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Elasto-plastic finite element analysis with special reference to reinforced concrete Lau, John Hon-shing 1973

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E L A S T O - P L A S T I C F I N I T E E L E M E N T A N A L Y S I S W I T H S P E C I A L R E F E R E N C E TO R E I N F O R C E D C O N C R E T E b y J O H N H O N - S H I N G L A U B . S c , N a t i o n a l T a i w a n U n i v e r s i t y / 1 9 7 0 A T H E S I S S U B M I T T E D IN P A R T I A L F U L F I L L M E N T OF THE R E Q U I R E M E N T S FOR T H E D E G R E E OF M A S T E R OF A P P L I E D S C I E N C E I n t h e D e p a r t m e n t o f C i v i l E n g i n e e r i n g We a c c e p t t h i s t h e s i s a s c o n f o r m i n g t o t h e r e q u i r e d s t a n d a r d THE U N I V E R S I T Y OF B R I T I S H C O L U M B I A N o v e m b e r , 1 9 7 3 In presenting this thesis in partial fulfilment of the requirements for an advanced degree at the University of British Columbia, I agree that the Library shall make i t freely available for reference and study. I further agree that permission for extensive copying of this thesis for scholarly purposes may be granted by the Head of my Department or by his representatives. It is understood that copying or publication of this thesis for financial gain shall not be allowed without my written permission. Department of C i v i l E n g i n e e r i n g The University of British Columbia Vancouver 8, Canada Date N o v e m b e r 1 0 , 1 9 7 3 -1-A B S T R A C T A n u m e r i c a l p r o c e d u r e i s p r e s e n t e d f o r t h e s o l u t i o n o f e l a s t o - p l a s t i c p r o b l e m s b y m e a n s o f t h e f i n i t e e l e m e n t a p p r o a c h . T h e i n c r e m e n t a l c o n s t i t u t i v e r e l a t i o n s h i p f r o m t h e P r a n d t l - R e u s s e q u a t i o n i s u s e d i n c o n j u n c t i o n w i t h t h e V o n M i s e s y i e l d c r i t e r i o n , t h e c o n t i n u u m b e i n g d i v i d e d i n t o t r i a n g u l a r e l e m e n t s . T h e M o d i f i e d N e w t o n - R a p h s o n m e t h o d i s e m p l o y e d t o s o l v e t h e n o n l i n e a r i n c r e m e n t a l e q u i l i b r i u m e q u a t i o n . N u m e r i c a l e x a m p l e s a r e s t u d i e d a n d c o m p a r e d w i t h t h e e x p e r i m e n t a l a n d t h e o r e t i c a l r e s u l t s i n t h e l i t e r a t u r e . T h e f i n i t e e l e m e n t p r o g r a m i s a l s o e x t e n d e d t o n o n l i n e a r s t r e s s a n a l y s i s o f r e i n f o r c e d c o n c r e t e s t r u c t u r e s . I I T A B L E 0 £ CONTENTS C h a p t e r P a g e One Two T h r e e F o u r F i v e I n t r o d u c t t o n B a s I c D e f i n i t l o n s a n d T h e o r i e s f o r E l a s t i c i t y a n d P l a s t i c l t y I . A n a l y s t s o f S t r e s s I I . A n a l y s i s o f S t r a i n I I I . F i e l d E q u a t i o n s I n E l a s t i c i t y I V . F i e l d E q u a t i o n s In P l a s t i c i t y F l n I t e E l e m e n t M e t h o d I. V a r i a t i o n a l P r i n c i p l e s I I . F o r m u l a t i o n o f F i n i t e E l e m e n t M e t h o d by t h e P r i n c i p l e o f M i n i m u m P o t e n t i a l E n e r g y F o r m u l a t i o n o f E l a s t o - p l a s t l c P r o b l e m s I . G e n e r a l C o n s i d e r a t i o n s I I . G e n e r a l i z e d I n c r e m e n t a l E q u i l i b r i u m E q u a t i o n I I I . C o n s t i t u t i v e E q u a t i o n s : E l a s t o - P l a s t l c M a t r i x I V . S o l u t i o n o f P l a s t i c i t y E q u a t i o n s V . P r o c e d u r e s o f C a l c u l a t i o n V I . E x a m p l e s N o n l I n e a r S t r e s s A n a l y s 1 s o f R e l n f o r c e d C o n c r e t e I . G e n e r a l C o n s i d e r a t i o n s I I . S t r u c t u r a l I d e a l i z a t i o n I I I . F a l l u r e C o n d i t l o n 1 5 5 lk 18 20 31 32 36 kO kO k2 kk 51 56 62 78 78 79 80 111 CHAPTER Page F i v e I V . C a l c u l a t i o n P r o c e d u r e 81 V . N u m e r i c a l E x a m p l e 8U S i x C o n c l u s I o n s 98 A p p e n d i x 100 B i b l i o g r a p h y 10U T A B L E OF F I G U R E S F IGURE 2 - 1 INTERNAL FORCES SYSTEM 2-2 STRESS VECTORS AND P O S I T I V E STRESS COMPONENTS 2 - 3 S T R E S S VECTORS ON A TETRAHEDRON 2-U ROTATION OF COORDINATES 2-5 D I S P L A C E M E N T OF NEIGHBORING POINTS 2-6 TRESCA Y I E L D SURFACE IN P R I N C I P A L S T R E S S SPACE 2-7 VON M I S E S Y I E L D SURFACE IN P R I N C I P A L S T R E S S SPACE k-1 THE INCREMENTAL LOADING PROCESS k-Z A COMBINATION OF THE LOAD INCREMENT AND NEWTON-RAPHSON (OR MODIF IED NEWTON-RAPHSON) METHOD k-3 THE I L L U S T R A T I O N S OF E Q S . U-25), U-26), U-27), AND U-28) k-ka NEWTON-RAPHSON METHOD k-kb M O D I F I E D NEWTON-RAPHSON METHOD «*-5 CONSTANT S T R A I N ELEMENT U-6 UNIFORMLY LOADED PERFORATED S T R I P U-7 U N I A X I A L S T R E S S - S T R A I N CURVE l*-8 END LOAD vs. MAX S T R A I N FOR PERFORATED S T R I P k-9a E X P E R I M A N T A L R E S U L T S l»-9b F I N I T E ELEMENT R E S U L T S V FIGURE 4 - 1 0 EQUIVALENT STRESS v s . E Q U I V A L E N T STRAIN IN THE ELEMENT WHICH Y I E L D F I R S T 4 - 1 1 SHEAR WALL S U B J E C T E D TO L A T E R A L LOAD 4 - 1 2 U N I A X I A L S T R E S S - S T R A I N CURVE 4 - 1 3 DEVELOPMENT OF P L A S T I C ZONES FOR D I F F E R E N T V A L U E S OF 4 - 1 4 a NORMAL S T R E S S D I S T R I B U T I O N AT H I G H E S T LOAD 4 - 1 4 b SHEAR S T R E S S D I S T R I B U T I O N AT H IGHEST LOAD 4 - 1 5 a SHEAR S T R E S S D I S T R I B U T I O N AT HIGHEST LOAD 4 - 1 6 R I G H T - A N G L E NOTCH: E L A S T I C - P E R F E C T L Y - P L A S T I C 4 - 1 7 END' LOAD v s . MAX. S T R A I N FOR NOTCHED TENSION S P E C I M E N . E L A S T I C - P E R F E C T L Y - P L A S T I C I T Y 4 - 1 8 a D. A L L E N & R . S O U T H W E L L ^ SOLUTION 4 - 1 8 b F I N I T E ELEMENT SOLUTION v ! L I S T OF T A B L E S TABLE 2 - 1 MAXIMUM SHEAR STRESS AND P R I N C I P A L D IRECTION TABLE 2 - 2 TRESCA Y I E L D CONDITION o o v? I A c k n o w l e d g e m e n t In 1972 t h e w r i t e r r e c e i v e d f r o m h i s s u p e r v i s o r , p r o f e s s o r N . D . N a t h a n , t w o f u n d a m e n t a l c o u r s e s In s o l Id m e c h a n i c s , n a m e l y , E n e r g y T h e o r e m s a n d The F i n i t e e l e m e n t M e t h o d , w h i c h g a v e r i s e t o t h e w r i t e r ' s i n t e r e s t In s o l i d m e c h a n i c s . The w r i t e r w i s h e s t o a c k n o w l e d g e t h e h e l p t h a t I t h a s b e e n : a l l o f c h a p t e r t h r e e a n d m o s t o f c h a p t e r f o u r a n d t h e a p p e n d i x a r e b a s e d on a s t u d y o f h i s l e c t u r e s . The w r i t e r i s a l s o m o s t g r a t e f u l f o r h i s g u i d a n c e , h i s r e a d i n g a n d c h e c k i n g o f t h e e n t i r e t h e s i s . F i n a l l y , t h e w r i t e r w i s h e s t o r e g i s t e r h i s g r a t i t u d e t o h i s w i f e , T e r e s a , f o r t y p i n g t h e w h o l e t h e s i s . CHAPTER ONE INTRODUCTION T h e r e a r e two t y p e s o f n o n l i n e a r I t y In s o l i d m e c h a n i c s , n a m e l y , g e o m e t r i c a l a n d p h y s i c a l n o n l l n e a r i t y ( 1 ) . G e o m e t r i c a l n o n l i n e a r i t y d e a l s w i t h f i n i t e d e f o r m a t i o n s , w h i l e p h y s i c a l n o n l l n e a r i t y d e a l s w i t h n o n l i n e a r s t r e s s - s t r a i n r e l a t i o n s o f t h e b o d y . T h e s e two t y p e s o f n o n l i n e a r i t y a r e i n d e p e n d e n t o f e a c h o t h e r . T h u s i t f o l l o w s t h a t t h e r e a r e s e v e r a l t y p e s o f p r o b l e m s In s o l i d m e c h a n i c s : ( 1 ) t h o s e l i n e a r b o t h p h y s i c a l l y a n d g e o m e t r i c a l l y ( l i n e a r p r o b l e m s , e l a s t i c i t y ) , ( 2 ) t h o s e l i n e a r p h y s i c a l l y b u t n o n l i n e a r g e o m e t r i c a l l y ( n o n -l i n e a r p r o b l e m s , e l a s t i c i t y ) , ( 3 ) t h o s e n o n l i n e a r p h y s i c a l l y b u t l i n e a r g e o m e t r i c a l l y ( n o n -l i n e a r p r o b l e m s , e . g . p l a s t I c l t y w l t h I n f i n i t e s i m a l d e f o r -m a t i o n s ) , ( 4 ) t h o s e n o n l i n e a r b o t h p h y s i c a l l y and g e o m e t r i c a l l y ( n o n -l i n e a r p r o b l e m s , e . g . p l a s t i c i t y w i t h f i n i t e d e f o r m a t i o n s ) . ° N o n l i n e a r t h e o r i e s l e a d t o n o n l i n e a r g o v e r n i n g e q u a t i o n s w h i c h i m m e d i a t e l y r e n d e r c l a s s i c a l m e t h o d s o f a n a l y s i s i n a p p l i -c a b l e . D e s p i t e r e c e n t e f f o r t s o n n o n l i n e a r b e h a v i o r , o n l y a f e w e x a c t s o l u t i o n s t o s p e c i f i c p r o b l e m s c a n be f o u n d ; a n d t h e s e a r e - 2 -t h e m o s t s i m p l e g e o m e t r i c s h a p e s and b o u n d a r y c o n d i t i o n s . On t h e o t h e r h a n d , many n o n l i n e a r p r o b l e m s c a n be s o l v e d by n u m e r i c a l t e c h n i q u e s w h i c h l e a d t o a p p r o x i m a t e s o l u t i o n s . The f i n i t e e l e m e n t m e t h o d i s o n e o f t h e s e n u m e r i c a l t e c h -n i q u e s and h a s b e e n f o u n d t o be a p o w e r f u l a p p r o a c h t o s t r e s s a n a l y s i s p r o b l e m s ( 2 ) . A l t h o u g h e a r l y d e v e l o p m e n t o f t h e m e t h o d w a s p r i m a r i l y c o n c e r n e d w i t h l i n e a r s y s t e m s , t h e m e t h o d h a s b e e n e x t e n d e d t o n o n l i n e a r p r o b l e m s by many r e s e a r c h e r s . The f i n i t e e l e m e n t f o r m u l a t i o n o f g e o m e t r i c a l l y n o n l i n e a r p r o b l e m s o f e l a s -t i c i t y h a s b e e n g e n e r a l i z e d by N . D . N a t h a n ( 3 ) . T h e s t u d y o f p h y s i c a l l y n o n l i n e a r p r o b l e m s by t h e f i n i t e e l e m e n t m e t h o d I s t h e m a j o r s t u d y o f p r e s e n t w o r k . The f i n i t e e l e m e n t f o r m u l a t i o n o f p l a s t i c i t y was f i r s t p r e s e n t e d by R . H . G a l l a g h e r a n d h i s c o l l e a g u e s ( 4 ) . T h e y f o l l o w e d t h e s u g g e s t i o n s g i v e n by M e n d e l s o n a n d M a n s o n ( 5 ) , who p r o p o s e d t h e s o c a l l e d I n i t i a l ( o r t h e r m a l ) s t r a i n m e t h o d w h i c h i s b a s e d o n t h e I d e a o f m o d i f y i n g t h e e q u i l i b r i u m e q u a t i o n s o f e l a s t i c i t y t o c o m p e n s a t e f o r t h e f a c t t h a t t h e p l a s t i c s t r a i n s do n o t c a u s e a n y c h a n g e i n s t r e s s . F u r t h e r d e v e l o p m e n t s i n t h i s c a t e g o r y h a v e b e e n made by J . H . A r g y r i s ( 6 ) , L . H . P e r c y ( 7 ) a n d W . R . J e n s e n ( 8 ) . T h i s a p p r o a c h , h o w e v e r , c o n n o t be u s e d f o r p e r f e c t l y p l a s t i c m a t e r i a l s ( 9 ) o r f o r a v e r y s m a l l d e g r e e o f h a r d e n i n g . A f e w y e a r s l a t e r , G . P o p e ( 1 0 ) I n t r o d u c e d a d i f f e r e n t m e t h o d known a s t h e t a n g e n t m o d u l u s m e t h o d , w h i c h i s b a s e d o n t h e I n c r e m e n t a l t h e o r y o f p l a s t i c i t y , a n d s o l v e d t h e n o n l i n e a r -3-p r o b l e m a s a s e r i e s o f p i e c e - w i s e l i n e a r s y s t e m s . S u b s q u e n t c o n t r i b u t i o n s was made b y T . L . S w e d l o w ( 1 1 ) , S . F . R e y s ( 1 2 ) . Two y e a r s l a t e r , P . V . M a r c a l a n d I . P . K i n g i n t r o d u c e d a p a r t -i a l s t i f f n e s s c o n c e p t a n d make a h e l a s t o - p l a s t i c a n a l y s i s o f p l a n e s t r e s s a n d p l a n e s t r a i n p r o b l e m s a s w e l l a s p r o b l e m s o f a x i -s y m m e t r i c a l l y l o a d e d b o d i e s o f r e v o l u t i o n ( 1 3 ) . A t t h e same t i m e , Y . Yamada ( I U ) o b t a i n e d an e x p l i c i t e x p r e s s i o n o f t h e i n c r e m e n t a l s t r e s s - s t r a i n r e l a t i o n s h i p f o r t h e P r a n d t l - R e u s s e q u a t i o n s a s s o c i a t e d w i t h t h e Von M I s e s y i e l d c r i t e r i o n . Two y e a r s l a t e r , a g e n e r a l f o r m u l a t i o n o f p l a s t i c i t y was p r e s e n t e d by O . C . Z i e n k i e w i c a n d h i s c o l l e a g u e s ( 1 5 ) , w h e r e i n a n " i n i t i a l