e . A l a r g e n u m b e r o f t e x t s p r e s e n t t h e d e t a i l s o f t h e a p p r o a c h [ c f . P i n d e r a n d G r a y , 1977; S m i t h , 1 9 8 2 ] . The G a l e r k i n f o r m u l a t i o n w i t h t r i a n g u l a r e l e m e n t s a n d l i n e a r i n t e r p o l a t i o n i s u s e d i n t h i s d i s s e r t a t i o n . T a b l e 5.2 s u m m a r i z e s t h e e l e m e n t s t i f f n e s s m a t r i x a n d t h e r i g h t h a n d s i d e v e c t o r u s e d t o s o l v e t h e s t r e a m f u n c t i o n f o r m u l a t i o n o f t h e g r o u n d w a t e r f l o w e q u a t i o n . E a c h e l e m e n t i n t h e f l o w f i e l d h a s a m a t r i x a n d v e c t o r o f t h i s f o r m . The m a t r i c e s and v e c t o r s a r e c o m b i n e d t o o b t a i n a s e t o f a l g e b r a i c e q u a t i o n s t h a t a r e s o l v e d t o d e t e r m i n e s t r e a m v a l u e s a t e a c h n o d e i n t h e f l o w f i e l d . T h e n o d a l s t r e a m v a l u e s c a n b e u s e d t o d e t e r m i n e g r o u n d w a t e r v e l o c i t i e s w i t h i n i n d i v i d u a l b l o c k s o f t h e f l o w f i e l d . E a c h b l o c k i s composed o f two t r i a n g u l a r f i n i t e e l e m e n t s , a s shown i n F i g u r e 5.10. T h e g r o u n d w a t e r v e l o c i t i e s w i t h i n t h e b l o c k a r e g i v e n b y [ F r i n d and M a t a n g a , 1 9 8 5 ] : v l = 1 (-^1-^2+^3+^4) ( 5 . 3 3 a ) 2 n ( x 2 3 - X 2 2 ^ v 2 = 1 . ( ^ 1 - ^ 2 - ^ 3 + ^ 4 ) ( 5 . 3 3 b ) 2 n ( x i 2 - x n ) w h ere x ^ j i s t h e x i c o o r d i n a t e a t p o i n t j . T h e s e v e l o c i t i e s c a n be i n c o r p o r a t e d i n t o E q u a t i o n (5.27) t o d e t e r m i n e a d v e c t i v e c o n t a m i n a n t t r a v e l t i m e s b e t w e e n two p o i n t s . 174 T a b l e 5.2 - E l e m e n t S t i f f n e s s M a t r i x and R i g h t - H a n d - S i d e V e c t o r f o r S t r e a m V a l u e F i n i t e E l e m e n t F o r m u l a t i o n 4A a i a i + b i b i u i K2 K l a j b i + b j b i K2 K l K2 K l a ^ a j + b i b j K2 K l a j a j + b j b j K2 K l K2 K l a i a k + bibx K2 K l a j a k + bjbk K2 K l a k a i + t ) k b i a k a j + b k b j a k a k + b k b k K 2 K l a,- = i = x 2 j " x 2 k a j = X2 k - x 2 i a k = x 2 i - x 2 j >i = x i k - x i j bi = x i i ~ x i k b k = x i i ~ x l i A = a r e a o f e l e m e n t = ( b k a j - b j a k ) / 2 . 0 RHS = -1 ~2TT0 M a k + a-"b xi 13 "&X2 k i J -1 2 K i ~ b l bk + M b j 1 "bx2. . W l , . L i ] k i J 175 • c x 1 2 - x 1 F i g u r e 5.10 - V a r i a b l e s U s e d t o D e f i n e H y d r a u l i c C o n d u c t i v i t y B l o c k s and F l u i d V e l o c i t i e s 176 5.3 Q u a n t i f y i n g P a r a m e t e r U n c e r t a i n t y The s t e a d y - s t a t e g r o u n d w a t e r f l o w e q u a t i o n w r i t t e n i n t e r m s o f e i t h e r s t r e a m v a l u e s ( E q u a t i o n 5.22) o r f l u i d p o t e n t i a l s ( E q u a t i o n 5.12) c a n be u s e d t o p r e d i c t s o l u t e t r a v e l t i m e s i f 1) s o l u t e t r a n s p o r t i s known t o be p r e d o m i n a t e l y due t o a d v e c t i o n , 2) t h e r e g i o n o f f l o w and b o u n d a r y c o n d i t i o n s a r e known, and 3) t h e s p a t i a l d i s t r i b u t i o n s o f h y d r a u l i c c o n d u c t i v i t y and p o r o s i t y a r e k n o w n . I n m o s t a p p l i c a t i o n s , h o w e v e r , some a m o u n t o f u n c e r t a i n t y w i l l be a s s o c i a t e d w i t h e a c h o f t h e s e t h r e e s e t s o f i n f o r m a t i o n . T h e s e u n c e r t a i n t i e s r e s u l t i n t h r e e g e n e r a l t y p e s o f p r e d i c t i o n e r r o r : m o d e l e r r o r , i n p u t e r r o r , a n d p a r a m e t e r e r r o r . M o d e l e r r o r i s d u e t o d i f f e r e n c e s b e t w e e n a c t u a l p h y s i c a l a n d c h e m i c a l p r o c e s s e s and t h e p h y s i c a l and c h e m i c a l p r o c e s s e s t h a t a r e m o d e l e d w i t h d i f f e r e n t i a l e q u a t i o n s . F o r e x a m p l e , t h e a s s u m p t i o n t h a t a d v e c t i o n i s t h e p r e d o m i n a n t t r a n s p o r t m e c h a n i s m w i l l i n t r o d u c e m o d e l e r r o r i f f l u i d v e l o c i t i e s a r e l o w enough t o c a u s e d i s p e r s i o n a n d d i f f u s i o n t o b e c o m e i m p o r t a n t . U s i n g d i s t r i b u t i o n c o e f f i c i e n t s t o m o d e l t h e e f f e c t s o f r e t a r d a t i o n w i l l a l s o i n t r o d u c e e r r o r s w h en a p p l i e d t o g r o u n d w a t e r f l o w s y s t e m s i n w h i c h l o c a l e q u i l i b r i u m i s n o t a c h i e v e d . M o d e l i n g t h r e e d i m e n s i o n a l f l o w f i e l d s w i t h o n e - o r t w o - d i m e n s i o n a l m o d e l s a d d s a d d i t i o n a l m o d e l e r r o r . I n p u t e r r o r i s d u e t o u n c e r t a i n t y i n f l o w f i e l d g e o m e t r y a n d b o u n d a r y c o n d i t i o n s . The b o u n d a r y c o n d i t i o n s c a n be u n c e r t a i n i n 177 t e r m s o f b o t h t h e t y p e o f b o u n d a r y a n d t h e m a g n i t u d e o f p r e s c r i b e d f l o w s o r f l u i d p o t e n t i a l s . B o t h t h e s i z e and s h a p e o f t h e f l o w f i e l d may a l s o be u n c e r t a i n . The m o s t d i f f i c u l t p r e d i c t i o n e r r o r t o e l i m i n a t e i s p a r a m e t e r e r r o r . P a r a m e t e r e r r o r i s c a u s e d b y o u r i n a b i l i t y t o a c c u r a t e l y i n c o r p o r a t e t h e a c t u a l s p a t i a l d i s t r i b u t i o n o f m a t e r i a l p r o p e r t i e s i n t o c o m p u t e r m o d e l s . The t w o m a t e r i a l p r o p e r t i e s r e q u i r e d t o m o d e l a d v e c t i v e t r a n s p o r t o f c o n s e r v a t i v e s o l u t e s a r e p o r o s i t y and h y d r a u l i c c o n d u c t i v i t y . The h y d r a u l i c c o n d u c t i v i t y v a l u e s f o r n a t u r a l l y - o c c u r r i n g , u n c o n s o l i d a t e d g e o l o g i c d e p o s i t s c a n r a n g e f r o m a s l o w a s 1 0 - 1 3 m e t e r s p e r s e c o n d f o r v e r y t i g h t c l a y d e p o s i t s t o a s h i g h a s 10 m e t e r s p e r s e c o n d f o r g r a v e l s [ F r e e z e and C h e r r y , 1 9 7 9 ] , E v e n r e l a t i v e l y u n i f o r m d e p o s i t s may h a v e h y d r a u l i c c o n d u c t i v i t i e s w h i c h r a n g e o v e r s e v e r a l o r d e r s o f m a g n i t u d e a s a f u n c t i o n o f l o c a t i o n . P o r o s i t y g e n e r a l l y v a r i e s o v e r a much s m a l l e r i n t e r v a l . V a l u e s t y p i c a l l y r a n g e f r o m a p p r o x i m a t e l y 0.1 t o 0.6. Our i n a b i l i t y t o i n c o r p o r a t e t h e s p a t i a l d i s t r i b u t i o n o f m a t e r i a l p r o p e r t i e s i n t o c o m p u t e r m o d e l s i s d u e t o b o t h u n c e r t a i n t y a n d v a r i a b i l i t y . U n c e r t a i n t y and v a r i a b i l i t y h a v e b e e n d e l i b e r a t e l y d i s t i n g u i s h e d . U n c e r t a i n t y i s