Open Collections

UBC Theses and Dissertations

UBC Theses Logo

UBC Theses and Dissertations

Bounded-curvature motion planning amid polygonal obstacles Backer, Jonathan 2009

Your browser doesn't seem to have a PDF viewer, please download the PDF to view this item.

Item Metadata

Download

Media
24-ubc_2009_spring_jonathan_backer.pdf [ 1001.44kB ]
Metadata
JSON: 24-1.0051257.json
JSON-LD: 24-1.0051257-ld.json
RDF/XML (Pretty): 24-1.0051257-rdf.xml
RDF/JSON: 24-1.0051257-rdf.json
Turtle: 24-1.0051257-turtle.txt
N-Triples: 24-1.0051257-rdf-ntriples.txt
Original Record: 24-1.0051257-source.json
Full Text
24-1.0051257-fulltext.txt
Citation
24-1.0051257.ris

Full Text

ÓÙÒ  ¹ ÙÖÚ ØÙÖ ÅÓØ ÓÒ ÈÐ ÒÒ Ò Ç ×Ø 
Ð ×  Ñ  ÈÓÐÝ ÓÒ Ð  Ý ÂÓÒ Ø  Ò    Ö  Ø × × ×Ù Ñ ØØ Ò Ô ÖØ Ð ÙÐ ÐÐÑ ÒØ Ó Ø Ö ÕÙ Ö Ñ ÒØ× ÓÖ Ø Ö Ó Ó
ØÓÖ Ó  È  ÐÓ×ÓÔ Ý  Ò  Ø  
ÙÐØÝ Ó ´  Ö  Ù Ø ×ØÙ  ÓÑÔÙØ Ö Ë  ÍÒ Ú Ö× ØÝ Ó  Ò
 µ  ÖØ×  ÓÐÙÑ  ´Î Ò
ÓÙÚ Öµ ÖÙ ÖÝ ¾¼¼ 
 ÂÓÒ Ø  Ò    Ö¸ ¾¼¼  ×  ×ØÖ 
Ø Ï  
ÓÒ×  
ÓÒ  Ö Ø  αs ØÓ  ÙÖ Ø ÓÒ  Ó ×Ø 
Ð × Ú ÐÓÔ  Eº  Ï  Ö  ×  Ø  n ´Ø  × Ø  Ì  Ö× Ô Ø × Ó  ÇÙÖ × 
ÓÒ  Ú ÖÝ  ×  Ô Ø º Ì  Ð  ε¸  Ø  Ô Ø  ×  Ð  ÔÖ ÓÖ  × × ØÓ Ø  ÔÖ Ú ÓÙ×  ÔÔÖÓÜ Ñ Ø ÓÒ  Ì  × Ö ×ØÖ 
Ø ÓÒ ÑÔÐ  × ÓÖØ ×Ø Ô Ø º ÇÙÖ Ö  × Ø  ØÖ ÖÝ × ÓÖØ ×Ø Ô Ø ×º  Ý  ÓÖØÙÒ  Ô Ø  Ø  Ó Ø  Ø Ø ×  ×  Ö ×ÙÐØ Ó  ÔÔÖÓÜ Ñ Ø ÓÒ  Ø Ø  Ô Ø  Ø Ø Ø  Ð ÓÖ Ø Ñ Ö ØÙÖÒ×  Ð Ø  Ø Ø  Ò  Ò Ø  Ý  Ò ÐÝ× × Ò Ø ÖÑ× Ó  Ö  Ö  ÒÓ  Ò  Ð ÓÖ Ø Ñ×  ÒÓÛÒ  ÔÓ× Ø Ú  
ÓÑÔÐ Ü ØÝ  Ï Ð ÓÒ  ÓÙÒ ×  ½ ℄  Ô Ø  Ü ×Ø׺  E ¸ αs ¸ αt ¸ ×  Ø ÑÓ×Ø  ÔÔÐÝ Ò Ö  Ø  Ð  Ø  Ð  Ö  λ¸  Ö  ÙØ Ø Ò  Ò  Ö  Ø Ö  Ö Ø  Ò Ø  ÔÓÐÝÒÓÑ  Ð Ò  Ú ÐÓÔ  Ð 
Ð ×× Ó  ÔÔÖÓÜ Ñ Ø ÓÒ  Ò  Ð ÓÖ Ø Ñ  k µ¸  × Û  Ó Ø Ð  ØÖ Ö ÐÝ ÐÓÒ 
 Ù×  ×  n¸  ÖÐ  × ÓÖØ
ÓÑ Ò  Ý Ö ØÙÖÒ Ñ Ý  Ò  × Ð Ò Ø  Ø 
 Ò ÕÙ × ×Ô  ÓÖ  Ð Ò Ø  Ý  × ½ ¸ ¿℄º  k  ÔÓÐÝÒÓÑ  ÓÒ  Ø Ñ × ÐÓÒ  ÓÙÒ  k  Ö  ÒÔÙص¸  Ò  Ô Ø  (1 + ε)  ÒØ  Ø Ö Ø Ý  Ô Ò  Ú Ò  ÔÔÖÓ  Ö  ÓÙÒ  × ÒÓ  Ð ÓÖ Ø Ñ ×  ØÖÙ  × ÓÒ Û  Ø ÔÖ 
 × ÓÒ Ó Ø  Ú ÖÝ  Ý ÓÒÐÝ ×  × ×¸ Û  ÒÚ ÖÓÒÑ ÒØ׺  Ð ÓÖ Ø Ñ ×  ×  × Ø  × Ò× ¸ ÓÙÖ  E ¸ αs ¸ αt ¸  
ÓÑÔÐ Ü ØÝ ´ Ø  × Ø  Ø  ÖÓÑ ÓÒ  × Ø Ó ÔÓÐÝ ÓÒ Ð  Ù Ö ÒØ  ÖÙÒ Ø Ñ  
 Ù×  E µ¸ m ´Ø  Ð ÓÖ Ø Ñ Ø  Ð ÓÖ Ø Ñ× × Ø  Ø  Ò  ×
Ö ÔØ Ú ×  ÔÐ Ò  Ô Ø º ÁÒ Ø  ÐÓÛµº ÁÒ  Ú Ò  Ö ÓÖ ÒÓØ  × ÓÖØ ×Ø × Ð Ô Ø º Ì ÖÙÒ Ø Ñ −1 m¸ ε ¸ Ò λº Ì × Ð ÓÖ Ø Ñ × Ø Ò ÓÙÖ Ø  Ø ×  Ö ´ µ Ú Ö  ÓÖ ´ µ 
ÓÒ×ØÖÙ
Ø×  ×  Ð  Ó Ø  Ö ÛÓÖ  Ò  ÜÔÐ 
 Ø  λ  Ò Ø  ÒØ Ö ÓÖ Ó  Ú  ØÖ ÖÝ ÔÓÐÝ ÓÒ Ð  ×
Ö ÔØ Ú Ø  ×Ø  × Ð  Ò  × Ö  Ú ÖØ 
 × Ò  ÖÐ  ØÖ ÖÝ  ÚÓ  Ô Ø  αt  Ù Ö ÒØ  k  ÖÙÒ Ø Ñ  ÓÖ Ö ×ÙÐØ ×  
ØÓÖ  ÓÙÖ  Ø ØÓ Ø  Ð ÓÖ Ø Ñ Ø  Ô Ø ¸ Ù×Ø Û  ÔÔÖÓÜ Ñ Ø ÓÒ  λ  Ö  Ò  Ö Ó Ó ×Ø 
Ð Ö  Ñ  Ô Ø × Ø  × Ô ÖØ 
ÙÐ ÖÐÝ  × Ö ×ÙÐØ 
ÓÑÔÐ Ñ ÒØ×  Ò Ú Ö ÓÙØÔÙØ×  Ò  Ø Ð  ØÓØ Ð ÒÙÑ  
ÓÒ×  Ð  Ñ  ¹
ÙÖÚ ØÙÖ  αt Ø αs  ÖÓÑ  ×ÓÐÙØ ÓÒ ´×  ÓÖ Ö ×ÙÐØ × ×  ÙÖ Ø ÓÒ  Ô Ø º Ï Ô Ö ×  ×ÓÐÙØ ÓÒ 
ÓÑÔÐ Ü ØÝ Ö ´ µ Ú Ö  ÓÙÒ  Ô Ø ×    ´ µ ÓÙØÔÙØ×  Ø  Ò  ÓÙØÔÙØ × Ò× Ø Ú ¸ Û Ö×Ø Ñ  Ò  Ö 
ÓÒ  × Ö  ÇÙÖ  kº  Ð  Ò  ÒÝ ×Ù  
ÓÑÔÐ Ü ØÝ Ó Ø  ÓÒ Ø  Ò  ÒÓØ  
 ÐÐ  Ð ÓÖ Ø Ñ× ØÓ  Û ÐÐ Ö ØÙÖÒ Ø  ÔÖÓ Ð Ñ Ó  Ö ×  Ô Ø ×º Ö Ø Ö  Ò ÓÖ  ÓÒØ ÒØ×  ×ØÖ 
Ø º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ÓÒØ ÒØ× º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º Ä ×Ø Ó  ÙÖ × º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º  
 ÒÓÛÐ  Ú  Ñ ÒØ× º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º Ú  ½ ÁÒØÖÓ Ù
Ø ÓÒ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½º½  ËØ Ø Ñ ÒØ Ó Ê ×ÙÐØ×  ½º¾  ÇÚ ÖÚ  ½  º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º  ¿  Û º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º  ¾ Ä Ø Ö ØÙÖ Ê Ú Û º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾º½  È Ø × Ò  ¾º¾  È Ø ×  Ö  ËÔ  Ñ  º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º  Ç ×Ø 
Ð ×  º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º  ½¼  ¿ ÆÓÖÑ Ð ÓÖÑ× º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾¿ ¿º½  ÓÖØÙÒ  ¿º¾  ÓÑ  Ì ×Ø Ò º½ º¾  Ò  ×  Ü Ê  Ï Ð ÓÒ  Ò ØÓÖ  ÆÓÖÑ Ð  Ù Ñ ÒØ Ø ÓÒ  ÓÖÑ  º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º  ¾  º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º  ¾  Ð ØÝ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¿  Ù×Ø Ú ÙÒ  Ð  Ë  Ò
Ý  Ö  º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º  ¿  Ð Ñ Ò Ø ÓÒ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º  ¿  Ð Ñ Ò Ø Ò Ê ÙÒ Ò
Ý º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º½  ÐØ Ö Ò  Û Ø  º¾  ÓÖÒ Ö ØÓ  º¿  ÓÙÒ × ÓÒ Ø  Ï ÐÐ× º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º  ÓÖÒ Ö  Ë ÓÖØ ×Ø ÓÙÒ  ÜØ Ò× ÓÒ× º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º  ÊÙÒ Ì Ñ  È Ø  º¾  ËÝ×Ø Ñ Ø 
 Ë  Ö  º¿  Ê  ÑÓÒ  ¿ ¿  º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º  ¹ ÙÖÚ ØÙÖ È Ø  º½  ¾  ÔÔÖÓÜ Ñ Ø ÓÒ  º º º º º º º º º  ÆÓÖÑ Ð × Ø ÓÒ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ÙÒ  Ò
Ý  ÓÖ Ë ÓÖØ ×Ø ÓÒØ 
Ø  ε¹ ÓÒ  ×
Ö Ø  È Ø ×  º º º º º º º º º º º º º  ½  ÙÖ Ø ÓÒ× º º º º º º º º º º º º º º º  ¾  ÓÒ
ÐÙ× ÓÒ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º  ÐÓ Ö Ô Ý º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ÂÙÑÔ×  ØÛ Ò ÓÖÒ Ö× º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º  º½  Ë  × Ó  º¾  ÆÓÒ¹  ÄÒ ×  ÂÙÑÔ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º  ÖÓ×× Ò  º½  Ä Ò ÆÓÒ¹  º¿  ÆÙÑ  ÅÓÒÓØÓÒ 
 ØÝ ÖÓ×× Ò  º¿ º  º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º  ºº º º º º º º º º º º º º º º ºº º º º º º º º º  º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º Ð ×× ×  ¿  ¼ ¼  º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º  Ü ¹ÈÓ ÒØ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º  < 2µ º ÓÖÛ Ö ÁØ Ö Ø ÓÒ ´∆ > 2µ º 
 Û Ö ÁØ Ö Ø ÓÒ ´∆ ≤ 2µ 
 Û Ö ÁØ Ö Ø ÓÒ´∆ ≥ 2µ º  ÓÖÛ Ö  ½  Ä Ò × º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º  Ö Ó ÀÓÑÓØÓÔÝ  ÓÒÚ Ö Ò
 ØÓ º¾  Ø ÓÒ  ØÛ Ò ÓÖÒ Ö×  º¾  º½  ÓÒ  ½  ÁØ Ö Ø ÓÒ ´∆  º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º  Ú  ½¼¾  Ä ×Ø Ó  ½º½ ½º¾  ÙÖ ×  Î ×Ù Ð × Ø ÓÒ Ó Ø Ü ÑÔÐ  ¾º½  È Ø ×  Ö  ¾º¾  Ä Ò Ø  Ö  Û  ØÛ  Ù
 Ò  ¾º¿  Ë ÓÖØ ×Ø ÙÒ
ÓÒ×ØÖ Ê  ¾º  ËÓÑ    Ö Ø Ô  ÓÖ  ÖÓ ÓØ Û Ø  Ù  ØÙÖÒ Ò  ÓÖÑ Ø ÓÒ× Ù× Ç × ÖÚ Ø ÓÒ× Ð  ¿º   Ï  ¿º  ×  ÇÒ    Ò Ò  ÐØ Ö Ò  ÔÓÐÝ  º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º  ½  
ÓÖÖ  ÓÖº º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º  Ù× Ó ÓÒ  ε  Ø ÒÓØ  ×  Ü  Ø  × 
ÓÖÖ  ÓÖº º º º  º º º º º º º º º º º º º º º º º  × ÕÙ Ò  × ÓÒ × Û  Ö  ÖÓÐÐ  
ÓÑ × ÑÓÓÖ  Ó  Ó  
ÓÒ  ÙÑÔ׺  Ö Øº    ×  ÙÖ Ø ÓÒ×  º º º º º º º º º º º º  ¾  ÓѺ º º º º º º º º º º  ¾  º º º º º º º º º º º  ¿¼  º º º º º º º º º º º º º º  ¿½  × ÓÖ Ð Ò  Öº  º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º  ¿  ÔÖÓÔ  Ø ÓÒº º º º º º º º º º º º º º º º º  ¿  ÂÙÑÔ ×Ô 
ØÖ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º  º¾  ÇÙÖ ×Ù ÔÖÓ Ð Ñ×  º¿  ÇÒÐÝ ÓÒ  º  Ì  º  Ë Ò ÙÐ Ö ÙÑÔ ×Ô 
ØÖ º  º  Í× Ò  
ÓÒ  
ÓÒ  ÙÖ Ø ÓÒ  ÙÖ Ø ÓÒ× Ø  ×ÝÑÑ ØÖ  θ  ×  
 Ò Ö  Ø 
 Ò  Ð Øݺ  ψº   Ö    º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º Ý  ÙÑÔº  º º º º º º º º º º º  º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º  × ØÓ × ÑÔÐ Ý Ø  
ÓÒ×ØÖÙ
Ø ÓÒ Ó  Ψi  º  º º º º º º º º º  º  Ò Ö Ø Ò  ÙÓÙ× 
ÓÚ Öº º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º  ¼  º  
 Û Ö × Ø Ö Ø ÓÒ ÓÚ ÖÐ Ô× ÓÖÛ Ö × Ø Ö Ø ÓÒº º º º º º º º º º º º º º  ½  º½  ÓÒØ 
Ø 
ÓÒ  
ÓÒØ  ¿ ¿  º½  Ù Ö ÒØ  ¾  ׺ º º º º º º º º º º º º  ÒÓØ ÓÖ  ½ ¾½  ¾  Ö Ô ×º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º Ö  ½ ½  º º º º º º º º  ÙÖ Ø ÓÒº  Ý ÖÓÐÐ Ò  Ù×Ø Ú ÐÝ ×  Ö 
ØÐÝ Ö  
ÓÒ  
 ÒÒÓØ ØÖ Ú Ö×  ÖÓ Ù×غ  ØÓ ÓÙÖ ÙÑÔ Ö ÔÖ × ÒØ Ø ÓÒº ÒØ×  ½¾ ½  ÙÖ Ø ÓÒ  Ò
 ÓÖ Ø  Ö ºº º º º º º º º º º º º º º º  
ÓÒØ 
غ º º º º º º º º º º º º º º º º º º  Ï ÒÓÖÑ Ð × Ø ÓÒº º º º º º º º º º º º º º º º º º  
ÓÒ×ØÖ  Ð ÓÖ Ø Ñ Ø  º  Ò  ÙÖ Ø ÓÒ  Ä Ò  º¾  Ñ  Ö  Ò  
ÓÒØ 
Ø 
ÓÒ  
ÓÒ  ¿  º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º  ϹÒÓÖÑ Ð Ô Ø  ÒØÖÓ Ù  Òغ º º º º º º º º º º º º  Ñ ÒØ׺ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º  Ø× Ö  ¿º¿  º¿  Ô Ø  C ¹×  Ö Ó  Ê ÔÖ × ÒØ Ò  º½  Ò  Ó ×Ø 
Р׺  Ò  ¿º¾  ¿º  Ò 
ÓÒ ×º  ÒÚ ÖÓÒÑ ÒØ 
ÓÒØ 
Ø× Ø  ¿º½  
ÓÒ×ØÖ  º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º  ÒØ ÖÚ Ð× Ó Ó ×Ø 
Ð  ÑÓ  
ÓÖÖ  ¾º ¾º  Ð  Ó Ø Ò  ¾º  
ÙÖÚ ØÙÖ  ÓÖÑ Ø ÓÒ׺ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º  ¾º ¾º  ÓÙÒ  ÔÖÓ Ð Ñ Ò×Ø Ò
 ׺  ÙÖ Ø ÓÒ  Ö  Ó  Ö  ÓѺ º º º º º º º º º º º º º º º º º  Ú  º¾  ÈÖÓ  ÙÖ  ØÓ 
ÓÒ×ØÖÙ
Ø × ÓÖØ Ð Ò  º¿  ÈÖÓ  ÙÖ  ØÓ 
ÓÒ×ØÖÙ
Ø × ÓÖØ Ú  º½  ÂÙÑÔ× ÖÓÑ  º¾  L¹×  º¿  ÈÓ ÒØ× Ö  º  Ë  º  ÂÙÑÔ× ÖÓÑ  Ñ ÒØ×  F Ö    ÖÐ  º  Ê Ò  º  Ä Ø Ö  º  Ö  C ¹× Ó  c  ØÓ  O  Ñ ÒØ  Ö  ÙÑÔ  S  º¾  Ö Ò  O  ÖÐ  Ò  
ÓÒ  J1  Ø  
ÓÒ  J2 φ  Ò  ÙÖ Ø ÓÒ  ×ØÖÙ
ØÙÖ  ¿  ÓÖ  L¹×  Û Ø  C ¹×  ÍÒ  º  Ì  º º º º º º º º  
ÓÙÒØ Ö
ÐÓ
 Û ×  L¹× L¹× Ø ÓÒ φº Ö  C ¹×  Ñ Òغ  Ñ Òغ º º º º º º º º º º º º Ñ ÒØ  º º º º º º º º º º º º  º º º º º º º º º º º º º º º º  Ó ÒÓØ 
ÖÓ×׺  º º º º º º º º º º º º  Ó ÒÓØ 
ÖÓ×׺ º º º º º º º º º º º º º  Ð Ò × ÖÓÑ  F  ØÓ  
 ÒØÖ ×º  Gº  º º º º º º º º º º º º  ¼  º º º º º º º º º º  ½  º º º º º º º º º º  ½  º º º º º º º º º º  ¾  ׺ º º º º º º º º º  ¿  Ó ÒÓØ 
ÖÓ×׺ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º  Ø Ö Ø ÓÒ  Ö ×Ø Ñ Ø  ÔÔÖÓÜ Ñ Ø ÓÒº  ÓÖÛ Ö  ÖÐÝ Ø ÖÑ Ò Ø ÓÒ Û  º  ¿  ÑÓÒÓØÓÒ 
 Øݺ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º  ÓÙÖ×  ÍÒ  Ñ Òغ  Ñ Òغ º º º º º º º º º º º º  Æ  º¾  C ¹×  ÒØ  Ñ Òغ  º  º¿  Ü  º º º º º º º º º º º º º º º º º  CL0 C ¹Ð Ò ÓÖÛ Ö  
 Ö
Ð  ÙÖ  º º º º º º º º º º º º º º º  
ÐÓ
 Û ×  
ÐÓ
 Û ×  ×Ø ÖØ Ò  ¾  º  º½  ÖÐÝ Ò  ØÓ  Ö 
Ø ÓÒº º º  º  º  ÙÒ  Û Ø  Ò ÓÒ  º º º º º º º º º º º º + ÅÓÒÓØÓÒ 
 ØÝ Ó Ð Ò × Û Ø ×ØÖÙ
ØÙÖ C0 LC º º º º º º − + ÅÓÒÓØÓÒ 
 ØÝ Ó Ð Ò × Û Ø ×ØÖÙ
ØÙÖ Cπ LC º º º º º Ö ØÖ ÖÝ ÕÙ Ö Ð Ø Ö Ð ÜÔÖ ×× × Ú 
ØÓÖ× Ò Ò Ð  º¿  Ë Ñ  c  × Ø  C − L0 C +  Ó  Û Ø  Ó × ÒÓØ 
ÖÓ×× Ð Ø Ö   × Ñ  ¿  ׺ º º º º º º º º º º º º º º º  Ó ÒÓØ 
ÖÓ×׺  Ó × ÒÓØ 
ÖÓ××  
 ÖØ  ½  Ó × ÒÓØ 
ÖÓ×× Ð Ø Ö  Ñ ÒØ  º½¾ ÂÙÑÔ× ØÓ Ø º½  ØÝÔ  ×Ø ÖØ Ò  Ñ ÒØ  º½¼ ÄÓ
Ù× Ó ÔÓ ÒØ× Ö º½½ Ì  ÙÑÔ ×Ø ÖØ Ò  × Ñ  ÙÑÔ× ÖÓÑ  C ¹× C ¹×  ÖÐ  Ò  Ý  ׺ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º Ð Ò  L¹× Ñ ÒØ× ÔÓ ÒØ Ò Ò Rº º º º º º º º  Û Ø  
ÓÒØ  Ñ ÒØ× Ó Ø  º  G  ØÓ  Ð  Ö ×Ø Ñ Ø ÔÓ× Ø ÓÒ Ó  Ó  L  Ø Ö Ø ÓÒ Û Ò  ∆ > 2º  
 Û Ö ÓÖ  º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º  ∆>2  Ò  ∆ ≤ 2º  º º º º º º º º º º º º º º  º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º  Ø Ö Ø ÓÒº º º º º º º º º º º º º º º º º º º º × Ø  × Ñ  Ú  × Ø× ÔÓ× Ø ÓÒ ÓÖ  ∆ = 2º  º º º  ½¼¾  
 ÒÓÛÐ ÓÖ ÑÓ×ظ Á ÛÓÙÐ ÓÚ Ö Ø Ò  Ý  Ø    
 Ù× Ð  Á 
ÓÙÐ ×  ÁÒ Ï ÐÐ  Ò  Ó×Ø Ö  ÒÓ ÐÓÒ 
 Ù×  ÑÝ Ö ×  Ú  Ö Û Ýº  Ø ÓÒ ØÓ  Ú  Ò  ÑÝ ×ÙÔ ÖÚ ×ÓÖ¸  Ò ÖÓÙ×ÐÝ ×    ÒÓ ÓØ  Ú Ò×  Ø ÑÝ Ø Ø  ØÓ Ø  Ò × Ú Ö Ð ÔÐ 
 ׸  Òظ Ø ×  Á 
ÓÙÐ  Ð  Ö׺ À Ö¸ Û  Ø 
 Ò 
 Ð  Ñ ÒØ×  Ò  × Ñ Ú  Ø  ¸ Á Û ÒØ ØÓ Ø Ðк Ï ÐÐ Û ×  Ø  Û ×  ØØ  Ý × Ó  ÜÔ Ö  Ô Ö×ÓÒ Ð Ò ÐÐ Ó  Ø  Ò  Ð  Ù  ØÖ º Ï  Ö Ñ Ñ  Ò
ÓÙÖ  Ò  ×ÓÙÒ  ÔÖ 
Ø Ø ÓÒ Ö ´ Ú Ò Ø ÓÙ  Ø  Ö ×  Ö Ý  Ö× Ó Ò Ø  ÐÐ Ó  × Ø Û  ׺ Ï Ö  ØÛÓ ÓØ  Ò  ×  ÖÓÛØ º Ì  ÒÚ ÐÙ  Ý 
ÓÙÐ Ò  Ã Ö Ô ØÖ 
 ¸ ÓÖ  ÑÑ Ò× Ò  ÓÖ ×Ø ÓÖ  Ò Û Ø  Á Ò Å Ø  × × Ø ÖÓÙ  Ö   Ú  × ×ÙÔÔÓÖØ  Ö  Ö¸ ÛÖ Ø Ö¸  × × × Ò Á  ÑÝ Ö  
 Ñ  ÐÓ×Ø  Ö ÙÑ ÒØ×  Ù Ðݸ Ø ×  ÑÝ È Ó Ö ¸ × ×  ÜØÖ Ñ ÐÝ Ö  
 Ù×  
ÓÑÑ ØØ Ò  Á Ò ÐÓÓ  Ú ÖÝ Ø  ÓÖ Ø 
 Ð  × ×µº ÇÒ  Ô Ö×ÓÒ Ð ÒÓØ ¸ Á 
ÓÙÐ  ×ÙÔÔÓÖØ ´ Ò  ÙÒ Ò  Ø  Ò
ÓÙÖ  Ý Ö  ÐÛ Ý× ÛÓÖ  Ø ÖÓÙ  Ò  Ô Ø Ñ  Ø  Ö  ÒÓØ  Ú  Ò
 µ Ó ÑÝ Û  Ò ×  Ø  ¸ ÊÓ  Òº Á  ØÓ × Ø × Ý ÑÝ 
ÙÖ ÓÙ× Øݸ  Ü ÑÔÐ º  Ú  × Ø  × × Û Ø ÓÙØ Ø  Ð×Ó Û ÒØ ØÓ Ø Ò  Ø  Ý Ø Ù  Ò Ø Ñ  ÑÓØ ÓÒ Ð ÑÝ Ô Ö ÒØ× Ø  Ú ÐÙ  Ó  ÔØ Ö ½ ÁÒØÖÓ Ù
Ø ÓÒ Ì Ó  ØÝÔ × Ó ÖÓ ÓØ׺  ÔÖÓ Ð Ñ× Ø  ÌÓ ×  ÜÔÐÓÖ Ø ÓÒ Ó ÔÐÓÖ Ò  Ò Û  ÒÓÛ Ø  ×ÓÑ  Ø  ×ÙÖ Ð ØÝ Ó  ÙÒ ÒÓÛÒº  ÁÒ  ÓÔÔÓ× Ø  ÒÚ ÖÓÒÑ ÒØ Ö  Ö Ñ  Ò  Ò Ù×ØÖ  Ø×  Ì  ØÛ  Ò  ×  Ø  Ø Û  ÓÖ    ÙÖ Ø ÓÒ ×Ô Ø Û  × Ö ×ØÖ 
Ø ÓÒ  ØÓÙ Ø ×  Ø  Ø  ØÓÙ  × Ø  ÓÙØ× Ø Ö  ׸ ÒÓØ × Ø  Ò  Ø  ×Ô  Ö  ´×Ô Ø  Ó ¹  × Ñ  ÐÛ Ø  Ø Ð Ö  Ò Ø  Ü ×  ×Ô  Ó  ÒØ׸ Û  ÐÐ ÔÓ××  
 Ò Ò  Ð  ÓÖ  ×  Ò  Ø  Ð × ØØ Ò ¸  Ó  Ñ Ò× ÓÒ Ð ØÝ  Ø ×Ð  ØÛ  ØÐÝ  Ò  Ò  Ò  
Ø ÓÒ  Ò µº Ã Ò Ñ Ø 
 
ÓÒ¹  ×Ø Ò  Ö  Ø 
 Ò ÕÙ × ØÓ ÒØ׺  Ó ÒÓÒ ÓÐÓÒÓÑ 
 
ÓÒ×ØÖ ÑÓØ ÓÒ× ØÓ  ÐÐÙ×ØÖ Ø  ¾¼℄ ÓÖ  Ø Ò  
ÓÒ  Ô Ò Ø  ÓÒÐÝ Ò  
ÓÑÔÐ 
 Ø  ÒØ׸ ´×  zµ  Ò  Ö  ܹ  ×ÓÐÙØ ÓÒº Ð  Ö Ð Ø ÓÒ  Ò× Ø  Ö  ÔÐ 
 Ñ ÒØ Ó  x¸ y ¸  ÑÓÖ  ÓÜ Û Ø Ø Ö  Òغ Ø  ÔÖ 
 ×  Ø Ö  ×Ô Ø  Ð  Ò ÙÐ Ö Ô Ö Ñ Ø Ö×  ÙÖ Ø ÓÒ× × × Ü  ÒØ ØÖ Ò×Ð Ø  Ò  Ú ÐÓ
 ØÝ Ó Ø  Ñ Ò× ÓÒ Ðº  ÖÓØ Ø  ÓÜ Ò  ÒÝ  Ø  Óܺ  Ñ Ò× ÓÒ  Ò ÙÐ Öµº  Ø Ø  Ó ÓÒ  Ø× ÖÓØ Ø ÓÒ  
ÙÖ×  ´Û  Ó ÒÓÒ ÓÐÓÒÓÑ 
 
ÓÒ×ØÖ  
 ØÝÔ  ÓÜ Ú  ÐÓÒ  ÔÐ 
 Ñ ÒØ Ó Ò  ×Ô  Ø  Ø Ò  Ò  
Ø  Ò Ø  Ø Ø  Ö  × ÒÓØ ØÖÙ  ÓÜ ØÓ ×Ð ×Ô  Ø  Ò Ô Ö ÐÐ Ð Ô Ö  ÒÓÒ ÓÐÓÒÓÑ 
 
ÓÒ×ØÖ  
 ÒØÖ Ö  ´Ø  Ñ Ò× ÓÒ Ð ×Ù ×Ô  Ø Ø Ö  Û  Ð   ÖÓÙÒ  Ú Ò  Ò× Ø  ÑÓØ ÓÒ  ׺ Ï  
Ø  
Ø ÓÒ × ÔÖ  Ð ØØ Ö Ñ  ÑÓÚ Ò  Ð ÓÖ  ÙÒÔÖ  ÔÖÓ Ð Ñ  ÑÓØ ÓÒ  Ø  Ö ÒÓ Ö ×ØÖ 
Ø ÓÒ× ÓÒ Ø  Û ÒØ Ø  
ØÓÖ  ÒÚ ÖÓÒÑ ÒØ Ñ Ý Ö ÕÙ Ö  
 Ò ×Ô 
 Ý Ø 
ÓÓÖ  Ý Ò× ×Ø Ò  ÓÜ ØÓ  Ö Ø  ÓÖÑ Ö Ñ  
ÙÖ  Ø  Ö ÒØ ÔÖÓ Ð Ñ×  ÒÚ ÖÓÒÑ ÒØ Ñ Ý  к ÀÓÛ Ú Ö¸  Ò  Ò ÔÐ ÒÒ Ò  
 Ö× Ò  ÖÓ ÓØ³×  Ø  ¸  Ø×  ÓÛ ØÓ  Ò Ñ Ø 
 
ÓÒ×ØÖ  Ó Ø  Ø  ÙØ Ø  ÖÓÐеº À Ò
 ¸ Ø  
 ÐÐݸ Ø  ËÙÔÔÓ×  Ò  × Ò ÔÐ ÒÒ Ò  ÔÖÓ Ð Ñ Ó  ÅÓÖ ×Ô Ø× 
ÓÒ  Ò  ÒØ׸  ÓÐÓÒÓÑ  ÆÓØ  ÒÝ  Ö  Ò  Ò  Ø  ÓÐÓÒÓÑ 
 ÓÖ ÒÓÒ ÓÐÓÒÓÑ 
º Ì  Ö Ø  Ô Ö Ñ Ø Ö× ´ÓÒ ´Ý Û¸ Ô Ø
 ¸  Ö  ØÐÝ 
ÐÓ× Ö ØÓ Ø ×  ØÛ  Ò Ø ÓÒµº  
 Ò  Ò  Û  Ö ØÛÓ  
Ø ÓÒ Ñ Ý  Ò  Ö ×ÙÐØ Ó  
ÙÐØ  ÖÓ ÓØ  
Ð ××  ÒÓÛ 
ÓÒ×  Ï Ø ÓÙØ  ÒÓÛÒ  ÓÐÓÒÓÑ 
 
ÓÒ×ØÖ  Ö Ò  ÖÓ ÓØ³×  Ø  Ö ×  ×× Ñ ÐÝ Ó  ÒØ׺ ÁÒØÙ Ø Ú Ðݸ Ø  Ò  Ó
Ù× Ó ÓÙÖ Ö × Ï  Ø  Ö ×ÙÐØ Ó  × ×  ¸ 
ÓÒ×  Ú Ö ÓÙ× ÓÙØ
ÓÑ ×µ  Ò  
 Ö ×Ð  Ö  Ð Û Ø  Ò  ÒÚ ÖÓÒÑ ÒØ × 
ÓÑÔÐ 
 Ø  ´ º º ÑÓÚ Ò ÒØ×  ÔÐ Ò Ø×  Ò ØÛÓ ØÝÔ × Ó  Ò  × Ø  ÒÚÓÐÚ  Ð × ØØ Ò ×¸ Û  × ×Ø Ø  Ö Ð Ø ÓÒ  ×ØÖ  Ó  ××Ù ×  × Ó Ø Ò ØÖÙ  Ò Ñ Ø 
 
ÓÒ×ØÖ  ÖÓ ÓØ Ø    Ö ×× Ò Ø  Ø  ÒÚ ÖÓÒÑ ÒØ׸ Ø  ÔÖÓ  À Ò
 ¸ Ø Ø  Ø Û Ó  Ø  Ø  ×ÙÖ ×  Ø× × Ü¹ ÓÜ  ÓÙØ Ø  ½  Ó  Ó Ø  ÔÐ Ò Øµº  Ó    Ì  ÔÐ Ò Øº Ï 
 Ò ÑÓ ÓÜ ´Ø  × Ö ×ØÖ 
Ø× Ø  Ñ Ò× ÓÒ Ð 
ÓÒ  × ×Ô  ÓØØÓѵ  Ý Ø  ÐÛ Ý×  ÔÐ 
 Ñ ÒØ Ó  ÙÖ Ø ÓÒ ×Ô 
 º ÌÓ  ÔÓ ÒØ Û  Ú 
ØÓÖ ÒÓÖÑ Ð ØÓ Ø  Ð  Ö  ÔÓ ÒØ Ó  Ø  ÓÜ  
ÓÒØ 
غ  ÐØ ÓÙ Ö  Ø  ÔÐ 
 Ñ ÒØ Ó  ÓÑ ØÓ ÑÓÚ º ÁÒ  Ø  ×Ô Ö  Ö µ¸ Ø  Ó  Ø  ×Ô  × 
ÓÒ×  Ò  ÙØÓÑÓ Ø Û  Ð º  Ø  ×Ø Ò  Ò× ×Ø Ø  Ø  ×Ô  Ö    Ö  Ì   Ð  Ò  ÖÓ ÓØ× ÐØ ÓÙ  Ø  Ý  Ò ÓÖ  Ò  ÓÙÖ ÔÖÓ Ð Ñ×  Ú Ø  Ø Ñ º  Ì  ÔÖ Ñ Ø Ú Ó  Ø  Ó  × Ø  × ×¸ Û  Ø  ÔÖ Ñ Ø Ú  ×  ×  ×Ø Ò
Ø  Ò  ÓÓÐ  Ð  Ñ ÒØ ÓÒ Ó Ù× Ö  Ø  Ó Ø  ÓÖ Ø 
 к  
 ÒÒÓØ  Ð  ÓÒ  Ò  Ð ÓÖ Ø Ñ× 
ÓÒ× 
ÓÙÐ  Ö ÕÙ Ö  ×ØÖ  Ö 
ØÐÝ ×Ù ×Ø ØÙØ Ò ØÓÖ  Ð  Ò  ÒÙÑ  ÔÔÖÓÜ Ñ Ø Û ÐÐ  Ò  Ú ÐÓÔ  ×
Ö ÔØ ÓÒº ËÓ¸  Ó  Ö  Ò× ×Ø Ö 
Ø ÓÒ ØÓ Ø  Óܺ Á Ø  Û  
 ÒÖ  Ø  Ø  ÒÝ  × Ø  ÓÖ  Ö Ø  Ü ×Ø׺ ÌÓ  ÓÖ Ö  йÛÓÖÐ  ÖÓ ÓØ ØÓ ÓÐÐÓÛº ËÓ  Ö ×ÓÐÙØ ÓÒ× ÔÖÓ  Ö  Ó ÑÓÖ  ÐÝ Û ÒØ ØÓ × Ø × Ý  Ò Ú Ö  Ò Ø  Ø  
 ÐÐݸ Ø  Ò Ú Ö ÓÒ Ð  Ø    Ò  ×Ô  ÙÒ×Ù Ø  × Ø  Ó  ÔÖ 
Ø 
 Ð Ô Ø  × × Ñ Ý  
ÓÑÔÙØ Ø ÓÒ¸ Û  −¸ ׸ /¸  ×  × ÕÙ Ø  
 Ù×  Ò ØÙÖ Ð  Ù×  Ø ×  ÁÒ ÓÖ  Ø ÑÓ ÐÐ Ø  ÒÓØ  ØÓ  к Ì  Ð ÒÙÑ  Ö  Ø×  Ø  Ð  Ö  Ø  Ö  Ø  
 ÑÓ  ÖÛ Ý ÒÛ   Ú    ÓÙÖ Ö ×ÙÐØ×  Ø Û  ÐÝ  
ÓÑÔÐ Ø Ò ×׸ ÓÙÖ ÔÐ Ò Ö 
ÓÓÖ  Ø ×¸ Û  ØÓ Ù×  Ð  Ð Ø Ö ØÙÖ º Ï  ÓÙ Ø Ø  Ò Ø ×µ ÓÒ  Ó Ø Ò ¹ÔÓ ÒØ Ö ÔÖ × ÒØ Ø ÓÒµ ÓÖ Ð  Ö×  
ÓÒ×Ø ÒØ  Ð Ó 
ÓÑÔÙØ Ø ÓÒ ÔÖÓ  Ö ØÓ  Ô Ø × Ø  ÔÓ××  Ö µ Ø  
ÓÑÑÓÒ Ò Ø  Ø ÑÓ  Ö Ø Ñ Ø 
´ º º Ø Ñ Ý  Ù×  ×
Ö ÔØ ÓÒ ´ Ò Ø ÖÑ× Ó  Ø× Ò Ø Ø  Ï  Ö  √  Ò  
ÓÑÔÙØ Ø ÓÒ¸ Û  Ñ ÒÒ Öº  Ø  Ò  × × Û Ý Ö ×ØÖ 
Ø Ò  Ô Ø ¸ Û Ø  Ù× Ð  Ò׺ ÆÓØ  ÒØÐݺ ÅÓÖ  
ÓÒ×Ø ÒØ Ø Ñ º  Ð ÒÓÛ¸  Ö Ù  Ö  ÖÓÒØ  ℓÖ  º Ï  × ØØ Ò ×¸ Ø  Ð ÓÖ Ø Ñ× ØÓ Ø  Ö Ó    ÔÓ ÒØ Ó 
ÓÒØ 
ص¸  ÓÖ  ÒÓÙ  Ð ×Ø 
 ÐÐݸ Û  Ö 
 ÑÓ Ð  Ø ÓÖÛ Ö  ×ÙÖ  × Û Ðк  Ò ÐÝ× ×º Ì  
 ÑÓ ÓÙÖ  Ø×  Ý Ø  ÔÖ 
Ø 
 Ð Ô Ø ¸ Û  Ø ÑÓ Ð  Ö Ô Ø × Û Ó× Ð Ö  Ö Ø Ñ Ø 
º ÀÓÛ Ú Ö¸ Û 
ÓÑ  Ö  ÓÒÚ ÖØ Ò  Ò ÙÐ Öµ Ò Ø  ÖÓÒØ ÓÖ Ø  Ø ÑÓ×Ø  Ô Ò  Ö Ø Ñ Ø 
 ÓÔ Ö Ø ÓÒ× ´+¸  
ÓÑÔÙØ Ø ÓÒ ØÓ × ÑÔÐ Ý ÓÙÖ  Ö  ÓÜ ØÓ Ø  ×  × ØÛ ×  Ô Ø × Ø  йÛÓÖÐ  Ò  Ò ÓÔ Ö Ø ÓÒ× Ø  
 ÐÐݸ Ø  Ø ÖÓØ Ø × Ö Ð Ø Ú  Ò ÙÐ Öµº Ì  Ø 
 Ò ÕÙ ×  ÖÓÑ Ø  ×  Ö  Ò  ÒØ Ö ×غ Ê Ò  Ø  ÓÔØ Ø Ò  ÓÜ  
ÙÐØ ÓÖ ØÓÓ 
ÓÑÔÐ 
 Ø Ý Ö  ØÓ  ØÙÖÒ Ò  ØÖ  s2  ØÓ  × Ñ  ÒØ Ø ÓÒ Ò  ÑÓØ Ú Ø  Ø ×ÓÑ  s1  ÓÖ  Ö ÒØ ÒÓØ ÓÒ× Ó 
ÓÑÔÐ Ø Ò ××  ÁÒ Ø Ö  ÓÔ  
ÙÖÚ  Ý ÑÓÚ Ò  Ò  Ò ÔÖ 
Ø 
 Ð  Ø Ó  ´Ö Ð Ø Ú  ÒÝ ØÛÓ ÔÐ 
 Ñ ÒØ× Ó Ø  ÑÙ×Ø ×ÓÑ Ø Ñ × Ö  Ø  ÓÛ ÕÙ 
 ÐÝ  Ö  Ö ØÓÓ  Ò  ÓÙÒ  Ó  Ó Ø  Ð  Ø  Ð  ×Ô  Ø  Ö 
Ø ÓÒ Ó Ø  Ü 
ØÐÝ Ø  Ö ÒØ ÒÓØ ÓÒ Ó 
ÓÑÔÐ Ø Ò ××   ×  ÒØ Ø ÓÒ ÖÓÑ  ×Ô  ÒØÐݺ ÅÓÖ  Û Ø  s2  Ò  × ÕÙ Ø  ×
Ö  Ñ Ò× ÓÒ ´×Ô Ø  Ð Ñ Ø  ÓÜ³× Ú ÐÓ
 ØÝ ´×Ô Ø  Ö  ÓÖ Ø 
 Ð ÒØ Ö ×Ø Ø Ü ×Ø׺ Ï  ÓÒ  Ð Ò Ø  ÔÐ 
 Ñ ÒØ× ×  × ÔÖÓÔ ÖØݸ Û 
 Ù×  ´Ø  Ù×Ø  Òغ  ÒÓÒ ÓÐÓÒÓÑ 
 
ÓÒ×ØÖ Òغ × Ø × × × ÓÒ 
ÓÑÔÐ Ø Ò ××  Ù× ×  Ø  s2  ØÓ  ÓÙÖ ÔÓ× Ø ÓÒ  Ó
Ù× Ó Ø  Ú  Ò Ø  ÓÜ ×Ø ÐÐ  Ö Ò  × × Û Ý Ö ×ØÖ 
Ø Ò  
ÓÒ×ØÖ  s1  
 ÐÐݸ Ð Ø  s1  ÒØ Ø ÓÒ ÓÒ Ø  Ö ×ØÖ 
Ø ÓÒ× ÓÒ Ø  ØÙÖÒ Ò  Ø  ÖÓÑ  Ö Ò  ÓÖ  
 ÒÒÓØ  ÒÝ  ÓÜ ÑÓÚ ×¸ Û  º ËÔ  Ø Ø  Ò  ×  ¸ Ø  Ô Ò  ÓÜ ØÓ ÑÓÚ  ׸ Û  × Ø  ℓ ÙÒ Ø×  Ó Ö  ÔÓ× Ø ÓÒ  Ò  ÓÜ ØÖ Ò×Ð Ø ×¸ Ø ÑÓÚ × Ò Ø  ØÖ Ú ÐÐ  Û  Û ÒØ Ø  Ó Ø  ÖÓÒغ  ÓÜ ØÖ Ú Ð×  Û  ÌÓ  Ò Ú Ö Ø  ÓÔÔÓ× Ø  ÓÐÓÒÓÑ  Ø Û  Ó Ö  ÖÓØ Ø  Ö Ò
 º ÁÒØÙ Ø Ú Ðݸ Ø  Ö  Ø  Ò  ÓÜ³× Ú ÐÓ
 ØÝ Ò  Ó Ö  ÆÓÛ ×ÙÔÔÓ×  Ö ×ØÖ 
Ø  Ñ Ò× ÓÒ Ð Ö Ñ  ÓÜ 
 Ò ØÖ Ò×Ð Ø  Ö Ñ  Ö  ÓÜ × ÑÓÖ  ¹  ÒÓ Ö ×ØÖ 
Ø ÓÒ× ÓÒ Ø  ÔÔÖÓÔÖ  Ø  Ø  Ø Ö  
ÓÒ×  Ö  Ú  ÔÔÖÓÜ Ñ Ø  
 Ò Ü 
Ø  ×Ù

 Ò
Ø  Ö Ø Ñ Ø 
 Ò  
Ð Ú Ö Ñ ÒÒ Öº ÁÒ Ö 
Ó Ò Ø ÓÒ Ó Ø Ø  Ô Ö ÓÖÑ Ò ÐÐÓÛ× Ù× ØÓ  Ó  ÓÙÖ  Ó
Ù× ÑÓÖ  Ø  ÓÖ Ø 
 Ð Ò ØÙÖ Ð ÓÖ Ø Ñ× ´Û  ÓÒ Ø 
 Ò ÕÙ  Ó ÓÙÖ ÛÓÖ ¸ Û Ö  Ò  × Ø × Ð ×× ÓÒ  ¾  Û Ø  Ñ  ÒÓ  ÔÓÐÝÒÓÑ  Ò ÐÝ× × ´Û    ×  ÓÖØ ØÓ ÓÔØ Ñ × Ð  ÓÙÒ ×µº ÐÖ  Ý ÕÙ Ø  Ì  × Ò¹  ÚÓÐÚ  Ò ÔÐ 
 ×µº Ì  Ú  ÖÓ  Ö  Ø ÖÑ Ò ×  Ö  Ò Ø  ×  Ô Ø  ÓÖ × Ø  ØØ ÒØ ÓÒ ØÓ Ø 
 Ò ÕÙ  ÔÔÐ 
 Ø ÓÒ׺ ËÔ  Ô Ø × ×  Ü ×Ø×  Ú ÐÓÔ ØÛÓ  ×
Ö Ø × Ø ÓÒ Ó Ø  Û Ø ÓÙØ × 
Ö  Ö  × ÑÔÓÖØ ÒØ  
 ÐÐݸ Û  × 
ÓÒ  
 Ò  Ô Ø  ×Ô  
ÓÑÔÐ Ø Ò ×׺ Ì  ÔÔÐ 
 Ø ÓÒ Ó Ø  ×  
 Ù×  ÓÙÖ Ø 
 Ò ÕÙ × Ñ Ý  Ò Ö Ð Ø 
 Ò ÕÙ × ØÓ Ò  Ñ Ø Ó    ÒØÐÝ  ÔÖÙÒ Ò  Ø  ÔÔÖÓÜ Ñ Ø ÓÒ Ö ×ÙÐØ× 
ÓÒØ  Ò  ØÛÓ Ø 
 Ò Õ٠׺  ½º½ ËØ Ø Ñ ÒØ Ó Ê ×ÙÐØ× Ì  ÔÖÓ Ð Ñ ÑÓØ Ú Ø Ò  ´ÔÓ× Ø ÓÒ  Ò  Ò ÐÝ× ×¸ Û ÑÓÚ × Ì  ÓÖ  ÓÙÖ Ö ×  ÒØ Ø ÓÒµ ØÓ  Ö ×ØÖ 
Ø ÓÙÖ  ÓÖÛ Ö  Ò  Ö  
 Ù×  × ÑÓÚ Ò Ö Û  ØØ ÒØ ÓÒ ØÓ  Ø ÑÙ×Ø  Ö ×ØÖ 
Ø ÓÒ ØÓ ÓÖÛ Ö ×  Ö ÒÓØ  ÚÓ  Ð  
 ֹРÚÓ  × ÑÔÐ  ÖÓ ÓØ ÖÓÑ ÓÒ  Ò  Ó ×Ø 
Р׺  × ØØ Ò  Ø  ÔÓÐÝ ÓÒ Ð Ó ×Ø 
Ð ×  ÖÓ ÓØ ×  Ò Ø  ØÛÓ¹  ÑÓØ ÓÒ × 
ÓÑÑÓÒº ÁÒØÙ Ø Ú Ðݸ Ø  ÔÓ ÒØ ÖÓ ÓØ 
 Ò ØÙÖÒ ×  ÖÔÐÝ ´ÓÒ  
ÓÒ  ÔÓ ÒØ Ø  Ý Ñ  ÓÖÓÙ× Ø ÓÒÐÝ  Ñ Ò× ÓÒ Ð ÔÐ Ò º  ÔÖÓ Ð Ñ Û Ø  Ñ µ  ÙÖ Ø ÓÒ  ÌÓ Ô ÖÑ Ø Ö  Ò  Ö  Ö Ú Ö× Ð× × ØÖ Ö ÐÝ Ñ ÒÝ  Ö Ú Ö× Ð׺ Ï  Ö×Ø  Ö ÒØ Ý  ÓÖÑ Ð ×  Ð  
ÙÖÚ  ÓÖ  Ú ÖÝ  ÓÙÒ Ö  Ö  s1  s2 º  R  ÓÙÒ  Ò  Ð  Ö ×ØÖ 
Ø ÓÒ Ð Ñ Ø× Ò×Ø ÒØ Ò ÓÙ×  Ò Ø  ×
 Ð Ò  ÙÖ  ÒØ Ø ÓÒ Ó Ø  ½º½  Ø Ø ÓÒ Ó Ø ÒØ Ö ÓÖ Ó ÁÒ ÓÖ  ÓÙÒ  Ö ØÓ ×Ð  ÓÛ ÑÙ  ×  Ò Ø ÓÒ  Û  Ó  ÓÖÛ Ö  Ñ ÒÝ Ó  Ø  Ô Ø  ØÓ Ø  Ø  ×  Ò ØÛÓ 
 Ö
Ð × Ó  ÐÓ
 ÐÐÝ  ÖÓ ÓØ ØÖ 
 Ò  Ø 
 Ò ÑÓÚ º Ä ××ÙÑ  × Ø  ØÛ  Ø 
 Ò ØÙÖÒ Ö Ð Ø Ú  
ÓÒ ÙÖ Ø ÓÒ  Î ×Ù Ð × Ø ÓÒ Ó Ø 
ÓÒ× ×Ø× Ó  ÖÓ Óص¸  ÖÓ Óص¸  ØÓ ÔÖÓ Ð Ñ Ò×Ø Ò  Ø  
 Ò  
 Ù× ×Ø Ò  Ø Ø  Ø  ×Ù  Ô Ø  ÓÙÒ  ¹
ÙÖÚ ØÙÖ  Û Ø ÓÙØ ÐÓ×× Ó  Ò Ö Ð ØÝ Ø  ÓÙÒ  
ÓÒ×ØÖ  Ø  ÓØ  R=1  Ý  ÒÚ ÖÓÒÑ Òغ  ÔÖÓ Ð Ñ Ò×Ø Ò ÓÖ    Ô Ø  Ä Ø  ÖÓ ÓØ 
 Ò ÓÒÐÝ ÑÓÚ  Ð Ø Ö ØÙÖ ¸ Û  Ó Ø  ÖÓ Óغ  ÒØ ÖÔÖ Ø Ø ÓÒ Ó  ½º½µº Ì  Ö 
Ø ÓÒ Ò Û  Ö ×ÙÐØ× Ö ÔÓÖØ  ÓÙÒ  ×  
ÙÖÚ ØÙÖ µ ×Ù  ÙÖ  ¹
ÙÖÚ ØÙÖ  X(s) : ℜ → ℜ2 Óغ Ï ××ÙÑ Ø Ø X(s) × Ô Ö Ñ Ø Ö × 
ÙÖÚ ØÙÖ Ø Ö Ü ×Ø× 
ÓÒ×Ø ÒØ R ´Ø dX dX Ø Ø (s1 ) − ds (s2 ) ≤ R−1 |s1 − s2 |¸ ds  Ý 
 ֹР ÔÓ ÒØ ÖÓ  X  ÓÑ ØÖ  ÐÓ
 ÐÐÝ ´×  Ø× ÔÓ× Ø ÓÒ  Ò  Ú ÖÝ ÔÓ ÒØ ÓÒ Ø  Ø ØÖ Ú Ð׺ À Ò
 ¸ Ø  ×Ù Ø  Ø  Ù× Ó  
ÙÖÚ ØÙÖ  Ù×  Ñ  Ý Ø  × Ý Ø  ÐÐÓÛ Ò  Ø Û  ØÖ  Ö
 Ð Ò Ø º Ï  ×Ñ ÐÐ ×Ø  Û  Ò ×  Ø Ö  Ø 
ÓÒ  × Ø Ó ÓÙÒ  ×ÓÙÖ  
ÓÒ  ÙÖ Ø ÓÒ  Ó ×Ø 
Ð × ¹
ÙÖÚ ØÙÖ  E  αt  ØÓ  Ô Ø  
ÙÖÚ ØÙÖ ÙÖ Ø ÓÒ ´Ø  αs  ´Ø  Òغ  Ò Ø  Ð ÔÓ× Ø ÓÒ  ×Ø Ò Ø ÓÒ ÔÓ× Ø ÓÒ  ÚÓ  ´×  ÖÓÑ  αs  ØÓ  αt  ÙÖ  ½º¾´ µµº  Ø  Ø  Ò  Ò  ÓÖ  Ò¹  ×ÓÐÙØ ÓÒ  Ó × ÒÓØ 
ÖÓ×× Ø  ÒÝ Ó ×Ø 
Ð º ¹
ÙÖÚ ØÙÖ ØÐÝ  Ò  ÑÓØ ÓÒ ÔÐ ÒÒ Ò ¸ Û ÓÙÖ ÓÖ  ÒØ Ø ÓÒº  ÓÖ  ¿  ÑÙ×Ø ×ÓÑ Ø Ñ × Ü ÑÔÐ ¸ Ò  ÙÖ  ÓÐÐÓÛ ½º¾´ µ Ø  ÐÓÒ  Ô Ø  Ò  ÖÓ ÓØ ÑÙ×Ø  ÐÓÓÔ ÓÖ Ø  ÖÓÙÒ  Ò Ó ×Ø 
Ð  ÒØ Ø ÓÒº  Ì  × ÔÓØ ÒØ Ö  ØÖ ÖÝ Ö  Ö ØÓ  ÖÖ Ú  ÑÓÙÒØ Ó ÐÓÓÔ Ò ¸ Ò  ÐÓÓÔ Ò  × Ó Ø Ò Ò  Ø  Ó Ô Ø × Ø  Ø  ÓÙÒ  Ô Ö Ñ Ø Ö ´k  Ø  Ý Ø  Û  Û ÐÐ 
ÓÒ×  ÙØ Ø ÖÙÒ× Ò  ÓÙÒ  Ø  Ö ×ÙÐØ 
ÓÒ×  ÐØ Ñ  ÐÓÛµ Ø  Ö ×ÙÐØ× Ò Ø Ø  × Ø  × ×  Ö 
ØÐÝ Ð Ñ Ø× Ø  ÇÙÖ Ö ×  Ö  ×Ø Ò Ù × ×µ  Ò  Û  Ø  Ø  Ò ÓÒ ×ÓÐÙØ ÓÒº  Ñ ÖÓÑ  ×  E  n  Ð Ø  O(n) Ø  Ø  Ø  Ñ  Ñ    ×ÙÖ  Ö Ó  Ò ØÙ Ä  Ø  ÑÓÙÒØ Ó ÐÓÓÔ Ò  Ø  Ø  
ÓÖÒ Ö×  Ø  ×  Ø  Ò Ó ×Ø 
Ð  Ð  
ÓÖÒ Ö×  E  Ø  Ø  Ø  Ñ  ÙÖØ  Ö  Ø Ð  ×Ø  Ø  ÓØ  2  Ò Ö ×ÙÐØ Ó Ø ÓÑ ØÖÝ  Ö ´ µ Ú Ö  ×  Ò × ÑÙ×Ø −O(m)  × Ø  × Ø ℄º ÁØ Ø  Ò  Ö  ´×Ù  ×  × Ø Ø  Ø Ø  ×  Ø  Ð  Ô Ø  ×  Ö  Ò  Ø  ÒÔÙØ  ×  Ú  Ø  n  Û  ×  Ò  ××ÙÑ Ò× ×Ø  Ò Ø  ÓÖ  Ö× Û Ø  Ö Ö ×ÙÐØ× Ò Ø ×  ×  Ö ×ÙÐØ׸  
 ÐÐݸ Û  ××ÙÑÔØ ÓÒ ØÓ  Ø × ×  
ÓÖÒ Ö× ×  
ÓÖÒ Ö 
ÓÓÖ  Ò ÓØ  Ù×  Ð ÓÖ Ø Ñ Ø  ´ÒÓØ  ÓÙÒ  Ö Ø Ó Ó ØÛÓ ÒØ  Ü ÑÔÐ ¸ ÙÒ Ö Ø O(m) Ø ÑÓ×Ø 2 Ô Öغ  ×  ÒÙÑ  Ö Ó Û ÐÐ× ÓÙØ Ø  ÐÐÝ  ¹
ÙÖÚ ØÙÖ  Ø× Ó ÔÖ 
 × ÓÒº ËÔ  × × Û × ÔÖ × ÒØ  Ú ÖÝ  ××ÙÑ  × × ØØ Ò ¸ Ø  ÓÖ  Ò  Ï  ÔÓÐÝÒÓÑ  ÓÙÒ  ××ÙÑÔØ ÓÒ  Ö Ö ×ÙÐØ׸ Û º  ×  ÒÚ ÖÓÒÑ ÒØ ØÓ Ñ  Ø ÑÓ×Ø  ØÓØ Ð ÒÙÑ  Ò×Ø Ò  Û ÐÐ×  
 ×  Ó × ÒÓØ ÒØ Ö× 
Ø Ø× Ð º Ì  ÁÒ Ø  Ø  ÔÓÐÝ ÓÒ Ð Ó ×Ø 
Р׺  ´ÒÓØ Ú ÖØ 
 ×µº  × Ò ÓØ  m  Û Ø  ÔÖÓ Ð Ñ  Ñ Ý Ö ÕÙ Ö ØÓ ÖÓ ÓØ³× ÓÖ ÒØ Ø ÓÒº  Ö ØÓ Ó ×Ø 
Ð  ×  Eº  Ò  
 Ù×  × Ö ÔÖ × ÒØ  Ñ  ØÓ ÔÖ ÔÖÓ
 ×× Ø  ÒÚ ÖÓÒÑ Òغ  Ø  Ö  × ÔÖ ÔÖÓ
 ×× Ò  Ö Ó  Ò ÐÝ× ×¸ Û  ÙØ ÓÖ× Ó  ÓÑÔÙØ Ø ÓÒ Ð  k  Ø  
ÓÑÔÐ Ü ØÝ Ó  ×Ø Ò
Ø Ø  Ö×Ø Ñ Ö  Ø  Ô Ø ×  Ö 
Ø ÓÒ Ú 
ØÓÖ Ó αs µ × Ö ÔÖ × ÒØ m Ø ÑÓ×Ø 2 º Ë Ñ Ð Ö ××ÙÑÔØ ÓÒ× Ö Ñ  
ÓÖÒ Ö× ÑÙ×Ø  ÒØ  Ò  Ø × ÔÓ××  ÒÙÑ  ¹
ÙÖÚ ØÙÖ  ÓÖ Ø 
 Ø ÖÑ׸ Û  Û ÐÐ× Ñ  
Ø Ó  Ð Ô Ö Ñ Ø Ö Ó  Ö ÒØ ØÛÓ Ì  Ö ÒØ Ò Ø  ÔÖÓ Ð Ñ Ò×Ø Ò
 ׺  ÓÙÒ  ÙÐ Ö³× ÓÖÑÙÐ º  Ò Ø  ½ ℄º  Ò  × Ó ÒØ  ÔÖÓ Ð Ñ Ò×Ø Ò  
ÓÓÖ  Ü ÑÔÐ  
ÓÑÔÐ Ü ØÝ Ó Ø  ÓÖ ÔÙÖÔÓ× × Ó Ø  Ò  
 Ù×  Ö ÔÖ × ÒØ Ø  Ý  ½º¾  Ö  Ö  ÓÐ º Ì  Ò Ø  ÕÙ Ø  ℄ ÓÖ Ö ×ØÖ 
Ø Ò  Ö  ´ µ ÐÓÒ Ô Ø ×Ð ØÐÝ 
 Ò Ø  Ö Ô ¹Ø  ÔÓ ÒØ× Û  ×Ø Ö ×ØÖ 
Ø ÓÒ  ××ÙÑÔØ ÓÒ Ò
Ö  Ø  αs  Ó
Ù× × ÓÒ  Ó ×Ø 
Ð × Ó  ÑÓ  ØÓ Ð Ñ Ø Ò  αt  ÔÖÓ Ð Ñ Ò×Ø Ò  ×  Ò  Öº  ÙÖ  Ø  Ö ÒØ Ò Ð  Ö Ö ×ÙÐØ× Ð Ñ Ø Ø  ÔÔÖÓ  αt  ÌÓ  ØÐÝ  Ö× Ô Ø × Û Ø  ½ ℄º ÇØ  Ø Ñ º Ì  αs  ´ µ  ×Ð  ÑÓØ ÓÒ ÔÐ ÒÒ Ò  
Ð ×× Ó Ó ×Ø 
Ð × ¾¸ ½¼¸ ½¸  ½ ¸ ¿℄º Ì  λ  Ò  ÔÓ ÒØ Û Ø  ¹
ÙÖÚ ØÙÖ  ÜÔÓÒ ÒØ  ÐÐÝ  Ý Ö ×ØÖ 
Ø Ò Ö  × Ñ  ÓÙÒ  Ö ÒØ Û Ý׺ ÇÒ  ÖÙÒ Ò ÔÓÐÝÒÓÑ Ö 
Ø  Ø Ø  Ò  Ð 
ÓÑÔÐ 
 Ø ÓÒ Ò ØÛÓ  Ó ÐÓÓÔ Ò  ØÝÔ  Ò ÓÖ  Ð ÓÖ Ø Ñ 
 Ö ×ÙÐØ×  Ð  ¾½¸  ÓÙÒ  ××ÙÑÔØ ÓÒ ØÛÓ  ÓÛ ×Ø Ò
Ø  23rd ÒÒÙ Ð ËÝÑÔÓ× ÙÑ ÓÒ Ò E ¸ αs ¸ αt ¸ Ò ÔÓ× Ø Ú  ×
Ö ÔØ Ú  
ÓÑÔÐ Ü ØÝ  Ö  Ø Ö  Ø  k  Ò  ÓÖ ´ µ 
ÓÒ×ØÖÙ
Ø×  ÔÓÐÝÒÓÑ  k  ´  Ð Ò  ÐÓÓ×  kº  ÓÙÒ  ÖÓÑ Ø  Ô Ø  Ü ×Ø׺  Ì  × 
ÓÒ  ÔÓ× ÙÑ ÓÒ  λ¸  Ð Ò Ø  ×  Ð Ò Ø  Ñ  Ù×Ø Ô Ø Ò ÜØ  Π  ×  Ø Ð  Ô Ø  Ò  λ  Ò  ÔØ Ö¸ Û  Π  Ö  × ×Ù ×Ø ÒØ ×  Û ÐÐ  Ò  λº  Ø  ´ ÐÐ Ó Ø ÜÔÓÒ ÒØ  Ú  Ð Ø Ñ  ØÓ  Û  Ø    Ô Ø  Ö×ظ Û  ÓÒÐÝ Ò  ×  Ð  ×  Ò ×  Ò  Ú Ò ×  Ð  Ô Ø  (1 + ε)  Ø ÑÓ×Ø  Ò  ÓÖ  Π  ÙØ Ø Ö  Ô Ø  ØÓÙ  Ø Ñ ×  × Ø  Ù×Ø Ò  ÒÚ ÖÓÒÑ ÒØ  ε¹ÖÓ  Ô Ø  Ø  Ý Ù×Ø  × ÓÖØ ×Ø  × Æȹ  εº  Ö  ÁÒ Ú  ÔÖÓ Ð Ñ Ò×Ø Ò
 Ø Ø Ö ×ÙÐØ× −Ω(n) Ö 2 ¹ÖÓ Ù×غ ÁÒ  Ò  Ò ÔÓÐÝÒÓÑ  Ô Ø  Ò  Ö  Ù×Ø Ú ÖÝ ×Ñ ÐÐ  Ó ¿Ë Ì  ÔÖ Ú ÓÙ×  ε¹ÖÓ  Ò  ÔÔÖÓÜ Ñ Ø ÓÒ Ö ×ÙÐØ×  Ò Ò×Ø Ò  Ý Û ÐÐ  Ô Ø  
 × ×¸ ÓÙÖ Ò Û Ö ×ÙÐØ  ¹
ÙÖÚ ØÙÖ  Ô Ø × Ò  ÐÐÝ  × ÓÖØ ×Ø  ε¹ÖÓ  ØÓ  ÔÔÖÓÜ Ñ Ø Ò  ÓÒÐÝ  ×  ÔÔÖÓÜ Ñ Ø ÓÒ ØÓ Ø  ÔÖ Ú ÓÙ×  ÓÙÒ  Ø  E ¸ αs ¸ αt ¸  ÔÔÖÓÜ Ñ Ø ÓÒ ØÓ Ø  Ò× Ö  Ô Ø ×  Ð  ÙØ Ø  ×  
 Ø × Ø  Ð ÓÖ Ø Ñ × ÔÓÐÝÒÓÑ  Ù×Ø Ô Ø º ÁÒ ×Ù  × ÓÖØ ×Ø  Ø Ø  Ø ×  Ø  Ú ÖÝ  
 Ò 
ÓÒ×ØÖÙ
Ø Ò×Ø Ò
 × Û  ε¹ÖÓ  Ð ÓÖ Ø Ñ Û ÐÐ Ø  Ò  Ø  Ö ×ØÖ 
Ø ÓÒ ØÓ  × ÓÖØ ×Ø  O(n)µ¸  Ð Ò Ø  Ø  Ó Ø  ÔÓ ÒØ Û  Ð º Ì  ÐÐ Ó Ø  Ù Ö ÒØ  × Ø  ÐÐÝ  ÑÓÖ ÓÚ Ö¸ ÓÙÖ  ÁÒØ ÖÒ Ø ÓÒ Ð ËÝѹ  Ð ÓÖ Ø Ñ Ø  Ø Ñ  Ö×  ÔÔÖÓÜ Ñ Ø ÓÒ Ö ×ÙÐØ׺ ÁÒØÙ Ø Ú Ðݸ  ØÖ Ò× ÓÖÑ Ø ÓÒ Ó  ÔÔÖÓÜ Ñ Ø ÓÒ  Ô Ø ×  Ð  × ÓÖØ ×Ø Ô Ø ¸ Ò  Ù
Ø ÓÒ ÖÓÑ ¿Ë Ì ¾¿℄º × 
 × ¸ ÓÙÖ  ×  ÖÙÒ Ø Ñ  Ò  × Ö ×ÙÐØ  Ð Ø Ñ  19th  Ø Ø  Ò  Ý  n¸ m¸  Ò  ÔÖ ÓÖ Ö ×ÙÐØ Ù×Ø Ò  Ö ´ µ Ú Ö  ÔÖ ÓÖ  ×ÓÒ׺  ÔÔÖÓÜ Ñ Ø ÓÒ ØÓ Ø  Ð Ø Ñ  × Ø  ℄º ÁØ ×  Ò  ×  ÒØ  Ø  ÓÙÒ  Ð ÓÖ Ø Ñ ÖÙÒ× Ò ÔÓÐÝÒÓÑ ÜÔÓÒ ÒØ  × ÓÙÖ Ò Û Ö ×ÙÐØ  Ø  Ò  Ð ÓÖ ØÛÓ Ö  ÔÓÐÝÒÓÑ  Ö  ÓÖÑ  Π  Ò  Ö  Ø  Ô Ø º Ì  Û ÐÐ ÒÓغ Ë 
ÓÒ ¸ ×ÓÑ Ø Ñ × Ø  ÖÓÑ Ø  Û  ε¸  ×
Ù×× Ø  Ô ÖØ 
ÙÐ Ö¸ Ø Û × × ÓÛÒ Ø Ö  
ØÓÖ  Ï  ÓÙÖ ×  ÔÔÖÓÜ Ñ Ø ÓÒ Ö ×ÙÐØ×  
 Ò  
ÓÑÔÐ Ü ØÝ ×  × × Û × ÔÖ × ÒØ  ÓÖÑ ÐÐÝ  ØÖ Ö ÐÝ × ÓÖØ Ö Ø Ò  × Ø  Ð  Û  ÓÙØ Ñ  Ô Ø  Ö  ×  ÔÖ Ú ÓÙ×  Ô Ø  × ÓÙÒ  ÓÖ ´ µ 
ÓÒ×ØÖÙ
Ø×  ½ ¸ ¿℄º Ï  ε¹ÖÓ Ù×ظ ×Ø ε Û Ø  ×
Ö ÔØ Ú  Ð ÓÖ Ø Ñ Ø  ÓÑÔÙØ Ø ÓÒ  × ÓÖØ ×Ø −1 Ò n¸ m¸ ε ¸ Ò  × ÓÖØ ×Ø Ô Ø ¸ Ø Ø  Ò  ÔÔÖÓÜ Ñ Ø ÓÒ  Ø Ö Ø  Û Ó×  × Ð ÓÖ Ø Ñ × ÔÓÐÝÒÓÑ ÐÐÝ ÓÙÒ nk)3 ) × ÔÖ × ÒØ Ò Ë 
Ø ÓÒ º¿µº Ì  ÔÖ Ú ÓÙ×  Ò Ø  ÓÙÒ  ε¹ÖÓ  Û  Ð ÓÖ Ø Ñ×  Ö Ö Ø  × Ø  Ò Ö ×ÙÐØ Ó Ø  Ò  Ô Ø  Ð ØÝ Ö ×ÙÐØ ½ ℄ Ò ØÛÓ Ö ×Ô 
Ø× Ö  Ô Ø  Ò  Ð Ó Ø  O(n k (m +  Ø Ñ ¸ Û  Ö ×ÙÐØ Ö ØÙÖÒ×  ×  ÖÙÒ Ø Ñ 29 2  Ó  ÔÖ ÓÖ  ÓÙÒ  ÐÓÒ  Ì  ÐÐÝ  ÓÙÒ  Ø Ñ  ÔÔÖÓÜ Ñ Ø ÓÒ Ö ×ÙÐØ× Ñ Ý Ö ÕÙ Ö  Ô Ø º  ½º¾ ÇÚ ÖÚ Û ÁÒ Ø × Ø  Ò ÜØ Ø  Ö
× Ó  ÔØ Ö¸ Û  Ú ÖÝ × ÓÖØ ×Ø ÙÒ Ø¹Ö  
ÙÖÚ ØÙÖ  Ù× 
 Ö
Ð ×  Ô Ø  
ÓÑÔÓ×  ÒÓØ ÓÒ × ÑÔÓÖØ ÒØ ËÔ ÐÓÓ  
 ÐÐݸ ÓÖ  ÁÒ Ø Ú ÖÝ Ô Ø  Ö  ÑÓÖ  ¹
ÙÖÚ ØÙÖ  Ò  ×ØÖ  Ó ×Ù  Ø¹Ð Ò  ×  Ò  ×ØÖ  Ö
×  Ø Ó Ø Ò ×Ù  ÓÙÒ  Ô Ø  ¹
ÙÖÚ ØÙÖ  ØÓ ÓÙÖ Ö ×  Ñ Ñ ÒØ×  ½ ¸ ½ ℄º  Ø¹Ð Ò  
 × ØÓ  Ö
 º  
ÓÖ  ÔÓÐÝ ÓÒ Ð Ó ×Ø 
Ð ×  Ò  Ï  ×  Ñ ÒØ×  Ù  Ò× Ô Ø  ÑÓØ ÓÒ ÔÐ ÒÒ Ò  
 ÐÐ  ÒÝ  Ù Ò×  Ö ×ÙÐØ  × Ñ  Ó  ÓÙÒ  ¹  Ô Ø º Ì  ØÓ ×ÓÐÚ  ×  ÔÖÓ Ð Ñº  Ð ÓÖ Ø Ñ× Ò Ø  Ð Ø Ö ØÙÖ  Ò× Ô Ø º   Ò Ø  ÔØ Ö¸ Û × ÒÓÖÑ Ð  ÒÓÖÑ Ð Ô Ø × 
 Ò ÑÙ  Û Ñ ÒÝ Ö ×ÙÐØ× Ö Ð Ø  
 Ù×  ÐÐ Ó Ø Ù  Ø  Ö Ú ÓÙÒ  
ÓÑÔÐ 
 Ø  ÔÖ × ÒØ ÓÖÑ  Ò Û ÒÓÖÑ Ð ÓÖÑ ×  ×Ý×Ø Ñ Ø 
 ÐÐÝ Ù  Ò× Ô Ø  
ÓÑ  Ò ØÓÖ  ÒÙÑ Ö Ø 
ÓÑ ×  º  Ð  ÓÖ  ÓÙÒ  ¹
ÙÖÚ ØÙÖ  ×
Ö ÔØ ÓÒº  È ÖØ Ó  ÓÙÖ  Ý ÒÓÖÑ Ð × Ò  À Ò
 ¸ Ø  Ò ÐÝ× × Øº ÌÓ  Ô Ø ×º × Ø Ó  ÓÙÒ ×  ÑÓÖ  ×Ô  ÓÛ 
¸  ÒØÖ 
 
