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La mayor parte de mi plática será una introducción al análisis microlocal y al análisis semiclásico. Estas teorías estudian relaciones estrechas que existen entre funciones y operadores lineales, por un lado, y objetos de geometría simpléctica, por otro. Las relaciones aparecen cuando se considera un cierto régimen asintótico. Por ejemplo, el análisis microlocal le asocia, a cada distribución en una variedad M, un conjunto del espacio cotangente a M llamado frente de onda, que contiene información sobre las singularidades de la distribución. El análisis semiclásico es una teoría vecina, que establece relaciones entre las matemáticas de la mecánica cuántica y la mecánica clásica, cuando la constante de Planck tiende a cero. Hablaré también de algunas aplicaciones de estas teorías, incluyendo resultados recientes.