a s u b j e c t i v e v a l u e t h a t d e p e n d s u p o n t h e p e r s o n p e r f o r m i n g t h e a n a l y s i s . V a r i a b i l i t y i s a n o b j e c t i v e , t h o u g h l i k e l y u n k n o w n , v a l u e t h a t d e p e n d s u p o n g e o l o g y . A s d i s c u s s e d b e l o w , u n c e r t a i n t y and v a r i a b i l i t y c a n be c o m b i n e d b y t r e a t i n g h y d r a u l i c c o n d u c t i v i t y a s a random f i e l d i n a B a y e s i a n f r a m e w o r k [ H a c h i c h and V a n m a r k e , 1 9 8 3 ] , 178 5.3.1 H y d r a u l i c C o n d u c t i v i t y a s a S t o c h a s t i c P r o c e s s A random v a r i a b l e i s a n y v a r i a b l e whose v a l u e c a n n o t be p r e d i c t e d w i t h c e r t a i n t y . A s t o c h a s t i c o r r a n d o m p r o c e s s i s a n y p r o c e s s t h a t g e n e r a t e s s e t s o f r a n d o m v a r i a b l e s . T h e s e s e t s o f r a n d o m v a r i a b l e s c a n be d i s t r i b u t e d a s f u n c t i o n s o f t i m e ( t i m e s e r i e s ) o r a s f u n c t i o n s o f l o c a t i o n ( s p a c e s e r i e s o r r a n d o m f i e l d s ) . S t o c h a s t i c p r o c e s s e s c a n be f u r t h e r c h a r a c t e r i z e d a s p r o c e s s e s s w h i c h g e n e r a t e s e t s o f d i s c r e t e r a n d o m v a r i a b l e s a n d p r o c e s s e s w h i c h g e n e r a t e c o n t i n u o u s r a n d o m v a r i a b l e s . I n t h e p r e s e n t s t u d y , i n w h i c h f i n i t e e l e m e n t p r o g r a m s a r e u s e d t o p r e d i c t c o n t a m i n a n t t r a v e l t i m e s , t h e h y d r a u l i c c o n d u c t i v i t y o f e a c h e l e m e n t i s v i e w e d a s a s p a t i a l l y d i s c r e t e random v a r i a b l e and t h e c o m p l e t e s e t o f h y d r a u l i c c o n d u c t i v i t i e s i s t r e a t e d a s a d i s c r e t e random f i e l d . H y d r a u l i c c o n d u c t i v i t y i s d e f i n e d b y D a r c y ' s Law: K = - Q d l / A d h ( 5 . 3 4 ) w h e r e A = a r e a p e r p e n d i c u l a r t o f l o w ( L 2 ) Q = f l u x t h r o u g h a r e a A ( M / L 3 / T ) d h / d l = h y d r a u l i c h e a d g r a d i e n t . By d e f i n i t i o n , h y d r a u l i c c o n d u c t i v i t y i s an a v e r a g e v a l u e f o r t h e v o l u m e d e f i n e d b y t h e p r o d u c t o f t h e a r e a p e r p e n d i c u l a r t o t h e d i r e c t i o n o f f l o w , A, a n d t h e l e n g t h o f t h e f l o w f i e l d , d l . B e c a u s e o f t h i s a v e r a g i n g , h y d r a u l i c c o n d u c t i v i t y i s a s c a l e -d e p e n d e n t p a r a m e t e r . F o r m o s t a p p l i c a t i o n s , h y d r a u l i c c o n d u c t i v i t y c a n b e d e f i n e d o v e r t h r e e g e n e r a l s c a l e s [ D a g a n , 1 9 8 6 ] : l a b o r a t o r y s c a l e , l o c a l s c a l e , a nd r e g i o n a l s c a l e . T y p i c a l d i m e n s i o n s f o r t h e s e t h r e e s c a l e s a r e p r e s e n t e d i n T a b l e 5.3. O f t e n , h y d r a u l i c c o n d u c t i v i t y i s m e a s u r e d on one s c a l e and u s e d t o make p r e d i c t i o n s o n a l a r g e r s c a l e ; l a b o r a t o r y m e a s u r e m e n t s a r e u s e d t o m a k e p r e d i c t i o n s a t l o c a l s c a l e a n d l o c a l m e a s u r e m e n t s a r e u s e d t o make p r e d i c t i o n s a t r e g i o n a l s c a l e . When t r e a t e d a s a d i s c r e t e random f i e l d , h y d r a u l i c c o n d u c t i v i t y i s d e p e n d e n t upon v o l u m e , V, a l o c a t i o n d i m e n s i o n , X, and a n o n -p h y s i c a l , s a m p l e d i m e n s i o n , W. The d e p e n d e n c e upon t h e l o c a t i o n d i m e n s i o n i s c l e a r : a p a r t i c u l a r f l o w f i e l d c o n s i s t s o f a l a r g e number o f d i s c r e t e h y d r a u l i c c o n d u c t i v i t y v a l u e s . The d e p e n d e n c e u p o n t h e n o n - p h y s i c a l s a m p l e d i m e n s i o n i s m o r e s u b t l e . T h e a c t u a l h y d r a u l i c c o n d u c t i v i t y o f a n y p a r t i c u l a r e l e m e n t i s a s i n g l e random v a r i a b l e . T h i s s i n g l e random v a r i a b l e h a s a s a m p l e s p a c e a s s o c i a t e d w i t h i t . T h e r a n g e o f p o s s i b l e v a l u e s t h a t we a s s i g n t o t h e s a m p l e s p a c e f o r a n y p a r t i c u l a r e l e m e n t i s a f u n c t i o n o f o u r u n c e r t a i n t y . F o r e x a m p l e , t h e s a m p l e s p a c e m i g h t r a n g e f r o m 1 0 _ 1 3 t o 10 m e t e r s p e r s e c o n d i f we k now v e r y l i t t l e o r m i g h t r a n g e f r o m 10~6 t o 10 - 1- m e t e r s p e r s e c o n d i f we know t h e e l e m e n t i s composed o f c l e a n s a n d . I t i s i m p o r t a n t t o n o t e t h a t w h i l e t h e h y d r a u l i c c o n d u c t i v i t y i s t r e a t e d a s a d i s c r e t e random v a r i a b l e i n t h e l o c a t i o n d i m e n s i o n , i t i s a c o n t i n u o u s r a n d o m v a r i a b l e i n t h e s a m p l e d i m e n s i o n . 180 T a b l e 5.3 - S c a l e s u s e d t o D e f i n e H y d r a u l i c C o n d u c t i v i t y ( a f t e r Dagan, 1 9 8 6 ) . S c a l e E x t e n t o f F l o w Domain ( m e t e r s ) L a b o r a t o r y I O - 1 - 10° L o c a l 1 0 l - i o 3 R e g i o n a l 1 0 4 - 1 0 5 D i m e n s i o n o f A v e r a g i n g Volume t o D e f i n e P o i n t V a r i a b l e s ( m e t e r s ) 1 0 ~ 3 - 10 -2 1 0 " 1 - 10° 1 0 1 - 1 0 2 181 I n g e n e r a l t e r m s , t h e n , t h e h y d r a u l i c c o n d u c t i v i t y o f an e l e m e n t i n a f l o w - f i e l d i s a s p a t i a l l y - d e p e n d e n t , s c a l e - d e p e n d e n t , u n c e r t a i n v a r i a b l e : K(V,X,W). To s i m p l i f y n o t a t i o n , we w i l l a s s u m e f o r t h e p r e s e n t t i m e t h a t t h e v o l u m e o f e a c h e l e m e n t i s t h e same and w i l l d e f i n e t h e random v a r i a b l e a s t h e h y d r a u l i c c o n d u c t i v i t y o f e l e m e n t i . I n g e n e r a l t e r m s , e a c h w i l l h a v e a u n i q u e c u m m u l a t i v e p r o b a b i l i t y d i s t r i b u t i o n f u n c t i o n d e f i n e d a s P i ( w i ) = P r o b [ K i < w i ] ( 5 . 3 5 ) w h e r e ^ i ( w i ) = c u m m u l a t i v e p r o b a b i l i t y d i s t r i b u t i o n f u n c t i o n f o r t h e h y d r a u l i c c o n d u c t i v i t y o f e l e m e n t i The c o r r e s p o n d i n g p r o b a b i l i t y d e n s i t y f u n c t i o n i s g i v e n b y f i ( w i ) = d F i ( w i ) / d w i ( 5 . 3 6 ) F o r e a c h h y d r a u l i c c o n d u c t i v i t y e l e m e n t , an e x p e c t e d v a l u e and a v a r i a n c e i s d e f i n e d a s E L " K i ] = K i f i ( w i ) d w i ( 5 . 3 7 ) V a r [ K i ] = ( E [ K i ] - K i ) 2 f i ( w i ) d w i ( 5 . 3 8 ) w h e r e E [ K ^ ] = e x p e c t e d v a l u e o f h y d r a u l i c c o n d u c t i v i t y o f e l e m e n t i ( V a r [ K ^ ] = v a r i a n c e o f h y d r a u l i c c o n d u c t i v i t y o f e l e m e n t i 182 The i n t e g r a t i o n s i n E q u a t i o n s (5.37) a n d ( 5 . 