Ý  Ð Ø Ø 
ÓÑÔÓ×  Ø  º Ì  Ô Ø Ø  Ø  Ù  Ò× Ô Ø  ×  Ñ ÒØ 
 Ò  Ö  ×  Ù  Ø  Ô Ø ×
Ö  Ò× Ô Ø  ÒÙÑ  ×  Ñ Ý  Ó  Ö Ó  ×ÙÖ  Ö ÒØ ×  Ó  Ø×  
ÓÒ×Ø ÒØ ÒÙÑ  ÒØÖ 
 
Ý  k¸  Ø  Ò Ø  Ñ ÒØ× Ó  ×
Ö ÔØ Ú Ö Ó Ö  Ö  ×  Û    
ÓÑÔÐ Ü ØÝ Ð ÒÙÑ  Ö׺ Ï  ÒÓÖÑ Ð Ô Ø  Ø × 
 Ù× ÔÖÓÚ  Ó  ÒØÖ 
 
Ý  Ø  ÓÖ  Ô Ø º Ì  O(nk + n3 )º  ÑÓ×Ø  ÁÒ Ø Ø Ñ  Ó  ÒØÖ 
 
Ý Ó  ÓÙÖØ  Ø  Û Ý Ø ×  ÔØ Ö¸ Û  × ØÓ  Ò Ø  ÓÙÒ  Ø  Ø  Ô Ø  ×  ÓÒ Ø  k¸  ÒØÖ 
 
Ý  ÀÓÛ Ú Ö¸ Ø  ÒØÖ 
 
Ý Ó  ÓÛ ØÓ ÔÖÙÒ  Ó  Û Ý Ó  Ü  Ù×Ø Ú ÐÝ ×  Ô ÖØ 
ÙÐ Ö ÒÓÖÑ Ð Ô Ø  ÔØ Ö³×  Π  Ò³× Ô Ø  O(nk + n3 )º  ÔÖ × ÒØ ÓÒ  Ò  ÔÖ Ú ÓÙ× Ù  ÑÓ×Ø    Ø Ø Ø  ×  ÓÖ Û  Ö
 º  Ì  Ø  Ü  Ò Ø  Ö  Ù×Ø Ú  ×    Ñ  Ò
Ö  Û  ×  ×  Ò  ÒØÖ 
 
Ý  Ö  
ÓÙÐ  ÐÓÓ  ÓÖ Ö ×ÙÐØ Ó  Ø  Ò  × ×  ÑÔÓÖØ ÒØ Ø Ö ′ ÒÓÖÑ Ð Ô Ø Π Ó ÒØÖ 
 
Ý Ø  Ü ×Ø× Ö  Ö  ÙÒ
Ø ÓÒ Ø× ÒØÖ 
 
ݺ Ì  Ø  ×  Ø Ñ  Ø  Ø ×  ÜÔÓÒ ÒØ  Ò ¸ Ò Ø  ÛÓÖ×Ø 
 × º ËÓ Û  ×  × Ø  ÔØ Ö  Ð  × ÓÛ  Ø ÔÖÙÒ Ò Ó × ÒÓØ ′ Ô Ø Ñ Ý ÒÓØ Ò Π ¸ Ø Û ÐÐ Ò ′ 
ØÓÖ Ö Ø Ö Ø Ò Πº Ì Ø ×¸ Ø  × 
Ö 
 
ÓÑÔÐ Ø Ò ×׺ Ì Ø ×¸ ÐØ ÓÙ ÓÙÖ × Ö ′′ Π Û Ó× ÒØÖ 
 
Ý × ÖÓÙ ÐÝ Ø ÑÓ×Ø 
ÓÒ×Ø ÒØ ′′ 3 ÒØÖ 
 
Ý Ó Π × Ð×Ó O(nk + n )º Ì × × ÑÔÓÖØ ÒØ 
 Ù× Ø ÖÙÒ Ø Ñ Ó Ø ÔÖÙÒ ′′ × Ö
 ×Ø ÐÐ Ô Ò × ÓÒ Ø ÒØÖ 
 
Ý Ó Ø Ô Ø Π ÓÖ Û 
 Û Ö × Ö
 Ò º ÁÒ Ø ×ØÖ Ø  Ø    ÔØ Ö¸ Û  Ø ÓÖÛ Ö  Ò  Ý ÔÖÙÒ º ÀÓÛ Ú Ö¸ Ø  Ö ØÙÖÒ  ÔÓÐÝÒÓÑ  Ø  ×ÓÐ Ø  Ø  Ö  ÐÐÝ  Ø ÓÒ  × ÜØ  × ÓÖØ ×Ø Ø ØÓ    ÔØ Ö× ØÓ Ø ×  Ð  Ö  Ð  ÔÔÖÓÜ Ñ Ø ÓÖ ¸  ×ØÓÔ  Ö  Ø ×Ù  × ×ÓÓÒ  Π¸  × ÓÖØ ×Ø Ô Ø º ÌÓ ÐÓÛ ÓÓ ÁÒ Ø  
 ÖØ  Ø ×Ù  Ö×Ø  Ð  
 Ù×  ÓÖ Ø ¸ Ò Ø  Ò Ø Ö × ÓÐ  Ò  Ò ÓÖ  × 
ÓÒ  
 Ò Ö  k  ÓÒ Ø  Π  Û Ó×  ÓÙÒ Û  ÛÓÖ×Ø 
 × ¸ Û  Ø  ÔÔ Ò  Ö  Û Ø  Ú ÐÓÔ  Ò ÐÝ× Ü  ÐÓÒ    ÔØ Ö¸ Û  
ÓÒ
ÐÙ  Û Ø  Ø Ò  Ø  Ð×  Û  Ò  Ò ÐÝ× ×  ÙØ Ø× Ù×  Ð Ò Ø  Πº  × Ò  Ð ×× Ø Ï  ÔÖ Ú ÓÙ× Ö Ø  Ò  Ö Ù  ÒØÖ 
 
Ý × ÔÓÐÝÒÓÑ Ò  ÓÓ  Ô Ø  Ø  Ö Ø Û  Ö 
Ø ÓÒ× ÓÖ ÙØÙÖ  Ò Ø  Ö 
غ ÁÒ  λº  Ø  Ú Ò  λ¸  Ø Ò ÓÖ  Ö  Ð Ò  ÓÖ ¸ Û  kº  ×  
 ÒÒÓØ  ÔÔÖÓÜ Ñ Ø ÓÒ ØÓ Ø ÐÐ Ô Ø × Û Ø Ú  ÓÙÒ  ÔÔÖÓÜ Ñ Ø ÓÒº × Ú ÒØ  ×  Ò Ø  × ÒÓØ ÑÙ  ÑÙ×Ø 
ÓÒ×  Ø Ø  Ø  
 ×  Ö  × Ø Ø  ØÓÓ ÑÙ
 µ  ÔÔ Ò  ÒØÖ 
 
ݺ ÍÒÐ  Û ÒØ ØÓ  Ö ØÓ Ú Ö Ý Ø  Ø  ÒØÖ 
 
Ý Ó  ′  Ô Ø  Ø Û Ø  Π  Ó Ø  
 º  
 ÒØÖ Ð ÖÓÐ  × ÓÖØ ×Ø Ô Ø ÓÙÒ  ÓÖ Ô Ø × Ó Ô Ø  Ò  Ô Ø  Ð ÓÖ Ø Ñ×  × Þ  ÑÓ×Ø Ø 
 Ò 
 Ð Ó  Ó ÒÓØ 
ÖÓ×× Ø  Ô Ø  ×  ÔÖÙÒ Ò  Ð Ò Ø  
ÓÖÖ 
Ø ´ Ó ÒÓØ ÔÖÙÒ  Ø 
 Ò ÕÙ × Ø  Ò  ÓÖ Ø  
 × ØÓ Ö  Ò Ð  Ò  Ò ÙÔÔ Ö  
 × ØÓ × × Û  Ø  Ô Ø ×  ÔÔÐÝ Ø Ò  Ö  Ò¸ ÒØÖ 
 
Ý ÔÐ Ý×  ÐÓÓ Ò  Ý  ¹
ÙÖÚ ØÙÖ  ÔØ Ö¸ Û  ØÓ Ó Ø  Ø × ÔÓÐÝÒÓÑ  Ø 
 Ò 
 к Ì  
 ×  ¹
ÙÖÚ ØÙÖ  Ð× Ó ÔÖÙÒ Ò º Ì  Ø  Ø Ø Ö  ÔÔ Ò  ÓÙÒ  Ô Ø º  Ø  Ø Ñ × Ø  ÔÖÓ Ð Ñ Ó  × × ØØ Ò ¸ Û  Û  ÓÙÒ  × ÓÖظ × ÑÔÐ ¸  ÁÒ Ø   Ø  ÔÖÓÓ × Ø ÓÙÒ  Ò × Ô Ö Ø  ØÛÓ × ÓÖظ × ÑÔÐ ¸ Û  ×
Ö  Ó Ú ÓÙ×ÐÝ Ø  Ö ×  Ö
 º  ÒØÖ 
 
Ý × Ò  
Ø  ÔØ Ö ¾ Ä Ø Ö ØÙÖ Ì  ÔÖÓ Ð Ñ× Ø  Ø Û  ÑÓØ ÓÒ ÔÐ ÒÒ Ò º ÐÐ Ø  ÑÙ  Ö 
Ø Ø  ×Ø ÖØ  ÒØ× Ø  ÓÔØ Ñ × Ø Ø  Ó ×Ø 
Ð ³× ÁÒ Ø 
ÙÖÚ ØÙÖ ×ØÖ  ÒØ  Ñ  Ò ØÙ  
ÓÒ×ØÖ  Ö  Û Ø  Ò ØÙ  
ØÓÖÝ  × Ñ  
Ð ØÛ  Ò Ø  Ô Ø º ÁÒ Ø  Ý ØÖ Ú ÐÐ Ò Ø  ÕÙ  ×Ø ØÖ  ÑÓØ ÓÒ 
ÓÒ×ØÖ Ø Ø  Ò  ÓÖ Ø 
 Ð  Ð  ÒØ Ö ÓÖ ¸ Ø  ØÝÔ  ÑÓØ ÓÒ × ÓÙÐ ÙÖ Ø ÓÒ¸  ÑÓØ ÓÒ 
ÓÒ×ØÖ ×  ÔÓ ÒØ  Ø  ÚÓ  Öµ Ø  ×Ø ÖØ 
ÓÒ  Ø  ÒØ  ÓÒ  ÒØ Ø  ÑÓØ ÓÒ Ó  ÒØ׸  Ô Ø  Ò ×  Ò  Ó ×  
 Ò ØÓÙ  Ü  ÓÙÒ  ´Ø  ×  Ò  × Ø  Ø× 
ÓÒ  ×Ô  Ó Ô Ø  ÙÖ Ø ÓÒ  Ø Ø  
ØÓÖݸ ÙÒÐ  
ÓÒ×ØÖ  ÓÐÐÓÛ  ÓÙÒ  Ø Ø ÒØ  ×  Ø  ×Ô Ø  Ð Ñ Ø Ò  × ÑÓÖ  ÓÙÒ  ´ µ Ø 
ÓÒ¹  Ö ×ØÖ 
Ø Ú  ¹
ÙÖÚ ØÙÖ Ò ØÙ  Ô Ø  Ñ  ÐÛ Ý× ÓÖØ Ó ÓÒ Ð  Ø  ÖÓ ÓØ 
 Ò  ØÖ  Ý  ÒÝ ÔÓ ÒØ  ´ ÐÑÓ×ص ¹
ÙÖÚ ØÙÖ  Ò  ÖÓ ÓØ  Ò Ø Ñ º Ö ÒØ ØÖ  
Ø Ó Ø  ÒÓ ÝÒ Ñ 
 ÑÓØ ÓÒ ÔÐ ÒÒ Ò  Ð  ×µ Û Ø ÓÙØ Ø  Ò  ÌÓ 
ØÓÖ  ÑÓØ ÓÒ 
ÓÒ×ØÖ  ÒÝ 
ÓÒØ ÒÙÓÙ× Ô Ø  ÒÓ ÝÒ Ñ 
 ÑÓØ ÓÒ ÔÐ ÒÒ Ò Ø  Ò  ÔÔÖÓÔÖ  
ÓÒ¹  

 Ð Ö Ø ÓÒ ×  Ø ØÛÓ  ÒÓ ÝÒ Ñ 
 × ØØ Ò ¸ Ø ÖÓ ÓØ 
 Ò ØÖ  
ÓÒ×Ø ÒØ Ý  Ó Ø  ÔÓ ÒØ ÖÓ ÓØ³× Ò×Ø ÒØ Ò ÓÙ× 
ÓÒ  Ò Ø  ØÛÓ 
ÓÒ
 ÔØ׸ ÒÓØ  ×  Ò Ö Ð ØÝ Ø  ¹
ÙÖÚ ØÙÖ  Ú ÐÓ
 ØÝ Ú Ö  ØÛ  Ü  ÓÙÒ  ÒÓ ÝÒ Ñ  × Ø  
ÓÒ×Ø Òغ  Ö 
Ø ÓÒ Ó Ø  ×  Ö ÒØ ÖÓÑ Ø  ÔÓ ÒØ × Ø ×  ÔÓ ÒØ ÖÓ ÓØ 
 Ò  Ø× Ú ÐÓ
 Øݺ  ×ÐÓÛ Ò  Ø ×  Û Ø ÓÙØ ÐÓ×× Ó  Ø Ø  ×Ø Ò Ù × ×  Ø Ø  Ø  Ø Ø  ÔÓ ÒØ³× Ú ÐÓ
 ØÝ Ò Ú Ö  ××ÙÑ  Ø  ØÖ Ö ÐÝ ×ÐÓÛÐݺ À Ò
 ¸ Ø  × ÓÖØ ×Ø Ô Ø º Ì  ÒÓØ  ÚÓ  Ó Ó ×Ø 
Ð × ØÓ  Ò×  ÔÔÖÓÔÖ  ÒÓ ÝÒ Ñ 
 × ØØ Ò ¸  Ò  ÖÐÝ  ØÝÔ  Ð  ÓÛ ´ÓÖ Û  Ø  × Ø  ¹
ÙÖÚ ØÙÖ Ø  Ö Ö ¾ ℄º  ÙÖ Ø ÓÒ Û  Ò  × Ð  Ý Ë  ÓÙÒ ÖÓÑ  Û ÒØ ØÓ 
ÓÒØ ÒÙÓÙ×ÐÝ ÑÓÚ  
ÓÒ  Ö ÒØ  Ö 
Ø ÓÒ Ó Ø Ò  ×
Ö ÔØ ÓÒ Ó  Ö Ò Ò  Ö  
 Ò  ´ÓÒÐÝ Ø Ü  ÔØ Ö¸ Û  

 Ð Ö Ø ÓÒ Ò Ú Ö  ¾¿℄º ÆÓØ  Ø× ÔÓ× Ø ÓÒ  Ð Ø Ö ØÙÖ  ×  ØÓ  ÑÓØ ÓÒ ÔÐ ÒÒ Ò  Ü
 ÐÐ ÒØ ×ÙÖÚ Ý  Ø ÖÑ Ò Ð  ×  Ó Ø  ÔÓ ÒØ³×  Ú Ö  
ÐÓ× ÐÝ Ö Ð Ø  × ØÝÔ 
 Ð Ó ÓÔØ Ñ Ð Ô Ø ×º  × Ý Ø  Ú ÐÓ
 Øݵº ÁÒ Ø  Ø ÓÒ ×  Ò  Û  Ñ  ÙÒ Ø ×Ô  ØÓ Ø  Ö    Ò  ÒÝ Ó ×Ø 
Ð º Ï  ÒÓ ÝÒ Ñ 
 
ÓÒ×ØÖ  

 Ð Ö Ø ÓÒ  Ø  ÒØ  Ó Ø ÓÒ  Ô Ø  
ÓÒ×  Ø ÑÔÓÖ Ð ×
 Ð Ò ¸ Û Ò Ø  ØÖ  Öݸ Û  Ö  ÑÓØ ÓÒ¸  ÙÖ Ø ÓÒ¸ × Ø ×  ÔØ Ö¸ Û  ´ µ Ø  ×Ø ÒØ×  Ø  Ø  ÔØ Ö  Ö ×ÙÖÚ Ý Ó  ÔÖÓ Ð Ñ× ÓÒ Ø  ÒØ Ö ÓÖ Ó  ÓÙÒ  ×  ×  ÔÐ  º Ï × Ý Ø  ÒØ Ö× 
Ø Ø  Ò  Ö  Ø ÖÑ Ò Ð 
ÓÒ  ÒÓØ  Ø  Ø  Ò Ø  ÙÖ Ø ÓÒ ØÓ  Ó ×Ø Ø ÓÒ ÖÝ Ó ×Ø 
Р׺ Ì Ó 
ÓÒ×ØÖ  Ö ØÓ  ×
Ù××  
ÓÒ  ×  ÖÓ  Ö  ÔÖÓ Ð Ñ×  ÖÓ ÓØ ÖÓÑ  Û  ×
Ù×× Ò Ø  ÓÖ  Ô Ö×Ô 
Ø Ú ¸ Û ÁÒ  Ê Ú  Ð Ø Ö ØÙÖ  Ð Ø Ö ØÙÖ  Û  ÔÖÓ Ð Ñ × ÒÚ ×Ø  ÙÖ ¹  ÓÚ Ö Ø Ñ ¸ Ø  ÖÓ ÓØ³×  ÐÐÙ×ØÖ Ø ÒØ × Û  Ø  ¹  Ý ÑÓÚ Ò  Ó
Ù× × ÓÒ   Ø  × Ñ Ý ØÖ  Ò ¹  ÐÓÓ × ÓÖ Ø ÙÒ  Ö  ÓØ  L2  ÒÓÖÑ ´  Ù
Ð  ÒÓÖѵº  ÐØ ÓÙ  Ø  Ø  Ò ÒÓÖѵ  L2 ÒÓÖÑ  Ò  ×  L∞  Ø  Ö Ù  ÒÓÖÑ ´×ÙÔÖ ÑÙѸ ÙÒ ÓÖѸ ÓÖ  ÐÝ ÑÓÖ  L∞  ÒØ Ö ×Ø Ò ¸ Ø  × ÑÔÐ Öº  ¾º½ È Ø × Ò Ö Ò  Ò  × ÓÖØ ×Ø Ô Ø  ×ÓÐÙØ ÓÒ× ØÓ Ø  × Ò ÓÔØ Ø  Ø  ×  ÓÖ ÕÙ  Ó Ó ×Ø 
Р׸ Û  ×Ø ØÖ  Ö  
ØÓÖÝ  
 ÒÓÒ 
 Ð  Ø Ò ÓØ  ½ ¸ ½¾¸ ¿¸ ¾ ℄º  × Ø ×  Òص 
ÓÒ  × Ò 
 ×× ÖÝ ´ÒÓØ ×Ù  Ö  ÓÒÐÝ 
ÓÒ×  ×Ô 
 ¸  Ø  к  ÒÓ ÝÒ Ñ  ÅÓÖ ÓÚ Ö¸ Ö  × ´  ÕÙ  ÕÙ  Ò× ÖØ  ×Ô Ø Ù À  Ø  Ö Ø  
ØÓÖ  ×  ÒÚÓÐÚ  ÙÖ  Ö  Ò  Ï  
 ÐÐ    Ð ¸ Û  Ñ  Ò  ÓÖ  Ó  Ò  Ö  Ø × Ø × Ý  Ó ×Ø 
Р׸  Ú ÖÝ  
 Ù×  Ø ÓÒÐÝ  ÑÔÓÖØ ÒØ  
 Ù×  Ò ÓÔØ Ñ Ð ×ÓÐÙØ ÓÒ  Ó ×Ø 
Р׸  ×Ø ØÖ  Ò  Ò ÓÔØ Ñ Ð ×ÓÐÙØ ÓÒ  Ö  
ØÓÖÝ ÙÒ  
ÓÙÔÐ Ó ÕÙ  ÒÓÖÑ Ö  

 Ð Ö Ø  
 ÐÐݸ  
Ø ÓÒ×  ×Ø ÓÒ ¹  ×  ×Ø  
ØÓÖÝ  Ñ Ò× ÓÒ Ð ØÖ  ÓÒ  × ÔÓ×× ÚÓ  Ý 
 Ò  ØÖ  
ØÓ¹  Ô× ÑÙ×Ø  Ö 
Ø Ö × Ø ÓÒ Ó  Ù
 × ØÓ Ø ×  ÒÓÖÑ ½¾℄º  ÒÓ ÝÒ Ñ 
º  Ö ÒØ Ø Ñ ×¸   Ý ÑÙ×ظ ØÓ  × ×ØÖ Ø  L∞  Ö Ø  º ËÔ  Ñ Ò× ÓÒ Ð ÔÖÓ  Ñ Ò× ÓÒ× Ø  Ò Ø  Ò ÐÝ× ×¸ Ø  Ø × ÓÖØ ×Ø Ø  C ¹×  ×Ù Ô Ø  C¹  ÒÝ  Ó  Ö ÒØ  ÒÓ Ý¹  Ñ Ò× ÓÒ Ð 
 × º Ð  ØÓÛ Ö × Ø  ÓÚ Ö× ÓÓØ Ò  
ÓÑÔÙØ  Ø  Ó Ð Ø Ö  ÕÙ 
 ÐÝ  غ  Ý ×ÓÐÚ Ò  Ø × 
ÓÑÔÓ×  ¸  Ö Ó Ô Ø Ô Ø  Ô Ø Ð  ×Ù Ô Ø  Ò Ø  Ò Ø Ò Ø  
ÓÒ ×  ÑÙ×Ø  ÓÙÒ  ÒÓØ ×  Ó  ÐÓÒ  ØÓ  À ×  ÖÓÑ Ø Ø Ò  ÓÔØ Ñ Ð¸ Û    Ó  Ð Ò  ×  ×ÓÙÖ  ÒØ  Ð  L¹×  ÔÖÓÚ × Ø  Ø × ÓÖØ  
ÓÒ  ØÛ  ½ ℄º  Ñ ÒØ×  Ö ÙÑ ÒØ × Ø  × ÓÖØ ×Ø Ô Ø  Ò  ×Ñ ÐÐ × Ø  × ÕÙ Ò  ¹× Ñ ÒØ× µº  Ò ØÛÓ 
ÓÒ × ÓÖ Ø  Ô Ø ×  ÙÖ Ø ÓÒ  Ò Ø Ó×  ØÛÓ  Ñ ÒØ ´×  Ø  ¹  × ÓÖØ ×Ø Ô Ø  Ñ ÒØ׺  ×ØÖÙ
ØÙÖ  Ì  × Ñ  Ù× 
 Ö
Ð × ´C  Ñ ÒØ× ÖÓÑ Ø  L¹×  Ò  ¹
ÙÖÚ ØÙÖ  × ÓÖØ ×Ø Ô Ø ØÛ  Ó  Ø× ØÓØ Ð ÒÙÑ  ÓÙÒ  ÙÖ Ø ÓÒ Ó    
ÓÑÔÐ Ü ØÝ Ó Ô Ø  × Ò  ×Ù ÓÔØ Ñ Ð  Ø Ñ µº À Ò
 ¸ Ø  L∞  Ñ Ò× ÓÒ  × Ò Û  Ù Ò× ÒÓÖÑ Ðº Û  × Ñ  Ö
× Ó ÙÒ Ø¹Ö  ÙÖ Ø ÓÒ× Ù× × ¾º½µº  Ò  
ÓÑÔÓ×  Ö Ø  × ÔÓ××  ×Ø Ò Ø ÓÒ 
ÓÒ  × 
ÓÑÔÓ×  
 ÐÐ ×ÓÐÙØ ÓÒ× Ø  Ò Ø  Ö  Ø× ÓÒ ¹  Ö ÒØ Ø  × ÙÒ  
 ×  Ö×Ø Ó × ÖÚ × Ø  ¹× Ñ ÒØ× µ  
ÓÒ  Ð  ÕÙ Ø ÓÒ׺  ´L Ò  Ó  × Ò  Ò ÓÒ  ×Ø  Ò× × ÓÛ× Ø  ×Ù Ô Ø ×  Ò  ÒÓÒ 
 Ð ×ÓÐÙØ ÓÒ×  Ñ Ò× ÓÒ×    ÐÐ Ø  
ØÓÖ  ×  d¹  Ø  
ØÓÖÝ 
 Ò  Ñ  
ØÓÖ  
 Ð Ö Ø  ÕÙ  ÓÒÐÝ  ×Ø ØÖ  ×Ø ØÖ  Ò  
 Ù×  Ò  Ø  ×  Ö×Ø ×ØÙ  ÓÒÐÝ 
ÓÒ
 ÖÒº ÌÝÔ 
 ÐÐݸ Ø  Ð  Ò ×  ÒÓ ÝÒ Ñ 
 ÕÙ  Ð  ×Ø ØÖ  Ò Ñ 
 ÕÙ  Ø  ×Ø ØÖ  ØÓ Ñ  ÉÙ  Ø ÓÒ׺  Ö  Ó 
 ÒÓÒ 
 Ð ×ÓÐÙØ ÓÒ× ØÓ ×Ù ÔÖÓ Ð Ñ׺  ×
Ö  × ÒÓÖÑ × ×Ô  ×  Ö Ö ×ØÖ 
Ø Ø  Ø ÓÔØ Ñ Ð ×ÓÐÙØ ÓÒ× ÑÙ×Ø × Ø × Ýº Ï  ÌÓ 
Ð Ö Ý¸  Ö 
 ÒÓÒ 
 Ð ×ÓÐÙØ ÓÒ× Û  × ÕÙ Ò  ÒÒÝ  ÙÖØ  
 ÒÓÒ 
 Ð ×ÓÐÙØ ÓÒ Ñ Ý  Ú ÖÝ ÓÔØ Ñ Ð ×ÓÐÙØ ÓÒ × 
 ÒÓÒ 
 и  × ØÝÔ 
 ÐÐÝ Ì      ÒØ × Ø  Ø ÓÒ× Ø  Ö Ö ×ÙÐØ× Ò Ø  ÙØ  Ò  Ó Ð× Û  Öº ÇÔØ Ñ Ð ×ÓÐÙØ ÓÒ×  ÑÓØ ÓÒ 
ÓÒ×ØÖ  ÓÔØ Ñ Ð ×ÓÐÙØ ÓÒ × 
 ÒÓÒ 
 Ð Û  Ö  Ø Û 
ÓÒ×  × Ø Ó Ò 
 ×× ÖÝ 
ÓÒ  Ø ÖÑ ÒÓÐÓ Ý ÓÙÒ  
Ö Ø Ö  Ú  Ò ÐÝØ 
 ÐÐÝ  ËÔ  Ô ÖØ 
ÙÐ Ö ÔÖÓ Ð Ñ Ø  Ò ÐÝ× × Ö ×ÙÐØ× Ò  Ý×  ÒÓÖÑ ×  ¹
ÙÖÚ ØÙÖ  Ó  Ù  Ý  ×ØÖ Ò  Ø  × Þ  Ó  × ÔÖÓÔÓÖØ ÓÒ Ð ØÓ Ø× ÒØÖ 
 
ݺ ÆÓØ  
ÓÑÔÓ×  × Ø ∗ Ò {C, L} º Ì  Ñ ÒØ׺ Ï 
 ÓÓ×  
 Ù×  Ô Ø  Ò× Ô Ø Ø  C¹  Ó  × ÕÙ Ò  Ó  ÒØÖ 
 
Ý  × Ô ÖØ 
ÙÐ Ö Ñ  Ø  Ø Ò  Ò Ö Ð¸ Ø  Ù  Ò× Ô Ø  Ù  Ò× ÒÓÖÑ Ð  Ó Ø  Ò ØÙÖ Ð Ö ÔÖ × ÒØ Ø ÓÒ Ó ÒØÖ 
 
Ý  Ñ ÒØ×  Ñ ÒØ ØÝÔ × Ó  Ó  ×ÙÖ  L¹×  Ò  ×  ×  ×
Ö ÔØ Ú Ò  Ð Ò Ø  Ó  ÙÖ  ¾º½  ÖÓÑ Ø  Ù ´ Ò  Ë ÓÖØ ×Ù Ô Ø × ´ Ð 
 µ  Ò× Ô Ø Ú  Ö  Ò  Ô Ò  ÒØ  
ÓÒØ  Ò  ØÛ  Ò 
ÓÒ × ´ ÓØØ  µ  Ñ Ò Ø Ò  ´
µ Å ÙÖ  Ð  Ö
 ÑÙ×Ø  ¾º¾  ØÓ  Ù  Ò× Ô Ø  
 Ò  Ú  ÒØÖ 
 
Ý  Ò  ÐÓÛ Ð Ò Ø  Ú Ö× µº  ´ µ LCL ÓÖ  ×ÓÐ  Ö  Ò ÔÓ ÒØ× ´ ÓÜ ×µº  Ù  ÓØØ  Ý Ù× Ò  Òº  ´ µ CCL ÓÖ  ≥ πº  ´ µ CCCC ÓÖ  Ò׳ Ð Ò Ø  Ö  Ù
 Ò  Ô ÖØÙÖ  Òº  Òº  Ø ÓÒ× 
ÓÒØ ÒÙÓÙ×ÐÝ  ÓÖÑ  Ô Ø  ÖÓÑ  º Ø  Ð Ò Ø  Ö  Ù
 Ò  Ô ÖØÙÖ  Ø ÓÒ× × ÓÛÒ Ò  ÙÖ  ¾º¾¸  Ù  Ò×  Ô× Ø  × Ø Ó 
 ÒÓÒ 
 Ð Ô Ø × ×Ñ Ðк  Ì ÓÖ Ñ ¾º½º ½ ℄ Ì ×ØÖÙ
ØÙÖ Ó  × ÓÖØ ×Ø ÓÙÒ ¹
ÙÖÚ ØÙÖ Ô Ø × ×Ù × ÕÙ Ò Ó CLC ÓÖ CCC º Á Ø× ×ØÖÙ
ØÙÖ × CCC ¸ Ø Ñ Ð C ¹× Ñ ÒØ × ÐÓÒ Ö Ø Ò π º Ó ××ÓÒÒ Ø ÔÖÓÓ  × ÑÓÖ  Ø  к ÔÖÓÚ  Ø  
ÓÒ
 × ¸ Ø Ð 
 × Ø  ÓÚ  Ø Ö 
Ø  ÓÖ Ñ Ù× Ò ÓÑ ØÖ 
 Ö  
ÓÒØÖÓÐ Ø ×ÓÒ Ò  ÓÖÝ Ó Ø  ℄º ÖÐ  ÐØ ÓÙ Ö ÔÖÓÓ ×º  Ø  Ö  ¾º¾ È Ø × Ñ Ï ÒÓÛ 
ÓÒ× ÓÚ ÖÚ Ø  Ö Ö ×ÙÐØ×  Û Û Ø  
ÓÒØ ÜØ׺ Ý  Ò Û Ò  ÒÓØ  Ò  Ø  Ú ÐÓÔ ÓÖ  
 Ù×  ×Ø  Ò Ö ×ØÖ 
Ø  ÓÑ  Ý  Ò ÑÓÖ  Ò Ö Ð 
ÓÒØ ÜØ× Ò Ø Ñ  ´ º º Û Ð  Ö ×ÙÐØ× Ø  Ò  Ø  Ò  
 × ØÓ  ÓÙÒ  Ò  Ò  ¾º¾º½  ×ØÖÓÒ  Ö ×ÙÐØ× Ö Ú  ØÓ  Ò  Ö  Û  ´  Ñ Ò× ÓÒ Ð  Ò  Ó ×Ô  × Æȹ  Ø  Ñ  Ù  ×Ð  ÌÓ  ÓÑ  Ò Ø  Ý  Ò  Ô Ø × Ð×Ó  ÓÒ Ø  Ò  ÖÙÒ Ø Ñ µ¸ ÔÔÖÓÜ Ñ Ø ÓÒ  ÔÔÖÓÜ Ñ Ø ÓÒ Ó  × ÓÖØ ×Ø  × ÓÖØ ×Ø Ô Ø º ÁÒ Ø  × Ø  ÔØ Ö × Ü¸ Û  Ô Ø ×  × ØØ Ò ×¸ Ø  Ò׸ ÓÙÖ Ö ×ÙÐØ× ÓÙÒ  ×ØÓÖØ ÓÒ Ó Ù Ö ÒØ  Ò  
ÓÑÔÐ Ü ØÝ Ó  Ø ´ µ Ø  ×ÙÖÚ Ý Ø Ö  Ò  Ø  ÒÚ ÖÓÒÑ ÒØ 
ÓÑÔÐ Ü ØÝ  ÖÓÑ Ø Ò  ÛÓÖ×Ø 
 × ¸ × Ò Ðݹ  ÝØ  Ø  Ò ÐÐݸ Û  Ø  Ð ØÓ    Ö  ØÓ  ×ÙÖ  Ò  Ø  
ÓÑ × Ø  Ô Ø Ò  Û ÐÐ  
 ×  ÓÙÒ  Ø  Ò  × × ØÓ  Ø  ¾  Ò ¸  Ó ¿¹Ë ̸ Û  Ëȸ    Û  ½¿℄¸  Ò  ÓÙØÐ Ò  Ø  Ò  Ø  Ý ×  ÔÔÖÓÜ Ñ Ø ÓÒ  Ò  Ò  Ø  Ø ×  Ò  ¾ ËÈ µ  Ò×Ø Ò  Ò  ÓÒ Ø  ¿¹  Ï Ò  × Ø Ó   ×  ×  Ð  ×  Ö  Û Ø  Ø  ¾¿℄º  Ø  Ò  ÓØ  Ö  Ù
Ð  Ò  Ò  ¾¹  Ù
Ø ÓÒ×  n  Ú Ö  Ð ×  Ò  m  
Ð Ù× × ØÓ  Ö Ò ×× Ö ×ÙÐØ× ÒÓØ ÓÒÐÝ ×Ù ÙØ Ø  Ý  ÓÙÒ  ÓÛ 
ÐÓ×  ×Ø Ø Ò    Ø ÒØ  Ø  Ô Ø × ÒØÓ  × ÓÖØ ×Ø Ô Ø  ÒÓØ  Ö ÕÙ Ö  Ö Ù
Ø ÓÒ Ó ¿¹Ë Ì ØÓ ¿ ËÈ × ÓÛ× Ø Ø −O(n) Ø ÑÓ×Ø 2 ÐÓÒ Ö Ø Ò Ø × ÓÖØ ×Ø Ô Ø ¸ Û Ö  ÓÑÓØÓÔÝ 
Ð ×× Ô Ø  Ø Ñ  Ñ Ò× ÓÒ Ð  Ö Ù  × Æȹ  Û Ø  Ü 
Ø ×ÓÐÙØ ÓÒ¸  Ü 
Ø ×ÓÐÙØ ÓÒ  Ô Ø  ´  Ò  ÓÙÒ  
ÓÑÑÓÒ 
ÓÖ º  Ó ×Ø 
Р׺ Ì  ÒØÐÝ  Ø  Ê  × ÓÖØ ×Ø Ô Ø  Ñ  Ö ÔÖ × ÒØ Ø Ú   Ö  × ÓÛ Ø  ÐÓÛ Ö  ÔÖÓ Ð Ñ × Þ º  
 Ò ×ÔÐ Ø Ø Ò  Ê  ¿¹Ë Ì  ØÓ Ø  Ó Ø  Ò  
Ø Ú ÐÝ ÔÐ  ×ÓÐÚ Ò  × ÓÖØ ×Ø Ô Ø  ÓÑÓØÓÔÝ 
Ð ×× ËÈ  λ  Ò  Ð ÓÖ Ø Ñ×  ׺  × × 
Ø ÓÒ  ¹
ÙÖÚ ØÙÖ  Ô Ô Ö× Ö  Ø × Æȹ  ¿  k  Ò Û Ø 
 Ò ÕÙ × ÓÙÒ  ÒÒÝ  ¿ ËÈ µ  Ð ÓÖ Ø Ñ 
 Ò 
ÓÑ  Ï  ×  Ø  Ö ×ØÖ 
Ø  Ö ×ÙÐØ× Ò Ø  ØÓ Ø  Ð ÓÖ Ø Ñ× Û ÐÐ  Û Ö ×ÙÐØ× Ø  ÓÙÒ  Ò Ø ÖÑ× Ó  º ÁÒ  Ù Ö ÒØ  Ò Ø  ÓÙÒ  Ø × ÑÔÓ××  ×  Ø ×  Û  
ÓÒ
 ÔØÙ ÐÐÝ × Ñ Ð Ö¸ ×Ó Û ÓØ  n  Ö  × ÓÖØ ×Ø Ô Ø  × ÓÖØ ×Ø Ô Ø  Ò  Ò Ö ×ØÖ 
Ø  ×  Ò  ØÓ 
ÓÑÔ Ö  Ò Ö Ð 
ÓÒØ ÜØ׺  ×  Ð×Ó ÙÒÐ  ×  Ò Ö Ð  Ô Ø × ´Û    Ò  ´ ÒØ  Ò  À Ö Ò ×× Ê ×ÙÐØ×  Ì  Ö  Ø  ÐÐÝ  ×  Ò ÓÙÖ  Ö  Ò  Û  × ×¸ Ø  Ø Ñ º ÁÒ Ø  Ô Ö ÓÖÑ Ò
 º  Ø  × Ø  Ø  × ÔÓÐÝÒÓÑ  ÑÓØ ÓÒ ÔÐ ÒÒ Ò ¸ Ø  ÔÔÖÓÜ Ñ Ø ÓÒ Ö ×ÙÐØ× Û Ø Ð ÓÖ Ø Ñ Û Ø  ÓÙÒ  ØÓ  ØÓ  Ù Ö ÒØ  Ò Ø  ÐØ Ñ  ÓÙÒ  × Æȹ  ×Ø Ö ×ÙÐØ× Û Ø  Ð Ò Ø º ÀÓÛ Ú Ö¸  Ò Ö Ð 
ÓÒØ ÜØ׺  ÔÔÖÓÜ Ñ Ø ÓÒ Ö ×ÙÐØ×  Ù Ö ÒØ  Ö  Ò Ö Ú  Ö Ò  Ô Ø  ¹
ÙÖÚ ØÙÖ  Ø  Ø  Ò Ö Ð ×  ÐÐÝ  ÜÔÐ 
 Ø Ö  Ô Ø ×  ÔÐ ÒÒ Ò  Ð×Ó ÔÖÓÚ  Ô Ø  ´ µ Û  × ÔÓÐÝÒÓÑ  ×ÝÑÔØÓØ 
 ÐÐÝ ÛÓÖ×  Ô Ø ¸ Ø ×Ù Ø  Ø  
 Ò Ö ÑÓÚ  Ø Û Ø  Ó  Ø  Ø Ô Ø  ÒÔÙصº Ï  ÐÐÝ  × Ö  Ó Ó ×Ø 
Р׺ Ï  ×ÙÔ Ö¹ÔÓÐÝÒÓÑ  Ó Ø  Ò× Ò ÔÓÐÝÒÓÑ  ÔÖ × Ò  Ú ÐÓÔ  ÒÚ ÖÓÒÑ Òغ À Ò
 ¸ ÓÙÖ Ö ×ÙÐØ×  Ô Ø ×  Ö  Ò  Ð×Ó Ø × Þ  ×
Ö ÔØ Ú 
ÓÑÔÐ Ü ØÝ Ó Ø Ø  ×  
ÓÑÔÐ Ü ØÝ  Ð Ò Ø  Ø  Ð ÓÖ Ø Ñ× Ø Ì  Ð ÓÖ Ø Ñ×  × ×¸ Ø  ÓÙ Ðݹ ÜÔÓÒ ÒØ  ÒØ  ÑÓÒ×ØÖ Ø  ÓÙÖ Ò Û Ö ×ÙÐØ×  Ø  ÙÒ ÓÙÒ  ÒØ  ÔÐ ÒÒ Ò  ×ÙÖÚ Ý Ø Ö  ظ ÙÒÐ  Ô Ø × Ó  Ø  Ò Ö Ð 
ÓÒØ ÜØ׺  ÓÙÖ Ò Û Ö ×ÙÐØ× Ï  ÓÙØ Ô Ø  ØÛÓ Ö ×ÙÐØ× Ø  Ì  Ü ×ص  Ç ×Ø 
Ð ×  Ò Ø ×  ÓÑÓØÓÔÝ 
Ð ×׺ Ü 
ØÐÝ ÓÒ  
ÓÖÖ ×ÔÓÒ × ØÓ Ò ÖÝ ×ØÖ Ò  ½¼  Ö ÔÖ × ÒØ Ø Ú Ô Ø  ÓÑÓØÓÔÝ 
Ð ×× ×º  ÁÒ Ø  Ö ÔÖ × ÒØ Ø Ú  Ú Ö  Ð  Ó Ð Ò Ø  nº  ×× Ì  Ö  ÒÑ ÒØ Ò Ö  Ù
Ø ÓÒ× ØÓ  Ô Ø º ÊÓÙ  Ù
Ø ÓÒ×  ÐÝ  Ò Ò×Ø Ò Ö×Ø 
Ö  Ø  Θ(2n+m )  ÓÑÓØÓÔÝ 
Ð ×× × ×Ù  Ø  Ø Ø 2)  2−Ω(n  Ö Ò  Ö ÔÖ × ÒØ Ø Ú  Ô Ø × ×  Ø ÑÓ×Ø  Ó ×Ø 
Ð ×  ÒØÖÓ Ù  ×Ó Ø Ø Ø Ð Ò Ø −O(n) ×Ø 2 ÙÒ Ø× ÐÓÒ  Ö  Ø  
Ð Ù×  Ø  
Ð Ù× º À Ò
 ¸  
ÓÑ  Ø Ð Ø  Ó ¿¹Ë Ì × × Ø × ÇÒ  ×  
 Ù×  Ø  ¾  ÓÐ × Ó  Ø  Ø Ô Ø    Ö Ø ×  ×ÙÖ × Ó ÔÖÓ Ð Ñ Ò×Ø Ò ¾  ËÈ 
ÓÒ×ØÖÙ
Ø ÓÒ ×  Ðй
ÓÒ  Ø º  Ò ØÛÓ  Ò×Ø Ò  Ô Ø × Ø  Ø  Ö ÒØ  Ó ¿¹Ë ̸  Ó ÒÓØ × Ø × Ý Ó × Ø × Ý Ò×Ø Ò  Ú ÖÝ 
Ð Ù× º Ø Ø Ö ÕÙ Ö ×  Ä Ø Ö  Ø ÓÒ Ò  ØÛ  Ó Ø  Ò Ö ÔÖ × ÒØ Ø Ú Ô Ø × Ø Ø −O(n) Ò 2 Ó Ø Ö × ÓÐ ¸ Ø  Û Ø  × Ø ×  Ò Ò Ø × Ñ Ð Û  Ì  Ð Ò Ø  
Ð Ù×  Ó Ö ÔÖ × ÒØ Ø Ú  ËÈ 
ÓÒ×ØÖÙ
Ø ÓÒ × Ø  Ñ  Ò Ø  Ò ÓÖ  × ÓÖØ ×Ø Ô Ø  Ð  
Ö Ø 
 ×Ñ Ó  ØÓ Ô ×× Ø ÖÓÙ  Ö  º Ì  Ò Ø  ÐÐ Ö ÔÖ × ÒØ Ø Ú  × ×ÙÖÚ Ý¸ Û  ÔÖ 
 × ÓÒ × Ò× Ø Ú ØÝ  ÜØÖ Ñ ÐÝ ÔÖ 
 × ÓÒ × Ò× Ø Ú  Ò  Ø  Ò  Ô Ø ×  ÒØÖÓ Ù  Ô Ø  ØÛÓ  ÖÓ Ù×ØÒ ×׺  Ö ÔÖ × ÒØ Ø Ú  Ô Ø ×  Ö  ÒÓÒ¹ÖÓ Ù×غ  ¾º¾º¾ Ì  Ò Ö Ð  ÓÑ  Ð ÓÖ Ø Ñ× Ò Ø  ÜÔÓÒ ÒØ ÓÙÒ  Ð ×Ô  ÓÒ Ø ÒÓØ  Ú Ö  × × 
Ø ÓÒ Ò  ´ Ø Ð  ℜ(+, ×)¸ Ø ×¸  ℜ (+, ×)  Ò  Ð ×
 Ò  Ì  Ø ×Ø  Ö  Ù
Ø ÓÒ× ØÓ  Ö ×ÙÐØ ×  Ò  Ò ÐÝ× × Ø  ×Ù Ô Ø × Û ×  ´ µ  Ð ØÝ Ó  Ê  Ò  ÀÓÛ Ú Ö¸ Ø  Ö Ð×  ÑÙÐØ ÔÐ 
 Ø ÓÒº Ð  Ò  ÓÒÐÝ  × Ø   Ø  Ö×عÓÖ ÖÐÝ Ò  Ý  Ø Ø  × Ö  Ø× 
ÓÒØ 
Ø Û Ø Ð  × Ñ  Ô Ø  Ø  
ÓÑ ×  Ð º  ÒÚ ÖÓÒÑ ÒØ 
ÓÒØ 
Ø׺ Ì  ÓÔØ Ñ Ð ØÝ Ó Ø  ØÛ ÒØ Ö  Ý Ù×  Ò 
ÓÒ× 
ÙØ Ú  d¸ Ò Û Ø v 
ÓÖ  × ÕÙ Ò  Ì  Ð  Ø ×  Û Ýº  ÒÚ ÖÓÒÑ Òغ  Ö  × × 
Ø ÓÒ 
Ö  Ø Ø  Ø  
 Û Ø  ÔÖÓ Ð Ñ × ×ÓÐÚ  ℜ (+, ×)  
ÓÒ
 ÔØÙ ÐÐÝ ÛÓÖ  Ý Ö ÕÙ Ö ÙÔÔ Ö  Ö ÐÓ  Ö ×ÙÐØ Ò Ø  ÙÒ  Ø  Ý ÔÖÓÚ  Ö  
 ÒÓÒ 
 Ð ×Ù Ô Ø  Ø  ËØÓÖ Ö  ×
Ö  ÖÙÒØ Ñ  ÔÖ Ú ÓÙ× Ö×Ø Ø  ÓÛ ØÓ Ø ×Ø  Ó Ø  ×Ø  Û    × ÓÖØ ×Ø Ô Ø  Ö  Û ÒØ ØÓ Ñ Ò Ñ ×  Ö  Ó    Ó 
 ÒÓÒ 
 Ð  Ù
Ø ÓÒ× Ù×  
Ð Ù× × ØÓ ´ µ  Ö  Ð  Ò ÓÖ  ÒÚ ÖÓÒÑ ÒØ 
ÓÒØ 
Ø×  Ò  Ô Ø º  Ø  ÖÙØ ¹ ÓÖ  Ø  Ö  Ð Ò Ø  Ü ×Ø× Ó  Π  Ð ÓÖ Ø Ñ × × Ò ÐÝ ÔÓÐÝ  Ò 

 ×× Ð  ÐÓÒ  Ù
Ø ÓÒ ØÓ  ×Ñ ÐÐ ×Ø ×Ù  Ø Ø  ÒÓÛÒ Ö ×ÙÐØ ×  ÒØÖÓ Ù
 × Ò Û  Ö  Ø  Ý Ô ÖØ Ø ÓÒ Ø  Ø  Ø  Ð Ø Ñ º  
 Ù×  Ð ØÝ Ó ÓÖÑÙÐ Ò ℜ(+, ×) Ó Ð Ò Ø l¸ 2O(v) Ò Ø Ñ (dl) ½ ℄ Ò ×Ô 
 (dl)O(v) ℄º  Ö Ð Ó ×Ø 
Ð × ×Ù  ¾ ℄º Ì  Ò Ø  ÓÖ Ø 
 Ð ÒØ Ö ×Ø  Ò Ë ÓÖØ ×Ø È Ø  ÔÓÐÝ Ø  Ò  Ø × ÓÛ× Ø  Ò ×ÔÐ Ø  Ù Ö ÒØ  Ù
Ð  Ø  ÜÔÓÒ ÒØ  Ø × Ø ×  Ð × ØÓ Ö ÔÖ × ÒØ ÔÓØ ÒØ  Ø  ×ص  Ø ÓÒ¸  Ø  ×  Ú Ö  ÑÓ×ØÐÝ Ó  Ö×Ø ÓÖ Ö Ø ÓÖÝ Ó Ø  Ì ÓÖ Ñ ¾º¾º Ë Ø ×  Ú Ö  Ö  
ÓÑÔÐ Ü ØÝ Ó Ú Ö ÓÙ× ÔÖÓ Ð Ñ׺  Р׸ Ò ÕÙ Ð Ø  ÓÖÑÙÐ  Ò×  ÓÙ ÐÝ  Ô Ø  × Ð ×× Ø  ÒØ ÖÒ Ð   ÔÔÖÓ  Ó  Ð Ò Ø  ÐÐ ÔÓ××  ½½  Ñ Ò× ÓÒ Ð  Ö  
 ÒÙÑ  Ð  Ó ×Ø 
Ð ×  Ø  ÒÙÑ  Ð Ø Ñ Ö Ó Ö  Ø × Æȹ
ÓÑÔÐ Ø  Ô ÖØ Ø ÓÒ× Ò  Ò  Ö  ×  
 Ù×  ¾ ℄º Ì  Ý  Ð Ú Ö ØÓ  Ò  Ð × Ø  ËØÓÖ Ö ×Ù  ÜÔÓÒ ÒØ  Ö  ×Ð Ò ×¸  ÓÒ׸ 
 ÐÐ  Ò ÔÓÐÝÒÓÑ  Ñ Ò× ÓÒ Ð ÔÓÐÝ ÓÒ ½ ℄º ËÓ Ê  ÒÙÑ Ö Ø Ò  ¹  Ð  ÔÖÓ Ð Ñ × Þ ¸ Û  Ý Ô ÖØ Ø ÓÒ Ø  ÓÙÒ  sÓ Ø 
ÓÑÔÓ× Ø ÓÒ 
 Ù× ℜ (+, ×) × ÔÖÓÔÓÖØ ÓÒ Ð sº ÀÓÛ Ú Ö¸ ØÛÓ¹  ×Ø Ö  Ú Ò  ÒØÓ 
ÓÒÚ Ü Ö  × Þ  Ô ÖØ Ø ÓÒ Ó  ÚÓ  к  
 ׺ Ì 
 Ò  Ø  Ò ×ÓÑ  ÜÔÓÒ ÒØ  ÜÔÓÒ ÒØ  Ö Ð Ó ×Ø 
Ð ×  Ò ×Ð Ò ³× ×ÙÖ  ΠØ  Ð Ø Ñ º  ×Ø  ÙÖ ´  ¾º¿  × ÓÖØ ×Ø Ô Ø  ×  µº  ÙÖ  ¾º¿µº  Ö 
Ø Ô Ø 
 ׺ Û  Ò ÐÐݸ    Ñ Ý  Ú  × ÓÖØ ×Ø Ô Ø Ø  ×  Ð Ò  Ð Ò Ø  Ò  × ÓÖØ ×Ø Ô Ø  k  Ø  ÙÒ  
 Ò  Ö 
Ø Ô Ø   Ú Ö  ÓÒÐÝ    Ò  Ø  ÙÒ  Ø  Ö    ×  к ½¾℄ Ö  L∞  Ö Ø  Ú ÐÓÔ  ×  Ó Ø Ð  Ó Ø  Ö Ø  ÓÖÑ Ö  ×  ÐÛ Ý×  Ý Ñ  Ò  Ø  ÔÔÖÓ  ÓÖ  Ò Ð ØÖ  Ø  Ñ  Ò ØÙ  Ø Ö ×Ø Ø  Ø  ÒÝ Ó ×Ø 
Ð × ´×  Ò  ×Ð Ò ³×  Ø ´ µ    ØÙÖÒ Ò  Ò 
ÓÒ× 
ÙØ Ú  ÓÖ  ÐÓÒ Ø  Ö  Ø  ×  

 ××  
ÓÒØ 
Ø Ô Ø ¸  ØÛ ÓÖÑ  ÓÖ ÓÖÑÙÐ  Ø  Ü ×Ø×  Ð Ö Ó  ÔÓ ÒØ ÓÒ  ØÙÖÒ Ò  Ò Ó ×Ø 
Ð Ö  Ö  ÔÓ ÒØ׸  
 º  Ì  ×  × ÓÖØ ×Ø Ô Ø  
ÓÒØ 
Ø Ô Ø  Ó ÔÓÐÝÒÓÑ  ÐÐÝ  ÐÝ Þ ÖÓ Ð Ò Ø µ ÙÒ  ×  ÓÖÑÙÐ × ØÓ  ÒÓ ÐÓÒ  ÕÙ  Ö Ø  ÕÙ  L∞  Ø  Ò  Ó  
 ÖØ  ÓÙÒ  × Þ º  Ò Ý  Ñ ÒØ Ð Ô Ø × ÓÒ Ø  ÓÖÑÙÐ  Ø  Ø ×× Ø ×  Ð  Ú Ò Ð Ò Ø º  Ø  Ò  Ú ÐÓ
 ØÝ Ó  
ØÓÖÝ  ×Ø ØÖ  Ò  Ò× Ú ÐÓ
 Ø  ÐÝ  Ò Ø  Ò  Ó  Ø  ØÖ 
 Ò  ½¾  Ñ Ò× ÓÒ×  Ò Ë 
Ø ÓÒ ¾º½¸ Ø  × Ò  Ò ×  Ø Ø  ׺ ÌÓ ÔÖÓÚ Ô Ø  

 Ð Ö Ø × Û Ò  ×
Ö  
ØÓÖÝ ×Ø ÖØ Ò  Ø ØÖ 
 × Ø  × Ø  ×  
ØÓÖÝ Ò ØÛÓ Ó  Ý  Ó ×Ø 
Ð ×  ØÛ  Ò  Ò  Ò  Ø Ö ×غ  ÔÓ× Ø ÓÒ¸ Ö  Ö Ð ××  
 ÒÓÒ 
 Ð × Ñ Òغ 
 ×Ø Ø × Ø Ø¸ Ò Ô Ò ÒØ Ó Ú 
ØÓÖ  ÓÖ Ñ Û  Ø  Ö   ℜ(+, ×)º  ×Ø ØÖ  ÕÙ  
ØÓÖÝ Ø Ò  ÒÓ ÝÒ Ñ 
 ØÖ  ÒÓÖÑ 
 ÐÐ  ×  Ò  ×Ø  Ð ØÝ Ó  
ØÓÖÝ Ø  
ØÓÖÝ ÓÖ Ö Ó  Ø  ÐÓÓÔ¹ Ö  Ò Û ØÖ  
ØÓÖÝ ×Ø ÖØ×  Ø  Ø  Ý  
ÓÒØ 
Ø Ô Ø ×  
ØÓÖÝ  × Ø ×  Ö Ø  ØÖ  Ò  Ô Ø  Ò  ÓÖ Ø  Ô ÖØ 
ÙÐ Ö ×Ø ÖØ Ò  ÓÛ ØÓ 
Ö ØÖ  Ò  ÙÖ Ø ÓÒ× ÙÒ  ÒØÖ Ð ØÓ Ø  ÒÓÖѸ Ø Ý ÐÓÓÔ¸  Ù  ÒÓÖÑ ØÓ Ø  
ÐÓ×  ØÛÓ 
ÓÒ  ×Ô  ℜ(+, ×) k ´ÔÓ××  ËØÓÖ Ö 
ÓÑ  Ã ÒÓ ÝÒ Ñ 
 ÉÙ 
 ×Ø ÌÖ ÒÒÝ  ÓÒ  ÒÓÖÑ Ð  × Ó ×Ø 
Ð  Û Ø  Ð × ÓÖ  × ÓÖØ ×Ø Ô Ø ¸ Ê Ò  ´ µ  Ö  Ö × ÓÖØ ×Ø Ô Ø  Ò  ÓÐÐÓÛ  ËØÓÖ Ö Ó × ÖÚ  Ö ØÖ Ú Ð× Ø ÖÓÙ  Ò  Ó × ÒÓØ ÒØ Ö× 
Ø 
ÓÒØ  Ö 
Ø Ô Ø Ò  µ  Ñ ÒØ Ð Ô Ø ×º  ÓØ  ÒØÖÓ Ù
 Ò  Ö 
Ø Ô Ø × ´×ÓÐ  ÒØ Ö ÓÖ  Ò Ó ×Ø 
Ð  Ø  Ó  × ÓÖØ ×Ø Ô Ø  Þ ÖÓº Ê  Ø ÖÑ Ò Ò Ð Ò Ø  Ñ ÒØ Û Ó× ×  Ó