s t r e s s " a p p r o a c h i s p r o p o s e d . T h i s a p p -r o a c h may be c o n s i d e r e d t o s a v e c o m p u t i n g t i m e , b e c a u s e a c o n s t a n t l i n e a r e l a s t i c m a t r i x i s u s e d t h r o u g h o u t t h e p r o c e s s . D u r i n g t h e same y e a r , Y . Yamada ( 1 6 ) e x t e n d e d h i s e x p l i c i t e l a s t o - p l a s t i c m a t r i x t o o r t h r o t r o p i c m a t e r i a l s on t h e b a s i s o f H i l l ' s c o n s t i t u t i v e e q u a t i o n s ( 1 7 ) . M o r e r e c e n t l y , G . C . N a y a k a n d O . C . Z i e n k i e w i c ( 1 8 ) h a v e g e n e r a l i z e d p r o b l e m s i n p l a s -t i c i t y f o r v a r i o u s c o n s t i t u t i v e r e l a t i o n s i n c l u d i n g s t r a i n s o f t e n i n g , a n d h a v e r e n a m e d t h e " i n i t i a l s t r e s s m e t h o d " t h e " r e s i d u a l f o r c e m e t h o d " . The p r e s e n t w o r k , u s i n g an i m p r o v e d f i n i t e - e l e m e n t r e p r e s e n t a t i o n , d e a l s w i t h a d e t a i l e d s t u d y o f t w o - d i m e n s i o n a l e l a s t o - p l a s t i c s t r e s s a n a l y s i s p r o b l e m s w i t h i n f i n i t e s i m a l d e f o r m a t i o n . The c o m p u t e r p r o g r a m s f o r e l a s t i c a n a l y s i s w i t h t h e w e l l - k n o w n c o n s t a n t s t r a i n t r i a n g u l a r e l e m e n t w e r e m o d i f i e d t o i n c l u d e t h e e l a s t o p l a s t i c a n a l y s i s f o r t h e p r e -s e n t s t u d y . - 5 -CHAPTER TWO B A S I C D E F I N I T I O N S AND THEORIES OF E L A S T I C I T Y AND P L A S T I C I T Y T h e t h e o r i e s o f e l a s t i c i t y a n d p l a s t i c i t y d e a l w i t h t h e s y s t e m a t i c s t u d y o f t h e s t a t e v a r i a b l e s , s t r e s s , s t r a i n , a n d d i s p l a c e m e n t i n a s o l i d b o d y u n d e r t h e I n f l u e n c e o f e x t e r n a l f o r c e s o r p r e s c r i b e d d i s p l a c e m e n t s o r b o t h . In t h i s c h a p t e r t h e b a s i c e q u a t i o n s o f t h e s e t h e o r i e s w i l l be r e v i e w e d f o r r e f e r -e n c e p u r p o s e s a n d t o e s t a b l t s h t h e n o t a t i o n t o be u s e d . F o r c o n v e n i e n c e r e c t a n g u l a r c a r t e s i a n c o o r d i n a t e s X; ( K,4Xa Xj) w i l l be e m p l o y e d f o r d e f i n i n g t h e t h r e e - d i m e n s i o n a l s p a c e c o n -t a i n i n g t h e b o d y . I . A n a l v s i s o f S t r e s s When a s o l i d i s u n d e r t h e a c t i o n o f e x t e r n a l f o r c e s , i t u n d e r g o e s d e f o r m a t i o n a n d t h e e f f e c t o f f o r c e s i s t r a n s m i t t e d t h r o u g h o u t t h e b o d y by I n t e r a c t i o n o f m a t e r i a l e l e m e n t s , g i v i n g r i s e t o a n i n t e r n a l f o r c e - s t r e s s f i e l d . a . S t r e s s V e c t o r I n s i d e t h e b o d y , i s o l a t e a s u r f a c e o f a r e a A c o n t a i n i n g a p o i n t O . F i g . 2 - 1 . Due t o e x t e r n a l f o r c e s t h e r e w i l l be some f o r c e s d i s t r i b u t e d o v e r a r e a A . T h e s e d i s t r i b u t e d f o r c e s w i l l h a v e a r e s u l t a n t f o r c e P a n d a r e s u l t a n t moment H a t t h e p o i n t t o 0 . - 6 -F I G . 2 - 1 INTERNAL FORCES SYSTEM A f t e r t h e c o n c e p t o f L o v e , t h e f o l l o w i n g l i m i t s a r e a s s u m e d t o e x i s t : L i m . _£L = 0 (2-la) A - o A , P L\m _==^ — f (2-lb) A - o A, 1 . Where t h e l i m i t i n g p r o c e s s i s c a r r i e d o u t s o t h a t 0 i s a l w a y s i n s i d e A . t. i s a s t r e s s v e c t o r — f o r c e p e r u n i t a r e a . - 7 -b . S t r e s s T e n s o r T h e s t r e s s v e c t o r t(*) on an a r b i t r a r i l y o r i e n t e d s u r -f a c e w i t h u n i t n o r m a l r\ may be f o u n d o n c e t h e s t r e s s v e c t o r s on e a c h o f t h r e e m u t u a l l y p e r p e n d i c u l a r p l a n e s a r e k n o w n . T h e n i n e c a r t e s i a n c o m p o n e n t s o f t h o s e t h r e e s t r e s s v e c t o r s f o r m t h e s t r e s s t e n s o r . ( F i g . 2 - 2 ) : Jt. = 4 i ~ ) w h e r e 0",, ** ( u s i n g s u m m a t i o n c o n v e n t i o n o n r e p e a t e d i n d i c e s ) ( 2 - 2 ) ( 2 - 3 ) - 8 -I s c a l l e d t h e s t r e s s t e n s o r . The d i a g o n a l e l e m e n t s a r e c a l l e d n o r m a l s t r e s s e s a n d t h e o f f - d i a g o n a l e l e m e n t s , s h e a r s t r e s s e s . F r o m ( 1 9 ) t h e s t r e s s t e n s o r i s s y m m e t r i c a l , I . e . o*;. = <5j. . F I G . 2 - 3 S T R E S S VECTORS ON A TETRAHEDRON By c o n s i d e r i n g F i g . 2 - 3 , we o b t a i n C a u c h y ' s f o r m u l a : o r t(n) = jt. «; ( 2 - 5 ) w h i c h c o m p l e t e l y c h a r a c t e r i z e s t h e s t a t e o f s t r e s s a t a p o i n t i n t e r m s o f t h e n i n e c a r t e s i a n s t r e s s c o m p o n e n t s . c . T r a r t s f o r m a t i o n o f C o o r d i n a t e s S u p p o s e t h a t t w o c o o r d i n a t e s y s t e m s a r e a v a i l a b l e , F ig .2 - l» . A v e c t o r i n s p a c e may be s p e c i f i e d by g i v i n g t t s c o o r d i n a t e s i n e i t h e r s y s t e m , n a m e l y , K;(X,(Xi o r ^(x,', ) . T h e n t h e c o o r d i n a t e s may be c o n n e c t e d b y t h e l i n e a r r e l a t i o n s ( 2 - 6 a ) ( 2 - 6 b ) F I G . 2 - 4 ROTATION OF COORDINATES - l O -i n w h i c h w= On — ( 2 - 7 ) > a r e t h e d i r e c t i o n c o s i n e s o f t h e X ^ - a x i s w . r . t . t h e X , , - a x l s a s shown i n F i g . 2 - 4 . E q u a t i o n s ( 2 - 6 ) d e f i n e t h e t r a n s f o r m a t i o n o f a t e n s o r o f o r d e r o n e ( 2 0 ) . d . S t r e s s T r a n s f o r m a t i o n Laws S i n c e t h e s t r e s s v e c t o r i s a t e n s o r o f f i r s t o r d e r , E q . ( 2 - 6 ) may b e a p p l i e d , I . e . F o r a r b i t r a r y n S i m i l a r ! l y , 0"ij - a* ty* # e . E Q U I 1 i b r l u m E q u a t i o n s ( 2 - 8 a ) ( 2 - 8 b ) W i t h r e g a r d t o f i g u r e 2 - 2 , we w r i t e t h e e q u i l i b r i u m e q u a t i o n s In t h e X , , X 2 t Xj d i r e c t i o n s , a n d r e d u c e t o t h e e q u a t i o n : + ?L - o ( 2 - 9 ) w h i c h t h e s t r e s s t e n s o r h a s t o s a t i s f y . - 1 1 -f . P r i n c i p a l S t r e s s e s , P r i n c i p a l D i r e c t i o n s . S t r e s s I n v a r i a n t s We now s e e k a p l a n e w i t h d i r e c t i o n n. f o r w h i c h t h e s t r e s s v e c t o r X.(.R) i s p a r a l l e l t o t h e o u t w a r d n o r m a l n. T h a t i s o r ( ftj -^fcp"} " ° . ( 2 - 1 0 ) w h e r e <£y i s c a l l e d t h e K r o n e c k e r d e l t a d e f i n e d by ( I c - ; S u c h a d i r e c t i o n n j i s c a l l e d a p r i n c i p a l d i r e c t i o n a n d t h e c o r r e s p o n d i n g s t r e s s v a l u e i s a p r i n c i p a l s t r e s s . The c h a r a t e r I s t i c e q u a t i o n f o r E q . ( 2 - 1 0 ) , w h i c h m u s t be s a t i s f i e d i f t h e s e h o m o g e n e o u s e q u a t i o n s In n j a r e t o h a v e a s o l u t i o n , i s \<rij -<rStj \ = 0 ^ ( 2 - 1 1 ) w h i c h l e a d s t o t h e v a l u e s o f t h e p r i n c i p a l s t r e s s e s . F o r e a c h v a l u e o f t h e p r i n c i p a l s t r e s s a s s o c i a t e d w i t h n j n j = l , a u n i t n o r m a l v e c t o r & c a n be d e t e r m i n e d . E x p a n d i n g E q . ( 2 - l l ) , y i e l d s -cT3-!- I,tfl-r4<r + I, = o f w h e r e I. = <£. ( 2 - 1 2 a ) I f t h e r e f e r e n c e a x e s c o i n c i d e w i t h t h e p r i n c i p a l a x e s , t h e n - 1 2 -l 2 = 0 7 <rz t (rt(r3 + <5](j; ( 2 - 1 2 b ) w h e r e O", 0", <r, a r e t h e p r i n c i p a l s t r e s s e s , t h e s o l u t i o n s o f E q . ( 2 - l l ) . Ii , I 2 a n d 1^ a r e c a l l e d t h e f i r s t , s e c o n d and t h i r d i n v a r i a n t s o f t h e s t r e s s t e n s o r . I t c a n b e s h o w n t h a t o n e o f t h e p r i n c i p a l s t r e s s i s t h e a l g e b r a i c a l l y l a r g e s t a n d a n o t h e r t h e a l g e b r a i c a l l y s m a l l e s t o f t h o s e a c t i n g o n a n y o f t h e p l a n e s p a s s i n g t h r o u g h t h e p o i n t i n q u e s t i o n . g» S h e a r i n g S t r e s s e s The r e s u l t a n t s h e a r i n g s t r e s s c o m p o n e n t a t a p l a n e w i t h u n i t n o r m a l v e c t o r j i i s g i v e n b y o r / = i ( r i ) • tin) - ( i ( a ) - n ) 1 . L e t t h e p r i n c i p a l a x e s be t h e c o o r d i n a t e a x e s , a n d : w h e r e i s t h e p r i n c i p a l s t r e s s . To f i n d t h e e x t r e m e s h e a r s t r e s s e s , i t i s m e r e l y n e c e s s a r y t o m a x i m i z e E q . ( 2 - 1 3 ) s u b j e c t t o t h e c o n s t r a i n -5 n g r e l a t J o n n n. = 1 (2-n> The r e s u l t s a r e summary i n T a b l e 2 - 1 . One o f t h e s e v a l u e s w i l l , o f c a u s e , b e t h e l a r g e s t s h e a r s t r e s s a c t i n g o n a n y p l a n e p a s s i n g t h r o u g h t h e p o i n t I n q u e s t i o n . T A B L E 2 - 1 MAX. SHEAR S T R E S S AND P R I N C I P A L D ^ E C T I O N n n n c o r r e s p i n d i n g 0^  0 I | 'a - « 3 l 0 i M - M 1% 0 i 1 (Tii -13-h . S t r e s s D e v i a t i o n s . D e v i a t o r 1 c S t r e s s 1 n v a r i a n t s T h e s t r e s s t e n s o r may b e s e p a r a t e d i n t o t w o p a r t s : o n e i s s p h e r i c a l s t r e s s t e n s o r ( h y d r o s t a t i c s t r e s s ) w h i c h c a u s e s e l a s t i c d e l a t a t i o n , a n d t h e o t h e r i s t h e d e v i a t o r i c s t r e s s t e n s o r 5^  ( t a n g e n t i a l s t r e s s ) w h i c h c a u s e s e l a s t i c d i s t o r t i o n a n d p l a s t i c s t r a i n . w h e r e n _ J^u, r (2-15) (2-16) T h e d e v i a t o r i c s t r e s s i n v a r i a n t s J} > J 3 a r e a n a l o g o u s t o I I # 1 2 / L 3 T h u s J , = Su = 0 ^ = y C s u Sjj - Sij Sij) = y Sij Stj = i [ s ; + s ; . ^ + 2 ( s ^ + 5 , V 5 ; . ) J = y ( S* + Szl + ) ( 2 _ 1 7 ) - 1 4 -I I . A n a l v s i s o f S t r a i n When f o r c e s a r e a p p l i e d t o a b o d y , t h e p o s i t i o n o f a n y p o i n t o f t h e b o d y , I n g e n e r a l , i s c h a n g e d . T h e d i s p l a c e m e n t o f a p o i n t i s d e f i n e d a s t h e v e c t o r d i s t a n c e f r o m t h e i n i t i a l t o t h e f i n a l l o c a t i o n o f t h e p o i n t . A b o d y i s c o n s i d e r e d t o b e s t r a i n e d w h e n e v e r t h e r e l a t i v e p o s i t i o n o f p o i n t s i n t h e c o n -t i n u o u s b o d y I s a l t e r e d . a . S t r a i n T e n s o r F I G . 2 - 5 D I S P L A C E M E N T OF NEIGHBORING POINTS In F i g . 2 - 5 , P.(x, X i , X j ) i s a m a t e r i a l p o i n t i n t h e u n d e -f o r m e d b o d y , a n d ?{*\t x 2 , * p ' s t n e l o c a t i o n o f t h e same p a r -t i c l e o f m a t e r i a l a f t e r d e f o r m a t i o n . Q0(,X, + d X | ( X ^ d X j ,tyeUp 5 s a n e i g h b o r i n g p o i n t o f f9/ a n d i t s f i n a l p o s i t i o n i s Q ( x 1 + d x ) X2 + dxif X j + d x j \ <4 I s t h e d i s p l a c e m e n t v e c t o r . F o r h o m o g e n e o u s d e f o r m a t i o n , we c a n w r i t e a n d X; =• X-, (*.. *j) ( 2 - 1 8 a ) ( 2 - 1 8 b ) - 1 5 -p r o v l d e d t h e J a c o b l a n J =J"^J d o e s n o t v a n i s h . The s q u a r e o f t h e d i f f e r e n t i a l e l e m e n t o f l e n g t h b e t w e e n P0 a n d Q0 In t h e u n d e f o r m e d b o d y i s (dx) = dX • dX = dX^dX; # S I m i l a r i l y In t h e d e f o r m e d b o d y ( d x ) = dx. • dx. - d X i d x ^ F o r m (dx)*-(dx)*= d x ; d x . - d X m d X l n A l t e r n a t i v e l y , w r i t e ( d x ) ' - ( d X ) = d x ; d x ; - olXrv, d X w = x * , m x i , „ dX m dX„ - dX^dX, ,^ ~ ( Ki,tn Xi,n m^* )^X^ dXn . We d e f i n e t h e s t r a i n t e n s o r s = i t * ^ - ^ ) . ( 2 - 2 0 > The s t r a i n t e n s o r >s c a l l e d t h e E u l e r l a n f i n i t e s t r a i n t e n s o r , a n d J ^ j i s c a l l e d t h e L a g r a n g l a n f i n i t e s t r a i n t e n s o r . B o t h o f them a r e s y m m e t r i c . - 1 6 -t h en a n d T h e d i s p l a c e m e n t c o m p o n e n t s a r e d e f i n e d by M- = X< - X i X i > j -  Sii ML •J ( 2 - 2 1 ) ( 2 - 2 2 ) E q u a t i o n s ( 2 - 1 9 ) a n d ( 2 i - 2 0 ) b e c o m e F o r I n f i n i t e s i m a l d e f o r m a t i o n t h e o r y , n e g l e c t t h e h i g h o r d e r t e r m s , a n d r e f e r t o t h e i n i t i a l c o o r d i n a t e s , a n d t h e l i n e a r s t r a i n I s t h e n ( 2 - 2 3 ) o r r n r oin SYMM OtUL.