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Torsional structural response during earthquake excitations Mackenzie, James Ronald 1974

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831-UBC_1974_A7 M32_9.pdf [ 9.87MB ]
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6rf> I T O R S I O N A L S T R U C T U R A L R E S P O N S E D U R I N G E A R T H Q U A K E E X C I T A T I O N S b y J A M E S R O N A L D M A C K E N Z I E B . A . S c . ( 1 9 7 1 ) T h e U n i v e r s i t y o f B r i t i s h C o l u m b i a A T H E S I S S U B M I T T E D I N P A R T I A L F U L F I L M E N T O F T H E R E Q U I R E M E N T S F O R T H E D E G R E E O F M A S T E R O F A P P L I E D S C I E N C E i n t h e D e p a r t m e n t o f C I V I L E N G I N E E R I N G B e a c c e p t t h i s t h e s i s a s c o n f o r m i n g t o t h e r e q u i r e d s t a n d a r d T h e U n i v e r s i t y o f B r i t i s h C o l u m b i a A p r i l , 1 9 7 4 I n p r e s e n t i n g t h i s t h e s i s i n p a r t i a l f u l f i l m e n t o f t h e r e q u i r e m e n t s f o r a n a d v a n c e d d e g r e e a t t h e U n i v e r s i t y o f B r i t i s h C o l u m b i a , I a g r e e t h a t t h e L i b r a r y s h a l l m a k e i t f r e e l y a v a i l a b l e f o r r e f e r e n c e a n d s t u d y . I f u r t h e r a g r e e t h a t p e r m i s s i o n f o r e x t e n s i v e c o p y i n g o f t h i s t h e s i s f o r s c h o l a r l y p u r p o s e s m a y b e g r a n t e d b y t h e H e a d o f my D e p a r t m e n t o r b y h i s r e p r e s e n t a t i v e s . I t i s u n d e r s t o o d t h a t c o p y i n g o r p u b l i c a t i o n o f t h i s t h e s i s f o r f i n a n c i a l g a i n s h a l l n o t b e a l l o w e d w i t h o u t my w r i t t e n p e r m i s s i o n . J . R . H a c K e n z i e D e p a r t m e n t o f C i v i l E n g i n e e r i n g T h e U n i v e r s i t y o f E r i t i s h C o l u m b i a V a n c o u v e r 8 , C a n a d a A p r i l , 1 9 7 U . i A B S T R A C T A s t r u c t u r e e x h i b i t s a t o r s i o n a l r e s p o n s e w h e n s u b j e c t e d t o a n e a r t h q u a k e e x c i t a t i o n . T h i s r e s p o n s e d e p e n d s o n t h e b e a t i n g p h e n o m e n o n a n d t h e e c c e n t r i c i t y i n a n u n s y i t m e t r i c a l s t r u c t u r e . A s y m m e t r i c a l s t r u c t u r e m a y a l s o e x h i b i t a t o r s i o n a l r e s p o n s e i f a r o t a t i o n a l e a r t h q u a k e e x c i t a t i o n i s p r e s e n t . A l i m i t o n t h e t o r s i o n a l r e s p o n s e s p e c t r u m f o r a n e a r t h q u a k e i s d e t e r m i n e d . T h e i m p o r t a n c e o f b e a t i n g a n d o f e c c e n t r i c i t i e s a r e d i s c u s s e d i n r e f e r e n c e t o t h e N a t i o n a l B u i l d i n g C o d e . T A B L E O F C O N T E S T S i i NA B S T R A C T i T A B L E O F C O N T E N T S i i L I S T O F F I G U R E S V I L I S T O F T A B L E S X A C K N O W L E D G E M E N T S x i C H A P T E R 1 . I N T R O D U C T I O N 1 1 . 1 B a c k g r o u n d 1 1 . 2 L i t e r a t u r e 2 1 . 3 P u r p o s e a n d S c o p e • 5 1 . 4 L i m i t a t i o n s 7 2 . T H E S T R U C T U R A L P R O G R A M 1 0 2 . 1 I n t r o d u c t i o n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 0 2 . 2 H o r i z o n t a l C o m p a t i b i l i t y 1 1 2 . 3 V e r t i c a l C o m p a t i b i l i t y . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 3 2 . 4 R o t a t i o n a l C o m p a t i b i l i t y 1 3 2 . 5 F r a m e R e d u c t i o n 1 5 2 . 6 S t r u c t u r e M a t r i x 1 5 2 . 7 S t r u c t u r e R e d u c t i o n 2 0 2 . 8 n o d a l I n t e g r a t i o n 2 1 2 . 9 E q u a t i o n s o f M o t i o n 2 3 3 . T H E B E A T I N G P H E N O M E N O N 3 1 3 . 1 I n t r o d u c t i o n • 3 1 11 f C H A P T E R £§ae 3 . 2 D e s c r i p t i o n o f t h e B e a t i n g P h e n o m e n o n 3 1 3 . 3 T h e B e a t i n g P h e n o m e n o n i n M u l t i d e g r e e o f F r e e d o m S t r u c t u r e s 3 4 3 . 4 D e f i n i t i o n o f B o d e S h a p e T y p e s 3 5 3 . 5 D i f f e r e n c e B e t w e e n R e s o n a n c e a n d B e a t i n g . . . . 3 7 3 . 6 T h e B e a t i n g P h e n o m e n o n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 7 3 . 7 A M e t h o d o f P r e d i c t i n g t h e L i k e l i h o o d o f t h e E e a t i n g P h e n o m e n o n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 9 3 . 7 ( a ) R e s t r i c t i o n s 4 0 3 . 7 ( b ) P r o c e d u r e 4 0 3 . 7 ( c ) E x a m p l e s 4 3 3 . 7 ( d ) R e s u l t s 4 4 3 . 6 R e s p o n s e a n d P r o p e r t i e s o f S t r u c t u r e s E x h i b i t i n g t h e B e a t i n g P h e n o m e n o n . . . . . . . . . . . 4 6 3 . 9 M a x i m u m C r i t e r i o n 5 1 3 . 1 0 C o n c l u s i o n s a n d R e s u l t s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 3 4 . L A R G E E C C E N T R I C I T I E S 5 5 4 . 1 I n t r o d u c t i o n • 5 5 4 . 2 C o d e — L a t e r a l F o r c e R e s i s t i n g E l e m e n t s 5 6 4 . 3 C o d e — N o n - l a t e r a l F o r c e R e s i s t i n g E l e m e n t s . . 5 7 4 . 4 A p p r o a c h t o t h e P r o b l e m 5 8 4 . 5 C o m p a r i s o n o f t h e C o d e R e s u l t s a n d t h e C o m p u t e d R e s u l t s 5 9 4 . 6 T e s t S t r u c t u r e s 6 1 Iv C H A P T E R £ a o e 4 . 7 D i s c u s s i o n o f R e s u l t s • 6 8 4 . 8 C o n c l u s i o n s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 3 5 . R O T A T I O N A L E X C I T A T I O N S 7 5 5 . 1 I n t r o d u c t i o n 7 5 5 . 2 A s s u m p t i o n s 7 6 5 . 3 E q u a t i o n f o r R o t a t i o n a l A c c e l e r a t i o n . . . . . . . . 7 7 5 . 4 R e s u l t s 8 0 5 . 5 I m p o r t a n c e o f T o r s i o n a l R e s p o n s e . . . . . . . . . . . . 8 2 5 . 6 C o d e 8 3 6 . C O N C L U S I O N S 8 6 6 . 1 B e a t i n g P h e n o m e n o n 8 6 6 . 2 L a r g e E c c e n t r i c i t i e s 8 6 6 . 3 R o t a t i o n a l E x c i t a t i o n s • 8 7 B I B L I O G R A P H Y 1 3 4 A P P E N D I X A . C H C L E S K I D E C O H P O S I T I O N W I T H S T A T I C C O N D E N S A T I O N . 1 3 7 B . N E W M A R K * S B E T A M E T H O D F O R N U M E R I C A L I N T E G R A T I O N . 1 4 2 C . T R A N S F O R M I N G T H E E I G E N V A L U E P R O B L E M 1 4 8 D . D E V E L O P M E N T O F T H E 3 X 3 C O N N E C T I V I T Y M A T R I X 1 5 0 D . I I n t r o d u c t i o n 1 5 0 D . 2 L i m i t a t i o n s 1 5 1 D . 3 S u m m a r y o f P r o o f 1 5 1 D . 4 P r o o f 1 5 3 V A P P E N D I X fia^e E . E S T I M A T I O N O F T H E 3 X 3 C O N N E C T I V I T Y M A T R I X 1 6 7 E . 1 I n t r o d u c t i o n • 1 6 7 E . 2 G e n e r a l S t r u c t u r e 1 6 9 E . 3 S t r u c t u r e w i t h F r a m e s O r t h o g o n a l i n P l a n . . . . 1 7 1 E . 4 R e c t a n g u l a r B u i l d i n g w i t h o r t h o g o n a l F r a m e s . 1 7 4 F . P R O P E R T I E S O F T H E 3 X 3 C O N N E C T I V I T Y M A T R I X W H E N TWO E I G E N V A L U E S A R E E Q U A L 1 7 5 F . 1 I n t r o d u c t i o n • • 1 7 5 F . 2 P r o p e r t i e s o f E l e m e n t s f o r T h r e e E q u a l E i g e n v a l u e s • • 1 7 8 F . 3 P r o p e r t i e s o f E l e m e n t s f o r T w o E q u a l E i g e n v a l u e s 1 7 9 G . R A N G E S O N T H E E I G E N V A L U E S O F T H E C O N N E C T I V I T Y M A T R I X 1 8 7 G . 1 I n t r o d u c t i o n • 1 8 7 G . 2 I n c l u s i o n T h e o r e m 1 8 8 G . 3 G e r s h g c r i n ' s T h e o r e m 1 9 1 G . 4 W e y l ' s I n e q u a l i t i e s . » 1 9 2 G . 5 S u m m a r y 1 9 5 G . 6 E x a m p l e • 1 9 7 H . N E M T O N - R H A P S O N S O L U T I O N F O R E I G E N V A L U E S O F A 3 X 3 M A T R I X 1 9 8 I . R O T A T I O N A L E X C I T A T I O N 2 0 1 J . M E T H O D F O R P R E D I C T I O N O F P E R I O D R A T I O S T E S T E D A G A I N S T E X P E R I M E N T A L R E S U L T S 2 0 5 J . 1 I n t r c d u c t i o n 2 0 5 J . 2 P r o c e d u r e 2 0 6 vl L I S T O F F I G U R E S F i g u r e £acje 2 . 1 C o n d e n s e d F r a m e 8 9 2 . 2 ( a ) B u i l d i n g W i t h o u t V e r t i c a l C o m p a t i b i l i t y 9 0 2 . 2 ( b ) B u i l d i n g W i t h V e r t i c a l C o m p a t i b i l i t y 9 0 2 . 3 C u r v e d F r a m e M o d e l e d b y 4 p l a n e F r a m e s 9 1 2 . 4 S t r u c t u r a l C o o r d i n a t e s 9 2 3 . 1 N o d e S h a p e T y p e s 9 3 3 . 2 R a n g e s o n E i g e n v a l u e R a t i o s , S e r i e s 1 , C F = 0 - 5 0 , e ^ O . O 9 4 3 . 3 R a n g e s o n E i g e n v a l u e R a t i o s , S e r i e s 1 , 0 ^ 0 . 5 0 ^ ^ = 0 . 2 5 . . . . . 9 5 3 . 4 R a n g e s o n E i g e n v a l u e R a t i o s , S e r i e s 2 , CF-0.29, e^o.o „ 9 6 3 . 5 R a n g e s o n E i g e n v a l u e R a t i o s , S e r i e s 2 , c F = o.-z% e<^ o.as 97 3 . 6 P l a n V i e w o f T h r e e S e r i e s o f S t r u c t u r e s . . . . . . . . . 9 8 3 . 7 ( a ) P e r i o d s a n d C o m p o n e n t s o f M o d e S h a p e s , S e r i e s 1 , 9 9 3 . 7 ( b ) P a r t i c i p a t i o n F u n c t i o n R e s p o n s e , S e r i e s 1 , e^o.oT. " 1 0 0 3 . 8 ( a ) P e r i o d s a n d C o m p o n e n t s o f M o d e S h a p e s , S e r i e s 1 , e^o.os 1 0 1 3 . 8 ( b ) P a r t i c i p a t i o n F u n c t i o n R e s p o n s e , S e r i e s 1 , e r - © . o s 1 0 2 v i i F i g u r e £acje 3 . 9 ( a ) P e r i o d s a n d C o m p o n e n t s o f M o d e S h a p e s , S e r i e s 1 , er-0.zO 1 0 3 3 . 9 ( b ) P a r t i c i p a t i o n F u n c t i o n R e s p o n s e , S e r i e s 1 , er,= o . 2 0 1 0 4 3 . 1 0 ( a ) P e r i o d s a n d C o m p o n e n t s o f M o d e S h a p e s , S e r i e s 1 , e ^ O j O 1 0 5 3 . 1 0 ( b ) P a r t i c i p a t i o n F u n c t i o n R e s p o n s e , S e r i e s 1 , 1 0 6 3 . 1 1 ( a ) P e r i o d s a n d C o m p o n e n t s o f M o d e S h a p e s , S e r i e s 2 , <V-0.02 . 1 0 7 3 . 1 1 ( b ) P a r t i c i p a t i o n F u n c t i o n R e s p o n s e , S e r i e s 2 , o.o2 1 0 8 3 . 1 2 ( a ) P e r i o d s a n d C o m p o n e n t s o f M o d e S h a p e s , S e r i e s 2 , er-o.05 1 0 9 3 . 1 2 ( b ) P a r t i c i p a t i o n F u n c t i o n R e s p o n s e , S e r i e s 2 , 1 1 0 3 . 1 3 ( a ) P e r i o d s a n d C o m p o n e n t s o f M o d e S h a p e s , S e r i e s 2 , er^O,70 1 1 1 3 . 1 3 ( b ) P a r t i c i p a t i o n F u n c t i o n R e s p o n s e , S e r i e s 2 , e ^ - O . ^ o 1 1 2 3 . 1 4 ( a ) P e r i o d s a n d C o m p o n e n t s o f M o d e S h a p e s , S e r i e s 2 , e r " O . 5 0 . . 1 1 3 3 . 1 4 ( b ) P a r t i c i p a t i o n F u n c t i o n R e s p o n s e , S e r i e s 2 , e r ^ o . 5 0 1 1 4 3 . 1 5 ( a ) P e r i o d s a n d C o m p o n e n t s o f M o d e S h a p e s , S e r i e s 3 , e r - - o . 0 2 1 1 5 v i f i F i g u r e £ a g e 3 . 1 5 ( b ) P a r t i c i p a t i o n F u n c t i o n R e s p o n s e , S e r i e s 3 , 1 1 6 3 . 1 6 ( a ) P e r i o d s a n d C o m p o n e n t s o f H a d e S h a p e s , S e r i e s 3 , e r r 0 . o 5 1 1 7 3 . 1 6 ( b ) P a r t i c i p a t i o n F u n c t i o n R e s p o n s e , S e r i e s 3 , e r - 0 . 0 5 1 1 8 3 . 1 7 ( a ) P e r i o d s a n d C o m p o n e n t s o f M o d e S h a p e s , S e r i e s 3 , e r - - o . ? 0 1 1 9 3 . 1 7 ( b ) P a r t i c i p a t i o n F u n c t i o n R e s p o n s e , S e r i e s 3 , er±0.%0 1 2 0 3 . 1 8 ( a ) P e r i o d s a n d C o m p o n e n t s o f M o d e S h a p e s , S e r i e s 3 , e ^ = o , S O . . . . . 1 2 1 3 . 1 8 ( b ) P a r t i c i p a t i o n F u n c t i o n R e s p o n s e , S e r i e s 3 , 1 2 2 4 . 1 P e r i p h e r a l D i s p l a c e m e n t R a t i o o f " F r a m e 1 " . . . . . . 1 2 3 4 . 2 P e r i p h e r a l D i s p l a c e m e n t R a t i o o f " F r a m e 2 " . . . . . . 1 2 4 4 . 3 P e r i p h e r a l D i s p l a c e m e n t R a t i o o f " F r a m e 3 " 1 2 5 4 . 4 P e r i p h e r a l D i s p l a c e m e n t R a t i o o f " F r a m e 4 " . . . . . . 1 2 6 5 . 1 E l C e n t r o T o r s i o n a l R e s p o n s e S p e c t r a , %-0.o . . . . . 1 2 7 5 . 2 E l C e n t r o T o r s i o n a l R e s p o n s e S p e c t r a , | e 0 . 0 2 . . . . . 1 2 8 5 . 3 E l C e n t r o T o r s i o n a l R e s p o n s e S p e c t r a , | - 0 . 1 0 . . . . . 1 2 9 5 . 4 E l C e n t r e T o r s i o n a l R e s p o n s e S p e c t r a , V«- iooO Viet .. 1 3 0 i x F i g u r e E ! 3§ 5 . 5 T o r s i o n a l a n d T r a n s l a t i o n a l R e s p o n s e C o m p a r i s o n s , f > - o . o 1 3 1 5 . 6 T o r s i o n a l a n d T r a n s l a t i o n a l R e s p o n s e C o m p a r i s o n s , I - O . 0 2 1 3 2 5 . 7 T o r s i o n a l a n d T r a n s l a t i o n a l R e s p o n s e C o m p a r i s o n s , § - o . t o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 3 3 J . 1 S t e e l F r a m e B u i l d i n g 2 1 1 X LIST OF TABLES Table £135 4.1 Code D e f l e c t i o n / Code D e f l e c t i o n f o r Symmetrical S t r u c t u r e 66 4.2 Computed D e f l e c t i o n / Computed D e f l e c t i o n f o r Symmetrical S t r u c t u r e ....................... 67 4.3 Increased D e f l e c t i o n s Due t o E c c e n t r i c i t y As a R a t i o cf Those i n Symmetrical S t r u c t u r e — C o d e I n c r e a s e / Computed Increase .............. 68 J.1 Average Moment of I n e r t i a 207 J.2 Comparison of Experimental and P r e d i c t e d E i g e n v a l u e R a t i o s 210 i x i ACKNOWLEDGEMENTS I s h o u l d l i k e t o e x p r e s s m y a p p r e c i a t i o n f o r t h e g u i d a n c e a n d h e l p g i v e n b y my s u p e r v i s o r , E r . N . D . N a t h a n t h r o u g h o u t t h e w r i t i n g o f t h i s t h e s i s . I s h o u l d a l s o l i k e t o t h a n k t h e U n i v e r s i t y o f B r i t i s h C o l u m b i a C o m p u t i n g C e n t r e f o r t h e u s e o f t h e i r f a c i l i t i e s . T h e f i n a n c i a l s u p p o r t f r o m t h e N a t i o n a l R e s e a r c h C o u n c i l o f C a n a d a i n t h e f o r m o f a R e s e a r c h A s s i s t a n t s h i p i s g r a t e f u l l y a c k n o w l e d g e d . A p r i l , 1 9 7 4 V a n c o u v e r , B r i t i s h C o l u m b i a i 1 CHAPTER_1 INTRODUCTION b a c k g r o u n d I t i s w e l l known t h a t the t o r s i o n a l response of a s t r u c t u r e d u r i n g an earthquake can be dangerous. Lack of c o i n c i d e n c e between the c e n t r e of mass and the c e n t r e of r i g i d i t y w i l l cause such a t o r s i o n a l response; any asymmetrical s t r u c t u r e i s l i k e l y t o e x h i b i t t h i s c h a r a c t e r i s t i c . The N a t i o n a l B u i l d i n g Code of Canada accounts f o r the e c c e n t r i c i t y by r e q u i r i n q a p p l i c a t i o n of the s t a t i c l o a d i n g a t an e c c e n t r i c i t y 1 . 5 times the c a l c u l a t e d d i s t a n c e of the mass c e n t r e s from the r i g i d i t y c e n t r e s , p l u s 5% of the a p p r o p r i a t e plan dimension at each l e v e l . Although earthquake r e c o r d s thus f a r o b t a i n e d have been l i m i t e d to t r a n s l a t i o n s i n the t h r e e c o o r d i n a t e d i r e c t i o n s (two h o r i z o n t a l and one v e r t i c a l ) , there must a l s o be some r o t a t i o n a l e x c i t a t i o n , which would cause t o r s i o n a l response even i n p e r f e c t l y symmetrical b u i l d i n q s . The p r o v i s i o n s of the code 2 w h i c h w e r e r e f e r r e d t o i n t h e a b o v e — 1 . 5 t i m e s c a l c u l a t e d e c c e n t r i c i t y p l u s 5% o f p l a n d i m e n s i o n — a r e a p p a r e n t l y d e s i g n e d t o a l l o w f o r v a r i a t i o n s i n t h e c e n t r e s o f r i g i d i t y a n d m a s s f r o m c o m p u t e d p o s i t i o n s , a s w e l l a s f o r t h i s p o s s i b i l i t y o f t o r s i o n a l i n p u t . I t h a s b e e n s u g g e s t e d b y p r e v i o u s a u t h o r s t h a t t h e t o r s i o n a l r e s p o n s e , r e s u l t i n g f r o m e i t h e r a n e c c e n t r i c i t y o r a t o r s i o n a l e x c i t a t i o n , c a n b e m a g n i f i e d t o d a n g e r o u s p r o p o r t i o n s i f a b e a t i n g p h e n o m e n o n o c c u r s , a s m a y b e t h e c a s e w h e n t w o c o u p l e d m o d e s h a p e s h a v e c l o s e p e r i o d s . T o r s i o n a l r e s p o n s e , t h e r e f o r e i s a f u n c t i o n o f t h e e c c e n t r i c i t y o f t h e c e n t r e o f m a s s w i t h r e s p e c t t o t h e c e n t r e o f r i g i d i t y , o f t h e c o r r e s p o n d i n g e a r t h q u a k e e x c i t a t i o n , a n d o f t h e b e a t i n g p h e n o m e n o n . T h e p u r p o s e o f t h i s t h e s i s i s t o d e t e r m i n e t h e i m p o r t a n c e o f t h e s e v a r i a b l e s i n s t r u c t u r a l b e h a v i o r . B y e x a m i n a t i o n o f s t r u c t u r e s i n w h i c h t h e s e p a r a m e t e r s a r e s y s t e m a t i c a l l y v a r i e d , t h e i r r e l a t i v e i m p o r t a n c e i s s t u d i e d . I t i s h o p e d t h a t t h e r e s u l t s w i l l a i d i n t h e d e s i g n o f s t r u c t u r e s t o r e s i s t s e i s m i c f o r c e s . ! * . 2 _ L i t e r a t u r e F o r s o m e t i m e , e n g i n e e r s h a v e b e e n c o n c e r n e d w i t h t o r s i o n a l r e s p o n s e o f s t r u c t u r e s t o e a r t h q u a k e e x c i t a t i o n s . A s e a r l y a s 1 9 3 8 A y r e p r o d u c e d a p a p e r 1 d e a l i n g w i t h c o u p l i n g 3 b e t w e e n t r a n s l a t i o n a l a n d t o r s i o n a l v i b r a t i o n s , w h i c h i n c l u d e d b o t h t h e o r e t i c a l a n d e x p e r i m e n t a l r e s u l t s o f s h e a r b e a m m o d e l s . A l t h o u g h t h e p a p e r e x a m i n e d o n l y f r e e v i b r a t i o n s , i t l a i d a n i m p o r t a n t b a s i s f o r l a t e r t h e o r i e s a n d f o r t h e a n a l y s i s o f c o u p l i n g b e t w e e n t o r s i o n a l a n d t r a n s l a t i o a l m o t i o n s o f a s y m m e t r i c a l s t r u c t u r e s . H o u s n e r e t a l 6 p r e s e n t e d a c o m p a r i s o n o f e a r t h q u a k e e x c i t a t i o n s o f s y m m e t r i c a l a n d a s y m m e t r i c a l o n e s t o r e y s h e a r b e a m s t r u c t u r e s . T h e y c o n c l u d e d t h a t t h e s t a t i c m e t h o d o f s e i s m i c d e s i g n , a d v o c a t e d i n t h e c o d e o f t h e d a y , s h o u l d b e a l t e r e d t o a c c o u n t f o r t o r s i o n a l o s c i l l a t i o n s . I n 1 9 6 6 M e d e a r i s 8 d e t e r m i n e d t h e f i r s t s i x n a t u r a l m o d e s o f a n a s y m m e t r i c a l s t r u c t u r e w i t h t h e u s e o f t h e d i g i t a l c o m p u t e r . C l o s e l y f o l l o w i n g w a s a p a p e r b y S h e p h e r d e t a l 1 7 u t i l i z i n g a s h e a r b e a m s t r u c t u r a l m o d e l s i m i l a r t o t h a t o f M e d e a r i s , b u t a s e r i e s o f b u i l d i n g s w a s a n a l y s e d a n d c o m p a r e d . T h e s e l a t t e r a u t h o r s a l s o d i s c u s s e d t h e a p p l i c a t i o n o f t h e r o o t m e a n s q u a r e m e t h o d o f m o d a l s y n t h e s i s , s h o w i n g t h a t i t w a s i n e r r o r i n s o m e c a s e s w h e r e t h e f i r s t m o d e s o f t h e t w o t r a n s l a t i o n a l d i r e c t i o n s w e r e o f s i m i l a r p e r i o d . I n s u c h a c a s e , t h e m a x i m u m m o d a l r e s p o n s e s a r e m o r e l i k e l y t o o c c u r a t t h e s a m e t i m e . T h e r o o t m e a n s q u a r e m e t h o d w h i c h i s b a s e d o n t h e s t a t i s t i c i m p r o b a b i l i t y o f t h i s o c c u r r e n c e , m a y t h e n y i e l d 4 u n c o n s e r v a t i v e r e s u l t s . As was suggested above, the t o r s i o n a l response of a s t r u c t u r e can be caused by a r o t a t i o n a l earthquake e x c i t a t i o n , even i f the s t r u c t u r e i s symmetrical. Newmark 1 2 developed equations t o determine the r o t a t i o n a l i n p u t of ground a c c e l e r a t i o n f o r an earthquake by d i f f e r e n t i a t i n g the t r a n s l a t i o n a l ground a c c e l e r a t i o n r e c o r d s , u t i l i z i n g the u s u a l formulae f o r r o t a t i o n a t a p o i n t i n a continuum. He determined e q u i v a l e n t e c c e n t r i c i t i e s which c o u l d be used i n design to account f o r the t o r s i o n a l response o f a symmetrical b u i l d i n g due t o a r o t a t i o n a l e x c i t a t i o n . These e c c e n t r i c i t i e s depend on the p o s i t i o n of the l a t e r a l r e s i s t i n g elements w i t h i n the b u i l d i n g , on the p e r i o d o f the b u i l d i n g , and on the shear wave v e l o c i t y at the ground s u r f a c e . In 1972 two papers by Gibson** 5 d e a l t with t o r s i o n a l problems. The f i r s t paper developed a method f o r determining the f r e e v i b r a t i o n p e r i o d s and mode shapes f o r shear beam s t r u c t u r a l models. T h i s method was u t i l i z e d i n the second paper to develop a response spectrum technique f o r asymmetrical m u l t i s t o r i e d b u i l d i n g s . In t h i s work, the r o o t mean square method was used to combine modal responses. As pointed out by Shepherd et a l 1 7 and M e r c h a n t 1 1 , t h i s method of combination i s not always c o n s e r v a t i v e . "Although t h e r e are some cases which add up to 5 s u m s m u c h l a r g e r t h a n t h e c o m p u t e d ' e x a c t * r e s p o n s e , t h e r e a r e ( s i c ) a l s o a l a r g e n u m b e r o f c o m b i n a t i o n s f o r w h i c h t h e a b s o l u t e s u m i s w i t h i n t e n p e r c e n t o f t h e ' e x a c t ' r e s u l t . " I t w o u l d a p p e a r t h a t s u c h a c o m b i n a t i o n t h e r o o t m e a n s q u a r e m e t h o d w o u l d y i e l d a n u n c o n s e r v a t i v e r e s u l t , b u t i f t h e e f f e c t s o f b e a t i n q a r e s m a l l , t h i s m a y n o t b e t h e c a s e . l J J t _ P u r £ o s e _ a n d _ S c o £ e C u r r e n t p r a c t i c e i n d e a l i n q w i t h t h e s e p r o b l e m s , a s r e p r e s e n t e d b y t h e e a r t h q u a k e d e s i q n c o d e s , i s b a s e d o n l i t e r a t u r e s u c h a s t h e f o r e q o i n g , b u t i t i s c l e a r t h a t m o r e w o r k i n t h i s a r e a i s d e s i r a b l e . T h e r e f o r e i n t h e p r e s e n t w o r k , t h e p a r a m e t e r s w h i c h i n f l u e n c e t h e t o r s i o n a l r e s p o n s e o f a s t r u c t u r e a r e i n v e s t i g a t e d w i t h t h e u s e o f a c o m p u t e r p r o g r a m . T h e s t r u c t u r a l r e s p o n s e i s c o m p u t e d b y m e a n s o f a t h r e e d i m e n s i o n a l s t i f f n e s s p r o g r a m w i t h a m o d a l t i m e - s t e p i n t e g r a t i o n r o u t i n e . V i s c o u s d a m p e d s t r u c t u r e s w i t h l i n e a r s t r e s s - s t r a i n r e l a t i o n s h i p s a r e a n a l y s e d w i t h t h e p r o g r a m , w h i c h w i l l b e d e s c r i b e d i n C h a p t e r 2 , u s i n g t h e E l C e n t r o 1 9 4 0 s t r o n g m o t i o n e a r t h q u a k e r e c o r d ( C a l t e c h v e r s i o n ) . T h e r e s p o n s e o f a n a s y m m e t r i c a l s t r u c t u r e i s i n f l u e n c e d b y t h e b e a t i n q p h e n o m e n o n , w h i c h i s a s s o c i a t e d w i t h t w o c o u p l e d m o d e s w i t h s i m i l a r c o r r e s p o n d i n g p e r i o d s . P r e v i o u s w o r k e r s h a v e r e f e r r e d t o t h i s p r o b l e m : t h e r o o t m e a n s q u a r e 6 m e t h o d i s i n v a l i d a t e d i n t h e p r e s e n c e o f b e a t i n g , a n d t h e a b s o l u t e s u m m e t h o d i s s o m e t i m e s i n t r o d u c e d . H o w e v e r , t h i s l a t t e r p r o c e d u r e t e n d s t o e x a g g e r a t e t h e a c t u a l r e s p o n s e , a n d c o n c l u s i o n s d r a w n f r o m e i t h e r t h e r o o t m e a n s q u a r e m e t h o d o r t h e a b s o l u t e s u m m e t h o d a r e s o m e t i m e s m e a n i n g l e s s . A l t h o u g h t h e b e a t i n g p h e n o m e n o n c a n a t t i m e s b e s i g n i f i c a n t , t h e m a g n i t u d e o f t h e e f f e c t s u g g e s t e d b y p r e v i o u s w o r k s b a s e d o n t h e a b s o l u t e s u m m e t h o d h a s n o t b e e n o b s e r v e d i n t h e p r e s e n t w o r k . A c r i t e r i o n i s p r o p o s e d b y m e a n s o f w h i c h t h e p o s s i b i l i t y o f b e a t i n g i n a s t r u c t u r e c a n b e p r e d i c t e d . T h e b e a t i n g p h e n o m e n o n w i l l b e d i s c u s s e d i n C h a p t e r 3 . T h e c o d e p r o v i s i o n s p r e v i o u s l y s t a t e d i n t h i s c h a p t e r p e n a l i z e s t r u c t u r e s w i t h l a r g e e c c e n t r i c i t i e s v e r y h e a v i l y . T h e s a f e t y o f t h e s e s t r u c t u r e s o v e r t h a t o f n o n - e c c e n t r i c ( s y m m e t r i c a l ) s t r u c t u r e s w i l l b e d i s c u s s e d i n C h a p t e r 4 u s i n g a c o m p a r i s o n b e t w e e n t h e r e s u l t s o f s t r u c t u r e s a n a l y s e d b y t h e c o d e a n d t h e r e s u l t s o f s i m i l a r s t r u c t u r e s a n a l y s e d b y t h e c o m p u t e r p r o g r a m t o b e d e s c r i b e d i n C h a p t e r 2 . T h e t o r s i o n a l r e s p o n s e o f s o m e s y m m e t r i c a l s t r u c t u r e s t o a r o t a t i o n a l e a r t h q u a k e e x c i t a t i o n m a y c o n t r i b u t e s i g n i f i c a n t l y t o t h e o v e r a l l r e s p o n s e ; a n u p p e r b o u n d o n t h i s c o n t r i b u t i o n w h i c h c a n b e d e t e r m i n e d t h r o u g h a r o t a t i o n a l r e s p o n s e s p e c t r u m w i l l b e p r e s e n t e d i n C h a p t e r 5 . F o r m o s t 7 s t r u c t u r e s , t h e 5% a c c i d e n t a l e c c e n t r i c i t y r e g u i r e d b y t h e c o d e w i l l c a u s e b e t w e e n f i v e t o t w e n t y - f i v e p e r c e n t i n c r e a s e i n t h e d e f l e c t i o n s i n t h e p e r i p h e r y o f a b u i l d i n g , y e t t h e r o t a t i o n a l e a r t h q u a k e e x c i t a t i o n s m a y c a u s e a n i n c r e a s e i n r e s p o n s e o f t h e p e r i p h e r a l f r a m