ÙÖ× ÓÒ  Ó  ×  
 µ 
ÓÑÔÓ×  
ÓÒØ 
Ø Ô Ø × ÙÒ Ñ ÒØ Ð Ô Ø  Ó × ÖÚ Ø ÓÒ× ÑÓØ Ú Ø 
ÓÑÔÓ×  ´Ø  ÖÓÑ × Ñ  Ø  × Ø  Ó  ÓÖ Ñ¸ Ø  Ú Ò ØÖ  Ò Ú Ö ÔÓ××  Ø  Ô Ø º  ØÖ  
ØÓÖÝ  Ø  Ò  Ý  
ØÓÖݺ Ð  ÙÒØ Ð  Ö×Ø × ÓÛ Ì  Ø 
 Ø  Ú ÖÝ ÔÓ ÒØ ÓÒ Ø  × Ð ×× Ø  Ò Ø  Ñ  × Ò Û ×  Ô Ø ¸  Ò ØÙ  Ó  Ø  Ú ÐÓ
 ØÝ Ó  ØÖ  
ØÓÖÝ Ö Ò  Ú ÐÓ
 ØÝ  ØÛ  Ò Ø  ØÖ Ñ  Ú  ÓÙÒ  Ò  
ØÓÖ  Û  Ò  Ø Ø  ×  Ñ ÒØ× ÓÒ  Ö  Ð׺  Ò  ×Ø ØÖ  × × 
Ø ÓÒ¸ Ø  ÙØ 
Ð  Ø ÓÒ  ÓÖØÙÒ × Ì  Ð  
ØÓÖÝ  Ú Ö  Ý  Ò  Ò  Ö×Ø × ÓÛ Ø  ×Ø ÖØ 
ÓÒ  Ø  Ý  ÓÖ  ××ÙÑ  Ú  ÓÜ Ð Ö  ÒÓÙ  ÔÖÓ Ð Ñ  Ñ Ø×  Ö  Ø Ö  Ø  ÓÖØÙÒ ÕÙ Ò  Ó  ¸ Ø  ØÛ  CLC º  Ô Ø  ×  Û  Ö  
Ö  ×  ÁÒ Ø Ø  
 Ò  × ÑÔÐ ×  Ð Ñ Ò Ø  Û ÐÐ º Ì  ×  
ÓÑÔÐ Ü ØÝ Ö Ó 
 ÒÓÒ 
 Ð  Ö×Ø ÓÖ  Ô Ø  Ö Ø  ÓÖÝ Ó  Ü ×Ø× Ò Ø  Ø  ÓØ  ØÓ ÓÒ  Ø  ÔÖ ×¹  ÖÖ  Ù
Ø ÓÒ×  Ô ÖØ 
ÙÐ Ö Ô Ø ¸  Ø Ù  Ù  ÒØÓ  Ð Ò  × ÕÙ Ò  Ù×  Ø Û  Ø  ÒÙÑ ÑÓÖ  
ÓÒ×  ½¿  Ò  Ñ  Ý Ñ  Ò  × 
 Ò Ò  ÓÒÐÝ  Ï Ð ÓÒ ³× Ô Ø  Ò¸  Ï Ð ÓÒ Ø Ø  Ø Ò Û  ÒÓÖÑ Ð × Ø ÓÒ  Ó  Û Ó× Û  Ö  ×ØÖÙ
ØÙÖ  C ¹×  ÓÖØÙÒ  ÙÑÔ׺ ÁÒ Ø × ×Ð Ò  Ö Ó 
 × × Ø Ö ×ØÖ 
Ø Ú  Ö Ò ÓÙÖ  Ø  ÒÓØ ÓÒ Ó  Ò ÐÝ× ×º  ×Ù × ¹  × × Ò× ¸  Ø ÙÑÔ  Ö Ò  ÙÑÔ× 
 ÒÒÓØ  Ï Ð ÓÒ Ø Ø  ×  Ñ ÒØ× ØÓÙ  ÔÖ Ú ÓÙ× Ö ×ÙÐØ׺ Ì  
 ÒÓÒ 
 Ð ×Ù Ô Ø Ù  Ò× Ô Ø  ÓÙÒ  ÓÜ  Ô Ø  º  ÙÖ Ø ÓÒº Ì  ÓÖØÙÒ  Ò    Ó ×Ø 
Ð × ÖÓÑ Ù  ×  Ò  Ö  Ö ÒÓÖÑ Ð × Ø ÓÒº Ò× Ô Ø  Ò× Ô Ø  Ò Ø  Ð  ׸  ÓÙÒ ×  Ñ  ×  Ò  Ø 
 Ò  Ô Ø  ×Ô  Ð Ö  ÜØ Ò  ÔÖÓ Ð Ñ Ó  ÖÝ Ø  Ó Ø  Ø Ø ÒÓØ  ÒØÐݺ  Ø ÖÑ Ò Ð 
ÓÒ  ÌÓ  ÓÖØÙÒ ×  Ø  ×  Ó ×Ø 
Ð ¹ Ö  ÒÓÖÑ Ð ×  Ò  Ù  Ö  Ñ Ø×  Û    ÓÙÒ  × Ñ  Ò Ó ×Ø 
Ð º Ø Ø  ÙÑÔ  ÔØ Ö¸ Û  ×Ø  ÒÓ Ô Ò ÐØÝ  ×Ñ ÐÐ ÒÙÑ  
ÙÖÚ ØÙÖ  ÙÖ Ø ÓÒ¸ Ø  ×
Ö  
ÓÑÔÓ×  Ö Ó 
 × × Ø  ØÓ  ÕÙ  Ú  Ö Ò Ø  ÜØÖ 
Ø  ÓÙÒ  × 
 ÒÓÒ 
 Ð ×Ù Ô Ø × 
 Òº  Ò ÜØ  ÒÙÑ  Ò  Ó ÒÓØ 
ÓÖÖ ×ÔÓÒ  ÙÖ Ø ÓÒ ØÓ Ø  Ö  Ó 
 ÒÓÒ 
 Ð ×Ù Ô Ø × ØÓ Ö  Ò ÐÝ× ×º  Ð  Ò Ð ÔÖÓ Ð Ñ  ÙÑÔ  Ð×Ó  Ø 
 Ò  ½ ℄º ÍÒÐ  ÒÚ ÖÓÒÑ ÒØ  
 ÒÓÒ 
 Ð ×Ù Ô Ø  Ò Ø ÓÒ Ó  CCC  Ø  Ô Ø º Ï  Ý ×ÔÐ ØØ Ò  Ø  ÓÙÒ  
ØÓÖÝ ØÓÙ  ¹
ÙÖÚ ØÙÖ  ℜ(+, ×)  Ó ×Ø 
Ð × Û Ø  Ò  ×  Ø  Û ÐÐ Û Ø  Ù
Ø ÓÒ ØÓ Ø  Ö Ò  ×  ÔØ Ö ¿¸ Û  ÒÓØ ÓÒ Ó  Ò Ø  ×ØÖÙ
ØÙÖ ×Ø  Ð  Ï Ð ÓÒ  ÒÚ ÖÓÒÑ Òظ Ø Ö ÔÐ 
 × Ø  ÓÖ ×  Ø  Ý  Ø ÑÓ×Ø Ð Ò  ÒÓÖÑ Ð × Ø ÓÒ ØÓ Ö  Ò Ö Ð ØÝ Ø  Ð Ò  Ò  Ô Ø ×  Ò  к × ÓÛ Ø ØÖ  ÐÓÓÔ Ø  ÓÙÒ  Ù
Ø ÓÒ  Ñ ÒØ ØÓ ØÓÙ  Ý ×ÙÖÖÓÙÒ  Ø  × Ö ÔÖ × ÒØ Ø ÓÒ Ó Ô Ø × × ×Ó 
ÓÑÔ 
Ø Ø  ×Ø ÖØ 
ÓÒ  Û Ø ÓÙØ ÐÓ×× Ó    Ò  C ¹×  Ð  Ø ÖÑ Ò Ð 
ÓÒ  × Ñ  Ú ÖÝ  Ö  ÓÒ× Ó Ö  ÙÖ Ø ÓÒ ØÓ  Ó ×Ø 
Ð × ÖÓÑ Ø Ø  Ø  Ö  Ù
Ø ÓÒ ØÓ  ÖÓÑ Ø  Ù× Ö  Ø  ÐÝ ÓÐÐÓÛ Ø Ú  Ø Ñ  Ò Ø ÖÑ× Ó  Ò Ù×  Ñ ÒØ׺ Ì  Ñ ÒØ× ×  Ù×  × Ö  Ð × Ò Ø  Ò  ÒÒÝ  Ñ ÒØ×  Ö  Ò Ð  Ø  Ð ØÝ  Ó Ô Ø ×º Ì  Ï Ð ÓÒ  ØÓ  Ú  ×  Ô ÖØ 
ÙÐ Ö Ô Ø  Ô Ø  Ò Ò Û  Ø ÖÑ Ò  
ÓÒØ ÒÙÓÙ× Ö Ò Ö Ø  Ð  Ô Ø Ý Ø  ÓÖ  ÓÙÒ  ÐÓÓÔº  ÓÖÑ ÓÖ 
 ÒÓÒ 
 Ð Ô Ø ×  Ò
 Ó ÔÓÐÝ ÓÒ Ð Ó ×Ø 
Ð × Û Ø Ò Ø  Ø  ÓÐÐÓÛ× Ø  ×ØÓÔ¸ Ò×Ø ÒØ Ò ÓÙ×ÐÝ ØÙÖÒ Ò ¸  Ó 
 ÒÓÒ 
 Ð ×  
 ÒÓÒ 
 Ð ×  ÓÒ Ø  ÓÙÒ º Ì  
ÓÑÔÐ Ø  Ö ÙÑ Òظ  Ö Ó 
 ÒÓÒ 
 Ð ×  
ÐÓ×  Ï Ð ÓÒ  ØÓ  
ØÓÖÝ  ÙØ ÓÖ× ØÓ  p  ÒÝ ÔÓ ÒØ  Ò ÓÐÐÓÛ Ò  Ñ  ÙÖÚ ØÙÖ È Ø  ÓÖØÙÒ  Ø  Ò Û ØÖ ÐÐÓÛ× Ø  

 Ð Ö Ø ÓÒ  
ÓÖÒ Ö ØÛ 
 ¸ Ø  ØÓØ Ð ÒÙÑ ÕÙ  ÓÙÒ  Ö Ó  ÓÙØ Ø  ÒÚ ÖÓÒÑ Òغ Ì  ×  Ý 
ÓÑ Ò  × ÕÙ Ò  ÒÙÑ  ×  Ø  º Ì  ÓÖÑ Ø ÓÒ ×  Ø  
 Ù× ×  Ñ Ü ÑÙÑ ÐÓÓÔ  
 Ò ×ÔÐ  
ØÓÖÝ ØÓÙ  Ó Ø  p  
ÓÒØ ÒÙÓÙ×  Ò Û  Ò× Ø  
ØÓÖÝ Ú Ö 
Ó Ò  ØÛÓ ØÖ  ÓÙØ Ø  
ØÓÖÝ 
 Ò  Ö ÙÑ ÒØ  ×  ÖÓÑ Ö ×Ø × ÒÓ ×ÐÓÛ Ö Ø  Ý Ù× Ò  ØÛ 
 ¸ Ø  Ò Ð ØÖ 
ØÓÖ  Ø  Ø ×ÔÐ 
 Ò  ×Ø ÖØ Ò  ØÖ  ÓÖ ØÖ  Ö Ò  × ÓÛ Ø Ò  Ø  Ø  Ù×  Ý 
ÓÒ×  ¹ Ú  ÙÑÔ×  Ò¹  Ö Ò Ø  Ö  ÙÑÔ ØÓ  ÙÖØ  Ö  ØÙÖ Ø  Ø  Ö  ×  Ô Ø Ö Ò  ×  ÓÖ  Ò  ÔÓ××  Ð  Ø  ÒÚ ÖÓÒÑ ÒØ ÓÒÐÝ  ÔÓ ÒØ Ó 
ÓÒØ 
Ø 
 Ò Ð  ÒØ Ø ÓÒ Ó 
ÓÒØ 
Ø ÑÙ×Ø  ÔÓ ÒØ Ó 
ÓÒØ 
Ø ×  
ÓÒØ ÒÙÓÙ× Ö Ò  Û Ø  Ô ÖØ 
ÙÐ Ö 
ÓÖÒ Ö ÓÖ Û ÐÐ Ó Ø  × Û Ø  Û Ðи Ø  ÙØ Ø  
ÓÖÒ Ö¸ Ø Ò  Ô Ø  ØÓÙ µ¸  Ö× ØÓ ×ÓÑ  Ð  ÒØ ÖÚ Ð  Ü  º À Ò
 ¸ Û  Ø Û ÐÐ׸ Û  Ö 
Ø ÓÒ×  ¸  ÒÚ ÖÓÒÑ Òغ  × ÓÒ ÒÝÛ  Ö  Ö  ÓÒ Ø  Ô Ö ÐÐ Ð ØÓ Ø  ÙØ Ø  ÓÖ  Ò ÒØ ÖÚ Ð Ó  Ø 
ÓÖÒ Ö׸ Û  Ù×    Ö  Û ÐÐ ´  Û ÐÐ Û  
ÓÒØ 
Ø  ÓÑ  Ö  Ø  Û ÐÐ  Ô Ø  Ò ÒØ ÖÚ Ð Ó ÓÖ  × Ó Ö  Ö  ØÓÙ  ×  ÒÝÛ    Ù Ñ ÒØ  Û  
ÓÒØ ÒÙÓÙ×  ÒØ Ø ÓÒ Ó 
ÓÒØ 
Ø 
 Ò Ð  
 Ò 
ÓÑÔ 
ØÐÝ Ö ÔÖ × ÒØ Ö Ò  Ù×  Ó  Ð  Û Ø  Ö  
ÓÒØ 
Ø  ÓÒ  Ó  ØÛÓ  ÒØ Ø ÓÒ׺  C C θ θ  W W  ´ µ  ×Ø Ò Ø ÓÒ 
ÓÒ ÙÖ Ø ÓÒ× ÔÓ ÒØ ØÓ Ø ÙÖ  ¾º  ´ ÓØØ  Ö  µ ÖÓÑ  ÓÖØÙÒ Ö    Ý  ÙÑÔ  W  ØÓ  × Ø Ó Ö  Ù× Ò  Ij  Ø  ÓÖØÙÒ  Ð  Ò  ×Ø ÖØ 
ÓÒ  j  ÆÓØ  Ø  Ø Ø  Ú ÖÝ 
ÓÒ  Ñ Ý  Ö  ×  Ô Ø  ÒØ ÖÚ Ð× Ò Û Ø Ó Ø  Ö  ÙØ Ø  ÔÓÐÝÒÓÑ Ö  I∗ ¸ Ú Ø I∗  Ò Ü  Û  Ò  
ÓÒ  Ij+1  × 
ÐÓ×  × ÒÓ  Û Ø  Ù Ö ÒØ  I∗  × Ö  Ò Ú Ö Ø  Ù
Ø ÓÒ ØÓ  Ò ×Ø ÖØ 
ÓÒ  ÓÒ Ø  Ó  Ð  Ý  θ  ÙÖ Ø ÓÒ  ÖÓ  ℜ(+, ×) Ø  I∗  × Ø Û Ø  
ÓÒÚ Ö  Ù× Ò  ×Ñ ÐÐ ×Ø  Ò  Ó  
ÓÖ  Ö   ÓÖØÙÒ  Ò  Ö ×ÙÐØ Ó Ø  Ø  Ý Ù×  Ò º Ö  ÙÖ Ø ÓÒ  Ð  Ø ÓÒº  Ø 
ÓÒØ  Ò× Ø  × 
ÐÓ×ÙÖ  ¹ÔÓ ÒØ ÙØ Ø  I∗ º  I∗  Ì  Ø  × ÒØÖ 
 
Ý  ÒØ ÖÚ Ð× Ó  Ò ÔÓ ÒØ Ó  Ò ÒØ ÖÚ Ð 
ÓÒØ  Ò Ò  Ï Ð ÓÒ  Ij  Ö    Ð  Ò ÒØ ÖÚ Ð Ò  Ñ Ö  ÖÔ Ô Ö ×Ø ÓÖØÙÒ  ÐÚ Ö  Ö ×Ô 
Ø ØÓ ÙÑÔ׸  ½  Ø  Ü    ÓÛ ØÓ  ×Ø ÖØ 
ÓÒ  I∗  Ø  ÒØ ÖÚ Ð׺ Ä Ø  ÒØ ÖÚ Ð ÔÖÓÔ  ÒØÖ 
 
ݸ  
 Ù×  Ø ÖÑ Ö  I∗  Ð  ÓÖ  ÙÖ Ø ÓÒ  ×
Ö    Ø ÓÒº Ì  ØÓ Ø  Ò Ø  
ÓÒ  Ï Ð ÓÒ  ÖÓÑ Ø  Ij  ¾º ¸  ÙÖ Ø ÓÒ×  º  ×Ù

 Ò
ظ  Ò × Û Ø   ÖÓÑ  Ò × Ø    ÒØ ÖÚ Ð×  Ø  Ö  ÓÔ Ò Ö  I∗  Ò  Ø 
 Ò  ÙÖ  ÙÑÔ Ó  Ñ ÐÝ Ó Ö  × Ó × ÖÚ Ø ÓÒ¸ Ø  Ñ Ý  Ø  ØÙÖ º ÁÒ  Ý ÓÒ  ÓÖØÙÒ  Ô Ø  ØÙÖ  ØÛÓ ÒØ ÖÚ Ð× Ó 
ÓÒ  Ø ÓÒ  Ö Ú  Ö Ø  ØÓ Ø  I∗  ׸  Ø 
 Ò  Ý ÒØ Ö× 
غ  ÒÙÑ  ×Ñ ÐÐ ×Ø ×Ù  ÔÖÓÔ  Ö  Ø  Ö ×Ô 
Ø ØÓ ÒØ ÖÚ Ð ÔÖÓÔ    º Ê Ð Ø  ÒÓØ   ÙÖ Ø ÓÒ× ØÓ  Ñ Ý ÓÖ Ñ Ý ÒÓØ  ÓÙÒ  ÖÓÑ  ÙÖ Ø ÓÒ×  Ø  
 ÒÖ  R (+, ×)  Ij º  ¹ÔÓ ÒØ Ó  C  
 Ò  Ù
Ø ÓÒ ØÓ  Ö ÓÙ× ÓÖÑÙÐ × ØÓ 
ÐÓ× ×Ø  Ò ×Ø  Ö ÔÖ × ÒØ Ø ÓÒ Ó  I∗  ÐÐÝ  × Ù Ð  
ÓÒ  ÙÖ Ø ÓÒ  ÒØ ÖÚ Ð× Ø Ò  ÒØ ÖÚ Ð× Ó   
ÓÒ  Ð  Ð  ÙÖ Ø ÓÒ Ò  Ð Ñ Ø¸ Û  ÌÓ  θ  ØÖ Ö ÐÝ Ð Ö  ÐÐ 
ÐÓ×  I∗    ÐÐ Ó Ø  Ø 
ÓÖÒ Ö    Ï Ð ÓÒ ³× Ö ÙÖ Ø ÓÒ  W  µ ÓÒ Û ÐÐ  θ  ÒØ ÖÚ Ð׺  ÙÑÔ׺ Ì  
ÓÖÖ ×ÔÓÒ × ØÓ Ø ×¸  × Ò Ð  ÙÑÔº Ì  Ñ ÐÝ Ó Ö Ø ÑÓ×Ø  ×
Ö  ÙÖ Ø ÓÒ  × Ò Ð   Ö×Ø  ÖÓÑ  
ÓÒ  ×  Cº  Ò ÒØ ÖÚ Ð Ó Ö  Ø  Ù× Ò  ÒØ ÖÚ Ð ´  Ï Ð ÓÒ  × Ò Ð  Û ÐÐ  ÔÖÓÔ  Ð  
ÓÖÒ Ö  Ò  Ü ÑÔÐ ¸    ´ µ ×Ø Ò Ø ÓÒ 
ÓÒ ÙÖ Ø ÓÒ× ÔÓ ÒØ ØÓ Ø Ö Øº  Рغ  Ò Ø  Ò  Ø  I∗  Ï Ð ÓÒ  Ö  
ÓÒØ  Ò×  
ÓÒ
ÐÙ  Ð × ØÓ Ö ÔÖ × ÒØ ÒØ ÖÚ Ð× ÓØ  Ö ÓÖÑÙÐ × ØÓ ×Ô 
 Ý  Ú Ò ×Ø ÖØ 
ÓÒ  ÙÖ Ø ÓÒº  ¾º¾º¿ Ì  Ê ×ØÖ 
Ø  ×ØÙ Ý Ó  ÓÙÒ  ÔÖÓ Ð Ñ× Ó Ö Ö ×ØÖ 
Ø  ÓÑ ¹
ÙÖÚ ØÙÖ  йÛÓÖÐ  ÓÑ  Ò×  ÑÓØ ÓÒ ÔÐ ÒÒ Ò  Ò× Ô Ø × Ò Ö ×ØÖ 
Ø  ÒØ Ö ×Ø ¾ ℄º ÁÒ Ø  Ö  Ù×  ØÓ Ö  ÔÖÓ Ð Ñ    Ò ØÖ 
Ø  ÓÑ  Ó Ê Ð ØÝ  Ò× ×Ø ÖØ  Ò Ò  ×  Û Ý Ó ×ÓÐÚ Ò  Ï Ò ³× Æȹ  ØÓ ÙÒ  Ö×Ø Ò  Ö Ò ×× Ö ×ÙÐظ  Û  Ø Ñ  × Ø  ×  
ÙÐغ  ÅÓ Ö Ø Ç ×Ø 
Ð × ÖÛ Ð  Ø  к ¾℄  ×Ø 
Р׸ Û ØÖ ÓÖ  Ø×  Ö  Ò  Ð ÓÖ Ø Ñ ÓÖ  Ò Ó ×Ø 
Ð  ÓÙÒ  ÒØ Ø ÓÒ  Ú  ×  ÖÝ ´×  ××Ó  Ø  ÕÙ Ú Ð ÒØ ØÓ Ø  Ù
Ð  ÑÓ Ö Ø  Ò  Ø  × ÓÖØ ×Ø Ô Ø  Ø × × ÑÔÐ ¸ 
ÓÒÚ Ü¸  ÙÖ  ¾º µº Ì  Ø  ×Ø ÖØ  Û Ø  Ò  × × Ò  Ú ÖÝ Ö ×ØÖ 
Ø  Ø ÖÑ Ò Ð 
ÓÒ  Ò × ÓÖØ ×Ø Ô Ø  Ò  Ñ  ÑÓ  Ó ¹  ÓÙÖ ÔÓ ÒØ ÖÓ ÓØ 
 Ò  ÔÖÓ Ð Ñ  ÙÖ Ø ÓÒ¸ Ø  ÔÖÓ Ð Ñ Ò ØÛÓ  Ö Ø  Ø  Ò Ø  Ö  Û Ö  ÒÓ  × ÔÖÓ Ð Ñ ×  Ñ Ò× ÓÒ׺  initial  goal ÙÖ Ì Ñ  Ñ ÑÓ  ÓÖ ØÝ Ó Ö Ø  Ò Ø ÓÒ×  
 ÓÖ  × Ø Ò  
 Ö
Ð »C ¹×  
 Ö
Ð º ÙÖ  ×  
ÓÒØ Ø  Ó ØÒ  Ò  ÖÛ Ð  Ø  Ö  Ø Ö    ÒØ ØÓ  Ñ ÒØ × Ø Ò  ÓÖ Ø ÖÑ Ò Ð 
 Ö
Ð  к × ÓÛ Ø  ÑÓ  Ú ÐÓÔ×  ÖÓÑ Û  O ¹× Ñ ÒØ  Ñ ÒØ  ËÓÑ  × Ô Ô Ö  Ó ×Ø 
Р׸  Ò  
 Ö
Ð »C ¹×  Ø  ¾º  Ö Ø  ×ØÖÓÒ  ×ØÖ  Ö 
Ø Ö × Ø ÓÒ Ó    Ó  ÒØ ØÓ ØÛÓ Ó  
Ø׸  × ÓÖØ ×Ø Ô Ø ×  Ð ÓÖ Ø Ñ ÓÐÐÓÛ׺  Ò Ó ×Ø 
Ð  ×Ø ÖØ ÓÖ Ø  
 Ö
Ð »C ¹× Ø ÓÒ    Ø ÓÖÛ Ö  ÙÓÙ× Ô Ö Ø  Ó ×Ø 
Р׺  ÓÙÒ    Ó Û    × ÓÒÐÝ ÓÒ  Ú ÖÝ × ÓÖØ ×Ø Ô Ø  Ñ  ×  ÙÖ Ø ÓÒ Ø  Ö  Ó ×Ø 
Ð  ÑÓ  Û  Ø ÖÑ Ò Ð Ò¹  ÖÝ  Ø ÖÑ Ò Ð 
ÓÒ  Ñ ÒØ ØÓÙ  Ö×Ø  Ö Ø  Ò Ó ×Ø 
Ð ÓÖ Ø ÖÑ Ò Ð  Ó ×Ø 
Ð × ´×  ¾º µ  ½º  Ø  Ö  C ¹×  Ñ ÒØ× Ò  ÖÓÛ¸ Ø  Ò  Ø  Ö Ø  Ö×Ø ÓÖ Ð ×Ø  C ¹×  Ñ ÒØ ×  Ø ÖÑ Ò Ð ¾º  ÐÐ  ¿º Ø  C ¹× Ö  Ñ ÒØ× Ö  Ö  Ø  Ø ÑÓ×Ø ØÛÓ  Ö  Ò
 ÓÖ  Ó Ø Ò  ÓÖ  C ¹×  Ó Ø Ò  Ñ ÒØ×  Û  Ò Ø  Ö  Ö  Ü 
ØÐÝ ØÛÓ¸ Ø  Ý  Ó

ÙÖ 
ÓÒ× 
ÙØ Ú ÐÝ º  Ò  Ø  
 ÒØÖ  ÙÒ Ø× ÖÓÑ Ø Ì 
 Ö
Ð ×  Ó  Ø  Ö×Ø ´Ö ×Ô 
Ø Ú ÐÝ Ð ×ص  ×Ø ÖØ ´Ö ×Ô 
Ø Ú ÐÝ Ø ÖÑ Ò Ðµ 
ÓÒ  ÔÔÖÓÜ Ñ Ø ÓÒ  Ð ÓÖ Ø Ñ Ó  × Ô× Ù Ó¹Ó ×Ø 
Ð ×  Ð  ÖÛ Ð  Ó ×Ø 
Р׸ Ø ½  Ø  к ØÖ  Ý
 Ò  C ¹×  Ó Ø Ò  Ñ ÒØ ×  Ø ÑÓ×Ø ØÛÓ  ÙÖ Ø ÓÒº Ø×  Ò
 ÓÖ  ØÖ Ú ÐÐ  ØÓ  
 Ö
Ð × Ò  Ò  ÐÓÒ ¸  Ó Ø Ò ÙØ ÙÒÐ  initial  goal  ÙÖ  Ó ×Ø 
Р׸ Ø Û  n  Ö  Ý 
 Ò  × Ø  Ø  Ð  ÒÙÑ  Ó Ø Ò  ÒÙÑ  
ÐÓ×  Ö Ø º  
ÓÒ  ÙÖ Ø ÓÒ× ´ Ò  ÖÛ Ð  Ø  ×  Ø ÖÓÙ  Ö׸  Ò ÓÖ  ׺ Ì 2  Ö Ø Ñ¸ Û ×  ÑÓÖ  n  Ö Ö  Ñ ÒØ× Ó  Ò  
 ÓÖ  
 Ö
Ð º  Û Ø   Ñ ÒØ× ÑÙ×Ø Ó

ÙÖ 
ÐÓ× ÓÙÒ  Ó ××ÓÒÒ Ø Ó Ø Ò   Ô  Ò Ò  Ø  ÒÙÑ  Ä Þ Ö  Ö× ÓÖ    Ò 
 Ð ×Ý×Ø Ñ ÑÓ  
ÓÖÖ ×ÔÓÒ Ð ÓÖ Ø Ñ ÓÖ  Ý Ø  ØÓ  ¸  
 Ù×  Ò  Ñ ×Ù  Ø  Ø Ó Ø  Ð ØÝ  Ö Ô  Ø  C ¹×  ÑÓ  
 Ò  Ö Ø  Ø  Ø  ÐÐ Ò  ØÓ Ø Ò ØÓÖ  Ò ØÓÖ  Ø Ü  ¸  Ø Ñ  Ø  Ó ÓÒ  Ø  ÒÓ  Ô  Ö  ×  Ö  Ö  Ø  Ò
 ÓÖ  Ø  ×  
 Ö¹ ØÛ  Ñ ÒØ  Ò  Ó × ÒÓØ Ô ××  × ÓÖØ ×Ø Ô Ø  
ÓÒ×ØÖÙ
Ø  Ò  Ò  C ¹×  ×Ø ÖØ Ð    Ø Ø  ÓÙÒ  ×  Ö  ØÓ Ø  Ö  Ö  Ø ÖÓÙ  ÔÓÐÝÒÓÑ Ò  Ø  ÒÙÑ  Ö ÓÒ  Ò Ó ×Ø 
Ð ¸ Ø ÖÛ Ð  ×Ø ÖØ Ý  Ø  Ü  Ø  Ð׺ Ì ÖÓÓØ× Ó  Ò  Ö Ô Ô Ö Ö Ó ÔÐ 
 ¹  × ÓÖØ ×Ø Ô Ø  CA  Ò Ö  Ö  к ÒÓØ  ×  ÓÒÐÝ Ø  Ø ÖÑ Ò Ð 
ÓÒ ÒÙÑ  Ò ÐÝ× Ò  Ø  ÖÖ Ò ×  Ú × Ø  ×ÝÑÔØÓØ 
 ÒÓØ Ø ÓÒº  ½  Ô  X , X ∈ {O, CA }  ÓÒÐÝ  × ÓÖØ ×Ø Ô Ø Ò ØÓ  Ù
 × Ø  Ó Ø  Ð Ó¹  Ø  Ò  Ò¹ 4  O(n ) Ó Ø Ò  Ø ÖÑ Ò Ð 
ÓÒ ÙÖ Ø ÓÒ׸ Û ÙÖØ Ö O(c4)¸ Û Ö c × ×ÓÑ 
ÓÒ×Ø ÒØ  Ñ ÒØ  Ö  ×× Ò  Ø Ñ  Ñ ÒØ× ØÓ  ÖÖ Ò  Ò 
ÓÒ×Ø ÒØ× Ò Ø  Ð  Ö  Ó Ø Ò ′  Ñ Òغ  Ò  ÖÖ Ò  O(n2 log n)  Ü 
Ø  Ó ×Ø 
Р׺ Ì  Ñ ÒØ ÑÙ×Ø ØÓÙ  Ó Ø Ò  Ð×Ó × ÓÛ Ø  ÙØ  Ø Ø  ×Ô ÓÙÒ  Ó ×Ø 
Ð ×  Ø  Û  
 Ö
Р׺  
 Ù× Ø  Ò Ó ×Ø 
Р׸  × Ø  × Ö ×ÙÐØ ØÓ  Ö Ó Ó ×Ø 
Ð × 
ÐÓ×  
ÓÑ  Ö  Ý  Ý × ÓÛ Ø Ø ′ X LCCLX ¸ Û Ö  Ñ ÒØ× ÓÖ  Ö Ó 
ÓÑ  Ö Ô ¸ Û  Ѻ Ì  Û  Ú ×  ÓÑ ØÖÝ  ØÛ  Ø  ÙÔÔ Ö  Ò  Ð ØÝ  
 Ö
Р׸  Ó Ø Ò  Ì  ÙÖ Ø ÓÒ×  
 ÐÐݸ Ø  Ó Ø Ò  C ¹×  ÙÔÔ Ö  ÖÖ Ò  ÒÙÑ  º Ì  Ð  к × ÑÔÐ  Ö׺  Ó ×Ø 
Ð  Ö  Ò Ø  Ø  Ò
 ÓÖ  Ø Ñ º  ×ØÖÙ
ØÙÖ  Ò ØÓÖ  Ù
 × Ø  ØÛ  Ø Ø  ÖÛ Ð  Ú ×  Ñ ÒØ Ó Ò× Ø  ½¼℄ Ö  
ÓÑ Ö  Ø  ÒØ×  O(n)  ÓÒÐÝ  Ö Ð Ú ÒØ Ô  Ø ÖÑ Ò Ð 
ÓÒ  Û  Ö ÒÓ  Ö  ¸  Ø Ò  Ö׺ ËÔ  × Ð  Ö  O (ε−1 ) ÒØ Ó Ø  Ò  Ñ ÒØ׺  Ò Ò Ø ÐÝ Ñ ÒÝ ÔÓ××  Ø ÒÓØ  Ö  Ö 
Ø Ö × Ø ÓÒ Ó × ÓÖØ ×Ø Ô Ø ×¸ Û  Ô  × Ô ÖØ Ó ×Ù Ô Ø  Ø  Ö  Ô Ò  
ÓÑÔÐ Ü ØÝ Ó Ø    Ð  Ö 
Ø ÓÒ Ð Ö Ú Ö× Ð×µ ×  Ä Þ Ö  × Ø  Ó Ø Ò  Ö  C ¹×  Ö Ó  Ö  Ý × ÓÛ Ø  Ò  Ï  Ø  ×Ø ÖØ  O (n + ε−1 ) log (n + ε−1 ) Ó ××ÓÒÒ Ø  º  Ô  Ö× 
ÓÒ×  Ö× × Ò  O ¹¸ C ¹¸ ÓÖ L¹×  ×ÓÑ  Ò ÒÓ  Ô  Ò 
ÓÒ×ØÖÙ
Ø Ø  Ò Ó ×Ø 
Ð  ØÛ Ò  Ó Ø Ò  ØÓ Ø  к Ø  
Р׸ Ö Ð Ú ÒØ Ô  Ø ÖÓÙ  Ö× ÙÒ ÓÖÑÐÝ ØÓ  Ö Ó Ö Ð Ú ÒØ Ô  ÑÓ  Ó Ø Ò  
ÓÑÔÐ Ü Øݸ Ø  Ö Ó  Ô  
 ÒØÖ × ÑÙ×Ø  ØÛÓ ÒÓ  Ô ××  Ó ×Ø 
Ð  ÌÓ Ð Ñ Ø Ø ÔÓ××  ¾º  ×  Ò  ÙÖ Ø ÓÒ׺  Ö Ó ÔÐ 
 Ñ ÒØ× Ó ÕÙ Ð  Ñ Òغ Ì 2  Ö  Ó  ×  ÕÙ Ð  O(n log n) Ø Ñ  ÔÓÐÝÒÓÑ  Ð× ×  Ñ ¹ Ö Ü 
Ø  

ÓÙÒØ  ÓÒÚ Ü Ò
ÐÓ×ÙÖ ÖÛ Ð  Ø  к  ½℄  Ò ÐÝ×  
ÓÒÚ Ü ÔÓÐÝ ÓÒ׺ ÖÓÑ Ø  C ¹×  ÒØ ØÓ Ø  Ü
ÐÙ  Ö×Ø ÔÓ  Ö  Ù
 × Ø  ×Ô  Ø  Ø  Ö Ø  C ¹×  Ñ ÒØ Ø Û Ý  ØÙÖÒ Ò  Ø ÓÒ  Ó ÔÓ××  Ö  
ÓÒØ 
ظ Û Ò Ý  n  Ö  Ø  ÓÙÒ  × Ðº  ×Ù    Ò  Ø  Ó Ø  Ì  Ø ÓÒ ÓÖ  ÈÓ  Ø Ä ÑÑ  ÓÒ Ø  Ø × Ö  Ú Ò ×Ø ÖØ 
ÓÒ Ö    Ð  Ö  L¹× Û  Ö  ÓÒ ×  ÓÙÒ  Ö 
ØÐÝ  

 ××  Ð  n  Ö  ÔÖÓÚ  × Ø  Ö  Ò Ò  Ø  Ö    Ö Ó 
ÓÖÒ Ö× Ó Ø  ×Ù Ô Ø  CC  ÐÐÝ  ÓÑ  × ÓÖ  Ò ×  ÒØ  Ø  ×Ù Ô Ø  CI ¸CG  Ö  Ò  Ö  Ò ×  Ø ÖÑ Ò Ð  C ¹×  Ò ÐÝ× × Ó  Ø  ××ÙÑ  ÓÖ  Ø Ø  Ø  C¹  Ñ ÒØ  
 Ö
Ù Ø ØÓ 
ÓÒØ Ò    ÒØ Ø ÓÒ Ø  к ×Ø ÖØ Û Ø ÓÙÒ  ÓÙÒ  Ø  ÙÒ Ø Ö  Ò  Ú × Ù×  Ò  ×
¸  Ò ÐÝ× ×  Öݺ Ì  Ò ÓÖ  Ö ÓÙÖ 
 ÒÓÒ 
 Ð ØÖ Ú Ö× Ð× ØÓ  ØÓ Ö  Ö  Ò  ÔÓÐÝ ÓÒ  Ý 
ÓÒ× Ö  Ø  Ö  
ÙÖÚ ØÙÖ  È ×ØÓÚ¹ÁÓÒ Ò Ä ÑÑ  к ½℄º  Ø Ø  Ø 
 Ò  Ý  ÓÒ× Ù×Ø 
ÓÚ Ö ×  ÙÖ Ø ÓÒ ´ º º Ö  Ø  ×Ù ×Ø ÒØ ×  Ø Ø  ØÝÔ × Ó Ô Ø × × ÓÛ× Ø  ÐÐ ÔÓÐÝ ÓÒ  ×Ø ÖØ 
ÓÒ Ý × ÓÛ Ò  Ø  ÒÝ ÒÓÒ¹Ø ÖÑ Ò Ð  ÒÓÖ × Ø  Ø  Ð  ÓÚ Ö    Ò  Ò ÐÝ× ×  ÙÖ Ø ÓÒ ÓÒ Ø  Ö  Ñ ÒØ ×  Ð×Ó ÒØÖÓ Ù  
ÓÒÚ Ü ÔÓÐÝ ÓÒ Ø  ÔÓÐÝ ÓÒ¸ Ø  Ø Ö Ø Ò  ÖÓÑ Ø  Ý 
ÓÒ
ÐÙ ÒÙÑ  ÖÛ Ð  
 ÐÐÝ ´ µ ÒÓ  C ¹×  Ö ×ÙÐØ× Ò Ø  C1 C2  Ö ×ÙÐØ×  
ÓÒÚ Ü ÔÓÐÝ ÓÒº  
 ÐÐݸ Ø  
ÓÒ  к  ×Ù Ô Ø ¸  Ö Ñ  Ø  ×Ô  Ú Ö× ¸ Û  ÒØ Ö ×Ø Ò  ¹
ÙÖÚ ØÙÖ  Ù
 × Ø Ý  Ú  CC  ÔÓÐÝ ÓÒ¸ Ø  Ý  Ó  Ò×  ´
µ ÒÓ ×Ù Ô Ø  Ø  ÒÝ ÒÓÒ¹Ø ÖÑ Ò Ð  Ý Ð ÑÑ ×  Ø  Ò  ÑÓÖ  Ò  ÖÛ Ð  Ó CI CSCCSCCG Û O(n log n) Ð ÓÖ Ø Ñ Û Ø  Ø  ÖÓÑ    Ø  ËÓÑ  × Û ÐÐ  ÔÓ Òظ  ÓÐÐÓÛ×µ ×Ù  ÓÙÒ    ¸ Û  Ñ Òصº Ì  Ó Ø  ℄º ËÔ  ÙÖ Ø ÓÒ Ò×  ÔÓÐÝ ÓÒ  Ð  ÔÓ× Ø ÓÒ× Ò×  
ÐÓ×  Ò  Ô Ø ×  Ú ÖÝ ÒÓÒ¹Ø ÖÑ Ò Ð  ×Ø ÓÒ  Ö Ó 
ÓÖÒ Ö× Ó Ø  Ý ×
 Ð Ò  ÓÑ µ  CCC º  À Ò
 ¸  Ö Ö ×ÙÐØ× Ö ÐÝ ÓÒ ØÛÓ  Ö    Ò  Ø  Ô Ø ×  ÒØ 
ÓÒ  ØÐ  ÒÓÒ¹Ø ÖÑ Ò Ð  C2 µº  Ú  ÒÙÑ  ¹
ÙÖÚ ØÙÖ  ×  Ö 
Ø Ö × Ø ÓÒ Ó Ø    Ö 
Ø Ö ×  Ò  ¹
ÙÖÚ ØÙÖ  Ð ÓÖ Ø Ñº  π¸ ´  
 ÒÒÓØ  ×Ù × ÕÙ Ò  Ø  Ù×Ø Ó
Ù× × ÓÒ ÐÓ
 Ø ÓÒº × ÓÒ º  Ò  × ´Ö ×Ô 
Ø Ú ÐÝ  × Ø  к  Ò Ø  Ô Ø ×º ÇÒ  ÓÖÓÙ×  Ú ÖÝ ÓÔØ Ñ Ð Ô Ø ÖÛ Ð  ÓÐ  × ØÝÔ  Ø ÑÓ×Ø ÓÒ  ÓÙÒ  Ð Ø Ñ  Ø ÖØ  Ñ ÒØ  ´Ö ×Ô 
Ø Ú ÐÝ  ÔÓ Òغ  Ö  ÒØ Ö  Ð  ×  Ø ÔÖ  Ñ ÒØ׺  Ó ×Ø 
Ð ×  C ¹×  × ÓÖØ ×Ø  ÔÓÐÝÒÓÑ  ×Ð Ò Ø  Ð ×Ø  Ø Ø  C1  ×  Ó  ÖÝ ÓÖ Ø ÖÑ Ò Ð 
 Ö
Ð  Ò  Ò ÓÔØ Ñ Ð Ô Ø  × Ñ  ×ØÖÙ
ØÙÖ × ØÓ  Ñ ÒØ  ÓÙÒ  × Ø  ÒÓØ ÓÒ Ó  ×  × Ð  Ö ×ØÙ Ý Ó ÑÓ  ÒÓÒ¹Ø ÖÑ Ò Ð Ø Ò  Ì  Ø    Ò    Ð  Ò  Ð  Ö  º Ì  Ú  ÓÒ  ×  Ö  ÒØ Ö ÓÒ× Ø  ÓÒ C ¹ Ò O(n) 
ÓÑÔÐ  Ø  ÓÒ Ü Øݸ  ÔÓÐÝ ÓÒº  Æ ÖÖÓÛ ÓÖÖ ÓÖ× Ö  Ò  Ö Ò  Ò  × ÓÒ º Á Ó  Ã Ö Ô ØÖ ÖÓ  Π  ×
 Ó ′  Ô Ø  Π  
ÓÖÖ  ÓÖ¸ Ø  Û Ý×  × ×  Ò  Ð  ××Ó  Ò¸ Ø  Ø  w  Ù× Ó  
ÙÖÚ ØÙÖ  ×  w/2µº  Ø  
ÓÖÖ  ÓÖ ØÓ Ø  ÓØ  Öº  Ø  Ø  Ð ×× Ø ×
 ×  Ì  
ÓÖ  Ò ØÛÓ ÓÙÒ Ö ×ÙÐØ Ó  Ì  
 Ù× ¸  
ÓÖÖ 
ÓÒØ  ØÖ 
 Ò  Ö  ¹
ÙÖÚ ØÙÖ Ö  Πº C′ Ò  Û  Π  ÓÙØ  C  ÓÖ  Ò  Ò  ×  ×  Ø  ×  Ö Ö  Ã Ö Ô ØÖ ½  ×  C  Û  Ø Ø  Ö Ù
 Ð ´×  Ò  Ò ØÓ ÒÓÒ¹  
ÙÖÚ ØÙÖ ×ÓÑ  ÙÖ Ò ÖÖ  Ô Ø × Ù  ÓØ  
 ÒØÖ  Ö  × Ö  Ð  Ù  ´ Ø× Ñ Ò ÑÙÑ ÖÓÑ ÓÒ  Ð  ÕÙ Ð ØÓ ØÛÓ¸ Ø  ÓÙÒ  × Ø  ¾º µº ÁÒ  ¹
ÙÖÚ ØÙÖ  ØÖÝ ØÓ  
ÓÖÖ ×  ÓÑ  ÓÒ ×Û ÔØ ÓÙØ  ÓÙÒ  Ø Ö ÓÖ  Ò  ×Ó Ø Ö  ØØ ÒØ ÓÒ ØÓ  ØÖ Ú Ö× Ð Ó Ø Ò  ×Ø  Ã Ö Ô ØÖ  Ý Ö ×ØÖ 
Ø Ø Ø  Ô Ø ×  ÒÚ ÖÓÒÑ ÒØ × ×
 Ð  ÓÖ  Ý Ø  ¹
ÙÖÚ ØÙÖ  
ÓÖÖ ÓÖ  ØÖ 
 ×  
ÓÖÖ  ÓÐÐÓÛ  Ö Û  ÓÙÒ  Ô Ø ¸ Ø  Ñ Ø Ö  Ô Ø  ÓÖ  ℄º  ×  Ü  ÐÓÓ  
ÓÖÖ Ô Ø  Ò  Ó  ÓÖ× Û Ø ØÖ  Ý  ÓÖº Ø  Ø Ö × ÓÐ  τ  ×Ù  Ø  Ø  Ú ÖÝ  ÙÖ  ¾º  Ý  
ÓÖÖ  ÓÖ ´Ð  ×
 ÓÐÐÓÛ Ò  ص  Ò  Ø× Ö  Ù  
ÓÖÖ  ÓÖ ´Ö  ص¸  ÓØ  Ó Û    Ö  ØÖ  Ô Ø º  1 1 1  ÙÖ  ¾º  ÖÓ ÓØ Û Ø  w>τ  
ÓÖÖ  ÓÖ Û Ø  wØ  Ø 
 ÒÒÓØ  
 Ò  ¾º¾º  ´×  Ý  Ý  Ú × Ø  Ð ØÝ Ö Ò  ε  Ö Ô Ó  ×  Ø  Ø  ØÛ  Ù
Ð Ì  Ö Ø  Ð  Ò ÒÓ  ÖÐ  Ò Ø  ÔÖÓÓ Ø  Ö ÑÓØ Ú Ø  ÔÔÖÓÜ Ñ Ø ÓÒ  Ø  Ö  Ö  Ø 
ÓÖÖ  ØÓ ÔÓØ ÒØ  ØÓ Ø Ö Ô  Ø  ×  Ö  Ð ÓÖ Ø Ñ×  
ÓÒØ 
Ø × × ÑÔÐ  × 
ÓÖÖ ×ÔÓÒ  Ò Ø  ¾º µº Ì  w<τ  × 
ÓÖÖ  
ÓÖÖ  ÓÖº  ÓÖ× Ó Û  w>τ  ÓÖ× Û Ø  Ø Ñ Ø  Ð ÓÖ Ø Ñº  × 
ÓÖÖ ×ÔÓÒ  Ô Ø  Ú ÖÝ  Ø  Ð Ô Ø  Û Ø  ÓÖ    ×
Ö  ÒØ  ÐÓÛ Ù×  
ÓÒØ 
Ø Û Ø Ö ÒÙÐ Ö ØÝ Ø  Ø  Ð ØÝ  
ÓÖÖ ×ÔÓÒ × ØÓ  × Ö  ÓÔØ Ñ Ð Ô Ø º  Ô Ø  Ø  Û  Ø  ÒÚ ÖÓÒÑ ÒØ  Ø × ÑÓÒÓØÓÒ 
 Ò  × ÓÖØ ×Ø 
 ÒÓÒ 
 Ð ×Ù Ô Ø  Ú ×  ÔÔÖÓÜ Ñ Ø ÓÒ  ØÛ Ø ×  Ò 
ÓÒØ 
Ø×  Ø ÑÓ×Ø  (1 + ε)  Ò Ë ÓÖØ ×Ø È Ø Ö×Ø  
ÓÒ×ØÖ Ø  ÒÓ  ÔÓ××  × ÓÖØ ×Ø Ô Ø  Ø Ñ × ÐÓÒ  (1 + ε)¹  ÐÐ Ó Ø  ÓÖ  
 ÒÒÓØ ØÖ Ú Ö×  Ð ÓÖ Ø Ñ×  Ö Ò ×× Ö ×ÙÐØ× ÔÖ × ÒØ  Ð ÓÖ Ø Ñ׺  Ù× Ó ÓÒ  Ò ÙÖ  Ö  ÔÔÖÓÜ Ñ Ø ÓÒ  Ì  Ö  ØÖ Ú Ö×  ØÖ Ú Ö×  ØÖ Ú Ö× Ð × ÔÖÓÚ  ØÙÖÒ Ò  Ò  ÔÔÖÓÜ Ñ Ø ÓÒ × ÓÖØ ×Ø Ô Ø  × × ØØ Ò ¸ Ø Ò  Ó Ù
Ð  Ð ÓÖ Ø Ñ Ø Ò Ø Ö  × Ó ÔÓÐÝ  Ò Ó ×Ø 
Ð  ×  ×
Ù××  Ñ Ò× ÓÒ×  Ñ  Ö Ð Ó ×Ø 
Ð × ÔÐ Ý  Ö  Ò × ÓÖØ ×Ø Ô Ø ×  Ø Û  ØÓ Ò  ×Ø Ò Ù × Ø Ö  ×  ½  Ò  Ò × Ö  Ò  ÔÔÖÓÜ Ñ Ø ÓÒ ØÓ Ø  ØÖ ÖÝ ÔÓÐÝ  Ö Ð Ó ×Ø 
Р׺ ÁÒ  Ò ÑÔÓÖØ ÒØ ÖÓÐ º Ï  Ø ÖÓÑ  Ò  ÓÒÐÝ Ú × Ø  Ó   ÙÒ¹  Ú × Ö  Ù× Ð ØÝ  Ö  Ö ØÓ  Ö Ô º  Ø ÑÓ×Ø ÓÒ
 º  È Ô  Ñ ØÖ ÓÙ Ô ÖØ Ø ÓÒ×  ÔÓØ ÒØ Ø  Ð Ô Ø  × Ò×  ÒÓ  Ø  Ò  Ø  Ö  P  ÒØ  × Ú × Ú ×  Ð ØÝ  ØÛ  ØÖ Ò× Ø ÓÒ Ø  Ý  Ó  Π  Ö  Ò  × Ñ  ÓÔ׺  ×  Û ÐÐ  Ð ¸ ×ØÖ  Ô Ò Ø×  ÁÒ Ø  Ú  Ö  Û  Ø  × Þ  ÓÔ×  ØÛ  Π  × 
 × ¸  Ó  Ò    Ö  ×  Ö  Ø  Ò  ØÛ  P  Ò  ÓÔ× ØÓ  Ý ÓÐÐÓÛ Ò  Ò ÒÓ  Ø  
ÓÖÖ ×ÔÓÒ × Ö  Ø  Ò  Û  Ö  Ø  
 Ò  Ñ ÒØ Ø  Ù
Ð  Ø  Ð Ò Ø  Ø× ØÖ Ò× Ø ÓÒ×  ÔÔÖÓÜ Ñ Ø ÓÒ Ó  ×  Ô Ø  Ñ ÒØ Ö Ð Ø Ú ÐÝ ×Ñ Ðи Ø Ö Ø    Ñ ÒØ׺   ×  P  Ñ ÒØ× Ö Ø  ÓÓ  Ò Ò ØÛÓ Ö  Π  ÐÙ  Ñ ÒØ Ö ÔÖ × ÒØ×  Ö ÒØ Ð Ò Ø ×º  ØÛ  ÒÔ Ø  Π¸  Ö  ÐÝ ÒÓÒ¹ÙÒ ÓÖÑ  Ò  Ô Ø  Ù
Ð   ×  ÕÙ Ø  Ñ Òظ  Ø¹Ð Ò  ØÓ 
ÓÒ×ØÖÙ
Ø  Ö  Ú × ÓÒ  Ø Ó

ÙÖ 
ÓÒ× 
ÙØ Ú ÐÝ ÓÒ  Ý Ý  Ñ ÒØ׸ Û À × ×Ù  Ö  
ÓÖÖ ×ÔÓÒ × ØÓ  ÓÔ× Ø  ØÓÙ
 º  Ö  ¾½℄º  
ÓÖÖ ×ÔÓÒ × ØÓ  Ñ ÒØ×  ÓÑ Ò Ø  
ÓÒ× 
ÙØ Ú  Ö Ô  Ö Ô  Ò  ØÛ  ÓØ ×  ÒØÓ  Ø  × ÓÖØ ×ظ  Ð ØÝ  ÓÔ  Ö Ö  Ñ ÒØ× Ó  
ÓÖÖ ×ÔÓÒ × ØÓ Ø ØÓ    
ÓÒØ 
Ø Û Ø  ØÛ  Ò  Ò × ÓÖØ ×Ø  Ô Ø º È Ô ÔÓ ÒØ  p  ØÓ  Ñ ØÖ ÓÙ Ô ÖØ Ø ÓÒ×  p ÓÒ Ø  Ö  ÐÓÛ Ö  Ø  Ð Ò Ø  f  Ñ ÒØ  ÖÖÓÖ Ò  Ó Ø  Ó Ø  Ö    ÒÚ Ö× ÐÝ ÔÖÓÔÓÖØ ÓÒ Ö  Ñ ÒØ× Ú × Ø  Ö 
 ÐÐÝ Ø 
ÓÓÖ  Ý  ÙÖØ    Ö  Ø ÑÓ×Ø m O(m) ÑÓ×Ø 2 Ò Ø Ö  ×Ù  Ê Ò Ò ÐÝ× × ÓÖ Ö  Ð  ÁÒ  Ð  ¾ ℄¸  ×  Ø  Ö  ×Ô  ÖÓÑ Ø  ×  Ò  È Ô  Ü  ÓÙÒ  Ó Ø Ò  Ò  ÓÑ Ò Ø  º  d  ×Ó Ø  Ý Ø  Ð Ò Ø  Ò  Ð  × ×  ε  Ò Ö Ó  ÓÑ Ø¹  ××ÙÑ × Ø  Ð Ò Ø ×  Ö Ó  Ø  Ø Ø  Ö Ø Ñ Ø 
 Ö ÔÖ × ÒØ Ø ÓÒ  Ø Ø Ö  Ì  Ñ Ü ÑÙÑ ÒÙÑ  Ñ ØÖ ÓÙ  ÒÔÙØ ´ Ü ÔÓ ÒØ  Ö  Ñ ÒØ Ò
Ö  ¹ÔÓ ÒØ × Ø  ÒÙÑ  Ð Ö ÔÖ × ÒØ Ø ÓÒ Ó  ×Ø ÖØ ÔÓ× Ø ÓÒ  ÙÒ
Ø ÓÒ Ó  ´Ø Ö  ×Ø ÖØ ÔÓ× Ø ÓÒ ØÓ ÐÐÝ  n  Ö  ÑÔÐ  ×  × Ø  Ñ ÒØ × ÔÖÓÔÓÖØ ÓÒ Ð ØÓ  Ö  Ñ ÒØ  ÔÖ 
 × ÓÒ  ÒØ  ÖÓÑ Ø  ×  f  ÖÚ  Ó  f  Ó  × Ö  Ö Ó × Þ  d  ×Ø Ò  Ö×Ø  ×Ø ÖØ ÔÓ× Ø ÓÒ ØÓ Ø  Ø  Ó Ø  ×Ñ ÐÐ ×Ø Ö  Ø ×Ù ×Ø ØÙØ ×  к  
ÙÐØݺ Ì  Ø  × ÓÖØ ×Ø Ô Ø ÖÓÑ Ø  Ø ÑÓ  Ó Ø ¿  ÒÙÑ Ö 
 Ð  ×Ø Ò
Ø  ÓÔ× ØÓ  ØÓØ Ð ÒÙÑ  ÓÐÐÓÛ׺ À  Ð Ò Ø  Ñ ØÖ ÓÙ 
ÓÑÔÙØ × Û Ø  Ò ÐÝ× × Ø  Ø ÔÖÓÚ × Ø Ò  Ì  × Þ  ÔÓÐÝÒÓÑ  È Ô  ×  Ø Ð  Ö  Ö  Ó ×Ø  2  Ö −O(m)  ×  Ø  Ò
 ¸  Ñ ÒØ׺  
 Ö Ñ ÛÓÖ ¸  ¹ÔÓ Òصº  Ó  Ö Ø Ñ Ø 
 Ó ×Ù    Ø  ÙØ  ×  к 
 ÖÖÝ  ÒØ ÔÖ 
 × ÓÒ  Ö Ø Ñ Ø 
 ½ ℄º  Ò×Ø Ò Ø  ÐÙ Ò  × Ð Ñ Ø  × ÒØÓ  ××ÙÑ × Ø  Ø  ×Ø Ò  Ú  pº  Ò×  ÐÐݸ Ø  Ò ÔÓ ÒØ Ø×  Ò ÐÝ× ×  ÓÙØ  ØÓ  Ø× ÖÓÑ Ø  Û Ø   
ÓÒØ  Ù  Ñ ÒØ× ÖÓÑ Ø  × ÓÖØ ×Ø Ô Ø µº Ì  Ö Ø  Ò Ø ×Ó  ÒÝ Ô Ø  f º ËÔ Ð d Ò Ø  Ò  Ö  ×Ø ÖØ ÔÓ× Ø ÓÒº Ì  Ó  Ö  ÔÔÖÓÜ Ñ Ø ÓÒ  Ô Ø  ÒØÓ  
ÐÓ× ×Ø ØÓ Ø  ÓÙÒ × Ø  ×Ñ ÐÐ ×Ø Ö  Ö  Ô Ø  ÒØÖÓ Ù  ×Ñ ¿  Ý 
ÓÒØ 
Ø Ò  d2  Ø  ÁÒ Ø  Ð ÓÖ Ø Ñ × ÔÓÐÝÒÓÑ  ×  ÜÔÓÒ ÒØ  Ö º  ËÈ Ø  Ó  Ø  Ý × Ý Ø  Ö ÒØ × ÕÙ Ò  
ÓÖÖ ×ÔÓÒ  δ ≡ (d2 − d1 )/d1 º  ×ÙÖ  ËÈ × Æȹ  ×Ô 
Ø× Ó  Ø ÑÓ  ÐÐÝ  Ð Ò Ø Ò  ØÓ  d1 º  Ø ÑÓ ÓÙÒ  Ó Ø Ì  Ð Ô Ö Ñ Ø Ö  Ø  Ò Ö Ø  к  ØÛ  ×Ø Ò Ù ×  Ø ØÛÓ Ô Ø × Ò ¿ Ó Ó ×Ø 
Ð Ò  Ø  Ø  Ò Ø Ö  ׺ Ä Ø  d1  Ø × 
ÓÑ  ×ÙÖ × ÔÖÓ Ð Ñ ÝØ  ËÈ  
ÓÑ Ø  Ò ØÓÖ  Ó Ø  Ö  Ù
Ø ÓÒ Ò ØÓÖ  Ð  
ÓÑ Ò ØÓÖ ÐÐÝ  ÔÖ 
 × ÓÒ × Ò× Ø Ú ØÝ  Ð Ó 
ÓÑÔÙØ Ø ÓÒ¸ Ø ÖÙÒØ Ñ −1 −1 Ò n¸ m¸ ε ¸ Ò δ º  ½  Ø Ñ  Ð ÓÖ Ò×Ø Ò
 ×  × ÓÖØ ×Ø Ô Ø Ý  δ −1  Ó Ø  Ð Ò Ø ÐÐÝ  Ó  ×Ø Ò
Ø ÔÖÓ Ð Ñ  ÔÔÖÓÜ Ñ Ø ÓÒ  Ã ÒÓ ÝÒ Ñ 
 Ë ÓÖØ ×Ø È Ø Ì  ÒÓ ÝÒ Ñ  ×Ø Ô Ø º Ê Ø  δ ¹×  ×  Ö Ø  ×  Ò Ö Ð¸ Ø Ð  δ ¹×  
 × ØÓ ×  ×  ØÝ Ó  Ö  Π  ÓÖ  Π  ÇÒ    ÓÙÒ  δ ¹×  Ò  ×ÙÖ  × Ð  Ñ Ø Ó  d¹    ÓÖ  Ø  ØÛ    × ÑÔÐ  ÔÓ× Ø ÓÒ×  Ò  ÓÜ × 
ÓÒØ  
 Ò  ÓÙÒ Ì  ÓÒ ×ÙÖÖÓÙÒ  Ö  Ì  Ö Ò  Ó  Π¸  ÔÔÖÓÜ Ñ Ø  Ø × 
ÓÑÔÓ× ′ Ø Π Ñ Ý ÒÓØ  Πº  Ò  Ó  Ø  Ì  × ÕÙ Ò  δ ¹×  Ð ØÝ  × 
 ÓÓ× Ò  ¸  Ô Ø  Ò Ú Ö ØÓÙ  Ö  Ú Ò  Ì  Ö  
ÓÑÔÓ× Ø ÓÒ Ó  Ö  Û Ø  × Ø  º  Ì  × Ø  Ð Ø Ñ  ×Ô  Û Ø  Ø  ×  Ö  ÒØ  ×Ô ÓÖ  
ÓÑÔÓ× Ø ÓÒ  Ý ×Ø ÖØ Û Ø Ò× Ô ÖØ Ó  Ð Ø  ×  Ò  cδ ¸  ×  Ð ×Ø ÖÙÐ    Ó ×Ø 
Ð  
ÓÒØ  Ð ×× Ø  Ø  Ø  Ð ÓÖ Ø Ñ  Óܹ  ×Ô 
Ù  Ð Ò Ø  
Ù  Ö 
Ù  ÔÔÖÓÔÖ  
ÓÑÔÓ× Ø ÓÒ Ó  ¹ ÖØ ÔÓÐÝÒÓÑ Ö  Û Ø  Ò  Ö Ô º ÁÒ Ô ÖØ 
ÙÐ Ö¸ Ø × Ò×Ù  δ ¹×  Ø  Ð Ö  ÓÜ ×¸  O(1/εd−1)  Ò  × ÑÔÐ  Ú ÐÓ
 Ø  Ò  Ø  Ø  Ù Ö ÒØ  Ò  Ð Ò Ø Û  Ð Ò Ø  c  Ö  ÑÓÖ  ×  ×  Ð ØÝ ×  Ð Ò Ø 
 Ù×  Ò  Ô Ò  Ð Ò Ø  ÐÐ ÔÓ××  Ö Ô  Ö  Ö  Ò  Ó ×  Ø  Ò  × ÑÔÐ  Ó  
 ¸ Û Ò  Ø  Ø  Ø  Ö  × ÓÒ  ×× ÒØ  º ÁÒ  × ÒÓ × ÑÔÐ  Ð Ò Ø  Ó  ÓÖÑ ´ Ü
 ÔØ º Ì  ÓÖ  × Ø Ó  ÓÑ ØÖÝ  
ÓÑÔÓ× Ø ÓÒ Ö  ÔÖ 
ÓÑÔÙØ  Ò  ÙÒ ÓÒ  Ò Ö Ð¸ 
 ÒÓÒ 
 Ð  
ÐÓ×  × ×Ù ×Ø ØÙØ  Óܹ  ÓÜ    ÐÐÝ Ø  Ô ÖØ 
ÙÐ Ö Ó ×Ø 
Ð  Ö Ø Ó Ð Ñ Ø Ó Ø  
 ÒÓÒ 
 Ð Ô Ø × Ø  ×    Ò ÔÖÓ Ù
Ø Ó  
ÓÖÖ ×ÔÓÒ × ØÓ Ø  
 ÒÓÒ 
 Ð Ô Ø ÒØ Ó  ÖØ × Ò ÒÓ    Ý Ø  Ö  ÐÓÒ  Ð Ú ÐÓ
 ØÝ Ú 
ØÓÖ×  Ø  ØÛ  Ø  ÙÖ Ø ÓÒ× Ó Ò  ÔÔÖÓÜ Ñ Ø ÓÒ ØÓ Ø  º Ì  ÔÔÖÓÜ Ñ Ø  Ú × Ò Ò  
ÓÒ  ÔÓ× Ø ÓÒ ÔÓ ÒØ×  Ý ÙÒ ÓÖÑÐÝ × ÑÔÐ  ׺  Ö 
ØÐÝ ×  × ÑÔÐ  ÓÜ 
ÓÒØ 
 º Ì  Ò Ø  Ò  Ø  × Ó Ø  ÜØ Ò  
 ÒÓÒ 
 Ð Ô Ø ×  Ò  Ù
 × Ø  º  ¹ ÙÖÚ ØÙÖ Ë ÓÖØ ×Ø È Ø  Ð Ò Ø  Ö  × ÓÖØ ×Ø Ô Ø × ÑÑ  ×  Ö  Ô Ø  ÒÓÒ¹ÙÒ ÓÖÑ  
Ù   ÒÓ  ØÛ  ÒÓÖѵº ËÓ¸  Ö Ó  Ú ×  ÐÐ Ó  ׺ Ì  
ÓÑÔÙØ  ÔÖ 
ÓÑÔÙØ  ÒÙÑ  Ò×  Ý ×ÔÐ Ø Ø  Ò Ò  
 ÒÓÒ 
 Ð Ô Ø  L∞  Ö  Ö ØÓ  Ø  
 Ù× ¸  × ÓÖØ ×Ø Ô Ø º  ÁÒ ÓÖ  × Ø  δ ¹×  
 Ù×  Ù×  Ö ×  ÑÔØÝ  
 ×Ó  ÔÔÖÓÜ Ñ Ø  Π′  ÔÔÖÓ  × ÓÖØ ×Ø  × ÒØ  ÙÒ ÓÖÑÐÝ ÔÐ  Ý  Ô Ø × 
 ÒÒÓØ Ø  Ø  
ÓÑÔÓ× ×  Ò Ø  Ú ÐÓ
 Ø  × ÓÒ Ø  Ó Ø  Ð ÓÖ Ø Ñ×  Ö Ó ×Ø 
Р׺  O(1/ε )  ÒÓ  ×  Ò Ó
عØÖ  Ý Ò Ú Ö  Ï Ò  ×ÙÖÖÓÙÒ d  Ô Ø  Ú ÖÝ Ó ×Ø 
Ð º ËÔ 
 ¹  Ò Ø  Ó ×Ø 
Ð × d Ý Ö 
ÙÖ× Ú ÐÝ ×ÔÐ Ø Ø ÒØÓ 2 
٠׸   ¸ Ø  Ò  Ó Ø  Ï Ò  Ø 
ÓÒØ  
Ù  × Ð Ö  Ê Û Ø  Ò  Ø  Ò  Ö ÒÙÐ Ö ØÝ Ò  Ô Ø  Ö Ø  Ó ×Ø 
Ð  ÒÓ ÝÒ Ñ 
 × ÓÖØ ×Ø Ô Ø º  Ò Ø  Ò Ð Ø  
ÓÒ×Ø ÒØ  Ò Ø  ×ÝÑÔØÓØ 
 ÐÐÝ ×Ø Ø ¹Ó ¹Ø  × Ú ÖÝ × Ñ Ð Ö ØÓ  Ó ×Ø 
Ð ¸ Ø  δ ¹×  × ÓÖØ ×Ø  Û Ý ÖÓÑ  Πº  Ô Ø  ØØ ÒØ ÓÒ ØÓ  Ó ×Ø 
Ð ×  ¸ Ê  Ñ Ò× ÓÒ Ð 
Ù  Ø  × ÒÓ  Ó Ø  × ØÓ Ø  ÔÔÖÓÜ Ñ Ø Ò    × ÓÖع  ÔÔÖÓÜ Ñ Ø ÓÒ  ØÖ Ö ÐÝ ÐÓÒ  δ ¹×  Π  ÔÔÖÓÜ Ñ Ø Ò  ÙÖ Ø ÓÒ× ØÓ Ù× Ø  Öݺ ÁÒ×Ø Ì  Ö Û  ÙÒ Ø×  ÔÔÖÓÜ Ñ Ø ÓÒ ØÓ Ø  Ð ÓÖ Ø Ñ 
 ÐÐݺ ÁÒØÙ Ø Ú Ðݸ Ø  ′  Ô Ø  Ò  º  ÐÐ Ò  × Ø Ó 
ÓÒ  ¾ ℄º  Ð  δ  ×Ø  Ö  ÐÐÓÛ× Ù× ØÓ Ö ×ØÖ 
Ø ÓÙÖ  ×  ØÓ × ÑÔÐ  Ø Ð  
 Ò  ×  Ò  × ÓÖØ ×Ø Ô Ø  × ÓÖØ ×Ø  Ó 
 ÒÓÒ 
 Ð ×Ù Ô Ø ×º Ø ÓÙ  ×  ÜÔÐÓ Ø  Ò  Ó ÒÓØ  ÔÔÖÓÜ Ñ Ø ÓÒ ØÓ Ø  ÒÓØ ØÖÙ  Ô Ø × ×  Ô Ø × ×ÙÖÖÓÙÒ  ×Ù  Ô Ø  Ö  × ÓÖØ ×Ø  δ ¹×  Ð ÓÖ Ø Ñ×  (1 + ε)¹  Ò  Ð ÓÖ Ø Ñ×  Ö ×ØÖ 
Ø ÓÒ ØÓ ×  Ý  Ú ÖÝ ÔÓ ÒØ ÓÒ Ø  
 ÐÐݸ Ø Ò  ÔÔÖÓÜ Ñ Ø ÓÒ  Ø  Ù
 Ò  ÓÖÑ Ø ÓÒ× Ù×  Ò Ø  × Ò  
ÓÒ× ÕÙ Ò
 ×  Ñ  Ó  Ý  Ó ×Ø 
Ð ×  Ù  Ò× ØÓ  Ö 
Ø Ö ×  Ö  
ÓÒØ ÒÙÓÙ׺  ÔÓÐÝ ÓÒ Ð Ó ×Ø 
Р׺  
Ó × ¾¼  ÓÙÒ  À Ò
 ¸ Ò  ÒÒÝ  ¹
ÙÖÚ ØÙÖ  × Ö ×ÙÐØ×  Ú  ÜÔÐ 
 ØÐÝ ×Ø Ø  Ø  × Ò Ø  Ö ÛÓÖ  ÓÒ  ÔÔÖÓÜ Ñ Ø Ò  × ÓÖØ ×Ø  ÓÙÒ  ¹
ÙÖÚ ØÙÖ  Ô Ø × ½ ℄º  Ì ÓÖ Ñ ¾º¿º Ä Ø Π × ÓÖØ ×Ø ÓÙÒ ¹
ÙÖÚ ØÙÖ Ô Ø Ò Ø ÔÖ × Ò
 Ó ÔÓÐÝ ÓÒ Ð Ó ×Ø 
Р׺ Ì 
ÓÒ ÙÖ Ø ÓÒ× Û Ö Π Ù×Ø ØÓÙ
 × Ø ÒÚ ÖÓÒÑ ÒØ Ô ÖØ Ø ÓÒ Π ÒØÓ 
ÓÐÐ × ÓÒ Ö ×Ù Ô Ø ×º 
 Ó Ø × ×Ù Ô Ø × × Ø ×ØÖÙ
ØÙÖ Ó × ÓÖØ ×Ø ÓÙÒ ¹ 
ÙÖÚ ØÙÖ Ô Ø Ò Ø × Ò
 Ó Ó ×Ø 
Ð × ´× Ì ÓÖ Ñ ¾º½µº Ï  × Ý Ø  Ø  
ÙÖÚ ØÙÖ Ê Ø  Ò  Ô Ø Ö Ø  Ò  × Ý Ø  Ò  Ò  Ò    Ò  Ò  Ø  Û Ðи Û ØÓÙ  ×  Ì ×Ô Ò  
 Ò ×Ð  Ö  Ø  ε  ÐÓÒ  Ø 
ÓÒØ 
Ø  
ÓÖÒ Ö¸ Û 
 Ò Ô ÚÓØ Ø Ð Ô Ø Ò  ¾º µ¸  Ø  × ÑÔÐ  ÔÓ ÒØ׺ Ï ×  Πº  ÙÖ  Ø ÑÓ×Ø Ø Ö  Ñ  (1 + ε)  Ø  Ù×Ø Ô Ø  Ø Ý  ÔØ Ö  Ø  Ù×Ø ØÓÙ  × Ø  × ÓÖØ ×Ø  ¸ Û  Ö  Û  Ñ  ÒÚ ¹ ÓÙÒ  ¹  ØØ  ÓÖÑ  ×Ó Ø  Ø  Ò Ø  ÓÖ  Û  ×
Ö  ØÓ  ×  Ù×Ø ØÓÙ  Π  Ò  × Ù×Ø  Û ´ ÓØ×  × ÑÔÐ Ò  Ø  ÖÖÓÛ×  ÒÚ ÖÓÒÑ ÒØ 
ÓÒØ 
Ø  Ø  Ø Ø Ø  
ÓÒØ 
Ø  Ö ×ÙÐØ Ò  Ö ÙÑ ÒØ ×  Ò Û Ö ×ÙÐØ Ø  ÓÙØ  ÙÖ ¾º ´ µµº  × Ø  ε  × Ø  εÛØ  Ó Ò× 
ÓÒ× 
ÙØ Ú  Ò×ÙÖ  Ò Ð Ô Ø º Ì  Ý  Π  Ø  ¾º ´ µµ¸  Ú ÖÝ  Ù×Ø Ô Ø  Ù×Ø ØÓÙ  
ÓÖÒ Ö ´×  
 ÒÓÒ 
 Ð ×Ù Ô Ø  ε  ¹
ÙÖÚ ØÙÖ  ε¹ÖÓ  ÒØÐݵ  Ò Ø ÙÖ  Ò×  Π  Ö Ô Ò  Ö ÒÙÐ Ö ØÝ ÔÖÓÔÓÖØ ÓÒ Ð ØÓ  
 × ¸  Ö Ø  Ò  ÓÙÒ  × ÓÖØ ×Ø  ÐÐÓÛ× Ù× ØÓ Ö ×ØÖ 
Ø ÓÙÖ ÒÓ  
 Ò   Ò  Û ÐÐ ´×  εÖ  Ö ÒÙÐ Ö ØÝ ÔÖÓÔÓÖØ ÓÒ Ð ØÓ  Ø Ñ × ÐÓÒ  Ð Ò  ÔÔÖÓÜ Ñ Ø ÓÒ  Ý  Ù×Ø Ô Ø ×  ÔÓ Òظ Ò Û ÓÙÖ  Ö  ÓÖÑ Ó  × ÓÖØ ×Ø Ô Ø ¸ Ø  Ý Ô ÖØÙÖ  Ø 
ÓÒØ 
Ø  
ÓÒØ 
Ø× Û Ø  ε¹ÖÓ  Û  Ø  ´× ÑÙÐØ Ò ÓÙ×ÐÝ Ó  Ó ÔÓØ ÒØ  Ó