3 8 ) a r e p e r f o r m e d o v e r t h e s a m p l e d i m e n s i o n and n o t o v e r t h e s p a c e d i m e n s i o n . The e x p e c t e d h y d r a u l i c c o n d u c t i v i t y i s t h e b e s t e s t i m a t e o f a n d t h e v a r i a n c e r e f l e c t s t h e a m o u n t o f u n c e r t a i n t y t h a t i s a s s o c i a t e d w i t h K J To f u l l y d e s c r i b e t h e c o m p l e t e s e t o f c o n d u c t i v i t i e s t h a t make up t h e f l o w f i e l d , i t i s n e c e s s a r y t o s p e c i f y a m u l t i v a r i a t e c u m u l a t i v e d i s t r i b u t i o n f u n c t i o n : F( W1,W2, w n) = Prob(Ki<wi,K2<w2 ... KN<WN) ( 5 . 3 9 ) w h e r e N i s t h e number o f e l e m e n t s i n t h e f l o w f i e l d . The m u l t i v a r i a t e c u m m u l a t i v e d i s t r i b u t i o n f u n c t i o n i s r e l a t e d t o t h e m u l t i v a r i a t e p r o b a b i l i t y d e n s i t y f u n c t i o n i n t h e f o l l o w i n g m anner: f ( w l f w 2 , ... w N) = ^ N F ( w l f w 2 , .•. w N) ( 5 . 4 0 ) ^wi ^w 2 ... J W N I f t h e h y d r a u l i c c o n d u c t i v i t i e s o f e a c h e l e m e n t a r e u n r e l a t e d o r i n d e p e n d e n t , t h e n t h e m u l t i v a r i a t e c u m u l a t i v e d i s t r i b u t i o n f u n c t i o n i s s i m p l y t h e p r o d u c t o f t h e i n d i v i d u a l d i s t r i b u t i o n f u n c t i o n s : N F [ w l , w 2 , • - . w N ] = *p[ F i C w i ] ( 5 . 4 1 ) i = l 5.3.2 C o r r e l a t i o n and C o v a r i a n c e H y d r a u l i c c o n d u c t i v i t i e s do n o t v a r y i n s p a c e i n a p u r e l y random, 183 u n s t r u c t u r e d m a n n e r . N e i g h b o r i n g v a l u e s i n a d i s c r e t i z e d f l o w f i e l d a r e c o r r e l a t e d . F o r e x a m p l e , i n a d i r e c t i o n p a r a l l e l t o f o r m a t i o n b e d d i n g , a b o v e - a v e r a g e v a l u e s w i l l be g r o u p e d t o g e t h e r a n d b e l o w - a v e r a g e v a l u e s w i l l b e g r o u p e d t o g e t h e r , a s s h o w n i n F i g u r e 5.11a. C o n v e r s e l y , i n a d i r e c t i o n p e r p e n d i c u l a r t o t h e b e d d i n g , l o w v a l u e s m i g h t f o l l o w h i g h v a l u e s i n r e g u l a r manner, a s s h o w n i n F i g u r e 5.11b. C o v a r i a n c e s c a n b e u s e d t o q u a n t i f y t h e s p a t i a l r e l a t i o n s h i p s among r a n d o m v a r i a b l e s s u c h a s h y d r a u l i c c o n d u c t i v i t y . T h e c o v a r i a n c e b e t w e e n two random v a r i a b l e s and K j i s d e f i n e d a s t h e e x p e c t e d v a l u e o f t h e p r o d u c t o f t h e d e v i a t i o n s f r o m t h e i r r e s p e c t i v e means [ V a n m a r k e , 1 9 8 3 ] : C o v ( K i f K j ) = C i j = E [ ( K i - E [ K i ] ) ( K j - E [ K j ] ) ] (5.42) w h e r e : E [ K i ] = e x p e c t e d v a l u e o f random v a r i a b l e K i The e x p e c t a t i o n g i v e n i n E q u a t i o n (5.42) i s g i v e n b y : r r C i j = J ( K i - E [ K i ] ) ( K j - E [ K j ] ) f i j ( w i , W j ) ( 5 . 4 3 ) -00 -DO A p a r a m e t e r d i r e c t l y r e l a t e d t o c o v a r i a n c e i s t h e c o r r e l a t i o n c o e f f i c i e n t : Pi j = C i j / C ^ V a r ( K i ) ^ V a r ( K j ) ] ( 5 . 4 4 ) C o r r e l a t i o n c o e f f i c i e n t s r a n g e f r o m -1 t o +1. F o r t h e h y d r a u l i c c o n d u c t i v i t y o f f i n i t e e l e m e n t s , c o r r e l a t i o n c o e f f i c i e n t s w i l l 184 o Average Value \ *• Vertical Distance F i g u r e 5.11 - E x a m p l e s o f H o r i z o n t a l l y - and V e r t i c a l l y - C o r r e l a t e d H y d r a u l i c C o n d u c t i v i t y V a l u e s 185 g e n e r a l l y b e f u n c t i o n s o f t h e d i s t a n c e b e t w e e n t h e e l e m e n t s . A c o r r e l a t i o n f u n c t i o n , p ( l ) , c a n b e d e f i n e d w h e r e 1 i s t h e l a g o r t h e d i s t a n c e b e t w e e n e l e m e n t c e n t e r s . E x a m p l e c o r r e l a t i o n s f o r t h e g e o l o g i c f o r m a t i o n shown on F i g u r e 5.11 a r e p r e s e n t e d on F i g u r e 5.12. A v a r i e t y o f d i f f e r e n t f u n c t i o n s c a n b e u s e d t o m o d e l c o r r e l a t i o n . Some o f t h e m o r e f r e q u e n t l y u s e d f u n c t i o n s a r e i l l u s t r a t e d on F i g u r e 5.13. The l i n e a r f u n c t i o n , shown on 5.13a, i s t h e m o s t s i m p l e . T h e s p h e r i c a l a n d e x p o n e n t i a l f u n c t i o n s , s h o w n o n 5.13b a n d 5.13c, h a v e v e r y s i m i l a r s h a p e s a n d d i f f e r o n l y i n how q u i c k l y t h e y a p p r o a c h z e r o . T h e G a u s s i a n , s h o w n o n F i g u r e 5.13d, i s f l a t n e a r t h e v e r t i c a l a x i s , i n d i c a t i n g s t r o n g c o r r e l a t i o n o v e r s m a l l d i s t a n c e s . I n many i n s t a n c e s i t i s d e s i r a b l e t o s p e c i f y a s i n g l e p a r a m e t e r t o c h a r a c t e r i z e t h e c o r r e l a t i o n s t r u c t u r e o f a s e t o f r a n d o m v a r i a b l e s . A p a r a m e t e r c o m m o n l y u s e d i s t h e i n t e g r a l s c a l e o r f l u c t u a t i o n s c a l e , d e f i n e d a s : A s e c o n d p a r a m e t e r t h a t i s u s e d t o c h a r a c t a r i z e t h e c o r r e l a t i o n s t r u c t u r e i s t h e c o r r e l a t i o n l e n g t h , w h i c h i s d e f i n e d a s t h e d i s t a n c e o v e r w h i c h t h e c o r r e l a t i o n i s p o s i t i v e . I t s h o u l d b e n o t e d t h a t n e i t h e r t h e c o r r e l a t i o n l e n g t h n o r t h e i n t e g r a l s c a l e u n i q u e l y d e f i n e t h e c o r r e l a t i o n s t r u c t u r e . F o r s t a t i o n a r y random f i e l d s , w h i c h w i l l be d e f i n e d i n t h e f o l l o w i n g £ ( 5 . 4 5 ) 186 Horizontal Lag Distance F i g u r e 5.12 - E x a m p l e s o f H o r i z o n t a l a n d V e r t i c a l C o r r e l a t i o n F u n c t i o n s f o r t h e H y d r a u l i c C o n d u c t i v i t y V a l u e s P r e s e n t e d i n F i g u r e 5.11 187 F i g u r e 5.13 - E x a m p l e C o r r e l a t i o n F u n c t i o n s 188 s e c t i o n , t h e f o r m o f t h e c o r r e l a t i o n f u n c t i o n m u s t a l s o b e s p e c i f i e d t o u n i q u e l y d e f i n e t h e s t r u c t u r e . I n t h e more g e n e r a l c a s e o f n o n - s t a t i o n a r y f i e l d s , a c o m p l e t e N b y N m a t r i x o f c o v a r i a n c e s i s r e q u i r e d t o f u l l y d e f i n e t h e c o r r e l a t i o n among a s e t o f N random v a r i a b l e s . 