e s m u c h g r e a t e r t h a n t h e s e c o d e d e f l e c t i o n s . J _ i U _ L i m i t a t i o n s T h e c o m p u t e r s t r u c t u r a l m o d e l , u s e d i n t h e a n a l y s i s p r e s e n t e d h e r e i n i s b a s e d o n a v e r y c o m m o n a p p r o x i m a t i o n : l i n e a r s t r e s s - s t r a i n s t r u c t u r a l e l e m e n t s w i t h v i s c o u s d a m p i n g a r e u s e d b e c a u s e t h e m o r e r e a l i s t i c n o n - l i n e a r h y s t e r e t i c e l e m e n t s i n v o l v e a n e c o n o m i c a l l y u n f e a s i b i l e c o s t w i t h p r e s e n t d a y c o m p u t e r s . I t i s h o p e d t h a t t h e m o d e l u s e d i n t h i s t h e s i s w i l l i n d i c a t e b o t h t h e v a r i a b l e s a n d t h e d i s p l a c e m e n t m a g n i t u d e s i n v o l v e d i n t h e t o r s i o n a l r e s p o n s e o f a s t r u c t u r e d u r i n g a n e a r t h q u a k e . F u r t h e r , i t i s f e l t t h a t t h e c h o i c e o f E l C e n t r o a s a r e p r e s e n t a t i v e e a r t h q u a k e f o r t h e s t u d y w i l l n o t i n f l u e n c e t h e c o n c l u s i o n s o f t h i s w o r k . " T h e E l C e n t r o e a r t h q u a k e w a s a l o n g d u r a t i o n e a r t h q u a k e o f r e l a t i v e l y l a r g e m a g n i t u d e , a n d t h e m a x i m u m a c c e l e r a t i o n p e a k s o c c u r e d l a t e i n t h e r e c o r d . T h i s . . . i s l i k e l y t o b e m o r e t y p i c a l o f a m a j o r d e s t r u c t i v e e a r t h q u a k e t h a n T a f t 1 9 5 2 a n d S a n F r a n s i s c o 1 9 5 7 . " 7 T h r o u g h o u t t h i s w o r k , t h e r e s p o n s e o f a s y m m e t r i c a l s t r u c t u r e w i l l b e 8 c o m p a r e d t o t h a t o f a s i m i l a r s t r u c t u r e d i f f e r i n g o n l y i n t h e l o c a t i o n o f i t s c e n t r e o f m a s s . S i n c e r e l a t i v e r e s p o n s e s a r e o f p r i m e i n t e r e s t , t h e a c t u a l m a g n i t u d e o f t h e e a r t h q u a k e w i l l n o t e f f e c t t h e r e s u l t s o r t h e c o n c l u s i o n s p r e s e n t e d . T h e t h e o r y i n c l u d e d i n t h e a p p e n d i c e s p e r t a i n i n g t o C h a p t e r 3 ( B e a t i n g ) i s d e v e l o p e d o n c e r t a i n a s s u m p t i o n s w h i c h r e s t r i c t t h e f o r m o f t h e s t r u c t u r e . S t r u c t u r e s o f t h i s t y p e a r e n o t u n c o m m o n , a n d m o r e o v e r m o s t s t r u c t u r e s w i l l b e h a v e i n c l o s e a g r e e m e n t w i t h r e s u l t s o f t h i s t h e o r y . C o n c l u s i o n s r e a c h e d o n t h e b a s i s o f t h i s t h e o r y m a y t h e r e f o r e a p p l y t o m o s t s t r u c t u r e s . T h e d y n a m i c a n a l y s i s w a s c a r r i e d o u t o n t w o s t o r e y s t r u c t u r e s . A l t h o u g h t h e p r o g r a m u s e d c a n h a n d l e m u c h l a r g e r s t r u c t u r e s , i t w a s n o t c o n s i d e r e d n e c e s s a r y t o d o s o b e c a u s e a t w o s t o r e y s t r u c t u r e w i l l b e h a v e i n m u c h t h e s a m e m a n n e r a s , s a y , a 6 0 s t o r e y s t r u c t u r e . T h i s m a y n o t s e e m , a t f i r s t , t o b e o b v i o u s . C o n s i d e r t h e f i r s t m o d e s h a p e s o f t h e s a m e g e n e r a l s h a p e , e x c e p t t h a t t h e 6 0 s t o r e y s t r u c t u r e i s r e p r e s e n t e d b y a " s m o o t h e r " c u r v e . T h i s i s a l s o t r u e f o r t h e s e c o n d m o d e s h a p e , b u t t h e t w o s t o r e y f r a m e d o e s n o t h a v e a n y s i g n i f i c a n t h i g h e r m o d e s h a p e s . S i n c e t h e f i r s t t w o m o d e s h a p e s c a n o f t e n s i g n i f i c a n t l y d e s c r i b e t h e m o t i o n o f a f r a m e ( a s w i l l b e p o i n t e d o u t l a t e r ) , a n y h i g h e r m o d e s f r e q u e n t l y a d d n e q l i g i b l e m o d i f i c a t i o n s t o t h e r e s p o n s e . T h e r e s p o n s e o f a s t r u c t u r e 9 depends on i t s mode shapes and the corresponding frequencies. Since the mode shapes are s imi lar , and the frame stiffnesses can be altered to chanqe the frequencies, conclusions based on observation of a two storey structure wi l l be qenerally valid for the 60 storey structure as well. 10 CHAPTER 2 THE STRUCTURAL PROGRAM 2^_1_ I n t r o d u c t i o n A p r o g r a m was w r i t t e n t o s o l v e t h e t h r e e - d i m e n s i o n a l p r o b l e m by t h e method o f s u b s t r u c t u r e s : t h e s t r u c t u r e i s v i e w e d a s an a s s e m b l a g e o f p l a n e f r a m e s . The s t i f f n e s s m a t r i x o f e a c h p l a n e f r a m e i s o b t a i n e d i n d e p e n d e n t l y and s t a t i c a l l y c o n d e n s e d t o r e t a i n o n l y h o r i z o n t a l t r a n s l a t i o n s o f f l o o r s , as w e l l a s t h o s e a d d i t i o n a l d e g r e e s o f f r e e d o m w h i c h w i l l e n t e r i n t o t h e c o m p a t i b i l i t y r e l a t i o n s h i p s when t h e f r a m e s t i f f n e s s e s a r e a s s e m b l e d . F i g . 2.1 shows a c o n d e n s e d f r a m e a s p a r t o f t h e s t r u c t u r a l a s s e m b l y . T h i s a s s e m b l y i s c a r r i e d o u t on t h e a s s u m p t i o n t h a t t h e f l o o r s a r e r i g i d d i a p h r a m s w h i c h c a n n o t be d e f o r m e d i n t h e i r own p l a n e s , a l t h o u g h t h e y o f f e r no r e s i s t a n c e t o o u t - o f - p l a n e w a r p i n g . F i n a l l y t h e a s s e m b l e d m a t r i x i s c o n d e n s e d t o r e t a i n o n l y two t r a n s l a t i o n s and a r o t a t i o n a t e a c h f l o o r — t h r e e d e g r e e s o f f r e e d o m p e r f l o o r . 11 I n d e r i v i n g t h e f r a m e s t i f f n e s s e s , member t o r s i o n a l s t i f f n e s s e s a r e o m i t t e d , t u t a c c o r d i n g t c H e a v e r 1 8 , t h i s i s j u s t i f i a b l e . The p r o g r a m i s l i m i t e d t o s t r u c t u r e s w h i c h m a i n t a i n a c o n s t a n t p o s i t i o n ( i n p l a n ) o f t h e c e n t r e c f mass cn e a c h f l o o r . The a s s u m p t i o n t h a t f l o o r s a r e r i g i d w i t h r e s p e c t t o i n - p l a n e d e f o r m a t i o n s c o n s t r a i n s a x i a l d e f o r m a t i o n o f t h e teams i n e a c h f r a m e . I n f r a m e s w i t h members s t r e s s e d m a i n l y a x i a l l y r a t h e r t h a n i n b e n d i n g , s u c h a s c r o s s - b r a c e d f r a m e s , t h e c o n s t r a i n t o f beam a x i a l d e f o r m a t i o n may be d i f f i c u l t t o j u s t i f y . H o w e v e r , i f t h e f l o o r s y s t e m i s o f r e a s o n a b l e t h i c k n e s s and i s c o n t i n u o u s l y c o n n e c t e d t o t h e beam, t h e r e s t r a i n t o f f e r e d t c a x i a l d e f o r m a t i o n o f t h e beam may w e l l be s u f f i c i e n t t o r e d u c e t h i s beam d e f o r m a t i o n t o n e g l i g i b l e p r o p o r t i o n s o f c o l u m n and b r a c i n g d e f o r m a t i o n s . W i t h t h e r i g i d f l o o r a s s u m p t i o n , t h e h o r i z o n t a l movements i n a l l f r a m e s a t any one f l o o r c a n be e x p r e s s e d i n t e r m s o f t h r e e v a r i a b l e s . T h e s e t h r e e v a r i a b l e s a r e t h e t h r e e s t r u c t u r a l g e n e r a l i z e d c o o r d i n a t e s c o r r e s p o n d i n g t o t h e f l e e r i n q u e s t i o n — t w o t r a n s l a t i o n a l and one r o t a t i o n a l . W i t h o u t t h e r i g i d f l o o r a s s u m p t i o n , t h e s o l u t i o n becomes e x t r e m e l y c o m p l i c a t e d b e c a u s e t h e h o r i z o n t a l rocvenent c f t h e f r a m e s must 1 2 b e g i v e n i n t e r m s o f s e v e r a l v a r i a b l e s . 2 . 3 V e r t i c a l C o m p a t i b i l i t y I n t h i s p r o g r a m , c o l u m n d e f o r m a t i o n s a r e , o f c o u r s e , p e r m i t t e d . W h e n a c o l u m n f o r m s p a r t o f t w o f r a m e s , i t i s d e s i r a b l e a n d o f t e n n e c e s s a r y t o e n f o r c e v e r t i c a l c o m p a t i b i l i t y o n t h e f r a m e d e f o r m a t i o n s . T h i s r e q u i r e m e n t i s e s p e c i a l l y i m p o r t a n t w h e n t h e a x i a l d e f o r m a t i o n o f t h e c o l u m n s c o n t r i b u t e s s i g n i f i c a n t l y t o t h e l a t e r a l d i s p l a c e m e n t o f t h e b u i l d i n g — i . e . w h e n t h e b u i l d i n g t e n d s t o d e f o r m i n a b e n d i n g m o d e r a t h e r t h a n a s h e a r m o d e . W h e n v e r t i c a l c o m p a t i b i l i t y b e t w e e n f r a m e s i s n o t s a t i s f i e d ( F i g . 2 . 2 ( a ) ) , t h e f r a m e s p e r p e n d i c u l a r t o a p a r t i c u l a r m o t i o n d o n o t c o n t r i b u t e a t a l l t o t h e r e s i s t a n c e t o t h a t m o t i o n . I n r e a l i t y , h o w e v e r , a x i a l f o r c e s w o u l d b e p a r t i a l l y d i s t r i b u t e d i n t o t h e f r a m e s p e r p e n d i c u l a r t o t h e d i r e c t i o n o f m o t i o n b y s h e a r t r a n s f e r a l t h r o u g h t h e b e a m s , p r o v i d i n g a s t i f f e r s t r u c t u r e . F i g . 2 . 2 ( b ) s h o w s t h e e f f e c t o f v e r t i c a l c o m p a t i b i l i t y . I n t a l l b u i l d i n g s , t h e n , f a i l u r e t o e n s u r e v e r t i c a l c o m p a t i b i l i t y m a y y i e l d a n i n a d e q u a t e m o d e l . O n t h e o t h e r h a n d . W e a v e r » • s h o w e d t h a t i n b u i l d i n g s w i t h h i g h a s p e c t r a t i o s , m o d e l s w h i c h a s s u m e d i n e x t e n s i b l e c o l u m n s ( s h e a r b e a m m o d e l s ) l e d t o s i z e a b l e o v e r e s t i m a t i o n s o f s t i f f n e s s , a n d r e p r e s e n t e d t h e u p p e r f l o o r s t r e s s e s p o o r l y . 13 2 . U R o t a t i o n a l C o m p a t i b i l i t y W h e n t w o f r a m e s m e e t i n a c o m m o n c o l u m n a t s o m e a n g l e o t h e r t h a n a r i g h t a n g l e , t h e r o t a t i o n o f b e a m s i n o n e f r a m e w i l l i n f l u e n c e t h e r o t a t i o n o f t h e a d j a c e n t b e a m s i n t h e o t h e r f r a m e . W h e n t h e t w o f r a m e s a r e i n l i n e t h e r o t a t i o n s o f a d j a c e n t b e a m s w i l l b e e q u a l . I f t h e t w o f r a m e s a r e e i t h e r c o l i n e a r o r c l o s e t o b e i n g c o l i n e a r , i t i s d e s i r a b l e t o e n s u r e t h a t b o t h v e r t i c a l a n d r o t a t i o n a l c o m p a t i b i l i t y b e i m p o s e d o n t h e c o m m o n j o i n t s . T h i s s i t u a t i o n m a y a r i s e w h e n t w o p l a n e f r a m e s m e e t a t a s k e w a n g l e , w h e n a c u r v e d f r a m e i s r e p r e s e n t e d b y a s e r i e s o f s h o r t p l a n e f r a m e s ( s e e F i g . 2 . 3 ) o r w h e n a l o n g p l a n e f r a m e i s b r o k e n i n t o s u b s t r u c t u r e s f o r c o m p u t a t i o n a l p u r p o s e s . I f t h e t w o f r a m e s m e e t a t o r n e a r l y a t r i g h t a n g l e s , t h e r e i s a c o m p a t i b i l i t y r e q u i r e m e n t b e t w e e n t h e b e n d i n g o f o n e s e t o f b e a m s a n d t h e t o r s i o n o f t h e o t h e r ; b u t i n v i e w o f . W e a v e r ' s 1 8 c l a i m t h a t t o r s i o n a l s t i f f n e s s o f m e m b e r s a d d s n e g l i g i b l e s t i f f n e s s t o a s t r u c t u r e , t h i s r e q u i r e m e n t i s t o b e i g n o r e d . H o r i z o n t a l c o m p a t i b i l i t y , e s s e n t i a l b e t w e e n f r a m e s , i s e n s u r e d w i t h t h e r i g i d f l o o r a s s u m p t i o n . V e r t i c a l a n d r o t a t i o n a l c o m p a t i b i l i t y m a y o f t e n b e r e l a x e d w i t h o u t i m p a i r i n g t h e a c c u r a c y o f t h e s o l u t i o n u n d u l y ; o c c a s i o n a l l y , i n t h e c i r c u m s t a n c e s j u s t d e s c r i b e d , t h e y m u s t b e r e t a i n e d . T h e c o o r d i n a t e s w h i c h h a v e t o b e c o n s i d e r e d a n d m a t c h e d f o r t h i s 14 p u r p o s e w i l l , h e r e i n a f t e r , be r e f e r r e d t o as ' a d d i t i o n a l * d e g r e e s o f f r e e d o m . 2.5 Frame R e d u c t i o n I n o r d e r t o c o n d e n s e a f r a r c e s t i f f n e s s rcatrix, t h e e q u a t i o n s must be p a r t i t i o n e d i n t o t h o s e i n v o l v i n g , cn t h e cne h a n d , h o r i z o n t a l t r a n s l a t i o n s { h] p l u s ' a d d i t i o n a l ' d e g r e e s o f f r e e d o m ( i f a n y ) , a n d , cn t h e e t h e r h a n d , t h o s e c o o r d i n a t e s {A} w h i c h a r e i n d e p e n d e n t o f a l l o t h e r f r a m e s c r w h i c h may be assumed s o : Ftr 'h" X > - ! ~Q A (2.1) E g . 2.1 c o n t a i n s t h e p a r t i t i o n e d f o r m o f t h e frame s t i f f n e s s m a t r i x w i t h t h e g e n e r a l i z e d f o r c e s {H} , {X} , and {0} c o r r e s p o n d i n g t o t h e f r a m e g e n e r a l i z e d c o o r d i n a t e s and The g e n e r a l i z e d f o r c e s c o r r e s p o n d i n g t o A_ w i l l be a n u l l v e c t o r , s i n c e i n t h e d y n a m i c a n a l y s i s o n l y h o r i z o n t a l i n e r t i a l f o r c e s w i l l be c o n s i d e r e d . The K^ 2 F c r t i c n c f t h e f r a m e s t i f f n e s s m a t r i x i s i n a b a n d e d f o r m s u i t a b l e f o r C h c l e s k i d e c o m p o s i t i o n ( s e e S a l v a d c r i and B a r o n 1 * ) . 15 O u t l i n e d i n A p p e n d i x A i s a r e d u c t i o n t e c h n i q u e , e m p l o y i n g t h e C h o l e s k i d e c o m p o s i t i o n m e t h o d r w h i c h c o n d e n s e d f o r m : f ~\ H K •i X X ( 2 . 2 ) w h i c h c a n b e a d d e d i n t o t h e s t r u c t u r e s t i f f n e s s m a t r i x . 2 . 6 _ S t r u c t u r e K a t r i x T h e c o n d e n s e d f r a m e s t i f f n e s s m a t r i c e s a r e a s s e m b l e d i n t o a s t r u c t u r a l s t i f f n e s s m a t r i x . T h e f l o o r s o f t h e s t r u c t u r e e a c h h a v e t h r e e d e g r e e s o f f r e e d o m r e p r e s e n t e d b y t h e v e c t o r s {,C[*} a n d { ^ l w h i c h a r e t r a n s l a t i o n a l d e g r e e s o f f r e e d o m , a n d t h e v e c t o r { © } w h i c h i s a c o u n t e r c l o c k w i s e r o t a t i o n a l d e g r e e o f f r e e d o m ( v i e w e d f r o m a b o v e ) . T h e g e n e r a l i z e d f o r c e v e c t o r s {Q} , {R}, a n d { © } c o r r e s p o n d t o t h e s t r u c t u r a l g e n e r a l i z e d c o o r d i n a t e s "[^jf { ^ J » a n ^ { ^ } d e p i c t e d i n F i g 2 . 4 . T h e o r i g i n i s l o c a t e d a t t h e c e n t r e o f m a s s w h i c h u n c o u p l e s t h e m a s s e s l e a d i n g t o a d i a g o n a l m a s s m a t r i x . T h e p o s i t i o n a n d o r i e n t a t i o n o f a f r a m e i n t h e s t r u c t u r e i s d e f i n e d b y t h e d i r e c t i o n c o s i n e s Xq^  a n d 1 ^ i n t h e a n d d i r e c t i o n s r e s p e c t i v e l y a n d t h e 16 p e r p e n d i c u l a r d i s t a n c e f r o m t h e f r a m e t o t h e c e n t r e o f mass XQ . The f r a m e i s a w a r d e d a d i r e c t i o n w h i c h g o v e r n s t h e d i r e c t i o n c o s i n e s . I f a movement o f t h e f r a m e i n i t s d i r e c t i o n w i l l c a u s e a p o s i t i v e r o t a t i o n , © , a b o u t t h e c e n t r e o f mass, I © i s t o be r e g a r d e d a s p o s i t i v e . The d i r e c t i o n i s e x t r e m e l y i m p o r t a n t b e c a u s e an e n t i r e l y d i f f e r e n t m o d e l i s o b t a i n e d w i t h a n e r r o n e o u s s i g n on © . The f r a m e h o r i z o n t a l g e n e r a l i z e d c o o r d i n a t e s , and t h e c o r r e s p o n d i n g g e n e r a l i z e d f o r c e s , * must be t r a n s f o r m e d i n t o t h e s t r u c t u r a l g e n e r a l i z e d c o o r d i n a t e s , {^ j* and { e j » a n < * t h e c o r r e s p o n d i n g g e n e r a l i z e d f o r c e s {Q}, {R}, a n d { © } i n o r d e r t o f o r m a s t r u c t u r e s t i f f n e s s m a t r i x f r o m t h e f r a m e s t i f f n e s s m a t r i c e s . I t i s e a s i l y s e e n t h a t t h e c o n s t r a i n t s i m p l i e d by t h e r i g i d f l o o r d i a p h r a m s a r e e x p r e s s e d i n t h e e q u a t i o n : h = < q r G > (2.3) 17 N o w a v i r t u a l d i s p l a c e m e n t o f t h e s y s t e m l e a d s t o t h e e q u a t i o n : 0 ( 2 . 4 ) o r b y t h e u s e o f E g . 2 . 3 : © ( 2 . 5 ) w e n o t e t h a t : [Sal S e 1 H = i y H + i r e V T H + T ^ e H < 2 , 6 > , T T T r i a H 1 ' J E H 18 a n d c o m b i n i n g E g . 2 . 5 a n d E q . 2 . 6 i n t h e f o r m : I„B" Q R ( 2 . 7 ) l e a d s t o : r i q H " f Q ] R , ® 19 p u t t i n g E g . 2 . 3 i n t o E q . 2 . 2 g i v e s : [ I ^ q + I ^ r + I « e ] o r : "H ' < X H " X X X J ^ % I^Ku, 1<AK Kt -1. 1 < e > X .1 - -(2.9) (2.10) I n t r o d u c i n g E q . 2 . 8 i n t o E q . 2 . 1 0 a n d m u l t i p l y i n g o u t l e a d s t o : •^•qle^hh "•3." r T©Ie K K h < e > X x ( 2 . 1 1 ) W h e n t h e c o n t r i b u t i o n s o f a l l f r a m e s a r e a d d e d i n t o E q . 2 . 1 1 , t h e f o r c e s m u s t r e d u c e t o z e r o , s i n c e n o e x t e r n a l f o r c e s a r e a s s o c i a t e d w i t h t h o s e d e g r e e s o f f r e e d o m . 2 0 2 i 7 _ S t r u c t u r a l _ R e d u c t i o n T h e s t r u c t u r e s t i f f n e s s m a t r i x i n p a r t i t i o n e d a n d c a n b e w r i t t e n t h e f a m i l i a r f o r m : r Q R E g . 2 . 1 1 i s <.Q J > -• f a 1 r 0 ' ( 2 . 1 2 ) T h e e l e m e n t s o f t h e s t r u c t u r e s t i f f n e s s m a t r i x i n E q . 2 . 1 2 a r e , o f c o u r s e , n o t e q u a l t o t h e e l e m e n t s o f a f r a m e s t i f f n e s s m a t r i x g i v e n i n E q . 2 . 1 , a l t h o u g h t h e s e e l e m e n t s a r e g i v e n t h e s a m e n o t a t i o n . T h e s u b m a t r i x K22 i s b a n d e d a n d t h e r e f o r e E g . 2 . 1 2 c a n b e r e d u c e d i n t h e s a m e w a y a s t h e f r a m e s t i f f n e s s m a t r i c e s ( s e e A p p e n d i x A ) . T h e c o n d e n s a t i o n o f E q . 2 . 1 2 y i e l d s : Q R @ = K a r e ( 2 . 1 3 ) w h i c h c o n t a i n s t h e r e d u c e d s t r u c t u r e s t i f f n e s s m a t r i x . E q . 2 . 1 3 p r o v i d e s a c o m p a c t r e p r e s e n t a t i o n o f t h e m o d e l . T h e r e d u c e d s t r u c t u r e s t i f f n e s s m a t r i x i n E q . 2 . 1 3 i s t h e b a s i s o f t h e m o d a l a n a l y s i s c a r r i e d o u t b y t h e p r o g r a m . 2 1 D e f l e c t i o n s d u e t o s t a t i c l o a d s a r e s i m p l y o b t a i n e d f r o m a n i n v e r s i o n p r o c e s s a p p l i e d t o E q . 2 . 1 3 . T h e f o r c e s i n t h e f r a m e m e m b e r s c a n b e o b t a i n e d a s o u t l i n e d i n A p p e n d i x A . 2 . 8 „ M g d a l _ I n t e g r a t i o n T h e d y n a m i c r e s p o n s e o f t h e s t r u c t u r e c a n b e d e t e r m i n e d b y t h e u s e o f n u m e r i c a l i n t e g r a t i o n p r o c e d u r e s . I n t h i s c a s e , t h e m e t h o d o f m o d a l i n t e g r a t i o n h a s m a n y a d v a n t a g e s o v e r i n t e g r a t i o n o f t h e s t r u c t u r e a s a w h o l e . S o m e o f t h e a d v a n t a g e s a r e : t h a t c r i t i c a l d a m p i n g r a t i o s c a n b e a s s i g n e d s e p a r a t e l y t o e a c h m o d e , t h a t t h e d y n a m i c r e s p o n s e c a n b e v i s u a l i z e d a s a c o m p o s i t i o n o f t h e s e p a r a t e m o d e s h a p e s , t h a t c o m p u t a t i o n c a n b e r e d u c e d b y o m i s s i o n o f h i g h e r m o d e s , a n d t h a t e x e c u t i o n t i m e i s r e d u c e d . T h e m e t h o d o f m o d a l i n t e g r a t i o n i s n o r m a l l y e m p l o y e d w i t h l i n e a r s t r u c t u r e s , w h e r e a s t h e i n t e g r a t i o n o f t h e s t r u c t u r e a s a w h o l e i s n o r m a l l y e m p l o y e d w i t h n o n - l i n e a r s t r u c t u r e s . T h i s t h e s i s i s o n l y c o n c e r n e d w i t h l i n e a r s t r u c t u r e s . T h e s t r u c t u r a l r e s p o n s e c a n b e e x p r e s s e d a s a s u m m a t i o n o f e a c h m o d a l r e s p o n s e . T h e m o d e s h a p e s , o r e i g e n v e c t o r s o f t h e d y n a m i c m a t r i x , a n d t h e c o r r e s p o n d i n g m o d a l p a r t i c i p a t i o n f a c t o r s a s s o c i a t e d w i t h l o w e r f r e q u e n c i e s ( a n d l o w e r e i g e n v a l u e s ) m a y r e p r e s e n t t h e d y n a m i c b e h a v i o r o f t h e s t r u c t u r e w i t h s u f f i c i e n t a c c u r a c y s o t h a t o n l y t h e f i r s t s i x 22 m o d e s h a p e s , s a y , n e e d b e c o n s i d e r e d ( s e e d o u g h 2 f o r d i s c u s s i o n o n t h e n u m b e r o f m o d e s r e q u i r e d t o s u f f i c i e n t l y r e p r e s e n t t h e m o t i o n o f a p l a n e f r a m e — t h e f i r s t t w o m o d e s ) . T h i s i m p o s e s a r e s t r a i n t o n t h e s t r u c t u r e l i m i t i n q i t s d e q r e e s o f f r e e d o m a n d r e d u c i n g t h e c o m p u t a t i o n r e q u i r e d , b u t g e n e r a l l y w i t h o u t s e r i o u s l y a f f e c t i n g t h e r e s u l t s . n e c e s s a r y f o r m o d a l i n t e g r a t i o n , a r e o b t a i n e d b y t h e a p p r o a c h o f N i e l s e n 1 5 a s o u t l i n e d i n A p p e n d i x C . T h i s m e t h o d t r a n s f o r m s a n u n s y m m e t r i c a l e i g e n v a l u e p r o b l e m i n t o o n e w h i c h i n v o l v e s s o l u t i o n o f a s y m m e t r i c a l d y n a m i c m a t r i x . T h e r e a r e a s m a n y e i g e n v e c t o r s a s d e g r e e s o f f r e e d o m , b u t s i n c e i t i s n o t a l w a y s n e c e s s a r y t o u s e t h e c o m p l e t e s e t o f e i g e n v e c t o r s i n t h e m e t h o d o f m o d a l i n t e g r a t i o n , t h e e i g e n v e c t o r m a t r i x U ( w h o s e c o l u m n s a r e e i g e n v e c t o r s ) m a y n o t b e a s q u a r e m a t r i x . T h e m o d a l i n t e q r a t i o n r o u t i n e o f t h e t h r e e d i m e n s i o n a l s t r u c t u r a l p r o g r a m u t i l i z e s n o t s i m p l y o n e , b u t t h e t h r e e c o m p o n e n t s o f g r o u n d a c c e l e r a t i o n X < ^ , X K , a n d jce w h i c h c o r r e s p o n d r e s p e c t i v e l y t o t h e q , Y , a n d © d i r e c t i o n s o f m o t i o n ( d o t s d e n o t e d i f f e r e n t i a t i o n s w i t h r e s p e c t t o t i m e ) . T h e t o r s i o n a l g r o u n d a c c e l e r a t i o n , X e ' » a l t h o u g h n o t p r e v i o u s l y i n c l u d e d i n e a r t h q u a k e r e c o r d s , w i l l b e d i s c u s s e d i n q r e a t e r d e t a i l i n C h a p t e r 5 . T h e t r a n s l a t i o n a l q r o u n d a c c e l e r a t i o n s , X q T h e e i q e n v e c t o r s a n d t h e e i g e n v a l u e s 23 and X r # a r e o b t a i n e d from s t a n d a r d o r t h o g o n a l earthquake a c c e l e r a t i o n r e c o r d s . 2 i i _ E g u a t i o n s _ o f _ M o t i o n I f we d e f i n e y , \j, and y as the displacements, v e l o c i t i e s , and a c c e l e r a t i o n s of the s t r u c t u r e with r e s p e c t to the ground, and x, as the a c c e l e r a t i o n of the ground; then the equation o f motion f o r the masses of the s t r u c t u r e becomes: (2. IU) The mass matrix, M , i s d i a g o n a l because the equa t i o n s o f motion are w r i t t e n about the c e n t r e of mass. The mass matrix, comprised of t h r e e mass su b m a t r i c e s c o r r e s p o n d i n g t o t h e t h r e e d i r e c t i o n s o f motion, i s d e f i n e d a s : DIVU o o Q Q DHjJ (2.15) whece the d i a g o n a l mass s u b m a t r i c e s Ma and M^ . are i d e n t i c a l , and the d i a g o n a l mass submatrix N/L c o r r e s p o n d s to the r o t a t i o n a l mass i n e r t i a . 2a The v e c t o r s \j , y , and y may a l s o be p a r t i t i o n e d i n t o the three d i r e c t i o n s of motion: 6(0 (2.16) The displacements r e l a t i v e to the ground q(0, rd), and e(t) correspond to the C|, and e d i r e c t i o n s r e s p e c t i v e l y . S i m i l a r l y the ground a c c e l e r a t i o n v e c t o r x may a l s o be p a r t i t i o n e d i n t o the three d i r e c t i o n s of motion: 3^(0 ( U {3dm } ^ 3M0 t i l X Laid! (2.17) The ground a c c e l e r a t i o n s x^, x r , and x e correspond to the f, and e d i r e c t i o n s r e s p e c t i v e l y , and I i s a u n i t v e c t o r . 2 5 L i s t h e v i s c o u s c l a m p i n g m a t r i x . R e s t r a i n t s w i l l b e i m p o s e d u p o n C l a t e r i n t h e i n t e r e s t s o f r e d u c i n g t h e e q u a t i o n s t o a n e a s i l y s o l u b l e f o r m . K i s t h e r e d u c e d s t r u c t u r e s t i f f n e s s m a t r i x o f E q . 2 . 1 3 . A s i t i s w e l l k n o w n , m o d a l a n a l y s i s b e g i n s w i t h t h e g e n e r a t i o n o f t h e n a t u r a l m o d e s h a p e s a n d f r e q u e n c i e s w h i c h p r o v i d e a n o r t h o g o n a l c o o r d i n a t e s y s t e m i n w h i c h t h e e q u a t i o n s b e c o m e u n c o u p l e d . T h e m o t i o n o f t h e s t r u c t u r e c a n b e e x p r e s s e d i n t e r m s o f t h i s n e w c o o r d i n a t e s y s t e m a s i n t h e f o l l o w i n g e q u a t i o n s : { y ( t ) } = [U]m w h e r e U i s a m a t r i x w h o s e c o l u m n s a r e t h e e i g e n v e c t o r s ; f i t ) i s a c o l u m n v e c t o r o f t i m e f u n c t i o n s , t o b e c a l l e d m o d a l p a r t i c i p a t i o n f u n c t i o n s , w h i c h r e p r e s e n t t h e t i m e v a r i a t i o n o f t h e a m p l i t u d e s o f t h e m o d e s . I t s h o u l d b e e m p h a s i z e d h e r e , t h a t t h i s m o d a l p a r t i c i p a t i o n f u n c t i o n f (t) i s n o t t h e s a m e a s t h e f a m i l i a r m o d a l p a r t i c i p a t i o n f a c t o r f o u n d i n t h e l i t e r a t u r e . 