ÙÖ×  Ô ÖØÙÖ  ε¹ÖÓ  Ú  (1 + ε) ÔÔÖÓÜ Ñ Ø ÓÒ ØÓ Ø Π × ε¹ÖÓ Ù×Ø 
 ÔÓ ÒØ Û  Ò  Ð ØÝ ÓÖ ×ØÖÙ
ØÙÖ  × Ö ×ØÖ 
Ø ÓÒ ØÓ  Ø  Ó Ó ×Ø 
Р׺  ¹ÒÓÖÑ Ð Ô Ø ×  Π  ×ÔÐ ØØ Ò  ×Ù Ô Ø × Ø  ÔÔÖÓÜ Ñ Ø ÓÒ ØÓ Ø  Ð ÓÖ Ø Ñ×  Ø  ¹ÒÓÖÑ Ð Ó  × Ò  ÒÚ ÖÓÒÑ ÒØ 
ÓÒØ 
Ø 
 Ò   × Â  × ÕÙ Ò  Ò Ø  ÔÔÖÓÜ Ñ Ø ÓÒ Û  Π  Ô Ø  ÖÓÒÑ ÒØ Ö ×ÙÐØ×  ÜØ Ò × Ø  ÜÔÐ  Ô Ø Ò  Ò  ÔÖ Ú ÓÙ×  Ð ÓÖ Ø Ñ׺  ε  ε  ´ µÌ Ý εº  Ô Ø ³× Û ÐÐ 
ÓÒØ 
Ø 
 ÒÒÓØ  ÙÖ ÌÓ 
Ö ÔÓØ ÒØ  Ø  Ø  Ð Ô Ø  Ý Ø  Ø  
ÓÖÖ ×ÔÓÒ  w  Ø  × Ó  
ÓÒØ 
Ø×  Ì Ò  Ò  ÒÓ  ¾º  Ú  Ô ÖØÙÖ  ÒÚ ÖÓÒÑ ÒØ 
ÓÒØ 
Ø× Ø Ø  Ø  Ö Ú × ØÙÖ  ØÛÓ Ñ Ø Ó × Ó Ò  Ô Ø  ØÓØ Ð Ð Ò Ø  ´ µ Ì ØÙÖ  × ÖÓ Ù×Ø Ó Ø  Ð ØÝ  Û Ø  Ò  Ø  ε  Ø ÒÓØ  Ö Ô ¸  
Ó ×  ÓØ  Ø Ö  Û  Ò  Ø  ÒÒÝ  ¾½  ×  Ó × ÒÓغ Ä Ø  ØÓØ Ð ÖÙÒØ Ñ  n  Ó Ø  Ô Ö¹  ÖÓ Ù×غ  Ö ÒÙÐ Ö ØÝ ÔÖÓÔÓÖØ ÓÒ Ð ØÓ  
ÓÒ×ØÖÙ
Ø Ò Û ÐÐ׺ Ì  Ô Ø ³× 
ÓÖÒ Ö 
ÓÒØ 
Ø 
 ÒÒÓØ Ý εº  ÓÒ Ø  Ö Ô  ½ ℄ × ÑÔÐ  ε ´×  ÙÖ  Ù Ö ÒØ  ÒÙÑ  Ø ¾º µº  × Ø  Ø  Ö Ó 
ÓÖÒ Ö×  
ÓÒ×ØÖÙ
Ø ÓÒ  Ò  ×  Ö  ÓÖ Ø  ÓÖ Ø  ÖÓ Ù×Ø  ÒÓÒ¹ÖÓ Ù×Ø  Ï Ò ØÓØ  Ò  ÓÙÒ  ¿℄º Ì  Ï  ×  Ñ ÒØ Ó Ð Ò Ø  Û Ø  × Ý Ø  Ø  Û ÐÐ ÓÒ  Ö Ñ Ô Ø  ×  O (n + w)2 ε−4 + n4 log n 2  O (n + w) ε  × Ø  ÓÖ 
ÓÒØÖ Ø  c  ÙØ ÓÒ ×  ×  Ò ½ º Ï Ò  Ý 
ÓÖÒ Ö׸ Û  Ö ÒØ Ñ Ø Ó  ØÓ  Ò Ö Ø Ò  Û  n  Ö  + n (n + w) ε  Ò Ö Ø Ø  Ý Ò  Ò  Ø  Ð ØÝ  ¾¾  log n  cp Ø  ØÓØ Ð ÖÙÒØ Ñ  º Ø  Ø  ×  Ø Ù
 × Ø  Ø Ö  ×ÝÑÔ¹  Ô Ò  Ò  ÙÒÓ ×ØÖÙ
Ø  Ø  Ú ÖÝ Ô Ø  
ÓÖÒ Öº ÇÒÐÝ 
ÓÖÒ Ö׺ Û  × Ö  × Ø  ×ÝÑÔØÓØ  p  Ý Ö Ó  × Ó Ø  Ú ×  Ø  ÖÛ Ð ÔÖÓÚ ÒÙÑ  Ö  −2  ÒÒÝ ØÓ  ÔÓ ÒØ  × Û ØÒ ×× × Ø  Û  2  Ð Ñ Ò Ø Ò  Û ØÒ ××  × ÓÖØ ×Ø ÖÓ Ù×Ø Ô Ø  ×Ø Ö Ñ Ø Ó ÓÖ 2 −4 ØÓ O(n ε log n)º  −4  Ð ÓÖ Ø Ñ Ó Â 
Ó ×  
ÓÒØ 
Ø  ÒÓ ÑÓÖ  × Û ØÒ ××  Ð×Ó Ù×  ÔÔÖÓ  ÖÛ Ð Ö Ú ×  wº  Û ÐÐ  ÔÔÖÓ  O(n)  Ï Ò Ú ×  Ð ØÝ  ÖÙÒØ Ñ  Ò  ÓÒ Ð Ò  
ÓÒØ 
Ø Ð Ò Ø  Ó  ÖÛ Ð  Ö Ô º Ì  ×  
ÓÑÔÐ Ü ØÝ  ÔØ Ö ¿ ÆÓÖÑ Ð È Ø  ÓÖÑ×  ÒÓÖÑ Ð × Ø ÓÒ ÔÐ Ý×  Ð ÓÖ Ø Ñ׺ ËÔ ÔÔÖÓ Ø  ØÓ    Ø  Ø  ØÓÖ Ø  Ò  Ò  Ð ×  Ò
Ý Ó Ø Ö  ÔÔÖÓ 
 º ÁÒ Ø  ÓÖ  Ö  Ý  Ñ Ð ×  Ò  Ò  Ö ×ÙÐØ×  Ô Ø ×  ÜÔÐ 
 ØÐÝ  ×
Ö  ÓÖØÙÒ Ø  Ò  ظ Û  Û  Ø  ÓѸ Û  Ò
 ÓÖ Ø ØÓ Ø×  Ò  Ö  ×
Ö  ½ ℄º Ì  ×Ô  ÓÖ  × 
ÓÙÒØ  ÐÐÓÛ Ø Ó Ø  Ò  ÔÓ Òغ Ì  ×Ò  ÔÐÙÑ  ÒØ× ´Ô Ô ×µ Ö ÑÓÚ × ÓÑ  Ô Ô ×  ÐÐÓÛ× Ù× ØÓ Ò  ÓÛ  Ô Ø  
ÓÒ×ØÖ  ÒØ×  Ø  ÐÐ  Ò ×µº  ×
Ö ÔØ ÓÒ Ó Ú  × 
ÓÒ×ØÖ ØÓ  ×
Ö  ×
Ö Ø  ØÓ Ö Ò  Ö  ÓÑ  Ø  ×Ò Ö  
ØÙ Ð  ϹÒÓÖÑ Ð  Ø  Ó  Ø  Ø ÒÓÖ¹  ¹
ÙÖÚ ØÙÖ  Ø  ×  Ð ØÝ Ö ×ÙÐØ  ÖÓÑ Ø  ×  Ó  Ì  ÙØ Ø  ×
Ö ÔØ ÓÒ Ó ×  Ø  × ÑÔÐ  Ò × Ö Ø  Ò ×ÓÑ  ùÒÓÖÑ Ð¸ Û  Ð ×Ø 
 ØÝ × ×ØÖ Ø  Ö³× ×Ò  Ø× 
ÓÒ×ØÖ  Ø  Ø ÖÓÙ  ÒØ× ´ Ð ×Ø 
 Øݵ  ÔÐÙÑ  ÐÐ ×Ù  Û Ø  Ô Ø  Ø Ö  Û Ý Ø  Ò Ø Ö  ÙÒØ Ð Ø×  ùÒÓÖÑ Ð Ô Ø  ×Ô Ð º  ×Ù  ×Ò  Ò Ø ÖÑ×  Ì Ö  ÐÐÙ×ØÖ Ø  Ô Ô ¸  ÌÓ Ñ  ÒÓÖÑ Ð × Ø ÓÒ Ó  Ô Ø × × 
ÓÒØ ÒÙÓÙ׺  Ø  ÒØ ÖÒ Ð 
ÓÒ×ØÖ  ¾¿  ÖÙÒ Ø Ñ  Ö ×ÙÐØ× ÑÔÐ 
 ØÐÝ ÒÓÖ¹  Ò  
 Ò  Ý º  ×
Ö ÔØ ÓÒº  Ø  Ò ¹  ÓÙÒ  
 Ø ÓÒ ØÓ Ø  Ö³× ×Ò  ×  Ô Ø × ×Ó 
ÓÑ  Ë 
Ø ÓÒ ¾º¾º¾µº  ØÛ ×Ø Ø  × Ø  Ò ÐÝ× × Ó  Ú Ø Ð ÖÓÐ  ÐÐ ÔÖ Ú ÓÙ×  × ÒÓÖÑ Ð × Ø ÓÒº  ØÛ ×Ø Ò  ÓÙÖ  ÓÙÒ Ø  × ÓÖØ ×Ø¹Ô Ø  Ò  Ò Ø ÓÒ Ó  Ï Ò  Ø  ϹÒÓÖÑ Ð Ô Ø  Ö³× ×Ò 
ÓÑ  Ò  ÓÒ×  Ë 
Ø ÓÒ ¾º½µ  ÐÐ ×Ù  ÔÐÙÑ  Ò  Ö 
Ø× ÓÙÖ  ÓÛ ØÓ ÒÓÖÑ Ð ×  Ù×Ø Ú ¸ Ø  Ô Ø ¹ÔÐ ÒÒ Ò  ÐÐÓÛ× Ù× ØÓ Ô Ö ÓÖÑ  Ò
 ¸ ×Ý×Ø Ñ Ø 
 ÐÐÝ ×  × Ð Ò  Ò ÐÝ× × Ó  Ý ÒÓÖÑ Ð × Ø ÓÒ × 
ÓÖÖ 
ظ  ×  Ñ ÒÓÖ ÑÓ  Ò ¸  ÖÓÑ  Ú ÖÝ  Ò  Ð Ñ ÒØ׸ ÓÙÖ  Ü  Ô Ø × ´× Ó  Ò  ×
Ö Ø  ×Ô 
 º  ÜØ Ò× ÓÒ ØÓ Ø Ð  
ÓÒ×ØÖ Ø  Ö Ö  ÔØ Ö¸ Û  Ó  Ö  × × Ø× ×  ÓÛ ØÓ ÒÓÖÑ Ð ×  Ô Ô ×   ÔØ Ö¸ Û ×
Ö ÔØ ÓÒ  ÓÖ ÓÔØ Ñ Ð Ô Ø × ´×  ϹÒÓÖÑ Ð Ô Ø Ó  Ó  Ò  ÔÔÖÓ  × ×¸ Ø × ÒÓØ ×ÙÖÔÖ × Ò  ùÒÓÖÑ Ð Ô Ø  × ÕÙ Ò  Ø  × Þ  ÓÙÖ Ñ  Ô Ø ×  Ò ÐÓ Ýº Ö  × ×  ×
Ö  Ø Ø  ×  ×  ÓÒ Ô Ø ×  Ð×Ó Ö ÐÝ ÓÒ ÒÓÖÑ Ð × Ø ÓÒ Ø  Ï Ð ÓÒ  ùÒÓÖÑ Ð  Ò ÓÙÖ ÑÔÓ×  ×
Ö Ø  Ø × Ø  Ý ÐÓÓ  ÌÓ ×Ø ÖØ Ø  ×  Ô Ø ¸ ØÓ Ñ  ÓÙÒ  Ñ Ð × Ø ÓÒ ÔÐ Ý× Ò Ø Ô Ø ¹ Ò  ×ØÖÙ
ØÙÖ  Ô Ø ×¸ ÓÙÖ ÔÖÓÓ Ø  Ú ÖÝ ÒÓÖÑ Ð Ô Ø  ×  
Ö Ø 
 Ð ÖÓÐ  
 ÐÐݸ Ø  º  Ò  Ì  ÜØ ÖÒ Ð  × ØÓØ Ð Ð  ÒØ× ´Û  Ö  ×Ò  × 
ÓÒØ ÒÙÓÙ×  ×
Ö Ø  
 Ù×  Ø ØÓÙ Ø  ×  
ØÙ Ð  ¿º½ Ï  ÓÖØÙÒ ÜÔÐÓ Ø Ô Ø  Ö Ø Ñ³×    × ×Ñ ÐÐ Ø  × Ò×  ÓÖÑ ÑÓÖ Ø  ÒÓÖÑ Ð × Ø ÓÒ ØÓ × ÑÔÐ Ý ÓÙÖ  Ò
ݺ Ï Û ÒØ ØÓ 
 ÓÓ×  Ò  ÒÓÖÑ Ð Ô Ø ×  Ö  Ø  Ø  
ÓÑ ×    ×Ô  Ý ÕÙ ÒØ Ý Ò  Ò  Ö¸ Û  Ø  Ù Ó Ø Ø  Ñ ÒØ׺ Ï 
 ÓÓ×  Ø  × Ö  Ò  Ù  ÜÔÐ 
 Ø  Ø Ö ØÙÖÒ Ò Ï Ð ÓÒ  ÓÖÑ Ø  Ð Ñ Ò Ø  Ó ×Ø 
Ð  Ó ×Ø 
Ð µº Ì ÒØ Ö  Ó ×Ø 
Ð  ×ÙÖ  ÙÖ ´Ø × Ô  Ö  ×  ÐÓÛ Ö  Ñ ÒØ ´× Ñ Ý  ×  ÔÖÓ
 ×× Ò
Ö  
 Ù× Ö Ó  
 Ò × × Ø  ×  C ¹× ÔÔÐ Ô Ø  Ñ  Ø  Ð Ò Ø  Ø× ×  Ô Ø ×  Ó  Ù  ÓÒ Ø  Ñ ÒØ ØÓ  ÒØÖ 
 
Ý  Ò Ù  ØÓ  Ù  ÒÙÑ  Ï Ð ÓÒ Ò× Ô Ø  Ø× ´ÒÓÒ¹  ×
Ö ÔØ ÓÒ Ó  × × Ò× ¸ Ø Ó  ÒØÖ 
 
Ý  ÒÝ  Ð ÓÖ Ø Ñ  Ò× Ô Ø ¸ ×  ÓÖØÙÒ  ÓÖÑ Ø ÓÒ×  Ò  
ØÓÖ Ó  ÒØ ÖÒ Ð Ò  Ø  C ¹× Ø  ÓÖØÙÒ Ø ÑÓ×Ø  Ø  Ó ÒÓØ ØÓÙ  Ò  n  Ï Ð ÓÒ ´Ø  ÒÙÑ  ´ µ ÁÒ Ø Ð Ù Ò× Ô Ø º  ´ µ ÈÓÔ ÓÙØ C ¹× Ñ ÒØ׺  ´
µ ÈÙÐÐ Ò C ¹× Ñ ÒØ׺  ´ µ ÈÙ× ÓÙØ C ¹× Ñ ÒØ׺  ¿º½  ÓÖÑ Ø ÓÒ× Ù×  ¾  Ò  Ï ÒÓÖÑ Ð × Ø ÓÒº  Ò Ø  Ö  ÒÚ ¹  Ñ ÒØ ØÓÙ  
ÓÖÒ Ö×µº  ÙÖ  Ò  Ò× Ô Ø ×º  Ö Ó  Ø ÒØÓ 
ÓÒØ 
Ø Û Ø  Ò× Ô Ø º  Ý  Ñ ÒØ× ´ Ö
×  Ò ØÙÖ Ð  Ù    ×Ø ÖØ  Ù  ØØ ÒØ ÓÒ  Ò× Ô Ø º  ׸  Ø Ø  ÒÝ  Ö  ÖÙÒ Ø Ñ  ÒØÓ  Ò ×  C ¹×  ÒØÓ  Ñ ÒØ׺ ÁÒ Ø  ÓÙÒ Ô Ø  ×  ÙØ  ÜÔÐ 
 Ø  Ë 
Ø ÓÒ× ¾º½  ÓÖØÙÒ  × Ø  ¿º½´ µµ ÓÖ ÔÙ×  × Ô  
ÓÑ ×¸  Ð Ñ Ø ÓÙÖ  Ó  Ò Ø× ØÙÖÒ׺ ÁÒØÙ Ø Ú Ðݸ Ø ÙÖ  Ø  × Û  Ò  ÓÙÖ ÒÓÖÑ Ð  × 
ÓÑÔÖÓÑ ×  Ñ ÒØ×µº  Ò× Ô Ø  Ð  ¹
ÙÖÚ ØÙÖ  ¿º½´
µµº ÇÒ  Ô Ø  ×  ¹
ÙÖÚ ØÙÖ Ù  ×
Ö ÔØ ÓÒ Ó ÓÙÒ  × ×  Ð Ó¹  Ó Ð× 
ÓÑÔ Ø Ñ  ÒÓÖÑ Ð Ô Ø  
 Ò Ö ×ØÖ 
Ø ÓÙÖ Ô Ø  ÒÙÑ  Ö ×ÙÐØ ØÓ 
ÓÒ×ØÖ  C ¹×  Ô Ø  ÖÓÒÑ ÒØ ´×  Ø  ×Ñ  ØÛÓ × Û  Ø  ÓÙÖ  Ó ÒÓÖÑ Ð Ô Ø ×  ÒÓÖÑ Ð × Ø ÓÒ× ´× Ð  Ø¹Ð Ò  Ó  ÑÔÖÓÚ  ×Ô 
 ×µº  Ô Ø  ÓÙÒ  ×  Ñ  Ò
Ö  Ö ÒØ  Ð  ÒØÖ 
 
Ý  Ò× Ô Ø  Ú Ò  Ô Ø  Ò ×Ô  Ö  × Ö  
ÓÑ ×º Ï  × ×  × ÔÖÓÔÓÖØ ÓÒ Ð ØÓ Ø  × ÑÔÐ ×Ø  × ÑÔÐ ×Ø  Ñ ÒØ× ´×ØÖ  ØÖ ÖÝ Ø  Ø Ö ØÙÖÒ×  ×ÓÑ  Ö Ò  Ò× Ô Ø  Ø Û  ÓØ  ¹
ÙÖÚ ØÙÖ  Ó Ó ×Ø 
Ð × ½ ℄º À Ò
 ¸ Û  Ð×Ó Ö 
 ÐÐ Ø  º Ì  ×Ñ ÐÐ Ö Ô Ø  ÓÙÒ  L¹×  Ò Ò  ×
Ö Ó Ø  Ø  Ò  ØØ  Ò  × Ö  Ù Ò× Ô Ø  Ø  ÓÛ ØÓ ØÙÖÒ  Þ ÖÓµ ×  ÒØÖ 
 Ø  ÔÖ ÓÖ  ×  ÜÔ Ò×  ÐÐ ÒÓÖÑ Ð Ô Ø ×  ÒÓÖÑ Ð ÓÖÑ× ´ Ò  Ù× 
 Ö
Ð ×µ  ÔÖ × Ò  Ò  Ø Ø  ÒØÖ 
 
Ý Ó Ø  ×ÙÖÚ Ý  Ð ÓÖ Ø Ñ  ÓÙÖ ÒÓÖÑ Ð ÓÖÑ ×Ó Ø  ×Ý ØÓ  ÑÓÖ  Ó  ¾º¾º¾µº Ê 
 ÐÐ Ø ÙÒ Ø¹Ö  ×
Ö  ÓÒ  ÓÛ Ø  Ö ×ØÖ 
Ø Ú  ÖÐ Ó  Ú Ò  Ö ×ØÖ 
Ø Ú ¸ Ø  ×Ñ ÐÐ Ö Ø  ØÓ ÑÓÖ  Ò Ï Ð ÓÒ ÆÓÖÑ Ð ÓÖÑ  × Ò  Ö Ù Ö Ó  Ï ×Ù  ÓÒ  Ö  × Ñ  ×Ù  ´×  Ö
¸  ÙÖ  Ø  ÑÓÖ  Ø Ø  ÙØ  Û  ÙÖ  ÓÖØÙÒ  ÓÒ µ Ð  ¿º½´ µµº Ä  ×  Ò  ÙÐ 
 Ó Ö
¸ Û  Ó  ¿º½´ µµº À Ò
 ¸ Û  π ¹Ð  Ò Ø  Ø  Ö  ÓÖ  ××ÙÑ ×Ð  C ¹×  Ñ ÒØ ÒØÓ  Ø ÑÓ×Ø ÕÙ ÒØÙÔÐ  Ø  Ø ØÓÙ  ×  Ò Ø  Ò Ó ×Ø 
Ð  Û Ø ÓÙØ ÐÓ×× Ó  Ò  ×Ù  Ö  ¸ Û  Ñ ÒØ  π ¹Ð  ×ÓÑ  Ö
 ´ÒÓØ Ò 
 ×× Ö ÐÝ Ø  ÙÒØ Ð  Ñ ÒØ ØÓ ×Ð Ò Ð  C ¹×  ÓÒ  ×Ù  ØÖÓÑ ÓÒ  º À Ò
 ¸ Ø  Û  Ö  Ï Ð ÓÒ ³× ÒÓÖÑ Ð × Ø ÓÒ  ×Ð  Ï Ð ÓÒ ¸ Û  ÓÙÒ  ÔÓÖØ ÓÒ× Ó Ø  ×Ù  Ò  Ô ÖØ Ó  ÓÖØÙÒ  ×Ô  Ý 
 Ö  ×Ð  ØÓ  Ö Ð Ø  Ò Ò ¸ ÙÒÔ ÖØÙÖ  Ø Ñ  ×  Ò Ó ×Ø 
Ð ¸ Û  Ó ×Ø 
Ð ¹ Ö  Ò Ó ×Ø 
Ð º Ñ  Ô  Ó × ÒÓØ ØÓÙ  Ù Ö ÒØ  Ð×Ó ØÓÙ  Ø ÑÓ×Ø  Ø  ×  Ø Ø  Ö ¹  Ò Ó ×Ø 
Ð º  Ú  ÒØÖ 
 
Ý Ó Ø  Ò Ö Ð ØÝ  Ú ÒØÙ ÐÐÝ ØÓÙ  Ô Ø  Ô Ø  ×    Ñ ÒØ× ´×  Ò Ø  ÛÓÖ×Ø 
 × º  Ì ÓÖ Ñ ¿º½º ½ ℄ ËÙÔÔÓ× Ø Ø Ø Ö Ü ×Ø×  × Ð Ù Ò× ÒÓÖÑ Ð Ô Ø Ó ÒØÖ 
 
Ý k ÖÓÑ ×Ø ÖØ 
ÓÒ ÙÖ Ø ÓÒ αs ØÓ Ø ÖÑ Ò Ð 
ÓÒ ÙÖ Ø ÓÒ αt º Ì Ò Ø Ö Ü ×Ø× × Ð Ù Ò× ÒÓÖÑ Ð Ô Ø Ó ÒØÖ 
 
Ý Ø ÑÓ×Ø 5nk ÖÓÑ αs ØÓ αt ×Ù
 Ø Ø ½º Ú ÖÝ ÒØ ÖÒ Ð C ¹× Ñ ÒØ ØÓÙ
 × Ò Ó ×Ø 
Ð  Ò  ¾º Ú ÖÝ ×Ù Ö
 Ó Ð Ò Ø π ØÓÙ
 × Ò Ó ×Ø 
Ð º Ï Ö Ò  Ö ØÓ  ÒÝ  Ï Ð ÓÒ ¸ Û  Ö  Þ ÖÓ Ð Ò Ø µ Ò Ø ÓÒ Ó Ð Ò Ø  Ù  Ò× Ô Ø  Ö ØÓ  ÙÑÔº  ×  ÙÑÔ Ò ÓÒ  Û Ø  Ø  ÓÚ  ϹÒÓÖÑ Ð Ô Ø ÇÙÖ  Û Ø  Ò Ø ÓÒ Ó  Ö ×Ô 
Ø  Û  ÔÖÓÔ ÖØ  ϹÒÓÖÑ Ðº  ×  CLC  ×ØÖÙ
ØÙÖ  ÙÑÔ  ÒÓÛ Ö ÕÙ Ö  × Ö×  Ø  Ø  ÖÓÑ  Ú ÖÝ  C ¹×  ´ µ È Ø × ÙÑÔ ÖÓÑ α ØÓ ω ÓÖ ÙÑÔ ÖÓÑ α ØÓ β ÓÐÐÓÛ Ý ÙÑÔ ÖÓÑ β ØÓ ω º ÙÖ  ¿º¾  β  ÖÓÑ  Ö ÔÖ × ÒØ  ÓÒ  ×  
 Ù×  ωº  Ì  Û Ö ÔÖ × ÒØ  ×  Ò  ÓÐÐÓÛ Ò  × ÕÙ Ò  ÒÓÛ Ö ÑÓÚ  p  Ó  Ô Ø  Ó  Ó  ¿º¾´ µ × ×Ø Ø × Ø  Ò Ö Ð¸ Ø  ÙÑÔ×  ×  ×  q  × ÕÙ Ò  ϹÒÓÖÑ Ð Ô Ø ×  ÙÖ Ð ÑÑ  ÙÑÔ׺ ÁÒ  × ÕÙ Ò Ñ  Π  Ö  ¿º¾´ µ Ù×Ø ØÓÙ  ØÖ Ö ÐÝ  Ù×Ø ØÓÙ  Ò  × Ø  Ù×Ø ØÓÙ  Ù ØÝ  Ò  Π Ù×Ø ØÓÙ
 × 
ÐÓ× ØÓ p Ó ×  ÙÖ  Ï 
 Ò Ó Ø  Π  ÙÑÔ  Ò  ÙÑÔ ÖÓÑ Ø  Ö  ÙÖ  ×  ÒÝ Ö  Ó  ÙÑÔ׺  × ÕÙ Ò  α  ÙØ  ØÓ  β  Ó  ÙÑÔ׺  ÓÐÐÓÛ  ϹÒÓÖÑ Ð Ô Ø  Ý  
 Ò  × Ú Ö Ð Û Ý× ØÓ Ö ÔÖ × ÒØ  ¿º¾´ µ¸ Ø  Ô Ø  α  ÖÓÑ  ØÓ  ω  ×  Ð×Ó  ÙÑÔº  Ï ÔÓ ÒØ  Ï Ð ÓÒ ³×  ´ µ Ì ÔÓ ÒØ p Ù×Ø ØÓÙ
 × Ò Ó ×Ø 
Ð q Ó × ÒÓغ  ϹÒÓÖÑ Ð Ô Ø  ϹÒÓÖÑ Ð Ô Ø ØÓ  ϹÒÓÖÑ Ð Ô Ø × Ò Ð  Ê ÔÖ × ÒØ Ò  ÑÔÓÖØ ÒØ  Ü ÑÔÐ ¸ Ø  ÙÑÔ  Ñ ÒØ 
 Ò  Ñ ÒØ ÓÒ  p  ÓÖ  × Ò  ω  β  α  Ö    ÓÖØÙÒ  ÓÖØÙÒ  πº  Ø ÑÓ×Ø  ÂÙÑÔ×  ´  Ä  ÙÒ ÕÙ  ×    p  Ô Ø  ØÓÙ  ×  Ò Ó ×Ø 
Ð º  ÙØ Ø  Ö ÔÖ × ÒØ Ø ÓÒ Ó ØÙÖ  Ö ÔÖ × ÒØ  ÒÓØ ØÓÙ  Ò Ó ×Ø 
Ð ¸  ÒÚ ÖÓÒÑ Òغ Ì ×  ÓÛ Û  Ò Ó ×Ø 
Ð ¸  Π  × Ö ×ÙÐØ× Ò  Ø ÑÓ×Ø ØÛ 
 º ¾  ÔÓ ÒØ  q  Ý ×ÔÐ ØØ Ò Ò Ø  Ý  ÙÑÔ׺ Ï  Ò Ó ×Ø 
Ð ÓÖ  Ò  Ü ÑÔÐ ¸ Ø  Ó × ÒÓØ Ù×Ø ØÓÙ Ø  Ø  × ÕÙ Ò  ÐÐ Ó Ø 
 Ù×  × Ý Ø ×ÓÑ  Ø ÔÓ ÒØ  ÔÓ ÒØ  p  Ò  Ò Ó ×Ø 
Ð º  ÔÓ ÒØ× Û   ×  Ö  Π  Ñ ÒØ Ó  Ï Ê  × Ý Ø  ÖÖ Ò  ÖÓÑ  α  Ø   β  ØÓ  × 
 ÒÓÒ 
 Ð  ÙÑÔ  ØÓ Ò  ÙÖ ÖÓÑ  β  Ö  Π  
 ÒÓÒ 
 Ð Ö ÔÖ × ÒØ Ø ÓÒ Ñ  Ø  Ø  Ø  ÔÓ ÒØ Û  ÙÑÔ× Ò  Ji  Ò Ø ÖÑ× Ó Ø  º Ì  ÒÓ ÔÓ ÒØ Ò Ø× ÒØ Ö ÓÖ Ù×Ø ØÓÙ ÙÑÔ ÖÓÑ  α ØÓ ω  
 ÒÓÒ 
 к Ï  × Ý Ø  ¿º¾´ µ¸ Ø  ω  ØÓ Ó  Ö  Π  Ô Ø  Ù×Ø ØÓÙ  Ò ÜØ Ð ÑÑ  ÒØÖ 
 
Ý Ó Ø  ÙÑÔ  Jj Ò    ÓÙÒ × Ø  Ô Ø  Ò  Ø  ÒÚ ÖÓÒÑ Òظ  ´ µ  × Ø  × Þ  Ø  Ó  ×  × ÒÓÒ¹
 ÒÓÒ 
 Ð × ÕÙ Ò  Ò Ó ×Ø 
Ð º  ÙØ  Ó  Π  ×Ø  ÙÑÔ×  Ji  ÙÑÔ×  Jj  × 
 ÒÓÒ 
 и ´ µ ´
µ  ÓØ  ×  Jj+1  Ò  
ÓÒ
 Ø Ò Ø ÓÒ Ó  Ô Ø ³× 
 ÒÓÒ 
 Ð Ö ÔÖ × ÒØ Ø ÓÒ  
ÓÑÔÐ Ü ØÝ Ó Ø  ÒÚ ÖÓÒÑ Òغ  Ä ÑÑ ¿º¾º ËÙÔÔÓ× Ø Ø Ø Ö Ü ×Ø× Ù Ò× Ô Ø ÖÓÑ ×Ø ÖØ 
ÓÒ ÙÖ Ø ÓÒ αs ØÓ Ï¹ÒÓÖÑ Ð Ô Ø ÖÓÑ Ø ÖÑ Ò Ð 
ÓÒ ÙÖ Ø ÓÒ αt Û Ø ÒØÖ 
 
Ý kº Ì Ò Ø Ö Ü ×Ø× 2 αs ØÓ αt Û Ó× 
 ÒÓÒ 
 Ð Ö ÔÖ × ÒØ Ø ÓÒ 
ÓÒ× ×Ø× Ó O(nk + n ) ÙÑÔ׺ ÈÖÓÓ º ÌÓ  ÝÌ    ×ÓÑ  Ú Ö  ÙÒ  j < l¸ Ø × Ñ ÖÓÑ  Ji  × Ö  ϹÒÓÖÑ Ð Ô Ø  ÓÙÒ × ÓÒ Ø  Ò
Ý ÖÓÑ  ×Ù Ô Ø  
ÓÒ  Π  ÓÖ Ñ ¿º½¸ Ð Ø  Ø  Πº  ÙÖ Ø ÓÒµ¸ Ò Û  Ji  Ä Ø  
ÓÖÖ ×ÔÓÒ   × Þ  Ò  Ø  ØÓ  
 ×  Ó  αs ØÓ αt Û Ø O(nk) Πº  
 ÒÓÒ 
 Ð Ö ÔÖ × ÒØ Ø ÓÒ Ó  Jj , . . . , Jl−1  Û  ÖÓÑ  Ø× 
 ÒÓÒ 
 Ð Ö ÔÖ × ÒØ Ø ÓÒ¸ Û  Ö ÑÓÚ  ÓÖÑ×  Ø  ×Ù Ô Ø  ÐÓÓÔ ´ Ø ÖÓÑ  Ò×  Π  Ò  Jj = Jl ¸  Á Ò  Ø  ÒØÖ 
 
ݺ  Ö×Ø Ö ÑÓÚ Ò ×  ÓÖ  ØØ  ×Ù × ÕÙ Ò  º  ′ ÐÓÓÔ׺ Ä Ø Π Ø 
ÓÒ
 Ø Ò Ø ÓÒ Ó ′ ′ Ð Ji × Ø× 
 ÒÓÒ 
 Ð Ö ÔÖ × ÒØ Ø ÓÒº ÌÓ ÙÑÔ× Ò Ji º ÔÖÓÚ Ø × Ð ÑÑ ¸ Ø ×Ù 
 × ØÓ × ÓÛ Ø Ø Ø Ð Ò Ø Ó Ji′ × O(nk + n2 )º Ï Ö×Ø ÓÙÒ Ø ÒÙÑ Ö Ó ÙÑÔ× Ó Ji′ Ø Ø 
ÓÒ× ×Ø Ó ÑÓÖ Ø Ò ÓÒ ÒÓÒ¹Þ ÖÓ × Ñ ÒØ ′ Π′ × ÒØÖ 
 
Ý O(nk) 
 Ù× Ø × ×Ù Ô Ø Ó Π Ò
 ¸ Π × O(nk) ØÖ Ò× Ø ÓÒ× ÖÓÑ ÓÒ ÒÓÒ¹Þ ÖÓ Ð Ò Ø × Ñ ÒØ ØÓ ÒÓØ Ö Ø Ö ÓÖ ¸ Ø Ö Ö O(nk) ÙÑÔ× Ó Ji′ Ø Ø 
ÓÒ× ×Ø Ó ÑÓÖ Ø Ò ÓÒ ÒÓÒ¹Þ ÖÓ × Ñ ÒØ 
 Ù× 
 ×Ù ÙÑÔ 
ÓÒØ Ò× Ø ′ ′ Ð ×Ø ÓÒ ×Ù
 ØÖ Ò× Ø ÓÒ Ó Π º ÆÓÛ Û ÓÙÒ Ø ÒÙÑ Ö Ó ÙÑÔ× Ó Ji Ø Ø 
ÓÒ× ×Ø Ä Ø  Ó  Ji′  Ø  Ü 
ØÐÝ ÓÒ ÒÓØ  Ö  ØÙÖ  Ö ×ÙÐØ Ó Ö ÑÓÚ Ò ÐÐ ×Ù ′ ÖÐݸ Π × Ï¹ÒÓÖÑ Ð Ò  ÒÓÒ¹Þ ÖÓ × Ø  Ñ ÒØ  Ø 
ÓÒ× ×Ø Ó  Ø  Ö  O(1)  Ö  Ü 
ØÐÝ ÓÒ  
 ÒÓÒ 
 Ð ÙÑÔ× Ø Ø 
ÓÒ× ×Ø Ó Ü 
ØÐÝ ÓÒ ′ Ó Ji Ø Ø 
ÓÒ× ×Ø Ó Ü 
ØÐÝ ÓÒ × Ñ ÒØ  × ×  
 ÒÓÒ 
 Ð ÙÑÔ×  Ñ ÒØ  Ò
 ¸ Ø  Ö  Ñ ÒØ Ø Ö ÓÖ ¸ Ø ′ ′ 
 Ù× Jj = Jl ¸ ÓÖ j  ÙÖ ÇÙÖ  Ó Ð × ØÓ  ×
Ö ÔØ ÓÒº Ï  ¿º¿  Ç × ÖÚ Ø ÓÒ× Ð  Ú ÐÓÔ  Ù×Ø ÐÐÙ×ØÖ Ø  Ò  Ø  Ô Ø  
 Ò ¾  ØÓ  O(n ) ÙÒ ÕÙ O(n2 ) ÙÑÔ×  < lº  φ  ´
µ Ì Ö Ö Ø ÑÓ×Ø ÓÙÖ CLC ¹×ØÖÙ
ØÙÖ Ô Ø × ÖÓÑ θ ØÓ φº  ØÓ ÓÙÖ ÙÑÔ Ö ÔÖ × ÒØ Ø ÓÒº  ÒÓÖÑ Ð ÓÖÑ Û Ø  Ö  θ  ´ µ Ì Ö Ö ØÛÓ ÓÖ ÒØ ÙÒ Ø¹Ö Ù× 
 Ö
Ð × Ø Ò ÒØ ØÓ θº  ØÙÖ  2  Ö Ö  θ  ´ µ Ì Ö × Ø ÑÓ×Ø ÓÒ L¹ × Ñ ÒØ ÖÓÑ ÓÒ ÓÖ ÒØ 
 Ö¹ 
Ð ØÓ ÒÓØ Öº  ÖÓÑ ÓÒ  Ö  Ú ÖÝ ÒÓÖÑ Ð Ô Ø Ö ÔÖ × ÒØ  ×  × × ÕÙ Ò  ×
Ö Ø Ó  ¹  ÙÑÔ׺  Á  Ú ÖÝ ÙÑÔ Ò ×Ù  ×
Ö ÔØ ÓÒº Ø  Ø  Ú ÖÝ  Ø ÓÒ¸  Ø  ×  Û  Ö  ×  ÙÒ  Ò  ÖÐÝ Ò Ý Ø  ÒØ  
 Ö
Ð  ØÓ  Ð  ×
Ö ÔØ ÓÒ Ó Ñ ÒØ 
 Ò  Ø  ØÓ  ÓÖ  × 
ÓÒ ÒØ Öº  φ φ ´×  
ÓÒ  ÙÖ Ø ÓÒ ÒØ ØÓ  ×  Ö  Ò   
ÓÖÖ ×ÔÓÒ  Ò  
 Ù× Ø  ÙÖ  C Ò C ¹×  Ø  Ø Ø  Ø  ØÓÙ  ÙÖ Ø ÓÒ ÓÒ  × Ø  Π¸  ×  Ö  ÒØ  Ö  Ø  Û Ø  ØÛ  Ø Û  Ò  ÙÖ Ø ÓÒ  ×  ÙÑÔ ÓÖ  ÒØ  ÖÓÑ ÓÒ  ÓÖ ¹  Ù× 
 Ö
Ð × Ø Ò  θ  ÙÖ Ø ÓÒ  ØÓ ÓÒ Ð  ÒØ ØÓ  Ó ØÛÓ 
 Ö
Ð ×  ×ØÖÙ
ØÙÖ Ø  θ  θ  ÙÑÔ× ÖÓÑ  ÓÙÖ ÔÓ××  
 Ø Ò  Ð Ø  Ó  ÓÖ  Ý Ø×  ØÓ  × Ù× Ò  Ô Ø  Û  ÒØ Ø ÓÒ Ó  Ø×  ¹³ ÓÖ 
ÓÙÒØ Ö
ÐÓ
 Û × º Ì  Ø ÖÑ Ò  Ö×Ø 
ÓÒ  ÓÚ  ÙÖ Ø ÓÒ¸ Ø×  C + LC + ¸ C + LC − ¸ C − LC + ¸ ÙÖ Ø ÓÒ Ó Ô Ø Π Ö Ö× ØÓ Ø Ö ÓÒ Π¸ ÓÖ 
ÓÒ ÙÖ Ø ÓÒ Û Ö Π  ´ÓÒ  
ÓÒØ 
Ø 
ÓÒ  Ð ×Ø 
ÓÒ  ÙÑÔ  
ÓÒ  ÒØ ØÓ  Ò  Ó  Ñ ÒØ  ÖÓÑ  × Ò  
 ÐÐ Ø  ×ÙÔ Ö×
Ö ÔØ  ×ØÖÙ
ØÙÖ  L¹×  Ò Ø  ÙÖ ¹  Ñ ÒØ Ó  Ñ ÒØ ØÓ Ø  Ø ÑÓ×Ø ÓÙÖ ÔÓ××  ×Ø Ò Ù ×  ¹ Ö Ù  × ØÖ Ò× Ø ÓÒ × ÙÒ ÕÙ ÐÝ  ÙÒ Ø¹Ö  ÙÑÔ  Ó ØÛÓ 
 Ö
Ð × Ø Ò Ö  ×ØÖÙ
ØÙÖ  C ¹×  Ö×Ø  ×
Ö Ø  Ø× Ð ×Ø 
ÓÒ  L¹×  ¿º¿´ µµº Ì  ØÛÓ ÓÖ  ÙÑÔ × 
ÓÑÔÐ Ø ÐÝ  Ø  Ø Ø Û Ø  Ø ÑÓ×Ø ÓÒ  ·³ ÓÖ 
ÐÓ
 Û ×  Ð ×Ø 
ÓÒ ÙÖ Ø ÓÒ¸ Ò Ø× × Ò − − C LC µº ÁÒ Ø Ò ÜØ 
ÓÖÓÐÐ Öݸ Ö×Ø 
ÓÒ  Ö  ×ØÖÙ
ØÙÖ  ×ØÖÙ
ØÙÖ  Ó × ÖÚ Ø ÓÒ× ÑÔÐÝ Ø  Ö  ×  ×
Ö ÔØ ÓÒ¸ Û  ÙÖ Ø ÓÒ¸  Ú  Ø  ÙÖ  ¿º¿´ µµº À Ò
 ¸  ÙÑÔ¸ Û  Ñ ÒØ  Ö×Ø 
ÓÒ  ÖÐÝ Ò  Ø  ¿º¿´
µµº Ì Ù׸ Ø  ÒÓØ ÓÒ Ó Ô Ø  Ù Ñ ÒØ  ÙÒ  ØÖ Ò× Ø ÓÒ ÖÓÑ ÓÒ  ÌÓ 
ÓÑÔÐ Ø ÐÝ ×Ô 
 Ý  ÑÓÖ  Ñ ÒØ ´×  ÙÖ  Ø×  Ô Ø  ×
Ö Ø  Þ ÖÓ Ð Ò Ø º Ï  
 Ö
Ð  ÆÓØ  ×
Ö ÔØ ÓÒ¸ Ø  Ø× ÙÑÔ×  Ø× ×ØÖÙ
ØÙÖ º Ê 
 ÐÐ Ø Ú  C ¹×  ÙÖ Ø ÓÒ ´×  Ø Ò  Ú  ÒØ  
 Ö
Ð ×  ÒÓØ  ×
Ö Ø ØÓ  ×
Ö ÔØ ÓÒ  ÒÝ ×  ÓÖ  ÒÝ 
ÓÒ  × Ô Ø  ×Ù

 Ò
Ø  ØÖ Ò× Ø ÓÒ ÖÓÑ Ø  
 Ö
Ð  φº  × ÕÙ Ò  ÒÓÖÑ Ð × Ò  ÙÑÔ  Ò  CLC ¸  ×  ÓÖ  Ó  Ò Ø Ù×Ø  ÒÚ ÖÓÒÑ Òغ  ÓÖÓÐÐ ÖÝ ¿º¿º ËÙÔÔÓ× Ø Ø Ø Ö ×  Ù Ò× Ô Ø ÖÓÑ 
ÓÒ ÙÖ Ø ÓÒ αs ØÓ 
ÓÒ Ù¹ Ö Ø ÓÒ αt Û Ø ÒØÖ 
 
Ý kº Ì Ò Ø Ö Ü ×Ø× Ï¹ÒÓÖÑ Ð Ô Ø Π ÖÓÑ αs ØÓ αt Ø Ø 
 Ò Ö ÔÖ × ÒØ × × ÕÙ Ò
 Ó 
ÓÒØ 
Ø 
ÓÒ ÙÖ Ø ÓÒ× θi Ò × ÕÙ Ò
 Ó × Ò ×ØÖÙ
ØÙÖ × Γi ×Ù
 Ø Ø ½º Ø iØ ÙÑÔ Ò Ø 
 ÒÓÒ 
 Ð Ö ÔÖ × ÒØ Ø ÓÒ Ó Π × Ø × Ò ×ØÖÙ
ØÙÖ Γi ¸ ¾º Ø  Ð Ò Ø × Ó θi  ¿º¾ Ï Ì   Ö O(nk + n2 )º  Γi  ÓÑ Ò ØÓÖ Ð Ù Ñ ÒØ Ø ÓÒ  ÒÓÛ  Ò  Ò Û ÒÓÖÑ Ð  ÓÖÑ Û  ×
Ö ÔØ ÓÒ ×  Ò  ×  ×
Ö Ø  Ò  
ÓÖÓÐÐ Öݺ Ì  ÓÖÓÐÐ ÖÝ ¿º¿ Ô Ø ÁÒ  Ò  Ö  Ø  
ÓÒ  ϹÒÓÖÑ Ð Ô Ø 
ÓÖÒ Ö¸  Ö    ÐÐÝ ÒÓÒ¹  Ö ×ØÖ 
Ø  Ò  Ò Ø Ü  ÒÓÖÑ Ð Ô Ø  Ø  Ô Ø  ×
Ö Ø  Ý Ø  × Ö  × Ó  
ÓÖÒ Ö  ¾  Ò Ø ×
Ö Ø  ÓÑ  º ÀÓÛ Ú Ö¸ Ø  ÓÐÐÓÛ Ò  ×
Ö Ø Ô Ø  × × 
Ø ÓÒ¸ Û  Ö ÖÓØ Ø  ×  × Ò× ÙØ  ×
Ö ÔØ ÓÒº  Ö ÔÖ × ÒØ Ø ÓÒ ×Ø Ø  Ð Ñ ÒØ×  ÙÖ Ø ÓÒ  × Ø Ö  Ú ÖØ 
 ÐÐݸ  Ø× ÔÓ× Ø ÓÒ ×    ÙÖ Ø ÓÒ׺ ÁÒ Ø  
ÓÒØ 
Ø 
ÓÒ  ÙÖ Ø ÓÒ  Ö  ÜØ Ò× ÓÒ Ó  
ÓÒØ 
Ø 
ÓÒ  Û Ý Ø  Ò Ö Ð¸  ÔÓØ ÒØ  Ø  ÓÖ ÞÓÒØ ÐÐݸ ØÖ Ò×Ð Ø Ø  Ò  ÙÑÔ ÖÓÑ θi ØÓ θi+1 Û Ø  ÔÖ ¹  Ö ÔÖ × ÒØ Ø ÓÒ Ó  ×
Ö  ÓÛ ØÓ  ÓÖÑ  ×
Ö ÔØ ÓÒº 
 Ù×  Ø 
 Ò  
ÓÒØ 
Ø 
ÓÒ 
ÓÒØ 
Ø 
ÓÒ  Ø× ÓÖ  Ò Ø  ÒØ Ø ÓÒ Ð  ØÖ Ò×Ð Ø ÙÖ Ø ÓÒ× Ó  ÙÖ Ø ÓÒ Ó

ÙÖ×  × Ò  
ÓÒØ ÒÙÓÙ×  Ö Ò  
ÓÒØ 
Ø 
ÓÒ  Ö Ò  ´Ø  ÓÙÖ  Û Ðе  ×
Ö ÔØ ÓÒ Ó  ÓÖ  Ü ÑÔÐ ¸  ÐÓÒ  Ø  ØÙÖ ¸  ϹÒÓÖÑ Ð Ô Ø  ÙÖ  ¿º ´ µµ  Û ÐÐ ´×  ÙÖ  ÓÑ Ó Ø  Ô ÖØÙÖ Û  Ò  ÙÖ Ø ÓÒ Ó

ÙÖ×  Ø  
ÓÒØ 
Ø 
ÓÒ ¿º ´ µµº    
ÓÙÐ  ÙÖ  ¿º  Ö  Ó  Ï  Ö  
 ÐÐ Ô ÖØÙÖ  Ò Ö Ðº  × Ø ×  ÙÖ Ø ÓÒ×  Û  Ò Ø  
ÓÒ×ØÖ Ø  Ø Ø  × ÔÓ Òظ ÑÔÓ× Ð  ÖÓØ Ø  Ô Ø   ×  ÓÑ ØÓ Ø× Ð Ñ Øº  Ñ Ý Ô ÚÓØ Ø Û Ðи Û  ÖØ    ÖÓÙÒ  Ø  ÐÐÝ 
ÓÒ×ØÖ 
ÓÒ  Ø  Ñ Ý ×Ð  Ò× 
ÓÒØ 
Ø Û Ø  Ø  Ò× Ø  Ô ÖØ 
ÙÐ Ö ÙÖ Ø ÓÒ  Û Ý  Ó ÔÓ×× Ð Û ÐÐ 
ÓÒØ 
Ø׺  ×ÓÑ  ÒØ  Ö  Ò  Ø    ØÙÖ ¸ Ø  × Ù×Ø ÓÒ  ÖÓÐÐ Ò  
 Ù×  ×  × ÓÚ Ö 
ÓÒ×ØÖ  ÐÓÒ  Ô  Ò  ÖÓÐÐ  Ö  ÙÖ  Ô Ø  ÙÖ  ÑÓÙÒØ Ó  × Ø  Ø  ÙÖ Ò  ¾  ÒØ  Ý Ø  Ø  ×
Ö Ø  Ó  Ö  ÓѺ  Ò  º  Ø  ÒØ× Ø  Ø  ×
Ö ÔØ ÓÒº ÙÖ Ø ÓÒ Û ÐÐ  ÙÖ Ø ÓÒ Û ÐÐ ØÖ  Ò× ×Ø Ò  Ø ´ µ Ø  к ÁÒ¹  Ø 
ÓÒØ ÒÙÓÙ×ÐÝ  
ÓÒ  ÒÓÖÑ Ð × Ø ÓÒ ÖÓÐÐ Ò ×Ù  ×  ×
Ö Ø  Ü
 ×× Ú  ׺  × ÔÓ Òظ  
ÓÒ×ØÖ  Ô ÖØÙÖ 
ÓÒ  Ò  Ò ØÓÖ  Ö  
ÓÖÒ Ö¸ Ø ÇÙÖ  Ø Ø  × 
ÓÑ  ÔÙÖ ÐÝ  Û Ðи Ø  ¿º ´ µµº  ÙÖ Ø ÓÒ  ÙÖ Ø ÓÒ 
 Ò  Ø ÖÑ Ò  Ý 
ÓÒØ ÒÙ Øݸ ÖÓÐÐ Ò    ÙÖ Ø ÓÒ¸ Û  ØÙÖ  Ð  × 
ÓÒ×ØÖ  Ø  ×
ÓÒØ ÒÙ ØÝ  Ô Ø º  
Ø Ú ÐÝ Ö ÑÓÚ ×  ¿º ´ µµ ×  Ì  Ô Ø ¸ Û  Ó  ÐÐ ÓØ ¹  Ü ÑÔÐ ¸ Ø  Ò Ú Ö  Ø  Ø  
ÓÒØ 
Ø 
ÓÒ¹  ×
ÓÒØ ÒÙÓÙ× ´ ÓÖ Ó    ÓÖÓÐÐ ÖÝ ¿º¿  × ×µº Ï  ÒÓ 
ÓÒØ 
Ø 
ÓÒ    Ø Û ÐÐ ´×  ÓÖÑ 
ÓÒØ ÒÙÓÙ×ÐÝ ×Ñ ÐÐ Ö  Ø  
ÓÒØ 
Ø 
ÓÒ  ×Ô  Ô Ø  Ó  × ÙÒ ÕÙ ÐÝ  Ö ×ÙÐØ Ò  ×ÙÖ ÒØÐÝ Ó  
ÓÒØ 
Ø 
ÓÒ  Ò  ×ØÖÙ
ØÙÖ  ÒØ Ò  Ø  Ô Ò  ÒØÐÝ ÖÓÐÐ  × Ò Û ×ØÖÙ
ØÙÖ º  ÙÖ Ø ÓÒ  Ò Û  Ø  Ò Ø  
ÓÒ×ØÖ  ÐÓÒ  
ÓÒØ ÒÙÓÙ× ´ º º ÓÒÐÝ Ø  Ò  ×ØÖÙ
ØÙÖ  × Ø × Ý ×Ù  Ø 
ÓÖÒ Ö ´×  ×  Ö ØÓ ÖÓÐÐ  Ô Ò  Ö  Û Ý  ÙÖ Ø ÓÒ Ò  ×
Ö ÔØ ÓÒ ÓÙØÐ Ò  Ò  Ö× ØÓ Ø  
ÓÒØ 
Ø Û Ø  ØÓ  Ø×    ØÓ ÔÖ × ÖÚ  Ø Ö  ÐÐÓÛ× Ù× ØÓ Ô Ø  ÔÔ  
 ÒÒÓØ Ò  ×
Ö ÔØ ÓÒ  Ô Ø º À Ò
 ¸ Ø  Ò Ò  ÙÖ Ø ÓÒ  ÓÚ  
 ÒÓÒ 
 Ð Ö ÔÖ × ÒØ Ø ÓÒ Ò
Ö  ÓÖÑ Ð¸ Û  ÓÙØ Ø  Ð ¸ Ø  Ò Ø  Ò Ø  
ÓÒØ 
Ø 
ÓÒ  Ø Û  
ÓÒØ 
Ø 
ÓÒ  ÓÒ Ø  
ÓÒØ ÒÙÓÙ× Ò  ÒØ  Ö  Ø  ÓÖÑ Ø ÓÒ Ø Ñ  ÙÖ Ø ÓÒ  ÙØ Ó

 × ÓÒ ÐÐÝ Ø  Ô Ø  
ÓÒØ ÒÙÓÙ× Ô Ø 
 Ù× × Ø  ×Ù  ÙÖ Ø ÓÒ ØÓ ØÓÙ  ÖÓÐÐ  ÓÖÑ׸  ×  
ÓÖÖ ×ÔÓÒ  Ô Ø  ÑÓÖ Ñ  µ¸  
 Ù×  Ú ÒØÙ ÐÐÝ Ø  Û  Ò  ×  ×
Ö ÔØ ÓÒ  ÌÓ  
Ø Ø  Ô Ø    Ò  Ö  Û  
ÓÖÒ Ö¸ Û  ´ µÊ Ò  
ÓÒ  ¿º ¸ Û  ÙÑÔ× Ò Ø  Ó

ÙÖ׸ Ø  Ø  Ô ÖØÙÖ ÙÖ  ÜÔÐÓ Ø Ø  ÌÝÔ 
 ÐÐݸ Ø Ö Ó  Ó  ×
Ö Ø ×  Ð Øݺ  
ÓÒØ 
Ø 
ÓÒ  ÒØ ØÓ Ø  Ö׺ Ï ÒÓÛ  × ×Ø Ò  ×  
ÓÒØ 
Ø 
ÓÒ  Ò  ÒÚ ÖÓÒÑ Òغ ÁÒ  ÒÙÑ  Ö  ÙÖ Ø ÓÒ Ó

ÙÖ×  ÙÖ Ø ÓÒ  
ÓÒØ ÒÙÓÙ×  ÓѺ  
 Ö
Ð × Ø Ò  Ò    Ó ÔÓ×× Ð 
ÓÖÒ Ö 
ÓÒØ 
Ø׺ Ý Ö ÕÙ Ö Ò  ÐÓÒ × ØÓ  Û Ðк ÁÒØÙ Ø Ú Ðݸ Û  ´ Ò Ñ ÒÝ × ØÙ Ø ÓÒ×µ ØÖ Ò×Ð Ø  ÖÓÑ Ø× 
ÓÒØ 
Ø Û Ø ÓÙØ Ú ÓÐ Ø Ò  ´ µÊ Ò  Û Ðи Ø× ÔÓ× Ø ÓÒ Ô Ö ÐÐ Ð ØÓ Ø  Ý ÔÙ×  
ÓÒØ 
Ø 
ÓÒ  Ú Ò Ø ÓÙ  Ø  ÒØ Ø ÓÒ ÑÙ×Ø  
ÓÒØ 
Ø 
ÓÒ  
ÓÖÒ Ö ´× Ö  ÙÖ Ø ÓÒ Ó

ÙÖ×  ÙØ Ø× ÓÖ  ÖÓÐÐ Ò Ô Ø  Ø  Ø ÖÓÐÐ Ò 
ÓÒ  ÙÖ Ø ÓÒ  Ñ ×  ×  × ×  Ô Ø Ð  Ò  ´ µ ÖÓÐÐ Ò  Ø  ÒØÖÓ Ù ÇÒ  Û Ý Ø  Ö  Ö ØÓ ×Ù  Û  Ù×  Ø  Ò  ØÖ Ö ÐÝ ×Ñ ÐÐ ÒØ ØÓ  Ø Û 
ÓÒ  
ÓÖÒ Ö¸   
ÓÒØ 
Ø 
ÓÒ ÓÙÒ  Ø  Ì  J  ÙÑÔ  ×  Ý  Ö Ò  Ó  Ø  ÖÓÐÐ Ò    Ó  
 Ù×  Ø  Ø  ÒÓÛ Ø  Ø Û  
 Ò ×  ÐÝ ÖÓÐÐ  Ö Û Ý Ø  Ø Û  
ÓÒ×ØÖ  Ò  L¹×  Ò  Û Ðи Ï  ×  Ø  × ×ÙÑÑ Ö ×  Ñ ÒØ Ó  J  × Þ ÖÓ Ð Ò Ø ¸ Ø  Ñ ÒØ Ó  J  × Þ ÖÓ ÓÖ  ÙÖ  ×Ð  Ì  Ö  Ø×  
ÓÒ  ÙÖ Ø ÓÒ×  Ó  ×  Ñ ÒØ ÓÒ  Ò ÜØ ØÛÓ ÒÚ Ö  J  Ñ ÒØ Ó  Ò  Ö¸ Ø  ÙÖ Ø ÓÒº  Ð Ò Ø  Ý Ø  ÒØÓ  ÙÖ Ø ÓÒ× Ø Ø 1 Ö O(n ) ØÝÔ  ÜØÖ Ñ  Ø  Ø  ¿º µ  ØÓÓ  
ÓÒ  ×  Ý Ö ×ØÖ 
Ø Ò  Û Ý Ø  Ö 
Ø  Û  
 ÐÐ Ø  
Ð Ö Ò  Ð º  ÓÒ  ÙÖ Ø ÓÒ Û ÐÐ Ø  × ÔÓ Òظ Û ×  ÙÖ Ø ÓÒ ×Ø Ø 
º Ï  ÒÓÒ¹ Ò
 ÓÖ 
ÓÒØ 
Ø 
ÓÒ  Ô Ø  Ò Ø× 
 ÒÓÒ 
 Ð Ö ÔÖ × ÒØ Ø ÓÒ¸  ½º ÓÒ  Ø Ø  Ò Ø ÐÝ ´×  ØÝÔ ½ Ò
 ÓÖ׺ Ý  Ð Ô Ø  Ò Ú Ö ÖÓÐРغ ÌÓ ×  Û Ðк  ØÙÖ ØÙÖ ×º  ×  ÙÖ Ø ÓÒ Ò  Ô Ø µ  Ö ØÓÙ  Ò Ô× Ø  
ÓÒØ 
Ø 
ÓÒ Ð  Ø  
ÓÒØ 
Ø 
ÓÒ  Û  
ÓÒ  ×  O(n)  ×  
Ð Ö Ò  Ò
 ÓÖ  Ò  Ô ÚÓØ ØÓÓ ÑÙ
 ¸ Ø  O(1)  ÓØ  ÒÝ ÙØÙÖ  
 ÒÒÓØ ÖÓÐÐ  ÙÖ Ø ÓÒ Û ÐÐ ÒÓ ÐÓÒ  Ò
 ÓÖ׸ Û  ÖÓÐÐ Ò  Ô Ø  ×  Ø Û  Ñ  Ø  
 ÒÒÓØ Ó