5.3.3 S t a t i o n a r i t y a n d E r g o d i c i t y To f u l l y c h a r a c t e r i z e t h e s e t o f h y d r a u l i c c o n d u c t i v i t i e s t h a t c o m p r i s e t h e f l o w f i e l d , t h e c o m p l e t e m u l t i v a r i a t e p r o b a b i l i t y d i s t r i b u t i o n f u n c t i o n must be s p e c i f i e d . The d a t a r e q u i r e m e n t s f o r t h i s t y p e o f c h a r a c t e r i z a t i o n a r e o v e r w h e l m i n g i f p r o b a b i l i t i e s a r e i n t e r p r e t e d f r o m a f r e q u e n c y o r c l a s s i c a l v i e w p o i n t . As d i s c u s s e d i n C h a p t e r 2, t h i s v i e w p o i n t d i c t a t e s t h a t p r o b a b i l i t i e s h a v e m e a n i n g o n l y when a s s i g n e d t o e v e n t s o r e x p e r i m e n t s t h a t c a n b e r e p e a t e d a l a r g e n u m b e r o f t i m e s . Enough d a t a must be c o l l e c t e d f r o m t h e s e e x p e r i m e n t s s o t h a t t h e f o r m o f t h e p r o b a b i l i t y d i s t r i b u t i o n f u n c t i o n ( e g . n o r m a l , l o g n o r m a l , o r e x p o n e n t i a l ) c a n b e e s t i m a t e d f o r e a c h h y d r a u l i c c o n d u c t i v i t y b l o c k , t h e p a r a m e t e r s o f t h e s e d i s t r i b u t i o n s ( e g . e x p e c t e d v a l u e s a nd v a r i a n c e s ) c a n be e s t i m a t e d , and t h e c o m p l e t e c o v a r i a n c e m a t r i x c a n be e s t i m a t e d . S e v e r a l s i m p l i f y i n g a s s u m p t i o n s a r e o f t e n made t o r e d u c e t h e s e d a t a r e q u i r e m e n t s . T h e t w o m o s t common a s s u m p t i o n s a r e s t a t i o n a r i t y and e r g o d i c i t y . F i r s t - o r d e r o r s t r i c t s t a t i o n a r i t y a s s u m e s t h a t t h e f o r m a n d p a r a m e t e r s o f t h e p r o b a b i l i t y d i s t r i b u t i o n f u n c t i o n s a r e t h e same f o r a l l t h e h y d r a u l i c 189 c o n d u c t i v i t y b l o c k s . W i t h t h i s a s s u m p t i o n , t h e c o r r e l a t i o n c o e f f i c i e n t s d e p e n d o n l y upon t h e d i s t a n c e b e t w e e n e l e m e n t s and t h e c o r r e l a t i o n m a t r i x c a n be r e p l a c e d w i t h a s i n g l e c o r r e l a t i o n f u n c t i o n . T h i s a s s u m p t i o n a l s o a l l o w s t h e c o m p l e t e random f i e l d t o be m o d e l e d w i t h a s i n g l e , u n i v a r i a t e p r o b a b i l i t y d i s t r i b u t i o n f u n c t i o n . A n a s s u m p t i o n s o m e w h a t l e s s r e s t r i c t i v e t h a n f i r s t - o r d e r s t a t i o n a r i t y i s s t a t i o n a r y i n c r e m e n t s , i n w h i c h t h e v a l u e s K ( x ) -K ( x + h ) do n o t d e p e n d u p o n l o c a t i o n s b u t o n l y u p o n t h e d i s t a n c e b e t w e e n h y d r a u l i c c o n d u c t i v i t y b l o c k s . The a d v a n t a g e s o f a s s u m i n g s t a t i o n a r y i n c r e m e n t s r a t h e r t h a n f i r s t - o r d e r s t a t i o n a r i t y a r e 1) t h e random h y d r a u l i c c o n d u c t i v i t y f i e l d c a n e x h i b i t l i n e a r t r e n d s and s t i l l h a v e s t a t i o n a r y i n c r e m e n t s , and 2) t h e random v a r i a b l e s n e e d n o t h a v e f i n i t e v a r i a n c e s o r w e l l -d e f i n e d c o r r e l a t i o n s t r u c t u r e s . T h e s e c o n d g e n e r a l a s s u m p t i o n t h a t i s o f t e n made t o r e d u c e d a t a r e q u i r e m e n t s i s e r g o d i c i t y . A r a n d o m f i e l d i s e r g o d i c i f t h e f o r m and p a r a m e t e r s o f t h e p r o b a b i l i t y d i s t r i b u t i o n f u n c t i o n s f o r t h e h y d r a u l i c c o n d u c t i v i t y b l o c k s a r e t h e same i n b o t h t h e l o c a t i o n d i m e n s i o n , X, a n d t h e s a m p l e d i m e n s i o n , W. W i t h t h i s a s s u m p t i o n , s a m p l e s t a k e n a t v a r i o u s l o c a t i o n s w i t h i n t h e random f i e l d c a n b e u s e d t o i n f e r p r o b a b i l i t y d i s t r i b u t i o n s f o r e a c h h y d r a u l i c c o n d u c t i v i t y b l o c k . W i t h o u t t h i s a s s u m p t i o n , t h e f r e q u e n t i s t a p p r o a c h w o u l d h a v e no a p p l i c a b i l i t y i n t r e a t i n g h y d r a u l i c c o n d u c t i v i t i e s a s s t o c h a s t i c o r random f i e l d s . 190 T h e a s s u m p t i o n s o f e r g o d i c i t y a n d s t a t i o n a r i t y a r e m o s t o f t e n made t o a p p e a s e t h e c o n c e r n s o f t h o s e who a d o p t 'the f r e q u e n t i s t o r c l a s s i c a l v i e w p o i n t o f p r o b a b i l i t y . N e i t h e r a s s u m p t i o n i s n e c e s s a r y w hen a p e r s o n a l i s t i c o r s u b j e c t i v e a p p r o a c h i s u s e d . T h i s l a t e r a p p r o a c h i s a d o p t e d i n t h e p r e s e n t s t u d y . 5.3.4 E f f e c t s o f Mesh S i z e and G e o m e t r y A s d i s c u s s e d i n s e c t i o n 5.3.1, h y d r a u l i c c o n d u c t i v i t y i s a n a v e r a g e v a l u e d e f i n e d f o r a p a r t i c u l a r v o l u m e . T h e h y d r a u l i c c o n d u c t i v i t y a t p o i n t X i s m o r e p r e c i s e l y t h e h y d r a u l i c c o n d u c t i v i t y o f some v o l u m e t h a t i s c e n t e r e d a t p o i n t X. T h e v a l u e s t h a t s h o u l d b e a s s i g n e d t o t h e e x p e c t e d v a l u e s a n d v a r i a n c e s d e p e n d u p o n t h e s i z e a n d s h a p e o f t h e v o l u m e s u s e d t o d i s c r e t i z e t h e f l o w f i e l d . T h e m o r e r u d i m e n t a r y i d e a s o f v a r i a n c e s a n d e x p e c t e d v a l u e s a s f u n c t i o n s o f v o l u m e w i l l b e p r e s e n t e d i n t h i s s e c t i o n . A m o r e d e t a i l e d i n t r o d u c t o r y d i s c u s s i o n i s p r e s e n t e d b y C l a r k [ 1 9 7 9 ] a n d a m o r e a d v a n c e d a n a l y s i s i s p r e s e n t e d b y V a n m a r c k e [ 1 9 8 3 ] . I n a s t r i c t s e n s e t h e r e i s n o s u c h t h i n g a s a p o i n t v a l u e f o r h y d r a u l i c c o n d u c t i v i t y . H o w e v e r , i n many i n s t a n c e s t h e s i z e o f t h e s a m p l e u s e d t o e s t i m a t e t h e c o n d u c t i v i t y i s s o much s m a l l e r t h a n t h e s c a l e o f t h e f l o w f i e l d t h a t t h e s a m p l e d v a l u e i s e s s e n t i a l l y a p o i n t v a l u e . A " c o n t i n u o u s " s e r i e s o f s u c h m e a s u r e m e n t s a l o n g a l i n e may g i v e a s a m p l e f u n c t i o n , K ( X ) , s i m i l a r t o t h a t s h o w n i n F i g u r e 5.14a. I f t h e r a n d o m f i e l d i s s t a t i o n a r y , a mean v a l u e , a v a r i a n c e , a n d a c o r r e l a t i o n l e n g t h 191 Correlation KCX) i f ) J\ V KJ- lh V (/ v Variance Mean K L(XJ Correlation •* * « -~ I Variance F i g u r e 5.14 - S a m p l e F u n c t i o n f o r a) P o i n t V a l u e s o f H y d r a u l i c C o n d u c t i v i t y a n d b) L o c a l l y - A v e r a g e d V a l u e s o f H y d r a u l i c C o n d u c t i v i t y 192 c a n be d e f i n e d o v e r t h e l o c a t i o n d i m e n s i o n , X. From t h e c o n t i n u o u s f u n c t i o n o f p o i n t v a l u e s , a f a m i l y o f m o v i n g a v e r a g e s c a n be o b t a i n e d f r o m : x+L/2 KL ( x ) = 1/L x-L/2 K ( x ) d x (5.46) where L d e n o t e s t h e a v e r a g i n g l e n g t h . The r e l a t i o n s h i p b e t w e e n t h e p o i n t v a l u e s a n d t h e l o c a l l y a v e r a g e d v a l u e s i s s h o w n i n F i g