2 6 T h e m a t r i x U c a n a l s o b e p a r t i t i o n e d i n t o t h e t h r e e d i r e c t i o n s o f m o t i o n : [ U J » Ur Ua ( 2 . 1 9 ) w h e r e U^ * Ur» a n d U e c o r r e s p o n d t o t h e e i g e n v e c t o r s i n t h e q, a n d © d i r e c t i o n s r e s p e c t i v e l y . S u b s t i t u t i n g t h e n e w c o o r d i n a t e s y s t e m i n E g . 2 . 1 8 i n t o t h e e q u a t i o n o f m o t i o n , E q . 2 . 1 4 , y i e l d s : ( 2 . 2 0 ) P r e m u l t i p l y i n g b y U g i v e s : [ U ] T [ M N ] [ U ] { f e } + [ U ] T [ C ] [ U ] m [Uf[K][UJ{fW}= - [ U f t M , J { x . o ) ( 2 . 2 1 ) 2 7 N o w , f r o m H e i r o v i t c h 9 , t h e e i g e n v a l u e s a r e g i v e n b y : T h u s , i f t h e e i g e n v e c t o r s a r e n o r m a l i z e d s o t h a t : [U] TDMJ[U] - m <2-«> w h e r e I i s t h e i d e n t i t y m a t r i x , t h e n : [U] T[K][U] - I V J c2.2«, I f , f u r t h e r , w e a s s u m e : [CJ - + H K I «2-25> w h e r e ©< a n d ^ a r e c o n s t a n t s . 28 a n d i n t r o c u c e E g . 2 . 2 3 a n d E g . 2 . 2 4 , w e g e t : [U]T[C][U] - - t uMiwi aiuilKiim ( 2 . 2 6 ) w h e r e : 2 OO/ P u t t i n g E g . 2 . 2 3 , E g . 2 . 2 4 , a n d E q . 2 . 2 6 i n t o E g . 2 . 2 1 , w e o b t a i n : tfh)}-rai^]{ftti}-Duo\]{f(o} w h e r e : X o f O ( I ] X r ( f ) { 1 } X J O 1 1 } ( 2 . 2 7 ) ( 2 . 2 8 ) S i n c e o n l y t h e a c c e l e r a t i o n s v a r y w i t h t i m e o n t h e r i g h t h a n d s i d e o f E q . 2 . 2 8 , t h e p r o d u c t i s p e r f o r m e d p r e c e e d i n g i n t e g r a t i o n . T h e e x p r e s s i o n f o r t h e f o r c i n g f u n c t i o n c a n b e s i m p l i f i e d t o t h e f o r m : (2.29) w h e r e t h e w e i g h t i n g c o n s t a n t s C^, Cy, a n d C e a r e d e f i n e d a s : { q { C r } { C 6 } l - [ U ] T t M ] t i l o 6 " 9 (I) Q Q Q {1} ( 2 . 3 0 ) w i t h I b e i n g a u n i t v e c t o r . T h e m a t r i c e s NA a n d U a r e p a r t i t i o n e d a c c o r d i n g t o E g . 2 . 1 5 a n d E g . 2 . 1 9 . 9 R e w r i t i n g t h e f i n a l e q u a t i o n : ( 2 . 3 1 ) i t s h o u l d b e e m p h a s i z e d t h a t t h e m o d e l m u s t c o n f o r m t o E q . 2 . 2 5 . V a r i o u s n u m e r i c a l i n t e g r a t i o n p r o c e d u r e s e x i s t w h i c h c a n b e u s e d t o i n t e g r a t e E q . 2 . 3 1 w i t h r e s p e c t t o t i m e . F o r r e a s o n s p r e s e n t e d b y N i c k e l l 1 * , N e w m a r k ' s B e t a M e t h o d 1 3 w a s c h o s e n f o r t h e c o m p u t e r p r o g r a m . N e w m a r k ' s B e t a M e t h o d i s o u t l i n e d i n A p p e n d i x B i n t h e m a n n e r i n w h i c h i t w a s a p p l i e d t o the program. 3 1 C H A P T E R _ 3 1 I I _ B M T I N G _ P H E N 0 M E N 0 N 3 , 1 j I n t r o d u c t i o n T h e b e a t i n g p h e n o m e n o n w i l l b e i n v e s t i g a t e d i n t h i s c h a p t e r . A l t h o u g h i t w i l l b e n e c e s s a r y t o c o n s i d e r e c c e n t r i c s t r u c t u r e s i n t h i s s e c t i o n , t h e s u b j e c t o f e c c e n t r i c i t y w i l l b e s t u d i e d i n d e t a i l l a t e r . T h e d e f i n i t i o n s c o n t a i n e d i n t h i s c h a p t e r w i l l b e r e f e r r e d t o a g a i n i n s u b s e q u e n t c h a p t e r s . 3 . » . 2 - P § § g E l B t i o n _ o f t h e B e a t i n q P h e n o m e n o n T h e b e a t i n g p h e n o m e n o n , f r e q u e n t l y a s s o c i a t e d w i t h s o u n d , c a n o c c u r i n s t r u c t u r a l r e s p o n s e . A c l e a r u n d e r s t a n d i n g o f t h i s p h e n o m e n o n i s e s s e n t i a l f o r a n u n d e r s t a n d i n g o f t h i s c h a p t e r , a n d t h e r e f o r e a s i m p l e e x a m p l e i s p r e s e n t e d t o d e m o n s t r a t e t h e c h a r a c t e r i s t i c s o f t h e e f f e c t . 3 2 C o n s i d e r a s t r u c t u r e w i t h t w o d e g r e e s o f f r e e d o m : o n e t r a n s l a t i o n a l a n d o n e r o t a t i o n a l . T h e m o d e s h a p e s w i l l b e a s s u m e d c o u p l e d a n d t h e c o r r e s p o n d i n g f r e q u e n c i e s w i l l b e a s s u m e d s i m i l a r . I n o r d e r t o d e s c r i b e a n y m o t i o n o f t h e s t r u c t u r e , t h e r e m u s t b e t w o o r t h o g o n a l m o d e s h a p e s , s u c h a s t h e f o l l o w i n g : m o d e 1 m o d e 2 L e t m o d e 1 h a v e b o t h r o t a t i o n a n d t r a n s l a t i o n o f t h e s a m e s i g n ( s h o w n p o s i t i v e , s a y ) a n d l e t m o d e 2 h a v e r o t a t i o n a n d t r a n s l a t i o n o f o p p o s i t e s i g n , ( s h o w n n e g a t i v e a n d p o s i t i v e r e s p e c t i v e l y ) a s r e q u i r e d b y t h e o r t h o g o n a l i t y c o n d i t i o n . 33 A s d i s c u s s e d i n s e c t i o n 2 . 9 , e a c h m o d e s h a p e h a s a m o d a l p a r t i c i p a t i o n f u n c t i o n ; i n f r e e u n d a m p e d v i b r a t i o n s t h e s e w i l l h a v e t h e f o r m : fyt) a A,- sin(u)it + 0^ <3-1> w h e r e : Aj_ i s t h e m a x i m u m a m p l i t u d e o f t h a t m o d e , C 0 ( i s t h e f r e q u e n c y , a n d 0- i s a t i m e l a g . H e a r e c o n c e r n e d h e r e w i t h t h e c a s e i n w h i c h ou, a n d u ) z a r e n e a r l y t h e s a m e ; w i t h s t r o n g l y c o u p l e d m o d e s w e m a y a l s o e x p e c t t h e v a l u e s o f A t o b e q u i t e s i m i l a r a n d w i t h o u t l o s s o f g e n e r a l i t y , w e m a y t a k e t h e m b o t h p o s i t i v e . A t a c e r t a i n p o i n t i n t i m e , t h e m o t i o n s a r e i n p h a s e i n t h e s e n s e t h a t t h e v e c t o r ( s i r \ ( w t + 0 ) } i s a u n i t v e c t o r . T h e t r a n s l a t i o n s o f t h e e x a m p l e w i l l b e r e i n f o r c i n g b u t t h e r o t a t i o n s w i l l b e c a n c e l l i n g e a c h o t h e r . T o t h e o b s e r v e r , p r e d o m i n a n t l y t r a n s l a t i o n a l m o t i o n i s e v i d e n t a n d o n l y a s m a l l r o t a t i o n a l m o t i o n m a y b e d e t e c t e d . S i n c e t h e f r e q u e n c i e s a r e n o t e x a c t l y t h e s a m e , t h e t w o m o d a l p a r t i c i p a t i o n f u n c t i o n s s l o w l y g e t o u t o f p h a s e a n d 3 4 e v e n t u a l l y r e a c h t h e s t a t e w h e r e t h e v e c t o r { sm(u>t + c5) } h a s t h e v a l u e w h i c h m a y b e c o n s i d e r e d o u t o f p h a s e b y a n a n g l e T T . A t t h i s s t a g e t h e r o t a t i o n a l m o t i o n s a r e r e i n f o r c i n g b u t t h e t r a n s l a t i o n a l m o t i o n s a r e c a n c e l l i n g e a c h o t h e r . T o t h e o b s e r v e r , p r e d o m i n a n t l y r o t a t i o n a l m o t i o n i s e v i d e n t , a n d o n l y a s m a l l t r a n s l a t i o n a l m o t i o n m a y b e d e t e c t e d . T h u s a c o m p l i c a t e d , b u t r e p e a t i n g p a t t e r n o f m o t i o n i s e s t a b l i s h e d , a t s o m e p o i n t i n w h i c h t h e r e a p p e a r t o b e l a r g e t r a n s l a t i o n s a n d s m a l l r o t a t i o n s , t h e n a f t e r a p e r i o d o f c o m b i n e d m o t i o n , a p o i n t i s r e a c h e d i n w h i c h t h e r e a p p e a r t o b e l a r g e r o t a t i o n s a n d s m a l l t r a n s l a t i o n s . T h i s i s c a l l e d b e a t i n g . 3 . 3 T h e t B e a t i n g . . P h e n o m e n o n i n M u l t i d e g r e e o f F r e e d o m S t r u c t u r e s I n a s y m m e t r i c a l b u i l d i n g , t h e m o d e s a r e u n c o u p l e d . S u c h a b u i l d i n g d o e s n o t e x h i b i t b e a t i n g , e v e n w h e n t h e t o r s i o n a l n a t u r a l p e r i o d a n d t h e t w o t r a n s l a t i o n a l n a t u r a l p e r i o d s a r e e g u a l , b e c a u s e t h e r e s p o n s e s i n t h e t h r e e d i r e c t i o n s o f m o t i o n a r e i n d e p e n d e n t o f e a c h o t h e r . W h e n t h e c e n t r e o f m a s s i s s e p a r a t e d b y a n e c c e n t r i c d i s t a n c e f r o m t h e c e n t r e o f r i g i d i t y , t h e m o d e s a r e c o u p l e d a n d t h e r e s p o n s e s i n t h e t h r e e d i r e c t i o n s o f m o t i o n a r e n o l o n g e r i n d e p e n d e n t o f e a c h o t h e r . I f t h e n a t u r a l p e r i o d s w e r e e q u a l , a n e x t r e m e b e a t i n g p h e n o m e n o n w o u l d o c c u r . H o w e v e r a n u n s y m m e t r i c a l b u i l d i n g , w i t h r e l a t i v e s t i f f n e s s e s o f t h e f r a m e s u n i f o r m 3 5 throughout the h e i g h t of the b u i l d i n g , cannot have t h r e e equal p e r i o d s c o r r e s p o n d i n g t o s i m i l a r modes. An i n c r e a s e i n the e c c e n t r i c i t y not only causes s t r o n g e r modal c o u p l i n g which makes the modes more dependent on each o t h e r , but a l s o causes a s e p a r a t i o n of the n a t u r a l p e r i o d s which reduces the b e a t i n g phenomenon. While most b u i l d i n g s do have a q u i t e uniform s t i f f n e s s d i s t r i b u t i o n , and are t h e r e f o r e immune to extreme b e a t i n g by v i r t u e of the f o r e g o i n g statements, very abnormal l a y o u t s may r e q u i r e i n v e s t i g a t i o n . An unsymmetrical s t r u c t u r e , even with two c l o s e n a t u r a l p e r i o d s , w i l l not n e c e s s a r i l y e x h i b i t b e a t i n g ; but i f the modes co r r e s p o n d i n g t o the two c l o s e p e r i o d s have c e r t a i n p r o p e r t i e s , the s t r u c t u r e may do so. T h e r e f o r e , i n order t o d i s c u s s t h i s s i t u a t i o n with r e s p e c t t o multidegree o f freedom systems we must f i r s t c l a s s i f y the mode shapes of the system. The importance o f t h i s c l a s s i f i c a t i o n i s t h a t the b e a t i n g e f f e c t does not occur between modes o f d i f f e r e n t mode shape t y p e s . 3»{LP.gfigi£ign_of L Mode J,Shap-e_Ty-ges F i g . 3 .1 i l l u s t r a t e s a frame with r\ degrees of freedom, i n which the n t K mode has ( n - 0 c r o s s o v e r s o f the o r i g i n a l shape a x i s . ( n , here, i s the number of s t o r i e s . ) 3 6 I n a p l a n e f r a m e , t h e l o w e s t f r e q u e n c y mode ( t h e h i g h e s t p e r i o d ) i s t h e f i r s t mode s h a p e , c o n t a i n i n q z e r o c r o s s o v e r s , and t h e f r a m e modes w i t h s u c c e s s i v e l y more c r o s s o v e r s have c o r r e s p o n d i n q l y h i g h e r f r e q u e n c i e s . T h i s d e f i n i t i o n o f t h e n t h mode s h a p e t y p e h a s been i n t r o d u c e d b e c a u s e a t h r e e d i m e n s i o n a l s t r u c t u r e , h a v i n q t h r e e d i r e c t i o n s o f m o t i o n ( t w o t r a n s l a t i o n a l and one r o t a t i o n a l ) , may n o t f o l l o w t h e r u l e t h a t t h e modes w i t h f e w e r c r o s s o v e r s have c o r r e s p o n d i n q l y l o w e r f r e q u e n c i e s . I n a s y m m e t r i c a l t h r e e d i m e n s i o n a l s t r u c t u r e , f o r e x a m p l e , s i n c e t h e e q u a t i o n s o f m o t i o n a r e u n c o u p l e d , t h e r e a r e t h r e e i n d e p e n d e n t s e t s o f mode s h a p e s i n t h e two t r a n s l a t i o n a l and i n t h e r o t a t i o n a l d i s p l a c e m e n t s . I t i s p o s s i b l e , t h e r e f o r e , t h a t s e v e r a l modes i n one p l a n e may h a v e l o w e r f r e q u e n c i e s t h a n t h e f i r s t mode o f a n o t h e r s e t . I n t h a t c a s e , o b v i o u s l y , t h e r e w i l l be mode s h a p e s w i t h Z e r o c r o s s o v e r s t h a t h a v e h i q h e r f r e q u e n c i e s t h a t o t h e r s w i t h s e v e r a l c r o s s o v e r s . W i t h t h r e e d i m e n s i o n a l s t r u c t u r e s t h e modes s h o u l d be c l a s s i f i e d by t h e i r mode s h a p e s r a t h e r t h a n t h e i r p e r i o d s . A c o u p l e d mode i n an u n s y m m e t r i c a l s t r u c t u r e o f t h e t y p e d i s c u s s e d w i l l a l w a y s i n v o l v e t h e same number o f c r o s s o v e r s i n e a c h o f t h e c o u p l e d d i r e c t i o n s o f m o t i o n : t h i s w i l l become e v i d e n t f r o m t h e r e s u l t s o f A p p e n d i x D and a s p o i n t e d o u t i n s e c t i o n 1.4, 3 7 a l t h o u g h t h i s p r o p e r t y i s c e r t a i n l y t r u e f o r s t r u c t u r e s o f t h e t y p e d i s c u s s e d , i t m a y a l s o b e t r u e f o r m o s t s t r u c t u r e s . T h u s w e m a y i n t r o d u c e t h e f o l l o w i n g d e f i n i t i o n : t h e n t K m o d e s h a p e t y p e c o n t a i n s ( n - 0 c r o s s o v e r s i n e a c h p a r t i c i p a t i n g d i r e c t i o n o f m o t i o n . T h e r e w i l l b e t h r e e m o d e s c o r r e s p o n d i n g t o e a c h m o d e s h a p e t y p e , t h e r e f o r e 3n m o d e s h a p e s a l t o g e t h e r f o r a s t r u c t u r a l m o d e l o f t h e t y p e u s e d h e r e . 3 ' 5 . . p i f f e r e n c e b e t w ^ B e a t i n q T h e b e a t i n g p h e n o m e n o n a s d e s c r i b e d i n s e c t i o n 3 . 2 s h o u l d n o t b e c o n f u s e d w i t h t h e r e s o n a n c e e f f e c t . A r e s o n a n c e e f f e c t o c c u r s w h e n t h e p e r i o d s o f t h e i n p u t e x c i t a t i o n a r e e q u a l o r c l o s e t o t h e n a t u r a l p e r i o d s o f t h e s t r u c t u r e . S i t e c o n d i t i o n s c a n m o d i f y t h e e a r t h q u a k e e x c i t a t i o n s i n s u c h a w a y t h a t t h i s r e s o n a n c e e f f e c t i s , f o r c e r t a i n s t r u c t u r e s , e x t r e m e l y i m p o r t a n t . T h e b e a t i n g p h e n o m e n o n d e p e n d s o n l y o n t h e s t r u c t u r e i t s e l f a n d n o t o n t h e i n p u t . T h e b e a t i n g p h e n o m e n o n w i l l n o w b e d i s c u s s e d i n m o r e d e t a i l , w i t h r e f e r e n c e t o t h e i m p o r t a n t p h y s i c a l c h a r a c t e r i s t i c s o f t h e s t r u c t u r e w h i c h i n f l u e n c e i t s e f f e c t . 3 . 6 . T h e _ B e a t i n g _ P h e n o m e n o n A s y m m e t r i c a l s t r u c t u r e d o e s n o t e x h i b i t b e a t i n g e v e n w h e n i t s t o r s i o n a l f u n d a m e n t a l p e r i o d a n d i t s t w o t r a n s l a t i o n a l f u n d a m e n t a l p e r i o d s a r e e q u a l . I n a s y m m e t r i c a l b u i l d i n g , t h e 38 t h r e e d i r e c t i o n s o f m o t i o n ( o n e t o r s i o n a l a n d t w o t r a n s l a t i o n a l ) a r e u n c o u p l e d , w h i c h s i m p l y m e a n s t h a t t h e m o t i o n i n o n e d i r e c t i o n i s t o t a l l y i n d e p e n d e n t o f t h e m o t i o n s i n t h e o t h e r t w o d i r e c t i o n s . F o r e x a m p l e , i f a t o r s i o n a l e x c i t a t i o n i s n o t p r e s e n t , a t o r s i o n a l r e s p o n s e w i l l n o t o c c u r i n a s y m m e t r i c a l b u i l d i n g . S i n c e e a r t h q u a k e e x c i t a t i o n s i n t h e t h r e e d i r e c t i o n s a r e d i f f e r e n t , t h e p r o b a b i l i t y o f t h e o c c u r r e n c e o f t w o m a x i m a l r e s p o n s e e f f e c t s i n t w o u n c o u p l e d d i r e c t i o n s o f m o t i o n i s n o g r e a t e r i f t h e t w o n a t u r a l p e r i o d s a r e t h e s a m e t h a n i t i s i f t h e y a r e d i f f e r e n t ; t h u s t h e i n d e p e n d e n c e o f t h e d i f f e r e n t d i r e c t i o n s o f m o t i o n p r e v e n t s t h e o c c u r r e n c e o f b e a t i n g i n a s y m m e t r i c a l s t r u c t u r e w h e t h e r o r n o t t h e f u n d a m e n t a l p e r i o d s a r e e q u a l . I f t h e t h r e e p e r i o d s o f t h e f i r s t m o d e t y p e s o f a n u n s y m m e t r i c a l s t r u c t u r e a r e t h e s a m e a b e a t i n g p h e n o m e n o n w i l l o c c u r , f o r w i t h t h e p r e s e n c e o f c o u p l e d m o d e s , t h e m o t i o n s i n t h e t h r e e d i r e c t i o n s a r e n o l o n g e r i n d e p e n d e n t . T h e r e s p o n s e i n a n y o n e d i r e c t i o n d e p e n d s n o t o n l y o n t h e e x c i t a t i o n i n t h a t p a r t i c u l a r d i r e c t i o n , b u t a l s o t h e e x c i t a t i o n i n a t l e a s t o n e o t h e r d i r e c t i o n . T h e i n t e r a c t i o n b e t w e e n t h e c o u p l e d m o d e s , w h i c h r e c e i v e i n p u t f r o m m o r e t h a n o n e d i r e c t i o n , w i l l i n c r e a s e t h e r e s p o n s e i f t h e t h r e e p e r i o d s c o r r e s p o n d i n g t o t h e f i r s t t y p e m o d e s h a p e s a r e e q u a l . A s t h e m o d a l c o u p l i n g g e t s l a r g e r w i t h i n c r e a s e d e c c e n t r i c i t i e s , t h e b e a t i n g e f f e c t m i g h t b e 39 e x p e c t e d t o i n c r e a s e b e c a u s e t h e m o d e s b e c o m e m o r e d e p e n d e n t o n e a c h o t h e r . H o w e v e r , a n u n s y m m e t r i c a l b u i l d i n g o f t h e t y p e t o b e d i s c u s s e d c a n n o t h a v e t h r e e p e r i o d s o f t h e f i r s t t y p e m o d e s h a p e s e q u a l ( t h i s w i l l b e p r o v e n l a t e r i n A p p e n d i x F ) . T h e s t r o n g e r t h e c o u p l i n g , t h e f u r t h e r a p a r t a r e t h e n a t u r a l p e r i o d s ; t h u s , a s t h e p r o b a b i l i t y o f b e a t i n g i s i n c r e a s e d b y i n c r e a s i n g c o u p l i n g , i t s s e v e r i t y i s r e d u c e d b y i n c r e a s i n g s e p a r a t i o n o f t h e p e r i o d s . T h e s e c o n s i d e r a t i o n s w i l l n o w b e d i s c u s s e d . 3 . 7 A M e t h o d o f P r e d i c t i n g t h e _ L i k e l i h o o d o f i t h e B e a t i n q P h e n o m e n o n A m e t h o d i s n o w p r o p o s e d w h i c h w i l l e n a b l e t h e d e s i g n e r t o p r e d i c t t h e l i k e l i h o o d o f t h e b e a t i n g p h e n o m e n o n o c c u r i n g i n t h e r e s p o n s e o f a s t r u c t u r e d u r i n g a n e a r t h q u a k e e x c i t a t i o n . A l s o , i t w i l l g u i d e i n t h e d e t e c t i o n o f s t r u c t u r e s m o s t s u s c e p t i b l e t o b e a t i n g J a s t u d y c a n t h e n b e m a d e t o e s t a b l i s h t h e m a g n i t u d e o f t h i s e f f e c t i n t h e t o r s i o n a l r e s p o n s e o f t h e s e s t r u c t u r e s u s i n g t h e p r o g r a m d i s c u s s e d i n C h a p t e r 2 . T h e m e t h o d , w h i c h a p p l i e s t o s t r u c t u r e s w h o s e f r a m e s t i f f n e s s e s a r e m o r e o r l e s s u n i f o r m w i t h h e i g h t , c o n s i s t s e s s e n t i a l l y o f c a l c u l a t i n g t h e r a t i o s b e t w e e n t h e p e r i o d s o f t h e f i r s t m o d e s h a p e t y p e s . I f t h e r a t i o s b e t w e e n c o u p l e d m o d e s h a p e p e r i o d s ao a r e v e r y c l o s e , b e a t i n g h a s a g r e a t e r p r o b a b i l i t y o f o c c u r i n g . 3 A 7 _ [ a ] R e s t r i c t i o n s S t r i c t l y s p e a k i n g , t h e m e t h o d i s r e s t r i c t e d t o s t r u c t u r e s i n w h i c h a l l f r a m e s t i f f n e s s m a t r i c e s d i f f e r o n l y b y a c o n s t a n t o f m u l t i p l i c a t i o n . T h i s i s t o s a y t h a t a l l f r a m e s h a v e t h e s a m e c h a r a c t e r i s t i c s h a p e u n d e r a g i v e n h o r i z o n t a l l o a d i n g ( e s p e c i a l l y t h e l o a d w h i c h w o u l d c r e a t e a f i r s t m o d e s h a p e t y p e d e f l e c t i o n ) . I n c l u d e d i n t h i s c l a s s i f i c a t i o n a r e s h e a r b e a m s t r u c t u r e s w h i c h h a v e t h e s t i f f n e s s e s o f e a c h f r a m e i n t h e s a m e r a t i o t h r o u g h o u t t h e h e i g h t o f t h e b u i l d i n g . T h i s r e s t r i c t i o n i s n e c e s s a r y f o r t h e p r o o f i n A p p e n d i x D , b u t o n e e x a m p l e i s p r e s e n t e d i n A p p e n d i x J i n w h i c h c l o s e a g r e e m e n t w i t h e x p e r i m e n t a l r e s u l t s i s o b t a i n e d , a l t h o u g h t h e s t r u c t u r e e x a m i n e d d o e s n o t c o n f o r m t o t h e r e s t r i c t i o n . A s s t a t e d i n s e c t i o n 1 . 4 , t h i s t y p e o f s t r u c t u r e i s n o t u n c o m m o n , a n d s t r u c t u r e s w h i c h d o n o t c o m p l y w i t h t h i s r e s t r i c t i o n m a y b e h a v e i n m u c h t h e s a m e m a n n e r a s t h o s e t h a t d o c o m p l y . T h e p r o o f i n A p p e n d i x D p r o v i d e s a b a s i s f o r t h e r e s u l t s o b t a i n e d i n A p p e n d i c e s E , F , G , H , a n d J . T h e p r o d e d u r e w h i c h f o l l o w s i s a l s o b a s e d o n A p p e n d i x D . 3,r 2 J b ) ^ P r p c e d u r g T h e r a t i o s o f t h e f u n d a m e n t a l f r e q u e n c i e s ( i . e . t h e f r e q u e n c i e s o f t h e f i r s t t y p e m o d e s h a p e s ) , w h i c h i n d i c a t e t h e 41 d a n g e r o f b e a t i n g , c a n b e d e t e r m i n e d a s f o l l o w s : 1) S e t u p a c o o r d i n a t e s y s t e m w h i c h u n c o u p l e s t h e t w o t r a n s l a t i o n a l d i r e c t i o n s ( i . e . a f o r c e i n o n e t r a n s l a t i o n a l d i r e c t i o n d o e s n o t c a u s e a d i s p l a c e m e n t i n t h e o t h e r t r a n s l a t i o n a l d i r e c t i o n . T h i s s e t o f p r i n c i p a l a x e s w i l l a l w a y s p r o d u c e o n e p u r e l y t r a n s l a t i o n a l m o d e s h a p e . w h e r e f o r a s t r u c t u r e w i t h f r a m e s o r t h o g o n a l t o e a c h o t h e r a n d a l i g n e d i n t h e p r i n c i p a l a x e s : 2) F o r m t h e m a t r i x : U2 w h e r e : dcjr i s t h e d i m e n s i o n r a t i o = l e n g t h y o f „ t h e b u i l d i n g i n _ t h e o d i r e c t i o n L e n g t h o f t h e b u i l d i n g i n t h e \r d i r e c t i o n 1™ Xi , r c ^ * s t h e s t i f f n e s s r a t i o _ s t i f f n e s s _ o f t h e b u i l d i n g _ i n _ t h e Y_ d i r e c t i o n s t i f f n e s s o f t h e b u i l d i n g i n t h e <^ d i r e c t i o n T h i s d e f i n i t i o n h a s m e a n i n g w h e n t h e r e s t r i c t i o n d i s c u s s e d i n s e c t i o n 3 . 7 ( a ) i s i n f o r c e . ^ — w i t h o u t t h e s q u a r e — t u r n s o u t t o b e t h e f r e q u e n c y r a t i o i n c e r t a i n c a s e s . a n d G R a r e e c c e n t r i c i t y r a t i o s — e c c e n t r i c i t Y _ i n _ t h e _ o r y d i r e c t i o n l e n g t h o f t h e b u i l d i n g i n t h e o r r d i r e c t i o n i s t h e f r a m e r a d i u s o f g y r a t i o n r a t i o { ( p e r p e n d i c u l a r d i s t a n c e s o f f r a m e s f r o m t h e c e n t r e o f m a s s ) 2 * ( f r a m e r e l a t i v e s t i f f n e s s ) } ( l e n g t h o f t h e b u i l d i n g i n q d i r e c t i o n ) 2 * ^ ( f r a m e r e l a t i v e s t i f f n e s s e s ) T h e s e s u m s i n c l u d e a l l f r a m e s o f t h e s t r u c t u r e . I f t h e s t r u c t u r e u n d e r c o n s i d e r a t i o n d o e s n o t c o n t a i n f r a m e s o r t h o g o n a l t o e a c h o t h e r a n d i n t h e p r i n c i p a l a x e s , a m o r e g e n e r a l d e f i n i t i o n o f t h e e l e m e n t s o f t h e m a t r i x 5 i s n e c e s s a r y , a n d t h i s i s g i v e n i n A p p e n d i x E . 3) D e t e r m i n e t h e e i g e n v a l u e s o f t h e m a t r i x 3 . P r o c e d u r e s a r e d e s c r i b e d i n A p p e n d i x G a n d A p p e n d i x H , w h i c h m a y b e u s e d t o d e t e r m i n e e i t h e r t h e r a n g e o f t h e e i g e n v a l u e s o r t h e 41 exact v a l u e s . 4) I t i s shown i n Appendix D t h a t the e i g e n v a l u e s are sguares of the r e l a t i v e f r e q u e n c i e s of the b u i l d i n g . Thus i f two e i g e n v a l u e s of t h i s 3x3 matrix are c l o s e a p o s s i b i l i t y of b e a t i n g e x i s t s . The b e a t i n g phenomenon w i l l g e n e r a l l y occur when the r a t i o of two c l o s e e i g e n v a l u e s i s w i t h i n a c e r t a i n range. 3.7 .(Si ,„E xamnlgs The procedure o u t l i n e d i n the p r e v i o u s s e c t i o n was a p p l i e d t o a s e r i e s o f s t r u c t u r e s to demonstrate the v a r i a t i o n of the n a t u r a l p e r i o d s of s t r u c t u r e s with c e r t a i n p h y s i c a l q u a n t i t i e s : the e c c e n t r i c i t y and the t o r s i o n a l s t i f f n e s s . The f a c t o r s conducive to b e a t i n g w i l l be examined. The examples w i l l a l s o c l a r i f y the use of t h e method. A l l the s t r u c t u r e s s t u d i e d were square i n plan and each had 5^->5 r r # or w^\^ ' • *- e- t n e t r a n s l a t i o n a l m a s s / s t i f f n e s s was the same i n each d i r e c t i o n , so t h a t the t r a n s l a t i o n a l n a t u r a l p e r i o d s were equal f o r the symmetrical members of the s e r i e s . S e r i e s _ 2 The r e s i s t i n g frames were on the p e r i p h e r y of the b u i l d i n g , so t h a t the frame r a d i u s of g y r a t i o n r a t i o , C F , was 0.5. The e c c e n t r i c i t y was v a r i e d by changing the r a t i o s Cq and e r . P h y s i c a l l y , t h i s c o u l d r e p r e s e n t s t i f f e n i n g one 4 4 f r a m e w h i l e " s o f t e n i n g " t h a t o n t h e o p p o s i t e s i d e o f t h e b u i l d i n g . t h e n r e m a i n s c o n s t a n t a t 0 . 5 . S e r i e s _ 2 T h i s s e r i e s m a y b e t h o u g h t o f a s a c o r e -t y p e s t r u c t u r e , i n t h a t t h e r e s i s t i n g f r a m e s o r w a l l s w e r e s e t i n f r o m t h e p e r i p h e r y o f t h e b u i l d i n g . I n t h e s y m m e t r i c a l m e m b e r t h e y w e r e a r r a n g e d t o p r o d u c e a C p v a l u e o f w h i c h l e a d s t o e q u a l t o r s i o n a l a n d t r a n s l a t i o n a l p e r i o d s . T h e e c c e n t r i c i t y w a s v a r i e d b y o f f s e t t i n g t h e c o r e , b u t i n d o i n g s o , t h e c o r e d i m e n s i o n s w e r e a l t e r e d s o a s t o m a i n t a i n t h e v a l u e o f C p a t /(2YT). i t w i l l b e f o u n d t h a t t h i s c a n o n l y b e d o n e u p t o v a l u e s o f t h e e c c e n t r i c i t y s o m e w h a t l e s s t h a n 0 . 