ÙÖ ÓÒ  ×  Ò
 ÓÖ×  Ø  ÑÓÙÒØ ÑÓÖ  Ø  Ò  ÙÖ Ø ÓÒ  Û  ´Û  Ò×ÙÖ  
ÓÒ×ØÖ  Ò
 ÓÖ׸ ÒÓØ  Ó ×Ø 
Ð  ½  Ö  
ÓÒ×ØÖ  ÐÛ Ý×  × Ø  ÒØ×  ØÐ Ò Ø  Ò  C ¹×  ¾º ÓÒ  π  Ð Ò Ø ¸ Ø  Ø ×  J  Ñ ÒØ Ó  ÐÛ Ý×  × Ø  Ø  Ð Ò Ø º ÌÓ Ö 
ÓÖ ØÙÖ  Ø  Û  Ð Ò Ø  
ÓÒ×ØÖ  Ù Ñ ÒØ    ´ Ü ÑÔÐ ×  ×  Ñ ÒØ³× ÓÖ  Ø  Ö ×ÙÐØ Ò  ×ØÖÙ
ØÙÖ ×Ô  ÒØ×  Ù  Ð ØØ Ö Ó  Ð  Û Ø  Ð Ò Ø  ÓÙÖ ÒÓØ ÓÒ Ó ×ØÖÙ
¹  ×Ù ×
Ö ÔØ  C ¹×  Ó  Ñ ÒØ  º  ÓÚ  ÒØ×  Ò ×ØÖÙ
ØÙÖ  Ø Ò Ø  Ö ÒØ  Ì  ÒÚ Ö  
 ÒÓÒ 
 Ð Ö ÔÖ × ÒØ Ø ÓÒ Ó ÔÔÖÓ  Ô Ø  ÔÓ××  Ð  Ø× ×  Ø  ÒØ×  ÒÚ Ö× µ  Ò Ø  ØÛ  Ý Ø× ÌÓ Ñ  Ò ÒØ  Ö×Ø  ×  Ð Ò Ø Ö×Ø  Ò  ÙÑÔ³× 
ÓÒ×ØÖ  Ú  ÖÓѸ  Ò  ÙÑÔ ´  Ô Ø  ×Ø  Ð × Ö×Ø  Ò  
 Ø Ò  ×ÙÔ Ö×
Ö Ôغ Ï ÑÔÐÝ Ø ÐÛ Ý×  Ø×  C¹  × Þ ÖÓ¸ Ø  
 ÐÐ  Ø Ø  Ò  
ÓÑ × ÑÓÖ  Ò  Ö ×ØÖ 
Ø ÓÒ׺ Á  ×Ø ØÛÓ Ó  Ò Û ØÝÔ  Ó  ÔÓ××  Ø× × Ö  Ð  Ö  Òص¸ Û  Ð ×Ø 
ÓÒ  Ñ  Ò Ø  ÙÖ Ø ÓÒ Ó  Ð ×Ø 
ÓÒ  ØÝÔ  ÖÖ Ú  ظ  ÙÑÔ³× Ð Ò Ø  × Ø  Ò
 ÓÖ×  O(1)  Ò  × Ò Ðݹ
ÓÒ×ØÖ Ò  Ò  µ  ×  ´ÓÒÐÝ  
ÓÒ×ØÖ  ÐÒ  
 Ù×  
ÓÒØ ÒÙÓÙ× ÙÒ
Ø ÓÒ Û Ø  ÙÖ Ø ÓÒ Ó Ø  ¾  Ð Ò Ø  ÙÑÔ ÖÓÐÐ × ÑÙÐØ Ò ÓÙ×Ðݺ  Ö × Ò Ðݹ ÓÖ ÓÚ Ö¹
ÓÒ×ØÖ ×Ñ ´  Ú  ØÝÔ ¾ Ò
 ÓÖ  O(n2 )  ØÙÖ × ØÓ  ÒØ  ÙÑÔ ÓÒ Ø  Ñ ÒØ×  ½  Ò
 ÓÖ  ÙÑÔº Ì  O(n)  ÓÑ ÓÑÓÖÔ Ò  Ð Ò Ø  
 ÒÓÒ 
 Ð Ö ÔÖ × ÒØ Ø ÓÒ ×  
ÓÒ×ØÖ Ø  Ò Ò  ´ Ø Ð  Ò ÓÚ Ö¹
ÓÒ×ØÖ  ÙÑÔ ÓÒ Ø  Ø Ø  
ÓÒ×ØÖ  ÒØ  ÙÑÔ ×Ø Ø 
 Û Ø  ØÙÖ × ØÓ Ð  Ñ ÒØ×  × ØÓ Ñ  ÓÚ Ö 
ÓÒ×ØÖ Ò  ÙÖ Ø ÓÒ Ó  ØÝÔ ×º Á  Ò× ×Ø Ò  Ö  Ò  × ÕÙ Ò ÙÑÔ  Ð Ò  Ö ØÓ  Û  ×ØÖÙ
ØÙÖ  Ò Ø  Ö Ö  Ò  Òص¸ Û  Ó  ÖÓÐÐ Ø  Ò  ÙÖØ  
ÓÖÖ ×ÔÓÒ  ØÛÓ  O(n)  Ð Ò  × Ï  ÒØ׸ Û  ÓÑ Ø Ø  Ö×Ø ÓÖ Ð ×Ø 
ÓÒ  Ý  ÒÚ Ö  
º  
ÓÒ×ØÖ  Ö  Ø  ÓÐÐÓÛ × ÓÖØÐݵº  
 ÒÓÒ 
 Ð Ö ÔÖ × ÒØ Ø ÓÒ ×  ÓÒ  ×  ÒØ Ø ÓÒ × ÖÖ Ð Ú Òظ ×Ó Û  Ó  Ï Ø  ÔÓ××  ØÓ Ø  Ø ÙÑÔº Ï  ÒÓØ  ÒØ Ï Ø  
ÓÒØ ÒÙÓÙ× Ø  ØÝÔ  Ó  ×ØÖÙ
ØÙÖ º Ò Ð Ò Ø Ò  Ø  Ð ×Ø 
ÓÒ  
ÓÒ× 
ÙØ Ú  
ÓÒ  
ÓÒ×ØÖ  ÒØ×  ××Ó  ÙÖ Ø ÓÒ× Ó Ø ÙÖ Ø ÓÒ×  Ö  Ø  ØÐ Ò º  Ó Ò  Ý  ½  Û Ø    Ò  Ð Ò ¸ Û ×  Ð Ò º Ï  ÑÙ×Ø × ÑÙÐØ Ò ÓÙ×ÐÝ  × ÕÙ Ò × Ý Ø  Ó 
ÓÒ  ÙÖ Ø ÓÒ×  Ø ØÛÓ 
ÓÒ  ÙÖ Ø ÓÒ×  C0 LC0 ÙÑÔ ÐÓÒ Û ÐÐ × Ø ÓÒ Ü
 ÔØ ÓÒ ØÓ Ø × ÖÙÐ Û 
 Ò ØÝÔ 
 ÐÐÝ ÖÓÐÐ ÓØ 
ÓÒ Ù¹ Ö Ø ÓÒ× Û Ø ÓÙØ 
 Ò Ò Ø ÙÑÔ³× Ò ×ØÖÙ
ØÙÖ ¸ ×Ó Û Ó ÒÓØ Ô Ø × ØÝÔ Ó ÙÑÔ ×Ø Ø 
º ¾    Ö  Ò  ØÓ  θ  
 Ù× ÒÓØ  θ  Ø  Ø  × ØÖ Ú  ×  Ø  Ý  θ  Ì Ø  w  θ  ×  Ø  Ø  Ò ÜØ ØÛÓ  V W ÖÓÑ U  Ò  ÙÖ  
 Ù× ØÓ  V  V, W  ×  ׺    Ø  Ø Ø  
ÓÖÒ  Ò  ψ¸  ØÓ  Ó  Ò× Ó Ø  Û  θº  ×  W  ÁÒ  ÙÖ  Ö  ÙÑÔ ÖÓÑ Ø  Ø ×  × 
 × ¸ Û ÓÒ µ¸  ÑÔÓÖØ ÒØ Ý  ×
Ö Ø  Ò  × Ý  ÙØ ÒÓØ 
 Ù× Ò
 ÓÖ  ×
Ö ÔØ ÓÒº  ÙÖ Ø ÓÒ× ØÓ Ñ  Ñ ÒÒ Ö  Ø Ø  ÓÙØ 
ÓÖÒ Ö  × ÔÓ Òظ Ø  ÙÑÔ  × ÑÙÐØ Ò ÓÙ×ÐÝ ÖÓÐÐ V C ¹× Ñ ÒØ ÓÒ Ø ÙÑÔ + V × C0 LC ¹ØÝÔ Ð Ò º ÁÒ U, V, W × 
 Òº Ï Ó  ¿º ´ µ¸ Û  × ÙÒØ Ð Ø Ò  ÙÖ Ø ÓÒ Ø  ÁÒ Ø  ×  ׺  ØÓ  Ô Ø º  
ÓÒØ 
Ø 
ÓÒ  Ú Ò ×  φ ψº  ÓÒÐÝ Ò  Ø ÖÑ Ò    Ðк Ï  ÙÖ Ø ÓÒ×  Ò  Ò Ó Ð Ò Ø  
ÓÙÒØ Ö
ÐÓ
 Û ×  ØÓ  Ó Ø  θ  Ø  ×  Ú ÖÝ 
ÓÒ    ÖÓÐÐ ÙÒÑÓÓÖ Ò  Ò  ÙÖ Ø ÓÒ×  ÙÖ Ø ÓÒ  φ θ  ØÓ Ø  
 ÒÒÓØ ÖÓÐÐ ´ Ý    W  Ö×Ø  U  ØÓ  
 Ù×  × ÔÓ Òظ  º À Ò
 ¸W  Ò  Ò Ø ÓÒ × ÑÔÓÖØ ÒØ  Ò 
ÓÒØ 
Ø 
ÓÒ  ×  
ÓÒ  
ÓÒ  U¸ V ¸ Ö tº Ø  U  × ÑÓÓÖ  × ØÝÔ  ¾  Ò
 ÓÖ  
 Ù×  U, V, W  
 Ù×  ×  Ø    Òº  U V  u  W  U  ¿º  × Û    
 Ù×    ÙÖ  ÙÑÔ ÖÓÑ  S  ÖÓÐÐ Ò ØÓ  ¿º ´ µ¸ Û ØÓ  U  ØÓÙ  ´ µ  W  Ò  ÐÒ  v  u  w V  ÖÓÑ V ØÓ W ÓÖÑ׺  ÙÖ  T  W v  w  ÁÒ  Ò
 ÓÖ¸ Û  W ÖÓÑ V  × ÔÓ Òظ Ø  ×  ØÛ  Ñ Ü Ñ Ð  ÙÖ Ø ÓÒ  × ÑÙÐØ Ò ÓÙ×ÐÝ ÖÓÐÐ  v  Û  Ø  Ò
 ÓÖ¸  ÓÛ Û  U  ÐÒ  Ö Ò  Òº Ï  C ¹× Ñ ÒØ ØÓÙ
 × ÖÓÑ t ØÓ u × ÓÚ Ö¹
ÓÒ×ØÖ  u  ´ µ  Ò  Ò ÑÓÓÖ  ØÓ Ø  × ÙÒØ Ð  ÙÑÔ  θ  ×  Ñ ÒØ ÓÒ Ø ÙÑÔ + − × C L0 C ¹ØÝÔ Ð Ò º  Ú Ò ×  ¿º ´
µ¸ Û  ÓÒ  φ  Ò  Ò
 ÓÖº ÅÓÓÖ  Ü ÑÔÐ × ÐÐÙ×ØÖ Ø  L¹× W  Ö Ð Ø ÓÒ  Ò
 ÓÖ × ÑÓÓÖ  Ò  º  Òº Ì  Ð Ò Ø  φ  ØÓ  Ú ÖÝ  Ò    ÑÙ×Ø × ÑÙÐØ Ò ÓÙ×ÐÝ ÖÓÐÐ  Ò  ¿º ´ µ¸ Û ÖÓÐÐ 
ÓÒ  Ò  Ò Ó ØÓ  Û  × Ñ  ÑÙ×Ø ÖÓÐÐ × ÑÙÐØ Ò ÓÙ×ÐÝ ÓÖ ÒÓØ  ÕÙ Ú Ð Ò  × Ö Ð Ø ÓÒ  θ¸  ÁÒ ÙÒØ Ð Ø  ψ  Ò    Ñ ÑÓÓÖ ÙÖ  Ò  ×
Ö ÔØ ÓÒ  Ð Ò × Ð  Ô ÖØ Ó Ø  θ  Ò  ÙÖ Ø ÓÒ ×  ×
Ö Ø Ò Ó  ÖÓÑ  Ø  º ÆÓØ  
ÓÒ  Ö Ò  Ý  ×  ÙÖ Ø ÓÒ  À Ò
 ¸  ÑÓÓÖ    θ  
Ð ×× × Ó Ø 
ÓÒ  θº  Ý Ø  Ò × ØÓ  Ú  Ò  Ò Ò  ÖÓÐÐ ×  Ø  ψ¸  Ò  ØÓ  θ  Ø  Ö ØÓ  θ  Ú ÖÝ ÑÓÓÖ Ø    ÕÙ Ú Ð Ò Ò  ÓØ Ò  ÐÐÝ ØÓ  Á Û   Ò  Ò  Ì    ×  V  t  ÖÓÑ U ØÓ V ÓÖÑ׺  
ÓÙÒØ Ö
ÐÓ
 Û ×  W w  ´
µ Ì 
 Ò U, V, W 
ÓÑ × ÑÓÓÖ º  Ö 
Ø ÓÒ¸ Û  ¹  ÒØÖÓ Ù  
ÓÒ×ØÖ  ÒØ×  L¹×  Ñ ÒØ ÓÒ Ø  ÖÓÛº ÖÓÐÐ ×  S  tº  
ÓÙÒØ Ö
ÐÓ
 Û × Ø Ø  × ÔÓ ÒØ Ø  ÓÙØ  s  ÙÑÔ ÖÓÑ  ÙÒØ Ð Ø  S  ØÓ  U  × ÒÓÒ¹
 ÒÓÒ 
 Ð  Ò  Ø Ô Ø ¸ Ø Ô Ø ÖÓÑ S ØÓ U × 
ÓÑÔÓ× ÒØÓ S ØÓ T Ò C0 LC + ¹ØÝÔ Ð Ò ÖÓÑ T ØÓ U º ÁÒ ÙÖ ¿º ´ µ¸ Û × ÑÙÐØ Ò ÓÙ×ÐÝ ÖÓÐÐ S ¸ T ¸ Ò U 
 Ù× S, T, U × 
 Òº Ï Ó Ø × ÙÒØ Ð Ø Ö×Ø C ¹× Ñ ÒØ ÓÒ Ø ÙÑÔ ÖÓÑ U ØÓ W 
ÓÑ × Ü 
ØÐÝ π ÐÓÒ º Ø Ø × ÔÓ Òظ Ø + − ÙÑÔ ÖÓÑ U ØÓ W × Cπ LC ¹ØÝÔ Ð Ò º ÁÒ ÙÖ ¿º ´
µ¸ Û × ÑÙÐØ Ò ÓÙ×ÐÝ S ¸ T ¸ U ¸ 
 Ù× S, T, U, W × 
 Òº Ï Ó Ø × ÙÒØ Ð Ø Ö×Ø C ¹× Ñ ÒØ ÓÒ Ø Ò W ÙÑÔ ÖÓÑ U ØÓ W ØÓÙ
 × v º Ø Ø × ÔÓ Òظ Ø ÙÑÔ ÖÓÑ U ØÓ W × ÒÓÒ¹
 ÒÓÒ 
 Ð  Ø  
 ÒÓÒ 
 Ð Ö ÔÖ × ÒØ Ø ÓÒ Ó  C − LC0 ¹ØÝÔ  Ð Ò  ÖÓÑ  ¿¼  Ò Ø  
 ÒÓÒ 
 Ð Ö ÔÖ × ÒØ Ø ÓÒ¸ Ø ×ÔÐ Ø× ÒØÓ  C + L0 C0 µ ØÓ V × ÓÚ  Ö¹
ÓÒ×ØÖ  ÑÓÓÖ  
 Ù×  Ò  V  ÙÑÔ ÖÓÑ Ò  ¸ ×Ó Ø  S, T, U  U  ØÓ  W  ´Û Ø  
ÓÒ  ×    Ò  ×ØÖÙ
ØÙÖ  ÙÖ Ø ÓÒ×  U  Ò  U  Ò  Ò
 ÓÖº  Ò  ×  V  Ö  ØÝÔ  ¾  Ò  ×ØÖÙ
ØÙÖ  ÙÑÔ ÖÓÑ  U  S  ×  Ò
 ÓÖ׺ À Ò  U  U  v  U ØÓ V ´Û Ø C + LC − µº Ì  ÙÑÔ ÖÓÑ  Ò  v  v  u  u  u  V  T  T  t  t  T t W  W s  s  w  S  ´ µ Ì ÙÒ
ÓÒ×ØÖ Ò ÙÑÔ ÖÓÑ S ØÓ U 
ÓÑ × ÒÓÒ¹ 
 ÒÓÒ 
 к ÙÖ  ¿º  ÁÒ  Á Û ÙÖ  ÖÓÐÐ  Ò  ¿º ´
µ¸ Ø  
ÓÒØ 
Ø Ó

ÙÖ× Ø  S  v  Ø  × Ò Û ÙÒ
ÓÒ×ØÖ  ´ µ  
ÓÒ  Ó ×  Ú  ÌÓ 
 ÔØÙÖ Û  ×
Ö Ø  Ø  ×  ÒØÖÓ Ù  Ò ×  Û Ý Ø  ØÝÔ  Ú ÖÝ ÒÓÒ¹
 ÒÓÒ 
 Ð Ð Ò O(n3 ) ØÝÔ ¿ Ò
 ÓÖ× Ø Ð  Ú  Ø  ÖÓѸ Ð Ò  Ó  Ñ ÒØ ÓÒ Ú ÒØ×  Ô Ø  ÙÒØ Ð Û Ö  Ö  ÒÝØ  Ò  ×  Û Ò  W  Ø  Ò º  Ø  U  Ò  ÓÙÖ 
 ÒÓÒ 
 Ð Ô Ø  Ö×Ø  ×
Ö Ø Û  Ò  Ð ×Ø 
ÓÒ  ×
Ö ÔØ ÓÒ    ÖÖ Ú  ظ  ÓÚ Ö¹
ÓÒ×ØÖ  O(n)  Ò  º  Ò Û  Ï  Ò  Ó × ÒÓØ  Ú  Ò Ø× Ð µº ÀÓÛ Ú Ö¸ Ø  Ð Ò  Ö ÒØ ØÝÔ × Ó Ð Ò ×¸  
 Ò  Ò  ×  Ò  Ò
 ÓÖº ËÓ  ÒÓÒ¹
 ÒÓÒ 
 Ð Ö ÔÖ × ÒØ Ø ÓÒ Ó Ø  Ò Ó ×Ø 
Ð  Ð Ò  Ö  Ö Ø  Ò  
ÓÑ × ÑÓÓÖ  × ÙÒ
ÓÒ×ØÖ ×Ø× Ø  ÓØ  × Ò Ðݹ
ÓÒ×ØÖ  O(1)  W  Ø ×Ù  Ø × 
ÓÒ× ×Ø ÒØ Û Ø  ×  ÓÚ ¸ Û  ÖÓÐÐ  ÙÑÔ Ó Ø  ×Ø ÐÐ Ö Ð Ø  Ò Ö 
 ׺  Ô Ø º  Ö ÔÖ × ÒØ Ø ÓÒ¸  ÙÖ Ø ÓÒ× Ó  
 Ù× Ò× Ø  O(n)  Ø  ÒÓÒ¹  ÒØ Ö ÓÖ Ó  Ð Ò º Ì ØÙÖ × Ø  ØÙÖ × Ø  Ø Ø  Ö Ð Ò  Ö 
 Ò  ÒØ Ö ÓÖ Ó  ÙÖ Ø ÓÒ ÙÒØ Ð ´ µ 
 Ñ  ÁÒ Ø  Ð ×Ø  Ö  Ü ÑÔÐ ¸ Û    
ÓÒ  ÙÖ Ø ÓÒ  ÒÓÒ¹
 ÒÓÒ 
 и ÓÖ ´
µ Ø Ò Ö Ø × Û Ø  Òº ÀÓÛ Ú Ö¸ Ø  º Ï  Ø ÖÓÐÐ Ò  
ÓÒ  
 ÐÐ Ø 
ÓÒ  ÙÖ Ø ÓÒ× Ò Ø  
 Ñ  Ð Ò Ø ×  Ó  ØÝÔ ×  ÙÖ Ø ÓÒ Ø  Ò  º  θi Ñ Ý ÒÓ ÐÓÒ Ö  × ÑÓÓÖ Ò ÓÒÐÝ ÈÖÓÓ º Á θi × ×Ø ÐÐ Ö  
ÓÒ  
 ÒÓÒ 
 Ð Ö ÔÖ × ÒØ Ø ÓÒ  Ò Ö 
Ý Ó

ÙÖ× Ñ Ý  Û ÐÐ  ØÓ  Ú ÒØÙ ÐÐÝ  ÒÓ ÐÓÒ  ØÓ  
 Ù×  ÔÖ Ú ÓÙ×ÐÝ 
 ÒÓÒ 
 Ð ÙÑÔ  Ä ÑÑ ¿º º Ä Ø θi  θi  Ö  Ö  V  ÖÓÑ  Û Ù×  Ò
 ÓÖ  ØÙÖ × Ø  Ü ÑÔÐ ×  Ò
 ÓÖ¸ ´ µ  ×  ¿  W  Ò  ØÝÔ ¿ Ò
 ÓÖ×  ØÓÙ  ´
µ Ò Û 
 Ò ÓÖÑ× Ò S 
ÓÑ × ÑÓÓÖ º  Ö 
Ø ÓÒ¸ Ø  ÙÑÔ  w  
 Ò ØÓÙ
 º  ÁÒ Ø Ò  O(n)  W  ØÓ  ×
Ö ÔØ ÓÒ¸  
Ø Ò   Ò Û  U  Ò Û 
Ð ×× Ó  
 ÒÓÒ 
 Ð Ð Ò º  S  ÙÖ Ø ÓÒ× Ø  × ÒÓØ  ´ÒÓÒ¹
 ÒÓÒ 
 е ÙÑÔ ÖÓÑ  W  ÖÓÑ U ØÓ W ÓÖÑ׺  ÙÑÔ ÔÖÓ Ð Ñ Ø  ×
Ö ÔØ ÓÒ ´W  ×
Ö Ø  ÐÒ  W  s  w  
ÓÙÒØ Ö
ÐÓ
 Û ×  
 Ù× Ò  S  S  Ò  Òº Ø Ö ÖÓÐÐ Ò 
ÓÒ ÙÖ Ø ÓÒ ÙÒØ Ð Ò Ö 
Ý Ó

ÙÖ׸ Òº ÀÓÛ Ú Ö¸ θi ×Ø ÐÐ × Ø × × Ò ÑÔÓÖØ ÒØ 
ÓÒ Ø ÓÒ θj θl × ÑÓÓÖ º     ÒÛ  ÒÓ ÐÓÒ  Ò Û ÕÙ Ø ÖÓÐÐ Ò ¸ Ø Ö    Ò¸ ¿½  Ð Ò  × Ð ÑÑ ØÛ  × Ó Ú ÓÙ×ÐÝ ØÖÙ º ÀÓÛ Ú Ö¸ Ò ØÛÓ 
ÓÒ× 
ÙØ Ú  
ÓÒØ 
Ø  
ÓÒ  θi  ÙÖ Ø ÓÒ× ÓÒ  Ï  ××ÙÑ  
ÓÑ × ÒÓÒ¹
 ÒÓÒ 
 к Ì  Û Ø ÓÙØ ÐÓ×× Ó  Ò Ö Ð ØÝ Ø  j≤l  Ø  ÓÒ lº  j = l¸  Á ÝÔÓØ  Ò Ù
Ø Ú ×  ×  × ØÖ Ú  ××ÙÑ  ×Ø Ô¸ Û  Ð Ò  θl−1  Ø  × ×¸  
 Ù×  × ÑÓÓÖ  Ö  Ò  ÓØ  ÝÔÓØ  Ò
 ÓÖº ÌÖ Ú × ÓÒ  Ø ÒØ  Ø  Ò ÓÒ  L¹×  ÌÓ ×  ´×  Ð Ò  θl  Û Ò  Ð  θl  ÓÒÐÝ  × ÒÓÒ¹
 ÒÓÒ 
 и Ø  × ×¸  θj  × ÑÓÓÖ  θj  Ò  θl  ÙÖ  ÖÓÐÐ Ò º À Ò
 ¸  Ö  ¿º µ¸ Ø  × ÑÓÓÖ Ò  θl−1 Ò θl−1 ×  
 Ù× ÓØ  ÒÙÑ  ÑÓÓÖ  º  Ö Ó ÒÓÒ¹ Ò
 ÓÖ  Ú ÖÝ Ô ÖØ 
ÙÐ Ö Ñ ÒÒ Öº  Ô Ø ºÁ J  Ì  ØÝÔ  ½  Ñ ¾¸ ×ÙÔÔÓ×  Ò Ø Ø  Ö  ÒØ Ö ÓÖ Ó  Ö Ø  C ¹×  ÙÖ Ø ÓÒ× ÓÒ  Ñ ÒØ Ó  ÙÖ Ø ÓÒ× ÑÙ×Ø Ó

ÙÖ ÓÒ Ø  L¹×  
ÓÒØ 
Ø ÓÒ Ø  Ñ ÒØ 
Ð  À Ò
 ¸  Öº  × Ò Ù
Ø Ú  
ÓÑ × ÒÓÒ¹
 ÒÓÒ 
 Ð Ù ØÓ Ò  ÒØ Ö ÓÖ Ó J 
ÓÒØ Ò× ÒÓÒ¹ Ò
 ÓÖ 
ÓÒØ 
Ø 
ÓÒ ÙÖ Ø ÓÒ¸ Ø Ò Ú ÖÝ ÙÑÔ 
 ÒÓÒ 
 Ð Ö ÔÖ × ÒØ Ø ÓÒ Ó J × Ð Ò º  Æ Û 
ÓÒØ 
Ø 
ÓÒ  × ÑÓÖ  pº  ØÓ  
 Ù×  ÙØ ÓÒÐÝ Ò    × ÑÓÓÖ  ÝÔÓØ  
 ÒÓÒ 
 Ð ÙÑÔ ÓÒ  ÒÓÒ¹ Ò
 ÓÖ 
ÓÒØ 
Ø 
ÓÒ  Ø  θl−1  ÓÐ ×  Ü ÑÔÐ × × ÓÛ × ¸  ÒÓÛ 
ÓÒ×  ÒØ Ö ÓÖ Ó J 
ÓÒØ Ò× Ø ÑÓ×Ø ÓÒ ÒÓÒ¹ Ò
 ÓÖ 
ÓÒØ 
Ø 
ÓÒ ÙÖ Ø ÓÒ  ½º Ø  ÓÒ Ø  ÙÑÔ ÖÓÑ  Ý ÓÙÖ Ò Ù
Ø Ú  ÙÖ Ø ÓÒ× Ñ Ý Ò
Ö  Ø Û  × Ð ÑÑ  
 ×  θj  º Ì Ù׸  ×Ø Ô  Ø  ÓÒÐÝ  Ö ×ØÖ 
Ø ÓÒ× ÓÒ  × ÑÓÓÖ  ÐÐݸ ÓÙÖ Ò Ù
Ø Ú  ÖÓÐÐ Ò ¸ Ø Ò  ÈÖÓÓ º  Ð Ò Ø  × ×º Á Ø  Ò
 ÓÖ׺  Ä ÑÑ ¿º º Ä Ø J  ¾º  Ø  θl  Ó ÓÙÖ ÔÖ Ú ÓÙ×  
ÓÒØ 
Ø 
ÓÒ  Ò  Ö ØÛÓ 
 × ×º Á Ø  ÓÒÐÝ  ¿  Ö Ø  × ÑÓÓÖ  ÔÖ × ÖÚ  Ò  ØÝÔ  θj  
 ×  ÔÖÓÓ Ó Ø  Û Ò j < lº × Ò Ò Ù
Ø ÓÒ θl−1 × ÑÓÓÖ º ÌÓ ÔÖÓÚ Ø ÙÑÔ J ÖÓÑ θl−1 ØÓ θl × 
 ÒÓÒ 
 и Ø Ò J  ÐÐÝ ØÖÙ º ËÓ 
ÓÒ× Ø  
ÓÒ× Û  Ý ÓÙÖ Ò Ù
Ø Ú  θl  Ø  × × Ø  º Ì  Ñ ÒØ Ó  Ò
 ÓÖ׺ Ì  Ø  Ø Ø  J¸  Ð ×Ø  Ø  Ñ ÒØ Ó  Ö  K K  ØÝÔ  ½  Ò
 ÓÖ׺ ËÓ  L¹×  ÐÐ Ó Ø  ÒÝ Ò Û  Jº  Ñ ÒØ Ó  
ÓÒØ 
Ø 
ÓÒ  Á Ø  Ö  ÙÖ Ø ÓÒ×  Ñ ½º  L¹×  ÒØ Ö ÓÖ Ó Ø  C ¹×  Ò  × ÔÖÓÚ × 
Ð  Ú ÖÝ 
 ÒÓÒ 
 Ð ÙÑÔ  Ö×Ø ÓÖ Ø  J  ÒØ Ö ÓÖ Ó  Ñ ÒØ Ó  
ÓÒØ  Ò  Ò  J J  ØÓÙ  ×  Ò Ó ×Ø 
Ð  Ó × ÒÓØ 
ÓÒØ  × Þ ÖÓ¹Ð Ò Ø º Ì  Ö  Ò  K  ÓÖ ¸  pº  ×  Ð Ò º ÊÓÐÐ Ò ÙØ Ø  Ò ÙÒÑÓÓÖ  Ó × ×Ó  Ò ÜØ Ð ÑÑ  Ø Ø  
ÓÒ  ÜÔ Ò×  ÕÙ ÒØ  × Ø  ÙÖ Ø ÓÒ Ñ Ó  × ØÖ  Ò
Ö  × Ò  × Ø Ø  × Þ  ×
Ö ÔØ ÓÒ Ó Ó  Ô Ø  ÑÓÖ  ×
Ö Ø ¸  Ø× 
 ÒÓÒ 
 Ð Ö ÔÖ × ÒØ Ø ÓÒº Ì  ¹Ó º  Ä ÑÑ ¿º º Ä Ø Π  ϹÒÓÖÑ Ð Ô Ø º Á Û ÖÓÐÐ 
ÓÒ ÙÖ Ø ÓÒ ÙÒØ Ð Ò Ö 
Ý Ó

ÙÖ׸ Û Ò
Ö × Ø ÒÙÑ Ö Ó ÒÓÒ¹ Ò
 ÓÖ 
ÓÒ ÙÖ Ø ÓÒ× ÓÒ Π Ý Ø ÑÓ×Ø ØÛÓ Ò Û 
Ö × Ø ÒÙÑ Ö Ó ÙÒÑÓÓÖ Ñ Ü Ñ Ð 
 Ò× Ó Π Ý Ø Ð ×Ø ÓÒ º ÈÖÓÓ º  Ï  Ö×Ø × ÓÛ Ø  ÑÓ×Ø ØÛÓº Ø  × Û  Ñ Ü Ñ Ð  ÙÑÔ ÔÖ ÓÐÐÓÛ Ò Ý Ä ÑÑ  Ò  θi ¿º  Ø Ø  ÖÓÐÐ Ò  
ÓÒ  θi  θi  ¸ Ø    Ó  Ø Ø  ×  ØÛ ÙÑÔ×  ÒÝ  Ö Ó  ÙÖ Ø ÓÒ  Ø 
ÓÒØ  Ð Ò ×  ÑÓÖ ÓÚ Ö¸  ÒÙÑ Ò×  ÒÓÒ¹ Ò
 ÓÖ 
ÓÒ  ÙÖ Ø ÓÒ×  θ¸ Û × ÑÙÐØ Ò ÓÙ×ÐÝ ÖÓÐÐ θº Ì ÓÒÐÝ Ô ÖØ× Ó Π  Ò 
ÓÒ× 
ÙØ Ú Ó×Ø×  
ÓÒ  Ø ÑÓ×Ø ÓÒ  ÒØ Ö ÓÖ 
ÓÒØ 
Ø ÓÒ Ø ¿¾   Ø  ÙÖ Ø ÓÒ× Ó  Ò
Ö 
ÓÒ  Ø  θi  × ×  Ý  Ø  ÙÖ Ø ÓÒ  Ò  ÓÖÑ ¸  Ò  Ø  Ò Û ÒÓÒ¹ Ò
 ÓÖ 
ÓÒ Ð Ò  ÖÓÑ  θi  ØÓ  θi+1  ×  Ö  Ø ÙÑÔ  ÙÖ Ø ÓÒ ØÝÔ  ¿  Ò
 ÓÖ Ø  Ò
 ¸ Ø  Ö  ÙÑÔ ÔÖ Ï  Ö  ÒÓÛ × ÓÛ Ø Ø  Ø ×ÓÑ    Ý  Ø Ð  ÖÓÔ×  
ÓÒØ 
Ø 
ÓÒ  θi  ØÓ  θi+1  ÔÖÓ  Ò  ËÙÔÔÓ× Ð Ò  ÖÓÑ  Ø  Ö  × Û Ø  θi  Ò    ÙÒÑÓÓÖ Ï  Ä ÑÑ  × ×Ø ÐÐ 
 ÒÓÒ 
 Ð  θi  ÓÖ Ø  Ø    ¸ Ø  Ò  Ò ÔÖÓ  º Ì  Ø  θi  × ÒÓØ ØÝÔ  Ñ Ö  Ñ Ü Ñ Ð  Ö ØÓ  ÒÝ  × Ø  Ý  Ø Ð  ×Ø  ¿º µ  Ñ Ü Ñ Ð Ò  ÐÐ Ò Û Ð Ò  ÖÓÑ Ò  ÓÖ  Ò ÙÒÑÓÓÖ ¿  Ò
 ÓÖº  ÒÓØ  ´  Ò  Ò  Ø ÓØ  × Û Ø  Ò ÑÓÓÖ  ØÓØ Ð ÒÙÑ  Ö Ó Ù
 Ò  Ø Ø  Ö  Ð Ò Ø  ÓÖ  ÙÑÔ  ÖÛ ×  θi  Ñ Ü Ñ Ð  ÙÒÑÓÓÖ Ø  Ò  
 Ñ  Ö  Ò ÔÖ  ¸ Ö   À Ò
 ¸  Ò¸  Ñ Ü Ñ Ð  ØÓØ Ð ÒÙÑ  Ö Ó  Ò׺  ϹÒÓÖÑ Ð Ô Ø  Ø    Ò× Ñ Ö  à ÒÓÖÑ Ð  ×  
ÓÑÔÐ Ø Ò ×× Ó ÓÙÖ ÒÓÖÑ Ð ÓÖÑ ×  ÌÓ ÔÖÓÚ  ÓÒ  ÙÑÔ ÔÖ  Ò Ö Ø  × Û Ø  Ø  × × Ø  ÓÖ Ñ¸ Û  ϹÒÓÖÑ Ð Ô Ø  Ù×  Π  Ú ÖÝ 
ÓÒØ 
Ø 
ÓÒ  ÜÔÖ ××  ÙÖ Ø ÓÒ  ×  ÐÓÛº  Ù Ò× Ô Ø ÖÓÑ 
ÓÒ ÙÖ Ø ÓÒ αs ØÓ 
ÓÒ ¹ × Ã¹ÒÓÖÑ Ð Ô Ø Π ÖÓÑ αs ØÓ αt Û Ø  ÙÖ Ø ÓÒ αt Û Ø ÒØÖ 
 
Ý kº Ì Ò Ø Ö O(nk + n3 ) 
ÓÒØ 
Ø 
ÓÒ ÙÖ Ø ÓÒ׺  ÒÙÑ  Ñ Ö  × Û Ø  θi  Á 
Ö  × ×Ø ÐÐ  θi  Ò  θi  Ñ Ö Øº  × ×  ÙÖ Ø ÓÒ× ÓÒ Ø  ÙÖ Ø ÓÒ× ÓÒ Ø  Ò  Ì ÓÖ Ñ ¿º º ËÙÔÔÓ× Ø Ø Ø Ö × ÈÖÓÓ º  Ä ÑÑ  θi  Ò    ÖÛ × ¸ ØÛÓ ÙÒÑÓÓÖ Ñ Ü Ñ Ð  θi  
Ö  Ö Ó ÙÒÑÓÓÖ  ´×  Ì  º    Ò  ¸ Û  ÒÙÑ  
 Ù×  ÙÑÔ ÔÖÓ  Ö 
 × ¸ Ø  ÓÒ  ¿º µº  
ÓÑ × ÑÓÓÖ  Ò Ö Ø  × Ý Ø  ÑÓÓÖ  ´×  Ò×  ÒÝ Ò Û 
ÓÒØ 
Ø 
ÓÒ  θi  Ø  Ò Ø  × ÑÓÓÖ  ÒÝ Ò Û 
ÓÒØ 
Ø 
ÓÒ  θi+1 Ò  º Ì  ÙÖ Ø ÓÒ×  º  Ñ Ü Ñ Ð  θi    ÑÓÓÖ  Ò  
ÓÑ × ÑÓÓÖ  Ò׺ ÇØ  
 Ù×  Ø ÒÓ  θi  Ø  
ÓÑ × ÑÓÓÖ  Ö  θi  ÙÑÔ ÓÐÐÓÛ Ò ÙÒÑÓÓÖ  ØÓ  ÙÑÔ ÔÖ  Ñ Ö  Ö Ó  Ø  θi  Ò  ÒÙÑ  ÑÓÓÖ  ÒÓÒ¹
 ÒÓÒ 
 еº ÁÒ ÔÖ  ÓÒ Ø  θi  Ò
 ÓÖ׸  θi  ÓÒ  ×Ø ÓÒ  ÙÖ Ø ÓÒ×  Ö  Ò  Ø Ø  ÓÒ º ËÙÔÔÓ× Ò×  Ø ÑÓ×Ø ØÛÓ Ò Û ÒÓÒ¹ Ò
 ÓÖ 
ÓÒØ 
Ø 
ÓÒ  θi  Ò  ÔÓØ ÒØ ÖÓÑ  αs  ØÓ  Ð  P c(Π)  ÙÒ
Ø ÓÒ  αt º  Ä Ø  Ø  Ø Ø  ××  Ò×  ÒÙÑ  Ò ØÙÖ Ð Ö Ó  ÒÓÒ¹  ÙÖ Ø ÓÒ× ÓÒ Π¸ d(Π) Ø ÒÙÑ Ö Ó ÙÒÑÓÓÖ Ñ Ü Ñ Ð Ò× Ó Π¸ P(Π) = c(Π) + 3d(Π)º ÆÓÛ¸ ×ÙÔÔÓ× Ø Ø ×ÓÑ 
 Ò Ó Π × ÙÒÑÓÓÖ º Ï 
 Ò Ö Ù
 Ø ÔÓØ ÒØ Ð Ó Π Ý ÖÓÐÐ Ò Ø ÙÒØ Ð Ò Ö 
Ý Ó

ÙÖ× ÝØ ÔÖ Ú ÓÙ× Ð ÑÑ ¸ c(Π) Ò
Ö × × Ý Ø ÑÓ×Ø ØÛÓ Ò d(Π) 
Ö × × Ý Ø Ð ×Ø ÓÒ Ò
 ¸ P(Π) 
Ö × × Ý Ø Ð ×Ø ÓÒ º Ì Ö ÓÖ ¸ Π × Ô Ø ÖÓÑ αs ØÓ αt Û Ø Ñ Ò ÑÙÑ ÔÓØ ÒØ Ð¸ Ú ÖÝ 
ÓÒØ 
Ø 
ÓÒ ÙÖ Ø ÓÒ ÓÒ Π × ÑÓÓÖ º Ò
 ÓÖ 
ÓÒ Ò  ÆÓØ ÓÒÐÝ  Ö  ÐÓÛ ÔÓØ ÒØ  Ð Ô Ø ×  ×
Ö Ø ¸  Ý  Ð×Ó  Ú  ÓÙÒ  ÒØÖ 
 
ݺ  αt Û Ø ÒØÖ 
 
Ý k º Ý Ä ÑÑ ¿º¾¸ Ø Ö Ü ×Ø× Ï¹ÒÓÖÑ Ð Ô Ø Π ÖÓÑ αs ØÓ αt Û Ø Ø ÑÓ×Ø O(nk + n2 ) 
ÓÒØ 
Ø 2 2 
ÓÒ ÙÖ Ø ÓÒ׺ À Ò
 ¸ P(Π) = O(nk + n ) 
 Ù× c(Π) = O(nk + n ) Ò d(Π) = O(nk + n2)º Ä Ø Π′ ϹÒÓÖÑ Ð Ô Ø ÖÓÑ αs ØÓ αt Û Ø Ñ Ò ÑÙÑ ÔÓØ ÒØ Ðº Ì Ò c(Π′ ) = O(nk + n2 )º Ï ××ÙÑ Û Ø ÓÙØ ÐÓ×× Ó Ò Ö Ð ØÝ Ø Ø ÒÓ Ò
 ÓÖ 
ÓÒ ÙÖ Ø ÓÒ ′ ′ ′ Ó

ÙÖ× ØÛ 
 ÓÒ Π Ø Ó ×¸ Π × ÐÓÓÔ Û Ö ÑÓÚ Ø × ÐÓÓÔ¸ Π × ×Ø ÐРϹ ′ ′ 3 ÒÓÖÑ Ð Ò P(Π ) Ó × ÒÓØ Ò
Ö × º Ì Ö ÓÖ Π × O(nk+n ) 
ÓÒØ 
Ø 
ÓÒ ÙÖ Ø ÓÒ× 3 ÙÖ Ø ÓÒ׺ ÅÓÖ ÓÚ Ö¸ Ý Ø ÔÖ Ú ÓÙ× Ô Ö Ö Ô ¸ 
 Ù× Ø Ö Ö O(n ) Ò
 ÓÖ 
ÓÒ ′ Ú ÖÝ 
ÓÒØ 
Ø 
ÓÒ ÙÖ Ø ÓÒ Ó Π × ÑÓÓÖ º  ËÙÔÔÓ×  Ø  Ø Ø  Ö  ×  Ù  Ò× Ô Ø  ÖÓÑ  αs  ÙØ Ø  ¿¿  ØÓ  ÔØ Ö Ì ×Ø Ò ÁÒ Ø  ×  ×  ÔØ Ö¸ Û  Ø Ú ÐÝ ×  Ö  ØÓ  Ô Ø × Ø  ÒÓÖ  × Ø  Ð ÓÖ Ø Ñ × ÒØÖ 
 
Ý Ó Π′ ¸ Û Ö Ø  ÔÖ × ÒØ ØÛÓ Ô Ø ¹ÔÐ ÒÒ Ò ×Ô Ø  ÓØ ÐÐ  ×  ÔÖÓ Ð Ñ  Ö  Ò×Ø Ò    ÒØ  ÑÔÐ 
 ØÐÝ Ò
ÐÙ Ö  × ÒÓ  Ó  k  Ô Ø  × ÓÙÒ  Ô Ø  Ø  αt º  × Ø  Ð  Ð  Ù  Ò× Ô Ø  ÖÙÒ Ø Ñ  Ò ×º  Πº  Ø  ÒÝ  ÚÓ  ¸  Ó  αt º  ØÓ  Ð ÓÖ Ø Ñ  ÔÖ Ú ÓÙ× Ö ×ÙÐØ×  Ü ÑÔÐ  Ö  αs  ÖÓÑ  ÐØ ÓÙ  Ò Ö ×ØÖ 
Ø ÓÒ× ÑÔÐÝ Ø  
ÙÐØÝ  Ó  × 
ÓÒ× ×Ø ÒØ Û Ø  ÔÖÓ Ð Ñ Ò×Ø Ò  ×Ø  ùÒÓÖÑ Ð Ô Ø  ÒØÖ Ò×  Ì  ÓÒ Ø  Ø Ø  ÓÒ Ø  Ø  Ð  Ù×¹ Ö  Ø ÓÙÖ × 
ÓÒ  ÒØÖ 
 
Ý Ó  ÓÑ  ÓÙÒ  Ø  ×  Ò Ë 
Ø ÓÒ ¾º¾º¿ ÓÖ  ÓÒ Ø  Ø  Ѻ  Ø  ×  Ì  Ø  Ð ÓÖ Ø Ñ×  Ø Ø  ÒØÖ Ò×  
ÙÐØÝ  ÓÖ ¸ Ø  ÒØÖ Ò×  
ÙÐØÝ  ÖÙÒ Ø Ñ  Ö  Ö×Ø  ËÓ Û  nº  ÓÖÑÙÐ Ø  k  Ô Ö Ñ Ø Ö  Ö  Ú Ò  ×  Ö  Ø Ö Ø  Π  × Ö ØÙÖÒ  ØÓ Ø Ö  ×  Ô Ö Ñ Ø Ö Ñ  ×ÙÖ Ò  Ø  Ø Ò  ×Ô  Ó  Ú Ò  k  ×  k¸  Ò Ø  ÓÙÒ ×  Ó ×Ø 
Ð × 
 Ò  Ò Ø ÖÑ× Ó  ÒØÖ 
 
Ý Ó Ø ÓÙÖ  Ø  ÒØÖ Ò×  Ô Ø × Ø  Ð ÓÖ Ø Ñ× Û ÐÐ  Ø  Ø ÓÙÖ  Ö Ú Ö Ý  ´ÒÓ ×ÓÐÙØ ÓÒ × ÓÙÒ µ ÓÖ Ö ØÙÖÒ  ÒØÖ 
 
Ý Ó  ÒÚ ÖÓÒÑ ÒØ Ø Û  ÓÙÖ  ÓÙÒ × Ø  ÒÔÙغ  ¸ Ø  
ÙÐØÝ Û  nº  Ö  Π  × ÔÓÐÝÒÓÑ  Ì  Ñ  ÓÖ  ùÒÓÖÑ Ð Ô Ø × ´×  ùÒÓÖÑ Ð Ô Ø ×  Ò Ö  ×ÓÒ Ø  ÐÐÝ  
 Ù×  ×  ÓÙÒ  Ø Û  Ø × 
ÓÙÒØ  Ð  Ò Ø ÖÑ× Ó ÒÓØ Ö ØÙÖÒ  Ì Ð  ÓÖ Ñ ¿º µº Ò ¸  Ò
 ¸  Ð º  Ð ÓÖ Ø Ñ  ÛÓÖ×Ø 
 × ¸ Ø× ×  ÒØÖ Ò×  Ø  
ÓÑÔÐ Ü ØÝ Ó Ø  ×Ý×Ø Ñ Ø 
 ÐÐÝ ×  
ÓÑÔÐ Ü ØÝ  Ð  Û  ÙÔÔ Ö  Ó Ñ Ò ÑÙÑ ÒØÖ 
 
Ý × Ø  ÇÙÖ  ÐÓÛ Ö  Ó Ø  
ÙÐØÝ ×  ×ÓÐÙØ ÓÒ  Ø  ×  ×  × Þ  ÓÙÒ  Ò× ×Ø Ø  Ï Ð Ñ Ø ÓÙÖ ×  Ø  Ò× Ø  ÒÓÛÒ  ÒØÖ Ò×  Ò  Ô Ø  ÙÖ Ø ÓÒ  
ÙÐØݸ ÓÙÖ ×Ø Ø Ñ ÒØ  Ò Ø  Ð ÓÖ Ø Ñ× Û ÐÐ 
ÓÒ× Ø Ø  ÔØ Ö × Ø  Ü × ×  × Ø Ó ÔÓÐÝ ÓÒ Ð Ó ×Ø 
Ð × ØÓ  ÒØÖ 
 
Ý Ó  
ÙÐØÝ  ØÖ ÖÝ ÔÓÐÝ ÓÒ Ð Ó ×Ø 
Р׺  ×ÓÐÙØ ÓÒº Á  × ×  
ÓÒ× ×Ø× Ó  Ð ÓÖ Ø Ñ  ÒÔÙغ  
ÙÐØݺ Ï Ø  Π  Ð Ø  ×
Ö ÔØ ÓÒ Ó Ø  ÓÑ  ×  Ö  Ñ Ò ÑÙÑ  Ò Ø ÖÑ× Ó Ø Ó Ø  ÓÖ Ö ×ÙÐØ Ó Ø  Ø ÖÑ Ò Ð 
ÓÒ  Ð ÓÖ Ø Ñ× Ö Ú  Ò Ö ×ØÖ 
Ø  × Þ  
ÓÑÔÐ Ø  Ò  ÒØÖ Ò×  ÓÙÒ  Ì  αs ¸  Ò ØÙÖ Ð  × Ø  Ñ  ÔÖÓ Ð Ñ Ò×Ø Ò  × Ø  ¹
ÙÖÚ ØÙÖ  ÛÓÖ  Òغ Ì  Ò  ÒØÖ Ò×  Ó ÒÓØ Ñ ÒØ ÓÒ ÓÙÒ  ÙÒ  Ö×Ø  Ð ÓÖ Ø Ñ ÔÖÙÒ × Ø  Ð  ÙÖ Ø ÓÒ  Ø Ö ØÙÖÒ×  Ð ÓÖ Ø Ñ׺ ÇÙÖ  ùÒÓÖÑ Ð Ô Ø ×º ÇÙÖ × 
ÓÒ  Ô Ø × Ø Ò ÓÙÖ Ð ÓÖ Ø Ñ Û ÐÐ Ò ′ ÒØÖ 
 
Ý Ó Π × ÔÓÐÝÒÓÑ ÐÐÝ ÓÙÒ Ò Ø  ÁÒØÙ Ø Ú Ðݸ Ø Ø  Ó  Ö  ÑÓØ ÓÒ¹ÔÐ ÒÒ Ò ×Ø ÖØ 
ÓÒ  Ð ØÝ  Ö  Ü  Ù×Ø Ú ÐÝ ×  ×Ô  ÌÓ ÑÔÖÓÚ  Ñ Ý   Ö  × ÓÖ  ÜÔÓÒ ÒØ  Ò
ݸ Û  ÒØ Ý  ¿  ùÒÓÖÑ Ð Ô Ø × ÖÓÑ ÐÐÝ Ð Ö ÓÖÑ Ó  Ò Ø ÖÑ× Ó Ø Ö  ÙÒ  Ò
Ý  αs  ØÓ  αt º  ÁÒ  ÒÚ ÖÓÒÑ ÒØ Ò  ÔÖÙÒ  ÓÙÖ  ×  Ö  ØÓ  ÒÓÖ  
ØÓÖ Ò
Ö 
ÓÒ×Ø ÒØ Ï ØÓ  
ØÓÖ ÑÓÖ  Ù Ö ÒØ  Ø  º½ Ì  ÌÓ Ð Ú Ö  Ô Ø  Ø  ÓÙÒ  ÓÙÖ ÔÖÙÒ  ×  Ø  Ô Ø  Ø Û  Ó × ÒÓØ ÔÖÙÒ ÐÐÝ × Ø ×  Ø Ø  Ø  × Ö  Ý ÓÙÖ  ØÓÓ ÑÙ
 º  ÔÖÓÚ  Ø  Ü  ÁØ  ×  ÒÝØ  Ø ÔÖÙÒ Ò  Ø  Ì  
ÓÒ×Ø ÒØ ×  Ø  ÐÛ Ý× ÔÓ××  Ó × Ø Ð    ÒØ  ÔÖÙÒ Ò º × ×Ù    ÒØ  ØÓ × Ø × Ý Ø  Ò ÜØ  ÓØ  Ø ÑÓ×Ø  Ð ÓÖ Ø Ñº  × ÔÖÓÔ ÖØÝ  Ò º Ì  ×  ÐÐÓÛ  ÔÖÙÒ Ò  Ù×Ø Ú  ×Ù ÖÓÙØ Ò  Ø ØÓ × Ø × Ýº  Ý ÒÓØ ÔÖÙÒ Ò  Ø Ø Ñ ¸ Û  Ò
ݸ Û  Ý ÓÙÖ  ÓÑ Ø Ø  Û ÒØ  ÙÒ  Ð ÓÖ Ø Ñ Û Ø  ÓÙÒ  Ö
 ¸ Û  ÔÖÓÔ ÖØÝ Ø  Ø × ØÖ Ú  ÔÖÙÒ º  Ø  Ò Ø  ×Ô 
 Ý  ÔÖÓÔ ÖØÝ  ÒØ Ô Ø ×º  
ÓÑÔÐ Ü Ø  ×
Ö  ¸ Û  ÓÛ Û  ÙÒ  Ò ÒØÖ 
 
Ý  Ò Û  ÁÒ×Ø  Ö  ×  ÔØ Ö  Ò  ÜÔÐ  × Ò×  
Ø Ú º  Ü Ù×Ø Ú Ë Ö  Ô Ø ¹ Ò  ÓÖ  Ò  Ð ÓÖ Ø Ñ Ø  Ø Û ÔÖ × ÒØ Ò Ø  ùÒÓÖÑ Ð Ô Ø ×º Ï  ÔÐ ÒÒ Ò  ÔÖÓ Ð Ñ¸ ÒÓØ  ×Ù ÔÖÓ Ð Ñ× ØÓ Ø  Ò  
ÓÑ  ÜÔÐÓ Ø Ø  
Ø Ø  Ú ÖÝ ×ÓÐÙØ ÓÒº ËÔ Ò  ÓÒ  × × 
Ø ÓÒ Ô Ö ÓÖÑ× Ø Û  
 ÐÐݸ Û  ×ÓÐÙØ ÓÒ ØÓ    Ò Ü  Ù×Ø Û ÒØ ØÓ Ö  Ò  Ø  Ù×Ø Ú ×  ÓÒ  Ö  ×ÓÐÙØ ÓÒ ØÓ  ÔÖÓ Ð Ñ ÒØÓ ×Ñ ÐÐ Ö  ×Ù ÔÖÓ Ð Ñ ØÓ  Ø Ø  × Ö  ×ÓÐÙØ ÓÒ  ÔÖÓ Ð Ñº  αt  α1 1  α2  αs  αs  0  αt  2  α1 α2  ´ µ Ì × Ô Ø × Ò (αs , α1 )¹Ð Ò ¸ ÓÐÐÓÛ ¸ ÓÐÐÓÛ Ý Ò (α2 , αt )¹ Ý Ò (α1 , α2 )¹Ð Ò ÐÒ º ÙÖ Á Û ×Ø ÖØ× ÙÖ Ì  ×ÔÐ Ø Ø  Ò  Ï  Ó  Ð Ò  Ð Ò 
ÓÑ  Ö Ô  ØÛ Ò Ò ÙÖ Ò º  Ð Ò Ø  Ø  Û  ÁÒ Ø    × Ø  ÖÓÑ  Û   Ø Ó Ø  Ò
 ÓÖ  Ò    ×  Ö ×ÙÐØ Ò  ÒØ ÖÒ ÐÐÝ  Ò
 ÓÖ  Ò Û  ×  ×Ù Ô Ø  Ö  α ØÓ Ò αs ØÓ αt  ÖÓÑ  Ð ÓÖ Ø Ñ Ø  Ö Ô ×º  ÓÖ  Ó ′  α  ×  Ò
 ÓÖ× ´× ′ Ò (α, α )¹  × ×  Ö  Ô Ø  ÓÖ  
ÓÒ×ØÖÙ
Ø × Ø Ø  Ò  Ö 
Ø  Ò
 ÓÖ ÒÙÑ  º Ï  Û  Ò  Ø    Ó  Û  αs  
 ÐÐ  Ö ØÓ  
 Ö  Ò  ÙÐ ØÓ  Ò  Ð Ò  × Ø  ÓÖ  αt  Ý  Ò
 ÓÖ  
ÓÖÖ ×ÔÓÒ × ØÓ  Ö Ó ÒÓÒ¹ Ò
 ÓÖ 
ÓÒØ 
Ø 
ÓÒ Ö  º  ÙÒ ÕÙ  Ö×Ø ×  ÖÓÑ  Ö Ô  ¹  ÐÒ  × 
ÓÑÔÓ×  × ØÛÓ Ô  ùÒÓÖÑ Ð¸  ÓÙÒ º  Ò Ø  Ò  Ò
 ÓÖ×  Ø Û  Û Ø  Ò  ùÒÓÖÑ Ð Ô Ø  Ö Ó  × ¸ Û  Ò  Ò
 ÓÖ׸  Ò
 ÓÖ¸  Ô Ø Ø  Ô  Ö×Ø Ô  ××Ó  ×  Ð  ÙÖ Ø ÓÒ× ÓÒ  Ø Ñ Ò Ñ ×  Ø  º  × 
ÓÒ Ö Ô  Ò  Ú ÖØ Ü 
ÓÖÖ ×ÔÓÒ × ØÓ  º Ì  Ò
 ÓÖ  Ø  ×  Ø Ø×  ׺ ÇÙÖ Ô Ø ¹ Ò Ò  Ø  Ø Ó  × Ø  Ð Ò    Ð Ò  Ò ×  
 ÐÐ ×Ù  Ò Ø ÓÒ ÑÔÐ  × ÕÙ Ò  Ä Ò  ùÒÓÖÑ Ð Ô Ø  Ò
 ÓÖ¸  º½´ µµº ×  ÒÝ  º½  ´ µÈ Ø ÒØ Ò
 ÓÖ Ö Ô 
ÓÖÖ ×ÔÓÒ × ØÓ Ã¹ÒÓÖÑ Ð Ô Ø º  ´×  Ô  × ¸ Û ÙÖ  Ò  º½´ µµº  Ø  Ñ Ò ÑÙÑ Û Ý 
ÓÒ
 Ø Ò Ø Ò ¿  Ø Ô Ø Ø  Ð Ò  P  ÖÓÑ ×  αs  ××Ó  Ø  ØÓ  αt Û Ø  Ò Ø   P¸  Ó  Û  Ö 
ÓÚ Ö  Ò
 ÓÖ  Π  ùÒÓÖÑ Ð Ô Ø  ÒÓÒ¹ Ò
 ÓÖ 
ÓÒØ 
Ø 
ÓÒ  ÙÖ Ø ÓÒ× ÔÓ××  αs  ÖÓÑ  Ð  ØÓ  αt º  Ý ÓÙÖ 
 Ó  Ì  Ò  Ô Ø  ÈÖÓÓ º Ì  × Ð Ù Ò× Ô Ø ÖÓÑ αs ØÓ αt Û Ø Ò
 ÓÖ Ö Ô Û Ø Û Ø O(nk)º  ÒØ  Ì  × ÓÐÐÓÛ× ÖÓÑ 
ÐÓ× Ö Ü Ñ Ò Ø ÓÒ Ó Ø  
 ÐÐݸ  ×  Ð  Ú Ò Ø  ÒØ  ϹÒÓÖÑ Ð Ô Ø  × ÑÔÐ  × Ø  Ò Ø  Ö Ô  ÌÓ 
ÓÒ×ØÖÙ
Ø ÓÙÖ Ð Ò  ׸ Û  Ó  ×  Ò  Ò ØÓ  Ò  Ò  ÌÓ Û    Ò    Ò
 ÓÖ  Ø  Ý  Ò׺  Ð  Û  ÓÙÒ º  Ò  Ê 
 ÐÐ Ø  Û Ø  ØÓ  Ø Û  Ð Ò  ×  Ò    Ì  ÓÖ Ñ ¿º º  Ü ×Ø Ò  αs ØÓ αt Π 
ÓÖÖ  Ø  Ò  Ò  Û Ø×  Ó  ÙÖ Ø ÓÒ׺  O(nk)  Û Ø  ×ÔÓÒ × ØÓ  Ð Ò   Ö  ÒØ ÖÒ ÐÐÝ   Ò  Ò  α  Û Ø Ò  ØÓ  ¹ Ö  Ò  Ò  ×  Ö  Ú ÖÝ  Ò  (α, α′ µ¹Ð Ò  Ò  α′ º  Û Ø Ý ÓÒ  Ð Ò  Ô Ò  ÓÒ ÓÙÖ Ö ÔÖ × ÒØ Ø ÓÒ  Ý  Ò Ø  Ò ¸ Ð Ø  Ò  × Ó × ÖÚ Ø ÓÒ¸ Û  Ø Ò  Ò ×¸  Ø Ó×    Ñ Ò ÑÙÑ ÒÙÑ   Ò× Ø  Ö Ó Ð Ò ×º À Ò
 ¸ Û ×  Ð  Ò  
ÓÒØ 
Ø 
ÓÒ  ÙÖ  × Û Ø  Ú  Ò  Ò
 ÓÖ׺ ÌÓ    α¸  Û Ø  Ò ×Ø ÖØ Ò Ò  Ò  ÜØ Ò  × ÔÖÓ  Ø ×Ø ÖØ׸ Û ÌÓ Ø  ØÛ  ÓÒ Ø  Ò×  Ø Ö Ø Ú ÐÝ  × ×  ×  Ò ×Ø ÖØ Ò  Ú ÖÝ  Ð× Ó    Ö  ÖÓÑ × Ô Ø  Ù
 × ÓÙÖ ÔÖÓ Ð Ñ Ó  Ò  Ø× ×Ø ÖØ ØÓ  Ò º    Ö  Ñ Ò ÑÙÑ ÒÙÑ    Π  (α, α′)¹Ð Ò º Π × Ã¹ÒÓÖÑ  
 Ù×  × Ö  Û ÒØ ØÓ  ÙÖ Ø ÓÒ׺ Ì  Ò  × Ø  ÒÓÒ¹ Ò
 ÓÖ 
ÓÒØ 
Ø 
ÓÒ  Ò  Ð ØØ Öº  ØÓ  Ø  ¿º¾  ÑÔÐ  ÓÖ Ñ ¿º º Ì  Π  ÒØÓ  Ø  ÓÙØ ÖÓÑ  Π  α Ò α¸ Û  Ì  ¿º¾  ùÒÓÖÑ Ð Ô Ø  Ö Ô ¸ Û  Û Ø  Ä ÑÑ  Ü ×Ø×  O(nk)º  Ø  ÙÑÔº Ì  Ò× ×Ø ÖØ Ò Ý  ÙÖ Ø ÓÒ Û Ø Ø  ×  ÔÖÓÓ Ó Ì  ØØ ÑÔØ Ò  Ò× ×Ø ÖØ Ò  ÐÖ  Ò ×  ØÓ  Û ×Ø  ÒØÖ 
 
Ý k¸ Ø Ö  ÔÖÓÓ Ó Ä ÑÑ  Ó  O(nk)  Û Ø  ÓÖÑ Ö ØÓ Ø  × Ò Ð  Ò
 ÓÖ 
ÓÒØ 
Ø 
ÓÒ 
ÓÒ  αt  ÐÐÓÛ× Ù× ØÓ ×ÔÐ Ø ÖÓÑ Ø  Ý    Ú  Ó  ×  ÙÑÔ  (α, α′)¹Ð Ò ′ Ò Û Ø α  ÓÖ  Û Ø  ØÓ  Ö ×ØÖÙ
ØÙÖ º Ä Ø ′ Ö Ò ØÓ α ÓÖ α  Ø  Ò
 ÓÖ׺ Ì  α′ ¸  Ý Ø  ÔÖÓÓ  ÜÔÐÓ Ø Ø  Π  ÙÖ Ø ÓÒ Ó  αs  Ó  ÙÖ Ø ÓÒ×  Ò
 ÓÖ  Òظ Ø  ÖÓÑ  Ü ×Ø Ò  ÒÓÒ¹ Ò
 ÓÖ 
ÓÒ Ô Ø  × Ø  
ÓÒ×ØÖÙ
Ø ÓÒ Ó Ø  Ö Ô º  
Ø º½º Á Ø Ö ×  ËÔ  Π  Ô Ø  P  Ó  ÓÒÐÝ Ò  Ò  Φα,F l  ØÖ  Ò× Ø Ö Ó  Ø  ÒÓÒ¹    Ô ÖØ 
ÙÐ Ö  ØÓ  ÒÓÛ  Û  ÓÛ Ñ ÒÝ Ð Ò × Ø Ø  ÒÓØ  Ø  × Ø Ó  ×  ÐÐ 
ÓÒØ 
Ø  ØÙÖ F Ø Ø Ö Ö Ý  Ò Ó l Ð Ò × ÖÓÑ Ò Ò
 ÓÖ Φα,F Ò
Ö Ñ ÒØ ÐÐÝ Ù× Ò ÔÖÓ ÙÖ Ò Ñ ÈÖÓÔ Ø Ø l α,F α,G ′ ÔÖÓ
 ÙÖ 
 ÐÐ ÈÖÓÔ Ø (Φl ) × 
ÓÒ ÙÖ Ø ÓÒ φ ØÓ Φl+1 Û Ò Ú Ö Ø Ö Ü ×Ø× α,F ′ 
ÓÒ ÙÖ Ø ÓÒ φ Ò Φl Ø Ø Ö 
 × 
ÓÒ ÙÖ Ø ÓÒ φ Ø G Ú × Ò Ð × Ð Ð Ò º α,F Ë Ñ Ð ÖÐݸ Û ÒÓØ Û Ø Ψl Ø × Ø Ó ÐÐ 
ÓÒØ 
Ø 
ÓÒ ÙÖ Ø ÓÒ× Ø ØÙÖ F α,F Ø Ø Ö 
 α Ý  Ò Ó l Ð Ò ×º Ï Ó ÒÓØ ÜÔÐ 
 ØÐÝ 
ÓÒ×ØÖÙ
Ø Ψl 
 Ù× Û 
 Ò α,F ØÓ × Ø ×ÝÑÑ ØÖÝ ØÛ Ò Ø ØÛÓ × Ø׸ ÒÓØ Ø Ø 
Ö Ø Ø Ò Û Ý × Ñ Ð Ö ØÓ Φ 
ÓÒ  αº  ÙÖ Ø ÓÒ×  Ï    Ù Ð  Ò  Ò  ÙÖ Ð Ò  L¹  Ò  C ¹×  Û Ø  α  ÚÓ  Ø ÔÖÓ  Ð Ò Ø  × Ø  Ò× Ø  Ø ÑÓ×Ø  Ñ ÒØ  ØÓ 
ÓÒ ÖÑ Ø ÔÓÐÝÒÓÑ  × Ø×  º¾ 
ÓÒØ  × Û Ø ÓÖ  Ø  Ø  τ  Ö Ú Ö×  Ó  Ô× Ù Ó¹
Ó   ÓÖ  Ò  ÒÒ Ò  ÔÖÓ  ÒÓÒ¹ Ò
 ÓÖ 
ÓÒØ 
Ø 
ÓÒ  ×  ÐÐ Ó ×Ø 
Ð × 
 Ò  ÙÖ  ØÓØ Ð ÒÙÑ  ÐÐÄ Ò  Ö Ó 
ÓÒ  ÓÒ  × 
 Ò  ÙÖ Ø ÓÒ×  ¿  ÙÖ  Û Ø  Ø  Ö  ÙÖ Ø ÓÒ׺ Ë Ò Ò  O(n)  Ø Ñ ¸  ÑÔÐ Ñ ÒØ Ò Ö Ø  
Ø ÓÒ Ó × Ø  ÐÐÄ Ò   Ø    Ý ÔÖÓÔ  Ò  × ×ØÖ  ØÓ ÖÙÒ  αº  Ø 
ÓÒ×  Ò Ø Ñ Ø ÓÒº  Ö× Ú Ò  Ø ÓÖÛ Ö Ø  Ø  ×  (τ )  ÐÐÄ Ò  ½  Ò Ø  ÓÖ  α,F Ð × Φ0 ÓÖ ÐÐ Ò
 ÓÖ× α  ÐÐ  α  F  Ò  Ó ÓÖ l = 0 ØÓ τ − 1 Ó ÓÖ ÐÐ ÒÚ ÖÓÒÑ Ó ÈÖÓÔ  ÓÖ  ¾  ×  ÐÐ Ô  Ö× Ó  Ó ÓÖ  ÐÐ Ô  ØÙÖ × α,F Ø (Φl )  α, α′  Ò
 ÓÖ× Ö× Ó  ÒÚ ÖÓÒÑ ÒØ ′ ÐÐ l Ò l ×Ù
 Ø  Ó ÓÖ  Ó  F  ÒØ  F, F ′ l + l′ ≤ τ  ØÙÖ × Ø  ÒÓÒ¹ Ò
 ÓÖ 
ÓÒØ 
Ø 
ÓÒ ′ ÒÝ (α, α )¹Ð Ò ÓÙÒ ÙÖ  º¾  Ð ÓÖ Ø Ñ Ø  Ò
 ÓÖ 
ÓÒØ 
Ø 
ÓÒ 
ÓÒØ 
Ø 
ÓÒ  Ø  ∈ Φα,F l  Ø Ö Ü ×Ø 
ÓÒ ÙÖ Ø ÓÒ× φ α′ ,F ′ Ò ψ ∈ Ψl ′ ×Ù
 Ø Ø ´ µ Ø Ö × × Ð ÙÑÔ Ó Ò Ò φ Ò ´ µ Ø (α, α′)¹Ð Ò Ø ÖÓÙ φ Ò ψ Ø ÖÑ Ò  Ü  ÙÖ Ø ÓÒ׺  Ù×Ø Ú ÐÝ 
ÓÒ×   Ô  ÐÐ Ð Ò  ×  Û Ö  Ò  × Û Ø  (α, α )¹Ð Ò ′ Ò
 ÓÖ× (α, α )º  Ö Ó  Ò  Öº  ′  ÁØ Ö 
ÓÖ × Ø  ÙÖ Ø ÓÒ× ÓÙÒ ¸ ÓÖ  Ö×  ÙÖ Ø ÓÒ× Ø ×Ó  ψ¸  Û Ø  Ø ÑÓ×Ø  τ  ÒÓÒ¹  Û ×Ø ÒÓÒ¹ Ò
 ÓÖ  º¾ Ê ÙÒ Ò
Ý Ð Ñ Ò Ø ÓÒ Ì Ø Ù× Ø Ø Ø  ÖÙÒ Ø Ñ  Ó Ø Ð ÓÖ Ø Ñ Ò ÙÖ º¾ × ÓÑ Ò Ø Ý Ø Ø Ñ Ø Ò ØÓ 
ÓÒ×ØÖÙ
Ø α,F α,F º Ê 
 ÐÐ Ø Ø 
 Ó Ø × × Ø× Ö ÔÖ × ÒØ Ò× φ ∈ Φl Ø Ö Ü ×Ø× Ú Ö ÓÙ× Φl × Ð l¹Ð Ò Ò ×Ø ÖØ Ò Û Ø α Ò Ò Ò Ø ØÙÖ F Û Ø 
ÓÒ ÙÖ Ø ÓÒ φº Ï  φ  ÒØ Ö  ×  Û ÐÐ  ÜØ Ò  Ø  × Ñ     Ø 
 Ò O(nk)  O(n)  ÁÒ Ø  Ò  ÐÝ ØÓ Ö  
Ð    Ò× Ø  Ø Û  Ò Ñ Ý Ö  Ö ØÓ  
ÓÒ  Ö ÖÓÑ 
ÓÒØ Üغ ÌÓ ÐÖ  ÜØ Ò    Ý  Ò×  
 Ù×  × × 
Ø ÓÒ¸ Û  Ú  Ø  Ô ÖÑ Ø  
ÓÒ×Ø ÒØ 
ØÓÖ Ò
Ö α,F 
ÓÒ×ØÖÙ
Ø× Φl Ò × Ô Ø Û ˆ α,F Û ÐÐ Ò Ø Ø 
ÓÒ×ØÖÙ
Ø× Φ l Ì ×Ø Ó ÓÙÖ Ö ÙÑ ÒØ  Ò  c  Ô Ø  Ø    Ý ÓÒ    
 Ù×  O(nk)  ÌÓ  ×  Ø  Ö  Ð Ò ×º ×Ù × Ø  ÔÖ 
 × ¸  ÔÖÓ  ×Ù ×Ø ØÙØ ÓÒ Ó ÓÒ ÙÖ º  ËÔ  
 ÐÐݸ Û    Ò ÓÖ Ö  Ó Ò  ÒÓØ  Ö¸ Û  ØÓ Ö ÑÓÚ  ¿  Ö ÓÒ  
ÓÒ Ó Ò   Ø  O(n)  Ö  Ò× 
ÓÙÐ Ó  ÓÙÖ  Ð ÓÖ Ø Ñ Ø  Φα,F ¸ l  Ø  Û Ø  Ð ÓÖ Ø Ñ  ÙÖ Ø ÓÒ׺ α,F Ó Φl Ý  Ò Ø  × Ò  × ÙÒÐ  ÙÖ Ø ÓÒº ËÓ Ö Ø Ø  ØÙÖ ×  ˆ α,F Φ l  
Ø Ø  ØÓ Ù× Ò¸  Ó  Ò Ö Ø  ÙÖ Ø ÓÒ׸ ÓÙÖ  Ý Ø    × ÔÖÓ
 ×׸  ÒÓÒ¹ Ò
 ÓÖ 
ÓÒØ 
Ø 
ÓÒ ˆ α,F Ò×Ø Ù×Ø Ý Ò ÓÙÖ 
ÓÒ×ØÖÙ
Ø ÓÒ Ó Φ l α,F Ò Φl Ó