u r e 5.14b. T h e l o c a l a v e r a g e s a r e s m o o t h e r t h a n t h e p o i n t v a l u e s . I n c r e a s i n g t h e a v e r a g i n g l e n g t h , L, c a u s e s e v e n m o r e s m o o t h i n g . T h i s s m o o t h i n g i s e q u i v a l e n t t o a r e d u c t i o n i n v a r i a n c e w i t h an i n c r e a s e i n a v e r a g i n g l e n g t h . A r e l a t i o n s h i p b e t w e e n t h e v a r i a n c e o f t h e p o i n t v a l u e s and t h e v a r i a n c e o f t h e l o c a l l y a v e r a g e d v a l u e s c a n be d e f i n e d : w h e r e ^ ( L ) i s d e f i n e d a s t h e v a r i a n c e f u n c t i o n o f K ( X ) . I t m e a s u r e s t h e r e d u c t i o n o f t h e p o i n t v a r i a n c e d u e t o l o c a l a v e r a g i n g . T h e r e l a t i o n s h i p b e t w e e n t h e v a r i a n c e f u n c t i o n a n d t h e c o r r e l a t i o n f u n c t i o n i s [ V a n m a r c k e , 1 9 8 3 ] : J 0 \ F o r t h e t r i a n g u l a r c o r r e l a t i o n f u n c t i o n s h o w n o n F i g u r e 5.15a, t h e v a r i a n c e f u n c t i o n i s g i v e n b y V a r ( K L ) = ^ ( L ) V a r ( K ) ( 5 . 4 7 ) " K ( L ) = 2/L ( 5 . 4 8 ) X ( L ) = 1 - L / ( 3 a ) L < a ( 5 . 4 9 ) = a / L ( l - a / ( 3 L ) ) L > a 193 194 The v a r i a n c e f u n c t i o n g i v e n b y E q u a t i o n (5.49) i s shown on F i g u r e 5.15b. The v a r i a n c e f u n c t i o n c a n be u s e d t o d e t e r m i n e t h e c o r r e l a t i o n o f l o c a l a v e r a g e s . C o n s i d e r t h e t w o s e g m e n t s L a n d L' s h o w n i n F i g u r e 5.16. The l o c a l a v e r a g e s a r e d e f i n e d a s x+L/2 KL = K L ( x ) = 1/L ^ K ( x ) d x ( 5 . 5 0 a ) x-L/2 K L' = K L - ( x ) = 1/L' x+L'/2 r K ( x ' ) d x ' ( 5 . 5 0 b ) x-L'/2 The c o r r e l a t i o n o f t h e s e l o c a l a v e r a g e s i s g i v e n b y [ V a n m a r c k e , 1 9 8 3 ] : 3 P ( K L . K L . ) = r ~ ( - D k ( L k ) ( 5 . 5 1 ) I— 2[ A ( L ) A ( L ' ) ] 1 / 2 k=0 w h e r e L Q > , L 2 , a n d L 3 a r e d e f i n e d i n F i g u r e 5.16 a n d A ( L ) i s g i v e n b y A ( L ) = L 2 ^ ( L ) ( 5 . 5 2 ) A s e t o f e q u a t i o n s s i m i l a r t o E q u a t i o n s (5.46) t h r o u g h (5.52) c a n a l s o be d e v e l o p e d f o r t h e t w o - d i m e n s i o n a l random f i e l d shown on F i g u r e 5.17. The t w o - d i m e n s i o n a l c o r r e l a t i o n f u n c t i o n i s assumed 195 Figure 5.16 - i n t e r v a l s Used to Determine Correlations of Loc Averages 196 F i g u r e 5.17 - L o c a l A v e r a g i n g Over a R e c t a n g u l a r A r e a 197 t o be g i v e n b y f ( h i , h 2 ) = (1 - I h i l / X i H l -|h 2|/X 2) ( 5 . 5 3 ) f o r l h i \ < A l and \ h 2 l < 'X2 T h i s f u n c t i o n , w h i c h i s shown on F i g u r e 5.18, i s t e r m e d s e p a r a b l e s i n c e i t c a n b e e x p r e s s e d a s a p r o d u c t o f o n e - d i m e n s i o n a l f u n c t i o n s [ V a n m a r c k e , 1 9 8 3 ] . The a d v a n t a g e o f u s i n g a s e p a r a b l e c o r r e l a t i o n f u n c t i o n i s t h a t t h e c o r r e s p o n d i n g v a r i a n c e f u n c t i o n i s a l s o s e p a r a b l e . F o r t h e c o r r e l a t i o n f u n c t i o n g i v e n b y E q u a t i o n ( 5 . 5 3 ) , t h e v a r i a n c e f u n c t i o n i s d e f i n e d a s ^ ( L l f L 2 ) = * i ( L i ) i S " 2 ( L 2 ) ( 5 . 5 4 ) The o n e - d i m e n s i o n a l v a r i a n c e f u n c t i o n s " o ' i ( L i ) a n d ^ 2 ( L 2 ) a r e g i v e n b y E q u a t i o n (5.49). We a r e now i n a p o s i t i o n t o d e f i n e t h e c o v a r i a n c e o f t w o -d i m e n s i o n a l l o c a l a v e r a g e s . T h e l o c a l a v e r a g e s f o r t h e t w o r e c t a n g u l a r a r e a s A and A ' shown o n F i g u r e 5.19 a r e x i + L i / 2 x 2 + L 2 / 2  K A ( X I , X 2 ) = 1/A j" j" K(.x"i , x 2 ) d x i d x 2 ( 5 . 5 5 a ) x i - L i / 2 x 2 - L 2 / 2 x 1 ' + L i ' / 2 x 2 ' + L 2 ' / 2 K A - ( X T ' , x 2 ' ) = 1/A' J" J K ( X i ' , x 2 ' ) d x 1 ' d x 2 ' ( 5 . 5 5 b ) x 1 ' - L 1 ' / 2 x 2 ' - L 2 , / 2 The c o v a r i a n c e o f t h e s e l o c a l a v e r a g e s i s g i v e n b y [ V a n m a r c k e , 1983 ] 3 3 C O V ( K a , K a . ) = V a r l f K ) 2 ^ ^ (-1 ) k ( - 1 ) 1 A U l k / L 2 I ) ( 5 . 5 6 ) k=0 1=0 198 F i g u r e 5.18 - T w o - D i m e n s i o n a l T r i a n g u l a r C o r r e l a t i o n F u n c t i o n 199 w h e r e L i k a n d L 2 1 a r e d e f i n e d o n F i g u r e 5.19 a n d A(Lik» L21^ '*'s g i v e n b y A ( L l k / L 2 l ) = ( L l k L 2 l ) 2 X ( L l k / L 2 l ) ( 5 . 5 7 ) E q u a t i o n s ( 5 . 5 6 ) a n d ( 5 . 5 7 ) , c o m b i n e d w i t h (5.54) a n d ( 5 . 4 9 ) , a r e u s e d t o g e n e r a t e c o v a r i a n c e m a t r i c e s f o r s p a t i a l l y a v e r a g e d v a l u e s o f h y d r a u l i c c o n d u c t i v i t y . 200 F i g u r e 5.19 - I n t e r v a l s U s e d t o D e t e r m i n e C o r r e l a t i o n s o f Two D i m e n s i o n a l L o c a l A v e r a g e s 201 5.4 Summary The p r o c e d u r e s u s e d t o e s t i m a t e c o n t a m i n a n t t r a v e l t i m e s t h r o u g h t h e h y d r o g e o l o g i c a l e n v i r o n m e n t a r e p r e s e n t e d i n t h i s c h a p t e r . F o r r e a s o n s p r e s e n t e d a t t h e c o n c l u s i o n o f S e c t i o n 5.1, a d v e c t i o n i s t h e m o s t i m p o r t a n t t r a n s p o r t m e c h a n i s m w i t h r e g a r d t o r i s k s a s s o c i a t e d w i t h g r o u n d w a t e r c o n t a m i n a t i o n f r o m w a s t e management f a c i l i t i e s . A d v e c t i v e t r a v e l t i m e s c a n be e s t i m a t e d b y s o l v i n g E q u a t i o n s 5.21 a n d 5.27 u s i n g f i n i t e e l e m e n t m e t h o d s . E q u a t i o n 5.21 i s t h e s t e a d y - s t a t e g r o u n d w a t e r f l o w e q u a t i o n w r i t t e n i n t e r m s o f s t r e a m v a l u e s a n d E q u a t i o n 5.27 r e l a t e s s t r e a m v a l u e s a n d t r a v e l t i m e s . B o u n d a r y c o n d i t i o n s a r e i m p l e m e n t e d u s i n g E q u a t i o n s ( 5 . 2 9 ) a n d ( 5 . 3 0 ) . The t r a v e l t i m e s p r e d i c t e d u s i n g f i n i t e e l e m e n t r e p r e s e n t a t i o n s o f E q u a t i o n s ( 5 . 