5 , w h e r e a f t e r n o p o s s i b l e c o r e d i m e n s i o n s c a n r e s t o r e t h e C F v a l u e . F o r a n y g i v e n e c c e n t r i c i t y , t h i s s e r i e s o f s t r u c t u r e s h a s t h e c l o s e s t c o u p l e d n a t u r a l p e r i o d s . 3 ^ 7 _ { d ^ _ H e s u l t s T h e r e s u l t s o f s e r i e s 1 a r e p l o t t e d i n F i g . 3 . 2 a n d F i g . 3 . 3 , w h e r e t h e e c c e n t r i c i t y r a t i o i s 0 . 0 a n d 0 . 2 5 r e s p e c t i v e l y , w h i l e 6 r i s v a r i e d f r o m 0 . 0 t o 0 . 5 . S i m i l a r r e s u l t s a r e g r a p h e d f o r s e r i e s 2 i n F i g . 3 . 4 a n d F i g . 3 . 5 . T h e f i g u r e s s h o w t h e v a r i a t i o n o f t h e e i g e n v a l u e s ( n o r m a l i z e d o n t h a t o f t h e u n c o u p l e d m o d e , w h i c h r e m a i n s c o n s t a n t ) w i t h e c c e n t r i c i t y . T h e s e e i g e n v a l u e s w e r e c a l c u l a t e d u s i n g a N e w t o n -B h a p s o n p r o c e d u r e a s o u t l i n e d i n A p p e n c i x H . A l s o s h o w n a r e t h e 45 r a n g e s o n t h e s e v a l u e s d e t e r m i n e d b y t h e m e t h o d s o f A p p e n d i x G . T h e r a n g e s a r e d e n o t e d b y A , B , C , D , E , o r F i n F i g s . 5 . 1 , 5 . 2 , 5 . 3 , a n d 5 . 4 . T h i s n o t a t i o n i s d e f i n e d i n E g . G . 5 a n d E g . G . 8 , a n d t o f u r t h e r c l a r i f y t h e r a n g e s , a n e x a m p l e i s g i v e n i n s e c t i o n G . 6 . I t w i l l b e s e e n t h a t t h e c o m p u t e d v a l u e s d o , i n d e e d , a l w a y s f a l l w i t h i n t h e p r e d i c t e d r a n g e . C e r t a i n p o i n t s a r i s e f r o m t h e s e e x a m p l e s : 1 ) T h e e i g e n v a l u e s o f t h e c o u p l e d m o d e s a r e c l o s e s t w h e n 0^.-^/(2^5)$ w h i c h i s t h e c a s e i n s e r i e s 2 s t r u c t u r e s . T h u s t h e e x t r e m e e i g e n v a l u e s o f F i g . 3 . 4 a n d F i g . 3 . 5 a r e c l o s e r t o g e t h e r t h r o u g h o u t t h e i r r a n g e t h a n t h o s e o f F i g . 3 . 2 a n d F i g . . 3 . 3 . T h i s a p p l i e s b o t h t o t h e c o m p u t e d v a l u e s a n d t o t h e p r e d i c t e d r a n g e s , s o t h a t t h i s c o n c l u s i o n c o u l d h a v e b e e n r e a c h e d b y m e a n s o f t h e t h e o r y o f A p p e n d i x G . T h u s c o r r e s p o n d s t o t h e s t r u c t u r e s m o s t s u s c e p t i b l e t o b e a t i n g . 2 ) T h e b o u n d s a r e s u c h t h a t t h e c o u p l e d e i g e n v a l u e s m u s t d i v e r g e a s t h e e c c e n t r i c i t y b e c o m e s l a r g e r . T h u s a s t h e e c c e n t r i c i t y i n c r e a s e s , w h i c h w o u l d i n c r e a s e t h e s e v e r i t y o f b e a t i n g , t h e d i f f e r e n c e b e t w e e n t h e c o u p l e d p e r i o d s a l s o i n c r e a s e s , w h i c h t e n d s t o h a v e t h e o p p o s i t e e f f e c t . 46 3 »8 . BesBgn.se_.and_ P£Q£grtiesmof _S tructures^Ex, S e v e r a l s t r u c t u r e s w i l l now be examined using a time step a n a l y s i s , p r e v i o u s l y described i n s e c t i o n 2.8, t o show which s t r u c t u r e s demonstrate the g r e a t e s t beating. A r e l a t i o n s h i p between the beating phenomenon and the n a t u r a l periods of the s t r u c t u r e s can be e s t a b l i s h e d . The response of a two degree of freedom s t r u c t u r e i n regard to beating was described i n s e c t i o n 3.2. The response of multidegree of freedom s t r u c t u r e s w i l l now be described using the mode shapes and corresponding p a r t i c i p a t i o n f u n c t i o n s discussed i n s e c t i o n s 2.8 and 2.9. In studying the r e s u l t s of the time step a n a l y s i s i n the form of p a r t i c i p a t i o n f u n c t i o n s , which are f u n c t i o n s of time, the response can be v i s u a l i z e d and the presence of beating i s more e a s i l y detected. The l i k e l i h o o d of the occurrence of beating can be e s t a b l i s h e d through the method presented i n the previous s e c t i o n . With the knowledge of which s t r u c t u r e s are most l i k e l y t o e x h i b i t beating, the spectrum of s t r u c t u r e s which should . be examined t o demonstrate t h i s phenomenon has been narrowed s i g n i f i c a n t l y . Three s e r i e s of s t r u c t u r e s w i l l be examined: the f i r s t i s s e r i e s 1 p r e v i o u s l y d e s c r i b e d ; the second w i l l be s e r i e s 2, 47 but the frames w i l l be kept i n t h e i r o r i g i n a l symmetrical c o n f i g u r a t i o n w h ile the c e n t r e of mass i s moved to vary e c c e n t r i c i t y ; and the t h i r d , t o be r e f e r r e d t o as s e r i e s 3, w i l l d i f f e r from s e r i e s 2 only i n t h a t the frame r a d i u s of g y r a t i o n r a t i o Cp w i l l be a l t e r e d from Yirm to % . The t h r e e s t r u c t u r e s e r i e s are shown i n plan i n F i g . 3.6. The f i g u r e s which f o l l o w F i g . 3.6 c o n t a i n the mode shapes, the p e r i o d s c o r r e s p o n d i n g t o the mode shapes, and the p a r t i c i p a t i o n f u n c t i o n s (see s e c t i o n 2.9 f o r the d e f i n i t i o n of p a r t i c i p a t o n f u n c t i o n ) f o r the f i r s t 8.0 seconds of E l Centro. 17 seconds of the E l Centro north/south r e c o r d was a p p l i e d i n the y d i r e c t i o n , and s i m u l t a n e o u s l y the east/west r e c o r d was a p p l i e d i n the d i r e c t i o n as i n d i c a t e d i n F i g . 3.6. The major d e s t r u c t i v e p o r t i o n of t h i s earthquake o c c u r s w i t h i n the f i r s t 17 seconds, and i t was f e l t t h a t o mission o f l a t t e r p o r t i o n s of the r e c o r d would not s e r i o u s l y e f f e c t the r e s u l t s . The e c c e n t r i c i t y r a t i o 6 r i s v a r i e d from 0.02 to 0.05, 0.20, and 0.50 i n each s e r i e s of s t r u c t u r e s . I t i s n o t i c e a b l e t h a t s e r i e s 2 e x h i b i t s b e a t i n q when the e c c e n t r i c i t y G r i s 0.05. The motion can be v i s u a l i z e d from F i q . 3.12(a) and F i q . 3.12(b) as beinq predominantly t r a n s l a t i o n a l i n the beginning of the response and becoming almost p u r e l y t o r s i o n a l at 4.4 seconds f o r s e r i e s 2 f o r t h i s 48 e c c e n t r i c i t y . The r a t i o c f the two e i g e n v a l u e s c o r r e s p o n d i n g t o the t o r s i o n a l l y c o u p l e d type 1 modes i s 0.8 (or t h e r a t i o c f p e r i o d s i s 0.9) i n t h i s p a r t i c u l a r c a s e . I t w i l l be r e c a l l e d from the d e s c r i p t i o n c f b e a t i n g g i v e n i n s e c t i o n 3.2, t h a t i t can o n l y o c c u r when t h e r e are s t r o n g l y c o u p l e d s i m i l a r modes of n e a r l y e q u a l p e r i o d . When the p e r i o d s a re ve r y d i f f e r e n t t h e c o m b i n a t i o n of medal r e s p o n s e s appears t o be q u i t e random; but as the p e r i o d s converge, i t i s shown i n Appendix G t h a t the deqree c f c o u p l i n g irust d i n i n i s h : i t i s i m p o s s i b l e t o have s i m i l a r c o u p l e d modes of i d e n t i c a l p e r i o d f o r s t r u c t u r e s f o l l o w i n g the r e s t r i c t i o n s of s e c t i o n 3.7(a) (see Appendix F) . T h e r e f o r e as t h e p e r i o d s of the c o u p l e d modes c o n v e r g e , t h e l i k e l i h o o d of b e a t i n g i n c r e a s e s u n t i l the e f f e c t of the d e c r e a s i n g c o u p l i n q becomes predominant. T h i s e x p l a i n s why the i n c i d e n c e of b e a t i n q r e a c h e s a maximum when the r a t i o of the p e r i o d s r e a c h e s about 0.9 and then d e c l i n e s ( t o g e t h e r w i t h the degree of c o u p l i n g ) as t h a t p e r i o d r a t i o i n c r e a s e s f u r t h e r t o u n i t y . I t has now been e s t a b l i s h e d t h a t t h e r e e x i s t s a p o s s i b i l i t y of b e a t i n g i f two t o r s i o n a l l y c o u p l e d e i g e n v a l u e s have a r a t i o between 0.4 and 1.0 ( p e r i o d s between 0.6 and 1.0), w i t h the g r e a t e s t e f f e c t c c c u r i n g a t a r a t i o 0.8 ( p e r i o d 0.9). The c l o s e n e s s o f these twe e i g e n v a l u e s can be determined fcithcut U9 a c t u a l l y s o l v i n g f o r t h e e x a c t v a l u e s b y u s i n g t h e m e t h o d g i v e n f o r d e t e r m i n i n g t h e r a n g e o f t h e r a t i o s . S t r u c t u r e s i n w h i c h b e a t i n g w i l l o c c u r c a n n o w b e d e s c r i b e d w i t h r e f e r e n c e t o t h e p r e v i o u s r e s u l t s . A n e c e s s a r y c o n d i t i o n h a s b e e n e s t a b l i s h e d : t h e m a s s / s t i f f n e s s r a t i o i n t h e t o r s i o n a l d i r e c t i o n m u s t e q u a l o r n e a r l y e g u a l t h e m a s s / s t i f f n e s s r a t i o i n t h e t r a n s l a t i o n a l d i r e c t i o n . F u r t h e r , t h i s t r a n s l a t i o n a l d i r e c t i o n m u s t b e c o u p l e d , d u e t o s o m e e c c e n t r i c i t y , w i t h t h e t o r s i o n a l d i r e c t i o n i n s u c h a w a y t h a t b o t h t h e s e t w o d e g r e e s o f f r e e d o m a r e c o n t a i n e d i n t w o o f t h e f i r s t t y p e m o d e s h a p e s . F i n a l l y , t h e t w o c o r r e s p o n d i n g p e r i o d s m u s t b e n e a r l y e q u a l . I f t h e r a t i o o f t h e s e t w o p e r i o d s i s a b o u t 0 . 9 , ( n o t e t h a t p e r i o d v a r i e s w i t h t h e i n v e r s e o f t h e s q u a r e r o o t o f t h e e i g e n v a l u e s ) b e a t i n g w i l l d e f i n i t e l y o c c u r p r o v i d i n g t h e p r e c e e d i n g c o n d i t i o n s a r e s a t i s f i e d . H o w e v e r b e a t i n g d o e s n o t o c c u r w h e n t h e r a t i o o f t h e t w o p e r i o d s i s e i t h e r l e s s t h a n 0 . 6 0 o r e q u a l t o 1 . 0 . N o w t h a t s t r u c t u r e s w h i c h e x h i b i t b e a t i n g h a v e b e e n d e f i n e d , t h e i m p o r t a n c e o f t h e p h e n o m e n o n c a n b e i n v e s t i g a t e d . A m e a s u r e o f s t r u c t u r a l r e s p o n s e m u s t f i r s t b e e s t a b l i s h e d . T h e r e s p o n s e o f a s t r u c t u r e i s o f t e n d e t e r m i n e d u s i n g a m o d a l s y n t h e s i s . S u c h a p r o c e s s d e p e n d s o n l y u p o n t h e d y n a m i c 50 m a t r i x o f t h e s t r u c t u r e a n d t h e e a r t h q u a k e p r o p e r t i e s . T h e d y n a m i c m a t r i x o f a s t r u c t u r e y i e l d s t h e m o d e s h a p e s a n d c o r r e s p o n d i n g p e r i o d s , a n d l e a d s , f i n a l l y , t o t h e r e s p o n s e o f t h e s t r u c t u r e w i t h r e s p e c t t o t h e t h r e e d e g r e e s o f f r e e d o m p e r f l o o r . H o w e v e r , t h e s i g n i f i c a n t f e a t u r e o f t h e r e s p o n s e m a y b e t h e m a x i m u m d i s t o r t i o n i m p o s e d u p o n a n y o f t h e s t r u c t u r a l m e m b e r s , a n d , i n o r d e r t o d e t e r m i n e t h i s , w e h a v e t o d e c o m p o s e t h e s t r u c t u r e a g a i n t o o b s e r v e t h e e f f e c t s o n i n d i v i d u a l f r a m e m e m b e r s . T h u s t h e m a t h e m a t i c a l m o d e l r e p r e s e n t e d b y t h e c o n d e n s e d d y n a m i c m a t r i x d o e s n o t c o n t a i n t h e i n f o r m a t i o n u p o n w h i c h t h e s i g n i f i c a n t m a x i m u m r e s p o n s e d e p e n d s , a n d w e h a v e t o r e i n t r o d u c e t h e a c t u a l l a y o u t o f t h e f r a m e s a n d t r e a t e a c h b u i l d i n g i n d i v i d u a l l y . T h e s a m e d y n a m i c m a t r i x m a y r e p r e s e n t t w o s t r u c t u r e s w h o s e m a x i m u m r e s p o n s e , i n t h i s r e s p e c t , i s d i f f e r e n t d u e t o d i f f e r e n t f r a m e l a y o u t s . F r o m t h e a b o v e d i s c u s s i o n , i t i s n o w c l e a r t h a t t h e m e t h o d s o f m o d a l s y n t h e s i s c a n o n l y r e f l e c t t h e r e s p o n s e i n t h e t h r e e c o o r d i n a t e d i r e c t i o n s , a n d t h e r e f o r e c a n n o t b e e x p e c t e d t o r e f l e c t t h e r e s p o n s e o f c e r t a i n e l e m e n t s o f t h e s t r u c t u r e . H o w e v e r , i n s o m e c a s e s u n d e r c o n s i d e r a t i o n , s u c h a s s t r u c t u r e s e x h i b i t i n g b e a t i n g , t h e s e m e t h o d s w i l l n o t e v e n r e f l e c t t h e r e s p o n s e i n t h e t h r e e c o o r d i n a t e d i r e c t i o n s : t h e m o d e s h a p e s h a v e c e r t a i n p r o p e r t i e s w h i c h a r e i g n o r e d b y e i t h e r r o o t m e a n s g u a r e o r a b s o l u t e s u m m o d a l s y n t h e s i s . A s s u g g e s t e d b y t h e 51 n a m e s o f t h e s e t w o m e t h o d s , t h e m a g n i t u d e o f t h e m o d a l r e s p o n s e s i s o f c o n c e r n w h e r e a s t h e s i g n i s n e g l e c t e d . A c t u a l l y t h e s i g n c a n b e v e r y i m p o r t a n t a s i n t h e t w o d e g r e e o f f r e e d o m e x a m p l e g i v e n i n s e c t i o n 3 . 2 . I n s u c h a c a s e b o t h m e t h o d s w o u l d l e a d t o t h e m a x i m u m t o r s i o n a n d t h e m a x i m u m t r a n s l a t i o n o c c u r r i n g a t t h e s a m e t i m e , h o w e v e r t h i s i s n o t t h e c a s e : m a x i m u m t o r s i o n o c c u r s w i t h v e r y l i t t l e t r a n s l a t i o n a l m o t i o n a n d v i c e v e r s a . A s a n a s i d e , i t s h o u l d b e n o t e d t h a t t o u s e t h e s e t w o m e t h o d s i n c o n j u n c t i o n w i t h a s p e c t r a l a n a l y s i s i s e r r o n e o u s ; n o t b e c a u s e t h e r e s u l t s a r e m i s l e a d i n g , b u t b e c a u s e i n t h e t h r e e d i m e n s i o n a l c o u p l e d s y s t e m , s u c h a p r o c e d u r e i s i m p o s s i b l e . S i n c e t h e r o t a t i o n a l d e g r e e o f f r e e d o m h a s d i f f e r e n t u n i t s t h a n t h e t r a n s l a t i o n a l d e g r e e s o f f r e e d o m , u s e o f a r e s p o n s e s p e c t r u m ( n o r m a l l y i n u n i t s o f l e n g t h ) c a n n o t p o s s i b l y b e u s e d t o s c a l e a t o r s i o n a l l y c o u p l e d m o d e . T h e p e r i o d o f t h e m o d e s h a p e n o l o n g e r d e t e r m i n e s t h e m o d a l r e s p o n s e f a c t o r a s i n t h e s i n g l e d e g r e e o f ^ f r e e d o m s y s t e m . 3 . 9 ^ M a x i m u r n C r i t e r i o n F r o m t h e p r e v i o u s d i s c u s s i o n s o n t h e m e t h o d s o f m o d a l s y n t h e s i s , i t s h o u l d b e o b v i o u s t h a t a b e t t e r p r o c e d u r e s h o u l d b e e m p l o y e d i n t h e t h r e e d i m e n s i o n a l s t r u c t u r e s . I n t h e n u m e r i c a l t i m e i n t e g r a t i o n o f t h e r e s p o n s e o f a s t r u c t u r e , e n o r m o u s q u a n t i t i e s o f d a t a c a n b e g e n e r a t e d f o r o n e e a r t h q u a k e 52 a l o n e . A c o m p a r i s o n o f t h e s e r e s u l t s f o r d i f f e r e n t s t r u c t u r e s i s n e c e s s a r y i f u s e f u l c o n c l u s i o n s and r e c o m m e n d a t i o n s f o r e a r t h q u a k e r e s i s t a n t d e s i g n a r e t o be made. The maximum s t r e s s i n e a c h member o f a s t r u c t u r e may r e p r e s e n t t h e e f f e c t o f t h e e a r t h q u a k e cn t h a t p a r t i c u l a r member. B u t t h e n , t h e s t r e s s must be e x a m i n e d d u r i n g e a c h s t e p o f t h e i n t e q r a t i o n , and i t w o u l d t e d i f f i c u l t t c draw c o n c l u s i o n s f r o m so much d a t a . A b r o a d e r maximum c r i t e r i o n may be d e s i r a b l e . The i n t e r - f l o o r d e f l e c t i o n s o f e a c h f r a m e c o u l d be u s e d f o r t h i s p u r p o s e . However, t h e f i r s t mode s h a p e t y p e w i l l q e n e r a l l y p r e d o m i n a t e i n t h e s t r u c t u r a l r e s p o n s e and i t w i l l f r e q u e n t l y d e t e r m i n e t h e maximum i n t e r - f l c c r d e f l e c t i o n s . A q c o d i n d i c a t i o n o f t h e p a r t i c i p a t i o n o f t h e f i r s t mode s h a p e t y p e i n e a c h f r a m e i s i t s t o p s t o r e y d e f l e c t i o n w h i c h rcay t h e r e f o r e s e r v e a s t h e r e q u i r e d c r i t e r i o n . I n f a c t , i t was f o u n d t h a t maximum t o p s t o r e y d e f l e c t i o n s u s u a l l y c o i n c i d e d w i t h maximum i n t e r - f l o o r d e f l e c t i o n s t h r o u q h o u t t h e s t r u c t u r e . The roaxiium t o p s t o r e y d e f l e c t i o n c f e a c h f r a m e was t h e r e f o r e c h o s e n t o r e p r e s e n t t h e a g q r e g a t e r e s p o n s e o f t h e s t r u c t u r e t c a p a r t i c u l a r e a r t h q u a k e i n a c o n c i s e and r e p r e s e n t a t i v e n a u n e r . 5 3 ^ a l 2 - S g § a l £ § - a . n ^ _ C o n c l u s i o n s T h i s s t u d y d e t e r m i n e d w h i c h s t r u c t u r e s a r e m o s t s u s c e p t i b l e t o b e a t i n g . A m e t h o d w a s t h e n p r e s e n t e d t o p r e d i c t w h e t h e r o r n o t a s t r u c t u r e w o u l d f a l l i n t h i s c l a s s . A s e r i e s o f s t r u c t u r e s w a s t h e n e x a m i n e d u s i n g t h e p r o g r a m d e s c r i b e d i n c h a p t e r 2 a n d t h e E l C e n t r o e a r t h q u a k e r e c o r d . A l t h o u g h t h e s e r i e s i n c l u d e d s t r u c t u r e s w h i c h w e r e c o n s i d e r e d m o s t s u s c e p t i b l e t o b e a t i n g , t h e p h e n o m e n o n d i d n o t a p p e a r t o b e a s s e r i o u s a s w a s i n d i c a t e d b y p r e v i o u s i n v e s t i g a t o r s . T h e d i s c r e p a n c y m a y b e d u e t o t h e e m p l o y m e n t b y p r e v i o u s a u t h o r s o f t h e r o o t m e a n s q u a r e m e t h o d o r t h e a b s o l u t e s u m m e t h o d o f m o d a l s y n t h e s i s , w h i c h g i v e r i s e t o m i s l e a d i n g r e s u l t s . I t i s t r u e t h a t t h e o n e f r a m e l a y o u t u s e d i n t h e s e r i e s o f t e s t m a y n o t h a v e e x h i b i t e d t h e b e a t i n g p h e n o m e n o n t o i t s g r e a t e s t e x t e n t , b u t i t a p p e a r e d t h a t t h e m a x i m u m i n c r e a s e i n r e s p o n s e p a r a m e t e r s w h i c h c o u l d b e a t t r i b u t e d t o b e a t i n g w a s a b o u t t e n p e r c e n t . I n c o m p a r i s o n t o t h e e f f e c t s o f e c c e n t r i c i t y , t h i s s m a l l p e r c e n t a g e i s n e g l i g i b l e . B e a t i n g , w h i c h w a s f u l l y i n v e s t i g a t e d i n t h i s s t u d y , d i d n o t a p p e a r t o b e s e r i o u s e n o u g h t o w a r r a n t t h e i n c l u s i o n o f p r o v i s i o n s i n a n e a r t h q u a k e d e s i g n c o d e . T h e b e a t i n g e x a m i n e d i n t h i s w o r k w a s t h a t b e t w e e n t o r s i o n a l l y c o u p l e d m o d e s o f p r i s m a t i c s t r u c t u r e s ; h o w e v e r , b e a t i n g c a n o c c u r i n d i f f e r e n t 54 f o r m s s u c h a s t h a t b e t w e e n s e t b a c k s a n d t h e m a i n s t r u c t u r e . T h e c o n c l u s i o n s a r e t h e r e f o r e r e s t r i c t e d t o t h e s e n s e o f b e a t i n g u s e d t h r o u g h o u t t h i s c h a p t e r . 55 C H A P T E R _ 4 L A R G E E C C E N T R I C I T I E S U .1. i n t r o d u c t i o n S t r u c t u r e s w h i c h h a v e l a r g e e c c e n t r i c i t i e s e x h i b i t d a n g e r o u s l y h i g h t o r s i o n a l r e s p o n s e s d u r i n g e a r t h q u a k e e x c i t a t i o n s . S o m e f a i l u r e s o f t h e s e s t r u c t u r e s , s u c h a s t h a t o f t h e P e n n y B u i l d i n g i n A n c h o r a g e , A l a s k a , d e m o n s t r a t e t h e h a z a r d s o f s u c h d e s i g n s . A n a r c h i t e c t u r a l c o n c e p t m a y r e q u i r e a n a s y m r a e t r i c i c a l s t r u c t u r e , b u t l a r g e e c c e n t r i c i t i e s s h o u l d b e d i s c o u r a g e d i n s p i t e o f t h e a p p l i c a t i o n o f c o d e p r o v i s i o n s . E c c e n t r i c i t i e s s h o u l d b e k e p t b e l o w t w e n t y p e r c e n t o f t h e p l a n d i m e n s i o n s w h e r e v e r p o s s i b l e . T h e p r o n o u n c e d c o u p l i n g o f t o r s i o n a l a n d t r a n s l a t i o n a l m o t i o n s i n s t r u c t u r e s w i t h l a r g e e c c e n t r i c i t i e s m a y i n t r o d u c e d e f l e c t i o n s h i g h e r t h a n t h o s e w h i c h c a n b e p r e d i c t e d b y p r e s e n t k n o w l e d g e o f s t r u c t u r a l r e s p o n s e . I n d e a l i n g w i t h t h e u n e x p l o r e d , s t r u c t u r e s h a v i n g l a r g e e c c e n t r i c i t i e s a r e p o t e n t i a l l y m o r e u n s a f e t h a n a r e s y m m e t r i c s t r u c t u r e s , a l t h o u g h b o t h m a y c o n f o r m t o t h e c o d e . 56 On t h e o t h e r h a n d , i t may be t h a t t h e c o d e u n d u l y p e n a l i z e s s t r u c t u r e s w i t h l a r g e e c c e n t r i c i t i e s b e c a u s e o f t h e u n c e r t a i n t i e s a n d b e c a u s e o f t h e r e l a t i v e l y more f r e q u e n t f a i l u r e s o f s u c h s t r u c t u r e s . T h e s e f a i l u r e s may be a t t r i b u t e d t o a d h e r e n c e t o t h e l e t t e r r a t h e r t h a n t o t h e s p i r i t o f t h e c o d e . I n t i m e , t h e c o d e , w h i c h r e l i e s on b o t h r e s e a r c h and e x p e r i e n c e , w i l l become more r e f i n e d i n t h e a r e a o f t o r s i o n a l r e s p o n s e o f e c c e n t r i c s t r u c t u r e s , p r e f e r a b l y a s a r e s u l t o f r e s e a r c h r a t h e r t h a n t h r o u g h t h e e v i d e n c e o f f a i l u r e s . T h i s c h a p t e r c o m p a r e s t h e c o d e d e s i g n o f t h r e e s t r u c t u r e s w i t h a c o m p u t e r a n a l y s i s o f t h e i r b e h a v i o r . T h i s c o m p a r i s o n , w h i c h i s b a s e d on t h r e e v e r y p a r t i c u l a r c a s e s , c a n n o t be g e n e r a l i z e d t o r e p r e s e n t a n y s t r u c t u r e u n d e r any e a r t h q u a k e , b u t w i l l i l l u s t r a t e t h e m a g n i t u d e o f t h e d i s c r e p a n c i e s b e t w e e n t h e b e h a v i o r e n v i s a g e d by t h e c o d e and t h a t p r e d i c t e d by t h e a n a l y s i s . U . 2...Code--Lateral._Force R e s i s t i n g E l e m e n t s The c o d e d o e s c o n s i d e r s t r u c t u r e s w i t h l a r g e e c c e n t r i c i t i e s . The e f f e c t s o f a c c i d e n t a l mass e c c e n t r i c i t i e s and s t i f f n e s s v a r i a t i o n s a r e n o r m a l l y c o m b i n e d w i t h t h e e f f e c t s o f r o t a t i o n a l e a r t h q u a k e i n p u t a n d a c c o u n t e d f o r by a m o d i f i c a t i o n o f t h e c o m p u t e d e c c e n t r i c i t y o f t h e mass w i t h r e s p e c t t o t h e c e n t r e o f r i g i d i t y . The c o d e s t a t e s : "The d e s i g n 57 e c c e n t r i c i t y i s t o b e t a k e n a s 1 .5 t i m e s t h e c o m p u t e d v a l u e a n d t h e n i n c r e a s e d b y 5% o f t h e r e l e v e n t p l a n d i m e n s i o n . W h e n t h e d e s i g n v a l u e s o c o m p u t e d e x c e e d s 25% o f t h e p l a n d i m e n s i o n , t h e e f f e c t s o f t o r s i o n a r e t o b e d o u b l e d . " T h e 5% i n c r e a s e i n e c c e n t r i c i t y r e q u i r e d b y t h e c o d e w i l l b e o m i t t e d i n c o m p a r i s o n s w i t h t i m e - s t e p a n a l y s e s b e c a u s e i t a c c o u n t s f o r t h e e f f e c t s o f a c c i d e n t a l e c c e n t r i c i t y a n d r o t a t i o n a l e a r t h q u a k e e x c i t a t i o n s , a n d t h e s e f a c t o r s w o u l d a f f e c t b o t h t h e c o d e a n d c o m p a r i s o n a n a l y s i s . H • 1 _ g o d e - - N o n - l a t e r a l F o r c e R e s i s t i n g E l e m e n t s C o l u m n s , w h i c h a r e n o t p a r t o f t h e l a t e r a l f o r c e r e s i s t i n g s y s t e m , m u s t r e m a i n i n t a c t w h i l e u n d e r g o i n g t h e l a t e r a l d e f l e c t i o n s c a u s e d b y a n e a r t h q u a k e . A l t h o u q h i t m a y n o t b e e s s e n t i a l f r o m a s a f e t y p o i n t o f v i e w , i t i s c l e a r l y d e s i r a b l e t h a t t h e n o n - s t r u c t u r a l e l e m e n t s a l s o s h o u l d s u r v i v e t h e s e d e f o r m a t i o n s . T h e l a r q e s t d e f l e c t i o n s o f a h i q h l y e c c e n t r i c s t r u c t u r e w i l l o c c u r , n o t w h e r e t h e l a t e r a l r e s i s t i n g e l e m e n t s a r e c o n c e n t r a t e d — a t t h e l o c a t i o n o f t h e c e n t r e o f r i g i d i t y — b u t a t t h e m o s t d i s t a n t p o i n t s f r o m t h i s c o n c e n t r a t i o n . T h e m a g n i t u d e o f t h e s e d e f l e c t i o n s m a y b e l a r g e , a n d t h o s e c o m p o n e n t s o f t h e s t r u c t u r e , w h i c h a r e n o t p a r t o f t h e l a t e r a l f o r c e r e s i s t i n g s y s t e m , b u t w h i c h m u s t n e v e r t h e l e s s a c c e p t t h e a c c o m p a n y i n g d e f o r m a t i o n s , s h o u l d b e c a r e f u l l y c h e c k e d i n t h i s r e s p e c t . 