ÙÖ× ÓÒ Ô Ø ¸ Û 
 Ò Ö ÔÐ Ø  × ÑÔÐ  Ï  ÙÖ Ò  O(c)  × ÑÔÐ ÒÝ Ø Ñ  Ò α,F ˆ Φl º Ì Ø Ð× Ó Ø × Ö ÙÑ ÒØ Ö 
ÓÑÔÐ 
 Ø Ø Ø ØÛÓ Ò× × Ö Ø × Ñ ÒÒ Ò Ò Ò Ò  φº  Ø Ö Ø Ú ÐÝ  Ö Ø ÓÒ Ó  ÒÓÒ¹ Ò
 ÓÖ 
ÓÒØ 
Ø 
ÓÒ Û Ø    Ò
 ÓÖ¸ Û  Ð Ò º  
 × ØÓ 
 Ð
ÙÐ Ø  ÒØÖ 
 
ݺ  ØÖ Ò  ÑÓÖ  ÔÖÓÐ  Ò× Û Ø  ÒØ  Û Ø  ×Ø Ò
Ø Ð Ò ×  ÐÐ  Ø ×Ù  × Ø  ÓÙÒ  Ò ÙÒ  Ø  Ò  Ò× ×Ø ÖØ Ò  O(n)  Ý  Ò Ö Ø  Ö Ù    Ý  Ð Ò º ËÙ Û  ÙÖ Ø ÓÒ Ò  ÑÓÖ  ×ÓÔ  ÓØ  Ö  Ö Ø  ÐÝ Ò  ×Ø 
 Ø Ò¸  Ò  φl+1 φ′l F  G  J  ´ µ φ′l Ö 
 × φl+1 Ú  Jº G  φl+1 K φ′l J  F  ´ µ φ′l Ö 
 × φl+1 Ú  J Ò Kº  F φ′l φl+1 K G  J  ´
µ φ′l Ö 
 × φl+1 Ú ÙÖ  º¿  ÁÒ    Ò×Ø Ò
 ¸ Ø    φ′l  Ò  K Ò Jº  ´×ÓÐ  Ö µ  Ö 
ØÐÝ Ö    × Ø    Ò  φl+1  ´ Ö Ýµº  Ø  Ò Ù×  ÓÒ  Ø  × ×Ù ×Ø ØÙØ ÓÒ ×Ø ÐÐ Ñ Ý ÒÓØ  × ÔÓ××  Ð º ËÔ  J Ò ÓÒ φl+1 ¸ Û × ′ Û Ö φl Ï ÙÒ  Ò Ö  ÒÓØ  ´  Ú  Ò  Ò    Ò× Ø  Ò׺ Ï ÒØ  Öº Ï  ×
Ö  Ð  
 ÐÐݸ Û  Ø  Ò Ø      Ò×µº  φl  ÔÓ××  Ò Ú Ö Û  Ð ¸ ×Ó Û 
 Ò  Ð  Ó Ø Ú  ×  ÐÑÓ×Ø ×Ô ÒÒ  Ý ×ÓÑ  ÓÒ  Ú    Û ÒØ ØÓ  ÐØ Ö¸ Û  × 
ÙÐÐ Ò  ÙÒÚ  × ÙÒÚ ′ Ð φl  Ð    Ð ¸ Ø    Û  ÔÖ Ú ÒØ× Ø  ÐØ Ö ØÓ Ø  ¿  Ôº ÁÒ  Ò Ö Ð¸  Ô Ö × ØÓ ÒÓØ Û Ò Ø ′ Ø ÑÓ×Ø ÓÒ ÙÑÔ Ò φl Û Ø Ø Ø × Ñ 
ÓÒ ÙÖ Ø ÓÒ× ×  Ò ×  Ò
 ÓÖ¸ Û  ÙÖ  ÐØ Ö Ö ÑÓÚ × ´  Ò Ò  ÔÖ 
 ×  Ø× ÓÙØÔÙغ ÌÓ  ˆ α,F φl ∈ Φ l  ÒÝ Ö Ñ  º¿ ÐÐÙ×ØÖ Ø × × Ú Ö Ð  Ò  ×
Ö ÔØ ÓÒ Ó  Á  Ù× Ò  ÙÖ  º µº Ì  Ð ÔÖÓÔ ÖØÝ Ó  Ø  Ò×  ÔÖÓ ÙÖ  Ø  ×× ÒØ Ò× Ø  × Û Ø  ÐÐ Ò  ÔÔ Ò  Ø ×Ø ÖØ Û Ø  Ò× ´×  ÓÑÔÐ Ø Ò ×× ÈÖÓÔ ÖØÝ Ó  × ÔÙØØÝ ØÓ  K ØÓ 
Ö Ø Ô Ø Ø Ø ′ Ý Ø Ø φl ÐÑÓ×Ø ×Ô Ò× φl+1 º ÐÑÓ×Ø ×Ô Ò× φl+1 º  ÙÒ ÖÐ  Ù×Ø  Ø ÓÒ Ð ÙÑÔ×  Ð Ò  ÒØ  Ö ÑÓÚ  ØÛ  ÓÖ ØÛÓ  ˆ α,F º ∈Φ l  Ò ÜØ Ó Ø  ׸ Û  Ò×µ  Ò  Ò    Ö ÒØ × ØÙ Ø ÓÒ× ÚÓ Ô Ö Ó ÔØ Öº Ò  Ð Ò  Ð  ÜÔÐÓ× ÓÒ  ÓÖ ÒÓÛ¸ Û ØÓ  Ø  Ö ¹  
 ÐÐÝ 
 ÐÐ ØÓ  ÔÓØ ÒØ  Ø Ó×  ÓÒ  ÔÖÓ Ù
 Ò  Ø Ø  ×Ø Ò Ù × Ó × ÒÓØ  ÜØ Ò× ÓÒ  φl+1  ÐÐÎ  ½  ×  ˆ α,F Ð × Φ ÓÖ 0 ÐÐ Ò
 ÓÖ× α  Ò Ø  ÓÖ  α  ÐÐ  F  Ò  Ó ÓÖ l = 0 ØÓ τ − 1 Ó ÓÖ ÐÐ ÒÚ ÖÓÒÑ ÒØ ØÙÖ × F Ó l × Ú× Ð Ý ˆ α,F ) Ø Ò Φˆ α,F ← ÐØ Ö(Φ l l ÈÖÓÔ  ÓÖ  ¾  (τ )  Ð Ä Ò  ÐÐ Ô  Ö× Ó  Ó ÓÖ  Ò
 ÓÖ 
ÓÒ ÐÐ Ô  Ø  ÙÖ Ø ÓÒ×  ÒÚ ÖÓÒÑ ÒØ ′ ÐÐ l Ò l ×Ù
 Ø  Ó ÓÖ  Ó  ψ∈ Ö  Ø ′ ,F ′ α ˆ′ Ψ ×Ù
 Ø Ø l × Ô Ø Π ÖÓÑ φ ØÓ  
ÓÒ× ×Ø Ò 
ÓÒ  Ñ Ý ÒÓØ Û  Ò Û  º  Ü ×Ø×  ùÒÓÖÑ Ð  ÒØÖ 
 
Ý × Ñ Ð Ö Ø  Ä ÑÑ  × ×  Ô Ø  Πº Ò  P Ì  
ÓÒ  Ò ÙÒÚ  ùÒÓÖÑ Ðº Ì  Ö ×ØÖ 
Ø ÓÙÖ (α, α′)−Ð Ò  Ð  ΛØ α  × Ð ÑÑ Ö Ò
 ×  Ð Ò ×  ÓÖ  Ò Û Ø  Ú  × ÓÛ× Ø  Ø  Ø ×Ø ÖØ× Û Ø Ò ÙÒÚ α′ Ø Ø ×Ø ÖØ× Û Ø Ò  Ð  Ð  Ò  Pº  Ì    ÙÑÔ¸  Ò  ÔÖ  Ò Ø  ÒØ  Ö  ÔÖ  Ü Ó  Ø ÓÒ× Ø  Ø  Ð  Ø  Ö  Ð×  ÐÑÓ×Ø ×Ô Ò× Ø  Ò × ×Ø ÐÐ Ö  Ð  ×  Ø  ÐÐݸ Ø ×Ø Ø × Ø  ܸ Ø  Öº  Ø ÓÒº  Ð  ×× ÒØ Ú  × × Ú Ö Ð 
ÓÒ  Π  ÓÒ  ÔÖÓÔ  Ò ÙÒÚ  ØÓ  ØÛ  Ò  Û Ö ÒÓÒ¹ Ò
 ÓÖ 
ÓÒØ 
Ø ′ Ò ÒÝ (α, α )¹Ð Ò ÓÙÒ ×Ó  ùÒÓÖÑ Ð Ô Ø ×º  Ò
ÐÙ  ψ  ×  ÙÖ Ø ÓÒ×    Ò ÜØ Ð ÑÑ  ØØ ÒØ ÓÒ ØÓ ÖÓÑ  Ø ÑÓ×Ø  ÙÖ Ø ÓÒ× Ø  ÐØ Ö Ò  Ö ÔÐ 
 Ò  Ó  φ+Π+ψ  ´ µ  ÙÖ  ØÙÖ ×  Ø ÖÑ Ò  ´ µ Ø  Ö ×ÙÐØ Ó  F, F ′ ′ Ø l+l ≤ τ ˆ α,F Ö Ü ×Ø φ ∈ Φ l  Ö× Ó  Ò  Ì  ˆ α,F ) (Φ l α, α′  Ù×  Ü ×Ø×  ÖÓÙ  ÒØ  Ø ×  ÐÝ Ø  Ø Ø Ò  ÙÒ Ø  Ö Ð  × Ñ  ÑÔÓÖØ ÒØ  Ð Ø ÖØ  ÓÖ Ñº  º¾º Ä Ø φl+1  ˆ α,F º Á φl+1 Ò ÓÒ Ð Ò ÜØ Ò× ÓÒ Ó Ò ÙÒÚ Ð 
 Ò φl Ó Φ l × Ø ÔÖ Ü Ó ×ÓÑ (α, α′)¹Ð Ò Λ¸ Ø Ö Ü ×Ø× Ã¹ÒÓÖÑ Ð Ô Ø P ÖÓÑ α ØÓ α′ ×Ù
 Ø Ø  ½º  Ú  ¾º Ø ¿º P ÈÖÓÓ º  Ð  ˆ α,F × Ø Ò φ′l Ó Φ l  ×Ù Ü Ó Λ ×  ÔÖ Ü Ó P ¸  ×Ù Ü Ó P ¸ Ò  × Ø ÑÓ×Ø Ø Ö  ÑÓÖ ÒÓÒ¹ Ò
 ÓÖ 
ÓÒØ 
Ø 
ÓÒ ÙÖ Ø ÓÒ× Ø Ò Λº  ÓÑÔÐ Ø Ò ×× ÈÖÓÔ ÖØݸ Ø Ö Ü ×Ø× Ú ′ ÐÑÓ×Ø ×Ô Ò× φl+1 º Ä Ø Λ Ø Ö ×ÙÐØ Ó Ö ÔÐ 
 Ò  φ′l  ÙÑÔ ×  Ý Ø  J  Ò  ÓÒ  Ø ÑÓ×Ø ÓÒ  ÙÒÑÓÓÖ  Ð Ò ÑÓÖ  Ñ Ü Ñ Ð  K  ´×  ÙÖ  º¿µº  ÒÓÒ¹ Ò
 ÓÖ 
ÓÒ Ò ´  
 Ù×  J  ÁØ  × ×ØÖ  ÙÖ Ø ÓÒ Ø ×  Ò  ¿  Ö  Ò  ØÖ ÖÝ  ˆ α,F ×Ù
 Ø Ø φ′l Ó Φ l φl+1 Û Ø φ′l Ò Ø ÑÓ×Ø ÓÒ ′ Ø ÓÖÛ Ö ØÓ Ú Ö Ý Ø Ø ´ µ Λ ′ Λ Ò ´ µ Λ × Ø ÑÓ×Ø ÓÒ ′ ÙÑÔµº ÆÓØ Ø Ø Λ × Ø × × Ð    Ò  Ø  Ø Ö  
ÓÒ  Ñ Ü Ñ Ð  Ø ÓÒ× Ó Ø  Ò ÙÒÑÓÓÖ ÑÓÖ  × Ø  Λ′  Ò ÔÖ Ú ÒØ× Ñ Ü Ñ Ð  ÓÖ Ñº ÀÓÛ Ú Ö¸ Ø  ÖÓÑ  × × Ø ×  Ý Ø  Ò Ö Ø ×º ′ ÙÖ Ø ÓÒ× Ø Ò Λº  º ÅÓÖ ÓÚ Ö¸ Ø  × ÓÔ Ö Ø ÓÒº  Ì  ÔÓ××  Ö  ÑÓÓÖ  ÓÖ ¸ Ø  Ò  Ü ×Ø Ò Ø  Ý Ä ÑÑ  × 
ÓÒ  P  Ø  Ö  Ò ÙÒÑÓÓÖ  Ø ÓÒ× Ó  ×  Ø  ×Ù  Ø ÑÓ×Ø ØÛÓ  
ÓÒ  Λ′  ÙÖ Ø ÓÒ× Ó  
ÓÒ  Ó  Ö ×ÙÐØ Ó ÖÓÐÐ Ò ¿º ¸  À Ò
 ¸ Ø  
ÓÒØ 
Ø 
ÓÒ  Ö×Ø  Ð  P  ùÒÓÖÑ Ðº Ä Ø  Ò ÙÒØ Ð Ø  ÒÓÒ¹ Ò
 ÓÖ 
ÓÒØ 
Ø 
ÓÒ  Ð ÑÑ  Ò  Ø ÓÒ Ó Ö  ÙÒ  × Ð ÑÑ  Ø  ×  Ò ÓÐ  ×  Û Ðк Ï Ø ÔÖÓÚ  Ø  Ø  ÔÖ 
 ×  ÒÓØ ÓÒ Ó Ö  Ø  ÐÐÎ  Ð Ä Ò  ÙÒ × 
 Ò  Ì ÓÖ Ñ º¿º ËÙÔÔÓ× Ø Ø Ø Ö ÒØÖ 
 
Ý kº Ì Ò Ø Ö ¾º Ú ÖÝ Ð Ò Ø  Ü ×Ø×  Ú Ò Ò Ø  Ù×  ØÓ  ÔÖ Ú ÓÙ× Ð ÑÑ ¸ Û  Ò  ×  Ð  Ö  Ð  ØÓ  Ô Ø º  Ü ×Ø× × Ð Ù Ò× Ô Ø ÖÓÑ αs ØÓ αt Û Ø × Ð Ã¹ÒÓÖÑ Ð Ô Ø Π∗ ÖÓÑ α ØÓ αt ×Ù
 Ø Ø  × O(nk + n3 ) 
ÓÒØ 
Ø 
ÓÒ ÙÖ Ø ÓÒ׸ Ò  ½º Π∗ ÈÖÓÓ º  Ò
Ý  Ò Π∗ × ÓÙÒ  ÌÓ ÕÙ ÒØ Ý Ø  ÓÖ Ñ¸ Û  ××  ùÒÓÖÑ Ð Ô Ø  ÜØ ÒØ ØÓ Û  Ò  Π∗  Ý  ÒÓÒ¹Ò Û Ø  Ø Ú  ÐÐÎ    º  Ð Ä Ò  ×  ùÒÓÖÑ Ð Ô Ø  ÒØ  Ö ÔÓØ ÒØ  Ñ Ò ÑÙÑ ÔÓØ ÒØ  Ð × Ø ×  и × Ø  Π  ÒÓØ × Ø  αs ØÓ αt P(Π)º Ï  ÖÓÑ  × Ø × Ö Ù  × Ø Ø  ×  Ø  ÓÖ Ñº  ØÓ P(Π) × ÔÖÓÔÓÖØ ÓÒ Ð ØÓ Ø ÒÙÑ Ö Ó ÒÓÒ¹ Ò
 ÓÖ c(Π)º Ì × 
ÓÒ Ø ÖÑ 
ÓÒØÖ ÙØ Ò ØÓ P(Π) × ÔÖÓÔÓÖ¹ Ø ÓÒ Ð ØÓ Ø Ú Ð ØÝ Ó Π¸ ÒÓØ v(Π)¸ Ø Ø × Ñ ×ÙÖ Ó ÓÛ ÑÙ
 Ó Ø Ô Ø × ÓÙÒ Ø ÖÓÙ 
ÓÒ ÙÖ Ø ÓÒ ÔÖÓÔ Ø ÓÒº Ì ÔÓØ ÒØ Ð P(Π) × 5c(Π) − 4v(Π)º Ú Ð ØÝ Ó Ø× 
ÓÒ×Ø ØÙ ÒØ Ð Ò ×º Ä Ø Λ ÓÒ ÌÓ 
 Ð
ÙÐ Ø v(Π)¸ Û ×ÙÑ Ø ′ ×Ù
 (α, α )¹Ð Ò Ò v(Λ) ÒÓØ Ø× Ú Ð Øݺ Ê 
 ÐÐ Ø ØΛ 
 Ò 
ÓÑÔÓ× ÒØÓ ′  Ò φ ×Ø ÖØ Ò Ø α¸ ÓÐÐÓÛ Ý ÙÑÔ J ¸ ÓÐÐÓÛ Ý  Ò ψ Ò Ò Ø αº Ä Ø φi ÒÓØ Ø i¹Ð Ò ÔÖ Ü Ó φº Ì Ò Ø Ð Ö ×Ø i¸ ÒÓØ v(φ)¸ ×Ù
 Ø Ø φi × Ú Ð Ñ ×ÙÖ × ÓÛ ÑÙ
 Ó φ × ÓÙÒ Ý ÐÐÎ Ð Ä Ò ×º ÐØ ÓÙ φv(φ) × Ú Ð ¸ Ø Ì  
ÓÒ  Ö×Ø Ø ÖÑ 
ÓÒØÖ  ÙÖ Ø ÓÒ× ÓÒ  Ñ Ý ÒÓØ  Π¸  ÙØ Ò  ÒÓØ  Ò ×Ù 
Ø ØÓ Ø ÔÖÓ
 ÙÖ ÐØ Ö 
 Ù× ÐÐÎ Ð Ä Ò × α,F ′ ˆ ÓÒÐÝ 
 ÐÐ× ÐØ Ö(Φl ) Û Ò l × ÑÙÐØ ÔÐ Ó ÓÙÖº ÌÓ Ø × Ò ¸ Ð Ø v (φ) = 4⌊v(φ)/4⌋º ′ Ì Ò φv′ (φ) × Ø ÐÓÒ ×Ø Ú Ð ÔÖ Ü Ó φ Ø Ø × ÐØ Ö º Ï Ò v (ψ) Ò ÐÓ ÓÙ×Ðݺ ′ ∗ ′ ∗ ∗ ∗ Ò ÐÐݸ Û Ò v(Λ) × v (φ ) + v (ψ )¸ Û Ö φ ¸ J ¸ Ò ψ Ö 
ÓÑÔÓ× Ø ÓÒ Ó ′ ∗ ′ ∗ Λ Ø Ø Ñ Ü Ñ × × v (φ ) + v (ψ )º ∗ Ä Ø Π × Ð Ã¹ÒÓÖÑ Ð Ô Ø ÖÓÑ αs ØÓ αt Û Ø Ñ Ò ÑÙÑ ÔÓØ ÒØ Ðº ËÙ Ô Ø  Ú  Ü ×Ø×  ÔÓØ ÒØ  Ð Ó  
 Ù× Ô Ø  ´ µ Ø ×  Ö  Ö  ÐÛ Ý× ÒÓÒ¹Ò  ×  Ð  ùÒÓÖÑ Ð Ô Ø × ÖÓÑ  Ø Ú º  ÓÒ  Ø ÓÒ ´ µ  αs  ÓÐÐÓÛ×  ØÓ  αt  ÖÓÑ Ì  Ò  ´ µ Ø  ÓÖ Ñ ¿º º  c(Π) ≥ 0¸ v(Π) ≥ 0¸ Ò c(Π) ≥ v(Π)º Ì Ð ×Ø 
Ð Ñ × 
ÖÙ
 Ð Ò Ö× ÙÖØ Ö Ü Ñ Ò Ø ÓÒ 
Ð ÖÐÝ c(Π) = Λ∈Π c(Λ) Ò v(Π) = v(Λ) ¸ Û Ö Λ ∈ Π Ñ Ò× Ø Ø Λ × Ð Ò Ó Ã¹ÒÓÖÑ Ð Ô Ø Π Ò
 ¸ Ø Λ∈Π 
 Λ ØÓ × Ø ×¸ ÒÓØ Ø Ø c(Λ) + 1 × Ø ×Ù 
 × ØÓ × ÓÛ Ø Ø c(Λ) ≥ v(Λ)¸ ÓÖ ÒÙÑ Ö Ó ÙÑÔ× ÓÒ Ø 
 ÒÓÒ 
 Ð Ö ÔÖ × ÒØ Ø ÓÒ Ó Λ Ò v(Λ) + 1 × Ø ÑÓ×Ø Ø ÒÙÑ Ö Ó ÙÑÔ× ÓÒ Ø 
 ÒÓÒ 
 Ð Ö ÔÖ × ÒØ Ø ÓÒ Ó Λº ÓÒ  Ø ÓÒ ´ µ  × × Ø ×  
 Ù×  ¼  ËÙÔÔÓ× ×  ØÛ  ÓÖ 
ÓÒØÖ Ò  Ð ÓÖ Ø Ñº Ï ÒÓÛ  P(P ) < P(Λ)º  
Ø ÓÒ Ø Ø Π∗ º Ä Ø Λ  Ò
 ÓÖ× ÓÒ Ö Ù  Ø  Ø Ø  Ö  ÐÐÎ  Ò  Ð Ä Ò  (α, α′)¹Ð Ò  Ü ×Ø×  ÒÓØ  ×  Ó  Π∗  ùÒÓÖÑ Ð Ô Ø  Ø  P  Ò  ÓÒ  Ó Ø  Ð Ò ¹  Ø × ÒÓØ ÓÙÒ Ý ÓÙÖ ′ ÖÓÑ α ØÓ α ×Ù
 Ø Ø ∗ P ÓÒ Π ¸ Û 
Ö Ø  Ð 
 Ù× Û Ö ÔÐ 
 Λ Û Ø Π∗ ¸ 
ÓÒØÖ 
Ø ÓÒº ÌÓ Ò P ¸ Û Ö×Ø 
ÓÑÔÓ× Λ ÒØÓ Ø  Ò φ¸ ÙÑÔ J ¸ Ò ψ Ø Ø Ñ Ü Ñ × × v(φ) + v(ψ)º Ì ×Ù Ô Ø Ó Λ Ó Ò Ò φv′ (φ) Ò ψv′ (ψ) × Ø Ð ×Ø Ð Ò × 
 Ù× ÐÐÎ Ð Ä Ò × ÒÓØ Ò Λº À Ò
 ¸ Ø Ö φ × Ø Ð ×Ø Ð Ò × ÐÓÒ Ö Ø Ò φv′ (φ) ÓÖ ψ × Ø Ð ×Ø Ð Ò × ÐÓÒ Ö Ø Ò ψv′ (ψ) º ËÙÔÔÓ× Ø ÓÖÑ Ö ´Ø Ð ØØ Ö 
 × ′ × ×ÝÑÑ ØÖ 
µº Ì Ò φv′ (φ)+4 × ÙÒÚ Ð Ý Ò Ø ÓÒ Ó v (φ)º ÅÓÖ ÓÚ Ö¸ φv′ (φ)+5 × ÔÖ Ü Ó Λº À Ò
 ¸ Û 
 Ò ÔÔÐÝ Ä ÑÑ º¾ Ð Ø P ùÒÓÖÑ Ð Ô Ø α ØÓ α′ ×Ù
 Ø Ø ´ µ P × Ú Ð [v(φ) + 4]¹Ð Ò ÔÖ Ü¸ ´ µ ψv′ (ψ) × ×Ù Ü Ó P ¸ Ò ÓÒ Ø ÓÒ× ´ µ Ò ´ µ ÑÔÐÝ Ø Ø v(P ) ≥ v(Λ) + 4º Ì Ù× ´
µ c(P ) ≤ c(Λ) + 3º P(P ) ≤ 5[c(Λ) + 3] − 4[v(Λ) + 4] = P(Λ) − 1º ∗ Ï ÒÓÛ ÓÙÒ Ø ÒÙÑ Ö Ó ÒÓÒ¹ Ò
 ÓÖ 
ÓÒ ÙÖ Ø ÓÒ× ÓÒ Π º Ý Ì ÓÖ Ñ ¿º ¸ Ø Ö Ü ×Ø× Ã¹ÒÓÖÑ Ð Ô Ø Π ÖÓÑ αs ØÓ αt Û Ø O(nk) ÒÓÒ¹ Ò
 ÓÖ 
ÓÒØ 
Ø 
ÓÒ ¹ ∗ ÙÖ Ø ÓÒ׺ À Ò
 ¸ P(Π) ∈ O(nk) 
 Ù× P(Π) ≤ 5c(Π)º Ì Ö ÓÖ ¸ P (Π ) ∈ O(nk)º ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ÆÓØ Ø Ø P (Π ) ≥ c (Π ) 
 Ù× c (Π ) ≥ v (Π )º Ì Ù× c (Π ) ∈ O(nk)º ∗ Á Ò Ò
 ÓÖ 
ÓÒ ÙÖ Ø ÓÒ Ó

ÙÖ× ØÛ 
 ÓÒ Π ¸ Û 
 Ò Ö ÑÓÚ Ø ××Ó
 Ø ÐÓÓÔ ∗ Û Ø ÓÙØ Ò
Ö × Ò Ø ÔÓØ ÒØ Ð Ó Π º Ì Ö ÓÖ ¸ Û 
 Ò ××ÙÑ Û Ø ÓÙØ ÐÓ×× Ó Ò¹ ∗ Ö Ð ØÝ Ø Ø ÒÓ Ò
 ÓÖ Ó

ÙÖ× ØÛ 
 ÓÒ Π º ÁÒ Ø × 
 × ¸ Ø ÒÙÑ Ö Ó 
ÓÒØ 
Ø 
ÓÒ Ù¹ ∗ ∗ 3 3 Ö Ø ÓÒ× ÓÒ Π × c(Π ) + O(n ) = O(nk + n )º  Ô Ø  Û Ø  Ì  × × ÑÔÓ××  ÐÓÛ Ö ÔÓØ ÒØ  Ð Ø  Ò  ½  ÔØ Ö Ð Ñ Ò Ø Ò ÁÒ Ø  ÔÖ Ú ÓÙ×  Ò
Ö  × Ò  Ê  ÔØ Ö¸ Û  ×
Ù××  ÒØÖ 
 
Ý ÙÒØ Ð Ø  ×ÓÐÙØ ÓÒ¸ ÔÐ ÒÒ Ò  Ø  Ñ Ø×  ×
ÓÚ Ö  ×ÓÐÙØ ÓÒ Ó ×Ù  Ö
 º ÌÓ  ÑÓÖ  Ù×Ø Ú ¸ Û  ÔÖ 
 × ¸ Ø  Ö  Ð ÓÖ Ø Ñ× Ø  Ô Ø × × Ö  × Ø    ÒÓÙ  Ø  Ø  ÖÓÛ Ô Ø × Ó  Ø Ø ÑÙ×Ø 
ÓÒØ  ÒØÐÝ ÐÓÛ ÒØÖ 
 
ݺ Ì  Ö×Ø  × 
ÓÒ  Ò  Ö×Ø Ô Ø ¹  Ð ÓÖ Ø Ñ ÔÖÙÒ × Φα,F Ó l¹Ð Ò l  Ò× Ò
 ÓÖ α ØÓ ØÙÖ F ¸ Û Ö × Ø × 
ÓÒ Ð ÓÖ Ø Ñ ÓÒÐÝ 
 Ð
ÙÐ Ø × ×Ù × Ø α,F ˆ α,F Ó Φα,F º Ï ˆ α,F Ò × Ñ Ð Ö Ñ ÒÒ Ö׺ ÌÓ 
 Ð
ÙÐ Ø Φα,G ¸ Û Φ Ò Ö Ø Φ Ò Φ l l l l l α,F ˆ α,G ¸ Ú ÖÝ Ò Ò Ú ÖÝ Φl−1 º ÌÓ 
 Ð
ÙÐ Ø Φ 
ÓÒ× Ö Ú ÖÝ ÓÒ Ð Ò ÜØ Ò× ÓÒ ØÓ G Ó l ˆ α,F ¸ Û Ö Û 
ÓÒ× Ö Ú ÖÝ ÓÒ Ð Ò ÜØ Ò× ÓÒ ØÓ G Ó Ú ÖÝ  Ò Ò Ú ÖÝ Φ l−1  Ò × Ú Ð Ø × ÒÓØ Ö ÑÓÚ Ý ÐØ Ö Ò º Ê 
 ÐÐ Ø Ø Û Ò× ×Ø Ø Ø ÙÒÚ Ð Ø× ×  Ü  Ò
Ý  ØÛÓ Ô Ø ¹ÔÐ ÒÒ Ò  × Ø Ó  ÔÖÓ Ð Ñ  Ð ÓÖ Ø Ñ ×  ÙÒ  Ô Ø ¹ÔÐ ÒÒ Ò  Ð ÓÖ Ø Ñ 
 Ð
ÙÐ Ø × Ø  Ú    Ò× Ö  ÙÒ  ÒØ Û Ø  Ö ×Ô 
Ø ØÓ Ú  ÓÑÔÐ Ø Ò ×× ÈÖÓÔ ÖØÝ Ó ÁÒ Ø  φl  ×  ØÛÓ 
 × × Û Ñ ÒÒ Öº  ÈÖÓÔ ÖØÝ Ò ÔÔ Ò  
 ×  ÁÒ Ø  ×  Û  Ò Ø  Ò  ÔÖÓÚ  ÐØ Ö Ò  n¸ m¸ ÔÔ Ò  Ï Ø 
 Ð ØÝÔ × ×Ó Ø  ÓÖ  Ø  Ø Ø  ØÝÔ  Ø  ÒØ  Ð ¸ Ø Ò ˆ α,F º Φ l  ∈    × Ø  Ø  Ö  Ð  × ÓÖÑ Ð ×  Ø × Ø ×  
 Ò × Ø × Ý Ø  lº  Ò Ü  ÒÙÑ ÌÓ ÔÖÓÚ  º Ì ÐÐÝ  ×  ÓÐÐÓÛ Ò  ÓÒ  Ð Ò  Û  Ö  Ø ÓÒº  φl+1  ÓÑÔÐ Ø Ò ×× ÈÖÓÔ ÖØݺ Ï  ÓÑÔÐ Ø Ò ×× ÈÖÓÔ ÖØÝ Ò  
 ×  
ÓÒ  ÜØ Ò× ÓÒ  Û  × Ø × Ý Ø  ×ØÖ  ع  ÓÑÔÐ Ø Ò ××  Ö ÐÝ ÓÒ × Ú Ö Ð Ø 
 Ò 
 Ð Ö ×ÙÐØ× Ø ÐØ Ö Ò  Ø × ÔÓÐÝÒÓÑ  Ø  Ø Û  ÔÖÓÚ  Ò  ÐØ Ö Ò  × ÑÔÐ  T¸  Û  Ð  ÐÐÝ 
ÓÒ  ÐÐÝ  º ËÔ 
 
 ÐÐݸ ˆ α,F | Ò nº ÓÙÒ Ò |Φ l ÙÖ Ø ÓÒ× × ÔÓÐÝÒÓÑ ÐÐÝ  Ö ÐÝ ÓÒ ×ÓÑ  Ø ÓÒ× ÑÔÐÝ Ø  Ø Ø  ÓÙÒ  Ø 
 Ò 
 Ð Ö ×ÙÐØ× Ø ÖÙÒ Ø Ñ  Ø  Ó ÓÙÖ × 
ÓÒ  n¸ m¸ Ò k º ˆ Φα,F Û Ø Ú l  Ò  ×ØÖ Ø  × Ð 
Ø  ¹ Ò ¹
ÓÒÕÙ Ö ÔÔÖÓ 
 º ËÔ 
 ¹ ˆ α,F º Ï Φ Ò Ø ÜØ Ò× ÓÒ l ×Ó × Ñ Ð Ö Ø Ø Û 
 Ò ×ÓÐÚ Ø ××Ó¹  ÜØ Ò× ÓÒ× Ó  Ô ÖØ 
ÙÐ Ö ØÝÔ  ÓÒ  Ú  × Ö ×ÙÐظ Û  Ö ÒØ ØÝÔ × Ó ÓÒ ¹Ð Ò  ÜØ Ò× ÓÒ  × ÔÓÐÝÒÓÑ  Ö Ó Ö ×ÙÐØ Ò  ØÛÓ 
ÓÒ  ÓÙÒ  ÜØ Ò× ÓÒ× Ó Ó  Û Ý Ø  × 
 × ¸ Û  Ø Ø  ×Ù ÔÖÓ Ð Ñ Û Ø   Ú  ×
Ù××  ÔÖÓ Ð Ñ Ó  ÒØ Ý  × ÙÒÚ ′ Ð φl  Ð×Ó Ö Ù Ø Ø ÓÙÖ α,F ˆ Φl Ø × Ø Ñ Ø  × ÓÛ Ø  Ò  Û  Ò׸  × Ø  º  Ð ÓÖ Ø Ñ × ÔÓÐÝÒÓÑ 
 ÐÐݸ Û  Ö  Ò  Ò¸ Û  ÔØ Ö¸ Û  × ÓÛ Ø  ÓÙÒ  Ì  Ý ×ÓÑ  ˆ α,F Φ l  Ö 
ØÐݺ ÁÒ Ø  ÅÓÖ ÓÚ Ö¸ Û Û  ÐØ Ö    ˆ α,F φl ∈ Φ l  Á  ÐÑÓ×Ø ×Ô ÒÒ  ÔØ Ö¸ Û  ×Ø ÖØ Û Ø ÓÖÛ Ö  ×  Ð  ÒØ Ö  Ö  ݺ ÌÓ 
Ð Ö Ý Û ˆ α,F [T ] Ó Φ l  ×Ù × Ø ¾  Ø Û  ˆ α,F Φ l  Ñ ×Ó Ø  Ò  Ý ×Ù ÔÖÓ Ð Ñ¸ Ø  Ú ÖÝ ÓÒ ¹Ð Ò  ˆ α,F Ó ØÝÔ T × ÐÑÓ×Ø ×Ô ÒÒ ˆ α,F [T ]º Ì Ö ×ÙÐØ Ó ÜØ Ò× ÓÒ Ó Φ Ý ×ÓÑ Ò Ò Φ l l ˆ α,F × Ø ÙÒ ÓÒ T Φ ˆ α,F [T ]º Ì × ÙÒ ÓÒ × Ø × × Ø ÐØ Ö Ò Φ ÓÑÔÐ Ø Ò ×× ÈÖÓÔ ÖØÝ l l ˆ α,F × Ó 
 Ù× ÓÙÖ 
 Ó 
 Ó ØÝÔ × ØÝÔ × × Ü Ù×Ø Ú Ú ÖÝ ÓÒ ¹Ð Ò ÜØ Ò× ÓÒ Ó Φ l ×ÓÑ  Ô ÖØ 
ÙÐ Ö ØÝÔ º  º½ Ï  ÐØ Ö Ò Û Ø Ï ÐÐ× Ö×Ø  ÁÒ Ø  ×  Ò×Ø Ò
 ¸ Û  ×Ø 
 ×  Ð Ò  Ø  Ø Û  Û ÒØ ØÓ  ˆ α,F Φ l  ÐØ Ö  Û  F  Ò  ×  Û Ðк  ÁÒ Ø  
 × × Ø  Ø Û  Ö ××  × Ò Ð  ¸ Û  Ù×  Ø  
Ø Ø  ÙÑÔº ÁÒ Ô ÖØ 
ÙÐ Ö¸ ÓÒ  Ø ÓÒ Û    Ö  Ò 
 Ò  Ö    Ö Ò  Ó 
ÓÒ  Ö ÒØ ÖÓÑ Ø  ÖÓÑ  F  ØÓ ÖÐ  F  G×  Ò Ø ÓÒ׺ Ì   Û    G  φ  ØÓ  G¸  Ø Û  Ò
ÐÙ  ÙÑÔ ´×  ÐÓÒ  º½´ µµ¸ Û  Û Ò ÓØ  ÙÖ  Ö  Û ÐÐ × Ö × Ø  Ö    º½´ µµº Ì  Ò Ó ×Ø 
Ð  Ó Ó ×Ø 
Ð × Ø  Û ÐÐ  × Ö  Ñ Ý  Ò   ÐÓ  Ø  Ö    ÖÓÛ× ÑÓÒÓØÓÒ 
 ÐÐÝ  ØØ Öµº Ñ  ×Ô 
ØÖÙÑ Ó ÙÑÔ×  ÙÑÔ× Ò  × Ò Ð  ÙÑÔ  Û Ðи Ø Û  Ú  Û ÐÐ Ò ØÛÓ ÑÔÓÖØ ÒØ Û Ý×  × Ø ÙÖ  Ø  ÓÖÑ Ð ×  Ø  ÐÓÒ Ö  Ø× ´×  ÐÐ ÙÑÔ× ÖÓÑ ÐÐÓÛ Ò  Ö  Ö ÝÓÙ Ö  Ö×ظ Û  ÙÖ Ø ÓÒ×  G¸  ØÓ  Ö Ò  Û Ðи Û 
 Ò ÓÐÐÓÛ ˆ α,F [G]¸ º Ï ÒÓÛ Ö ×× Ø ÔÖÓ Ð Ñ Ó 
ÓÒ×ØÖÙ
Ø Ò Φ l º ÁÒ Ø × 
 × ¸ Û Ù× Ø 
Ø Ø Ø ÓÒ 
ÓÒ ÙÖ Ø ÓÒ Ø F 
 Ò  Ò G Ö 
ÓÖÒ Ö×  ÙÑÔ ÖÓÑ ´Ø  ×غ  Ù×Ø  ÙÖ Ø ÓÒ× Ú    ×  Ó  ÖÐ  Ø Û ÐÐ ÙÒ ÑÔ  F  
Ø Ø  ÓÖÒ Ö ØÓ ÓÖÒ Ö ÜØ Ò× ÓÒ×  Ó 
ÓÒ  Ö  Ø  ÜØ Ò× ÓÒ Ø  º¾ Ø  Ù×  ×ÙÔÔÓ×  Ø ÓÒ
 Û Ö Û Ðи Û 
 Ò ÓÐÐÓÛ Ø Ø Û ÐÐ α,F ′ ˆ ÙÒ ÑÔ º ÌÓ ÑÓÖ ÔÖ 
 × ¸ Ð Ø φl , φl ∈ Φl ØÛÓ 
ÓÒ ÙÖ Ø ÓÒ× Ø F ÓÖ ÒØ ′ ′ ÓÖ φl ¸ Ø Ò φl 
 Ò Ö 
 φl Ý ÓÐÐÓÛ Ò F ´× Ò Ø × Ñ Ö 
Ø ÓÒº Á φl 
ÓÑ × ′ ÙÖ º¿´ µµº À Ò
 ¸ φl ÐÑÓ×Ø ×Ô Ò× Ú ÖÝ ÓÒ Ð Ò ÜØ Ò× ÓÒ Ó φl º Ì Ö ÓÖ ¸ Û ˆ α,F Ø Ø Ö 
 F Ø 
 Ò Ð Ñ Ò Ø ÐÐ ÙØ Ø ØÛÓ Ò× Ó Φ ÖÐ ×Ø Ò  Ö 
Ø ÓÒ l Ò ×Ø ÐÐ × Ø × Ý Ø ÓÑÔÐ Ø Ò ×× ÈÖÓÔ ÖØݺ ˆ α,F Û Ò F × 
ÓÖÒ Öº ÁÒ Ø × 
 × ¸ Û ÆÓÛ¸ ×ÙÔÔÓ× Ø Ø Û Û ÒØ ØÓ ÐØ Ö Φ l ˆ α,F Ý Ø ×Ø Ò Ù × Ø ÜØ Ò× ÓÒ× Ó Φ ØÙÖ G Ø Ø Ø Ý Ö 
 º ÓÖ 
 G¸ Û l α,F α,F ˆ ˆ ˆ α,F ÒØ Ý ×Ù × Ø Φl [G] Ó Φl ×Ó Ø Ø ÓÖ Ú ÖÝ ÓÒ Ð Ò ÜØ Ò× ÓÒ φl+1 Ó φl ∈ Φ l α,F ′ ′ ˆ [G] ×Ù
 Ø Ø φ ÐÑÓ×Ø ×Ô Ò× φl+1 º ØÓ G¸ Ø Ö Ü ×Ø× φl ∈ Φ l l ˆ α,F [G] Û Ò G × Û Ðк ËÙÔÔÓ× Ø Ø Û Û ÒØ ØÓ ÒØ Ý Φ Ò¸ Û Ù× Ø 
Ø l ′ Ø Ø ÓÒ
 Û Ö Û Ðи Û 
 Ò ÓÐÐÓÛ Ø Û ÐÐ ÙÒ ÑÔ º ËÔ 
 
 ÐÐݸ Ð Ø φl , φl α,F ′ ′ ˆ  Ò× Ó Φ Ò φl+1 , φl+1 ÓÒ Ð Ò ÜØ Ò× ÓÒ× ØÓ G Ó φl Ò φl Ö ×Ô 
Ø Ú Ðݺ l ′ ′ Á φl+1 Ò φl+1 Ö ÓÖ ÒØ Ø × Ñ Û Ý Ò φl+1 Ö 
 × G ÓÖ φl+1 Ø G¸ Ø Ò ′ ′ φl+1 
 Ò ÓÐÐÓÛ G ØÓ Ö 
 φl+1 ´× ÙÖ º¿´
µµº ÁÒ Ø × 
 × ¸ φl ÐÑÓ×Ø ×Ô Ò× φl+1 º α,F ˆ ˆ α,F Ø Ø Ö 
 G Ú [G] Ø 
 Ò× Ó Φ À Ò
 ¸ Û × Ð 
Ø Ø ÑÓ×Ø ØÛÓ Ò× ÓÖ Φl l ÓÒ  ×  Ö ×× Ø  Ò  Ò  Ö    Ý Ø  G  Ò  ÙÑÔ×  ×Ô 
ØÖÙÑ ØÓ 
ÓÐÐ  Ö  ÐÓ  Û Ø  ¿    ÖÓÑ ÓÒ  ÖÓÑ 
ÓÒ  F  ØÓ  Û Ø  ÙÖ Ø ÓÒ  Ý Ó ×Ø 
Ð × ´×  Ó ×Ø 
Р׸  G  φ  Ø  ÙÖ  
ÓÙÔÐ  Ó  × Ø  × Ø  F  º½´ µµº  ÙÑÔ ×Ô 
ØÖÙÑ ÓÒÐÝ  Ý  Ô Ò ×  φ  Ò  ØÓ  G¸  ÓÒ  φ  Ø  ÙÑÔ Ò Ø  φ ØÓ G ´× reach(φ)¸ × Ø  Ö Ð Ø ÓÒ Ó ÒÓØ  ÙÖ × Ø Ó  Ö 
 Ó  º½´ µµº Ì  ÐÐ  ×Ø Ò Ø ÓÒ 
ÓÒ  ÙÑÔ ×Ô 
ØÖÙÑ  ÙÖ Ø ÓÒ× Ö    ÖÓÑ  Ý ×ÓÑ  Ø ×Ô 
ØÖÙѺ  φ1 φ2  G  G  ´ µ ÇÒ 
ÓÒ ÙÖ Ø ÓÒ Ø F Ö 
 × Ö Ò × Ò Ð ÙÑÔº 
ÓÒ ÙÖ Ø ÓÒ× Ø G Ú ÙÖ  Ó  ´ µ Ì Ö Ò Ó 
ÓÒ ÙÖ Ø ÓÒ× Ö ØG Ô Ò × ÓÒ Ø ×ÓÙÖ
 
ÓÒ ÙÖ Ø ÓÒ Ø F º º½  ÂÙÑÔ ×Ô 
ØÖ º  ˆ α,F [G] ×Ó Ø Ø ÓÖ Ú ÒÓÛ ×
Ö ÓÛ ØÓ × Ð 
Ø Φ l ˆ α,F ¸ Ø Ö Ü ×Ø× φ′ ∈ Φ ˆ α,F [G] ×Ù
 Ø Ø Ø Ö × φl ∈ Φ l l l ′ ´ Ò Û 
 
 × ¸ φl ÐÑÓ×Ø ×Ô Ò× φl+1 µº Ï Ù Ö ÒØ Ø ′ ØÓ φl+1 Û Ø ÙÑÔ ×Ô 
ØÖ Ø Ö Ü ×Ø× ÙÑÔ ÖÓÑ φl ′ ÀÓÛ Ú Ö¸ Ø × Ù Ö ÒØ ÙÑÔ ÖÓÑ φl ØÓ φl+1 Ñ Ý ×Ô 
ØÖÙÑ 
 Ò ÐÓ Ý Ó ×Ø 
Р׺ ÌÓ Ù Ö ÒØ Ø Ø Ï  ÒØÖÓ Ù  φ3  F  F  Ò Û ×Ù ÔÖÓ Ð Ñ׺  ÁÒ ÓÙÖ Ò Û ×Ù ÔÖÓ Ð Ñ׸ Û  ×Ø Ò Ù ×  Ø  ÖÝ ÓÒ ¹Ð Ò ×  Ð  Ü ×Ø Ò ØÓ Ò Ø  φl+1 ¸ ×  Ð  
 Ù×  ÙÑÔ× Ò  × ÙÑÔ × 
ÓÐÐ × ÓÒ¹ Ö  ˆ α,F Φ l ×× hº  ÜØ Ò× ÓÒ× Ó  ÜØ Ò× ÓÒ φl+1 Ó φ′l ØÓ φl+1 ′ Ó ÙÑÔ ÖÓÑ φl φl+1 ∈ reach(φ′l )º  ÙÑÔ ÖÓÑ  Ý Ø  ØÙÖ  ¸ Û  GØ  Ø  
 ¸ Ø Ö Ò ×ØÖÙ
ØÙÖ Γ¸ Ò Ø Ö ÓÑÓØÓÔÝ 
Ð ÓÖ 
 G, Γ¸ Ò h¸ ˆ α,F [G, Γ, h] Ó Φ ˆ α,F ×Ó Ø Ø ÓÖ Ú ÖÝ ÓÒ Ð Ò ÜØ Ò× ÓÒ φl+1 Ó ÒØ Ý ×Ù × Ø Φ l l ˆ α,F ØÓ G Û Ø Ò ×ØÖÙ
ØÙÖ Γ Ò ÓÑÓØÓÔÝ h¸ Ø Ö Ü ×Ø× φ′ ∈ Φ ˆ α,F [G, Γ, h] φl ∈ Φ l l l ′ ×Ù
 Ø Ö Ü ×Ø× × Ð ÙÑÔ ÖÓÑ φl ØÓ φl+1 º Ì Ò Û Ø Ø ÙÒ ÓÒ Ó Ø ×ÓÐÙØ ÓÒ× α,F α,F ˆ ˆ [G, Γ, h] × Ø ØÓ Ø ×Ù ÔÖÓ Ð Ñ× × Ö Φl [G]º Γ,h Φl α,F ˆ ˆ α,F [G, Γ, h] ØÓ Ø Ï 
 ÓÓ× Φl [G, Γ, h] Û Ø Ö Ý ÔÔÖÓ 
 º ÁÒ Ø ÐÐݸ Û × Ø Φ l α,F ˆ 
ÓÒ ÙÖ Ø ÓÒ× Ó Φ Ø Ø  Ò Ö  G Ú Ð Ò Û Ø Ò ×ØÖÙ
ØÙÖ Γ Ò ÓÑÓØÓÔÝ l ˆ α,F [G, Γ, h] Û Ò Ø × × hº Ì Ò Û Ö Ô Ø ÐÝ Ð Ñ Ò Ø 
ÓÒ ÙÖ Ø ÓÒ× ÖÓÑ Φ ØÓ l α,F 1 2 3 2 ˆ [G, Γ, h] ×Ù
 Ø Ø reach(φ ) ⊆ Ó ×Óº ËÔ 
 
 ÐÐݸ Û ÐÓÓ ÓÖ ØÖ ÔÐ φ , φ , φ ∈ Φl 1 3 2 reach(φ ) ∪ reach(φ ) Ò Ö ÑÓÚ φ Û Ò ×Ù ØÖ ÔÐ × ÓÙÒ ´× ÙÖ º½´ µµº ÐØ ÓÙ Γ Ò h ÔÐ Ý ÒÓ ÖÓÐ Ò ÓÙÖ 
 × ÓÒ ØÓ Ð Ñ Ò Ø φ2 ¸ Ø Ý 
 ÖØ Ý Ø Ø Ø 2 2 2 Ö ÑÓÚ Ð Ó φ × × º ÌÓ × Ø ×¸ Ð Ø L Ø Ð Ò ÖÓÑ φ ØÓ G Û Ø Ò ×ØÖÙ
ØÙÖ Γ 2 2 2 Ò ÓÑÓØÓÔÝ h ´× ÙÖ º¾´ µµº ÁØ × × ØÓ Ö ÑÓÚ φ Ø ÜØ Ò× ÓÒ Ó φ Ý L 1 2 2 2 × ÐÑÓ×Ø ×Ô ÒÒ Ý φ ÓÖ φ º Ý ÓÙÖ 
 Ó 
 Ó φ ¸ Ø ×Ø Ò Ø ÓÒ 
ÓÒ ÙÖ Ø ÓÒ Ó L 1 3 × 
ÓÒØ Ò Ò reach(φ ) ÓÖ reach(φ )º ËÙÔÔÓ× Ø Ð ØØ Ö ´Ø ÓØ Ö 
 × × ×ÝÑÑ ØÖ 
µ¸ 3 2 Ò Ð Ø J Ø ÙÑÔ ÖÓÑ φ ØÓ Ø ×Ø Ò Ø ÓÒ 
ÓÒ ÙÖ Ø ÓÒ Ó L º Á J × Ö Ó 2 2 3 
ÓÐÐ × ÓÒ׸ Ø Ò Ø ÜØ Ò× ÓÒ Ó φ Ý L × ÐÑÓ×Ø ×Ô ÒÒ Ý φ º ÌÓ × Ø Ø J × 2 3 3 3 ØÛ Ò L Ò L ¸ Û Ö L × Ð Ò ÖÓÑ φ ØÓ 
ÓÐÐ × ÓÒ Ö ¸ ÒÓØ 
 Ø Ø J × Û Ø  Û  Ý Ö  F φ2  G  L2  φ3  G  F J L3  ´ µ ÄÒ ×ÛØ ØÓ Gº ÙÖ  G  ´×  Ø ÓÙÖ Ö  Ò  Ö  Ò  ÓÙÖ ×Ù ÔÖÓ Ð Ñ× ×Ó Ø  Γ  ×ØÖÙ
ØÙÖ  Ä ÑÑ Ú  Ø  Ò  Ò  n  Ò  ÒØ ÖÚ Ð Ó  ÒØ ÖÚ Ð ×  × Û  ÓÑÓØÓÔÝ  × Ñ Ø Ó  ˆ α,F | |Φ l  hº  ÓÑÓØÓÔÝ Ø Ò  Ø  × Ó  J  Ì  × Û 2 Ö L ÒÓÖ  Ý Ø  Ò 3  L  ÙÒ  Ó  Ò
Ý  J  
ÖÓ××  Ð Ñ Ò Ø ÓÒ × ×  ØÛ  J  ØÛ Ò  Ò  L2  L3  Ò  ÑÓÖ ÓÚ Ö¸ Ø  ÑÓÒÓØÓÒ 
 ØÝ Ó Ð Ò × Û Ø  º  × ØÖÙ  Ð Ò ×  ×ØÖÙ
ØÙÖ L2 Ò  L2 Γ L3  × Ø Ø J × 
ÓÐÐ × ÓÒ Ö 
 Ù× Ø 2 ˆ α,F [G, Γ, h]º ÓÖ ¸ Ø × × ØÓ Ö ÑÓÚ φ ÖÓÑ Φ l α,F ˆ [G, Γ, h] Ø × Ø Ñ Ø Ø × ÔÓÐÝÒÓÑ ÐÐÝ ÓÙÒ Ó 
ÓÒ×ØÖÙ
Ø Ò Φ l 
 Ù× reach(φ) × × ÐÝ Ö ÔÖ × ÒØ Ò Ö ÐÝ 
ÓÑÔÙØ reach(φ)  º½µº Ì  × Ñ  Ì  ×  Ï  Ò Ö Ð Ä ÑÑ º¾ ×Ø Ø × Ø 3 L ÐÛ Ý× Ð ÓÒ Ö ÒØ ×  Ò  Ò  ´ µ ÂÙÑÔ ÖÓÑ φ1ℓ ØÓ φ2ℓ+1 × Û L1 Ò L2 º  º¾  Û Ø  Ò  Ò ×ØÖÙ
ØÙÖ C − L0 C + ÖÓÑ F  ÓÖ  Ò  hº  ÑÔÐ  Ì  Ö  ÒØ Ø ÓÒ× ´Ø  ÓÙÒ  Ý Ð Ò ×  ×  ÖÓÑ  ÓÐÐÓÛ×  φ  ÖÓÑ Ø  G  ØÓ  
 Ù×  Ö ÙÑ ÒØ× Ø  Ò Ë 
Ø ÓÒ  ×Ø Ò Ø ÓÒ 
ÓÒ  º¾µ  Ø  ×  ÙÖ Ø ÓÒ Ó  Ò  ÙÒ
ÓÒ×ØÖ  Ò ÙÑÔ 
 Ò ÖÓÐÐ Ý ×Ñ ÐÐ ÑÓÙÒØ Ò Ø Ö Ö 
Ø ÓÒº Ì Ö ÓÖ ¸ Û α,F α,F ˆ ˆ Ò Ø Ñ Ø Ø × ÔÓÐÝÒÓÑ ÐÐÝ ÓÙÒ Ò |Φl | Ò n 
 Ù× Ø Ö Ö 
 Ò ÐØ Ö Φl ÓÒÐÝ O(n) 
 Ó 
 × Ó G¸ O(1) 
 Ó 
 × Ó Γ¸ Ò O(n) 
 Ó 
 × ÓÖ h ´× Ä ÑÑ º¿µº α,F ˆ ÁÒ Ø Ö ×Ø Ó Ø × ÔØ Ö¸ Û Ö Ù Ø Ø |Φl [G, Γ, h]| × ÔÓÐÝÒÓÑ ÐÐÝ ÓÙÒ Ò n¸ m¸ Ò lº Ì ×ØÖÙ
ØÙÖ Ó Ø × ÔÖÓÓ × × ÓÐÐÓÛ׺ Ö×ظ Û ÓÖÑ Ð × ÔÖÓÔ ÖØÝ T ˆ α,F [G, Γ, h] × Ø × ×º Ï Ð×Ó Ö Ù Ø Ø Φ ˆ α,F [G, Γ, h] × Ñ Ò Ñ Ð Ò Ø × Ö ×Ô 
Ø Ø Ø Φ l l ˆ α,F [G, Γ, h] × Ø × × T º Ì × Ñ Ò Ñ Ð ØÝ ÑÔÐ × Ø Ø Ø × Þ Ó ÒÓ ÔÖÓÔ Ö ×Ù × Ø Ó Φ l ˆ α,F [G, Γ, h] × Ø ÑÓ×Ø ØÛ 
 × Ð Ö Φ × ÒÝ × Ø Ø Ø × Ø × × T º À Ò
 ¸ Ø ×Ù 
 × ØÓ l 
ÓÒ×ØÖÙ
Ø  lº  Ï  × Ø  Ψ  
ÓÒ
ÐÙ  º¾º½  Ø  Ø × Ø ×  Å Ò Ñ Ð ØÝ Ó ÓÙØ Ø  ×Ù Ø  ØÖ Ò×Ð Ø ÓÒ  x¹  Ü ×º ÍÒ  Ö Ñ  Ö Ø  
ÓÙÒØ Ö
ÐÓ
 Û × Ó  (−π, π]º  Ä ÑÑ  T  Ý 
ÓÒ×ØÖÙ
Ø Ò  Ì ÖÓÙ Ð  ×  Ï  ×  Ò Ò  Ö Ó  Ò  ×Ù  × Ø  Ö Ø  Ý ×  ÖÓØ Ø ÓÒ¸ Ø  ××ÙÑÔØ ÓÒ¸ Û Ò Ð  Û Ó×  ÖÓÑ Ø  × Þ Ò  × ÔÓÐÝÒÓÑ  × ÓÛ Ò  ÔØ Ö¸ Û Ø  F  ×  ××ÙÑ Ø Ø  
 Ò Ö ÔÖ × ÒØ Ö 
Ø ÓÒ Ó Ø  ½º reach(φ) ×  
ÐÓ×  ØÛÓ  ÓÙÒ  Ø Ø× × Þ  ×  Ò  n¸ m¸  ÓÙÒ  Ò  º  ÐØ Ö Ò  ÓÖ  Û Ø ÓÙØ ÐÓ×× Ó Ò  Ò  G  ÒÝ 
ÓÒØ 
Ø 
ÓÒ ÔÓ× Ø Ú  ÒÓÛ Ñ ÒØ ÓÒ ØÛÓ ÑÔÓÖØ ÒØ ÔÖÓÔ ÖØ  º½º Ä Ø φ Ò φ′  Ø  ÐÐÝ  × Ó  x¹ Ü × Ñ reach(φ)º  Ð  ÙÖ Ø ÓÒ ×ÙÖ  ×Ø Ò
Ø 
ÓÒØ 
Ø 
ÓÒ ÙÖ Ø ÓÒ׺ Ì Ò  ×Ù ÒØ ÖÚ Ð Ó (−π, π]¸ Ò  Ò Ö Ð Øݸ  × ÓÒ Ø  Ý  ÔÓ× Ø Ú Ø  Ò Ø  G  Ý Ø× Ö Ò  ¾º reach(φ) ⊆ reach(φ′ ) Ò reach(φ) ⊇ reach(φ′ )º  ÈÖÓÓ º  Ì  
 Ò Ö    Ø  Ö×Ø ÔÖÓÔ ÖØÝ Ø  
ÓÒ  ÓÒÐÝ 
ÓÒ  
ÓÒØ  ×  ×Ù  × ÓÒ ÓÒ  
Ø  Ì  × 
ÓÒ  Ó  Ö  ÒØ ÖÚ  ÇÒÐÝ ÓÒ ÔÖÓÔ ÖØÝ  φ ´× φ Ö  ØÓÒ 
 ÐÐÝ Û Ø  ×Ô 
ØÖÙÑ ÖÓÑ ÆÓÛ Û  ÓÖÑ Ð ×  
ÓÒ  Ö  Ú  ÙÖ Ø ÓÒ  θ  Ø  F  Ø  Ø  G  ÙÖ  º½´ µµº Ì  ÑÓÒÓØÓÒ 
 Ò Ø  ÙÑÔ  Reach(Ψ) ⊇ Reach(Θ)º Ð×Ó 
ÓÚ Ö× Θº  θ  ÓÐÐÓÛ× ÖÓÑ Ø  φ  ÔÖÓÔ ÖØÝ Ø  ÖÓÑ ×ÓÑ Ï × Ý Ø  
 Ò Ö 
Ø  ÓØ  Ñ  Ú  ÒØ  ÙÑÔ ÖÓÑ  Ò ÔÓ ÒØ× Ó 
 Ù×  Ä ÑÑ  Ø Û  ψ    × × ØÖÙ  ´×  ˆ α,F [G, Γ, h]º Ä Ø Θ Φ × Ø l θ∈Θ reach(θ)º Ì Ò Reach(Θ)    
ÓÒ  ψ  ÙÖ Ø ÓÒ  Ø ÓÒ× ÖÓÑ ÒÓØ  × ÓÒÐÝ ÓÒ  ψÛØ Ø Ö 
Ø ÓÒ π Ø G ´× ÙÖ º¿µº Ý ×ÝÑÑ ØÖݸ θ Ö 
 × Ø G × ψ º Ê 
 ÐÐ Ø Ø Ø Ö 
 reach(φ) × 
Ø ÓÒ׺ Á φ = θ ¸ Ø Ò reach(φ) Ó × ÒÓØ 
ÓÒØ Ò π º ÁÒ Ø × 
 × ¸ Ð Ó (−π, π]º ÐØ ÖÒ Ø Ú Ðݸ φ = θ¸ Ø Ò reach(φ) = [π, π]º  F  º¿  Ö  Ø  θ  ÙÖ  Ø  ÙÖ Ø ÓÒ  ÙÖ Ø ÓÒ Ø  ÙÓÙ× Ö Ò  reach(φ)  Ò  Ø  F  ØÓ  reach(φ)  Ð Ò ×  ÓÙÒ  Gº  Ú ÖÝ ÑÓÒÓ¹ Ò  Ø  ÙÑÔ  
ÓÒ  ÙÖ ¹  º½µº Ò  × Û  Ö  ÐÝ Ö ÑÓÚ  Reach(Θ) × Ø × Ø Ó ÐÐ 
ÓÒ ÙÖ Ø ÓÒ× Ø G Ø Ø 
 Ò 
ÓÒ ÙÖ Ø ÓÒ Ò Θº Ï × Ý Ø Ø Ψ 
ÓÚ Ö× Θ¸ Ø Ψ Ñ Ò Ñ ÐÐÝ 
ÓÚ Ö× Ó Θ¸ ÒÓ ÔÖÓÔ Ö ×Ù × Ø Ó Ψ Ó  
ÓÒØ 
Ø 
ÓÒ  ÙÖ Ø ÓÒ×  Ø  F  Ò  ˆ α,F [G, Γ, h] Ñ Ò Ñ ÐÐÝ 
ÓÚ Ö× Ø× Ð º Ê 
 ÐÐ ÓÙÖ 
ÓÒ Ø ÓÒ ÓÖ ÒÓÛ Ö Ù Ø Ø Φ l 2 ˆ α,F [G, Γ, h] Û Ò× ×Ø Ø Ø reach(φ2 ) ⊆ reach(φ1 ) ∪ reach(φ3 )¸ Û Ö Ö ÑÓÚ Ò φ ÖÓÑ Φ l ˆ α,F [G, Γ, h]º Ï ÒÓÛ × ÓÛ Ø Ø Ø × × ÕÙ Ú¹ φ1 ¸φ2 ¸ Ò φ3 Ö ÙÒ ÕÙ 
ÓÒ ÙÖ Ø ÓÒ× Ó Φ l ˆ α,F [G, Γ, h] \ {φ2 } 
ÓÚ Ö× Φ ˆ α,F [G, Γ, h] 
Ð ÖÐݸ reach(φ2 ) ⊆ Ð ÒØ ØÓ Ö ÕÙ Ö Ò Ø Ø Φ l l ˆ α,F [G, Γ, h] \ {φ2 } 
ÓÚ Ö× Φ ˆ α,F [G, Γ, h] ×Ó ×ÙÔÔÓ× Ø Ø reach(φ1 ) ∪ reach(φ3 )¸ Ø Ò Φ l l α,F α,F ˆ [G, Γ, h] \ {φ2 } 
ÓÚ Ö× Φ ˆ [G, Γ, h] Ý ÓÖÓÐÐ ÖÝ º½¸ reach(φ′ ) Ø Ö ÜØ Ò × ØÓ Φ l l 2 2 ′ ˆ α,F [G, Γ, h]\{φ2 } Ö Ø Ó reach(φ ) ÙØ ÒÓØ ÓØ ¸ ÓÖ φ ∈ Φ Ø Ð Ø Ó reach(φ ) ÓÖ ØÓ Ø l α,F 1 ˆ [G, Γ, h] \ {φ2 } ×Ù
 Ø Ø reach(φ1 ) ÜØ Ò × ØÓ Ø Ð Ø φ Ø 
ÓÒ ÙÖ Ø ÓÒ Ó Φ l 2 1 2 3 × Ñ Ð ÖÐݸ Ð Ø φ Ø 
ÓÒ¹ Ð Ø Ó reach(φ ) Ò reach(φ ) ∩ reach(φ ) × Ñ Ü Ñ × α,F 2 3 ˆ ÙÖ Ø ÓÒ Ó Φl [G, Γ, h] \ {φ } ×Ù
 Ø Ø reach(φ ) ÜØ Ò × ØÓ Ø Ö Ø Ó reach(φ2 ) 2 3 2 1 3 Ò reach(φ ) ∩ reach(φ ) × Ñ Ü Ñ × Ø Ò reach(φ ) ⊆ reach(φ ) ∪ reach(φ )º À Ò
 ¸ α,F ˆ [G, Γ, h] Ñ Ò Ñ ÐÐÝ 
ÓÚ Ö× Ø× Ð ¸ ÓÒ
 Û Ò × Ö ÑÓÚ Ò Ö ÙÒ Ò
ݺ Φ l ˆ α,F [G, Γ, h] Ñ Ò Ñ ÐÐÝ 
ÓÚ Ö× Ø× Ð ØÓ ÓÙÒ Ø × Þ Ï ÜÔÐÓ Ø Ø ÔÖÓÔ ÖØÝ Ø Ø Φ l ˆ α,F [G, Γ, h]º ËÔ 
 
 ÐÐݸ Ø ˆ α,F [G, Γ, h]| × Ø ÑÓ×Ø Ó Φ ÓÐÐÓÛ Ò Ð ÑÑ ÑÔÐ × Ø Ø |Φ l l ˆ α,F [G, Γ, h]º ØÛ × Ð Ö × 
ÓÚ Ö Ó Φ l Ï  ÒÝ  Ä ÑÑ  º¾º Ä Ø Ψ Ò Ψ′  |Ψ| ≤ 2|Ψ |º ′  Ò Ø 
ÓÚ Ö× Ó Θº Á Ψ Ñ Ò Ñ ÐÐÝ 
ÓÚ Ö× Θ¸ Ø Ò  ÈÖÓÓ º  ′ ψ′ Ò Ö ØÖ ÖÝ 
ÓÒ ÙÖ Ø ÓÒ Ò Ψ º ÌÓ ÔÖÓÚ Ø × Ð ÑÑ ¸ Û × ÓÛ Ø Ø ′ Ø Ö Ü ×Ø ψ1 Ò ψ2 Ò Ψ ×Ù
 Ø Ø reach(ψ1 ) ∪ reach(ψ2 ) ⊇ reach(ψ ) ∩ Reach(Θ)º ′ À Ò
 ¸ |Ψ| ≤ 2|Ψ | Ý Ñ Ò Ñ Ð ØÝ Ó Ψº Ä Ø ω1 Ò ω2 Ø ÜØÖ Ñ 
ÓÒ ÙÖ Ø ÓÒ× Ó reach(ψ) ∩ Reach(Θ)º Ì Ö Ü ×Ø× ψ1 ∈ Ψ ×Ù
 Ø Ø ω1 ∈ reach(ψ1 ) 
 Ù× Reach(Ψ) ⊇ Reach(Θ)º ËÓ Û 
 ÓÓ× ψ1 ×Ù Ø Ø ω1 ∈ reach(ψ1 ) Ò reach(ψ1 ) ∩ [ω1 , ω2 ] × Ñ Ü Ñ × º Ë Ñ Ð ÖÐݸ Û 
 ÓÓ× ψ2 ×Ù Ø Ø ω2 ∈ reach(ψ2 ) Ò reach(ψ2 ) ∩ [ω1 , ω2 ] × Ñ Ü Ñ × º ′ Á reach(ψ1 ) ∪ reach(ψ2 ) ⊇ reach(ψ ) ∩ Reach(Θ)¸ Û Ö ÓÒ º ËÓ ×ÙÔÔÓ× ÒÓظ ′ Ò 
ÓÒ× Ö ω3 ∈ [reach(ψ ) ∩ Reach(Θ)] \ [reach(ψ1 ) ∪ reach(ψ2 )] ÓÖ 
ÓÒØÖ 
Ø ÓÒº Ì Ò Ø Ö Ü ×Ø× ψ3 ∈ Ψ ×Ù
 Ø Ø ω3 ∈ reach(ψ3 ) 
 Ù× Reach(Ψ) ⊇ Reach(Θ)º Ì Ò ω1 ∈ reach(ψ3 ) 
 Ù× ÓÙÖ 
 Ó 
 Ó ψ1 Ñ Ü Ñ × reach(ψ1 ) ∩ [ω1 , ω2 ]º Ë Ñ Ð ÖÐݸ ω2 ∈ reach(ψ3 )º Ì Ù׸ reach(ψ3 ) ⊂ [ω1 , ω2 ] 
 Ù× ω3 ∈ reach(ψ3 )∩[ω1 , ω2 ]º Ì Ö ÓÖ ¸ reach(ψ3 ) ⊂ reach(ψ) 
 Ù× [ω1 , ω2 ] ⊆ reach(ψ)¸ Û 
 