\ VIA* N= — - £31 -ax, The d i a g o n a l e l e m e n t s a r e c a l l e d e x t e n s i o n s t r a i n s a n d t h e o f f -d i a g o n a l e l e m e n t s a r e c a l l e d s h e a r s t r a i n s . b . S t r a I n D e v I a t o r T e n s o r The s t r a i n t e n s o r may be s e p a r a t e d i n t o two p a r t s . One p a r t i s c a l l e d t h e v o l u m e t r i c s t r a i n , a n d t h e o t h e r i s c a l l e d t h e d e v l a t o r i c s t r a i n . T h e l a t t e r I s a s s o c i a t e d w i t h c h a n g e o f s h a p e , a n d I s a l s o known a s d l s t o r t i o n a l s t r a i n d e f i n e d by - 1 7 -l S . i2-2k) c . c o m p a t i b i i i t v o_f_ strain C o m p o n e n t s T h e s t r a i n c o m p o n e n t s c a n n o t be a r b i t r a r i l y p r e s c r i b e d a n d c e r t a i n r e l a t i o n s , c a l l e d t h e c o m p a t i b i l i t y c o n d i t i o n s , m u s t e x i s t b e t w e e n t h e m . The e q u a t i o n s , f o r s m a l l s t r a i n , a r e g i v e n by ( 2 1 ) eH<*'  + = £u,jt + ^ U , ( 2 - 2 5 ) I I I . F i e l d E q u a t i o n s i n E l a s t i c ! t v a . G e n e r a l i z e d H o o k e ' s Law F o r a t h r e e d i m e n s i o n a l s t a t e o f s t r e s s , C a u c h y g e n e r a l i z e d H o o k e ' s l a w i n t o t h e s t a t e m e n t t h a t e a c h s t r e s s c o m p o n e n t i s a 1 i n e a r f u n c t i o n o f a l l t h e s t r a i n c o m p o n e n t s , w h e r e E h a s i j k l ( T h e p r i m e d v a l u e i 0" = h . F i j K * , ( 2 - 2 6 a ) t h e f o l l o w i n g p o r p e r t i e s : •~r(E;.v, ) = 0 f o r h o m o g e n e o u s m a t e r i a l s , r' _ r f o r i s o t r o p i c m a t e r i a l s , b e i n g r e f e r r e d t o a d i f f e r e n t s e t o f c o o r d i n e a t e s ) - 1 8 -b . C o n s t i t u t i v e E q u a t i o n s F o r h o m o g e n e o u s i s o t r o p i c l i n e a r e l a s t i c m a t e r i a l s , E q . ( 2 - 2 6 a ) b e c o m e s ( 2 2 ) o r ( 2 - 2 6 a ) { hi = 2 ^ , . . E q u a t i o n ( 2 - 2 6 ) c a n a s s u m e t h e a l t e r n a t i v e f o r m w h e r e 1 E = i7 -2<T A, t<T X 2(A. + Gr) ( 2 - 2 6 c ) m o d u l u s o f e l a s t i c i t y Po i s s o n ' s r a t i o K " 3 b u l k m o d u l u s Cjp a n d X a r e t h e L a m e ' s c o n s t a n t s c . F i e l d E q u a t i o n s i n E l a s t i c i t y The s o l u t i o n o f a g i v e n p r o b l e m i n l i n e a r e l a s t i c i t y c a n p r o c e e d f r o m t h e b a s i c e q u a t i o n s : - 1 9 -1 . E q u i l i b r i u m E q u a t i o n s % i + ft = 0 ; ( 2 - 9 ) 2 . S t r a i n - d i s p l a c e m e n t E q u a t i o n s 3 . C o n s t i t u t i v e E q u a t i o n s ( 2 - 2 3 ) = S'K* E** (2'26) T h e s e f i f t e e n e q u a t i o n s a r e t h e g o v e r n i n g e q u a t i o n s f o r t h e f i f t e e n u n k n o w n s t a t e v a r i a b l e s o^ . / £,j t w , . T h e y m u s t be s a t i s -f i e d a t a l l p o i n t i n s i d e a n e l a s t i c s o l i d i n s t a t i c e q u i l i b r i u m , T o g e t h e r w i t h t h e b o u n d a r y c o n d i t i o n s : ^ ~ T. p r e s c r i b e d o n 5^ -= M'K p r e s c r i b e d o n $ T h e s o l u t i o n i s p o s s i b l e a n d u n i q u e . ( 2 3 ) - 2 0 -I V . F i e l d E q u a t i o n s In P l a s t i c i t y a . Y i e l d T h e o r y 1 . Y i e l d S u r f a c e T h e y i e l d s u r f a c e i s d e f i n e d a s t h e s u r f a c e i n s t r e s s s p a c e , w i t h s t r e s s c o m p o n e n t s a s c o o r d i n a t e s , w i t h i n w h i c h t h e s t r e s s v e c t o r may c h a n g e w i t h o u t a n y p l a s t i c - s t r a i n i n -c r e m e n t ; s t r e s s I n c r e m e n t s b e g i n n i n g f r o m p o i n t s i n t h e s u r f a c e , I f d i r e c t e d t o w a r d t h e e x t e r i o r , i m p l y p l a s t i c s t r a i n I n c r e m e n t s . 2 . I n i t i a l Y i e l d S u r f a c e . F o r i s o t r o p i c p l a s t i c i t y , t h e i n i t i a l y i e l d s u r f a c e m u s t be i n d e p e n d e n t o f t h e o r i e n t a t i o n o f t h e r e f e r e n c e a x e s . By c h o o s i n g t h e a x e s o f t h e p r i n c i p a l s t r e s s e s a s t h e r e f e r e n c e a x e s , t h e ' i n i t i a l y i e l d s u r f a c e may be e x p r e s s e d i n t e r m s o f t h e p r i n c i p a l s t r e s s e s a n d r e p r e -s e n t e d b y a s u r f a c e i n a s t r e s s s p a c e w i t h o", , (ft , (Tj a s c o o r d i n a t e a x e s . T h u s t h e I n i t i a l y i e l d f u n c t i o n may a p p e a r a s H <TX, ovop = o. F u r t h e r m o r e , e x p e r i m e n t i n d i c a t e s t h a t t h e h y d r o -s t a t i c p r e s s u r e h a s no e f f e c t o n t h e p l a s t i c d e f o r m a t i o n . H e n c e t h e I n i t i a l y i e l d c o n d i t i o n may be e x p r e s s e d i n - 2 1 -t e r m s o f t h e d e v i a t o r i c s t r e s s i n v a r i a n t s i n t h e f o r m . H J,, v = °. Two s i m p l e y i e l d c o n d i t i o n s f o r t h e i n i t i a l y i e l d o f i s o t r o p i c m a t e r i a l w h i c h h a v e p r o v i d e d h i g h l y u s e f u l d e s c r i p -t i o n s o f many r e a l m a t e r i a l s a r e d i s c u s s e d i n t h e f o l l o w i n g s e c t i o n . ( 1 3 . . T r e s c a Y i e l d C o n d i t i o n (Max imum S h e a r T h e o r y ) T h i s h y p o t h e s i s i s b a s e d o n t h e a s s u m p t i o n t h a t y i e l d o c c u r s when t h e maximum s h e a r s t r e s s r e a c h e s a l i m i t i n g v a l u e . In v i e w o f t h e r e s u l t s g i v e n i n T a b l e 2 - 1 / a c o m p l e t e m a t h e m a -t i c a l d e s c r i p t i o n o f t h e T r e s c a c o n d i t i o n i s g i v e n i n T a b l e 2 - 2 , a n d shown i n F i g . 2 - 6 . T A B L E 2 - 2 S t r e s s S t a t e T r e s c a C o n d i t i o n * J < <rt < IT, «S = <5"o °i < $ < IF. < (Tj <<T, o; = <r0 <r, <<r3 S < <T, <(T 2 ^ 2 - = <r4 w h e r e ^ = y i e l d s t r e s s f o r s i m p l e t e n s i o n . - 2 2 -F I G . 2 - 6 TRESCA Y I E L D SURFACE IN P R I N C I P A L S T R E S S SPACE - 2 3 -The T r e s c a y i e l d c o n d i t i o n g i v e n by T a b l e 2 - 2 c a n be r e p r e -s e n t e d by w h e r e J J a r e t h e d e v i a t o r i c s t r e s s i n v a r i a n t s . (2).^OJI Mjses Y i e l d C o n d i t i o n ( P i s t Q r t ' o n E n e r g y Theory? Von M i s e s h y p o t h e s i s e d t h a t y i e l d i n g o c c u r s when t h e s e c o n d d e v i a t o r i c s t r e s s i n v a r i a n t a t t a i n s a p r e s c r i b e d v a l u e A, . F o r t h e u n i a x i a l s t r e s s s t a t e -fc - — . T h e n o f = 7 - -4- = 0 ( 2 - 2 8 ) F i g . 2 - 7 s h o w s t h e g e o m e t r i c a l m e a n i n g o f t h e Von M i s e s c o n -d i t i o n . 0~3 '< = o F I G . 2 - 7 . VON M I S E S Y I E L D SURFACE IN P R I N C I P A L S T R E S S SPACE -2k-3 . S u b s e q u e n t Y i e l d S u r f a c e C o n t i n u e d l o a d i n g b e y o n d t h e i n i t i a l y i e l d s u r f a c e l e a d s t o p l a s t i c d e f o r m a t i o n w h i c h may be a c c o m p a n i e d b y c h a n g e s i n b o t h s i z e a n d s h a p e o f t h e y i e l d s u r f a c e . F o r p e r f e c t p l a s t i c i t y t h e y i e l d s u r f a c e d o e s n o t c h a n g e d u r i n g p l a s t i c d e f o r m a t i o n a n d t h e i n i t i a l y i e l d s u r f a c e r e m a i n s v a l i d . F o r i s o t r o p i c h a r d e n i n g , h o w e v e r , t h e s i z e o f t h e y i e l d s u r f a c e I n c r e a s e s , b u t t h e s h a p e r e m a i n s t h e same d u r i n g l o a d i n g . To t a k e i n t o a c c o u n t s u c h c h a n g e s I t i s n e c e s s a r y t o m o d i f y t h e i n i t i a l y i e l d s u r f a c e a n d t o d e f i n e t h e s u b s e q u e n t y i e l d s u r f a c e , a l s o known a s t h e l o a d i n g s u r f a c e . A g e n e r a l f o r m f o r t h e l o a d i n g s u r f a c e i s g i v e n by ( 2 4 ) * ( V 4 > K ) = °< (2"29) W h i c h d e p e n d s n o t o n l y u p o n t h e s t r e s s e s 6\. , b u t a l s o P J u p o n t h e p l a s t i c s t r a i n s £,j a n d t h e w o r k h a r d e n i n g c h a r a c -t e r i s t i c s r e p r e s e n t e d by t h e p a r a m e t e r K . D i f f e r e n t i a t i n g f = o b y t h e c h a i n r u l e o f c a l c u l u s , we o b t a i n w h e r e dj-t d(Tj. } e t c . r e p r e s e n t t i m e d i f f e r e n t i a l s . - 2 5 -I f f = o a n d d j - < 0 a c o n d i t i o n l e a d i n g t o a n e l a s t i c s t a t e i s i m p l i e d , a n d i t m u s t f o l l o w t h a t di,j = dK.= 0. T h u s •f = 0 —do"-; <<• 0 i s d e f i n e d a s " u n l o a d i n g " J / 7>G\f J j . = Q/ ^f-dOlj = O i s d e f i n e d a s " n e u t r a l l o a d i n g " , J s i n c e i t i m p l i e s t h a t t h e s t r e s s -p o i n t r e m a i n s o n t h e i n i t i a l y i e l d s u r f a c e . I _ Q J ^ L j i r y Q i s d e f i n e d a s " l o a d i n g " , s i n c e i t ' J i m p l i e s t h a t t h e s t r e s s - p o i n t i s 'J m o v i n g o u t w a r d f r o m t h e c u r r e n t y i e l d s u r f a c e . F o r p e r f e c t l y p l a s t i c m a t e r i a l s p l a s t i c f l o w o c c u r s f o r a n d t h e c a s e f ~ ° , ~ ~ ^ ^ " i i > ° d o e s n o t e x i s t . b . C o n s t i t u t ? v e E q u a t i o n r - P l a s t i c - f l o w r u 1 e o f i n c r e m e n t a 1 t y p e B a s e d o n t h e f o l l o w i n g a s s u m p t i o n s : 1 . i s o t r o p i c e l a s t o - p e r f e c t 1 y p l a s t i c m a t e r i a l s , 2 . t h e p r i n c i p a l a x e s o f s t r e s s a n d p l a s t i c s t r a i n i n c r e m e n t c o i n c i d e , 3 . d t i j = dl'j * d£i ' , ( 2 - 3 0 ) 5- <«t; = o ' < 2 " 3 2 ) - 2 6 -R e u s s e x t e n d e d a p r o p o s a l o f P r a n d t l t o s a y t h a t t h e p l a s t i c p s t r a i n i n c r e m e n t s dijj a r e r e l a t e d t o t h e s t r e s s d e v i a t o r c o m -p o n e n t s 5 y by d£ ;J = d A - S g - ( 2 " 3 3 w h e r e d\ i s t h e p r o p o r t i o n a l i t y f a c t o r , w h i c h may c h a n g e d u r -i n g l o a d i n g . F o r w o r k - h a r d e n i n g m a t e r i a l s a s s o c i a t e d w i t h t h e V o n M i s e s y i e l d c o n d i t i o n . I t I s u s e f u l t o d e f i n e t h e e q u i v a l e n t s t r e s s 0 a n d e q u i v a l e n t p l a s t i c s t r a i n i n c r e m e n t d£ P , a s a n d ( 2 - 3 4 ) ( 2 - 3 5 ) T h e n t h e P r a n d t 1 - R e u s s f l o w r u l e b e c o m e s Q ' t j = = - S j j ( 2 - 3 6 ) J 2(J i , w i t h = TF~ (2"37) T h e p l a s t i c w o r k i n c r e m e n t i s d e f i n e d by ( 2 5 ) - 2 7 -p d > W f > j = S i J d £ ' J i n w h i c h h a s b e e n i n t r o d u c e d . F u r t h e r m o r e , i f t h e same m a t e r i a l f o l l o w s t h e P r a n d t l - R e u s s f l o w r u l e , t h e p l a s t i c w o r k i n c r e m e n t may be e x p r e s s e d a s i a n d t h e P r a n d t l - R e u s s e q u a t i o n b e c o m e s By u s i n g t h e w o r k - h a r d e n i n g h y p o t h e s i s d i s c u s s e d i n ( 2 6 ) , t h e P r a n d t l - R e u s s e q u a t i o n may be w r i t t e n a s AC p - 3da c w h e r e ( 2 - 3 8 ) P ( 2 - 3 9 ) c o r r e s p o n d s t o t h e s l o p e o f t h e e q u i v a l e n t s t r e s s 0 v e r s u s e q u i v a l e n t p l a s t i c s t r a i n J<j£P c u r v e . S u b s t i t u t i n g E<j. ( 2 - 3 s) I n t o E<|. (2-3o) , In v i e w o f Ec|. , l e a d s t o d £ ij • ~if + —T—SiJ T + iffH's,J; d < T ? ° ( 2 - 4 0 ) - 2 8 -F o r u n l o a d i n g w h e r e t h e e l a s t i c s t r a i n i s t h e o n l y a p p l i c a b l e t e r m a n d d £ . . - i l l + ( ' " 2 0 ) L i 5 « ( 2 - u i ) a t , J ZGr P J 3 ( 2 - 4 2 ) w r i t i n g ( 7^ . ( 2-4 . 