58 H . U A p p r o a c h t o t h e P r o b l e m I t i s r e c o g n i z e d t h a t t h e d e f l e c t i o n s o b t a i n e d b y a n e l a s t i c t i m e - s t e p a n a l y s i s w i l l b e g r e a t e r t h a n t h o s e p r e d i c t e d b y t h e c o d e , s i n c e t h e c o d e d e f i n e s e q u i v a l e n t s t a t i c f o r c e s o b t a i n e d e s s e n t i a l l y b y o b s e r v a t i o n o f s t r u c t u r e s w h i c h e x h i b i t e d e l a s t o - p l a s t i c b e h a v i o r i n p a s t e a r t h q u a k e s . T h u s r a t h e r t h a n c o m p a r i n g t h e c o m p u t e d d e f l e c t i o n s w i t h t h e c o d e d e f l e c t i o n s d i r e c t l y , t h e r a t i o o f t h e s e v a l u e s w i l l b e s t u d i e d a s t h e e c c e n t r i c i t y o f t h e m a s s i s v a r i e d i n t h e t e s t s t r u c t u r e s . I f t h e r a t i o o f c o m p u t e d t o c o d e d e f l e c t i o n s r e m a i n s c o n s t a n t , i t m a y b e a s s u m e d t h a t t h e c o d e i s p r o v i d i n g f o r d e s i g n s w i t h c o n s i s t e n t f a c t o r s o f s a f e t y ; i f t h e r a t i o c h a n g e s , t h e n t h e c o m p u t e r a n a l y s i s i s s u g g e s t i n g a v a r i a t i o n i n t h e c o d e f a c t o r o f s a f e t y . T h e s t r u c t u r e s w h i c h a r e t o b e e x a m i n e d w e r e p r e v i o u s l y p r e s e n t e d i n C h a p t e r 3 . T h e s e s t r u c t u r e s a r e s q u a r e i n p l a n w i t h e q u a l s t i f f n e s s e s i n t h e t w o t r a n s l a t i o a l d i r e c t i o n s . T h e t w o o r t h o g o n a l a c c e l e r a t i o n s o f E l C e n t r o w e r e s i m u l t a n e o u s l y a p p l i e d f o r 1 7 s e c o n d s t o t h e s e s t r u c t u r e s a s i n C h a p t e r 3 . T h e m a j o r d e s t r u c t i v e p o r t i o n o f t h i s e a r t h q u a k e o c c u r s w i t h i n t h e f i r s t 1 7 s e c o n d s , a n d i t w a s f e l t t h a t o m i s s i o n o f l a t t e r p o r t i o n s o f t h e r e c o r d w o u l d n o t s e r i o u s l y e f f e c t t h e r e s u l t s . T h e c o d e d e f l e c t i o n s w i l l b e c a l c u l a t e d f o r t h e s e s t r u c t u r e s , a n d t h e n c o m p a r e d w i t h t h e c o m p u t e d v a l u e s . 4 . 5 . , C o m p a r i s o n o f C o d e R e s u l t s a n d C o m p u t e d R e s u l t s T h e d e f l e c t i o n s o f a h i g h l y e c c e n t r i c s t r u c t u r e c a n b e d e t e r m i n e d t h r o u g h c o d e c a l c u l a t i o n s a n d c o m p a r e d w i t h t h o s e f o r a s y m m e t r i c a l s t r u c t u r e o f t h e s a m e s t i f f n e s s e s . S i n c e t h e s t r u c t u r e s c o n s i d e r e d a r e t o b e l i n e a r l y e l a s t i c , l a r g e r d e f l e c t i o n s w i l l i m p l y l a r g e r f o r c e s . T h e d e f l e c t i o n s c a n t h e r e f o r e b e c o n s i d e r e d r e p r e s e n t a t i v e o f t h e f o r c e s , a n d t h e o n e s o f p r i m a r y i n t e r e s t a r e t h o s e a c t i n g i n : ( a ) t h e l a t e r a l f o r c e r e s i s t i n g e l e m e n t s , a n d ( b ) t h e n o n - l a t e r a l f o r c e r e s i s t i n g e l e m e n t s . A l s o o f i n t e r e s t i s t h e m a x i m u m d e f l e c t i o n o f t h e s t r u c t u r e w h i c h m u s t b e e n d u r e d b y ( b ) . T o s i m p l i f y t h e c o d e c a l c u l a t i o n s , t h e c e n t r e o f r i g i d i t y a n d t h e s h e a r c e n t r e w e r e a s s u m e d t o c o n i n c i d e . T h i s i m p l i e s a l o s s o f v e r t i c a l c o m p a t i b i l i t y a t t h e f r a m e j u n c t i o n s f o r t h e t h r e e s e r i e s o f s t r u c t u r e s . T h e o m i s s i o n o f v e r t i c a l c o m p a t i b i l i t y a s d i s c u s s e d i n s e c t i o n 2 . 3 , l e a d s t o a w e a k e r s t r u c t u r e , a n d t h u s w i l l y i e l d a n u p p e r b o u n d o n t h e c o d e d e f l e c t i o n s . I n c o m p a r i n g t h e c o m p u t e d a n a l y s i s t o a c o d e a n a l y s i s t h e m e a n i n g o f t h e c o d e m u s t f i r s t b e u n d e r s t o o d . T h e c o d e c a l c u l a t i o n s r e l y o n t h e l o c a t i o n o f t h e c e n t r e s o f s h e a r a n d 60 m a s s . F o r a p r i s m a t i c s t r u c t u r e t h e s e c e n t r e s m a y b e c a l c u l a t e d o n a f l o o r t o f l o o r b a s i s ; t h a t i s t o s a y , t h e s h e a r c e n t r e may b e c o m p u t e d b y d e t e r m i n i n g t h e p o i n t t h r o u g h w h i c h a l o a d m u s t b e a p p l i e d t o c a u s e t r a n s l a t i o n b u t n o r o t a t i o n o f a g i v e n f l o o r w h e n t h e f l o o r a b o v e a n d b e l o w a r e h e l d f i x e d . T h i s s i m p l i f i e d m e t h o d m a y b e t h e i n t e n t o f t h e c o d e , b u t s u c h a d e f i n i t i o n o f t h e s e c e n t r e s o n a n o n - p r i s m a t i c s t r u c t u r e m a y b e v e r y q u e s t i o n a b l e . T h e c e n t r e o f s h e a r w o u l d m o r e c o r r e c t l y b e d e f i n e d a s t h e p o i n t , o n a q i v e n f l o o r , t h r o u g h w h i c h a f o r c e c a n b e a p p l i e d w i t h o u t c a u s i n g a r o t a t i o n o f t h a t f l o o r , u n d e r t h e t r u e b o u n d a r y c o n d i t i o n s , w i t h r e s t r a i n t s o n l y a t t h e b a s e . T h i s d e f i n i t i o n w o u l d , o f c o u r s e , e n t a i l m u c h m o r e c o m p u t i n g a n d w o u l d r e n d e r t h e c o d e m e t h o d i m p r a c t i c a l a s f a r a s e a s e o f c a l c u l a t i o n i s c o n c e r n e d . I n t h i s s t u d y t h e s t r u c t u r e s a r e p r i s m a t i c s o , i n c a l c u l a t i n g t h e c e n t r e o f s h e a r , t h e s t r u c t u r e s w e r e r e d u c e d t o o n e s t o r e y f o r e a s e o f c a l c u l a t i o n s . T h e c o d e " e a r t h q u a k e " f o r c e i s h e r e a s s u m e d c o n s t a n t f o r t h e s t r u c t u r e a s t h e e c c e n t r i c i t y i s v a r i e d , a l t h o u q h i t i s a f u n c t i o n o f t h e n a t u r a l p e r i o d o f t h e s t r u c t u r e a n d t h e r e f o r e s h o u l d b e c h a n q e d s o m e w h a t . T h e n a t u r a l p e r i o d o f t h e s t r u c t u r e c a n b e c a l c u l a t e d f r o m m e t h o d s d e s c r i b e d i n s e c t i o n 3 . 7 b u t s u c h a c a l c u l a t i o n i s u n n e c e s s a r y f o r t h e s e c o m p a r i s o n s s i n c e t h e c o d e f o r c e i s v e r y i n s e n s i t i v e t o v a r i a t i o n s i n p e r i o d . 61 U.6 T e s t S t r u c t u r e s I n t h e f o l l o w i n g c a l c u l a t i o n s : A| = d e f l e c t i o n o f t h e s i d e o f t h e b u i l d i n g f u r t h e s t f r o m t h e c e n t r e o f r i g i d i t y , A ^ = d e f l e c t i o n o f t h e c e n t r e o f r i g i d i t y , and A 3 = d e f l e c t i o n o f a s i d e o f t h e b u i l d i n g p a r a l l e l t o t h e l i n e j o i n i n g t h e c e n t r e s o f mass and r i g i d i t y . 62 E c c e n t r i c i t y = 0 . 5 d T h e c o d e m o m e n t , M , f o r e c c e n t r i c i t y e f f e c t s a l o n e i s : M = (l '.5»[OJ5d]*2.)*F N o t e t h a t t h e e c c e n t r i c i t y , 0 . 5 d , i s m o d i f i e d b y n o t o n l y a f a c t o r o f 1 . 5 b u t i s a l s o d o u b l e d b e c a u s e t h e e c c e n t r i c i t y e x c e e d s 2 0 % o f t h e b u i l d i n g p l a n . T h e t o r s i o n a l s t i f f n e s s a b o u t t h e c e n t r e o f r i g i d i t y , K T , i s : K T - Z . K * C 0 . 5 c l ] 2 = 0 . 5 d z K T h e r o t a t i o n , S , o f t h e s t r u c t u r e a b o u t t h e c e n t r e o f r i g i d i t y i s : 63 The d e f l e c t i o n o f t h e c e n t r e o f r i g i d i t y , A ^ , i s s i m p l y : The d e f l e c t i o n s e l s e w h e r e i n t h e s t r u c t u r e c a n now be c a l c u l a t e d . The d e f l e c t i o n i n t h e o p p o s i t e s i d e o f t h e s t r u c t u r e on t h e p e r i p h e r y , A , , i s : A , = A z + e d _F_ GF *d _ 7F-2.K + Z K d ~ 2 K and t h e d e f l e c t i o n i n t h e s i d e s p a r a l l e l t o t h e d i r e c t i o n o f t h e e c c e n t r i c i t y , A 3 , i s : & F d _ 3F 2Kd 2. Z K 64 Structure 2 Eccentricity = 0.5d Similar calculations for structure 2 give: M = 1.5 Fd K 4 K * / _ d _ f . d 2 K T V 2 V 3 J G A, = M K F K 5 F d ' - , . 9 F d 2 K V 2 K d 1 z 2 K 2 K d F + S F *d _ I O F 2 K 3 U / 2 K d 2 2 K 65 Similar calculations for structure 3 give: e - 1.5 F d ^ 4 8 F 2 K d 2 K 2 K d 2 K 3 ~ 2 K d 2 2 K d 66 T h e s e r e s u l t s a r e now t a b u l a t e d i n T a b l e 4.1 a s a r a t i o o f t h e d e f l e c t i o n o f a s y m m e t r i c a l s t r u c t u r e w i t h t h e same s t i f f n e s s e l e m e n t s . i T | Code D e f l e c t i o n / Code D e f l e c t i o n f o r S y m m e t r i c a l S t r u c t u r e j ^ -1 H -I ^ | D e f l e c t i o n | S t r u c t u r e 1 | S t r u c t u r e 2 | S t r u c t u r e 3 | r + H + - 4 I A, I 7 . | 1 0 . | 49. | I A 2 | 1 . | 1 . | 1 . | I A 3 I 3. | 4.5 | 24. | t i : L L J T a b l e j t ^ l A s i m i l a r s e t o f r e s u l t s f o r t h e d e f l e c t i o n s e x p r e s s e d a s a r a t i o o f t h e d e f l e c t i o n o f a s y m m e t r i c a l s t r u c t u r e w i t h t h e same s t i f f n e s s e l e m e n t s o b t a i n e d by t i m e - s t e p c o m p u t a t i o n s a s p r e v i o u s l y d e s c r i b e d i s t a b u l a t e d i n T a b l e 4.2. 67 C o m p u t e d D e f l e c t i o n / C o m p u t e d D e f l e c t i o n f o r S y m m e t r i c a l S t r u c t u r e D e f l e c t i o n A, A: S t r u c t u r e 1 1 . 2 0 . 4 1 . 2 S t r u c t u r e 2 1 . 8 0 . 4 1 . 2 S t r u c t u r e 3 4 . 9 0 . 3 2 . 3 T a b l e 4 . 2 T a b l e 4 . 1 a n d T a b l e 4 . 2 c a n b e c o m b i n e d i n t o T a b l e 4 . 3 w h e r e t h e c o d e r a t i o s a r e e x p r e s s e d a s a r a t i o o f t h e c o m p u t e d r a t i o s . 68 Increased D e f l e c t i o n s due to E c c e n t r i c i t y as R a t i o o f Those i n | Symmetrical S t r u c t u r e I Code I n c r e a s e / Computed Increase I D e f l e c t i o n | S t r u c t u r e 1 I S t r u c t u r e 2 | S t r u c t u r e 3 | A, I 5.7 | 5.7 | 10.0 | A, ' | 2.6 I 2.7 | 2.9 | A 3 | 2.5 | 3.8 | 10.6 | 1 1 . . . „ . . , . , . . , 1 Table 4.3 4 . 7 _ p i s c u s s i o n of R e s u l t s He examine the d e f l e c t i o n A | of the s i d e f a r t h e s t from the c e n t r e o f r i g i d i t y . T h i s d e f l e c t i o n i n d i c a t e s the deformation t h a t has to be absorbed by both the s t r u c t u r a l and n o n - s t r u c t u r a l elements i n t h i s r e g i o n and t h e r e f o r e suggests the amount of damage the b u i l d i n g might s u f f e r , even i f i t s u r v i v e s an earthquake without s t r u c t u r a l f a i l u r e . I t may be worth n o t i n g a t t h i s time t h a t c e r t a i n b u i l d i n g s i n Managua, f o r example, s u r v i v e d the 1972 earthguake with very l i t t l e s t r u c t u r a l f a i l u r e , but s u f f e r e d so much n o n - s t r u c u t r a l damage th a t the r e p a i r c o s t exceeded t h a t of o r i g i n a l c o n s t r u c t i o n . 69 A s w o u l d be e x p e c t e d , T a b l e 4.2 shows t h a t s t r u c t u r e 3, t h e w e a k e s t o f t h e t h r e e i n t o r s i o n , e x h i b i t e d t h e l a r g e s t A , r a t i o o f 4.9. However, t h e c o d e a p p e a r e d t c e x p e c t a A , r a t i o o f 4 9 . , a s i s s e e n i n T a b l e 4.1. T h u s , i f t h e t i m e -s t e p a n a l y s e s c a r r i e d o u t h e r e a r e r e p r e s e n t a t i v e o f t h e r e a l e a r t h q u a k e b e h a v i o r , t h e c o d e w o u l d l e a d t o t h e e f f e c t o f t h i s e c c e n t r i c i t y b e i n g o v e r e s t i m a t e d by a f a c t o r o f t e n . N e v e r t h e l e s s , F i g . 4.1 d o e s show t h a t a s e c c e n t r i c i t y i n c r e a s e s , t h e e f f e c t on A , r i s e s , and t h i s r i s e i s v e r y s h a r p when t h e e c c e n t r i c i t y e x c e e d s t w e n t y p e r c e n t . The d e f l e c t i o n o f t h e c e n t r e o f r i g i d i t y d e n o t e d by A 2 w i l l now be e x a m i n e d . A l t h o u g h t h e c o d e p r o c e d u r e o f e a r t h g u a k e d e s i g n i s d e p e n d e n t on t h e e c c e n t r i c i t y o f t h e c e n t r e s o f mass and r i g i d i t y , t h e d e f l e c t i o n o f t h e c e n t r e o f r i g i d i t y , c a l c u l a t e d f r o m t h e c o d e , i s a l w a y s c o n s t a n t and t h e r e f o r e t h i s d e f l e c t i o n i s i n d e p e n d e n t o f e c c e n t r i c i t y i n t h e c o d e p r o c e d u r e . T h i s i s what one w o u l d e x p e c t ; a l t h o u g h t h e c o d e s t a t i c p r o c e d u r e p r o d u c e s i n c r e a s e d t o r s i o n a l moments a b o u t t h e c e n t r e o f r i g i d i t y w i t h l a r g e r e c c e n t r i c i t i e s , t h e r e s i s t i n g f o r c e , w h i c h a c t s t h r o u g h t h e c e n t r e o f r i g i d i t y , must a l w a y s e q u a l t h e a p p l i e d c o d e f o r c e w h i c h i s e c c e n t r i c i t y - i n d e p e n d e n t . I f d e f l e c t i o n s v a r y d i r e c t l y w i t h f o r c e s , t h e d e f l e c t i o n o f t h e c e n t r e o f r i q i d i t y w i l l n o t be a f f e c t e d by e c c e n t r i c i t y a c c o r d i n q t o any s t a t i c p r o c e d u r e s u c h a s t h a t o f t h e c o d e . 70 T h i s i s n o t t h e c a s e w i t h t h e d y n a m i c a n a l y s i s : t h e d e f l e c t i o n o f t h e c e n t r e o f r i g i d i t y was r e d u c e d t o l e s s t h a n h a l f f o r t h e t h r e e h i g h l y e c c e n t r i c s t r u c t u r e s e x a m i n e d . The r e a s o n f o r s u c h a d e c r e a s e may b e s t be d e s c r i b e d by t h e f o l l o w i n g e x a m p l e . C o n s i d e r t h e t w o d e g r e e o f f r e e d o m s y s t e m : M o t i o n o f t h e p e n d u l u m i s r e s i s t e d by two s p r i n g s a t end A ; K K i s a t o r s i o n a l s p r i n g r e s i s t i n g r o t a t i o n a l m o t i o n , and i s a l i n e a r s p r i n g r e s i s t i n g t r a n s l a t i o n a l m o t i o n . The mass, ry\ , i s e x c i t e d by an i m p r e s s e d f o r c e Rt) ( c a u s e d by t h e b a s e a c c e l e r a t i o n s ) a s shown a b o v e . T h i s e x c i t a t i o n , when Ky. i s z e r o , d o e s n o t p r o d u c e t r a n s l a t i o n s , y , a t A «, i 71 H o w e v e r , w h e n K r i s i n f i n i t e , t h e t r a n s l a t i o n s o f t h e e n d A a p p r o a c h t h e s o l u t i o n o f t h e e q u a t i o n , o r t h e s y s t e m c a n b e r e p r e s e n t e d a s f o l l o w s : f F i t ) T h u s i n t h i s s i m p l e e x a m p l e t h e d e f l e c t i o n s , \j , o f A a r e i n c r e a s e d w h e n t h e t o r s i o n a l s t i f f n e s s , K ^ , i s i n c r e a s e d . A n i n c r e a s e i n t h e l e n g t h o f t h e b a r w i l l h a v e a s i m i l a r e f f e c t t o r e d u c i n g t h e t o r s i o n a l s t i f f n e s s K ^ . T h e s y s t e m d e s c r i b e d h a s i t s c e n t r e o f r i g i d i t y a t t h e e n d A o f t h e p e n d u l u m . A s i m p l e m o d e l o f a m u l t i d e g r e e o f f r e e d o m s t r u c t u r e c a n b e r e p r e s e n t e d b y t h i s s y s t e m : a n i n c r e a s e i n t h e l e n g t h o f t h e p e n d u l u m w i l l r e p r e s e n t a l a r g e r e c c e n t r i c i t y i n t h e m u l t i d e g r e e o f f r e e d o m s y s t e m ; a n i n c r e a s e i n t h e s t i f f n e s s i n t h e s p r i n g K r w i l l r e p r e s e n t s t r o n g e r t o r s i o n a l r e s i s t a n c e . 72 From t h e p r e v i o u s d i s c u s s i o n o f t h i s two d e g r e e o f f r e e d o m s y s t e m , t h e f o l l o w i n g two c o n c l u s i o n s w o u l d be e x p e c t e d : 1) As a s t r u c t u r e became more e c c e n t r i c t h e movement o f t h e c e n t r e o f r i g i d i t y w o u l d be d e c r e a s e d . 2) As an e c c e n t r i c s t r u c t u r e became w e a k e r i n t o r s i o n , t h e movement o f t h e c e n t r e o f mass w o u l d be d e c r e a s e d . One w o u l d e x p e c t t h e r e s u l t s shown i n T a b l e 1.2 t o c o n f i r m t h e s e two c o n c l u s i o n s . H owever, F i g 4.2 shows s t r u c t u r e s weak i n t o r s i o n ( s t r u c t u r e 3) may n o t f u l f i l l t h i s e x p e c t a t i o n . The d e f l e c t i o n A ^ a c t u a l l y i n c r e a s e s t o a maximum o f 1.6 a t an e c c e n t r i c i t y 0.3 f o r t h i s s t r u c t u r e , b u t t h e n d e c r e a s e s t o t h e v a l u e shown i n T a b l e 4.2. This a n o m a l l y i n t h e r e s u l t s may be due t o t h e n e g l e c t o f r o t a r y i n e r t i a i n t h e p r e v i o u s m o d e l . When t o r s i o n a l s t i f f n e s s i s v e r y l o w , t h e r o t a r y i n e r t i a o f t h e mass may p l a y a l a r g e p a r t i n t h e r e s p o n s e . The d e f l e c t i o n s A 3 , w h i c h a r e p a r a l l e l t o t h e s e n s e o f t h e e c c e n t r i c i t y a n d a r e on t h e p e r i p h e r y o f t h e b u i l d i n g p l a n , a r e g o o d i n d i c a t o r s o f t h e t o r s i o n a l r e s p o n s e b e c a u s e t h e s e a r e d e f l e c t i o n s o f p o i n t s a t a c o n s t a n t d i s t a n c e f r o m t h e c e n t r e o f r i g i d i t y f o r e a c h o f t h e t h r e e s e r i e s o f s t r u c t u r e s t h a t w e r e c o n s i d e r e d . On t h e o t h e r hand t h e d e f l e c t i o n s A , , o f 73 p o i n t s which vary i n d i s t a n c e from the c e n t r e of r i g i d i t y , do not t r u l y demonstrate the e x t e n t of the r o t a r y motion. The computed r e s u l t s i n T a b l e 4.2 show those of s t r u c t u r e 3 to be approximately double those of the oth e r two s t r u c t u r e s . Such an i n c r e a s e i s more than p r o v i d e d f o r i n the code as shown i n Table 4.3; s t r u c t u r e 3 has a r a t i o 10.6 f o r the d e f l e c t i o n s A 3 , which i s what one would expect s i n c e A , , which i s a l s o h i g h l y dependent on t o r s i o n a l response, had a co r r e s p o n d i n g r a t i o of 10.0. The r e s u l t s f o r the two s i d e s of the s t r u c t u r e are shown i n F i g 4.1 and F i g 4.4 as a f u n c t i o n of e c c e n t r i c i t y ; the l a r g e r d e f l e c t i o n i s d e f i n e d t o be A 3 . I t i s seen t h a t there i s an abnormality i n the curve f o r s t r u c t u r e 2 at s m a l l e c c e n t r i c i t i e s ; t h i s may be a t t r i b u t e d t o the b e a t i n g phenomenon d i s c u s s e d i n Chapter 3. 4_^_Conclusions The code shows an i n c r e a s e i n a l l d e f l e c t i o n s as e c c e n t r i c i t y i n c r e a s e s except f o r the d e f l e c t i o n of the c e n t r e of r i g i d i t y , which remains co n s t a n t f o r a l l e c c e n t r i c i t i e s . The computed r e s u l t s show the c o n s e r v a t i v e n e s s of the code i n c r e a s e s i n s t r u c t u r e s with g r e a t e r e c c e n t r i c i t i e s , except that i t u nderestimates the movement of the c e n t r e of r i g i d i t y f o r s t r u c t u r e s t h a t are weak i n t o r s i o n and which have s m a l l e c c e n t r i c i t i e s . The movement of the c e n t r e of r i g i d i t y , however, i s of l e s s i n t e r e s t than the t r a n s l a t i o n s A , which are much 74 g r e a t e r . The c o d e p e n a l i z e s h i g h l y e c c e n t r i c s t r u c t u r e s by p r e d i c t i n g l a r g e d e f l e c t i o n s f o r p a r t s o f t h e b u i l d i n g . I n t h e c a s e o f s t r u c t u r e 3 , t h e i n c r e a s e o f d e f l e c t i o n due t o e c c e n t r i c i t y a s p r e d i c t e d by t h e c o d e was a s much a s t e n t i m e s t h a t p r e d i c t e d by t i m e - s t e p a n a l y s i s . I n g e r n e r a l , T a b l e 4 . 3 i n d i c a t e s t h a t t h e c o d e i s much more c o n s e r v a t i v e f o r h i g h l y e c c e n t r i c s t r u c t u r e s t h a n i t i s f o r s y m m e t r i c o n e s — i e . i t o v e r c o m p e n s a t e s f o r t h e e f f e c t s o f e c c e n t r i c i t y . I n some c a s e s t h i s c o n s e r v a t i s m may be s o g r e a t a s t o r e n d e r t h e d e s i g n i n f e a s i b l e . H o w e v e r , t h e p r o b a b l e r e s u l t o f t h i s i s t o f o r c e d e s i g n e r s t o make a d y n a m i c a n a l y s i s , w h i c h i s d e s i r a b l e , a s t h e d e g r e e o f s a f e t y c o r r e s p o n d i n g t o c o d e d e s i g n may v a r y w i t h u n u s u a l s t r u c t u r e s , a n d i t w o u l d be u n w i s e t o g e n e r a l i z e t o o f a r on t h e b a s i s o f t h e r e s u l t s shown i n T a b l e 4 . 3 . 75 CHAPTER 5 ROTATIONAL EXCITATIONS 5 ^ 1 ^ I n t r o d u c t i o n C o n t i n u u m m e c h a n i c s p r o v i d e s a t h e o r y w h i c h e s t a b l i s h e s t h a t a r o t a t i o n a l e a r t h q u a k e e x c i t a t i o n e x i s t s . Such a m o t i o n h a s n e v e r b e e n r e c o r d e d , b u t i t c o u l d be e s t i m a t e d f r o m two p a r t i c u l a r t r a n s l a t i o n a l e x c i t a t i o n r e c o r d s ; t h e s e r e c o r d s w o u l d h a v e t o be f r o m two d i f f e r e n t p o i n t s i n t h e r i g i d f o u n d a t i o n o f a s t r u c t u r e , b u t w o u l d r e f e r t o m o t i o n s i n a d i r e c t i o n n o r m a l t o a l i n e j o i n i n g t h e two p o i n t s . U n f o r t u n a t e l y , t h e s t a n d a r d e a r t h q u a k e r e c o r d , w h i c h i s composed o f t w o o r t h o g o n a l t r a n s l a t i o n s m e a s u r e d a t t h e same p l a c e , w i l l n o t y i e l d t h e e x a c t r o t a t i o n a l e x c i t a t i o n . O n l y a l i m i t on t h i s e x c i t a t i o n c a n be e s t a b l i s h e d f r o m s u c h d a t a . N e w m a r k 1 3 p r o p o s e d a method w h i c h g a v e t h e maximum m a g n i t u d e o f t h e r o t a t i o n a l e x c i t a t i o n o f a f o u n d a t i o n . The b a s i c t h e o r y o f t h i s method can be e x t e n d e d , a s i n A p p e n d i x I , t o o b t a i n t h e e n t i r e r o t a t i o n a l e x c i t a t i o n r e c o r d w i t h t h e u s e o f t h e d i g i t a l c o m p u t e r . The 76 a s s u m p t i o n s u s e d i n t h e t h e o r y y i e l d a c o n s e r v a t i v e o v e r e s t i m a t i o n o f t h e r o t a t i o n a l e x c i t a t i o n . 5 . 2 A s s u m p t i o n s C e r t a i n a s s u m p t i o n s m u s t b e m a d e i n o r d e r t o r e p r e s e n t t h e p h y s i c a l p r o b l e m i n a s i m p l e m a t h e m a t i c a l f o r m . T h e f o u n d a t i o n o f t h e s t r u c t u r e , w h i c h , i n t h e e x a m p l e s c o n s i d e r e d h e r e i n , i s r i g i d a n d r e c t a n g u l a r , i s a s s u m e d t o m o v e c o m p a t i b l y w i t h t h e s o i l a t i t s c o r n e r s . A f u r t h e r a s s u m p t i o n , w h i c h i s o f t h e g r e a t e s t s i g n i f i c a n c e , i s t h a t a l l s e i s m i c w a v e s a r e c o n s i d e r e d s h e a r w a v e s . T h e t r a n s l a t i o n a l e a r t h q u a k e r e c o r d s a r e a c t u a l l y c o m p o s e d o f b o t h s h e a r w a v e s a n d c o m p r e s s i o n w a v e s ; t h e c o m p r e s s i o n w a v e s g i v e r i s e m a i n l y t o a t r a n s l a t i o n o f t h e f o u n d a t i o n ( w h i c h i s a s s u m e d r i g i d ) , w h e r e a s t h e s h e a r w a v e s c a u s e b o t h a r o t a t i o n a n d t r a n s l a t i o n . I n a s s u m i n g t h e s t a n d a r d r e c o r d s a r e c o m p r i s e d s o l e l y o f s h e a r w a v e s , a n u p p e r b o u n d o n t h e r o t a t i o n a l e x c i t a t i o n r e c o r d c a n b e c o m p u t e d . 77 5.3 E q u a t i o n - f o r _ R o t a t i o n a l A c c e l e r a t i o n F r o m t h e f o r e g o i n g a s s u m p t i o n s , t h e f o l l o w i n g e q u a t i o n w a s d e r i v e d i n A p p e n d i x I : w h e r e : 0 i s t h e r o t a t i o n a l a c c e l e r a t i o n , 0^ i s t h e t r a n s l a t i o n a l a c c e l e r a t i o n i n t h e Q d i r e c t i o n , Q r i s t h e t r a n s l a t i o n a l a c c e l e r a t i o n i n t h e r d i r e c t i o n , Q i s t h e f o u n d a t i o n p l a n d i m e n s i o n i n t h e Cj^  d i r e c t i o n , R i s t h e f o u n d a t i o n p l a n d i m e n s i o n i n t h e Y d i r e c t i o n , V i s t h e s h e a r w a v e v e l o c i t y o f t h e s o i l , a n d t i s t h e t i m e . T h e r o t a t i o n a l a c c e l e r a t i o n 0 d e p e n d s n o t o n l y o n t h e t w o ft • » • t r a n s l a t i o n a l a c c l e r a t i o n s a n d Qy , b u t a l s o o n t h e s o i l s h e a r w a v e v e l o c i t y V a n d t h e f o u n d a t i o n d i m e n s i o n s Q a n d R . I n o r d e r t o s h o w t h e i m p o r t a n c e o f t h e s h e a r w a v e v e l o c i t y a n d t h e f o u n d a t i o n p l a n d i m e n s i o n s o n t h e t o r s i o n a l a c c e l e r a t i o n i n d i c a t e d b y E q . 5 . 1 , w h i c h v a r i e s d i r e c t l y w i t h t h e t i m e r a t e o f c h a n g e i n t r a n s l a t i o n a l a c c e l e r a t i o n s , a g r a p h i c a l d e s c r i p t i o n o f t h i s e q u a t i o n w i l l n o w b e p r e s e n t e d . 78 T h e f i r s t p o r t i o n o f E q . 5 . 1 i n v o l v i n g t h e d i r e c t i o n i s s h o w n g r a p h i c a l l y o n t h e s k e t c h : A ( t - [ Q / V 3 ) T h e s l o p e o f t h e l i n e j o i n i n g t h e t w o p o i n t s o f t h e c u r v e a t t i m e t a n d i s d e n o t e d b y S q U") . T h e s l o p e i s n o w d e f i n e d a s : A» ( i . r r\ i\ in\ r\ Ii ^  \ (5.2) 3 i [ t ) = Q/V B y s u b s t i t u t i n g E g . 5 . 2 i n t o E q . 5 . 1 , t h e r o t a t i o n a l a c c e l e r a t i o n b e c o m e s : 0 { t ) . _ SM-5t(t) cs.3, w h e r e •Sy(t) i s t h e s i m i l a r s l o p e i n t h e r d i r e c t i o n . T h e r o t a t i o n a l a c c e l e r a t i o n t h e r e f o r e v a r i e s d i r e c t l y w i t h t h e d i f f e r e n c e o f t h e t w o t i m e d e r i v a t i v e s o f t h e t r a n s l a t i o n a l a c c e l e r a t i o n s a n d v a r i e s i n v e r s e l y w i t h t h e s o i l s h e a r w a v e v e l o c i t y . 