ÓÒØÖ 
Ø× ÓÖÓÐÐ ÖÝ º½º Ä Ø  º¾º¾  Ò Ö Ø Ò  Ý Ä ÑÑ  º¾¸  ×
Ö Ø  ÓÛ ØÓ  Ö ×ÙÐØ Ó  ˆ α,F [G, Γ, h]º ÁÒ Ø × × 
Ø ÓÒ¸ Û Φ l Ò × ÕÙ Ò Ψi Ø Ø ÖÓÛ× Ψi+1 × 
ÓÒ×Ø ÒØ ÒÙÑ Ö Ó 
ÓÒ ÙÖ Ø ÓÒ× ØÓ Ψi º Ì × × ÕÙ Ò Ψi × α,F ˆ Ø Ú ÒØÙ ÐÐÝ 
ÓÚ Ö× Φl [G, Γ, h] Ø Ö Ü ×Ø× i ×Ù
 Ø Ø Ψi 
ÓÚ Ö× ˆ α,F [G, Γ, h]º ÇÙÖ Ó Ð × ØÓ ÓÓ× × Ψ Ø ×Ñ ÐÐ ×Ø Ψi Ø Ø 
ÓÚ Ö× Φ l  ˆ α,F [G, Γ, h]| ≤ 2|Ψ|¸ Ψ |Φ l Ò ×Ù Ψº Ï Ö×Ø Ò  
ÓÒ×ØÖÙ
Ø ×Ó Ø α,F ˆ Φl [G, Γ, h]º Ï × ÓÛ Ø Ø |Ψ| × Ø  Ø   ÓÙÒ  |Ψ|  Ø  Ø Û  Ò Ò Ò Ø  Ú Ò Ú ÐÙ  b < x∗ º ÌÓ  ÓÙÒ  Ø  bº  ÁØ  |Ψ|¸ Û  
ÓÚ Ö×  º  ÇÙÖ ÔÖÓÓ  
 ÖØ  ÓÚ Ö  ×  ÓÙÒ  ×× ÒØ  xi  × ÕÙ Ò  × ×Ù Ü Ñ Ò    ÐÐÝ Ù× × Ø  Ò  Ø  Ø Û  ÒØ ØÓ × ÓÛ Ø Ø  ÛÓÖ×Ø 
 ×  Ø  Ø  Ö  Û ÒØ ØÓ × ÓÛ Ø  xi  Ø  ÓÐÐÓÛ Ò  
ÓÒÚ Ö  Ψ ÑÙ×Ø Ö  ËÙÔÔÓ×  xi Ü x∗ Ò Ø  Ø ×ÓÑ  × ØÓ   ×ÓÒ Ò º Ú ÐÙ  R ⊆ (−π, π]  Ð Ø  × Ø  ÒÓØ  GØ Ø
 Ò Ö Ý ÒÝ ÙÑÔ ÖÓÑ F º Ï Û ÐÐ × ÓÛ Ø Ø limi→∞ Reach(Ψi ) = R¸ Ò Û 
 
 × Û × Ý Ø Ø Ψi Ú ÒØÙ ÐÐÝ Ö 
 × ˆ α,F [G, Γ, h]) ⊂ Rº ÁÒØÙ Ø Ú Ðݸ Ø ÓÐÐÓÛ× Ø Ø ×ÓÑ Ψi Rº Ï Ð×Ó × ÓÛ Ø Ø Reach(Φ l ˆ α,F [G, Γ, h]º ËÙ
 Ö ÙÑ ÒØ× ÓÒÐÝ × ÓÛ Ø Ø |Ψ| × Ò Ø º ÌÓ Ø 
ÓÚ Ö× Φ ØØ Ö ÓÙÒ l ÓÒ |Ψ|¸ Û ÕÙ ÒØ Ý Ø Ö Ø Ø Û 
 Reach(Ψi ) 
ÓÒÚ Ö × ØÓ R Ò ÓÛ ÑÙ
 ×Ñ ÐÐ Ö ˆ α,F [G, Γ, h]) × Ø Ò Rº Reach(Φ l Ï ×Ø ÖØ Ý Ö 
Ø Ö × Ò Ø × Ø R Ø Ø Ψ Ú ÒØÙ ÐÐÝ Ö 
 ׺ Ø  ÒØ Ö  Ö Ò  Ó 
ÓÒ  ÙÖ Ø ÓÒ×  Ø  Ä ÑÑ  ×Ø Ò
 ÖÓÑ F ØÓ Gº Á ∆ ≥ 2¸ Ø Ò R = (−π, π]º Á º¿º Ä Ø ∆ Ø ∆ < 2¸ Ú ÖÝ 
ÓÒ ÙÖ Ø ÓÒ Ø G Ø Ø ÒØ Ö× ÓÒ ´ ÙØ ÒÓØ ÓØ µ Ó Ø ÙÒ Ø¹Ö Ù× 
 Ö
Ð × Ø ÖÓÙ F Ò G 
 ÒÒÓØ Ö Ý ÒÝ ÙÑÔ ÖÓÑ F ØÓ G ´× ÙÖ º ´
µµº  ÈÖÓÓ º Û  ∆ ≥ 2¸ Ø Ò Ú ÖÝ C ¹× Ñ ÒØ× Ó J ËÙÔÔÓ× Ø Ø ∆ < 2º Ì  Ó Ø ÓÒ  Ö  Á  Ø  ÔÓ ÒØ× Ø Ó Ø  Ø 
 Ò Ö  ØÛÓ ÙÒ Ø Ö    
ÓÒ Ú  Ø  ÙÖ Ø ÓÒ  Ø  G  
 Ò  × Ñ  Ð Ò Ø  Ò  ÙÒ ÓÙÒ  ×  
ÓÒØ 
Ø 
ÓÒ  Ù× 
 Ö
Ð × Ø Ò  Ö    Ý  θ  Ø  ÙÖ  G  ÙÖ Ø ÓÒ  Ý  θ  ÙÖ  G  ÖÓÑ  F¸  º ´ µµº  º ´ µ Ö ÔÖ × ÒØ×  × Ò Ð Ø  J  ÙÑÔ  ÒØ Ø ÓÒ ´×  ÓÒ Ò  ÙÖ Ø ÓÒ  ÒØ ØÓ 
ÓÒ  Ö ÓÖ  
ÓÒØ  ÐÐ  ÙÑÔº À Ò
 ¸ Ò×  F¸  Ø  Ö  ×  F  ÒÓ ÙÑÔ ÖÓÑ 
 ÒÒÓØ Ø  Ö  Ø  ×  θº  ØÓ    ÙÖ  Ý  ÙÒ Ø¹Ö  º ´
µ ÐÐÙ×ØÖ Ø × ØÛÓ Ö Ò  Fº  ÙÑÔ ÖÓÑ  C  Ù× 
 Ö
Ð  Ø Ò    ×Ù  × Ó 
ÓÒ  Ö Ò  ÒØ ØÓ Ø ×Ù  Ø  Ø  ×  F  ÙÖ Ø ÓÒ×  ÓÙÒ  Ð  Ý  × ÓÒ Ø  ÓÙÒ  G  Ø  
ÓÒ  Ø  Ø  ÙÖ Ø ÓÒ  Cº  ÖÝ Ó  θ F  ´ µ Á ∆ ≥ 2¸ Ø Ò Ú ÖÝ 
ÓÒ ÙÖ ¹ Ø ÓÒ Ø G 
 Ò Ö 
 º  ÙÖ  º  × Ò Ð  ´ µ ÄÓ
Ù× Ó ÔÓ ÒØ× Ø Ø 
 Ò Ö 
 θ Ú × Ò Ð ÙÑÔº  Ö 
Ø Ö × Ø ÓÒ Ó  Ø  × Ø  Ö  ÒØ Ò  ÈÖÓÓ º  ÙÖ  × Ò ÙÐ Ö Ø  ×  Fº  Ø  Ì  º  × ÓÛ×  
 Ù×     Ý  ÓÒ Ø    ÓÒ  ÓÖ  ÒØ Ø ÓÒ    Ó    C ¹×  ÒÓØ  ØÓ Ö  L¹×  Ñ ÒØ× Ó   ÓÙÒ   Ø Ø  Ö   Ø  Ö  Û Ý ÖÓÑ  Ø  Ö  Ø 
 Ò  Ö    Ý      ÖÓÑ  Ý ÓÒ  Ö Ø  º ´ µ  
 Ù×  Ø  
ÓÒ  × Ò ÙÐ Ö Ø  F¸  ÖÓÑ  Ø  ×  ÑÔÐ  ÐÓ
Ù× Ó Ø  Ï 
 ÐÐ Ø  Ñ  ÙÖ Ø ÓÒ  Ö ÙÑ ÒØ× × Ñ Ð Ö ØÓ Ø  × Ò ÙÐ Ö ØÝ ÙÖ  ÓÙÒ  ÔÓ ÒØ ×Ø ÖØ Ò  Û  × Ø Ø  ×Ø ÖØ Ò Ð×Ó  ÓÒ Ø  Ø  Ö  ÑÙ×Ø ×Ø ÖØ  × Ø  ÙÑÔ  ÔÓ ÒØ× Ó  ÖÝ Ó Ø  × Ò ÙÐ Ö ØÝ ÑÙ×Ø  × Ø  Ö  ÓÖ Ú  Ò  Ø  ÓÙÒ  × Ñ Öݸ Ø  ×ÝÑÑ ØÖ 
º Ì  ÓÖÓÐÐ ÖÝ  Ò  Ö  ÓÖ ¸  
ÓÒ  ÙÖ Ø ÓÒ  Ø  Ø × Ò ÙÐ Ö Øݺ  ÙÑÔ ×Ô 
ØÖÙÑ × 
ÐÓ×  ÐÐ × Ò ÙÐ Ö Ø Ò  Ö  ÖÓÑ ÐÓ
Ù×  ×Ù Ò  × Ò ÙÐ Ö Ø ×º  ÐÓÒ ØÓ  Öݺ  × Ò Ð ØÓÒ 
ÓÒØ  ÒÓØ 
ÓÒØ  
 ÐÐ  Ü ÑÔÐ ¸ 
ÓÒ×  ÙÑÔ ØÓ  Ö ÙÑÔ ×Ô 
ØÖÙÑ ´× ×  ØÛ  Ó × ÒÓØ Ò
ÐÙ  × Ò ÙÐ Ö ØÝ  Ó ÓÒ  GØ  Ñ ÒØ  × Ò ÙÐ Ö ØÝ  Ø    ÓÒ  Ñ ÒØ×  × Ò ÙÐ Ö ØÝ ÓÒÐÝ Ö  ×Ø Ò  × Ò ÙÐ Ö ØÝ Ø  Ú  L¹×  Ø  ÓÐÐÓÛ×  ÓÖ  Ò Ö  Þ ÖÓ¹Ð Ò Ø  Ø Ö  ×  ˆ α,F [G, Γ, h] φ∈Φ l Ò Ø  Ñ ÒØ  Ò
 ¸ ØÓ Ö  ÙÑÔ× Ø Ø Ö  Ê 
 ÐÐ Ø Ö  ÙÖ Ø ÓÒ× Ø  ÙÖ Ø ÓÒ 
 Ò ÓÒÐÝ  º ´ µº  ÓÖ  ×  × Ñ Ð ÖÐݸ Ø  Ì Ø  
ÓÒ  ÙÖ  Ø  ÙÑÔ ÑÙ×Ø Ò Ú Ö Ð  ÙÖ Ø ÓÒ×  × Ò ÙÐ Ö ØÝ  ÒÓÒ¹Þ ÖÓ Ð Ò Ø  Ö  F  ×Ù ×  C ¹×  ÖÝ Ó  × Ò ÙÐ Ö ØÝ  ÙÑÔ× Û Ø  
ÓÒ  Ò  × Ò Ð  ÓÙÒ  Ú  ÙÑÔ  Ö ÙÑ ÒØ ÐÐÙ×ØÖ Ø  ØÓ  
ÓÒ  ÓÙÖ ÓÓ × ÖÓÙÒ 
 ÖØ Ò Ò
 ÓÖ× Ø Ø  ˆ α,F [G, Γ, h])º R ÙØ ÒÓØ Reach(Φ l  Ö  Ó  ´
µ ËÓÑ 
ÓÒ Ù¹ Ö Ø ÓÒ× 
 ÒÒÓØ Ö Ý ÙÑÔ ÖÓÑ F º  ÙÑÔº  ÓÖÓÐÐ ÖÝ º º Ì Ö  Ø  R  G  Ò  º½µº À Ò
 ¸  Ò Ò  ׺ Ì Ù׸ Ø  × Ò Ú Ö 
ÓÒØ  reach(φ) Ó  × Ò ÙÐ Ö ØÝ ÓÖ Ö  Ö  ˆ α,F [G, Γ, h])º Reach(Φ l  
ÓÒ  Ò  
ÓÒ  Ò ÒØ ÖÚ Ð Ø  ÙÖ Ø ÓÒ× 
ÐÓ×  Ò Ø ÙÖ Ø ÓÒ Ø × ØÓ    F  ÙÖ  F  Ø  º  Ú    ×  ÓÒ× Ó  ÙÖ Ø ÓÒ  Ø  G  
 Ò ÓÒÐÝ  Ö    Ý ÓÒ  
ÓÒ  ÙÖ Ø ÓÒ  ÙÑÔº  Ï ÒÓÛ × ÓÛ Ö  
ÓÒ  G  R  Ø  Ψi  Ø  Ø Ú ÒØÙ ÐÐÝ Ö  Ó × ÒÓØ Ö    Ð  ÓÛ ØÓ 
ÓÒ×ØÖÙ
Ø  Reach(Ψi )  Ø  Ò Ò    ×  Rº  ÓÙÖ ÓÓ ×  Ï Û ÐÐ × ÖÓÙÒ  Ø  ØØ  × Ò ÙÐ Ö Ø  ׺  ÖÓÛ׸ Ø × Ò ÓÙÖ ÓÓ × × Ö Ò Ö Ô Ðݺ À Ò
 ¸ Ø Ö Ü ×Ø× i ×Ù
 Ø Ø Ψi α,F ˆ 
ÓÚ Ö× Φl [G, Γ, h]º Ì Ö ÓÖ ¸ |Ψ| × Ò Ø º q ÌÓ 
ÓÒ×ØÖÙ
Ø Ψi ¸ Û Ö×Ø ×ÔÐ Ø R ÒØÓ ÕÙ Ö ÒØ׸ Û Ö R ÒÓØ × R Ö ×ØÖ 
Ø ØÓ q Ø q Ø ÕÙ Ö ÒØ ´× ÙÖ º ´ µµº Ì Ò Û 
ÓÒ×ØÖÙ
Ø Ψi Ø Ø Ú ÒØÙ ÐÐÝ Ö 
 × Rq º Ì × ÑÔÐ × Ø Ø Ψi Ú ÒØÙ ÐÐÝ Ö 
 × R¸ Û Ö Ψi = q Ψqi º Ï Ù× Ø × 4 ÔÔÖÓ 
 Ù× Û 
ÓÒ×ØÖÙ
Ø Ψi Ò ×Ù Û Ý Ø Ø Ö 
Ø ÓÒ× Ó Ψ4i Ú ÒØÙ ÐÐÝ 1 2 3 Ö 
 R ¸ R ¸ Ò R º Ψ4i Ú ÒØÙ ÐÐÝ Ö 
 × R4 ¸ Ø Ò Ø Ú ÖØ 
 Ð Ô Ó Ψ4i Ú ÒØÙ ÐÐÝ Ö×ظ ÒÓØ Ø Ø 1 4 Ö 
 × R 
 Ù× J × ÙÑÔ ÖÓÑ F ØÓ R ¸ Ø Ò Ø Ú ÖØ 
 Ð Ô Ó J × ÙÑÔ 1 2 ÖÓÑ F ØÓ R º Ë Ñ Ð ÖÐݸ Ψi Ú ÒØÙ ÐÐÝ Ö 
 × R2 ¸ Ø Ò Ø Ú ÖØ 
 Ð Ô Ó Ψ2i 3 2 Ú ÒØÙ ÐÐÝ Ö 
 × R º Ì Ö ÓÖ ¸ Ø ×Ù 
 × ØÓ 
ÓÒ×ØÖÙ
Ø Ψi Ò Ψ4i º ×  i  2  1  J G  F  K 3  4  ´ µ Ê Ò Ó 
ÓÒØ 
Ø 
ÓÒ¹ ÙÖ Ø ÓÒ× Ø Gº  ÙÖ  º  ´ µ ÛØ Ø 
ÓÒ Í× Ò  ÓÖ Ú ÖÝ ÙÑÔ J Û Ø ×ØÖÙ
ØÙÖ C + LC + ¸ Ø Ö Ü ×Ø× ÙÑÔ K ×ØÖÙ
ØÙÖ C − LC − ×Ù
 Ø Ø ´ µ Ø ×ÓÙÖ
 
ÓÒ ÙÖ Ø ÓÒ Ó J × Ö Ú Ö× Ó Ø ×ÓÙÖ
 
ÓÒ ÙÖ Ø ÓÒ Ó K Ò ´ µ Ø ×Ø Ò Ø ÓÒ ×Ø Ò Ø ÓÒ 
ÓÒ ÙÖ Ø ÓÒ Ó K º ÙÖ Ø ÓÒ Ó J × Ø Ö Ú Ö× Ó Ø  ×ÝÑÑ ØÖ  × ØÓ × ÑÔÐ Ý Ø  Ì  ×ÝÑÑ ØÖÝ Ø Ø ÐÐÓÛ× Ù× ØÓ Ù× Ö + + Ä Ø J C LC ¹×ØÖÙ
ØÙÖ ÙÑÔ ÖÓÑ F ØÓ Ì Ò Ø Ö Ü ×Ø× C − LC − ¹×ØÖÙ
ØÙÖ ÙÑÔ ÙÖ Ø ÓÒ Ó  K  ×Ø Ò Ø ÓÒ 
ÓÒ  × Ø  Ö  ÙÖ Ø ÓÒ Ó  
Ø ÓÒ Ø ÖÓÙ  K  × Ø  Ö  F  
ÓÒ×ØÖÙ
Ø ÓÒ Ó  Ψi  º  2 ØÓ 
ÓÚ Ö R × ÑÓÖ ×Ù ØÐ º 4 
ÓÒ ÙÖ Ø ÓÒ Ò R ´× ÙÖ º ´ µµº K ÖÓÑ F ØÓ R2 ¸ Û Ö Ø ×ÓÙÖ
 
ÓÒ¹ 
Ø ÓÒ Ó  Ó  Ø  Ψ4i  ×ÓÙÖ  
Ø ÓÒ Ø ÖÓÙ  G  
ÓÒ Ó Ø  ÙÖ Ø ÓÒ Ó  J  Ò  ×Ø Ò Ø ÓÒ 
ÓÒ  Ø ÙÖ ¹  ÁÒ ÓÙÖ 
ÓÒ×ØÖÙ
Ø ÓÒ Ó Ψ4i ¸ Û Ò×ÙÖ Ø Ø Ψ4i Ú ÒØÙ ÐÐÝ Ö + + ÙÑÔ× Ø Ø Ú ×ØÖÙ
ØÙÖ C LC º À Ò
 ¸ Ø Ö 
Ø ÓÒ Ó Ψ4i Ø ÖÓÙ 2 − − Ö 
 × R Ú ÙÑÔ× Ø Ø Ú ×ØÖÙ
ØÙÖ C LC º 4 4 ÌÓ 
ÓÒ×ØÖÙ
Ø Ψi ¸ Û Ø Ψi × Ø Ö×Ø i 
ÓÒ ÙÖ Ø ÓÒ× Ó × ÕÙ Ò  Jº  Ø ÓÒ Ó  Ò  Ö 
ÙÖ× Ú ÐÝ Ú  ØÓ  Ü ØÛ  ψi  Ç Ø Ø  ψ∞ Ó f º Ì × ψ∞ Ñ ×ÙÖ × Ø ÒÝ 
 Ó 
 × Ó f Ú  ¹ÔÓ ÒØ  Ò  ÒÓÛÒ ØÓ Ö Ô  Ö ÒØ Ø  Ð  x¹  Ø  g(x)º  Ì  Ò Û  xj  Ü ×º Á  Ø  Ì  xj+1  × ÑÔÓÖØ ÒØ  ÒÓØ Ý Ø Ö ÓÒ  ÛÓÖ ×  × Ø  × ØÓ  g(x)¸  Ø  Ò 
ÓÒÚ Ö  º  Ê  º ´ µ  dj º  H  ÓÒØÓ  H  Lº  H  Ö ×Ø Ñ Ø  Ø  ÕÙ Ì  ÙÒ
Ø ÓÒ  × ÓÒ Ø  
 ÒØÖ  Ö  f  ÙÒ Ø¹Ö  T  T  Ø  dj  ØÓ Ø  Ñ ÒØ×  Ú  
ÓÒ  ÙÖ Ø ÓÒ  Ò  Ø  C ¹×  × 
ÓÒ  C ¹×  fº  ÁÒ Ø  Ø Ò  Ù× 
 Ö
Ð    F  Ò  Gº  Ò  Lº  Ì  Ì  × ÕÙ  Ò  Ò  Ò  ØÓ  Ø  Ø Ò  ÒØ ØÓ  gº  x∗  ÖÓÓØ Ó  ×Ø Ñ Ø  Ó  g(xj )  ÅÓÖ ÓÚ Ö¸  × Ú ÖÝ Ö Ô  d2  cj  cj+1 º  Ò  
 ÒØÖ  × Ñ  ØØ  Ø  
 Ö
Ð  cj º  Ø  Ò  Ø Ö Ø ÓÒ ´Ö  ÙÖ ¸ Ø  ψj º  ÔÓ ÒØ  dj  صº × Ø  
 ÒØÖ  Ú Ò  Æ ÛØÓÒ¹Ê Ô ×ÓÒ Ñ Ø Ó  Ì  Ó  Ø  ÙÖ Ø ÓÒ× Ö    
Ø ÓÒ Ó  dj  Ö 
 ÒØÖ  Ø  Ó  Ò  Ò  Ì  Ø  ÓÖÑ Ø  ØÓ  × ÙÑÔ  × 
 Ù× × Ø ÐÓÒ  Iº  × 
ÓÒ ¼  dj  C + LC + ¹×ØÖÙ
ØÙÖ ÖÓÙ Lº Ì Ò Ø Ö Ý  Ø  ÒÝ 
 Ö
Ð  Û Ó×  
 ÒØÖ  ׸ ×Ø ÖØ Û Ø Ø ÙÑÔ J ÖÓÑ Ø 
 Ö
Ð + + × × C LC ¹×ØÖÙ
ØÙÖ ÙÑÔ Û Ö ÓØ  
 Ò  
ÐÓ
 Û × Ð Ò Ø  Ø  ÌÓ ×  Ñ ÒÒ Öº  Ñ ÒØ ØÓ ÑÓÚ Ò  
ÓÒÚ Ö Ò
 Ó dj ØÓ d∞ º  dj ¸ Û 
ÓÒ×ØÖÙ
Ø dj+1 ÒØÖ Ø Fº Ä Ø T Ø Ð Ò Ø Ò ÒØ Ö 
Ø ÓÒ Ó ψj º Ä Ø L Ø ÐÓ
Ù× ÔÓ ÒØ dj+1 × Ø ÓÖ ÞÓÒØ Ð ÔÖÓ 
Ø ÓÒ Ò di 
ÓÒÚ Ö × ØÓ ÔÓ ÒØ d∞ Û Ö  
ÓÒ  cj  Ð Ò Ø º Ï  
ÐÓ
 Û ×  Ñ ÒØ ØÓ × Ö Ò  d∞  Lº ÔÖÓÔ ÖØÝ Ø  
 Ö
Ð Ø  ص  ×  ÒØ ØÓ  × Ô Ö ÐÐ Ð ØÓ Ø  ×Ø ÒØ ØÓ  ×Ø  ØÛ  C ¹×  Ó  Ù× 
 Ö
Ð  ÙÑÔ× ÖÓÑ ψj Ò ψj+1 ÓÚ ÖÐ Ôº Ä Ø × C + LC + ¹×ØÖÙ
ØÙÖ ÙÑÔ ÖÓÑ Ø Ð  
ÓÒ×ØÖÙ
Ø ÓÒ ´Ð  × ÔÖÓ
 ×× 
ÓÖÖ ×ÔÓÒ × ØÓ Ø  H  ÒØ Ö× 
Ø ÓÒ Ó Ì  Ö Ò  Ò  Ð Ò  1  ´ µÊ Ô  ÙÒ Ø¹Ö  ÒØ Ö× 
Ø ÓÒ Ó  ÒØ Ö× 
Ø×  Ø  ÙÒ  ÒØ  Ö  Ó Ø    Ö 
Ø ÓÒ Ó  Ø  ×  d1  ÐÐÙ×ØÖ Ø × ÓÙÖ 
 Ó  Ì  Ó ÔÓ ÒØ× Ø  Ò  x1  xj  Ó  ØÛ  Ø  ÖÓÓØ Ó  cj  ÓÑ ØÖ 
 ÐÐݺ Ä Ø Ø  Ó  ×  ∆/3  cj+1  
ÐÓ
 Û × ¹ÓÖ  H  Ò  x∗  Ø  Ò Ø Ö Ø Ú ÔÖÓ
 ××  jº  ´ µ Ê 
 ÙÒ Ö ×Ø Ñ Ø º  ØÓ  Ø Ñ Ñ 
×  Ò  ψj  T  dj  Ó  Ø  Ú  Ú ÒØÙ ÐÐÝ  Ψ4i º  Ý  × ÓÐÐÓÛ׺ Ä Ø  x∗ ¸  Ö  F  I  dj+1  ÙÖ  Ø  R4  ×  ÕÙ 
 ÐÝ 
ÓÒÚ Ö  
 Ù×    ÒØ Ö× 
Ø ÓÒ Ó Ø  ÒÙÑ  ÒØÐÝ Ð Ö  d∞  ÙÖ  ψj  × ÕÙ Ò  Æ ÛØÓÒ¹Ê Ô ×ÓÒ Ñ Ø Ó  × Ñ Ø Ó  ÖÓÓØ Ó   Ò  R4  ÓÒ Ó  Ì  Ð ØÓ Ù׸ Û Ô  
 ÓÓ×  L  H  Ð  
ÓÒÚ Ö  x1 × 
 Ó× Ò 
ÐÓ× ØÓ −Ω(j) |xj − x∗ | ≤ 22 ¸ ÓÖ ×Ù  
ÓÒÚ Ö  Ö  ÐÝ 
ÓÒÚ Ö  ÙÒ
Ø ÓÒ  g(x)º  ÖÓÓØ Ó Ò  Ö Ô  Ò  Ñ  Ø ×  f ψj+1 = f (ψj )º  ÙÒ
Ø ÓÒ    ÁØ  
 ÒØÖ  Ý ÖÓÐÐ Ò Ó  Ø  Ð×Ó 
 Ù× × Ø  C ¹×  Ñ ÒØ ØÓ  J ³×  
 Ö
Ð Ð Ò Ø ÖÓÛº Ï  ×Ø Ò Ø ÓÒ ÙÒ Ó Ø  ÖÐÝ Ò Ö×Ø  ÑÙ×Ø ×ØÓÔ  ÖÓÐÐ Ò  ÓÒ  
 ÒØÖ  Ó Ø  Ò  dj  Ø  Ð Ò Ø 
 Ö
Ð  ÙÖ  Ó Ø  ÙÒ  Ö×Ø  ÖÐÝ Ò  º ´ µº À Ò
 ¸ Ø  C ¹×  Ø  Ö  Ñ ÒØ  × 
ÓÒ +  C LC  ×  
ÓÑ × Þ ÖÓº ÀÓÛ Ú Ö¸  C ¹× +  Ñ ÒØ ×  ¹×ØÖÙ
ØÙÖ  Ø Ø  Ø Ø  × ÔÓ ÒØ Ø  T  ÒØ Ö× 
Ø ÓÒ Ó  ÙÑÔ  ÖÓÑ Ø  
 Ö
Ð  I  Ò  
 ÒØÖ  Ø  ÒÝ 
 Ö
Ð Û Ó× 
 ÒØÖ Ð × ÓÒ Ø Ö ØÛ Ò cj Ò cj+1 º 4 4 ÙÖ º ´ µ × ÓÛ× Reach(Ψi ) Ö Ô ÐÝ ÔÔÖÓ 
 Ò R º ÍÒ ÓÖØÙÒ Ø Ðݸ Ò ÓÖ Ö ÓÖ Reach(Ψ4i ) ØÓ 
ÓÒÚ Ö ØÓ R4 ¸ Û ÛÓÙÐ Ú ØÓ Ò ÓÙÖ Ø Ö Ø Ú ÔÖÓ
 ×× Û Ø d1 × Ø ØÓ Ø ÔÓ ÒØ Ö 
ØÐÝ ÐÓÛ F º ÍÒ ÓÖØÙÒ Ø Ðݸ Ø × ÔÓ× Ø ÓÒ × Ü ¹ÔÓ ÒØ Ó f º −1 ÌÓ Ò Ð Ø × Ò Ö 
ݸ Û Ù× Ø ÒÚ Ö× f ØÓ Ò × ÕÙ Ò ψ−i Û Ö −1 4 ψ−(i+1) = f (ψ−i ) ´× ÙÖ º ´ µµº Ä Ø Ψi = {ψ−i , ψ−i+1 , . . . , ψ−1 , ψ1 , ψ2 , . . . , ψi }º ØÓ  ×Ø Ò
 ∆ ØÛ Ò 4 ÙÖ × º ´ µ Ò º ´ µµ Ù Ö ÒØ × Ø Ø Reach(Ψi ) × 
ÓÒØ ÙÓÙ× ´× 4 Ò Ä ÑÑ º¾µº ÅÓÖ ÓÚ Ö¸ Reach(Ψi ) Ö Ô ÐÝ 
ÓÒÚ Ö × ØÓ ÐÐ Ó Rº Ý  
 Ö  ÙÐ 
 Ó  Ó  d1  d−1  Ò  Ò Ø ÖÑ× Ó  Ø  F  Ò  G  ÙÖ  ´×  º ´ µ  ∆/5 d−∞ d−2  d−1  ´ µÊ Ô ÙÖ ÁÒ  Ð Ø  
 Û Ö 
ÓÒÚ Ö Ò
 º  º  Ø  Ü  ×  ¸ Û  Ý Ñ  d−∞ º Ä ξ− (j) ÒÓØ Ò  ÜÔÐ 
 ØÐÝ ×ÙÖ Ò  ξ+ (j)  Ø Ø  Ú ÖØ 
 Р ص 
ÓÑ  ÓÙÒ  ÓÛ ÒÓØ  d1  ´ µ Ê 
 ÙÒ Ö ×Ø Ñ Ø × ÓÚ ÖÐ Ôº  
 Û Ö × Ø Ö Ø ÓÒ ´Ð  ÔÔ Ò  ÓÖÑ Ð ×  d∞  d−1  Ø  Ö  Ø  dj  Ò Ö Ø  Ò  Ú ÖØ 
 Ð  ×Ø Ò  Û Ø  ØÛ  ×Ù Ø  Ó 
ÓÒÚ Ö  d−j  Ö  d−j  Ò  ÖÓÑ Ø  ×Ø Ò  Ò  Ð  ØÛ Ò  Ó  º¾º¿  ÔÔ Ò  Ü  Reach(Ψ4i ) ØÓ R4 º  d+j  Ò  Ü  d+∞ º  صº Ï  ÔÓ ÒØ×  Ë Ñ Ð ÖÐݸ  d−∞ º  ×Ø Ò
 ξ± (j) ≤ 2−Ω(j) ¸ ÓÖ j ≥ 1º Á Ø Ω(j) G × ÒÓØ Ü 
ØÐÝ ØÛÓ¸ Ø Ò ξ± (j) ≤ 2−2 ¸ ÓÖ j > O(m)º Ë  ÔÓ ÒØ ´Ö  Ö Ö ×Ô 
Ø Ú Ò  Ì ÓÖ Ñ º º Ì ÈÖÓÓ º  ×Ø ÖØ Ò  ×Ø Ò  ØÛ Ò F Ò  º  Ë Ô Ö Ø ÓÒ  ÓÙÒ  ÓÖ Ñ ÓÙÒ × Ù×Ø ÓÛ Ö Ô ÐÝ Ψi Ö 
 × Rº ÁÒ Ø × × 
Ø ÓÒ¸ Û α,F ˆ ÓÙÒ Ø Ö 
 Ó Φl [G, Γ, h] Û Ý ÖÓÑ Rº Ì × ØÛÓ ÓÙÒ × Û ÐÐ ÑÔÐÝ Ø Ø |Ψ| ˆ α,F [G, Γ, h]º ÁÒ ØÙÖÒ¸ × ÔÓÐÝÒÓÑ ÐÐÝ ÓÙÒ ¸ Û Ö Ψ × Ø ×Ñ ÐÐ ×Ø Ψi Ø Ø 
ÓÚ Ö× Φ l ˆ α,F [G, Γ, h] × ÔÓÐÝÒÓÑ ÐÐÝ ÓÙÒ Ø × ÑÔÐ × Ø Ø Φ Ý Ä ÑÑ º¾º l α,F ˆ Ö ×ÙÐØ Ó ÙÖÒ Ð Ø ÌÓ ÓÙÒ Ø Ö 
 Ó Φl [G, Γ, h] Û Ý ÖÓÑ R¸ Û Ù×  Ì  ÔÖ Ú ÓÙ× Ø  к ½½℄ ´+ ¸  Ú Ò  −¸ ׸ /¸  Ò Ò  ÜÔÖ ×× ÓÒ  √  µ¸ Ø  Ý  E  
ÓÑÔÓ× ÓÙÒ  Ó  ÒØ  ÓÛ  Ö ÓÔ Ö Ò ×  Ö ÒØ Ø  ½  Ú ÐÙ  Ó  Ò  E  Ö Ø Ñ Ø 
 ÓÔ Ö ØÓÖ× ÑÙ×Ø  ÖÓÑ Þ ÖÓ¸  Ø  Ú ÐÙ  Ø  E  Ó  × ÒÓØ  Ö Ø Ñ Ø  Ü 
ØÐÝ Þ ÖÓº Ì  × × Ô Ö Ø ÓÒ  ÓÙÒ  × 
 Ð
ÙÐ Ø  Ö 
ØÐÝ  ÖÓÑ  ÜÔÖ ×× ÓÒº  Ì ÓÖ Ñ º º ½½℄Ä Ø E  Ò ÜÔÖ ×× ÓÒ Û Ø ÒØ Ö ÓÔ Ö Ò × Ò ÓÔ Ö Ø ÓÒ× +¸ −¸ ׸ /¸ Ò º Ä Ø ξ Ø Ú ÐÙ Ó E ¸ Ð Ø s Ø ÒÙÑ Ö Ó ×ÕÙ Ö ¹ÖÓÓØ× Ò E ¸ Ò Ò Ö 
ÙÖ× Ú ÐÝ ÓÒ Ø ×ØÖÙ
ØÙÖ Ó E Ý Ø ÖÙÐ × × ÓÛÒ Ò Ð Ø u (E) Ò l (E) −1 s º Ø Ø Ð ÐÓÛº Ì Ò ξ = 0 ÓÖ |ξ| ≥ l (E) u (E)2 −1 √  u (E) l (E) |N| ½ u (E1 ) l (E2 ) + l (E1 ) u (E2 ) l (E1 ) l (E2 ) u (E1 ) u (E2 ) l (E1 ) l (E2 ) u (E1 ) l (E2 ) l (E1 ) u (E2 ) u (E1 ) l (E1 )  ÒØ  ÖN E1 ± E2 E1 × E2 E1 /E2 √ E1  Ì Ø Ø  ξ  ÓÚ  ÒØ Ö  Ø  ÓÖ Ñ  ×ØÖÙ
ØÙÖ  ÓÖ Ñº Ï  Ö  Ó  × Ø ×  Ò Ø ÖÑ× Ó Ø  ÒÙÑ  Ò × Ø  Eº  × Ô Ö Ø ÓÒ  Û Ø  Ø  ÓÐÐÓÛ Ò  ξ  ÓÙÒ  ÓÖ ÓÙÖ ÔÙÖÔÓ× ×¸ Û  Ó  Ò  Ó ÒÓØ Ò  
ÓÖÓÐÐ ÖÝ Ø  ÜÔÖ ×× ÓÒ Ø  Ø  ÙÐÐ  Ò ×Ø  E  Ò Ø ÖÑ× Ó  Ò Ö Ð ØÝ Ó Ø × Ô Ö Ø ÓÒ  ×  ÓÙÒ  Eº  Ö Ó ÓÔ Ö ØÓÖ× Ò  ÓÖÓÐÐ ÖÝ º º Ä Ø E Ò ÜÔÖ ×× ÓÒ 
ÓÑÔÓ× Ó ÒØ Ö ÓÔ Ö Ò × Ó Ñ Ò ØÙ Ø ÑÓ×Ø 2m Ò e Ö Ø Ñ Ø 
 ÓÔ Ö Ø ÓÒ× ´ Ø Ö +¸ −¸ ׸ /¸ ÓÖ √ µº Ä Ø ξ Ø Ú ÐÙ Ó e E º Ì Ò Ø Ö ξ = 0 ÓÖ |ξ| ≥ 2−m6 º  ÈÖÓÓ º ÓÒ  Ä Ø  eº Ì  M (E) ≤  M (E) = max {u (E) , l (E)}º  × 
 × × m m·3e 2 =2 º  ËÓ ×ÙÔÔÓ×  f <e ÔÓ××  Ø  g<e  Ò ÐÝ  Ø  Ò Ù
Ø Ú  Ø  Û  E  Ö f  M (F ) ≤ 2m·3  ×  Ò  Ò  Ø  ÝÔÓØ  Eº √ E = Fº  Ì  Ò  Ö Ù  ÒØ  Ø  Ö Ó g  M (E) =  × ×º  Ø  Ñ  M (G) ≤ 2m·3  ÓÔ Ö Ø ÓÒ× Ö ×Ô 
Ø Ú Ðݺ Ï  Ò Ö Ø  ËÙÔÔÓ×  e = 0¸  Ï ÒÓÛ  ÒÓÛ 
ÓÒ×  M (F ) ≤  ¸  Ò ØÙ  ÓÖ Ö Ø  √  e  M (E) ≤ 2m·3  Ø ÑÓ×Ø  ÜÔÖ ×× ÓÒ×  F  Ý Ò Ù
Ø ÓÒ  2m º G  Ò  Ú Ö ÓÙ× 
 × × Ø f  Ì  Ò  Û Ø  Ø 
ÓÙÐ e  2m·3f ≤ 2m·3 ≤ 2m·3  Ý ÓÙÖ  E = F ± Gº Ì Ò u (E) = u (F ) l (G) + l (F ) u (G) ≤ 2 · M (F ) · f g f g g M (G) ≤ 2 · 2 · 2m·3 = 2m(3 +3 )+1 ≤ 2m(3 +3 +1) ¸ Ý ÓÙÖ Ò Ù
Ø Ú ÝÔÓØ × ×º ÆÓÛ¸ e = f + g + 1¸ ×Ó ÓÙÖ × Ö ÓÙÒ × Ú 3f + 3g + 1 ≤ 3f +g+1 º Ì × Ò ÕÙ Ð ØÝ × ØÖÙ Ò ÓÒÐÝ 3−g−1 + 3−g−1 + 3−f −g−1 ≤ 1º  
 Ø ÖÑ ÓÒ Ø 1 m·3e Ð Ø × × 
Ð ÖÐÝ Ð ×× Ø Ò º À Ò
 ¸ u (E) ≤ 2 º ÖÓÑ Ø Ò Ø ÓÒ l (E) = 3 f +3g +1 f +3g f g m 3 m 3 ) ≤ 2m·3e ¸ Ý ÓÙÖ )<2 ( l (F ) · l (G) ≤ M (F ) · M (G) ≤ 2m·3 · 2m·3 = 2 ( ËÙÔÔÓ×  Ø  Ø  m·3f  Ò Ù
Ø Ú Ì  ÝÔÓØ  Ö  ×ÓÒ Ò  ÔÖ Ú ÓÙ× 
 × º Ì  Ö  ÓÖ ¸  × ×º  ÓÖ  E = F ×G e  M (E) ≤ 2m·3  Ò  Ò  E = F/G  Ò Ö Ðº ¾  Ö  × Ñ Ð Ö ´ Ò  × ÑÔÐ Öµ Ø  Ò Ø  Ð  ÖÐÝ Ø  ÑÔÐ  2  × Ø  −m·6e  ÒÙÑ  Ø  Ø  Ö Ó  ×ÕÙ Ö  ξ = 0  Ö  ÓÖ  º  ÁÒ  E × Ð ×× Ø Ò eº ËÓ Ø ÔÖ Ú ÓÙ× Ø −1 e e e l (E) u (E)2 −1 ≥M (E)−2 ≥ 2m·3  ÖÓÓØ×  |ξ| ≥  Ò  º ¸ Û Ö Ù Ø Ø Ø Ö α,F ˆ ÒÓØ Ô ÖØ Ó Reach(Φl [G, Γ, h])º Ï ÒÓÛ ˆ α,F [G, Γ, h]) Ø Ø Ø× × 
ÐÓ× φ′ ∈ Reach(Φ l Û Ø  ÓÖÓÐÐ ÖÝ  Ø  ÓÚ  Rº  × ÖÓÑ 
ÓÒ  
ÓÖÓÐÐ Öݸ Ø  ÁÒ Ø  ÙÖ Ø ÓÒ×  
ÓÖÒ Ö¸ Û  Ø  Ù×  × Û ÐÐ  º º Ä Ø α′  ÈÖÓÓ º  φ′  Ù×  ÓÙÒ  Ø  ÓÐÐÓÛ׸ Û  Ø  ÔÓ ÒØ Û  Ò  Ú 
ØÓÖ Ò Ø  ÖÓÙÒ  ÜÔÖ ×× ÓÒ Ð  ÓÒ  Ù× Ö  R  ÓÒ× Ó  Ö Ú  ×
Ù×× ÓÒ Ø Ù×  Ö  × ÔÓ××  Û Ðи Û ÙÒ Ø¹Ð Ò Ø  Ä ÑÑ  Ú  Ö  ØÓ  × Ò ÙÐ Ö Ø  ÓÖ Ø  
ÓÒ  Ø  Ò Û  Ø  Ú  ÒÓØ  φ  ×Ô 
ØÖÙÑ ÖÓÑ φ Ð × ØÓ φ′ ¸ Ø Ì   Ò  Ö  ÙÖ Ø ÓÒ  ×  Ö Ó  ÓÙÒ  ÓÒÐÝ Ð Ò  Ö  Ò ØÙÖ Ð Ö ÔÖ × ÒØ Ø ÓÒ 
ÓÒ  ÙÖ Ø ÓÒ ØÓÙ  α  Ò ÖÓÑ  ØÓ  φº  À Ò
 ¸ Ø  ÙÖ Ø ÓÒ Ó  
 Ð
ÙÐ Ø  Ð Ò  α  ÖÓÑ  G  Ö 
Ø ÓÒ Ó Ø  Ò Ø  Ö    φ  ÖÛ × ¸  Ý Ð Ò ×º  Ö  Ó  
ÓÒ    ÐØ ÓÙ  φØ ′ × φ ¸ Û  Ý  ÙÒ
Ø ÓÒ Ó  Ø× ×ÓÙÖ  (l + 1)  Ú ÐÙ Ø Ò  Ð Ò  
ÓÒ  ÙÒ
Ø ÓÒ׺  Ò ÐÐݸ  ÜÔÖ ×× Û Ø O(1) Ö Ø Ñ Ø 
 ÓÔ Ö ØÓÖ× Ò ÒØ m Ø ÑÓ×Ø 2 ´ 
 
ÓÖÒ Ö 
ÓÓÖ Ò Ø × Ø Ö Ø Ó Ó ØÛÓ ×Ù  Û Ø  O(1)  Ð Ø  Û Ø Ì  α  ÖÓÑ  Ò
 ÓÖ×  Ö  Ø  O(l)  Û Ø  
ÓÒ  Ø  Ø  Û  Ð Ò      Ö×µº Ì  ÙÑÔ  Ö  ÓÖ ¸  Ð Ò  Ø Ø  φ′  
 Ò  ÙÒ
Ø ÓÒ  Ñ  Ö  Û Ø  l¹Ð Ò  ×  
 ÐÐ Ø  Ö  ÖÓÑ  α  ÖÓÑ  Ö ÓÔ Ö Ò × Û Ø ÒØ  φ′ = α ′ ¸  Á  Ò ØÙ φ′ 
 Ò  ÓÖ  Ö Ø Ñ Ø 
 ÓÔ Ö Ø ÓÒ׺  ÙÖ Ø ÓÒ× ÓÒ ÓÚ Ö¹
ÓÒ×ØÖ  Ö Ø Ñ Ø 
 ÓÔ Ö ØÓÖ×  O(l)  ÒÓØ ×ÙÖ  α′ º  
 Ù×  ÙÖ Ø ÓÒº Ì  
 Ò  
 Ð
ÙÐ Ø  Ð Ò  Ö  Û ÐÐ  
ÓÒ ÙÖ Ø ÓÒ ÜÔÖ ×× Û Ø  Ø × 
ÐÓ× ×Ø ØÓ Ú  ÓÖ 
ÓÒØ 
Ø  ÙÖ Ø ÓÒº  O(1) ×Ù
 Ð Ò ×¸ ×Ó Û 
 Ò ØÖÝ Ø Ñ Ðк φ ØÓ φ′ Ñ Ò× Ø Ø φ′ 
 Ò 
 Ð
ÙÐ Ø α,F ˆ Ê 
 Ðи Ø Ø φ ∈ Φl [G, Γ, h] ÑÔÐ × Ø Ø Ø Ö × (l + 1)¹Ð Ò 
 Ò ÖÓÑ α ØÓ φ′ º Ð×Ó Ö ×  Ö  ÙÖ Ø ÓÒ  × Ø  ÖÓÑ  Ö Ø Ñ Ø 
 ÓÔ Ö Ø ÓÒ׺  Ò Ð 
ÓÒ  Ø  ØÓ ÔÖÓÚ º ÇØ  G  ØÓ  Ü ×Ø Ò  O(l)  
ÓÒ  ×  α′ º ÓÑ Ò ˆ α,F [G, Γ, h]) ÒØ Reach(Φ l  ˆ α,F [G, Γ, h]º Á φ′ × Ø Ò Ò
 ÓÖ Ø G Ò φ ∈ Φ l Ò Ø Ö 
 Ó φ Ø Ø × 
ÐÓ× ×Ø ØÓ α′ ¸ Ø Ò Ø Ö φ′ = α′ ÓÖ φ′ 
 Ò ÒØ Ö× ÓÔ Ö Ò × Ó Ñ Ò ØÙ Ø ÑÓ×Ø 2m Ò O(l) ÓÔ Ö ØÓÖ׺ Ä Ø  =  × Ò ÙÐ Ö ØÝ  ÓÛ  Ø  ÓÖ Ñ −2e  O (1)  Ò  Ò  α
 Ò ′ Ò
 ¸ φ  Ð Ò ×º À Ò
 ¸  
ÓÖÒ Ö 
ÓÓÖ  Ò Ø ×º À  ÜÔÖ ×× Ò  
 Ð
Ù¹  Ö Ø Ñ Ø 
 ÓÔ Ö ØÓÖ׺  × × Ô Ö Ø ÓÒ  ÓÙÒ  ÓÖÓÐÐ ÖÝ º º Ì  Ò  Ì  ÓÖ Ñ  º  Ú  Ò ÑÑ  Ø  ÑÔÐ 
 Ø ÓÒº  ˆ α,F [G, Γ, h] × Ø ÑÓ×Ø O(m + l)º ×Þ Ó Φ l  ÈÖÓÓ º  ′ ˆ α,F [G, Γ, h]) Ø Ø Ø× × 
ÐÓ× ØÓ × Ò Ù¹ Ø 
ÓÒ ÙÖ Ø ÓÒ Ò Reach(Φ Ä Ø φ l ′ ′ غ Ì Ò φ 
 Ò ÜÔÖ ×× Û Ø ÒØ Ö ÓÔ Ö Ò × Ð Ö ØÝ α × ÔÓ×× Ð Û Ø ÓÙØ Ö 
 Ò m Ó Ñ Ò ØÙ Ø ÑÓ×Ø 2 Ò O(l) ÓÔ Ö ØÓÖ× Ý Ä ÑÑ º º Ï Ø Ò Ø ÓÒ Ð O(1) ′ ÓÔ Ö ØÓÖ׸ Û 
 Ò ØÖ Ò× ÓÖÑ φ ÒØÓ Ø 
ÓÓÖ Ò Ø ×Ý×Ø Ñ Û Ö Û ÓÙÖ Ò ÐÝ× × Ó  ÓÛ ÕÙ 
 ÐÝ ×Ø Ò ØÛ −m2O(l) 2 º Ï  Ø  ÓÒÐÝ  × 
 × ¸ Û  Ψi φ′  Ò  Ö Ù 
 Ò  Ø  Ö   Ò  ×  α′ 
 ×  ÔÔÐÝ Ì  Rº  ÁÒ Ø  O(l)  Û Ø  Û  Ö  ÓÖ Ñ  × Ö Ñ  Ó  Ö  ÓÔ Ö ØÓÖ׺  Ø º º Ì  ×Ø Ò × Ø ¿  Ö Ò
 ¸ Û Ý  ∆  
 Ò  ÓÖÓÐÐ ÖÝ  ÖÓÑ  ÓÖ Ñ ÑÔÐ  F  ØÓ  × Ø  ÜÔÖ ×× Ø  º ¸ Ø  G Ø Ø  ×  × ÒÓØ × Ø  Ú ÖØ 
 Ð  ×Ø Ò  ÑÙ×Ø  Ü 
ØÐÝ ¾º  Ψi  Ö    ×  ÁÒ ÐÐ  Ω(i)  R¸ Ü
 ÔØ ×Ñ ÐÐ ÑÓÙÒØ Û Ø Ú ÖØ 
 Ð ×Ø Ò
 Ó 2−2 ÖÓÑ Ø × Ò ÙÐ Ö Ø ×¸ ÓÖ ˆ α,F [G, Γ, h] ÓÖ ×ÓÑ i ∈ O(m)+(l+log m) = O(l+m)º i > O(m)º Ì Ö ÓÖ ¸ Ψi 
ÓÚ Ö× Φ l ˆ α,F [G, Γ, h]| ≤ 2|Ψ| Ý Ä ÑÑ º¾º Ì Ù׸ À Ò
 ¸ |Ψ| ∈ O(l + m)º Ê 
 ÐÐ Ø Ø |Φ l α,F ˆ [G, Γ, h]| ∈ O(l + m)º |Φ l Ï Ò Ø ×Ø Ò
 ∆ ÖÓÑ F ØÓ G × Ü 
ØÐÝ ¾¸ Û 
 Ò Ú ÔÓÐÝÒÓÑ Ð ÓÙÒ Ó  Û Ø  ÑÓÖ  º¿ ÁÒ Ø  Ø  Ð  Ò ÐÝ× × Ø  ÓÙÒ × ÓÒ Ø × × 
Ø ÓÒ Û  Ê 
 ÐÐ Ø  Ø  Ö Ú  Ö×Ø Û  Ò
 ÓÖ  Ö Ô º Ì  ÓÙØ  Ý Ø  Ð ÓÖ Ø Ñ  Ø  ÒÙÑ  Ó  ÐØ Ö Ò º  Ö Ó    ÁÒ  Ä ÑÑ ÈÖÓÓ º 
ÓÒØ  Ò×  Ö×Ø  Ö×Ø Ô Ø  ÓÖ ÓÙÒ  ÓÒ Ø  Ò
 ÓÖ  Ö Ô ¸  ×  × Ø  Ö  Ø  Öº  × Þ  º Ò  Ò×  Ø Ö  ˆ α,F Φ l  Ø  Ó  Ò Û  Ô Ø  ÐÓÓ  Ø  Ì  ÙÖ ×  ÓÖ  × ØÓ  Ø  Ð ÓÖ Ø Ñº  × ÓÖØ ×Ø Ô Ø  Ò  ÜÔ Ò× Ú º ÁØ × 
 ÖÖ Ô Ò × ÓÒ  Ô Ò × ÓÒ Ø  
Ø Ú Ò ××  ÓÙÒ Ò  Ò  º µº ÁØ× ÖÙÒ Ø Ñ  Ò ØÙÖÒ  ÜÔÐ 
 Ø  Ò  ÓÒ Ø  ÜÔÐ 
 Ø  
Ø Ú Ò ×× Ó ˆ α,F |º ÓÒ |Φ l  ÓÙÒ  ÓÒ  ˆ α,F × Ø ÑÓ×Ø O(n6 (m + l))º ×Þ Ó Φ l  ˆ α,F Φ l  Ó  Ò  × ´×  ×Ø Ø  ÒÓÛ Ù×  ÖÙÒ Ø Ñ  ÑÓ×Ø 
ÓÑÔÙØ Ø ÓÒ ÐÐÝ  Ò Ö Ø  º ¸ Û  ÐØ Ö Ò ¸ Ø  ÜØ Ò× ÓÒ× Ó  Ø Ö Ø  ×  ÐØ Ö Ò º ÇØ  

ÓÖ  Ò  Ò  ÐØ Ö  ÖÛ × ¸ Û  ØÓ Ø  ØÙÖ  F  º Á  ×  Ô ÖØ Ø ÓÒ  G  Ø  Ø  Û Ðи Ø  Ò  ÐÐ Ó Ø  × Ö    ˆ α,F Φ l  ÔÓ×× Ý Ø  Ð  Ð Ò ¸  h Ó Ø Ð Ò º ÓÖ 
 Ó Ø O(n) ˆ α,F [G, Γ, h] 
 Ó 
 × Ó G¸ O(1) 
 Ó 
 × Ó Γ¸ Ò O(n) 
 Ó 
 × Ó h¸ Û ÒØ Ý ×Ù × Ø Φ l ˆ α,F ×Ó Ø Ø Ú ÖÝ ÓÒ Ð Ò ÜØ Ò× ÓÒ Ó Φ ˆ α,F ØÓ G Û Ø ×ØÖÙ
ØÙÖ Γ Ò ÓÑÓØÓÔÝ Ó Φ l l ˆ α,F [G, Γ, h]º Ð ÖÐݸ G,Γ,h Φ ˆ α,F [G, Γ, h] × Ø × × h × ÐÑÓ×Ø ×Ô ÒÒ Ý  Ò Ò Φ l l ˆ α,F [G, Γ, h] ˆ α,F º Ý ÓÖÓÐÐ ÖÝ º ¸ G,Γ,h Φ Ø 
ÓÑÔÐ Ø Ò ×× ÔÖÓÔ ÖØÝ Û Ø Ö ×Ô 
Ø ØÓ Φ l l 2 
ÓÒØ Ò× Ø ÑÓ×Ø O(n (m + l))º ˆ α,F | ÌÓ Ø ÓÙÒ ÓÒ |Φ ÓÖ Ø × ÐØ Ö ¸ Û ÛÓÖ 
 Û Ö ×  Ò Ò l α,F α,G ˆ ˆ Φl × ÓÒ Ð Ò ÜØ Ò× ÓÒ Ó  Ò Ò Φl−l ¸ ÓÖ ×ÓÑ G Ø Ö Ö O(n) 
 Ó 
 × α,F ˆ Ó G Ò O(1) ÔÓ×× Ð Ò ×ØÖÙ
ØÙÖ × ÓÖ Ø ÓÒ Ð Ò ÜØ Ò× ÓÒ¸ ×Ó |Φl | × Ø ÑÓ×Ø α,G α,G α,F ′ ˆ ˆ ˆ O Ú ÖÝ Ò φ Ò Φl × ÔÖ Ü φ Ø Ø Û × G |Φl−l | ⊆ O(n × maxG |Φl−1 |)º ′ ′ ÐØ Ö º Á φ × Ø ÐÓÒ ×Ø ×Ù
 ÔÖ Ü Ó φ¸ Ø Ò φ × Ø ÑÓ×Ø ÓÙÖ Ð Ò × ÐÓÒ Ö Ø Ò φº α,F 6 ˆ | × Ø ÑÓ×Ø O(n (m + l))º ÁØ ÓÐÐÓÛ× Ø Ø |Φ l Ø  Ò  ×ØÖÙ
ØÙÖ  Ì Ì  Ö  ÒÙÑ  Ö  ÑÙ×Ø Ð Ò  Ó Ø  Ð Ò ¸  Ò  ×Ô ÒØ ÔÖÓÔ Ø Ò 3 O(n ) Ò
 ÓÖ× Ò Û    Ø Ñ  Ø Ó Ø  Γ  ÓÙÒ  Ð Ä Ò  ÐØ Ö Ò º Ï  Ø ÑÓ×Ø ØÛÓ  Ð Ò  Ò  ÐÐÎ  Ò× Ø  º½¼º  Ï  ÐÓÓ×  ÓÖÓÐÐ ÖÝ  ÑÔÓÖØ ÒØ ×Ø Ô Ó  ÜÔÐÓ Ø× ×ÝÑÑ ØÖÝ ÙÖØ  ÊÙÒ Ì Ñ  
ÓÒ×ØÖÙ
Ø  Ø  ÓÒ  Ø  ÖÓ Ø ×Ø  ÓØ  ÓÖ  ×  Ò×  ÓÒÐÝ  Ô Ò × ÓÒ Ø  ÒÙÑ  Ò× Û Ø  Ð Øݺ  ÓÖØÙÒ Ø Ðݸ Ø ×Ù  
 × ØÓ  Ú  Ò  Ø ÑÓ×Ø Ø Ö  º À Ò
 ¸ Ø  ÓÑÓØÓÔÝ  Ò Ö Ø 10  Ò Ö Ø  Ö Ð Ò × ÑÙ×Ø  
ÓÒ× ×Ø× Ó  O(n) Ø Ñ  Ò×  Ø  ×  ×  ØÓØ Ð Ø Ñ  Ø ÑÓ×Ø ×  Ñ ÒØ×  Ø ÑÓ×Ø  O(n k(m+nk))º  Ð  Ò ÓÖ  Ò  ×Ô ÒØ ÔÖÓÔ    Ö ÓÖ Ø × Ø Ò      Ñ ÒØ 
 Ò   Ö Ó  Ò× ×    Ò Ö Ø  O(nk) Ð Ò   Ø  Ò×  ÒØ  ׺ À Ò  Ø ×  Ò Ö Ø  Ð ×Ø Ð Ò  Ò ØÓ Ø ×Ø Ø ÑÓ×Ø  
 Ù×  Ò Ö Ø ÓÖ 12  º  ×  º  ÐÐ   Ð ØÝ Ò  O(n k(m + nk))º  Ï ÒÓÛ  Ø Ñ ×Ô ÒØ ÐØ Ö Ò Ò׺ Ê 
 ÐÐ Ø Ø ÒØ ÛÓÖ×Ø 
 × ¸ Ø 
 ÐÐ 2 × O(n ) ×Ù ÔÖÓ Ð Ñ׺ × ×
Ö ÖÐ Ö Ò Ë 
Ø ÓÒ º¾¸ Ø Ø Ñ ˆ α,F [G, Γ, h] × 
Ù 
 Ò Ø × Þ Ó |Φ ˆ α,F | º À Ò
 ¸ 
 
 ÐÐ ØÓ ÐØ Ö ×Ô ÒØ × Ð 
Ø Ò Φ l l 20 3 3 Ø × O(n (m + nk) ) Ø Ñ º Ì Ö Ö O(n ) Ö ÒØ Ò
 ÓÖ× Ò Û 
ÓÒ× Ö Ò× Û Ø O(nk) Ð Ò ×¸ ×Ó ÐØ Ö × 
 ÐÐ O(n4 k) Ø Ñ ×º Ì Ö ÓÖ ¸ Ø ØÓØ Ð Ø Ñ ×Ô ÒØ 24 3 ÐØ Ö Ò × O(n k(m + nk) )º ØÓ  ÓÙÒ  Ø  ÒØ  ÐØ Ö  ÁØ Ö Ñ  Ò× ØÓ  ÓÙÒ  Ø  Ø Ñ ×Ø  
 × Û ØÖÝ ØÓ Ó Ò Ú ÖÝ ×Ù Ì  Ô Ö  
 Ù× Ø ÑÓ×Ø  Ö׺ Ö  ÓÖ    O(n8 ) ×Ù   ×Ù  Ô  Ò ØÓ Ú ÖÝ ÓØ  Ö¸ Û  ØÖÝ ØÓ Ó Ò Ø  Ô Ø ×º ÁØ Ø  Ô Ø  Ø ØØ  ×  ×  × ØÓ Ó Ò ÓÒ Ö  Ñ Û Ø  O(n) Ø Ñ  Ø ÑÓ×Ø ¾  ×  Òº Ì  Ö    Ò ØÓ Ö  Ñ ÒØ׺ Ì  Ø ÑÓ×Ø  Ø ÑÓ×Ø  ØÓ Ø ×Ø Ø Ö  Öº ÁÒ Ø 20 2  ÛÓÖ×Ø 2  O(n k (m+nk) )  Ø Ð Ò × ×  ÓÖ ¸  ÒÓØ  Ð ØÝ Ó ÐÐÎ  O(n29 k 2 (m + nk)2 ) + O(n24 k(m + nk)3 ) ⊂ O(n29 k 2 (m + nk)3 )  Ò  ÓÒ    Ð È Ø  Ø Ñ º  ÙÑÔº  ×Ù  Ô Ø  × Ø  ×  ÔØ Ö Ë ÓÖØ ×Ø  ÓÙÒ  ¹  ÙÖÚ ØÙÖ  È Ø  ÔÔÖÓÜ Ñ Ø ÓÒ ×  ×
Ù××  Ò Ë 
Ø ÓÒ ¾º¾º½¸  ÔÓÐÝ ÓÒ Ð Ó ×Ø 
Ð × × Æȹ Ö  ÒÓÛÒ ØÓ  (1 + ε)¹  ÔÖÓÚ ¿℄º  Ð Ò  ÐØ ÓÙ  Ø  ×  Ü ×Ø׸ Ø  ε¹ÖÓ Ø  Ø  Æȹ  Ò  × ÓÖØ ×Ø  ¾¿℄¸  Ú Ò  mº  Ò  Ö ×ÙÐØ×  Ö  Ð  Ñ Ø  ÓÙÒ  Ò ÐÐݸ Ø    ¹
ÙÖÚ ØÙÖ ×  Ò  ÔÔÖÓÜ Ñ Ø ÓÒ  ε¹ÖÓ Ù×Ø 2 −4  ÒØ ´O(n  ε  Ô Ø ×º  Ô Ø  ÓÙÒ  log n)  ÔÔÖÓ  ×  ÙÖØ  Ñ Ý Ó ÒÓØ Ö  Ò ¿℄µ¸ Ø Ó ÒÓØ  Ö  × ÓÖØ ×Ø Ô Ø Ô Ø  × ½ ¸  Ö ×ØÖ 
Ø ÓÒ ØÓ  Ù×Ø Ô Ø  ÒØ  
ÙÐØÝ  ε¹  ÐÐ ÔÖÓ Ð Ñ  ε¹ÖÓ  Ú Ò  Ö ×× Ø  ØÖ ÖÝ  Ð ÓÖ Ø Ñ×  Ü ×Ø ÓÖ  ØÖ Ö ÐÝ × ÓÖØ Ö Ø  ÐÐÝ  Ñ  ¹
ÙÖÚ ØÙÖ  ÖÑÓÖ ¸  Ö  Ô Ø  ÒØÖ 
 