0 ) 1° d e c o m p o s i t e f o r m w i l l 1 e a d t o H i l l ' s c o m p l e t e s t r e s s - s t r a i n e q u a t i o n ( 2 7 ) Ac - C<5?J u. - j A L s p i n w h i c h d S ^ o h a s b e e n I n t r o d u c e d . A g e n e r a l e q u a t i o n f o r d e t e r m i n g t h e p l a s t i c s t r a i n -s t r e s s r e l a t i o n f o r a n y y i e l d c o n d i t i o n was p r o p o s e d by D . C . D r u c k e r . B a s e d o n h i s d e f i n t i o n o f w o r k - h a r d e n i n g m a t e r i a l s ( 2 8 ) , D r u c k e r j u m p e d o n e s t e p b e y o n d t h e c l a s s i c a l t r e a t m e n t , a n d s h o w e d t h a t , f o r t h e s e m a t e r i a l s , t h e p l a s t i c s t r a i n i n -c r e m e n t v e c t o r m u s t b e n o r m a l t o t h e y i e l d o r l o a d i n g s u r f a c e a t a s m o o t h p o i n t o n t h a t s u r f a c e , a n d m u s t l i e b e t w e e n a d j a c e n t n o r m a l s a t a c o r n e r p o i n t . I . e . ( 2 9 ) E q . ( 2 - 4 3 ) I s a l s o c a l l e d t h e n o r m a l i t y p r i n c i p l e o f p l a s t i c i t y . - 2 9 -c . F i e l d E q u a t i o n s In P l a s t i c ! t v 1 . E o u i 1 i b r i u m E q u a t i o n s CJCTjj.j + d F , = O ; ( 2 - 9 ) 2 . S t r a i n - d i s p l a c e m e n t E q u a t i o n s d £ ' J = + *Ui*\ ( 2 - 2 3 ) d£,j = d e * . + d£y ; ( 2 - 3 0 ) 3 . C o n s t ! t u t i v e E q u a t i o n s ( 2 - 4 3 ) ^ = -^. + <'-''Vit, «-»> w h e r e f ((T;j, fcf.-, l c ) -0 d e f i n e s t h e y i e l d s u r f a c e . 4 . B o u n d a r y C o n d i t I o n s d(T,jlij =r d T i P r e s c r i b e d o n 5 f f J if i dm; = C(M- p r e s c r i b e d o n S - 3 0 -I t i s s e e n t h a t t h e p i a s t i c i t y p r o b l e m i s d e f i n e d i n a m a n n e r s i m i l a r t o an e l a s t i c i t y p r o b l e m o f t h e i n f i n i t e s i m a l d e f o r m a t i o n t h e o r y , e x c e p t f o r t h e s t r e s s -s t r a i n r e l a t i o n s . T h u s , o n c e t h e p r o b l e m i n f l o w t h e o r y h a s b e e n f o r m u l a t e d , p r o b l e m s o f p l a s t i c i t y c a n be a n a l y s e d by i n t e g r a t i n g t h e r e s u l t i n g r e l a t i o n s a l o n g t h e p r e s c r i b e d l o a d i n g p a t h . - 3 1 -CHAPTER THREE  F l N I T E ELEMENT METHOD The b a s i s o f a n d t h e f o r m u l a t i o n o f t h e f i n i t e e l e m e n t p r o c e d u r e w i l l b e r e v i e w e d h e r e t o e s t a b l i s h t h e a p p r o a c h a n d t h e n o t a t i o n u s e d i n t h e s e s t u d i e s . T h i s w i l l be d o n e f o r t h e l i n e a r e l a s t i c c a s e , a n d t h e e x t e n s i o n t o t h e p l a s t i c i t y p r o -b l e m w i l l be made i n t h e n e x t c h a p t e r . I t s e e m s r e d u n d a n t t o m e n t i o n t h a t t h e f i n i t e e l e m e n t m e t h o d h a s b e e n f o u n d t o be a p o w e r f u l a p p r o a c h t o s t r e s s a n a l y s i s o f b o u n d a r y v a l u e p r o b l e m s . P a r t o f i t s a d v a n t a g e s t e m s f r o m i t s a b i l i t y t o t a k e c a r e o f t h e i r r e g u l a r s h a p e s o f b o u n d a r y a n d m i x e d b o u n d a r y c o n d i t i o n s . T h e b a s i c c o n c e p t o f t h e f i n i t e e l e m e n t m e t h o d i s t h a t a c o n t i n u u m c a n be d e c o m p o s e d i n t o a f i n i t e number o f r e g i o n s ( e l e m e n t s ) , i n e a c h o f w h i c h t h e b e h a v i o r i s r e p r e s e n t e d by a s e p e r a t e f i e l d . In o r d e r t o g u a r a n t e e t h e c o n v e r g e n c e o f t h e f i n i t e e l e m e n t s o l u t i o n t o t h e e x a c t v a l u e s , t h e s e f i e l d s a r e s o c h o s e n t h a t t h e y s a t i s f y t h e c o m p l e t e n e s s r e q u i r e m e n t a n d , i f p o s s i b l e , i n t e r - e l e m e n t b o u n d a r i e s a r e made c o m p a t i b l e ( t h e " c o m f o rm i ty' . ' c o n d i t i o n ) . O l i v e i r a p r o v e d t h a t , c o n v e r g e n c e o f t h e f i n i t e e l e m e n t s o l u t i o n r e q u i r e s o n l y t h e p r e s e r v a t i o n o f - 3 2 -c o r r e c t r i g i d b o d y a n d c o n s t a n t s t r a i n m o d e s ; i e . t h a t c o m p a -t i b i l i t y c o u l d be r e l a x e d i f t h e c o m p l e t e n e s s c o n d i t i o n i s s a t i s f i e d ( 3 0 ) . T h i s r e m a r k a b l e r e s u l t m a k e s a p p l i c a t i o n o f t h e f i n i t e e l e m e n t m e t h o d t o p l a t e b e n d i n g p r o b l e m s , f o r e x a m p l e , much s i m p l e r . The f i n i t e e l e m e n t m e t h o d may be i n t e r p r e t e d a s a p a r t i c u l a r c a s e o f R i t z ' s m e t h o d a s s o c i a t e d w i t h a v a r i a t i o n -a l p r i n c i p l e i n c o n t i n u u m m e c h a n i c s . F r o m t h e d i f f e r e n t v a r i a -t i o n a l p r i n c i p l e s i n s o l i d m e c h a n i c s , i t i s p o s s i b l e t o d e r i v e n u m e r o u s f i n i t e e l e m e n t m o d e l s w h i c h may l e a d t o e i t h e r a s t i f f -n e s s m e t h o d ( p r i n c i p l e o f m i n i m u m p o t e n t i a l e n e r g y ) , a f l e x i -b i l i t y m e t h o d ( p r i n c i p l e o f m i n i m u m c o m p l i m e n t a r y e n e r g y ) o r a m i x e d m e t h o d ( 3 1 ) . I . V a r i a t i o n a l P r i n c i p l e ? V a r i a t i o n a l p r i n c i p l e s h a v e made a g r e a t c o n t r i b u t i o n t o t h e d e v e l o p m e n t o f s t r e s s a n a l y s i s by t h e f i n i t e e l e m e n t m e t h o d : f o r e x a m p l e , i n d e r i v i n g a f i n i t e e l e m e n t f o r m u l a t i o n , i n p r o v i d i n g t h e p h y s i c a l i n t e r p r e t a t i o n o f t h e a p p r o x i m a t e g o v e r n i n g e q u a t i o n s t h u s d e r i v e d , a n d m o s t n o t a b l y , i n e s t a b l i -s h i n g c o n v e r g e n c e p r o o f s a n d b o u n d s f o r m u l a e . - 3 3 -a . P r i n c i p l e o f M ? n imum Po t e n t i a 1 E n e r g y C o n s i d e r a c o n t i n u o u s a n d s u f f i c i e n t l y d i f f e r e n t i a b 1 e d i s p l a c e m e n t f i e l d j u * s u c h t h a t a. — p r e s c r i b e d d i s p l a c e m e n t s o n S u N o t e t h a t t h e s t r e s s f i e l d d " - i s n o t n e c e s s a r i l y i n e q u i l i -0 b r i urn, i . e . %i  + F i = o , a n d 0 - * n . — "T. o n c 'J I 1 i O f f m a y n o t b y t r u e . F o r m 1 T j ' ( u . ' - M . )d5 + [ /=• ( u j - u . ) d v = I ^ ( t , * - M - ) d S + f F . C u . ' - M ^ d v ( e q u i l i b r i u m r e q u i r e m e n t a t s u r f a c e ) ( d i v e r g e n c e t h e o r e m ) = I(^, J + F i)(u;-V^ +}/yKj - » l , j)dy ( 3 - 1 ) - 3 4 -N o t l n g t h a t ( f o r e q u i l i b r l u m ) % ] + F, = o , a n d t h a t %(S " S 5 = - 5 ( ^ % + *v ) - T ( ^ +^<5i v ) (dummy s u b s c r i p t s ) (moment e q u i l i b r i u m ) ( s t r a i n - d i s p l a c e m e n t r e l a t i o n s ) t h u s E q . ( 3 - 1 ) may by w r i t t e n a s N o t i n g t h a t ( 3 _ 2 ) s i n c e E 4 ^ K j j i s p o s i t i v e d e f i n i t e , and t h a t b e c a u s e a l l t h e s u b s c r i p t s a r e dummy, E q ( 3 - 2 ) b e c o m e s o r ( 3 - 3 ) T h u s t h e m i n i m u m p o t e n t i a l e n e r g y p r i n c i p l e s t a t e s t h a t : Of a l l t h e k i n e m a t i c a 1 1 y a d m i s s i b l e d i s p l a c e m e n t f i e l d s , t h e a c t u a l s o l u t i o n i . e . t h e o n e w h i c h n o t o n l y s a t i s f i e s t h e c o m p a t i b i l i t y c o n d i t i o n s b u t w h i c h a l s o c o r r e s p o n d s t o a s t r e s s f i e l d w h i c h s a t i s f i e s t h e e q u i l i b r i u m c o n d i t i o n , i s d i s t i n g u i s h e d b y t h e s t a t i o n a r y v a l u e o f t h e c o r r e s p o n d i n g t o t a l p o t e n t i a l e n e r g y . The s o l u t i o n c a n b e s h o w n t o be u n i q u e f o r 1 i n e a r s y s t e m s . - 3 6 -I I . F o n n u l a t i o n ojF_ F i n i t e E l e r n e n t M e t h o d bv The P r i n c i p l e o± M i n i mum P o t e n t i a l E n e r g y In f o r m u l a t i n g t h e f i n i t e e l e m e n t m e t h o d , t h e d i s p l a c e -m e n t f i e l d i s r e p r e s e n t e d by i n t e r p o l a t i o n f u n c t i o n s t o g e t h e r w i t h g e n e r a l i z e d d i s p l a c e m e n t s a t a f i n i t e n u m b e r o f n o d a l p o i n t s i n e a c h e l e m e n t . To f u l f i l l t h e g e n e r a l c o m p l e t e n e s s r e q u i r e m e n t , t h e f i e l d c o m p o n e n t s a n d a l l t h e i r d e r i v a t i v e s , o f o r d e r n o t h i g h e r t h a n t h e h i g h e s t d e r i v a t i v e e n t e r i n g t h e e n e r g y d e n s i t y e x p r e s s i o n m u s t be a b l e t o t a k e up a n y c o n s t a n t ( n o n - z e r o ) v a l u e w i t h i n t h e e l e m e n t . I t f o l l o w s t h a t i f p i s t h e o r d e r o f t h e h i g h e s t d e r i v a t i v e a p p e a r i n g i n t h e e n e r g y e x p r e s s i o n ( f o r e x a m p l e , p=2 f o r p l a t e b e n d i n g p r o b l e m s ) , t h e n i t i s o n l y n e c e s s a r y t h a t t h e i n t e r p o l a t i o n f u n c t i o n m u s t c o n t a i n a c o m p l e t e p o l y n o m i a l up t o t h e d e g r e e , a l l t h e t e r m s o f w h i c h h a v e i n d e p e n d e n t a r b i t r a r y c o e f f i c i -e n t s . T h e t e r m s o f h i g h e r d e g r e e may be a l l o w e d t o v a n i s h w h a t e v e r v a l u e s a r e t a k e n by t h o s e c o e f f i c i e n t s . F o r e x a m p l e , O . C . Z i e n k i e w i c z h a s o m i t t e d some f o u t h - o r d e r t e r m s f r o m a c o m p l e t e f o u t h - o r d e r p o l y n o m i a l f o r a r e c t a n g u l a r p l a t e b e n d i n g e l e m e n t . The i n t e r p o l a t i o n f u n c t i o n s he u s e s s a t i s f y t h e a b o v e r e q u i r e m e n t s f o r t h e p l a t e b e n d i n g p r o b l e m a n d c a n y i e l d c o n s -t a n t v a l u e s f o r d e f l e c t i o n , s l o p e s a n d c u r v a t u r e s i f t h e n o d a l v a r i a b l e s a r e s u i t a b l y p r e s c r i b e d . In o t h e r w o r d s , t h e - 3 7 -p a r a m e t e r s o f t h e p o l y n o m i a l a r e e n t i r e l y d e f i n e d by t h e g e n e r a l -i z e d d i s p l a c e m e n t s . In m a t r i x f o r m t h e a s s u m e d d i s p l a c e m e n t may be w r I t t e n a s tx = As — - - ( 3 - 4 ) w h e r e = d i s p l a c e m e n t c o l u m n m a t r i x , A = n o d a l d i s p l a c e m e n t c o l u m n m a t r i x , A » s h a p e f u n c t i o n m a t r i x . The c o r r e s p o n d i n g s t r a i n c o l u m n m a t r i x I s I = U ( 3 - 5 ) w h e r e JL I s t h e d i f f e r e n t i a l o p e r a t o r s m a t r i x . The c o r r e s p o n d i n g s t r e s s c o l u m n m a t r i x i s 6 = VI ~ ( 3 - 6 ) w h e r e t) i s t h e e l a s t i c c o n s t a n t m a t r i x . T h e t o t a l p o t e n t i a l e n e r g y f u n c t i o n a l f o r a n y e l a s t i c s o l i d i s g i v e n b y V I f t h e b o d y i s d i v i d e d i n t o a f i n i t e number o f d i s c r e t e e l e -m e n t s Vn , t h e n o r i n m a t r i x f o r m ( 3 - 7 a ) v = i i T I d $ - j u T f d v t J i r t d v ] ( 3 . 7 b ) s "v - 3 8 -S u b s t i t u t l n g e q u a t i o n s ( 3 - 4 ) , ( 3 - 5 ) , and ( 3 - 6 ) i n t o ( 3 - 7 b ) , l e a d s t o = i f - • £ { ] ' - f i d ' s + $ A T £ d v Y + | 1 T{] (u)T£(LA)4V w h e r e ( 3 - 8 ) i = j ( L A ) T D ( L A ) d V V» (3-9) — member s t i f f n e s s m a t r i x S = J / I d s + J / F _ dV ( 3 - i o ) — n o d a l f o r c e c o l u m n m a t r i x The n o d a l d i s p l a c e m e n t s S f o r d i f f e r e n t e l e m e n t s a r e n o t c o m p l e t e l y i n d e p e n d e n t ; A t r a n s f o r m a t i o n i s n e e d e d t o r e l a t e t h e e l e m e n t n o d a l d i s p l a c e m e n t s t o t h e i n d e p e n d e n t g e n e r a l i z e d g l o b a l d i s p l a c e m e n t s . T h e n t h e c o m p a t i b i l i t y e q u a -t i o n s o f t h e a s s e m b l e d s t r u c t u r e a r e w r i t t e n i n m a t r i x f o r m a s - 3 9 -5 = ^1 ( 3 - 1 1 ) w h e r e = c o m p a t i b i l i t y t r a n s f o r m a t i o n m a t r i x , X = g l o b a l d i s p l a c e m e n t c o l u m n m a t r i x . S u b s t i t u t i n g E q . ( 3 - l l ) i n t o ( 3 - 8 ) , y i e l d s V p = - i T ( i « T 5 J + i r T ( 2 a T 4 a ) i ( 3 - 1 2 ) w h e r e = g l o b a l s t i f f n e s s m a t r i x R - 2. aTS ( 3 - 1 4 ) n — = g l o b a l f o r c e c o l u m n m a t r i x . The p r i n c i p l e o f m i n i m u m p o t e n t i a l e n e r g y r e q u i r e s t h a t 7^- r= (- i + is r ) S r = 0 . F o r a r b l t r a r y 8 r = & . ( 3 - 1 5 ) T h u s , f o r a g i v e n f o r c e v e c t o r R t h e c o r r e s p o n d i n g d i s p l a c e m e n t v e c t o r £ c a n be o b t a i n e d by t h e i n v e r s i o n o f J$ a s r = K f ' f c ( 3 - 1 6 ) a n d t h e n o d a l d i s p l a c e m e n t s , c o r r e s p o n d i n g s t r a i n a n d s t r e s s w i t h i n e a c h e l e m e n t may be f o u n d by e q u a t i o n s ( 3 - 1 1 ) , ( 3 - 5 ) a n d ( 3 - 6 ) . - 4 0 -CHAPTER FOUR FORMULATION 0£ E L A S T O - P L A S T I C PROBLEMS I. G e n e r a I C o n s i d e r a t i o n s P l a s t i c t h e o r y i s o f t e n a s s o c i a t e d w i t h l a r g e d e f o r m a -t i o n s , b u t a p l a s t i c d e f o r m a t i o n a n a l y s i s i n v o l v i n g l a r g e d e f o r m a t i o n s I s c o m p l i c a t e d b o t h b y g e o m e t r i c n o n l I n e a r i t i e s a n d by a n i s t r o p l c h a r d e n i n g . M o r e o v e r , t h e l a c k o f e x p e r i m e n t -a l s u p p o r t f o r e l a s t o - p l a s t l c c o m p u t a t i o n a l r e s u l t s i n t h e r a n g e o f i n f i n i t e s i m a l d e f o r m a t i o n m a k e s a n e x c u r s i o n I n t o t h e f i e l d o f l a r g e d e f o r m a t i o n p l a s t i c i t y a p r e c a r i o u s e n t e r -p r i s e . H e n c e , I n t h e p r e s e n t s t u d y a t t e n t i o n w i l l be f o c u s e d o n p l a s t i c I t y w i t h i n f i n i t e s i m a l d e f o r m a t i o n s . T h e f i n i t e e l e m e n t d i s p l a c e m e n t m e t h o d I s p r e f e r r e d , e v e n t h o u g h t h e f o r c e m e t h o d m i g h t be b e t t e r i n a p h i l o s o p h i c a l s e n s e ( 3 2 ) . T h e m e t h o d o f I n c r e m e n t a l l o a d i n g I s f r e q u e n t l y e m p l o y e d i n t h e a n a l y s i s o f a p a t h - d e p e n d e n t p r o c e s s s u c h a s p l a s t i c d e f o r m a t i o n . By t h i s m e t h o d t h e c o m p l e t e n o n l i n e a r r e s p o n s e o f t h e s o l i d b o d y I s g e n e r a t e d a s a s e q u e n c e o f p i e c e - w i s e l i n e a r s y s t e m s , F i g . 