79 The l a r g e s t s l o p e s S^(t) and 3r[t) w i l l occur when Q and R r e s p e c t i v e l y approach zero as i n t h i s l i m i t the r o t a t i o n w i l l be that of a p o i n t . C l e a r l y , the g r e a t e r the term [Q/V], the s m a l l e r the s l o p e s Soli) and S r ( 0 , as can be seen by the f o l l o w i n g graph: \ i /^\\^ / / i . o V ^ 1 Q ; , V . where the s l o p e Sa^X) corresponds to a low LQ/VJ time l a g , whereas the s l o p e \^(t) corresponds to a long [Q/V]time l a g . Thus the l a r g e r the b u i l d i n g , the s m a l l e r these s l o p e s w i l l be. Although the r o t a t i o n a l a c c e l e r a t i o n depends on the d i f f e r e n c e o f these s l o p e terms, the motion i s g e n e r a l l y s u f f i c i e n t l y random t o allow the assumption that the l a r g e r these terms, the l a r g e r w i l l be the d i f f e r e n c e between them a t v a r i o u s t i m e s . Thus the numerator of Eg. 5.3 may be expected to i n c r e a s e with shear wave v e l o c i t y V , but so does the denominator; thus dependance on V i s not as g r e a t as might at f i r s t be thought, but i n g e n e r a l , a low va l u e of V g i v e s an 80 u p p e r b o u n d o n r o t a t i o n a l a c c e l e r a t i o n s . 5 . 4 _ R e s u l t s A l t h o u g h s h e a r w a v e v e l o c i t i e s i n v e r y s o f t s o i l s c a n b e l e s s t h a n 1 0 0 0 * / s e c , a l o w e r l i m i t t o p r o b a b l e s h e a r w a v e v e l o c i t i e s i s a s s u m e d t o b e 1 0 0 0 ' / s e c . T h i s v a l u e f o r V w o u l d b e e x p e c t e d t o y i e l d t h e l a r g e s t r o t a t i o n a l a c c e l e r a t i o n s . T h e p l a n o f t h e b u i l d i n g w a s c h o s e n a s 1 0 0 * s q u a r e , k b u i l d i n g m u c h l a r g e r i n s i z e w o u l d i m p l y l a r g e r l a g t i m e s a n d t h u s g e n e r a l l y s m a l l e r s l o p e s S^[t) a n d 5r(-0 , o r s m a l l e r r o t a t i o n a l a c c e l e r a t i o n s . B u i l d i n g s s m a l l e r i n p l a n d i m e n s i o n s t h a n 1 0 0 * x 1 0 0 * a r e n o t c o n s i d e r e d b e c a u s e o f t h e s m a l l s c a l e o f t h e s t r u c t u r e . R o t a t i o n a l e x c i t a t i o n r e c o r d s c o r r e s p o n d i n g t o s h e a r w a v e v e l o c i t i e s o f 5 0 0 ' / s e c , 1 0 0 0 * / s e c r a n d 2 0 0 0 » / s e c w e r e g e n e r a t e d o n t h e d i g i t a l c o m p u t e r u s i n g E q . 5 . 1 . T h e s e c o n s t r u c t e d r e c o r d s w e r e u s e d t o g e n e r a t e t h r e e , s e t s o f s t r u c t u r a l r e s p o n s e s p e c t r a f o r 0 . 0 0 , 0 . 0 2 , a n d 0 . 1 0 c r i t i c a l d a m p i n g r a t i o s . T h e s p e c t r a s h o w n i n F i g . 5 . 1 , F i g . 5 . 2 , a n d F i g . 5 . 3 , a r e n o t d e p e n d e n t a s m u c h o n s h e a r w a v e v e l o c i t i e s a s E g . 5 . 1 w o u l d s u g g e s t , t h u s c o n f i r m i n g t h e p r e v i o u s d i s c u s s i o n o n t h e s e n s i t i v i t y o f t h e r o t a t i o n a l a c c e l e r a t i o n t o c h a n g e s i n t h e s h e a r w a v e v e l o c i t y . 81 A s e x p e c t e d , t h e d i f f e r e n c e s t h a t d o e x i s t s h o w t h a t t h e l o w e r s h e a r w a v e v e l o c i t i e s g e n e r a l l y g i v e r i s e t o g r e a t e r r e s p o n s e . T h e 5 0 0 ' / s e c s h e a r w a v e v e l o c i t y i s c o n s i d e r e d b e l o w t h e r a n g e o f v a l u e s f r e q u e n t l y e n c o u n t e r e d i n r e a l i t y , a n d t h u s t h e c u r v e s c o r r e s p o n d i n q t o 1 0 0 0 ' / s e c a r e a s s u m e d t o q i v e t h e m a x i m u m r e s p o n s e t o b e e x p e c t e d i n p r a c t i c e . I t s h o u l d b e n o t e d , h o w e v e r , t h a t t h e r o t a t i o n a l a c c e l e r a t i o n , a c c o r d i n q t o E q . 5 . 1 , s h o u l d v a r y a p p r o x i m a t e l y i n v e r s e l y w i t h t h e p l a n d i m e n s i o n o f t h e s t r u c t u r e . S i n c e s t r u c t u r e s w i t h l a r q e r p l a n d i m e n s i o n s h a v e e l e m e n t s a q r e a t e r d i s t a n c e f r o m t h e c e n t r e o f m a s s , t h e a c t u a l d i s p l a c e m e n t s o f t h e s e e l e m e n t s o n t h e p e r i p h e r y d u e t o t o r s i o n a l i n p u t w i l l b e a b o u t t h e s a m e a s t h o s e o n t h e 1 0 0 ' x l O O * s t r u c t u r e c o n s i d e r e d . N o t e , o f c o u r s e , t h a t t h e t o r s i o n a l r e s p o n s e s p e c t r a i n F i g . 5 . 4 ( 1 0 0 0 ' / s e c ) w e r e c o n s t r u c t e d f o r s i n g l e d e g r e e o f f r e e d o m t o r s i o n a l m o d e l s , a n d c a n o n l y b e u s e d w h e n t h e t o r s i o n a l r e s p o n s e o f t h e s y s t e m i s u n c o u p l e d f r o m t h e t r a n s l a t i o n a l r e s p o n s e s . T h i s i s t h e c a s e w h e n t h e c e n t r e o f r i g i d i t y a n d m a s s a r e c o i n c i d e n t , a s i s t r u e w h e n a s y m m e t r i c a l s t r u c t u r e h a s a n e v e n l y d i s t r i b u t e d m a s s . 82 5 . , S ^ I m p o r t a n c e ^ o f , T o r s i o n a l . R e s p o n s e B y c o m p a r i n g t h e t o r s i o n a l r e s p o n s e t o t h e t r a n s l a t i o n a l r e s p o n s e , t h e i m p o r t a n c e o f t h e f o r m e r c a n b e a s c e r t a i n e d . I f a s y m m e t r i c a l s t r u c t u r e h a s a v e r y l o w t o r s i o n a l p e r i o d i n c o m p a r i s o n t o i t s t r a n s l a t i o n a l p e r i o d , t h e t o r s i o n a l r e s p o n s e w i l l b e n e g l i g i b l e . H o w e v e r , i f t h e t o r s i o n a l p e r i o d i s e q u a l t o t h e t r a n s l a t i o n a l p e r i o d , t h e t o r s i o n a l r e s p o n s e i s s i g n i f i c a n t , a s i s s h o w n i n F i g . 5 . 5 , F i g . 5 . 6 , a n d F i g . 5 . 7 f o r c r i t i c a l d a m p i n g r a t i o s 0 . 0 0 , 0 . 0 2 , a n d 0 . 1 0 r e s p e c t i v e l y . T h e t o r s i o n a l r e s p o n s e i n t h e s e f i g u r e s i s d e f i n e d a s t h e t r a n s l a t i o n a l m o t i o n a l o n g t h e p e r i m e t e r d u e t o t h e r o a t i o n a l e x c i t a t i o n f o r c o m p a r i s o n t o t h e t r a n s l a t i o n a l m o t i o n s o r d i n a r i l y c o n s i d e r e d . T h e c u r v e s i n F i g . 5 . 4 , a l t h o u g h o n l y l i m i t s o n t h e a c t u a l t o r s i o n a l r e s p o n s e s p e c t r a , d e m o n s t r a t e t h a t t o r s i o n c a n b e a v e r y s i g n i f i c a n t p o r t i o n o f t h e r e s p o n s e f o r c e r t a i n s y m m e t r i c a l b u i l d i n g s . A s q u a r e b u i l d i n g w i t h e q u a l t r a n s l a t i o n a l a n d t o r s i o n a l p e r i o d s w i l l h a v e a t o r s i o n a l r e s p o n s e b e t w e e n a t m o s t 0 . 6 7 t o 0 . 2 5 t i m e s t h e t r a n s l a t i o n a l r e s p o n s e , w h e n t h e s t r u c t u r e i s 2% c r i t i c a l l y d a m p e d ( s e e F i g . 5 . 6 ) . I f t h e e n t i r e s t r u c t u r a l f r a m i n g i s o n t h e p e r i m e t e r ( t r a n s l a t i o n a l p e r i o d "V3 t i m e s g r e a t e r t h a n t o r s i o n a l p e r i o d ) t h e t o r s i o n a l r e s p o n s e b e t w e e n a t m o s t 0 . 2 5 t o 0 . 1 0 t i m e s t h e 8 3 t r a n s l a t i o n a l response can be expected. Core type s t r u c t u r e s with n o n - s t r u c t u r a l elements along the perimeter w i l l be sub j e c t e d to g r e a t e r t o r s i o n a l responses i n the p e r i p h e r y . In s t r u c t u r e s with the f i r s t t o r s i o n a l p e r i o d g r e a t e r than the f i r s t t r a n s l a t i o n a l p e r i o d , the curves suggest t h a t there i s a danger of r e l a t i v e l y l a r g e d e f l e c t i o n s due to t o r s i o n a l response from a t o r s i o n a l e x c i t a t i o n . 5.6_Code The code r e q u i r e s a 5% i n c r e a s e i n e c c e n t r i c i t y , presumably t o account f o r both a c c i d e n t a l mass e c c e n t r i c i t y and t o r s i o n a l response due t o t o r s i o n a l e x c i t a t i o n . The t o r s i o n a l response due to t o r s i o n a l e x c i t a t i o n i s i n f l u e n c e d by the m a s s / s t i f f n e s s r a t i o s of the s t r u c t u r e . S ince the code does not account f o r such v a r i a b l e s as the s o i l shear wave v e l o c i t y , and the m a s s / s t i f f n e s s r a t i o s of the s t r u c t u r e , i t cannot be expected t o account f o r a l l t o r s i o n a l responses t o t o r s i o n a l e x c i t a t i o n s with equal f a c t o r s of s a f e t y . The 5% e c c e n t r i c l o a d i n g p r o v i d e d by the code w i l l i n c r e a s e the d e f l e c t i o n s i n the p e r i p h e r a l frames by a t l e a s t 5% over those caused by an equal n o n - e c c e n t r i c l o a d i n q . T h i s i n c r e a s e i s much l a r q e r f o r s t r u c t u r e s weak i n t o r s i o n . For example, i n a core s t r u c t u r e with the core dimensions ^ of the pla n dimensions, t h i s amounts to a 20% i n c r e a s e i n the 8U d i s p l a c e m e n t o f p e r i p h e r a l e l e m e n t s . D s i n g F i g . 5.5, F i g . 5.6, a n d F i g . 5 . 7 , t h e 5% c o d e i n c r e a s e i s c o n s e r v a t i v e f o r c e r t a i n s t r u c t u r e s ; m o r e o v e r , s i n c e t h e t o r s i o n a l r e s p o n s e s p e c t r a o b t a i n e d a b o v e a r e t h e m s e l v e s c o n s e r v a t i v e , a l l s t r u c t u r e s m a y a c t u a l l y e x h i b i t l e s s t h a n a 5% i n c r e a s e i n r e s p o n s e d u e t o t o r s i o n a l i n p u t e v e n t h o u g h t h e s e c u r v e s i n d i c a t e i n c r e a s e s i n e x c e s s o f t h o s e p r o v i d e d i n t h e c o d e . T h e i m p o r t a n c e o f t h e r e s u l t s i s i n t h e d e t e r m i n a t i o n o f w h i c h s t r u c t u r e s c a n n o t p o s s i b l y e x h i b i t t o r s i o n a l e x c i t a t i o n s i n e x c e s s o f t h o s e p r o v i d e d f o r b y t h e c o d e 5% e c c e n t r i c l o a d i n g . S t r u c t u r e s s t r o n g i n t o r s i o n , s u c h a s p e r i p h e r a l f r a m e s t r u c t u r e s c a n n o t e x h i b i t a n i n c r e a s e i n e x c e s s o f t h e c o d e . S t r u c t u r e s w e a k i n t o r s i o n c o u l d e x h i b i t i n c r e a s e s f a r i n e x c e s s o f t h e c o d e , b u t t h i s m a y n o t a c t u a l l y b e t h e c a s e , s i n c e , a s s t a t e d , w e h a v e h e r e a n u p p e r b o u n d o n p o s s i b l e e f f e c t s . S i n c e o n l y a c e r t a i n p o r t i o n o f t h e c o d e e c c e n t r i c l o a d i n g c a n b e a l l o t e d f o r r o t a t i o n a l e x c i t a t i o n , t h e e n t i r e 5% c a n n o t b e c o m p a r e d t o t h e c o m p u t e d r e s u l t s . T h e r e s u l t s , b e i n g o n l y a n u p p e r b o u n d o n t h e e f f e c t o f r o t a t i o n a l e x c i t a t i o n s , c a n n o t e s t a b l i s h w h e t h e r o r n o t t h e c o d e s h o u l d a c c o u n t f o r s u c h a n e f f e c t , b u t d o e s e s t a b l i s h t h a t s t r u c t u r e s w e a k i n t o r s i o n m a y n e e d c o n s i d e r a t i o n b y t h e c o d e i n t h i s a r e a , b e c a u s e s u c h 85 structures are much more susceptible to this effect. The 5% eccentric loading of the code does penalize structures weaker in torsion more than structures strong in torsion and therefore such a requirement i s favourable for the design of structures to resist a rotational earthquake input. 86 C H f t P T E R _ 6 C O N C L U S I O N S T h e b e a t i n g p h e n o m e n o n w a s n o t f o u n d t o b e a s i m p o r t a n t a s o t h e r s h a v e i n d i c a t e d . I n f a c t , t h e i n c r e a s e s i n r e s p o n s e w h i c h c o u l d b e a t t r i b u t e d t o t h i s e f f e c t w e r e n o g r e a t e r t h a n t e n p e r c e n t , w h i c h i s s m a l l i n c o m p a r i s o n t o i n c r e a s e s d u e t o l a r g e e c c e n t r i c i t i e s . 6 . 2 L a r a e ^ E c c e n t r i c j t i e s S t r u c t u r e s w i t h l a r g e e c c e n t r i c i t i e s d e m o n s t r a t e d , a s e x p e c t e d , l a r g e i n c r e a s e s i n r e s p o n s e ( e s p e c i a l l y a t p o i n t s f u r t h e s t f r o m t h e c e n t r e o f r i g i d i t y f o r s t r u c t u r e s w e a k i n t o r s i o n ) o v e r t h o s e o f s i m i l a r s y m m e t r i c a l s t r u c t u r e s . H o w e v e r , t h e c o d e o v e r e s t i m a t e d t h e v e r y l a r g e i n c r e a s e s ( a s m u c h a s f i v e t i m e s t h e s y m m e t r i c a l r e s p o n s e ) i n e v e r y i n s t a n c e b y a c o m f o r t a b l e f a c t o r ( a s m u c h a s t e n t i m e s ) . G e n e r a l i z a t i o n s o n t h e c o n s e r v a t i s m o f t h e c o d e m a y b e u n w i s e b e c a u s e u n u s u a l s t r u c t u r e s m a y e x i s t w h i c h d o n o t e x h i b i t t h e s e h i g h f a c t o r s o f 87 s a f e t y . The c o d e , i n c e r t a i n i n s t a n c e s , may a c t u a l l y f o r c e d e s i g n e r s t c u s e a d y n a m i c a n a l y s i s i n o r d e r t c p r o d u c e e c o n o m i c a l l y f e a s i b l e s t r u c t u r e s . B u t t h e n , a d y n a m i c a n a l y s i s s u c h a s t h e one u s e d i n t h i s s t u d y has i t s l i m i t a t i o n s . The l i n e a r s t r e s s - s t r a i n m o d e l may n e t i n d i c a t e t h e t r u e m a g n i t u d e o f t h e r e s p o n s e o f t h e s t r u c t u r e . A l t h o u g h a n o n - l i n e a r model i s more a c c u r a t e , i t t o o , a s any m o d e l , has i t s l i m i t a t i o n s . The l a t t e r m odel i n v o l v e s e x c e s s i v e c o m p u t a t i o n a l c o s t s ( e s p e c i a l l y i n h i g h e r m u l t i s t o r e y s t r u c t u r e s ) . The e x c e s s i v e c o s t c f t h e n o n - l i n e a r model has l i m i t e d i t s u s e , and t h e r e f o r e t h e l i n e a r e l a s t i c m o d e l i s more common i n d y n a m i c a n a l y s e s a s an a l t e r n a t i v e t c t h e c e d e p s u e d o d y n a m i c a n a l y s i s . F c w e v e r , a l i n e a r e l a s t i c m odel d e e s n o t t r u e l y r e p r e s e n t t h e a c t u a l r e s p o n s e , and t h e r e f o r e v a s t d e v i a t i o n s f r o m t h e c o d e , w h i c h e x t r a p o l a t e s f r o m p a s t s u c c e s s e s and f a i l u r e s , a r e u n w i s e . JB_. 3 _ R o t a t i o n a l _ E x c i t a t i o n s S t r u c t u r e s s t r o n g i n t o r s i c n c a n n o t p o s s i b l y d e m o n s t r a t e a t o r s i o n a l r e s p o n s e i n e x c e s s o f t h a t p r o v i d e d f o r i n t h e c o d e . S t r u c t u r e s weak i n t o r s i o n a r e more s u s c e p t i b l e t c r o t a t i o n a l e a r t h q u a k e e x c i t a t i o n s . F o r t u n a t e l y , t h e c o d e d e e s p e n a l i z e t h e s e s t r u c t u r e s more t h a n t h o s e s t r o n g i n t o r s i c n . S t r u c t u r e s cn s o i l w i t h h i g h s h e a r wave v e l o c i t i e s ( s t i f f s o i l s ) 88 wi l l demonstrate less torsional response than similar ones on s o i l with low shear wave velocit ies (soft so i l s ) . 2 ELEVATION L. P L A N FIG. 2.1 C O N D E N S E D F R A M E FIG. 2.2(a) FIG.2.20) BUILDING WITHOUT VERTICAL COMPATIBILITY FIG. 2.2(b) BUILDING WITH VERTICAL COMPATIBILITY FIG. 2.3 CURVED FRAME MODELED BY 4 PLANE FRAMES 92 FIG. 2.4. S T R U C T U R A L COORDINATES 93 M O D E S H A P E T Y P E I MODE S H A P E T Y P E N F I G . 3.1 M O D E S H A P E T Y P E S 94 1.0 2.0 3.0 E I G E N V A L U E RAT IO * (FOR C O N D I T I O N S , S E E p.195 A N D p . 1 9 6 ) F I G . 3 .2 R A N G E S O N S E R I E S I E C C E N T R I C I T Y E I G E N V A L U E R A T I O S ( C f - 0 . 5 0 ) RAT IO e ^ O . O 95 0.0 1.0 2.0 3.0 EIGENVALUE RATIO * (FOR CONDITIONS, SEE p. 195 AND p.196) 4.0 FIG. 3.3 RANGES ON EIGENVALUE RATIOS SERIES I CcF=0.50) ECCENTRICITY RATIO e,,=0.25 0.0 1.0 2.0 3.0 4.0 EIGENVALUE RATIO »(FOR CONDITIONS, SEE p.195 AND p.196) FIG. 3.4 RANGES ON EIGENVALUE RATIOS SERIES 2 C^O.29 ECCENTRICITY RATIO e^O.O 9 7 EIGENVALUE RATIO *(FOR CONDITIONS, SEE p. 195 ANDp.196) FIG. 3.5 RANGES ON EIGENVALUE RATIOS SERIES 2 CF-0.29 ECCENTRICITY RATIO e.^0.25 • — z r 1 ^C.R. • • q R • -* o R-e„ C.R. I/0K5--0-t i/Ra R»e„ THE TWO ORTHOGONAL E L CENTRO A C C E L E R A T I O N RECORDS WERE A P P L l ED-S IMULTANEOUS LY FOR 17 S E C O N D S . 0 CR. C M . 0.25Q Q 0 .25 R R S E R I E S I S E R I E S 2 SERIES 3 F IG .3 .6 P L A N VIEW OF T H R E E S E R I E S OF S T R U C T U R E S FIG. 3.7(a). SERIES I, 2 % ECCENTRICITY - PERIODS AND COMPONENTS OF MODE SHAPES U3 0.0 1.0 2.0 3.0 4.0 T I M E ( I N S E C O N D S ] 5.0 6.0 7.0 o o FIG.3.7(b). SERIES I. 2 % ECCENTRICITY. 0.02 CRITICAL DAMPING RATIO FIG. 3JB(a). SERIES I. 5* ECCENTRICITY -R 0 MODE 2 - PERIOD 0.607 SECONDS MODE 3 - PERIOD 0.350 SECONDS PERIODS AND COMPONENTS OF MODE SHAPES I I 0.0 1.0 2.0 3.0 4.0 5.0 T I M E ( I N S E C O N D S ] o FIG.3.8(b). SERIES I, 5j ECCENTRICITY. 0.02 CRITICAL DAMPING RATIO FIG. 3.9(a). SERIES I. 202 ECCENTRICITY PERIODS AND COMPONENTS OF MODE SHAPES o \j4 2.0 3.0 4.0 5.0 T I M E ( I N S E C O N D S ) 7.0 8.0 o FIG.3.9(b). SERIES I, 20% ECCENTRICITY. 0.02 CRITICAL DAMPING RATIO FIG. 3.10(a). SERIES I. 5 0 % ECCENTRICITY - PERIODS AND COMPONENTS OF MODE SHAPES o 0 . 0 1.0 2 . 0 3 . 0 4 . 0 T I M E ( I N S E C O N D S ) o cn FIG. 3.10(b). SERIES I, 50Z ECCENTRICITY, 0.02 CRITICAL DAMPING RATIO FIG. 3.11(a). SERES 2/ 2^ECCENTRIGITY - PERIODS AND COMPONENTS OF MODE SHAPES ° 0 . 0 1.0 2 . 0 3 . 0 4 . 0 T I M E ( I N S E C O N D S ) 5 . 0 6 . 0 7 . 0 FIG. 3.11(b). SERIES 2. 2% ECCENTRICITY, 0.02 CRITICAL DAMPING RATIO o OO -« Q Q R G MODE I - PERIOD 0.646 SECONDS FiG. 3.12(a). SERIES 2, 5% ECCENTRICITY PERIODS AND COMPONENTS OF MODE SHAPES o C O 0 . 0 1 . 0 2 . 0 n r 3 . 0 4 . 0 T I M E ( I N S E C O N D S ) 5 . 0 6 . 0 7 . 0 FIG.3.12(b). SERIES 2, 5^ ECCENTRICITY, 0.02 CRITICAL DAMPING RATIO F I G . 3.13(a). S E R I E S 2. 20% E C C E N T R I C I T Y PERIODS AND C O M P O N E N T S OF MODE S H A P E S FlG.3.13(b). SERIES 2, 20% ECCENTRICITY/ 0.02 CRITICAL DAMPING RATIO FIG. 3.14(a). SERIES 2, 50£ ECCENTRICITY R 0 MODE 2 - PERIOD 0.607 SECONDS R 9 MODE 4 — PERIOD 0.341 SECONDS PERIODS AND COMPONENTS OF MODE SHAPES T I M E ( I N S E C O N D S ) •P-FfG.3.l4(b). SERIES 2/ 50°/o ECCENTRICITY, 0.02 CRITICAL DAMPING RATIO FIG.3.15(a). SERIES a 1'/Q ECCENTRICITY Q R 9 MODE 2 - PERIOD 0.607 SECONDS Q R 9 MODE 3 — PERIOD 0.607 SECONDS PERIODS AND COMPONENTS OF MODE SHAPES 0 . 0 1 . 0 2 . 0 3 . 0 T I M E ( I N 4 . 0 S E C O N D S ) 5 . 0 6 . 0 7 .0 FIG.3.15(b). SERIES 3y 2\ ECCENTRICITY, 0.02 CRITICAL DAMPING RATIO F I G . 3.16(a). S E R I E S 3 , 570 E C C E N T R I C I T Y O R G M O D E 2 - P E R I O D 0 . 6 0 7 S E C O N D S 0 R 9 M O D E 3 - P E R I O D 0 . 6 0 2 S E C O N D S P E R I O D S A N D C O M P O N E N T S O F M O D E S H A P E S . . . — • _ ~ c 3 - 1 i — F T F -™ — A «. t c .1 1 V — i J — I i 1 I 1 / \ _ — __ • i i i 1 i 1 / X i i i I 1 I 1 r I i I j ex. -. . . V i t 1-X-i i _ 1 \ i i i 4 i-t-P r g _ 1 t 1 1 1 I { 1 i i i 1 -J .1 1 1 i I - i I f \ V 2 \ -j \ 1 4 7 i X / / — r jr _ i J 1 l V • \ i :.l J {. 1 A i •- \ i \ [ \ :l 1 i 1 T / i . . . \ • r — i J i I \ i. j l - J \ i J 1- \ J cr - - — _ i / J V i - V ] 1 1 / i j — * \ I r <> • _ . \ / • «-? | r T i — . - -. . . - - - -- - - - 1 - / \ - - -. . . r - - - .1. 1 - — - - - - - — — - - - — — - — — - - - -- -- - - - . . . - - - . . . - - j - - - -- - - - - - -- - - - - [J -• - - - - . . . . - i r -- - - - -- - . . . - . . . - - - -i I i i i I _ -- - -- - - V ~ - - - - - - - - - - - - - - - - -- - - - - - - — - - - - - - -t 1 •! " j • a r m o.o 1 .0 2.0 3.0 4.0 T I M E ( I N S E C O N D S ) 5.0 FIG.3.16(b). SERIES 3, 5% ECCENTRICITY, 0.02 CRITICAL DAMPING RATIO FIG. 3.17 (a). S E R I E S 3 , 20% E C C E N T R I C I T Y - P E R I O D S A N D C O M P O N E N T S OF M O D E S H A P E S 0.0 1 .0 2.0 3.0 4.0 T I M E ( I N S E C O N D S ) 5.0 6.0 FIG. 3.17(b). SERIES 3, 2C# ECCENTRICITY, 0.02 CRITICAL DAMPING RATIO r o O FIG.3 .18(a) . S E R I E S 3, 50% E C C E N T R I C I T Y Q R 9 M O D E 3 - P E R I O D 0 . 6 0 7 S E C O N D S Q R 9 M O D E 4 — P E R I O D 0 . 3 7 6 S E C O N D S r o P E R I O D S A N D C O M P O N E N T S O F M O D E S H A P E S ^ - — — _ _ _ — — — — _ _ — _ _ _ — c 3 — r. n n r? r 'F r r F F I F c I t i — F L - M T_ - - - c D E i -- - - - u — • y L L b 4 — - - _ _ — — _ _ C 3 — _ _ _ — -3. - - - — — — — — — - — — _ _ _ _ - — _ _ „ — - _ _. - — ._ — . _ „ - „ _ __ 3 •* ~" — _ _ — ~ — _ _ ._ „ . . . „ — -_. _ ._ — _ ... ... „ _ — / f - - - - y .1 — - z z z / _ ~ ' . . • ._ ~ — L _ ... c c „ _ _ n !•- _ ~ _ _ _ _ » —i -- — — ~* _ _ _ ! • 1 l~~ _I— I —1 ! -! — — _ _ .... 1 — i ._ „ rr* r n ' _ t | I ""i ! - - - - - - - - - - -- - - - - - - - - - - - - ! ! i I i i - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -• i _ ... - r I | - - - - - - - - - - -- - - -- - - - -- - - - - - - -- - - - - - -_ - _ i n i - L 0 . 0 1 .0 2 . 0 3 . 0 4 . 0 5 . 0 6 . 0 7 . 0 8 . 0 T I M E ( I N S E C O N D S ) r o r o F(G.3.l8(b) SERIES 3, 5C# ECCENTRICITY, 0.02 CR1TTCAL DAMPING RATIO 123 E C C E N T R I C I T Y R A T I O ( e ^ F I G . 4.1 T H E M A X I M U M P E R I P H E R A L D I S P L A C E M E N T O F " F R A M E l " * AT A N E C C E N T R I C I T Y e„ A S A RATIO O F T H E S A M E V A L U E F O R e r=0. • S E E F I G . 3 . 6 12k 5.0 - , • . . ; . i , . . i — r • r;~; '. I I 1 ' !T1 • ' I.: L... I . i . : . ' . - i . i - l - i - i . ; - ! -1.,- I- -f -I 0.0 0.1 0 . 2 0 . 3 0.4 0 . 5 E C C E N T R I C I T Y RATIO (e , ) F I G . 4 . 2 T H E M A X I M U M P E R I P H E R A L D I S P L A C E M E N T OF " F R A M E 2 " * AT AN E C C E N T R I C I T Y e r AS A RATIO OF T H E S A M E V A L U E F O R e r=0. * S E E F I G . 3 . 6 125 o!o 0.1 0 . 2 0 . 3 0 . 4 0 . 5 E C C E N T R I C I T Y RATIO (e K) F I G . 4 . 3 T H E M A X I M U M P E R I P H E R A L D I S P L A C E M E N T O F " F R A M E 3"*" AT A N E C C E N T R I C I T Y e r A S A RATIO OP T H E S A M E V A L U E F O R e K - 0 . * S E E F I G . 3 . 6 126 0.0 0.1 0 . 2 0 . 3 0.4 0 . 5 E C C E N T R I C I T Y R A T I O ( e r ) F I G . 4 . 4 T H E M A X I M U M P E R I P H E R A L D I S P L A C E M E N T O F " F R A M E 4 M AT AN E C C E N T R I C I T Y e r A S A RATIO O F T H E S A M E V A L U E F O R e r * 0 . * S E E F I G . 3 . 6 i 127 P E R I O D ( S E C O N D S ) F I G . 5.1 E L C E N T R O T O R S I O N A L R E S P O N S E S P E C T R A ( L I M I T ) F O R 1 0 0 F O O T S Q U A R E B U I L D I N G W I T H .A 0 . 0 C R I T I C A L D A M P I N G RATIO ; T O R S I O N A L I N P U T . B A S E D O N 5 0 0 / 1 0 0 0 , A N D 2 0 0 0 / / S E C . S H E A R W A V E V E L O C I T I E S . 128 1.0 «I0" 2. z < < CC Ul to o CL m U) cc i— < i— o 1.0*10* 1.0 H O r4 1.0 +10" 5. 0 m /// Mzr 2000; 1 :±i+ w m m m i JIB -LiS i.o P E R I O D ( S E C O N D S ) 1 0 . 0 F I G . 5 . 2 E L C E N T R O T O R S I O N A L R E S P O N S E S P E C T R A ( L I M I T ) F O R 1 0 0 F O O T S Q U A R E B U I L D I N G W I T H A 0 . 0 2 C R I T I C A L D A M P I N G R A T I O . T O R S I O N A L I N P U T IS B A S E D O N 5 0 0 , 1000 , A N D 2 0 0 0 / / S E C S H E A R WAVE V E L O C I T I E S . i 129 to < pr, UJ cn z o o_ cn ui or < z o o I.0»I0" 2. i.o «i a 3 . 1 . 0 * 1 0 ' 1.0 * I 0 ' fpT 77 I I 6 7 ooo iui SEC EC / i t ±t IDT 1 4 in 0 . P E R I O D ( S E C O N D S ) 10.0 F I G . 5 . 3 E L C E N T R O T O R S I O N A L R E S P O N S E S P E C T R A ( L I M I T ) F O R A 100 F O O T S Q U A R E B U I L D I N G W I T H A 0 . 1 0 C R I T I C A L D A M P I N G RATIO . T O R S I O N A L I N P U T IS B A S E D O N 5 0 0 , 1 0 0 0 / A N D 2 0 0 0 / S E C S H E A R W A V E V E L O C I T I E S . ! P E R I O D ( S E C O N D S ) F I G . 5 . 4 E L C E N T R O T O R S I O N A L R E S P O N S E S P E C T R A ( L I M I T ) FOR A 100 F O O T S Q U A R E B U I L D I N G W I T H C R I T I C A L D A M P I N G R A T I O S 0 . 0 , 0 . 0 2 , A N D 0 . 1 0 . T O R S I O N A L I N P U T IS B A S E D O N 1 0 0 0 / S E C S H E A R W A V E V E L O C I T Y . 131 FIG. 5.5 COMPARISON OF TORSIONAL RESPONSE SPECTRA (LIMIT) TO TRANSLATIONAL RESPONSE SPECTRA FOR EL CENTRO WITH 0.0 CRITICAL DAMPING RATIO, 132 PERIOD (SECONDS') FIG. 5 . 6 COMPARISON OF TORSIONAL (LIMIT) TO TRANSLATIONAL RESPONSE WITH 0 . 0 2 CRITICAL DAMPING RATIO. RESPONSE SPECTRA SPECTRA FOR EL CENTRO 133 1 0 0 . 0 CO UJ x o z r-Z UJ 2 UJ o < _J Q_ co Q lO.OJ 0 . 0 1 1 0 . 0 P E R I O D ( S E C O N D S ) F I G . 5 .7 C O M P A R I S O N OF T O R S I O N A L R E S P O N S E L I M I T TO T R A N S L A T I O N A L R E S P O N S E S P E C T R A W I T H 0 .10 C R I T I C A L D A M P I N G R A T I O . S P E C T R A F O R E L C E N T R O BIBLIOGRAPHY Ayre, R.S., " I n t e r c o n n e c t i o n of T r a n s l a t i o n a l and T o r s i o n a l V i b r a t i o n s i n B u i l d i n g s , " B u l l e t i n of the S e i s m o l o g i c a l S o c i e t y of America, A p r i l , 1938. pp. 89-130. Clough, R.W., "On the Importance of Higher Modes of V i b r a t i o n i n the Earthquake Response of a T a l l B u i l d i n g , " B u l l e t i n of the S e i s m o l o g i c a l S o c i e t y of America, 1955. pp. 289-302. F r a n k l i n , J.F., M a t r i x Theory, P r e n t i c e - H a l l , 1968. pp. 141-163. 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S u p p o s e t h a t t h e g e n e r a l i z e d f o r c e s a s s o c i a t e d w i t h c e r t a i n d e g r e e s o f f r e e d o m i n a s t r u c t u r a l s y s t e m a r e known t o be z e r o . I f t h e s e d e g r e e s o f f r e e d o m c a n be a r r a n g e d a t t h e end o f t h e l o a d and d i s p l a c e m e n t v e c t o r s , we h a v e t h e e q u a t i o n : r f i I • - K - \ 0 • J A 138 Our p u r p o s e now i s t o c o n d e n s e t h e s t i f f n e s s m a t r i x s o t h a t we g e t t h e r e l a t i o n s h i p : F = K ' . A ( A- 2 ) — —CONDENSED — The d i g i t a l c o m p u t e r c a n m a n i p u l a t e a banded m a t r i x v e r y e f f i c i e n t l y w i t h t h e C h o l e s k i d e c o m p o s i t i o n method. The b a n d e d m a t r i x , K ^ - , i s d e c o m p o s e d i n t o t h e p r o d u c t o f a l o w e r t r i a n g u l a r m a t r i x , L_ , and an u p p e r t r i a n g u l a r m a t r i x , , a s i n t h e e q u a t i o n : K 2 Z - L T L ,A-3» The b a n d e d m a t r i x , a s i n t h e e q u a t i o n : K 7 ? , i s a p a r t i t i o n o f t h e s t i f f n e s s m a t r i x 139 T h i s e q u a t i o n c a n b e e x p a n d e d t o t h e f o r m : (A.5) R e a r r a n g i n g t h e t e r m s y i e l d s : ( A . 