Ý Ó  ÓÒ  
 ÐÐݸ ÖÓ Ù×Ø ×ÓÐÙØ ÓÒ×  ¹
ÙÖÚ ØÙÖ  ÓÙÒ  ¹
ÙÖÚ ØÙÖ  Ð Ò Ø  × ÓÖØ ×Ø  Ú ÖÝ  Ð º ËÔ  Ø  ÓÙÒ  ÈÖ Ú ÓÙ× ÛÓÖ  ÔÔÖÓÜ Ñ Ø ÓÒ ØÓ Ø  × ÓÖØ ×Ø  Ù×Ø Ô Ø º  Ö  n  Ö Ò  ÖÓ Ù×Ø Ô Ø × × ÒÓÒ¹Ò Ò×Ø Ò
 × Ø  Ò  × ÓÖØ ×Ø ÜÔÓ×  Ý  Ö Ò ×× Ö ×ÙÐØ 
 Ù× Ø ÓÒÐÝ × Ð Ô Ø × Ò Ø ××Ó
 Ø Ö Ù
Ø ÓÒ Ú −Ω(n) µ Ò ÓØ Ö ÛÓÖ ×¸ Ø × 
ÓÑÔÐ Ø ÐÝ 
ÓÒ× ×Ø ÒØ Û Ø Ü ×Ø Ò  Ú ÖÝ ÐÓÛ ÖÓ Ù×ØÒ ×× ´2 ÔÔÖÓÜ Ñ Ø ÓÒ ÓÖ × ÓÖØ ×Ø ÁÒ Ø  ÓÙÒ  ×  ÓÒ Ø  ×  Ð ÓÖ Ø Ñ× Ø  ¹
ÙÖÚ ØÙÖ  ÔØ Ö¸ Û Ð ØÝ  Ò  Ð ÓÖ Ø Ñ Ö ÑÓÚ × Ø × ÓÖØ ×Ø Ô Ø ¸ Û  ε¹ÖÓ Ø  Ö Ð Ø Ú  Ø Ø Ò  λ  Ñ  ×
Ö  ÔÔÖÓÜ Ñ Ø ÓÒ ×  Ð ÓÖ Ø Ñ Ø  ×  Ò  Ô Ø ×º ËÔ  (1+ε)  × ÔÖ Ú ÓÙ× Ö ×ÙÐØ× Ö ØÙÖÒ  (1 + ε)  ×  Ü ×Ø×  ÜØ Ò × ÔÖ Ú ÓÙ× ÛÓÖ  ¹
ÙÖÚ ØÙÖ  Ó Ð Ò Ø  ÓÙÒ  Ø ÙÒ Ø Ö ØÙÖÒ×  ×ÙÖ  Ñ  Ô Ø ×º  ÔÔÖÓÜ Ñ Ø ÓÒ Ó  Ð ÓÖ Ø Ñ  ÓÖ ´ µ Ö ØÙÖÒ×  Ð¹Ø Ñ  ÖÓ Ù×ØÒ ×× Ö ÕÙ Ö Ñ ÒØ  ØÓ 
ÙÖÚ ØÙÖ  λ¸ ÓÙÖ  Ò Ö Ð ÔÓÐÝÒÓÑ Ò  × Ø  Ò  ÓÙÒ º ËÔ  ÒÚ ÖÓÒÑ ÒØ × ×
 Ð  Ô Ö Ñ Ø Ö Ø  Ö  Ù×Ø Ô Ø º  × Ñ  Ø ÒÓ  ×Ó Ø  Ø Ø  Ø  Ö ´ µÚ Ö  Ð  Ô Ø  Ø  × ÒÔÙØ  
 ÐÐݸ Û 
ÙÖÚ ØÙÖ × Ø  Ø ×  Ø  Ø ÑÓ×Ø  ÔÔÖÓÜ Ñ Ø ÓÒ ØÓ Ø  Ý ÓÙÖ ××ÙÑ ÓÙÒ  Ú ÖÝ  
 ÐÐݸ ÓÙÖ Ò Û  ÔÔÖÓÜ Ñ Ø ÓÒ ØÓ Ø  Ð ÓÖ Ø Ñº Ì  × Ñ  Û Ø ÓÙØ ÐÓ×× Ó × ÓÒ  ×  × ÓÖØ ×Ø  Ð  ÙÒ Øº  Ô Ø  (1 + O(ε))  Ú Ò × Ð Ò Ø  Ø Ñ × ÐÓÒ  ×ÙÖ  Ò Ö Ð ØÝ  Ö Ø  Ð Ò Ø Ö  Ø Ö  Ò Ø  × Ð Ô Ø º Ì ÖÙÒ Ø Ñ Ó Ø Ð ÓÖ Ø Ñ × ÔÓÐÝÒÓÑ ÐÐÝ ÓÙÒ Ò n¸ m¸ λº ´ÁØ ÓÐÐÓÛ׸ Ó 
ÓÙÖ× ¸ Ø Ø Û 
ÓÙÐ ÔÖÓ Ù ØÖÙ (1 + ε) ÔÔÖÓÜ Ñ Ø ÓÒ −1 Ý ×
 Ð Ò ε ÔÔÖÓÔÖ Ø Ðݺ ÁÒ 
ظ Û Û ÐÐ ××ÙÑ Ø Ø ÓÙÖ ε × Ø × × ε ≥ γn2 λ¸ ÓÖ ÓÑÔ Ö Û Ø ÓÙÖ ÔÖ Ú ÓÙ× Ö ×ÙÐظ Ø × Ò Û Ö ×ÙÐØ Ü Ò × ×ÓÑ 
ÓÒ×Ø ÒØ γ > 0ºµ ÔÓÐÝÒÓÑ Ð Ô Ò Ò
 ÓÒ k ´Ø Ñ Ò ÑÙÑ Ô Ø ÒØÖ 
 
ݵ ÓÖ ÔÓÐÝÒÓÑ Ð Ô Ò Ò ÓÒ Ø Ñ Ò ÑÙÑ Ô Ø Ð Ò Ø λº Ì ÒØÙ Ø ÓÒ Ò Ø × ×Û Ø × ×ØÖ Ø ÓÖÛ Ö Ò  × ÓÖØ ×Ø ε−1 ¸ Ò  ÔÖ 
Ø 
 ¸ Ø  × Ö  Π  Ò  Ò Ö Ð¸  Π  
 Ò  n  Ò  Ø  Ø Ò
ÓÖÔÓÖ Ø × Ø  ÁÒ Ø Ø  ×  Ò  Ô Ø  ×  ÐÐÝ  Ö  ÙÒ  × Þ  Ø  Ò  Ó Ø  ×  Ø  ×
Ö  Ô Ø    
ÓÒ  Ò  
Ö Ø 
 Ð ×Ø Ô  Ò ÓÙÖ  ÓÒ Ø  Ó  Ø  × Ø  ×  ØÓ Ñ  Ò ØÓÖ  ÙÒ  Ò
Ý Ù×  ÙÒ  Ò
Ý ×  ÙÒ  Ò
Ý  ØÙÖ º Ì  Ð  ÙÖ  ×
Ö ÔØ ÓÒº Ò Ø ØÓ  Ö  ×  ÐØ Ö Ø  
ÓÒ  Ö    Ø  ÙÖ Ø ÓÒ× ØÓØ Ð  Ð ÓÖ Ø Ñº  
 Ò Ñ  ×Ø ÐÐ  ÓÙÒ  ××Ó  Ô Ø º Ì  Ø Û  Ð  ´ ÙØ  Ò Ñ ÒØ Ó  
ÓÑÔÐ Ü ØÝ Ó ÓÙÖ  Ò ×Ù  kº  ÐÐÓÛ× Ù× ØÓ  
ÓÒ×ØÖÙ
Ø ÓÒ Ó  ÙÖ Ø ÓÒ × Ø× Û ÒØ  Ò Ø ÖÑ× Ó Ó  ÒÙÑ Ö Ø Ò  ÑÓÒ×ØÖ Ø ÓÒ Ø  
ÓÒ  Π  Ò  Ò×Ø  Ö  
ØÓÖ Ò Ø  Π  ÒØÖ 
 
Ý Ó  ×Ö  × Ö  Ò  × ÓÖØ ×Ø Ô Ø ¸ Ø  
ÓÑ  ÒÚ ÖÓÒÑ ÒØ  ÓÑ Ò ÒØ  Ø 
 Ò ÕÙ × Ù× Ò  º Ì  × ÓÖØ Ö Ø  ÔÔÖÓÜ Ñ Ø ÓÒ Ö ×ÙÐØ× ½ ¸  Ý  Ø  
 ÔÓ ÒØ× Ò Ø  Ò ÐÝ× ×  × Þ  ÔØ Ö×  ×  ×
Ö  Ú ÖÝ  Ð  ÙÖ Ø ÓÒ × Ø× ×  Ð  Ò  Ð ÓÖ Ø Ñº Ì ÔØ Ö  ÙÖ Ø ÓÒ× Û Ø  × Ø Ó ÔÓØ ÒØ  ÔÔÖÓÜ Ñ Ø ÓÒº Ì  ÒØ  λ  Ø Ö ÒÓÖÑ Ð × Ò  Ö  Ö  ÒÓÖÑ Ð × Ø ÓÒ ÔÖÓ  ÔÖ Ú ÓÙ×  ÔØ Ö ¿º  Ø Ò Ø  Ò Ø ÖÑ× Ó  ÔÔÖÓÜ Ñ Ø ÐÝ × ÓÖØ ×Ø Ô Ø Ò  ÒØ ÓÒ Ø× ÒØÖ 
 
Ý  Ø × × ÓÖØ Ö Ø  ÓÙÒ  Ø Ñ × ÐÓÒ  Ô Ò  ÓÖ Ô Ø × Ø  Ø Ö ÒØÖ 
 
Ý Ø  Ö×Ø  Ò  ÜÔÐÓ Ø  Ì Ù׸ Ø  Ò  Ö  Ð¹× Þ µ ×Ô 
 º Ï Ò ÜØ  ÔÓÐÝÒÓÑ Ú ÐÓÔ  Ò Ø Ñ ÐÓÓ  ÒÝ Ô Ø  ÔØ Ö¸ Û  Ö ×ÙÐØ× Ò  ÕÙ Ø  ÓÙÒ  ÑÙ  ÓÙÖ ÖÙÒØ Ñ  (1 + ε)  Ò  Ø Û  
ÓÒ  Ú  Ú ÐÓÔ  Ò  Ò
Ý Ø  ×  ÓÙÒ  ÒØÖ 
 
Ý Ó  ×  Ø ÑÓ×Ø    ×Ù

 Ò
Ø × Ø Ó × ÖÚ  Ñ Ý  Ø  
 Ò  ØÓ ÓÔØ Ñ Ð¸ Û  
Ö Ø 
 Ð Ó × ÖÚ Ø ÓÒ× ÖÓÑ Ø  ÜÔÓÒ ÒØ  ÒÙÑ Ö Ø ÓÒ¸ Û Ø  Ö Ó  ÐÐÓÛ× Ù× ØÓ  ÔÓØ ÒØ  × 
ÐÓ×  
 Ò Ô Ö ×  Ø 
 Ò ÕÙ ×  Ö ×ÙÐØ Ò Ì  ÓÙÒ  Ò
 ¸ Û Ö Ñ  ¿℄ Û Ø  Π  Ø  × ÓÖØ Ö Ô Ø  ÓÖØÙÒ Ø Ðݸ Û  Π  ÔÔÖÓÜ Ñ Ø ÓÒ  ÓÛ Ú Ö¸ ØÓ 
 ÖØ Ý Ø  ÒØ  Ò  Ú Ò  ÓÓ  ÜØ Ò× ÓÒ× Ó Ø Ó×  º  º½ È Ø ÆÓÖÑ Ð × Ø ÓÒ ÁÒ  ÔØ Ö ¾¸ Û  Ò Ò  Ø  Ø  Ø  ×ÙÖÚ Ý  ÔÖ ÓÖ  Ö ÒÓÖÑ Ð ×  Ô Ø × ¾¸ ½¸ ½¼¸ ¿¸ ½ ℄º Ì Ø 
 × 
ÓÑ Ø  Ö Ò  ÓÖ  Ò  Ø ÓÖÛ Ö º Ê 
 ÐÐ Ø  ÒØÖÓ Ù  (1 + ε)  Ò ÙÒ Ò Û  º ËÔ  Ò  ×  Ð  Ô Ø  Ø  ½ ¸  ×Ô  ÔÔÖÓ  Ð ÓÖ Ø Ñ×  º ÌÓ Ð Ñ Ø  Ò
 ÓÖ׺ Ì  ¸  Ó  ¹
ÙÖÚ ØÙÖ  ℄ ÓÖ  Ö 
Ø Ö ×  Ô Ø × 
ÓÒ×  ´× ½ ¸ ¿℄º  Ì  ÓÛ ÑÙ  Ô Ø  Ø  Ô Ø  ÙÖ Ø ÓÒ  Ô Ø  ×  × ÓÖØ ×Ø Ò  Ò  ÙÒØ Ð    ÓÖÑ  Ð  ×Ý×Ø Ñ¹  × × 
Ø ÓÒ¸ Û Ø  
ÓÑ ×  ×  Ð ×  ÔÔÖÓ  Ú Ö  × ×ØÖ Ø  ÑÓØ ÓÒ ÔÐ Ò¹  º ÁÒ Ø Ø  ÒØÙ Ø ÓÒ  ÓÖÑ×  
ÓÒØ 
Ø 
ÓÒ  Ö ×ÙÐØ × Ø  Ö  ÔØ Ö ¿µ Û Ø  Ø ÓÙÖ ÒÓÖÑ Ð × Ø ÓÒ 
 ÐÐݸ  ÓÙÒ  Ø Ö ×ÙÐØ× ÖÓÑ ÒÓÖÑ Ð × Ø ÓÒ  Ò ÖÖÓÛ× Ø  ÔÔÖÓÜ Ñ Ø ÓÒ  ÙÖ Ø ÓÒ × ÑÓÓÖ Û ÐÐ Ö Ñ  Ú Ò ×ØÖÙ
ØÙÖ  ÓÙÖ Ò Û ÒÓÖÑ Ð × Ø ÓÒ  ÔÖ Ú ÓÙ×  ×ØÖ  Ô Ø  Ð ÓÖ Ø Ñ 
 Ö ×ÙÐØ× Ò  Ø  ×  Ò  Ý  Ý Ö  ×  
ÓÒØ 
Ø 
ÓÒ¹ Ò  Ò
 ÓÖ¸ Ø  Ý ÒÓÖÑ Ð × Ø ÓÒ¸ Û Ý  Ø ÑÓ×Ø  
ØÓÖ Ó  Ý ÒÓÖÑ Ð × Ø ÓÒº  ÁÒ Ë 
Ø ÓÒ ¾º½¸ ÓÒ Ó × ÓÖØ ×Ø  ÓÙÒ  Ó Ø  ¹
ÙÖÚ ØÙÖ  Ö ×ÙÐØ× Ø  Ø Û  Ô Ø × Ò Ö  ×
Ù××  × Ø  ÓÐÐÓÛ Ò    Ö 
Ø Ö × Ø ÓÒ  ×Ô 
 º  Ì ÓÖ Ñº ½ ℄ ÁÒ Ø  × Ò
 Ó Ó ×Ø 
Р׸ × ÓÖØ ×Ø ÓÙÒ ¹
ÙÖÚ ØÙÖ Ô Ø CLC ÓÖ CCC º Á Ø× ×ØÖÙ
ØÙÖ × ØÝÔ CCC ¸ Ø Ñ Ð C ¹× Ñ ÒØ × Ð Ò Ø πº Ï 
 ÐÐ  ÓÙÒ  Ù Ò× ÙÑÔº  ¹
ÙÖÚ ØÙÖ Ù  Ò× ÙÑÔ  Ô Ø  Û Ø  Ø  ÔÖÓÔ ÖØ  Ö× ÖÓÑ ÓÙÖ  ÖÐ  × × Ø ÓÙØ Ò Ø  Ö ÒÓØ ÓÒ Ó  ÓÚ  ÙÑÔ Ò Ø  × ØÝÔ Ø Ð ×Ø Ø  ÓÖ Ñ  Ø Ø Ñ Ý  C ¹×  Ú   Ñ ÒØ× Û Ø  ÔØ Ö¸ Ø  ÔÐ Ý  Ð Ò Ø  ÓÒÐÝ ØÝÔ × Ó  Ò ÑÔÓÖØ ÒØ ÖÓÐ  × ÓÖØ ×Ø  ÓÙÒ  Ö×Ø ÒÓØ  Ö  Ø Ö Ø  ÙÑÔ× Ø  Ò Ø  ×  ÔØ Ö  ¹
ÙÖÚ ØÙÖ  Ô Ø  
 Ò  π  Ò  Ø Û  Ò  Ñ Ý  Û ÐÐ 
ÓÒ× 
 Ù×  Ö  Ö  Ñ  Ö  ÜÔÖ ××  CCC º  Ú  ×ØÖÙ
ØÙÖ  Ù  Ò× ÙÑÔ׺  Ù  ÁÒ Ø  ØÖ ÖÝ ÔÓÐÝ ÓÒ Ð Ó ×Ø 
Р׸  ×  × ÕÙ Ò  Ó  Ù  ×  Ò× ÙÑÔ×  Ò×  ÒÝ  ÙÑÔ× ´ ×  Ò Ë 
Ø ÓÒ ¾º¾º µº  ÓÖÓÐÐ Öݺ ½ ℄ Ä Ø Π  ÒÝ × ÓÖØ ×Ø ÓÙÒ ¹
ÙÖÚ ØÙÖ Ô Ø Ñ ÔÓÐÝ ÓÒ Ð Ó ×Ø 
Р׺ Ï Ò Û ×ÔÐ Ø Π Ø Ø× 
ÓÒØ 
Ø 
ÓÒ ÙÖ Ø ÓÒ׸ 
 Ö ×ÙÐØ Ò 
ÓÒØ 
ع Ö ×Ù Ô Ø × Ù Ò× ÙÑÔº Ï ×  
 ÐÐ  ÒÝ Ô Ø  Ø  Ø × Ø ×  Ò Ö Ð × Ø ÓÒ Ó Ø  × Ñ  Û Ý Ø  θi θi+1 º  Ò  Û    Ø Û  Ì  
ÓÒØ 
Ø 
ÓÒ  × Ñ  
ÓÒ  Ø ÖÑ Ò Ð 
ÓÒ  ×  Ò  ÐÐ ×  Ò  µ  Γi  ¸ Û  Ù
 × Ø  ÙÖ Ø ÓÒ× 
 Ò  ÙØ  ÓÚ      ÔÔÖÓÜ Ñ Ø Ò  × ÕÙ Ò Ò  ÖÓÑ  ÆÓØ  Ø  Ò  Ö ÕÙ Ö ×  Ö  Ó  Ø  × Ñ  Ò  Ø  Ò  ÖÓÑ  Ø Ó  ÙÖ Ø ÓÒº  Ò  Ö Ý 
ÓÒ  ØÓ  ÙÖ  ×Ø ÖØ 
ÓÒ  º½  ÙÖ Ø ÓÒ ØÓ Ó  Ô Ø  
ÓÒ  θi  Ø ÖÑ Ò Ò  
ÓÒØ ÒÙÓÙ× Ö Ò × × Ò Ð  ÓÖÑ Ò Ø  ÙÖ Ø ÓÒ×  ÙÑÔ  Ô Ø × ØÓ Ø  ×  × ÒÓÖÑ Ð  Ó 
ÓÒØ 
Ø 
ÓÒ  ÙÖ Ø ÓÒ Ö ÔÖ × ÒØ×  ÒØ Ý Ò  Ø ÓÒÐÝ Ö ÕÙ Ö ×  Ì  ¹ÒÓÖÑ Ð Ô Ø  Ú Ò ×Ø ÖØ 
ÓÒ  Ø Ø  
ÓÒ    ×ØÖÙ
ØÙÖ  ¹ÒÓÖÑ Ð Ô Ø × ÖÓÑ Ø  
 × ¸ ÓÒÐÝ ÓÒ  × ÓÖØ ×Ø Ô Ø  × × Ø  ÔÖÓ Ð Ñ Ó Ö  Ó Â  ÙÖ Ø ÓÒº  Ò  
 Ò Ö ÔÖ × ÒØ  Γi  Ö   ¹ÒÓÖÑ Ðº  ÔÖÓÔ ÖØÝ  ϹÒÓÖÑ Ð Ô Ø  ×ØÖ Ò ×  
ÓÒØ ÒÙÓÙ× Ö Ò  ÙÖ Ø ÓÒ׸  Ð Ò Ø º Û  Ó  × Ö ÔÖ × ÒØ Ø ÓÒ Ö  Ö ÔÖ × ÒØ× Ø  Ö ÔÖ × ÒØ  × ÕÙ Ò  × Ø  ϹÒÓÖÑ Ð ÓÖѺ Ï  
ÓÒØ 
Ø  Ó  Ñ Ò Ñ Ð  ÙÖ Ø ÓÒ¸  ÙØ ´ ×  ÙÖ Ø ÓÒº  αs αt  αs  αt  ´ µ ÓÒØ 
Ø 
ÓÒ ÙÖ Ø ÓÒ 
 Ò Ô ÚÓØ 
ÓÖÒ Öº ÙÖ ÌÓ Ø  × ÔÓ Òظ ÓÔØ Ñ Ð ØÝ  ÒÓÖÑ Ð Ô Ø ×º 
ÓÙÒØ Û  Ð  Ð  × Û   Ø  × Ò Ð  
ÓÖÒ Ö¸ Ø  θi  
ÓÒØ 
Ø× Ø ÙÖ  Ö ×Ô 
Ø Ú Ðݵ × Ñ  Ö  Í× Ò  Ö  Ø ×ÙÖ  ×Ø Ò Ø  θi  ÒØ Ö ÓÖ Ó  Ò Ö  Ò×  ÙÖØ  Ú  × Û  ÒØ×  ÓÒ  Ö  ÙØ Ø× ÓÖ  ×Ð  ÖÓÐÐ  
ÓÒØ 
Ø 
ÓÒ ØÙÖ  Ö  ÓÑ  Û  ¸ Ø  θi  ×  Ü  ¸  Ø  ÖÓÐÐ Ò  Ò Û  Ò  θi  ÙÖ ÙØ  ׺  
ÓÒØ 
Ø× º½´ µµ  Ø× ÔÓ× Ø ÓÒ Ò  Ô ÚÓظ Ø  ×Ø Ò  ¹  ÙÖ Ø ÓÒ×  Ø Ø ØÓÙ  ÑÓØ ÓÒ× ´Ô ÚÓØ Ò Ï  Ó Â  ØØ ÒØ ÓÒ ØÓ  ÒØ Ø ÓÒ Ñ Ý Ú ÖÝ ´×  Ö 
Ø ÓÒ Ó ÓÖÑ Ô Ø ×º  Ò Û  ÓѺ  Ú ÖÝ Ó  ÐÓÒ  
ÓÒØ ÒÙÓÙ× ×Ô  Û  
ÓÒØ 
عÔÖ × ÖÚ Ò Ø Û  Ö  Ö Ö ×ØÖ 
Ø ÓÙÖ  Ò 
ÓÒØ 
Ø Û Ø  Û Ðи Ø  ÓÒÐÝ Û Ý× Ø  Ó  ØØ ÒØ ÓÒ ØÓ  Ø ÓÒ Ð 
ÓÒ×ØÖ  ÙÖ Ø ÓÒ  º½´ µµº Ì  ÓÙÖ  Ö  ÔØ Ö ¿¸ ØÓ  θi Ñ Ý ×Ø ÐÐ ÔÓ× Ø ÓÒ Ó θi × Ü ¸  Ñ Ý Ú ÖÝ ´×  ×Ø Ò  Ò  ÑÔÓ× 
ÓÒ  ÙÖ Ø ÓÒ  × Ö ×ØÖ 
Ø  × Ö ×ØÖ 
Ø ÓÒ¸  Û  ×Ø Ò  ×Ù  ´ µ ÓÒØ 
Ø 
ÓÒ ÙÖ Ø ÓÒ 
 Ò ×Ð Û Ðк  ÓÒØ 
Ø 
ÓÒ  ×
Ö  × Ø Ó Ô Ø ×¸ Û Ô Ò  Ú Ò Û Ø Ò  º½  ÓÙØ  × Ñ  ×Ð  Ò ¸  ÖÓÐÐ Ò ×ÙÖ  Ò  ÙÒ Ø׺  × ÒÓØ ÓÒ Ó  × 
 ÒØÖ Ð ØÓ ÔÖ Ú ÓÙ×  ÖÓÐÐ Ò ¸ Û  
 Ò  ÓÖÑ Ð ×  ÔÔÖÓÜ Ñ Ø ÓÒ Ö ×ÙÐØ× ´ Ö×Ø  Ø  Ò Ø ÓÒ Ó Ò  ε¹ÖÓ  Ù×ØÒ ×× Ø  Ò Ë 
Ø ÓÒ ¾º¾º µº  Ø  ÙÑÔ  ØÛ  Ò ØÛÓ 
ÓÒØ 
Ø 
ÓÒ  Ô ÖØÙÖ × Ñ  Ø ÓÒ Ó  ×ØÖÙ
ØÙÖ º ÅÓÖ  ε¹ÖÓ  ÙÑÔ× × Ø×  ÙÖ Ø ÓÒ× ×  Ø× Ò ÔÓ ÒØ 
ÓÒ  Ý  Ò Ö ÐÐݸ  Ù×غ ÆÓØ  Ò ÔÓ ÒØ 
ÓÒ  Ø  Ø  ÙÖ Ø ÓÒ×  Â  Ý  
ÓÒ  ×  Ø ÓÒ ´ µ Ø  Ì  Ð  Ö ´ µ Ø ×    Ñ ÒØ Ó  Ò  Ñ  × ÔÖ 
 ×  Ö ×ÙÐØ Ò  Ø ÑÓ×Ø  ×Ñ ÐÐ Ò
Ö  Ä ÑÑ  º½º ¿℄ Ä Ø J Ò J ′  Ø  ×  ÒÓØ  Ö ×ÙÐØ Ò  ε¹Ô  J  ÒØ  ε¹  ÙÑÔ Ó Ø  Ø× 
ÓÒ×Ø ØÙ ÒØ  ÖØÙÖ  Ø ÓÒ Ó    Ö 
 ÒÒÓØ  
ÓÒ  Ó  Ó Ò  ÙÖ Ø ÓÒ Ô Ò  Ö 
 Ò  º ÁØ ÓÐÐÓÛ× ÖÓÑ  ÒÓÒ¹  Ø ×Ñ ÐÐ  Ô Ò  Ð    ×ØÖÙ
ØÙÖ Ð  ÒØÙ Ø ÓÒ Ø  Ò ×  ÙÖ Ø ÓÒ Ô  Ù×Ø ÙÑÔ ÑÙ×Ø  Ø× Ð Ò Ø  Ò  Ö  ε¹ÖÓ Ù×Ø  ¸ ÓÖ ×ÓÑ  Ö Ó Ò  ε¹ÖÓ  Ý  
ÓÒ  Ð Øݸ ÓÖ ´ µ Ø Ý ÙÒ  Ò ÜØ Ð ÑÑ  ×  Ö ×ÙÐØ Ò  ÙØ ÓÒÐÝ  ×  Ó Ò  ¹ÒÓÖÑ Ð Ô Ø  ÙÑÔ  Ø  Ú ÖÝ × ÑÙÐØ Ò ÓÙ×  ÙÑÔ × ÒÓÒ¹ÖÓ Ù×Ø Ø  ÙÑÔ Û Ø ÓÙØ Ú ÓÐ Ø Ò  Ó Ò  ε¹ÖÓ Ù×Ø  ÙÖ Ø ÓÒ× 
 Ò  Ò Ö Ø º  ÓÖÑ Ø ÓÒ× Ó  ÙÑÔ  J  º  ÒÝ Ô Ö Ó × Ñ Ð Ö¹×ØÖÙ
ØÙÖ ÙÑÔ× ØÛ Ò Ø × Ñ ØÛÓ ØÙÖ ×º Ì Ò | J − J | × ÓÙÒ Ý Ø ×ÙÑ Ó Ø ×Ø Ò
 × ØÛ Ò Ø ′ 
ÓÖÖ ×ÔÓÒ Ò Ò ÔÓ ÒØ× Ó J Ò J º ′  Á  εº  J  ÙÑÔ  ÁØ  
ÓÒ  ÓÐÐÓÛ×  ØÛ  ÙÖ Ø ÓÒ× Ó  J  (1 + ε) J º Ì Ö ε¹ÖÓ Ù×Ø Ô Ø Π (1 + ε)º Ì Ô Ø  ÔÖ Ú ÓÙ× 
 Ò  Ù×  ÓÚ 2  O(ε )¸  Ø ÑÓ×Ø  ÙÖ Ø ÓÒ× ×  Ø  Ø  Ø  Û  ÓÖ ¸ × ÑÙÐØ Ò ÓÙ×ÐÝ Ò O(ε2) 
 Ù× × Ø Ð Ò Ø  Ð ÓÖ Ø Ñ× Ø  Ø  × ÓÐÐÓÛ× ½ ¸ ¿℄ Ö ÒÙÐ Ö Øݸ  ÙÖ Ø ÓÒ  ØÓ 
ÓÒÚ ÖØ Ø  ×  Ò  
 ÐÐݸ ØÓ ×  Ï ÒÓÛ ÔÖ Ú ÒØ × Û  ×
Ö  Â  Ù×  
ÓÒ×  Ø  Π  Ü ×Ø×  ØÖ Ö ÐÝ Ô ÖØÙÖ  Π  Ø  Ò
Ö  × Ò  ×  Ø  ×Ô  × ÓÖØ ×Ø Â Ì  Ø Ð  Ò   Ý  J +ε ≤  
ÓÒØ 
Ø ÓÒ 
ØÓÖ Ó  Ó ÔÓ××  Ò  Ø ÑÓ×Ø  ε¹ÖÓ  Ù×Ø  
ÓÒØ 
Ø 
ÓÒ  Ù¹  × ÓÖØ ×Ø Ð  ×Ø  ×Ø Ò Ø ÓÒ 2  Ø ÑÓ×Ø  ÔÔÖÓÜ Ñ Ø ÓÒ ØÓ Ø  ÙÖ Ø ÓÒº  Ò Û ØÝÔ  ÓÙÒ  Ò  ×  Π  ¹ÒÓÖÑ Ð Ô Ø 2 Ó O(ε )  Û  Ö    Ö ÒÙÐ Ö ØÝ  
 Ó  ×  Π  ÖÓÑ  Ò  Ò  ÀÓÛ Ú Ö¸  Ø  ÓÖÑ  ÔØ Ö ¿º  Ú Ò Ò Ä ÑÑ  (1 + ε)  Ó ÒÓÖÑ Ð × Ø ÓÒ Ø  ¹ÒÓÖÑ Ð Ô Ø  Ö ÓÒÐÝ  Û Ó×  Ø  ÖÖÓÖ  Ö ×ÙÐØ  Ó  ØÓ  ÑÙ×Ø  ×ÓÙÖ  º½ ØÓ Ö Ð Ø Ú ÖÖÓÖ ÓÙÒ º ′ ÔÔÖÓÜ Ñ Ø ÓÒ¸ Ð Ø Π Ø × ÓÖØ ×Ø ′ 2 ε¹ÖÓ Ù×Ø Ô Ø º Ï 
 Ò Ô ÖØÙÖ 
 
ÓÒØ 
Ø 
ÓÒ ÙÖ Ø ÓÒ Ó Π Ý Ø ÑÓ×Ø O(ε ) ØÓ ′′ ′′ ′′ Ø Π ×Ù
 Ø Ø 
 
ÓÒØ 
Ø 
ÓÒ ÙÖ Ø ÓÒ Ó Π × × ÑÔÐ 
ÓÒ ÙÖ Ø ÓÒº Ì Ò Π ′ × (1 + ε) ÔÔÖÓÜ Ñ Ø ÓÒ Ó Π Ý Ä ÑÑ º½º Ì Ö ÓÖ ¸ Π × Ø ÑÓ×Ø (1 + ε) Ø Ñ × ′ ′′ ÐÓÒ Ö Ø Ò Π 
 Ù× Π × ÒÓ ÐÓÒ Ö Ø Ò Π Ý ÓÙÖ 
 Ó 
 Ó Πº ËÔ  ×ÓÐÙØ  Ò  
ÓÒ  Ø  J  Ù×ظ  Ø  Ö  ´ µ × ÑÔÐ  ´ µ  × ÑÔÐ  Ó  (1 + ε)  Ò  ε¹ÖÓ  Ô ÖØÙÖ  Ð Ò Ø  Ý  O(ε )  
ÓÒØ 
Ø 
ÓÒ  Ð ÑÑ Ý  ×
Ö 2  Ö Ø ÓÒ× Û Ø  Ò ØÛÓ 
ÓÒØ 
Ø 
ÓÒ  ÖÓÑ Ø  ε¹ÖÓ  Ù×غ Ì  × 
ÓÑÔÐ 
 Ø  ÔÔÖÓÜ Ñ Ø ÐÝ¹× ÓÖØ ×Ø Ô Ø ×¸ Û × Ð ×× Ö ×ØÖ 
Ø Ú º  × Û Ø  Ø 
ÓÔ × Û Ø  Ø  Ò Ö Ð Ý Ø  ÑÙ×Ø ÒÓÛ  ÔÖ Ú ÓÙ×  Ø  Ø  Ò Ö  ÔÔÖÓ 
Ø Ø  ظ  Ð Û Ø  ÔÔÖÓÜ Ñ Ø ÓÒ  ØÙÖ ¸ Ø ØÝÔ Ø  × Ò  
ÓÒ  ½¸ ¾¸ × ÑÔÐ  Ò  ¿ 
ÓÒ  Ø ÖÑ Ò Ð 
ÓÒ  Ò
 ÓÖ 
ÓÒ  ÙÖ Ø ÓÒ×  ÙÖ Ø ÓÒ׸ ÓÚ Ö¹
ÓÒ×ØÖ ÙÖ Ø ÓÒ  ÙÖ Ø ÓÒ× Ò ØÓØ Ðº  αt ¸  ×  Ò
 ÓÖ  Ò  Ò  Ò  
ÓÒ  
ÓÒ  ÔØ Ö ¿µº  ÌÓ  Ò ÓÖ  ÔÔÖÓ  Ø ×Ô 
 Ó ÔÓ×× Ð 
ÓÒØ 
Ø 
ÓÒ ÙÖ Ø ÓÒ׸ Ø  2 ØÙÖ ×¸ Û Ø Ö ÒÙÐ Ö ØÝ O(ε )º ÁÒ Ø ÓÒ¸ Û ÒØ Ý¸ ÓÖ O(n3 ) 
ÓÒØ 
Ø 
ÓÒ ÙÖ Ø ÓÒ× Ø Ø Ó

ÙÖ ÓÒ ÓÚ Ö¹
ÓÒ×ØÖ Ò Ø  O(n)  Ó ×Ø 
Ð  ÙÑÔ× ´Ø  Ö¸ Û  ÙÖ Ø ÓÒ׸ ×Ø ÖØ 
ÓÒ 3 ÙÖ Ø ÓÒ׺ Ì Ö Ö O(n  Ö ØÓ Ô Ø × ×¸ Û  Ó Ø   Ø  × Ñ  Ñ ÐÝ Ó  Ö×Ø ÙÒ ÓÖÑÐÝ × ÑÔÐ Ó ×Ø 
Ð  × Ø  × Ø  Ö  Ö ØÓ  ÙÖ Ø ÓÒ αs ¸ + nε−2 ) ×Ù  Æ Üظ Û Ò Ö  
ÓÒØ ÒÙÓÙ×ÐÝ  ׺ Ì  Ø× 
ÓÒØ 
Ø 
ÓÒ × Ø  × Ñ  ØÓ  ÙÖ Ø ÓÒ×  ×  Ò  Ò  Ò
 ÓÖ 
ÓÒ  Ï  ×ÙÑÑ Ö ×  Ô Ø  Π  ÓÖÑ  Ó Ð × ØÓ  Û  Ü Ö
 ×  × 
ÐÓ×  ÔÖ × ÖÚ Ò  × ÔÓ××  ÔØ Ö ¿º Á  ×ÓÑ  ÙÖ Ø ÓÒ¸ Û  Ð  ÒÝ Ö × Ð  Ð  ÐÐ Ó  Ö  ØÓ  Ò  ×Ó  Ò  Ø  Ö  Ò  ÓÑ Ò Ø  Ô Ø  Ò Û 
ÓÒ×ØÖ  × ÒÓ Ö  ÓÙÖ Ò Û ÒÓÖÑ Ð × Ø ÓÒ Ö ×ÙÐØ Ò Ø  ×  ÓÑ Ð  Ñ ÒØ  ØÓ  ÙÖ Ø ÓÒº ÇÙÖ  ÙÖ Ø ÓÒ 
 ÒÒÓØ  ØÓ ÒØÖÓ Ù  Ò  Ø× 
ÓÒØ 
Ø×  Ö  Ò
 ÓÖ 
ÓÒ  
ÓÒØ 
Ø 
ÓÒ  Ö  
ÓÑ × 
ÓÑÔÐ Ø ÐÝ 
ÓÒ×ØÖ  Ù Ð  ÔÔÖÓ  ÖÓÐÐ  Òغ  Ö Ò Ö 
ØÐÝ  Ú ÒØÙ ÐÐݸ Ø  غ  ÓÐÐÓÛ Ò  Ø  ÓÖ Ñº  Ì ÓÖ Ñ º¾º Ä Ø Π Ò Ö ØÖ ÖÝ ÓÙÒ ¹
ÙÖÚ ØÙÖ Ô Ø Ó Ð Ò Ø Π ÖÓÑ 
ÓÒ ÙÖ Ø ÓÒ αs ØÓ 
ÓÒ ÙÖ Ø ÓÒ αt º Ì Ò Ø Ö Ü ×Ø× Ò ε¹ ×
Ö Ø Ô Ø Π′ ÖÓÑ αs ØÓ αt Û Ø Ð Ò Ø Ø ÑÓ×Ø Π (1+O(nε2)) Ò O(n Π ) ÒÓÒ¹ Ò
 ÓÖ 
ÓÒØ 
Ø 
ÓÒ ÙÖ Ø ÓÒ׺ ÈÖÓÓ º ØÓ  Ï  αt  ×  Ö×Ø Ó × ÖÚ  O(n Π )  × ÓÖØ ×Ø  ÓÙÒ  n  × Ö  Π  ÓÒ 
ÓÒ  Û  ØÙÖ ×  Ì    ×ÔÐ Ø  Π  ÖÓÑ  2π  Û ÐÐ Ø  w  w  Ø  Ò Ø  
ÓÒ  Ì  ÔÖÓÓ  ÔÖÓÓ Ó Ì Ö  Ø  Ø Û  Ö  ÒÓ ÙÒÑÓÓÖ  Π  ×  ÁØ Ö Ñ 
Ø  Ò  Û Ø  Ø  Ø  Π  Ô Ø  × 
Ð  ØÙÖ  2π ¸    ×Ù Ô Ø  ÑÙ×Ø Ö  Ò  Ø  θ¸ Π  w Ò wº Ì  ÙÖ Ø ÓÒ×  Ø  Π  ØÓ  ÙÖ Ø ÓÒ× Ð  Ø ÑÓ×Ø  Ò× ØÓ  Ö Ù  O(n Π ) ′ Ø Ø Π  ÒÚ Ö  ×ØÖÙ
ØÙÖ  Ó  ÒØ× Ó Ø  Ø  ×  αs  ÖÓÑ  Ñ × Ø  Ø Ø  ÙÒ Ø Ö  ØÓÙ  ×  Ù×   Ó  w  ÓÖ Û ÐÐ׺ ÆÓØ ØÓ Ö  × Ø    ÓØ  w θ  
 Ù×    ×Ù Ô Ø  Ú × Ø  Ø Ö  θ¸  Ø  Ø  Ö 
ÓÒØ 
Ø  Ø ÑÙ×Ø ÐÓÓÔ  ÓØ  ÖÛ ×  ´ ×  Ó Ð Ò Ø  Ø  ÒÝ Ô ÖØ 
ÙÐ Ö Û Ðк  ε¹  ×
Ö Ø  ×  Ò Ø  Π )  Π′  ÓÐÐÓÛ×  Π  ÙÖ Ø ÓÒ× Ó  ÓÖ Ñ ¿º ÒÙÑ  Ò  ÖÓÑ Ø  ÙÒØ Ð Ø  
 Ø × Ø  Ø Ø  Ö ×  Ö Ó ÒÓÒ¹ Ò
 ÓÖ 
ÓÒØ 
Ø  ÒÓÒ¹ Ò
 ÓÖ 
ÓÒØ 
Ø 
ÓÒ  ÙÖ Ø ÓÒ×  ÙÖ Ø ÓÒ׺  (1 + O(nε2 )) 
ÓÒ  Ø Ñ × ÐÓÒ  ÙÖ Ø ÓÒ  ÙÖ Ø ÓÒ× Ñ Ý Ò  Ô Ø  
ÓÒ  Ò ÐÝ× × Ò Ì  Ø ÑÓ×Ø  ØÛ  Ð  Ö 
Ø ÓÒ Ó  
 Ò ÖÓÐÐ ÙÒÑÓÓÖ  ÖÓÐÐ Ò  Ô Ø  ÓÐÐÓÛ  Π  × ÑÔÐ  
ÓÒØ 
Ø 
ÓÒ ×  
 Ò  Ø  غ Ì  ÒÚ ÖÓÒÑ ÒØ ´
ÓÒØ 
Ø 
ÓÒ  ÔÖ × ÖÚ × Ø  Ò  × Ñ  À Ò
 ¸ ÓÒ  
ÓÒ×Ø ÒØ 
ØÓÖ Ò
Ö ′ À Ò
 ¸ Π × Ø ÑÓ×Ø O(n  × ÓÒ Ø Ö  Ø  ÙØ Û  Ø ÑÓ×Ø  ÙÖ Ø ÓÒ׺  
 Ù×  Ò  Ð  ÒØÙ Ø Ú Ðݸ Û  
ÓÒ  θº    Ú  
 Ò ÒÓÖÑ Ð ×  ÓÖ Ñ ¿º  ÔÖÓ
 ×× 
 Ù× × 
ÓÒ  ¹
ÙÖÚ ØÙÖ  ØÓ Ø  Ð Ò Ø  ÙÖ Ø ÓÒ  Ö 
Ø ÓÒ Ó  Ø Ð  ×  ÓÙÒ  ØÙÖ  ÓÖ 
ÓÖÒ Ö׸  × ÓÖØ ×Ø Ô Ø µ ÑÓ×Ø  Ð  ÒØÙ Ø ÓÒ  ÒØÓ ×Ù Ô Ø × Ó  ×Ø 2π µ ÓÖ Π × ÓÙÐ ÒÓØ O(1) 
ÓÒØ 
Ø 
ÓÒ  ´ØÖ Ú Ð  ×  ÙÖ Ø ÓÒ׺ Ì  Ô Ø  × ÔÖ 
 ×  ×  ÙÖ Ø ÓÒ×    × ÓÖØ ×Ø  Ø ÑÓ×Ø ÓÒ
 º  ×ÓÒ Ò  Ö  Ø Ø  ¹
ÙÖÚ ØÙÖ  
 Ö
Ð º À Ò
 ¸ Ø  Ø  
ÓÒØ 
Ø 
ÓÒ  Ò  Ö Ø  ÙØ Ø  Πº  Π³×  Ø ÔÖ × ÖÚ × Ø ¸  Ò  Ì  
ÓÒØ 
Ø  
ÓÒØ 
Ø Ô Ö× ×Ø×µ  ÒÝ ØÛÓ 
ÓÒØ 
Ø× ´×Ô  × Ø  
 ÐÐݸ ×ØÖÙ
ØÙÖ ×  ÓÒÐÝ  
ÓÑ ÑÓÖ 
ÓÒ×ØÖ Ò µ Ò Ø Ð Ñ Ø× Ø Ò Ø Ò Ò ÒÝ 
ÓÒØ 
Ø 
ÓÒ ÙÖ Ø ÓÒ ε2 ´Ø × ÓÐÐÓÛ× ÖÓÑ ÓÙÖ 
 Ó 
 Ó Ò
 ÓÖ×µº ÁØ ÓÐÐÓÛ× ÖÓÑ Ä ÑÑ º½ Ø Ø 2  ÙÑÔ ØÛ Ò 
ÓÒ× 
ÙØ Ú 
ÓÒØ 
Ø× Ó Π × ×ØÖ Ø Ý Ø ÑÓ×Ø ε º Ï Ö Ù ′ 2 ÓÚ Ø Ø Ø Ö Ö O(n Π ) ×Ù ÙÑÔ׺ Ì Ö ÓÖ ¸ Π ≤ Π + O(ε n Π ) = (1 + O(nε2)) Π º ØÓ  Ø ÑÓ×Ø  Ò  ÑÔÓÖØ ÒØ ÔÖÓÔ ÖØÝ Ó  ×
Ö ÔØ ÓÒ Û    ×  × ÕÙ Ò  Ø   Ö  ×Ù  Ò  Ô Ø  Ò
 ÓÖ 
ÓÒ  ÐÐ  ε¹  ×
Ö Ø  
ÓÒ× ×Ø× Ó  Ô Ø ×  × Ø  × ÕÙ Ò  ÙÖ Ø ÓÒ ÓÖ × Ö  Ó Ð Ò ×º  ¼    Ó Ð  Ø Ø  Ý  Ñ Ø  
ÓÒØ 
Ø 
ÓÒ ÖÓÑ  Ò  
ÓÑ ÙÖ Ø ÓÒ×  Ò
 ÓÖ 
ÓÒ  Ò ØÓÖ   ÙÖ Ø ÓÒ  Ð Ó Ý  º¾ ËÝ×Ø Ñ Ø 
 Ë Ö ÁÒ Ø  × × 
Ø ÓÒ¸ Û  ×
Ö  (1 + ε) Ø Ñ × ÐÓÒ ÑÓ×Ø λº Í× Ò Ø  Ö Ø  ÑÓ×Ø Ø ×Ù    ÒØÐÝ ×Ñ Ðи Ø  O(nλ)  Ø ÑÓ×Ø ÓÖ Ø  ÔÔÖÓ  Ò
 ÓÖ ØÓ  Ö Ô ×  Ò  Ð  × ÓÖØ ×Ø Ò  ×  Ð  
ÓÒ  ε¹  Ò  Ú  × ÖÓÙ  ÐÝ Ø  × Ñ  × Ø  Ò  × ÓÖØ ×Ø Ô Ø  Ô Ø º  Ò  Ý Ì  Ì  Ô Ø  Ö  ÔØ Ö  × ÓÒ  Ò  Ø  ÙÖ Ø ÓÒ× ÓÒ  Ð Ò  
ÓÒØ 
Ø 
ÓÒ  º Ë Ò  ÓÖ Ñ  º¾º Ï Ò ØÓÖ  Ö  Ø Û  Ò  ÓÖ  Ø ×  Ø  × Ð Ò Ø  ÔØ Ö Ø  Ø  ε  ×  (1 + ε) Π  Ò  
 Ò ×Ý×Ø Ñ Ø 
 ÐÐÝ ×  Ö  ÔØ Ö  º Ï  
ÓÒ×ØÖÙ
Ø  P  ×Ô Ø  ØÛ  Ò Ø  Ö Ø  Ò Ø  Ö Ø  Ø Ø  Ò
 ÓÖ Ø  ÒÙÑ  ε¹ ×
Ö Ø Ô (α, α′ )¹Ð Ò  Ò  
ÓÖÖ ×ÔÓÒ ×  Ø Ñ × ÐÓÒ  ÒÓÛ 
ÓÒ×ØÖÙ
Ø  Ò  Ø  Ö Ô  Û  Ø Ó  Ö Ó 
ÓÒØ 
Ø  Ø  Û Ø  Ø ÑÓ×Ø  Û Ø Ø ÑÓ×Ø ′ 
ÓÒØ 
Ø 
ÓÒ ÙÖ Ø ÓÒ׸ ÓÖ Ú ÖÝ Ô Ö Ó Ò
 ÓÖ 
ÓÒ ÙÖ Ø ÓÒ× α, α º ′ ÙÖ º¾ ÓÙØÐ Ò × ×Ý×Ø Ñ Ø 
 Û Ý ØÓ Ò Ø × ÓÖØ ×Ø (α, α )¹Ð Ò Ø Ø × ÑÓ×Ø ′ 
ÓÒØ 
Ø 
ÓÒ ÙÖ Ø ÓÒ׸ ÓÖ Ú ÖÝ Ô Ö Ó Ò
 ÓÖ 
ÓÒ ÙÖ Ø ÓÒ× α, α º Ì × Ð ÓÖ Ø Ñ ×  Ú ÖÝ × Ñ Ð Ö ØÓ Ø Ò Û  Ü  Ð ÓÖ Ø Ñ  Ô× ØÖ  ÓÖ  Û Ø  Ø  Ò
 ÓÖ 
ÓÒ  ÙÖ Ø ÓÒ×  Ó ÓÖ h = 1 ØÓ τ Ó ÓÖ ÐÐ  ÐÐ Ô  Ö× Ó  Ó ÓÖ  ÒÚ ÖÓÒÑ ÒØ  Ó ÈÖÓÔ  Ò
 ÓÖ 
ÓÒ ÐÐ Ô  Ì ÙÖ  ÈÖÓ  ´× ×Ø  ÙÖ  º¾µº Ì  ÔÖ Ú ÓÙ×  Ö Ó 
ÓÒØ 
Ø 
ÓÒ  ×  Ð ÓÖ Ø Ñ  ÙÖ Ø ÓÒ׺  ÙÖ Ø ÓÒ×  ØÙÖ ×  Ó  Ø ÖÑ Ò ′ Ò φ Ò  ÓÖ Ø  F  (Φα,F l−1 ) α, α′  ÒÚ ÖÓÒÑ ÒØ ′ ÐÐ l Ò l ×Ù
 Ø  Ó ÓÖ  ÙÖ  Ø  Ö× Ó  Ø  
ÓÒ  ×Ø ÒÙÑ  Ö  α  F, F ′ l + l′ ≤ τ  ØÙÖ × Ø Ø  Ö  α′ ,F ′  Φl′  Ü ×Ø 
ÓÒ  ×Ù  ÙÑÔ Ó Ò Ò (α, α′ )¹Ð Ò  ´ µ Ø  º¾  ÔØ Ö ¸Û  (τ )  ´ µ Ø  ÙÖ  Ð  Ò  ×  ÐÐ  ÓÖ  ¾  × ÓÖØ ×Ø  Ð ÓÖ Ø Ñ ÒØÖÓ Ù ′ × ÓÖØ ×Ø (α, α )¹Ð Ò  Ó Ø  (α, α )¹Ð Ò  Ó Ø  ÐÐÄ Ò  ½  Ù×Ø Ú  Ô× ØÖ ′  Ò  ×  Ø ÑÓ×Ø  (1 + ε)  ¸ Ö Ø  ÐÓÓ  Ø  Π′ Ø Π  ×
Ö ÔØ ÓÒº  Ö Ò Ø  Ð Ò  
 × ØÓ  Ø  Ö Ô º Ì  Ø ÑÓ×Ø  Ö Ô  Ó  Ð  Ò  Ò
 ÓÖ ×  Ô Ø  ÔÖÓÚ  Ð Ò Ø  ÔÔÖÓ  P ÒØ Π′ Ø Ø  Û  ÙÖ Ø ÓÒ׸ Ø ×Ù  Û Ø  ÑÔÓÖØ ÒØ  Ð Ò Ø  Ð  ÒØÖÓ Ù
Ø ÓÒ Ó  
ÓÑ  Ò
 ÓÖ  ×  Π¸  Ô Ø  Π′  Ô Ø  Ô Ø ×  Ø  Ð  Ò Ø  ÙÖ Ø ÓÒ×  ¹
ÙÖÚ ØÙÖ  ×  ×
Ö Ø  ×
Ö Ø  ÒÓÛ 
ÓÖÖ ×ÔÓÒ × ØÓ Ø  O(nλ) O(nλ) τ  ε¹  ÓÙÒ  
ÓÒ×ØÖÙ
Ø  Ü ×Ø×  Ø 
ÓÒ×ØÖÙ
Ø×  × ÓÖØ ×Ø  ××ÙÑÔØ ÓÒ ×Ø Ø  Ö  
 Ù×  Ð ÓÖ Ø Ñ Ø  Ò Ø  
ÓÒØ 
Ø 
ÓÒ  × Ô Ø  ÇÙÖ  Ò  ÓÖ Ë ÓÖØ ×Ø ε¹ ×
Ö Ø È Ø ×  Ø  Ø  φ  Ò  φ′  Ø ÖÓÙ ′ × ÓÖØ ×Ø (α, α )¹Ð Ò  Ò Ø  
ÓÒ×ØÖÙ
Ø ÓÒ Ó  ÐÐ × ÓÖØ ×Ø  ÙÖ Ø ÓÒ×  φ  Ò  Φα,F l  × 
ÓÐÐ × ÓÒ¹ Ö ¸ Ò φ Ò φ′ × × ÓÖØ Ö ÓÙÒ  (α, α′)¹Ð Ò  ×Ó  Öº  ×Û Ø  τ  
ÓÒØ 
Ø  ÙÖ Ø ÓÒ׺ Ð ÓÖ Ø Ñ º¾  Ø  × Þ  Ò Ó  ÙÖ  Φα,F l  º¾ ×Ù  
ÓÙÐ  Ö×  ÖÓÑ Ø  ÜÔÓÒ ÒØ ½  × Ñ  Ð Ò lº  ÔÖÓ Ð Ñ  × Ø  ÓÖØÙÒ Ø Ðݸ Ø ×Ù  Ð ÓÖ Ø Ñ 
 × ØÓ  Ò  ×
ÓÚ Ö  × Ò Ð (α, α′ )¹Ð Ò  ÓÒÐÝ  ′  (α, α )¹Ð Ò 
ÓÒ Ø  º  ÙÖ Ø ÓÒ×  Ø  ØÛÓ Ö  ÔÓ×× ×  Ð  Ì  ×  Ø      Ð Ò  
ÓÒ  ÔÔÖÓÜ Ñ Ø ÐÝ Ø  Ø × Ö  ÒØ Ý  Ò   ÓØ  ÔÖÓÔ  Ò
Ö  × Ò  Ò
Ý  (1 + ε)  Ý  ÐÐÓÛ Ò  
ØÓÖ  ×Ô  Ó Ô Ø × ´ ÓÖ  Ò Ð Ò Ø  ØÓ Ö ×ØÖ 
Ø ÓÙÖ ×  ×  Ö  Ð Ò Ø  Ó  Ö      Ð  ÒØÙ Ø ÓÒ ×  ÒØÐÝ × Ñ Ð Ö Ø  Ò Ø × ÓÙÐ  Ö×Ø Û Ø ÓÙØ × 
Ö Ï  Ð  Ø  ÒØÐÝ × Ñ Ð Ö  ×ÓÑ Û  × ÓÖØ ×Ø Ö  ÓÖ ¸ Ø  Ø  Ô Ø º   × Ø  ×Ù × Ø Ó  ×  Ø Ù× Ø  Ð Ò Ø  ÓÒÐÝ  Ø ÒÚÓÐÚ  ×  Ò  
 Ò  ÒØÙ Ø ÓÒ Ø  ×  Ò ÐÝ× ×  º  ÓÒØ 
Ø ÓÒ ÙÖ Ø ÓÒ×  ÁÒ Ø  Û Ö  Ð  × × 
Ø ÓÒ¸ Û  Ø  × × 
Ø ÓÒ¸ Û  Ò Ð 
ÓÒ  ØÓ Ø Ö  Ï  Ò  ÒØ  Ö ÑÓÚ Ó  Ó  Ø  Ò    Ø Ø ×Ù  ÁÒ Ø  ÙÖØ  Ö  Ö ÔÓØ ÒØ  ØÓ  Ð Ò
Ö  ×    Ò× Ø  Ò׺ Ï  Ò× Ø × Ø  Ø ×Ø ÖØ Û Ø  Ó Ø  Ø Û  × Û Ø  ÐØ Ö Ö ÑÓÚ × ´  ÙÒÚ  Ð  ÁÒ  φl+1  ÔØ Ö  Ò Ò  φl  Ó  ¸ Û  ×  Á  Ò    ÐÑÓ×Ø ×Ô ÒÒ  ×
Ù××  Ù×Ø Ö ÕÙ Ö  Ò×µ  Ò  ÜØ Ò  ´×  ØÓÓ Ñ ÒÝ  ×Ø Ò Ù ×  Ø Ó×  Ø  Ö  ÓÛ ØÓ ÑÔÐ Ñ ÒØ  ÐØ Ö Û  ÐØ Ö    Ó Ø  ÒÙÑ  ×  Ö Ó  Ö ×ÙÐØ Ò  Ô ÖØ Ø ÓÒ× Ò  L  Ò  Ö Ò  × Ø  Ø  ÐÑÓ×Ø Ø Ð Ò  ÖÓÑ  × Ñ  φl  ¾  ØÓ  ´  ÔÖÓ Ù
 Ò  Ú  Ð  Ò Ø  ÒÓØ ÓÒ Ó      ×  Û Ø Ø  Ò×µº  ÓÒ ¹Ð Ò  Ú  ÜØ Ò¹  ÐÑÓ×Ø ×Ô Ò¹ ¹ Ò ¹
ÓÒÕÙ Ö  ×Ý ØÓ × Ø × Ý Ø   ×Ô 
Ø Ò× Ø    ÓÑÔÐ Ø ¹  ×Ù ÔÖÓ Ð Ñ× ×Ñ ÐÐ Öº Ï Ð Ò Ø × Ó Ø  
 ÐÐÝ ØÓ  ÓÖÑ Ð ×  Ò Ø  Ò  Û ×  Ø ÓÒ  Ò× Ò  Ò  ˆ α,F [i] Φ l  Ý Ð  ØØ ÒØ ÓÒ ØÓ Ô Ø × Ó Ð Ò Ø Ø ÑÓ×Ø 2 Ø ÑÓ×Ø λ(1 + O(ε))/ε º Ï Ø Ò  Û Ý  φl+1  ×  Ò Ø  ×
Ö  Ò  ÔØ Ö  º Ì  ÓÑÔÐ Ø Ò ×× ÈÖÓÔ ÖØݸ Û Ö 
 Ö ÙÐ Ø Ø Ø Ð Ò Ø J + K Ó Ø Ô Ø Ø Ø ÜØ Ò × φ′l ØÓ Ö 
 φl+1 Ü
 × L Ý Ø ÑÓ×Ø ε2 º À Ò
 ¸ 
ÓÒ Ø ÓÒ ´
µ Ó Ø Ò Ø ÓÒ Ó ÐÑÓ×Ø ×Ô ÒÒ × × Ø × φ′l + J + K ≤ [ φl + ε2 ] + [ L + ε2 ] = φl+1 + 2ε2 º  Ñ  × Ø  Ô ÖØ Ø ÓÒ×  Û  ØÛ  Ð ¸ Ø  ÔÔÖÓ Ø Û ×  ÚÓ  ÑÔÓÖØ ÒØ  ˆ α,F º φ′l ∈ Φ l  Ð  
ÓÒ  
 ÐÐ Ô Ö Ó    ×  ÒÓØ Ö ÑÓÚ  × ÙÒÚ Ú  
ÓÒ  Ø  Ò׸ Û  Ø ÓÒ  Ý ×ÓÑ  Û  Ö  º  º¿µº Ì  
ÓÒ  ˆ α,F φl ∈ Φ l    ÙÖ  Ø  2  Ò
 ÓÖ¸ Û Û ÒØ ØÓ  ÐØ Ö¸ Û  Ø ÓÒ× ´ µ Ò ´ µ ÓÚ º Ì α,F ˆ Φl ÒØÓ ×Ù ÔÖÓ Ð Ñ× Û Ö Ð ÓÖ Ø Ñ Ø Ú Ò ×× ÈÖÓÔ ÖØݺ ÌÓ × Ø × Ý 
ÓÒ Ø ÓÒ ´
µ¸ Û Ñ Ø α,F α,F ˆ ˆ Ô ÖØ Ø ÓÒ Ò Φl ÒØÓ ×Ù × Ø× Φl [i] ×Ù
 Ø Ø Ø 2 2 Ò Ø Ö Ò [(i − 1)ε , iε )º Ë Ò
 Û Ö ×ØÖ 
Ø ÓÙÖ  λ(1 + O(ε))¸  Ø  J + K ≤ φ + 2ε  ÙÖ  Ð Ñ Ò Ø  ÐÓÛº Ì    ÓÑÔÐ Ø Ò ×× ÈÖÓÔ ÖØÝ × ÓÒ  ØÓ  Ó × ÒÓØ  ÓÑÔÐ Ø Ò ×× ÈÖÓÔ ÖØÝ  ÔÔÖÓÜ Ñ Ø ÓÒ¸ Û  Ô ÖØ 
ÙÐ Ö ÔÖÓ  Ó ÒÓØ Ò  Ø ×  Ó Ô Ø × Ø  
 × ØÓ 
 Ð
ÙÐ Ø  
ÓÒØ ÜØ Ó ′ ´
µ φ +  ÐÑÓ×Ø ×Ô ÒÒ Ò  Ò  ÐØ Ö Ò  Ø  φº  ÙÖ Ø ÓÒ Ó  ÒÓØ ÓÒ Ó  ÙÒ  Ö Ù  ×Ô  ØÓ Ö ×ØÖ 
Ø ÓÙÖ ×  Ù×  Ø × ÔÓÐÝÒÓÑ ÐÐÝ ÓÙÒ Ò × Þ º ˆ α,F Ó Φα,F ¸ Û ÐÐÓÛ ×Ù × Ø Φ l l ×Ð Ø Ò
Ö × Ò Ô Ø Ð Ò Ø º Ï ×Ø ÖØ Ý Ö Ò Ò Ø ÒÓØ ÓÒ Ó ÐÑÓ×Ø ×Ô ÒÒ Ò ′ Ò Ò Ë 
Ø ÓÒ º¾º Ê 
 ÐÐ Ø ØÛ × Ø Ø  Ò φ ÐÑÓ×Ø ×Ô Ò×  Ò φ¸ ØÛÓ ′ 
ÓÒ Ø ÓÒ× Ö × Ø × ´× ÙÖ º¿µ ´ µ φ Ò φ Ò Ø Ø × Ñ 
ÓÒ ÙÖ Ø ÓÒ ′ Ò ´ µ Û 
 Ò ÔÔ Ò φ Û Ø Ø ÑÓ×Ø ÓÒ ÙÑÔ J Ò Ø ÑÓ×Ø ÓÒ Ð Ò K ØÓ Ö ÁÒ Ø  ØÓ  ×Ù  ×Ù  Ò Ð Ò Ø ¸ Û  λµº  Ö  × º  F  Ð Ñ Ò Ø ÓÒ  Ò
Ö Ü  Ø ÓÒ Ô  Ø 
ÓÒ×Ø ØÙØ ×  º¿ Ê ÙÒ Ò
Ý ÑÓÒ Ò Ø  Ø  ÐÐ Ô Ø × Ø  Ø  × Ñ  ÔÖÓÔ  ØÙÖ  Ö Ò  Ð× Ó Û  ÙÒ  Ò  Ø  Ý Ø  
 ÒØÐÝ  ÑÔ 
Ø Ó Ø  ×  ÙÖ Ø ÓÒ×  ÓÒ  × 
 ÐÐÝ 
ÓÖÖ 
ظ Ø Ó Ø  Ø  ØÙÖ  ØÓ Ö ÔÐ  Ð ØÝ ÓÖ ×  Ø  ÐÐÓÛ× Ù× ØÓ  ÐÐÎ  ½  ×  ˆ α,F Ð × Φ ÓÖ 0 ÐÐ Ò
 ÓÖ× α  Ò Ø  ÓÖ  α  ÐÐ  F  Ò  Ó ÓÖ h = 0 ØÓ τ − 1 Ó ÓÖ ÐÐ ÒÚ ÖÓÒÑ Ó ´h × Ø Ò  ÒØ  ÐÐ Ô  Ö× Ó  Ó ÓÖ  Ò
 ÓÖ× ÐÐ Ô  Ð  α, α′  Ø ÖÑ Ò ×Ù  Ø  Ø  Ø  ´ µ Ø  Ö  Û Ø  Ø ÑÓ×Ø  ×  Ô Ø  ÈÖÓ  ÙÖ  ÓÖ Ø  ÒÓÒ¹ Ò
 ÓÖ 
ÓÒØ 
Ø 
ÓÒ  Ì Ì  Ò ÜØ Ð ÑÑ Ò Ñ  Ä ÑÑ  ε¹  ÙÒÚ  × ÓÛ× Ø ×
Ö Ø  Ø  Ð    Ò ÙÒÚ  Ô Ø ×º ÁØ ×  Ò Ö ×ÙÐØ Ó Ø  ÖÓÑ Ò  φ  ØÓ  ÓÒ  × × ÓÖØ Ö Ø ÓÙÒ  ˆ α′ ′ ,F ′ ψ∈Ψ l  Ò  ψ  ÙÑÔ¸  Ò  Ò  ×Ó  Öº  ÐÐ × ÓÖØ ×Ø Ú  (α, α′ )¹Ð Ò  Ð  × Û Ø  τ  ÙÖ Ø ÓÒ׺  Ö ×ÙÐØ Ó Ö ÔÐ 
 Ò  ØØ ÒØ ÓÒ ØÓ Ù×  
ÓÒ×ØÖÙ
Ø ÓÒ Ó  Π  Ð Ò ×  φ+Π+ψ ′ ÒÝ (α, α )¹Ð Ò  º¿  ˆ α,F ) (Φ l  ÐØ Ö  ØÙÖ ×  ´ µ  ÙÖ  µ  F, F ′ ′ Ø l+l ≤ τ ˆ α,F Ö Ü ×Ø φ ∈ Φ l  ÒÚ ÖÓÒÑ ÒØ ′ ÐÐ l Ò l ×Ù
 Ø  Ó  Ý  ˆ α,F ← Φ l ˆ α,F ) Ø (Φ l  Ö× Ó  Ó ÓÖ  F  ØÙÖ ×  Ú ×  ÈÖÓÔ  ÓÖ  ¾  (τ )  Ð Ä Ò  ×  Ò Û Ø  Ð ×Ð   Ø  Ú  Ò ×  Ð  Ð×Ó Ö    ε¹  Ò Ñ Ý ÒÓØ  ÙÒ  ÒØ Û  ÜØ Ò× ÓÒ Ó Ä ÑÑ  Ò Û  º¾º Ì  ×
Ö Ø º  Ö ×ØÖ 
Ø ÓÙÖ  × Ò ÜØ Ö ×ÙÐØ ×  ÔØ Öº  º¿º Ä Ø φl+1  ˆ α,F º Á φl+1 × Ø ÓÒ Ð Ò ÜØ Ò× ÓÒ Ó Ò ÙÒÚ Ð φl ∈ Φ l ÔÖ Ü Ó ×ÓÑ (α, α )¹Ð Ò Λ Û Ø O(nλ) ÒÓÒ¹ Ò
 ÓÖ 
ÓÒØ 
Ø 
ÓÒ ÙÖ Ø ÓÒ׸ Ø Ö Ü ×Ø× ε¹ ×
Ö Ø Ô Ø P ÖÓÑ α ØÓ α′ ×Ù
 Ø Ø  ½º  ′  Ú  Ð  ˆ α,F × Ø Ò φ′l ∈ Φ l  ×Ù Ü Ó Λ ×  ¾º Ø ¿º P  × Ø ÑÓ×Ø Ø Ö  ÔÖ Ü Ó P ¸  ×Ù Ü Ó P ¸ ÑÓÖ ÒÓÒ¹ Ò
 ÓÖ 
ÓÒØ 
Ø 
ÓÒ ÙÖ Ø ÓÒ× Ø Ò Π¸ Ò  º P ≤ Π + O(ε2 nλ)º ÈÖÓÓ º  ÌÓ 
ÓÒ×ØÖÙ
Ø  ×Ô Ò×  غ  Ý ÓÙÖ  P¸  Û  ×Ø ÖØ Û Ø  Ò Ø ÓÒ Ó  Λ  Ò  ÐÑÓ×Ø ×Ô ÒÒ  Ö ÔÐ ¸ Ø  φl+1  Û Ø  Ö ×ÙÐØ Ò  ×ÓÑ  Ô Ø  Λ  ′  φ′l ×  Ø  Ø  ÐÑÓ×Ø 2  Ø ÑÓ×Ø  2ε  ÙÒ Ø× ÐÓÒ Ö Ø Ò Λ Ò × Ø ÑÓ×Ø ÓÒ ÑÓÖ 
ÓÒØ 
Ø 
ÓÒ ÙÖ Ø ÓÒ Ø Ò Λº Ì × Ô Ø Λ′ × Â ¹ÒÓÖÑ Ð ÙØ ÒÓØ Ò 
 ×× Ö ÐÝ ε¹ ×
Ö Ø º ËÓ Û ÒÓÖÑ Ð × Λ′ º Ì × Ö ×ÙÐØ× Ò 2 ′ 
 Ù× Λ × O(nλ) ÙÑÔ× Ø Ø Ö ÓÖÑ Ý Ð Ò Ø Ò
Ö × Ó Ø ÑÓ×Ø O(ε nλ) ¿  ÒÓÖÑ Ð × Ø ÓÒ ´ÓÒÐÝ Ø 
ÓÒ  Ø ÓÒ  Ï Ø Ø  Ø  º  ÓÒ  Ø  ÔÖ 
 ×  ÐÐÎ  ÒÓÒ¹ Ò
 ÓÖ 
ÓÒØ 
Ø 
ÓÒ  Ø ÓÒ× ½ Ø ÖÓÙ ÒÓØ ÓÒ Ó Ö  ÙÒ  × 
 Ò  Ð Ä Ò  ÙÖ Ø ÓÒ× 
 Ò  ¿ ÓÐÐÓÛ ÖÓÑ Ø Ò
Ý  Ù×  Ú Ò Ò Ø  ØÓ  Ò  Ò  µº Ì  ÔÖÓÓ Ó Ä Ñ