4 - 1 . I f AR ( a t y p i c a l l o a d I n c r e m e n t ) i s t a k e n s u f f i c i e n t l y s m a l l , t h e n t h e a p p r o x i m a t e s t a t e i s r e a s o n a b l y a c c e p t a b l e , e v e n t h o u g h some e r r o r £, w i l l I n e v i t a b l y e n t e r e a c h s t e p o f t h e p r o c e s s . T h i s e r r o r , h o w e v e r , c a n be r e d u c e d by means o f a n u m e r i c a l I t e r a t i o n p r o c e d u r e s u c h a s t h e w e l l -known N e w t o n - R a p h s o n m e t h o d o r t h e m o d i f i e d N e w t o n - R a p h s o n m e t h o d , F i g . 4 - 2 . - 4 1 -LOADS APPROXIMATE STATE REAL STATE RESPONSE F I G . 4 - 1 THE INCREMENTAL LOADING PROCESS LOADS — RESPONSE ° - i n c r e m e n t a l l o a d i n g * - 1 c o r r e c t e d b y N e w t o n - R a p h s o n m e t h o d * - 2 c o r r e c t e d by M o d i f i e d N e w t o n - R a p h s o n m e t h o d F I G . 4 - 2 A COMBINATION OF THE LOAD INCREMENT AND NEWTON-RAPHSON (OR MAD I F I ED NEWTON-RAPHSON) METHOD -I»2-I I . G e n e r a l 1 z e d 1 n c r e m e n t a l E o u i 1 i b r i urq F o u a t i o n D u r i n g e a c h l o a d i n c r e m e n t / t h e e q u i l i b r i u m e q u a t i o n s c a n be o b t a i n e d b y f o l l o w i n g t h e p r o c e d u r e s g i v e n i n c h a p t e r t h r e e . L e t A _ U = A *1 , U - l ) A I - _L U - 2 ) w h e r e & u = a c o l u m n v e c t o r o f d i s p l a c e m e n t i n c r e m e n t s AS s= a c o l u m n v e c t o r o f n o d a l d i s p l a c e m e n t i n c r e m e n t s &l - a c o l u m n v e c t o r o f s t r a i n i n c r e m e n t s . F o r i s o t r o p i c m a t e r i a l s we a s s u m e d t h e i n c r e m e n t a l s t r e s s a n d s t r a i n a r e r e l a t e d by H o o k e ' s l a w i n t h e e l a s t i c r e g i o n a n d by t h e P r a n d t 1 - R e u s s ( o r D r u c k e r ) d e f i n i t i o n d u r i n g l o a d i n g i n t h e p l a s t i c r e g i o n , ! . e . — = 2L*f A i , ( U - 3 ) The m a t r i x J)" P c o n t a i n s o n l y t h e m a t e r i a l p r o p e r t i e s o f an e l a s t i c e l e m e n t / I . e . T> - D b u t i n t h e p l a s t i c r e g i o n i t d e p e n d s / i n a d d i t i o n , on t h e c u r r e n t s t a t e o f s t r e s s a n d h a r d e n i n g o f t h e e l e m e n t , i . e . D** = D * ( s e e n e x t s e c t i o n ) . — * P — « / > A v a r i a t i o n a l f o r m u l a t i o n f o r t h e m a t e r i a l s o f e l a s t o -- 4 3 -p l a s t l c b e h a v i o r a s s u m e s a s t a t i o n a r y v a l u e o f f u n c t i o n a l ( s e e a p p e n d i x ) " \ v„ \ J ' w h e r e AT = a c o l u m n v e c t o r o f s u r f a c e t r a c t i o n i n c r e m e n t s , AE=a c o l u m n v e c t o r o f b o d y f o r c e i n c r e m e n t s . By i n t r o d u c t i n g t h e " g l o b a l s t i f f n e s s m a t r i x " : 4 ) 1 = J ( L A ) T D ; * . ( M ) d V t h e " g l o b a l f o r c e v e c t o r " : a a n d t h e c o m p a t i b i l i t y e q u a t i o n s ( 4 - 5 ) ( 4 - 6 ) AS = a i r t h e n E q . ( 4 - 4 ) b e c o m e s ( 4 - 7 ) » T h e n e c e s s a r y c o n d i t i o n f o r t h e f u n c t i o n a l V t o a s s u m e a s t a t i o n a r y v a l u e J g i v e s t h e i n c r e m e n t a l e q u i l i b r i u m e q u a t i o n s ( 4 - 8 ) ( 4 - 9 ) K *r = Aft ( 4 - 1 0 ) f o r t h e u n k n o w n d i s p l a c e m e n t v e c t o r A T . F q . ( 4 - 1 0 ) w i l l be s o l v e d i n s e c t i o n I V . - 4 4 -I I I . C o n s t ! t u t ! v e E q u a t i o n s : - E 1 a s t o - p l a s t i c Ma t r i x The e l a s t o - p l a s t i c m a t r i x b a s e d u p o n t h e P r a n d t l - R e u s s t h e o r y and t h e Von M i s e s y i e l d c r i t e r i o n was f i r s t p r e s e n t e d by Y . Yamada ( 1 4 ) . A f e w y e a r s l a t e r O . C . Z i e n k i e w i z ( 1 5 ) a n d h i s c o l l e a g u e s p r e s e n t e d a m a t r i x o f t h e same f o r m w h i c h was g o o d f o r a n y y i e l d c r i t e r i o n . T h e b a s i c p a r t o f Z i e n k i e w i z ' s d e v e l o p m e n t i s p r e s e n t e d h e r e f o r c o m p l e t e n e s s and t h e m a t r i x o n w h i c h t h e c u r r e n t p r o g r a m was b a s e d i s a l s o d e v e l o p e d . R e w r i t e e q u a t i o n s ( 2 - 3 0 ) , ( 2 - 3 1 ) , and ( 2 - 4 3 ) i n m a t r i x f o r m <fU] = d U ] , + d [ t ] p , d U l , = [ o ] " d W . a n d t h u s w h e r e ( 4 - 1 1 ) ( 4 - 1 2 ) ( 4 - 1 3 ) i % 0 o 0 % t % 0 0 0 % \ t 0 0 0 0 0 0 1 2 0 0 0 0 o 0 1 2 o 0 0 0 0 0 I t ( 4 - 1 5 ) In w h i c h x , I - f i-2\r - 4 5 -When p l a s t i c f l o w Is o c c u r r i n g the s t r e s s e s a r e on the y i e l d s u r f a c e , J = o and 6j-=0. T h u s , f rom E q . ( 2 - 2 9 ) , o r where dOJ - Ad\ = 0 M u l t l . E q . ( 4 - 1 4 ) by ( 4 - 1 6 ) ( 4 - 1 7 ) dA 1eads t o ( 4 - 1 8 ) S u b . E q . ( 4 - 1 6 ) I n t o E q . ( 4 - 1 8 ) , y i e l d s ( 4 - 1 9 ) A + [iL]T [ o jri£1 Sub . E q . ( 4 - 1 9 ) i n t o E q . ( 4 - 1 4 ) , l e a d s t o - 4 6 -o r i w h e r e |Q{ _ [ 0 ] 1 0 1 J J L 1 J J ( 4 - 2 1 ) T h u s In p l a s t i c f l o w a n a l y s i s , t h e e l a s t o - p l a s t i c m a t r i x r e p l a c e s t h e e l a s t i c m a t r i x [ o ] . [ n ] a f m a y be i n t e r p r e t e d p h y s i c a l l y a s t h e r e q u i r e d c o r r e c t i o n t o t h e e l a s t i c s t r e s s -s t r a i n r e l a t i o n w h i c h k e e p s t h e s t r e s s i n c r e m e n t o n t h e e x p a n d -i n g y i e l d s u r f a c e ( o r t a n g e n t i a l t o t h e y i e l d s u r f a c e i n t h e c a s e o f e l a s t I c - p e r f e c t 1 y p l a s t i c m a t e r i a l s ) . I t i s s y m m e t r i c , p o s i t i v e d e f i n i t e a n d i s v a l i d w h e t h e r f\ i s z e r o o r n o t . F o r i s o t r o p i c p l a s t i c i t y , i t i s r e a s o n a b l e t o a s s u m e t h a t ( 3 3 ) . T h u s , E q . ( 4 - 1 7 ) b e c o m e s " die dK F o r i s o t r o p i c p e r f e c t p l a s t i c i t y , w h e r e K.= c o n s t a n t , dK = 0 / h s 0 - 4 7 -F o r I s o t r o p i c w o r k - h a r d e n i n g p l a s t i c i t y , t h e p l a s t i c w o r k d o n e i s d e f i n e d by b u t fjKL •= d V . = 5 . . d£ P--ad; a n d 1 ^ I f t h e Von M I s e d y i e l d c r i t e r i o n I s e m p l o y e d . T h e n 1K die = adif d<f do" I dK H 6~ 8f = D0~; a n d n o t i n g t h a t 2 0= A = H Where o" , d t ' ' / a n d H a r e d e f i n e d i n c h a p t e r t w o . ( 4 - 2 3 ) - 1 * 8 -N o t i n g t h a t [ D ] T = [ D ] ; T h e n t h e n u m e r a t o r o f E q.(U - 2 1 ) b e c o m e s *1 5 j x SYMM t 57i S j * S J * 3f L?MJ s, S, S«j S . S 3 s s S 5 3_i s, s} Sx Sj s s 5 ^ - 4 9 -a n d t h e d e n o m i n a t o r 4 + f e W J ^ 1 = s H'+ 4=[S 5 5, 2 5 „ 2 S ^ 3*J CT 2 ? 5 1 L V = 3 ( p + H T h u s E q . ( 4 - 2 1 ) c a n be w r i t t e n a s 3<r s* SYMM St, $*,, *. - 5 0 -F o r two d i m e n s i o n a l p l a n e s t r e s s p r o b l e m s , the e l a s t o -p l a s t i c m a t r i x becomes [of = JL 51, • 2 i 5xScj + au-^ SYMM I + IT U - 2 4 ) 2 (1+ U) where •Itir q £ - 5 1 -I V . S o l u t i o n o_f_ P l a s t i c i t y E q u a t i o n s The g l o b a l s t i f f n e s s m a t r i x I n Eq.( i»-5) I s d i f f e r e n t f r o m t h e l i n e a r e l a s t i c c a s e , s i n c e f o r e l a s t o - p l a s t i c p r o -o f s t r e s s . The i n c r e m e n t a l e q u i l i b r i u m e q u a t i o n , E q . ( U - l O ) , i s t h e r e f o r e n o n l i n e a r a n d c a n n o t be s o l v e d by a s i m p l e m a t r i x i n v e r s i o n . Two w e l l - k n o w n m e t h o d s , N e w t o n - R a p h s o n a n d m o d i f i e d N e w t o n - R a p h s o n , a r e u s e d t o s o l v e t h e n o n l i n e a r i n c r e m e n t a l e q u i l i b r i u m e q u a t i o n s . The p r o c e d u r e s a r e now b r i e f l y o u t l i n e d . a . N e w t p n - R a p h s o n , M e t h o d C o n s i d e r a s y s t e m o f n o n l i n e a r e q u a t i o n s , f o r e x a m p l e , b l e m s t h e m a t r i x [D ] I s i t s e l f a f u n c t i o n o f c u r r e n t s t a t e t*R3 - [F([*r))] E q . U - 2 5 ) we may w r I t e w h e r e i s t h e v a r i a b l e a n d I s a known l o a d i n c r e m e n t . A t t h e " c o r r e c t " v a l u e o f t h e v a l u e w h i c h s o l v e s Eq . ( i» -25 ) -we h a v e o E q . U - 2 6 ) L e t u s e x p a n d a s a T a y l o r s e r i e s a b o u t some t e s t v a l u e C * i r J e s u c h t h a t - 5 2 -T h e n [HM) ] = [?(M„)1 + ^ [ $ r ] + h . o . t . in S r = [ o ] by E q . ( 4 - 2 6 ) B u t 3W 3[*r ] f r o m E q . ( 4 - 2 i > ) w h e r e [ K J IS t h e " t a n g e n t i a l s t i f f n e s s m a t r i x " a s d e f i n e d by E q . ( l t - l O ) . T h u s t j l . = W . M = K H - W W 1 , Now [K] i s t h e J a c o b i a n m a t i r x o f t h e f u n c t i o n [ F j a n d i s t h e r e -f o r e i n v e r t a b l e , s o ( 4 - 2 8 ) T h e s e a r g u m e n t s a r e i l l u s t r a t e d d i a g r a m a t i c i a l l y i n F i g . 4 - 3 . T h i s v a l u e o f i s , o f c o u r s e , o n l y a p p r o x i m a t e , b u t i t c a n be u s e d a s a s t a r t i n g v a l u e f o r a n o t h e r s t e p i n t h e i t e r a t i v e p r o c e s s . T h e a l g o r i t h m i s s i m p l y ; ( 4 - 2 9 ) FIG.l»-3 THE I L L U S T R Q T I O N S OF EQS. ( U - 2 5 ) / ( U - 2 6 ) / ( U - 2 7 ) AND ( U - 2 8 ) - 5 4 -T h l s p r o c e s s I s r e p e a t e d u n t i l t h e r e s i d u a l f o r c e [ ^ ] M o r t h e i n c r e m e n t s o f d i s p l a c e m e n t s \ [ & r ) ) become z e r o , lit o r w i t h i n a p r e s c r i b e d c r i t e r i o n , b . M Q d i f i e d N e w t o n - R a p h s o n M e t h o d T h e N e w t o n - R a p h s o n m e t h o d c o u l d i n d e e d be u s e d , b u t i t i s g e n e r a l l y i n c o n v e n i e n t s i n c e t h e t a n g e n t i a l s t i f f n e s s m a t r i x d e p e n d s o n t h e c u r r e n t s t r e s s l e v e l s a n d h a s t o b e c a l c u l a t e d a t e a c h s t e p o f t h e i t e r a t i v e p r o c e s s . M o r e o v e r , we h a v e t o i n v e r t a v e r y l a r g e m a t r i x e v e r y t l m e . T h i s d i f f i -c u l t y , h o w e v e r , c a n be o v e r c o m e b y a n a l t e r n a t i v e p r o c e s s o f i t e r a t i o n , k n o w n a s t h e m o d i f i e d N e w t o n - R a p h s o n m e t h o d , i n w h i c h o n l y t h e i n i t i a l s t i f f n e s s m a t r i x i s u s e d . T h e n , i n s t e a d o f Eq . ( l» -29) , we h a v e [>r] = O ] _ [K]"' [oi u . 3 0 ) T h e s e t w o m e t h o d s a r e s h o w n d t a g r a m a t i c a l 1 y ( f o r o n e v a r i a b l e ) i n F i g s . 