2 1 ) a n d (5.27) a r e u n c e r t a i n , p r i m a r i l y d u e t o u n c e r t a i n t y a n d v a r i a b i l i t y i n h y d r a u l i c c o n d u c t i v i t y . T h i s u n c e r t a i n t y i s q u a n t i f i e d b y t r e a t i n g t h e h y d r a u l i c c o n d u c t i v i t y o f an e l e m e n t i n t h e f l o w f i e l d a s a s p a t i a l l y - d e p e n d e n t , s c a l e -d e p e n d e n t , u n c e r t a i n v a r i a b l e . T h e m u l t i v a r i a t e c u m m u l a t i v e d i s t r i b u t i o n f u n c t i o n g i v e n b y E q u a t i o n (5.39) i s u s e d t o f u l l y d e s c r i b e t h e c o m p l e t e s e t o f c o n d u c t i v i t i e s t h a t make up t h e f l o w f i e l d . I n i t s m o s t g e n e r a l f o r m , t h e m u l t i v a r i a t e d i s t r i b u t i o n f u n c t i o n g i v e n b y E q u a t i o n (5.39) i n c l u d e s an NxN c o v a r i a n c e m a t r i x , w here N i s t h e n u m b e r o f e l e m e n t s i n t h e f l o w f i e l d . B e c a u s e o f t h e e f f e c t s o f s p a t i a l a v e r a g i n g , t h e m a g n i t u d e o f t h e v a r i a n c e s and 202 c o v a r i a n c e s t h a t a r e i n c o r p o r a t e d i n t o t h i s m a t r i x a r e s c a l e -d e p e n d e n t . V a r i a n c e f u n c t i o n s , g i v e n b y E q u a t i o n s (5.48) a n d (5.54), c a n be u s e d t o e s t i m a t e t h e v a r i a n c e s and c o v a r i a n c e s o f s p a t i a l a v e r a g e s f r o m t h e v a r i a n c e s a n d c o v a r i a n c e s e s t i m a t e d f r o m p o i n t m e a s u r e m e n t s o f h y d r a u l i c c o n d u c t i v i t y . F o r t h e two d i m e n s i o n a l f l o w f i e l d s u s e d i n t h i s s t u d y , E q u a t i o n s (5.56) and ( 5 . 5 7 ) c a n t h e n b e u s e d t o e s t i m a t e t h e e l e m e n t s o f t h e c o v a r i a n c e m a t r i x f o r t h e h y d r a u l i c c o n d u c t i v i t i e s e l e m e n t s . 203 6. INCORPORATING HYDRAULIC CONDUCTIVITY MEASUREMENTS AND MONITORING WELLS T h e p r e v i o u s c h a p t e r p r e s e n t s t h e p r e m i s e t h a t a t w a s t e m a n a g e m e n t f a c i l i t i e s i n w h i c h t h e r i s k s o f g r o u n d w a t e r c o n t a m i n a t i o n a r e l i k e l y i m p o r t a n t , a d v e c t i o n i s o f t e n t h e p r e d o m i n a n t t r a n s p o r t m e chanism. The a c c e p t a n c e o f t h i s p r e m i s e a l l o w s c o n t a m i n a n t t r a v e l t i m e s t o b e p r e d i c t e d w i t h some c o n f i d e n c e u s i n g c o m p u t e r m o d e l s . T h e p r i m a r y s o u r c e s o f u n c e r t a i n t y i n t r a v e l t i m e p r e d i c t i o n s f o r a d v e c t i v e f l o w s y s t e m s a r e u n c e r t a i n t y a n d v a r i a b i l i t y i n h y d r a u l i c c o n d u c t i v i t y . The h y d r a u l i c c o n d u c t i v i t y u n c e r t a i n t y a n d v a r i a b i l i t y c a n b e q u a n t i f i e d b y t r e a t i n g h y d r a u l i c c o n d u c t i v i t y a s a random f i e l d i n a B a y e s i a n f r a m e w o r k . T h i s a p p r o a c h was i n t r o d u c e d i n t h e p r e v i o u s c h a p t e r . T e c h n i q u e s f o r i n c o r p o r a t i n g t h e e f f e c t s o f h y d r a u l i c c o n d u c t i v i t y m e a s u r e m e n t s a r e d e s c r i b e d i n t h i s c h a p t e r . T h e s e m e a s u r e m e n t s r e d u c e u n c e r t a i n t y a s s o c i a t e d w i t h h y d r a u l i c c o n d u c t i v i t y e s t i m a t e s and w i t h t r a v e l t i m e p r e d i c t i o n s . S e c t i o n 6.1 d i s c u s s e s i m p a c t s o f m e a s u r e m e n t s on h y d r a u l i c c o n d u c t i v i t y e s t i m a t e s a n d S e c t i o n 6.2 d i s c u s s e s i m p a c t s o f m e a s u r e m e n t s o n t r a v e l t i m e p r e d i c t i o n s . S e c t i o n 6.3 d e s c r i b e s t e c h n i q u e s t o i n c o r p o r a t e t h e e f f e c t s o f g r o u n d w a t e r m o n i t o r i n g e f f o r t s i n r e d u c i n g t h e p r o b a b i l i t y o f f a i l u r e f o r t h e w a s t e m a n a g e m e n t f a c i l i t y . 204 6.1 E f f e c t s o f M e a s u r e m e n t s on P a r a m e t e r U n c e r t a i n t y A t m o s t waste-management s i t e s , some t y p e o f s i t e i n v e s t i g a t i o n w i l l b e p e r f o r m e d . T h e s e i n v e s t i g a t i o n s a r e u s e d t o d e t e r m i n e s t r a t i g r a p h y a n d t o d e t e r m i n e m a t e r i a l p r o p e r t i e s . I n t h e p r e s e n t s t u d y , we assume t h a t t h e b a s i c s t r a t i g r a p h y i s known and t h a t we a r e c o n c e r n e d p r i m a r i l y w i t h i n v e s t i g a t i o n s a i m e d a t d e t e r m i n i n g m a t e r i a l p r o p e r t i e s ; s p e c i f i c a l l y , s p a t i a l l y - a v e r a g e d v a l u e s o f h y d r a u l i c c o n d u c t i v i t y . T h e s e h y d r a u l i c c o n d u c t i v i t y m e a s u r e m e n t s c a n b e u s e d t o r e d u c e u n c e r t a i n t y b y applying a number o f d i f f e r e n t a p p r o a c h e s and t e c h n i q u e s . S e v e r a l o f t h e s e w i l l be d e s c r i b e d i n t h i s s e c t i o n . 6.1.1 U n c o n d i t i o n a l and C o n d i t i o n a l O p e r a t i o n s F i n i t e - e l e m e n t c o m p u t e r m o d e l s a r e u s e d i n t h e p r e s e n t s t u d y t o p r e d i c t a d v e c t i v e c o n t a m i n a n t t r a v e l t i m e s . The f l o w f i e l d i s d i v i d e d i n t o a l a r g e number o f d i s c r e t e e l e m e n t s . As d i s c u s s e d i n t h e p r e v i o u s c h a p t e r , t h e h y d r a u l i c c o n d u c t i v i t y o f e a c h e l e m e n t i n t h e f l o w f i e l d i s a s p a t i a l l y - d e p e n d e n t , s c a l e -d e p e n d e n t , u n c e r t a i n v a r i a b l e . To f u l l y d e s c r i b e t h e c o m p l e t e s e t o f h y d r a u l i c c o n d u c t i v i t i e s t h a t make up t h e f l o w f i e l d , i t i s n e c e s s a r y t o s p e c i f y a m u l t i v a r i a t e c u m u l a t i v e d i s t r i b u t i o n f u n c t i o n : F ( W 1 , W 2 , . . . wjvj) = P r o b ( K i < w i ,K2<W2, ... KN<WKJ) ( 6 . 1 ) w h e r e K i = h y d r a u l i c c o n d u c t i v i t y o f e l e m e n t i 205 N = number o f e l e m e n t s i n t h e f l o w f i e l d . The d e r i v a t i v e o f t h e c u m u l a t i v e d i s t r i b u t i o n f u n c t i o n i s d e f i n e d a s t h e m u l t i v a r i a t e p r o b a b i l i t y d e n s i t y f u n c t i o n (PDF): f(w\,W2, ... WJJ) = b^F(wi,W2/ ... wftf) ( 6 . 2 ) c> wl ^ w 2 . . . ^ W N ) The n o t a t i o n u s e d i n E q u a t i o n s (6.1) and (6.2) c a n be s i m p l i f i e d : f ( w N ) = f ( w i , W 2 , w N) F ( w N ) = F ( w i , w 2 , ... w N) ( 6 . 3 ) w h e r e wjsj d e n o t e s a v e c t o r w i t h N e l e m e n t s . I f t h e f o r m a n d p a r a m e t e r s o f t h e c u m u l a t i v e d i s t r i b u t i o n f u n c t i o n a r e a s s u m e d t o b e t h e same f o r a l l t h e h y d r a u l i c c o n d u c t i v i t y b l o c k s , t h e r a n d o m f i e l d i s s t a t i o n a r y a n d c a n b e m o d e l e d w i t h a s i n g l e , u n i v a r i a t e c u m u l a t i v e d i s t r i b u t i o n f u n c t i o n , F(w) = P r o b H K < w ] . A u n i v a r i a t e p r o b a b i l i t y d e n s i t y f u n c t i o n c a n a l s o be d e f i n e d : f ( w ) = dF(w)/dw ' ( 6 . 