6) I n t r o d u c i n g t h e C h o l e s k i f o r m o f K1Z f r o m E q . A . 3 g i v e s : [ L T M — [L"'K2l3T{f} ( A . 7 ) fF) = [.K„-LL"'KJT[rKjJ{f] (A.8) E q . A . 7 e x p r e s s e s t h e d e f l e c t i o n s /A , c o r r e s p o n d i n q t o t h e g e n e r a l i z e d f o r c e s O ( n u l l v e c t o r ) , i n t e r m s o f t h e d e f l e c t i o n s f , c o r r e s p o n d i n g t o t h e g e n e r a l i z e d f o r c e s . T h e m a t r i x i n E g . A . 8 i s t h e r e d u c e d s t i f f n e s s m a t r i x i n v o l v i n g t h e f o r c e s F a n d d e f l e c t i o n s f . O n c e t h e 140 d e f l e c t i o n s f a r e d e t e r m i n e d t h r o u g h Eg. A. 8 t h e d e f l e c t i o n s Z\ c a n be d e t e r m i n e d t h r o u g h Eq. ft.7. 2 l The s o l u t i o n b e g i n s w i t h t h e d e t e r m i n a t i o n o f L K w h i c h a p p e a r s i n b o t h Eg. A.7 and Eq. A.8. T h i s m a t r i x p r o d u c t i s s e t e q u a l t o a n unknown m a t r i x X s o t h a t : Eq. A.7 and Eq. A.8 c a n now be e x p r e s s e d a s : LTiM=-X{f} (».io) IF] - [K,rXTX]{f} CA.1I, The m a t r i x X i s s o l v e d by t h e f o r w a r d s u b s t i t u t i o n : LX =-K2l <A-12> 141 w h i c h i s s u i t e d t o t h e C h o l e s k i d e c o m p o s i t i o n method. Now w i t h X known, t h e r e d u c e d s t i f f n e s s m a t r i x , K - C K - X T X ] <A-1 3 ) — C05-J DEN SE D L - H - - J c a n be o b t a i n e d . T h i s m a t r i x s a t i s f i e s t h e e q u a t i o n : (A. 1^) w h i c h i s e q u i v a l e n t t o E q . A.11. I n o r d e r t o d e t e r m i n e t h e d e f l e c t i o n s A , t h e r i g h t h a n d s i d e o f Eq. A.10 i s f i r s t m u l t i p l i e d f o r m i n q : Now w i t h a b a c k w a r d s u b s t i t u t i o n t h e f o l l o w i n g e q u a t i o n i s s o l v e d . C{£\}-y I*-is. T h i s may n o t seem t o be an e f f i c i e n t a p p r o a c h due t o t h e a p p a r e n t c o m p l e x i t y o f t h e p r o c e d u r e , b u t c o n s i d e r a b l e e x e c u t i o n t i m e i s s a v e d , t h u s m a k i n g t h i s method v e r y a d v a n t a g e o u s . 142 APPENDIX B NEWHARKJ_S_BETA_METHOD FOR NUMERICAL INTEGRATION Newmark's B e t a M e t h o d 1 ^ i s a t i m e s t e p i n t e g r a t i o n method w h i c h was u s e d i n t h e s t r u c t u r a l p r o g r a m i n C h a p t e r 2 t o i n t e g r a t e t h e p a r t i c i p a t i o n f u n c t i o n . T h i s method w i t h a l p h a e q u a l t o one h a l f a n d b e t a e q u a l t o one q u a r t e r was c o m p a r e d by N i c k e l l * * w i t h o t h e r n u m e r i c a l i n t e g r a t i o n m e t h o d s . The methods were c o m p a r e d u s i n g " a s i m p l e one d e g r e e o f f r e e d o m p r o b l e m — t h a t o f a l i n e a r o s c i l l a t o r s u b j e c t e d t o a s t e p f o r c e i n t i m e . " The method was s t a b l e f o r t i m e - s t e p / p e r i o d r a t i o s l e s s t h a n . An e x t r e m e l y c l o s e a g r e e m e n t was o b t a i n e d w i t h A t / T e q u a l t o T h e r e was a s m a l l o v e r e s t i m a t i o n o f t h e p e r i o d w h i c h d e c r e a s e d w i t h s m a l l e r t i m e s t e p s , b u t t h e a m p l i t u d e s were a l m o s t c o n s t a n t f o r a l l r a t i o s p r e s e n t e d . 143 Newmark*s B e t a Method was a p p l i e d t o t h e e q u a t i o n o f m o t i o n o f t h e s t r u c t u r e (Eq. 2.31) w h i c h i s r e s t a t e d a s : £(tWtLyy£(t) + [UJ>]£(U-FU) <B.I, where t h e v e c t o r F(t) c o n t a i n s t h e q e n e r a l i z e d f o r c e s c o r r e s p o n d i n g t o t h e q e n e r a l i z e d d i s p l a c e m e n t s -f(0 and b o t h a r e f u n c t i o n s o f t i m e . B o t h , c o r r e s p o n d i n q t o v i s c o u s d a m p i n q o f t h e modes, and c o r r e s p o n d i n q t o t h e f r e q u e n c i e s o f t h e modes, a r e d i a q o n a l m a t r i c e s . N o t e i s t h e p r o d u c t o f t h e two d i a g o n a l m a t r i c e s _| and U) and t h e r e f o r e i s i t s e l f a d i a g o n a l m a t r i x . The ch a n g e i n t h e g e n e r a l i z e d d i s p l a c e m e n t s A_f , v e l o c i t i e s & f , and a c c e l e r a t i o n s A "P o v e r t h e t i m e i n t e r v a l a r e e x p r e s s e d i n t h e f o l l o w i n g e q u a t i o n s : d - f ( t + A t ) - f ( t ) . M=£(wt) -£ ( t t <^ > 144 S i m i l a r l y t h e c h a n g e i n t h e g e n e r a l i z e d f o r c e s A F o v e r t h e t i m e i n t e r v a l A t i s : A_F - F ( t u t ) - F ( | ) <•«.*> Newmark's B e t a Method d e f i n e s t h e c h a n g e i n v e l o c i t i e s Z \ i and t h e c h a n g e i n d i s p l a c e m e n t s o v e r t h e t i m e i n t e r v a l &t , i n t e r m s o f t h e i n i t i a l c o n d i t i o n s a t t h e b e g i n n i n g o f t h e i n t e r v a l , t h e c h a n g e i n a c c e l e r a t i o n s o v e r t h e i n t e r v a l , a n d t h e two c o n s t a n t s a l p h a ( o( ) and b e t a ( p ) . (B.4) S u b t r a c t i n g t h e e q u a t i o n o f m o t i o n , E q . B.1, f o r t h e end o f t h e t i m e i n t e r v a l , f r o m t h e e q u a t i o n o f m o t i o n a t t h e b e g i n n i n g o f t h e t i m e i n t e r v a l , w i l l y i e l d (on t h e i n t r o d u c t i o n o f E q . B.2 and E q . B.3) t h e e q u a t i o n : J ^ I t O f i f * W W - A F ( B - 5 ) 145 On s u b s t i t u t i n g Eg. B.4 i n t o Eg. B.5, t h e c h a n g e i n v e l o c i t i e s A? , and t h e c h a n g e i n d i s p l a c e m e n t s A ^ , a r e e l i m i n a t e d . J + i 1 cy I f (tW&O + <x d i d ) ] W {f (tWAtK h ) * l d ? *M«(&tf} - d (B.6) R e g r o u p i n g t h i s e q u a t i o n y i e l d s : _ [ 1 0 -Zlx§ujs]c«(AtUDuA] p , ( A t f [ x u A H A t ) l f (t) ~- A F (B.7) 146 I n t r o d u c i n g t h e d i a g o n a l c o n s t a n t m a t r i c e s C , , C ^ , and i n t o E g . B.7 g i v e s : C, A f +C zHt) *CM) = A F ~ 3 LK (B.8) w h e re: tCz,] -C - C . J - I W * U F I 2.1 E q s . B.4 c a n be w r i t t e n i n t h e f o r m : (B.9) Af = f ( t W * t ) * C s f ( 0 + C f c A f where t h e c o n s t a n t s C^ f C 5 , and C& a r e g i v e n b y : C 6 (B. 10) (B. 11) 147 The c h a n g e i n a c c e l e r a t i o n At o v e r t h e t i m e i n t e r v a l cX i s f i r s t d e t e r m i n e d by r e o r g a n i z i n g Eg. B. 8 i n t o t h e f o r m : A f - DC,]" { A F - E Q J f m - [C 3 0 f (0 } <B-12> A f t e r s o l v i n g t h i s e g u a t i o n f o r t h e c h a n g e i n a c c e l e r a t i o n s o v e r t h e t i m e i n t e r v a l , t h e c h a n g e s i n t h e v e l o c i t i e s and d i s p l a c e m e n t s o v e r t h e t i m e i n t e r v a l , AJ" and <yf , c a n be o b t a i n e d u s i n g E g . B.10. The c o n d i t i o n s a t t h e end o f t h e i n t e r v a l c a n now be c a l c u l a t e d . H i * a t ) = Hi) 1 A f Mt + tA) = K l W f <B-13> . f ( t + 6t) - Hi)+ A? The c y c l e c a n now be r e p e a t e d by s e t t i n g t h e i n i t i a l c o n d i t i o n s o f t h e new i n t e r v a l e q u a l t o t h o s e c o n d i t i o n s a t t h e end o f t h e p r e v i o u s i n t e r v a l . F i r s t l y Eq. B.12 i s ! s o l v e d , t h e n Eq. B . 10, a n d t h e n t h e f i n a l c o n d i t i o n s a r e a r r i v e d a t t h r o u q h E q . B.13. 148 APPENDIX C TRANSFORMING THE E I G E N V A I U E _ P R C E IIK The t r a n s f o r m a t i o n i n t h i s a p p e n d i x i s s i m i l a r t c t h a t p r e s e n t e d by N i e l s e n 1 S . The d y n a m i c m a t r i x i s g e n e r a l l y u n s y m m e t r i c a l . w i t h a t r a n s f o r m a t i o n o f t h i s m a t r i x , a s y m m e t r i c a l m a t r i x c a n be o b t a i n e d w h i c h l e a d s t c a f a s t e r s o l u t i o n o f t h e p r o b l e m . From M e i r o v i t c h 9 (Eg. 4.14) t h e e i g e n v a l u e p r o b l e m i s w r i t t e n i n t h e f o r m : [KHU]- MtfvUHU] . C D or: C M U K f ' J ] -CuAlLU] ( " I where i s t h e d i a g o n a l mass m a t r i x , H _ i s t h e s t i f f n e s s m a t r i x , U c o n t a i n s t h e e i g e n v e c t o r s , and UJ 2 " c o n t a i n s t h e c o r r e s p o n d i n g e i g e n v a l u e s i n d i a g o n a l f o r m . The m a t r i x r \ i s g e n e r a l l y u n s y m m e t r i c a l . 149 I n o r d e r t o h a v e a s y m m e t r i c a l p r o b l e m t h e m a t r i x 0 i s i n t r o d u c e d i n t o E g . C.2 t o y i e l d : C M " , K M " I I 0 ] - r u j 1 M " ^ [ 0 ] <c-3> w h e r e : [ U J = CMr[0] <c-5> N o t i n g t h a t t h e p r o d u c t o f t h e two d i a g o n a l m a t r i c e s , O^M"* i s e q u a l t o M 1 a n d p r e m u l t i p l y i n g Eg. C .3 by ivj *• y i e l d s : o r : [ K M " * 3 1 0 ] - £ u A ] t 0 ] ( C- 7 ) i I The d y n a m i c m a t r i x M^KM 5- i s s y m m e t r i c a l . The r e a l e i g e n v e c t o r s U a r e o b t a i n e d , a f t e r s o l u t i o n o f t h e e i g e n v e c t o r s $ i n Eq. C . 7 , t h r o u g h E q . C . 5 . 150 APPENDIX_D p. 1,_In t r p d u c t i o n The d y n a m i c m a t r i x o f t h e s t r u c t u r e c a n o f t e n be decomposed i n t o t h e p r o d u c t o f two m a t r i c e s w h i c h w i l l be t r e f e r r e d t o h e r e a s t h e " f r a m e m a t r i x " ( w h i c h c o n t a i n s t h e p r o p e r t i e s o f t h e i n d i v i d u a l f r a m e s ) and t h e " c o n n e c t i v i t y m a t r i x " ( w h i c h d e p e n d s o n l y on t h e c o m p a t i b i l i t y c o n d i t i o n s i m p o s e d by t h e assumed r i g i d i t y o f t h e f l o o r d i a p h r a m s ) . The e i g e n v a l u e s o f t h e c o n n e c t i v i t y m a t r i x a r e f o u n d t o be p r o p o r t i o n a l t o t h e s q u a r e o f t h e f r e q u e n c i e s o f s i m i l a r mode s h a p e t y p e s i n t h e s t r u c t u r e . The r e s t r i c t i o n s u n d e r w h i c h t h i s d e c o m p o s i t i o n i s p o s s i b l e w i l l be p r e s e n t e d , f o l l o w e d by a b r i e f summary o f t h e p r o o f . The r i g o r o u s p r o o f , y i e l d i n g t h e m a t r i x o f c o n c e r n , w i l l t h e n be g i v e n . 151 D ^ 2 _ L i m i t a t i o n s I n o r d e r t o make a s e p a r a t i o n o f t h e r e d u c e d s t r u c t u r e s t i f f n e s s m a t r i x , t h e r e d u c e d f r a m e s t i f f n e s s m a t r i c e s must h a v e a s i m i l a r i t y — t h e y m ust d i f f e r o n l y by c o n s t a n t s o f m u l t i p l i c a t i o n . T h i s i s t o s a y t h a t a l l f r a m e s o f t h e s t r u c t u r e must have t h e same c h a r a c t e r i s t i c s h a p e u n d e r a g i v e n h o r i z o n t a l l o a d . The h o r i z o n t a l l o a d s w h i c h g i v e r i s e t o t h e f i r s t two t y p e s o f mode s h a p e s a r e o f m a j o r i n t e r e s t b e c a u s e t h e s e modes a r e d o m i n a n t i n t h e r e s p o n s e , t o s u c h a n e x t e n t t h a t h i g h e r modes o f most s t r u c t u r e s n e e d n o t be c o n s i d e r e d . However i n s t r u c t u r e s w i t h a b n o r m a l s t i f f n e s s d i s t r i b u t i o n s , t h e s e h i g h e r modes may be i m p o r t a n t , a n d a c o m p u t e r m o d a l a n a l y s i s i s recommended. T h i s c o n s t r a i n t may seem v e r y r e s t r i c t i v e , b u t i t i s n e c e s s a r y f o r t h e p r o o f . V i o l a t i o n s o f t h i s c o n s t r a i n t w i l l , o f c o u r s e , c a u s e d e v i a t i o n s i n t h e a c c u r a c y o f t h e t h e o r y , b u t a s t r u c t u r e w h i c h d o e s n o t p o s s e s t h e r e q u i r e d p r o p e r t y , h e r e i n a f t e r r e f e r r e d t o a s f r a m e u n i f o r m i t y , i s shown by an e x a m p l e ( s e e A p p e n d i x J ) t o y i e l d r e s u l t s by t h e method w h i c h a r e a p p r o x i m a t e l y c o r r e c t . D i 2 _ S u m m a r y _ o f _ P r o o f The t y p e o f s t r u c t u r e d e s c r i b e d w i l l n o t o n l y a l l o w s e p a r a t i o n o f b o t h i t s r e d u c e d s t r u c t u r e s t i f f n e s s m a t r i x and 152 c o r r e s p o n d i n g mass m a t r i x i n t o t h e p r o d u c t o f two m a t r i c e s ; b u t a l s o w i l l a l l o w s e p a r a t i o n o f i t s r e d u c e d s t r u c t u r e d y n a m i c m a t r i x i n t o a p r o d u c t o f two m a t r i c e s : t h e f r a m e m a t r i x and t h e c o n n e c t i v i t y m a t r i x . The p r o d u c t o f t h e e i g e n v a l u e s o f t h e f r a m e m a t r i x and t h e e i g e n v a l u e s o f t h e c o n n e c t i v i t y m a t r i x w i l l e q u a l t h e e i g e n v a l u e s o f t h e r e d u c e d s t r u c t u r e d y n a m i c m a t r i x . The c o n n e c t i v i t y m a t r i x h a s t h r e e s e t s o f n e q u a l e i g e n v a l u e s w h i c h c a n be e x p r e s s e d a s r a t i o s . n i s t h e number o f s t o r i e s . The r e l a t i v e c l o s e n e s s o f t h e t h r e e e i g e n v a l u e s o f any one mode s h a p e t y p e a r e r e p r e s e n t e d as r a t i o s by t h e t h r e e r e p e a t e d e i g e n v a l u e s o f t h e c o n n e c t i v i t y m a t r i x . Of p a r t i c u l a r i n t e r e s t f o r t h e b e a t i n g phenomenon i s t h e e i g e n v a l u e r a t i o s c o r r e s p o n d i n g t o t h e two f i r s t t y p e mode s h a p e s b e c a u s e t h e y a r e most d o m i n a n t i n t h e r e s p o n s e t o e a r t h q u a k e e x c i t a t i o n . The f r a m e m a t r i x h a s r\ s e t s o f t h r e e e q u a l e i g e n v a l u e s w h i c h c a n be e x p r e s s e d a s r a t i o s . T h i s m a t r i x y i e l d s t h e r e l a t i v e c l o s e n e s s o f t h e h i g h e s t ( m i d d l e , l o w e s t ) e i g e n v a l u e o f one mode s h a p e t y p e t o t h e h i g h e s t ( m i d d l e , l o w e s t ) e i g e n v a l u e s o f a n y o t h e r mode s h a p e t y p e a s a r a t i o . The c o n n e c t i v i t y m a t r i x r e d u c e d t o a 3x3 m a t r i x p r o d u c e s t h e same t h r e e e i g e n v a l u e s a s t h e 3n s q u a r e m a t r i x w i t h o u t h r e p e t i t i o n s o f e a c h e i g e n v a l u e . The r a t i o o f t h e e i g e n v a l u e s f o r any one mode s h a p e t y p e c a n be d e t e r m i n e d f r o m 1 5 3 t h e e i g e n v a l u e s o f t h i s 3x3 c o n n e c t i v i t y m a t r i x . The p r o o f now f o l l o w s t o y i e l d t h e 3x3 c o n n e c t i v i t y m a t r i x w h i c h f o l l o w s t h e p r o o f . D.4 P r o o f The r e d u c e d s t r u c t u r e s t i f f n e s s m a t r i x and c o r r e s p o n d i n g mass m a t r i x w i l l e a c h t e s e p a r a t e d i n t o t h e p r o d u c t o f two m a t r i c e s . The r e d u c e d s t r u c t u r e s t i f f n e s s m a t r i x K and t h e c o r r e s p o n d i n g d i a g o n a l mass m a t r i x M a r e d e f i n e d as: K K u K IVq HVr .L>e K K K Lj-ec^ i->&v i->©e M -M q Q Q M . o o M e (D . 1) The s t i f f n e s s m a t r i x e l e m e n t s a r e a s u m m a t i o n o f l i n e a r m u l t i p l i c a t i o n s o f t h e r e d u c e d f r a m e s t i f f n e s s m a t r i c e s f o r h o r i z o n t a l m o t i o n , ^ ^Vr^L" T h e s u b s c r i p t i r e f e r s t o a c e r t a i n f r a m e . 154 F o r e x a m p l e , t h e f i r s t e l e m e n t o f t h e r e d u c e d s t r u c t u r e s t i f f n e s s m a t r i x ^ c > r i ^ s r e l a t e a t o t u e f r a m e m a t r i c e s [K^lj f r o m Eg. 2.11 a s f o l l o w s : M (D.2) where N i s .the number o f f r a m e s I f t h e r e d u c e d f r a m e s t i f f n e s s m a t r i c e s f o r h o r i z o n t a l m o t i o n , [ K L , ^ were r e l a t e d b y : where t h e f r a m e r e f e r e n c e s t i f f n e s s m a t r i x was a r b i t r a r i l y c h o s e n a s CK^l,, c o r r e s p o n d i n g t o f r a m e 1. The s u b s c r i p t w i l l be o m i t t e d f r o m t h e f o l l o w i n g e g u a t i o n s i n w h i c h i s CK^,. E g . D.2 c o u l d assume t h e f o r m : - K M i Q ^ c ) . Eg. D.3 i s t h e r e s t r i c t i o n , d i s c u s s e d p r e v i o u s l y , p l a c e d on t h e f r a m e s . W i t h f r a m e u n i f o r m i t y , t h e r e d u c e d s t r u c t u r e s t i f f n e s s m a t r i x c a n now be s e p a r a t e d i n t o t h e p r o d u c t o f t h e f r a m e m a t r i x and t h e c o n n e c t i v i t y m a t r i x . 155 F o l l o w i n g f r o m E q . D.U t h e r e d u c e d s t r u c t u r e s t i f f n e s s m a t r i x K i n E q . D.1 c a n be r e p r e s e n t e d a s : N N 1 A ^1(14,4 KhhZ(LIrc\ K ^ H I M Kl N N _ L K h h J } I e I a c \ K h h I ( I 9 l r c \ KKKI(riec\_ (D.5) I n t r o d u c i n g t h e n o t a t i o n : V ^ j ^ W i e t c . , we c a n w r i t e : K = O o o K, h h J V i - V I M k , q l Kl Kel V~ Krl e^©I j (D.6) (D.7) where I i s an i d e n t i t y m a t r i x . The d i a g o n a l mass m a t r i x M c a n assume a p r o d u c t f o r m s i m i l a r t o Eq. D.7. T h e r e i s o n l y one a s s u m p t i o n n e c e s s a r y 156 f o r t h i s d e c o m p o s i t i o n : t h e p l a n o f t h e b u i l d i n g s h o u l d n o t c h a n g e f r o m f l o o r t o f l o o r . T h i s a s s u m p t i o n has been made t h r o u g h o u t t h e s t u d y , and i t i m p l i e s t h a t M ^ - M ^ ~ _ M ^ (say) , a n d t h a t h^Q~ m © JY^h where vnne i s a c o n s t a n t . The mass m a t r i x f r o m Eg. D.1 c a n now be r e p r e s e n t e d a s a p r o d u c t o f two m a t r i c e s : o 0 M h o o o o o o m rI o o 0 m eI (D.8) The r e d u c e d s t r u c t u r e d y n a m i c m a t r i x w i l l now be f o r m e d and s e p a r a t e d i n t o t h e p r o d u c t o f t h e c o n n e c t i v i t y m a t r i x and t h e f r a m e m a t r i x . I t i s d e f i n e d (see E g . C.7) a s : 1 A = M " 2 K M " * ( D . 9 ) 157 and w i t h s u b s t i t u t i o n s o f Eq. D.7 and Eq. D. 8 ( c o n t a i n i n g t h e s e p a r a t e d p r o d u c t m a t r i c e s f o r t h e r e d u c e d s t r u c t u r e s t i f f n e s s m a t r i x K and t h e c o r r e s p o n d i n g mass m a t r i x M ) t h e r e d u c e d s t r u c t u r e d y n a m i c m a t r i x c a n assume t h e f o r m : A: MC'1 o , g ' o o ny J • Q O o - 1 O I 0 q V i V I V -k_ X r\ r rI_ I. 1 LV^ m i 0 — \ o r o ° . ' * 0 0 o o Q 0 o (D. 10) 158 These matrices contain diagonal submatrices, except for the third matrix which has f u l l submatrices. The f i r s t , th i rd , and f i f th matrices contain equal submatrices occurring only along the diagonal, whereas the other matrices consist of constant diagonal submatrices. In view of the above properties, we can write: v A= 0 , o ' o 0 0 0 0 Ml 0 0 KM o o 0 o 0 0 V— g o o o o o ^q^l K^-I k r c \ I~ ^ r r l ^ r e L k©<|l k e rI k»ftl (D. 11) 1 5 9 Combining the f i r s t three and second three matrices of the product, we obtain: A- F 5 w h e r e : F = 5 0 O . i 0 0 0 • 5 K i 1 k. 1 ( D . 1 2 ) 160 It wi l l now be proven that: U = ^ e 1 (D .13 ) w here U , t , and e are matrices of eigenvectors and CO~, J± , and -|_ are diagonal matrices of eigenvalues corresponding to the dynamic matrix P\ , the connectivity matrix _S # and of the frame matrix F respectively. These matrices satisfy: A U = U u) 2 F e -e4_ Multiplying together the left and right side of the two previous eguations yields: (C. 15) 161 A closer examination of the form of these matrices is now necessary. Simplifying the notation used in Eg. D.12, the connectivity matrix, 5 , can be written in the form: '5 = r 5*1 5 3 J ( D . 1 6 ) where i t s eigenvectors are of the form: u U l %1 Y 3 2l <D.17) and i t s eigenvalues are of the form: 162 S i m p l i f y i n g t h e n o t a t i o n u s e d i n E g . D.12, t h e f r a m e m a t r i x c a n be w r i t t e n i n t h e f o r m : \ ^' l _ o o F= o E' o o 0 rf (D. 19) where i t s e i g e n v e c t o r s a r e o f t h e f o r m : a' o o 0 e' o o o (D.20) and i t s e i g e n v a l u e s a r e o f t h e f o r m : X 6 O o | o o o J' (D.21) 163 A s a r e s u l t o f t h e f o r m o f t h e m a r t i c e s ( w h i c h a r e s y m m e t r i c a l ) , t h e f o l l o w i n g e q u a l i t i e s a r e t r u e : (D.22) I n t r o d u c i n g E q s . D . 2 2 i n t o E q . D . 1 5 y i e l d s : I n t r o d u c i n g E g . D . 1 2 y i e l d s : ( D . 2 4 ) S i n c e b o t h ^ a n d J± a r e d i a g o n a l m a t r i c e s , t h e p r o d u c t J^-G. i s a l s o a d i a g o n a l m a t r i x . T h i s m a t r i x , s i n c e i t i s d i a g o n a l , m u s t c o n t a i n t h e u n i q u e e i q e n v a l u e s o f ^ . A l s o t h e m a t r i x p r o d u c t ©H* m u s t b e t h e e i g e n v e c t o r s o f A> . E q s . D . 1 3 a r e n o w p r o v e n ( s e e E q . D . 1 4 f o r c o m p a r i s o n t o E q . D . 2 4 ) . 164 C o m b i n i n g Eq. D.18 and E q . D.21 i n t o t h e p r o d u c t o f t h e e i g e n v a l u e s now p r o v e n e q u a l t o t h e e i g e n v a l u e s o f t h e d y n a m i c m a t r i x y i e l d s : •- AI 9 o o o o o A O G O o g o o o o o o a 1' (D.25) The e i g e n v e c t o r s o f t h e d y n a m i c m a t r i x c a n be e x p r e s s e d a s : V",e' ^ e ' y e' e' i// ©' L '31 (D.26) I f t h e f i r s t c o l u m n o f t h e e i g e n v e c t o r s , 'Q , o f t h e f r a m e m a t r i x c o r r e s p o n d e d t o t h e f i r s t mode s h a p e t y p e ( s a y ) , t h e f i r s t e l e m e n t o f t h e e i g e n v a l u e s , , o f t h e f r a m e m a t r i x w i l l a l s o c o r r e s p o n d t o t h e f i r s t mode s h a p e t y p e . 165 The eigenvalues corresponding to the f i r s t mode shape types wi l l therefore be: 2 where OJ, is the vector of eigenvalues corresponding to f i r s t type mode shapes. Note that a relative closeness cf the eigenvalues can be established by: — ' ( ! , ) = ( A •> A ' ' ( t . 2 8 ) ^i-LjMA> A , A ~ ) 3^ etc. The closeness cf the eigenvalues corresponding to certain mode shape types can be described by the vector 1o determine f i ^ - ^ } . i t i s not necessary to solve for the eigenvalues of the 3H by ; H matrix in Eq. D.16. 166 T h e s e v a l u e s c a n b e a s c e r t a i n e d t h r o u g h d e t e r m i n i n g t h e e i g e n v a l u e s o f t h e f o l l o w i n g m a t r i x : 5'-3* ( D . 2 9 ) w h e r e t h e e l e m e n t s o f t h e m a t r i x c o r r e s p o n d t o t h e c o n s t a n t s i n E g . D . 1 6 w h i c h i s a s i m p l i f i c a t i o n o f t h e c o n n e c t i v i t y m a t r i x , 3 r i n E g . D . 1 2 . T h e m a t r i x i n E g . D . 2 9 w i l l b e r e f e r r e d t o a s t h e " 3 x 3 c o n n e c t i v i t y m a t r i x " . 167 APPENDIX_E ESTIMATION OF THE 3X3 CONNECTIVITY MATRIX E^2_l£Production The 3x3 c o n n e c t i v i t y m a t r i x w i l l be e v a l u a t e d i n t h i s A p p e n d i x . The d e v e l o p m e n t a n d r e s t r i c t i o n s on t h e m a t r i x a r e p r e s e n t e d i n A p p e n d i x D. The m a t r i x w i l l be d e t e r m i n e d f i r s t l y f o r t h e g e n e r a l s t r u c t u r e , t h e n f o r t h e s t r u c t u r e s w i t h f r a m e s o r t h o g o n a l i n p l a n , a n d l a s t l y f o r r e c t a n g u l a r s t r u c t u r e s w i t h f r a m e s o r t h o g o n a l i n p l a n . The mass o f t h e s t r u c t u r e i s assumed d i s t r i b u t e d u n i f o r m l y o v e r t h e p l a n i n t h e l a t t e r c l a s s i f i c a t i o n . 168 The m a t r i x d e r i v e d i n A p p e n d i x D, Eq. D.29, i s r e w r i t t e n a s : 5 = k k 0 (E. 1) w h e r e , f o r e x a m p l e , t h e f i r s t t e r m i s c o m p r i s e d o f : where £f i s t h e r e l a t i v e s t i f f n e s s o f f r a m e ' t o some r e f e r e n c e f r a m e . M i s t h e number o f f r a m e s . T h e s e t e r r a s h a v e b e e n p r e v i o u s l y d e f i n e d i n A p p e n d i x D. The mass t e r m s rf^ a n d mr a r e e q u a l . The t e r m r r \ Q i s a f u n c t i o n o f t h e mass moment o f i n e r t i a . The s t i f f n e s s t e r m s ( s u c h a s k<^ _) a r e f u n c t i o n s o f t h e d i r e c t i o n c o s i n e s o f t h e f r a m e s I a and , and t h e p e r p e n d i c u l a r d i s t a n c e f r o m t h e f r a m e t o t h e c e n t r e o f mass, I D , ( s e e s e c t i o n 2.6). 169 The e l e m e n t s o f t h e m a t r i x i n E q . E.1 c a n be w r i t t e n i n t h e f o r m : 5 5 r Y, S r e S>ev (E.2) w h e r e , f o r e x a m p l e : E.2 G e n e r a l S t r u c t u r e W r i t t e n i n t h e i r q e n e r a l f o r m , t h e e l e m e n t s o f t h e m a t r i x i n E q . E.2 a r e : 5 ^ = 2 ( I ^ c ) ^ mc M c, ^1© (E.3) 170 Note t h a t t h e and r t r a n s l a t i o n a l d i r e c t i o n s a re un c o u p l e d . T h i s i s not the case w i t h a l l s t r u c t u r e s , t u t i f the n - r a x i s i s o r i e n t a t e d a l o n g the p r i n c i p l e a x i s of the s t r u c t u r e , the elements Zjn and s a r e z e r o . I f t h e s t r u c t u r e does not c o n t a i n s i g n i f i c a n t ' a d d i t i o n a l * d e g r e e s of freedom, t h i s t r a n s l a t i o n a l c o u p l i n g i s s m a l l . S e t t i n g S<^ and zr,i e q u a l t o z e r o i s not r e a l l y a r e s t r i c t i o n on the s o l u t i o n because a c o o r d i n a t e r e f e r e n c e frame can always be chosen i n such a way t h a t i t i s t r u e . S i n c e t h e r a t i o o f t h e e i g e n v a l u e s i s d e s i r e d , a s c a l i n g o f t h e elements o f Eqs. E .3 w i l l not change the outcome. S e t t i n g and YYX^ to u n i t y , and r n e t o the mass moment of i n e r t i a about t h e c e n t r e of mass, I pn # Egs. E .3 become: N c 5 ^ = 5 ^ = O M I N I-1 S e Q - l ( I e I e O i I r s„. ' " l aw 171 t ^ y g ^ i j r e . w j r t h _ ? £ g m ^ s o r t h o g o n a l i " , ? , ^ ^ The o r t h o g o n a l i t y of t h e frames a l l o w s f o r f u r t h e r s i m p l i f i c a t i o n of Egs. E.4. The d i r e c t i o n c o s i n e s of such a s t r u c t u r e a r e ( 0 , 1 , - 1 ) . The p h y s i c a l q u a n t i t i e s can now be d e f i n e d : • e r4(IJ,cVR"tycIjJ' (E.5) where i s t h e r a d i u s o f g y r a t i o n o f t h e frames r a t i o , £q and e r a r e t h e e c c e n t r i c i t y r a t i o s i n t h e <\ and T d i r e c t i o n s r e s p e c t i v e l y , and "frq i s t h e s t i f f n e s s r a t i o . 