4 - 4 a a n d 4 - 4 b . I n f a c t , i t i s g e n e r a l l y f o u n d t o be a d e q u a t e t o c o m p u t e [ K ] 0 f ° r t n e f i r s t l o a d i n c r e m e n t - t h e e l a s t i c c a s e - a n d t o u s e t h i s v a l u e f o r a l l s u b s e q u e n t l o a d i n c r e m e n t s . O b v i o u s l y , t h e n u m b e r o f i t e r a t i o n s r e q u i r e d f o r c o n -v e r g e n c e i n t h e m o d i f i e d m e t h o d i s g r e a t e r t h a n I n t h e s t a n d r a r d m e t h o d ; h o w e v e r , t h e a c t u a l c a l c u l a t i o n a n d a m o u n t o f c o m -p u t i n g t i m e r e q u i r e d i s , i n f a c t , l e s s t h a n t h a t f o r t h e s t a n d -a r d N e w t o n - R a p h s o n m e t h o d b e c a u s e i t i s n o t n e c e s s a r y t o i n v e r t a new s t i f f n e s s m a t r i x a t e a c h c y c l e . In t h e p r e s e n t s t u d y , t h e m o d i f i e d N e w t o n - R a p h s o n i t e r a t i v e m e t h o d I s p r e f e r r e d . - 5 5 -- 5 6 -V . C a l c u l a t i o n P r o c e d u r e I t h a s b e e n m e n t i o n e d t h a t a c o m b i n a t i o n o f t h e m e t h o d o f I n c r e m e n t a l l o a d i n g a n d t h e m o d i f i e d N e w t o n - R a p h s o n m e t h o d g e n e r a t e s t h e c o m p l e t e n o n l i n e a r r e s p o n s e by a s e q u e n c e o f p i e c e - w i s e l i n e a r s t e p s . T h u s t h e t o t a l l o a d v e c t o r [fi] t o be a p p l i e d t o t h e s y s t e m t s d i v i d e d i n t o s u i t a b l e s m a l l i n -c r e m e n t s [4*1 a n d a n a v a i l a b l e c o m p u t e r p r o g r a m d e v e l o p e d f o r t h e l i n e a r e l a s t i c p r o b l e m h a s b e e n a d j u s t e d t o t h e e l a s t o -p l a s t i c p r o b l e m by m i n o r m o d i f i c a t i o n s . S i n c e t h e I n v e r s e o f t h e t a n g e n t i a l s t i f f n e s s m a t r i x [ K , ^ I s u s e d t h r o u g h o u t t h e p r o c e s s , I t I s c o m p u t e d a t t h e v e r y b e g i n n i n g f o r c o n v e n i e n c e . [ K ] o d e p e n d s o n t h e e l a s t i c c o n s t a n t s a n d t h e s t r u c t u r a l g e o m e t r y o n l y . T h e f o l l o w i n g i n d i c e s a r e u s e d : a . P r o c e d u r e : A . S t a r t i n g w i t h a t r i a l s o l u t i o n f o r t h e n** i n c r e m e n t n = number o f l o a d i n c r e m e n t m = n u m b e r o f i t e r a t i o n a n d t h e l o a d i n c r e m e n t c o m p u t e t h e r e s i d u a l f o r c e til". - - K T . B. I t e r a t i v e l o o p s : 1 . C o m p u t e t h e a p p r o x i m a t e s o l u t i o n - 5 7 -ML. =K - [a ' h ] l ( m = 0 , I , 2 , 3, — ) t ne c o m p u t e t h e e l a s t i c i n c r e m e n t o f s t r a i n A £ . a n d m*i n C r T 1 ^ s t r e s s 4 0" c o r r e s p o n d i n g t o U r J i . e . & i n e = L / l a [ * r ] " -w+i L * t l y a d d A £ t o t h e c u r r e n t s t r e s s e x i s t i n g a t t h e s t a r t o f t h e i t e r a t i o n 0"" t o o b t a i n — m i f f ( / )«»only e l a s t i c s t r a i n s o c c u r , a n d t h e s t a t e v a r i a b l e s f o r t h e s t a r t o f t h e n e x t l o a d i n c r e m e n t a r e c r v H P " rne ± = I + Ai Go t o A a n d s t a r t t h e n e x t l o a d i n c r e m e n t . I f f f C / U o a n d f ( f f ^ , K ) 5 o t h e n ( { ) c o m p u t e t h e a c t u a l s t r e s s &(Tn<K d u e t o t h e n o n l i n e a r s t r e s s - s t r a i n r e l a t i o n u s i n g t h e e l a s t o - p l a s t i c m a t r i x i . e . - 5 8 -w h e r e * * *« ( l i ) c o m p u t e t h e r e s i d u a l s t r e s s A f = A £ - i f f 6 . i f i(2"m*,/)*0 a n d { C C , * ) * 0 t h e n i n c r e a s e t h e v a l u e o f ff" t o j f " ' by i n t e r p o l a t i o n s u c h t h a t o t h e n c o m p u t e A tc*** i r n e *••'»* a £ « p A (T — rvt+» — — A a n d ^ n r „ x - n e * > 7 . c o m p u t e t h e c u r r e n t s t r e s s a n d s t r a i n c n ~ n .ne 8 . c o m p u t e t h e r e s i d u a l f o r c e ( s e e s e c t i o n b ) a n d t h e new K . In t h e c u r r e n t w o r k , a c o n s t a n t s t r a i n e l e m e n t i s u s e d , A15"*" i s c o n s t a n t , a n d t h e i n t e r g r a t i o n i s l i n e a r . - 5 9 -i f lUjj" II^IIULl) l # e * l f s o m e s e l e c t e d c r i t e r i o n f o r *' r i * t h e s m a l l n e s s o f [9j„,H ' s s a t i s f i e d , t h e n l e t 1 = 6 — c — m+l i and go t o A t o s t a r t t h e n e x t l o a d i n c r e m e n t . O t h e r w i s e , go t o B a n d b e g i n t h e n e x t i t e r a t i o n . - 6 0 -R e s l d u a l F o r c e V e c t o r ( i ) C o n s i d e r a t y p i c a l t r i a n g u l a r e l e m e n t ( F i g . 4 - 5 ) , I - X, u, F I G . 4 - 5 CONSTANT S T R A I N ELEMENT a n d w r i t e t h e p r i n c i p l e o f v i r t u a l w o r k e q u a t i o n : i(iS-)TAS" = [ H'£")Vnc|V —  JV. t b u t nn = LA J S n J w . i - 6 1 -F o r a r b i t r a r y we h a v e a S " = J ( L A ) T 4 f f " dV . S i n c e i s t h e a c t u a l s t r e s s d u e t o we c a n w r i t e t h e a b o v e e q u a t i o n a s ' 'y. » t i ( i t ) The r e s i d u a l f o r c e v e c t o r i s g i v e n by N o t i n g t h a t dV w h e r e we h a v e i m p l i e d t h e i n t e g r a t i o n o v e r t h e w h o l e v o l u m e . - 6 2 -I V . E x a m p l e o f Numer i ca1 R e s u 1 t s a . P e r f o r a t e d S t r i p : S t r a i n H a r d e n i n g M a t e r i a l The p r o b l e m o f d e t e r m i n i n g t h e e l a s t i c - p l a s t i c s t r a i n a n d s t r e s s d i s t r i b u t i o n t h a t o c c u r s i n t h i n p e r f o r a t e d s t r i p s o f a s t r a i n h a r d e n i n g m a t e r i a l when t h e a p p l i e d s t r e s s i s i n c r e a s e d m o n o t o n i c a l 1 y f r o m t h e e l a s t i c r e g i o n o f l o a d i n g t o v a l u e s p r o d u c i n g a n i m p e n d i n g p l a s t i c f l o w , was i n v e s t i g a t e d by T h e o c a r l s a n d M a r k e t o s . In ( 3 U ) t h e y r e p o r t r e s u l t s o f a n e x p e r i m e n t a l s t r a i n a n a l y s i s . U s i n g p h o t o e l a s -t i c c o a t i n g a n d e l e c t r i c a l a n a l o g y t e c h n i q u e s t o t a l s t r a i n s w e r e d e t e r m i n e d . S t r e s s e s w e r e e s t i m a t e d b y a p p l y i n g t h e P r a n d t l - R e u s s i n c r e m e n t a l p l a s t i c i t y r e l a t i o n s E q . ( 2 - U 2 ) . In t h i s f a s h i o n a m e a s u r e o f t h e e l a s t i c s t r a i n s a n d , h e n c e o f t h e p l a s t i c s t r a i n s , c o u l d be o b t a i n e d b y E q . ( 2 - 3 0 ) . The f i n i t e e l e m e n t I d e a l i z a t i o n o f t h e g e o m e t r y u n d e r c o n s i d e r a t i o n I s shown i n F i g . i * - 6 . The i d e a l i z e d u n i a x i a l s t r e s s - s t r a i n d i a g r a m o f t h e s t r i p m a t e r i a l , a l u m u n i u m a l l o y 5 7 S , I s r e p r o d u c e d i n F i g . k-7. In F i g . k-S t h e d e v e l o p m e n t o f maximum s t r a i n i n t h e l o n g i t u d i n a l d i r e c t i o n a s o b t a i n e d f r o m f i n i t e e l e m e n t r e s u l t s i s s h o w n , t o g e t h e r w i t h s i m i l a r r e s u l t s p u b l i s h e d by T h e o c a r I s a n d M a r k e t o s , f o r d i f f e r e n t v a l u e s o f t h e a p p l i e d l o a d . In F i g . U - 9 , a c o m p a r i s o n c a n be made - 6 3 -b e t w e e n t h e d e v e l o p m e n t o f p l a s t i c z o n e s a s r e p o r t e d i n ( 3 4 ) a n d a s c o m p u t e d b y f i n i t e e l e m e n t s . The l o a d f a c t o r \ i s d e f i n e d a s A p p l i ed l o a d K = L o a d a t w h i c h y i e l d b e g i n s by c l o s e d f o r m s o l u t i o n F i n a l l y / F i g . 4 - 1 0 s h o w s t h e e q u i v a l e n t s t r e s s v . s . s t r a i n , e q u a t i o n s ( 2 - 3 4 ) a n d ( 2 - 3 5 ) , i n t h e e l e m e n t w h i c h y i e l d e d f i r s t . The c u r v e s h o w s t h a t t h e f i n i t e e l e m e n t s o l u t i o n I s f o l l o w i n g t h e h a r d e n i n g r u l e s p e c i f i e d . b . P f i r f o r a f r p H P l a t e : E l a s t l c - p e r f e c t l v - D l a s t l c M a t e r i a l The p r o b l e m s o l v e d i n ( a ) w a s r e p e a t e d / b u t w i t h e l a s t i c - p e r f e c t l y - p l a s t i c m a t e r i a l / i e . H ' = 0 / E q . ( 2 - 3 9 ) . In o r d e r t o c o m p a r e t h e r e s u l t w i t h t h e s t r a i n h a r d e n i n g case, t h e d e v e l o p m e n t o f t h e maximum s t r a i n i n t h e l o n g i t u d i n a l d i r e c t i o n i s shown In F i g . 4 - 8 . I t i s i n t e r e s t i n g t o n o t e t h a t t h e r e i s o n l y a l i t t l e d i f f e r e n c e a t h i g h e r l o a d s . c . Deep C a n t i l e v e r Bea m . : The d i m e n s i o n s a n d l o a d i n g c o n d i t i o n s a r e s h o w n i n F i g . 4 - 1 1 / i n w h i c h t h e f i n i t e e l e m e n t n e t i s p r e s e n t e d . - 6 4 The m a t e r i a l u s e d i s s h o w n i n F i g . 4 - 1 2 . In F i g . 4 - 1 3 t h e r a t i o K I s d e f i n e d and t h e d e v e l o p m e n t o f t h e p l a s t i c z o n e s f o r d i f f e r e n t v a l u e s o f ^ i s s h o w n . The r e g i o n e n c l o s e d by t h e d a s h e d l i n e w a s n o t c a l c u l a t e d by t h e p r o -gram, b e c a u s e w h e n t h e h i g h e s t l o a d w a s a p p l i e d ( A. * I ) / no c o n v e r g e n c e c o u l d be o b t a i n e d . T h i s p r o b l e m was s o l v e d i n r e f e r e n c e ( 3 5 ) and a s i m i l a r e x p e r i e n c e w a s n o t e d . F i g s . 4 - 1 4 and 4 - 1 5 show t h e d i s t r i b u t i o n o f n o r m a l a n d s h e a r s t r e s s a c t i n g a c r o s s t h e s e c t i o n s A A ' and B B ' r e s p e c t i v e l y . d . R i g h t - a n g l e N o t c h : E l a s t i c - o e r f e c t 1 v - p l a s t i c M a t e r i a i T h e R i g h t - a n g l e N o t c h w i t h a n o t c h t o h a l f - w i d t h r a t i o o f 1 t o 2 i s shown i n F i g . 4 - 1 5 / w h e r e i n t h e f i n i t e e l e m e n t n e t I s p r e s e n t e d . An e l a s t i c - p e r f e c t l y - p l a s t i c m a t e r i a l was a s s u m e d : u n i a x i a l y i e l d s t r e s s ^ - Kl/mm The d e v e l o p m e n t o f t h e maximum s t r a i n i n t h e l o n g i t u -d i n a l d i r e c t i o n f o r l o a d i n g i s shown i n F i g . 4 - 1 7 / w h e r e i n t h e c u r v e f o r a c i r c u l a r n o t c h i s a l s o s h o w n f o r c o m p a r i s o n . F i g . 4 - 1 8 a s h o w s t h e d e v e l o p m e n t o f t h e p l a s t i c e n c l a v e s o b t a i n e d by D. A l l e n and R. S o u t h w e l l ( 3 6 ) . T h e y a s s u m e d t h a t t h e r e I s no v o l u m e c h a n g e i n e i t h e r e l a s t i c o r p l a s t i c d e f o r m a t i o n a n d s o l v e d t h e s t r e s s f u n c t i o n by a r e l a x a t i o n m e t h o d . F i g . 4 - 1 8 b s h o w s t h e f i n i t e e l e m e n t r e s u l t s f o r d i f f e r e n t l o a d i n g p a t h s . T h e s e two p l a s t i c z o n e s a r e o f t h e same g e n e r a l s h a p e . - 6 5 -- 6 6 -28 0 1 2 3 l» 5 6 7 8 9 10 11 12 x l O S T R A I N y i e l d s t r e s s i n p u r e t e n s i o n <£ = 2k, "5 KJ/mm* s l o p e o f w o r k - h a r d e n i n g c u r v e H » 2 2 5 . 0 K3/*,*, a m o d u l u s o f e l a s t i c i t y E = 7 0 0 0 . 0 FIG.l»-7 U N I A X I A L S T R E S S - S T R A I N CURVE - 6 7 -1 . 2 5 1 . 0 0 0 . 75 0 . 5 0 0 . 2 5 0 r^fr __v^ — i —A 0 . 5 1 . 1 . 5 2 . 0 2 . 5 3 . 0 3 . 5 4 . 0 4 . 5 5 . 0 M A X . S T R A I N IN T H E LONG I T U D I U A L D I R E C T I O N e x p e r i m e n t a l f r o m T h e o c a r i s & M a r k e t o s 5 w o r k h a r d e n i n g o—o f i n i t e e l e m e n t s o l u t i o n *—* f i n i t e e l e m e n t s o l u t i o n f o r e l a s t i c p e r f e c t l y p l a s t i c m a t e r i a l F I G . 4 - 8 END LOAD v s . MAX S T R A I N FOR P E R F O R A T E D S T R I P - 6 8 F I G . 4 - 9 a E X P E R I M E N T A L R E S U L T S A. = tM5 14* 1-5 « F I G . U -9b F I N I T E ELEMENT R E S U L T S A = Itf 1.VS 2.o2 |.J 13] |.1S - 6 9 -F I G . U - 1 0 EQUIVALENT S T R E S S v s . E Q U I V A L E N T S T R A I N IN THE ELEMENT WHICH Y I E L D F I R S T - 7 0 -F i n i t e E l e m e n t I d e a l i z a t i o n : 196 e l e m e n t s 120 n o d e s F I G . U - 1 1 SHEAR WALL S U B J E C T E D TO L A T E R A L LOAD - 7 1 -S T R E S S COMPRESSION TENSION S T R A I N y i e l d s t r e s s = 3 6 x 1 0 p s l . m o d u l u s o f e l a s t i c i t y = 3 0 x 1 0 p s i . FIG.l»-12 U N I A X I A L S T R E S S - S T R A I N CURVE - 7 2 -A P P L I E D LOAD L I M I T LOAD COMPUTED FROM P L A S T I C BEAM THEORY 4 L 6 2L X - 1 . 0 . 9 4 . 7 5 0 . 6 2 5 F I G . 