4 ) T h e i n f o r m a t i o n o b t a i n e d f r o m t h e h y d r a u l i c c o n d u c t i v i t y m e a s u r e m e n t s c a n be u s e d i n two o p e r a t i o n s : 1) To m o d i f y t h e p a r a m e t e r s o f t h e p r o b a b i l i t y d e n s i t y f u n c t i o n s , and 2) To m o d i f y o u r b e s t e s t i m a t e o f h y d r a u l i c c o n d u c t i v i t y a t t h e u n m e a s u r e d l o c a t i o n s . I f t h e l o c a t i o n s o f t h e m e a s u r e m e n t s a r e i n c l u d e d , t h e o p e r a t i o n 206 i s t e r m e d c o n d i t i o n a l . I f t h e l o c a t i o n s a r e n o t i n c l u d e d , i t i s u n c o n d i t i o n a l . U n c o n d i t i o n a l o p e r a t i o n s p r e s e r v e s t a t i o n a r i t y w h i l e c o n d i t i o n a l o p e r a t i o n s g e n e r a l l y do n o t . T h e f i r s t s t e p i n i n c o r p o r a t i n g h y d r a u l i c c o n d u c t i v i t y m e a s u r e m e n t s i s t o d e t e r m i n e t h e u n c o n d i t i o n a l , p o s t e r i o r PDF f r o m B a y e s T h e o r e m . I f we a s s u m e t h a t h y d r a u l i c c o n d u c t i v i t y m e a s u r e m e n t s a r e made i n J o f t h e N b l o c k s , w h e r e J = N-M, t h e n : f u ' ( w N ) = G L ( K M + i , K M + 2 , ... % ) f u ( w N ) ( 6 . 5 ) w h e r e k ^ M + l * K N ) = l i k e l i h o o d o f o b t a i n i n g t h e s a m p l e (KM+I , K N ) G = n o r m a l i z i n g c o n s t a n t The l i k e l i h o o d f u n c t i o n i s n o t d e p e n d e n t u p o n t h e a b s o l u t e l o c a t i o n s o f t h e (N-M) m e a s u r e m e n t s . T h e s u b s c r i p t s , u, i n E q u a t i o n (6.5) a r e u s e d t o d e n o t e u n c o n d i t i o n a l o p e r a t i o n s . T h e b e s t e s t i m a t e o f K i w i t h o u t i n c l u d i n g t h e l o c a t i o n s o f t h e m e a s u r e m e n t s i s g i v e n b y t h e u n c o n d i t i o n a l , p o s t e r i o r e x p e c t e d v a l u e : /OO K i f u ' ( w i ) d w i ( 6 . 6 ) -CO The u n c o n d i t i o n a l , p o s t e r i o r c o v a r i a n c e i s g i v e n b y : L C i j ] u ' = J ( K i - E [ K i ] u ' ) ( K j - E [ K j ] u ' ) f u ' ( w i , W j ) d w i d w j ( 6 . 7 ) 207 The u n c o n d i t i o n a l , p o s t e r i o r v a r i a n c e , C C i i ] u ' / m a y be l a r g e r o r s m a l l e r t h a n t h e p r i o r v a r i a n c e , [Cii] u» d e p e n d i n g o n w h e t h e r f u ' ( w ) i s m o r e o r l e s s d i f f u s e t h a n f u ( w ) . T h e u n c o n d i t i o n a l p o s t e r i o r e x p e c t e d v a l u e g i v e n b y E q u a t i o n (6.6) i s t h e b e s t e s t i m a t e i f m e a s u r e m e n t l o c a t i o n s a r e n o t i n c l u d e d . H o w e v e r , a b e t t e r e s t i m a t e i s g i v e n b y t h e c o n d i t i o n a l e x p e c t e d v a l u e , w h i c h i n c l u d e s l o c a t i o n s : E E K j J c ' = K i f c ' ( w i ) d w i < 6- 8) w h e r e f c ' ( w ) = c o n d i t i o n a l p o s t e r i o r p r o b a b i l i t y d e n s i t y f u n c t i o n . T h e s u b s c r i p t s , c , a r e u s e d t o d e n o t e c o n d i t i o n a l o p e r a t i o n s . E v e n t h o u g h t h e u n c o n d i t i o n a l p o s t e r i o r PDF, f u ' ( w ) , was c o n s t a n t f o r a l l b l o c k s , t h e c o n d i t i o n a l p o s t e r i o r P D F , f c ' ( w ) , i s g e n e r a l l y n o t . The c o n d i t i o n a l p o s t e r i o r c o v a r i a n c e i s g i v e n b y : n C i j ] c " = J J ( K i - E C K i D c 1 ) ( K j - E C K j ] c ' ) f c ' ( w i , W j ) d w i d w j ( 6 - 9 ) -TO <tjO The c o n d i t i o n a l , p o s t e r i o r c o v a r i a n c e g i v e n b y E q u a t i o n (6.9) i s a l w a y s l e s s t h a n o r e q u a l t o t h e u n c o n d i t i o n a l , p o s t e r i o r c o v a r i a n c e g i v e n b y E q u a t i o n (6.7). H o w e v e r , i t may be l a r g e r o r s m a l l e r t h a n t h e p r i o r c o v a r i a n c e . The c o n d i t i o n a l p o s t e r i o r PDF i s r e l a t e d t o t h e u n c o n d i t i o n a l PDF by t h e f o l l o w i n g f o r m u l a (Dagan, 1 9 8 2 ) : 208 c'(wi,W2, . . . WM / KM+1,KM+2» ••• KJSJ) = f u ' ( WN) / f M ( WM) ( 6 . 1 0 ) M(WM) = m a r g i n a l p r o b a b i l i t y d e n s i t y f u n c t i o n The m a r g i n a l PDF i s o b t a i n e d b y i n t e g r a t i n g t h e m e a s u r e d v a l u e s o u t o f t h e u n c o n d i t i o n a l p o s t e r i o r PDF: T h e s e i n t e g r a t i o n s a r e u s u a l l y cumbersome a t b e s t , a n d o f t e n a r e a n a l y t i c a l l y i m p o s s i b l e . Two a s s u m p t i o n s a r e g e n e r a l l y u s e d t o a v o i d s o m e o f t h e i n t e g r a t i o n p r o b l e m s i n h e r e n t i n d e t e r m i n i n g t h e b e s t p o s s i b l e e s t i m a t e s a t t h e u n m e a s u r e d p o i n t s . The f i r s t a s s u m p t i o n i s t h a t t h e v a r i a b l e s , o r some t r a n s f o r m a t i o n o f t h e v a r i a b l e s , h a v e a m u l t i v a r i a t e , n o r m a l PDF. The s e c o n d a s s u m p t i o n i s t h a t a l i n e a r f u n c t i o n o f t h e m e a s u r e d p o i n t s i s u s e d t o e s t i m a t e t h e v a l u e s a t t h e u n m e a s u r e d p o i n t s . 6.1.2 M u l t i v a r i a t e N o r m a l D i s t r i b u t i o n T h e r e i s a f a i r l y e x t e n s i v e l i t e r a t u r e , b o t h t h e o r e t i c a l a n d e m p i r i c a l , t h a t s u g g e s t s t h a t h y d r a u l i c c o n d u c t i v i t i e s a r e o f t e n l o g n o r m a l l y d i s t r i b u t e d [ e . g . F r e e z e , 1 9 7 5 ; H o e k s e m a a n d K i t a n d i s , 1 9 8 5 ; J u r y , 1 9 8 7 ] . I f Y i i s d e f i n e d a s t h e l o g a r i t h m o f K i , t h e n t h e s e t o f Y± v a l u e s c o n s t i t u t e s a s e t o f r a n d o m v a r i a b l e s w i t h a n o r m a l PDF f u n c t i o n . The m u l t i v a r i a t e n o r m a l w h e r e fM(WM) ( 6 . 1 1 ) 209 PDF f o r a s e t o f N e l e m e n t s i s g i v e n by: N N f(w N) = |u\ 1 / 2 EXPC-1/2 ^ U i j ( w i - E C Y i ] ) ( w j - E C Y j ] ) ] (6 . 12 ) (2T\)N /2 i = i j=i where U = i n v e r s e o f the cov a r i a n c e matrix lu\ = determinant o f U The assumption t h a t the lo g a r i t h m s o f h y d r a u l i c c o n d u c t i v i t i e s a r e n o r m a l l y d i s t r i b u t e d g r e a t l y s i m p l i f i e s t h e i n t e g r a t i o n s t h a t a r e needed t o d e t e r m i n e t h e m a r g i n a l and c o n d i t i o n a l p o s t e r i o r PDF's p r e s e n t e d i n E q u a t i o n s (6.10) and (6.11). In f a c t , t h e m a r g i n a l d i s t r i b u t i o n has the same form as E q u a t i o n (6.12). However, the i , j element i n the matrix U i s r e p l a c e d by: N N U i j " YL YL " i ^ J m ^ i J 3 " ' (6.13) 1=M+1 m=M+l where u ' = u n c o n d i t i o n a l , p o s t e r i o r c o v a r i a n c e s F o r t w o - d i m e n s i o n a l a n a l y s e s , t h e s t o c h a s t i c s t r u c t u r e i n c o r p o r a t e d i n t h e m u l t i v a r i a t e n o rmal d i s t r i b u t i o n i s f u l l y r e p r e s e n t e d by f o u r s e t s o f p a r a m e t e r s : 1) a v e c t o r o f mean v a l u e s , E [ Y ] , 2) a standard d e v i a t i o n , ^ , 3) a c o r r e l a t i o n l e n g t h i n t h e x - d i r e c t i o n , A x , and 4) a c o r r e l a t i o n l e n g t h i n t h e z-210 d i r e c t i o n , A z- I n some ways i t i s e a s i e r t o g r a s p v a l u e s g i v e n i n t e r m s o f K r a t h e r t h a n Y. We t h e r e f o r e p r e s e n t some o f o u r r e s u l t s i n t e r m s o f t h e mean h y d r a u l i c c o n d u c t i v i t y K, t h e s t a n d a r d d e v i a t i o n 0~K / a n a t h e c o r r e l a t i o n f K r a t h e r t h a n i n t e r m s o f Y, a n d ^ Y* T h e s e v a r i a b l e s a r e r e l a t e d b y t h e f o l l o w i n g e x p r e s s i o n s [ V a n m a r c k e , 1 9 8 3 ] : E [ K ] = K = E X P ( E [ Y ] + ^ 2 / 2 ) ( 6 . 