172 Introducing the definitions in Eqs. E.5 into Eqs. E.U and dividing by S,^  yields: ,5 r 6--s 6.-- l : |llcI,ll lIFJ(I(I ( lli lc)J'e a iQ s = f 173 Since 1(, and ir are (0 ,1,-1) then: N i ! i c i j i r z ( c m l-v *• '<-1 l l c L l l i =KclX\ (E-7' N I q = I(cIrIrtcIJ ); and therefore: - 5 ^ 174 E A 4 _ R e c t a n 2 u l a r _ B u i l d i ^ I n a r e c t a n g u l a r b u i l d i n g w i t h t h e r e f e r e n c e d i m e n s i o n s Q and R b e i n g t h e p l a n d i m e n s i o n s , t h e moment o f i n e r t i a a b o u t t h e c e n t r e o f mass c a n be e x p r e s s e d a s : (E.9) T I n t r o d u c i n g t h e d i m e n s i o n r a t i o , • j _ G) d ^ - n ( E - 1 0 ) and E q . E.9 i n t o E q s . E.8 y i e l d s : _ s^-Se^-zvaf^e^d fd^ r) 1 ( E . I D 5 • = f 175 APPENDIX P PROPERTIES OF THE 3X3 CONNECTIVITY_HATRIX F ^ J ^ I n t r o a u c t i o n When a n y e i g e n v a l u e s o f a 3x3 m a t r i x a r e e q u a l , i t may be i n f e r r e d t h a t t h e m a t r i x h a s c e r t a i n p r o p e r t i e s . T h i s A p p e n d i x i d e n t i f i e s t h e p r o p e r t i e s o f t h e e l e m e n t s o f t h e 3x3 c o n n e c t i v i t y m a t r i x when two e i q e n v a l u e s a r e e q u a l . The d e v e l o p m e n t and r e s t r i c t i o n s o f t h i s m a t r i x a r e p r e s e n t e d i n A p p e n d i x D. T h i s m a t r i x c a n be e x t i m a t e d u s i n q A p p e n d i x E. R e w r i t i n g Eq. D.29, we h a v e : (F. 1) 176 o r : 5 -5, c o -5, 'qo 5 5 ©C3 (F.2) F o r any s t r u c t u r e , t h e t e r m s and S r ^ a r e e i t h e r z e r o o r c a n be made e q u a l t o z e r o by r e o r i e n t a t i n g t h e c\ - r a x i s ( s e e s e c t i o n E . 2 ) . Eg. F.2 now t a k e s t h e f o r m : 0 5'- 0 s (F .3) S u b t r a c t i n g t h e e i g e n v a l u e s /\ o f f t h e d i a g o n a l l e a d s t o : 5'- A l o 5, •c o 0 r (F.U) 177 The r a n k o f t h e m a t r i x i n Eg. F.3 i s t h r e e b e c a u s e t h e d e t e r m i n a n t o f .J i s n o n - z e r o f o r a s t a b l e s t r u c t u r e . However, t h e r a n k o f t h e m a t r i x 5 l e s s t h e d i a g o n a l e i g e n v a l u e m a t r i x A I i n Eg. F.4, i s g e n e r a l l y two b e c a u s e t h e d e t e r m i n a n t o f t h e 3x3 i s z e r o . The r a n k o f Eq. F.4 c a n be f u r t h e r r e d u c e d . When two e i q e n v a l u e s a r e e q u a l , t h e r a n k o f t h e 3 x 3 m a t r i x i n E q . F.4 i s o n e . T h i s means t h e d e t e r m i n a n t o f e v e r y 2 x 2 p o r t i o n o f t h e m a t r i x i s z e r o . When a l l t h r e e e i g e n v a l u e s a r e e g u a l t h e r a n k i s r e d u c e d t o z e r o . T h i s means t h e d e t e r m i n a n t o f e v e r y 1x1 p o r t i o n i s z e r o , o r e v e r y e l e m e n t i s z e r o . F o r t h i s r e a s o n , t h e c a s e o f t h r e e e g u a l e i g e n v a l u e s i n v o l v e s a v e r y s h o r t s o l u t i o n f o r d e t e r m i n i n g t h e p r o p e r t i e s o f t h e e l e m e n t s . The r a n k o f t h e m a t r i x i n E q . F.4 d e p e n d s on how many e i g e n v a l u e s a r e e q u a l . T h i s c a n be p r o v e n as f o l l o w s : P r o o f f o r 2 E q u a l E i g e n v a l u e s L e t A . be a 3x3 H e r m i t i a n m a t r i x w i t h 2 i d e n t i c a l e i q e n v a l u e s A j and T h e r e i s a m a t r i x P w h i c h d i a g o n a l i z e s A _ : P ' * A P A, O 0 O O O O A-1 I— o o o o o o O O ^ 3 ^ i 178 w h i c h h a s r a n k 1. T h e r e f o r e , t h e m a t r i x h a s r a n k 1, s i n c e i t i s s i m i l a r . P r o o f _ f o r _ 3 _ E 3 u a l _ E i g e n y a l u e s 2 L e t A be a 3x3 H e r m i t i a n m a t r i x w i t h 3 i d e n t i c a l g e n v a l u e s A , , and A^. e i O 0 0 o o o o o o w h i c h h a s r a n k z e r o . T h e r e f o r e , t h e m a t r i x h a s r a n k z e r o , s i n c e i t i s s i m i l a r . F i2_Pro£§rties_of_Elements_fo S i n c e t h e r a n k i s z e r o when t h e t h r e e e i g e n v a l u e s a r e e q u a l , a l l e l e m e n t s o f t h e m a t r i x i n Eq. F.4 must be z e r o . T h i s l e a d s t o : Sq_e~ - S r 6 = S & v . = - 5 ^ r - ? ^ = - S ^ Q -7\ - O ( F . 5) The e i g e n v a l u e s a r e a l l e q u a l , a n d t h e r f o r e t h e d i a g o n a l t e r m s o f t h e 3x3 c o n n e c t i v i t y m a t r i x a r e a l l e q u a l and e q u a l t o t h e t h r e e e q u a l e i g e n v a u e s . The o f f - d i a g o n a l t e r m s w i l l a l l be z e r o . 179 The f o r m o f t h e m a t r i x 5 , f o r t h r e e e q u a l e i g e n v a l u e s i s : 5'= 0 0 0 0 0 o e^e> (F.6) The s p e c i a l c a s e o f t h r e e e q u a l e i q e n v a l u e s i s a c t u a l l y i n c l u d e d i n t h e c a s e o f two e q u a l e i g e n v a l u e s . 3 _ P r : g E e r t . i e s o f . . . E l e m e n t s f o r ^ . T w o E g u a l S i g e n y a l u e s S i n c e t h e r a n k i s o n e , t h e d e t e r m i n a n t o f . a l l 2x2 p o r t i o n s o f t h e 3x3 d y n a m i c m a t r i x 5 l e s s t h e d i a g o n a l e i g e n v a l u e m a t r i x i n Eg. F.4 a r e z e r o , and t h e f o l l o w i n q c o n d i t i o n s must be s a t i s f i e d . T h e s e e q u a t i o n s c a n o n l y be t r u e i f e i t h e r ( S ^ S ^ 6) o r (S^S^-cT). The s o l u t i o n w i l l be d i v i d e d i n t o t h r e e p a r t s . The f i r s t p a r t w i l l y i e l d a l l c o n d i t i o n s on t h e e l e m e n t s when t h e 180 o f f - d i a g o n a l t e r m s S e p and S & q a r e z e r o . The s e c o n d p a r t w i l l i n v o l v e t h e o f f - d i a g o n a l t e r m s S„,. and S,,0 b e i n g z e r o . The f i n a l p a r t w i l l i n c l u d e a l l o f f - d i a g o n a l t e r m s z e r o . * 181 Part 1 If: 5<^ 6 = - O then from Eqs. F .7: C S n C | =~ 7\)( 5 - ^ - / 0 - O ©e" either: "><{({~ ^  or: <S E G - 5Q< -^ A or: SQ&-^y^y-ZX If: S«^=A. then: (S Q e - A ) ( 5rt. - A") - 5 e r 5 If: 5^©e-. S^-'A then: 5j.& - S e r ~ 0 If: 3 S & = Sp-v-- A then: 5 h Q - S e r -0 182 Part 2 I f : S> y.^ r - vy then from Eqs. F.7: ( S ^ / O f 5^"}\) = 0 either: S = ••7i or: c or: . c-If: If: &^© = -SK r"' ^ then: ^o© = ^e. ^  - ^ If: S © Q - S ^ ^ ^ A then: = 5©^ ~ 0 Part_3 i i . —'^ Q ~ ^-K© then from Eqs. F . 7 : ( A ) ( S > r - / 0 ^ 0 e i t h e r : ^£C{_= v">°°~ ^  o r : ~ ^ - - ? \ o r : Sou - 2, R - 7\ - v. o r : 2 c , q - ? \ 184 Summary I f : S^e = So^<=0 t h e n : S<^ - A ^ ( 5 Q 0 ~~A)( 5 r r ~ W) - O r s ^ < j r o r : S©e~Sc^-?^ V e ^ e y " ^ o r : ^}Q^ ~ S R R R ' 5 r Q " = 0 I f : 5 r e = 3 6 r = - ° t h e n : 5 r r - A ^ ( SQ9- \ ^ a'X) - Sq^ S©^ o r : 5 & € > - S r r * ^ \ s S & c ^ 0 o r : 5© e=-5^=A ) 5^©-So^~0 I f : ^q_e~ ^&c\~ t^-e = S & r ~ 0 t h e n : 5©©" A o r : S r r = 5 e e =• A o r : 5 ^ = S v r = /\ o r : S ^  = Srr r S $ © =-"A The c o n d i t i o n s f o r two e q u a l e i g e n v a l u e s c a n be q r o u p e d i n t o two c a s e s w h i c h f o l l o w f r o m t h e p r e v i o u s e q u a t i o n s . The f i r s t c a s e i s t h e u n c o u p l e d c a s e . The m a t r i x has a l l o f f - d i a q o n a l t e r m s e q u a l t o z e r o . I f two o f t h e d i a q o n a l t e r m s a r e e q u a l , e q u a l e i q e n v a l u e s w i l l o c c u r w i t h t h e same 185 v a l u e s a s t h e e q u a l d i a g o n a l t e r m s . T h i s c a s e i s s i m i l a r t o t h e c a s e f o r t h r e e e q u a l e i g e n v a l u e s . The s e c o n d c a s e i s t h e c o u p l e d c a s e . The m a t r i x h a s one s e t o f o f f - d i a g o n a l t e r r a s e q u a l t o z e r o . T h i s w i l l u n c o u p l e one d i a g o n a l t e r m CI f r o m t h e o t h e r two d i a g o n a l t e r m s , b and C . E g . F.8 must be s a t i s f i e d f o r two e q u a l e i g e n v a l u e s w h i c h h a v e t h e same v a l u e a s t h e t e r m 0 . (F.8) The t e r m d i n Eq. F.8 i s t h e o f f - d i a g o n a l t e r m w h i c h i s c o u p l e d w i t h t h e d i a g o n a l t e r m s b and C . An e x a m p l e o f t h e u n c o u p l e d c a s e and t h e c o u p l e d c a s e f o r two e q u a l e i g e n v a l u e s f o r t h e 3x3 m a t r i x a r e g i v e n i n E g . F.10 and Eq. F.11 r e s p e c i t i v e l y . r 5'-Q O O o b o o o o (F. 10) w h e r e : o r : o r : a - a b A -• Q - C 186 5= a 0 0 0 b d o d c (F. 11) w h e r e : a n d : (c-oxb-co-d' From t h e s e r e s u l t s , c o u p l e d modes c l e a r l y c a n n o t have e q u a l p e r i o d s . 187 APPENDIX G RANGES ON THE EIGENVALUES OF THE 3X3 CONNECTIVITY MATRIX G.1 I n t r o d u c t i o n The d e v e l o p m e n t a nd r e s t r i c t i o n s o f t h e c o n n e c t i v i t y m a t r i x a r e p r e s e n t e d i n A p p e n d i x D. T h i s m a t r i x c a n be e x t i m a t e d u s i n g A p p e n d i x E. Ranges on t h e e i g e n v a l u e s a r e much more e a s i l y c a l c u l a t e d t h a n t h e e i g e n v a l u e s t h e m s e l v e s . The r a n g e s on t h e e i g e n v a l u e s may i n d i c a t e t h a t t h e p e r i o d s c a n n o t be s u f f i c i e n t l y c l o s e and t h e r e f o r e c a l c u l a t i o n o f t h e e x a c t e i g e n v a l u e s i s u n n e c e s s a r y . The m a t r i x i n q u e s t i o n f r o m Eq. F.3 i s o f t h e f o r m : S 0 r r 5 (G. 1) s 5, 'er s 188 The m a t r i x i s s y m m e t r i c a l and f o r e a s e c f c a l c u l a t i o n s i t c a n t a k e t h e f o r m : 5 ' = a 0 b o c d (G.2) b d e The r a n g e s on t h e e i g e n v a l u e s c a n be d e t e r m i n e d t h r o u g h t h r e e v a r i a t i o n a l p r i n c i p l e s o f e i g e n v a l u e s . The t h r e e p r i n c i p l e s , f r o m F r a n k l i n 3 , a r e t h e I n c l u s i o n T h e orem, G e r s h g o r i n ' s T h e o r e m , and weyl»s I n e q u a l i t i e s . The I n c l u s i o n Theorem w i l l be u s e d f i r s t . G_. 2 _ I n c l u s i c n _ T h e c r e m L e t A - f c j i j ) be an r \ x n flermitian m a t r i x w i t h r\ > I . L e t B be t h e (rv-UX(r\-0 H e r m i t i a n m a t r i x f o r m e d by d e l e t i n q t h e l a s t row and l a s t c o l u m n c f A . l e t <x4•>...> ©< be t h e e i g e n v a l u e s c f /\ , and l e t jS,^,,, ^ p>n be t h e e i g e n v a l u e s o f O . T h e n , 189 The d y n a m i c m a t r i x _S i s s e t e q u a l t o t h e m a t r i x s t a t e d i n t h e I n c l u s i o n Theorem f o r m i n g : q O c d b d e (G.3) The m a t r i x i n t h e I n c l u s i o n Theorem c a n assume t h r e e p o r t i o n s o f t h e m a t r i x P\ i n Eg. G .3 . The e l i m i n a t i o n o f t h e l a s t row and l a s t c o l u m n i s a r b i t r a r y b e c a u s e t h e m a t r i x c a n be r e a r r a n g e d s o t h a t t h e l a s t row a n d l a s t c o l u m n a p p e a r i n t h e f i r s t row and f i r s t c o l u m n . The t h r e e B m a t r i c e s o b t a i n e d by s u c h a p r o c e s s a r e e x p r e s s e d a s : Q O o c c cl d e (G.U) a b b e 190 The t h r e e s e t s o f e i g e n v a l u e r a n g e s . Pi and 3 2 , c o r r e s p o n d i n g t o t h e m a t r i c e s £), , j&2, and 5^ i n E g . G.4 a r e : 2 Z The e i g e n v a l u e , c-i^t of A_ must f a l l b e t w e e n t h e s m a l l e s t P, and t h e l a r g e s t p 2 e i g e n v a l u e o f a l l m a t r i c e s B . The e i g e n v a l u e must be s m a l l e r t h a n a l l e i g e n v a l u e s . The e i g e n v a l u e c< , must be g r e a t e r t h a n a l l p>t e i g e n v a l u e s . The I n c l u s i o n Theorem h a s now e s t a b l i s h e d r a n g e s on t h e e i g e n v a l u e s . T h e s e r a n g e s w i l l be p r e s e n t e d i n a summary f o l l o w i n g t h e u s e o f t h e two o t h e r v a r i a t i o n a l p r i n c i p l e s o f e i g e n v a l u e s . 191 G i 3 _ G e r s h g o r i n ^ s _ T h e o r e m I f A i s an n x r i m a t r i x w h i c h i s s t r o n g l y w e i g h t e d a l o n g t h e d i a g o n a l t h e f o l l o w i n g e s t i m a t e i s u s e f u l : 1. E v e r y e i g e n v a l u e /\ o f an r\xr» m a t r i x p\ s a t i s f i e s a t l e a s t one o f t h e i n e q u a l t i t i e s . A - a u | A £ | Q | (( = l , . . : rO 2. l e t D| 1D 1 > . . ,D^ he t h e d i s j o i n t c o m p o n e n t s o f t h e G e r s h o r i n c i r c l e s . L e t D, be t h e u n i o n o f t h e c i r c l e s (so t h a t ]En;-n ) • Then D, c o n t a i n s e x a c t l y nvL e i g e n v a l u e s o f A . The m e n t i o n o f s t r o n g l y w e i g h t e d a l o n g t h e d i a g o n a l i n G e r s h g o r i n ' s T h e o r e m i s n o t a n e c e s s a r y c o n d i t i o n . T h i s c o n d i t i o n w i l l p r o d u c e a more d e s i r e a b l e r e s u l t b e c a u s e i f t h e d i a g o n a l were n o t s t r o n g l y w e i g h t e d , t h e r a n g e w o u l d be t o o l a r g e t o a s c e r t a i n a v a l u a b l e a p p r o x i m a t i o n . The G e r s h g o r i n c i r c l e s w i l l be r a n g e s b e c a u s e t h e e i g e n v a l u e s w i l l a l w a y s be r e a l and w i l l n o t c o n t a i n any i m a g i n a r y p a r t s f o r t h e d y n a m i c m a t r i x _A . The e i g e n v a l u e s must f a l l i n t h e r a n g e s . I f , f o r e x a m p l e , two and o n l y two r a n g e s o v e r l a p t h e two e i g e n v a l u e s a s s o c i a t e d w i t h t h e r a n g e s w i l l be i n t h e u n i o n o f t h e two r a n g e s , b u t n o t n e c e s s a r i l y i n 192 one r a n g e a t a l l . The G e r s h g o r i n Theorem p r o d u c e s t h e f o l l o w i n g r a n g e s : A -c l ( G- 6 ) The G e r s h g o r i n Theorem p r o d u c e s a r a n g e on a l l e i g e n v a l u e s . weyl»s Theorem a l s o p r o d u c e s a r a n g e a nd s u r p a s s e s one o f G e r s h g o r i n * s r a n g e s . G ^ 4 _ W e y l ^ s _ I n e q u a l i t i e s L e t M-H+P, . where M r H # and P a r e H e r m i t i a n . L e t M h a v e e i g e n v a l u e s -Z^ -.. r n^# let H h a v e e i g e n v a l u e s ^ i - . . - 2 ^ ' a n f l L E T — h a v e e i g e n v a l u e s />,-••• f n - T h e n , 193 L e t t h e m a t r i x M be o i n Eq. G .2 . L e t an d D have t h e f o l l o w i n q f o r m s : ' a O cr • H"- o c 0 L O o e. " O o b 1 o 9 d - b d o -" a 0 M = 0 c d . b d e. e i g e n v a l u e s o f H The e i g e n v a l u e s o f P . D C , and 6 . a r e c a l c u l a t e d f r o m t h e i n v a r i a n t s o f i,= i 3 = o P\3-A2I,+7vJ2-I3=-0 A a- A(b*+d2) =0 A = 0 1 i l / P T d i The e i g e n v a u e s jD a n d jD s t a t e d i n W e y l ' s I n e q u a l i t y p^  - Y b ^ T d L a r e : 194 From Weyl's Inequality, the ranges are: 195 Summary Rewriting the results of the three principles we have: (G.5) ( P,, a ( c , e ) ± V ( e - . r ) ^ 4 d ^ ( CoN DmoN h) ) A - a l ^ b I / \ - C | ^  (J • (G.6) I A - C I ^ T/T>*Td* ( G . 7 ) 1 9 6 T h e l i m i t i n g r a n g e s o f E q s . G . 6 a n d E q s . G . 7 a r e : ! a I - b ( c b w u;T ION D ) ! A - C l ^ - Y t f+d 2" • ( .CONDITIOM E l ( G - 8 ) I ?\ - £ I - d z ^ c o H 0 a ' Q N r ' 197 G i6_Exam£le An e x a m p l e o f t h e s e r a n g e s i s now g i v e n . The r a n g e s o f t h e e i g e n v a l u e s i s shown on t h e a x i s . C o n d i t i o n s A , O, and C- c o r r e s p o n d t o t h e I n c l u s i o n Theorem. C o n d i t i o n s —• and H c o r r e s p o n d t o G e r s h g o r i n ^ T h eorem. C o n d i t i o n — c o r r e s p o n d s t o W e y l ' s I n e q u a l i t y . E A_ a U C a a = b = c ^ Safe s S a e 1 9 8 A P P E N D I X H N E W T O N - R H A P S O S S O L U T I O N F O R E I G E N V A L U E S O F A 3 X 3 M A T R I X T h e e i g e n v a l u e s o f t h e 3 x 3 c o n n e c t i v i t y m a t r i x c a n b e e s t i m a t e d b y a n u m e r i c a l m e t h o d ( f o r d e v e l o p m e n t o f t h e N e w t o n -R h a p s o n m e t h o d , s e e S a l v a d o r i a n d B a r o n 1 6 , E g . 1 . 2 . 8 , p . 6 ) w h i c h w i l l b e a d a p t a b l e t o c o m p u t e r c a l c u l a t i o n s o r h a n d c a l c u l a t i o n s . T h e d e v e l o p m e n t a n d r e s t r i c t i o n s o f t h i s m a t r i x a r e p r e s e n t e d i n A p p e n d i x D . T h i s m a t r i x c a n b e e x t i m a t e d u s i n g A p p e n d i x E . T h e m a t r i x o f c o n c e r n f r o m E g . F . 3 i s : 5 = s n o ^ 9 o L ©^cj^  ^ e r S e e ( H . 1 ) 199 The i n v a r i e n t s o f t h e s y m m e t r i c a l m a t r i x _0 a r e : (H.2) j - c, c c - c c c _ c- c c 3> J < - H ° e 9 J r r °«3 Jrs» - * r r - 0 9 " d ' ^ The e i g e n v a l u e s , A , must s a t i s f y t h e c h a r a c t e r i s t i c e q u a t i o n i n v o l v i n g t h e i n v a r i e n t s : A M . A ^ l . A - I ^ O CH.3) I f t h e c h a r a c t e r i s t i c e q u a t i o n i s s e t e q u a l t o t h e unknown \J , t h e n \J a n d t h e f i r s t d e r i v a t i v e o f V/ a r e : (H.4) 200 W i t h a s t a r t i n g e s t i m a t i o n f o r t h e e i g e n v a l u e , t h e i t e r a t i v e p r o c e d u r e i n E g . H.5 w i l l c o n v e r g e on a r o o t o f t h e c h a r a c t e r i s t i c e q u a t i o n . ~A - ^ \ I L D ~ ^ \ L D " \ ( H ' 5 ) A O L O - , 7 ) > +1 Good s t a r t i n q v a l u e s f o r t h e e i q e n v a l u e s u s i n q E q . H.5 a r e O , I j / 3 , and 1 , . 201 A P PENDIX_I ROTATIONAL EXCITATION A s t r u c t u r e d u r i n g a n e a r t h q u a k e must e n d u r e a r o t a t i o n a l e x c i t a t i o n . T h i s e x c i t a t i o n i s a f f e c t e d by t h e t y p e o f wave, v e l o c i t y o f wave, e l a s t i c i t y o f t h e f o u n d a t i o n , and e l a s t i c i t y o f t h e s o i l . C a l c u l a t i o n o f a r o t a t i o n a l g r o u n d a c c e l e r a t i o n i s v e r y d i f f i c u l t b e c a u s e o f t h e u n c e r t a i n t y o f t h e v a r i a b l e s i n v o l v e d . H o w e v e r , i f t h e w o r s t p o s s i b l e r o t a t i o n a l e x c i t a t i o n i s d e s i r e d , c e r t a i n a s s u m p t i o n s c a n be i n t r o d u c e d . The b a s e o f t h e s t r u c t u r e c a n be assumed r i g i d and t h e s o i l c a n be assumed an e l a s t i c medium. The r e c o r d e d »• • • a c c e l e r a t i o n s i n t h e two t r a n s l a t i o n a l d i r e c t i o n s O a and Q r c a n be assumed d e v e l o p e d f r o m s h e a r waves a l o n e . The s h e a r waves and Up. c a n be assumed t o h a v e a v e l o c i t y V . The d i m e n s i o n s o f t h e r e c t a n g u l a r b u i l d i n g f o u n d a t i o n a r e Q and R . 202 V From e las t i c i ty theory, the rotation of the structure terms of the displacement f i e l d are given ass 203 The displacement f i e ld f x , \ 0 i s a function of the shear waves' displacement expressed as: ( 1 . 2 ) The assumption that the recorded accelerations are entirely resultatnt from shear waves leads to: ' ( 1 . 3 ) » The displacement functions X and '••/ can be i t • « expressed in terms of the recorded accelerations O.q and 0.,(.. 204 From Eq. 1.1 the rotational acceleration can be written in terms of the displacement functions " X and y . d t 2 V d r (1.5) Substituting Eqs. 1.4 into Eq. 1.5 yields: 9 - (1.6) or the difference form: 0 * Q R J (1.7) Eq. 1.7 can be used to get a l imit on the rotational response from the two translation acceleration records Cl,* and 205 APPENDIX_J METHOD_FOR_PREDICTION_OF TESTED_AGAINST_EXPERIMENT J i i _ I n t r o d u c t i o n The method o f p r e d i c t i o n o f s e c t i o n 3.7, a l t h o u g h r e s t r i c t e d t o a p a r t i c u l a r r a n g e o f s t r u c t u r e s , may be a p p l i e d t o s t r u c t u r e s w h i c h do n o t s a t i s f y t h e s e r e s t r i c t i o n s . The s t r u c t u r e ( s e e F i g . J . 1 ) , f o r w h i c h t h e n a t u r a l f r e q u e n c i e s were d e t e r m i n e d e x p e r i m e n t a l l y by N i e l s e n 1 5 , c e r t a i n l y d o e s n o t s a t i s f y t h e r e s t r i c t i o n s on t h e method b e c a u s e t h e n o r t h / s o u t h f r a m e s , b e i n q much s h o r t e r i n l e n q t h t h a n t h e e a s t / w e s t f r a m e s , a r e more s u s c e p t i b l e t o c o l u m n a x i a l d e f o r m a t i o n s . However t h e r e s u l t s f r o m t h e method o f p r e d i c t i o n a q r e e e x t r e m e l y w e l l w i t h t h e s e c o n d mode s h a p e t y p e f r e q u e n c y r a t i o s , and a g r e e c l o s e l y w i t h t h e f i r s t a n d t h i r d mode s h a p e t y p e f r e g u e n c y r a t i o s . 206 J_. 2 _ P r o c e d u r e 1) W i t h s h e a r w a l l s , v e r t i c a l c o m p a t i b i l i t y o f t h e c o r n e r s o f t h e f r a m e s s h o u l d be s a t i s f i e d when c a l c u l a t i n g t h e s t i f f n e s s e s o f t h e s t r u c t u r e . However i n a f r a m e s t r u c t u r e , s u c h a s t h e one e x a m i n e d , t h i s c o m p a t i b i l i t y g e n e r a l l y l e a d s t o n e g l i g i b l e i n c r e a s e s i n s t i f f n e s s . F o r t h i s r e a s o n t h e v e r t i c a l c o m p a t i b i l i t y o f t h e c o r n e r c o l u m n s b e t w e e n f r a m e s i s r e l a x e d , and t h u s t h e c o o r d i n a t e s y s t e m w h i c h u n c o u p l e s t h e two t r a n s l a t i o n a l m o t i o n s o f t h e s t r u c t u r e w i l l c o r r e s p o n d t o t h e a x e s o f t h e b u i l d i n g . 2) The m a t r i x S c a n now be f o r m e d u s i n g t h e d e f i n i t i o n s f o r t h e e l e m e n t s g i v e n i n s e c t i o n 3 . 7 . On a v e r a g i n g t h e moments o f i n e r t i a o f t h e c o l u m n s o f t h e s t r u c t u r e , an a v e r a g e r a t i o o f t h e moments o f i n e r t i a i n t h e two c o o r d i n a t e d i r e c t i o n s c a n be a r r i v e d a t a s i n T a b l e J . 1 . 207 r T | Average Moment of I n e r t i a R a t i o I | Ixx/Iyy | | Column | Ixx | Iyy | Ixx/Iyy I | W14X87 | 9 6 6 . 9 | 3 4 9 . 7 | 2 . 7 5 I | W 1 4 X 1 1 9 | 1 3 7 3 . 1 | 4 9 1 . 8 | 2.80 | | W14X142 | 1 6 7 2 . 2 | 6 6 0 . 1 | 2 . 6 7 | | W14X158 | 1 9 0 0 . 6 | 7 4 5 . 0 | 2.J55 | | Average | I I 2 . 6 8 I i : i i i J T a b l e _ J . 1 Assuming the r o t a t i o n of the columns a t the top and bottom of each t r u s s i s prevented, then the r e l a t i v e s t i f f n e s s e s of the two c o o r d i n a t e d i r e c t i o n s can be c a l c u l a t e d . The average i n t e r f l o o r s t i f f n e s s K w i l l vary with the average moments of i n e r t i a and average s e p a r a t i o n between the t r u s s e s i n that d i r e c t i o n by the f o l l o w i n g r e l a t i o n : ( J . 1 ) 208 I n t r o d u c i n g t h e s u b s c r i p t MS and EW t o r e p r e s e n t t h e n o r t h / s o u t h and e a s t / w e s t c o o r d i n a t e d i r e c t i o n s r e s p e c t i v e l y , t h e r a t i o b e t ween t h e s t i f f n e s s e s o f t h e two c o o r d i n a t e d i r e c t i o n s c a n now be d e t e r m i n e d . T K I IT 1 ! P • The l e n g t h s i_£W and c a n be c a l c u l a t e d t o t e 9'-6" and 12'-8" r e s p e c t i v e l y . W i t h t h e a v e r a g e moment c f i n e r t i a r a t i o p r e v i o u s l y c a l c u l a t e d b e i n g e g u a l t o t h e r a t i o , n u m e r i c a l v a l u e o f t h e s t i f f n e s s r a t i o c a n be c a l c u l a t e d a s : "MS T h i s r a t i o i s e g u a l t o fr(^ i f t h e c o o r d i n a t e 3 i s i n t h e n o r t h / s o u t h d i r e c t i o n . The r a t i o o f t h e r a d u i s o f g y r a t i o n o f t h e f r a m e s ( u s i n g one q u a r t e r o f t h e b u i l d i n g ) i s : I Tic a 1 F -eye, • " 40Z(.G*O.S9 5 *-6* 10) The r a d u i s c f g y r a t i o n o f t h e f r a m e s i s ( Yi/74 *- 4 0 ) 53 f e e t . 209 The e l e m e n t s c f t h e m a t r i x S a r e : S h r - 0 .895 3) I t i s n o t n e c e s s a r y t o use t h e s o l u t i o n s f o r t h e e i g e n v a l u e r a t i o s p r e s e n t e d i n A p p e n d i x G o r A p p e n d i x H i n t h i s e x a m p l e ; b e c a u s e t h e s t r u c t u r e i s s y m m e t r i c a l , t h e r e f o r e t h e t h r e e f r e q u e n c y r a t i o s a r e t h e s q u a r e r o o t s c f t h e d i a g o n a l e l e m e n t s o f t h e m a t r i x 5 : 'ee 1 1 - KO * 0 .948 2 1 0 C o m p a r i s o n o f E x p e r i m e n t a l a n d P r e d i c t e d E i g e n v a l u e R a t i o s D i r e c t i o n E x p e r i m e n t a l R a t i o s ( B y N i e l s e n l s ) T r a n s W T r a n s N T o r s i o n P r e d i c t e d R a t i o s A l l M o d e s 0 . 9 4 1 . 0 0 1 . 1 3 M o d e 1 1 . 0 4 1 . 0 0 1 . 1 3 M o d e 2 0 . 9 4 1 . 0 0 1 . 1 7 M o d e 3 -f -t 0 . 8 3 1 . 0 0 1 . 1 3 T a b l e J . 2 T h e r e s u l t s a r e i n c l o s e a g r e e m e n t b e t w e e n t h e n o r t h / s o u t h p e r i o d r a t i o s a n d t h e t o r s i o n a l p e r i o d r a t i o s . T h e r e a s o n f o r t h i s i s t h a t t h e s t r u c t u r e ' s t o r s i o n a l s t i f f n e s s i s s u p p l i e d m a i n l y b y t h e n o r t h / s o u t h f r a m e s w h i c h a r e g e n e r a l l y f u r t h e r f r o m t h e c e n t r e o f m a s s a n d a r e a l s o s t i f f e r t h a n t h e e a s t / w e s t f r a m e s . T h e e a s t / w e s t f r a m e s , a s s t a t e d e a r l i e r a r e m o r e s u s c e p t i b l e t o a x i a l d e f o r m a t i o n s a n d t h u s a d i s a g r e e m e n t w i t h t h e t h e o r y i s e x p e c t e d . II @20'^2Z0' N OF M_l_ FLOORS*} AAA \ \ A A / AAA A A A J AAA i A A A AAA IAAA . 1 A A J WW WW /Wv vVW vvv\ MA lA/\A vvv\ \AA/V K CO ±! 5l CD i n 7*1 ii ..r m 3 ~ ' - 4 " ( T v j P . O F • \ f \LL FLOORS") F I G . J . I S T E E L F R A M E B U I L D I N G ( B Y N I E L S E N ' 6 ) 

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