4 - 1 3 DEVELOPMENT OF P L A S T I C ZONES FOR D I F F E R E N T V A L U E S OF ^ - 7 3 -F I G . U - H t b SHEAR S T R E S S D I S T R I B U T I O N AT H IGHEST LOAD -7k-FIG.«*-15b SHEAR S T R E S S D I S T R I B U T I O N AT H IGHEST LOAD F I G . 4 - 1 6 R I G H T - A N G L E NOTCH: E L A S T I C - P E R F E C T L Y - P L A S T I C - 7 6 -1 . 5 0 1 . 2 5 1 . 0 0 E\^° 0 . 7 5 0 . 5 0 0 . 2 5 0 . 5 1 . 1 . 5 2 . 0 2 . 5 3 . 0 3 . 5 4 . 0 4 . 5 5 . 0 MAX. S T R A I N IN THE LONG ITUDI UAL D I R E C T I O N ~ f i n i t e e l e m e n t s o l u t i o n f o r r i g h t a n g l e n o t c h f i n i t e e l e m e n t s o l u t i o n f o r c i r c u l a r n o t c h F I G . 4 - 1 7 END LOAD v s . MAX. S T R A I N FOR NOTCHED TENSION S P E C I M E N . E L A S T I C - P E R F E C T L Y - P L A S T I C I T Y - 7 7 -- 7 8 -CHAPTER F IVE NONLINEAR S T R E S S A N A L Y S I S ££ REINFORCED CONCRETE I . G e n e r a l C o n s i d e r a t i o n s S t u d i e s o f t h e n o n l i n e a r r e s p o n s e t o l o a d o f r e i n f o r c e d c o n c r e t e s t r u c t u r e s h a v e o c c u p i e d t h e a t t e n t i o n o f many r e s e a r -c h e r s d u r i n g r e c e n t t i m e s . B e c a u s e o f t h e s e v e r a l c o m p l e x i t i e s i n v o l v e d ^ h o w e v e r , t h e s t a t e v a r i a b l e s o f t h e c o n c r e t e a n d s t e e l a r e d i f f i c u l t t o a n a l y z e . Some o f t h e p r o b l e m s a r e s t a t e d b e l o w : 1 . T h e n o n h o m o g e n o u s n a t u r e o f t h e s y s t e m . 2 . T h e n o n l i n e a r b e h a v i o r o f t h e c o n c r e t e a n d s t e e l . 3 . T h e s t r u c t u r a l s y s t e m h a s a c o n t i n u o u s l y c h a n g i n g c h a r a c t e r due t o t h e i n f l u e n c e o f p r o g r e s s i v e c r a c k i n g o f t h e c o n c r e t e u n d e r i n c r e a s i n g l o a d . 1*. T h e p o s s i b i l i t y o f r e l a t i v e m o v e m e n t b e t w e e n c o n c r e t e a n d t h e s t e e l r e i n f o r c e m e n t . 5 . T h e d e f o r m a t i o n s o f c o n c r e t e a r e i n f l u e n c e d by c r e e p a n d s h r i n k a g e a n d a r e t i m e d e p e n d e n t . T h e s t r e s s a n a l y s i s o f a n y s o l i d b o d y may be a p p r o a c h e d o n a o n e , t w o o r t h r e e - d i m e n s i o n a l b a s i s , a n d t h i s i s , o f c o u r s e , . t r u e f o r r e i n f o r c e d c o n c r e t e . F o r e x a m p l e , i f t h e - 7 9 -member i s l o n g c o m p a r e d w i t h i t s d e p t h a n d w i d t h , a n d i f I t r e m a i n s u n c r a c k e d , t h e n beam t h e o r y i s a p p l i c a b l e , i e . t h e u s u a l o n e - d i m e n s i o n a l a n a l y s i s i s s a t i s f a c t o r y . A f t e r c r a c k i n g , h o w e v e r , t h e o n e - d i m e n s i o n a l a n a l y s i s m o d e l f a i l s c o m p l e t e l y . T h u s , a r e a l i s t i c s t r e s s a n a l y s i s o f r e i n f o r c e d c o n c r e t e m u s t be b a s e d o n a t l e a s t a t w o -d i m e n s i o n a l m o d e l . I f t h e l o a d s a n d t h e s u p p o r t r e a c t i o n s a c t o n l y i n a v e r t i c a l p l a n e , t h e n t h e p r i n c i p a l s t r e s s n o r m a l t o t h i s p l a n e i s c o n s i d e r e d t o be v e r y s m a l l c o m -p a r e d w i t h t h e o t h e r s a n d a t w o - d i m e n s i o n a l m o d e l i s s a t i s -f a c t o r y . T w o - d i m e n s i o n a l e l a s t i c i t y a n d p l a s t i c i t y c o u l d , i n d e e d , be u s e d t o f o r m u l a t e t h e p r o b l e m , b u t e v e n t h e n m a t h e m a t i c a l d i f f i c u l t i e s a r e e n c o u n t e r e d . The d i f f i c u l t i e s , h o w e v e r , c a n be o v e r c o m e by t h e f i n i t e e l e m e n t m e t h o d . I I . S t r u c t u r a l I d e a l I z a t i o n In t h e a p p l i c a t i o n o f t h e f i n i t e e l e m e n t m e t h o d t o r e i n f o r c e d c o n c r e t e , t h e s t r u c t u r e i s d e c o m p o s e d i n t o a number o f r e g i o n s , i n e a c h o f w h i c h t h e b e h a v i o r i s r e p r e -s e n t e d by a s e p a r a t e f i e l d . T h u s t h e n o n h o m o g e n o u s n a t u r e o f t h e c o n s t r u c t i o n c a n be a c c o u n t e d f o r . In t h i s s t u d y , t h e w e l l - k n o w n c o n s t a n t s t r a i n t r i a n g u l a r e l e m e n t s h a v e b e e n u s e d f o r t h e c o n c r e t e . P e r f e c t b o n d i s a s s u m e d a n d t h e t i m e d e p e n d e n t e f f e c t Is a l s o n e g l e c t e d . A d i s p l a c e m e n t m e t h o d o f a n a l y s i s u n d e r p l a n e s t r e s s c o n d i t i o n s h a s b e e n u s e d . - 8 0 -N l . Fa 11 u r e C r 1 t e r I a C o n c r e t e : 1 . T e n s i l e c r a c k : i f t h e p r i n c i p a l s t r e s s i n a n y d i r e c t i o n w i t h i n an e l e m e n t e x c e e d s t h e l i m i t i n g t e n s i l e s t r e n g t h o f c o n c r e t e u n d e r u n i -a x i a l t e s t , t h e n t h e e l e m e n t i s c o n s i d e r e d t o h a v e c r a c k e d p e r p e n d i c u l a r l y t o t h a t p r i n c i p a l d i r e c t i o n . 2 . C o m p r e s s i v e y i e l d : The Von M i s e s y i e l d c r i t e r i o n h a s b e e n u s e d t o d e f i n e y i e l d r e g i o n s . S t e e l : The Von M i s e s y i e l d c r i t e r i o n h a s b e e n u s e d . - 8 1 -I V . C a l c u l a t i o n P r o c e d u r e The s u b s c r i p t s and n o t a t i o n s u s e d h e r e a r e t h e same a s t h o s e i n c h a p t e r f o u r . P r o c e d u r e : 1 . C o m p u t e 2 . C o m p u t e [ * R ] 3, h, S, C o m p u t e & 6 n e I f t h e e l e m e n t h a s n o t c r a c k e d In p r e v i o u s s t e p s , go t o 6 , I f t h e e l e m e n t h a s a l r e a d y c r a c k e d , t h e n a . C o m p u t e w h e r e f s J -b . C o m p u t e c . I f t h e e l e m e n t c r a c k e d i n t h e n p u t " <0i*« (9 o o 0 0 1 — — w 4 4 J L ' d i r e c t i o n ( i . e . CT = 0 ), <T = o* i i 3 = < and go t o 1 2 , new v a l u e o f t h e p r i n c i p a l s t r e s s , r e s i d u a l p r i n c i p a l s t r e s s ( t o be r e m o v e d ) , r e s i d u a l p r i n c i p a l s t r e s s ( t o b e r e m o v e d ) , - 8 2 -d . i f t h e e l e m e n t c r a c k e d i n d i r e c t i o n ( i . e . G~ ~ o )/ t h e n p u t <T2 = (f* new v a l u e o f t h e p r i n c i p a l s t r e s s c5j" = fir* r e s i d u a l p r i n c i p a l s t r e s s ( t o be r e m o v e d ) ~dt = 0 r e s i d u a l p r i n c i p a l s t r e s s ( t o b e r e m o v e d ) a n d go t o 1 2 / 6 . C o m p u t e r j n e / —— mt I 7 . C o m p u t e t h e p r i n c i p a l s t r e s s e s (T a n d (p a n d t h e p r i n c i p a l I i d i r e c t i o n 6 o f i F - ^ - h ' 8 . I f b o t h <^  a n d fi- a r e l e s s t h a n t h e p r e s c r i b e d l i m i t i n g t e n s i l e s t r e n g t h fir t h e n go t o 11 t o c h e c k y i e l d . 9.. I f (Tx ? £ t h e n p u t <?; = 0 7 ' a n d go t o 1 2 / 1 0 . I f (T 1 rf t h e n p u t * i t c ; -= 0 > ? , « o ' a n d go t o 1 2 / 1 1 . Same p r o c e d u r e a s g i v e n i n c h a p t e r f o u r : a . i f t h e e l e m e n t h a s y i e l d e d , t h e n c o m p u t e t h e r e s i d u a l s t r e s s A tf"hr a n d go t o 1 3 / b . i f n o t / t h e n go t o 1 s t a r t i n g w i t h t h e n e x t l o a d I n c r e m e n t . - 8 3 -1 2 . c o m p u t e t h e r e s i d u a l s t r e s s w h e r e o o 0 \ 0 and [<*p^ ] i s g i v e n i n s t e p 5 , 1 3 . c o m p u t e t h e r e s i d u a l f o r c e [ ^ ] ^ i f I I ^ C l l ^ j C j ] : ^ t h e n l e t m+i a n d go t o 1 s t a r t i n g w i t h n e x t l o a d i n c r e m e n t , 1 5 . i f n o t , t h e n c o m p u t e t h e c u r r e n t s t r e s s a n d s t r a i n a n d go t o 2 s t a r t i n g w i t h n e x t i t e r a t i o n . - 8 4 I V . N ' u m e r l e a l E x a m o l e C a n t 11 e v e r Beam The s t r u c t u r e t h a t was s t u d i e d I s shown In F i g . 5 - 1 , In w h i c h t h e f i n i t e e l e m e n t n e t I s p r e s e n t e d . The m a t e r i a l p r o p e r t i e s a r e shown In F i g . 5 - 2 . An e x a c t s o l u t i o n f o r t h i s p r o b l e m , w i t h i n t h e a s s u m p t i o n o f p l a n e s e c t i o n s r e m a i n i n g p l a n e , c o u l d be o b t a i n e d by m a n i p u l a t i o n o f t h e e q u i l i b r i u m e q u a t i o n s b a s e d on F i g . 5 - 3 , a n d t h e r e s u l t s a r e s h o w n In F i g . 5 - 4 . S t a g e s o f t h e f i n i t e e l e m e n t s o l u t i o n a r e shown i n F i g . 5 - 5 t o 5 - 1 1 . F o r a g i v e n m o m e n t , t h e e x t r e m e f i b r e s t r a i n o f t h e c o n c r e t e a n d t h e n e u t r a l a x i s d e p t h f o r t h e " e x a c t " s o l u t i o n c a n be o b t a i n e d f r o m F i g . 5 - 4 , a n d t h e c o r r e s p o n d i n g s t r e s s d i s t r i b u t i o n s a r e shown on F i g . 5 - 5 t o 5 - 8 f o r c o m p a r s i o n . I t w i l l be s e e n t h a t t h e r e s u l t s a r e In r e a s o n a b l e a g r e e m e n t up t o t h i s s t a g e , b u t t h a t t h e f i n i t e e l e m e n t s o l u t i o n s h o w s t h e l o a d I n c r e a s i n g w e l l b e y o n d t h e a c t u a l m a x i m u m . F i g . 5 - 4 s h o w s t h a t t h e l o a d c a p a c i t y o f t h e s t r u c t u r e h a s a c t u a l l y l e v e l l e d o f f a t a moment o f 1 7 0 . 6 K f t . , a n d t h e p r o g r a m i s c l e a r l y f a i l i n g t o c o n v e r g e p r o p e r l y u n d e r t h e s e c o n d i t i o n s . - 8 5 -F ! g . 5 - 1 2 s h o w s t h e c r a c k i n g p a t t e r n a n d t h e p l a s t i c r e g i o n w h i c h d e v e l o p s In t h e b e a m . T h e s e a r e b e l i e v e d t o r e p r e s e n t a t i v e o f t h e t r u t h . F I G . 5 - 1 RE INFORCED CONCRETE C A N T I L E V E R BEAM -87-6 S T E E L CONCRETE 6 = It 4 0 . O O K S l . 3. oo ksi. 0 . 4 2 ksi. Z<\<\o Ksi. 3.1 * I o* ksi. o . o o 3 F I G . 5 - 2 U N I A X I A L S T R E S S - S T R A I N CURVES -88-3loo £ t k s i • kl x -2^ 00 0 £ Ksi ^  40KSI S W i n Diagram 3 tcsl 2<^ ooo £ Ksi *z»o Ksj 3KSI* 3.1 9./ Stress P i ^ g r a ^ ( £ t = o. oo3) 5 T E E L FORCE = T = 136GO 2 ' ' B X * £ C > I O I . G kips CONCRETE- FOR.CE - C - ( I 8 & o o £e x - 3. Um- * id ) k ; f S £ 6$.oooq< = (36x-M^xl0 y -SMUtt — ) Kips , £ > . 0 0 0 ^ 3o . o g X Kips £ c - . 0 0 3 FI<r. 5 * - 3 . F I 6 r . 5 - 4 MAX. CONCRETE S T R A I N STEEL FORCES Cio^lb) H I G H O F B E A M ( i n . ) o ro -t cs o> 5 -CU5 I CJ1 7f % n n c (» in O o ? h c to m 70 o 3 m m 2 <0 era m Oo i <£> o i II 7J? - 9 1 -P = 13 kips. I I | I O I 2 3 KSI-24 2o 12 .8 r o IZ 10 6 2. 0 • — y • : \ i \ \ \ I \ \ \ A 1 2 4 DISTANCE F R O M F I X E D 2 «f 6 8 ' ° END o p S E A M ( F T O 8 IO T h e o r e t i c e J 0cxlw.«5 Fig . 5 - G p = 1 5 tan I I I I 0 1 2 3 K5i. ( 1 » 1 1 * i 1 1 < r-- : 4 V k > \ \ O 1 14- (, g 10 DISTANCE FROM FIXED END o f BEAM (FT.) o 2 >f b 8 10 - 9 3 -p zz II kZPS. r m 0 1 2 3 «CS». 20 r CO M > i 1 i • > » > > > • • \ » O \ \ A > o 2 f 6 8 '° DISTANCfc FROM FIXED END OF 6EAM (FT.) ( 1 0 2 <+ fc 8 JO - 9 4 -P = 20 I I I ! 0 1 2 3 «1. —> -£ *o IU o m o Ul Ul I— D I S T A N C E F R O M F I X E D E N D oF- B E A M CFT- ) 2 A 6 8 «0 P = ZM- «rs. Fl<T. 5-10 -96-P = 2 6 k i p s . I I I I 0 1 2 3 Ksi. REINFORCEMENT P PUSTIC REGION F I G . 5 - H P L A S T I C R E G I O N , CRACKED REGION - 9 8 -C H A ' P T E R 1 1 1 C o n c l u s i o n s A n o n l i n e a r f i n i t e e l e m e n t p r o g r a m h a s b e e n d e v e l o p e d t o o b t a i n t h e e l a s t o - p l a s t i c s t r e s s a n d s t r a i n d i s t r i b u t i o n In a p l a n e s t r e s s c o n t i n u u m c o m p o s e d o f a p e r f e c t l y p l a s t i c a n d a l i n e a r s t r a i n - h a r d e n i n g m a t e r i a l . S i n c e t h e p r o g r a m I s b a s e d o n D . C . D r u c k e r ' s d e f i n i t i o n , i t i s v e r y g e n e r a l a n d g o o d f o r a n y c r i t e r i o n o r f o r d i f f e r e n t f o r m s o f h a r d e n i n g r u l e . A c o m b i n a t i o n o f t h e l o a d i n c r e m e n t t e c h n i q u e a n d t h e m o d i f i e d N e w t o n - R a p h s o n m e t h o d w a s u s e d t o s o l v e t h e n o n l i n e a r e q u i l i b r i u m e q u a t i o n a n d shown t o be p r a c t i c a l a n d e c o n o m i c a l In c o m p u t e r t i m e . F o r c o l l a p s e I n v e s t i g a t i o n s , t h i s p r o c e d u r e i s n o n - c o n v e r g e n t o r c o n v e r g e s v e r y s l o w l y ; t h i s i s c l e a r l y a r e s u l t o f t h e i t e r a t i v e t e c h n i q u e . F u r t h e r m o r e , I t i s known t h a t when a l a r g e p r o p o r t i o n o f t h e r e g i o n b e c o m e s p l a s t i c t h e c o n v e r g e n c e may be s l o w . 