1 4 ) G~ K2 = [ E X P ( C T ^ 2 ) _ 1 ] E X P ( 2 E [ Y ] +CT^2) ( 6 . 1 5 ) p K ( x i , x 2 ) = [ E X P ( ^ Y ( X I , X 2 ) 0 ~ Y 2 ) " 1 ] ( 6 - 1 6 > E X P ( 0 ~ y 2 ) _ i 6.1.3 The O b s e r v a t i o n a l M o d e l T h e o b s e r v a t i o n a l m o d e l i s u s e d t o e s t i m a t e h y d r a u l i c c o n d u c t i v i t i e s a t u n m e a s u r e d l o c a t i o n s f r o m m e a s u r e d l o c a t i o n s . A g a i n , we a s s u m e t h a t t h e r e a r e N e l e m e n t s i n t h e f l o w s y s t e m a n d t h a t o b s e r v a t i o n s a r e m a d e i n J o f t h e s e e l e m e n t s a n d n o m e a s u r e m e n t s a r e made i n M e l e m e n t s (M+J=N). F r o m t h e s e t o f o b s e r v a t i o n s , a J x l v e c t o r o f l o g c o n d u c t i v i t i e s i s d e t e r m i n e d b y l i n e a r r e g r e s s i o n : * [ R ] = [ P H Y ] + [ e ] (6.17) w h e r e 211 R = J x l v e c t o r o f o b s e r v e d v a l u e s , Y = N x l v e c t o r o f a c t u a l v a l u e s , P = J x N m a t r i x o f r e g r e s s i o n c o e f f i c i e n t s , a n d e = J x l v e c t o r o f z e r o - m e a n measurement e r r o r s . T h e m a t r i x o f r e g r e s s i o n c o e f f i c i e n t s , [ P ] , c a n b e u s e d t o i n c o r p o r a t e m e a s u r e m e n t b i a s e s o r t o a l l o w f o r t h e f a c t t h a t h y d r a u l i c c o n d u c t i v i t i e s may be i n f e r r e d f r o m some a l t e r n a t i v e p a r a m e t e r , s u c h a s a g r a i n s i z e v a l u e . I n t h e s i m p l e s t c a s e w i t h no b i a s e s , t h e m a t r i x [P] w o u l d c o n t a i n o n l y z e r o s a n d o n e s . The o b s e r v a t i o n a l m o d e l g i v e n b y E q u a t i o n (6.17) c a n be u s e d t o d i r e c t l y d e t e r m i n e t h e c o n d i t i o n a l , p o s t e r i o r p r o b a b i l i t y d e n s i t y f u n c t i o n . I f t h e l o g c o n d u c t i v i t y v a l u e s , [ Y ] , a r e n o r m a l l y d i s t r i b u t e d a n d i f t h e meas u r e m e n t e r r o r s a r e n o r m a l l y d i s t r i b u t e d w i t h mean z e r o , t h e n t h e c o n d i t i o n a l p o s t e r i o r PDF i s n o r m a l l y d i s t r i b u t e d w i t h means and c o v a r i a n c e s g i v e n b y : E [ Y ] C ' = E [ Y ] U ' + [ C Y ]U'C P ] T ( L P ] [ C y3 u'[P ]T+ [ E ] ) - 1 ( [ R ] - [ P ] E [ Y ] ) ( 6 . 1 8 ) [ c Y ] c . = C C Y]u' - ' [ C Y ] U , [ P ] t ( L P ^ C Y ] U ' [ P ] T + C E ] ) - 1 [ P ] [ C Y ] U ' ( 6 ' 1 9 ) 212 w h e r e t h e p r i m e d t e r m s a r e a f t e r m e a s u r e m e n t s h a v e b e e n made and w h e r e [ E ] = c o v a r i a n c e m a t r i x f o r meas u r e m e n t e r r o r s E [ Y ] U ' = u n c o n d i t i o n a l , p o s t e r i o r e x p e c t e d v a l u e , ^ Y ^ u ' = u n c o n d i t i o n a l , p o s t e r i o r c o v a r i a n c e s , E [ Y ] C ' = c o n d i t i o n a l , p o s t e r i o r e x p e c t e d v a l u e , a n d E C y ] c ' = c o n d i t i o n a l , p o s t e r i o r c o v a r i a n c e s . A d e t a i l e d d e v e l o p m e n t o f t h e s e e q u a t i o n s c a n b e f o u n d i n t h e t e x t b y B r y s o n a n d Ho [ 1 9 6 9 ] . T h e y a r e u s e d i n a s e e p a g e a n a l y s i s b y H a c h i c h a n d V a n m a r c k e [ 1 9 8 3 ] a n d i n a n a q u i f e r p a r a m e t e r e s t i m a t i o n s t u d y b y C l i f t o n a n d Neumann [ 1 9 8 2 ] . 6.1.4 S e n s i t i v i t y S t u d i e s The c o v a r i a n c e s g i v e n b y E q u a t i o n (6.19) c a n be u s e d t o e v a l u a t e t h e s e n s i t i v i t y o f t h e o b s e r v a t i o n a l m o d e l t o v a r i o u s i n p u t p a r a m e t e r s a n d t o q u a l i t a t i v e l y e v a l u a t e t h e e f f e c t i v e n e s s o f v a r i o u s s e t s o f o b s e r v a t i o n s i n r e d u c i n g u n c e r t a i n t y i n h y d r a u l i c c o n d u c t i v i t y a t u n m e a s u r e d l o c a t i o n s . A s i m p l e , o n e - d i m e n s i o n a l f l o w f i e l d c a n be u s e d t o i l l u s t r a t e t h e e f f e c t s t h a t d i f f e r e n t p a r a m e t e r s i n E q u a t i o n (6.19) h a v e o n h y d r a u l i c c o n d u c t i v i t y u n c e r t a i n t y . T h e f l o w f i e l d i s d i v i d e d i n t o t e n e q u a l l y - s i z e d e l e m e n t s numbered f r o m l e f t t o r i g h t . The h y d r a u l i c c o n d u c t i v i t y o f t h e f l o w f i e l d i s a s s u m e d t o h a v e a l i n e a r c o r r e l a t i o n f u n c t i o n w i t h a f l u c t u a t i o n s c a l e e q u a l t o t h e l e n g t h o f f o u r e l e m e n t s . T h e u n c o n d i t i o n a l v a r i a n c e o f t h e h y d r a u l i c c o n d u c t i v i t y i s a s s u m e d e q u a l t o 1.0, t h e m e a s u r e m e n t e r r o r v a r i a n c e i s a s s u m e d e q u a l t o 0.25, a n d t h e m e a s u r e m e n t s a r e a s s u m e d t o b e u n b i a s e d s o t h e r e g r e s s i o n c o e f f i c i e n t s a r e a s s i g n e d v a l u e s o f 1.0. M e a s u r e m e n t s a r e a s s u m e d t o b e made i n e l e m e n t number 3 and i n e l e m e n t number 7. F i g u r e 6.1a i l l u s t r a t e s t h e e f f e c t s o f m e a s u r e m e n t e r r o r s on t h e c o n d i t i o n a l h y d r a u l i c c o n d u c t i v i t y v a r i a n c e . The u p p e r l i n e shows a c a s e w i t h a m e a s u r e m e n t e r r o r o f 4.0. T h e h y d r a u l i c c o n d u c t i v i t y u n c e r t a i n t y d e c r e a s e s a s t h e m e a s u r e m e n t e r r o r s d e c r e a s e t o 1.0 a n d t h e n t o 0.25. H o w e v e r , no m a t t e r how l a r g e t h e m e a s u r e m e n t e r r o r becomes, m e a s u r e m e n t s a l w a y s d e c r e a s e t h e u n c o n d i t i o n a l v a r i a n c e . F i g u r e 6.1b i l l u s t r a t e s t h e e f f e c t s o f r e g r e s s i o n c o e f f i c i e n t s . A s t h e c o e f f i c i e n t s i n c r e a s e , t h e c o n d i t i o n a l v a r i a n c e d e c r e a s e s . L a r g e r e g r e s s i o n c o e f f i c i e n t s i m p l y more s e n s i t i v e m e a s u r e m e n t t e c h n i q u e s . F i n a l l y , F i g u r e 6.1c i l l u s t r a t e s t h e e f f e c t s o f c o r r e l a t i o n l e n g t h s . C o r r e l a t i o n l e n g t h s e n t e r t h e a n a l y s i s t h r o u g h t h e u n c o n d i t i o n a l c o v a r i a n c e m a t r i x . A s t h e c o r r e l a t i o n l e n g t h i n c r e a s e s , t h e " z o n e - o f -i n f l u e n c e " o f t h e m e a s u r e m e n t s a l s o i n c r e a s e s . I f t h e f l u c t u a t i o n s c a l e i s o n l y one e l e m e n t l o n g , m e a s u r e m e n t s r e d u c e u n c e r t a i n t y o n l y i n t h e m e a s u r e d e l e m e n t s . C o n v e r s e l y , i f t h e c o r r e l a t i o n l e n g t h i s m o r e t h a n f o u