9 9 -The p r o g r a m was e x t e n d e d t o d e a l w i t h r e i n f o r c e d c o n c r e t e m e m b e r s ; f o r t h e c o n c r e t e . , a b i l i n e a r e l a s t l c -p e r f e c t l y p l a s t i c c u r v e w a s a s s u m e d f o r c o m p a r i s o n a n d an e l a s t i c c u r v e up t o c r a c k i n g In t e n s i o n ; a b i l i n e a r e l a s t I c - p e r f e c t l y p l a s t i c c u r v e was u s e d f o r t h e s t e e l . I t was f o u n d t h a t s t r e s s a n d c r a c k d i s t r i b u t i o n c o u l d be p r e d i c t e d w i t h r e a s o n a b l e a c c u r a c y u n t i l t h e u l t i m a t e moment was a p p r o a c h e d . I t a p p e a r e d t h a t t h e I t e r a t i v e m e t h o d f a i l e d t o c o n v e r g e s u c c e s s f u l l y a t t h e y i e l d m o m e n t . I t i s p o s s i b l e t h a t an e l a s t i c - s t r a i n h a r d e n i n g c u r v e f o r t h e c o n c r e t e m i g h t h a v e e x t e n d e d t h e u s e f u l n e s s o f t h e s e r e s u l t s . - 1 0 0 -APPENPIX XfclL P R I N C I P L E 0_F MINIMUM P O T E N T I A L ENERGY Ff iR THE INCREMENTAL FORMULATION A b r i e f m e n t i o n i s made h e r e c o n c e r n i n g t h e p r i n c i p l e o f s t a t i o n a r y p o t e n t i a l e n e r g y a p p l i e d t o n o n l i n e a r p r o b l e m s i n s o l i d m e c h a n i c s . A s s t a t e d e a r l i e r , t h e i n c r e m e n t a l t h e o r y i s f r e -q u e n t l y e m p l o y e d i n t h e a n a l y s i s o f n o n l i n e a r p r o b l e m s , t h u s i t i s n e c e s s a r y t o e x p a n d t h e p r i n c i p l e t o p e r m i t t h e d e t e r m i n a t i o n o f a n i n c r e m e n t a l s t a t e s u p e r i m p o s e d u p o n a b o d y w i t h a n e x i s t i n g e q u i l i b r i u m s t r e s s s t a t e . L e t u s c o n s i d e r t h a t t h e l o a d s o n t h e b o d y a r e i n c r e a s e d m o n o t o n l c a l l y , a n d d e n o t e t h e s t a t e s o f t h e b o d y a s Gr, G r . - q - ^ fi-^. • we a s s u m e t h a t t h e < T - s t a t e h a s b e e n f o u n d a n d we w a n t t o h a v e a n i n c r e m e n t a l f o r m u l a t i o n ( i n c r e m e n t a l e q u i l i b r i u m e q u a t i o n ) f o r t h e a n a l y s i s o f t h e £ M t | - s t a t e . T h i s i n c r e m e n t f r o m ^ m t o C r W H i s s m a l l e n o u g h t o a l l o w l i n e a r i z a t i o n o f a l l t h e f i e l d e q u a t i o n s w . r . t . t h e i n c r e m e n t a l q u a n t i t i e s . F a r t h i s c a s e , we may w r i t e t h e p o t e n t i a l e n e r g y f u n c t i o n a l f o r t h e Grmn s t a t e a s f o l l o w s V P = V + Vf' = ?[-J^Tr^T i )(«r^« l ods ( A - 1 ) - 1 0 1 -w h e r e t h e i n t e r n a l e n e r g y f u n c t i o n W i s a f u n c t i o n o f s t r e s s e s o r o f s t r a i n s . F o r t h e p r e s e n t , l e t u s t a k e w = w ^ y ) . ( A - 2 ) T h e n j i . One f o r m o f t h e f i r s t l a w o f t h e r m o d y n a m i c s f o r a c o n t i n u o u s m e d i u m , w h e r e h e a t t r a n s f e r t e r m s a r e n e g l e c t e d a n d d i s p l a c e m e n t g r a d i e n t s a r e a s s u m e d s m a l l , may be w r i t t e n : a n d E q . ( A - 3 ) may be w r i t t e n a s ( <r~ - — ) N o t i n g t h a t E q . ( A - 5 ) m u s t be an i d e n t i t y f o r a n y a r b i t r a r y dSy ; we d e d u c e t h a t t h e c o e f f i c i e n t o f m u s t v a n i s h , i . e . ni} 'J » ( A " 6 > By T a y l o r ' s T h e o r e m , t h e I n c r e m e n t o f t h e i n t e r n a l e n e r g y f u n c t i o n AW c o r r e s p i nd I n g t o i n c r e m e n t s o f t h e C | j Is - 1 0 2 -S u b s t i t u t i n g E q s . ( A - 6 ) a n d ( A - 7 ) i n t o ( A - 8 ) , g i v e s a w = i f j o i j + ( A . 9 ) E x p a n d i n g E q . ( A - l ) , i n v i e w o f E q . ( A - 9 ) , l e a d s t o S i n c e t h e 5 ^ - s t a t e i s i n e q u i 1 i b r l u m , t h e p r i n c i p l e o f (A-10) v i r t u a l d i s p l a c e m e n t s l e a d s t o : I [- f T f ^ i <*S " J n ^ ^ d v ] + J j O J J ^ & I dV =0 a n d we h a v e 1 ' n V n - 1 0 3 -T a k l n g v a r i a t i o n s o f E q . ( A - l l ) w . r . t . a l l a d m i s s a b l e i n c r e m e n t a l d i s p l a c e m e n t f i e l d s l e a d s t o t h e v a r i a t i o n a l p r i n c i p l e : SVp = S [ 2 [ - { s 4 T L 4 M s - j>F;*Mv + ij^(r^£ijdvj][ - o o r i n m a t r i x f o r m ( A - 1 2 a ) ( A - 1 2 b ) I t i s i n t e r e s t i n g t o n o t e t h a t E q . ( A - 1 2 ) h a s t h e same f o r m a s t h e l i n e a r e l a s t i c c a s e , E q . ( 3 - 7 ) , e x c e p t t h a t a l l t h e s t a t e v a r i a b l e s T , u , F , 0~, £ a r e now i n i n c r e m e n t a l f o r m s . o - 1 0 4 -B l B L I O G R A P H Y 1 . V . V . N o v o z h l l o v : F o u n d a t i o n s o f N o n l i n e a r T h e o r y o f E l a s t i c i t y G r a y l o c k P r e s s , R o c h e s t e r , N . Y . , 1 9 5 3 . P . 1 2 8 2 . O . C . Z i e n k i e w i c z : The F i n i t e E l e m e n t M e t h o d i n E n g i n e e r i n g S c i e n c e , M c G r a w - H i l l , L o n d o n , 1 9 7 1 . 3 . N . D . N a t h a n : F i n i t e E l e m e n t F o r m u l a t i o n o f G e o m e t r i c a l l y N o n -l i n e a r P r o b l e m s o f E l a s t i c i t y , J a p a n - U . S . S e m i n a r on M a t r i x M e t h o d s o f S t r u c t u r a l A n a l y s i s a n d D e s i g n , T o k y o 1 9 6 9 , p p . 4 1 5 - 4 3 7 . 4 . R . H . G a l l a g h e r : S t r e s s A n a l y s i s o f H e a t e d C o m p l e x S h a p e s , J . Am. R o c k e t S o c . 3 2 , 1 9 6 2 . pp 7 0 0 - 7 0 7 5 . A . M e n d e l s o n : P r a c t i c a l s o l u t i o n o f P l a s t i c D e f o r m a t i o n P r o b l e m s i n t h e E l a s t i c - p l a s t i c R a n g e , NASA T R R 2 8 , 1 9 5 9 . 6 . J/H» A r g y r i s : M a t r i x M e t h o d s o f S t r u c t u r a l A n a l y s i s . A P r e c i s o f R e c e n t D e v e l o p m e n t s P r o c e e d i n g s , F o u r t e e n t h M e e t i n g o f S t r u c t u r e s a n d M a t e r i a l s P a n e l , AGARD, 1 9 6 3 . 7 . J . H . P e r c y : A S t u d y o f M a t r i x A n a l y s i s M e t h o d f o r I n e l a s t i c S t r u c t u r e s , R T D - T D R r 6 3 - 4 0 3 2 , O c t o b e r 1 9 6 3 . 8 . W . R . J e n s e n : M a t r i x A n a l y s i s m e t h o d s f o r A n i s o t r o p i c I n e l a s t i c S t r u c t u r e s , A F F D L - T R - 6 5 - 2 2 0 , 1 9 6 6 . 9 . P . V . M a r c a l : C o m p a r a t i v e S t u d y o f N u m e r i c a l M e t h o d s o f E l a s t i c -P l a s t i c A n a l y s i s , A I A A J . V o l . 6 , N o . l , 1 9 6 7 , p p . 1 5 7 - 5 8 . 1 0 . G . P o p e : The a p p l i c a t i o n o f t h e m a t r i x d i s p l a c e m e n t m e t h o d i n p l a n e e l a s t o - p l a s t i c p r o b l e m s , P r o c . C o n f . M a t r i x M e t h . S t r u c t . M e c h . W r i g h - P a t t e r s o n A i r F o r c e B a s e , O h i o , 1965 P P . 6 3 5 - 5 4 . 1 1 . T . L . S w e d l o w : E l a s t o - p l a s t i c s t r e s s e s i n C r a c k e d P l a t e s , C a l c i t , R e p o r t SM.. 6 5 - 1 9 , C a l i f o r n i s I n s t i t u t e o f T e c h n o l o g y , 1 9 6 5 . 1 2 . S . F . R e y s : E l a s t o - p l a s t i c A n a l y s i s o f U n d e r g r o u n d O p e n i n g s b y t h e F i n i t e E l e m e n t M e t h o d , P r o c . 1 s t . I n t . C o n g r . R o c k M e c h a n i c s , 1 1 , 4 7 7 - 8 6 , L i s b o n 1 9 6 6 . 1 3 . P . V . M a r c e l : E l a s t i c - p l a s t i c a n a l y s i s o f t w o d i m e n s i o n a l S t r e s s S y s t e m s by t h e F i n i t e E l e m e n t M e t h o d , I n t . L . M e c h S c I . , 9 , 1 4 3 - 5 5 , 1 9 6 7 . 1 4 . Y . Y a m a d a : S t i f f n e s s M a t r i x i n P l a s t i c - e l a s t i c P r o b l e m s o f C o n t i n u a , S e i s a n K e n k y n ( m o n t h l y J . o f I n s t i t u t e o f I n d u s t r i a l S c i e n c e ) , V o l . 1 9 , N o . 3 , 1 9 6 7 , p p . 7 5 - 7 6 . - 1 0 5 -1 5 . O . C . Z i e n k i e w i c : E l a s t o - p l a s t i c S o l u t i o n s o f E n g i n e e r i n g P r o b l e m s " i n i t i a l s t r e s s " , F i n i t e E l e m e n t A p p r o a c h . I n t . J . N u n . M e t h . E n g i n e e r i n g , 1 , 7 5 - 1 0 0 , 1 9 6 9 1 6 . Y . Y a m a d a : R e c e n t J a p a n e s e D e v e l o p m e n t s i n M a t r i x D i s p l a c e m e n t M e t h o d o f E l a s t i c - p l a s t i c p r o b l e m s , J a p a n - U . S . S e m i n a r on M a t r i x M e t h o d s o f S t r u c t u r a l A n a l y s i s a n d D e s i g n , T o k y o , 1 9 6 9 . 1 7 . R. H i l l : The M a t h e m a t i c a l T h e o r y o f P l a s t i c i t y , O x f o r d , U n i v . P r e s s , 1 9 5 0 . P . 3 1 7 . 1 8 . G . C . N a y a k : E l a s t o - p l a s t i c S t r e s s A n a l y s i s . A G e n e r a l i z a t i o n f o r v a r i o u s C o n s t i t u t i v e r e l a t i o n s i n c l u d i n g s t r a i n S o f t e n i n g , I n t . J . N u m . M e t h . E n g n g . 5 , 1 1 3 - 3 5 , 1 9 7 2 . 1 9 . S . T l m o s h e n k o - a n d J . N . G o o d i e r : T h e o r y o f E l a s t i c i t y , M a c G r a w -H I U B o o k C o . l n c . , N . Y . , 1 9 5 1 , p . 4 . 2 0 . H . J e f f r e y s : C a r t e s i a n T e n s o r s , C a m b r i d g e , U n i v . P r e s s , 1 9 3 1 . 2 1 . Y . C . F u n g : F o u n d a t i o n s o f S o l i d M e c h a n i c s , P r e n t i c e - H a l l , I n c . , N . J . , 1 9 6 5 , p . 1 0 0 . 2 2 . I . S . S o k o l n i k o f f : M a t h e m a t i c a l T h e o r y o f E l a s t i c i t y , M c G r a w - H i l l B o o k C o . I n c . , N . Y . 1 9 5 6 . p . 6 6 . 2 3 . C . E . P e a r s o n : T h e o r e t i c a l E l a s t i c i t y , C a m b r i d g e , M a s s . H a r v a r d U n i v . P r e s s , 1 9 5 9 . p . 9 7 . 2 4 . Y . C . F u n g : F o u n d a t i o n s o f S o l i d M e c h a n i c s , P r e n t i c e - H a l l , I n c . , N . J . , 1 9 6 5 p . 1 3 7 . 2 5 . W. J o h n s o n : P l a s t i c i t y f o r M e c h a n i c a l E n g i n e e r i n g , VAN N o s t r a n d C o . , L t d . L o n d o n 1 9 6 2 . p . 6 2 . 2 6 . A . M e n d e l s o n : P l a s t i c i t y - T h e o r y a n d A p p l i c a t i o n , M a c m i l l a n , NVY". 1 9 6 8 . p . 1 0 4 . 2 7 . R. H i l l : The M a t h e m a t i c a l T h e o r y o f P l a s t i c i t y , O x f o r d , P r e s s , 1 9 5 0 . p . 3 9 . 2 8 . D . C . D r u c k e r : Some I m p l i c a t i o n o f Work H a r d e n i n g a n d I d e a l P l a s t i c i t y , Q u a r t . A p p l . M a t h . , 7 , 1 9 5 0 , p p . 4 1 1 - 1 8 . 2 9 . D . C . T r u c k e r : H a n d b o o k o f E n g i n e e r i n g M e c h a n i c s , C h a p t e r 4 6 , 1 9 6 2 . 3 0 . E . R . O l i v e i r a : T h e o r e t i c a l F o u n d a t i o n s o f t h e F i n i t e E l e m e n t M e t h o d , I n t e r n a l J . S o l i d s S t r u c t u r e s . 1 9 6 8 . V o l . 4 p p . 9 2 9 - 9 5 2 . 1 0 6 -3 1 . T . H . P l a n a n d P . T o n g : B a s i c o f F i n i t e E l e m e n t M e t h o d s f o r S o l i d C o n t i n u a , I n t . J . f o r Num. M e t h . i n E n g . V o l . 1 , 3 - 2 8 , 1 9 6 9 . 3 2 . R . H . G a l l a g h e r : An O v e r v i e w and Some P r o j e c t i o n s , J a p a n -U . S . S e m i n a r o n M a t r i x M e t h o d s o f S t r u c t u r a l A n -a l y s i s a n d D e s i g n , T o k y o , 1 9 6 9 , p p . 3 - 2 2 . 3 3 . D . R . B l a n d : The A s s o c i a t e d F l o w R u l e o f P l a s t i c i t y , J . M e c h . P h y s . S o l i d s , 6 , 7 1 - 7 8 . 3 4 . P . S . T h e o c a r i s a n d E . M a r k e t o s : E l a s t i c - p l a s t i c A n a l y s i s o f P e r f o r a t e d t h i n s t r i p s o f a s t r a i n - h a r d e n i n g M a t e r i a l , d . M e c h a n i c a l P h y s i c a l S o l i d s , 1 2 , 1 9 6 4 , p . 3 7 7 - 9 0 . 3 5 . O . C . Z i e n k i e w i c z : E l a s t o p l a s t i c S o l u t i o n s o f E n g i n e e r i n g P r o b l e m s - I n l t l a l S t r e s s F i n i t e E l e m e n t A p p r o a c h , I n t . J . f o r Num. M e t h o d i n E n g . 1 , 1 9 6 9 . p p . 7 5 - 1 0 0 . 3 6 . D . N . A l l e n a n d R. V . S o u t h w e l l , P h i l . T r a n s . R. S o c . A 2 4 2 , 3 7 9 , 1 9 5 0 . 

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